Fizyka zakres rozszerzony

2019
FIZYKA
PODRĘCZNIK ● LICEUM I TECHNIKUM ● ZAKRES ROZSZERZONY
1

FIZYKA
1

Autorzy: Maria Fiałkowska, Barbara Sagnowska, Jadwiga Salach
Autorzy Niepewności pomiarowych, Doświadczeń: Małgorzata Godlewska, Marek Godlewski
Autor ciekawostek i infografik na stronach: 15, 24, 64, 96, 110–111, 115, 134, 164–165, 166, 193:
Jakub Wąsowicz
Podręcznik w wersji testowej, nieprzeznaczony do sprzedaży, zgodny z treścią podręcznika
przesłanego do MEN w celu uzyskania dopuszczenia do użytku szkolnego zgodnie
z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 1 marca 2017 r. w sprawie dopuszczania
do użytku szkolnego podręczników (Dz.U. 2017 poz. 481).
EGZEMPLARZ NIE DO SPRZEDAŻY
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne
Warszawa 2019
Wydanie I
ISBN 978-83-02-18207-5
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Anna Grochulska (redaktor koordynator, redaktor
merytoryczny)
Redakcja językowa: Milena Schefs
Redakcja techniczna: Janina Soboń
Projekt okładki: Ewa Pawińska
Projekt graficzny: Ewa Pawińska, Hanna Michalska-Baran
Opracowanie graficzne: Hanna Michalska-Baran
Fotoedycja: Ignacy Składowski
Skład i łamanie: MathMaster Studio
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna
00-807 Warszawa, Al. Jerozolimskie 96
KRS: 0000595068
Tel. 22 575 25 00
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Druk i oprawa: DROGOWIEC-PL Sp. z o.o., Kielce
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im
przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie
publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to
dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki

................................................................................................................................................................. 5
.................................................................................................................. 6
•
1. .................................................................................................. 8
2. ....................................................................... 13
3. ...................................................................... 22
4. .................................................................................................. 29
5. .............................................................................. 36
6. .......................................................................................... 44
7. .............................................................................................................................. 51
8. ........................................................................................... 58
*9. .......................................................................................... 67
.................................................................................................................................... 71
•
10. ............................................................................................................ 80
11. ................................................................................................................. 98
12. ............................................................................... 103
13. ....................................................................................................................................................... 112
14. .................................................................................................................... 120
15. ................................................................................... 128
.................................................................................................................................... 137
•
16. ............................................................................................................................................ 144
17. ...................................................................................................... 150
18. ............................................................................. 155
19. ...................................................................................................................................... 169
20. ....................................................................................... 175
.................................................................................................................................... 179
•
21. ................................................................................................................ 186
22. ..................................................................................................................................... 191
23. ........................................................................................................... 194
24. .......................................................................................................................... 197
25. ........................................ 205
.................................................................................................................................... 209

•
1. ................................................................................................... 214
2. ............................................................ 216
3. ................................. 221
4. ............ 226
5. ....................................................................... 227
•
1. ........ 230
2. 232
3. ................................... 233
4. .................................................................................................................. 235
5. .................... 236
•
1. ...................................................................................................... 242
2. .................................................................................................................. 249
3. .................................................................................................. 252
• .................................................................................................................... 255
• ..................................................................................................................................... 259
• .......................................................................................... 261
*

79

10. Zasady dynamiki
Newtona
Przypomnij sobie
Oddziaływania otaczających nas ciał omawiane w szkole podstawowej podzielono na
oddziaływania, w których niezbędny jest bezpośredni kontakt ciał, oraz oddziaływania
„na odległość”, niewymagające bezpośredniego kontaktu ciał (grawitacyjne, elektrostatyczne
i magnetyczne).
Obserwowanymi skutkami tych oddziaływań są odkształcenia ciał, takie jak np. zgniecenia,
rozciągnięcia, ugięcia (tzw. skutki statyczne), oraz zmiany wartości, kierunku lub
zwrotu prędkości ciał (tzw. skutki dynamiczne).
Fizycy opisują nie tylko oddziaływania makroskopowe, obserwowane na co dzień
między otaczającymi nas ciałami, ale także oddziaływania mikroskopowe między najmniejszymi
znanymi cząstkami materii.
Domyślasz się zapewne, że obserwowane skutki oddziaływań ciał makroskopowych są
efektem oddziaływań między cząstkami materii tworzącymi te ciała. Nasuwa się więc
pytanie, czy oddziaływania makroskopowe po prostu „odtwarzają” oddziaływania mikroskopowe,
czy też opisy oddziaływań w makro- i mikroświecie istotnie się różnią.
Będziemy mówić o tym dokładniej w podręcznikach do kolejnych klas. Teraz wspomnimy
tylko, że przykładem oddziaływań, które opisujemy tak samo dla ciał mikroskopowych
i makroskopowych, są oddziaływania grawitacyjne. Natomiast wszystkie
pozostałe obserwowane w przyrodzie efekty oddziaływań makroskopowych (np. tarcie,
sprężystość ciał, parcie cieczy i gazów) są wynikiem elementarnych oddziaływań elektrycznych
i magnetycznych (ściślej mówiąc – elektromagnetycznych) między cząstkami
materii.
O ruchu ciała decydują (zwykle wspólnie) różne, zawsze wzajemne oddziaływania. Jeśli
podczas opisu oddziaływań i ich skutków posługujemy się tylko słowami, opisujemy
oddziaływania jakościowo. Natomiast w celu ilościowego opisu oddziaływań posługujemy
się pojęciem siły, wektorowej wielkości fizycznej, która jest miarą oddziaływań.
80

O ruchu ciała w wyniku oddziaływań z innymi ciałami będą decydować wszystkie
działające na to ciało siły, które zazwyczaj zastępujemy jedną siłą powodującą takie
same skutki – siłą wypadkową.
Co dzieje się z ciałem, jeśli działająca na nie siła wypadkowa ma wartość zero (czyli
wszystkie działające siły się równoważą), a co, gdy siła wypadkowa jest różna od zera
(czyli działające siły się nie równoważą)? Mówią o tym znane ci już zasady dynamiki,
sformułowane przez Isaaca Newtona.
Genialny angielski fizyk i matematyk Isaac Newton
urodził się 4 stycznia 1643 roku w Woolsthorpe
Manor w środkowo-wschodniej Anglii.
Od najmłodszych lat ujawniał wszechstronne
zdolności (konstruował mechaniczne zabawki,
malował, pisał wiersze) i wykazywał ogromne
zainteresowanie nauką. Mimo przeszkód związanych
ze skomplikowaną sytuacją rodzinną
w 1661 roku rozpoczął naukę w Trinity College
w Cambridge, gdzie najpierw studiował etykę,
logikę, retorykę oraz grekę, a później zainteresował
się też astronomią i matematyką. Poznał
dzieła Arystotelesa, Kopernika, Galileusza, Keplera
i Kartezjusza. Po trzech latach uzyskał tytuł
bakalaureata, co dało mu możliwość prowadzenia
na uczelni samodzielnych badań naukowych.
Ponieważ uniwersytet zamknięto na prawie dwa
lata z powodu epidemii dżumy, Isaac wyjechał do
domu, gdzie narodziły się jego genialne pomysły.
Rok 1666 zwany jest „rokiem cudów” (annus
mirabilis) nie tylko z powodu wydarzeń ważnych
dla historii Anglii, lecz także z powodu odkryć
Newtona, które zrewolucjonizowały spojrzenie
na świat przyrody i rządzące nim prawa. To
w tym czasie Newton prowadził doświadczenia
z optyki (rozszczepił światło białe i wykazał, że
jest mieszaniną barw, oraz skonstruował zwierciadlany
teleskop) i udowodnił założenia Keplera
dotyczące eliptycznych orbit planet. Wtedy też
(jak głosi legenda o spadającym jabłku) narodziła
się idea teorii powszechnej grawitacji.

W 1672 roku Newton opublikował dzieło New Theory about Lights and Colours
i w uznaniu osiągnięć w dziedzinie optyki w tym samym roku został członkiem Towarzystwa
Królewskiego (Royal Society) w Londynie, a potem jego prezesem.
Rozważania na temat siły grawitacji oraz prawa ruchu ciał,
które znamy dzisiaj jako zasady dynamiki, Newton przedstawił
w 1687 roku w dziele Philosophiae naturalis principia
mathematica, czyli Matematyczne zasady filozofii przyrody
(na fotografii strona tytułowa pierwszego wydania dzieła
oraz kosmonauta w Międzynarodowej Stacji Kosmicznej
oddany lekturze jednego z wielu kolejnych wydań). Prawa
mechaniki newtonowskiej (tzw. klasycznej) są szczególnym
przypadkiem (dla ruchów odbywających się z prędkością znacznie mniejszą od
prędkości światła) mechaniki relatywistycznej, zgodnej z teorią względności Einsteina.
Newton był znakomitym matematykiem; niezależnie od Gottfrieda Leibniza stworzył
na potrzeby fizyki rachunek różniczkowy i całkowy. W odróżnieniu od innych współczesnych
mu uczonych (mimo że doceniał rolę doświadczenia w badaniu przyrody)
uważał, że przyrodę można opisać tylko metodami ścisłymi, matematycznymi, bowiem
rozważania czysto jakościowe mogą doprowadzić do błędnych wniosków.
W 1705 roku królowa Anna Stuart nadała mu tytuł szlachecki. Sir Isaac Newton zmarł
w 1727 roku i został pochowany w opactwie westminsterskim. Podziw dla jego geniuszu
wyraził w epitafium poeta Alexander Pope:
Nature and Nature’s laws lay hid in night.
God said, Let Newton be! and all was light.
Przyrody wszelkie dzieło w pomroce leżało.
Bóg rzekł: „Niech będzie Newton!” i jasno się stało!
(w tłumaczeniu Juliana Tuwima)
82

Zasady dynamiki Newtona
Treść pierwszej zasady dynamiki informuje nas, jakie warunki muszą być spełnione,
aby ciało pozostawało w spoczynku lub poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
W drugiej zasadzie dynamiki sformułowane są przyczyny zmiennego ruchu
ciała. Znajdujemy tu również odpowiedź na pytanie, od czego zależy przyspieszenie
ciała w ruchu zmiennym. Treść trzeciej zasady dynamiki mówi nam, jakie cechy mają
siły wzajemnego oddziaływania ciał.
Przypomnijmy teraz znane ci już sformułowania zasad dynamiki Newtona.
Pierwsza zasada dynamiki
-
Druga zasada dynamiki 6
→ F w
6 → F w
→
a ∼ F → w
→
a =
→
F w
m
Trzecia zasada dynamiki
Czy zasady dynamiki są spełnione w każdym układzie odniesienia? Rozważania na
temat ruchu ciała nieoddziałującego z żadnym innym ciałem (czyli tzw. ciała odosobnionego)
doprowadziły Newtona do sformułowania postulatu istnienia takiego
układu odniesienia, w którym ciało nieoddziałujące z żadnym innym ciałem pozostaje
w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Taki układ nosi nazwę
układu inercjalnego.
6 Proporcjonalność wektorów oznacza, że ich wartości są proporcjonalne, kierunki są takie same, a zwroty
zgodne (jeśli współczynnik proporcjonalności jest dodatni).
83

Pierwszą zasadę dynamiki (zwaną też zasadą bezwładności) formułujemy więc następująco:
-
Uwaga: Jeśli istnieje jeden układ inercjalny, to każdy układ poruszający się względem
niego prostoliniowym ruchem jednostajnym też jest układem inercjalnym.
Zasady dynamiki można stosować tylko w układach inercjalnych i wszystkie rozważania
będziemy (na razie) przeprowadzać tylko w takich układach. Dla znacznej liczby
zjawisk, które obserwujemy i opisujemy na Ziemi, układ związany z Ziemią można
uważać za inercjalny. W innych układach, zwanych nieinercjalnymi, zasady dynamiki
nie są spełnione. O układach nieinercjalnych będzie mowa w rozdziale 15.
W pierwszej kolejności zajmiemy się ruchami prostoliniowymi.
O tym, czy ciało, którego zachowanie chcemy opisać, porusza się w wybranym układzie
odniesienia ruchem prostoliniowym jednostajnym (lub pozostaje w spoczynku), czy
też porusza się prostoliniowym ruchem zmiennym, decyduje (zgodnie z zasadami dynamiki)
siła wypadkowa wszystkich sił działających na ciało.
→
F w = ma
→
1) Z faktu, że wszystkie siły działające na poruszające się ciało równoważą się (lub
zrównoważą w pewnej chwili ruchu), wynika, że ciało porusza się (lub od tej chwili
zacznie się poruszać) ruchem jednostajnym prostoliniowym.
→
F w = 0 → ⇒ a → = 0 → ⇒ Δυ → = 0 → ⇒ υ → = const
2) Jeśli siła wypadkowa jest różna od zera i stała, a jej kierunek jest zgodny z kierunkiem
prędkości, to ciało porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnie zmiennym.
Jeśli ponadto:
• zwrot siły wypadkowej (a więc i zwrot przyspieszenia) jest zgodny ze zwrotem
prędkości ciała, to ruch ciała jest ruchem jednostajnie przyspieszonym;
• zwrot siły wypadkowej (a więc i zwrot przyspieszenia) jest przeciwny do zwrotu
prędkości ciała, to ruch ciała jest ruchem jednostajnie opóźnionym.
3) Jeśli siła wypadkowa jest różna od zera, a jej wartość zmienia się podczas ruchu ciała,
to ruch ten jest ruchem niejednostajnie zmiennym:
• przyspieszonym, gdy zwrot siły wypadkowej jest zgodny ze zwrotem prędkości
ciała;
• opóźnionym, gdy zwroty wektorów siły wypadkowej i prędkości ciała są przeciwne.
4) Jeśli siła wypadkowa ma inny kierunek niż prędkość, to ciało porusza się ruchem
krzywoliniowym.
84

→ F c
F c
F N
F c
F → N
F → s
7 -
F → N F → s
8
a) b)
F s
F s
F c
F c
F N
F N
-
F s = F c
→ F w = → F c + → F s F s = F c -
F s = F N F N = F c
7 Siłę tę nazywa się niekiedy siłą reakcji podłoża.
8 Dla przejrzystości rysunku siłę sprężystości będziemy zaczepiać w środku ciała.
85

→
F c F → s
F
→
→
F op
F op
F s
F
→
F w = → F c + → F s + → F + → F op = → 0
F s = F c F = F op
-
F op =0
→
F w = ma
→
mg → = ma
→
→
a = g
→
→ g
F c
Rys. 10.5
86

9
10
F op ∼ υ ⇒ F op = bυ
b
9 → F c
→ F op
-
-
-
przyrosty
F op = F c , F w =0
-
-
υ → max
-
→
F w = → F c + → F op F w2 = mg − bυ 2
F w =0
0=mg − bυ max υ max = mg
b
-
10 -
a)
b)
c)
d)
F op1
F c
F op2
F c
F op3
F c
F op
F w1
F c
F w = 0
1
F w2
2
F w3
3
max
9 W rozważaniach pominięto siłę wyporu (także działającą na kroplę w powietrzu) ze względu na jej znikomo
małą wartość (stanowi ona około 0,13% siły ciężkości).
10 Kropla deszczu o średnicy 1,5 mm spadająca w powietrzu o gęstości 1,3 kg/m 3 osiąga szybkość υ max =7m/s.
87

-
38 969 m-
t (s) h (m) (m/s)
0 38 969 0
34 33 466 310
50 27 833
377
64 22 961 290
180 7619 80
260 2567
53
300 m/s
88

10. Zasady dynamiki Newtona
siły działające
na klocek i sufit
siły działające
na sprężynę
F R
F R ′
F s ′
F s
F c
F → s -
F → c
→
F s + F → c = 0
→
F s = F c → F s
→ F ′ s
→ F R
→
F R + → F ′ s = → 0 F R = F ′ s
→ F ′ s
→ F ′ R F′ R = F R
→ F ′ s
→ F s → F R
→ F ′ R → F c
→ F c
→ F ′ c
F c = F s F s = F ′ s to F c = F ′ s
F c = F ′ s-
-
→ F ′ s
89

m
→ a-
y
a
F s
F s
F c
→ F c
→
F s
→ a
→
F s + → F c = m → a
y
F s − F c = ma
F s = F c + ma = mg + ma = m(g + a)
→ F ′ s
F ′ s = F s = m(g + a) F ′ s > mg
→ F ′ s
90

→ aa < g
F s
F s
F c
a y Rys. 10.9
→
F c + → F s = m → a
y
mg − F s = ma F s = m(g − a)
→ F ′ s
F ′ s = F s = m(g − a)
F ′ s < mg
a = gF s ′ =0
-
-
•
•
91

50 kg1m/s 2
y
F
a
F c
Rys. 10.10
→ F c
→ F → F w -
→ a
→
F + → F c = m → a
y
F − F c = ma
F = m(a + g)
F =50kg·
(1 m s + 9,81 m )
≈ 541 N
2 s 2
→ F N
→ F
F N ≈ 541 N
F N ≈ 491 N
92

-
m 2 m 1
F
Rys. 10.11
m 1 F
a)
b)
m 2 m 1
F′ s F s
F
F′ N F N
m 1 → F → F s
→ F s → F
→ F s
→ F N F N = F s
→ F N
→ F ′ sF N
F ′ N = F N
namiki
Newtona
{ →
F + → F s = m 1
→
a
→
F ′ s = m 2
→
a
x
FF → N ′ = F N F s = F N
{ F − FN = m 1 a
F N = m 2 a
F
F − m 2 a = m 1 a ⇒ a =
m 1 + m 2
F N =
m 2F
m 1 + m 2
93

11
F → 11
m 1 + m 2
F
a =
m 1 + m 2
-
m 2 → F ′ sF ′ s = F s = F N
F N = m 2 a =
m 2F
m 1 + m 2
m 1 → F → F s F s = F N
F − F N = m 1 a
F
F N = F − m 1 =
m 2F
m 1 + m 2 m 1 + m 2
α =30 ◦
α
→ F c → F s
-
→ F w → F s
11 Więcej informacji na temat sił zewnętrznych i sił wewnętrznych w układzie znajdziesz w rozdziale 12.
94

p
b → F c
b → F w
etap I
F w
b
etap II
F w
F s
b
p
α
F c
p
α
F c
→ F w → F c -
→ F s
α-
α
-
etap III
F w
F s
p
α
α
F c
F N
F w
F c
=sinα F c = mg
a = F w mg sinα
= = g sinα
m m
g =10m/s 2
a =10 m s 2 · sin30◦ =10 m s 2 · 1
2 =5 m s 2
F s
=cosα F s = mg cosα
F c
F N = mg cosα
95

a) b)
przewody
półkoliste
przedni
tylny
nerw
boczny
ucho
zewnętrzne
ucho
środkowe
ucho
wewnętrzne
-
96

ZADANIA
1. -
10 cm
-
0,4 kg
-
g =10m/s 2
Rys. 10.19
51 g
a) b)
A B A
B
-
-
97

11.
Przypomnij sobie
Drugą zasadę dynamiki:
→
a ∼ F → w ⇒ a → = 1 →
F w
m
zapiszemy teraz w innej postaci. W tym celu porównamy definicję przyspieszenia:
→
a = Δ υ
→ υ
= → 2 − υ → 1
Δt Δt
z przyspieszeniem obliczonym na podstawie drugiej zasady dynamiki (podającej przyczynę
istnienia przyspieszenia):
Otrzymujemy:
→
a =
→
υ 2 − → υ 1
Δt
Po pomnożeniu obu stron powyższego równania przez mΔt uzyskujemy:
mυ → 2 − mυ → 1 = F → w Δt
Iloczyn masy m ciała i jego prędkości υ → nazywamy pędem ciała i oznaczamy symbolem
p.
→ →
p = mυ
→
Zwróć uwagę, że wyrażenie po lewej stronie równania (11.1) to przyrost pędu ciała,
który nastąpił w czasie zmiany prędkości od υ → 1 do υ → 2 , czyli w czasie Δt. A zatem:
Δp → = F → w Δt
Iloczyn siły wypadkowej i czasu jej działania nazywamy często popędem siły.
Wzór 11.2 odczytujemy następująco:
Jak widać, zmiana pędu ciała zależy nie tylko od siły wypadkowej, ale również od czasu
jej działania, i następuje tylko wtedy, gdy na ciało działa siła wypadkowa różna od zera.
→
F w
m
=
→
F w
m
98

Z równania (11.2) wynika, że:
Równanie (11.2) możemy zapisać także w postaci:
→
F w = Δ p
→
Δt
Jest to inna postać drugiej zasady dynamiki.
Wyrażenie Δ p
→ informuje nas, jaki przyrost pędu następuje w jednostce czasu, czyli jaka
Δt
jest szybkość zmiany pędu.
Wobec tego drugą zasadę dynamiki możemy sformułować następująco:
Szybkość zmiany pędu ciała jest tym większa, im większa jest siła wypadkowa działająca
na ciało.
Kiedy obie postaci drugiej zasady dynamiki są równoważne? Aby odpowiedzieć na to
pytanie, porównamy wzory na siłę w obu postaciach drugiej zasady dynamiki:
→
F w = m → a
i
→
F w = Δ p
→
Δt
Do pierwszego wzoru podstawiamy a → = Δ υ
→
Δt , a do drugiego p → = mυ.
→
Otrzymujemy:
→
F w = m Δ υ
→
Δt
i
→
F w = Δ(m υ)
→
Δt
Widać, że te równania są równoważne tylko wtedy, gdy:
mΔ → υ = Δ(m → υ)
a więc wówczas, gdy iloczyn stałej masy ciała i zmiany jego prędkości jest równy zmianie
iloczynu masy ciała i jego prędkości. Zwróć uwagę, że zmiana iloczynu dwóch wielkości
następuje wtedy, gdy zmieniają się oba czynniki lub gdy zmienia się tylko jeden z nich.
Iloczyn m → υ może się więc zmienić, gdy zmieni się masa ciała i (lub) jego prędkość, co
dla niewielkich przyrostów Δm i Δ → υ można zapisać następująco:
Wobec tego:
Δ(m → υ)=(Δm) → υ + mΔ → υ
mΔ → υ =(Δm) → υ + mΔ → υ
tylko wtedy, gdy (Δm) → υ = → 0, czyli gdy Δm =0, a więc gdy m = const.
99

Z drugiej zasady dynamiki w postaci → F w = m → a korzystamy tylko w przypadkach,
w których masa ciała nie zmienia się podczas ruchu.
Zastosowanie postaci → F w = Δ → p
Δt
przedstawiono w przykładach 11.1 i 11.2.
p 0
m
p
m
Rys. 11.1
mυ
→
p → 0 p 0 = mυp
→
p → 0 p → p → 0
p → 0 = −p → p → = −p → 0
Δp → = p → − p → 0 = p → − (−p)=2 → p
→
|Δ → p| =2p =2mυ
p → = −p → 0 Δp → = p → − p → 0 -
|Δp| → =2mυ
Δp → p
→
-
Δt =0,01sm =0,4kg
υ =10m/s
F śr = |Δ → p|
Δt
= 2p
Δt = 2mυ
Δt
F śr = 8kgm s
= 800 N = 0,8 kN
0,01 s
200
100

→ υ
Δm
Δt
Δm → υ-
Δt → υ
→
F = Δ p
→ = Δm →
υ
Δt Δt
Δm > 0
Δt
-
→ υ
F
nośna
F s
α
Δp
p p
α
F oporu
F
p
p
k
α-
→ p p
→ p k → F p
→ F s -
F p → F p
→ F s
101

ZADANIA
1.
-
Rys. 11.4
2. 0,1 kg
x
( )
m
px
kg
s
1,5
1
0,5
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0,5
t (s)
Rys. 11.5
0 s,15s
t =5s
t =5s
5 s,15s6
30 s, 60 s
70 s, 80 s
−1,5 m/s 2
30 s, 60 s15 N · s
3.
-
0 s, 3 s
3 s, 5 s
F (N)
2
1
0
1
2 3 4 5 t (s)
Rys. 11.6
102

Przypomnij sobie Jeśli siła wypadkowa działająca na pojedyncze ciało → F wypadkowa = → 0, to pęd ciała nie ulega
zmianie. To stwierdzenie, które możemy nazwać zasadą zachowania pędu dla pojedynczego
ciała, w istocie jest równoważne pierwszej zasadzie dynamiki.
→
p = p → 1 + p → 2
Teraz zastanowimy się, jakie warunki muszą być spełnione, by pęd układu ciał nie ulegał
zmianie.
Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch ciał, np. dwóch kulek, które przyciągają się
wzajemnie (rys. 12.1). → F 1,2 to siła, którą ciało pierwsze działa na ciało drugie, a → F 2,1 to
siła, którą drugie ciało działa na pierwsze. Wymienione siły są siłami wewnętrznymi
w układzie tych ciał, bo działają między ciałami układu.
Z trzeciej zasady dynamiki wynika, że: → F 2,1 = − → F 1,2 .
1 2
F 2,1
F 1,2
Dotąd wielokrotnie zwracaliśmy uwagę, że siłę zawsze przyczepiamy do ciała, na które
ta siła działa. Teraz pojawia się problem: gdzie znajduje się punkt zaczepienia wektora
pędu układu ciał, czyli sumy pędów poszczególnych ciał układu?
Dla każdego układu ciał można zdefiniować w przestrzeni punkt zwany środkiem
masy, posiadający własności pojedynczego ciała o masie równej sumie mas ciał tworzących
układ.
103

0
m 1
C
m2
x
x 1
x C
x 2
Dla rozważanych kulek przyjmiemy oś x przechodzącą przez ich środki (rys. 12.2).
Jeśli x 1 jest współrzędną położenia pierwszej kulki, a x 2 – drugiej kulki, to współrzędna
położenia środka masy układu x C (od angielskiego centre of mass) wyraża się wzorem:
x C = m 1x 1 + m 2 x 2
m 1 + m 2
Gdyby masy kulek były jednakowe (m 1 = m 2 ), to:
x C = x 1 + x 2
2
czyli środek masy układu znalazłby się w połowie odległości między kulkami.
Wzór ten można uogólnić dla wielu (n) punktów materialnych:
x C = m 1x 1 + m 2 x 2 + ... + m n x n
m 1 + m 2 + ... + m n
Podobnymi wzorami wyrażone są współrzędne y C , jeśli nie wszystkie punkty leżą na
osi x (a także z C , jeśli punkty rozmieszczone są przestrzennie).
x C y C C
x, y
y (cm)
3
2
1
10 g (1, 3)
C
5 g (4, 0)
15 g (0, 0) 1 2 3 4
x (cm)
15 g · 0 + 5g· 4cm+ 10 g · 1cm
x C = =1cm
30 g
15 g · 0 + 5g· 0 + 10 g · 3cm
y C = =1cm
30 g
C
x ′ , y ′
C =(1,1)
104

Bryła o dowolnej objętości składa się z wielu niewielkich elementów; im są one mniejsze,
tym bardziej są zbliżone do punktów materialnych. Dla każdej bryły można obliczyć
położenie jej środka masy. Położenie środka masy figur płaskich można wyznaczyć
doświadczalnie (patrz zadanie 4 na s. 109), jeśli wiadomo, że środek masy każdego
ciała jest równocześnie jego środkiem ciężkości, tj. punktem, w którym przyłożona jest
jego siła ciężkości 12 .
Załóżmy teraz, że na kulki z rysunku 12.2 (stanowiące układ złożony z dwóch ciał) dodatkowo
działają w dowolnych kierunkach siły zewnętrzne, na przykład siły → F z1 i → F z2
(rys. 12.4).
F 1
F 2
m 2
F z1
F 2
0
F 2, 1
C
F 1,2
m 1
x
z
Druga zasada dynamiki (11.2) zapisana dla każdego z tych ciał z osobna przybierze
postać:
Δp → 1 = F → 1 Δt
Δp → 2 = F → 2 Δt
gdzie → F 1 to siła wypadkowa działająca na kulkę o masie m 1 , równa → F 1 = → F 2,1 + → F z1 ,
natomiast → F 2 to siła wypadkowa działająca na kulkę o masie m 2 , równa → F 2 = → F 1,2 + → F z2 .
Zmiana pędu układu Δ → p jest równa sumie zmian pędów ciał tworzących układ. Siły
działające na kulki oraz wektory zmian pędów kulek zaczepiamy w środku masy C
układu.
Δ → p = Δ → p 1 + Δ → p 2 = Δt( → F 1 + → F 2 )=Δt( → F 2,1 + → F z1 + → F 1,2 + → F z2 )=
= Δt( → F z1 + → F z2 ) + Δt( → F 2,1 + → F 1,2 )
F z1
F zew
F 1,2 F 2, 1
0 C
F z2
x
12 Ściśle mówiąc, środka masy nie należy jednak zawsze utożsamiać ze środkiem ciężkości. O rozróżnieniu
tych dwóch punktów powiemy w dziale Pole grawitacyjne (podręcznik dla klasy drugiej).
105

Siły wewnętrzne F → 2,1 i F → 1,2 , przyłożone do wspólnego środka masy, równoważą się wzajemnie
(rys. 12.5), więc siła wypadkowa wszystkich sił jest wypadkową sił zewnętrznych
( F → zew ) i:
Δp → = F → →
zew Δt czyli F zew = Δ p
→
Δt
Jest to inna postać drugiej zasady dynamiki dla układu ciał.
Wynika z niej, że jeśli działająca na układ wypadkowa siła zewnętrzna (którą otrzymujemy
w wyniku przesunięcia równoległego sił zewnętrznych działających na poszczególne
ciała do środka masy układu) jest równa zeru, to pęd układu nie ulega zmianie
(jest zachowany).
-
Jest to zasada zachowania pędu dla układu ciał. Jeśli → F zew = → 0, to środek masy układu
pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością niezależnie od tego, jak poruszają
się poszczególne ciała wchodzące w skład układu.
-
x
→
p u = m → u υ C = 0
→
υ C = Δx C
Δt Δx C
=0
Δt
Δx C =0x C = const
x C
106

Δ → p 1 = −Δ → p 2
m p = 500 kg
υ p =0,86m/sm cz =60kg
υ cz =2,5m/s
m cz
cz
m c
m p
p
-
m p → υ p + m cz → υ cz =(m p + m cz ) → υ
x
xυ px = υ p υ czx = −υ cz
m p υ p − m cz υ cz =(m p + m cz )υ x
x
υ x = m pυ p − m cz υ
500 kg · 0,86 m
cz
υ x =
s − 60 kg · 2,5 m s
m p + m cz 560 kg
=0,5 m s
υ x
υ x > 0
xυυ x < 0
x
Δp px = m p (υ − υ p )
Δp → p = m → p υ − m → p υ p
(
Δp px = 500 kg −0,36 m )
= −180 kg m s
s
Δ → p cz = m cz → υ − m cz → υ cz
Δp czx = m cz υ − (−m cz υ cz )=m cz (υ + υ cz )
Δp czx =60kg· 3 m s =180kgm s
Δ → p p
Δ → p cz |Δ → p p | = |Δ → p cz |
Δ → p p + Δ → p cz = → 0
107

-
3000 m/s
MυΔt
→
-
Δmu → (u < υ)Δm > 0
υ → + Δυ.
→
a) b)
M
u
M–m
m
x
M → υ = Δm → u + (M − Δm)( → υ + Δ → υ)
→ u
→
u wzgl = u → − ( υ → + Δυ) →
→
u = u → wzgl + υ → + Δυ
→
→ u wzgl x
-
MΔ → υ = − → u wzgl Δm
Δt
M Δ υ
→
Δt = Δm
−→ u wzgl
Δt
Δυ
→ Δm
Δt → 0)
Δt Δt
→
a = − Δm
→
u wzgl
·
Δt M
M
108

ZADANIA
1. -
M K = 1 81 M Z d
384 000 kmOx
Ziemia
Księżyc
x
mυ-
→
−υ
→
m υ
m
υ
1 m
1
m
2
1 2
2
υ x
υ
1 m
1
m
2
1 2
2
υ x
•
•
t =5sm =0,5kg
υ = 2000 m/s
-
A
A-
B
A
A
B
C
C
109

M
Wykres 1.
M (10 5 kg)
30
28
25
20
15
10
5
1
2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t (min)
a → = − Δm
→
u wzgl
·
Δt M
a
g
4
3
2
2
1
4
5
6
1
8
3
7 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t (min)

Przypomnij sobie
Niezależnie od tego, jak gładkie wydają nam się powierzchnie ciał, w rzeczywistości
zawsze są one chropowate. Gdy dwa ciała położymy jedno na drugim i na jedno
z nich zadziałamy siłą równoległą do powierzchni ich zetknięcia, nierówności „zaczepią
o siebie”. Jest to jedna z przyczyn powstawania tarcia 13 .
Jeśli na poziomej powierzchni leży klocek
(rys. 13.1), a jedynymi działającymi na niego
siłami są: siła ciężkości i siła sprężystości
podłoża, które równoważą się wzajemnie, to
tarcie nie występuje.
Jeśli na klocek zadziałamy małą siłą F → 1 równolegle
do powierzchni zetknięcia klocka
T
A
1
F 1
z podłożem (rys. 13.2), to nadal pozostanie B
on w spoczynku. Zaczepiające o siebie nierówności
oddziałują wzajemnie zgodnie F
z trzecią zasadą dynamiki. Klocek działa na
BA A
podłoże siłą F → AB = F → 1 , a podłoże działa na
klocek siłą F → BA = T → B
F AB
1 . Na klocek działają więc
(równolegle do powierzchni zetknięcia) dwie
równoważące się siły: F → 1 i T → 1 .
Jeśli zwiększymy siłę działającą na klocek
T
do F → 2
F 2
2 (rys. 13.3), a klocek nadal nie ruszy
z miejsca, oznacza to, że siła tarcia wzrosła
do T → 2 i równoważy siłę F →
2 .
Siła tarcia działająca na ciało spoczywające nazywa się siłą tarcia spoczynkowego
lub statycznego.
13 O tym, jakie oddziaływania między cząsteczkami ciał są powodem występowania sił tarcia, będziemy mówić
112
w podręczniku do klasy drugiej.

Wartość siły tarcia spoczynkowego może
wzrosnąć tylko do pewnej wartości maksymalnej
T max (rys. 13.4).
Jeśli na klocek zadziałamy odpowiednio dużą
→
siłą F 4 (rys. 13.5), siła tarcia statycznego
o wartości maksymalnej nie jest w stanie jej
zrównoważyć i ciało rusza.
T max
T max
F 3
F 4
T max .
Doświadczenia pokazują, że maksymalna wartość siły tarcia statycznego T max jest
wprost proporcjonalna do wartości F N siły wzajemnego nacisku stykających się ciał.
Stały iloraz wartości tych sił, zależny tylko od rodzaju ciał i stopnia wygładzenia powierzchni,
nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego i oznaczamy symbolem f s .
f s = T max
F N
Gdy ciało ruszy, siła tarcia gwałtownie zmaleje i przy niewielkiej szybkości przyjmie
stałą wartość. Nazywamy ją siłą tarcia kinetycznego → T k . Zgodnie z wynikami doświadczeń
wartość T k jest także wprost proporcjonalna do wartości F N siły nacisku. Stały
stosunek wartości tych sił jest nazywany współczynnikiem tarcia kinetycznego i oznaczany
symbolem f k .
f k = T k
F N
Podobnie jak współczynnik tarcia statycznego, współczynnik tarcia kinetycznego jest
stały dla danego rodzaju stykających się powierzchni i jest mniejszy od współczynnika
tarcia statycznego:
Zauważmy, że wzory:
f k < f s
T max = f s F N i T k = f k F N
nie mogą być zapisane wektorowo, ponieważ siła tarcia ma inny kierunek niż siła nacisku.
Siła wzajemnego nacisku stykających się ciał jest zawsze prostopadła do ich powierzchni
styku, a siła tarcia działa równolegle do tych powierzchni. Siły tarcia i nacisku
są do siebie prostopadłe.
113

Omówione wcześniej zależności wartości siły tarcia od wartości siły działającej równolegle
do stykających się powierzchni dwóch ciał przedstawiono na wykresie (rys. 13.6) 14 .
T
T
max
T k
0 F
F = T max
Zależność zilustrowaną na powyższym wykresie można łatwo sprawdzić doświadczalnie.
F
W tym celu kładziemy klocek lub inny przedmiot na poziomej, niezbyt gładkiej powierzchni
i ciągniemy go poziomo za pomocą siłomierza (rys. 13.7). Obserwujemy
wartości sił wskazywane przez siłomierz, gdy:
• klocek spoczywa,
• klocek rusza z miejsca,
• klocek porusza się z niewielką szybkością.
W praktyce nie ma powierzchni, która w każdym miejscu miałaby jednakowe własności,
więc różne fragmenty powierzchni mogą mieć różne współczynniki tarcia. To dlatego
w doświadczeniu zwykle nie otrzymujemy prostoliniowego poziomego odcinka
wykresu.
Zastanów się, jakie dodatkowe pomiary należałoby wykonać, aby na podstawie tego doświadczenia
oszacować wartości współczynnika tarcia statycznego i kinetycznego dla
tych dwóch rodzajów powierzchni trących o siebie.
Zmniejszenie współczynnika tarcia można uzyskać nie tylko przez wygładzenie powierzchni.
Jeszcze skuteczniejsze jest pokrycie powierzchni styku ciał warstwą smaru
(cieczy lub zawiesiny zmniejszającej tarcie). Smar wypełnia wgłębienia w nierównych
powierzchniach obu ciał i powoduje, że przesuwanie wymaga tylko przemieszczania
cząsteczek smaru, a nie odrywania fragmentów powierzchni granicznych obu ciał, co
oznacza znacznie mniejszy opór.
14 Jeśli skale przyjęte na osiach układu współrzędnych są jednakowe, to α = 45°.
114

13. Tarcie
-
-
-
-
-
tarcza
sprzęgła
koło
zamachowe
mechanizm
dociskowy
sprężyna
talerzowa
koło
zamachowe
tarcza
sprzęgła
pokrywa
sprzęgła
sprężyna
talerzowa
płyta
dociskowa
łożysko
wyciskowe
-
-
-
115

m 1 =0,4kg
m 2 =0,1kg
f k =0,2
y
T
I
m 1
'
F s
F s
F s
' = F s m 2
II
F c
x
-
−m 2 g + F s = −m 2 a
F ′ s = F s
F ′ s − T = m 1a
T = m 1 gf k
F s − m 1 gf k = m 1 a
−1
m 2 g − m 1 gf k =(m 2 + m 1 )a
a = g(m 9,81 m (0,1 kg − 0,4 kg · 0,2)
2 − m 1 f k )
2
a = s ≈ 0,39 m m 2 + m 1 0,1 kg + 0,4 kg
s 2
F s = m 2 g − m 2 a
F s ≈ 0,94 N
F N = F s
F N ≈ 0,94 N
f k > m 2
a = g(m 2 − m 1 f k )
m 1 m 2 + m 1
m 1
a
116

Podczas obliczania wartości siły tarcia należy zwrócić uwagę, czy wartość siły nacisku
jest równa wartości ciężaru ciała. Kolejne przykłady pokazują, że wcale tak być nie musi.
m =40kgF100 → Nα =30 ◦ -
f k =0,2
→ F → F c = m → g → T
→ F s
y
F s
F
T
α
x
F N
F c
→ F w = m → a
→
F s + → F + m → g + → T = m → a
x
F cosα − T = ma
y
F sinα + F s − mg = m · 0
T = f k F N
F N = F s
F s
T = f k F s
F s = mg − F sinα
T = f k (mg − F sinα)
a = F cosα − f k(mg − F sinα)
m
a ≈ 0,4 m/s 2
117

→ Fy-
F = mg sinα
F N = mg cosα
T k = f k F N = f k mg cosα
F s
T k
F
F N
α
F c
F > T k -
→
F + → T k = m → a
F − T k = ma
mg sinα − mgf k cosα = ma
a = g(sinα − f k cosα)
α 0 -
F → T → k
F = T k
mg sinα 0 = mg f k cosα 0
f k =tgα 0
f k
118

F
→
T
T
F
m
T max = f s mg = ma max
a max = f s g
T max
→ F
ZADANIA
1. h =1m
υ =1m/st =2s
30 ◦
0,2
→ F
F = mgα
1.
m
α
2.
m
α
F
F
α90 ◦ ?
119

Przypomnij sobie
W ruchu jednostajnym po okręgu (omawianym w rozdziale 8) zmienia się kierunek
prędkości; w związku z tą zmianą występuje przyspieszenie dośrodkowe o wartości
a r = υ2
. Jaka jest przyczyna zmiany prędkości w tym ruchu?
r
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ciała jest skutkiem działania siły wypadkowej
F → w = ma. → Stąd wniosek, że względem obserwatora w układzie inercjalnym:
Siłę wypadkową działającą na ciało poruszające się po okręgu z prędkością o stałej wartości
nazywamy siłą dośrodkową i oznaczamy jako → F r . Jej wartość wyrażamy wzorem:
F r = mυ2
r
Jeśli uwzględnimy związki: υ = ωr, ω = 2π
T i T = 1 , możemy także wyrazić wartość siły
ν
dośrodkowej wzorami:
F r = mω 2 r F r = 4π2 mr
F
T 2 r =4π 2 mν 2 r
Siła dośrodkowa może mieć różną naturę. Inaczej mówiąc, funkcję siły dośrodkowej
mogą pełnić różne siły rzeczywiste.
Tor, po którym Księżyc krąży wokół Ziemi, możemy z bardzo dobrym przybliżeniem
uważać za okrąg. Siłą dośrodkową utrzymującą Księżyc w ruchu po okręgu jest siła grawitacji.
W tym przypadku mówimy o grawitacyjnej naturze siły dośrodkowej.
tomy wszystkich pierwiastków są zbudowane z jądra o ładunku dodatnim i poruszających
się wokół niego elektronów. Jednym z pierwszych modeli jądrowych był model
atomu wodoru (składającego się z jednego protonu i jednego elektronu), zaproponowa-
120

ny przez duńskiego fizyka Nielsa Bohra. Zgodnie z tym modelem elektron porusza się
ruchem jednostajnym po okręgu wokół jądra – protonu. Rolę siły dośrodkowej odgrywa
w tym przypadku siła elektrostatyczna (siła Coulomba), którą elektron jest przyciągany
przez proton. Jest to przykład siły dośrodkowej o naturze elektrycznej.
υ →
υ
a) b)
υ
υ
l α
F → c F → Fs
s
- m
F r
r
F c
F → c F → s
mlα
T
→ F c → F s -
α
r
l =sinα
T
F r = mυ2
r
= m r
( 2πr
T
) 2
=
4π 2 mr
T 2
= 4π2 ml sinα
T 2
121

αT
F s
l
α
F r
F s
r
F c
F c
F r
→
F c
F c + F →
r s = F →
= ma
→
F r
c tgα = Fr
F
= mω2 r
mg
= 4π2 r
T 2 g
F c
T
-
υ = 360 km/hm =70kg,
r = 400 mg =10m/s 2
122

→ F c → F s
→
F r = → F c + → F s
y-
F N1
F s2
F c
F s1
F c
y
y
F N2
F r = F c + F s1
mυ 2
= mg + F s1
r
( )
F s1 = m υ
2
r − g
−F r = −F s2 + F c
− mυ2
= −F s2 + mg
r
( )
F s2 = m υ
2
r + g
( )
( )
F N1 = F s1 = m υ
2
r − g F N2 = F s2 = m υ
2
r + g
F N1 = 1050 N
F N2 = 2450 N
123

m
m
F s
F 2
F 1
r
α
F c
F → c = mg → F → s F → c
F → 1 F → 2
F 1 = mg cosα F 2 = mg sinα
→ F s → F 2
→ F r
→
F r = → F 2 + → F s
F r = F 2 − F s
mυ 2
= mg sinα − F s
r
)
F s = m
(g sinα − υ2
r
αg sinα > υ2
r
αF → 1 -
υ
g sinα υ2
r
Najłatwiejszym do opisania ruchem krzywoliniowym jest ruch jednostajny po okręgu,
ponieważ wypadkowa wszystkich sił działających na ciało w tym ruchu jest siłą normalną,
skierowaną wzdłuż promienia okręgu. Dalej przeanalizujemy ruch po krzywej
niebędącej okręgiem jako przykład ruchu przyspieszonego, w którym na ciało działają
siły: styczna i normalna.
124

-
→ υ y = → gt
h
y
m
tυ =
αcosα = gt
υ
0
y
υ 0
υ y
m
α
υ 0
υ
x
√
√
υ 2 0 + g2 t 2 t < 2h
g
h
0
F n
m
α
F c
Fs
x
→ F c = m → g ,
→ F s → F n
F s = mg cosα
F n = mg sinα
-
a s = g cosα = g · gt
υ
a s =
g 2 t
√
υ
2
0
+ g 2 t 2
→ a s + → a n = → g
a n = g sinα = g υ 0
υ
a n =
gυ 0
√
υ
2
0
+ g 2 t 2
125

ZADANIA
1.
m 1 m 2
m 1 rυ
υ
m 1
r
m 2
m 1
-
-
m 2
m 1 r
υ-
m 3 m 1
r
υ 1
-
-
-
-
126

F'
α
F' 1
F' 2
F 2
F 1
F
36 km/h50 m
f
127

15.
Przypomnij sobie
Podczas omawiania zasad dynamiki powiedzieliśmy, że w nieinercjalnych układach
odniesienia te zasady nie są spełnione. W tych układach obserwujemy, że:
• siły działające na ciało równoważą się, a ono porusza się ruchem zmiennym, lub
• siły działające na ciało nie równoważą się, a ono spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym po prostej.
Jak to możliwe? W celu wyjaśnienia tego problemu posłużymy się przykładem.
Rozważmy wózek i leżącą na nim kulkę o masie m (rys. 15.1).
1 2
Rys. 15.1
Załóżmy, że między kulką i wózkiem nie ma tarcia. Przyjmijmy, że pierwszy obserwator
(1) stoi na nieruchomym podłożu, a drugi (2) siedzi na wózku. Wprawmy wózek
w ruch z przyspieszeniem → a, jak na rysunku 15.2.
1
F s
2
a
F c
Obaj obserwatorzy są zgodni, że na kulkę działają dwie równoważące się siły: siła ciężkości
i siła sprężystości podłoża. Jednak zdaniem pierwszego kulka pozostaje względem
niego w spoczynku (zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki), drugi zaś obserwator
128

twierdzi, że kulka oddala się od niego ruchem przyspieszonym, tak jakby działała na nią
jakaś siła zwrócona przeciwnie do → a.
1 2
Tę samą kulkę przyczepmy do sprężyny zamocowanej drugim końcem na stałe do wózka
(rys. 15.3) i ponownie wprawmy wózek w ruch z przyspieszeniem → a (rys. 15.4).
1 2
F
a
Obaj obserwatorzy twierdzą, że w chwili startu sprężyna ulega rozciągnięciu i podczas
ruchu wózka działa na kulkę niezrównoważoną siłą F. → Zdaniem pierwszego z nich
pod działaniem tej siły kulka porusza się wraz z wózkiem z przyspieszeniem a, → gdyż
→
F = ma → . Drugi obserwator twierdzi, że względem niego kulka spoczywa, tak jakby
działała jeszcze jakaś siła równoważąca siłę F!
→
Jak widać, w obu doświadczeniach obserwator siedzący na wózku wyraża poglądy niezgodne
z poznanymi przez nas zasadami dynamiki. Dlaczego?
Gdyby to pytanie zadać Newtonowi, odpowiedziałby, że ten obserwator nie ma prawa
stosować zasad dynamiki, bo wraz z wózkiem porusza się ruchem zmiennym. Jest więc
obserwatorem w układzie nieinercjalnym, a zasady dynamiki wolno stosować tylko
w układach inercjalnych.
Taki pogląd panował do połowy XVIII wieku, kiedy to francuski matematyk d’Alembert
podał sposób pozwalający stosować zasady dynamiki Newtona także w układach
nieinercjalnych. W takich układach do sumy rzeczywistych sił działających na ciało,
którego ruch badamy, należy dodać nową siłę:
→
F b = m ( )
−a → uk¥adu nieinercjalnego
równą iloczynowi masy ciała i przyspieszenia układu nieinercjalnego ze znakiem „minus”.
Siła ta nosi nazwę siły bezwładności.
129

Obserwator siedzący na wózku powinien więc uwzględnić działającą na kulkę siłę bezwładności
(rys. 15.5) zwróconą przeciwnie do przyspieszenia wózka.
1 2
F b
a
Rys. 15.5
To właśnie siła bezwładności nadaje kulce przyspieszenie w układzie nieinercjalnym
związanym z wózkiem. Zwróć uwagę, że nie można wskazać źródła tej siły (tj. ciała,
które działa tą siłą na kulkę); w tym sensie mówimy, że nie jest to siła rzeczywista.
→
F b = m(−a)=−m → a
→
W sytuacji przedstawionej na rysunku 15.4 należy do kulki „zaczepić” siłę bezwładności
(rys. 15.6).
1 2
F b
F
a
Obserwator stwierdza, że kulka spoczywa, więc:
→
F + → F b = → 0
lub
→
F − m → a = → 0
lub
→
F = m → a
Jak widać, w obu układach odniesienia otrzymaliśmy taki sam wynik.
Podczas gwałtownego przyspieszania autobusu pasażerowie odczuwają szarpnięcie
w tył, a przy gwałtownym hamowaniu – do przodu. Osoby nietrzymające się uchwytów
i stojące w niezbyt stabilnej pozycji (np. ze złączonymi stopami) przewracają się. Obserwator
w układzie inercjalnym stwierdza, że efekty te są spowodowane wyłącznie przyspieszeniem
autobusu (układu). W pierwszym przypadku działająca na stopy pasażera
siła tarcia statycznego nie jest w stanie nadać całemu ciału człowieka przyspieszenia
równego przyspieszeniu autobusu, więc stopy „uciekają do przodu”, a ciało porusza się
wciąż tak jak przed rozpoczęciem przyspieszania i w efekcie pasażer przewraca się do
tyłu. Gdy autobus hamuje, ciało człowieka „nie wie”, że powinno także hamować i nadal
porusza się do przodu. Aby zminimalizować przykre skutki gwałtownej zmiany prędkości
autobusu, pasażerowie instynktownie ustawiają stopy w pewnej odległości tak, by
łączący je odcinek był mniej więcej równoległy do przyspieszenia pojazdu.
W układzie poruszającym się z przyspieszeniem pasażer czuje działanie siły bezwładności
zwróconej przeciwnie do przyspieszenia układu, lecz zapytany o źródło tej siły
nie potrafi go wskazać.
130

-
m =80kg
a =1m/s 2 -
-
a →
F → = ma
→
F → c
F → s
→
F w = F → c + F → s F w = F s − F c
F s = F w + F c
F s = ma + mg = m(a + g) = 880 N
a
F s
F N
F N
=
F s
y
F c
F N F s
-
F N = 880 N,
-
F s = mg = 800 N
a
y
-
F → b = −ma
→
→
F c + → F s + → F b = → 0
→
F c + → F s − m → a = → 0
F s − F b − F c =0
F s = F b + F c = ma + mg = m(a + g) = 880 N
F b
F s
F c
F N
=
131

→ υ
υ
→
υ
υ
υ
υ 1
→
F 1
→
F 2
F → 1
→
F 1 = ma → r
a → r
132
przekrój ściany
autobusu,
o którą opiera się
pasażer
pasażer
F 2
1
F 1

F → 1 -
F → b
→
F 1 + → F b = → 0
→
F 1 − m → a r = → 0
→
F 1 = m → a r
F 1
F b
przekrój ściany
autobusu,
o którą opiera się
pasażer
pasażer
1
133

-
-
-
-
6 -
gaz wzbogacony w izotop 235 U
gaz zubożony
o izotop 235 U
fluorek uranu UF 6
gaz zubożony
o izotop 235 U
Rys. 15.9
-
-
134

F c
F b1
F s1
Rys. 15.10
y
→
F c + → F s1 + → F b1 = → 0
→
F c + → F s1 − m → a r1 = → 0
→
F c + → F s1 = m → a r1
→
F c + → F s2 + → F b2 = → 0
→
F c + → F s2 = m → a r2
ZADANIA
1.
-
-
135

5.
-
-
R =2,25m-
ω = 10 3 rad/s
R
Rys. 15.11
g =10m/s 2
136

Zasady dynamiki Newtona
oddzia-
-
-
-
Pierwsza zasada dynamiki
-
-
→ F w -
→ F w -
→
a =
F → w υ
→
→
F w
m
1) niejednostajnie zmienny
• przyspieszony
• opóźniony
2) jednostajnie zmienny
• jednostajnie przyspieszony
• jednostajnie opóźniony
→ F w
→
F w ̸= 0 i F w ̸= const
zwroty → F w i → υ zgodne
zwroty F → w i υ → przeciwne
→
F w ̸= 0 i F w = const
zwroty → F w i → υ zgodne
zwroty → F w i → υ przeciwne
137

→ F w → υ
ruch z prędkością o stałej wartości
ruch przyspieszony
ruch opóźniony
→ F w
→
F w ⊥ → υ i F w = const
kąt między → F w i → υ jest kątem ostrym
kąt między → F w i → υ jest kątem rozwartym
-
mυ
→
→
p = mυ
→
→
F w = Δ → p
Δt
Zasada
→
F wzew = Δ → p u
Δt
-
-
-
-
138

→ F
→ Fspo-
→ T
T max F-
T max T max -
F N
T max
= constf s
F N
f s = T max
F N
T → k
T k
= const-
f k
F N
f k = T k
F N
T max = f s F N i T k = f k F N
r-
υ
a r = υ2
r = ω2 r = υω
F → r
-
F r = ma r = mυ2
r
= mω 2 r = 4π2 mr
T 2
ω Tν
=4π 2 mν 2 r
139

Opis
→ a u
-
-
-
→
F b = −m → a u
-
-
ZADANIA POWTÓRZENIOWE
1. -
20 N20 kg-
0,25
45°
-
-
140

1 kg
5 N
0,1
0,8 Ng =10m/s 2
α =30 ◦
m 1 =1kgυ = 3,3 m/s,
m 2 =0,1kg
-
s =0,9m
g =10m/s 2
x 100 m/s
m =0,9kg
mx
100 m/s 1 3 m-
5. m 1 =80kgl =2m
m 2 =35kg
-
Δt =2s
-
R-
12 kg
20 ◦
30 N-
0,30,2g =10m/s 2
-
40 N
141

9. -
R =20m
T =5min
-
g =10m/s 2 ,
-
-
500 N;
10. -
-
11. m -
αa → u
-
•
•
a → u
-
mg cosα
-
142

18. Zasada zachowania
energii mechanicznej
zachowania energii mechanicznej
Przypomnij sobie-
-
Rozważymy obecnie następujący problem. W pewnej odległości od Ziemi znajduje się
ciało o masie m (rys. 18.1).
F z
m
F wyp
F
gr
= F
w
Rys. 18.1
Siła przyciągania ziemskiego → F gr to siła wewnętrzna w układzie Ziemia–ciało. Załóżmy,
że na ciało działa także dowolna siła zewnętrzna → F z . Po zsumowaniu obu sił otrzymujemy
siłę wypadkową → F wyp .
Praca siły wypadkowej przy niewielkim przemieszczeniu Δr → jest równa:
W wyp = F → wyp · Δr → =( F → z + F → w ) · Δr → = F → z · Δr → + F → w · Δr
→
Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa tej pracy (wzór 17.6):
ΔE k = W wyp
Praca siły zewnętrznej jest równa zmianie całkowitej energii mechanicznej układu
(wzór 17.1):
→
F z · Δr → = ΔE mech
Z kolei praca siły wewnętrznej jest równa zmianie energii potencjalnej ze znakiem minus
(wzór 17.5):
→
F w · Δr → = −ΔE p
155

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
Wobec tego:
i stąd:
ΔE k = ΔE mech − ΔE p
ΔE mech = ΔE p + ΔE k (18.1)
Zmiana energii mechanicznej jest równa sumie zmian energii kinetycznej i potencjalnej,
a energia mechaniczna jest sumą obu tych energii.
Zauważ, że jeśli ΔE p =0, to ΔE mech = ΔE k , a jeśli ΔE k =0, to ΔE mech = ΔE p .
Zadamy obecnie pytanie bardzo ważne dla naszych rozważań:
Kiedy energia mechaniczna układu ciał jest zachowana (nie zmienia się)?
Powyższe pytanie można sformułować inaczej: Kiedy zmiana energii mechanicznej
układu ciał jest równa zeru (ΔE mech =0)? Odpowiedź jest nam znana:
Energia mechaniczna układu ciał nie zmienia się, gdy siły zewnętrzne nie wykonują
pracy nad tym układem.
W z =0
Wówczas:
(
) (
)
E kinetyczna − E kinetyczna + E potencjalna − E potencjalna =0
w stanie końcowym w stanie pocza¸tkowym w stanie końcowym w stanie pocza¸tkowym
lub
E kinetyczna + E potencjalna
w stanie końcowym w stanie końcowym
= E kinetyczna + E potencjalna
w stanie pocza¸tkowym w stanie pocza¸tkowym
(18.2)
zasadami
156

Jeśli skorzystamy z definicji pracy stałej siły (16.2), możemy łatwo zauważyć, że praca
siły zewnętrznej działającej na rozważane ciało układu jest równa zeru, gdy zachodzi
jeden z przypadków:
• F → z = 0, → czyli gdy nie działa siła zewnętrzna;
• Δr → = 0, → czyli gdy ciało nie ulega przemieszczeniu;
• cosα =0, czyli gdy siła zewnętrzna działa, ale jest prostopadła do przemieszczenia.
Pierwszą z wyżej przedstawionych możliwości zilustrujemy na przykładzie swobodnie
spadającego ciała.
a) A b) A
E mgH
mech A =
F c
B
E mech B = mgh +
m 2
B
2
H
B
H
h
E p = 0
C
mC
E mech C = 2
2
C
Rys. 18.2
→ F c
F z =0⇒ W z =0⇒ ΔE mech =0⇒ E mech = const ⇒ E mech A = E mech B = E mech C
ma-
B i C
A i B
mgH = mgh + mυ2 B
2
⇒ υ B = √ 2g(H − h)
υ C
h =0
mgH = mυ2 C
2
υ C = √ 2gH.
157

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
-
-
-
cosα =0), zilustrujemy na dwóch przykładach.
m 16
Emech 1 = Ep1 + Ek1
= mgh
h
( 0 =0)
90°
F s
E p =0
F c
1 2
Emech 2 = Ep2 + Ek2
=
2
m
Rys. 18.3
-
F → c F → s
90 ◦ , a cos90 ◦ =0
E mech 1 = E mech 2
mgh = mυ2
2
-
h
a = g sinα
υ
υ = gt sinαt =
g sinα
16 Stwierdzenie, że równia jest bardzo gładka, oznacza, że można pominąć tarcie między równią i ciałem
zsuwającym się po tej równi.
158

-
h
E mech 1 = Ep1 + Ek1
= mgh
F s
90°
E p = 0
F w
h
1 2
Emech 2 = Ep2 + Ek2
= m
2
F c
Rys. 18.4
F → c
→
F s Δr
→
→
F s
-
E mech 1 = E mech 2
mgh = mυ2
2
-
-
h
Wszystkie nasze rozważania dotyczyły układów ciał oddziałujących siłami zależnymi
tylko od położenia tych ciał, a nie na przykład od ich prędkości. Takie siły nazywamy
siłami zachowawczymi. Dotychczas omawialiśmy dwa rodzaje takich sił: siłę
grawitacji i siłę sprężystości.
Ostatecznie zasadę zachowania energii sformułujemy więc następująco:
159

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
30 ◦
1,6 m
s
0
Rys. 18.5
30°
h
E p = 0
E p =0hE k =0, a E p = mgh
T =0-
mυ 2 0
2 = mgh
h
=sinα ⇒ h = s · sinα
s
1
2 υ2 0 = gs · sinα
υ 0 = √ 2gs · sinα
g =10m/s 2
υ 0 =4m/s
H
R
17 Rozmiary wagonika są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem pętli i wysokością zjeżdżalni. Dla
przejrzystości rysunku proporcje nie zostały uwzględnione.
160

A
B
H
F s
R
F c
E p = 0
Rys. 18.6
E p = mg · 2R
E k = mυ2
2
E mech A = E mech B
mgH =2mgR + mυ2
2
(18.3)
υ min
→ F c = m → g → F s
mgF s =0
mg = mυ2 min
R
mυ 2 min
2
= mgR
2
(18.4)
(18.5)
H =2R + 1 2 R = 5 2 R
5 2 R
cej
bez
υ min = √ gR
R =5m: H =12,5m i υ min ≈ 7,0 m/s
161

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
1450142 km/h
8084 ◦
Omówimy teraz przykłady, w których energia mechaniczna ulega zmianie. W takich
przypadkach należy skorzystać ze związku:
ΔE mech = ΔE p + ΔE k = W z (18.6)
υ 0 f
ΔE p =0
ΔE k = W wyp
T
→
W wyp = Ts cos180 ◦ = mgfs(−1)
ΔE k = −mgfs
162

E kinetyczna − E kinetyczna
w stanie końcowym w stanie pocza¸tkowym
0 − mυ2 0
2 = −mgfs
s = υ2 0
2gf
= −mgfs
h
dA ′
AP
d
A
s 1
h
B
α
E p = 0
s 2 P
A
Rys. 18.7
A
A ′ i BE p = mghB
T 1 = mgf cosα,
T 2 = mgf
d = s 2 + s 1 cosα
ΔE mech = W z = T 1 s 1 cos180 ◦ + T 2 s 2 cos180 ◦
0 − mgh = −mgfs 1 cosα − mgfs 2
h = fs 1 cosα + fs 2
h
f =
s 1 cosα + s 2
f = h d
163

h
h
Z-
υ = √ 2gh
-
-
g
A i B znaj-
go
B
CB
C do B-
-
A do B
A
a 1 = g
fragment
cykloidy
fragment
cykloidy
a 2 = gsinβ
γ
B
a 3 = gsinα
C
β
α
α
a 4 = 0

Brachistochrona
brachistos
chronos

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
-
a) b) c)
l l
α
l p
F cp
α
l p
α
F cp
F cp
Rys. 18.8
m ∼ l
m p =
m l
F cp =
F cl
cosα cosα
-
-
cosα = l l
⇒ l p =
l l
l p cosα
cosα = F cp‖
⇒ F cp‖ = F cp cosα
F cp
-
F cp‖ =
F cl
cosα cosα = F cl
-
166

ZADANIA
1.
υ 0 =10m/sh =4m
f =0,1g =10m/s 2
2. h
1,5h
B
h
A
3
2 h
0
Rys. 18.9
3.
→ υ 0 α
4. Pυ 0 =0-
d
P
0,2 m
d
Rys. 18.10
5. -
-
167

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
6. 2,7 J
a)
b)
c)
2
2m
3m
3
1
m
Rys. 18.11
7. m r
A
A
m
A
D
r
D
B
B
C
Rys. 18.12
C
Oblicz iloraz:
a) A, B, C i D
b) A, B, C i D
8. P i K
o d = 12,56 m
-
m =0,2kg
P
d
K
Rys. 18.13
168

19.
Przypomnij sobie
Rysunek 19.1 przedstawia dwa wózki zbliżające się do siebie po gładkiej powierzchni,
przy czym do jednego z nich jest przyczepiona sprężyna.
m 1 u m 2
1 u 2
Rys. 19.1
Podczas zderzenia wózków sprężyna zostaje ściśnięta i część ich energii kinetycznej
zostaje zamieniona w energię potencjalną sprężystości. Natychmiast jednak sprężyna
rozpręża się z powrotem, wózki oddalają się od siebie, a energia potencjalna sprężystości
znów zamienia się w całości w energię kinetyczną wózków.
Przedstawiony wyżej model zderzenia ciał to zderzenie doskonale sprężyste. Zderzenia
szklanych lub stalowych kul, a także wykonanych z kości słoniowej kul bilardowych
możemy uważać za zderzenia doskonale sprężyste. Podczas zderzenia kule odkształcają
się (patrz rys. 19.2) i tracą część energii kinetycznej; ta część zostaje na krótki czas zderzenia
zamieniona na energię „chwilowego” odkształcenia sprężystego (rys. 19.2b).
przed zderzeniem podczas zderzenia po zderzeniu
m 1
m
m 1 2 m
m 1
2 m
u 2
1 u 1
2 2
Rys. 19.2
Jest to odkształcenie nietrwałe i po zderzeniu znika (rys. 19.2c), a energia z nim związana
z powrotem przekształca się w energię kinetyczną układu kul (na rysunku przedstawiono
przypadek, w którym całkowity pęd układu zderzających się kul jest równy zeru).
169

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
W takich zderzeniach są zachowane pęd i energia kinetyczna układu.
m 1
→
u 1 + m 2
→
u 2 = m 1 → υ 1 + m 2 → υ 2
m 1 u 2 1
2
+ m 2u 2 2
2
= m 1υ 2 1
2
+ m 2υ 2 2
2
Jako m 1 i m 2 oznaczono masy zderzających się ciał, → u 1 , → u 2 to prędkości ciał przed zderzeniem,
a → υ 1 i → υ 2 – prędkości ciał po zderzeniu.
Rozważmy przypadek zderzenia kul o masach m 1 i m 2 oraz prędkościach → u 1 i → u 2 , poruszających
się w tę samą stronę (rys. 19.3).
m
1
u
1
m
2
u 2
przed zderzeniem
x
m 1
po zderzeniu m 2
1
2
x
Rys. 19.3
Dodatkowo załóżmy, że środki kul leżą na tej samej prostej co ich prędkości. Takie zderzenie
nazywamy centralnym i kule po zderzeniu będą się toczyć po tej samej prostej.
W przypadku przedstawionym na rysunku 19.3 współrzędne wektorów są równe ich
wartościom. Współrzędne prędkości kul po zderzeniu obliczymy dzięki rozwiązaniu
układu równań:
1. m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 (zasada zachowania pędu)
2. m 1u 2 1
2
+ m 2u 2 2
2
= m 1υ 2 1
2
+ m 2υ 2 2
2
(zasada zachowania energii mechanicznej)
m 1 (u 1 − υ 1 )=m 2 (υ 2 − u 2 ) (19.1)
m 1 (u 2 1 − υ2 1 )=m 2(υ 2 2 − u2 2 )
m 1 (u 1 + υ 1 )(u 1 − υ 1 )=m 2 (υ 2 + u 2 )(υ 2 − u 2 ) (19.2)
Równanie (19.2) dzielimy stronami przez równanie (19.1), przy założeniu, że υ 1 ̸= u 1
i υ 2 ̸= u 2 , co jest oczywiste, bo szybkości nie uległyby zmianie tylko wtedy, gdyby nie
było zderzenia. Otrzymujemy:
u 1 + υ 1 = υ 2 + u 2
υ 2 = u 1 − u 2 + υ 1
m 1 u 1 − m 1 υ 1 = m 2 (u 1 − 2u 2 ) + m 2 υ 1
170

υ 1 = m 1u 1 − m 2 u 1 + 2m 2 u 2
m 1 + m 2
υ 1 = m 1 − m 2 2m
u 1 + 2
u 2 (19.3)
m 1 + m 2 m 1 + m 2
υ 2 = u 1 − u 2 + m 1 − m 2 2m
u 1 + 2
u 2
m 1 + m 2 m 1 + m 2
υ 2 = 2m 1
m 1 + m 2
u 1 + m 2 − m 1
m 1 + m 2
u 2 (19.4)
Zastosujmy wyprowadzone wzory ogólne dla przypadku, gdy m 1 = m 2 = m. Wówczas:
υ 1 = 2m
2m u 2 czyli υ 1 = u 2
υ 2 = 2m
2m u 1 czyli υ 2 = u 1
Doszliśmy do wniosku, że kule o jednakowych masach podczas centralnego zderzenia
sprężystego „wymieniają się” prędkościami (i pędami). W najprostszym przypadku, gdy
tocząca się kula zderza się ze spoczywającą kulą, zatrzymuje się, a cały pęd przekazuje
tej, która poprzednio spoczywała.
Bardzo interesujące jest centralne zderzenie ciał istotnie różniących się masą, poruszających
się z prędkościami o przeciwnych zwrotach.
Jeśli m 1 ≫ m 2 , to możemy przyjąć, że m 2
≈ 0.
m 1
Wówczas po uwzględnieniu we wzorach (19.3) i (19.4) faktu, że współrzędna prędkości
→
u 1 jest dodatnia, a prędkości u → 2 jest ujemna, oraz po podzieleniu licznika i mianownika
każdego z ułamków w tych wzorach przez m 1 otrzymujemy:
m 1
− m 2
m
υ 1 = 1 m 1
m 1
+ m u
2 1 −
m 1 m 1
υ 2 =
2 m 1
m 1
m 1
m 1
+ m 2
m 1
u 1 −
2 m 2
m 1
m 1
m 1
+ m 2
m 1
u 2 ≈ u 1
m 2
m 1
− m 1
m 1
m 1
m 1
+ m 2
m 1
u 2 ≈ 2u 1 + u 2
Wobec tego np. w wyniku idealnie sprężystego, centralnego zderzenia samochodu
o masie 1000 kg jadącego z szybkością 20 m/s i sprężystej piłeczki o masie 0,2 kg lecącej
z szybkością 5m/s w jego stronę szybkość samochodu prawie się nie zmieni (sprawdź,
że zmaleje mniej więcej o 0,01 m/s), a szybkość piłeczki wzrośnie ok. 9 razy.
171

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
m i jedna
a) przed zderzeniem
p 0
1
2
y
p 0y
p 0y
b)
w chwili zderzenia
1
2
θ
p 0
p 0x
x
y
p 0x
c)
po zderzeniu
2
1
90°
x
Rys. 19.4
x
yx p → 0
p → 0x i p → 0y
x
p → 0y p → 0x
yp → 1 = p → 0y p → 2 = p → 0x
90 ◦
p 1 = p 0 cosθ p 2 = p 0 sinθ
gdzie θ
172

Przeciwieństwem zderzeń doskonale sprężystych są zderzenia doskonale niesprężyste,
w których zderzające się ciała „sklejają się”, a ich ruch po zderzeniu traktujemy jako
ruch jednego ciała. Jeśli sprężynę na rysunku 19.1 zastąpimy warstwą kleju lub plasteliny,
wózki po zderzeniu będą poruszać się razem. Zasada zachowania pędu w takim
zderzeniu ma postać:
m
→
1 u 1 + m
→
2 u 2 =(m 1 + m 2 ) υ
→
a energia kinetyczna nie jest zachowana, bo jej część zostaje zużyta na trwałe odkształcenie
ciał i zmienia się w energię wewnętrzną.
Zasada zachowania pędu jest spełniona zarówno w zderzeniach sprężystych, jak
i niesprężystych, bo w obu tych rodzajach zderzeń występują tylko siły wewnętrzne
w układzie zderzających się ciał.
ZADANIA
1.
a) u 1 = const, u 2 =0, m 2 →∞-
b) → u 1 = − → u 2 , m 1 = m 2
2. l =1mm 1 =0,05kg
m 2 =0,01kg-
υ =3m/s
l
α
l
m 2
m 1
h
Rys. 19.5
a)
b)
c)
3. m
0,90 m/s2m-
0,20 m/s
173

PRACA, MOC, ENERGIA MECHANICZNA
4. m 1 =0,20kg x
u 1 =0,60m/s m 2 =0,30kg,
yu 2 =0,40m/s-
y
m 1
m 2
u 1
α
x
u 2
Rys. 19.6
a)
• → υ
• υ
• α → υx
•
b) υ, tgα oraz |ΔE k |
c)
174

1.
Fizycy opisują otaczający nas świat za pomocą formułowanych praw fizycznych, którym
podlegają obserwowane zjawiska i procesy. Do słownego lub matematycznego zapisu
tych praw stosuje się wielkości fizyczne. Wielkości fizyczne to cechy lub właściwości
(obiektów, zjawisk, procesów), które można mierzyć i wyrażać ilościowo. Należą do
nich: masa, czas, temperatura, natężenie prądu, współczynnik załamania światła, przyspieszenie
grawitacyjne itp. Do pomiaru niektórych z tych wielkości skonstruowano
odpowiednie przyrządy. Na przykład masę mierzymy za pomocą wagi, czas mierzymy
zegarkiem lub stoperem, temperaturę – termometrem, natężenie prądu – amperomierzem.
Są to tzw. pomiary proste, bezpośrednie.
Pomiar bezpośredni polega na porównaniu wielkości mierzonej ze wzorcem przyjętym
jako jednostka. Wzorce wielu wielkości fizycznych zmieniają się w miarę rozwoju nauki.
Przykładem mogą być zmiany wzorców długości. W odległych czasach jednostki długości
wywodzono od przeciętnych rozmiarów ciała ludzkiego (cal był długością ostatniej
kości kciuka, stopa – długością stopy, jard – długością ręki dorosłego mężczyzny,
łokieć – długością przedramienia dorosłego człowieka). Nie były one z sobą porównywalne
(łokieć łokciowi nierówny). Ustalono zatem uniwersalną miarę długości – metr
1
( część długości ćwiartki południka zerowego). Długość wzorcowa została
10 000 000
zaznaczona na modelu (wykonanym ze stopu platyny i irydu), który przechowywany
jest w Sèvres (czytaj: Sewr) pod Paryżem. Obecnie stosuje się jeszcze inny wzorzec
1
metra – jest to droga przebyta w próżni przez światło w czasie
299 792 458 sekundy.
Podobnym udoskonaleniom podlegał również np. wzorzec czasu.
Wynikiem porównania mierzonej wielkości ze wzorcem jest liczba wyrażona w odpowiednich
jednostkach, np. 3mm, 2,8 kg.
Podczas wykonywania pomiaru eksperymentator może popełnić pomyłkę, np. źle zapisać
wynik (zamiast 1,1 mm zapisać 11 mm) czy źle odczytać zakres mierników elektrycznych.
Mówimy wtedy, że popełnił błąd gruby. Wynik pomiaru obarczony błędem
grubym należy odrzucić.
150 mA300 mA
I 1 =50mA
I 1 =50mA
I 1 =55mA
I 1 =100mA
I 1 =55mA
214

-
300 mA-
150 mA
-
150 mA
Innym rodzajem błędu jest niewielkie, ale systematyczne zawyżanie lub zaniżanie wyników
pomiarów, którego źródłem mogą być: przyrządy pomiarowe (np. „rozciągnięta”
taśma miernicza, przesunięta skala termometru), warunki, w których przeprowadzamy
pomiar (np. zbyt wysoka temperatura), metoda pomiarowa (np. pomijanie masy naczynia
podczas ważenia cieczy), nieuwzględnienie czynników wpływających na wynik (np.
wilgotności, ciśnienia atmosferycznego) lub eksperymentator (np. systematyczne zbyt
późne zatrzymywanie stopera). Takie błędy nazywamy błędami systematycznymi.
Identyfikowanie (rozpoznawanie) wyników obarczonych błędami systematycznymi nie
jest jednak łatwe.
d
30,1 29,0 30,0
30,0 29,1 29,9
30,1 29,0 30,0
ρ
ρ = m V V = 1 6 πd3 d-
-
Jak rozpoznawać błędy grube i systematyczne? Podstawowe rady są następujące:
• eksperyment powinno wykonywać kilku niezależnych eksperymentatorów;
• do wykonywania pomiarów należy używać kilku przyrządów danego rodzaju;
• jeśli to możliwe, do wyznaczania danej wielkości zaleca się stosowanie różnych metod
pomiarowych (np. wartość przyspieszenia ziemskiego można wyznaczyć na
podstawie pomiaru czasu swobodnego spadania ciała ze znanej wysokości lub na
podstawie pomiaru okresu drgań i długości wahadła matematycznego).
215

Wyniki pomiarów obarczone błędem grubym należy odrzucić. Wyniki pomiarów obarczone
rozpoznanym błędem systematycznym możemy również odrzucić lub wprowadzić
do nich poprawkę (kompensującą błąd systematyczny), jeśli wartość błędu znamy.
Wynik każdego pomiaru jest uzależniony od bardzo wielu czynników. Prawidłowo wykonany
pomiar powinien uwzględniać najważniejsze z nich. Przede wszystkim należy
wyeliminować lub kontrolować te czynniki, które mogą prowadzić do błędów grubych
lub błędów systematycznych, np. zmienność temperatury otoczenia przy pomiarze
długości metalową taśmą mierniczą (zmiana temperatury powoduje zmianę długości
taśmy) lub przy pomiarze oporu przewodnika (opór przewodnika zależy od jego temperatury).
Wśród czynników wpływających na wynik pomiaru zazwyczaj są takie, których wyeliminowanie
jest bardzo trudne lub wręcz niemożliwe. Wpływ tych czynników możemy
jedynie minimalizować. Z istnienia wielu czynników wpływających na wynik pomiaru
eksperymentator może sobie nawet nie zdawać sprawy.
Wpływające na wynik pomiaru czynniki można podzielić na związane:
• z mierzonym obiektem – np. statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego
wpływa na wynik pomiaru liczby cząstek emitowanych w kolejnych, jednakowych
odstępach czasu z preparatu promieniotwórczego;
• z przyrządem pomiarowym – np. tarcie w łożyskach wskazówek mierników elektrycznych
wpływa na wynik pomiaru wielkości elektrycznych, a temperatura otoczenia
może mieć wpływ na działanie miernika cyfrowego i w konsekwencji na wynik
pomiaru wykonanego takim miernikiem;
• z eksperymentatorem wykonującym pomiar – np. wynik pomiaru czasu (za pomocą
stopera) trwania zjawiska zależy od czasu reakcji eksperymentatora (włączenie i zatrzymanie
stopera).
Czynniki te mogą powodować przypadkowe zwiększenie lub zmniejszenie wartości
otrzymanej w wyniku pomiaru (nazywane czasem błędem przypadkowym). W takiej
sytuacji wyniki kolejnych pomiarów danej wielkości fizycznej są przypadkowo zaniżone
lub zawyżone.
Właśnie z tego powodu żadnej wielkości fizycznej nie możemy zmierzyć dokładnie.
Możemy wyznaczyć jedynie przedziały, w których wartości mierzonych wielkości fizycznych
są najprawdopodobniej zawarte. Mówimy, że wynik pomiaru jest zawsze
obarczony niepewnością pomiarową.
Wyniki pomiarów zapisujemy w postaci x ± Δx, gdzie:
x – najbardziej prawdopodobna wartość wielkości mierzonej,
Δx – niepewność pomiaru.
Zapis taki oznacza, że wartość mierzonej wielkości fizycznej jest najprawdopodobniej
zawarta w przedziale 〈x − Δx, x + Δx〉.
216

LL =(15,35± 0,05) m
L15,3 m15,4 m
Odstępstwa wyników pomiarów od wartości najbardziej prawdopodobnych nie wynikają
z błędnego postępowania osób wykonujących pomiary. Ich źródłem (a w konsekwencji
źródłem niepewności pomiarowej) są:
• naturalna niedoskonałość zmysłów człowieka;
• niedoskonałość przyrządów pomiarowych, którymi posługujemy się w trakcie wykonywania
pomiarów;
• naturalna zmienność mierzonych obiektów;
• niemożność uwzględnienia wszystkich czynników wpływających na wynik pomiaru.
Niepewności pomiarowe są naturalnym elementem procesu wykonywania pomiarów;
nie ma możliwości ich wyeliminowania. Możemy jedynie dążyć do ich minimalizacji.
Jeśli w wyniku kilkakrotnie powtórzonego pomiaru uzyskujemy takie same wartości
lub wartości różniące się nie więcej niż o rozdzielczość przyrządu (rozdzielczością
przyrządu nazywamy różnicę między dwiema najbliższymi wartościami skali pomiarowej,
tzn. działkę elementarną dla przyrządów wskazówkowych lub „przeskok”
ostatniej cyfry na skali dla przyrządów cyfrowych), to przypadkowy wpływ
wszystkich nieuwzględnionych czynników na wynik pomiaru jest mniejszy niż wartość
rozdzielczości użytego przyrządu pomiarowego. Niepewność pomiaru zdeterminowana
jest w takiej sytuacji rozdzielczością przyrządu.
Za miarę niepewności pomiarów prostych możemy przyjąć w takiej sytuacji rozdzielczość
przyrządu pomiarowego (niepewność taka jest nazywana czasem niepewnością
systematyczną). Na przykład niepewność pomiaru wykonanego linijką wynosi
zazwyczaj 1 mm. Za wartość wielkości mierzonej przyjmujemy wartość średniej arytmetycznej
x śr wyników x i wykonanych pomiarów (po zaokrągleniu):
x śr = 1 n∑
x i
n
Wynik pomiaru wielkości fizycznej X zapiszemy w takim przypadku następująco:
i=1
x śr ± Δx
Niepewność Δx jest niepewnością graniczną – wszystkie wyniki pomiarów należą do
przedziału 〈x śr − Δx, x śr + Δx〉.
217

1hPa
p 1021 1021 1022 1021 1022
p śr =1021,4hPa -
p =(1021± 1) hPa
Warto wiedzieć i pamiętać, że dla wielu przyrządów pomiarowych zarówno analogowych,
jak i cyfrowych przyjęcie rozdzielczości jako miary niepewności granicznej pomiarów
wykonywanych tymi przyrządami powoduje otrzymanie zaniżonych wartości
niepewności. Więcej dowiesz się o tym w podręczniku do klasy drugiej.
Jeśli w wyniku kolejnych pomiarów danej wielkości fizycznej otrzymujemy takie same
wyniki, to możemy dążyć do polepszenia jakości pomiaru dzięki zmniejszeniu wartości
niepewności poprzez zastosowanie bardziej precyzyjnych (o lepszej rozdzielczości)
przyrządów pomiarowych, np. suwmiarki zamiast linijki.
W przypadku zastosowania dostatecznie precyzyjnych (o dostatecznie małej działce
elementarnej) przyrządów pomiarowych wielokrotne pomiary danej wielkości fizycznej
dają wyniki o różnych wartościach. Ujawnia się w ten sposób przypadkowy wpływ
na wyniki pomiarów różnych omawianych powyżej czynników, którego już nie można
pominąć. Uzyskujemy rozrzut wyników.
Za najbardziej prawdopodobną wartość wielkości mierzonej w takim przypadku
można przyjąć, co pokażemy w podręczniku do klasy drugiej, wartość średniej arytmetycznej
x śr wyników x i wykonanych pomiarów:
x śr = 1 n∑
x i
n
Do wyznaczenia jej niepewności jako miary rozrzutu otrzymanych wyników stosuje
się metody statystyczne. Prowadzą one do często żmudnych i czasochłonnych obliczeń.
Dlatego proponujemy, by na obecnym etapie w warunkach szkolnych za niepewność
wartości średniej arytmetycznej przyjąć (szacunkowo) połowę różnicy między największą
i najmniejszą z otrzymanych wartości mierzonej wielkości fizycznej:
i=1
Δx śr = 1 2 (x max − x min )
218

Ostatecznie:
x = x śr ± Δx śr
Należy pamiętać, że:
• niepewności pomiarowe zaokrąglamy zawsze „w górę”;
• w niepewności zachowujemy tylko jedną cyfrę znaczącą (w wyjątkowych przypadkach
przy dużej liczbie pomiarów – dwie), a w wyniku pomiaru pozostawiamy
tyle cyfr znaczących, by pozycja ostatniej cyfry znaczącej była zgodna z pozycją
cyfry znaczącej w niepewności pomiarowej;
• w wyniku pomiaru pozostawiamy tyle cyfr znaczących po przecinku w rozwinięciu
dziesiętnym, ile jest ich w niepewności.
-
x
x
xx
12,3643 0,02 12,36 ± 0,02
1859 0,28 1859,0 ± 0,3
2230 18 2230 ± 20
0,000279 0,000026 0,00028 ± 0,00003
-
0,01 g.
1 10,10 6 10,14
2 10,13 7 10,13
3 10,12 8 10,10
4 10,11 9 10,12
5 10,12 10 10,14
219

1. Funkcje liniowa i kwadratowa
Jednym z podstawowych pojęć matematycznych niezbędnych w fizyce jest pojęcie
funkcji.
Aby je zdefiniować, wybieramy dwa zbiory: zbiór X oraz zbiór Y i dokonujemy odpowiedniego
przyporządkowania elementom zbioru X elementów zbioru Y (rys. 1).
a) b)
X
Y
X g Y
f
A
A
B
1
1
B
2
2
C
C
3
D
D
3
4
4
E
E
5
F
5
Rys. 1
X-
YX
Y.
Zbiór X = {x 1 , x 2 , ..., x n } nazywamy dziedziną funkcji (D), a elementy x 1 , x 2 , ..., x n
dziedziny – argumentami funkcji.
Zbiór Y to zbiór wartości funkcji lub przeciwdziedzina funkcji.
Dla każdego argumentu x funkcja przyjmuje dokładnie jedną wartość y.
Uwaga: Różnym argumentom x może być przypisana ta sama wartość funkcji y
(rys. 1b).
Argumenty x nazywamy też zmiennymi niezależnymi, a wartości funkcji y – zmiennymi
zależnymi.
Funkcje oznaczamy małymi literami: f , g, h itd., zatem wartość funkcji dla argumentu
x możemy też oznaczać odpowiednio symbolami f (x), g(x), h(x).
Funkcja f przedstawiona za pomocą grafu na rysunku 1a każdej literze ze zbioru
X = {A, B, C, D, E} przyporządkowuje liczbę ze zbioru Y = {1, 2, 3, 4, 5}, co zapisujemy
jako:
• f (A) =1 i czytamy: „ f od A równa się 1” lub „wartość funkcji f dla argumentu A
równa się 1”,
• f (B) =2 i czytamy: „ f od B równa się 2” lub „wartość funkcji f dla argumentu B
równa się 2”
• itd.
242

W przypadku funkcji, którymi będziemy się zajmować, zbiory X i Y są zbiorami liczb.
Takie funkcje nazywamy funkcjami liczbowymi.
Funkcje można przedstawiać za pomocą opisu słownego, grafu, tabelki, wzoru lub wykresu.
1)
f 18
2
2)
X
2
3
4
5
6
7
f
5
7
Y
4
9
8
6
Rys. 2
3)
x 2 3 4 5 6 7
f(x) 4 5 6 7 8 9
4)
f (x) =x + 2y = x + 2) x ∈{2, 3, 4, 5, 6, 7}
5)
Rys. 3
243

f (x) =ax + by = ax + b
aba
b
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy znaleźć współrzędne dwóch różnych
punktów należących do jej wykresu, zaznaczyć te punkty w układzie współrzędnych
i poprowadzić przez nie prostą, ponieważ przez dwa różne punkty płaszczyzny przechodzi
tylko jedna prosta.
Zauważ, że funkcja f (x) =ax + b:
• dla argumentu x =0 ma wartość b, bo f (0) = a · 0 + b = b;
• dla argumentu x =1 przyjmuje wartość a + b, ponieważ f (1) = a · 1 + b = a + b.
Wobec tego prosta będąca wykresem funkcji liniowej zawsze przechodzi przez punkt
o współrzędnych (0, b).
Współczynnik b we wzorze funkcji liniowej oznacza więc współrzędną y punktu,
w którym wykres funkcji przecina oś y układu współrzędnych.
y =2x + 2y = −1,5x + 3y =2,5.
a) y =2x + 2 b) y = −1,5x + 3 c) y =2,5
Rys. 4
Wyjaśnimy teraz, dlaczego współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym
prostej.
Niech x 1 i y 1 oraz x 2 i y 2 będą współrzędnymi dwóch dowolnych punktów należących
do wykresu funkcji y = ax + b. Współrzędne tych punktów spełniają odpowiednio
równania:
y 1 = ax 1 + b (1) i y 2 = ax 2 + b (2)
Po odjęciu stronami równania 1 od równania 2 otrzymujemy:
y 2 − y 1 = a(x 2 − x 1 )
244

Oznaczamy y 2 − y 1 = Δy, x 2 − x 1 = Δx i zapisujemy powyższy wzór w postaci:
Δy = aΔx
Wobec tego:
a = Δy
Δx
Jak wynika z powyższego wzoru, współczynnik a informuje, o ile zmienia się (wzrasta
lub maleje) współrzędna y, gdy współrzędna x wzrasta o 1.
Współczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji liniowej y = ax + b opisuje nachylenie
prostej będącej wykresem tej funkcji do osi x. Dla dodatnich współczynników a prawdziwe
jest zdanie: Im większe a, tym większy kąt nachylenia wykresu funkcji do osi x.
Uwaga: Związek między tym kątem a współczynnikiem a poznasz w dalszej części tego
rozdziału, po rozwiązaniu zadania 1 na s. 254.
Na rysunku 5 zaznaczono Δy i Δx dla funkcji przedstawionych wcześniej na rysunku 4.
a) y =2x + 2 b) y = −1,5x + 3 c) y =2,5
Δy =2,Δx =1 Δy = −3, Δx =2 Δy =0,Δx =1
a = Δy
Δx =2
a = Δy
Δx = −1,5
a = Δy
Δx =0 Rys. 5
a > 0x 1 , x 2 ∈ D
x 1 > x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ).
a < 0x 1 , x 2 ∈ D
x 1 > x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ).
a = 0x ∈ D f (x) =b.
Argument x funkcji, dla którego wartość funkcji jest równa zeru, nazywamy miejscem
zerowym funkcji. Miejsce zerowe funkcji to współrzędna x punktu, w którym wykres
funkcji przecina oś x.
Aby znaleźć miejsce zerowe funkcji liniowej, rozwiązujemy równanie ax + b =0 (gdzie
a ̸= 0), skąd x = − b a .
245