E801G6 - matematyka 6

MATEMATYKA
szkoła podstawowa
6

Anna Dubiecka, Barbara Dubiecka-Kruk,
Tomasz Malicki, Piotr Piskorski
MATEMATYKA
6

Spis treści
Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych 6
1. Dostrzeganie prawidłowości dotyczących liczb ______________________ 8
2. Mnożenie ułamków zwykłych __________________________________________________ 14
3. Dzielenie ułamków zwykłych ___________________________________________________ 22
4. Działania na ułamkach zwykłych _____________________________________________ 28
5. Działania na liczbach dziesiętnych __________________________________________ 32
6. Obliczanie ułamka liczby __________________________________________________________ 40
7. Liczby dziesiętne a liczby mieszane. Zaokrąglanie liczb ________ 46
8. Działania na liczbach I _______________________________________________________________ 54
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 60
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 69
Procenty. Liczby całkowite 72
9. Procent liczby ___________________________________________________________________________ 74
10. Odczytywanie danych przedstawionych graficznie ________________ 84
11. Liczby ujemne ____________________________________________________________________________ 96
12. Działania na liczbach II ____________________________________________________________ 107
13. Działania na liczbach III ___________________________________________________________ 118
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 124
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 134
Bryły 136
14. Oblicznie pól wielokątów _________________________________________________________ 138
15. Zamiana jednostek pola ____________________________________________________________ 143
16. Pole powierzchni prostopadłościanu _______________________________________ 149
17. Objętość prostopadłościanu _____________________________________________________ 155
18. Zamiana jednostek objętości ____________________________________________________ 162
19. Rozpoznawanie i nazywanie brył _____________________________________________ 170
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 181
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 192

Wyrażenia algebraiczne 194
20. Rozwiązywanie zadań tekstowych ___________________________________________ 196
21. Korzystanie ze wzorów _____________________________________________________________ 205
22. Prędkość, droga, czas ________________________________________________________________ 213
23. Wyrażenia algebraiczne. Równania _________________________________________ 222
24. Rozwiązywanie równań ____________________________________________________________ 231
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 244
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 254
Konstrukcje geometryczne 256
25. Konstrukcja trójkąta __________________________________________________________________ 258
26. Konstrukcja kąta ________________________________________________________________________ 262
Co wiem i umiem?
27. Liczby i działania na liczbach ___________________________________________________ 265
28. Elementy algebry _______________________________________________________________________ 271
29. Figury płaskie ____________________________________________________________________________ 277
30. Bryły ___________________________________________________________________________________________ 283
31. Zadania tekstowe _______________________________________________________________________ 288
Odpowiedzi ___________________________________________________________________________________ 293

Z 0,5 litra (500 ml)
zimnego mleka
odlać 0,5 szklanki
(ok. 125 ml), wsypać
do niej zawartość
opakowania i dobrze
rozmieszać.
Z 0,5 l zimnego mleka
odlać ćwierć szklanki
i rozmieszać w nim
zawartość torebki,
dodając 2 czubate łyżki
(50 g) cukru.
Z — 1 2 litra zimnego
mleka odlać — 1 2 szklanki
i wsypać do niej
zawartość torebki,
dobrze wymieszać.
Resztę mleka
zagotować, dodając
2 łyżki cukru.
Z pół litra mleka
odlać — 1 2 szklanki,
wsypać do niej
zawartość torebki
i dobrze rozmieszać.
0,75 litra zimnego mleka
(3 szklanki) i 3 łyżki cukru
(ok. 60 g)
1. Rozmieszać zawartość
torebki w 1 szklance
mleka.
2. Zagotować 0,5 litra
(2 szklanki) mleka
z cukrem.
Czy pamiętasz?
liczby mieszanej.
2— = 2—
15
36
13
50 100
4
3— =
25
3—
100
478
— = —
11
1— =
20
1—
100
5
— = —
100
50
50
10
50
20
100
50 100 50
20 50 50 5 = 10
50 20
Na rysunku pokazano, jak można pomnożyć dwie liczby mieszane,
i zapisano odpowiednie obliczenia. Przeanalizuj je.
4 —
1
5
4 — 1 5 ∙ 2 — 1 3 = 4 ∙ 2 + 4 ∙ — 1 3 + — 1 5 ∙ 2 + — 1 5 ∙ — 1 3 =
1
2 4 ∙ 2 — 5 ∙ 2
—
1
3 4 ∙ — 1 —5
1
3 ∙ — 1 3
1 m
Przeciętna liczba jaj od jednej
kury nioski (w sztukach)
208 227 211 195 209 232
2005 2010 2011 2012 2013 2014
2 1 — 2
l
2 1 — 2
l
2 1 — 2
l
Spożycie jaj
na 1 mieszkańca
(w sztukach)
188
215 202
172
3 1 — 2
m
140 148
2000 2005 2010 2011 2012 2013
3 3 — 14
m
2 1 — 10 m
O podręczniku
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie
rozwiązania zapisuj w zeszycie.
Procenty.
Liczby całkowite
Wrzenie
wody
Zamarzanie
wody
Zero
absolutne
Hu, hu, ha! Nasza zima zła…
100°C
0°C
–273°C
212°F
32°F
–459°F
373 K
273 K
0 K
Celsjusz Fahrenheit Kelvin
Skale Celsjusza, Fahrenheita oraz Kelvina to najbardziej
znane na świecie skale temperatury. W większości
krajów temperaturę podaje się w stopniach
Celsjusza (°C), a w niektórych krajach anglosaskich
(np. w USA) – w stopniach Fahrenheita (°F). Skala Kelvina,
według której temperaturę podaje się w kelwinach (K),
stosowana w badaniach naukowych, nazywana jest
również bezwzględną skalą temperatury.
tury.
Kształty płatków śniegu
Płatki śniegu nie zawsze przypominają
gwiazdki. Kształt płatków zależy przede
wszystkim od temperatury i wilgotności.
0°C
–10°C
–20°C
–30°C
igiełki
dendryty
płytki
kolumny
Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania i wykonaj polecenia.
W jakiej temperaturze woda zamarza, a w jakiej – wrze? Podaj te
temperatury w różnych jednostkach.
Jaka była najniższa zanotowana temperatura w lutym? A jaka – w marcu?
O ile niższa była w lutym niż w marcu?
W którym miesiącu różnica między najwyższą a najniższą temperaturą
była największa? Ile wynosiła?
Rekordy ciepła i zimna
miejscowość
z najniższą
temperaturą
w miesiącu
miejscowość
z najwyższą
temperaturą
w miesiącu
Strona działowa
Każdy dział rozpoczyna się
od infografiki, czyli takiego
sposobu połączenia ilustracji
z objaśnieniami, który ułatwia
zapamiętywanie. Przyjrzyj
się infografice i postaraj się
zapamiętać jak najwięcej.
Odpowiedz na pytania
i zaproponuj inne.
Ekstrema temperatury w poszczególnych miesiącach w Polsce.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
+17°C +21°C +26°C +31°C +36°C +37°C +40°C +39°C +35°C +29°C +23°C +20°C
–41°C –41°C –31°C –15°C –6°C –3°C +1°C 0°C –6°C –14°C –25°C –30°C
72 73
Zadania wprowadzające
wadz
ając
Każdy temat rozpoczyna się
od zadań, które wprowadzą Cię
w nowe zagadnienia.
Zadania
Do każdego tematu zaproponowano zadania
(często z rozwiązanym przykładem), które pomogą
Ci wyćwiczyć nowe umiejętności.
7.
Liczby dziesiętne a liczby mieszane.
Zaokrąglanie liczb
Porównaj podane fragmenty przepisów na przygotowanie budyniu.
I
II
III
IV
V
Czym różnią się te przepisy? Które są do siebie podobne?
Opisz ułamkiem zwykłym i ułamkiem dziesiętnym, jaka część każdego kwadratu
została:
a ) zamalowana, b ) niezamalowana.
1
2
3
4
Liczbę dziesiętną można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
0,2 = — 2 10 0,15 = — 100 0,478 = — 1000 0,05 = — 100
1,1 = 10 11— 1,36 = — 136
100
3,07 = — 307
100
2,076 = — 2076
1000
Liczbę dziesiętną z częścią całkowitą różną od zera można zapisać w postaci
1,1 = 1 1 — 10 1,36 = 1 — 100
3,07 = 3 — 7
100
2,076 = 2 — 76
1000
Zapisz podaną liczbę dziesiętną w postaci ułamka zwykłego.
a ) 0,5 b ) 0,19 c ) 1,132 d ) 2,08
e ) 11,27 f ) 13,25 g ) 15,36 h ) 16,76
Zapisz podaną liczbę dziesiętną w postaci liczby mieszanej. Skróć część
ułamkową, jeśli to możliwe.
a ) 3,7 b ) 4,8 c ) 2,12 d ) 6,15
e ) 8,04 f ) 7,012 g ) 5,005 h ) 4,205
Zapisz podany ułamek zwykły w postaci liczby dziesiętnej.
a ) —10 3 b ) 12— 100 c ) — 99
100 d ) — 999
1000
e ) 99— 1000 f ) 3— 1000 g ) 7— 1000 h ) — 102
1000
i ) 17 — 10
j ) — 123
10 k ) — 736
100 l ) — 1003
100
Zapisz podaną liczbę mieszaną w postaci liczby dziesiętnej.
a ) 1 — 9 10
b ) 1 — 57
100 c ) 8 — 716
1000 d ) 3 5— 100
Jaką liczbę zakrył kleks?
a ) —
1 = — b )— = — 2 10
c ) 1 100
d ) 9 4
20 100
e ) 3
5 10
f ) g ) h )
103
4— =
250 4—
1000
2.
24
25
26
27
28
29
Mnożenie ułamków zwykłych
Przykład
= 8 + 4 — 3 + 2 — 5 + 1— 15 = 8 + 20 — 15 + 6 — 15 + 1— 15 = 8 + 27— 15 = 9 12 — 15 = 9 4 — 5
Wykonaj mnożenie sposobem opisanym w przykładzie. Wynik przedstaw
w najprostszej postaci.
a ) 2 — 1 3
∙ 1 — 1 7
b ) 2 — 7 12
∙ 1 — 4 5
Oblicz pole i obwód kwadratu o boku długości 2 — 1 4
m.
Oblicz pole i obwód prostokąta o bokach długości — 3 4
m i 1 — 1 3
m.
Dokończ zdanie – wybierz odpowiedź spośród podanych. Pole rombu o przekątnych
długości 2 — 1 4
m i 4 — 3 4
m jest równe
A. 5 — 32 11 m2 B. 7 m 2 C. 10 — 16 11 m2 D. 14 m 2
Pierwszy prostokąt ma wymiary 2 — 3 5
m × 3 — 2 5
m, a wymiary drugiego to
2 — 2 5
m × 3 — 3 5
m. Który prostokąt ma większe pole i o ile jest ono większe?
Działka ma kształt kwadratu o boku długości 10 — 3 4
m. 1 m 2 tej działki kosztuje
400 zł, a 1 m bieżący ogrodzenia kosztuje 180 zł. Brama o szerokości 4 m
kosztuje natomiast 1200 zł.
a ) Ile kosztuje ta działka?
b ) Ile wynosi łączny koszt ogrodzenia i bramy?
10 3 — 4
m 4 m
30
31
Pokój ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 3 — 1 2
m × 3 — 3 14
m × 2 — 1 10
m.
Czy 7 — 1 2
l farby wystarczy na dwukrotne pomalowanie ścian tego pokoju, jeśli
1 l farby wystarcza na jednokrotne pomalowanie 6 m 2 ściany? W obliczeniach
pomiń okna i drzwi.
Iloczyn dwóch liczb mieszanych jest równy 5 — 5 32
, iloczyn ich części całkowitych
jest równy 2, a iloczyn części ułamkowych jest równy — 32 21 . Wyznacz te liczby.
CO UMIEM?
1.
•
D
2.
3.
4.
a )
•
• C.
CO UMIEM?
Na końcu każdego
rozdziału znajduje
się specjalny
zestaw zadań.
Ich rozwiązywanie
pozwoli Ci sprawdzić
swoje umiejętności.
46 47
20 21
Treść matematyczna
W granatowej ramce
wyróżniono ważne treści,
które będą przydatne
w dalszej nauce.
Zadania na medal
W wielu rozdziałach zamieszczono
zadania, których rozwiązanie będzie
wymagało od Ciebie pomysłowości.
2
Zadania wprowadzające
Zadania ćwiczeniowe
Powtórzenie
Na końcu każdego
działu przygotowano
zestaw zadań –
Czy już to umiem?.
Ich rozwiązywanie
pozwoli Ci przygotować
się do sprawdzianu.
Znajdziesz wśród nich
zadania z rozwiązaniami
i komentarzami.
1
2
3
Czy już to umiem?
Do szkolnego sklepiku dostarczono 100 jabłek i 50 gruszek. Pierwszego dnia
sprzedano 50 jabłek i 10 gruszek. Jaki procent jabłek i jaki procent gruszek
sprzedano pierwszego dnia?
10 50 — 10
50 = ——
20
Na sprawdzianie z matematyki nie było 5 z 25 uczniów klasy VIa. Ile procent
uczniów tej klasy było nieobecnych?
Wypisz dane z treści zadania.
Określ, jaka część uczniów klasy VIa była nieobecna. Ile to części setnych?
Jaki to procent wszystkich uczniów tej klasy?
Sprawdź poprawność rozwiązania i sformułuj odpowiedź.
Test z matematyki składał się z 20 pytań. Wojtek udzielił 5 poprawnych odpowiedzi,
Antek – 10, a Asia wszystkie zadania zrobiła dobrze. Ile procent
poprawnych odpowiedzi miało każde z tych dzieci?
Opisz za pomocą procentów, jaka część koła została zamalowana.
a ) b ) c ) d )
124
Wypisz dane z treści zadania.
Określ, jaką część jabłek sprzedano.
Określ, jaką część gruszek
sprzedano. Ile to części setnych?
Jaki to procent wszystkich gruszek?
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i sformułuj
odpowiedź.
Potrafię więcej, umiem lepiej
Procent liczby
1 Wyznacz liczbę, której 40% jest równe 240.
2 Czy 50% liczby 25 to tyle samo co 25% liczby 50?
Odpowiedź uzasadnij.
3 Przygotowano napój: do dwóch litrów wody wlano
pół litra soku. Jaki procent napoju stanowi sok?
4 Sprawdź, czy suma 20% liczby 20 i 20% liczby 30 jest równa 20% liczby 50.
Dostrzeżoną prawidłowość zbadaj na innych przykładach. Sformułuj swoje
przypuszczenia.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
5 Na diagramach przedstawiono dane dotyczące produkcji i spożycia jaj j
w Polsce.
a ) W którym roku – spośród podanych – przeciętna kura zniosła najwięcej
jaj?
b ) W którym roku – spośród podanych – przeciętny mieszkaniec Polski zjadł
najwięcej jaj?
c ) W których latach przeciętna kura „nie zaspokoiła” potrzeb przeciętnego
mieszkańca Polski? Dla których z podanych lat nie można tego określić?
Liczby ujemne
Dwie liczby przeciwne są oddalone od siebie na osi liczbowej o 11 jednostek.
Jakie to liczby?
Zaproponuj trzy takie liczby a, b, c, które spełniają warunki: a < b < c oraz
|b| < |c| < |a|.
Dodatkowonazak
zakończenie powtórzenia
zamieszczono zestaw zadań na medal –
Potrafię więcej, umiem lepiej.
6
7
134
12
Zadania na medal
Zadania z rozwiązaniem
Gra dla dwóch osób
Ciekawostka
Projekt

Procenty.
Liczby całkowite
Hu, hu, ha! Nasza zima zła…
Kształty płatków śniegu
Wrzenie
wody
Zamarzanie
wody
100°C
0°C
212°F
32°F
373 K
273 K
Płatki śniegu nie zawsze przypominają
gwiazdki. Kształt płatków zależy przede
wszystkim od temperatury i wilgotności.
0°C
igiełki
Zero
absolutne
–273°C
–459°F
0 K
–10°C
dendryty
Celsjusz Fahrenheit Kelvin
Skale Celsjusza, Fahrenheita oraz Kelvina to najbardziej
znane na świecie skale temperatury. W większości
krajów temperaturę podaje się w stopniach
Celsjusza (°C), a w niektórych krajach anglosaskich
(np. w USA) – w stopniach Fahrenheita (°F). Skala Kelvina,
według której temperaturę podaje się w kelwinach (K),
stosowana w badaniach naukowych, nazywana jest
również bezwzględną skalą temperatury.
–20°C
–30°C
płytki
kolumny
72

Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania i wykonaj polecenia.
W jakiej temperaturze woda zamarza, a w jakiej – wrze? Podaj te
temperatury w różnych jednostkach.
Jaka była najniższa zanotowana temperatura w lutym? A jaka – w marcu?
O ile niższa była w lutym niż w marcu?
W którym miesiącu różnica między najwyższą a najniższą temperaturą
była największa? Ile wynosiła?
Rekordy ciepła i zimna
miejscowość
z najniższą
temperaturą
w miesiącu
miejscowość
z najwyższą
temperaturą
w miesiącu
Ekstrema temperatury w poszczególnych miesiącach w Polsce.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
+17°C +21°C +26°C +31°C +36°C +37°C +40°C +39°C +35°C +29°C +23°C +20°C
–41°C –41°C –31°C –15°C –6°C –3°C +1°C 0°C –6°C –14°C –25°C –30°C
73

9.
Procent liczby
Na zdjęciach pokazano cztery rodzaje śmietany. Z ich opakowań można odczytać
informacje: 12%, 18%, 22%, 36%.
Śmietana
12%
Śmietana
22%
Śmietana
18%
Śmietana
36%
1
a ) Co oznaczają te informacje?
b ) Która śmietana ma największą zawartość tłuszczu, a która – najmniejszą?
c ) Jakie inne rodzaje śmietany są produkowane?
Ile części kwadratu zamalowano? Opisz zamalowaną część kwadratu ułamkiem
zwykłym o mianowniku 100 i ułamkiem w postaci dziesiętnej.
a ) b ) c ) d )
e ) f ) g ) h )
74

Słowo procent pochodzi od łacińskiego pro centum,
przekształconego na włoskie per cento, co oznacza na 100.
Procenty stosuje się do opisu części różnych wielkości.
1% pewnej wielkości to 1 tej wielkości.
100
10% pewnej wielkości to
100 10 tej wielkości.
25% pewnej wielkości to
100 25 tej wielkości.
50% pewnej wielkości to
100 50 tej wielkości.
100% pewnej wielkości jest równe tej wielkości.
2
Do każdego rysunku dobierz pasujący opis zamalowanej części prostokąta.
I II III IV
A. 1% prostokąta. B. 20% prostokąta. C. 25% prostokąta. D. 50% prostokąta.
75

9.
3
Procent liczby
Przykład
Oblicz 50% liczby 800.
Sposób I
50% liczby 800 to 50
100 liczby 800, czyli 1 — 2 liczby 800, czyli 1 — 2 · 800 = 400.
Sposób II 50% liczby 800 to 0,50 liczby 800, czyli 0,5 · 800 = 400.
Sposób III 50% liczby 800 to połowa liczby 800, czyli 800 : 2 = 400.
Oblicz 50% podanej liczby. Zapisz obliczenia wybranym sposobem.
a ) 600 b ) 240 c ) 72 d ) 48
e ) 16 f ) 1 g ) 0,4 h ) 1,2
4
5
6
7
8
9
10
11
Oblicz 25% liczby 400 trzema sposobami, podobnie jak w przykładzie z poprzedniego
zadania.
Oblicz 25% podanej liczby.
a ) 600 b ) 120 c ) 80 d ) 88
e ) 10 f ) 2 g ) 1 h ) 0,8
Odpowiedz na pytania.
a ) 50% pewnej liczby – jaka to część tej liczby?
b ) 25% liczby – jaka to jej część?
c ) Ile razy mniejsze jest 25% liczby od 50% tej liczby?
d ) Jak szybko obliczyć 25% dowolnej liczby?
Ktoś podzielił pewną liczbę przez 5. Ile procent tej liczby obliczył?
Oblicz 20% liczby 400 trzema sposobami, jak w przykładzie z zadania 3.
Oblicz 20% podanej liczby.
a ) 600 b ) 240 c ) 72 d ) 48
e ) 16 f ) 1 g ) 0,4 h ) 1,2
Pewną liczbę podzielono przez 10. Ile procent tej liczby otrzymano?
Oblicz 10% liczby 500 trzema sposobami, jak w przykładzie z zadania 3.
76

12
13
Oblicz 10% podanej liczby.
a ) 600 b ) 480 c ) 54 d ) 76
e ) 15 f ) 1 g ) 0,8 h ) 1,4
Troje uczniów obliczało 1% liczby 600. Opisz ich sposoby.
Sposób Agaty
1% liczby 600
to 1 tej liczby, czyli
100
1
600
100 ∙ 600 = 100 = 6.
Sposób Kuby
1% liczby 600 to 1 część
ze 100 równych części,
czyli 6000 : 100 = 6.
Sposób Gabrysi
1% liczby 600
0
to 0,01 tej
liczby,
czyli
0,01
01 ∙ 6000 =
6.
14
15
16
Oblicz 1% podanej liczby. Zapisz obliczenia wybranym sposobem.
a ) 300 b ) 110 c ) 1200 d ) 10 200
Oblicz 1% podanych liczb. W każdym punkcie dopisz kolejną liczbę zgodnie
z zastosowaną zasadą i również oblicz 1% tej liczby.
a ) 32 000 b ) 3400 c ) 5700 d ) 2850
3200 340 570 285
320 34 57 28,5
Dane są liczby: 60, 20, 70, 40, 21, 15, 23, 41. Oblicz 20% każdej z tych liczb. Uporządkuj
otrzymane wartości od najmniejszej do największej. Co zauważasz?
Przeczytaj dialog.
Co jest większe:
20% czy 25%?
Czasami 20% jest
większe niż 25%.
Jak to jest
możliwe?
Wyjaśnij, jak to jest możliwe. Wymyśl podobną zagadkę.
77

9.
Procent liczby
17
18
19
Wyobraź sobie dwa pojemniki z wodą: jeden 30-litrowy napełniony w 20%,
drugi 20-litrowy napełniony w 25%.
a ) Ile litrów wody jest w pierwszym pojemniku?
b ) Ile litrów wody jest w drugim pojemniku?
c ) W którym pojemniku jest więcej wody?
Oblicz 10% i 20% podanej liczby.
a ) 50 b ) 2 c ) 8 d ) 12
Wiesz, ile to jest 10% pewnej liczby. Jak szybko możesz obliczyć 20% tej liczby?
Sformułuj swoją metodę.
Przykład
Oblicz 10%, 20%, 40% i 70% liczby 40.
10% liczby 40 to 0,10 · 40 = 4.
20% liczby 40 to 2 · (10% liczby 40) = 2 · 4 = 8.
40% liczby 40 to 4 · (10% liczby 40) = 4 · 4 = 16.
70% liczby 40 to 7 · (10% liczby 40) = 7 · 4 = 28.
20
21
22
23
Oblicz 10%, 20%, 40% i 70% podanej liczby.
a ) 60 b ) 3 c ) 4 d ) 11
Sformułuj sposób obliczania 80% danej liczby oraz 90% danej liczby.
Oblicz, ile to jest:
a ) 20% liczby 1700, b ) 30% liczby 800,
c ) 40% liczby 90, d ) 50% liczby 15,
e ) 60% liczby 200, f ) 70% liczby 120,
g ) 80% liczby 60, h ) 90% liczby 50.
Oblicz 10% i 5% podanej liczby.
a ) 20 b ) 600 c ) 24
Jak szybko obliczyć 5% liczby? Zapisz swój sposób.
Oblicz, ile to jest:
a ) 5% liczby 200, b ) 5% liczby 80, c ) 5% liczby 52, d ) 5% liczby 3,
e ) 15% liczby 600, f ) 15% liczby 40, g ) 15% liczby 54, h ) 15% liczby 7.
Trzej synowie i ich tata zapłacili za prezent dla mamy. Tata dał 50% potrzebnej
kwoty, najstarszy syn dodał 25%, średni dołożył 10%, a resztę zapłacił
najmłodszy syn.
78

24
25
26
27
● Wykonaj rysunek pomocniczy – narysuj prostokąt i zaznacz części odpowiadające
udziałom taty i dwóch synów w zakupie prezentu dla mamy.
Na podstawie rysunku odpowiedz, jaką część kwoty dał najmłodszy syn.
● Ile razy więcej pieniędzy dał tata niż najstarszy syn?
● Ile razy więcej pieniędzy dał tata niż średni syn?
● Ile razy mniej pieniędzy dał średni syn niż najstarszy syn?
● Ile razy mniej pieniędzy dał średni syn niż najmłodszy syn?
Odpowiedz na pytania. Podaj odpowiedzi za pomocą ułamków zwykłych,
ułamków dziesiętnych i procentów.
a ) 1 gr – jaka to część złotówki?
b ) 10 gr – jaka to część 1 złotego?
c ) 20 gr – jaka to część 2 złotych?
d ) 50 gr – jaka to część 2 zł, jaka część 5 zł, a jaka część 10 zł?
W tabeli zapisano, jak długo można korzystać z danej funkcji smartfona, jeśli
bateria jest w pełni naładowana i korzysta się tylko z tej funkcji.
a ) Na ekranie smartfona, obok symbolu
baterii, pojawił się napis
„50%”. Ile czasu można jeszcze
słuchać muzyki?
b ) Jeśli na ekranie, obok symbolu baterii,
pojawi się napis „40%”, to ile
smartfona czas
Funkcja Maksymalny
czasu smartfon może jeszcze pozostać
w stanie czuwania?
wi-fi
11 godz.
muzyka 50 godz.
c ) Na ekranie smartfona wskaźnik
czuwanie 240 godz.
zużycia baterii pokazuje 10%. Ile
rozmowa 14 godz.
czasu można jeszcze rozmawiać?
Aby przygotować napój, zmieszano 9 szklanek wody z 1 szklanką soku.
a ) Przedstaw tę sytuację na rysunku. Ile szklanek napoju otrzymano?
b ) Jaką część napoju stanowił sok? Ile to procent?
Podróż z Warszawy do Paryża (łącznie z pobytem na lotniskach) zajęła
panu Jackowi 6 godzin. Na lotnisku w Warszawie spędził 2 godziny, a w Paryżu
czekał godzinę na odbiór bagażu. Jaką część czasu podróży spędził
w sumie na lotniskach, a jaką – w samolocie? Wyraź te części za pomocą
procentów.
79

9.
Procent liczby
28
Państwo Kowalscy kupili dom za 320 tys. zł. Dodatkowe koszty (podatek,
prowizja za obsługę prawną transakcji, prowizja za udzielenie kredytu, opłaty
za wpisanie hipoteki do ksiąg wieczystych, sporządzenie niezbędnych map
i planów) pochłonęły tyle, ile wynosiło 10% ceny domu. Ile złotych państwo
Kowalscy musieli przeznaczyć na dodatkowe koszty?
dom
320 000 zł
dodatkowe
koszty
10% ceny domu
29
30
Każdy pracujący obywatel Polski płaci podatek od zarobków. Przyjmij, że pan
Jan płaci podatek w wysokości 20% swoich zarobków. Ile złotych podatku
musiał zapłacić, jeżeli zarobił w ciągu roku 27 600 zł? Ile złotych podatku
płacił średnio miesięcznie w ciągu tego roku?
Oliwia zaoszczędziła 200 zł. Za te pieniądze kupiła na wyjazd nad morze kurtkę,
trampki i okulary do pływania. Na kurtkę wydała 50% oszczędności, na
trampki przeznaczyła 25% oszczędności, a okulary kupiła za 10% oszczędności.
50% 25% 10%
31
32
a ) Ile złotych wydała na kurtkę, ile – na trampki, a ile – na okulary?
b ) Ile złotych zostało Oliwii po zrobieniu tych zakupów?
Na opakowaniu jednej z kiełbas znajduje się informacja, że 70% jej masy to
mięso. Ile gramów różnych dodatków znajduje się w 1 kg tej kiełbasy?
Z informacji na opakowaniu szynki wynika, że 80% jej masy to mięso. Ile
gramów różnych dodatków znajduje się w 2 kg tej szynki?
80

33
34
35
36
Świeże grzyby zawierają 90% wody. Jaką masę ma woda znajdująca się
w 1,5 kg grzybów? Wynik wyraź w gramach.
Nauczyciel poświęca około 20% lekcji na sprawy organizacyjne. Ile to minut?
Ile minut lekcji może przeznaczyć na omówienie nowego tematu?
W 2018 roku w Polsce mieszkało około 38 400 000 osób, z czego 60% żyło
w miastach. Ile osób mieszkało w miastach, a ile – na wsi?
Przyjmij, że pewna osoba zapłaciła podatek w wysokości 20% zarobionych
pieniędzy. Ile złotych podatku w ciągu roku zapłaciła ta osoba, jeśli zarabiała
2800 zł miesięcznie?
2800 zł
miesięcznie
37
38
39
Pani Maria wzięła w banku 3600 zł pożyczki. Ma zwrócić bankowi o 5% więcej
pieniędzy, niż otrzymała. O ile więcej pieniędzy pani Maria ma zwrócić
bankowi?
Tradycyjnie ziemniaki przechowuje się w kopcach. W Polsce w ten sposób
przechowuje się około 7 milionów ton ziemniaków rocznie. Podczas zimy
ziemniaki tracą część wody, zmniejszają wówczas swoją masę o 10%. Oblicz, ile
masy rocznie tracą wszystkie ziemniaki przechowywane w Polsce w kopcach.
Wybierz odpowiedź spośród podanych.
A. 70 000 000 t B. 6 900 000 t C. 700 000 t D. 600 000 t
Pewien towar, który kosztował 40 zł, potaniał o 25%. Ile kosztuje ten towar
po obniżce? Wybierz odpowiedź spośród podanych.
A. 50 zł B. 30 zł C. 15 zł D. 10 zł
81

9.
Procent liczby
40
41
Biuro podróży organizuje zielone szkoły.
Na całkowity koszt wyjazdu składają się:
● wynagrodzenie dla biura za organizację imprezy,
wynoszące 10% całej kwoty,
● koszty posiłków, stanowiące 25% całej kwoty,
● koszty noclegów równe kosztom posiłków,
● koszty przejazdów, stanowiące 20% całej kwoty,
● koszty opracowania i realizacji programu wyjazdu.
Na zieloną szkołę wyjeżdża 120 uczniów i każdy
z nich musi zapłacić 380 zł.
a ) Jaki jest całkowity koszt wyjazdu grupy?
b ) Jakie jest wynagrodzenie dla biura podróży za
zorganizowanie zielonej szkoły dla tej grupy?
c ) Ile złotych kosztują posiłki, a ile – noclegi dla
tej grupy?
d ) Ile złotych pochłaniają przejazdy całej grupy?
e ) Ile złotych wynoszą koszty programu? Jaki to
procent całkowitego kosztu wyjazdu grupy?
W dużych miastach osoby podróżujące samochodami spędzają średnio 40%
czasu podróży w korkach. Jacek z rodzicami mieszka w takim mieście. Tata
Jacka jedzie do pracy około 1,5 godziny i tyle samo czasu wraca do domu.
Pracuje od poniedziałku do piątku. Ile minut dziennie spędza w korkach tata
Jacka? Ile czasu traci z tego powodu w ciągu tygodnia?
Wwielu językach słowo procent brzmi bardzo podobnie, np. po angielsku
– per cent, percent, w esperanto – procento, po francusku – pourcent,
po niemiecku – Prozent, po duńsku, holendersku, szwedzku – procent, w jidysz
– (czyt. protsent), po rosyjsku – процент (czyt. procent). W niektórych
językach słowo określające procent brzmi zupełnie inaczej, np. po azersku – faiz,
po turecku – yüzde, po węgiersku – szazalek.
Często używa się także słowa odsetek. Znajdź w internecie, w jakim kontekście
się go używa, i zastanów się, czy można to słowo zastąpić słowem procent.
82

CO UMIEM?
1.
a ) b )
c ) d )
2.
Nr
Zdanie
Prawda
a
Fałsz
3.
a )
b )
c )
4.
●
●
●
●
83

10.
Odczytywanie danych
przedstawionych graficznie
Diagram pokazuje, na jakie zajęcia dodatkowe uczęszczali uczniowie w pewnej
szkole.
techniczne
1,2%
turystyczno-
-krajoznawcze
3,8%
inne
10,0%
przedmiotowe
34,4%
informatyczne
9,8%
sportowe
21,1%
artystycznetyczne
19,7%
● Które zajęcia uczniowie wybierali najczęściej?
● Które zajęcia uczniowie wybierali mniej więcej trzykrotnie częściej niż
zajęcia techniczne?
● Które zajęcia uczniowie wybierali około 3,5 razy częściej niż zajęcia informatyczne?
Jak myślisz, z jakich przyczyn?
● Podaj kilka możliwych przykładów zajęć uwzględnionych w kategorii
„inne”.
● Jakie informacje są potrzebne, aby stwierdzić, ilu uczniów uczęszczało
np. na zajęcia artystyczne?
84

1
Na diagramach przedstawiono wyniki badań na temat udziału uczniów klas
IV–VI z pewnego obszaru Polski w zajęciach pozalekcyjnych.
[w tys.]
70
Udział uczniów w dodatkowych zajęciach (w tysiącach uczestników)
60
50
40
30
20
10
0
lekcje
językowe
gra na
instrumencie
muzycznym
zajęcia
taneczne
zajęcia
sportowe
zajęcia
plastyczne
inne
brak zajęć
dodatkowych
Udział uczniów w dodatkowych zajęciach
25%
20%
lekcje językowe
5%
5%
5%
10%
gra na instrumencie muzycznym
zajęcia taneczne
zajęcia sportowe
zajęcia plastyczne
inne
brak zajęć dodatkowych
30%
Na tym obszarze mieszkało około 200 tysięcy uczniów klas IV–VI. W opisach
diagramów wymieniono zajęcia, na które uczęszczało co najmniej 10 tysięcy
uczniów, natomiast pozostałe zajęcia ujęto w kategorii „inne”. Porównaj
informacje, jakie można odczytać z tych diagramów. Oceń, czy mogą one
przedstawiać wyniki z tych samych badań. Następnie odpowiedz na pytania.
a ) Które zajęcia pozalekcyjne były najbardziej popularne?
b ) Które zajęcia z wymienionych miały po tyle samo uczestników?
c ) W których zajęciach uczestniczyło dwukrotnie więcej uczniów niż w zajęciach
z gry na instrumencie muzycznym?
d ) Ile razy więcej uczniów uczestniczyło w zajęciach sportowych niż w zajęciach
plastycznych?
85

10.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
2
Diagram wykonany przez Adama pokazuje, jaka część uczniów jego klasy
uczęszcza na poszczególne zajęcia popołudniowe organizowane przez szkołę.
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
nauka gry na
instrumencie
muzycznym
zajęcia
sportowe
Zajęcia popołudniowe
zajęcia
modelarskie
przygotowanie zajęcia
do konkursów wyrównawcze
przedmiotowych
brak zajęć
dodatkowych
a ) Jakie rodzaje zajęć są organizowane w szkole Adama?
b ) Zsumuj dane wskazujące, ile procent uczniów uczęszcza na poszczególne
zajęcia popołudniowe. Jak myślisz: dlaczego suma jest większa niż 100%?
c ) Jaki procent uczniów klasy Adama uczestniczy w zajęciach popołudniowych
w szkole?
d ) Które zajęcia wybiera 1 — 4
wszystkich uczniów?
e ) Które zajęcia wybiera 1 — 4
uczniów korzystających z zajęć popołudniowych?
Diagramy w sposób prosty i przejrzysty prezentują dane oraz pokazują
związki między nimi.
Te same dane można przedstawiać w różny sposób.
Diagramy mogą przedstawiać, ile jest poszczególnych wielkości, lub mówić
o udziale poszczególnych wielkości w całości.
Diagram procentowy mówi o udziale poszczególnych wielkości w całości.
Diagram procentowy nie mówi o tym, ile jest poszczególnych wielkości.
86

Przykłady diagramów przedstawiających wyniki ankiety dotyczącej
posiadanych zwierząt, przeprowadzonej wśród 60 uczniów, którzy mają
po jednym zwierzęciu.
Diagram prostokątny
psy
chomiki
koty
króliki
Diagram kołowy
50%
Diagram słupkowy
króliki 10%
psy 30%
40%
30%
20%
10%
0%
psy chomiki koty króliki
koty 40%
chomiki 20%
3
Poniższe diagramy są diagramami procentowymi, ilustrującymi udział powierzchni
poszczególnych oceanów w sumarycznej powierzchni oceanów.
Wszystkie dane podano w przybliżeniu. Porównaj te diagramy i odpowiedz
na pytania. Swoje wnioski przedyskutuj z kolegami lub koleżankami.
Diagram kołowy
Diagram kwadratowy
Ocean Spokojny
Ocean Atlantycki
Ocean Indyjski
Ocean Południowy
Ocean Arktyczny
a ) Który ocean jest największy? A który – najmniejszy?
b ) Wskaż dwa oceany, z których jeden ma dwa razy większą powierzchnię
niż drugi.
c ) Jaki procent powierzchni oceanów zajmuje Ocean Spokojny?
d ) Jaki procent powierzchni oceanów zajmuje Ocean Atlantycki?
e ) Który z diagramów umożliwia lepsze porównanie pokazanych wielkości?
87

10.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
4
Na diagramie przedstawiono, jaką część lądów zajmują poszczególne kontynenty.
Wszystkie dane podano w przybliżeniu.
Europa 7%
Kontynenty
Afryka 20%
Azja 30%
Ameryka Płd. 12%
Australia 6%
Antarktyda 9%
Ameryka Płn. 16%
5
a ) Które dwa kontynenty zajmują w sumie połowę powierzchni wszystkich
lądów?
b ) Który kontynent ma większą powierzchnię niż obie Ameryki razem wzięte?
c ) Ile razy największy kontynent jest większy od najmniejszego?
d ) Uporządkuj kontynenty od tego o najmniejszej powierzchni do tego o największej
powierzchni.
e ) Jaka jest powierzchnia Azji, a jaka – Afryki, jeżeli wiadomo, że łączna
powierzchnia wszystkich kontynentów wynosi 150 mln km 2 ?
f ) Sporządź kwadratowy diagram procentowy przedstawiający powierzchnie
kontynentów. W tym celu narysuj kwadrat o boku długości 10 kratek
i przyjmij, że reprezentuje on 100% powierzchni wszystkich lądów.
Na diagramie kwadratowym przedstawiono skład powietrza.
a ) Oszacuj, ile razy więcej jest w powietrzu azotu niż tlenu.
b ) Ile procent powietrza stanowią łącznie
tlen i azot?
c ) Jaką część powietrza stanowią gazy
inne niż azot i tlen? Odpowiedź podaj
w procentach.
d ) Konrad narysował diagram słupkowy
ilustrujący skład powietrza.
Przyjął, że słupek o wysokości 1 cm
odpowiada 2% składu powietrza.
Jaką wysokość mają poszczególne
słupki diagramu Konrada?
inne
gazy
azot 78% tlen 21%
88

6
Na diagramie pokazano, ile procent ankietowanych osób było niezadowolonych
ze swoich wakacji z podanego powodu.
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
deszczowa
pogoda
zbyt upalnie
zbyt wielu
wczasowiczów
zbyt mało
wczasowiczów
mało atrakcji
turystycznych
mało punktów
gastronomicznych
zła komunikacja
inne
a ) Dlaczego procenty odpowiadające poszczególnym słupkom tego diagramu
nie sumują się do 100%?
b ) Czy można przedstawić te dane w postaci diagramu kwadratowego? Odpowiedź
uzasadnij.
c ) Wykonaj diagramy kwadratowy oraz słupkowy obrazujące podział na osoby
niezadowolone z powodu liczby wczasowiczów w miejscu spędzania wakacji.
Uwzględnij trzy grupy osób: I – osoby, które uważały, że było zbyt wielu
wczasowiczów; II – osoby, które uważały, że było zbyt mało wczasowiczów;
III – osoby, które nie wypowiadały się na temat liczby wczasowiczów.
Na diagramie zilustrowano, z czego składa
się ludzki organizm. Zaprezentowany
skład jest przykładowy, gdyż może być
różny w zależności od wieku, trybu życia
i wielu innych czynników. Na podstawie
diagramu wykonaj polecenia.
a ) Odczytaj, jaka jest zawartość wody
w organizmie.
b ) Odczytaj, ile procent stanowi tłuszcz.
c ) Jaki procent organizmu człowieka to
białko? Oszacuj masę białka w swoim
organizmie. Sprawdź, jaką funkcję pełni
białko w organizmie.
sole mineralne (4%)
tłuszcze (10%)
białka (20%)
węglowodany (1%)
woda (65%)
89

10.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
7
Na podstawie rysunku, na którym przedstawiono przekrój Ziemi, odpowiedz
na pytania.
400 km
650 km
0 km
skorupa
płaszcz górny
2890 km
5150 km
6378 km
obszar przejściowy
płaszcz dolny
jądro zewnętrzne
jądro wewnętrzne
a ) Jaką długość ma promień Ziemi?
b ) W jakiej odległości od powierzchni Ziemi zaczyna się jądro zewnętrzne?
c ) Na jakiej głębokości zaczyna się najgorętsza część Ziemi – jądro wewnętrzne?
d ) Jaka jest średnica jądra wewnętrznego?
e ) Jakie są kolejne warstwy Ziemi?
f ) Jakiej grubości jest jądro zewnętrzne?
Na diagramie słupkowym przedstawiono liczbę mieszkańców (w tysiącach)
poszczególnych województw według stanu z dnia 31 grudnia 2017 roku.
[w tys.]
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
dolnośląskie: 2912
kujawsko-pomorskie: 2068
lubelskie: 2206
lubuskie: 1009
łódzkie: 2628
małopolskie: 3222
mazowieckie: 5115
opolskie: 1071
podkarpackie: 2101
podlaskie: 1211
pomorskie: 2172
śląskie: 4769
świętokrzyskie: 1303
warmińsko-mazurskie: 1428
wielkopolskie: 3345
zachodniopomorskie: 1698
90

Na diagramie kołowym przedstawiono, jaki procent liczby mieszkańców Polski
(w zaokrągleniu do 1%) stanowili mieszkańcy poszczególnych województw.
9%
4%
8%
5%
4%
6%
3%
3%
12%
7%
6%
9%
3%
6%
3%
14%
dolnośląskie
łódzkie
podkarpackie
świętokrzyskie
kujawsko-pomorskie
małopolskie
podlaskie
warmińsko-mazurskie
lubelskie
mazowieckie
pomorskie
wielkopolskie
lubuskie
opolskie
śląskie
zachodniopomorskie
Na podstawie diagramów odpowiedz na pytania. Zwróć uwagę na to, który
diagram pozwala odpowiedzieć na dane pytanie.
a ) Uporządkuj rosnąco liczby mieszkańców poszczególnych województw.
b ) Ilu mieszkańców mają województwa o najmniejszej liczbie ludności?
c ) W ilu województwach liczba mieszkańców przekracza 3 miliony?
d ) W ilu województwach liczba mieszkańców nie przekracza 2 milionów?
e ) W których województwach liczba mieszkańców przekracza 10% mieszkańców
Polski?
f ) W jaki inny sposób możesz zaprezentować te dane?
g ) Dlaczego procenty na diagramie kołowym przekraczają 100%?
91

10.
8
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
Na diagramie przedstawiono temperaturę zanotowaną 1 października 2018 roku.
50
°C
Temperatura
40
30
20
10
0
–10
–20
–30
–40
–50
–60
Atar, Mauretania
Tasiilaq, Grenlandia
Stacja McMurdo, Antarktyda
Kordoba, Hiszpania
Berlin, Niemcy
Goleniów, Polska
Albinia, Włochy
–70
–80
9
a ) W jakim miejscu zanotowano najwyższą temperaturę, a w jakim – najniższą?
b ) Ile stopni było w stacji McMurdo na Antarktydzie?
c ) W którym miejscu temperatura była wyższa niż w Goleniowie, ale niższa
niż w Kordobie?
Diagram ilustrujący cechy klimatu danego miejsca to tzw. klimatogram. Poniżej
zamieszczono klimatogram Warszawy, na którym zaznaczono jednocześnie
średnią temperaturę w °C (czerwony wykres liniowy) oraz sumę opadów
w mm (niebieski diagram słupkowy) w kolejnych miesiącach roku.
Klimatogram
°C mm
20
80
15
10
5
0
60
40
20
0
–5
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
92

10
a ) Jaka miesięczna suma opadów jest najczęściej spotykana w Warszawie?
b ) W którym miesiącu opady są najmniejsze?
c ) Czy w najbardziej mokrym miesiącu jest ponad trzy razy więcej opadów
niż w najbardziej suchym?
d ) W którym miesiącu w Warszawie jest najcieplej, a w którym – najzimniej?
e ) Jaka jest najwyższa średnia miesięczna temperatura w Warszawie, a jaka
– najniższa?
f ) Jaka jest różnica średniej temperatury lipca i marca?
g ) Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że najwięcej opadów w Warszawie jest
w najcieplejszych miesiącach?
Tabela przedstawia dane dotyczące temperatur zanotowanych w ośrodku ZHP
Perkoz na Mazurach w 2017 roku.
Miesiąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Minimalna
temperatura
(°C)
Średnia
temperatura
(°C)
Maksymalna
temperatura
(°C)
–18,2 –11,5 –2,3 –3,2 –1,7 3,2 8,8 7,4 5,6 –0,1 –2,4 –3,8
–3,6 –1,5 4,2 6,2 13,1 16,4 17,3 17,8 13 8,9 4,1 1,9
2,5 10,3 17,6 21 28,6 27,8 30 31,1 21,2 18,2 10,3 8,3
a ) W którym miesiącu 2017 roku średnia
miesięczna temperatura była najwyższa?
A w którym – najniższa?
b ) W którym miesiącu 2017 roku zanotowano
najniższą temperaturę? A w którym
– najwyższą?
c ) W którym miesiącu II półrocza 2017
roku była największa różnica między
maksymalną a minimalną temperaturą?
d ) O ile wyższa była maksymalna temperatura
zanotowana w styczniu 2017 roku
od średniej temperatury w tym okresie?
93

10.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
11
W tabeli podano różne formy aktywności. Dla każdej z nich określono ilość
energii wydatkowanej przez 10 minut, przypadającą na każdy kilogram masy
ciała człowieka. Na diagramie przedstawiono wartość energetyczną kilku produktów
spożywczych. Na podstawie danych zawartych w tabeli i na diagramie
odpowiedz na pytania.
Forma aktywności
Energia
(kcal)
bieg długodystansowy 2,2
bieg z prędkością 14 km h 2,6
gra w piłkę nożną 1,3
zajęcia lekcyjne 0,26
sen 0,17
kcal
600
400
200
0
pączek
Wartość energetyczna
tabliczka
czekolady
szklanka
herbaty
talerz zupy
pomidorowej
a ) Ile kcal zużywa biegacz na trasie półmaratonu? Przyjmij do obliczeń swoją
masę i czas biegu 1 h 45 min.
b ) Ile kcal zużywasz w ciągu snu?
c ) Który z rodzajów aktywności wymaga około 10 razy więcej energii niż
udział w lekcji?
d ) Czy w ciągu 20-minutowego biegu z prędkością 14 km h
możesz spalić energię
dostarczoną przez tabliczkę czekolady?
e ) Czy w czasie 10-godzinnego snu możesz spalić więcej kalorii, niż dostarczy
ci talerz zupy pomidorowej?
Zbierz wśród 25 osób informacje na jeden z wybranych tematów.
1. Jaki jest twój ulubiony kolor?
2. Jakie jest twoje ulubione danie?
3. Jakie jest twoje ulubione miejsce na wakacyjny wyjazd?
4. Czy masz swoje zwierzę? Jeśli tak, to jakie?
5. Czy masz rodzeństwo? Jeśli tak, to ile?
6. W jaki sposób pokonujesz drogę z domu do szkoły?
Przedstaw zebrane informacje w tabeli i na dwóch różnych diagramach.
94

CO UMIEM?
1.
Pieniądze
przeznaczone zn zone na:
Część
kieszonkowego
2.
a)
b)
c )
3.
4.
a)
b)
c )
a)
b)
95

Czy już to umiem?
Do szkolnego sklepiku dostarczono 100 jabłek i 50 gruszek. Pierwszego dnia
sprzedano 50 jabłek i 10 gruszek. Jaki procent jabłek i jaki procent gruszek
sprzedano pierwszego dnia?
100
50
50
10
50
10 50 — 10
50 = —— 100
20
20
Wypisz dane z treści zadania.
Określ, jaką część jabłek sprzedano.
Określ, jaką część gruszek
sprzedano. Ile to części setnych?
Jaki to procent wszystkich gruszek?
50 100 50
20 50 50 5 = 10
50 20
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia
warunki zadania, i sformułuj
odpowiedź.
1
2
3
Na sprawdzianie z matematyki nie było 5 z 25 uczniów klasy VIa. Ile procent
uczniów tej klasy było nieobecnych?
Wypisz dane z treści zadania.
Określ, jaka część uczniów klasy VIa była nieobecna. Ile to części setnych?
Jaki to procent wszystkich uczniów tej klasy?
Sprawdź poprawność rozwiązania i sformułuj odpowiedź.
Test z matematyki składał się z 20 pytań. Wojtek udzielił 5 poprawnych odpowiedzi,
Antek – 10, a Asia wszystkie zadania zrobiła dobrze. Ile procent
poprawnych odpowiedzi miało każde z tych dzieci?
Opisz za pomocą procentów, jaka część koła została zamalowana.
a ) b ) c ) d )
124

4
Karolina wraz z koleżankami wybrała się na wycieczkę rowerową. Dziewczęta
przejechały 6 km zaplanowanej trasy. Do przejechania zostały im jeszcze
24 km. Jaki procent całej trasy stanowi pokonana część?
Deska snowboardowa przed sezonem kosztowała 400 zł. W sezonie zimowym
jej cenę zwiększono o 10% wcześniejszej ceny. Ile kosztuje deska po podwyżce?
400
10
Sposób I
10 400 01 400 = 40
400 40 = 440
Sposób II
10 100 = 110
110 400 11 400 = 440
440
Wypisz dane z treści zadania.
Oblicz kwotę podwyżki.
Oblicz cenę deski po podwyżce.
Oblicz, jaki procent ceny przed
podwyżką stanowi cena deski
w sezonie zimowym.
Oblicz cenę deski po podwyżce.
Zapisz odpowiedź.
5
6
7
W pewnym sklepie rowerowym koszt roweru zwiększa się o 25%, jeśli kupujemy
go na raty. Ile będzie kosztować rower za 500 zł, jeśli kupimy go na raty?
Wypisz dane z treści zadania.
Oblicz, o ile złotych zwiększa się koszt roweru przy zakupie na raty.
Oblicz, ile kosztuje rower kupiony na raty.
Zapisz odpowiedź.
Kolekcja kryminałów w księgarni internetowej kosztuje 380 zł. Mama Marysi
ma w tej księgarni zniżkę w wysokości 20% wartości zamówienia.
a ) Ile złotych wynosi zniżka przy zakupie tej kolekcji?
b ) Ile złotych kosztuje kolekcja kryminałów po uwzględnieniu zniżki?
Smartfon kosztował 800 zł i jego cena
została obniżona o 10%. Jaka była cena
smartfona po obniżce?
800 zł
PROMOCJA -10%
125

8
Pani Kasia wpłaciła do banku 10 000 zł na lokatę. Po roku bank dopisał do
stanu konta kwotę odsetek w wysokości 5% wpłaconej kwoty. Ile pieniędzy
ma teraz na lokacie pani Kasia?
Na rysunku pokazano zawartość tłuszczu w każdym z trzech produktów
spożywczych.
Masło
Śmietana
Margaryna
a ) Ile procent tłuszczu jest w maśle, ile – w śmietanie, a ile – w margarynie?
b ) Ile gramów tłuszczu jest w 200-gramowej kostce margaryny?
a)
9 10
09 90
2 5
—
1
5 20 — 2 5 40
40
3 4
— 3 4 = —— 100
75
75
b)
75 200 3 4 — 200 = 150
90
40 75
200 150
Odczytaj z rysunku, jaką część
masła stanowi tłuszcz. Wyraź
tę wartość w procentach.
Odczytaj z rysunku, jaką część
śmietany stanowi tłuszcz.
Wyraź tę wartość w procentach.
Odczytaj z rysunku, jaką część
margaryny stanowi tłuszcz.
Wyraź tę wartość w procentach.
Oblicz, ile tłuszczu jest w 200 g
margaryny.
Sformułuj odpowiedź.
126

9
10
Na rysunku przedstawiono, jaką część masy jabłka świeżego i suszonego
stanowi cukier.
a ) Ile procent cukru jest w świeżym jabłku?
b ) Ile procent cukru jest w jabłku suszonym?
c ) Ile cukru jest w 10 g jabłek suszonych?
Odczytaj z rysunku, jaką część świeżego
jabłka stanowi cukier. Wyraź ją
w procentach.
Odczytaj z rysunku, jaką część jabłka
suszonego stanowi cukier. Wyraź ją
w procentach.
Oblicz, ile cukru jest w 10 g jabłek suszonych.
Sformułuj odpowiedź.
Polacy coraz chętniej robią zakupy za pośrednictwem internetu. Na diagramie
przedstawiono, jaki procent badanych kupuje określone produkty za pośrednictwem
internetu.
54%
41% 40%
28% 27% 27%
21%
11%
6%
książki,
filmy,
muzyka
RTV odzież kosmetyki wakacje motoryzacja AGD art.
luksusowe produkty
spożywcze
a ) Jaka część ankietowanych kupuje kosmetyki przez internet?
b ) Jakie produkty kupuje w tych sklepach największy procent badanych?
c ) Jakie artykuły kupuje przez internet 9 razy więcej ankietowanych niż produkty
spożywcze?
d ) Produkty z jakich działów kupuje przez internet więcej niż 1 — 4
i jednocześnie
mniej niż 1 — 2
osób ankietowanych?
127

11
Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety,
w której 20 uczniom klasy szóstej zadano pytanie:
„Czy lubisz matematykę?”.
a ) Ile procent uczniów wybrało odpowiedź
„Nie lubię”?
b ) Czy więcej uczniów odpowiedziało „Lubię”
czy „Ani tak, ani nie”?
c ) Ilu uczniów klasy szóstej lubi matematykę?
d ) Którą odpowiedź wybrała — 1 10
wszystkich uczniów?
Ani tak,
ani nie,
30%
Nie lubię,
10%
e ) Ilu uczniów nie lubi matematyki lub jest niezdecydowanych?
f ) Narysuj diagram słupkowy przedstawiający te dane.
Lubię, 60%
Eryka w pierwszej rundzie gry uzyskała –50 punktów, a w drugiej zdobyła
30 punktów. Wyznacz wynik końcowy Eryki, jeśli jest on liczony jako:
a ) suma wyników z rundy I i z rundy II,
b ) różnica wyników z rundy I i z rundy II,
c ) suma wartości bezwzględnych wyników z rundy I i rundy II,
d ) iloczyn wyników z rundy I i rundy II,
e ) suma liczb przeciwnych do wyników z rundy I i rundy II.
50
30
a)
–50 + 30 = –20
b)
–50 – 30 = –80
c)
|–50| = 50
|30| = 30
50 + 30 = 80
d)
–50 30 = –1500
e)
–50 50
30 –30
50 + (–30) = 20
Wypisz dane z treści zadania.
Wyznacz sumę wyników z rundy I i II.
Wyznacz różnicę wyników z rundy I i II.
Wyznacz wartości bezwzględne wyników
z rundy I i II, a następnie oblicz ich sumę.
Wyznacz iloczyn wyników z rundy I i II.
Wyznacz liczby przeciwne do wyników
z rundy I i II, a następnie oblicz ich sumę.
128

12
13
Miłosz w pierwszej rundzie gry uzyskał –20 punktów, a w drugiej zdobył
30 punktów. Wyznacz wynik końcowy Miłosza, jeśli jest on liczony jako:
a ) suma wyników z rundy I i rundy II,
b ) różnica wyników z rundy I i rundy II,
c ) suma wartości bezwzględnych wyników z rundy I i rundy II,
d ) iloczyn wyników z rundy I i rundy II,
e ) suma liczb przeciwnych do wyników z rundy I i rundy II.
Wypisz dane z treści zadania.
Wyznacz sumę wyników z rundy I i II.
Wyznacz różnicę wyników z rundy I i II.
Wyznacz wartości bezwzględne wyników z rundy I i II, a następnie
oblicz ich sumę.
Wyznacz iloczyn wyników z rundy I i II.
Wyznacz liczby przeciwne do wyników z rundy I i II, a następnie oblicz
ich sumę.
W tabeli zestawiono wyniki gry czworga uczniów.
Aga Ula Iwo Olek
Runda I –10 –50 –10 –40
Runda II 30 25 –30 –20
a ) Wynik końcowy jest sumą wyników z rundy I i rundy II. Oblicz wynik
końcowy każdego ucznia. Kto uzyskał najwięcej punktów, a kto – najmniej?
b ) Wynik końcowy jest różnicą wyników z rundy I i rundy II. Oblicz wynik
końcowy każdego ucznia. Kto uzyskał najwięcej punktów, a kto – najmniej?
c ) Wynik końcowy jest sumą wartości bezwzględnych wyników z rundy I i II.
Oblicz wynik końcowy każdego ucznia. Kto uzyskał najwięcej punktów,
a kto – najmniej?
d ) Wynik końcowy jest iloczynem wyników z rundy I i rundy II. Oblicz wynik
końcowy każdego ucznia. Kto uzyskał najwięcej punktów, a kto – najmniej?
e ) Wynik końcowy jest sumą liczb przeciwnych do wyników z rundy I i II.
Oblicz wynik końcowy każdego ucznia. Kto uzyskał najwięcej punktów,
a kto – najmniej?
129

14
15
W tabeli przedstawiono temperatury topnienia i wrzenia wybranych substancji.
a ) O ile wyższa jest temperatura
wrzenia od temperatury topnienia
azotu?
Substancja
Temperatura Temperatura
topnienia (°C) wrzenia (°C)
aceton –95 56
b ) O ile wyższa jest temperatura
wrzenia magnezu od temperatury
wrzenia acetonu?
azot
tlen
–210
–219
–196
–183
c ) Jaka jest różnica między temperaturą
wrzenia wody a tem-
woda 0 100
magnez 650 1090
peraturą wrzenia tlenu?
W tabeli przedstawiono przybliżone temperatury panujące na planetach Układu
Słonecznego.
Słońce
Merkury Wenus Ziemia Mars
Jowisz
Saturn
Uran
Neptun
Planeta
Przybliżona temperatura (°C)
minimalna
maksymalna
Merkury –180 430
Wenus 420 480
Ziemia –70 80
Mars –120 20
Jowisz –230 –140
Saturn –190
Uran –270 –200
Neptun –210
a ) Narysuj oś liczbową i przedstaw na niej temperatury planet.
b ) Wskaż najwyższą i najniższą temperaturę zanotowaną na planetach.
c ) Wskaż planetę o największej różnicy temperatur.
d ) Oblicz największą różnicę temperatur zanotowaną na jednej planecie.
130

16
17
Monika w każdym miesiącu otrzymuje
kieszonkowe w wysokości 40 zł. Ponieważ
jest osobą skrupulatną, przedstawiła
w tabeli swoje przychody, które oznaczyła
znakiem „+”, oraz wydatki, oznaczone
znakiem „–”, z podziałem na kwartały.
a ) W którym kwartale Monika wydała najwięcej pieniędzy?
b ) W których miesiącach Monika zaoszczędziła najwięcej pieniędzy?
c ) O ile więcej wydała Monika w III kwartale niż w II?
d ) Ile średnio wydawała Monika w każdym miesiącu IV kwartału?
e ) Ile pieniędzy zostało Monice na koniec roku, jeśli na początku nic nie
miała?
+12000 –4000
+12000 –7000
+12000 –21000
+12000 –9000
Na mapie zaznaczono rekordy zimna w Polsce, zanotowane w poszczególnych
miesiącach.
Rekordy zimna w Polsce
Najniższa zanotowana temperatura w poszczególnych miesiącach
–0,1°C
Szczecinek
23.08.1964
–6,3°C
Lębork
02.05.1953
–3,4°C
Lębork
09.06.1951 –14,2°C
Suwałki
31.10.1956
–41,0°C
Siedlce
11.01.1940
–14,5°C
Jelenia Góra
01.04.1977
–40,6°C
Żywiec
10.02.1929
+0,7°C
Zakopane
05.07.1962
–30,3°C
Nowy Sącz
26.12.1961
–6,0°C –25,4°C
Zamość Zamość
28.09.1977 18.11.1965
–30,9°C
Rzeszów
01.03.1963
a ) Kiedy i w jakim mieście zanotowano najniższą temperaturę w Polsce?
b ) W jakim miesiącu zanotowano rekord zimna bliski 0°C? Gdzie padł ten
rekord?
c ) Jaką rekordową temperaturę zanotowano 9 czerwca 1951 roku?
d ) Jaka jest różnica rekordowych temperatur zanotowanych w Lęborku 2 maja
1953 roku i w Nowym Sączu 26 grudnia 1961 roku?
131

Oblicz wartość wyrażenia: – 1 — 2
: 0,5 + 5,25 : 0,05 – 7 1 — 2
∙ ( 2,5 – 3 2 — 3 ) + 1,25.
– — 1 2 05 + 525 005 – 7 — 1 2 ( 25 – 3 — 2 3 ) + 125 =
= – — 1 2 05 + 525 005 – 7 — 1 2 ( 2 — 1 2 – 3 — 2 3 ) + 125 =
= – — 1 2 05 + 525 005 – 7 — 1 2 ( 2 — 3 6 – 3 — 4 6 ) + 125 =
= – — 1 2 05 + 525 005 – 7 — 1 2 (– 1 — 1 6 ) + 125 =
= – — 1 2 05 + 525 005 – 7 — 1 2 (– 1 — 1 6 ) + 125 =
= – 05 05 + 525 5 – — 15 2 (– — 7 6 ) + 125 =
= – 1 + 105 – (– — 35 4 ) + 125 =
Ustal kolejność wykonywania
działań. Wskaż działanie,
które należy wykonać jako
pierwsze.
Wykonaj wskazane działanie.
W tym celu zamień ułamek
dziesiętny na ułamek
zwykły, sprowadź ułamki
do wspólnego mianownika
i oblicz różnicę.
Przepisz całe wyrażenie,
a w miejsce wskazanego
działania wpisz jego wynik.
W otrzymanym wyrażeniu
w pierwszej kolejności
należy wykonać dzielenia
oraz mnożenie (można
wykonywać je jednocześnie).
W ilorazie, w którym
występuje zarówno ułamek
zwykły, jak i dziesiętny,
zapisz ułamki w takiej samej
postaci. Liczby mieszane
w iloczynie zamień na ułamki
niewłaściwe.
Przepisz całe wyrażenie,
a w miejsce wskazanych
działań wpisz ich wyniki.
132

= – 1 + 105 – (– 35 4 — ) + 125 =
= 104 – (– 35 4 — ) + 125 =
= 104 + 8 — 3 4 + 125 =
= 112 3 4 — + 1 1 4 — =
= 114
Wskaż działanie, które
w otrzymanym wyrażeniu
należy wykonać jako pierwsze.
W wyrażeniu występuje tylko
dodawanie i odejmowanie, zatem
należy wykonać je od lewej strony
do prawej. Przepisz całe wyrażenie,
a w miejsce wskazanego działania
wpisz jego wynik. Postępuj
podobnie dalej aż do otrzymania
końcowego wyniku.
18
19
20
21
Oblicz wartość wyrażenia: 5,6 : 0,07 – 1 — 5
: 0,2 – ( 2,5 – 3 3 — 4 ) : 0,25.
Ustal kolejność wykonywania działań.
Wskaż działanie, które należy wykonać jako pierwsze. W razie potrzeby
zapisz liczby w działaniu w odpowiedniej postaci. Następnie przepisz
całe wyrażenie, a w miejsce wskazanego działania wpisz jego wynik.
Postępuj podobnie z otrzymanym wyrażeniem aż do otrzymania końcowego
wyniku.
Oblicz wartość podanego wyrażenia.
a ) 1,4 ∙ 0,5 – 1 — 3
: 1 — 15
– 2 1 — 7
∙ ( 2,9 – 1 1 — 2 )
b ) 1 1 — 5
∙ ( 2,5 – 3 2 — 3 ) – 1 — 4
: 0,25 + 5,25 : 1 — 2
– 1,05
Magda od 1 września co tydzień odkłada z kieszonkowego 5 zł. Gra, którą
chciałaby kupić, kosztowała 60 zł. W listopadzie cenę gry obniżono o 20%.
Czy 10 listopada Magda będzie miała zebraną wystarczającą kwotę, by kupić
tę grę po obniżce?
Działka państwa Kowalskich ma kształt prostokąta o wymiarach 20 m × 25 m.
Dom zajmuje 20% działki, resztę stanowi ogród. Ile arów działki zajmuje
ogród?
133

Potrafię więcej, umiem lepiej
1
2
3
4
5
Procent liczby
Wyznacz liczbę, której 40% jest równe 240.
Czy 50% liczby 25 to tyle samo co 25% liczby 50?
Odpowiedź uzasadnij.
Przygotowano napój: do dwóch litrów wody wlano
pół litra soku. Jaki procent napoju stanowi sok?
Sprawdź, czy suma 20% liczby 20 i 20% liczby 30 jest równa 20% liczby 50.
Dostrzeżoną prawidłowość zbadaj na innych przykładach. Sformułuj swoje
przypuszczenia.
Odczytywanie danych przedstawionych graficznie
Na diagramach przedstawiono dane dotyczące produkcji i spożycia jaj w Polsce.
Przeciętna liczba jaj od jednej
kury nioski (w sztukach)
Spożycie jaj
na 1 mieszkańca
(w sztukach)
208 227 211 195 209 232
188
215 202
172
2005 2010 2011 2012 2013 2014
140 148
2000 2005 2010 2011 2012 2013
a ) W którym roku – spośród podanych – przeciętna kura zniosła najwięcej
jaj?
b ) W którym roku – spośród podanych – przeciętny mieszkaniec Polski zjadł
najwięcej jaj?
c ) W których latach przeciętna kura „nie zaspokoiła” potrzeb przeciętnego
mieszkańca Polski? Dla których z podanych lat nie można tego określić?
6
7
Liczby ujemne
Dwie liczby przeciwne są oddalone od siebie na osi liczbowej o 11 jednostek.
Jakie to liczby?
Zaproponuj trzy takie liczby a, b, c, które spełniają warunki: a < b < c oraz
|b| < |c| < |a|.
134

Działania na liczbach II
8 Temperatura w zamrażalniku (°C)
9
10
11
Na diagramie pokazano, jak zmienia się
temperatura w zamrażalniku lodówki, jeśli
zostanie przerwany dopływ prądu.
a ) O ile stopni Celsjusza podnosi się temperatura
w zamrażalniku po 3 godzinach
od wyłączenia lodówki?
b ) O ile stopni Celsjusza podnosi się temperatura
w zamrażalniku po 5 godzinach
od wyłączenia lodówki?
c ) W której godzinie od wyłączenia temperatura
w zamrażalniku osiągnie 0°C?
Uzasadnij, że iloczyn nieparzystej liczby
czynników ujemnych jest liczbą ujemną.
W momencie
wyłączenia
Po 1 godz.
Po 2 godz.
Po 3 godz.
Po 4 godz.
Po 5 godz.
Po 6 godz.
Po 7 godz.
Po 8 godz.
Po 9 godz.
Na tarczy termometru przeznaczonego do chłodziarek
i zamrażarek zielonym i niebieskim kolorem zaznaczono
optymalne temperatury, jakie powinny
panować w chłodziarce i zamrażarce.
a ) Uzasadnij, że –19,5°C można uznać za optymalną
temperaturę w zamrażarce, a 4°C za najniższą
optymalną temperaturę w chłodziarce.
b ) Jaka jest różnica między najwyższą optymalną temperaturą w chłodziarce
a najniższą optymalną temperaturą w zamrażarce?
c ) O ile stopni Celsjusza wyższa jest temperatura wskazywana przez termometr
od najwyższej optymalnej temperatury w zamrażarce?
Oblicz wartości wyrażeń:
–3 + (–3) ∙ (–3) : (–3) – (–3),
–5 + (–5) ∙ (–5) : (–5) – (–5),
–11 + (–11) ∙ (–11) : (–11) – (–11).
Czy dostrzegasz jakąś prawidłowość? Sprawdź ją na kilku przykładach.
–20
–20
–14,5
–10,3
–10 0
–8
–5,9
–4
–2,7
–1,8
–1,1
0,7
12
Działania na liczbach III
Za pomocą przycisków 2 , + , – , × , : , = uzyskaj na kalkulatorze
liczbę 1000. Ile najmniej można użyć tych przycisków, aby otrzymać tę liczbę?
135

Wyrażenia algebraiczne
Znaki drogowe
– do poruszania się po drogach
Znaki zakazu na przestrzeni lat
Jedno z pierwszych
ograniczeń prędkości
wprowadzono w 1865 roku
w Anglii. W tak zwanej ustawie
o czerwonej fladze zapisano
zakaz poruszania się omnibusów
parowych bez osoby biegnącej
z czerwoną chorągiewką przed
pojazdem w odległości 60 jardów
(ok. 55 m) od niego. Osoba ta
miała ostrzegać innych
użytkowników dróg przed
omnibusem. Ustawa ograniczyła
także dopuszczalną prędkość
do 2 mil na godzinę (ok. 3,2 km h )
w mieście i 4 mil na godzinę poza
nim. Bardzo spowalniało to
omnibusy, które mogłyby
poruszać się 16 mil na godzinę.
1938 rok 1938 rok
1938 rok 1959 rok
Obowiązujące zasady
ograniczenia prędkości w Polsce
194

Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania.
Jaka była dopuszczalna prędkość poza miastem, wprowadzona w ustawie
o czerwonej fladze? Ile to było km h ?
Ile w 1865 roku trwała podróż omnibusem z maksymalną prędkością
dozwoloną poza miastem, jeśli trasa miała 32 mile? A ile trwałaby ta podróż,
gdyby omnibus poruszał się ze swoją maksymalną prędkością?
Czy w Polsce można się poruszać po autostradzie z prędkością 150 km h ?
Znaki matematyczne – do poruszania się po matematyce
Znak równości podobno został
wprowadzony w 1557 roku przez
walijskiego matematyka Roberta
Recorde'a. Równość przez wieki
była przedstawiana za pomocą
słów, takich jak aequales,
aequantur, esgale, faciunt,
ghelijck czy gleich, a czasami
w skróconej formie (np. aeq).
Recorde wyjaśniał, że wprowadził
znak = w celu uniknięcia ciągłego
pisania słów „jest równe”, a nadał
mu właśnie taki kształt, gdyż – jak
pisał – nie może być nic bardziej
równego niż dwa równoległe
odcinki tej samej długości.
=
< >
Znaki nierówności po raz
pierwszy pojawiają się w pracach
Thomasa Harriota opublikowanych
w 1631 roku.
Jak łatwo zapamiętać
znaki nierówności?
5 7
17 3
195

20. Rozwiązywanie
zadań tekstowych
Oto treść często spotykanej zagadki liczbowej:
Cegła waży 1 kg i pół cegły. Ile waży cegła?
a ) Opisz przedstawiony poniżej graficzny sposób rozwiązania tej zagadki.
cała cegła
cała cegła
1
2
3
b ) Ile waży 1 — 2
cegły? Ile waży cała cegła?
c ) Jakie byłoby rozwiązanie, gdyby cegła ważyła 2 kg i pół cegły? A 4 kg i pół
cegły?
Porcja masła waży 180 g i 1 — 4
porcji. Ile waży porcja masła?
Karolina, Robert i Maciek są filatelistami.
Robert ma 54 znaczki pocztowe,
Maciek ma o 18 znaczków więcej
niż Robert, a Karolina ma 3 razy mniej
znaczków niż Robert.
Oblicz, ile znaczków mają łącznie:
a ) Robert i Maciek,
b ) Robert i Karolina.
Na półce w sklepie stało 120 butelek wody gazowanej i 80 butelek wody niegazowanej.
a ) O ile więcej stało na półce butelek wody gazowanej?
b ) Ile razy więcej było butelek wody gazowanej?
c ) Jaka będzie różnica między liczbą butelek wody gazowanej i niegazowanej,
jeśli pracownik sklepu dostawi na półce jeszcze po 50 butelek wody
każdego rodzaju?
196

4
5
6
7
8
Obwód rombu jest równy 26 cm. Oblicz długość boku tego rombu.
Obwód kwadratu jest równy 58 cm. Oblicz pole tego kwadratu.
Obwód prostokąta wynosi 200 cm. Jakie mogą być wymiary tego prostokąta?
Podaj trzy przykłady.
W cukierni sprzedano razem 240 pączków i drożdżówek. Drożdżówek sprzedano
3 razy więcej niż pączków.
a ) Sprawdź, czy sprzedano 60 pączków. Jak można wyznaczyć tę liczbę?
b ) Oblicz, ile sprzedano drożdżówek.
c ) Oblicz, o ile więcej sprzedano drożdżówek niż pączków.
Kasia i Jola upiekły razem 75 babeczek.
Kasia upiekła 4 razy więcej babeczek
niż Jola. Ile babeczek upiekła
Jola?
Magda i Jacek upiekli razem 75 babeczek.
Magda upiekła o 25 babeczek
więcej niż Jacek. Ile babeczek
upiekł Jacek?
Jak skutecznie rozwiązywać zadania tekstowe?
Najważniejsze są:
1. Zrozumienie zadania
● Staraj się bardzo dokładnie przeczytać treść zadania.
● Zastanów się nad tym, czy znasz zadania o podobnej treści.
2. Ułożenie planu rozwiązania
● Znajdź zależności między liczbami i wielkościami, które występują
w treści zadania.
● Ustal strategię i sposób rozwiązania, np. graficzny, arytmetyczny.
3. Realizacja planu
● Wyznacz szukane liczby lub wielkości.
4. Refleksja nad rozwiązaniem
● Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania.
● Sformułuj odpowiedź.
● Zastanów się nad tym, czy można to zadanie rozwiązać inaczej, innym
sposobem.
197

20.
Rozwiązywanie zadań tekstowych
W klasie jest 26 uczniów. Dziewcząt jest o 6 więcej niż chłopców. Ile dziewcząt
i ilu chłopców jest w tej klasie?
Mateusz i Kasia rozwiązali to zadanie, ale każde innym sposobem. Wyjaśnij,
na czym polegają ich sposoby rozwiązania.
Sposób Mateusza
Sposób Kasi
liczba
chłopców
liczba
chłopców
liczba dziewcząt
liczba
chłopców
26
6
chłopcy + dziewczęta = 26
chłopcy + chłopcy + 6 = 20 + 6
chłopcy + chłopcy = 20
chłopcy = 10
26 – 6 = 20
20 : 2 = 10
10 + 6 = 16
Sprawdzenie: 10 + 10 + 6 = 10 + 16 = 26
Odpowiedź: W klasie jest 16 dziewcząt
i 10 chłopców. ców.
10 + dziewczęta = 26
dziewczęta = 16
Sprawdzenie: 10 + 16 = 26
Odpowiedź: W klasie jest 16 dziewcząt
i 10 chłopców.
ców.
9
W szkole jest 460 uczniów. Chłopców jest o 46 więcej od dziewcząt. Ilu w tej
szkole jest chłopców, a ile – dziewcząt?
W słynnej greckiej bajce przytaczana jest rozmowa muła z osłem. Zarówno
muł, jak i osioł niosą worki. Każde ze zwierząt uważa, że niesie ich za dużo.
muł
Sprawiedliwiej byłoby
zdjąć ze mnie jeden worek
i nałożyć na ciebie, wtedy
mielibyśmy po równo.
Sprawiedliwiej byłoby
odwrotnie – zdjąć ze mnie jeden
worek i nałożyć go na ciebie,
abyś jako silniejszy dźwigał dwa
razy więcej ode mnie.
osioł
198

Ile worków dźwiga muł, a ile – osioł?
a ) Sprawdź, czy muł może nieść 5 worków,
a osioł – 3 worki.
b ) O ile worków więcej niesie muł od osła?
c ) Zosia próbowała rozwiązać to zadanie
przez wpisanie pewnych liczb do tabeli
i sprawdzenie obliczeń z warunkami zadania.
Opisz sposób rozwiązania Zosi
i podaj, co powinna wpisać w rubryce
ze znakiem zapytania.
Takie postępowanie
nazywamy metodą
prób i błędów.
MUŁ 10 10 – 1 = 9 9 – 1 = 8 8 – 1 = 7 7 – 1 = 6
9
8
7
10 + 1 = 11 9 + 1 = 10 8 + 1 = 9 7 + 1 = 8
OSIOŁ 8
8 + 1 = 9 7 + 1 = 8 6 + 1 = 7 5 + 1 = 6
7
6
5
8 – 1 = 7 7 – 1 = 6 6 – 1 = 5 5 –1 = 4
Wniosek
Źle, bo
2 ∙ 7 ≠ 11
Źle, bo
2 ∙ 6 ≠ 10
Źle, bo
2 ∙ 5 ≠ 9
?
10
Janek z Tadkiem mają łącznie 90 zł. Janek ma o 18 zł więcej od Tadka. Ile
pieniędzy ma każdy z nich?
11
Suma dwóch liczb jest równa 28,9. Jeden ze składników jest o 4,7 większy od
drugiego. Wyznacz te składniki.
199

20.
Rozwiązywanie zadań tekstowych
Michał jest 2 razy starszy od Wojtka. Łącznie mają 24 lata. Ile lat ma każdy
z chłopców?
Sposób I – graficzny
wiek Wojtka
wiek Michała
wiek Wojtka
wiek Michała
24 lata
a ) Jaką część łącznego wieku chłopców stanowi wiek Wojtka?
b ) Jaką część łącznego wieku chłopców stanowi wiek Michała?
c ) Ile lat ma Wojtek?
d ) Ile lat ma Michał?
Sposób II – metoda prób i błędów
Przerysuj do zeszytu tabelę i uzupełnij ją tak, aby móc odpowiedzieć na poniższe
pytania.
Wiek Wojtka 3 4 5 … …
Wiek Michała 6 8 10 … …
Razem 9 ≠ 24 12 ≠ 24 15 ≠ 24
a ) Czy Wojtek może mieć 3 lata? A 4?
b ) Czy Wojtek może mieć np. 10 lat? A więcej niż 10 lat?
c ) Podaj „rozsądne” liczby, które warto sprawdzić z warunkami zadania.
d ) Wyznacz wiek chłopców.
12
13
14
15
Za dwie gazety zapłacono 7,50 zł. Jedna z gazet była 2 razy tańsza od drugiej.
Jakie były ceny tych gazet?
Jedna z liczb stanowi połowę drugiej. Jakie to liczby, jeśli ich suma wynosi 180?
Suma dwóch liczb wynosi 60. Jedna z tych liczb jest 3 razy większa od drugiej.
Jakie to liczby?
Przedstaw liczbę 99 w postaci sumy dwóch liczb, z których jedna jest 8 razy
mniejsza od drugiej.
200

16
17
Marysia jest o 5 lat starsza od Ani i o 5 lat młodsza od Karoliny. Łącznie
dziewczynki mają 33 lata. Ile lat ma każda z nich?
Weronika, Kinga i Marta mają łącznie 36 lat. Kinga jest 2 razy starsza od niki, a Marta jest 3 razy starsza od Weroniki. Ile lat ma każda z nich?
Wero-
a ) Rozwiąż zadanie graficznie.
Pamiętaj
b ) Rozwiąż zadanie metodą prób
o rozsądnym
i błędów (notowanych w tabeli).
zgadywaniu!
Obwód prostokąta jest równy 26 cm. Jeden z boków jest o 3 cm
dłuższy od drugiego. Jaką długość mają boki tego prostokąta?
● Jaki czworokąt otrzymasz, gdy każdy dłuższy bok tego prostokąta skrócisz
o 3 cm?
● Ile będzie wynosił obwód tego czworokąta? Jaka będzie długość jego
boków?
● Jaka będzie długość boków prostokąta, który opisano w zadaniu?
● Sprawdź, czy wyznaczone długości boków spełniają warunki zadania.
● Poniżej przedstawiono, jak Julka rozwiązała to zadanie. Wyjaśnij, na czym
polega sposób Julki.
26 + 3 + 3 = 32
32 : 4 = 8
8 – 3 = 5
Sprawdzenie:
2 · 5 + 2 · 8 = 26
+3 +3
Obwód 26 cm
18
19
20
21
Obwód równoległoboku jest równy 64 cm. Jeden z boków jest o 8 cm dłuższy
od drugiego. Jaką długość mają boki tego równoległoboku?
Ramię trójkąta równoramiennego jest o 2 cm dłuższe od podstawy. Jakie są
długości boków tego trójkąta, jeśli jego obwód wynosi 19 cm?
Suma pięciu kolejnych liczb naturalnych wynosi 45. Jakie to liczby?
Suma trzech kolejnych liczb parzystych wynosi 30. Jakie to liczby?
201

20.
Rozwiązywanie zadań tekstowych
Jola pomyślała o pewnej liczbie. Pomnożyła ją przez 4, do wyniku dodała 20
i otrzymała 300. Jaką liczbę pomyślała Jola?
· 4
+ 20
liczba Joli
300
22
23
: 4
– 20
a ) Wyjaśnij, na czym polega rozwiązanie tego zadania z wykorzystaniem
grafu.
b ) Rozwiąż podobnie następujące zadanie: „Zuzanna pomyślała o pewnej
liczbie, pomnożyła ją przez 3 i odjęła od wyniku 15. Otrzymała liczbę 60.
Jaką liczbę pomyślała Zuzanna?”.
W równoległoboku jeden z boków jest 2 razy dłuższy od wysokości opuszczonej
na ten bok, a suma długości tego boku i tej wysokości wynosi 30 cm.
Oblicz pole tego równoległoboku.
Obwód prostokąta wynosi 35 cm. Długość jednego boku stanowi 3 — 4
długości
drugiego boku. Jakie są długości boków prostokąta?
Staszek potrzebuje na pomalowanie płotu 1 godziny, a Krzysztof 3 godzin. Ile
czasu potrzebują na malowanie tego płotu, jeśli będą pracować razem?
Staszek pomalowałby 3 płoty w ciągu 3 godzin.
24
25
Krzysztof pomalowałby 1 płot w ciągu 3 godzin.
a ) Ile płotów łącznie pomalowaliby Staszek i Krzysztof w ciągu 3 godzin?
b ) Ile czasu malowaliby wspólnie 1 płot?
Firma X potrzebuje na ułożenie pasa trawy w ogrodzie 2 godzin, a firma Y
– 3 godzin.
a ) Ile pasów mogłaby ułożyć firma X w ciągu 6 godzin?
b ) Ile pasów mogłaby ułożyć firma Y w ciągu 6 godzin?
c ) Ile czasu potrzebują na ułożenie pasa trawy obie firmy, jeśli będą pracować
wspólnie?
Na wyprodukowanie jednej partii towaru maszyna PLUS potrzebuje 2 godzin,
a maszyna MINUS potrzebuje 6 godzin. Ile czasu potrzebują obie maszyny
na wyprodukowanie jednej partii towaru, jeśli będą pracować jednocześnie?
202

26
27
28
29
30
31
32
W sklepie rowerowym można kupić rowery turystyczne, wyścigowe i dziecięce.
Łącznie wszystkich rowerów jest 175. Rowerów turystycznych jest 2 razy więcej
niż wyścigowych, a rowerów wyścigowych jest 2 razy więcej niż dziecięcych.
Ile rowerów turystycznych jest w sklepie?
Matka i syn mają razem 51 lat. Za 7 lat matka będzie 4 razy starsza od syna.
Ile lat ma teraz matka, a ile – syn?
Ile lat będą mieli matka i syn za 7 lat? 51 + 7 + 7 = 65
Jaki będzie wiek syna za 7 lat? 65 : 5 = 13
Jaki będzie wiek matki za 7 lat? 13 ∙ 4 = 52
Ile lat ma teraz syn? 13 – 7 = 6
Ile lat ma teraz matka? 52 – 7 = 45
Sprawdź, czy otrzymane liczby spełniają warunki zadania.
Ojciec i córka mają razem 45 lat. Za 15 lat ojciec będzie 2 razy starszy od córki.
Ile lat ma teraz ojciec, a ile – córka?
Zosia i Julia mają łącznie 500 zł oszczędności. Gdy każda z dziewcząt zwiększy
swoje oszczędności o 50 zł, Zosia będzie miała 2 razy więcej pieniędzy niż
Julia. Ile pieniędzy ma teraz Zosia, a ile – Julia?
Klasa VIa była na wycieczce w muzeum. Wychowawca kupił 25 biletów ulgowych
dla uczniów i 1 bilet normalny za 15 zł dla siebie. Łącznie za wszystkie
bilety zapłacił 240 zł. Ile kosztował bilet ulgowy dla ucznia?
W dwóch koszykach jest łącznie 56 jabłek.
Jeśli z pierwszego wyjmiemy 17 jabłek,
a z drugiego wyjmiemy 25, to w obydwu
koszykach pozostanie tyle samo jabłek. Ile
jabłek jest w każdym koszyku?
Do sklepu dostarczono 5 lodówek tego samego typu w jednakowej cenie
i jedną lodówkę o 250 zł droższą od pozostałych. Wszystkie lodówki łącznie
kosztowały 9250 zł. Jakie były ceny lodówek poszczególnych typów?
Za piłkę i strój sportowy zapłacono 480 zł. Strój sportowy jest 3 razy droższy
od piłki. Jaka jest cena piłki, a jaka – stroju sportowego?
203

20.
Rozwiązywanie zadań tekstowych
33
34
Na jedną szalkę wagi położono blok mydła, na drugą zaś położono 3 — 4
takiego
samego bloku mydła i odważnik 75 dag ( 3 — 4
kg). Waga jest w równowadze.
Ile waży blok mydła?
Jaka to liczba, jeśli po pomnożeniu jej przez samą
siebie, dodaniu liczby 2, podwojeniu uzyskanego
wyniku, zwiększeniu o 3 uzyskanej liczby, a następnie
po podzieleniu przez 5 i pomnożeniu
przez 10 otrzymamy liczbę 50?
Co przygotować?
Kartkę papieru.
Jak grać?
Pierwszy gracz wybiera
i zapisuje jedną z liczb:
1, 2, 3, 4, 5, 6. Następnie
drugi gracz wybiera
liczbę spośród
podanych liczb i dodaje
ją do liczby wybranej
przez pierwszego
gracza. Gracze wybierają
Blisko, coraz bliżej
na zmianę liczbę
i dodają ją do uzyskanej
wcześniej sumy.
Wygrywa ten, kto
pierwszy otrzyma
liczbę 88.
O co warto zapytać?
Jakie są liczby
wygrywające, czyli takie,
które zapewnią ci
wygraną w tej grze?
Jakie byłyby liczby
To zadanie
najlepiej
rozwiązuje się
od końca!
wygrywające, gdyby
gracze wybierali jedną
spośród liczb: 1, 2, 3, 4, 5
i wygrywałby ten, kto
pierwszy uzyskałby
liczbę 55? Jakie byłyby
liczby wygrywające,
gdyby gracze wybierali
jedną spośród liczb: 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7 i wygrywałby
ten, kto pierwszy
uzyskałby liczbę 92?
CO UMIEM?
1.
2.
3.
4.
204