Математика 7, збирка задатака, старо издање, Klett

cepesh76

7

ЗБИРКА ЗАДАТАКА

Математика

Збирка задатака са решењима за 7. разред основне школе

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


МАТЕМАТИКА 7

Збирка задатака са решењима

за седми разред основне школе

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Математика 7

Збирка задатака са решењима

за седми разред основне школе

Издавач: Издавачка кућа „Klett” д.о.о.

Маршала Бирјузова 3–5, 11 000 Београд

Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385

office@klett.rs, www.klett.rs

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела

или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику,

односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални

приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог

ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

© Klett, 2016.

ISBN 978-86-7762-916-8

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПРЕДГОВОР

Ова збирка задатака део је уџбеничког комплета за седми разред издавачке куће KLETT.

Састоји се из 7 целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и

прате начин и динамику излагања у уџбенику Математика 7, издавачке куће KLETT.

Аутори су се трудили да задаци у збирци буду конципирани тако да сваки ученик може

у оптималној мери да савлада градиво које се ради на редовној али и на додатној настави.

Састављајући задатке жеља нам је била да се код сваког ученика створи осећај успеха који

ће представљати изазов за решавање нових и захтевнијих задатака. Због тога су задаци

бирани тако да буду разноврсни по типу, садржају и захтевима, а посебно у погледу тежине

захтева. Збирка садржи више од 1 100 задатака са укупно много више захтева у оквиру

тих задатака. Задаци су нумерисани по целинама, тако да је омогућено лако сналажење

у оквиру једне целине. Због обима збирке део задатака је комплетно решен, за део

задатака су дата скраћена решења, а за неке задатке само крајњи резултати. Решења или

резултати задатака налазе се на крају сваке области. У Садржају су за сваки наслов дата

два броја. Први број (црна боја) представља редни број стране на којој почињу задаци под

тим насловом, а други број (плава боја) представља редни број стране на којој почињу

одговарајућа решења.

Ослањајући се на Образовне стандарде за крај обавезног образовања, сви задаци у

збирци су разврстани у четири групе.

Група задатака А – утврди треба да обезбеди Основни ниво знања из математике

дефинисан Стандардима. Ту су најједноставнији задаци у којима се од ученика захтева да

покажу да ли су разумели одређене појмове или да непосредно примене основна правила.

Група задатака Б – вежбај треба да обезбеди Средњи ниво знања из математике

дефинисан Стандардима. У њој се налазе уобичајени задаци у којима се од ученика захтева

да покажу да су у стању да одаберу метод за решавање задатка или, правећи један или два

међукорака, примене основна правила и реше задатак.

Група задатака В – примени треба да обезбеди Напредни ниво знања из математике

дефинисан Стандардима. Задаци у овој групи су нешто сложенији (али још увек уобичајени)

који од ученика захтевају да открију пут за решавање задатка комбинујући више правила

или међукорака док не одреде решење задатка.

Група задатака Г – прошири састављена је од сложених задатака који се углавном

препоручују за додатни рад у школи.

Напомињемо да као што сваки ниво Стандарда не садржи све области које су

предвиђене у седмом разреду, тако и неке од 7 целина не садрже задатке из сваке од

четири поменуте групе.

На крају сваке области налази се тест. Циљ теста је да ученици имају могућност да сами

провере у којој мери су савладали одговарајућу област.

Уз захвалност рецензентима на саветима и сугестијама при креирању збирке, свим

ученицима, њиховим професорима, па и родитељима који желе да помогну својој деци

желимо пуно успеха у раду.

Аутори

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Садржај

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Децимални записи рационалних бројева ..........................................7 . . . . . . 16

Квадрати рационалних бројева ....................................................7 . . . . . . 16

Скуп реалних бројева и бројевна права ...........................................10 . . . . . . 17

Квадратни корен ..................................................................10 . . . . . . 18

Рачунске операције у скупу реалних брoјева .....................................12 . . . . . . 19

Једнакост √a 2 = |a| .................................................................14 . . . . . . 19

Решавање једначина x 2 = r, r ≥ 0, у скупу реалних бројева .........................15 . . . . . . 20

Табела квадратних корена природних бројева мањих од 400 .....................16 . . . . . . 20

Тест – реални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Питагорина теорема ..............................................................23 . . . . . . 37

Примена питагорине теореме на правоугаоник ..................................25 . . . . . . 37

Примена питагорине теореме на квадрат .........................................26 . . . . . . 38

Примена питагорине теореме на једнакокраки троугао ..........................28 . . . . . . 38

Примена питагорине теореме на једнакостранични троугао .....................29 . . . . . . 39

Примена питагорине теореме на ромб ...........................................30 . . . . . . 39

Примена питагорине теореме на једнакокраки трапез ...........................31 . . . . . . 40

Примена питагорине теореме на правоугли трапез ...............................32 . . . . . . 40

Правоугли троуглови чији су оштри углови 30° и 60°, односно по 45° .............33 . . . . . . 41

Примене Питагорине теореме у конструкцијама .................................35 . . . . . . 41

Обрат Питагорине теореме .......................................................36 . . . . . . 44

Тест – Питагорина теорема 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Тест – Питагорина теорема 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4

ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Степен чији је изложилац природан број .........................................47 . . . . . . 68

Множење и дељење степена једнаких основа ....................................49 . . . . . . 68

Степен производа, количника и степена ..........................................51 . . . . . . 69

Примена степена .................................................................53 . . . . . . 70

Рационални алгебарски изрази ...................................................54 . . . . . . 70

Полиноми .........................................................................55 . . . . . . 71

Сабирање полинома ..............................................................56 . . . . . . 71

Множење полинома ..............................................................59 . . . . . . 72

Квадрат бинома ...................................................................61 . . . . . . 73

Разлика квадрата .................................................................63 . . . . . . 74

Растављање полинома на чиниоце ...............................................65 . . . . . . 75

Тест – степен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Тест – полиноми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


МНОГОУГАО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Обнављање .......................................................................79 . . . . . . 91

Број дијагонала многоугла ........................................................79 . . . . . . 91

Збир углова многоугла ............................................................81 . . . . . . 92

Правилни многоуглови ...........................................................82 . . . . . . 93

Конструкције неких правилних многоуглова ......................................84 . . . . . . 95

Обим и површина многоугла ......................................................85 . . . . . . 95

Тест – многоугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Правоугли координатни систем ...................................................99 . . . . . 113

Растојање између две тачке у координатном систему ............................101 . . . . . 114

Директна пропорционалност ....................................................102 . . . . . 115

Обрнута пропорционалност .....................................................106 . . . . . 117

Пропорције ......................................................................107 . . . . . 119

График зависности међу величинама ............................................111 . . . . . 121

Тест – зависне величине и њихово графичко представљање 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Тест – зависне величине и њихово графичко представљање 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

КРУГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Обнављање ......................................................................125 . . . . . 141

Централни и периферијски угао .................................................125 . . . . . 141

Примена питагорине теореме на круг ...........................................128 . . . . . 143

Обим круга .......................................................................130 . . . . . 144

Дужина кружног лука ............................................................132 . . . . . 145

Површина круга .................................................................134 . . . . . 146

Површина кружног исечка и кружног прстена ...................................137 . . . . . 147

Тест – круг 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Тест – круг 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

СЛИЧНОСТ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Размера дужи ....................................................................151 . . . . . 159

Конструктивна подела дужи у датој размери m : n (m, n n) .....................153 . . . . . 159

Пропорционалне дужи ..........................................................154 . . . . . 160

Сличност троуглова ..............................................................155 . . . . . 161

Тест – сличност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

5


ножје

држе

ви су

до врха

астојању

лика је

в) 3

16

25 m2 ; г) 0,49 dm 12

2 .

1. Децимални запис преведи у несводљив

разломак:

Б – а) вежбај 0,3;

4

б) 0,17; в) х 0,005;

г) 2,6; д) 21,51; ђ) 4,0031.

16. Одреди најмањи 20 број којим треба

2. Заокругли помножити дати број на да једну би добијени децималу: 15

а) производ 2,73; био б) потпуни 5,194; квадрат: в) −0,64;

21. Ако г) 4 је а = – 1 5 dm; 5 д) , израчунај: 3 1 7 cm.

а) 5а 2 ; б) –25а 2 ;

9.

в)

Израчунај

– 1 2 а2 ;

површину

г) ( – 5 једнакокрако-

3 а ) 2 .

-правоуглог троугла чија је дужина

катета (кракова):

22. Израчунај а) 4 cm; вредност б) 9 mm; израза:

а) (–1)

а) 27; б) 18; в) 50;

Како ћеш користити 2 + 1

збирку 2

– (–2) + 2 2 ;

г) −12,173; д) 4,45; ђ) −7,15.

задатака

г) 45; д) 150; ђ) 252;

б) в) (–1) 1,2 cm; 2

+ (–2) г) 2

16

2 + (–3) 3 dm. 2 + (–4) 2 ;

в) 2 2 – (–4) 2 + 6 2 – (–8) 2 ;

ког дома 3. Заокругли е) 360; ж) дати 3 375; број на з) две 27 децимале:

000.

шуму.

г) 10 2 – (–10) 2 – (–10 2 );

а) −0,037; б) 17,912; в) −4,141;

10. Израчунај квадрат рационалног броја:

В – примени

ешла

д) –4 2 ∙ (–5) + 5 ∙ (–4) 2 ;

17. г) Да 1,235; ли следећа д) −4,0725; неједнакост ђ) тачна: 2,456.

Као и раније, и ова збирка је тако састављена ђ) а) 34; ∙ (–2) 2 – да 3 2 б) ∙ (–2). ученицима

–7; в) 1 сно под

8 ; учење и вежбање математике

17.

не представља

а)

Дужина

(–4) 2 <

једне

4 2 ;

катете

проблем.

б)

правоуглог

10 2 > 8 2 ;

троугла

р. Када је

Б – вежбај

в) (–10) 2 > (–8) 2 ; г) (–0,1) 2 < (

1

10

) 2 23. Израчунај г) – 7

;

9 ; вредност д) –5,5; израза ђ) 4а –82 – 1 е закасни је 24 cm, а дужина друге је 4 3

2а . + 3

3 дужине

ти. Колико

за:

Задатке 4. Периодичан прве решавај катете. у свесци.

Добро нацртана слика олакшава решавање

д) – ( – 4 5

) 2 Израчунај децимални

< (

2

5

) 2 обим запис тог преведи троугла.

офија

; ђ) (–0,05) 2 > (–0,5) 2 ? 11. а) Препиши а = 5; дату б) а табелу = – 1 ; у свеску, в) а па = –0,4. је

у несводљив разломак:

ачку)?

2

18. а) Хипотенуза 0,(3); правоуглог б) 0,(17); троугла в) 0,00(5); је 5

попуни. задатка. Размисли о свакој слици, а тамо где

18. г) Препиши

cm, 0,1(6); а једна

у

катета

свеску, д) 4,(2); је

па

за

у

20%

круг ђ) краћа

упиши 2,(27). од

није дата, а мислиш да је потребна, покушај

24. За = – 1 5

после

а –1израчунај 8 –2,1 вредност –7 израза

1

одговарајући

хипотенузе. Израчунај

знак

обим

или =:

и површину

5 9 7

самостално да је нацрташ.

–0,02

обалска

5. Периодичан тог троугла.

брод је

децимални запис преведи

а) (–12) 2 0; б) 8 2 (–8) 2 ;

5а 2 а– 2

5 ∙ 1 .

232. у Реши несводљив једначину:

тања, па

разломак:

в) (–

3

7

) 2 – 9 a 2

19. а) Једна а) −0,(3); (x + катета 3) (x – б) правоуглог 3) −0,(36); – (x

49 ; 2 г) – 4x) 0,4 троугла = в) 9; −0,0(2); износи

затим 14

0,42 ;

25. Користи особине степена, па на што

г) б) −0,2(6); (2 + y)(2 – д) y) −12,41(6); – (2y – 1) + ђ) y

д) (–3,5) 2 –3,5 2 ; ђ) ( 2 = −11,(45). 5;

12. Израчунај:

олује да

3

дужине друге катете. Ако

7

10

) 2 је дужина једноставнији начин израчунај вредност

в) (3x – 2)(3x + 2) – (3x – 5) 2 = 1; –0,7 2 .

а) (–6) 2 ; б) 18 2 ; в) (–0,8) 2 ;

м. Колико

4

израза: 2

6. Површина Земље је приближно

г)

а)

19. Поређај бројеве по величини од

(

1

2 ∙ 7 ∙ 2 ) 2 510 000 000 km 2 , а површина Јупитера (

3

10

) ; д)

; ( –2 2 2

г) (2x – 3)(2x + 3) – (4x 2 – 5x + 1) = 15;

шао

хипотенузе тог троугла 15 cm, израчунај

9 б) ) ; ђ) (–0,04) 2 .

д) (2 – y) (2 + y) – (6y – y 2 ) = 4;

4 2 ∙ 25 2 ; r a

његов обим и површину.

квадрате приближно ђ) (x – 2)(x + 642) 000 – (x 000 + 3) 000 2 = –1.

е дужине.

km 2 . Колико

најмањег до највећег:

в)

(–0,1) 2 , 0,01 2 , –1 2 , –0,01 2 , (–0,001) 2 ,

( – 2 3

) 2 ∙ (

3

) 2 тву. ст: На било 20. пута Израчунај је површина висину Јупитера која одговара већа од 13. Да ли је следећа ; једнакост г) 772 ; тачна:

11 2 a

тичка ; миља 233. површине хипотенузи Реши једначину: Земље? правоуглог (Користи троугла калкулатор ако су

а) 6 ∙ 6 = 6

– (–0,1) 2 и – (–0,01) 2 .

д) (

99

100

) 2 ∙ ( 2 ;

–1

1

99

) 2 ; ђ) ( – 7 9

) 2 ∙ (

2

– 3 7

) 2

их минута 39. и дужине Израчунај a) заокругли (x + 2) катета 2 – дужину (x на – тог једну 3) (x троугла странице + децималу.) 3) = 61;

cm квадрата и 8 cm.

б) –8 Израчунај ∙ 8 = (–8) обим 2 ; и површину троугла ∙ 3 2 .

в) – 2 3 ∙ ( – 2 3

) = ( 2 2

;

у. Једна

ако б) (2x је дужина – 1) 2 – (2x његове + 3) (2x дијагонале:

– 3) = 2;

CDE.

3

) ;

а) в) d (2x = 3√2 + 1) cm; (2x – б) 1) d – = (2x 10 – cm; 3) 2 = в) 2; d = 2 cm.

D

C

;

г) (4x + 7)

КВАДРАТИ 2 – (4x – 3) (4x + 3) = 114;

РАЦИОНАЛНИХ

г) 0 = 0 2 ;

Као 40. Нека је а дужина странице квадрата,

БРОЈЕВА

и д) у (3x 5. – и 5)² 6. – разреду, (2x + 3) 2 – 5 ∙ задаци (x – 2) (х + су 2) = подељени Б – вежбај у четири групе.

x 4 – ?

д) –6,1 ∙ (–6,1) = (–6,1) 2 ;

8 а d дужина = –132. дијагонале тог квадрата.

А – утврди

ђ) ( 4 2 2

3

) = ( –4

У групи 2

2

71. Препиши Покажи да дату вредност табелу израза у свеску не и зависи попуни 78. Одреди стандардни запис реалног

3

) ;

234. је. од Упрости променљиве израз: k:

броја:

А – утврди су задаци којима ћеш

обновити основна знања која си научио/

7. Покажи да су бројеви 196, 324, 441,

е) ( – 2 2

а) (3x – 5)(3x 5) + 3x 2 ∙ (5x – 2);

A E B

а) а 4 cm 7 m 6√2 mm

б) 7

)

27k (5x; + 11)(2x б) + 1

52k –; 1) в) + 3

– (3x 162n 4)( ; 3x г)

36 k + 2

а) 300 000; б) 76 000 000;

– 4); .

= (–2)2 ;

израчунај:

3 3k 25 k 2 8n + 10 (√6) 4k + 6 в) 9 870 000 (–7) 000.

2 025 и 62 500 потпуни квадрати.

-ла 2 d √2 cm 14√2 dm 10 dm

2 в) (2x – 3) 48. у свакој лекцији.

2 – (3x + 2)(3x – 2);

ж) Нека (–а) је 2 = тачка –а 2 ; E на страници AB квадрата

;

2

ABCD (види слику) таква да је AE = 3 cm и

;

72. Одреди

г) (5x + 2)

вредност 2

– (2x – 5)(2x + 5);

з) (–4х) 2 = –16х 2 ?

Б – вежбај

DE = 5 cm. У групи Б – вежбај су задаци у којима

( 2 1 д) 4 ∙

)2

.

( y – 1 променљиве

2 x )( y + 1 n

2 x ) – 9 ∙ ( y – 1 тако да 79. Одреди стандардни запис реалног

2

добијеш тачно тврђење:

3 x ) ;

броја:

4 а) (z n ∙ z D ћеш најчешће C имати неке 7 једноставније

41. Обим

ђ) 4 ∙

квадрата је 28 cm. Израчунај

дужину ( 3 ) : z 5 = 1;

а) 0,000009; б) 0,000000021;

2

б) (3 7 : 31

5 ) ∙

2 дијагонале + 3 n 2x =

)(3– 7 9 ∙ 3∙ 5 тог (

) 1: 3

3 квадрата.

x

n

; + 1 )( 1 3 x – 1 ) .

в) 0,000000000000321.

в) (d примене наученог градива.

11 : d n ) 2 = d 12 ;

г) (x 8 ∙ x 3 ) n = x 25 : x 3 ;

80. Бројевну вредност израза запиши у

42. Површина квадрата је 81 cm 2 2

;

В – примени

. Израчунај

У групи В – примени су задаци код којих

2

дужину

д)

∙ x (x5 7 ) : x n

стандардном запису:

дијагонале

= x;

(x 2 ∙ x 3 ) 2 тог квадрата.

а) 25 ∙ 10 4 ; б) 0,23 ∙ 10 8 ;

A је потребно E B да знање које си стекао/-ла

2

;

235. Дати су полиноми P = a + 2b, Q = a + b,

ђ)

b 3 ) 4 ∙ a n ∙ b

в) 139 ∙ 10 12 ; г) 0,011 ∙ 10 20 .

(a2 = (ab) 12 .

43. Израчунај R = a – ab. 4 bобим Одреди и површину Q ∙ R – P 2 . квадрата

а) Израчунај примениш обим и површину и повежеш квадрата са осталим градивом.

7,3 2

.

ако је дужина његове дијагонале:

81. Бројевну ABCD. вредност израза запиши у

2,3 2 236. а) Разлика d = 5√2 квадрата cm; два узастопна б) d = 2√2 cm;

б) Израчунај обим и површину троугла

Г – прошири

стандардном запису:

в) природна d = 12 m; броја је 43. Који г) d = су 15 то dm.

а) DEC. 44 ∙ 10 У групи Г – прошири су задаци који су

−14 ; б) 118 ∙ 10 −9 ;

и у

бројеви?

намењени онима који могу, хоће и желе

ај:

73. Докажи да је:

в) 0,4 ∙ 10 −9 ; г) 0,056 ∙ 10 −17 .

44. Израчунај дужину полупречника

49. Нека су тачке Е и F средишта страница

а) 3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 6 ; ђ)

237. описане Разлика кружнице квадрата два око узастопна квадрата ако је:

BC и CD квадрата

више

48. а)

ABCD

и служе

странице

за додатни рад.

б) 4 8 + 4 8 + 4 8 + 4 8 = 4 9 .

82. Израчунај (користећи стандардни

а) парна дужина природна његове броја странице је 68. а О = којим 6 cm;

a запис): = 8 cm (види слику). Израчунај обим и

74. б) Упореди бројевима обим квадрата вредност је реч? 20 степена: cm;

–2 0 1,25 површину а) 320 000 ∙ троугла 7 000; AEF. 2 43

Тестови в) а) површина 2 3 000 су и 3дати 2 000 ; квадрата е)

да провериш 8 б) cm100 2 . 15 и 1 колико 000 10 ; си б) 4 D200 000 Иза F000 сваке : б) 60 C 000 000; области су дата решења

238. Производ два узастопна непарна

савладао/ла

в) 0,008 20 и 0,00032

45. Израчунај природна дужину

одговарајућу 10

.

в) 150 000 : 30 000 000;

броја је странице 143. Који квадрата су

област.

то

или резултати задатака из те

0 3,5

7 г) 13 000 000 000 ∙ 0,00000005;

2,5 3 3,5

ако бројеви?

дужина полупречника описане

д) 0,0000062 области. ∙ 0,0000000000008;

E

– 18а);

45. а)

кружнице око тог квадрата R = 4√2 cm.

(4х + 3у); ПРИМЕНА

ТЕСТ

СТЕПЕНА

– ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ ђ) 0,000000000065 И : 0,000000000000013.

239. ТЕСТ Дужине – страница ЗАВИСНЕ правоугаоника ВЕЛИЧИНЕ су И е) 0,000044 : 1 100 000 000 000.

+ 3);

46. Израчунај а = 2х – 5 дужину и b = 2х ГРАФИЧКО дијагонале + 5. Ако је површина квадрата ПРЕДСТАВЉАЊЕ A КВАДРАТНИ B 1 КОРЕН

7) (3х – 7) +

ЊИХОВО ГРАФИЧКО –2 ПРЕДСТАВЉАЊЕ 20 1

А – ако утврди тог је правоугаоника дужина полупречника б) 119 cm 2 , одреди уписане 83. Вредност израза 49. a) запиши 10; б) као 11; степен в) 13; г) 15; д) 20;

1. Колико кружнице његов је тачка А(–3, обим. у 2) тај удаљена квадрат од у осе? r = 4√2 cm.

50. Квадрат броја 10: и правоугаоник имају

1. Колико је тачка А(–3, 2) удаљена од у осе?

75. а) 3; Дати б) –3; број в) запиши 2; г) –2. у облику степена

ђ)

дијагонале једнаких 2 дужина. Ако су

броја 10:

дужине

а) 102

5 ; ;

страница

б)

10 е) 8 7 7 = 1 1 7 ; ж) 9 8 = 1 1 ; з) 1,2;

8

(Заокружи а) 3; слово б) испред –3; тачног в) одговора.) 2; г) –2.

–4 0

4

правоугаоника

;

7 cm

В – примени

10 5 и) 0,03; 10 4 ∙ 10 8 ј)

2. У координатном (Заокружи а) 100;

систему слово су дате испред б)

тачке

1 000;

А(2, тачног 5) и В(6, одговора.)

7 в)

2). Дужина

100 000;

дужи АВ је:

в)

и 1 cm, за колико се разликују њихове

г) 1 000 000; д) 1 000 000 000.

површине?

в) 102 ∙ 10 3

; г)

: 10 2 3 = 2 1 3 ; к) 3 7 .

а) 5; б) 10; в) √113; г) 25.

108 .

47. 2. (Заокружи У Нека координатном слово је тачка испред Е тачног средиште систему одговора.) су дате странице тачке А(2, АВ 5) и В(6, 2). Дужина 10 12 : 10 дужи 4 50. АВ је: а) 8 (10 6 ) 3

3 = 2 2 3 ; б) 5 2 = 2 1 ; в) 3; г) –1;

2

3. У координатном а) квадрата 5; систему б) АBCD 10; тачке (види A(–3, в) √113; 1) слику) и B(1, –2,5 4) су и г) суседна нека 25. 0је

темена квадрата. 2,5 Дужина

76. дијагонале

(Заокружи

Дати тог број квадрата запиши је: у облику степена 51. Ако се у квадрату странице а = 4√2 cm

дуж СЕ = 5 слово cm. испред тачног одговора.) 84. Дату величину изрази д) –5; у основној

ђ) 2 3 ; е) –0,5.

а) 3√2; броја Забрањено б) 10: 4√2; је репродуковање, в) 5√2; г) г) 6√2. умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, 4

дијагонала

прерада и друга употреба

повећа

овог

за

ауторског

2 cm,

дела

за колико

или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

6 а) Израчунај обим и површину тог

јединици мере, користећи степене броја

3. (Заокружи

фотокопирање,

У а) координатном слово испред

штампање,

тачног

чување

0,1; систему одговора.)

у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е онб) одабере, 0,01; тачке без писмене A(–3, в) сагласности 0,001; 1) и B(1, издавача. 4) су суседна Свако ће неовлашћено се темена повећати коришћење квадрата. 51. обим, а) a овог = Дужина √3 а ауторског за cm; колико дела б) a представља = √5 cm; кршење в) a = Закона 2√2 cm. о ауторском Не. и сродним правима.

квадрата.

10:

4. Израчунај дијагонале обим и површину

г) 0,00001; тог квадрата троугла АВС

д) 0,0000000001.

је: са слике.

–3 1 0 3 1 површина а) 7 dm; тог 52.

б) квадрата? А

3 mm; R = { –5; √16; в) 7 –√2 g; } ∙ √8; 3,9 ,


ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИСИ

РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

А – утврди

1. Децимални запис преведи у несводљив

разломак:

а) 0,3; б) 0,17; в) 0,005;

г) 2,6; д) 21,51; ђ) 4,0031.

2. Заокругли дати број на једну децималу:

а) 2,73; б) 5,194; в) −0,64;

г) −12,173; д) 4,45; ђ) −7,15.

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

8. Израчунај површину квадрата чија је

дужина странице:

а) 2 cm; б) 10 mm; в) 3,7 cm;

г) 4 5 dm; д) 3 1 7 cm.

9. Израчунај површину једнакокрако-

-правоуглог троугла чија је дужина

катета (кракова):

а) 4 cm; б) 9 mm;

в) 1,2 cm; г) 2 3 dm.

3. Заокругли дати број на две децимале:

а) −0,037; б) 17,912; в) −4,141;

г) 1,235; д) −4,0725; ђ) 2,456.

Б – вежбај

4. Периодичан децимални запис преведи

у несводљив разломак:

а) 0,(3); б) 0,(17); в) 0,00(5);

г) 0,1(6); д) 4,(2); ђ) 2,(27).

5. Периодичан децимални запис преведи

у несводљив разломак:

а) −0,(3); б) −0,(36); в) −0,0(2);

г) −0,2(6); д) −12,41(6); ђ) −11,(45).

6. Површина Земље је приближно

510 000 000 km 2 , а површина Јупитера

приближно 64 000 000 000 km 2 . Колико

пута је површина Јупитера већа од

површине Земље? (Користи калкулатор

и заокругли на једну децималу.)

КВАДРАТИ РАЦИОНАЛНИХ

БРОЈЕВА

А – утврди

7. Покажи да су бројеви 196, 324, 441,

2 025 и 62 500 потпуни квадрати.

10. Израчунај квадрат рационалног броја:

а) 4; б) –7; в) 1 8 ;

г) – 7 9 ; д) –5,5; ђ) –8 1 3 .

11. Препиши дату табелу у свеску, па је

попуни.

5

а –1 8 –2,1 –7 1 9 7 –0,02

а 2

12. Израчунај:

а) (–6) 2 ; б) 18 2 ; в) (–0,8) 2 ;

г) (

3

10

) 2 ; д) ( –2 2 9

) 2 ; ђ) (–0,04) 2 .

13. Да ли је следећа једнакост тачна:

а) 6 ∙ 6 = 6 2 ;

б) –8 ∙ 8 = (–8) 2 ;

в) – 2 3 ∙ ( – 2 3

) = ( 2 3

) 2 ;

г) 0 = 0 2 ;

д) –6,1 ∙ (–6,1) = (–6,1) 2 ;

ђ) ( 4 2 3

) 2 = ( –4 2 3

) 2

е) ( – 2 7

) 2 = (–2)2 ;

(–7) 2

ж) (–а) 2 = –а 2 ;

з) (–4х) 2 = –16х 2 ?

;

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

7


14. Одреди ненегативан број чији је

квадрат једнак:

а) 0; б) 9; в) 1 4 ;

г) 25 ; д) 0,81.

64

15. Одреди дужину странице квадрата чија

је површина једнака:

а) 4 cm 2 ; б) 36 mm 2 ;

в) 16

25 m2 ; г) 0,49 dm 2 .

Б – вежбај

16. Одреди најмањи број којим треба

помножити дати број да би добијени

производ био потпуни квадрат:

а) 27; б) 18; в) 50;

г) 45; д) 150; ђ) 252;

е) 360; ж) 3 375; з) 27 000.

17. Да ли је следећа неједнакост тачна:

а) (–4) 2 < 4 2 ; б) 10 2 > 8 2 ;

в) (–10) 2 > (–8) 2 ; г) (–0,1) 2 < (

1

д) – ( – 4 5

) 2 < (

2

5

) 2

10

) 2 ;

; ђ) (–0,05) 2 > (–0,5) 2 ?

18. Препиши у свеску, па у круг упиши

одговарајући знак или =:

а) (–12) 2 0; б) 8 2 (–8) 2 ;

в) (–

3

9 49 ; г) 0,4 0,42 ;

7

) 2 –

д) (–3,5) 2 –3,5 2 ; ђ) (

7

10

) 2 –0,7 2 .

19. Поређај бројеве по величини од

најмањег до највећег:

(–0,1) 2 , 0,01 2 , –1 2 , –0,01 2 , (–0,001) 2 ,

– (–0,1) 2 и – (–0,01) 2 .

20. Израчунај вредност израза:

а) (–5) 2 + 5 2 ; б) (–5) 2 – 5 2 ;

в) (–5 – 5) 2 ; г) 1 2 – (

3

4

) 2 ;

; ђ) – 1 9 ∙ 32 ;

д) ( 1 – 3 4

) 2

е) –2 2 ∙ (–5) 2 ; ж) 16 ∙ ( –3 3 4

) 2

з) –(–0,5) 2 ∙ (–0,2) 2 .

21. Ако је а = – 1 5 , израчунај:

а) 5а 2 ; б) –25а 2 ;

в) – 1 2 а2 ; г) ( – 5 3 а ) 2 .

22. Израчунај вредност израза:

а) (–1) 2 + 1 2 – (–2) 2 + 2 2 ;

б) (–1) 2 + (–2) 2 + (–3) 2 + (–4) 2 ;

в) 2 2 – (–4) 2 + 6 2 – (–8) 2 ;

г) 10 2 – (–10) 2 – (–10 2 );

д) –4 2 ∙ (–5) + 5 ∙ (–4) 2 ;

ђ) 3 ∙ (–2) 2 – 3 2 ∙ (–2).

23. Израчунај вредност израза 4а 2 – 2а + 3

за:

а) а = 5; б) а = – 1 ; в) а = –0,4.

2

24. За а = – 1 израчунај вредност израза

5

5а 2 – 5 ∙ 1 .

a 2

25. Користи особине степена, па на што

једноставнији начин израчунај вредност

израза:

а) (

1

2 ∙ 7 ∙ 2 ) 2 ; б) 4 2 ∙ 25 2 ;

∙ (

3

; г) 772

в) ( – 2 3

) 2

д) (

99

100

) 2

2

) 2

∙ ( –1

1

99

) 2

11 2 ;

;

; ђ) ( – 7 9

) 2 ∙ ( – 3 7

) 2

∙ 3 2 .

8

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


26. Испитај да ли следећа једначина има

решења у скупу Q и ако има, реши је:

а) 3x 2 = 27; б) 2x 2 = 4;

в) 5 + x 2 = 1; г) 12 – x 2 = –13;

д) 4x 2 + 2 = 3; ђ) 5x 2 + 2 = 27.

В – примени

27. Израчунај вредност израза:

а) 2 ∙ 1 – 2,5 +

2 ( –1 1 2 2

) 2 ;

б) –3 2 ∙ 5 – 5 ∙ 2 2 – (–1,5) 2 ;

в) –2 ∙ 5 2 + 2 2 ∙ 5 7 ∙ 0,7 ;

г) –5 ∙ 2 2 + (–5) 2 ∙ 2 – (–0,5) 2 ;

д) (–5 2 ∙ (0,2) 2 + (–3) 2 ) ∙ 1 8 ;

ђ) 125 : (–5) 2 – ( – 1 5

) 2 ∙ 25 + (

1

10

) 2 .

30. Запиши следећи израз, а затим

израчунај његову вредност за p = –2

и q = 1 5 :

а) збир квадрата бројева p и q;

б) квадрат разлике бројева p и q

(q умањилац);

в) производ квадрата бројева p и q;

г) од квадрата половине броја p одузми

двоструки број q.

31. Израчунај збир квадрата бројева x, y и z

ако је:

а) x = –6, y = 3, z = –9;

б) x = – 1 2 , y = 0,6, z = –3 3 4 .

32. Од разлике квадрата бројева –7 и 6

одузми квадрат збира бројева 5 и –9.

28. Израчунај вредност израза:

+ 3 ∙ (3 – 6) 2 ;

а) (–4 2 ) ∙ ( – 1 4

) 2

б) 3 – 32

4 2 4 – ( 3 4

) 2 – ( – 3 4

) 2 ;

в) (–0,64 : 0,4) 2 – 1 2 3 ∙ ( – 1 5

) 2 ;

г) 9 ∙ ( – 1 3

) 2 – 8 : ( – 2 3

) 2 + 1 3 ∙ (–32 );

д) (–7) 2 – ( – 1 2

) 2 ∙ ( – 2 3

) + 2 : ( 1 – 1 2

) 2

29. Ако су p и q рационални бројеви,

запиши следећи израз:

а) збир квадрата бројева p и q;

б) квадрат збира бројева p и q;

в) квадрат разлике бројева p и q

(p умањеник);

г) разлика квадрата бројева p и q

(p 2 умањеник);

д) квадрат количника бројева p и q

(p дељеник);

ђ) производ квадрата броја p и квадрата

броја супротног броју q;

е) количник квадрата броја q и

троструког квадрата броја p (p ≠ 0)

Забрањ( њ(q њq q еq 2 н

о јдељеник).

едељеник).

реп

род

уковање,

ум

ножавање,

дистрибуција, обј

.

33. Квадрату производа бројева – 1 2 и

–5 додај двоструки збир квадрата тих

бројева.

34. Ако је а = ( – 1 2

) 2 , b = – ( – 1 2

) 2 и c = – 1 ,

2 2

израчунај вредност израза:

а) a 2 + b 2 + c 2 ; б) a 2 – (b 2 – c 2 );

в) 2a 2 – 4b 2 – 8c 2 ; г) 6a 2 – b2

2 + b + c

4

д) 1 2 ab– 3 4 ∙ 1

;

a 2 + c 2

ђ) 16ab 2 c – 32 ∙ (b 2 + c 2 ).

35. Израчунај вредност израза:

а) –ab 2 + (–a) 2 b – (–a 2 ), за a = 2 и b = –5;

б) a 2 b – (–b) 2 a – (–a 2 ), за a = –4 и b = 3;

в) –(–a 2 )b 2 – (–a) 2 ∙ (–b) 2 + a 2 b 2 , за

a = –1 и b = 2.

36. Објасни зашто не постоји рационалан

број x такав да је:

а) x 2 = 2; б) x 2 = 3; в) x 2 = 6;

г) x 2 = 1 5 ; д) x2 = 0,7; ђ) x 2 = 4,3.

б ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључуј уј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

;

9


СКУП РЕАЛНИХ БРОЈЕВА И

БРОЈЕВНА ПРАВА

А – утврди

37. На бројевној правој представи бројеве:

–1; 4; 2 5 ; – 1 2 ; –3 1 3 и 5,7.

38. На бројевној правој представи

интервал:

а) (2, 5); б) (–4, 0); в) (–3, 3);

г) [0, 2]; д) [–4, 4]; ђ) [–7, –2];

е) (3, 6]; ж) [0, 4); з) (–2, 3].

Б – вежбај

39. Да ли је следећа једнакост тачна:

а) Q I = R; б) Q I = Q;

в) Q I = I; г) R \ I = Q;

д) Q I = Ø; ђ) I \ R = I?

40. а) Ако је x 2 = 5, покажи да је

2,23 < x < 2,24.

б) Ако је x 2 = 12, покажи да је

3,46 < x < 3,47.

41. Између којих суседних природних

бројева се налази број x ако је:

а) x 2 = 80; б) x 2 = 111; в) x 2 = 240_

42. Дато је неколико првих децимала

следећих бројева (уместо три тачке

може да стоји произвољно много било

којих цифара). Упореди ове бројеве:

а) 0,273... и −0,126...; б) −0,567... и 0,123...;

в) 2,345... и 2,339...; г) 0,009 и 0,0010...;

д) −4,2 и −4,21...; ђ) −1,098... и −1,098.

43. На бројевној правој представи

интервал:

а) ( –1, 3 1 2

) ; б) [–2, 4,4]; в) [ 0, 3 1 3

) ;

г) (0, +∞); д) (–∞, 2); ђ) (–∞, 6];

е) [0, +∞); ж) (–∞, 1,25); з) [–3,75, +∞).

44. На бројевној правој представи скуп

реалних бројева x таквих да важи:

а) x > −2; б) x < 4; в) x ≥ 2;

г) x ≤ −1; д) x > 2 и x < 6;

ђ) x ≥ −2 и x < 1,25; е) x ≥ 3,5 и x ≤ 7.

В – примени

45. На бројевној правој представи скуп

реалних бројева x таквих да важи:

а) |x| > 2; б) |x| < 4; в) |x| ≥ 2,5;

г) |x| ≤ 3 1 ;

2

д) 1 < |x| < 4;

ђ) |x – 1| < 4; е) |x + 1| ≤ 2.

46. Користећи бројевну праву одреди скуп:

а) (–∞, 1) (0, +∞); б) (–∞, 2] [–2, +∞);

в) (–3, 3) [0, 10); г) (–3, 0) (–1, 2);

д) [–3, 0) ( −1, 5 1 2

] .

47. На бројевној правој представи скуп

реалних бројева x који су од 0 удаљени

мање од:

а) 1 јединице мере; б) 4 јединице мере.

48. На бројевној правој представи скуп

реалних бројева x који су од броја 3

удаљени не више од:

а) 1 јединице мере; б) 0,5 јединице мере.

КВАДРАТНИ КОРЕН

А – утврди

49. Израчунај:

а) √100; б) √121; в) √169;

г) √225; д) √400; ђ) √

4

25 ;

е) √

64

49 ; ж) √ 1 17 ; з) √1,44;

64

и) √0,0009; ј) √

5 4 9 ; к) 3

7 .

10

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б – вежбај

50. Израчунај:

а) √

7 1 9 ; б) √ 6 1 4

; в) √49 – √16;

г) √64 – √81; д) 2√4 – 3√9;

ђ) √

2 1 4 + √ 1 9

; е) √0,01 – √0,36 .

16

51. Израчунај дужину странице квадрата

ако је његова површина:

а) 3 cm 2 ; б) 5 cm 2 ; в) 8 cm 2 .

Да ли су дужине страница ових квадрата

рационални бројеви?

52. Из скупа А = { –5; √5; –√7; √16; √8 + 8;

5 – √6; –√2∙ √8; 3,9 } издвој подскуп

рационалних и подскуп ирационалних

бројева.

53. Дату табелу препиши у свеску, па је

попуни.

број

број заокругљен

на цео део

број заокругљен

на 1 децималу

број заокругљен

на 2 децимале

број заокругљен

на 3 децимале

√2 = 1,41423...

√8 = 2,82842...

– √6 = –2,44948...

– √15 = –3,87298...

54. Користећи калкулатор израчунај

квадратни корен следећег броја, па га

заокругли на две децимале:

а) 27; б) 44; в) 110;

г) 876; д) 1 234; ђ) 3,9;

е) 18,2; ж) 0,007.

55. Израчунај:

а) √9 + 16; б) √100 – 36;

в) √

1 + 11

25 ; г) √ 5 – 1 23

36 ;

д) √

4 – 2

1

25 ; ђ) √ 1 + 9

16 ;

е) √

10 – 3 3 4 ; ж) √ 30 – 9 3 4 .

56. Израчунај вредност израза, па утврди

да ли је добијени број рационалан или

ирационалан:

а) √7 + √7; б) √7 + (–√7);

в) √7 ∙ √7; г) √7 : √7.

57. Реши једначину и запиши да ли су

решења рационални или ирационални

бројеви:

а) x 2 = 5; б) x 2 =

4

25 ;

в) x 2 =

2

49 ; г) x2 = 0,08;

д) x 2 = 0,36.

58. Поређај бројеве по величини од

најмањег до највећег:

а) 6, √16, –√36, –6√16, 66;

б) 2; –3; √5; –√16; 3,5; √22;

в) –√5; √2; –√9; √3; –1,4; 1,73;

1,74; –√6,25 .

59. Упореди бројеве:

а) √5 и – √5; б) – √2 и – √3;

в) –2√5 и –5; г) 2√3 и 3√2.

60. Користећи да је √2 ≈ 1,41 и √3 ≈ 1,73,

израчунај приближно на две децимале:

а) √18; б) √48; в) √

3

4 ;

г) √

8

25 ; д) √ 27 ; ђ) √0,0338.

100

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

11


61. Одреди прве три децимале реалног

броја:

а) √3; б) √6; в) √10.

особине корена:

71. Растављањем на чиниоце, израчунај

√a ∙ b = √a ∙ √b (а ≥ 0, b ≥ 0)

и √

a

b = √a

квадратни корен броја:

(а ≥ 0, b > 0):

а) 4 900; б) 2 025;

√b

в) 6 724; г) 176 400.

а) √9 ∙ 25; б) √16 ∙ 81;

в) √49 ∙ 36; г) √

4

25 ; д) √

9

49 ; ђ) √ 1 7 9 ;

е) √

13 4 ;

9

ж) √0,04 ∙ 0,81;

В – примени

з) √

1

9

16 ∙ √1,96 .

62. Ако су а и b ирационални бројеви, да ли

је обавезно ирационалан и број:

а) а + b; б) а – b;

Б – вежбај

в) а ∙ b; г) а : b.

67. Израчунај вредност израза:

За сва тврђења наведи примере.

а) 8 – √2 + 5; б) 7 – √2 – 2 + √2;

в) √8 – √3 + 5 – √8; г) 4 + √6 – √16;

63. Упореди бројеве:

д) –7 ∙ √2 ∙ 4; ђ) –11 ∙ √5 ∙ √9;

а) √25 и 25; б) √7 и 7;

в) √

9

49 и 9

е) 2 ∙ √2 ∙ (– √25).

; г) √0,04 и 0,04.

5

49

Запиши када је √x < x, а када √x > x (за

ненегативне реалне бројеве x.

Г – прошири

64. Не користећи калкулатор израчунај:

ђ) √7 ∙ (2 – √7) + 2,7;

а) √1369; б) √24649;

в) √532,2249; г) √29,3764;

д) √611,5729; ђ) √346,7044.

69. Рационалиши именилац (делилац) у

65. Не користећи калкулатор израчунај, па изразу:

заокругли на две децимале:

а)

1

;

а) √444; б) √9876; в) √150,62.

√3

б) 4 : √5; в)

10

√2 ;

г)

6

√6 ; д) 7

;

√14

ђ)

10

√5 .

РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ

70. Израчунај:

У СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА

а) √9 ∙ 16 ∙ 49; б)

А – утврди


0,25 ∙ 1 4 ∙ 121;

в)

66. Израчунај вредности израза користећи


3

1

∙ 0,64 ∙ 1,44.

16

68. Израчунај вредност израза:

а) 5√2 – 3√2; б) √10 + 3√10 – 2√10;

в) –3,9 + 2 √11 + 1,1 – 9 √11;

г) ( √5 + 1 5

) ∙ √5; д) –2√3 + 3√2 + 4√3;

е) (8 – √13) : 8; ж) ( √15 – 2 3

) : (–10).

12

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


72. Покажи да је:

а) √12 = 2√3; б) √18 = 3√2;

г) 3 4 ∙ √ 1 7 9 – 1 ∙ √64 + 2 ∙ √0,04;

2

в) √20 = 2√5; г) √24 = 2 √6;

д) √45 = 3√5; ђ) √50 = 5√2.

д) 3 4 ∙ √16 + 9 ∙ √ 4 9 – 6 ∙ √ 2 1 4 ;

73. Израчунај:

ђ) 2 3 ∙ √81 – 4 ∙ √ 25

36 + 6 ∙ √ 7 1 9 ;

а) (2√3) 2 + (3√2) 2 ;

б) (–2) 2 + (–5√5) 2 + (3√3) 2 ;

е) 4 5 ∙ √ 1 9

16 – 3 ∙ √ 4 9 + 2 3 ∙ √ 2 1 4 ;

в) (7√2) 2 – (6√3) 2 – (3√5) 2 .

ж) 2 5 ∙ √ 6 1 4 – 2 ∙ √0,04 + 1 4 ∙ √16;

74. Упрости израз („извуци” испред корена

највећи могући чинилац):

з) 1 4 ∙ √64 + 1 ∙ √16 – 10 ∙ √0,25;

2

а) √8; б) √27; в) √75;

г) √48; д) √108; ђ) √200.

и) 2 1 2 ∙ √ 36

25 – 0,5 ∙ √16 + 2 3 ∙ √144.

75. Који природни број је вредност израза:

79. Упрости израз:

а) √2 ∙ √8; б) √3 ∙ √27; в) √2 ∙ √18?

а) √2 ∙ (√2 – √32);

б) √3 ∙ (√12 – √3 + √75);

В – примени

в) (√8 – √32 + √50) ∙ √2;

г) √2 ∙ (√2 + √18 – √32);

76. Израчунај вредност израза:

д) (√48 – √27 + √3) ∙ √3;

а) √2 +

2

√2 ; б) 5√5 + 5

√5 ;

ђ) √5 ∙ (√5 – √20 + √125);

в) 12√6 – 12 ; д)

21

√6 √7 + √7.

е)

√45 + √80 – √180

.

√5

80. Покажи да је број рационалан:

77. Запиши израз у облику m√n, где је m

а) √2 ∙ √50;

цео, а n природан број:

б) √2 ∙ (√2 + √50 – √18);

а) √2 ∙ √10 – 3√5;

б) 3√3 + √27;

в)

√12 – √75 – √48

.

√3

в) 2√12 – 3√27 + √48;

г) –2√75 + 5√3 + 3√108;

81. Израчунај вредност израза:

д) 4√2 – 3√50 – 2√98;

а) √25 + 3 ∙

ђ) 3√8 – 2√72 + √200;


1

9 – 5 ∙ √ 4 25 ;

е) 1 2 √20 – 1 √80 + 2 √45;

б)

4 √

5 4 9 – √ 4 9 + 2 ∙ √ 4 9 ;

ж) 5√45 + 1 2 √80 – 2 3 √180 .

в) √

5 – 1 –

2

3 2 √11 ;

78. Израчунај вредност израза:

г) ( – 2

а) 2 3 ∙ √ 9 25 + 1 3

) 2 + √

2 + 7 9 – 0,52 ;

2 ∙ √25;

д) √

1 –

7

б) 4 1 3 : √ 4 9 + 1 1 2 ∙ √ 1 – 24

16 – ( 1 2

) 2 + ( –2 3 4

) 2 .

25 ;

в) 1 1 3 : √ 4 9 + √ 1

225 ∙ 1 2 3 ;

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

13


82. Израчунај вредност израза

1 1 2 x – 6 17

18 y ако је х = √ 1 – 16

25 и

y = √0,36 ∙ 0,16 .

83. За А = √3 2 + 4 2 и В = √0,1 ∙ 3,6 израчунај:

а) А + В; б) А ∙ В; в) (А – В) 2 .

ЈЕДНАКОСТ √a 2 = |a|

А – утврди

84. Препиши дату табелу у свеску и попуни

је.

х 5 –2

х 2

√x 2

|x|

85. Израчунај:

2

3

– 4 5

0,4 –10,3 √15 – √19

а) √16; б) √4 2 ; в) √(–4) 2 ;

г) √ ( – 4 7 ) 2 ; д) (–√9) 2 .

Б – вежбај

86. Израчунај вредност израза:

а) 7 – √(–6) 2 ; б) 2 3 + √( – 1 3 ) 2 ;

в) 2 5 – √(2 – 3)2 ; г) 2 ∙ √

1

4 – 1 3 ∙ √(–12)2 ;

д) (3√3) 2 – 2√3 2 + √(–3) 2 .

В – примени

87. Израчунај вредност израза:

а) 2 3 ∙ √(–9)2 – 4 ∙ √

25

36 + 6 ∙ √ 7 1 9 ;

б) 4 5 ∙ √ 1 9

16 – 3 ∙ √( – 2 3 ) 2

+ 2 3 ∙ √ 2 1 4 ;

в) 1 1 7 ∙ √ 1 – 15

64 – 0,2 ∙ √25 + 3 4 ∙ √(–16)2 .

88. Израчунај вредност израза:

а) √(–1) 2 – √(–2) 2 + √(–3) 2 – √(–4) 2 ;

б) √(–0,3) 2 – 2 ∙ √ ( –5 1 2 ) 2 + √

1 24

25 ;

в) 1 3 ∙ √(–6)2 + 4 5 ∙ √(–0,5)2 – √ ( –3 3 4 ) 2

г) √9 – √9 2 + 9 ∙ √

1

9 – √(–9)2 ;

д) (√5) 2 + 5 + √(–5) 2 – 2 ∙ √

1

25 .

89. Израчунај вредност израза A : B ако је:

а) А = √ ( – 4

25 ) 2 ∙ ( –2 1 2

) 2

B = √0,81 – 1 1 5 ∙ √ 25

36 ;

б) А = √676 + 1 1 4 ∙ √( – 4 5 ) 2

B = ( – 2 3

) 2 ∙ √

5

– √121

1

16 + √0,25.

90. Израчунај вредност израза

1

2 ∙ √a2 + 3 4 ∙ a2 – 1 a за а = –2.

6

91. За А = √ ( 3 5 – 1 ) 2 – √ ( 3 5 + 1 ) 2 и

В = √

1 – 16

25 ∙ √ 5 4 9 израчунај:

а) А – В; б) А ∙ В; в) (А + В) 2 .

92. За А = 2 1 2 ∙ √ 1 + 11

25 – 1 2 ∙ √(–4)2 и

В = √

1 +

9

16 + √( – 3 4 ) 2 – 2 ∙ √(–5)2

4

израчунај:

а) А 2 – В 2 ; б) (А + В) 2 .

93. Израчунај вредност израза:

а) 2 7 ∙ √(–0,7)2 – 5 : √6,25 – (–0,4) 2 ;

б) √(–0,4) 2 – 2 ∙

1

– 1 1 5 2 4 ∙ √( – 2 5 ) 2 .

;

14

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


94. Реши једначину:

100. Реши једначину:

д) 4 1 x2 + 5= 9,5; ђ) 3 1 – 1 1 x2 = 2 1 . д) √3 + 4; ђ) 2√3 + 3√2 .

Забрањено2

2 ј е репродуковање, умножавање, дистрибу 3 ц ија,

обј

ављи 5 в ање,

прерада и др 2 у га

употреба овог ауторског д2е2л 2л

2а или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу 15

а) √x 2 = 5; б) √x 2 = √7;

а) (x – 1) 2 = 25; б) (x + 4) 2 = 49;

в) √x 2 = 3√2; г) √x 2 = х.

в) ( x + 1 2

) 2 =

9

16 ; г) 3 ∙ (x – 3)2 = 5 1 3 ;

95. Реши једначину:

а) √(x + 3) 2 = 1; б) √(x – 1) 2 = 1 д) 1

2 ;

2 ∙ ( 2 5 x + 3 ) 2 = 18

25 ;

в) √ ( 2x – 1 3 ) 2 = 2 ђ) 4

3 ; г) √(5 – x)2 = 5 – х.

7 ∙ (5x – 2)2 = 1 3 4 .

101. Реши једначину:

Г – прошири

96. Израчунај вредност израза:

а) √(x + 1) 2 = 4;

в) √(2x – 1) 2 = 5;

б) √(x – 2) 2 = 3;

г) (x + √3) 2 = 2

а) (√2 + √3) 2 – (√2 – √3) 2 ;

б) (2 – √5) 2 + (√5 – 2) 2 ;

в) √10 – (3 – √10) 2 + (2 – 2√10) 2 .

102. Израчунај дужину дијагонале квадрата

чија је површина 8 cm 2 .

103. Израчунај дужину катете (крака)

једнакокрако-правоуглог троугла чија

97. Реши неједначину:

а) √x 2 < 2; б) √x 2 > 2 1 2 ;

је површина 18 cm 2 .

104. Израчунај дужину ивице коцке чија је

в) √x 2 ≥ √7 + 1; г) √(x + 3) 2 < 0.

површина 150 cm 2 .

105. Ако се четвороструком квадрату неког

броја дода број 5, добија се број 41. О

ком броју је реч?

106. Производ броја 4 1 и квадрата неког

2

Б – вежбај

броја је број 8. Одреди тај број.

98. Реши једначину:

107. Квадрат неког броја подељен бројем

а) x 2 = 1; б) x 2 = 16;

2 1

в) x 2 = 81; г) x 2 = 25

36 ;

2 је број 5

. Који је то број?

32

д) x 2 = 0,04; ђ) 2x 2 = 50;

Г – прошири

е) 2 3 x2 = 3 8 ; ж) 1 1 3 x2 = 75.

108. Докажи да је следећи број

ирационалан:

В – примени

а) √3; б) √5;

в) √7; д) √8.

99. Реши једначину:

109. Докажи да следећи број није

а) x 2 – 4= 5; б) 5x 2 + 3= 83;

рационалан:

в) 70 – 6x 2 = 46; г) 1 1 5 x2 + 5= 6,2;

а) 1 + √2 ; б) 2 – √3;

в) √2 + √5; г) 3√2 ;

РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА

x 2 = r, r ≥ 0, У СКУПУ

РЕАЛНИХ БРОЈЕВА

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ТАБЕЛА КВАДРАТНИХ КОРЕНА ПРИРОДНИХ

БРОЈЕВА МАЊИХ ОД 400

На једном примеру ћемо објаснити како се табела користи. Рецимо да нам треба

(приближна) вредност квадратног корена броја 357. Она се налази у пресеку врсте табеле

која одговара броју 35 (двоцифреном почетку броја 357) и колоне која одговара броју 7

(последњој цифри броја 357). Дакле, √357= 18,8944.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,0000 1,0000 1,4142 1,7321 2,0000 2,2361 2,4495 2,6458 2,8284 3,0000

1 3,1623 3,3166 3,4641 3,6056 3,7417 3,8730 4,0000 4,1231 4,2426 4,3589

2 4,4721 4,5826 4,6904 4,7958 4,8990 5,0000 5,0990 5,1962 5,2915 5,3852

3 5,4772 5,5678 5,6569 5,7446 5,8310 5,9161 6,0000 6,0828 6,1644 6,2450

4 6,3246 6,4031 6,4807 6,5574 6,6332 6,7082 6,7823 6,8557 6,9282 7,0000

5 7,0711 7,1414 7,2111 7,2801 7,3485 7,4162 7,4833 7,5498 7,6158 7,6811

6 7,7460 7,8102 7,8740 7,9373 8,0000 8,0623 8,1240 8,1854 8,2462 8,3066

7 8,3666 8,4261 8,4853 8,5440 8,6023 8,6603 8,7178 8,7750 8,8318 8,8882

8 8,9443 9,0000 9,0554 9,1104 9,1652 9,2195 9,2736 9,3274 9,3808 9,4340

9 9,4868 9,5394 9,5917 9,6437 9,6954 9,7468 9,7980 9,8489 9,8995 9,9499

10 10,0000 10,0499 10,0995 10,1489 10,1980 10,2470 10,2956 10,3441 10,3923 10,4403

11 10,4881 10,5357 10,5830 10,6301 10,6771 10,7238 10,7703 10,8167 10,8628 10,9087

12 10,9545 11,0000 11,0454 11,0905 11,1355 11,1803 11,2250 11,2694 11,3137 11,3578

13 11,4018 11,4455 11,4891 11,5326 11,5758 11,6190 11,6619 11,7047 11,7473 11,7898

14 11,8322 11,8743 11,9164 11,9583 12,0000 12,0416 12,0830 12,1244 12,1655 12,2066

15 12,2474 12,2882 12,3288 12,3693 12,4097 12,4499 12,4900 12,5300 12,5698 12,6095

16 12,6491 12,6886 12,7279 12,7671 12,8062 12,8452 12,8841 12,9228 12,9615 13,0000

17 13,0384 13,0767 13,1149 13,1529 13,1909 13,2288 13,2665 13,3041 13,3417 13,3791

18 13,4164 13,4536 13,4907 13,5277 13,5647 13,6015 13,6382 13,6748 13,7113 13,7477

19 13,7840 13,8203 13,8564 13,8924 13,9284 13,9642 14,0000 14,0357 14,0712 14,1067

20 14,1421 14,1774 14,2127 14,2478 14,2829 14,3178 14,3527 14,3875 14,4222 14,4568

21 14,4914 14,5258 14,5602 14,5945 14,6287 14,6629 14,6969 14,7309 14,7648 14,7986

22 14,8324 14,8661 14,8997 14,9332 14,9666 15,0000 15,0333 15,0665 15,0997 15,1327

23 15,1658 15,1987 15,2315 15,2643 15,2971 15,3297 15,3623 15,3948 15,4272 15,4596

24 15,4919 15,5242 15,5563 15,5885 15,6205 15,6525 15,6844 15,7162 15,7480 15,7797

25 15,8114 15,8430 15,8745 15,9060 15,9374 15,9687 16,0000 16,0312 16,0624 16,0935

26 16,1245 16,1555 16,1864 16,2173 16,2481 16,2788 16,3095 16,3401 16,3707 16,4012

27 16,4317 16,4621 16,4924 16,5227 16,5529 16,5831 16,6132 16,6433 16,6733 16,7033

28 16,7332 16,7631 16,7929 16,8226 16,8523 16,8819 16,9115 16,9411 16,9706 17,0000

29 17,0294 17,0587 17,0880 17,1172 17,1464 17,1756 17,2047 17,2337 17,2627 17,2916

30 17,3205 17,3494 17,3781 17,4069 17,4356 17,4642 17,4929 17,5214 17,5499 17,5784

31 17,6068 17,6352 17,6635 17,6918 17,7200 17,7482 17,7764 17,8045 17,8326 17,8606

32 17,8885 17,9165 17,9444 17,9722 18,0000 18,0278 18,0555 18,0831 18,1108 18,1384

33 18,1659 18,1934 18,2209 18,2483 18,2757 18,3030 18,3303 18,3576 18,3848 18,4120

34 18,4391 18,4662 18,4932 18,5203 18,5472 18,5742 18,6011 18,6279 18,6548 18,6815

35 18,7083 18,7350 18,7617 18,7883 18,8149 18,8414 18,8680 18,8944 18,9209 18,9473

36 18,9737 19,0000 19,0263 19,0526 19,0788 19,1050 19,1311 19,1572 19,1833 19,2094

37 19,2354 19,2614 19,2873 19,3132 19,3391 19,3649 19,3907 19,4165 19,4422 19,4679

38 19,4936 19,5192 19,5448 19,5704 19,5959 19,6214 19,6469 19,6723 19,6977 19,7231

39 19,7484 19,7737 19,7990 19,8242 19,8494 19,8746 19,8997 19,9249 19,9499 19,9750

Б – вежбај

110. Користећи претходну табелу израчунај

приближно:

а) √85; б) √168; в) √372.

111. Користећи претходну табелу израчунај

приближно:

а) √93 + √285; б) √274 – √76.

16

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


РЕАЛНИ БРОЈЕВИ – РЕШЕЊА

ДЕЦИМАЛНИ ЗАПИСИ

РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА

1. а)

3

10 ; б) 17

100 ; в) 1

200 ;

г) 2 3 5 ; д) 21 51

100 ; ђ) 4 31

10 000 .

2. а) 2,7; б) 5,2; в) −0,6; г) −12,2; д) 4,4; ђ) −7,2.

3. а) −0,04; б) 17,91; в) −4,14; г) 1,24; д) −4,07; ђ) 2,46.

4. а) 1 ; б)

17

3 99 ; в) 1

180 ; г) 1 6 ; д) 4 2 9 ; ђ) 2 3

11 .

5. а) – 1 3 ; б) – 4

11 ; в) – 1

45 ;

г) –

4

15 ; д) −12 5

12 ; ђ) –11 5

11 .

6. 125,5.

КВАДРАТИ РАЦИОНАЛНИХ

БРОЈЕВА

7. 196 = 2 2 ∙ 7 2 = (2 ∙ 7) 2 = 14 2 ;

324 = 2 2 ∙ 3 4 = (2 ∙ 3 2 ) 2 = 18 2 ;

441 = 3 2 ∙ 7 2 = (3 ∙ 7) 2 = 21 2 ;

2 025 = 3 4 ∙ 5 2 = (3 2 ∙ 5) 2 = 45 2 ;

62 500 = 2 2 ∙ 5 6 = (2 ∙ 5 3 ) 2 = 250 2 .

8. а) а = 2 cm, P = 4 cm 2 ;

б) а = 10 mm, P = 100 mm 2 ;

в) а = 3,7 cm, P = 13,69 cm 2 ;

г) а = 4 dm, P =

16

5 25 dm2 ;

д) а = 3 1 cm, P = 9

43

7 49 cm2 .

9. а) а = b = 4 cm, P = 8 cm 2 ;

б) а = b = 9 mm, P = 40,5 mm 2 ;

в) а = b = 1,2 cm, P = 0,72 cm 2 ;

г) а = b = 2 3 dm, P = 2 9 dm2 .

10. a) 16; б) 49; в)

1

64 ;

г) 49

81 ; д) 30,25; ђ) 69 4 9 .

11.

а –1 8 –2,1

5

9

а 2 1 64 4,41

25

81

12. а) 36; б) 324; в) 0,64;

г)

9

;

100

д) 4

76

;

81

ђ) 0,0016.

13. а) Да; б) не; в) да; г) да; д) да;

ђ) да; е) да; ж) не; з) не.

–7 1 7

–0,02

51

1

49 0,0004

14. а) 0; б) 3; в) 1 2 ; г) 5 ; д) 0,9.

8

15. а) 2 cm; б) 6 mm; в) 4 m;

5

г) 0,7 dm.

16. а) 3; б) 2; в) 2; г) 5; д) 6; ђ) 7; е) 10; ж) 15; з) 30.

17. а) Не; б) да; в) да; г) не; д) да; ђ) не.

18. а) >; б) =; в) >; г) >; д) >; ђ) >.

19. –1 2 < –(–0,1) 2 < –0,01 2 =

= –(–0,01) 2 < (–0,001) 2 < 0,01 2 < (–0,1) 2 .

20. a) 50; б) 0; в) 100; г)

7

16 ; д) 1

16 ;

ђ) –1; е) –100; ж) 225; з) –0,01.

21. а) 1 5 ; б) –1; в) – 1

50 ; г) 1 9 .

22. а) 2; б) 30; в) –40; г) 100;

д) 160; ђ) 30.

23. а) 93; б) 5; в) 4,44.

24. –124,8.

25. а) 49; б) 10 000; в) 1;

г) 49; д) 1; ђ) 1.

26. а) Да, x = 3 или x = –3; б) не; в) не;

г) да, x = 5 или x = –5; д) да, x = 1 2 или x = – 1 2 ;

ђ) не.

27. а) 1 ; б) – 67,25; в) – 48;

4

г) 29,75; д) 1; ђ) 4

1

100 .

28. а) 26; б) –3

г) –20; д) 57 1 6 .

3

; в) 2

37

16 75 ;

29. а) p 2 + q 2 ; б) (p + q) 2 ; в) (p – q) 2 ;

г) p 2 – q 2 ; д) ( p 2

q ) ; ђ) p 2 ∙ (–q) 2 ; е)

q 2

.

3p 2

30. а) p 2 + q 2 = 4

1

25 ; б) (p – q)2 = 4 21

25 ;

в) p 2 ∙ q 2 =

4

25 ; г) ( p 2

2 ) – 2q = 3 5 .

31. а) x 2 + y 2 + z 2 = 126; б) x 2 + y 2 + z 2 = 14 269

400 .

32. ((–7) 2 – 6 2 )– (5 + (–9)) 2 = –3.

33.

( – 1 2

2 ∙ (–5) )

34. а = 1 4 , b = – 1 4 , c = – 1 4 ;

+ 2 ∙ (( – 1 2

2 )

2) + (–5) = 56 3 4 .

а)

3

16 ; б) 1

16 ; в) – 5 8 ; г) 7 32 ; д) –6 1

32 ; ђ) –4 1

16 .

35. а) – 66; б) 100; в) 4.

36.в

36.о

б36. а о г ауВиди торског

д

пример ела

или

његови

4 х д

у ело

уџбеникм

уџбенико уџбенику оу ва

у било

у бу и

на му

и

17. поступ

страни.ћ страни.и

ку

, укључ

у

ј у

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употре36.

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућ

уј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

17


СКУП РЕАЛНИХ БРОЈЕВА И

БРОЈЕВНА ПРАВА

37.

43. а)

–1 0 4 5,7

–1 0 3 1 2

38. a)

б)

б)

0 1 2 3 4 5

в)

–2 0

4,4

–4 0

0 3 1 3

в)

г)

г)

–3 0

3

д)

0

д)

0 2

ђ)

0 2

ђ)

–4 0

4

е)

0 6

е)

ж)

–7 0– 2 0

0 3

6

Слично се раде и примери ж) и з).

44. а)

б)

–2 0

0 4

з)

0 4

в)

18

–2 0

3

39. а) Да; б) не; в) не; г) да; д) да; ђ) не.

40. a) 2 2 < 5 < 3 2 ; 2,2 2 < 5 < 2,3 2 ;

2,23 2 < 5 < 2,24 2 2,23 < x < 2,24.

б) 3 2 < 12 < 4 2 ; 3,4 2 < 12 < 3,5 2 ;

3,46 2 < 12 < 3,47 2 3,46 < x < 3,47.

41. а) Између 8 и 9; б) између 10 и 11;

в) између 15 и 16.

42. а) 0,273... > −0,126...; б) −0,567... < 0,123...;

в) 2,345... > 2,339...; г) 0,009 > 0,0010...;

д) −4,2 > −4,21...; ђ) −1,098... < −1,098.

г)

д)

0 2

–1 0

0 2 6

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ђ)

48. а)

е)

–2 0 1,25

б)

2 43

45. а)

б)

в)

г)

д)

0 3,5

7

–2 20

–4 0

4

–3 1 2

–2,5 0 2,5

0 3 1 2

2,5 3 3,5

КВАДРАТНИ КОРЕН

49. a) 10; б) 11; в) 13; г) 15; д) 20;

ђ) 2 5 ; е) 8 7 = 1 1 7 ; ж) 9 8 = 1 1 ; з) 1,2;

8

и) 0,03; ј) 7 3 = 2 1 3 ; к) 3 7 .

50. а) 8 3 = 2 2 3 ; б) 5 2 = 2 1 ; в) 3; г) –1;

2

д) –5; ђ) 2 3 ;

4

е) –0,5.

51. а) a = √3 cm; б) a = √5 cm; в) a = 2√2 cm. Не.

52. А R = { –5; √16; –√2 ∙ √8; 3,9 } ,

53.

А I = { √5; –√7; –√8 + 8; 5 – √6 } .

ђ)

е)

–4 –1 0 1 4

–3 0

5

–3 10

46. а) (0, 1); б) [–2, 2]; в) [0, 3); г) (–3, 2); д) [ –3, 5 1 2 ] .

47. а)

б)

– 1 10

–4 0

4

број

√2 = 1,41423...

√8 = 2,82842...

–√6 = –2,44948...

–√15 = –3,87298...

број заокругљен

на цео део

1 3 –2 –4

број заокругљен

на 1 децималу

1,4 2,8 –2,4 –3,9

број заокругљен

на 2 децимале

1,41 2,83 –2,45 –3,87

број заокругљен

на 3 децимале

1,414 2,828 –2,449 –3,873

54. а) 5,20; б) 6,63; в) 10,49; г) 29,60;

д) 35,13; ђ) 1,97; е) 4,27; ж) 0,08.

55. а) 5; б) 8; в) 6 5 = 1 1 5

; г)

11

6 = 1 5 6 ; д) 7 5 = 1 2 5 ;

ђ) 5 4 = 1 1 4 ; е) 5 2 = 2 1 2 ; ж) 9 2 = 4 1 2 .

56. а) 2√7 I; б) 0 Q; в) 7 Q; г) 1 Q.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

19


57. a) √5, –√5 I; б) 2 5 , – 2 5 Q; в) √2 7 , – √2 7 I;

г) √2 5 , – √2 5 I; д) 3 5 , – 3 5 Q.

58. a) –6 √16 < –√36 < √16 < 6 < 66;

б) –√16 < –3 < 2 < √5 < 3,5 < √22;

в) –√9 < –√6,25 < –√5 < –1,4 < √2 < 1,73 < √3 < 1,74.

59. а) √5 > –√5; б) –√2 > –√3;

в) –2√5 > –5; г) 2√3 < 3√2.

60. а) 4,23; б) 6,92; в) 0,86; г) 0,56; д) 0,52; ђ) 0,18.

61. a) √3 ≈ 1,732; б) √6 ≈ 2,449; в) √10 ≈ 3,162.

62. а) не; √7 + (–√7); б) не; √7 – √7; в) не; √2 ∙ √8 = 4;

г) не; √8 : √2 = 2.

63. a) √25 < 25; б) √7 < 7;

в) √

9

49 > 9

;

49

г) √0,04 > 0,04;

Дакле, за ненегативне реалне бројеве x важи:

√x < x за х > 1, a √x > x за х < 1.

64. а) 37; б) 157; в) 23,07; г) 5,42; д) 24,73; ђ) 18,62.

65. а) 21,07; б) 99,38; в) 12,27.

РАЧУНСКЕ ОПЕРАЦИЈЕ

У СКУПУ РЕАЛНИХ БРОЈЕВА

66. а) 15; б) 36; в) 42; г) 2 5 ; д) 3 7 ;

ђ) 1 1 3 ; е) 3 2 ;

3

ж) 0,18; з) 1,75.

67. а) 13 – √2; б) 5; в) 5 – √3; г) √6;

д) –28√2; ђ) –33√5; е) –2√2.

68. а) 2√2; б) 2√10; в) –2,8 – 7√11;

г) 5 + √5 ;

5

д) 2√3 + 3√2; ђ) –4,3 + 2√7;

е) 1 – √13 ; ж) –

√15

8 10 + 1

15 .

69. а) √3 ; б)

4√5

; в) 5√2; г) √6; д)

√14

;

3 5 2

ђ) 2√5.

70. а) 84; б) 2,75; в) 1,68.

71. а) √49 ∙ 100 = 7 ∙ 10 = 70;

б) √9 ∙ 9 ∙ 25 = 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45;

в) √1681 ∙ 4 = 41 ∙ 2 = 82;

г) √441 ∙ 4 ∙ 100 = 21 ∙ 2 ∙ 10 = 420.

72. а) √12 = √4 ∙ 3 = √4 ∙ √3 = 2√3;

б) √18 = √9 ∙ 2 = √9 ∙ √2 = 3√2;

в) √20 = √4 ∙ 5 = √4 ∙ √5 = 2√5;

г) √24 = √4 ∙ 6 = √4 ∙ √6 = 2√6;

д) √45 = √9 ∙ 5 = √9 ∙ √5 = 3√5;

ђ) √50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = 5√2.

73. а) 30; б) 156; в) –55.

74. а) 2√2; б) 3√3; в) 5√3; г) 4√3;

д) 6√3; ђ) 10√2.

75. а) 4; б) 9; в) 6.

76. а) 2√2; б) 6√5; в) 10√6; г) 4√7.

77. а) –√5; б) 6√3; в) –√3; г) 13√3; д) –25√2;

ђ) 4√2; е) 6√5; ж) 13√5.

78. а) 2

9

10 ; б) 6 4

5 ; в) 2 1

9 ; г) –2 3 ;

5

д) 0;

ђ) 18 2 3 ; е) 0; ж) 1 3 ; з) –1; и) 9.

5

79. а) –6; б) 18; в) 6; г) 0; д) 6; ђ) 20; е) 1.

80. а) 10 Q; б) 6 Q; в) –7 Q.

81. а) 4; б) 3; в) 16√11

33

; г) 1

31

36 ; д) 8 1

16 .

82. Како је х = 3 5 и y = 0,24 = 6

, то је вредност

25

датог израза – 23

30 .

83. Како је А = 5 и В = 0,6, то је:

а) A + B = 5,6; б) A · B = 3; в) (A – B) 2 = 19,36.

ЈЕДНАКОСТ √a 2 = |a|

84.

х 5 –2

х 2 25 4

√x 2 5 2

|x| 5 2

2

3

4

9

2

3

2

3

– 4 5

16

25

4

5

4

5

0,4 –10,3 √15 –√19

0,16 106,09 15 19

0,4 10,3 √15 √19

0,4 10,3 √15 √19

85. а) 4; б) 4; в) 4; г) 4 ; д) 3.

7

86. а) 1; б) 1; в) – 3 ; г) –3; д) 24.

5

87. а) 18 2 ; б) 0;

3

в) 12.

88. а) –2; б) –9,3; в) –1,35; г) –12; д) 14,6.

89. а) 100; б) 18.

90. 4 1 3 .

91. Како је А = –1 1 5 и В = 1 2 , то је:

5

а) A – B = –2 3 ; б) A · B = –1

17

5 25 ; в) (A + B)2 =

1

25 .

20

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


92. Како је А = 1 и В = – 1 , то је:

2

107. x 2 : 2 1 2 = 5

32 , x = 5 8 или x = – 5 8 .

106. 4 1 2 x2 = 8, x = 1 1 3 или x = –1 1 3 .

а) A 2 – B 2 = 3 4 ; б) (A + B)2 = 1 4 .

108. a) Ако претпоставимо супротно, да је √3 Q + , то

јест да је √3 = a и a, b N и D(a, b) = 1, то је

93. а) –1,96; б) –0,18.

b

94. а) x = 5 или x = –5; б) x = √7 или x = –√7;

(√3) 2 =

в) x = 3√2 или x = –3√2;

(

a

b )

2, односно 3 = a2

, па је a 2 = 3b 2 .

b 2

Онда 3 | a 2 , па 3 | a, то јест а = 3р, р N. Из

г) решење је свако х R за које важи да је х ≥ 0.

95. а) x = –2 или x = –4; б) x = 1 2 или x = 1 1 a 2 = 3b 2 следи (3р) 2 = 3b 2 , 9р 2 = 3b 2 , 3р 2 = b 2 ,

2 ;

односно 3 | b 2 , то јест 3 | b. Kако 3 | a и 3 | b, за

бројеве а и b важи D(a, b) 3, што је супротно

в) x = 1 2 или x = – 1 6 ;

прeтпоставци да је D(a, b) = 1. Значи, √3 Q + .

б) Види пример а).

г) решење је сваки реалан број x за који важи

x 5.

в) Види пример а).

г) Претпоставимо супротно, да је √8 Q + и

96. а) 2√2; б) 2√5 – 4; в) 2√10 + 1.

√8 = r, r Q + . Kako je √8 = 2√2 = r, to je

97. а) x (–2 ,2); б) x < – 2 1 2 или x > 2 1 2 ;

√2 = r 2 Q+ , што је у супротности са √2 I.

в) x ≤ –√7 – 1 или x ≥ √7 + 1;

Значи, √8 I.

г) нема решења.

109. a) Претпоставимо супротно, да је 1 + √2 Q.

Тада је 1 + √2 = r, r Q + , па онда и

РЕШАВАЊЕ ЈЕДНАЧИНА

√2 = r – 1 Q, што је у супротности са √2 I.

Значи, 1 + √2 I.

x 2 б) Види пример а).

= r, r ≥ 0, У СКУПУ

в) Претпоставимо супротно, да је √2 + √5 Q. Тада

РЕАЛНИХ БРОЈЕВА

је √2 + √5 = r, r Q, односно √5 = r – √2. Сада је

(√5) 2 = (r – √2) 2 , односно 5 = r 2 – 2 r √2 + 2, па је

98. а) x = 1 или x = –1; б) x = 4 или x = –4;

в) x = 9 или x = –9; г) x = 5 6 или x = – 5 √2 =

r 2 – 3

Q, што је у супротности са

6 ;

2r

√2 I . Значи, √2 + √5 I.

д) x = 0,2 или x = –0,2; ђ) x = 5 или x = –5;

г) Претпоставимо супротно, да је 3 √2 Q, то

е) x = 3 4 или x = – 3 4 ; ж) x = 7 1 2 или x = –7 1 2 .

јест 3 √2 = r, r Q. Тада је √2 = r Q, што је у

3

супротности са √2 I. Значи, 3√2 I.

99. а) x = 3 или x = –3; б) x = 4 или x = –4;

д) Види претходни пример.

в) x = 2 или x = –2; г) x = 1 или x = –1;

ђ) Види примере в) и г).

д) x = 1 или x = –1; ђ) x = 5 6 или x = – 5 6 . 110. а) 9,2195; б) 12,9615; в) 19,2873.

111. а) 26,5256; б) 7,8351.

100. а) x = 6 или x = –4; б) x = 3 или x = –11;

в) x = 1 4 или x = –1 1 4 ; г) x = 4 1 3 или x = 1 2 3 ;

д) x = –4 1 2 или x = –10 1 2 ; ђ) x = 3 4 или x = 1

20 .

101. а) x = 3 или x = –5; б) x = 5 или x = –1;

в) x = 3 или x = –2; г) x = 2 – √3 или x = –2 – √3.

102. d = 4 cm.

103. a = b = 6 cm.

104. a = 5 cm.

105. 4x 2 + 5 = 41, x = 3 или x = –3.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

21


ТЕСТ – РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

1. Израчунај:

а) ( –5 1 2

) 2 ; б) 5 ∙ (–2) 2 + 5 ∙ (–3 2 ).

2. Израчунај:

а) √0,09; б) √

1 +

9

16 ; в) √( – 2 5 ) 2 .

3. Решење једначине 1 4 х2 = 16

49 је:

а) x = – 8 7 или x = 8 7 ; б) x = 1 1 7 ; в) x = – 2 7 или x = 2 7 ; г) x = – 7 8 или x = 7 8 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Површина квадрата је 50 cm 2 . Дужина његове странице је:

а) 25 cm; б) 12,5 cm; в) 5√2 cm; г) 7,05 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Из скупа А = {

2

7 ; √5; 9,1(6); –7,35184...; √25 – 7 } издвој

а) подскуп рационалних бројева В;

б) подскуп ирационалних бројева С.

6. Израчунај:

а) √3 ∙ (√3 – √48 + √12); б) 4√2 – √18 + √50.

7. Користећи калкулатор израчунај квадратни корен броја 5, па га заокругли на:

а) две децимале; б) четири децимале.

8. Вредност израза 3 4 · √(–16)2 + 1 1 7 √ 1 – 15

а) –5; б) 7; в) –17; г) 19.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

64 – 9 · √( – 2 3 ) 2

је:

1. а) 30 1 4 ; б) –25; 2. а) 0,3; б) 1 1 4 ; в) 2 5 { ; 3. а); 4. в); 5. В = 2 7 } ; 9,1(6); √25 – 7 ,

С =

{ } √5; –7,35184... ; 6. а) –3; б) 6 √2; 7. а) 2,24; б) 2,2361; 8. б).

22

Решења

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

А – утврди

1. Израчунај дужину хипотенузе с, а затим

обим правоуглог троугла ако су дужине

његових катета:

а) а = 3 cm, b = 4 cm;

б) а = 5 cm, b = 12 cm;

в) а = 18 cm, b = 24 cm;

г) а = 7 cm, b = 24 cm;

д) а = 14 cm, b = 48 cm;

ђ) а =

9

10 cm, b = 1 1 5 cm;

е) а = 0,6 dm, b = 0,8 dm;

ж) а = 15 cm, b = 2 dm;

з) а = 10 cm, b = √3 dm;

и) а = √2 cm, b = √5 cm;

ј) а = 3 cm, b = √3 cm;

к) а = 3 cm, b = 6 cm.

2. Израчунај дужину хипотенузе с

правоуглог троугла ако је дужина једне

катете 4 cm, а друга катета је:

а) за 2 cm дужа од прве катете;

б) два пута дужа од прве катете.

3. Ако су а и b дужине катета, а c дужина

хипотенузе правоуглог троугла,

израчунај дужину непознате катете, а

затим површину тог троугла:

а) а = 15 cm, с = 17 cm;

б) b = 24 cm, с = 26 cm;

в) b = 30 cm, с = 34 cm;

г) а = 21 cm, с = 2,9dm;

д) b = 3,5dm, с = 37 cm;

ђ) а = 4 2 7 cm, с = 4 6 7 cm;

е) b = √5dm, с = 3dm;

ж) b = √7 cm, с = √10 cm;

з) а = 2√2 cm, с = 2√7 cm.

4. Одреди дужине дужи AB, CF, EF, GH

и MN у односу на јединицу мере на

квадратној мрежи на слици.

јединица

мере

C

B

A

Б – вежбај

5. Израчунај обим правоуглог троугла ако

је дата дужина једне његове катете (a

или b) и његова површина (P):

а) а = 6 cm, Р = 24 cm 2 ;

б) b = 18 cm, Р = 216 cm 2 ;

в) b = 48 cm, Р = 3,36 dm 2 ;

г) а = 1 cm, Р = √6 cm 2 .

6. Израчунај обим и површину правоуглог

троугла ако је дужина једне катете

а = 16 cm и хипотенузе с = 2 dm.

7. Ако је дужина једне катете правоуглог

троугла 2 cm, а његова површина

4 cm 2 , израчунај обим тог троугла и

полупречник описане кружнице.

8. Одреди дужине дужи AB, CF, EF, GH

и MN у односу на јединицу мере на

квадратној мрежи на слици.

јединица

мере

B

C

A

E

E

F

G

D

D

F

G

H

M

H

M

N

9. Мердевине дужине 2,5 m ослоњене

су врхом на вертикални зид. Ако је

растојање њиховог подножја од зида

70 cm, до које висине зида досеже врх

мердевина?

N

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

23


10. Фабрички димњак баца сенку дугу

240 m. Ако је растојање од врха

димњака до врха сенке 260 m, колика је

висина димњака?

16. На основу података са слике израчунај

дужину дужи х:

а)

б)

11. Врх бандере чија је дужина 12 m је

жицом спојен са земљом, на растојању

5 m од подножја бандере. Израчунај

дужину жице.

12. Дрвена греда дужине 5 m наслоњена је

врхом на вертикални зид на растојању

4,8 m од земље. Колико је подножје

греде удаљено од зида?

1

в)

3

х 2 х

1

х

х

12

13. Висина металних стубова који држе

циркуски шатор је 7,2 m. Стубови су

конопцима, који су развучени до врха

стубова, везани за земљу на растојању

5,4 m од подножја стубова. Колика је

дужина конопаца?

14. Софија је изашла из планинарског дома

и одлучила да се прошета кроз шуму.

Најпре је кренула на запад и прешла

800 m, а затим је скренула надесно под

углом од 90° и кренула на север. Када је

прешла 600 m, плашећи се да не закасни

на ужину, одлучила је да се врати. Колико

је дугачак најкраћи пут којим Софија

може да се врати (на почетну тачку)?

15. Брод је кренуо из луке на југ и после

пређених 48 наутичких миља* обалска

стража је најавила невреме и брод је

морао да промени правац кретања, па

је кренуо на исток. Прешавши затим 14

наутичких миља морао је због олује да

се врати у луку најкраћим путем. Колико

наутичких миља је укупно прешао

брод?

* Наутичка миља је јединица за мерење дужине.

Најчешће се употребљава у поморству. На било

којој тачки земљине лопте једна наутичка миља

одговара удаљености између суседних минута

паралела, када се иде по меридијану. Једна

наутичка миља једнака је 1 852 m.

г)

4

В – примени

20

16

х

15

17. Дужина једне катете правоуглог троугла

је 24 cm, а дужина друге је 4 3 дужине

прве катете. Израчунај обим тог троугла.

18. Хипотенуза правоуглог троугла је

5 cm, а једна катета је за 20% краћа од

хипотенузе. Израчунај обим и површину

тог троугла.

19. Једна катета правоуглог троугла износи

3

дужине друге катете. Ако је дужина

4

хипотенузе тог троугла 15 cm, израчунај

његов обим и површину.

20. Израчунај висину која одговара

хипотенузи правоуглог троугла ако су

дужине катета тог троугла 6 cm и 8 cm.

24

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


21. Израчунај обим правоуглог троугла

ако је његова површина 24 cm 2 , а једна

катета је три пута краћа од друге.

22. Дужина једне катете правоуглог троугла

је 8 cm, а дужина полупречника описане

кружнице је 8,5 cm. Одреди обим тог

троугла.

23. Дужина једне катете правоуглог троугла

је 24 cm, а дужина тежишне дужи која

одговара хипотенузи је 13 cm. Израчунај

обим и површину тог троугла.

24. Дужина једне катете правоуглог троугла

је 18 cm, а дужина тежишне дужи која

јој одговара је 15 cm. Израчунај обим и

површину тог троугла.

25. Дужина једне катете правоуглог троугла

је 11 cm, а дужина тежишне дужи

која одговара другој катети је 6,1 dm.

Израчунај површину тог троугла.

26. Израчунај обим и површину троугла АВС

са слике.

С

24 26 25

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГАОНИК

А – утврди

27. Израчунај дужину дијагоналa

правоугаоника ако су дужине његових

страница:

а) а = 15 cm, b = 8 cm;

б) а = 7 cm, b = 24 cm;

в) а = 4 4 5 cm, b = 3 3 5 cm;

г) а = 4,2 cm, b = 5,6 cm;

д) а = 4,8 cm, b = 1,4 cm;

ђ) а = 12 cm, b = 6 cm.

28. Израчунај дужину странице b

правоугаоника ако је дата дужина

странице а и дужина дијагонале d:

а) а = 6 cm, d = 10 cm;

б) а = 12 cm, d = 13 cm;

в) а = 8 cm, d = 17 cm.

Б – вежбај

29. Израчунај дужину дијагонале

правоугаоника ако је:

а) дужина једне странице а = 12 cm, а

површина правоугаоника Р = 108 cm 2 ;

б) дужина једне странице b = 5 cm, а

обим правоугаоника О = 34 cm;

в) једна страница дужа од друге за 4 cm,

а обим правоугаоника О = 56 cm;

г) једна страница 3 4

дужине друге

А

В

странице, а површина правоугаоника

Р = 48 cm 2 .

30. Ако су дате дужине једне странице (а

или b) и дијагонале (d) правоугаоника,

израчунај обим и површину тог

правоугаоника:

а) а = 5 cm, d = 13 cm;

б) b = 24 cm, d = 26 cm;

в) b = 21 cm, d = 29 cm;

г) а = 8 cm, d = 4√5 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

25


Г – прошири

31. Одреди полупречник круга који је

описан око правоугаоника ако су

дужине страница правоугаоника:

а) а = 18 cm, b = 24 cm;

б) а = 12 cm, b = 8 cm.

32. Правоугаоник је уписан у круг

полупречника 1dm. Ако је дужина једне

странице правоугаоника 12 cm,

израчунај обим и површину тог

правоугаоника.

В – примени

33. Једна страница правоугаоника је два

пута дужа од друге странице. Израчунај

површину тог правоугаоника ако је

дужина његове дијагонале 10√5 cm.

34. Дужине страница правоугаоника АВСD

су 30 mm и 40 mm. Колико су темена В и

D удаљена од дијагонале АС?

35. Нека је тачка E средиште странице AB

правоугаоника ABCD (види слику). Ако је

AB = 6 cm и DE = 5 cm, израчунај:

а) обим и површину правоугаоника

ABCD;

б) обим и површину троугла ECD.

D

C

36. Израчунај обим и површину четвороугла

KLMN чија се темена налазе на

страницама правоугаоника ABCD (види

слику):

а)

D 4 M

C

б)

2

N

2

А

D

N

1

A

4 K 4

1 1

1

M 3

K

37. Нека је тачка E средиште странице AB, а

F средиште странице BC правоугаоника

ABCD (види слику). Ако је AB = 6 cm и

DE = 5 cm, израчунај површину троугла

EFD.

D

C

F

3

2

L

B

C

L

B

A

E

B

A

E

B

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА КВАДРАТ

А – утврди

38. Израчунај дужину дијагонале квадрата

ако је дужина његове странице:

а) а = 2 cm; б) а = 5 cm; в) а = 3√2 cm.

26

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


39. Израчунај дужину странице квадрата

ако је дужина његове дијагонале:

а) d = 3√2 cm; б) d = 10 cm; в) d = 2 cm.

40. Нека је а дужина странице квадрата,

а d дужина дијагонале тог квадрата.

Препиши дату табелу у свеску и попуни

је.

а 4 cm 7 m 6√2 mm

d √2 cm 14√2 dm 10 dm

Б – вежбај

41. Обим квадрата је 28 cm. Израчунај

дужину дијагонале тог квадрата.

42. Површина квадрата је 81 cm 2 . Израчунај

дужину дијагонале тог квадрата.

43. Израчунај обим и површину квадрата

ако је дужина његове дијагонале:

а) d = 5√2 cm; б) d = 2√2 cm;

в) d = 12 m; г) d = 15 dm.

44. Израчунај дужину полупречника

описане кружнице око квадрата ако је:

а) дужина његове странице а = 6 cm;

б) обим квадрата 20 cm;

в) површина квадрата 8 cm 2 .

45. Израчунај дужину странице квадрата

ако је дужина полупречника описане

кружнице око тог квадрата R = 4√2 cm.

б) Израчунај обим и површину троугла

CDE.

D

C

A

E

B

48. Нека је тачка E на страници AB квадрата

ABCD (види слику) таква да је AE = 3 cm и

DE = 5 cm.

D

C

A

E B

а) Израчунај обим и површину квадрата

ABCD.

б) Израчунај обим и површину троугла

DEC.

49. Нека су тачке Е и F средишта страница

BC и CD квадрата ABCD странице

a = 8 cm (види слику). Израчунај обим и

површину троугла AEF.

D F C

E

46. Израчунај дужину дијагонале квадрата

ако је дужина полупречника уписане

кружнице у тај квадрат r = 4√2 cm.

В – примени

47. Нека је тачка Е средиште странице АВ

квадрата АBCD (види слику) и нека је

дуж СЕ = 5 cm.

а) Израчунај обим и површину тог

квадрата.

A

50. Квадрат и правоугаоник имају

дијагонале једнаких дужина. Ако су

дужине страница правоугаоника 7 cm

и 1 cm, за колико се разликују њихове

површине?

51. Ако се у квадрату странице а = 4√2 cm

дијагонала повећа за 2 cm, за колико

ће се повећати обим, а за колико

површина тог квадрата?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

B

27


Г – прошири

52. У полукруг пречника 10 cm уписан је

квадрат (два темена квадрата су на

полукружници, а два на пречнику).

Израчунај обим и површину тог

квадрата.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ

ТРОУГАО

А – утврди

53. Израчунај дужину крака једнакокраког

троугла ако је дужина основице

а = 36 mm, а дужина њој одговарајуће

висине h a = 24 mm.

54. Ако су у једнакокраком троуглу дате

дужине основице а = 1 dm и крака

b = 13 cm, израчунај дужину висине која

одговара основици.

55. Израчунај дужину основице

једнакокраког троугла ако је дужина

крака b = 25 cm, а дужина висине која

одговара основици h a = 24 сm.

58. Израчунај обим једнакокраког троугла

ако је његова површина 60 cm 2 , а

дужина основице 10 cm.

59. Израчунај обим једнакокраког троугла

ако је његова површина 20√11 cm 2 , а

дужина висине која одговара основици

h a = 2√11 cm.

60. Израчунај обим једнакокрако-

-правоуглог троугла ако је дужина

његове катете (крака) 7 cm.

61. Израчунај висину коју досежу

двокрилне мердевине дужине 2,5 m, ако

су размакнуте на доњем крају 14 dm.

62. Стаклена пирамида која се налази у

Паризу испред музеја Лувр састављена

је од 4 једнакокрака троугла дужине

основица a = 36 m и крака b = 30 cm.

Колико m 2 стакла је било потребно да

би се направила та пирамида?

63. Одреди висину мердевина на основу

података са слике.

Б – вежбај

56. Израчунај обим и површину

једнакокраког троугла ако је дато

(а основица, b крак, h a

висина која

одговара основици):

а) а = 8 cm, b = 5 cm;

б) а = 18 cm, h a

= 12 cm;

в) b = 2,9 cm, h a

= 2,1 cm;

г) а = 62 cm, h a

= 2,4 dm.

64. Одреди висину шатора на основу

података са слике.

57. Израчунај површину једнакокраког

троугла ако је:

а) његов обим 50 cm, а дужина крака

17 cm;

б) његов обим 12 cm, а дужина основице

2 cm.

28

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


65. На симетрали дужи АВ чија је дужина

16 cm, дата је тачка Ѕ која је од дужи

АВ удаљена 15 cm. Колико је тачка Ѕ

удаљена од крајњих тачака дужи АВ?

66. У кругу полупречника 6,5 cm повучена

је тетива дужине 5 cm. Колико је та

тетива удаљена од центра круга?

В – примени

67. Обим једнакокраког троугла је 32 cm, а

крак му је за 2 cm краћи од основице.

Израчунај површину тог троугла.

68. Дужина основице једнакокраког

троугла је 24 cm, а њој одговарајућа

висина je 16 cm. Израчунај дужину

висине која одговара краку.

69. Израчунај обим и површину

једнакокрако-правоуглог троугла ако је

дужина његове хипотенузе (основице)

1 dm.

70. Израчунај висину која одговара

хипотенузи једнакокрако-правоуглог

троугла ако је:

а) дужина хипотенузе (основице)

6√2 cm;

б) дужина катете (крака) 8 cm.

71. На основу података са слике

(AD = 20 cm, CD = 13 cm, BD = 24 cm)

израчунај дужину дијагонале АС

делтоида ABCD:

D

A

20

24

B

13

C

72. Израчунај обим и површину

једнакокраког троугла ако је дужина

висине која одговара основици 12 cm, а

дужине основице и крака се односе као

6 : 5.

Г – прошири

73. Израчунај површину једнакокраког

троугла ако су дате дужина висине која

одговара основици h a

= 9 cm и дужина

тежишне дужи која одговара краку

t b = 7,5 cm.

74. Израчунај обим једнакокраког троугла

ако су дате дужина основицe a = 16 cm

и дужина тежишне дужи која одговара

краку t b = 3√17 cm.

75. Израчунај обим једнакокраког троугла

ако су дате дужинe висинa h a = 5 cm и

h b

= 8 cm.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА

ЈЕДНАКОСТРАНИЧНИ ТРОУГАО

А – утврди

76. Одреди дужину висине

једнакостраничног троугла ако је

дужина странице:

а) а = 6 cm; б) а = 1m;

в) а = 2√3 cm; г) а = √15 dm.

77. Израчунај површину једнакостраничног

троугла ако је дужина странице:

а) а = 4 cm; б) а = 5 cm; в) а = 2√3 cm.

78. Израчунај дужине полупречника

описане и уписане кружнице

једнакостраничног троугла ако је

дужина странице:

а) а = 2 cm; б) а = 3 cm; в) а = 4√3 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

29


Б – вежбај

79. Израчунај обим једнакостраничног

троугла ако му је дужина висине:

а) h = 3√3 cm; б) h = 8√3 cm;

в) h = 6 dm; г) h = √15 cm.

80. Ако је обим једнакостраничног троугла

9√3 cm, израчунај његову површину.

81. Ако је површина једнакостраничног

троугла 4√3 cm 2 , израчунај његов обим.

82. Израчунај обим и површину

једнакостраничног троугла ако је

дужина висине:

а) h = 2√3 cm; б) h = 6√3 cm; в) h = 6 cm.

83. Ако је а дужина странице, h висинa, О

обим, а Р површина једнакостраничног

троугла, препиши у свеску и попуни

дату табелу.

а h О Р

4 cm

3 cm

24 cm

9√3 cm 2

84. Ако су а, h, r, R редом дужине странице,

висине, полупречника уписане

кружнице и полупречника описане

кружнице једнакостраничног троугла,

О његов обим и Р његова површина,

препиши дату табелу у свеску и попуни

је.

a h r R O P

10 cm

27 cm

2√3 cm

4√3 cm

6 cm

15√3 cm 2

85. Ако су r и R редом дужине полупречника

уписане и описане кружнице

једнакостраничног троугла, израчунај

његов обим и површину ако је:

а) R + r = 9√3 cm; б) R – r = 3 cm.

В – примени

86. Ако су r и R редом дужине полупречника

уписане и описане кружнице

једнакостраничног троугла, израчунај

његов обим и површину ако је r · R = 6.

87. Израчунај површину фигуре са

слике (која се састоји од четири

једнакостранична троугла и квадрата).

88. Једнакостранични троугао и квадрат

имају једнаке обиме. Ако је дијагонала

квадрата 6√2 cm, израчунај површину

троугла.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА РОМБ

А – утврди

89. Израчунај дужину странице ромба ако

су дате дужине његових дијагонала:

а) d 1

= 18 cm, d 2

= 24 cm;

б) d 1 = 6 cm, d 2 = 2√7 cm.

4

30

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


90. Ако су дате дужине странице (a) и једне

дијагонале ромба (d 1

), израчунај дужину

друге дијагонале:

а) a = 13 cm, d 1

= 10 cm;

б) a = 2√5 cm, d 1 = 8 cm.

Б – вежбај

91. Израчунај обим и површину ромба

ако је дато (а дужина странице, d 1 и d 2

дужине дијагонала):

а) d 1 = 2√2 cm, d 2 = 2√7 cm;

б) а = 17 cm, d 1

= 16 cm;

в) а = 29 cm, d 2 = 42 cm;

г) а = 6 cm, d 2

= 8 cm.

92. Површина ромба је 24 cm 2 , а дужина

једне дијагонале је 8 cm. Израчунај

обим тог ромба.

93. Једна дијагонала ромба је два пута дужа

од друге дијагонале. Колики је обим тог

ромба ако је његова површина 81 cm 2 ?

В – примени

94. Дужина странице ромба је 4 cm,

а дужина једне дијагонале 6,4 cm.

Израчунај површину и висину тог

ромба.

95. Дужина странице ромба је 10 dm,

а дужина једне дијагонале 16 dm.

Израчунај дужину полупречника

кружнице која је уписана у тај ромб.

96. Обим ромба је 10 dm, а дужина једне

дијагонале 4 dm. Израчунај површину

тог ромба и дужину полупречника

кружнице која је уписана у тај ромб.

97. Дужина једне дијагонале ромба је 3 4

дужине друге дијагонале. Ако је његова

површина 24 cm 2 , израчунај обим и

висину тог ромба.

98. Одреди површину ромба ако се дужине

његових дијагонала односе као 3 : 4, а

обим тог ромба је 60 cm.

99. Израчунај дужине дијагонала ромба ако

је дужина његове странице а = 15 cm и

висине h = 9 cm.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ

ТРАПЕЗ

А – утврди

100. Дужине основица једнакокраког

трапеза су а = 7 cm и b = 1 cm, а висина

h = 4 cm. Израчунај дужину крака тог

трапеза.

101. Израчунај висину једнакокраког

трапеза ако су дужине основица

а = 13 cm и b = 3 cm, а дужина крака

с = 13 cm.

102. Израчунај дужину дијагонале

једнакокраког трапеза ако су дужине

основица а = 16 cm и b = 8 cm, а висина

h = 9 cm.

103. Израчунај висину једнакокраког

трапеза ако су дужине основица

а = 20 cm и b = 10 cm, а дужина

дијагонале d = 17 cm.

Б – вежбај

104. Израчунај обим и површину

једнакокраког трапеза ако је дато (а

дужина дуже основице, b дужина краће

основице, c дужина крака, h висинa):

а) a = 22 cm, b = 10 cm, c = 10 cm;

б) a = 15 cm, b = 9 cm, h = 4 cm;

в) a = 14 cm, c = 13 cm, h = 12 cm;

г) b = 22 cm, c = 10 cm, h = 8 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

31


105. Дужине основица једнакокраког

трапеза су a = 20 cm и b = 10 cm, а обим

је О = 56 cm. Колика је површина тог

трапеза?

112. Израчунај обим једнакокраког трапеза

ако је разлика дужина основица

a – b = 12 cm, дужина крака с = 10 cm и

површина трапеза Р = 88 cm 2 .

32

106. Израчунај обим једнакокраког трапеза

ако су дужине основица a = 26 cm и

b = 12 cm, а површина Р = 456 cm 2 .

107. Ако су а, b, h, d редом дужине дуже

основице, краће основице, висине

и дијагонале једнакокраког трапеза,

препиши дату табелу у свеску и попуни

је.

a b h d

35 cm 13 cm 18 cm

30 cm 18 cm 26 cm

30 cm 21 cm 29 cm

15 cm 16 cm 34 cm

108. Израчунај дужину дијагонале

једнакокраког трапеза ако су дужине

основица a = 21 cm и b = 11 cm, а крака

c = 13 cm.

109. Попречни пресек канала има облик

једнакокраког трапеза, чије су дужине

основица a = 3 m и b = 10 m, а крака

c = 3,7 m. Колика је дубина тог канала?

В – примени

110. Једна основица једнакокраког трапеза

је три пута дужа од друге основице,

а дужина висине је h = 24 cm. Ако је

површина тог трапеза Р = 336 cm 2 ,

израчунај његов обим.

111. Дужине основица једнакокраког

трапеза односе се као 5 : 2. Ако је

дужина крака c = 25 cm, а обим

О = 120 cm, израчунај његову

површину.

113. Одреди дужине основица

једнакокраког трапеза ако је дужина

крака c = 10 cm, дијагонале d = 17 cm и

висине h = 8 cm.

114. Дијагонала једнакокраког трапеза

дужине d = 4 cm нормална је на крак

дужине c = 3 cm. Израчунај:

а) дужу основицу;

б) висину;

в) површину трапеза.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГЛИ

ТРАПЕЗ

А – утврди

115. Дужине основица правоуглог трапеза

су а = 15 cm и b = 7 cm, а дужина дужег

крака је с = 17 cm. Израчунај дужину

краћег крака (висине) тог трапеза.

116. Дужина дуже основице правоуглог

трапеза је а = 12 cm, а дужина дуже

дијагонале је d 1

= 13 cm. Израчунај

дужину краћег крака (висине) тог

трапеза.

117. Дужина краће основице правоуглог

трапеза је b = 12 cm, а дужина краће

дијагонале је d 2

= 15 cm. Израчунај

дужину краћег крака (висине) тог

трапеза.

118. Дужине основица правоуглог трапеза

су a = 15 cm и b = 9 cm, а дужина

краћег крака је h = 8 cm. Израчунај:

а) дужину дужег крака;

б) дужине дијагонала.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б – вежбај

119. Ако су а, b, h, c редом дужине дуже

основице, краће основице, висине

(краћег крака) и дужег крака

правоуглог трапеза, О његов обим и

Р његова површина, препиши дату

табелу у свеску и попуни је.

a b h c O P

37 cm 30 cm 24 cm

24 cm 15 cm 41 cm

24 cm 36 cm 39 cm

13 cm 35 cm 37 cm

9 cm 6 cm 30 cm 2

120. Израчунај дужине дијагонала

правоуглог трапеза ако су:

а) дужине основица а = 8 cm, b = 6 cm и

висина h = 6 cm;

б) дужине основица а = 9 cm, b = 5 cm и

површина трапеза Р = 84 cm 2 .

121. На равном хоризонталном плочнику,

на међусобној удаљености од 12 m,

налазе се два електрична стуба, чије су

висине 5 m и 10 m. Колико је дугачка

жица која је затегнута између врхова

електричних стубова?

В – примени

122. Два круга полупречника r 1 = 4 cm и

r 2

= 1 cm додирују се споља и

истовремено додирују праву t у

тачкама Т 1

и Т 2

тим редом (види слику).

Израчунај дужину дужи Т 1

Т 2

.

123. Израчунај обим и површину

правоуглог трапеза ако су дужине

основица a = 14 cm и b = 5 cm, а

дужина краће дијагонале d 1

= 13 cm.

124. Израчунај површину правоуглог

трапеза ако је дато (а дужина дуже

основице, с дужина дужег крака, h

дужина краћег крака – висине, d 1

дужина дуже дијагонале и d 2 дужина

краће дијагонале):

а) a = 16 cm, c = 15 cm, d 1

= 20 cm;

б) c = 17 cm, h = 8 cm, d 2 = 10 cm.

ПРАВОУГЛИ ТРОУГЛОВИ ЧИЈИ

СУ ОШТРИ УГЛОВИ 30° И 60°,

ОДНОСНО ПО 45°

Б – вежбај

125. Израчунај површину једнакокраког

троугла ако су краци дугачки по 4 cm, а

углови на основици по 45°.

126. Израчунај обим и површину

једнакокраког троугла ако је дужина

основице 6 cm, а углови на њој по 45°.

127. Један оштар угао правоуглог троугла

је 60°. Одреди дужине страница тог

троугла ако је 6 сm дугачка:

а) његова хипотенуза;

б) његова краћа катета;

в) његова дужа катета.

О 1

О 2

128. Врх телефонског стуба се из тачке А на

земљи види под углом од 60°. Ако је

тачка А удаљена од подножја стуба

10 m, колика је висина стуба?

Т 1 Т 2

t

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

33


В – примени

129. На основу података са слике израчунај

дужине дужи x и y ако је x + y = 8 cm.

x

y

30°

130. Израчунај обим и површину троугла

АВС са слике.

C

A

5 cm

30° 45°

131. Дијагонала правоугаоника образује

са дужом страницом угао од 30°.

Израчунај обим и површину тог

правоугаоника ако је краћа страница

дужине 3 cm.

132. Дијагонале правоугаоника секу се

под углом од 60°. Израчунај обим

и површину правоугаоника ако је

дужина:

а) краће странице 4 cm;

б) дијагонале 10 cm.

133. Израчунај површину једнакокраког

троугла ако су краци дугачки по 4 cm, а

углови на основици по 30°.

134. Израчунај обим и површину

једнакокраког троугла ако је дужина

основице 6 cm, а углови на њој по 30°.

135. Израчунај површину једнакокраког

троугла чији су краци дужине 5 cm и

образују угао од:

а) 30°; б) 120°; в) 150°.

B

136. Оштар угао ромба је 60°, а дужина

странице је 4 cm. Израчунај површину

тог ромба.

137. Туп угао ромба је 120°, а дужина висине

3√3 cm. Израчунај површину тог ромба.

138. Израчунај обим и површину ромба ако

је његов оштар угао 60° и дужина:

а) краће дијагонале 2 cm;

б) дуже дијагонале 8 cm.

139. Ако је оштар угао ромба 45°, а дужина

странице 10 cm, колика је његова

површина?

140. Ако је туп угао ромба 135°, а дужина

висине 6 cm, одреди обим и површину

тог ромба.

141. Израчунај површину једнакокраког

трапеза ако је дужина дуже основице

12 cm, дужина крака 5 cm, а углови на

дужој основици:

а) 60°; б) 30°.

142. Ако је код једнакокраког трапеза

дужина краће основице 3 cm, дужина

крака 4√2 cm и оштри углови по 45°,

израчунај површину тог трапеза.

143. Дужине основица једнакокраког

трапеза су 6 cm и 4 cm, а углови на

дужој основици су 45°. Израчунај обим

и површину тог трапеза.

144. У правоуглом трапезу туп угао је 150°,

дужина дужег крака је 6 cm и дужина

дуже основице 8√3 cm. Израчунај

површину тог трапеза.

145. Ако је оштар угао у правоуглом

трапезу 60°, дужина дужег крака 4 cm

и дужина краће основице 2 cm,

израчунај површину тог трапеза.

34

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


146. Оштар угао правоуглог трапеза је 45°.

Израчунај површину тог трапеза ако је

дужина краће основице 3 cm и дужина

краћег крака 4 cm.

147. Одреди површину паралелограма ако

су дате дужине страница a и b и угао

који оне захватају:

а) а = 6 cm, b = 4 cm, = 60°;

б) а = 5 cm, b = 3,2 cm, = 30°;

в) а = 3 cm, b = √2 cm, = 45°;

г) а = 5√3 cm, b = 2 cm, = 60°.

148. Одреди површину троугла ако су дате

дужине страница a и b и угао који оне

захватају:

а) а = 20 cm, b = 15 cm, = 30°;

б) а = 1 cm, b = 2 cm, = 45°;

в) а = 8√3 cm, b = 10 cm, = 60°;

г) а = 2 cm, b = √2 cm, = 45°.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ У КОНСТРУКЦИЈАМА

А – утврди

149. Конструиши број √3 користећи

једнакости:

а) 3 = (√2) 2 + 1; б) 3 = 2 2 – 1 2 .

150. Конструиши број √8 користећи

једнакости:

а) 8 = 2 2 + 2 2 ; б) 8 = 3 2 – 1 2 ;

Б – вежбај

151. Конструиши бројеве:

а) √5; б) √10; в) √13;

г) √17; д) √26; ђ) √29;

е) √34; ж) √37.

152. Конструиши бројеве:

а) √7; б) √11; в) √12;

г) √15; д) √21; ђ) √24;

е) √27; ж) √32; з) √35;

и) √45.

153. Конструиши број √8 користећи

једнакости:

а) 8 = (√7) 2 + 1 2 ; б) 8 = (√6) 2 + (√2) 2 ;

в) 8 = (√5) 2 + √3) 2 ; г) 8 = (√10) 2 – (√2) 2 .

154. Пронађи по 3 начина на које можеш

конструисати бројеве:

а) √6; б) √11;

в) √12; г) √26.

155. а) Користећи једнакост 41 = 5 2 + 4 2

конструиши квадрат површине

41 cm 2 ;

б) Користећи једнакост 12 = 4 2 – 2 2

конструиши квадрат површине

12 cm 2 .

В – примени

156. Конструиши бројеве:

а) 1 + √2; б) √3 + 2;

в) √2 + √5; г) 2√3;

д) 4 + 3√3; ђ) 2√5 – 3√2.

157. Конструиши и представи на бројевној

правој дужи чији су мерни бројеви:

а) –√10; б) –√7;

в) √2 + √3; г) 5 – √5;

д) 1 + √8; ђ) –√2 – √5.

2

158. Конструиши квадрат чија је површина:

а) 5 cm 2 ; б) 13 cm 2 ;

в) 15 cm 2 ; г) 27 cm 2 .

159. Конструиши квадрат чија је површина

једнака збиру површина два квадрата

чије су дужине страница 3 cm и 5 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

35


ОБРАТ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ

160. Конструиши квадрат чија је површина

једнака разлици површина два

квадрата чије су дужине страница 6 cm

и 4 cm.

161. Конструиши квадрат два пута веће

површине од површине квадрата чија

је страница дужине 3 cm.

Г – прошири

162. Дата је дуж x.

Конструиши дужи чије су дужине:

а) √2х; б) √5х.

x

163. Дата су два квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 и A 2 B 2 C 2 D 2 .

Конструиши квадрат чија је површина

једнака:

а) збиру површина датих квадрата;

б) разлици површина датих квадрата.

D 1 C 1

Б – вежбај

165. Испитај да ли је троугао MNP правоугли

и ако јесте, одреди теме правог угла

(MN = p, NP = m, PM = n):

а) m = 10 cm, n = 2√11 cm, p = 12 cm;

б) m = 12 cm, n = 15 cm, p = 18 cm;

в) m = 4 cm, n = 4√5 cm, p = 8 cm;

г) m = 1 cm, n = 5 cm, p = 2√6 cm;

д) m = 9 cm, n = 10 cm, p = 3√17 cm;

ђ) m = 17 cm, n = 15 cm, p = 8 cm.

В – примени

166. Испитај да ли a, b, c могу бити дужине

страница неког троугла, а затим

одреди којој врсти троуглова (према

угловима) припада тај троугао ако је:

а) а = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm;

б) а = 2 cm, b = 4 cm, c = 2√5 cm;

в) а = 1 cm, b = 3 cm, c = 9 cm;

г) а = 5 cm, b = 9 cm, c = 12 cm;

д) а = 4,4 cm, b = 5,5 cm, c = 7 cm;

ђ) а = √2 cm, b = √3 cm, c = √5 cm.

А 1 В 1

D 2 C 2

А 2

В 2

164. Дат је квадрат ABCD. Конструиши

квадрат чија је површина:

а) два пута мања од површине датог

квадрата;

б) три пута већа од површине датог

квадрата.

D

C

36

А

В

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА – РЕШЕЊА

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

1. а) с = 5 cm, O = 12 cm; б) с = 13 cm, O = 30 cm;

в) с = 30 cm, O = 72 cm; г) с = 25 cm, O = 56 cm;

д) с = 50 cm, O = 112 cm;

ђ) с = 1 1 2 cm, O = 3 3 5 cm;

е) с = 1 dm, O = 2,4 dm; ж) с = 25 cm, O = 60 cm;

з) с = 2 dm, O = (3 + √3) dm;

и) с = √7 cm, O = (√2 + √5 + √7) cm;

ј) с = 2√3 cm, O = (3 + 3√3) cm = 3(1 + √3) cm;

к) с = 3√5 cm, O = (9 + 3√5) cm = 3(3 + √5) cm.

2. a) а = 4 cm, b = 6 cm, c = 2√13 cm;

б) а = 4 cm, b = 8 cm, c = 4√5 cm.

3. a) b = 8 cm, P = 60 cm 2 ; б) а = 10 cm, P = 120 cm 2 ;

в) а = 16 cm, P = 240 cm 2 ; г) b = 20 cm, P = 210 cm 2 ;

д) а = 12 cm, P = 210 cm 2 ;

ђ) b = 2 2 cm, P = 4

44

7 49 cm2 ;

е) а = 2 dm, P = √5 dm 2 ;

ж) a = √3 cm, P = √21

2 cm2 ;

з) b = 2√5 cm, P = 2√10 cm 2 .

4. AB = √3 2 + 4 2 = 5; CD=√6 2 + 8 2 = 10;

EF = √2 2 + 4 2 = 2√5; GH=√1 2 + 6 2 = √37;

MN = √3 2 + 3 2 = 3√2.

5. а) b = 8 cm, с = 10 cm, O = 24 cm;

б) а = 24 cm, с = 30 cm, O = 72 cm;

в) а = 14 cm, с = 50 cm, O = 112 cm;

г) b = 2√6 cm, с = 5 cm, O = (6 + 2√6) cm.

6. b = 12 cm, O = 48 cm, P = 96 cm 2 .

7. b = 4 cm, с = 2√5 cm, O = (6 + 2√5) cm; r = √5 cm.

8. AB = √2 2 + 6 2 = 2√10; CD = √4 2 + 9 2 = √97;

EF = √2 2 + 3 2 = √13; GH = √4 2 + 4 2 = 4√2;

MN = √1 2 + 4 2 = √17.

9. 2,4 m.

10. 100 m.

11. 13 m.

12. 1,4 m.

13. 9 m.

14. 1 km.

15. c = 50 наутичких миља, О (укупан пут) = 112

наутичких миља.

16. a) х = √2; б) х = √2; в) х = 13; г) х = 9.

17. b = 32 cm, с = 40 cm, O = 96 cm.

18. b = 4 cm, а = 3 cm, O = 12 cm, P = 6 cm 2 .

19. Из b = 3 2

4 a добијамо a2 + (

3

4 a ) = 15 2 , а одатле

16 + 9

a 2 = 225, a 2 = 225 : 25

16

16 , a2 = 144 и коначно

a = 12 cm. Сада је b = 9 cm, O = 36 cm и P = 54 cm 2 .

20. c = 10 cm, P = 24 cm 2 , h c = 4,8 cm.

21. Из a · 3a = 24 добијамо да је а = 4 cm, па је

2

b = 12 cm, c = 4√10 cm и O = (16 + 4√10) cm.

22. Дужина хипотенузе је 2 · 8,5 = 17 cm, па је

дужина друге катете 15 cm и O = 40 cm.

23. Из c = 2t c добијамо c = 26 cm, а онда b = 10 cm,

O = 60 cm и P = 120 cm 2 .

2

24. b 2 = t 2 a – (

a

2 ) , b = 12 cm, c = 6√13 cm,

O = (30 + 6√3) cm, P = 108 cm 2 .

25.

( b 2

2 ) = t 2 b – a 2 , b = 120 cm, P = 660 cm 2 .

26. Примењујући два пута Питагорину теорему

добијамо AB = 7 + 10 = 17, пa je O = 68 и P = 204.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГАОНИК

27. а) d = 17 cm; б) d = 25 cm; в) d = 6 cm;

г) d = 7 cm; д) d = 5 cm; ђ) d = 6√5 cm.

28. а) b = 8 cm; б) b = 5 cm; в) b = 15 cm.

29. а) b = 9 cm; d = 15 cm;

б) а = 12 cm; d = 13 cm;

в) а = 12 cm, b = 16 cm; d = 20 cm;

г) а = 8 cm, b = 6 cm; d = 10 cm.

30. а) b = 12 cm, O = 34 cm, P = 60 cm 2 ;

б) а = 10 cm, O = 68 cm, P = 240 cm 2 ;

в) а = 20 cm, O = 82 cm, P = 420 cm 2 ;

г) b = 4 cm, O = 24 cm, P = 32 cm 2 .

31. а) d = 30 cm, r = 15 cm;

б) d = 4√13 cm, r = 2√13 cm.

32. d = 2r, d = 20 cm, a = 12 cm, b = 16 cm, O = 56 cm,

P = 192 cm 2 .

33. Из a = 2b добијамо (2b) 2 + b 2 = (10√5) 2 , односно

5b 2 = 500, b = 10 cm. Сада је a = 20 cm и

P = 200 cm 2 .

34. Нека је x тражено растојање. Како је d = 50 mm,

тада је P ∆ = a ∙ b

2 = d ∙ x , а одатле x = 24 mm.

2

35. AE = 3 cm, AD = √5 2 – 3 2 = 4 cm.

а) O = 20 cm, P = 24 cm 2 ;

б) O T = 16 cm, P T = 24 – 2 ∙ 3 ∙ 4

2 = 24 – 12 = 12 cm2 .

36. а) Нека је KL = LM = MN = NK = x. Тада је x 2 = 4 2 + 2 2 ,

односно x = 2√5, па је O = 8√5 и P = 16.

б) Нека је MN = NK = x и KL = LM = y. Тада је

x 2 = 1 2 + 1 2 , односно x = √2 и y 2 = 3 2 + 1 2 ,

односно y = √10. Сада је O = 2√2 + 2√10 и P = 4.

Заб рањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

37


37. AE = EB = 3 cm, AD = BC = √5 2 – 3 2 = 4 cm,

BF = FC = 2 cm,

P T = 24 – 3 ∙ 4

2 – 3 ∙ 2

2 – 2 ∙ 6

2 = 24 – 6 – 3 – 6 = 9 cm2 .

2

52. Из r 2 = a 2 + (

a

2 ) (види слику) добијамо да јe

a = 2√5 cm. Тада је Р = 20 cm 2 и О = 8√5 cm.

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА КВАДРАТ

38. а) d = 2√2 cm; б) d = 5√2 cm; в) d = 6 cm.

39. а) а = 3 cm; б) а = 5√2 cm; в) а = √2 cm.

40.

а 4 cm 7 m 1 cm 6√2 mm 14 dm 5√2 dm

d

4√2 cm 7√2 m √2 cm 12 mm 14√2 dm 10 dm

41. a = 7 cm, d = 7√2 cm.

42. a = 9 cm, d = 9√2 cm.

43. а) а = 5 cm, O = 20 cm, P = 25 cm 2 ;

б) а = 2 cm, O = 8 cm, P = 4 cm 2 ;

в) а = 6√2 m, O = 24√2 m, P = 72 m 2 ;

г) а = 15√2 dm, O = 30√2 dm, P = 225

2

2 dm2 .

44. a) d = 6√2 cm, R = d 2

= 3√2 cm;

б) а = 5 cm, d = 5√2 cm, R = d 2 = 5√2

2 cm;

в) а = 2√2 cm, d = 4 cm, R = d 2 = 2 cm.

45. d = 2R = 8√2 cm, а = 8 cm.

46. a = 2r = 8√2 cm, d = 16 cm.

2

47. Из CE 2 = (

a

2 ) + a 2 добијамо a = 2√5 cm. Сада је:

a) O = 8√5 cm, P = 20 cm 2 ;

б) O ∆ = (10 + 2√5) cm, P ∆ = 10 cm 2 .

48. a = AD = √5 2 – 3 2 = 4 cm.

а) O = 16 cm; P = 16 cm 2 .

б) BE = a – AE = 1 cm, CE = √4 2 + 1 2 = √17;

O ∆ = (9 + √17) cm; P ∆ = 8 cm 2 .

49. Нека је АЕ = AF = x и EF = y. Тада је x 2 = 8 2 + 4 2 ,

x = 4√5 cm и y 2 = 4 2 + 4 2 , y = 4√2 cm. Сада је

O = (4√2 + 8√5) cm и P =

4√2 · 6√2

= 24 cm 2 .

2

50. Како је d p = 5√2 cm и d k = d p = 5√2 cm, то је

a k = 5 cm. Из P p = 7 cm 2 и P k = 25 cm 2 следи

P k – P p = 18 cm 2 .

51. Како је d = 8 cm, то је d 1 = 10 cm и a 1 = 5√2 cm. Из

O = 16√2 cm и O 1 = 20√2 cm добијамо

O 1 – O = 4√2 cm. Из P = 32 cm 2 и P 1 = 50 cm 2

добијамо P 1 – P = 18 cm 2 .

r

a

2

a

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ

ТРОУГАО

53. b = 30 mm.

54. h a = 12 cm.

55. a = 14 cm.

56. a) h a = 3 cm, O = 18 cm, P =12 cm 2 ;

б) b = 15 cm, O = 48 cm, P =108 cm 2 ;

в) а = 4 cm, O = 9,8 cm, P = 4,2 cm 2 ;

г) b = √1 537 cm, O = (2√1 537+ 62) cm, P = 744 cm 2 .

57. a) a = 16 cm, h a = 15 cm, P =120 cm 2 ;

б) b = 5 cm, h a = 2√6 cm, P = 2√6 cm 2 .

58. h a = 12 cm, b = 13 cm, O = 36 cm.

59. a = 20 cm, b = 12 cm, O = 44 cm.

60. c = 7√2 cm, O = (14 + 7√2) cm.

61. a = 14 dm, b = 25 dm, h a = 24 dm = 2,4 m.

62. h a = 24 m, P = 4 ∙ a ∙ h a

2 = 1 728 m2 .

63. h = 4 m.

64. h = 1,5 m.

65. АЅ = ЅВ =17 cm.

66. 6 cm.

67. a = 12 cm, b = 10 cm, h a = 8 cm, P =48 cm 2 .

68. Из b = 20 cm и a ∙ h a

2 = b ∙ h b

2 добијамо h b = 19,2 cm.

69. a = √2 2 dm, O = (√2 + 1) dm, P = 1 4 dm2 .

70. a) c = 6√2 cm, a = 6 cm, h c = 3√2 cm или одмах

h c = 1 c = 3√2 јер је висина истовремено и

2

тежишна дуж тог троугла;

б) a = 8 cm, c = 8√2 cm, h c = 4√2 cm.

71. Нека је AC BD = {O}. Тада је BO = OD = 12 cm,

OA = 16 cm и OC = 5 cm, па је

AC = AO + OC = 21 cm.

38

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


2

72. Ако је a = 6x и b = 5x, онда из b 2 = h 2 a + (

a

2 )

добијамо да је x = 3 cm. Тада је а = 18 cm,

b = 15 cm, O = 48 cm и P = 108 cm 2 .

73. Код једнакокраког троугла висина и тежишна

дуж које одговарају основици се поклапају, па

је h a = t a = 9 cm. Нека је T тежиште тог троугла

(види слику). Како тежиште дели тежишну дуж у

размери 2 : 1, то је АТ = 2 3 АЕ = 2 3 t b = 5 cm и

TD = 1 3 t a = 3 cm. Из правоуглог троугла АDT

добијамо AD 2 = AT 2 – TD 2 , па је AD = 4 cm и

a = 8 cm. Тада је Р = 36 cm 2 .

C

A

T

D

E

74. h a = 6 cm, b = 10 cm, О = 36 cm (види решење

претходног задатка).

B

75. Из a ∙ h a

= b ∙ h b

добијамо да је а = 8 b. Из

2 2

5

2

b² = h 2 a + (

a

2 ) добијамо да је b = 25

3 cm = 8 1 3 cm,

па је а = 40

3 cm = 13 1 cm и О = 30 cm.

3

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА

ЈЕДНАКОСТРАНИЧНИ

ТРОУГАО

76. a) h = 3√3 cm; б) h = √3

2 m;

в) h = 3 cm; г) h = 3√5

2 dm.

77. а) Р = 4√3 cm 2 ; б) Р = 25√3

4

78. а) R = 2√3 cm, r =

√3

3 3

в) R = 4 cm, r = 2 cm.

79. a) a = 6 cm, O = 18 cm;

б) a = 16 cm, O = 48 cm;

в) a = 4√3 dm, O = 12√3 dm;

г) a = 2√5 cm, O = 6√5 cm.

cm 2 ; в) Р = 3√3 cm 2 .

cm; б) R = √3 cm, r =

√3

2 cm;

80. а = 3√3 cm, Р = 27√3 cm 2 .

4

81. a = 4 cm, O = 12 cm.

82. а) а = 4 cm, О = 12 cm, Р = 4√3 cm 2 ;

б) а = 12 cm, О = 36 cm, Р = 36√3 cm 2 ;

в) а = 4√3 cm, О = 12√3 cm, Р = 12√3 cm 2 .

83.

84.

а h О Р

4 cm 2√3 cm 12 cm 4√3 cm 2

2√3 cm 3 cm 6√3 cm 3√3 cm 2

8 cm 4√3 cm 24 cm 16√3 cm 2

6 cm 3√3 cm 18 cm 9√3 cm 2

a h r R O P

10 cm 5√3 cm 5√3 cm

10√3

cm

3 3

30 cm 25√3 cm 2

9 cm

9√3

cm

3√3

cm

81√3

3√3 cm 27 cm cm 2

2 2 4

4 cm 2√3 cm 2√3 cm

4√3

cm

3 3

12 cm 4√3 cm2

12 cm 6√3 cm 2√3 cm 4√3 cm 36 cm 36√3 cm 2

12√3 cm 18 cm 6 cm 12 cm 36√3 cm 108√3 cm 2

2√15 cm 3√5 cm √5 cm 2√5 cm 6√15 cm 15√3 cm 2

85. а) R = 2r, па је 3r = 9√3 cm и r = 3√3 cm, а = 18 cm,

О = 54 cm и Р = 81√3 cm 2 ;

б) R = 2r, па је r = 3 cm, а = 6√3 cm, О = 18√3 cm и

Р = 27√3 cm 2 .

86. Како је R = 2r, то је r ∙ 2r = 6, r 2 = 3 и r = √3. Сада је

a = 6, O = 18 и P = 9√3.

87. P = P k + 4P t = a 2 + 4 ∙ a2 √3

= 16 + 16√3.

4

88. Лако добијамо a k = 6 cm и O k = 24 cm. Сада је

O t = 24 cm, па је a t = 8 cm и P t = 16√3 cm 2 .

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА РОМБ

89. a) a = 15 cm; б) a = 4 cm.

90. а) d 2 = 24 cm; б) d 2 = 4 cm.

91. а) a = 3 cm, O = 12 cm, P = 2√14 cm 2 ;

б) d 2 = 30 cm, O = 68 cm, P = 240 cm 2 ;

в) d 1 = 40 cm, O = 116 cm, P = 840 cm 2 ;

г) d 1 = 4√5 cm, O = 24 cm, P = 16√5 cm 2 .

92. d 2 = 6 cm, a = 5 cm, O = 20 cm.

93. d 2 = 9 cm, d 1 = 18 cm, a = 9√5 cm, O = 18√5 cm.

2

94. d 2 = 4,8 cm, P = 15,36 cm 2 , h = 3,84 cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

39


95. d 2 = 12 dm, P = 96 dm 2 , h = 9,6 dm, r = 4,8 dm.

96. a = 2,5 dm, d 2 = 3 dm, P = 6 dm 2 , h = 2,4 dm,

r = 1,2 dm.

97. d 2 = 8 cm, d 1 = 6 cm, a = 5 cm, O = 20 cm, h = 4,8 cm.

98. Ако је d 1 = 3x и d 2 = 4x, онда је x = 6 cm. Тако је

d 1 = 18 cm, d 2 = 24 cm и P = 216 cm 2 .

99. Троугао AED (види слику) је правоугли. Ако је

АЕ = х, онда је a 2 = h 2 + x 2 , одакле добијамо

да је АЕ = х = 12 cm, па је ЕВ = а – х = 3 cm. Из

правоуглог ΔDEB добијамо да је d 1 2 = h 2 + EB 2 ,

тј. d 1 = 3√10 cm. Коначно, из a 2 = (

d 1

добијамо да је d 2 = 9√10 cm.

D

A

E

B

2

2 )

+ (

d 2

2

2 ) ,

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ЈЕДНАКОКРАКИ

ТРАПЕЗ

2

100. c 2 = h 2 + (

a – b

2 ) = 4 2 + 3 2 = 25, c = 5 cm.

101. h = 12 cm.

2

102. d 2 = h 2 + (

a + b

2 ) = 9 2 + 12 2 = 225, d = 15 cm.

103. h = 8 cm.

104. a) h = 8 cm, O = 52 cm, P = 128 cm 2 ;

б) с = 5 cm, O = 34 cm, P = 48 cm 2 ;

в) b = 4 cm, O = 44 cm, P = 108 cm 2 ;

г) а = 34 cm, O = 76 cm, P = 224 cm 2 .

105. c = 13 cm, h = 12 cm, P = 180 cm 2 .

106. h = 24 cm, c = 25 cm, O = 88 cm.

107.

a b h d

35 cm 13 cm 18 cm 30 cm

30 cm 18 cm 10 cm 26 cm

30 cm 10 cm 21 cm 29 cm

45 cm 15 cm 16 cm 34 cm

C

110. b = 7 cm, a = 21 cm, c = 25 cm, O = 78 cm.

111. a = 5x, b = 2x, x = 10 cm, a = 50 cm, b = 20 cm,

h = 20 cm и P = 700 cm 2 .

2

112. h 2 = c 2 – (

a – b

2 )

2

a + b = 22, О = a + b + 2с = 42 cm.

113. Из c 2 = h 2 + (

a – b

d 2 = h 2 + (

a + b

, h = 8 cm, Р = a + b

2

2 )

2

2 )

је a = 21 cm и b = 9 cm.

∙ h, a + b

2

добијамо а – b = 12 cm, a из

= 11,

добијамо а + b = 30 cm. Одавде

114. a) a = 5 cm; б) h = 2,4 cm; в) b = 1,4 cm, P = 7,68 cm 2 .

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ НА ПРАВОУГЛИ

ТРАПЕЗ

115. c 2 = h 2 + (a – b) 2 , 17 2 = h 2 + 8 2 , h 2 = 225, h = 15 cm.

116. h = 5 cm.

117. h = 9 cm.

118. a) c = 10 cm; б) d 1 = 17 cm, d 2 = √145 cm.

119.

a b h c O P

37 cm 30 cm 24 cm 25 cm 116 cm 804 cm 2

24 cm 15 cm 40 cm 41 cm 120 cm 780 cm 2

24 cm 9 cm 36 cm 39 cm 108 cm 594 cm 2

25 cm 13 cm 35 cm 37 cm 110 cm 665 cm 2

9 cm 6 cm 4 cm 5 cm 24 cm 30 cm 2

120. a) d 2 1 = a 2 + h 2 = 8 2 + 6 2 = 100, d 1 = 10 cm,

d 2 2 = b 2 + h 2 = 6 2 + 6 2 = 72, d 2 = 6√2 cm;

б) P = a + b · h, 84 = 9 + 5 · h, h = 12 cm,

2

2

d 1 = 15 cm, d 2 = 13 cm.

121. 13 m.

122. Нека је T 1 T 2 = h, c = O 1 O 2 = 4 cm + 1 cm = 5 cm,

a = O 1 T 1 = 4 cm и b = O 2 T 2 = 1 cm. Сада је h = 4 cm,

односно T 1 T 2 = 4 cm.

123. h = 12 cm, c = 15 cm, O = 46 cm, P = 114 cm 2 .

124. a) h = 12 cm, b = 7 cm, P = 138 cm 2 ;

б) b = 6 cm, a = 21 cm, P = 108 cm 2 .

108. h = 12 cm, d = 20 cm.

109. h = 1,2 m.

40

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПРАВОУГЛИ ТРОУГЛОВИ ЧИЈИ

СУ ОШТРИ УГЛОВИ 30° И 60°,

ОДНОСНО ПО 45°

125. P = 8 cm 2 .

126. O = (6 + 6√2) cm, P = 9 cm 2 .

127. a) b = c = 3 cm, a =

c√3

= 3√3 cm;

2 2

б) c = 2b = 12 cm, a = b√3 = 6√3 cm;

в) b = a√3

3 = 2√3 cm, c = 2a√3

= 4√3 cm.

3

128. Висина стуба је 10√3 m ≈ 17,3 m.

129. Како је ABC = 60°, BCD = 30°,

DCA = 60° и AB = x + y = 8 cm, то је

BC = AB

2 = 4 cm и x = BC , x = 2 cm, а онда

2

y = 8 cm – x, y = 6 cm.

C

B

x

D

y

30°

130. Како је BCD = 45°, ACD = 60°, то је

DB = CD = 5 cm, BC = CD√2 = 5√2 cm,

AC = 2CD = 10 cm, AD = CD√3 = 5√3 cm и

AB = AD + DB = (5√3 + 5) cm. Сада је

O = AB + BC + CA = 5√3 + 5 + 5√2 + 10,

O = (15 + 5√3 + 5√2) cm и P =

P =

A

25 (1 + √3)

2

cm 2 .

5 cm

A

AB ∙ CD

2

30° 45°

D

131. d = 2b = 6 cm, a = b√3 = 3√3 cm, O = (6 + 6√3) cm,

P = 9√3 cm 2 .

132. a) d = 8 cm, a = 4√3 cm, O = (8 + 8√3) cm,

P = 16√3 cm 2 ;

б) b = 5 cm, a = 5√3 cm, O = (10 + 10√3) cm,

P = 25√3 cm 2 .

133. h a = 2 cm, a = 4√3 cm, P = 4√3 cm 2 .

134. h a = √3 cm, b = 2√3 cm, O = (6 + 4√3) cm,

P = 3√3 cm 2 .

C

,

B

135. a) h b = 5 cm, P =

25

2 4 cm2 ;

б) а = 5√3 cm, h a = 5 cm, P =

25√3

cm 2 ;

2 4

в) h b = 5 cm, P =

25

2 4 cm2 .

136. d 1 = 4 cm, d 2 = 4√3 cm, P = 8√3 cm 2 .

137. a = 6 cm, P = 18√3 cm 2 .

138. a) a = 2 cm, d 2 = 2√3 cm, O = 8 cm, P = 2√3 cm 2 ;

б) a = 8√3

3 cm, d 1 = 8√3 cm, O =

32√3

cm,

3 3

P = 32√3 cm 2 .

3

139. h = 5√2 cm, P = 50√2 cm 2 .

140. a = 6√2 cm, O = 24√2 cm, P = 36√2 cm 2 .

141. a) b = 7 cm, h = 5√3

2

б) b = 12 – 5√3 cm, h = 5 2

142. h = 4 cm, a = 11 cm, P = 28 cm 2 .

cm, P =

95√3

cm 2 ;

4

cm, P =

5(24 – 5√3)

4

143. x = 1 cm, h = 1 cm, c = √2 cm, O = (10 + 2√2) cm,

P = 5 cm 2 .

144. h = 3 cm, x = 3√3 cm, b = 5√3 cm, P = 39√3 cm 2 .

2

145. x = 2 cm, a = 4 cm, h = 2√3 cm, P = 6√3 cm 2 .

146. x = 4 cm, a = 7 cm, h = 4 cm, P = 20 cm 2 .

147. a) h a = 2√3 cm, P = 12√3 cm 2 ;

б) h a = 1,6 cm, P = 8 cm 2 ;

в) h a = 1 cm, P = 3 cm 2 ;

г) h a = √3 cm, P = 15 cm 2 .

148. а) h a = 7,5 cm, P = 75 cm 2 ;

б) h a = √2 cm, P = √2 2 cm2 ;

в) h a = 5√3 cm, P = 60 cm 2 ;

г) h a = 1 cm, P = 1 cm 2 .

cm 2 .

ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ

ТЕОРЕМЕ У КОНСТРУКЦИЈАМА

149. Упутство.

а) Прво конструиши једнакокраки правоугли

троугао са катетама дужине 1, чија је

хипотенуза дужине √2. Сада конструиши

правоугли троугао са катетама дужине 1 и √2.

Хипотенуза тог троугла ће бити √3;

3

1 2

1

1

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

41


б) Конструиши правоугли троугао чија је

хипотенуза дужине 2 cm и и једна катета

дужине 1 cm. Друга катета представља дуж

чија је дужина √3.

3

1

2

150. а) б)

2

2

8

151. Упутство. Користи једнакост:

а) (√5) 2 = 2 2 + 1 2 ; б) (√10) 2 = 3 2 + 1 2 ;

в) (√13) 2 = 3 2 + 2 2 ; г) (√17) 2 = 4 2 + 1 2 ;

д) (√26) 2 = 5 2 + 1 2 ; ђ) (√29) 2 = 5 2 + 2 2 ;

е) (√34) 2 = 5 2 + 3 2 ; ж) (√37) 2 = 6 2 + 1 2 .

152. Упутство. Користи једнакост:

а) (√7) 2 = 4 2 – 3 2 ; б) (√11) 2 = 6 2 – 5 2 ;

в) (√12) 2 = 4 2 – 2 2 ; г) (√15) 2 = 4 2 – 1 2 ;

д) (√21) 2 = 5 2 – 2 2 ; ђ) (√24) 2 = 5 2 – 1 2 ;

е) (√27) 2 = 6 2 – 3 2 ; ж) (√32) 2 = 6 2 – 2 2 ;

з) (√35) 2 = 6 2 – 1 2 ; и) (√45) 2 = 7 2 – 2 2 .

153. а)

2

1

1

√7

√3

√2

1

√8

б)

1

1

√2

√2

√2

√6

1 2

√8

8

1

3

в)

1

г)

1

1

√2

√10

√3

1

√3

√5

1 2

√2

1

1 3

√2

√8

√8

√10

154. а) На пример:

(√6) 2 = (√5) 2 + 1 2 = 2 2 + (√2) 2 = (√3) 2 + (√3) 2

Слично се раде и примери б), в) и г).

155. а) Конструиши квадрат чија је страница једнака

хипотенузи правоуглог троугла чије су катете

5 cm и 4 cm.

б) Конструиши квадрат чија је страница једнака

једној катети правоуглог троугла чија је друга

катета 2 cm и хипотенуза 4 cm.

156. а) Конструиши дуж чији је мерни број √2

(види 149. задатак), а затим на њу надовежи

(продужи је за) дуж чији је мерни број једнак

1. Тако се добија дуж чији је мерни број √2 + 1.

Слично се раде и остали примери.

157. а) Конструиши дуж чији је мерни број √10, а

затим ту дужину нанеси на бројевну праву

лево од координатног почетка.

Слично се раде и остали примери.

42

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


158. а) Конструиши квадрат чија је страница √5 cm

(конструкција дужи √5 – види 151. задатак).

2

√5

5 cm 2

162. а) (√2x) 2 = 2 х 2 = х 2 + х 2 ;

х 2x

х

б) (√5x) 2 = 5 х 2 = 4х 2 + х 2 = (2х) 2 + х 2 .

х 5 x

1


б)

163. а)

13 cm 2

D1

D 2

A 2

C 1

B 2

C 2

2

√13

в)

3

A 1 B 1

б)

D 1

15 cm 2 4

√15

D 2

C 2

г)

1

4

A 2

C 1

B 2

A 1

B 1

27 cm 2 √27

159. х 2 = 3 2 + 5 2 , конструиши квадрат над страницом

х (х је хипотенуза правоуглог троугла чије су

катете 3 cm и 5 cm).

160. х 2 = 6 2 – 4 2 , конструиши квадрат над страницом

х (х је једна катета правоуглог троугла чија је

друга катета 4 cm и хипотенуза 6 cm).

161. Како је Р = 2 ∙ 3 2 = 2 ∙ 9 = 18, то квадрат површине

18 cm 2 конструишемо над хипотенузом троугла

чије су обе катете дужине 3 cm.

3

6

164. Упутство.

а) Р = a2

2 , a2

2 = a2

4 + a2

4 = ( a 2

2

2 ) + (

a

2 ) . Конструиши

квадрат над хипотенузом правоуглог троугла

чије су обе катете дужине a (два пута краће

2

од странице а датог квадрата).

R

D

A

S

C

B

P

Q

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

43


б) Р = 3а 2 = 2а 2 + а 2 = (√2а) 2 + а 2 . Конструиши

квадрат над хипотенузом правоуглог троугла

чије су катете √2а и а (а је страница датог

квадрата, √2а његова дијагонала).

D

C

S

A P

B

Q

R

ОБРАТ ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ

165. а) Како је n < m < p и m 2 + n 2 = 10 2 + (2√11) 2 =

= 100 + 44 = 144 = 12 2 = p 2 , то је MPN = 90° и

∆MNP је правоугли;

б) m < n < p и m 2 + n 2 = 12 2 + 15 2 = 144 + 225 =

= 369 ≠ 18 2 = p 2 , па ∆MNP није правоугли;

в) како је m < p < n и m 2 + p 2 = 4 2 + 8 2 = 16 + 64 =

= 80 = (4√5) 2 = n 2 , то је MNP = 90° и ∆MNP је

правоугли;

г) како је m < p < n и m 2 + p 2 = 1 2 + (2√6) 2 =

= 1 + 24 = 25 = 5 2 = n 2 , то је MNP = 90° и ∆MNP

је правоугли;

д) m < n < p, m 2 + n 2 = 9 2 + 10 2 = 181 ≠ (3√17) 2 = p 2 ,

па ∆MNP није правоугли;

ђ) p < n a + b;

г) a 2 + b 2 < c 2 , тупоугли троугао;

д) a 2 + b 2 > c 2 , оштроугли троугао;

ђ) a 2 + b 2 = c 2 , правоугли троугао.

44

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ТЕСТ – ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 1

1. Ако су дужине катета правоуглог троугла a = 8 cm и b = 15 cm, онда је дужина

хипотенузе тог троугла једнака:

а) 11 cm; б) 13 cm; в) 17 cm; г) 19 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

2. Ако је дужина катете правоуглог троугла a = 12 cm, а дужина хипотенузе тог троугла

c = 13 cm, онда је дужина друге катете тог троугла једнака:

а) 3 cm; б) 5 cm; в) 7 cm; г) 9 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

3. Дужина једне катете правоуглог троугла је а = 8 cm, а хипотенузе c = 10 cm. Површина

тог троугла је:

а) 48 cm 2 ; б) 24 cm 2 ; в) 40 cm 2 ; г) 80 cm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Птица стоји на врху металног стуба, чија је висина 12 m. Ако метални стуб баца сенку

дужине 5 m, колико је птица удаљена од своје сенке?

а) 5 m; б) 12 m в) 13 m; г) 17 m.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Правоугаоник је уписан у круг пречника 17 cm. Ако је једна страница тог правоугаоника

15 cm, онда је његов обим:

а) 64 cm; б) 46 cm; в) 40 cm; г) 23 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Дужина основице једнакокраког троугла је 12 cm, а њој одговарајућа висина је 8 cm.

Дужина висине која одговара краку је:

а) 8 cm; б) 4,8 cm; в) 9,6 cm; г) 10 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Висина једнакостраничног троугла је 2√3 cm. Површина тог троугла је:

а) 4√3 cm 2 ; б) 12 cm 2 ; в) 8√3 cm 2 ; г) 6 cm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Ако је дужина полупречника описане кружнице једнакостраничног троугла R = 14 cm,

онда за површину P тог троугла важи:

а) 220 cm 2 < P < 230 cm 2 ; б) 230 cm 2 < P < 240 cm 2 ;

в) 240 cm 2 < P < 250 cm 2 ; г) 250 cm 2 < P < 260 cm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Решења

1. в); 2. б); 3. б); 4. в); 5. б); 6. в); 7. а); 8. г).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

45


ТЕСТ – ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 2

1. Ако су дужине дијагонала ромба d 1 = 16 cm и d 2 = 12 cm, онда је дужина странице тог

ромба једнака:

а) 11 cm; б) 10 cm; в) 9 cm; г) 8 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

2. Израчунај обим и површину ромба ако је његов оштар угао 60° и дужина краће

дијагонале 6 cm.

3. Ако су дужине основица правоуглог трапеза a = 18 cm и b = 13 cm, а висина h = 12 cm,

онда је обим тог трапеза једнак:

а) 41 cm; б) 46 cm; в) 51 cm; г) 56 cm.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Једнакокраки трапез чије су основице дужина 13 cm и 7 cm, а крак дужине 5 cm има

површину:

а) 20 cm 2 ; б) 30 cm 2 ; в) 40 cm 2 ; г) 50 cm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Дужине основица једнакокраког трапеза су a = 40 mm и b = 24 mm, а обим је 98 mm.

Површина тог трапеза је:

а) 240 mm 2 ; б) 640 mm 2 ; в) 480 mm 2 ; г) 960 mm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Конструиши квадрат чија је површина 17 cm 2 .

7. Троугао чије су странице a = 4 cm, b = 5 cm и c = 8 cm je:

а) оштроугли; б) правоугли; в) тупоугли; г) такав троугао не постоји.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Троугао чије су странице a = √15 cm, b = √18 cm и c = √32 cm je:

а) оштроугли; б) правоугли; в) тупоугли; г) такав троугао не постоји.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

Решења

1. б); 2. O = 24 cm, Р = 18√3 cm 2 ; 3. г); 4. в); 5. в); 6. Користи једнакост (√17) 2 = 1 2 + 4 2 ; 7. в); 8. а).

46

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ

ПРИРОДАН БРОЈ

А – утврди

1. Запиши степен ако му је:

а) основа 3, изложилац 2;

б) основа 10, изложилац 3;

в) основа а, изложилац 10;

г) основа 2 , изложилац 4;

3

5. Запиши дати број у облику степена

броја 10:

а) 100; б) 10 000; в) 1 000 000.

6. Запиши три степена којима је основа

– 1 и три степена којима је

7

изложилац 6.

д) основа −9, изложилац 5;

ђ) основа 4x, изложилац 2;

е) основа −5ab, изложилац 3;

ж) основа – 1 7

x, изложилац 10.

2. Производ бројева запиши у облику

степена:

а) 4 ∙ 4; б) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

в) (–6) ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6);

г) 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7 ∙ 4,7;

д) –2,5 ∙ (–2,5) ∙ (–2,5);

ђ) 2 3 ∙ 2 3 ∙ 2 3 ∙ 2 3 ;

е) –1 1 2 ∙ ( –1 1 2

) ∙ ( –1 1 2

) ∙ ( –1 1 2

) ∙ ( –1 1 2

) .

3. Производ запиши у облику степена:

а) x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x ∙ x;

б) (–p) ∙ (–p) ∙ (–p) ∙ (–p) ∙ (–p); в) a ∙ a ∙ a;

г) y ∙ y ∙ y ∙ y; д) (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b);

ђ) a b ∙ a b ∙ a b ∙ a b ∙ a b ∙ a b ∙ a b ∙ a b .

4. Степен запиши у облику производа

једнаких бројева (чинилаца):

; в) √5 4 ; г) (–6) 5 ;

а) 5 3 ; б) ( 1 1 5

) 6

д) (–1,1) 2 ; ђ) (–√7) 7 ; е) ( – 3 4

) 3

Запиши скуп А чији су елементи основе

свих степена и скуп В чији су елементи

изложиоци свих степена овог задатка.

.

7. Степен запиши у облику производа

једнаких чинилаца, па израчунај његову

вредност:

а) 10 6 ; б) 1 9 ; в) (–1) 8 ;

г) 4 3 ; д) (–5) 3 ; ђ) 0,8 4 ;

е) 1,1 3 ; ж) (

3

5

) 2 ; з) (

6

7

) 3 ;

; к) √2 5 ;

и) ( – 2 3

) 4 ; ј) ( –1 1 4

) 5

л) (–√12) 3 .

8. Израчунај квадрат и куб сваког од

бројева: 1; 0; –2,5; – 1 2 ; 6

7 ;

– √3 и √8.

2

9. Израчунај вредност израза:

а) 10 3 ; б) 10 5 ; в) 1 10 ;

г) 0,1 3 ; д) 0,1 6 ; ђ) (−1) 9 ;

е) (−1) 10 .

10. Израчунај вредност израза:

а) 2 4 ; б) (–2) 4 ; в) –2 4 ;

г) (

5

8

) 3 ; д) ( – 5 8

) 3 ; ђ) 53

8 ;

е) – 53

8 ; ж) – 5 ;

8 3 з) ( 1 2 3

) 5

и) ( –1 2 3

) 3 ; ј) 0 13 ; к) 1 2 009 ;

л) (–1) 102 ; љ) (–1) 2 009 ; м) (–√2) 6 .

11. Израчунај други, трећи, четврти и пети

степен броја:

а) 2; б) −10; в) 0,1;

г) −3; д) √3; ђ) −√5.

;

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

47


Б – вежбај

12. Не рачунајући вредност степена

закључи да ли је његова вредност

позитиван или негативан број:

а) 2 7 ; б) (–3) 4 ; в) (–7) 45 ;

г) (–7) 38 ; д) – ( – 5 8

) 88 ; ђ) – 568

8 .

13. а) Следеће бројеве: 5, 25, 125, 625

запиши у облику степена са основом

5;

б) следеће бројеве: 1 2 , 1

4 , 1 8 , 1

16 , 1

32

запиши у облику степена са основом

1

2 .

14. Сваки од датих бројева запиши као

степен одговарајућег простог броја: 8,

32, 27, 64, 125 и 343.

15. Упореди вредности израза (бројева):

и 0;

а) (–5) 4 и 0; б) ( – 5 3

) 3

в) √5 6 и (–√5) 6 ; г) ( – 2 3

) 4 и – 24

д) 0,4 4 и ( – 2 5

) 4 .

3 ;

16. Израчунај вредности следећих израза,

па их поређај по величини од најмањег

до највећег:

а) (

1

2

) 5 ; ( – 1 2

) 5 ; – 15

2 ;

б) 0,2 3 ; –0,2 3 ; (–0,2) 2 ;

в) (

√2

3

) 4 ; – (

√2

3

) 4 ; – √24

3 ; – 2 .

3 4

17. Запиши у облику збира степена

(производа степена):

а) x ∙ x + x ∙ x ∙ x;

б) a ∙ a ∙ a ∙ a + b ∙ b ∙ b ∙ c ∙ c;

в) a ∙ a ∙ x ∙ x ∙ x + x ∙ x ∙ a ∙ a ∙ a.

18. Израчунај вредност израза:

а) 5 3 + 2 2 ; б) –2 5 + 2 4 – (–2) 3 ;

в) (–1) 6 + (–2) 5 + (–3) 4 + (–4) 3 ;

г) 10 5 – 10 3 + 10 6 – 1;

д) (7 – 5) 4 – 8 2 – (6 – 9) 3 ;

ђ) 2 ∙ 3 2 – 3 ∙ 2 3 ;

е) –1 100 + 1 97 – (–1) 88 + (–1) 46 ;

ж) 22 – 2 5 : 8 + 243 : 3 3 .

19. Израчунај вредност израза:

а) 4 – (

1

4

) 4 ; б) (

1

3

) 3 ∙ 9;

в) (

2

5

) 3 ∙ (

5

2

) 4 ; г) (

4

6

) 3

д) (

2

3

) 3 + ( –1 1 2

) 4 .

: ( 2 2 3

) 4 ;

20. Израчунај вредност израза 2x 4 – 3x 2 + 1

за:

а) x = √3; б) x = –√3.

21. Израчунај вредност израза 3x 3 + x – 4 за:

а) x = √2; б) x = –√2.

22. Израчунај вредност израза:

а) ( – 2 3

) 4 – 23

3 + 24

3 + 2 ;

3 3

б) (

2 3

3 – ( 1 2

) 4 )

: 5 3

3 ∙ 2 4 .

23. Запиши у облику степена са основом 10

број:

а) милиметара у метру;

б) центиметара у километру;

в) центиметара квадратних у ару;

г) метара квадратних у километру

квадратном;

д) центиметара кубних у метру кубном.

48

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


В – примени

24. Израчунај вредност израза:

а) (√2) 2 + (√2) 4 – (√2) 6 ;

б) (–√3) 2 + (√3) 4 + (–√3) 6 ;

в) (√5) 2 + (√5) 3 – (√5) 4 + (√5) 5 ;

г) 2 6 + √6 4 ;

д) (√11) 4 – 19 · (√3) 2 ;

ђ) 15 + (√7) 4 – 25 – (√3) 4 .

25. Израчунај вредност израза за x = –3

и y = 6:

а) x 4 – y 3 ; б) 2 ∙ y 3 – x 5 ;

в) y 4 : x 3 ; г) xy – x 5 ; д) x 6 y 3 – y 5 x 4 .

26. Ако је A = 2 3 – √ 1 + 16

9 + √ 25

4 – 4 и

B = √

– (

√3

2

) 4 + 1 2 + 16

3 2 , упореди

вредности за А и В и израчунај:

а) A + B; б) A 3 – B 2 ; в) (A + B) 3 : (A – B) 3 .

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ

СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА

А – утврди

27. Израз запиши у облику производа

једнаких чинилаца, а затим запиши тај

производ у облику степена:

а) 5 ∙ 5 3 ; б) (–3) 3 ∙ (–3) 2 ;

в) (–0,4) 5 ∙ (–0,4) 2 ; г) ( 2 5 9

) 4

;

д) (

1

2

) 6 ∙ 1 2 ; ђ) x3 ∙ x 5 ;

е) (–y) 4 ∙ (–y) 2 ; ж) (a + b) 2 ∙ (а + b) 2 .

∙ ( 2 5 9

) 3

28. Израчунај производ, запиши га у облику

степена, па израчунај тај степен:

а) 3 2 ∙ 3 4 ; б) (–2) 3 ∙ (–2) 5 ;

в) –0,5 ∙ (–0,5) 4 ; г) (

3

4

) 2 ∙ (

3

4

) 3 .

29. Производ запиши у облику степена:

а) x 12 ∙ x 21 ; б) a 4 ∙ a 8 ;

в) (–b) 6 ∙ (–b) 7 ; г) (–c) 9 ∙ (–c) 25 ;

д) (1 + a) 8 ∙ (1 + a) 2 ; ђ) (2x – d) 9 ∙ (2x – d) 11 .

30. Производе запиши у облику степена:

а) 3 2 ∙ 3 6 ∙ 3 5 ; б) (–2) 4 ∙ (–2) 7 ∙ (–2) 3 ;

в) (

3

4

) 7 ∙ (

3

4

) 5 ∙ (

3

4

) 3 ;

;

г) – 8 9 ∙ ( – 8 9

) 2 ∙ ( – 8 9

) 3

д) x 8 ∙ x 7 ∙ x 5 ; ђ) (–a) 6 ∙ (–a) 9 ∙ (–a) 10 ;

е) (a – b) 3 ∙ (a – b) 4 ∙ (a – b) 8 .

31. Количник запиши у облику разломка,

где су именилац и бројилац дати као

производ једнаких чинилаца, скрати

одговарајуће чланове, а затим количник

запиши у облику степена:

а) 2 5 : 2 3 ; б) (–0,8) 6 : (–0,8) 5 ;

в) ( – 7 9

) 4 : ( – 7 9

) ; г) √27 : √2 4 .

32. Упрости израз:

а) c11

c 9 ; б) y10

y ; в) x8 ∙ x 3

x 10 ; г)

Б – вежбај

x 15

x 8 : x .

33. Чиниоце запиши у облику степена истих

основа, па производ запиши у облику

степена простог броја:

а) 27 ∙ 3 2 ; б) 2 3 ∙ 32;

в) 64 ∙ 128; г) 25 ∙ 625;

д) 243 ∙ 81.

34. Запиши у облику степена са

одговарајућим предзнаком:

а) 5 3 ∙ (–5) 4 ; б) ( – 1 2

) 3 ∙ (

1

2

) 4 ∙ ( – 1 2

) 6 ;

в) –x 3 ∙ (–x 3 ) ∙ (–x) 3 ; г) 0,8 2 ∙ (–0,8) 2 ∙ (–0,8) 3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

49


50

35. Одреди вредност непознате x тако да

добијеш тачну једнакост:

а) 3 2 ∙ 3 x = 3 5 ; б) a x ∙ a 5 = a 6 ;

;

в) ( – 2 3

) x ∙ ( – 2 3

) 7 = ( – 2 3

) 15

г) 0,2 3 ∙ 0,2 5 ∙ 0,2 x = ( – 1 5

) 12 .

36. Дељеник и делилац запиши у облику

степена истих основа, па израчунај:

а) 243 : 3 2 ; б) 5 3 : 125;

в) 2 401 : 49; г) 2 10 : 128;

д) 7 776 : 216.

37. Упрости израз:

а) (x 5 ∙ x 9 ) : x 10 ; б) (x 12 : x 4 ) ∙ x 8 ;

в) (a 8 : a 4 ) : a 3 ; г) x 4 ∙ (x 2 : x);

д) x 5 : (x 18 : x 13 ); ђ) (b 3 ∙ b 7 ) ∙ (b 8 : b 6 );

е) (k 22 : k 6 ) : (k 5 ∙ k 9 ); ж) (x 12 : x 7 ) : (x 30 : x 27 ).

38. Упрости израз:

а) x15 : x 8

x 4 ∙ x ; б) (x12 : x 8 ) ∙ x 7

;

x 10

в)

a 2

a 11 : (a 6 ∙ a 4 ) ; г) (y15 : y 13 ) ∙ y 5

y 6 ∙ (y 15 : y 14 ) ;

д) y15 : (y ∙ (y 7 : y 3 ))

(y 6 ∙ y 4 ) : (y 11 : y 9 ) .

39. Упрости израз:

а) x 9 : (–x) 6 ; б) –y 12 : (–y) 10 ;

в)

x 15

; г)

(–a) 11

.

x 6 ∙ (–x) 8 –a 12 : (–a) 10

40. Упрости израз, па израчунај његову

вредност:

а) (5 7 : 5 4 ) : 5 2 ; б) 4 5 : (4 6 : 4 3 );

в) 25 ∙ 2 6

; г) 38 : 3 5

;

2 9 3 9 : 3 7

д)

128 ∙ 24

2 9 ; ђ)

41. Упрости израз:

2 30

(2 15 ∙ 2 17 ) : 2 10 .

а) a6

a 4 ∙ a11

a 9 ; б) b14

b 8 : b5

b 3 ;

в) c5 ∙ c 10

c 12 ∙ c; г) d8

d 10 ; д) x8 ∙ y 5

x 5 ∙ y 4 .

В – примени

42. Упрости израз, па израчунај његову

вредност:

а) (–3)6 ∙ 3 7

(–3) 5 ; б)

в)

0,5 7

( – 1 2

) 6;

( 2 – 1 2

) 6 ; г) (–5)4 ∙ (–5 5 ) ∙ 5 3

;

1,5 4

5 15 : (–5) 3

д) √5 8 ; ђ) √

2 11 : 2 4

2 3 .

43. Покажи да вредност израза не зависи

од променљиве n:

а) + 1 ∙ 3 4n + 2

32n ; б)

5 7n + 6

;

3 6n–2 5 4n + 5 ∙ 5 3n–1

в) 712n + 7 : 7 8n + 7

7 4n ; г) 2n–1 ∙ 2 n + 2

2 3n–2 : 2 n–2 .

44. Одреди вредност непознате x тако да

једнакост буде тачна:

а) 2 x ∙ 2 2 = 2 5 ; б) 5 3 ∙ 5 x = 5 11 ;

в) 3 9 : 3 x = 3 4 ; г) 7 x : 7 8 = 7 9 ;

д) 2 2x ∙ 2 5 = 2 11 ; ђ) 3 5 ∙ 3 x ∙ 3 x + 1 = 3 16 ;

е) (

6

5

) 2x–1 ∙ (–1,2) 6 ∙ 1,2 x = ( –1 1 5

) 2x + 8 .

45. Упрости израз:

а) a7 ∙ b 6 ∙ c

a 6 ∙ b 5 ; б) a4 ∙ b 3 ∙ c 7

a 3 ∙ b 7 ∙ c 2 ;

в) a8

b

∙ b4

a 6 ; г) x11

y 13 ∙ z30

x 10 ∙ y14

z 27 .

46. Производ степена a 8 и a 6 подели

њиховим количником (a 8 је дељеник).

47. Количник степена x 14 и x 11 (x 11 је делилац)

помножи производом степена x 5 и x 2 .

48. Одреди производ количника степена c 8

и c 5 (c 8 је дељеник) и производа степена

c 3 и c 4 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


СТЕПЕН ПРОИЗВОДА,

КОЛИЧНИКА И СТЕПЕНА

А – утврди

49. Производ запиши у облику степена

производа, односно производа степена:

а) xy ∙ xy ∙ xy;

б) 2 3 b ∙ 2 3 b ∙ 2 3 b ∙ 2 3 b ∙ 2 3 b;

в) 4 7 y ∙ 4 7 y ∙ 4 7 y ∙ 4 7 y;

г) ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab ∙ ab.

50. Степен производа запиши у облику

производа одговарајућих степена

чинилаца:

а) (3a) 5 ; б) (4b) 8 ;

в) (ab) 9 ; г) (3√2) 6 ;

д) (

3

4 a ) 5 ; ђ) (–8b) 4 ;

е) (–c√3) 11 ; ж) (5xy) 7 ;

з) (abc) 8 ; и) (2a√2) 5 .

51. Дати производ степена запиши у облику

степена производа:

а) 2 3 ∙ a 3 ; б) 3 4 ∙ 2 4 ;

в) (–5) 4 ∙ 4 4 ; г) (–8) 6 ∙ (–9) 6 ;

д) (0,2x) 8 ∙ (5y) 8 ; ђ) x 4 ∙ a 4 ;

;

е) (–x) 5 ∙ 2 5 ; ж) (–2a) 7 ∙ ( – 1 2

) 7

з) (

3

4

) 5

∙ (–2x) 5 ; и) ( √ 1 3 x 5

) ∙ ( – √

3

4 y )5

.

52. Упрости израз:

а) (ab) 3 ∙ (ab) 5 ; б) (2x) 2 ∙ (2x) 6 ;

в) (

3

2 a ) 3 ∙ (1,5a) 6 ; г) (–2ab) 3 ∙ (–2ab) 5 ;

д) (–0,1xy) 4 ∙ (–0,1xy);

ђ) (

1 1 2 a√12 ) 4 .

2 a√12 ) 3 (

53. Степен количника запиши у облику

количника степена:

а) (

3

4

) 5 ; б) ( 2 1 2

) 3 ; в) (

a

5

) 4 ;

г) (

a

b

) 7 ; д) (

x

y

) 6 ; ђ) (

2a

3

) 4 ;

е) ( – 3x

4

) 6 ; ж) ( – √7y

14

) 3 ; з) ( –

3

5c

) 5 ;

и) (

abd

3f

) 4 ; ј) (

3g

√6

) 6 ; к) (

0,5

√2

) 12 .

54. Запиши у облику степена количника:

а) 25

3 5 ; б) 44

2 4 ; в) 24 5 : (–8) 5 ;

г) a 7 : b 7 ; д) a 9 : 3 9 ; ђ) x8

y 8 ;

е) 23 ∙ a 3

b 3 ; ж) 16x4

81 ;

з) 25√5

a 5 ; и) (–x)7 ∙ a 7

3 7 ∙ (–b) 7 .

55. Запиши у облику степена степена, то

јест у облику (a m ) n следећи израз:

;

а) 2 3 ∙ 2 3 ∙ 2 3 ; б) ( – 1 2

) 4 ∙ ( – 1 2

) 4

в) (–0,1) 7 ∙ (–0,1) 7 ∙ (–0,1) 7 ∙ (–0,1) 7 ;

г) (

2

3 a ) 2 ∙ (

2

3 a ) 2 .

56. Запиши у облику степена одговарајуће

основе, то јест у облику a m следећи

израз:

а) (3 3 ) 2 ; б) (4 5 ) 7 ; в) (–2 2 ) 8 ;

г) (a 2 ) 3 ; д) ((

3

Б – вежбај

6

5 x ) 4 )

; ђ) ((0,2d) 9 ) 3 .

57. Упрости израз:

а) a 3 ∙ (ab) 4 ; б) 3 3 ∙ (3a) 2 ;

в) (xy) 8 ∙ x 3 ∙ y 7 ; г) a 5 ∙ (ab) 2 ∙ b 4 ;

д) x 8 ∙ y 7 ∙ (xy) 3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

51


58. Упрости израз:

а) (ab)8

a 7 ; б) (2x)4

8 ;

в) (3ab)7

(3b) 5 ; г)

(xy) 12

x 3 ∙ y 11 ;

д) (xy)5 ∙ z 6

(zx) 4 ∙ y 7 ; ђ) (a7 : a 3 ) ∙ (ac) 4

(–a) 5 ∙ c 3 .

59. Израчунај:

а) (

2

3

) 4 : (

1

3

) 4 ; б) (( –3 1 2

) 3 ∙ 2 ) 5 : 73 ;

в) 0,25 4 : 1 –

4 (

1

4

3

) 9 ∙ 3 9 ;

г) (4 5 ∙ 5 5 ) : 15 5 ; д)

∙ 2 8 ∙ 5 8

38 ∙ 0,5 8 .

15 8

60. Упрости израз:

а) (a 2 b) 3 ; б) (2x 3 ) 6 ; в) (

a 3

b 2 )

г) (

x

y

) 2 ; д) (–0,5a 2 b 3 ) 4 ; ђ) (

5p 2

3

2q

) 7

61. Упрости израз:

а) (a 3 ∙ a 4 ) 4 ; б) (b 3 ∙ b) 5 ;

в) (c 7 : c 2 ) 3 ; г) (d 12 : d 9 ) 2 ;

д) (x 2 ) 5 : x 4 ; ђ) x 9 : (x 3 ) 3 ;

е) (x 3 ) 8 : (x 8 ) 3 ; ж) ((x 7 ) 5 : x 7 ) : x 5 ;

з) (x 3 ∙ (x 2 ) 7 ) : x 15 ; и) x 11 ∙ (x 20 : (x 4 ) 5 ) 101 ;

ј) x 10 : ((x 2 ) 2 ∙ (x 2 ∙ (x 2 ) 2 )); к) ((y 4 ) 3 ) 5 ;

л) ((y 3 ) 4 ) 5 ; љ) ((y 5 ) 3 ) 4 .

62. Упрости израз:

а) (x2 ) 3 ∙ x 5

x 8 : (x 3 ) 2 ; б) a7 ∙ (a 8 : a 4 ) 2

(a 2 ∙ a 3 ) 2 : a 6 ;

в) ((y2 ) 4 ) 5 : (y 10 ) 2

(y 7 : y) 3 ; г) (a3 b 2 ) 6 : a 5

(ab 5 ) 2 ∙ a 11 .

5 ;

63. Дати израз напиши у облику степена

броја 3:

а) ((3 2 ) 3 ) 4 ; б) ((3 4 ) 3 ) 2 ;

в) ((3 4 ) 2 ) 4 ; г) ((3 2 ) 5 ) 6 .

6 .

64. Израчунај:

а) √2 10 ; б) √3 6 ; в) √5 6 ;

г) √2 14 ; д) √5 8 ; ђ) √10 10 .

65. Израз запиши у облику степена са

основом 2:

а) 16 3 ; б) 8 5 ; в) 4 4 ∙ 8 8 ;

г) 256 4 : 64 3 ; д) (128 2 ∙ 64 4 ) 3 : 512 5 .

66. Одреди вредност променљиве n тако да

добијеш тачно тврђење:

а) 2 2 ∙ 2 n = 2 3 ; б) a n ∙ a 6 = a 10 ;

в) x 5 ∙ x 7 = x n ∙ x 9 ; г) y 12 ∙ y 3 = y n : y.

В – примени

67. Упрости израз:

а) 157

5 6 ; б)

6 5

2 4 ∙ 3 2 ; в) 214

15 3 ;

г) 155 ∙ 3 3

5 4 ; д) 144 ∙ 3 5

21 6 ∙ 2 7 ; ђ) (2√2)5

√2 9 .

68. Ако је x ∙ y = – 1 3 и x = –12, израчунај

y

вредност израза:

а) 3x 3 y 3 ; б) 2 ∙ (–x) 3 ∙ y 3 ;

в) (2x) 4 ∙ (

1

y

) 4 ; г) 2x 4 : (

1

y

) 4 ;

д) 1 y3

– xy + :

1

.

9 x 5 x 2

69. Упрости израз:

а) (

xy

z

) 3 ∙ z 2 ∙ (

1

x

) 3 ∙ y 3 ;

(abc) 4 ·

б)

(

a

b

) 4 ;

(bc) 4

( 10a

в)

b

) 8 · (2b) 4 ;

(5a) 7

г) (2x)5 · 3y 2

( 2x

.

y

) 4

70. Запиши израз у облику степена са

основом 2 3 :

а) 8 5 ; б) 16 6 ;

в) 64 5 ∙

1

; г) 2 5 : 1 ;

2 12 2 7

д) (47 : 8 3 ) ∙ 64

; ђ) 311 ∙ 162 ∙ 2 23

.

4

6 15

52

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б – вежбај

71. Покажи да вредност израза не зависи

од променљиве k:

а) 27k ; б) 52k + 1

; в) 162n + 3

; г)

36 k + 2

.

3 3k 25 k 2 8n + 10 (√6) 4k + 6

72. Одреди вредност променљиве n тако да

добијеш тачно тврђење:

а) (z n ∙ z 3 ) : z 5 = 1;

б) (3 7 : 3 5 ) ∙ 3 n = (3 7 ∙ 3 5 ) : 3 n ;

в) (d 11 : d n ) 2 = d 12 ;

г) (x 8 ∙ x 3 ) n = x 25 : x 3 ;

д) (x5 ∙ x 7 ) : x n

= x;

(x 2 ∙ x 3 ) 2

ђ) (a2 b 3 ) 4 ∙ a n ∙ b

= (ab) 12 .

a 4 b

Г – прошири

73. Докажи да је:

а) 3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 6 ;

б) 4 8 + 4 8 + 4 8 + 4 8 = 4 9 .

74. Упореди вредност степена:

а) 2 3 000 и 3 2 000 ; б) 100 15 и 1 000 10 ;

в) 0,008 20 и 0,00032 10 .

ПРИМЕНА СТЕПЕНА

А – утврди

75. Дати број запиши у облику степена

броја 10:

а) 100; б) 1 000; в) 100 000;

г) 1 000 000; д) 1 000 000 000.

78. Одреди стандардни запис реалног

броја:

а) 300 000; б) 76 000 000;

в) 9 870 000 000.

79. Одреди стандардни запис реалног

броја:

а) 0,000009; б) 0,000000021;

в) 0,000000000000321.

80. Бројевну вредност израза запиши у

стандардном запису:

а) 25 ∙ 10 4 ; б) 0,23 ∙ 10 8 ;

в) 139 ∙ 10 12 ; г) 0,011 ∙ 10 20 .

81. Бројевну вредност израза запиши у

стандардном запису:

а) 44 ∙ 10 −14 ; б) 118 ∙ 10 −9 ;

в) 0,4 ∙ 10 −9 ; г) 0,056 ∙ 10 −17 .

82. Израчунај (користећи стандардни

запис):

а) 320 000 ∙ 7 000;

б) 4 200 000 000 : 60 000 000;

в) 150 000 : 30 000 000;

г) 13 000 000 000 ∙ 0,00000005;

д) 0,0000062 ∙ 0,0000000000008;

ђ) 0,000000000065 : 0,000000000000013;

е) 0,000044 : 1 100 000 000 000.

83. Вредност израза запиши као степен

броја 10:

а) 102 ; б)

10 7

;

10 5 10 4 ∙ 10 8

в) 102 ∙ 10 3

10 12 : 10 4 ; г) 108 : 10 2

(10 6 ) 3 .

76. Дати број запиши у облику степена

броја 10:

а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001;

г) 0,00001; д) 0,0000000001.

77. Дату величину изрази у основној

јединици мере, користећи степен броја

10:

а) 5 km; б) 3,2 t; в) 12 а;

г) 4,5 ha; д) 2,2 km 2 ; ђ) 2 сата.

84. Дату величину изрази у основној

јединици мере, користећи степене

броја 10:

а) 7 dm; б) 3 mm; в) 7 g;

г) 4,5 mg; д) 2,2 cm 2 ; ђ) 35 mm 3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

53


В – примени

85. Упореди бројеве:

а) 3 ∙ 10 17 и 4 ∙ 10 15 ;

б) 7,9 ∙ 10 22 и 0,34 ∙ 10 23 ;

в) 5 ∙ 10 −14 и 6 ∙ 10 −15 ;

г) 12,3 ∙ 10 −25 и 0,14 ∙ 10 −23 .

86. Површина Земље је приближно

5,1 ∙ 10 8 km 2 , a површина Нептуна је

приближно 7,6 ∙ 10 9 km 2 . Која планета

има већу површину и колико пута?

87. Маса Сунца је приближно 1,989 ∙ 10 30 kg,

а маса Месеца је приближно

7,342 ∙ 10 22 kg. Колико пута је маса Сунца

већа од масе Месеца?

88. Маса Земље је приближно 5,972 ∙ 10 24 kg,

маса Нептуна је приближно

1,024 ∙ 10 26 kg, а маса Јупитера је

приближно 1,898 ∙ 10 27 kg.

а) Који проценат масе Нептуна износи

маса Земље?

б) Који проценат масе Јупитера износи

маса Земље?

89. Маса Земље је приближно 5,974 ∙ 10 24 kg,

а маса Меркура је приближно

3,302 ∙ 10 23 kg. Запремина Земље је

приближно 1,083 ∙ 10 12 km 3 , а запремина

Меркура приближно 6,083 ∙ 10 10 km 3 .

Упореди густине ових планета.

РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ

ИЗРАЗИ

А – утврди

90. Израчунај вредност израза:

а) 3x + 5 за x = 2;

б) 4x – 3 за x = –3;

в) 3a – 2b за а = 2, b = 3;

г) –4a + 3b за а = 5, b = −2;

д) x 2 – 3x + 1 за x = 4.

Б – вежбај

91. Запиши пет произвољних бројевних

израза.

92. Израчунај вредност израза:

а) 3x 2 – 2x + 5 за x = –3;

б) 2x 2 – y 2 за x = 5, y = –6;

в) x 2 – 4x + 6 за x = 1 2 ;

г) 2a 2 – 3ab + 6b за а = −2, b = 1 3 .

93. Израчунај вредност израза:

а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ∙ 2 3 4 ;

б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6

) ∙ 2 3 4 ;

в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6

) ∙ 2 3 4 ;

г) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ∙ 2 3 4

) .

94. Одреди бројевну вредност израза

a ∙ b – c ако је:

а) a = –6, b = 3, c = –2;

б) a = 2, b = – 5 6 , c = 2 3 ;

в) a = 0,5, b = –2,7, c = –3,41;

г) a = –√2, b = √8, c = √5.

95. Препиши дату табелу у свеску и попуни

је.

а b c a + b ∙ c a ∙ c – b a ∙ (b – c) (a – c) ∙ (a + b) b – a : c

–2 9 8

2 3


5 10

– 1 4

–4,3 7,7 –0,5

96. Запиши три произвољна алгебарска

израза у којима учествује променљива х.

97. Запиши пет произвољних алгебарских

израза.

54

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


В – примени

98. Одреди бројевну вредност алгебарског 102. Међу датим изразима издвој мономе:

ђ) 3zx2

2y ; е)

3c – 2b + a

2ab 2 + c ? 113. Од монома 1 2 , а, –2а2 , 3а 4 састави и

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог аутозапиши рзапиши ског

дела

или

њ

три егових

де

тринома. лова

у било

ком

о б

иму

и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу 55

израза:

а) a; б) b 2 ; в) 5;

а) а 2 – 2а 3 + 5 за а = 2;

б) 1 г) 2c; д) – 1

3 а3 – а 2 + 2а + 5 за а = –3;

2 x4 ; ђ) a 3 b 2 c;

в) аb 2 + а 2 b + 4ab за а = 1 е) a 3 + b 2 + c; ж)

1

2 , b = –2;

xy ; з) 3xy3 z 6

10 .

г) а 5 – а 4 + а 3 – а 2 + а за а = – 1;

103. Напиши пет различитих монома.

д) 2 3 а3 – 3 4 b4 – 1 2 c 2 за а = 2, b = –2,

104. За дати моном одреди коефицијент:

а) 2a; б) –10b 2 ; в)

c = –4.

7 xy;

99. Израчунај вредност алгебарског израза:

г) – 1 2 ; д) ef 2 g 5 .

а) 10a2 + 0,9

a

за а = 0,1;

105. Међу датим мономима издвој пет група

б) 4a2 + 3

a 2 – 3 + 1 за а = – 1;

сличних монома: 5x, – 1

2 2 y, –2x, x2 y, 4xy,

в) (2х + 3) 2 – 4 ∙ (х 2 + 3х) за х = 2 1 4 ;

4xy 2 , – 3 8 xy, 2 9 x2 y, 12y и –19xy 2 .

г) 2x4 + 3x 2 – 15

106. Напиши три монома који су слични

за х = √3;

x 2 – 1

моному 2x 2 y.

д) (a + 2) 2 –

(4a – 1)2

4

за а = –0,5.

107. Напиши четири пара сличних монома.

100. Одреди бројевну вредност алгебарског 108. Напиши четири слична монома.

израза:

109. Одреди степен монома:

а) 0,5a2 b 3 – (ab) 2 + 1

за а = 0,1, b = 10;

а) 8а 2 ; б) –4х 5 ; в) ab; г) xy 2 ; д) xy 2 z 3 .

ab

3x 2 y – 1 (Када моном има једну променљиву,

3 (xz)2 његов степен је одређен степеном

б)

за x = –√3, y = –3, z = 3.

те променљиве, а када има више

2z

променљивих, његов степен

одређујемо тако што сабирамо степене

ПОЛИНОМИ

тих променљивих).

А – утврди

110. Запиши три различита бинома.

111. Запиши све биноме који се могу

101. Да ли је следећи алгебарски израз

добити као збир или разлике монома

полином:

–2а и 3b.

а) аb + c; б) a 3 b 2 c – xy 2 ; в) 2x2 – 3y 3

;

5 112. Од монома x 3 , 2x 2 , 3x и –4 састави и

г) a + b

c – d ; д) x3 – 2x 2 + 3x – 4;

запиши четири бинома.

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б – вежбај

114. Израчунај бројевну вредност

полинома:

а) 5а 2 – 2а + 3 за а = –4;

б) х 4 + 2х 3 –3х 2 – 4х + 5 за х = –1.

115. Израчунај бројевну вредност

полинома:

а) 2аb – 3bc + 4ac за а = –1, b = –2, c = 4;

б) x 2 y + х 2 y 2 – хy 2 + 5х за х = –1, y = –1.

116. Одреди бројевну вредност монома:

а) 5х 2 за х = –10;

б) –4а 70 за а = 1;

в) 2 3 у2 009 за у = –1;

г) –0,3х 2 у за х = 5, у = –4;

д) 5a3 b 2 c

за а = –2, b = 3, c = 8.

72

117. Одреди бројевну вредност бинома:

а) 2а 2 – 3а за а = 7;

б) х 1 000 – х 1 001 за х = 1;

в) х 1 000 + х 1 001 за х = –1.

118. Одреди бројевну вредност бинома:

а) 5а + 4b за а = 8, b = –7;

б) 20x 2 – 5xy за x = 1 2 , y = –10;

в) а 3 b 2 c – 2ab 2 c 3 за а = –3, b = 5, c = 2.

119. Одреди бројевну вредност тринома:

а) x 3 + 2x 2 – 3x за x = 3;

б) y 50 + y 100 – y 150 за y = 1;

в) z 99 – z 100 – z 101 за z = –1.

120. Одреди бројевну вредност тринома:

а) x 3 + 3xy – 5y за x = –2, y = 6;

б) ab 2 – 3ac 2 + 5bcза а = 8, b = –3, c = –4.

121. Препиши табелу у свеску па запиши

формуле помоћу којих израчунавамо

обим одговарајуће геометријске

фигуре, а затим закључи да ли је то

моном, бином, трином или полином.

Геометријска фигура

Обим

Врста

полинома

Квадрат 4а моном

Правоугаоник

Троугао

Једнакостранични троугао

Једнакокраки троугао

Ромб

Паралелограм

Трапез

Једнакокраки трапез

САБИРАЊЕ ПОЛИНОМА

А – утврди

122. Израчунај збир монома:

а) 2а + 3а; б) 9b – 7b;

в) 3ab – 6ab; г) 1 2 x + 4x;

д) 2 7 y2 – 5 7 y2 ; ђ) 13,5abc – 6,8abc;

е) – 3 4 ax + 5 6 ax; ж) 2 3 5 x2 y – x 2 y;

з) –2,8ab 2 c 3 + 7 2 5 ab2 c 3 .

123. Упрости израз:

а) а + 2а + 3а;

б) 2b + 4b – 5b;

в) 5c – 7c + 12c – 10c;

г) 5ab – (–2ab) – 9ab.

124. Одреди супротан моном монома М ако

је:

а) M = 5x; б) M = –2аb;

в) M = 0,7xyz 2 ; г) M = –5 2 3 p3 q 2 r.

56

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


125. Одреди супротан бином бинома Р ако

је:

а) Р = 2а + b; б) Р = 4x – 5y 2 ;

в) Р = mn – 6a; г) Р = –5,5xy + 2y 2 .

126. Одреди супротан полином полинома Р

ако је:

а) Р = 2а; б) Р = –3b;

в) Р = 5x 2 + 4x; г) Р = 3x 2 – 2x + 1;

д) Р = 8аb 2 + 9ab – 6a 2 b;

ђ) Р = –7y 2 x 2 – 8yz + 9xy 2 – 10x 2 y.

127. Који су од датих полинома сређени:

А = 2а – 3b, B = 5x 2 – 3x + 1,

C = 2y – 3y 2 + 4y, D = 4a + ab + 5b

и E = 5x 2 – 2x 2 y 2 + 6x 2 y 2 – 3y 2 ?

128. Одреди степен бинома:

а) x 2 – 4x; б) b + 1 2 ;

в) c 4 – c 3 ; г) x 2 y + y 2 ;

д) x 2 y 3 z 4 + x 4 y 4 .

129. Среди полином, па му одреди степен:

а) 5а – 3а + 4; б) 4x + x – 7 – 3;

в) 5b 2 – 7b + 4b 2 – 2 + 8b;

г) –2a + 5a + b – 4a – 7b;

д) y 2 – 2y – y 2 – 2y + 3;

ђ) 15a – (6a + 4a);

е) (3xy + 5y) – (2x + 5xy);

ж) (5x + 3y – 6) – (x – 7) + (–5y + 4x);

з) 9a 3 + 5a 2 – 6a + 2a 3 – 1 + 6a + 12a 2 .

130. Одреди збир полинома и степен збира

полинома А и В ако је:

а) А = 2а – 3 и В = 3а + 7;

б) А = 4а 2 + 8 и В = 2а – 9.

Б – вежбај

131. Упрости израз:

а) 2 3 abc + 1 4 abc – ( – 1 6 abc ) ;

132. Среди полином Р, па одреди њему

супротан полином –Р:

а) Р = x 3 – 2x 2 + 3x 2 – 6x – 2x + 1;

б) Р = 3a 2 b 2 + 5a 2 b – 2ab + 8a 2 b – 7ab +

+ 4ab 2 ;

в) Р = (5abс – 7ab) – (3aс + 5ab – 2abс);

г) Р = (–11a 5 – 9a 3 + a – 1) – (a 2 + 4а 3 – 5a 5 ).

Упореди степен сваког полинома са

степеном њему супротног полинома.

Шта закључујеш?

133. Одреди збир полинома и степен збира

полинома А и В ако је:

а) А = 5а 2 + 6а + 7 и В = –2а 2 + а;

б) А = –2а 3 + 3а 2 + 5а – 2 и

В = 2а 3 – 7а 2 + 2а + 9.

134. Среди полиноме А и В, па одреди њихов

збир ако је А = 5x 2 – 3x – 7x 2 + 2 + 6x и

В = 4x 2 – 2x 2 + 5x – 6 + 2x 2 – 5x + 18.

135. За дате полиноме A и В напиши њихову

разлику А – В у сређеном облику ако је:

а) А = 3x + 2 и В = 2x + 3;

б) А = –5x + 4 и В = 2x 2 – 7;

в) А = 2x 2 – 3x – 4 и В = 2x 2 – 1;

г) А = x 3 – 2x 2 + 3x – 4

и В = 5x 3 – 6x 2 – 7x + 8.

Одреди степен полинома А – В.

136. Ако је А = 3у + 1, В = 4у – 2 и С = –5у + 3,

напиши сређени облик полинома:

а) А + В + С; б) А + В – С;

в) А – В + С; г) А – В – С.

Одреди степен добијеног полинома.

137. Ако је А = 5x 2 – 4x + 1, В = –2x 2 – 2x + 1 и

С = 4 – 3x + 8x 2 , напиши сређени облик

полинома:

а) А + В + С; б) C – A + B;

в) В + А – С.

б) 4xyz – ( 2 xyz – 1 2 xyz ) ;

в) 9x + (–4x) – (2x – 12x);

г) (5yz – 9yz) – (2yz + 4yz).

Забрањено ј

е

р

епродук

о

в

а

ње, умножа

в

а

ње, дистр

и

б

у

ција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

57


138. Дати су полиноми А = 2x 5 – 3x 3 + 2x,

В = 5x 5 + 2x 4 – 7x и С = 9x 4 – 7x 3 + 3x.

Запиши у сређеном облику полином:

а) А + В + С; б) А – В – С;

а затим одреди његов степен.

139. Одреди полином Р ако за њега важи да

је:

а) Р + 2x 2 – 3x + 1 = 7x 2 – 2x + 3;

б) Р – (x 2 + 7x + 3) = x 2 – 2x – 1;

в) 3x 2 – 4x + 5 – Р = 2x 2 – 9.

140. Одреди полином Р и његов степен ако

је:

а) 3x 2 – 6x + 5 + Р = 7x 2 + 2x – 3;

б) 6x 2 + 4x – 2 – Р = 6x 2 – 7х + 3.

141. Један сабирак је а 2 + аb – b 2 , a збир

2а 2 – аb – 5b 2 . Одреди други сабирак.

142. Реши једначину:

а) 2х + 3х – 4х + 5х = 18;

б) 3х – (5 – 4х) = 2;

в) 2х – 7 – (3х + 1) = –2;

г) 10х – (7 – 3х) – 14 = 5;

д) (4х – 3) – (7 – 2х) = 2;

ђ) 4х – (2х + 5) – (4 – 3х) = –9.

В – примени

143. Ако је А = 5x 2 – 4x + 1, В = –2x 2 – 2x + 1 и

С = 4 – 3x + 8x 2 , напиши сређени облик

полинома:

а) А – (В + С); б) C – (A + B);

в) В – (А + С).

144. Дати су полиноми А = 2x 5 – 3x 3 + 2x,

В = 5x 5 + 2x 4 – 7x и С = 9x 4 – 7x 3 + 3x.

Запиши у сређеном облику полином:

а) –А – (В – С); б) (А – С) – (В + С);

а затим одреди његов степен.

145. Од полинома А = –3abc + 4аb –5c

одузми полином В = –9abc + 3ab + 8c,

па добијеној разлици додај полином

С = –2abc – 6ab + 3c.

146. Од збира бинома 2а – 3 и 5а + 2 одузми

збир бинома –2а – 1 и 4а + 1.

147. Од разлике бинома 3х + 4у и 2у – 5х (где

је 3х + 4у умањеник) одузми разлику

бинома 7х – 2у и 4х – 4у (где је 4х – 4у

умањилац).

148. Од тринома 5а 2 – 3а + 1 одузми збир

бинома 10а + 2 и 2а 2 – 7а.

149. Покажи да вредност израза

3х 2 + 5х – 2 – (2х 2 + х) – (х 2 + 4х – 6) не

зависи од х.

150. Покажи да вредност израза

5х – 2у – 6 – (7х – 3у) – (8 + у – 6х) не

зависи од у.

151. Среди полином

3а 3 – 2а 2 + 2а + 1 – (3а 3 – 2а 2 + 5а + 6), па

израчунај његову вредност за а = 7.

152. Среди полином

–4а 2 – (2а 2 – 7а + 8) – (4а + 1), па

израчунај његову вредност за а = –1.

153. Среди полином

5ху – 2х 2 – 7 + 3у 2 – (9у 2 – 3ху + 6 – х 2 ), па

израчунај његову вредност за х = –2 и

у = 1.

154. Збир три узастопна природна броја је

186. Одреди те бројеве.

155. Збир четири узастопна парна броја је

84. О којим бројевима је реч?

156. Збир четири броја од којих је сваки за

три већи од претходног је 158. Одреди

те бројеве.

58

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


157. Дужине страница неког троугла су

а = 4х + 1, b = 6х – 2 и c = 2х + 5, где је

х R и х > 3 4 .

a) Одреди обим тог троугла.

б) Израчунај обим тог троугла за х = 3.

158. За коју вредност променљиве х

бројевни израз 3х + 1 – 2х + 5 има

вредност 13?

159. Одреди вредност променљиве x за коју

је збир бинома 2x – 3 и 4 + 4x једнак

разлици бинома 3x + 2 и 5x – 7 (где је

5x – 7 умањилац).

160. Реши једначину:

а) 4 – х – (– 4 – (2х – 3)) = 11;

б) 3,2 + 0,4х – (2,7х – 4) – 0,2х = 4,8;

в) 3 4 x – ( 1 2 + 5 6 x ) – ( 2 3 x – 1 4

) = 5

12 .

161. Одреди вредност променљиве х за коју

троугао са страницама х + 4, 2х + 3 и

3х + 1 има обим једнак обиму квадрата

странице х + 3.

МНОЖЕЊЕ ПОЛИНОМА

А – утврди

162. Одреди производ монома А и В ако је:

а) А = 5а, В = 3; б) А = –2b, В = 4b;

в) А = 5а 2 , В = 1 5 a;

г) А = –7аbc, В = 2 7 a2 b;

д) А = 0,6а 3 bc 2 , В = 2,2a 2 b 3 c 4 .

164. Одреди:

а) (2х 2 у) 3 ; б) (–5хy 2 z 3 ) 2 ;

в) ( – 1 2 a2 b 3 c 5 )

Б – вежбај

3

; г) (3x 5 y 3 z 2 ) 4 .

165. Одреди производ А ∙ В ∙ С ако је:

а) А = –2, В = 3х, С = 4х 2 ;

б) А = 3 4 y3 , В = – 2 3 y2 , С = 2 5 y;

в) А = –2ху 2 , В = 8хуz, С = –3х 3 z;

г) А = 4 9 xyz, В = – 3 5 x5 y 3 z, C = 15

16 xy2 z 4 .

166. Упрости израз:

а) 9а 2 · ( – 1 3

) b3 ; б) –4а · (–а)2 · (–а 2 );

в) 12а 2 · (–2а 3 ) · (–а) 3 ;

г) –7xy 2 z 3 · (–2xz) · 2 7 y2 z 5 ;

д) (

1

3

) 2 ab2 · 6a 2 b 5 ;

ђ) ( – 1 2 ab2 c 4 )

3

· (8a 3 b 2 c) 2 .

167. Упрости израз:

а) 5х · (–2у) + 3ху; б) –8х 2 у – 2ху · 4х;

в) 2х 2 · ( – 1 2

) y2 – 1 ху · 8ху;

2

г) 3х 2 · (–2х 2 ) – х 3 · 4х – 5х · (–7х 3 ).

168. Одреди производ полинома Р и

монома М ако је:

а) Р = 2х + 3, М = 4х;

б) Р = 3p – 2q, М = –2p 2 ;

в) Р = 2a – 3b + 5c, М = 5abc;

г) Р = –4ab + 16ac – 8bc, М = 1 2 bc.

163. Одреди А 2 и А 3 ако је:

а) А = 3ab; б) А = –2ab 2 c 3 ;

в) А = – 3 4 a4 bс 2 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

59


60

169. Помножи и среди добијени полином и

одреди његов степен:

а) (х 4 – 2х 2 – х) · (–7х 2 );

б) –3abc · (2ab – 4abc + 6a 2 b 3 c 4 );

в) – 2 7 xy2 · (14x 2 – 7xy + 21xy 3 );

г) (2x 3 y 3 – x 2 y 2 – 3xy) · 9x 2 y 3 ;

д) 4xy · ( – 3 8 x2 y 4 + 1 4 x4 y 8 +

9

16 x8 y ) 6 ;

ђ) ( 2 1 4 a3 b 2 c – 0,75a 3 bc 3 + 3ab 2 c ) 3 ∙

∙ 1 1 3 ab2 c 3 .

170. Среди полином и одреди његов

степен:

а) 5х 3 + 2х · (х 2 – 3);

б) (2х – 3у) · 5х + 12ху;

в) (–2х + у) · 3у – 4х · (5х – 2у);

г) 2 · (х 2 + у 2 ) – 3х · (х – у) + 6х 2 ;

д) х 2 · (2х – 7) – х · (5х + 4х 2 ) + 7 · (х 3 – х);

ђ) 4х 2 · (3х 2 – 7х + 1) – 2х · (5х 2 + 4х – 3);

е) 3х · (–3х 3 + 2х 2 + 9х – 1) +

+ 7х 2 · (х 2 – 2х + 1).

171. Одреди производ бинома:

а) х + 2 и 2х – 1; б) 3х + 5 и 2 – 4х;

в) 4х 2 + 1 и 3х – 7; г) 2а – 3b и 3a + 2b.

172. Одреди производ полинома А и В ако

је:

а) А = 5х – 3у и В = 2х + у;

б) А = а 2 + 5а и В = 4а – 1;

в) А = 3а – 5 и В = 4а 2 + а – 3;

г) А = –2а 2 + 3а – 1 и В = 5а 2 + 4а;

д) А = а – b и В = а 2 + аb + b 2 ;

ђ) А = а 2 – аb + b 2 и В = а + b;

е) А = x – 1 и В = x 3 + x 2 + x + 1;

ж) А = x 3 – x 2 + x – 1 и В = x + 1.

173. Упрости израз:

а) а 2 · (а + 2) + (2а 2 – 1) · (3 – 2а);

б) (х – 2) · (х + 1) + (2х + 3) · (х – 4);

в) (8х + 5) · (–2х – 1) + (4х – 3) · (4х + 3);

г) (х + 3) · (2х – 1) + (3х + 1) · (х – 2);

д) (2х – 5х 2 ) · (2 – 3х) – (4х + 3х 2 ) · (1 – 2х);

ђ) (2х + 3х 2 ) · (4 – х) – (4 – 2х) · (х 2 –1).

174. Упрости израз:

а) х 2 · (х – 1) · (2х – 1);

б) (5х 2 – 4) · (3х – 2) · (6х + 1) · х 3 .

175. Одреди моном М тако да важи:

а) М · (3х 2 – 4х + 5) = 6х 3 – 8х 2 + 10х;

б) М · (2а 2 b 2 + 5ab 3 – 7ab) =

= – 8а 3 b 4 – 20a 2 b 5 + 28a 2 b 3 ;

в) (–4аb 2 c 3 + 10ac 2 – 3b 2 c) · М =

= 12а 4 b 3 c 5 – 30a 4 bc 4 + 9a 3 b 3 c 3 .

176. Реши једначину:

а) 3х – 2 · (5 – 4х) = 12;

б) х 2 + (х – 1) · 2х – 3х · (х + 2) = 16;

в) 5 · (х – 2) – 7х + 4 = –4;

г) (х – 5) · (х – 2) – (х – 1) · (х + 4) = 14;

д) (3х – 1) · (2х + 5) – 6х 2 = 8;

ђ) (2х – 3) · (2х + 1) – 4х 2 = 1.

В – примени

177. Дати су полиноми А = 2а 2 – 3а + 7,

В = –а 2 и С = 9а 2 – 5а + 4. Одреди

полином 4А – 3ВС и утврди његов

степен.

178. Провери тачност једнакости:

(а 2 – 3а + 2) · (–3а 2 ) – (2а + 3а 2 – 2а 3 ) · 2а =

= а 4 + 3а 3 – 10а 2 .

179. Ако је А = 2а + 3, В = а 2 – 4 и С = 3 – 4а,

одреди и среди полином:

а) А · В · С; б) А · В – С;

в) А + В · С; г) А · С – В · С.

180. Дати су полиноми: A = x 2 + 1,

B = –4x + 5, C = –4x 2 – 5x + 1. Одреди:

a) A − B + C; б) A − C − B;

в) C − A ∙ B; г) B ∙ (A − C).

Утврди који је степен добијеног

полинома.

181. Упрости изразе:

а) (3а 2 + 2а – 6) · (2а 2 – 4а + 7) –

– 5а · (4а 4 – 3а 3 + 2а 2 –а + 10);

б) 10b 4 – 3b 3 · (b 2 + 2b – 1) +

+ (b – 1) · (b + 5).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


182. Покажи да вредност израза

(2х – 6) · (5 – 2х + 3х 2 ) – 6х · (х 2 – 4х + 4) –

– 2х 2 + 2х не зависи од х.

КВАДРАТ БИНОМА

А – утврди

д) 1 2

194. Одреди:

а) ( 1 1 2 – 2x ) 2

– (х 2 у – 2ху 2 ) · (2х + у) за х = –3, у = 1 3 . в) 9a 2 b 2 + 3ab + 1 4 ;

183. Покажи да вредност израза

2а · (15а – 11b) – (b – 3a) · (4b – 10a) +

+ 4b 2 – 7 не зависи од а и b.

184. Биному 2х 2 + 4х додај производ бинома

3х – 1 и 5 – 4х.

185. Од тринома 3а 2 – 2а + 1 одузми

производ бинома 2а + 3 и 3а – 9.

186. Производу бинома х – у и х + у додај

производ монома 2ху и тринома

х 2 + ху – у 2 .

187. Од производа бинома ху 2 + 1 и 2х – 3у

одузми разлику тих бинома (где је

2х – 3у умањилац).

188. Производу збира и разлике монома 2а

и 3b (где је 2а умањеник) додај разлику

квадрата тих монома (где је (2а) 2

умањеник).

189. За коју вредност променљиве х

полином 2х 2 – 2х · (х – 2) – 3 има

вредност 9?

190. Упрости израз, па израчунај његову

вредност:

а) (а 3 – 5а + 4) · (а – 5) – а 4 за а = 3;

б) (а 3 – 3) · (а + 3) · (а + 1) за а = –1;

в) (b – 2) · (b + 3) – (b + 1) · (b – 3) за b = 2;

г) 6с 4 – 3с 3 · (с 2 + 2с – 1) + (с + 4) · (с – 2) за

с = –2;

д) (2х – у) · (3у + 4) – (ху + 2) · (–3ху)

за х = –5, у = 2;

ђ) 10ху · (–3х 2 + 5ху – 2у 2 ) –

191. Да ли је следећа једнакост тачна за

свако х:

а) (3х + 1) 2 = 9х 2 – 3х + 1;

б) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 6х + 1;

в) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 1;

г) (3х + 1) 2 = 9х 2 + 3х + 1;

д) (3х – 1) 2 = 9х 2 – 6х – 1;

ђ) (3х – 1) 2 = 9х 2 – 3х + 1;

е) (3х – 1) 2 = 9х 2 – 6х + 1;

ж) (3х – 1) 2 = 9х 2 – 1?

192. Одреди квадрат бинома Р ако је:

а) Р = х + 3; б) Р = 2х + 5;

в) Р = 5х + 1; г) Р = х – 1;

д) Р = 3х – 4; ђ) Р = 9х – 8.

193. Одреди квадрат бинома:

а) 2а + 3b; б) 5х – 3у;

в) 4х + у; г) 1 2 + a;

x – y; ђ) 6ab + 5;

е) 4abc – 3; ж) 3x 2 – 7y.

; б) ( –2a – 1 2 x ) 2

в) (–0,2а – 5а 2 ) 2 ; г) (√3x + √5y) 2 ;

д) (0,5а – 0,3b) 2 ; ђ) (0,1 – 5a 3 ) 2 ;

е) (√2a – √8b) 2 ;

ж) (–3a – 7) ∙ (–7 – 3a);

з) ( – 1 2 a + 2 ) ∙ ( 2 – 1 2 a ) .

195. Дати трином запиши као квадрат

бинома:

а) 1 – 10х + 25х 2 ;

б) 49а 2 + 28аb + 4b 2 ;

г)

1

25 x4 – 1 5 x2 yz + 1 4 y2 z 2 ;

д) 3x 2 + 18xy + 27y 2 .

;

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

61


Б – вежбај

196. Које мономе треба уписати у квадрате

тако да једнакост буде тачна:

а) (

1

2 + ) 2 = + х + ;

= 64a 2 – + ;

б) (

2

– 11b )

в) (

2

– 2xy )

г) ( + ) 2

= – хy + ;

= + 1 3 cd + 1 9 d2 ?

197. Упрости израз:

а) (5х – 2) 2 – 5х ∙ (5х + 2);

б) (х + у) 2 + (х – у) 2 ;

в) (а – 2) 2 + (а + 2) 2 ;

г) (2а + 5) 2 + (3а – 1) ∙ (–2а);

д) (3х + 5) ∙ (2 – х) – (4х – 1) 2 ;

ђ) (3b + 8) 2 – (2b – 7) 2 .

198. Провери тачност једнакости:

а) (a – b) 2 = (b – a) 2 ; б) (a + b) 2 = (–a – b) 2 .

199. Упрости израз:

а) (7х + 5) 2 – (9х + 11) (4х – 3);

б) (2х – 3) 2 – (3х – 2) (2x + 3) + 12x;

в) (3х – 2y) 2 – (2x – 3y) 2 – 2x(–3х);

г) 5 (а – 2) 2 + 2a (а – 2) – 4 (а + 2);

д) 2a (2а – 1) 2 + (а – 2a 2 ) ∙ (–6a);

ђ) 3 (3b – 4) 2 – 15 (3b + 2) 2 + 17;

е) (а – b) 2 – a 2 – (а + b) 2 + 2ab – b 2 ;

ж) 5 (5 – 3а) 2 – 11 (1 – 3a) – 45a 2 + 7.

200. Упрости израз

(4x – 3y) 2 – (2x – y) ∙ (8x – 9y), па израчунај

његову вредност за x = –1,5 и y = 0,2.

201. Упрости израз

(3x – 9y) ∙ (6x – y) – (5x – 3y) 2 , па

203. Триному 2х 2 + 5х – 7 додај квадрат

бинома 2х – 4.

204. Од полинома 4х 3 – 3х 2 + 2х – 1 одузми

квадрат бинома х – 6.

205. Од квадрата бинома 5х – 9 одузми

квадрат бинома 2х + 7.

206. Користећи квадрат бинома израчунај:

а) 101 2 ; б) 98 2 ; в) 106 2 ;

г) 95 2 ; д) 89 2 ; ђ) 112 2 .

207. Реши једначину:

а) (х + 5) 2 – (х 2 – 4х + 1) = 6;

б) (3х – 2) (3х + 4) – (3х – 5) 2 = 3;

в) (2х – 1) 2 – (2х + 3) (2х – 4) = 5;

г) (4х – 2) 2 – (4х – 3) 2 = – 21.

208. Дати су полиноми A = 2x – 3 и B = 3 – 4x.

Одреди:

a) A ∙ B; б) A – B 2 ; в) A 2 – 2 ∙ B.

209. Трансформиши израз:

а) (а + b + 1) 2 ; б) (2x + y + 3) 2 ;

в) (3а + 4b − 1) 2 ; г) (4 − 5а + 2b) 2 .

В – примени

210. Ако је А = 3х + 1, В = 2х – 3 и С = 2 – х,

одреди и среди полином:

а) А 2 + В 2 + С 2 ; б) А 2 – В 2 + А ∙ С;

в) (А + С) 2 – В 2 ; г) (В – С) 2 + А 2 ;

д) (А – В) 2 – (В – С) 2 .

211. Од квадрата збира монома 5а и 8b

одузми квадрат разлике тих монома

(где је 5а умањеник).

62

израчунај његову вредност за x = – 1 7

и y = 1 9 .

202. Покажи да је бројевна вредност израза

рационалан број:

а) (√5 + 4) 2 + (4 – √5) 2 ;

б) (√2 – 12) 2 – (6 – √8) 2 .

212. Од полинома 16x 2 – 11x + 1 одузми

квадрат бинома 4x – 1. Одреди

бројевну вредност добијеног

полинома за x = –4.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


213. Од полинома 9x 2 – 23x + 8 одузми

квадрат бинома 3x – 4. Одреди

бројевну вредност добијеног

полинома за x = 2 016.

214. Дужина дијагонале правоугаоника је

х + 1, а дужина једне странице х – 2.

За коју вредност х је дужина друге

странице тог правоугаоника 9 cm?

215. Ако је а = 3х – 1, b = 4x + 3 и c = 5x + 2,

за коју вредност х дужи a, b и c могу

бити дужине страница правоуглог

троугла (с је дужина хипотенузе)?

216. Израчунај обим и површину

правоуглог троугла ако је дужина једне

катете 24 cm, а хипотенуза је за 16 cm

дужа од друге катете.

217. Израчунај обим и површину

правоуглог троугла ако је дужина једне

катете 12 cm, а друга катета је за 4 cm

краћа од хипотенузе.

218. Дужина једне странице правоугаоника

је 15 cm, а друга је за 9 cm краћа од

дијагонале тог правоугаоника. Одреди

обим и површину тог правоугаоника.

219. Дужина једне катете правоуглог

троугла је 18 cm, а збир дужина друге

катете и хипотенузе је 54 cm. Одреди

површину тог троугла.

220. Телефонски стуб висине 25 m

преломљен је услед невремена и

врхом додирује земљу на удаљености

5 m од подножја. На којој висини је

преломљен стуб?

221. Дужине странице два квадрата се

разликују за 2 cm, а њихове површине

за 40 cm 2 . Одреди дужине страница тих

квадрата.

222. Израчунај површину ромба ако је

дужина његовог обима 60 cm, а збир

дужина дијагонала 42 cm.

Г – прошири

223. Трансформиши израз:

а) (а + b) 3 ; б) (а + b) 4 ; в) (а − b) 3 ;

г) (а − b) 4 ; д) (а − 1) 3 ; ђ) (2 + а) 3 ;

е) (а + 2b) 3 ; ж) (3а + b) 4 .

РАЗЛИКА КВАДРАТА

А – утврди

224. Разлику квадрата запиши у облику

производа:

а) х 2 – 9; б) 25х 2 – 16;

в) 4а 2 – 49b 2 ; г) c 2 – 3;

д) a 2 b 2 – 36; ђ) –4у 2 + 1 4 .

225. Трансформиши производ користећи

једнакост (А – В)(А + В) = А 2 – В 2 :

а) (2 – х) (2 + х);

б) (а – 10) (а + 10);

в) (– b + 4а) (4а + b);

г) (3а – 8b) (3а + 8b);

д) (10x + y) (10x – y);

ђ) (c 2 + 1) (c 2 – 1);

е) (0,7а – 2b) (2b + 0,7а);

ж) (

3

4 a – 1 )( 3 4 a + 1 ) ;

з) (

4

9 x + 5 8 y )( 4 9 x – 5 8 y ) .

226. Трансформиши производ користећи

једнакост (А – В)(А + В) = А 2 – В 2 :

а) (4аb – 3c) (4аb + 3c);

б) (5xyz + 2abc) (5xyz – 2abc);

в) (1,2mn – 2,5pq) (1,2mn + 2,5pq);

г) (

9

10 a2 b –

5

11 c ) ( 9 10 a2 b +

5

11 c ) ;

д) (–2x + y) (2x + y);

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

63


64

ђ) (x 2 – 9) (x 2 + 9);

е) (a 2 – 16b 2 ) (a 2 + 16b 2 );

ж) (а – 5) (а + 5) (a 2 + 25);

з) (12 – b 2 ) (b 2 + 12);

и) (z – 1) (z + 1) (z 2 + 1) .

227. Које мономе треба уписати у квадрате

да би се добила тачна једнакост:

а) ( а – ) ( а + ) = – 36;

б) ( 5 – ) ( 5 + ) = – х2 ;

в) ( 2а – ) ( + 3b ) = 4a 2 – ;

г) ( – 1 4 y ) ( + ) = 9

16 x4 – ?

Б – вежбај

228. Користећи разлику квадрата израчунај:

а) 91 2 – 9 2 ; б) 26 2 – 24 2 ;

в) 87 2 – 77 2 ; г) 175 2 – 25 2 ;

д) 5,3 2 – 4,3 2 ; ђ) ( 7 3 4

) 2

229. Израчунај:

а) 992 – 1

49 ; б) 6

13 2 – 47 2 ;

в) 452 – 25 2

57 2 – 43 2 ; г) 192 – 81 2

41 2 – 21 2 ;

– ( 2 1 4

) 2

д) 8,122 – 1,88 2

40,6 2 – 9,4 2 ; ђ) 2,72 – 17,3 2

2,3 2 – 12,3 2 .

230. Дати производ трансформиши у

разлику квадрата, па израчунај:

а) 102 ∙ 98; б) 1 005 ∙ 995;

в) 55 ∙ 45; г) 24 ∙ 16;

д) 81 ∙ 79; ђ) 49 ∙ 31;

е) 5,1 ∙ 4,9; ж) 1,01 ∙ 0,99.

231. Упрости израз:

а) (а – 1) (а + 1) + 5а (2а – 1);

б) (6а – 5) (6а + 5) + (2а + 1) (5 – 18а);

в) (3х + 7у) (2у – 9х) – (4х – 3у) (4х + 3у);

г) 4 ∙ (а – 5) (а + 5) – (2а – 3) (2а + 3);

д) 9 ∙ (5 – 4х) (5 + 4х) – 4 ∙ (3х + 7) (3х – 7) +

+ 27х.

.

232. Реши једначину:

а) (x + 3) (x – 3) – (x 2 – 4x) = 9;

б) (2 + y)(2 – y) – (2y – 1) + y 2 = 5;

в) (3x – 2)(3x + 2) – (3x – 5) 2 = 1;

г) (2x – 3)(2x + 3) – (4x 2 – 5x + 1) = 15;

д) (2 – y) (2 + y) – (6y – y 2 ) = 4;

ђ) (x – 2)(x + 2) – (x + 3) 2 = –1.

233. Реши једначину:

a) (x + 2) 2 – (x – 3) (x + 3) = 1;

б) (2x – 1) 2 – (2x + 3) (2x – 3) = 2;

в) (2x + 1) (2x – 1) – (2x – 3) 2 = 2;

г) (4x + 7) 2 – (4x – 3) (4x + 3) = 114;

д) (3x – 5)² – (2x + 3) 2 – 5 ∙ (x – 2) (х + 2) =

= –132.

234. Упрости израз:

а) (3x – 5)(3x + 5) + 3x 2 ∙ (5x – 2);

б) (5x + 11)(2x – 1) – (3x + 4)( 3x – 4);

в) (2x – 3) 2 – (3x + 2)(3x – 2);

г) (5x + 2) 2 – (2x – 5)(2x + 5);

д) 4 ∙ ( y – 1 2 x )( y + 1 2 x ) – 9 ∙ ( y – 1 3 x ) 2 ;

ђ) 4 ∙ (

1

2 + 2x ) 2 – 9 ∙ (

1

3 x + 1 )( 1 3 x – 1 ) .

В – примени

235. Дати су полиноми P = a + 2b, Q = a + b,

R = a – b. Одреди Q ∙ R – P 2 .

236. Разлика квадрата два узастопна

природна броја је 43. Који су то

бројеви?

237. Разлика квадрата два узастопна

парна природна броја је 68. О којим

бројевима је реч?

238. Производ два узастопна непарна

природна броја је 143. Који су то

бројеви?

239. Дужине страница правоугаоника су

а = 2х – 5 и b = 2х + 5. Ако је површина

тог правоугаоника 119 cm 2 , одреди

његов обим.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


240. Упрости израз, па израчунај његову

вредност:

а) (р – 2) 2 – (р – 3) 2 + (р – 4) (р + 4)

за р = –1;

б) (q + 4) 2 – (q + 2) (q – 2) – (q – 6) 2

за q = 2.

241. Израчунај:

а) √5 – 2 · √5 + 2 ;

б) 4 + 2√3 · 4 – 2√3.

242. Израчунај А 2 ако је

А = 8 – √15 – 8 + √15.

Г – прошири

243. Докажи да је разлика квадрата два

узастопна природна броја увек

непаран број.

244. Докажи да је разлика квадрата два

узастопна непарна броја дељива са 8.

245. Трансформиши израз:

а) x 3 – y 3 ; б) x 3 + y 3 ;

в) x 4 – y 4 ; г) x 6 – y 6 ;

д) x 3 – 8; ђ) 27 – а 3 .

РАСТАВЉАЊЕ ПОЛИНОМА НА

ЧИНИОЦЕ

А – утврди

246. Издвој заједнички чинилац испред

заграде:

а) 3x – 3y; б) 12a + 12b;

в) 5xy – 15yz; г) ab – b 2 ;

д) –7a 2 + 21a; ђ) 10ab 2 – 5b 3 .

247. Растави на чиниоце:

а) 2ab + 2bc + 2ac;

б) 12a – 20b + 16ab;

в) x 5 + x 3 – x;

г) 10a 2 – 15a + 35a 3 .

248. Растави на чиниоце разлику квадрата:

а) 9 – х 2 ; б) а 2 – 25;

в) х 2 – 4у 2 ; г) 16а 2 – 1;

д) 4а 2 – 9b 2 ; ђ) 49x 2 – 9y 2 ;

е) 64x 2 – 1; ж) с 2 – 81d 2 .

249. Дати трином трансформиши у квадрат

бинома:

а) х 2 + 2ху + у 2 ; б) х 2 + 6х + 9;

в) а 2 + 8а + 16; г) у 2 + 2у + 1;

д) 9а 2 + 6а + 1; ђ) 1 + 10m + 25m 2 ;

е) 16х 2 + 8х + 1; ж) b 2 + 16 + 8b;

з) 49 + х 2 + 14х.

250. Растави на чиниоце:

а) х 2 – 12х + 36; б) a 2 – 14a + 49;

в) 81а 2 – 36аb + 4b 2 ; г) 36 – 96а + 64a 2 ;

д) 49а 2 – 42а + 9; ђ) 0,01b 2 – bc + 25c 2 ;

е) a 2 – a + 0,25; ж) 16x 2 – 24xy + 9y 2 ;

з) 25a 2 – 40ab + 16b 2 .

Б – вежбај

251. Дати полином Р трансформиши у

производ, па реши једначину Р = 0:

а) х 2 – 7х; б) 2х 2 + 8х;

в) 12х – 2х 2 ; г) х 2 + 10х;

д) 3х 2 – 6х; ђ) 4х 3 + 12х 2 .

252. Реши једначину:

а) 7х 2 – 14х = 0; б) 25х 2 + 100х = 0;

в) 2х 2 – 5х = 0; г) 4х – 3х 2 = 0;

д) 3х – 5х 2 = 0; ђ) 6х 3 – 8х 2 = 0.

253. Растави на чиниоце:

а) 10x 2 – 6y 2 – 8xy;

б) a 5 + a 4 – a 3 + a 2 ;

в) 4a 3 b 2 c + 10a 2 b + 20ab 2 c 3 ;

г) 9x 3 y 2 – 18x 2 y + 12x 2 y 3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

65


254. Полином Р растави на чиниоце

груписањем чланова:

а) Р = 2х + 2у + 3(х + у);

б) Р = ах + ау + bх + bу;

в) Р = 4a + 4b + a 2 + ab;

г) Р = x 3 – x 2 + x – 1;

д) Р = x 2 – 6x + xy – 6y;

ђ) Р = x 2 y + 3xy + 2x + 6.

255. Растави на чиниоце разлику квадрата:

a) 16a 2 b 2 – 49c 2 ; б) x 2 – 9y 4 ;

в) 121m 2 – 144n 2 ; г) 16a 4 b 2 – 25c 2 d 2 ;

д) x2

36 – 1; ђ) 1 9 x2 – 16

25 y2 ;

е)

81

121 – 4

25 x2 ; ж) 0,09а 2 – 0,25у 2 ;

з) 0,81х 2 у 2 – 0,25z 2 ; и) 6 1 4 a2 – 5 4 9 b2 .

256. Растави на чиниоце:

а) a 4 – b 4 ; б) 1 – c 4 ;

в) х 4 – 16; г) 16а 4 – 81b 4 ;

д) 5а 2 – 5; ђ) a 2 b – b;

е) 7a – 7ax 2 ; ж) ах 2 – 9а;

257. Растави на чиниоце:

а) 5a 2 b 2 – 45a 2 ; б) ap 2 – aq 2 ;

в) m 4 – m 2 ; г) 12а 2 – 3;

д) 8a – 8a 3 ; ђ) 8ax 2 – 50ay 2 ;

е) a 3 bc – abc 3 ; ж) 27а 3 – 3ab 2 .

258. Реши једначину:

а) x 2 – 9 = 0; б) x 2 – 25 = 0;

в) 16 – x 2 = 0; г) 81у 2 – 1 = 0;

д) 4x 2 = 49; ђ) 36у 2 – 121 = 0.

259. Растави на чиниоце:

а) 0,25х 2 y 2 – 0,1хy + 0,01;

б) 0,09a 2 + 0,12ab + 0,04b 2 ;

в) 1 4 – x + x2 ;

г) a2

81 + 8ab

9 + 16b2 ;

д) c 4 – 8c 2 + 16;

ђ) c 4 – 2c 2 d 2 + d 4 .

260. Растави на чиниоце:

а) 3х 2 + 6х + 3; б) x 3 + 12x 2 + 36x;

в) 5х 2 – 30х + 45; г) x 4 – 2x 2 + 1;

д) 100a 2 + 600a 2 b 2 + 900b 2 ;

ђ) 2a 2 b 2 – 12abc + 18c 2 ;

е) –11 – 66а 2 – 99а 4 ; ж) –5у 2 + 20у – 20;

з) 5х 3 у 2 + 10х 2 у + 5х; и) 27х 3 – 90х 2 + 75х;

ј) 242а 2 х + 308ах + 98х;

к) 5b 3 – 60b 2 + 180b.

261. Реши једначину:

а) х 2 + 10х + 25 = 0; б) y 2 – 6y + 9 = 0;

в) х 2 – 12х + 36 = 0; г) a 2 + 4a + 4 = 0;

д) 1 – 8х + 16х 2 = 0; ђ) 4х 2 + 20х + 25 = 0;

е) 36 – 96х + 64х 2 = 0;

ж) 8х 2 + 16х + 8 = 0; з) 27а 2 + 18а + 3 = 0.

262. Дати израз трансформиши у квадрат

бинома, па израчунај његову вредност:

а) 89 2 + 2 ∙ 89 ∙ 11 + 11 2 ;

б) 37 2 + 2 ∙ 37 ∙ 13 + 13 2 ;

в) 123 2 – 2 ∙ 123 ∙ 43 + 43 2 ;

г) 39 2 – 2 ∙ 39 ∙ 14 + 14 2 .

В – примени

263. Растави на чиниоце:

а) 16

81 x4 – k 4 ; б) 2r 4 – 32s 4 ;

в) 3a 6 b 2 – 3a 2 b 6 ; г) 5x 7 y 2 – 80x 3 y 6 .

264. Растави на чиниоце:

а) (х – 1) 2 – 9; б) (х + 1) 2 – 16;

в) (х + 2) 2 – х 2 ; г) (х + 2) 2 – (х – 1) 2 .

265. Реши једначину:

а) 1 7 x2 = 7; б) 3 4 x2 = 4 3 ;

в) x 2 – 15 = 0; г) 16x 2 – 3 = 0;

д) 4x 2 – 5 = 0; ђ) 2у 2 = 9.

266. Реши једначину:

а) 5x 2 = 12; б) 8х 2 – 1 = 0;

в) (х – 1) 2 – 4 = 0; г) (х + 1) 2 – 25 = 0;

д) (х + 3) 2 – х 2 = 0;

ђ) (2х + 1) 2 – (х – 2) 2 = 0.

66

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


267. Реши једначину:

а) (3х – 5) 2 – 4х 2 = 0;

б) (2х – 5) 2 – (4х − 1) 2 = 0;

в) (х – 5) 2 – (5х + 3) 2 = 0.

268. Реши једначину:

а) 2x 2 – 32 = 0; б) 8x 2 – 200 = 0;

в) 45x 2 – 20 = 0; г) х 3 – 49х = 0;

д) 49х – 4x 3 = 0; ђ) 27х – 48х 3 = 0.

269. Испитај тачност једнакости:

а) (x – 2b) (x 2 – 5bx + b 2 ) +

+ (2b – x) (x 2 – 6bx + b 2 ) = bx (x – 2b);

б) (a – 3c) (2a 2 – 7ac – c 2 ) –

– (3c – a) (c 2 + 7ac – a 2 ) = a 2 (a – 3c).

270. Ако су у троуглу АВС странице

а = х 2 – у 2 , b = 2xy и c = х 2 + у 2 , х > у,

докажи да је тај троугао правоугли.

271. Користећи растављање на чиниоце

скрати разломак:

а)

4a + 12

a + 3 , a ≠ –3; б) x2 – 25

x + 5 , x ≠ –5;

в) a2 – 4

3a – 6 , a ≠ 2; г) x2 + 8x + 16

5x + 20 , x ≠ –4;

д) 3a2 + 12a + 12

, a ≠ –2;

3a + 6

ђ)

2x 2 – 18

x 2 – 6x + 9 , x ≠ 3.

Г – прошири

272. Израчунај вредност израза x + 1 x

ако је

x 2 + 1 x 2 = 7.

273. Израчунај вредност израза x 2 + 1 x 2 ако

је x + 1 x = 5.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

67


ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ

ИЗРАЗИ – РЕШЕЊА

СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ

ПРИРОДАН БРОЈ

1. а) 3 2 ; б) 10 3 ; в) а 10 ; г) (

2

3

)4

;

д) (−9) 5 ; ђ) (4x) 2 ; е) (−5ab) 3 ; ж) ( – 1 7 x )10

.

2. а) 4 2 ; б) 5 5 ; в) (–6) 4 ; г) 4,7 6 ;

д) (–2,5) 3 ; ђ) (

2

.

)4

; е)

3 ( –1 1 5

2 )

3. а) x 7 ; б) (–p) 5 ; в) a 3 ; г) y 4 ; д) (a + b) 3 ; ђ) (

a

b

)8

.

4. а) 5 ∙ 5 ∙ 5;

б) 1 1 5 ∙ ( 1 1 5 ) ∙ ( 1 1 5 ) ∙ ( 1 1 5 ) ∙ ( 1 1 5 ) ∙ ( 1 1 5 ) ;

в) √5 ∙ √5 ∙ √5 ∙ √5; г) –6 ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6) ∙ (–6);

д) –1,1 ∙ (–1,1);

ђ) –√7 ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7) ∙ (–√7);

е) – 3 4 ∙ ( – 3 4 ) ∙ ( – 3 4 ) .

A = { –6; –√7; –1,1; – 3 4 ; 1 1 5 ; √5; 5 } ,

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

5. а) 10 2 ; б) 10 4 ; в) 10 6 .

6. На пример: ( – 1 7

)2

, ( – 1 7

)3

, ( – 1 7

)4

и 3 6 , (–√5) 6 , (

4

)6

.

7

7. а) 1 000 000; б) 1; в) 1; г) 64; д) –125; ђ) 0,4096;

е) 1,331; ж)

9

; з) 216

25 343 ;

и) 16

81 ; ј) –3 53

; к) 4√2; л) –12√12 = –24√3.

1 024

8. Квадрати и кубови су редом:

1 и 1; 0 и 0; 6,25 и –15,625;

1

4 и – 1 8 ;

36

49 и 216

343 ; 3

4 и – 3√3

8 ; 8 и 8√8.

9. а) 1 000; б) 100 000; в) 1; г) 0,001;

д) 0,000001; ђ) −1; е) 1.

10. а) 16; б) 16; в) –16; г) 125

512 ;

д) – 125 ; ђ)

125

; е) –

125

512 8 8 ; ж) – 5

512 ;

з) 12 209 ;

243

и) –4

17

;

27

ј) 0; к) 1;

л) 1; љ) –1; м) 8.

11. а) 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32;

б) (−10) 2 = 100, (−10) 3 = −1 000, (−10) 4 =

= 10 000, (−10) 5 = −100 000;

в) 0,1 2 = 0,01, 0,1 3 = 0,001, 0,1 4 = 0,0001, 0,1 5 =

= 0,00001;

г) (−3) 2 = 9, (−3) 3 = −27, (−3) 4 = 81, (−3) 5 = −243;

д) √3 2 = 3, √3 3 = 3√3, √3 4 = 9, √3 5 = 9√3;

ђ) (−√5) 2 = 5, (−√5) 3 = −5√5, (−√5) 4 = 25, (−√5) 5 =

= −25√5.

12. а) Позитиван; б) позитиван; в) негативан;

г) позитиван; д) негативан; ђ) негативан.

13. а) 5 1 , 5 2 , 5 3 , 5 4 1 2 3 4

; б) (

1

2 ) , (

1

2 ) , (

1

2 ) , (

1

2 ) , (

1

)5

.

2

14. 8 = 2 3 , 32 = 2 5 , 27 = 3 3 , 64 = 2 6 , 125 = 5 3 , 343 = 7 3 .

15. а) (–5) 4 > 0; б) ( – 5 3

3 ) < 0; в) √5 6 = (–√5) 6 ;

г) ( – 2 4

3 ) > – 24

3 ; д) 0,44 = ( – 2 4

5 ) .

16. а)

2 < ( – 1 5

2 ) < (

1

;

1

32 ; – 1

32 ; – 1 15

, па је –

2

5

2 )

б) 0,008; –0,008; 0,04, па је –0,2 3 < 0,2 3 < (–0,2) 2 ;

в) 4 , – 4 , – 4 3 4 3 4 3 , – 2 , па је

3 4

– √24

3 < – ( √2

4

4

3 ) < –

2

<

3 (

√2

4

3 ) .

17. а) x 2 + x 3 ; б) a 4 + b 3 ∙ c 2 ; в) a 2 ∙ x 3 + x 2 a 3 .

18. а) 129; б) –8; в) –14; г) 1 098 999;

д) –21; ђ) –6; е) 0; ж) 27.

19. а) 3 255

256 ; б) 1 3 ; в) 2 1 2 ; г) 3

;

512

д) 5

155

432 .

20. а) 10; б) 10.

21. а) 7√2 – 4; б) –7√2 – 4.

22. а) 2 76 ;

81

б) 1.

23. а) 10 3 ; б) 10 5 ; в) 10 6 ; г) 10 6 ; д) 10 6 .

24. а) –2; б) 39; в) 30√5 – 20; г) 10; д) 8; ђ) 4.

25. а) –135; б) 675; в) –48; г) 225; д) –472 392.

26. A = 1 2 , B = 1 4 и A > B. а) 3 4 ; б) 1

; в) 27.

16

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ

СТЕПЕНА ЈЕДНАКИХ ОСНОВА

27. а) 5 · 5 · 5 · 5 = 5 4 ;

б) (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3) 5 ; в) (–0,4) 7 ;

г) ( 2 5 7

)7

; д)

9 (

1

8

2 ) ; ђ) x ; е) (–y) 6 ; ж) (a + b) 4 .

68

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


28. а) 3 6 = 729; б) 2 8 = 256; в) –0,5 5 = –0,03125;

5

г) (

3

4 ) =

243

1 024 .

29. а) x 33 ; б) a 12 ; в) – b 13 ; г) c 34 ; д) (1 + a) 10 ;

ђ) (2x – d) 20 .

30. а) 3 13 ; б) 2 14 15

; в) (

3

4 ) ; г) (

8

)6

; д) x 20 ;

9

ђ) –a 25 ; е) (a – b) 15 .

31. а) 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

2 ∙ 2 ∙ 2

= 2 2 3

; б) –0,8; в) – (

7

3

9 ) ; г) √2 .

32. а) c 2 ; б) y 9 ; в) x; г) x 8 .

33. а) 3 3 ∙ 3 2 = 3 5 ; б) 2 3 ∙ 2 5 = 2 8 ; в) 2 6 ∙ 2 7 = 2 13 ;

г) 5 6 ; д) 3 9 .

34. а) 5 7 ; б) – (

1

)13

; в) –x 9 ; г) –0,8 7 .

2

35. а) x = 3; б) x = 1; в) x = 8; г) x = 4.

36. а) 3 5 : 3 2 = 3 3 ; б) 1; в) 7 2 ; г) 2 3 ; д) 6 2 .

37. а) x 4 ; б) x 16 ; в) a; г) x 5 ; д) 1; ђ) b 12 ; е) k 2 ; ж) x 2 .

38. а) x 2 ; б) x; в) a; г) 1; д) y 2 .

39. а) x 3 ; б) –y 2 ; в) x; г) a 9 .

40. а) 5; б) 4 2 = 16; в) 2 2 = 4; г) 3; д) 2 2 = 4;

ђ) 2 8 = 256.

41. а) a 4 ; б) b 4 ; в) c 4 ; г) 1 d 2 ; д) x 3 ∙ y.

42. а) –3 8 = –6 561; б) 1 2 ; в) 9 4 = 2 1 4 ;

г) 1; д) 625; ђ) 4.

43. а) 3 5 = 243; б) 5 2 = 25; в) 1; г) 2.

44. а) x = 3; б) x = 8; в) x = 5; г) x = 17; д) x = 3;

ђ) x = 5; е) x = 3.

45. а) a ∙ b ∙ c; б) a ∙ c5

; в) a 2 ∙ b 3 ; г) x ∙ y ∙ z 3 .

b 4

46. (a 8 ∙ a 6 ) : (a 8 : a 6 ) = a 12 .

47. (x 14 : x 11 ) ∙ (x 5 ∙ x 2 ) = x 10 .

48. (c 8 : c 5 ) ∙ (c 3 ∙ c 4 ) = c 10 .

СТЕПЕН ПРОИЗВОДА,

КОЛИЧНИКА И СТЕПЕНА

49. а) (xy) 3 = x 3 ∙ y 3 ; б) ( 2 3 b )5

= ( 2 3

)5

∙ b 5 ;

в) ( 4 7 y )4

= (

4

7

)4

∙ y 4 ; г) (ab) 6 = a 6 ∙ b 6 .

50. а) 3 5 ∙ a 5 ; б) 4 8 ∙ b 8 ; в) a 9 ∙ b 9 ; г) 3 6 ∙ √2 6 ; д) (

3

4

)5

∙ a 5 ;

ђ) 8 4 ∙ b 4 ; е) –c 11 ∙ √3 11 ; ж) 5 7 ∙ x 7 ∙ y 7 ;

з) a 8 ∙ b 8 ∙ c 8 ; и) 2 5 ∙ a 5 ∙ √2 5 .

51. а) (2a) 3 ; б) 6 4 ; в) 20 4 ; г) 72 6 ; д) (xy) 8 ; ђ) (xa) 4 ;

е) (–2x) 5 ; ж) a 7 ; з) ( – 3 2 x )5

; и) ( – 1 2 xy )5

.

52. а) a 8 b 8 ; б) 256x 8 ; в) 38 227

512 ∙ a9 ; г) 256a 8 b 8 ;

д) –

1

100 000 ∙ x5 ∙ y 5 ; ђ) 27a 7 √3.

53. а) 35

=

243 53

; б) = 125 a4

; в) =

a 4

4 5 1 024 2 3 8 5 4 625 ;

г) a7

; д) x6

; ђ)

∙ a 4

24 = 16a4

b 7 y 6 3 4 81 ; е) ∙ x 6

36 = 729x6

4 6 4 096 ;

ж) –

∙ √73 y 3

= – √7y3

2 3 ∙ 7 3 392 ; з) – 3 5

= –

243

;

5 5 ∙ c 5 3 125c 5

и) a4 b 4 d 4

; ј) 27g6

81f 4

8 ; к) 1

2 .

18

54. а) (

2

3

)5

; б) 2 4 ; в) (–3) 5 ; г) ( a b

)7

; д) ( a 3

)9

;

8 3 4 5

ђ) (

x

y ) ; е) (

2a

b ) ; ж) (

2x

3 ) ; з) (

√5

a ) ; и) (

xa

)7

.

3b

55. а) (2 3 ) 3 ; б) (( – 1 )4)2

; в) ((–0,1) 7 ) 4 ; г)

2 ((

2

3 a 2

) )2

.

56. а) 3 6 ; б) 4 35 ; в) 2 16 ; г) a 6 ; д) (

3

5 x )24

; ђ) (0,2d) 27 .

57. а) a 7 b 4 ; б) 243a 2 ; в) x 11 y 15 ; г) a 7 b 6 ; д) x 11 y 10 .

58. а) ab 8 ; б) 2x 4 ; в) 9a 7 b 2 ; г) x 9 y; д) x ∙ z2

y 2 ; ђ) –a 3 c.

59. а) 16; б) –4; в) 0; г) 1 024 ; д) 1.

243

60. а) a 6 b 3 ; б) 64x 18 ; в) a15

; г) x2

; д) a8 b 12

; ђ) 56 p 12

.

b 10 y 6 2 4 2 6 q 42

61. а) a 28 ; б) b 20 ; в) c 15 ; г) d 6 ; д) x 6 ; ђ) 1; е) 1;

ж) x 23 ; з) x 2 ; и) x 11 ; ј) 1; к) y 60 ; л) y 60 ; љ) y 60 .

62. а) x 9 ; б) a 11 ; в) y 2 ; г) b 2 .

63. а) 3 24 ; б) 3 24 ; в) 3 32 ; г) 3 60 .

64. а) (√2 2 ) 5 = 2 5 = 32; б) (√3 2 ) 3 = 3 3 = 27;

в) (√5 2 ) 3 = 5 3 = 125; г) 128; д) 625; ђ) 100 000.

65. а) (2 4 ) 3 = 2 12 ; б) 2 15 ; в) 2 32 ;

г) (2 8 ) 4 : (2 6 ) 3 = 2 32 : 2 18 = 2 14 ; д) 2 69 .

66. а) n = 1; б) n = 4; в) n = 3; г) n = 16.

67. а) 157 =

∙ 5 37 7

= 5 ∙ 3 7 = 10 935;

5 6 5 6

б)

6 5

= 2 ∙ 3 3 = 54;

2 4 ∙ 3 2

в) 214 = 34 ∙ 7 4

= 3 ∙ 74

= 57

78

15 3 3 3 ∙ 5 3 5 3 125 ;

г) 5 ∙ 3 8 = 32 805; д)

1

=

1

3 ∙ 7 2 ∙ 2 3 1 176 ; ђ) 23 = 8.

68. а) – 1 9 ; б) 2

27 ; в) 244 ; г) 2 ; д)

767

81 1 728 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

69


69. а) y6

z

a8

; б) ; в)

20 480a

; г) 6xy 6 .

b 4 b 4

70. а) (2 3 ) 5 ; б) (2 3 ) 8 ; в) (2 3 ) 6 ; г) (2 3 ) 4 ; д) (2 3 ) 3 ;

ђ) 311 ∙ 162 ∙ 2 23

6 15 = 311 ∙ 3 4 ∙ 2 ∙ 2 23

3 15 ∙ 2 15 = 2 9 = (2 3 ) 3 .

71. а) 27k

3 3k = (33 ) k

3 3k =

3 3k

3 3k = 1; б) 5; в) 4;

г) 36k+2

√6 4k+6 = (√64 ) k+2

√6 4k+6 = √64k+8

√6 4k+6 = √6 2 = 6.

72. а) n = 2; б) n = 5; в) n = 5; г) n = 2; д) n = 1; ђ) n = 8.

73. а) 3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 ∙ 3 5 = 3 1 + 5 = 3 6 ;

б) 4 8 + 4 8 + 4 8 + 4 8 = 4 ∙ 4 8 = 4 1 + 8 = 4 9 .

74. а) 2 3 000 = 2 3 ∙ 1 000 = (2 3 ) 1 000 = 8 1 000 ,

3 2 000 = 3 2 ∙ 1 000 = (3 2 ) 1 000 = 9 1 000 ; како је 8 < 9, то je

8 1 000 < 9 1 000 , па је 2 3 000 < 3 2 000 ;

б) 100 15 = (10 2 ) 15 = 10 30 , 1 000 10 = (10 3 ) 10 = 10 30 ,

па је 100 15 = 1 000 10 ;

в) 0,008 20 = (0,2 3 ) 20 = 0,2 60 , 0,00032 20 = (0,2 5 ) 10 = 0,2 50 ,

а како је основа мања од 1 (0 < 0,2 < 1), то је

0,2 60 < 0,2 50 , па је 0,008 20 < 0,00032 20 .

ПРИМЕНА СТЕПЕНА

75. а) 10 2 ; б) 10 3 ; в) 10 5 ; г) 10 6 ; д) 10 9 .

76. а) 10 −1 ; б) 10 −2 ; в) 10 −3 ; г) 10 −5 ; д) 10 −10 .

77. а) 5 ∙ 10 3 m; б) 3,2 ∙ 10 3 kg; в) 1,2 ∙ 10 3 m 2 ;

г) 4,5 ∙ 10 4 m 2 ; д) 2,2 ∙ 10 6 m 2 ; ђ) 7,2 ∙ 10 3 s.

78. a) 3 ∙ 10 5 ; б) 7,6 ∙ 10 7 ; в) 9,87 ∙ 10 9 .

79. а) 9 ∙ 10 −6 ; б) 2,1 ∙ 10 −8 ; в) 3,21 ∙ 10 −13 .

80. а) 2,5 ∙ 10 5 ; б) 2,3 ∙ 10 7 ; в) 1,39 ∙ 10 14 ; г) 1,1 ∙ 10 18 .

81. а) 4,4 ∙ 10 −13 ; б) 1,18 ∙ 10 −7 ; в) 4 ∙ 10 −10 ; г) 5,6 ∙ 10 −19 .

82. а) 3,2 ∙ 10 5 ∙ 7 ∙ 10 3 = 3,2 ∙ 7 ∙ 10 5 ∙ 10 3 = 22,4 ∙ 10 8 =

= 2,24 ∙ 10 9 = 2 240 000 000;

б)

4,2 ∙ 109

= 0,7 ∙ 10 2 = 7 ∙ 10 = 70;

6 ∙ 10 7

в)

1,5 ∙ 105

= 0,5 ∙ 10 –2 = 5 ∙ 10 –3 = 0,005;

3 ∙ 10 7

г) 1,3 ∙ 10 10 ∙ 5 ∙ 10 –8 = 6,5 ∙ 10 2 = 650;

д) 6,2 ∙ 10 –6 ∙ 8 ∙ 10 –13 = 49,6 ∙ 10 –19 = 4,96 ∙ 10 –18 =

= 0,00000000000000000496;

ђ)

6,5 ∙ 10–11

= 5 ∙ 10 3 = 5 000;

1,3 ∙ 10 –14

е)

4,4 ∙ 10–5

= 4 ∙ 10 –17 = 0,00000000000000004.

1,1 ∙ 10 12

83. а) 10 −3 ; б) 10 −5 ; в) 10 −3 ; г) 10 −12 .

84. а) 7 ∙ 10 −1 m; б) 3 ∙ 10 −3 m; в) 7 ∙ 10 −3 kg;

г) 4,5 ∙ 10 −6 kg; д) 2,2 ∙ 10 −4 m 2 ; ђ) 3,5 ∙ 10 −8 m 3 .

85. а) 3 ∙ 10 17 > 4 ∙ 10 15 ; б) 7,9 ∙ 10 22 > 0,34 ∙ 10 23 ;

в) 5 ∙ 10 −14 > 6 ∙ 10 −15 ; г) 12,3 ∙ 10 −25 < 0,14 ∙ 10 −23 .

86. Нептун има приближно 15 пута већу површину

од Земље.

87.

1,989 ∙ 10 30

≈ 0,27 ∙ 10 8 = 27 000 000, па је маса

7,342 ∙ 10 22

Сунца приближно 27 000 000 пута већа од масе

Месеца.

88. а)

5,972 ∙ 1024

≈ 5,83 ∙ 10 –2 = 5,83%;

1,024 ∙ 10 26

б) приближно 0,3%.

89. Густина Земље је приближно 5,516

g

,

cm 3

a густина Меркура приближно 5,43

g

, па

cm 3

закључујемо да је густина Земље већа од

густине Меркура.

РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ

ИЗРАЗИ

90. а) 11; б) −15; в) 0; г) −26; д) 5.

91. На пример:

1) 9 – 3 : (–1); 2) 5 + 1 1 7 – 2 ∙ 3 4 ;

3) 2 ∙ 1 4 + 4 2 3 : ( –1 1 3 ) ;

4) ( 3 1 3 + 2 2 5 ) ∙ ( –7 3 8 + 4 1 4 ) ;

5) 2 2 3 – ( 13 3 4 – 5,75 ) : 0,8.

92. а) 38; б) 14; в) 4 1 ; г) 12.

4

93. а) 5

61

120 ; б) 4 5

16 ; в) 9 8

15 ; г) 1 1

137 .

94. a) –16; б) –2 1 ; в) 2,06; г) –4 – √5.

3

95.

а b c a + b ∙ c a ∙ c – b a ∙ (b – c) (a – c) ∙ (a + b) b – a : c

–2 9 8 70 –25 –2 –70 9 1 4

2

5 – 3

10 – 1 19 1 1 13

3


1

4 40 5 50 200 10

–4,3 7,7 –0,5 –8,15 –5,55 –35,26 –12,92 –0,9

96. На пример: 1) 7x – 2; 2) 9 – 8x + 7x 2 – 6x 3 ;

3) (5x – 2) ∙ (3x 4 – 6x 2 + 1).

97. На пример: 1) 5а – b; 2) 2ab + bc;

3) (2a + 3) ∙ (7a 2 + 2a – 1);

4) 3x + 7xy – 21y 2 ; 5) 5a 3 b 2 c – 4a 2 b + 3a –2.

70

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


98. a) –7; б) –19; в) –2 1 2 ; г) –5; д) –14 2 3 .

99. а) 10; б) –3; в) 9; г) 6; д) 0.

100. а) 5; б) –6.

ПОЛИНОМИ

101. а) да; б) да; в) да; г) не; д) да; ђ) не; е) не.

102. Мономи су а), б), в), г), д), ђ) и з).

103. На пример:

1) –7; 2) x; 3) 2ab; 4) –4 1 3 x2 y 2 z; 5) 5,5a5 b 3 c 4

.

2

104. а) 2; б) –10; в) 3 7 ; г) – 1 ; д) 1.

2

105. 5x и –2x; – 1 2 y и 12y; 4xy и – 3 8 xy;

x 2 y и 2 9 x2 y; 4xy 2 и –19xy 2 .

106. На пример: 1) –3x 2 y; 2) –2x 2 y; 3) 5 7 x2 y .

107. На пример:

1) 2а и 8а; 2) –0,6b и 2 1 b; 3) abc и –3abc;

2

4) 2 5 x5 у 2 и – 5 2 x5 у 2 .

108. На пример: 9ху, –ху, –11ху и 2 3 7 ху.

109. a) n = 2; б) n = 5; в) n = 2; г) n = 3; д) n = 6.

110. На пример: х + 4; 2х – 5,3 и –3х + 4у.

111. Имамо три различита бинома таква бинома, и

то: –2а + 3b, –2а – 3b, 2а + 3b.

112. На пример: х 3 + 2х 2 ; х 3 – 3х; 2х 2 – 4 и 3х – (–4).

113. На пример:

1

2 + а – 2а2 ;

114. a) 91; б) 5.

115. а) 12; б) –4.

1

2 + а + 3а4 и а – 2а 2 – 3а 4 .

116. a) 500; б) –4; в) – 2 ; г) 30; д) –40.

3

117. а) 77; б) 0; в) 0.

118. а) 12; б) 30; в) –150.

119. а) 36; б) 1; в) –1.

120. а) –74; б) –252.

121.

Геометријска фигура Обим

Врста

полинома

Квадрат 4а моном

Правоугаоник 2a + 2b бином

Троугао a + b + c трином

Једнакостранични

троугао

3a

моном

Једнакокраки троугао a + 2b бином

Ромб 4a моном

Паралелограм 2a + 2b бином

Трапез a + b + c + d полином

Једнакокраки трапез a + b + 2c трином

САБИРАЊЕ ПОЛИНОМА

122. а) 5a; б) 2b; в) –3ab; г) 4 1 2 x; д) – 3 7 y2 ;

ђ) 6,7abc; е)

1

12 ax; ж) 1 3 5 x2 y; з) 4,6ab 2 c 3 .

123. а) 6a; б) b; в) 0; г) –2ab.

124. а) –5x; б) 2аb; в) –0,7xyz 2 ; г) 5 2 3 p3 q 2 r.

125. а) –2а – b; б) –4x + 5y 2 ; в) –mn + 6a;

г) 5,5xy – 2y 2 .

126. а) –2а; б) 3b; в) –5x 2 – 4x; г) –3x 2 + 2x – 1;

д) –8аb 2 – 9ab + 6a 2 b; ђ) 7y 2 x 2 + 8yz – 9xy 2 + 10x 2 y.

127. Сређени су А, В и D.

128. а) n = 2; б) n = 1; в) n = 4; г) n = 3; д) n = 9.

129. а) 2а + 4, n = 1; б) 5х – 10, n = 1;

в) 9b 2 + b – 2, n = 2; г) –а – 6b, n = 1;

д) –4y + 3, n = 1; ђ) 5а, n = 1;

е) –2ху – 2х + 5у, n = 2; ж) 8х – 2у + 1, n = 1;

з) 11а 3 + 17а 2 – 1, n = 3.

130. а) А + В = 5а + 4, n = 1;

б) А + В = 4а 2 + 2а – 1, n = 2.

131. а) 1

1

12 abc; б) 2 1 xyz; в) 15x; г) –10yz.

2

132. а) Р = x 3 + x 2 – 8x + 1; –Р = –x 3 – x 2 +8 x – 1;

б) Р = 3a 2 b 2 + 13a 2 b + 4ab 2 – 9ab;

–Р = –3a 2 b 2 – 13a 2 b – 4ab 2 – 9ab;

в) Р = 7abс – 12ab – 3aс; –Р = –7abс + 12ab + 3aс;

г) Р = –6a 5 – 13a 3 – a 2 + а – 1;

–Р = 6a 5 + 13a 3 + a 2 – а + 1.

Полином Р и њему супротан полином –Р су

истог степена.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

71


МНОЖЕЊЕ ПОЛИНОМА

133. а) А + В = 3а 2 + 7а + 7, n = 2;

б) А + В = – 4а 2 + 7а + 7, n = 2.

134. А = –2х 2 + 3х + 2, В = 4х 2 + 12,

А + В = 2х 2 + 3х + 14.

135. а) А – В = х – 1, n = 1;

б) А – В = –2х 2 – 5х + 11, n = 2;

в) А – В = – 3х – 3, n = 1;

г) А – В = –4х 3 + 4х 2 + 10x – 12, n = 3.

136. а) 2у + 2, n = 1; б) 12у – 4, n = 1;

в) –6у + 6, n = 1; г) 4у, n = 1.

137. a) 11х 2 – 9х + 6; б) х 2 – х + 4; в) –5х 2 – 3х – 2.

138. а) 7х 5 + 11х 4 – 10х 3 – 2х, n = 5;

б) –3х 5 – 11х 4 + 4х 3 + 6х, n = 5.

139. a) P = 5х 2 + х + 2; б) P = 2х 2 + 5х + 2;

в) P = х 2 – 4х + 14.

140. a) P = 4х 2 + 8х – 8, n = 2; б) P = 11х – 5, n = 1.

141. a 2 – 2ab – 4b 2 .

142. а) х = 3; б) х = 1; в) х = –6; г) х = 2; д) х = 2; ђ) х = 0.

143. а) –х 2 + х – 4; б) 5х 2 + 3х + 2; в) –15х 2 + 5х – 4.

144. а) –7х 5 + 7х 4 – 4х 3 + 8х, n = 5;

б) –3х 5 – 20х 4 + 11х 3 + 3х, n = 5.

145. А – В + С = 4abc – 5ab –10c.

146. 2a –3 + 5a + 2 – (–2a – 1 + 4a + 1) = 5a – 1.

147. 3x + 4y – (2y – 5x) – (7x – 2y – (4x – 4y)) = 5x.

148. 5a 2 – 3a + 1 – (10a + 2 + 2a 2 – 7a) = 3a 2 – 6a – 1.

149. 4.

150. 4x – 14.

151. Вредност полинома –3a – 5 за а = 7 је

–3 ∙ 7 – 5 = –26.

152. Вредност полинома –6а 2 + 3а – 9 за а = –1 је

–6 ∙ (–1) 2 + 3 ∙ (–1) – 9 = –18.

153. Вредност полинома –х 2 + 8хy – 6y 2 – 13 за х = –2 и

у = 1 је –(–2) 2 + 8 ∙ (–2) ∙ 1 – 6 ∙ 1 2 – 13 = –39.

154. Из n + (n + 1) + (n + 2) = 186 добијамо

3n + 3 = 186, па је n = 61. Тражени природни

бројеви су 61, 62 и 63.

155. 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 84, n = 9.

Тражени бројеви су 18, 20, 22 и 24.

156. n + (n + 3) + (n + 6) + (n + 9) = 158, n = 35. Тражени

бројеви су 35, 38, 41 и 44.

157. a) O = 12x + 4; б) 40.

158. х = 7.

159. x = 1.

160. а) х = 6; б) х = 0,96; в) х = – 8 9 .

161. Како је x + 4 + 2x + 3 + 3x +1 = 4 ∙ (x + 3), то је

x = 2.

162. а) 15a; б) –8b 2 ; в) a 3 ; г) –2a 3 b 2 c; д) 1,32a 5 b 4 c 6 .

163. а) А 2 = 9a 2 b 2 ; А 3 = 27a 3 b 3 ;

б) А 2 = 4a 2 b 4 c 6 ; А 3 = –8a 3 b 6 c 9 ;

в) А 2 =

9

16 a8 b 2 с 4 ; А 3 = – 27

64 a12 b 3 с 6 .

164. а) 8x 6 y 3 ; б) 25x 2 y 4 z 6 ; в) – 1 8 a6 b 9 c 15 ; г) 81x 20 y 12 z 8 .

165. а) –24х 3 ; б) – 1 5 у6 ; в) 48x 5 y 3 z 2 ; г) – 1 4 x7 y 6 z 6 .

166. а) –3a 2 b 3 ; б) 4а 5 ; в) 24а 8 ; г) 4x 2 y 4 z 9 ;

д) 2 3 a4 b 9 ; ђ) –8a 9 b 10 c 14 .

167. а) –7xy; б) –16x 2 y; в) –5x 2 y 2 ; г) 25x 4 .

168. а) P ∙ M = (2x + 3) ∙ 4x = 8x 2 + 12x;

б) P ∙ M = (3p – 2q) ∙ (–2p 2 ) = –6p 3 + 4p 2 q;

в) P ∙ M = (2a – 3b + 5c) ∙ 5abc =

= 10a 2 bc – 15ab 2 c + 25abc 2 ;

г) P ∙ M = (–4ab + 16ac – 8bc) ∙ 1 2 bc =

= –2ab 2 c + 8abc 2 – 4b 2 c 2 .

169. а) –7х 6 + 14х 4 +7х 3 , n = 6;

б) –6a 2 b 2 c + 12a 2 b 2 c 2 – 18a 3 b 4 c 5 , n = 12;

в) –4х 3 у 2 + 2х 2 у 3 – 6х 2 у 5 , n = 7;

г) 18х 5 у 6 – 9х 4 у 5 – 27х 3 у 4 , n = 11;

д) –1 1 2 х3 у 5 + х 5 у 9 + 2 1 4 х9 у 7 , n = 16;

ђ) 3a 4 b 4 c 4 – a 4 b 3 c 6 + 4a 2 b 4 c 6 , n = 13.

170. а) 7х 3 – 6х, n = 3; б) 10х 2 – 3ху, n = 2;

в) –20х 2 + 2ху + 3у 2 , n = 2; г) 5х 2 + 3ху + 2у 2 , n = 2;

д) 5х 3 – 12х 2 – 7х, n = 3;

ђ) 12х 4 – 38х 3 – 4х 2 + 6х, n = 4;

е) –2х 4 – 8х 3 + 34х 2 – 3х, n = 4.

171. а) 2х 2 + 3х – 2; б) –12х 2 – 14х + 10;

в) 12х 3 – 28х 2 + 3х – 7; г) 6a 2 – 5ab –6b 2 .

172. а) 10х 2 – ху –3у 2 ; б) 4а 3 + 19а 2 – 5а;

в) 12а 3 – 17а 2 – 14а + 15; г) –10а 4 + 7а 3 + 7а 2 – 4а;

д) а 3 – b 3 ; ђ) а 3 + b 3 ; е) x 4 – 1; ж) x 4 – 1.

173. а) –3а 3 + 8а 2 + 2а – 3;

б) 3x 2 – 6x – 14; в) –18x – 14;

г) 5x 2 – 5; д) 21x 3 – 11x 2 ; ђ) –х 3 + 6х 2 + 6х + 4.

174. а) 2х 4 – 3х 3 + х 2 ; б) 90х 7 – 45х 6 – 82х 5 + 36х 4 + 8х 3 .

175. а) M = 2x; б) M = –4ab 2 ; в) M = –3a 3 bc 2 .

176. а) х = 2; б) х = –2; в) х = –1; г) х = 0;

д) х = 1; ђ) х = –1.

177. 27а 4 – 15а 3 + 20а 2 – 12а + 28, n = 4.

178. Тачно.

179. а) –8а 4 – 6а 3 + 41а 2 + 24а – 36;

б) 2а 3 + 3а 2 – 4а – 15;

в) –4а 3 + 3а 2 + 18а – 9;

г) 4а 3 – 11а 2 – 22а + 21.

72

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


180. а) –3x 2 – x – 3, n = 2; б) 5x 2 + 9x – 5, n = 2;

в) 4x 3 – 9x 2 – x – 4, n = 3; г) –20x 3 + 5x 2 + 25x, n = 3.

181. а) –20а 5 + 21а 4 – 18а 3 + 6а 2 – 12а – 42;

б) –3b 5 + 4b 4 + 3b 3 + b 2 + 4b – 5.

182. –30.

183. –7.

184. –10х 2 + 23х – 5.

185. 3а 2 – 2а + 1 – (2а + 3)(3а – 9) = –3а 2 + 7а + 28.

186. (х – у)(х + у) + 2ху ∙ (х 2 + ху – у 2 ) =

= х 2 – у 2 + 2х 3 у + 2х 2 у 2 – 2ху 3 .

187. (ху 2 + 1)(2х – 3у) – (ху 2 + 1 – (2х – 3у)) =

= 2х 2 у 2 – 3ху 3 – ху 2 + 4х– 6у – 1.

188. (2а + 3b) (2а – 3b) + (2а) 2 – (3b) 2 = 8а 2 – 18b 2 .

189. х = 3.

190. а) –5а 3 – 5а 2 + 29а – 20, за а = 3 вредност

полинома је –113;

б) а 5 + 4а 4 + 3а 3 – 3а 2 – 12а – 9, за а = –1 вредност

полинома је 0;

в) 3b – 3, за b = 2 вредност полинома је 3;

г) –3c 5 + 3c 3 + c 2 + 2c – 8 , за c = –2 вредност

полинома је 64;

д) 3х 2 у 2 + 12ху + 8х– 3у 2 – 4y, за х = –5 и у = 2

вредност полинома је 120;

ђ) –32х 3 у + 53х 2 у 2 – 18ху 3 , за х = –3 и у = 1 3

вредност полинома је 343.

КВАДРАТ БИНОМА

191. а) Не; б) да; в) не; г) не; д) не; ђ) не; е) да; ж) не.

192. а) x 2 + 6x + 9; б) 4x 2 + 20x + 25; в) 25x 2 + 10x + 1;

г) x 2 – 2x + 1; д) 9x 2 – 24x + 16; ђ) 81x 2 – 144x + 64.

193. а) 4а 2 + 12аb + 9b 2 ; б) 25x 2 – 30xy + 9y 2 ;

в) 16x 2 + 8xy + y 2 ; г) 1 4 + a + a2 ;

д) 1 4 x2 – xy + y 2 ; ђ) 36a 2 b 2 + 60ab + 25;

е) 16a 2 b 2 c 2 – 24abc + 9; ж) 9x 4 – 42x 2 y + 49y 2 .

194. а) 2 1 4 – 6x + 4x2 ; б) 4a 2 + 2ax + 1 4 x2 ;

в) 0,04a 2 + 2a 3 + 25a 4 ; г) 3x 2 + 2√15xy + 5y 2 ;

д) 0,25a 2 – 0,3ab + 0,09b 2 ; ђ) 0,01 – a 3 + 25a 6 ;

е) 2a 2 – 8ab + 8b 2 ; ж) 9a 2 + 42a + 49;

з) 4 – 2a + 1 4 а2 .

195. а) (1 – 5х) 2 ; б) (7а + 2b) 2 ; в) ( 3аb + 1 2

2 ) ;

г) (

1

– 1 2

5 x2 2 ) yz

; д) (√3x + 3√3y) 2 .

196. а) ( 1 2

2 + x ) = 1 4 + х + x2 ;

б) (8a – 11b) 2 = 64a 2 – 176ab + 121b 2 ;

в) ( 1 2

4 – 2xy ) =

1

16 – хy + 4x2 y 2 ;

г) (

1

2 c + 1 2

3 d ) = 1 4 c2 + 1 3 cd + 1 9 d2 .

197. а) –30х + 4; б) 2x 2 + 2y 2 ; в) 2а 2 + 8;

г) –2а 2 + 22а + 25; д) –19x 2 + 9x + 9;

ђ) 5b 2 + 76b + 15.

198. а) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + (–b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 , (b – a) 2 =

= b 2 – 2ba + (–a) 2 = b 2 – 2ba + a 2 , па је (a – b) 2 =

= (b – a) 2 ;

б) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (–a – b) 2 =

= (–a) 2 + 2(–a)(–b) + (–b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

па је (a + b) 2 = (–a – b) 2 .

199. а) 13x 2 + 53х + 58; б) –2x 2 – 5х + 15; в) 11x 2 – 5y 2 ;

г) 7а 2 – 28а + 12; д) 20а 3 – 14а 2 + 2а;

ђ) –108b 2 – 252b + 5; е) –а 2 – 2аb – b 2 ;

ж) –117а + 121.

200. 2xy, за х = –1,5 и y = 0,2 вредност израза је –0,6.

201. –7x 2 – 27xy, за х = – 1 7 и y = 1 9

је 2 7 .

вредност израза

202. а) 42; б) 102.

203. 2x 2 + 5х – 7 + (2х – 4) 2 = 6x 2 – 11х + 9.

204. 4x 3 – 3x 2 + 2x – 1 – (х – 6) 2 = 4x 3 – 4x 2 + 14x – 37.

205. (5х – 9) 2 – (2х + 7) 2 = 21x 2 – 118х + 32.

206. a) 101 2 = (100 + 1) 2 = 100 2 + 2 ∙ 100 ∙ 1 + 1 2 =

= 10 000 + 200 + 1 = 10 201;

б) 98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 – 2 ∙ 100 ∙ 2 + 2 2 =

= 10 000 – 400 + 4 = 9 604;

в) 106 2 = (100 + 6) 2 = 100 2 + 2 ∙ 100 ∙ 6 + 6 2 =

= 10 000 + 1 200 + 36 = 11 236;

г) 95 2 = (100 – 5) 2 = 100 2 – 2 ∙ 100 ∙ 5 + 5 2 =

= 10 000 – 1 000 + 25 = 9 025;

д) 89 2 = (100 – 11) 2 = 100 2 – 2 ∙ 100 ∙ 11 + 11 2 =

= 10 000 – 2 200 + 121 = 7 921;

ђ) 112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 ∙ 100 ∙ 12 + 12 2 =

= 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544.

207. а) х = –1 2 ; б) х = 1; в) х = 4; г) х = –2.

7

208. а) –8x 2 + 18х – 9; б) –16x 2 + 26х – 12; в) 4x 2 – 4х + 3.

209. a) a 2 + b 2 + 1 + 2ab + 2a + 2b;

б) 4x 2 + y 2 + 9 + 4xy + 12x + 6y;

в) 9a 2 + 16b 2 + 1 + 24ab − 6a − 8b;

г) 16 + 25a 2 + 4b 2 − 40a + 16b −20ab.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

73


210. а) 14x 2 – 10х + 14; б) 2x 2 + 23х – 6; в) 24x;

г) 18x 2 – 24х + 26; д) –8x 2 + 38х – 9.

211. (5а + 8b) 2 – (5а – 8b) 2 = 160ab.

212. 16x 2 – 11x + 1 – (4x – 1) 2 = –3x, за х = –4 вредност

полинома је 12.

213. 9x 2 – 23x + 8 – (3x – 4) 2 = x – 8, за х = 2 016

вредност полинома је 2 008.

214. d 2 = a 2 + b 2 , (х + 1) 2 = (х – 2) 2 + 81, x = 14.

215. c 2 = a 2 + b 2 , (5х + 2) 2 = (3х – 1) 2 + (4х + 3) 2 , x = 3.

216. Из a = 24, c = b + 16 и c 2 = a 2 + b 2 добијамо

(b + 16) 2 = 24 2 + b 2 , односно b = 10 cm и c = 26 cm,

па је O = 60 cm и P = 120 cm 2 .

217. a = 12, b = c – 4, c 2 = a 2 + b 2 , c 2 = 12 2 + (c – 4) 2 ,

c = 20 cm, b = 16 cm, O = 48 cm, P = 96 cm 2 .

218. a = 15, b = d – 9, d 2 = a 2 + b 2 , d 2 = 15 2 + (d – 9) 2 ,

d = 17 cm, b = 8 cm, O = 46 cm, P = 120 cm 2 .

219. a = 18, b + c = 54, b = 54 – c, c 2 = a 2 + b 2 ,

c 2 = 18 2 + (54 – c) 2 , c = 30 cm, b = 24 cm,

P = 216 cm 2 .

220. b = 5, a + c = 25, c = 25 – a, c 2 = a 2 + b 2 ,

(25 – a) 2 = a 2 + 5 2 , a = 12 m.

221. a 1 – a 2 = 2, a 1 = a 2 + 2, P 1 – P 2 = 40, a 1 2 – a 2 2 = 40,

(a 2 + 2) 2 – a 2 2 = 40, a 2 = 9 cm, a 1 = 11 cm.

222. Како је O = 4a, то је 60 = 4a, па је a = 15 cm.

Примењујући Питагорину теорему

a 2 2

= (

d 1

2 ) + (

d 2

)2

добијамо да је 4a 2 = d 2 1 + d 2 2 ,

2

4 ∙ 15 2 = d 2 1 + d 2 2 , 900 = d 2 1 + d 2 2 . Додајући левој и

десној страни једнакости 2d 1 d 2 добићемо

900 + 2d 1 d 2 = d 2 1 + d 2 2 + 2d 1 d 2 , односно

900 + 2d 1 d 2 = (d 1 + d 2 ) 2 , а како је d 1 + d 2 = 42, то је

900 + 2d 1 d 2 = 42 2 , односно d 1 d 2 = 432. Из Р = d 1

∙ d 2

2

добијамо да је Р = 216 cm 2 .

223. а) a 3 + 3a 2 b + 3аb 2 + b 3 ;

б) a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4аb 3 + b 4 ;

в) a 3 − 3a 2 b + 3аb 2 − b 3 ;

г) a 4 − 4a 3 b + 6a 2 b 2 − 4аb 3 + b 4 ;

д) a 3 − 3a 2 + 3а − 1;

ђ) 8 + 12а + 6а 2 + а 3 ;

е) a 3 + 6a 2 b + 12аb 2 + 8b 3 ;

ж) 81a 4 + 108a 3 b + 54a 2 b 2 + 12аb 3 + b 4 .

РАЗЛИКА КВАДРАТА

224. а) (х – 3)(х + 3); б) (5х – 4)(5х + 4);

в) (2а – 7b)(2a + 7b); г) (c – √3)(c + √3);

д) (ab – 6)(ab + 6); ђ) (

1

225. а) 4 – х 2 ; б) а 2 – 100; в) 16а 2 – b 2 ; г) 9а 2 – 64b 2 ;

д) 100x 2 – y 2 ; ђ) c 4 – 1; е) 0,49а 2 – 4b 2 ;

ж)

9

16 а2 – 1; з) 16

81 x2 – 25

64 y2 .

226. а) 16а 2 b 2 – 9c 2 ; б) 25x 2 y 2 z 2 – 4a 2 b 2 c 2 ;

в) 1,44m 2 n 2 – 6,25p 2 q 2 ; г) 81

100 а4 b 2 –

25

121 c2 ;

в) (2а – 3b) (2а + 3b) = 4a 2 – 9b 2 ;

г) (

3

4 х2 – 1 4 y ) ( 3 4 х2 + 1 4 y ) = 9

16 x4 –

1

16 у2 .

228. а) (91 – 9)(91 + 9) = 82 ∙ 100 = 8 200;

б) (26 – 24)(26 + 24) = 2 ∙ 50 = 100;

в) (87 – 77)(87 + 77) = 10 ∙ 164 = 1 640;

г) (175 – 25)(175 + 25) = 150 ∙ 200 = 30 000;

д) (5,3 – 4,3)(5,3 + 4,3) = 1 ∙ 9,6 = 9,6;

ђ) ( 7 3 4 – 2 1 4 )( 7 3 4 + 2 1 4 ) = 5 1 ∙ 10 = 55.

2

229. а) 200; б) –

1

340 ; в) 1; г) –5; д) 1

; ђ) 2.

25

230. а) (100 + 2)(100 – 2) = 100 2 – 2 2 = 10 000 – 4 =

= 9 996;

б) (1 000 + 5)(1 000 – 5) = 1 000 2 – 5 2 =

231. а) 11а 2 – 5а – 1; б) –8а – 20;

в) –43x 2 – 57xy + 23y 2 ; г) –91;

д) –180x 2 + 27х + 421.

232. а) х = 4,5; б) у = 0; в) х = 1; г) х = 5;

д) у = 0; ђ) х = –2.

233. а) х = –3; б) х = 2; в) х = 1; г) х = 1; д) х = 4.

234. а) 15x 3 + 3х 2 – 25; б) x 2 + 17х + 5;

в) –5x 2 – 12х + 13; г) 21x 2 + 20х + 29;

д) –2x 2 + 6xy – 5y 2 ; ђ) 15x 2 + 8х + 10.

235. –4ab – 5b 2 .

2 – 2y )( 1 2 + 2y ) .

д) y 2 – 4x 2 ; ђ) x 4 – 81; е) а 4 – 256b 4 ; ж) а 4 – 625;

з) 144 – b 4 ; и) z 4 – 1.

227. а) (а – 6) (а + 6) = а 2 – 36; б) (5 – х) (5 + х) = 25 – х 2 ;

= 1 000 000 – 25 = 999 975;

в) (50 + 5)(50 – 5) = 50 2 – 5 2 = 2 500 – 25 = 2 475;

г) (20 + 4)(20 – 4) = 20 2 – 4 2 = 400 – 16 = 384;

д) (80 + 1)(80 – 1) = 80 2 – 1 2 = 6 400 – 1 = 6 399;

ђ) (40 + 9)(40 – 9) = 40 2 – 9 2 = 1 600 – 81 = 1 519;

е) (5 + 0,1)(5 – 0,1) = 5 2 – 0,1 2 = 25 – 0,01 = 24,99;

ж) (1 + 0,01)(1 – 0,01) = 1 2 – 0,01 2 = 1 – 0,0001 =

= 0,9999.

236. (n + 1) 2 – n 2 = 43, n = 21; тражени бројеви су 21 и

22.

237. (2n + 2) 2 – (2n) 2 = 68, n = 8; тражени бројеви су 16

и 18.

238. (2n – 1) (2n + 1) = 143, (2n) 2 – 1 = 143, 4n 2 = 144,

n 2 = 36, n = 6; тражени бројеви су 11 и 13.

74

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


239. Из P = a ∙ b, односно 119 = (2x – 5)(2x + 5),

добијамо 119 = 4x 2 –25, односно x 2 = 36, па је

x = 6. Сада је a = 7 cm и b = 17 cm, па је O = 48 cm.

240. а) р 2 + 2р – 21; за р = –1 је –22;

б) –q 2 + 20q – 16; за q = 2 је 20.

241. a) 1; б) 2.

242. 2.

243. (n + 1) 2 – n 2 = n 2 + 2n + 1 – n 2 = 2n + 1, а број

облика 2n + 1 је увек непаран број за n N.

244. (2n + 1) 2 – (2n – 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 – 4n 2 + 4n – 1 =

= 8n, а број 8n је дељив са 8.

245. а) (x – y)(x 2 + xy + y 2 ); б) (x + y)(x 2 − xy + y 2 );

в) (x – y)(x + y)(x 2 + y 2 );

г) (x – y)(x + y)(x 2 + xy + y 2 )(x 2 − xy + y 2 );

д) (x – 2)(x 2 + 2x + 4); ђ) (3 – а)(9 + 3а + а 2 ).

РАСТАВЉАЊЕ ПОЛИНОМА НА

ЧИНИОЦЕ

246. а) 3(х – у); б) 12(а + b); в) 5y(х – 3z); г) b(a – b);

д) 7a(–a + 3); ђ) 5b 2 (2a – b).

247. а) 2(ab + bc + ac); б) 4(3a – 5b + 4ab);

в) x(x 4 + x 2 – 1); г) 5a(2a – 3 + 7a 2 ).

248. а) (3 – х)(3 + х); б) (а – 5)(а + 5); в) (х – 2у)(х + 2у);

г) (4а – 1)(4a + 1); д) (2а – 3b)(2a + 3b);

ђ) (7x –3y)(7x + 3y); е) (8x – 1)(8x + 1);

ж) (c – 9d)(c + 9d).

249. а) (х + у) 2 ; б) (х + 3) 2 ; в) (а + 4) 2 ; г) (у + 1) 2 ;

д) (3а + 1) 2 ; ђ) (1 + 5m) 2 ; е) (4х + 1) 2 ;

ж) (b + 4) 2 ; з) (7 + x) 2 .

250. а) (х – 6) 2 ; б) (a – 7) 2 ; в) (9а – 2b) 2 ; г) (6 – 8a) 2 ;

д) (7а – 3) 2 ; ђ) (0,1b – 5c) 2 ; е) (a – 0,5) 2 ;

ж) (4x – 3y) 2 ; з) (5a – 4b) 2 .

251. а) x(х – 7) = 0, х = 0 или х = 7;

б) 2x(х + 4) = 0, х = 0 или х = –4;

в) 2x (6 – х) = 0, х = 0 или х = 6;

г) x(х + 10) = 0, х = 0 или х = –10;

д) 3x(х – 2) = 0, х = 0 или х = 2;

ђ) 4x 2 (х + 3) = 0, х = 0 или х = –3.

252. а) х = 0 или х = 2; б) х = 0 или х = –4;

в) х = 0 или х = 5 2 ; г) х = 0 или х = 4 3 ;

д) х = 0 или х = 3 5 ; ђ) х = 0 или х = 4 3 .

253. а) 2(5x 2 – 3y 2 – 4xy); б) a 2 (a 3 + a 2 – a + 1);

в) 2ab(2a 2 bc + 5a + 10bc 3 ); г) 3x 2 y(3xy – 6 + 4y 2 ).

254. а) 5(х + у); б) (а + b)(х + у); в) (4 + а)(а + b);

г) (х 2 + 1)(х – 1); д) (х + у)(х – 6); ђ) (ху + 2)(х + 3).

255. а) (4аb – 7c)(4ab + 7c); б) (x – 3y 2 )(x + 3y 2 );

в) (11m – 12n)(11m + 12n);

г) (4а 2 b – 5cd)(4a 2 b + 5cd);

д) (

x

6 – 1 )( x 6 + 1 ) ; ђ) ( 1 3 x – 4 5 y )( 1 3 x + 4 5 y ) ;

е) (

9

11 – 2 5 x )( 9 11 + 2 5 x ) ;

ж) (0,3а – 0,5y)(0,3a + 0,5y);

з) (0,9xy – 0,5z)(0,9xy + 0,5z);

и) ( 2 1 2 а – 2 1 3 b )( 2 1 2 a + 2 1 3 b ) .

256. а) (a – b)(a + b)(a 2 + b 2 ); б) (1 – c)(1 + c)(1 + c 2 );

в) (x – 2)(x + 2)(x 2 + 4);

г) (2a – 3b)(2a + 3b)(4a 2 + 9b 2 );

д) 5(a – 1)(a + 1); ђ) b(a – 1)(a + 1);

е) 7a(1 – x)(1 + x); ж) a(x – 3)(x + 3).

257. а) 5a 2 (b – 3)(b + 3); б) a(p – q)(p + q);

в) m 2 (m – 1)(m + 1); г) 3(2a – 1)(2a + 1);

д) 8a(1 – a)(1 + a); ђ) 2a(2x – 5y)(2x + 5y);

е) abc(a – c)(a + c); ж) 3a(3a – b)(3a + b).

258. а) (x – 3)(x + 3) = 0; х = 3 или х = –3;

б) (x – 5)(x + 5) = 0, х = 5 или х = –5;

в) (4 – х)(4 + х) = 0, х = 4 или х = –4;

г) (9у – 1)(9у + 1) = 0; у = 1 9 или у = – 1 9 ;

д) (2x – 7)(2x + 7) = 0; х = 3 1 2 или х = – 3 1 2 ;

ђ) (6у – 11)(6у + 11) = 0; у = 1 5 6 или у = – 1 5 6 .

259. а) (0,5хy – 0,1) 2 ; б) (0,3a + 0,2b) 2 ; в) (

1

2 – x )2

;

г) (

a

9 + 4b )2

; д) (c 2 – 4) 2 = (c – 2) 2 (c + 2) 2 ;

ђ) (c 2 – d 2 ) 2 = (c – d) 2 (c + d) 2 .

260. а) 3(х + 1) 2 ; б) x(х + 6) 2 ; в) 5(x – 3) 2 ;

г) (x + 1) 2 (x – 1) 2 ; д) 100(а + 3b) 2 ; ђ) 2(ab – 3c) 2 ;

е) –11 (1 + 3a 2 ) 2 ; ж) –5(y – 2) 2 ; з) 5x(xy + 1) 2 ;

и) 3x(3x – 5) 2 ; ј) 2x(11a + 7) 2 ; к) 5b(b – 6) 2 .

261. а) х = –5; б) у = 3; в) х = 6; г) а = –2; д) х = 1 4 ;

ђ) х = – 2 1 2 ; е) х = 3 4 ; ж) х = –1; з) а = – 1 3 .

262. а) (89 + 11) 2 = 100 2 = 10 000;

б) (37 + 13) 2 = 50 2 = 2 500;

в) (123 – 43) 2 = 80 2 = 6 400;

г) (39 – 14) 2 = 25 2 = 625.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

75


263. а) (

2

3 x – k )( 2 3 x + k )( 2) 4 9 x2 + k ;

272. ( x + 1 2

x ) = x 2 + 2 + 1 = x 2 + 1 + 2 = 7 + 2 = 9,

x 2 x 2

б) 2(r – 2s)(r + 2s)(r 2 + 4s 2 );

па је x + 1

в) 3a 2 b 2 (a – b)(a + b)(a 2 + b 2 );

x = 3 или x + 1 x = –3.

г) 5x 3 y 2 (x – 2y)(x + 2y)(x 2 + 4y 2 ).

273. x 2 + 1 = 23.

264. а) (x – 4)(x + 2); б) (x – 3)(x + 5);

x 2

в) 4(x + 1); г) 3(2x + 1).

265. а) х = 7 или х = –7; б) х = 1 1 3 или х = – 1 1 3 ;

в) х = √15 или х = –√15; г) х = √3 или х = –

√3

4 4 ;

д) х = √5 или х = –

√5

2 2 ;

ђ) х = 3√2 или х = –

3√2

2 2 .

266. а) х = 2√15 или х = – 2√15

5

5 ;

б) х = √2 или х = –

√2

; в) х = 3 или х = –1;

4 4

г) х = 4 или х = –6; д) х = – 1 1 2 ;

ђ) х = –3 или х = 1 3 .

267. а) (3х – 5 − 2х)(3х – 5 + 2х) = 0, (х – 5)(5х – 5) = 0,

х = 5 или х = 1;

б) х = −2 или х = 1;

в) х = −2 или х = 1 3 .

268. а) х = 4 или х = –4; б) х = 5 или х = –5;

в) х = 2 3 или х = – 2 ; г) х = 0 или х = 7 или х = –7;

3

д) х = 0 или х = 3 1 2 или х = – 3 1 2 ;

ђ) х = 0 или х = 3 4 или х = – 3 4 .

269. а) Тачно; б) тачно.

270. Проверићемо да ли важи Питагорина теорема,

то јест да ли је c 2 = a 2 + b 2 . Једнакост

(х 2 + у 2 ) 2 = (х 2 – у 2 ) 2 + (2ху) 2 , тј.

х 4 + 2х 2 у 2 + у 4 = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4 + 4х 2 у 2 је еквивалентна

са х 4 + 2х 2 у 2 + у 4 = х 4 + 2х 2 у 2 + у 4 , што је тачна

једнакост. Значи, важи Питагорина теорема, па

је ∆АВС правоугли.

271. а) 4; б) x – 5; в) a + 2

3 ; г) x + 4

5 ;

д) а + 2; ђ)

2(x + 3)

x – 3 .

76

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ТЕСТ – СТЕПЕН

1. Четврти степен броја – 1 2

једнак је:

а) – 1 8 ; б) – 1

16 ; в) 1

16 ; г) 1 ; д) 2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

8

2. Вредност израза 23

5 – 0,23 је:

а) –

92

125 ; б) 7

125 ; в) 4 5

; г)

199

125

; д)

23

. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

15

3. Вредност израза x 8 ∙ x 2 је:

а) x 4 ; б) x 6 ; в) x 10 ; г) x 16 ; д) x 64 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Производ (–a) 5 ∙ (–a) 7 ∙ (–a) 12 записан у облику степена једнак је:

а) –a 420 ; б) –a 24 ; в) a 24 ; г) ((–a) 12 ) 12 ; д) a 420 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Вредност израза x18 : (x 3 ∙ x)

једнака је:

x 5 ∙ x 9

а) x 2 ; б) x; в) –1; г) 0; д) 1. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Производ степена (–a) 5 и –a 4 подели њиховим количником (где је (–а) 5 дељеник).

Вредност добијеног израза је:

а) a 8 ; б) –a 8 ; в) a 9 ; г) –a 9 ; д) a 19 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Вредност израза (–2ab) 3 ∙ (

2a

b

) 3 је:

а) –64a 9 ; б) –64a 6 ; в) –36a 6 ; г) 64a 6 ; д) 36a 9 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

8. Вредност израза (3a2 b) 3 : (9a 3 b) 2

( ab 3

) 4 је:

а)

4

3a 4 b 4; б) 9

a 4 b ; в) 9

; г)

27

4 a 4 3

b a 4 b ; д) 27

. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

3 a 4 4

b

9. Вредност израза 24n+3 је:

2n+1

4

а) 1; б) 2; в) 4; г) 5; д) 16. (Заокружи слово испред тачног одговора.)

10. Вредност израза 328 ∙ 216 7 ∙ 9 11

је:

(2 10 ∙ 3 7 ) 6

а) 1; б) 3; в) 6; г) 36; д) 2 7 ∙ 3 10 . (Заокружи слово испред тачног одговора.)

Решења

1. в); 2. г); 3. в); 4. в); 5. д); 6. а); 7. б); 8. г); 9. б); 10. в).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућуј

уј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

77


ТЕСТ – ПОЛИНОМИ

1. Бројевна вредност алгебарског израза 2х 3 + 5х 2 – 3х – 6 за х = –2 је:

а) –4; б) 4; в) –8; г) –36.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

2. Одреди збир и разлику полинома А и В ако је А = 2х 2 – 6х + 1 и В = –5х 2 + 7х + 1.

3. Производ полинома А = 4у – 3 и В = у 2 + 2у – 5 је:

а) 4у 3 + 5у 2 – 26у + 15; б) 4у 3 + 11у 2 – 14у + 15; в) 4у 3 + 5у 2 + 14у – 15.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

4. Дужина једне катете правоуглог троугла је 8 cm, а хипотенуза је за 4 cm дужа од друге

катете. Површина тог троугла је:

а) 96 cm 2 ; б) 48 cm 2 ; в) 32 cm 2 ; г) 24 cm 2 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

5. Вредност израза (3√5 – 6) (3√5+ 6) је:

а) –21; б) 9; в) 21; г) –9 .

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

6. Решење једначине (5х – 2) 2 – (5х – 4) (5х + 4) = 0 је:

а) х = 1; б) х = –1; в) х = 0; г) х = 5.

(Заокружи слово испред тачног одговора.)

7. Разлика квадрата два узастопна непарна природна броја је 32. О којим бројевима је

реч?

8. Растави изразе на чиниоце:

1) 15а 2 – 35а;

2) 4у 2 – 28у + 49;

3) 0,01p 2 – 64

81 q2 .

Решења

1. б); 2. А + В = –3х 2 + х + 2, А – В = 7х 2 – 13х; 3. а); 4. г); 5. б); 6. а); 7. 7 и 9;

8. 1) 5а (3а – 7); 2) (2у – 7) 2 ; 3)

( 0,1p – 8 9 q )( 0,1p + 8 9 q ) .

78

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућуј

уј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ОБНАВЉАЊЕ

А – утврди

МНОГОУГАО

В – примени

1. Да ли је фигура на слици многоугао?

а) б) в)

6. На слици је приказан петоугао

ABCDE, који дијагонала BD разлаже на

правоугаоник (страница а = 2√3 cm и

b = 4 cm) и једнакостранични троугао

(странице а = 2√3 cm).

а) Одреди све углове овог петоугла;

б) нацртај све дијагонале тог петоугла и

израчунај њихове дужине.

E

D

г) д) ђ)

а

C

А

b

B

2. Да ли је многоугао на слици конвексан?

а) б) в)

г) д)

3. Нацртај два многоугла са по 5 страница,

један конвексан, а један неконвексан.

4. Нацртај произвољан петоугао ABCDE

и напиши парове његових суседних

страница.

5. Нацртај произвољан шестоугао ABCDEF,

a затим и све његове дијагонале. Наведи

их.

БРОЈ ДИЈАГОНАЛА

МНОГОУГЛА

А – утврди

7. Нацртај произвољан петоугао и

произвољан осмоугао. Нацртај све

дијагонале из једног темена петоугла,

односно осмоугла. За колико се број

дијагонала које полазе из једног темена

сваког од многоуглова разликује

од броја страница одговарајућег

многоугла?

8. Израчунај број дијагонала многоугла

које полазе из једног темена многоугла,

ако тај многоугао има n страница за:

а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6;

г) n = 8; д) n = 13; ђ) n = 40.

9. Колико страница има многоугао код

кога се из једног темена може повући d

дијагонала ако је:

а) d = 2; б) d = 5; в) d = 12;

г) d = 20; д) d = 25; ђ) d = 27?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

79


10. Израчунај број свих дијагонала

многоугла који има n страница, ако је:

а) n = 5; б) n = 6; в) n = 8;

г) n = 13; д) n = 20; ђ) n = 23.

11. Ако је n број страница многоугла, d n

број његових дијагонала које се могу

повући из једног темена и D n укупан

број дијагонала, препиши дату табелу у

свеску и попуни је.

n 4 7 10 12 15 33

d n

D n

Б – вежбај

12. Одреди укупан број дијагонала

многоугла ако се из једног темена тог

многоугла може повући:

а) 5 дијагонала; б) 8 дијагонала;

в) 10 дијагонала.

13. Колико има страница многоугао чији је

укупан број дијагонала:

а) 20; б) 35; в) 65; г) 230?

14. Ако је n број страница многоугла, d n

број његових дијагонала које се могу

повући из једног темена и D n укупан

број дијагонала, препиши дату табелу у

свеску и попуни је.

n 11 28

d n

10 30

D n 5 90

15. Колико дијагонала има многоугао који

је дијагоналама које полазе из једног

темена подељен на 13 троуглова?

16. Одреди многоугао чији је укупан број

дијагонала:

а) 3 пута већи од броја његових

страница;

б) 6 пута већи од броја његових

страница.

17. Код ког многоугла је укупан број

његових дијагонала:

а) 5 пута; б) 10 пута

већи од броја дијагонала које се могу

повући из једног темена?

18. Колико темена има многоугао код кога

је укупан број дијагонала једнак броју

његових страница?

В – примени

19. Да ли постоји многоугао чији је укупан

број дијагонала 64? Образложи одговор.

20. Збир укупног броја дијагонала и броја

страница једног многоугла је 45. Одреди

број темена тог многоугла.

21. Колико страница има многоугао ако

је збир броја дијагонала које полазе

из једног темена и укупног броја

дијагонала једнак 33?

22. Израчунај број дијагонала многоугла

код кога је однос броја дијагонала и

броја страница једнак 9 : 2.

23. Број страница многоугла је за 63 мањи

од броја дијагонала. Колико темена има

тај многоугао?

24. Ако је D n

број свих дијагонала многоугла

са n страница, докажи да је:

а) D 12 = 2D 9 ; б) D 8 = 4D 5 ; в) 4D 14 = 7D 11 .

25. Када се број страница многоугла повећа

за 3, онда се број дијагонала повећа за

33. Који многоугао има ту особину?

80

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Г – прошири

26. За колико се повећа број дијагонала

многоугла ако се број темена многоугла:

а) повећа за 1;

б) повећа за 3?

27. Колико дужи је одређено са 6 тачака,

од којих никоје три нису колинеарне?

Увери се да је број тих дужи једнак

збиру броја дијагонала и броја страница

шестоугла.

28. Колико правих је одређено са 10 тачака,

од којих никоје три нису колинеарне?

29. Колико двочланих подскупова има скуп

од 50 елемената?

30. На кружници је уочен известан број

тачака. Спајајући сваке две уочене тачке

добијено је 45 тетива.

а) Колико страница има многоугао

одређен уоченим тачкама?

б) Колико дијагонала има многоугао

одређен уоченим тачкама?

ЗБИР УГЛОВА МНОГОУГЛА

А – утврди

31. Многоугао је дијагоналама из једног

темена разложен на троуглове. На

колико троуглова је разложен тај

многоугао ако је то:

а) петоугао; б) шестоугао;

в) осмоугао; г) десетоугао;

д) дванаестоугао; ђ) седамнаестоугао.

32. Израчунај збир унутрашњих углова:

а) петоугла; б) шестоугла;

в) осмоугла; г) десетоугла;

д) дванаестоугла; ђ) седамнаестоугла.

33. Одреди број страница многоугла ако је

збир његових унутрашњих углова:

а) 360°; б) 540°; в) 1 440°;

г) 1 620°; д) 1 800°; ђ) 2 340°.

34. Постоји ли осмоугао чији су спољашњи

углови 115°, 53°, 26°, 18°, 48°, 39°, 32° и

29°?

Б – вежбај

35. Може ли збир унутрашњих углова неког

многоугла бити:

а) 600°; б) 3 420°; в) 2 020°.

36. Да ли углови од 120°, 142°, 133°, 115°,

162° и 128° могу бити унутрашњи углови

неког шестоугла?

37. Ако је n број страница многоугла, d n

број

његових дијагонала које се могу повући

из једног темена и S n

збир унутрашњих

углова, препиши дату табелу у свеску и

попуни је.

n 10 14

d n

9 5

S n 720° 1 260°

38. Познато је пет унутрашњих углова

шестоугла: 85°, 164°, 118°, 99° и 132°.

Одреди меру шестог угла.

39. Седмоугао има један угао од 165°, други

угао од 145°, два права угла и два угла

од по 150°. Колика је мера седмог угла?

40. У петоуглу су два унутрашња угла

једнака. Одреди њихове мере ако су

преостала три угла 100°, 110° и 120°.

41. Да ли осмоугао може имати четири

права унутрашња угла?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

81


42. Колико највише правих унутрашњих

углова може имати петоугао? А

десетоугао?

43. Нацртај конвексан петоугао са три

права угла, а затим и конвексан

десетоугао са три права угла.

44. Колико страница има многоугао ако

је збир његових унутрашњих углова

три пута већи од збира његових

спољашњих углова?

45. Колико страница има многоугао ако

је збир његових спољашњих углова

за 1 080° мањи од збира унутрашњих

углова?

46. Колики је збир унутрашњих углова

многоугла код кога се из једног темена

може повући:

а) 5 дијагонала; б) 13 дијагонала?

47. Колики је збир унутрашњих углова

многоугла који има 65 дијагонала?

В – примени

48. Израчунај број дијагонала многоугла

код кога се збир унутрашњих и збир

спољашњих углова разликују за 540°.

49. Одреди број дијагонала оног многоугла

код кога је збир унутрашњих углова

једнак збиру спољашњих углова.

50. Израчунај унутрашње углове петоугла

ако је почев од неког, сваки следећи за

20° већи од претходног.

51. У четвороуглу је угао = 60°, угао

= 3 , а угао је за 10° већи од угла .

2

Одреди углове тог четвороугла.

52. У четвороуглу је угао два пута већи од

угла , угао износи 80% угла , а угао

је за 30° већи од угла . Одреди углове

тог четвороугла.

53. Ако многоугао има четири пута више

дијагонала него страница, колико пута

је збир унутрашњих углова већи од

збира спољашњих углова?

54. Ако се бројеви страница два многоугла

разликују за 5, за колико се разликују

збирови њихових унутрашњих углова?

55. Ако се збирови унутрашњих углова

два многоугла разликују за 1 440°, за

колико се разликују бројеви њихових

страница?

ПРАВИЛНИ МНОГОУГЛОВИ

А – утврди

56. Препиши следеће реченице у свеску

допуњујући шта недостаје:

а) Правилни троугао је

троугао;

б) Правилни четвороугао је

.

57. Израчунај унутрашње углове правилног:

а) петоугла; б) шестоугла;

в) осмоугла; г) десетоугла;

д) дванаестоугла; ђ) петнаестоугла.

58. Израчунај спољашње углове правилног

многоугла који има n страница за:

а) n = 8; б) n = 10; в) n = 20.

59. Одреди број темена правилног

многоугла ако његов спољашњи угао

има:

а) 45°; б) 30°; в) 9°.

82

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


60. Израчунај спољашњи угао правилног

многоугла чији је унутрашњи угао:

а) 162°; б) 144°; в) 108°.

61. Израчунај централни угао правилног:

а) шестоугла;

б) осмоугла;

в) дванаестоугла.

62. Одреди број темена правилног

многоугла чији је централни угао 30°.

Б – вежбај

63. Одреди број страница, унутрашњи угао

и број дијагонала правилног многоугла

чији је збир унутрашњих углова:

а) 1 260°; б) 1 440°.

64. Колико страница има правилан

многоугао чији унутрашњи углови имају

по:

а) 135°; б) 144°;

в) 150°; г) 160°?

65. Постоји ли правилан многоугао чији

унутрашњи углови имају по:

а) 155°; б) 165°?

66. Израчунај централни угао правилног

многоугла чији је спољашњи угао:

а) 60°; б) 30°; в) 18°.

67. Израчунај унутрашњи угао правилног

многоугла чији је централни угао:

а) 10°; б) 15°; в) 45°.

68. Један спољашњи угао правилног

многоугла је 20°. Израчунај збир

унутрашњих углова тог многоугла.

69. Израчунај централни угао правилног

многоугла ако је збир унутрашњих

углова тог многоугла 1 800°.

71. Одреди број страница правилног

многоугла код кога је:

а) збир унутрашњих углова 2 160°;

б) број дијагонала које полазе из једног

темена 18;

в) спољашњи угао 11°15’;

г) унутрашњи угао 162°;

д) централни угао 24°;

ђ) број дијагонала 65.

72. Израчунај збир унутрашњих углова,

унутрашњи угао, спољашњи угао,

централни угао и укупан број дијагонала

правилног многоугла, ако се из једног

темена тог многоугла може повући 9

дијагонала.

73. Израчунај број дијагонала које

полазе из једног темена, укупан број

дијагонала, унутрашњи угао, спољашњи

угао и централни угао правилног

многоугла, ако је збир унутрашњих

углова тог многоугла 1 440°.

74. Одреди све углове карактеристичног

троугла правилног:

а) четвороугла; б) шестоугла;

в) дванаестоугла; г) петнаестоугла.

75. Колико оса симетрије има правилан:

а) четвороугао; б) петоугао;

в) шестоугао; г) петнаестоугао;

д) двадесетоугао; ђ) педесетоугао?

76. Израчунај број дијагонала правилног

многоугла који има 12 оса симетрије.

77. Израчунај збир унутрашњих углова

правилног многоугла који има 15 оса

симетрије.

78. Израчунај дужине дијагонала правилног

шестоугла ако је дужина његове

странице а = 4 cm.

70. Збир централног и спољашњег угла

правилног многоугла је 30°. Израчунај

збир унутрашњих углова тог многоугла. З а

б

р

а

њ

е

н

о

ј

е

р

е

п

р

о

д

у

к

о

в

а

њ

е, у

м

н

о

ж

а

в

а

њ

е, д

и

с

т

р

и

б

у

ц

и

ј

а, о

бј

а

в

љ

и

в

а

њ

е, п

р

е

р

а

д

а

и

д

р

у

га

употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључуј уј

у ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

83


79. Израчунај дужине полупречника

описане и уписане кружнице правилног

многоугла чија је страница дужине 6 cm,

а број страница многоугла је:

а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

В – примени

80. Колико страница има правилни

многоугао ако је један његов спољашњи

угао једнак:

а) 1 2 ; б) 1 3 ; в) 2 7

једног његовог унутрашњег угла?

81. Унутрашњи угао правилног многоугла

је четири пута већи од спољашњег угла.

Израчунај збир унутрашњих углова тог

многоугла.

82. Спољашњи угао правилног многоугла

је три пута мањи од унутрашњег

угла. Израчунај број дијагонала тог

многоугла.

83. Да ли постоји правилан многоугао код

кога је унутрашњи угао шест пута већи

од спољашњег угла?

84. Израчунај унутрашњи угао правилног

многоугла код кога је укупан број

дијагонала четири пута већи од броја

дијагонала које полазе из једног темена.

85. Одреди збир дужина свих дијагонала

правилног шестоугла ако је дужина

његове странице a = 3 cm.

86. Докажи да су дијагонале правилног

петоугла једнаке.

87. Израчунај угао који граде дијагонале

правилног петоугла повучене из истог

темена.

88. Дат је правилан шестоугао ABCDEF.

Израчунај АСВ и ADB.

89. Дат је правилан осмоугао ABCDEFGH.

Израчунај:

а) АСВ; б) ADС; в) AFС.

90. Дат је правилан десетоугао ABCDEFGHIJ.

Израчунај углове седмоугла ACDEFIJ.

Г – прошири

91. Симетрале двеју суседних страница

правилног многоугла секу се под

углом од 20°. Колико страница има тај

многоугао?

92. Симетрале два суседна угла правилног

многоугла секу се под углом од 15°.

Колико темена има тај многоугао?

93. Симетрала странице и симетрала

унутрашњег налеглог угла правилног

многоугла секу се под углом од 10°.

Израчунај збир унутрашњих углова тог

многоугла.

КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ

ПРАВИЛНИХ МНОГОУГЛОВА

А – утврди

94. Конструиши једнакостранични троугао

ако је дата дужина странице а = 5 cm.

95. Конструиши квадрат ако је дужина

његове странице а = 4 cm.

96. Конструиши правилан шестоугао ако је:

а) дужина странице а = 4 cm;

б) полупречник описане кружнице

R = 5 cm.

84

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Б – вежбај

97. Конструиши правилан шестоугао ако је:

а) полупречник уписане кружнице

r = 3 cm;

б) дужа дијагонала d 1

= 6 cm;

в) краћа дијагонала d 2 = 5 cm.

98. Конструиши правилан шестоугао

уписан у круг пречника 10 cm.

99. Конструиши правилан шестоугао који је

oписан око круга пречника 8 cm.

В – примени

100. Конструиши правилан осмоугао ако је:

а) дужина странице а = 4 cm;

б) полупречник описане кружнице

R = 5 cm;

в) полупречник уписане кружнице

r = 3 cm;

г) најдужа дијагонала d 1

= 12 cm;

д) најкраћа дијагонала d 2 = 6 cm.

101. Конструиши правилан дванаестоугао

ако је:

а) дужина странице а = 2 cm;

б) полупречник описане кружнице

R = 4 cm;

в) полупречник уписане кружнице

r = 3,5 cm;

г) најдужа дијагонала d 1

= 12 cm;

д) најкраћа дијагонала d 2 = 5 cm.

102. Конструиши правилан многоугао код

кога је збир унутрашњих углова 720°, а

полупречник уписане кружнице

r = 4 cm.

103. Конструиши правилан многоугао код

кога је збир унутрашњих углова 180°, а

полупречник описане кружнице

R = 5 cm.

104. Конструиши правилан многоугао код

кога је укупан број дијагонала 20, а

дужина странице а = 3 cm.

105. Конструиши правилан многоугао код

кога је полупречник уписаног круга

5 cm, а унутрашњи угао пет пута већи

од централног угла.

ОБИМ И ПОВРШИНА

МНОГОУГЛА

А – утврди

106. Израчунај обим многоугла ако су

дужине његових страница 23 mm,

83 mm, 4 cm, 6 cm, 37 mm, 45 mm,

25 mm.

107. Израчунај обим шестоугла ако је

најкраћа страница 3 cm, а остале

странице су такве да је свака од њих

дужа за по 5 mm од претходне.

108. Дужина странице правилног многоугла

је 3 cm. Израчунај обим многоугла ако

је број страница тог многоугла:

а) n = 3; б) n = 5; в) n = 10; г) n = 15.

109. Израчунај дужину странице правилног

многоугла чији је обим 60 cm, ако је

број страница тог многоугла:

а) n = 4; б) n = 5; в) n = 6;

г) n = 10; д) n = 12.

110. Дужина странице правилног многоугла

је 4 cm, а његов обим је 52 cm. O ком

многоуглу је реч?

111. Ако је а дужина странице правилног

многоугла, n број страница и О обим

тог многоугла, препиши дату табелу у

свеску и попуни је.

n 4 6 8 12

а 3,5 4 6 2,5

О 34 54 36 25

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

85


112. Израчунај површину квадрата ако је:

а) страница а = 3,2 cm;

б) обим О = 16 cm.

113. Израчунај површину

једнакостраничног троугла ако је:

а) страница а = 4 cm;

б) обим О = 18 cm.

114. Израчунај површину правилног

шестоугла ако је:

а) страница а = 3 cm;

б) обим О = 12 cm.

115. Дужина странице правилног шестоугла

је 6 cm. Израчунај његов обим,

површину и полупречнике описане и

уписане кружнице.

116. Обим правилног шестоугла је 24 cm.

Израчунај његову површину.

Б – вежбај

117. Одреди дужине страница петоугла

ако се оне од најкраће до најдуже

редом разликују за по 1 cm, а обим тог

петоугла је 20 cm.

118. Квадрат и једнакостранични троугао

имају једнаке странице а = 12 cm. За

колико треба смањити страницу тог

квадрата да би обим новодобијеног

квадрата био једнак обиму тог троугла?

119. Израчунај површину квадрата ако је:

а) дијагонала d = 4 cm;

б) полупречник уписане кружнице

r = 2,5 cm;

в) полупречник описане кружнице

R = 5√2 cm.

120. Израчунај површину

једнакостраничног троугла ако је:

а) висина h = 5√3 cm;

б) полупречник уписане кружнице

r = 2√3 cm;

в) полупречник описане кружнице

R = 8√3 cm.

121. Израчунај површину правилног

шестоугла ако је:

а) полупречник уписане кружнице

r = 3√3 cm;

б) полупречник описане кружнице

R = 4 cm;

в) дужа дијагонала d 1 = 10 cm;

г) краћа дијагонала d 2

= 8√3 cm.

122. Правилан петоугао и правилан

десетоугао имају једнаке обиме, по

60 cm.

а) За колико је страница десетоугла

краћа од странице петоугла?

б) Колико пута је страница петоугла

дужа од странице десетоугла?

123. Израчунај обим правилног многоугла

ако је дужина његове странице

а = 3 cm, а збир унутрашњих углова тог

многоугла 1 080°.

124. Израчунај број дијагонала правилног

многоугла чија је дужина странице

2 cm, а обим 36 cm.

125. Обим правилног многоугла је

35 cm. Израчунај дужину странице

тог многоугла ако је број његових

дијагонала 35.

126. Површина правилног шестоугла је

96√3 cm 2 . Израчунај његов обим.

127. У круг полупречника 5 cm уписан је

правилни шестоугао. Израчунај обим и

површину тог шестоугла.

86

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


128. У правилни шестоугао уписана је

кружница пречника 2√3 cm. Израчунај

обим и површину тог шестоугла.

В – примени

129. Ако се свака од две наспрамне

странице квадрата увећа за по 5 cm,

а друге две смање за по 2 cm, добије

се правоугаоник чији је обим 34 cm.

Израчунај страницу тог квадрата и

његову површину.

130. Квадрат странице а = 12 cm има обим

једнак обиму једнакостраничног

троугла. За колико је површина тог

квадрата већа од површине тог

једнакостраничног троугла?

131. Израчунај обим и површину шестоугла

ABCDEF са слике.

E 6 D

6

6

F

60° 60°

6

150° 150°

А 6 B

132. Свака страница једнакостраничног

троугла АВС је уједно и основица

једнакокраког троугла конструисаног

са спољашње стране (види слику). Ако

је дужина сваке од страница троугла

ABC једнака 8 cm, а висине сваког

од једнакокраких троуглова које

одговарају основицама по h a

= 3 cm,

одреди обим и површину шестоугла

ADBECF.

6

C

133. Правилан шестоугао и правилан

десетоугао имају једнаке странице

дужине 5 cm. За колико треба смањити

сваку од страница десетоугла да

би обим новодобијеног правилног

десетоугла био једнак обиму

шестоугла?

134. Правилан шестоугао и правилан

десетоугао имају једнаке странице,

дужине 10 cm. За колико треба

повећати сваку од страница шестоугла

да би обим новодобијеног правилног

шестоугла био једнак обиму

десетоугла?

135. Израчунај површину правилног

многоугла чији је обим 48 cm, а збир

унутрашњих углова 720°.

136. Збир спољашњих углова правилног

многоугла је за 360° мањи од збира

његових унутрашњих углова.

Израчунај обим тог многоугла ако је

његова површина 54√3 cm 2 .

137. Спољашњи угао правилног многоугла

је два пута мањи од суседног

унутрашњег угла. Израчунај површину

тог многоугла ако је његов обим 24 cm.

138. У круг полупречника 6 cm уписан је

квадрат и правилни шестоугао. Одреди

однос површина ова два многоугла.

139. Правилни четвороугао странице

а = 12 cm има обим једнак обиму

правилног шестоугла. За колико

је површина шестоугла већа од

површине четвороугла?

140. Правилни троугао и правилни

шестоугао имају једнак обим и он

износи 18 cm. Одреди однос површине

тог шестоугла и површине тог троугла.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

с а м е ста и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

87


Г – прошири

141. Израчунај обим и површину правилног

шестоугла ABCDEF (види слику) ако је

обим троугла АСЕ једнак 18√3 cm.

E

D

143. На страницама квадрата ABCD,

странице дужине 4 cm, изабране су

тачке E, F, G, H, I, J, K и L, као на слици.

Израчунај обим и површину осмоугла

EFGHIJKL. На слици су дати мерни

бројеви дужи мерених центиметрима.

F

C

A

B

142. Над страницама квадрата ABCD

конструисани су једнакостранични

троуглови, као на слици. Израчунај

обим и површину осмоугла AEBFCGDH.

На слици је дат мерни број дужи мерен

центиметрима.

1

144. На страницама квадрата ABCD,

странице дужине 30 m, изабране су

тачке E, F, G, H, I, J, K и L, као на слици.

Израчунај обим и површину осмоугла

EFGHIJKL. На слици су дати мерни

бројеви дужи мерених метрима.

88

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


145. На страницама једнакостраничног

троугла ABC изабране су тачке D, E, F,

G, H и I, као на слици. Израчунај обим и

површину шестоугла DEFGHI. На слици

су дати мерни бројеви дужи мерених

центиметрима.

150. Над сваком страницом

једнакостраничног троугла АВС

конструисани су квадрати, као на

слици. Израчунај обим и површину

шестоугла DEFGHI. На слици је дат

мерни број дужи мерен центиметрима.

C

A

B

146. Израчунај површину правилног

дванаестоугла ако је дужина

полупречника описане кружнице око

тог дванаестоугла 6 cm.

147. Израчунај површину правилног

осмоугла ако је дужина пречника

описане кружнице око тог осмоугла

10 cm.

151. На страницама квадрата ABCD

странице (2 + √2) dm изабране су

тачке E, F, G, H, I, J, K и L тако да је

осмоугао EFGHIJKL правилан. Израчунај

површину тог осмоугла.

148. Најкраћа дијагонала правилног

осмоугла има дужину 8√2 cm.

Израчунај површину тог осмоугла.

149. Израчунај површину правилног

многоугла код којег је дужина

полупречника описаног круга 5 cm,

а спољашњи угао пет пута мањи од

унутрашњег угла.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

89


152. Над сваком страницом a = 2 cm

правилног шестоугла АВСDEF

конструисани су једнакокрако-

-правоугли троуглови, као на слици.

Израчунај обим и површину добијене

фигуре.

J

153. Одреди однос површина правилног

шестоугла странице а и његовог

осенченог дела (види слику):

K

E

D

I

F

C

L

A

B

H

G

90

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ОБНАВЉАЊЕ

1. а) Не; б) да; в) да; г) не; д) да; ђ) не.

2. а) Да; б) да; в) не; г) не; д) да.

3. На пример:

конвексан,

МНОГОУГАО – РЕШЕЊА

неконвексан.

БРОЈ ДИЈАГОНАЛА

МНОГОУГЛА

7.

4. Свако теме одређује један пар суседних

страница. Парови суседних страница су: AB и BC,

BC и CD, CD и DE, DE и EA, EA и AB.

D

E

А

5. Шестоугао има девет дијагонала, и то:

AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF и DF.

E

D

F

А

6. a) EAB = 90°, ABC = 90° + 60° = 150°,

BCD = 60°, CDE = 60° + 90° = 150°,

DEA = 90°;

б) BD = a = 2√3 cm, AD = BE = d, и како је

d 2 = a 2 + b 2 , то је d = 2√7 cm, па је

AD = BE = 2√7 cm. Слично и AC = CE = d v ,

FC = b + h = b + a√3

2 = 7 cm,

2

d 2 v = (

a

2 ) + FC 2 = 52,

d v = 2√13 cm, AC = CE = 2√13 cm.

E

D

F

А

b

B

B

C

C

B

а

C

d 5 = 2; 5 – 2 = 3, d 8 = 5; 8 – 5 = 3

Дакле, број дијагонала из једног темена

многоугла је мањи за 3 од броја његових

страница.

8. a) d = 1; б) d = 2; в) d = 3; г) d = 5;

д) d = 10; ђ) d = 37.

9. а) n = 5; б) n = 8; в) n = 15; г) n = 23;

д) n = 28; ђ) n = 30.

10. а) D 5 = 5; б) D 6 = 9; в) D 8 = 20; г) D 13 = 65;

д) D 20 = 170; ђ) D 23 = 230.

11.

n 4 7 10 12 15 33

d n

1 4 7 9 12 30

D n

2 14 35 54 90 495

12. а) Тај многоугао има n = 8 темена, па је D 8 = 20;

б) n = 11, D 11 = 44;

в) n = 13, D 13 = 65.

13. а) Како је D n = 20 и

n ∙ (n – 3)

= 20, то је

2

n ∙ (n – 3) = 40. Сада из

n ∙ (n – 3) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 8 ∙ 5 закључујемо да

је n = 8;

б) n = 10; в) n = 13; г) n = 23.

14.

n 11 13 5 28 15 33

d n 8 10 2 25 12 30

D n 44 65 5 350 90 495

15. n = 13 + 2 = 15, D 15 = 90.

16. а) Из D n = 3n добијамо

коначно n = 9;

б) n = 15.

17. а) Како је D n = 5d n , то је

односно n = 10;

б) n = 20.

18. Из D n = n добијамо

коначно n = 5.

n ∙ (n – 3)

2

n ∙ (n – 3)

2

n ∙ (n – 3)

2

= 3n, n – 3 = 6 и

= 5 ∙ (n – 3),

= n, n – 3 = 2 и

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

91


19. Не. Сви чиниоци броја 64 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 су

парни бројеви, а како је D n =

n ∙ (n – 3)

, то су

2

бар два чиниоца броја дијагонала (n и n – 3)

различите парности.

20. Како је D n + n = 45, то је

n ∙ (n – 3)

+ n = 45.

2

Сређивањем добијамо n(n – 1) = 90 (производ 2

узастопна броја је 90), па је n(n – 1) = 10 ∙ 9,

n = 10.

21. Из D n + d n = 33 добијамо

n ∙ (n – 3)

+ (n – 3) = 33,

2

n (n – 3) + 2(n –3)

= 33,

(n – 3) (n + 2)

= 33,

2

2

(n – 3)(n + 2) = 66, (n – 3)(n + 2) = 6 ∙ 11, n – 3 = 6,

па је n = 9.

22. Како је D n : n = 9 : 2, то је 2D n = 9n. Сада је

2 ∙

n ∙ (n – 3)

= 9n, па је n – 3 = 9, односно

2

n = 12 и D n = 54.

23. Из D n – n = 63 добијамо

n ∙ (n – 3)

– n = 63,

2

n 2 – 3n – 2n

= 63, то јест n (n – 5) = 126, а то значи

2

да је n(n – 5) = 14 ∙ 9, односно n = 14.

24. a) Како је D 12 = 54, D 9 = 27 и 54 = 2 ∙ 27, то је

D 12 = 2D 9 ;

б) D 8 = 20, D 5 = 5 и 20 = 4 ∙ 5, па је D 8 = 4D 5 ;

в) D 14 = 77, D 11 = 44 и 4 ∙ 77 = 7 ∙ 44, па је

4D 14 = 7D 11 .

25. Како је n 1 = n + 3 и D 1 = D + 33, то је

D 1 = n 1

∙ (n 1

– 3)

, односно

2

D + 33 =

(n + 3) ∙ (n + 3 – 3)

. Сада је

2

n ∙ (n – 3)

+ 33 =

(n + 3) ∙ n

, односно

2

2

6n = 66, n = 11.

26. a) Када се број темена многоугла повећа за 1

(n x = n + 1), број дијагонала ће бити

D x = n x ∙ (n x – 3)

=

(n + 1) ∙ (n + 1 – 3)

=

2

2

=

(n + 1) ∙ (n – 2)

= n2 + n – 2n – 2

= n2 – n – 2

=

2

2

2

= n2 – 3n + 2n – 2

= n2 – 3n

+ 2n – 2 =

2

2 2

=

n ∙ (n – 3)

+

2 ∙ (n – 1)

= D n + n – 1, што значи

2

2

да ће се број дијагонала многоугла повећати

за n – 1.

б) Када се број темена многоугла повећа за 3

(n x = n + 3), број дијагонала ће бити

D x = n x ∙ (n x – 3)

=

(n + 3) ∙ (n + 3 – 3)

=

2

2

=

(n + 3) ∙ n

= n2 + 3n

= n2 – 3n + 6n

=

2 2

2

= n2 – 3n

+ 6n =

n ∙ (n – 3)

+ 3n = D n + 3n, што

2 2 2

значи да ће се број дијагонала многоугла

повећати за 3n.

27. Ми бирамо две од 6 тачака. Прво узимамо једну

од 6, а затим једну од 5 преосталих. Како је дуж

AB иста као и BA (2 тачке одређују једну дуж),

то је укупан број дужи које одређује 6 тачака

једнак

6 ∙ (6 – 1)

= 15. С друге стране, D 6 = 9, па је

2

D 6 + 6 = 9 + 6 = 15.

28. Слично као у 27. задатку:

10 ∙ (10 – 1)

= 45.

2

29. Слично као у 27. задатку:

50 ∙ (50 – 1)

= 1 225.

2

30. Како је

n ∙ (n – 1)

= 45, то је n(n – 1) = 90 = 10 ∙ 9,

2

односно n = 10.

а) Уочене тачке одређују један десетоугао.

б) Тај десетоугао има 45 – 10 = 35 дијагонала.

ЗБИР УГЛОВА МНОГОУГЛА

31. а) 3; б) 4; в) 6; г) 8; д) 10; ђ) 15.

32. а) S 5 = 540°; б) S 6 = 720°; в) S 8 = 1 080°;

г) S 10 = 1 440°; д) S 12 = 1 800°; ђ) S 17 = 2 700°.

33. а) n = 4; б) n = 5; в) n = 10; г) n = 11;

д) n = 12; ђ) n = 15.

34. Да, јер им је збир 360° (збир спољашњих углова

у било ком многоуглу је 360°).

35. а) Не, јер 600 : 180 N; б) да, n = 21;

в) не, јер 2 020 : 180 N.

36. Не могу, јер им је збир 800°, а збир унутрашњих

углова у шестоуглу је 720°.

37.

n 10 12 6 8 14 9

d n 7 9 3 5 11 6

S n

1 440° 1 800° 720° 1 080° 2 160° 1 260°

38. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 720°,

6 = 720° – ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ), 6 = 122°.

39. 7 = 110°.

40. 1 = 2 =105°.

92

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


41. Не. Ако су четири унутрашња угла права, онда

су и четири одговарајућа спољашња угла права.

Тада би збир само та четири спољашња угла био

360°, а збир свих спољашњих углова осмоугла је

360°.

42. Највише по три права угла могу имати и

конвексан петоугао и конвексан десетоугао.

43.

44. S n = 3 ∙ 360° = 1 080°, n = 8.

45. 360° = S n – 1 080°, S n = 1 440°, n = 10.

46. a) n = 8, S 8 = 1 080°; б) n = 16, S 16 = 2 520°.

47. n = 13, S 13 = 1980°.

48. S n – 360° = 540°, S n = 900°, n = 7, D 7 = 14.

49. S n = 360°, n = 4, D 4 = 2.

50. Из 1 = х, 2 = х + 20°, 3 = х + 40°, 4 = х + 60°,

5 = х + 80° и S 5 = 540°, односно

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 540°, добијамо 5х = 340°,

то јест х = 68°. Сада је 1 = 68°, 2 = 88°, 3 = 108°,

4 = 128° и 5 = 148°.

51. Како је = 90°, = + 10°, S 4 = 360°, то јест

+ + + = 360°, добијамо

60° + 90° + + 10° + = 360° и онда 2 = 200°,

односно = 100° и = 110°.

52. Како је = 2, = 80% , тј.

=

80

100 = 4 5 = 4 5 ∙ 2 = 8 5 и

= + 30° = 2 + 30°, то из + + + = 360°

добијамо 2 + + 8 + 2 + 30° = 360°. Сада је

5

= 50°, а онда и = 100°, = 80° и = 130°.

53. Из D n = 4n добијамо n = 11, па је S 11 = 1 620°.

Како је 1 620° : 360° = 4,5, то је збир унутрашњих

углова 4,5 пута већи од збира спољашњих

углова.

54. За 5 ∙ 180 = 900°.

55. За 1 440° : 180° = 8.

ПРАВИЛНИ МНОГОУГЛОВИ

56. а) Правилни троугао је jeднакостранични

троугао.

б) Правилни четвороугао је квадрат.

57. а) S 5 = 540°, = 540° : 5 = 108°;

б) S 6 = 720°, = 120°;

в) S 8 = 1 080°, = 135°; г) S 10 = 1 440°, = 144°;

д) S 12 = 1 800°, = 150°; ђ) S 15 = 2 340°, = 156°.

58. а) = 360° : 8 = 45°; б) = 36°; в) = 18°.

59. а) n = 8; б) n = 12; в) n = 40.

60. а) 18°; б) 36°; в) 72°.

61. а) 60°; б) 45°; в) 30°.

62. n = 12.

63. а) n = 9, D 9 = 27; = 140°;

б) n = 10, D 10 = 35, = 144°.

64. а) n · 135° = (n – 2) · 180°, n = 8; б) n = 10;

в) n = 12; г) n = 18.

65. а) Не, јер је = 25° и 360 : 25 N;

б) да, = 15°, n = 24.

66. а) 60°; б) 30°; в) 18°.

67. а) 170°; б) 165°; в) 135°.

68. n = 18, S 18 = 2 880°.

69. n = 12, = 30°.

70. = 15°, n = 24, S 24 = 3 960°.

71. а) n = 14; б) n = 21; в) n = 32;

г) n = 20; д) n = 15; ђ) n = 13.

72. n = 12, S 12 = 1 800°, = 150°, = 30°, = 30°,

D 12 = 54.

73. n = 10, d 10 = 7, D 10 = 35, = 144°, = 36°, = 36°.

74. Ако са означимо централни, а са унутрашњи

угао многоугла, онда је

а) = 360°

n = 360°

4 = 90°, = 90°, 2 = 45°;

б) = 60°, 2 = 60°;

в) = 30°, 2 = 75°;

г) = 24°, 2 = 78°.

75. а) 4; б) 5; в) 6; г) 15; д) 20; ђ) 50.

76. n = 12, D 12 = 54.

77. n = 15, S 15 = 2 340°.

78. d v = 2a = 8 cm, d m = a√3 = 4√3 cm.

79. а) R = 2√3 cm, r = √3 cm; б) R = 3√2 cm, r = 3 cm;

в) R = 6 cm, r = 3√3 cm.

80. а) Из = 1 2 , + = 180°, + 1 2 = 180°

добијамо = 120° и = 60°, па је n = 6;

б) из = 1 3 , + = 180°, + 1 3 = 180°

добијамо = 135° и = 45°, па је n = 8;

в) из = 2 7 , + = 180°, + 2 7 = 180°

добијамо = 140° и = 40°, па је n = 9.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

93


81. Из = 4, + = 180° и 5 = 180° добијамо

= 36° и n = 10, па је S 10 = 1 440°.

82. Из = 1 добијамо = 135°, = 45° и n = 8, па

3

је D 8 = 20.

83. Да. = 6, + = 180°, 7 = 180°, = 180°

7 ,

n = 14.

84. n = 8, = 135°.

85. Правилни шестоугао има три дијагонале дужине

d v = 2a = 6 cm и шест дијагонала дужине

d m = a√3 = 3√3 cm, па је збир дужина свих

дијагонала једнак 3d v + 6d m = 3 ∙ 6 + 6 ∙ √3 =

= 18 + 18√3 = 18 ∙ (1 + √3) cm.

86. Троуглови ABC и CDE су подударни (СУС – види

слику), па је АС = ЕС. Слично се доказује и за

остале дијагонале.

D

a

α a

E

C

a

А

a

a

α

B

87. = 108°, ΔABC је једнакокраки (види слику), па

су му углови на основици једнаки (). Како је

+ 2 = 180°, то је 2 = 72°, па је = 36°. Онда је

тражени угао = − 2 = 108° − 72° = 36°.

D

a

α a

E



C


a

a

α

А

a B

88. = 120°, ΔABC је једнакокраки (види слику), па је

2 + = 180°, одакле је 2 = 60°, тј.

АСВ = = 30°.

Како су ΔABC и ΔBCD подударни (СУС), то је

DBC = . У ΔABD је

ABD = – = 120° − 30° = 90°, DAB = 2 = 60°

и ADB = 180° − (90 + 60°) = 30°.

E

D

89.

G

H


A


E

B


D


а) = 135°, ΔABC је једнакокраки (види слику), па

је 2 + = 180°, 2 = 45°, АСВ = = 22°30';

б) четвороугао АВСD је једнакокраки трапез

(види слику), па је + = 180°,

ADС = = 180° – 135° = 45°;

в) AFC = – 2 ∙ = 135° − 90° = 45°.

90. = 144°, IJA = CDE = DEF = = 144°; из

ΔABC је (види слику) + 2 = 180°, 2 = 36°,

= 18°; JAC = ACD = – = 144° − 18° = 126°.

Четвороугао IFGH је једнакокраки трапез,

па је + = 180°, = 36°,

EFI = FIJ = – = 144° − 36° = 108°.

G

F

α

I

H

α


J

A

C


F

α

B

91. Ако је унутрашњи угао многоугла, онда је

(види слику) + 20° + 90° + 90° = 360°, односно

= 160°, па је n = 18.

20°

α


E

C

D

F

A


a


a

α

B

C

92. = 165°, спољашњи угао је = 15°, па је n = 24.


93. = 80°, спољашњи угао је = 20°, па је n = 18, а

2

онда S 18 = 2 880°.

94

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, обј

ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ

ПРАВИЛНИХ МНОГОУГЛОВА

94. Нацртајмо најпре дуж АВ = 5 cm која представља

једну страницу траженог троугла АВС. Опишимо

кружницу чији је центар тачка А, а полупречник

5 cm. Опишимо још једну кружницу истог

полупречника чији је центар тачка В. У

пресеку ове две кружнице је треће теме

једнакостраничног троугла АВС.

95. Конструишимо најпре прав угао и нека је

теме угла једно теме, на пример А, квадрата

АВСD који конструишемо. Из тачке А опишимо

кружницу полупречника 4 cm. У пресеку

кружнице и кракова правог угла добили

смо темена В и D. Теме С добијамо у пресеку

кружница чији су полупречници 4 cm, а центри

су им у тачкама В и D.

96. а) Како је код правилног шестоугла R = a, то прво

цртамо кружницу k(O, 4 cm). Из произвољне

тачке А k описујемо део кружнице

k 1 (А, 4 cm) и одређујемо друго теме B.

Понављајући поступак одређујемо темена

C, D, E и F шестоугла;

б) R = a = 5 cm и даље као у примеру a).

97. а) Карактеристичан троугао је једнакостранични

троугао висине h = r = 3 cm (конструиши тај

троугао, а затим допуни до шестоугла, као у

задатку 96, део а));

б) d 1 = 2R, R = a = 3 cm и даље као у задатку 96,

део а);

в) d 2 = 2r, па је r = 2,5 cm и даље као у примеру а).

98. 2R = 10 cm, R = a = 5 cm, па даље као 96. задатак

део а).

99. 2r = 8 cm, r = 4 cm, па даље као 97. задатак део а).

100. Упутство. Израчунај углове карактеристичног

троугла ( = 45°, = 135°, = 67° 30').

2

а) Конструиши карактеристичан троугао (∆АВО

је једнакокраки троугао чија је основица

а = 4 cm и углови на њој = 67°30'); затим

2

опиши кружницу k(O, OA) и из тачке В наноси

на кружницу дужину странице а и добићеш

темена осмоугла;

б) конструиши карактеристичан троугао (∆АВО

је једнакокраки троугао чији су краци

b = R = 4 cm и угao између њих = 45°), затим

опиши кружницу k(O, OA) и из тачке В наноси

на кружницу дужину странице а = АВ и

добићеш темена осмоугла;

в) конструиши карактеристичан троугао (∆АВО

је једнакокраки троугао чија је висина која

одговара основици h a = r = 3 cm и углови

на њој = 22°30' и прав угао), затим као у

2 примеру а);

Забраа

ње

но

ј

е

р

епр

одуковање, умножавање, дистрибуција, обј

г) d 1 = 2R, R = 6 cm; као у примеру б);

д) у ∆АВС је АВС = = 135°, АВ = ВС, па је

САВ = АСВ = 22°30'; конструиши ∆АВС

(једнакокраки троугао чија је основица

АC = 6 cm и углови на њој 22°30’), затим

конструиши карактеристичан троугао АВО,

даље као у примеру а).

O

A

45° 45°

101. Упутство: израчунај углове карактеристичног

троугла ( = 30°, = 150°, = 75°). Конструкција

2

слично као у 100. задатку.

102. n = 6, r = 4 cm, конструиши као 97. задатак део а).

103. n = 3, R = 5 cm, конструиши карактеристичан

троугао АВО (АО = ВО = R = 5 cm, = 120°). Затим

допуни до једнакостраничног троугла АВС.

104. n = 8, а = 3 cm, конструиши као 100. задатак

део а).

105. = 30°, = 150°, n = 12, r = 5 cm. Конструиши

карактеристичан троугао АВО (∆АВО је

једнакокраки троугао чија је висина која

одговара основици h a = r = 5 cm и углови на

њој = 15° и прав угао). Затим допуни до

2

дванаестоугла.

ОБИМ И ПОВРШИНА

МНОГОУГЛА

106. О = 313 mm.

107. a 1 = 3 cm, a 2 = 3,5 cm, a 3 = 4 cm, a 4 = 4,5 cm,

a 5 = 5 cm, a 6 = 5,5 cm, O = 25,5 cm.

108. а) О = 9 cm; б) О = 15 cm;

в) О = 30 cm; г) О = 45 cm.

109. а) а = 15 cm; б) а = 12 cm; в) а = 10 cm;

г) а = 6 cm; д) а = 5 cm.

110. О тринаестоуглу.

111.

n 4 6 8 9 12 10

а 3,5 4 4,25 6 3 2,5

О 14 24 34 54 36 25

б ављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујуј

ући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин кој

и омогућујуј

е пој

единцу индивидуални приступ делу

са места и у време кој

е он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

B

C

95


112. а) Р = 10,24 cm 2 ; б) а = 4 cm, Р = 16 cm 2 .

113. a) Р = 4√3 cm 2 ; б) а = 6 cm, Р = 9√3 cm 2 .

114. a) Р = 27√3 ;

2 cm2 б) а = 2 cm, Р = 6√3 cm 2 .

115. О = 36 cm, Р = 54√3 cm 2 , R = 6 cm и r = 3√3 cm.

116. Како је a = 4 cm, то је Р = 24√3 cm 2 .

117. Из a 1 = x, a 2 = x + 1, a 3 = x + 2, a 4 = x + 3 и a 5 = x + 4

добијамо 5x + 10 = 20, то јест x = 2 cm, па је

a 1 = 2 cm, a 2 = 3 cm, a 3 = 4 cm, a 4 = 5 cm

и a 5 = 6 cm.

118. Како је O 3 = 36 cm, то је обим новодобијеног

квадрата O 4 = 36 cm, а његова страница

a 4 = 36 : 4 = 9 cm. То значи да страницу почетног

квадрата треба смањити за 12 cm – 9 cm = 3 cm.

119. а) а = 2√2 cm, Р = 8 cm 2 ; б) а = 5 cm, Р = 25 cm 2 ;

в) d = 10√2 cm, а = 10 cm, Р = 100 cm 2 .

120. а) а = 10 cm, Р = 25√3 cm 2 ;

б) а = 12 cm, Р = 36√3 cm 2 ;

в) а = 24 cm, Р = 144√3 cm 2 .

121. а) а = 6 cm, Р = 54√3 cm 2 ; б) а = 4 cm, Р = 24√3 cm 2 ;

в) а = 5 cm, Р = 75√3 cm 2 ;

2

г) а = 8 cm, Р = 96√3 cm 2 .

122. а) Из О 5 = 60 cm добијамо а 5 = 60 : 5 = 12 cm.

Слично а 10 = 6 cm, па је а 5 – а 10 = 6 cm, то јест

а 10 је за 6 cm краћа од а 5.

б) Како је а 5 : а 10 = 2, то је а 5 2 пута дужа од а 10 .

123. Како је n = 8, то је О = 24 cm.

124. n = 18, D 18 = 135.

125. Како је n = 10, то је а = 3,5 cm.

126. Прво добијемо да је a = 8 cm, па је онда

O = 48 cm.

127. R = 5 cm, a = 5 cm, O = 30 cm и Р = 75√3 cm 2 .

2

128. r u = √3 cm, a = 2 cm, O = 12 cm и Р = 6√3 cm 2 .

129. Како је a p = a + 5, b p = a – 2 и O p = 2a p + 2b p , то је

34 = 2 ∙ (a + 5) + 2 ∙ (a – 2), односно

34 = 2a + 10 + 2a – 4 и 4a = 28. Сада је a = 7 cm и

P = 49 cm 2 .

130. Како је O 4 = O 3 = 48 cm, то је a 3 = 16 cm. Сада је

P 4 = 144 cm 2 , P 3 = 64√3 cm 2 и

P 4 – P 3 = (144– 64√3) cm 2 .

131. O 6 = 36 cm,

P 6 = P k + 2P t = a 2 + 2 a2 √3

= 6 2 + 2 62 √3

=

4

4

= 36 + 18√3 = 18(2 + √3) cm 2 .

2

132. Како је b 2 = (

a

2 ) + h 2 a , то је b = 5 cm, па је

O = 6b = 30 cm. Даље је

P = P 1 + 3 ∙ P 2 = a2 √3

+ 3 ∙ a ∙ h a

= 16√3 + 36,

4 2

односно P = 4(4√3 + 9) cm 2 .

133. Како је а 6 = 5 cm и О 6 = 30 cm, то је обим

новодобијеног десетоугла О 10 = 30 cm. Сада је

његова страница а 10 = 3 cm, па је она краћа за

5 cm – 3 cm = 2 cm од првобитне.

134. а 6 = а 10 = 10 cm, О 10 = 100 cm, О' 6 = 100 cm,

а' 6 = 100

6 = 50

3 = 16 2 , па сваку од страница

3

треба повећати за 16 2 3 cm – 10 cm = 6 2 3 cm.

135. Како је n = 6, то је а = 8 cm и Р = 96√3 cm 2 .

136. S n = 360° + 360° = 720°, n = 6, а = 6 cm, O = 36 cm.