Математика 8, уџбеник, старо издање, Klett

cepesh76

РАДНИ

УЏБЕНИК

Математика

за

разред

основне школе

Небојша

Икодиновић

Слађана

Димитријевић

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић

Математика 8

Уџбеник за осми разред основне школе

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Математика 8

Уџбеник за осми разред основне школе

Десето издање

Аутори: др Небојша Икодиновић, др Слађана Димитријевић

Илустрације: Милан Драгојловић

Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу

Милица Вајукић, професор математике, ОШ „Дринка Павловић” у Београду

Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић” у

Крагујевцу

Графичко обликовање: „Total Idea”, Нови Сад

Обликовање корица: Милош Аризовић

Лектура: Јована Ђокић

CIP - Каталогизација у публикацији

Народна библиотека Србије, Београд

37.016:51(075.2)

Издавач: Издавачка кућа „Klett” д.о.о.

Маршала Бирјузова 3–5/IV, 11 000 Београд

Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385

office@klett.rs, www.klett.co.rs

За издавача: Гордана Кнежевић Орлић

Главни уредник: Александар Рајковић

Уредник: проф. др Бранислав Поповић

Руководилац пројекта: Александар Рајковић

Штампа: Bulvest print AD, Бугарска

Тираж: 9.800 примерака

ИКОДИНОВИЋ, Небојша, 1973-

Математика 8 : уџбеник за осми разред

основне школе / Небојша Икодиновић,

Слађана Димитријевић ; [илустрације Милан

Драгојловић]. - 10. изд. - Београд : Klett, 2020

(Бугарска : Bulvest print). - 188 стр. : илустр.

; 29 cm

Тираж 9.800.

ISBN 978-86-7762-225-1

1. Димитријевић, Слађана, 1975- [аутор]

COBISS.SR-ID 282826764

Министар просвете Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника

у осмом разреду основног образовања и васпитања решењем број 650-02-00306/2010-06.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског

дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском

облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу

индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено

коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

© Klett, 2020.

ISBN 978-86-7762-225-1

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПРЕДГОВОР

Драги осмаци,

Ова књига је намењена вама као основни уџбеник из математике. Трудили смо се

да текст буде приступачан, јасан и занимљив, и надамо се да ће вам омогућити да лако

савладате предвиђено градиво, али и да обновите градиво претходних разреда.

Оно најважније о чему сте већ учили наћи ћете и у овој књизи. То би требало да

вам олакша учење нових садржаја и да вас што боље припреми за успешан наставак

школовања.

Поред тога, трудили смо се да све математичке садржаје „оживимо“ тако што смо

их повезивали са великим бројем делатности у којима се математика може срести и

применити (физика, хемија, географија, биологија, економија, итд.). Данас, скоро да не

постоји област у којој се математика не користи на посредан или непосредан начин,

те она заједно са стилом размишљања који негује постаје саставни део опште културе

савременог човека.

Аутори

Захваљујемо наставницима који су, као евалуатори,

допринели врхунском квалитету овог уџбеника:

Београд

Славица Никић, ОШ „Краљ Петар I”

Вртогош

Домника Трајковић, ОШ „Први мај”

Житковац

Јасмина Ђорђевић, ОШ „Вук Караџић”

Књажевац

Данијела Милосављевић, ОШ „Димитрије Тодоровић Каплар”

Иванка Станковић, ОШ „Димитрије Тодоровић Каплар”

Коцељева

Милан Алимпић, ОШ „Мића Станојловић”

Ниш

Зорица Манојловић, ОШ „Чегар”

Сомбор

Александар Брзаковић, ОШ „Иво Лола Рибар”

Чачак

Тања Петровић, ОШ „Драгиша Мишовић”

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


САДРЖАЈ

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Талесова теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Неке једноставне последице Талесове теореме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Примена Талесове теореме у конструкцијама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ставови сличности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Примена сличности на правоугли троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Тачка, права, раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Тачке и праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Тачке и равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Праве и равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Праве у простору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Праве и равни у простору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Нормала на раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Однос међу равнима. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Нормалне равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ортогонална пројекција. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Полиедри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Мрежа полиедра и појам површине полиедра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Појам запремине полиедра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ. . . . . . . . . . . . . . . . 59

Алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Еквивалентност израза. Линеаран израз. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Једначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Линеарна једначина. Еквивалентност једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Решавање линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Примена линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Једначине које се своде на линеарне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Линеарна неједначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Еквивалентност неједначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Решавање линеарних неједначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ПРИЗМА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Површина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Запремина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

ПИРАМИДА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Површина пирамиде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Запремина пирамиде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Линеарна функција y = kx + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Имплицитни облик задавања линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

График линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Правоугли координатни систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

График зависности y = kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

График линеарне функције y = kx + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Нула функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Цртање и читање графика линеарних функција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Неке особине графика линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Права одређена једнакошћу x = a, a R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Пресек две праве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ СТАТИСТИЧКИХ ПОДАТАКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему . . . . . . . . . . . . . 130

Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Средња вредност. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Медијана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Поређење података са средњом вредношћу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Линеарна једначина с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Систем од две линеарне једначине с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате . . . . . . . . . . . 151

Еквивалентност система линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Решавање система методом замене . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Решавање система методом супротних коефицијената. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Примена система линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

ВАЉАК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Ваљак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Површина ваљка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Запремина ваљка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

КУПА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Купа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Површина купе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Запремина купе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

ЛОПТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Лопта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Површина лопте. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Запремина лопте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

ВАЖНЕ ФОРМУЛЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Како користити уџбеник?

Уџбеник садржи једанаест поглавља: Сличност троуглова, Тачка, права и раван,

Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом, Призма, Пирамида, Линеарна

функција, Графичко представљање статистичких података, Системи линеарних

једначина, Ваљак, Купа и Лопта.

Сва поглавља су издељена на наставне јединице. У свим наставним јединицама

теоријску причу прати велики број илустрација и примера.

У оквиру сваке наставне јединице посебно су издвојене и означене знаком

основне дефиниције. Знаком

означене су теореме. Поред тога, књига садржи

и велики број тврђења из претходних разреда која су истицана жутим оквиром. На

крају уџбеника су систематизоване најзначајније формуле које су извођене углавном у

шестом и седмом разреду. Књига садржи и језичке напомене о пореклу назива нових

појмова. Те напомене су означене знаком

. За оне који желе више понуђена су

разна проширења изложених садржаја као и неки занимљиви детаљи из математике. Ти

делови су истакнути знаком .

Желимо ти пуно успеха у раду!

6

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА

Проучавање сличности троуглова почели смо прошле године. Доста је било речи и о

практичним применама појма сличности. Сети се мерења висине египатских пирамида,

мерења удаљености до недоступних тачака и тако даље. Ево још једне примене

сличности.

Пажња! Велики успон

Нагиб пута одређује колико је стрма нека узбрдица, односно низбрдица, а изражава се у

процентима. Овом приликом разматраћемо само узбрдице.

Претпостављајући да је успон равномеран, нагиб узбрдице је у процентима изражен

количником вертикалног и хоризонталног успона.

Ако са n означимо нагиб, онда је n = V . Оваква дефиниција нагиба некоме може да

H

изгледа помало чудно на први поглед будући да је величину нагиба „једноставније“

изразити мером угла j. Међутим, претходни количник у извесном смислу зависи само

од угла j. Наиме, ако се сетимо сличности троуглова, закључујемо да уколико изаберемо

било који други хоризонтални успон и измеримо њему одговарајући вертикални успон,

добијамо исти количник.

n = V H = V 1

H 1

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

7


Слобода избора коју нам даје сличност у пракси се користи тако што се нагиб мери у

односу на хоризонталан успон од 100m. Дакле, потребно је само измерити вертикалан

успон који одговара овом хоризонталном и поделити га са 100. На пример, нагиб неког

пута од 7% илустрован је на наредној слици.

Нагиби већи од 5% сматрају се веома опасним за теретне камионе. Нагиби већи од 10%

веома ретко се могу срести на путевима.

Задатак 1.

На горњој слици, помоћу угломера, одреди угао који одређује нагиб од 7%.

Задатак 2.

а) Посматрај слику десно и без мерења

одреди меру угла који одговара

нагибу од 100%.

б) Помоћу угломера одреди углове који

одговарају нагибима од 25% и 10%.

Задатак 3.

Ниво пута је порастао за

50m над хоризонталним

растојањем од 625m.

Колики је нагиб тог пута?

8

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Талесова теорема

Наредна два тврђења су међу најважнијим тврђењима геометрије будући да се помоћу

њих може доказати много других теорема.

Прво тврђење, о коме је било речи у шестом разреду,

говори о дужима које образује пар паралених правих

који сече други пар паралелних правих.

Ако један пар паралелних правих b и c сече други пар

паралелних правих p и q у тачкама B, B 1

, C и C 1

:

b q = {B}, b p = {B 1

}, c q = {C}, c p = {C 1

}, онда је

BC = B 1 C 1 и BB 1 = CC 1 .

Друго тврђење, о коме ће сада бити речи, говори о односу дужи које образује један пар

правих које се међусобно секу и које секу други пар паралелних правих.

Нека праве b и c, које се секу у тачки A, секу пар

паралелних правих p и q у тачкама B, B 1 , C и C 1 :

b q = {B}, b p = {B 1

}, c q = {C}, c p = {C 1

}. У оваквој

ситуацији, дужи AB и AB 1 са праве b пропорционалне

су дужима AC и AC 1 са праве c. Такође, дужи BC и B 1 C 1

на правама p и q пропорционалне су претходним

паровима дужи. Ово тврђење је познато као Талесова

теорема.

Талесова теорема. Ако две паралелне праве секу краке конвексног угла са теменом у

тачки A, и то један крак у тачкама B и B 1

, а други крак у тачкама C и C 1

, онда је

AB

= AC = BC .

AB 1

AC 1

B 1

C 1

Талес је рођен у Милету, грчкој колонији на обали Мале

Азије око 624. год. п. н. е. Умро је у 78. години у време 58.

олимпијаде. О значају Талеса за Грчку, па тиме и светску

културу најбоље говори чињеница да је сврстан у „седам

мудраца“ – седам утемељивача грчке цивилизације. Многи

га сматрају оцем грчке математике.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

9


Пример 1. Посматрајмо троугао ABC такав да је AB = 8cm, BC = 6cm и CA = 5cm. На

страници AB дата је тачка P таква да је AP = 3cm. Кроз ову тачку конструисана је права

паралелна са страницом BC. Тачка Q је пресек ове праве са AC. Oдредимо дужине дужи

AQ и PQ.

Према Талесовој теореми је AP

AB = AQ

AC = PQ

BC . На

основу датих података имамо да је 3 8 = AQ 5 = PQ 6 ,

односно AQ 5 = 3 8 и PQ 6 = 3 . Из последње две

8

једнакости једноставно налазимо непознате дужине,

AQ = 1,875cm и PQ = 2,25cm.

Задатак 1.

Конструиши троугао ABC такав да је AB = 6cm, BC = 10cm и CA = 7cm и на страници

BC одреди тачку P такву да је BP = 7cm. Кроз тачку P конструиши праву паралелну са

страницом AB. Тачка Q је пресек ове праве са AC. Oдреди дужине дужи CQ и PQ.

Задатак 2.

Одреди следеће размере на основу

слике десно.

OA 1

=

OA 3

; OA 2

=

OA 4

; OA 4

=

OA 5

;

OA 5

=

OA 2

; OA 4

=

OA 1

; OA 5

=

OA 3

.

Задатак 3.

На основу података датих на сликама одреди дужине дужи означених знаком питања.

а) б) в)

10

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 4.

Краци AD и BC трапеза ABCD секу се у тачки E. Одреди дужину дужи DE ако је BE = 10cm,

AE = 15cm и CE = 8cm.

Талесова теорема важи и ако паралелним правама пресечемо краке унакрсних углова.

Докажи! (Упутство. Искористи наредну слику и доцртај дуж B 2

C 2

тако да је B 2

C 2

|| BC,

A – B – B 2

, A – C – C 2

и ∆AB 1

C 1

∆ AB 2

C 2

.)

AB

= AC = BC

AB 1 AC 1 B 1 C 1

Задатак 5.

Нека је AD || BE || CF. Посматрај слику десно и одреди:

а) дужине дужи DE и OF;

б) размере AD

BE = , AD

CF = , CF

BE = .

Пример 2. Ако је BC || DE || FG, на основу података датих на слици одредимо дужине дужи

DE и FG.

Према Питагориној теореми дужина дужи BC је 5

јединица мере (BC = √AB 2 + AC 2 ). Даље, према Талесовој

теореми је AB

AD = BC

DE , то јест 3 5 = 5

, одакле следи да

DE

је DE = 25 . Примети да смо дужину дужи DE могли да

3

израчунамо и на други начин. Како?

Слично, из AB

AF = BC

FG следи да је 3 4 = 4

FG , односно

FG = 16

3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

11


Неке једноставне последице Талесове теореме

Пример 1. Ако је BE || CF, на основу података датих на слици испод одредићемо дужину

дужи EF.

Према Талесовој теореми је AB

AC = AE , па на

AF

основу датих података добијамо и једнакост

5

8 = 6

, то јест AF = 9,6. Како је EF = AF – AE,

AF

добијамо да је EF = 3,6.

До истог резултата брже долазимо из пропорције

AB

BC = AE , која такође важи, у шта ћемо се овом

EF

приликом уверити.

Једнакости AB = AC = BC које нам даје

AB 1 AC 1 B 1 C 1

Талесова теорема имају много последица.

Неке од њих су непосредне последице

исправних замена места чланова пропорција

AB

AC = AB 1

и AB

AC 1 BC = AB 1

.

B 1 C 1

Даље, из AB

AC = AB 1

= k, за неки број k, следи BB 1

= AB 1 – AB

AC 1 CC 1 AC 1

– AC = kAC 1 – kAC

AC 1

– AC

Такође је и AB

BB 1

= AC

CC 1

.

= k = AB

AC .

Пример 2. На основу података датих на слици испод (BE || CF || DG) добијамо следеће

размере.

AE

AF = AB

AC = 5 8 ,

BE

CF = AB

AC = 5 8 ,

CF

DG = AC

AD = 8

10 = 4 5 .

AE

EF = AB

BC = 5 3 ,

BE

DG = AB

AD = 5

10 = 1 2 ,

12

Задатак 1.

На основу слике из претходног примера одреди следеће размере: AF

FG , EF

FG , AF

AG , CF

BE , AE

AG , AE

EG .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


На аналоган начин изводимо и следећи закључак.

Ако паралелне праве на једном краку неког угла образују једнаке одсечке, онда су и

одсечци на другом краку међусобно једнаки.

Задатак 2.

Ако је BB 1

|| CC 1

|| DD 1

|| EE 1

, на основу мерних

бројева датих на слици одреди дужине дужи B 1 C 1 ,

C 1

D 1

и D 1

E 1

.

Задатак 3.

Ако је AD || BE || CF, попуни празна места на основу слике.

OB

BC = OE , OB

OC = OE , OB

OC = CF ,

OA =

AD

BE , OB = EF

OE , CF

AD = OD ,

BC = DE

EF , AD

CF = OA , OF

OE = OB .

Задатак 4.

Нацртај произвољан троугао и одреди његово тежиште. Затим конструиши праву која је

паралелна једној страници и садржи тежиште троугла. Одреди однос међу одсечцима на

које конструисана права дели друге две странице троугла.

Задатак 5.

Дужине основица трапеза су 51cm и 42,5cm. Дужина једног крака је 40cm. Колико је

дугачко продужење тог крака до тачке прeсека са правом на којој се налази други крак?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

13


Пример 3. Паралелне праве a, b, c, d секу праве p и q, као на слици доле. На основу датих

података одредимо дужине дужи LM, MN, LB, MC.

Дужине дужи LM и MN одређујемо директно, на основу доказане последице Талесове

теореме. Како је KL

AB = LM

BC = MN , лако добијамо да је LM = 3 и MN = 6.

CD

Међутим, дужине дужи LB и MC не можемо директно одредити. Зато конструишемо

праву кроз A паралелну са p. Нека ова права сече праве b, c, d у тачкама L 1

, M 1

, N 1

.

Према Талесовој теореми, тада је L 1B

AB = M 1C

AC = N 1D

. Како је AB = 2, AC = 4, AD = 8 и

AD

N 1 D = 16, добијамо L 1B

2 = M 1C

4 = 16

8 , одакле следи да је L 1B = 4 и M 1 C = 8. Најзад, из

LB = LL 1 + L 1 B следи да је LB = 7, а из MC = MM 1 + M 1 C да је MC = 11.

Задатак 6.

Основице AB и CD трапеза ABCD су 5cm и 8cm, док су

краци BC и DA једнаки 3cm и 4cm. Крак BC је тачкама

M и N подељен на три једнака дела. Одреди дужине

дужи које су у унутрашњости трапеза и на правама

кроз M и N паралелним основицама.

80cm

32cm

32cm

14

Задатак 7.

Колико метара металне жице је потребно да би се

направила четири обруча за буре чије су димензије

приказане на слици десно? Попречни пресек бурета

је једнакокраки трапез.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

1m

32cm


Применa Талесове теореме у конструкцијама

Прошле године смо се упознали са конструктивном поделом дужи на једнаке делове,

као и са конструктивном поделом дужи у датој размери. Обе ове конструкције се могу

извести из Талесове теореме, прецизније, из њене последице наведене на страни 13.

Задатак 1.

Нацртај произвољну дуж, па је подели:

1) на пет једнаких делова;

2) у размери 2 : 5.

Искористићемо ове конструкције у наредним примерима.

Пример 1. Дата је дуж a. Конструишимо дуж x такву да је a : x = 3 : 5.

Конструкцију можемо извести на више начина.

1. начин. На једном краку произвољног угла одредимо осам тачака тако да су суседне

на међусобно једнаким растојањима, а на другом краку тачку A такву да је OA = a

(слика доле лево). Спојимо тачку A са трећом тачком другог крака и конструишемо њој

паралелну праву која пролази кроз осму тачку другог крака. Ако са X означимо тачку

пресека ове праве и крака OA, онда је AX тражена дуж (AX = x).

2. начин. На другом краку, уместо осам, можемо конструисати и пет тачака на међусобно

једнаким растојањима. Та конструкција је дата на горњој слици десно.

3. начин. Последице a 3 = x 5

и 5a = 3x дате пропорције указују нам и на следеће поступке

конструисања дужи x: најпре конструишемо трећину дужи a, а затим дуж која је пет

пута дужа од ове трећине, или пак након конструкције дужи која је пет пута дужа од a

конструишемо трећину ове дужи.

Ако су два пара дужи пропорционална, познавајући дужине три дужи лако одређујемо

дужину четврте. Размотримо аналоган конструктиван задатак.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

15


Пример 2. Нека су дате дужи a, b и c. Конструишимо дуж x тако

да је a : b = c : x.

Нацртајмо најпре произвољан угао са теменом у тачки

O. На једном краку одредимо тачке A и B такве да је

OA = a и OB = b, а на другом тачку C такву да је OC = c.

Најзад, кроз тачку B конструишемо праву паралелну

са AC. Ова права сече крак OC у тачки X и важи OX = x,

при чему је a : b = c : x. Да ли конструкција може да се

спроведе на неки други начин? Како?

Задатак 1.

Ако су a, b и c дужи дате у претходном примеру, конструиши дуж x тако да је:

а) a : b = x : c; б) a : x = c : b; в) x : a = c : b.

Конструкција збира и разлике две

дужи је сасвим једноставна.

Талесова теорема омогућава

конструкцију дужи чија је дужина

једнака производу односно

количнику дужина неке две задате

дужи. Ако су задате дужи a и b,

узимајући у обзир и дуж јединичне

дужине, конструкције производа и

количника своде се на конструкцију

дужи x такве да је 1 : a = b : x (x = ab),

односно 1 : a = x : b (x = b a ).

Опиши конструкције дате на слици

десно.

Задатак 2.

Дужине две дужи су a и b. Конструиши дуж чија је дужина:

а) a · b; б) a 2 ; в) b 2 ; г) a(a + b); д) b(a – b); ђ) a b ; е) b a ; ж) 1 a ;

з) 1 b ; и) a + b

a – b ;

ј) a – b

a + b ;

к)

3a

4b

; л) (a√2 – b)(a + b√3); љ)

a√2 + b

a + b .

16

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Сличност троуглова

Пример 1. Посматрајмо троуглове OAA 1 и OBB 1 на слици испод (AA 1 || BB 1 ). Пронађи још

неку тачну пропорцију која није наведена поред слике.

OA

OB = OA 1

OB 1

= AA 1

BB 1

OA

= OB OA 1

= OB 1 BB 1

OA 1 OB 1 AA 1 BB 1 OB = AA 1

OA ...

Уочавамо две важне чињенице.

1. Троуглови OAA 1

и OBB 1

имају једнаке углове. Угао са теменом O је заједнички, а

једнакости A = B, A 1

= B 1

следе из теореме о угловима на трансверзали.

2. Одговарајуће странице су пропорционалне (пар одговарајућих страница чини једна

страница троугла OAA 1 и једна страница троугла OBB 1 , при чему су углови који належу

на страницу троугла OAA 1 једнаки угловима који належу на страницу троугла OBB 1 ). Из

пропорција OA

OB = OA 1

= AA 1

закључујемо да постоји позитиван број k такав да је

OB 1 BB 1

OA = kOB, OA 1 = kOB 1 , AA 1 = kBB 1 .

Једнакост углова два троугла, с једне стране, и пропорционалност њихових

одговарајућих страница, с друге стране, јесу својства која следе једно из другог.

Ако су углови два троугла једнаки, онда су парови одговарајућих страница међусобно

пропорционални.

C

R

CAB = PQR, ABC = QPR, BCA = PRQ,

А

B

P

Q

CB

PR

=

AC

=

QR

BA

PQ

Једнакост углова и пропорционалност одговарајућих страница два троугла на нас

остављају утисак визуелне сличности, па троуглове који испуњавају ове услове

називамо сличним.

Ако два троугла имају једнаке углове, онда су ти троуглови слични, то јест онда су

пропорционални парови одговарајућих страница.

Тако, троуглови OAA 1 и OBB 1 из примера 1 су слични, што записујемо на следећи начин:

∆OAA 1

~ ∆OBB 1

.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

17


Подсетимо се значења израза одговарајуће странице. У контексту сличности,

· одговарајуће парове страница тражимо у троугловима за које већ знамо да имају исте

углове и при том

· под одговарајућим страницама два троугла подразумевамо оне странице на које

належу исти углови, то јест оне странице које се налазе наспрам истих углова.

Пример 2. Одговарајуће странице троуглова ABC и

RPQ, датих на слици десно, који имају једнаке углове

су: AB и RP (јер су наспрам једнаких углова од по 75°),

BC и PQ, CA и QR.

Када пронађемо парове одговарајућих страница,

једноставно је записати пропорције које важе:

AB

RP = BC

PQ = CA

QR .

Наравно, из последњих пропорција можемо извести много последица које могу бити

корисне при решавању задатака.

Задатак 1.

Нека су a, b и g углови троугла ABC чије су странице 6cm, 3cm

и 4cm (види слику десно).

Одреди непознате дужине страница следећих троуглова.

Задатак 2.

Ако је BC || B 1

C 1

(слика десно), докажи да је

∆ABC ~ ∆AB 1

C 1

.

Задатак 3.

Нека су A 1

, B 1

и C 1

средишта страница троугла ABC. Докажи да је троугао A 1

B 1

C 1

сличан

троуглу ABC.

18

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 4.

Одреди висину стуба ако је дужина његове сенке 5m, а истовремено дужина сенке

човека високог 180cm једнака је 1m.

Задатак 5.

Нацртај произвољан троугао ABC и у његовој унутрашњости изабери тачку P. На

полуправама из тачке P које садрже темена A, B, C одреди тачке A 1 , B 1 , C 1 тако да је

PA 1

= 2PA, PB 1

= 2PB, PC 1

= 2PC. Докажи да је ∆ABC ~ ∆A 1

B 1

C 1

.

Задатак 6.

Израчунај обим троугла A 1

B 1

C 1

који је сличан троуглу ABC ако је:

а) AB = 5cm, BC = 6cm, CA = 8cm, A 1

B 1

= 15cm;

б) AB = 54cm, BC = 80cm, CA = 48cm, B 1

C 1

= 48cm;

при чему су AB и A 1

B 1

, BC и B 1

C 1

, CA и C 1

A 1

парови одговарајућих страница.

Задатак 7.

Обим једнакокраког троугла је 48cm, а његов крак је за 6cm дужи од основице. Одреди

странице троугла који је сличан датом ако је његов обим 36cm.

Задатак 8.

На правама p и q, које се секу у тачки O, изабране

су тачке P и Q (види слику десно). У изабраним

тачкама конструисане су нормале на праве

којима те тачке припадају. Нормала у тачки P

сече праву q у тачки P 1 , а нормала у тачки Q сече

праву p у тачки Q 1 . Докажи да је OP 1

= OP

OQ 1 OQ = PP 1

.

QQ 1

Задатак 9.

У средишту C 1 хипотенузе AB правоуглог ∆ABC

конструисана је нормала на хипотенузу која дужи крак

сече у тачки P. Ако је AB = 4cm и C 1 P = 1,5cm, одреди

дужине катета.

Задатак 10.

На основу података датих на слици десно, одреди

дужине дужи CD и ED.

Задатак 11.

Тетиве AB и CD једног круга секу се у унутрашњости тог круга у тачки S. Докажи да је

∆ASC ~ ∆BSD, а затим и да је AS · SB = CS · SD.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

19


Ставови сличности

Теореме које ћемо у наставку разматрати одговарају ставовима подударности СУС и ССС,

па се зато често зову ставови сличности.

Ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и

угао који захватају ове странице у првом троуглу једнак углу који захватају одговарајуће

странице у другом, тада су ти троуглови слични.

Другим речима, из претпоставки A = A 1

и

AB

= AC = k закључујемо да је

A 1 B 1 A 1 C 1

B = B 1

,

C = C 1 и BC = k.

B 1 C 1

Пример 1. Дата су два троугла, ∆ABC и ∆FPT. Ако је

угао у темену A једнак углу у темену P, a = ψ,

AB = 8cm, AC = 6cm, PF = 6cm, PT = 4,5cm, докажимо

да су углови који належу на страницу BC једнаки

угловима који належу на страницу TF.

Довољно је доказати да су дати троуглови слични.

Искористићемо претходну теорему, то јест

доказаћемо да су парови страница који захватају

једнаке углове пропорционални.

6

6

Можемо поступити на два начина:

· упоређивањем размере страница једног троугла са размером страница другог, или

· упоређивањем размере дуже странице једног и дуже странице другог са размером

краће странице једног и краће странице другог.

У првом случају, поредимо размере AB

AC и PT . Како је

AB

PF AC = 8 6 = 4 3 и PT

PF = 4,5

6 = 45

60 = 3 4 ,

добијамо да је AB

AC = PF

PT .

У другом случају, посматрамо размере AB

PF и AC . Из

AB

PT PF = 8 6 = 4 3 и AC

PT = 6

4,5 = 60

45 = 4 3

закључујемо да је AB

PF = AC

PT .

У оба случаја дошли смо до истог закључка: странице које заклапају једнаке углове су

пропорционалне и при том страница AB одговара страници PF, а страница AC одговара

страници PT. Према ставу сличности СУС, закључујемо да је ∆ABC ~ ∆FPT. Из доказане

сличности следи да су углови наспрам одговарајућих страница међусобно једнаки, b = j

и γ = θ.

20

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 1.

Праве a и b секу се у тачки O. На правој a изабране су тачке A 1

и A 2

тако да је

A 1

– O – A 2

, OA 1

= 6cm, OA 2

= 7,5cm. Такође, на правој b изабране су тачке B 1

и B 2

тако да је

B 1

– O – B 2

и OB 1

= 9cm, OB 2

= 5cm. Докажи да је ∆A 1

OB 1

~ ∆A 2

OB 2

.

Задатак 2.

Докажи да правоугли троугао чије су катете 3cm и 4cm има исте углове као и правоугли

троугао чије су катете 6cm и 8cm.

Задатак 3.

Конструиши троугао ABC тако да је b = 4cm, c = 5cm и a = 75° и троугао A 1

B 1

C 1

тако да

је b 1 = 3cm, c 1 = 4,5cm и a 1 = 75°. Да ли су конструисани троуглови слични? Образложи

одговор.

Задатак 4.

На мрежи коју чине паралелне праве на

истим међусобним растојањима дато је

шест троуглова.

Одреди парове сличних троуглова и

докажи сличност сваког уоченог пара.

Задатак 5.

Нека су a, b, g углови троугла чије су странице 3cm, 5cm, 6cm.

Одреди дужине непознатих страница и углове троуглова KLM, XYZ, UVW приказаних на

слици испод.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

21


Из AB

A 1 B 1

= AC

A 1 C 1

= BC

B 1 C 1

следи да је ∆ABC ~ ∆A 1

B 1

C 1

.

Пример 2. Докажимо да троугао чије су странице 5cm, 6cm, 7cm и троугао чије су

странице 5,25cm, 4,5cm, 3,75cm имају једнаке углове.

Довољно је доказати да су ови троуглови слични. Будући да су нам дате странице оба

троугла, испитаћемо њихову пропорционалност. Троуглови ће бити слични уколико је

размера најдуже странице једног и најдуже странице другог троугла једнака размери

страница троуглова које су средње по величини и обе ове размере једнаке размери

најкраћих страница. Тако добијамо да је

7

5,25 = 700

525 = 4 · 175

3 · 175 = 4 3 , 6

4,5 = 60

45 = 4 · 15

3 · 15 = 4 3 , 5

3,75 = 500

375 = 4 · 125

3 · 125 = 4 3 .

Према претходној теореми, троуглови су слични, па су одговарајући углови међусобно

једнаки. Угао наспрам странице 7cm првог троугла једнак је углу наспрам странице

5,25cm другог и тако даље.

Задатак 6.

Да ли је троугао чије су странице 13cm, 14cm, 15cm сличан троуглу чије су странице

7,8cm, 8,4cm, 9cm?

Задатак 7.

Хипотенуза једног правоуглог троугла је 15cm и једна његова катета је 9cm. Хипотенуза

другог правоуглог троугла је 5cm и једна његова катета је 4cm. Да ли су ова два

правоугла троугла слична? Образложи одговор.

Задатак 8.

Конструиши троугао тако да дужине његових страница буду 2√2cm, √3cm, 4cm. Затим

конструиши и троугао чије су странице 4cm, √6cm, 4√2cm. Да ли су конструисани

троуглови слични? Образложи одговор.

22

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Примена сличности на правоугли троугао

Посматрајмо правоугли троугао ABC са правим углом у темену C. Нека је D подножје

висине која одговара хипотенузи, а p и q дужине одсечака на које ова тачка дели

хипотенузу.

Троуглови ABC и ACD су правоугли и имају исти угао у темену A. Дакле, ∆ABC ~ ∆ACD, па је

AB

AC = BC

CD = CA

AD , односно c b = a h = b p .

Троуглови ABC и CBD су правоугли и имају исти угао у темену B. Дакле, ∆ABC ~ ∆CBD, па је

AB

CB = BC

BD = CA

DC , односно c a = a q = b h .

Из претходне две сличности следи и да је ∆ ACD ~ ∆CBD, па је

AC

CB = CD

BD = DA

DC , односно b a = h q = p h .

Издвојићемо неке важне последице доказаних једнакости.

Нека су a и b дужине катета, c дужина хипотенузе правоуглог троугла ABC, h дужина

висине над хипотенузом и p и q дужине одсечака на које ова висина дели хипотенузу. У

том случају важе једнакости

a 2 = qc, b 2 = pc и h 2 = pq.

Квадрат катете правоуглог троугла једнак је производу хипотенузе и суседног одсечка

који на хипотенузи одређује њена висина.

Питагорина теорема је последица ове законитости. Заиста, сабирањем једнакости a 2 = qc

и b 2 = pc добијамо a 2 + b 2 = (p + q)c = c 2 .

Пример 1. Висина над хипотенузом дели хипотенузу c правоуглог троугла на одсечке p и

q чије су дужине 4,5cm и 8cm. Одредимо обим овог троугла.

Из p = 4,5cm и q = 8cm следи да је c = p + q = 12,5cm, a 2 = qc = 100, то јест a = 10cm и

b 2 = pc = 56,25, то јест b = 7,5cm. Дакле, обим троугла је 30cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

23


Задатак 1.

Ако су a и b дужине катета, c дужина хипотенузе правоуглог троугла, h дужина висине

над хипотенузом и p и q дужине одсечака на које ова висина дели хипотенузу, при чему

одсечак p има заједнички крај са катетом b, а одсечак q са катетом a, попуни табелу.

a b c h p q

6cm 10cm

5cm 12cm

25cm

20cm

60cm 144cm

8cm

4,8cm

5cm 2cm

9cm 16cm

Задатак 2.

Катете правоуглог троугла су 6cm и 8cm. Одреди површине троуглова на које је овај

правоугли троугао подељен висином над хипотенузом.

Чињеница да је квадрат висине над хипотенузом

једнак производу одсечака које она гради на

хипотенузи омогућава нам да једноставно

конструишемо дуж чија је дужина √x · y, уколико су

задате дужи чије су дужине x и y.

Задатак 3.

Конструиши дуж чија је дужина √x.

Ако су x и y позитивни бројеви, број √x · y је њихова геометријска средина.

Задатак 4.

Нацртај две произвољне дужи, а затим конструиши њихову геометријску средину.

Задатак 5.

Нацртај квадрат, а затим конструиши дуж која је геометријска средина странице и

дијагонале нацртаног квадрата.

24

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

Од шест палидрваца покушај да саставиш четири

једнакоcтранична троугла.

Тешкоће на које већина људи наилази када решава

овај задатак проистичу из тога што не виде да је

неопходно „изаћи“ из равни у простор. Постављени

задатак не може да се реши уз захтев да све шибице

буду у једној равни. У простору једноставно налазимо

решење.

У претходним разредима проучавали смо фигуре које се налазе у равни. Тај део

геометрије назива се планиметрија. Стереометрија је део геометрије који се бави

просторним фигурама и односима међу њима. У оквиру ове наставне теме почињемо

упознавање са стереометријом, тако да би њен наслов могао да гласи и увод у

стереометрију или краће простор.

Префикс стерео- је грчког порекла, настао од речи стереос која значи просторан (али и

тврд, чврст). Зато се реч стерео користи и у вези са репродукцијом звука у простору.

Велику предност у проучавању планиметрије пружа могућност да равне геометријске

фигуре можемо верно да представимо сликама у свесци, односно на табли. Будући да се

стереометрија бави односима у простору, а лист папира и табла су модели равни, наши

графички прикази просторних фигура неће и не могу одговарати у потпуности правом

изгледу оваквих фигура.

На пример, без обзира на

то колико се трудили да што

верније нацртамо коцку на

листу папира, неће нам поћи за

руком да је прикажемо онако

како она заиста изгледа.

Цртање просторних облика

и односа у равни од давнина

представља изазов како за

научнике тако и за уметнике,

пре свега сликаре.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

25


„Мисаоно сналажење“ у простору једна је од основних вештина неопходних за велики

број делатности које људи обављају.

Наравно, ова вештина једна је од најважнијих претпоставки и бављења стереометријом.

Решимо један задатак који захтева управо ову вештину.

Пример. Једна иста коцкица за игру постављена је у

два различита положаја.

У оба случаја, одреди бројеве који се налазе на

странама коцкице које се не виде.

Прво што можемо да приметимо јесте да се у

оба случаја види страна на којој је број 4. Даље

закључујемо да видимо све четири стране коцкице

које се граниче са страном на којој је 4. Дакле,

наспрам 4 налази се број 5, то јест у првом положају са

доње стране је број 5, а у другом 5 је на бочној страни

која се не види.

?

? ?

? ?

?

Остаје још да утврдимо где се налазе 3 и 6 на првој

коцки односно 1 и 2 на другој. За то је потребно да

замислимо како треба окретати коцкицу да бисмо је

из првог положаја довели у други. Положаји стране са

бројем 4 нам показују да можемо поступити као што је

назначено на слици у средини.

3

6 5

5 1

2

26

Увидевши то, лако откривамо који се бројеви налазе на странама коцкице које се не

виде.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Тачка, права, раван

Тачке, праве и равни представљају основне геометријске објекте са којима почињемо

проучавање и описивање простора.

Простор се састоји из тачака. Праве и равни су основни делови (подскупови) простора.

Поновимо уобичајен начин означавања (именовања) основних геометријских објеката.

Тачке означавамо великим словима латинице са или без индекса:

A, B, C, ... , A 1

, B 1

, ... , A 2

, ...

Праве означавамо малим словима латинице са или без индекса:

a, b, c, ... , a 1

, b 1

, ... , a 2

, ...

Равни означавамо малим словима грчког алфабета са или без индекса:

a (алфа), b (бета), g (гама), d (делта), ... , r (ро), ...

Веома је важно разликовати основне геометријске објекте од њихових графичких

приказа и ознака. Верујемо да су ти добро познати недостаци графичког приказа праве.

Што се равни тиче, ствари се додатно компликују, будући да ми на листу папира који је

модел једне равни желимо графички да прикажемо неку другу раван.

У наставку ћемо се подсетити неких познатих односа између основних геометријских

објеката, али и упознати доста нових.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

27


Тачке и праве

Основни однос између тачке и праве је

припадање. Да „тачка A припада правој p“,

означавамо са A p, а да „тачка B не припада

правој p“, са B p.

Две различите тачке одређују тачно једну

праву. Праву одређену тачкама A и B

означавамо са p(A, B).

Три или више тачака које припадају једној

правој називају се колинеарне тачке. У

супротном, називају се неколинеарне тачке.

Права садржи бесконачно много тачака. Између сваке две различите тачке неке

праве (ма колико оне биле блиске) може се изабрати нова тачка те праве. Права

је неограничена са обе стране, па њен графички приказ можемо неограничено

продужавати са обе стране.

Пример 1. Колико правих је одређено са n тачака од којих никоје три нису колинеарне?

Размотримо најпре специјалан случај претходног питања,

када је, на пример, n = 5.

Тачка A са преостале четири тачке образује 4 праве. Тачка

B такође четири, при чему је права коју ова тачка одређује

са тачком A већ урачуната у бројање.

Лако закључујемо да свака од датих 5 тачака образује 4 праве са преосталим тачкама и

да је укупан број свих овако образованих правих једнак (4 · 5) : 2 = 10 јер смо сваку праву

бројали два пута.

На опште питање не можемо одговорити цртањем и директним пребројавањем правих.

Поступамо слично као када смо одређивали број дијагонала n-тоугла. Наиме, свака

тачка са једном од преосталих n – 1 тачака образује једну праву. Укупан број овако

образованих правих је два пута мањи од производа n(n –1) јер је у претходном „бројању“

свака права убројана два пута. Дакле, n тачака од којих никоје три нису колинеарне

образује

n(n – 1)

правих.

2

Задатак 1.

Да ли три различите тачке морају припадати једној правој?

28

Задатак 2.

а) Колико правих одређује 20 тачака од којих никоје три нису колинеарне?

б) Колико правих одређују четири тачке од којих су три колинеарне, а четврта не

припада правој коју одређују преостале три тачке?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Тачке и равни

Основни однос између тачке и равни је

припадање. Да „тачка A припада равни r“,

означавамо са A r, а да „тачка B не припада

равни r“, са B r.

Три неколинеарне тачке одређују тачно једну

раван. Раван одређену неколинеарним тачкама

A, B и C означавамо са r(A, B, C).

Раван садржи бесконачно много тачака. „Раван је неограничена у свим правцима.“

Задатак 1.

Да ли сваке три различите тачке одређују једну раван?

Задатак 2.

Колико равни одређују четири тачке уколико не припадају све једној равни?

Задатак 3.

Дато је пет тачака од којих њих четири припадају једној равни и никоје три од њих нису

колинеарне тачке, док пета не припада тој равни. Нацртај скицу. Колико равни одређују

ових пет тачака?

Пример 1. Дато је пет тачака A, B, C, D и E од којих никоје четири нису у једној равни.

Одредимо број равни које су одређене овим тачкама.

Најпре видимо да сваке три од датих тачака образују једну раван. Дакле, треба одредити

број начина на које можемо изабрати три од пет тачака, при чему редослед бирања није

битан. На пример, тачке A, B, C одређују једну једину раван:

r(A, B, C) = r(A, C, B) = r(B, A, C) = r(B, C, A) = r(C, A, B) = r(C, B, A).

Не сме да нас завара то што ове тачке можемо наводити на шест различитих начина.

Слично, и било које друге три тачке одређују једну једину раван. Имајући ово на уму,

видимо да треба избројати колико има трочланих подскупова од {A, B, C, D, E}. Има их 10.

То су:

{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, {B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}.

Обрати пажњу на редослед навођења трочланих подскупова. Систематично навођење

знатно смањује могућност да неки елемент изоставимо.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

29


Задатак 4.

Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

. Посмaтрај следеће равни одређене трима теменима ове

коцке, па заокружи број испред тачног одговора.

а) Раван r(A, B, C) садржи тачку: 1) A 1

; 2) B 1

; 3) C 1

; 4) D 1

; 5) D.

б) Раван r(A, B, C 1

) садржи тачку: 1) A 1

; 2) B 1

; 3) B 1

; 4) D 1

; 5) D.

в) Раван r(A, C, C 1

) садржи тачку: 1) A 1

; 2) B 1

; 3) B; 4) D 1

; 5) D.

Праве и равни

Уколико све тачке праве p припадају равни r,

кажемо да је права p у равни r и пишемо p r,

јер је тада права p подскуп равни r.

У свакој равни постоји бесконачно много правих.

Такође, постоји бесконачно много равни које садрже неку

задату праву у простору.

Ако је осим праве задата још само једна тачка која јој не

припада, онда постоји тачно једна раван која садржи ту праву

и задату тачку. Ову чињеницу изражавамо и на следећи

начин: права и тачка ван ње одређују јединствену раван.

Наредна тврђења нам омогућавају да на различите начине

задајемо равни.

Постоји само једна раван која садржи дату праву и дату тачку

ван ње.

Постоји само једна раван која садржи две праве које се секу.

Постоји само једна раван која садржи две паралелне праве.

30

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Следећа једноставна чињеница нам омогућава да лакше користимо претходна тврђења.

Ако две тачке праве припадају некој равни, онда се та права налази у тој равни.

Пример 2. Свака раван може бити задата на више начина. На наредним сликама

приказани су различити начини задавања једне те исте равни a.

Наведи још неке начине на које можемо задати раван a.

Задатак 5.

Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

. Заокружи број испред тачних

тврђења.

1) p(A, B) r(B, C 1 , D 1 ); 2) p(D 1 , B 1 ) r(D, B, B 1 );

3) p(D, D 1

) r(A, C, D 1

); 4) p(B, D 1

) r(D, B, B 1

);

5) p(C, D) r(B, C, D 1 ); 6)p(D, C 1 ) r(A, B, B 1 ).

Праве у простору

Две различите праве које су у истој равни секу се или су паралелне (уколико немају

заједничких тачака). У простору, међутим, праве не морају бити паралелне ако немају

заједничких тачака.

Уколико две праве у простору немају заједничких тачака и не припадају једној равни, онда

су оне мимоилазне праве.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

31


Пример 1. На наредним сликама приказани су сви случајеви односа између две праве у

простору.

Праве p(B, B 1

) и p(D 1

, B) секу се у тачки B. Праве p(B, B 1

) и p(A, A 1

) су паралелне. Праве

p(B, B 1

) и p(A 1

, C) су мимоилазне.

Када је реч о мимоилазним правама, не смемо дозволити да нас слика завара. Примети

да је у равни немогуће нацртати пар мимоилазних правих, па се не смемо много

ослањати на слике.

Задатак 1.

Одреди однос сваког пара правих које су истакнуте на наредним сликама.

Задатак 2.

Испитај однос између датих правих.

1) p(A, B), p(C, D); 2) p(A, C 1 ), p(C, D);

3) p(A, D), p(B 1 , C 1 ); 4) p(A, D), p(B, C 1 );

5) p(A, D 1

), p(A 1

, D); 6)p(B, D 1

), p(D, B 1

).

За сваку праву a и сваку тачку P која јој не припада постоји јединствена права p која

садржи тачку P и паралелна је са правом a.

Ако је a раван коју одређују права a и тачка

P, онда се права p кроз P паралелна са a

налази у равни a. Све друге праве равни a

које садрже тачку P секу праву a. Праве које

садрже P и нису у равни a мимоилазне су са a.

32

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Праве и равни у простору

Праве и равни су основни делови (подскупови) простора. Међусобни однос неке праве и

неке равни одређујемо у зависности од тога колико имају заједничких тачака.

Уопште, права и раван могу имати:

1. празан пресек;

2. само једну заједничку тачку;

3. више од једне заједничке тачке.

Ова три случаја илуструју наредне слике.

У првом случају, уколико права p и раван r немају заједничких тачака, кажемо да су

паралелне и пишемо p || r.

У другом случају, права p и раван r имају само једну заједничку тачку P. Тада пишемо

p r = {P} и кажемо да права p продире раван r у тачки P.

Ако се сетимо тврђења са стране 31, закључујемо да уколико права p и раван r имају

више од једне заједничке тачке, тада се права p налази у равни r, то јест p r.

Задатак 1.

Посматрај под учионице као модел равни. Пронађи

моделе правих које припадају равни пода, које је секу

или су јој паралелне.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

33


Пример 1. Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

. Уочимо раван одређену паралелним правама на

којима се налазе дужи BB 1

и DD 1

и размотримо однос ове равни са неким правама.

Права p(B, D 1 ) је у уоченој равни јер обе тачке које је одређују припадају равни.

Права p(A 1

, C) сече (продире) уочену раван.

Права p(A, A 1

) је паралелна уоченој равни.

Задатак 2.

Испитај однос између дате праве и дате равни.

1) p(A, B), r(C, D, A 1

); 2) p(A, C 1

), r(C, D, A 1

);

3) p(A, B), r(A, D, A 1 ); 4) p(A, D), r(B 1 , C 1 , A);

5) p(B, D), r(A, C, A 1 ); 6) p(B, C 1 ), r(C, D, A 1 ).

Задатак 3.

Заокружи број испред тачне реченице.

1) Ако је права p паралелна са равни a, онда је права p паралелна и са сваком правом

равни a.

2) Ако права p сече раван a, онда права p сече и сваку праву равни a.

3) Ако у равни a постоји права која је паралелна са правом p која није у равни a, онда је

права p паралелна са равни a.

4) Ако права p не сече ниједну праву равни a, онда је права p паралелна са равни a.

Нормала на раван

Један од разлога што високи стубови који красе многе

палате стоје стабилно јесте тај што заклапају једнаке

углове са свим правцима дуж тла. Језиком геометрије

речено, јер су нормални (ортогонални) на раван тла.

Права која сече раван нормална је на ту раван уколико је нормална на сваку њену праву

која садржи тачку продора.

34

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Да је права n нормална на раван r, означавамо

са n r и кажемо да је n нормала на r.

Услов нормалности праве на раван може се

знатно ослабити у следећем смислу. Не морамо

проверавати (а не бисмо ни могли) да је права

нормална на све праве равни које садрже

одговарајућу тачку продора. Довољно је

проверити да је нормална на две такве праве.

Ако је права која сече раван нормална на две праве равни које садрже тачку продора,

онда је нормална и на ту раван.

Приметимо да права која је нормална на једну праву равни

не мора бити нормална на ту раван.

Сетимо се да за сваку праву и сваку тачку постоји само једна права која садржи ту тачку и

нормална је на дату праву. Исто важи и за равни.

За сваку раван и сваку тачку постоји само једна права која садржи ту тачку и нормална је

на дату раван.

Помоћу нормале дефинишемо растојање тачке

од равни. Нека је A тачка која не припада равни

r. Ако је n нормала на раван r која садржи тачку

A и A 1

тачка продора нормале n и равни r, онда је

дужина дужи AA 1 растојање тачке A од равни r.

Задатак 1.

Која од правих p(B, B 1

), p(B, C), p(B, C 1

), p(B, D), p(B, D 1

) je нормална

на раван одређену паралелним ивицама AA 1 и CC 1 коцке

ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

.

Вештина уочавања правих углова, односно нормалности веома је важна за бављење

стереометријом. Као што се може претпоставити, тешкоће произлазе из тога што нам

графички прикази просторних објеката у равни пружају помало „искривљену” слику

стварних односа.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

35


Задатак 2.

Који су од наредних троуглова правоугли? За сваки правоугли троугао одреди теме

правог угла.

Пример 1. Дата је тачка P у равни p и тачка A која не припада овој равни. Ако је

растојање тачке A од равни p једнако 12cm, а растојање између тачака A и P једнако

13cm, одредимо растојање тачке P од нормале на p из A.

Нека је A 1 подножје нормале n из A на p. Како је

n p, следи да је AA 1 PA 1 . Дакле, растојање

тачке P од нормале n једнако је дужини дужи

PA 1

. Дужину ове дужи одређујемо помоћу

Питагорине теореме примењене на правоугли

троугао AA 1 P.

PA 1 = √PA 2 – AA 1

2

= √13 2 – 12 2 = 5

Задатак 3.

Дата је тачка P у равни p и тачка A која не припада овој равни.

1) Ако је растојање између тачака A и P једнако 12cm, а растојање тачке P од нормале на

p из A једнако 4cm, одреди растојање тачке A од равни p.

2) Ако је растојање тачке P од нормале на p из A једнако 8cm, а растојање тачке A од

равни p једнако 15cm, одреди растојање између тачака A и P.

Задатак 4.

Дата је коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ивице а. Одреди растојање тачке B од равни коју одређују

паралелне праве p(A, A 1

) и p(C, C 1

).

Задатак 5.

а) Дата је раван p и тачка A која не припада овој равни. Ако су P и Q тачке равни p које

су подједнако удаљене од тачке A, онда су оне подједнако удаљене и од нормале из

тачке A на раван p. Докажи.

б) Одреди скуп свих тачака равни p које су подједнако удаљене од тачке A (ван те равни),

то јест које су на фиксираном растојању од тачке А.

36

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Однос међу равнима

Две различите равни у простору или се секу или немају заједничких тачака.

Уколико је пресек две различите равни непразан, онда је пресек те две равни права.

Ако две равни немају заједничких тачака, онда су те две равни паралелне.

Равни a и b се секу и њихове заједничке

тачке образују праву, a b = p. Примети

да је p a и p b.

Равни r и p су паралелне, па пишемо

r || p.

Задатак 1.

Зидове твоје учионице посматрај као моделе равни. Одреди парове паралелних равни и

парове равни које се секу.

Наведи још неке моделе равни из окружења који представљају паралелне равни и неке

који представљају равни које се секу. Имај на уму да иако су модели ограничени, равни

које они одређују неограничено се пружају у свим правцима.

Пример 1. У примеру на страни 29 доказали смо да пет тачака од којих никоје четири

нису у једној равни одређују тачно десет различитих равни. Докажимо сада да се сваке

две од ових десет равни секу.

Заиста, ако изаберемо било које три од датих пет тачака и тиме одредимо једну раван,

преостаће нам само две тачке тако да сваки други избор неке три тачке мора садржавати

бар једну тачку прве тројке. Другим речима, раван одређена другом тројком тачака има

заједничку тачку са првом, то јест сече је. На страни 29, набројали смо све могуће изборе

три од пет тачака, тако да се на основу њега можемо и директно уверити да свака два

избора три од пет тачака имају заједничку тачку.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

37


Пример 2. Посматрајмо неке равни које одређују темена коцке ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

.

Равни у којима се налазе стране ABCD и

ADD 1

A 1

се секу. Њихов пресек је права

одређена тачкама A и D,

r(A, B, D) r(A, D, D 1

) = p(A, D).

Равни у којима се налазе стране ABCD и

A 1

B 1

C 1

D 1

су паралелне, r(A, B, C) || r(A 1

, B 1

, C 1

).

Раван одређена паралелним правама

p(A, A 1 ) и p(C, C 1 ) сече раван одређену

другим паром паралелних правих

p(B, B 1 ) и p(D, D 1 ). Њихова пресечна права

је одређена центрима квадрата ABCD и

A 1

B 1

C 1

D 1

.

Раван која садржи средишта дужи AA 1

, BB 1

,

B 1 C 1 , и A 1 D 1 паралелна је са равни која је

одређена паралелним правама p(A, B) и

p(C 1

, D 1

).

Задатак 2.

Дата је коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Испитај да ли се следећи парови равни секу или

представљају паралелне равни. У случају да се секу, одреди пресечну праву.

1) r(A, B, C) и r(B, C 1 , D 1 ); 2) r(A, B, C) и r(A 1 , C, D); 3) r(B, C, C 1 ) и r(A 1 , D 1 , C 1 );

4) r(A, B, A 1

) и r(C, C 1

, D 1

); 5) r(A, D, A 1

) и r(B, B 1

, D 1

); 6) r(C, D, C 1

) и r(A, A 1

, B 1

).

Задатак 3.

У сваком од наредних пет случајева одреди однос сваке две равни, а затим и пресек све

три равни.

Задатак 4.

Заокружи број испред тачне реченице.

1) Ако су равни a и b паралелне, тада је и свака права равни a паралелна са b.

2) Ако у равни a постоји права која сече раван b, онда се равни a и b секу.

3) Ако је раван a паралелна са равни b и раван b паралелна са равни g, онда су и равни a

и g паралелне.

38

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Нормалне равни

Нормалност смо најпре дефинисали као посебан однос између две праве које се секу.

Затим смо појам нормалности проширили и дефинисали нормалност између праве и

равни које се секу. При том је нормалности између праве и равни дефинисана преко

нормалности две праве (види страну 34). Сетимо се и важне теореме која говори о овом

односу: ако је права која сече раван нормална на две праве те равни које садрже тачку

продора, онда је нормална и на ту раван.

Нормалност дефинишемо као посебан однос и између две равни које се секу.

Две равни су нормалне уколико свака од њих садржи бар једну праву нормалну на другу

раван.

Како је прав угао централни појам на коме се заснива појам нормалности, често се каже

да се два нормална објекта секу под правим углом. Такође, уместо речи нормалност

употребљава се и реч ортогоналност.

Реч ортогоналан је грчког порекла. Састављена је од префикса орто- (ортос) који значи

прав, усправан и речи гон – угао.

Пример 1. Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

.

Раван у којој се налази квадрат ABCD

нормална је на раван квадрата ADD 1 A 1 . У

свакој од ове две равни одреди праву која је

нормална на другу раван.

Раван у којој се налази квадрат ABCD није

нормална на раван у којој је правоугаоник

AB 1

C 1

D. Ниједна од ових равни не садржи

праву нормалну на другу раван.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

39


Задатак 1.

Посматрај наредне слике и одреди које две равни су нормалне.

Задатак 2.

Равни π и ρ су нормалне и њихов пресек је права p. У

равни π дата је тачка A, а у равни ρ тачка B, тако да се

нормале из ових тачака на граничну праву p секу у тачки

O (O p). Одреди дужину дужи AB ако је AO = 16cm и

BO = 20cm.

Равни π и ρ су нормалне и њихов пресек је права p. Свака

права једне равни нормална на пресечну праву нормална је

и на другу раван. На пример, ако је права а равни p нормална

на p, онда је она нормална и на раван r.

Пример 2. Равни π и ρ су нормалне и њихов пресек

је права p. У равни π дата је тачка A, а у равни ρ тачка

B. Ако су O 1

и O 2

редом подножја нормала из тачака A

и B на пресечну праву p, и ако је

AO 1

= 3cm, BO 2

= √2cm и O 1

O 2

= 1cm одредимо

растојање између тачака A и B.

Применом Питагорине теореме на троугао O 1

O 2

B одређујемо дужину дужи O 1

B:

O 1

B = √O 1

O 2

2

+ O 2

B 2 = = √3.

Како је угао AO 1 B прав (зашто?), Питагорину теорему можемо применити и на троугао

AO 1

B:

40

AB = √AO 1

2

+ O 1 B 2 = = √12 = 2√3.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 3.

Равни π и ρ су нормалне и њихов пресек је права p. У равни p дата је тачка A, а у равни

r тачка B. Нека су O 1

и O 2

редом подножја нормала из тачака A и B на пресечну праву p.

Одреди:

1) AB ако је AO 1

= 5cm, BO 2

= 4cm и O 1

O 2

= 3cm;

2) BO 2

ако је AB = 13cm, AO 1

= 12cm и O 1

O 2

= 3cm;

3) AO 1

и BO 2

ако је AB = 17cm, AO 2

= 15cm и O 1

O 2

= 9cm;

4) O 1

O 2

ако је AB = 17cm, BO 1

= 15cm и AO 2

= 4cm.

Сети се да за сваку тачку и сваку

праву, постоји само једна права која

садржи ту тачку и нормална је на

дату праву. Слично важи за праве и

равни.

За сваку праву и сваку раван, ако права није нормална на раван, постоји само једна раван

која садржи ту праву и нормална је на дату раван.

Претходно тврђење не важи за тачке и равни. За сваку

тачку и сваку раван постоји бесконачно много равни

које садрже ту тачку и нормалне су на дату раван.

Такође, ако је права нормална на раван, онда постоји

бесконачно много равни које садрже ту праву и

нормалне су на дату раван.

Али, као што смо већ видели, за сваку тачку и сваку

раван, постоји само једна права која садржи ту тачку и

нормална је на дату раван.

Задатак 4.

Заокружи број испред тачне реченице.

1) Ако је раван a нормална на раван b, онда је свака права равни a нормална на раван b.

2) Ако су равни a и b нормалне на раван g, онда су a и b паралелне равни.

3) Aко је раван a нормална на раван b и права p, која није у a, нормална на b, онда је

права p паралелна са равни a.

4) За сваке две различите тачке и сваку раван постоји само једна раван која садржи те

две тачке и нормална је на дату раван.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

41


Сенка коју осветљене просторне

фигуре бацају на неку равну подлогу

јесте својеврстан приказ те фигуре

у равни. Сенку можемо математички

описати као скуп продора правих

дуж светлосних зрака који пролазе

кроз тачке дате фигуре. Како су

светлосни зраци међусобно паралелни,

овакво придруживање тачака равни

тачкама фигуре називамо паралелно

пројектовање, а саму сенку пројекцијом

фигуре на раван.

Овом приликом ћемо детаљније

проучити посебну врсту паралелног

пројектовања – ортогоналну пројекцију

– када су светлосни зраци нормални, то

јест ортогонални на раван пројекције.

За ову врсту пројекције посебно је

важна чињеница да кроз сваку тачку

постоји јединствена права која је

нормална на неку задату раван.

Ортогонална пројекција

Ортогонална пројекција тачке на раван је продор нормале из те тачке на дату раван.

Раван на коју пројектујемо назива се пројекцијска раван. Нормала из неке тачке на раван

пројекције назива се пројектујући зрак те тачке.

На основу претходне дефиниције, одмах уочавамо да ако се тачка налази у равни

пројекције, онда се она поклапа са својом ортогоналном пројекцијом на ту раван.

42

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Реч пројекција води порекло из латинског језика од глагола који значи бацити (на)пред.

Поред уведеног математичког значења, ова реч се употребљава и у другим

контекстима. На пример, пројекција у обичном говору означава и замисао о нечему

још неоствареном. Такође, велики је број речи које су блиске овој: пројекат, пројектил,

пројектант, пројектор и тако даље.

Будући да геометријске фигуре представљају скупове тачака, ортогонална пројекција

неке фигуре је фигура у равни пројекције коју чине ортогоналне пројекције свих тачака

уочене фигуре.

Размотрићемо детаљније ортогоналне пројекције дужи и правих.

Да бисмо одредили ортогоналну пројекцију дужи, довољно је одредити ортогоналне

пројекције њених крајњих тачака.

У зависности од односа равни пројекције и праве одређене крајњим тачкама дужи коју

пројектујемо, разликујемо следеће случајеве:

1. Ако је права одређена крајњим тачкама дужи коју пројектујемо паралелна са равни

пројекције, онда је пројекција те дужи дуж подударна са дужи коју смо пројектовали.

2. Ако права одређена крајњим тачкама дужи коју пројектујемо сече раван пројекције

и није нормална на њу, онда је пројекција те дужи дуж која је краћа од дужи коју смо

пројектовали.

3. Ако је права одређена крајњим тачкама дужи коју пројектујемо нормална на раван

пројекције, онда је пројекција те дужи тачка.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

43


Пример 1. Дата је дуж PQ = 5cm, при чему су тачке P и Q са исте стране равни p. Ако

су растојања крајњих тачака P и Q од равни p једнака 4cm и 7cm, одредимо дужину

ортогоналне пројекције дужи на раван p.

Нека је P 1 пројекција тачке P на раван p, a Q 1 пројекција тачке

Q. Тада је P 1

Q 1

пројекција дужи PQ на раван p. На основу

датих података имамо да је PQ = 5cm, PP 1

= 4cm и QQ 1

= 7cm.

Применом Питагорине теореме на правоугли трапез Q 1 QPP 1

налазимо да је P 1

Q 1

= √PQ 2 – (Q 1

Q – P 1

P) 2 = 4cm.

Пример 2. Дата је дуж PQ = 15cm, при чему су тачке P и Q са различитих страна равни p.

Ако су растојања крајњих тачака P и Q од равни p једнака 4cm и 5cm, одредимо дужину

ортогоналне пројекције дужи на раван p.

Нека су P 1

и Q 1

пројекције тачака P и Q на раван p и нека је

O пресек дужи PQ и равни p. Применом Талесове теореме

закључујемо да је PO

OQ = PP 1

= 4 , па како је

QQ 1 5

PQ = PO + OQ = 15, једноставно налазимо да је PO = 20

3 и

QO = 25 . Даље, применом Питагорине теореме на троуглове

3

PP 1 O и QQ 1 O добијамо P 1 O = = 16

3 и

Q 1 O = = 20

3 . Дакле, P 1Q 1 = 36

3 = 12cm.

Задатак 1.

Дата је дуж AB = 17cm. Ако су растојања крајњих тачака A и B од равни p једнака 2cm и

10cm, одреди дужину ортогоналне пројекције дужи на раван p. Разликуј два случаја, када

су тачке A и B са исте стране равни p и када су са различитих страна ове равни.

Задатак 2.

Тачке S и T налазе се са исте стране равни p и од ње су удаљене 3cm и 6cm. Ако су S 1

и T 1

пројекције ових тачака на p и ако је S 1

T 1

= 4cm, одреди дужину дужи ST.

Задатак 3.

Тачке L и M налазе се са различитих страна равни p и од ње су удаљене 2cm и 6cm. Ако су

L 1 и M 1 пројекције ових тачака на p и ако је L 1 M 1 = 5cm, одреди дужину дужи LM.

44

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Ортогонална пројекција праве p на раван p је:

1. права уколико p није нормална на p;

2. тачка ако је права p нормална на p.

Уколико права p није нормална на раван пројекције p, онда постоји јединствена раван r

која садржи p и нормална је на p. Тада је пројекција праве p на p пресек равни p и r.

Ако права p сече пројекцијску раван p и није нормална на њу, онда сече и своју

пројекцију p 1 . У овом случају, угао између праве p и њене пројекције p 1 на раван p назива

се нагибни угао праве p према равни p.

Ако је права p паралелна пројекцијској равни p, онда је паралелна и својој пројекцији p 1

на ту раван.

Пример 3. Права a сече раван a у тачки A. Нагибни угао праве a према равни a је 60°.

На правој a дата је тачка T таква да је AT = 4cm. Одредимо дужину пројекције дужи AT на

раван a и растојање тачке T од равни a.

Нека је T 1

пројекција тачке T на раван a. Тада

је AT 1

пројекција дужи AT на a. Треба одредити

дужине дужи AT 1

и TT 1

. Применом познатих

формула које повезују странице правоуглог

троугла чији су оштри углови 30°, 60°, 90°,

добијамо да је AT 1

= 2cm и TT 1

= 2√3cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

45


Задатак 4.

Права p сече раван p у тачки P. Нагибни угао праве p према равни p је 30°. На правој

p дата је тачка T таква да је PT = 6cm. Одреди дужину пројекције дужи PT на раван p и

растојање тачке T од равни p.

Задатак 5.

Права p сече раван p у тачки P. Нагибни угао праве p према равни p је 45°. На правој p

са различитих страна равни p дате су тачке A и B које су удаљене 2cm и 3cm од равни p.

Одреди дужину дужи AB и дужину њене пројекције на раван p.

Пример 4. Испитајмо шта може бити ортогонална пројекција угла на неку раван.

Сваки угао одређује

једну раван (у којој

се налази), па је

пројекција угла између

осталог одређена и

односом те равни и

равни пројекције.

Ако раван коју

одређује угао није

нормална на раван

пројекције, онда је

пројекција угла угао.

Ако је раван коју

одређује угао

нормална на раван

пројекције, онда је

пројекција тог угла

права или полуправа.

Задатак 6.

Да ли дуж може да буде ортогонална пројекција троугла на неку раван? Образложи

одговор.

Задатак 7.

Заокружи број испред тачне реченице.

1) Ако је раван коју одређује угао паралелна равни пројекције, онда је ортогонална

пројекција тог угла угао који је подударан са углом који је пројектован.

2) Ортогоналне пројекције две паралелне праве су такође међусобно паралелне.

3) Ортогоналне пројекције две различите праве које се секу су такође различите праве

које се секу.

4) Ортогоналне пројекције мимоилазних правих се секу.

5) Ортогонална пројекција правог угла је прав угао.

6) Ортогонална пројекција полуправе је полуправа.

46

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Диедар. Триедар. Рогаљ

Свака права у равни дели ту раван на две полуравни.

Посматрајмо праву p и неку раван у којој се

она налази. Тачке равни које не припадају

правој p подељене су у два скупа, при

чему сваки чине оне тачке које су са исте

стране праве p. Две тачке A и B су са исте

стране праве p ако дуж AB не сече праву p.

У супротном су са различитих страна праве

p. Сваки од уочених делова равни заједно

са правом p образује једну полураван.

Уобичајено је да се уочени делови равни

означавају грчким словима, па полуравни

приказане на слици десно означавамо са pa

и pb. Пресек полуравни pa и pb је права p.

Примети да је дефиниција полуравни аналогна дефиницији полуправе. Наиме, свака

тачка неке праве дели ту праву на два дела, при чему сваки део чине оне тачке праве

које су са исте стране уочене тачке. Полуправе са заједничким почетком образују угаону

линију помоћу које се дефинише веома важан појам у геометрији – појам угла. Сети се да

угао чине угаона линија и област угла.

Слично томе, појам диедра има веома важну улогу у

стереометрији.

Две полуравни са заједничком граничном правом

деле простор на два дела. Те две полуравни заједно

са тачкама једног од уочених делова простора

образују диедар.

Диедар је реч грчког порекла састављена од префикса ди- (грч. дис – двапут) и речи

едар (грч. едрон – страна, површ).

Модел диедра је

најједноставније направити

пресавијањем папира дуж

неке праве линије.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

47


Диедри се међусобно разликују по величини угла између полуравни.

Шта је угао између полуравни диедра?

Нека је O произвољна тачка граничне праве p диедра apb. Нека је Oa полуправа у

полуравни pa нормална на p у тачки O и Ob полуправа у pb нормална на p у тачки O.

Угао aOb је угао диедра apb.

Овако одређен угао представља угао диедра зато што

не зависи од избора тачке на граничној правој. Да смо

изабрали било коју другу тачку O 1 на p и спровели исту

конструкцију, добили бисмо угао a 1 O 1 b 1 подударан углу aOb.

Два диедра су подударна уколико су им углови једнаки.

Пример 1. Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

. Посматрајмо диедре приказане на слици десно.

Угао првог диедра једнак је 90°.

Угао другог диедра једнак је 45°.

Диедар чији је угао прав назива се прав диедар.

48

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Триедар одређују три равни које се секу.

Три различите равни које имају заједничку тачку деле простор на осам делова. Сваки

од тих делова заједно са одговарајућим деловима равни који га одређују представља

један триедар. Посматрајмо један од ових триедара који је издвојен на претходној слици.

Видимо да је он ограничен са три угла који имају заједничко теме, aSb, bSc и cSa. Ови

углови називају се стране триедра или ивични углови триедра. Краци ових углова су

ивице триедра. Заједничко теме углова представља теме триедра. Изабрани триедар

означавамо са Sabc.

Триедар који смо изабрали је конвексан. Надаље ћемо посматрати само конвексне

триедре и то нећемо посебно наглашавати.

Ако на свакој ивици триедра изаберемо по једну тачку,

добићемо троугао који заједно са теменом одређује

овај триедар у следећем смислу: триeдар је ограничен

полуправама са почетком у тачки S које секу странице

троугла. Овако формиран скуп тачака називамо

триедарска површ. Примети да је триедарска површ

унија три угла са заједничким теменом и по једним

заједничким краком. Свака триедарска површ одређује

тачно један (конвексан) триедар.

Задатак 1.

1) Под учионице и два суседна бочна зида посматрај као моделе равни. Ова три модела

равни образују модел триедра. Колики су ивични углови овог триедра?

2) Наведи још неке моделе триедра.

3) Направи од папира један модел триедра.

Задатак 2.

Да ли постоји триедар чији су сви ивични углови једнаки 120°? Образложи одговор.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

49


Допуштајући да се полуправе са заједничким почетком „крећу“ дуж страница

произвољног многоугла чија раван не садржи почетак полуправих, добијамо све

сложеније површи.

Површи које добијамо на овај начин називамо рогљасте површи. Ми ћемо разматрати

само случајеве када је одговарајући многоугао конвексан. Свака рогљаста површ дели

простор на два дела. Пошто разматрамо само рогљасте површи које одређују конвексни

многоуглови, бар један од ових делова је конвексан. Унија овакве рогљасте површи и

конвексног дела простора који она одређује назива се рогаљ. Специјалан случај рогља

је триедар. Теме, ивице и стране, то јест ивични углови рогља, дефинишу се као за

триедар.

Задатак 3.

Наведи темена, ивице и стране, то јест ивичне углове сваког рогља приказаног на

претходној слици.

Може се доказати да је збир ивичних углова ма ког рогља такође мањи од пуног угла.

Збир ивичних углова сваког рогља мањи је од 360°.

Задатак 4.

Да ли постоји рогаљ који има четири стране чији су сви ивични углови тупи?

Да ли постоји рогаљ који има шест страна чији су сви ивични углови већи од 60°?

Образложи одговоре.

Задатак 5.

Величине три ивична угла рогља који има четири стране су 22°, 24°14' и 48°47'. Тада

четврти угао мора бити мањи од:

1) 275°59';

2) 275°1';

3) 274°1';

4) 274°59';

5) 254°.

Заокружи број испред тачног одговора.

50

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Полиедри

Полиедар је део простора који је ограничен многоугловима, при чему важе следећи

услови:

• свака страница било ког многоугла је страница још једног њему суседног многоугла,

• свака два суседна многоугла припадају различитим равнима и

• свака два несуседна многоугла се могу повезати низом многоуглова, таквим да су

узастопни чланови суседни многоуглови.

Сети се да префикс поли- води порекло од грчке речи полис и значи много (и учествује у

великом броју сложеница: полином, полигон, поликлиника, полиглота и тако даље).

Није тешко видети да полиедри приказани на претходним сликама задовољавају сва

три поменута услова. Поменимо и то да је полиедар са леве стране конвексан, док је са

десне стране приказан један неконвексан полиедар. Ми ћемо проучавати искључиво

конвексне полиедре.

Унија свих многоуглова који ограничавају неки полиедар назива се полиедарска

површ. Сваки од тих многоуглова назива се страна полиедра. Странице многоуглова су

ивице полиедра. Темена многоуглова су и темена полиедра.

На наредним сликама приказани су полиедри о којима ћемо више говорити касније.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

51


Пример 1. Посматрајмо полиедар дат на слици десно.

Овај полиедар има шест темена: S, A 1

, A 2

, A 3

, A 4

и T.

Број ивица је 12: SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , A 1 A 2 , A 2 A 3 , A 3 A 4 , A 4 A 1 , TA 1 , TA 2 , TA 3 и

TA 4

.

Посматрани полиедар има осам страна. То су троуглови: SA 1

A 2

,

SA 2

A 3

, SA 3

A 4

, SA 4

A 1

, TA 1

A 2

, TA 2

A 3

, TA 3

A 4

и TA 4

A 1

.

Задатак 1.

Одреди број темена, број ивица и број страна полиедара приказаних на наредним

сликама.

Ојлерова формула

Швајцарски математичар Леонард Ојлер (1707–1783)

убраја се у најзначајније математичаре свих времена.

Ојлер је дошао до великих открића у потпуно различитим

областима како математике тако и физике, астрономије,

музике. Процењује се да би се Ојлеровим радовима могло

испунити око 80 књига великог формата. Велики број

математичких термина носи његово име.

Формулу која повезује број темена (T), ивица (I) и страна (S) конвексног полиедра

T – I + S = 2

извео је Ојлер, па је она данас и позната као Ојлерова формула. Наведена формула

важи за било који конвексан полиедар. Провери да полиедри приказани на претходним

сликама задовољавају ову формулу.

52

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Мрежа полиедра и појам површине полиедра

Мрежу неког полиедра

најједноставније је замислити као

развијен папир након потпуног

прекривања полиедра без

преклапања делова папира.

Прецизније, мрежу полиедра чине многоуглови који га ограничавају постављени у

једну раван. Међутим, не чини мрежу полиедра било какво постављање одговарајућих

многоуглова, већ само такво да се „пресавијањем” дуж заједничких страница два

суседна многоугла може саставити тај полиедар.

За сваки полиедар постоји више мрежа.

Задатак 1.

На слици десно дат је распоред бројева на странама коцкице

за игру. Међу датим мрежама одреди оне које одговарају датој

коцкици.

Задатак 2.

Дата је мрежа коцке.

Пажљиво погледај распоред боја квадрата који чине дату мрежу,

па одреди које од датих коцки одговарају овој мрежи. Има више

решења.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

53


Моделе полиедара од картона правимо тако што на њему нацртамо мрежу тог

полиедра, заједно са „вишковима” који нам служе да саставимо странице одговарајућих

многоуглова. Након резања добијене слике на картону, пресавијамо га по свим

нацртаним дужима и лепимо „вишкове” за одговарајуће многоуглове.

Задатак 3.

На картону нацртај следеће слике увећане неколико пута, изрежи их и састави

одговарајуће полиедре. Нацртај полиедре који се добијају.

Површина полиедра једнака је збиру површина свих његових страна.

Имајући на уму да мрежу полиедра чине многоуглови распоређени у равни и подударни

многоугловима који одређују тај полиедар, видимо да је површина мреже једнака

површини одговарајућег полиедра.

Пример 1. Површина коцке једнака је збиру површина шест подударних квадрата, па

је рачунамо по формули P = 6a 2 , где је a дужина њене ивице, а тиме и дужина странице

сваког од квадрата који ограничавају ту коцку.

Ако је a = 3cm, онда је површина коцке P = 54cm 2 .

Задатак 4.

Одреди ивицу коцке чија је површина 600m 2 .

Задатак 5.

Нацртај мрежу тела које је приказано на слици десно. Ово

тело се назива (правилан) тетраедар и ограничавају га четири

међусобно подударна једнакостранична троугла.

Напиши формулу за израчунавање површине тетраедра ако је a

дужина његове ивице.

Задатак 6.

Напиши формулу за израчунавање површине полиедра чија је мрежа дата на слици

десно у задатку 3, ако је a ивица тог полиедра. Примети да овај полиедар ограничавају

једнакостранични троуглови.

54

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Појам запремине полиедра

Одређивање површине полиедра представља једну врсту мерења његове величине.

Међутим, као што поред обима неке фигуре у равни рачунамо и њену површину (као

меру величине дела равни коју она заузима), тако је поред површине полиедра важна

и његова запремина. Грубо говорећи, запремина полиедра изражава величину дела

простора који заузима тај полиедар.

За јединицу мере запремине бира се коцка. Стандардна јединица мере запремине јесте

кубни метар – коцка ивице 1m. Ознака је m 3 .

У складу са десетичним бројним системом који користимо, при мерењу запремине

користе се и:

• кубни дециметар (dm 3 ) – коцка странице 1dm;

• кубни центиметар (cm 3 ) – коцка странице 1cm;

• кубни милиметар (mm 3 ) – коцка странице 1mm;

• кубни километар (km 3 ) – коцка странице 1km.

Задатак 1.

На празна места упиши бројеве тако да једнакости буду тачне.

1) 1m 3 = dm 3 = cm 3 = mm 3 ;

2) 2dm 3 = m 3 = cm 3 = mm 3 ;

3) 1,5cm 3 = mm 3 = dm 3 = m 3 ;

4) 3mm 3 = m 3 = dm 3 = cm 3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

55


Следећа два тврђења кључна су при одређивању запремине полиедара.

Уколико два полиедра имају заједнички само неки део својих површи, тада је запремина

просторне фигуре коју чине ови полиедри заједно једнака збиру запремина сваког

полиедра посебно.

Подударни полиедри имају једнаке запремине.

Задатак 2.

Од колико коцкица је састављена свака од просторних фигура приказаних на наредној

слици?

Уколико је јединица мере једна коцкица, онда број коцкица од којих је састављена

фигура представља мерни број запремине те фигуре.

Задатак 3.

Одреди запремине датих полиедара.

Иако ћемо ми углавном израчунавати запремине апстрактних геометријских тела,

физика нас учи да је запремина неког реалног предмета његова веома важна

карактеристика. Запремина V неког реалног предмета је повезана са масом m тог

предмета и густином r материјала од кога је он сачињен следећом формулом:

m = V · r.

Наведена формула има доста практичних примена. На пример, на основу ње се могу

одредити густине материјала. Довољно је од изабраног материјала направити предмет

чију је запремину једноставно одредити (рецимо у облику коцке), затим одредити масу

тог предмета и поделити је са запремином:

r = m V .

56

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


У наредној табели дате су приближне вредности густина неких материјала.

Материјал Густина у kg/m 3

Алуминијум 2 700

Гвожђе 7 860

Сребро 10 500

Злато 19 300

Олово 11 350

Стакло 2 600

Цигла 1 800

Храстовина 750

Липово дрво 500

Таблица густина веома је важна за даље примене. Наиме, за сваки предмет направљен

од неког од наведених материјала, ако знамо његову запремину, лако налазимо и масу

m = V · r, и обрнуто, ако знамо масу, једноставно добијамо и запремину V = m r .

Пример 1. Поред јединице kg/m 3 , густина се изражава и другим (изведеним) јединицама

мере које могу бити погодније у неким конкретним околностима. На пример, то су g/dm 3 ,

g/cm 3 , kg/dm 3 и тако даље.

Откријмо однос између kg/m 3 и g/cm 3 , то јест откријмо начин на који једну јединицу

претварамо у другу.

Знамо да је 1kg = 1 000g и 1m 3 = 1 000 000cm 3 , па је

1 kg

m 3 = 1kg

1m 3 =

1 000g

1 000 000cm 3 =

1g

1 000cm 3 = 0,001

Тако се, на пример, густина злата може изразити и као 19,3g/cm 3 .

g

cm 3 .

Задатак 4.

Изрази густину олова у g/dm 3 , g/cm 3 , kg/dm 3 .

Задатак 5.

Одреди масу коцке чија је страница 2cm ако је она направљена од:

1) сребра; 2) злата; 3) стакла.

Задатак 6.

Колика је маса храстовине ако је њена запремина 10m 3 (односно „10 кубика“, како се то

колоквијално каже)?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

57


Пет Платонових тела

Правилни полиедри су конвексни полиедри чије су све стране правилни и међусобно

подударни многоуглови и код којих из сваког темена полази исти број ивица. Занимљиво

је да постоји само пет полиедара који задовољавају поменуте услове. Имена ових тела су

изведена из грчких назива за бројеве страна: тетра – четири, хекса – шест, окта – осам,

додека – дванаест и икоси – двадесет.

Име тетраедар коцка октаедар додекаедар икосаедар

Број страна 4 6 8 12 20

Број ивица 6 12 12 30 30

Број темена 4 8 6 20 12

Задатак.

На картону нацртај приказане мреже. Изрежи их остављајући вишкове за лепљење и

направи моделе ових пет тела.

Правилни полиедри су познати и под именом Платонова тела по чувеном старогрчком

филозофу Платону. Платон (427–347 пре нове ере) један је од најистакнутијих мислилаца

своје епохе који је оставио дубок траг у филозофији и науци уопште. На улазу у

Академију, школу коју је основао Платон, стајао је натпис:

Нека нико ко не познаје геометрију не улази овде.

58

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И

НЕЈЕДНАЧИНЕ С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ

Једначинe попут

x + 3 = 0 , 5x – 2 = 0 , –3x + 3 = 0 , –x + 7 = 0

већ смо решавали, углавном користећи се особинама рачунских операција. Притом

смо говорили о правилима помоћу којих се израчунавају непознати сабирак, чинилац и

слично.

Како би назвао/ла непознату величину у једначини

2x = x + 5?

На левој страни непозната је чинилац, а на десној сабирак. Зато посматрану једначину

не можемо решити помоћу поменутих правила која смо до сада користили.

Ипак, није тешко уoчити да је решење дате једначине број 5.

2x = x + 5

x + x = x + 5

x = 5

При решавању ове једначине искористили смо знање о реалним бројевима (стечено

прошле школске године).

Вага са два таса остаје у равнотежи само ако на оба таса додаш или са оба таса одузмеш

исту масу. Или, речником математике – додавањем истог броја на обе стране једнакости

или одузимањем истог броја од обе стране једнакости добијамо нову једнакост.

Поступак решавања једначина који ћемо сада учити заснива се на особинама реалних

бројева и општији је у односу на онај који већ знаш. На аналоган начин ћемо решавати и

неједначине.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

59


Алгебарски изрази

Од бројева, променљивих и рачунских операција, придржавајући се познатих правила,

градимо алгебарске изразе. На пример,

5 + 2, 2 · x – 1, x : 3 – √2

су правилно изграђени алгебарски изрази.

Специјално, када у алгебарском изразу учествује променљива, кажемо да је то

алгебарски израз са променљивом.

Задатак 1.

Попуни дату табелу.

x 1 -1 0

3x + 1

2

3

–2,8 а

Као што видиш, бројевна вредност алгебарског израза са променљивом 3x + 1 мења се у

зависности од вредности коју доделимо променљивој x.

Задатак 2.

Напиши три алгебарска израза са променљивом x и одреди њихове вредности када

променљива узима вредности –2, 1 4 и 0.

Подсетимо се основних алгебарских закона.

a + b = b + a комутативност a · b = b · a

(a + b) + c = a + (b + c) асоцијативност (a · b) · c = a · (b · c)

a + 0 = 0 + a = a неутрални елемент а · 1 = 1 · a = a

a + (–а) = (–а) + a = 0 супротни, инверзни елемент a · 1 a = 1 a · a = 1 за а ≠ 0

a · 0 = 0 · a = 0

дистрибутивни закон множења према сабирању

a · (b + c) = a · b + а · c

Наведени алгебарски закони користе се и као правила по којима трансформишемо

алгебарске изразе.

60

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пре него што смо се упознали са целим бројевима, знак – је био резервисан само за

операцију одузимања. Израз a – b смо називали разликом бројева a и b. Међутим, по

увођењу целих бројева, овај знак добија још једно значење. Израз –а означава супротан

број броја а. Ова двојака употреба знака – природно се намеће и не ствара тешкоће, јер

се до ознаке негативног броја долази тако што се изостави 0 из одговарајуће разлике:

0 – 1 = –1, 0 – 2 = –2, 0 – 3 = –3.

Заправо, у скупу реалних (целих, рационалних) бројева нема разлога говорити о

операцији одузимања. Одузимање се увек своди на одговарајуће сабирање.

5 – 8 = 5 + (–8), –3 – 2 = –3 + (–2)

За свака два реална броја a и b важи a – b = a + (–b).

Супротан број броја а је број –а, а супротан број броја –а је број а, то јест –(–а) = а.

Ако број помножимо са –1 добијамо супротан број тог броја.

–3 = (–1) · 3 3 = –(–3) = (–1) · (–3)

За сваки реалан број (било позитиван, било негативан) важи –а = (–1) · а.

Када се знак – појави испред заграде, то значи да бројем –1 множимо сваки број у

загради. Зато се каже – минус испред заграде мења знак сваког броја у загради.

Задатак 3.

Спој одговарајуће изразе као што је почето.

a + (b – c) ·

a + (b + c) ·

a + (–b + c) ·

a + (–b – c) ·

a – (b – c) ·

a – (b + c) ·

a – (–b + c) ·

a – (–b – c) ·

· a + b + c

· a – b – c

· a + b – c

· a – b + c

У скупу реалних бројева такође нема разлога говорити о операцији дељења. Дељење

(када је дефинисано) увек се своди на одговарајуће множење.

5 : 5 = 5 · 1 5 , 8 : (–9) = 8 · – 1 9

За сваки реалан број a и реалан број b различит од 0 важи a : b = a · 1 b .

Нулом се не дели.

Алгебарске изразе ћемо, као и до сада, обележавати великим словима латинице, на

пример А, B, C и слично. Ако желимо да нагласимо да се ради о изразу са променљивом

x, писаћемо А(x), B(x), C(x) и слично.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

61


Пример 1. Нека је А(x) = x + 10 – 3, B(x) = x + 7, C(x) = 5x + 3x, D(x) = 8x и Е(x) = 1 x .

Додељујући променљивој x конкретан реалан број, сваки од израза А, B, C и D добија

конкретну бројевну вредност. Зато кажемо да су изрази А, B, C и D дефинисани за сваки

реалан број. За разлику од наведених, израз Е, Е(x) = 1 , није дефинисан за сваки реалан

x

број. Наиме, ако је x = 0, бројевна вредност израза Е(x) не постоји, док за све остале

реалне бројеве та вредност постоји.

Скуп свих вредности променљиве за које дати израз има бројевну вредност назива се

област дефинисаности тог израза или скуп допустивих вредности променљиве за тај израз.

Дакле, област дефинисаности израза А, B, C и D из претходног примера је скуп реалних

бројева, а област дефинисаности израза Е је скуп R\{0}.

Еквивалентност израза. Линеаран израз

Два израза су еквивалентна ако имају исту област дефинисаности и ако су њихове

бројевне вредности једнаке за све допустиве вредности променљивих.

Пример 2. а) Да ли су изрази G(x) = x и H(x) = x2

x еквивалентни?

Oбласт дефинисаности израза G(x) је скуп R, а област дефинисаности израза H(x) је скуп

R\{0} (нулом се не дели), па они нису еквивалентни.

б) Да ли су изрази B(x) = x + 7 и D(x) = 8x еквивалентни?

Ова два израза имају исту област дефинисаности, скуп R, тако да је први услов испуњен.

Лако је уочити и да је B(1) = 8 = D(1). Међутим, то није довољно да закључимо да су

изрази B и D еквивалентни, јер једнакост B(x) = D(x) треба да буде истинита за свако x.

Како је B(0) = 7 ≠ 0 = D(0), закључујемо да изрази B и D нису еквивалентни.

Да бисмо доказали да два израза нису еквивалентна, довољно је да покажемо да немају

исту област дефинисаности или да нађемо бар једну вредност променљиве за коју та два

израза немају једнаке бројевне вредности.

62

в) Да ли су изрази C(x) = 5x + 3x и D(x) = 8x еквивалентни?

Oбласт дефинисаности оба израза је скуп R, тако да је први услов испуњен. Лако је

уочити (сабирање сличних монома) и да је

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x,

то јест једнакост C(x) = D(x) је истинита за свако x, па је испуњен и други услов.

Закључујемо да изрази C и D јесу еквивалентни.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Ако су два израза еквивалентна, онда се један од њих добија из другог, и то у коначном

броју корака применом правила рачунања.

Задатак 4.

Oдреди бар један израз еквивалентан изразу:

а) 4(x – 4) + 5; б) 4x – 3(2 – 5x);

в) (x + 3)(x + 7); г) (x – 1) 2 .

a · (b + c) = ab + ac

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Алгебарски израз са променљивом x је линеаран (по променљивој x) ако је еквивалентан

изразу облика ax + b, где а, b R и а ≠ 0. Израз 0 · x + b је константан.

Задатак 5.

Који су од израза датих у задатку 4 линеарни? Зашто?

Jедначинe

Два алгебарска израза, од којих бар један садржи променљиву или више њих, спојена

знаком једнакости (с циљем да се одреде вредности променљиве или променљивих за

које је једнакост истинита), чине једначину.

Леву страну једнакости означаваћемо са L, а десну са D.

Уколико се у једначини, попут дате, појављује само једна променљива, кажемо да је то

једначина са једном непознатом. Наравно, постоје и једначине са више непознатих

(две, три и тако даље), на пример 2x + y = 5.

Уобичајено је да се непознате у једначинама означавају словима с краја абецеде, x, y, z.

Скуп свих вредности променљиве за које су дефинисани алгебарски изрази који се у

једначини јављају називамо облашћу дефинисаности те једначине.

Број –8 јесте решење једначине 5 + x = –3, јер је 5 + (–8) = –3, док број 7 није решење ове

једначине јер 5 + 7 ≠ –3.

Решење једначине је сваки број који додељен непознатој ту једначину преводи у истиниту

бројевну једнакост.

Задатак 6.

Напиши три једначине у којима је непозната величина означена са x и провери за сваку

од њих да ли је неки од бројева 0, 2, –3, – 1 3

решење те једначине.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

63


Линеарна једначина. Еквивалентност једначина

Пример 1. Одредимо решења једначине x = 2 и једначине x + 7 = 9.

Једначина

x = 2

је најједноставнијег облика и из

ње директно видимо (читамо) да је

њено једино решење број 2.

Дакле, једначине x = 2 и x + 7 = 9 имају исто решење.

Нас ће, засад, посебно интересовати линеарне једначине.

Правило замене

На основу x + 7 = 9

закључујемо да је x = 9 – 7,

односно x = 2.

Према томе, једино решење једначине

x + 7 = 9 је број 2.

Две једначине су еквивалентне ако је свако решење једне од њих уједно решење и друге,

или ако обе једначине немају решења.

Једначина са једном непознатом x је линеарна ако је евивалентна једначини облика

аx + b = 0, где су а и b реални бројеви.

Из практичних разлога, у горњој дефиницији је дозвољено да коефицијент уз

променљиву може бити и 0, али ми ћемо тај случај посматрати одвојено.

Како од дате једначине добијамо њој еквивалентну?

Слично, као што од датог израза добијамо њему еквивалентан применом неког од

правила рачунања, од дате једначине добијамо њој еквивалентну ако применимо неко

од следећих правила која важе за једнакости.

Нађимо једначину најједноставнијег типа, еквивалентну

једначини x = 7 + 2. Знамо да је 7 + 2 = 9, односно изрази

7 + 2 и 9 су еквивалентни. Зато један од њих можемо

заменити другим. Тако добијамо једначину x = 9 која је

еквивалентна полазној.

Слично, у једначини 2(x + 2) – 3 = 5 израз 2(x + 2)

можемо заменити изразом 2x + 4, јер су та два

израза еквивалентна. Тако добијамо једначину

2x + 4 – 3 = 5 која је еквивалентна полазној.

64

Поступајући слично као у претходна два примера,

можеш ли да напишеш једначину еквивалентну

једначини (2 + 3)x – 5 = 0? Таквих једначина има више,

али вероватно ти прво пада на памет да је 2 + 3 = 5, то

јест да су изрази 2 + 3 и 5 еквивалентни. Зато израз

2 + 3 замењујемо изразом 5 и добијамо једначину

5x – 5 = 0 која је еквивалентна полазној.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Правило замене (израза њему еквивалентним). Израз који се појављује у једначини

можемо заменити њему еквивалентним и на тај начин ту једначину трансформисати у њој

еквивалентну једначину.

Заменом места страна једначине (лева постаје десна, а десна лева) добијамо једначину

која је еквивалентна полазној, јер из A = B следи B = A.

Правило о додавању

Правила која су важила за бројеве настављају да важе и за изразе, јер алгебарски изрази

са променљивом при додели неке конкретне (дозвољене) вредности тој променљивој

постају бројевни изрази.

За реалне бројеве а, b, c из а = b следи а + c = b + c и а – c = b – c.

На основу претходног закључујемо да када додамо број 18 на обе стране једначине

9x – 18 = 0, добијамо њој еквивалентну једначину 9x – 18 + 18 = 0 + 18.

Правило о додавању (истог израза на обе стране једначине). Додавањем истог израза

на обе стране једначине (одузимањем истог израза од обе стране једначине) добијамо

једначину која је еквивалентна полазној.

У називу овог правила не помиње се одузимање јер је

одузети неки израз исто што и додати њему супротан израз.

Сада, применом правила замене, добијамо једначину

9x = 18 која је еквивалентна полазној.

Приметимо да примена правила о додавању за последицу има да број –18 нестаје на

левој страни једначине, а да се на десној страни појављује број +18. Зато се често каже

– преласком на другу страну једначине, број мења знак. Међутим, никаквог преласка

нема, зар не?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

65


Правило о множењу

За реалне бројеве а, b, c, где је c ≠ 0, из а = b следи а · c = b · c и а : c = b : c.

Значи, ако обе стране једначине 9x = 18 помножимо са 1 , добијамо њој еквивалентну

9

једначину 9x · 1 9 = 18 · 1 . Међутим, чешће ћемо рећи „поделимо са 9” (и тако

9

записивати).

Правило о множењу (истим „ненула” изразом обе стране једначине). Множењем

(дељењем) истим изразом, различитим од 0, обе стране једначине добијамо

једначину која је еквивалентна полазној.

У називу овог правила се не помиње дељење, јер је

дељење неким бројем (различитим од 0) исто што и

множење његовом реципрочном вредношћу.

Која једначина најједноставнијег облика је еквивалентна једначини 9x : 9 = 18 : 9?

Задатак 1.

Спој еквивалентне једначине.

Задатак 2.

Заокружи слово испред линеарних једначина:

3x – 5 + 4 = –4 ·

3(x – 3) = –4 ·

3x + 1 = 2x ·

7 – x = x – 7 ·

· 3x – 9 = –4

· 3x – 1 = –4

· x = –1

· 2x – 14 = 0

а) 3x = 5; б) x 2 = 2; в) 1 = 3 − x ;

x

г) 5 – 5x = 3x + 6.

Задатак 3.

Милица и Милош су применом правила замене, правила о додавању и правила о

множењу добили једначине најједноставнијег облика за које тврде да су еквивалентне

једначини 8x + 5 = 3(4x – 1). Да ли се слажеш са тврђењем неког од њих двоје? Зашто?

66

Милица 8x + 5 = 3(4x – 1)

8x + 5 = 12x – 3

3 + 5 = 12x – 8x

8 = 4x

x = 4

Милош 8x + 5 = 3(4x – 1)

8x + 5 = 12x – 3

8x – 12x = –3 + 5

–4x = 2

x = 0,5

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Решавање линеарних једначина с једном непознатом

Једначину смо решили када одредимо све бројеве који су њена решења или утврдимо

да једначина нема решење.

Линеарну једначину са једном непознатом решавамо тако што применом правила

замене, правила о додавању и правила о множењу, коначан број пута, долазимо до њој

еквивалентне једначине из које директно читамо решење (решења).

Пример 1. Решимо једначину 5x – 8 = 0.

Прво ћемо на обе стране једначине додати број

8. После замене израза – 8 + 8, 0 + 8 и 5x + 0 њима

еквивалентним, обе стране делимо бројем 5

(помножимо са 1 ), како би нам на левој страни

5

једначине остала само променљива x. Коначно,

заменом израза 5x : 5 и 8 : 5 њима еквивалентним,

добијамо једначину из које директно читамо решење.

Наравно, увек је пожељно извршити проверу. То

можемо урадити на два начина:

· прво израчунавамо вредност израза са једне стране

једначине, па са друге и потом проверимо да ли смо

добили једнаке вредности;

· истовремено израчунавамо вредности обе стране

једначине и проверавамо да ли смо добили истиниту

бројевну једнакост.

Провера.

I начин

L = 5 · 1,6 – 8 = 8 – 8 = 0

D = 0

II начин

5 · 1,6 – 8 = 0

8 – 8 = 0

0 = 0

Задатак 1.

Реши линеарне једначине: а) x – 2 = 1 ; б) –2x = 3; в) 13 – 3x = 52.

3

Покажимо сада како у општем случају решавамо линеарну једначину аx + b = 0, где је а

било који реалан број различит од 0, а b произвољан реалан број.

Применом правила замене, правила

о додавању и правила о множењу,

добијамо низ међусобно еквивалентних

једначина. При том, циљ нам је да у

последњој једначини на левој страни

остане само непозната величина, а на

десној страни неки реалан број.

Линеарна једначина аx + b = 0, када је а ≠ 0, има јединствено решење, број – b a .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

67


Задатак 2.

Реши линеарне једначинe и потом уради проверу: а) 9x – 2 = 25; б) 7 – 3x = –8.

Пример 2. Решимо једначину 7x – 8 = 4x + 4.

Приметимо да се непозната налази на обе стране дате

једначине. Наш први циљ при решавању таквих једначина

је да раздвојимо непознате и константе. Уобичајено је да се

прво побринемо да се сви мономи који садрже непознату

налазе на левој страни једначине.

Задатак 3.

Реши једначине и потом уради проверу:

а) 5x + 3 = 3x + 9; б) 4 – 7x = 3x + 9; в) 2x – 13 = 8 – 6x + 3.

Пример 3. Решимо једначину x 6 + 11 = 2 3 .

Ако a|b, онда је S(a, b) = b.

Рад са разломцима се најчешће избегава (јер је

компликованији од рада са целим бројевима). Зато обе

стране једначине прво множимо са 6 јер је S(6, 3) = 6.

Наиме, уколико се у једначини појављују разломци,

множимо обе стране једначине заједничким садржаоцем

именилаца и тако добијамо једначину еквивалентну

полазној, али која не садржи разломке.

Задатак 4.

Реши једначине:

а) 3 4 – x 7 = 1; б) 2 3 x – 2 = – 2 5 x; в) x 4 – x 3 + 1 1 2 = x 6 – 1.

Пример 4. Решимо једначину 5x = 5x + 1.

Очигледно је да дата једначина нема решења,

али ипак, трансформишимо је у облик аx = b.

Применом правила о додавању и правила замене,

долазимо до еквивалентне једначине

0 · x = 1.

Како је производ произвољног броја и 0 једнак 0,

јасно је да једначина 0 · x = 1 нема решење.

Једначина еквивалентна једначини 0 · x = b, где је b ≠ 0, нема решење.

Свака линеарна једначина која нема решење еквивалентна је једначини 0 · x = 1.

Задатак 5.

Међу једначинама 2 – 2x = – 2x, – 2x = –3x , 5x – 3 = 3 – 5x и – 2 + x = –3 + x

издвој оне које немају решења.

68

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 5. Решимо једначину 5x = 2x + 3x.

Како је 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x, изрази

2x + 3x и 5x су еквивалентни. Зато је сваки реалан

број решење дате једначине. Применом правила

о додавању и правила замене, долазимо до

еквивалентне једначине

0 · x = 0,

чије је решење сваки реалан број.

Ако је сваки реалан број решење неке једначине, кажемо да је она неодређена и

називамо је идентитетом.

Сваки реалан број је решење једначине која је еквивалентна једначини 0 · x = 0.

Свака линеарна једначина која је идентитет је еквивалентна једначини 0 · x = 0.

Да бисмо показали да једначина јесте идентитет, неопходно је да покажемо да су изрази

са различитих страна једнакости еквивалентни, односно да покажемо да је једначина

еквивалентна једначини 0 · x = 0, као што смо то урадили у примеру 5.

Да бисмо показали да једначина није идентитет, довољно је да покажемо да постоји

(бар један) број који, додељен непознатој, једначину не преводи у истиниту бројевну

једнакост.

Пример 6. Посматрајмо једначину (3 + 5x) 2 = 3 2 + (5x) 2 .

Ако непознатој x доделимо вредност 0, добијамо истиниту бројевну једнакост 9 = 9.

Међутим, то нам није довољно да закључимо да ће се исто десити и за друге вредности

непознате x. На основу једног појединачног случаја, или више њих, не можемо да

изведемо закључак који се односи на све случајеве.

Ако непознатој x доделимо вредност 1, добијамо бројевну једнакост 64 = 34 која није

истинита, и то нам јесте довољно да закључимо да дата једначина није идентитет.

Задатак 6.

Издвој идентитете:

а) 2 – 2x = 2(1 – x); б) 2x + 1 = 10 – 3(3 – x) – x; в) (2 – x) 2 = 2 2 – x 2 .

На шеми десно приказана

су сва три случаја која

настају при решавању

линеарне једначине

ax + b = 0, у зависности од

вредности коефицијената

a и b.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

69


Пример 7. Нађимо решења једначине

(x + 6) 2 = x 2 + 144.

Наизглед се може учинити да ова једначина

није линеарна. Међутим, то је погрешно, што

ћемо и показати, а потом и решити једначину.

Дакле, и једначине које садрже више степене

непознате (други, трећи, и тако даље) могу

бити еквивалентне некој линеарној једначини,

то јест могу бити линеарне.

Задатак 7.

Покажи да је једначина (x – 2) (x + 3) = (x – 4) 2 – 1 линеарна, а онда је и реши.

Пример 8. Одредимо решења једначина 2(x + 3) – 8 = 18 и 3(4(2 – 3(x – 1)) – 5) – 8 = 1.

У обе дате једначине непозната x се налази у оквиру израза унутар заграда. Тада:

· или се ослободимо заграда тако што извршимо назначене операције,

· или прво сматрамо да је непозната величина читав израз који се налази у загради и

одређујемо чему је он једнак, а затим одређујемо непознату.

У сваком конкретном случају одлучујеш на који начин ћеш решити проблем. Наравно,

резултат не зависи од начина рада.

При решавању једначине

2(x + 3) – 8 = 18

прво ћемо се ослободити заграда.

Реши једначину и на други начин. Видећеш да су у овом случају

оба поменута начина подједнако ефикасна.

Како се у једначини

3(4(2 – 3(x – 1)) – 5) – 8 = 1

непозната налази у оквиру три пара заграда,

изабраћемо други начин за њено решавање.

Реши једначину и другачије, па процени да

ли смо изабрали ефикаснији начин.

70

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 8.

Реши једначине и потом уради проверу:

а) 2x + 3 = 5 – 8(6 – x); б) 17 – 4

x

3 + 3 = 5;

в) 2(x – 2(3 – 3x)) = 3 – x; г) 4 – 6 2 – 1 (24 – 0,75 x) + 2 = 0.

7

Пример 9. Решимо једначину

3(x + 2)

13


5(x – 3)

7

= 3 – 2x

5

.

Ако је D(a, b) = 1, онда је S(a, b) = ab.

При решавању једначина овог типа прво се ослобађамо разломака користећи правило о

множењу. Леву и десну страну множимо са

S(13, 7, 5) = 13 · 7 · 5 = 455.

Потом добијене изразе средимо применом правила о замени, а онда раздвојимо

непознату и константе.

Задатак 9.

Реши једначине и потом уради проверу:

а) 2x + 1 = x + 2

3 2 ; б) x + 2

5

– x – 2

6

+ x + 4

2

= 17;

в)

7(2x + 5)

3


3(5x + 7)

4

= 2(5 – 3x); г) 3 – 6x

5

+ 2 3

х

(x + 10) = + 1.

4

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

71


Примена линеарних једначина с једном непознатом

Помоћу линеарних једначина решавамо разне, често врло различите, проблеме.

Пример 1. Одредимо број чија је четворострука вредност за 10 већа од његове

двоструке вредности.

Тражени (непознати) број ћемо означити са x.

Онда је четворострука вредност тог броја 4x, а

двострука 2x. На основу услова датог у задатку,

записујемо једначину

4x – 10 = 2x,

чије је решење тражени број. Једначину смо

могли и другачије формулисати, као

4x = 2x + 10 или 4x – 2x = 10.

Наравно, ове три једначине су еквивалентне.

Задатак 1.

Када двострукој вредности неког броја додаш 8, добијаш исто као када од троструке

вредности тог броја одузмеш 4. Који је то број?

Задатак 2.

Када троструку вредност неког броја увећану за 8 поделиш са 5, добијеш број који је за 2

мањи од тог броја. О ком броју је реч?

Задатак 3.

Одреди број такав да је разлика половине тог броја и броја 6 једнака 1 3 .

Пример 2. Одреди четири узастопна природна броја чији је збир 90.

Најмањи од четири тражена броја ћемо означити

са x. Онда су остала три броја x + 1, x + 2 и x + 3

(поређани од најмањег до највећег). На основу

услова датог у задатку, записујемо једначину

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 90.

Како би гласила једначина да смо са x означили

највећи од четири тражена броја?

Задатак 4.

Збир пет узастопних непарних бројева је 105.

О којим бројевима је реч?

x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = 90

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 90

4x + 6 = 90

4x = 90 – 6

x = 84 : 4

x = 21

Провера.

21 + 22 + 23 + 24 = 90

Општи облик парног боја је 2k,

а непарног 2k + 1, k N 0

.

Задатак 5.

Збир четири узастопна цела броја

дељива са 3 је –6. Који су то бројеви?

Општи облик целог броја дељивог са 3 је

3k, а бројеви који нису дељиви са 3 су или

облика 3k + 1 или облика 3k + 2 (или

3k – 1) k Z.

72

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 3. На питање колико има година, Никола је одговорио загонетком: „За четири

године имаћу дупло више година него што сам имао пре три године.”

Покажимо да и ову загонетку можемо решити помоћу

математике. Тренутни (садашњи) број Николиних

година означићемо са x. Онда услову задатка одговара

табела десно и једначина

2(x – 3) = x + 4.

Увек када решавамо задатке који се тичу година, онога

што је било пре извесног времена и онога што ће бити

за извесно време, пожељно је саставити сличну табелу.

2(x – 3) = x + 4

2x – 6 = x + 4

x = 10

Задатак 6.

Пре 4 године Стефан је имао четири пута мање година него његов отац, који сада има 44

године. Колико година има сада Стефан?

Задатак 7.

У одељењу од 31 ученика има 5 девојчица више него дечака. Колико има дечака у том

одељењу?

Пример 4. У једном одељењу сви ученици су завршили седми разред са позитивним

успехом. Ако знамо да је било 6 ученика са одличним успехом, трећина са врло добрим,

25% њих са добрим и шестина са довољним успехом, можемо да утврдимо колико је

ученика било у том одељењу на крају те школске године.

Број ученика у одељењу ћемо означити

са x и у складу са тим попунити табелу

десно. Закључујемо да постављеном

проблему одговара следећа једначина.

1% = 0,01 =

a% =

a

100

1

100

6 + x 3 + 0,25x + x 6 + 0 = x

6 + x 3 + x 4 + x 6 = x / · 12

72 + 4x + 3x + 2x = 12x

3x = 72

x = 24

Задатак 8.

Наташа је првог дана прочитала трећину књиге, другог дана две петине те књиге,

а трећег дана преосталих 80 страница. Колико страница има књига коју је Наташа

прочитала?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

73


За решавање многих геометријских проблема неопходне су линеарне једначине.

Пример 5. Да ли можемо одредити мере унутрашњих углова троугла уколико знамо да

је угао a за 50° већи од угла b, а да је угао g за 20° мањи од угла b?

Како је a + b + g = 180°,

на основу услова датих у задатку,

формирамо следећу линеарну једначину.

(b + 50°) + b + (b – 20°) = 180°

3b + 30° = 180°

3b = 150°

b = 50°

Дакле, a = 100°, b = 50°, g = 30°.

Збир унутрашњих

углова у троуглу

је 180°.

Збир спољашњих

углова троугла је 360°.

Задатак 9.

Одреди унутрашње углове петоугла АBCDE

ако je А = C = E, А за 15° већи од B

и E за 15° мањи од D.

Збир унутрашњих углова

конвексног n-тоугла је (n – 2) · 180°.

Збир спољашњих углова

конвексног n-тоугла је 360°.

Пример 6. Дати су квадрат и правоугаоник, при чему је једна страница правоугаоника за

2 дужа од странице квадрата, а друга је за 3 дужа од странице квадрата. Ако је површина

правоугаоника за 46 већа од површине квадрата, одредимо страницу квадрата.

Означимо са а страницу квадрата. Тада су странице

правоугаоника а + 2 и а + 3. Површина квадрата је а 2 , а

површина правоугаоника (а + 2)(а + 3), па формирамо

следећу једначину:

а 2 + 46 = (а + 2)(а + 3)

а 2 + 46 = а 2 + 2а +3а + 6

46 = 5а + 6

5а = 40

а = 8

Посматрајући слику видимо да шрафирани део представља разлику површина

правоугаоника и квадрата, па смо могли одмах да поставимо једначину 2а +3а + 6 = 46.

Задатак 10.

Ако страницу квадрата повећамо за 6, добијамо нови квадрат чија је површина за 144

већа од површине мањег квадрата. Одреди странице тих квадрата.

Задатак 11.

Када броју дијагонала једног многоугла

додамо 15, добијамо број дијагонала

многоугла који од њега има три странице

више. О којим многоугловима је реч?

Број дијагонала n-тоугла је

n(n – 3)

.

2

74

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Развој математике врло је битан и за многе друге науке. На пример, физика, хемија,

економија су незамисливе без математике.

Нилс Бор (дански физичар, добитник Нобелове награде 1922.

године): „Математика је више од науке, она је језик науке.”

Алберт Ајнштајн (физичар, добитник Нобелове награде 1921.

године): „Ех, да сам боље знао математику!”

Сви задаци које решаваш на часовима физике и хемије, поред познавања тих области,

обавезно захтевају и познавање одређених математичких поступака. Многи од тих

проблема своде се на решавање одговарајућих линеарних једначина.

Пример 7. Даница се договорила да се види са својом другарицом Милицом, чија је кућа

удаљена 15 km од њене. На сусрет су обе кренуле бициклима, свака од своје куће у 9

часова. Даница је при том возила брзином од 14km/h, а Милица 16km/h. У колико сати ће

се срести ове две другарице?

Обележићемо са v 1 Даничину брзину кретања, са s 1 пут који ће она

прећи до сусрета, са v 2

Миличину брзину, са s 2

пут који ће Милица

прећи до сусрета и са t време протекло од поласка до њиховог

сусрета. Другарице се крећу једна према другој, па закључујемо да је

s 1

+ s 2

= 15.

Имајући у виду да је

s 1

= v 1

· t и s 2

= v 2

· t,

то јест s 1

= 14t и s 2

= 16t, долазимо до једначине коју треба решити.

14t + 16t = 15

30t = 15

t = 0,5 h

t = 30 min

Срешће се у

9 часова и 30

минута.

D

14km/h t

15km

. .

16km/h t

M

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

75


Задатак 12.

Бициклиста креће из Београда у Крагујевац у 7 часова и креће се просечном брзином

од 16km/h. У 11 часова истог дана креће аутобус из Београда у Крагујевац и креће се

просечном брзином од 64km/h. Ако се аутобус креће истим путем као и бициклиста, у

колико сати ће га сустићи?

Задатак 13.

Сијалица је прикључена на електрични напон U = 220V, а јачина електричне струје кроз

њу је I = 0,5А. Колика је електрична отпорност влакна те сијалицe?

Пример 12. Колико грама раствора сумпорне киселине од 96% треба додати у 15,5

литара воде да би се добио раствор од 3%?

Означимо са x масу (у грамима) раствора

сумпорне киселине од 96% који треба додати

у 15 500 грама воде. Маса новодобијеног

раствора је једнака збиру масе воде

(15 500g) и масе раствора сумпорне киселине

од 96% који ћемо додати у воду (x). Маса

чисте сумпорне киселине у новодобијеном

раствору је 3% од укупне масе раствора

(0,03 · (15 500 + x)). Та маса сумпорне киселине

(у новом раствору од 3%) мора бити једнака

маси сумпорне киселине у раствору од 96%

(0,96 · x), па на основу тога формулишемо

једначину.

0,96 · x = 0,03 · (15 500 + x)

0,96x = 465 + 0,03x

0,93x = 465

x = 500g

Задатак 14.

Колико грама раствора хлороводоничне киселине од 30% треба помешати са 100 грама

раствора исте киселине од 2% да би се добио раствор од 10%?

Пример 13. Једна банка на орочену девизну штедњу (у

еврима), на годину дана, нуди камату од 7,5%. Да бисмо,

штедећи у тој банци, на годишњем нивоу преко камате добили

300 евра, колико новца је потребно да уложимо?

Означимо са x количину новца коју

улажемо. Тада ћемо након годину дана

имати x + 0,075x, то јест 1,075x. Онда

постављеном проблему одговара

следећа линеарна једначина.

1,075x = x + 300

0,075x = 300

x = 300 : 0,075

x = 300 000 : 75

x = 4 000

Задатак 15.

Цена зимске јакне после два узастопна појефтињења од по 20% је за 300 динара мања од

70% своје првобитне вредности. Колико је јакна укупно појефтинила?

76

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Једначине које се своде на линеарне

Неке једначине нису линеарне, али се њихово решавање ипак своди на решавање

одговарајућих линеарних једначина.

Прво ћемо показати да се неке једначине са апсолутном вредношћу своде на решавање

линеарних једначина.

| a | =

Пример 1. Решимо једначину |3x + 2| = 5.

Како је |5| = 5 и |–5| = 5, решење дате једначине је онај реални број x за који је 3x + 2 = 5

или 3x + 2 = –5.

Дакле, решавање полазне једначине се своди на

решавање две линеарне једначине.

Једначина |3x + 2| = 5 има два решења, бројеве 1 и – 7 3 .

Провери!

Задатак 1.

Реши једначине:

а) |x| = 5; б) |5 – 5x| = 3; в) 3|x| + 6= 5|x| – 4.

Пример 2. Решимо једначину (x + 3) · (6 – x) = 0.

Решавање ове једначине (уопште,

решавање једначина овог облика)

своди се на решавање одговарајућих

линеарних једначина.

Ако је ab = 0, онда је a = 0 или b = 0.

Пример 3. Решимо сада и једначину x 2 + 4x = 0.

При решавању једначине x(x + 4) = 0 не

смемо обе стране једначине делити

са x, јер правило о множењу захтева

да буде x ≠ 0. Број 0 јесте решење ове

једначине.

ab + ac = a(b+c)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

77


Кључно за решавање једначина попут ових из примера 2 и 3 јесте то да се оне своде на

једначину облика AB = 0, одакле закључујемо да је A = 0 или B = 0.

Задатак 2.

Реши једначине:

а) (x – √2)(x + √3) = 0; б) 28x – 35x 2 = 0; в) x 3 = 4x 2 .

Пример 4. Решавање једначина

x 2 – 25 = 0 и x 2 – 2x + 1= 16

(уопште, решавање једначина ових облика) такође

се, слично као у примеру 2, своди на решавање

одговарајућих линеарних једначина.

Једначина x 2 = a, где је a > 0,

има два решења √a и – √a.

а 2 – b 2 = (a + b)(a – b) а 2 +2ab + b 2 = (a + b) 2

x 2 – 2x + 1= 16

2

Задатак 3.

Реши једначине:

а) 9 – x 2 = 0; б) x 3 – 3x = 0; в) x 2 + 6x + 4 = 0.

Задатак 4.

Квадрат неког броја је једнак његовој трострукој вредности. О ком броју је реч?

Задатак 5.

Шестострука вредност неког броја за 8 је већa од квадрата тог броја. Одреди тај број.

Задатак 6.

Одреди број такав да је збир његовог квадрата и његове десетоструке вредности једнак

75.

Задатак 7.

Одреди све бројеве чији је трећи степен једнак производу тог броја и броја 16.

Задатак 8.

Дужа катета је за 1 краћа од хипотенузе, а за 7 дужа од краће катете. Одреди дужине

страница тог правоуглог троугла.

78

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Можда ће ти звучати чудно, али читава једна грана математике – теорија игара – бави се

проучавањем игара. Основни проблем те области је да ли је одређена игра фер или не.

Игра је фер уколико ниједан од играча нема предност, то јест ако ниједан од играча нема

могућност да себи осигура победу. Уколико постоји начин играња који неком од играча

осигурава победу, кажемо да тај играч има победничку стратегију и тада игра није фер.

Следећи пример представља игру која се заснива на познавању линеарних једначина

које су идентитети.

Пример. Димитрије је осмислио следећу игру, коју предлаже Љубици. Каже јој: „Ти

замислиш један број и с њим рачунаш по редоследу који ти кажем. Након тога, уколико

погодим резултат тог рачуна, ја побеђујем, а ако не, ти побеђујеш. Поступак рачунања

је следећи: Од замишљеног броја одузми 2, па добијени број помножи са бројем који је

од њега за 6 већи. Затим од тог производа одузми квадрат замишљеног броја. Онда

добијену разлику подели са 2, па количник увећај за 5. На крају, од добијеног броја одузми

замишљени број. Хоћеш да пробамо?”

Шта предлажеш Љубици да одговори?

Прво ћемо анализирати поступак рачунања који треба спровести. Обележимо са x

замишљени број. Онда треба израчунати бројевну вредност израза А(x), где је

A(x) =

(x – 2)((x – 2) + 6) – x2

+ 5 – x.

2

Међутим, оно што је интересантно је следеће:

A(x) =

(x – 2)((x – 2) + 6) – x2

2

+ 5 – x = x2 + 2x – 8 – x 2

2

+ 5 – x = x – 4 + 5 – x = 1.

Изрази

(x – 2)((x – 2) + 6) – x2

+ 5 – x и 1 су еквивалентни, па је зато једначина

2

(x – 2)((x – 2) + 6) – x 2

+ 5 – x = 1

2

идентитет. Према томе, Димитрије увек унапред зна резултат и има могућност да увек

победи. Зато предложена игра није фер (Димитрије има победничку стратегију), па

Љубица не треба да започиње ову игру са Димитријем, осим ако није спремна да изгуби

сваку партију.

Задатак.

Шта би предложио Димитрију ако њему Љубица предложи следећу игру: „Димитрије,

замисли један број. Онда тај број увећај за 1, па резултат помножи са бројем који је од

њега за 3 мањи. Затим од тог производа одузми квадрат броја који је за један већи од

замишљеног. Сада ми реци резултат, а ја ћу теби рећи који број си замислио. Ако погодим,

ја сам победила, а у супротном, ти.”

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

79


Линеарна неједначина

Знаке и ≥ једним именом називамо знацима неједнакости.

Неједначине са једном променљивом смо већ решавали. На пример, такве су

x + 7 < –3, 5x – 33 ≤ 0, 6 – 2 3 x > 8, |x| < 5, x2 ≥ 9.

Два алгебарска израза који садрже променљиву или променљиве, спојена знаком

неједнакости (с циљем да се одреде вредности те променљиве или тих променљивих за

коју је неједнакост истинита), чине неједначину.

Уколико се у неједначини појављује само једна променљива, кажемо да је то

неједначина са једном непознатом. Наравно, постоје и неједначине са више

непознатих (две, три и тако даље), на пример 5x – 4y ≤ 6.

Број –11 јесте решење неједначине x + 7 < –3, јер је –11 + 7 < –3, a број –10 није решење

неједначине x + 7 < –3, јер бројевна неједнакост –10 + 7 < –3 није истинита.

Решење неједначине је сваки број који додељен непознатој ту неједначину преводи у

истиниту бројевну неједнакост.

Задатак 1.

Напиши три неједначине и провери за сваку од њих да ли је неки од бројева 0, √3, – 2 3

решење те неједначине.

Скуп решења неједначине често исказујемо користећи интервале реалних бројева.

Интервал (а, b), где је а < b, је скуп реалних бројева x са

особином да је а < x < b.

Интервал [а, b), где је а < b, је скуп реалних бројева x са

особином да је а ≤ x < b.

Интервал (а, b], где је а < b, је скуп реалних бројева x са

особином да је а < x ≤ b.

Интервал [а, b], где је а < b, је скуп реалних бројева x са

особином да је а ≤ x ≤ b.

Kао ознаку за бесконачно у математици користимо симбол ∞, односно симболе +∞ и –∞.

Ове ознаке нам омогућавају да запишемо и неограничене интервале.

80

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Интервал (а, +∞) је скуп реалних бројева x са особином

да је x > a.

Интервал [а, +∞) је скуп реалних бројева x са особином

да је x ≥ a.

Интервал (–∞, а) је скуп реалних бројева x са особином

да је x < a.

Интервал (–∞, а] је скуп реалних бројева x са особином

да је x ≤ a.

Приметимо да интервали (а, +∞), [а, +∞), (–∞, а), (–∞, а] представљају скупове решења

најједноставнијих неједначина x > a, x ≥ a, x < a, x ≤ a, тим редом.

Тачан разлог за увођење баш симбола ∞ као ознаке за

бесконачно није познат (постоји више различитих тумачења).

За само увођење овог симбола је највероватније заслужан

енглески математичар Џон Валис (1616–1703).

Еквивалентност неједначина

Еквивалентне неједначине дефинишемо слично еквивалентним једначинама.

Две неједначине су еквивалентне ако имају исти скуп решења, то јест ако је свако

решење једне од њих уједно решење и друге, или ако обе неједначине немају решења.

Нас ће, засад, посебно интересовати линеарне неједначине.

Неједначина са једном непознатом x је линеарна ако је еквивалентна некој од

неједначина облика аx + b < 0, аx + b ≤ 0, аx + b > 0, аx + b ≥ 0, где су а и b реални бројеви.

Из практичних разлога, у горњој дефиницији је дозвољено да коефицијент уз

променљиву буде и 0. Ми ћемо тај случај посматрати одвојено.

Пре него што смо решавали линеарне једначине утврдили смо правила помоћу којих

од дате једначине добијамо њој еквивалентну. Тако ћемо поступити и сада, када је реч о

неједначинама.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

81


Правило замене (израза њему еквивалентним). Израз који се појављује у неједначини

можемо заменити њему еквивалентним и на тај начин ту неједначину трансформисати у

њој еквивалентну неједначину.

У шематским приказима које ћемо давати, из практичних разлога, увек ћемо наводити

само један тип неједначина, A < B. Наравно, наведена правила важе и за друга три

облика неједначина, A ≤ B, A > B и A ≥ B.

Као и код једначина, уобичајено је да се непозната налази на левој страни. Међутим, ако

се непозната јавља у изразу B у неједначини A < B, онда можемо уместо неједначине

A < B решавати њој еквивалентну неједначину B > A.

Задатак 2.

Попуни дату табелу као што је почето.

a b a < b? a + 2 b + 2 a + 2 < b + 2? a – 3 b – 3 a – 3 < b – 3?

1 2 истинита 3 4 истинита –2 –1 истинита

–3 –4

–0,5 0,1

2 – 6

Да ли си и пре израчунавања вредности знао/ла одговоре?

За реалне бројеве а, b, c на основу а < b следи а + c < b + c и а – c < b – c .

У изразима променљива представља замену за неки конкретан број, па правила у вези с

алгебарским изразима изводимо на основу правила која важе за реалне бројеве.

Правило о додавању (истог израза на обе стране неједначине).

Додавањем истог израза на обе стране неједначине (одузимањем

истог израза од обе стране неједначине) добијамо нову

неједначину која је еквивалентна полазној.

Задатак 3.

Попуни дату табелу као што је почето.

82

a b a < b? 2a 2b 2a < 2b? –3a –3b –3a < –3b?

1 2 истинита 2 4 истинита –3 –6 неистинита

–3 –4

–0,5 0,1

4 –6

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Да ли си и пре израчунавања вредности знао/ла одговоре?

За позитиван реалан број c и произвољне реалне бројеве а и b из а < b

следи а · c < b · c .

а < b, c < 0

b – а > 0, c < 0

(b – а)c < 0

bc – аc < 0

аc > bc

За негативан реалан број c и произвољне реалне бројеве а и b из а < b

следи а · c > b · c .

На основу претходна два тврђења долазимо до још једног правила за решавање

неједначина. За разлику од правила множења код једначина, сада, код неједначина,

морамо да разликујемо два случаја. Множење позитивним бројем не мења знак

неједнакости, док множење негативним бројем тај знак мења.

Правило о множењу (истим „ненула” изразом обе стране

неједначине). Множењем (дељењем) истим позитивним бројем

обе стране неједначине добијамо нову неједначину истог типа

која је еквивалентна полазној.

Множењем (дељењем) истим негативним бројем обе стране

неједначине добијамо нову неједначину са промењеним

знаком неједнакости која је еквивалентна полазној. При томе,

знак < мењамо у > и обрнуто, а знак ≤ мењамо у ≥ и обрнуто.

Задатак 4.

Спој еквивалентне неједначине.

x – 5 < 4 · · x < –9

x + 5 < –4 · · x < 9

5x < 45 · · x > –9

–5x < 45 · · x > 9

Задатак 5.

Покажи да је неједначина 2x – 3 – 7x ≥ –1 линеарна.

7

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

83


Решавање линеарних неједначина

с једном непознатом

Једначину смо решили када одредимо све бројеве који су њена решења или утврдимо

да такав број не постоји, то јест утврдимо да она нема решење.

Линеарну неједначину са једном непознатом решавамо тако што применом правила

замене, правила о додавању и правила о множењу, коначан број пута, долазимо до њој

еквивалентне неједначине из које директно читамо скуп решења.

Пример 1. Решимо неједначину x 3 – 1 > 0.

Прво ћемо на обе стране једначине додати број 1. После

замене израза –1 + 1, 0 + 1 и x + 0 њима еквивалентним, обе

3

стране множимо бројем 3, како би на левој страни једначине

остала само непозната x. Коначно, заменом израза x 3 · 3 и

1 · 3 њима еквивалентним, добијамо неједначину x > 3 из које

директно читамо скуп решења. Уобичајено је скуп решења

неједначине означавати са R x . У нашем случају је R x = (3, +∞).

Такође, уобичајено је скуп решења графички представити на

бројевној правој.

За разлику од једначина, код неједначина најчешће није могуће извршити проверу, јер

неједначине (које ћемо решавати) углавном имају бесконачно много решења. Наравно,

за неколико конкретних бројева из добијеног скупа решења може се проверити да ли

заиста јесу решења или за неколико конкретних бројева ван скупа R x .

Лево је приказано како у општем случају

решавамо линеарну неједначину аx + b > 0, где

је а произвољан позитиван реалан број, а b

произвољан реалан број.

Применом правила замене, правила о додавању

и правила о множењу, добијамо низ међусобно

еквивалентних неједначина. При том нам је циљ да

у последњој неједначини на левој страни остане

само непозната величина, а на десној страни неки

реалан број.

Скуп решења линеарне неједначине аx + b > 0, када је а > 0, представља интервал – b a , +∞ .

84

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 1.

Реши неједначине: а) 3x + 21 ≥ –5; б) 7 + 1,3x ≤ 3; в) x – 1

7 < 2.

Пример 2. Решимо неједначину 5 – x 7 > 0.

Прво ћемо на обе стране једначине додати број

–5, па изразе 5 – 5, 0 – 5 и 0 – x заменити њима

7

еквивалентним. Потом обе стране неједначине

множимо бројем –7 и мењамо знак неједнакости.

Коначно, заменом израза – x · (–7) и –5 · (–7) њима

7

еквивалентним, добијамо неједначину x < 35 из које

директно читамо скуп решења. Скуп решења дате

неједначине је интервал (–∞, 35), то јест R x

= (–∞, 35).

Покажимо сада како у општем случају решавамо линеарну једначину аx + b > 0, где је а

негативан реалан број, а b произвољан реалан број.

Применом правила замене, правила о

додавању и правила о множењу, које у овом

случају захтева промену знака неједнакости,

добијамо низ међусобно еквивалентних

неједначина. При том нам је циљ да у последњој

једначини на левој страни остане само

непозната величина, а на десној страни неки

реалан број.

Множењем обе стране неједначине негативним

бројем знак неједнакости се мења на следећи

начин.

Скуп решења линеарне неједначине аx + b > 0, када је а < 0, представља интервал –∞, – b a .

Задатак 2.

Реши неједначине: а) – x 3

+ 5 < 0; б) 13 – 3x ≥ 52; в)

5 – 3x

3

≤ –4.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

85


Пример 3. Решимо неједначину 4x + 5 ≤ 7 + 5x.

Примети да се непозната налази на обе стране дате неједначине. Наш први циљ при

решавању таквих неједначина је да раздвојимо непознате и константе. То можемо

урадити на следећа два начина.

У првом случају (слика лево) непознате су „пребачене” на леву страну, а затим је

примењено правило о множењу негативним бројем.

У другом случају (слика десно) непознате су „пребачене” на десну страну, а затим је

примењено правило о множењу позитивним бројем.

Задатак 3.

Реши неједначине:

а) 11x – 8 ≥ 6 – 3x; б) 9 – 5x < 1 – 2x; в) – x 5 + 2 2 3 > x 6 – 1.

Пример 4. Сада ћемо показати како решавамо неједначине, попут 3(2 – x) + 5 ≥ 11, у

којима се непозната налази унутар заградe или заграда. Као и код једначина, у сваком

конкретном случају одлучујеш да ли ћеш одмах да се ослободиш заграда (случај

приказан лево) или не (случај приказан десно).

Задатак 4.

Реши неједначине:

а) 5 – 2x > 3(1 + x); б) 3 4 x – 2 (x – 1) ≤ 0.

3

86

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 5. Решимо неједначину 3x > 3x – 1.

Очигледно, решење дате неједначине је сваки реалан

број. Применом правила о додавању и правила замене

долазимо до еквивалентне неједначине

0 · x > – 1.

Како је производ произвољног броја и 0 једнак 0, а

неједнакост 0 > –1 је истинита, закључујемо да је скуп

решења ове неједначине скуп реалних бројева, то јест R x

= R.

Скуп решења неједначине еквивалентне неједначини 0 · x > b, где је b < 0, је скуп

реалних бројева.

Задатак 5.

Реши неједначину 3x < 3x + 1, па одреди скуп решења неједначине еквивалентне

неједначини 0 · x < b, када је b > 0.

Пример 6. Решимо једначину 3x > 3x + 1.

Очигледно, дата неједначина нема решење. Применом

правила о додавању и правила замене долазимо до

еквивалентне неједначине

0 · x > 1.

Како је производ произвољног броја и 0 једнак 0, а

неједнакост 0 > 1 није истинита, закључујемо да ова

неједначина нема решења, то јест R x

= .

Неједначина еквивалентна неједначини 0 · x > b, где је b > 0, нема решење.

Задатак 6.

Реши неједначину –3x < – 1 – 3x, па одреди скуп решења неједначине еквивалентне

неједначини 0 · x < b, када је b < 0.

Пример 7. Дужина једне стране приземне куће

(правоугаоне основе) је 7m. Колико највише целих

метара може бити дужина друге стране те куће, а да

површина њене основе не буде већа од 100m 2 ?

7 · x ≤ 100

x ≤ 100 : 7

x ≤ 100

7

x ≤ 14 2 7

Друга страна куће

може бити дуга

највише 14m.

Задатак 7.

Дужине катета правоуглог троугла су 7cm и 10cm. За колико најмање целих центиметара

треба продужити краћу катету да би новодобијени правоугли троугао имао површину

већу од 50cm 2 ? А дужу?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

87


Задатак 8.

Реши неједначине |x| < 3, |x| ≤ 3, |x| > 3 и |x| ≥ 3.

Пример 7. Решимо сада неједначине |2x + 1| < 3 и |2x+ 1| ≥ 3.

Свака од две дате неједначине своди се на решавање две линеарне неједначине.

Задатак 9.

Реши неједначине: а) |5 – 4x| > 3; б) |3 – 5x| ≤ 9.

Решавање неједначина код којих се непозната јавља и у оквиру апсолутне вредности

и ван ње, као на пример неједначина |2x + 1| < 3x, такође се своди на решавање

одговарајућих линеарних неједначина, али у односу на претходне, овај поступак је мало

сложенији. Наиме, како је

|2x + 1| = ,

решавање дате неједначине се своди на решавање

неједначине 2x + 1 < 3x, за x ≥ – 1 2 , и неједначине –2x – 1 < 3x, за x < – 1 2 .

Под условом да је x ≥ – 1 , захтевамо да је

2

2x + 1 < 3x, односно x > 1.

Како x мора да задовољи оба услова,

закључујемо да x (1, +∞).

Под условом да је x < – 1 , захтевамо да је

2

–2x – 1 < 3x, односно x > – 1 5 .

Како x мора да задовољи оба услова,

закључујемо да у овом случају нема

решења.

Решење полазне неједначине је онда унија добијених интервала у оба случаја.

R x = (1, +∞)

Задатак.

Реши неједначине: а) |5x – 4| ≥ 9x; б) |5 – 4x| > – 4x.

88

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПРИЗМА

1. Збир површина свих многоуглова

приказаних у квадратној мрежи на слици

десно је:

а) 100;

б) 99,5;

в) 87,5;

г) 97;

д) 96.

(Један квадрат мреже је јединица мере.)

2. Ако су дијагонале ромба d 1

= 12cm и d 2

= 16cm, онда је његова висина:

а) 10cm; б) 24√7

7

cm; в) 19,2cm; г) 48√7

7

cm; д) 9,6cm.

3. Фигуру на слици десно чине два

једнакостранична троугла и три квадрата. Ако је

a страница квадрата, односно једнакостраничних

троуглова, онда је површина фигуре:

а) (3 + √3)a 2 ;

б) (3 + 2√3)a 2 ;

в) ( 2 + √3 2

) a2 ;

г) ( 3 + √3 4

) a2 ;

д) ( 3 + √3 2

) a2 .

4. Страница правилног шестоугла је 2cm. Приближна вредност (на једну децималу)

површине овог шестоугла је:

а) 20,4cm 2 ; б) 10,4cm 2 ; в) 20,8cm 2 ; г) 5,1cm 2 ; д) 5,2cm 2 .

5. На слици десно је дата мрежа коцке. Која од коцки приказаних

на сликама испод одговара овој мрежи?

а) б) в) г) д)

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

89


Призма

Претпоставимо да се два подударна многоугла налазе у паралелним равнима и да је

сваки од њих ортогонална пројекција оног другог на одговарајућу раван. Слободније

речено, претпостављамо да се многоуглови могу преклопити кретањем у правцу

пројектујућих зрака. Специјално, свака страница једног многоугла се ортогонално

пројектује у одговарајућу страницу другог. Очигледно, крајње тачке парова

одговарајућих страница ова два многоугла образују један правоугаоник.

Тело ограничено паром датих многоуглова и правоугаоницима одређеним паровима

одговарајућих страница многоуглова назива се права призма (права у смислу није

коса, усправна). Пошто ћемо се бавити искључиво овом врстом призми, често ћемо реч

„права” изостављати.

Подударни и паралелни многоуглови називају се основе или базе призме. Сваки

правоугаоник који образује пар одговарајућих страница многоуглова са пројектујућим

зрацима назива се бочна страна призме.

На претходној слици приказана је призма коју образују два (подударна) троугла и три

правоугаоника. Наравно, основе призме могу бити и четвороуглови, петоуглови и тако

даље.

90

Призме означавамо тако што најпре наведемо темена једне основе (то јест ознаку

одговарајућег многоугла), а затим и темена друге основе у поретку који одговара

редоследу навођења темена прве основе. На пример, прву призму са претходне слике

означавамо са ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (или са BCDAB 1 C 1 D 1 A 1 ).

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Будући да број темена многоугла који је основа призме у потпуности одређује број

темена читаве призме, као и број ивица и број страна, призме чије су основе n-тоуглови

називамо n-тостране призме (читај: „ентостране призме”). Основе тространих призми

су троуглови, четвоространих четвороуглови и тако даље.

Задатак 1.

1) Колико темена, ивица и страна има тространа призма?

2) Колико темена, ивица и страна има n-тострана призма?

Четворострана призма чије су основе паралелограми назива се паралелепипед.

Паралелепипед чије су основе правоугаоници назива се квадар. Коцка је специјалан

случај квадра.

Квадар је специфичан по томе што су сви многоуглови који га ограничавају

правоугаоници, па се за основе може узети било који пар паралелних страна. То наравно

није случај са осталим призмама.

Уколико су основе призме правилни многоуглови, кажемо да је и та призма правилна.

Правилна призма чије су све ивице међусобно једнаке назива се једнакоивична

призма. Једнакоивичан квадар је коцка.

Странице многоуглова који су основе призме

називају се основне ивице. Остале ивице призме

су бочне ивице. Дужина бочних ивица назива се

висина призме. Често се под висином призме

подразумева и било која дуж нормална на равни

основа чије крајње тачке припадају овим равнима.

Дијагонала призме је свака дуж која спаја два

темена призме и не припада нити једној страни те

призме. Дијагонале бочних страна и дијагонале

основа нису дијагонале призме.

Примети да тростране призме немају дијагонале. Четворостране призме имају четири

дијагонале.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

91


Пример 1. Посматрајмо квадар QRSTQ 1

R 1

S 1

T 1

. Нека су a, b и c дужине његових ивица.

Одредимо дужину дијагонале овог квадра.

Најпре треба приметити да су све дијагонале квадра међусобно

једнаке. То се лако доказује применом става подударности СУС.

Зато ћемо посматрати само једну дијагоналу, на пример, RT 1

.

Нека је D њена дужина.

Најважније је приметити да је RT 1

хипотенуза правоуглог троугла

RT 1 T са правим углом у темену T. Дакле, довољно је да одредимо

дужине катета овог троугла. Једна је позната, TT 1

= c. Друга

катета је дијагонала правоугаоника QRST чије су нам странице

познате. Применом Питагорине теореме на овај правоугаоник

добијамо да је RT 2 = d 2 = a 2 + b 2 .

Сада имамо да је D 2 = RT 2 + TT 1 2 = d 2 + c 2 = a 2 + b 2 + c 2 . Дакле, D = √a 2 + b 2 + c 2 .

Као што смо већ истакли, најважније је добро замислити

тело у простору. Већ смо више пута видели да нас слике могу

обманути. Тако, да је RTT 1 правоугли троугао, не видимо са

слике, већ то закључујемо сагледавањем простора у мислима.

Слично је и са правоуглим троуглом RTQ. Наравно, дати квадар

могли смо да нацртамо као на слици десно, са које се лакше

уочава да је троугао RTT 1

правоугли. Међутим, на овој слици се

троугао RTQ још више деформисао. У сваком случају, никако

се не можемо у потпуности ослонити на наше „равне” слике

просторних фигура.

Претпостављајући да је a = b = c, одмах добијамо формулу за дужину дијагонале коцке:

D = a√3.

Дијагонала коцке ивице a једнака је a√3.

Задатак 2.

Ивице квадра су 9cm, 12cm и 17cm. Одреди дијагонале свих страна и дијагоналу овог

квадра.

Задатак 3.

Одреди ивицу коцке ако је њена дијагонала 5cm.

92

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Дијагонала призме је хипотенуза правоуглог троугла чија је једна катета дијагонала

основе, а друга бочна ивица. Даље закључујемо да призма има онолико различитих

дијагонала колико различитих дијагонала има њена основа.

Пример 2. Одредимо дијагонале правилне једнакоивичне шестостране призме.

Основе правилне шестостране призме су правилни шестоуглови. Како је призма и

једнакоивична, дужине бочних ивица (висина) и основних ивица су једнаке.

Пошто правилан шестоуго има две различите дијагонале, толико их има и правилна

шестострана призма.

Краћа дијагонала (D 1 ) призме коју посматрамо јесте хипотенуза правоуглог троугла чије

су катете краћа дијагонала (d 1

) њене основе и висина призме. Како је d 1

= a√3 (зашто?) и

висина призме једнака a, применом Питагорине теореме добијамо да је

D 1 = √d 1

2

+ a 2 = = √4a 2 = 2a.

Дужа дијагонала (D 2 ) призме коју посматрамо јесте хипотенуза правоуглог троугла чије

су катете дужа дијагонала (d 2 ) њене основе и висина призме. Како је d 2 = 2a (зашто?) и

висина призме једнака a, применом Питагорине теореме добијамо да је

D 2 = √d 2

2

+ a 2 = √(2a) 2 + a 2 = √5a 2 = √5a.

Задатак 4.

Основа четворостране призме је ромб. Ако је a = 15cm страница ромба, d 1

= 18cm

његова краћа дијагонала и H = 24cm висинa призме, одреди дијагонале ове призме.

Пресек призме и равни одређене једном њеном ивицом и дијагоналом назива се

дијагонални пресек призме.

Задатак 5.

Одреди површине дијагоналних пресека квадара приказаних на наредној слици.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

93


Површина призме

Површину полиедра дефинисали смо као збир површина многоуглова који га

ограничавају (види страну 53). Наравно, ова дефиниција се односи и на специјалне

полиедре којима се сада бавимо – призме.

Свака призма је ограничена са два подударна многоугла које називамо основе или базе

те призме и правоугаоницима којих има онолико колико страница има основа. Унија

свих бочних страна призме назива се омотач те призме.

За израчунавање површине призме (као и било ког другог полиедра) веома је корисно

представити њену површ одговарајућом мрежом. На претходној слици је приказана

мрежа једне четворостране призме. Приликом цртања мреже призме важно је водити

рачуна да суседни правоугаоници омотача одговарају суседним страницама основа.

Задатак 1.

Прецизно нацртај мреже следећих призми чије су димензије дате на сликама:

1) тростране призме; 2) квадра; 3) четворостране призме

чија је основа једнакокраки

трапез.

94

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Ако са B означимо површину једне основе, а са M површину омотача призме, онда се

површина P те призме израчунава по формули:

P = 2B+M.

Из ове опште формуле једноставно изводимо обрасце за израчунавање површине свих

специјалних случајева призми.

Задатак 2.

1) Израчунај површину квадра чије су ивице a = 3cm, b = 2cm и c = 5cm.

2) Израчунај површину правилне четворостране призме чија је основна ивица a = 4cm, а

висина H = 10cm.

3) Израчунај површину коцке чија је дијагонала D = √3cm.

Пример 1. Израчунајмо површину призме дате у задатку 1

под 3).

Основа ове призме је једнакокраки трапез чије су основице

a = 4cm и b = 2cm, а крак c = 2cm. Висина призме је H = 4cm.

Израчунавање површине базе олакшава цртеж

одговарајућег многоугла заједно са датим подацима. Тако,

ако нацртамо једнакокраки трапез који је база дате призме,

лакше ћемо одредити његову висину h = √3cm. Површина

базе је

B = 4 + 2

2 · √3cm2 = 3√3cm 2 .

Површина омотача дате призме је збир површина

правоугаоника који чине омотач.

M = (4 · 4 + 2 · 4 + 2 · 4 + 2 · 4)cm 2 = 40cm 2

Дакле, површина дате призме је

P = 2B + M = (6√3 + 40)cm 2 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

95


Површина правилне тростране призме

Задатак 3.

Израчунај површину једнакоивичне тростране призме чија је ивица a = 3cm.

Задатак 4.

Површина основе правилне тростране призме је B = 4√3cm 2 , а њена висина je H = 9cm.

Одреди површину ове призме.

Површина правилне шестостране призме

Задатак 5.

Чоколада је пакована у кутије које имају облик правилне

шестостране призме. Први корак у процени количине картона

потребног за паковање јесте одређивање површине једне

кутије. На основу података са слике одреди (на две децимале)

површину кутије.

12cm

Задатак 6.

Површина омотача правилне шестостране призме је M = 48cm 2 , а њена висина је

H = 4cm. Одреди површину ове призме.

3cm

96

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 2. Oснова четворостране призме је ромб. Дате су дијагонале ове призме

D 1

= 17cm и D 2

= 10cm и њена висина H = 8cm. Одредимо приближну вредност њене

површине на две децимале.

Дијагонале ромба одређујемо применом

Питагорине теореме на правоугле троуглове чије

су хипотенузе дијагонале призме.

d 1

= √D 1

2

– H 2 = 15cm; d 2

= √D 2

2

– H 2 = 6cm

Сада је једноставно одредити површину основе.

B = d 1 · d 2

2

= 45cm 2

Омотач дате призме чине четири подударна правоугаоника. Странице ових

правоугаоника једнаке су висини призме и дужини основне ивице. Основну ивицу

призме одређујемо применом Питагорине теореме на ромб.

a =

= 3√29

2

Дакле, површина омотача дате призме је M = 4aH = 48√29cm 2 ≈ 258,49cm 2 .

Површина призме је P = 2B + M ≈ 348,49cm 2 .

Задатак 7.

Основа четворостране призме је правоугли трапез чије су основице

a = 5cm и b = 3cm, а краћи крак d = 2cm. Висина призме је H = 10cm. Одреди површину

ове призме.

Задатак 8.

Израчунај површину петостране призме приказане на

слици десно.

Задатак 9.

Израчунај површину четворостране призме чија је

основа правоугли трапез ако су основице тог трапеза

a = 8cm и b = 4cm, краћи крак c = 3cm и висина призме

H = 10,5cm.

Задатак 10.

Колико боје је потребно да би се окречили зидови

и плафон собе висине 2,8m ако је скица пода дата

на слици десно? За један квадратни метар потребно

je 1,2l боје. Димензије врата су 210cm и 95cm, а

прозора 130cm и 150cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

97


Запремина призме

Идеје одређивања запремине полиедара које смо

назначили на странама 55 и 56 овом приликом ћемо

искористити да бисмо дошли до опште формуле за

израчунавање запремине неке призме.

Пример 1. Ивице квадра су a = 6cm, b = 4cm и

c = 3cm. Одредимо запремину овог квадра.

Пошто овај квадар можемо потпуно „испунити”

коцкама странице 1cm, да бисмо одредили његову

запремину, довољно је наћи број ових коцки

потребан за његово попуњавање.

Најједноставније ћемо одредити број кубних центиметара којим се квадар може

попунити ако најпре одредимо колико коцки има у најнижем слоју, а затим одредимо

број слојева.

Тако, у првом слоју их има 6 · 4 = 24. Број слојева је 3. Дакле, у дати квадар се може

сместити 72 кубна центиметра, то јест запремина овог квадра је 72cm 3 .

На исти начин поступамо у сличним ситуацијама.

Пример 2. Посматрајмо призму приказану на наредној слици чија је база дата поред ње.

Број коцки подударних јединици мере којима можемо испунити призму одређујемо на

исти начин као у претходном примеру.

У најнижем нивоу има 20 коцки. Призма је пупуњена са три оваква нивоа. Дакле, мерни

број запремине ове призме је 20 · 3 = 60.

Наведени примери нам наговештавају начин на који се одређује запремина било које

призме. Пре него што наведемо општу формулу, приметимо да је

1. број кубних центиметара у првом нивоу једнак броју квадратних центиметара којима

се може прекрити база призме, док је

2. број нивоа једнак броју центиметара који представља висину призме.

98

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Ако са B означимо површину једне основе, а са H висину призме, онда се запремина V те

призме израчунава по формули

V = BH.

Слово V којим се обично означава запремина неког геометријског тела је почетно слово

речи волумен. Ова реч је латинског порекла и изворно значи завој, свитак. Данас се

користи у многим језицима за означавање запремине.

Пример 3. Одредимо запремину

призме приказане на слици десно.

База ове призме је троугао чија је

страница a = 5cm, а висина која

одговара тој страници h = 3cm.

Сада, површину базе рачунамо по

познатој формули B = ah 2 = 7,5cm2 .

Висина ове призме је H = 7cm, па је њена запремина V = BH = 7 · 7,5cm 3 = 52,5cm 3 .

Задатак 1.

Израчунај запремину:

1) правилне тростране призме ако је a = 3,2cm и H = 7,2cm.

2) правилне шестостране призме ако је a = 0,2m и H = 1,2m.

Задатак 2.

Израчунај запремину призме ако је њена основа паралелограм чија је страница

a = 6,2cm и висина h = 2,4cm, а висина призме H = 10,1cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

99


Пример 4. Од стакла је направљена правилна тространа призма приказана на слици

десно. Одредимо њену масу.

База ове призме је једнакостраничан троугао

чија је висина позната h = 1dm = 0,1m. Пошто

нам је потребна површина овог троугла,

одредимо најпре његову страницу по познатој

формули a = 2√3

3 h = 2√3 m. Површина базе је

30

B = a2 √3

4 = √3

300 m2 .

Висина призме је H = 1m, па је њена запремина

V = BH =

√3

300 m3 .

Пошто нам је запремина потребна за наредна (практична) израчунавања, узимамо

приближну вредност ирационалног броја √3 ≈ 1,73 и добијамо да је V ≈ 0,006m 3 .

Густина стакла је r = 2 600kg/m 3 (види таблицу на страни 57), па је масa дате призме

m = Vr ≈ 15,6kg.

Задатак 3.

Одреди запремину правилне четворостране призме ако је њена висина H = 12cm, а

дијагонала D = 13cm.

Задатак 4.

Одреди запремину призме приказане на слици десно. База

ове призме је петоугао који чине квадрат и једнакостраничан

троугао исте странице.

Задатак 5.

Израчунај запремину правилне шестостране призме чија је

основна ивица a = 3cm, a најдужа дијагонала D = 10cm.

Задатак 6.

Колика је маса храстове греде чији је попречни пресек правоугаоник димензија 2,5dm и

2dm ако је њена дужина 2m? (Густина храстовог дрвета је 500kg/m 3 )

Задатак 7.

На слици су дати облик и димензије

базена.

1) Колико литара воде је потребно да би

се напунио базен?

2) Колико килограма боје за базен је

потребно да би се обојило дно и бочне

стране базена ако је за један квадратни

метар потребно 0,4l боје?

100

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ПИРАМИДА

1. Четворокрака звезда приказана на слици

десно састављена је од једног квадрата и четири

једнакостранична троугла. Ако је a страница квадрата,

односно једнакостраничних троуглова, онда је површина

звезде:

а) (3 + √3)a 2 ;

б) (3 + 2√3)a 2 ;

в) (1 + 2√3)a 2 ;

г) (1 + √3)a 2 ;

д) 1 + √3 a 2 .

2

2. Тачка T је удаљена 6cm од равни a. Ако је тачка A

равни a удаљена 4cm од нормале n из T на a, онда је

дужина дужи TA:

а) 10cm;

б) 2√3cm;

в) 2√5cm;

г) 4√13cm;

д) 52cm.

3. Број коцкица од којих је „саграђена” фигура

приказана на слици десно је:

а) 85;

б) 38;

в) 84;

г) 49;

д) 50.

4. Средишта основних ивица правилне четворoстране призме

образују нову призму (види слику десно). Однос запремина ове

две призме је:

а) 3 : 1;

б) √3 : 2;

в) 4 : 1;

г) 2 : 1;

д) √3 : 1.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

101


Пирамида

Претпоставимо да се у равни b налази неки многоугао и да је дата тачка S која не

припада овој равни.

Тело ограничено датим многоуглом

и троугловима које образују његове

странице са уоченом тачком S назива

се пирамида. Многоугао је основа

или база пирамиде, а сваки троугао

који образује страница многоугла

са тачком S назива се бочна страна

пирамиде. Тачка S се назива врх

пирамиде.

Пирамиде означавамо тако што најпре наведемо теме, а затим темена многоугла који

одређује базу. На пример, пирамиду на првој слици означавамо са SABCD.

Пирамида чија је основа n-тоугао назива се n-тострана пирамида.

Задатак 1.

1) Колико темена, ивица и страна има тространа пирамида?

2) Колико темена, ивица и страна има n-тострана пирамида?

Странице основе пирамиде називају се основне ивице.

Остале ивице пирамиде су бочне ивице. Растојање врха

пирамиде од равни основе назива се висина пирамиде.

102

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пирамида је правилна ако је њена основа правилан многоугао и ако је ортогонална

пројекција врха на раван основе центар тог многоугла.

Бочне стране правилне пирамиде су међусобно подударни једнакокраки троуглови.

Доказаћемо да је врх S неке правилне пирамиде подједнако

удаљен од свих темена основе. Нека су X и Y произвољна

темена основе. Докажимо да је SX = SY.

Подножје S 1

нормале из S на раван основе је подједнако

удаљено од свих његових темена, јер је центар основе, па је

S 1

X = S 1

Y. Углови XS 1

S и YS 1

S су прави. Како је SS 1

заједничка

страница троуглова XS 1 S и YS 1 S, према ставу подударности

СУС, следи да су ови троуглови подударни. Из ове

подударности закључујемо да је SX = SY.

Све бочне стране су једнакокраки троуглови. Како је у основи

правилан многоугао, основице ових троуглова су међусобно

једнаке. Управо смо доказали да су и краци једне бочне

стране једнаки крацима друге. Према ставу подударности

ССС, следи да су све бочне стране међусобно подударне.

Висина бочне стране правилне пирамиде назива се апотема.

Пошто су све бочне стране подударне, следи да су и

њихове висине међусобно подударне.

Оно што је важно знати јесте да се подножје апотеме

на неку основну ивицу поклапа са подножјем

нормале из центра основе на ту ивицу.

Ово је последица важног општијег тврђења познатог као теорема о три нормале.

Нека је b права равни b, n произвољна

права нормална на b у тачки B која

не припада правој b и A подножје

нормале из B на b. Ако је P било која

тачка праве n, онда је дуж PA, па тиме и

права p(P, A), нормална на b.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

103


Поменута теорема нам омогућава да применом Питагорине теореме одредимо дужину

апотеме уколико су нам познате основна ивица и висина правилне пирамиде. Наиме,

апотема је хипотенуза правоуглог троугла чија је једна катета висина пирамиде, а друга

полупречник уписане кружнице основе.

Ако се у основу пирамиде може уписати круг, а подножје врха пирамиде се поклапа са

центром тог круга, онда су висине свих бочних страна једнаке.

Задатак 2.

Одреди апотему правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица

a = 16cm, а висина H = 15cm.

Пример 1. Одредимо апотему и висину правилне тростране

пирамиде ако је њена основна ивица a, а бочна ивица b.

Апотема је висина једнакокраког троугла чија је основица једнака

основној ивици пирамиде, а краци једнаки њеној бочној ивици.

2

Применом Питагорине теореме добијамо да је ⎛ a⎞

h = b 2 – ⎜



.

2 ⎠

Сада, висину пирамиде можемо одредити на два начина (види слику

десно).

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 3 2 3

H = b – ⎜ a⎟ = h – ⎜ a⎟

⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠

Задатак 3.

Одреди апотему правилне шестостране пирамиде ако је њена основна ивица a = 10cm, а

бочна ивица b = 12cm.

Задатак 4.

Које тело ограничава n-тострани рогаљ и раван која сече све његове ивице и не садржи

теме рогља? Скицирај то тело у случају триедра и произвољно изабране равни која сече

ивице триедра и не садржи његово теме.

104

Задатак 5.

Да ли постоји једнакоивична правилна шестострана пирамида? Образложи одговор.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Површина пирамиде

Свака пирамида је ограничена многоуглом који називамо основом или базом те

пирамиде и троугловима којих има онолико колико страница има основа. Унија свих

бочних страна пирамиде предстваља њен омотач.

На претходној слици приказана су два начина на која можемо формирати мрежу

правилне четворостране пирамиде. Исто је и са осталим пирамидама.

Задатак 1.

1) Прецизно нацртај мрежу правилне тростране пирамиде чије су основне ивице по 3cm,

а бочне по 4cm.

2) Прецизно нацртај мрежу правилне шестостране пирамиде чије су основне ивице по

2cm, а бочне по 4cm.

Ако са B означимо површину основе, а са M површину омотача пирамиде, онда се

површина P те пирамиде израчунава по формули

P = B + M.

Пример 1. Одредимо површину правилне четворостране

пирамиде ако је њена основна ивица a = 6cm, а висина

H = 4cm.

База дате пирамиде је квадрат, па је B = a 2 = 36cm 2 .

Да бисмо одредили површину омотача пирамиде,

неопходно је најпре одредити апотему.

2 ⎛ a⎞

h = H + ⎜


⎟ = 5cm

2⎠

Омотач се састоји од четири подударна једнакокрака

троугла познате странице и висине, па је

M = 4 · ah 2 = 60cm2 .

Сада је једноставно одредити површину пирамиде.

P = B + M = 96cm 2

2

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

105


Задатак 2.

Израчунај површину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица

a = 10cm, а бочна b = 12cm.

Површина правилне тростране и шестостране пирамиде

Задатак 3.

Израчунај површину правилне тростране пирамиде чија је основна ивица a = 6√3, а

висина H = 5cm.

Задатак 4.

Израчунај површину правилне тростране пирамиде чије су све ивице једнаке 2cm.

Пример 2. Израчунајмо површину пирамиде чија је основа

правоугаоник са страницама a = 10cm и b = 18cm, а висина

H = 12cm. Подножје висине пирамиде је пресек дијагонала

основе.

База дате пирамиде је правоугаоник, па је B = ab = 180cm 2 .

Омотач пирамиде чине два пара подударних једнакокраких

троуглова. Основице једног пара једнаке су основној ивици a,

док су основице другог пара једнаке основној ивици b. Висине

бочних страна одређујемо применом Питагорине теореме на

одговарајуће правоугле троуглове:

, .

Након одређивања површине омотача

једноставно налазимо и површину пирамиде P = B + M = 564cm 2 .

106

Задатак 5.

Израчунај површину правилне шестостране пирамиде ако је:

1) њена основна ивица a = 6√3cm, а висина H = 12cm;

2) њена основна ивица a = 10cm, а бочна ивица b = 12cm.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Запремина пирамиде

Још су древни народи

експериментисањем открили да је

запремина пирамиде једнака трећини

запремине призме чија је висина једнака

висини пирамиде и чије су основе

подударне основи пирамиде.

Касније је та формула и строго математички доказана. Ми ћемо тај доказ изоставити.

Ако је B површина основе, а H висина пирамиде, онда се запремина V те пирамиде

израчунава по формули

V = 1 3 BH.

Задатак 1.

У сваки од три подударна квадра уписана је

по једна пирамида као на слици десно (основа

пирамиде се поклапа са основом квадра, а њен

врх припада другој основи квадра).

1) Упореди запремине ове три пирамиде.

2) Ако су ивице квадра 3cm, 4cm и 5cm, одреди запремине ових пирамида.

Пример 1. Израчунајмо запремину четворостране

пирамиде приказане на слици десно. Основа пирамиде

је правоугаоник, а ортогонална пројекција врха на раван

основе поклапа се са пресеком дијагонала основе.

Површину основе одмах рачунамо на основу познате

формуле B = ab = 48cm 2 .

Висину пирамиде одређујемо применом Питагорине теореме на правоугли троугао

осенчен на претходној слици. Но, пре тога треба одредити дијагоналу основе

d = √a 2 + b 2 = 10cm.

Како је дата дужина бочне ивице, имамо да је H =

= 12cm.

Дакле, запремина дате пирамиде је V = 1 3 BH = 192cm3 .

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

107


Задатак 2.

Израчунај запремину правилне тростране пирамиде ако је њена основна ивица a = 3cm,

а висина H = 10cm.

Задатак 3.

Израчунај запремину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица

a = 6√2cm, а бочна b = 10cm.

Задатак 4.

Израчунај запремину правилне шестостране пирамиде ако је њена бочна ивица

b = 17cm а висина H = 12cm.

Пример 2. Израчунајмо запремину правилне тростране

пирамиде чије су све ивице једнаке a.

Висину ове пирамиде одређујемо на основу Питагорине

теореме:

H = .

Дакле, запремина ове пирамиде је V = 1 3 BH = 1 3 · a2 √3

4 · = a3 √2

12 .

Задатак 5.

Израчунај запремину тела (слика десно) које чине две правилне

четворостране пирамиде са заједничком основом и врховима

који су са различитих страна равни основе, ако су основне ивице

пирамида по 3cm (AB = 3cm), а растојање између врхова 7cm

(S 1 S 2 = 7cm).

Задатак 6.

Дата је коцка ABCDA 1

B 1

C 1

D 1

странице 2cm. Израчунај површину

и запремину пирамиде B 1 ABC.

108

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Мерење је један од најважнијих поступака у науци уопште. Оно у суштини представља

додељивање (придруживање) бројева стварима које меримо. Тако мерењем утврђујемо

колико је нешто дугачко, тешко, брзо, и тако даље. Али не само то. Оно што је још важније

јесте уочавање законитости међу посматраним величинама које меримо.

Управо уочена законитост између масе и запремине тела је пример директне

пропорционалности.

Зависност међу величинама често приказујемо помоћу табела или графички у

координатном систему (цртањем тачака чије су координате одговарајуће вредности

посматраних величина). Уопштење претходно уочене зависности је описано једнакошћу

y = 0,8 · x, где x и y могу бити било који реални бројеви, за разлику од масе и запремине

које су позитивне величине.

x y = 0,8x

0 0

1 0,8

2 1,6

6 4,8

–1 –0,8

–2 –1,6

–6 –4,8

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

109


У најзначајније законитости спадају оне које говоре о зависности међу величинама

код којих кад год нам је позната вредност једне, одређујемо вредност друге. Тада, сам

закон схватамо и као правило којим се разним вредностима једне величине, независно

променљиве, додељују вредности друге величине, зависно променљиве.

Сада ћемо упознати још један тип зависности између две променљиве величине –

линеарну зависност.

Ако две паралелне странице квадрата дужине а продужимо за 1, добијамо правоугаоник

чије су странице дужина а и а + 1. Обим тог правоугаоника (О) и дужину његове краће

странице (а) повезује једнакост О = 4а + 2. Дакле, ако знамо дужину краће странице тог

правоугаоника, можемо израчунати његов обим.

а 1 1,5 2

О k = 4а 4 6 8

О p = 4а + 2 6 8 10

За разлику од странице квадрата (а) и његовог обима (О k = 4а),

краћа страница правоугаоника приказаног типа (а) и његов

обим (О p = 4а + 2) нису директно пропорционалне величине.

У овом случају, рећи ћемо да обим правоугаоника линеарно

зависи од дужине краће странице.

Зависност међу променљивим величинама x и y, исказана једнакошћу y = 4x + 2, где

вредности променљивих x и y могу бити било који реални бројеви (па и негативни),

представља уопштење зависности (О p = 4а + 2) коју смо посматрали.

У овом случају кажемо да је зависно променљива y линеарна функција независно

променљиве x.

110

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Линеарна функција y = kx + n

Алгебарски израз са променљивом x је линеаран (по променљивој x) ако је

еквивалентан изразу облика ax + b, где а, b R и а ≠ 0.

Ако је а = 0 у изразу ax + b, онда је тај израз константан.

Задатак 1.

Попуни табелу као што је почето.

x 0 1 –1 2 – 2 3 –3 4 –4

2x 0 2

2x + 1 1 3

2x – 1 – 1 1

Претходном табелом су у ствари дефинисана три различита придруживања међу

реалним бројевима.

Честo придруживања међу бројевима задајемо помоћу израза у којима се појављује

само једна променљива, као што је то учињено у претходна три примера. Тада неком

броју додељујемо бројевну вредност израза када је вредност променљиве (из тог израза)

управо тај број. Променљиву у изразу који дефинише придруживање називамо независно

променљива (величина) и најчешће је означавамо са x, а вредност израза који зависи од

независно променљиве x означавамо са f(x) (читамо „еф од икс”), на пример f(x) = 2x + 1,

или само са y, на пример y = 2x + 1. Онда величину y називамо зависно променљива, јер

њена вредност зависи од вредности независно променљиве x.

У случају да је израз који дефинише придруживање линеаран (као у три претходно

наведена примера), то придруживање називамо линеарна функција.

Задатак 2.

Нека је дата линеарна функција f(x) = 6x – 5. Одреди вредности:

а) f(4); б) f(–4); в) f(0); г) f

5

6 .

Задатак 3.

Дата је линеарна функција y = 3x + 1. Одреди вредност зависно променљиве y за:

а) x = 2; б) x = –1; в) x = 0; г) x = – 1 3 .

Придруживање којим реалном броју x придружујемо реалан број y, такав да је

y = kx + n, где су k и n неки фиксирани реални бројеви, назива се линеарна функција.

Специјално, ако је k = 0, онда је реч о константној функцији.

У овом случају кажемо да је линеарна функција задата у експлицитном облику.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

111


Придев експлицитан води порекло од латинске речи explicitus – размотан, развијен;

значи који је јасно исказан, очигледан, изричит, који се отворено изражава.

Константа k (коефицијент уз независно променљиву) се назива коефицијент правца.

Порекло овог назива ћемо објаснити нешто касније.

Константа n назива се слободан члан.

Уколико је n = 0, линеарна функција представља уопштење директне

пропорционалности, односно зависност типа y = kx.

Задатак 4.

Запиши линерну функцију y = kx + n ако је:

а) k = 5, n = 4; б) k = 5, n = –4; в) k = –5, n = 4;

г) k = –5, n = –4; д) k = 5, n = 0; ђ) k = 0, n = 4.

Задатак 5.

Одреди коефицијент правца k и слободан члан n линеарне функције:

а) y = –4x + 3; б) y = 7x – 2; в) y = –2x; г) y = 3.

Како је линеаран израз kx + n дефинисан за сваки реалан број x, линеарна функција

сваком реалном броју додељује неки реалан број.

Када је коефицијент правца линеарне

функције различит од 0 (k ≠ 0),

вредности зависно променљиве (y 1 и y 2 )

за две различите вредности независно

променљиве (x 1 ≠ x 2 ) су различите.

Нека је k ≠ 0 и x 1

≠ x 2

.

Претпоставимо да је kx 1 + n = kx 2 + n.

kx 1 = kx 2

k(x 1

– x 2

) = 0

k = 0 или x 1 – x 2 = 0

k = 0 или x 1

= x 2

Контрадикција.

Када је коефицијент правца линеарне функције различит

од 0 (k ≠ 0), сваки реалан број (y) јесте вредност те

линеарне функције за неку (одређену) независно

променљиву (x = y – n

k ).

Нека је k ≠ 0.

y = kx + n

kx = y – n

x = y – n

k

Када је коефицијент правца линеарне функције једнак 0 (k = 0), онда та функција сваком

реалном броју додељује исту вредност (n).

112

Задатак 6.

Нека је дата функција y = 2x + 3. Одреди вредност независно променљиве x за коју је:

а) y = 5; б) y = 3; в) y = 0; г) y = –1.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Имплицитни облик задавања линеарне функције

Пример 1. Филип je пожелео да својој баки за рођендан купи леп пар рукавица чија је

цена 799 динара. Одлучио је да штеди до њеног рођендана, а родитељи су обећали да

ће му, уколико не скупи потребан новац, дати остатак. Ако са x означимо новац који ће

Филип уштедети у току месеца, а са y новац који ће он добити од родитеља, онда су ове

две величине повезане једнакошћу

x + y = 799,

односно

x + y – 799 = 0.

Наравно, новац који ће Филип добити од родитеља

могли смо и експлицитно да изразимо као

y = 799 – x,

то јест као експлицитно задату линеарну функцију

y = – x + 799.

Дакле, линеарну зависност између две величине x и y можемо исказати и преко

једнакости типа аx + by + c = 0, x R, где су а, b, b ≠ 0 и c произвољни реални бројеви.

Тада кажемо да је линеарна функција задата у имплицитном облику.

Придев имплицитан води порекло од латинске речи implicitus; значи који је обухваћен,

садржан у нечему, који се подразумева, а није изречен, прећутан. Имплицитан има

супротно значење од експлицитан.

Пример 2. Одреди имплицитни облик линеарне функције y = – 1 2 x + 3 и експлицитни

облик линеарне функције 5x +3y – 4 = 0.

Применом правила (замене, о додавању, о множењу), која смо користили код решавања

линеарних једначина, из експлицитног облика линеарне функције добијамо њен

имплицитни облик и обрнуто, из имплицитног добијамо њен експлицитни облик.

Задатак 1.

Одреди имплицитни облик линеарне функције:

а) y = x – 5; б) y = –9x + 2; в) y = – 5 6 x + 2.

Задатак 2.

Одреди експлицитни облик линеарне функције:

а) 6x + 2y – 5 = 0; б) –x + 3y – 7 = 0; в) –5x – 4y + 7 = 0.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

113


График линеарне функције

Правоугли координатни систем

Правоугли координатни систем чине две праве које су међусобно нормалне.

„Хоризонтална” бројевна права најчешће се означава са x и назива се x-оса, а

„вертикална” бројевна права најчешће се означава са y и назива се y-оса. Пресек оса

се назива координатни почетак и обележава се словом О. Читав координатни систем се

тада означава са xОy.

Координатни систем у некој равни нам омогућава да тачно одредимо позицију

сваке тачке, и то помоћу уређеног пара реалних бројева (а, b). Број а се назива прва

координата или апсциса, а број b друга координата или ордината уређеног пара (а, b).

Ако тачку Т одређује уређени пар (а, b), онда пишемо Т(а, b).

График зависности y = kx

График зависности y = kx, x R, је скуп свих тачака (x, y) чије

су координате повезане једнакошћу y = kx.

Овај график је права у координатном систему.

При том, без обзира на вредност коефицијента k,

та права пролази кроз координатни почетак (јер за свако k

важи 0 = k · 0).

Уколико је k > 0, график припада I и III квадранту,

а ако је k < 0, график припада II и IV квадранту.

Пример 1. Графици функција y = 2x и y = –2x, x R,

дати су на слици десно.

Задатак 1.

Нацртај график функције: а) y = x; б) y = 3x; в) y = – x; г) y = – 2 3 x.

114

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


График линеарне функције y = kx + n

Функција y = kx, x R, је специјалан случај линеарне функције (n = 0). Знање о њеном

графику ће нам помоћи при цртању графика функције y = kx + n.

График линеарне функције y = kx + n, x R, је скуп свих тачака (x, y) чије су координате

повезане једнакошћу y = kx + n.

Пример 2. Нацртајмо графике функција y = 2x и y = 2x + 3, x R.

x –2 –1 0 1 2

2x –4 –2 0 2 4

2x + 3 –1 1 3 5 7

За исту вредност независно променљиве x вредности ове две

функције се разликују за 3. Тачке A(–2, –4), B(–1, –2), C(0, 0), D(1, 2)

и E(2, 4) припадају графику функције y = 2x, а тачке A 1 (–2, –1),

B 1

(–1, 1), C 1

(0, 3), D 1

(1, 5) и E 1

(2, 7) припадају графику функције

y = 2x + 3.

Тачка Т(x, 2x) припада графику функције y = 2x, а тачка чија

ордината је за 3 већа Т 1 (x, 2x + 3) припада графику функције

y = 2x + 3. Према томе, график функције y = 2x + 3 је права

паралелна правој која је график функције y = 2x, а налази се изнад

ње, јер су одговарајуће ординате за 3 веће.

Пример 3. Нацртајмо сада и график функције y = 2x – 5, x R.

x –2 –1 0 1 2

2x –4 –2 0 2 4

2x – 5 –9 –7 –5 –3 –1

За исту вредност независно променљиве x вредности ове две

функције разликују се за 5. Тачке A(–2, –4), B(–1, –2), C(0, 0), D(1, 2)

и E(2, 4) припадају графику функције y = 2x, а тачке A 1

(–2, –9),

B 1 (–1, –7), C 1 (0, –5), D 1 (1, –3) и E 1 (2, –1) припадају графику функције

y = 2x –5.

Тачка Т(x, 2x) припада графику функције y = 2x, а тачка чија

ордината је за 5 мања Т 1 (x, 2x – 5) припада графику функције

y = 2x – 5. Према томе, график функције y = 2x – 5 је права

паралелна правој која је график функције y = 2x, а налази

се испод ње, јер су одговарајуће ординате за 5 мање.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

115


Пример 4. Нацртајмо сада и графике линеарних (константних) функција y = 0, y = 3 и

y = –5, код којих је коефицијент правца једнак 0.

x –2 –1 0 1 2

0 · x 0 0 0 0 0

0 · x + 3 3 3 3 3 3

0 · x – 5 –5 –5 –5 –5 –5

График функције y = 0 (y = 0 · x) је x-оса, а графици

функција y = 3 (y = 0 · x + 3) и y = –5 (y = 0 · x – 5) су праве

паралелне x-оси, на одговарајућем растојању од ње.

На основу примера 2, 3 и 4 јасно је да је график произвољне линеарне функције

y = kx + n, x R, права.

График линеарне функције y = kx + n, x R, је права.

Да бисмо показали да је график линеарне функције права, користили смо чињеницу да је

график зависности y = kx, x R, права.

Сада ћемо ту чињеницу и доказати, користећи сличност троуглова, на примеру графика

функције y = 2x, x R.

Треба доказати да су сваке три тачке које припадају овом

графику колинеарне.

Изабрали смо три тачке, О(0, 0), A(2, 4) и B(3, 6) овог графика и

доказаћемо да су оне колинеарне.

Посматрајмо троуглове ОAА 1 и ОBB 1 . Оба троугла су правоугла,

а дужине катета су им пропорционалне, 2 : 4 = 3 : 6. На основу

става сличности СУС, закључујемо да су троуглови ОAА 1

и

ОBB 1

слични. Према томе, одговарајући углови су им једнаки,

па је AОА 1

= BОB 1

. Како су тачке О, А 1

и B 1

колинеарне,

све три припадају x-оси, а тачке А и B се налазе са исте

стране x-осе, закључујемо да се праве ОА и ОB подударају.

Дакле, тачке О, А и B су колинеарне. Слично се доказује да су

произвољне три тачке које припадају графику функције

y = 2x, x R, колинеарне.

116

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


У оквиру примера 2, 3 и 4

показали смо да су графици

линеарних функција y = 2x,

y = 2x + 3 и y = 2x – 5, x R,

међусобно паралелне праве,

као и графици функција y = 0,

y = 3 и y = –5. Заправо, ови

примери намећу општи

закључак.

Графици линеарних функција које имају једнаке коефицијенте правца су међусобно

паралелне праве.

Ако су графици две линеарне функције паралелни, онда те две функције имају

једнаке коефицијенте правца.

Дакле, коефицијент k уз независно променљиву x, у запису линеарне функције

y = kx + n, одређује правац праве која је график ове функције. Зато тај коефицијент и

називамо коефицијент правца.

Задатак 2.

Међу функцијама y = 2x + 7, y = 7x + 2, y = 7x, y = –2x – 7, y = –2x + 7 издвој оне чији су

графици паралелни.

Сви графици приказани у примерима 2, 3 и 4 пресецају y-осу. Пресек графика линеарне

функције y = 2x, као и функције y = 0 са y-осом је координатни почетак О(0, 0). Тачка (0, 3)

је пресек са y-осом графика линеарне функције y = 2x + 3, као и линеарне функције y = 3,

а тачка (0, –5) је пресек са y-осом графика линеарне функције y = 2x – 5, као и линеарне

функције y = –5.

Броју 0 линеарна функција y = kx + n придружује број n, јер је k · 0 + n = n. Према томе, тачка

Т(0, n) увек припада графику линеарне функције. Како апсолутна вредност прве координате

представља удаљеност тачке од y-осе, закључујемо да тачка Т(0, n) припада y-оси.

График линеарне функције y = kx + n, x R, сече y-осу у тачки која је одређена

уређеним паром (0, n).

Задатак 3.

Одреди тачку пресека y-осе и графика функције:

а) y = x + 7; б) y = 3x + 7; в) y = –3x + 7; г) y = 7.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

117


Нула функције

Задатак 4.

Нека је дата функција y = 2x + 3. Одреди вредност независно променљиве за коју је:

а) y = 5; б) y = 3; в) y = 0; г) y = –1.

Пример 5. Одредимо координате тачке N(x 0 , y 0 ) која је пресек

графика линеарне функције y = 3x – 6 и x-осе.

Апсолутна вредност друге координате тачке представља

удаљеност тачке од x-осе. Зато, ако тачка N(x 0

, y 0

) припада x-оси,

њена друга координата је број 0, то јест y 0 = 0.

Како тачка N(x 0

, y 0

) припада и графику функције y = 3x – 6, њене

координате су повезане једнакошћу y 0 = 3x 0 – 6. Према томе, на

основу y 0 = 0 следи 3x 0 = 6, то јест x 0 = 2.

Дакле, тачка N(2, 0) је пресек графика линеарне функције

y = 3x – 6 и x-осе.

Задатак 5.

Одреди тачку пресека x-осе и графика функције:

а) y = x – 2; б) y = 2x – 2; в) y = –4x + 9; г) y = –4x – 9.

y

8

7

y = 3x – 6

6

4 5 2 3 1 N(2,0)

–3–2–1 0

–1

1 2 3 4 5 x

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

Вредност независно променљиве за коју је вредност функције (зависно променљиве)

једнака 0 назива се нула функције.

Нулу линеарне функције y = kx + n одређујемо решавајући

линеарну једначину 0 = kx + n (јер је y = 0).

0 = kx + n, k ≠ 0

kx = –n, k ≠ 0

x = – n k , k ≠ 0

За k ≠ 0, нула линеарне функције y = kx + n је решење једначине kx + n = 0, то јест број

– n k , а тачка N – n , 0 је пресек графика те линеарне функције и x-осе.

k

Задатак 6.

Одреди нулу линеарне функције:

а) y = 5x – 2; б) y = 4x + 21; в) y = –4x + 1; г) y = –3x – 19.

Да ли график сваке линеарне функције има заједничких тачака са x-осом?

Пример 4 показује да постоје линеарне функције (y = 3, y = –5) чији график не сече x-осу.

Линеарна једначина 0 · x + n = 0 за n ≠ 0 нема решење, а уколико је n = 0, сваки реалан

број је решење те једначине.

118

Константна функција y = n за n ≠ 0 нема нулу и не сече x-осу. Сваки реалан број је нула

константне функције y = 0, а график ове функције је x-оса.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 1.

Цртање и читање графика линеарних функција

График линеарне функције y = kx + n, x R, је права. Како је права одређена са две

своје различите тачке, за цртање графика линеарне функције довољно је да одредимо

две тачке које му припадају. Тачка M(x M

, y M

) припада графику уколико њене координате

задовољавају једнакост y = kx + n, то јест ако је y M = kx M + n.

Пример 1. Да бисмо нацртали график линеарне функције y = x + 2, довољно је да

одредимо две различите тачке које припадају том графику.

I начин. Када је функција задата у експлицитном

облику, најзгодније је изабрати прве координате

(апсцисе) две различите тачке, а онда одредити

одговарајуће друге координате (ординате). На

пример, за x 1

= –1 добијамо y 1

= –1 + 2 = 1, а за

x 2 = 1 добијамо y 2 = 1 + 2 = 3. Дакле, права одређена

тачкама (–1, 1) и (1, 3) је график линеарне функције

y = x + 2. Наравно, можемо и да одредимо више

различитих тачака које припадају траженом

графику. Све те тачке морају бити колинеарне, јер

припадају истом графику, то јест истој правој. Ово

ти може служити за проверу, јер уколико добијеш

тачке које нису колинеарне, значи да си негде

погрешио/ла.

x –2 –1 0 1 2

y = x + 2

II начин. Да бисмо нацртали график линеарне функције y = kx + n, x R, можемо да

одредимо и пресеке тог графика са координатним осама. То значи да:

· ако је k ≠ 0, одредимо ординату y 1

за x 1

= 0 и апсцису x 2

за y 2

= 0;

· ако је k = 0, график је паралелан x-оси, а пресек са y-осом је тачка (0, n).

Овај начин је посебно погодан ако је функција дата у имплицитном облику, x – y – 2 = 0.

x 0

y 0

Провери које од тачака A(1, 4), B(0, 1), C(0,2), D(2,0), E – 2 , 4 припадају графику линеарне

функције:

3

а) y = 3x + 1; б) y = –3x + 2; в) 3x + 2y – 6 = 0;

па нацртај тај график.

Задатак 2.

Одреди по три тачке које припадају графику линеарне функције:

а) y = –5x + 4; б) y = –4x + 2; в) y = –3x – 1;

па нацртај тај график.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

119


Задатак 3.

Одреди пресек са координатним осама графика линеарне функције:

а) x + 2y – 5 = 0; б) 3x – 4y + 3 = 0; в) –2x – 3y + 6 = 0;

као и још једну тачку која припада том графику, али не припада координатним осама.

Пример 2. Базен чија је дужина 50m, ширина 25m и дубина 2m био је пун воде. Онда је

у 7 часова једног дана отворено 20 одводних цеви на дну базена. Кроз сваку од тих цеви

у току једног сата истече 10 000l воде. Колико воде ће бити у базену у 9часова? У колико

сати ће базен бити празан?

Базен је квадар, па је његова запремина

V = 50 · 25 · 2 = 2 500 = 2,5 · 10 3 m 3 .

Како je 1l = 1dm 3 и 1m 3 = 10 3 dm 3 , закључујемо да у пуном базену има

2,5 · 10 6 l, односно 25 · 10 5 l воде. У току једног сата кроз 20 одводних

цеви истекне 20 · 10 000 = 200 000 = 2 · 10 5 l воде.

Према томе, после два (9 – 7 = 2) сата од почетка пражњења базена,

у њему ће бити 25 · 10 5 – 2 · 2 · 10 5 = (25 – 4) · 10 5 = 21 · 10 5 l воде.

Колико ће воде бити у базену у 10, 12, 15 часова?

a n · a m = a n + m

a n : a m = a n – m

време 9 10 12 15

количина преостале воде у l 21 · 10 5

Базен ће бити празан после

25 · 105

= 12,5 сати, то јест у 19 часова и 30 минута. На

2 · 10 5

графику испод приказана је зависност између запремине (количине) воде у базену и

времена у току посматраног дана.

Од 0 до 7 часова базен је пун, па

је за свако t из интервала [0, 7)

запремина воде у базену 25 · 10 5 l.

V = 25 · 10 5 , t [0, 7)

У току 12,5 сати, од 7 часова до

19 часова и 30 минута базен се

празни.

V = 25 · 10 5 – 2 · 10 5 · (t – 7),

t [7, 19,5)

Од 19 часова и 30 минута до

поноћи (24 часа) базен остаје

празан.

V = 0, t [19,5, 24]

120

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


График десно приказује зависност

између количине (запремине) воде у

базену и дубине (висине) воде у базену.

Површина основе базена је

B = 50 · 25 = 1 250m 2 = 125 000dm 2 ,

то јест

B = 1,25 · 10 5 dm 2 .

Зависност запремине (израженe

у литрима) од висине (изражене у

дециметрима) дата је формулом

V = 1,25 · 10 5 · h, h [0, 20].

висина у dm 2 7 10 15

запремина воде у l 12,5 · 10 5

Примећујеш да се управо приказани графици делимично поклапају са графицима

одговарајућих линеарних функција. Заправо, многи реални проблеми се могу описати

помоћу линеарних функција, али најчешће уз ограничење да независно променљива

припада неком подскупу реалних бројева (у првом случају t [0, 24], а у другом h [0, 20]),

то јест не може бити било који реалан број. Наравно, тада и зависно променљива припада

неком подскупу реалних бројева (у оба приказана случаја V [0, 25 · 10 5 ]).

Задатак 4.

Нацртај график зависности између дубине (висине) воде у базену и времена на основу

података из примера 2.

Линеарно зависне величине срећемо свуда око нас. На пример:

· ако се тело креће константном брзином, пређени пут линеарно зависи од времена;

· при константном убрзању, било позитивном било негативном (кочење), брзина којом

се аутомобил (неко тело) креће линеарно зависи од времена;

· зарада при продаји линеарно зависи од броја продатих артикала и тако даље.

Покушај да се сетиш још неких величина које су линеарно зависне.

Задатак 5.

При одласку на зимовање, Сава је приметио саобраћајни

знак приказан десно (погледај страницу 7). У том тренутку се

налазио на 1 250m надморске висине. Колико километара

треба још да пређе до одмаралишта које се налази на 1 320m

надморске висине?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

121


Неке особине графика линеарне функције

Пример 3. Нацртајмо график линеарне функције y = 2x + 1.

У случају функције y = 2x + 1, при повећању вредности

независно променљиве x повећава се и вредност зависно

променљиве y.

Линеарна функција је растућа ако повећање вредности независно променљиве

условљава повећање вредности зависно променљиве.

Под каквим (оштрим или тупим) углом се секу график функције y = 2x + 1 и позитивни

део x-осе?

Задатак 6.

Нацртај график линеарне функције и установи да ли је растућа:

а) y = x + 3; б) y = 2x – 5; в) y = 3x + 5.

Пример 4. Нацртајмо график линеарне функције y = –2x + 1.

У случају функције y = –2x + 1, при повећању вредности

независно променљиве x смањује се вредност зависно

променљиве y.

Линеарна функција је опадајућа ако повећање вредности независно променљиве

условљава смањење вредности зависно променљиве.

Под каквим углом се секу график функције y = –2x + 1 и позитивни део x-осе?

122

Задатак 7.

Нацртај график линеарне функције и установи да ли је опадајућа:

а) y = –x + 3; б) y = –x – 3; в) y = –2x + 8.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Када је линеарна функција y = kx + n, где је k ≠ 0, растућа, а када

опадајућа?

Нека тачке Т 1

(x 1

, y 1

) и Т 2

(x 2

, y 2

) припадају графику ове линеарне

функције и нека је x 1 < x 2 , то јест x 2 – x 1 > 0. Тада је

y 1

= kx 1

+ n и y 2

= kx 2

+ n.

Интересује нас поредак међу бројевима y 1 и y 2 , па ћемо израчунати

вредност израза y 2

– y 1

:

y 2

– y 1

= (kx 2

+ n) – (kx 1

+ n) = k(x 2

– x 1

).

На основу последње једнакости закључујемо да је k = y 2 – y 1

x 2 – x 1

.

Како је x 2

– x 1

> 0, изрази k и y 2

– y 1

су истог знака,

или су оба позитивна, или су оба негативна.

x 2

– x 1

> 0

k > 0

y 2 – y 1 > 0

растућа

x 2 – x 1 > 0

k < 0

y 2

– y 1

< 0

опадајућа

Ако је коефицијент правца линеарне функције позитиван (k > 0), та функција је

растућа, а њен график заклапа оштар угао са позитивним делом x-осе.

Ако је коефицијент правца линеарне функције негативан (k < 0), та функција је

опадајућа, а њен график заклапа туп угао са позитивним делом x-осе.

Важи и обрнуто.

Ако је линеарна функција растућа, онда је њен коефицијент правца позитиван, а ако

је опадајућа, онда је негативан.

Пример 5. Нацртајмо график линеарне (константне) функције y = 1, x R.

Повећање вредности независно променљиве x не утиче на вредност зависно

променљиве y, она остаје иста.

Константна функција није ни растућа ни опадајућа, а њен график је паралелан x-оси.

Пример 6. Одредимо сада и нуле линеарних функција y = 2x + 1 и y = –2x + 1.

2x + 1 = 0

2x = –1

x = – 1 2

x = –0,5

–2x + 1 = 0

2x = 1

x = 1 2

x = 0,5

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

123


Видимо да се график линеарне функције y = 2x + 1 десно од тачке N (–0,5, 0) налази изнад

x-осе, а лево од тачке N(–0,5, 0) испод x-осе. То значи да је за x > –0,5 функцијa y = 2x + 1

позитивна, док је за x < –0,5 функцијa y = 2x + 1 негативна. Заправо, вредности десно од

нуле функције су решења неједначине 2x + 1 > 0, a вредности лево од нуле функције су

решења неједначине 2x + 1 < 0.

У случају линеарне функције y = –2x + 1, важи обрнуто, то јест вредности десно од нуле

функције (x > 0,5) су решења неједначине –2x + 1 < 0, a вредности лево од нуле функције

(x < 0,5) су решења неједначине –2x + 1 > 0.

Ако је коефицијент правца линеарне функције позитиван (k > 0), функција је

позитивна за вредности веће од нуле функције, а негативна за вредности мање од

нуле функције.

Ако је коефицијент правца линеарне функције негативан (k < 0), функција је

позитивна за вредности мање од нуле функције, а негативна за вредности веће од

нуле функције.

Задатак 8.

Одреди нуле линеарних функција: а) f(x) = 5x – 6; б) f(x) = –3x + 7;

нацртај њихове графике, па са њих прочитај решења неједначина f(x) > 0 и f(x) < 0.

Уместо график линеарне функције y = kx + n, често ћемо рећи само права y = kx + n.

Права одређена једнакошћу x = а, а R

График линеарне функције у правоуглом координатном систему је права, али да ли је

свака права график неке линеарне функције?

Кроз разне примере видели смо да график линеарне

функције може да заклапа оштар или туп угао са x-осом,

или пак да буде паралелан са y-осом. Које праве су

нормалне на x-осу? Очигледно, то су праве паралелне

y-оси. Шта је заједничко свим тачкама које припадају

некој од ових правих?

Прва координата тачака сваке од ових правих се не мења.

Тако једнакост x = 0 одређује y-осу, једнакост x = –3 праву

наранџасте боје, a једнакост x = 4 праву љубичасте боје.

Ако при имплицитном задавању линерне функције аx + by + c = 0, x R, коефицијент

b може бити једнак и броју 0, онда је на овај начин могуће описати сваку праву у

координатном систему. Тада једнакост аx + by + c = 0 описује везу између прве (x) и друге

координате (y) сваке од тачака које припадају тој правој.

Свака права у правоуглом координатном систему xОy одређена је једнакошћу

аx + by + c = 0, где су а и b произвољни реални бројеви који не могу истовремено бити

једнаки 0.

124

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пресек две праве

Две различите праве које се налазе у истој равни, а нису паралелне (секу се), имају тачно

једну заједничку тачку. Сада, када свакој правој можемо да придружимо одговарајућу

једнакост (која представља везу међу координатама тачака те праве) рачунски можемо

да одредимо координате тачке пресека.

Пример 1. Посматрајмо графике линеарних функција y = 2x – 1 и y = –x + 5.

· Коефицијенти праваца 2 и – 1 су различити, па

се секу праве које су графици ове две функције.

· Нацртајмо те две праве.

· Са графика, ако смо их довољно прецизно

нацртали, видимо да је пресечна тачка P

одређена уређеним паром (2, 3). Заиста, како

је 3 = 2 · 2 – 1, тачка (2, 3) припада графику

функције y = 2x – 1, а како је 3 = –2 + 5, тачка

(2, 3) припада и графику функције y = –x + 5.

Међутим, некад је тешко са графика прочитати координате пресечне тачке (види задатак

1). Зато је сигурније одредити их рачунски. Означимо координате пресечне тачке P са

(x P , y P ). Тада, на основу тога што тачка P(x P , y P ) припада графику функције y = 2x – 1, имамо

да је y P = 2x P – 1, а на основу тога што тачка P(x P , y P ) припада графику функције y = –x + 5,

закључујемо да је y P

= –x P

+ 5. Према томе, апсциса тачке P(x P

, y P

) је решење једначине

2x P – 1 = –x P + 5.

Дакле, x P

= 2, а онда лако израчунавамо да је y P

= 3 (2 · 2 – 1 = 3 или –2 + 5 = 3). Пресечна

тачка графика линеарних функција y = 2x – 1 и y = –x + 5 је тачка P(2, 3).

Задатак 1.

На слици десно приказани су графици линеарних

функција

y = 4 5 x + 3

и y = x.

10

Одреди координате пресечне тачке ова два графика.

Примећујеш да их је тешко, или чак немогуће,

прочитати са графика.

Задатак 2.

Одреди координате пресечне тачке:

а) M(x M

, y M

) правих y = x – 3 и y = –x + 3;

б) N(x N , y N ) правих y = x + 2 и y = 4x – 7.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

125


Задатак 3.

Одреди растојање тачака M и N из задатка 2.

PQ = √(x 2

– x 1

) 2 + (y 2

– y 1

) 2 .

Пример 2. У једном акваријуму (запремине

200 литара) је било 150 литара воде.

Стављена је пумпа која је воду из њега

пресипала у други акваријум (запремине 200

литара) у коме је већ било 30 литара воде.

Пумпа за 1 минут из једног у други базен

преспе 2 литра. Када се у оба базена налази

иста количина воде?

Како у току једног минута из првог

акваријума истекне 2 литра, промену

количине воде (у l) у том базену, у зависности

од времена (у min), изражавамо једнакошћу

V 1 = 150 – 2t,

где t означава број минута, а V 1 запремину

преостале воде у литрима.

У току једног минута у други акваријум

се улије 2 литра, па промену количине

воде (у l) у њему, у зависности од

времена (у min), изражавамо са

V 2 = 30 + 2t,

где t означава број минута, а V 2

запремину воде у литрима.

При том су све три величине t (време), V 1 (запремина) и V 2 (запремина) по својој природи

ненегативне. На основу услова датих у задатку, мора бити и

V 1 ≤ 150, 30 ≤ V 2 ≤ 180 (јер је 30 + 150 = 180) и t ≤ 75 (јер је 150 = 2 · 75).

Интересује нас за које t је V 1 = V 2 , то јест за које t је

150 – 2t = 30 + 2t.

Решење ове једначине је t = 30. Дакле, после пола сата (30 минута) у оба акваријума се

налази иста количина воде, по 90 литара.

Овај проблем можемо да представимо и

графички.

Обојени делови (плави и црвени) графика

линеарних функција

y = 150 – 2x и y = 30 + 2x

одсликавају пражњење првог и пуњење

другог акваријума.

Пресек те две дужи је тачка P(30, 90). Апсциса

ове тачке представља време (30 минута)

после кога се у оба акваријума налази иста

количина воде (90 литара).

126

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ

СТАТИСТИЧКИХ ПОДАТАКА

Свакодневно информације о најразличитијим појавама усвајамо преко разних

графикона и дијаграма. Овакав графички приказ је илустративнији од навођења самих

података.

Временска прогноза за Београд

Број пушача почео да опада

Коначно и Србија почиње

да прати европски тренд.

Антиникотинска кампања

је дала прве резултате, али

и даље је потребно много

радити на томе. Највише

пажње треба посветити

едукацији најмлађих

нараштаја о штетности

никотина.

Учесталост пушења

становништва према

полу

40,5

33,6

Србија

47,9

38,1

Мушкарци

2000. ГОДИНА

2006. ГОДИНА

33,7 29,9

Жене

Уопште, ради бољег сагледавања неке појаве или процеса у природи и друштву,

неопходно је прикупљати одговарајуће податке, представљати их графички и

анализирати. Статистика је научна дисциплина која се управо тиме бави.

Рецимо, потребно је сазнати колико људи у Србији користи интернет и колико често.

Тако добијена информација има велики економски значај за компаније које се баве

пружањем услуга у вези са интернетом, али је она интересантна и за културологе и

социологе, јер се тиче понашања људи, односи се на савремени начин живота.

Како се испитивање спроводи?

У овом случају објекти испитивања су сви грађани Србије. Уопште, при статистичким

испитивањима скуп свих објеката на које се испитивање односи назива се популација.

Популација је реч латинског порекла од populatio, a поред значења које има у

статистичким испитивањима, она се користи и да означи становништво одређене земље

или регије, али и скуп биљака и животиња одређене области.

Наравно, из више разлога, одговарајућа питања није могуће поставити свим грађанима:

· број грађана се сваког тренутка мења (рађањем и умирањем),

· навике грађана се такође временом мењају,

· за тако масовну анкету било би потребно много људи који би вршили анкетирање, а

била би потребна и огромна материјална (новчана) средства.

Анкета је реч француског порекла (enquête) и значи прикупљање мишљења већег броја

људи, испитивање јавног мњења или тржишта помоћу упитника.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

127


Срећом, показано је да веродостојне резултате можемо добити и ако испитамо само

релативно мали део популације. Део популације за који одредимо (сазнамо помоћу

анкете) вредност одговарајуће карактеристике називамо узорак. За изабрани

узорак добијамо скуп одговарајућих вредности, који потом статистички обрађујемо

(представљамо резултате табеларно, графички, анализирамо добијене вредности и

доносимо одговарајуће закључке).

Да бисмо на основу испитивања узорка добили веродостојне закључке, изабрани узорак

(скуп објеката за чије карактеристике ћемо сазнати бројевне вредности) мора бити

репрезентативан.

Шта то значи?

За већ поменуто истраживање о коришћењу

интернета није добро посматрати узорак који

чине само програмери (они су по природи свог

посла упућени на коришћење интернета) или само

рудари (за обављање њиховог посла интернет

није пресудан). Такође, није добро да узорак чине

само људи из једног места, урбаног или руралног

(Зашто?). Не смемо се ни ограничити само на једну

старосну групу (Зашто?). Дакле, објекте у узорку

треба бирати тако да одсликавају целу популацију

(да представљају популацију у малом). Често је већ

насумични избор објеката испитивања довољан да

се постигне разноликост узорка.

Републички завод за статистику је 2008. године спровео једно овакво истраживање

у вези са употребом информационих технологија у Србији. Након што је анкетиран

(испитан) велики број (неколико хиљада, а не сви) грађана Србије, обрадом добијених

одговора дошло се до веома значајних података.

У тренутку испитивања, 35,6%

грађана Србије је потврдно

одговорило на питање: „Да

ли сте користили интернет у

последња три месеца?”

Потом су ти грађани одговарали

и на питања о томе колико често

користе интернет. Тако добијени

подаци су представљени на

дијаграму десно.

29,9%

Употреба интернета

6,6%

1,3%

62,2%

сваког дана или

скоро свакодневно

најмање једном

недељно

најмање једном

месечно

ређе него једном

месечно

128

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Статистика је и неизоставан део готово свих научних истраживања, од природних

(биологија, метеорологија, физика, хемија...) до друштвених (економија, социологија...).

На пример, статистичком обрадом података о просечној годишњој температури на

Земљи и концентрацији угљен-диоксида у атмосфери у периоду 1880–2004. године

добијен је следећи график. Он јасно указује на убрзане климатске промене (глобално

отопљење) у последњих неколико деценија, али и на велики раст концентрације CO 2

(угљен-диоксида) у атмосфери у истом периоду. Уочено поклапање је главни аргумент

научника који сматрају да је загађивање атмосфере узрок климатских промена.

Слика говори више од хиљаду речи! Овако представљено истраживање буди забринутост

и код оних који нису стручњаци у домену екологије, па тако има већи утицај на

понашање читаве људске популације.

Прва статистичка обрада података се најчешће везује за енглеског демографа Џона

Граунта (1620–1674), који је 1662. године објавио студију о смртности у тадашњем

Лондону. Уопште, прва примена статистике везује се за државну демографску и

економску политику.

Mатематичке основе статистике почињу да се развијају у 17.

веку, и то пре свега у радовима француских математичара

Блеза Паскала (1623–1662) и Пјера Ферма (1607–1665). Они

су, проучавајући игре на срећу, дошли до закључака који су

значајни за развој статистике.

Данас се статистика бави анализом најразличитијих података. У свакој држави постоји

статистички завод, који прати бројне појаве које су важне за њихов развој. Такође, у

Лондону је 1885. године основан Међународни институт за статистику.

У новије време, за статистичку обраду података, као и њихово графичко представљање

користе се рачунари. Да ли си чуо за програм Ексел (Еxcel)?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

129


Представљање зависних величина табеларно

и у координатном систему

До сада смо детаљно обрађивали и графички представљали три типа зависности међу

величинама: директну пропорционалност, обрнуту пропорционалност и линеарну

зависност. Међутим, величине могу и на други начин да зависе једна од друге, а

графички приказ те зависности у координатном систему је увек илустративан и

користан.

Пример 1. Хидрометеоролошки завод прати све најважније климатске факторе

(температуру ваздуха, влажност ваздуха, количину падавина, број сунчаних дана у

години и тако даље) на територији за коју је задужен. Ти подаци се потом обрађују и

архивирају. У табели испод су дати подаци о количини падавина за град Крагујевац.

Месец I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Падавине у mm по m 2 27 31 37 51 56 89 42 33 31 48 42 40

На основу дате табеле графички (у координатном систему) се може приказати зависност

количине падавина од месеца посматране године.

Одговарајући график цртамо на следећи начин:

· На хоризонталној оси означавамо месеце, а на вертикалној висину падавина.

· Цртамо тачке чије координате одговарају подацима из табеле – (I, 27), ... , (XII, 40).

· Спајамо нацртане тачке и тако добијамо изломљену праву линију.

У односу на табелу, график прегледније описије неку појаву или процес. Он омогућава да

јасније сагледамо одговарајуће карактеристике.

130

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Тако са датог графика можемо прочитати много тога.

У јуну је било највише падавина – 89mm по m 2 .

Најмање падавина је било у јануару – 27mm по m 2 .

У фебруару и септембру је пала једнака количина падавина – по 31mm по m 2 . Једнаке

количине падавина забележене су и за август и новембар – по 42mm по m 2 .

У априлу, мају и јуну је било више од 50mm падавина по m 2 .

У јануару, фебруару, августу и септембру пало је мање од 36mm по m 2 .

Највећа разлика у падавинама два суседна месеца забележена је у јуну и јулу. Ову

разлику на графику приказује најстрмија (најдужа) дуж од нацртаних.

Количина падавина је расла у периодима јануар–јун и септембар–октобар, а опадала

у периодима јун–септембар и октобар–децембар. Периоде раста препознајемо као

дужи које са позитивним делом хоризонталне осе граде оштар угао (те дужи су делови

графика растућих линеарних функција), а периоде опадања препознајемо као дужи

које са позитивним делом хоризонталне осе граде туп угао (те дужи су делови графика

опадајућих линеарних функција).

Графичко представљање зависности у координатном систему је уобичајено када

одговарајућу величину посматрамо и меримо хронолошки, то јест када представљамо

зависност те величине од времена. Тада се најчешће на хоризонталној оси представља

време.

Зависност међу величинама представљамо у координатном систему тако што

нацртамо тачке чије су координате одговарајуће вредности зависних величина, а

потом их спојимо дужима.

При том координатни систем увек прилагођавамо конкретној ситуацији:

· Преименовање оса – свака оса се означава и назива у складу са величином коју

представља.

· Нумерација оса – подеоцима на свакој од оса додељују се бројеви који одговарају

величинама које представљамо. Зато се основним подеоцима понекад додељују

стотине, а понекада хиљаде и слично. Није редак случај, нарочито у пракси, да се

почетни део осе (једне или обе) изостави, те да се прикаже само део почев од 100,

1 000 и тако даље. За такве случајеве постоје разне графичке „допуне”, али се често

могу срести и прикази без икаквог истицања да је почетни део осе одбачен.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

131


Пример 2. Милош је у седмој години почео да тренира кошарку. Од тада за сваки

рођендан бележи своју висину, надајући се да ће достићи своје спортске идоле.

Рођендан 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Висина у cm 136 144 149 154 159 165 173 186 198

Сликовитији приказ Милошевог раста добијамо ако податке прикажемо графички.

· На хоризонталној оси означавамо Милошеве

рођендане, а на вертикалној оси висину у

центиметрима на тај дан.

· Цртамо тачке чије координате одговарају датим

подацима – (7, 136), ... , (15, 198).

· Нацртане тачке спајамо дужима.

Нацртана линија нам омогућава и да проценимо

колико је Милош био висок када је имао 11

и по година, или у неком другом тренутку у

посматраном периоду.

Израчунајмо и колико је Милош порастао сваке године. На пример, у осмој години је

порастао за 8cm (144 – 136 = 8, од висине измерене на 8. рођендану одузмемо висину

измерену на 7. рођендану). Тако добијена табела и график боље одсликавају промену у

брзини Милошевог раста.

Година 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Годишњи раст у cm 8 5 5 5 6 8 13 12

На хоризонталној оси означавамо Милошеве године,

а на вертикалној оси годишњи раст висине. Сада је

јасно да се после 8. године и раста од 8cm Милошев

раст успорава и у следеће три године бива равномеран

(по 5cm). Потом он убрзано расте, посебно уласком у

пубертет. У 14. години је порастао чак 13cm.

Шта очекујеш да ће бити у 16, а шта у 23. години?

Задатак 1.

У табели испод дати су подаци о просечној месечној температури ваздуха.

Месец I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Просечна температура у °C –2 3 11 14 18 22 25 23 20 12 5 1

132

а) Нацртај одговарајући график и одговори на следећа питања:

1. Који месец је био најтоплији, а који најхладнији?

2. За које месеце је просечна температура већа од 15°C, а током којих је мања од 2°C?

3. У ком периоду године је просечна температура расла, а у ком опадала?

б) Нацртај и график који представља промену просечне температуре из месеца у месец.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 3. Свакодневно, у средствима јавног информисања, наилазимо на графике

попут датог, на основу којих треба да се информишемо о некој појави.

Овако приказана

зависност курса евра

и времена веома

је илустративна

и даје нам читав

низ корисних

информација. Пре

свега, за сваки дан

читамо одговарајући

курс.

97

96,5

95,7965 96,5657

96

95,5

95,2175

94,8438

95,5282

95 94,62

94,758 95,0682

94,5 94,8438 94,8438

94 94,4435

93,5

93

25.11.26.11. 27.11.28.11.29.11. 30.11. 1.12. 2.12. 3.12. 4.12. 5.12.

Датум 25.11. 26.11. 27.11. 28.11. 29.11. 30.11. 1.12. 2.12. 3.12. 4.12. 5.12.

1 евро 94,4435 94,6200 94,8438 94,8438 94,8438 94,7580 95,0682 95,2175 95,5282 95,7965 96,5657

Уочавамо минималну (94,4435 дин, 25. 11. 2009) и максималну вредност (96,5657 дин,

5. 12. 2009). Курс је стагнирао само у периоду 27–29. 11. 2009. Такође, можемо видети да

је једино 30. 11. 2009. (у посматраном периоду) евро забележио пад (вредео мање него

претходног дана). Читајући график стичемо и општи утисак како се курс евра кретао. У

посматраном периоду курс је углавном растао, укупно је порастао за више од 2 динара.

Бржи раст је забележен у другој половини посматраног периода, а појединачно, највећи

раст је забележен последњег дана. Многи, пратећи свакодневно овакве анализе,

покушавају да предвиде висину курса у будућим данима и на основу тога планирају своје

финансије.

Анализа графика зависности међу величинама, као ова коју смо управо описали, обично

се назива читање графика.

Задатак 2.

Цена производа се мењала сваког месеца у првој половини године. Промене су

приказане графички. Са којом од наредне четири изјаве би се сложио/ла?

(I) Цена производа у фебруару је снижена за

50% у односу на цену у јануару.

(II) Производ је био скупљи у марту него у јуну.

III) Производ је био најскупљи у априлу.

(IV) Цена је од фебруара до априла порасла за

70 динара.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

133


Графичко представљање статистичких података

у облику дијаграма

Поред представљања података које смо већ описали, постоје и други начини.

Пример 1. На часовима географије си већ много тога научио о нашој планети. Као

основне карaктеристике сваког од континената, издвајамо површину и број становника.

Континент Европа Азија Африка

Северна

Америка

Јужна

Америка

Аустралија и

Океанија

Површина у km 2 10,18 · 10 6 44,41 · 10 6 30,37 · 10 6 24,23 · 10 6 17,83 · 10 6 8,9 · 10 6

Број становника 731 · 10 6 3 862 · 10 6 900 · 10 6 454 · 10 6 380 · 10 6 32 · 10 6

Дате податке ћемо представити графички користећи такозвани стубични дијаграм.

Њега цртамо тако што:

· На водоравној оси најчешће означавамо објекте чије особине изражавамо бројевима

(меримо), док је вертикална оса бројевна права. Јединицу мере прилагођавамо датим

подацима, тако да дијаграм буде прегледан.

· Сваком посматраном објекту (у овом случају континенту) придружујемо правоугаоник

чија је једна страница (хоризонтална) произвољне ширине и иста је за све, а дужина

друге (вертикалне) одговара уоченој бројевној вредности за тај објекат (у овом случају

површини, односно броју становника).

134

У неким случајевима није могуће бити у потпуности прецизан. На пример, са дијаграма

се не види тачна површина Европе, већ сазнајемо да је око 10 000 000km 2 . Међутим,

најбитније је да са дијаграма стекнемо општи утисак. Рецимо, да видимо да је Европа по

величини на петом месту и да је отприлике једнака трећини Африке.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Посматрајући претходна два дијаграма, постаје очигледно да се континенти битно

разликују по насељености (јер да је густина насељености иста за све континенте, оба

дијаграма би била истог облика). На пример, Европа и Аустралија и Океанија имају

сличну површину, али се битно разликују по броју становника.

Стубични дијаграм се најчешће користи за представљање исте бројне карактеристике за

„мали” број сродних објеката. У примеру 1, сродни објекти су континенти, а приказане

карактеристике су површина и број становника. У овом случају ништа нам не би значило

да спојимо тачке (Европа, 10,18 · 10 6 ) и (Азија, 44,41 · 10 6 ).

Пример 2. Ученици једног одељења су анкетирани о својим спортским активностима.

Испитивано је колико ученика активно тренира, као и о којим спортовима је реч.

Обрадом прикупљених података, дошло се до сазнања да се 9 ученика спортом бави

само рекреативно, док осталих 19 тренира по један спорт.

Спорт кошарка фудбал одбојка тенис пливање рукомет

Број ученика 7 5 3 2 1 1

На основу датих података цртамо следећа два стубична дијаграма.

број ученика

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

активни

спортисти

рекреативци

број ученика

8

7

6

5

4

3

2

1

0

кошарка фудбал одбојка тенис пливање рукомет

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

135


Задатак 1.

На основу дате табеле нацртај одговарајући стубични дијаграм.

Град Београд Атина Москва Рим Беч

Број становника 1,6 · 10 6 3,7 · 10 6 10,5 · 10 6 3,7 · 10 6 2,3 · 10 6

Дијаграм је реч грчког порекла од diágramma, што значи цртеж.

Некада је корисно вредности одговарајуће карактеристике (посматраних објеката)

сврстати у „мали” број дисјунктних интервала, па онда посматрати бројност сваке од тих

уочених група (а не посматрати вредности појединачно).

Пример 3. Резултате ученика (број освојених бодова) који су постигнути на контролној

вежби професор је разврстао у дисјунктне интервале једнаке дужине – [25, 40), [40, 55),

[55, 70), [70, 85), [85, 100]. Потом је одредио колико се често подаци јављају у сваком од

наведених интервала, то јест одредио је учесталост.

Број бодова [25,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,100]

Учесталост 1 5 9 11 6

12

Професор је добијене

податке представио

графички следећим

дијаграмом.

Шта мислиш, колико

ученика је на тој

контролној вежби

добило оцену 5, а

колико оцену 2?

учесталост

10

8

6

4

2

0

[25,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,100]

За представљање расподеле учесталости најчешће се користи дијаграм попут

приказаног, који се назива хистограм. Овај дијаграм личи на стубични и на њему

су представљени одговарајући правоугаоници, али су они сада спојени. У случају

хистограма хоризонтална оса је бројевна права (њен део) и на њој се представљају

уочени дисјунктни интервали једнаке дужине. Сваки тај интервал је страница

одговарајућег правоугаоника. Вертикална оса је такође бројевна права и на њој се

представља учесталост. Код сваког од нацртаних правоугаоника дужина вертикалне

странице одговара учесталости одговарајућег интервала.

136

Задатак 2.

Спроведи мало истраживање и сазнај висину што већег броја својих вршњака. Потом

добијене резултате разврстај у интервале дужине 5cm и нацртај одговарајући хистограм.

Шта би извукао/ла као главни закључак свог истраживања?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 4. На основу података датих у табели у примеру 1 можемо израчунати који део

светске популације чини становништво сваког од континената. Како?

Континент Европа Азија Африка Северна

Америка

Јужна

Америка

Аустралија

и Океанија

Удео становништва у

светској популацији

11,5% 60,7% 14,2% 7,1% 6% 0,5%

11,5%

14,2%

6%

7,1%

Удео у светској популацији

0,5%

60,7%

Азија

Африка

Европа

Северна Америка

Јужна Америка

Аустралија и Океанија

Међутим, и без табеле,

на основу дијаграма лево

добијамо јасну слику о

томе како је становништво

распоређено на нашој

планети.

Овакав графички приказ

података називамо кружни

дијаграм.

Кружни дијаграм цртамо тако што:

· Нацртамо круг произвољног пречника.

· Одредимо углове кружних исечака које треба нацртати, тако да је површина сваког од

исечака пропорционална броју објеката који се налазе у одговарајућем делу целине. То

нам омогућава да визуелно одмах створимо слику о расподели објеката.

На пример, Европи на дијаграму треба придружити кружни исечак чија је површина

једнака 11,5% површине круга. Онда је централни угао тог исечка једнак 11,5% пуног

угла, што је приближно 41°. Збир централних углова свих исечака је пун угао (360°).

0,115 · 360° ≈ 41°

0,607 · 360° ≈ 218°

0,142 · 360° ≈ 51°

0,071 · 360° ≈ 26°

0,06 · 360° ≈ 22°

0,005 · 360° ≈ 2°

Континент

Угао на дијаграму

Европа 41°

Азија 218°

Африка 51°

Северна Америка 26°

Јужна Америка 22°

Аустралија и Океанија 2°

· Цртамо кружне исечке чије смо централне углове претходно одредили.

Ради прегледности, на дијаграму смо цртали углове по величини од највећег до

најмањег (у смеру казаљке на сату).

Кружни дијаграм се користи када је нека целина подељена на „мали” број дисјунктних

сродних делова. У посматраном примеру целина је насељени део планете, а њени

дисјунктни делови су шест насељених континената.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

137


Задатак 3.

Представи кружним дијаграмом заступљеност врста речи у познатој Њутновој реченици

– Ако сам и видео даље од других, то је само зато што сам стајао на раменима великана.

Пример 5. Разредни старешина је за родитељски састанак припремио стубични и

кружни дијаграм успеха својих ученика. Прво је саставио табелу, која садржи имена свих

ученика његовог одељења и њихове просечне оцене.

Име Ана Јанко Марко Марија Иван Милица Филип Љубица

Просек оцена 4,85 2,89 3,41 5,00 2,33 4,93 4,37 4,44

Име Софија Вук Лазар Сава Јована Катарина Лена Мина

Просек оцена 3,12 5,00 4,55 4,78 4,44 4,55 3,76 4,63

Име Јован Милош Душан Сара Соња Ђурђа Ђорђе Жарко

Просек оцена 4,78 4,93 3,96 4,00 4,00 5,00 3,55 5,00

Потом је податке (просеке оцена) распоредио у одговарајуће групе. Бројеве веће или

једнаке од 4,5 (одличан успех) означио је црвеном бојом. Бројеве из интервала [3,5, 4,5]

(врло добар успех) означио је наранџастом бојом. Бројеве из интервала [2,5, 3,5] (добар

успех) означио је зеленом, а бројеве који припадају интервалу [2, 2,5] (довољан успех)

означио је плавом бојом. Онда је, бројећи истобојна поља, саставио прве две врсте доње

табеле. Након тога је израчунао одговарајуће проценте и њима одговарајуће углове.

Успех довољан добар врло добар одличан

Број ученика 1 3 8 12

Удео ученика са тим успехом 4,2% 12,5% 33,3% 50%

Централни угао на дијаграму 15° 45° 120° 180°

4,2%

12,5%

33,3%

50%

Задатак 4.

Хистограмом представи расподелу учесталости просечне оцене у одељењу из примера

3 посматрајући интервале дужине 0,5, то јест интервале [2, 2,5), [2,5, 3), [3, 3,5), [3,5, 4),

[4, 4,5) и [4,5, 5].

138

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Средња вредност

Аритметичка средина два броја a и b једнака је њиховом полузбиру, то јест a + b

2 .

Задатак 1.

На бројевној правој представи дате бројеве и њихову

аритметичку средину:

а) 2 и 4; б) –7 и –3; в) –2 и 1.

Аритметичка средина бројeва а 1

, а 2

, ... , а n

једнака је количнику збира тих бројева и

броја n, то јест једнака је броју a 1 + a 2 + ... + a n

.

n

Задатак 2.

Израчунај и представи на бројевној правој дате бројеве и њихову аритметичку средину:

а) 1, 2 и 5; б) –7, –3 и 0; в) –8, 3, 7 и 12; г) 2, 2 и 2.

Аритметичка средина различитих бројева а 1

, а 2

, ... , а n

је број већи од најмањег

од бројева а 1 , а 2 , ... , а n , а мањи од највећег од тих бројева. Ако је а 1 = а 2 = ... = а n = а,

аритметичка средина тих бројева је такође једнака а.

Пример 1. У првој постави једног кошаркашког тима налазе се играчи који су високи

190cm, 192cm, 199cm, 202cm и 207cm. Колика је просечна висина те петорке?

Просечна висина петорке је аритметичка средина

висина играча:

190 + 192 + 199 + 202 + 207

= 990

5 = 198cm.

5

Око просечне висине се групишу висине играча. Мора

бити и играча који су нижи од 198cm и играча који су

виши од 198cm. Зато просечна висина карактерише

читаву петорку. Kористећи кошаркашки речник, у овом

случају можемо рећи да је реч о „ниској петорци”.

Уместо речи просек (просечна висина, просечна оцена) која је уобичајена у

свакодневном животу, при обради статистичких података кажемо средња вредност.

Средња вредност је аритметичка средина посматраних података.

198

Висина (cm)

Средња вредност је битна карактеристика за посматране податке, јер представља

вредност око које се подаци групишу.

Задатак 3.

Једне недеље у јануару измерене су следеће јутарње температуре: –5, –8, 0, 2, –7, –1, 1.

Колика је била просечна јутарња температура те недеље?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

139


Пример 2. Какав успех је остварио ученик ако су његове оцене:

5, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3?

На основу датих података рачунамо такозвани просек оцена, то јест рачунамо средњу

вредност за (5, 4, 5, 5, 3, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 3).

s = 5 + 4 + 5 + 5 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3

15

Уочавамо да ученик има 6 петица, 7 четворки и 2 тројке, па средњу вредност можемо

рачунати и на следећи начин.

s = 6 · 5 + 7 · 4 + 2 · 3 =

30 + 28 + 6

= 64 = 4,2(6) ≈ 4,27

15

15 15

Како је 3,5 ≤ 4,27 < 4,5, ученик је разред завршио са врло добрим успехом.

Када не знамо све оцене ученика, познавањем само једног броја – аритметичке средине

оцена тог ученика – знамо категорију успеха тог ученика. Међутим, да ли на основу

просека оцена тог ученика знамо коју оцену он има из математике?

Задатак 4.

Израчунај просек својих оцена из математике од почетка школске године до данас.

Пример 3. На основу датих података израчунајмо просечне оцене Софије и Марка.

Софијине оцене: 5, 5, 5, 5, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 4.

Маркове оцене: 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 2, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 2.

Софијине оцене 5 4 3

Учесталост 6 7 2

s = 6 · 5 + 7 · 4 + 2 · 3

15

= 64

15 ≈ 4,27 s = 8 · 5 + 5 · 4 + 2 · 2

15

= 64

15 ≈ 4,27

Маркове оцене 5 4 2

Учесталост 8 5 2

Приметимо да иако ова два ученика немају исте оцене, просек оцена им је исти.

4,27 4,27

Дакле, различити скупови података могу имати исту средњу вредност. Она зависи само

од збира посматраних података, а не и од њиховог поретка.

Задатак 5.

На основу података из табеле израчунај просечан број чланова испитаних породица.

Број чланова 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Број породица 3 5 22 50 10 5 2 2 1

140

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Медијана

Пример 1. Кошаркашку утакмицу за један тим је почела постава играча чије су висине

201cm, 199cm, 204cm, 206cm и 205cm. Висине играча другог тима који су почели

утакмицу су 218cm, 203cm, 198cm, 197cm и 199cm.

Како је

201 + 199 + 204 + 206 + 205

= 1015 = 203 и

218 + 203 + 198 + 197 + 199

= 1015 = 203,

5

5

5

5

закључујемо да обе поставе имају исту просечну висину, иако постоје очигледне разлике

између њих. Дакле, на основу средње вредности не можемо да опишемо разлику између

ове две поставе. Зато ћемо одредити још једну њихову карактеристику.

Поређајмо сада дате податке (за сваки тим посебно) у растућем поретку.

203

Висина (cm)

203

Висина (cm)

199 201 204 205 206

197 198 199 203 218

половина података

половина података

половина података половина података

медијана

медијана

Централни (средњи) члан сваког од ова два низа дели низ на два дела исте бројности,

и то тако да су подаци из једног дела мањи, а из другог дела већи од њега. Тај број

називамо медијаном. Медијана за прву петорку је 204, а за другу 199. Дакле, петорке се

разликују по овој карактеристици.

Медијана је број од којег половина података није већа, а друга половина није мања.

Медијана, за разлику од средње вредности, зависи од поретка вредности из узорка.

У односу на другу петорку, висине у првој су равномерније распоређене око средње

вредности. Зато је медијана (204) прве петорке ближа средњој вредности (203).

Знајући обе карактеристике, и средњу вредност и медијану, имамо бољи увид у

посматране вредности.

Уколико посматрамо непаран број података, медијана је централни (средњи) члан низа

који добијамо када дате податке поређамо у растућем поретку.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

141


Задатак 1.

Одреди медијану за податке:

а) (7, 12, 4, 3, 13, 22, 8); б) (–2, 2, –1 008, 0, 77 ); в)

1

2 , – 1 2 , – 1 5 , – 2 3 , 3 5 .

Пример 2. Одредимо и медијану за Софијине и Маркове оцене које су дате у примеру 3

на страни 140.

Ређајући оцене од најмање ка највећој добијамо следећа два низа. Како оба низа имају по

15 чланова, осми члан сваког од низова дели тај низ на пола (два низа од по 7 чланова).

Дакле,

4 је медијана за (5, 5, 5, 5, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 4, 4),

5 је медијана за (5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 2, 5, 4, 4, 5, 5, 4, 2).

Пример 3. На часу физичког васпитања дечаци су скакали удаљ из места и постигли

следеће резултате (у метрима):

1,7 1,9 2,2 2,2 2,1 1,7 2,0 1,6 1,5 2,0.

Изнад које вредности је скочила половина дечака?

Заправо, треба одредити медијану датих података. Прво поређамо податке у низ од

најмањег до највећег (у растућем поретку). Имамо паран број вредности, па не постоји

централни члан низа. Дакле, сваки реалан број из интервала (1,9; 2,0) јесте медијана

за ове податке. Међутим, по договору, за медијану се узима аритметичка средина два

централна члана низа. У овом случају медијана је аритметичка средина бројева 1,9 и 2,0,

то јест 1,95.

1,5 1,6 1,7 1,7 1,9 1,95 2,0 2,0 2,1 2,2 2,2

половина података

половина података

медијана

Уколико посматрамо паран број података, за медијану узимамо аритметичку средину два

централна члана низа, који добијамо када податке поређамо у растућем поретку.

Задатак 2.

Одреди медијану за дате податке:

а) (17, 1, 14, 31, 15, 23, 1, 8); б) (–2, –5, –10, –8, –6, –5 ); в)

1

2 , – 1 2 , – 1 5 , 1 5 , – 2 3 , 2 3 .

Задатак 3.

Одреди просек и медијану својих оцена са полугодишта.

142

Задатак 4.

Саобраћајни полицајац је радаром измерио следеће брзине аутомобила (у km/h):

95, 102, 56, 88, 91, 72, 63, 67, 82, 60, 71, 80, 90, 100, 70, 77.

На основу датих података одреди брзину у односу на коју је 50% возача возило спорије и

брзину у односу на коју је 25% возача возило брже.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Поређење података са средњом вредношћу

Пример 1. Просечан број бодова који је Милица освојила на 4 контролне вежбе је 75.

Ако на следећој вежби освоји 80 бодова, да ли ће она поправити просек?

Наравно, у том случају ће се просек повећати. На прве 4 вежбе Милица је освојила

укупно 300 бодова (4 ∙ 75 = 300). Према томе, нови просек би био

300 + 80

= 380

4 + 1 5 = 76.

Било који број бодова већи од 75 доводи до повећања просека, док га било који број

мањи од 75 смањује. Ако освоји тачно 75 бодова, просек се не мења.

Колико бодова Милица треба да освоји заједно на петој и шестој контролној вежби, а да

се не промени њен просек? На колико начина она то може да постигне?

Пример 2. На школском такмичењу из математике учествовало је 15 девојчица. Просек

освојених бодова за девојчице је био 70, а за дечаке 72. Ако је просечан број бодова за

читаву школу 71,25, одредимо колико се дечака такмичило.

Одмах закључујемо да је учествовало више дечака него девојчица, јер је средња

вредност (71,25) ближа просеку дечака (72) него просеку девојчица (70). Да је било

подједнако дечака и девојчица, просек школе би био 71. Зашто?

Обележимо са x број дечака. Онда је

70 · 15 + 72 · x

= 71,25.

15 + x

Применом правила о множењу (15 + x > 0) добијамо линеарну једначину

70 ∙ 15 +72x = (15 + x)71,25.

Даљим решавањем долазимо до закључка да је било 25 дечака на такмичењу.

Задатак 1.

На такмичењу из математике просек освојених бодова за девојчице је 73, а за дечаке 71.

Ако је просек за све ученике 71,8, одреди однос броја дечака и броја девојчица који су се

такмичили.

Задатак 2.

За 10 посматраних дана просечна температура је 20°С. Да је сваког од првих 5 дана

измерена за по 2 степена нижа температура, колика би била просечна температура?

Задатак 3.

Загађење ваздуха у градовима у великој мери потиче од издувних гасова аутомобила.

Зато се грађани позивају да користе градски превоз и тако смање укупни број возила

у саобраћају. У жељи да покажу да је свакодневно коришћење сопственог превоза

и економски неоправдано, ученици осмог разреда једне школе су спровели мало

истраживање. У току једног сата бележили су број путника у аутомобилима који су

прошли поред њихове школе.

Број путника у аутомобилу 1 2 3 4 5

Број аутомобила 83 51 35 17 2

Одреди средњу вредност. Који податак је најчешће забележен? Да ли је тај податак мањи

или већи од средње вредности? Како би ти тумачио/ла резултате овог истраживања?

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

143


Пример 3. Јован је у току школске године имао 8 контролних вежби из математике. На

свакој је могао да освоји максимално 100 бодова. На дијаграму су приказани бодови које

је Јован освојио на свакој од тих вежби.

Шта све можемо сазнати о Јовановом раду на основу датих података?

144

Најмање бодова је освојио на другој контролној вежби – 58, а највише на петој – 96.

Дакле, разлика између максималног и минималног броја освојених бодова је

96 – 58 = 38, што указује да постоје битне разлике у успеху на тим вежбама.

Просечан број освојених бодова је

78 + 58 + 88 + 82 + 96 + 82 + 78 + 94

= 656

8

8 = 82.

Такође, на основу низа

58 78 78 82 82 88 94 96

видимо да је и медијана једнака 82.

Како је

96 – 82 = 14 и 82 – 58 = 24,

закључујемо да је просеку ближи максимални освојени број бодова (и то за 24 – 14 = 10).

Ово указује на оно што је и са самог дијаграма очигледно – ученик је једном битно

лошије урадио контролну вежбу. Зато бисмо могли рећи да ово иступање не представља

прави показатељ Јовановог рада, па би га професор могао и занемарити. Уколико се

искључи резултат са највећим одступањем од средње вредности (58), Јованов просек

бодова се повећава. Средња вредност за (78, 88, 82, 96, 82, 78, 94) је

78 + 88 + 82 + 96 + 82 + 78 + 94

8

= 598

7 ≈ 85,43.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


На пет контролних вежби ученик је постигао успех који се од просека не разликује за

више од 6 бодова (78, 88, 82, 82, 78). Дакле, на 5 = 0,625 = 62,5% контролних вежби успех

8

ученика припада интервалу [76,88]. Овај податак такође може бити узет у обзир када

треба донети суд о Јовановом раду.

6

5

учесталост

4

3

2

1

0

[50, 62] (62, 76] (76, 88] (88, 100]

Битно је знати да што више података имамо то боље сагледавамо и разумемо посматрану

појаву. Рецимо, ако знамо Јованове резултате током читаве године, добијамо јаснију

слику о његовој оцени него ако знамо резултате само са прве три контролне вежбе.

Задатак 4.

Одреди Јованов просек освојених бодова са прве три, као и са последње три вежбе.

Добијене просеке упореди са годишњим просеком.

Уопште, дате информације о броју освојених бодова (статистички подаци) су добар

показатељ нечијег рада, али га ипак не могу у потпуности окарактерисати. Оцена зависи

и од великог броја података који се не може описати бројем (марљивости, активности

на часу, креативности, прецизности у раду, јасности његовог излагања, разлике између

потенцијала ученика и оствареног резултата и тако даље).

Задатак 5.

Две Јованове другарице, Исидора и Ксенија, на истим контролним вежбама су оствариле

резултате дате у табели.

Контролна вежба I II III IV V VI VII VIII

Исидора 85 80 82 78 80 85 84 82

Ксенија 92 100 62 72 92 60 96 72

Одреди средње вредности освојених бодова за обе ученице (појединачно). Образложи

сличности и разлике у постигнутим резултатима. Дате резултате упореди са Јовановим.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

145


Пример 4. Вероватно си већ чуо неког да каже да му је притисак 120/80 (120 са 80).

Крвни притисак се изражава паром бројева од којих први представља такозвани горњи,

а други такозвани доњи крвни притисак. Шта ти бројеви заиста представљају учићеш из

биологије. Овом приликом ћемо само рећи да је идеалан горњи крвни притисак 120, а

доњи 80, али се нормалним сматрају и вредности које се од ових разликују за 10.

У периоду од 7 до 14 часова, господину Петровићу и господину Јовановићу је мерен

крвни притисак на сваких сат времена. На графику су приказани резултати мерења –

црвене линије за Петровића, а плаве за Јовановића. Шта мислиш, ко од њих двојице има

здравствене проблеме у вези са крвним притиском?

На први поглед је уочљиво да горњи крвни

притисак господина Петровића бележи веће

промене током времена – од најмањих 130, па чак

до 190. Такође, његов просечни горњи притисак је

битно изнад 120 (све вредности су веће од 120).

Дакле, у случају горњег крвног притиска, и

средње вредности и распршеност података око

тих вредности говоре у прилог томе да господин

Петровић има здравствених проблема. Просечни

горњи притисак господина Јовановића је

115 + 125 + 125 + 130 + 115 + 140 + 125 + 120

≈ 124.

8

Његови резултати су уједначени, сви се налазе

у интервалу [115, 140], па можемо закључити

да он нема већих проблема са горњим крвним

притиском.

Задатак 6.

Анализирај и приказане вредности доњег крвног притиска. Упореди их по средњој

вредности, као и по расипању вредности података око ње. Веће одступање од средње

вредности указује на здравствене проблеме. Шта закључујеш?

Задатак 7.

Једна кошаркашка екипа је победила у две узастопне утакмице. При том је девет играча

тог тима постигло кошеве. Обележићемо их бројевима 1, 2, ... , 9.

Играч 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Прва утакмица 4 4 8 0 24 1 8 21 7

Друга утакмица 8 3 15 7 16 8 10 10 7

а) Нацртај одговарајуће стубичне дијаграме за обе утакмице.

б) Замисли да си тренер тог тима. Шта би играчима рекао после прве, а шта после друге

победе? Када су победу донели појединци, а када колектив?

146

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА

Ове године време је послужило воћаре и њихов труд се исплатио. Кајсије су родиле 20%

боље него прошле. Заправо, принос по стаблу је порастао за 6kg.

Можемо ли на основу ових података да закључимо колики је принос по стаблу био

прошле, а колики је ове године? Покушајмо!

Oбележимо са x принос по стаблу (у килограмима) прошле године, а са y принос по

стаблу (у килограмима) ове године. Дати подаци нам дају две линеарне везе међу

величинама x и y, односно на основу њих долазимо до следеће две једначине сa две

непознате, уз услов x ≥ 0, јер принос не може бити негативан.

y = 1,2x

y = x + 6

Две линеарне једначине с две

непознате заједно називају се

системом те две једначине.

Једнакости

y = 1,2x и y = x + 6

можемо посматрати и као две различите

линеарне функције. Графици ових функција

се секу. Апсциса пресечне тачке је решење

линеарне једначине

1,2x = x + 6.

Дакле,

x = 30 и y = 36.

Уређени пар (30, 36) је решење посматраног

система, то јест он је решење обе једначине тог

система. Овај уређени пар уједно представља

координате пресечне тачке посматраних

графика линеарних функција

y = 1,2x и y = x + 6.

Ми ћемо се у оквиру ове теме бавити решавањем сличних система линеарних једначина.

Као и у приказаном примеру, сваком од тих система придружићемо одговарајући

графички приказ. Он нам поможе да, и пре одређивања решења система, уочимо да ли

систем има решење, као и колико их има.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

147


Линеарна једначина с две непознате

Линеарна једначина с две непознате x и y је свака једначина еквивалентна једначини

облика аx + by + c = 0, где су а, b, c реални бројеви, а коефицијенти а и b не могу

истовремено бити једнаки 0 (а ≠ 0 или b ≠ 0).

Из практичних разлога у горњој дефиницији је дозвољено да коефицијенти уз непознате

могу бити 0, мада је тада реч о линеарној једначини с једном непознатом.

На пример, једначине

јесу линеарне једначине с две непознате.

3x + 2y – 1 = 0, –x + y – 2 = 0, 11x – 7y – 4 = 0

Задатак 1.

Наведи три линеарне једначине с две непознате.

Дату линеарну једначину с две непознате трансформишемо у њој еквивалентну

применом истих правила (замене, о додавању, о множењу) као и у случају једначина с

једном непознатом.

Решење линеарне једначине с две непознате аx + by + c = 0 је сваки уређени пар (x 0 , y 0 )

који заменом x са x 0 и y са y 0 ту једначину преводи у тачну бројевну једнакост.

На пример, уређени парови (1, –1) и (3, –4) јесу решења једначине 3x + 2y – 1 = 0, јер јесте

3 · 1 + 2 · (–1) – 1 = 0 и 3 · 3 + 2 · (–4) – 1 = 0.

А уређени парови (0, 0) и (–5, 3) нису решења једначине 3x + 2y – 1 = 0, јер је

3 · 0 + 2 · 0 – 1 ≠ 0 и 3 · (–5) + 2 · 3 – 1 ≠ 0.

Задатак 2.

Провери да ли је неки од уређених парова (0, 0), (1, 5), (–4, –8), – 2 , 1 , (–11, 0), (–2, –3)

решење једначине:

7

а) 3x – y + 2 = 0 ; б) –2x + y = 0; в) 7x – 3y + 5 = 0.

Задатак 3.

Одреди m и n тако да уређени парови (2, m) и (–1, n) буду решења једначине

5x – 4y + 6 = 0.

148

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 1. Колико решења има једначина 5x – y – 2 = 0?

Провером лако утврђујемо да уређени парови (0, –2),

2

, 0 , (1, 3), (–1, –7) јесу решења

5

дате једначине. Међутим, она има још (бесконачно много) решења. За свако x важи

y = 5x – 2,

па је сваки уређен пар облика (x, 5x – 2) решење дате једначине.

Пример 2. Када се Марко родио, његов отац је имао 25 година. Ако са x обележимо

Маркове, а са y године његовог оца, претходну реченицу описујемо са

y = x + 25, где је x ≥ 0.

Посматрајмо сада једначину (без услова x ≥ 0)

x – y + 25 = 0.

Права приказана десно одговара тој једначини.

Она је график линеарне функције y = x + 25,

односно график линеарне функције x – y + 25 = 0.

Тај график (права) је потпуно одређен с две

(различите) тачке које му припадају, али можемо

одредити и више њих.

x 1 5

y = x + 25 26 30

35

30

25

20

15

10

5

–2 –1 0 1 –5

–10

(1,26)

(5,30)

2 3 4 5 x

Сваку линеарну једначину с две непознате аx + by + c = 0 (а ≠ 0 или b ≠ 0) можемо

тумачити и као имплицитно задату линеарну функцију. Зато свакој таквој једначини

придружујемо праву у координатном систему. Уређени пар координата сваке тачке те

праве је једно од решења одговарајуће једначине.

Једначина аx + by + c = 0, за а ≠ 0 и b ≠ 0, има бесконачно много решења, то јест има

онолико решења колико права аx + by + c = 0, где је а ≠ 0 и b ≠ 0, има тачака.

Задатак 4.

Одреди три решења линерне једначине сa две непознате:

а) y = 3x – 4; б) –2x + y = 3; в) x – 5y + 8 = 0;

па нацртај праву у координатном систему која јој одговара.

Задатак 5.

Срђан је купио 5 свезака и шестар. Продавачици је дао 200 динара и добио кусур 29

динара. На основу ових података запиши одговарајућу једначину.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

149


Систем од две линеарне једначине с две непознате

Пример 1. Отац је имао 30 година када се родио његов син Марко. Колико година сада

има Марко ако знамо да је тренутно отац три пута старији од Марка?

Обележимо са x Маркове, а са y године његовог оца.

Онда прва реченица даје једну линеарну везу међу

непознатим величинама x и y.

Друга реченица даје још једну линеарну везу међу тим

величинама.

Дакле, описаној ситуацији одговара систем од две

линеарне једначине с две непознате.

y = x + 30

y = 3x

y = x + 30

y = 3x

Општи облик система од две линеарне једначине с две непознате x и y је

а 1

x + b 1

y = c 1

а 2 x + b 2 y = c 2 ,

где су а 1

, b 1

, c 1

, а 2

, b 2

, c 2

дати реални бројеви.

Одредимо уређени пар бројева (x 0

, y 0

) који је решење обе једначине уоченог система.

y 0 = x 0 + 30 3x 0 = x 0 + 30

x 0 = 15

y 0 = 3x 0 y 0 = 3x 0 y 0 = 45

45 = 15 + 30

45 = 3 · 15

Дакле, Марко сада има 15, а његов отац 45 година.

Решење система од две линеарне једначине с две непознате x и y је сваки уређен пар

реалних бројева (x 0

, y 0

) који је решење обе једначине тог система.

Задатак 1.

Уређени пар спој са системом чије је решење.

(–1, 4) (–2, 3) (2, 3) (0,5, 0,5)

x + 2y = 8

2x – y = 1

5x + 4y = 11

2x + 3y = 10

x – y = 0

7x + 3y = 5

3x + y = –3

y = 3

Задатак 2.

О два реална броја знамо следеће:

• Збир тих бројева је за 3 већи од једног од њих;

• Половина троструке вредности другог од тих бројева је једнака њиховом збиру.

Да бисмо одредили те бројеве који систем једначина треба решити?

150

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Графички приказ система од две

линеарне једначине с две непознате

Свакој од једначина система

x – y = –30

3x – y = 0

одговара права у координатном систему.

Уређени парови координата сваке од тачака

праве y = x + 30 су решења прве, а уређени

парови координата сваке од тачака праве y = 3x

су решења друге једначине. Онда је уређени пар

(15, 45) координата пресечне тачке P решење

посматраног система.

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

–10

–5

1 2

P(15,45)

y = x + 30

y = 3x

3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617x

Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате

а 1 x + b 1 y = c 1

а 2

x + b 2

y = c 2

чине две праве које су графици линераних функција а 1 x + b 1 y = c 1 и а 2 x + b 2 y = c 2 .

Две праве једне равни могу се наћи у једном од три различита међусобна односа:

1. праве се секу, то јест имају једну заједничку тачку;

2. праве су паралелне, али се не поклапају, то јест немају заједничких тачака;

3. праве се поклапају, то јест имају бесконачно много заједничких тачака.

Пример 2. Нацртајмо графички приказ система

3x – y = 4

2x + y = 6.

Праве које одговарају једначинама

3x – y = 4 (y = 3x – 4)

и

2x + y = 6 (y = –2x + 6)

секу се, то јест имају једну заједничку тачку (2, 2). Дакле,

постоји само један уређени пар (2, 2) који је решење обе од

датих једначина, па закључујемо да посматрани систем има

јединствено решење (2, 2), то јест x = 2, y = 2.

Ако графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате чине две

праве које се секу, тада тај систем има јединствено решење.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

151


Задатак 3.

Нацртај графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате:

а) 7x – y = 4 б) x – y = 2 в) x – 2y = –6

–2x + y = 1; 6x – y = 2; x + y = 0;

па на основу тога закључи колико решења има тај систем.

Пример 3. Нацртајмо графички приказ система

x + y = 1

x + y = 5.

Праве које одговарају једначинама

x + y = 1 (y = –x + 1)

и

x + y = 5 (y = –x + 5)

паралелне су и немају заједничких тачака.

Дакле, не постоји уређени пар бројева који је решење

обе од тих једначина, па закључујемо да посматрани

систем нема решење.

y = –x + 1

y = –x + 5

Ако графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате чине две

паралелне праве које се не поклапају, тада тај систем нема решење.

Пример 4. Нацртајмо графички приказ система

x – y = 2

2x – 2y = 4.

Једначине

x – y = 2 и 2x – 2y = 4

су еквивалентне (друга се добија множењем

обе стране прве једначине са 2), па се поклапају

графици који им одговарају (y = x – 2). То значи

да сваки пар координата тачака тог графика јесте

решење посматраног система. Дакле, овај систем

има бесконачно много решења.

Ако графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате чине две

праве које се поклапају, тада тај систем има бесконачно много решења.

152

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 4.

Нацртај графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате:

а) 3x – y = 1 б) 2x – 4y = 1

–3x + y = 1; 3x – 6y = 1,5.

па одреди да ли тај систем има решење, и ако га има, да ли је јединствено.

Дакле, графички приказ користимо да унапред, пре решавања датог система, сазнамо да

ли тај систем има решење, као и колико их има.

За систем од две линеарне једначине с две непознате постоје три могућности:

1. систем има једно решење;

2. систем нема решење;

3. систем има бесконачно много решења.

Задатак 5.

Помоћу графичког приказа система одреди његов број решења:

а) x = 4 б) –x + 2y = –6 в) y = – x г) –x + 2y = –6

x + y = –5; x + 2y = 6; x + y = 0; 3x – 6y = –18.

Задатак 6.

На основу датих графика запиши:

а) два система једначина који имају јединствено решење;

б) један систем који нема решење;

в) један систем који има бесконачно много решења.

Задатак 7.

Запиши бар два система од две линеране једначине са две непознате чије решење је

уређени пар (4, 5).

Задатак 8.

У ком квадранту се налази тачка чије су координате решење система:

а) 3x + y = 3 б) 2x – 4y = 1

–2x + y = –7; 6x – 10y = 5.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

153


Еквивалентност система линеарних једначина

Када су две једначине еквивалентне? Погледај страну 64. Слично важи и за системе.

Два система једначина су еквивалентна ако је свако решење једног од њих уједно

решење и другог, или ако оба система немају решење.

Једначине смо решавали применом три правила: правила замене, правила о додавању и

правила о множењу (погледај странe 64, 65, 66). Слично је и у случају система једначина.

Пример 1. Посматрајмо следећа два система једначина.

2x – 2y = 0

x + y = 2

: 2

x – y = 0

x + y = 2

Прве једначине ових система су еквивалентне и њима

одговара права y = x. Друга једначина им је заједничка и

њој одговара права y = –x + 2. Дакле, оба система имају

исти графички приказ. Закључујемо да су посматрани

системи еквивалентни и да је њихово једино решење

уређени пар (1, 1).

Провера. 2 · 1 – 2 · 1 = 0 1 – 1 = 0

1 + 1 = 2 1 + 1 = 2

Ако једначину система заменимо њој еквивалентном, добијамо нови систем

еквивалентан полазном.

Пример 2. Посматрајмо како добијамо следећи низ система једначина.

x – y = 0

x + y = 2

+ y

y = x y = x y = x y = x

: 2

x + y = 2

x + x = 2

2x = 2 x = 1

154

Други систем добијамо из првог замењујући прву

једначину њој еквивалентном. На основу претходног

правила, ова два система су еквивалентна. Потом израз

y у другој једначини замењујемо изразом x, јер су они

на основу прве једначине (y = x) једнаки. Затим другу

једначину замењујемо њој еквивалентним једначинама

и тако долазимо до последњег система. На основу

графичких приказа првог (горе десно) и последњег

система (десно) видимо да оба имају исто решење.

Једино решење оба система је уређени пар (1, 1).

Провера. 1 – 1 = 0 1 = 1

1 + 1 = 2 1 = 1

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Ако у једначини датог система заменимо једну од непознатих изразом који је једнак

тој непознатој на основу друге једначине, добијамо нови систем еквивалентан

полазном.

Пример 3. Уочимо трансформације помоћу којих добијамо следећи низ система.

x – y = 0 x – y = 0 y = x y = 1

x + y = 2

: 2

2x = 2

x = 1 x = 1

Други систем добијамо из првог замењујући другу једначину једначином која

представља збир једначина првог система. Потом на основу претходна два правила

добијамо следећа два система. Последњи систем је најједноставнијег облика, то је

систем из кога директно читамо решење – уређени пар (1, 1). Сви системи у горњем низу

су међусобно еквивалентни и њихово једино решење је (1, 1).

Ако једну једначину датог система заменимо једначином која је збир или разлика

једначина датог система, добијамо нови систем еквивалентан полазном.

Задатак 1.

Спој еквивалентне системе.

x + 2y = 8

2(x – y) = 1

7x – 3y = 1

7x – y = 5

5x + 3y = 10

x + y = 0

3x + y = –3

x + y = 3

x = 5

x + y = 0

x + 2y = 8

2x – 2y = 1

x = –3

y = 6

7x – 3y = 1

–2y = –4

Задатак 2.

На основу датих графика запиши:

а) три система једначина који су еквивалентни и

чије решење је уређени пар (2, 4);

в) три система једначина који су еквивалентни и

немају решење;

в) два система једначина који нису еквивалентни.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

155


Решавање система методом замене

Решити систем једначина значи одредити решење (решења) тог система или утврдити да

тај систем нема решење. При решавању система циљ нам је да применом правила, датих

на претходне две стране, добијемо еквивалентан систем најједноставнијег облика.

Пример 1. Следећи систем решићемо методом замене. Уобичајено је да се сваки

новодобијени еквивалентни систем одвоји хоризонталном линијом.

x + 2y = 8

2x – y = 1

x = 8 – 2y

2x – y = 1

x = 8 – 2y

2(8 – 2y) – y = 1

x = 8 – 2y

16 – 4y – y = 1

x = 8 – 2y

–5y = –15

x = 8 – 2y

y = 3

x = 2

y = 3

Провера. 2 + 2 · 3 = 8

2 · 2 – 3 = 1

Непознату x изражавамо преко непознате y на основу прве

једначине.

Непознату x у другој једначини замењујемо изразом 8 – 2y

добијеним из прве једначине.

Другу једначину замењујемо њој еквивалентном

применом правила о замени (2(8 – 2y) = 16 – 4y).

Другу једначину замењујемо њој еквивалентном применом

правила о додавању и правила о замени (– 4y – y = –5y).

Другу једначину замењујемо њој еквивалентном применом

правила о множењу (обе стране једначине делимо са –5).

Непознату y у првој једначини замењујемо са 3.

Увек је корисно, сигурности ради, урадити проверу.

Суштина ове методе је да једну непознату изразимо преко друге (x преко y или y преко x)

на основу једне од једначина система, а затим у другој једначини заменимо ту непознату

претходно добијеним изразом. Тада друга једначина постаје линеарна једначина с

једном непознатом, а њих смо већ научили да решавамо. Избор о томе коју променљиву

изразити преко друге зависи у потпуности од нас, па бирамо шта нам је у датом случају

погодније. Методу замене је најзгодније примењивати када је бар један коефицијент

уз неку од непознатих једнак 1 или –1, јер се тада применом правила о додавању једна

непозната лако изражава преко друге.

У претходном примеру смо на основу прве једначине изразили x преко y. Могли смо

изразити и y преко x (на основу друге једначине). Реши систем и на тај начин. Наравно,

добићеш исто решење.

156

Задатак 1.

Нацртај графички приказ система и одреди његово решење методом замене:

а) 3x – y = 1 б) 2x – 3y = –2 в) x + y = 6

–3x + 2y = 1; x – 5y = 6; 5x + 2y = 6.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 2. Методом замене решићемо и следећи систем једначина.

4x + 2y = 5

2x + y = 1

4x + 2y = 5

y = –2x + 1

4x + 2(–2x + 1) = 5

y = –2x + 1

4x – 4x + 2 = 5

y = –2x + 1

0 · x + 2 = 5

y = –2x + 1

Непознату y изражавамо преко непознате

x на основу друге једначине.

Непознату y у првој једначини

замењујемо изразом –2x + 1.

Прву једначину замењујемо њој

еквивалентном применом правила замене.

Прву једначину замењујемо њој

еквивалентном применом правила замене.

Једначина 0 · x + 2 = 5 нема решење, па га нема ни дати систем. То смо могли да

закључимо и на основу графичког приказа овог система.

Систем еквивалентан систему чија бар једна једначина нема решење такође нема решење.

Пример 3. Следећи систем једначина решићемо такође методом замене.

x + 2y = 5

5x + 10y = 25

x = 5 – 2y

5(5 – 2y) + 10y = 25

Прву једначину замењујемо њој

еквивалентном применом правила

о додавању и непознату x у другој

једначини замењујемо изразом 5 – 2y.

x = 5 – 2y

0 · y = 0

Другу једначину замењујемо њој

еквивалентном применом правила

замене и правила о додавању.

Једначина 0 · y = 0 је идентитет (сваки реалан број је решење ове једначине), па су

решења датог система у ствари решења његове прве једначине. Дакле, овај систем има

бесконачно много решења и то су уређени парови (5 – 2а, а), где а R. До овог закључка

долазимо и ако нацртамо графички приказ посматраног система.

Систем има бесконачно много решења ако је еквивалентан систему чија је једна

једначина идентитет, а друга има решење.

Задатак 2.

Одреди скуп решења система: а) 3x – y = 1 б) 3x – y = 1

–3x + y = –1; –3x + y = 1.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

157


Решавање система методом супротних коефицијената

За методу супротних коефицијената кључна је примена правила које гласи: ако једну

од једначина система заменимо збиром или разликом једначина тог система, добијамо

систем еквивалентан полазном.

Пример 1. Следећи систем једначина решићемо методом супротних коефицијената.

3x + 2y = 9

2x – 2y = 1

Саберемо једначине система и тако добијамо једначину у којој

више не учествује непозната y (3x + 2y + 2x – 2y = 5x и 9 + 1 = 10).

5x = 10

Овом једначином замењујемо прву једначину система.

2x – 2y = 1

x = 2

Прву једначину замењујемо њој еквивалентном применом

2x – 2y = 1

правила о множењу (обе стране једначине делимо са 5).

x = 2

Непознату x у другој једначини замењујемо са 2.

4 – 2y = 1

x = 2

Другу једначину замењујемо њој еквивалентном применом

–2y = –3

правила о додавању (од обе стране једначине одузмемо 4).

x = 2

y = 3 Другу једначину замењујемо њој еквивалентном применом

2

правила о множењу (обе стране једначине делимо са –2).

Провера.

3 · 2 + 2 · 3 2 = 9

2 · 2 – 2 · 3 Увек је корисно, сигурности ради, урадити проверу.

2 = 1

Методу супротних коефицијената је најзгодније примењивати када су коефицијенти уз

исту непознату у две једначине система међусобно супротни бројеви, као у претходном

примеру (коефицијенти уз y су 2 и –2), или међусобно једнаки бројеви. Када су

одговарајући коефицијенти међусобно супротни бројеви, једначине система сабирамо

(као у претходном примеру), а када су одговарајући коефицијенти међусобно једнаки

бројеви, онда једначине система одузимамо једну од друге.

Задатак 1.

Нацртај графички приказ система и реши га методом супротних коефицијената:

а) 4x – y = 1 б) 2x – 3y = –2 в) –x + y = 6

–4x + 2y = 1; 2x – 5y = –6; 5x + y = 6.

158

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Пример 2. Следећи систем ћемо решити и методом замене и методом супротних

коефицијената, а ти према томе одлучи како ћеш убудуће решавати сличне системе

(системе код којих су сви коефицијенти уз променљиве различити од 1 и –1, а парови

одговарајућих коефицијената нису ни међусобно супротни ни једнаки).

Метода замене

5x + 4y = 11

2x + 3y = 10

5x + 4y = 11

2x = 10 – 3y : 2

5x + 4y = 11

x =

10 – 3y

2

5 ·

10 – 3y

+ 4y = 11 · 2

2

x =

10 – 3y

2

5(10 – 3y) + 8y = 22

x =

10 – 3y

2

50 – 15y + 8y = 22 – 50

x =

10 – 3y

2

Метода супротних

коефицијената

5x + 4y = 11 · 2

2x + 3y = 10 · 5

10x + 8y = 22

10x + 15y = 50

10x + 8y = 22

(10x + 15y) – (10x + 8y) = 50 – 22

10x + 8y = 22

7y = 28 : 7

10x + 8y = 22

y = 4

10x + 8 · 4 = 22

y = 4

x = –1

y = 4

– 7y = –28 : (–7)

x =

10 – 3y

2

y = 4

x = 10 – 3 · 4

2

y = 4

x = –1

Провера.

5 · (–1) + 4 · 4 = 11

2 · (–1) + 3 · 4 = 10

Задатак 2.

Реши систем од две линеарне једначине с две непознате:

а) 3x + 2y = –1 б) 7x + 9y = 7 в) 1 3 x + 2y = 1

–5x – 3y = 8; 3x – 2y = 85; 4x + 3y = –6.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

159


Примена система линеарних једначина

Као и у случају линеарних једначина, системи линеарних једначина се јављају при

решавању различитих проблема. Навешћемо само неколико примера који то илуструју.

Пример 1. Збир два броја је за 1 већи од троструке вредности мањег од та два броја, а

петострука вредност мањег је једнака двострукој вредности већег. О којим бројевима је

реч?

Нека је x мањи од два тражена броја, а y већи од њих. Дакле, треба решити систем

x + y = 3x + 1

5x = 2y.

Предлажемо ти да примениш методу замене. На основу прве једначине изрази y преко x,

па тај израз уврсти у другу једначину.

Задатак 1.

Одреди бројеве а и b ако је двострука вредност броја а за 1 мања од троструке

вредности броја b и трострука вредност броја а за 1 већа од двоструког збира бројева а

и b.

Пример 2. Јована је отишла у књижару јер је желела да купи 5 свезака и 2 маркера.

Понела је 200 динара. Међутим, продавачица јој је рекла да јој недостаје 3 динара за ту

куповину, али и да може да купи једну свеску мање и да добије кусур од 22 динара. Да ли

су ове информације довољне да одредимо појединачне цене свеске и маркера?

Обележимо са x цену свеске, а са y цену маркера. Тада на основу датих података

записујемо следеће две једначине:

5x + 2y = 200 + 3

4x + 2y = 200 – 22.

Препоручујемо ти да овај систем решиш применом методе супротних коефицијената.

Задатак 2.

Поводом краја школске године, драмска

секција је припремила познату Нушићеву

комедију Госпођа министарка. Приход

од продаје карата је био намењен у

хуманитарне сврхе. Карте су се посебно

наплаћивале за ученике школе, а посебно

за остале. Двојица браће Јовановић

(ученици школе) дошли су са својим

родитељима и улазнице платили 600

динара, док су две сестре Петровић

(ученице школе), поред родитеља, повеле

и баку и деку и за улазнице платиле

1 000 динара. Колико су коштале карте

за ученике школе, а колико за остале

гледаоце?

160

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


Задатак 3.

Улазнице за добротворни концерт коштале су 240 и 400 динара.

а) Једна оранизација је за 30 улазница платила 8 640 динара. Колико скупљих, а колико

јефтинијих улазница је та организација купила?

б) Друга оранизација је одлучила да потроши 10 000 динара. Наведи неколико варијанти

како су улазнице могле бити купљене (колико скупљих, а колико јефтинијих?). Колико

највише улазница ова организација може да купи за издвојени новац?

Задатак 4.

Ако се једног дана за 10 000 динара могло купити 100 евра и 8 долара, а за 7 490 динара

50 евра и 44 долара, одреди курс евра и долара према динару тог дана.

Пример 3. Сава је имао уштеђевину од 1 100 динара и од родитеља је сваке недеље

добијао џепарац од 300 динара. Он је сваке недеље од тог новца куповао један часопис

по цени од 150 динара и један стрип по цени од 200 динара. Његов млађи брат Јован

није имао уштеђевину, а добијао је исти џепарац и од њега сваке недеље куповао стрип

по цени од 75 динара. После колико недеља ће браћа имати исту количину новца?

Нека је t број недеља после којих ће оба брата

имати исту суму новца, коју ћемо означити са s.

Тада на основу датих података записујемо следеће

две једначине:

s = 1 100 + (300 – 200 – 150)t

s = (300 – 75)t.

Овај систем ћемо решити методом замене.

Непознату s у првој једначини замењујемо изразом

225t, који смо добили из друге једначине. Тада је

225t = 1 100 – 50t,

односно

t = 4.

s = (300 – 75) · 4 = 225 · 4 = 900.

Браћа ће после 4 недеље имати по 900 динара.

Посматрану ситуацију можемо и графички

приказати. Количину Савиног новца (у односу на

време) описује опадајућа линеарна функција

s = 1 100 – 50t,

a количину Јовановог новца описује растућа

линеарна функција

s = 275t.

Графици ове две функције се секу у тачки (4, 900),

чије координате представљају решење уоченог

система.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

161


Пример 4. Ако дужину правоугаоника повећамо за 3cm, а ширину за 2cm, добијамо

правоугаоник чија је површина за 25cm 2 већа од површине првобитног правоугаоника.

А ако дужину повећамо за 2cm, а ширину за 3cm, добијамо правоугаоник чија је

површина за 27cm 2 већа од површине првобитног правоугаоника. Колике су димензије

првобитног правоугаоника?

Нека је а дужина, а b ширина првобитног

правоугаоника изражена у центиметрима. Тада

проблему одговара систем

(а + 3) · (b + 2) = аb + 25

(а + 2) · (b + 3) = аb + 27.

Применом правила замене (извршимо назначено

множење), добијамо систем

аb + 2а + 3b + 6 = аb + 25

аb + 3а + 2b + 6 = аb + 27

еквивалентан претходном. Потом, применом

правила о додавању на обе једначине (на обе

стране тих једначина додајемо израз –аb – 6),

добијамо систем од две линеарне једначине с две

непознате

2а + 3b = 19

3а + 2b = 21

који је еквивалентан претходном.

Овај систем је вероватно најлакше решити методом

супротних коефицијената.

Задатак 5.

Ако дужину датог правоугаоника смањимо за 3cm, добијамо квадрат, а ако обе странице

тог правоугаоника смањимо за 2cm, добијамо нови правоугаоник чија је површина за

18cm 2 мања. Одреди обим датог правоугаоника.

Задатак 6.

Израчунај мере оштрих углова правоуглог троугла ако се оне односе као 3 : 2.

Пример 5. Кружну бициклистичку стазу бициклиста је први пут обишао за 5 минута, а

други пут за 6 минута. Колика је дужина стазе, ако је средња брзина бициклисте (за оба

круга) 36 km h ?

162

Прво ћемо израчунати брзине (довољно је израчунати и само једну од њих) којима се

кретао бициклиста у првом и другом кругу, па онда израчунати дужину стазе. Означимо

са v 1 брзину бициклисте у првом кругу, а са v 2 брзину бициклисте у другом кругу. Тада на

основу датих података записујемо следећи систем

v 1 ·

v 1

·

5

60 + v 2 ·

5

60 = v 2

·

6

60

6

60 = 5

60 + 6

60 · 36.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.


При решавању овог система, најбоље је израз v 2

·

6

у другој једначини заменити

60

изразом v 1

·

5

из прве једначине. Тако добијамо једначину

60

чије је решење

v 1

·

5

60 + v 1

·

5

60 = 5

60 + 6

60 · 36,

v 1

= 11 · 36 ·

60

60 10 = 39,6 km h .

Дакле, један круг стазе је дугачак ѕ = 39,6 ·

5

60 = 3,3km = 3 300m. Израчунај v 2

и провери

тачност добијеног резулатата.

Пример 6. Дуж истог пута равномерно се крећу, у истом смеру, камион и иза њега

аутомобил. У једном тренутку растојање између ова два возила је 400m, а након 40

секунди аутомобил је стигао камион. Тада је камион смањио брзину за трећину и након

20 секунди растојање између возила је било 300m, али је сада аутомобил био испред

камиона. Одреди којим брзинама су се кретала возила на почетку.

Нека су v 1 и v 2 брзине (тим редом) којима су се кретали камион и аутомобил на почетку.

На основу датих података и илустрације изнад добијамо следећи систем једначина

40v 1 + 400 = 40v 2

20 · 2 3 v 1 + 300 = 20v 2 .

Предлажемо ти да систем решиш методом супротних коефицијената.

Задатак 7.

Дуж истог пута равномерно се крећу, један ка другом, камион и аутомобил. У једном

тренутку растојање између ова два возила је 3,05km, а након 40 секунди то растојање је

1,45km. Тада је камион повећао брзину за трећину и након још 30 секунди возила су се

мимоишла. Одреди којим брзинама су се кретала возила на почетку.

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући

фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу

са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

163


Пример 7. Када се у спољашњи део електричног кола укључи отпорник чија је

отпорност 2Ω, јачина струје у колу је 2А, а када се укључи отпорник чија је отпорност

4,1Ω, јачина струје у колу је 1А. Колика је онда електромоторна сила извора?

На основу Омовог закона имамо да је I =

e

, где је I јачина електричне струје, ε

R + r

електромоторна сила, R спољашњи електрични отпор, а r унутрашњи отпор. Тада на

основу датих података добијамо две једначине

2 =

e

и 1 =

2 + r

Како је 2 + r > 0 и 4,1 + r > 0, треба решити систем

ε = 4 + 2r

ε = 4,1 + r.

e

4,1 + r .

Задатак 8.

При спољашњој електричној отпорности од 3Ω, јачина електричне струје у колу је 0,3А,

а при електричној отпорности од 5Ω, јачина електричне струје у колу је 0,2А. Одреди

унутрашњу електричну отпорност извора.

Наравно, постоје системи од више од две једначине и са више од две непознате.

У следећем примеру лево је дат систем од три линеарне једначине с три непознате, а

десно систем од три нелинеарне једначине с три непознате. Заједничко за оба система

је да се све непознате појављују исти број пута на истим позицијама у три једначине

система. Зато овакве системе најчешће називамо „симетричним” системима.

Пример. За решавање „симетричних” система кључно је искористити њихову особину

„симетричности”. У случају система лево прво треба с