chuyen-de-ham-so-mu-va-ham-so-logarit-toan-11-le-minh-tam

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Mục lục
Bài 01. PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A. Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên...................................................................................................... 3
2. Căn bậc n...................................................................................................................................... 3
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ ....................................................................................................... 4
4. Lũy thừa với số mũ thực: ........................................................................................................ 4
B. Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức ................................................................................................ 5
Dạng 2. Rút gọn biểu thức ..................................................................................................... 7
Dạng 3. So sánh ........................................................................................................................ 8
Dạng 4. Bài toán lãi kép ........................................................................................................ 9
C. Luyện tập
Bài 02. PHÉP TÍNH LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Khái niệm logarit. ..................................................................................................................... 19
2. Tính logarit bằng máy tính cầm tay. ................................................................................. 19
3. Tính chất của phép tính logarit ............................................................................................ 19
4. Công thức đổi cơ số ............................................................................................................... 20
B. Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức ............................................................................................... 21
Dạng 2. Biểu diễn logarit ..................................................................................................... 22
C. Luyện tập
Bài 03. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Hàm số mũ ................................................................................................................................. 26
2. Hàm số logarit ......................................................................................................................... 27
B. Bài tập
Dạng 1. Tập xác định của hàm số ...................................................................................... 28
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số ............................................................................................ 30
Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số ..................................................................................... 32
Dạng 4. Đồ thị của hàm số.................................................................................................. 34
C. Luyện tập
Bài 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 1

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Phương trình mũ. .................................................................................................................... 40
2. Phương trình logarit. .............................................................................................................. 41
B. Bài tập
Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản........................................................................................ 42
Dạng 2. Phương trình mũ đưa về cùng cơ số ................................................................. 43
Dạng 3. Phương trình mũ dùng logarit hóa ................................................................... 44
Dạng 4. Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản ............................................................... 45
Dạng 5. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp ...........................47
Dạng 6. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với tích hai cơ số bằng 1 ................................ 49
Dạng 7. Phương trình logarit cơ bản ................................................................................. 51
Dạng 8. Phương trình logarit đưa về cùng cơ số .......................................................... 52
Dạng 9. Phương trình logarit dùng mũ hóa .................................................................... 53
Dạng 10. Phương trình logarit đặt ẩn phụ ...................................................................... 55
C. Luyện tập
Bài 05. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Bất phương trình mũ................................................................................................................ 61
2. Bất phương trình logarit. ...................................................................................................... 62
B. Bài tập
Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản ................................................................................ 63
Dạng 2. Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số ......................................................... 64
Dạng 3. Bất phương trình mũ dùng logarit hóa ............................................................ 65
Dạng 4. Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ ...................................................................... 66
Dạng 5. Bất phương trình logarit cơ bản ........................................................................ 67
Dạng 6. Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số .................................................. 68
Dạng 7. Bất phương trình logarit dùng mũ hóa ............................................................ 69
Dạng 8. Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ ................................................................. 71
C. Luyện tập
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 2

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A
Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên.
Định nghĩa:
Cho là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
• Với là số thực tùy ý: ( thừa số ).
• Với là số thực khác : .
• Trong biểu thức , gọi là cơ số, gọi là số mũ.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Với a0;
b 0 và mn ; là các số nguyên, ta có:
⓵ a . a
m n a mn
⓶
a
a
m
m
mn
m m
a ⓷
n
ab a . b
⓸
a
b
m
a
b
m
m
⓹
m
a b
b a
m
Chú ý
⑴ và không có nghĩa.
⑵ Nếu thì khi và chỉ khi .
⑶ Nếu thì khi và chỉ khi .
2. Căn bậc n.
Định nghĩa:
Cho số thực và số nguyên dương .
• Số được gọi là căn bậc của số nếu
Ta có các tính chất sau (với điều kiện các căn thức đều có nghĩa):
a khi n 2
n
n n
n n n
a a
⓵ a ⓶ ab a.
b
⓷ n , a,
b
0
a khi n 2
b
n
b
n m n
⓸ a a m
⓹ n m a
nm a
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 3

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Chú ý
n lẻ • Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu .
• Không tồn tại căn bậc n của b
n chẵn
• Có một căn bậc n của b là 0
• Có hai bậc n của a là hai số đối nhau,
• Căn có giá trị dương ký hiệu là , căn có giá trị âm ký hiệu là .
Nếu n chẵn thì có nghĩa chỉ khi .
Nếu n lẻ thì luôn có nghĩa với mọi số thực .
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa:
Cho số thực và số hữu tỉ , trong đó .
Lũy thừa của với số mũ , kí hiệu là , được xác định bởi .
4. Lũy thừa với số mũ thực:
Định nghĩa:
Giới hạn của dãy số gọi là lũy thừa của số thực dương với số mũ .
Kí hiệu: với .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 4

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức
Phương pháp
Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.
Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:
⓵ ⓶ ⓷
⓸ ⓹ ⓺
Ví dụ 1.1.
Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa
⑴ ⑵ ⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức
⑴ ⑵ ⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 5

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức
⑴ ⑵ .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.3.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho . Tính giá trị biểu thức .
⑵ Cho . Khi đó biểu thức với là phân số tối
giản và . Tính .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 6

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Rút gọn biểu thức
Phương pháp
Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.
Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:
⓵ ⓶ ⓷
⓸ ⓹ ⓺
Ví dụ 2.1.
Rút gọn các biểu thức:
⑴ với ⑵ với
⑶ , với ⑷ với
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.2.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho là một số thực dương. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa
với số mũ hữu tỉ.
⑵ Viết biểu thức ( ) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 7

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. So sánh
Phương pháp
⑴ Nếu thì khi và chỉ khi .
⑵ Nếu thì khi và chỉ khi .
Ví dụ 3.1.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho ; . So sánh , .
⑵ Sắp theo , và theo thứ tự từ lớn đến bé.
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 3.2.
Với những giá trị nào của
thì
⑴
⑵
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 8

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Bài toán lãi kép
Phương pháp
Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh
ra thay đổi theo từng định kỳ.
Công thức:
Trong đó:
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
: Số tiền gửi ban đầu;
: Số kỳ hạn tính lãi;
: Lãi suất định kỳ, tính theo %.
Ví dụ 4.1.
Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu
không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào
vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số
tiền bao nhiêu, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất
không thay đổi?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 4.2.
Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha mẹ cho
VNĐ. Số tiền này được
bảo quản trong ngân hàng MSB với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận
được số tiền này khi học xong 4 năm đại học. Biết rằng khi đủ 22 tuổi, số tiền mà học
sinh A được nhận sẽ là
VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng
MSB là bao nhiêu?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 9

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 4.3.
Ông Đại mới xin được việc làm nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ
mỗi đầu tháng đóng vào 5 triệu đồng với lãi suất 0,33%/ tháng. Tính số tiền mà ông
Đại thu được từ ngân hàng sau 5 năm.
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 4.4.
Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền
đồng. Ông dự định sau đúng
năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu
hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi
lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền
mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là
trong thời gian ông hoàn nợ.
mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong
và không thay đổi
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 10

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 4.5.
Lãi suất cho vay tại PVcomBank trong tháng 5/2022 rất ưu đãi, ở mức 5%/năm, được
áp dụng trong 6 tháng đầu, từ tháng thứ 7 trở đi ấn định mức lãi 12%/năm. Tại ngân
hàng này, thời hạn cho vay mua nhà tối đa là 20 năm, mức vay tối đa 85% giá trị tài
sản đảm bảo. Một người có khả năng trả cố định hằng tháng là 15 triệu. Giả sử người
đó có thể mượn người thân
giá trị căn nhà, nếu được sử dụng gói vay ở trên
với thời hạn tối đa và mức vay tối đa thì có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa
khoảng?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 11

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 12

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Luyện tập
Tính giá trị biểu thức:
⑴
⑶
E
3
2 2
2 . 4
⑵
2020 1
N 2019 .
2019
5
52
2
2
⑸
2020 2
M 1
3 32
2 . 2
⑹
Tính giá trị biểu thức:
P
2 . 2 5 . 5
3 1 3 4
3 2
0
10 : 10 0,
1
⑷ T
2020 2019 3
2 2 1 2 2
5 2 3
5 5 5 5
Y
2
3
5 5 5
2020 2021
2020 2021
⑴ P 2 6 5 2 6 5
⑵ S 5 2 . 5 2
2020 2019
⑶ T 7 4 3 4 3 7
⑷ W 2 5 19 20 19
2018 2019
⑸ F 3 2 2 . 2 1
100 2 52
⑹ G 2 3 2 . 12 2 22 . 22 12 2
Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
⑴
3 4 3
P x . x.
x 5
⑵
32
3
1
.
x
⑶ E x
⑸
V
x x x
1 5 3
3 4 4
5
x x x
31
⑷
⑹
Q x x x
S
3 6 5
. .
x9x
1
x3x
1
2
.
2018 2019
1
T x . x . . x : x
x
3 3 5
4
24 5
2
Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
4 a 3 . b
2
4
⑴ M
a b a
⑵ B
5 3
3 12 6
a . b
b a b
32
3
1
.
x
⑶ E x
7 7
31
6 6
x . y x.
y 3 5
⑸ P . x . y
x
6 6
y
4 3 2
a . b
⑷ X
⑹
R
a
. b
3 12 6
4
.
5
1
ab
4
a b 4a 16ab
a b a b
4 4 4 4
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 13

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
1 1
3 3
n n n n
a b a b
a b b a 3
⑺ F
⑻ E
ab
n n n n
6 6
a b a b
a b
Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
a
b
3 3 3
⑴ F ab : a b 2
⑶
a
3 3
b
a 2 a 2 a 1
Q
.
a 2 a 1 a 1
a
1
2 1
a b
.
2
. 1
a b 4 b a
⑸ K ab
⑺
L
1
2
x x
1 2 2 1
4
1
2
x x
1 2 2 1
4
3
x y x y x y 2y
⑻ U .
x y xy x y xy x y x y
Thực hiện các yêu cầu sau:
x x
⑴ Biết 4 4 6. Tính giá trị của biểu thức
x x
⑵ Biết 9 9 3. Tính giá trị của biểu thức
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho
⑵ Sắp theo
200
A 199 ;
⑶ Viết các số
390
A 3 ,
150
B 2003 và
B
100
A 2 ;
210
11
và
75
B 3 và
2
1
1 2
2
2 2 3
1 1
3 3
⑵
2
P a
a b a b
⑷
⑹
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
O 2a 3b 2a 3b 4a 9b
a a a
Z
a a a
1 1 5
3 2 2
1 7 19
4 12 12
x x
A 2 2 3
x x
16 16 2
.
x x
P 3 3 2
1
x
3
x
3
.
100
C 40000 . So sánh A , B và C .
100
C 121 theo thứ tự từ lớn đến bé.
50
C 5 theo thứ tự từ bé đến lớn.
2
1 99 1 1 1 1
⑷ Hãy sắp xếp A ; B ; C ...
2 2 2 2 theo thứ tự từ bé
100 1000
11 12 99 1000
đến lớn.
Với những giá trị nào của a thì
a
⑴ 15 7 5 2
2 1
3 3
a
⑵ a1 a
1
2 1
⑶
3 3
a1 a 1
⑷ a1 a
1
2 2
2
6
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 14

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 9.
2
3 7
2
⑹ a
2 1 a
2 1
⑸ 2a
3 2a
3
So sánh hai số a và b, biết:
a
b
a
⑴ 2 1 2 1 2 1
⑵ 2 1 2 1
b
Câu 10. Cho
3 3 3
ax by cz và 1 1 1 1
x y z
. Tính giá trị biểu thức
3 2 2 2
R ax by cz
Câu 11. Bác Hiếu đầu tư 100 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất 8, 25%
năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử
lãi suất hàng năm không đổi và làm tròn đến hàng phần nghìn).
Câu 12. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 84 , %/
năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất,
ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12% /
năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc và lãi tính từ lúc gửi tiền ban
đầu là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Câu 13. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất là 69 , % / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc
và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây ?
Câu 14. Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suât 6, 5% một năm. Biết rằng cứ
sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn bán đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng,
x ) ôn Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua chiếc xe gắn máy giá
trị 30 triệu đồng
Câu 15. Để đầu tư dự án trông rau sạch theo công nghệ mới bác Năm đã làm hợp đồng xin
vay vốn ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng với lãi xuất x % trên một năm. Điều kiện
kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho
tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình, bác Năm đã thanh
toán hợp đồng ngân hàng số tiền làm tròn là 129.512.000 đồng. Khẳng định nào sau
đây đúng?
Câu 16. Do thời tiết ngày càng khắc nghiệt và nhà cách xa trường học, nên một thầy giáo
muốn đúng 5 năm nữa có 500 triệu đồng để mua ô tô đi làm. Để đạt nguyện vọng,
thầy có ý định mỗi tháng dành ra một số tiền cố định gửi vào ngân hàng (hình thức lãi
kép) với lãi suất 05 , %/tháng. Hỏi số tiền ít nhất cần dành ra mỗi tháng để gửi tiết
kiệm là bao nhiêu?
Câu 17. Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 06 , %
/tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút
tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào dưới
đây? (biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế
trong tài khoản của tháng đó).
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 15

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 18. Chị Lan có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo
thể thức lãi kép. Chị gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 200
triệu đồng còn lại chị gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau khi gửi
được đúng 1 năm, chị rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi vào loại kì
hạn theo tháng. Hỏi sau đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, chị Lan thu được tất cả
bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến hàng nghìn)?
Câu 19. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi kép 1% trên
tháng. Sau hai năm 3 tháng (tháng thứ 28) người đó có công việc nên đã rút toàn bộ
gốc và lãi về. Hỏi người đó được rút về bao nhiêu tiền ?
Câu 20. Bác Hiếu đầu tư 100 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất 8, 25%
năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử
lãi suất hàng năm không đổi và làm tròn đến hàng phần nghìn).
Câu 21. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 84 , %/
năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất,
ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12% /
năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc và lãi tính từ lúc gửi tiền ban
đầu là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Câu 22. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất là 69 , % / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc
và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây ?
Câu 23. Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suât 6, 5% một năm. Biết rằng cứ
sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn bán đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng,
x ) ôn Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua chiếc xe gắn máy giá
trị 30 triệu đồng
Câu 24. Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con với số tiền là 500000000
VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết
kiệm. Hỏi sau 18 năm, số tiền người đó nhận vè là bao nhiêu? ( Biết rằng, theo định kì
rút tiền hàng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền được nhập vào thành tiền gốc và sổ tiết
kiệm sẽ chuyển thành kì hạng một năm tiếp theo ).
Câu 25. Vào 4 năm trước, chị Thương có gửi vào ngân hàng một số tiền là 20 triệu đồng theo
hình thức lãi kép có kỳ hạn. Số tiền hiện tại chị nhận được là 29, 186792 triệu đồng. Biết
rằng, lãi suất ngân hàng tại thời điểm mà chị Thương gửi tiền là 08 , %/tháng. Hỏi kỳ
hạn k mà chị Thương đã chọn là bao nhiêu tháng?
Câu 26. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh
gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 07 , % / tháng. Sau sáu tháng gửi
tiền, lãi suất tăng lên 09 , % / tháng. Đến tháng thứ 10, sau khi gửi tiền, lãi suất giảm
xuống 0, 6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 16

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi là lãi kép).
Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu? (biết rằng trong khoảng
thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra)
Câu 27. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn thành phố A đạt xấp xỉ 905. 300 người. Mỗi năm
dân số thành phố tăng thêm 1, 37%. Để thành phố A thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ
em đúng độ tuổi đề vào lớp 1 thì đến năm học 2024 – 2025 số phòng học cần chuẩn bị
cho học sinh lớp 1 (mỗi phòng 35 học sinh) gần nhất với số nào sau đây; biết rằng sự di
cư đến, đi khỏi thành phố và trẻ tử vong trước 6 tuổi đều không đáng kể, ngoài ra trong
năm sinh của lứa học sinh lớp 1 đó toàn thành phố có 2400 người chết.
Câu 28. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức N A. e
rt trong đó A là số
lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r 0
và t là thời gian tăng trưởng.
Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu
thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
Câu 29. Ôn A vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% tháng theo hình thức mỗi tháng trả
góp số tiền giống nhau sao cho đúng hai năm thì hết nợ. Hỏi số tiền ông A trả hàng
tháng là bao nhiêu? ( làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
Câu 30. Ông Bình gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi
kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 21 ,% một quý, gửi trong 15 tháng.
Số tiền còn lại gởi ở ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% một tháng trong vòng 9 tháng.
Tổng lợi tức ông Bình có được sau khi rút tiền ở hai ngân hàng là 27507768,13 đồng.
Hỏi số tiền ông Bình lần lượt gửi ở hai ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
Câu 31. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất r 05 , % một
tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng
trước đó với tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều
hơn 125 triệu.
Câu 32. Một người lập kế hoạch gửi tiết kiệm ngân hàng như sau : Đầu tháng 1 năm 2018 người
đó gửi 10 triệu đồng; sau mỗi đầu tháng tiếp theo, người đó gửi số tiền nhiều hơn 10%
so với số tiền đã gửi ở tháng liền trước đó. Biết rằng lãi suất ngân hàng không đổi là
05 , % mỗi tháng và được tính theo hình thức lãi kép. Với kế hoạch như vậy, đến hết
tháng 12 năm 2019 , số tiền của người đó trong tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu ( làm
tròn đến hàng nghìn).
Câu 33. Chị Lan có 400 triệu đồng đem đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn khác nhau đều theo thể thức
lãi kép. Chị gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,%một 1 quý, 200 triệu đồng
còn lại chị gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0, 73% một tháng. Sau khi gửi được 1 năm,
chị rút một nửa số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau
đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, chi Lan thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi ( làm
tròn đến hàng nghìn)?
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 17

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 34. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A: giá khoan của mét khoan đầu tiên là 8000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá
của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: giá khoan của mét khoan đầu tiên là 6000 đồng
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá so với giá của mét
khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần
lượt là 20 mét và 25 mét để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng cũng như thời gian
khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi
phí nhất?
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 18

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHÉP TÍNH LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Khái niệm logarit.
Định nghĩa:
Cho hai số dương với .
Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là lôgarit cơ số của và kí hiệu là
Ta viết:
xác định
Chú ý
⑴ Không có logarit của số và số âm vì .
⑵
⑶
⑷
2. Tính logarit bằng máy tính cầm tay.
Chú ý
⑴ Logarit cơ số được gọi là logarit thập phân. Ta viết hoặc thay .
⑵ Logarit cơ số được gọi là logarit tự nhiên. Ta viết thay .
3. Tính chất của phép tính logarit
Với 0 a 1; b, c 0;
, khi đó:
log b. c log b log c ⑵ log b
log b log
a a a
c
⑴
⑶ log
a
b
.log b
⑷
a
log a
b
a
a a a
b
c
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 19

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Chú ý
Đặc biệt với dương, ta có:
⑴
⑵
4. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương với . Ta có
Chú ý
Đặc biệt ta có:
⑴
⑵
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 20

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức
Phương pháp
Áp dụng các tính chất – công thức để biến đổi:
⓵
⓶
01 Tính chất
⓷
⓸
(Tích – tổng)
(Thương – hiệu)
Đặc biệt : với
02 Công thức “bay”
⓵
Đặc biệt:
⓶
03 Đổi cơ số ⓵ ⓶ .
Ví dụ 1.1.
Cho . Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.3.
Cho các số dương
Rút gọn biểu thức
và
ta được
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 21

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Biểu diễn logarit
Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 01. Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số và .
• Bước 02. Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn .
Từ đó ta thu được phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn .
Ta tìm các ẩn này theo
• Bước 03. Giải hệ tìm được tìm … theo .
Từ đó tính được biểu thức theo các tham số .
Các công thức nền tảng là và .
Ví dụ 2.1.
Cho . Biểu diễn theo
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.2.
Tính theo biết .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.3.
Đặt và . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.4.
Cho . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 22

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 2.5.
Cho và . Tính theo và .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.6.
Cho và Tính theo và
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 23

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 35. Tính giá trị biểu thức:
1
2018
log49log
25
⑴ K log
2018
4 ln e
⑵ S 2
2 1009
1 1
⑶ P
log 5 log 5
⑷
1
D
log 10.log 2.log 4.log
10
49 7
⑸ P log tan1 log tan 2 log tan
89
Câu 36. Tính giá trị biểu thức:
⑴
3 4
P log b .log
a b
a ⑵
1
Q ⑷
⑶
2
log b.log c.log
a
a b c
⑸
H
5 3
a a a a
⑹
log a
Câu 37. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
2
⑵ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
5
⑶ Cho 2
⑷ Cho
1
2 2
E log b . b
b
2 2 4
3
G log a.
a a
a
X log b .log b
a
a
3 4
A log x log x log x theo a .
2 3
2 1 4
2
1
3
P 2log log x log 25
25 125
x
x
2
e
T 2ln ex ln
ln 3.log
ex
3
x
2
lnx . Tính giá trị của biểu thức
log 2 a , log 3 b . Tính giá trị của 4 2
M log .
5 5 5
15
⑸ Cho log a
3
2,
2 3
⑹ Cho
1
log b
3 và
4
2
log abc
3 . Tính giá trị của log c
3
15
log x
xy 1 . Tính giá trị biểu thức N log xy
2 3
Câu 38. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho x , y là hai số thực dương, x 1
thỏa log
3 x
⑵ Cho các số thực dương a;
b thỏa log a
x,
2 2
⑶ Cho các số thực a , b thỏa 0 1;
0
Câu 39. Cho ab ; là các số dương lớn hơn 1
5
xy
xy
2 3
a b và
3 2
3
3y
32
y , log x
2
8
y . Tính 2 2
P x y
2 3
log b y. Tính M log 2 a b
theo xy ;
log a
ab 1. Tính N log ab
2 3
ab
5 3 2
ab
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 24

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴ Thỏa mãn
1log
xlog
y
12 12
. Tính M
.
2log ( x
3y)
2 2
a 9b 6ab
2 2
⑵ Thỏa mãn a b 7ab . Tính log a
K b .
3
2 2
3
⑶ Thỏa mãn 9a b 10ab . Tính log a
V b .
4
Câu 40. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho log 3a; log 5b. Tính log 105 theo a và b .
5 7
15
⑵ Cho
⑶ Cho
log 3 a . Tính log 15 theo a .
15 25
12
log 5 a , log 7 b và log 3 c . Tính log 35 theo a và
27 3 2 6
b .
⑷ Cho log 3a,log
7b. Tính log 2016 theo a và b .
2 2
2
⑸ Cho log 3a, log 3b . Tính log 3 tính theo a
2 5
10
và b .
⑹ Cho alog 6, b log
7. Tính log 42 theo a và
2 2
18
b .
⑺ Cho a log 3 và b log 3 . Tính log 45 theo a và
2 5 6
b .
⑻ Cho alog 4, b log 4.
Tính log 80 theo a và b
3 5
12
.
⑼ Cho a log 7;
b log 5 . Tính 49
25 2
log theo a , b .
5
8
⑽ Cho log 3a;log
5 b. Tính log 15 theo a ,
2 3
6
b .
Câu 41. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho log 5a; log 7b, log 3 c . Tính log 35 theo a ,
27 8
2 12
b và c .
⑵ Cho log 5 a; log 7 b; log 12 c . Tính log 4200 theo a,b,c.
9 2 4
18
⑶ Cho log 5a; log 7b, log 3 c . Tính của log 35 theo a , b , c
27 8
2 12
⑷ Cho a log 5 , b log 7 , c log 3 . Tính 1 1 2 149
I log log ... log
3 2 2
log126 2 3 150
a , b , c
theo
⑸ Cho log 3 a; log 5 b; log 2 c . Tính log 63 theo a , b , c .
2 3 7
140
Câu 42. Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a
x , log a
y , log
3 a
z lập
thành cấp số cộng, với a là số thực dương khác 1. Giá trị của
9x
y 3z
p là
y z x
Câu 43. Cho các số hạng dương a, b,
c là số hạng thứ m, n,
pcủa một cấp số cộng và một cấp số
nhân. Tính giá trị của biểu thức
Câu 44. Gọi n là số nguyên dương sao cho
bc ca ab
P log a . b . c
2
1 1 1 1 190
...
log x log x log x log x log x đúng
3 2 3
n
3 3 3
3
với mọi x dương, x 1. Tìm giá trị của biểu thức P2n 3.
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 25

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Hàm số mũ – Hàm số logarit
A
Lý thuyết
1. Hàm số mũ
Tập xác định D .
Tập giá trị T 0; , nghĩa là khi giải phương trình mà đặt
Đơn điệu
Đạo hàm
a 1
Hàm số
0a
1
Hàm số
y
y
x
a đồng biến, khi đó:
x
a nghịch biến, khi đó:
x x
a
u u
a .ln a
. .ln
e
x
fx
t a thì t 0.
f x
gx
a a f x g x .
f x
gx
a a f x g x .
a u a a
x
u u
e
e
.
e u
Đồ thị
Nhận xét:
x
⑴ Đồ thị hàm số y a a
1
đối xứng với đồ thị hàm số y
x
a 0 a 1
⑵ Đồ thị đi qua điểm 01
; và 1; a .
⑶ Đồ thị liên tục trên .
⑷ Đồ thị nằm ở phía trên trục hoành.
qua Oy.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 26

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Hàm số logarit
Tập xác định D 0;
.
Tập giá trị T , nghĩa là khi giải PT mà đặt t log a
x thì t không có điều kiện.
Đơn điệu
Đạo hàm
a 1
0a
1
Hàm số
Hàm số
y log a
x đồng biến trên D , khi đó:
log
a
log
f x g x f x g x .
y log a
x nghịch biến trên D , khi đó:
log
a
a
log
f x g x f x g x .
1
log x u
a log
u
a
x.ln
a
u.ln
a
1
u
ln x , x 0 ln
u
x
u
n u
n
ln u
n ln u
u
Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng
1
a
Đồ thị
Nhận xét:
⑴ Đồ thị hàm số y log a
xa
1
đối xứng với đồ thị hàm số y log a
x0 a 1
⑵ Đồ thị đi qua điểm 10
; và a ;1
.
⑶ Đồ thị liên tục trên 0; .
⑷ Đồ thị nằm ở bên phải trục tung.
qua Ox.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 27

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tập xác định của hàm số
Phương pháp
Xét : Hàm số xác định xác định.
Hàm số xác định .
Đặc biệt: với hàm số ta lưu ý “mũ n” của :
Nếu ĐKXĐ của hàm số : .
Nếu ĐKXĐ của hàm số : .
Tóm lại nếu hoặc có “mũ n” ta chú ý xem “n” chẵn hay lẻ.
Ví dụ 1.1.
Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.2.
Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 28

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 1.3.
Tìm các giá trị thực của tham số để các hàm số dưới đây có tập xác định là .
⑴
⑵
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 1.4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số
có tập xác định .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 29

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số
Phương pháp
Đạo hàm hàm số logarit:
Đạo hàm hàm số mũ:
Ví dụ 2.1.
Tính đạo hàm các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 2.2.
Tính đạo hàm các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 30

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 2.3.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho hàm số Tính giá trị .
⑵ Cho hàm số . Đạo hàm bằng bao nhiêu?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 31

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số
Phương pháp
Đơn điệu
Hàm số Mũ
• HS đồng biến.
• HS nghịch biến.
Hàm số Logarit
• HS đồng biến.
• HS nghịch biến.
Ví dụ 3.1.
Xét sự biến thiên các hàm số sau:
⑴
⑵
⑶
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 3.2.
Xét sự biến thiên các hàm số sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 32

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 3.2.
Hàm số
tăng trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 33

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Đồ thị của hàm số
Phương pháp
Xét : Hàm số Mũ Hàm số Logarit
Càng gần cơ số càng lớn. Càng gần cơ số càng lớn.
Cơ số
Càng gần cơ số càng bé. Càng gần cơ số càng bé.
Hình minh họa
Nhận xét
Nằm bên trên .
Luôn đi qua điểm .
Nằm bên phải .
Luôn đi qua điểm .
ĐT đối xứng qua (đường phân xác góc phần tư thứ nhất).
Ví dụ 4.1.
Cho các hàm số và lần lượt có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hãy so
sánh .
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 34

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 4.2.
Cho các hàm số , , và . Đồ thị hàm số dưới đây là
của hàm số nào đã cho?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Ví dụ 4.3.
Cho các hàm số , , và . Đồ thị hàm số dưới đây là
của hàm số nào đã cho?
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 35

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Luyện tập
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
⑴ ylog
2022 3x
1
⑵ 3
log x
y
5
x 2
2
2
⑶ y log 5 4x x
⑷ y log 2022 3x x
x 3
⑹ y log2021
2 x
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
⑸ y log 2
3
x 4x
3
⑴ ln1
y x ⑵
1
y
2
⑶ ylog
7 3x 1
⑷ ylog3 x
1
2
y log x
⑹ ylog
x
⑸
⑺
y
x
3 3 2
2
2 2022
2 x x
⑻ y log 2x 2 4x
2
2
⑼ y log
4x 9
⑽ y lnx 2 3x
2
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2
2 x
⑴ y e x
⑵ y x x
3
y log x
2 x
⑶
2
⑸
x
e
y
x
e 1
y
e
x 1
⑺
2017x
⑼
2
1
1
y
log x 1
2
log 12
2
⑷ log2 1
⑹
y x ln x
2
x 3x
2
9
y
3
4
1
⑻ y lnx1
2 x
2 1
⑽ y 2
x .ln x
e
1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây xác định với mọi giá trị
thực của x .
⑴ y log 2
2
x 2x m 2
⑵ y log 2
12
2x mx m
2
2
⑶ y log x mx m 1
⑷ y 2 lnx m 1
x m 1
⑸ 2
2
y 2023 ln x 4xm
5
⑹ y log 12 x m 2
x 8m
1
2
2
2
⑺ y log2 e x 4x m
2
⑻ y 2 2023 lg x 2mx 3m
2
2
⑼ y log 2 3x 2m 1
x m 4
⑽ y log x m x m
2 2 1
1 2 7
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 36

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 5.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây xác định với mọi giá trị
thực của x .
⑴ y log 2
25
mx 5x
1
⑵ y log 2
2
mx 2x
2
2
2 2
⑶ y log m 1 x 2m 1
x 3m
3
⑷ y lnm m x m x
2
2
⑸ y log m 1 x 2m 1
x m 1
⑹ y ln2 m
x 2x
1
2
2
⑺ y lg m 2 x 2m 1
x 2m
⑻ y log 5 m 2 x 2m 1
x 4
2
2
⑼ y 2 2 log
15 m 3 x m 2
x 4
⑽ y 2023 ln2mx m 1
x 2
4 5 2 1 2
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây có tập xác định ?
1
⑴ y
⑵ y 1
2
1 2 1
5
2
log x 2x 3m
2 log m x m x
3
Câu 7. Xét sự đơn điệu các hàm số dưới đây trên 0;
?
⑴
⑸
y log x ⑵
3
y log x . ⑹
3
y log x ⑶
Câu 8. Xét sự đơn điệu các hàm số dưới đây trên ?
Câu 9.
⑴
x
y
⑵
3
6
3 2
y log e
x ⑷ y log x
1
y log x ⑺ y log x ⑻ y log e
x
x
1
y ⑶
3
x
2
⑸ y 05
,
⑹ y ⑺
3
Tính đạo hàm các hàm số đã cho dưới đây.
x
3
2
y
e
x
e
⑷
4
y
4
x
x
y ⑻ y 2
⑴ f x log3
sin
x
⑵ f x log
3 2x
1
⑶
2 5
f x 2 x x
1
⑷ f x x. e x
⑸
2 1
f x e x
⑹ f x log cos x .
1
⑺ f x
1 x ln x
Câu 10. Thực hiện các yêu cầu sau:
.
⑻ f x xln
x 1
⑴ Cho hàm số
⑵ Cho hàm số
Câu 11. Cho số thực 01
;
y e sinx . Rút gọn biểu thức K ycos
x ysin
x y
y
y
y ?
2
2017
x x
y e 3.
e . Tính 3 2
a . Đồ thì hàm số y log a
x là đường cong nào dưới đây?
2
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 37

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
y
O
1
x
y
1
O
1
x
y
1
O 1
x
y
O
1
x
Hình 1
Hình 2 Hình 3
x
1
y , y log 2 2x , y 2
x , y
x 1.
2
Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào
Câu 12. Cho các hàm số: 2
Hình 4
Câu 13. Cho các hàm số: 2
x
x
y , 08
,
y , y log x ,
2
y log x
04 ,
.Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào
y
1
O
x
Câu 14. Cho a, b,
c là các số thực dương khác 1. Đồ thị hàm số
y a x ,
y c
x
y
y
b
x
y
a
x
y b x , y x
c được cho trong hình bên. So sánh các số a,b,c.
1
O
x
Câu 15. Cho ba số thực dương a , b , c khác 1. Đồ thị các hàm số
y log a
x, y log b
x, y log c
x được cho trong hình vẽ bên.
So sánh các số a,b,c.
y
y log c
x
y log a
x
O 1 x
y log b
x
Câu 16. Cho đồ thị hàm số
mối liên hệ của a , b , c .
y a x ; y b x ; y log c
x như hình vẽ. Tìm
y
y
a
x
y
b
x
1
O
1 x
y
log c
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 38

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
Câu 17. Cho bốn hàm số 3 1
x
x
y , y 2
, 4 3
1
3
x
y ,
1
y 4
có đồ thị là 4 đường cong theo phía trên đồ thị,
4
C , C , C , C như hình vẽ sau.
thứ tự từ trái qua phải là
1 2 3 4
Xác định thứ tự đồ thị của các hàm số (1), (2), (3), (4).
Câu 18. Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số
, y log c
x.
y a x , y b
x
Câu 19. Cho các hàm số y log a
x và y log b
x có đồ thị như hình vẽ
bên. Đường thẳng x 7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số
y log a
x và y log b
x lần lượt tại H , M , N . Biết rằng
HM
MN . Xác định mối liên hệ giữa a và b.
y
N
y
log b
x
M
y
log a
x
O 7 x
Câu 20. Cho điểm 40
;
H đường thẳng x 4 cắt hai đồ thị hàm số
y log a
xvà y log b
x lần lượt tại hai điểm AB , và sao cho
AB 2BH
. Xác định mối liên hệ giữa a và b.
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 39

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Phương trình mũ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng: .
Với a và b là các số cho trước.
Nghiệm của phương trình mũ cơ bản
và y b như hình.
x
Cho đồ thị của hai hàm số y a a 0,
a 1
Từ hình vẽ ta thấy với:
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong
+ b 0 đường thẳng y b không cắt đường cong
y
x
a tại điểm log ;
y
x
a .
x
Khi đó phương trình mũ cơ bản có dạng: a b a 0,
a 1
:
● Nếu b 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất.
● Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm.
a bb.
Chú ý
⑴ Nếu thì ta có .
⑵ Tổng quát hơn
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 40

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Phương trình logarit.
Phương trình logarit cơ bản có dạng: .
Với a và b là các số cho trước.
Nghiệm của phương trình logarit cơ bản
y log x a 0,
a 1 và y b như hình.
Cho đồ thị của hai hàm số
a
Từ hình vẽ ta thấy với:
b
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong y log a
x tại điểm a ; b .
b
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong y log a
x tại điểm a ; b .
Khi đó phương trình logarit cơ bản có dạng: log 0,
1
x b a a luôn có nghiệm duy nhất.
a
Chú ý
⑴ Tổng quát
⑵ Lưu ý để giải phương trình logarit trước hết đặt điều kiện .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 41

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản
Phương pháp
Giải phương trình mũ cơ bản: .
Khi đó
Lưu ý:
Phương trình có một nghiệm duy nhất khi .
Phương trình vô nghiệm khi .
Ví dụ 1.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 42

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Phương trình mũ đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Với , .
Ví dụ 2.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑶
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 43

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Phương trình mũ dùng logarit hóa
Phương pháp
Phương trình .
Phương trình
hoặc
Ví dụ 3.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 44

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Thông thường sẽ gặp các cơ số: .
Ví dụ 4.1.
Biến đổi các phương trình sau với phép đặt cho trước.
⑴ , khi đặt ⑵ , khi đặt
⑶ , khi đặt ⑷ , khi đặt
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 45

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 4.2.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 46

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 5. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp
Phương pháp
Phương trình đẳng cấp có dạng: .
Khi đó với phương trình mũ đẳng cấp có dạng:
Phương pháp làm như sau:
01 Chia 2 vế cho , đặt .
.
02 Chia 2 vế cho , đặt .
Lưu ý:
Đây là dạng sẽ có trong bài “Bất phương trình mũ”, lúc giải BPT mũ ta cần chú ý đến
cơ số lớn hay bé hơn 1. Để giảm sai sót chúng ta hãy “chia 2 vế” cho cơ số bé nhất !!!
.
Ví dụ 5.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
⑵
⑷
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 47

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 48

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 6. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với tích hai cơ số bằng 1
Phương pháp
Phương trình đẳng cấp có dạng: .
Phương trình mũ ta xét có dạng: trong đó .
Phương pháp làm như sau:
Vì Đặt .
Khi đó .
Ví dụ 6.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 49

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 50

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 7. Phương trình logarit cơ bản
Phương pháp
Giải phương trình logarit cơ bản: .
Khi đó
Lưu ý:
Xác định điều kiện trước khi giải phương trình.
Phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 7.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 51

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 8. Phương trình logarit đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các
phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:
Loại 1: . Loại 2: .
Ví dụ 8.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 52

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 9. Phương trình logarit dùng mũ hóa
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các
phương trình logarit về:
Ví dụ 9.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 53

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 54

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 10. Phương trình logarit đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Lưu ý: với không có điều kiện của .
Ví dụ 9.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 55

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 56

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 21. Giải các phương trình sau:
⑴ log4 x 1
3
⑵ log x
2
⑶
2 5
4
1 2
2
log x 1 3
2
log x ⑷
2
2
⑸ log2 x 1
3
⑹
2
2
⑺ log25 x 1
log 10
⑻ log x
⑼
log x
2
4x
2
3
Câu 22. Giải các phương trình sau:
⑽
log x 7 2
3
9 log 4
3 2
2
log x 5 3
2
2
2
⑴ log x
2x 2
1
⑵ x
x
3
2
2
⑶ log x
5x 7
log 1
⑷ log x log
1 1
2 2
2
⑸ log
, x x
0 25
3 1
log 2 1
3
1
4 2
⑹ log x
3x
1
3
1
log 3
⑺ 2
2
log 2x1 2log
2 2x 2
⑻ x
log2
x
2
⑼ 2x 5x 2 7x
6
2
0
log x
Câu 23. Giải các phương trình sau:
3 5 0
⑽
log x.log 2x 1 2log
x
2 3 2
⑴ log x log
2 2x1
1
⑵ log x log
2 2x3
2
⑶ log x log
3 3 x 6
log 7
⑷ log
3
x1 2 log2x1
3
⑸ log x1 2 1 log23x 1
⑹ log 2x1 3 log3x1
1
⑺ log x1 3 1 log34x 1
⑻ log 2x1 3 1 log3x
1
2
⑼ lnx 1 lnx 3 lnx
7
⑽ log x log x lne
Câu 24. Giải các phương trình sau:
2 2
1
⑴ log x1 2 log10 log2x 1
⑵ log3 x
log x
3
⑶ 2x 1 x 1 2022
2022
e ⑷ x
x
log log log
3 3
e
6 9 5 0
log 1 log 2 log 125
2 2 5
2
3
4
⑸ x 2 3 log x
1
⑹ log 2
5
6 x
⑺ log x log x log
x 11
⑻ log x 4log x log x 13
2 4 8 2
4 8
2
log2 x 2x log4
168x
log x3 log
x 1
⑽ 2 4
⑼
2 2
x
Câu 25. Giải các phương trình sau:
x
2
2
⑴ log x log
2 2x x
⑵ log x
1 2 log
22x
5
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 57

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ 2 1 1 2022
2022
2
⑷ log x 4x 3 log 4x
4
log x log x log
3 3
e
e
2 2
⑹
01 ,
x
1 x
2
2
2
⑸ log x x 1 log 2x
1
log 1 log 1 1.
2
2
⑺ log x 4x log 2x
3
0 ⑻ log x
log2
x
3 1
3
⑼ log x log x log
2 4 1
2
Câu 26. Giải các phương trình sau:
2
1 2 1
3
⑽ 3log
x1 log x 5 3
3
⑴ log x
log01
, x
1
2
3 1
3
2
3 3 1
⑵ log x 4x 3 log 4x
4
0
2 1
2
2
⑶ log x log x
10
2 log 4 ⑷ log x
log x
2
3
2 4 0
2
⑸ log x1 2log x1
log 4
⑹ x
x
2
3
3
log 1 .log 1 log 2 log 2
2 4 0,
5 2
2
⑺ log x.log x.log x.log
x ⑻ log
3 9 27 81
x
log
2
2 x
2 2
⑼ 2log
2 x x 2 log
1 x 7x
12
e
e
⑽ log x 4 14x 3 100x 2 12x 25 4log
39x 2 70x
3
2 16
Câu 27. Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
log
x 6log
x8 0
⑵ log
2
3 3
3 2
log log log
log
log
1 2 1
x 2log
x1 0
2
2 2
2 5
x x x 1 0
⑷ log x log x 4
0
3 3 3 2
x5log
x 4 0
⑹ log
2
1 3
3
4
2
3 3 3
log x
1
2
x log 36x1 0
2
36 1
36
x ⑻
2
log
2
2
⑼ log 4x log
2x
5
⑽ log x
2 2
2 1
⑾ 3log
x log 1 0
⑿
2 2
x
Câu 28. Giải các phương trình sau:
3
3 2 1 2x
1
2
⑵ x
x
⑴ log .
x
⑶
⑸
x .log x
x 25
125 1
2 5log
x
0
2 2
2 5
log xlog
x 1
0
2 2
3 log x
2 5
log 2
5 2 2 x
⑷ log x log x 4
0
2
x
3 2
log2 x 3log2 x 2log2
x 1 1
⑹ x
x 1
⑺ log
x
3 1 2x
log 2
3 1
3
1
2
log 9 2 3 x.
2
⑻ x
2log 2 log 4 log x
4log
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 58

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
2
1 log x
3
81
3
⑼ log
x
9 7 0
Câu 29. Giải các phương trình sau:
2
2x
5x
3
⑴ 2 1
⑵ 3
⑶
⑽
3 2
x 5x 6x
ln
x 1
2
x
4x
1
243
2
x x1
⑷ 2
2 1 2 1
0
x
3 2 2 3 2 2
2
x 4x
8
⑸ 2 x
16
⑹
2 3x
1
e
2
e
x
⑺
2 3x
2
2 4 2
4x
3 1
4
⑻ 7 x 1
2 3
x x
2
2
x 4 5
⑼ 7 49 7
⑽ 3 x 9
Câu 30. Giải các phương trình sau:
2
x x8 13x
⑴ 2 x 2.
3 x 6 x 2
⑵ 2 4
⑶
⑸
x1 x x1 x3
5 5 2 2
⑷
4x
2x6
2 3
3 2
⑺ 15
,
5x
7 2
3
x1
x
2 3 2
x
⑼ 0, 125.
4 8
Câu 31. Giải các phương trình sau:
2
⑴ 7 4 3 2 3
⑶
x x 1 x2
⑹
⑻
⑽
⑵
x
2 9 27
.
3 8 64
x
⑷
2
x 2x3
2 8
x
4x
2x6
2 3
3 2
4 8
x1 32x
x
3x1
4 7 16
0
7 4 49
x 2
3 x 2 x 1
2 16
x1 x2
2 2 36
x
⑸
2 3x8 2x1
3 9
⑹ 2 2 3 3
x x1 x x1
2 2
8x 8x 51
x
⑺ 2 . 5 0, 001.
10
⑻ 4 4 2 2
⑼
2 2
x x1 x 1 2x x
x x1 x x1
2 2 2 2
⑽ 3 x 2 x . 36 x 3
Câu 32. Giải các phương trình sau:
x x
⑴ 4 6.
2 2 0
⑵
⑶ 2. 4 x x
9.
2 4 0
⑷
⑸
⑺
x x1
25 20.
5 3 0
x1 1x
3 3 10
2x1 x1
6 5.
6 1
0
1
⑹ 3 1 x
2
9
x1 x3
4 2 4 0
⑻
2x10 x4
3 6.
3 2 0
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 59

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x x
⑼ 4 6.
2 8 0
⑽
Câu 33. Giải các phương trình sau:
⑴
2x
2x
3 3 30
⑵
2x
x2
3 2.
3 27 0
9 6 2
x x 2x1
x
x
x
⑶ 2 1 2 1
2 2 0
⑷
1
⑸ x 1 x 2 x 2 x
2 3 2 3 4
x 2 2 2
4 x 3 x 7 x 6 2 x 3 x
9
4 4 2 2 2 8
⑹ 5 5 5 1
Câu 34. Giải các phương trình sau:
x x
x x
⑴ log
5 25 3.
5 15
x 1
⑵ log . .
3 4 2 9 x 1
6
x
x
x
⑶ 2 1 2 1
2 2 0
⑷
1
⑸ x 1 x 2 x 2 x
2 3 2 3 4
x 2 2 2
4 x 3 x 7 x 6 2 x 3 x
9
4 4 2 2 2 8
⑹ 5 5 5 1
Câu 35. Thực hiện các yêu cầu sau:
x
y
⑴ Với các số thực x , y dương thỏa mãn log xlog y log
9 6 4
6
. Tính tỉ số x y
⑵ Cho log x log y log x y
a b.
và
9 6 4
x a b
với ab , là số nguyên dương. Tính
y 2
--------------------Hết--------------------
x
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 60

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Bất phương trình mũ.
Bất phương trình mũ cơ bản: hoặc , với .
Với a và b là các số cho trước.
x
Cho đồ thị của hai hàm số y a a 0,
a 1
và y b như hình.
x
Xét bất phương trình a b
.
Nghiệm của là hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số
y
b. Từ hình vẽ ta nhận được:
Nếu b 0 thì x
Nếu b 0 thì
• Với 1
.
đều là nghiệm của
a : nghiệm của là
a
: nghiệm của
• Với 0 1
x log a
b.
là
y
x log a
b.
x
a nằm phía trên đường thẳng
Chú ý
⑴ Nếu .
⑵ Nếu .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 61

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Bất phương trình logarit.
Bất phương trình logarit cơ bản: hoặc , với
.
Với a và b là các số cho trước.
và y b như hình.
Cho đồ thị của hai hàm số y log x a 0,
a 1
a
Xét bất phương trình
log
a x
b
.
Điều kiện x 0 .
Nghiệm của là hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số
y
b. Từ hình vẽ ta nhận được:
Với 1
a nghiệm của là
a
nghiệm của
Với 0 1
x
b
a .
b
là 0 x a .
y log a
x nằm phía trên đường thẳng
Chú ý
⑴ Nếu .
⑵ Nếu .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 62

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản
Phương pháp
Dạng 01.
Dạng 02.
.
.
Tập nghiệm của bất phương trình là .
.
.
Tập nghiệm của bất phương trình là .
.
.
Ví dụ 1.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 63

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Với : .
Với : .
Ví dụ 2.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 64

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Bất phương trình mũ dùng logarit hóa
Phương pháp
Bất phương trình .
Bất phương trình
hoặc
Lưu ý: Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số hay để xác định dấu của BPT.
Ví dụ 3.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 65

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Thông thường sẽ gặp các cơ số: .
Ví dụ 4.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 66

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 5. Bất phương trình logarit cơ bản
Phương pháp
Giải bất phương trình logarit cơ bản: .
Lưu ý: Xác định điều kiện trước khi giải bất phương trình.
Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số hay để xác định dấu của BPT.
Ví dụ 5.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 67

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 6. Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các bất
phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:
Loại 1: .
Loại 2: .
Ví dụ 6.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 68

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 7. Bất phương trình logarit dùng mũ hóa
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các bất
phương trình logarit về:
Ví dụ 7.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 69

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 7.2.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 70

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 8. Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Lưu ý: với không có điều kiện của .
Ví dụ 8.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
Lời giải
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 71

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 72

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 36. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
x
1
32
2
2
x 2x
⑵
2
x x1 2x1
5 5
7 7
x 6
3 27
⑷ 11 11
2x4 x1
3 3
4 4
1
2
2
x 4x
2
7x2x
8
⑹
⑻
2
3 x 243
1
3
2
x 4x12
⑼ 2 32
⑽ 5 x 0
5
Câu 37. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
1
7
2
x
x4
49
2
4x4 x 3x2
⑵
7 7
⑷
x x1 x x1
2 2 3 3
⑹
2
2x x x1
1 1
2 2
2
x 6x
2
4x
1
⑼ 5
5
Câu 38. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
2
x 3x
⑻
⑽
5 625
⑵
e
2
x
⑷
e
x 1 1
3x2
7 11
11 7
1
2
2
x 2
2
43x
2
x
⑹
⑻
1 1
x
1
2
9x 17x11 75x
1 1
2 2
2
3x2x
9
9
7
7
2
2x4 x 3x2
1 1
5 5
2
4x
1
5
5
x
1
2
4
2
x 2x
2x
x1
1
1
2
8
2
x 6x
x1 2x3
e e
2 2
1
3
1
3
x
x2
3
x
x
. 3 3 . 3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 73

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
1 1
6
⑼ 0, 6 0,
6
x ⑽
Câu 39. Giải các bất phương trình sau:
x1 2x1
1 1
2 2 2
x
x
x
⑴ 7 4 3 32 3
2 0
⑵
3 2 2 2 2 1 3
2x
x
x1
⑶ 5 2 5 2
⑷ 2 3 2 3
Câu 40. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
x x1
4 3.
2 5 0
⑵
x 1 x
4 10.
2 6 0
x
2 2
x 2x1 x 2x1 4
2 3
x
x2
1 1
3
0
4 2
x x x
⑷ 4 8. 6 12.
9 0
2x
1 x
3 28.
3 9 0
⑹
x 2
5 5 x
26 0
⑻
x
4 3
⑼ 3. 5.
2 0
9 2
Câu 41. Giải các bất phương trình sau:
x
⑴ log3 x 1
2
⑵
⑽
x1 x3
9 36.
3 3 0
x 2
2 3
2
x
x
2
x
e 2
6.
8 0
4 e
x
x2
1 1
3
0
4 2
⑶ 3 ⑷
⑸ 2021 ⑹
1
2
log 2x 3 2
3
log 4x 1 1
3
⑺ log ( x 1)
0
⑻ log 2x 1
2
02 ,
05 ,
4x
6
⑼ log x 2
2
⑽ log 0
1
x
Câu 42. Giải các bất phương trình sau:
⑴ log 2x 1
1
⑵
,
1
2
5
log ln x 2 2
05
⑶ log 2x 4
2
⑷
2
2
log x 1 1
⑸ log log x
2 0
⑹
log 4x 1 1
3
⑺ log ( x 1)
0
⑻ log 2x 1
2
02 ,
05 ,
4x
6
⑼ log x 2
2
⑽ log 0
1
x
1
2
Câu 43. Giải các bất phương trình sau:
⑴ log x1 log 2x1
1
⑵ log x1 log 2x
1
3 3
1
2
5
3 3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 74

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ log 3x 2
log 4
⑷ ln2x1 1 lnx
1
5 5
⑸ log x
2
21 log x 2
⑹ log x
9 log 8x
0, 9 0,
9
⑺ log 2x 3
3 log31 x
⑻ log x 7
4 log2x
1
2
⑼ log x
1 log 11 2x
0
log
log
⑽ x x x
1 3
3
6 5 1 0
1 2
2
Câu 44. Giải các bất phương trình sau:
2
⑴ ln x
1 ln 2x 4
0
⑵ 3log
x1 log
3 2x1
3
⑶ log x 1 2log 5 x 1 log x
2
3 3
1 1
log
2 4 2
2 1
2 x 7
2
1
2
log x1 . 2log x1.log
4 ⑹ log x.log x.log x.log
x
2 2 2
3 9 27 81
2
3
log x log x 2 log 3
log x3 2log 3.log
x
2
2
⑷ log x
4x
5
⑸
4
9
⑺ ⑻
3 3 3
1
1
⑼ log22x 3
log x
4
2
2
Câu 45. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
x x1
4 3.
2 5 0
⑵
x 1 x
4 10.
2 6 0
2 4 3
⑽
3 2
log
x
6
x1 2log
x 2 3 log
x2
1 1
3
0
4 2
x x x
⑷ 4 8. 6 12.
9 0
2x
1 x
3 28.
3 9 0
⑹
x 2
5 5 x
26 0
⑻
x
x
x1 x3
9 36.
3 3 0
x 2
2 3
2
x
x
2
x
4 3
e 2
⑼ 3. 5.
2 0
⑽ 6.
8 0
9 2
4 e
Câu 46. Giải các bất phương trình sau:
2
⑴ log22x
log x 9
⑵ log x log 2018
2
2018 x
4
2
⑶ log
4x5log
x 2
⑷ log x8log
x 3 0
2 2
2 2
--------------------Hết--------------------
6
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 75

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Mục lục
Bài 01. PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A. Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên...................................................................................................... 3
2. Căn bậc n...................................................................................................................................... 3
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ ....................................................................................................... 4
4. Lũy thừa với số mũ thực: ........................................................................................................ 4
B. Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức ................................................................................................ 5
Dạng 2. Rút gọn biểu thức ..................................................................................................... 7
Dạng 3. So sánh ........................................................................................................................ 8
Dạng 4. Bài toán lãi kép ........................................................................................................ 9
C. Luyện tập
Bài 02. PHÉP TÍNH LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Khái niệm logarit. .................................................................................................................... 33
2. Tính logarit bằng máy tính cầm tay. ................................................................................ 33
3. Tính chất của phép tính logarit ........................................................................................... 33
4. Công thức đổi cơ số ............................................................................................................... 34
B. Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức .............................................................................................. 35
Dạng 2. Biểu diễn logarit ..................................................................................................... 36
C. Luyện tập
Bài 03. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Hàm số mũ ................................................................................................................................ 48
2. Hàm số logarit ......................................................................................................................... 49
B. Bài tập
Dạng 1. Tập xác định của hàm số ...................................................................................... 50
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số ............................................................................................ 52
Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số .................................................................................... 54
Dạng 4. Đồ thị của hàm số.................................................................................................. 56
C. Luyện tập
Bài 04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 1

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Phương trình mũ. ..................................................................................................................... 75
2. Phương trình logarit. .............................................................................................................. 76
B. Bài tập
Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản........................................................................................ 77
Dạng 2. Phương trình mũ đưa về cùng cơ số ................................................................. 78
Dạng 3. Phương trình mũ dùng logarit hóa .................................................................... 79
Dạng 4. Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản ................................................................ 80
Dạng 5. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp ........................... 82
Dạng 6. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với tích hai cơ số bằng 1 ............................... 84
Dạng 7. Phương trình logarit cơ bản ................................................................................ 86
Dạng 8. Phương trình logarit đưa về cùng cơ số .......................................................... 87
Dạng 9. Phương trình logarit dùng mũ hóa .................................................................... 89
Dạng 10. Phương trình logarit đặt ẩn phụ ....................................................................... 91
C. Luyện tập
Bài 05. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Lý thuyết
1. Bất phương trình mũ.............................................................................................................. 125
2. Bất phương trình logarit. ..................................................................................................... 126
B. Bài tập
Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản ............................................................................... 127
Dạng 2. Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số ........................................................ 128
Dạng 3. Bất phương trình mũ dùng logarit hóa ........................................................... 129
Dạng 4. Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ ..................................................................... 130
Dạng 5. Bất phương trình logarit cơ bản ........................................................................ 131
Dạng 6. Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số ................................................. 132
Dạng 7. Bất phương trình logarit dùng mũ hóa .......................................................... 134
Dạng 8. Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ ............................................................... 136
C. Luyện tập
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 2

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHÉP TÍNH LŨY THỪA
A
Lý thuyết
1. Lũy thừa với số mũ nguyên.
Định nghĩa:
Cho là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:
• Với là số thực tùy ý: ( thừa số ).
• Với là số thực khác : .
• Trong biểu thức , gọi là cơ số, gọi là số mũ.
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Với a0;
b 0 và mn ; là các số nguyên, ta có:
⓵ a . a
m n a mn
⓶
a
a
m
mn
m
m m
a ⓷
n
ab a . b
⓸
a
b
m
a
b
m
m
⓹
m
a b
b a
m
Chú ý
2. Căn bậc n.
⑴ và không có nghĩa.
⑵ Nếu thì khi và chỉ khi .
⑶ Nếu thì khi và chỉ khi .
Định nghĩa:
Cho số thực và số nguyên dương .
• Số được gọi là căn bậc của số nếu
Ta có các tính chất sau (với điều kiện các căn thức đều có nghĩa):
a khi n 2
n
n n
n n n
a a
⓵ a ⓶ ab a.
b
⓷ n , a,
b
0
a khi n 2
b
n
b
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 3

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⓹ n m a
nm a
n m n
⓸ a a m
Chú ý
n lẻ • Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu .
n chẵn
• Không tồn tại căn bậc n của b
• Có một căn bậc n của b là 0
• Có hai bậc n của a là hai số đối nhau,
• Căn có giá trị dương ký hiệu là , căn có giá trị âm ký hiệu là .
Nếu n chẵn thì có nghĩa chỉ khi .
Nếu n lẻ thì luôn có nghĩa với mọi số thực .
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Định nghĩa:
Cho số thực và số hữu tỉ , trong đó .
Lũy thừa của với số mũ , kí hiệu là , được xác định bởi .
4. Lũy thừa với số mũ thực:
Định nghĩa:
Giới hạn của dãy số gọi là lũy thừa của số thực dương với số mũ .
Kí hiệu: với .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 4

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức
Phương pháp
Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.
Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:
⓵ ⓶ ⓷
⓸ ⓹ ⓺
Ví dụ 1.1.
Đưa các biểu thức sau về dạng lũy thừa
⑴ ⑵ ⑶
⑴
⑶
1 1
1 2 3 2 3
2 2 4
a a a.
a a
a
5 3
1 1 2
5 15 2 2
15
15 15
. a . b
1 1
5 15
b a b a b
a b a
a b
Lời giải
. ⑵
1
1
2
2 3 5
2.
2
3 6
13
2 4 2
6
2 .
0,
75 3 3
16
4
2
4
2
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức
⑴ ⑵ ⑶
⑴ Ta có 5 .
5
5
Lời giải
P 4 8 32 2. ⑵ Ta có
1
3 3
27
S 27 3.
⑶
2
3
1,
25 2 5
3 4 3 2 4 5 3 6 4
27 16 27 16 3 2 20 3 2 2 5 41
1 1
A
27 16
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 5

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức
⑴ ⑵ .
⑴
4 2 5 4 2
3 . 3 2 . 2 3 2 11
A
122
4 3 5 4 7
2 . 2 2. 3 . 3 2 2.
3
Lời giải
3 4
3
5 1
2 1
3 . 2
2 2
3
4
3 2 13
⑵ B
0 1 2
5 5 30
3 2 3 1
5 . 25
2
25
Ví dụ 1.3.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho . Tính giá trị biểu thức .
⑵ Cho . Khi đó biểu thức với là phân số tối
giản và . Tính .
Lời giải
x x
5 2 2
⑴ Tính giá trị biểu thức P .
x x
8
4. 2 4.
2
2
x x x x x x
4 4 7 2 2 9 2 2 3. Suy ra
⑵ Biểu thức
x
5 3 3
A
x
13 3
x
x
a
b
. Tính ab. .
x x
5 2 2 5 3
P 2.
.
x x
8 4. 2 4.
2 8 12
9 9 23 3 3 2
x x
x x x x
3 3 5
x x
x x
25
vì 3 3 0, x
nên 3 3 5
x x
3 3 5
x x
5 3 3 5 5 5
A .
x x
13 3
1
5 2
Vậy ab . 10 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 6

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Rút gọn biểu thức
Phương pháp
Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của lũy thừa.
Chọn là các số thực dương và là các số thực tùy ý, ta có:
⓵ ⓶ ⓷
⓸ ⓹ ⓺
Ví dụ 2.1.
Rút gọn các biểu thức:
⑴ với ⑵ với
⑶ , với ⑷ với
⑴
⑶
21
2 1
2 21 2 2 1
P a . a . a a a
a
1 1 1
3 6 3 6 1 1 1 1
x x x . x
3 6 4 4 4
K x x x
4
1
x
4
x
Lời giải
. ⑵
. ⑷
7 7 1 7 1
3 3 3 3 3
3 2
: : .
Q a a a a a a
1 1
3 6 2
M x . x x x .
Ví dụ 2.2.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho là một số thực dương. Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa
với số mũ hữu tỉ.
⑵ Viết biểu thức ( ) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.
⑴ Ta có
3 3 2 3 2 19
5 3 2 5 3 5 3 15
Lời giải
P a . a a . a a a . ⑵
1
1 5 3 5
3
3
4 4 4 12
P x. x x.
x x x
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 7

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. So sánh
Phương pháp
⑴ Nếu thì khi và chỉ khi .
⑵ Nếu thì khi và chỉ khi .
⑴ Cho
⑵ Sắp theo
Ví dụ 3.1.
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho ; . So sánh , .
⑵ Sắp theo , và theo thứ tự từ lớn đến bé.
2023
A 199 ;
2024
199
B . So sánh A , B .
1
2024 . 2024
2
B 199 199 199
Ta có 199 1 nên
4999
A 3 ,
B
1012
Lời giải
2023 1012
199 199 A B. Vậy A B.
4001
11
1000
và
C 1331 11 11
1000 3 3000
4001 2000
Ta có: 11 1; 11 11
B
C
Lại có: 1000
1000
C 1331
theo thứ tự từ lớn đến bé.
4999 5000 5 1000 1000
3 3 3 243 1331
A
C
Vậy B C A .
Ví dụ 3.2.
Với những giá trị nào của
thì
⑴
⑵
⑴
e
a
a
⑵ a1 a
1
Điều kiện: a 0
e
Vì 0 a 1.Vậy 0a
1.
e
a a
2 5
Lời giải
Điều kiện: a1 0 a
1
2
5
Vì
0 a111 a 2 .Vậy 1a
2.
a1 2 a1
5
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 8

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Bài toán lãi kép
Phương pháp
Số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh
ra thay đổi theo từng định kỳ.
Công thức:
Trong đó:
: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
: Số tiền gửi ban đầu;
: Số kỳ hạn tính lãi;
: Lãi suất định kỳ, tính theo %.
Ví dụ 4.1.
Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu
không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào
vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số
tiền bao nhiêu, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất
không thay đổi?
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó lĩnh được số tiền:
Ta có:
n
04 ,
A A ( 1 r) 100. 000. 000 1 102. 424.
128
n 0
100
Ví dụ 4.2.
Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha mẹ cho
MSB là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi lãi suất kỳ hạn một năm của ngân hàng MSB là r. Áp dụng công thức lãi suất kép
n
P a 1 r trong đó ta có :
r 1
r
4 4
243101250 200000000
1
243101250 243101250
200000000 200000000
6
243101250
200000000
1 r 4 r 4
1 r 0,
05 .
VNĐ. Số tiền này được
bảo quản trong ngân hàng MSB với kì hạn thanh toán 1 năm và học sinh A chỉ nhận
được số tiền này khi học xong 4 năm đại học. Biết rằng khi đủ 22 tuổi, số tiền mà học
sinh A được nhận sẽ là
VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 9

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Lời giải
Với a là số tiền ông Đại đóng vào hằng tháng, r % lãi suất ông Đại gửi tiết kiệm hằng
tháng.
Gọi P là số tiền mà ông Đại thu được sau n tháng
n
n 1
.
Suy ra
. %
% . % 2
. %
% . % 3 . % 2
. %
P a r .
1
1
P P a 1 r a 1 r a 1
r
2 1
P P a 1 r a 1 r a 1 r a 1
r
3 2
……………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
n
n
P P a1 r% a. 1 r% a. 1 r% 1
... a. 1 1
r%
n n
Xét cấp số nhân có số hạng đầu là u a. r%
n
1
q
P u u ... u u
n 1 2 n 1
1 q
.
và công bội q1 r%
thì
1
1
Vậy số tiền ông Đại nhận được từ ngân hàng sau 5 năm là
P
Ví dụ 4.3.
Ông Đại mới xin được việc làm nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ
mỗi đầu tháng đóng vào 5 triệu đồng với lãi suất 0,33%/ tháng. Tính số tiền mà ông
Đại thu được từ ngân hàng sau 5 năm.
60 1
, 60
60
1
q
1
1 0033
u 5. 1, 0033.
332 triệu đồng.
1
q
0,
0033
Ví dụ 4.4.
Ông Bình vay vốn ngân hàng với số tiền
Lời giải
a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay
Gọi m, r, T ,
n
còn lại sau n tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.
● Sau khi hết tháng thứ nhất
1
T m r 1 a.
1
n thì còn lại:
đồng. Ông dự định sau đúng
năm thì trả hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu
hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi
lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số tiền mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong
mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng là và không thay đổi
trong thời gian ông hoàn nợ.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 10

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
● Sau khi hết tháng thứ hai n 2
thì còn lại:
T m r 1 a r 1
a
2
2 2 2 a
2
mr 1 ar 1 a mr 1 ar 2 mr 1 r
1
1 .
r
● Sau khi hết tháng thứ ba n 3
thì còn:
2 a
2
3
T m
3 r 1 r 1 1
a
3
r 1
a
r
mr
1 r
1
1 .
r
a
n
1 1 1
r
n
● Sau khi hết tháng thứ n thì còn lại: T mr
r
Áp dụng công thức trên, ta có T
n
n
5 12
,
n 12.
10 1
mr
1
r
100
0 a
n
60
r
1
1 12 ,
1 1
100
60
.
Ví dụ 4.5.
Lãi suất cho vay tại PVcomBank trong tháng 5/2022 rất ưu đãi, ở mức 5%/năm, được
áp dụng trong 6 tháng đầu, từ tháng thứ 7 trở đi ấn định mức lãi 12%/năm. Tại ngân
hàng này, thời hạn cho vay mua nhà tối đa là 20 năm, mức vay tối đa 85% giá trị tài
sản đảm bảo. Một người có khả năng trả cố định hằng tháng là 15 triệu. Giả sử người
đó có thể mượn người thân giá trị căn nhà, nếu được sử dụng gói vay ở trên với
thời hạn tối đa và mức vay tối đa thì có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa khoảng?
Lời giải
Gọi A là số tiền tối đa người này có thể vay, A là số tiền nợ sau tháng thứ i .
5%
r là lãi suất/1 tháng, trong 6 tháng đầu
1
12
12 % r 1 %
2 là lãi suất/1 tháng, từ tháng thứ 7 trở đi.
12
A 1
r , người đó trả 15 triệu nên còn nợ:
Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là
A A
r
1
1 15
Sau tháng thứ 2:
i
15
2 2
A A 1 r 15 A 1 r 15 1 r 15 A 1 r 1 r 1
r
2 1 1 1 1 1 1
1
15
A A 1 r ( 1 r ) 1
r
Sau tháng thứ 3: 3 3
…….
3 1 1
1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 11

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
15
1 1 1
r
.
Sau tháng thứ 6: 6 6
A A r ( r )
6 1 1
1
Sau tháng thứ 7: A A r
1 15
7 6 2
15
1 1 1
r
Sau tháng thứ 8: 2 2
A A r ( r )
………
8 6 2 2
2
15
1 1 1
r
Sau tháng thứ 240 : 234 234
A A r ( r )
Vì phải trả hết nợ sau 20 năm nên
A
240 6 2 2
2
A
15 6
( 6 1 r)
1 1
r
1
1409,
163992
6
A
1
r
1
234
15( 1r
) 1
2
0 A
1353,
819328
1
r r
240 6 234
.
2 2
Vậy người này có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa là A 1657,
83999 triệu đồng
85%
1,
65784 tỷ đồng
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 12

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 1. Tính giá trị biểu thức:
3 1 3 4
3
2 2
2 . 2 5 . 5
⑴ E 2 . 4
⑵ P
3 2
10 : 10 0,
1
⑴ E 2 . 4
2020 1
⑶ N 2019 .
2019
5
52
2
2
⑸
3 2 2
E
3 1 3 4
2 . 2 5 . 5
⑵ P
3 2
10 : 10 0,
1
2020 2
M 1
3 32
2 . 2
⑹
2
Lời giải
3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3
2 4 2 2 2 2 2 2
. . .
2 2 2
3
2 .
0
3 1 3 4 2
2 . 2 5 . 5 2 5 9 9
P 10
.
3 2
0 1
10 : 10 0,
1
10 1
1 9
1
10 10
2020 1
⑶ N 2019 .
2019
2020 2
2020 2
2020 1
2020 2020 2 2
N 2019 . 2019 2019 .
2019
⑷ T
2020 2019 3
2 2 1 2 2
5
52
2
2
⑸
M
2020 2019 2020 2020
⑷ T
2020 2019 3
2 2 1 2 2
5 2 3
5 5 5 5
Y
2
3
5 5 5
1 1 4
3 3 3 3
T 2 2 1 2 2 2 2 2 . 2 2.
2 2 .
2 . 2
1
3 32
M
5 2 52
5 2 5 2
2 2 2
2
2 .
1
3 32
1 1
2 . 2
5 2 3
5 5 5 5
⑹ Y
2
3
5 5 5
2 2
0
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 13

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 2.
1
1
1
2 5
2
51 1
2 5
1 10
.
5 2 3 25 10 2 10 10
5 5 5 5 5 5
5 . 5
3 2
5 5
3 3 3 3
5. 5 . 5 5 5 5 1 5
2 1 1 3 1 1
3 5
.
5 5 3 1 3 2 3 2
5 5
5 5
2
Y
Tính giá trị biểu thức:
55
.
2020 2021
2020 2021
⑴ P 2 6 5 2 6 5
⑵ S 5 2 . 5 2
2020 2019
⑶ T 7 4 3 4 3 7
⑷ W 2 5 19 20 19
2018 2019
⑸ F 3 2 2 . 2 1
100 2 52
⑹ G 2 3 2 . 12 2 22 . 22 12 2
Lời giải
2018 2019
2020 2021
⑴ P 2 6 5 2 6 5
2020 2021
P 2 6 5 2 6 5
2020 2020
2 6 5 2 6 5 . 2 6 5
2 6 5 2020
2 6 5 2 6 5
2020
1 . 2 6 5
2 6 5 .
2020 2021
⑵ S 5 2 . 5 2
2020 2021
2020
S 5 2 . 5 2 5 2 5 2
5 2
5 2 .
2020 2019
⑶ T 7 4 3 4 3 7
2020 2019
T 7 4 3 4 3 7
2019
2019
7 4 3. 4 3 74 3 7
7 4 3. 1
7 4 3.
2018 2019
⑷ W 2 5 19 20 19
2018 2019 2018 2018
W 2 5 19 20 19 2 5 19 20 19 20 19 20 19
2018 2019
⑸ F 3 2 2 . 2 1
2018 2019
F 3 2 2 . 2 1
4036 2019
1 2 . 2 1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 14

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2017 2019 2019 2017 2019
2017
100 2 52
⑹ G 2 3 2 . 12 2 22 . 22 12 2
100 2 52
G 2 3 2 . 12 2 22 . 22 12 2
50 2 52
12 2 22 . 12 2 22 . 22 12 2
52 52 52
52
12 2 22 . 22 12 2 12 2 22 22 12 2 196
Câu 3.
⑴
⑵
1 2 . 1 2 . 2 1 1 2 1 2 2 1 1
2 .
Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
⑴
3 4 3
P x . x.
x 5
⑵
32
3
1
.
x
⑶ E x
⑸
V
P x . x.
x
3 4 3 5
Ta có:
Q x x x
3 6 5
. .
Ta có
⑶ E x
⑷
S
x x x
32
3
1
.
x
1 5 3
3 4 4
5
x x x
P x . x.
x
3 4 3 5
31
⑷
⑹
Lời giải
Q x x x
S
3 6 5
. .
x9x
1
x3x
1
2
1
T x . x . . x : x
x
.
3 3 5
4
24 5
2
1 1
1 2 1 2
1 1
5 4 8 4 2 2 11 2 11
3 3 3 3 3 3 3 6
x x
x x
x
x . x
x
x .
1 1 5 1 1 5 5
3 6 5 2 3 6 2 3 6 3
x. x. x x . x . x x x .
31
Ta có
x9x
1
1
2
31
32 31
32
3 1 3 3 3 1 3 3 3 72 3
3 3
3
1
2 2 2 2 2 2 2 2
E x . x . x x . x x x
x
.
x3x
1
x 9
x x x x
S x
x
1 1 2
9 9 9
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
x 3x x 3x x 3x x.
x x 3
x3 x3 x 3
.
1
2
x
x x
3
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 15

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑸
V
x x x
1 5 3
3 4 4
5
x x x
1 5 3 1 3 1
3 4 4 3 4 2
x 13
x x x x x 1
12
x
Ta có: V
x
5
5 1 1
3
x x x
x
2 2 2
x . x 1
x
23
12
.
⑹
1
T x . x . . x : x
x
3 3 5
4
24 5
2
Ta có
1
T x . x . . x : x
x
3 3 5
4
24 5
2
1
x x x x
x
1 5
3 5
.
3
. 4 .
2
2
:
24
3 5
3
3 5
4
2 24
x . x . x : x
3 5 37 5 37 5 109 5 109 5 33
3
3 5 3
3
8 24 8 24 3 24 24 24 24 48 24 16
x . x . x : x x . x : x x . x : x x : x x : x x .
Câu 4. Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
4 a 3 . b
2
4
⑴
a b a
M ⑵ B
5 3
3 12 6
a . b
b a b
32
3
1
.
x
⑶ E x
4 a 3 . b
2
4
⑴
M
7 7
31
6 6
x . y x.
y 3 5
⑸ P . x . y
x
6 6
a b a b
⑺ F
a b a b
a
. b
3 12 6
y
n n n n
n n n n
4 3 2
a . b
⑷ X
⑹ R
a
. b
3 12 6
4
.
5
1
ab
4
a b 4a 16ab
a b a b
4 4 4 4
1 1
3 3
a b b a
⑻ E
6 6
a b
Lời giải
3
ab
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 16

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
⑵
5 3
4 a 3 . b
2
4
3 2 3 2
a . b a . b
M ab
3 6 3 2
3 12 6
a . b a . b ab
a b a
b a b
B
b 2
b a
⑶ V . 5
a a 3
b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .
a b a a 5 b 3 5 a 2 3 5 a 5 15 30 a 6
5 3
. .
15
4 3 2
a . b
⑷ X
b a b b a b b b .
2
15
. 5 3
b b a
V
a a b
2 1 2 2 2 2 2 2
0
15 3 15 3 15 15 15 15
5 5
. . . .
1
b b a b a b a a a a
a a b a b a b b b b
a
. b
3 12 6
4
.
5
1
ab
5
3 6 3
ab a . b
4
3 1
4
4 2
4 3 2
a . b
a . b
3 2 1 1
1 1 a . b
X .
. .
5 5
1 2
ab ab.
ab
ab
3 12 6
a . b
a . b
ab
5
7 7
6 6
x . y x.
y 3 5
⑸ P . x . y
x
6 6
y
7 7
6 6
1 1
6 6
xy
x y
3 5 3 5 5 7
3 5 2 2 2 2 2 2
1 1
6 6
x . y x.
y
P . x . y
. x . y xy. x . y x . y
6
x
6
y
x y
3
5
a a a
⑹
Z
1 7 19
4 12 12
a a a
1 1 5
3 2 2 1 1 5
3 5
a a a
a a a 3 2 2
a a 6
1a a 1
a
Z
1
a.
1 7 19 1 7 19 1 7 5
4 12 12 4 12 12 4 12 6
a a a a a a
a a 1a
a
4
5
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 17

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
n n n n
a b a b
⑺ F
n n n n
a b a b
n n n n
a b a b
F
n n n n
a b a b
1 1 1 1
n n n n
a b a b a b b a
1 1 1 1 b a a b
n n n n
a b a b
1 1
3 3
a b b a
⑻ E
6 6
a b
Câu 5.
3
ab
n n n n
n n n n
n n n n
2 2
a b b a n n
4ab
b a b a
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
3 3 6 6
a b 3 3 3 2 3 2 1
b a
1 1 1 1
3
3 3 3 3 3
1 1
1 1
6 6
a
b
6 6 6 6
a b b a a b b a
E ab ab ab a b ab 0
a b a b
Thu gọn các biểu thức sau (biết rằng các biểu thức luôn có nghĩa):
a
b
3 3 3
⑴ F ab : a b 2
a
3 3
b
a 2 a 2 a 1
⑶ Q
.
⑷
a 2 a 1
a 1
a
1
2 1
a b
.
2
. 1
a b 4 b a
⑸ K ab
⑺ L
1
2
x x
1 2 2 1
4
1
2
x x
1 2 2 1
4
2
1 1
3 3
⑵
2
P a
a b a b
1
1 2
2
2 2 3
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
O 2a 3b 2a 3b 4a 9b
⑹ Z
3
x y x y x y 2y
⑻ U .
x y xy x y xy x y x y
Lời giải
a
b 3
3 3
F ab :
a b
3 3
a
b
a
b
F 3 ab :
3 a 3 b
2
3 3
a
b
⑴ 2
a
a
a
a
a
a
1 1 5
3 2 2
1 7 19
4 12 12
.
6
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 18

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
3 3 3 3
2 3
a b a ab b
2
3 3 3
ab :
3 3
a b
a
b
3 3
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3
a ab b ab : a b a b : a b
2
2 2 2
1
1
1 2
2
2 2 3
1 1
3 3
⑵
2
P a
a b a b
6
P a
a b a b
1
1 1 1 2
2
3 2
3 2 2 3
6
3
1 1
3
2
2 2 3 2 2 2 2 2 2
2
3
7 1
a a b a b a a b a b
2 4 4 2 3
a . b. a . b a b
a 2 a 2 a 1
⑶ Q
.
a 2 a 1 a 1
a
1 1 1
2 2 2
a 2 a 2 a 1 a 2 a 2 a 1
Q .
.
1 1
a 2 a 1 a 1 a
a 1
2 2
a 2a 1
a
a 2
a 2
.
a 1
a 1 2 a 1
a
a 2 a 1 a 2.
a 1
a 1 a
1 1 2 .
a
a
a a1.
a1
1
3
ab .
2 1 2
.
a a 1
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
⑷ O 2a 3b 2a 3b 4a 9b
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
O 2a 3b 2a 3b 4a 9b
2 2
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
4 4 2 2
2a 3b
2 2 2 2 2 2
4a 9b
4a 9b 4a 9b 4a 9b
16a 81b
.
1
2 1
a b
.
2
. 1
a b 4 b a
⑸ K ab
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 19

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑹
⑺
⑻
R
L
1
2 2 2
1 1
a b
a b
2 2
2 1 1
1
K . ab . 1 2a b . ab
. 1
a b 4 b a 4 b a
1
2 2 2
2 4ab a b 2ab
. ab.
a b 4ab
4
a b 4a 16ab
a b a b
4 4 4 4
R
4
a b 4a 16ab
a b a b
4 4 4 4
2
4
2 2
4 4 4
2
2 a b a
b
. ab.
1.
a b 2 ab a b
a b 2. a 2.
ab
4 4 4 4
a b a b
4 4 4 4 4 4 4
a b. a b 2. a.
a b
4 4 4 4 4
a b 2.
a b a
4 4 4 4
a b a b
1
2
x x
1 2 2 1
4
1
2
x x
1 2 2 1
4
L
1
2
x x
1 2 2 1
4
.
1
2
x x
1 2 2 1
4
2x
2x
2 2 2
2
1
4x
2x
2 2.
2 1
2x
2x 2x 4x 2x
2 2 2 2 2.
2 1
2
2
1 2
2x
2 2
3
x y x y x y 2y
U .
x y xy x y xy x y x y
2
2x x
2
x
2 1 2.
2 2 1 x
2 1
.
2 x
x
2 1
2 1
2
2x
x
2 1 2.
2
1 1 1 1 3 1
3
x y x y x y 2 2 2 2 2 2
2y x y x y x y 2y
U . .
1 1 1 1
x y xy x y xy x y x y x y x y
2 2 2 2
xy x y xy x y
x 3 y 2
x y x y
y
.
x y y x x y y x x y x y
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 20

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 6.
xy x y x y
2 2
3
x y x y x y 2y
.
x y x y
Thực hiện các yêu cầu sau:
2 2y
. x 2
x y x y
x x
x x
2 2 3
⑴ Biết 4 4 6. Tính giá trị của biểu thức A
x x
16 16 2
.
x x
x x
3 3 2
⑵ Biết 9 9 3. Tính giá trị của biểu thức P
1
x
3
x
3
.
Lời giải
x x
⑴ Biết 4 4 6. Tính giá trị của biểu thức
Ta có 2
x x
A 2 2 3
x x
16 16 2
.
x x x x x x
2 2 4 4 2 8 2 2 2 2 .
2
x x x x x x
4 4 6 4 4 36 16 16 34 .
Vậy
2 2 3 1
2
A .
36 6
x x
⑵ Biết 9 9 3. Tính giá trị của biểu thức
Câu 7.
⑴ Cho
⑵ Sắp theo
Ta có
2
x x
P 3 3 2
1
x
3
x
3
.
x x x x
x x
3 3 9 2 9 5 3 3 5 .
5
2
Vậy P .
1 5
Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho
⑵ Sắp theo
200
A 199 ;
⑶ Viết các số
⑷ Hãy sắp xếp
đến lớn.
200
A 199 ;
390
A 3 ,
150
B 2003 và
B
100
A 2 ;
1
A ;
100
150
B 2003 và
210
11
C 40000 200 2 . 5
Ta có 0 199 200
và
75
B 3 và
100 200 600 400
100
C 40000 . So sánh A , B và C .
100
C 121 theo thứ tự từ lớn đến bé.
50
C 5 theo thứ tự từ bé đến lớn.
2
99 1 1 1 1
B ; C ...
2 2 2 2 theo thứ tự từ bé
1000
11 12 99 1000
Lời giải
100
C 40000 . So sánh A , B và C .
200 200
199 200 A
C
Lại có: 150
150 150 4 3 600 450 600 400
2003 2000 0 2003 2000 2 . 5 2 . 5 2 . 5 B
C
Vậy A C B.
390
A 3 ,
B
210
11
và
100
C 121 theo thứ tự từ lớn đến bé.
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 21

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ Viết các số
⑷ Hãy sắp xếp
Câu 8.
a
Ta có: 100
210 200 2 100
11 11 11 121 BC
Lại có: 100
390 400 4 100 100
3 3 3 81 121
A
C
Vậy B C A .
100
A 2 ;
75
B 3 và
50
25 25
100 2 50 50
2 2 4 5 (1)
75 3 25 25 2 50
3 3 27 25 5 5 (2)
Từ (1), (2)
Do
⑴ 15 7 5 2
1
A ;
100
100 50 75
2 5 3 .
99 100 1
0
1000 1000 10
Với n
* , n 1, ta có:
50
C 5 theo thứ tự từ bé đến lớn.
2
99 1 1 1 1
B ; C ...
2 2 2 2 theo thứ tự từ bé đến lớn.
1000
11 12 99 1000
1 1 n( n1)
1 1
2
n 1 n ( n 1) n ( n 1)
n n
2 2
99 1 1
1000 10 100
1 1 1
2
với n
* , n 1.
n n1
n
1 1 1
Suy ra
2
11 10 11
; …; 1 1 1
2
1000 999 1000
.
1 2
1 1 1 1 99
2
...
11 12 1000 2
10 1000 1000
2 2
1 1 1 99
2 2 2
11 12 ... 1000 1000
hay C B( 2)
Từ () 1 và ( 2) suy ra C B A.
Với những giá trị nào của a thì
a
⑴ 15 7 5 2
2
B
A()
1
2 1
3 3
a
⑵ a1 a
1
2 1
⑶
3 3
a1 a 1
⑷ a1 a
1
⑸ 2a
3 2a
3
a
2 2
2
3 7
2
⑹ a
2 1 a
2 1
Điều kiện: a 0
15 15
15 7 5 2 15 7 5 2 7 6
a a a a a a
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 22

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
7
6
a a
Vậy a 1.
Vì 7 6
2 1
3 3
⑵ a1 a
1
a
1.
Điều kiện: a1 0 a
1
2 1
Vì
3 3 0 a111 a 2 .
2 1
3 3
a1 a1
Vậy 1a
2.
2 1
3 3
⑶ a1 a
1
⑷ a1 a
1
Điều kiện: a1 0 a
1
2 1
Vì
3 3 nên a 11a
2 .
2 1
3 3
a1 a1
Vậy a 2.
2 2
Điều kiện: a1 0 a
1
2
2
Vì
nên 0 a111 a 2 .
a1 2 a1
2
Vậy 1a
2.
⑸ 2a3 2a
3
3 7
3
Điều kiện: 2a3 0 a
2
3 7
Vì
2a
3 3 nên 2a3 1 a
2.
2a
3
7
Vậy a 2.
2
⑹ a
2 1 a
2 1
Điều kiện:
Vì
2
2
2
a
1
0
a
1
2
a 1
2
a
2 1 a
2 1
2
nên
2 2
a a a
11 2 0 2 2 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 23

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 9.
a 2; 1 1;
2
.
So sánh hai số a và b, biết:
Vậy
a
b
a
⑴ 2 1 2 1 2 1
⑵ 2 1 2 1
Lời giải
a
b
⑴ 2 1 2 1 2 1
a b a 1
b
Ta có 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
a
b
⑵ 2 1 2 1
a
b
Do 0 2 1 1 nên ta có: 2 1 2 1
a
b
a 1 b .
b
3 3 3
Câu 10. Cho ax by cz và 1 1 1 1. Tính giá trị biểu thức
x y z
Lời giải
3 3 3
2 2 2 ax by cz
3
Đặt A ax by cz 3
x y z
3 2 2 2
R ax by cz
ax ax ax 1 1 1
x y z x y z
3 3 3
3 3 3 3
3 3 ax ax .1 x a
A x a a 1
x
Tương tự
3 3 A
A y b b
2
3 3 A
3
A z c c
3 3 A
Từ 1 , 2, 3
cộng vế với vế ta được:
z
y
a b c A ax by cz
3 3 3 3
2 2 2
Câu 11. Bác Hiếu đầu tư 100 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất 8, 25%
năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử
lãi suất hàng năm không đổi và làm tròn đến hàng phần nghìn).
Lời giải
Gọi số tiền bác Hiếu gửi ban đầu là M , Lãi suất định kì là r , số tiền bác lãnh sau 5 là
1
5
T M r .
5 5
6
Số tiền lãi là S T M M r M . , %
1 99 10 1 8 25 1 48154897 đồng.
Vậy số tiền lãi bác nhận được là 48, 155 triệu đồng.
Câu 12. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 84 , %/
năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất,
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 24

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12% /
năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc và lãi tính từ lúc gửi tiền ban
đầu là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Lời giải
Lãi suất cho chu kỳ đầu (3 kỳ hạn đầu tiên) là 8 , 4 %. 3 21 ,%.
12
Lãi suất cho chu kỳ cuối (4 kỳ hạn cuối) là 12 %. 3 3%
.
12
3 4
Vậy số tiền ông thu được là
50. 1, 021 . 1, 03 59. 895.
767 đồng.
Câu 13. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất là 69 , % / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc
và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây ?
Lời giải
7
Số tiền thu được là . , % 5
8 10 1 6 9 111 680 000 đồng.
Câu 14. Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suât 6, 5% một năm. Biết rằng cứ
sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn bán đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng,
x ) ôn Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua chiếc xe gắn máy giá
trị 30 triệu đồng
Lời giải
Ta có công thứ lãi kép T A1
r
lãi trừ đi số tiền gốc ban đầu.
Ta có : , %
3
A 1 6 5 A 30 A
n
. Tiền lãi của ông Tú sau 3 năm sẽ là tiền gốc cộng
30
3
1,
065 1
144,
26 triệu.
Câu 15. Để đầu tư dự án trông rau sạch theo công nghệ mới bác Năm đã làm hợp đồng xin
vay vốn ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng với lãi xuất x % trên một năm. Điều kiện
kèm theo của hợp đồng là số tiền lãi tháng trước sẽ được tính làm vốn để sinh lãi cho
tháng sau. Sau hai năm thành công với dự án rau sạch của mình, bác Năm đã thanh
toán hợp đồng ngân hàng số tiền làm tròn là 129.512.000 đồng. Khẳng định nào sau
đây đúng?
Lời giải
x
Lãi suất mỗi tháng là % . Theo công thức lãi kép, ta có
12
24
x
x 129.
100
100 1 129 512 24 1 0 0108
. % , % , .
12
12 100
Vậy x 13.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 25

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 16. Do thời tiết ngày càng khắc nghiệt và nhà cách xa trường học, nên một thầy giáo
muốn đúng 5 năm nữa có 500 triệu đồng để mua ô tô đi làm. Để đạt nguyện vọng,
thầy có ý định mỗi tháng dành ra một số tiền cố định gửi vào ngân hàng (hình thức lãi
kép) với lãi suất 05 , %/tháng. Hỏi số tiền ít nhất cần dành ra mỗi tháng để gửi tiết
kiệm là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi số tiền ít nhất mà thầy giáo cần dành ra mỗi tháng để gửi tiền tiết kiệm là x
(đồng).
Số tiền tiết kiệm gửi vào ngân hàng sau 60 tháng là
60
1 2 60 1,
005 1
1, 005 1, 005 1, 005 1,
005
60
T x x
Theo đề bài ta có:
0.
005
1005 1 510 0,
005
x1,
005 510 7130747 .
60 8
0, 005
8
x
60
1, 005 1.
005 1
Câu 17. Một người gửi 100 triệu đồng vào tài khoản tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 06 , %
/tháng, cứ sau mỗi tháng người đó rút ra 500 nghìn đồng. Hỏi sau đúng 36 lần rút
tiền, số tiền còn lại trong tài khoản của người đó gần nhất với phương án nào dưới
đây? (biết rằng lãi suất không thay đổi và tiền lãi mỗi tháng tính theo số tiền có thực tế
trong tài khoản của tháng đó).
Lời giải
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 1 là 100. 1, 006 0,
5 (triệu đồng).
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 2 là
100 1, 006 0, 5 1, 006 0, 5 100 1, 006 2
0, 51 1,
006
(triệu đồng).
Số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 3 là
, , , ,
3 2
100 1 006 0 5 11 006 1 006
(triệu đồng).
Cứ như vậy, số tiền còn lại trong tài khoản sau tháng thứ 36 là
, 36
36 2 35 36 1
1 006
1001, 006 0, 51 1, 006 1, 006 1, 006 100 1, 006
0,
5
11,
006
104,
0050268 (triệu đồng).
Câu 18. Chị Lan có 400 triệu đồng mang đi gửi tiết kiệm ở hai loại kì hạn khác nhau đều theo
thể thức lãi kép. Chị gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 2,1% một quý, 200
triệu đồng còn lại chị gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Sau khi gửi
được đúng 1 năm, chị rút ra một nửa số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi vào loại kì
hạn theo tháng. Hỏi sau đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, chị Lan thu được tất cả
bao nhiêu tiền lãi (làm tròn đến hàng nghìn)?
Lời giải
Số tiền chị Lan thu được ở năm thứ nhất là
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 26

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
1r A
+ Gửi theo kì hạn theo quý: 200000000 4
200000000 1r B
+ Gửi theo hạn theo tháng: 12
Số tiền chị Lan thu được ở sau năm thứ hai là
A
+ Gửi kì hạn theo quý: 1
r 4
1
2
+ Gửi kì hạn theo tháng: A
B 1
r 12
2
2
Số tiền lãi chị Lan thu được là r B r 12
(đồng)
2
1
A A
1 1 400000000 74813000
1
2
2 2
Câu 19. Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi kép 1% trên
tháng. Sau hai năm 3 tháng (tháng thứ 28) người đó có công việc nên đã rút toàn bộ
gốc và lãi về. Hỏi người đó được rút về bao nhiêu tiền ?
Lời giải
Gọi a là số tiền cứ đầu mỗi tháng gửi tiết kiệm ngân hàng, r là lãi suất kép trên tháng.
T
n
là số tiền thu được cả gốc lẫn lãi sau n tháng.
Cuối tháng thứ 1: a1 r.
Cuối tháng thứ 2: a1
r al r 2
.
2 3
Cuối tháng thứ 3: a1
r al r al r
...
.
2 3
Cuối tháng thứ n: a1 r al r al r ... al r
.
n
2 n
1 1
...
r
a
1
.
n
n
T a l r l r l n a r
T 1 r [ 1 r) 1
.
n
r
r
a
n
Ta áp dụng công thức T 1 r 1 r 1 1 1 01 1 01 27
1
0,
01 , , .
n
r
Câu 20. Bác Hiếu đầu tư 100 triệu đồng vào một công ti theo thể thức lãi kép với lãi suất 8, 25%
năm. Hỏi sau 5 năm mới rút tiền lãi thì bác Hiếu thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử
lãi suất hàng năm không đổi và làm tròn đến hàng phần nghìn).
Lời giải
Gọi số tiền bác Hiếu gửi ban đầu là M , Lãi suất định kì là r , số tiền bác lãnh sau 5 là
1
5
T M r .
5 5
6
Số tiền lãi là S T M M r M . , %
1 99 10 1 8 25 1 48154897 đồng.
n
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 27

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Vậy số tiền lãi bác nhận được là 48, 155 triệu đồng.
Câu 21. Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 84 , %/
năm theo hình thức lãi kép. Ông gửi được đúng 3 kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất,
ông gửi tiếp 12 tháng nữa với kỳ hạn như cũ và lãi suất trong thời gian này là 12% /
năm thì ông rút tiền về. Số tiền ông An nhận được cả gốc và lãi tính từ lúc gửi tiền ban
đầu là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Lời giải
Lãi suất cho chu kỳ đầu (3 kỳ hạn đầu tiên) là 8 , 4 %. 3 21 ,%.
12
Lãi suất cho chu kỳ cuối (4 kỳ hạn cuối) là 12 %. 3 3%
.
12
3 4
Vậy số tiền ông thu được là
50. 1, 021 . 1, 03 59. 895.
767 đồng.
Câu 22. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất là 69 , % / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc
và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây ?
Lời giải
7
Số tiền thu được là . , % 5
8 10 1 6 9 111 680 000 đồng.
Câu 23. Ông Tú dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suât 6, 5% một năm. Biết rằng cứ
sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn bán đầu. Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng,
x ) ôn Tú gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ mua chiếc xe gắn máy giá
trị 30 triệu đồng
Lời giải
Ta có công thứ lãi kép T A1
r
lãi trừ đi số tiền gốc ban đầu.
Ta có : , %
3
A 1 6 5 A 30 A
n
. Tiền lãi của ông Tú sau 3 năm sẽ là tiền gốc cộng
30
3
1,
065 1
144,
26 triệu.
Câu 24. Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con với số tiền là 500000000
VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết
kiệm. Hỏi sau 18 năm, số tiền người đó nhận vè là bao nhiêu? ( Biết rằng, theo định kì
rút tiền hàng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền được nhập vào thành tiền gốc và sổ tiết
kiệm sẽ chuyển thành kì hạng một năm tiếp theo ).
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép ta có số tiền nhận được sau 18 năm là.
18
500000000 1 0 07 1 689 966 000
( , ) . . . (VND) .
Câu 25. Vào 4 năm trước, chị Thương có gửi vào ngân hàng một số tiền là 20 triệu đồng theo
hình thức lãi kép có kỳ hạn. Số tiền hiện tại chị nhận được là 29, 186792 triệu đồng. Biết
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 28

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
rằng, lãi suất ngân hàng tại thời điểm mà chị Thương gửi tiền là 08 , %/tháng. Hỏi kỳ
hạn k mà chị Thương đã chọn là bao nhiêu tháng?
Lời giải
Đặt a 0, 8% 0,
008 , N 20
0
triệu, N 29,
186792 triệu.
Đổi 4 năm = 48 tháng.
Chị Thương gửi kỳ hạn k tháng nên lãi suất mỗi kỳ là ka,
số chu kì tính lãi trong 48
tháng là 48
k
Áp dụng công thức tính lãi kép, số tiền chị Thương nhận được cả gốc và lãi là
0 1
18
N N ( ak
) k Thay số và thử k 4, ta được đẳng thức đúng.
Câu 26. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh
gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 07 , % / tháng. Sau sáu tháng gửi
tiền, lãi suất tăng lên 09 , % / tháng. Đến tháng thứ 10, sau khi gửi tiền, lãi suất giảm
xuống 0, 6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi là lãi kép).
Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu? (biết rằng trong khoảng
thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra)
Lời giải
Gọi A là số tiền gửi ban đầu; r%
là lãi suất trên một kỳ gửi; N là số kỳ gửi và C là số
N
r
tiền thu được cả gốc và lãi sau N kỳ. Khi đó ta có công thức tính C A 1
100 . Áp
dụng công thức này vào bài toán, ta có sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số
tiền (đồng) là:
6
6 3 3
5 10 1 0, 007 1 0, 009 1 0, 006 5452733,
453
C
Câu 27. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn thành phố A đạt xấp xỉ 905. 300 người. Mỗi năm
dân số thành phố tăng thêm 1, 37%. Để thành phố A thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ
em đúng độ tuổi đề vào lớp 1 thì đến năm học 2024 – 2025 số phòng học cần chuẩn bị
cho học sinh lớp 1 (mỗi phòng 35 học sinh) gần nhất với số nào sau đây; biết rằng sự di
cư đến, đi khỏi thành phố và trẻ tử vong trước 6 tuổi đều không đáng kể, ngoài ra trong
năm sinh của lứa học sinh lớp 1 đó toàn thành phố có 2400 người chết.
Lời giải
Từ năm 2011 đến năm 2018 (năm có học sinh vào lớp 1 của năm học 2024 – 2025) dân
số tăng
8 7
905300 1 0, 0137 905300 1 0, 0137 2400 16042,
0367 người.
Đến năm học 2024 – 2025 số phòng học cần chuẩn bị cho học sinh lớp 1 là
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 29

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
16042,
0367
458 phòng.
35
Câu 28. Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức N A. e
rt trong đó A là số
lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng r 0
và t là thời gian tăng trưởng.
Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu
thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
Lời giải
r r
Theo công thức ta có 1500 250. e e 6 r ln6
.
12
12 12 1
t
t
ln6
t
12 12
Khi đó 54000 250. e 6 216 log
216 3 t 36
6
giờ.
12
Câu 29. Ôn A vay ngân hàng 96 triệu đồng với lãi suất 1% tháng theo hình thức mỗi tháng trả
góp số tiền giống nhau sao cho đúng hai năm thì hết nợ. Hỏi số tiền ông A trả hàng
tháng là bao nhiêu? ( làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
Lời giải
Đặt T 96 triệu đồng, r 1% , số tiền ông A phải trả hàng tháng là m .
Số tiền gốc sau 1 tháng là . 1
T T r m T r m.
2
Số tiền gốc sau 2 tháng là T( r) m T( r) m
r m T r m r
Số tiền gốc sau 3 tháng là
1 1 1 1 1
.
2 2 3 2
T 1 r m 1 r 1 T 1 r m 1 r 1
r m T 1 r m 1 r 1 r 1
Tương tự, số tiền sau 24 tháng là :
24 23 22 21
T 1 r m 1 r 1 r 1 r ... 1
0 ( vì hết nợ)
Do đó
24
1
r r r
T r Tr
m
r
,
23 22 21
1 1 1 ... 1
1
1 1
4 519 .
Câu 30. Ông Bình gửi tổng cộng 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi
kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 21 ,% một quý, gửi trong 15 tháng.
Số tiền còn lại gởi ở ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% một tháng trong vòng 9 tháng.
Tổng lợi tức ông Bình có được sau khi rút tiền ở hai ngân hàng là 27507768,13 đồng.
Hỏi số tiền ông Bình lần lượt gửi ở hai ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
Lời giải
Đổi 15 tháng = 5 quý.
Gọi số tiền gửi trong ngân hàng X là x triệu đồng và trong ngân hàng Y là 320 x
triệu đồng. Khi đó tổng lợi tức mà ông nhận được ở hai ngân hàng là :
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 30

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
5 9
x 1 2, 1% 320 1 0, 73% 27507768,
13 .
Giải ra x 140 triệu đồng.
Vậy số tiền ông Bình lần lượt gửi ở hai ngân hàng X và Y lần lượt là 140 triệu đồng và
180 triệu đồng.
Câu 31. Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất r 05 , % một
tháng (kể từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng
trước đó với tiền lãi của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều
hơn 125 triệu.
Lời giải
Gọi T , r , n T
0
lần lượt là số tiền gốc ban đầu, lãi suất một tháng, số tháng gửi ngân
, n
hàng và tổng só tiền có được sau n tháng gửi.
Theo giả thiết T 100
0
triệu, r 05 , %, T 125 .
n
Ta có :
n
n
n
1 1 log
0 1r
T
T
0 0
n
T
T
125
T T r r n n log 44,
74 .
n
10,%
5
100
Vậy cần ít nhất 45 tháng để người đó có nhiều hơn 125 triệu.
Câu 32. Một người lập kế hoạch gửi tiết kiệm ngân hàng như sau : Đầu tháng 1 năm 2018 người
đó gửi 10 triệu đồng; sau mỗi đầu tháng tiếp theo, người đó gửi số tiền nhiều hơn 10%
so với số tiền đã gửi ở tháng liền trước đó. Biết rằng lãi suất ngân hàng không đổi là
05 , % mỗi tháng và được tính theo hình thức lãi kép. Với kế hoạch như vậy, đến hết
tháng 12 năm 2019 , số tiền của người đó trong tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu ( làm
tròn đến hàng nghìn).
Với A 10 triệu, a 01 , , r 0,
005
Đầu tháng 2 : A1 r A1
a
.
Lời giải
2 2
Đầu tháng 3 : A1 r A1 a1 r A1
a
.
3 2 2 3
Đầu tháng 4 : A1 r A1 r 1 a A1 r1 a A1
a
………………………
.
Đầu tháng n : A 1 r A1 r 1 a ... A1 r1 a A1
a
n 1 n 2 n 2 n 1
.
n Hết tháng n : 1 n 2 n 1 1 1 1 1 2 n
A r A a r ... A a r A1 a 1 1
r
Gọi B là số tiền của người đó trong tài khoản tiết kiệm dến hết tháng 12 năm 2019
Khi đó n 24.
Ta có
n
n
1 a 1
r
B A. 1 r 922. 756. 392. 2.
a
r
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 31

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Câu 33. Chị Lan có 400 triệu đồng đem đi gửi tiết kiệm ở hai kì hạn khác nhau đều theo thể thức
lãi kép. Chị gửi 200 triệu đồng theo kì hạn quý với lãi suất 21 ,%một quý, 200 triệu đồng
còn lại chị gửi theo kì hạn tháng với lãi suất 0, 73% một tháng. Sau khi gửi được 1 năm,
chị rút một nửa số tiền ở loại kì hạn theo quý và gửi vào loại kì hạn theo tháng. Hỏi sau
đúng 2 năm kể từ khi gửi tiền lần đầu, chi Lan thu được tất cả bao nhiêu tiền lãi ( làm
tròn đến hàng nghìn)?
Lời giải
Số tiền 200 triệu đồng tính theo kì hạn quý sau 1 năm là : 200. 2, 1% 1 4
(triệu đồng).
Số tiền 200 triệu đồng tính theo kì hạn tháng sau 1 năm là : 200. 0. 73% 1 12
(triệu
đồng).
Do sau giả thiết suy ra số tiền tính theo quý lấy lãi tiếp tục trong 1 năm được
, % . , %
4 4
A 100 2 1 1 2 1 (triệu đồng).
Tương tự số tiền tính theo tháng lấy lãi kép tiếp tục trong 1 năm được
12 4 12
B 200. 0, 73% 1 100 2, 1% 1 . 1
0, 73%
(triệu đồng).
Vậy số tiền chị lãi là : M A B 74,
813 (triệu đồng).
Câu 34. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A: giá khoan của mét khoan đầu tiên là 8000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá
của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: giá khoan của mét khoan đầu tiên là 6000 đồng
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá so với giá của mét
khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần
lượt là 20 mét và 25 mét để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng cũng như thời gian
khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi
phí nhất?
Lời giải
Chi phí cơ sở Akhoan giếng 20 mét và 25 mét lần lượt là: 20. 8000 19. 20.
250 255000
đồng và 25. 8000 24. 25.
250 350000
đồng.
Chi phí cơ sở B khoan giếng 20 mét và 25 mét lần lượt là:
20
25
1,
07 1
1,
07 1
6000. 245972,
9539 đồng và 6000. 379494,
2263 đồng.
0,
07
0,
07
Vậy giếng 20 mét chọn B, còn giếng 25 mét chọn A.
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 32

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHÉP TÍNH LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Khái niệm logarit.
Định nghĩa:
Cho hai số dương với .
Số thỏa mãn đẳng thức được gọi là lôgarit cơ số của và kí hiệu là
Ta viết:
xác định
Chú ý
⑴ Không có logarit của số và số âm vì .
⑵
⑶
⑷
2. Tính logarit bằng máy tính cầm tay.
Chú ý
⑴ Logarit cơ số được gọi là logarit thập phân. Ta viết hoặc thay .
⑵ Logarit cơ số được gọi là logarit tự nhiên. Ta viết thay .
3. Tính chất của phép tính logarit
Với 0 a 1; b, c 0;
, khi đó:
log b. c log b log c ⑵ log b
log b log
a a a
c
⑴
⑶ log
a
b
.log b
⑷
a
log a b
a
a a a
b
c
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 33

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Chú ý
Đặc biệt với dương, ta có:
⑴
⑵
4. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương với . Ta có
Chú ý
Đặc biệt ta có:
⑴
⑵
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 34

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức
Phương pháp
Áp dụng các tính chất – công thức để biến đổi:
⓵
⓶
01 Tính chất
⓷
⓸
(Tích – tổng)
(Thương – hiệu)
Đặc biệt : với
02 Công thức “bay”
⓵
Đặc biệt:
⓶
03 Đổi cơ số ⓵ ⓶ .
Ví dụ 1.1.
Cho . Tính giá trị của biểu thức .
Ta có
log 4 2
a 2loga4 loga4 2
a a a 4 16 .
Lời giải
Ví dụ 1.2.
Tính giá trị của biểu thức .
Lời giải
18000
A log 12 2 log 5 3 log 15 log 150
log 12 2 . 5 3 log 15. 150 log log 8 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2250
Ví dụ 1.3.
Cho các số dương và
Rút gọn biểu thức
ta được
Lời giải
K log b 2log b 3log b 4log b 2log b 4log b 6log b 8log b 4log
b
2 4 6 8
a 2 3 4
a a a
a a a a a
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 35

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Biểu diễn logarit
Phương pháp
Ta thực hiện theo các bước sau
• Bước 01. Biến đổi các biểu thức logarit phụ thuộc vào tham số và .
• Bước 02. Đặt các biểu thức logarit của các số nguyên tố là các ẩn .
Từ đó ta thu được phương trình hoặc hệ phương trình với các ẩn .
Ta tìm các ẩn này theo
• Bước 03. Giải hệ tìm được tìm … theo .
Từ đó tính được biểu thức theo các tham số .
Các công thức nền tảng là và .
Ví dụ 2.1.
Cho . Biểu diễn theo
Ta có
Lời giải
4
1 2 2 2
log 16 log
49 2
2 2log 2 2. .
7
7
log 7 1
2 log2
14
log 14 2
2 log a
2
2
Ví dụ 2.2.
Tính theo biết .
Lời giải
1 4 1 1
M log 1250 log 5 . 2 4log 51 2a .
4
2
2
2 2 2
Ta có:
Ví dụ 2.3.
Đặt và . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
log
6
45
3
log .
3
53
2
log 23 .
log
log
3
3
5
2
21
1
2
b
1
1
a
a 2ab
ab b .
Ví dụ 2.4.
Cho . Hãy biểu diễn theo và .
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 36

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
42
2
Ta có log 42 log
18
log 18
2
log 67 .
2
36
log2
2
log 6
log 7 a
b
.
log 6 log 2 2a
1
2 2
2
2 2
Ví dụ 2.5.
Cho và . Tính theo và .
log
10
60
log 60
3
log . . 3
3 3
435
log 10 log 25 .
Lời giải
2log
2 log
5 1
3 3
2ab1
= .
log 2
log 5 a
b
3 3
Ví dụ 2.6.
Cho và Tính theo và
Lời giải
5 5 5
Đầu tiên ta có hệ a log 18 log 2 2log
3
.
b
log 60 2log 2 log 3 1
5 5 5
Đặt x log 2 và y log 3 từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
5 5
x 2y a
2x y b 1
log 2
5
Nên log 2
3
log 3
a 2b
2
x log
2
5
3
.
2ab1
y log 3
5
3
5
a
2b
2
2ab 1
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 37

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 35. Tính giá trị biểu thức:
1
2018
log49log
25
⑴ K log
2018
4 ln e
⑵ S 2
2 1009
1 1
⑶ P
log 5 log 5
⑷
1
D
log 10.log 2.log 4.log
10
⑴ K log
2018
2
49 7
⑸ P log tan1 log tan 2 log tan
89
2 2 4
Lời giải
1
2018
4 ln e 1009
1 2018 2 1 2 1
Ta có: log
2018
4 lne log
2018
2 2018 2018 2018 .
2 2
1009 1009 2018 1009
log49log
25
⑵
S 2
log4 9log2 5 log4 9 log2 5 log2 3 log2
5
Ta có S 2 2 . 2 2 . 2 3.
5 15 .
1 1
⑶ P
log 5 log 5
49 7
Ta có: P 1 1
49 7 7
5 5 5
5 5
log log log
log log
.
49 7
1
⑷ D
log 10.log 2.log 4.log
10
2 2 4
1
Ta có: D
log 10.log 2.log 4.log
10
2 2 4
1 1 1
log 2 log 2.
10
log 2.log 4.log 10 log 4.log 10 log 10
2 2 4 2 4 2
⑸ P log tan1 log tan 2 log tan
89
o
Ta có: tan 90 cot
P log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan89
log tan1 tan 2 tan 3 tan
89
log tan1 tan 2
tan 3 ...tan 45 tan 90 2 tan
90 1
log tan1 tan 2 tan 3 ...tan 45 cot 2 cot
1
log tan1 cot1 tan 2 cot 2 ...tan 45 1.log 1 0.
Câu 36. Tính giá trị biểu thức:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 38

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴
3 4
P log b .log
a b
a ⑵
1
⑷
⑶ Q
2
log b.log c.log
a
a b c
1
2 2
E log b . b
b
3
G log a.
a a
a
⑴
⑵
⑸
H
5 3
a a a a
⑹
log a
P log b .log b
a
a
Ta có
3 4
1
2 2
E log b . b
b
Q
Ta có
⑶
2
log b.log c.log
a
a b c
⑷
Lời giải
3 4
P log b .log
a b
a log . log
a
b
1
5
2 2
E log b . b
b log b
b 2
1
6 b 4 a 24
.
5
log
2
b
b
1 1 1
Ta có Q
2 2
log b.log c.log a log a 2
3
G log a.
a a
a
a b c a
5
.
2
1
1 3
3
3 3
2 2
Ta có G log
a. a. a
log a log a
a
a
.
a
2 2
X log b .log b
a
a
3 4
⑸
H log a
5 3
a a a a
⑹
Ta có
H log a
5 3
a a a a
1
1
1 5
1
5
1 a 3
3
a a 2
a 3
2
log .
a .
log .
. .
X log b .log b
a
a
Ta có
3 4
X b a
3
a
a a 10
log .
a
3 4
log .log
a b
log . log
a
b
Câu 37. Thực hiện các yêu cầu sau:
6 b 4 a 24
.
⑴ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
2
⑵ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
5
13
aa 13
10
a
log a
a .
10
A log x log x log x theo a .
2 3
2 1 4
2
1
P
x
3
2log log x log 25
25 125
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 39

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ Cho 2
⑷ Cho
2
e
2
lnx . Tính giá trị của biểu thức T 2ln ex ln
ln 3.log3
ex
log 2 a , log 3 b . Tính giá trị của 4 2
5 5
M log .
5
15
⑸ Cho log a
3
2,
2 3
⑹ Cho
1
log b
3 và
4
x
2
log abc
3 . Tính giá trị của log c
3
15
log x
xy 1 . Tính giá trị biểu thức N log xy
2 3
⑴ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
2
Ta có
A
2 3
2 1 4
2
Lời giải
5
xy
xy
3 2
A log x log x log x theo a .
2 3
2 1 4
2
3 1
log x log x log x 2log x log x log x log x a
2 2 2
2
.
2 2
⑵ Cho log x
a. Tính giá trị của biểu thức
5
1
P
x
3
2log log x log 25
25 125
x
1
Ta có log x
a x 5
a
3
2 21
a
a
P 2log log 5 log 25
5 25 a 125 5 a
a a
5
a a
2
e
2
⑶ Cho lnx 2. Tính giá trị của biểu thức T 2ln ex ln
ln 3.log3
ex
x
⑷ Cho
Ta có
2 1 7
T ln( ex) 2 ln x ln ex 1 ln x 2 ln x 1 2ln x ln x 7.
2 2
log 2 a , log 3 b . Khi đó giá trị của 4 2
5 5
M log là
5
15
Ta có
1
2 2
4 2 2 2
M log
log
5 5 1 1
15
2 2
3 . 5
5
2
5 1 1
2 2 2
5 1 1 5 5 5 5
2 2
2 5 1 1 5 1 1 5ab1
log log 2 log 3 . 5 a log 3 log 5 a b .
2 2 2 2 2 2 2
3 . 5
1
2
log b
3 và log 3
4
abc
. Tính giá trị của log c
3
15
1 1
Ta có log 3 2 log a , log 3 log b 4.
a 3
b 3
2 4
2 1 2
Khi đó ta có log 3
abc
.
15 log a log b log
c 15
⑸ Cho log a
3
2,
2 2
9 2log c 15
3
3 3 3
1
2log c 9 15
log c 3 log 3
3
3
c
. 3
3
2
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 40

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Vậy
1
log c
3 .
3
log x
xy 1. Tính giá trị biểu thức N log xy
2 3
2 3
⑹ Cho
log log log .
3
2 3 1
x y 1 2 3 y 1 y
x x x
Ta lại có
N log xy
log 2 3 1 2 3 3
x
x y x y a xy 1.
2 3
5
xy
xy
3 2
3
1
3 2 3 2 3 2
3 2 1
5
3 2 1 log x y 1 log x log y
.
x x x
1 3 7
log
2 3
x y log
2 3
x y . . . .
x y
x y
3 2 2 3
5 5 log x y 5 log x log y 5 1 15
x x x 2
3.
3
Câu 38. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho x , y là hai số thực dương, x 1
thỏa log
3 x
5
xy
⑵ Cho các số thực dương a;
b thỏa log a
x,
2 2
⑶ Cho các số thực a , b thỏa 0 1;
0
xy
3 2
2 3
a b và
Lời giải
3y
⑴ Cho x , y là hai số thực dương, x 1
thỏa log
3 x
y ,
8
Ta có: log
3
Mà
2 2
x
3y
y 32 16
y log
8
x
y ; log x log x
2
2
8
y y .
16 y
log y log x.log y . 2 y 4.
x
y 8
Suy ra: log x 4 x 16.
2
2 2 2 2
Vậy P x y 16 4 240.
⑵ Cho các số thực dương a;
b thỏa log a
x,
2 2
3
3y
32
y , log x
2
8
y . Tính 2 2
P x y
2 3
log b y. Tính M log 2 a b
theo xy ;
log a
ab 1. Tính N log ab
2 3
ab
5 3 2
ab
32
log x
2
y . Tính 2 2
P x y .
2 3
log b y. Tính M log 2 a b
2 3
2 3
Theo tính chất Logarit: M log 2 a b log
log
2log
3
2 2
⑶ Cho các số thực a , b thỏa 0 1;
0
2 3
a b và
log a b log b log b .
3
2 3 1
1 2 3 1
a a a
2 3 2 3 3
log a
a b 1 a b a ab 1.
Ta lại có
theo xy ;
a b a log b
2 2
2x3y.
log a
ab 1. Tính N log ab
2 3
ab
5 3 2
ab
3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 41

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
N log ab
2 3
ab
5 3 2
ab
3
5 3 2 1 3 2 1 log ab
a
log
2 3
a b log
2 3
a b .
a b
a b
5 5 log ab
a
3 2
2 3
1
3 2 3 2
1 log a log b
.
a
a
1 3 7
. . .
2 3
5 log a log b 5 1 15
a
a 2
3.
3
Câu 39. Cho ab ; là các số dương lớn hơn 1
⑴ Thỏa mãn
1log
xlog
y
12 12
. Tính M
.
2log ( x
3y)
2 2
a 9b 6ab
2 2
⑵ Thỏa mãn a b 7ab . Tính log a
K b .
3
2 2
3
⑶ Thỏa mãn 9a b 10ab . Tính log a
V b .
4
Lời giải
2 2
1log
xlog
y
12 12
⑴ Thỏa mãn a 9b 6ab
. Tính M
.
2log ( x
3y)
a 9b 6ab a 3b 0 a 3b
.
2 2
Ta có 2
Khi đó
⑵ Thỏa mãn
12
1 2log 3b log b log 12b log 3b log 36b
M 1.
2log 6 log 36 log 36
2 2
a b 7ab . Tính
2 2
Ta có
2
12 12 12 12 12
2 2
b
12
b b
12 12
log a
K b .
3
2
a
b 2
a b 7ab a b 9ab ab
9
2
1
log b
log log b log log log
b
3
3 3 2
log log
2 2
3
⑶ Thỏa mãn 9a b 10ab . Tính log a
V b .
4
12
ab 2
a b K a b
2 2 2 2
2 3
Ta có
a
b 2
9a b 10ab 9a 6ab b 16ab 3a b 16ab ab
16
3a
b
log
log ab
16
3a
b
2log log log
4
Câu 40. Thực hiện các yêu cầu sau:
2
3 a
b
1 .
4 2
a b V log log a log b
⑴ Cho log 3a; log 5b. Tính log 105 theo a và b .
5 7
15
⑵ Cho
⑶ Cho
log 3 a . Tính log 15
15 25
theo a .
log 5 a , log 7 b và log 3 c . Tính log 35
27 3 2 6
theo a và b .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 42

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑷ Cho log 3a,log
7b. Tính log 2016 theo a và b .
2 2
2
⑸ Cho log 3a, log 3b . Tính log 3
2 5
10
tính theo a và b .
⑹ Cho alog 6, b log
7. Tính log 42
2 2
18
theo a và b .
⑺ Cho a log 3 và b log 3 . Tính log 45
2 5 6
theo a và b .
⑻ Cho alog 4, b log 4.
Tính log 80
3 5
12
theo a và b .
⑼ Cho a log 7;
b log 5 . Tính 49
25 2
log theo a , b .
5
8
⑽ Cho log 3a;log
5 b. Tính log 15
2 3
6
theo a , b .
Lời giải
⑴ Cho log 3a; log 5b. Tính log 105 theo a và b .
5 7
15
1
105
5
105 log log 3log
7 1
a 1
5 5
log
b 1b
ab
15
log 15 log 31
1
1
ab .
⑵ Cho
⑶ Cho
5
log 3 a . Tính log 15
15 25
theo a .
1 1 1
a
log 3 log 5
15 3
log 15 1
log 5
a .
log
25
15
3 3
log 15 1
log 5 1
log 25 2log 5 2( 1
a )
.
3 3
3 3
5
a
log 5 a , log 7 b và log 3 c . Tính log 35
27 3 2 6
theo a và b .
1
Ta có: log 5 a log 5 a log 5 3a .
27 3 3
3
log 35 log 5 log 7 3
3 3 3
3a
b a b c
log 35 .
6
log 6 log 2 1 1 1c
3 3
1
c
⑷ Cho log 3a,log
7b. Tính log 2016 theo a và b .
2 2
2
Ta có log 2016
2 5 2
5 2
log 2 . 3 . 7
2 log 2 log 3 log 7 5 2log 3 log 7
2 2 2
2 2
.
Do đó log 2016 5 2 a b.
2
⑸ Cho log 3a, log 3b . Tính log 3
2 5
10
tính theo a và b .
1 1 1 1
Với log 3a, log 3b ta có log 2 a , log 5 b .
2 5
3 3
a
b
1 1 1
Do đó 3 10 1 1
10
2 5
ab
log
.
log log log a b ba
3 3 3
⑹ Cho alog 6, b log
7. Tính log 42
2 2
18
theo a và b .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 43

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
log
log 42 log 67 . log 6 log 7 log 6 log
7 a
b
42 .
18 2 6 2 2a
1
2 2
2 2 2 2
18 2
2
log
2 6 log 6 log 2 log log
2 2
2 2
log2
2
a và b log 3 . Tính log 45
5 6
theo a và b .
⑺ Cho log 3 2
2
53
3
45 log .
1
log 5
2
2
3
log6
b a 2ab
log
3 23
. log 21
1 ab b .
3
1
a
⑻ Cho alog 4, b log 4.
Tính log 80
3 5
12
theo a và b .
2 2
1
Ta có log 80 log
12 12 4 . 5
log 4 log 5 2log
4 .
12 12 12
log 12
2 1 2 1
12 4 3 4 3 . .
log log log log log b log 3
4 5 5 4 4 5
1 1 b
Từ a log 4 log 3 log 3 log 4.log 3 b.
3 4 5 5 4
a a a .
2 1 2 2
log a a a ab
80
12
1 1 1
1
. .
b a b a ab b
b
a a
⑼ Cho a log 7;
b log 5 . Tính 49
25 2
log theo a , b .
5
8
a log 7 2a log 7.
*
25 5
* b log 5 1 log 2.
2 5
b
49
Ta có log 49 8
5 5 5
8 log log .
49 49 1 49 4ab
3
log 2log 7 3log 2 log 2. 2a
3. log .
5 5 5 5 5
8 8 b 8 b
⑽ Cho log 3a;log
5 b. Tính log 15
2 3
6
theo a , b .
5
Ta có
log
6
15
log 15 log 5. 3 log 5 log 3 log 3.log 5 log 3 ab a a b1
log 6 log 2. 3 1 log 3 1 log 3 a1 a1
2 2 2 2
2 3 2
2 2 2 2
Câu 41. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho log 5a; log 7
27 8
b, log 3 c . Tính log 35
2 12
theo a , b và c .
⑵ Cho log 5 a; log 7 b; log 12 c . Tính log 4200 theo a,b,c.
9 2 4
18
⑶ Cho log 5a; log 7
27 8
b, log 3 c . Tính của log 35
2 12
theo a , b , c
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 44

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑷ Cho a log 5 , b log 7 , c log 3 . Tính 1 1 2 149
I log log ... log
3 2 2
log126 2 3 150
a , b , c
⑸ Cho log 3 a; log 5 b; log 2 c . Tính log 63
2 3 7
140
theo a , b , c .
Lời giải
⑴ Cho log 5a; log 7
27 8
b, log 3 c . Tính log 35
2 12
theo a , b và c .
log 5 a log 5 3a,log 7 b log 7 3b ,.
27 3 8 2
log 5 log 3.log 5 3ac ,
2 2 3
log2
log 7
3
log
2
7 3b
3 c .
1 1 1 1
log 35 log 7 log 5
12 12 12
log 12 log 12 2log 2 log 3 2log 2 log
3
7 5 7 7 5 5
⑵ Cho log 5 a; log 7 b; log 12 c . Tính log 4200 theo a,b,c.
9 2 4
18
log 12 2 log 3
2 2
Ta có: c log 12
4
2
log 4 2
log 3 2c 2
.
log
2
5 log 5
log
a 2 2
log 5
9
log 9 2log
3
2 2
2 2
Khi đó:
log
3 2
4200 2 3 5 7
2
2
4200 log
18 2
18 log . . .
log2 log 23 .
2
3 2c 2 2 4ac 4a b 8ac 8a b 2c
1
12 2c
2
4c 3
.
5 2 log 3 2a 2c 2 4ac 4a .
a
⑶ Cho log 5a; log 7
27 8
b, log 3 c . Tính của log 35
2 12
theo a , b , c
log 5 a log 5 3a,log 7 b log 7 3b ,.
27 3 8 2
log 5 log 3.log 5 3ac ,
2 2 3
log2
log 7
3
log
2
7 3b
3 c .
3 log 3 2log 5
log 7
2 2 2
1
2log
3
1 1 1 1
log 35 log 7 log 5
12 12 12
log 12 log 12 2log 2 log 3 2log 2 log
3
2 3 2 3
7 5 7 7 5 5
1 1 1 1 3b
3ac
.
1 1 1 1 1 c 1 1 c 2
2. 2 2. 2.
log 7 log 7 log 5 log 5 3b 3b 3ac 3a
⑷ Cho a log 5 , b log 7 , c log 3 . Tính 1 1 2 149
I log log ... log
3 2 2
log126 2 3 150
Từ giả thiết suy ra log 5 log 3log 5 ac.
2 2 3
2
theo
theo a , b , c
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 45

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
1 1 2 3 149 150
Ta có: I .log . . ..... log
log126 2 3 4 150 log126
log 150 150
2
126
log
log 126
1log
32log
5
2 2
1 2log
3 log 7
2
2 2
1c
2ac
.
1 2c
b
⑸ Cho log 3 a; log 5 b; log 2 c . Tính log 63
2 3 7
140
theo a , b , c .
Ta có log 63 log 3 2 . 7
140 140
2log
3log
7
140 140
2 1
log 140 log 140
3 7
2 2 5 7 2 2 5 7
3 7
2 1
2 1
log . . log . . 2log 2 log 5 log 7 2log 2 log 5 1
3 3 3 7 7
Từ đề bài suy ra
1 1
log 2
3
log 3 a ; log 5 log 2.log 3.log 5 abc .
7 7 2 3
2
1 1 1
log 7
3
log 3 log 2.log 3 ac .
7 7 2
2 1 2ac
1
log 63
140
.
2 1 2c
abc
1
abc 2c
1
b
a ac
Câu 42. Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a
x , log a
y , log
3 a
z lập
thành cấp số cộng, với a là số thực dương khác 1. Giá trị của
Lời giải
x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có
log a
x , log a
y , log
3 a
z lập thành cấp số cộng nên:
log x log z log y log x 3log z 4log
y
3
2
a a a
Từ (1) và (2) ta suy ra xyz.
Vậy
9x
y 3z
p 9 1 3 13
.
y z x
a a a
9x
y 3z
p là
y z x
2
xz y (1).
3 4
xz
y (2).
Câu 43. Cho các số hạng dương a, b,
c là số hạng thứ m, n,
pcủa một cấp số cộng và một cấp số
nhân. Tính giá trị của biểu thức
bc ca ab
P log a . b . c
2
Lời giải
Ta có a, b,
c là số hạng thứ m, n,
p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 46

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
m1
a u m 1
d a . q
1 1
1
1 n
b u n d a . q
1 1
1
1
p
c u p d a . q
1 1
np d
m1 p1
log a q . a q
2 1 1
a b m n d
b c n p d . Do đó
c a p m d
m n d
Câu 44. Gọi n là số nguyên dương sao cho
log a q
0 0
0
2 1
bc ca ab
P log a . b . c
3 2 3
n
3 3 3
3
với mọi x dương, x 1. Tìm giá trị của biểu thức P2n 3.
Lời giải
1 1 1 1 190
...
log x log x log x log x log x
3 2 3
n
3 3 3
3
log 3 2log 33log 3... nlog 3 190 log 3
x x x x x
log 3 1 2 3... n 190 log 3
x
123... n
190
nn 1
190
2
n
19
2
n n380 0 n 19
n
20
x
2
1 1 1 1 190
...
log x log x log x log x log x đúng
(do n nguyên dương) P 2n
3 41
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 47

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Hàm số mũ – Hàm số logarit
A
Lý thuyết
1. Hàm số mũ
Tập xác định D .
Tập giá trị T 0; , nghĩa là khi giải phương trình mà đặt
Đơn điệu
Đạo hàm
a 1
Hàm số
0a
1
Hàm số
y
y
x
a đồng biến, khi đó:
x
a nghịch biến, khi đó:
x x
a
u u
a .ln a
. .ln
e
x
fx
t a thì t 0.
f x
gx
a a f x g x .
f x
gx
a a f x g x .
a u a a
x
u u
e
e
.
e u
Đồ thị
Nhận xét:
x
⑴ Đồ thị hàm số y a a
1
đối xứng với đồ thị hàm số y
x
a 0 a 1
⑵ Đồ thị đi qua điểm 01
; và 1; a .
⑶ Đồ thị liên tục trên .
⑷ Đồ thị nằm ở phía trên trục hoành.
qua Oy.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 48

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Hàm số logarit
Tập xác định D 0;
.
Tập giá trị T , nghĩa là khi giải PT mà đặt t log a
x thì t không có điều kiện.
Đơn điệu
Đạo hàm
a 1
0a
1
Hàm số
Hàm số
y log a
x đồng biến trên D , khi đó:
log
a
log
f x g x f x g x .
y log a
x nghịch biến trên D , khi đó:
log
a
a
log
f x g x f x g x .
1
log x u
a log
u
a
x.ln
a
u.ln
a
1
u
ln x , x 0 ln
u
x
u
n u
n
ln u
n ln u
u
Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng
1
a
Đồ thị
Nhận xét:
⑴ Đồ thị hàm số y log a
xa
1
đối xứng với đồ thị hàm số y log a
x0 a 1
⑵ Đồ thị đi qua điểm 10
; và a ;1
.
⑶ Đồ thị liên tục trên 0; .
⑷ Đồ thị nằm ở bên phải trục tung.
qua Ox.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 49

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Tập xác định của hàm số
Phương pháp
Xét : Hàm số xác định xác định.
Hàm số xác định .
Đặc biệt: với hàm số ta lưu ý “mũ n” của :
Nếu ĐKXĐ của hàm số : .
Nếu ĐKXĐ của hàm số : .
Tóm lại nếu hoặc có “mũ n” ta chú ý xem “n” chẵn hay lẻ.
Ví dụ 1.1.
Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
⑴ ylog 2 2x
3
Lời giải
3
Điều kiện 2x3 0 x . Vậy tập xác định là
2
⑵ y
3
7 x
D 3
2 ;
.
Điều kiện: x30x
3. Vậy tập xác định là D 3;
.
2
⑶ y log 2 x
9
Điều kiện
x
9 0
x
3
2
x 3
. Vậy tập xác định là ; 3 3;
Ví dụ 1.2.
Tìm tập xác định của các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
D .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 50

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴ ylog
2021 3
x
Lời giải
Điều kiện 3 x 0 x 3.Vậy tập xác định D ;3
.
⑵ ylog
3 2 x
Điều kiện: 2 x 0 x 2. Vậy tập xác định D
;2
2
⑶ y lnx
3
Điều kiện xác định:
Ví dụ 1.3.
2
x
3 0 3 x 3 . Vậy tập xác định D
3;
3
Tìm các giá trị thực của tham số để các hàm số dưới đây có tập xác định là .
⑴
⑴
1
2
x mx1
y e
Hàm số có tập xác định là
2
⑵ y log x 2x m 1
Hàm số có tập xác định là
⑵
Lời giải
2
x mx 1 0, x
0
2
x 2x m 1 0, x
2 m 2.
2
m
1 1 0 m 0 .
Ví dụ 1.4.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của thuộc đoạn để hàm số
có tập xác định .
Lời giải
2
Điều kiện: x 2x m 2 0 .
Hàm số có tập xác định
2
x 2x m 2 0, x
' 1m2 0 m 1.
Do m nguyên thuộc đoạn
2021;
2021 nên có 2022 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 51

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số
Phương pháp
Đạo hàm hàm số logarit:
Đạo hàm hàm số mũ:
Ví dụ 2.1.
Tính đạo hàm các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
⑴ ylog
3 4x
1
Ta có y 4x
1
⑵ y
4
log .
3
4x
1 ln3
2
2
2 x x
Lời giải
2 2 2 4 1 2
Ta có y ln2
x x x
2 2 2
2 x x 2 x x 2 2 x x
ln2.
⑶ y
1
2 x
1
1
1x
2 .ln 2. 1 . 2 .ln 2.
2 1 x
Ta có y
x x
hay
ln
2
y . 2
2 1
x
1x
Ví dụ 2.2.
Tính đạo hàm các hàm số dưới đây:
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑴ ylog
3 4x
1
Ta có log 4x
1
3
4x
1
4
x
ln
x
Lời giải
4 1 3 4 1 ln3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 52

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑵ y log 2
5
x 3x
2
Ta có y
log x 3x
⑶
y
2
2 5
10 x x
5 2
2x
3
.
x 3x
ln5
2 5 . 10 .ln 10 2 2 . 10 .ln 10.
Ta có y x x x
⑷
y
e
12x
Ta có x
2 2
2 x 2x5 x 2x5
y e x e
1 2 12x
' . 1 2 ' 2
.
⑸ y ln1 x 1
Ta có ln1 x 1
3 2
x
⑹ 3
3 x
y log
2
1
2
1
x 1
1
1 x 1 2 x 11 x 1
2
y 3 x 3x 2 log 3 y
3x 6xlog
3 3xx
2log
3
x
Ta có: 3 3 x
2
log
2 3 2
⑴
Ví dụ 2.3.
Thực hiện các yêu cầu sau:
Ta có
x x
2 3
y .
x
4
1 1
2 2
x x
2 3 1 3
y
x x
4 2 4
0
x
Lời giải
x
x
1 3 1 1 3 3
y .ln .ln
x
x
2 4 2 2 4 4
y 1 1 3 3 1 3 1 3 3
0
.ln
0 .ln ln ln ln . ln .
2 2 4 4 2 4 2 4 8
4
⑵ f x lnx
1
Ta có:
⑴ Cho hàm số Tính giá trị .
⑵ Cho hàm số . Đạo hàm bằng bao nhiêu?
4
x 1 3 3
4x
4.
1
f x
f
4 4
1
2.
4
x 1 x 1 1 1
.
1 2
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 53

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Sự biến thiên của hàm số
Phương pháp
Đơn điệu
Hàm số Mũ
• HS đồng biến.
• HS nghịch biến.
Hàm số Logarit
• HS đồng biến.
• HS nghịch biến.
Ví dụ 3.1.
Xét sự biến thiên các hàm số sau:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴
y ln x
TXĐ: D 0;
e 1 hàm số ln
y log x .
⑵
2018
1
2019
TXĐ: D 0;
Lời giải
y x đồng biến trên 0;
2018
0 1 1 hàm số log
2018
2019
1
⑶
y log
x
TXĐ: D 0;
⑷
1 hàm số
y log
4
3
x
TXĐ: D 0;
4 3 1 hàm số
Ví dụ 3.2.
y x nghịch biến trên 0;
2019
y log x đồng biến trên 0;
y log x đồng biến trên 0;
4
3
Xét sự biến thiên các hàm số sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 54

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x – ∞ -1 0 1 + ∞
y' + 0 – – 0 +
y
TXĐ: D
1
0
1 hàm số
2
⑶ y 2
x
TXĐ: D
1
y
2
x
nghịch biến trên
2 1 hàm số y 2
x
đồng biến trên
⑷ y 6
5
x
TXĐ: D
6 5 1
– ∞
1
– ∞
+ ∞
hàm số
y 6 5 x
đồng biến trên
0
+ ∞
⑴
y 5 x
TXĐ: D
5 1 hàm số
trên
⑵
1
y
2
x
Lời giải
y 5 x đồng biến
Ví dụ 3.2.
Hàm số
tăng trên khoảng nào dưới đây?
2
Hàm số ln 1
Lời giải
y x x có tập xác định D .
2x
1
1
Ta có: y
0
2
x x1
y
x
2 .
x – ∞ -1/2 + ∞
y' – 0 +
+ ∞ + ∞
y
Suy ra, hàm số tăng trên khoảng
1
2
;
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 55

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Đồ thị của hàm số
Phương pháp
Xét : Hàm số Mũ Hàm số Logarit
Càng gần cơ số càng lớn. Càng gần cơ số càng lớn.
Cơ số
Càng gần cơ số càng bé. Càng gần cơ số càng bé.
Hình minh họa
Nhận xét
Nằm bên trên .
Nằm bên phải .
Luôn đi qua điểm . Luôn đi qua điểm .
ĐT đối xứng qua (đường phân xác góc phần tư thứ nhất).
Ví dụ 4.1.
Cho các hàm số và lần lượt có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hãy so
sánh .
Lời giải
x
Ta thấy y b là hàm số mũ nghịch biến nên 0b
1.
x x
y a , y c là hàm số mũ đồng biến nên ac , 1.
Và đồ thị
y
Từ đó c a b .
x
c gần trục Oy hơn
y
x
a nên a c
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 56

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ví dụ 4.2.
Cho các hàm số , , và . Đồ thị hàm số dưới đây là
của hàm số nào đã cho?
Lời giải
x
Dựa vào đồ thị, hàm số nghịch biến loại y 3
và 2
x
y .
Và đồ thị đi qua điểm 13 ; nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số
x
1
y .
3
Ví dụ 4.3.
Cho các hàm số , , và . Đồ thị hàm số dưới đây là
của hàm số nào đã cho?
Dựa vào đồ thị, thấy rằng:
Lời giải
+ Đây là dạng đồ thị của hàm số y log a
x nên loại
+ Hàm số đồng biến loại y log x.
1
2
+ Đồ thị đi qua điểm 21
x
1
y và y 2
x .
2
; nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số y log2
x.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 57

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 1.
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
⑴ ylog
2022 3x
1
⑵ 3
log x
y
5
x 2
2
2
⑶ y log 5 4x x
⑷ y log 2022 3x x
x 3
⑹ y log2021
2 x
Lời giải
⑸ y log 2
3
x 4x
3
⑴ ylog
2022 3x
1
⑵
5
Điều kiện:
3
log x
y
x 2
Điều kiện
2
⑶ y log 5 4x x
Điều kiện
2
⑷ y log 2022 3x x
1
3x1 0 x . Vậy tập xác định
3
x 3 x
3
0
x 2 x
2
2
4x x 0 0 x 4
D 1
3 ;
.
. Vậy tập xác định ; 2 3;
D .
. Vậy tập xác định 04
;
2
Điều kiện 3x x 0 x 0;
3. Vậy D 0;
3
⑸ y log 2
3
x 4x
3
2
x
1
Điều kiện x 4x 3 0
x
3
x 3
⑹ y log2021
2 x
x 3
Điều kiện 0 3 x 2
2 x
Câu 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
⑴ ln1
D .
. Vậy tập xác định ; 1 3;
.
. Vậy tập xác định 32 ;
y x ⑵
D .
1
y
2
⑶ ylog
7 3x 1
⑷ ylog3 x
1
2
y log x
⑹ ylog
x
⑸
⑺
y
x
3 3 2
2
2 2022
2 x x
⑻ y log 2x 2 4x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 58

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴ yln1x
⑵
1
y
2
2
⑼ y log
4x 9
⑽ y lnx 2 3x
2
Điều kiện 1 x 0 x 1
x
Hàm số
⑶ ylog
x
7 3 1
⑷ ylog
x
Lời giải
. Vậy tập xác định D ;1
1
2
x
y là hàm số mũ nên có tập xác định ;
Điều kiện 3x1 0
3
1
2
⑸ y log x
Điều kiện x 1 0 x 1
Điều kiện
⑹ ylog
x
⑺
y
3 3 2
Điều kiện
2
2 2022
2 x x
Hàm số
⑻ y log 2x 2 4x
2
y
Điều kiện
2
⑼ y log
4x
9
Điều kiện
⑽ y lnx 2 3x
2
Câu 3.
Điều kiện
1
x . Vậy tập xác định
3
D .
D 1
3 ;
.
. Vậy tập xác định D
2
x 0 0
x .Vậy tập xác định D \ 0
3
3 2x 0 x . Vậy tập xác định
2
D .
2
2 2022
2 x x
có tập xác định
2
2 4 2 0
x x 1
2
4x
9 0
1; .
3
D
; 2
.
x .Vậy tập xác định D \ 1
3
x
2
. Vậy tập xác định
3
x
2
3 3
D ; ;
2 2
2
x 3x 2 0 1 x 2 . Vậy tập xác định D 12
;
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
⑴
2
2 x
y e x
2
⑵ y log x x 12
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 59

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴ y e x
⑵
3
y log x
2 x
⑶
2
2
⑷ log2 1
y x ln x
2
x 3x
x
e
2
9
⑸ y
⑹ y
x
e 1
3
4
y
e
x 1
⑺
2017x
1
1
⑼ y
log x 1
2
2 x
Hàm số
y x x
2
log 12
⑶
2
Điều kiện
3
y log x
2 x
Điều kiện
2
⑷ log2 1
2
D .
2
2
y e x x
có tập xác định
x
y x ln x
x12 0
x
3
2
x 4
x 3 0 3 x 2
2 x
x
1
2
x 10
Điều kiện 1
1
0
x
x
x
x
0
x
e
⑸ y
x
e 1
x
x
Điều kiện 1 0 1 0
2
x 3x
1
⑻ y lnx1
2 x
2 1
⑽ y 2
x .ln x
e
1
Lời giải
. Vậy tập xác định D ; 4 3;
. Vậy tập xác định D
32 ;
. Vậy tập xác định D 1;
e e x . Vậy tập xác định D \ 0
2
9
⑹ y
3
4
2
x
3
Điều kiện x 3x 0
x
0
x 1
⑺ y
2017x
e 1
x 10 x
1
Điều kiện
2017x
e 1 0 x
0
1
⑻ y lnx1
2 x
. Vậy tập xác định D ; 03;
. Vậy tập xác định D 1; \
0
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 60

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑼
Điều kiện
1
y
log x 1
2
2 x 0 x
2
1 x 2
x1 0 x1
. Vậy tập xác định D 12
;
x0 x0 x
0
Điều kiện
. Vậy tập xác định D 0; \
2
log
x1 0 log x 1 x 2
2 2
2 1
⑽ y 2
x .ln x
e
1
x
0
1
Điều kiện 0x x
0. Vậy tập xác định D 0;
x
e
1
.
x
e 1 0 x
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây xác định với mọi giá trị
thực của x .
⑴ y log 2
2
x 2x m 2
⑵ y log 2
12
2x mx m
2
2
⑶ y log x mx m 1
⑷ y 2 lnx m 1
x m 1
⑸ 2
2
y 2023 ln x 4xm
5
⑹ y log 12 x m 2
x 8m
1
2
2
2
⑺ y log2 e x 4x m
2
⑻ y 2 2023 lg x 2mx 3m
2
2
⑼ y log 2 3x 2m 1
x m 4
⑽ y log x m x m
⑴ y log 2
x 2x m 2
Hàm số y log 2
x 2x m 2
Lời giải
2 2 1
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
2
0 1 m 2 0
x 2x m 2 0x
m 3
a
0 1 0
Vậy m 3.
⑵ y log 12
2x mx m
Hàm số y log 12
2x mx m
2
2 0
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
1 2 7
a 20
2
x mx m , x
2
m 8m 0 8 m 0 .
m 4. 2.
m
0
Vậy 8 m 0.
2
⑶ y log x mx m 1
2
Hàm số y log x mx m 1
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 61

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
x mx m 1 0, x
a 10
2
2
m 4m 4 0 2 2 2 m 2 2 2 .
m 4. 1.
m1
0
Vậy 2 2 2 m 2 2 2 .
2
⑷ ln
y 2 x m 1 x m 1
2
Hàm số ln
2
x m1
x m1 0, x
y 2 x m 1 x m 1 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
a 10
2
2
m 6m 5 0 1 m 5.
m1 4. 1.
m1
0
Vậy 1m 5.
⑸ y 2023 lnx 2 4xm
5
Hàm số y 2023 lnx 2 4x
m 5
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
2
x 4x m5 0,
x
Vậy m 9 .
2
⑹
y log 12
x m 2 x 8m
1
2
Hàm số
2
x m 2x 8m 1 0, x
a 10
m
9
.
16 4m
5
0
y log 12
x m 2 x 8m
1 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
a 10
2
2
m 28m 0 0 m 7 .
m 2 48m1
0
Vậy 0m
7.
2
⑺ y x x m
log 4 2
2 e
2
Hàm số y x x m
2
2
log 4 2
2 e
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
2
2
x 4x m 2 0,
x
a 10
2 m 22 m 2
0 0 m 4 .
16 4m
2 2
0
Vậy 0m
4.
2
⑻ y 2 2023 lg x 2mx 3m
2
Hàm số y 2 2023 lg x 2mx 3m
2
x 2 mx 3m 0,
x
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 62

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
a 10
2
m m
Vậy 0m
3.
2
⑼
3 0
0 m 3.
Hàm số y log 2
2
x 2x m 2
2
3x 2m1
x m 4 0 x
y log 2
3x 2 m 1 x m 4
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
a 30 5 69 5 69
m
2
m 5m
11 0 2 2
Vậy
5 69 5 69
m
.
2 2
2
⑽ log
2 2 1
y x m 1 x 2m
7
Câu 5.
2
Hàm số log
2 2 1
2
x m1
x 2m 7 0 x
y x m 1 x 2m
7 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
a 10
2
2
m 6m 27 0 3 m 9
m
1 42m
7
0
Vậy 3 m 9.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây xác định với mọi giá trị
thực của x .
⑴ y log 2
25
mx 5x
1
⑵ y log 2
2
mx 2x
2
2
2 2
⑶ y log m 1 x 2m 1
x 3m
3
⑷ y lnm m x m x
2
2
⑸ y log m 1 x 2m 1
x m 1
⑹ y ln2 m
x 2x
1
2
2
⑺ y lg m 2 x 2m 1
x 2m
⑻ y log 5 m 2 x 2m 1
x 4
2
2
⑼ y 2 2 log
15 m 3 x m 2
x 4
⑽ y 2023 ln2mx m 1
x 2
⑴ y log 25
mx 5x
1
Hàm số y log 25
mx 5x
1
2
f x mx 5x 1 0x
Lời giải
4 5 2 1 2
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
• Trường hợp 1: 0
m . Khi đó:
• Trường hợp 2: m 0 . Khi đó:
1
f x 5x 1 0 x . Vậy m 0 (không thỏa).
5
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 63

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
a m 0 m
0
m
0
25
f x
0,
x 2
25 m .
5 4m.
1
0 25 4m
0 m
4
4
25
Vậy m .
4
⑵ y log 2
mx 2x
2
Hàm số y log 2
mx 2x
2
2
f x mx 2x 2 0x
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
• Trường hợp 1: 0
m . Khi đó: f x 2x 2 0 x 1
. Vậy m 0 (không thỏa).
• Trường hợp 2: m 0 . Khi đó:
a m 0 m
0
m
0
1
f x
0,
x 2
1 m .
1 4m.
2
0 1 8m
0 m
8
8
1
Vậy m .
8
2
⑶ log
y m 1 x 2 m 1 x 3m
3
2
Hàm số log
2
y m 1 x 2 m 1 x 3m
3 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
f x m1 x 2 m1 x 3m 3 0x
• Trường hợp 1: m 1. Khi đó:
• Trường hợp 2: 1
m . Khi đó: 0,
a
m1
0
2
m 1 m 13m
3
0
m 1
2
2m
2m
4 0
Vậy m 1.
2 2
⑷ ln
y m 4m 5 x 2 m 1 x 2
m 1
3
f x
4x 6 0 x . Vậy m 1 (không thỏa).
2
f x x
2
2m
2m
4 0
2 2
Hàm số ln
m
1
m
2
m 1.
m
1
y m 4m 5 x 2 m 1 x 2 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
2 2
f x m 4m 5 x 2 m 1 x 2 0x
• Trường hợp 1:
a 0 m 4m
5 0
m
1
2
m 5
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 64

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Với m 5. Khi đó:
1
f x
12x 2 0 x . Vậy m 5 (không thỏa).
6
m (thỏa).
Với m 1. Khi đó: f x 2 0. Vậy 1
m
5
• Trường hợp 2: a 0
. Khi đó: f x 0, x
m
1
m
5
2
a m 4m
5 0
2
m 4m 5 0 m
1
m
11
2
2
m 1 2m 4m
5
0
2
.
m
10m11 0 m
11
m
1
m
1
m
11
Vậy .
m
1
2
⑸ log
y m 1 x 2m 1 x m 1
⑹ ln
2
Hàm số log
2
m 1 x 2m 1
x m 1 0, x
y m 1 x 2m 1 x m 1 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
.
• Trường hợp 1: a 0 m1 0 m 1.
2
Khi đó: f x
3x 2 0 x . Vậy m 1 (không thỏa).
3
• Trường hợp 2: a 0 m1 0 m 1.
Khi đó: f x 0,
x
a
m1
0
m
1
m
1
2
5 m
.
2m 1 4. m 1.
m
1
0 4m
5 0
m
4
Vậy m.
y m x x
2
2 2 1
Hàm số ln
f x
2
y m x x
2
2 2 1 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
2 m x 2x 1 0, x
.
1
• Trường hợp 1: m 2 . Khi đó: f x
2x 1 0 x . Vậy m 2 (không thỏa).
2
• Trường hợp 2: m 2. Khi đó:
a 2 m 0 m2 m2
f x
0,
x 2
1 m 2 .
1 2 m.
1 0 m1 0 m
1
Vậy 1m 2.
2
⑺ lg
y m 2 x 2 m 1 x 2m
2
Hàm số lg
y m 2 x 2 m 1 x 2m
xác định với mọi giá trị thực của x khi:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 65

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
m 2 x 2 m1 x 2m 0, x
.
• Trường hợp 1: 2
• Trường hợp 2: 2
m . Khi đó:
m . Khi đó: 0,
2
f x 6x 4 0 x . Vậy m 2 (không thỏa).
3
f x x
m
2
a m 2
0
m
2
2
2
m 3 10 m 3
10
m 1 m 2.
2m
0 m 6m
1 0
m 3 10
Vậy m 3 10 .
2
⑻
y log 5
m 2 x 2 m 1 x 4
2
Hàm số
2
f x
2 2 1
4 0,
y log 5
m 2 x 2 m 1 x 4 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
m x m x x
.
• Trường hợp 1: m 2 . Khi đó:
• Trường hợp 2: 2
m . Khi đó: 0,
2
f x
6x 4 0 x . Vậy m 2 (không thỏa).
3
f x x
a m 2 0 m 2 m
2
1 m 7
1 2
m 4m
2
0
m
2 6m
7 0 1 m 7
Vậy 1 m 7.
2
⑼ log
y 2 2 m 3 x m 2 x 4
15
2
Hàm số log
15
2
f x m3x m 2x 4 0, x
y 2 2 m 3 x m 2 x 4 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
• Trường hợp 1: m 3. Khi đó:
• Trường hợp 2: 3
m . Khi đó: 0,
4
f x
5x 4 0 x . Vậy m 3 (không thỏa).
5
f x x
a m 3 0 m 3 m
3
2 2 m
.
m 4. m
3.
4
0
m
2 20m
44 0 22 m 2
Vậy m.
2
⑽ ln
y 2023 2mx m 1 x 2
2
Hàm số ln
2
f x 2mx m1
x 2 0, x
y 2023 2mx m 1 x 2 xác định với mọi giá trị thực của x khi:
• Trường hợp 1: 0
• Trường hợp 2: 0
m . Khi đó: f x x 2 0 x 2
m . Khi đó: f x 0,
. Vậy m 0 (không thỏa).
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 66

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
a2m0
2
m1 4. 2m.
2
0
m
0
m
0
m
2
.
m 18m 2 0
9 79 m 9 79
Vậy m.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các hàm số dưới đây có tập xác định ?
⑴ y
1
⑵ 1
2
1 2 1
5
2
log x 2x 3m
2 log ⑴
y
log
3
1
Hàm số
3
2
x 2x 3m
y
log
3
2
2 3 0
3
1
2
x 2x 3m
log x x m x
2
x 2x 3m 1x
2
x 2x 3m 1 0x
y 1
1 2 1 5
2 log m x m x
2
⑵
Lời giải
có tập xác định
khi và chỉ khi
a
10 2
1 3m1 0 m
0 3
Điều kiện: log
2
m 1 x 2m 1
x 5 0 x
2
m1 x 2m1
x 5 1
x
.
2
m1 x 2m1
x 4 0 x
. Đặt
2
f x m1 x 2 m1 x 4
• Trường hợp 1: m 1. Khi đó: f x 4 0. Vậy m 1 (thỏa).
• Trường hợp 2: 1
m . Khi đó: f x 0,
x
a m1 0 m
1
2
1 m 3 .
m
1 4m
1 0
m
1m
3
0
Kết hợp 2 trường hợp trên thì 1
m 3 thỏa mãn yêu cầu.
Câu 7. Xét sự đơn điệu các hàm số dưới đây trên 0;
?
⑴
⑸
y log x ⑵
3
y log x . ⑹
3
y log x ⑶
6
3 2
y log e
x ⑷ y log x
1
y log x ⑺ y log x ⑻ y log e
x
Lời giải
3
4
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 67

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴
⑵
⑶
y log
y log
y
3
x
Ta có : 3 1 nên hàm số
6
log e
3
⑷ y log
1
4
⑸
⑹
⑺
⑻
x
Ta có : 0
1 nên hàm số
6
x
log x luôn đồng biến trên 0
3
6
; .
log x luôn nghịch biến trên 0;
e
Ta có : 0
1
nên hàm số log
3
e
x luôn nghịch biến trên 0;
x
Ta có :
y log x .
y
3
log
3 2
y log
3
1
0 1 nên hàm số log x luôn nghịch biến trên
1
0;
4
Ta có 3 1 nên hàm số
x
Ta có 3 2 1 nên hàm số log2
x
y log e
x
Ta có 1 nên hàm số
4
y log x luôn đồng biến trên 0;
3
y x luôn đồng biến trên 0;
y log x luôn đồng biến trên 0;
e
Ta có 0
1
nên hàm số
y log e
x luôn nghịch biến trên 0;
Câu 8. Xét sự đơn điệu các hàm số dưới đây trên ?
⑴
⑴ y
3
x
y
⑵
3
⑸ 05
,
x
x
y ⑹
Ta có: 1 y
3 3 x
x
1
y ⑶
3
x
2
y
3
⑺
Lời giải
đồng biến trên .
2
y
e
x
e
⑷ y
4
x
x
y ⑻ y 2
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 68

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
1
⑵ y
3
2
⑶ y
e
x
⑷ y
4
Ta có: 1
1
1
y
3 3 x
Ta có: 2
1 y
2
e e
x
⑸ y 05
,
2
⑹ y
3
e
⑺ y
Ta có: 1 y
4 4 x
Ta có: 0, 5 1 y 0,
5
x
x
x
x
nghịch biến trên .
nghịch biến trên .
nghịch biến trên .
x
nghịch biến trên .
Ta có: 2
1
2
y
3 3
x
⑻ y 2
Câu 9.
e e
Ta có: 1 y
x
Ta có: y
x
x
nghịch biến trên .
nghịch biến trên .
2 1 2 x
đồng biến trên .
Tính đạo hàm các hàm số đã cho dưới đây.
⑴ f x log3
sin
x
⑵ f x log
3 2x
1
2 5
f x 2 x x
1
⑷ f x x. e x
2 1
f x e x
⑹ f x log cos x .
⑶
⑸
⑺ f x
1
x ln x
.
⑻ f x xln
x 1
1
⑴ f x log sin
x
3
Lời giải
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 69

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
sin x
cos x cot x
fx
.
sin x.ln 3 sin x.ln 3 ln3
⑵ f x log
x
⑶
f x
fx
2 5
2 x x
⑷
1
⑸
f x
f x
3 2 1
2x
1
2
2x 1.ln
3
.
2x 1 .ln3
f x 2 x 5x 2 2 2x 5 ln 2 .
x
2 5 x
2 x
2
ln
5 x
x. e x
1 1 1 1 1 1
. x .( x ) x . x ( 1) x .
x
f x x e x e e x e x e x e
e x
2 1
2x
x
f x x .e .e .e
1
⑹ f x x
⑺
f x
log cos .
2
2 2 2
2 x 1 x 1 x 1
2 2
2 x 1 x 1
cos x
sin
x
fx
.
cos x.ln
2 cos x.ln
2
1
.
1 x ln x
1
1
x
x 1
fx
1 x ln x x 1 x ln x
2
2
⑻ f x xlnx
1
1 1 ln 1
ln 1
.
x x x
f x x x .
x 1 x 1
Câu 10. Thực hiện các yêu cầu sau:
⑴ Cho hàm số
⑵ Cho hàm số
⑴ Cho hàm số
⑵ Cho hàm số
.
( 1
). x
.
1
x e .
K y cos x ysin
x y
y e sinx . Rút gọn biểu thức
y
y
y ?
2
2017
x x
y e 3.
e . Tính 3 2
Lời giải
K y cos x ysin
x y
y e sinx . Rút gọn biểu thức
sin x
Đạo hàm cấp một: y cos x.
e .
Đạo hàm cấp hai:
sin 2 sin
sin . x
x
y x e cos x.
e .
2 sin x sin x sin x 2 sin x
Khiđó cos
sin cos x. e sin x. e sin x. e cos x.
e 0 .
K y x y x y
y
y
y ?
2
2017
x x
y e 3.
e . Tính 3 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 70

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Đạo hàm cấp một:
Đạo hàm cấp hai:
2
y 2017e x 6e x .
2
y 2017e x 12e x .
2 2 2
Khiđó
x x x x x .
x
Câu 11. Cho số thực 01
;
y 3y 2y 2017e 12e 3 2017e 6e 2 2017e 3 e 0 .
a . Đồ thì hàm số y log a
x là đường cong nào dưới đây?
y
y
y
1
1
1
1
O x O x O 1 x
y
1
O
x
Hình 1
Hình 2 Hình 3
Hình 4
Đồ thì hàm số y
hàm số nghịch biến với 01
;
Câu 12. Cho các hàm số: 2
đồ thị của hàm số nào
Lời giải
log a
x là đường cong nằm bên phải trục tung; đi qua điểm 10
; và
a suy ra đồ thị hàm số y log a
x là hình 4.
x
y , log 2 2
y x , y 2
x ,
1
y
x 1
.Đường cong trong hình là
2
Thấy rằng:
+ Đồ thị là đường cong hàm số
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ 12
Câu 13. Cho các hàm số: 2
là đồ thị của hàm số nào
y
x
x
y , 08
,
Lời giải
x
a nên loại y log 2 2
; y 2
x .
x và
1
y
x 1.
2
y , y log x
2
, y log x .Đường cong trong hình
04 ,
y
1
O
Lời giải
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 71

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
+ Đồ thị là đường cong hàm số
y
x
a nên loại
2
y log x và y log x.
04 ,
+ Hình bên là đồ thị của hàm mũ có cơ số nhỏ hơn 1 nên chọn 08
,
các số thực dương khác 1. Đồ thị hàm số
bên. So sánh các số a,b,c.
y c
x
y
x
y .Cho a, b,
c là
y a x , y b x , y c x được cho trong hình
y
b
x
y
a
x
Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
Lời giải
y c x đi xuống lên hàm số y c x nghịch biến, suy ra 0c 1.
y a x và y b x đi lên do đó hàm số y a x và y b x đồng biến, suy ra
a 1 và b 1.
Với x 1
ta thấy b
a. Suy ra c 1
a b.
Câu 15. Cho ba số thực dương a , b , c khác 1. Đồ thị các hàm số
được cho trong hình vẽ bên. So sánh các số a,b,c.
y
1
O
x
y log c
x
y log a
x, y log b
x, y log c
x
Dựa vào đồ thị, ta thấy hàm số
Từ đồ thị ta thấy hàm số
.
Lời giải
y log b
x nghịch biến trên 0;
nên suy 0b 1.
y log a
x, log c
y x đồng biến trên khoảng 0;
ac
, 1
1
Xét x 1:log x log x log x log x.log a 1 log a 1
a c .
c a c c x c
log a
Suy ra b c a.
Câu 16. Cho đồ thị hàm số
y a x ; x
x
y b ; y log c
x như hình vẽ. Tìm mối liên hệ của a , b , c .
y
y
y log a
x
O 1 x
y log b
x
a
x
y
b
x
1
O
1
y
log c
x
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 72

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Lời giải
Nhận xét hàm số y log c
x nghịch biến nên c 1.
Hàm số
y a x ; y b x đồng biến nên a 1, b 1.
Xét tại x 1
đồ thị hàm số y a x có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số y b
x
nên
a
b. Vậy a b 1
c.
x
Câu 17. Cho bốn hàm số 3 1
1
x
y , y 2
, y 4 3
, 4
3
x
x
1
y có đồ thị là 4
4
đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là , , ,
hình vẽ sau. Xác định thứ tự đồ thị của các hàm số (1), (2), (3), (4).
C C C C như
1 2 3 4
Ta có 3
x
Lời giải
y và y 4
x có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là
C hoặc C
3
Lấy 2
4
x ta có 2 2
Ta có đồ thị hàm số y 4
x và
C . Còn lại
2
1
3 4 nên đồ thị 4
C là đồ thị của
y x là 3
x
x
y là 4
C và đồ thị 3
1
y đối xứng nhau qua Oy nên đồ thị
4
x
1
y .
3
Vậy 1 C , 2 C , 3 C ,
4 C
4 1 3 2
Câu 18. Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số
y a x , y b x , y log c
x.
C .
x
1
y là
4
Ta thấy hàm số
Lời giải
y a x nghịch biến 0 a 1.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 73

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Hàm số y b x , y log
x đồng biến b1,
c 1
a b,
a c nên loại A, C
c
Nếu b
c thì đồ thị hàm số y b x và y log c
x phải đối xứng nhau qua đường phân
giác góc phần tư thứ nhất y
x nên loại D
Câu 19. Cho các hàm số y log a
x và y log b
x có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x 7
cắt trục hoành, đồ thị hàm số y log a
x và y log b
x lần lượt tại H , M , N . Biết rằng
HM
MN . Xác định mối liên hệ giữa a và b.
y
N
M
y
log b
x
y
log a
x
O 7
x
Lời giải
2
Ta có MH MN HN 2MH log 7 2log 7 log 7 log 7 b a a b .
Câu 20. Cho điểm 40
;
b a b a
H đường thẳng x 4 cắt hai đồ thị hàm số y log a
xvà y log b
x lần
lượt tại hai điểm AB , và sao cho AB 2BH
. Xác định mối liên hệ giữa a và b.
Lời giải
Ta có AB 2BH AH 3BH
.
3
3
Từ đồ thị hàm số ta có log 4 3log 4 log 4 log
3
4 b a b a .
a b a b
--------------------Hết--------------------
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 74

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Phương trình mũ.
Phương trình mũ cơ bản có dạng: .
Với a và b là các số cho trước.
Nghiệm của phương trình mũ cơ bản
và y b như hình.
x
Cho đồ thị của hai hàm số y a a 0,
a 1
Từ hình vẽ ta thấy với:
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong
+ b 0 đường thẳng y b không cắt đường cong
y
x
a tại điểm log ;
y
x
a .
x
Khi đó phương trình mũ cơ bản có dạng: a b a 0,
a 1
:
● Nếu b 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất.
● Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm.
a bb.
Chú ý
⑴ Nếu thì ta có .
⑵ Tổng quát hơn
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 75

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Phương trình logarit.
Phương trình logarit cơ bản có dạng: .
Với a và b là các số cho trước.
Nghiệm của phương trình logarit cơ bản
y log x a 0,
a 1 và y b như hình.
Cho đồ thị của hai hàm số
a
Từ hình vẽ ta thấy với:
b
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong y log a
x tại điểm a ; b .
b
+ b 0 đường thẳng y b cắt đường cong y log a
x tại điểm a ; b .
Khi đó phương trình logarit cơ bản có dạng: log 0,
1
x b a a luôn có nghiệm duy nhất.
a
Chú ý
⑴ Tổng quát
⑵ Lưu ý để giải phương trình logarit trước hết đặt điều kiện .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 76

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản
Phương pháp
Giải phương trình mũ cơ bản: .
Khi đó
Lưu ý:
Phương trình có một nghiệm duy nhất khi .
Phương trình vô nghiệm khi .
Ví dụ 1.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴
1
3 x
4
Lời giải
Ta có
1
1
x
3 4 log 4 x log 3 .
3 4
x
⑵ 8 x 4
⑶
⑷
x
3 3
2
4
Ta có: 8 x 4 x log
4
2 2
x log
8 3
2
2
3
x
3 3 3
Ta có: x log
3
2 4 4
2
x
2
2
x
2 2 x log 2 x
2
Ta có: 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 77

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Phương trình mũ đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Với , .
Ví dụ 2.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑴
⑵
2 x 0
8
2 1 1
Ta có
x1 2 2
4
x
1
8
2x1 2x1 3
2 0 2 2 x 1
Lời giải
⑶
1
25
2 2
2
x1 x x1 2x 2
x 2
3
Ta có 2 4 2 2 x 1
2x x 4x
1 0 .
x
2 3
x1
125
Ta có
2x1
1
⑷ 2 2
4
x
x1
1
x 2x1
3x
2
125 5 5 2x 1
3x x .
25
5
x2
2x1
1
Ta có 2 2
4
1
2x1
2 2
2 2.
2
x2
x2
x
2 2
3 x2
4 2 2
3 x 2 2
4x 2 x
2 11
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 78

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Phương trình mũ dùng logarit hóa
Phương pháp
Phương trình .
Phương trình
hoặc
Ví dụ 3.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
x 1
2 x
8
Lời giải
⑴
x 1
Ta có 2 x
1
8 x 1 xlog
8 x 1 3x 2x 1 x .
2
2
x x
4 3
⑵ 3 4
x x
Ta có 4 3 .log 4
log log
4
x log
43 x
4 3
.log 4
3 x x.log 3
log
4 4 log
4
3 x
1
log 3
4
x2
2x1 1
⑶ 5
125
x2
2x1 1
Ta có 5
125
1 7
2x 1 x 2log
2x 1 3 5
x 2
5x 7
x .
125 5
x x x1
⑷ 5
2 . 5 0, 2.
10
x x x1
Ta có 5
2 . 5 0, 2.
10
x
5x5
3 1
2. 5 0, 2.
10 x log 0,
25x5
4x
6log
2 x 2 4 .log 2 .
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 79

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Phương trình mũ đặt ẩn phụ cơ bản
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Thông thường sẽ gặp các cơ số: .
⑴
⑵
⑶
⑷
Ví dụ 4.1.
Biến đổi các phương trình sau với phép đặt cho trước.
x x1
4 3.
2 2 0
, khi đặt t 2 x
Ta có
Đặt
t
1 2
4 x 3. 2 x
2 0 2 x 6.
2 x 2 0
2 x
2x1 x1
2 2 1 0
, ta được phương trình
, khi đặt h 2 x
Ta có
Đặt
x1 x1
9 3 30 0
2x1 x1
2 2 1
0
h 2 x ta được phương trình
, khi đặt u 3 x
t
2
Lời giải
6t 2 0
2
2
x
2x 2x x
2. 2 1 0 4.
2 2 2 0
2
4h
h 2 0
.
1 1
Ta có: 9 x
3 x
30 0 9. 9 x 3. 3 x 30 0 3.
9 x 3 x 10 0
Đặt
2x
x2
5 3.
5 32 0
u 3 x ta được phương trình
, khi đặt m 5 x
2
3u
u 10 0
.
2 2 2 2 2
Ta có: 5 x 3. 5 x
32 0 5 x 3. 5 . 5 x 32 0 5 x 75.
5 x 32 0
Đặt
⑴ , khi đặt ⑵ , khi đặt
⑶ , khi đặt ⑷ , khi đặt
m 5 x ta được phương trình
2
m 75m 32 0 .
Ví dụ 4.2.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴
x x2
4 2 3 0
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 80

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ta có
2 2
2 x 2 x . 2 2 3 0 2 x 4.
2 x 3 0
x x2
4 2 3 0
Đặt t 2 x
t
0
Khi đó
x x
⑵ 9 5.
3 6 0
⑶
⑷
.
.
L
N
t
2 7 0
4 3 0
2 2 7 2 7
t 2 7 0
2
t . t x x log
2
Vậy nghiệm của phương trình là x log 2 2 7
.
x
2
2
x
x
x
3 5.
3 6 0 3 5.
3 6 0
x x
Ta có 9 5.
3 6 0
x
Đặt t 3 0.
t
2
x
2
t 3 2
x
log
Khi đó:
t 5t 6 0
t
x
3
t 3 3 x
1
Vậy nghiệm của phương trình là x1; x log 2.
3
1
4. 4 x x
9.
2 8 0
Ta có
x
2
2
x
x
x
42 18.
2 8 0 42 18.
2 8 0
1
4. 4 x x
9.
2 8 0
x
Đặt t 2 0.
t
4
x
2 4
2
Khi đó:
4t
18t 8 0
t 1 x
2 1
2 2
Vậy nghiệm của phương trình là x 1;
x 2.
12x
x
2 15.
2 8 0
Ta có
12x
x
2 15.
2 8 0
x
Đặt t 2 0.
Khi đó:
3 2
x
2
x
1
x
2
2
x
x
x
22 15.
2 8 0 22 15.
2 8 0
2
2t
15t
8 0
Vậy nghiệm của phương trình là x 1.
1
t N
x 1
2 2 x 1.
2
t 8L
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 81

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 5. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với phương trình đẳng cấp
Phương pháp
Phương trình đẳng cấp có dạng: .
Khi đó với phương trình mũ đẳng cấp có dạng:
Phương pháp làm như sau:
01 Chia 2 vế cho , đặt .
.
02 Chia 2 vế cho , đặt .
Lưu ý:
Đây là dạng sẽ có trong bài “Bất phương trình mũ”, lúc giải BPT mũ ta cần chú ý đến
cơ số lớn hay bé hơn 1. Để giảm sai sót chúng ta hãy “chia 2 vế” cho cơ số bé nhất !!!
.
⑴ 8 18 2.
27
Ví dụ 5.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑶
⑷
Lời giải
x x x
x x x
8 18 2.
27
x
2x
3x
3
x
3 3
t
1
2.
0
3
2
2 2
t 1 x
0
2
3 2
2t
t 1 0
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 82

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑵ 25 15 2.
9
Vậy phương trình có nghiệm x 0 .
x x x
25 15 2.
9
x x x
x
5
2x
x t
0
x
5 5
3 5
2
0
1 x 0
3 3
.
t
1
3
t
2
Vậy phương trình có nghiệm x 0 .
⑶ 6. 4 x 13. 6 x 6.
9 x 0
x
2
t
t
0
3
2x
x
6. 4 x 13. 6 x 6.
9 x 2 2
x
1
0 6. 13.
6 0
2
3 x
3 3
.
3
2 x
1
x
2 2
3 3
Vậy phương trình có nghiệm x1;
x 1.
⑷ 2. 49 x 7. 4 x 9.
14 x 0
x
7
t
t
0
2
x
2x
2. 49 x 7. 4 x 9.
14 x 7 7
x
0
0 2.
7 9 0
7
x
1
2 2
.
2
x
1
x
7 7
2 2
Vậy phương trình có nghiệm x1;
x 0.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 83

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 6. Phương trình mũ đặt ẩn phụ với tích hai cơ số bằng 1
Phương pháp
Phương trình đẳng cấp có dạng: .
Phương trình mũ ta xét có dạng: trong đó .
Phương pháp làm như sau:
Vì Đặt .
Khi đó .
Ví dụ 6.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
x
⑴
2 1 2 1 2 2 0
x
Lời giải
1
21 x , t 0
t
Thấy 2 1 2 1
1. Đặt t 21
x
Phương trình trở thành: 1 t 2 2 0
t
2
t 2 2t1 0
x
⑵
2 3 2 3 4
x
x
2 1
2 1 x 1
x
x
t
21
.
1
t 21 2 1 2 1 2 1 2 1 x 1
1
2 3 x , t 0
t
Thấy 2 3.
2 3
1. Đặt t 2 3
x
1
Phương trình trở thành: t 4
t
x
2
t 2 3
2 3 2 3 x 1
t 4t1 0
x
x
1
t 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
x 1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 84

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
x
⑶ 3 2 2 3.
3 2 2 12 4 2
Thấy 3 2 2 .
3 2 2 1. Đặt t 3 2 2
1
Phương trình trở thành: t 3.
12 4 2
0
t
2
t 12 4 2 t 3 0
1
3 2 2 x , t 0
t
164 96 2
t
6 2 2
2
164 96 2
t 6 2 2
2
x
164 96 2
3 2 2 6 2 2 x 1
2
3 2 2 6 2 2 1 3 1 3
x
164 96 2
x log log
32 2 32 2
2
x
x
x
⑷ 3 5 3 5 3.
2
3 5 x
3 5 3 5
3 5 x
3 2
x
. 3
Thấy
x
2 2
3 5 3 5 3 5 3
5
1
2 2 2 2
x
x
3
5
3
5 1
Đặt t
, t 0
2
2
t
1
Phương trình trở thành: t 3
t
x
3 5
3 5
3
5
t
2 2
2
2
x
1
t 3t1 0
x
1
3
5 x 1
t
3 5 3 5
3 5
2
2 2 2
x
x
x
.
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 85

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 7. Phương trình logarit cơ bản
Phương pháp
Giải phương trình logarit cơ bản: .
Khi đó
Lưu ý:
Xác định điều kiện trước khi giải phương trình.
Phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 7.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴ log x 5
2
Lời giải
⑵ log4 x 2
2
⑶ log x 1 3
2
2
⑷
4
2
x 0
Ta có: log x 5 x 32
2
5
x 2
x 2
log x 2
x 2 4
Ta có 2
4 2
x 10
Ta có log x 1 3 2 3
x 1 2
log x 2 8
2
2
Ta có
4
log x 2 8
2
2
x
2
x 18
.
x
18
x
1 x
2
x
18
x
9 x 9 .
x
1 8
x
7
x
2
x 2
x 2 x
2.
2
x
0 x
0
2
x
20
x
2
2
2
8
x
2 2
4
2 x 4
2
2
x
2
4
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 86

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 8. Phương trình logarit đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các
phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:
Loại 1: . Loại 2: .
Ví dụ 8.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑴ lnx 1 lnx 3 lnx
7
⑵
⑷
Lời giải
Điều kiện
x 10
x
3 0 x 1
x
7 0
x 1 x 3 x
7
ln ln ln
x 1x 3
ln x
7
ln
x
1
x 1 x 3 x 7 .
x
4
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 1.
⑵ 2log
x 2 x 1 log x
1
2 2
1
5
x
2
2
x
x1 0
1
5
Điều kiện
1
5 x
x 10
x
2
2
x 1
2
x x log x
2
x x
2 log
2x
log
2 2
2log
1 1
2 2
2log
1 2 1
2 2
log x x x x x x x
1 1 1 1 2
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 2.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 87

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ log x
12 .log 2 1
4 x
Điều kiện
x12 0 x 12
x
0
x 0 x 0
x 1
x1 x1
log x 12 .log 2 1
4 x
1 1
x
12
1
x
2
2 log . log2
log x12 2log
2 2
x
x3
2 2
log2x 12
log x x x 12 0
2
x
4
L
N
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 4.
⑷ log x
log x
4 2 14 4
3 9
Điều kiện
log
x 4 0 x 4
4 x 14
14 x 0 x14
x 4 2log
14 x
4
x
log
3 x
3 2
x
log x
3 9
log 4 2 14 4
log 4 14 4
3 3
x
x
log 4 . 14 4
3
4 2 4
x 4 14 x 3 x 10x 56 3 x 5
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x 5 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 88

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 9. Phương trình logarit dùng mũ hóa
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các
phương trình logarit về:
Ví dụ 9.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
⑴ x
log x
2
3 2 1
Điều kiện
0
0
2
x
x
2
x
1 x 1
.
x
x
Lời giải
3 2 0 3
2
3 2 1
2 2
x
1
log x
x 3 2x x x 2x
3 0
2
x
3
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là S 3
.
⑵ log 2
x
x x
2 64 2
5 Điều kiện
log x
x x
5x
0
x
5
5 x 1
.
x 4
2
x 2x 64 0 x
2
2 64 2
5
2
2
x 2x 64 5 x x 2x 64 25 10x x 8x 39
x
8
39
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là S
8 .
log 2
5 25 2
x 1 x
⑶
Điều kiện
x 1 x
5 25 0
.
2 2 39
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 89

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x 2x1
⑷ log 25 2
x 1
log 2
5 x
25 2
x1
x
5 25 4
2x
x
5 5.
5 4 0
x
5 1
x
0
x .
5 4 x
log 4
5
S 0;log
4 .
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là
x
Điều kiện
log
x
⑸
25 2
x 2x1
25 2 0
.
x 2x1
x
x
x
x x x 4 10 2 2
25 2.
4 10
1 2 0 2 1 0
25 25 5 5
t
1
x
L
2
Đặt t t
2
x
0
. Khi đó trở thành 2t
t1
0
5
1 2 1
t x
log
2 5 2
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là S
log 2
5 .
2
log 2
9 2 3 x
x
x
Điều kiện 9 2 0 2 9 x log 9 .
2
log 9 2 x
3 x
2
Đặt 2 x t t 0
. Khi đó
3 1
2x
2
x x
9.
2 2 8 0
x 3x
x
9 2 2 9 2 2 .
2
x
x
t 8N
2 1 x 0
2
trở thành t
9t 8 0
.
x
t 1 N
2 8 x 3
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là 03
;
x
x
⑹ log 4 4 x log 2 1 3
2 0,
5
Điều kiện
log
x
4 4 0 x
x1
2 3 0
x
x
4 4 x log 2 1 3
,
x
x
4 4 x log 2 1 3
2 2
2 2
x
x
2 4 2 4
2 0 5
log
x1
2 3 0 x log 3 1
2
2
.
x
S .
x x x
log x 2 2 3.
2 4 0
2 x
x
2. 2 3 2.
2 3
t
1L
Đặt 2 x
2
x
t t 0
. Khi đó trở thành t
3t 4 0 2 4 x 2 .
t 4 N
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là
S 2
.
5
5
2
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 90

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 10. Phương trình logarit đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Lưu ý: với không có điều kiện của .
Ví dụ 9.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
⑴
⑵
log
log
x 4log
x 3 0
2
3 3
Điều kiện: x 0 .
2
log x 4log
x 3 0
3 3
Lời giải
t 1 log x 1 x 3
t 3 log x 3 x 27
3
log3 xt
2
3
t 4t 3 0 S 3;
27
x2log
x
5
2
05 ,
2
Điều kiện x 0
log
2
x2log
x5
log x 4log
x5 0
2
1 2
2
2 2
5 5 1
t x
t log x x
4 5 0
32 1 ; 4
t 1 log x 2 x 4
32
2
log2 2
2
t t S
⑶ 3 log xlog
3x
1
0
3 3
Điều kiện
log x 0
3
x
1
x
0 x 1
x 0
3x
0
3 log x log 3x 1 0 log x 3 log x 2 0
3 3 3 3
2
t log3
x t0
t 2 log x 2 x 3 9
2 3
t 3t 2 0 S 3;
9
1
t 1 log x 1 x 3 3
3
⑷ log x log 64 1
2 x
.
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 91

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện: 0x
1.
log x log 64 1
2 x
log x 6log 2 1
2 x
t 3 log x 3 x 8
2
tlog2
xt0
6 2
1
t 1 t t 6 0
1 S 8;
.
t t 2 log x 2 x 4
2
4
2
⑸ log x log
2
2 x
⑹
8 3 0
Điều kiện: x 0 .
log
2
2
2
x log x 8 3 0
2
2 2 2
2log x log x log 8 3 0.
2 3
4 log x log x 0
2 2
2
log
x 2
8 2log
x3 0
2 2
1
t 1 log x 1 x 2 2
2
1 3
tlog2
x 2 2 2
2 4
8t 2t 3 0
S 2 ; 2
3
t 3 log x 3 x 2 4
2
2 2
log x log x1 5 0
3 3
Điều kiện: x 0 .
2 2
log x log x1 5 0
3 3
t 2N
t t 6 0
1
t 3L
2
log3
x1t t 1 2
2
log3
xt
4 4
log
x 3 x
3
log log ;
3
2 2 3
3 3
x 1 2 1 4
S 3 3
3 3
3
log
x 3 x
3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 92

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 21. Giải các phương trình sau:
⑴ log4 x 1
3
⑵ log x
2
⑶
2 5
4
1 2
2
log x 1 3
2
log x ⑷
2
2
⑸ log2 x 1
3
⑹
2
2
⑺ log25 x 1
log 10
⑻ log x
⑼
log x
⑴ log4 x 1
3
⑵ log x
2
4x
2
3
⑽
Lời giải
Điều kiện: x1 0 x
1
3
Phương trình log4 x 1 3 x 1 4 x 65 .
1 2
2
⑶ log2 x 5
4
2
⑷
Điều kiện: 1 x 0 x
1
Phương trình log 2 1x
2
1 x 4 x 3.
Điều kiện: 1 x 0 x
1
Phương trình log 2 1x
2
1 x 4 x 3.
log x 1 3
2
2
⑸
Điều kiện: x5 0 x
5
log x x5 16 x 21.
Phương trình 5
2 4
log x 1 3
2
Điều kiện:
x
1 0
x
1
2
x 1
log x 1 3
2
x
Phương trình
2
2
⑹ log3 x 7
2
Điều kiện:
2
⑺ log
x
2
x 7
2
Phương trình
x 1 log 10
25
2
log x 7 2
3
9 log 4
3 2
2
log x 5 3
2
2
1
8x
9
x 3.
7 0
x
7
2
x 4
log x 7 2
3
x 7
9 .
x
4
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 93

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện:
2
⑻ log x
⑼
⑽
log x
x
1 0
x
1
2
x 1
2
Phương trình log
2
log x
25
9 log 4
3 2
Điều kiện:
x 1 log 10
25
1
1
2 2
x 6
2
1
log10
x 1 25 x 6 .
2
x
6
2
9 x 0 3 x
3
2
Phương trình log39x
log 4
2
log log log
3 2 3
2 2 2 2 2 2
9 x 2 9 x 2 9 x 3 x 0 x 0 .
2
4x
2
3
Điều kiện:
x
Phương trình
4 0
x
2
2
x 2
log x
2
4x
2
3
2 2
2 2
x 4x 9 x 4x
9 0
log x 4x 2 x 4x 9 x 2 3
3
2
.
2
x 4x 9 x 4x
9 0
2
log x 5 3
2
Điều kiện:
x
2
Phương trình
5 0
x
2
log x 5 3
2
Câu 22. Giải các phương trình sau:
x 5 8 x 5 64 x 59
x
2 2 2
x 59
2
2
⑴ log x
2x 2
1
⑵ x
x
3
2
2
⑶ log x
5x 7
log 1
⑷ log x log
1 1
2 2
2
⑸ log
, x x
0 25
3 1
log 2 1
3
1
4 2
⑹ log x
3x
1
3
1
log 3
⑺ 2
2
log 2x1 2log
2 2x 2
⑻ x
log2
x
2
⑼ 2x 5x 2 7x
6
2
0
2
⑴ log x
x
2 2 1
Điều kiện:
log x
2
x 2x 2 0
x
Lời giải
3 5 0
⑽
log x.log 2x 1 2log
x
2 3 2
5
.
59
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 94

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
⑵ x
x
3
Phương trình log
log 2 1
Điều kiện:
x
x 2x 2 1 x 2x 2 10 x 2x
8 0
x
4
2 2 2
x 2
2x 0
x
2
2 2 1 2
x
1
log x 2x 1 x 2x 3 x 2x
3 0 .
x
3
2
x 0
Phương trình
3
2
⑶ log x
x
⑷
log
5 7 log 1
1 1
2 2
Điều kiện:
2
x 5x 7 0
x
2
Phương trình log x
x
5 7 log 1
1 1
2 2
2 2 2
log x 5x 7 0 x 5x 7 1 x 5x
6 0
1
2
x 2
log
3
1
4 2
Điều kiện:
x
2
Phương trình
2
⑸ log
, x x
0 x 0.
log
x 2
log
3
1
4 2
x
2
x
3
1 2 2 2 2
log 1 log 3 log 2.log
6 6 6
2 2 2 2
2 x x x x
3 1
0 25
Điều kiện:
x
3x 0 .
x
0
2
x 3
2
Phương trình log
, x x
⑹ log x
3x
1
3
1
log 3
Điều kiện: x
x
2
3 1
0 25 1 2
x
4
x 3x 0,
25 x 3x
4 0
x
1
5
x
1
3 1 0 .
x
3
1
2
x 4
Phương trình log
3 x 3x1
x 3x 1 5 x 2x
3 5
⑺ log 2x1 2
2log
x
2
2 2
log
5
3
.
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 95

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2 x 2 .
x
20 x
20
x
2
2x
1 2 0
2x
1 0
x
1
Điều kiện:
Phương trình log 2x1 2
2log
2 2x
2
2log
2x 1 2log
x 2 2x 1 x 2 x 1 Loai
2
⑻ x
log2
x
3 5 0
Điều kiện:
2 2
2
5 x 0 5 x 5
.
2
Phương trình x
log
x
2
⑼ x x x
2 5 2 log x
7 6 2
0
x 30 x
3
x3
L
3 5 0
2
2
2
log2
5x 0
5x 1
x2
N
0x
1
0x
1 6
Điều kiện 6 x 1
.
7x
6 0 x
7
7
2 5 2 7 6 2
0
x
log
x
2
Phương trình x x log
x
x
2
x
2
2
1 2x
5x
2 0 1
N
L
2 2
2 7x 6 2 0 7x 6 x x 7x
6 0
⑽
.
x
7x
6 2 0 2
2
2x
5 2 0 1
x
1 L
log x
x
6
log x.log 2x 1 2log
x
2 3 2
Điều kiện
x
0
x
0
1
1 x .
2x
1 0 x
2
2
Phương trình
log x.log x log x
log x.log 2x 1 2log
x
2 3 2
2 3 2
2 1 2 0
log
x 0
2
x
1
log x. log
2 32x
1
2
0
log3
2x
1
2 x
5
Câu 23. Giải các phương trình sau:
N
⑴ log x log
2 2x1
1
⑵ log x log
2 2x3
2
⑶ log x log x 6
log 7
⑷ log x
log x
3 3 3
1 1 3
2 2
.
.
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 96

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑸ log x1 2 1 log23x 1
⑹ log 2x1 3 log3x1
1
⑺ log x1 3 1 log34x 1
⑻ log 2x1 3 1 log3x
1
2
⑼ lnx 1 lnx 3 lnx
7
⑽ log x log x lne
⑴ log x log x
1 1
2 2
Điều kiện:
x0 x0
x 1.
x1 0 x1
Lời giải
2 2
1
x
1
log x log x 1 1 log x x 1 1 x x 2 0
2 2 2
.
x
2
Phương trình
2
Kết hợp với điều kiện ta được: x 2.
⑵ log x log x
3 2
2 2
Điều kiện:
x0 x0
x 3.
x 3 0 x
3
x
4
3 2 log x x 3 2 x 3x
4 0
2 2 2
.
x
1
2
Phương trình log x log x
Kết hợp với điều kiện ta được x 4.
⑶ x x
log log 6 log 7
3 3 3
Điều kiện:
x0 x0
x 6.
x 6 0 x
6
Phương trình x x
log log 6 log 7
3 3 3
2
x
1
log
x
7
log x x 6 7 x 6x
7 0
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 7 .
⑷ log x
log x
1 1 3
2 2
x1 0 x1
Điều kiện x 1.
x1 0 x 1
2 2
Phương trình log2x1 log2x1
3 log2 x 1
3 x 1 8 x 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
⑸ log x1 1 log 3x
1
2 2
Điều kiện
x
10
x 1
1
3 1 0 1
x .
x x
3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 97

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Phương trình log x1 2 1 log23x
1
log . log
x 1 2 3x 1 2 x 1 3x 1 x 3
2
.
2
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
⑹ log x log x
2 1 1 1
3 3
1
2x
1 0
x
Điều kiện 2 x 1.
x
10
x
1
2x1 2x1
Phương trình log32x1 log3x1
1
log 1 3 x 4
3
x1 x1
Kết hợp với điều kiện ta được x 4.
⑺ log x1 1 log 4x
1
3 3
Điều kiện:
x
1
x
10
1
1 x
.
4x
1
0 x
4
4
Phương trình log log
x 1 1 4x 1 3 x 1 4x 1 x 2
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 2.
⑻ log 2x1 1 log x
1
3 3
Điều kiện:
2x
1 0 x 1.
x
1 0
Phương trình log 2x1 1 log x
1
3 3
2x
1 log 3 x
1
log
3 3 2x1 3x3
x
4
Kết hợp với điều kiện ta được x 4
⑼ lnx 1 lnx 3 lnx
7
Điều kiện:
x1 0 x 1
x 3 0 x 3 x 1
x
7 0
x 7
Phương trình lnx 1 lnx 3 lnx
7
x 1x 3
ln x
7
ln
Kết hợp với điều kiện ta được x 1
⑽
2
log x log x lne
2 2
1
2
x 1
x 1 x 3 x 7 x 3x 4 0
x
4
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 98

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện:
x1 0 x1
x 1
x0 x0
Ta có:
2
log x log x lne
2 2
1
1
17
1 2 log x 1 x 2 x x 1 4 x x 4 0 x
2 2 2
2
2
log x log x
Kết hợp với điều kiện ta được
Câu 24. Giải các phương trình sau:
1
17
x
2
⑴ log x1 2 log10 log2x 1
⑵ log3 x
log x
3
⑶ 2x 1 x 1 2022
2022
e ⑷ x
x
log log log
3 3
e
6 9 5 0
log 1 log 2 log 125
2 2 5
2
3
4
⑸ x 2 3 log x
1
⑹ log 2
5
6 x
⑺ log x log x log
x 11
⑻ log x 4log x log x 13
2 4 8 2
4 8
2
log2 x 2x log4
168x
log x3 log
x 1
⑽ 2 4
⑼
2 2
x
⑴ log x1 log10 log x
1
2 2
⑵ log x
Điều kiện:
x
x1 0 x 1
x 1.
x1 0 x1
Lời giải
Phương trình log x1 2 log10 log2x
1
log x1 1 log x1
log x
1 log 2.
x
1
2 2
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
6 log 9x5 0
3 3
Điều kiện
6 x 0 x 6
x 0
9x0 x0
Phương trình log x
3 3
x 1 2x 2 x 3 .
6 log 9x5 0
2 2
2
log 6 x
log x 3 log3
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
⑶ 2 1 1 2022
2022
log log log
3 3
e
x x e
Điều kiện:
2x
1 0
x
1.
x
1 0
x
3
x 6 x 3 x 6x
27 0 .
x
9
Phương trình 2 1 1 2022
2022
log log log
3 3
e
x x e
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 99

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x log x
x x
2x
1 log 3x
3
log 2 1 1 1
3 3
log 2 1 log 1 log 3
3 3 3
log 2x1 3x3
x
4 .
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 4.
⑷ x
x
⑸
⑹
log 1 log 2 log 125
2 2 5
Điều kiện:
x 2
3 log x
log
5
x1 0 x1
x 2
x 2 0 x
2
Phương trình x
x
log x x
log 1 log 2 log 125
2
3 2 3
2
Kết hợp với điều kiện ta được
2
3 4
Điều kiện:
x
Phương trình
2 2 5
4 0
x
2
2
x 2
x 23 log x
3
33
x
2
.
3 33
x
2
2
x 3x 6 0
2
3 4
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
3
33
x .
2
2 2
x
3
x 2 x 4 x x 6 0
x
2
1
2
6 x
1
Điều kiện: 0 6 x 0 x 6
6 x
1
Phương trình log 2
5
6 x 1 2 1 29
5 5 x
6 x
6 x
5
29
Kết hợp với điều kiện ta được x .
5
⑺ log x log x log
x 11
2 4 8
Điều kiện: x 0
Phương trình log x log x log
x 11
2 4 8
log x log x log x 11
2 2 3
2 2
1 1 11
log log log .log log
2 3 6
6
x x x 11 x 11 x 6 x 2 64
2 2 2 2 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 100

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Kết hợp với điều kiện ta được x 64 .
⑻ log log log
2
4 8
x 4 x x 13
Điều kiện: x 0
Phương trình log x 4log x log x 13
4 8
log x 4log x log x 13
1 2 3
2 2
22
2
1 13
2log x 2log x log x 13 log x 13 log x 3 x 8
2 2 2 2 2
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 8.
⑼ log
2 x3 log
2 x
1
x
x
x
30
x
3
x
1 0
Điều kiện:
x 1 x 1
2
x
0 x
0 x
1
2
x
1
Phương trình log
2 x3 log
2 x
1
x
x
3
log
2 x 3 log
2 x 1 0 x 3x
1
0
x
x
x
1
Kết hợp với điều kiện ta được x.
2
log2 x 2x log4
168x
⑽ 2 4
Điều kiện:
Phương trình
x
0
2
x 2x 0
x 2
x 0
16 8x
0 1
x
2
x
2
log2 x 2x log4
168x
2
x
8
2 4 x 2x 16 8x x 2x
8
0
x
2
Kết hợp với điều kiện ta được x 8.
Câu 25. Giải các phương trình sau:
2
2
⑴ log x log
2 2x x
⑵ log x
1 2 log
22x
2
⑶ log 2x 1 3 log3x 1 2022 log e
2022
e ⑷ log x 4x 3
2 log
24x
4
2
⑸ log x x 1 log 2x
1
log x1 log x1 1.
01 ,
⑹ 1
2
2
2
2
⑺ log x 4x log 2x
3
0 ⑻ log x
log2
x
3 1
3
2
1 2 1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 101

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑼ log x log x log
2 4 1
2
2
⑴ log x log
2 2x x
3
⑽ 3log
x1 log x 5 3
3
x
0
x 0
Điều kiện x 1 x 1
2 .
x x0
x
0
2
Phương trình log x log
2 2x x
Kết hợp với điều kiện ta được x 2.
2
⑵ log x
1 log 2x
2 2
Lời giải
3 1
3
2 2
x
0
x x x x 2x
0
x
2
x
1
2
x 10
Điều kiện x 1 x 1
2x
0
.
x
0
2
2 2
x 1
2
Phương trình log2x
1 log
22x
x 1 2x x 2x
1 0
x
1 2
Kết hợp với điều kiện ta được x 1 2 .
⑶ 2 1 1 2022
2022
log log log
3 3
e
x x e
x
1
2
x 10
Điều kiện x 1 x 1
2x
0
.
x
0
2
2 2
x 1
2
Phương trình log2x
1 log
22x
x 1 2x x 2x
1 0
x
1 2
Kết hợp với điều kiện ta được x 1 2 .
2
⑷ log x 4x 3 log 4x
4
2 2
Điều kiện
x
3
2
x 4x 3 0
x 1 x 3
4x
4 0
.
x
1
2
Phương trình log x 4x 3 log 4x
4
2 2
2 2
x x x x x x
4 3 4 4 8 7 0 7
Kết hợp với điều kiện ta được x 7 .
2
⑸ log x x 1 log 2x
1
01 ,
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 102

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện
2x
1 0
2
x x 1 0 x
x
1 . 2
2
Phương trình log x x 1 log 2x
1
01 ,
log01
,
2 2 2
log x x 1 2x 1 x x 1 2x 1 x 3x
2 0
Kết hợp với điều kiện ta được x1;
x 2.
⑹ x
x
log 1 log 1 1.
2
Điều kiện
1
2
x1 0 x1
x 1.
x1 0 x 1
Phương trình log x
log x
x
log x
x
x
2log
1 1 1
2
2 2
1 1 1
2log 1 log 1 log 2
1
2
2 2 2
x
1 2
log 2x
1
log
2 2
2
x x x
Kết hợp với điều kiện ta được x 2 5.
2
⑺ log x x log x
4 2 3 0
3 1
3
Điều kiện
x
0
2
x 4x 0
x 4
x 0 .
2x
3 0 3
x
2
2
Phương trình log x x log x
4 2 3 0
3 1
3
log
2 2
log x 4x 2x 3 x 4x 2x
3
3 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 1.
2
⑻ log x
log2
x
2
1 2 1
x 10
Điều kiện
x 1.
2
x 2 0x
2
Phương trình log x
log2
x
2
1 2 1
x
1
x
2
2
x 2
5
2 1 2 2 x 4x1 0 .
x
2 5
x
1
.
x
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 103

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2 2 2
2 x 2 2 x x
x
0
x 1
x 2x 1 1 0 2x
0 .
2 2 2
x
4
Kết hợp với điều kiện ta được x 0 .
⑼ log xlog x
log
2 4 1
2
Điều kiện: x 0
3
Phương trình log xlog x
log
2 4 1
1 1
log x log x log 3
2 2 2
2 2
2log xlog xlog
3 0
2 2 2
2
3
1
.
3
3 3 3
3log
x log
3 0 log x log 3 0 log
2 2
2 2 2 3x 0 3x 1 x
3
Kết hợp với điều kiện ta được
⑽ log x
log x
3
3 1 5 3
3 1
3
Điều kiện:
1
x .
3
3
x1 0 x1
x 5
x 5 0 x
5
Phương trình log x
log x
3
3 1 5 3
3 1
3
x
log
3 3x
x
1 log x
5
1
2
3log
1 3 5 3
log
3 3
log x 1 x 5 1 x 1 x 5 3 x 6x 2 0 x 3
7
3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3 7 .
Câu 26. Giải các phương trình sau:
⑴ log x
log01
, x
1
2
2
3 3 1
⑵ log x 4x 3 log 4x
4
0
2 1
2
2
⑶ log x log x
10
2 log 4 ⑷ log x
log x
2
3
2 4 0
2
⑸ log x1 2log x1
log 4
⑹ x
x
2
3
3
log 1 .log 1 log 2 log 2
2 4 0,
5 2
2
⑺ log x.log x.log x.log
x ⑻ log
3 9 27 81
x
log
2
2 x
2 2
⑼ 2log
2 x x 2 log
1 x 7x
12
e
e
1 2 1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 104

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑽ log x 4 14x 3 100x 2 12x 25 4log
39x 2 70x
3
2 16
⑴ log x
log01
, x
3 3 1
Điều kiện:
x 3 0 x 3
x
x 3 0 x
3
Phương trình log x
log01
, x
x
log x
Lời giải
3 3 1
2 2
x
5
log 3 3 1
log x
3
1 x 3 10
.
x
2
Kết hợp với điều kiện ta được x 5 .
2
⑵ log x x log x
4 3 4 4 0
2 1
2
Điều kiện:
x
3
2
x 4x 3 0
x 1 x 3
4x
4 0
x
1
2
Phương trình log x x log x
4 3 4 4 0
2 1
2
2
x x log x
log 4 3 4 4 0
2 2
2 3 2
x
1
log
2 x 4x 34x 4 0 4x 20x 28x
12 0 .
x
3
Kết hợp với điều kiện ta được x .
1
log log 10 2 log 4
2
2
x 0 x
0
Điều kiện: .
x 10 0 x
10
1 2
Phương trình log log 10
2 log 4
2 x x
.
⑶ x 2
x
log x log x10
log 25 log x . x10 log 25
• Với x 0 thì
• Với 10 x 0 thì
3
.
2
x 5 5 2
x 10x 25 0 .
x
5 5 2
2
x 10x 25 0 x 5 .
Kết hợp với điều kiện ta được x 5 5 2;
x 5.
⑷ 2
log
3
x 2 log x 4 0
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 105

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện:
x 2 0 x
2
4 x 2.
x 4 0 x
4
Phương trình 2
log
3 3
3
x 2 log x 4 0
2log
x 2 2log
x 4 0
log x 2 x 4 0
3
3
2
x 2 x 4 1 x 6x 7 0 x
3
2
x 2
x 4 1
2
x 2x 4
1
x 6x 9 0
x 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3 2;
x 3.
2
⑸ x
x
log 1 2log 1 log 4
Điều kiện:
x1 0 x
1
.
x1 0 x 1
2
Phương trình log x1 2log x1
log 4.
2log x1 2log x1
2log
2 x x
• Với x 1 thì
• Với 1
x 1
thì
x 1 2 0
x
2
x 3
1 1 2
log . log .
.
3
2
x
1 0 vô nghiệm.
Kết hợp với điều kiện ta được x 3 .
⑹ x
x
log 1 .log 1 log 2 log 2
2 4 0,
5 2
Điều kiện: x1 0 x 1.
Phương trình x
x
x x
log x1.log
x1
2
log 1 .log 1 log 2 log 2
2 4 0,
5 2
log 1 .log 1 log 2 log 2
2 4 2 2
2 4
1
log
2x1. log2x1
2
2
1 4 5
1
2 2 log
x
1 2 2
x x
log2x
1 2 log2x
1
4
1 5
2
log2
x
1
2 x
1
x
4
4
5
Kết hợp với điều kiện ta được x5;
x .
4
2
log x.log x.log x.log
x
3
⑺
3 9 27 81
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 106

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện x 0 .
2
Phương trình log x.log x.log x.log
x
3 9 27 81
3
x
9
1 1 1 2
4 log
x 2
3
log . .log x. log x. log x log x 16
3 3 3 3 3 1
2 3 4 3
log
x 2
3
x
9
Kết hợp với điều kiện ta được
2
⑻ log x
log2
x
2
1 2 1
Điều kiện:
2
x
1
x9;
x .
9
x
0 0
x 4 .
x 4 0 x
4
1 2 2
ln ln 4 ln10 ln 4
2 x x
.
Phương trình
ln x lnx 4
ln 25 ln x . x 4 ln 25
.
.
x
2 29
2
x 2 29
• Với x 0 thì xx 4 25 x 4x
25 0
• Với x 0 thì
2
x x 4 25 x 4x
25 0 vô nghiệm.
Kết hợp với điều kiện ta được x 2 29 .
2 2
⑼ 2log
2 x x 2 log
1 x 7x
12
e
Điều kiện:
e
x
1
2
2
x
x x 2
0 x
2
1 x 3
2
.
x 7x12 0 x
4 x
4
x
3
2 2
Phương trình 2log
2 x x 2 log
1 x 7x
12
e
x 2 x 2 ln x 2 7 x 12
ln
2 2
2 2
ln x x 2 ln x 7x
12
0 x x x x
Kết hợp với điều kiện ta được x.
⑽ log x 4 14x 3 100x 2 12x 25 4log
39x 2 70x
3
2 16
e
x
1
x 2
2 7 12 0
x 3
x 4
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 107

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Điều kiện:
4 3 2
x x x x
14 100 12 25 0 1
2
39x
70x 3 0
Phương trình log x 4 14x 3 100x 2 12x 25 4log
39x 2 70x
3
2 16
log x 4 14x 3 100x 2 12x 25 log 39x 2 70x
3
2 2
4 3 2 2
x x x x x x
14 100 12 25 39 70 3
2 2
x 3
7
6 2 8 11 0
x
4 5
4 3 2
x 14x 61x 82x
22 0 x x x x
Kết hợp với điều kiện ta được x 3 7;
x 4 5 .
Câu 27. Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑶
log
log
⑴
⑶
⑸
⑺
log
x 6log
x8 0
⑵ log
2
3 3
3 2
log log log
log
log
x 2log
x1 0
2
2 2
2 5
x x x 1 0
⑷ log x log x 4
0
3 3 3 2
x5log
x 4 0
⑹ log
2
1 3
3
4
2
3 3 3
log x
1
2
x log 36x1 0
2
36 1
36
x ⑻
2
log
2
2
⑼ log 4x log
2x
5
⑽ log x
⑾
2
3 3
2 2
x .log x
x 25
125 1
2 5log
x
0
2 2
2 1
2 5
3log
x log 1 0
⑿ log xlog
x 1
0
2 2
2 2
x
Lời giải
x 6log
x8 0
Điều kiện: x 0 .
2
tlog3 x
t
4 log
x 4
2
3
x81
log x 6log
x8 0
3 3
t 6t 8 0 .
t 2 log
x 2 x 9
3
Kết hợp với điều kiện ta được x81;
x 9 .
x 2log
x1 0
2
2 2
Điều kiện: x 0 .
2
tlog2 x 2
1
log x 2log
x1 0
2 2
t
2t1 0 t 1 log x 1 x .
2
2
1
Kết hợp với điều kiện ta được x .
2
3 2
log log log
x x x 1
0
3 3 3
Điều kiện: x 0 .
3 2
tlog3 x 3 2
1
log x log x log x 1 0
3 3 3
t t t
1 0 t 1 log x 1 x .
3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 108

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2 5
⑷ log x log x
1
2
2
⑸
⑹
⑺
log
log
log
Kết hợp với điều kiện ta được
4
0
Điều kiện: x 0 .
log
2 5
1
2
2
1
x .
3
2 2
x log x 4 0 log x 5log x 4 0 log x
5log
x 4 0
2 2 2
tlog2 x
t
1
log
x1 x
2
2
2
t 5t
4
.
t 4 log
x 4 x 16
2
Kết hợp với điều kiện ta được x2;
x 16 .
x5log
x 4 0
2
1 3
3
Điều kiện: x 0 .
log
x5log
x 4 0 2 2
log x 5log x 4 0 log x 5log
x 4 0
2
1 3
3
3 3 3 3
tlog3 x
2
t 1
log
x1 x
3
3
t 5t
4
.
4
t 4
log x 4 x 3
3
4
Kết hợp với điều kiện ta được x3;
x 3 .
x log 36x1 0
2
36 1
36
Điều kiện: x 0 .
2
2 2
log x log 36x
1 0 log x 1
log x 1
0log x log
x 0
36 1
36
36 36 36 36
tlog36 x
2
t 1 log
x1 x
36
36
t t
0
.
t
0 log
x 0 x1
36
Kết hợp với điều kiện ta được x36;
x 1.
4
2
x
3 3 3
log x
Điều kiện: x 0 .
4
2
log x log x
3 3 3
tlog3 x 2
t t
log x 4.log
x1
0
2
3 3
2
3
t 2 3 log
x 2
3
3
x
3
4 1 0
.
2
3
t 2 3
log x 2 3 x
3
3
Kết hợp với điều kiện ta được
⑻
2
log
x .log x
x 25
125 1
Điều kiện: x0;
x 1.
log
2
.log
125 1
x x
x 25
x
2
3 2
3
3 ; x 3 .
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 109

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
1
2
log 125 log x log x 1
5 3.log 5 1
log x 4
x x
x
5
2
x
5
tlog
3
5 x 1
2
t
4
2
t
1
log
x 1
5
t 3t 4 0
1 .
t
t 4 log
x 4
5
x
625
1
Kết hợp với điều kiện ta được x5;
x .
625
2
⑼ log x log x
4 2 5
2 2
Điều kiện: x 0 .
log
2
⑽ log x
⑾
⑿
x log x
4 2 5
2
2 2
2
2
1 log22x
2log22x
5 log
x
Kết hợp với điều kiện ta được
2 5log
x
0
2 2
Điều kiện: x 0 .
log
2
2x
5log
x 0
2 2
tlog2 x 2
t t
1
x2;
x .
8
2
log x 3log
x 1
0
2 2
3 5 3 5
t
log x
2
2
3 1
2 2 x
3 5 3 5
t log x
2
x 2
2 2
Kết hợp với điều kiện ta được
log
2x
2
2x
4 x
2
2
2 4
2
1
1
log2
2x
2 2x
x
4
8
3
5 3
5
2 2
x2 ; x 2 .
3
5
2
3
5
2
2 1
3log
x log 1
0
2 2
x
Điều kiện: x 0 .
2 1
2
3log x log 1 0 3log x log x 1
0
2 2 2 2
x
1
13 1
13
t
log x
2
tlog2 x
2
2
3t
t1
0
6 6 x
1
13 1
13
t log
x
2
x 2
6 6
Kết hợp với điều kiện ta được
2 5
log xlog
x 1
0
2 2
Điều kiện: x 0 .
1
13 1
13
6 6
x2 ; x 2 .
.
1
13
6
1
13
6
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 110

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
5
2 5 2 2
2 5
log x log x 1 0 log x log x 1 0 log x log x 1 0
2 2 2 2 2 2
2
t
2 log
x 2
2
tlog2 x 2 5
x
4
1t
t1
0
1
1 .
2 t log
x
2 x
2
2 2
Kết hợp với điều kiện ta được x4;
x 2.
Câu 28. Giải các phương trình sau:
3
3 2 1 2x
1
2
⑵ x
x
⑴ log .
x
⑶
⑸
3 log x
2 5
log 2
5 2 2 x
⑷ log x log x 4
0
2
x
3 2
log2 x 3log2 x 2log2
x 1 1
⑹ x
x 1
⑺ log
⑼ log
x
x
3 1 2x
log 2
3 1
3
1
2
log 9 2 3 x.
2
⑻ x
2
2
1 log x
3
81
3
x
⑴ log .
3
⑵ x 3 log x
3 2 1 2x
1
2
x
⑶
9 7 0
Điều kiện 3.
2 x 1.
⑽
Lời giải
2log 2 log 4 log x
4log
3
3 2
x 5x 6x
ln
x 1
x 2x1
x x
x 3. 2 1 2 3. 2 1
2.
2
2
x
log 3.
2 1 2 1
2
Kết hợp với điều kiện ta được x0;
x 1.
Điều kiện x 0
log3x
Ta có x 3 log
log3x
x log 3 log x log x x 0
log 2
5 2 2 x
x
⑷ log .
Điều kiện 2 x 5
3 3 3 3
0
x
log 5 2 x
2
2 4
x x x
2 1 x
0
x 5 2 2 5 2 2 x
x
2
2 4 x
2
Kết hợp với điều kiện ta được x0;
x 2.
3 5 1 2x
1
5
Điều kiện 3. 5 x 1.
x
2 1
x
0
x 1 .
2
x
1
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 111

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑸
x
x 2x1
x x
x 3. 5 1 5 3. 5 1
2.
5
2
x
log 3.
5 1 2 1
5
Kết hợp với điều kiện ta được x0;
x 5 .
3 2
log2 x3log2 x2log2
x 1 1
⑹ x
x
5 1 x
0
x 1 .
5
x 5
2
x
Điều kiện x 0 .
log
x 0 x
1
2
3 2
log2 x3log2 x2log2
x 1 1
x
3 2
log x 3log x 2log x 0 log x 1 x 2
2 2 2 2
x
.
log
x 2 x
4
2
Kết hợp với điều kiện ta được x1; x 2;
x 4 .
log 9 2 3 x.
2
x 1
⑺ log
x
Điều kiện 2 9 x log 9 .
2
log 9 2 x
3 x
2
x 3x x 8
9 2 2 9 2
x 2 2 x
2 9 2 8 0
1 0
2
.
x
x
x
2 8 3
.
x
x
Kết hợp với điều kiện ta được x0;
x 3.
3 1 2x
log 2
3 1
3
Điều kiện
⑻ x
x 1
3 1 0 x 1.
x1
Phương trình log
x1
log33 1
log 2 2x
3
x1
log
3 3 1.
2
2x
3 1 2x
log 2
3 3
3 1 . 2 3 6.
3 2 3
x
1 2 x x 2 x
x
2x
x
3 6.
3 2 0
x
Kết hợp với điều kiện ta được x log 3 7
3 ; x log33 7
2log 2 log 4 log x
4log
3
Điều kiện x 0.
2log x 2 log 4 log x
4log
3
x
2
log 2 log 4 log x
log81
.
3 3 7 x log
3
7
3
3 3 7
x log
3
7
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 112

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑼ log
x
⑽
1
2
log 4x 2
log 81x
2 2
x
4 x 2 81x 4x 65x
16 0
4
x 16
1
Kết hợp với điều kiện ta được x
16
4 ; x
.
2
2
1 log x
3
81
3
9 7 0
Điều kiện x 0 .
2
2
log
1
x
log x
3
81
3
3 2
x 5x 6x
ln
9 7 0
2 2
x x
2 log log log 81 7 0
3 3 3
log
x 1
x
3
log x 6log
x 7 0
2 3
3 3
7
log x 7 3
x 3
Kết hợp với điều kiện ta được
x 1
0
Điều kiện
3 2
x 5x 6x
ln
x 1
x 10 x
1
.
lnx
1
0 x
2
x
7
3;
x 3 .
x
0
3 2
0 x 5x 6x 0
x 2.
x
3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3.
Câu 29. Giải các phương trình sau:
⑴
2
2x
5x
3
⑴ 2 1
⑵ 3
⑶
2
2x
5x
3
2 1
2
x
4x
1
243
2
x x1
⑷ 2
2 1 2 1
x
3 2 2 3 2 2
2
x 4x
8
⑸ 2 x
16
⑹
2 3x
1
e
2
e
x
⑺
2 3x
2
2 4 2
4x
3 1
4
⑻ 7 x 1
2 3
x x
2
2
x 4 5
⑼ 7 49 7
⑽ 3 x 9
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 113

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑵
3
⑶
2
x
4x
1
Phương trình
243
Phương trình
2
x x1
2 1 2 1
⑷ 2
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
x
1
2
2x
5x3 2
2 1 2x
5x 3 0
3
x
2
2 2
4 1
x
4 5 2
1
x x x x
3 3 3 x
4x 5
243
x
5
2 2
Phương trình
x
3 2 2 3 2 2
2
x 4x
8
2 16
e
x
2 3x
x x1 x x1 1
2
x
0
2 1 2 1 2 1 2 1 x x1 1
x
1
x
x
Phương trình
2 2 1 1
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2x 1
x
2
2 2
x 4x8 x 4x8 4 2 2
Phương trình 2 16 2 2 x 4x 8 4 x 4x 4 0 x 2
1
2
e
2 2
x 3x 1 x 3x 2 2 2
x
1
Phương trình e e e x 3x 2 x 3x
2 0
2
e
x 2 .
x
2 3x
2
2 4
4 2
4x
3x
1
7 1
2 3
x x
2
Phương trình
Phương trình
7 49 7
2
x 4x
5
3 9
Phương trình
x
2 3 2
2 x
2
x 0
4 x 3x 2 2 .
x
3
4 2 4 2
4x 3x 1 4x 3x 1 0 4 2
x
1
7 1 7 7 4x
3x
1 0
x
1
2 3
x x
2
7 49 7
2 3 5
x x
2 2 2 3 5 2
1
5
7 7 x x x x 1 0 x
2 2 2
2 2
x 4x5 x 4x5 2 2
x
1
Phương trình 3 9 3 3 x 4x 5 2
x
3
Câu 30. Giải các phương trình sau:
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 114

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
x x8 13x
⑴ 2 x 2.
3 x 6 x 2
⑵ 2 4
x1 x x1 x3
⑶ 5 5 2 2
⑷
4x
2x6
2 3
⑸
3 2
⑹
⑺ 15
,
⑼
0, 125.
4
5x
7 2
3
x1
2x3 2
8
x
2
x 2x3
2 8
x
4x
2x6
2 3
3 2
x1 32x
⑻ 4 8
x 3x1
4 7 16
⑽ 0
7 4 49
Lời giải
⑴ 2 x 2.
3 x 6 x 2
Phương trình 2 x 2.
3 x 6 x 2
x
x x x x x x x x
3 1 x
0
2 6 2 2.
3 2 1 3 21 3 1 3 2 2
0
x
2 2 x
1
2
x x8 13x
⑵ 2 4
2
x x8 13x
Phương trình 2 4
2
x x8 213x
2 2
x
2
2 2 x x 8 2 6x x 5x
6 0
x
3
1 1 3
⑶ 5 x
5 x 2 x
2
x
1 1 3
Phương trình 5 x
5 x 2 x
2
x
x
x
x x x 3 x x x 5 10 5 5
5. 5 5 2. 2 2 . 2 4. 5 10.
2 x 1
2 4 2 2
2
x 2x3
x
⑷ 2 8
2
x 2x3
x
Phương trình 2 8
1 2
x
2x3
2
3x
1 2 2
x
1
2 2 x 2x 3
3x x 4x
3 0
2
x
3
4x
2x6
2 3
⑸
3 2
4x 2x6 4x 62x
2 3 2 2
Phương trình 4x 6 2x x 1.
3 2 3 3
4x
2x6
2 3
⑹
3 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 115

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑺ 15
,
Phương trình
5x
7 2
3
x1
Phương trình 15
,
4x 2x6 4x 62x
2 3 2 2
4x 6 2x x 1.
3 2 3 3
5x
7 2
3
x1
5x7
x! 1 x!
5x7
2 3 2 3
x 1 5x 7 6x 6 x 1
3 2 3 2
x1 32x
⑻ 4 8
x1 32x
x
x
Phương trình 4 8 2 2 2x 2 9 6x 8x 11
x
8
x
2 3 2
x
⑼ 0, 125.
4 8
x
2 3 2
x
Phương trình 0, 125.
4 8
x
5 5
x
3 4x9 2 4x9
5
2
2 . 2 2 2 2 4x 9 x x 6
2
x 3x1
4 7 16
⑽ 0
7 4 49
Phương trình
x
3x1
4 7 16
0
7 4 49
x 3x1 2 2x1 2
2 2 9 6 11
4 4 4 4 4
1
. 2x1 2 x
7 7 7 7 7
2
Câu 31. Giải các phương trình sau:
2
⑴ 7 4 3 2 3
x x 1 x2
⑵
x 2
3 x 2 x 1
2 16
⑶
⑸
⑺
⑼
x
2 9 27
.
3 8 64
x
⑷
x1 x2
2 2 36
x 2 3x8 2x1
3 9
⑹ 2 2 3 3
x x1 x x1
2 2
8x 8x 51
x
2 . 5 0, 001.
10
⑻ 4 4 2 2
2 2
x x1 x 1 2x x
x x1 x x1
2 2 2 2
⑽ 3 x 2 x . 36 x 3
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 116

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
⑴ 7 4 3 2 3
x x 1 x2
2
Phương trình 7 4 3 2 3
x x 1 x2
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
2
x
0
2 x x1 x2
2 2
2 3 2 3
2x 2x 2 x 2 2x x 0
1
x
2
x 2
3 x 2 x 1
2 16
x
Phương trình
x 2
3 x 2 x 1
2 16
2
x 3x2 4x4 2 2
x
2
2 2 x 3x 2 4x 4 x x 6 0
x
3
2 9 27
.
3 8 64
x
Phương trình
x1 x2
2 2 36
Phương trình
x x x 3 x 3
2 9 27 2 9 3 3 3
. . x 3
3 8 64 3 8 4 4 4
x1 x2
2 2 36
x x x
x 2 8.
2 2
x x
2. 2 36 36 9. 2 36.
4 2 16 x 4
2
2
4
x 2 3 x 8 2 x 1
3 9
Phương trình
x 2 3 x 8 2 x 1
3 9
2
x 3x8 4x2 2 2
x
5
3 3 x 3x 8 4x 2 x 7x
10 0
x
2
2 2 3 3
x x1 x x1
Phương trình
2 2
8 x 8 x 51
x
2 . 5 0, 001.
10
Phương trình
3 3 3
. . x log .
2 4 4
x x 1 x x 1 x x
2 2 3 3 3 2 4 3
2 2
8 x 8 x 51
x
2 . 5 0, 001.
10
2
8x
2. 5
10 . 10 10 10 8 x 2 5x
x
6
4 4 2 2
x x1 x x1
2
3 5 5x 8 x 2 5x 2
x 1
x x1 x x1
Phương trình 4 4 2 2
x x x x x x x 3 3
4 4. 4 2 2. 2 5. 4 3. 2 2 x log
2
5 5
x
3
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 117

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑼
2 2
x x1 x 1 2x x
2 2 2 2
Phương trình
2 2
x x1 x 1 2x x
2 2 2 2
x 2 1 x x x
2 2 1 2 2 1
x x
2 1
x
2 1 2 2 0
x
x
x
0
2 1 0 2 1 x0 x0
2
2
1 1
2
2
1 1 0
1 5.
x x x x
2 2 0 2 2 x x x x
x
2
⑽ 3 x 2 x . 36 x 3
Phương trình 3 x 2 x . 36 x 3
x
x x x x x
1 2 0 x
0
3 3.
2 6 3 0 1 2 3 3
0
x
3 3 0
x
1
Câu 32. Giải các phương trình sau:
x x
⑴ 4 6.
2 2 0
⑵
⑶ 2. 4 x x
9.
2 4 0
⑷
⑸
⑺
x x1
25 20.
5 3 0
x1 1x
3 3 10
2x1 x1
6 5.
6 1
0
1
⑹ 3 1 x
2
9
x1 x3
4 2 4 0
⑻
x x
⑼ 4 6.
2 8 0
⑽
Lời giải
x x
⑴ 4 6.
2 2 0
⑵
Phương trình
x1 1x
3 3 10
Phương trình
2x10 x4
3 6.
3 2 0
2x
x2
3 2.
3 27 0
2 x
2 3 7 log 3 7
2
x x x x
x
4 6. 2 2 0 2 6.
2 2 0
.
x
2 3 7
x log
3
7
3 3 10 3 3 10
3
1 1 3
x x .
x
x
x
t
3 3 3 x 1
x
t3 t0
3
2
3t 10 3t 10t
3 0
1
x 1 .
t t 3 x 1
3
3
⑶ 2. 4 x x
9.
2 4 0
Phương trình 2
2. 4 x 9. 2 x 4 0 2. 2 x 9.
2 x 4 0
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 118

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑷
⑸
x
t
4 2 4
x
t2 t0
2
x
2
2t
9t 4 0
1
x 1
t 2
x 1
2
2
2x1 x1
6 5.
6 1
0
Phương trình
2x1 x1
6 5.
6 1
0
1 5
. . .
6 6
2x x 2x x
6 6 1 0 6 5 6 6 0
x
x
t2 t0
2
2
t
2 6 2
x
log6
t 5t 6 0
x
t
3
6 3 x
log 3
6
x x1
25 20.
5 3 0
1
⑹ 3 1 x
2
9
⑺
⑻
Phương trình
20
x x1
25 20.
5 3 0
2 2
x x x x
5 5 3 0 5 4 5 3 0
5 . .
x
x
t5 t0
2
t
1 5 1
x
0
t 4t 3 0
x
t
3
5 3 x
log 3
5
x
Phương trình
1x
1
3 2
9
x
x
x
3.
3 2 3
2 x
2
x
3 3.
3 2 0
x
x
t3 t0
2
t
1 3 1
x
0
t 3t 2 0
x
t
2
3 2 x
log
2
3
x1 x3
4 2 4 0
Phương trình
x1 x3
4 2 4 0
t 8 2 17
x1 x1
4 16.
2 4 0
t
0 2
t 8 2 17
x
t 16t
4 0 2 8 2 17 x 1 log2
8 2 7
x1
t2 1
2x10 x4
3 6.
3 2 0
x x
⑼ 4 6.
2 8 0
2x10 x4 2x5
x5
Phương trình 3 6. 3 2 0 3 2.
3 2 0
x5
t3 t0
t 1
3
2 x5
t 2t
20
3 1 3 x 5 log3
1
3
t 1
3 L
x x
x
x
Phương trình 4 6.
2 8 0 2 6.
2 8 0
2
⑽
x
x
t 2 t
0
2
t
2 2 2 x1
t 6t 8 0
x
t
4
2 4 x2
2x
x2
3 2.
3 27 0
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 119

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2 2
Phương trình 2
3 x 2. 3 x 27 0 3 x 18.
3 x 27 0
x
9 3 6 3 9 3 6 x log3
9 3 6
t
t
t 18t
27 0
x
t
9 3 6 3 9 3 6
x log3
9 3 6
x
t3 0 2
Câu 33. Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑴
2x
2x
3 3 30
⑵
9 6 2
x x 2x1
x
x
x
⑶ 2 1 2 1
2 2 0
⑷
1
⑸ x 1 x 2 x 2 x
2x
2x
3 3 30
9 6 2
2 3 2 3 4
x 2 2 2
4 x 3 x 7 x 6 2 x 3 x
9
4 4 2 2 2 8
⑹ 5 5 5 1
Phương trình
2x
2x
3 3 30
Lời giải
2
3 3 3 3 30 9 3 9 30 0 9 3 30 3 9 0
3
2 . 2 . . . 1
x x x . x . x
x
x
t
3 3 3
x
t3 t0
2
x
1
9t
30.
t 9 0
1
x 1
t 3
x 1
3
3
x x 2x1
Phương trình
x
3
2
2
x x 2x1 x x x 3 3
9 6 2 9 6 2.
4 2 .
2 2
x
t t t 1 L 3
t t 2 0 2 x log 2.
3
t 2 2
2
0
x
x
⑶ 2 1 2 1
2 2 0
x
Phương trình
2 1 2 1 2 2 0
x
x
x
2 1
0 1 2
1 2 2 1 1 2 x 1
t ; t
t
x t
1 2 2 0 t 2 2 t 1 0
21
x
t
t
t 1
2
2 1
1 2 x 1
x
x
⑷ 2 3 2 3
4
x
Ta có: .
2 3 2 3 1.
x
x
x
2 3 2 3 4 .
Phương trình
2x
x
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 120

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
x
2 3
0 1
2
2 3 2 3 2 3 x 1
t , t
t
x t 4 t 4t
1 0
1
.
2 3
x
t
t
t 2 3 2 3
2 3 x 1
1
⑸ x 1 x 2 2
x x
4 4 2 2 2 8
1
Phương trình x 1 x 2 2 1 1 1 1
x x x x x x
4 4 2 2 2 8 4 4 4 2 2 8
1x
1x
1x
1x
1x
1x
t2 2 2
t
0
2 1x
1x
t 4t
2 2 0
2 2 1
t
4 4 8
t
1x 1x 2x x
4 2 2 4
2 2.
2 1 0 2
2
1 1 x 1 x x 0
x x
2 2 2.
2 1
0
x
t2 t 0
t 1 2 L
2
t 2t1 0
t
1
2
x 2 2 2
4 x 3 x 7 x 6 2 x 3 x
9
2
x
2 1 2 x log 1
2
⑹ 5 5 5 1
2 2 2
4 3 7 6 2 3 9
Phương trình 5 x x 5 x x 5 x x
2 2
x 4x3 x 7x6
x
1
2 4x3 x 2 7x6
5 5 5 1.
Đặt
2
a x x
2
b x x
4 3
, ta được phương trình:
7 6
a
a b a b
5 5 5 1
5 a 5 b 5 a . 5 b
a b
5 1
0
1
1 5 1 5 0
b
5 1
a
b
0
Khi đó
2
x
x
x
2
x
1
4 3 0 x 3
.
7x 6 0 x 1
x 6
Câu 34. Giải các phương trình sau:
x x
x x
⑴ log
5 25 3.
5 15
x 1
⑵ log . .
3 4 2 9 x 1
6
x
x
x
⑶ 2 1 2 1
2 2 0
⑷
1
⑸ x 1 x 2 x 2 x
x x
⑴ log .
2 3 2 3 4
x 2 2 2
4 x 3 x 7 x 6 2 x 3 x
9
4 4 2 2 2 8
⑹ 5 5 5 1
25 3 5 15 x 1
5
x x
Điều kiện 25 3.
5 15 0
x x
Phương trình log .
25 3 5 15 x 1
5
Lời giải
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 121

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
5 x
3
3
x x x1 x x
x
log5 25 3. 5 15 5 25 8.
5 15 0
x
5 5 x
1
Kết hợp với điều kiện ta được xlog
3;
x
1.
5
x x
⑵ log . .
3 4 2 9 x 1
6
x 1
⑶ log
Điều kiện 3. 4 x x
2.
9 0
x
Phương trình
6
2x
x
x x x x x1
2 2
3 4 2 9 x 1 3 4 2 9 6 3 6 2 0
log . . . . . .
3 3
x
2 3 3 3 3
2 x
3 3
x log
0
2
t, t .
t
3
3 2 3 3 3
3
3t
6t 2 0
x
3 3 2 3
3
3
3
t
xlog
2
3
3 3
3
3
3 3 3 3
Kết hợp với điều kiện ta được xlog ; x log .
2 2
3 3
3 1 2x
log 2
3 1
3
Điều kiện
x
⑷
x 1
3 1 0 x 1 0 x 1
x 1
Phương trình log
3 1 2x
log 2
3 1
3
log 3 1 log 3 log 2
x1 2x
3 3 3
3 3
2x
2x
x 1 3 1 3 2
log 3
x
x x
1 log 3 1 3 6.
3 2 0 .
3 3
2 2
x
3 7
3
3 0 2
3 7 3 3 7 x log
x
t , t
t
t 6t 2 0
x
t
3 7 3 3 7
x log
3
7
3
Kết hợp với điều kiện ta được x log 3 7
3 ; x log33 7
log 5
9 5 1
x
x
Điều kiện 9 5 0 x log 9
5
.
x x x x x
log 9 5 1 x 9 5 5 5 9.
5 5 0
5
1
2
Phương trình
9 61
x 9 61 9 61
t
5
x
log
x
5
t5 , t0 2
t 9t 5 0 2
2
2
9 61
x 9 61 9 61
t
5
x
log5
2 2 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 122

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
⑸
Kết hợp với điều kiện ta được 9 61 9
xlog ; x log
61 .
5 5
2 2
log 2
6 2 1
x
x x
⑹
x
x
Điều kiện 6 2 0 2 6 x log 6
2
6 2 2 6 2 2 6 2 2 0
2
1 2
x x x x .
x
x
x
Phương trình log 2 6 2 1 x
2
x
2
2 0 2
3 7 2 3 7 x log
x
t
, t
t
t 6t 2 0
x
t
x log
2
Kết hợp với điều kiện ta được x log
23 7 ; x log23 7 .
log 8. 5 20 x log 25
Điều kiện 8. 5 x 20 x 0
x
Phương trình
3
7
3 7 2 3 7 3
7
log 8. 5 20 x log 25 8. 5 20 25. 10 8 4 25.
2
x x x x x x x
25 593
25 593
x 25 593
t
2
x
log2
x
2
t2 , t0 2
t 25t
+ 8 = 0
2 2
25 593
x 25 593 25 593
t
2
x log2
2 2 2
Kết hợp với điều kiện ta được 25 593 25
x log ; x log
593
2
2
.
2 2
Câu 35. Thực hiện các yêu cầu sau:
x
y
⑴ Với các số thực x , y dương thỏa mãn log xlog y log
9 6 4
6
. Tính tỉ số x y
⑵ Cho log x log y log x y
và
9 6 4
x a b
với ab , là số nguyên dương. Tính
y 2
a b.
Lời giải
x
y
⑴ Với các số thực x , y dương thỏa mãn log xlog y log
9 6 4
6
. Tính tỉ số x y
t
x
9
x
y
t
Đặt t log x log y log
y 6
9 6 4 .
6 t
x y 64 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 123

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
t t t 3 3
3
Suy ra 9 6 6.
4 6 0
2 2
2
⑵ Cho log x log y log x y
9 6 4
2t
và
Đặt
Khi đó
t
t
x
2
2 .
y
x a b
với ab , là số nguyên dương. Tính a b.
y 2
log x log y log x y t x 9 ; y 6 ; x y 4
9 6 4
t t t
t
3 1 5
2t
t
t t t 3 3 2
2
9 6 4 1 0
t
2 2
3 1
5
2 2
t
x 3 1
5
a 1;
b 5 a b 6 .
y 2
2
--------------------Hết--------------------
L
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 124

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
A
Lý thuyết
1. Bất phương trình mũ.
Bất phương trình mũ cơ bản: hoặc , với .
Với a và b là các số cho trước.
x
Cho đồ thị của hai hàm số y a a 0,
a 1
và y b như hình.
x
Xét bất phương trình a b
.
Nghiệm của là hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số
y
b. Từ hình vẽ ta nhận được:
Nếu b 0 thì x
Nếu b 0 thì
• Với 1
.
đều là nghiệm của
a : nghiệm của là
a
: nghiệm của
• Với 0 1
x log a
b.
là
y
x log a
b.
x
a nằm phía trên đường thẳng
Chú ý
⑴ Nếu .
⑵ Nếu .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 125

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2. Bất phương trình logarit.
Bất phương trình logarit cơ bản: hoặc , với
.
Với a và b là các số cho trước.
và y b như hình.
Cho đồ thị của hai hàm số y log x a 0,
a 1
a
Xét bất phương trình
log
a x
b
.
Điều kiện x 0 .
Nghiệm của là hoành độ các điểm trên đồ thị hàm số
y
b. Từ hình vẽ ta nhận được:
Với 1
a nghiệm của là
a
nghiệm của
Với 0 1
x
b
a .
b
là 0 x a .
y log a
x nằm phía trên đường thẳng
Chú ý
⑴ Nếu .
⑵ Nếu .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 126

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
B
Bài tập
Dạng 1. Bất phương trình mũ cơ bản
Phương pháp
Dạng 01.
Dạng 02.
.
.
Tập nghiệm của bất phương trình là .
.
.
Tập nghiệm của bất phương trình là .
.
.
Ví dụ 1.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴ 3 x 9
Lời giải
x
Ta có 3 9 x log 9 x
2.
3
⑵
x
1
4
2
⑶
⑷
2 3
2 x 2
x
2 3
x
1
Ta có: 4 x log 4 .
1
2
Ta có:
x1
2
3
x2 3 x2 3 1
2
2 2 2 2 x 2 x
2 2
x x1
x x 2
Ta có: 2 3 2 3. 3 3 x log 3.
3
x
2
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 127

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 2. Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Với : .
Với : .
Ví dụ 2.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴
2x1 2
2 2 0
Lời giải
⑵
⑶
⑷
Ta có
x
2 2
4
2 5 12x
1
25
Ta có
3x1
5
Ta có
2 2 0 2 2 2x1 2
x
2
2x1 2 2x1 2 1
2 2
2x5 12x
x5
12x
2
2
2 4 4 4 x 5 1 2x x 4x 24 0 x
.
2x
2x1 x1
1
2
4
Ta có
3x1 3x1 3x1
x
2x
5 3 1
2
1 1 1 1 1
1
x x x
x .
25 25 5 25 25
2
2x1 x1
1
2
4
x1
1 1 1
2x1
x
2 4x2
1 1 17 9 9
2 4 4
2 2 2 2 4x 2 x x x
4 4 4 4 17
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 128

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 3. Bất phương trình mũ dùng logarit hóa
Phương pháp
Bất phương trình .
Bất phương trình
hoặc
Lưu ý: Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số hay để xác định dấu của BPT.
Ví dụ 3.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
x1 x1
⑴ 2 8
x
Ta có 2 8
x x
4 3
⑵ 3 4
x
4 3
Ta có 3 4
x25
2x1 1
⑶ 5
125
1 x1
Lời giải
log
x 1 x 1 8 x 1 3 x 1 2x 4 x 2 .
2
x
x
x
x 4
4 log 3 3 log 4 log 4 log
3 3 x
3 4 log
4
3
3
3
x25
2x1 1
Ta có 5
125
1 76
2x 1 x 25log
2x 1 3 5
x 25
5x 76
x .
125 5
x x 2x1
⑷ 2 . 5 0, 2.
10
x x 2x1
Ta có 2 . 5 0, 2.
10
x 1 2 1
10 10
5 . x
1
x log 2x 1
x log 51 x log 5 log10 x log 50
5
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 129

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 4. Bất phương trình mũ đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Thông thường sẽ gặp các cơ số: .
Ví dụ 4.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴
2x
1
3 x
4.
3 1
0
Ta có
2 1 2
3 x 4. 3 x 1 0 3. 3 x 4.
3 x 1 0
Lời giải
x
t
1 3 1
x
t3 , t0 2
x
1
3t
4t1 0
1
x 1
t 3
x 1
3
3
x x
⑵ 9 5.
3 6 0
⑶
x
2
2
x
x
x
3 5.
3 6 0 3 5.
3 6 0
x x
Ta có 9 5.
3 6 0
x
t3 , t0 2
t 5t 6 0 2 t 3 log 2 x 1
1
4. 4 x x
9.
2 8 0
x
2
⑷
Ta có
x
2
x
x
42 18.
2 8 0 2
1
4. 4 x x
9.
2 8 0
x
t 4 2 4
x
t2 , t0 2
x 2
4t
18t 8 0
1 x
t 2 1
x 1
2
2
3 x 8.
3 15 0
x
x 2
x
Ta có 3 8. 3 15 0 3 8.
3 15 0 .
x
3 , t0 2
x
3
x
4 2 18.
2 8 0
t
t 8t 15 0 3 t 5 3 3 5 log 3 x log 5 2 x 2log
5
x
3 3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 130

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 5. Bất phương trình logarit cơ bản
Phương pháp
Giải bất phương trình logarit cơ bản: .
Lưu ý: Xác định điều kiện trước khi giải bất phương trình.
Khi lấy cơ số cần quan tâm cơ số hay để xác định dấu của BPT.
Ví dụ 5.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑵
⑷
⑴ log e
2
x 5
Lời giải
Ta có:
⑵ log4 x 20
2
⑶ log x 1 2
2
2
⑷ 2
x 0
x 0
log
2
5
5
e
x x e
2
10
x e
x e
Ta có log x
x 20 x
20
20 2 20 x
36 .
x 20 4 x
36
4 2
Ta có log x 1 2
x
10
2 2
x 1 2
x
1
x 1 x1 x1 x
1
3
x 1 3
2
2
2
.
x 1 4 x 2x 2 0 x 2x
2 0
x
1
3
x
1
3
log x 1 2
3
2
Ta có 2
log x 1 2
3
2
x
1
x
1
x 10 x 1
1 2
2 x x
2 x 4 x 2
2 2 4 2
2
.
x
1
3 x 2x 8 0
x 4
x 2
2
x 2
x 2
10
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 131

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 6. Bất phương trình logarit đưa về cùng cơ số
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các bất
phương trình logarit về các dạng cơ bản sau:
Loại 1: .
Loại 2: .
Ví dụ 6.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑶
⑴ lnx 1 lnx 3 lnx
7
⑵
⑷
Lời giải
Điều kiện
x 10
x
3 0 x 1
x
7 0
x 1 x 3 x
7
ln ln ln
2
x 1
x 1x 3
ln x
7
x 1x 3 x 7 x 3x
4 0
ln
.
x
4
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 1;
.
⑵ 2log
x 2 x 1 log x
1
2 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 132

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ log x
1
5
x
2
2
x
x1 0
1
5
Điều kiện
1
5 x
x 10
x
2
2
x 1
2
x x log x
2
x x
2 log
2x
log
2 2
2log
1 1
2 2
2log
1 2 1
2 2 2
log x x x x x x x x x
1 1 1 1 2 0 0 2
1 5
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S
;
2
.
2
12 .log 2 1
4 x
x12 0 x 12
x
0
Điều kiện x 0 x 0
x 1
x1 x1
log x 12 .log 2 1
4 x
1 1
x
12
1
x
2
2 log . log2
2 2
log x12
2log
x log log
2 2
x 12 x x x 12 0 3 x 4
2 2
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S 0; 4 \ 1 .
⑷ log x
log x
4 2 14 4
3 9
Điều kiện
log
x 4 0 x 4
4 x 14
14 x 0 x14
x 4 2log
14 x
4
x
log
3 x
3 2
x
log x
3 9
log 4 2 14 4
log 4 14 4
3 3
4 2
x
x
log 4 . 14 4
3
x 4 14 x 3 x 10x 25 0x
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 4;
14
S .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 133

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 7. Bất phương trình logarit dùng mũ hóa
Phương pháp
Cho . Với điều kiện các biểu thức và xác định, ta thường đưa các bất
phương trình logarit về:
Ví dụ 7.1.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
x
⑴ log .
2 2 1 2x
2
x
Điều kiện 2.
2 1 0x
.
x
log 2.
2 1 2x
2
2 2 1
2
2
. x x
Lời giải
2
2 x 2. 2 x 1 0 1 2 2 x 1 2 0 2 x 1 2 1 x log 1 2
2
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm 1;log
2 1 2
⑴
2
log 32x
2
log log x
S .
3
3 2x
0 x
3
Điều kiện 2 0 x .
x
0 2
x
0
log log x
log 3 2x
2 log 3 2x log x 3 2x x 3x 3 x 1
2
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S ;1
.
Ví dụ 7.2.
Giải các phương trình sau:
⑴
⑵
⑴ log 2
x
x x
2 64 2
5 5x
0
5
Điều kiện x
5 x 1
.
x 4
2
x 2x 64 0 x
Lời giải
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 134

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑵ x
Trường hợp 1: 5 x1 x
4
log x
x x
2
2 64 2
5
2
x 2x 64 5 x x 2x 64 25 10x x 8x 39
x
8
39
Khi đó x
8
Trường hợp 2: 0 5 x1 4 x
5
2 2 2 39
log x
x x
2
2 64 2
5
2
x 2x 64 5 x x 2x 64 25 10x x 8x 39
x
8
Khi đó x
39
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S ;
8
.
log x
2
3 2 1
2 2 2 39
Điều kiện
0
0
2
x
x
2
x
1 x 1
.
x
x
3 2 0 3
2
2
x
1
Trường hợp 1: x 1
x
1
2 2
log x
3 2x 1 3 2x x x 2x 3 0 3 x 1.
Thì
2
Khi đó 3
x 1
2
1
x 1
Trường hợp 2: 0 x 1
x
0
2 2
x
1
Thì log x
2 3 2x
1 3 2x x x 2x
3 0
x
3
Khi đó x
S 3;
1 .
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 135

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 8. Bất phương trình logarit đặt ẩn phụ
Phương pháp
Biến đổi quy về dạng: .
Lưu ý: với không có điều kiện của .
Ví dụ 8.1.
Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑵
⑷
⑹
⑴
⑵
log
log
x 4log
x 3 0
2
3 3
Lời giải
Điều kiện: x 0 .
2
log3 xt
2
t1 log
x 1
3
x3
log x 4log
x 3 0
3 3
t 4t 3 0 .
t 3 log
x 3 x 27
3
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm 0; 3 27;
x2log
x
5
2
05 ,
2
Điều kiện x 0
2 2
log x 2log x 5 log x 4log
x 5 0
1 2
2 2
2
S .
t 4t 5 0 5 t 1 5 log x 1 2 x 2
tlog2 x 2 5
2
5
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S 2 ; 2
.
⑶ 3 log xlog
3x1
0
3 3
log x 0
3
x
1
Điều kiện x
0 x 1
x 0
3x
0
3 log x log 3x 1 0 log x 3 log x 2 0
3 3 3 3
t log3 x t0
2
2
t2 log
x
3
x9
t 3t 2 0
.
t 1 0 log x 1 1 x 3
3
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S 1 ; 3
9;
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 136

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑷ log x log 64 1
2 x
Điều kiện: 0x
1.
log xlog 64 1 log x6log
2 1
2 x
2
x
2
2
t log2
xt 0
6 t t6
2 t 0 2
log x 0 2 x1
2
t 1 0
.
3
t t 3 t 3 log x
2
2 x
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S 2 2 ; 1 2
3 ;
2
⑸ log x log
2
2 x
⑹
8 3 0
Điều kiện: x 0 .
log
2
2
2
x log x 8 3 0
x 2
log
x 2
2 2 2
2log log x log 8 3 0 .
8 2log
x3 0
2 2
.
1
t 1 log
x 1 2
tlog
2
2 x 2
2 2 x 2
8t
2t 3 0
3
t 3
log x 3 4
4
2
4 x
2
3 1
4 2
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S 0; 2
2 ;
2 2
log x log x1 5 0
3 3
Điều kiện: x 0 .
2 2
log x log x1 5 0
3 3
2
2
log3
x1t t1
1 2
2 2
log x
3
2 t t 6 0 1 t 2 1 log x 1 2
log
3
3 xt1
2
log x 11
3
Xét
Xét
Khi đó
log x 1 2 log x 1 4 3 log x 3 3 x 3 .
2 2 3 3
3 3 3
log x 1 1 log x 11 log x 0 log x 0 x 1.
2 2 2
3 3 3 3
log x 12
3 3
2
log x 11
x
1
3
2 3 3
3
x
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm S 3 3 ; 3 3 \ 1
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 137

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
C
Luyện tập
Câu 36. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑵
⑶
x
⑴
⑶
⑸
⑺
1
32
2
x
1
32
2
⑵
2
x x1 2x1
5 5
7 7
2
x 2x
x 6
3 27
⑷ 11 11
2x4 x1
3 3
4 4
1
2
2
x 4x
2
7x2x
8
⑹
⑻
2
3 x 243
1
3
2
x 4x12
⑼ 2 32
⑽ 5 x 0
5
Lời giải
Ta có
2
x x1 2x1
5 5
7 7
2
x 2x
Ta có
3 27
Ta có
x 6
⑷ 11 11
⑸
⑹
x
x
x
5
1 1 1
32 x 5
2 2 2
1 1
x
1
2
x x1 2x1
2 2
x x x x x x
5 5
7 7
2 2
x 2x x 2x
3 2 2
1 2 1 3 2 0 1 2
3 27 3 3 x 2x 3 x 2x 3 0 1 x 3.
x
0
6
x 0
x 6 0
x6
x
Ta có 11 11 x 6 x
x 0 6 x 3
x 0
2 x 3
2
x6
x
2x4 x1
3 3
4 4
2
3 x 243
2x4 x1
3 3
Ta có
4 4
2x 4 x1 x 5 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 138

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑺
⑻
⑼
⑽
1
2
1
3
2
x 4x
Ta có
8
x 2 5
3 243 3 x 2 5 x 7
.
2 2
x 4x x 4x
3
1 1 1 2 2
Ta có 8 x 4x 3 x 4x 3 0 3 x 1.
2 2 2
2
x 4x12
2
7x2x
1
Ta có
2 32
1 1
Ta có
5 x 0
5
1
3
2
x 4x12
1 x 4x 12 log 1 x 4x 12 0 2 x 6
2 2
1
3
2
2
7x2x
7x2x
5
5
2 32 2 2 2x
2 7x5 0 1x
.
2
Ta có 5 x 1
0
x 1 log 5 x 1 1 x 2.
5
5
Câu 37. Giải các bất phương trình sau:
⑴
1
7
⑴
⑶
⑸
⑺
1
7
1 1
2
x
x4
49
2
4x4 x 3x2
⑵
7 7
⑷
x x1 x x1
2 2 3 3
⑹
2
2x x x1
1 1
2 2
⑼ 5
2
x
x4
2
4 x 1
49
5
2
x 6x
2
x
x4 2
1 1
Ta có
7 7
⑻
2
9x 17x11 75x
1 1
2 2
2
3x2x
9
9
7
7
2
2x4 x 3x2
1 1
5 5
2
4x
1
5
5
1
⑽ 2
4
Lời giải
x
2x
x1
2
x 6x
2 2
x x 4 2 x x 6 0 3 x 2
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 139

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
9x 17x11 75x
1 1
⑵
2 2
2
9x 17x11 75x
1 1
Ta có
2 2
2
2 2 2
2
9x 17x 11 7 5x 9x 12x 4 0 x 0 x
3
3
2
4 4 3 2
⑶ 7 x
7
x x
2
4 4 3 2
Ta có: 7 x
7
x x
2 2
x
2
4x 4 x 3x 2 x x 6 0 .
x
3
2
3x2x
9
9
⑷
7
7
2
3x2x
9
9
2
2
1
Ta có 3x 2x
1
2x
3x1
0 x 1.
7
7
2
x x1 x x1
⑸ 2 2 3 3
x
x x1 x x1 x 4 x 3 9
Ta có 2 2 3 3 3. 2 . 3 x 2
3 2 4
2
2x4 x 3x2
1 1
⑹
5 5
2
2x4 x 3x2
1 1
2 2
Ta có 2x 4 x 3x 2 x 5x 6 0 6 x 1
.
5 5
2
2x x x1
1 1
⑺
2 2
2
2x x x1
1 1
2
2
Ta có 2 x x x 1
x 2x3 0 1 x 3.
2 2
2
x 6x
2
4x
1
⑻ 5
5
⑼ 5
2
x 6x
2 2 2
4x 1
4x x 6x
2 2 2
Ta có 5 5 5 4 x x 6x 2x 6x 4 0 1 x 2 .
5
2
4 x 1
5
2
x 6x
Ta có 5
2
4 x 1
5
2
x 6x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 140

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑽
x
1
2
4
2x
x1
Ta có
2 2
4 x x 6
x
5 5
2 2 2
4 x x 6x x 3x
2 0 1 x 2
x 2x 2x
2
x1 2x
x1
.
1 2x x 2x
x
2
2 2 2 2x
0
4 x1 x1
1
x 0
Câu 38. Giải các bất phương trình sau:
2
2
x 3x
⑴ 5 625
⑵
2
x x
1 1
⑶ e
e
⑷
2
3x2
x
7 11
⑸
11 7
⑹
2
x 2
1
43x
⑺ 2
2
⑻
1 1
6
⑼ 0, 6 0,
6
2
x 2x
1
1
2
8
x1 2x3
e e
2 2
1
3
1
3
x
x2
3
x
x
. 3 3 . 3
x1 2x1
x
1 1
⑽
2 2 2
Lời giải
x 3x
⑴ 5 625
2 2
x 3x x 3x
4 2
Ta có 5 625 5 5 x 3x 4 1 x 4.
2
x 2x
1
1
⑵
2
8
2
x 2x
1
1
2
x
x
2x
3 2
Ta có 2 2 x
2x 3
x
2x 3 0
2
8
1
x
2
x x
1 1
⑶ e
e
2 2
x x1 1 x x1 1 2 2
Ta có e e e x x 1 1 x x 0 0 x 1.
e
x1 2x3
e e
⑷
2 2
x1 2x3
e e
Ta có x 1 2x 3 x 4
.
2 2
2
3x2
x
7 11
⑸
11 7
2
3
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 141

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑹
⑺
⑻
1
3
1
2
1
3
x2
2
x 2
x
3x2
7 11
Ta có:
11 7
3
x
Điều kiện: x 2.
1
Ta có :
3
2
43x
1
Ta có
2
x
. 3 3 . 3
⑼ 0, 6 x 0,
6
⑽
x2
2
x 2
3
x
2
x
3x2
11 11
7 7
2
x
3x 2
x
2 2
x x
x
1
3 2 0
x
2
.
x2
x
x
20
x
0
1 1
x 2 x x 0 x
1
x
2.
3 3 2
x 2 x
x
2
2
43x 2x 43x
2 2
2 2 2 2 x 4 3x x 3x 2 0 1 x 2 .
x
1
1
x
2x
1
3
3 1 1
2
x
1 1
Ta có . 3 3 . 3
2x x
x
3 3 3 3 3 2 4
1 1
6
1 1
1 1 6 x
0 6 0 6
6
0 0 x 6 .
x 6 6x
Ta có , x ,
x1 2x1
1 1
2 2 2
Ta có
3 3
x1 2x1 x 2x1
2 2
1 1 1 1 3 3 1 5
x 2x 1 x x 5
.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 39. Giải các bất phương trình sau:
x
x
x
⑴ 7 4 3 32 3
2 0
⑵
3 2 2 2 2 1 3
2x
x
x1
⑶ 5 2 5 2
⑷ 2 3 2 3
x
⑴
7 4 3 3 2 3 2 0
x
Lời giải
Nhận xét: 7 4 3 2 3 2
và
2 3 2 3 1.
x
2 2
x 2x1 x 2x1 4
2 3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 142

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
x
x
t2 3
, t0
2 3
7 4 3 3 2 3 2 0 t 2 0
t
3 2
t 2t 3 0 t 1t t 3
0 t 1
x
⑵
3 2 2 2 2 1 3
Nhận xét:
x
x
1
2 1 2 1 1 2 1
2 1
x
x
t
21
; t0
1
3 2 2 2 2 1 3 x 2t
3
1 2
32 2
2 t
x
2 3 1 x 0 .
và 2
2 1 3 2 2 .
t
3 2 1 2 1
x
1 1
2t
3t
1 0 t t 1 0 t 2 1
x log
21
2 2 2 2
2x
x1
⑶ 5 2 5 2
Điều kiện x1 0 x
1
2x
x1
5 2 5 2
2x
x
5 2
1 5 2
⑷ 2 3 2 3
x
2 2
x 2x1 x 2x1 4
2 3
Ta có 2 3 2 3
x
x
2
2x
2x
x x 1
x 0
x x 0 0 .
x 1
x 1
x 1
x
1
2 2
x 2x1 x 2x1 4
2 3
2
2 1
1
7 2 3 2 x x
3 4 2 3
2
x 2x1
2
3
2 2 1
2 3 x x
; t
0 7 4 3t
1 42 3
t
2
7 4 3t
42 3t
1 0
1
t 1 2 3 2
t 1
t
7 4 3
2
2 x 2x1
2 3 2 3 1
2
x
x
2
2 x 2x1
0
Câu 40. Giải các bất phương trình sau:
2 1 0
1 2 x 1
2.
2
x 2x1
0
.
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 143

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑴
⑶
⑸
⑺
x x1
4 3.
2 5 0
⑵
x 1 x
4 10.
2 6 0
x
x2
1 1
3
0
4 2
x x x
⑷ 4 8. 6 12.
9 0
2x
1 x
3 28.
3 9 0
⑹
x 2
5 5 x
26 0
⑻
x1 x3
9 36.
3 3 0
x 2
2 3
2
x
⑴
⑵
⑶
⑼
x x1
4 3.
2 5 0
x
Ta có
x
x
4 3
3. 5.
2 0
9 2
x2
1 1
3
0
4 2
x
2
x
e 2
⑽ 6.
8 0
4 e
Lời giải
x x1
x x x
4 3 2 5 0 4 6 2 5 0 1 2 5 0 x 5
2
x
. . log .
x2
1 1
Ta có 3
0
4 2
x
1
t
, t0
2 2 1
t 2t 3 0 t 3t 1
0 t 1 1 x 0.
2
x 1
4 x
10.
2 6 0
Ta có
x 1
4 x
10.
2 6 0
1
2
2
2 3
⑷ 4 x 8. 6 x 12.
9 x 0
⑸
Ta có
2x
1
3 x
28.
3 9 0
x
4. 2
x
10. 2 6 0
x
4.
2 2
x
2 3 0
x
2
x
2
1
2 x 1
x
2 x x x
x x x 2 2 2
4 8. 6 12. 9 0 8. 12 0 2 6 log 6 x log 2.
3 3 3
Ta có 3 28. 3 9 0 3. 3 28.
3 9 0 3
3
9 1 x 2 .
x1 x3
⑹ 9 36.
3 3 0
2 1 2 1
x x x x x
x1 x3
Ta có 9 36.
3 3 0
x1
2
x1 x1
3 1 x1 0 x1
3 4.
3 3 0 1 x 2
x1
.
3 3 x11 x
2
x 2 x
⑺ 5 5 26 0
x
2 2
3 3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 144

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑻
Ta có
x 2
2 3
2
x
Ta có
x 2 x
5 5 26 0
x 2
2 3
2
x
25
5
2
5 x 26 0 5 x 26.
5 x 25 0 1 5 x 25 0 x 2
x
2x x x x
2 3. 2 2 0 2 1 2 2 x 0 x
1.
⑼
⑽
x
x
4 3
3. 5.
2 0
9 2
Ta có
x
x
4 3
3. 5.
2 0
9 2
x
4 2
3. 5.
2 0
9 3
2x
x
x
2 2
2 2
2 2 2
3. 5.
2 0 1
3 3
3 3
3 3 3
x
2
x
e 2
6.
8 0
4 e
x
x
2
e
2
Ta có 6.
8 0
4 e
x
2
x
2x
x
x
0
0 x 1.
e e
e e
e
6.
8 0 6.
8 0 2 4 log 2 x log 4
e
e
4 2
2 2
.
2
2 2
Câu 41. Giải các bất phương trình sau:
⑴ log3 x 1
2
⑵
x
x
x
x2
1 1
3
0
4 2
⑶ 3 ⑷
⑸ 2021 ⑹
1
2
⑴ log3 x 1
2
log 2x 3 2
3
log 4x 1 1
3
⑺ log ( x 1)
0
⑻ log 2x 1
2
02 ,
05 ,
4x
6
⑼ log x 2
2
⑽ log 0
1
x
Điều kiện x 1.
Ta có log3 x 1
2
2
x 1 3 x 10
Kết hợp với điều kiện ta được x 10
log 2x 1 0
⑵
1
2
.
Lời giải
5
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 145

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
1
Điều kiện 2x1 0 x .
2
log 2x 1 0 2x 11 x 0
Ta có
⑶ log 3 2x 3 2
1
2
Kết hợp với điều kiện ta được
1
x 0
2
3
Điều kiện 2x3 0 x .
2
log x 2x3
9 x
6 .
⑷ log 2 3x 1 3
Ta có: 2 3 3 2
Kết hợp với điều kiện ta được x 6
1
Điều kiện 3x1 0 x .
3
Ta có log 3
2 3x 1 3 3x 1 2 x 3
Kết hợp với điều kiện ta được x 3
⑸ log 2021 2x 3 1
⑹ log 3 4x 1 1
⑺ log ( x 1)
0
02
,
3
Điều kiện 2x3 0 x .
2
log 2 x 3 1 2 x 3 2021 x 1012 .
Ta có
2021
Kết hợp với điều kiện ta được 3 x
1012
2
Ta có log x
3
1
4x
1 0 x
1
4 1 1 4 x1.
4x
13 4
x 1
x1 0 x1
Ta có log ( x1)
0 x 2
02 ,
x1 1 x
2
⑻ log 2x 1
2
05 ,
⑼
1
2
1
2x
1 0 x
Ta có 2 1 5
log 2x1 2
x
05 ,
2x
1 0,
5 2 .
5 2 2
x
2
log x 2 2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 146

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
log
⑽
1
5
1
Ta có log
1 x 2
2 0 x 2 2 x 2.
2
2
4x
6 0
x
4x
6
Ta có log 0
1
x
5
4 6
x 0
x
x0
0
0
x
x 3 3
x x
3
3
0
2 2 x
2 x
4x
6 1
2
2
4x
6
3x
6
x 5 1
0 0 2 x 0
x
x
Câu 42. Giải các bất phương trình sau:
⑴
1
2
⑴ log 2x 1
1
⑵
,
1
2
2
log ln x 2 2
05
⑶ log 2x 4
2
⑷
2
2
log x 1 1
⑸ log log x
2 0
⑹
log 4x 1 1
3
⑺ log ( x 1)
0
⑻ log 2x 1
2
02 ,
05 ,
4x
6
⑼ log x 2
2
⑽ log 0
1
x
1
2
log 2x 1 1
⑵
Ta có x
log ln x 2 2
05 ,
Lời giải
3
2x
12 x
2 1 3
log 2 1 1
x .
1
2x
1 0 1 2 2
2
x
2
Điều kiện
x 2 x
2
x 3 .
lnx
2
0 x
3
Ta có 2 4 4
log ln x ln x , x e x e
,
⑶ log 2x 4
2
2
2
2 2 2 0 5 2 2
05
2
2x
4
log 2x 4 2
2
2
2
2x
4 0
Ta có
2
1
2
5
2x
4 2
x
3
2 x 3.
2x
4 0
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 147

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
log x 1 1
⑷
1
2
Điều kiện x1 0 x 1.
1 3
Ta có log x 1
1 x 1 x . 2 2
⑸ log log x
2 0
⑹
log
2
2
1
2
3
Kết hợp với điều kiện ta được 1x
2
x
0
Điều kiện x 1.
log
x 0
2
log log x 0 log x 1 x 2 .
Ta có
2 2
Kết hợp với điều kiện ta được 1x
2
x
1
4
10
x 1
Điều kiện
0 x 1 0 x 1 .
10
2 x 1 x 1
1 x 1 9
Ta có log 4 2 log 2 4 x 41
2
2 .
10 10 4 10 2
Kết hợp với điều kiện ta được 9 x
41
2
2
⑺ log x x
2
3
2 1 0
Điều kiện
2
2 1 0
x x x .
x
0
2 2 2
Ta có log
2 2x x 1
0 2x x 1 1 2x x 0
1
3
x
2
x
0
Kết hợp với điều kiện ta được
1
x
2
log x1 2x1 0
⑻
4
x
1
x
10
5
Điều kiện 5 x
2x
5 0 x
2
2
x
0
2 2
Ta có log x12x1
0 2x 3x 1 1 2x 3x
0
3 .
4
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 148

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
⑼ log x
Kết hợp với điều kiện ta được
9 2
3
Điều kiện
Ta có
5
x
2
2
x
9 0 3 x 3.
log x x x x .
2 2 2 2
9 2 9 3 0 0
3
Kết hợp với điều kiện ta được x 0
2 1
⑽ log4
x 2x3
2
2 1
Ta có log4
x 2x3
2
x
3
1 2
2
2 3 0 1 6 3
2
x x
x
0 x 2x 3 4
x 1
.
2
x 2x 5 0
1 x 1
6
1 6 x 1 6
Câu 43. Giải các bất phương trình sau:
⑴ log x1 3 log32x1
1
⑵ log x1 3 log32x
1
⑶ log 3x 2
log 4
⑷ ln2x1 1 lnx
1
5 5
⑸ log x
2
21 log x 2
⑹ log x
9 log 8x
0, 9 0,
9
⑺ log 2x 3
3 log31 x
⑻ log x 7
4 log2x
1
2
⑼ log x
1 log 11 2x
0
log
log
⑽ x x x
1 3
3
⑴ log x
log x
1 2 1 1
3 3
Điều kiện
x
1
x
10
1 x 1.
2x
1 0
x
2
Ta có log x
log x
1 2 1 1
3 3
Lời giải
6 5 1 0
1 2
2
2 1
log x1 2x1 1
3
x 1 2x 1 3 2x 3x 2 0 x 2 .
2
Kết hợp với điều kiện ta được 1x
2
⑵ log x1 log 2x
1
3 3
⑶ log
Ta có log x1 log 2x1
3x 2 log 4
5 5
3 3
1
2x
1 0 x
1
2 x 2 .
x1 2x1 2
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 149

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ta có log
⑷ ln2x1 1 lnx
1
⑸ log
2
3x 2 log 4 0 3x 2 4 x 2 .
3
5 5
Điều kiện x 1
ln 2x1 1 ln x
1
Ta có
e 1
ln2x 1 ln ex 1
2x 1 ex 1 xe 2
e 1 x
e 2
1
Kết hợp với điều kiện ta được 1 e
x
e 2
x 21 log x
2
Điều kiện x 21.
log x 21 log x
2
Ta có
2
log xx 21
2 xx 21 10
Kết hợp điều kiện ta được 21x
25 .
2
⑹ log x
9 log 8x
0, 9 0,
9
Điều kiện
2
x
9 0
8x
0
x
3.
2
Ta có log x
9 log
8x
0, 9 0,
9
2
x
Kết hợp với điều kiện ta được 3x
9.
⑺ log 2x 3 log 1
x
3 3
2
x 21x 100 0 4 x 25
2
9 8x
x 8x9 0 1 x 9.
2 3 0 3
Điều kiện
x
x 1
1 x 0 2
2
Ta có log 2x 3
3 log31
x
2x 3 1 x x .
3
3 2
Kết hợp với điều kiện ta được x .
2 3
x 7 log x
1
⑻ log4 2
Ta có log x 7 log x
1
4 2
2
x 7 x1
x x 6
0 3
x 2
log x 7 log
2 2x1
1 x 2
x 1 0 x 1 x
1
Kết hợp điều kiện ta được 1 x 2
x1 log 11 2x
0
⑼ log
1 3
3
Ta có log x
log x
1 11 2 0
1 3
3
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 150

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x1 0 x1
log311 2x log3x1
.
11 2x x 1 x
4
2
⑽ log x x log x
6 5 1 0
1 2
2
Điều kiện:
log
2
x
x
6 5 0
x 5.
x 1 0
2
x x log x
6 5 1 0
1 2
2
2
x x
2 log2x
2
x 6x 5 log x
1
log 6 5 1 0
log
2 2
2
x x x
2
6 5 1 x 7x 6 0 1 x 6.
Kết hợp điều kiện ta được 1x
6
Câu 44. Giải các bất phương trình sau:
2
⑴ ln x
1 ln 2x 4
0
⑵ 3log
x1 log
3 2x1
3
⑶ log x 1 2log 5 x 1 log x
2
3 3
1 1
log
2 4 2
2 1
2 x 7
2
1
2
log x1 . 2log x1.log
4 ⑹ log x.log x.log x.log
x
2 2 2
3 9 27 81
2
3
log x log x 2 log 3
log x3 2log 3.log
x
2
2
⑷ log x
4x
5
⑸
4
9
⑺ ⑻
3 3 3
⑼ log 2x
3
1
1
log x
2
2
2 4
2
⑴ ln x
ln x
1 2 4 0
Điều kiện
2
x
1 0
x
x 2.
2x
4 0
2
Ta có ln x
ln x
1 2 4 0
ln
Lời giải
2 4 3
⑽
3 2
log
ln x 2 x x 2 x x 2 x
6
x1 2log
x 2 3 log
x
1
1 2 4 1 2 4 2 3 0 .
x
3
Kết hợp điều kiện ta được
⑵ log x
log
3 x
3 1 2 1 3
3 3
2
x 1
x
3
x
1
x
10
Điều kiện: 1 x 1.
2x
1 0
x
2
Ta có log x
log x
3 1 3 2 1 3
3 3
6
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 151

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
x
log x
log 1 2 1 1
3 3
2 1
log x1 2x1 1
3
x 1 2x 1 3 2x 3x 2 0 x 2 .
2
Kết hợp điều kiện ta được 1x
2.
⑶ log x 1 2log 5 x 1log
x
2
2 4 2
Điều kiện 5x
2
Ta có log x 1 2log 5 x 1log
x
2
2 4 2
x 1 2
2 5 x 2 x
2
log log log log
2 2
2 2
x1 2 x1 2
5 x x 2 5 x x 2
2 2
log log x x x x x x
2 2
Kết hợp điều kiện ta được 2x
3.
1 1
log
2 x
7
2
⑷ log x
4x
5
2 1
2
Điều kiện
x
5
2
x 4x 5 0
7 x 5
x 1
.
x 7 0
x
1
x
7
1 1
log
2 x
7
2
Ta có log x
4x
5
2 1
2
log x 4x 5 log x 7
2
2 2
x 4 x 5 x 7 x 4 x 5 x 14 x 49 x
5 .
2 2 2 27
⑸
4
2 10 2 12 0 4 3
27
Kết hợp điều kiện ta được 7
x
5
1
log x1 . 2log x1.log
4
2 2 2
2
Điều kiện x1 0 x 1.
4 1
Ta có log
2 x1. 2log x1.log
4
2 2
2
3
1 1
2 log
x
1
1
x
2
log
2 x 1. .log2 x 1 log2
x
1
1
3
2 2 log2
x
1
.
1
x
2
x
3
Kết hợp điều kiện ta được
3
1
x
2
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 152

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
log x.log x.log x.log
x
⑹
3 9 27 81
Điều kiện x 0 .
2
3
log x.log x.log x.log
x
3 9 27 81
2
3
x
9
1 1 1 2
4 log
x 2
3
log . .log x. log x. log x log x 16
3 3 3 3 3 1 .
2 3 4 3
log
x 2
3
x
9
Kết hợp điều kiện ta được
⑺
9
log x log x 2 log 3
3 3 3
⑻ x
Điều kiện
x
9
1
0 x
9
x0 x0
x 0 .
x 2 0 x 2
Ta có :
9
log x log x 2 log 3
3 3 3
log
x
1
10
9 2
log x x 2 3 x x 2 9 x 2x
9 0
3 3
x
Kết hợp điều kiện ta được x 1
10
log 3 2log 3.log
x
2
2 4 3
⑼ log 2x
3
Điều kiện x 3.
Ta có log2 x
log .log
4 3
log2x 3
log x
2
2
log
2 x 3
x
2 x
3 2 3 x
2
Kết hợp điều kiện ta được 3x
4
1
1
log x
2
2
3
Điều kiện: x .
2
2 4
Ta có log 2x
3
2 4
2
3 x
4 x 3x 4 0 1 x 4.
1
1
log x
2
2
1 1 1
log22x 3
log x
2
2 2 2
1 10
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 153

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
2
1
log 2x 3 log 2 log x
2 2 2
2
2x
3 2
log 2x
1
log
2 2
Kết hợp điều kiện ta được
⑽
3 2
log
6
x1 2log
x 2 3 log
Điều kiện:
6
5
x
2
x1 0 x1
x 2 .
x 2 0 x
2
Ta có
3 2
log
6
6
x1 2log
x 2 3 log
1
log
3
x
1 log x
2 3
2
6
log
6
1
2
3
x
1 log x
2 3 log 2
log
6 6
x
1
2
4x
14x10 0
5 . x
2
2 2
x
4
log x 1 x 2 2 x 3x 2 6 x 3x
4 0
6
x
Kết hợp điều kiện ta được x 4
Câu 45. Giải các bất phương trình sau:
⑴
⑶
⑸
⑺
x x1
4 3.
2 5 0
⑵
x 1 x
4 10.
2 6 0
x
x2
1
1 1
3
0
4 2
x x x
⑷ 4 8. 6 12.
9 0
2x
1 x
3 28.
3 9 0
⑹
x 2
5 5 x
26 0
⑻
x1 x3
9 36.
3 3 0
x 2
2 3
2
x
⑴
⑵
ln
2
⑼
x
x
4 3
3. 5.
2 0
9 2
x 2ln
x3 0
Điều kiện x 0.
Ta có
x
2
x
e 2
⑽ 6.
8 0
4 e
Lời giải
2 3
ln x 2ln x 3 0 3 ln x 1 e x e x e.
3
1
Kết hợp điều kiện ta được x e
3
e
2
log x log x 6
0
0, 2 0,
2
1
e
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 154

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
Điều kiện x 0 .
2
Ta có log x log x 6
0
0, 2 0,
2
tlog02 2
1
, x
t t 6 0 2 t 3 2 log x 3 x 25
02 ,
125
1
Kết hợp điều kiện ta được x
25
125
log x 4log x 3 0.
log
log
log
log
log
2
2 2
Điều kiện: x 0.
2
log
x 3 x
8
2
Ta có log x 4log x 3 0.
.
2 2
log
x1 x2
2
x
8
Kết hợp điều kiện ta được
0 x 2
x5log
x 4 0
2
2 2
Điều kiện x 0 .
2
log x 1 x
2
2
Ta có log x 5log
x 4 0
2 2
.
log
x 4 x 16
2
0x
2
Kết hợp điều kiện ta được
x
16
x 2log
x 3 0
2
1 1
5 5
x
0
log x 1
x
5
2
1
Ta có log x 2log x 3 0
1 1
5
1 .
5 5
0 x
log x 3
1 125
5
x5log
x 6 0
2
2 2
Điều kiện x 0 .
2
Ta có log x 5log x 6 0 1 log
1 6
x 6 2 x 2 .
2 2 2
Kết hợp điều kiện ta được
x5log
x 4 0
2
2 2
2 x 2
1 6
Điều kiện x 0 .
2
log x 1 x2 x2
2
Ta có log x 5log
x 4 0
2 2
log x 4 x 16 x 16
2
0x
2
Kết hợp điều kiện ta được
x
16
x5log
x 6 0
2
2 2
Điều kiện: x 0 .
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 155

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
Ta có
2
⑼ log
2
⑽ log x
2
1
log x 5log x 6 0 1 log x 6 x 64 .
2 2 2
2
Kết hợp với điều kiện ta được 1 x
64 .
2
2x
5log
x5 0
2 2
Điều kiện: x 0 .
2
log 2x
5log
x5 0
Ta có
2 2
2
2
log
1 log x 5log
x5 0 log x3log
x 4 0
2 2
2 2
log
Kết hợp điều kiện ta được
3 5log
x5 0
3 3
Điều kiện x 0 .
1
0
x
2
x 16
2
Ta có log 3x
5log
x5 0 log x 2
3 3
tlog
2
3 x
t t
1 5log
x5 0 .
3 3
2
2
1
x 1
x
2 .
x 4
x 16
2
1
1 5 5 0 t 3t 4 0 1 t 4 1 log x 4 x 81.
3
3
Kết hợp điều kiện ta được 1 x
81
3
Câu 46. Giải các bất phương trình sau:
2
⑴ log22x
log x 9
⑵ log x log 2018
2
2018 x
4
2
⑶ log
4x5log
x 2
⑷ log x8log
x 3 0
2 2
2
⑴ log
2 2
2 2
2x log x 9
4
Lời giải
2
Ta có log22x
log x 9
2
4
x 0
2
log
x 1
2 log
x 2
2 9
x
0
x
0 x
0
1
2
1
x 4 .
log x 3log
x10 0 5
log x 2 32
2 2
2 x
4
Kết hợp điều kiện ta được 1 x
4
32
⑵ log x log 2018
2018 x
32
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 156

Chương VI.
HÀM SỐ MŨ & HÀM SỐ LOGARIT
⑶ log
⑷
log
x
0
Điều kiện: .
x
1
1
Ta có log x log 2018
2018 x
log
x
2018
log
2
1 x
2018
tlog 2018 x, t0 1 t 1 0t
1
0log
x 1
0
2018
t
1 .
t t t 1 log
x 1
2018
0 x
2018
1 x
2018
Kết hợp điều kiện ta được
1
0 x
2018
4x5 log x
2
2 2
log2 Điều kiện:
4 x 5 0 x
8 x 8
x
0
x
0
Ta có log
4x5log
x
2
2 2
2 log
x 2 x
4
2
log x 3 log x 2 0 log x 3log
x 2 0
2 2 2 2
.
log
x1 x2
2
x
8
Kết hợp điều kiện ta được
0 x 2
x8log
x 3 0
2
2 2
Điều kiện x 0 .
Ta có
log
x8log
x 3 0
2
2 2
1
2 2
x log x
2 2
2
log 8 3 0 log x 4log
x 3 0 1 log x 3
2 2
2
2 x 8.
Kết hợp điều kiện ta được 2x
8
2018
--------------------Hết--------------------
x
Biên soạn: LÊ MINH TÂM – 093.337.6281 157