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Materiales Curriculares
Matemáticas
Grados K-12
OCTUBRE 2012

Derechos Reservados
Conforme a la Ley
Departamento de Educación de Puerto Rico
NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA
El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género,
nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad o
impedimento en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.
NOTA ACLARATORIA
Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de los Derechos Civiles de
1964, el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otro
que pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como al
femenino.

Tabla de contenido
Páginas
Créditos …………………………………………………………………………………………………………………….. 5-10
Introducción …………………………………………………………………………………………………………………….. 11-12
Mapas de Kindergarten …………………………………………………………………………………………………… 12-48
Anejos de Kindergarten ……………………………………………………………………………………………………. 49-84
Mapas de 1ro Grado ………………………………………………………………………………………………………… 85-120
Anejos de 1ro Grado ………………………………………………………………………………………………………… 121-153
Mapas de 2do Grado ………………………………………………………………………………………………………. 154-193
Anejos de 2do Grado ………………………………………………………………………………………………………. 194-231
Mapas de 3er Grado ………………………………………………………………………………………………………… 232-281
Anejos de 3er Grado ………………………………………………………………………………………………………… 282-320
Organizadores de Grados K-3 ………………………………………………………………………………………….. 321-328
Mapas de 4to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 329—363
Anejos de 4to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 364-480
Mapas de 5to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 481-507
Anejos de 5to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 508-591
Mapas de 6to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 592-619
Anejos de 6to Grado ………………………………………………………………………………………………………… 620-708
Mapas de 7mo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 709-737
Anejos de 7mo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 738-817
Mapas de 8vo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 818-838
Anejos de 8vo Grado ………………………………………………………………………………………………………. 839-895
Mapas de 9no Grado ………………………………………………………………………………………………………. 896-944

Anejos de 9no Grado ………………………………………………………………………………………………………. 945-1005
Mapas de 10mo Grado ……………………………………………………………………………………….………… 1,006-1,072
Anejos de 10mo Grado …………………………………………………………………………………………….…… 1,073-1,139
Mapas de 11mo Grado …………………………………………………………………………………………….…… 1,140-1,204
Anejos de 11mo Grado ……………………………………………………………………………………………….. 1,205-1,275
Mapas de Pre Calculo …………………………………………………………………………………………………… 1,276-1,319
Anejos de Pre Calculo …………………………………………………………………………………………………… 1,320-1,365
Mapas de Probabilidad y Estadistica ……………………………………………………………………………. 1,366-1,395
Anejos de Probabilidad y Estadistica …………………………………………………………………………… 1,396-1,424

Junta Editora
Edward Moreno Alonso, Ed. D
Secretario
Grisel Muñoz Marrero, Ph.D
Subsecretaria para Asuntos Académicos
Pura Cotto López, M.A.
Ayudante Especial
Estándares y Avalúo
Edwin Benvenutti Jusino, M.A.
Director
Programa de Matemáticas
5

Autores
Lois Williams, Ed.D
edCount, LLC, consultora curricular
Juan Serrano, M.A.
Distrito Escolar de Caguas
Arlene Martell, M.A.
Distrito Escolar de Utuado
Especialistas Colaboradores
María Cristina Alvarado, Ed.D
Maestros Colaboradores
Julissa Rivera Sandoval
Distrito Escolar de Manatí
Lisbeth González
Distrito Escolar de San Sebastián
Waddy Sosa
Distrito Escolar de Santa Isabel
Mapas Curriculares
Matemáticas—Kíndergarten a Tercer Grado
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de
todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y
Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón
que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del
Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran
aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
6

Autores
Lois Williams, Ed.D
edCount, LLC, consultora curricular
Maestros Colaboradores
Evelyn Arzuaga
Distrito Escolar de Juncos
Arlene Martell
Distrito Escolar de Utuado
Javier I. Dávila
Distrito Escolar de Yabucoa
Joyce M. Burgos Santiago
Distrito Escolar de Salinas
Juan Serrano
Distrito Escolar de Caguas
Manuel E. Vigo
Distrito Escolar de Bayamón
Sallie A. Pérez Fernando
Distrito Escolar de Vega Alta
Daisy Rodríguez Curret
Distrito Escolar de Ponce
Mapas Curriculares
Matemáticas – Cuarto a Octavo Grado
Carlos A. Rios Rivera
Distrito Escolar de San Juan II
Maricely Sullivan Cortés
Distrito Escolar de Ponce
Rosa M. Mora Solano
Distrito Escolar de Tao Bajo
Miguel A. Morales Rivera
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de
todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y
Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón
que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del
Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran
aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
7

Autores
Mapas Curriculares
Matemáticas—Noveno, Décimo, Undécimo, Pre Cálculo y Estadística
Anna Persson, M.A.
edCount, LLC, consultora curricular
Juan Serrano, M.A.
Distrito Escolar de Caguas
Maestros Colaboradores
Javier Dávila Rodríguez
Distrito Escolar de Yabucoa
María del Pilar Díaz
Distrito Escolar de Cidra
Eddie Rivera Santana
Distrito Escolar de Vega Alta
Keila Santiago Rodríguez
Distrito Escolar de San Juan
Nereida Rosario
Distrito Escolar de San Juan II
María Atabeira Hernández
Distrito Escolar de San Juan I
Iris Bermúdez
Distrito Escolar de San Juan I
Gerardo Cruz
Distrito Escolar de Ponce
Noemí Borges Santiago
Distrito Escolar de Barranquitas
María Ortíz
Distrito Escolar de Cidra
Carlos Torrech Prieto
Distrito Escolar de San Juan I
José Caez
Distrito Escolar de Caguas
Manuel Vigo
Distrito Escolar de Bayamón
Luz Nereida Rosario
Distrito Escolar de San Juan II
María Fuentes
Distrito Escolar de Gurabo
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de
todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y
Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón
que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del
Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran
aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Otros Colaboradores
Jorge L. Alicea Santos
Director de Programa de Matemáticas
Pedro Villafañe
Ex Director del Programa de Matemáticas
Brunilda Rivera Colón
Especialista de Currículo
Nydia Pagán Otero, MA.Ed.
Especialista de Currículo
Pablo Rodríguez De Jesús
Coordinador Región Educativa de Ponce (PPAA)
Claribel Rivera Casanova
Coordinador Regional Educativa de San Juan (PPAA
Laura Kuti, Ph.D
edCount, LLC
Anne Calvert, B.A.
edCount, LLC
Mapas Curriculares
Matemáticas
El Departamento de Educación en colaboración de la Compañía edCount reconoce la aportación de
todos los especialistas del programa de matemáticas (Profesores Universitarios, Facilitadores Docentes y
Maestros), al Prof. Leonardo Torres Pagán y a la Especialista de Currículo, Prof. Brunilda Rivera Colón
que facilitaron el proceso del desarrollo de los Mapas Curriculares y Guías Operacionales del 2007, del
Programa de Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico. Este material fue de gran
aportación en el desarrollo de los Materiales Curriculares desarrollados desde 2010-11 hasta 2011-12.
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Matemáticas
Mapas Curriculares
10mo Grado
1007

Resumen de la unidad
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 – Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes representarán, aplicarán y discutirán las propiedades de números
complejos. Además, representarán, interpretarán y resolverán problemas que contienen funciones
cuadráticas, y aplicarán el concepto de límites. Convertirán las funciones a los diferentes tipos de
representación (verbal, tabla, símbolos y gráficas) e identificarán el dominio, campo de valores,
intersecciones y relaciones entre los coeficientes de las funciones y las características de las gráficas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre funciones cuadráticas para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Números complejos
N.SN.10.1.1 Define, representa gráficamente y realiza cómputos con los números complejos de la
forma .
Suma, resta y multiplica números complejos.
Simplifica potencias de números imaginarios puros.
Relaciona los números complejos con las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que no tienen
solución real.
N.SO.10.1.2 Describe cómo las propiedades asociativas, conmutativas y distributivas de los números
reales se extienden a las operaciones con números complejos.
N.OE.10.1.3 Determina y aplica el conjugado de números complejos para resolver problemas.
Modelos cuadráticos
A.RE.10.4.1 Identifica, interpreta y traduce a través de diferentes representaciones de funciones
cuadráticas. Reconoce que la gráfica de una función cuadrática es una parábola.
A.RE.10.4.2 Halla el dominio y el campo de valores de las funciones cuadráticas dentro de un contexto
y determina la razonabilidad de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas (ceros de funciones
cuadráticas).
A.MO.10.4.3 Identifica los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma
y=ax 2 y la gráfica de una línea de la forma y = k, y la relaciona con los puntos de intersección de las
soluciones de la ecuación cuadrática ax 2 =k.
A.PR.10.4.4 Traza la gráfica de una ecuación cuadrática y reconoce la relación entre los coeficientes de
una función cuadrática y las características de su gráfica (forma, posición, interceptos, ceros,
extremos, simetría, vértices).
A.RE.10.4.5 Resuelve ecuaciones e inecuaciones cuadráticas con coeficientes reales sobre el conjunto
de números reales y complejos. Resuelve ecuaciones cuadráticas por medio de la factorización,
compleción del cuadrado, el método de la raíz, la fórmula cuadrática y la tecnología, e interpreta sus
soluciones en el contexto del problema original.
Desarrolla y aplica la fórmula cuadrática en la solución de ecuaciones cuadráticas. Utiliza el
discriminante para determinar la naturaleza de las soluciones de una ecuación cuadrática.
Construye y resuelve inecuaciones cuadráticas en una y dos variables, y representa su solución
gráficamente.
Junio 2012 1008

Ideas grandes/Comprensión duradera:
Nuestro sistema numérico incluye diferentes
tipos de números que explican diferentes
fenómenos.
Los números complejos tienen operaciones y
propiedades similares a las de los números
reales.
Las funciones cuadráticas y las gráficas tienen
características únicas que nos permiten
identificarlas.
Las funciones cuadráticas y las gráficas se
describen la una a la otra.
Las soluciones se hallan y se expresan de
diferentes formas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán…)
Números complejos
Números imaginarios
Ecuaciones/funciones cuadráticas
Números reales
Conjugado de números coplejos
Características de una función
Fórmula cuadrática
Desigualdades cuadráticas
La relación entre los coeficientes de una
función cuadrática y las características de su
gráfica (forma, posición, interceptos, ceros,
extremos, simetría, vértices)
Un nuevo sistema numérico que combina
números reales con números imaginarios (i)
como .
Las propiedades de los números complejos (o
sea, las propiedades asociativa, conmutativa y
distributiva de los números reales)
Las características de una gráfica cuadrática
(forma, posición, interceptos, ceros,
extremos, simetría, vértices)
Vocabulario de contenido
Números complejos: conjugado, conjunto,
ecuación/función cuadrática, números
complejos, números imaginarios, números
reales, propiedad asociativa, propiedad
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
Preguntas esenciales:
¿Por qué tenemos diferentes tipos de
números?
¿Cómo podemos probar que las operaciones
y las propiedades son universales?
¿Qué hace únicas a las funciones cuadráticas
y a las gráficas?
¿Por qué se relacionan las funciones y las
gráficas?
¿Cuál es más importante: la metodología o
las soluciones finales? ¿Por qué?
Destrezas (Los estudiantes podrán…)
Hacer una representación gráfica y cómputos
de la forma .
Sumar, restar y multiplicar números
complejos.
Simplificar potencias de números imaginarios
puros.
Relacionar los números complejos con las
soluciones de las ecuaciones cuadráticas que
no tienen solución real.
Describir cómo las propiedades asociativas,
conmutativas y distributivas de los números
reales se extienden a las operaciones con
números complejos.
Determinar y aplicar el conjugado de
números complejos para resolver problemas.
Identificar, interpretar y traducir a través de
diferentes representaciones de funciones
cuadráticas.
Reconocer que la gráfica de una función
cuadrática es una parábola.
Hallar el dominio y el campo de valores de las
funciones cuadráticas dentro de un contexto
y determinar la razonabilidad de las
soluciones de las ecuaciones cuadráticas
(ceros de las funciones cuadráticas).
Identificar los puntos de intersección de la
gráfica de una ecuación cuadrática de la
Junio 2012 1009

conmutativa, propiedad distributiva
Modelos cuadráticos: coeficientes, completar
el cuadrado, discriminante, dominio,
extremos, forma, forma factorizada,
desigualdades, intersección, máximo, mínimo,
puntos, parábola, posición, fórmula
cuadrática, desigualdades cuadráticas, raíz,
solución, conjunto de solución, forma
estándar, simetría, transformar, variable,
vértice (s), forma vértice, cero
Tareas de desempeño
Creación de problemas complejos
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la suma, la resta y la multiplicación de números
complejos por medio de la creación y resolución
de sus propios problemas. Discute con los
estudiantes las cualidades de problemas únicos,
como uno que no se adecue a una fórmula
sencilla y un problema de la lección que no se use
comúnmente.
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
Instrucciones:
Crea seis problemas únicos que impliquen
sumar, restar y multiplicar números complejos
(dos de cada uno).
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
forma y=ax 2 , y la gráfica de una línea de la
forma y = k, y relacionarla con los puntos de
intersección de las soluciones de la ecuación
cuadrática ax 2 =k.
Trazar la gráfica de una ecuación cuadrática y
reconocer la relación entre los coeficientes
de una función cuadrática y las características
de su gráfica (forma, posición, interceptos,
ceros, extremos, simetría, vértices).
Resolver ecuaciones e inecuaciones
cuadráticas con coeficientes reales sobre un
conjunto de números complejos y reales.
Resolver ecuaciones cuadráticas por medio
de la factorización, compleción del cuadrado,
el método de la raíz, la fórmula cuadrática y
la tecnología, e interpretar sus soluciones en
el contexto del problema original.
Desarrollar y aplicar la fórmula cuadrática en
la solución de ecuaciones cuadráticas. Utilizar
el discriminante para determinar la
naturaleza de las soluciones de una ecuación
cuadrática.
Construir y resolver inecuaciones cuadráticas
en una y dos variables, y representar su
solución gráficamente.
Otra evidencia
Preguntas de quiz/examen
(Ver anejo: 10.1 Otra evidencia – Ejemplos de
preguntas de examen.) 53
1. Factorizada por completo, la expresión
2x 2 +10x-12 es equivalente a:
a) 2(x-6)(x+1)
b) 2(x+6)(x-1)
c) 2(x+2)(x+3)
d) 2(x-2)(x-3)
2. Expresado en forma factorizada, el binomio
4a 2 -9b 2 es equivalente a:
a) (2a-3b)(2a-3b)
b) (2a+3b)(2a-3b)
53
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
Junio 2012 1010

Crea dos ecuaciones cuadráticas únicas con
soluciones que impliquen números complejos.
Una vez hayas creado tus problemas
resuélvelos en una hoja aparte.
Una vez hayas resuelto tus problemas,
compártelos con un compañero.
Una vez los estudiantes hayan terminado, recoge
y corrige sus trabajos. Utiliza la rúbrica de avalúo
para evaluarlos (ver anejo: Organizador – Rúbrica
de tarea de desempeño).
Fuegos artificiales 52
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las ecuaciones cuadráticas con la siguiente tarea.
Pídeles a los estudiantes que lean el siguiente
problema y respondan a las preguntas. Utiliza la
rúbrica de tarea de desempeño para evaluar el
trabajo de los estudiantes (ver anejo: Organizador
– Rúbrica de tarea de desempeño).
En un espectáculo de fuegos artificiales, se lanza
un cohete con fuegos artificiales desde el suelo a
una velocidad inicial de 160 pies por segundo.
Los espectadores observan y se preguntan qué
altura alcanzará el cohete antes de comenzar a
descender. La fórmula del movimiento vertical es
a(t) = 0.5gt2 + vt + s, donde la constante
gravitacional, g, es -32 pies por segundo
cuadrado, v es la velocidad inicial y s es la altura
inicial. El tiempo está representado por t y se
mide en segundos, y la altura, a, se mide en pies.
1. ¿Qué función describe la altura, a, en pies, del
cohete a t segundos del lanzamiento?
2. Dibuja la gráfica de la posición del cohete
como una función del tiempo de lanzamiento,
y haz una descripción verbal de la gráfica.
3. ¿A qué altura se encuentra el cohete a los tres
segundos del lanzamiento?
4. Por la seguridad de la audiencia, el cohete, a
medida que desciende, debe detonar por lo
menos a 250 pies del suelo. El operador
puede escoger entre varios fusibles para
detonar el cohete. El fusible A detonará el
cohete en 3 a 5 segundos, el fusible B lo
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
c) (4a-3b)(a+3b)
d) (2a-9b)(2a+b)
3. Factoriza: 3a 2 -3
4. ¿Cuál es el conjunto de solución de la
ecuación x 2 -5x-24=0?
a)
b)
c)
d)
5. Halla las raíces de la ecuación
con álgebra.
6. Considera la gráfica de la ecuación
, cuando . Si se
multiplica a por 3, ¿qué es cierto de la gráfica
de la parábola resultante?
a) El vértice está tres unidades por encima
del vértice de la parábola original.
b) La nueva parábola está tres unidades a
la derecha de la parábola original.
c) La nueva parábola es más amplia que la
parábola original.
d) La nueva parábola es más estrecha que
la parábola original.
7. En el conjunto de ejes a continuación se
encuentra la gráfica de la ecuación
.
A partir de esta gráfica, ¿cuáles son las raíces
de la ecuación ?
a) 8 y 0
52
Fuente: http://ths.thrallisd.com/ourpages/auto/2010/8/9/55375440/DANA%20ALGEBRA%20I.pdf
Junio 2012 1011

detonará en 4 a 6 segundos y el fusible C lo
hará en 6 a 8 segundos. ¿Cuál fusible debe
usarse y por qué?
5. Supón que el cohete es lanzado desde el tope
de un edificio de 200 pies de altura. ¿Cómo
cambiará esto la función de la posición del
cohete? ¿Cómo se verá la gráfica de la nueva
posición en comparación con la gráfica de la
función de la primera posición? ¿Qué te dice
la nueva gráfica sobre la situación?
6. Supón que eres el operador y quieres lanzar el
cohete desde el suelo para que se quede en el
aire tres segundos más (13 segundos en vez
de 10). ¿Cómo lo lograrás? ¿Qué efecto
tendrá esto en la altura máxima que alcance
el cohete?
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
b) 2 y -4
c) 9 y -1
d) 4 y -2
8. Greg se encuentra en un vagón al tope de
una montaña rusa. La distancia, d, a la que se
encuentra el vagón del suelo a medida que
desciende está determinada por la ecuación
144 16t 2 , donde t es el número de
segundos que se toma el vagón en bajar a
cada punto de la machina. ¿Cuántos
segundos se tomará Greg en llegar abajo?
9. Encuentra la ecuación del eje de simetría y
las coordenadas del vértice de la parábola de
la gráfica a continuación.
10. Simplifica:
Tiempo (en segundos)
Junio 2012 1012
Distancia (en pies)

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
4i(1 + i) + 3(6 – 2i)
11. Responde a las siguientes preguntas sobre
ecuaciones cuadráticas en forma estándar
donde a, b y c son números reales. 54
a. ¿Qué es cierto del discriminante cuando
hay dos soluciones con números reales
para una ecuación cuadrática?
b. ¿Podría una ecuación cuadrática con
coeficientes reales tener una solución
racional y una solución irracional? Explica
tu razonamiento.
c. ¿Qué es cierto del discriminante cuando
hay una solución con números reales?
d. ¿Qué es cierto del discriminante cuando
no hay soluciones con números reales
para la ecuación?
e. Resume lo que sabes acerca de la
relación entre el discriminante y las
soluciones de una cuadrática de la forma
ax² + bx + c = 0 cuando a, b, y c son
números reales con a ≠ 0 en su
enunciado formal usando
bicondicionales.
Diario
1. Si es un factor de , ¿cuál
es el valor de b?
2. Un arquitecto está diseñando una entrada de
un museo en forma de un arco parabólico
representado por la ecuación
, donde y todas
las dimensiones se expresan en pies.
3. Dibuja la gráfica del arco y determina su
altura máxima en pies.
4. ¿Cómo sabes cuál método usar para resolver
una ecuación cuadrática?
5. Describe cómo las propiedades asociativa,
conmutativa y distributiva de los números
reales se aplican a los números complejos. Da
un ejemplo.
Preguntas de entrada/salida
54
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%201TE%20APS%20Supplement.071409.pdf
Junio 2012 1013

Actividades de aprendizaje
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
Etapa 3 - Plan de aprendizaje
1. Melisa hizo la gráfica de la ecuación y
David hizo la gráfica de la ecuación
en la misma red coordenada.
¿Cuál es la relación entre las gráficas que
Melisa y David dibujaron?
2. Haz la gráfica de la ecuación
en una hoja de papel. Con
la gráfica, determina las raíces de la ecuación
.
Un cohete modelo es lanzado desde el primer
piso. Su altura, h metros del suelo, es una
función de tiempo a t segundos desde su
lanzamiento y está dada por la ecuación
. ¿Cuál sería la altura
máxima, al metro más próximo, obtenido con
el modelo?
Números complejos: Los estudiantes identificarán las propiedades de campo de los números
complejos y harán una jerarquía de conjuntos de números, usando un diagrama de Venn (números
complejos, números imaginarios puros, números reales, números racionales, números
irracionales, números enteros, números naturales). Para más información, dirigirse a
http://www.ttaconline.org/d/sol/Mathematics/Algebra2_OT01LN08.pdf.
Introducción a la fórmula cuadrática 55 : Les da a los estudiantes tres ecuaciones cuadráticas para
resolver: una que puede resolverse calculando la raíz cuadrada (solo sacar x 2 ), una que pueda
resolverse por factorización y una que pueda resolverse completando el cuadrado (ni siquiera con
coeficiente principal y coeficiente de término medio). Los estudiantes pueden trabajar con este
ejercicio para calentar. Discutan por qué cada problema se resuelve mejor con el método dado.
Entonces dales a los estudiantes una ecuación cuadrática que haya que resolver completando el
cuadrado, pero que no sea tan “fácil” como la primera (por ejemplo, y = 2x 2 + 3x − 4). Discutan el
porqué de que este problema no sea tan fácil al completar el cuadrado. Discutan los problemas
anteriores. Luego, comiencen a derivar la fórmula cuadrática, comenzando por la forma estándar
de una ecuación cuadrática y completando el cuadrado para derivar la fórmula cuadrática.
Finalmente, demuestra cómo usar la fórmula para solucionar cualquier ecuación cuadrática.
Tres formas de hallar las raíces de una ecuación cuadrática: los estudiantes practican hallar las
raíces de las ecuaciones cuadráticas usando los tres métodos (factorización, completar el cuadrado
y la fórmula cuadrática). Usan y trazan la gráfica de la forma de vértice de las ecuaciones y hallan
las raíces imaginarias de las ecuaciones cuadráticas. Para hojas de cálculo, dirigirse a:
http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
Refiérete al organizador gráfico de las raíces cuadráticas: Después de aprender sobre los tres
métodos de resolver ecuaciones cuadráticas (factorización, compleción del cuadrado y la ecuación
55
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/peic/lesson_plans/intro_quadratics2.pdf
Junio 2012 1014

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
cuadrática), dirige a los estudiantes para que comparen cuándo puede resultar útil usar los varios
métodos de resolver diferentes ecuaciones cuadráticas. A veces un método es más rápido o más
útil que otro (p. ej., factorizar suele ser más rápido que usar la fórmula cuadrática si puedes
factorizar una ecuación cuadrática, o completar el cuadrado es más rápido que la fórmula cuando
no puedes factorizar). Los estudiantes crean un organizador gráfico de 3x5 plegable en que se
enumeren todos los métodos, cómo saben cuándo pueden usar el método, cómo se usa y dos
problemas de ejemplo.
Área posible 56 : Se introducirá a los estudiantes a las desigualdades cuadráticas con una actividad
en que se calcula un área con restricciones, y usando una tabla para explorar soluciones posibles.
Si la longitud y anchura de un rectángulo tienen que sumar 10, ¿cuáles son algunas áreas posibles?
¿Cuáles son los extremos? Primero, haz que los estudiantes hagan una tabla en que exploren áreas
posibles de un rectángulo cuya longitud y anchura suman 10. Pregúntales: ¿cuál es el área máxima
posible? ¿Cuál es el área menor posible? Discute con ellos el concepto de límites a medida que
cada dimensión se acerca a 0 ó el área se acerca a 0. A continuación, haz que los estudiantes
oscurezcan todos los valores posibles de un lado del rectángulo. Asegúrate de que utilicen círculos
abiertos en 0 y en 10. Pregúntales: ¿cómo describiríamos esto en términos algebraicos? [x (10 - x)
> 0] Finalmente, pídeles a los estudiantes que oscurezcan todas las áreas que no sean posibles.
Discútanlo. Dale seguimiento con el “Ejemplo para plan de la lección –Desigualdades cuadráticas”
que se encuentra aquí abajo.
Ejemplos para planes de la lección
El Factor X: Esta lección le enseñará a los estudiantes a factorizar expresiones trinómicas de la
forma x 2 + bx + c. Los estudiantes utilizarán cuadritos de álgebra para identificar los factores
binómicos en la calculadora gráfica para comprobar el resultado. Identificarán además las
intercepciones en x y en y de cada función trinomal y explorarán las relaciones entre el trinomio x 2
+ bx + c, y su forma factorizada (x + m)(x + n). Para más información, dirigirse a
http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop5/lessonplan1b.html.
Investigación de la parábola: Los estudiantes exploran en conjunto una función cuadrática con
forma estándar usando una calculadora gráfica. Esta es una lección de investigación para usarse
como introducción a las traslaciones y dilaciones de las funciones (ver anejo: 10.1 Ejemplo para
plan de lección – Investigación de la parábola).
Competencia de lanzar huevos: Representarán funciones cuadráticas en forma de tabla, con una
gráfica y con una ecuación. Compararán los datos y alternarán entre representaciones.
1. El maestro les pide a los estudiantes que lean los primeros dos párrafos de la hoja de
actividades (para materiales, dirigirse a:
http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?ID=L738).
2. Pregúntale a la clase qué notan de la altura del huevo a medida que aumenta la distancia a
partir de la línea de inicio. Si los puntos de datos se trazan en un plano coordenado y
conectado, ¿qué forma piensas que toma la gráfica? [Los estudiantes deben notar que la
altura aumenta y luego se reduce. La forma es una parábola.]
3. Haz que los estudiantes lean el tercer párrafo. Solicita a la clase que describa la forma descrita
por la ecuación. [Los estudiantes deben reconocer que se trata de una ecuación cuadrática,
cuya gráfica es una parábola. El coeficiente negativo antes del término x 2 significa que la
56
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1015

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo.]
4. Haz que los estudiantes lean el cuarto párrafo. Pregúntales qué saben acerca de la trayectoria
del huevo del Equipo C al mirar la gráfica.
5. Después de una discusión de los puntos de inicio, alturas y distancias a partir del punto inicial
por cada uno de los tres equipos, solicita a los estudiantes que se tomen un minuto para
anotar cuál equipo piensan que ganó la competencia y por qué.
6. Divide a los estudiantes en grupos o parejas para que trabajen la segunda página de la hoja de
actividades. Necesitarán una calculadora gráfica o alguna otra herramienta de regresión para
hallar las ecuaciones del Equipo A y Equipo C.
Juego de “Chutes and ladders” con cuadráticas 57 : Esta lección está diseñada a servir de repaso de
cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando los métodos de esta unidad: gráficas, compleción
del cuadrado, fórmula cuadrática y factorización. Jugarán el juego de “Chutes and Ladders”,
modificado para las ecuaciones cuadráticas, mientras estudian para el examen.
Materiales: tableros del juego “Chutes and Ladders” (o cualquier tablero de juego similar), 1 dado
por grupo, 1 paquete de tarjetas con 1 ecuación cuadrática en cada tarjeta por grupo, 4 fichas de
juego por grupo para moverlas en el tablero.
En grupos de cuatro, los estudiantes deben jugar siguiendo las reglas siguientes:
1. Saca una tarjeta.
2. Tira el dado.
3. Si sacas un 1 o un 6, entonces resuelve tu ecuación cuadrática completando el cuadrado.
4. Si sacas un 2 o un 5, entonces resuelve la ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática.
5. Si sacas un 3, entonces resuelve la ecuación cuadrática con una gráfica.
6. Si sacas un 4, entonces resuelve la ecuación cuadrática factorizando, de ser posible. Si no lo es,
resuélvela de otra forma.
7. Si resuelves tu ecuación correctamente, entonces puedes mover tu ficha el número de
espacios correspondiente al que te salió en el dado.
8. Si das una repuesta incorrecta a tu pregunta, entonces la persona que está a tu izquierda tiene
la oportunidad de responder a tu pregunta y moverse la cantidad de espacios que te haya
salido en el dado.
9. El primero en llegar al final del tablero ¡gana!
Los estudiantes corroborarán las respuestas de los demás para asegurarse de que sus oponentes
hayan completado sus respuestas correctamente antes de avanzar en el tablero. Al final del
periodo de clase, los estudiantes entregarán sus soluciones e incluirán el proceso de respuesta a
las preguntas de las tarjetas que se usaron para jugar. Esta lección puede servir de repaso de
cualquier tema con otras tarjetas.
Desigualdades cuadráticas 58 :
Parte 1: Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre las desigualdades cuadráticas,
incluidas las múltiples formas de representar las soluciones, pero limitándose a las ecuaciones
cuadráticas que se pueden resolver con factorización.
1. Utiliza la “Actividad de aprendizaje –Área Posible” para introducir el tema de las desigualdades
cuadráticas.
2. Relaciona los problemas con lo estudiado anteriormente sobre las desigualdades cuadráticas.
57
Fuente: http://www.learnnc.org/lp/pages/2981
58
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1016

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
Haz hincapié en que las soluciones de las ecuaciones relacionadas dividen la línea numérica en
regiones.
3. Corrobora las respuestas a las desigualdades originales. Comienza probando con más de un
punto por cada región para reforzar la idea de que si un punto funciona, funcionan todos los
puntos en una región.
4. Recuérdales a los estudiantes que deben asegurarse de considerar si los extremos forman
parte de la solución y que los oscurezcan, o no, si corresponde.
5. Céntrate en las ecuaciones cuadráticas que puedan resolverse con factorización y que tengan
dos raíces. Los estudiantes verán otras posibilidades en la próxima parte de la lección.
6. Dales tiempo para que practiquen.
7. Expresa las soluciones en términos algebraicos y con notación de intervalos.
8. Elige ejemplos que se relacionen con la actividad anterior (“Área posible”) e interpreta las
soluciones en el contexto de las dimensiones posibles dado un enunciado sobre un área. Esta
es una buena oportunidad para hacer un contraste entre la ecuación y el problema del mundo
real que representa. A menudo hay valores de la variable que crean un enunciado numérico
verdadero, pero que dejan de tener sentido cuando se usa una ecuación cuadrática
factorizada para representar la longitud y anchura de un rectángulo (ej: (x - 3)(x + 5) > 9 tiene
soluciones, como x = -8, que no tienen sentido si usamos (x - 3) y (x + 5) para representar los
ángulos de un rectángulo.)
Parte 2: Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre cómo resolver desigualdades
cuadráticas más difíciles, incluidas las que contienen ceros irracionales, así como desigualdades
que siempre o nunca son ciertas.
1. Comiencen con gráficas que les resulten familiares, pero que tengan raíces irracionales.
Solicita a los estudiantes que resuelvan las desigualdades cuadráticas con raíces irracionales.
Haz que usen la calculadora para producir aproximaciones decimales y tracen la gráfica de sus
conjuntos de solución.
2. Adviérteles a los estudiantes que no todas las desigualdades cuadráticas producen conjuntos
de solución como los que han visto hasta ahora. Rétalos a averiguar qué está sucediendo en
un reducido conjunto de ejemplos que incluyan trinomios cuadrados perfectos (con solo un
extremo) y trinomios que no tengan raíces reales (el conjunto de solución es o todos los
números reales o el conjunto nulo, dependiendo de la dirección de la desigualdad).
3. Haz prácticas mixtas.
4. Selecciona ejemplos que se relacionen con la actividad anterior, “Área posible”. Interpreta las
soluciones en el contexto de las dimensiones posibles dado un enunciado sobre un área. Esto
resulta útil para establecer que los números irracionales siguen siendo parte de la familia
mayor de números reales y que deben interpretarse como medidas.
5. Utiliza las aproximaciones decimales para ayudarles a los estudiantes a entender el número
como distancia, pero haz hincapié en que son aproximaciones, o sea, el decimal no es
verdaderamente equivalente a la raíz.
Recursos adicionales
http://www.youtube.com/watch?v=1LsJaR72UFM
http://www.scribd.com/doc/20023004/Identificar-Funciones-Pares-e-Impares-Version-Blog
Junio 2012 1017

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
5 semanas
http://www.scribd.com/doc/10040975/NUMEROS-COMPLEJOS
http://www.scribd.com/doc/10012176/FORMULA-CUADRATICA
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Pre cálculo: Funciones y graficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Álgebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literature
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
A Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
Algebra Unplugged de Kenn Amdahl y Jim Loats
Solving Quadratic Equations by Completing Squares de Natalya Vinogradova (2007), disponible en
línea en nctm.com
Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
Junio 2012 1018
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 – Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes resolverán operaciones básicas con monomios, binomios y polinomios,
a la vez que los aplicarán para analizar el comportamiento gráfico. Aplicarán la composición y
descomposición de las funciones para crear modelos y solucionar problemas. Explorarán las funciones
radicales e identificarán las raíces extrañas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento
sobre la composición y descomposición de funciones para solucionar problemas del mundo real e
interpretar ecuaciones polinómicas de orden mayor en futuras clases de matemáticas.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones polinómicas
A.RE.10.3.1 Suma, resta y multiplica expresiones polinómicas para resolver problemas.
A.PR.10.3.2 Analiza y describe gráficas de funciones polinómicas examinando sus interceptos, ceros,
dominio, alcance y comportamiento local (puntos críticos) y general.
A.RE.10.3.3 Utiliza la factorización, las propiedades de los exponentes y otros conocimientos
relacionados para transformar expresiones y resolver problemas.
A.PR.10.3.4 Aplica la composición y descomposición de funciones a modelos y solución de problemas.
Raíces y racionales
N.SO.10.2.1 Extiende las propiedades de los exponentes racionales a exponentes reales, relacionando
las expresiones con exponentes racionales a la expresión radical que le corresponde.
N.OE.10.2.3 Simplifica radicales aplicando sus propiedades.
Suma, resta, multiplica y divide expresiones.
Extrae raíces con y sin tecnología.
Racionaliza expresiones con radicales.
A.PR.10.7.1 Modela y resuelve problemas usando variación directa, inversa y combinada.
A.PR.10.7.2 Modela situaciones elaborando ecuaciones e inecuaciones basadas en funciones
racionales. Utiliza una variedad de métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones e interpreta las
soluciones en términos del contexto.
A.PR.10.7.3 Suma, resta, multiplica, evalúa y simplifica expresiones racionales que contienen
denominadores lineales y cuadráticos.
A.PR.10.7.4 Describe la gráfica de las funciones racionales, y describe las restricciones en el dominio y
el campo de valores, y examina su conducta asintótica.
A.PR.10.7.5 Utiliza las propiedades de los radicales para resolver ecuaciones e identifica raíces extrañas
cuando estas ocurran.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Se puede analizar una situación del mundo
real representándola como una función.
La función puede clasificarse por el
Preguntas esenciales:
¿Cómo nos ayudan las gráficas y las funciones
a interpretar problemas del mundo real?
¿Qué técnicas pueden usarse para graficar
Junio 2012 1019

comportamiento de su gráfica.
Una entrada a veces puede parearse con una
salida posible.
Las ecuaciones pueden resolverse por medio
de una variedad de métodos.
Las gráficas de las funciones racionales tienen
asíntotas verticales y horizontales.
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
La propiedad de los exponentes
Las propiedades de los exponentes racionales
Las propiedades de los exponentes reales
Las propiedades de los números radicales
Las operaciones con números radicales
La(s) gráfica(s) de las funciones racionales y
las restricciones sobre el dominio y campo de
valores
El concepto del comportamiento asintótico
Vocabulario de contenido
General: denominador, desigualdades,
exponentes, expresiones, funciones, números
racionales, números radicales, números reales
Características de las ecuaciones/gráficas:
asíntota, eje de simetría, binomio, puntos
críticos, dominio, raíces extrañas, extremos,
campo de valores, intercepciones, lineal,
máximo, mínimo, monomio, polinomio,
cuadrático, espectro, restricciones, raíces,
ceros
Destrezas y métodos: variación combinada,
composición, descomposición, variación
directa, elaboración de preguntas,
factorización, variación inversa, racionalizar,
simplificar, transformar
cada tipo de función lo más eficazmente
posible?
¿Por qué son importantes y necesarias las
reglas de una función?
¿Cómo se seleccionan los métodos para
resolver una ecuación?
¿Por qué es necesario entender el
comportamiento de la gráfica de una función
racional cerca de x donde la función esté
indefinida?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Sumar, restar y multiplicar expresiones
polinómicas para resolver problemas.
Analizar y describir gráficas de funciones
polinómicas examinando sus interceptos,
ceros, dominio, alcance y comportamiento
local (puntos críticos) y general.
Utilizar la factorización, las propiedades de los
exponentes y otros conocimientos
relacionados para transformar expresiones y
resolver problemas.
Aplicar la composición y descomposición de
funciones a modelos y la solución
deproblemas.
Extender las propiedades de los exponentes
racionales a exponentes reales, relacionando
las expresiones con exponentes racionales a la
expresión radical que le corresponde.
Simplificar los números radicales al aplicar sus
propiedades.
Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones
con números radicales.
Extraer raíces con y sin tecnología.
Racionalizar expresiones con números
radicales.
Modelar y resolver problemas usando
variación directa, inversa y combinada.
Modelar situaciones elaborando ecuaciones e
inecuaciones basadas en funciones racionales.
Utilizar una variedad de métodos para
resolver ecuaciones e inecuaciones e
Junio 2012 1020

Tareas de desempeño
Campaña de relaciones públicas en pro de las
reglas 59
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las propiedades de los exponentes (racionales a
reales) y los números radicales a través de la
creación de una campaña de relaciones públicas a
favor de las propiedades/reglas.
Instrucciones:
1. El maestro le indica a los estudiantes que su
trabajo será el de mejorar la imagen de las
reglas matemáticas.
2. Preséntales el siguiente problema: A través de
los años, las reglas han adquirido una mala
reputación: según sus detractores, confunden
a la gente, se usan para torturar a los
estudiantes de matemáticas y son demasiado
complicadas. Tú, el estudiante, sabes que las
reglas son lógicas, necesarias y no son tan
misteriosas cuando uno realmente las
entiende. (La culpa no la tienen las reglas en
realidad, sino la gente que obliga a los
estudiantes a memorizar reglas que
realmente no entienden.) Para ayudar a
remediar esta lamentable situación, los
estudiantes:
Han decidido promover las propiedades y
los exponentes racionales, los exponentes
reales o los números radicales.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
interpretar las soluciones en términos del
contexto.
Sumar, restar, multiplicar, evaluar y simplificar
expresiones racionales que contienen
denominadores lineales y cuadráticos.
Utilizar las propiedades de los números
radicales para resolver ecuaciones e
identificar las raíces extrañas cuando ocurran.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 62
(Ver anejo: 10.2 Otra evidencia — Ejemplos de
preguntas de examen.)
1. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones
racionales:
a.
Junio 2012 1021
b.
2. ¿Cuál expresión es equivalente a
?
a)
b)
c)
d)
59 Fuente: www.curriculumframer.com
62 Fuentes: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm and http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
Diseñarán anuncios que ilustren por qué
las reglas y propiedades matemáticas
funcionan, y qué ocurriría si no las
tuviéramos.
Podrán usar materiales impresos, sonido
(canción o rap) o video, dependiendo de
sus destrezas y acceso al equipo.
No pueden simplemente decirle a la gente
que las reglas y propiedades son
importantes, tienen que enseñarlos y
convencerlos.
3. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.2 Tarea de
desempeño – Rúbrica de Campaña de
relaciones públicas en pro de las reglas)
Cómo se trabaja con polinomios - Guía del
usuario con advertencias 60
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las operaciones polinómicas al crear una guía del
usuario con advertencias para futuros
estudiantes.
1. Reta a los estudiantes a ayudar a futuros
estudiantes de álgebra al escribir una corta
guía que exprese lo más esencial de lo que
realmente hace falta saber a la hora de sumar,
restar, multiplicar y dividir polinomios.
2. Solicita a los estudiantes que se dividan en
grupos o parejas para completar lo siguiente:
Resume las técnicas cubiertas en la
unidad, y crea una guía integral para
trabajar con polinomios.
Provee ejemplos claros para cada
procedimiento cubierto.
Reflexiona sobre su trabajo e identifica
errores potenciales por cada tipo de
problema. Hazles advertencias claras de
errores potenciales que deben evitarse,
con ejemplos que ilustren estos errores
comunes.
60 Fuente: www.curriculumframer.com
63 Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf
3. ¿Cuál es el producto de y ?
a)
b)
c)
d)
4. La suma de y es
1) 2) 3) 4)
5. ¿Cuál es el conjunto de solución de ?
Junio 2012 1022
a)
b)
c)
d)
Diario 63
1. Describe en tus palabras cómo determinarías
la forma de la gráfica a partir de la ecuación
antes de dibujar la gráfica como tal.
2. Explica cada letra del término FOIL.
Boletos de entrada/salida
1. Describe e ilustra cómo resolver (m-2) 2 .
2. Expresa en la forma radical más
simple.

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
3. En conjunto con la clase, discute los errores
potenciales a evitarse que los grupos hayan
incluido en sus guías. Escoge las cinco técnicas
o los cinco errores potenciales más
importantes y solicita a los grupos que creen
un afiche donde se muestre esta información.
Coloca los afiches en la pared y refiérete a
ellos durante la clase.
4. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.2 Tarea de
desempeño - Cómo se trabaja con
polinomios).
Preferencias en ositos de peluche 61
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las propiedades de los polinomios al modelar y
analizar datos del Consorcio de Psicología de
Puerto Rico.
Instrucciones:
Como consultor(a) del Consorcio de Psicología de
Puerto Rico, te toca estudiar qué tipos de ositos
de peluche prefieren los niños, si ositos con rasgos
adultos o con rasgos de bebé. Los niños mayores
tenían más probabilidades de preferir ositos con
rasgos de bebé que los niños menores. En la tabla
a continuación se muestra el número de niños y
niñas, por edad, que eligieron ositos con rasgos de
bebé. En la columna de datos combinados se
muestra el promedio entre ambos sexos. (Nota:
los datos son ficticios.)
Edad Niños Niñas Combinados
4 6 8 7
6 8 10 9
8 10 14 12
En las funciones a continuación se modelan los
datos, donde x es la edad:
Niños: N(x) = x + 2
Niñas: A(x) = ?
1. Escribe el modelo de función para las niñas,
61 Fuente: http://www.waterfordschools.org/cms/lib4/CT01001345/Centricity/Domain/8/Math9-
12/Mathematical%20Topics.htm
Junio 2012 1023

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
A(x).
2. Escribe una expresión racional que modele los
datos combinados. A continuación, simplifica
la expresión.
3. Produce las gráficas de las tres expresiones
modelo y describe la gráfica de la expresión
en la parte (2) relativo a las otras dos gráficas.
4. Dibuja las tres gráficas para estimar el número
de niños de cinco años que prefirieron los
ositos con rasgos de bebé.
Evalúa el trabajo de los estudiantes con la rúbrica
de avalúo (ver anejo: Organizador – Rúbrica de
Tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Rompecabezas cuadrado: Cooperando en grupos pequeños, los estudiantes discuten conceptos
clave para crear y resolver rompecabezas cuadrados. Esta es una buenísima actividad antes de las
asignaciones para repasar destrezas o comprobar lo aprendido anteriormente. Los estudiantes se
dividen en grupos de 2 o 3 y reciben 16 tarjetas con las que formarán un cuadrado 4 x 4 para
completar un rompecabezas al parear problemas matemáticos con sus respuestas correctas, o
vocabulario con definiciones o ejemplos. Los rompecabezas creados por el maestro deben usarse
unas cuantas veces antes de pedírseles a los estudiantes que hagan los suyos propios. Los
rompecabezas hechos por los estudiantes entonces pueden intercambiarse con otros grupos para
ponerlos a prueba. Guarda una copia original del rompecabezas hecho por el maestro para usarlo
de clave. Para esta unidad, el maestro puede crear rompecabezas de problemas para operaciones
de polinomios, factorización y simplificación de expresiones racionales o radicales. Para consultar
ejemplos, dirigirse a
http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/literacy
y7/s4history.pdf.
Posibles tamaños de alfombra: Los estudiantes explorarán si es posible factorizar polinomios al
repasar primero si es posible factorizar números enteros, al considerar las áreas potenciales de
alfombras con longitudes de lados que sean enteros, sin incluir el 1, y extendiéndolo a los
polinomios. Comienza por algo sencillo: dales a los estudiantes áreas potenciales de alfombras (ej.:
24 pies cuadrados) y pregúntales: ¿cuántos conjuntos de dimensiones tiene esta área si los lados
tienen que ser enteros mayores de 1 pie? Ej. 2 por 12, 3 por 8, 4 por 6. Dales a los estudiantes unos
cuantos números para que lo intenten, algunos con más factores que otros. Incluye un primo.
Solicita a los estudiantes que hagan el modelo de unos cuantos ejemplos con modelos de área, o
colocando puntos en un papel cuadriculado. No utilices números grandes para esto, o si no la
actividad se hace un poco tediosa. Refiriéndote a su experiencia pasada con modelos de área y la
propiedad distributiva, reta a los estudiantes a que intenten resolver el problema de multiplicación
del que se obtendrían algunos trinomios simples con términos positivos. Comienza con trinomios
Junio 2012 1024

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
simples que se puedan factorizar (ej.: x 2 + 5x + 6). Una vez hayan logrado sacar unos cuantos, dales
un polinomio que sea primo sobre los números racionales (ej.: x 2 + 6x + 7). Buenos ejemplos para
esta exploración: debes darles una "b" lo suficientemente grande para proveer unos cuantos
escenarios con el arreglo de los cuadritos rectangulares, pero no tan grande que resulte
abrumador. Además, un buen valor de "c" debe ser lo suficientemente grande para que se
produzca un remanente en alguno(s) arreglo(s), pero lo suficientemente pequeño como para no
cerrar la brecha en los otros.
Organizador gráfico plegable: Los estudiantes crean una hoja de resumen para aplicar las
operaciones básicas a los monomios y polinomios. Dobla el papel en cinco áreas con el papel de
forma vertical, y rotula cuatro de ellas con +, -, x, /. Por el lado corto, dóblalo en tres secciones. La
sección de arriba deberá tener los nombres de las columnas; nombra las otras dos "monomios" y
"polinomios": los estudiantes hacen resúmenes o escriben los pasos para completar cada una de
las operaciones de los monomios y los polinomios.
Organizador gráfico plegable de propiedades: Los estudiantes doblan y crean una hoja de papel por
la mitad de forma vertical (como un perro caliente). Dobla sin plegar la otra mitad en rectángulos
iguales. En la parte de arriba del papel, recorta por los dobleces. Escribe el nombre de una
propiedad en cada rectángulo. Al voltear el nombre de la propiedad, escribe en un lado la
propiedad junto con una representación gráfica y en el otro lado da un ejemplo de cómo se usa la
propiedad. Los estudiantes pueden hacer uno con las propiedades usando números racionales,
reales y radicales y exponentes.
Pareo de gráficas y ecuaciones: Haz un conjunto de tarjetas para grupos de 3 a 4 estudiantes. El
conjunto incluirá tarjetas con gráficas y tarjetas con problemas de monomios y polinomios de
operaciones básicas. Los estudiantes deberán parear las gráficas con los problemas e identificar
cualquier gráfica o problema que no tenga pareja. Para ganar, los estudiantes tendrán que parear
de forma correcta y proveer prueba matemática para sus respuestas.
Aplicación de funciones racionales 64 : Este es un problema de introducción para preparar a los
estudiantes para abordar las aplicaciones de las funciones racionales. Dales tiempo a los
estudiantes para que piensen en cómo se usan las funciones racionales para hacer modelos. Más
adelante incorpora sus ideas para revelar una solución usando varios métodos. Problema: Vamos a
poner un corral adyacente a un río. No hace falta poner verja a la orilla del río. El área encercada
debe medir 800 yardas cuadradas. Halla las dimensiones de x y de y que hacen falta para usar el
mínimo de valla.
Ejemplos para planes de la lección
¿Cuán simple es tu expresión racional? Los estudiantes aprenden a simplificar las expresiones
racionales usando notas y práctica de guía. Crea notas de guía a partir de las páginas de ejemplos,
tacha las frases y pasos clave y entrégaselo a los estudiantes para que ellos completen lo que falta
durante la discusión en clase. A continuación, usando el modelo "Me toca, te toca, nos toca",
completa la hoja de actividades para los estudiantes usando las notas de guía como recurso. Para
más información y hojas de actividades, dirigirse a
http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1512.htm.
64 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1025

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
¿Quién soy? Halla un polinomio a partir de sus raíces: En esta lección, los estudiantes escribirán la
ecuación de un polinomio en forma estándar dadas sus raíces y el comportamiento final de la
función. Los estudiantes determinarán los extremos locales usando una herramienta para gráficas,
graficarán el polinomio usando la herramienta y papel cuadriculado y hallarán las raíces complejas
de un polinomio de orden mayor en forma estándar. Realizarán también operaciones con
polinomios, números radicales y complejos. Esta lección les provee a los estudiantes la
oportunidad de aplicar teoremas relacionados con las raíces de los polinomios y los factores de los
polinomios.
Materiales: papel cuadriculado, papel de gráfica, calculadora gráfica y hoja de actividades (ver
anejo: 10.2 Ejemplo para plan de lección - Quién soy - Halla un polinomio a partir de sus raíces).
Instrucciones:
1. Dale a cada estudiante las raíces y comportamiento final de un polinomio. Recorta las raíces y
el comportamiento en tiras de papel. Estas se ordenan en orden alfabético. Los estudiantes
deberán agruparse más adelante con los estudiantes que tengan el mismo polinomio (letra).
2. Usando la calculadora gráfica, aproximan los extremos, las intercepciones en x y las
intercepciones en y. Grafican el polinomio en papel cuadriculado y rotulan los extremos,
intercepciones en x e intercepciones en y con un par ordenado.
3. Los estudiantes escriben el polinomio en forma factorizada con factores lineales y respectivo a
los números enteros.
4. En papel cuadriculado, grafican los polinomios en forma estándar en y-1 y el polinomio en
forma factorizada en y-2. Deberán repetir los pasos dos y tres hasta que las gráficas coincidan.
5. Aproximan los extremos usando la calculadora gráfica. Hallan las intercepciones en x y las
intercepciones en y. Grafican el polinomio en papel cuadriculado y rotulan los extremos,
intercepciones en x e intercepciones en y con un par ordenado.
6. Los estudiantes colaboran para preparar un afiche con las mismas raíces y condiciones
polinómicas. Deben escribir las raíces y el comportamiento final al dorso. Solo se rotulan en la
parte del frente la forma estándar y los extremos. Deben incluir una escala para los ejes en x y
en y.
7. Hazles observaciones inmediatas y presenta el trabajo de los estudiantes.
Ganancia máxima: Los estudiantes aplican las destrezas de multiplicación de polinomios y de hallar
los puntos máximos para encontrar el precio al cual ocurre la ganancia máxima en los negocios.
Los estudiantes deben estar familiarizados con las destrezas de operaciones básicas, como la
suma, la resta, la multiplicación, la división, los exponentes, las fracciones, los decimales, las
ecuaciones cuadráticas, el eje de simetría, las ecuaciones verbales y las gráficas de las cuadráticas.
1. Discutan sobre cómo la ganancia máxima se utiliza en los negocios, usando el No. 1 de
Ejemplos de ganancia máxima (ver anejo: 10.2 Ejemplo para plan de lección - Ganancia
máxima).
2. Trabajen en conjunto con el ejemplo No. 2 de ejemplos de ganancia máxima.
3. Haz que los estudiantes trabajen en la hoja de actividades de ganancia máxima (ver anejo: 10.2
Ejemplo para plan de lección - Ganancia máxima).
Junio 2012 1026

Recursos adicionales
Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
5 semanas
Rompecabezas cuadrado:
http://www.curriculumsupport.education.nsw.gov.au/secondary/mathematics/assets/pdf/s6_teac
h_ideas/gen_maths/general_lig_s6.pdf
Ganancia máxima: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1509.htm
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Pre cálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
One Hundred Hungry Ants de Elinor J. Pinczes
Women and Numbers de Teri Perl
Junio 2012 1027
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes representarán el crecimiento exponencial con funciones y ecuaciones
exponenciales y resolverán problemas matemáticos y del mundo real usando funciones logarítmicas.
Reconocerán las características principales de estas funciones y la relación inversa entre las funciones
logarítmicas y exponenciales, y las aplicarán como corresponde.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su comprensión de
las funciones exponenciales y logarítmicas para interpretar y predecir gráficas y tablas de funciones
exponenciales, así como resolver situaciones del mundo real que no se limiten a funciones lineales y
cuadráticas.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones exponenciales
A.PR.10.5.1 Extiende y aplica las propiedades de los exponentes enteros a los exponentes racionales.
Relaciona los exponentes racionales con su representación radical.
A.PR.10.5.2 Reconoce las características principales de una función exponencial (dominio, recorrido,
intersecciones en los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntotas).
A.PR.10.5.3 Representa las funciones exponenciales por medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones. Describe los efectos de los cambios de los parámetros de una función
exponencial en el comportamiento de su gráfica.
A.RE.10.5.4 Analiza una situación modelada por una función exponencial, formula una ecuación o
inecuación y resuelve el problema.
A.PR.10.5.5 Utiliza funciones exponenciales para resolver problemas que involucran crecimiento y
decaimiento exponencial en contextos matemáticos y del mundo real.
Funciones logarítmicas
A.PR.10.6.1 Define logaritmo como la solución a una ecuación exponencial.
A.PR.10.6.2 Reconoce la relación inversa entre funciones definidas por logaritmos y expresiones
exponenciales, mostrando esta relación a través de una gráfica.
A.PR.10.6.3 Reconoce las características principales de una función logarítmica (dominio, recorrido,
intersecciones en los ejes, crecimiento y decrecimiento y asíntotas).
A.PR.10.6.4 Representa las funciones logarítmicas por medio de tablas, gráficas, expresiones verbales y
ecuaciones.
A.PR.10.6.5 Aplica las propiedades de los logaritmos.
[log xy = log x + log y; log =log x –log y; log(x a
) = a log (x)]
A.PR.10.6.6 Aplica la relación inversa entre funciones exponenciales y logarítmicas para resolver
problemas matemáticos y del mundo real.
A.RE.10.6.7 Resuelve ecuaciones logarítmicas prestando atención a las raíces extrañas e interpreta la
solución en el contexto de la situación.
A.PR.10.7.1 Modela y resuelve problemas usando variación directa, inversa y combinada.
A.PR.10.7.2 Modela situaciones elaborando ecuaciones e inecuaciones basadas en funciones
Junio 2012 1028

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
racionales. Utiliza una variedad de métodos para resolver ecuaciones e inecuaciones e interpreta las
soluciones en términos del contexto.
A.PR.10.7.3 Suma, resta, multiplica, evalúa y simplifica expresiones racionales que contienen
denominadores lineales y cuadráticos.
A.PR.10.7.4 Describe la gráfica de las funciones racionales, y describe las restricciones en el dominio y
el campo de valores, y examina su conducta asintótica.
A.PR.10.7.5 Utiliza las propiedades de los radicales para resolver ecuaciones e identifica raíces extrañas
cuando estas ocurran.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las funciones y sus inversas exhiben simetría.
El término e es usado en casos de crecimiento
continuo. El exponente de cualquier función
exponencial es la variable independiente.
Los logaritmos facilitan los cálculos que
implican exponentes y números de muchos
dígitos.
Los patrones recurrentes pueden modelarse
con una función con decrecimiento
exponencial.
Una función exponencial puede servir de
modelo para el crecimiento o decrecimiento
de una cantidad inicial.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las propiedades de los exponentes reales
Las propiedades de los exponentes racionales
Reconocer las características principales de
una función exponencial (dominio, recorrido,
intersecciones de los ejes, crecimiento y
decrecimiento y asíntota)
Reconocer las características principales de
una función logarítmica (dominio, recorrido,
intersecciones de los ejes, crecimiento y
decrecimiento y asíntota)
La propiedad de los exponentes
Las características de una gráfica de función
racional (por ejemplo, las restricciones al
dominio y el campo de valores)
Las propiedades de los números radicales
El concepto de comportamiento asintótico
Preguntas esenciales:
¿Cómo se relacionan las inversas de las
funciones?
¿Cuáles son algunas aplicaciones del término
e? ¿Cómo puedes saber si los valores en una
gráfica o tabla representan una función
exponencial?
¿Por qué son útiles en las matemáticas los
logaritmos y sus aplicaciones?
¿Cómo se relacionan las funciones
exponenciales y logarítmicas?
¿Cómo pueden usarse las funciones
exponenciales y logarítmicas para resolver
ecuaciones?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Extender y aplicar las propiedades de los
exponentes íntegros a los exponentes
racionales. Relacionar los exponentes
racionales con su representación radical.
Reconocer las características principales de
una función exponencial (dominio, recorrido,
intersecciones en los ejes, crecimiento y
decrecimiento y asíntotas) (por ejemplo,
¿cómo sabes si los valores en una gráfica o
tabla representan una función exponencial?).
Representar las funciones exponenciales por
medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
Analizar una situación simulada por una
función exponencial, formular una ecuación o
desigualdad y resolver el problema.
Utilizar funciones exponenciales para resolver
Junio 2012 1029

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Los efectos de los cambios en los parámetros
de una función exponencial en el
comportamiento de la gráfica
El logaritmo como la solución de una ecuación
exponencial
La relación inversa entre las funciones
exponenciales y logarítmicas
Vocabulario de contenido
General de gráficas: asíntota, campo de
valores, característica principal, crecimiento,
decrecimiento, desigualdad, dominio,
ecuación, intersecciones de los ejes,
parámetros, raíces, recorrido, restricciones,
soluciones extrañas
Exponencial: crecimiento exponencial,
decrecimiento exponencial, exponente,
función exponencial
Logarítmico: logaritmo, relación inversa
problemas que impliquen crecimiento y
decrecimiento exponencial en contextos
reales.
Reconocer la relación inversa entre las
funciones definidas por logaritmos y
expresiones exponenciales, mostrando está
relación a través de una gráfica.
Reconocer las características principales de
una función logarítmica (dominio, recorrido,
intersecciones de los ejes, crecimiento y
decrecimiento y asíntota) (por ejemplo, en
una gráfica).
Representar las funciones exponenciales por
medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
Aplicar las propiedades de los logaritmos
[log xy = log x + log y; log x/y =log x –log y;
log(x a
) = a log (x)].
Aplicar la relación inversa entre las funciones
exponenciales y logarítmicas para resolver
problemas matemáticos y reales.
Resolver las ecuaciones logarítmicas
prestando atención a las raíces extrañas e
interpretar la solución en el contexto de la
situación.
Hacer modelos y resolver problemas usando
la variación directa, inversa y combinada.
Hacer modelos de situaciones elaborando
ecuaciones y desigualdades basadas en
funciones racionales.
Utilizar una variedad de métodos para
resolver ecuaciones y desigualdades e
interpretar las soluciones en términos de su
contexto.
Sumar, restar, multiplicar, evaluar y simplificar
las expresiones racionales que contienen
denominadores lineales y cuadráticos.
Utilizar las propiedades de los números
radicales para resolver ecuaciones e
identificar las raíces extrañas cuando estas
ocurran.
Junio 2012 1030

Tareas de desempeño
Informe de negocios de Phones R-Us 65
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones exponenciales al desarrollar y
analizar un informe de negocios.
Tarea:
Como director de mercadeo de Phones-R-US,
el director ejecutivo te ha pedido que
determines si lo que se rumora sobre el "auge
de celulares" es realmente cierto. En
particular, en una noticia de prensa reciente
se sugería que desde el año 2010, uno de cada
tres estadounidenses tiene por lo menos un
teléfono celular. Si ese es el caso, la compañía
planea expandir sus operaciones, inversión
que podría colocarla en una situación
financiera difícil durante diez años.
Para preparar tu informe, has encontrado
información real sobre la tasa de propietarios
de celulares, como se representa en la tabla a
continuación. Prepara tu informe usando esta
información y haz recomendaciones en
cuanto a la posible expansión. Tu informe
debe incluir una discusión de cuán realistas
son las predicciones de los modelos.
Año Número
aproximado de
celulares
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Suscriptores
1985 470,000
1986 717,000
1990 3,800,000
1995 32,000,000
1996 48,500,000
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.3 Tarea de desempeño
- Rúbrica Phones-R-Us).
65 Fuente: www.curriculumframer.com
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 68
1. La población estudiantil actual del Centro
Estudiantil de Brentwood es de 2,000. La
matrícula del centro aumenta a una tasa de 4
% cada año. Calculado al entero más próximo,
¿a qué número se aproximará la población
estudiantil en tres años?
a) 2,240
b) 2,250
c) 5,488
d) 6,240
2. Kathy está planeando comprar un carro que
deprecie (pierda valor) a una tasa de 14 % al
año. El costo inicial del carro es de $21,000.
¿Qué ecuación representa el valor, v, del carro
después de tres años?
a)
b)
c)
d)
Diario
1. Un logaritmo también se conoce como:
2. Un banco anuncia que los clientes nuevos
pueden abrir una cuenta de ahorros con una
tasa de interés agregada anualmente. Roberto
invierte $5,000 en una cuenta con esta tasa. Si
no hace depósitos o retiros adicionales a su
cuenta, halla la cantidad de dinero que
tendrá, al centavo más próximo, al cabo de
tres años.
3. Escoge un problema matemático de los
ejercicios de hoy y explica el significado de las
soluciones extrañas en el contexto del
problema. (En otras palabras, ¿qué significa(n)
la(s) solución(es) extraña(s) en esta situación
específica?)
Junio 2012 1031

CSI de álgebra 66
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones logarítmicas al determinar la hora de
expiración de la víctima de un crimen.
Tarea: ¿Cómo la detective M. Díaz obtuvo la hora
de expiración de la víctima?
La detective M. Díaz es llamada a la escena de un
crimen donde se acaba de encontrar un cadáver.
Llega a la escena a las 10:23 de la noche y
comienza su investigación. Inmediatamente le
toma la temperatura corporal al cadáver y
determina que es de 80˚ Farenheit. M. Díaz
verifica el termostato programable y determina
que el cuarto ha estado a una temperatura
constante de 68˚ F durante los últimos tres días.
Una vez se recopilan las pruebas de la escena del
crimen, exactamente una hora después de tomar
la temperatura por primera vez, se le vuelve a
tomar la temperatura corporal al cadáver y se
determina que es de 78.5˚ F. Al siguiente día un
investigador le pregunta a la detective: "¿A qué
hora falleció nuestra víctima?" Asumiendo que la
temperatura corporal de esta era normal (98.6˚ F)
antes de morir, ¿cómo responde M. Díaz a la
pregunta?
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
¿Cuánto tiempo se toma? 67
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones exponenciales y la inversa para
hacer un modelo de un fenómeno médico natural.
El personal médico, en particular los
farmacéuticos que trabajan con la
farmacocinética, utiliza funciones exponenciales
para ayudarse a determinar y controlar los
regímenes de dosificación de las drogas
Boletos de entrada/salida
3 en forma exponencial.
1. Escribe log81 =
4
2. El 1 de enero de 2010, el precio de la gasolina
estaba a $0.65 por litro. Si el precio de la
gasolina aumentó por 0.5 % al mes, ¿cuál era
el costo del galón de gasolina, al centavo más
próximo, el 1 de enero un año después?
68
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
66
Fuente: www.curriculumframer.com
67
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
Junio 2012 1032

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
potencialmente tóxicas para pacientes
gravemente enfermos. La idea es aumentar el
nivel del fármaco en el torrente sanguíneo lo
suficiente para que sea eficaz, pero no tanto como
para que sea tóxico.
Instrucciones: Imagina que para un paciente con
un régimen de dosificación particular, un fármaco
alcance su máximo nivel de 300 miligramos. El
fármaco es entonces eliminado del torrente
sanguíneo a una tasa de 20 % por hora.
a. ¿Cuánto del fármaco queda dos horas
después de alcanzar el nivel máximo? ¿Cinco
horas después del nivel máximo? Haz una
tabla donde muestres cómo obtuviste tus
respuestas.
b. Tras dos horas, la cantidad del fármaco que
queda en el torrente sanguíneo del paciente
puede representarse con la expresión 300(1 –
0.2)(1 – 0.2). Explica por qué.
c. Representa cada valor en la tabla anterior
usando una expresión similar a la que se
encuentra en la parte b.
d. Escribe una función que permita obtener el
nivel del fármaco en el torrente sanguíneo de
la paciente t horas después del nivel máximo.
e. Utiliza la función que escribiste en la parte d
para computar los valores de la tabla en la
parte a. ¿Obtuviste los mismos resultados?
f. ¿Después de cuántas horas habrá menos de
10 mg del fármaco en el torrente sanguíneo?
Explica cómo determinarías la respuesta
usando tanto la función de gráfica como la
tabla en tu calculadora gráfica.
g. Escribe una ecuación que puedas resolver
para determinar cuándo la concentración del
fármaco alcanzará los 10 mg exactamente.
Utiliza tu calculadora gráfica para ayudarte a
resolver la ecuación. Explica el método que
usaste para resolver el problema.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Junio 2012 1033

Funciones exponenciales
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones exponenciales al completar las
siguientes tareas:
Halla datos reales que parezcan seguir un modelo
exponencial. (Incluye los datos y cita tus fuentes).
Crea una gráfica de tus datos en una hoja de
papel cuadriculado grande (a mano) que
pueda verse desde la parte atrás del salón.
Describe cómo elegiste tu escala. Rotula los
ejes claramente y ponle título a tu gráfica.
Halla la ecuación del modelo exponencial.
(Puede ser que tengas que trazar una línea de
mejor ajuste.) Muestra tu trabajo de forma
clara y en su totalidad.
Describe lo que significa la base de tu modelo
en términos del “mundo real".
Describe lo que significa la intercepción en tu
modelo en términos del “mundo real."
Describe los límites de tu modelo.
Si tus datos no están actualizados para el día
de hoy, utiliza tu modelo para predecir el
valor al día de hoy y compara tu predicción
con el valor real.
Haz tres preguntas bien formuladas que
puedan contestarse con tu gráfica. Incluye
una pregunta que prediga el futuro y que
pueda responderse con tu gráfica. (No tienes
que responder a tus preguntas en tu afiche,
pero debes poder responderlas si se te
pregunta.)
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Junio 2012 1034

Actividades de aprendizaje
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Sorteo de tarjetas con soluciones extrañas: Crea un conjunto de tarjetas que contengan ecuaciones
con y sin soluciones extrañas. Los estudiantes dividen las tarjetas en una de dos categorías: 1) tiene
solución(es) extraña(s), y 2) no tiene solución(es) extraña(s). Por cada tarjeta, los estudiantes
deberán anotar en un papel prueba de por qué cada tarjeta pertenece a la categoría que eligieron.
Los estudiantes elegirán una ecuación con soluciones extrañas para crear una situación y explicar
qué significa(n) la(s) solución(es) extraña(s) en el contexto de su problema.
Información de la imagen 69 : En esta actividad se estudian las características de las gráficas de las
funciones exponenciales y logarítmicas. Pídeles a los estudiantes que hagan la gráfica de y=2 x en
sus calculadoras gráficas. (Si no tienen acceso a estas, entonces el maestro puede crear las gráficas
en la computadora o un proyector.) Pídeles que enumeren las características de la gráfica. ¿Cuál es
el dominio? ¿Cuál es el recorrido? Ahora recuérdales lo que es una inversa. Puesto que la inversa
es la reflexión de la gráfica cerca de la línea y=x, los estudiantes deben poder ver el patrón de la
inversa cuando vean la gráfica de y=log x. Puedes pedirles que tracen la gráfica de y=2 x o y=10 x
(puesto que y=log x solo puede estar para la base 10) en un pedazo de papel encerado. Sostén el
papel frente a los estudiantes y pídeles que traigan la esquina superior izquierda suavemente en
forma diagonal hacia la esquina inferior derecha. Pídeles que suelten la esquina inferior izquierda,
mientras sostienen el papel frente a ellos. Lo que deben ver ahora es la "inversa" de la gráfica
exponencial, es decir, la gráfica logarítmica. Pídeles que tracen la gráfica de y=log x en sus
calculadoras y hagan una lista de las características de la función. Nota: el dominio y recorrido
deben ser opuestos en el caso de y=10 x , puesto que son la inversa una de la otra. Pídeles que
tracen la gráfica de y=3 x , y=4 x . ¿Qué tienen en común estas gráficas? ¿Pueden proyectar lo que
otras gráficas logarítmicas tendrían en común?
Dobleces, pedazos y potencias de dos 70 : Aunque han trabajado con bases y exponentes en cursos
de matemáticas anteriores, esta lección les da una visión práctica sobre el significado de los
exponentes positivos y negativos. El maestro necesitará dos hojas de papel en blanco por
estudiante. Estos doblarán la primera hoja por la mitad. En la hoja de actividades, se les pide que
predigan cuántos dobleces son posibles (ver anejo: 10.3 Actividad de aprendizaje - Dobleces,
pedazos y potencias de dos). Anotarán también el número de capas que se forman con cada doblez
e introducirán ese valor en la gráfica. (Las capas representan exponentes positivos.) A
continuación, los estudiantes tomarán la segunda hoja de papel y la recortarán en dos mitades por
cada doblez. Anotarán también el número de pedazos y lo que este representa. (Los recortes están
representados por exponentes negativos.)
Modelo de decrecimiento exponencial 71 : Una vez hayan aprendido sobre el decrecimiento
exponencial, pídeles a los estudiantes que creen una tabla, dibujen la gráfica y ecuación para hacer
el modelo de un ejemplo real, como: Los científicos usan la datación con carbono para determinar
las edades de las substancias con base de carbono. El isótopo carbono-14 (C14) se usa
69
Fuente: www.curriculumframer.com
70
Ibídem.
71
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
Junio 2012 1035

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
ampliamente en la datación radiocarbónica. Esta forma de carbono se forma cuando las plantas
absorben dióxido de carbono atmosférico en su material orgánico durante la fotosíntesis. Cuando
las plantas mueren, dejan de formar el C14 y el C14 presente en el material se reduce de forma
exponencial. La vida media del isótopo C14, la cantidad de tiempo que se toma para que la mitad
del C14 se descomponga, es de aproximadamente 5730 ± 40 años. Esto se conoce como la vida
media Cambridge.
o Halla una ecuación que sirva de modelo para la parte del C14 inicial que permanece en una
sustancia basada en carbono t años después de la muerte del espécimen. Utiliza 5730 como la
vida media del carbono-14.
o ¿Cuánto del C14 original permanece en un fósil que tenga 4,000 años?
o Una planta contiene 64.74 % de su carbono-14 original. ¿Hace aproximadamente cuánto
tiempo expiró?
Organizador gráfico plegable: Los estudiantes crean una hoja de resumen en que comparen las
características principales de las gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas. Pídeles que
doblen un papel por la mitad. Recorta el doblez frontal en dos mitades, escribe "gráfica de función
exponencial" en una mitad y "gráfica de función logarítmica" en la otra. Debajo de cada mitad,
ilustra un ejemplo de la función y enumera sus características principales.
Organizador gráfico plegable de propiedades: Los estudiantes doblan y crean una hoja de papel por
la mitad de forma vertical (como un perro caliente). Doblan sin plegar este medio papel en
rectángulos iguales. En la mitad superior del papel, recortan por los dobleces. Escriben el nombre
de una propiedad en cada rectángulo. Al voltear el nombre de la propiedad, escriben en un lado la
propiedad junto con una representación gráfica y en el otro lado dan un ejemplo de cómo se usa la
propiedad. Los estudiantes pueden hacer uno con las propiedades usando números racionales,
números reales y radicales y exponentes.
Ejemplos para planes de la lección
Tendencias en la producción petrolera 72 : Esta lección les permite a los estudiantes analizar datos
de producción petrolera para ver si pueden encontrar un modelo de mejor ajuste, discutir las
limitaciones del modelo y su utilidad para predecir la producción futura. Es posible que tengas que
repasar cómo hacer una regresión en las calculadoras gráficas (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan
de lección - Tendencias en la producción petrolera).
Leyes logarítmicas 73 : Esta lección les permite a los estudiantes utilizar su experiencia previa
resolviendo ecuaciones para probar cada una de las tres leyes de logaritmos. Dales a los
estudiantes la hoja y permíteles trabajar en grupos (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección -
Leyes logarítmicas para estudiantes). A esto debe seguirle una discusión grupal para que todos los
estudiantes puedan compartir lo que han aprendido. El maestro debe entonces enseñarles a los
estudiantes el enunciado formal de cada ley. Se incluye una hoja para el maestro, pero la
información no debe compartirse con los estudiantes, especialmente antes de la investigación (ver
anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección - Leyes logarítmicas para el maestro).
72 Fuente: www.curriculumframer.com
73 Ibídem.
Junio 2012 1036

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
6 semanas
E"X"P- Haciendo y deshaciendo 74 : En parejas, los estudiantes "aplicarán" lo que han aprendido en
un contexto conceptual. Puesto que las funciones exponenciales y logarítmicas funcionan como
inversas, se pueden usar las propiedades de una para "deshacer" o resolver la otra. Puede darse
una buena discusión a la hora de decidir cuáles razones matemáticas utilizar. Anima a los
estudiantes a que utilicen sus propias palabras, siempre manteniendo la integridad de los
conceptos. (ver anejo: 10.3 Ejemplo para plan de lección - E'X'P - Haciendo y deshaciendo).
Recursos adicionales
Funciones exponenciales y logarítmicas
http://hs.lindenwold.k12.nj.us/apps/classes/show_assignment.jsp?classREC_ID=329300&start=0&
pff=1&showAll=true&show=1000
http://www.phschool.com/atschool/academy123/spanish/academy123_content/wl-bookdemo/ph-260ss.html
http://www.phschool.com/webcodes10/index.cfm?fuseaction=home.gotoWebCode&wcprefix=ate
&wcsuffix=0775
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/potralog.pdf
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
e: The Story of a Number de Eli Maor
74 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1037
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes representarán, interpretarán y resolverán problemas que impliquen
funciones por partes y la función de valor absoluto. Analizarán y harán modelos de funciones definidas
a trozos, realizarán la conversión entre las diferentes representaciones de una función (verbal, tablas,
símbolos y gráficas) e identificarán los valores de dominio y recorrido.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los valores y las funciones definidas a trozos para interpretar, predecir y resolver situaciones del
mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones de valor absoluto
A.PR.10.8.1 Analiza una situación para determinar o interpretar los valores del dominio y alcance de
funciones definidas por partes.
A.PR.10.8.2 Interpreta, construye y aplica la función parte entera y otras funciones definidas por parte,
incluido el valor absoluto, para modelar y resolver problemas.
A.PR.10.8.3 Traduce entre representaciones verbales, gráficas, tablas, símbolos de la función parte
entera y otras funciones definidas por partes.
A.PR.10.8.4 Analiza y traza la gráfica de la función valor absoluto.
14.0 Aplica informalmente los conceptos de cota superior e inferior y el límite.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las funciones definidas por partes nos
permiten examinar los datos que se
comportan de forma distinta dependiendo de
la entrada.
Los matemáticos son traductores.
Los patrones de datos pueden variar su
comportamiento con diferentes entradas.
Las características de la gráfica comunican
información esencial.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las funciones pueden definirse por partes
Función definida por partes
La función de valor absoluto y su gráfica
Los conceptos de valor máximo y mínimo y
límite
Vocabulario de contenido
dominio, función definida por partes, parte
Preguntas esenciales:
¿Por qué resulta útil entender las funciones
definidas a trozos?
¿En qué se parecen los matemáticos a los
traductores?
¿Cómo pueden los patrones de datos o
funciones comportarse de forma distinta
dadas entradas diferentes?
¿De qué forma las gráficas son herramientas
importantes para los matemáticos?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Analizar una situación para determinar o
interpretar los valores del dominio y alcance
de funciones definidas por partes.
Interpretar, construir y aplicar la función parte
entera y otras funciones definidas por parte,
incluyendo el valor absoluto, para modelar y
resolver problemas.
Traducir entre representaciones verbales,
Junio 2012 1038

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
de la función, recorrido, transformación,
traslación (deslizamiento), valor absoluto,
valor máximo, valor mínimo, vértice
Tareas de desempeño
Costos de envío 75
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones definidas por partes haciendo una
gráfica de costos de envío.
1. Entrega a cada grupo de dos a tres
estudiantes una revista que contenga costos
de envío de una empresa en particular. Este
proyecto será más divertido para los
estudiantes si las revistas contienen artículos
que se relacionan con sus intereses (equipo
deportivo, artículos para el Prom, etc.).
2. Provee tiempo para que los estudiantes
hojeen la revista y luego busquen la página
que contiene los costos de envío.
3. Su tarea será escribir y hacer la gráfica de la
función definida por partes para obtener el
costo total (costo del pedido + costo de envío)
para un envío estándar de todos los pedidos
hasta $90.00, inclusive. Es posible que tengas
que cambiar este número dependiendo de los
intervalos en el costo de envío de la revista
que están usando tus estudiantes y cuántas
ecuaciones te gustaría que incluyeran en su
función.
4. Si quieres, también puedes pedirles que
comparen los costos de envío en diferentes
áreas de los Estados Unidos o para envíos
internacionales.
5. Antes de que comiencen, asegúrate de que
los estudiantes entiendan que están creando
una función de un pedido posible. Como el
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
gráficas, tablas, símbolos de la función parte
entera y otras funciones definidas por partes.
Analizar y trazar la gráfica de la función valor
absoluto.
Aplicar informalmente los conceptos de cota
superior e inferior y el límite.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 77
1. Crea la gráfica de y = lxl – 2 .
2. ¿Cuál es el conjunto de solución de
?
a) b)
c) d)
3. ¿Cuál es el conjunto de solución de
?
a) b)
c) d)
4. Haz la gráfica de:
1 x < -1
y = lxl -1 < x < 3
2x – 4 x > 2
Diario
75 Fuente: http://www.pctm.org/magazine/PiecewiseFunctions_Storm.pdf
77 Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
1. ¿Qué es el valor absoluto de un número?
2. ¿Cómo afecta a una ecuación el valor absoluto
de un número? Ilústralo con un ejemplo.
3. Utilizando un diagrama de Venn, compara las
funciones de valor absoluto con las funciones
definidas por partes.
4. Compara las funciones definidas por partes
con las funciones escalonadas.
5. ¿Qué entiendes sobre las funciones definidas
por partes? ¿Sobre cosas qué todavía tienes
dudas? ¿Cuáles son esas dudas?
6. Describe cómo sabes cómo se ve la gráfica de
una ecuación de valor absoluto.
Junio 2012 1039

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
costo del pedido variará de persona a
persona, deben usar una variable.
6. Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo: Organizador
- Rúbrica de tarea de desempeño).
Gráfica de un proyecto de arte 76
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones definidas por partes y valor absoluto
creando un proyecto artístico de gráficas.
Instrucciones:
1. En papel cuadriculado, haz un dibujo que
contenga solo gráficas de líneas, parábolas y
valores absolutos.
2. El dibujo debe componerse de un mínimo de
diez ecuaciones. Debe haber por lo menos dos
líneas, dos gráficas de valor absoluto y dos
parábolas. Además, unas de las gráficas de
valor absoluto o una de las parábolas debe
tener una línea horizontal de simetría.
3. Deben entregarse dos copias para la
evaluación: una con todas las partes
enumeradas para que coincidan con una
enumeración de las ecuaciones y el dominio
de cada una escrito al lado de la ecuación, y la
otra será una copia final con un dibujo
delineado con marcador negro y coloreado
para hacerlo atractivo. (Los dominios deben
ser a la centena más próxima, de no ser
enteros.)
4. Debe entregarse junto con el diseño una
descripción escrita del proceso de solución y
razones por las que se tomó cada paso.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
76 Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8BJ.pdf
Boletos de entrada/salida
1. Haz la gráfica y halla el dominio y recorrido
de: y = lxl + 2
2. Halla el conjunto de solución de la ecuación
l2x-1l + 4 = 8z.
3. Haz la gráfica de: y = 2x-4 dominio x>3
4. Haz la gráfica de:
-lxl + 1 x < 2
y = -1 x > 2
Junio 2012 1040

Actividades de aprendizaje
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Correcciones del quiz: Después de repasar el material evaluado en un quiz, como los ejemplos de
preguntas para quiz que aparecen más arriba en la sección de “Otra evidencia”, los estudiantes
evaluarán su quiz y escribirán una reflexión basada en los errores cometidos. Revisarán también las
respuestas incorrectas a partir de los comentarios del maestro. Deberán incluir: el problema
original, la solución correcta con todo el proceso necesario y una explicación escrita. Esto les
permite a los estudiantes identificar los errores y revisarlos de ser necesario, utilizar recursos
adicionales en situaciones de resolución de problemas y reflexionar de forma acertada sobre su
progreso, y usar esa reflexión para desarrollar objetivos y diseñar estrategias que les ayuden a
mejorar (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - Correcciones del quiz).
A unir funciones definidas por partes: Lección de introducción para descubrir de forma gráfica las
funciones definidas por partes. Los estudiantes necesitarán regla, papel transparente y hoja de
actividades (ver anejo: 10.4 Actividad de aprendizaje - A unir funciones definidas a trozos). Puedes
guiar a los estudiantes en los ejemplos uno y dos, no obstante, podría ser más beneficioso si les
permites trabajar en las primeras dos preguntas con un compañero y luego discutir las preguntas
tres y cuatro como clase.
Modelo de función escalonada 78 : Los estudiantes hacen un modelo de una función escalonada en
una tabla, gráfica y ecuación. Una compañía de envíos por correo bastante conocida cobra los
gastos de envío en función del peso total de todos los artículos adquiridos por el cliente.
o El costo por enviar artículos que pesen menos de tres libras es de $5.
o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos tres libras, pero menos de seis es de $10.
o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos seis libras, pero menos de nueve es de
$15.
o El costo por enviar artículos que pesen por lo menos nueve libras, pero menos de doce es de
$20.
o El costo por enviar artículos que por lo menos doce libras, pero menos de quince es de $25.
o Y así sucesivamente sigue el patrón de cobro.
Traza la gráfica que represente la relación entre el peso total de todos los artículos
adquiridos por el cliente y sus costos de envío.
Esta gráfica representa una función. ¿Por qué?
¿Cuál es el dominio de la función? Explica qué es el dominio en el contexto del problema.
¿Cuál es el recorrido de la función? Explica qué es el recorrido en el contexto del problema.
¿En qué puntos es discontinua la función?
Usa la notación de función para escribir una regla de funciones definidas por partes que
sirva de modelo para esta situación en el caso de los artículos que pesen menos de 25
libras.
El modelo Frayer: Utiliza un modelo Frayer para consolidar la comprensión de los estudiantes de
las funciones definidas por partes y de valor absoluto. Pídeles a los estudiantes que completen el
modelo por cada término o determinen cuál es el término a partir de su definición, características,
78 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
Junio 2012 1041

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
ejemplos y no ejemplos. Para ejemplos y plantillas, ver anejo: Organizador gráfico — Modelo
Frayer.
Conjunto de tarjetas de gráfica de valor absoluto: Haz que los estudiantes creen un conjunto de
tarjetas con ecuaciones y gráficas de valor absoluto correspondientes. Los estudiantes deben tener
por lo menos ocho pares totales de tarjetas y cinco pares que incluyan deslizamientos tanto
horizontales como verticales. Los estudiantes intercambian su conjunto de tarjetas con un vecino
para corroborar que sus ecuaciones y gráficas se corresponden correctamente. Entonces pueden
usar los conjuntos de tarjetas para repasar las transformaciones de asignación.
Ejemplos para planes de la lección
Los Pérez se van de paseo 79 : Los estudiantes aprenden que no todas las gráficas son continuas al
analizar gráficas del paseo de la familia Pérez. Leerán el relato del paseo de la familia, examinarán
las gráficas dadas e identificarán cuáles gráficas describen aspectos de su paseo.
Instrucciones:
1. Lee el relato del paseo de la familia Pérez (a continuación).
2. Luego examina las ocho gráficas (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección: los Pérez se van
de paseo). Cuatro de las gráficas describen aspectos de su paseo: distancia a partir del punto
inicial a través del tiempo, distancia total recorrida en el tiempo, velocidad sobre tiempo y
hambre sobre tiempo. Las otras cuatro gráficas no se aplican a la historia.
3. Identifica las gráficas que representan la historia y decide cómo debe llamarse el eje vertical de
cada una de las gráficas correctas.
Historia:
A las 10:00 de la mañana de un domingo la familia Pérez salió de paseo en carro. Durante la
primera hora viajaron a una velocidad de 40 millas por hora. En la segunda hora, había mucho
tráfico, por lo que solo avanzaron a una velocidad de 20 millas por hora. Entre las 12:00 y 1:00 de la
tarde, se pararon para almorzar y no anduvieron en carro. Después del almuerzo, comenzó a llover,
así que decidieron regresar a la casa. Viajaron a 30 millas por hora para llegar.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la distancia a partir del punto inicial en el tiempo?
¿Distancia total recorrida en el tiempo? ¿Velocidad sobre tiempo? ¿Hambre sobre tiempo? ¿Cómo
le llamarías a los intervalos en el eje de y en cada gráfica?
Conversión de funciones definidas por partes: Los estudiantes convierten funciones definidas a
trozos a tablas, gráficas y ecuaciones por medio de un plan de lección guiado. Los estudiantes
identifican el carácter único de los valores críticos y documentación de las funciones definidas por
partes. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección - Traslación de funciones definidas a trozos).
Gráfica de valor absoluto: Los estudiantes utilizan sus calculadoras para parear funciones de valor
absoluto con sus gráficas. Tras reflexionar sobre cómo "ver" las gráficas de valor absoluto por
medio de sus funciones, los estudiantes practican cómo hacer gráficas de funciones de valor
absoluto sin calculadora. (ver anejo: 10.4 Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto).
79 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/download/Coll_edc1/TheLinsGoOnanOuting/lins.pdf
Junio 2012 1042

Recursos adicionales
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
3 semanas
Planificación de una estrategia de carrera:
http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.p
df
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf.
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
Mathematical Scandals de Theoni Pappas
Junio 2012 1043
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán el teorema de Pitágoras y las propiedades especiales de los
triángulos rectángulos. Aplicarán la fórmula de distancia y las razones trigonométricas a los triángulos
rectángulos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de utilizar su conocimiento
sobre los triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras para hacer conexiones entre el álgebra y la
geometría y entender que el teorema de Pitágoras significa mucho más que a 2 + b 2 = c 2 .
Estándares de contenido y expectativas
Teorema de Pitágoras
G.FG.10.11.1 Prueba el Teorema de Pitágoras y su recíproco.
G.LR.10.11.2 Aplica el Teorema de Pitágoras en situaciones de dos o tres dimensiones.
G.LR.10.11.3 Desarrolla y aplica la fórmula de distancia para determinar la distancia entre dos puntos
en el plano de las coordenadas rectangulares.
Triángulos rectángulos
G.FG.10.12.1 Reconoce y aplica las propiedades de un triángulo 30°−60°-90° y 45°−45°-90°.
G.FG.10.12.2 Aplica las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para determinar medidas de
los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo tienen una relación especial.
Visualizar los triángulos en el mundo que nos
rodea nos permite entender y medir nuestro
mundo.
Las razones trigonométricas nos permiten
medir las figuras difíciles.
En conjunto, la fórmula de distancia, el
teorema de Pitágoras y la pendiente nos
permiten medir las figuras.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Teorema de Pitágoras
La fórmula de distancia
Propiedades de un triángulo (30°−60°-90° y
45°−45°-90°)
Razones trigonométricas (p. ej., seno, coseno
y tangente)
Preguntas esenciales:
¿Por qué es útil el teorema de Pitágoras?
¿Cómo nos ayudan los triángulos a visualizar
el mundo?
¿Por qué las razones nos permiten medir las
figuras difíciles?
¿Qué relación existe entre algunos valores de
seno y coseno y los triángulos rectángulos
especiales?
¿De qué forma se interrelacionan la fórmula
de distancia, el teorema de Pitágoras y la
pendiente?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Poner a prueba el teorema de Pitágoras y su
recíproco.
Aplicar el teorema de Pitágoras en situaciones
de dos o tres dimensiones.
Desarrollar y aplicar la fórmula de distancia
para determinar la distancia entre dos puntos
Junio 2012 1044

Vocabulario de contenido
Teorema de Pitágoras: coordenadas
rectangulares, fórmula de distancia, plano,
recíproco, triángulo rectángulo
Razones trigonométricas: coseno, razones
trigonométricas, seno, tangente,
trigonometría
Tareas de desempeño
Mueble de esquina 80
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los triángulos especiales y las propiedades de los
triángulos 45˚-45˚-90˚ diseñando un mueble de
esquina para un televisor con unas dimensiones
dadas. Solicita a los estudiantes que lean el
siguiente problema y respondan a las preguntas.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Tarea: Carlos y su papá quieren hacer un mueble
de esquina para el televisor de la sala. El mueble
nuevo debe tener la misma longitud en cada lado
y tener espacio suficiente para un televisor de 27
pulgadas de ancho y 24 pulgadas de profundidad.
A continuación se encuentra un diagrama. ¿Cuál
es la longitud mínima que debe tener cada lado
del mueble para que quepa el televisor? Expresa
la respuesta de forma que un carpintero pueda
usarla para tomar medidas (o sea, que se pueda
ubicar en una cinta métrica o regla). Muestra todo
el proceso y explica en tus propias palabras lo que
hiciste y por qué diste cada paso.
lado (pared)
televisor
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
lado (pared)
80 Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_I/7A_7C_9B_9DI.pdf
en el plano de las coordenadas rectangulares.
Reconocer y aplicar las propiedades de un
triángulo 30°−60°-90° y 45°−45°-90°.
Aplicar las razones trigonométricas seno,
coseno y tangente para determinar medidas
de los ángulos y la longitud de los lados de un
triángulo rectángulo.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz 83
1. El área de un cuadrado es de 10 centímetros
cuadrados. ¿Cuál es el área de las diagonales
de la figura?
2. Un paralelogramo tiene lados de 10 cm y 20
cm de longitud. La medida de los ángulos
agudos del paralelogramo es 30°. ¿Cuál es el
área del paralelogramo?
3. Una calle asciende por una montaña a un
ángulo de 4°. Por cada 100 pies de carretera,
¿cuántos pies asciende la cuesta?
4. Según el reglamento de construcción, el
ángulo máximo del ascenso de una escalera
en un hogar es de 42.5°. Para llegar del primer
piso al segundo en una casa nueva, la escalera
tendrá una distancia vertical total de 115.5
pulgadas. ¿Cuál es la distancia horizontal
mínima, a la pulgada más próxima, necesaria
para la escalera?
Diario
1. Menciona tres ideas de esta unidad que te
parecen importantes. Explica tus opciones.
2. Dado que los lados de un triángulo son 5 cm,
6 cm, y 8 cm, ¿es este un triángulo
rectángulo?
3. Menciona dos cosas importantes que nos
permite hacer la trigonometría de triángulos
rectángulos.
4. Provee por lo menos tres ejemplos específicos
de cuándo necesitarías usar la trigonometría
Junio 2012 1045

Ángulo del sol 81
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la relación entre los lados y ángulos de los
triángulos rectángulos investigando y analizando
el uso de las sombras para determinar la hora del
día. Los estudiantes demostrarán además que la
trigonometría de triángulos rectángulos puede
usarse para hallar las longitudes laterales o
medidas de los ángulos en este proyecto.
Tarea:
Eres un historiador científico que intenta
saber más sobre los métodos usados para
llevar la hora antes de la invención del reloj.
Lo único que sabes hasta ahora es que la
gente usaba las sombras para determinar la
hora. Tu tarea es aplicar tu conocimiento de
trigonometría para hacer una correlación
entre las sombras y el ángulo de elevación del
sol. Para entender mejor cómo podrían usarse
estas sombras para marcar la hora, realizarás
un experimento.
Medirás la sombra de un objeto de una altura
fija en cuatro momentos distintos del día.
En un informe escrito para entregar, incluirás
una serie de diagramas en que se traza el
progreso del sol, cálculos que demuestran
cómo se utilizó la tangente inversa para
calcular el ángulo de elevación y conclusiones
sobre la relación entre la hora del día, las
sombras y los varios ángulos del sol.
Todas las conclusiones deben estar
justificadas por los resultados del
experimento.
Finalmente, compartirás tus hallazgos con tus
compañeros en una presentación corta (la
presentación oral no será para nota).
Tu trabajo será evaluado conforme a si
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
de triángulos rectángulos en el mundo real.
5. Considera la siguiente cita: "Parte de las
matemáticas nos la da el mundo natural, y
parte tienen que inventarla los humanos".
Discute esto a la luz de tu reciente estudio del
teorema de Pitágoras y las razones
trigonométricas básicas: seno, coseno y
tangente.
Boletos de entrada/salida
1. Resume lo que sabes sobre los triángulos
rectángulos especiales. Provee dos ejemplos
reales de triángulos rectángulos especiales.
2. Elabora tu propia definición de la
trigonometría a partir de lo que has aprendido
hasta ahora.
3. Describe el teorema de Pitágoras en tus
propias palabras.
83 Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=7&ved=0CFAQFjAG&url=http%3A%2F%2Fmwhit
mire.wikispaces.com%2Ffile%2Fview%2FUnit%2B2%2BReview%2B(2).doc&ei=0UstT5m-
OY_UiAKmp_GcBg&usg=AFQjCNHZiTNiHIajlpSiKzuAdtpISOCuWQ
81 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskangleofsun.pdf
Junio 2012 1046

seguiste todas las instrucciones, si los cálculos
y diagramas están correctos y si entendiste los
conceptos según quede demostrado en tus
conclusiones.
Utiliza la rúbrica “Ángulo del sol” para evaluar el
trabajo de los estudiantes (ver anejo: 10.5 Tarea
de desempeño - Rúbrica de Ángulo del sol).
Anchura de un río 82
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la ley del seno y coseno midiendo la anchura de
un río. Solicita a los estudiantes que lean el
siguiente problema y respondan a las preguntas.
Se ha contratado a un agrimensor para que halle
el ancho del río Illinois. Los puntos de inspección
se ubican como sigue: A está a un lado del río; B y
C están del otro lado; D es paralelo a AB, y E es
paralelo a AC según se muestra en la figura a
continuación. BC mide 506.23 pies; BD mide
453.13 pies; BE mide 809.92 pies; CD mide 753.61
pies y CE mide 392.77 pies.
Halla la anchura del río (de A a BC) a la centésima
de pie más próxima. Explica por escrito lo que
hiciste y por qué diste cada paso.
Requisitos de la tarea:
Analiza lo que se sabe del problema y lo que
hace falta saber.
Identifica la información mínima necesaria
para usar cada ley.
Demuestra la anchura del río a la centésima
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
82 Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_7B_9DJ.pdf
Junio 2012 1047

de pie más próxima.
Discute con los estudiantes los métodos de
computación que no comprometan la precisión de
la respuesta final por redondear demasiado
pronto en el procedimiento.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Pongámonos irracionales 84 : Los estudiantes investigarán las posibilidades de combinaciones de
lados racionales e irracionales de triángulos rectos, obtusos y agudos. Solicita a los estudiantes que
trabajen en parejas para trabajar con el desafío siguiente: ¿puedes crear un ejemplo de un
triángulo rectángulo con tres lados irracionales? ¿Y dos irracionales y uno racional? ¿Y un irracional
y dos racionales? Finalmente, ¿puedes encontrar tres racionales? (Todas son posibles, pero es más
difícil encontrar tres racionales, a menos que recuerdes haberlos visto antes.) Intenta hacer lo
mismo en el caso de los triángulos agudos y obtusos.
Guía de anticipación - el teorema de Pitágoras: Antes de la lección, lee los enunciados y solicita a
los estudiantes que marquen si están de acuerdo o en desacuerdo con cada enunciado en la
columna de “antes”. Al concluir las actividades de aprendizaje y las lecciones, solicita a los
estudiantes que completen la columna de “después”. En esta ocasión deberán corregir los
enunciados falsos y utilizar pruebas que apoyen su decisión. (ver anejo: 10.5 Actividad de
aprendizaje - Guía de anticipación Teorema de Pitágoras)
A descubrir el teorema de Pitágoras 85 : Esta actividad de descubrimiento ilustra las bases del
teorema de Pitágoras. Los estudiantes necesitarán: papel cuadriculado grande, tijeras y tubos de
pegamento si quieres que entreguen su trabajo. Instrucciones:
o En un pedazo grande de papel cuadriculado, dibuja un triángulo rectángulo con catetos de 3
unidades y 4 unidades. Este triángulo debe estar posicionado de forma que se pueda dibujar
un cuadrado en cada cateto.
o Recorta un cuadrado 3 por 3 y un cuadrado 4 por 4 en cuadrados
(1 x 1) individuales recortando por las líneas del papel cuadriculado.
o Acomoda estos cuadraditos en un cuadrado mayor junto al tercer lado del triángulo. ¿Cuál
piensas que será la longitud de la hipotenusa?
o Repite con un triángulo con catetos de 5 y 12.
o ¿Notas que se forma algún patrón entre los cuadrados que has
usado por cada uno de los triángulos? Si los estudiantes están
familiarizados con el teorema de Pitágoras, solicita que describan
cómo se aplica el teorema a esta actividad.
La fórmula de distancia: En parejas, los estudiantes juegan a un juego
84 Fuente: www.curriculumframer.com
85 Fuente: http://regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/AT1/TActive.htm
Junio 2012 1048

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
en que se utiliza la fórmula de distancia para averiguar la distancia de su bote hasta su blanco.
Cada pareja necesitará dos dados de diferente color –uno para la coordenada en x y uno para la
coordenada en y–, así como papel cuadriculado. Los estudiantes tiran los dados para determinar el
punto del blanco y anotan este punto en su propia cuadrícula. Entonces, cada estudiante tira los
dados para determinar las coordenadas de su bote. Los estudiantes utilizan la fórmula de distancia
para averiguar la distancia de su bote hasta el blanco. Se repiten varias rondas del juego.
Más sobre razones trigonométricas 86 : Los estudiantes reforzarán la idea de que las razones
trigonométricas son razones que implican un ángulo y dos lados de un triángulo rectángulo, y
utilizarán tecnología para expandir la gama de problemas de triángulo que pueden solucionar.
Notas para el maestro:
o ¿Cuáles son las medidas de ángulo de un triángulo 3:4:5? Por otro lado, si sabemos la medida
de los ángulos, pero no de los lados, ¿cómo podemos generar valores trigonométricos?
Podríamos trazar muchos triángulos, medir todos sus ángulos y lados detenidamente y crear
tablas de referencia. Mejor aún, podríamos pedirle a otra persona que determine las razones y
que las grabe en una calculadora gráfica para que podamos pasar al trabajo más interesante de
aplicarlas.
o Saquen las calculadoras e investiguen el uso de los botones de las tres funciones
trigonométricas básicas, así como el uso de los botones trigonométricos inversos. Para este
punto, los estudiantes no tienen que tener una comprensión plena de la inversa de las
funciones trigonométricas; lo único que necesitan saber es que si se introduce la razón
adecuada, se obtendrá el ángulo correspondiente.
o Mientras los estudiantes utilizan los botones trigonométricos para generar respuestas
decimales, aprovecha para reforzar la idea de que un decimal es solo otra forma de escribir
una razón. Por ejemplo, si calcular que el seno de un ángulo particular es 0.347, se rotula el
triángulo con el opuesto = 347 unidades y la hipotenusa = 1000 unidades.
o Señala que una razón trigonométrica relaciona tres números: un ángulo y dos lados. Siempre y
cuando tengamos dos de los números, podremos hallar el tercero. Los estudiantes necesitarán
ver ejemplos en que generen el ángulo si se les dan dos lados y ejemplos en que generen todos
los lados si se les da un ángulo y un lado.
Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos: Los estudiantes elaboran preguntas
de examen dada la tarea: Trabajas para una editorial que publica libros de texto de geometría. El
redactor les pidió a todos los equipos que les ayuden a escribir un problema verbal eficaz de
trigonometría de triángulos que estudiantes de escuela superior disfruten resolver. En un equipo
de cuatro, elaborarás tu propio problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos. Este
debe basarse en una situación del mundo real que te parezca interesante para estudiantes de
escuela superior. Escribe y resuelve el problema en una página de libreta. Recuerda, como se trata
de un problema del mundo real, la solución tiene que ser lógica. Presentarás tu problema a la clase
en una cartulina grande. La cartulina deberá incluir el problema verbal y un diagrama que ayude a
visualizarlo. Al dorso de la cartulina, debes pegar tu solución. Presentarás el problema frente a la
case para que ellos lo resuelvan y evalúen. (ver anejo: 10.5 Actividad de aprendizaje - Problema
verbal de trigonometría de triángulos rectángulos).
86 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1049

Ejemplos para planes de la lección
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
Techado y los triángulos rectángulos: El teorema de Pitágoras se utiliza bastante para diseñar y
construir estructuras. En esta lección se demuestra la relación entre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo y la longitud del cabio de un tejado a dos aguas, un estilo común que protege las casas
de las condiciones atmosféricas. Los estudiantes demuestran que han entendido los conceptos
relacionados con esta unidad al usar y aplicar el teorema de Pitágoras a una variedad de problemas
relacionados con la construcción (ver anejo: 10.5 – Ejemplo para plan de lección - Techado y
triángulos rectángulos).
Pongamos a prueba la fórmula de distancia: Usando el teorema de Pitágoras, los estudiantes
podrán ver cómo funciona la fórmula de distancia. A continuación, aplicarán la fórmula de distancia
en un formato "Yo hago tú observas, Tú haces yo observo, Hacemos juntos". El maestro necesitará
tener preparadas las gráficas de la lección antes de la clase en un proyector o papel cuadriculado.
Para más información y hojas de actividades, dirigirse a
http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/geometry/Pythagorean_212.htm.
Introducción a la trigonometría: Se introduce a los estudiantes a los conceptos trigonométricos
básicos usando triángulos especiales. Los estudiantes entenderán funciones trigonométricas
básicas y computarán sus valores usando las razones adecuadas. Necesitarán regla, papel
transparente y una hoja de actividades (ver anejo: 10.5 Ejemplo para plan de lección - Introducción
a la trigonometría). Completarán el conjunto de notas guiadas durante la explicación del maestro y
actividades de "descubrimiento". Los estudiantes también disfrutarán de crear su propio acrónimo
para recordar razones trigonométricas básicas.
Recorrido de valores posibles 87 : Sin discutir específicamente las razones trigonométricas como
funciones, o usar términos como dominio y recorrido, los estudiantes explorarán los valores
posibles de funciones trigonométricas de forma práctica al crear triángulos extremos. Notas para el
maestro:
1. Solicita a los estudiantes que se dividan en parejas; asegúrate de que cada una tenga regla,
transportador y calculadora.
2. Solicita a cada pareja que construya tres triángulos rectángulos de proporciones distintas y que
rotule uno de los ángulos con "x". Mide todos los lados del ángulo "x" y organiza la información
en una tabla. Además de poner una columna para el ángulo "x", crea una columna con las
longitudes de los lados "o" (opuesto de x), "a" (adyacente de x) y "h" (hipotenusa). Ahora
añade seis columnas adicionales: dos de seno, dos de coseno y dos de tangente. En total, la
tabla deberá tener 10 columnas.
3. Solicita a los estudiantes que calculen cada una de las funciones trigonométricas de dos formas
distintas por cada triángulo (razón de los lados, función trigonométrica de la calculadora) y que
rotulen las columnas según el método usado.
4. Discutan los resultados; si sus respuestas son bastante diferentes en función del método, busca
los errores en las medidas (o asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado y no de
radián).
5. Ahora viene lo bueno: solicita a los estudiantes que exploren el recorrido de valores posibles
del seno, coseno y tangente en la trigonometría de triángulos. Dales tiempo para que
consideren los valores que ya hayan generado.
87 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1050

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
3 semanas
6. Asegúrate de que todos los estudiantes tengan tiempo para explorar esta pregunta. Deberán
crear nuevos triángulos "extremos": triángulos con un ángulo "x" muy grande o muy pequeño.
¿Qué es lo mayor o lo menor que puede ser "x"?
7. A medida que los estudiantes comienzan a hacer conjeturas (por ejemplo, parece que el seno
no puede ser nunca mayor que 1, y se va acercando a 1 a medida que "x" se va acercando a 90
grados), indica a los estudiantes que prueben usar la calculadora (halla el seno de 89 grados,
89.999 grados, etc.).
8. A medida que los estudiantes comienzan a hacer conjeturas (por ejemplo, parece que el seno
no puede ser nunca mayor que 1, y se va acercando a 1 a medida que "x" se va acercando a 90
grados), indica a los estudiantes que prueben usar la calculadora (halla el seno de 89 grados,
89.999 grados, etc.).
9. Sirve de facilitador para que los estudiantes se encarguen de concluir la actividad. Anímalos a
discutir el concepto de límite —que el ángulo "x" puede acercase, pero nunca llegar a los 90
grados (o no se tiene triángulo), y que el valor de seno correspondiente puede acercarse pero
nunca llegar a 1—.
10. Diles a los estudiantes que hay formas de usar las razones trigonométricas en casos en que los
ángulos equivalgan a 1, y que hay situaciones en que las razones trigonométricas son
negativas, pero que no se aplican a nuestro estudio actual de los triángulos rectángulos. El
recorrido de valores que han generado sirve específicamente para aplicar las razones
trigonométricas a los triángulos rectángulos. Estudiarán la aplicación extendida de las razones
cuando tomen trigonometría o precálculo en el futuro.
Recursos adicionales
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Álgebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
Junio 2012 1051
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
2 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes aplicarán las unidades y escalas adecuadas para resolver problemas que
involucren conceptos y situaciones de medir.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las unidades y escalas de medida para determinar la unidad de medida adecuada y resolver
situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Unidades y escalas
13.0 Toma decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para una situación de problema
que involucra medición.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Se pueden usar las medidas para describir,
comparar y justificar los resultados en
términos técnicos.
Las unidades de medida estándares les
permiten a las personas interpretar datos o
resultados.
Las unidades de medida dependen de la
situación y figura que se está midiendo.
Es importante escoger la unidad de medida
adecuada para facilitar la comunicación y las
interpretaciones.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Unidades de medida
Sistema métrico
Sistema inglés
Diferentes tipos de escalas (p. ej., nominal,
ordinal, de intervalo, de razón)
Vocabulario de contenido
Longitud (área, equivalente, unidades de
medida estándar)
Sistema métrico (centi-, kilo-, metro, mili-)
Sistema inglés/estadounidense comúnmente
usado (milla, pulgada, pie, yarda)
Volumen (cuarto, galón, litro, onza, pinta,
taza)
Preguntas esenciales:
¿Qué hace falta para comunicarse en lenguaje
matemático?
¿Por qué necesitamos unidades de medida
estándar?
¿Cómo decides qué unidad de medida usar?
¿Por qué es importante usar unidades y
escalas de medición adecuadas para tomar
decisiones de la vida cotidiana?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Tomar decisiones sobre las unidades y escalas
que son apropiadas para una situación de
problema que involucra medición (p. ej., dado
un conjunto de datos, determina cuál de las
siguientes escalas es adecuada: nominal,
ordinal, de intervalo, de razón).
Junio 2012 1052

Peso (gramo, libra, onza, tonelada)
Tiempo (año, día, hora, minuto, segundo,
semana)
Temperatura (Celsius, Fahrenheit)
Exactitud de la escala (de intervalo, de razón,
nominal, ordinal)
Precisión
Tareas de desempeño
A medir tu mundo
En la siguiente actividad, los estudiantes
demostrarán su comprensión de la conversión de
las unidades de medida para entender una
situación.
Instrucciones:
1. Encuentra tres artículos para cada tipo de
medida: longitud, área, volumen y tiempo.
2. Mide cada uno de los artículos usando las
unidades más apropiadas en los dos sistemas:
el sistema métrico y el sistema inglés.
3. Luego, convierte la medida apropiada a una
medida que no tenga sentido pensando en el
tamaño del artículo. Recuerda mostrar el
proceso, rotular tus unidades y rotular cuáles
medidas tienen sentido y cuáles no.
4. Ahora, halla tres ejemplos de medida de
temperatura. Convierte la temperatura de
Celsius a Fahrenheit o viceversa.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
2 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. Provee dos medidas equivalentes de 5
metros.
2. ¿Cuál sistema métrico debe usarse para medir
la longitud de un carro?
3. Convierte 35 millas por galón a kilómetros por
litro.
4. Si el modelo de un avión es de una escala de
1:48, y la longitud del modelo es de 11
pulgadas, ¿cuál es la longitud del avión
verdadero? O establece las escalas frente a la
distancia real.
Diario
Mapa conceptual de medidas
1. ¿Qué unidades de medida usas más a
menudo?
2. ¿Cuál es la importancia de tener unidades de
medida estándar?
3. ¿Por qué se las llama unidades "estándar"?
4. ¿Con cuál crees que obtendrías la medida más
precisa: si mides usando fórmulas o si mides
directamente? Explica tu respuesta.
5. ¿Por qué ninguna medida es perfectamente
precisa, independientemente la precisión con
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los tipos de medidas para los que se utilizan
diferentes escalas al crear un mapa conceptual.
Tarea:
que intentemos tomarla?
6. Da ejemplos específicos de cómo podemos
intentar aumentar la precisión de nuestras
medidas.
Crea un mapa conceptual que demuestre tu Boletos de entrada/salida
comprensión de las escalas de medida y lo que
miden. Asegúrate de incluir:
todo el vocabulario de esta unidad (área,
1. Provee dos medidas equivalentes de tres
yardas.
2. ¿Cuál sistema métrico debe usarse para medir
Celsius, centi-, taza, día, equivalente,
la distancia de San Juan a Caguas?
Junio 2012 1053

Fahrenheit, pie, galón, gramo, hora, pulgada,
intervalo, kilo-, litro, metro estándar, mili-,
milla, minuto, nominal, ordinal, onza, pinta,
libra, cuarto, razón, segundo, tonelada,
unidades de medida, semana, yarda, año);
al menos diez ejemplos de objetos que
puedan medirse, y
al menos cuatro ilustraciones que ayuden a
explicar las conexiones en tu mapa
conceptual.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
2 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
3. Miguel tiene un mapa de Puerto Rico en que 1
cm equivale a 0.25 de un km. Se desplaza 11
cm en el mapa. ¿Cuán lejos estaría viajando
Miguel en realidad?
Preevaluación de las medidas: Maestro y estudiantes reconocen cuánto los estudiantes ya saben
sobre medidas. En parejas, los estudiantes eligen objetos en la escuela para medirlos. Utiliza un
organizador gráfico a dos columnas; una dirá "Suposición" y la otra, "Medida real". Los estudiantes
tendrán que adivinar las medidas y luego medir el objeto. A continuación, deberán comparar
ambas columnas para ver cuán acertados fueron sus estimados.
Sorteo de tarjetas con tipos de escala: Provéeles a los estudiantes un conjunto de tarjetas con
diferentes conjuntos de datos en cada una. Solicita a los estudiantes que dividan las tarjetas en
tipos de escalas que deben usarse por cada conjunto de datos: ordinal, nominal, de intervalo y de
razón. Haz que los estudiantes resuman cómo supieron dónde iba cada conjunto. Pueden añadir
ejemplos de conjuntos de datos a cada categoría.
Búsqueda del tesoro Métrico Manía: Reta a los estudiantes a una búsqueda del tesoro con
problemas de conversión métrica para practicar las destrezas y repasar. Esconde 60 tarjetas de
juego con problemas de conversión métrica en el salón. Algunas de las tarjetas deben ser fáciles de
ver, pero otras estarán escondidas debajo de mesas, sillas, el zafacón, detrás de una cortina o
afiche, u otros lugares donde sea fácil buscar. (No las escondas dentro de nada para que los chicos
no tengan que rebuscar en gavetas o armarios). Solicita a los estudiantes que formen equipos para
encontrar las tarjetas y solucionar los problemas. Los equipos solo podrán trabajar en una tarjeta a
la vez y deben responder al problema correctamente antes de que puedan buscar la próxima
tarjeta. Crea las tarjetas usando la clave de respuestas adjunta o invéntate las tuyas propias (ver
anejo: 10.6 Actividad de aprendizaje - Búsqueda del tesoro Métrico Manía).
Truco de memorización del prefijo métrico: Saca tiempo en la clase para que los estudiantes
elaboren su propia técnica mnemotécnica para recordar el orden de los prefijos métricos. Usa la
primera letra del prefijo en orden para crear una frase creativa (apropiada para la escuela) para
ayudarte a recordar el orden. La primera letra de cada palabra de tu frase debe parear, en orden,
con la primera del prefijo métrico. La clase puede votar por sus tres trucos mnemotécnicos
favoritos o usar los propios.
Junio 2012 1054

Ejemplos para planes de la lección
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
2 semanas
A darle sentido a las métricas con demostraciones dramáticas: Los estudiantes exploran las
relaciones entre el sistema métrico y el sistema anglosajón de unidades, así como formas
convencionales de recordar algunas longitudes comunes. También se les muestra paso por paso un
organizador gráfico que muestra cómo se interconectan las unidades métricas comunes. (ver
anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - A darle sentido a las métricas).
Método de análisis dimensional: Utiliza el organizador gráfico y los pasos para enseñar y practicar
el método de conversión conocido como análisis dimensional, un método que se utiliza en la
ciencia. Crea un conjunto de notas guiadas para que los estudiantes llenen los blancos con los
pasos e información importante mientras estudian las notas juntos. Prepara algunos problemas de
práctica adicionales para resolverlos cuando se termine con el organizador (ver anejo: 10.6 Ejemplo
para plan de la lección - Método de análisis dimensional).
Método de la escalera de conversiones métricas: En una escalera métrica se calculan las
conversiones dentro del sistema métrico. Los estudiantes cuentan el número de "saltos" entre
unidades para determinar cuántas veces mover el decimal y en qué dirección. Recuérdales que
deben contar el número de saltos que se tomaría para moverse de una unidad a la otra, como por
ejemplo moverse de metros a milímetros, en vez de contar el número de escalones. Para hacer la
conversión de metros a milímetros, se tomarían tres saltos a la derecha, lo que significa que habría
que mover el decimal tres saltos a la derecha. Primero utiliza la hoja de actividades 1 (ver anejo:
10.6 Ejemplo para plan de la lección - Método de la escalera de conversiones métricas 1) para
introducir el concepto, y a continuación solicita a los estudiantes que completen la hoja de
actividades 2 (ver anejo: 10.6 Ejemplo para plan de la lección - Método de la escalera para
conversiones métricas 2). A medida que los estudiantes aprenden el proceso y entienden el valor
de los prefijos métricos, introduce el uso de la multiplicación y la división por 10, 100 y 1000 para
llegar a la misma conversión.
Gigabytes de música, ¿cuánto es?: Los estudiantes aplican su conocimiento de las medidas y
conversiones a un artículo noticioso sobre las descargas ilegales de música. Los estudiantes
adquieren una mejor comprensión de unidades de medida poco conocidas por medio de la
conversión. Para más información y materiales, dirigirse a
http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/download_10-2.html.
Recursos adicionales
Método de la escalera de conversiones métricas: http://sciencespot.net/Pages/classmetric.html
www.profjserrano.wordpress.com
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Junio 2012 1055

Conexiones a la literatura
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
2 semanas
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
Junio 2012 1056
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán métodos de desarrollar, organizar, interpretar y presentar
datos. Implementarán experimentos simples de comparación para llegar a conclusiones adecuadas,
compararán métodos de recopilación de datos y analizarán los resultados de las muestras.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán del curso con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los métodos experimentales para analizar de forma crítica los datos y resultados en las
publicaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Datos experimentales
E.IP.10.15.1 Describe cómo experimentos bien diseñados utilizan asignación aleatoria para balancear la
variación de algunos factores con el fin de aislar los efectos de un tratamiento.
E.RD.10.15.2 Diseña un experimento comparativo simple para contestar una pregunta: determina
tratamientos, identifica métodos de medición de variables, asigna aleatoriamente unidades para
tratamientos y recopila datos, distinguiendo entre variables explicativas y de respuesta.
E.RD.10.15.3 Organiza y muestra los datos de un experimento; resume los datos utilizando medidas de
tendencia central y dispersión, incluyendo la media y la desviación estándar, identifica patrones y
tendencias en tablas y gráficas, y comunica métodos utilizados y los resultados del estudio
experimental en lenguaje común.
Muestras aleatorias y no aleatorias
E.RD.10.16.1 Distingue entre preguntas que pueden investigarse a través de una encuesta simple, un
estudio observacional o de un experimento.
E.RD.10.16.2 Reconoce que una asociación observada entre una variable explicativa y de respuesta no
necesariamente implica que las dos variables están unidas casualmente.
E.RD.10.16.3 Ilustra los diferentes tipos de conclusiones que pueden extraerse de las encuestas, los
estudios observacionales y los experimentos.
E.AD.10.16.4 Evalúa posibles factores envueltos en un problema dado y qué información ellos proveen
relacionada a la pregunta de interés. Formula preguntas específicas e identifica medidas cuantitativas
que pueden ser utilizadas para proveer respuestas a la pregunta de interés.
E.AD.10.16.5 Describe las ventajas y desventajas de utilizar diferentes métodos para medir variables.
Explica cómo pueden surgir sesgos y sus efectos en los resultados del estudio.
E.AD.10.16.6 Compara y contrasta el muestreo aleatorio de unidades de una población y la asignación
aleatoria de tratamientos a las unidades experimentales.
E.AD.10.16.7 Explica porqué la mayoría de las preguntas de investigación no tienen respuestas únicas y
porqué pueden utilizarse varios enfoques.
E.AD.10.16.8 Comunica, tanto oral como escrito, los propósitos, los métodos y los resultados de un
estudio estadístico utilizando lenguaje no técnico.
E.AD.10.16.9 Evalúa resultados de estudios reportados en medios informativos.
E.RD.10.17.1 Compara medidas de tendencia central y de dispersión obtenidas utilizando una muestra
de una población con las mismas medidas utilizando datos obtenidos de un censo de la población.
E.PR.10.17.2 Reconoce que la media de la muestra tiende a acercarse a la media de la población a
medida que el tamaño de la muestra aumenta.
Junio 2012 1057

Ideas grandes/Comprensión duradera:
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
La metodología de recopilación de datos
afecta los resultados de un estudio.
La organización de los datos y su presentación
influye en la interpretación.
Las influencias subjetivas pueden perjudicar al
investigador, y llevar a resultados que de otra
forma no habrían sido obtenidos.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las características de los experimentos bien
diseñados
Las relaciones causales (esto es, que una
asociación observada entre una variable
explicativa y una variable de respuesta no
implica necesariamente que ambas variables
tengan una relación causal)
Las medidas cuantitativas que pueden usarse
para obtener respuestas al asunto de interés
Los diferentes tipos de conclusiones que
podrían sacarse a partir de muestreos,
estudios observacionales y experimentos
Las ventajas y desventajas de usar diferentes
métodos para medir variables
El concepto de sesgo y sus efectos en los
resultados del estudio
Por qué la mayoría de las preguntas de
investigación no tienen respuestas únicas y
por qué es posible usar diferentes métodos
La media de la muestrea tiende a aproximarse
a la media poblacional a medida que aumenta
el tamaño de la muestra
Los experimentos bien diseñados usan la
asignación aleatoria para equilibrar algunos
factores con el propósito de evitar los efectos
de un tratamiento
Vocabulario de contenido
Datos experimentales (sesgo, experimento
comparativo, datos, dispersión, variable
explicativa, diseño experimental, media,
método de medir, medidas de tendencia
central, asignación aleatoria, variable de
respuesta, muestra, desviación estándar,
Preguntas esenciales:
¿Por qué importa la metodología?
¿Mienten los números?
¿Cómo las personas utilizan los datos para
influenciar a otros?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Diseñar un experimento de comparación
sencillo para responder a una pregunta:
determinar tratamientos, identificar métodos
de medición de variables, asignar
aleatoriamente unidades, y recopilar datos, a
la vez que distingue entre variable explicativa
y variable de respuesta.
Organizar y mostrar los datos experimentales;
resumir los datos usando medidas de
tendencia central y dispersión, incluyendo la
media y la desviación estándar, identificar
patrones y tendencias en las tablas y gráficas,
y comunicar los métodos usados y resultados
del estudio en lenguaje común.
Distinguir entre preguntas que podrían
responderse con un muestreo simple, un
estudio de observación o un experimento.
Evaluar posibles factores envueltos en un
problema dado y qué información proveen
relacionada a la pregunta de interés. Formular
preguntas específicas e identificar medidas
cuantitativas que pueden ser utilizadas para
proveer respuestas a la pregunta de interés.
Explicar cómo pueden surgir sesgos y sus
efectos en los resultados del estudio.
Comparar y contrastar el muestreo aleatorio
de unidades de una población y la asignación
aleatoria de tratamientos a unidades
experimentales.
Explicar porqué la mayoría de las preguntas
de investigación no tienen respuestas únicas y
porqué es posible usar diferentes métodos.
Comunicar, tanto oral como escrito, los
propósitos, métodos y resultados de un
Junio 2012 1058

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
tratamiento, variables)
Muestras aleatorias y no aleatorias (relación
causal, censo, factores, estudio observacional,
encuesta, población, medidas cuantitativas,
asignación aleatoria, muestreo aleatorio,
tamaño de la muestra, encuesta, tipos de
conclusiones)
Tareas de desempeño
Suscripción a clubes 88
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las encuestas, el muestreo y el análisis de datos
diseñando su propia encuesta. Se asume que ya
han aprendido y discutido los métodos de
muestreo y cómo las preguntas pueden influir en
los resultados por la forma en que se han
formulado. Completarán la tarea tanto dentro
como fuera de la clase, y traerán los resultados de
vuelta para analizarlos y presentarlos.
Tarea:
Tu director de actividades escolares quiere
evaluar por qué los estudiantes se unen a clubes y
cómo deciden en cuáles clubes apuntarse. Te
parece que ya conoces la respuesta a estas
preguntas. Desarrolla una encuesta que
intencionalmente contenga un sesgo que
produciría los resultados que prueben lo que tú
crees.
¿Qué intentarás probar con tu encuesta? ¿Por
qué se unen los estudiantes a clubes? ¿Cómo
deciden en cuál club apuntarse?
Crea una pregunta crítica para la cual al
director le gustaría tener una respuesta.
Diseña un conjunto de preguntas de encuesta
que apoyen tu respuesta a la pregunta crítica.
Lleva a cabo la encuesta y decide si lograste
recopilar los datos que querías.
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
estudio estadístico usando lenguaje no
técnico.
Evaluar los resultados de estudios ya
publicados en las noticias.
Comparar las medidas obtenidas de la
tendencia central y la dispersión, usando un
muestreo de una población, con las mismas
medidas usando datos obtenidos de un censo
poblacional.
Otra evidencia 91
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Discute cuándo cada medida de tendencia
central y dispersión puede resultar útil en los
datos. Incluye ejemplos de cuándo no son
útiles.
2. El siguiente conjunto de datos representa las
puntuaciones del examen final de la clase de
matemáticas de la Srta. Rodríguez.
99 98 96 95 94 93 92 92 92 92 91
90 89 89 88 87 87 85 83 82 81 80
80 78 75 74 73 70 68 65 62 59
Halla la media, mediana y moda de las
puntuaciones de los exámenes.
3. Miguel hizo una encuesta de los hábitos de
estudio de sus compañeros de clase. Quiere
responder a la pregunta siguiente: ¿Cómo
puedo sacar buena nota en mis asignaciones?
A continuación se muestran los resultados de
su investigación.
Consejos y ayuda para las asignaciones
Estudiante Consejo
Carol Pedir ayuda
Camila Pedir ayuda
Amanda Copiarse de alguien
Pedro Pedir ayuda
Federico Corroborar su trabajo
Jean Seguir instrucciones
Juan Pedir ayuda
Julia Corroborar su trabajo
Ernesto Pedir ayuda
88
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_I/10BI.pdf
91
Fuentes: http://www.beaconlearningcenter.com/Documents/2958_4333.pdf ,
http://www.beaconlearningcenter.com/Documents/2958_4334.pdf
Junio 2012 1059

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
Haz un resumen de los resultados con
posibles razones que expliquen los resultados
buenos o no apropiados para cada pregunta, y
sugerencias de cómo mejorar las preguntas
para obtener mejores datos.
Solicita a los estudiantes que presenten sus
preguntas y hallazgos frente a la clase.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Cómo se trabaja con estudios Guía del usuario
con advertencias 89
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las operaciones de estudios al crear una guía del
usuario con advertencias para futuros
estudiantes.
Reta a los estudiantes a ayudar a estudiantes
futuros de estadísticas al escribir una corta
guía que exprese lo más esencial de lo que
realmente hace falta saber a la hora de
planificar, analizar y comunicar información
sobre estudios.
Asigna a cada pareja un tema al azar
(planificación, realización, análisis,
comunicación) para que completen lo
siguiente:
Resume las ideas principales cubiertas en
la unidad relativa al tema de su guía.
Provee ejemplos claros para cada idea
principal cubierta.
Reflexiona sobre el trabajo realizado e
identifica posibles defectos de diseño
causados por falta de atención a la idea
principal en un proyecto de investigación
imaginario. Hazles advertencias claras de
errores potenciales que deben evitarse,
con ejemplos que ilustren estos errores.
Junto con la clase, discute los errores
potenciales que deben evitarse que los grupos
incluyeron en sus guías. Escoge las cinco ideas
o los cinco errores potenciales más
importantes y solicita a los grupos que
Diario
Marcos Pedir ayuda
Gloria Pedir ayuda
Pamela Seguir instrucciones
Sonia Pedir ayuda
Nataniel Corroborar su trabajo
Susana Copiarse de alguien
Benjamín Pedir ayuda
Orlando Corroborar su trabajo
Ricardo Pedir ayuda
Oscar Corroborar su trabajo
Jorge Pedir ayuda
Lorena Corroborar su trabajo
Miguel Pedir ayuda
María Corroborar su trabajo
Mara Pedir ayuda
Patricia Seguir instrucciones
Isaac Copiarse de alguien
Samuel Pedir ayuda
Roberto Pedir ayuda
Tomás Corroborar su trabajo
Víctor Corroborar su trabajo
a. Organiza los resultados de la encuesta en
una tabla.
b. Crea dos gráficas que representen los
resultados.
c. Escribe dos enunciados que resuman el
consejo de los estudiantes provisto en la
tabla “Consejos y recomendaciones para
estudiar” que también se muestra en las
gráficas aquí arriba.
d. Miguel planeó usar las medidas de la
tendencia central (media, mediana y
moda) para ayudarse a interpretar los
resultados de la encuesta. ¿Cuál(es)
podría haber usado con estos datos y por
qué?
1. Explica cómo se lleva a cabo una encuesta que
reduzca el sesgo en el método de muestreo.
2. Compara las conclusiones de las encuestas,
estudios observacionales y experimentos.
3. Formula una hipótesis sobre cuánto tiempo
un estudiante promedio de décimo grado
debe invertir haciendo sus asignaciones a la
semana para sacar buenas notas (una B alta o
89
Fuente: Adaptado de www.curriculumframer.com
Junio 2012 1060

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
trabajaron el mismo tema que creen un afiche
donde se muestre esta información. Coloca
los afiches en la pared y refiérete a ellos
mientras das la clase.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.7 Tarea de
desempeño - Cómo se trabaja con
polinomios).
Prácticas de 90
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la creación de encuestas, el análisis y la
presentación de resultados al crear y llevar a cabo
una encuesta, para luego analizar y presentar los
resultados. En esta tarea de desempeño, los
estudiantes formularán una pregunta crítica,
decidirán cuál técnica de muestreo usar,
diseñarán métodos de recopilación de datos,
presentarán los resultados y conclusiones de sus
datos, evaluarán la encuesta y describirán cómo
se usa la estadística de muestreo para formar
inferencias informales.
Tarea:
La trabajadora social de tu escuela quiere
recopilar información entre los estudiantes sobre
sus prácticas en cuanto a las citas amorosas.
1. Crea un conjunto de preguntas que permitan
recopilar información importante para la
elaboración de nuevos programas que ayuden
a los estudiantes a lidiar con problemas
amorosos. Escoge una técnica de muestreo y
decide cuántas respuestas serán necesarias
para obtener una muestra representativa.
2. Lleva a cabo el muestreo y evalúalo para
determinar su claridad, sesgos, tasa de
muestreo si no se hace de forma oral, y
audiencias especializadas.
3. Presenta los resultados y las conclusiones a
partir de los datos de forma organizada.
4. Haz predicciones y describe cómo las
estadísticas de muestreo reflejan los
parámetros poblacionales.
5. Describe textualmente cómo y por qué
escogiste tu técnica de muestreo, de qué
más) en matemáticas. Diseña un experimento
para probar tu hipótesis.
Boletos de entrada/salida
1. ¿Qué se debe hacer para que una pregunta
crítica sea buena?
2. ¿Cuál es la relación entre una media de la
muestra y la media poblacional?
3. Discute las ventajas y desventajas de usar
diferentes métodos para medir variables.
90
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/10A_10BJ.pdf
Junio 2012 1061

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
porción de la población se tomará la muestra
y cómo, e incluye tu análisis después de
obtener el muestreo.
6. Entrega todo lo escrito, la presentación de los
datos y la encuesta.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Repaso de las medidas de tendencia central 92 : Los estudiantes calculan las medidas de tendencia
central (media, mediana y moda) y su recorrido para determinar cómo los valores extremos
afectan las medidas. Los estudiantes necesitarán calculadoras y el maestro tendrá que preparar
tarjetas con anticipación. Lleva a cabo una lección que les dé a los estudiantes una comprensión
funcional de media, mediana, moda, amplitud y valor extremo antes de esta actividad:
o Antes de que empiece la clase, escribe nueve números enteros en nueve tarjetas distintas; uno
de los números debe ser un valor extremo. Debes crear dos o más conjuntos de nueve tarjetas.
o Dales una tarjeta a nueve estudiantes distintos y solicita que pasen al frente y sostengan la
tarjeta frente al resto de la clase.
o Discute con la clase si es importante o no poner a los estudiantes por orden de número.
o Solicita a la clase que averigüe cuál de los estudiantes al frente es la media, la mediana, la
moda, la amplitud y el valor extremo.
o Discute las diferentes medidas.
o Solicita al estudiante con el valor extremo que se siente; haz que los estudiantes vuelvan a
calcular la media, la mediana y la amplitud de los estudiantes (números) que quedan.
o Si los estudiantes nunca han tenido exposición a medidas, averiguar la media de ocho números
(por cualquier número par de números) podría darles algo de dificultad. Se debe guiar a los
estudiantes para que descubran que hay que sacar el promedio de los dos números del medio
para calcular la media.
o A continuación, debe llevarse a cabo una discusión sobre cómo el valor extremo afecta las
medidas de la tendencia central.
o Escoge nueve estudiantes para que pasen al frente del salón y dale a cada uno un número de
un conjunto de números distinto.
o Repite los pasos dos y ocho de arriba.
Crisis profunda - Conteo de salmones: Los estudiantes practican el método de muestreo aleatorio
en el contexto de un conteo de salmones. Discute con los estudiantes cómo esta idea se traduce a
otros campos de estudio. (ver anejo: 10.7 Actividad de aprendizaje - Conteo de salmones en crisis
92
Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/99.htm
Junio 2012 1062

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
profunda).
Muestreo sesgado 93 : Solicita a los estudiantes que lean las siguientes situaciones e identifiquen
cualquier sesgo en el método de muestreo. A continuación, solicítales que expliquen por qué se
trata de una situación sesgada y sugiere una forma de reducir el sesgo.
o Los editores de la revista Martha Stewart Living quieren determinar la tasa de aprobación de su
fundadora, Martha Stewart, entre el público. Deciden enviar cuestionarios a los suscriptores
para obtener esta información, de los cuales reciben 850 de vuelta.
o Para proyectar el ganador de las elecciones municipales, un reportero hace una encuesta entre
electores a medida que salen de las urnas en su vecindario y les pregunta por quién votaron. Se
encuentra con que algunas personas no quieren proveer esa información.
o El duodécimo aniversario de la muerte de Elvis Presley, una disquera de Dallas patrocina una
encuesta telefónica nacional. Se les pidió a los radioescuchas de más de 1,000 estaciones
radiales que llamaran a un número 1-900 (a un costo de $2.50) para que dieran su opinión
sobre si Elvis Presley realmente estaba muerto o no. Resulta que 56 % de los que llamaron
pensaban que Elvis estaba vivo.
o En 1936, la revista Literary Digest realizó la encuesta de opinión pública más extensa de la
historia (hasta esa fecha). Enviaron por correo cuestionarios a más de 10 millones de personas,
cuyos nombres y direcciones habían obtenido en las guías telefónicas y listas de registro
vehicular. Más de 2.4 millones de personas respondieron, y de estas 57 % indicaron que
votarían por el republicano Alf Landon en las próximas elecciones presidenciales. (El
incumbente demócrata Franklin Roosevelt ganó las elecciones, y se llevo el 63 % del voto
popular. PISTA: ¿Quién piensas que tenía teléfonos y vehículos en 1936?)
o Vas a recopilar información sobre el tipo de comida que le gusta comer a la gente cuando va de
compras al centro comercial. Decides preguntarle a cada quinta persona que te pasa por el
frente, siempre y cuando parezca que no les molestaría que los entrevisten.
o Te interesa averiguar qué porcentaje de las mujeres tiene trabajos a tiempo completo y son
jefes de familia. Decides realizar entrevistas telefónicas al azar, usando el directorio telefónico
de tu localidad, todas las mañanas durante una semana.
Evaluación de encuestas 94 : Los estudiantes evaluarán un artículo en busca de información
relevante para analizar de forma objetiva una encuesta publicada y sus resultados. Selecciona un
artículo o artículos para que los estudiantes lo(s) lean y analicen los métodos usados para llevar a
cabo la encuesta. A continuación, solicita a los estudiantes que respondan a las siguientes
preguntas:
o ¿Quién pagó por la encuesta? ¿Quién realizó la encuesta?
o ¿Cuánta gente participó en la encuesta? ¿Cómo fueron escogidos?
o ¿A quién debieron encuestar y a quién no se encuestó? ¿De dónde eran los participantes?
o ¿Qué tipo de encuesta era? ¿Qué tipos de preguntas se hicieron? ¿Cómo se hicieron las
preguntas?
o ¿Hay algún sesgo en la encuesta?
93
Fuente:
http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/identify%20and%20explain%20bias.pdf
94
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/analyze%20a%20poll.pdf
Junio 2012 1063

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
Ejemplos para planes de la lección
Diseño de muestras/Muestras aleatorias simples 95 : En esta lección, los estudiantes considerarán las
ventajas y desventajas de diversas técnicas de muestreo. Los estudiantes definirán una muestra
aleatoria simple e identificarán fuentes posibles de sesgo en otros tipos de muestras. Examinarán
además diseños de muestras y tendrán que poder reconocer cuándo hay sesgo presente en el
diseño de una muestra.
1. Comienza con la actividad de calentamiento para introducir el concepto de sesgo (ver anejo:
10.7 Ejemplo para plan de lección- Diseño de muestras).
2. A continuación, realiza una discusión en clase sobre el tamaño de la muestra, comparación de
los medios de muestreo, muestreo aleatorio y características de los buenos diseños de
muestreo (p. ej., la muestra debe ser de un tamaño proporcional a la población. La
representación insuficiente de ciertos grupos de una población o preguntas mal formuladas
pueden alterar significativamente los resultados de la muestra. Estos deben ser
representativos de la población, y deben seleccionarse de forma aleatoria.).
3. Finalmente, solicita a los estudiantes que completen las hojas de actividades (ver anejo: 10.7
Ejemplo para plan de lección - Diseño de muestras).
Tiempo de reacción 96 : Los estudiantes recopilarán, organizarán y analizarán datos mientras
estudian el tiempo de reacción. Los estudiantes calculan medidas de tendencia central usando una
calculadora y mostrarán los datos en una gráfica. Necesitarán una calculadora gráfica, regla métrica
y hoja de actividades (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección - Tiempo de reacción). Esto
puede hacerse después de estudiar las medidas de tendencia central.
Procedimiento:
1. Repasa las medidas de tendencia central:
La media es la suma de los números dividida por la cantidad de números.
La moda es el número que más se repite.
La amplitud es la diferencia entre el número mayor y el menor.
2. Divide la clase en parejas.
3. En cada pareja, el estudiante A sostiene la regla de forma vertical con la mano puesta en el
extremo de 30 cm. El estudiante B, cuyo tiempo de reacción se medirá, coloca su mano debajo
de la regla. El estudiante B coloca el pulgar y dedo índice a dos centímetros de la marca de 0
mm a cada lado de la regla. El estudiante A deja caer la regla y el estudiante B, mirando solo la
parte de abajo de la regla, la cacha. Para cachar la regla el estudiante B tiene que juntar el
pulgar y el índice lo más rápido posible.
4. Para medir el tiempo de reacción para cachar la regla, usa la marca del primer milímetro que
quede justo encima del pulgar. Esta lectura indicará el tiempo de reacción. El tiempo de
reacción más rápido será el número más bajo. Por ejemplo, una puntuación de 130 mm supone
un tiempo de reacción más rápido que una puntuación de 155 mm.
5. Cada estudiante repite el proceso cinco veces.
6. Los estudiantes comparten sus resultados en una discusión dirigida por el maestro.
7. Anoten todos los resultados en la pizarra.
8. Cada estudiante también deberá anotar las medias de todos los miembros de la clase en la
hoja de actividades y completarla (ver anejo: 10.7 Ejemplo para plan de lección - Tiempo de
95
Fuente: http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/algebra_data_analysis/DesigningSamples_311.html
96
Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/221.htm
Junio 2012 1064

Recursos adicionales
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
8 semanas
El SIDA en África http://www.nationalgeographic.com/xpeditions/lessons/01/g912/africaaidsI.html
www.profjserrano.wordpress.com
Ejemplo para plan de lección en que los estudiantes identifican y diferencian entre tipos de
muestras políticas, y seleccionan y usan representaciones visuales y estadísticas para describir una
lista de datos. http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-
29.html
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film,
Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
The Joy of Mathematics de Theoni Pappas
Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Reamer y Wilber
Reimer
Junio 2012 1065
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán la secuenciación y las relaciones recurrentes para investigar
razones de cambio y patrones. Clasificarán y construirán sucesiones mientras desarrollan términos
generales y métodos de cálculo, además de investigar el comportamiento a largo plazo de una relación
de recurrencia.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre la sucesión y las relaciones de recurrencia para comprender y solucionar problemas por medio
de la aplicación del razonamiento inductivo.
Estándares de contenido y expectativas
Sucesiones
A.CA.10.9.1 Investiga la razón de cambio encontrada en sucesiones y la utiliza para clasificar las
sucesiones como aritmética, geométricas o ninguna.
A.RE.10.9.2 Desarrolla el término general para las sucesiones aritméticas o geométricas y desarrolla
métodos para calcular la suma de los términos para una sucesión aritmética finita o sucesión
geométrica y la suma de una serie geométrica infinita.
Patrones
A.PR.10.10.1 Desarrolla relaciones de recurrencia para situaciones de crecimiento aritmético o
geométrico.
A.PR.10.1.2 Genera o construye sucesiones a partir de modelos de patrones en relaciones de
recurrencia, en matemáticas y en otras disciplinas.
A.PR.10.1.3 Investiga el comportamiento a largo plazo la conducta de una relación de recurrencia, con
o sin tecnología.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los patrones dan orden al mundo y nos
ayudan a darle sentido.
Las razones de cambio y los patrones se
investigan usando sucesiones y relaciones de
recurrencia.
Las sucesiones se desarrollan en términos
generales.
Las relaciones de recurrencia son ecuaciones
que definen una sucesión.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Métodos de calcular la suma de los términos
de una sucesión aritmética finita y la suma de
una serie geométrica infinita
Preguntas esenciales:
¿Por qué son útiles los patrones?
¿Por qué investigar razones de cambio?
¿Cómo se usan los patrones para desarrollar
términos generales?
¿Cómo se desarrollan relaciones de
recurrencia para situaciones de crecimiento
aritmético o geométrico?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Investigar la razón de cambio encontrada en
sucesiones y utilizarla para clasificar las
sucesiones como aritmética, geométrica o
Junio 2012 1066

El concepto de comportamiento asintótico
Vocabulario de contenido
aritmético, clasificar, convergencia,
divergencia, finito, geométrico, infinito,
notación sigma (∑), patrón, relaciones de
recurrencia, sucesión, serie, tasa de cambio,
término general
Tareas de desempeño
Un millón de dólares 97
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las sucesiones aritméticas y geométricas y de las
series al describir varias formas de ahorrar un
millón de dólares en una cuenta bancaria.
1. Indícales a los estudiantes que su objetivo
será ahorrar un millón de dólares en una
cuenta bancaria.
2. Solicita a los estudiantes que respondan a las
siguientes preguntas:
a. ¿Cómo podrías lograrlo en cinco años si tu
método de ahorro fuese una sucesión
geométrica? ¿Una serie geométrica? ¿Una
sucesión aritmética? ¿Una serie
aritmética?
b. Describe en lenguaje sencillo cómo cada
uno de estos modelos podría funcionar
como un plan de ahorros.
c. ¿Cuál se parece más al método que la
gente realmente usaría?
Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
ninguna.
Desarrollar el término general para las
sucesiones aritméticas o geométricas y
desarrollar métodos para calcular la suma de
los términos para una sucesión aritmética
finita y sucesión geométrica y la suma de una
serie geométrica infinita.
Desarrollar relaciones de recurrencia para
situaciones de crecimiento aritmético o
geométrico.
Generar o construir sucesiones en base a
modelos de patrones de relaciones de
recurrencia, tanto en matemáticas como en
otras disciplinas.
Investigar el comportamiento a largo plazo
una relación de recurrencia, con o sin
tecnología.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 100
1. ¿Cuál sería una fórmula del término n de la
sucesión B mostrada a continuación?
B = 10, 12, 14, 16,…
97
Fuente: www.curriculumframer.com
100
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm
Junio 2012 1067
a)
b)
c)
d)
2. ¿Cuál es la fórmula del término n de la
sucesión 54, 18, 6,…?
a)
b)
c)
d)

3. Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Planes de inversión 98
Los estudiantes demostrarán su conocimiento de
las sucesiones recursivas diseñando un plan de
inversión.
Tarea:
1. Busca y escribe los cinco primeros términos
(años) de la sucesión representando la
inversión que hace un joven de 21 años de
$2,000 a un 5.5 % anual.
2. Escribe la forma recursiva de esa sucesión.
3. Decide de qué tipo de sucesión se trata y
escribe la forma explícita de la sucesión y
úsala para hallar el valor de la inversión a los
55 años de edad.
4. Compara la cantidad a los 55 del No. 3 con la
inversión a los 21 años de $2,000 compuesta
de forma continua a 5.5 % y describe el
cálculo matemático que hace variar las
cantidades. Muestra todo el proceso y explica
en tus propias palabras lo que hiciste y por
qué diste cada paso.
Utiliza la rúbrica para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
La maravillosa campaña de mercadeo viral 99
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las sucesiones y las series al desarrollar una
campaña de mercadeo viral. El estudiante, como
consultor en mercadeo, ayudará a desarrollar
modelos de a cuántas personas se puede llegar,
considerando los efectos de los supuestos y
prediciendo resultados posibles en función de la
precisión de estos supuestos. El estudiante deberá
además explicar claramente las limitaciones de
este método con el tiempo a medida que se va
agotando la reserva de clientes potenciales, y
Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
3. ¿Cuál es el valor de
Diario
a) 1 b) 3
c) 2 d) 0
a) Crea tu propia sucesión. Provee los primeros
cuatro términos y el noveno término. ¿De qué
tipo de sucesión se trata? ¿Cómo lo sabes?
b) Compara las sucesiones aritméticas y
geométricas. Da ejemplos:
c) ¿Cuál es el quinceavo término de la sucesión
5, -10, 20, -40, 80,…?
d) El maestro de Jonathan le pidió que expresara
la suma + + + + usando notación sigma.
Jonathan ha propuesto cuatro respuestas
posibles. ¿Cuál de estas cuatro respuestas no
es correcta? Explica cómo lo sabes.
98
Fuente: http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/6C_8A_8CJ.pdf
99
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1068
a)
c)
b)
d)
Boletos de entrada/salida
1. Compara las sucesiones aritméticas con las
series.
2. ¿Cuál es la diferencia común de esta sucesión
aritmética 5, 8, 11, 14?
3. Evalúa:

cómo esto afecta la aplicabilidad del modelo.
Tarea:
El propietario de un parque de diversiones acaba
de leer un corto artículo sobre el mercadeo viral y
quiere intentarlo. Le emociona el poder detrás de
la idea de "si cada persona le cuenta a dos
personas, y esas personas le cuentan a dos más..."
para hacer correr la voz sobre una nueva machina
que van a abrir.
Instrucciones:
1. Desarrolla los modelos para determinar a
cuántas personas se puede llegar con una
campaña de mercadeo viral.
2. Identifica los efectos de los supuestos que
hagas y predice una gama de posibles
resultados en función de las opciones
provistas por estos supuestos.
3. Identifica el posible efecto que los errores en
tus supuestos podrían tener en tus
predicciones.
4. Explica claramente las limitaciones de este
método con el tiempo a medida que se va
agotando la reserva de clientes potenciales, y
cómo esto afecta la aplicabilidad del modelo.
5. Se te evaluará en función de cuán exhaustiva
sea tu lista de planes, así como tu capacidad
para explicar el uso de supuestos y de
comunicar las limitaciones de tus predicciones
y cómo los supuestos incorrectos podrían
afectarlas.
Utiliza la rúbrica “La maravillosa campaña de
mercadeo viral” para evaluar el trabajo de los
estudiantes (ver anejo: 10.8 Tarea de desempeño
- La maravillosa campaña de mercadeo viral).
Actividades de aprendizaje
Sucesiones aritméticas
Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?: En esta actividad, los estudiantes se centrarán en sucesiones
aritméticas y desarrollarán patrones para hallar el término número n, así como la suma de n
términos en una sucesión aritmética (ver anejo: 10. 8 Actividad de aprendizaje – ¿Aritmética? ¿Y
qué tal un total?).
Junio 2012 1069

Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
¿Dónde en el mundo?: Después de repasar unos cuantos ejercicios en que se usen sucesiones y
series para hacer modelos de procesos reales, a los estudiantes se les retará a que hagan una lluvia
de ideas, en parejas o en grupos, para hacer una lista de diez ejemplos del mundo real de
sucesiones y series que sean parte de su vida diaria. De esa lista, deberán escoger tres para
elaborarlas, justificando que son aritméticas, usando las fórmulas que han aprendido, ilustrando
los resultados de forma gráfica y considerando las limitaciones del patrón. (ver anejo: 10.8
Actividad de aprendizaje - Dónde en el mundo)
¿Cuál es la sucesión?: A los estudiantes se les dará un número y se les dirá que se trata de un
término específico de una sucesión. ¿Cuál podría ser esa sucesión? ¿Es única la respuesta? Para
hacerlo más difícil aún, se les dará un número y se les dirá que se trata de la suma de un cierto
número de términos de una sucesión y se les harán las mismas preguntas (ver anejo: 10.8 Plan de
aprendizaje - Cuál es la sucesión).
Sucesiones geométricas
La "familia Cuarteto": La familia Cuarteto tiene una extraña tradición, comenzando por Horacio y
Wilhelmina Cuarteto a principios de los 1800. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y
declararon que cada descendiente debía hacer lo mismo. Cada hijo, nieto, biznieto, y así
sucesivamente, ha cooperado: cada uno se ha casado y ha tenido cuatro hijos. Estima cuántos
descendientes tienen al día de hoy, así como el número total de personas que hay en el árbol
genealógico (sin incluir cónyuges). (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La familia Cuarteto.)
Sucesiones
Y al décimo día: Dales a los estudiantes cinco escenarios de la vida real con sucesiones, entre ellas
ejemplos de sucesiones aritméticas y geométricas. Solicita que enumeren lo que ocurriría en los
primeros diez días. A continuación, haz que por cada escenario desarrollen una regla general para
el término n de la sucesión. Ejemplos (a), (b), (c) y (e) son bastante sencillos, pero el ejemplos (d)
no lo es (ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - Y al décimo día). Pregúntales a los estudiantes
cuáles sucesiones son similares y cuáles son diferentes. Introduce y contrasta los términos de la
sucesión geométrica y la sucesión aritmética.
La sucesión de nunca acabar: Usando una herramienta tecnológica, como la TI-83, que tiene la
capacidad de realizar la misma operación repetidas veces en las respuestas sucesivas, los
estudiantes investigarán lo que sucede a medida que dejamos que las sucesiones y series
continúen indefinidamente. En estas circunstancias, ¿tenderán a desaparecer los términos? ¿Es
posible que una serie infinita tenga una suma finita? (Ver anejo: 10.8 Actividad de aprendizaje - La
serie sin fin.)
Ni geométrico ni aritmético 101 : Los estudiantes considerarán algunos ejemplos de sucesiones que
no sean ni aritméticas ni geométricas, y determinarán los términos subsiguientes. Intentarán
escribir reglas generales para el término n. Dales a los estudiantes un pequeño conjunto de
ejercicios mixtos y solicita que generen los próximos cuatro términos de cada uno. Incluye en el
conjunto mixto un par de ejercicios aritméticos y geométricos, pero también incluye otros como i)
ejercicios que impliquen combinaciones de operaciones como: 3, 6, 7, 14, 15, 30,... (multiplicar por
dos, luego sumar 1); ii) sucesiones recursivas como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... (sucesión Fibonacci), y iii)
101
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1070

Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
otras sucesiones interesantes de los ejercicios de tu libro de texto. Solicita a los estudiantes que las
dividan en sucesiones que ya hayan estudiado, y en las que no se correspondan con estas
categorías.
¿Cuál es mi regla? 102 : Crea una lista de sucesiones y series a partir de ejercicios y discusiones en
clase y problemas de asignación. Incluye ejemplos aritméticos, geométricos recursivos y ejemplos
cualesquiera que no se adecuen a los otros patrones. Solicita a los estudiantes que analicen los
ejemplos en parejas y grupos pequeños. Por cada ejemplo, deberán generar los próximos términos,
identificar el tipo y explicar cómo llegaron a su conclusión. No se debe tan solo poner énfasis en la
identificación correcta, sino también en comunicar el proceso de razonamiento que los llevó a su
decisión.
Ejemplos para planes de la lección
Patrones, sucesiones y series 103 : Los estudiantes recibirán instrucciones directas de sucesiones y
series aritméticas. Deberán reunir sus experiencias de “Y al décimo día” y “¿Aritmética? ¿Y qué tal
un total?” para determinar reglas generales para identificar sucesiones aritméticas, hallar términos
específicos en la sucesión, calcular la suma de los primeros términos n y representar sumas usando
notación sigma. Además, compararán y contrastarán los términos de una sucesión aritmética con
una relación lineal.
Instrucciones:
1. Solicita a los estudiantes que se refieran a las dos actividades anteriores y que trabajen en
pares y grupos pequeños para resumir todo lo que han aprendido sobre las sucesiones
aritméticas. Date la vuelta por el salón y anota las contribuciones en la pizarra. Asegúrate de
que se incluyan todas las siguientes en el resumen: (a) cómo identificar una sucesión
aritmética, (b) cómo hallar un término específico de una sucesión aritmética y (c) cómo hallar
la suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética.
2. Trabaja a partir de las observaciones y representaciones de los estudiantes para producir las
formas estándares de las fórmulas para hallar término específicos y sumas de sucesiones
aritméticas. Usa la notación de suma para describir la suma de los primeros términos n de una
sucesión.
3. Todavía en grupos, dales a los estudiantes un ejemplo (primer término = 2, diferencias
comunes = 1.5). Solicita que hallen los primeros cinco términos y creen una representación
gráfica.
4. Una vez terminen esta parte, pregúntales cuántos de ellos conectaron los puntos para formar
una línea. Aunque es de naturaleza lineal, ¿cómo difiere esto de las relaciones lineales que han
estudiado en el pasado? Esta es una muy buena oportunidad para discutir los números
discretos y los continuos, y los tipos de datos del mundo real que se prestan para cada uno.
5. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando fórmulas que hayan desarrollado
usando ejercicios del libro.
Sucesiones y series geométricas 104 : Los estudiantes recibirán instrucciones directas de sucesiones y
series aritméticas. Utilizarán las experiencias de “La familia Cuarteto” y la “Sucesión de nunca
102
Fuente: www.curriculumframer.com
103
Ibídem.
104
Ibídem.
Junio 2012 1071

Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
acabar” para motivarlos a hallar la fórmula general del término n, la suma de n términos y la suma
de una serie infinita. Elaborarán pautas generales para determinar si una serie converge o no. Los
estudiantes utilizarán la notación sigma cuando corresponda.
Instrucciones:
1. Utilizar las actividades anteriores para motivarlos a que elaboren sus propias fórmulas
generales. Dales un ejemplo sencillo (primer término = 5, r =2). Solicita que enumeren los
primeros cuatro términos y escriban todo el proceso.
2. Utiliza ese proceso para escribir una fórmula general para el término n. Deben poder hacerlo
por su cuenta con la ayuda de algunas preguntas guía, de ser necesario.
3. Desarrolla la fórmula de la suma de una serie geométrica finita. La prueba de esto no es muy
larga, pero no es razonable esperar que los estudiantes descubran la fórmula por su cuenta. Sin
embargo, vale la pena tomarse el tiempo de compartirlo con ellos y asegurarse de que
entiendan que se trata del resultado lógico de propiedades previamente aceptadas que ya han
aprendido, y que resulta chévere ver cómo se eliminan todos los términos excepto el primero y
el último.
4. Reflexiona sobre la actividad anterior y solicita a los estudiantes que identifiquen qué tipo de
serie geométrica infinita podría tener una suma finita. Un buenísimo ejemplo que los
estudiantes pueden asimilar es el que implica la razón 1/2 sobre una interpretación basada en
la distancia recorrida.
5. Solicita a un estudiante que se pare a 10 pies de la parte de enfrente del salón y que recorra la
mitad del camino hasta la pizarra; anota que recorrió 5 pies. Repite el proceso un par de veces
con el voluntario, y a continuación enumera unos cuantos términos adicionales de la sucesión.
A medida que sigues añadiendo a la sucesión, anota los totales de la distancia total recorrida.
6. Discute esto en términos de límites: ¿Llegará a alcanzar la pared el estudiante? ¿A qué se
aproxima la cantidad recorrida, pero nunca alcanza? ¿A qué se aproxima la cantidad total
recorrida, pero nunca alcanza? Una vez se haya establecido la suma de una serie geométrica
finita, solicita a los estudiantes que la amolden a una serie geométrica infinita. ¿Por cuál
término deben sustituir el último?
7. Esto debe llevar a una discusión de la convergencia y la divergencia, y de cuándo la suma existe
y cuándo no (cuando la suma no tiene límite). Dedica un tiempo a usar la notación de suma
para rotular las sumas que vayas encontrando. Mientras que las fórmulas no utilizan esta
notación, las suman que vas encontrando pueden expresarse de esta forma.
8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas fórmulas con ejercicios del
libro.
Sucesiones - Definiciones recursivas 105 : Los estudiantes recibirán instrucciones directas para definir
términos en una sucesión relacionándolos con términos anteriores. Una vez lo intenten con
sucesiones aritméticas y geométricas, podrán utilizar esta técnica en la práctica para sucesiones
que no sean ni geométricas ni aritméticas, y que se describan mejor en términos recursivos.
Instrucciones:
1. Usa la actividad de aprendizaje “Ni geométrico ni aritmético” para introducir el hecho de que
no todas las sucesiones son o aritméticas o geométricas, y que algunas no se prestan a
descripciones matemáticas simples.
105
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1072

Unidad 10.8: Patrones, sucesiones y series
Matemáticas
4 semanas
2. Desarrolla las reglas para hallar el término n de cada una de las sucesiones, y señala aquellas
en que la definición sea recursiva. Pregúntales a los estudiantes si las sucesiones geométricas
se pueden definir de forma recursiva. Discute el hecho de que algunas sucesiones solo pueden
describirse en términos recursivos, y que no tienen fórmulas sencillas para calcular la suma de
términos n.
3. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la expresión de sucesiones con definiciones
recursivas, así como generar términos de sucesiones, dada una definición recursiva. Un
problema geométrico bastante conocido y que es un reto divertido conlleva cortar un
bizcocho. ¿Cuál es el número máximo de trozos que puedes obtener con 4 pedazos? (Los
pedazos no tienen que ser de forma o tamaño semejante.) Solicita a los estudiantes que
intenten hacer este problema con un diagrama, y luego describe el total después de cortar
cada pedazo con una definición recursiva. (El truco está en asegurarse de que cada pedazo se
cruce con un pedazo ya cortado.) Esto resulta más difícil con un diagrama en el caso de más
pedazos, pero los estudiantes pueden sacar la regla general y hallar el número de pedazos para
números de pedazos mayores.
Recursos adicionales
www.profjserrano.wordpress.com
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/progres.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Algebra de Juan Sánchez
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
The Man Who Counted: A Collection of Mathematical Adventures de Malba Tahan
Math Curse de Jo Scieszka y Lane Smith
Junio 2012 1073
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Matemáticas
Anejos
10mo Grado
1074

Investigación de la parábola
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola
La forma de la gráfica de las cuadráticas
Trabajarán en grupos.
2
y ax bx
c
se llama parábola.
Tómense cinco minutos para discutir las reglas y roles del grupo. Una persona se encarga de pedir tres
calculadoras y de regresarlas antes de que se acabe la clase.
Su misión será explorar las gráficas de parábolas manipulando los coeficientes. Utilizarán la función de
gráfica para su investigación.
Respondan a las siguientes preguntas lo más completamente posible; pueden también intentar incluir
tantas descripciones como puedan.
Selecciona una ventana ya sea manualmente o desde el menú zoom.
Y= Este botón te permite acceder a la función de gráfica.
A. ¿Qué hace la “a”?
1. En 1
Y traza la gráfica
2
y x . Utiliza la línea gruesa sólida.
2. Describe la forma en tus propias palabras. Utiliza tantas descripciones como puedas. Utiliza el botón
de trace (trazar) para hallar los puntos más altos y más bajos. Traza la gráfica en una hoja de papel
cuadriculado. Utiliza la función de Table Set y Table de tu calculadora para crear una tabla.
3. En 2
Y traza la gráfica de
y x
2
. Utiliza una línea regular.
a. Describe en tus propias palabras lo que sucedió.
b. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla.
4. DesactivaY 2 . Traza la gráfica de
2
y ax in Y 3 .
a. Elige un valor de a mayor que 1. Describe lo que ocurre. Cada miembro del grupo debe elegir un
valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el mismo eje e incluye
una tabla de valores.
5. DesactivaY 3 . Traza la gráfica de
2
y ax en 4
a. Elige un valor de a menor que 1, pero mayor que 0. Describe lo que ocurre.
b. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente para a .
6. DesactivaY 4 . Traza la gráfica de
Y .
2
y ax in 5
Y .
a. Elige un valor de a menor que 1, pero mayor que 0. Describe lo que ocurre. Cada miembro del
grupo debe elegir un valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el
mismo eje e incluye una tabla de valores.
1075

7. Desactiva 1
Y y 5
Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola
Y . Selecciona 2
Y . Traza la gráfica de
2
y ax en 6
a. Elige un valor de a mayor que -1. Describe lo que ocurre. Cada miembro del grupo debe elegir
un valor diferente para a . Traza la gráfica de los resultados de tu grupo en el mismo eje e
incluye una tabla de valores.
Y con 6
b. Compara 1
y qué era diferente? Escribe una regla general.
B. ¿Qué hace la “b”?
1. En 1
2. En 2
Y traza la gráfica de
2
Y .
Y Y ¿Qué aprendiste sobre el coeficiente del término
Y traza la gráfica de 0
2
y x . Utiliza la línea sólida gruesa.
y
a. Utiliza una línea regular.
2
x bx
b. Describe lo que ocurre en tus propias palabras.
. Elige un valor de b mayor que 0.
c. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla.
d. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de b.
y en 3
2
x bx
1. Desactiva 2 Y . Traza la gráfica de 0
a. Elige un valor de b menor que 0.
b. Utiliza una línea regular.
c. Describe lo que ocurre en tus propias palabras.
Y .
d. Traza la gráfica en el mismo eje que en el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla.
e. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de b.
2. Repite los pasos 1, 2, y 3 usando c no igual a 0.
2
x ?. ¿Qué era igual
c. ¿Qué aprendiste sobre el término bx ? Compara las gráficas 1 Y . ¿Qué era igual y qué
era diferente? Escribe una regla general. Inventa una “b” y predice lo que piensas que ocurrirá.
Traza la gráfica para comprobar si tu hipótesis estaba correcta.**¿Tienen todas las parábolas la
misma forma general? ¿Tienen todas un punto mínimo y uno máximo?
C. ¿Qué hace la “c”?
1. En Y 1 traza la gráfica
2
y x . Utiliza la línea sólida gruesa.
Y , 2 Y y 3
2. En 2 Y traza la gráfica de yx c
2
. Elige un valor de c mayor que 0.
3. Utiliza una línea regular.
4. Describe lo que ocurre en tus propias palabras.
1076

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección– Investigación de la parábola
5. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla.
6. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de c.
Y . Traza la gráfica de c
7. Desactiva 2
8. Elige un valor de c menor que 0.
9. Utiliza una línea regular.
y x
2
Y .
en 3
10. Describe lo que ocurre en tus propias palabras.
11. Traza la gráfica en el mismo eje que el No. 1. Asegúrate de incluir una tabla.
12. Cada miembro del grupo debe elegir un valor diferente de c.
Y , 2
Y , and 3
Y . ¿Qué era
a. ¿Qué aprendiste sobre el término constante? Compara las gráficas 1
igual y qué era diferente? Escribe una regla general. Inventa una “c” y predice lo que piensas
que ocurrirá. Traza la gráfica para comprobar si tu hipótesis estaba correcta.
Hagan un afiche grupal. Les daré A, B o C. Presenten sus conclusiones junto con la gráfica.
Entreguen su trabajo. Asegúrense de presentar un trabajo nítido con todas las gráficas debidamente
rotuladas. Rotulen los ejes e incluyan sus ideas sobre las gráficas.
Trabajo
grupal
10 Afiche
Gráficas 15 Las gráficas individuales están completas, correctas y rotuladas.
Tablas 5 Todas las gráficas tienen una tabla.
Descripciones 10 Describe cómo a, b, y c afectan la forma y posición de la parábola. Utiliza
descripciones precisas en palabras usadas con sentido.
Reglas 10 Escribe reglas.
Roles y responsabilidad grupales
Título Rol Responsabilidad
Anotador Recopila y anota los datos. Anota y presenta los datos
grupales.
Custodio Se asegura de que todos los
miembros participen.
Defensor Se asegura de que todos los
miembros sean apreciados.
Administrador Mantiene al grupo centrado en la
tarea.
Obtiene y regresa los materiales.
Presenta la respuesta grupal. Se
asegura de que todos los
miembros tengan información.
Cálculos.
Si tu grupo tiene solo tres miembros, el custodio y el defensor pueden ser la misma persona.
Fuente: http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=24121 1077

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen
1. Factorizada por completo, la expresión es equivalente a
e)
f)
g)
h)
6. Expresado en forma factorizada, el binomio es equivalente a
e)
f)
g)
h)
7. Factoriza:
8. ¿Cuál es el conjunto de solución de la ecuación ?
a)
b)
c)
d)
9. Halla las raíces de la ecuación usando álgebra.
10. Considera la gráfica de la ecuación , cuando . Si se multiplica a por 3, ¿qué es
cierto de la gráfica de la parábola resultante?
e) El vértice está tres unidades por encima del vértice de la parábola original.
f) La nueva parábola está tres unidades a la derecha de la parábola original.
g) La nueva parábola es más ancha que la parábola original.
h) La nueva parábola es más estrecha que la parábola original.
11. Simplifica:
4i(1 + i) + 3(6 – 2i)
12. Establece la ecuación del eje de simetría y las
coordenadas del vértice de la parábola de la
gráfica a la derecha.
1078

Unidad 10.1: Funciones y modelos cuadráticos
Matemáticas
Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen
13. La gráfica de la ecuación se encuentra en el conjunto de ejes a continuación.
En base a esta gráfica, ¿cuáles son las raíces de la ecuación ?
e) 8 y 0
f) 2 y
g) 9 y
h) 4 y
14. Greg se encuentra en un vagón al tope de una montaña rusa. La distancia, d, a la que se encuentra el
Distancia (en pies)
vagón del suelo a medida que desciende está determinada por la ecuación , donde t
es el número de segundos que se toma el vagón en bajar a cada punto de la machina. ¿Cuántos
segundos se tomará Greg en llegar abajo?
Tiempo (en segundos)
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm 1079

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – ¿Quién soy? – Halla un polinomio a partir de sus raíces
¿Quién soy? Halla un polinomio a partir de sus raíces
Hoja de actividades para los estudiantes: Parte 1
Determina el polinomio a partir de sus raíces.
1. Analiza el comportamiento final de la función y las tres raíces abajo.
2. Escribe la ecuación en forma factorizada a partir de las raíces dadas en las condiciones dadas.
3. Verifica tus raíces con otros miembros del grupo.
4. Cada grupo deberá trazar la gráfica de su polinomio en la mitad de una hoja de papel cuadriculado
grande. Todas las gráficas deben estar limpias (traza las gráficas a lápiz y luego pásales por encima
con un marcador).
5. Gráfica: rotula los ceros, los interceptos en y, los ejes y cualquier vértice o “picos y valles”. Utiliza la
calculadora gráfica para hallar el par ordenado asociado a los extremos.
6. En el afiche escribe tu polinomio en forma factorizada. Enumera las raíces. Escribe la forma estándar
del polinomio al dorso de tu afiche grupal.
7. Utiliza la función de gráfica para trazar la gráfica de tu polinomio con precisión. Asegúrate de
siempre utilizar la pantalla adecuada.
8. En una hoja de papel de libreta escribe tu polinomio únicamente en forma estándar. Escribe tu
nombre y la letra de tu grupo en la parte de arriba del papel.
Parte 2
Halla las raíces de un polinomio.
1. Obtén un polinomio de mi parte. Factoriza el polinomio y halla sus raíces.
2. Entrega tu trabajo
3. Parea tu polinomio con la gráfica correcta.
Estrategia de evaluación: Este proyecto sirve como avalúo de los objetivos en base al producto para
las funciones polinómicas. Todos los estudiantes deberán aplicar los teoremas relativos a raíces
racionales, irracionales, complejas imaginarias, así como su multiplicidad.
Guía de calificación:
Los ejes están rotulados y trazados con una regla
graduada.
1 2 3 4 5
Seleccionó una escala para que la gráfica tenga
tamaño de afiche.
1 2 3 4 5
Extremo rotulado con un par ordenado. 1 2 3 4 5
Las raíces polinómicas están correctas. 1 2 3 4 5
Verificó la forma con la calculadora gráfica. 1 2 3 4 5
El polinomio factorizado se corresponde con la
gráfica.
1 2 3 4 5
Evaluación grupal 1 2 3 4 5
1080

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – ¿Quién soy? – Halla un polinomio a partir de sus raíces
Hoja de trabajo para la parte 1: Raíces
A. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
B. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
C. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
D. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
Derecha arriba,
izquierda arriba
x 2i
x 0
x
2
Derecha abajo,
izquierda arriba
x 2i
x 0
x
2
Izquierda arriba,
derecha arriba
x 2 i
x 0
x 1
Izquierda arriba,
derecha abajo
x 2 i
x 0
x 1
E. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
F. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
G. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
H. Comportamiento
final de la función:
Raíces:
Izquierda abajo,
derecha abajo
x 2 i
x 0
x 1
Izquierda abajo,
derecha arriba
x 2 i
x 0
x 1
Derecha e
izquierda arriba
x
3
x 3
x i
x 0
Derecha arriba,
izquierda arriba
x 3i
x 3i
x i
x 0
Fuente: http://alex.state.al.us/lesson_view.php?id=24059 1081
2
2

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen
6. Traza la gráfica de las siguientes funciones racionales:
a.
b.
7. ¿Cuál expresión es equivalente a
a)
b)
c)
d)
8. ¿Cuál es el producto de y ?
a)
b)
c)
d)
9. La suma de y es
1) 2) 3) 4)
10. ¿Cuál es el conjunto de solución de ?
a)
b)
c)
d)
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm and
http://www.isbe.net/ils/math/stage_J/8D_6AJ.pdf 1082

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
Tarea de desempeño – Cómo se trabaja con polinomios: Guía del usuario con advertencias
Categoría 4 3 2 1
Comprensión
del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
El estudiante demuestra la
comprensión sofisticada necesaria
para sumar, restar, multiplicar y
dividir polinomios correctamente.
El estudiante claramente explica las
técnicas usadas en las operaciones
con polinomios y errores comunes
de los que hay que estar al tanto.
Se incluyen todas las técnicas
cubiertas en la unidad.
Se describen con precisión todas las
técnicas usadas en las operaciones
con polinomios y errores comunes.
El estudiante escoge ejemplos
originales y adecuados para ilustrar
las técnicas y los errores.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica los conceptos
con claridad. Las técnicas están
organizadas en un orden lógico y
los errores comunes se explican a
cabalidad.
La Guía del usuario es presentada
de forma profesional, de manera
que demuestra una preparación
esmerada y claridad en la
comunicación. Queda claro que se
prestó atención al público y
propósito, y que la guía podría
ayudar a un estudiante que no
tenga familiaridad con los
conceptos.
El estudiante demuestra la
comprensión necesaria para sumar,
restar, multiplicar y dividir
polinomios correctamente.
El estudiante explica las técnicas
usadas en las operaciones con
polinomios y errores comunes de
los que hay que estar al tanto.
Puede ser que omita algunas de las
técnicas cubiertas en la unidad.
Se describen con precisión todas las
técnicas usadas en las operaciones
con polinomios y errores comunes.
El estudiante escoge ejemplos
adecuados para ilustrar las técnicas
y los errores, pero estos podrían ser
semejantes a los del libro de texto o
de la clase.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica los conceptos.
Las técnicas están organizadas en
un orden lógico, pero a veces los
errores comunes no se explican a
cabalidad. Puede contener errores
menores.
En general, la Guía del usuario está
bien hecha y completa, aunque a
algunos elementos podría faltarles
un toque profesional. Se ha
prestado atención al público y al
propósito, aunque la guía no
siempre satisface las necesidades
de un estudiante que no está
familiarizado con los conceptos.
El estudiante demuestra algo de la
comprensión necesaria para sumar,
restar, multiplicar y dividir polinomios
correctamente.
El estudiante explica las técnicas usadas
en las operaciones con polinomios e
intenta describir errores comunes de los
que hay que estar al tanto. Omite
algunas técnicas.
Se describen con precisión la mayor
parte de las técnicas usadas en las
operaciones con polinomios y errores
comunes. El estudiante escoge ejemplos
adecuados para ilustrar las técnicas y los
errores, pero estos podrían ser
semejantes a los del libro de texto o de
la clase y el proceso de solución a veces
contiene errores menores.
El estudiante explica los conceptos, pero
a veces usa los términos
incorrectamente. El estudiante intenta
organizar las técnicas y no logra explicar
de forma adecuada las causas de los
errores comunes.
Algunos elementos de la Guía del
usuario están bien hechos, mientras que
en otros se nota un desinterés por la
calidad. No queda claro que se hayan
tomado en cuenta el público y el
propósito, y a un estudiante no
familiarizado con los conceptos se le
dificultaría usarla.
Fuente: www.curriculumframer.com 1083
El estudiante demuestra poca de la
comprensión necesaria para sumar,
restar, multiplicar y dividir
polinomios correctamente.
El estudiante intenta explicar las
técnicas usadas en las operaciones
con polinomios y describir errores
comunes de los que hay que estar al
tanto. Omite múltiples técnicas.
Se describen con precisión algunas
técnicas usadas en las operaciones
con polinomios y errores comunes.
El estudiante escoge ejemplos no
adecuados para ilustrar las técnicas
y los errores. A veces el proceso de
resolución contiene múltiples
errores, y estos pueden llegar a ser
importantes.
El estudiante no explica
adecuadamente los conceptos, y no
usa los términos correctamente. El
estudiante intenta organizar las
técnicas y explicar los errores
comunes, pero no lo logra.
La Guía del usuario está hecha de
forma descuidada, y se demuestra
poco interés por la calidad. Esto le
resta a cualquier consideración que
pueda haberse prestado a la
audiencia o propósito. No le
resultaría útil a un estudiante que
no esté familiarizado con los
conceptos.

Unidad 10.2: Polinomios y funciones racionales
Matemáticas
Tarea de desempeño – Rúbrica de Campaña de relaciones públicas en pro de las reglas
Categoría 4 3 2 1
Comprensión
del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
El estudiante demuestra la
comprensión sofisticada de que las
reglas y las propiedades son lógicas y
necesarias para el éxito en las
matemáticas.
El estudiante explica claramente las
reglas y propiedades y demuestra por
qué son necesarias. Todas las reglas y
propiedades discutidas en esta unidad
están incluidas.
Se describen todas las reglas y
propiedades con precisión. El
estudiante elige ejemplos originales y
adecuados para ilustrar la necesidad
de las reglas y propiedades.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica conceptos
claramente. Se presenta la
importancia de las reglas y
propiedades de forma convincente,
junto con cómo funcionan las reglas y
propiedades.
Se presentan los anuncios de manera
profesional, de forma que se
demuestre una preparación esmerada
y claridad en la comunicación. Queda
claro que se ha prestado atención al
público y al propósito.
El estudiante demuestra una
comprensión de que las reglas y las
propiedades son lógicas y necesarias
para el éxito en las matemáticas.
El estudiante explica claramente las
reglas y propiedades y demuestran
por qué son necesarias. Es posible que
omita algunas reglas y propiedades.
Se describen todas las reglas y
propiedades con precisión. El
estudiante elige ejemplos originales y
adecuados para ilustrar la necesidad
de las reglas y propiedades. Puede
que los ejemplos sean similares a los
discutidos en clase y a veces el
proceso de resolución incluye unos
cuantos errores menores.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica los conceptos
claramente. Se presenta la
importancia de las reglas y
propiedades de forma convincente,
junto con cómo funcionan las reglas y
propiedades, pero a veces hay
algunos errores menores.
En general, los anuncios están bien
hechos y completos, aunque a algunos
elementos podría faltarles un toque
profesional. Se ha prestado atención
al público y al propósito.
El estudiante demuestra algo de
comprensión de que las reglas y las
propiedades son lógicas y necesarias
para el éxito en las matemáticas.
El estudiante explica las reglas y
propiedades e intenta demostrar por
qué son necesarias. Omite unas
cuantas reglas o propiedades.
Se describen la mayor parte de las
reglas y propiedades con precisión. El
estudiante elige ejemplos adecuados
para ilustrar la necesidad de las reglas
y propiedades. Puede que los
ejemplos sean similares a los
discutidos en clase y a veces el
proceso de resolución incluye
múltiples errores menores.
El estudiante explica los conceptos,
pero a veces usa los términos
incorrectamente. El estudiante
intenta ilustrar la importancia de las
reglas y propiedades y cómo
funcionan, pero no lo hace de forma
convincente.
Algunos elementos de los anuncios
están bien hechos, mientras que en
otros se nota un desinterés por la
calidad. No queda claro que se hayan
tomado en cuenta el público y el
propósito.
Fuente: www.curriculumframer.com 1084
El estudiante demuestra un pobre
entendimiento de que las reglas y las
propiedades son lógicas y necesarias
para el éxito en las matemáticas.
El estudiante intenta explicar las
reglas y propiedades, pero no logra
demostrar por qué son necesarias.
Omite múltiples reglas o propiedades.
Se describen algunas reglas y
propiedades con precisión.
El estudiante elige ejemplos poco
adecuados para ilustrar la necesidad
de las reglas y propiedades. El proceso
de resolución a veces incluye
múltiples errores, y los errores
pueden llegar a ser importantes.
El estudiante no explica los conceptos
de forma apropiada, y no utiliza los
términos con precisión.
Aunque intenta explicar la
importancia de las reglas y
propiedades, no lo logra.
Los anuncios están hechos de forma
descuidada, y se demuestra poco
interés por la calidad. Esto le resta a
cualquier consideración que pueda
haberse prestado a la audiencia o
propósito.

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Dobleces, pedazos y potencias de dos
Nombre ______________________
A. Dobla una hoja de papel por la mitad. Dobla esa mitad por la mitad. ¿Cuántos dobleces piensas que son
posibles? ________________
B. A medida que vas doblando, anota el número de capas que obtienes después de cada doblez.
(Fíjate en que el número de dobleces es tu potencia de dos. ¿Qué representa el número de capas?)
Número de dobleces Número de capas Potencias de dos
0 1 2 0 = 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C. Discute cómo el número de dobleces que predijiste se compara con tus datos.
D. Ahora coge una hoja de papel, recórtala en dos mitades y anota el número de pedazos que obtienes. Piensa
en el número de recortes como un número negativo, puesto que se reduce el tamaño de los pedazos.
Completa la tabla.
(Fíjate en que el número de recortes es tu potencia de dos. ¿Qué representa el número de pedazos?)
Número de recortes Número de pedazos Potencias de dos
0 1 2 0 = 1
-1
-2
-3
-4
-5
Fuente: www.curriculumframer.com 1085

E”X”P Haciendo y deshaciendo
Unidad 10.3: Funciones exponencials y logarítmicas
Matemátics
Ejemplo para plan de lección – E’X’P Haciendo y deshaciendo
Nombre ______________________________
A. Provee razones matemáticas para justificar el primer paso de cada problema, luego resuelve para hallar x.
1.
2.
3.
4.
Problema y pasos Resuelve para hallar x Razones matemáticas
3x + 1 = 5x – 7
5.
xlog7 = log10
6. log464 = x
4 x = 4 3
7. ln (x + 3) = 0
e˚ = x + 3
8. log3x = log38 + log310
log3x = log380
9. log99 3 = x
3 = x
10. log12x = 0
12˚ = x
11. = x
= x
12. 4log32 = log3x
Log32 4 = log3x
B. Haz una lista de todas las reglas.
Fuente: www.curriculumframer.com 1086

Las leyes logarítmicas
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro
Para hallar las leyes de logaritmos manipulados, definimos dos términos, p y q
A partir de esto, podemos decir que
Si ahora escribimos esto en forma de logaritmo (lo llamamos hallar el logaritmo), obtenemos
Así que acabamos de encontrar la primera ley logarítmica
El logaritmo de un producto es solo la suma de los logaritmos de los términos individuales. (Así se
usaron los logaritmos en la multiplicación.)
División
Ahora consideremos la siguiente expresión
Nuevamente, hallamos los logaritmos para obtener
Esta es la segunda ley logarítmica
1087

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro
1088

Potencias
Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para el maestro
Ahora consideremos la expresión
Nuevamente, elevamos el logaritmo a una base, con lo que se obtiene
lo cual nos provee la siguiente ley logarítmica
Cambio de la base
Considera las expresiones intercambiables
Eleva los logaritmos a la base c
con lo que se obtiene
Esta regla resulta útil porque los únicos logaritmos a los que tienes acceso son de la base 10 y de la base
e. (p. ej., evalúa log1001000)
Otra regla de la que debes estar consciente es
Fíjate en que no importa el valor de a, el logaritmo de 1 siempre es 0.
Estos resultados clave se resumen a continuación y deben memorizarse.
Fuente:
http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/unit_195/Teacheraid_logslaws.pdf
1089

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Leyes logarítmicas para estudiantes
Leyes logarítmicas Nombre _________________________
Investigación
Usando lo que sabes acerca de las reglas de los exponentes y cómo usar los logaritmos, intenta ver si
puedes completar los pasos matemáticos de cada ley logarítmica.
Dado: a p = x a q = y
1. Halla xy usando los dos enunciados dados. Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los
logaritmos.
2. Halla usando los dos enunciados dados. Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los
logaritmos.
3. Halla x n = (a p ) n . Aplica las reglas de los exponentes y luego usa los logaritmos.
Fuente: www.curriculumframer.com 1090

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Tendencias de producción de petróleo
Nombre ________________________
Los datos de la tabla representan la producción de petróleo en millones de barriles. Tu tarea es hallar
una función para hacer un modelo de los datos, discutir las limitaciones de tu modelo y su utilidad para
predecir la producción futura.
Año MPB
1880 30
1890 77
1900 149
1905 215
1910 328
1915 432
1920 689
1925 1069
1930 1412
1935 1655
1940 2150
1945 2595
1950 3803
1955 5626
1960 7674
1962 8882
1964 10310
1966 12016
1968 14104
1970 16690
1972 18584
1974 20389
1976 20188
1978 21922
1980 21722
1982 19411
1984 19837
1986 20246
1988 21338
Fuente: www.curriculumframer.com 1091

Unidad 10.3: Funciones exponenciales y logarítmicas
Matemáticas
Tarea de desempeño – Rúbrica de Phones-R-Us
Criterios Nivel 1
RAZONAMIENTO
Razonamiento y prueba
Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Grado de comprensión al crear la
gráfica
Formación de sentido en cada parte
de la tarea
Claridad del informe y relevancia y
documentación del resumen
Utilización de estrategias para
explicar el comportamiento
Conexiones entre valores, gráficas y
características
Relaciona las ideas matemáticas con
la situación real
Creación de notación algebraica –
capacidad para identificar partes de
funciones matemáticas
La gráfica se ve como si la
calculadora hizo todo el trabajo.
Los sentidos se conectan de forma
limitada.
Expone conclusiones que parecen
vagas y no están bien
documentadas.
Lo aplica, con errores u omisiones
graves.
La gráfica se ve como si la
calculadora hizo la mayor parte del
trabajo.
Los sentidos están más o menos
conectados.
Expone conclusiones que parecen
ser menos vagas y contienen algo
de documentación.
APLICACIÓN
Selección de herramientas y estrategias de computación
Lo aplica, con errores u
omisiones menores.
La gráfica se ve como si la
calculadora hizo parte del
trabajo.
Los sentidos están bastante bien
conectados.
Expone conclusiones que tienen
algo de valor y contienen algo de
documentación.
Lo aplica de forma correcta y
razonable con algunas
limitaciones.
La gráfica se ve como si el estudiante
hizo todo el trabajo.
Se conectan los sentidos con
información adecuada.
Expone conclusiones razonadas y bien
documentadas.
Lo aplica de forma correcta y
razonable con intuición.
Forma conexiones limitadas.
Conexión
Forma algunas conexiones. Forma la mayor parte de las
conexiones.
Forma todas las conexiones posibles.
Forma conexiones débiles. Forma conexiones simples. Forma conexiones adecuadas. Forma conexiones sólidas.
Se le dificultan la notación y las
matemáticas.
COMUNICACIÓN
Representación
Tiene algo de dificultad con la
notación y las matemáticas.
Tiene poca dificultad con la
notación y las matemáticas.
Utiliza la notación y las funciones
matemáticas con facilidad y precisión.
Criterios Nivel 1
Comunicación
Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4
Capacidad de crear, usar y aplicar Malinterpreta cómo se usa y se Malinterpreta en parte cómo se Interpreta correctamente cómo Interpreta correctamente cómo se usa
lenguaje matemático, gráficas y ajuste aplica, pero muestra algo de mérito. usa y se aplica, pero muestra algo se usa y se aplica e incluye y se aplica e incluye muy buenas
de curvas
de mérito.
algunas explicaciones lógicas. explicaciones lógicas.
Uso correcto de símbolos, nombres, A veces utiliza los símbolos,
Por lo general utiliza los símbolos, Utiliza los símbolos, nombres y Utiliza los símbolos, nombres y
unidades y convenciones
nombres y convenciones
nombres y convenciones
convenciones correctamente de convenciones correctamente de
matemáticos
correctamente.
correctamente.
manera sistemática.
manera sistemática y meticulosa.
Uso adecuado de vocabulario
A veces usa el vocabulario
Por lo general usa el vocabulario Usa el vocabulario matemático Usa el vocabulario matemático
matemático.
matemático correctamente cuando matemático correctamente correctamente de manera correctamente de manera sistemática
corresponde.
cuando corresponde.
sistemática cuando corresponde. cuando corresponde, y lo aplica de
formas noveles.
Informe bien redactado y organizado El informe está mal redactado. El informe escrito tiene algo de El informe escrito tiene mérito y El informe tiene mérito y está muy
mérito y contiene bastantes
errores.
contiene algunos errores.
bien escrito.
Fuente: www.curriculumframer.com 1092

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – A unir funciones definidas a trozos
A unir funciones definidas a trozos – Actividad de descubrimiento guiada
1. Dadas las siguientes ecuaciones lineales, representa las soluciones con una gráfica en dos planos
coordenados aparte.
a. y = 3x
b. y = 2x + 20
2. Usando el plano coordenado a continuación, usa papel de calcar para trazar la gráfica de la solución
de la primera ecuación en función del dominio dado.
a. y = 3x donde -1 < x < 4
Ahora coloca un segundo pedazo de papel de calcar y usa un lápiz de colorear distinto para trazar la
gráfica de la solución a la primera ecuación en función del dominio dado.
b. y = -2x + 20 donde 4 < x < 6
1093

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – A unir funciones definidas a trozos
3. ¿Cuáles son algunas semejanzas entre tus primeras dos gráficas y la tercera? ¿Cuáles son algunas
diferencias?
Escrito en notación funcional, el número dos se vería como sigue:
4. Esto se conoce como una función definida a trozos. Usando la tercera gráfica y la discusión que
acabamos de llevar a cabo, escribe tu propia definición de una función definida a trozos.
Fuente: http://www.pctm.org/magazine/PiecewiseFunctions_Storm.pdf 1094

Correcciones del quiz
Objetivo:
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Correcciones del quiz
Los estudiantes podrán:
Interpretar los resultados de formas que les resulten significativas dentro del contexto dado.
Comunicar con eficacia su conocimiento matemático.
Identificar errores en su trabajo y revisarlo cuando sea necesario.
Organizar materiales de clase para que estén accesibles y listos para usarse como recurso adicional
en situaciones de resolución de problemas.
Reflexionar sobre su progreso con precisión y usar esa reflexión para desarrollar objetivos y diseñar
estrategias que los ayuden a mejorar.
Actividad instructiva:
Evaluarás tu quiz y escribirás una reflexión en base a los errores que cometiste. También revisarás las
respuestas incorrectas en los comentarios que hice. Asegúrate de incluir:
el problema original;
la solución correcta con todo el proceso incluido, y
una explicación escrita que describa tu error y por qué lo corregiste
Criterios para las correcciones de los quizes
Se incluye el problema original.
Si hacen falta cálculos matemáticos, se muestran todos los pasos.
Se provee una corrección para todos los problemas incorrectos.
Todas las correcciones están correctas.
Se provee una explicación que describe el error original y los pasos dados para corregirlo.
Se proveen las explicaciones en oraciones completas.
Todos los errores están corregidos
Se incluye el problema original
Se provee una solución correcta
Se muestran todos los pasos (x 3)
Se provee una explicación que describe el error
original y los pasos dados para corregirlo. (x 3)
PUNTUACIÓN TOTAL
10 puntos máximo
Correcciones al quiz de matemáticas
Fuentes: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/pfeifferwalford03/task%2011.pdf
http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/pfeifferwalford03/criteria%20for%20quiz%20corr
ections.pdf 1095
SÍ
Incompleto o
completado
parcialmente
No

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Conversión de funciones definidas por partes
Conversión de funciones definidas por partes
Parte 1: Introducción a las funciones definidas por partes
Objetivo
Familiarizar a los estudiantes con las ideas básicas relativas a las funciones definidas por partes.
Definición – La siguiente gráfica se llama función definida a trozo porque la función está definida por
dos o más ecuaciones distintas aplicadas a diferentes partes del dominio de la función.
Fíjate en que parece componerse de tres segmentos, cada uno una función lineal distinta en un
dominio en particular. Fíjate en que los círculos rellenos incluyen ese punto, mientras que los
círculos abiertos no lo incluyen.
1. ¿Cuál es el dominio del primero segmento (izquierdo)? ¿Y el recorrido?
2. ¿Cuál es el dominio del segundo segmento (medio)? ¿Y el recorrido?
3. ¿Cuál es el dominio del tercer segmento (derecho)? ¿Y el recorrido?
4. ¿Cuántas ecuaciones piensas que tendrías que usar para escribir una regla para la siguiente función
definida por partes?
Fíjate en que parece componerse de dos rayos, cada uno con una función lineal distinta en un
dominio en particular.
1096

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos
1. ¿Cuál es el dominio del primero rayo (izquierdo)? ¿Y el recorrido?
2. ¿Cuál es el dominio del segundo rayo (derecho)? ¿Y el recorrido?
Parte 2: Tablas y gráficas de funciones definidas por partes –
Objetivo:
Dada una función definida por partes, los estudiantes aprenderán cómo hacer una tabla de valores y
trazar la gráfica en un dominio especificado.
Ambas notaciones a continuación pueden usarse para describir una función definida por partes en el
dominio de la función:
f(x) =
2x
5
if[ 5,
2)
if[
2,
6]
o f(x) =
2x
5
, 5
x 2
, 2
x 6
1. Completa la siguiente tabla de valores para las funciones definidas por partes en el dominio dado.
x f(x)
-5
-3
0
1
1.7
1.9
2
2.2
4
6
2. Grafica los pares ordenados de tu tabla para trazar
a mano la gráfica de la función definida por partes.
3. ¿Cuántas partes tiene tu gráfica? ¿Por qué?
4. Las partes, ¿son segmentos o rayos? ¿Por qué?
5. ¿Son todos los extremos puntos sólidos o abiertos, o solo algunos? ¿Por qué?
6. ¿Fueron necesarios todos estos valores en x para trazar la gráfica de esta función definida por
partes, o pudo haberse trazado esta gráfica usando menos puntos?
1097

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos
7. ¿Cuáles valores de x resultó “crítico” incluir para poder trazar la gráfica de esta función definida por
partes?
8. ¿Puedes generalizar sobre cuáles valores de x son esenciales en tu tabla para hacer la gráfica a mano
de una función lineal definida por partes?
9. Ahora traza grafica esta función definida por partes: f(x) =
x 3
10
2x
, 8
x 1
, 1
x 7
completando la tabla de valores de la función definida por partes en el dominio dado.
x f(x)
10. ¿Por qué elegiste los valores de x que incluiste en la tabla?
11. Grafica los pares ordenados de tu tabla para hacer
la gráfica a mano de la función definida por partes.
12. ¿Cuántas partes tiene tu gráfica? ¿Por qué?
13. Las partes, ¿son rayos o segmentos? ¿Por qué?
14. ¿Son todos los extremos puntos sólidos o abiertos, o solo algunos? ¿Por qué?
15. ¿Fue necesario evaluar ambas partes de la función del valor x de 1? ¿Por qué o por qué no?
16. ¿Cuáles valores de x resultó “crítico” incluir para poder trazar la gráfica de esta función definida por
partes?
1098

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Traslación de funciones definidas a trozos
Parte 3: Cómo escribir funciones definidas por partes dada una gráfica.
Objetivo
Los estudiantes aprenderán a escribir una regla para cada parte de la gráfica especificando el dominio
apropiado.
1. Repasemos la primera gráfica definida por partes de la primera lección. ¿Puedes identificar las
ecuaciones de las líneas que contienen cada segmento?
a. Ecuación del segmento izquierdo (azul) =
b. Ecuación del medio (rojo) =
c. Ecuación derecha (verde) =
2. A continuación, menciona el dominio de cada segmento.
a. Dominio del segmento izquierdo (azul) =
b. Dominio del medio (rojo) =
c. Dominio derecho (verde) =
3. Ahora, junta el dominio con las ecuaciones para escribir la función definida por partes de la gráfica.
f
(x)
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CBoQFjAA&url=h
ttp%3A%2F%2Fwww.math.uakron.edu%2Famc%2FPreCalculusFoundationsToCalculus%2FLimits%2FPiec
ewiseLimit_Nspire%2FLinearPiecewiseFunctions_NspireWorkshop.DOC&ei=9UW9Tv7EIImniQKG0oT6Ag
&usg=AFQjCNH4S2BsiKdPrIHZb0D2pe49q7oFwQ 1099

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto
Parte A: Usando tu calculadora según sea necesario, parea cada ecuación con su gráfica.
1. d(t) = |t-2|
2. f(x) = |x+4|
3. r(t) = -2|t|
4. f(x) = 3|x|
5. y = 2|2|
6. y = 5|x+7|
7. |n+5|
8. |h-3|
9. |n-6|
10. |x-4|
11. |x|
12. |x+2|
1100

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto
Parte B: Observa detenidamente las gráficas de valor absoluto.
1. Intenta hacer una gráfica de alta calidad de la función |x-3|.
(Compruébala con tu calculadora una vez termines.)
a. ¿Cuál es la pendiente de cada parte de tu gráfica?
b. ¿Dónde se encuentra el vértice (la parte de tu gráfica donde
cambia la pendiente)?
c. Usando tu calculadora de ser necesario, completa la siguiente
tabla que muestra cómo cambia esta función.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
Explica cómo puedes ver el “vértice” en la tabla.
Explica cómo puedes ver la pendiente en cada parte de la tabla.
2. Intenta hacer una gráfica de alta calidad de la función
|x+3|.
(Compruébala con tu calculadora una vez termines.)
a. ¿Cuál es la pendiente de cada parte de tu gráfica?
b. ¿Dónde se encuentra el vértice (el lugar donde cambia la
pendiente de tu gráfica?)
c. Usando tu calculadora cuando sea necesario, completa la
siguiente tabla para mostrar cómo cambia la función.
x
y
Explica cómo puedes ver el “vértice” en la tabla.
Explica cómo puedes ver la pendiente en cada parte de la tabla.
1101

Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Gráfica de valor absoluto
Parte C: Traza la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes sin usar calculadora.
1. f (x) =2|x| 2. f (x) = -3|x| 3. f (x) = |x|
4. f (x) = |x – 3| 5. f (x)= |x+5| 6. f (x)= |x-7|
7. f (x) = 2|x+4| 8. f (x)= |x-5| 9. f (x)= |x+2|
10. ¿Cómo puedes hallar dónde se encuentra el vértice solo con ver la ecuación de valor absoluto?
Fuente:
http://montemath.com/alg1unit4absvaluepage2target4aGraphingAbsoluteValueFunctionsPracticeActivi
ty.pdf 1102

11.
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Los Pérez salen de paseo
Gráfica A Gráfica B
Gráfica C
Gráfica E
Gráfica D
Gráfica F
Gráfica G Gráfica H
1103

12. Respuestas:
Unidad 10.4: Valor absoluto y funciones definidas a trozos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Los Pérez salen de paseo
13. Gráfica A: Distancia a partir del punto de inicio; el intervalo es de 10 millas.
14. Gráfica B: Irrelevante
15. Gráfica C: Irrelevante
16. Gráfica D: Hambre sobre tiempo; los intervalos son grados de hambre, p. ej., 0 es “lleno” y la escala
aumenta hasta llegar a “muerto de hambre”.
17. Gráfica E: Distancia total recorrida en el tiempo; los intervalos son de 20 millas.
18. Gráfica F: Irrelevante
19. Gráfica G: Velocidad sobre tiempo; el intervalo es de 10 millas por hora.
20. Gráfica H: Irrelevante
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/download/Coll_edc1/TheLinsGoOnanOuting/lins.pdf 1104

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Guía de anticipación del teorema de Pitágoras
Guía de anticipación del teorema de Pitágoras
Marca la columna ‘Antes’ si estás de acuerdo o en desacuerdo con la afirmación.
De
acuerdo
Antes Afirmación Después
En
desacuerdo
A Pitágoras, matemático griego, se le atribuye el teorema de
Pitágoras.
El teorema de Pitágoras se relaciona con las longitudes de los lados
de un triángulo.
Los catetos de un triángulo rectángulo son los lados que forman el
triángulo rectángulo.
La fórmula del teorema de Pitágoras es:
a² + b² = c², donde a y b son catetos del triángulo y c es la hipotenusa.
La hipotenusa es siempre el cateto más corto de un triángulo
rectángulo.
Resulta beneficioso saber cómo hallar las medidas de los lados de los
triángulos rectángulos, puesto que a menudo se utilizan en la vida
real.
Un triángulo rectángulo con catetos de 5 y 7 cm tiene una hipotenusa
de 12 cm.
De
acuerdo
En
desacuerdo
Después: Vuelve sobre las afirmaciones de la guía de anticipación. ¿Sigues estando de acuerdo o en desacuerdo
con las afirmaciones? Marca tu opinión ahora en la columna de la derecha. Corrige las afirmaciones en los casos
en que no estés de acuerdo. Provee prueba de cada afirmación.
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=1&ved=0CB0QFjAA&url=http%3A
%2F%2Fwww.aypf.org%2Ftripreports%2F2009%2Fdocuments%2FMath_Anticipation_Guide.doc&ei=EKy-
TqSnFMfhiALS5_iFAw&usg=AFQjCNGKVQaIMQJ3bCHCFEvPmh0iPu_bcg 1105

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos
Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos
Trabajas para una editorial que publica libros de texto de geometría. La editorial le ha pedido a cada
equipo que les ayude a escribir un problema verbal eficaz de trigonometría de triángulos que los
estudiantes de escuela superior disfruten resolver. En un equipo de cuatro, elaborarás tu propio
problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos. Este debe basarse en una situación que te
parezca interesante para estudiantes de escuela superior en el mundo real. Escribe y resuelve el
problema en una página de tu libreta. Recuerda, como se trata de un problema del mundo real, la
solución tiene que ser lógica. Presentarás tu problema a la clase en una cartulina grande. La cartulina
deberá incluir el problema verbal y un diagrama que ayude a visualizarlo. Al dorso de la cartulina, debes
pegar tu solución. Presentarás el problema frente a la case para que ellos lo resuelvan y evalúen.
Forma
Evaluarás las presentaciones de los otros equipos en este formulario. Marca las casillas
correspondientes y calcula el total de la puntuación.
Tu nombre:
Equipo evaluado:
Criterios Pobre – 1 Bueno – 2 Excelente – 3
Problema verbal
Afiche
Presentación
Puntuación total
Tu nota se basará en los siguientes criterios:
Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos debe estar escrito con creatividad.
Problema verbal debe tener lógica en el mundo real.
Su solución debe ser correcta y debes mostrar todos los pasos.
Su afiche debe verse limpio e incluir el problema y diagrama.
Deben presentarle el problema a la clase.
Deben trabajar como equipo y aportar todos por igual.
Deben evaluar las presentaciones de los otros equipos.
1106

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Problema verbal de trigonometría de triángulos rectángulos
Rúbrica
Criterios
No aceptable
(0 pts)
Problema verbal No se escribió el
problema verbal.
Aplicación al mundo
real
No es lógico en el
mundo real
Solución Solución incorrecta o
no se muestran los
pasos.
Pobre (2 pts)
Problema verbal no
es muy creativo con
la trigonometría de
triángulos
rectángulos.
Solución incorrecta,
pero se muestran
algunos pasos.
Afiche No se creó el afiche. El afiche solo
contiene el
problema escrito sin
diagrama.
Presentación No se hizo
presentación.
Trabajo en equipo No hubo trabajo en
equipo, solo una
persona hizo todo el
trabajo.
Evaluación de los
otros equipos
No todos los
miembros evaluaron
a todos los equipos.
Pobre presentación
del problema.
Trabajaron bien
como equipo,
algunos miembros
trabajaron más que
otros.
Todos los miembros
evaluaron a algunos
equipos.
Total 38 puntos
Aceptable
(4 pts)
Problema verbal más
o menos creativo
con la trigonometría
de triángulos
rectángulos.
Solución correcta,
pero no se muestran
todos los pasos.
El afiche tiene el
problema y un
diagrama, pero no
está se ve muy
limpio.
Problema bien
presentado.
Trabajaron muy bien
como equipo, todo
el mundo trabajó
por igual.
Todos los equipos
fueron evaluados.
Bueno (6 pts)
Problema verbal
bastante creativo
con la trigonometría
de triángulos
rectángulos.
Es lógico en el
mundo real
Solución correcta
con todos los pasos.
El afiche tiene el
problema y
diagrama escritos y
está limpio y
colorido.
Problema
presentado de forma
muy profesional.
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kleckauskas08/right%20triangle.pdf
1107

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Introducción a la trigonometría
Presta mucha atención a la lección para llenar los blancos correspondientes en tu hoja de actividades.
Haz un diagrama representativo debajo.
Una forma de recordar lo anterior es usar un acrónimo, por ejemplo, SOHCAHTOA.
SOH significa
CAH significa
TOA significa
A algunas personas les gusta usar una palabra por cada letra del acrónimo para ayudarles a recordar las
razones trigonométricas.
Por ejemplo:
Samuel Oyó Histérico Cómo Ana Hallaba Toallas Olvidadas Afuera.
1. Inventa tu propia oración para ayudarte a recordar las razones trigonométricas.
2. Construiremos algunos triángulos especiales y evaluaremos sus razones trigonométricas.
a. Recorta dos pedazos de cordón de la misma longitud.
b. Utiliza un transportador para conectar los cordones a ángulos rectos en el espacio provisto en la
próxima página.
c. Traza una línea que conecte los otros extremos de los cordones. Ahora tenemos un triángulo
recto. Traza líneas en lugar de los cordones para que después pueda volver sobre cómo se veía
el triángulo.
d. Sabes que uno de los ángulos interiores mide 90˚; utiliza el transportador para medir los otros
dos. Escribe los valores en el triángulo que dibujaste.
e. Digamos que la longitud de cada cordón es de 1 unidad. Utiliza el teorema de Pitágoras para
calcular la longitud de la hipotenusa. Provee la respuesta en forma de radical y rotula tu
triángulo según corresponda.
1108

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Introducción a la trigonometría
Ahora bien, puede resultar difícil medir un ángulo de forma exacta con un transportador, pero
veamos las respuestas que obtuvieron los demás. Si tuviste cuidado a la hora de medir, entonces
probablemente hallaste que el triángulo era un triángulo 45˚, 45˚, 90˚. Y es lo mismo con los
triángulos de todos, ¡aunque no todos tengan el mismo tamaño! ¿Cómo se compara tu triángulo con
el de tus vecinos? Pista: la palabra que busco empieza con “e”, estos son “triángulos
e______________”. Utiliza estos ángulos sumamente precisos, y la hipotenusa que calculaste
anteriormente para el siguiente problema. Recuerda que cada lado del triángulo tiene una longitud
de 1.
3. a. Utiliza las razones trigonométricas para calcular el sen45˚. Con fracciones y radicales basta, ¡no te
preocupes por hacer una aproximación decimal!
b. ¿Cuál es el cos45˚?
c. ¿tan45˚ =?
4. Ahora vamos a dibujar otro triángulo especial. Coge los dos cordones usados anteriormente y
recorta uno por la mitad, descarta la otra mitad del cordón más corto. Digamos que el cordón más
corto tiene una longitud de una unidad. Entonces, ¿cuál sería la longitud del cordón más largo?
a. Utiliza tu transportador para conectar el cordón más largo con el cordón más corto a un ángulo
de 60˚.
b. Traza una línea recta que conecte los otros dos extremos de tus cordones. Traza las líneas en
lugar de los cordones para que después puedas volver sobre cómo se veían los triángulos.
c. Utiliza tu transportador para medir los ángulos interiores desconocidos. Agrega esta
información a tu triángulo.
d. Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la longitud del lado restante.
Ten cuidado en esta parte, y recuerda que en esta ocasión el lado desconocido NO es la hipotenusa.
Nuevamente, rotula tu triángulo según corresponda.
Al igual que el triángulo 45˚, 45˚, 90˚ de antes, este es otro triángulo importante. Si tomas las
medidas con cautela, probablemente hallarás que los ángulos interiores del triángulo de arriba
medían 30,˚ 60˚ y 90˚. Utiliza estas longitudes dadas por cada lado y las razones trigonométricas
para responder a las preguntas restantes.
5. Este triángulo es particularmente chévere, puesto que nos permitirá calcular los valores
trigonométricas de 60˚ Y de 30˚.
a.
e. cos =
b. sen60˚ =
c.
f. tan =
d.
Fuente: http://www.ms.uky.edu/algebracubed/lessons/triglesson.pdf 1109

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
Longitud de la
hipotenusa del cabio
total
La fórmula para hallar la hipotenusa es A 2 + B 2 = C 2 donde A es la altura de la unidad y B es la longitud de la
unidad (12 pulg.).
La longitud es una mitad de la extensión.
Altura
total
Extensión total
La longitud en pies y las porciones decimales se multiplican por la hipotenusa (C).
Este es el mismo procedimiento matemático que usan los carpinteros para determinar la longitud del cabio.
Multiplica la longitud del cabio por la longitud de la edificación. Esta es el área de un lado. Este número se duplica
para obtener el área total del tejado.
Los materiales de techado se encargan por cuadrado. Esto representa 100 metros cuadrados de materiales de
techado.
Reparte la hoja de actividades de Techado y triángulos rectángulos.
Longitud
Medida de la
unidad 12 pulg
Altura
unidad
1110

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
Hoja de actividades de Techado y triángulos rectángulos
1111

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
1112

Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Techado y triángulos rectángulos
Fuente: http://www.rtc.edu/cce/Resources/Products/MathToolBox/files/9_LPRoofing&RtT3.pdf 1113

Nombre ______________________________
_____/4 Introducción
Identifica el objeto usado en el experimento
Sí _____ No_____
Breve resumen del experimento
_____/4 Diagramas
Unidad 10.5: Triángulos rectángulos
Matemáticas
Tarea de desempeño – Ángulo del sol
Rúbrica de Ángulo del sol
4 diagramas precisos de las cuatro diferentes divisiones del día.
1. Sí _____ No_____
2. Sí _____ No_____
3. Sí _____ No_____
4. Sí _____ No_____
_____/4 Cálculos
Se muestran cálculos precisos de los cuatro ángulos de elevación distintos.
1. Sí _____ No_____
2. Sí _____ No_____
3. Sí _____ No_____
4. Sí _____ No_____
_____/8 Conclusiones – Llega a conclusiones sobre las siguientes relaciones (x2)
La relación entre la longitud de la sombra y el ángulo de elevación del sol se describe con precisión.
Sí _____ No_____
La relación entre la longitud de la sombra y la hora del día se describe con precisión.
Sí _____ No_____
La relación entre el ángulo de elevación del sol y la hora del día se describe con precisión.
Sí _____ No_____
Comenta sobre otros factores que podrían haber influido en tu decisión.
Sí _____ No_____
__________/20 puntos
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskangleofsun.pdf 1114

# _____
Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Búsqueda del tesoro Métrico Manía
Búsqueda del tesoro Métrico Manía Nombre(s) ______________________________
Reglas del juego:
(1) Si lo encuentras, ¡lo resuelves! No se permite volver a esconder la tarjeta si no les gusta el problema
que encuentran. Tampoco se permite ver el problema antes de decidir coger una tarjeta.
(2) ¡El equipo solo puede trabajar en una tarjeta a la vez! Deben terminar con una tarjeta y obtener la
respuesta correcta antes de buscar la próxima tarjeta.
(3) ¡Los equipos deben permanecer juntos! No se permite que un miembro del equipo resuelva el
problema mientras los otros buscan tarjetas. Todos los miembros del equipo deben estar juntos a la
hora de corroborar las respuestas.
Instrucciones
¡Busquen una tarjeta y resuelvan el problema! Escriban la respuesta del problema en un cuadrado de los
que aparecen a continuación y pídanle al maestro que la verifique. Si la respuesta está correcta, tu
equipo puede empezar a busar otra tarjeta. Si no, ¡sigan intentándolo hasta que lo resuelvan!
# _____
Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________ Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________
# _____
Respuesta: _____________
# _____
# _____
Respuesta: Respuesta: _____________ _____________
Total de puntos obtenidos = _________
1115

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Búsqueda del tesoro Métrico Manía
Clave de respuestas de la búsqueda del Tesoro Métrico Manía
1. 1 cm = 10 mm
2. 1 m = 100 cm
3. 1 m = 1000 mm
4. 1 km = 1000 m
5. 1 g = 1000 mg
6. 1 kg = 1000 g
7. 1 L = 1000 ml
8. 100 cm = 1 m
9. 1000 mm = 1 m
10. 1000 m = 1 km
11. 1000 mg = 1 g
12. 1000 g = 1 kg
13. 1000 ml = 1 L
14. 47 mm = 4.7 cm
15. 130 cm = 1.30 m (ó 1.3 m)
16. 1200 m = 1.200 km (ó 1.3 m)
17. 3456 mm = 3.456 m
18. 45.6 cm = .456 m
19. 55 mm = 5.5 cm
20. 4568 m = 4.568 km
21. 5 km = 5000 m
22. 34 m = 3400 cm
23. 12 cm = 120 mm
24. 4.5 km = 4500 m
25. 0.34 m = 34 cm
26. 0.12 km = 120 m
27. 320 m = 3200 cm
28. 12.4 km = 12400 m
29. 30 km = 3000 m
30. 123 mm = 12.3 cm
31. 0.45 km = 450 m
32. 4500 mm = 4.500 m (ó 4.5 m)
33. 4500 mg = 4.5 g
34. 3 kg = 3000 g
35. 1.2 kg = 1200 g
36. 50 g = 5000 mg
37. 120 mg = 0.120 g (ó 0.12 g)
38. 3000 g = 3 kg
39. 43 g = 0.453 kg
40. 1400 mg = 1.400 g (ó 1.4 g)
41. 340 kg = 340000 g
42. 0.34 kg = 340 g
43. 5 g = 5000 mg
44. 50 g = 0.050 kg (ó 0.5 kg)
45. 0.99 kg = 990 g
46. 807 g = 0.807 kg
47. 4500 mg = 4.500 g (ó 4.5 g)
48. 7000 ml = 7 L
49. 123 ml = 0.123 L
50. 2 L = 2000 ml
51. 1.2 L = 1200 ml
52. 9.08 L = 9080 ml
53. 45.6 ml = 0.0456 L
54. 10 L = 10000 ml
55. 6000 ml = 6 L
56. 3400 ml = 3.4 L
57. 563 ml = 0.563 L
58. 30 L = 30000 ml
59. 45000 ml = 45.000 L (ó 45 L)
60. 320 ml = 0.320 L (ó 0.32 L)
Fuente: http://sciencespot.net/Pages/classmetric.html 1116

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
A darle sentido a las métricas con demostraciones dramáticas
Las demostraciones les permiten a los estudiantes visualizar las unidades del sistema métrico e
inglés para ayudarlos a entender las conversiones. Demuestra por medio de la dramatización
los equivalentes más cercanos al sistema inglés de las unidades métricas más comunes, como
por ejemplo, 1 metro es un poco más largo que una yarda, 1 litro = un poco más de un cuarto, 1
kg = un poco más de 2 libras, y un kilómetro es un poco más de ½ milla. Después de hacer esto
(repitiendo en voz alta), los estudiantes deben poder recordar los equivalentes más próximos
(NO números precisos), y el hecho de que la unidad métrica es un poco más que su equivalente
del sistema inglés, “y por lo tanto, un poco mejor!”
Para la demostración del metro y la yarda, sostén un metro con una mano, a un lado, y la
yarda al otro lado, y pregunta “¿cuál es más largo?” Bien, veamos: pon los extremos lado a
lado, con los extremos más lejanos debajo del banco de demostración, y súbelos poco a
poco hasta que pueda verse el metro asomarse un poco (“…y por lo tanto, el sistema
métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”).
Para la demostración del cuarto y el litro, consigue un vaso grande de 1 un litro de cilindro
graduado con exactamente un litro de agua con tinte verde. Colocándolo sobre una pileta,
viértelo con cuidado en una botella de un cuarto de leche, ¡que por supuesto se derramará!
(“…y por lo tanto, el sistema métrico es ¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”)
En el caso de la masa, coloca un kilogramo de peso a un lado de la balanza, y dos libras de
mantequilla en el otro (dos cajas de mantequilla con suficiente plasticina adentro para que
pesen 2 libras), y el lado de los kilogramos baja (“…y por lo tanto, el sistema métrico es
¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”).
Para la demostración de los kilómetros y la media milla, muestra una escala agrandada en
un mapa en el proyector, y diles ¡VEAN! ¡VEAN! (“…y por lo tanto, el sistema métrico es
¡MÁS GRANDE Y MEJOR!”)
Dimensiones convenientes: pídeles que encuentren alguna dimensión “conveniente” en su
anatomía que mida exactamente 1 cm. La mayoría hallará que la anchura de la uña del dedo
meñique (o de uno de sus otros dedos) se acerca bastante. Si no, entonces pueden buscar dos
divisiones de los dedos o palma de la mano que estén a 1 cm de distancia en un punto más
cercano (o más lejano). Luego, sugiéreles que hallen una dimensión similar que equivalga a una
pulgada (la longitud del segmento final de mi meñique, por ejemplo. Ahora todos tendrán una
“regla de tres (de dedo…)”, también “a la mano”, y disponible para cuando vayan a la ferretería,
o cuando les pidan que llenen un tubo de ensayo con aproximadamente 1 cm de líquido. ¡Sí,
muy a la mano!
Objetos útiles: una moneda de diez centavos tiene un grosor de poco más de 1 mm y pesa ~ 1
g. Un centavo tiene un grosor de menos de 2 cm; un vellón tiene un grosor de poco más de 2
1117

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
cm. Si tienes una balanza electrónica sensible (.1 - .01 g, ó 100-10 mg), pídeles a los chicos que
predigan las dimensiones métricas (lineal y masa) de varios objetos pequeños comunes, y a
continuación compruébalos. Es una buena forma de hacerse una idea aproximada de esas
dimensiones métricas.
A continuación se encuentran las hojas de actividades de las “Demostraciones métricas” para
que los estudiantes las llenen a medida que les vas explicando la serie de equivalentes
aproximados y dramatizándolas. También a continuación se encuentra “Las conexiones
métricas”, para que puedan ver cómo las medidas lineales, de volumen y de masa están
conectadas en el sistema métrico, así como algunos de los múltiplos y fracciones comúnmente
usados que probablemente se encuentren durante el curso.
DEMOSTRACIÓN MÉTRICA
Busca patrones; a nuestro cerebro le gustan los patrones; busca la lógica de la métrica.
A. Unidad básica de longitud (y el sistema métrico completo): ____________(__)
… un poco más ____________ que __________
1000 metros = 1 _____________ (__)
… un poco más ____________ que __________
1/100 de un dólar es __________ (no “moneda de un centavo”)
…por lo tanto 1/100 de un metro debe ser 1 _______________(__)
…y por lo tanto debe haber _______ cm en 1 m
¿Cuántas marcas numeradas tiene un metro? __________
Por lo tanto, cada marca numerada debe ser un __________
Cada cm se divide en ______ pequeños espacios (marcas más pequeñas)
….por lo tanto, ¿hay cuántos espacios pequeños por metro? _________
Si hay 1000 espacios pequeños en el metro, cada espacio debe ser 1/1000 de un
metro. 1/1000 de algo es un mili-algo, por lo que cada espacio pequeño debe llamarse
un…
______________________ (____)
B. Este es un cubo, de 1 cm por lado, por lo que puede llamarse un ________________
(______) o (_____) cúbico
DEFINICIÓN: 1000 centímetros cúbicos = 1 litro (l), (unidad básica de volumen)
Cuando se vierte exactamente un litro de agua verde en una botella de solo un _______, se
derramará un poco del agua, lo cual indica que un litro es un poco más ___________
que un _________.
¿Cómo se llamaría 1/1000 de un litro? ________________ (___)
Puesto que un litro = 1000 cm 3 , y también = 1000 ml, ¿a qué equivale 1 cm 3 ? ______
C. DEFINICIÓN: 1 ml de agua pesa 1 gramo (g) (unidad básica de masa)
Esto es aproximadamente lo que pesa un(a) _______________________-
1118

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
¿Cómo se le llama a 1000 gramos? ____________________ (______)
Un kilogramo es un poco ____________ que _______________-
Cada unidad del sistema métrico es un poco _______ que su equivalente más próximo del
sistema inglés, por lo que el sistema métrico ¡es __________!
CLAVE DE LA DEMOSTRACIÓN MÉTRICA
Busca los patrones; a nuestro cerebro le gustan los patrones; busca la lógica del sistema
métrico.
A. Unidad básica de longitud (y el sistema métrico completo): ___metro____(_m_)
… un poco ____más________ que un(a) ____yarda______
1000 metros = 1 __kilómetro_____ (__)
… un poco ___más____ que un(a) ___yarda____
1/100 de un dólar es __centavo______ (no “moneda de un centavo”)
…por lo tanto 1/100 de un metro debe ser 1 ____centímetro___(_cm_)
…y por lo tanto debe haber __100___ cm en 1 m
¿Cuántas marcas numeradas tiene un metro? __100_____
Por lo tanto, cada marca numerada debe ser un __centímetro____
Cada cm se divide en _10__ pequeños espacios (marcas más pequeñas)
….por lo tanto, ¿hay cuántos espacios pequeños por metro? _1000 (10 x 100)__
Si hay 1000 espacios pequeños en el metro, cada espacio debe ser 1/1000 de un
metro. 1/1000 de algo es un mili-algo, por lo que cada espacio pequeño debe llamarse
un…
_______milímetro__________ (_mm_)
B. Este es un cubo, de 1 cm por lado, por lo que puede llamarse un _____centímetro_____
(_cc___) o (__cm 3 __) cúbico
DEFINICIÓN: 1000 centímetros cúbicos = 1 litro (l), (unidad básica de volumen)
Cuando se vierte exactamente un litro de agua verde en una botella de solo un _cuarto___,
se derramará un poco del agua, lo cual indica que un litro es un poco __más____ que un
_cuarto____.
¿Cómo se llamaría 1/1000 de un litro? ____milímetro_____ (_ml_)
Puesto que un litro = 1000 cm 3 , y también = 1000 ml, ¿a qué equivale 1 cm 3 ? __1 ml___
C. DEFINICIÓN: 1 ml de agua pesa 1 gramo (g) (unidad básica de masa)
Esto es aproximadamente lo que pesa un(a) _____sujetapapeles__________.
¿Cómo se le llama a 1000 gramos? ___kilogramo_______ (_kg_)
Un kilogramo es un poco __más______ que ___2 libras de mantequilla____.
Cada unidad del sistema métrico es un poco __más___ que su equivalente más próximo del
sistema inglés, por lo que el sistema métrico ¡es ___MEJOR___!
1119

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
Las Conexiones Métricas
1120

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – A darle sentido a las métricas
Las Conexiones Métricas: Clave
Fuente: http://www.indiana.edu/~ensiweb/connections/metrics.con.html 1121

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Método de análisis dimensional
Método de análisis dimensional
Esta es una forma estructurada de
ayudarte a convertir unidades. Con
este método, puedes convertir de
forma fácil y automática unidades
sumamente complejas si tienes las
fórmulas de conversión. El método
conlleva los pasos siguientes:
1. Escribe el término que será
convertido (tanto el número como la
unidad).
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Convierte 6.0 cm a km Convierte 4.17 kg/m 2 a g/cm 2
6.0 cm 4.17 kg
m 2
2. Escribe la fórmula de conversión. 100 cm = .00100 km 1.00 m = 100 cm
3. Construye una fracción de la fórmula
de conversión, de forma tal que:
a) Si la unidad del paso 1 está en el
numerador, esta misma unidad debe
estar en el denominador en el paso 3.
b) Si la unidad del paso 1 está en el
denominador, esa misma unidad debe
estar en el numerador en el paso 3.
Como el numerador y el denominador
son iguales, la fracción debe ser igual a
1.
4. Multiplica el término del paso 1 por
la fracción en el paso 3. Como la
fracción es igual a 1, puedes
multiplicarla sin cambiar el tamaño del
término.
.00100 km
100 cm
6.0 cm .00100 km
100 cm
5. Cancela las unidades 6.0 cm .00100 km
100 cm
6. Realiza el cálculo indicado
redondeando la respuesta al número
correcto de figuras significativas.
.000060 km ó 6.0 E -5 km .417 g
cm 2
1.00 kg = 1000 g
1000 g 1.00 m 1.00 m
1.00 kg 100 cm 100 cm
4.17 kg 1000 g 1.00 m 1.00 m
m 2 1.00 kg 100 cm 100 cm
4.17 kg 1000 g 1.00 mx 1.00 m
m 2 1.00 kg 100 cm 100 cm
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=7&ved=0CEYQFjAG&url=h
ttp%3A%2F%2Fwww.bethpage.ws%2Fbhs%2Fhclark%2FDimensional%2520Analysis.doc&ei=1F_BTrbDB
eaSiQKt2qycAw&usg=AFQjCNGZyn5KRv1UzVFTaRZ7cHfvO_SNrQ 1122

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 1
El método escalera
KILO
1000
unidades
Para convertir a una
unidad mayor, mueve
un punto decimal a la
izquierda o divide.
HECTO
100
unidades DECA
10
unidades
Unidad
Básica
Metros
Litros
Gramos
DECI
0.1
unidades CENTI
0.01
unidades
¿Cómo se utiliza el método de la “escalera”? 4 km = ________ m
1° - Determina tu punto inicial. Punto inicial Punto final
2° - Cuenta los “saltos” hasta tu punto final. ¿Cuántos saltos toma?
3° - Mueve el decimal el mismo número de saltos en la misma dirección.
Para convertir a una unidad
menor, mueve un punto
decimal a la derecha o
multiplica.
MILI
0.001
unidades
4. ___.___.___. = 4000 m
Fuente: T Trimp 2000 http://sciencespot.net 1123

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 2
Métrico Manía Nombre _________________________
Conversiones métricas
Llena los cajones del diagrama de escalera.
Para convertir a una
unidad mayor, mueve
un punto decimal a la
izquierda o divide.
Intenta hacer las siguientes conversiones con el método del a escalera.
1000 mg = _______g 1 L = _________mL 160 cm = _____________ mm
14 km = _______m 109 g = _________kg 250 m = _____________ km
Compara usando o =.
Unidad
Básica
56 cm ____ 6m 7g ____ 698 mg
Para convertir a una
unidad menor, mueve un
punto decimal a la derecha
o multiplica.
1124

Unidad 10.6: Unidades y escalas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Método de la escalera de conversiones métricas 2
Métrico Manía Nombre _________________________
Conversiones métricas
Llena los cajones del diagrama de escalera.
Escribe la abreviatura correcta de cada unidad
métrica.
1) kilogramo
2) metro
3) gramo
4) mililitro
5) milímetro
6) litro
7) kilómetro
8) centímetro
9) miligramo
Intenta realizar las siguientes conversiones
usando el método de la escalera.
10) 2000 mg = ______ g
11) 104 km = ______ m
12) 408 cm = ______ m
13) 5.6 kg = ______ g
14) 8 mm = ______ cm
15) 5 L = ______ mL
16) 198 g = ______ kg
17) 75 mL = ______ L
18) 50 cm = ______ m
19) 5.6 m = ______ cm
20) 16 cm = ______ mm
21) 2500 mm = ______ km
22) 65 g = ______ mg
23) 6.3 cm = ______ mm
24) 120 mg = ______ g
Compara usando o =.
25) 63 m ____ 6m
26) 536 cm ____ 53.6 dm
27) 5 g ____ 508 mg
28) 43 mg ____ 5 g
29) 1,500 mL ____ 1.5 L
30) 3.6 m ____ 36 cm
Fuente: T Trimp 2000 http://sciencespot.net 1125

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Crisis profunda conteo de salmones
Crisis profunda – Conteo de salmones
Gran parte de lo que se sabe acerca de las poblaciones de salmón y atún se basa en el muestreo
poblacional. El supuesto de que una muestra aleatoria es representativa de la concentración total de
una población es clave en esta estrategia. Cuando se ajustan los números observados para que reflejen
el alcance que tiene el animal, se llega a un estimado de las poblaciones totales. Las incertidumbres
producto del deslizamiento dentro y fuera de la región de muestra y el alcance de la distribución
heterogénea de individuos compromete la precisión de los estimados del muestreo.
Muestreo poblacional
En esta actividad, inferirás los números de una población virtual ilustrada dentro de una cuadrícula
rectangular de muestreo. Observarás la precisión de las técnicas en relación con el tamaño de la
muestra en que se basan los estimados.
1126

Pasos
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Crisis profunda conteo de salmones
1. Examina la cuadrícula de conteo aquí arriba. Representa un área que mide cuatro por seis metros.
¿Cuál es el área total de esta cuadrícula en su totalidad?
2. Intenta pronosticar antes de contar nada. Estima el número de peces hallados dentro de estos 24
metros cuadrados.
3. Escribe con un lápiz los números del 1 al 24 en los cuadrados.
4. Invéntate un método para elegir seis números al azar de esa misma serie de 24 números.
5. Examina los seis cuadrados identificados al seleccionar los seis números al azar.
6. Calcula el número total de peces hallados en esos seis cuadrados. Recuerda, tendrás que inventarte
un plan para lidiar con los peces que se encuentran en una línea divisoria.
7. Una vez hayas calculado el número de peces de tu muestra, multiplícalo por cuatro. El número que
obtengas es el estimado del número de peces en la cuadrícula de 24 cuadrados. Anótalo como tu
primer estimado.
8. Elige tres cuadrados al azar. Cuenta el número total de peces en esos cuadrados. Multiplícalo por
ocho. Anota este número como tu segundo estimado.
9. Selecciona un número al azar. Cuenta el número de peces en ese cuadrado. Multiplícalo por 24 para
llegar a un estimado del número de peces en todo el área.
10. Repite el paso 9 dos veces más.
11. Cuenta los peces que hay realmente en toda la cuadrícula. Compara ese número con los estimados
hechos a partir de los cálculos de las 6 muestras, 3 muestras y 1 muestra.
Preguntas
1. ¿Por qué era importante encontrar una forma de elegir números al azar?
2. ¿Por qué necesitabas desarrollar un método de contar peces que se encontraran sobre una línea de
la cuadrícula?
3. En el paso 7, ¿por qué el número de peces contados se multiplicó por cuatro?
4. ¿Cómo el número de muestras en el que se basaba el estimado afectó la precisión del estimado?
Fuente: http://www.pbs.org/saf/1306/teaching/teach2.pdf 1127

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Diseño de muestras/Muestras aleatorias simples
Calentamiento/actividad introductoria
Esta actividad sirve para introducir a los estudiantes al concepto de sesgo. Los estudiantes tendrán que
reconocer cuándo hay sesgo presente en el diseño de la muestra. No deben usarse los resultados de
muestras sesgadas para estimar porcentajes poblacionales. El error sistemático producto de los
métodos incorrectos de muestreo podrían llevar a un estudio sesgado que favorezca ciertos resultados.
Identifica las posibles fuentes de sesgo en cada estudio:
Se toma una muestra de los clientes de un supermercado para determinar su opinión sobre un tema
político controversial. (Los clientes de supermercados pueden compartir características que difieren
de las del público general. Al incluir solo a estas personas en una muestra puede ser que no se
obtenga la gama completa de opinión pública.)
Se invita a los televidentes a llamar a un número 800 para que expresen su oposición a un proyecto
de ley para aumentar los impuestos a la gasolina. (Este es un ejemplo de una muestra de respuesta
voluntaria. Al incluir en la muestra solo a los que se ofrezcan a participar, se tiende a obtener solo
las opiniones de aquellos que tienen una opinión muy fuerte sobre un asunto en particular.)
Una empresa grande obtiene nombres de una guía telefónica para sacar una muestra para una
encuesta sobre hábitos de compra caseros. (Los que no tengan el número de teléfono en la guía o
no tengan teléfono no serán incluidos en la muestra. Estas personas pueden tener hábitos
significativamente distintos de los que sean contactados.)
Exploración
Según se mencionó anteriormente, no se obtienen buenos estimados del porcentaje de una población
con cualquier muestra. Estas actividades requieren que los estudiantes analicen métodos de muestreo y
consideren fuentes de sesgo que podrían corromper los resultados de la muestra. La representación
insuficiente de ciertos grupos de una población o preguntas mal formuladas pueden alterar de manera
significativa los resultados de la muestra.
Discusión en clase
Para este punto, los estudiantes deben ver que el tamaño de la muestra debe ser relativamente grande
y que la muestra no debe contener sesgos y ser representativa de la población. Las técnicas de muestreo
aleatorio simple garantizan que cada miembro de la población tenga una probabilidad igual de ser
seleccionado para la muestra. Preguntas de resumen:
¿Qué es una muestra aleatoria simple? (Una muestra aleatoria simple garantiza que todo miembro
de una población tenga las mismas probabilidades de ser escogido, y que los miembros de la
muestra sean escogidos de forma independiente uno del otro.)
Identifica las características de los buenos diseños de muestreo. (La muestra debe ser lo
suficientemente grande relativo a la población. Debe ser representativa de esta y debe
seleccionarse de forma aleatoria.)
1128

Diseño de la muestra
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
El consejo estudiantil de la Escuela Central quiere determinar qué actividad preferirían los estudiantes:
un baile, una fiesta de mantecado, una feria o una noche de película. El consejo estudiantil tiene una
semana para encuestar a los estudiantes y recopilar todos los datos necesarios para tomar una decisión.
Como la escuela tiene un cuerpo estudiantil grande de más de 2,000 estudiantes, contactar a todos los
estudiantes no sería razonable, por lo que los miembros del consejo han acordado contactar una
muestra del cuerpo estudiantil.
1. Varios estudiantes tienen ideas sobre cómo recopilar esta información. Considera cada una de las
sugerencias a continuación. Comenta sobre las ventajas y desventajas de cada método.
a. Sally sugiere que los treinta miembros del consejo estudiantil voten sobre cuál actividad sería
más favorable.
b. Anthony sugiere que cada miembro le pregunte a cinco amigos cuál actividad prefiere. Así, se
tomaría una muestra de 150 estudiantes.
c. Jessica sugiere que se ponga una urna de comentarios en la cafetería, para que cualquier
estudiante pueda participar de la muestra.
d. Antonia piensa que el consejo debe seleccionar a varios maestros al azar y encuestar a los
estudiantes de sus salones hogares.
e. Melanie sabe que la computadora de la oficina principal puede seleccionar estudiantes al azar
para incluirlos en la muestra.
2. Describe otro método que podría usarse para generar una muestra para que los estudiantes de la
Escuela Central voten sobre cuál actividad preferirían. Utiliza lo que sabes sobre el muestreo para
justificar tu respuesta.
3. Por cada uno de los métodos de muestreo a continuación, identifica los grupos en la población que
están insuficientemente representados.
a. Para obtener una muestra de hogares, un encuestador de consumidores marca los números de
personas obtenidos al azar de una guía telefónica.
b. Un fabricante de autos desea encuestar a una muestra de conductores, y selecciona al azar los
nombres de propietarios de autos de una lista de registro vehicular.
c. Un profesor universitario desea saber qué porcentaje de jóvenes adultos, de entre las edades de
18 y 22 años, consideran que la educación es una prioridad. En registraduría, obtiene una lista
de todos los estudiantes en la universidad y selecciona nombres al azar.
d. Una estación radial desea examinar la proporción de sus radioescuchas que votaron en las
últimas elecciones. Llevan a cabo una encuesta pidiéndoles a los radioescuchas que llamen a la
estación.
1129

Muestras aleatorias simples
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
Una muestra es una muestra aleatoria simple si:
todos los miembros de la población tienen las mismas probabilidades de ser elegidos, y
los miembros de la muestra se eligen de forma independiente uno del otro
1. Determina si los siguientes métodos de muestreo producen una muestra aleatoria simple de una
clase de 30 estudiantes. Utiliza los principios de muestreo aleatorio simple para justificar tus
respuestas.
a. Un maestro quiere seleccionar a cinco estudiantes de la clase. Elige los primeros cinco
estudiantes que entran al salón.
b. Una maestra quiere elegir diez estudiantes de la clase. Hace una lista de los estudiantes en
orden alfabético y selecciona cada tres estudiantes.
c. Un maestro quiere seleccionar seis estudiantes de la clase. Escribe el nombre de cada
estudiante en una tarjeta, coloca las tarjetas en una caja y saca seis tarjetas de esta.
2. En ocasiones, el muestreo aleatorio provee una muestra que no es representativa de la población.
Supón que hay quince chicos y quince chicas en una clase de matemáticas. Se echa el nombre de
cada estudiante en un sombrero y se mezclan bien.
a. ¿Produjo una muestra aleatoria simple el método de muestreo utilizado? Utiliza los principios
del muestreo aleatorio simple para justificar tu respuesta.
b. ¿Es esta una muestra representativa? Justifica tu respuesta con matemáticas.
1130

Análisis de diseño de muestras
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Diseño de muestras
1. Un pedido de anillos de una escuela superior acaba de llegar y está listo para distribuirse. La
principal debe determinar si los estudiantes prefieren recibir sus anillos en una asamblea un día de
clase o en un baile una noche. La principal no tiene tiempo para contactar a cada miembro de la
clase, así que obtendrá una muestra de 50 estudiantes para encuestarlos.
a. Describe un método que deba usar la principal para seleccionar los participantes del estudio.
Utiliza los principios del muestreo aleatorio simple para justificar tu respuesta
2. Todos los domingos por la noche una popular estación de radio toca música nueva de bandas
locales. Al finalizar el segmento el DJ le pide a los radioescuchas que llamen para dar sus reacciones:
“Pa’ la basura” o “Dale más fuerte”. Un domingo por la noche 60 % de los 100 participantes votaron
por “Pa’ la basura” después de escuchar una canción de una banda local.
a. ¿Piensas que 60 % es un estimado razonable del porcentaje de todos los radioescuchas a los que
no les gustó la música? Justifica tu respuesta con matemáticas.
3. A diez adultos seleccionados al azar se les hizo la siguiente pregunta: “¿Te sientes realizado en tu
carrera actual?” Tres de los adultos respondieron que no.
a. En base a estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar
respondería que no a la pregunta?
b. ¿Es esta probabilidad un estimado razonable del porcentaje de la población que respondería
que no? Justifica tu respuesta con matemáticas.
Fuente:
http://mdk12.org/instruction/clg/lesson_plans/algebra_data_analysis/DesigningSamples_311.html 1131

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Tiempo de reacción
Tiempo de reacción: ¿cuál es el tuyo?
Para realizar esta actividad debes unirte con otra persona y usar una regal métrica.
1. Un miembro del grupo se pone de pie y sostiene la regla de forma vertical por el extremo de 30 cm.
El otro estudiante, sentado, colocará el pulgar y dedo índice separados sobre la marca de dos
centímetros de la regla.
2. La persona que sostiene la regla la suelta y la otra persona tiene que pincharla con los dedos cuando
note cualquier movimiento.
3. Anoten el tiempo de reacción en mm en esta hoja. Repitan el procedimiento cuatro veces más.
Intercámbiense. Repitan el procedimiento.
(10 mm = 1 cm) Nombre ______________________ Nombre _____________________
1er intento
2do intento
3er intento
4to intento
5to intento
(Media = promedio, Moda = número más común, Amplitud = valor mayor y menor)
4. Halla la mediana de cada participante ___________________ ________________
5. Halla la moda de cada participante ___________________ ________________
6. Halla la amplitud de cada participante ___________________ ________________
7. Obtén la media de la clase entera y anótala en esta hoja de datos.
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
8. Halla media de toda la clase ____________
9. Haz una gráfica completa de la hoja de datos al dorso de esta hoja.
Fuente: www.beaconlearningcenter.com 1132

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Tarea de desempeño – Rúbrica de guía del usuario de cómo trabajar con estudios
Categoría 4 3 2 1
Comprensión
del problema
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
El estudiante demuestra la
comprensión sofisticada necesaria
para planificar, realizar y analizar
estudios, y comunicar información
sobre estos.
El estudiante claramente explica las
técnicas usadas en la planificación,
realización, análisis y comunicación
de estudios y los errores comunes a
tener en cuenta. Se incluyen todas las
técnicas cubiertas en la unidad.
Se describen con precisión todas las
técnicas usadas en la planificación,
realización, análisis y comunicación
de estudios y los errores comunes a
tener en cuenta. El estudiante escoge
ejemplos originales y adecuados para
ilustrar las técnicas y los errores.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica los conceptos con
claridad. Las técnicas están
organizadas en un orden lógico y los
errores comunes se explican a
cabalidad.
La Guía del usuario es presentada de
forma profesional, de manera que
demuestra una preparación esmerada
y claridad en la comunicación. Queda
claro que se prestó atención al
público y al propósito, y que la guía
podría ayudar a un estudiante que no
tenga familiaridad con los conceptos.
El estudiante demuestra la
comprensión necesaria para planificar,
realizar y analizar estudios, y comunicar
información sobre estos.
El estudiante explica las técnicas usadas
en la planificación, realización, análisis y
comunicación de estudios y los errores
comunes a tener en cuenta. Puede ser
que omita algunas de las técnicas
cubiertas en la unidad.
Se describen con precisión todas las
técnicas usadas en la planificación,
realización, análisis y comunicación de
estudios y los errores comunes a tener
en cuenta. Escoge ejemplos adecuados
para ilustrar las técnicas y los errores,
pero estos podrían ser semejantes a los
del libro de texto o de la clase.
El estudiante utiliza vocabulario
adecuado y explica los conceptos. Las
técnicas están organizadas en un orden
lógico, pero a veces los errores
comunes no se explican a cabalidad.
Puede contener errores menores.
En general, la Guía del usuario está bien
hecha y completa, aunque a algunos
elementos podría faltarles un toque
profesional. Se ha prestado atención al
público y al propósito, aunque la guía
no siempre satisface las necesidades de
un estudiante que no esté familiarizado
con los conceptos.
El estudiante demuestra algo de la
comprensión necesaria para planificar,
realizar y analizar estudios, y comunicar
información sobre estos.
El estudiante explica las técnicas usadas
en la planificación, realización, análisis y
comunicación de estudios y los errores
comunes a tener en cuenta. Omite
algunas técnicas.
Se describen con precisión la mayor
parte de las técnicas usadas en la
planificación, realización, análisis y
comunicación de estudios y los errores
comunes a tener en cuenta. El
estudiante escoge ejemplos adecuados
para ilustrar las técnicas y los errores,
pero estos podrían ser semejantes a los
del libro de texto o de la clase, y el
proceso de solución a veces contiene
errores menores.
El estudiante explica los conceptos,
pero a veces usa los términos
incorrectamente. Intenta organizar las
técnicas y no logra explicar de forma
adecuada las causas de los errores
comunes.
Algunos elementos de la Guía del
usuario están bien hechos, mientras
que en otros se nota un desinterés por
la calidad. No queda claro que se hayan
tomado en cuenta el público y el
propósito, y a un estudiante no
familiarizado con los conceptos se le
haría difícil usarla.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4732.html 1133
El estudiante demuestra poca de la
comprensión necesaria para planificar,
realizar y analizar estudios, y comunicar
información sobre estos.
El estudiante intenta explicar las técnicas
usadas en la planificación, realización,
análisis y comunicación de estudios y los
errores comunes a tener en cuenta.
Omite múltiples técnicas.
Se describen con precisión algunas
técnicas usadas en la planificación,
realización, análisis y comunicación de
estudios y los errores comunes a tener
en cuenta. El estudiante escoge ejemplos
no adecuados para ilustrar las técnicas y
los errores. A veces el proceso de
resolución contiene múltiples errores, y
estos pueden llegar a ser importantes.
El estudiante no explica adecuadamente
los conceptos, y no usa los términos
correctamente. Intenta organizar las
técnicas y explicar los errores comunes,
pero no lo logra.
La Guía del usuario está hecha de forma
descuidada, y se demuestra poco interés
por la calidad. Esto le resta a cualquier
consideración que pueda haberse
prestado a la audiencia o propósito. No
le resultaría útil a un estudiante que no
esté familiarizado con los conceptos.

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – ¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?
¿Aritmética? ¿Y qué tal un total?
En esta actividad, los estudiantes se centrarán en las sucesiones aritméticas y desarrollarán patrones para
hallar el término n, así como la suma de términos n de una secuencia aritmética.
1. Dales a los estudiantes un conjunto mixto de sucesiones. Su primera tarea será analizar los patrones y
determinar los tres términos siguientes y, a continuación, identificar las sucesiones aritméticas entre
ellos. Los estudiantes deberán corroborar su trabajo y razonamiento con otros.
2. Discusión rápida: ¿cuáles son de naturaleza aritmética? ¿Cómo decides si una sucesión es aritmética?
3. Escribe las respuestas de los estudiantes en la pizarra: ¿Cómo podemos definir de la forma más concisa
y precisa el tipo de sucesión? (Se prefieren las respuestas en lenguaje sencillo, en vez de definiciones
que se oigan más formales.)
4. Ahora, usando solo las sucesiones aritméticas, haz una tabla de la suma de los primeros términos n.
Pídeles a los estudiantes que calculen la suma de los términos 1, 2, 3 y 4 y que formulen una hipótesis de
una fórmula general para la suma de los primeros términos n. Con toda probabilidad necesitarán
algunas preguntas de guía. Una forma de hacerlo es sugerirles que enumeren los primeros ocho
términos de una secuencia y hallen el total y que, a continuación, vuelvan a calcular el total sumando los
pares siguientes: el 1ro y el 8vo, el 2do y el 7mo, el 3ro y el 6to y el 4to y el 5to, y que combinen estos
subtotales. ¿Cómo podemos usar esto para desarrollar una fórmula general de la suma de los primeros
términos n de una secuencia aritmética?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4732.html 1134

¿Cuál es la sucesión?
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – ¿Cuál es la sucesión?
Los estudiantes recibirán un número y se les dirá que se trata de un término específico de una sucesión.
¿Cuál puede ser la sucesión? ¿La respuesta es única? Para hacerlo más difícil, dales un número y diles que se
trata de la suma de un número particular de términos de una sucesión; hazles las mismas preguntas.
1. Permíteles a los estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños. Pídeles que hallen la sucesión.
¿La respuesta que hallaron, es única? Compartan y discutan.
2. Una vez la clase concluya que hay un número ilimitado de respuestas para un ejemplo como este,
pídeles que generen una respuesta si el primer término y la diferencia no son enteros.
3. A continuación, pídeles que generen una respuesta si la diferencia es negativa. Para hacerlo más difícil,
dales a los estudiantes un número y diles que se trata del total de un número particular de términos. Por
ejemplo, “30 es la suma de los primeros 5 términos de una sucesión aritmética”. Los estudiantes
deberán entonces hallar el primer término y la diferencia. Hay múltiples formas de abordar este
problema: los estudiantes podrían escoger un primer término y solucionarlo por ensayo y error, o
intentar resolverlo en retroceso a partir de la fórmula de una suma.
4. Dales tiempo a los estudiantes para que exploren el problema.
5. Facilita una discusión en clase sobre la naturaleza única de las soluciones (de nuevo, las soluciones no
son únicas) y las estrategias para hallarlas.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4735.html 1135

¿Dónde en el mundo?
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – ¿Dónde en el mundo?
Tras repasar un par de ejercicios en que se usen las sucesiones y las series para crear modelos de procesos
del mundo real, se retará a los estudiantes a que hagan una lluvia de ideas, en parejas o en grupos
pequeños, de una lista de diez ejemplos del mundo real de sucesiones y series que sean parte de la vida
cotidiana. De esa lista deberán escoger tres ejemplos para elaborarlos, los justificarán como aritméticos,
usarán las fórmulas que han aprendido, ilustrarán los resultados con una gráfica y considerarán las
limitaciones del patrón.
1. Repasa los ejemplos de secuencias y series discutidos en actividades previas. En lenguaje sencillo,
¿cuáles son las características de las situaciones para que las que puede crearse un modelo con
secuencias y series aritméticas?
2. Pídeles a los estudiantes que elijan tres para elaborarlas, que las justifiquen como aritméticas y que usen
sus ejemplos para demostrar las fórmulas.
3. Discutan el uso de la estimación, a saber, la flexibilidad en cuanto a con cuánta exactitud se adecua el
modelo al escenario. Por ejemplo, si un estudiante quiere usar una sucesión para crear un modelo de la
cantidad que gana una niñera, y estima que ganará $25 a la semana, los términos de la secuencia serán
estimados del total que ha ganado. En un ejemplo como este, resulta interesante y útil crear un
estimado bajo y uno alto, y generar esas sucesiones también para comparar.
4. Pídeles a los estudiantes que consideren el valor de las sumas de las sucesiones: ¿siempre tienen
sentido? Considera el ejemplo anterior sobre una sucesión en que los términos son totales. La suma de
estos términos, aunque fácil de calcular, no se presta a una interpretación útil.
5. Pídeles a los grupos que discutan el tema de las limitaciones sobre la utilidad de los patrones que han
generado. Introduce el término “extrapolación”. ¿Existe algún límite para cuánto podemos extender la
sucesión, en términos del uso práctico de los resultados? Permítele a cada grupo compartir su ejemplo
favorito con la clase.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4734.html 1136

La "familia Cuarteto"
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – La familia Cuarteto
La familia Cuarteto tiene una extraña tradición, iniciada por Horacio y Wilhelmina Cuarteto a principios del
siglo diecinueve. Horacio y Wilhelmina tuvieron cuatro hijos y estipularon que todos los descendientes
tendrían que hacer lo mismo. Todos los hijos, nietos, biznietos, etcétera, han cooperado: todos se han
casado y han tenido cuatro hijos.
1. Comparte la historia de la “familia Cuarteto con los estudiantes.
2. Estima cuántos descendientes tienen al día de hoy, así como el número total de personas que habría en
su árbol genealógico (sin incluir cónyuges).
3. Por diversión, diles a los estudiantes que quieres que verifiquen su intuición sobre el problema.
Explícales que Horacio comenzó a tener hijos con Wilhelmina en 1800 y pídeles que adivinen el número
total de “Cuartetos” en la generación actual. Pídeles también que estimen el número total de
“Cuartetos” nacidos entre 1800 y el presente. No deben hacer cálculos, solo informar lo que les dicte su
intuición. Haz que escriban sus respuestas en un papelito, sin poner su nombre; recoge los papelitos y
pon los resultados en la pizarra. La gama de estimados suele ser interesante.
4. Trabaja en conjunto con los estudiantes para hacer un estimado: primero, tienen que acordar un
estimado de cuántas generaciones han nacido entre 1800 y el presente.
5. A continuación, enumeren los tamaños de las generaciones sucesivas hasta que obtengan la generación
actual. Luego, suma los números para obtener el total. No utilicen las fórmulas de sucesiones
geométricas y series todavía; las utilizarán en una actividad subsiguiente.
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4738.html 1137

La sucesión de nunca acabar
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – La sucesión de nunca acabar
Usando una herramienta tecnológica, como la TI-83, que tiene la capacidad de realizar la misma operación
repetidas veces en respuestas sucesivas, los estudiantes investigarán lo que sucede a medida que dejamos
que las sucesiones y series continúen indefinidamente. ¿En qué circunstancias tenderán a desaparecer los
términos? ¿Es posible que una serie sin fin tenga una suma finita?
1. Describe una secuencia geométrica simple (primer término = 3, razón = 4). Calcula los términos
sucesivos de la siguiente forma:
a. Introduce 3 en la calculadora.
b. Oprime “enter” (la TI-83 te dará el número "3" y lo almacenará como la "Respuesta").
c. Oprime "Answer" (respuesta) (este es el "2do" "(-)" de la TI-83), "x", "4", y "Enter"; obtendrás el
"12".
d. Ahora podrás oprimir el botón de “Enter” en repetidas ocasiones y la calculadora multiplicará cada
respuesta sucesiva por 4, con lo que generará muchos términos de la secuencia rápidamente.
2. Pídeles a los estudiantes que intenten esto con un par de ejemplos, algunos con razones mayores que
uno y otros con razones menores que uno. ¿Qué termina ocurriendo con las razones menores que uno?
3. Discutan la idea de las sucesiones que nunca terminan, ¿existe algún límite? ¿En qué circunstancias se
aproximarán los términos a un límite? ¿Y en una serie?
4. Pídeles que intenten con una serie que tenga una r baja (primer término = 2, r = .01). Enumera los
primeros cinco términos y saca la suma. Si se continúa con el proceso, ¿hay algún límite, incluso si el
número de términos es infinito?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4739.html 1138

Y al décimo día…
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Y al décimo día…
Por cada una de las situaciones siguientes:
¿Qué ocurre durante los primeros 10 días?
Escribe una regla general para lo que ocurre el día n.
o Un panadero decide incrementar su producción. Actualmente, produce 36 libras de pan al día, y está
planificando aumentar su producción por cuatro libras diarias. ¿Cuántas libras produce al día?
o Se realizará una competencia de matemáticas de la siguiente forma: todos los participantes tomarán
una prueba difícil y los que caigan en el 50 % de las puntuaciones más altas se quedarán en la
competencia. Se repetirá el proceso hasta que haya un ganador final. Si la competencia empieza con
1024 participantes, ¿cuántos quedarán en cada ronda?
o Considera el panadero del primer problema. Si las libres están lo suficientemente frescas para
venderse el día en que se hornean y el día después, pero demasiado rancias para venderse al tercer
día, ¿cuántas libras hay disponibles para vender cada día?
o Otro panadero, bastante raro, decide hornear según las siguientes reglas: (1) no hornea los fines de
semana; (2) incrementará el número de libras que hornea por 5 los días que contengan la letra “u”;
(3) aumentará el número de libras de pan que hornea por 3 los días que contengan la letra “n”, y no
aumentará el número de libras de pan que hornea los días que no contengan ni la letra “u” ni la
letra “n”. Si hornea 50 libras de pan los lunes, ¿cuántas libras horneará el resto de días?
o En la competencia de matemáticas arriba, todos los participantes recibieron puntos según el nivel
más alto al que lleguen en la competencia. Solo por tomar la prueba, se otorgan dos puntos y el
número de puntos se duplica por cada nivel sucesivo. ¿Cuántos puntos se otorgan en cada nivel?
Fuente: http://www.curriculum-framer.com/miss_html/events/event_4731.html 1139

Ejemplos de preguntas de examen
Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Otra evidencia – Ejemplos de preguntas de examen
4. ¿Cuál es la fórmula del término n de la secuencia B que se muestra a continuación?
B=10, 12, 14, 16,…
e)
f)
g)
h)
5. ¿Cuál es la fórmula del término n de la sucesión 54, 18, 6,…?
e)
f)
g)
h)
6. ¿Cuál es el valor de ?
e) 1 f) 3
g) 2 h) 0
Fuente: http://www.jmap.org/JMAP_RESOURCES_BY_TOPIC.htm 1140

Unidad 10.7: Experimentos, encuestas y estudios
Matemáticas
Tarea de desempeño – Rúbrica de La maravillosa campaña de mercadeo viral
Categoría 4 3 2 1
Diseño
Conceptos
Precisión
Comunicación
Presentación
Se analizan los supuestos a
cabalidad y se explora una lista
exhaustiva de posibilidades. Se
atienden de lleno las cuestiones
prácticas y se diseñan modelos
matemáticos adecuados.
Se presentan con claridad los
modelos matemáticos y su relación
con el problema Se explica la
necesidad de tener supuestos y se
hace una reflexión detallada de los
desafíos y limitaciones de estos.
Todos los modelos y cálculos están
correctos, y el lenguaje y notación
matemáticos, incluida la notación
de suma, están correctos. Las
opciones de valores para los
supuestos están bien investigados y
son razonables.
Todos los elementos del plan de
campaña están explicados clara y
cabalmente usando la terminología
matemática más eficaz.
Se presenta el plan de campaña de
forma profesional, y demuestra
esmero en la preparación y claridad
en la comunicación. Queda claro
que se ha prestado atención al
público y al propósito.
Se analizan los supuestos y se
explora una lista variada de
posibilidades. Se atienden de lleno
las cuestiones prácticas y se diseñan
modelos matemáticos adecuados.
Se presentan los modelos
matemáticos y su relación con el
problema. Se explica la necesidad
de tener supuestos y se hace una
reflexión de los desafíos y
limitaciones de estos.
La mayor parte de los modelos y
cálculos están correctos, y el
lenguaje y notación matemáticos,
incluida la notación de suma, están
correctos. Las opciones de valores
para los supuestos son razonables.
La mayor parte de los elementos del
plan de campaña están explicados
claramente, usando la terminología
matemática correcta.
En general, la presentación está en
orden y completa, aunque a ciertos
elementos podría faltarles un toque
profesional. Se ha prestado
atención al público y al propósito.
Se analizan los supuestos y se
exploran algunas posibilidades. No
se atienden las cuestiones prácticas
lo suficiente y no todos los modelos
matemáticos son adecuados.
Se presentan los modelos
matemáticos y su relación con el
problema, pero no se explican con
claridad. Se toca el tema de la
necesidad de tener supuestos; se
hace una reflexión débil, si es que se
hace, de los desafíos y limitaciones
de estos supuestos.
Algunos de los modelos y cálculos
están correctos, otros no. El
lenguaje y notación matemáticos a
veces se usan mal, y a veces no se
usa la notación de suma. Algunas de
las opciones de valores para los
supuestos no son razonables.
Algunos de los elementos del plan
de campaña están explicados
claramente, mientras que otros se
confunden. Se usa la terminología
matemática de forma incompleta o
con algunos errores.
Algunos elementos de la
presentación están en orden,
mientras que en otros se muestra
un desinterés por la calidad. No
queda claro qué público o propósito
se tomó en cuenta.
1141
Se analizan los supuestos
pobremente y no se exploran las
posibilidades. No se atienden las
cuestiones prácticas y los modelos
matemáticos no son adecuados.
Se presentan modelos matemáticos y
su relación con el problema que no
son adecuados. No se aborda lo
suficiente la necesidad de tener
supuestos; no se hace una reflexión
de los desafíos y limitaciones de
estos supuestos, o es incorrecta.
En su mayoría, los modelos y cálculos
están incorrectos. El lenguaje y
notación matemáticos contienen
múltiples errores y no se usa la
notación de suma. Casi todas las
opciones de valores para los
supuestos no son razonables.
Pocos elementos del plan de
campaña están explicados
claramente, con lo cual resulta
confusa la intención. No se usa
terminología matemática o se usa
incorrectamente.
La presentación es descuidada, lo
cual demuestra un desinterés por la
calidad. Esto le resta a cualquier
consideración que pueda haberse
prestado a la audiencia o propósito.

Matemáticas
Mapas Curriculares
11mo Grado
1142

Resumen de la unidad
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán el comportamiento de las funciones con sus ecuaciones
respectivas y compararán las propiedades de las diferentes familias de funciones. Aplicarán las
relaciones entre características importantes de una función por medio de gráficas y símbolos, y
determinarán las soluciones de una función polinómica. Realizarán además la transformación básica de
las funciones mientras investigan la composición y descomposición de funciones dentro de un contexto
real. Aplicarán e interpretarán las transformaciones básicas de las funciones de forma verbal, gráfica y
numérica.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las familias de funciones para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real que
impliquen datos discretos y continuos.
Estándares de contenido y expectativas
Comportamiento de las funciones
A.PR.11.2.1 Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus diferentes
representaciones.
A.PR.11.2.2 Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una función (ceros,
puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en los infinitos, la gráfica de la función, la
naturaleza y el número de ceros de la función y su representación simbólica.
A.PR.11.2.3 Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación polinómica con
coeficientes reales sobre los números complejos.
A.PR.11.2.4 Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones pares e impares) y
relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.
A.PR.11.2.5 Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las funciones:
polinómicas, racionales, radicales, potencia, logarítmicas, trigonométricas y funciones definidas por
partes, representadas de múltiples formas.
A.PR.11.2.6 Describe y contrasta funciones elementales comunes (representadas simbólica y
gráficamente), incluyendo x n , 1/x ln x, logax, e x , a x y las funciones trigonométricas básicas.
Transformaciones de las funciones
A.PR.11.3.1 Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la multiplicación y la división
(cuando existe) de dos funciones.
A.PR.11.3.2 Compone y descompone dos funciones, determina su dominio, su alcance y su gráfica.
Utiliza la composición de las funciones para determinar si las funciones son inversas.
A.PR.11.3.3 Describe las condiciones bajo las cuales una relación inversa es una función.
Determina y grafica la inversa de una función.
A.PR.11.3.4 Aplica las transformaciones básicas de las funciones F (x) = ± a·f (x-h) ± k e interpreta los
resultados de estas transformaciones verbalmente, gráficamente y numéricamente.
Junio 2012 1143

Ideas grandes/Comprensión duradera:
Diferentes funciones resuelven diferentes
tipos de problemas.
El comportamiento de las funciones puede
describirse de forma gráfica y simbólica.
Los puntos críticos de una función ayudan a
describir el comportamiento de esta.
Las funciones elementales básicas y las
funciones trigonométricas básicas tienen
inversas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las relaciones entre los puntos importantes
de una función (ceros, puntos máximos,
puntos mínimos), su comportamiento cuando
hay tendencia al infinito, la gráfica de una
función, la naturaleza y número de los ceros
de una función y su representación simbólica
Los conceptos de la continuidad, la asíntota, la
simetría (funciones pares e impares) y cómo
relacionar estos conceptos con la gráfica de la
función
Las transformaciones básicas de una función,
F (x) = ± a· f (x-h) ± k
Las características de diferentes familias de
funciones: polinomios, funciones racionales,
exponentes, funciones logarítmicas y
trigonométricas y funciones definidas a trozos
(funciones definidas por partes)
Funciones elementales comunes, incluidas x n
,
1/x, ln x, e x, , loga x, a x
Las funciones trigonométricas básicas (seno,
coseno, tangente)
Las condiciones en que una relación inversa es
una función
El concepto de continuidad, asíntota y
simetría, y cómo se relacionan estas ideas con
la gráfica de una función
Vocabulario de contenido
Comportamiento de las funciones: asíntota,
ceros, coeficiente, comportamiento de la
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
Preguntas esenciales:
¿Cómo sabemos cuáles funciones utilizar para
resolver problemas?
¿Cómo podemos interpretar las funciones de
forma gráfica y simbólica?
¿Por qué ciertos valores son indefinidos en el
caso de ciertas funciones?
¿Cómo puedes comparar las funciones
elementales comunes y las funciones
trigonométricas básicas con sus inversas?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Determinar el dominio y el alcance de las
funciones a partir de sus diferentes
representaciones.
Identificar y aplicar las relaciones entre los
puntos importantes de una función (ceros,
puntos máximos, puntos mínimos), su
comportamiento en los infinitos, la gráfica de
la función, la naturaleza y el número de los
ceros de la función y su representación
simbólica.
Determinar el número y la naturaleza de
soluciones de una ecuación polinómica con
coeficientes reales sobre los números
complejos.
Reconocer y describir la continuidad, las
asíntotas, la simetría (funciones pares e
impares) y relacionar estos conceptos con la
gráfica de la función.
Comparar y contrastar las características de
las diferentes familias de las funciones:
polinómicas, racionales, radicales, potencia,
logarítmicas, trigonométricas y funciones
definidas por partes, representadas de
múltiples formas.
Describir y contrastar funciones elementales
comunes (con representación gráfica y
simbólica), incluyendo x n , 1/x ln x, logax, e x , a x
y las funciones trigonométricas básicas.
Encontrar, interpretar y trazar la gráfica de la
suma, la resta, la multiplicación y la división
Junio 2012 1144

gráfica, continuidad, dominio, familia de
función, función de coseno, función de
tangente, función definida a trozos, función
exponencial, función impar, función
logarítmica, función par, función polinómica,
función racional, función de seno, números
complejos, puntos máximos, puntos mínimos,
recorrido, representación simbólica, simetría
Transformaciones de las funciones: (F (x) = ±
a· f (x-h) ± k), componer, composición de la
función, descomponer, inversa
Tareas de desempeño
Identificación de las funciones 106
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las familias de funciones por medio de la siguiente
tarea de desempeño.
1. Prepara conjuntos de 16 tarjetas con lo
siguiente:
a. 4 ecuaciones de diferentes familias de
funciones;
b. gráficas correspondientes a las
ecuaciones, enumeradas con una letra (A-
D);
c. tabla de valores de cada gráfica, y
d. la regla correspondiente a la gráfica
2. Dale a cada estudiante un conjunto de
tarjetas para que completen la tarea y lean las
instrucciones a continuación.
Instrucciones:
Parea las gráficas, ecuaciones, tablas y reglas.
Anota tus respuestas en la tabla:
Gráfica Ecuación Tabla Regla
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
(cuando existe) de dos funciones.
Componer y descomponer dos funciones,
determinar su dominio, su alcance y su
gráfica. Utilizar la composición de las
funciones para determinar si estas son
inversas.
Describir las condiciones en las cuales una
relación inversa es una función.
Determinar y trazar la gráfica de la inversa de
una función.
Aplicar las transformaciones básicas de las
funciones F (x) = ± a· f (x-h) ± k e interpretar
los resultados de estas transformaciones
verbalmente, gráficamente y numéricamente.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz 109
1. Escribe una ecuación de cada gráfica.
Junio 2012 1145
a.
b.
2. Una función logarítmica "original" se desplaza
verticalmente hacia abajo y 5 unidades a la
derecha. ¿Cuál es el recorrido de la función
transformada?
3. Selecciona la función con un factor de
descomposición de 75. 110
a. y=.75(.3) x
b. y=.75(.300) x
106 Fuente: http://map.mathshell.org/materials/download.php?fileid=780
109 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/TicketOuttheDoor_0
110 Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth_decay.pdf

A
B
C
D
Describe cómo pareaste cada gráfica con su
ecuación.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Crea un logotipo 107
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las familias de funciones por medio de la siguiente
tarea de desempeño. Crea un logotipo usando
una combinación de deslizamientos verticales,
expansiones o contracciones verticales, reflexión
con respecto al eje de x o con respecto al eje de y
de las funciones básicas enumeradas a
continuación, así como líneas horizontales y
verticales.
f(x) = x, f(x) = x 2 , f(x) = x 3 , f(x) = x , f (x) = logax,
f (x) = lnx, y f(x) = 1
x .
Tu logotipo debe tener atractivo estético e
incluir lo siguiente:
o por lo menos una de las funciones de la
lista de funciones básicas;
o por lo menos cuatro ecuaciones distintas;
o por lo menos dos ejemplos de
deslizamientos verticales y de
contracciones o expansiones verticales;
o por lo menos una reflexión, y
o por lo menos un tipo de simetría
Explica cómo tu logotipo cumple con cada
uno de los criterios anteriores.
Identifica cualquier punto, línea o ángulo
importante asociado a la simetría de tu
logotipo.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
c. y=.75x
d. y=.300(.75) x
e. y=300x 0.75
4. Utiliza los datos a continuación para
responder a las preguntas. 111
X (variable
independiente)
Y (variable
dependiente)
0 1 2 3 4 5
40 42 44.1 48.1 50 53
a. ¿Pueden describirse los datos como una
función exponencial?
b. Utiliza la gráfica, una ecuación o un
argumento lógico para justificar tu
respuesta anterior.
5. Sea f(x) = 2x – 1, g(x) = 3x, y h(x) = x² + 1.
Completa lo siguiente:
a. f(g(-3))
b. g(f(0))
c. g(f(-6))
Diario
1. Acabas de estudiar seis funciones básicas 112 :
f(x) = x, f(x) = x 2 , f(x) = x 3 , f(x) = x , f (x) =
logax, f (x) = lnx, y f(x) =
x
a. Clasifica cada una de estas funciones
básicas en par, impar o ninguna. (Justifica
tu respuesta con una gráfica y álgebra.)
b. Por cada función básica que clasificaste
como par, sea g la función obtenida al
desplazar la gráfica hacia abajo cinco
unidades; determina si g es par, impar o
ninguna.
c. Por cada función básica que clasificaste
como par, sea h la función obtenida al
desplazar la gráfica hacia arriba tres
unidades; determina si h es par, impar o
ninguna.
Boletos de entrada/salida
107 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions
Junio 2012 1146
1 .

Transformaciones de las funciones 108
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la transformación de funciones exponenciales y
logarítmicas por medio de la siguiente tarea de
desempeño.
Instrucciones:
Elige funciones exponenciales, logarítmicas,
polinómicas, racionales o trigonométricas.
Haz entre 1 a 5 afiches de las cinco
transformaciones estudiadas en clase.
Incluye ejemplos.
Incluye algo que los haga memorables y
fáciles de entender.
Las cinco transformaciones son: traslación
vertical, traslación horizontal, expansión o
contracción vertical, expansión o contracción
horizontal, reflexión
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
1. Parea cada función con su característica 113 .
1. f(x) = 2x 2 – 5 A. El dominio es [5, +∞)
2. g(x) = -x= 3 + 4 B. El recorrido es [-5, +∞)
3. h(x) = C. El máximo es 4.
4. k(x) = 2x – 4 D. Disminuye en (-∞, +∞)
5. La función f(x) = 1/x se desplaza 3 unidades
hacia arriba y 4 unidades a la izquierda. ¿Cuál
es el recorrido de la función transformada? 114
Relevo de la composición de las funciones 115 : Los estudiantes practican a componer funciones en
equipo. En grupos de cuatro o cinco, combinan las funciones (como las expresiones polinómicas,
racionales, radicales y logarítmicas), al sumar, restar, multiplicar, dividir o por composición, y
evalúan los valores especificados de sus variables. Prepara un conjunto de tarjetas que contenga
cada una de las funciones básicas (una por tarjeta) para cada grupo, y asegúrate de que cada
persona del grupo tenga una tarjeta. Di un número que los estudiantes usarán para evaluar la
primera función; los estudiantes entonces utilizarán el resultado de la primera función para evaluar
la segunda función, etc., hasta que se hayan evaluado las cinco funciones. Para más información y
ejemplos de tarjetas, dirigirse a http://jcschools.net/dynamic/math/Activities/CompFunctionsRelay_Activity_Alg2.pdf.
Actividad de composición de funciones 116 : Una vez aprendan a cómo componer funciones, utiliza
esta actividad para que refuercen su comprensión de cómo componer funciones. En grupos de dos
111 Ibídem.
112 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions
108 Fuente: http://www.teachforever.com/2009/01/project-idea-transformations-of.html
113 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/Bellringer
114 Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_kbellflower/TicketOuttheDoor_0
115 Fuente: http://jc-schools.net/dynamic/math/Activities/CompFunctionsRelay_Activity_Alg2.pdf
116 Fuente: http://math.tamucc.edu/~jchampion/wp-content/uploads/Function-Composition-Activity.docx
Junio 2012 1147

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
a tres, los estudiantes componen funciones durante dos rondas de esta actividad (ver anejo: 11.1
Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones). A continuación, la clase
completa hallará fórmulas para solucionar las funciones en cadena.
Modelo Frayer: Creen modelos Frayer como clase, o pídeles a los estudiantes que creen su propio
modelo Frayer por cada familia de funciones. Utiliza los modelos Frayer para facilitar una discusión
en clase sobre las características de cada familia de funciones (ver anejo: Organizador— Modelo
Frayer.)
Familias de funciones 117 : Se dirige a los estudiantes paso a paso con un organizador gráfico sobre
las familias de funciones básicas. Los estudiantes aprenden la forma general, las funciones
originales y ejemplos gráficos de cada familia de funciones (ver anejo: 11.1 Actividad de
aprendizaje - Familias de funciones).
Organizadores de funciones cuadráticas 118 : Los estudiantes aprenden a cómo identificar las
funciones cuadráticas con una gráfica a partir de la función cuadrática. A continuación, utilizarán
estas destrezas para identificar deslizamiento, simetría, interceptos, ceros y vértices. (ver anejo:
11.1 Actividad de aprendizaje - Organizadores de funciones cuadráticas).
Transformaciones de las funciones 119 : Los estudiantes utilizan un organizador gráfico para
consolidar su comprensión de las distintas transformaciones que pueden sufrir las funciones. Los
estudiantes entonces resumirán su nuevo conocimiento y aplicarán estas transformaciones a
diferentes familias de funciones. (ver anejo: 11.1 Actividad de aprendizaje - Transformaciones de
gráficas.)
Ejemplos para planes de la lección
Exploración de la simetría de funciones 120 : En esta lección, los estudiantes transformarán funciones
básicas, incluidos los deslizamientos verticales, las expansiones, contracciones y reflexiones para
crear diseños y logotipos. Aprenderán a cómo diferenciar entre funciones pares e impares por
medio de gráficas y álgebra. (ver anejo: 11.1 Ejemplo para plan de lección - Exploración de la
simetría de funciones).
Gráficas de las familias de cuadráticas 121 : En esta lección de descubrimiento, los estudiantes
aprenderán cómo trazar gráficas de familias de funciones cuadráticas, y se familiarizarán con las
diferentes formas de la cuadrática y el papel de los distintos coeficientes por medio de una
investigación con calculadora. En las lecciones de seguimiento debe incluirse la aplicación de estas
reglas de cómo transformar funciones a las diferentes familias de funciones. (ver anejo: 11.1
Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas).
Crecimiento y decrecimiento exponencial 122 : Utilizando las hojas de actividades y la TI 82/83, los
estudiantes podrán obtener información estadística y enumerar variables independientes y
dependientes, trazar puntos de datos, y hallar y trazar la gráfica del modelo exponencial de mejor
correspondencia. Los ejemplos de la vida real serán de crecimiento y decaimiento exponencial.
Para más información y hojas de actividades, dirigirse a:
117
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
118
Ibídem.
119
Ibídem.
120
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions
121
Fuente: www.curriculumframer.com
122
Fuente: http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth_decay.pdf
Junio 2012 1148

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
7 semanas
http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/exponential_growth
_decay.pdf.
Funciones inversas 123 : Los estudiantes aplicarán su conocimiento de la vida cotidiana de cómo
resolver en retroceso a partir de la conclusión para comprender cómo escribir y operar las
funciones inversas. Explorarán la relación entre una función y su inversa, para luego investigar la
relación entre una función radical y su inversa. Colaborarán para hacer una conexión entre cómo
escribir instrucciones al revés y cómo "deshacer" un algoritmo y pasar a usar la notación funcional
para representar el algoritmo original y el algoritmo funcional. Las preguntas son abiertas para
permitirles a los estudiantes sacar sus propias conclusiones al principio. Los estudiantes entonces
estudiarán una función, así como las gráficas y tablas de funciones inversas. A través del proceso
de "deshacer", se espera que determinen funciones inversas. Anímalos a que corroboren su propio
trabajo con una calculadora gráfica (¿produce su respuesta la gráfica esperada?) o verificando la
inversa con la tabla de valores. Nota: Se utiliza notación funcional inversa. Para más información y
materiales, dirigirse a
http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-29.html.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a los
principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo el
mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Dots, Spots, Speckles, and Stripes de Tana Hoban
Trigonometric Delights de Eli Maor
Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Reamer and
Wilber Reimer
123 Fuente: http://www.sde.ct.gov/sde/lib/sde/pdf/curriculum/p69_possiblesentences_grades10-12_algebra2.pdf
Junio 2012 1149
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes crearán modelos y calcularán soluciones de ecuaciones trigonométricas
por medio de la transformación de funciones trigonométricas. Crearán, describirán y harán
predicciones sobre fenómenos periódicos para resolver situaciones matemáticas y del mundo real.
Lograrán entender teoremas básicos sobre círculos y hallarán longitudes de arco y áreas de sectores de
los círculos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las razones y funciones para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real mediante
la aplicación de medidas indirectas.
Estándares de contenido y expectativas
Funciones trigonométricas
A.PR.11.4.1 Identifica ángulos en posición estándar y asocia su medida con la rotación del lado
terminal.
Define los ángulos en el plano (en posición estándar, los cuadrantes, los lados coterminales y el
ángulo de referencia).
A.PR.11.4.3 Representa las funciones trigonométricas por medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
Evalúa funciones trigonométricas para un número real dado.
Reconoce las características principales de cada una de las funciones trigonométricas (el dominio,
el recorrido, las intersecciones con los ejes, los valores máximos y mínimos, las asíntotas y los
intervalos donde es creciente o decreciente).
Propiedades de los círculos
A.PR.11.4.2 Define el círculo unitario.
M.UM.11.8.1 Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y establece las conversiones
entre ambas unidades de medida.
M.UM.11.8.2 Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3, π/2,
π, y sus múltiplos.
M.TM.11.8.3 Calcula longitudes de arco.
M.TM.11.8.4 Determina el área de un sector circular.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Podemos encontrar aplicaciones de funciones
trigonométricas en la vida cotidiana.
Los triángulos nos permiten comprender
cosas importantes.
Las funciones trigonométricas sirven de
modelo para situaciones de la vida real.
El círculo unitario ayuda a solucionar
problemas.
Preguntas esenciales:
¿Qué proyecto han hecho tú o tu familia que
podría incluir la trigonometría?
¿Cómo nos ayudan los triángulos a entender
el mundo?
¿Por qué son útiles las funciones
trigonométricas?
¿Cómo el círculo unitario nos ayuda a
entender nuestro mundo?
Junio 2012 1150

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Ángulos en posición estándar
La definición de círculo unitario
Los ángulos en el plano (en posición estándar,
cuadrantes, lados coterminales y ángulo de
referencia)
Las características principales de cada una de
las funciones trigonométricas (dominio,
recorrido, intersecciones con los ejes, valor
máximo y mínimo, asíntotas y crecimiento y
decrecimiento de intervalos
Los valores de las funciones trigonométricas
en los radianes (ej., 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π)
Vocabulario de contenido
Funciones trigonométricas: amplitud, ángulo
de referencia, asíntota, características de
funciones trigonométricas, cuadrantes,
dominio, eje principal, funciones
trigonométricas, intersecciones, intervalo
creciente, intervalo decreciente, lados
coterminales, lado terminal, periodo, posición
estándar, trigonometría, valor máximo, valor
mínimo
Propiedades del círculo: arco, círculo unitario,
grados, pi (π), radián, sector circular, valores
de las funciones trigonométricas
Tareas de desempeño
La estrella: ¿Cuán rápida es? ¿Cuán segura? 124
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las propiedades de los círculos al solucionar un
problema sobre una estrella.
Parte 1: La gente se está quejando de que la
estrella de un parque de diversiones va muy
rápido, y tienen miedo de montarse. El operador
de la estrella acaba de ser transferido hace poco
de la estrella para niños, donde nunca había
recibido ninguna queja. Tu reto es llegar hasta el
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Identificar ángulos en posición estándar y
asociar su medida con la rotación del lado
terminal.
Representar las funciones trigonométricas por
medio de tablas, gráficas, expresiones
verbales y ecuaciones.
Evaluar funciones trigonométricas para un
número real dado.
Reconocer las características principales de
cada una de las funciones trigonométricas (el
dominio, el recorrido, las intersecciones con
los ejes, los valores máximos y mínimos, las
asíntotas y los intervalos donde es creciente o
decreciente).
Determinar la medida de los ángulos en
grados y en radianes, y establecer las
conversiones entre ambas unidades de
medida.
Desarrollar y aplicar los valores de las
funciones trigonométricas en: 0, π/6, π/4, π/3,
π/2, π y sus múltiplos.
Calcular longitudes de arco.
Determinar el área de un sector circular.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. ¿Cuál ecuación podría usarse para hallar la
medida de un ángulo agudo en el ángulo
rectángulo que se muestra a continuación? 126
124
Fuente: www.curriculumframer.com
126
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Algebra/A.A.43.htm
Junio 2012 1151
a)
4
senA
5

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
fondo del problema y encontrarle una solución.
Con un poco de investigación se obtuvieron los
siguientes datos:
1. La estrella para niños tiene un diámetro de 40
pies.
2. La estrella regular tiene un diámetro de 200
pies.
3. Al preguntársele, el operador provee la
siguiente información: "Llevo veinte años
operando la estrella para niños, ¡y nunca he
recibido ni una sola queja! Este es mi sistema:
la estrella tiene asientos de diferentes
colores. Seis de ellos son de color dorado
brillante y se suceden a intervalos iguales.
Experimentando durante varios años,
encontré que si un asiento dorado llegaba al
suelo cada diez toques de la segunda
manecilla de mi reloj, los niños quedaban
contentos. Ni muy rápido, ni muy lento.
Resulta que la estrella para adultos también
tiene seis asientos dorados que se suceden a
intervalos iguales. Estoy haciendo lo que he
hecho siempre, ¡pero los adultos dicen que es
muy rápido! No lo entiendo..."
Parte 2: La estrella se encuentra junto a una
hermosa huerta sembrada de árboles. Sin
embargo, estos están envejeciendo y, durante
una tormenta reciente, algunos de los más
pequeños se cayeron, y estuvieron a punto de
dañar la estrella. Tu tarea es decidir qué hacer
con los árboles restantes. La propietaria ha
marcado unos cuantos árboles que le preocupan.
Desde la base de la estrella, has medido el ángulo
entre el suelo y la línea de visión hasta el tope del
árbol, así como la distancia entre la base del
tronco y la base de la estrella. (La estrella tiene un
diámetro de 200 pies.)
Árboles junto a la estrella
Árbol 1 – a 45 pies de distancia, medida del
ángulo = 65°
Árbol 2 – a 82 pies de distancia, medida del
ángulo = 38°
127
Ibídem.
128
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%203%20TE%20APS%20Supplement.pdf
Junio 2012 1152
b)
c)
d)
2. El poste central de una caseta de acampar es
de 8 pies de longitud, y un lado de esta es de
12 pies de longitud, según se muestra en el
diagrama a continuación. 127
Si se forma un ángulo recto en el lugar en que
el poste central toca el suelo, ¿cuál es la
medida del ángulo A al grado más cercano?
a) 34
b) 42
c) 48
d) 56
3. En un reloj, la manecilla que marca la hora
mide 4.5 pulgadas y la manecilla que marca
los minutos mide 6 pulgadas. 128
a) ¿Cuál es la medida del arco que describe
la manecilla que marca la hora a medida
que esta se mueve de las 11 a las 4? ¿Cuál
es la longitud de este arco?
b) ¿Cuál es la medida del arco que describe
la manecilla que marca los minutos a
medida que esta se mueve de las 11 a las
4? ¿Cuál es la longitud de este arco?
c) ¿Cuál es el área del sector que cubre la
manecilla que marca la hora a medida que
se mueve de las 11 a las 4?
4. En el diagrama a continuación, el círculo
unitario O posee los radios OB , OE , y OF ,
CB es la tangente del círculo O en B, y ED es
la tangente del círculo O en E. Los puntos O, F,
D y C son colineales, y FA OB .

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
Árbol 3 – a 30 pies de distancia, medida del
ángulo = 78°
A la propietaria no solo le preocupa si los
árboles le darán a la estrella si se caen, sino
también dónde le darían.
Además, como los árboles seguirán
creciendo, a la propietaria le gustaría que le
enseñaras a cómo estar pendiente de los
árboles en el futuro.
Presenta tus hallazgos en un informe
ilustrado.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
¿Quién tiene la razón? 125
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones trigonométricas por medio del
análisis de la equivalencia de dos funciones.
Dados los problemas a continuación, los
estudiantes crearán su propia "crítica del
maestro" para los estudiantes en el problema.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Dadas las siguientes ecuaciones, determina la
amplitud, el periodo, la frecuencia y cambio de
fase de cada ecuación.
y 2sen ( x 2)
4
3
y 4
2cos
x 3.
5
3
Se oye a dos estudiantes, Anthony y Christian,
discutiendo estas ecuaciones; Anthony está
seguro de que las ecuaciones son equivalentes,
mientras que Christian insiste en que son
diferentes. ¿Cuál de los dos tiene la razón? Explica
Diario
C OB , identifica los segmentos de
Si m
línea cuyas medidas sean cada una de las
siguientes: 129
sen
cos
tan
sec
csc
cot
1. Reflexiona sobre las actividades realizadas en
clase y resume en tus propias palabras lo que
has aprendido sobre el desarrollo de la
trigonometría de triángulos. 130
2. Elabora tu propia definición de la
trigonometría a partir de lo que has aprendido
hasta ahora. Menciona dos cosas importantes
que nos permite hacer la trigonometría de
triángulos. Luego menciona por lo menos tres
ejemplos específicos de cuándo necesitarías
usar la trigonometría de triángulos en la vida
real. 131
3. La maestra de Anthony le ha dicho a la clase
que un círculo unitario tiene una
circunferencia de 2π. Esto lo confundió,
porque él pensaba que un círculo tenía 360˚.
125
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
129
Ibídem.
130
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/kristensen03/trigtaskjournal.pdf
131 Ibídem.
Junio 2012 1153

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
tu respuesta de forma exhaustiva usando gráficas
y un párrafo escrito que respalde tu postura.
Como Anthony es tu amigo, te gustaría
ayudarlo a entender qué quiso decir la
maestra. Escribe una explicación detallada en
que compares los grados con los radianes. La
explicación debe ser lo más detallada posible
para ayudarle a Anthony a entender la
conexión. Incluye cualquier cosa que pueda
aclarárselo, como diagramas, ecuaciones,
etc. 132
Boletos de entrada/salida
1. Llena los blancos de la siguiente gráfica.
Función
trigonométrica
sen π
tan45˚
cos270˚
sen π/3
Valor exacto
cos___ 3 /2
tan___ 3
cos___ 2 /2
Valor
aproximado
¿En qué circunstancias utilizarías un
aproximado de cada uno de estos valores, en
vez de dar una respuesta exacta? 133
2. ¿Cuál es el recorrido de la función f(x) = sen x?
En base a tu respuesta, ¿cuál es el recorrido
de la función f(x) = csc x? Explica tu
respuesta. 134
3. Completa la tabla:
Ángulo Cuadrante
Trazar
en
posición
estándar
Medida
en
grados
Ángulo
cotermi
nal
positivo
Ángulo
cotermi
nal
negativo
132
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
133
Ibídem.
134
Ibídem.
Junio 2012 1154
(2π)/3
π/6
(7π)/4

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Truco de memorización para razones trigonométricas: Utiliza esta parte como actividad de repaso
rápido. Guía a los estudiantes paso a paso para que creen sus propios trucos de memorización que
les ayuden a recordar las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente. SOH-CAH-TOA les
recuerda a los estudiantes que para calcular 1) seno, tienen que dividir la longitud del lado opuesto
por la hipotenusa; 2) coseno, tienen que dividir la longitud del lado adyacente por la hipotenusa, y
3) la tangente es la longitud del lado opuesto dividido por la longitud del lado adyacente.
Completa el círculo unitario 135 : Juntos como clase, completen un círculo unitario en blanco en
papel cuadriculado. Identifiquen y discutan los patrones en los círculos unitarios como forma de
ayudarles a los chicos a recordarlo. Pega en la pared del salón el círculo unitario completado para
que los estudiantes lo usen de referencia en lecciones futuras. Pídeles a los estudiantes que como
práctica en casa completen un círculo unitario en blanco tanto en radianes como en grados. Estos
también les servirán de referencia durante la unidad (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje -
Completa el círculo unitario).
Funciones circulares de seno, coseno y tangente 136 : Los estudiantes calculan el seno, coseno y la
tangente para trazar la gráfica de cada función. Los estudiantes entonces comparan las
características de las funciones como la amplitud, el periodo, el dominio y el recorrido. Utiliza esta
actividad para introducir y definir términos como amplitud, periodo y eje principal, y para discutir
las características de las funciones circulares básicas (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Las
funciones circulares seno, coseno y tangente).
Recorrido de radianes 137 : Tras introducir a los estudiantes al círculo unitario, pídeles que jueguen al
juego del recorrido de radianes para consolidar su comprensión de las medidas de los ángulos en
los radianes y las coordenadas correspondientes en el círculo unitario.
1. Utiliza cinta adhesiva conductora o cinta adhesiva protectora (masking tape) para crear un
círculo unitario con un diámetro de aproximadamente doce pies en el suelo en el centro del
salón de clases. Incluye los ejes de x y de y para marcar los ángulos de 90 grados. Rotúlalos
para que los estudiantes sepan la ubicación de 0 radianes. Marca los ángulos de 30, 45 y 60
grados en cada cuadrante.
2. Pon la aguja en el origen. Enciende la música y haz que los estudiantes caminen en un círculo
hasta que se detenga la música. En ese momento cada estudiante deberá estar en uno de los
ángulos del círculo unitario marcados. Haz girar la aguja. La aguja indica el estudiante que debe
mencionar sus coordenadas y ubicación en el círculo unitario. Si ese estudiante comete un
error, quedará eliminado(a) del juego. Si tu clase es de más de quince o dieciséis estudiantes,
tal vez prefieras usar dos círculos unitarios.
Evaluación de las funciones trigonométricas 138 : Pídeles a los estudiantes que evalúen las funciones
trigonométricas utilizando triángulos rectángulos especiales, con y sin calculadora (ver anejo: 11.2
Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas).
Rompecabezas trigonométrico 139 : Recorta el rompecabezas cuatro por cuatro de funciones
135
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
136
Ibídem.
137
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/radwalk.html
138
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
Junio 2012 1155

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
trigonométricas y sus equivalentes. Los estudiantes vuelven a formar el rompecabezas pareando
los equivalentes. Pueden crear también sus propios rompecabezas. (ver anejo: 11.2 Actividad de
aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico).
Juego del seno coseno 140 : Una vez se introduzca el tema de las funciones de seno y coseno, los
estudiantes estarán listos para jugar al juego del seno coseno. Una vez se haya dado una
introducción a los estudiantes de las seis funciones trigonométricas, jueguen el mismo juego, pero
mezclen secante con coseno o cosecante con las expresiones de seno en la columna de la
izquierda. Esto ayuda a consolidar en especial las destrezas de razonamiento deductivo,
interpretación de gráficas y aproximación. Los estudiantes tendrán además la oportunidad de
aprender de, y trabajar con otros. (ver anejo: 11.2 Actividad de aprendizaje - Juego del seno
coseno).
1. Divide la clase en parejas y distribuye hojas sueltas de papel a cada una. En esta hoja habrá dos
columnas. La columna de la izquierda contiene expresiones ya sea con funciones de seno o
coseno. En la columna de la derecha se encuentran aproximaciones decimales de las
expresiones de la columna de la izquierda, pero en un orden aleatorio. Se escogen valores de
forma tal que solo uno de los cinco valores decimales sea posible por cada función.
2. Cada pareja tendrá tres minutos para parear cada expresión de la columna de la izquierda con
su representación decimal correspondiente en la columna de la derecha. No se permite usar
calculadora.
3. Gana la pareja que obtenga los cinco pareos correctos.
Ejemplos para planes de la lección
Ángulos en el plano 141 : En esta lección, los estudiantes identificarán y describirán ángulos en el
plano y harán conversiones de medidas de grados a radianes, y viceversa. Guíalos paso a paso con
las notas guiadas mientras los estudiantes completan las hojas a medida que discutes cada tema
(ver anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección - Ángulos en el plano). Dales a los estudiantes
problemas de práctica para consolidar la lección.
Radianes, grados, longitud de arco, sectores 142 : En esta lección, los estudiantes aprenderán cómo
convertir de radianes a grados y viceversa. Aprenderán además cómo medir la longitud de arco y
área de los sectores. Guíalos paso a paso con las notas guiadas mientras los estudiantes completan
las hojas a medida que discutes cada tema. (ver anejo: 11.2 Ejemplo para plan de lección -
Radianes, grados, longitud de arco, sectores).
Gráficas del círculo unitario 143 : En grupos de dos a tres estudiantes, utilicen espagueti crudo para
transferir las longitudes del círculo unitario a una función en papel cuadriculado puesto sobre
papel de estraza grande. En el proceso, los estudiantes descubrirán y compararán las
características claves de las gráficas de seno y coseno. Los estudiantes explorarán las relaciones
entre las longitudes al entender cómo todas las medidas se basan solo en el espagueti inicial, que
es una unidad (y por lo tanto, el círculo unitario). La mayoría de la lección tendrá un enfoque en las
longitudes físicas comparativas del espagueti, no en medidas numéricas. Para más información y
hojas de actividades, dirigirse a
139
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/cutups.html
140
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sincosgm.html
141
Fuente: http://math.springbranchisd.com/high/classes/precalculus/PreCalculus_Scope_08_2008.pdf
142
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
143
Fuente: http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785
Junio 2012 1156

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
http://www.pbs.org/newshour/extra/teachers/lessonplans/math/math_recall_9-29.html.
http://illuminations.nctm.org/LessonDetail.aspx?id=L785.
Materiales: papel de estraza, espagueti crudo, cinta adhesiva protectora, transportadores, reglas
métricas, lápices de colores, hilo de tejer (aproximadamente 7 pies por grupo).
Instrucciones:
1. Repártele las gráficas de la actividad de círculo unitario a cada estudiante.
2. El primer reto para los estudiantes será averiguar cómo dibujar un círculo con un radio
equivalente a un fideo. Cuando los estudiantes comiencen a trazar los círculos, date la vuelta
por el salón de clase para asegurarte de que estén bien dibujados.
3. A medida que los estudiantes comienzan a medir y marcar las medidas de sus ángulos,
asegúrate de que coloquen el fideo alrededor del círculo en contra de las manecillas del reloj
comenzando en (1.0). Esto los ayuda a reforzar la idea de las medidas de ángulos del círculo
unitario para los ángulos que están en posición estándar. La gráfica funcionará sin importar la
dirección en que coloquen el fideo sobre el círculo, pero
esto los ayudará a reforzar lo que han aprendido sobre la
trigonometría de los círculos unitarios.
4. No distribuyas la hoja de actividades con preguntas hasta
que los estudiantes hayan terminado la hoja de gráficas
correctamente.
Longitud de arco y sectores de área 144 : Se guía a los
estudiantes paso a paso con un ejemplo del mundo real para
que descubran cómo calcular tanto la longitud de arco como el
área de sectores circulares.
Instrucciones:
Longitud de arco: La medida de un arco se calcula en unidades de grados y se define como la
medida de su ángulo central. La longitud de arco se calcula en unidades de distancia. En esta tarea,
elaborarás una fórmula para calcular la longitud de un arco.
1. Considera la foto del carrusel aquí al lado. El caballo más próximo al centro está a 12 pies del
centro del carrusel. El caballo más lejano del centro está a 24 pies de este.
2. Supón que el carrusel da una vuelta completa.
a. ¿Por cuántos grados gira el caballo más lejano?
b. ¿Por cuántos grados gira el caballo más próximo?
c. ¿Recorren los caballos la misma distancia? ¿Por qué o por qué no?
d. Si los dos caballos recorren la misma distancia, ¿cuán lejos llegan? Si recorren diferentes
distancias, ¿cuán lejos llega cada uno? Explica cómo lo sabes.
3. Supón que el carrusel rota 120°.
a. ¿Cuántos grados rota el caballo más lejano?
b. ¿Cuántos grados rota el caballo más próximo?
c. ¿Cuán lejos llega cada caballo durante esta rotación? Explica cómo lo sabes.
4. Puede hacerse un modelo de las posiciones del caballo más próximo y más lejano del centro
del carrusel usando dos círculos concéntricos. Los círculos concéntricos son círculos coplanales
que tienen el mismo centro.
144 Fuente:http://www.atlanta.k12.ga.us/cms/lib/GA01000924/Centricity/Domain/262/Math_II_Unit_3_APS_STUDENT_E
dition.pdf
Junio 2012 1157

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
4 semanas
a. Utiliza tu compás para construir círculos concéntricos que representen las posiciones del
caballo más próximo y más lejano a medida que gira el carrusel.
b. Considera que la distancia que recorre un caballo es la longitud de arco que atraviesa el
caballo en su círculo. Utiliza tu diagrama y respuestas de los problemas 1 y 2 para ayudarte
a determinar una fórmula para hallar la longitud de cualquier arco en cualquier círculo.
Área de un sector: El carrusel de la foto necesita ser remodelado. Supón que, en un esfuerzo por
hacerlo más colorido, la feria desea pintarle un patrón de sectores al suelo del carrusel. Un sector
de un círculo es una región entre dos radios y un arco de un círculo.
5. Considera el suelo del carrusel. Puede representarse con el círculo externo de tu diagrama del
Problema 3a. Utiliza tu compás para construir un único círculo que represente el suelo del
carrusel. ¿Cuál es el área del suelo? Explica cómo lo sabes.
6. El propietario ha decidido pintar el suelo con un patrón de sector con ángulos centrales de 10°,
20°, y luego de 30°. Utiliza tu transportador y un escalímetro (regla triangular de ingeniero)
para dibujar el patrón de tu círculo. ¿Cuántos sectores de cada medida de grado tiene tu
"piso"?
7. Supón que cada sector con un ángulo central de 10° se pintará de púrpura, cada sector con un
ángulo central 20° se pintará de rosa y cada sector con un ángulo central 30° se pintará de azul.
¿Cuántos pies cuadrados del piso estarán pintados de púrpura? ¿De rosa? ¿De azul? Explica
cómo lo sabes.
8. Utiliza lo que aprendiste en los problemas 4 y 6 para ayudarte a determinar una fórmula para
hallar la longitud de cualquier sector en cualquier círculo.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Pre cálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012 1158
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes crearán modelos y calcularán soluciones de ecuaciones trigonométricas
por medio de la transformación de funciones trigonométricas. Crearán, describirán y harán
predicciones sobre fenómenos periódicos para resolver situaciones matemáticas y del mundo real.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre cómo trazar gráficas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver
situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas
Gráficas de las funciones trigonométricas:
A.PR.11.4.4 Traza la gráfica de funciones de la forma: f(t) = ± A sen (Bx + C) + D, e interpreta A, B, C y D
en términos de amplitud, frecuencia, periodo, deslizamiento vertical y cambio de fase.
A.PR.11.4.5 Identifica las características de un fenómeno periódico usando la información provista por
la gráfica.
A.PR.11.4.6 Describe y hace predicciones sobre fenómenos periódicos de la vida real usando la
información de la gráfica.
A.PR.11.4.7 Traduce entre la representación gráfica y la algebraica para las funciones generalizadas
seno y coseno.
A.PR.11.4.8 Resuelve ecuaciones trigonométricas.
A.PR.11.4.9 Utiliza funciones trigonométricas para construir modelos y resolver problemas
matemáticos y del mundo real.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los valores A, B, C y D afectan la función
trigonométrica de seno f(x) = A sen (Bx+C)+D.
El fenómeno periódico puede describirse con
matemáticas.
Las funciones y gráficas trigonométricas sirven
de modelo del mundo real y nos permiten
resolver problemas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las características de un fenómeno periódico
La representación gráfica y algebraica de las
funciones generalizadas de seno y coseno
Vocabulario de contenido
amplitud, asíntota, características de las
funciones trigonométricas, deslizamiento,
Preguntas esenciales:
¿Cómo los coeficientes A, B, C y D afectan la
función trigonométrica de seno f(x) = A sen
(Bx+C)+D?
¿De qué forma las matemáticas nos permiten
entender el fenómeno periódico?
¿Cómo nos ayudan las gráficas y las funciones
a interpretar problemas del mundo real?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Trazar la gráfica de funciones de la forma: f(t)
= ± A sen (Bx + C) + D, e interpretar A, B, C y D
en términos de amplitud, frecuencia, periodo,
deslizamiento vertical y cambio de fase.
Identificar las características de un fenómeno
periódico usando la información provista por
la gráfica.
Junio 2012 1159

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
deslizamiento de fase, dominio, eje principal,
frecuencia, funciones trigonométricas,
intersecciones, intervalo decreciente,
periodo/periódico, traslación vertical,
trigonometría, valor máximo, valor mínimo
Tareas de desempeño
Guía de gráficas trigonométricas 145
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
cómo trazar funciones trigonométricas creando
una guía de gráficas. Deberán crear una guía paso
a paso limpia y bien rotulada de cómo trazar
gráficas de funciones trigonométricas.
En la guía, los estudiantes deben describir:
1. el comportamiento de las gráficas de seis
funciones trigonométricas básicas (y=senθ;
y=cscθ; y=cosθ; y=secθ; y=tanθ; y=cotθ);
2. cómo se relacionan, y
3. cómo las alteraciones en la función básica
alteran el periodo, la amplitud, el dominio, el
recorrido y el deslizamiento de fase
Los estudiantes deben usar gráficas de ejemplo
para apoyar sus conclusiones.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Cómo hacer modelos de datos climáticos reales 146
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
cómo trazar gráficas de funciones de seno y
coseno haciendo modelos de datos climáticos
reales y prediciendo las incógnitas. Trazarán la
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Describir y hacer predicciones sobre
fenómenos periódicos de la vida real usando
información de la gráfica.
Traducir entre la representación gráfica y la
algebraica para las funciones generalizadas
seno y coseno.
Resolver ecuaciones trigonométricas.
Utilizar funciones trigonométricas para
construir modelos y resolver problemas
matemáticos y del mundo real.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Dada la gráfica siguiente, responde a las
preguntas a-g. 147
a. Indica un ciclo en esta gráfica usando
marcas de cotejo (o cualquier otro
método) para indicar el comienzo y final
del ciclo.
b. ¿Cuál es el periodo de esta función?
c. ¿Cuál es la frecuencia de esta función?
d. ¿Cuál es la amplitud de esta función?
e. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones debe
asociarse con la gráfica anterior?
y cos( 3x
)
2
y cos( x ) +3
2
y 3 cos
145 Fuente: www.curriculumframer.com
146 Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=25928
147 Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf
Junio 2012 1160
x

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
gráfica de temperaturas en papel cuadriculado o
en calculadora gráfica, y luego crearán una
ecuación (modelo matemático) de los datos en
función del período y amplitud de las
temperaturas en un período de un año. Se
proveen quince meses para que la naturaleza
periódica de los datos resulte aparente. Los
estudiantes pueden escoger una función de seno
o coseno para su función.
Materiales: Datos de temperatura de la ciudad
(ver anejo: 11.3 Tarea de desempeño - Cómo
hacer modelos de datos climáticos reales), papel
de estraza, marcadores, yardas, reglas, cordón y
cinta adhesiva.
Instrucciones:
1. Indica a los estudiantes lo siguiente: "El
servicio nacional de meteorología sufrió una
falla en el sistema en abril (o el mes que sea)
y perdieron todos los datos de ese mes
porque, claro, no guardaron copia de los
datos. Necesitan ayuda escribiendo un
modelo que pueda predecir la temperatura
promedio del mes que falta. Nos están dando
otros 14 meses de datos para usarlos en
nuestro modelo".
"Las ecuaciones usadas para elaborar el
modelo real se llaman modelos matemáticos.
Por ejemplo, los ingenieros utilizan modelos
matemáticos computarizados para diseñar,
probar y construir cohetes, sistemas de
irrigación, carros, fuegos artificiales... de
todo. Tu grupo creará un modelo matemático
(ecuación) para predecir los datos del mes
que se perdieron de tu ciudad asignada".
Nota: En las temperaturas de Salt Lake City
hay un pequeño error o pequeña laguna en
mayo entre el modelo y los datos reales. Los
meteorólogos han notado esto como una
desviación importante de la tendencia, y lo
atribuyen al efecto lago dado que el Great
y 3cos(
x )
2
y 3cos(
x )
2
f. ¿Es esta una función par o impar?
g. ¿Cuál es el recorrido de esta función?
2. Dada la gráfica a continuación, elige la función
que representa. 148
a) y = cos (x + p/3)
b) y = cos (x - p/3)
c) y = cos x + p/3
d) y = cos x - p/3
3. Resuelve:
a.
Junio 2012 1161
b.
c.
4. Durante el día, la profundidad del agua varía
en el fin del puerto únicamente. La tabla
muestra la profundidad en pies en diferentes
horas de la mañana. 149
Hora
Profun
didad
(pies)
Diario
148 Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf
149 Fuente: http://www.scribd.com/doc/51511870/ejemplos
12
am
2
am
4
am
6
am
8
am
10
am
12
pm
3.4 8.7 11.3 9.1 3.8 0.1 1.2
a. Usa una función trigonométrica para
hacer un modelo de los datos.
b. Halla la profundidad a las 9 am y las 3pm.
1. Compara el trazar gráficas de funciones

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Salt Lake afecta las temperaturas de
primavera.
2. Los estudiantes pueden trabajar en grupos de
dos o tres. Repárteles la hoja de actividades
(ver anejo: 11.3 Tarea de desempeño - Cómo
hacer modelos de datos climáticos reales).
Los datos climáticos contienen información
de los meses y las temperaturas de cuatro
ciudades dentro de un periodo de quince
meses. Dale a cada grupo los datos de una
ciudad. No dejes que los grupos sepan que
algunos grupos tienen datos duplicados. El
maestro tendrá que cubrir con corrector
blanco el mes que los estudiantes tendrán
que predecir. Los estudiantes tendrán que:
a. Hallar la función de sus datos.
b. Utilizar la función para predecir la
información que falta y mostrar todos los
pasos.
c. Proveer la información que falta.
3. Los grupos tendrán que preparar un
presentación de tres a cinco minutos.
a. Escribe un modelo en la pizarra y designa
a alguien para que tome nota durante la
presentación.
b. El grupo deberá presentar cómo hallaron
la amplitud.
c. Presentar cómo calcularon el periodo y el
deslizamiento de fase.
d. Presentar las respuestas de la hoja de
guía.
e. Presentar los valores predichos: ¿cuál fue
el valor predicho del mes que faltaba?
¿Cómo obtuvieron ese valor?
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
trigonométricas con otras funciones cuyas
gráficas hayas trazado. ¿En qué se asemejan?
¿En qué se diferencian?
2. Determina los valores exactos de las seis
funciones trigonométricas (y=senθ; y=cscθ;
y=cosθ; y=secθ; y=tanθ; y=cotθ) de un ángulo
en posición estándar cuyo lado terminal pasa
por el punto (2, -3). 150
3. Traza la gráfica de por lo menos un ciclo de
cada uno de los siguientes: 151
a. y = cos θ
b. y=.2(.3)x
c. y = sen (2θ)
d. y = 1 + 3 cos 2 (θ - 40˚)
Boletos de entrada/salida
150
Fuente: http://www.pleacher.com/mp/mlessons/trig/testmenu.html
151
Ibídem.
152
Fuente: http://www.swtc.edu:8082/mscenter/mthsci/trig/05trigfx/wk05tfx.pdf
153
Fuente: http://www.pleacher.com/mp/mlessons/trig/testmenu.html
1. ¿Cuáles son las características de las funciones
de seno? ¿De coseno? ¿De tangente?
2. Sin trazar la gráfica de la función, ¿qué me
pueden decir de cómo se diferencia
y = 3 + 2 cos 2 (θ - 60˚) de su gráfica original?
3. Dada la función y = 3sin (2x - p/4) + 2 contesta
las siguientes preguntas: 152
a. ¿Cuál es la amplitud?
b. ¿Cuál es el periodo?
c. ¿Cuál es la frecuencia?
d. ¿Hay un deslizamiento horizontal? _____
Si es así, el deslizamiento está a _____
unidades a la derecha/izquierda.
e. ¿Hay un deslizamiento vertical? _____ Si
es así, el deslizamiento está a _____
unidades hacia arriba/abajo.
4. Determina la amplitud de y = 3 sin (2x) + 4. 153
Junio 2012 1162

Actividades de aprendizaje
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Ecuación de la curva del seno 154 : Haz un modelo de cómo se identifican las características de la
curva de un seno dada su ecuación. Pídeles a los estudiantes que pareen las funciones de seno con
sus características: periodo, amplitud y deslizamiento (ver anejo: 11.3 Actividad de aprendizaje -
Ecuación de la curva del seno).
Nombra la gráfica trigonométrica 155 : Dales a los estudiantes un conjunto de seis a doce gráficas
trigonométricas sacadas de libros o creadas por ti. Pídeles que las "nombren" según la ecuación
que producirá la gráfica. Una vez los estudiantes hayan identificado y "nombrado" todas las
gráficas correctamente, rétalos a que generen dos nombres adicionales por cada gráfica, uno
usando la misma función y otro usando la cofunción. Los estudiantes pueden trabajar en parejas
para crear nombres adicionales y corroborar sus respuestas usando una calculadora gráfica.
Las cuatro funciones restantes 156 : Los estudiantes trazarán la gráfica de la tangente, cotangente,
secante y cosecante usando traslaciones y dilataciones. Deben estar conscientes de que, aunque
las funciones de seno y coseno son continuas, las cuatro restantes no lo son. Deben entender el
comportamiento asintótico de cada una de las cuatro restantes. Utiliza los cinco puntos: máximo,
mínimo e interceptos de la gráfica. Repasa con los estudiantes su conocimiento de las funciones de
seno y coseno, sus interceptos en x y los valores máximo y mínimo para ayudar a trazar la gráfica
de las otras cuatro funciones trigonométricas. Permíteles a los estudiantes trabajar en grupos para
completar la hoja adjunta de “Las cuatro funciones restantes” (ver anejo: 11.3 Actividad de
aprendizaje – Las cuatro funciones restantes). Asegúrate de que los estudiantes entiendan que las
líneas verticales que aparecen en las gráficas de la calculadora de las funciones de secante,
cosecante, tangente y cotangente están ahí solo para marcar el lugar de las asíntotas verticales.
Cuando los estudiantes repliquen la gráfica, las asíntotas verticales deben aparecer como líneas
entrecortadas para mostrar que solo están ahí de guía. Fíjate en que ni la función secante ni la
cosecante tienen una amplitud, puesto que ninguna es una función limitada. Sin embargo, el valor
a en y = acsc x ó y = asec x afectará la función de seno, puesto que cambiará el valor del punto
máximo y mínimo.
Ejemplos para planes de la lección
Gráficas trigonométricas - ¿Qué hace una "constante fuera" de la función? 157 : En esta lección, los
estudiantes predecirán los efectos de sumar y multiplicar por una constante en una gráfica
trigonométrica, y luego confirmarán el efecto con una tabla de valores y un boceto rápido. Tendrán
la oportunidad de realizar el mismo proceso con una serie de funciones trigonométricas.
1. Primero, repasen una función no trigonométrica que les resulte familiar, como y = x 2 . ¿Cómo se
ve afectada la gráfica tras la incorporación de una constante? Describe cómo la gráfica básica
se compara con la gráfica de y = 3x 2 , o y = x 2 + 3. Traza la gráfica de las funciones para comprar
y contrastar las tres funciones.
2. Una vez les hayas dado la oportunidad de completar esta parte y comparar sus respuestas en
154
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sinegraf.html
155
Fuente: www.curriculumframer.com
156
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
157
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1163

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
parejas, tengan una breve discusión en clase; asegúrate de que hayan descrito correctamente
el efecto de sumar o multiplicar por una constante. Consideren además la pregunta: "¿Cambió
la naturaleza fundamental de la forma?" (No, se desplazó, se expandió o se reflejó, pero
mantuvo su naturaleza básica.)
3. Dales a los estudiantes ejemplos mixtos de funciones trigonométricas con las mismas
transformaciones. Un ejemplo posible es: y = 2 sin x, y = 2 + 3cos x, y = 1 - tan x, y = 1 + 2 cot x,
y = -1 + sec x, and y = 4 csc x.
4. Por cada ejemplo, haz que los estudiantes tracen la forma básica primero (por ejemplo, y=sen
x). Pídeles que tracen la gráfica con los valores en x de -2 π a 2 π. En el mismo conjunto de ejes,
pídeles que tracen la gráfica alterada usando los conceptos repasados, y sin trazar puntos
específicos. El propósito es usar las formas básicas y consolidar la comprensión del efecto que
tiene en la gráfica una constante sumada o multiplicada.
Gráficas trigonométricas - ¿Qué hace una "constante fuera" de la función? 158 : Como este tema es
un poco más complicado que el deslizamiento vertical y el cambio de amplitud estudiados
anteriormente, los estudiantes explorarán primero el efecto de multiplicar y sumar una constante
"dentro" de la función con ayuda tecnológica. Usando la calculadora gráfica, los estudiantes
explorarán el cambio en el periodo y el deslizamiento de fase por medio de la observación, e
intentarán realizar algunas generalizaciones en cuanto al efecto de multiplicar y sumar una
constante con x antes de evaluar la función trigonométrica.
1. Provéeles a los estudiantes un conjunto de ejemplos de funciones trigonométricas. Elige
ejemplos que representen todas las funciones, y asegúrate de que estas incluyan ejemplos del
deslizamiento vertical, el cambio de amplitud, el cambio periódico y el deslizamiento de fase.
2. Pídeles a los estudiantes que grafiquen las funciones con la calculadora gráfica, y que hagan un
dibujo detallado de un periodo de la gráfica y rotulen los puntos clave.
3. En parejas, los estudiantes deben analizar cada gráfica y compararla con la forma estándar con
la que se relaciona. ¿Cómo los números en las funciones afectan la gráfica? ¿Podemos
establecer de forma general cómo las operaciones de la variable antes de aplicar la función
trigonométrica afectan la forma de la gráfica? Los estudiantes ya conocen el deslizamiento
vertical y el cambio de amplitud por la lección anterior, y esa experiencia debe ayudarlos en
esta exploración.
4. A medida que formulan hipótesis, sugiéreles que las pongan a prueba creando sus propias
funciones, prediciendo cómo se verá la gráfica y probándola con la calculadora gráfica. Por
ejemplo, una vez piensen que saben lo que el "4" hace en la función y = 2 - 3 sen (4x), haz una
predicción de cómo y = 3 sen x debe verse y pruébala con la calculadora gráfica.
5. Sirve de facilitador de una discusión dirigida por los estudiantes sobre sus hallazgos.
Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas 159 : Los
estudiantes trazarán la gráfica y discutirán datos periódicos. Analizarán las características de cómo
desplazar gráficas trigonométricas, como la función periódica, el periodo, el punto máximo, el
punto mínimo, el eje principal y la amplitud. (ver anejo: 11. 3 Ejemplo para plan de lección - Notas
sobre los datos periódicos y los deslizamientos de funciones trigonométricas).
158
Fuente: www.curriculumframer.com
159
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
Junio 2012 1164

Recursos adicionales
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012 1165
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes aplicarán los conceptos de vectores en dos dimensiones para
representar, interpretar y resolver problemas. Identificarán y aplicarán las propiedades de los vectores
y juzgarán si los cómputos de los vectores son razonables.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los vectores en dos dimensiones para trabajar con cantidades físicas que tienen tanto
propiedades numéricas como direccionales.
Estándares de contenido y expectativas
Números y operaciones
N.SN.11.1.1 Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud, dirección y su
representación geométrica.
N.SO.11.1.2 Reconoce los vectores como sistema que tiene algunas de las propiedades de los números
reales.
N.OE.11.1.3 Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por un escalar para
representar, investigar y resolver problemas.
Juzga la razonabilidad de los cómputos con vectores.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los vectores se suman y se multiplican para
resolver problemas.
Los modelos vectoriales de nuestro mundo
tienen limitaciones.
No todos los cómputos son razonables.
Los vectores ayudan con los cálculos
matemáticos en ingeniería y física.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Los vectores en dos dimensiones como
objetos que poseen magnitud, orientación y
representación geométrica
Los vectores como sistema que tiene algunas
de las propiedades de los números reales
Las propiedades de la suma de vectores y la
multiplicación escalar
Vocabulario de contenido
dirección, dos dimensiones, magnitud, vector
Preguntas esenciales:
¿Cómo se utilizan los vectores para resolver
problemas?
¿Por qué no pueden representarse los
modelos físicos de cantidades vectoriales con
cantidades escalares?
¿Cómo sabes si un cómputo es razonable?
¿Cómo nos ayudan los vectores a entender el
mundo?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Ilustrar las propiedades de suma de vectores y
multiplicación por un escalar.
Aplicar las propiedades de suma de vectores y
multiplicación por un escalar para
representar, investigar y resolver problemas.
Juzgar la razonabilidad de los cómputos con
vectores.
Junio 2012 1166

Tareas de desempeño
Tesoro escondido 160
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los vectores mediante la elaboración de un "mapa
del tesoro", del tesoro escondido de Roberto
Cofresí.
Instrucciones:
El pirata Cofresí ha escondido tesoros en una isla
con cinco árboles ubicados en los siguientes
puntos (30.0 m, -20.0 m), (60.0 m, 80.0 m), (-10.0
m, -10.0 m), (40.0 m, -30.0 m) y (-70.0 m, 60.0 m).
Todos los puntos se miden relativos a algún
origen, como se muestra en la figura.
En la bitácora de su barco se dan instrucciones de
empezar en el árbol A y moverse hacia el B, pero
cubriendo solo 1/4 de la distancia entre A y B. A
continuación, moverse al árbol C, cubriendo 1/5
de la distancia entre tu ubicación actual y C.
Luego, muévete hacia D, cubriendo 1/6 de la
distancia entre el lugar donde te encuentras y D.
Finalmente, desplázate hacia E, cubriendo 1/7 de
la distancia entre tú y E; detente y excava.
a. Asume que has determinado correctamente
el orden en que el pirata rotuló los árboles
con A, B, C, D y E, según se muestra en la
figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
en que está enterrado su tesoro?
b. ¿Y si no supieras realmente la forma en que el
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Dado los vectores 1
u 2,
and 2
Junio 2012 1167
, 162
u
a. halla v
b. halla v +u
v
3,
c. saca conclusiones sobre u + v vs. v +u
u
d. halla la magnitud de v
e. halla u - v
f. halla v -u
g. saca conclusiones sobre u - v vs. v -u
h. halla u y v en términos de los vectores
de base estándar
i. halla 2u +3 v
2. Dado los vectores AB y CD a continuación,
163
a. halla los componentes de cada vector
b. traza los vectores de posición u y v donde
160
Fuente: http://www.cramster.com/answers-sep-10/physics/vector-problem-long-john-silver-pirate-buriedtreasure_949089.aspx?rec=0
162
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf
163 Ibídem.

pirata rotuló los árboles? Reajusta el orden de
los árboles, por ejemplo, B (30 m, -20 m), A
(60 m, 80 m), E (-10 m, -10 m), C (40 m, -30
m), y D (-70 m, 60 m), y repite el cálculo para
demostrar que la respuesta no depende del
orden en que están rotulados los árboles.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Vectores sobre el terreno 161
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los vectores para hallar la longitud de cable
requerida para cruzar el Río Yauco. Además de
sumar vectores, los estudiantes calcularán el
vector de deslizamiento y representarán su
trabajo en papel cuadriculado. (Nota: son datos
ficticios.)
Instrucciones:
1. Para tirar un cable sobre el Río Yauco, tienes
que determinar la distancia de una orilla del
río a la otra. Los postes de cableado se ubican
en los puntos A y D. Comienza con el punto A.
Camina 21 metros al sur. Luego camina al
este y 22.5 metros sobre el puente.
Finalmente, camina al norte 9 metros para
llegar al punto D. Usando la información
anterior, haz un dibujo a escala de las
distancias y direcciones recorridas. El punto
final debe llamarse D. El vector resultante que
une el punto A con el punto D en tu dibujo a
escala es equivalente a la suma de los
vectores que representan las distancias
recorridas en cada parte del recorrido. Mide
la magnitud del vector AD en tu dibujo a
escala. ¿Cuántos metros hay al cruzar el Río
Yauco del punto A al punto D?
2. Utiliza papel cuadriculado para hallar el
vector de deslizamiento resultante cuando se
suman los siguientes vectores de
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
Diario
u = AB y v =CD
c. halla u v y saca una conclusión acerca
d del ángulo entre u y v
d. halla la medida del ángulo (al grado más
cercano) entre u y v
e. halla un vector unitario en la dirección de
Junio 2012 1168
v
1. ¿Cómo se corresponden los números de la
dirección y la magnitud con la apariencia del
vector?
2. ¿Qué sucede cuando mueves el vector a una
nueva posición usando su punto medio?
3. Halla el valor de a si los vectores (-2,5) y (1,a)
son
a. paralelos
b. perpendiculares
Boletos de entrada/salida
1. Dado el paralelogramo ABCD, halla 164
a. DA + AB
b. AC
2. Dados los puntos P(1,1), Q(2,3) y R(-1,7), halla
lo siguiente. Redondea al grado más
cercano.) 165
a. la medida del ángulo P
b. la medida del ángulo Q
161 Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm
164 Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/problems_6AB.pdf
165 Ibídem.

deslizamiento en el orden que se muestra: 30
pies al norte, 50 pies al oeste y 15 pies al sur.
3. Dibuja un diagrama vectorial en papel
cuadriculado. Halla la magnitud y dirección de
cada vector resultante.
(a) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad aérea de 525 millas por hora.
(b) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad de 525 millas por hora y un
viento de cola de 20 millas por hora.
(c) Un avión que se desplaza al oeste a una
velocidad de 525 millas por hora y un
viento en contra de 20 millas por hora.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
c. la medida del ángulo R
Información básica de vectores 166 : Crea una serie de notas guiadas (para una guía, véase
http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/straight_linesvectors/Introduction-vectors.ppt).
Haz que los estudiantes completen las frases importantes,
ilustraciones, etc. mientras que estudian las tarjetas en conjunto. Asegúrate de incluir suma, resta,
multiplicación por escalar y cómo hallar vectores en las notas de guía. Dale seguimiento con la
actividad de aprendizaje - Hoja de actividades Información básica de vectores.
Hoja de actividades Información básica de vectores 167 : Los estudiantes practican la suma, resta,
multiplicación por un escalar y cómo hallar vectores (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje -
Hoja de actividades Información básica de vectores).
Caminando con los ojos vendados 168 : Antes de que empiece la clase, rotula las paredes del salón
con los puntos cardinales N, S, E y O. Divide a los estudiantes en parejas. Uno lleva puesta una
venda sobre los ojos (de verdad o virtual) mientras el otro le da direcciones. El objetivo es darle
direcciones al estudiante vendado para que pueda llegar del punto A al punto B. Si se dan bien las
direcciones, bastará con solo una dirección en voz alta que incluya tanto magnitud como
orientación. (Si este tipo de actividad no funcionaría con tu clase, puede lograrse con una hoja de
papel cuadriculado con los puntos "A" y "B" marcados.) Los estudiantes entonces nombrarán
algunas cantidades que tengan tanto magnitud como orientación; solo magnitud u orientación, y ni
166
Fuente: http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catch-up/Straight_lines-vectors.htm
167
Ibídem.
168
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1169

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
magnitud ni orientación.
Los vectores y el deporte de orientación 169 : Los estudiantes aplican los vectores en la elaboración
de modelos de situaciones físicas dentro del deporte de orientación. Usando la idea de que los
vectores se identifican por magnitud (longitud) y dirección desde un punto inicial, los estudiantes
competirán con otros compañeros de clase para desarrollar orientaciones en el deporte de
orientación para que gane su equipo (ver anejo: 11.4 Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte
de orientación).
Ejemplos para planes de la lección
Introducción a los vectores 170 : Se introduce a los estudiantes a la idea de los vectores en una
cuadrícula usando el ejemplo de un avión en pleno vuelo. Tras una breve mini lección, se guía paso
a paso a los estudiantes con problemas de práctica antes de dejarlos que intenten unos problemas
por su cuenta (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Introducción de vectores).
Vectores en un mapa 171 : Los vectores se utilizan para representar muchos conceptos, como la
fuerza, la velocidad y la aceleración. Los estudiantes dibujarán un sistema de vectores y hallarán el
resultante gráficamente, escribirán los componentes de un vector como una matriz de columna y
hallarán el resultante por medio de la suma de matrices. Resolverán además problemas prácticos
usando un sistema de vectores (ver anejo: 11.4 Ejemplo para plan de lección - Vectores en un
mapa).
1. Divide la clase en parejas. Repártele a cada estudiante una copia de las hojas de actividades, un
mapa de Puerto Rico, una brújula y marcadores.
2. Pídeles a los estudiantes que abran el mapa de Puerto Rico y ubiquen a San Juan. Pídeles que
hagan una lluvia de ideas para determinar cómo se ve un vector. Ubica la isla de Vieques en el
mapa. Dibuja una línea entre San Juan y la isla de Vieques. El aeropuerto Antonio Rivera
Rodríguez está ubicado en Vieques y el Aeropuerto Internacional se ubica en San Juan. Utiliza
una regla y la escala de tu mapa para determinar la distancia que tendría que recorrer el avión.
La distancia es un valor escalar. Pídeles a los estudiantes que hagan una lluvia de ideas para
encontrar otros valores escalares (temperatura, libras, altitud, velocidad, longitud,
distancia). Pregúntales si pueden pilotar el avión de San Juan a Vieques con solo saber la
distancia. Como piloto, necesitas saber la orientación.
3. Usando la brújula, pídeles a los estudiantes que hallen la dirección a la que tendría que dirigirse
el piloto para orientarse de San Juan a Vieques. Expresa la dirección en grados desde el norte
(0 o ). Ahora, expresa la distancia y la dirección juntas. En conjunto, la distancia y la orientación
se llaman deslizamiento. El deslizamiento es un vector.
4. Menciónales a los estudiantes que un vector se dibuja con una cola en el punto de origen y una
flecha en el destino para indicar orientación. La longitud del vector indica la distancia o su
magnitud. Recuerda, si se cambia la orientación de un vector, deja de ser el mismo vector.
5. Pídeles a los estudiantes que dibujen un vector en su mapa de San Juan a Vieques. ¿Se
encuentra la cola de la cabeza del vector en San Juan?
169
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/signature_lab6.pdf
170
Fuente: www.curriculumframer.com
171
Fuente: http://mathinscience.info/public/vectors/vectors.htm
Junio 2012 1170

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
3 semanas
6. Pídeles que representen los siguientes vectores en una hoja de papel cuadriculado: velocidad
de viento de 20 mph hacia el norte, un carro que se desplaza a 60 mph de sur a suroeste, un
barco que se desplaza a 4 nudos por hora del este al noreste.
7. Los estudiantes utilizarán la tarea de Misión Imposible para una misión encubierta como piloto
en entrenamiento en el aeropuerto internacional de San Juan.
8. Los estudiantes utilizarán la hoja de componentes de vectores de la tarea de Misión Imposible
como gráfica.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/ptosvect.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Junio 2012 1171
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes aplicarán las funciones trigonométricas a la resolución de problemas
con triángulos y explorarán las propiedades e inversa de las funciones trigonométricas. Desarrollarán y
aplicarán definiciones de la función de seno y coseno, desarrollarán identidades fundamentales y
resolverán problemas del mundo real.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las propiedades e inversas de las funciones trigonométricas para interpretar, predecir y resolver
situaciones del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Geometría
G.FG.11.5.1 Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para resolver triángulos.
G.FG.11.5.2 Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de suma y
diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente y cotangente; los cuales utiliza para
simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos.
G.FG.11.5.3 Conoce los dominios restringidos de las funciones de seno, coseno y tangente, para poder
definir sus inversas.
Calcula los valores de las funciones trigonométricas inversas.
Define y traza la gráfica de las funciones trigonométricas inversas con dominios restringidos
adecuadamente.
G.FG.11.5.4 Resuelve triángulos rectángulos y usa los resultados para resolver problemas concretos.
G.FG.11.5.5 Desarrolla la Ley de Seno y la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en el triángulo.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las funciones trigonométricas resuelven los
triángulos.
Las identidades pitagóricas trigonométricas
simplifican las expresiones y resuelven los
triángulos.
Las gráficas trigonométricas y sus inversas nos
permiten tomar decisiones informadas.
Las medidas indirectas se basan en las
propiedades de los triángulos rectángulos.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Conocer los dominios restringidos de la
función de seno, coseno y tangente para
definir sus inversas
La definición de la función de seno y coseno
Preguntas esenciales:
¿Por qué usarías funciones trigonométricas
para resolver triángulos?
¿Por qué son útiles las identidades
trigonométricas pitagóricas?
¿Cómo puedes comparar las gráficas de
funciones de seno, coseno y tangente y su
inversa?
¿Cómo se usan los triángulos rectángulos para
tomar medidas indirectas?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Desarrollar y aplicar la definición de las
funciones seno y coseno para resolver
triángulos.
Desarrollar las identidades pitagóricas
Junio 2012 1172

Las identidades trigonométricas pitagóricas
fundamentales de suma y resta, ángulos
dobles, y funciones de secante, cosecante,
tangente y cotangente
Los dominios restringidos de la función de
seno, coseno y tangente para definir sus
inversas
La gráfica de las funciones trigonométricas
inversas con dominios restringidos
La ley de cosenos (c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C)
La ley de senos
Vocabulario de contenido
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
ángulos dobles, dominios restringidos,
funciones trigonométricas inversas,
identidades trigonométricas pitagóricas, ley
de cosenos, ley de senos
Tareas de desempeño
Recorrido trigonométrico 172
Los estudiantes demostrarán su conocimiento de
las leyes de seno y coseno creando un recorrido
trigonométrico.
Instrucciones:
Tu tarea es crear un recorrido trigonométrico.
Utiliza tu área inmediata* para crear un problema
en el que haya que hallar una altura o distancia
inaccesible. Tu problema debe ser tridimensional
e incluir un triángulo rectángulo, así como el uso
de las leyes de seno y coseno. Entrega el
problema y su solución completa.
Los estudiantes intercambian sus problemas para
dar una caminata trigonométrica en que tomen
medidas y resuelvan los problemas diseñados por
los otros.
*Nota: el maestro puede especificar o limitar el
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
trigonométricas de suma y resta, doble
ángulos, funciones de secante, cosecante,
tangente y cotangente, que se utilizan para
simplificar expresiones trigonométricas y
resolver triángulos.
Calcular los valores de las funciones
trigonométricas inversas.
Definir y trazar la gráfica de las funciones
trigonométricas inversas con dominios
restringidos adecuadamente.
Resolver triángulos rectángulos y usa los
resultados para resolver problemas concretos.
Desarrollar la ley de seno y la ley de coseno y
utilizarlas para hallar las medidas
desconocidas de los lados y los ángulos en el
triángulo.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
3. Demuestra la identidad trigonométrica:
senθsecθ = (1 - cos²θ) / (senθcosθ).
4. ¿Cuál NO es una identidad?
a. 1 + cos²θ = sen²θ
b. csc²θ – 1 = cot²θ
c. 1 + tan²θ = sec²θ
d. 1-sen²θ = cos²θ
5. Escribe una oración compuesta que equivalga
a cada ecuación. Pista: tu primera respuesta
debe tener la forma x = ____y |y| ≤ ____. 174
a. y=sen -1 x
b. y=cos -1 x
c. y=tan -1 x
6. Usando las ecuaciones a continuación crea
una gráfica con el dominio restringido de (-1,
1) y una gráfica con el dominio restringido de
todos los números reales.
172
Fuente: http://www.mrsantowski.com/MCR3U/Assignments/M11SB555.pdf
174
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
Junio 2012 1173

área en que los estudiantes pueden crear su
recorrido trigonométrico.
Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Laberinto de triángulo 173
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la ley de senos y la ley de cosenos por medio de la
siguiente tarea en que trabajan como arquitectos
paisajistas que han recibido la tarea de diseñar un
laberinto al aire libre para un parque de
diversiones.
Tarea:
El parque de diversiones quiere añadir un
laberinto hecho de arbustos por el cual la gente
pueda pasear. Han encontrado ejemplos de
laberintos en otros parques que están formados
por ángulos rectos únicamente, y otros de
naturaleza circular. Para ser originales, les gustaría
crear su primer laberinto compuesto
completamente de formas triangulares sin
ángulos rectos.
Tú, el arquitecto paisajista, debes inventar un plan
para hacer un laberinto interesante de 1 acre que
esté compuesto de secciones triangulares. Los
triángulos estarán bordeados de arbustos altos, y
el interior de los triángulos estará cubierto de
agua para que la gente no intente saltar por
encima de los arbustos. Propón un diseño para
esta atracción con medidas de todos los lados y
ángulos, así como el área interior de los
triángulos. Puedes tener algunos ángulos con las
mismas dimensiones, pero asegúrate de que el
diseño tenga por lo menos cinco tipos diferentes
de triángulos, la variedad suficiente para ser
interesantes.
Procedimiento:
Diario
a. y=Sen -1 x
b. y=Cos -1 x
c. y=Tan -1 x
1. Comenzando por cos 2 x + sen 2 x=1 y usando tu
conocimiento de las identidades por cociente
y recíproca, deriva una identidad equivalente
en términos de la tan x y la sec x. Muestra
todo el proceso. 175
2. Traza una gráfica para demostrar que y = sin -1
x es una relación y no una función. Explica por
qué no es una función. 176
Boletos de entrada/salida
3. Reescribe en términos de cosθ y simplifica:
sen²θcot²θsecθ
4. Sea P(x, y) un punto en el cuadrante uno del
círculo unitario, x 2 + y 2 = 1. Traza el segmento
de línea OP. Sea θ el ángulo formado por OP y
la porción positiva del eje de x. Ahora traza la
perpendicular de P para que se encuentre con
el eje de x en el punto M. 177
a. Establece la razón de OP/MP en términos
de θ. Establece la razón de OP/OM en
términos de θ.
b. Establece las coordenadas del punto P en
términos de θ.
c. Sustituye tus coordenadas en la ecuación
del círculo unitario para demostrar una de
las identidades pitagóricas.
d. Ahora escoge P en otro cuadrante y repite
el proceso. ¿Sigue siendo cierta la
identidad?
173
Fuente: www.curriculumframer.com
175
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
176
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect07.pdf
177
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Junio 2012 1174

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
1. Haz un boceto de tu plan. Antes de finalizarlo,
asegúrate de que los caminos que la gente
escoja sean variados e interesantes. Algunos
deben llevar a callejones sin salida.
2. Una vez hayas terminado tu diseño, crea una
versión final de tu plan con todas las medidas
rotuladas, haz varias copias y traza los
caminos potenciales que puede tomar la
gente por el laberinto, tanto largos como
cortos. Estima cuán largos son estos caminos
posibles, y estima cuánto tiempo se tomaría
recorrerlos a un paso relajado.
3. Para hacerle la vida más fácil al
Departamento de Terrenos, informa la
longitud total de verjas de arbustos a las que
hay que darle mantenimiento, así como el
volumen total de agua en las piscinas que
tendrán que mantener. Escribe un párrafo
que describa las características del plan de
forma tal que sirva para "venderle" tu
propuesta al comité del parque.
4. Incluye todos los cálculos que respalden tu
propuesta en un apéndice adjunto al final.
5. Opcional (puntos de bono) - Da la milla extra
y crea una maqueta de tu plan para
asegurarte de que el comité entienda tu
visión del laberinto.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: 11.5 Tarea de
desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Funciones trigonométricas uno a uno 178 : Los estudiantes utilizarán el estudio previo de las
funciones inversas para comprender que las funciones trigonométricas no tienen inversa a menos
que restrinjamos su dominio. Primero, pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de y = sen x.
¿Cómo sabemos que se trata de una función? A continuación, pregúntales: ¿es una función uno a
uno? ¿Tiene una función inversa?* 179 Haz que los estudiantes tracen la gráfica de la relación x = sen
178
Fuente: www.curriculumframer.com
179
*Nota importante: No todos los libros de texto son uniformes en cuanto al uso del término inversa. Algunos libros
utilizan el término inversa con el sentido de "función inversa" y señalarán que la inversa no existe si al intercambiar las
variables de x y de y se cra una relación que no es una función. Otros libros utilizan el término inversa para describir la
relación creada por el intercambio de variables, aun cuando no se trata de una función, con lo cual cabe preguntarse
Junio 2012 1175

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
y. Obviamente no es una función. Reta a los estudiantes a hallar la porción mayor del sen x que sea
uno a uno. Primero, pídeles que lo trabajen solos y después compara sus respuestas. ¿Cuán larga
es? ¿Hay solo una respuesta posible? ¿Todo intervalo en x posee la calidad de ser uno a uno?
Pídeles que hagan lo mismo para el coseno y el seno en parejas. Discútanlo como clase.
Tres funciones trigonométricas inversas 180 : Explícales las funciones trigonométricas inversas para
funciones de seno, coseno y tangente, y su dominio y recorrido. Usa esta actividad para darle
seguimiento a las funciones trigonométricas uno a uno. Refiérete a la discusión anterior de las
funciones trigonométricas inversas de seno, coseno y tangente y haz hincapié en la diferencia entre
x = sen (hallar todos los ángulos y para los cuales el seno de y = x no sea una función), y y = arcosen
x (hallar el ángulo entre -π/2 y π/2 para el cual el seno de y = x).* 181 Muéstrales a los estudiantes
ambas convenciones para la escritura de funciones trigonométricas inversas: el uso de "arco-" y el
uso del índice superior "-1". Haz hincapié en que no se trata de un exponente, y contrástalo con
colocar sen x entre paréntesis con el exponente afuera como la forma correcta de elevar el seno a
la potencia negativo uno. Modela ejemplos y pídeles a los estudiantes que practiquen usando los
ejemplos para comprobar su habilidad para usar las funciones trigonométricas inversas básicas
(seno, coseno y tangente inversos). No les pidas que hallen la inversa de la cosecante, secante y
cotangente; esto se discutirá en la próxima actividad.
Funciones trigonométricas inversas 182 : En esta actividad, los estudiantes usarán su comprensión de
la función trigonométrica inversa de seno, coseno y tangente para crear funciones inversas de
cosecante, secante y cotangente. Primero, pídeles que explique en sus propias palabras lo que
significa "seno inverso de x". Recopila las ideas de los estudiantes y discútelas. A continuación,
rétalos a crear funciones inversas basadas en y = csc x, y = cot x usando lo que han aprendido en
actividades previas. Haz que compartan y discutan sus respuestas. Luego, rétalos a explicar por qué
estas inversas son menos importantes y algunos libros no las incluyen. En concreto, diles que no
necesitan una función cosecante inversa para hallar la cosecante inversa de 5/3, por ejemplo, y
pídeles que averigüen por qué. Dales tiempo para que lo discutan en parejas.
Tengo...quién tiene 183 : Haz una lista de preguntas y respuestas del tema que quieras repasar. Haz
dos columnas; la primera lleva "Tengo" de título y la segunda lleva "Quién tiene". La primera
columna es para las respuestas y la segunda es para las preguntas (las repuestas son de la pregunta
en la línea anterior). Para un ejemplo de esto con identidades trigonométricas básicas, ver anejo:
11.5 Actividad de aprendizaje - Tengo, quién tiene. A continuación, crea tarjetas por cada pregunta
y respuesta que hayas preparado; sin embargo, la tarjeta debe tener la respuesta de la próxima
pregunta de la lista. En el ejemplo con identidades trigonométricas fundamentales, la tarjeta
número dos dice: "Tengo cos A. ¿Quién tiene sen2A + cos2A?”. La tercera tarjeta dice "Tengo 1.
"¿es la inversa una función?”. Comprueba la terminología del libro de texto que están usando tus estudiantes y guarda la
coherencia terminológica con el libro para minimizar la confusión. En este documento, se utilizará el acercamiento
anterior; así, el término inversa se refiere a que se trata de una función.
180
Fuente: www.curriculumframer.com
181
*Nota importante: En relación con la nota anterior sobre la falta de uniformidad en el uso del término "inversa",
algunos libros diferencian entre "Arcsen x" y "arcsen x", donde uno es la función y el otro es la no función que equivale a
la relación x = sen y. Nuevamente, modifica tus explicaciones en clase para reflejar la convención usada en tu texto. En
este documento, usaremos la convención de no poner mayúscula para diferenciar el uso, y arcsen x se referirá a la
función con recorrido restringido, o "ángulo principal".
182
Fuente: http://www.mde.k12.ms.usACADIDCurriculumFramermath_pagesgrade_hsm.html
183
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html
Junio 2012 1176

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
¿Quién tiene 1/sen A?" La respuesta a la pregunta en la tarjeta dos se halla en la tarjeta tres.
Repárteles las tarjetas a los estudiantes al azar. Quédate con la primera tarjeta de la lista para que
tú empieces y termines el ejercicio. Lee la primera tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a la
primera pregunta entonces lee su tarjeta. El estudiante que tenga la respuesta a esa pregunta
entonces lee su tarjeta, y así sucesivamente hasta que todos hayan leído la suya.
Rompecabezas de identidades trigonométricas 184 : Los estudiantes acomodan los dieciséis
cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen para formar
identidades trigonométricas. (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Rompecabezas
trigonométrico).
Identidades trigonométricas 185 : Utiliza una técnica de delegación gradual de la responsabilidad
para modelar problemas y pedirles a los estudiantes que hagan problemas de práctica y crítica
inmediata de su trabajo con la Identidad trigonométrica fundamental (ver anejo: 11.5 Actividad de
aprendizaje - Identidades trigonométricas).
Identidades de ángulo doble 186 : Los estudiantes toman nota de las identidades de ángulo doble y se
les guía paso a paso con una serie de ejemplos. Pídeles que resuelvan algunos problemas de
práctica por su cuenta; durante ese tiempo, date la vuelta por el salón para responder a sus
preguntas (ver anejo: 11.5 Actividad de aprendizaje - Identidades de ángulo doble).
Ejemplos para planes de la lección
Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica 187 : En esta lección, se les guía paso a
paso a los estudiantes para cambiar el dominio de las ecuaciones trigonométricas y se les dan
problemas guiados de práctica (ver anejo: 11.5 Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el
dominio de una ecuación trigonométrica).
Desarrollar ley de cosenos 188 : Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios
datos sobre triángulos y se les pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán
triángulos entre sí para ver con cuáles conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como
ver que con ciertos ejemplos de LLL no se obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de
cosenos como extensión lógica de la fórmula pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A
continuación, explorarán los escenarios donde resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan
aplicarlo a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la actividad anterior (ver anejo: 11.5 Ejemplo
para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos).
Funciones trigonométricas inversas 189 : Se introduce a los estudiantes a la inversa de funciones
trigonométricas con representación tanto gráfica como simbólica. A continuación, el maestro guía
paso a paso a los estudiantes en el uso de las definiciones de inversa para evaluar y trazar gráficas.
Provee problemas adicionales de asignación. Para más información y materiales, dirigirse a:
http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-
184 Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html
185 Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
186
Ibídem.
187
Ibídem.
188
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html
189
Fuente: http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%2040-
%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf
Junio 2012 1177

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
%20Inverse%20Trig%20Functions.pdf.
Las leyes de seno y coseno ¡simplificadas! 190 : Esta actividad está diseñada para expandir el
conocimiento de trigonometría usando la ley de senos y la ley de cosenos. Los estudiantes
elaborarán una herramienta de trigonometría de triángulos para ayudarlos a visualizar las leyes de
trigonometría. A continuación los estudiantes reconstruirán los triángulos por su cuenta,
intercambiarán las construcciones con otros grupos y hallarán las soluciones. Corroborarán sus
soluciones usando un transportador y una regla de centímetros como herramientas de medir.
Necesitarán un pedazo de cartulina de color claro, marcadores rojo/azul/negro, transportador,
regla y tijeras. Los estudiantes ya deben conocer el teorema de Pitágoras, así como las relaciones
trigonométricas de seno, coseno y tangente con respecto a un triángulo rectángulo.
Instrucciones:
1. En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan su propio triángulo no rectángulo y lo
completen con un código de colores y razones trigonométricas escritas en su triángulo. Esto les
servirá como herramienta instructiva para que la utilicen cuando estén aprendiendo por
primera vez sobre la ley de senos y la ley de cosenos.
o Usando un escalímetro, los estudiantes trazan una línea por el lado diagonal de una
cartulina. Se forman así dos triángulos rectángulos congruentes. Recorta por la línea
diagonal. Deja un triángulo de lado para usarlo después.
o Usando un escalímetro, traza una línea por el triángulo rectángulo hasta el lado opuesto,
dividiendo así el ángulo recto de forma tal que ya no mida 90˚. Los estudiantes deberán
tener ahora un triángulo no rectángulo.
o Usando un marcador rojo, pídeles que rotulen un ángulo “ángulo A”. A continuación, haz
que cada estudiante coloree el opuesto del ángulo A con el marcador rojo. Completa el
mismo proceso para rotular el ángulo B, y luego el lado opuesto con un marcador azul. A
continuación, rotula el ángulo C y el lado opuesto con un marcador negro.
o Rotula cada ángulo con una letra mayúscula, y el lado opuesto de ese ángulo con la
misma letra y color, pero en minúscula.
o Pídeles que volteen el triángulo y dupliquen las marcas en el dorso.
o Pídeles que escriban la fórmula de la ley de senos en el centro de un lado del triángulo, y
que en el otro lado del triángulo escriban las tres fórmulas de la ley de cosenos.
2. Provéeles triángulos con la medida de un ángulo dada, su lado opuesto (en cm) y otra medida
que escojas. Los estudiantes deberán utilizar la ley de senos y la ley de cosenos para solucionar
los triángulos.
3. En parejas o grupos pequeños, los estudiantes dibujarán unos seis triángulos, lo
suficientemente grandes como para que ocupen toda la página. Infórmales que deben dibujar
estos triángulos con cuidado y precisión usando un escalímetro.
o Los estudiantes medirán tres de las 6 partes de cada triángulo y anotarán las medidas a
la derecha del dibujo.
o A continuación, intercambiarán su papel con otro compañero o grupo. En el nuevo papel,
los estudiantes deberán hallar las partes que faltan de cada triángulo usando el
conocimiento de trigonometría que posean. Pídeles a los estudiantes que muestren
todos los pasos del proceso y no dejes que usen las herramientas de medir como
muletilla.
190
Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=19845
Junio 2012 1178

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
5 semanas
o Una vez los grupos hayan terminado, devuélvanle el papel al propietario original.
o Usando un transportador y una regla de centímetros, pídele al propietario original que
corrija las respuestas.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigoecu.pdf
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/trigodef.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012 1179
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán los métodos generales de hacer pruebas en la resolución de
problemas y formularán justificaciones para los teoremas básicos de la geometría euclidiana.
Investigarán las situaciones geométricas, pondrán a prueba su validez matemática, desarrollarán
contraejemplos para refutar propuestas inválidas y comunicarán su razonamiento matemático de
forma organizada. Aplicarán los métodos paramétricos para representar e interpretar el movimiento
de los objetos en un plano, incluido el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el
movimiento de los objetos en órbita. Convertirán además las ecuaciones paramétricas a una ecuación
rectangular para interpretar una situación en contexto.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los teoremas de la geometría euclidiana y las ecuaciones paramétricas para interpretar, predecir
y resolver situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas
Teoremas de la geometría euclidiana
G.FG.11.6.1 Establece conjeturas basadas en la exploración de situaciones geométricas con o sin
tecnología.
G.FG.11.6.2 Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición matemática es
cierta.
G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.
G.FG.11.6.4 Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones condicionales.
G.FG.11.6.5 Organiza y presenta pruebas directas e indirectas utilizando tablas de dos columnas,
párrafos y flujogramas.
Geometría paramétrica
G.LR.11.7.1 Utiliza ecuaciones paramétricas para representar situaciones que involucran movimiento
en el plano, incluyendo el movimiento en una línea, el movimiento proyectil y el movimiento de los
objetos en órbitas.
G.LR.11.7.2 Traduce una par de ecuaciones paramétricas a una ecuación rectangular e interpreta la
situación en el contexto.
G.LR.11.7.3 Investiga curvas planas, incluyendo a aquellas en forma paramétrica.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las proposiciones matemáticas tienen que
ponerse a prueba.
Las investigaciones incluyen la validez de la
recíproca.
Las ecuaciones paramétricas son la
matemática del movimiento.
Elaborar y comunicar argumentos de forma
matemática es esencial para el estudio de la
Preguntas esenciales:
¿Cómo se sabe si una proposición matemática
es cierta?
¿Por qué se investiga la validez de la recíproca
de las proposiciones condicionales?
¿Cómo se describe el movimiento en términos
matemáticos?
¿Cómo se comunica el razonamiento en
matemáticas?
Junio 2012 1180

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
geometría (euclidiana).
La geometría euclidiana y la paramétrica se
informan una de la otra.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Las proposiciones condicionales y su recíproca
Métodos directos e indirectos de elaborar una
prueba
Diferentes formas de organizar y presentar el
razonamiento matemático (p. ej., en dos
columnas, párrafos y flujogramas)
Forma paramétrica
Vocabulario
Teoremas de la geometría euclidiana:
contraejemplo, proposición inválida, prueba
directa, prueba indirecta, recíproca de
proposiciones condicionales, refutar,
supuesto, validez
Geometría paramétrica: curvas del plano,
ecuación rectangular, forma paramétrica,
movimiento de los objetos, movimiento en el
plano, movimiento en una línea, movimiento
proyectil
Tareas de desempeño
Prueba euclidiana 191
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
cómo probar la geometría euclidiana usando
pruebas de dos columnas por medio del análisis
de la ubicación del Burger King.
Tarea: Las casas de Raúl (R), Ángela (A) y Beto (B)
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
¿Cómo se relaciona la geometría euclidiana
con la paramétrica?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Establecer conjeturas basadas en la
exploración de situaciones geométricas con o
sin herramientas tecnológicas.
Establecer la prueba directa o indirecta para
determinar si una proposición matemática es
cierta.
Desarrollar un contraejemplo para refutar una
proposición inválida.
Formular e investigar la validez del recíproco
de proposiciones condicionales.
Organizar y presentar pruebas directas e
indirectas utilizando tablas de dos columnas,
párrafos y flujogramas.
Utilizar ecuaciones paramétricas para
representar situaciones que involucran
movimiento en el plano, incluido el
movimiento en una línea, el movimiento
proyectil y el movimiento de los objetos en
órbitas.
Traducir un par de ecuaciones paramétricas a
una ecuación rectangular e interpretar la
situación en el contexto.
Investigar curvas planas, incluyendo a aquellas
en forma paramétrica.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Utiliza tu calculadora gráfica para trazar la
gráfica de cada una de las curvas
paramétricas. Usa WINDOW [‐3, 3] x [‐3, 3].
¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre
ellas? 193
x = sin 2t; x = sen 3t
191
Fuente adaptada de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto
Rico (2008).
193
Fuente: http://vhs.vale.k12.or.us/sites/vhs.vale.k12.or.us/files/u27/10-11Adv2/4-13Adv2.pdf
Junio 2012 1181

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
forman un triángulo isósceles con RAB como
ángulo de vértice. Entre las casas de Raúl y Beto
se encuentra un Burger King. Ángela piensa que el
Burger King se encuentra a mitad de camino entre
las casas de Raúl y Beto. Si la línea imaginaria
desde el Burger King hasta la casa de Ángela es el
bisector de ángulo RAB, Ángela tiene la razón.
Utiliza lo que sabes sobre la geometría euclidiana
para probar el enunciado de Ángela. Asegúrate de
incluir:
1. Un mapa rotulado de todos los edificios, la
línea bisectora y medidas de los ángulos.
2. Una prueba de dos columnas.
3. Un resumen en forma de párrafo de tu trabajo
en el que incluyas si Ángela tiene la razón o
no.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Funciones paramétricas 192
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las ecuaciones paramétricas al representar
situaciones que impliquen movimiento en el plano
y al traducir un par de ecuaciones paramétricas a
una ecuación rectangular. Los estudiantes crearán
un afiche que ilustre lo que saben.
Un piloto del Departamento de Manejo de Peces y
Vida Silvestre abastece un área de peces al
sobrevolar el área y soltar los animales. La ruta de
los peces usa como modelo estas ecuaciones
paramétricas: x = 120t (distancia horizontal -en
metros- desde donde fueron liberados, t segundos
después) y=80 - 4.0t2 (altura -en metros- sobre
tierra, t segundos después).
1. Escribe una ecuación de y en términos de x.
2. ¿Qué distancia desde el lago deben estar los
peces para ser liberados desde el avión para
y = 2 cos t; y = 2 cos t
2. Si 1 es un ángulo exterior de ∆ MNP,
demuestra que m 1 > m 4 y m 1 > m 3. 194
M N
P
1. Halla la ecuación rectangular equivalente de
las ecuaciones definidas de forma paramétrica
a continuación: 195
2. Ines está intentando ver cuán lejos puede
lanzar una flecha con su nuevo arco. Lanza la
flecha a 3.5 pies sobre el suelo a un ángulo de
52° sobre la línea horizontal a una velocidad
inicial de 30 pies por segundo. En el momento
en que suelta la flecha, un viento de 2 m/hr
(aproximadamente 2.933 pies/seg) sopla
desde el este, oponiéndole resistencia a la
flecha. 196
a. Las ecuaciones paramétricas que
representan la trayectoria de la flecha
están dadas por x(t) = 15.537t, y(t) =
23.64t – 16t² + 3.5.
Halla la ecuación rectangular equivalente
para la trayectoria de la flecha. (Nota:
192
Fuente: Adaptado de "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto
Rico (2008).
194
Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008).
195
Ibídem.
196
Ibídem.
Junio 2012 1182

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
poder alcanzar el punto meta de 3 km de un
lado a otro del lago?
3. ¡Oh no! Las lluvias de abril fueron
anormalmente bajas este año y el diámetro es
de 5 km menos de lo usual. Asumiendo que el
punto meta es el punto equidistante del lago,
¿a qué altura hay que liberar los peces para
que alcancen el punto meta en este nivel de
agua anormalmente bajo?
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Diario
Estas ecuaciones paramétricas son
aproximaciones.)
b. ¿Cuál es la altura máxima de la flecha?
1. Describe una situación en que hayas tenido
varias experiencias que te llevaron a hacer una
conjetura verdadera. Describe una situación
en que hayas tenido varias experiencias que te
llevaron a una conjetura falsa.
2. Hoy aprendí ________________ sobre las
funciones paramétricas.
3. Dudas que aún tengo sobre las funciones
paramétricas: ___________________-
4. ¿Qué son las funciones paramétricas? Provee
cinco ejemplos de cómo describen la vida real.
5. Discute la curva definida por las expresiones
paramétricas: 197
6. Hoy aprendí ________________ sobre la
geometría euclidiana.
7. Dudas que aún tengo sobre la geometría
euclidiana: ___________________.
8. Dado el siguiente enunciado: Si una figura
fuese un triángulo, entonces tiene ángulos de
90˚ o menos. Indica si el enunciado recíproco
es cierto o falso. Justifica tu respuesta.
9.
x = 3t 2
y = 2t
cuando: -2 ≤ t ≤ 2.
Boletos de entrada/salida
1. Traza la gráfica de la curva del plano en forma
paramétrica por: 198
x = 8cosθ
y = 4senθ
Identifica la curva al eliminar el parámetro θ.
2. En un punto a diez yardas de un gol de fútbol,
Roberto, quien está centrado con el gol, patea
la bola justo en el centro (desde el suelo) a un
ángulo de 20° sobre la línea horizontal y a una
velocidad de 50 pies/seg directamente hacia
197 Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008).
198 Ibídem.
Junio 2012 1183

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
el gol (véase la figura).
Las ecuaciones paramétricas que representan
la trayectoria de la bola están dadas por
x = 46.985t
y = 17.101t – 16t²
donde x y y están medidas en pies. (Nota:
Estas ecuaciones paramétricas son
aproximaciones.) 199
a) Halla la ecuación rectangular equivalente
para la trayectoria de la bola de fútbol.
b) Si la bola de fútbol alcanza los 8 pies de
altura, y no hay nadie protegiendo el gol
(el jugador se encuentra practicando su
pateada), ¿mete la bola en la red?
3. Utiliza las ecuaciones paramétricas para
describir la trayectoria de una bola de béisbol
bateada a 4 pies del suelo a un ángulo de 30°,
si su velocidad es de 100 pies/seg. 200
a. ¿Cuánto tiempo tomará para que la bola
caiga al suelo?
b. ¿Cuán lejos del bateador estará la bola
cuando caiga al suelo?
c. ¿Sobrepasará la bola una verja de 20 pies
que está a 250 pies del bateador?
4. Después de dibujar varios polígonos
convexos, indica la razón entre la suma de los
ángulos exteriores. 201
199
Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008).
200
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/problems_5D.pdf
201
Fuente: "Ejemplos por indicador de undécimo grado" del Departamento de Educación de Puerto Rico (2008).
Junio 2012 1184

Actividades de aprendizaje
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Tarjetas de repaso de funciones paramétricas 202 : Los estudiantes reconocerán y parearán funciones
paramétricas básicas dada una gráfica o la notación simbólica de la función. (ver anejo: 11.6
Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de funciones paramétricas).
Carrera de gráficas de funciones paramétricas 203 : En parejas, los estudiantes practican a trazar
gráficas de ecuaciones paramétricas. El maestro debe revisar cada gráfica antes de que el grupo
pueda pasar al próximo conjunto de ecuaciones. Comienza con el número adecuado de gráficas en
función del nivel de destreza que tengan los estudiantes y añade gráficas a medida que progrese la
unidad. El primer grupo que termine con el número correcto de gráficas ¡gana! (ver anejo: 11.6
Actividad de aprendizaje - Carrera de gráficas de funciones paramétricas).
Enigma de razonamiento deductivo 204 : Los estudiantes trabajan en grupos pequeños para resolver
el enigma de razonamiento deductivo. Recuérdales a los estudiantes las destrezas de razonamiento
deductivo usadas por Sherlock Holmes para resolver misterios, por medio de la lectura de pasajes
de las historias de Sherlock Holmes leídos por el maestro o por los estudiantes. No ayudes a los
grupos a resolver el misterio. Una vez hayan estado trabajando en ello durante un tiempo, pídeles
a los miembros de la clase que discutan las estrategias que emplearon para resolver el enigma. A
continuación, dales a los estudiantes una copia del razonamiento deductivo con una cuadrícula y
déjalos trabajar en el problema un poco más. Discutan el uso de gráficas y cómo pueden ser útiles.
Discutan qué destrezas o estrategias piensan los estudiantes que son necesarias para solucionar el
problema y qué herramientas los ayudarán a resolverlo. En concreto, repasa con los estudiantes las
tablas de dos columnas y los flujogramas que usaron en las pruebas geométricas previamente,
puesto que las usarán de nuevo en esta unidad. (ver anejo: 11.6 Actividad de aprendizaje - Misterio
de razonamiento deductivo)
A divertirse con los ángulos 205 : Los estudiantes repasarán las relaciones entre ángulos formados
por la intersección de dos líneas paralelas y una transversal. Provéeles una gráfica similar al
Diagrama 1 (a continuación) en que las líneas a y b sean paralelas y un número que represente la
medida del ángulo 1. Pídeles a los estudiantes que hallen la medida de todos los demás ángulos
numerados en el diagrama y provee una justificación de cada medida hallada (p. ej., si la medida
del ángulo 1 es 105˚, la medida del ángulo 5 es 105˚, puesto que los ángulos 1 y 5 son ángulos
correspondientes). Los estudiantes entonces deberán proveer un argumento convincente de que
los pares de ángulos son o congruentes o suplementarios (p. ej., dado que las líneas a y b son
paralelas, prueba que los ángulos 1 y 7 son suplementarios), sin usar medidas de ángulos. Pueden
elaborarse pruebas un poco más difíciles usando diagramas similares al Diagrama 2.
202
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/Activity_5AB.pdf
203
Fuente:
http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421
204
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
205 Ibídem.
Junio 2012 1185

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
Imágenes paramétricas 206 : Los estudiantes aprenden cómo usar la función "paramétrica" de sus
calculadoras gráficas al crear una imagen usando funciones paramétricas. Pídeles a los estudiantes
que tracen la gráfica de la calabaza a continuación en una calculadora gráfica primero; a
continuación, deberán hacerla por su cuenta. Los estudiantes deberán crear una imagen usando
por lo menos cuatro ecuaciones paramétricas y demostrar a) el conjunto de ecuaciones, b) ajustes
necesarios en la gráfica, y c) un boceto de la imagen graficada con escalas. La imagen puede ser
una que ellos escojan o una réplica de una imagen, como la calabaza de ejemplo aquí abajo.
Ejemplo: Traza la gráfica de la imagen a continuación en una calculadora gráfica. Traza los puntos
en modo paramétrico y desactiva los ejes. No uses Zoom Square.
x 8cos t
1
1
y 8sin t
x231.5sin t
y 31.5cos t
2
3
x 3 1.5cos t
y331.5sin t
x 4.5sin t
4
y440.75cos t
x5 t (( t 0.95) and ( t 0.95))
y 4.5( abs( t)
2.55)
5
t
x6
cos
2
y6sint t
tstep = 0.25
10
x 10
10 y 10
206 Fuente:
http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421
Junio 2012 1186

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
Proposiciones condicionales: Utiliza la técnica de Piénsalo-Emparéjate-Compártelo para introducir a los
estudiantes en el concepto de las propuestas condicionales y su recíproca. Escribe una proposición
condicional en la pizarra y la pregunta "indica si la recíproca es cierta o falsa. Justifica tu respuesta".
Pídeles a los estudiantes que primero piensen en la respuesta a la pregunta de forma individual. A
continuación, pídeles que discutan sus respuestas con un compañero (emparéjate); finalmente, pídeles
que compartan sus respuestas con la clase (compártelo). Asegúrate de preguntarles a todos los grupos
si usaron razonamientos o justificaciones distintos y dialoguen todos juntos sobre por qué si o por qué
no.
Ejemplos para planes de la lección
Hallar las medidas de segmento y ángulo de forma analítica 207 : Los estudiantes organizan y
presentan sus medidas de segmento y ángulo halladas de forma analítica usando una tabla de dos
columnas y un flujograma. Los estudiantes redactan entonces un párrafo en que describan su
prueba.
1. Repasa el símbolo correcto para denotar la medida de un segmento de línea. Asegúrate de
(AB ,
AB ,
AB y AB) y sus significados.
señalar las diferencias entre los símbolos ,
2. Introduce el Postulado de la suma de segmentos que establece que "si A, B y M son puntos
colineales y M se encuentra entre A y B, entonces AM + MB = AB". Introduce también el
teorema de los puntos equidistantes que establece que "si M es el punto medio de AB,
entonces AM ≅ MB”.
3. Deben proveérseles varias oportunidades a los estudiantes para que hallen las medidas de
segmentos que impliquen expresiones algebraicas al emplear el postulado de la suma de
segmentos y el teorema del punto equidistante. Por ejemplo: Si A se encuentra entre C y T, CA
= 2x + 5, AT = 5x − 2, y CT = 8x − 2, halla x y AT. Solución: Usando el postulado de la suma de
segmentos, sabemos que CA + AT = CT, por lo que x = 5 y AT = 23 unidades.
4. Además de hallar las medidas de segmentos de forma analítica, los estudiantes deberán
trabajar con el Postulado de la suma de ángulos que establece que “si R está en el interior de
∠PQS, entonces m ∠PQR + m ∠RQS = m ∠PQS”. Los estudiantes deben trabajar los problemas
en que tengan que hallar las medidas de varios ángulos con y sin álgebra. Pídeles además que
usen la definición de bisector de ángulo (si PQ es un ángulo bisector de ∠RPS, entonces Q está
en el interior de ∠RPS y ∠RPQ ≅ ∠SQP) para hallar las medidas de los ángulos usando álgebra.
5. Demuestra cómo se usa una tabla con dos columnas y un flujograma para que los estudiantes
presenten sus hallazgos. Instruye a los estudiantes paso a paso sobre los elementos necesarios
para redactar una descripción de sus hallazgos en forma de párrafo .
Pruebas con historias en cadena 208 : Los estudiantes trabajan con pruebas al crear una historia
matemática modificada para completar una prueba basada en geometría euclidiana. En esta
lección, se hace hincapié en proveer un argumento convincente y fácil de seguir por medio de
razones, en vez de usar un formato particular (flujograma o tabla).
1. Provee un par de ejemplos de pruebas con argumentos convincentes y fáciles de seguir y
argumentos poco convincentes y rebuscados. Identifiquen elementos de los argumentos
207 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
208 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
Junio 2012 1187

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
convincentes y fáciles de seguir juntos como clase. Diles a los estudiantes que su enfoque para
el día será asegurarse de que los argumentos geométricos sean tanto convincentes como
fáciles de seguir.
2. En grupos de tres a cuatro estudiantes, cada miembro debe tomarse turnos escribiendo un
enunciado y una razón para la prueba. El primer miembro escribe el primer enunciado y razón.
El segundo lee el enunciado de la primera persona y la razón y decide si es lógico. A
continuación, él o ella añade su propio enunciado y razón. El proceso continúa hasta que se
haya escrito toda la prueba. Cada vez que un miembro recibe la prueba, él o ella deberá leer la
prueba completa para asegurarse de que está de acuerdo con la lógica y fluidez de esta. Si a
alguna persona en el grupo le preocupa algo de la información previa, debe ayudar a su
compañero(a) a corregir el enunciado y luego añadir su nueva información. Los grupos deben
poder usar una prueba con dos columnas, una prueba en forma de párrafo o una prueba con
flujograma.
3. Busquen que las pruebas estén correctas. Cuando la mayor parte de los grupos hayan
completado sus pruebas, anímalos a que discutan sus ideas con otros grupos. En este punto,
los estudiantes deben preguntarse los unos a los otros si piensan que hay errores en alguna
parte de su trabajo.
4. Elige tres grupos distintos para escribir una prueba particular (correcta) en la pizarra. Discutan
variaciones y semejanzas de las tres pruebas con toda la clase, y hablen de los pasos extra que
podrían añadirse u omitirse.
Introducción a las funciones paramétricas 209 : Los estudiantes realizan una aplicación del mundo
real y recopilan datos para el salón de clases. Los datos recopilados se usarán en el salón de clases
para introducir de forma intuitiva las ecuaciones paramétricas. Se les pedirá a los estudiantes que
saquen conclusiones sobre los datos y sus representaciones a partir de conocimiento previo. Se les
mostrará además cómo pueden usarse las ecuaciones paramétricas en un modelo no lineal.
Materiales: espacio grande como una cancha, cinta adhesiva protectora, hilo de tejer, dos
cronómetros, cinta métrica de 100 pies, papel cuadriculado, hojas con tablas para anotar datos y
tarjetas de tarea grupal (ver anejo: 11.6 Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones
paramétricas).
Instrucciones:
1. En un espacio grande, como en una cancha, el maestro coloca una cuadrícula trazada en el
suelo para que los estudiantes la usen antes de clase.
2. Asígnale un número a cada estudiante para que se dividan en cinco grupos. A cada grupo se le
dará una tarjeta con la tarea de la actividad. (Alternativa: Si cuentas con más espacio,
funcionaría mejor hacer que los estudiantes se separen en grupos de cinco en que cada
persona tenga su propia tarea, en vez de que haya una tarea por grupo.)
3. Explícales lo siguiente: Estamos en una tarima. Los artistas de escenario tienen una cantidad
limitada de recorridos. En la danza, el coreógrafo puede pedirle a dos bailarines que se crucen
corriendo. En esta situación, cada bailarín debe conocer su trayecto para que no se choquen
durante la danza. En el teatro, el director podría pedirles a dos actores que corran el uno hacia
el otro. En algunas funciones se requiere que ambos actores caminen hacia atrás en el
209 Fuente: http://parametricequationsintro-lessonstudy.wikispaces.com/
Junio 2012 1188

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
escenario para que puedan encontrarse. Nuevamente en ambos casos cada cual debe saberse
su trayectoria. Vamos a trazar unos cuantos trayectos posibles que podrían recorrerse en un
escenario.
4. Preguntas guiadas para esta actividad:
Los trayectos se cruzan, ¿pero significa esto que se chocarían?
¿Cuáles son las variables que afectaron cada trayecto? (tiempo, distancia y velocidad)
5. En grupos, los estudiantes enumeran los datos recopilados en una tabla en la pizarra.
6. Introduce el término "paramétrico" y dales el contexto (x y y respecto de t aparte). Entonces se
le presentará el siguiente problema a la clase: ¿cómo puedes usar esta información (punto
inicial, punto terminal, tiempo) para crear un grupo de gráficas y ecuaciones que representen
los datos?
7. La clase seleccionará un conjunto de datos y comenzará a trabajar en el problema en grupos.
La clase tendrá unos 10 minutos para lidiar con el problema, intentando usar su conocimiento
para hallar soluciones a la pregunta.
8. Tengan una discusión en clase del problema e ideas de técnicas para solucionarlo.
9. Los estudiantes combinan las ecuaciones paramétricas en una ecuación cartesiana y trazarán la
gráfica de la ecuación en una gráfica aparte.
10. Conecta sus resultados con la actividad al comparar la gráfica cartesiana elaborada por ellos en
su propia imagen de la gráfica del gimnasio.
11. Discutan los puntos intersecantes, así como si las personas que se desplazan se chocarían y qué
determina si se chocan o no. (Tiempo como variable independiente, velocidad, d=r/t).
12. Se les dará otro conjunto de datos a los grupos para completarlo en clase.
Lanzamiento de los anillos: Esta lección está diseñada para introducir las ecuaciones paramétricas.
Los estudiantes usarán una calculadora gráfica para generar valores numéricos y trazar gráficas de
ecuaciones paramétricas para hacer modelos del movimiento de un anillo en un juego de
lanzamiento de anillos. Para más información, dirigirse a
www.dlt.ncssm.edu/AFM/lessons/ring_toss.doc.
Lanzamiento 210 : Esta lección sirve para realmente consolidar la comprensión de la distinción entre
seguir la trayectoria de la bola frente a seguir su altitud, a la vez que se investiga una relación
cuadrática. Puede que sea necesario ilustrar unos cuantos ejemplos a modo de repaso o
introducción de las ecuaciones paramétricas y su significado antes de comenzar con esta actividad.
Esto ayudará a solidificar la confianza y comprensión de los estudiantes en cuanto a las ecuaciones
paramétricas. Asegúrate de discutir lo que cada una de esas variables y el parámetro representan
en la situación. Pregúntales: Si se cambiara el valor constante de x, ¿cómo afectaría esto la altitud
de la bola con respecto al tiempo? Asocia la situación física con la parte matemática. Ayúdales a los
participantes a hacer la asociación de que en este caso la aceleración, debido a la gravedad,
aparece nuevamente como las segundas diferencias. Las primeras diferencias muestran que la tasa
de cambio no es constante, que esta está en cambio constante. La tasa de cambio, la velocidad,
cambia a un ritmo constante, llamado aceleración. Para más información, dirigirse a:
http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_3-1-2.pdf
210 Fuente: http://www.utdanacenter.org/highered/alg2/downloads/IV-B-CourseContentAlgII/AlgII_3-1-2.pdf
Junio 2012 1189

Recursos adicionales
Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
4 semanas
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Junio 2012 1190
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes determinarán el grado de correlación entre dos variables y usarán la
regresión lineal por mínimos cuadrados para hacer modelos de tendencias en series de datos. Los
estudiantes examinarán los efectos que tienen los valores extremos en el coeficiente de correlación y
las líneas de regresión y analizarán la importancia de los valores extremos como posibles errores en los
datos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre los modelos lineales de tendencias en series de datos para interpretar datos, analizar relaciones
y tendencias en los datos, y determinar correlaciones entre estos.
Estándares de contenido y expectativas
Modelos de tendencias de datos
E.IP.11.9.1 Determina la correlación entre dos variables numéricas utilizando la tecnología.
E.IP.11.9.2 Interpreta y describe la correlación y señala las fortalezas y debilidades del coeficiente
como una medida de asociación lineal.
E.IP.11.9.3 Calcula y grafica los residuales de la línea de regresión por cuadrados mínimos; juzga el
ajuste del modelo lineal.
E.IP.11.9.4 Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de dispersión y juzga cuando
las tendencias extrapoladas son apropiadas.
E.IP.11.9.5 Examina la influencia de los valores extremos en la correlación y en los modelos de
tendencias.
Investiga y describe los efectos de los valores extremos en el coeficiente de correlación, la
pendiente y los interceptos de la línea de regresión.
E.IP.11.9.6 Analiza la importancia potencial de los valores extremos como avisos para errores posibles
en los datos, como contraejemplos o casos únicos, especialmente cuando se describen tendencias
sociales.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
La correlación nos informa de la
interdependencia entre dos cantidades.
Los ajustes por cuadrados mínimos se usan
comúnmente en las regresiones lineales.
Los valores extremos afectan la correlación.
Las regresiones nos permiten interpretar la
correlación entre las variables.
Podemos usar una función que sirva de
modelo para situaciones del mundo real para
hacer estimados o predicciones sobre eventos
futuros.
Preguntas esenciales:
¿De qué forma la correlación demuestra la
solidez de las predicciones basadas en un
diagrama de dispersión?
¿Por qué existen diversos métodos para las
regresiones lineales?
¿Por qué los valores extremos afectan la
correlación?
¿De qué forma se relacionan la regresión y la
correlación?
¿Cómo se puede hacer un modelo de datos
con una función lineal?
Junio 2012 1191

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Investigar y describir los efectos de los valores
extremos en el coeficiente de correlación, la
pendiente y el intercepto de la línea de
regresión
Los puntos fuertes y débiles del coeficiente de
correlación como medida de la asociación
lineal
El método de los cuadrados mínimos
Vocabulario
asociación lineal, causalidad, coeficiente,
coeficiente de correlación, correlación
negativa, correlación positiva, diagrama de
dispersión, extrapolación, frecuencia,
intercepto, interpolación, línea de mejor
ajuste, línea de tendencia, pendiente,
regresión lineal, regresión lineal por mínimos
cuadrados, tendencia, valores extremos
Tareas de desempeño
Análisis del diagrama de dispersión
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la correlación al recopilar datos relacionados con
una situación del mundo real, construir un
diagrama de dispersión a partir de los datos,
analizar el diagrama y preparar un informe.
1. Provéeles a los estudiantes algunas ideas para
que recopilen datos con tendencias lineales.
2. Dales las siguientes instrucciones.
a. Tu tarea es elaborar una pregunta de
investigación a la que deberás responder
recopilando y analizando datos
Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Determinar la correlación entre dos variables
numéricas utilizando la tecnología.
Interpretar y describir la correlación y señalar
las fortalezas y debilidades del coeficiente
como medida de asociación lineal.
Calcular y trazar la gráfica de los residuales de
la línea de regresión por cuadrados mínimos;
juzgar el ajuste del modelo lineal.
Interpolar utilizando las tendencias
observadas en el diagrama de dispersión y
juzgar cuándo las tendencias extrapoladas son
apropiadas.
Examinar la influencia de los valores extremos
en la correlación y en los modelos de
tendencias.
Investigar y describir los efectos de los valores
extremos en el coeficiente de correlación, la
pendiente y los interceptos de la línea de
regresión.
Analizar la importancia potencial de los
valores extremos como avisos para errores
posibles en los datos y como contraejemplos
o casos únicos, especialmente cuando se usan
para describir tendencias sociales.
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. En una escuela superior del oeste, todos los
estudiantes de matemáticas de duodécimo
grado recibieron el mismo examen de la
unidad, pero a la clase del salón hogar 1 se le
dio una versión del examen distinta de la del
salón hogar 5. 213
Salón hogar 1
(x)
Salón hogar 5
(y)
84 78
90 86
213 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf
Junio 2012 1192

elacionados con una situación del mundo
real.
b. El maestro deberá aprobarte la pregunta y
métodos de investigación.
c. Una vez recopiles los datos, construye un
diagrama de dispersión de estos.
d. Analiza el diagrama de dispersión usando
la regresión lineal.
e. Halla la ecuación de la línea de tendencia.
f. Usa la ecuación de la línea de tendencia
para hacer una predicción.
g. Halla la ecuación de la línea de mejor
ajuste.
h. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste
para hacer una predicción.
i. ¿Qué información de la gráfica necesitas
para escribir cada ecuación?
j. Explica el significado del valor de la
pendiente, intercepto con el eje de y y el
coeficiente de correlación.
k. Identifica los valores extremos (datos
anómalos) y describe su efecto sobre la
pendiente, el intercepto con el eje de y el
coeficiente de correlación.
l. ¿Hay alguna tendencia en los datos?
¿Cómo lo sabes?
m. Identifica la conclusión de los hallazgos y
describe cualquier fuente de error posible
a la hora de describir la tendencia.
n. Compara la línea de regresión lineal
obtenida con tecnología con la que se
obtiene por otro método y discute las
ventajas de cada método usado en un
párrafo para entregar.
o. Prepárate para presentar tus hallazgos
frente a un grupo de tus compañeros.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Evalúa la conjetura 211
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
83 75
80 92
68 76
71 60
82 87
89 83
91 94
95 80
75 81
88 93
a. En tu calculadora, construye un diagrama
de dispersión de las puntuaciones de los
exámenes, y usa el salón hogar 1 como la
variable independiente. Escribe una
ecuación de la línea de mejor ajuste
(redondea a la centena más próxima).
b. Halla el coeficiente de correlación a la
centena más próxima.
c. Predice, al entero más próximo, la
puntuación del salón hogar 5 y su
correlación con una puntuación de 97 de
un estudiante del salón hogar 1.
2. En la tabla a continuación se muestra el
coeficiente intelectual de ocho estudiantes de
duodécimo grado y el número de horas que
cada estudiante pasa viendo televisión a la
semana. 214
CI (x)
Hrs.
105 125 135 100 115 130 140 100
de TV
(y)
11 7 6 13 15 8 2 14
a. Halla la ecuación de regresión lineal de
estos datos. Redondea la pendiente y los
interceptos con el eje de y a la milésima
más próxima.
b. Halla el coeficiente de correlación.
c. ¿Cuántas horas de televisión a la semana
se predice que verá un estudiante con un
CI de 120? (Redondea a la hora más
próxima.)
211 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Junio 2012 1193

la regresión lineal evaluando una conjetura.
Tarea: A partir de los datos del Banco Mundial 212 ,
se proyecta que la población de Puerto Rico en
2020 será de 4,380,000. Usa los datos a
continuación para contestar las preguntas y
probar esta proyección.
Año
Población
(en miles)
1960 2,358
1970 2,718
1980 3,206
1990 3,537
2000 3,814
2010 3,979
1. Haz un diagrama de dispersión de los datos.
¿Por qué piensas que el Banco Mundial
expresó la población en miles?
2. Determina una ecuación de regresión que
podría usarse para hacer un modelo de los
datos. Utiliza esta ecuación para determinar el
número esperado de personas que habrá en
Puerto Rico ese año.
3. ¿Cómo debes redondear tu respuesta? ¿Por
qué?
4. Averigua la población actual de Puerto Rico.
¿Cómo se compara tu estimado con la
población real? Explica por qué tu respuesta
es distinta de la población real.
1. Halla la ecuación de la línea de tendencia.
2. Usa la ecuación de la línea de tendencia
para hacer una predicción.
3. Halla la ecuación de la línea de mejor
ajuste.
4. Usa la ecuación de la línea de mejor ajuste
para hacer una predicción.
5. ¿Qué información de la gráfica necesitas
para escribir cada ecuación?
6. Explica el significado del valor de la
pendiente, intercepto con el eje de y el
Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
Diario
1. En tus propias palabras, ¿qué es la regresión
lineal?
2. ¿Qué nos dice la regresión lineal?
3. ¿Cómo se diferencia el coeficiente lineal de la
media o mediana de una variable?
4. ¿Cómo puedes hacer predicciones a partir de
un diagrama de dispersión?
5. A la hora de estimar los puntos que faltan
usando la interpolación lineal en un diagrama
de dispersión, ¿qué es lo que se asume?
¿Cuáles son las características de esos
supuestos?
Boletos de entrada/salida
1. En la tabla a continuación se muestra la
relación entre la longitud de L, medida en
centímetros, de un resorte colgante y un
peso, p, medido en gramos, enganchado en el
resorte.
L 8 12 16 20 24
p 10.36 12.13 14.35 16.21 18.52
Usando tu calculadora, construye un diagrama
de dispersión donde p sea la variable
independiente. Halla la ecuación de regresión
lineal en la forma L = Aw + B redondeando A y
B a la centena más próxima.
Utiliza la ecuación hallada para predecir la
longitud del resorte, a la décima más próxima
de un centímetro, si se le añade un peso de 30
gramos. 215
2. Pídeles a los estudiantes que completen las
siguientes ideas en los últimos dos minutos de
clase en un pedazo de papel:
a. En clase hoy aprendí
________________________.
b. Hoy tuve duda en cuanto a
____________________.
3. Pídeles que completen las siguientes ideas en
214 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf
212 Fuente: World Bank Databank, http://databank.worldbank.org
215 Fuente: http://www.math.sunysb.edu/~preston/mat517/projects/Cutrone_Heinssen.pdf
Junio 2012 1194

coeficiente de correlación.
7. Identifica los valores extremos (datos
anómalos) y describe su efecto sobre la
pendiente, el intercepto con el eje de y el
coeficiente de correlación.
8. ¿Hay alguna tendencia en los datos?
¿Cómo lo sabes?
9. Identifica la conclusión de los hallazgos y
describe cualquier fuente posible de error
a la hora de describir la tendencia.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
los primeros dos minutos de clase en un
pedazo de papel:
a. Explica una idea que recuerdes de la clase
de ayer.
¿Correlación o causalidad? 216 : Durante un repaso de la correlación y la causalidad, diles a los
estudiantes: cada par de variables que se muestra aquí tiene una fuerte asociación. ¿Causa I el II, o
el II causa el I, o hay alguna otra variable que cause ambos?
A. I. Llevar un audífono para sordos. II. Morir en los próximos diez años.
B. I. La cantidad de leche que bebe una
persona.
II. La fortaleza ósea de una persona.
C. I. La cantidad de dinero que gana una II. El número de años que una persona
persona.
asistió a la escuela.
D. I. La capacidad de una cancha de
II. El número de iglesias (o bares) en el
baloncesto de una escuela superior.
mismo pueblo.
Cadena humana 217 : La clase recopilará datos al cronometrar cuánto tiempo se toma en que se
"transfiera un toque" entre un grupo de estudiantes. Los estudiantes pueden formular sus
hipótesis de si la transferencia por toque de manos será más o menos rápida que la transferencia
por toque de hombros. Haz que la clase forme un círculo con suficiente espacio entre cada
estudiante para que puedan tomarse de la mano cómodamente. Comiencen con la transferencia
de "mano"; explícales que deben (cuando se les pida) apretar suavemente la mano de la persona a
su derecha una vez hayan sentido que les apretaron la mano. Los estudiantes deben mantener los
ojos cerrados para que el sentido del tacto sea la única variable. Indica cuántos estudiantes
participarán en cada pase e indícale al último estudiante que diga "ya" una vez le aprieten la mano.
Comienza iniciando el cronómetro mientras aprietas suavemente la mano del primer estudiante y
detenlo cuando se le haya apretado la mano al último. Utiliza distintos incrementos, como de
216 Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=4&ved=0CC4QFjAD&url=http%3A%2F%2F
www.michigan.gov%2Fdocuments%2Fmde%2FElectronics_Math_Ingham_225966_7.doc&ei=b0zVTtjnNYHg0QGPptTaAQ
&usg=AFQjCNEVvHTqwwUoHbHV6onh-CX9Ph6W_g
217 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1195

Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
cuatro estudiantes, siete o trece, etc., e incluso completar la cadena dos veces. Anota los datos
donde los estudiantes puedan copiarlos y permíteles que tracen los datos a mano. Provéeles un
fideo de espagueti para que puedan colocar una "línea" junto a los datos y hallar una ecuación
correspondiente. Repite la actividad con el pase de hombros. Deja a los estudiantes en el círculo,
pero con el brazo derecho en el hombro izquierdo de la persona que está a su lado. En esta
ocasión, la cadena se mueve con un toque suave del hombro.
Interpolación: Provéeles a los estudiantes cinco conjuntos distintos de datos sencillos. Asegúrate
de que los conjuntos de datos tengan la misma media y desviaciones estándar similares, pero que
les falte el tercer valor. Pídeles que interpolen el tercer valor de cada conjunto de datos. Discutan
los resultados la clase junta; asegúrate de hacer hincapié en que debido a las diferentes estructuras
de los conjuntos de datos, los cálculos de la interpolación tendrán como resultado estimados
drásticamente distintos. Esto ilustrará algunas de las desventajas de las interpolaciones a la hora
de estimar incógnitas.
Valores extremos: Preséntales conjuntos de datos en los que que tanto se contengan como no se
contengan valores extremos. Pídeles a los estudiantes que identifiquen si hay valores que no
parezcan corresponderse con el resto de los datos y pregúntales por qué parecen no
corresponderse. Calculen regresiones lineales con y sin valores extremos para que los estudiantes
hagan observaciones de cómo los valores extremos pueden afectar la línea de mejor ajuste.
Organizador gráfico de correlación: Tras una discusión en clase de lo que es y lo que significa la
correlación, presenta ejemplos para que los estudiantes determinen la solidez de la correlación. A
continuación, crearán un organizador gráfico para identificar los tipos de correlación posibles entre
dos variables, resumiendo la información importante y dando ejemplos por cada tipo de
correlación. Los estudiantes crean una tabla con una columna de tipos de correlación, otra
columna que describa el tipo de correlación y una columna final con ilustraciones por cada
correlación.
Regresión lineal en la TI-83 218 : Pídeles a los estudiantes que determinen una ecuación de regresión
lineal de los precios de café obtenidos de un supermercado local. Haz que traigan precios de café
de paquetes de diferentes tamaños de asignación el día antes, o recopila los datos para
proveérselos. Pídeles que sigan el proceso que se muestra en la hoja de actividades adjunta y usen
los datos para practicar a calcular una regresión lineal en la calculadora TI-83 (ver anejo: 11.7
Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83).
Ejemplos para planes de la lección
Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal 219 : Repasa diferentes líneas con distintas
pendientes y sus ecuaciones. Pídeles que adivinen la ecuación de la línea de cada diagrama de
dispersión. Discútanlo como clase. Usen el organizador gráfico de línea de regresión lineal (ver
anejo: 11.7 Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal) para
enseñarles cómo se calcula realmente la ecuación de una línea de regresión lineal dado un
conjunto de datos. Asegúrate de también demostrarles a los estudiantes cómo hacer esto con
calculadora gráfica. Como práctica, dales cinco conjuntos de datos para los cuales tendrán que
218 Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/AUS-NZ/Activities/Detail?id=12045
219 Fuente: http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf
Junio 2012 1196

Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
2 semanas
trazar los puntos, dibujar una línea de mejor ajuste y calcular la ecuación de la línea de regresión
lineal. Deberán corroborar sus resultados en la calculadora (ver anejo: 11.7 Ejemplo para plan de
lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal).
Regresión lineal mediana-mediana 220 : Usando organizadores gráficos y notas guiadas, los
estudiantes aprenderán el método de la línea mediana-mediana para hallar la ecuación de la línea
de regresión lineal. Los estudiantes deben usar los mismos conjuntos de datos de los métodos de
regresión lineal anteriores para hallar la ecuación de la línea de regresión lineal usando el método
de línea mediana-mediana. Para más información, dirigirse a (páginas 5-9):
http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression
.pdf.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
220 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1197
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán los efectos de las transformaciones en diferentes cálculos
de datos, evaluarán estudios publicados y comunicarán el propósito, métodos y resultados de un
estudio estadístico. Describirán las características de la distribución normal, identificarán cuándo es útil
y aplicarán la regla empírica para solucionar problemas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su comprensión de
las medidas de tendencia central, características de distribución normal y probabilidad para hacer
inferencias sobre la población y predicciones o decisiones sobre eventos futuros.
Estándares de contenido y expectativas
Medidas de tendencia central
E.RD.11.10.1 Demuestra y describe cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz cuadrada,
logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión; resume las estadísticas y muestra cómo las
distintas representaciones (tablas, gráficas, resumen numérico) revelan diferentes características de un
conjunto de datos.
E.AD.11.10.2 Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y presentar información y
cómo las transformaciones pueden utilizarse en el desarrollo de modelos lineales.
E.AD.11.10.3 Comunica en forma oral y escrita los propósitos, métodos y resultados de un estudio
estadístico utilizando un lenguaje no técnico.
E.AD.11.10.4 Evalúa los resultados de estudios informados en los medios de comunicación.
Probabilidad
E.PR.11.11.1 Utiliza las permutaciones, combinaciones y la Regla de Multiplicación (Propiedad
Fundamental de Conteo) para resolver problemas de conteo y de probabilidad.
E.PR.11.11.2 Reconoce una escenario de probabilidad binominal, y desarrolla y dibuja la gráfica de una
distribución de probabilidad para un conteo binomial.
Características de la distribución normal
E.PR.11.12.1 Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad. Describe las
características de la distribución normal.
E.PR.11.12.2 Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el modelo normal es
apropiado para un conjunto de datos.
E.PR.11.12.3 Utiliza la regla empírica para estimar la probabilidad de que un evento ocurrirá en un
intervalo específico el cual puede describirse en términos de la desviación estándar sobre la media.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las escalas y las transformaciones alteran los
datos.
La comunicación de datos estadísticos es tan
importante como los resultados.
Las características de un conjunto de datos
proveen información sobre cuál de los varios
Preguntas esenciales:
¿Cómo las escalas y las transformaciones
alteran los datos?
¿Cómo se pueden hacer e interpretar
diferentes representaciones de los
resultados?
¿Cómo pueden los datos informar qué
Junio 2012 1198

métodos es el más apropiado para resolver
problemas de probabilidad.
La distribución normal no se aplica a todos los
conjuntos de datos.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Los escenarios en que la distribución normal
resulta útil
Diferentes representaciones de datos (tablas,
gráficas, resumen numérico)
Diferentes escalas (original, lineal, raíz
cuadrada, logarítmica)
Las características de la distribución normal
Cómo se utilizan las permutaciones para
resolver problemas
Cómo se utilizan las combinaciones para
resolver problemas
La regla de producto (principio fundamental
de conteo)
La regla empírica de la distribución normal
Las características de un conjunto de datos
Vocabulario de contenido
Medidas de tendencia central: diagrama de
dispersión, escalas, escala lineal, escala
logarítmica, escala original, escala de raíz
cuadrada, transformaciones
Probabilidad: combinaciones, conteo
binomial, distribución probabilística,
permutaciones, probabilidad binomial, regla
de producto (principio fundamental de
conteo, Teorema del binomio
Características de la distribución normal:
desviación estándar, distribución normal,
regla empírica
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
método usar a la hora de resolver problemas
de probabilidad?
¿Cuándo resulta útil una distribución normal
para calcular probabilidades?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Demostrar y describir cómo las diferentes
escalas (original, lineal, raíz cuadrada,
logarítmica) pueden afectar los diagramas de
dispersión; resumir estadísticas y mostrar
cómo las distintas representaciones (tablas,
gráficas, resumen numérico) revelan
diferentes características de un conjunto de
datos.
Describir e ilustrar cómo seleccionar escalas
para analizar y presentar información y cómo
las transformaciones pueden utilizarse para
desarrollar modelos lineales.
Describir e ilustrar cómo se seleccionan las
escalas para analizar y presentar información
y cómo pueden usarse las transformaciones
para desarrollar modelos lineales.
Evaluar los resultados de estudios informados
en los medios de comunicación.
Utilizar las permutaciones, combinaciones y la
regla de multiplicación (propiedad
fundamental de conteo) para resolver
problemas de conteo y probabilidad.
Reconocer una escenario de probabilidad
binomial, y desarrollar y dibujar la gráfica de
una distribución de probabilidad para un
conteo binomial.
Identificar escenarios en que la distribución
normal es de utilidad y describir las
características de esta.
Utilizar representaciones gráficas y la regla
empírica para evaluar si el modelo normal es
apropiada para un conjunto de datos
Utilizar la regla empírica para estimar la
probabilidad de que un evento ocurrirá en un
intervalo específico el cual puede describirse
en términos de la desviación estándar sobre la
media.
Junio 2012 1199

Tareas de desempeño
Consejeros de lotería 221
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
Principio fundamental de conteo y las
permutaciones al diseñar un nuevo juego de
lotería. Los estudiantes trabajarán en grupos de
dos a tres para completar la tarea a continuación;
sin embargo, cada estudiante deberá entregar su
propio informe escrito al maestro quien hará de
director estatal de la lotería.
Tarea:
Eres un matemático estadístico al que lo han
contratado para aconsejar al consejo estatal, que
desea diseñar un nuevo juego de lotería para
recaudar fondos para un Programa Educativo de
Servicio a la Juventud que tiene que ver con la
defensa del medioambiente en el país.
Para estudiar cómo funcionan las loterías,
planificar investigar primero un juego a una escala
menor. Realiza un formato sencillo de "Juega 3",
en que los participantes eligen tres números en
un cierto orden. El ganador es el que tenga todos
los números en el orden correcto.
Realiza lo siguiente para descubrir los entresijos
de cómo funciona un juego de lotería como este.
1. Determina la mecánica del juego, inclusive
cómo asegúrate las leyes estatales que
estipulan estos juegos deben ser justos.
2. Planifica cómo realizar una simulación para
ayudar a determinar las probabilidades
necesarias. Anota el proceso y calcula las
probabilidades necesarias para ganar.
3. Resuelve cómo determinarás el precio de
venta de los boletos.
4. Determina de cuánto será el premio en
efectivo para que puedas generar el ingreso
necesario para el fondo.
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Un automóvil en particular viene en tres
estilos de carrocería con dos opciones de
motor, dos opciones de transmisión y seis
opciones de color. ¿Cuál es el número mínimo
de carros que debe tener un concesionario
para tener un carro por cada combinación
posible? 224
a. 13
b. 36
c. 42
d. 72
2. Halla el número total de palabras distintas de
nueve letras que pueden formarse con las
letras de la palabra GUAJATACA. 225
3. ¿Qué valores equivalen a 3P3 ? 226
a. 1
b. 9
c. 3!
d. 27
4. Si hay cuatro equipos en una liga, ¿cuántos
juegos tendrán que jugarse para que cada
equipo juegue contra todos los demás una
vez? 227
a. 6
b. 8
c. 3
d. 16
5. Dados los siguientes ingresos, transforma los
datos restándole una constante a uno de los
ingresos para calcular la media. Ingresos: 1;
42,000; 40,250; 40,159; 35,722; 40,700;
39,875; ...
6. Halla el área bajo una curva normal entre z = -
.70 and z = - 1.24. Oscurece el área debajo de
la curva normal que intentas hallar. 228
221 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/events/event_1200.html
224 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Number_Sense_and_Operations/A.N.7.htm
225 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.10.htm
226 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.10.htm
227 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.11.htm
228 Source: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
Junio 2012 1200

5. Cada uno de los grupos realizará una
simulación, y presentará todas las gráficas,
dibujos, cómputos y diagramas en un informe
oral frente a la clase.
6. Redacta informes individuales que incluyan el
propósito, métodos y resultados de tu estudio
de cómo funciona la lotería.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Distribución binomial 222
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la probabilidad binomial y la distribución normal
al describir una encuesta utilizando la
probabilidad binomial. Deberán definir un evento
y usar la distribución binomial para calcular
probabilidades de eventos binomiales.
Tarea: Has aprendido sobre la distribución
binomial. Tu tarea es elaborar una investigación o
encontrar un escenario en que los resultados
podrían representarse con la distribución
binomial. Muestra los resultados en una tabla y en
un histograma.
1. Describe tu investigación o escenario.
2. ¿Por qué piensas que puede representarse tu
investigación o escenario por medio de la
distribución binomial? Utiliza las
características de la distribución binomial
para justificar tu respuesta.
3. Muestra los resultados en una tabla o
histograma.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que se den la
mayoría de los eventos?
5. ¿Se puede utilizar una distribución normal
para ilustrar los datos? Explica. Si sí se puede,
utiliza la regla empírica para calcular el
primer 5 % de los participantes. Si no, crea
una pregunta de encuesta con la que se
obtengan datos que deban distribuirse de
forma normal.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
7. La probabilidad de dar en el blanco es
¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco
exactamente una vez por cuatro intentos? 229
1)
3)
222
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/binomial%20distribution.pdf
229
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.15.htm
230
Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/journal%20question2.pdf
Junio 2012 1201
2)
Diario
4)
1. Describe cómo las diferentes escalas (original,
lineal, raíz cuadrada, logarítmica) podrían
influir en la interpretación de los datos.
2. ¿Cómo se relacionan la desviación estándar y
la forma de la gráfica?
3. ¿Cómo parece cambiar el área bajo la curva
cuando cambia la desviación estándar?
4. ¿Cuándo resulta útil el Principio fundamental
de conteo?
5. Traza y rotula la distribución normal de las
notas de un examen (0-100 pts.) si la media es
76 y las desviación estándar es de 4.
6. ¿Cuándo resulta adecuado usar una
distribución binomial en vez de una
distribución normal? Describe las
características de la distribución binomial y la
distribución normal en tu respuesta. Describe
también cómo la información que te han
provisto te ayuda a saber qué método
utilizar. 230
Boletos de entrada/salida
1. A una pareja le gustaría tener cuatro hijos.
¿Qué combinaciones posibles de orden de

de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Análisis de error 223
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la distribución normal al analizar el error en el
trabajo de otro estudiante. Deberán describir las
propiedades de la distribución normal y usarla
para calcular las probabilidades, así como las
estadísticas asociadas a los intervalos dentro de la
distribución normal.
1. El maestro desarrolla el "trabajo de los
estudiantes" para que la clase lo analice en
base a errores que los estudiantes cometen
comúnmente. (Habrás sido testigo de muchos
errores comunes entre los estudiantes
durante la unidad que podrás incluir en tu
“trabajo del estudiante” falso. Una muestra
de errores comunes puede ser: En vez de
identificar la media de 1590 en el punto más
alto de una curva de distribución normal, el
estudiante mantiene el punto alto en cero e
identifica la media de 1590 a la derecha del
“centro” antes de calcular las desviación
estándar necesaria para llegar al 10%
superior.)
2. Preséntales el siguiente problema y los
cálculos erróneos de los estudiantes que el
maestro creó en el paso 1:
A continuación, encontrarás el trabajo
realizado por otro estudiante para responder
al siguiente problema. El estudiante cometió
un error al resolver el problema. Encuentra el
error que cometió el estudiante, explícale lo
que debió haber hecho y resuelve el problema
correctamente.
Como funcionario de admisiones de la
Universidad de Puerto Rico, eres tú quien
decide quién será aceptado el primero año.
Según las nuevas pautas de la universidad,
solo se considerarán las solicitudes de los
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
sexos podría haber para los cuatro hijos?
2. Vas a tu lugar de mantecado favorito y
quieres pedir una barquilla con tres bolitas de
mantecado. Hay cinco sabores especiales en
el menú y todos te gustan: chocolate, piña
colada, mangó, fresa y vainilla. ¿De cuántas
formas puedes construir una barquilla de tres
bolitas? Considera la posibilidad de tener tres
bolitas del mismo sabor o dos bolitas del
mismo y una diferente, o las tres de
diferentes sabores.
3. ¿Cuántos equipos distintos de cinco miembros
pueden formarse a partir de un grupo de ocho
estudiantes, si cada estudiante tiene las
mismas posibilidades de ser escogido? 231
4. Si las puntuaciones de un examen se
distribuyen de forma normal y 170
estudiantes tomaron el examen, ¿cuántos
estudiantes sacaron C (usando una escala de
puntuación de 76 a 86 puntos de 110)?
5. ¿Cuál es la regla empírica? Usando la regla
empírica, determina si el conjunto siguiente
de puntuaciones de un examen se distribuyen
de forma normal. 232
55 74 78 85 64 95 72 88 78 69
6. En un informe de Twitchy Media se indica que
"el ingreso promedio de las familias
puertorriqueñas se redujo por $10,000 el año
pasado a una media de $68,500". Discute lo
que anda mal con la medida de tendencia
central en este informe. 233
223 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/error%20analysis.pdf
231 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Statistics_and_Probability/A2.S.11.htm
232 Fuente: Creado por el maestro
233 Fuente: Creado por el maestro
Junio 2012 1202

estudiantes que hayan tomado la prueba SAT
y que estén en el primer 10%. En la prueba de
este año se obtuvo una puntuación promedio
de 1590 y una desviación estándar de 2.5
¿Cuál es la puntuación menor en el examen
para ser considerado para ingresar?
3. Pídeles a los estudiantes que respondan a las
siguientes preguntas:
¿Qué error cometió el estudiante al
resolver este problema?
¿Qué debió haber hecho el estudiante?
Explícale al estudiante cómo debió haber
resuelto el problema.
Resuélvelo correctamente.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Millonario garantizado 234 : Esta actividad se centra en la aplicación de las permutaciones y
combinaciones de una lotería real. Se les pide a los estudiantes que determinen de forma
individual el total posible de boletos y que luego trabajen en grupos para desarrollar un método de
garantizar que ganarán la lotería. Está diseñado para usarse una vez se haya introducido a los
estudiantes los conceptos de conteo, permutaciones y combinaciones. Distribuye la hoja de
actividades "Millonario garantizado" (ver anejo: 11.8 Actividad de aprendizaje - Millonario
garantizado). Pídeles a los estudiantes que completen la parte a de forma individual; a
continuación, pídeles que completen el resto de las actividades en grupos. Pídeles a los grupos que
le presenten sus planes a la clase. Discutan los planes según se relacionan con la probabilidad y el
conteo. Extensión: En esta actividad se asume que solo hay un boleto ganador por estudiante, y
una variación sería ver qué pasará si dos personas eligen el número ganador.
A descubrir el dominó 235 : Esta actividad les da a los estudiantes la oportunidad de desarrollar sus
destrezas para contar varios resultados y explorar distintos métodos y principios para el conteo.
Consolida la base para desarrollar destrezas sólidas de razonamiento combinatorio y la capacidad
de aplicar las herramientas de conteo, permutaciones y combinaciones en el proceso de
razonamiento (no simplemente aplicando fórmulas), a la vez que se desarrollan destrezas de
resolución de problemas y de pensamiento crítico. Los estudiantes trabajarán en grupos pequeños
para explorar y desarrollar métodos o estrategias de resolver problemas con dominós. A
continuación, cada grupo compartirá sus métodos o estrategias con la clase. Discute los métodos
usados por los estudiantes, cómo desarrollaron sus métodos, cómo organizaron los datos y cómo
sus métodos se relacionan con el conteo, las permutaciones, combinaciones y teoría de gráficas.
234
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/olcact04.html
235
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/amsact07.html
Junio 2012 1203

Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
(ver anejo: 11.8 Actividad de aprendizaje - A descubrir el dominó).
Cómo diferentes escalas influyen en los diagramas de dispersión: Usando el conjunto de datos que
se correlacione mejor, como la altitud y el peso, pídeles a los estudiantes que creen un diagrama
de dispersión. Los estudiantes entonces hallan el coeficiente de correlación y describen la relación
entre las dos variables. Usando los datos, halla el logaritmo de cada valor de peso (variable
dependiente) y traza el diagrama sobre los valores de altitud originales (variable independiente).
Pídeles a los estudiantes que describan cómo difiere la nueva relación de la relación anterior,
incluido si hay mayor o menor variabilidad en la dispersión. Usando los datos, halla la raíz cuadrada
de cada valor de peso (variable dependiente) y traza el diagrama frente a los valores de altitud
originales (variable independiente). Pídeles a los estudiantes que describan cómo difiere la nueva
relación de la relación anterior, incluido si hay mayor o menor variabilidad en la dispersión.
Distribución normal de las notas: Entrégales a los estudiantes una breve asignación cuya
puntuación fue calculada usando la regla empírica de base. Rotula una pared del salón con
números en incrementos del 1 al 100. Pídeles que se paren donde se encuentra su "nota" en la
pared. Discutan sobre dónde está parada la mayor parte de los estudiantes y cualquier valor
anómalo observado. Pregúntales aproximadamente qué porcentaje de la clase se encuentra
dentro de un ámbito de puntuación en particular. Los estudiantes deberán resumir lo que
aprendieron sobre la distribución normal y la regla empírica en un boleto de salida.
Cómo sobrevivir al invierno 236 : Los estudiantes simulan una distribución binomial y calculan las
probabilidades de una variedad de situaciones relativas a distribuciones de probabilidad
binomiales. Para obtener hojas de actividades para estudiantes y maestros, dirigirse a:
http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/11936/Stat_Penguins_TI84.pdf y
http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/11936/Stat_Penguin_worksheet_TI84.pdf
Organizador gráfico plegable: Pídeles a los estudiantes que creen organizadores gráficos plegables
a diferentes escalas. Haz que sostengan una hoja de papel 8 ½ x 11 de lado y que la doblen en
cuatro partes iguales. Las columnas deberán rotularse escala original, escala lineal, escala de raíz
cuadrada y escala logarítmica. Por cada escala, pídeles que provean la definición, cuáles son las
características clave, que provean un ejemplo y cómo podría influir en los diagramas de dispersión.
Haz que llenen el organizador a medida que completas una versión mayor en la pizarra o en papel
cuadriculado.
Muéstrale a la clase cuatro diagramas de dispersión de los mismos datos, pero con diferentes
escalas (p. ej., original, lineal, raíz cuadrada y logarítmica). Discutan cómo las diferentes escalas
influyen en los diagramas de dispersión.
Presenta estadísticas relativas al aumento en la generación de basura en Puerto Rico en distintas
representaciones (p. ej., tablas, gráficas, resumen numérico). Pídeles que resuman las estadísticas
y cómo las diferentes representaciones revelan diferentes características en un conjunto de datos.
Dirigirse a http://www.cienciapr.org/news_view.php?id=443 para obtener estadísticas.
Ejemplos para planes de la lección
Métodos de comparar conteos: En esta lección, los estudiantes aplicarán los conceptos básicos de
probabilidad, al distinguir entre permutaciones, combinaciones y el principio de conteo, y al
236
Fuente:
http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=11936&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS
%2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d5026%26t%3d1192%26d%3d3
Junio 2012 1204

Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
identificar situaciones en que cada uno resulta adecuado. A modo de resumen, los estudiantes
crean un diagrama de Venn para comparar los tres métodos de conteo. Para esta lección se utiliza
una serie de estrategias didácticas.
Instrucciones:
1. Conjunto de instrucciones: Pídeles a los estudiantes que hallen el número de atuendos
posibles de entre tres sweater distintos y seis camisas distintas. A continuación, pídeles que
consideren cuántos números de teléfono distintos hay disponibles en su pueblo.
2. Modelo/Enseñanza: Haz un diagrama de árbol para corroborar la primera respuesta al
conjunto de instrucciones anterior. Discute la impracticalidad de usar un diagrama de árbol
para números muy grandes. Introduce y haz un modelo de métodos de conteo más eficaz
(permutaciones combinaciones). Dales diferentes situaciones para asegurarte de que sepan
determinar si se trata de permutaciones o combinaciones. El orden es importante en las
permutaciones, pero irrelevante en las combinaciones.
3. Práctica guiada: Trabajen juntos como clase e individualmente en los problemas dados.
Ejemplifica de cada problema en la pizarra para verificar que los estudiantes estén
entendiendo y para permitirles hacer preguntas.
4. Práctica independiente: Dales problemas en una hoja de actividades o del libro para que
practiquen solos.
5. Participación activa: Utiliza el método de piénsalo-emparéjate-compártelo y la proximidad
durante la práctica independiente. Durante este tiempo mantén a los estudiantes enfocados y
date la vuelta por el salón para comprobar que estén entendiendo. Para iniciar la actividad de
piénsalo-emparéjate-compártelo, preséntale una pregunta a la clase o hazle una pregunta a un
par de estudiantes, deja que cada uno piense en ella de forma individual primero y luego que
colabore con un compañero, para entonces compartir sus ideas con la clase o maestro. Para
usar la proximidad durante la práctica independiente, date la vuelta por el salón mientras los
estudiantes trabajan, y mantente cerca para responder a preguntas y orientar a los estudiantes
que necesiten ayuda.
6. Para verificar si están entendiendo: Dale a cada estudiante uno de cada tipo de problema (p.
ej., permutaciones y el principio fundamental de conteo) y selecciona a alguien para que le
explique a la clase el tipo de problema y cómo calcular la respuesta. Haz lo mismo con cada
tipo de problema, seleccionando un estudiante distinto para cada uno y ejemplifica cada
problema en la pizarra para que todos los estudiantes puedan ver todo el proceso (permíteles
que hagan preguntas individuales o que se lleve a cabo una discusión en clase).
7. Cierre: Crea un diagrama de Venn en que compares las permutaciones, las combinaciones y el
principio fundamental de conteo. Asegúrate de que todos los estudiantes conozcan la
diferencia entre una permutación y una combinación.
¿Y qué es normal, después de todo? 237 : En esta lección, los estudiantes explorarán la distribución
normal y varias propiedades. Primero, simularán un experimento con binomios y usarán un
histograma de los datos para examinar la forma general de una curva normal. A continuación,
deberán trazar la gráfica de una distribución normal dada la media y la desviación estándar.
Tercero, verán cómo cambia la gráfica cuando solo cambia la media o la desviación estándar.
237
Fuente:
http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=9415&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS%
2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d5026%26t%3d1192%26d%3d3
Junio 2012 1205

Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
6 semanas
Finalmente, examinarán con más detalle las distribuciones normales, al describir el porcentaje de
valores de datos que caen dentro de las desviaciones estándar distintas a partir de la media. Para
obtener hojas de actividades para estudiantes y maestros, dirigirse
a:http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/9415/WhatsNormal_Teacher.pdf y
http://education.ti.com/xchange/US/Math/Statistics/9415/WhatsNormal_Student.pdf.
Curva normal estándar con monedas 238 : En esta lección, los estudiantes responderán a la pregunta
de si los resultados de lanzar una moneda y contar las caras tienen una forma única. Los
estudiantes entenderán la distribución normal y lograrán entender de dónde proviene la regla
empírica. Usando datos de muestra, los estudiantes harán inferencias informales sobre medias y
estándares poblacionales, inclusive cuando la media de la muestra varíe de una muestra a la otra y
la distribución de la media de la muestra tenga una variabilidad menor que la distribución
poblacional. Materiales: 10 monedas de un centavo por estudiante, papel cuadriculado,
calculadora (ver anejo: 11.8 Ejemplo para plan del a lección - Curva normal estándar con monedas).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film,
Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson
Matemáticas Integradas I, II, III de McGraw Hill
Precálculo: Funciones y gráficas de Raymond Barnett
Algebra I de Glencoe
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Mathematical Scandals de Theoni Pappas
Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
238
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheStandardnormalCurveusingcoins
Junio 2012 1206
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Matemáticas
Anejos
11mo Grado
1207

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones
Actividad de composición de funciones:
La función de tu equipo es:
Primera ronda
__ ( ) x T
Junto con la clase, computen lo siguiente.
T T ( T ( T ( 2))))
))))
1(
2 3 4
Segunda ronda
T
5(
6 7 8
T ( T ( T ( 3
Según se les instruya, formen un equipo con otro grupo; identifiquen las funciones de sus dos grupos
con f o g.
Escriban las fórmulas que usarán para esta ronda:
f (x)
____________________ (x)
Evalúen cada una de las siguientes con la ayuda del otro equipo.
f ( 5)
g ( 3)
Tercera ronda
f ( g(
1))
g ( f ( 2))
g (g(
0))
f ( f ( 7.
5))
g ____________________
f ( g(
f ( g(
2))))
f ( g(
x))
g ( f ( x))
Al igual que en la segunda ronda, formen un equipo con otro grupo; identifiquen las funciones de sus
dos grupos con f o g.
Escriban las fórmulas que usarán para esta ronda:
f (x)
____________________ (x)
g ____________________
1208

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Actividad de composición de funciones
Evalúen cada una de las siguientes con la ayuda del otro equipo.
f ( 5)
g ( 3)
Cuarta ronda
f ( g(
1))
g ( f ( 2))
g (g(
0))
f ( f ( 7.
5))
f ( g(
f ( g(
2))))
f ( g(
x))
g ( f ( x))
Hallen las fórmulas de cada una de las siguientes cadenas de funciones junto con el resto de la clase.
PISTA: Puedes verificar una fórmula de composición realizando la composición con un número
específico. Si tu fórmula parea con la composición del número, entonces es probable que no sea
correcta.
T
T
5 ( 1
T ( x))
2 ( T7
( x))
T 1(
T2
( T3
( T4
( x))))
T
5(
6 7 8
T ( T ( T ( x))))
T 1(
T2
( T3
( T4
( T5
( T6
( T7
( T8
( x))))))))
Utiliza tus fórmulas para computar lo siguiente directamente:
T 2( T7
( 100))
T 1(
T2
( T3
( T4
( 0))))
T
¿Cierto o falso? Explica.
1(
2 3 4 5 6 7 8
T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( 4))))))))
Por lo general suele ser cierto que, por un número x y funciones f y g, f ( g(
x))
g(
f ( x))
1209
Fuente: http://math.tamucc.edu/~jchampion/wp-content/uploads/Function-Composition-Activity.docx

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Familias de funciones:
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Familias de funciones
¿Cuáles son las ocho funciones principales y cómo se ven sus gráficas?
Nombre Forma general Función original
1. _______________ 2. _______________ 3. _______________
4. _______________ 5. _______________ 6. _______________
1210

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Familias de funciones
7. _______________ 8. _______________
Debes poder trazar la
gráfica de estas ocho
funciones y
reconocerlas con
facilidad SIN usar la
calculadora.
1. _______________ 2. _______________ 3. _______________
4. _______________ 5. _______________ 6. _______________
1211

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Familias de funciones
¡Práctica! Estudia las gráficas que aparecen en la portada. Entonces, SIN MIRAR, intenta ver si puedes
escribir el nombre y la ecuación de la gráfica original y luego trazar la gráfica por tu cuenta SIN USAR LA
CALCULADORA.
7. _______________ 8. _______________
Gráficas fáciles para mí:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
___________________________________________________
Gráficas que necesito estudiar:
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
__________________________________________________
1212

0 a 1
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Organizadores de funciones cuadráticas
¿Qué me dice la forma estándar de una ecuación cuadrática sobre su gráfica? Dada una forma estándar, ¿cómo se escribe una ecuación cuadrática en…?
.forma de vértice?
a
Diámetro
1
¿Qué nos dice a de la gráfica? ¿Qué nos dice b de la gráfica? ¿Qué nos dice c de la gráfica?
Dirección de
abertura
a 0 a 0
Funciones cuadráticas de la forma:
2
ax bx
c
, donde 0
a
En conjunto con a,
usada para hallar el eje
de simetría:
x = ____
Intercepción en el
eje de y
(0, c)
1213

Análisis de las gráficas de la función cuadrática
Opuesto de A
Funciones cuadráticas Hacia arriba Eje de simetría Intercepción en
(a>0) o
Luego multiplica el eje de y (c)
hacia abajo
(a

Transformaciones de las gráficas
y = f(x) + b, b es una constante
2
f ( x)
x aquí abajo.
a. Dibuja la gráfica de
b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas de:
i. y=f(x)+2 i.e. y=x²+2
ii. y=f(x)-3 i.e. ___________________
c. ¿Cuál es la conexión entre las gráficas de…?
y f ( x)
si:
y f (x)
y b
b
ii. b 0
i. 0
La constante que se añade al final de una función
determina el deslizamiento _________________
de dicha función. Si b es negativo, la gráfica se
desliza _______. Si b es positivo, la gráfica se
desliza _______.
Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Transformaciones de las gráficas
y = f(x-a), a es una constante
a. Traza la gráfica de y=x³
b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas
de:
i. y = f(x-1) i.e. y=(x-1)³
ii. y=f(x+2) i.e. ___________________
Resume tus observaciones describiendo la
transformación geométrica de y =f(x) a
medida que se convierte en y = f(x-a).
y = pf(x), p es una constante
a. Dibuja la gráfica de y x aquí abajo.
b. En la misma cuadrícula, traza las gráficas de:
i. y=2f(x) i.e. _________________
ii. y=4f(x) i.e. _________________
1
y f ( x o sea. ________________
3
iii. )
1
y f ( x o sea. _________________
2
iv. )
c. ¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando p 1?
d. ¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando 0 p 1?
1215

y=f(kx), k es una constante
Nuevas direcciones: Traza en la gráfica a
continuación las gráficas de f(x) y f(2x) por cada:
a) f(x)=x² b) f(x)=e x
Traza en la próxima gráfica las gráficas de f(x) y
x
f por cada:
2
a) f(x)=x² b) f(x)=2x
k ?
¿Cuál es el efecto en la gráfica cuando 1
¿Se mueve más cerca de cuál eje?
¿Cuando 1
¿Se mueve más cerca de cuál eje?
0 k ?
Unidad 11.1 Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Transformaciones de gráficas
y= -f(x)
a.Traza la gráfica de y=3x y y= -3x a
continuación.
b.Traza la gráfica de y=x²-2 y y= -(x²-2).
c.¿Cuál transformación desliza y=f(x) a y=f(x)?
y=f(-x)
a. Halla f(-x) por cada una de las siguientes gráficas;
luego traza la gráfica tanto de f(x) como de f(-x).
i. f(x) = 2x+1
ii. f(x)=x² + 2x +1
iii. f(x)=│x-3│
b.¿Cuál transformación desliza y=f(x) a y=f(-x)?
1216

Unidad 11.1 Funciones y transformaciones
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Transformaciones de gráficas
Resumen de las transformaciones gráficas
Cambia
f (x
de )
f(x)+b
f(x-a)
pf(x)
f(kx)
-f(x)
f(-x)
**f⁻¹(x)
Transformación
Direcciones: En el espacio que se provee a continuación, escribe la ecuación de una gráfica
original, y luego escribe la ecuación de una gráfica con al menos cuatro transformaciones de la
gráfica original. A continuación, traza la gráfica de ambas funciones en la gráfica provista, y
debajo de esta, describe las transformaciones. Hazlo dos veces.
1. Gráfica original: ______________ 2. Gráfica original: ______________
Gráfica nueva: __________________ Gráfica nueva: _____________________
Descripción de las transformaciones:
Descripción de las transformaciones:
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1217

Unidad 11.1: Propiedades de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Exploración de la simetría de funciones
Exploración de la simetría de funciones
Camila, gerente de Universo Uniforme, notó inmediatamente el error de diseño al ver
algunos de los prototipos de uniformes. La insignia de sargento estaba al revés de la insignia
original de un sargento estadounidense, aquí a la derecha. Camila verificó la descripción que
se le había enviado al contratista en el extranjero y se dio cuenta inmediatamente de cómo
arreglar la insignia. Entonces le envió un mensaje de correo electrónico al suplidor en el extranjero para
señalarle el error e informarle a la empresa que este podía corregirse al reflejar cada una de las
funciones del eje de x.
Yolanda, empleada de la compañía de textiles extranjera, le contestó
a Camila el mensaje y le incluyó la gráfica que se encuentra a la
derecha para confirmar que Universo Uniforme estaría conforme con
las nuevas fórmulas.
a. ¿Qué tipo de simetría tienen estas gráficas? Si x es un
número positivo, ¿cómo se compara g(x) con g(– x)?
4. Le llamamos a una función f una función par si, por cualquier
número x en el dominio de f, – x está también el dominio y f(– x)
= f(x).
a. Supón que f es una función par y que el punto (3, 5) se encuentra
en la gráfica de f. ¿Cuál otro punto sabes debe estar en la gráfica
de f? Explica.
b. Supón que f es una función par y que el punto (– 2, 4) se
encuentra en la gráfica de f. ¿Cuál otro punto sabes debe estar en
la gráfica de f? Explica.
c. Si (a, b) es un punto que se encuentra en la gráfica de una función
par f, ¿cuál otro punto está también en la gráfica de f?
d. ¿Qué tipo de simetría tiene la gráfica de una función par? Explica por qué.
La gráfica de la función k de la parte
no negativa del dominio.
e. Considera la función k, que es una función par. Parte de la gráfica de k se muestra aquí a la
derecha. Usando la información de que k es una función par, completa la gráfica del resto del
dominio.
1218

Unidad 11.1: Propiedades de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Exploración de la simetría de funciones
5. Ahora, usaremos algunas funciones que implican raíces cuadradas y algunas funciones lineales para
crear otro logotipo. Las funciones aparecen en la tabla a continuación. El logotipo es la forma
circunscrita por las gráficas de las funciones. Así, para dibujar el logotipo, necesitarás hallar los
puntos de intersección entre las gráficas. Una vez tengas los puntos de intersección, podrás
determinar cómo limitar el dominio de cada función para especificar los límites del logotipo. Se te
pide también que especifiques la relación de las otras gráficas con la gráfica de 2
halles el recorrido de cada función una vez hayas restringido el dominio.
Función
Relación de la gráfica con la
gráfica de (i)
(i)
(ii) Reflexión por
(iii) Reflexión por
(iv) Rotación de
(v) Se interseca en ( __, __)
(vi) No se interseca
Dominio
y x y que
¿Cuál es el recorrido
de la función con
dominio limitado?
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_yarbroughj/SymmetryofFunctions 1219

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
Gráficas de las familias de cuadráticas
Primero, asegúrate de que la aplicación Transform App esté activa. En el Y=menu, introduce Y1 = Ax 2 +
Bx + C. Usa el botón ALPHA para A, B y C, pero no para x. Luego, oprime ZOOM 6 para abrir la ventana
de visualización estándar. A=, B= y C= aparecerán en el área inferior izquierda de la ventana de gráfica.
Activa A=1, B=0 y C=0.
1. Usa los botones de cursor derecho e izquierdo
para incrementar y reducir el valor de A. Usa los
valores positivo, negativo y fraccional para A.
Traza cuatro o cinco de las gráficas que aparecen
en la gráfica a la izquierda.
Para y=ax 2 , describe lo que le sucede a la gráfica si
el valor de a < 0 (a es negativo).
Para y=ax 2 , describe lo que le sucede a la gráfica si
el valor de a > 0 (a es positivo).
Resume tu investigación describiendo lo que le sucede a la gráfica de una función cuadrática cuando el
coeficiente del término cuadrático cambia.
____________________________________
2. Reconfigura el valor de A a 1. Ahora, varía el
valor de C usando los botones de cursor. Intenta
los valores positivo y negativo de C para producir
varias gráficas diferentes. Traza cuatro o cinco
gráficas diferentes en la cuadrícula a la izquierda.
Para y=ax 2 , describe lo que le sucede a la gráfica si
el valor de C > 0 (C es positivo).
Para y=x 2 +C, describe lo que le sucede a la gráfica
si el valor de < 0 (C es negativo).
Resume tu investigación describiendo lo que le
sucede a la gráfica de una función cuadrática
cuando cambia el término cuadrático.
1220

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
3. Reconfigura C=0. Ahora, considera la fórmula
utilizada para ubicar el eje de simetría y el
vértice. Recuerda que usamos
x=-b/2a para el eje de simetría. Luego usamos la
fórmula (-b/2a, f(-b/2a)) para ubicar las
coordenadas (x,y) del vértice.
Deja A=1 y C=0. Utiliza los botones de cursor
para variar el valor de B, primero con algunos
valores positivos y luego con algunos valores
negativos. Traza cuatro o cinco gráficas
diferentes en la cuadrícula a la derecha.
Compara cada valor de B con la posición de la
gráfica.
A modo de resumen, describe lo que le sucede a
la posición de la gráfica si el valor de B > 0 (B es
positivo). ¿Qué sucede si B < 0 (B es negativo)?
¿Se desplazó la gráfica en la dirección que
esperabas?
Ahora, escribe un resumen de los cambios en las gráficas cuadráticas que se dan al variar cada uno de
los valores numéricos en la forma estándar de la ecuación Y = Ax 2 + Bx + C. Haz una descripción tan
detallada como sea posible para que tus notas sean útiles en el futuro.
1221

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
2.
Cambia A para que A=2. Ahora, usa (4,5) para el vértice de la
próxima gráfica, y ajusta los valores correspondientes para B
y C. Traza la gráfica en la cuadrícula a la derecha.
Ahora, escribe la forma de vértice de la ecuación de la
gráfica:
Describe el efecto de B y C en la posición de cada una de las
dos gráficas anteriores.
Forma de vértice de una función cuadrática:
Antes de cambiar la función en el Y= menú ,
reconfigura A=1, B=0 y C=0.
Ahora introduce Y1 = A (x – B) 2 + C. Como la
aplicación Transform App solo funciona con A,
B, C y D, debemos utilizar B para h y C para k en
la forma de vértice de una función cuadrática.
Deja A=1
1. Usa (-2, -6) como vértice de tu primera
función. Introduce los valores correspondientes
de B y C, y traza la gráfica en la cuadrícula a la
izquierda.
Ahora, escribe la forma de vértice de la
ecuación de la gráfica:
3. Escoge dos puntos de vértice nuevos, uno en el
cuadrante II y uno en el cuadrante IV. Escribe los
puntos aquí: ( , ) , ( , ).
Ahora escribe dos ecuaciones nuevas en forma de
vértice, cambiando A para que una gráfica se abra
hacia arriba y sea ANCHA. En el caso de la otra
gráfica, cambia A para que la gráfica se abra hacia
abajo. Traza ambas gráficas en la cuadrícula a la
izquierda.
1222

Unidad 11.1: Funciones y transformaciones
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Gráficas de familias de funciones cuadráticas
Escribe la forma de vértice de tus dos ecuaciones:
Ahora deberás escribir un resumen de las investigaciones realizadas en las tres páginas anteriores.
Utiliza términos que describan la forma de la gráfica, su posición, ubicación del vértice y la dirección en
que se abre la gráfica.
Fuente: www.curriculumframer.com 1223

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Completa el círculo unitario
Completa el círculo unitario
1224

Fuente: embeddedmath.com
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Completa el círculo unitario
El círculo unitario
1225

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente
Funciones circulares: Seno, coseno, tangente
¿Cómo trazo la gráfica de las funciones de seno, coseno y tangente? ¿Cómo hallo la amplitud, el periodo, el dominio y el recorrido de las
funciones?
Sen
Cos
Tan
0 π/6 π/4 π/3 π/2
sen
π/3
sen
π/4
sen
π/6
π 7 π/6 5 π/4 4 π/3 3 π/2 5 π/3 7 π/4 11 π/6 2 π
La función de seno La función de coseno La función de tangente
Amplitud: _______
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
Amplitud: _______
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
Amplitud: _______
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
1226

Sen
Cos
Tan
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente
0 π/6 π/4 π/3 π/2 2 π/3 3 π/4 5 π/6 π 7 π/6 5 π/4 4 π/3 3 π/2 5 π/3 7 π/4 11 π/6 2 π
La función de seno La función de coseno La función de tangente
amplitud – la distancia entre el punto máximo (o mínimo) y el eje principal
Amplitud: eje principal _______ – línea horizontal alrededor de la cual oscila la Amplitud: onda _______
periodo – duración Amplitud: o longitud _______ de una repetición o ciclo
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1227
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________
Periodo: __________
Dominio: _______________
Recorrido: ________________

Unidad 11.2: Propiedades de los círculos y funciones trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Evaluación de las funciones trigonométricas
Triángulos especiales y evaluación de funciones trigonométricas
______ ______ ______ ______ ______ ______
Practica a evaluar funciones trigonométricas
1. Evalúa las tres funciones trigonométricas en cada número real.
a.
6
t b.
5
4
t c. 0
a. ( ___, ___ ) b. ( ___, ___ )
c. ( ___, ___ ) d. ( ___, ___ )
t d.
2. Halla el valor de cada función trigonométrica sin usar calculadora.
a)
d)
sen 60
b)
5
tan e)
6
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1228
cos 60
c)
5
sen f)
3. Halla el valor de en grados y radianes sin usar calculadora.
a)
sen 1
2 b)
tan
e)
d) 3
3
cos
2
2
tan 60
11
cos
6
c) 1
sen 2
2 f)
tan
cos
t
2
1
2

Juego del seno coseno
Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno
Nombre: ____________________________________
Pareo 1
_______ cos 35 A. 0.9961
_______ cos 98 B. 0.8192
_______ cos 4 C. 0.0349
_______ cos 175 D. 0.1391
_______ cos 175 E. 0.9976
Nombre: ____________________________________
Pareo 2
_______ sen 224 A. 0.1908
_______ sen 52 B. 0.7888
_______ sen 290 C. 0.0871
_______ sen 355 D. 0.6946
_______ sen 11 E. 0.9396
1229

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Juego del seno coseno
Nombre: ____________________________________
Pareo 3
_______ cos 7 A. 1.2360
_______ sec 98 B. 1.0456
_______ cos 304 C. 0.5591
_______ sec 17 D. 7.1852
_______ sec 144 E. 0.9925
Nombre: ____________________________________
Pareo 4
_______ csc 130 A. 28.653
_______ sen 289 B. 1.3054
_______ sen 185 C. 1.0402
_______ csc 254 D. 0.9455
_______ csc 358 E. 0.0871
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sincosgm.html 1230

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico
Recorta el siguiente diagrama en dieciséis piezas. Parea las expresiones equivalentes para formar un
único cuadrado mayor.
Atención: Las constantes aparecen en más de una ocasión. Por ejemplo, hay diez unos escondidos en el
rompecabezas.
Pista: Cuando hayas completado el cuadrado, habrá dieciséis constantes en el borde exterior que por
supuesto no tienen pareja.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/cutups.html 1231

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Ángulos en el plano
Ángulos en el plano
Objetivo: Los estudiantes identificarán y describirán ángulos en el plano y harán conversiones de medidas de
grados a radianes, y viceversa.
Definiciones
Ángulo
Lado inicial
Lado terminal
Ángulo Ángulo en posición estándar
(El vértice es el origen y el lado inicial es el eje de x positivo)
Los ángulos positivos son generados por una rotación ____________________________.
Los ángulos negativos son generados por una rotación ____________________________.
El ángulo central de un círculo es un ángulo en que el vértice es el centro del círculo.
La medida de un ángulo está determinada por el grado de rotación a partir del lado inicial hasta el lado terminal.
Una forma de medir los ángulos es en radianes.
Un radián es la medida del ángulo central . Una revolución completa (en contra de las manecillas del
reloj ) se interseca con un arco s cuya longitud es equivalente al radio r del círculo.
corresponde a 360 o . Un grado es equivalente a 1
de un círculo.
360
Dos ángulos son __________________si la suma de sus medidas es
2 o 90o .
Dos ángulos son __________________si la suma de sus medidas es o 180 o .
________________________son ángulos que tienen el mismo lado inicial y terminal.
Un círculo
Fuente: http://math.springbranchisd.com/high/classes/precalculus/PreCalculus_Scope_08_2008.pdf 1232

Unidad 11.2: Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Radianes, grados, longitud de arco, sectores
Radianes, grados, longitud de arco, sectores
¿Cómo convierto de radianes a grados y viceversa? ¿Cómo mido la longitud de un arco y el área de un
sector?
I. Grados y radianes
Circunferencia de un círculo = ______ Circunferencia del círculo unitario = _____
Convertir a radianes:
a) 45˚
b) 50˚
c) 270˚
Grados Radianes:
Multiplicar por _____
II. Longitud de arco - _____________
Radián -
Convertir a grados:
a) 6
5
b) 6
4
c)
3
Radianes Grados:
Multiplicar por _____
Halla la longitud de un arco de un círculo con un radio de 5 cm
generado al rotar un radio a un ángulo de:
a) 2
b)
9
c) 40˚
d) 137˚
1233

Unidad 11.2 Funciones circulares y trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de la lección - Radianes, grados, longitud de arco, sectores
Un sector con un radio de 158 mm tiene las longitudes de arco dadas. Halla el ángulo del sector.
Provee tu respuesta tanto en grados como en radianes.
a) 10 mm
III. b) Área 150 de mm un sector - _____________
1. Halla el área de un sector de un círculo con un radio de 6 cm si su ángulo es
a) 2
5
b) 12
c) 18˚
d) 73˚
2. Un sector circular tiene un radio de 12 m. Halla el ángulo, en radianes, del sector dado que su área
medida es de 100 metros cuadrados.
Ejemplo 1: El sector de un círculo con un radio de 3 cm tiene un ángulo subtendido de
18
centro. Halla
a) la longitud de arco del sector sector b) el área del sector del círculo
5 radianes en el
Ejemplo 2: El área oscurecida del diagrama es un segmento de un círculo con radio r. Demuestra que el
2
r ( 3)
área del segmento está dada por
.
12
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1234

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Ecuación de la curva del seno
Parea las ecuaciones de curva del seno a la derecha con sus características a la izquierda. Coloca la
letra de la ecuación correspondiente en el blanco de sus características.
Ecuaciones de curva
Amplitud Periodo Deslizamiento
del seno y =
________ 1. 1 2π unidades a la izquierda c.
________ 2. 2 π unidades a la derecha d.
________ 3. 1.5
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/sinegraf.html 1235
a.
b.
unidades a la derecha e.
________ 4. 1.5 2π unidades a la izquierda f.
________ 5. 1
π unidades a la
izquierda
________ 6. 2 4π unidades a la derecha h.
________ 7. 1
unidades a la derecha i.
________ 8. 1 5π unidades a la izquierda j.
________ 9. 1.5 π π unidades a la derecha k.
________ 10. 2
unidades a la izquierda l.
________ 11. 1 3π unidades a la izquierda m.
________ 12. 2 Π unidades a la derecha n.
________ 13. 1.5 4π
2π unidades a la
izquierda
________ 14. 1.5 10π π unidades a la derecha p.
g.
o.
q.
r.

Las cuatro funciones restantes
Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Las cuatro funciones restantes
Utiliza papel cuadriculado para trazar las gráficas de las funciones aquí abajo en dos periodos. Asegúrate
de que los ejes tengan una escala apropiada y estén debidamente rotulados. Por cada gráfica halla:
1) el periodo
2) el cambio de fase
3) las asíntotas
4) la ubicación y valor de los puntos máximos, de haberlos
5) la ubicación y valor de los puntos mínimos, de haberlos
6) ¿Alguna intercepción en x o en y? Si los hay, ¿dónde están?
7) Corrobora tu dibujo con una calculadora gráfica.
1. y = csc2x
2. y = tanx +
3. y = 2secx – 1
4. y = -cotx -
5. y = csc3x - 1
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 1236

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de
funciones trigonométricas
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temp 47 52 61 70 77 84 88 87 80 71 60 51
Datos periódicos
Temperatura máxima promedio mensual (⁰F) de Winston-Salem (Carolina del Norte)
Temperatura
Temperate
Monthly Maximum Temp
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Month
¿Qué son las ondas de seno? ______________________________________________________
________________________________________________________________________
Otros ejemplos de fenómenos periódicos:
Vocabulario
Función periódica – _____________________________________________
Periodo –_______________________________________________________
Punto máximo – ______________________________________________
Punto mínimo – _______________________________________________
Eje principal – _________________________________________________
Amplitud – ___________________________________________________
Conecta los puntos en la gráfica anterior.
¿Cuál es el:
periodo? _______
¿Punto máximo? _______
¿Punto mínimo? ______
¿Amplitud? _______
Temperatura máxima por mes
Mes
1237

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Notas sobre los datos periódicos y los deslizamientos de
funciones trigonométricas
La función de seno
¿Cómo se genera?
Utiliza tu calculadora para trazar la gráfica de las siguientes funciones y completar la tabla.
Función Periodo Máximo Mínimo Amplitud
y = sen x
y = 2sen x
y = 0.5sen x
y = sen 2x
y = sen 0.5x
La forma estándar de la función de seno es y = a sen b(x + c) + d.
1. Según la tabla, ¿cómo a afecta la función de seno?
2. Según la tabla, ¿cómo b afecta la función de seno?
3. ¿Puedes encontrar una fórmula para hallar el periodo? _______ ¿La amplitud? ______
4. Establece la amplitud de cada una de las funciones siguientes:
a. y = 3sen x b. y = sen x c. y = -2sen x d. y = 2,024sen x
5. Establece el periodo de cada una de las funciones siguientes:
a. y = sen 3x b. y = sen (.25x) c. y = sen (1.2x) d. y = sen Bx
Sin usar tecnología, traza las gráficas de a. y = 2senx y = -2sen x de 0 a 2π en el mismo eje. A
continuación, traza la gráfica de y = sen2x de 0 a 2π.
En base a lo que sabes sobre transformaciones, predice cómo las gráficas de y = sen(x – 2) y y = sen(x) +
3 se deslizarán de la función original y = sen x.
y = a sen b (x – c) + d
¿Cómo podemos crear una función de seno para hacer un modelo de la temperatura promedio máxima
mensual de Winston-Salem?
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1238
Datos obtenidos en www.weather.com

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales
Datos, gráficas y regresión del seno
Provéele datos de una ciudad a cada grupo de estudiantes. (Imprime y recorta la página tres.)
La regresión de gráfica y calculadora se proveen como recurso al maestro. Los datos provistos corresponden al
promedio mensual de temperaturas diarias más altas.
Salt Lake City - EE. UU.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
36.5 43.2 51.8 65.1 72.0 82.9 92.3 90.0 79.3 66.0 49.8 38.3 36.1 42.9 51.0
Ciudad de Nueva York – EE. UU.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
38.8 40.5 47.3 56.8 68.4 76.8 81.1 80.1 72.7 62.4 53.2 43.0 38.4 40.3 47.0
Vancouver – Canadá
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
41.7 45.7 49.5 55.2 61.9 66.9 71.4 70.9 65.3 56.5 48.2 43.5 41.5 45.6 49.1
1239

Unidad 11.3: Gráficas de las funciones trigonométricas:
Matemáticas
Tarea de desempeño - Cómo hacer modelos de datos climáticos reales
Buenos Aires - Argentina
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
74.3 72.9 69.1 62.1 55.9 50.7 50.0 52.0 55.8 60.8 66.7 71.6 74.3 72.8 68.9
Las cuatro curvas:
Salt Lake City - EE. UU.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
36.5 43.2 51.8 65.1 72.0 82.9 92.3 90.0 79.3 66.0 49.8 38.3 36.1 42.9 51.0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Ciudad de Nueva York - EE. UU.
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
38.8 40.5 47.3 56.8 68.4 76.8 81.1 80.1 72.7 62.4 53.2 43.0 38.4 40.3 47.0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Vancouver – Canadá
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
41.7 45.7 49.5 55.2 61.9 66.9 71.4 70.9 65.3 56.5 48.2 43.5 41.5 45.6 49.1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Buenos Aires - Argentina
Ene Feb Mar Abr Ma
74. 72. 69. 62. y 55.
3 9 1 1 9
Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar
50.
7
50.
0
52.
0
Fuente: http://www.uen.org/Lessonplan/preview?LPid=25928 1240
55.
8
60.
8
66.
7
71.
6
74.
3
72.
8
68.
9

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores
Hoja de actividades para Información básica de vectores
1. Halla el vector de los siguientes
P
K
2. Halla los vectores de la línea entrecortada sumando o restando vectores.
H
C
A
Q
J
G
B
K
G
F
E
N
R
H
F
L
W
M
1241

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores
3 -2
3. Si p =( ( ( ) y q = ( )
5 4
Halla:
2p
3q
3p + 4q
5p – 2q
4. Escribe los siguientes vectores en términos de p y q
p
q
5. OS = 2a + 3b. OT = b – a
Halla SY en términos de a y b.
Halla la posición de vector del punto equidistante ST.
1242

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Hoja de actividades para Información básica de vectores
6. El diagrama muestra un punto P que divide la línea a razón de 5:1.
Halla SP en términos de s y t.
S
P
T
Fuente: http://www.teachnet-uk.org.uk/2006%20Projects/Maths-KS4-5_catchup/Straight_lines-vectors.htm
1243
O

Unidad 11.4 Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación
Vectores y su uso para hacer modelos de situaciones físicas
Como has aprendido, los vectores se identifican por la magnitud (longitud) y orientación a partir de un
punto de inicio. Las características de los vectores resultan útiles en el deporte de la orientación. En este
deporte se requiere que los competidores, en función de sus destrezas de lectura de mapas y uso de la
brújula, naveguen por un trayecto predeterminado, y que lleguen a unos puntos de control que se
encuentran en un orden particular. El objetivo es ser preciso y más rápido que tus competidores. Tu
clase se ha inscrito en una competencia del deporte de orientación y te han designado para que
elabores un conjunto de instrucciones que el equipo tendrá que seguir para poder ganar.
A continuación se encuentra el mapa de la carrera en el Parque Rockville con sus puntos de control
designados. El punto de control 1 se encuentra a la entrada del parque.
agua
punto de control
puente
Leyenda
cerro
camino
Durante la primera etapa, los competidores deberán avanzar desde la entrada del parque, el punto de
control 1, hasta el punto de control 2, que se encuentra en el paseo. A continuación, el trayecto se
convierte en terreno desigual hasta los demás puntos de control ordenados. Los competidores deberán
evitar el terreno empinado y podrán cruzar los arroyos únicamente por puentes. Hay un arroyo a la
derecha del No. 2 que se dirige a la derecha bajo el puente. Hay un cerro justo al sur del punto de
control No. 3 y otro justo al norte del No. 4. La longitud de la primera parte del trayecto desde el No. 1 al
No 2. es de 1.9 millas.
Responde a las siguientes preguntas para que puedas elaborar instrucciones adecuadas para tu equipo.
Utiliza regla y transportador. Usa la convención matemática para medir ángulos con 0° que representen
1244

Unidad 11.4 Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación
la dirección hacia el este. Las direcciones incluyen distancia y orientación. La distancia debe proveerse
en millas.
1. Como calentamiento, traza dos puntos en una hoja de papel y conéctalos con un segmento. El
segmento de línea define la magnitud/distancia y una orientación/pendiente. Explica cómo alterar el
dibujo para que también describa una dirección específica, desde un punto final al otro.
2. Pasemos ahora a las instrucciones de tu equipo. Primero, necesitas trasladar a tu equipo desde la
entrada del parque (No. 1) hasta el No. 2, caminando por el paseo.
a. En papel encerado, dibuja un segmento de línea de por lo menos dos pulgadas. Luego, coloca el
papel encerado sobre el mapa con el punto inicial del papel encerado sobre el punto final del
paseo en No. 1. Esto ayudará a determinar la orientación/dirección del primer segmento del
trayecto.
Dirección __________________, Distancia __________________
b. Completa las instrucciones que llevarán al equipo al No. 2.
Dirección __________________, Distancia __________________
c. Si tu equipo pudiese haber ido directamente del No. 2 al No. 1, ¿cuáles habrían sido las
instrucciones?
Dirección __________________, Distancia __________________
d. Tomando el punto No. 1 como el origen, ¿cuán lejos al este y cuán lejos al oeste se ha
desplazado tu equipo hasta ahora?
e. Explica por qué el total de las distancias en a y b no equivale a la distancia en c.
3. Ahora dibuja en tu mapa la ruta que recomendarías para completar el resto del trayecto. A
continuación, escribe un conjunto de instrucciones por cada una de las etapas; mantén el número
de instrucciones al mínimo. Si necesitas escribir más de una dirección y distancia por una etapa
cualquier, explica por qué.
a. del No. 2 al 3:
b. del No. 3 al 4:
1245

c. del No. 4 al 5:
Unidad 11.4 Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Vectores y deporte de orientación
4. Considera el efecto cumulativo de estas instrucciones en los competidores.
a. Ya que tu equipo se encuentra en el No. 5, ¿dónde se encuentra con respecto al No. 2?
b. ¿Dónde se encuentran con respecto al No. 2?
5. Después de terminar con el trayecto del deporte de orientación, los competidores tienen que
regresar a sus carros (ubicados en la entrada del parque). ¿Cuál única instrucción los llevaría desde
la meta en el No. 5 hasta el punto de salida en el No. 1?
agua
Leyenda
punto de control
puente
cerro
camino
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module6/signature_lab6.pdf 1246

Introducción a los vectores
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Introducción a los vectores
1. Explica que un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como orientación.
2. Provee un ejemplo común de este tipo de cantidad, como pilotar un avión. La velocidad real del
avión está determinada por las velocidades combinadas del viento y la velocidad a la cual vuela el
avión.
3. Explica cómo la ley de triángulos de la suma de vectores explica ilustra esto, donde el piloto
realmente vuela en dirección OA a la velocidad del avión, para que cuando se vea "impulsado" en la
dirección AB por la velocidad del viento, alcance su destino B. OB es la dirección requerida para
llegar a su destino.
O
4. Explica que, según esta definición, cualquier par de vectores de la misma longitud y paralelos uno al
otro son por lo tanto idénticos. Según esta definición, un vector es cualquiera de este conjunto
infinito de segmentos de línea paralelos en esta dirección. Esta definición de vector se refiere a lo
que a veces se conoce como vector libre.
5. Sin embargo, una vez representamos un vector en un sistema de coordenadas específico como un
segmento de línea dirigido con punto inicial en el origen y punto terminal en (a, b), entonces solo
hay un segmento de línea dirigido en este conjunto infinito que ahora representa nuestro vector.
Esta definición de vector se refiere ahora a un vector de posición.
6. Puesto que la suma ahora implica dos vectores, ambos con un punto inicial en el origen, la suma
vectorial tendría que hacerse entonces por el método del paralelograma.
7. Muéstrales a los estudiantes un vector y pídeles que elaboren formas de determinar su longitud.
(Los estudiantes deben hacer la asociación con el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia.)
8. Instrucciones directas: notación, hallar la magnitud de un vector usando la fórmula de distancia.
9. Ejercicios de práctica guiada
A B
Dibuja la flecha que representa el vector de un punto al otro.
Halla la magnitud de un vector dado.
Representa dos fuerzas que actúan sobre un objeto como vectores en el plano.
Fuente: www.curriculumframer.com 1247

Tarea Misión Imposible
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
Buenos días, Agente I.M. Realizarás una misión encubierta como piloto en entrenamiento en el
Aeropuerto Internacional de San Juan. Nos hemos tomado la libertad de colocar los siguientes artículos
en tu maletín: un mapa de Puerto Rico, una brújula, una regla, un marcador y dos micro papitas. Tu
misión, si decides aceptarla, contiene dos partes e implica el deslizamiento vectorial. Este mensaje no se
autodestruirá en diez segundos. La agencia tiene un presupuesto reducido y debe conservar papel. Lee
tu tarea con detenimiento.
Tarea I:
Vuela desde San Juan hasta Mayagüez haciendo escala en Dorado. Déjale una micro papita al Agente
Barney Fife de Mayberry Vice en el aeropuerto de Mayagüez. Deberás determinar el deslizamiento del
vector.
• Dibuja un vector en el mapa de San Juan a Dorado.
• Dibuja un segundo vector en el mapa de Dorado a Mayagüez, con la cola del vector empezando en
la cabeza del primer vector.
• Dibuja un tercer vector en tu mapa desde la cola del primer vector a la cabeza del segundo vector.
Este vector se llama vector resultante.
• Mide la longitud del vector resultante y su orientación de San Juan a Mayagüez. Anota los resultados
en grados. Este vector representa el deslizamiento total del plano.
• ¿Cuál es el deslizamiento del plano desde San Juan a Mayagüez?
Tarea II:
Vuela desde Aguadilla hasta Ponce y haz una escala en Humacao. Déjale la otra micro papita a Arnold
Ziffle, de Hooterville S.W.A.T. Deberás determinar el deslizamiento del vector.
Si tú o cualquiera de tu equipo es descubierto o capturado, el secretario negará cualquier conocimiento
de tus acciones y confiscará tu ipod. De hecho, el secretario está de vacaciones en Tijuana y no sabe
nada de esta misión. ¡Buena suerte!
1248

Componentes de los vectores
Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
Transfiere los vectores de tu tarea de Misión Imposible a la gráfica siguiente.
Mide la longitud del vector resultante y su orientación de Aguadilla a Dorado.
o Longitud vectorial (en pulgadas): _________
o Longitud vectorial (en millas): _________
o Orientación: ____________
Usando la escala en el mapa, dibuja el vector en una hoja de papel cuadriculado. Aguadilla está
ubicado en el origen.
Determina el componente de x y el componente de y del vector.
o componente de x (Aguadilla/Dorado) = ______________________
o componente de y (Aguadilla/Dorado) = ______________________
Mide la longitud del vector y su orientación de Dorado a Mayagüez.
o Longitud vectorial (en pulgadas): _________
o Longitud vectorial (en millas): _________
o Orientación: ____________
Dibuja el vector en la gráfica a continuación con la cola en el origen.
Determina el componente de x y el componente de y del vector.
o componente (Dorado/Mayagüez) = ______________________
o componente y (Dorado/Mayagüez) = ______________________
Halla el deslizamiento de x TOTAL. (Suma los distintos componentes de x.)
Halla el deslizamiento de y TOTAL. (Suma los distintos componentes de y.)
Usando los componentes de x y y, calcula la longitud del vector resultante y la orientación. Anota los
resultados en millas y grados.
1249

Unidad 11.4: Vectores
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Vectores en un mapa
Fuente: http://mappery.com/map-of/Puerto-Rico-Tourist-Map
1250

Ecuaciones con ángulos dobles
Ejemplo 1: Dado que θ es agudo y tanθ = ½ halla:
a) sen2θ
b) cos2θ
Tú: Dado que el ángulo x es agudo y senx = 4/5, halla
a) sen2x
sen2x = 2senxcosx
cos2x = cos 2 x – sen 2 x
= 2cos 2 x – 1
= 1 – 2sen 2 x
Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Identidades de ángulo doble
b) cos2x
4cos 2x
2cos
x 3 ,
Ejemplo 2: 0
3 sen2x ,
Ejemplo 3: senx
0 x 360
0 x 360
Ejemplo 4: cos 2x
9cos
x 5 0 , 0 x 2
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1251

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas
Identidad trigonométrica fundamental
Ejemplo 1: Dado que el ángulo θ es agudo y Tú: Dado que el ángulo θ es agudo y cosθ = 7
, halla cosθ y tanθ. halla el valor de senθ y tanθ.
Ejemplo 2: , Tú: senx cos x 0 , 0 x
360
=1
1252
5 ,

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Identidades trigonométricas
Ejemplo 3: , Ejemplo 4: ,
2
6cos
x senx 5
,
Tú: 0
x
Tú: 3 x
2cos
x 3senx ,
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1253
2

Unidad 11.5: Vectores
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Rompecabezas trigonométrico
Rompecabezas de identidades trigonométricas
Reacomoda los dieciséis cuadrados para formar un cuadrado mayor en que todos los lados se pareen
para formar identidades trigonométricas.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/trgcutup.html
1254

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Yo tengo... quién tiene
Tengo… Quién tiene…
1. csc (B) 1.
2. cos (A) 2. sen 2 A+cos 2 A
3. 1 3.
4. csc (A) 4. sec 2 B-1
5. tan 2 B 5. cot(-B)
6. –cot(B) 6.
7. senA 7. csc 2 B-1
8. cot 2 B 8. cos(-B)
9. cosB 9. sen(-A)
10. –senA 10. 1-sen 2 B
11. cos 2 B 11.
12. tan B 12.
13. sec A 13. 1 + cot 2 A
14. csc 2 A 14.
15. sec B 15.
1255

Unidad 11.5: Temas de trigonometría adicionales
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Yo tengo... quién tiene
16. cot A 16. 1an 2 B
17. sec 2 B 17. 1-cos 2 A
18. sen 2 A 18.
19. tan A 19. cos 2 B-1
20. –sen 2 B 20. tan(-A)
21. –tan A 21.
22. sen B 22. tan 2 A-sec 2 A
23. -1 23.
24. cot B 24. sen 2 A-1
25. –cos 2 A 25.
Fuente: http://www.pleacher.com/handley/lessons/trig/ihave.html 1256

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica
Ejemplo 1: 4sen(3x) = 2,
Paso 1: Resuelve para _________.
Paso 2: Sea = ____, y resuelve para
____.
Paso 3: Ajusta el dominio.
Paso 4: Resuelve la ecuación de
sobre el nuevo dominio. Resulta útil
trazar una gráfica de la función.
Paso 5: Halla los valores en x de las
soluciones.
Ejemplo 2:
Paso 1: Resuelve para _________.
Paso 2: Sea = ____, y resuelve para
____.
Paso 3: Ajusta el dominio.
Paso 4: Resuelve la ecuación de
sobre el nuevo dominio. Resulta útil
trazar una gráfica de la función.
Paso 5: Halla los valores en x de las
soluciones.
Cuándo se usa este método:
Cuando el ángulo no es ___ ni ___ ( __________________________).
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1257

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo cambiar el dominio de una ecuación trigonométrica
Práctica guiada
1. = , 2. sen( x) = ,
3. 4. ,
5. 6.
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246 1258

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos
Desarrollo de la ley de cosenos
Primero, para repasar LAL y LLL, se les darán a los estudiantes varios datos sobre triángulos y se les
pedirá que los tracen con regla y transportador. Compararán triángulos entre sí para ver con cuáles
conjuntos de datos se obtiene un solo triángulo, así como para ver que con ciertos ejemplos de LLL no se
obtiene triángulo. Los estudiantes desarrollarán la ley de cosenos como extensión lógica de la fórmula
pitagórica y nuestra definición de razón de coseno. A continuación, explorarán los escenarios donde
resulte útil, y verán qué sucede cuando intentan aplicarla a uno de los ejemplos de LLL imposibles de la
actividad anterior.
1. Los estudiantes necesitarán reglas y transportador.
2. Dales los siguientes ejemplos y pídeles que intenten dibujar los triángulos:
a. Un triángulo con lados de 5 cm, 8 cm y 10 cm.
b. Un triángulo con lados de 4 cm, 5 cm y el ángulo incluido de 55 grados.
c. Un triángulo con lados de 11 cm, 13 cm y 29 cm.
3. Dales tiempo para jugueteen con los diagramas. El ejemplo de LAL es bastante sencillo, pero LLL es
más difícil. El ejemplo (a) es posible, pero requiere un poco de ensayo y error, pues aún no
contamos con una técnica para hallar los ángulos que faltan. El ejemplo (c), por el contrario, no es
posible.
4. Pídeles a los estudiantes que analicen los ejemplos en parejas y grupos pequeños. Date la vuelta por
el salón para asegúrate de que estén llegando a las conclusiones correctas.
5. A continuación, pídeles que discutan las siguientes preguntas entre ellos:
a. En general, ¿qué ilustra esto sobre la cantidad de información necesaria para determinar un
triángulo? (Como hemos estudiado anteriormente, el LAL determina un triángulo único,
independientemente de los números. Por otro lado, este no es el caso de LLL.)
b. Si se proporcionan las longitudes de los lados, ¿cómo podemos comprobar si determinan un
triángulo o no? (Verifica para asegurarte de que cada par de lados sume una longitud mayor que
el tercer lado.)
c. Aprendimos en geometría que LLL probaba la congruencia; ¿cómo es posible que LLL no
garantice un triángulo? (El postulado en geometría establecía que si dos triángulos compartían
el mismo LLL, se supone que haya dos triángulos. No establece que cualquier combinación de
tres longitudes de lado creará un triángulo.)
6. Presenta el tema de que si un triángulo está determinado por tres lados, debe haber alguna forma
de usar los lados para hallar los ángulos.
7. Desarrolla la ley de cosenos con tu clase. Tómate el tiempo de facilitar el que descubran la fórmula
en vez de presentarla antes de probarla o probarla muy rápidamente. Guía a los estudiantes por
cada paso de la prueba con las siguientes instrucciones; es posible que no piensen en todos los
pasos por su cuenta, pero podrán realizarlos con un poco de orientación.
a. Comienza con el diagrama de triángulo estándar con los lados rotulados a, b y c y los ángulos
rotulados A, B y C. Pon el ángulo A en la parte de arriba del diagrama y el lado a horizontal.
b. Traza la altura que conecta el ángulo A con el lado a y rotúlalo h. Rotula con "x" la porción del
lado a que está adyacente al lado b y la otra porción (a-x).
c. Deja que los estudiantes intenten la próxima parte por su cuenta; dependiendo del nivel que
tengan puedes darles más o menos orientación. Pídeles que estipulen ecuaciones en base a lo
1259

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Desarrollo de la ley de cosenos
que saben sobre los triángulos. Guíalos, de ser necesario, para que usen el teorema de Pitágoras
con los dos triángulos que creaste.
d. Acepta sugerencias para los próximos pasos; al final, la forma de proceder es solucionar para y
h 2 e igualar los resultados. A continuación, simplifica y usa trigonometría para reemplazar x por
"b cos C".
e. Ahora ya tienen la ley de cosenos en la variación que más les recuerda la forma de rotular usada
con la fórmula pitagórica: c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C. Han establecido una relación importante entre
cuatro medidas del triángulo (como lo hicimos con la ley de senos), y si conocen tres de ellos
(LAL o LLL) pueden resolver el cuarto.
8. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar usando estas fórmulas con ejercicios del livro.
Asegúrate de incluir ejemplos en que:
a. LAL esté dado y haya que hallar el tercer lado.
b. El LLL de un triángulo esté dado y haya que hallar el ángulo que falta.
c. Se dan tres longitudes que no formen un triángulo y haya que interpretar el resultado (con los
cálculos se obtiene un valor imposible de coseno).
9. Discute con los estudiantes cómo el hecho de que LAL siempre determine un triángulo queda
respaldado por la fórmula que acaban de derivar:
a. Siempre y cuando el lado recto de la ecuación anterior sea positivo, obtendremos un valor para
el tercer lado.
b. Para ser negativo, demostrar que un tercer lado del triángulo es imposible, "2 ab cos C" tendría
que ser mayor que "a 2 + b 2 ".
c. Como cos C nunca es mayor que 1, podemos simplificar el enunciado anterior a: "2 ab" tendría
que ser mayor que "a 2 + b 2 ".
d. Pídeles a los estudiantes que exploren esta posibilidad. ¿Pueden encontrar dos números con los
que sea el caso?
e. Analízalo con álgebra; si estableces la desigualdad, se simplifica a (a-b) 2 es mayor que o igual a
0, lo cual es obviamente cierto para todos los valores reales de a y b.
f. Finalmente, discute cómo resulta obvio a partir de un diagrama que LAL garantice un triángulo.
Básicamente, LAL es un ángulo entre dos segmentos de línea: ¿cómo podría ser imposible
conectar el final del segmento y crear un triángulo?
10. Los libros a menudo contienen una forma específica de la versión resuelta para coseno del ángulo
en casos en que se da LLL. Discute esto con ellos; asegúrate de que lo vean como una variación de la
ley de cosenos y no una fórmula más. Además, señálales que aunque sea conveniente, no es
necesario. Por el contrario, podemos utilizar la versión de la ley de cosenos provista anteriormente,
añadir los tres lados y resolver para el triángulo.
Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/template_233.html 1260

Unidad 11.5: Temas trigonométricos adicionales
Matemáticas
Tarea de desempeño - Rúbrica del Laberinto de triángulos
Categoría 4
Rúbrica de Laberinto de triángulo
3 2 1
La propuesta presenta un diseño La propuesta presenta un buen La propuesta presenta un diseño La propuesta presenta un diseño que
atractivo del laberinto, y utiliza
diseño del laberinto, y utiliza
poco atractivo del laberinto, y no es atractivo del laberinto, y
matemáticas eficazmente en el diseño. matemáticas eficazmente en el demuestra dificultades utilizando las demuestra dificultades utilizando las
Diseño Se analiza detalladamente el impacto diseño. Se analiza el impacto en el matemáticas eficazmente en el matemáticas eficazmente en el diseño.
en el Departamento de Terrenos. Departamento de Terrenos.
diseño. Se analiza el impacto en el No se analiza el impacto en el
Departamento de Terrenos, pero no Departamento de Terrenos
lo suficiente.
correctamente, o no se analiza.
La propuesta, el diagrama y las
La propuesta, el diagrama y las La propuesta, el diagrama y las La propuesta, el diagrama y las
matemáticas de apoyo demuestran una matemáticas de apoyo demuestran matemáticas de apoyo demuestran matemáticas de apoyo demuestran
comprensión cabal y sofisticada del uso una comprensión cabal del uso de la alguna comprensión del uso de la ley poca comprensión del uso de la ley de
Conceptos de la ley de senos y cosenos para ley de senos y cosenos para
de senos y cosenos para solucionar senos y cosenos para solucionar
solucionar triángulos. El estudiante solucionar triángulos. El estudiante triángulos. El estudiante tiene triángulos. El estudiante no logra
analiza eficazmente el diagrama para analiza el diagrama para discutir su dificultades analizando el diagrama analizar adecuadamente el diagrama
discutir su uso e impacto.
uso e impacto.
para discutir su uso e impacto. para discutir su uso e impacto.
El diagrama está bien rotulado y las En general, el diagrama está bien La mayor parte del diagrama está Hay problemas graves con el diagrama,
medidas son correctas. Se hacen los rotulado y las medidas son precisas. bien rotulado y las medidas son así como con las medidas y los cálculos.
cálculos correctamente, y la
Por lo general, los cálculos están correctas, pero los errores le restan Los errores son tan frecuentes que la
Precisión
interpretación del uso e impacto es
intuitiva y razonable.
correctos, con pequeños errores
insignificantes, y la interpretación
a la eficacia de la propuesta. Algunos
cálculos están correctos, pero
propuesta no le resultaría útil al
parque. Le falta la interpretación del
que hace del uso e impacto es contienen errores importantes, lo uso e impacto o no es apropiada.
apropiada.
cual compromete la interpretación
del uso e impacto.
Todos los elementos de la propuesta se Todos los elementos de la propuesta Explica algunos elementos de la Se explican pocos elementos de la
explican clara y cabalmente usando la se explica clara y cabalmente usando propuesta claramente, pero
propuesta de forma clara. No se usa
Comunicación terminología matemática más eficaz. la terminología matemática más confunde otros. Se usa la
terminología matemática o se usa de
eficaz.
terminología matemática de forma
incompleta o con errores menores.
forma incorrecta.
Se presénta la propuesta de forma En general, la propuesta se ve limpia Algunos de los elementos de la La propuesta está descuidada y
profesional y se demuestra esmero en y completa, aunque a algunos propuesta se ven limpios, pero otros demuestra desinterés por la calidad.
Presentación
la preparación y claridad en la
comunicación. Queda claro que se ha
elementos podría faltarles un toque
profesional. Se ha prestado atención
demuestran falta de esmero en la
calidad. No queda claro cuál público
Esto le resta significativamente a
cualquier consideración que pueda o
prestado atención al público y al al público y al propósito.
o propósito se tomó en cuenta. no habérsele prestado al público o
propósito.
propósito.
Fuente: www.curriculumframer.com 1261

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Carrera de gráficas de funciones paramétricas
Carrera de gráficas de funciones paramétricas
En parejas, los estudiantes practican a trazar gráficas de ecuaciones paramétricas siguiendo la función al pie de la
letra. El maestro debe revisar cada gráfica antes de que el grupo pueda pasar al próximo conjunto de ecuaciones.
El primer grupo en terminar las seis gráficas ¡gana!
1.
4.
xsin(3 t)
ysin(4
t)
0 t6.3 tstep 0.05
1x1 1y1 2.
x 8cost5cos(4 t)
y
8sin t 5sin(4
t)
0t2 tstep 0.05
15 x 15
15 y 15
1262
Fuente:
http://hollywoodhighschool.net/apps/pages/index.jsp?uREC_ID=116947&type=u&termREC_ID=&pREC_ID=210421
3.
x sin t sin
t
y costcost 0 t6.3 tstep 0.05
1.5 x 1.5
1.5 y 1.5
Modo radián Modo radián Modo radián
Zoom Square Zoom Square Zoom Square
Ejes desactivados
x1t
2
y11tt x2t
2
y21tt 1t1 tstep 0.05
1.2 x 1.2
1 y 1.6
5.
x1cost
y1sin
t
x2t
y2sin
t
0t2 tstep 0.05
1.5 x 2
xscl 4
yscl 1
1.5 y 1.5
6.
x2cost
y2sin
t
0 t360 tstep 5
2x2 2y2 Modo grado
Zoom Square Modo radián Zoom Square
Ejes desactivados Zoom Square Repite la gráfica con
Modo simultáneo Modo simultáneo tstep distinto como
30, 45, 90 y 120.

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Enigma de razonamiento deductivo
Enigma de razonamiento deductivo
Instrucciones: Preséntales a los estudiantes dos copias distintas de la hoja suelta; primero sin la gráfica y
después con la gráfica al final.
Instrucciones: Usando la información dada intenta resolver el siguiente enigma.
Diego, Martín, Natalia y Julián todos vienen de un estado distinto: Alaska, Maine, Montana u Oklahoma.
Todos tienen una lengua materna distinta: inglés, francés, ruso o español. Cada uno tiene una mascota
distinta: una chinchilla, un perro, un hámster o una tortuga. Utiliza esta información y las pistas
siguientes para determinar dónde vive cada uno, cuál es su lengua materna y cuál es su mascota.
1. Martín necesitaba un libro de idiomas para escribirle una carta a la persona de Alaska.
2. La persona de Oklahoma tiene un mamífero de mascota.
3. La persona de Alaska encontró su mascota frente a la puerta sobre un monte de nieve.
4. El chico que habla francés vive al este de Oklahoma.
5. El chico que habla ruso quiere escribirle a la persona de Montana, pero no habla su mismo idioma.
6. Diego compró su mascota en Perú.
7. Julián no tiene un hámster.
8. La persona que tiene el perro le escribió una carta en ruso a la persona que vive en Oklahoma, pero
ella no pudo entenderla.
9. Diego tuvo que viajar al oeste para conocer a Natalia.
10. Martín está aprendiendo español en la escuela.
Enigma de razonamiento deductivo y cuadrícula
Diego
Martín
Natalia
Julián
Chinchilla
Perro
Hámster
Tortuga
Inglés
Francés
Ruso
Español
AK ME MT OK Ing. Fr. Rus. Esp. Chin. Per. Hám Tor.
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 1263

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
Materiales: tijeras, pegamento, tarjetitas de 22-3x5, bolsita zip-lock para guardar las tarjetas juntas
después
Objetivo: Los estudiantes deben poder reconocer las funciones paramétricas básicas dada una gráfica o
la notación simbólica de la función.
Procedimiento:
(1) Recorta una función paramétrica a la vez junto con su descripción. Nota: Asegúrate de recortar una
sola gráfica y descripción a la vez para que no se mezclen. Cada descripción se encuentra justo
debajo de su gráfica correspondiente.
(2) Pega la gráfica a un lado de la tarjetita 3x5 y su descripción al otro lado.
(3) Utiliza las tarjetitas de dos formas:
(a) Escribe en cada gráfica algunas propiedades que la describan.
(b) Con las descripciones, intenta adivinar cuál función paramétrica se decribe.
Consejitos didácticos:
Haz que los estudiantes utilicen tarjetas de repaso como herramienta de aprendizaje de las
funciones paramétricas. Una vez las hayan aprendido, las tarjetas les pueden servir de repaso.
Haz que los estudiantes se dividan en parejas y se examinen con las tarjetas del otro. Esto puede
hacerse al principio de la clase durante los primeros cinco minutos como calentamiento.
1264

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
1265

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Tarjetas de repaso de las funciones paramétricas
Fuente: http://distance-ed.math.tamu.edu/Precalculus_home/Module5/Activity_5AB.pdf 1266

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas
Introducción a las funciones paramétricas
Estamos en un teatro. En la tarima cada artista tiene un número particular de recorridos. En la danza, el
coreógrafo puede pedirle a dos bailarines que se crucen corriendo. En esta situación, cada bailarín debe
conocer su trayecto para que no se choquen durante la danza. En el teatro, el director podría pedirles a
dos actores que corran el uno hacia el otro. En algunas funciones se requiere que ambos actores
caminen hacia atrás en el escenario para que puedan encontrarse. Nuevamente en ambos casos cada
cual debe saberse su trayectoria. Vamos a trazar unos cuantos trayectos posibles que podrían recorrerse
en un escenario.
Preguntas guiadas para esta actividad:
Los trayectos se cruzan, ¿pero significa esto que se chocarían?
¿Cuáles son las variables que afectaron cada trayecto? (tiempo, distancia y velocidad)
Tabla de recopilación de datos:
Caminante no. 1
Caminante no. 2
Caminante no. 3
Caminante no. 4
Caminante no. 5
Caminante no. 6
Color del que
camina
Coordenadas
iniciales
(x,y)
Coordenadas
iniciales
(x,y)
Tabla de tiempo: Tabla de medidas:
Caminante no.
1
Caminante no.
2
Caminante no.
3
Caminante no.
4
Caminante no.
5
Caminante no.
6
Color del que
camina
Tiempo de
trayecto
Distancia del
trayecto
(grupo de medida)
Tiempo del trayecto
(grupo que toma el
tiempo)
Color del que camina Longitud del trayecto (pies)
Caminante no. 1
Caminante no. 2
Caminante no. 3
Caminante no. 4
Caminante no. 5
Caminante no. 6
1267

Unidad 11.6: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Introducción a las funciones paramétricas
Tarjetas de la tarea grupal
Caminantes
Los caminantes completarán los trayectos en la cuadrícula. Empezarás en un punto cerca del eje de x.
Entonces, dirás "fuera" y comenzarás a recorrer tu trayecto lineal. Puedes escoger cuán larga quieres
que sea la línea, pero no puedes salirte de la cuadrícula que se encuentra en el suelo de la cancha.
También decides cuán rápido (o lento) caminas. Debes decir "ya" cuando hayas terminado tu recorrido
para que los que están tomándote el tiempo obtengan una duración correcta. Deberás además terminar
en un punto de la cuadrícula para hacerlo más preciso.
Cronometradores
Su tarea es cronometrar el trayecto del caminante. El caminante dirá en qué punto empezarás a
cronometrar el tiempo. Detendrás el reloj cuando el caminante diga "ya". Dos personas deben
cronometrar el tiempo para obtener una duración precisa. Asegúrense de corroborar ambas medidas de
tiempo al final para comprobar que sean iguales. Alguien del grupo anotará el tiempo de cada
caminante.
Marcador del trayecto
Tu tarea será marcar con cinta adhesiva el trayecto del caminante. Designaremos un color por cada
caminante y tendremos hilo del color correspondiente para cada uno. Una vez se haya completado el
trayecto, tu grupo lo marcará con cinta adhesiva para que lo podamos tener trazado en la cuadrícula.
Medidores
Tu tarea es medir el trayecto de cada caminante. Podrás medir la línea marcada con cinta adhesiva de
cada caminante con una cinta métrica. Tu grupo será responsable de anotar la medida de cada trayecto.
Anotadores
Tu tarea será recopilar y anotar todos los datos de la actividad. El primer dato que tendrás que recopilar
será el punto inicial y terminal de cada caminante. Ambos puntos deben tener coordenadas claramente
definidas. Serás además responsable de recopilar los datos de los otros grupos que estén recopilando
datos (cronometradores y medidores). Estos datos se usarán luego cuando regresemos al salón.
Fuente: http://parametricequationsintro-lessonstudy.wikispaces.com/ 1268

Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal
Regresión lineal
¿Cómo trazamos a ojo una línea de mejor ajuste de un diagrama de dispersión?
En el siguiente diagrama de dispersión hay varias líneas. ¿Cuál piensas que se ajusta mejor a los datos?
Elige dos puntos en cada una de las tres líneas y halla la ecuación de cada una antes de decidir cuál se
ajusta mejor. Demuestra el proceso paso a paso aquí abajo.
1269

Unidad 11.7: Regresión lineal
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Desde líneas de mejor ajuste a la regresión lineal
Una regresión lineal es una línea recta que permite aproximar la relación entre dos variables
representadas por un conjunto de datos.
Halla la línea de regresión lineal calculando la
pendiente y usando la forma intercepción-pendiente de una línea ( ).
Compruébalo con la regresión lineal en la calculadora gráfica.
1. Traza los siguientes puntos en la cuadrícula a continuación:
(1,3), (2,2), (0,1), (3,4)
A ojo:
Línea de regresión lineal: y = ______ x+ ______
Con la calculadora gráfica
Línea de regresión lineal: y = ______ x+ ______
2. Traza los siguientes puntos en la cuadrícula a continuación:
Línea de regresión lineal: y = ______ x+ ______
Con la calculadora gráfica
Línea de regresión lineal: y = ______ x+ ______
Fuente:
http://www.ciclt.net/ul/okresa/Unit%206%20Acquisition%20Lesson%203%20Linear%20Regression.pdf 1270

Regresión lineal en la TI-83:
La tarea
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83
En esta hoja de actividades, observarás datos recopilados en el Supermercado Rápido de Franklin de
Guaynabo el miércoles 6 de febrero de 1999. Después de introducir los datos en la calculadora, usarás
las funciones estadísticas de esta para hallar una fórmula que describa la conexión entre las variables
para que puedas hacer estimados sobre el tamaño y precios de paquetes de café.
Los datos – Precios del café registrados en el Supermercado Rápido de Franklin en Guaynabo
International roast: Café internacional
Tamaño 50g 100g 200g 375g 500g
Precio $1.85 $3.34 $6.56 $9.97 $12.79
1. Para introducir estos datos en la calculadora:
(a) Oprime STAT y luego 1: EDIT para obtener . Si tienes alguna lista que quieras
eliminar, sube a la barra de título y oprime CLEAR, luego ENTER. Así eliminarás cualquier dato en
la lista en la que estás. No es necesario que lo hagas si deseas guardar los datos, solo continúa
con la hoja de actividades.
(b) Mueve el cursor hacia arriba para llegar a la barra de título de la lista y oprime 2ND DEL para
introducir una columna vacía y sin nombre a la lista. (Notarás que el cursor es
una A que parpadea al final de la pantalla indicando que el ALPHA-LOCK está activado y la lista
está lista para recibir un título.)
(c) Escribe IRS I Z y oprime ENTER para nombrar la lista; luego usa el botón de para mover el
cursor de vuelta al título de lista L1 y repite el proceso desde el paso (b) para introducir una lista
vacía con el nombre de I RPRC.
(d) Usa los botones de cursor para moverte hacia abajo en la lista como tal y añadir los datos que
aparecen en la tabla para obtener .
1271

2. Para trazar estos datos:
Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83
(a) Oprime 2ND Y= para obtener la siguiente pantalla .
(b) Oprime 1 o ENTER para abrir la pantalla de Plot 1,
(c) Enciende la gráfica (“plot”) oprimiendo el botón de ENTER.
(d) Con la flecha de bajar ve hasta Type y usa para seleccionar el icono del diagrama de
dipersión, al sombrearlo con el cursor parpadeante y oprimir ENTER.
(e) Muévete hacia abajo en la línea X I i s t. Nuestra X l i s t es IRSIZ y podemos escribir el nombre
aquí, u oprimir 2ND STAT para obtener el menú LIST NAMES. Selecciona IRSIZ en este menú,
oprime ENTER y regresarás a la pantalla de PLOT 1 y se copiará el nombre de la gráfica.
(f) Desplázate hasta la línea Y l i s t, y repite el proceso de copiar (o sea, 2ND STAT para obtener los
nombres de listas) para fijar IRPRC como la Y l i st. La pantalla ahora debe verse así:
3. Para trazar la gráfica de los datos:
.
(a) Oprime ZOOM seguido de 9: Zoomstat para ver los puntos trazados . Como
puedes ver, estos puntos son bastante colineales, y lo que nos interesa es la línea recta que esté
más “cerca” de los puntos. Esta línea se llama línea de mejor ajuste.
(b) Para hallar esta línea usaremos una calculadora para hacer una regresión lineal de los datos.
Oprime STAT para obtener el menú Statistics Calc y oprimir 4: LinReg(ax+b). Con esto se
copia (“paste”) el comando LinReg en la pantalla inicial donde entonces necesitarás copiar los
1272

Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83
nombres de las listas (o sea, oprime 2ND STAT para obtener la pantalla de LIST NAMES) IRSIZ y
IRPRC separadas por una coma. La coma queda justo encima del 7 en el teclado. El comando se
verá entonces así: .
(c) Oprime ENTER para calcular los coeficientes de regresión. Los resultados se verán de la siguiente
forma: .
(d) Para visualizar los valores de r y r 2 podemos fijar el DiagnosticOn usando la función de CATALOG.
Oprime 2ND 0 para ir a CATALOG y oprime x -1 para moverte a la sección D. Baja hasta
y oprime ENTER para copiar el comando en la pantalla inicial y oprime ENTER
de nuevo para activar el diagnóstico.
(e) Oprime 2ND ENTER dos veces para revisualizar el comando LinReg y oprime ENTER para rehacer
la regresión. Los valores altos (cerca de 1) de r y r 2 indican un buen ajuste de los datos al modelo
lineal, por lo que es el momento adecuado para trazar la gráfica del modelo y los datos en los
mismos ejes.
(f) Para esto necesitamos copiar (automáticamente) la ecuación de regresión en la pantalla Y=
según se computa. Esto se hace añadiendo un tercer parámetro al comando Linreg. Oprime 2ND
ENTER para revisualizar el comando y escribe una coma; a continuación, copia el paramétro Y1
oprimiendo VARS para obtener el menú Y-VARS. Elige 1:Function y luego 1:Y1 para que la
pantalla inicial se vea así: .
(g) Oprime ENTER para rehacer la regresión con diagnóstico y también copiar la ecuación de
regresión en la lista de función. Oprime ZOOM 9: ZoomStat para ver los datos y la regresión
lineal.
1273

Unidad 11.7: Geometría y ecuaciones paramétricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Regresión lineal en la TI-83
4. Ejercicio
Responde a las siguientes preguntas. Usa el botón TRACE y los botones de flechas para leer las
coordenadas desde la línea y el conjunto de datos (es posible que tengas que ajustar los valores de
WINDOW para X):
1 Un competidor vende un alto número de jarras de 150 g de café y la compañía Café
Internacional está considerando la producción de este tamaño de paquete. Estima el costo de
una jarra de café de 150 g de Café Internacional.
2 Estima el costo de una jarra de 250 g.
3 Estima el costo fijo de producir la jarra en que viene el café.
4 ¿Cuánto esperarías pagar por una jarra de 1 kg de Café Internacional?
Fuente: http://education.ti.com/calculators/downloads/AUS-NZ/Activities/Detail?id=12045 1274

A descubrir el dominó
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - A descubrir el dominó
Una ficha de dominó es un rectángulo formado por dos cuadrados congruentes. Cada cuadrado contiene
un patrón ordenado de puntos que representan un número del cero al seis. Explora y desarrolla
métodos y estrategias para resolver los siguientes problemas con dominós.
Problema 1:
¿Cuántas fichas de dominó distintas pueden formarse con las limitaciones anteriores o descripción de
una ficha? Haz una lista de las fichas.
Problema 2:
Supón que cuatro personas van a jugar a un juego de dominó. Según el conjunto de reglas que se les
dan, el primer paso será dividir el conjunto total de fichas en partes iguales entre los cuatro jugadores.
¿De cuántas formas distintas puede hacerse esta división de las fichas?
Problema 3:
Una vez se han dividido las fichas entre los cuatro jugadores, el propósito del juego es turnearse para
jugar el conjunto completo de fichas de un extremo al otro, formando una línea. La única restricción es
que los extremos que se tocan tengan el mismo valor numérico. ¿De cuántas formas distintas se puede
acomodar un conjunto de fichas dadas estas restricciones? (Pista: ¿Cuántos juegos diferentes puede
haber?)
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/amsact07.html 1275

Millonario garantizado
Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Millonario garantizado
Decides que te has cansado de jugar a la lotería porque nunca ganas nada. Te enteras de una compañía
australiana que ha intentado comprar todos los boletos de lotería posibles para garantizar que ganarán.
Como este parece un método infalible de convertirse en millonario garantizado, decides intentarlo.
Primero, deberás determinar cuántos boletos hay. En la Revancha, las bolas están numeradas del 1 al 46
y hay que escoger seis números.
a. Determina cuántos boletos posibles existen para la Revancha.
b. Ahora, necesitas elaborar un plan para comprar todos esos boletos. Con tu grupo, desarrolla un
método para lograrlo. Asegúrate de incluir todos los costos, número de personas que participan y el
tiempo que se tomaría llevarlo a cabo y cualquier otra información que resulte crucial para el plan.
Se te pedirá además que expliques y justifiques el método al resto de la clase. Supón que recibirás el
pote entero en efectivo si ganas (aunque sabemos que es lo que sucede en realidad).
Una empresa de investigación de Ponce se entera de tu operación y quiere saber cuál es el pote menor
para garantizarle al menos $1 a cada persona que participe en el plan.
c. Determina el pote menor de tu plan. ¿Revisarías tu plan dada esta idea?
Fuente: http://www.colorado.edu/education/DMP/activities/counting/olcact04.html 1276

Unidad 11.8: Temas de probabilidad
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Curva normal estándar con monedas
Curva normal estándar usando monedas
Los estudiantes comprenderán la distribución normal y lograrán entender de dónde viene la regla empírica.
Usando datos de muestra, harán inferencias informales sobre medias y estándares poblacionales, inclusive
cuando la media de la muestra varíe de una muestra a la otra y la distribución de la media de la muestra tenga
una variabilidad menor que la distribución poblacional.
Pregunta(s) esencial(es): ¿Tienen una forma única los resultados de lanzar una moneda y contar las caras?
Materiales: 10 monedas de un centavo por estudiante, papel cuadriculado, calculadora
Guía de la lección:
1. Estrategia de activación:
¿Sería raro si lanzaras diez monedas y obtuvieses cinco caras?
¿Y seis caras? ¿En qué punto sería raro el número de caras?
2. Representaciones múltiples, incluidas actividades prácticas:
La exploración:
a. Reparte las monedas y tazas a cada estudiante para que cada uno tenga una taza y diez monedas.
b. Los estudiantes entonces mezclan las diez monedas y las dejan caer sobre el escritorio. Contarán y
anotarán el número de caras. Realiza este experimento quince veces, siempre anotando los resultados
de cada intento.
c. Cada estudiante elaborará una gráfica de frecuencia en que demuestre los resultados del experimento.
Preguntas:
d. ¿Piensas que alguien en la clase obtendrá un resultado de 0 caras? ¿O un resultado de 10 caras?
Explica tu razonamiento.
e. Predice cómo piensas que serán los resultados de la clase. Traza una gráfica con una línea de
frecuencia que se parezca a los resultados de la clase. ¿Por qué piensas que los resultados de la clase
se verán de esta forma?
3. Recopila los datos de la clase y organízalos en una gráfica de frecuencia.
Nota para el maestro: Necesitarás unas 500 puntuaciones para obtener una curva normal. Verifica que el
promedio esté cerca de 5; la desviación estándar será de aproximadamente 1.5 para obtener un buen
modelo de curva normal. Recuerda que la regla empírica será 68 %-95 %-99.7 %.
4. Pídeles a los estudiantes que creen una gráfica de frecuencia de los datos. A continuación, calcularán el
porcentaje de frecuencia de cada línea. Anota los porcentajes de cada línea.
5. ¿En qué áreas son altos los porcentajes? ¿En qué áreas son bajos? ¿Qué te hace pensarlo?
6. Muéstrale a la clase la regla empírica usando la gráfica que acaban de crear.
7. Conclusión: Supón que te han dado dos monedas y te han dicho que una de ellas tiene un poco más de
peso de forma que cae de cara más de lo normal. Lanzas una de las monedas 50 veces y obtienes 29 caras
y 21 cruces. ¿Con cuánta confianza decidirías que la moneda que te han dado es la que tiene más peso o
no? Explica tu razonamiento
1277
Fuente: http://www.curriki.org/xwiki/bin/view/Coll_Group_GAMath/TheStandardnormalCurveusingcoins

Matemáticas
Mapas Curriculares
Pre Calculo
1278

Resumen de la unidad
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes utilizarán polinomios, así como funciones racionales, algebraicas,
exponenciales y logarítmicas para escribir ecuaciones y trazar gráficas. Hallarán funciones compuestas
e inversas y analizarán funciones y gráficas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre cómo escribir y analizar funciones y gráficas, incluidas las funciones compuestas e inversas, para
hacer modelos, predecir y resolver situaciones reales.
Estándares de contenido y expectativas
Precálculo
1.0 Utiliza funciones polinómicas, racionales y algebraicas para escribir funciones y trazar gráficas, para
resolver problemas, para encontrar funciones compuestas e inversas y para analizar funciones y
gráficas.
• Reconoce y grafica varios tipos de funciones, incluyendo las funciones polinómicas, racionales,
algebraicas y de valor absoluto. Usar métodos de lápiz y papel y calculadoras que grafiquen.
• Encuentra el dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas y puntos de discontinuidad de las
funciones.
• Modela y resuelve problemas usando funciones y ecuaciones.
• Define, encuentra y comprueba funciones inversas.
• Describe la simetría de la gráfica de una función.
• Decide si las funciones son pares o impares.
• Entiende las curvas definidas por un parámetro y trazar sus gráficas.
• Compara las magnitudes relativas de las funciones y su índice de cambio.
2.0 Resuelve problemas usando las funciones logarítmicas y exponenciales. Traza y analiza las gráficas y
utiliza las funciones inversas.
• Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de funciones logarítmicas y
exponenciales.
• Encuentra el dominio, rango, intercepciones y asíntotas de funciones logarítmicas y exponenciales.
• Traza y analiza las gráficas de funciones logarítmicas y exponenciales.
• Define, encuentra y comprueba las funciones inversas de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los valores críticos de las funciones nos
revelan cosas.
No todas las funciones tienen una inversa.
Las funciones exponenciales y logarítmicas
son funciones inversas.
El concepto de límite puede aplicarse al
comportamiento de las funciones.
Preguntas esenciales:
¿Qué nos dicen los valores críticos?
¿Cómo ayudan las funciones inversas a
resolver problemas?
¿Cómo pueden las gráficas y ecuaciones de las
funciones y sus inversas ayudarnos a
interpretar problemas del mundo real?
¿Cómo puede aplicarse el concepto de límites
en las matemáticas?
Junio 2012 1279

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Diferentes tipos de funciones, incluidos los
polinomios, las funciones racionales,
algebraicas y de valor absoluto
La definición de funciones inversas
El concepto de simetría de la gráfica de una
función
Funciones pares e impares
Curvas definidas paramétricamente
Las funciones inversas de las funciones
logarítmicas y exponenciales
El dominio, recorrido, intercepciones, ceros,
asíntotas y puntos de discontinuidad de las
funciones
Vocabulario de contenido
Características de las funciones (asíntotas,
ceros, discontinuidad, dominio, funciones
impares, funciones pares, intercepción,
magnitudes relativas de las funciones,
máximo relativo, mínimo relativo, razón de
cambio, rango, simetría)
Tipos de funciones (función algebraica,
función de valor absoluto, función
exponencial, función logarítmica, función
paramétrica, funciones compuestas, funciones
inversas, funciones polinómicas, funciones
racionales)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales
del DEPR.
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Utilizar funciones polinómicas, racionales y
algebraicas para escribir funciones y trazar
gráficas, resolver problemas, encontrar
funciones compuestas e inversas y analizar
funciones y gráficas.
Reconocer y trazar la gráfica de varios tipos de
funciones, incluyendo las funciones
polinómicas, racionales, algebraicas y de valor
absoluto. Usar métodos de lápiz y papel y
calculadoras que grafiquen.
Encontrar el dominio, recorrido,
intercepciones, ceros, asíntotas y puntos de
discontinuidad de las funciones.
Modelar y resolver problemas usando
funciones y ecuaciones.
Definir, encontrar y comprobar funciones
inversas.
Describir la simetría de la gráfica de una
función.
Determinar si las funciones son pares o
impares.
Entender cómo definir curvas de forma
paramétrica y trazar sus gráficas.
Comparar las magnitudes relativas de las
funciones y su índice de cambio.
Resolver problemas usando las funciones
logarítmicas y exponenciales. Trazar y analizar
gráficas y utilizar las funciones inversas.
Resolver problemas verbales que involucren
aplicaciones de funciones logarítmicas y
exponenciales.
Encontrar el dominio, rango, intercepciones y
asíntotas de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Trazar y analizar las gráficas de funciones
logarítmicas y exponenciales.
Definir, encontrar y evidenciar las funciones
inversas de las funciones logarítmicas y
exponenciales.
Junio 2012 1280

Tareas de desempeño
Juego de billar 239
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones al escribir y analizar funciones que
sirven de modelo para la trayectoria de una bola
en una mesa de billar.
Tarea:
Estás jugando billar en una mesa de tamaño
estándar de 92" por 46". En este juego, se
acumulan puntos al hacer que la bola toque
tantos lados de la mesa como sea posible antes de
entrar en el hoyo. La bola se encuentra
actualmente a 6 pulgadas hacia abajo y 8 pulgadas
hacia la derecha del hoyo superior izquierdo.
Anuncias que la vas a meter en el hoyo inferior
derecho. Escribe funciones para determinar la
trayectoria de la bola si:
a) la metes sin tocar ningún lado;
b) la metes tras tocar exactamente un lado;
c) la metes tras tocar exactamente dos lados, y
d) la metes tras tocar múltiples lados.
Por cada función, determina en términos
algebraicos la simetría y si la función es par, impar
o ninguna.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Controlador de la calidad del aire 240
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las representaciones algebraicas, numéricas y
gráficas de las funciones y sus inversas al hacer
modelos del comportamiento real por medio del
análisis de los requisitos de calidad del aire en la
Escuela Superior de San Juan. Los estudiantes
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Otra evidencia
Ejemplos de preguntas de examen/quiz
1. Traza la gráfica de cada una de las siguientes.
Por cada función, determina la función
original (ya sea f(x) = x o g(x) = x ) y explica
cuáles transformaciones se han aplicado a la
función original; determina el dominio,
recorrido e intercepción en y. 242
a. h(x) =
b. j(x) = −( ) - 2
c. k(x) = x 2
2. El precio al por mayor de una caja de 25 CD es
$15 (margen de ganancia) más 25 veces el
costo de manufactura por disco, representado
por x. 243
a. Escribe una función W(x) que dé el precio
al por mayor de una caja de 25 CD en
términos del costo de manufactura por
disco.
b. El comerciante obtiene un 20 % por cada
caja de 25 CD que venda. Escribe una
función R(y) que permita obtener el costo
retenido de una caja de CD si y representa
el precio de mayoreo de una caja de CD.
c. Escribe una función C(x) que provea el
costo para el cliente de una caja de 25 CD
si x representa el costo de manufactura
de cada CD.
d. ¿Cuánto te costará comprar una caja de
25 CD si el costo de manufactura por disco
es de $0.55?
3. Expresa cada ecuación logarítmica como una
ecuación exponencial y resuélvela. 244
1
a. log2( ) = x
32
b. log3 (x 2 + x + 3) =2
239
Fuente: http://www.spokaneschools.org/cms/lib/WA01000970/Centricity/Domain/391/Precal_PT_Unit_1.doc
240
Fuente: http://www.waterfordschools.org/cms/lib4/CT01001345/Centricity/Domain/8/Math9-12/PreCalculus.htm
242
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
243
Ibídem.
244
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
Junio 2012 1281

elaborarán un informe para el Departamento de
Educación de Puerto Rico sobre el estado de la
calidad del aire para los estudiantes de la Escuela
Superior de San Juan.
Tarea:
Como controlador de la calidad del aire, deberás
analizar el sistema de ventilación de la Escuela
Superior de San Juan. Tu análisis servirá para
determinar la tasa de ventilación mínima
requerida en función del espacio de aire por
estudiante en un salón de clases de una escuela
pública. El sistema de acondicionador de aire en el
salón tiene la capacidad de mover 450 pies
cúbicos de aire por minuto. La tasa de ventilación
mínima requerida en función del espacio de aire
por estudiante en un salón de una escuela pública
puede basarse en la siguiente función como
modelo:
100x
f(x) = 80.4 – 11 ln x, 1500
En este modelo, x es el espacio de aire por
estudiante en pies cúbicos y f(x) es la tasa de
ventilación en pies cúbicos por minuto. Responde
a las siguientes preguntas del informe a ser
presentado al Departamento de Educación de
Puerto Rico.
1. Traza la gráfica de la función y la tasa de
ventilación requerida si hay 300 pies cúbicos
de espacio de aire por estudiante.
2. Un salón de clases está diseñado para 30
estudiantes. El sistema de acondicionador de
aire en el salón tiene la capacidad de mover
450 pies cúbicos de aire por minuto.
a. Determina la tasa de ventilación por
estudiante, asumiendo que el salón está
lleno a capacidad.
b. Utiliza la gráfica en el no. 1 para estimar el
espacio de aire por estudiante.
c. Determina el número mínimo de pies
cuadrados de de suelo requerido para el
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
c. logx5 = 3
Junio 2012 1282
1
3
d. logx8 =
4
4. Evalúa cada una de las siguientes sin usar la
calculadora. 245
a. log 10000
b. log 0.01
c. log 10
d. log 1
e. log 10 7
5. Traza la gráfica de cada función para
determinar si cada función puede tener
simetría con respecto al eje de y, al eje de x y
al origen. Verifica tu conclusión con álgebra.
Determina usando álgebra si la función dada
es impar, par o ninguna. 246
a. y = x 4 - 9x 2
b. h(x) = 4x 3 - 6
c. y=(x 2 - 4)/x
Diario
1. El costo de instalar una alfombra es de $75
por la entrega y $14 por pie cuadrado. 247
a. Escribe una función f(x) que permita
obtener el costo de instalar x pies
cuadrados de alfombra.
b. Halla f -1 (x). ¿Qué obtienes con f -1 (x)?
c. Verifica que las funciones que escribas en
las partes a y b sean inversas.
2. La propagación de un rumor o de una
enfermedad puede a menudo modelarse
usando una función exponencial. Ana va a
abrir su propia heladería. Decide hacer correr
la voz sobre la tienda avisándole a dos
personas diariamente y pidiéndole a cada una
que también le cuente a dos personas por
día. 248
a. Sea x el número del día y sea y el número
de personas que saben de la apertura de
245 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
246 Fuente: http://www.abac.edu/gclement/MATH1111/Resources/Symmetry.pdf
247 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
248 Ibídem.

salón si la altura del suelo al techo es de
30 pies.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (véase documento adjunto:
Organizador - Rúbrica de tarea de desempeño).
Análisis sísmico 241
Los estudiantes utilizarán funciones exponenciales
y logarítmicas para hacer modelos de eventos
sísmicos reales. Crearán un afiche de su análisis
del terremoto para compartir sus hallazgos con la
clase.
Tarea:
La escala de magnitud Richter asigna un número a
cada nivel para cuantificar la energía sísmica que
se libera en un terremoto. Por cada incremento
de un punto en la escala Richter, el tamaño
relativo o amplitud del temblor de un terremoto
aumenta por un factor de 10.
1. Completa la siguiente tabla que muestra la
correspondencia del tamaño relativo y
número en la escala de Richter.
Número en la Tamaño
escala Richter relativo
1 10
2
3
… …
6
a. Escribe una ecuación logarítmica para la
relación entre el número Richter y el
tamaño relativo de un terremoto. (Sea el
tamaño relativo, s, tu variable
independiente y el número en la escala
Richter, r, la variable dependiente.) ¿Cuál
es el nombre de este tipo especial de
logaritmo?
b. Usando la ecuación que escribiste en la
parte a, halla el tamaño relativo de un
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
la tienda el día x. Toma el día antes de que
Ana le avise a otros como el día 0, de
forma tal que Ana sea la única persona
que sabe de la apertura ese día 0. El día 1
es el primer día que Ana le avisa a alguien
más de la apertura.
b. Completa la siguiente tabla:
Día 0 1 2 3 4 5
Número de personas
que saben
1 3
c. Traza la gráfica de los puntos a partir de la
tabla de la parte a.
d. Escribe una ecuación que describa la
relación entre x (día) y y (número de
personas que saben) para el escenario de
la propagación de la noticia sobre la
apertura de la heladería de Ana. ¿Cuáles
son los valores de a y b en este caso?
3. ¿Cuánto tiempo se tomará en que por lo
menos 500 personas sepan de la apertura si el
rumor se propaga a esta velocidad?
4. El volumen de un fármaco en el torrente
sanguíneo de un paciente alcanza su punto
máximo de 500 mg para luego reducirse en un
30 % cada cinco horas. 249
a. Escribe una función de la cantidad del
medicamento restante en el torrente
sanguíneo a t horas de alcanzar el nivel
máximo.
b. ¿Cuánto tiempo tras alcanzar el punto
máximo se tomará para que se reduzca a
200 mg?
Boletos de entrada/salida
1. Sea f(x) = 3x +5 y g(x) = x-4. 250
a. Halla f(g(x)).
b. Halla (g f)(x).
2. Para cada una de las funciones a
continuación: 251
• describe la gráfica de la función como la
241 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
249 Source: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
250 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
251 Ibídem.
Junio 2012 1283

terremoto que mida 8 en la escala
Richter. Halla el tamaño relativo de un
terremoto que mida 2. Compara las
magnitudes de ambos terremotos.
c. En el 2002, ocurrió un terremoto de
magnitud 7.9 en el Parque Nacional
Denali de Alaska, uno de los mayores
terremotos de los EE. UU. ¿Cuál fue el
tamaño relativo del terremoto?
d. El 29 de abril de 2003, un terremoto en
Fort Payne, en Alabama, se sintió entre
unos cuantos residentes del norte de
Georgia. La magnitud fue de 4.6. ¿Cómo
se compara el tamaño relativo del
terremoto de Alabama con el tamaño
relativo del terremoto de Denali?
2. En vez de discutir el tamaño relativo, a
menudo preferimos discutir la cantidad de
energía sísmica liberada por un terremoto.
Una fórmula que relaciona el número en la
escala Richter con la energía de un terremoto
es r = 0.067 log E - 7.6, donde r es el número
en la escala Richter y E es la energía en ergs.
a. Describe cómo la fórmula de r transforma
la gráfica de f(x) = log x.
b. Determina el dominio, recorrido,
intercepciones y asíntotas de la gráfica de
r = 0.067 log E - 7.6. Traza la gráfica.
c. ¿Cuál es el número Richter de un
terremoto que libera 3.9 x 1015 ergs de
energía? (Presta mucha atención al
introducir esto en la calculadora.)
d. ¿Cuánta energía se liberó en el terremoto
de 2002 de Denali? ¿Y en el de 2003 de
Alabama?
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
transformación de una gráfica en la forma
f(x) = bx;
• traza la gráfica de la función, e
• indica el dominio, recorrido,
intercepciones, ecuación de la asíntota,
intervalos de incremento, intervalos de
decrecimiento, y describe el
comportamiento final.
a. g(x) = 2 3 x
b. h(x) = 2 -x
c. k(x) = - 2 x +1
3. En tus propias palabras, describe la relación
entre la magnitud relativa de una función y su
razón de cambio.
4. ¿Cuál de las siguientes es el conjunto más
apropiado de ecuaciones paramétricas para
describir la curva a continuación? (Asegúrate
de fijarte en la dirección del movimiento.) 252
a. x = 2sent, y = 1+2cost
b. x = 1+ 2sent, y = 2cost
c. x = 1 + 2cost, y = 2sent
d. x = 2cost, y = 1+2sent
252
Fuente: http://www.maths.usyd.edu.au/u/UG/JM/MATH1111/Quizzes/quiz20.html
Junio 2012 1284

Actividades de aprendizaje
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Clasificación de tarjetas para reconocer funciones: Crea un conjunto de tarjetas con ecuaciones y
gráficas que los estudiantes tendrán que parear y clasificar en categorías de funciones:
polinómicas, algebraicas, racionales, de valor absoluto, definidas a trozos, exponenciales y
logarítmicas. Usando las tarjetas provistas y el conocimiento que ya tienen los estudiantes, pídeles
que saquen conclusiones sobre las características de cada tipo de categoría de función
(características: dominio, recorrido, intercepciones, ceros, asíntotas, puntos de discontinuidad,
simetría). Junto con toda la clase, creen un organizador gráfico que resuma las características de
los tipos de funciones.
Las funciones racionales y sus gráficas 253 : Delega gradualmente la responsabilidad a los estudiantes
usando el modelo “Yo lo hago, nosotros lo hacemos, tú lo haces” para la parte 1. Utiliza los
ejemplos y como modelos de expectativas para la parte de "Yo hago". En
esta actividad de aprendizaje, los estudiantes hallarán el dominio, los ceros, las asíntotas y las
intercepciones de las funciones racionales. En la parte 2, describirán la simetría de la función y
explorarán qué tendría que ocurrir para que las funciones tengan discontinuidades. (ver anejo:
PC.1 Actividad de aprendizaje - Las funciones racionales y sus gráficas).
Pasos para hallar la inversa de una función: Una vez aprendan sobre las funciones y sus inversas,
los estudiantes resumirán cómo se definen, calculan e identifican con pruebas los pares inversos de
las funciones. En parejas, haz que los estudiantes hagan una lluvia de ideas de cómo hallar la
inversa de una función. Las parejas compartirán sus ideas iniciales con otra pareja de estudiantes y
combinarán sus pasos. Junto con toda la clase, establezcan pasos que los estudiantes puedan
seguir para hallar la inversa de una función. Luego, usando lo que saben de cómo hallar funciones
inversas, desarrolla junto con toda la clase cómo identificar funciones si son la inversa una de la
otra en una hoja de anotaciones. El maestro debe tener un ejemplo listo para que los estudiantes
lo prueben.
Comparación de las funciones exponenciales y logarítmicas: Concentrándose en el hecho de que la
inversa de las funciones exponenciales es una función logarítmica, los estudiantes crearán
organizadores gráficos plegables. Deberán comparar las características de cada tipo de función:
dominio, recorrido, intercepciones, asíntotas. Pídeles a los estudiantes que doblen una hoja de
papel en dos de modo que el extremo superior quede sobre el extremo inferior. Recorta el doblez
frontal por la mitad, escribe "gráfica de función exponencial" en un lado y "gráfica de función
logarítmica" en el otro. Debajo de cada doblez, ilustra la función con un ejemplo y enumera las
características principales.
Reflexiones exponenciales 254 : En esta actividad, los estudiantes reflejarán un punto de la función
exponencial sobre la línea y = x y hallarán el lugar geométrico de la reflexión, que es la función
logarítmica natural (ver anejo: PC.1 Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales).
Ecuaciones paramétricas: Conjunto de notas sobre investigaciones de las elipses 255 : Cubre con
253
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “02
AM_PreCalc_BLMs.pdf”
254
Fuente:
http://education.ti.com/calculators/downloads/US/Activities/Detail?id=12276&ref=%2fcalculators%2fdownloads%2fUS
%2fActivities%2fSearch%2fSubject%3fs%3d5022%26sa%3d1010%26t%3d1170
Junio 2012 1285

Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
líquido corrector las instrucciones para el maestro que están entre paréntesis, así como cualquier
otra información que quieras que los estudiantes copien mientras les presentas un conjunto de
notas de guía para introducir las elipses como ecuaciones paramétricas. Provéeles problemas de
práctica adicionales. Para notas, dirigirse a:
http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa07/Morgan/mlmass10/assingment10.html.
Ejemplos para planes de la lección
Las funciones y sus inversas 256 : Los estudiantes explorarán las inversas de funciones por medio del
uso de la composición para verificar que las funciones sean inversas unas de las otras. Los
estudiantes escribirán funciones que sirvan de modelo de situaciones reales y hallarán la
composición de dos o más funciones (ver anejo: PC.1 Ejemplo para plan de lección - Las funciones y
sus inversas).
Funciones exponenciales y sus inversas 257 : Los estudiantes definen funciones logarítmicas como
inversas de funciones exponenciales. Los estudiantes investigan y explican las características de
funciones exponenciales y logarítmicas, incluido el dominio y el recorrido, las asíntotas, los ceros,
las intercepciones, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la razón de cambio.
Solo las funciones uno a uno tienen inversas que también son funciones. Para más información,
dirigirse a la página 44:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf.
Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas 258 : Los estudiantes exploran funciones
exponenciales y logarítmicas en términos de reflexiones, dominios, inversas, y determinan si las
funciones son pares, impares o ninguna. Primero, dirige a la clase con la siguiente introducción:
comenzando por la gráfica de y = 2 x , dales a los estudiantes la ecuación y = 2 x−1 . Pregúntales cómo
se diferenciarían las gráficas; trázalas para que las vean. Pídeles que provean la ecuación necesaria
para reflejar y = 2 x−1 por el eje de x. Dada la función
Identifica los dominios y recorridos de cada una de las tres funciones. A continuación, clasifica la
x
2
255
Fuente: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa07/Morgan/mlmass10/assingment10.html
256
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf
257
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
258
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus” “09
AM_PreCalc_U3_BLM.doc”
259
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf
Junio 2012 1286
x
2
h( x)
e y h(x) = f(g(x)), identifica f(x) y g(x).
h( x)
e como par, impar o ninguna. Esta introducción guiará a los
función compuesta
estudiantes en una exploración más profunda en el anejo (ver anejo: PC.1 Ejemplo para plan de
lección - Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas).
Logaritmos comunes 259 : Los estudiantes entenderán la relación inversa entre los exponentes y los
logaritmos y usarán esta relación para resolver problemas que impliquen logaritmos y exponentes.
Los estudiantes resolverán ecuaciones logarítmicas de forma analítica, gráfica y usando las
herramientas tecnológicas adecuadas. Para más información, dirigirse a las páginas 50 a la 57 de:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_3_TEACHER_edition_Sept_2010v2.pdf.

Recursos adicionales
Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
4 semanas
http://www.rfbarrow.btinternet.co.uk/htmasa2/Param1.htm
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Women and Numbers de Teri Perl
The Joy of Mathematics de Theoni Pappas
Junio 2012 1287
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán las funciones trigonométricas usando el círculo unitario y
aplicarán las funciones trigonométricas para resolver problemas. Además de evaluar funciones
trigonométricas e inversas, los estudiantes trazarán las gráficas de estas a la vez que identifican
características claves.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las funciones trigonométricas usando el círculo unitario para extender la aplicación de la
trigonometría a un sinnúmero de fenómenos físicos que implican la rotación y la vibración, las ondas
de sonido, las ondas de luz y las órbitas planetarias.
Estándares de contenido y expectativas
Precálculo
3.0 Define las funciones trigonométricas usando los triángulos rectángulos.
• Resuelve problemas que involucran triángulos rectángulos y oblicuos.
• Resuelve problemas y aplicarán las leyes de senos y cosenos.
• Aplica las leyes de senos y cosenos para la resolución de problemas.
• Encuentra el área de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
4.0 Define las funciones trigonométricas usando el círculo unitario y usarán grados y radianes.
• Define seno y coseno usando el círculo unitario.
• Convierte medidas de grados a radianes.
• Memoriza los valores exactos del seno, coseno y tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y múltiplos de
π. Usa esos valores para encontrar otros valores trigonométricos.
• Resuelve problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
• Define y grafica las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante).
• Encuentra el dominio, el recorrido, los interceptos, el periodo, la amplitud y las asíntotas de las
funciones trigonométricas.
• Define y grafica las funciones trigonométricas inversas.
• Encuentra los valores de las funciones trigonométricas y de las funciones trigonométricas inversas.
• Reconoce que la tangente del ángulo que una línea forma con el eje x es igual a la pendiente de esa
línea.
• Establece relaciones entre las proporciones de los triángulos rectángulos, las funciones
trigonométricas y las funciones circulares.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las funciones trigonométricas resuelven
problemas de triángulos rectángulos y
oblicuos.
El círculo unitario define las funciones
trigonométricas.
Preguntas esenciales:
¿Cómo se utilizan las funciones
trigonométricas para resolver problemas con
triángulos?
¿Cómo se relacionan las funciones circulares
con las funciones trigonométricas?
Junio 2012 1288

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Las funciones trigonométricas tienen valores
críticos.
Las funciones trigonométricas específicas
tienen valores predecibles no definidos.
Las funciones inversas son esenciales en la
resolución de problemas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Leyes del seno
Leyes del coseno
La definición de las funciones trigonométricas
usando triángulos rectángulos y el círculo
unitario (en grados y radianes)
La definición de seno y coseno usando el
círculo unitario
Los valores exactos de seno, coseno y
tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y los
múltiplos de π
La definición de funciones trigonométricas
(seno, coseno, tangente, cotangente, secante
y cosecante) y sus gráficas
La definición de las funciones trigonométricas
y sus gráficas
La tangente del ángulo que una línea forma
con el eje x equivale a la pendiente de esa
línea
El dominio, recorrido, interceptos, periodo,
amplitud y asíntotas de las funciones
trigonométricas
Vocabulario de contenido
Precálculo (ángulo coterminal, ángulo de
referencia, círculo unitario, cosecante,
coseno, cotangente, funciones circulares,
grado, inversa, radianes, secante, tangente,
triángulo oblicuo, triángulo rectángulo)
Gráficas (amplitud, asíntota, dominio,
intercepto, periodo, recorrido)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
¿Qué comunican los valores críticos de las
funciones trigonométricas?
¿Por qué ciertos valores son indefinidos en el
caso de ciertas funciones?
¿Cómo puedes comparar las gráficas de
funciones de seno, coseno y tangente y sus
inversas?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Resolver problemas que involucren triángulos
rectángulos y oblicuos.
Resolver problemas y aplicar las leyes de seno
y coseno.
Aplicar las leyes de seno y coseno para
resolver problemas.
Encontrar el área de un triángulo con dos
lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Convertir medidas de grados a radianes.
Memorizar los valores exactos del seno,
coseno y tangente de 0, π/2, π/3, π/4, π/6, y
múltiplos de π. Usar esos valores para
encontrar otros valores trigonométricos.
Resolver problemas que involucren
aplicaciones de funciones trigonométricas.
Definir y trazar la gráfica de las funciones
trigonométricas (seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante).
Encontrar el dominio, recorrido, interceptos,
periodo, amplitud y asíntotas de las funciones
trigonométricas.
Definir y trazar la gráfica de funciones
trigonométricas inversas.
Encontrar los valores de las funciones
trigonométricas y de las funciones
trigonométricas inversas.
Establecer relaciones entre las proporciones
de los triángulos rectángulos, las funciones
trigonométricas y las funciones circulares.
Junio 2012 1289

Tareas de desempeño
No exactamente un triángulo 260
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las leyes de seno y coseno y de cómo hallar el área
de un triángulo por medio de esta tarea de
desempeño.
Tarea:
Todos sabemos que si nos dan LAL o ALA,
contamos con suficiente información para
determinar exactamente un triángulo único. Con
LLL no resulta tan sencillo y LLA es aún más difícil.
1. Documenta, con ejemplos y diagramas claros,
por qué ciertos casos de LLL no determinan un
triángulo, así como la variedad de
posibilidades que nos permite LLA. Asume que
tu audiencia son estudiantes de geometría
con algo de conocimiento sobre los triángulos,
pero con poca familiaridad con este asunto en
particular.
2. A continuación, por cada escenario, describe
el mejor proceso para calcular el área del
triángulo.
3. Explica el razonamiento que utilizaste para
llegar a tu decisión del mejor proceso y cómo
aplicarlo.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Evaluación del trabajo de los estudiantes 261
Los estudiantes demostrarán su conocimiento de
las leyes de seno y coseno al evaluar el trabajo de
otros estudiantes. Analizarán el trabajo de otros
estudiantes para determinar quién sacó la
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
Estás visitando a tu primo, Luis, en Nueva
York. Luis está planificando construirle un
techo nuevo a su garaje. Decide inclinar los
lados del tejado a un ángulo de 28°; el
diámetro del garaje es de 30 pies. Halla la
longitud de los lados del techo a la décima de
pie más próxima. 263
En el diagrama a continuación, el círculo
OB OE , y OF , CB
unitario O tiene los radios ,
es tangente con el círculo O en B y ED es
tangente con el círculo O en E. Los puntos O,
.
F, D, y C son colineales, y FA OB
260
Fuente: www.curriculumframer.com
261
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
263
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Junio 2012 1290

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
respuesta correcta, y entregarán un informe.
Tarea:
Dos estudiantes de la clase de la Srta. Rivera
trabajaron en el problema a continuación y
obtuvieron soluciones distintas. ¿Quién obtuvo la
respuesta correcta? Explica tu respuesta en
detalle.
Dado el triángulo PQR, halla el ángulo mayor al
grado más cercano.
Estudiante no. 1
sen(
38)
36
=
36sen( R
m R
sen( R)
27
) = 27sen(38˚)
27sen(
38)
36
=sen -1
=27.5
m R
m Q
m Q
Estudiante no. 2
=180-38-27.5
=115˚
sen(
38)
36
=
36sen( Q
m Q
sen( Q)
53
) = 53sen(38˚)
53sen(
38)
36
= sen -1
m Q
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
=65˚
Investigaciones de gráficas trigonométricas
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las funciones trigonométricas usando el círculo
unitario, grados y radianes.
Tarea: Investiga las gráficas de funciones
Si m ,
cuyas medidas sean cada una de las
siguientes: 264
COB
identifica el segmento de línea
264
Ibídem.
265
Ibídem.
266
Fuente: https://www.etap.org/demo/trig_lesson5/instruction3tutor.htm
Junio 2012 1291
sen
cos
tan
sec
csc
cot
8 y el cos >0, halla el valor
Si la cot =
15
exacto de sen . 265
La pendiente de la línea que forma el ángulo
PQ con el eje de x es 2.32. ¿Cuál es la medida
de este ángulo? 266
Resuelve para x:
a. 2cosx + = 0, dado que 0 ≤ x ≥ 2π
b. tanx - = 0, dado que ≤ x ≥
Diarios
c. 3cost – 1 = 0
1. Escribe un problema verbal que ilustre que la
tangente del ángulo que forma una línea con
el eje de x equivale a la pendiente de esa
línea. Sé creativo, pero asegúrate de usar
lenguaje y terminología matemática
adecuados a la hora de describir la situación

trigonométricas y circulares originales.
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
1. Traza las gráficas de inicio del seno, coseno y
tangente desde 0° hasta 720°.
2. Traza la gráfica de las mismas tres funciones
en modo radián.
3. Relaciona los periodos de las gráficas con los
grados y radianes.
4. Escribe una ecuación para un sinusoide dado:
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
262
del problema. Prepara también una solución
completa del problema, incluido un diagrama
correctamente rotulado y una explicación
matemática completa de cómo resolverlo. 267
2. La maestra de Anthony le ha dicho a la clase
que un círculo unitario tiene una
circunferencia de 2 π. Esto lo confundió,
porque él pensaba que un círculo tenía 360˚.
Escribe una explicación detallada en que
compares los grados con los radianes. La
explicación debe ser lo más detallada posible
para ayudarle a Anthony a entender la
conexión, incluidos los diagramas y las
ecuaciones. 268
3. Define y traza la gráfica de las funciones
trigonométricas: seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante.
4. Traza la gráfica de y = sen x desde − 4π hasta
4π. 269
A. ¿Pasa la gráfica la prueba de la línea
vertical?
B. Ahora refleja y = sen x por la línea y = x.
C. ¿Es esto una función? ¿Por qué?
D. Halla una sección de la gráfica de seno
con el recorrido de −1 ≤ y ≤ 1 y que sea
una función de uno a uno.
E. Refleja únicamente la sección con el
dominio restringido por la línea y = x.
F. ¿Pasa la nueva imagen la prueba de la
línea vertical?
G. Determina el dominio y recorrido de la
imagen.
Boletos de entrada/salida
1. Un agrimensor mide los lados de una parcela
triangular de pantano y rotula el diagrama.
¿Cuál es el ángulo mayor del triángulo al
grado más próximo? 270
262
Fuente de la gráfica: http://www.kendallhunt.com/uploadedFiles/Kendall_Hunt/Content/PreK-
12/Product_Samples/Precalculus_Teacher_Edition_Sample_Chapter.pdf
267
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
268
Ibídem.
269
Ibídem.
270
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Junio 2012 1292

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
2. Halla el valor exacto de cada uno de los
siguientes en el caso del ángulo θ en posición
estándar si el punto (4, -1) yace en su lado
terminal 271 :
271
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
272
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
273
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Junio 2012 1293
sen
cos
tan
sec
csc
3. Traza la gráfica de y = tan x sobre el intervalo
− 2π ≤ x ≤ 2π. 272
A. Refleja la gráfica por el eje de y = x.
B. ¿Cómo restringirías el dominio para
convertir la imagen en una función?
4. Llena los blancos de la siguiente gráfica y
proporciona valores numéricos exactos. 273
(en
radianes)
(en grados)
sen
cos
tan
0 6
2
45˚ 60˚ 270
5. Halla el dominio, recorrido, intercepción,
amplitud, periodo, cambio de fase y ubicación
del eje sinusoidal. Traza cada gráfica a mano y
ubica los puntos críticos.
a. y = 5 + 4cos 2(θ - 10°)
b. y = -15 + 20 sen ½ (θ +120°)

Actividades de aprendizaje
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
6. Traza dos ciclos de la función de coseno
original, y = cosθ. Usando el hecho de que sec
θ = 1/(cosθ) traza la gráfica de y = sec θ. 274
a. ¿Cómo puedes ubicar las asíntotas en la
gráfica secante al mirar la gráfica de
coseno?
b. ¿Tiene puntos críticos la función de
secante? Si los tiene, halla algunos de
ellos. Si no, explica por qué no.
c. ¿Tiene puntos de inflexión la función de
secante? Si los tiene, halla algunos de
ellos. Si no, explica por qué no.
7. Halla: a) Arc cos ( ), b) arctan1, c) Arc tan
(- ).
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Modelo Frayer: Creen modelos Frayer juntos como clase o pídeles a los estudiantes que creen el
suyo propio para la tangente de un ángulo y la tangente inversa. Utiliza los modelos Frayer como
herramienta para facilitar una discusión en clase sobre la tangente de un ángulo. Incluye algunos
ejemplos de resolución de problemas, como la de la pregunta de examen/quiz No. 4 arriba. (ver
anejo: Organizador gráfico — Modelo Frayer.)
Leyes del seno y del coseno 275 : Los estudiantes resumen cómo hallar los lados y ángulos
desconocidos en los triángulos no rectángulos. Comparan el seno y el coseno y cuándo se usa cada
regla a la hora de hallar las longitudes de lados que faltan, así como las medidas de ángulos. (ver
anejo: Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno.)
Leyes trigonométricas usando mapas 276 : Los estudiantes utilizan mapas para determinar si hace
falta usar leyes trigonométricas y cómo se usan. Presenta un mapa en la pizarra en un proyector,
por ejemplo. El mapa deberá tener tres ubicaciones conectadas por tres líneas que NO formen un
triángulo rectángulo. Pregúntales a los estudiantes cómo se determinan las distancias o los
ángulos. Diles que mientras que las funciones trigonométricas normales no pueden usarse puesto
que no hay ángulo rectángulo presente, hay leyes trigonométricas que pueden usarse, y escríbelas
en la pizarra. Pregúntales: ¿de dónde salen estas leyes? Muéstrales cómo derivar la ley del seno.
Los estudiantes intentarán derivar la ley de coseno con la ayuda del maestro. Pídele a un voluntario
que muestre su progreso en la pizarra. Dales a los estudiantes una copia de un mapa local con
preguntas que incluyan las leyes. Los estudiantes pueden trabajar juntos para resolver los distintos
problemas. Antes de que se acabe la clase, los estudiantes deberán completar esta parte en la
274
Fuente: http://www.kendallhunt.com/uploadedFiles/Kendall_Hunt/Content/PreK-
12/Product_Samples/Precalculus_Teacher_Edition_Sample_Chapter.pdf
275
Fuente: http://www.wsfcs.k12.nc.us/Page/7246
276
Fuente: https://mcla.digication.com/5127/Lesson_Plan-_Law_of_Sine_and_Cosine
Junio 2012 1294

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
pizarra. Provéeles problemas de práctica en que tengan que aplicar las leyes.
Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales 277 : Los estudiantes
hallan los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales usando ángulos coterminales.
Comienza definiendo las funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Sea θ un ángulo en
posición estándar con (x, y), un punto en el lado terminal de θ. La distancia desde el origen hasta
este punto es r y r = √(x 2 + y 2 ) .
a) sen = r
d) cot = 0
y b) cos = r
x
, y
y
e) csc 0
y
, x
x
x c) tan = 0
r
, y
y
r
, x
x
f) sec 0
(ver anejo: PC.2 Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas
de ángulos generales.)
Ejemplos para planes de la lección
Sigue a la gráfica 278 : Los estudiantes investigan, analizan y discuten los efectos de los cambios de
parámetro en una función trigonométrica usando una calculadora gráfica (ver anejo: Ejemplo para
plan de lección - Sigue a la gráfica).
Medida radián y los ángulos de rotación 279 : Se les instruirá a los estudiantes sobre cómo medir
ángulos usando los radianes. Se les pedirá que contrasten los radianes con los grados que han
estudiado previamente. Instrucciones:
1. Preguntas de discusión: ¿Qué significación tienen 360 grados? (Es una rotación completa.)
2. ¿Por qué 360 es un buen número para subdividir el círculo? ¿Por qué no usar 100? ¿O algún
otro número? (Factoriza primos de 100 y de 360; discute el número de subdivisiones posibles
sin usar grados fraccionales.) O pídeles a los estudiantes que consideren un sistema en que una
rotación tenga 100 grados. ¿Cuál sería entonces la medida de sus ángulos rectos? ¿Cuáles
serían las medidas de los ángulos en los triángulos importantes que tengan lados en la razón 1-
1- 2 y 1-2- 3 ?
3. Introduce la medida radián; haz hincapié en que hace falta entender que se trata de una razón
de la longitud de arco al radio.
4. Utiliza el círculo unitario para establecer la correspondencia de 360 grados y 2 radianes .
5. Refuerza la idea de los valores exactos (por ej., ( )/3) en vez de aproximaciones decimales (por
ej., ( )/3) es aproximadamente igual a 1.047).
6. Introduce las convenciones de la posición estándar, los ángulos positivos versus negativos y la
idea de ángulos coterminales.
7. Utiliza los ejemplos para hacer que los estudiantes practiquen a convertir de radianes a grados
y viceversa.
8. Empieza una lista a la que la clase irá añadiendo durante el curso del semestre: Ventajas de las
medidas en radianes. A veces los estudiantes se muestran reacios a cosas nuevas que les
parecen redundantes. Asegúrales que verán las ventajas de este sistema durante el semestre y
que es por esas ventajas que los matemáticos utilizan medidas en radianes en sus cálculos y
277
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
278
Fuente: http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1490.htm
279
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1295

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
comunicaciones.
Trigonometría del círculo 280 : En esta actividad, los estudiantes harán la conexión entre el círculo
unitario y la trigonometría de triángulo rectángulo como introducción a los ángulos de referencia.
Discute las preguntas de seguimiento de la actividad anterior para discutir los ángulos en el círculo
unitario, los ángulos de referencia, las reglas de los signos de las funciones trigonométricas y los
ángulos de referencia, y por qué no importa si se te olvidan esas reglas. Discutan el dominio y el
recorrido y compárenlo con lo hallado sobre el dominio y el recorrido cuando restringimos
nuestros ángulos a esos triángulos internos.
Instrucciones:
1. Toma un triángulo trazado en el primer cuadrante y crea su imagen reflejada en cada uno de
los otros cuadrantes.
2. Una vez rotules el punto fuera de un eje, considera las seis funciones trigonométricas de cada
triángulo, después de darles instrucciones de tener la dirección en cuenta (lo cual hace que los
valores negativos de las funciones trigonométricas sean posibles para estos triángulos de
referencia).
3. Define cada función trigonométrica, resume las reglas generales de cuándo la función
trigonométrica es negativa y positiva y formula una regla para cada cuadrante de cómo
relacionar un ángulo de referencia con el ángulo en posición estándar que este representa.
4. Lleva a cabo una discusión sobre el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas más
allá de los valores que son posibles con la trigonométrica de triángulos rectángulos.
5. Discute las reglas generales de si los valores trigonométricos son positivos y negativos en cada
cuadrante. Asegúrate de que los estudiantes no dependan únicamente de reglas memorizadas:
deben poder usar las definiciones de las funciones y el conocimiento del sistema de
coordenadas cartesianas en lugar de reglas (por ej., el seno se define como y/r, r siempre es
positivo, por lo que el seno es negativo donde y sea negativo, en los cuadrantes 3 y 4).
6. Asegúrate de que los estudiantes se sientan cómodos con los ángulos coterminales y hallando
los ángulos de referencia adecuados.
7. Asegúrate de que los estudiantes puedan usar triángulos de 30˚-60˚-90˚ y 45˚-45˚-90˚ para
hallar valores trigonométricos en cada cuadrante.
8. Presta atención especial a cómo generar valores trigonométricos para los ángulos
correspondientes a los ejes; esto les resultará difícil al principio a algunos estudiantes puesto
que no hay ángulo de referencia que dibujar.
Recursos adicionales
http://www.beaconlearningcenter.com/Lessons/1700.htm
http://mrlangemath.com/calculus/MasterMathMentorcalculusab/Unit%202-
%20Slope%20of%20Secant%20and%20Tangent%20Lines.pdf
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
280
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1296

Conexiones a la literatura
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
5 semanas
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
Junio 2012 1297
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes usarán las identidades trigonométricas para resolver ecuaciones y
problemas de trigonometría. Explorarán las coordenadas polares y los números complejos y sus
relaciones con las funciones trigonométricas. Relacionarán el plano de coordenadas polares con el
plano cartesiano, aplicarán los números complejos a la forma trigonométrica y aplicarán el teorema de
De Moivre.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las identidades y relaciones trigonométricas y las relaciones entre las coordenadas polares, los
números complejos y las funciones trigonométricas para resolver situaciones del mundo real y
consolidar las bases para matemáticas de más alto nivel.
Estándares de contenido y expectativas
Precálculo
5.0 Demostrarán identidades trigonométricas, resolverán ecuaciones trigonométricas y resolver
problemas.
• Conoce la identidad básica cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 y demostrar que es equivalente al Teorema de
Pitágoras.
• Usa las identidades trigonométricas básicas para demostrar otras identidades y simplificar sus
expresiones.
• Utiliza las fórmulas de adición para senos, cosenos y tangentes.
• Utiliza las fórmulas del ángulo medio y del ángulo doble para senos, cosenos y tangentes.
• Resuelve ecuaciones trigonométricas.
• Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de ecuaciones trigonométricas.
6.0 Define las coordenadas polares y los números complejos y comprende su relación con las funciones
trigonométricas.
• Define las coordenadas polares y relacionarlas con las coordenadas Cartesianas.
• Representa ecuaciones de coordenadas rectangulares en términos de coordenadas polares.
• Grafica ecuaciones en el plano coordenado polar.
• Define los números complejos y convertirlos a la forma trigonométrica y multiplicarlos en la forma
trigonométrica.
Define, demuestra y aplica el Teorema de De Moivre.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las coordenadas polares se relacionan con las
coordenadas rectangulares y cartesianas.
En las identidades trigonométricas
fundamentales, μ puede ser un ángulo, un
número real o una variable.
El teorema de De Moivre identifica las
potencias y raíces de los números complejos.
Preguntas esenciales:
¿Cuál es la diferencia entre las coordenadas
cartesianas y las polares?
¿Cuál es la ventaja de usar identidades
trigonométricas?
¿Cuál es la ventaja de usar el teorema de De
Moivre?
¿Cómo se relacionan las coordenadas polares
Junio 2012 1298

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Identidades trigonométricas
La identidad básica cos 2 (μ) + sen 2 (μ) = 1 y que
es equivalente al teorema de Pitágoras
Las fórmulas de suma de seno, coseno y
tangente
Las fórmulas de ángulo medio y ángulo doble
para seno, coseno y tangente
La definición de coordenadas polares y
números complejos
La relación entre coordenadas polares y
funciones trigonométricas
La relación entre números complejos y
funciones trigonométricas
La relación entre coordenadas polares y
coordenadas Cartesianas
Números complejos para la trigonometría
Teorema de De Moivre
Vocabulario de contenido
Trigonometría (fórmula de ángulo doble,
fórmula de ángulo medio, identidades
trigonométricas)
Coordenadas polares (coordenadas
cartesianas, coordenadas polares,
coordenadas rectangulares, números
complejos, planos de coordenadas, Teorema
de De Moivre)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
El Revoltillo 281
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las identidades trigonométricas y la suma de
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
y los números complejos con las funciones
trigonométricas?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Demostrar identidades trigonométricas,
resolver ecuaciones trigonométricas y
resolver problemas.
• Demostrar la identidad básica cos 2 (μ) +
sen 2 (μ) = 1 y que es equivalente al Teorema
de Pitágoras.
• Usar identidades trigonométricas básicas para
demostrar otras identidades y simplificar sus
expresiones.
• Utilizar las fórmulas de adición para senos,
cosenos y tangentes.
• Utilizar las fórmulas del ángulo medio y del
ángulo doble para senos, cosenos y tangentes.
• Resolver ecuaciones trigonométricas
• Resolver problemas verbales que involucren
aplicaciones de ecuaciones trigonométricas.
• Relacionar las coordenadas polares con las
cartesianas.
• Representar las ecuaciones de coordenadas
rectangulares en términos de coordenadas
polares.
• Trazar la gráfica de ecuaciones en el plano de
coordenadas polares.
• Convertir y multiplicar números complejos en
la forma trigonométrica.
Definir, demostrar y aplicar el Teorema de De
Moivre.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. sen50˚cos30˚ +cos50˚sen30˚ es equivalente
a___________________? 284
281 Fuente: http://www.mde.k12.ms.us/ACAD/ID/Curriculum/Framer/units/unit_232/Trig_Unit4_PerfTask.doc
Junio 2012 1299

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
ecuaciones trigonométricas ayudando a planificar
una nueva machina para un parque de
diversiones.
Tarea:
El parque de diversiones está planificando montar
una machina nueva llamada "El Revoltillo" que
consiste en sentar a las personas en 6 asientos
que parecen cáscaras de huevo y hacerlas girar en
patrones circulares separados. El gerente del
parque quiere que la frecuencia sea distinta para
cada grupo, y quiere que la gente regrese a su
posición inicial en momentos distintos durante la
vuelta, pero que todos regresen a la posición
inicial al final.
Tú eres el consultor matemático que tiene que
ayudarles a determinar las velocidades adecuadas
de giro y proveer modelos matemáticos para
predecir la ubicación de cada cáscara de huevo en
cada momento determinado.
1. Provéeles tablas en que se muestren las
ubicaciones, y explícales las ecuaciones que
tendrían que resolver para hallar el momento
en que una cáscara está en una orientación
particular, así como cuándo dos cáscaras
cualquiera estarían en la misma posición
relativa.
2. Usando una gráfica, demuestra la orientación
relativa de las 6 cáscaras durante el
transcurso de la vuelta y muéstrales que
todas sí terminan en la misma orientación.
(Debes también estimar una velocidad
adecuada para que la vuelta sea
emocionante, pero no peligrosa.)
Procedimiento:
1. La posición de cada participante puede
modelarse usando una ecuación
trigonométrica simple: si trazamos ejes con el
2. Si cosx = 5
1 285
x?
2
3 , ¿cuál es el valor positivo de sen
3. Utiliza el teorema de De Moivre para evaluar
los números complejos. Escribe los resultados
en forma polar. 286
a. (2 + 7i) 4
b. (-9 + 0i) 12
c. (1 – 13i) 7
Diario
1. Convierte cada número complejo, escrito en
forma rectangular, en forma polar. 287
a +bi r θ Forma polar
5 = (-5i)
-7 + 10i
0 + 18i
2. ¿Cuáles son las coordenadas polares? ¿Cómo
se relacionan las coordenadas polares con las
coordenadas cartesianas?
3. Si tanx =
24
, y x es un ángulo en el
7
cuadrante II, halla sen 2
Boletos de entrada/salida
1 x. 288
1. Utiliza el teorema de De Moivre para escribir
cada uno en forma estándar a + bi. 289
a. [7cos(20°) + i7sen(20°)] 3
b. [2cos(120°) + i2sen(120°)] 4
c. [cos(210°) + isen(210°)] 3
2. Evalúa: sen300˚cos90˚ + cos300˚sen90˚. 290
3
3. Si θ está en el cuadrante II y cosθ = , halla
4
284
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm
285
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
286
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf
287
Ibídem.
288
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
289
Fuente: http://www.husliaschool.com/Algebra2/Book2/Teacher%20BK%20Alg2-Sect11.pdf
290
Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.76.htm
Junio 2012 1300

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
origen en el centro de la taza, el participante
a la derecha tiene una posición horizontal de
f(t) = x = cos(b( )t, y una posición vertical de
g(t) = y = sen(b( )t. Al comienzo de la vuelta t
= 0, y todos los participantes en la posición
correcta están de frente a la misma dirección.
2. Escoge distintos valores de b para las
diferentes tazas e investiga cómo estos
afectan la orientación de estas.
3. Determina los valores que producirán una
vuelta de cinco minutos en que todas las
tazas estén girando a diferentes velocidades,
pero que todas regresen a la orientación
original al cabo de los cinco minutos.
4. Traza diagramas que demuestren la
orientación de las tazas en tres momentos
distintos durante la vuelta para demostrar
cómo será la experiencia.
5. Si cada taza tiene 12 pies de diámetro,
verifica que nadie esté moviéndose a una
velocidad incómoda.
6. Presenta una descripción narrativa de la
vuelta para vendérsela al gerente del parque,
y provee toda la prueba matemática
necesaria para tu trabajo en un apéndice.
Dales la oportunidad a los estudiantes de hacerse
comentarios y observaciones sobre sus trabajos.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Las coordenadas polares de tu cara 282
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
sistema de coordenadas polares al evaluar la
simetría de su cara y explicar el proceso en un
análisis técnico.
Tarea:
Cada estudiante recibe una foto de su cara
tomada completamente de frente a la cámara y
sin hacer ninguna expresión. Usando el centro de
la punta de la nariz como el punto 0, el estudiante
un valor exacto de sen2θ. 291
282 Fuente: http://www.tensigma.org/media/samples/pas/pa.ma.ana.05.01.pdf
291 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.77.htm
Junio 2012 1301

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
desarrollará una gráfica en la fotografía para
completar los pasos siguientes:
1. Halla las coordenadas polares de varios
puntos clave de la cara (esquina interior y
exterior de los ojos y cejas, parte externa de
las narices, esquinas de la boca, extremo
superior e inferior de ambas orejas) y traza en
la fotografía los puntos y líneas usados para
determinar las coordenadas polares.
2. Halla las coordenadas cartesianas para los
mismos puntos.
3. Haz una tabla en que enumeres las
coordenadas de los puntos tanto en el
sistema polar como en el cartesiano.
4. Redacta un análisis técnico en que expliques
el proceso que usaste y una evaluación de la
simetría de la cara.
Se les evaluará a los estudiantes en base a lo
siguiente:
• Aplicación correcta del sistema polar y
cartesiano en la foto y el análisis.
• Puntos correctamente derivados en ambos
sistemas.
• Demarcación de puntos y dibujo sobre la cara
estaban correctos, limpios y fáciles de
entender.
• Aplicación y ortografía correcta de todos los
símbolos/términos matemáticos.
• Evaluación de la simetría lógica y justificada.
Resumen del teorema de de Moivre 283
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
teorema de De Moivre al crear un afiche para
resumir dicho teorema con ejemplos y
aplicaciones.
Tarea:
Crearás un afiche para resumir el teorema de De
Moivre con ejemplos. Usarás por lo menos dos de
los siguientes como ejemplos en tu afiche:
1. Expresa sen3θ en términos de senθ.
2. Expresa tan3θ en términos de tanθ.
283 Fuente: www.curriculumframer.com and http://www.scribd.com/doc/52876760/24/Chapter-4-De-Moivre%E2%80%99s-
Theorem-and-its-Applications
Junio 2012 1302

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
3. Expresa sen5θ en términos de senθ.
4. Demuestra que cos6 = cos 6 θ – 3cos 4 θ +
3cos 2 θ-1.
Asegúrate de incluir lo siguiente en tu afiche.
1. Demuestra el teorema de De Moivre con
ejemplos.
2. Explica las ventajas de trabajar con números
complejos en forma polar en vez de forma
rectangular.
3. Utiliza el Internet para investigar usos de los
números complejos: áreas en que podría
aplicarse el teorema de De Moivre. Provee un
resumen general de por lo menos tres
aplicaciones.
Se te evaluará en base a lo siguiente:
1. La precisión y claridad de tus explicaciones.
2. La calidad de tus ejemplos matemáticos:
¿demuestran estos de forma adecuada lo que
estás tratando probar?
3. La atención al detalle en tu presentación. Tu
producto final debe ser claro y estar bien
organizado, y todos los diagramas deben ser
atractivos y estar bien rotulados.
4. Tu capacidad de encontrar y resumir tres
aplicaciones interesantes de números
complejos.
Opcional (de bono)
1. Esfuérzate por explorar la matemática detrás
de una de las aplicaciones que identificaste en
tu investigación. Vé más allá del resumen
general de la aplicación para explicar
específicamente cómo se usan los números
complejos en la aplicación con ejemplos claros
de cálculos representativos.
2. Hemos visto en este curso que hay que añadir
conceptos nuevos a la base de conceptos que
se han probado anteriormente. Como no lo
hicimos juntos en clase, demuestra el
teorema de De Moivre. Puedes usar un libro
de texto como referencia, pero deberás
explicar la justificación de cada paso en tus
propias palabras.
Junio 2012 1303

Actividades de aprendizaje
Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Identidades más complejas 292 : ¿Cómo podemos probar que las identidades son ciertas? Los
estudiantes recibirán instrucciones directas de cómo usar las identidades trigonométricas básicas
para verificar que un enunciado es, en efecto, una identidad. Tendrán también la oportunidad de
usar las mismas destrezas para llegar a la conclusión de que un enunciado no es una identidad, sino
un enunciado condicional (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - Identidades más complejas).
¿Cómo se ve una identidad? 293 : Se les pedirá a los estudiantes que verifiquen las identidades de
forma gráfica con una TI-83, además de probarlas con números específicos y usar identidades
básicas. Se les retará además a que creen problemas de identidad simples al "trabajar en
retroceso", y que utilicen las mismas tres estrategias de verificación que usaron en las identidades
provistas (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cómo se ve una identidad?).
¿Cuál es la pregunta? 294 : Se les darán soluciones a los estudiantes y se les pedirá que saquen
ecuaciones. Crearán problemas tanto sencillos como difíciles para cada solución y comprobarán si
están correctas con una calculadora gráfica. Dales a los estudiantes la solución x = /4. ¿Cuántas
ecuaciones simples pueden obtener que tengan esto como solución? Dales unos cuantos minutos
para que piensen en algunas ideas, y luego recoge algunas de ellas y ponlas en la pizarra para
discutirlas. ¿Cuántos olvidaron limitar el dominio? (ver anejo: PC.3 Actividad de aprendizaje - ¿Cuál
es la pregunta?). Ahora haz que intenten lo siguiente (todas las respuestas en radianes):
(a) x = 0 .276
(b) x = /6 + ( )n
(c) x = /6 + ( )n, /6 + ( )n
(d) (más difícil) x = 0.256, 1.256
Dales tiempo suficiente para que lo trabajen en parejas. Sugiéreles que repasen otros conjuntos de
problemas pasados e intenten crear problemas al revertir los pasos de la resolución de los
problemas. Para problemas con múltiples soluciones, sugiéreles que repasen el deslizamiento de
periodo y cambio de fase de las funciones trigonométricas. Una vez hayan generado problemas,
pídeles que los intercambien con otras parejas e intenten hallar soluciones tanto de forma gráfica
como algebraica. Finalmente, deben escoger un par de sus ecuaciones y hacerlas más difíciles
usando identidades trigonométricas. De nuevo, pídeles que hagan sus problemas más difíciles al
"desimplificarlos".
El reto de la identidad: Ya que los estudiantes dominan la verificación de identidades, pídeles que
trabajen en parejas. Cada estudiante crea una ecuación de identidad a partir de identidades
trigonométricas fundamentales. Las parejas se intercambian las identidades y las corroboran.
Finalmente, escriben una explicación de las técnicas que usaron para crear la identidad.
Multiplicaciones múltiples 295 : Se les pide a los estudiantes que eleven un número complejo a la
décima potencia. Diles que no debe tomarse tanto tiempo como podría parecerles de primera
instancia. Los estudiantes se darán cuenta de que el cálculo resulta más rápido si usan la forma
polar de los números.
292
Fuente: www.curriculumframer.com
293
Ibídem.
294
Ibídem.
295
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1304

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
1. Preséntales a los estudiantes el problema de elevar (2 + 3i) a la décima potencia. Pídeles que lo
intenten.
2. Lo ideal sería que se den cuenta de que hay una forma de usar la forma polar del número para
ahorrarse bastante tiempo. Si no, el problema les tomará un tiempo, y como hay muchos
cálculos que hacer, es muy probable que cometan un error por descuido en el proceso.
3. Si no lo obtienen por su cuenta, y avanzan con lentitud con los cálculos en forma rectangular,
sugiéreles que hay una forma más fácil. Ya conocen otra forma de multiplicar (usando la forma
r cis(θ): ¿no podría esta ayudarles a hacerlo un poco más rápido?
Ejemplos para planes de la lección
A descubrir las identidades 296 : Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles
que se trata de una identidad. Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales,
asumirán que es únicamente cierta para ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una
solución adivinando y luego verificando sus hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones
"correctas" y discútelas. Continúa dándoles más ejemplos y termina con una condicional. Con algo
de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción. Se
llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer
observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores
trigonométricos de un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará
a los estudiantes a ver la lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes
observarán las identidades de cofunción por medio de un estudio de las seis funciones
trigonométricas de cada uno de los ángulos oblicuos del mismo triángulo rectángulo (ver anejo:
PC.3 Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble).
Relaciones entre funciones trigonométricas 297 : Se les instruye a los estudiantes sobre identidades
trigonométricas básicas. Resumen lo que hallaron en el ejemplo para plan de la lección “Cómo
descubrir identidades en forma general”, y luego desarrollan las identidades pitagóricas y de
cociente junto con el maestro. Se hará hincapié en cómo derivar estas identidades usando hechos
matemáticos ya probados, así como las definiciones básicas de las funciones trigonométricas.
1. Realiza una discusión en clase para resumir los hallazgos del día anterior. En una discusión,
enfatiza el hecho de que no hay fórmulas mágicas que memorizar, sino consecuencias lógicas
de las definiciones básicas de las funciones. Diles a los estudiantes que esperas que memoricen
las identidades a medida que las usan en problemas, pero que de ser necesario, cuentan con
las herramientas para volver a derivarlas en el futuro.
2. Resume todas las identidades en forma general.
3. Cuando resumas las identidades pares/impares, repasa los conceptos de funciones
pares/impares y la simetría de las gráficas. Pídeles a los estudiantes que observen el origensimetría
del seno y tangente (funciones impares: f(-x) = -f(x)), así como la simetría del eje de y
del coseno (función par: f(-x) = f(x)). Si no están familiarizados con los términos, se podría llevar
a cabo una minilección usando y = x 2 y y = x 3 .
4. Desarrolla las identidades de cociente con tu clase. En vez de empezar con la identidad y
probarla, escribe sen x/cos x en la pizarra y pídeles que introduzcan las definiciones de las dos
funciones y la simplifiquen. Observa el resultado y escríbelo en forma general.
296 Ibídem.
297 Ibídem.
Junio 2012 1305

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
5. De igual forma, en vez de presentar las identidades pitagóricas y luego resolverlas, tus
estudiantes pueden descubrirlas con un poco de orientación:
(a) Pídeles a los estudiantes que tracen un triángulo con lados a, b e hipotenusa c, y expresen
la fórmula pitagórica.
(b) Escribe x en el lado opuesto del ángulo b, y enumera las seis funciones trigonométricas del
ángulo x.
(c) Ahora, divide a la clase en tres grupos grandes: el primero divide por el a 2 , el segundo
divide por el b 2 y el tercero divide por el c 2 . Pídeles que observen los resultados y que
intenten reexpresarlos usando funciones trigonométricas.
(d) Discutan los resultados. Enfatiza en que estas identidades no son una fórmula mágica, sino
que sencillamente son versiones de la fórmula de Pitágoras reexpresada usando funciones
trigonométricas.
(e) Toma además la identidad pitagórica expresada con seno y coseno y usa las identidades
recíproca y de cociente para desarrollar las otras dos.
(f) Usando los descubrimientos de los estudiantes, demuestra cómo cos 2 (x) + sen 2 (x) = 1
equivale al teorema de Pitágoras.
(g) Provéeles problemas del libro para consolidar su conocimiento de las identidades
trigonométricas básicas.
Fórmulas de la suma y diferencia de seno, coseno y tangente 298 : Primero, dados dos puntos en el
círculo unitario, se les pedirá a los estudiantes que hallen la distancia de dos formas distintas, al
establecer el acercamiento básico para desarrollar la fórmula para el coseno de la diferencia entre
dos ángulos. A continuación, se les guiará a los estudiantes paso a paso para elaborar la fórmula de
coseno de la diferencia entre dos ángulos. Se establecerán variaciones de coseno de una suma y
seno de una suma y diferencia usando identidades previamente establecidas. Finalmente, se retará
a los estudiantes a utilizar esta lección y su conocimiento de la relación entre seno, coseno y
tangente para derivar las fórmulas de tangente de la suma o resta de dos ángulos. (ver anejo: PC.3
Ejemplo para plan de lección – Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente.)
¿Y qué tal ángulos dobles? 299 : Se retará a los estudiantes a personalizar fórmulas de seno, coseno y
tangente de un ángulo doble. Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas de
doble ángulo.
1. Los estudiantes desarrollarán fórmulas de ángulo doble solos con muy poca orientación. Diles a
los estudiantes que quieres que utilicen las fórmulas que han aprendido recientemente para
desarrollar fórmulas de sen(2x), cos (2x) y tan(2x).
2. Permíteles que trabajen en parejas y discutan sus ideas.
3. Cuando crean tener la respuesta correcta, pídeles que las corroboren al introducir ángulos y
evaluar, y usando el acercamiento gráfico que se introdujo en la lección anterior para verificar
identidades. (Aunque vemos estas como fórmulas por la manera en que las usamos, son
también identidades.)
4. Si alguna pareja tiene problemas para comenzar, recuérdales que otra forma de escribir "2x" es
"x + x".
5. Revisa el ejercicio anterior; discute el proceso que nos llevó hasta este punto y cómo las
298 Fuente: www.curriculumframer.com
299 Ibídem.
Junio 2012 1306

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
fórmulas dependen de las otras identidades.
6. Reta a los estudiantes a encontrar variaciones de la fórmula cos(2x) usando la identidad
pitagórica (cos (2x) = (cos x) 2 - (sen x) 2 = 2(cos x) 2 - 1 = 1 - 2(sen x) 2 ). Diles que la utilidad de
estas variaciones se hará más evidente más tarde en la lección.
7. Provéeles ejemplos del libro para que apliquen las fórmulas de doble ángulo.
Fórmulas de reducción de potencias 300 : ¿Cómo podemos reducir la potencia de una función
trigonométrica? Se les retará a los estudiantes, con sugerencias de ser necesario, a personalizar las
fórmulas de la lección “Y qué tal ángulos dobles” para reducir la potencia de una función
trigonométrica. A continuación, los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre fórmulas
para reducir potencias.
1. Antes de comenzar, explícales que ciertos temas de matemáticas sirven de base para
conceptos posteriores: las fórmulas aprendidas hoy son particularmente importantes en el
estudio del cálculo.
2. Explícales que: "El objetivo de hoy es expresar una función trigonométrica cuadrada usando
funciones trigonométricas que no son cuadradas." Dales tiempo para que lo intenten entender.
3. Si necesitan una pista, sugiéreles que repasen las fórmulas e identidades de las que contengan
tanto funciones trigonométricas cuadradas como funciones trigonométricas que no son
cuadradas.
4. Una vez identifiquen las dos versiones alternas de la fórmula de cos(A - B) como las fórmulas
de interés, resultará muy sencillo resolverlas para el término cuadrado.
5. Al igual que lo hicimos en fórmulas e identidades previas, prueba la nueva fórmula al introducir
algunos ángulos y evaluarla. Corrobórala además por medio de una gráfica.
6. Vuelve a hacer hincapié en que las identidades y fórmulas están interconectadas. ¿Dónde
comenzó el proceso que nos llevó a estas fórmulas? (Al hallar la distancia entre dos puntos con
diferentes métodos.) Junto con los estudiantes, enumera diferentes identidades y definiciones
usadas para llegar desde ese punto a la fórmula actual.
7. Provéeles ejemplos del libro para que practiquen a usar las nuevas fórmulas.
Coordenadas polares 301 : los estudiantes trazan la gráfica de un conjunto de puntos equidistantes
del origen y se les pide que observen lo que estos tienen en común. Se les darán instrucciones
sobre las coordenadas polares, como trazar la gráfica de puntos en coordenadas polares usando
una regla y un transportador, y convertir de coordenadas polares a cartesianas, y viceversa. (ver
anejo: PC.3 Ejemplo para plan de lección - Coordenadas polares)
Gráficas polares especiales 302 : Los estudiantes exploran las gráficas de ecuaciones en forma polar
incluidos los círculos, los cardioides, las rosas polares y caracoles usando una calculadora gráfica.
Utilizarán las gráficas que creen para hacer generalizaciones y agrupar las gráficas en categorías.
Para verificar la precisión de su trabajo y generalizaciones, usarán la calculadora gráfica.
1. Explícales que explorarán formas especiales que se expresan mucho mejor en forma polar que
en forma rectangular. (Puedes mencionar que parte del valor de estas expresiones alternas se
hace más evidente en cálculo de más alto nivel; ahora se encuentran sentando las bases para
clases que puedan tomar en la universidad.)
300
Fuente: www.curriculumframer.com
301
Ibídem.
302
Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1307

Unidad: PC.3 Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
4 semanas
2. Dales las siguientes funciones:
(a) r = 5 cos (θ)
(b) r = -2 sen (3 θ)
(c) r = 3 cos (4 θ)
(d) r = 2 + 2 sen (θ)
3. Pídeles que las tracen sin la calculadora; deben poder tener una idea de lo que está pasando al
trazar la gráfica de todos los puntos que puedan generar por sus valores trigonométricos
memorizados.
4. Usando la calculadora gráfica, los estudiantes deben corroborar la precisión de sus dibujos.
(Primero, cambia el modo gráfico a "polar".)
5. Ahora, permíteles a los estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños y rétalos a que
exploren la variedad de formas que existen dentro de los cuatro tipos básicos anteriores. Por
cada ejemplo, experimenta cambiando el valor y signo del número. Experimenta también
cambiando el seno al coseno y viceversa. ¿Cómo afectan estos cambios a las gráficas?
6. Date la vuelta por el salón y asegúrate de que los estudiantes estén considerando un conjunto
exhaustivo de variaciones. Específicamente, asegúrate de que cuando los estudiantes exploren
el cuarto tipo, r = a + b sen (θ), consideren ejemplos en que el valor absoluto de a sea menor
que el de b, así como ejemplos en que este es mayor.
7. Por ejemplo, deben comenzar trazando la gráfica de algunos puntos sin calculadora (aunque no
tantos para las cuatro gráficas iniciales), y luego hacer predicciones de cómo la variación se
comparará con las otras gráficas en esa categoría. La calculadora gráfica también puede usarse
para confirmar las predicciones.
8. Para darle fin a la lección, pídeles a los estudiantes que escriban un conjunto de instrucciones
de cómo trazar la gráfica de cada tipo de ecuación polar anterior y cómo las constantes afectan
la gráfica.
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/complejo.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
John and Betty’s Journey in Complex Numbers de Matt Bower
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
Junio 2012 1308
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes explorarán sucesiones y series aritméticas y geométricas, y aplicarán el
concepto de límite. Hallarán las sumas de series geométricas infinitas, utilizarán fórmulas de suma para
series, usarán la recurrencia para describir una sucesión y utilizarán el concepto de límite de una
sucesión o función. Analizarán y trazarán gráficas de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Escribirán
ecuaciones cónicas en forma estándar, identificarán la sección cónica y sus propiedades geométricas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre sucesiones, el límite de funciones y las funciones cónicas para hacer modelos de conjuntos de
valores para identificar un patrón, como el costo diario por paciente que incurre un hospital, o usar
parábolas para hacer modelos de la sección de cruce de un canal y resolver problemas del mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Precálculo
7.0 Define y utiliza las sucesiones y series aritméticas y geométricas y aplica el concepto de límite.
• Utiliza la notación de la sumatoria.
• Encuentra las sumas de las series infinitas geométricas.
• Demuestra y utiliza las fórmulas de adición para las series aritméticas y para las series geométricas
finitas e infinitas.
• Usa la recurrencia para describir una sucesión.
• Utiliza el concepto de límite de una secuencia o función cuando la variable independiente tienda al
infinito o a un número dado.
• Decide si las sucesiones simples convergen o divergen.
• Resuelve problemas verbales que involucren aplicaciones de sucesiones y series.
9.0 Analiza y grafica círculos, elipses, parábolas e hipérbolas.
Escribe las ecuaciones de secciones cónicas en la forma estándar (completando el cuadrado y
usando conversiones si es necesario), para encontrar el tipo de sección cónica y sus propiedades
geométricas (focos, asíntotas, excentricidad, etc.).
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los patrones que cambian de forma
predecible pueden describirse y generalizarse.
Las figuras cónicas tienen funciones y
propiedades geométricas únicas.
El estudio de las cónicas es vital para entender
el mundo a nuestro alrededor.
Pueden aplicarse límites a las sucesiones y al
comportamiento asintótico de las funciones.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
La definición de sucesiones y series
Preguntas esenciales:
¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y
una serie?
¿En qué se distinguen las figuras cónicas?
¿Cómo se aplican las características de las
secciones cónicas a problemas reales?
¿Cómo puede aplicarse el concepto de límites
en las matemáticas?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Definir las sucesiones y series aritméticas y
Junio 2012 1309

aritméticas y geométricas
El concepto de límite
Que la recurrencia describe una sucesión
El concepto de límite de una sucesión o
función cuando la variable independiente
tiende hacia un número infinito o dado
Notación de sumatoria
Vocabulario de contenido
Sucesiones y límites (convergencia,
divergencia, finito, infinito, límite, notación de
sumatoria, recurrencia, sucesión, serie
aritmética, serie geométrica, variable
independiente)
Cónicas (asíntota, círculo, completar el
cuadrado, cónica, conjugar el eje, directriz, eje
mayor, eje menor, eje transversal, elipsis,
excentricidad, foco, forma estándar,
hipérbola, parábola, punto de tangencia,
radio, tangente, vértice)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
Comparación de sucesiones 303
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las sucesiones al explicar la siguiente actividad.
Tarea:
Necesitarás un pedazo de hilo de tejer, tijeras y
una cinta métrica. Mide un pedazo de hilo de por
lo menos 5 pies de largo. Dobla el hilo por la
mitad y recórtalo en dos. Coge una de las mitades
y pícala por la mitad. Continúa este proceso hasta
que ya no puedas recortar pedazos de hilo por la
mitad. Explica lo siguiente.
1. ¿Cuántos cortes pudiste hacer?
2. Construye una sucesión de las longitudes de
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
geométricas, y aplicar el concepto de límite.
• Utilizar la notación de la sumatoria.
• Encontrar las sumas de las series infinitas
geométricas.
• Demostrar y utilizar las fórmulas de adición
para las series aritméticas y geométricas
finitas e infinitas.
• Usa la recurrencia para describir una sucesión.
• Utilizar el concepto de límite de una secuencia
o función cuando la variable independiente
tienda a infinito o a un número dado.
• Decidir si las sucesiones simples convergen o
divergen.
Resolver problemas verbales que involucren
aplicaciones de sucesiones y series.
Analizar y trazar gráficas de círculos, elipses,
parábolas e hipérbolas.
Escribir las ecuaciones de secciones cónicas en
forma estándar (completar el cuadrado y
usando conversiones si es necesario) para
encontrar el tipo de sección cónica y sus
propiedades geométricas (focos, asíntotas,
excentricidad, etc.).
Otra evidencia
303 Fuente: http://web.mead.k12.wa.us/bbarbero/PCBk/Ch8/PC83.pdf
306 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. Usa la notación de sumatoria para representar
la suma de las series siguientes. 306
3 + 6 + 9 + 12 + … para los primeros 33
términos.
-3 + 6 + -12 + 24 … para los primeros 50
términos.
1 1
6 + 2 + + … para términos n.
3 6
2. Mariana decidió a ayudar a limpiar su parque
local. Recogió una bolsa de basura durante la
primera semana, dos bolsas la segunda, tres
bolsas la tercera, y así sucesivamente al
mismo ritmo.
Junio 2012 1310

hilo resultantes después de cada recorte,
comenzando por la longitud de hilo original.
3. Halla una fórmula del término n de esta
sucesión.
4. ¿Cuántos cortes podrías hacer en teoría?
5. Escribe un párrafo corto en que discutas por
qué no pudiste hacer el número de cortes
teórico.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Estaciones radiales 304
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
los círculos gráficos para analizar la amplitud de
las ondas radiales. Para esto necesitarán el anejo
PC.4 Tarea de desempeño - Mapa de estaciones
radiales de Georgia.
Instrucciones:
1. Las ondas radiales emitidas desde un
transmisor forman un patrón de círculos
concéntricos. Escribe una ecuación para tres
círculos concéntricos.
2. Gabriel escucha la estación WYAY desde
Atlanta. La casa de Gabriel se encuentra a 24
millas al este y 32 millas al sur del transmisor
de la radioestación. Su casa se ubica en el
borde de la amplitud de transmisión máxima
de WYAY.
a. Cuando una señal de radio le llega a
Gabriel en su casa, ¿cuán lejos ha viajado?
Dibuja el área de transmisión de WYAY en
el mapa parcial de Georgia que se provee
en la hoja repartida. En el mapa, ubica
WYAY de Atlanta en las coordenadas (0, 0)
y utiliza la escala de 100 millas = 60 mm.
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
a. Asumiendo que continúa con el proceso,
¿cuántas bolsas de basura habrá recogido
al cabo de 26 semanas?
b. ¿Cuántas bolsas de basura recoge en n
semanas?
c. Si Mariana recoge una bolsa de basura la
primera semana, dos bolsas la segunda,
cuatro la tercera, y continúa al mismo
paso, ¿cuántas bolsas de basura habrá
recogido al cabo de 26 semanas? 307
3. Calcula
Junio 2012 1311
308
4. La ecuación x 2 + y 2 – 2x +6y +3 = 0 es
equivalente a 309
a. (x-1) 2 + (y+3) 2 = -3
b. (x-1) 2 + (y+3) 2 = 7
c. (x+1) 2 + (y+3) 2 = 7
d. (x+1) 2 + (y+3) 2 = 10
5. Escribe en forma estándar (para una
parábola): 310 y = x² +14x + 9
Diarios
1. Dada la sucesión −4, 0, 4, 8, 12 ... Pablo
observa un patrón y halla una fórmula que le
parece le permitirá hallar la suma de los
primeros términos n. Su fórmula es
. Demuestra que la
fórmula de Pablo es correcta. 311
2. Explica por qué "el límite... es el infinito" es
matemáticamente incorrecto.
3. Explica cómo trazar la gráfica de un círculo
usando la forma estándar.
4. Crea un diagrama de Venn en que compares
los cuatro tipos de cónicas.
Boletos de entrada/salida
1. Escribe una serie geométrica que converja en
304 Fuente:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Jan%202010v2.pdf
307 Ibídem.
Ibídem.
308 Fuente: http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/liminfdirectory/LimitInfinity.html
309 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.47.htm
310 Fuente:
http://www.jmap.org/StaticFiles/PDFFILES/WorksheetsByTopic/QUADRATICS/Drills/PR_Vertex_Form_of_a_Quadratic_3.pdf
311 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf

. Halla una ecuación que represente el área
de transmisión máxima de la estación.
c. Determina cuatro ubicaciones adicionales
al borde del área de transmisión de
WYAY, y provee las coordenadas correctas
en décimos.
3. A Gabriel le gusta el reggaetón. Algunos de
sus amigos le han sugerido que además de
WYAY, escuche la estación WXAG en Athens y
WDEN en Macon. WYAY, WXAG y WDEN son
estaciones FM que por lo general tienen una
amplitud de transmisión de 40 millas. Utiliza
tu mapa para ayudarte a responder las
siguientes preguntas.
a. Dada la ubicación de la casa de Gabriel,
¿puede esperar sintonizar WXAG y
WDEN? Explica cómo lo sabes.
b. ¿Cuáles son las coordenadas de las
intersecciones de las áreas de transmisión
de la estación WYAY y la estación WDEN?
Muestra tu proceso. (¿Importa si
encuentras la intersección usando millas o
mm? Explica.)
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
La plaza cónica 305
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las cónicas al diseñar una plaza atractiva y
funcional.
Tarea:
El parque de diversiones necesita una plaza donde
la gente pueda relajarse, descansar y almorzar. El
propietario quiere promocionar el valor educativo
de su parque, por lo que decide que la nueva
plaza deberá incorporar curvas que sean partes de
secciones cónicas. Es ahí donde entras tú...
1. Necesitas desarrollar un plan detallado para la
nueva plaza, incluidas ecuaciones para
describir todas las curvas en esta.
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
3. Utiliza la fórmula para evaluar la serie.
2. Discute las relaciones entre los límites y las
asíntotas. ¿Cuál es la diferencia entre un
acercamiento de límite a las asíntotas
verticales y las horizontales?
3. Utiliza la regla recursiva dada para escribir los
primeros cuatro términos de cada sucesión. 312
a1 = -2
an+1 = (an) 2 +3
t1 = 3x
Junio 2012 1312
tn=
tn
1 2
n 1
4. Escribe una ecuación de un círculo con el
centro en (3,-2) y que pase por el punto
(-5,8). 313
305 Fuente: www.curriculumframer.com
312 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
313 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Algebra_2_Trigonometry/Algebra/A2.A.48.htm

2. Estos son los requisitos del propietario:
a. Debe incluirse un ejemplo de cada una de
las cuatro cónicas en alguna parte de la
plaza.
b. La plaza debe tener distintos niveles, con
una fuente “hundida” en el medio.
c. La diferencia en altura entre los niveles
debe ser segura. También, la gente debe
poder sentarse cómodamente para
comerse un perro caliente o una
hamburguesa.
d. Debe ser lo suficientemente amplia para
que quepan 400 personas cómodamente,
pero no demasiado grande, por
cuestiones de presupuesto.
e. El diseño debe ser atractivo y divertido de
explorar.
3. Tu trabajo final debe incluir una explicación
de tus elecciones, además del diagrama
detallado con ecuaciones.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Todos mis límites preferidos... 314 : En esta actividad, los estudiantes crearán ejemplos de varios
escenarios de límites y demostrarán lo que está sucediendo gráfica, algebraica y numéricamente.
Pídeles que trabajen en parejas para crear un resumen de los distintos tipos de problemas de
límites que se han encontrado con ejemplos creados por los estudiantes. Pueden usar sus notas
como referencia. Diles que se aseguren de cubrir todos los asuntos siguientes: a) el sentido de "el
límite existe"; b) distintas formas en que no existe un límite; c) técnicas algebraicas para resolver
límites; d) cómo el estudio de los límites nos ayuda a entender las asíntotas, y e) cómo evaluar los
límites de forma algebraica, gráfica y numérica. Los estudiantes deben crear ejemplos que ilustren
los puntos de su discusión. Dales tiempo para que se tomen turnos presentando partes de su
resumen al resto de la clase. Haz hincapié en el uso correcto del lenguaje matemático.
Equidistante 315 : Los estudiantes desarrollarán la ecuación de un círculo a partir de su definición
geométrica, con énfasis en lo que se le debe a Pitágoras. Utilizarán un pedazo de cordón (de
aproximadamente 10" de largo), una tachuela, un lápiz y una superficie para la tachuela (un pedazo
de cartón grueso o de múltiples capas puede funcionar y puede conseguirse gratis en la cafetería o
314 Fuente: www.curriculumframer.com
315 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1313

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
con el equipo de mantenimiento) para crear un círculo. Primero, pídeles que creen un par de
círculos de radio especificado. También especifica el centro de cada círculo. Los estudiantes
deberán atar un lazo a un extremo del cordón y amarrar el lápiz con un nudo suelto a la distancia
deseada del lazo. Ancla el lazo con la tachuela y dibuja el círculo con cuidado. Dales a los
estudiantes dos puntos y diles que estos están en el círculo y que les toca determinar el radio y el
centro y trazar el círculo. (Asegúrate de seleccionar puntos que no estén demasiado separados o
limitarás el número de círculos potenciales que pueden trazarse.) Date la vuelta por el salón y
observa las estrategias de los estudiantes. Revisa y comparte sus respuestas. A continuación,
pídeles que añadan tres o más soluciones a su diagrama después de llegar a la conclusión de que
los dos puntos no tienen que ser extremos diametrales. Finalmente, aumenta el nivel de dificultad
dándoles tres puntos a la vez. Asegúrate de cubrir cada uno de los siguientes escenarios: fácil de
resolver exactamente debido a la simetría (por ej.: (2, 0), (0, 2) y (2, 4)), más difícil de resolver, pero
puede estimarse visualmente (por ej.: (0, 2), (1, 3) y (2, -1) e imposible debido a que es colineal
(por ej.: (0, 2), (2, 3) y (4, 4). Discute las soluciones: ¿cuándo es fácil de encontrar una solución?
¿Difícil pero posible? ¿Imposible? ¿Y si te dieran cuatro puntos (mucho más difícil de encontrar un
buen ejemplo, pues la mayoría de conjuntos de cuatro puntos no yacen en el mismo círculo, aún
cuando no es colineal)?
¿Dos centros? 316 : Los estudiantes crearán un "casi" círculo usando dos tachuelas, cerca una de la
otra, y un pedazo de cordón doble del radio deseado. Después de compararlo con el círculo, harán
unos cuantos experimentos con las tachuelas cada vez más separadas. ¿Cuánto podemos
separarlas? A partir de esta actividad, los estudiantes trabajan en retroceso para establecer en
palabras la regla que usaron físicamente, y formularán la ecuación correspondiente (ver anejo:
PC.4 Actividad de aprendizaje - ¿Dos centros?).
Distancias iguales 317 : Sin nombrar la forma, hazla doblando papel. A continuación, utiliza el papel
plegado para generar la ecuación, y describe la definición verbalmente. Para crear una parábola,
vira el papel de lado y coloca un punto a unas 2" del extremo inferior, centrado de forma
horizontal. Elige una ubicación en el borde inferior del papel y dóblalo de forma tal que la parte de
abajo toque el punto. Repite este procedimiento con múltiples ubicaciones a lo largo de la parte de
abajo del papel. Una vez los estudiantes comiencen a ver la parábola formarse, pídeles que
ubiquen el vértice. Identifica el foco, la excentricidad y la directriz. ¿Qué tienen en común todos los
puntos de la parábola? Utiliza la discusión para introducir la definición geométrica de la parábola.
Pídeles que le llamen al punto que dibujaron (1,0), al vértice (0,0) y al borde de abajo del papel la
línea horizontal y = -1. Pídeles que elijan también un punto en la elipsis y que lo llamen (x, y). Dada
la definición de la parábola, pídeles que dibujen segmentos de línea que representen las
"distancias iguales" y formulen la ecuación de la parábola usando la fórmula de distancia. Indícales
que escriban una ecuación para una parábola general si usamos la letra p para representar la
distancia entre el vértice y el punto (foco). En una página nueva, pídeles a los estudiantes que
experimenten aumentando y reduciendo la distancia entre el punto y la parte de abajo del papel.
¿Qué generalizaciones pueden hacer?
¿Cuál cónica? 318 : Se les darán a los estudiantes un grupo de cónicas en varias formas, y se les
pedirá que las identifiquen y tracen sus gráficas. Pueden usar cualquier otro trabajo que hayan
316 Ibídem.
317 Ibídem.
318 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1314

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
hecho como referencia; deberán generar un conjunto de reglas que les ayuden a diferenciar entre
los cuatro tipos. (No debes tener que explicarles cómo se hace esto. Con algo de delegación
gradual de la responsabilidad, deben poder hacerlo por su cuenta, o colaborar con otros
compañeros.) Primero, dales un conjunto grande de cónicas mixtas en varias formas. Asegúrate de
tirarles unas cuantas "curvas" (círculos que se degeneren en un punto o que solo tengan soluciones
imaginarias, hipérbolas que degeneren en líneas). Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de
cada una de estas cónicas. Una vez tracen la gráfica del conjunto entero, pídeles que desarrollen
un conjunto de reglas que les ayudarán a identificar qué tipo de cónica representa una ecuación.
Hipérbolas y parábolas, al extremo 319 : Los estudiantes investigan la pregunta: "¿No es una
hipérbola simplemente una parábola doble?" Compararán gráficas y se les debe alentar a que
vayan más allá del centro o vértice antes de llegar a una conclusión. Deberán usar una función de
gráfica para completar esta actividad. Dales un conjunto mixto de parábolas e hipérbolas para que
tracen sus gráficas a mano. Pídeles que utilicen una herramienta tecnológica para corroborar sus
gráficas y que observen cada forma desde una distancia importante (cambiar los ajustes de
pantalla en-100 a 100, por ejemplo) y que dibujen lo que ven. Pregúntales: "¿No es una hipérbola
simplemente dos parábolas en direcciones opuestas?" Deberán justificar su respuesta con un par
de párrafos convincentes usando sus gráficas como prueba.
Ejemplos para planes de la lección
Series aritméticas 320 : Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión aritmética
y el término n de una sucesión aritmética antes de hallar la suma de una sucesión aritmética finita.
Aplicarán entonces una sucesión aritmética finita para resolver un problema del mundo real. (ver
anejo: PC.4 Ejemplo para plan de lección - Series aritméticas).
Series geométricas 321 : Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión
geométrica y el término n de una sucesión geométrica antes de hallar la suma de una sucesión
geométrica finita. Aplicarán entonces una sucesión geométrica para resolver un problema del
mundo real (ver anejo: PC.4 Ejemplo para plan de lección - Series geométricas).
Sucesiones como funciones 322 : Los estudiantes explorarán cómo pueden definirse las sucesiones
usando fórmulas recursivas y cerradas. Tendrán que contar con conocimiento previo de las
sucesiones aritméticas, como las funciones lineales con dominios de números enteros. Para más
información, véanse las páginas 56 a la 61:
http://www.apskids.org/Documents/Math_1_Teacher_Supplement_Unit_1.pdf.
¿Cuál es la función que se acerca? 323 : Los estudiantes utilizarán triángulos y definiciones de las
funciones trigonométricas para explorar la idea básica de un límite, así como la situación en que no
319 Ibídem.
320 Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20lesson%20plan&
Fuente=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fwee
k14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg
321 Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20lesson%20plan&
Fuente=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fwee
k14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg
322 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_1_Teacher_Supplement_Unit_1.pdf
323 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1315

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
exista un límite. A continuación, los estudiantes reciben instrucciones directas sobre la definición
básica de un límite, así como situaciones en que no exista un límite. Se hará hincapié en el hecho
de que decir "el límite es el infinito" induce al error, pues el infinito es una forma específica de
explicar cómo es que no existe límite en ciertos casos.
1. Dibuja un triángulo, llámale a un ángulo x y a los lados A, O y H (de adyacente, opuesto e
hipotenusa).
2. Pídeles que consideren lo que le ocurre al triángulo a medida que el ángulo x se acerca a 0
grados y el triángulo se aplana bastante. ¿Qué le está sucediendo a las seis funciones
trigonométricas? ¿A qué se aproximan las funciones trigonométricas? (Deberán analizar esto
con sus gráficas; intenten dibujar triángulos sumamente planos. Debe resultar obvio que la
hipotenusa y el lado adyacente se acercan a igualarse, y el lado opuesto se aproxima a 0, lo
cual conduce a valores trigonométricos que se aproximan...)
3. Repite el paso 2 considerando que le permitimos al ángulo x aproximarse a 90 grados. ¿A qué
se aproximan las funciones trigonométricas?
4. Facilita una discusión entre los estudiantes. ¿En cuáles ejemplos se aproximaba la función
trigonométrica a un valor fijo? (El límite existe...) ¿En cuáles ejemplos no se aproximaba a un
valor fijo? (El límite no existe...)
5. Haz hincapié en que si mantenemos el triángulo existente como está, entonces x nunca puede
alcanzar los 0 o 90 grados. Esto, sin embargo, no afecta la pregunta "¿A qué se aproxima sen
x?".
6. Vuelve a expresar "A medida que el ángulo se acercaba a 90 grados, la tangente del ángulo
continuaba aumentando sin límite" en notación de límite formal.
7. Conversen sobre el hecho de que decir que existe un límite no implica que la función tiene que
adquirir ese valor; por ejemplo, pídeles que consideren la función y = (x 2 - 4)/(x + 2). A partir de
experiencias pasadas con funciones racionales, los estudiantes a menudo saltan a la conclusión
de que hay una asíntota en x = -2. (No la hay, hay un hueco en ese punto.) Pídeles que exploren
el comportamiento de esta función alrededor de x = -2, primero al evaluar la función de los
valores de x cerca de -2, y luego al simplificar de forma algebraica para ver que simplemente se
trata de una línea que no está definida cuando x = -2. Haz hincapié en que cuando
simplificamos la expresión y perdemos el factor de variable (x + 2) en el numerador y el
denominador, debemos tomar nota de la restricción de dominio, que la función no está
definida en x = -2.
8. Una forma común de leer la respuesta a ciertos problemas incluye la expresión: "El límite es...
el infinito". Aunque se trata de una forma conveniente de leer una respuesta rápidamente,
incluye un error fundamental. El uso de la palabra "es" implica que el límite existe, que de
alguna forma nos estamos acercando o aproximando al "infinito". Esto obviamente no tiene
sentido. El infinito no es una ubicación a la que uno pueda aproximarse. Enfatiza en que
cuando decimos que un límite es el "infinito", lo que en realidad estamos diciendo es que el
límite no existe: el "infinito" es un caso específico de "NE" (describe "cómo" es que el límite no
existe).
9. Usando ejemplos del libro de texto, demuestra técnicas algebraicas para evaluar límites,
incluso la factorización y la cancelación, racionalizar el numerador y dividir por el término de
grado mayor y aplicar propiedades de los límites.
10. Repasa las funciones racionales de gráficas con asíntotas verticales. Interpreta estas asíntotas
Junio 2012 1316

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
como el resultado de los límites que no existen para esos valores de x.
11. Provéeles a los estudiantes ejemplos del libro para que practiquen con los límites. Asegúrate
de que los ejercicios incluyan análisis de límites en términos gráficos, numéricos y algebraicos.
Límites "en" el infinito 324 : Los estudiantes analizan límites de razones entre dos funciones en que
ambas incrementen individualmente sin límite. Harán predicciones y las corroborarán de forma
numérica y gráfica, con la ayuda de una calculadora gráfica. Los estudiantes entonces recibirán
instrucciones directas sobre cómo evaluar límites a medida que x incrementa o decrece sin límite y
relacionarán estos límites con experiencias pasadas con asíntotas horizontales e inclinadas.
1. Pregúntales qué piensan que podría ser el "infinito dividido por el infinito". (Claro está, el
infinito describe la característica de incremento sin límite, y no puede dividirse. Sin embargo,
podemos dividir cosas que estén aumentando sin límite y considerar los resultados.) Escribe las
siguientes funciones en la pizarra:
(a) f(x) = 3 x 2 - 2x
(b) g(x) = 2 x 2 + 5
(c) h(x) = 2 x
2. ¿Cuáles son los límites de estas funciones a medida que x incrementa sin límites? (El límite no
existe. Las tres funciones incrementan sin límite a medida que x incrementa sin límite.)
3. Reta a los estudiantes a explorar las razones de estas funciones. Podemos crear seis funciones
nuevas que sean razones de dos de estas a la vez. (Por ejemplo y = f(x)/g(x).) ¿Pasarán a uno
estas razones a medida que x aumenta bastante en tamaño? ¿Es "infinito sobre el infinito"
equivalente a uno? (Por lo general no.)
4. Pídeles que trabajen en parejas para crear seis funciones nuevas y analicen sus límites a
medida que x incrementa sin límites. Deben primero hacer una predicción de cada uno, y luego
verificarla con números (al introducir valores altos para x en una calculadora) y trazando la
gráfica de las funciones nuevas en la calculadora gráfica y oprimiendo Zoom Out para observar
el comportamiento a medida que x va aumentando bastante de tamaño.
5. ¿Cómo podemos explicar el hecho de que algunos tienen límites de 0, o un valor específico que
no es 0, mientras que otros no tienen límites y e incrementan sin parar? (No todos los
"infinitos" son iguales: el índice de aumento importa. Por ejemplo, las funciones exponenciales
con bases mayores de uno aumentan a una razón mucho mayor —sus gráficas son mucho más
inclinadas— que las funciones polinómicas. Es por esto que la razón con h(x) en el numerador
aumenta sin límites, mientras que la que tiene h(x) en el denominador se aproxima a 0.)
6. Enfatiza en que debemos tener cuidado a la hora de evaluar el límite de las razones, puesto
que x aumenta o se reduce sin límite.
7. Asocia lo que los estudiantes observaron hoy con lo que estudiaron de las asíntotas
horizontales anteriormente en la clase. Decir que existe una asíntota horizontal es decir que la
función tiene un límite a medida que x aumenta o se reduce sin límite.
8. Contrasta las asíntotas horizontales y verticales; aunque ambas se relacionan con límites, son
fundamentalmente distintas. Una asíntota vertical conlleva un comportamiento sobre un valor
de x donde el límite no existe, mientras que la asíntota vertical implica la existencia de un
límite.
9. Haz hincapié en usar el lenguaje correcto: es mejor decir "el límite a medida que x incrementa
324 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1317

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
sin límite", en vez de "el límite en el infinito".
10. Dales a los estudiantes la oportunidad de practicar la evaluación de los límites con ejercicios
del libro. Asegúrate de que el conjunto de ejercicios incluya la interpretación como asíntota
horizontal (o su ausencia), y la evaluación de límites en términos numéricos, algebraicos y
gráficos. (Si no, sácale mayor partido al conjunto de ejercicios extendiendo las instrucciones
para incluir los tres acercamientos y una discusión de las asíntotas.)
El álgebra de los círculos 325 : En esta lección detallada, los estudiantes derivarán la ecuación de un
círculo dado un centro y un radio usando el teorema de Pitágoras, convertirán de la forma general
a estándar una ecuación de un círculo al completar el cuadrado, determinarán el centro y radio de
un círculo dada su ecuación y trazarán un círculo en forma estándar a mano y usando la
herramienta tecnológica adecuada. Para más información, véanse las páginas 12 a la 16:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition
%20Jan%202010v2.pdf
El círculo 326 : Los estudiantes recibirán instrucciones directas sobre la forma estándar de la ecuación
del círculo, y se reforzará el hecho de que se trata únicamente de una aplicación de la fórmula de
Pitágoras. Repasarán los pasos para completar el cuadrado y lo usarán para cambiar círculos de
forma general a forma estándar. Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono
y un plano produce un círculo, y en qué condiciones esa intersección es un círculo y no una sección
cónica distinta.
1. Pídeles que describan las formas que crearon en la Actividad de aprendizaje “Equidistante”:
¿cuáles son las características únicas del círculo? Utiliza esto para introducir la definición de un
círculo.
2. Utiliza la definición del círculo para derivar la ecuación del círculo en forma estándar.
Asegúrate de darle crédito suficiente a Pitágoras y hacer hincapié en el hecho de que se trata
simplemente de un enunciado algebraico de la definición previamente discutida. Discutan la
convención de usar ciertas letras para rotular el centro: (h, k), y el radio: r.
3. Con un ejemplo, expande tus expresiones y formula la ecuación en forma general. Haz que los
estudiantes lo intenten.
4. Repasa los pasos para completar el cuadrado y pídeles que lo usen para convertir ecuaciones
de forma estándar de vuelta a la forma general y que tracen la gráfica. No les des ejemplos en
que obtengan valores que lleven a un radio de 0 o un radio imaginario, pues esto lo explorarán
en la próxima actividad.
5. Lleven a cabo una discusión sobre el círculo como una intersección entre un cono y un plano.
¿Cómo tienen que encontrarse para formar un círculo? (El plano debe estar perpendicular al
eje del cono.) No les muestres el caso en que el plano se interseque con el punto del cono que
produce un punto único, pues lo descubrirán como parte de la próxima actividad.
La elipse 327 : Con la actividad de aprendizaje “Dos centros”, desarrolla la forma estándar de la elipse
a partir de los resultados. Los estudiantes tienen que poder completar el cuadrado para convertir
de la forma general a la estándar. Deben también aprender a identificar ejes mayores y menores;
esto debe hacerse no como un truco memorizado, sino con un análisis numérico (p. ej.: para hallar
325 Fuente:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Jan%202010v2.pdf
326 Fuente: www.curriculumframer.com
327 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1318

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
los extremos de los ejes, ¿cuáles son los valores extremos que puede adoptar x? ¿Para qué valor de
y se dará esto? Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono y un plano
produce una elipse, y en qué condiciones esa intersección es un círculo y no una sección cónica
distinta.
1. Repasa la actividad anterior y vuelvan a estudiar la ecuación de la elipses con focos en (-3, 0),
(3, 0) y la distancia fija de 8.
2. Discutan la definición de elipses y relaciónenla con la ecuación de esa elipse específica.
3. Simplifica esta ecuación para producir la forma general; esto resulta un poco confuso, e implica
cuadrar ambos lados de la ecuación dos veces y expandir un poco, cancelar y combinar, pero
resulta valioso que los chicos lo vean.
4. Esto puede reescribirse fácilmente en forma estándar, puesto que está centrado en el origen.
5. Discutan la forma estándar en términos generales, y demuestren la relación entre a, b y c.
(Para estudiantes más avanzados, puedes derivar las formas general y estándar a partir de la
definición, pero se vuelve bastante confuso si intentas hacer esto con un centro fuera del
origen.)
6. Nombren y discutan los ejes mayor y menor de la elipse. Asegúrate de que los entiendan de
forma numérica, no solo como datos memorizados. Usando una elipse centrada en el origen en
forma estándar con un eje mayor horizontal, pídeles a los estudiantes que hallen visualmente
los puntos que están más alejados del centro. ¿Qué debe ser cierto sobre el valor de y en este
punto? (y = 0). Si y = 0, ¿qué debe ser x? Sigue un estilo similar de interrogación para
considerar los puntos más cercanos al centro.
7. Introduce ejemplos que no estén centrados en el origen. Pídeles a los estudiantes que pasen
de la forma general a la estándar (completar el cuadrado) al extraer la información necesaria
para trazar la gráfica de la elipse.
8. Repasa las propiedades físicas de la elipse y el hecho de que son el resultado de la intersección
de un plano y un cono.
La parábola 328 : Usa la actividad de aprendizaje “Distancias iguales” para introducir la forma
estándar y convierte de forma general a estándar completando el cuadrado. Nombra la directriz y
el foco; discutan las propiedades. Los estudiantes deben entender cómo la intersección de un cono
y un plano produce una parábola, y en qué condiciones esa intersección es una parábola y no una
sección cónica distinta.
1. Utiliza la actividad anterior para motivar una lección sobre las formas de la ecuación de la
parábola. Repasen las formas ya estudiadas de cómo escribir la ecuación y compárenlas con la
ecuación que incorpora p.
2. Exploren ejemplos que no se centren en el origen (que requieran completar el cuadrado) y
ejemplos que se abran hacia abajo, a la derecha o a la izquierda.
3. Dadas ecuaciones en varias formas, los estudiantes deben poder no solo trazar la gráfica de la
parábola, sino también la gráfica del foco y la directriz.
4. Discutan cómo se genera una parábola por intersección de un cono y un plano. ¿Qué debe ser
cierto sobre la intersección para que se forme una parábola? (El plano debe ser paralelo al
borde exterior del cono para que interseque solo uno de los conos, y no pique el cono por
completo, formando una elipse).
328 Ibídem.
Junio 2012 1319

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
5. Discutan y hagan un diagrama de la propiedad del foco de la parábola. Un proyector, con la
bombilla ubicada en el foco de la parábola, es un ejemplo claro con el que los estudiantes
deben familiarizarse.
Dos líneas, mayormente... 329 : Los estudiantes comienzan con ecuaciones de hipérbolas, y las
comparan con ecuaciones de líneas en términos de hallar los puntos en las formas. Consideran los
puntos que están cerca del centro y alejados de este. En términos numéricos, descubrirán la idea
de que las hipérbolas son asintóticas con las líneas. A continuación, con una función gráfica,
deberán comparar las hipérbolas con las asíntotas. Finalmente, en la actividad que sigue, deberán
resolver las hipérbolas para y e investigar el límite de las funciones de manera informal.
1. Esta actividad requiere el uso de una función gráfica: la TI-83 es una opción.
2. Considera una hipérbola sumamente sencilla: x al cuadrado - y al cuadrado = 1. Resuelve esto
para y y haz la gráfica de puntos. Intenta x = 0 (imposible), 1, 2, 3, 4, 5 y algunos puntos
mayores como 10, 100, y 1000.
3. Pídeles a los estudiantes que consideren las líneas y = x y y = -x. Construye una gráfica de
puntos de estas líneas usando los mismos valores de x que en el paso 2. Compara estos
resultados con los puntos de la hipérbola. ¿Qué observas?
4. Utiliza estos números para hacer un boceto rápido a mano de la hipérbola con los valores de x
y y entre -5 y 5, y luego traza la gráfica de las líneas en el mismo conjunto de ejes.
5. Para una vista distinta de la hipérbola, pídeles que hagan otro dibujo, pero que dividan los ejes
desde -1000 hasta 1000 (a esta distancia, no puedes representar el poquito de curvatura en el
origen y no deberá poder distinguirse la hipérbola de las líneas). Utiliza este diagrama para
llevar a cabo una discusión de los límites y las asíntotas.
6. Ahora, dales a los estudiantes un conjunto variado de hipérbolas centradas en el origen.
Pídeles que tracen la gráfica de cada una usando una herramienta tecnológica (en la TI-83 esto
requiere resolver cada hipérbola para y, generando dos funciones cuyas gráficas deben
trazarse para ver la hipérbola. Este es un buen momento para repasar funciones y discutir por
qué las hipérbolas que vayan a trazar no son funciones.).
7. Para cada hipérbola, haz que los estudiantes quiten la constante de 1 y tracen la gráfica con lo
que quede. (Asimismo, resolverán para y, pero en esa ocasión el resultado serán dos líneas.)
Como vimos en el ejemplo inicial, estas son las asíntotas.
8. Para cada hipérbola, con asíntotas cuya gráfica fue trazada a la vez, deben observar las gráficas
con diferentes ajustes de pantalla. Asegúrate de que opriman Zoom Out lo suficiente para ver
el segmento curveado en el centro desaparecer.
9. Vuelvan a discutir la idea de un límite según se puede observar en las gráficas. Además, al
observar las gráficas de los números, considera el hecho de que la constante de 1 se hace
trivial a medida que nos alejamos del centro, y la hipérbola prácticamente se vuelve igual a las
asíntotas. Discutan el concepto de límite.
329 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1320

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
4 semanas
La hipérbola 330 : Empezando por el ejemplo para plan de la lección “Dos líneas, mayormente…”,
lleven a cabo una discusión de las hipérbolas y sus asíntotas. Aprenderán a generar las asíntotas a
partir de la actividad de seguimiento del día anterior, así como el atajo al usar los ejes transversal y
conjugado. Es importante que vean cómo se relacionan ambos acercamientos. Considera además
la hipérbola como el resultado de una definición geométrica. Al igual que con las cónicas
anteriores, tendrán que convertir de la forma general a la estándar. Deben entender cómo la
intersección de un cono y un plano produce una hipérbola, y en qué condiciones esa intersección
es un círculo y no una sección cónica distinta.
1. Utiliza la discusión de la actividad del día anterior para empezar a estudiar las hipérbolas.
2. Introduce y discute la definición geométrica (todos los puntos de forma tal que la diferencia
entre las distancias a dos puntos fijos sea una constante). Cabe admitir que esta es la definición
más difícil para los estudiantes, y la que más les cuesta internalizar. Utiliza una gráfica para
demostrar la diferencia constante visualmente y calcularla para un par de puntos, para darles
una idea.
3. Muéstrales cómo generar las asíntotas usando una caja determinada por el eje transversal y el
conjugado, pero asegúrate de que lo relaciones con la exploración del día anterior de las líneas
resultantes cuando quitas el término constante.
4. Reescribe en forma estándar ecuaciones que estén en forma general (completar el cuadrado)
para extraer información útil para trazar gráficas.
5. Discutan las propiedades físicas de la hipérbola (las torres de enfriamiento nuclear son una
aplicación interesante), y discutan cómo la intersección de un plano y un cono doble crea una
hipérbola (el plano debe intersecar ambos conos para crear la hipérbola).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Growing Patterns: Fibonacci Numbers in Nature de Sarah C. Cambell
Buenas noches luna de Margaret Wise Brown
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Trigonometric Delights de Eli Maor
330 Fuente: www.curriculumframer.com
Junio 2012 1321
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Matemáticas
Anejos
Pre Calculo
1322

Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Las funciones racionales y sus gráficas
Las funciones racionales y sus gráficas
PARTE I
Para cada uno de los problemas a continuación:
a. Halla el dominio. Iguala el denominador a cero y resuelve D(x) = 0. Las soluciones de esa ecuación
son las discontinuidades de la función y no están en el dominio.
b. Halla todos los ceros de la función. Iguala el denominador a cero y resuelve N(x) = 0. Si una o más de
las soluciones son también soluciones de D(x) = 0, entonces ese valor de x representa la ubicación de
una discontinuidad en la gráfica. Las soluciones que son únicas de N(x) = 0 representan las
intercepciones en x de la gráfica. Traza los puntos de esas intercepciones .
c. Identifica cualquier asíntota vertical y horizontal. Trázalas en la gráfica que tiene la línea
entrecortada.
d. Halla la intercepciones en y (si alguna al evaluar f(0). Traza ese punto.
e. Halla y traza uno o dos puntos antes y fuera de cada una de las asíntotas verticales.
f. Traza la gráfica de la función.
Corrobora tus respuestas de forma gráfica usando una herramienta gráfica, y de forma numérica, al
crear una tabla de valores usando la función de tabla.
1.
4.
PARTE II
2.
5.
1. ¿Qué simetría ves en las gráficas trazadas en la parte I? (Piénsalo en términos de funciones pares e
impares.)
2. El doble cero en el No. 2 causó la tangencia con el eje de x. ¿Qué podemos hacerle al No. 5 para
hacer que su "parábola" sea una tangente del eje de x? ¿Cómo cambiaría esto tus respuestas a esta
pregunta?
3. Ninguna de estas gráficas tenía "saltos" por las discontinuidades. Supón que quiero que la
discontinuidad en el No. 3 sea una discontinuidad en vez de una asíntota. ¿Cómo debo cambiar la
ecuación? ¿Cómo cambiaría esto la gráfica?
4. ¿Cuáles de los problemas anteriores tienen un recorrido que es el conjunto de todos los números
reales? ¿Cómo lo sabes a partir de la gráfica?
5. Escribe una ecuación de una función racional que tenga (a) por lo menos un cero, (b) dos asíntotas
verticales y una "discontinuidad", y (c) una asíntota horizontal que no sea 0. Dáselo a otro
estudiante para que lo resuelva.
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus”
“02 AM_PreCalc_U3_BLM.doc” 1323
3.

Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales
Problema 1 - Reflexión de la función exponencial
Introduce la ecuación y = e x en la pantalla . A continuación,
oprime y selecciona ZStandard para observar su gráfica.
¿Cómo se vería la inversa de esta gráfica?
Recuerda que una inversa es cuando la entrada (x) se cambia por
la salida (y).
Oprime y anota los valores de y en la columna del valor de y
original en la tabla a continuación.
Ahora, anota las inversas de cada punto al intercambiar los
valores de x y de y; anota los resultados en las columnas inversas
en la tabla a continuación.
Valor de x original Valor de y original Valor de x inverso Valor de y inverso
-2
-1
0
1
2
3
1324

Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Reflexiones exponenciales
Ahora traza los siguientes puntos inversos al oprimir e
introducir los valores inversos en L1 y L2.
Para trazar los diagramas de difusión de ambas listas, oprime
y reproduce la pantalla a la derecha.
Ahora oprime para observar los valores trazados.
¿Qué notas sobre los valores trazados?
Traza la gráfica de la ecuación y = x para probar tu observación.
Halla la inversa de y = e x . Esto se hace intercambiando x y y (intercambiando la entrada y la salida) en
la ecuación, y solucionando para y.
Comprueba el resultado que obtuviste trazando la gráfica del resultado para ver si pasa por todos los
puntos trazados.
Extensión – Reflejar y = 10 x
Repite el mismo proceso, pero utilizando y = 10 x .
Fuente: Texas Instruments Incorporated, 2010 1325

Unidad PC.1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas
Cómo trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas:
1. Comienza con la gráfica de y = 3 x . Escribe una ecuación de cada una de las condiciones a
continuación y traza la gráfica al identificar todas las asíntotas e intercepciones. Corrobora tu
respuesta con una calculadora gráfica.
a) Refleja la gráfica por el eje de x.
b) Refleja la gráfica por el eje de y.
c) Desliza la gráfica tres unidades hacia arriba y desliza la gráfica cuatro unidades a la derecha.
d) Refleja la gráfica por el eje de x, luego deslízala dos unidades a la derecha.
2. Traza la gráfica en el mismo conjunto de ejes: f(x) = 2 x y g(x) = log2 x. ¿Cuál es la relación entre f(x) y
g(x)?
3. Completa la tabla a continuación:
f(g(x)) = f(x) g(x) Dominio de f(g(x)) Dominio de f Dominio de g
1. ln(x 2 -4)
2. e |x|
3. (1 – lnx) 2
4.
1
2 x
4. ¿Cuáles de las funciones compuestas en la tabla anterior son pares, impares o ninguna? ¿Cómo lo
sabes?
5. ¿Cuáles de las funciones en la tabla tienen una inversa que sea una función? Justifica tu respuesta.
1
6. Halla f ( x)
para la(s) función(es) que tenga(n) una inversa.
Fuente: http://doe.louisiana.gov/topics/comprehensive_curriculum.html “Advanced Math Pre Calculus”
“09 AM_PreCalc_U3_BLM.doc” 1326

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
Las funciones y sus inversas
En esta tarea, nos centraremos en hallar las inversas de algunas de las funciones que has estudiado hasta este
punto. Para poder entender las ideas relacionadas con las inversas, responderemos a varias preguntas críticas:
¿Qué se quiere decir con la composición de dos o más funciones?
¿Cuál es la relación entre una función y su inversa?
¿Cuál es el procedimiento que utilizamos para hallar la inversa de una función dada?
¿Cómo probamos que dos funciones son la inversa una de la otra?
¿Cómo están las gráficas de las funciones inversas relacionadas?
¿Cuáles funciones tienen inversas?
Comenzaremos con Marcos y su novia Sidney. Tanto Marcos como Sidney necesitan celular nuevo. El proveedor de
celulares cerca de su escuela está dando un descuento de 15 % en teléfonos para estudiantes que traigan un
cupón del periódico escolar.
El sábado que Sidney y Marcos van a comprar sus teléfonos se enteran de que la compañía de celulares está dando
también un reembolso de $35 en el momento a cualquier cliente que compre un teléfono con pantalla táctil ese
día.
1. Supón que x representa el precio original de un teléfono con pantalla táctil.
a. Escribe una función P(x) que represente cuánto pagaría un cliente por un teléfono con pantalla táctil
después del reembolso de $35.
b. Escribe una función D(x) que represente cuánto pagaría un cliente por un teléfono con pantalla táctil si
obtienen un descuento de solo 15 %.
2. Sidney sabe exactamente cuál teléfono quiere. Entra a la tienda, coge el teléfono y va directamente a la caja
para pagar. Una vez el cajero aplica el reembolso de $35, Sidney le entrega el cupón de estudiante de 15 % de
descuento, que el cajero también aplica a la compra.
a. Escribe una función H(x) que represente cuánto pagó Sidney por su teléfono.
b. Para determinar cuánto pagó Sidney por su teléfono, el cajero primero aplicó la función P(x), escrita en la
Parte 1a, y luego aplicó el resultado de P(x) a la función D(x) escrita en la Parte 1b. A este proceso, en el
que se usa el valor de salida de una función como valor de salida de otra, se le denomina composición de
dos funciones. En este caso H(x) es la composición de las funciones D y P. Hay dos notaciones distintas
para las composiciones de funciones. Podemos escribir esta composición como o como
En otras palabras, .
Supón que el precio original del teléfono de Sidney era $99. Halla P(99)P(99) y luego D(P(99)).
¿Cuánto pagó Sidney después del reembolso y el descuento de 15 %?
Usando la función que escribiste en la Parte 2ª, halla H(99). ¿Obtuviste la misma cantidad?
3. Marcos finalmente elige un celular. Lo lleva a otra caja. Le entrega al cajero el cupón de estudiante, y el cajero
lo aplica a la venta. Entonces le recuerda al cajero que se trata de un teléfono con pantalla táctil y pide el
reembolso de $35.
a. ¿En qué forme difiere la forma en que Marcos pagó su teléfono de la forma en que lo hizo Sidney?
b. Escribe una función F(x) que represente la cantidad de dinero que Marcos pagó por su teléfono.
c. Representa F(x), usando ambas notaciones, como la composición de dos funciones D y P. ¿Cómo difiere
esta composición de H(x), la cantidad que pagó Sidney?
d. El costo original del teléfono de Marcos también era de $99. ¿Cuánto pagó él por su teléfono?
e. Compara las cantidades que pagaron Marcos y Sidney por sus teléfonos. Con esta comparación en mente,
¿qué puedes afirmar sobre la composición de dos funciones?
Consideremos otro ejemplo de la composición de funciones.
1327

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
4. Aisha necesita hacer una gráfica de datos de temperatura experimentales para un proyecto científico. Ya
ha medido todas sus temperaturas en grados Farenheit, pero la maestra quiere que ponga los datos en
kelvins.
a. Aisha halló la siguiente ecuación para convertir de grados Farenheit a grados Celsios:
, donde x representa los grados en Farenheit y C(x) representa los grados en
celsios.
Utiliza esta fórmula para convertir el punto de congelación (32 ˚F) y el punto de ebullición (212 ˚F) a
grados celsios.
b. Aisha también halló la siguiente función para convertir los grados celsios a kelvins:
, donde x representa los grados celsios y k(x) representa los kelvins.
Utiliza esta fórmula y los resultados de la parte a para expresar el punto de congelamiento y de
ebullición en kelvins.
c. Utiliza las fórmulas de la parte a y la parte b para convertir lo siguiente a kelvins: -238 ˚F, 5000 ˚F.
d. Escribe la función h(x) = K(c(x)). ¿Qué representa x en esta función? ¿Qué representa h(x)?
e. Utiliza un función h(x) para convertir -238 ˚F y 5000 ˚F a kelvins. ¿Se corresponden tus resultados con
lo que obtuviste en la parte c?
En los ejemplos anteriores, exploraste la operación de funciones llamada composición de funciones.
La composición de funciones se define de la siguiente forma: si f y g son funciones, la función compuesta f ∘ g
(léase esta notación “f composición g”) es la función que tiene la fórmula (f ∘ g) (x) = f(g(x)), donde x está en el
dominio de g y g(x) está en el dominio de f.
Ahora permitamos que Aisha, y otros, nos ayuden a responder a nuestras próximas tres preguntas críticas:
¿Cuál es la relación entre una función y su inversa?
¿Cómo probamos que dos funciones son inversas una de la otra?
¿Qué procedimiento usamos para hallar la inversa de una función dada?
Resulta ser que el proyecto de Aisha fue seleccionado para competir en una feria científica del distrito escolar. Sin
embargo, los jueces le han hecho una sugerencia: que exprese las temperaturas en grados celsios en vez de
kelvins. (A Aisha le encantaría que se pusieran de acuerdo.)
5. Recuerda que para convertir de grados celsios a kelvins, usamos la función K(x) = x + 273, donde x representa
los grados celcios y K(x) representa los kelvins. Supón que escribimos esa función como la fórmula K = C + 273.
a. Halla una fórmula de C en términos de K. ¿Qué te dice la fórmula?
b. Escribe una función C de forma tal que C(x) sea la temperatura en celsios correspondiente a una
temperatura x en kelvins.
c. Explica textualmente el proceso de conversión de grados celsios a kelvins. ¿Expresan la misma idea la
ecuación K =C + 273 y la función K(x) = x + 273?
d. Explica de forma verbal el proceso de conversión de kelvins a grados celsios. ¿Expresan la misma idea tu
fórmula de la parte a y la función c de la parte b?
e. Calcula la función compuesta (C ∘ K)(x), y simplifica tu respuesta. ¿Cuál es el significado de x cuando
utilizamos x como entrada de esta función?
Al tomar las composiciones de las funciones K y C en las Partes 5e y 5f, comenzamos con un número de entrada,
aplicamos una función y luego usamos la salida a partir de la primera función como entrada para la otra función.
En cada uno de estos casos, ya sea que hayamos calculado (C ∘ K)(x) ó (K ∘ C)(x), la salida final era el número de
entrada inicial. Tus cálculos muestran que esto ocurre con cualquier opción del número de entrada x. Es por esta
relación especial entre C y K que se le llama inversa de la función K (o viceversa, K es la inversa de C) a la función
C, y usamos la notación K -1 (léase “inversa de K”) como otro nombre para la función C.
La definición precisa de las funciones inversas es: si f y h son dos funciones de forma tal que
(h∘ f)(x) = h(f(x)) = x para cada entrada x en el dominio de f,
1328

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
y
(f∘ h)(x) = f(h(x)) = x para cada entrada x en el dominio de h,
entonces h es la inversa de la función, y escribimos h = f -1 . Además, f es la inversa de la función h, y podemos
escribir f =h -1 .
Fíjate en que la notación de las funciones inversas se parece a la notación de recíprocas, pero en la notación de
funciones inversas el exponente “-1” no indica una recíproca.
6. Cada una de las siguientes describe la acción de una función f en una entrada de número real cualquiera. Para
cada parte, describe en palabras la acción de la función inversa, f -1 , en cualquier entrada de número real.
Recuerda que la acción compuesta de dos funciones debe devolvernos la entrada original.
a. Acción de la función f: réstale diez a cada entrada
Acción de la función f -1 :
b. Acción de la función f:súmale dos tercios a cada entrada
Acción de la función f -1 :
c. Acción de la función f:multiplica cada entrada por un medio
Acción de la función f -1 :
d. Acción de la función f:multiplica cada entrada por tres quintos y súmale ocho
Acción de la función f -1 :
7. Por cada parte de la Parte 6, escribe una regla algebraica para la función y verifica que a partir de las reglas se
obtenga la relación inversa correcta al demostrar que f -1 (f(x)) = x y f (f -1 (x)) = x por cualquier número real x.
Antes de proceder, hay que señalar que hay muchas funciones que no tienen una función inversa. Aprenderemos
cómo probar estas funciones para ver si tienen una inversa más adelante en esta tarea. Por ahora, nos
centraremos en las funciones que tienen inversa. Una función que tiene una función inversa se llama invertible.
8. En las tablas a continuación se proveen valores seleccionados para una función f y su función inversa f -1 .
a. Utiliza los valores dados y la definición de función inversa para completar ambas tablas.
x f(x)
11
3 9
7
10
15 3
x f -1 (x)
3
5 10
7 6
3
11 1
b. Por cualquier punto (a, b) en la gráfica de f, ¿cuál es el punto correspondiente en la gráfica de f -1 ?
c. Por cualquier punto (b, a) en la gráfica de f -1 , ¿cuál es el punto correspondiente en la gráfica de f? Justifica
tu respuesta.
Como has podido ver al trabajar en la pregunta 8, si f es una función invertible y a es la entrada de la función f con
la que se obtiene la salida b, entonces b es la entrada de la función f -1 con la que se obtiene a como salida. Por el
contrario, si g es una función invertible y b es la entrada de la función f -1 con la que se obtiene a como salida,
entonces a es la entrada de la función f con la que se obtiene b como salida. Estipulado formalmente con la
notación de función obtenemos la propiedad siguiente:
1329

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
Propiedad de la función inversa: por cualquier función invertible f y cualquier número real a y b en el dominio y
recorrido de f, respectivamente,
f(a) = b si y solo si f -1 (b) = a.
9. Una vez Aisha había convertido las temperaturas en el artículo científico de kelvins a celsios, decidió, solo
como referencia propia, calcular la temperatura Fahrenheit correspondiente a la temperatura en celsios.
a. Utiliza la fórmula para hallar una fórmula para convertir las temperaturas en la otra
dirección, de una temperatura en grados celsios a la temperatura correspondiente en grados Fahrenheit.
b. Ahora, sea , la función con la que se obtiene la temperatura en grados celsios de
cualquier temperatura dada de x grados Fahrenheit. ¿Qué se obtendría de la inversa de la función C?
Utiliza la fórmula que hallaste en la parte a para ayudarte a hallar una fórmula de .
c. Corrobora que, para las funciones y de la parte b, por
cualquier número real x.
En la pregunta 9, se ilustra el proceso algebraico general para hallar la fórmula de la función inversa cuando nos
proveen la fórmula de la función original. Este proceso se centra en la idea de que solemos representar las
funciones usando x para la entrada y y para las salidas y se aplica la propiedad de función inversa.
Veamos otro ejemplo.
10. Supón que María cobra un costo fijo de $10 más $9 por hora por cada vez que trabaja de niñera. La función
nos da la cantidad de dinero que ganaría María por x horas de cuidar niños.
a. ¿Qué nos diría la inversa de esta función?
b. Para hallar , escribimos la función como y resolvemos para x. Esto nos da
. La propiedad de función inversa nos dice que la salida de f se convierte en la entrada . Por
lo tanto, escribimos la ecuación como la inversa de f usando x para representar nuestra entrada
y o y para representar nuestra salida.
c. Halla y explica qué significa.
d. Determina el dominio y recorrido de la función que sirve de modelo para lo que cobra María por
cuidar niños.
e. Determina el dominio y recorrido de en el contexto de lo que cobra María por cuidar niños.
f. En general, ¿cuáles son las relaciones entre los dominios y recorridos de una función invertible y su
inversa? Explica tu razonamiento.
g. Recuerda que probamos que dos funciones son inversas al verificar que
Demuestra que y en esta parte son inversas.
En los próximos ejercicios exploraremos otro asunto crítico: cómo se relacionan las gráficas de funciones inversas.
1330

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
11. Por cada parte a continuación, utiliza un estándar, una pantalla de gráfica cuadrada con y
.
a. Para las funciones en el ejercicio 6, parte a, traza la gráfica , y la línea en los mismos ejes.
b. Para las funciones en el ejercicio 6, parte c, traza la gráfica , y la línea en los mismos ejes.
c. Para las funciones en el ejercicio 6, parte d, traza la gráfica , y la línea en los mismos ejes.
d. Si se trazaran las gráficas en un papel y se doblara este por la línea , ¿qué ocurriría?
e. ¿Piensas que obtendrías el mismo resultado con la gráfica de cualquier función f y su inversa si se trazaran
en los mismos ejes usando la misma escala en ambos ejes? Explica tu razonamiento.
12. Considera la función
a. Halla la función inversa algebraicamente.
b. Traza una gráfica precisa de la función f en papel cuadriculado y usa la misma escala en ambos ejes.
c. ¿Qué sucede cuando doblas el papel por la línea y = x? ¿Por qué ocurre esto?
Finalmente, miremos nuestra última pregunta: ¿cuáles funciones tienen inversa y cuáles no?
Para investigar esta pregunta, compararemos dos relaciones muy simples: y . Recordemos que
para que cualquier relación sea una función, debe ser cierto que por cada elemento del dominio, haya un
elemento pareado exactamente en el recorrido. Al observar las gráficas de estas funciones, y al usar la prueba de
la línea vertical, podemos ver rápidamente que ambas relaciones son también funciones: por cada entrada hay
exactamente una salida.
1331

Unidad PC. 1: Funciones y gráficas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Las funciones y sus inversas
Tabla 1:
x 3x
3 9
2 6
1 3
0 0
-1 -3
-2 -6
-3 -9
Tabla 2:
x X 2
3 9
2 4
1 3
0 0
-1 -3
-2 4
-3 -9
13. Sea y .
a. Usa los valores de la tabla 1 y lo que has aprendido hasta ahora para hacer una tabla de valores que
corresponda a los de una relación inversa para f.
b. En los mismos ejes de coordenadas que arriba, traza una gráfica que corresponda a la de una
relación inversa para f.
c. ¿Representan una función los pares ordenados de tu tabla de la parte a y la gráfica de la parte b? Justifica
tu respuesta.
d. Utiliza los valores en la tabla 2 para hacer una tabla de valores que corresponda a los de una relación
inversa para g.
e. En los mismos ejes de coordenadas que arriba, traza una gráfica que corresponda a la de una
relación inversa para g.
f. ¿Representan una función los pares ordenados de tu tabla de la parte d y la gráfica de la parte e? Justifica
tu respuesta.
A partir de tus respuestas del ejercicio 13, es posible que hayas notado que aunque f y g son funciones (por cada
entrada, hay solamente una solida), hay una diferencia importante en estas dos funciones. En el caso de
, no solo es cierto que por toda entrada hay exactamente una salida, también es cierto que por toda
salida hay exactamente una entrada. Decimos que hay una correspondencia uno a uno entre los elementos en el
dominio y los elementos en el recorrido de esta función. Las funciones para las que hay una correspondencia uno a
uno entre los elementos del dominio y los elementos del recorrido se dice que son funciones uno a uno.
14. Las funciones uno a uno pueden reconocerse rápidamente usando una prueba de línea horizontal.
a. Explica cómo podrías usar una prueba de línea horizontal para determinar si una función es de uno a uno.
¿Por qué funciona esto?
b. ¿Es una función de uno a uno? Justifica tu respuesta.
c. A partir de tu experiencia con el ejercicio 13, ¿cuáles funciones piensas que tienen inversas que también
son funciones? Justifica tu respuesta.
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math%20II%20Unit%205%20TE%20APS%20Supplement_v1.pdf 1332

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales
Cómo calcular los valores de funciones
trigonométricas de ángulos generales
1. Completa la tabla a continuación:
Ángulo
-225 o
570 o
-840 o
675 o
-390 o
780 o
Coterminal
Ángulo
0 - 360 o
Referencia
Ángulo sen cos tan
2. Completa la tabla a continuación:
Ángulo
7
2
11
4
23
6
14
3
23
3
15π
Coterminal
0 - 2π
Referencia
Ángulo
sen cos tan
1333

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Cómo calcular los valores de funciones trigonométricas de ángulos generales
3. En los problemas a continuación, se da un punto del lado terminal de un ángulo θ. Halla el valor
exacto de sen , cos y tan .
a) (4, 3) b) (-3, -3) c) (-1, 0)
4. En los problemas a continuación, identifica el cuadrante en que yace el ángulo θ.
a) sen θ < 0, tan θ > 0 __________________
b) cos θ > 0, csc θ < 0__________________
c) cos θ < 0, cot θ < 0__________________
d) sec θ > 0, sen θ < 0__________________
5. Halla el valor exacto de cada una de las funciones trigonométricas restantes de θ
12
sin , en el cuadrante II
13
a)
4
cos , en el cuadrante III
5
b)
cos tan sec csc cot
sen tan sec csc cot
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 1334

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno
¿Cómo hallo los lados y ángulos desconocidos en los triángulos no
rectángulos?
Ley del coseno
Cuándo usar la ley del
coseno
Cómo hallar lo que no se
sabe
Lados y ángulos de los
triángulos no rectángulos
Práctica de la ley del coseno
Ejemplo 1: Si en un triángulo ABC, a=17, b=20, c=25 halla A.
Ejemplo 2: En un triángulo ABC, a=8, c=7, ángulo B=131°. Halla b y el ángulo C.
Ley del seno
Cuándo usar la ley del seno
1335

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Leyes del seno y coseno
Ahora hazlo tú
En cada caso, resuelve el triángulo ABC (halla los valores que faltan):
a) a=3, b=5, c=6 b) a=17, b=13, ángulo C=53°
Práctica de cómo usar la lay del seno
Ejemplo 1: Resuelve el triángulo ABC si a=45, el ángulo A=97°, y el ángulo B=24°.
Ahora hazlo tú
En casa caso, resuelve el triángulo ABC (halla los valores que faltan):
a) b=11, A=72°, B=29° b) b=1.92, c=0.778, B=115°
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf 1336

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Notas de demostración para el maestro de “Sigue a la gráfica”
Utiliza las ecuaciones siguientes para demostrarles a los estudiantes cómo se usan las calculadoras
gráficas. Asegúrate de discutir con ellos los efectos de los cambios en los parámetros una vez hayan
trazado la gráfica de cada ecuación.
La ecuación general de una parábola es y = a(x + b) 2 + c.
Traza la gráfica de y = x 2 . Esta es nuestra función de parábola básica.
Ahora observemos lo que sucede si cambiamos el valor del parámetro a.
Traza la gráfica de y = 4 x 2 .
Traza la gráfica de y = ¼ x 2 .
Traza la gráfica de y = -2x 2 .
¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro a en la gráfica de la parábola?
Ahora observemos lo que ocurre cuando cambiamos el valor del parámetro c.
Traza la gráfica de y = x 2 + 4.
Traza la gráfica de y = x 2 + .5
Traza la gráfica de y = x 2 – 3.
¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro c en la gráfica de la parábola?
Ahora observemos lo que ocurre cuando cambiamos el valor del parámetro b.
Traza la gráfica de y = (x + 4) 2 .
Traza la gráfica de y = (x + ½ ) 2 .
Traza la gráfica de y = (x– 2) 2 .
¿Qué podemos concluir sobre el efecto del parámetro b en la gráfica de la parábola?
Hoy vas a investigar las gráficas de funciones trigonométricas y los efectos que un simple cambio
pequeño en el parámetro puede tener sobre la gráfica. Para comenzar, trazarás la gráfica de lo que
llamamos la función trigonométrica básica. A continuación, examinarás los valores de diferentes
1337

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
variables (parámetros). Escribe cada ecuación antes de trazar la gráfica. Asegúrate de incluir algunas
fracciones, así como enteros, y de trazar la gráfica de cada cambio con un lápiz de color en la cuadrícula
provista.
Comencemos por la función de seno. Por lo general, tenemos y = c + a sen b(x+d).
Traza la gráfica de y = sen x.
Esta es la curva de seno básica. A medida que cambias cada parámetro, fíjate
en cómo se diferencia la nueva gráfica de la curva básica.
Ahora observemos y = a sen x. Escoge tres valores distintos para a y traza la gráfica de las
ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la gráfica provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro a.___________________________________
________________________________________________________________________
¿Qué sucede si a es un número negativo? ______________________________________
1338

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Ahora observemos y = c + sen x. Escoge tres valores distintos para c y traza la gráfica de
las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la cuadrícula provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro c.___________________________________
________________________________________________________________________
¿Qué sucede si c es un número negativo? ______________________________________
Ahora observemos y = a sen bx. Escoge tres valores distintos para b y traza la gráfica de las ecuaciones.
Haz tus gráficas con lápices de colores distintos en la gráfica provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro b.__________________________________
________________________________________________________________________
¿Qué sucede si b es un número negativo? ______________________________________
Ahora observemos y = sen (x + d) donde d es un múltiplo de π. Escoge tres valores distintos
para d y traza la gráfica de las ecuaciones. Haz tus gráficas con lápices de colores distintos
en la cuadrícula provista.
Describe el efecto de cambiar el parámetro d.__________________________________
________________________________________________________________________
1339

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
¿Qué sucede si d es un número negativo? ______________________________________
Usando una calculadora gráfica, repite el procedimiento anterior con la función de coseno, la función de
tangente, la función de secante, la función de cosecante y la función de cotangente. Una vez lo hagas,
generaliza lo que has aprendido sobre los efectos de los cambios en cada parámetro en el espacio
provisto a continuación.
Halla la amplitud de cada uno de los siguientes.
_____________ 1. y = 3 + 2 sen (x-π)
_____________ 2. y = -1/2 – 5 cos (2x + 4π)
1340

Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Halla el periodo de cada uno de los siguientes.
_____________ 3. y = 3 tan 2x
_____________ 4. y = - sen(3x + 2π)
_____________ 5. y = 2 + 3 sec (x - π)
Halla el deslizamiento vertical de cada uno de los siguientes.
_____________ 6. y = 2 + csc ( x + 7)
_____________ 7. y = cot(x) – 6
_____________ 8. y = – 4 sen 3(x - π)
Halla el deslizamiento de fase de cada uno de los siguientes.
_____________ 9. y = 2 + 4 sen 8(x - π)
_____________ 10. y = - – 3 tan (2x + 3π)
_____________ 11. y = cos (4x - 6π)
Discute la gráfica de cada una de las funciones siguientes. Asegúrate de mencionar el periodo, la
amplitud, el deslizamiento vertical o el cambio de fase, según corresponda. Traza la gráfica de la función.
No usas la calculadora gráfica.
_____________ 12. y = 3 + 2 sen (x - π)
_____________ 13. y = - 1 + ½ sec (2x + π/2)
Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
1341

¿Cómo se ve una identidad?
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
(1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x) 2
2 sen x = 1 - 5 sen x
1. Utiliza los dos ejemplos anteriores y una calculadora gráfica para determinar si el enunciado es una
condición o una identidad.
a. En primer lugar la identidad: (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x) 2 . Pídeles a los estudiantes que
consideren cada lado de la ecuación como una función: f (x) = (1 - cos x) (1 + cos x) y g (x) = (sen
x) 2 . El enunciado original es una identidad, porque estas dos funciones producen el mismo
resultado para cada valor de x. ¿Cómo podemos demostrar esto con una calculadora gráfica?
(Grafica ambas funciones para demostrar que son equivalentes para todos los valores de x.)
b. Ahora haz lo mismo con el condicional: 2 sen x = 1 - 5 sen x. Cuando se representan
gráficamente las dos funciones, verán que hay dos gráficas distintas que solo se intersecan
ocasionalmente. (Señala que, debido a que ambas son periódicas, habrá múltiples soluciones
periódicas. Esto se trabajará más adelante en la lección 3.)
2. Resume las tres formas que han utilizado para verificar si los enunciados son identidades: (1)
mediante la conexión de los números (no es una prueba concluyente de que un enunciado sea una
identidad, pero si se trabaja con un par de números al azar, es una apuesta bastante buena de que
es ...), (2) algebraicamente usando las identidades trigonométricas y la simplificación, y (3)
gráficamente.
3. Dales a los estudiantes ejemplos de libros de texto en los cuales se les pida verificar las identidades
o averiguar si los enunciados son condicionales. Pídeles que utilicen los tres métodos.
4. Finalmente, después de haber practicado lo suficiente, rétalos a crear ejemplos sencillos similares a
los tipos de problemas que han estado haciendo. Sugiéreles que trabajen en retroceso, tomando
ideas de los problemas que ya han realizado.
5. Después de confirmar que las identidades que han creado son correctas utilizando los tres
acercamientos, se deben emparejar y trabajar con los ejemplos de los demás.
Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
1342

¿Cuál es la pregunta?
Unidad PC.2: Aplicación de las funciones trigonométricas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Sigue a la gráfica
Se les darán soluciones a los estudiantes y se les pedirá que determinen las ecuaciones. Crearán
problemas tanto sencillos como difíciles para cada solución y comprobarán si están correctas con una
calculadora gráfica.
1. Dales a los estudiantes la solución x = /4. ¿Cuántas ecuaciones simples pueden obtener que tengan
esto como solución? Dales a los estudiantes unos cuantos minutos para que piensen en algunas
ideas, y luego recoge algunas de ellas y ponlas en la pizarra para discutirlas. ¿Cuántos olvidaron
limitar el dominio? (Por ejemplo, tan x = 1 es solo parcialmente correcta —también debe restringirse
el dominio—; una opción es que x debe estar en el primer cuadrante.)
2. Ahora haz que intenten lo siguiente (todas las respuestas en radianes):
a. x = 0 .276
b. x = / 6 + ( ) n
c. x = / 6 + ( ) n, / 6 + ( ) n
d. (más difícil) x = 0,256, 1,256
3. Dales tiempo para que lo trabajen en parejas. Sugiéreles que repasen otros conjuntos de problemas
pasados e intenten crear problemas al revertir los pasos de la resolución de los problemas.
4. Para problemas con múltiples soluciones, sugiéreles que repasen el deslizamiento de periodo y fase
de las funciones trigonométricas.
5. Una vez que hayan generado problemas, pídeles que los intercambien con otras parejas e intenten
hallar soluciones tanto de forma gráfica como algebraica.
6. Finalmente, deben escoger un par de sus ecuaciones y hacerlas más difíciles usando identidades
trigonométricas. De nuevo, pídeles que hagan sus problemas más difíciles al "desimplificarlos".
Fuente: Desarrollado por Debbie Lloyd, Vernon High School, Washington County
1343

Identidades más complejas
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Identidades más complejas
¿Cómo podemos probar que las identidades son ciertas? Los estudiantes recibirán instrucciones directas
de cómo usar las identidades trigonométricas básicas para verificar que un enunciado es, en efecto, una
identidad. Tendrán también la oportunidad de usar las mismas competencias para llegar a la conclusión
de que un enunciado no es una identidad, sino un enunciado condicional.
1. Tomando en consideración las siguientes identidades:
A. 1 + (tan x) 2 = (sec x) 2
B. sen x = cos ( / 2 - x)
C. (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x) 2
D. 2 sen x = 1 - 5 sen x
2. A y B son simplemente enunciados de las identidades que aceptamos como un hecho. C siempre es
cierto, pero no es una identidad simple, y D no es una identidad. Discutan: ¿Cómo podemos
diferenciar, por ejemplo, entre C y D?
3. Dales un ejemplo que los estudiantes hayan visto anteriormente, en los cuales no sea obvio que se
está buscando una identidad o una condición. La clave es simplificar el enunciado: si todos los
términos se cancelan, entonces no importa lo que pongas en la x, siempre será cierto (la identidad).
Con el álgebra por ejemplo, usamos nuestras cuatro operaciones básicas y las propiedades de la
igualdad para ver si el enunciado es una identidad o una condición. En trigonometría, se utilizan los
conceptos básicos del álgebra, junto con nuestras identidades.
4. Simplifica (1 - cos x) (1 + cos x) = (sen x) 2 junto con la clase y, con la ayuda de la identidad de
Pitágoras, demuestra que es cierto para todos los valores de x. Simplifica: 2 sen x = 1 - 5 sen x y
demuestra que solo es cierto para los valores del ángulo x que tienen el valor específico de 1/7 para
el seno. (No es necesario que esuelvas para x, esto se atenderá más adelante en la unidad.)
5. Dales ejemplos de libros de texto para que los estudiantes practiquen el uso de las identidades
trigonométricas para simplificar expresiones y corroboren si es una identidad o un enunciado
condicional.
Fuente: www.curriculumframer.com 1344

Coordenadas polares
Parte 1:
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Coordenadas polares
Los estudiantes trazan la gráfica de un conjunto de puntos equidistantes del origen; se les pide que
observen lo que estos tienen en común. ¿Cómo podemos distinguir entre ellos sin usar las coordenadas
cartesianas? ¿Cómo podemos describir una forma de hallar cada punto sin usar coordenadas
cartesianas? ¿Cómo podemos rotularlos?
1. Pídeles a los estudiantes que tracen la gráfica de (0, 5), (3, 4), (-4, 3), (-5, 0) y (1, raíz cuadrada (24)).
2. Pídeles que se dividan en grupos o parejas para reflexionar sobre lo siguiente:
a. ¿Qué tienen en común estas gráficas? (Todas están a exactamente 5 unidades del origen.)
b. ¿Cuántos puntos tienen esta cualidad? (Un número infinito de puntos.)
c. ¿Qué es único de cada uno de los puntos con esta cualidad? (El ángulo que se forma con el eje
de x.)
d. ¿Cómo podríamos usar esto para señalar ubicaciones en el espacio? (Para identificar puntos por
distancia del origen y ángulo formado con ejes de x positivos.)
3. Facilita una discusión en clase: ¿cómo podrías decirle a alguien cómo llegar a un lugar en una
ciudad? (Ej. cinco cuadras al este, tres cuadras al norte, igual que en el sistema de coordenadas
cartesianas.) ¿Cómo le dirías a alguien cómo llegar a un lugar en el mar? (Por ej., navega en línea
recta una distancia específica en un rumbo específico, al igual que en la polar.)
Parte 2:
Se les darán instrucciones a los estudiantes sobre las coordenadas polares, como trazar la gráfica de
puntos en coordenadas polares usando una regla y un transportador, y convertir entre coordenadas
polares y cartesianas.
4. Utiliza la actividad anterior para introducir las coordenadas polares. Hay más de una forma de
señalar una ubicación, o describir cómo llegar a alguna parte. Se han pasado todas las clases de
matemáticas de escuela superior describiendo ubicaciones en el espacio bidimensional en términos
de cuán lejos se encuentra el punto del origen en pasos a la izquierda versus pasos a la derecha y
arriba versus abajo. En la vida real, esto solo se haría si nos viéramos obligados a hacerlo, como nos
lo exigen los edificios en las calles. Resulta mucho más eficaz describir las direcciones "a vuelo de
pájaro". Recuerda, el trayecto más corto entre dos puntos es una línea recta.
5. Identifica las variables comúnmente usadas para r para la distancia hasta el origen, y la letra griega
zeta para el ángulo formado por el eje positivo x. No les des simplemente los datos de conversión
entre las coordenadas rectangulares y polares: haz un diagrama en la pizarra y rétalos a que utilicen
1345

Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Logaritmos comunes
lo que saben de trigonometría para generar los datos clave: x = r cos (zeta), y = r sen (zeta), x 2 + y 2 =
r 2 , y tan(zeta) = y/x.
6. Repasen los ángulos coterminales que se encontraron en la Unidad 1; ¿qué efecto tienen en esta
nueva forma de señalar ubicaciones en el plano? (Nombres múltiples.) Introduce además la idea del
radio negativo, con lo cual se añaden más opciones de denominación.
7. Dales a los estudiantes gráficas de relaciones que sean fáciles de trazar en ambos sistemas, como los
círculos centrados en el origen, y las líneas rectas que pasan por el origen. A partir de las imágenes,
pídeles que generen ecuaciones en ambos sistemas. Haz hincapié en la interpretación. Por ejemplo,
r = 5 es una excelente forma de describir un círculo y se corresponde de forma precisa con la
definición de un círculo: "todos los puntos se encuentran a una distancia fija, de 5 unidades, del
origen". Y la ecuación zeta = /4 es una forma muy eficaz de describir los puntos de la línea con
pendiente = 1 por el origen.
8. Haz la conversión entre las dos formas con álgebra usando los datos de conversión anteriores.
Incluye ejemplos en que la polar no sea necesariamente una forma conveniente de expresar la
relación. Por ejemplo, la cuadrática y = x 2 + 2x - 3 puede convertirse en polar introduciendo los datos
de conversión, pero no se simplifica a una expresión simple como los círculos anteriores centrados
alrededor del origen y las líneas que pasan por el origen. Explica que la polar es mejor para algunas
gráficas que otras, y una vez dominen lo básico, se les expondrá a gráficas que se expresan mucho
mejor en coordenadas polares que en rectangulares.
9. Provéeles una oportunidad de practicar lo básico de las polares con ejercicios del libro de texto.
Fuente: www.curriculumframer.com 1346

Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente
Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente
Parte 1:
Dados dos puntos del círculo unitario, se les pedirá a los estudiantes que hallen la distancia de dos
formas distintas, al establecer el acercamiento básico para desarrollar la fórmula para el coseno de la
diferencia entre dos ángulos.
1. En cuanto a reglas y fórmulas pasadas, en vez de presentar la fórmula para luego demostrar una
prueba, se orientará a los estudiantes para que descubran la fórmula por sí solos:
a. Pídeles a los estudiantes que tracen un punto en el primer cuadrante, (a,b), lo conecten con el
origen y le llamen "B" al ángulo que se forma.
b. Pídeles a los estudiantes que tracen un punto en el segundo cuadrante, (c, d), la misma distancia
desde el origen que en el primer punto, y que denominen "A" al ángulo que se crea con el eje
positivo x.
c. Diles que conocen dos formas de representar la distancia entre estos dos puntos. Dales algo de
tiempo para que los determinen y formulen las expresiones (una usando la fórmula de distancia,
la otra por la ley de cosenos.)
d. En este punto, pídeles que expresen todas sus distancias usando funciones trigonométricas y
que igualen los lados. Para asistirlos, haz un diagrama bien rotulado en la pizarra. Sugiéreles que
igualen ambos lados y simplifiquen.
e. El resultado debe ser la fórmula de coseno (A - B). Diles que han establecido una fórmula útil
que relaciona el coseno de la diferencia entre dos ángulos con los senos y cosenos de los
ángulos individuales.
Parte 2:
Se les guiará a los estudiantes paso a paso para elaborar la fórmula de coseno de la diferencia entre dos
ángulos. Se establecerán variaciones de coseno de una suma, y seno de una suma y diferencia usando
identidades previamente establecidas.
1. Repasa la actividad anterior. La regla de coseno de una diferencia es el resultado directo de la
fórmula pitagórica y la ley de cosenos que se estableció en la unidad anterior.
2. Trabaja junto con los estudiantes la elaboración de la fórmula del cos(A+B). Utiliza el patrón ya
establecido para formular una expresión para el cos(A - (B)). Simplifica usando identidades
pares/impares y obtendrás la fórmula del coseno de una suma.
3. Ahora establece la fórmula del sen(A + B) con la ayuda de tus estudiantes. Recuérdales que el sen(A
+ B) = cos( /2 - (A + B)), que puede reexpresarse como cos(( /2 - A) - B). Ahora incluye esto en la
fórmula de coseno de una diferencia, simplifica y obtendrás el seno de una suma.
4. Finalmente, añade (A + (-B)) a la fórmula de seno de una suma. Simplifica y obtendrás la fórmula de
seno de una resta.
1347

Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Fórmulas de suma y diferencia de seno, coseno y tangente
5. Haz hincapié en que todo esto está conectado. Asegúrate de que hayas procedido lo
suficientemente despacio como para que los estudiantes hayan podido digerirlo todo y ver cómo
está interconectado.
6. Provéeles ejemplos del libro de texto para darles la oportunidad de trabajar con estos patrones.
Parte 3:
Se retará a los estudiantes a utilizar la parte 2 y su conocimiento de la relación entre seno, coseno y
tangente para derivar las fórmulas de tangente de la suma o resta de dos ángulos.
1. Reta a tus estudiantes a que utilicen lo que aprendieron en la parte 2 para desarrollar las fórmulas
de tangente de una suma y tangente de una resta. Enfatiza en que no deben regresar a la fórmula
de distancia, sino que deben intentar elaborar lo que quieren a partir de otras identidades.
2. Dales tiempo. Si necesitan ayuda, dales la siguiente pista: "¿Qué identidad sabemos que relaciona la
tangente con las funciones que estudiamos ayer?" (tan x = sen x/cos x)
3. Una vez los estudiantes pongan la razón correcta, diles que la fórmula de tangente de una suma o
resta se formula por lo general en términos de tangentes, no de senos y cosenos. ¿Cómo podríamos
convertir esta expresión a tangentes? (Dales la oportunidad de averiguarlo, pero si les da trabajo
hallar este próximo paso, oriéntalos para que lleguen a la idea de que deben dividir el numerador y
el denominador por (cos A cos B). No lo hagas por ellos; pídeles que dividan cada término y
simplifiquen para producir las versiones finales de las fórmulas de la tangente de una suma o resta.
Fuente: www.curriculumframer.com 1348

A descubrir las identidades
Parte 1:
Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble
Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles que se trata de una identidad.
Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales, asumirán que es únicamente cierta para
ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una solución adivinando y luego verificando sus
hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones "correctas" y discútelas. Continúa dándoles más
ejemplos y termina con una condicional. Lo más probable es que no habrá ningún estudiante que
encuentre accidentalmente una solución de la condicional.
1. Diles a los estudiantes que es hora de hacer un juego rápido para ver quién es el estudiante con más
suerte de la clase. Primero, cada estudiante debe escoger un ángulo cuyos valores trigonométricos
haya memorizado. Diles que no le digan a nadie cuál es su ángulo especial. Pídeles que utilicen la
medida radián para cada comparación más tarde. (Otra cosa que puedes hacer es usar calculadora y
permitirles que escojan cualquier valor del ángulo.)
2. Ahora diles que tienes una ecuación especial cuya respuesta los miembros con suerte de la clase han
adivinado. Escribe lo siguiente en la pizarra: 1 + (tan x) 2 = (sec x) 2 . Pídeles que introduzcan su ángulo
para ver si son la persona con suerte con la solución correcta, pero que no se lo digan a nadie.
3. Ahora, diles que verán unas cuantas más para ver quién tiene más suerte que nadie. Intenta la
siguiente ecuación como segundo ejemplo: sen x = cos ( /2 - x). Intenta esta para la tercera: (1 - cos
x)(1 + cos x) = (sen x) 2 .
4. Finalmente, pídeles que intenten la siguiente como cuarto y último ejemplo: 2 sen x = 1 - 5 sen x.
5. Ahora pregúntales: ¿quién es la persona con suerte? A menos que hayan hecho un error de cálculo,
lo que adivinaron todos debe haber satisfecho las primeras tres identidades, y nadie debe haber
satisfecho con su adivinanza la condicional final. ¿Qué está sucediendo?
6. Entabla una discusión: ¿alguien tiene idea de lo que está pasando? Si nadie recuerda el concepto de
los enunciados condicionales versus las identidades de Álgebra 1, pídeles que consideren las
siguientes dos ecuaciones sencillas de Álgebra 1: 3(2x - 2) - x = 5x – 6, y 3(2x - 2) - x = 4x - 6.
Parte 2:
Con algo de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de
cofunción. Se llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer
observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores trigonométricos de
un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará a los estudiantes a ver la
lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes observarán las identidades de
cofunción por medio de un estudio de las seis funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos
oblicuos del mismo triángulo rectángulo.
1349

Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble
2) Por medio de observaciones y ejemplos sencillos, debes poder hacer que los estudiantes generen las
identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción.
3) Recíprocas: estas son las más sencillas y son el resultado directo de las definiciones de las seis
funciones.
a. Pídeles a los estudiantes que dibujen un triángulo rectángulo con longitudes laterales de 3, 4 y
5, y que el ángulo x esté del lado opuesto del 4.
b. Pídeles que enumeren los valores de las seis identidades trigonométricas del ángulo x en forma
de fracción.
c. Pídeles que se dividan en parejas y observen cuáles pares de funciones trigonométricas usan los
mismos lados. ¿Cómo podemos expresar la relación en forma general? (Por ej., el sen x y el csc x
usan el "4" y el "5", con uno en la recíproca del otro: sen x = 1/(cos).) Confirma que el patrón se
mantenga al observar nuestros datos memorizados usando x, y y t, así como el adyacente, el
opuesto y la hipotenusa.
4) Identidades pares/impares: ahora tendremos que ir al plano cartesiano.
a. Pídeles que usen el mismo ángulo x del problema anterior y que lo pongan en los ejes de x y de
y. Coloquen el ángulo x en el mismo conjunto de ejes.
b. Mencionen los valores de seno, coseno y tangente de ambos ángulos: ¿qué observas? (sen (-x) =
- sen x , etc.)
c. En parejas, los estudiantes deberán discutir lo que ven y probar sus reglas hipotéticas con
ángulos generados al azar en una calculadora.
5) Identidades de cofunción: no son difíciles de ver con el arreglo adecuado:
a. Regresen al primer diagrama y rotulen el segundo ángulo agudo y (el opuesto del lado con
longitud de 3).
b. Ya tienen una lista de los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo x; ahora
pídeles que hagan lo mismo con el ángulo y.
c. Como en ambos casos estamos usando los mismos tres lados, no debe sorprenderles que
obtengamos las mismas seis razones.
d. Pídeles que generalicen el patrón que ven, incluida la relación entre x y y. Oriéntalos de ser
necesario para llevarlos de sen x = cos y hasta t.
Fuente: www.curriculumframer.com 1350

¿Dos centros?
Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – ¿Dos centros?
Los estudiantes crearán un "casi" círculo usando dos tachuelas, cerca una de la otra, y un pedazo de
cordón doble del radio deseado. Después de compararlo con el círculo, harán unos cuantos
experimentos con las tachuelas cada vez más separadas. ¿Cuánto podemos separarlas? A partir de esta
actividad, los estudiantes trabajarán en retroceso para establecer en palabras la regla que usaron
físicamente, y formularán la ecuación correspondiente.
1. Cada estudiante necesitará dos tachuelas, una regla, un cordón de aproximadamente 10 " de largo,
papel cuadriculado y una superficie en que se hunda la tachuela.
2. Haz que los estudiantes hagan un lazo en cada extremo del cordón, de forma que queden a una
distancia de 8”.
3. Coloca el papel en posición horizontal y dibuja los ejes de las coordenadas (el eje x debe ser más
grande que el de y). Rotula los ejes de forma que los enteros estén a 1" de distancia.
4. Pídeles a los estudiantes que coloquen las tachuelas bastante pegaditas entre sí, en (-1, 0) y (1, 0),
anclando los extremos del cordón, y haz que tracen una elipse. (Nota: Tendrán que hacerlo en dos
pasos, uno para la mitad superior y uno para la mitad inferior.)
5. Repite el proceso con las tachuelas en (-3, 0) y (3, 0).
6. Pídeles a los estudiantes que creen un par más por su propia cuenta, con las tachuelas colocadas de
forma simétrica en el eje x sobre el origen.
7. Pídeles que consideren lo siguiente: ¿de qué manera la distancia entre las tachuelas afecta la forma?
¿Cuál es el límite de cuán lejos podemos poner las tachuelas?
8. Pídeles que se enfoquen en la segunda elipse (tachuelas en (-3, 0) y (3, 0)). Coloca un punto en la
elipse, rotúlalo (x, y) para representar un punto general de la elipse, y escribe una ecuación que
relacione el punto (x, y), los dos puntos donde se encuentran las tachuelas y la distancia fija de 8. (Si
necesitan una pista, escribe la fórmula de la distancia en la pizarra.) Diles que esto no parece ser una
ecuación que hayan utilizado anteriormente, sino que es la ecuación de una elipse, que van a
estudiar más adelante.
Fuente: www.curriculumframer.com 1351

Serie aritmética
Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas
Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión aritmética y el término n de una
sucesión aritmética antes de hallar la suma de una sucesión aritmética finita. Los estudiantes entonces
aplicarán una sucesión aritmética finita para resolver un problema del mundo real.
1. Discusión de calentamiento: Comienza considerando un ejemplo de la vida real que genere números
que formen una sucesión aritmética.
Ejemplo: Una pirámide de leños está formada por dos leños en la última fila, cuatro en la penúltima,
seis en la antepenúltima y así sucesivamente, hasta llegar a 200 leños en la última fila de abajo.
a. Pídeles a los estudiantes que saquen el número total de filas de leños.
b. Haz que escriban e interpreten los primeros 10 términos de la sucesión de números generados
por el ejemplo.
c. Pídeles que identifiquen el patrón en la sucesión de números, o sea, que obtengan la "diferencia
común".
d. Haz que obtengan la fórmula del término n de la sucesión y la usen para hallar el número de
leños en, por ejemplo, la fila número 76.
e. Pídeles que computen el número de leños en las primeras 12 filas.
f. Pídeles a los estudiantes que saquen el número total de leños en la pirámide.
Fórmulas que facilitan el problema anterior.
2. Definición formal de una sucesión aritmética. Una sucesión es aritmética si hay un número d,
llamado diferencia común, de forma tal que 1 ,
a a d para 2.
n n
O sea, si comenzamos con un primer término en particular, y luego sumamos el mismo número
sucesivamente, obtenemos una sucesión aritmética.
Ejercicios: Determina si la sucesión es aritmética. Si lo es, halla la diferencia común:
a. 2, 5, 9, 14, 20, …
b. 25, 23, 21, 19, …
1 2 4 5
, , 1,
,
3 3 3 3
c. ,...
d. a 4 3n
n
n
1352

Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas
3. Cómo hallar una fórmula del término n de una sucesión aritmética cualquiera: denota la diferencia
común con d, y escribe los primeros cuatro términos:
a ,
1
a ad, 2 1
a a d ( a d) d a 2d
3 2 1 1
a a d ( a d) d a 3d
4 3 2 1
Pídeles a los estudiantes que afirmen la relación entre el coeficiente de d y el número del
término n para cada caso.
Haz que generalicen una fórmula para el término n de una sucesión aritmética, o sea, que
obtengan el siguiente resultado:
Resultado 1: El término n de una sucesión aritmética está dada por
a a1 ( n 1) d , para cualquier 1
n
Pídeles que utilicen la fórmula para hallar el término n de las sucesiones aritméticas
identificadas en la parte 2 (préstale más atención al ejercicio No. 4).
4. Cómo hallar la fórmula de la suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética cualquiera
por medio de un ejemplo (serie aritmética finita):
Considera la sucesión de los primeros 20 números pares, 2, 4, 6, 8, …,38, 40 (corrobora que
los estudiantes sepan por qué la sucesión es aritmética).
La suma de los primeros 20 términos está denotada por S 20 .
Entonces
S = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 38 + 40
20
Si revertimos el orden de la suma, entonces
S = 40 + 38 + … + 8 + 6 + 4 + 2
20
Si sumamos los términos correspondientes de cada lado de las ecuaciones anteriores,
obtenemos
2 S 20 = (2 + 40) + (4 + 38) + (6 + 36) +… + (38 + 2) + (40 + 2)
= 20(42)
S 20 = 20
2
(2 + 40)
Haz que escriban una fórmula para la suma de los primeros 20 términos de la sucesión
aritmética anterior, o sea, que obtengan lo siguiente:
n
1353

S 20 =
Unidad PC.4: Secuencias, límites y cónicos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series aritméticas
(number of terms in the sequence)
2
(primer término + último término)
Haz que generalicen una fórmula para la suma de los primeros n términos de una sucesión
aritmética, o sea, que obtengan lo siguiente:
Resultado 2: La suma de los primeros términos n de una sucesión aritmética está dada por
Alternativa: 1
n
Sn [2 a ( n 1) d].
(¿Por qúe?)
2
n
Sn ( a1 an)
2
Pídeles a los estudiantes que usen la fórmula para hallar la suma de los primeros 15 términos de
las sucesiones aritméticas identificadas en la parte 2.
Halla la suma
5. Aplicaciones
(número de términos en la sucesión)
300
n1
(2n 5)
.
1. Pídeles a los estudiantes que apliquen las fórmulas anteriores al ejemplo de la parte 1.
2. Consigues un trabajo en el que empiezas a un salario por hora de $16. Te dan un aumento de 25
centavos por hora cada dos meses durante cinco años. ¿Cuál será tu salario por hora al cabo de
los 5 años?
3. Un estudiante ahorra $3 el 1 de agosto, $5 el 2 de agosto, $7 el 3 de agosto, y así
sucesivamente. ¿Cuánto habrá ahorrdo durante el mes de agosto?
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%22%20less
on%20plan&source=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~kolossa%2FTAtrainin
g%2Flessonplans%2Fweek14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_SS4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg1354

Series geométricas
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series geométricas
Los estudiantes repasarán cómo hallar la fórmula de una sucesión geométrica y el término n de una
sucesión geométrica antes de hallar la suma de una sucesión geométrica finita. Los estudiantes
entonces aplicarán una sucesión geométrica para resolver un problema del mundo real.
1. Discusión de calentamiento: Comienza considerando un ejemplo de la vida real que genere números
que formen una sucesión geométrica.
Ejemplo: Una mañana (día 1), tres personas empiezan a circular una carta en cadena por correo
electrónico. Cada una le envía el mensaje a cinco personas más con instrucciones de que el
destinatario reenvíe el mensaje a cinco personas la mañana siguiente. Supón que este proceso
continúa cada mañana sin que se repitan los destinatarios.
a. Pídeles a los estudiantes que calculen el número de destinatarios nuevos del mensaje el día 1,
día 3, día 4 y día 5.
b. Pídeles que identifiquen el patrón en la sucesión de números generados en la primera parte, o
sea, que obtengan la "razón común".
c. Haz que obtengan la fórmula del término n de la sucesión y la usen para calcular el número de
destinatarios nuevos el séptimo día.
d. Pídeles que calculen el número total de personas que han recibido el mensaje los primeros cinco
días.
Fórmulas que facilitan el problema anterior
2. Definición formal de una sucesión geométrica. Una sucesión es geométrica si hay un número r,
llamado razón común, de forma tal que
a
a
n1
n
r, or a a r, for any n 1.
n1n O sea, si comenzamos con un primer término en particular, y luego multiplicamos el mismo
número sucesivamente, obtenemos una sucesión geométrica.
Ejercicios: Determina si la sucesión es geométrica. Si lo es, halla la razón común:
1. 3, 6, 10, 15, …
2. 1, -2, 4, -8, …
1 1 1
3. 1, , , , ...
2 4 8
2 4. an
2
3 n1
para cualquier n≥1
1355

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series geométricas
3. Cómo hallar una fórmula del término n de una sucesión geométrica cualquiera: denota la razón
común con r, y escribe los primeros términos:
a ,
1
a a r,
2 1
a a r ( a r) r a r
3 2 1 1
a a r ( a r ) r a r
2 3
4 3 1 1
2
a. Pídeles a los estudiantes que afirmen la relación entre la potencia de r y el número del término n
para cada caso.
b. Haz que generalicen una fórmula para el término n de una sucesión geométrica, o sea, que
obtengan el siguiente resultado:
i. Resultado 3: El término n de una sucesión geométrica está dado por
ii. an = a1r n-1 , para cualquier n ≥ 1.
c. Pídeles que utilicen la fórmula para hallar el término n de las sucesiones geométricas
identificadas en la parte 2.
4. Cómo hallar la fórmula de la suma de los primeros términos n de una sucesión geométrica (serie
geométrica finita):
Escribe el siguiente resultado y explica los símbolos
Resultado 4: La suma de los primeros términos n de una sucesión geométrica está dada por
1 ( 1) n
a r
Sn , for any r 1.
r 1
a. Pídeles a los estudiantes que usen la fórmula para hallar la suma de los primeros 15 términos de
las sucesiones geométricas identificadas en la parte 2
b. Halla la suma
5. Aplicaciones
30
n1
2 8
5 n1
para cualquier r≠1
a. Pídeles a los estudiantes que apliquen las fórmulas anteriores al ejemplo de la parte 1.Se hace
un depósito de $200 el primer día del mes en una cuenta de ahorros que paga un interés
compuesto de 8 % mensual. ¿Cuál es el balance de la cuenta al cabo de dos años?
1356

6. Series geométricas infinitas
Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Series geométricas
a. Pídeles a los estudiantes que usen una calculadora para evaluar
r = 2
1 y n = 1, 2, 5, 10, 50, y 100.
n
r para
b. Pídeles que hagan una conjetura sobre el valor de r x como n ∞ si | | 1
c. Pídeles a los estudiantes que hallen la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita.
Escribe el siguiente resultado y explica los símbolos
Resultado 5: Cuando | | 1
está dada por
a
S
r 1
1 .
r , la suma de la serie geométrica infinita
Cuando | r | 1,
una serie geométrica infinita no tiene suma.
d. Pídeles a los estudiantes que en parejas:
i. Hallen la suma
ii. Hallen la suma
n1
n0
1 4
2 n1
2 3
3
n
1357
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22adding%20arithmetic%20and%20geometric%20series%
22%20lesson%20plan&source=web&cd=8&ved=0CGgQFjAH&url=http%3A%2F%2Fmath.la.asu.edu%2F~
kolossa%2FTAtraining%2Flessonplans%2Fweek14.doc&ei=FkvqTqeNFeiriQL1nOSzBA&usg=AFQjCNHgI_S
S4rn49Jbmy59_XEAq5K2jeg
r
a a r a r
2
1 2 3 ...
iii. Dibuja cuantro cuadrados adyacentes. El primero debe tener lados con una longitud de 1
unidad, el segundo una longitud de 1/2, el tercero una longitud de 1/4 y el cuarto una
longitud de 1/8.
Calcula el área de cada cuadrado. ¿Se forma una sucesión geométrica?
Calcula el área total de los cuatro cuadrados usando la fórmula adecuada provista
anteriormente.
Si el proceso de sumar cuadrados con la mitad del perímetro del cuadrado anterior
continúa indefinidamente, ¿cuál sería el área total de todos los cuadrados?

Unidad PC.4: Sucesiones, límites y cónicas
Matemáticas
Tarea de desempeño - Mapa de estaciones radiales de Georgia
Mapa de estaciones radiales de Georgia
100 millas = 60 mm
Athens (34,12) Atlanta (0,0)
Macon (24,-38)
distancia Atlanta Athens 36mm
distancia Atlanta Macon 45mm
distancia Athens Macon 48mm
radio de transmisión de las estaciones FM 24mm
Fuente:
http://www.apskids.org/Documents/CCGPS%20Math%20III%20Unit%205%20TEACHER%20edition%20Ja
n%202010v2.pdf 1358

Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Reglas para apagar fuegos
Reglas para apagar fuegos
Los bomberos no dependen por completo de los indicios generados por computadora para controlar
incendios. Existen algunas reglas generales que estos incorporan a sus herramientas a la hora de
predecir cómo se comportará un fuego.
Regla No. 1: Humedad del combustible
Cuando la humedad del combustible está por debajo del 5 %, los fuegos con combustibles tanto ligeros
como pesados se esparcen con igual rapidez. Cuando el nivel de humedad está por debajo de 5 y 10%,
los fuegos de combustible ligero se propagan más rápidamente que los fuegos de combustibles pesados.
A niveles por encima del 10 %, la rapidez de propagación vuelve a ser más o menos igual. Cuando la
humedad del combustible está por encima del 15 %, los fuegos de combustibles ligeros tienden a
extinguirse, mientras que los fuegos de combustibles pesados seguirán esparciéndose.
1. En un solo conjunto de ejes, traza dos gráficas posibles para la rapidez de propagación de los fue con
combustible ligero y pesado. Comparte tu gráfica con otro estudiante. Discutan las diferencias que
haya.
Regla No. 2: Velocidad del viento
Una regla general estipula que la velocidad de propagación, un índice sin dimensiones que mide cuán
rápido se propagará un fuego, se duplicará por cada incremento de 4 metros por segundo (mps) en la
velocidad del viento.
2. ¿Cuál es la naturaleza de la relación entre la velocidad de propagación y la velocidad del viento?
Traza una gráfica posible que relacione la velocidad de propagación con la velocidad del viento.
3. Asume que la velocidad de propagación es de 6 cuando la velocidad del viento es de 0 metros por
segundo. Completa la tabla de valores de la velocidad de propagación. Traza la gráfica de
propagación vs. velocidad del viento.
1359

Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Reglas para apagar fuegos
Velocidad de propagación Velocidad del viento
6 0 mps
28 mps
4. ¿Cuántas millas por hora es 4 metros por segundo? ¿Cuál piensas que es la parte razonable de la
gráfica que acabas de trazar?
Regla No. 3: Pendiente del terreno
Hay varias reglas sobre la velocidad de propagación y la pendiente del terreno en el cual se está
propagando el fuego. Una de ellas sugiere que la velocidad de propagación se duplicará por cada
incremento de 10° en la pendiente. Las discrepancias se dan porque hay otros factores que afectan la
propagación, entre los que se incluye cuán bien comprimido está el lecho del combustible.
5. ¿Cuál es la naturaleza de la relación en esta regla?
6. Utiliza los datos en la tabla siguiente para crear diagramas de dispersión de cada tipo de
combustible distinto. En los diagramas de dispersión, haz una superimposición de las funciones
obtenidas anteriormente. ¿Con cuánta precisión sirven de modelo estas ecuaciones para las reglas
dadas?
PENDIENTE EN GRADOS GRAMA DESECHOS SUELTOS
DESECHOS BIEN
COMPRIMIDOS
0 1.0 1.0 1.0
10 2.3 1.7 1.3
20 6.6 3.8 2.4
30 15.0 8.0 4.5
40 30.1 15.8 8.4
50 60.5 30.8 15.9
60 126.7 64.0 32.6
Fuente: National Council of Teachers of Mathematics http://illuminations.nctm.org 1360

¿Recto o curveado?
Viajes internacionales
Distancia aérea desde la ciudad
de Nueva York en millas
Pasaje de ida y vuelta en dólares
desde Nueva York
Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Recto o curveado
Ciudad de
México
Cairo Londres Toquio Calcuta Moscú Roma
2094 5602 3458 3740 7918 4665 4281
250 750 375 1200 1500 624 520
1. Usando los datos provistos anteriormente, queremos determinar si existe una asociación entre la
distancia aérea recorrida desde Nueva York hasta un destino dado y el costo del pasaje.
a. ¿Cuál es la variable explicativa adecuada para esta situación? Sé específico.
b. ¿Cuál es la variable de respuesta adecuada?
2. Traza un diagrama de dispersión de los datos en papel cuadriculado. ¿Qué escalas viste?
3. Utiliza una herramienta tecnológica para hallar una línea de regresión de cuadrados mínimos para
los datos.
a. ¿Qué nos dice la pendiente de esta línea en el contexto de esta situación?
b. ¿Qué nos dice la intercepción con respecto del eje de y en este contexto?
c. Utiliza tu línea para predecir el costo del pasaje de un vuelo desde la ciudad de Nueva York a
París. La distancia aérea entre Nueva York y París es de 3,636 millas.
d. ¿Cuán fuerte es la asociación lineal entre las variables en esta situación? Explica tu
razonamiento.
4. Copia la línea de regresión en tu diagrama y describe cómo caen los datos sobre la línea.
5. Podemos examinar más de cerca cómo los puntos de datos caen en una curva de regresión (incluida
una línea) al trazar un diagrama de dispersión de los residuales de los datos y del modelo de
regresión.
a. ¿Qué debes utilizar como valores en x de un diagrama de dispersión de los residuales de un
conjunto de puntos de datos?
1361

. ¿Cuáles son los valores en y?
Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Recto o curveado
c. ¿Qué escalas son razonables para este diagrama?
d. ¿Cuál es el residual del punto que implica un vuelo desde Nueva York hasta Londres? ¿Qué
te dice este residual? Sé específico.
e. ¿Cómo se compara este diagrama de dispersión con la gráfica completada en el problema 4
(el diagrama de dispersión de los datos en conjunto con la gráfica de la línea de regresión)?
f. Describe cualquier patrón que veas en el diagrama de los residuales. ¿Qué te dice el
diagrama sobre cuán bien se ajusta la línea de regresión a los datos?
6. Determina la suma de los cuadrados de los residuales de la línea de regresión.
7. Utiliza una herramienta tecnológica para hallar una ecuación de regresión cuadrática para los datos.
a. Traza la función cuadrática en tu diagrama original de los datos.
b. Utiliza tu ecuación cuadrática para predecir el costo del pasaje de un vuelo desde la ciudad de
Nueva York a Paris. La distancia aérea entre Nueva York y Paris es de 3,636 millas.
8. ¿Cuál modelo piensas que mejor se amolda a los datos: el lineal o el cuadrático? Explica tu
razonamiento.
9. Traza un diagrama de dispersión de los residuales de tu ecuación de regresión cuadrática.
a. ¿Cuál es el residual del punto que implica un vuelo desde Nueva York hasta Londres? ¿Qué te
dice este residual? Sé específico.
b. Describe cualquier patrón que veas. ¿Qué te dice el diagrama sobre cuán bien se ajusta la
ecuación de regresión a los datos?
10. Determina la suma de los cuadrados de los residuales de la ecuación de regresión cuadrática. ¿Cómo
se compara este valor con el valor que obtuviste en el problema 6? ¿Qué te dicen estos números?
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf 1362

Regresión lineal
Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Regresión lineal
Los datos a continuación se obtuvieron de la guardia costanera de Florida en Tallahasse, y relacionan el
número de muertes de manatíes (en miles) con la tasa de registro de botes de motor de 1977 a 1994. 331
Tu tarea es determinar si hay una relación lineal entre el número de registros de botes de motor y el
número de manatíes muertos. Tendrás la tarea de hallar la "línea de mejor ajuste" de los datos en la
siguiente tabla. Tendrás que poder explicar por qué el conjunto de datos es lineal.
Año Registro de botes de motor Manatíes muertos
(por milésima)
331 Fuente: Yates, Moore y McCabe. The practice of statistics. W. H. Freeman y compañía, 1999. p.165.
1363

Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Regresión lineal
1. Debajo de Edit Stat, anota los datos de registro y manatíes en las
listas L1 y L2, respectivamente, en tu calculadora gráfica TI-83, y
traza el diagrama de dispersión.
2. Determina la ecuación de la "línea de mejor ajuste" usando
regresión lineal. Utiliza tu tabla para determinar el número predicho
de muertes de manatíes si se registran 900,000 botes de motor.
(Recuerda que la tabla y tu trabajo se han basado en miles de
registros de botes de motor.)
3. ¿Cuál es el coeficiente de correlación que obtuviste? ¿Qué te dice este valor sobre tu línea de
regresión lineal?
4. Construye un diagrama residual (almacena RESID en L4 y haz un diagrama de dispersión usando L1 y
L4). Traza la gráfica a continuación. Asegúrate de rotular tus ejes y hacerlos a escala.
5. Comenta la forma de tu diagrama residual y cómo este se relaciona con tu modelo. ¿Son aleatorios
tus residuales (o sea, no forman un patrón) y pequeños (relativamente cercanos a cero)? En base a
tu respuesta, ¿tu línea de regresión lineal parecer corresponderse bien con los datos? Justifica tu
respuesta.
6. Computa la suma de los cuadrados de los residuales de tus datos. Explica el proceso que llevaste a
cabo para completar esto.
1364
Fuente:
http://www.nsa.gov/academia/_files/collected_learning/high_school/algebra/swinging_pendulum.pdf

Residuales
Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Residuales
1. Se investigarán tres métodos distintos de ajustar líneas a datos: a ojo, determinando las líneas
mediana-mediana, y el método de regresión de los cuadrados mínimos.
• Hacerlo a ojo es simplemente aproximar la ecuación de una línea de mejor ajuste a partir de
la inspección visual de un diagrama de dispersión de los datos.
• La línea mediana-mediana se determina usando las medianas de grupos de los datos.
• La línea de regresión de mínimos cuadrados es la línea que minimiza la suma de los
cuadrados de las distancias verticales entre la línea y los puntos en el conjunto de datos.
a. Usando un escalímetro, determina, a ojo, una ecuación de una línea de mejor ajuste para tu
diagrama de dispersión. Traza la gráfica de tu ecuación en el diagrama de dispersión con un lápiz
de color.
b. Usa las instrucciones provistas por tu maestro para determinar una ecuación de una línea
mediana-mediana de tus datos. Usando un color distinto al que usaste en la parte a, traza la
línea mediana-mediana en tu diagrama.
c. Usa la calculadora para determinar la línea de regresión de los cuadrados mínimos de tu
diagrama. ¿Cuál es el coeficiente de correlación de esta línea? Traza la gráfica de la línea usando
otro color.
2. El residual de cualquier punto en un conjunto de datos es el error de predicción que ocurre cuando
se utiliza una línea de regresión para predecir el valor de y de un valor de x dado. Si el punto del
dato yace por encima de una línea de regresión, su residual está definido como la distancia vertical
entre la línea y el punto. Si el punto del dato yace por debajo de una línea de regresión, su residual
es el opuesto de la distancia vertical del punto a la línea. (Algunas personas se refieren a esto como
la función distancia con signo desde la línea puesto que el residual es positivo cuando el punto del
dato está por encima de la línea y negativo cuando se encuentra por debajo de esta.)
a. En tu diagrama de dispersión, rotula cada uno de los cuatro puntos de datos que representan
los condados en la tabla a continuación con sus pares ordenados.
b. Vuelve a observar la línea de regresión de mínimos cuadrados que obtuviste en la parte 1c.
Marca los puntos en tu línea de mínimos cuadrados correspondientes a los condados en la tabla.
Por cada punto, traza un segmento de línea que represente la distancia vertical desde la línea de
regresión al valor de datos correspondiente en el diagrama de dispersión.
c. Halla los residuales relacionados con la línea de regresión de mínimos cuadrados para los puntos
que representan los cuatro condados en la tabla.
Residuales
Liberty Manatee Hillsborough Palm Beach
1365

Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Residuales
d. Explica qué te dice cada uno de estos residuales.
e. Explica cómo computarías el residual de un punto cualquiera en el conjunto de datos.
La línea de regresión de cuadrados mínimos suele representarse como ŷ = ax + b, donde es el valor
predicho de y para un x dado. Como resultado de la fórmula utilizada para calcular la línea, las siguientes
propiedades se mantienen en el caso de la línea de cuadrados mínimos para cualquier conjunto de
datos:
• La suma de los residuales es 0.
• La línea de regresión incluye el punto
• La línea de regresión minimiza la suma de los cuadrados de los residuales.
• Cada conjunto de datos tiene una línea de regresión de cuadrados mínimos única.
3. Considera que el conjunto de datos no tiene puntos de datos n distintivos.
a. Escribe un par ordenado para el punto de datos No. i.
b. Usando el símbolo de , escribe un par ordenado para el punto en la línea de regresión de
cuadrados mínimos correspondiente al punto de datos No. i.
c. Usando los pares ordenados de las parte a y b, escribe una expresión algebraica para el residual
del punto de datos No. i.
d. En la parte 1, la línea de regresión de mínimos cuadrados se describe como la línea que
minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre la línea y los puntos en el
conjunto de datos. En otras palabras, la línea de regresión de cuadrados mínimos minimiza la
suma de los cuadrados de los residuales. Escribe una expresión algebraica para la suma de los
cuadrados de los residuales de un conjunto de datos con n puntos de datos particulares.
4. Utiliza tu calculadora para comparar la suma de los cuadrados de los residuales de la línea medianamediana
y la línea de regresión de los cuadrados mínimos determinada en la parte 1. ¿Qué hallaste?
¿Cuál línea piensas que parece ajustarse mejor a estos datos? ¿Qué te hace pensarlo?
1366

Unidad PC.5: Modelos de datos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Residuales
Número de votos de 25 condados de Florida en las elecciones presidenciales
Condado
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf 1367

Matemáticas
Mapas Curriculares
Probabilidad y Estadística
1368

Resumen de la unidad
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes calcularán e interpretarán medidas de tendencia central y de
variabilidad. Crearán, compararán y evaluarán diferentes representaciones gráficas de los mismos
datos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las medidas de tendencia central y de variabilidad para crear presentaciones gráficas para
propósitos de análisis y comunicación.
Estándares de contenido y expectativas
Estadísticas
1.0 Recopila y representa los datos e interpreta las medidas de tendencia central y variabilidad.
• Crea, compara y evalúa las diferentes representaciones gráficas de los mismos datos, usando
histogramas, polígonos de frecuencias, funciones de distribución de frecuencias acumulativa,
gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallo y hojas y diagramas de caja.
Calcula y usa la media, mediana, moda, media ponderada, media geométrica, media armónica,
extensión, cuartiles, variación y desviación estándar.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Las medidas de tendencia central y la
variabilidad son formas comunes de comparar
datos.
Las representaciones gráficas comunican los
datos de formas distintas.
Las medidas y representaciones de los datos
pueden alterar su significado.
La información estadística nos ayuda a tomar
decisiones informadas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
Medidas de tendencia central
Variabilidad de los datos
Diferentes representaciones gráficas de los
mismos datos (p. ej., histogramas, polígonos
de frecuencia, distribuciones, funciones de
frecuencias cumulativas, gráficas de pastel,
diagramas de dispersión, diagramas de tallos y
hojas y diagramas de caja)
Preguntas esenciales:
¿Cómo se comparan datos?
¿Por qué se usan ciertas representaciones
gráficas para comunicar hallazgos?
¿Cómo las personas utilizan los datos para
influenciar a otros?
¿Cómo influyen las estadísticas en las
decisiones?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Recopilar y representar los datos e interpretar
las medidas de tendencia central y
variabilidad.
Crear, comparar y evaluar diferentes
representaciones gráficas de los mismos
datos, usando histogramas, polígonos de
frecuencias, funciones de distribución de
frecuencias acumulativa, gráficas de pastel,
diagramas de dispersión, diagramas de tallos y
hojas y diagramas de caja.
Junio 2012 1369

Vocabulario de contenido
Medidas de tendencia central y variación
(cuartiles, desviación estándar, extensión,
media, media armónica, media geométrica,
media ponderada, medidas de tendencia
central, mediana, moda, variabilidad,
varianza)
Representaciones gráficas (diagrama de caja,
diagrama de dispersión, diagrama de tallos y
hojas, distribución, frecuencias cumulativas,
gráfica de pastel, polígono de frecuencia)
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
Proyecto de comida rápida 332
Los estudiantes demostrarán las medidas de
tendencia central y variabilidad al comparar el
tiempo de servicio de tres restaurantes. A medida
que avanzan en el estudio de los conceptos de
tendencia central, variación y posición, los
estudiantes recopilarán pruebas que les permitan
evaluar en cuál restaurante de comida rápida
deben pararse si andan con prisa.
Tarea: Se tomó una muestra de tiempo de servicio
(en segundos) de tres cadenas grandes de
restaurantes de comida rápida.
Los resultados se proveen a continuación (todos
los datos son ficticios).
Burger King McDonald’s Wendy’s
111 109 99
94 84 95
57 93 53
80 123 82
78 97 75
109 56 110
92 79 90
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Calcular y usar la media, mediana, moda,
media ponderada, media geométrica, media
armónica, extensión, cuartiles, variación y
desviación estándar.
Otra evidencia
332 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. En un estudio de una clase de álgebra
avanzada en la Escuela Superior de San
Juan, la clase de 21 miembros reportó el
número de horas por semana que
trabajaron en empleos fuera de la
escuela. Las horas que reportaron son las
siguientes:
10 16 15 12 0 6 19 14 15 6
0 0 10 20 18 24 7 0 12 10 15
a. Determina la media, la moda y la
mediana de los datos.
b. En tu opinión, ¿cuál de las tres
medidas de tendencia central
describe mejor tus datos? Explica tu
razonamiento.
c. Ángela se transfirió a la clase después
de que se hiciera el estudio. Ella
trabajo 19 horas a la semana.
¿Cuánto afecta su presencia a la
media, la mediana y la moda?
2. A continuación se encuentra un conjunto
Junio 2012 1370

34 110 33
67 32 65
122 68 100
95 45 94
46 99 41
1. Define la muestra aleatoria. A partir de la
definición de muestra, describe cómo se
obtuvieron las muestras aleatorias anteriores
de los tiempos de servicio.
2. Clasifica el tipo de datos de los tiempos de
servicio anteriores (cualitativos o
cuantitativos, discretos o continuos), el nivel
de medida asociado a los datos (nominal,
ordinal, de intervalo, razón) y provee las
definiciones de las respuestas que elegiste.
3. Define los términos media, mediana y moda.
Calcula la media, mediana y moda de los
datos de Burger King y muestra tu trabajo. A
continuación, calcula la media, mediana y
moda de cada muestra con una herramienta
tecnológica.
4. Crea un diagrama de caja así como un
diagrama de tallos y hojas de los datos de
Burger King a mano y muestra tu trabajo. A
continuación, crea un diagrama de caja de
cada muestra en la misma cuadrícula y a su
lado un diagrama de tallos y hojas de cada
muestra.
5. Describe la forma de la distribución de cada
muestra, y determina la mejor medida de
tendencia central de cada muestra a partir de
las formas de distribución de tu muestra.
Explica tu razonamiento.
6. Define la desviación estándar. Calcula la
varianza y la desviación estándar de los datos
de Burger King y adjunta tu trabajo.
7. Supón que te da hambre, no tienes
preferencia de comida y necesitas regresar a
casa urgentemente para estudiar para un
examen. ¿Cuál de las tres cadenas de comida
rápida escogerías para satisfacer tu apetito a
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
de puntuaciones de octanos de gasolina
de una muestra de 21 productores.
87.6, 84.8, 84.9, 86.2, 88.6, 89.5, 84.6,
85.4, 84.8, 86.3, 87.6, 86.7, 85.2, 86.5,
87.3, 88.8, 85.3, 86.2, 85.3, 87.3, 91.2
Haz un diagrama de tallos y hojas.
Calcula la media y construye un diagrama de
caja.
3. La tabla muestra la frecuencia de las
puntuaciones de un quiz de 20 puntos. La
media del quiz es 18. Halla el valor de k
en la tabla. Halla la moda y la mediana de
todas las puntuaciones del quiz. 334
Puntuación 15 16 17 18 19 20
Frecuencia 2 4 7 13 k 5
4. A continuación se provee el número de
horas de televisión que ven por día una
muestra de catorce personas:
2 4 1 5 4.13 4 2.09 3 6.94 4 3
Halla el resumen de cinco números, el
recorrido intercuartil y los datos anómalos (si
hay alguno). A continuación, traza un
diagrama de caja para presentar tus hallazgos
de forma gráfica. 335
Diario
1. Describe el proceso necesario para calcular la
desviación estándar.
2. Evalúa la frase: La varianza de un conjunto de
datos siempre será mayor que la desviación
estándar. ¿Es esto cierto o falso? ¿Cómo lo
sabes?
3. Describe cómo se calcula la media
geométrica.
Boleto de salida
334 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
335 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
1. ¿Cuál medida de tendencia central queda más
afectada por un dato anómalo? Explica.
2. ¿Cuándo usarías un histograma? ¿Y una
gráfica de pastel? ¿Y el polígono de frecuencia
para representar tus datos?
Junio 2012 1371

partir de un análisis estadístico? Explica tu
razonamiento.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Proyecto de estudio estadístico 333
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la estadística descriptiva y la representación
gráfica de la estadística al reportar sus propios
datos de un estudio. Para esta tarea, los
estudiantes crearán e implementarán un estudio.
Una vez recopilen los datos reportarán las
estadísticas descriptivas y las representarán por
medio de diferentes gráficas.
Tarea:
Con un estudio usando (2) preguntas aprobadas,
haz una lista de datos de la muestra. Obtén por lo
menos 50 valores; en comunidades pequeñas,
obtén entre 25 a 50. Intenta elegir preguntas que
produzcan datos de una población interesantes y
reveladores.
1. Describe las preguntas de investigación y la
naturaleza de los datos. ¿Qué representan los
valores?
2. Describe el método usado para recopilar los
datos.
3. Explica las razones posibles de por qué los
datos podrían ser representativos de la
población. ¿Cuáles son algunas fuentes
posibles de sesgo o error?
4. Haz los cálculos estadísticos correspondientes
a partir de lo siguiente: tamaño de la
muestra, mínimo, máximo, media, mediana,
moda, recorrido, desviación estándar,
varianza, cuartiles.
5. Discute su relación con los datos.
6. Construye una tabla de frecuencia, un
diagrama de tallos y hojas y un histograma y
explica qué te dice cada uno de estos sobre
tus datos.
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
3. Halla la media ponderada de los números a
continuación. El factor de peso de cada
número se indica en paréntesis junto al
número.
7(2), 12(3), 21(3), 13(4), 6(1)
333 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/muzzyschramm99/statssurveytask.pdf
Junio 2012 1372

7. Escribe, en forma de un párrafo, cualquier
conclusión o inferencia que pueda hacerse a
partir del análisis de tus datos.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Cómo hacer histogramas en una calculadora 336 : En esta actividad, se introducirá a los estudiantes a
las gráficas de datos cuantitativos; estos crearán gráficas con la calculadora gráfica. Primero, los
estudiantes crearán un diagrama de tallos y hojas a partir de datos dados y luego crearán un
histograma a mano para presentar los mismos datos en un formato distinto. A continuación,
enséñales a los estudiantes cómo crear un histograma en una calculadora gráfica TI-83 o TI-84.
Finalmente, compararán ambos histogramas al resumir información a partir de representaciones
gráficas. Crea un escenario para los datos. Por ejemplo, usa los datos de puntuaciones de examen
de una clase de álgebra 1 (89, 95, 87, 76, 62, 79, 85, 84, 85, 88, 55, 94, 84, 97, 99, 78, 63, 81, 73,
81). A continuación se proveen los pasos para crear un histograma en una TI-83/84:
o Introduce los datos anteriores al presionar STAT y luego EDIT, e introducir los datos en L.
o Oprime 2 nd STAT PLOT y activa (oprime "ON") el diagrama.
o Elige la imagen del histograma en TYPE.
o Oprime GRAPH, y el histograma debe aparecer. Si no, oprime ZOOM y luego Statistics.
o Para asegurarte de que las gráficas de los estudiantes sean iguales pídeles que ajusten su
pantalla en WINDOW para usar el mismo Xmin, Xmax, Xscl.
Cómo elegir la medida de tendencia central adecuada 337 : Esta actividad les ayudará a los
estudiantes a desarrollar una mejor comprensión de cómo hallar la medida de tendencia central
que mejor se corresponda con un conjunto de datos dado. Provéeles a parejas de estudiantes
distintas características de un conjunto de datos y pídeles que desarrollen conjuntos de datos que
cumplan con los criterios (p. ej.: los datos tienen siete números, la moda es 1, la mediana es 3 y la
media es 9. O el conjunto de datos tiene 10 números, la mediana es 6, la media es 8, todos los
números en el conjunto de datos son modas, y el número 6 no se encuentra en el conjunto de
datos). Orienta a la clase durante una discusión de sus estrategias de cómo desarrollar sus
conjuntos de datos. Compara los conjuntos y pídeles a los estudiantes que decidan cuál medida de
tendencia central se adecua mejor a cada conjunto. (Ten algunos ejemplos adicionales disponibles
en que se muestren casos en que cada medida sea más adecuada si los ejemplos de los estudiantes
no proveen oportunidades de comparación.) Provéeles características específicas de la medida de
336
Fuente: Comprehensive Curriculum “Math Essentials” by the Louisiana Department of Education
337
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=%22dependent%20and%20independent%20events%22%20probability%20%
22performance%20task%22&source=web&cd=20&ved=0CFEQFjAJOAo&url=http%3A%2F%2Fwww.sabine.k12.la.us%2FG
LE%2FMATH%2FMATH%2520WORD%2520FILES%2F11%2520MATH_ALGEBRA_I.doc&ei=gpbrTpi5E6evsQKGipHiCQ&usg
=AFQjCNHNj0qY_ZDPROj7M6IGjo8pDwOs4A&cad=rja
Junio 2012 1373

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
tendencia central más adecuada desarrollando conjuntos de datos adicionales (por ej.: El conjunto
contiene cinco números y la media es la medida más adecuada de tendencia central, el conjunto
contiene 8 números y la mediana representa mejor los datos, o el conjunto contiene 15 números y
la moda es la medida de tendencia central que mejor representa los datos). Discute con la clase sus
respuestas y cómo desarrollaron los conjuntos de datos.
Comparación de gráficas: Preséntales un conjunto de datos a los estudiantes para que los usen al
comparar y evaluar diferentes representaciones gráficas. Se les asigna una representación gráfica a
grupos pequeños (histogramas, polígonos de frecuencia, distribuciones, funciones de frecuencia
cumulativa, gráficas de pastel, diagramas de dispersión, diagramas de tallos y hojas y diagramas de
caja) para presentársela a la clase. Los estudiantes presentan lo que comunica su representación
gráfica sobre los datos y si piensan que es una buena representación. Dirige una discusión en clase
en que se comparen y evalúen los distintos tipos de representaciones gráficas, como por ejemplo,
qué comunica cada gráfica de los datos, cuál(es) gráfica(s) resulta(n) útil(es) y cuáles no resultan
útiles para entender el conjunto de datos, y cuál(es) gráfica(s) utilizarían los estudiantes para
comunicar el conjunto de datos. Cambia la representación gráfica que deberá presentarle cada
grupo a la clase y dales a los grupos otro conjunto de datos para comprar las representaciones
gráficas. Este nuevo conjunto de datos debe representarse mejor usando gráficas distintas a las del
conjunto de datos original. Tras una conversación en clase parecida a la anterior, pídeles que
discutan cómo saber cuál tipo de representación gráfica usar para diferentes conjuntos de datos.
Ejemplos para planes de la lección
Para entender la varianza y la desviación estándar 338 : En esta lección los estudiantes investigarán la
desviación estándar y la varianza usando distintos métodos para acercarse a la misma varianza. Se
les guiará a los estudiantes paso a paso en una investigación de lo que describe la desviación
estándar de un conjunto de datos.
Instrucciones:
1. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación estándar
sean cero. Haz un diagrama de dispersión de la distribución.
2. Crea un conjunto de seis puntos de datos de tal forma que la varianza y la desviación estándar
sean cero. Haz una gráfica de puntos de la dispersión de la distribución. ¿Puede hacerse esto
de más de una forma que no sea variar la media? Explica tu razonamiento.
3. Crea una lista de por lo menos dos conjuntos distintos de seis puntos de datos, ambos con la
misma media, de tal forma que la varianza sea cuatro y la desviación estándar sea dos. Haz una
gráfica de puntos de la dispersión de la distribución.
4. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza sea
cuatro, la desviación estándar sea dos y la media sea siete. Haz una gráfica de puntos de la
dispersión de la distribución.
5. Crea por lo menos dos conjuntos de seis puntos de datos, de tal forma que la varianza sea
dieciséis, la desviación estándar sea cuatro y la media sea diez. Haz una gráfica de puntos de la
dispersión de la distribución.
6. Describe el proceso que utilizaste para obtener tus respuestas.
7. ¿Cuál es la relación entre la desviación estándar y la varianza?
338 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf
Junio 2012 1374

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
3 semanas
8. ¿Qué mide la desviación estándar?
9. Discute sus métodos para hallar más de un conjunto de datos que cumplan con las condiciones
requeridas. Los estudiantes deben entender que los conjuntos de datos que no sean conjuntos
simétricos pueden producir las varianzas y desviaciones estándar requeridas.
Cómo calcular distintas medias 339 : En esta lección los estudiantes expandirán su comprensión de la
media aritmética para calcular distintos tipos de media. Por medio de notas, ejemplos guiados y
práctica en pareja los estudiantes calcularán medias geométricas, medias armónicas y medias
aritméticas ponderadas (ver anejo: PE.1 Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular distintas
medias).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Math, Culture, and Popular Media: Activities to Engage Middle School Students Through Film,
Literature, and the Internet de Michaele F. Chappell and Denisse R. Thompson
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Women and Numbers de Teri Perl
Mathematics are People: Stories from the lives of Great Mathematicians de Luetta Teamer and
Wilber Reimer
339 Fuente: http://file.glpacademy.co.kr/eTAP/mathfiles/english/statistics/lesson3/lesson.html
Junio 2012 1375
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Resumen de la unidad
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes entenderán la probabilidad como base de la inferencia estadística.
Utilizarán el principio de cálculo, permutaciones, combinaciones, el principio de adición y de
multiplicación para resolver problemas. Calcularán las probabilidades de los eventos complementarios
y usarán la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes para resolver problemas.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre la probabilidad para interpretar, predecir y resolver situaciones del mundo real a partir de la
inferencia estadística.
Estándares de contenido y expectativas
Probabilidad y estadísticas
2.0 Resuelve problemas por medio del uso de probabilidad y las distribuciones de probabilidad.
• Comprende el principio del cálculo, las permutaciones y combinaciones y usarlos para resolver
problemas.
• Comprende y usa la regla aditiva para calcular probabilidades de eventos mutuamente exclusivos y
eventos que no sean mutuamente exclusivos.
• Comprende y usa la regla multiplicativa para calcular probabilidades de eventos independientes y
dependientes.
• Calcula las probabilidades de eventos complementarios.
• Utiliza la probabilidad condicional y el Teorema de Bayes para resolver problemas.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los modelos de probabilidad son
herramientas útiles.
Para calcular la probabilidad, hay que
entender los eventos.
La probabilidad teórica se utiliza para predecir
la probabilidad experimental y las soluciones
reales.
Las distribuciones de probabilidad son
herramientas que nos ayudan a entender la
probabilidad de que ocurra un evento.
La información estadística nos ayuda a tomar
decisiones informadas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
El uso de la probabilidad y las distribuciones
de probabilidad
El principio del cálculo
Preguntas esenciales:
¿Cómo utilizar la probabilidad para tomar
decisiones?
¿Por qué los tipos de eventos influyen en la
probabilidad?
¿Cuándo es la probabilidad algo seguro?
¿Cómo pueden las distribuciones de
probabilidad ayudarnos a estimar la
probabilidad de que ocurra un resultado?
¿Cómo influyen las estadísticas en las
decisiones?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Resolver problemas por medio del uso de la
probabilidad y las distribuciones de
probabilidad.
Junio 2012 1376

Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
Las permutaciones y combinaciones
La regla aditiva para calcular probabilidades
de eventos mutuamente exclusivos y no
mutuamente exclusivos
La regla multiplicativa para calcular
probabilidades de eventos dependientes e
independientes
La probabilidad condicional y el Teorema de
Bayes
Vocabulario de contenido
combinaciones, distribución de probabilidad,
eventos complementarios, eventos
dependientes, eventos independientes,
eventos mutuamente exclusivos, eventos no
mutuamente exclusivos, permutaciones,
principio de cálculo, probabilidad,
probabilidad condicional, Teorema de Bayes
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
¿Qué tal si jugamos a la lotería?
Los estudiantes demostrarán su comprensión del
principio de cálculo de las probabilidades y cómo
se aplican al rendimiento de la inversión en el
mundo real por medio del análisis del pago de una
lotería.
Tarea:
Eres un funcionario estatal y estás pensando
iniciar una lotería estatal para recaudar fondos.
Algunos de tus compañeros creen que un pago de
$5 millones es demasiado. No quieren pagar más
de 10 centavos por dólar.
Usando P(ganador)=0.0000001, determina si $5
millones es demasiado. Si es mucho o muy poco,
determina la cantidad máxima que puede pagar la
lotería y comoquiera pagar solo 10 centavos de
cada dólar. Justifica tu respuesta
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Usar el principio del cálculo, las
permutaciones y combinaciones para resolver
problemas.
Usar la regla aditiva para calcular
probabilidades de eventos mutuamente
exclusivos y eventos que no sean
mutuamente exclusivos.
Usar la regla multiplicativa para calcular
probabilidades de eventos dependientes e
independientes.
Calcular las probabilidades de eventos
complementarios.
Utilizar la probabilidad condicional y el
Teorema de Bayes para resolver problemas.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
Junio 2012 1377
1.
Número de goles
que anota el equipo
de fútbol
0
1
2
3
4
5
Probabilidad
.0625
.0625
.3125
.1250
.3125
.1250
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un
cualquier juego seleccionado al azar, el
equipo de fútbol anote dos goles?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en
cualquier juego seleccionado al azar, el
equipo de fútbol anote por lo menos tres

Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
matemáticamente y escribe un argumento de un
párrafo con solo palabras.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
A mezclarlo todo 340
En esta tarea, los estudiantes utilizarán una lista
de reproducción de música creada por ellos para
calcular varias probabilidades. Demostrarán sus
destrezas con permutaciones, combinaciones, así
como el principio de multiplicación.
Tarea: Algunos de ustedes están más que
familiarizados con el hecho de que los
reproductores de MP3 tocan la misma canción
dos o múltiples veces en el ajuste de reproducción
aleatoria mucho antes de que haya tocado todas
las canciones de la lista.
Para esta tarea de desempeño necesitarás crear
una lista de reproducción para tu reproductor
MP3. Clasifica tus 25 canciones preferidas en una
tabla como la siguiente.
Rango Canción Artista
1.
…
25.
1. ¿Cuáles son las probabilidades de que tu
canción favorita sea la vigésimo segunda en
reproducirse?
2. ¿Cuántas permutaciones diferentes de estas
canciones puede producir el reproductor de
música?
3. ¿Cuántas combinaciones de tus siete
canciones favoritas puede producir el
reproductor de música (sin repetirlas)?
goles?
2. Se le permite a cada uno de los cinco
miembros del Comité de música para el baile
de primavera que seleccione una canción que
tocará el DJ durante el baile de una lista de
cuarenta canciones aprobadas. ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos dos
miembros del comité elijan la misma
canción? 341
Diario
Describe una situación en que debas usar un
evento complementario para calcular la
probabilidad.
¿Qué significa que un evento sea mutuamente
excluyente? ¿Cómo calculamos la
probabilidad de que ocurran dos eventos
mutuamente excluyentes?
Boleto de salida
Un examen con cincuenta preguntas de
selección múltiple consiste en preguntas con
cuatro opciones de respuesta. Estima la
probabilidad de responder a por lo menos 70
% de las preguntas correctamente si todas las
respuestas se eligen al azar. 342
El 20 % de las personas leen el periódico A, el
30 % leen el periódico B y el 10 % leen ambos
periódicos. ¿Qué porcentaje no lee el
periódico? ¿Leer el periódico A y el B, son
eventos independientes? 343
Supón que se lleva a cabo una encuesta entre
electores de tres municipios. En un municipio,
el 50 % de los electores apoyan al candidato
liberal, en el municipio B, el 60 % de los
electores lo apoyan y en el municipio C el 35
% de los electores lo apoyan. De la población
total de los tres municipios, el 40 % vive en el
municipio A, el 25 % vive en el municipio B y el
340
Fuente: https://sites.google.com/a/guajome.net/andersonbl/precalculus/pcalchw/performancetask1probability
341
Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
342
Ibídem.
343
Fuente: http://www.intuitor.com/student/Q2_Ch6_Probability_PracTest.php
Junio 2012 1378

Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
4. Determina la probabilidad de que las siete
primeras canciones en reproducirse sean tus
siete canciones favoritas en orden
descendiente.
5. Calcula la probabilidad de que esto ocurra las
próximas cinco veces que lo uses.
6. Calcula la probabilidad de escuchar siete
canciones de tu lista de reproducción, pero
solo escuchar dos de tus siete favoritas.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
35 % vive en el municipio C. Dado que un
elector apoya al candidato liberal, ¿cuál es la
probabilidad de que viva en el municipio B,
usando la fórmula de Bayes? 344
Eventos dependientes e independientes 345 : En esta actividad, los estudiantes utilizarán su
conocimiento de las razones y proporciones para calcular la probabilidad de que ocurran eventos
dependientes e independientes. Explícales que, a la hora de determinar la probabilidad, es
importante saber si lo que se está determinando es la probabilidad de un solo evento o de un
grupo de eventos. En segundo lugar, es importante saber si los resultados son dependientes o
independientes. Utilizando la toma de notas de página dividida, los estudiantes deben anotar el
tipo de evento (mutuamente excluyente, no mutuamente excluyente, independiente,
dependiente, complementario, no complementario), incluyendo la descripción, a la izquierda, y
ejemplos de estos tipos de eventos en el lado derecho del papel.
Diagrama de Venn 346 : En esta actividad, los estudiantes utilizarán un diagrama de Venn para
comparar la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes e inclusivos. Indícales que pongan
su nombre en un diagrama de Venn y que escriban, por ejemplo, qué comida les gusta, como pizza
o pescado. Discutan las probabilidades de los estudiantes en la clase a partir del diagrama de Venn.
Explícales que los dos eventos (que les gusta el pescado o la pizza) no son mutuamente excluyentes
porque les pueden gustar ambos. Sin embargo, algunos eventos son mutuamente excluyentes, por
ejemplo, si se elige una barquilla o un vaso para una bolita de mantecado. Este es un concepto
importante a la hora de determinar la probabilidad porque un evento puede incluirse en más de un
resultado. Provéeles notas de ejemplos y cómo calcular eventos mutuamente excluyentes y no
mutuamente excluyentes. Pídeles que estimen la probabilidad de que a un estudiante en la clase le
guste jugar baloncesto o fútbol, y luego recopila los datos para calcular la probabilidad observada.
Compara la probabilidad estimada (teórica) con la probabilidad observada (experimental). ¿Son
mutuamente excluyentes estos eventos? ¿Cómo lo sabes?
344 Fuente: http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/condprob.htm
345 Fuente: Comprehensive Curriculum “Math Essentials” by the Louisiana Department of Education
346 Ibídem.
Junio 2012 1379

Ejemplos para planes de la lección
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo 347 : En esta lección los
estudiantes repasarán las diferencias entre combinaciones, permutaciones y el principio
fundamental de conteo, para luego aplicar su conocimiento previo para calcular la probabilidad
(ver anejo: PE.2 Ejemplo para plan de lección - Combinaciones, permutaciones y el principio
fundamental de conteo.)
Instrucciones:
1. Primero, pídeles a los estudiantes que respondan a las preguntas preliminares a continuación.
a. ¿Qué tipo de problema es cada uno de los siguientes?:
i. ¿De cuántas formas puede elegir la Sra. González de entre un grupo de 10 estudiantes?
ii. ¿De cuántas formas pueden los estudiantes ser elegidos para presidente,
vicepresidente y secretario(a) si 10 estudiantes se postulan?
iii. ¿De cuántas formas distintas pueden hacerse sundaes de mantecado si hay cuatro
sabores, tres “toppings” líquidos y 8 “toppings” secos?
2. Toda la clase junta, completen las notas en el anejo (ver anejo: PE. 2 Ejemplo para plan de
lección – Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de conteo). En cada parte
debe incluirse si importa el orden y si los elementos son del mismo grupo o de grupos distintos.
3. Dales tiempo para que trabajen los problemas individualmente durante cinco minutos, y que
luego comparen su trabajo en grupos pequeños y continúen trabajando el problema.
4. La discusión de resumen debe incluir: ¿Cuál es la probabilidad de que los primeros tres
estudiantes que escoja la Sra. González sean niñas? ¿Cuál es la probabilidad de que el sundae
que compres tenga un “topping” líquido y uno seco?
Teorema de Bayes 348 : La mayor parte de los estudiantes entienden que la probabilidad de que
ocurra un evento puede verse influenciada por otro evento que ya haya ocurrido. Sin embargo,
muchos estudiantes no pueden entender que la probabilidad de que ocurra un evento puede de
hecho depender de un evento que ocurra después. Tener información sobre el resultado de un
evento puede usarse para revisar la probabilidad de que haya ocurrido un evento anterior. Este
plan de lección les ayudará a los maestros a corregir este error conceptual común entre los
estudiantes. También se les introducirá a los estudiantes al teorema de Bayes, que provee una
fórmula para hallar una probabilidad condicional si se conocen otras probabilidades condicionales
(ver anejo: PE. 2 Ejemplo para plan de lección - Teorema de Bayes).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/fprobabi.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
347
Fuente: http://betterlesson.com/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination#/lesson/7395/fcp-permutation-orcombination?from=tree1
348
Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html
Junio 2012 1380

Conexiones a la literatura
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
3 semanas
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
A Very Improbable Story de Edward Einhorn, ilustrado por Adam Gustavson
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Letters of a young Mathematician de Ian Stewart
Junio 2012 1381
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
Resumen de la unidad
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes resolverán problemas usando la probabilidad, así como las
distribuciones normales y de variable aleatoria. Calcularán e interpretarán la media y la varianza de una
distribución de probabilidad y aplicarán el teorema de límite central para resolver problemas. Los
estudiantes hallarán la media y la desviación estándar de una distribución binomial para predecir y
describir eventos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de usar su conocimiento
sobre las distribuciones de probabilidad, las distribuciones normales y el teorema de límite central para
generalizar resultados a partir de muestras pequeñas de la población total.
Estándares de contenido y expectativas
Probabilidad y estadísticas
2.0 Resuelve problemas por medio del uso de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad.
• Usa variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad, que incluyen las distribuciones
binomiales y geométricas.
• Calcula e interpreta la media y la varianza de una distribución de probabilidad.
• Usa otras variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad para resolver problemas.
• Usa y aplica la distribución normal.
Utiliza el teorema central del límite para resolver problemas.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los fenómenos pueden describirse y
predecirse por medio de modelos binomiales
y geométricos.
Las distribuciones pueden usarse para estimar
resultados.
La media y la varianza describen cuán lejos
están los datos del valor esperado.
El teorema de límite central aplica la
distribución normal a datos aleatorios.
La información estadística nos ayuda a tomar
decisiones informadas.
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
El teorema de límite central
El concepto de distribución normal
Los conceptos de probabilidad y las
distribuciones de probabilidad
Preguntas esenciales:
¿Cómo podemos predecir el futuro por medio
de modelos?
¿Cómo podemos aprender de varios tipos de
distribuciones?
¿Cómo afecta la varianza a los resultados de
una distribución?
¿Cómo nos ayuda el teorema de límite central
a entender las distribuciones y los datos?
¿Cómo influyen las estadísticas en las
decisiones?
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Resolver problemas por medio del uso de la
probabilidad y las distribuciones de
probabilidad.
• Usar variables aleatorias discretas y
distribuciones de probabilidad que incluyen
Junio 2012 1382

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
Vocabulario de contenido
distribución aleatoria continua, distribución
binomial, distribución geométrica,
distribución de probabilidad, media,
probabilidad, teorema de límite central,
variables aleatorias discretas, varianza
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
Afiche de millas por galón
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la media, la desviación estándar, la distribución
normal y el teorema de límite central al analizar la
eficiencia de combustible de los vehículos.
En grupos de dos o tres, los estudiantes
completan lo siguiente en una hoja grande de
papel; deben estar preparados para presentar
frente a la clase:
A continuación, se proveen las millas por
galón en la ciudad y la capacidad de
combustible del tanque en galones para
automóviles del año 2012. 349
Lista de carros 1 MPG Lista de carros 2 MPG
Honda CRZ
Scion IQ
Hyundai Sonata
Audi A3
Toyota Prius
Chevy Volt
37
37
28
34
42
60
Bentley Mulsanne
MB S600
Bugati Veyron
CTS Wagon
MB CL65 AMG
Aston Martin DB9
1. Halla la media, mediana y desviación
estándar de las millas por galón de los
carros de la lista 1.
2. Halla la media, mediana y desviación
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
13
14
10
14
14
13
las distribuciones binomiales y geométricas.
• Calcular e interpretar la media y la varianza de
una distribución de probabilidad.
Usar otras variables aleatorias continuas y
distribuciones de probabilidad para resolver
problemas.
• Usar y aplicar la distribución normal.
Utilizar el teorema central del límite para
resolver problemas.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. La vida útil de una batería suele distribuirse
con una vida media de 40 horas y una
desviación estándar de 1.2 horas. Halla la
probabilidad de que una batería seleccionada
al azar dure más de 42 horas. 351
2. ¿Cuál de las siguientes no es cierta sobre las
distribuciones de probabilidad discreta?
a) Las probabilidades negativas no son
posibles.
b) Las probabilidades suman 1.
c) Las distribuciones son simétricas.
d) La distribución estándar puede tener un
valor mayor que la media.
e) Todas son correctas. 352
3. Dibuja un diagrama de caja para datos con
distribución normal. Traza una gráfica en que
los datos tengan un sesgo positivo. Traza una
gráfica en que los datos tengan un sesgo
negativo.
Diarios
349 Fuente: http://www.fueleconomy.gov/feg/best-worst.shtml
351 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
352 Fuente: http://www.intuitor.com/student/Q2_Ch7_8_BinomilPracticeTest.php
1. Da un ejemplo de un experimento en que sea
correcto usar una distribución normal como
aproximación de una probabilidad binomial.
Explica por qué en este ejemplo es mejor usar
Junio 2012 1383

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
estándar de las millas por galón de los
carros de la lista 2.
3. Haz un diagrama de caja de cada grupo
de datos de millas por galón.
a) ¿Cómo se comparan las medias de
los dos grupos de datos?
b) ¿Cómo se comparan las desviaciones
estándar?
4. ¿Cuál grupo de datos tiene la
variabilidad menor en millas por galón?
5. Usando las medidas de tendencia central
de cada lista, traza una curva de
distribución por cada lista.
c) Explica si cada distribución se
distribuye de forma normal o si tiene
un sesgo positivo o negativo.
d) ¿Cómo se compara tu curva de
distribución con tu diagrama de caja?
6. Usando el teorema de límite central y
asumiendo que la media de población de
carros de la lista 1 es 34 y la media de
población de carros de la lista 2 es 11,
explica qué debe sucederle a la
desviación estándar y a la media de cada
lista de carros si se aumentara la
muestra.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la
rúbrica de evaluación (ver anejo:
Organizador gráfica - Rúbrica de tarea de
desempeño).
¿Cuándo hace falta más ayuda?
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
las variables aleatorias continuas y la distribución
de probabilidad normal al analizar si un grupo de
infantes está desarrollándose al ritmo velocidad
adecuado según su Índice de Desarrollo
Psicomotor. Los estudiantes redactarán una carta
con sus hallazgos para el padre preocupado.
una aproximación de la probabilidad que
hallar la probabilidad exacta. 353
2. ¿Cómo se aplican a las distribuciones de
muestreo el teorema de límite central y la ley
de números grandes?
3. ¿Cuál es la diferencia entre la distribución
geométrica y la binomial?
Boleto de salida
353 Fuente: http://www.amaps.org/leftfiles/Syllabi/Algebra%202%20Sample%20Tasks.pdf
354 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
355 Fuente: www.indiana.edu/~lceiub/PY206F05/Introduction.ppt
1. Por lo general, se distribuyen cuatrocientos
valores con una media de 120 y una
desviación estándar de 15. ¿Cuál intervalo
incluye 15 % de los datos? ¿Cuál intervalo
incluye 95% de los datos?
2. Llena el blanco:
Si se obtienen muestras de tamaño n, donde
_______________, de cualquier
población con una distribución cualquiera con
una media de μ y una desviación estándar de
σ, entonces la distribución de muestreo de las
medias de la muestra se aproxima a una
distribución de _______________. La
distribución de muestreo de las medias de la
muestra tiene una media de
____________ y un error estándar de la
media de _______________. 354
3. Halla la media y la desviación estándar de una
distribución binomial dado n=10 y p=0.7.
4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una
muestra aleatoria de nueve medidas con una
media mayor que 50 mm de una población
con una media de 47 mm y una desviación
estándar de 12 mm? 355
Junio 2012 1384

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
Tarea: Como psicólogo escolar, te toca decidir
cuándo proveerle ayuda adicional a los niños.
Dentro de un entorno de cuido de niños de edad
temprana, debes decidir si los infantes se están
desarrollando al ritmo adecuado. Para lograrlo, se
utiliza el Índice de Desarrollo Psicomotor (IDP),
que es aproximadamente normal con una media
de 100 y una desviación estándar de 15. 350
1. Decide qué porcentaje de infantes
considerarías "en riesgo". (¿Parte inferior de
1%, 5%, 10%, 20%?)
2. Se elige a un infante al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que obtenga una puntuación
de 90 en el IDP?
3. ¿Te sorprendería ver una puntuación en el
IDP de 90 en la muestra de estudiantes de tu
escuela? ¿Te sorprendería ver una
puntuación en el IDP de 90 en la población de
todos los estudiantes?
4. Una madre preocupadísima te escribe y te
dice que la puntuación de su hijo fue de 85 y
piensa que su hijo necesita más ayuda.
Usando tu categoría de "en riesgo", escríbele
una carta de respuesta explicándole qué
porcentaje de los niños identificas como “en
riesgo”, qué puntuaciones caen dentro de esa
categoría, cómo calculaste y obtuviste estas
puntuaciones, si su hijo cae en esa categoría y
cualquier consejo adicional que puedas darle.
Evalúa las cartas de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Distribución de centavitos prietos 356 : Los estudiantes usarán la distribución de centavos prietos
para calcular la media y la desviación estándar, y crear histogramas para entender el teorema de
350
Fuente: Adaptado de Statistical Methods for the Social Sciences de Alan Agresti y Barbara Finlay
356
Fuente: Adaptado de:
https://www.georgiastandards.org/_layouts/GeorgiaStandards/UnitBuilder/DWPublicPreview.aspx?WID=89&obj=43598
&mode=1
Junio 2012 1385

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
límite central. Hacen falta entre 600 a 1000 centavitos prietos; no dudes en pedirles a los
estudiantes que los traigan.
1. Determina la población total de centavos. Reparte un número igual de centavos y pídeles a los
estudiantes que hagan un registro de en qué año se imprimieron.
2. Los estudiantes suman sus datos a un total de la clase.
3. Utiliza la población para hacer un modelo de cómo calcular la media, la desviación estándar y
crear un histograma. Los estudiantes anotan estas representaciones de la población de
centavos en un papel.
4. Repártele a cada estudiante dos centavos al azar y pídeles que calculen la media, la desviación
estándar y que hagan un histograma en su papel. Repite este ejercicio con muestras aleatorias
de 10 centavos y de 30 centavos.
5. Pídeles a los estudiantes que comparen los histogramas de sus muestras con el histograma de
la población y pregúntales qué notan. ¿Qué otras tendencias de interés se presentan?
Aplicación del teorema de límite central Después de que hayan aprendido a calcular el teorema de
límite central, elige una serie de problemas en que los estudiantes tengan que aplicarlo. Asígnale
un problema a grupos de tres estudiantes. Los grupos deberán resolver y presentar su problema a
otros grupos, y explicar el contexto del problema y el proceso que utilizaron para resolverlo.
Durante las presentaciones, los otros grupos tomarán nota de cómo resolver los problemas
presentados y hacer por lo menos una pregunta de aclaración para asegurarse de que entiendan el
proceso y el contexto del problema. Para encontrar problemas de ejemplo, ver el anejo: PE.3
Actividad de aprendizaje - Aplicación del teorema de límite central.
Juego de dados geométrico 357 : Esta actividad en que participará toda la clase introduce a los
estudiantes al concepto de la distribución geométrica. Además de la naturaleza interactiva de la
actividad, los estudiantes tendrán la opción de completar ejercicios de simulación a mano usando
una calculadora o una tabla de números aleatorios, o una computadora. Los resultados del
ejercicio de simulación entonces los llevarán a una decisión durante el juego (ver anejo: PE.3
Actividad de aprendizaje - Juego de dados geométrico).
Ejemplos para planes de la lección
La distribución normal y la regla empírica 358 : En esta lección, se les guía a los estudiantes paso a
paso para aprender los tipos de distribuciones y la regla empírica por medio de una actividad
práctica. Materiales sugeridos: 1 regla de centímetro por pareja, 1 bola de tenis por pareja, notitas
adhesivas pequeñas y papel cuadriculado (ver anejo: PE.3 Ejemplo para plan de lección - La
distribución normal y la regla empírica).
Distribuciones binomiales 359 : En esta lección, los estudiantes utilizan su conocimiento previo de la
probabilidad y la tendencia central para investigar variables binarias. Se les pedirá que tracen la
gráfica de una distribución binomial y verifiquen la simetría. Después del conjunto de notas
siguiente, los estudiantes completarán la hoja de actividad de distribuciones binomiales (ver anejo:
PE.3 Ejemplo para plan de lección - Distribuciones binómicas). Notas:
357 Fuente: http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst2001/Section5/TheGeometricDie4.pdf
358 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf
359 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_6_TE_021011.pdf
Junio 2012 1386

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
4 semanas
1. Ahora consideraremos la probabilidad más importante de las variables aleatorias discretas: la
distribución binómica. Las distribuciones binómicas son importantes porque muchas
situaciones solo tienen dos resultados. Por ejemplo:
a) un jugador de baloncesto puede encestar o no una bola;
b) una persona puede votar que sí o que no en un referendo para aumentar el impuesto
escolar;
c) un bebé recién nacido es o niño o niña.
2. Las observaciones de este tipo se denominan binarias. Solo tienen dos resultados posibles. En
la práctica, presentamos el resultado de interés con una variable, digamos X, y entonces
determinamos la distribución de probabilidad de los valores de X posibles.
3. Las siguientes condiciones deben cumplirse para que la distribución de una variable aleatoria
sea binómica.
a) Hay un número fijo de intentos (n) y cada uno tiene dos resultados posibles. (El resultado
de interés suele llamarse éxito y el otro fracaso.)
b) Los experimentos deben ser independientes, o sea, que el resultado de uno no dependa de
ni afecte al otro.
c) La probabilidad de éxito, denominada p, es igual para cada experimento. La probabilidad
de fracaso es 1 - p.
4. Con toda la clase, identifiquen el evento que es un éxito y la probabilidad de que ocurra en las
siguientes situaciones:
a) David y Rebeca van a lanzar una moneda para ver cuántas veces sale la cruz. Han lanzado la
moneda 60 veces.
b) Un entrenador de fútbol está planificando un juego en contra del rival más fuerte de su
equipo. Su quarterback tiene una tasa de pases exitosos de 59%.
Recursos adicionales
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/clt.html
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-40-est.htm
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/fdist.pdf
http://profjserrano.wordpress.com/
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
Junio 2012 1387
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
Resumen de la unidad
Etapa 1 - Resultados esperados
En esta unidad, los estudiantes calcularán e interpretarán el coeficiente de correlación de un conjunto
de datos. Asimismo, calcularán y utilizarán los intervalos de confianza para hacer estimados. Aplicarán
la verificación de hipótesis de las medias y las diferencias entre las medias para sacar conclusiones.
Utilizarán el principio de los mínimos cuadrados para hallar la curva de mejor ajuste de un conjunto de
datos.
Meta de transferencia: Los estudiantes saldrán de la clase con la capacidad de utilizar su conocimiento
del coeficiente de correlación de conjuntos de datos, intervalos de confianza y cualquier verificación de
hipótesis para medir la relación entre dos variables y sacar conclusiones de conjuntos de datos del
mundo real.
Estándares de contenido y expectativas
Probabilidad y estadísticas
3.0 Utiliza intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, ajusta curvas a los datos y calcula los
coeficientes de correlación.
Calcula e interpreta el coeficiente de correlación de un conjunto de datos.
Calcula y usa intervalos de confianza para hacer estimados.
• Utiliza las pruebas de hipótesis de medias y diferencias entre medias para llegar a conclusiones.
Usa el principio de cuadrados mínimos para encontrar la curva de mejor ajuste para un conjunto de
datos.
Ideas grandes/Comprensión duradera:
Los coeficientes de correlación de conjuntos
de datos proveen información importante en
la resolución de problemas de la vida real.
El coeficiente de correlación fortalece el
ajuste de mínimos cuadrados a los datos
originales.
Una hipótesis tiene una probabilidad de ser
cierta que se puede calcular.
Los intervalos de confianza son estimados de
un parámetro utilizado para indicar la
fiabilidad.
La estimación de cuadrados mínimos expande
la comprensión de los coeficientes de
correlación para inferir un resultado.
La información estadística nos ayuda a tomar
decisiones informadas.
Preguntas esenciales:
¿Por qué calculamos los coeficientes de
correlación de un conjunto de datos?
¿Por qué la calidad de la adecuación de los
mínimos cuadrados a los datos sería
importante?
¿Cuál es la importancia de la verificación de
una hipótesis?
¿Cómo se evalúa si los datos son fiables?
¿Cómo se relaciona la línea de mejor ajuste
entre dos variables con el coeficiente de
correlación?
¿Cómo influyen las estadísticas en las
decisiones?
Junio 2012 1388

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
Contenido (Los estudiantes comprenderán...)
El concepto de correlación
Los intervalos de confianza
La verificación de hipótesis
El principio de cuadrados mínimos
Vocabulario de contenido
ajuste de mínimos cuadrados, coeficiente de
correlación, curva de mejor ajuste, hipótesis
nula, intervalo de confianza, principio de
mínimos cuadrados, verificación de hipótesis
de diferencias, verificación de hipótesis de
medias, puntaje-z
Para más información referirse al glosario
matemático básico en las guías operacionales del
DEPR.
Tareas de desempeño
Interpretación de la correlación 360
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
cómo interpretar la correlación al analizar datos.
Tarea:
Elige un problema que te interese y que incluya
una variable dependiente y una variable
independiente.
1. Los datos de la muestra de este problema
deben consistir por lo menos en 20 puntos de
datos y deben provenir de tu propia
investigación o de una página de Internet
oficial y fiable.
2. Con una herramienta tecnológica (TI-
Interactive u otra aplicación), construye un
diagrama de dispersión y luego realiza un
análisis de correlación y regresión de este
conjunto de datos.
3. Escribe un informe sobre los datos y su
análisis que incluya datos bibliográficos
completos de la fuente de tus datos, el
Etapa 2 – Evidencia de avalúo
Destrezas (Los estudiantes podrán...)
Calcular el coeficiente de correlación de un
conjunto de datos.
Interpretar el coeficiente de correlación de un
conjunto de datos.
Calcular y usar los intervalos de confianza
para hacer estimados.
Utilizar las pruebas de hipótesis de medias y
diferencias entre medias para llegar a
conclusiones.
Usar el principio de cuadrados mínimos para
encontrar la curva de mejor ajuste para un
conjunto de datos.
Otra evidencia
Ejemplos para preguntas de examen/quiz
1. Un estudiante de escuela superior analiza si
existe una relación entre el número de libros
que leen los estudiantes por placer frente al
número promedio de horas que pasan viendo
televisión al día. Después de preguntarles a
tres amigos, el estudiante reporta los
resultados siguientes. 363
a) Crea un diagrama de dispersión de los
resultados.
b) Al inspeccionar el diagrama de dispersión,
reporta la misma correlación muestral
entre dos variables e interpreta.
No. de
libros
0
5
10
Horas de
televisión.
5
3
1
2. En un estudio sobre la ideología política
360 Fuente: web.mac.com/statsmonkey/StatsMonkey/AP_Audit_files/YMM.Rye.doc
363 Fuente: Adaptado de Statistical Methods for the Social Sciences de Alan Agresti y Barbara Finlay
Junio 2012 1389

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
análisis computarizado de estos (debe
consistir en un diagrama de dispersión, un
análisis de correlación y un análisis de
regresión) y uno o dos párrafos bien escritos
resumiendo tu interpretación de estos
resultados.
4. Asegúrate de abordar ambas partes de la
cuestión con estadística.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador gráfica -
Rúbrica de tarea de desempeño).
Conexión entre el ejercicio y la comida chatarra
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la correlación de conjuntos de datos al analizar
datos de la cantidad de comida chatarra que
consume una persona y cuánto se ejercita a la
semana.
Tarea: Un grupo de padres sostiene que existe
una conexión entre la cantidad de comida
chatarra que consumen los niños y la cantidad de
ejercicio que realizan. Han llevado a cabo una
encuesta comunitaria entre jóvenes de escuela
superior y sus resultados se encuentran en la
tabla a continuación. El grupo quiere utilizar los
datos para convencer al principal de la escuela de
que si quitaran toda la comida chatarra de sus
máquinas dispensadoras, los estudiantes se
ejercitarían más.
Cantidad de veces que
un individuo consume
comida chatarra en una
semana
2
2
1
3
4
7
Cantidad de horas que
se ejercita un individuo
en una semana
5
7
6
4.5
5
1
(mientras más alto el valor más conservadora
es la persona) y el número de veces a la
semana que los participantes leían el
periódico, se halló una correlación de r =
0.066. 364
a) ¿Concluirías que la asociación muestral es
débil o fuerte?
b) Cuando se unió la ideología política con la
religiosidad (mientras más alto era el valor
más iban a la iglesia los participantes) la
correlación fue de r = 0.580. ¿Cuál de
estas variables explicativas parece tener
una relación lineal más fuerte con la
lectura del periódico? Explica.
3. Los datos siguientes son de una muestra
seleccionada de una población que asumes se
distribuye normalmente. Establece un
intervalo de confianza de 95 % de μ. 365
3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 12
4. El salario por hora promedio que gana un
estudiante de escuela superior en Puerto Rico
es de $3.49 la hora, con una desviación
estándar de $.25. Asume que los salarios por
hora varían de forma normal. Calcula un
intervalo de confianza de 95 % para el salario
por hora promedio que gana un estudiante de
escuela superior. ¿Cuál es la media, la
desviación estándar y el puntaje-z de este
conjunto de datos? Determina el intervalo de
confianza. ¿Qué representa este intervalo en
este contexto? 366
5. ¿Cuáles de las siguientes son los únicos
resultados posibles de la verificación de
hipótesis?
a) Rechazar la hipótesis nula.
b) Aceptar la hipótesis nula.
c) Rechazar la hipótesis alterna.
d) No rechazar la hipótesis nula.
364 Ibídem.
365 Fuente: http://www.rvgs.k12.va.us/wwwroot/resources/2008StatManual.pdf
366 Fuentes: Adaptado de: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/heslinga09/confidence%20intervals.pdf
and http://www.minimum-wage.org/states.asp?state=Puerto%20Rico
Junio 2012 1390

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
0
2
3
3
5
1
6
5
5
3.5
2
6
1. Usando los datos de la tabla crea un diagrama
de dispersión.
2. Calcula el coeficiente de correlación.
3. Describe la relación entre la cantidad de
comida chatarra que consume una persona en
una semana y la cantidad de ejercicio en la
que participa.
4. En una página explícale tus hallazgos al
principal. Asegúrate de incluir:
el coeficiente de correlación y una
explicación de qué significa ese
coeficiente;
tu descripción de la relación entre las
variables;
si piensas que una correlación justificaría
lo que sostienen los padres; (piensa en los
límites de una correlación, incluida la
direccionalidad, así como la diferencia
entre la correlación y la causalidad).
Incluye tus sugerencias finales para el
principal.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de puntuación (ver anejo: Organizador - Rúbrica
de tarea de desempeño).
Las elecciones presidenciales en Florida 361
Los estudiantes demostrarán su comprensión de
la línea de mejor ajuste y los intervalos de
confianza al analizar los resultados de las
elecciones presidenciales del 2000 en Florida.
Tarea:
Las elecciones presidenciales del 2000 fueron de
las más polémicas en la historia de los EE. UU. Fue
la votación más cerrada desde 1876 y solamente
6. En la verificación de hipótesis nula, se
comienza determinando la probabilidad de
haber obtenido los datos si la hipótesis
______________ fuese cierta.
Diarios
1. ¿Cuál es el espectro de valores posibles de un
coeficiente de correlación? ¿Por qué el
coeficiente de correlación está limitado por
ese espectro?
2. Traza y rotula diagramas de dispersión en que
se muestre una correlación positiva fuerte,
una correlación negativa débil y ninguna
correlación.
3. En tus propias palabras, ¿qué representan los
valores del coeficiente de correlación?
4. En la verificación de hipótesis, que significan
los siguientes: "falso positivo", "falso
negativo", "verdadero positivo" y "verdadero
negativo". ¿Cuál de las anteriores se clasifica
como un error tipo 1? ¿Y un error tipo 2?
5. ¿Qué es un intervalo de confianza? Escribe
una breve descripción e incluye la definición
matemática.
Boletos de entrada/salida
1. En tus propias palabras, ¿qué significa que los
datos tengan una correlación negativa fuerte?
2. La gráfica a continuación muestra los precios
de la gasolina y la leche en un colmado local
durante un periodo de 3 semanas. 367
12 de marzo de
2006
19 de marzo de
2006
26 de marzo de
2006
Gasolina Leche
2.36 2.30
2.50 2.35
2.49 2.33
¿Qué tipo de correlación, si alguna, hubo
durante el periodo de tres semanas entre el
361 Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf
367 Fuente: http://www.jmap.org/htmlstandard/Integrated_Algebra/Statistics_and_Probability/A.S.13.htm
Junio 2012 1391

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
las cuartas elecciones en que el voto electoral no
reflejó el voto popular. El candidato demócrata
era Al Gore y el candidato republicano George W.
Bush. Gran parte de la controversia surgió debido
a que en el estado de Florida se le otorgaron los
25 votos del colegio electoral a Bush.
Los resultados de la votación iniciales indicaban
3,407 votos para el candidato del partido de la
reforma, Pat Buchanan. Algunos analistas políticos
pensaban que ese total era sorprendentemente
alto. Muchos pensaban que la mayor parte de
esos votos realmente eran para Gore, pero que se
adjudicaron a Buchanan incorrectamente porque
algunos electores encontraron la boleta de
votación confusa.
Divídanse en parejas y analicen los resultados de
las elecciones del 2000 de los 25 condados de
Florida.
1. Usando los datos (ver anejo: PE.4 Tarea de
desempeño - Elecciones de Florida), creen una
línea de mejor ajuste e incluyan todo el
proceso cuando sea necesario, con los
siguientes métodos:
a) a ojo
b) línea mediana- mediana
c) línea de regresión de mínimos cuadrados
2. ¿Cuál piensas se ajusta mejor a los datos?
¿Por qué?
3. Cuatro condados en particular causaron
bastante inquietud: Liberty, Manatee,
Hillsborough y Palm Beach.
a) Usando la línea de mejor ajuste que
escogiste, calcula el número estimado de
votos para Buchanan en cada uno de los
cuatro condados.
b) ¿Clasificarías alguno de estos como dato
anómalo? Justifica tu respuesta.
c) Calcula un intervalo de confianza de 95 %
para cada uno de los cuatro condados.
4. Usando tu análisis escribe un informe de una
página en que resumas tus hallazgos y les
precio de la gasolina y el precio de la leche?
¿Es posible que uno de estos eventos haya
causado el otro? Explica tu respuesta.
3. Una empresa farmacéutica está probando una
nueva pastilla para adelgazar. Según la
empresa, la pastilla puede reducir
significativamente el peso de un individuo.
¿Cuál es la hipótesis nula de esta prueba?
Escribe una hipótesis alterna.
4. Asume que quieres obtener un margen de
error de 5 % para una encuesta en particular.
A medida que aumenta el tamaño de la
muestra, ¿qué ocurre con tu nivel de
confianza? Elige dos números distintos para
"n" para usarlos de ejemplos que apoyen tu
respuesta. 368
368 Fuente: http://jfmueller.faculty.noctrl.edu/toolbox/examples/examples_tasks_math.htm
Junio 2012 1392

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
respondas a los analistas que creían que los
votos para Buchanan eran demasiados.
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Verde garantizado 362
En esta tarea, los estudiantes pondrán a prueba la
afirmación de que "en toda bolsa de M&M habrá
por lo menos 5 M&M verdes". Los estudiantes
ejecutarán una verificación simulada de la
hipótesis y calcularán un intervalo de confianza de
95%, para luego generalizar sus hallazgos al
parámetro poblacional.
Tarea:
1. Vacía la bolsa de M&M en un vaso desechable
u otro contenedor pequeño. Revuélvelo
vigorosamente. Sin mirar el contenedor, saca
un M&M a la vez hasta que encuentres uno
verde. Anota cuántos M&M tuviste que sacar
para llegar al primer M&M verde. Vuelve a
echar los M&M en la bolsa y revuélvelos de
nuevo. Continúa hasta que la clase tenga 50
intentos. Traza y predice el número promedio
de M&M necesarios para llegar al verde. ¿De
qué tipo de distribución se trata?
____________________
Tiempo de espera teórico para llegar a uno
verde =______chocolates.
Tiempo de espera muestral para llegar a uno
verde = _______ chocolates.
2. Simulaciones y modelos: ¿Cuántos M&M hay
que seleccionar para tener uno de cada color?
Utiliza una tabla de números aleatorios para
simular esta pregunta. Explica cómo utilizarás
la tabla de números aleatorios en tu
simulación y hazla 10 veces. ¿Cuál es el
número promedio de M&M seleccionados
para obtener uno de cada color?
3. Supón que no sabes si tu paquete de M&M
contiene el color azul, pero que supones que
362 Fuente: http://www.lhs.logan.k12.ut.us/~jsmart/reviewunit.htm
Junio 2012 1393

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
probablemente sí, puesto que otras
variedades de M&M sí lo tienen. Obtienes una
muestra aleatoria de 10 chocolates y no
encuentras ninguno azul. Concluyes que el
paquete de mini M&M no incluye chocolates
azules. ¿Qué tipo de error has cometido? ¿Es
posible cometer un error tipo II en este
experimento?
4. Cuenta todos los chocolates que hay en tu
paquete. Anota el color de cada uno. Halla los
valores esperados de cada color. Haz una
verificación de hipótesis para calcular cuán
bien se ajustan las proporciones de tu
muestra a las proporciones poblacionales de
cada color. ¿Qué tipo de prueba realizarás?
5. Considera que tu paquete de dulces es una
muestra aleatoria de la población. Calcula un
intervalo de confianza de 95% para la
verdadera proporción de chocolates verdes de
tu muestra. ¿Contenía tu nivel de confianza la
proporción poblacional verdadera? Supón que
tenías paquetes de 200 M&M y que calculaste
intervalos de confianza de 95% para la
proporción de chocolates verdes en cada
paquete. ¿Cuántos de estos intervalos de
confianza deben contener la verdadera
proporción poblacional? ¿Cuál es la definición
del intervalo de confianza de 95%?
6. Utiliza tus hallazgos para escribir una
evaluación de la afirmación siguiente: "en
toda bolsa de M&M habrá por lo menos 5
M&M verdes".
Evalúa el trabajo de los estudiantes en la rúbrica
de evaluación (ver anejo: Organizador - Rúbrica de
tarea de desempeño).
Actividades de aprendizaje
Etapa 3 – Plan de aprendizaje
Coeficiente de correlación como medida de varianza 369 : Los estudiantes utilizarán su conocimiento
previo de la varianza para entender el coeficiente de correlación. Tras observar la relación entre
369 Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html
Junio 2012 1394

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
dos variables continuas en un diagrama de dispersión, los estudiantes crearán una ecuación que
explique la varianza, para luego compararla con el coeficiente de correlación hecho por la clase.
1. Pídeles a los estudiantes que recopilen datos entre sus compañeros que podrían representar la
relación entre dos medidas (o sea, la longitud del pie en centímetros y el tamaño de zapato de
chicos y chicas) y que elaboren gráficas separadas para los chicos y las chicas.
2. Discutan las variables dependientes e independientes, y pídeles a los estudiantes que decidan
cuál es la variable independiente y cuál es la dependiente en la actividad.
3. Indícales que escriban pares ordenados y busquen las relaciones en los datos de la gráfica.
¿Hay algún patrón en los datos? (Sí, a medida que aumenta la longitud del pie aumenta el
tamaño de zapato.) ¿Parecen ser lineales los datos? (Los datos deben parecer lineales.)
Ayúdales a los estudiantes a fijarse en la correlación positiva entre la longitud del pie y el
tamaño de zapato.
4. Pídeles que hallen la razón promedio de la longitud del pie al tamaño del zapato. Esta es la
constante de variación.
5. Pídeles a los estudiantes que escriban una ecuación que sirva de modelo para la situación
(tamaño de zapato =razón x de longitud del pie).
6. Después del experimento, introduce el concepto del coeficiente de correlación y, usando el
diagrama de dispersión creado y los datos recopilados, calcula el coeficiente de correlación
junto con toda la clase.
7. Discutan la conexión entre el nivel de varianza y la solidez del coeficiente de correlación.
Clasificación de tarjetas con diagramas de dispersión y correlaciones 370 : Los estudiantes recortan
diagramas de dispersión y los organizan en grupos de: correlación positiva perfecta, correlación
negativa perfecta, correlación positiva fuerte, correlación negativa fuerte, correlación positiva
débil, correlación negativa débil o sin correlación (ver anejo: PE. 4 Actividad de aprendizaje -
Clasificación de tarjetas de diagramas de dispersión y correlaciones).
Predicción de la precipitación pluvial 371 : En esta actividad se examinará la relación entre la
precipitación anual y la temperatura, y la precipitación anual y el clima soleado. Los estudiantes
trabajarán con diagramas de dispersión, crearán una curva de mejor ajuste que tenga una suma
mínima de las desviaciones cuadradas (error de mínimo cuadrado) y explicarán las relaciones
presentes (ver anejo: PE.4 Actividad de aprendizaje - Predicción de la precipitación pluvial).
Pase del globo 372 : En esta actividad, los estudiantes utilizarán su conocimiento previo de la
probabilidad y se les introducirá a una hipótesis nula y alterna. Los estudiantes crearán una
hipótesis nula al adivinar qué porcentaje del mundo está cubierto por agua y luego pondrán a
prueba su hipótesis al pasar un globo por el salón (ej. H0: = .7 y Ha:

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
P de .48. No logres rechazar la hipótesis nula.).
¿Cómo construir un intervalo de confianza? 373 : Utiliza las notas guiadas para instruir a los
estudiantes paso a paso en la elaboración de un intervalo de confianza. Incluye problemas de
ejemplo para aplicar las notas al uso del método de la liberación gradual Yo hago, tú haces,
hacemos juntos. Para encontrar notas de ejemplo, ver anejo: PE.4 Actividad de aprendizaje - Cómo
construir un intervalo de confianza.
Ejemplos para planes de la lección
Cómo calcular el coeficiente de correlación 374 : En esta lección, se guiará paso a paso a los
estudiantes en una serie de pasos a medida que aprenden cómo calcular el coeficiente de
correlación de dos variables continuas a mano. Una vez se completen los cálculos, el conjunto de
datos se introduce en una calculadora y se comparan los dos coeficientes de correlación (ver anejo:
PE.4 Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación).
¿Qué prefieres? 375 : Los estudiantes crean, describen y organizan datos en diagramas de dispersión
para describir la asociación entre dos clasificaciones. Exploran tanto la correlación de rango de
Spearman como la correlación de rango de Pearson (ver anejo: PE. 4 Ejemplo para plan de lección -
¿Qué prefieres?). Antes de la lección, repasa los puntos claves a continuación.
Notas de mini instrucción de puntos claves:
El coeficiente de correlación de rango es un valor numérico que identifica la solidez y dirección de
la relación entre dos conjuntos de datos. El coeficiente de correlación varía entre -1 y 1. Las
correlaciones positivas (entre 0 y 1) indican que los valores altos en un conjunto de datos se
relacionan con valores altos en otro conjunto de datos. Las correlaciones negativas (entre -1 y 0)
indican que los valores altos en un conjunto de datos se relacionan con valores bajos en otro
conjunto de datos.
Las siguientes categorías generales indican una forma rápida de interpretar un valor de r calculado:
0.0 a 0.2 Correlación de muy débil a insignificante
0.2 a 0.4 Correlación débil y baja (no muy importante)
0.4 a 0.7 Correlación moderada
0.7 a 0.9 Correlación sólida y alta
0.9 a 1.0 Correlación muy sólida
Carrera de los 37 metros 376 : Los estudiantes podrán utilizar e interpretar el coeficiente de
correlación de Pearson, calcular el coeficiente y sacar conclusiones a partir del coeficiente de
correlación de Pearson (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección - Carrera de los 37 metros).
373
Fuente: http://stattrek.com/ap-statistics-4/confidence-interval.aspx
374
Ibídem.
375
Fuente: http://www.iowa.gov/pages/search?q=Unit%3A+Correlation+and+Regression&=Search
376
Fuente: http://www-pub.naz.edu:9000/~jerdley3/lesson3.pdf
Junio 2012 1396

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
7 semanas
Pasos de la verificación de hipótesis 377 : En esta lección, se introducirá a los estudiantes a los pasos
necesarios para realizar una verificación de hipótesis. Los estudiantes completarán cada paso a
medida que investigan las diferencias entre la media y sacan conclusiones a partir de instrucciones
provistas por el maestro. A medida que el maestro repasa la lección, se proveen asignaciones,
escritas en rojo, para los estudiantes durante el curso de las notas (ver anejo: PE.4 Ejemplo para
plan de lección - Pasos de la verificación de hipótesis).
Hipótesis binomial 378 : En esta lección, los estudiantes establecerán y evaluarán una verificación de
hipótesis de una distribución binomial. Investigarán los niveles de significancia y qué acción es
adecuada dados los resultados de su verificación (ver anejo: PE.4 Ejemplo para plan de lección -
Hipótesis binomial).
Recursos adicionales
http://profjserrano.wordpress.com/
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/intconf.pdf
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat/conthipo.pdf
http://education.ti.com/downloads/guidebooks/graphing/84p/TI84Plus_guidebook_ES.pdf
http://isa.umh.es/calc/TI/TI83/TI83manual-spa.pdf
Matemáticas Integradas I, II, III de Houghton-Mifflin
Conexiones a la literatura
Nota: Aunque los siguientes libros están dirigidos a estudiantes de la escuela primaria, éstos apuntan a
los principios fundamentales de matemáticas los cuales se pueden explorar en todos los niveles. Todo
el mundo disfruta de que alguien le lea y los estudiantes de la escuela secundaria no son la excepción.
Estos libros son una excelente introducción a las unidades de estudio.
Más allá de la coincidencia de Martin Plimmer
El matemático del rey de Juan Carlos Arce
La música de los números primos: El enigma de un problema matemático abierto de Marcus Du
Sautoy
377
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=historical%20note%3A%20the%20t%20distribution%20was%20formulated%
20in%201908%20by%20an%20irish%20brewing%20&source=web&cd=3&ved=0CCoQFjAC&url=http%3A%2F%2Fmtl.mat
h.uiuc.edu%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2FMod6B-4.doc&ei=1YTvTq6YEOn10gG9veTPCQ&usg=AFQjCNENi1nUsUyDv-
_0909VPD_82R18Nw
378
Fuente: http://www.teachers.net.qa/Math_lesson_plans_in_English/Gr.12_part1.pdf
Junio 2012 1397
Adaptado de Understanding by Design de Grant Wiggins y Jay McTighe

Matemáticas
Anejos
Probabilidad y Estadística
1398

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas
Cómo calcular medias distintas
Procedimiento:
1. Pídeles a los estudiantes que tomen nota de la siguiente información. Para las preguntas en cursiva,
dales tiempo para que completen la pregunta de forma independiente antes de revisarla como
clase.
2. Asegúrate de repasar cada ejemplo a partir de las notas y preguntarles si tienen dudas antes de
continuar.
3. Antes de repasar otros tipos de medias, tómate unos minutos para repasar la media aritmética.
4. Una vez la clase haya completado el conjunto de notas con problemas prácticos, pídeles que
trabajen con un compañero para completar las preguntas para estudiantes 1 a la 5.
Notas:
Media geométrica
Para dos números m y n dados la media geométrica equivale a la raíz cuadrada del producto. Denotar
media geométrica con g, luego, .
Ejemplo 1: Si la media geométrica de 11 y n es 33, ¿qué es m?
Reemplaza los números dados en la fórmula .
Iguala ambos lados y resuelve para m.
Fórmula general
Para los números x1, x2, x3, . . , xn, la media geométrica está determinada por la fórmula siguiente:
La media geométrica =
donde n es el conteo de números es un conjunto de datos
Pregunta para la clase. ¿Cuál es la media geométrica de 3, 6, 12 y 18?
Media armónica
La recíproca de la media aritmética de las recíprocas de un conjunto de números se llama media
armónica. Sea x1, x2, x3, . . . , xn n números dados, entonces la media armónica de estos números está
definida como sigue:
La media armónica =
Ejemplo 2: Halla la media armónica de los números 3, 6, 12, 18 y 24.
Nos dan x1 = 3, x2 = 6, x3 = 12, x4 = 18, y x5 = 24.
1399

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas
Reemplaza estos valores en la fórmula de la media armónica, y simplifica.
Pregunta para la clase. ¿Cuál es la media geométrica de 4, 12, 20 y 27?
Media aritmética ponderada
A veces en un conjunto de datos, cada número tiene un cierto peso o importancia para hallar el
promedio o media. El peso de cada número está representado por un factor numérico. Por ejemplo, en
la lista de números 12, 24, 45 y 34 los números pueden tener los siguientes factores de peso a la hora de
hallar su promedio:
Primer número: 4
Segundo número: 5
Segundo número: 3
Cuarto número: 2
Esto significa que para hallar la suma de los valores que implica el conjunto de datos, debemos
multiplicar el primer número por cuatro, el segundo por cinco, el tercero por tres y el cuarto por dos. A
esto se le llama la suma ponderada de los números. Así,
La suma ponderada = 12(4) + 24(5) + 45(3) + 34(2)
= 371
1400

Unidad PE.1: Medidas de tendencia central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular medias distintas
Esta suma está formada por cuatro doces, cinco veinticuatros, tres cuarentaicincos y dos trentaicuatros.
Esto significa que la suma es el resultado de sumar 4+ 5 + 3 + 2 = 14 números. Para hallar la media
aritmética, dividimos 371 por 14. Así,
371
La media ponderada =
14
Ahora, generalicemos el método de hallar la media aritmética ponderada. Si x1, x2, x3, . . ., xn son
números con valores de peso m1, m2, m3, . . . mn, respectivamente y W es su media aritmética
ponderada, entonces
Pregunta para la clase. A la hora de poner la nota de la clase de cálculo, el instructor les asigna los
siguientes pesos a las diferentes partes del trabajo de los estudiantes para determinar su puntuación
final:
Quiz: 2
Asignaciones: 3
Examen parcial: 4
Examen final : 5
Michelle obtuvo las puntuaciones siguientes en diferentes asignaciones:
Quiz: 87, Asignaciones: 88, Examen parcial: 72, Examen final : 81
¿Cuál es su puntuación final?
Preguntas para los estudiantes:
1) ¿Cuál es la media geométrica entre 3 y 48?
2) Si 25 es la media geométrica de 5 y x, ¿qué es x?
3) ¿Cuál es la media armónica de 1, 5, 75 y 135?
4) Halla la media ponderada de los números a continuación. El factor de peso de cada número se indica
en paréntesis junto al número.
5(2), 12(1), 21(4), 11(3), 4(2)
5) Usando los datos a continuación, ¿cuál es la diferencia entre su media aritmética y su media
ponderada, si el primer número tiene un peso de 2, el segundo tiene un peso de 1 y el tercero tiene
un peso de 3?
12, 42, 11
W
=
Fuente: http://file.glpacademy.co.kr/eTAP/mathfiles/english/statistics/lesson3/lesson.html 1401

Principio
fundamental de
conteo
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Combinaciones, permutaciones y el principio fundamental de
conteo
Principio
Permutación Combinación
fundamental de Permutación Combinación
conteo
Instrucciones: Identifica cada uno de los problemas siguientes como
principio fundamental de conteo (PFC), permutación (P) o combinación
(C) y luego resuélvelos.
_____ 1) Estás trabajando en tu asignación durante el almuerzo. Si
tienes nueve asignaciones, pero solo tienes tiempo para hacer cuatro,
¿cuántos conjuntos distintos de asignaciones podrías completar?
_____ 2) La Srta. González pone una canción mientras corrige las
asignaciones. Tiene siete canciones que le gustaría poner esta semana.
¿De cuántas formas puede escoger canciones para cada día del lunes al
viernes, si todos los días pone una canción distinta?
_____ 3) La Srta. Jiménez fotocopió distintos ejercicios de práctica para
los próximos cuatro días. Cada uno de los tres ejercicios para cada salón
hogar está impreso en una hoja de color distinto. ¿Cuántos tipos de
papel de ejercicios de práctica rápida tiene?
_____ 4) El Sr. Rodríguez elije a estudiantes buenos para hacer el
cómputo en el proyector a medida que dicta las notas. Esta semana, ha
elegido a ocho estudiantes buenos. Si elige a un estudiante distinto cada
día de la semana, ¿de cuántas formas distintas podría seleccionar a sus
ayudantes de proyector?
Instrucciones: Identifica cada uno de los problemas siguientes como
principio fundamental de conteo (PFC), permutación (P) o combinación
(C) y luego resuélvelos.
_____ 1) Estás trabajando en tu asignación durante el almuerzo. Si
tienes nueve asignaciones, pero solo tienes tiempo para hacer cuatro,
¿cuántos conjuntos distintos de asignaciones podrías completar?
_____ 2) La Srta. González pone una canción mientras corrige las
asignaciones. Tiene siete canciones que le gustaría poner esta semana.
¿De cuántas formas puede escoger canciones para cada día del lunes al
viernes, si todos los días pone una canción distinta?
_____ 3) La Srta. Jiménez fotocopió distintos ejercicios de práctica para
los próximos cuatro días. Cada uno de los tres ejercicios para cada salón
hogar está impreso en una hoja de color distinto. ¿Cuántos tipos de
papel de ejercicios de práctica rápida tiene?
_____ 4) El Sr. Rodríguez elije a estudiantes buenos para hacer el
cómputo en el proyector a medida que dicta las notas. Esta semana, ha
elegido a ocho estudiantes buenos. Si elige a un estudiante distinto cada
día de la semana, ¿de cuántas formas distintas podría seleccionar a sus
ayudantes de proyector?
Fuente: http://betterlesson.com/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination#/lesson/7395/fcp-permutation-or-combination?from=tree 1402

Teorema de Bayes
Parte 1: Introducción
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Teorema de Bayes
1. Preséntales a tus estudiantes las siguientes situaciones y hazles las preguntas. En todas las
situaciones, supón que hay cuatro bombones en una bolsa. Dos son de uva y dos son de canicas.
2. Situación 1: Si meto la mano en la bolsa sin mirar y escojo un bombón al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que sea de uva? ¿Cuál es la probabilidad de que escoja el bombón de canicas?
3. Situación 1 (continuada): Supón que elijo un bombón de uva. Vuelvo a meter la mano en la bolsa y
escojo otro bombón al azar. ¿Cual es la probabilidad de que saque uno de uva? ¿Cuál es la
probabilidad de que escoja un bombón de canicas? ¿Por qué son las probabilidades distintas de las
anteriores?
Parte 2: Diagrama de árbol
4. Representa esta situación en forma de diagrama de árbol. (Para los estudiantes que no estén
familiarizados con los diagramas de árbol, es posible que haga falta explicarles y darles terminología.
Por el resto de la lección me referiré a los nódulos y ramas de los diagramas de árbol. Por cada evento
con más de un resultado posible, el diagrama de árbol tendrá un nódulo. Cualquier resultado posible
en un nódulo está representado por una rama.)
5. ¿Qué representa el primer nódulo del diagrama? ¿Cuántas ramas tiene? ¿Cómo podemos rotularlas?
¿Qué probabilidades le asignamos a cada rama?
6. Sigue la rama que asume que el primer bombón que cogí es de uva. ¿Qué representa el nódulo al final
de esta rama? ¿Cuántas ramas tiene? ¿Cómo podemos rotularlas? ¿Qué probabilidades le asignamos
a cada rama?
7. Repite estos pasos con otra rama del primer nódulo (el que asume que el primer bombón que cogí era
de canicas).
8. El diagrama de árbol ahora tiene cuatro resultados finales posibles. Rotúlalos. ¿Cómo puedes hallar la
probabilidad asociada a cada una de estas ramas?
9. Supón que comienzo de nuevo, con dos bombones de uva y dos de canicas en la bolsa. Situación 2: En
esta ocasión escojo un bombón al azar y me lo echo en el bolsillo sin mirarlo. Escojo otro bombón al
azar y resulta ser de uva. ¿Cuál es la probabilidad de que el bombón en mi bolsillo sea de uva? ¿Cuál
es la probabilidad de que haya escogido el bombón de canicas?
10. ¿Por qué no existen las mismas posibilidades de que el bombón en mi bolsillo sea de cualquiera de los
dos sabores cuando había dos de cada sabor en la bolsa cuando lo cogí?
11. Utilicemos la fórmula P(AB) = P(A|B) P(B) para hallar estas probabilidades (las del procedimiento 9).
¿Qué probabilidades queremos saber? ¿Para qué más necesitamos utilizar la fórmula? ¿Cuál de estos
ya conocemos? ¿Cómo podemos hallar P(G2) a partir del diagrama de árbol? Ahora, utiliza la fórmula.
1403

Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Teorema de Bayes
12. Usemos el diagrama de árbol para ayudarnos a hallar estas probabilidades. ¿Hay alguna rama que no sea
necesaria en esta situación (situación 2)? ¿Por qué? ¿Qué ramas son aún posibles? ¿Hay alguna relación
especial entre estos dos eventos? ¿Cuál es la relación entre las probabilidades de estos eventos? ¿Qué
probabilidades podemos asignarles a dos eventos complementarios donde un evento tenga el doble de
posibilidad de ocurrir que el otro?
Parte 3: Teorema de Bayes
13. Hay una fórmula matemática que puede ayudarnos a responder a este tipo de pregunta llamada teorema
de Bayes. Esta fórmula resulta más útil cuando necesitamos hallar P(A|B), pero solo podemos hallar con
facilidad P(B|A) y P(A).
Fórmula a partir del teorema de Bayes:
P(AB) [P(B|A) P(A)]
14. Refiriéndonos de
situación con los
P(A|B)
= _________________
P(B)
=
___________________________________________________________________________________________________
[P(B|A) P(A) + P(B|~A) P(~A)]
nuevo a la segunda
bombones, ¿qué
probabilidades buscamos? ¿Qué probabilidades sabemos a partir del diagrama de árbol? Utiliza el teorema
de Bayes para hallar las dos probabilidades que buscamos. ¿Son las respuestas iguales a las que hallamos a
partir del diagrama de árbol?
15. Una aplicación común del teorema de Bayes es su aplicación en los controles médicos de
enfermedades. Los médicos realizan pruebas para determinar si sus pacientes tienen ciertas
enfermedades. Las pruebas indican que o la persona tiene la enfermedad (resultado positivo) o no la tiene
(resultado negativo). A partir de estudios, los médicos saben la probabilidad de que una persona cualquiera
de una población tenga una enfermedad en particular. Saben también las probabilidades de que una
persona con la enfermedad obtenga un resultado positivo en su prueba y de que una persona sin la
enfermedad obtenga un resultado negativo de la prueba.
16. En el pueblo ficticio de Atlantis, los médicos han desarrollado una prueba de la Mortífera Monga de
Atlantis. Saben que la probabilidad de que una persona cualquiera en Atlantis tenga la monga mortífera es
de .01. Saben además que una persona que tenga la mortífera monga tiene un .95 de probabilidad de salir
positivo para la enfermedad, mientras que una persona que no la tenga tiene un .94 de probabilidad de
salir negativo en la prueba. Digamos que un paciente va donde un médico porque quiere hacerse la prueba
de la mortífera monga de Atlantis. ¿Cuál es la probabilidad de que sí tenga la monga si sale positivo?
17. Representemos esta situación en forma de diagrama de árbol. ¿Qué debe aparecer primero en el diagrama
de árbol: si la persona tiene la enfermedad o si la persona sale positivo o no en la prueba? ¿Por qué?
¿Cómo podemos rotular las dos ramas del primer nódulo? ¿Cuáles probabilidades van en cada rama?
¿Cómo sabemos la probabilidad de que alguien en Atlantis no tenga la mortífera monga de Atlantis?
18. Sigue la rama que asume que una persona tiene la enfermedad. ¿Cómo podemos rotular las dos ramas de
este nódulo? ¿Cuáles probabilidades van en cada rama? ¿Cómo sabemos la probabilidad de que alguien
con la mortífera monga de Atlantis salga negativo?
19. Repite estos pasos con el nódulo al final de la rama que asume que una persona no tiene la mortífera
monga de Atlantis.
20. ¿Qué probabilidad buscamos? ¿Qué probabilidades sabemos a partir del diagrama de árbol? Utiliza el
teorema de Bayes para responder a esta pregunta.
Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html 1404

Problemas de ejemplo
Unidad PE.2: Conceptos fundamentales de probabilidad
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección –Problemas de Ejemplo
1. Sea S100 el número de caras que salen al lanzar una moneda 100 veces al aire. Utiliza el teorema de límite
central para estimar:
a. P(S100 · 45).
b. P(45 < S100 < 55).
c. P(S100 > 63).
d. P(S100 < 57).
2. Había una vez dos ferrocarriles que competían por el tráfico de pasajeros de 1000 personas que salían de
Chicago a la misma hora rumbo a Los Ángeles. Asume que los pasajeros tienen las mismas probabilidades
de escoger cada tren. ¿Cuántos asientos debe tener un tren para asegurar una posibilidad de 99 o más de
tener un asiento para cada pasajero?
3. Un club le sirve comida solo a sus miembros. Estos se sientan en mesas de 12 personas. El gerente observa
durante un largo periodo de tiempo que el 95 % de las veces hay entre seis y nueve mesas llenas de
miembros, y el resto de las veces existe la misma posibilidad de que los números caigan por encima o por
debajo de esto. Asume que cada miembro decide venir con una probabilidad p, y que las decisiones son
independientes. ¿Cuántos miembros hay? ¿Qué es p?
4. Una máquina de hacer fideos en la fábrica de espagueti de Spumoni produce aproximadamente un 5 % de
fideos defectuosos, aún cuando está en el ajuste correcto. Los fideos entonces se empacan en cajas que
contienen 1900 fideos cada una. Una caja es examinada y se encuentran 115 fideos defectuosos. ¿Cuál es la
probabilidad aproximada de hallar por lo menos esa misma cantidad de fideos defectuosos si la máquina
está en el ajuste correcto?
Fuente: http://www.teacherlink.org/content/math/interactive/probability/lessonplans/bayes/home.html 1405

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Juego de dados geométrico
Juego de dados geométrico
Objetivo del juego: Haber acumulado la mayor parte de los puntos para el final de la quinta ronda.
Objetivo de la lección: Introducir la distribución geométrica.
Duración: La duración depende de cuántas preguntas se respondan y si se utiliza simulación en
computadora.
Supuestos: Los estudiantes ya deben haber estudiado las distribuciones de probabilidad discreta y
deben poder calcular un valor esperado.
Reglas:
1. Cada ronda comienza de la misma forma: el estudiante se pone de pie.
2. El maestro lanza los dados. Si sale 1, se acaba la primera ronda.
3. Si sale otro número, la puntuación del estudiante que está de pie corresponde al número de puntos
que muestran los dados.
4. El estudiante entonces debe decidir si quedarse de pie o sentarse. Si el estudiante se sienta, se
queda con la puntuación que sacó.
5. El maestro vuelve a tirar el dado. Si le sale un 1, todos los estudiantes de pie pierden todos sus
puntos y se acaba la ronda. Si sale cualquier otro número, el estudiante que está de pie le suma el
número que salió en los dados a su puntación anterior.
6. Jueguen hasta que salga un 1, o no queden estudiantes de pie. Esto completo una "ronda".
7. El juego termina al cabo de cinco rondas.
Preguntas:
1. ¿Cuántas veces hay que tirar los dados, en promedio, para obtener un 1?
2. ¿Cuál es la puntuación esperada si mi estrategia es sentarme después de n tiradas?
Notas:
1. Utiliza un dado grande, como los que se usan para colgarlos en los espejos retrovisores (dados de
peluche).
2. Este es un ejemplo de una variable geométrica aleatoria. El número esperada de tiradas es 1/p
donde p = 1/6. Así, el número esperado de tiradas para sacar un 1 es de seis.
3. Juega este juego con la clase hasta que los estudiantes se hayan decidido por una estrategia
personal o durante 10 a 15 minutos (o el tiempo que tengas para dedicarle al juego).
4. Simula las tiradas con una calculadora o una tabla de números aleatorios, y luego con una
computadora.
5. Para calcular la puntuación esperada tras n tiradas, es necesario crear la distribución de
probabilidad. Esto puede hacerse escribiendo cada una de las posibilidades; también puede hacerse
utilizando la combinatoria. A medida que aumenta n, el número de cálculos se vuelve rápidamente
abrumador. Para esto sirve la simulación.
Fuente: http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst2001/Section5/TheGeometricDie4.pdf 1

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección – Distribuciones binomiales
Distribuciones binomiales
1. Identifica el evento que sea un éxito y la probabilidad de que suceda:
La señora Morales pone preguntas de selección múltiple en sus exámenes y siempre tienen cinco
opciones. Uno de sus estudiantes estuvo ausente durante toda la unidad, pero quiere intentar hacer
la prueba porque se compone completamente de selección múltiple. Decide responder cerrando los
ojos y dejando caer el lápiz sobre cada pregunta. Entonces elije la opción que más cerca esté del
lápiz. El examen tiene 15 preguntas.
2. En base a datos publicados por Mars, Inc., 15 % de los M&M de maní producidos son verdes. Supón
que se seleccionan 7 M&M al azar de una bolsa de tamaño grande.
a. Construye la distribución binomial de los M&M verdes cuando se sacan siete M&M de una
bolsa.
b. Calcula la probabilidad cumulativa del número de M&M verdes en la parte a. ¿Es lo que
esperabas? ¿Por qué?
c. Haya P( x ≤ 4 ). Explica qué significa.
d. Halla P( x < 5). Explica la relación entre P( x ≤4 ) y P( x < 5).
e. Traza la gráfica de la distribución de probabilidad de los M&M verdes. ¿Cómo describirías la
forma de esta distribución? ¿Por qué piensas que este es el caso?
f. ¿Cuándo crees que sería simétrica una distribución binomial? Explica.
Se pueden encontrar parámetros de resumen de una distribución binomial usando los mismos métodos
de cualquier distribución de una variable discreta aleatoria. Sin embargo, los estadísticos utilizan
fórmulas mucho más simples para la media y la desviación estándar de una distribución binomial que
puede probarse algebraicamente que es equivalente a fórmulas usadas anteriormente. En este curso,
confiaremos en los estadísticos y usaremos las siguientes fórmulas:
Dada una distribución de probabilidad binomial con n intentos y una probabilidad de éxito p, la media μ
y la desviación estándar están dadas por:
μ = np y
3. Halla la media y la desviación estándar del número de M&M verdes cuando se sacan siete M&M al
azar de una bolsa de tamaño grande. Explica en tus propias palabras qué te indican la media y la
desviación estándar en este contexto.
4. Explica por qué la fórmula μ = np tiene sentido.
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/CCGPS_Math_III_Unit_6_TE_021011.pdf 1

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - La distribución normal y la regla empírica
La distribución normal y la regla empírica
Examinaremos un tipo de distribución que es de suma importancia en la estadística, a saber, la
distribución normal. Comenzaremos recopilando datos que suelen generar este tipo de distribución.
1. Elabora un método de medir el diámetro de una bola de tenis usando una regla de centímetros.
2. Usando tu método, toma dos medidas del diámetro de la bola. Mide al mm más cercano.
3. Compila las medidas tomadas por cada estudiante en una gráfica de puntos. ¿Qué forma piensas
describirá la gráfica? Explica tu razonamiento.
4. Anota tus datos en la gráfica de puntos. Cuando todos los estudiantes hayan anotado sus datos,
copia la gráfica en una hoja de papel cuadriculado.
5. ¿Cómo describirías la forma de esta gráfica?
6. ¿Cómo explicas cualquier variabilidad que pueda haber en las medidas?
Las distribuciones normales son unimodas, simétricas y tienen forma de campana, al igual que los
diagramas a continuación.
a. b.
En la práctica, las distribuciones no son perfectamente normales, pero muchas situaciones generan
datos que son aproximadamente normales. Tomar medidas repetidamente del mismo objeto (como lo
hiciste con la bola de tenis) es una de esas situaciones. Calcular las medias de muestras aleatorias de la
misma población es otra.
7. Si una distribución fuese perfectamente normal, ¿qué sabrías sobre sus medidas de centro?
8. Traza una curva suave sobre los valores de los datos en tu distribución en clase de las medidas
tomadas de la bola de tenis. ¿Se ve tu distribución más o menos normal? ¿Hay algún dato anómalo
en los datos de la clase? ¿Puedes determinar las razones de que existan esos datos anómalos?
9. Aproxima la media de tu distribución trazando una flecha en el eje horizontal donde piensas que
debe encontrarse la media.
10. En la cresta de una distribución normal, la curva es cóncava hacia abajo. A cada lado de la curva hay
un punto de inflexión, el punto en que cambia la curva de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava
hacia arriba. En tu gráfica, traza un lado de la curva con el dedo para estimar el punto de inflexión.
Haz una marquita en el eje debajo de este punto. Para una distribución perfectamente normal, la
distancia entre la media y el punto de inflexión es una desviación estándar. ¿Cuál es la distancia en
1408

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - La distribución normal y la regla empírica
la gráfica de la clase? Si tu distribución es aproximadamente normal, este es un estimado de la
desviación estándar de tus datos.
11. Usando el estimado de la desviación estándar que obtuviste en el problema 9, haz una marca en tu
gráfica que esté a una desviación estándar al lado opuesto de la media de la marca que pusiste en el
problema 9. Cuenta el número de valores de datos entre tus marcas que representan una desviación
estándar por debajo de la media y una desviación estándar por encima de la media. ¿Cuántos
valores hay? ¿Qué porcentaje del número total de valores de datos representan?
12. Comenzando en la media y usando la desviación estándar aproximada que hallaste en el problema
9, marca dos desviaciones estándar a la derecha y dos a la izquierda en el eje horizontal. Cuenta el
número de valores de datos entre tus marcas. ¿Cuántos valores hay? ¿Qué porcentaje del número
total de valores de datos representan estos?
13. Comenzando en la media y usando la distancia que hallaste en el problema 9, marca tres
desviaciones estándar a la derecha y tres a la izquierda en el eje horizontal. Cuenta el número de
valores de datos entre tus marcas. ¿Cuántos valores hay? ¿Qué porcentaje del número total de
valores de datos representan?
La regla empírica
La regla empírica nos dice que si una distribución es normal, entonces aproximadamente:
68 % de los datos caerán dentro de una desviación estándar de la media;
95 % de los datos caerán dentro de dos desviaciones estándar de la media; y
99.7 % de los datos caerán dentro de tres desviaciones estándar de la media.
14. Examina los porcentajes de los valores de datos hallados en los problemas 10 al 12. A partir de tus
estimados de la media y desviación estándar y de la regla empírica presentada arriba, ¿piensas que
la distribución de la clase es aproximadamente normal? Justifica tu decisión.
15. Ahora calcula la media y desviación estándar reales de los datos de la clase. ¿Cuán cerca estuvieron
tus estimados de estos valores? Usando estos valores, ¿qué porcentaje de los datos de la clase caen
dentro de una desviación estándar de la media? ¿Dos desviaciones estándar? ¿Tres desviaciones
estándar? ¿Piensas que la distribución es aproximadamente normal a partir de esta información?
Justifica tu respuesta.
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_4_TE_APS_Supplement.pdf 1409

Unidad PE.3: Distribuciones de probabilidad, distribución normal y teorema de límite central
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Cómo construir un intervalo de confianza
Cómo construir un intervalo de confianza: Notas de ejemplo
Para construir un intervalo de confianza hacen falta cuatro pasos.
1. Identifica una estadística de muestra. Elige la estadística (por ej., media, desviación estándar) que
usarás para estimar un parámetro poblacional.
2. Selecciona un nivel de confianza. Según señalamos en la sección anterior, el nivel de confianza
describe la incertidumbre de un método de muestreo. A menudo, los investigadores eligen niveles
de confianza de 90 %, 9 5% o 99 %, pero puede usarse cualquier porcentaje.
3. Halla el margen de error. Si estás trabajando en un problema de asignación o una pregunta de
examen, probablemente te provean el margen de error. Sin embargo, muchas veces tendrás que
calcular el margen de error, a partir de una de las ecuaciones siguientes.
Margen de error = (valor crítico) (Desviación estándar de la estadística)
Margen de error = (valor crítico) (Desviación estándar de la estadística)
4. Especifica el intervalo de confianza. El nivel de confianza denota la incertidumbre. Y el recorrido del
intervalo de confianza está definido por la siguiente ecuación.
intervalo de confianza = estadística de la muestra + margen de error
Fuente: http://stattrek.com/ap-statistics-4/confidence-interval.aspx 1410

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Actividad de aprendizaje - Diagramas de dispersión y clasificación de tarjetas de correlaciones
Diagramas de dispersión y clasificación de tarjetas de correlaciones
Los estudiantes recortan diagramas de dispersión y los organizan en grupos de: correlación positiva
perfecta, correlación negativa perfecta, correlación positiva fuerte, correlación negativa fuerte,
correlación positiva débil, correlación negativa débil o sin correlación.
1. 2. 3.
4.
6.
5.
7.
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 1

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Predicción de la precipitación pluvial
Predicción de la precipitación pluvial
El siguiente es un diagrama de dispersión de las temperaturas extremas promedio y la precipitación de
cada estado.
Precipitción anual normal (in)
Temperatura extrema promedio en F
1. Describe la relación entre la temperatura extrema promedio y la precipitación normal indicada en el
diagrama de dispersión.
2. En la esquina inferior derecha de este diagrama se muestra una aglomeración de cinco sitios.
Usando tanto la tabla como la gráfica, identifica estos cinco lugares y determina si hay alguna
relación entre ellos.
3. ¿Qué observaciones puedes hacer sobre la relación entre la temperatura y la cantidad de lluvia en
estas cinco ciudades?
La siguiente tabla es de Greener Pastures Relocation Guide, 1984.
Ciudad Pulgadas medias de lluvia Porcentaje de sol
Los Ángeles (California) 14 73
Salt Lake City (Utah) 15 70
Phoenix (Arizona) 7 86
Las Vegas (Nevada) 9 84
San Francisco (California) 20 67
Denver (Colorado) 16 70
Wichita (Kansas) 31 65
Oklahoma City (Oklahoma) 31 67
Albuquerque (Nuevo México) 8 77
Houston (Texas) 48 57
Little Rock (Arkansas) 49 63
Nueva Orleans (Luisiana) 57 59
Nashville (Tennessee) 46 57
Jackson (Missouri) 49 60
Mobile (Alabama) 60 67
1412

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Actividad de aprendizaje – Predicción de la precipitación pluvial
Charlotte (Carolina del Sur) 66 43
Raleigh (Carolina del Norte) 60 43
Miami (Florida) 66 60
St. Louis (Missouri) 58 36
Lousville (Kentucky) 57 43
Norfolk (Virginia) 63 45
4. ¿Cuál ciudad tiene el mayor porcentaje de sol?
5. ¿Cuáles tres ciudades tienen la menor cantidad de lluvia?
6. Haz un diagrama de dispersión con la lluvia en el eje horizontal y el porcentaje de sol en el vertical.
7. Describe la gráfica en tus propias palabras.
8. Podrás notar una aglomeración de puntos en la parte inferior derecha de la gráfica. Explica qué
sabes acerca de estas ciudades simplemente por sus ubicaciones en la gráfica.
9. Traza una línea en la gráfica que represente la relación entre los datos.
10. Determina la pendiente de tu línea. Explica qué te dice de la relación entre los datos.
11. Describe las intercepciones en x y en y en tus propias palabras.
12. ¿Cómo puedes saber cuán bien se ajusta esta línea a tus datos?
Fuente: http://www.pbs.org/teachers/connect/resources/4457/preview/ 1413

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Carrera de los 37 metros
Carrera de los 37 metros
El coeficiente de correlación de Pearson es :
Para calcular el coeficiente de correlación de Pearson, necesitamos completar la siguiente tabla:
x y ( (
Llena la tabla para usar los valores siguientes de x y de y:
x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y 1 3 2 3 5 4 6 8 9 11
Usando los valores que necesitamos de la tabla, computa el coeficiente de correlación de Pearson.
¿Qué indica el valor del coeficiente de correlación de Pearson sobre la relación entre x y y?
Se realizó un estudio para determinar si había una relación entre la altura y la velocidad del corredor
entre estudiantes de escuela elemental. Se tomó una muestra aleatoria de ocho estudiantes de una
escuela elemental. Se midió la altura de cada joven en pulgadas y se calculó el tiempo que les tomaba
correr 37 metros en segundos. Los resultados aparecen en la tabla a continuación.
Corredor Altura Velocidad
1 60 8
2 55 11
3 56 10
4 52 12
5 48 14
6 44 16
7 47 13
8 52 12
Calcula el coeficiente de correlación de Pearson entre la altura y la velocidad de cada corredor. ¿Parece
haber una relación entre ambas? Si es el caso, ¿qué tipo de relación existe?
Fuente: http://www-pub.naz.edu:9000/~jerdley3/lesson3.pdf 1414

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación
Cómo calcular el coeficiente de correlación
Pregúntales a los estudiantes cuál es la serie de valores del coeficiente de correlación y qué
representan esos valores.
Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase.
-1 ≤ r ≤ 1; -1 representa una relación lineal negativa perfecta; 1 representa una
relación lineal positiva perfecta; 0 representa ninguna relación lineal
Escribe la fórmula para hallar el coeficiente de correlación en la pizarra.
Pregúntales a los estudiantes lo que deben saber para poder usar esta fórmula.
Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase.
Como la serie de valores de r es pequeña, r puede redondearse. Por lo tanto, diles a los estudiantes
que mantengan tantos decimales como puedan hasta el último paso.
Escribe los datos siguientes sobre estudiantes de duodécimo grado de escuela superior en la pizarra.
Coeficiente
Intelectual
Promedio
académi
co
76 88 91 93 99 104 115 120
1.7 2.5 2.9 2.6 3.5 3.4 2.2 3.8
Pregúntales a los estudiantes cuál es la variable explicativa y cuál es la variable de respuesta. Los
estudiantes deberán justificar sus respuestas.
1415

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Cómo calcular el coeficiente de correlación
El coeficiente intelectual (CI) es la variable explicativa porque se usará para predecir el promedio
académico. Por lo tanto, el promedio académico es la variable respuesta.
Pídeles a los estudiantes que introduzcan los datos en la Lista 1 y la Lista 2 en la calculadora.
Pídeles que computen las estadísticas de dos variables presionando la tecla 2-VAR.
Pídeles que calculen el coeficiente de correlación.
Pide voluntarios para que pasen a la pizarra y compartan sus resultados con la clase.
Pídeles a los estudiantes que interpreten el significado del coeficiente de correlación.
Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase.
Este valor de r indica una relación lineal positiva moderada entre el CI y el promedio académico del
ejemplo dado.
Pregúntales a los estudiantes qué significa “moderada”.
Pide voluntarios para que compartan sus respuestas con la clase.
Moderado es un término relativo. No dice mucho de cuán sólida es la relación lineal. Simplemente
sirve como índice entre no relación lineal y una relación lineal fuerte.
Fuente: http://www.doe.state.la.us/topics/comprehensive_curriculum.html 1416

Hipótesis binomial
Introducción
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Hipótesis binomial
Empieza la lección con preguntas de repaso sobre los principios y vocabularios de las pruebas de hipótesis.
(¿Qué se quiere decir por inferencia estadística? ¿De qué forma se diferencia del significado de inferencia
en el lenguaje común y corriente? ¿Cuál es el parámetro de la distribución binomial? ¿Cómo se relaciona
esto con la media y la varianza de la distribución? ¿Cuál es la diferencia clave entre un parámetro y una
estadística? ¿Qué notación se utiliza para las hipótesis nula y alternativa? ¿Cuáles son sus propósitos?
¿Cómo se formulan? ¿Cómo puedes saber a partir de la hipótesis alternativa si la prueba es de una o dos
colas? ¿De qué forma se relacionan el valor crítico, la región crítica y la región de aceptación?
Discute el nivel de importancia de cada detalle. Introduce la idea de que reducir el nivel de importancia
incrementa la probabilidad de cometer un error distinto, a saber, aceptar la hipótesis nula cuando es la
hipótesis alternativa la que es cierta.
Discusión en pares
Pídeles a los estudiantes que discutan en parejas qué diferencias ya entienden entre el uso de la palabra
significancia en estadísticas, en comparación con su uso en el lenguaje común y corriente. Escucha sus
comentarios. Haz hincapié en que significancia en el sentido estadístico no significa "importante", sino
simplemente "con pocas probabilidades de darse al azar". Introduce además la idea de que la opción
común de 0.05 para el nivel de significancia es en algunos casos arbitraria y, por lo tanto, dentro de la
investigación práctica, valdría la pena seguir investigando un resultado que solo "tiende hacia la
significancia".
Actividad principal
Dile a la clase que esta lección les permitirá consolidar su comprensión de los principios y vocabulario de
probar hipótesis, y les permitirá formular y realizar pruebas de sus hipótesis sobre modelos de distribución
de probabilidad binomial en situaciones prácticas.
1. Pídeles que discutan las preguntas en parejas y que entre ellos construyan respuestas escritas
razonadas de forma clara. Comparte las respuestas con el resto del grupo, por ejemplo, al pedirles a los
estudiantes que escriban sus respuestas en las transparencias del proyector o en hojas grandes de
papel. Preguntas:
a. Al pedírsele que explicara el sentido de "significancia estadística al nivel 0.05", un estudiante dijo:
"Esto significa que solo hay una probabilidad de 0.05 de que la hipótesis nula sea cierta". ¿Es esta
explicación esencialmente correcta? Explica tu respuesta en detalle.
b. A otro estudiante se le pregunta por qué la significancia estadística aparece con tanta frecuencia en
los informes de investigaciones. El estudiante responde: "Porque decir que los resultados son
significantes nos dice que no se pueden explicar fácilmente con solo la probabilidad". ¿Es esta
explicación esencialmente correcta? Explica tu respuesta en detalle.
2. Discutan en conjunto como clase los puntos fuertes y débiles de las respuestas, prestando particular
atención a aislar los equívocos. Pónganse de acuerdo en una respuesta modelo.
1417

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Hipótesis binomial
3. Dales instrucciones a grupos de tres para realizar un experimento práctico que lleve a pruebas de
hipótesis de modelos de distribución de probabilidad binomial. Repárteles la asignación a los
estudiantes y verifica que elaboren el experimento de forma correcta; asegúrate además de que su
sistema de anotación de resultados sea correcto. Dales tiempo a los estudiantes de que elaboren y
realicen la prueba de hipótesis. Anota los siguientes valores clave: H0 : p = 1/4; H1 : p < 1/4; prueba de
una cola; P(X ≥ 7) = 0.014 34; P(X ≥ 6) = 0.054 44, donde X es el número de cartas identificadas
correctamente de las 12 cartas. En términos estrictos, una región crítica de 5 % no contendría el valor 6,
pero parece sensato en este caso irse por encima del 5 % e incluir la región crítica de 6 pulgadas. Este es
un punto de discusión útil.
Instrucciones:
1. Tendrás que trabajar en un grupo de tres con las siguientes tareas: organizador, participante 1 y
participante 2. Necesitarás un cronómetro, una baraja de cartas y una forma de generar números
aleatorios.
2. Antes del experimento, el organizador utilizará números aleatorios para seleccionar 12 tarjetas y el
orden en el que se utilizarán en el experimento. Es solo el palo de la baraja el que importa, por lo que
los números aleatorios 1 y 2 pueden ser tréboles, el 3 y el 4 pueden ser las espadas, etc. El organizador
entonces le entrega la pila de 12 cartas al participante 1 boca abajo.
3. El organizador dice "primera carta" y empieza a contar 30 segundos. Durante ese tiempo, el
participante 1 voltea la primera carta y se concentra bien en ella. El participante 2 no puede ver la
carta. Al cabo de 30 segundos, el participante 2 debe escribir el palo de la tarjeta.
4. Repite lo mismo con las cartas restantes.
5. Al final, cuenta el número de respuestas correctas del participante 2.
6. Ahora, formula una prueba de hipótesis para determinar si el participante 2 es telepático. Recuerda
establecer tus hipótesis nula y alterna. ¿Es esta prueba de una o dos colas? ¿Cuál es la región crítica?
Usando tus resultados, ¿qué puedes concluir?
Conclusión
Pídeles a los estudiantes que reflexionen sobre cómo su comprensión de los principios y vocabulario de las
pruebas de hipótesis se ha desarrollado durante la lección, inclusive: ¿cuál es el propósito de realizar una
prueba de hipótesis? ¿Cómo podrías explicarle a alguien que no sepa de estadísticas el sentido del nivel de
significancia? ¿Es "mejor" o "más interesante" encontrar que se rechaza la hipótesis nula? Alguien sostiene
que nunca puede saberse nada con certeza en la ciencia. ¿Hasta qué punto estás de acuerdo? ¿Cómo te
ayuda tu conocimiento de las pruebas de hipótesis a entender el argumento que se quería probar?
Resumen para los estudiantes
• Las pruebas de hipótesis son parte de la inferencia estadística. La inferencia estadística permite
formular conclusiones a partir de datos de muestra sobre la población de la cual se tomó la muestra,
además de usar la probabilidad para decir cuán confiados estamos de que nuestras conclusiones están
correctas.
• Las pruebas de hipótesis permiten evaluar la prueba en los datos de la muestra sobre parámetros de
distribuciones desconocidos.
• Hay una forma estándar de elaborar y realizar una prueba de hipótesis.
• La conclusión de una prueba de hipótesis debe relacionarse con el problema original, y referirse al nivel
de significancia.
Fuente: http://www.teachers.net.qa/Math_lesson_plans_in_English/Gr.12_part1.pdf 1418

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis
Pasos de las pruebas de hipótesis
Objetivos: entender las pruebas de hipótesis
Nota histórica: La distribución t la formuló en 1908 un empleado irlandés de una cervecería que se
llamaba William Sealey Gosset. Gosset participaba de unas investigaciones de nuevos métodos de
manufacturar cerveza. Gosset publicó su hallazgo bajo el pseudónimo Estudiante, por lo que a veces a la
distribución t se le llama la distribución de Estudiante.
Regla básica para pruebas de hipótesis: "Si, dado un supuesto, la probabilidad de que se dé un evento
particular observado es excepcionalmente pequeña, concluimos que el supuesto probablemente no sea
correcto". Usando esta regla, probaremos una hipótesis al analizar datos de muestra en un esfuerzo por
distinguir entre resultados que puedan ocurrir fácilmente al azar y resultados que es muy poco probable
que ocurran al azar. Cuando obtenemos resultados muy poco probables, concluimos que la hipótesis no
es cierta.
En vez de comenzar con una secuencia de pasos mecánicos, empieza a probar hipótesis con un repaso
del concepto básico utilizado. Foco del asunto de la significancia: ¿difieren los resultados de la muestra
de la hipótesis por una cantidad que es estadísticamente significante? La siguiente tarea te ayudará a
centrarte en la significancia estadística.
Tarea
4.1. Desarrolla o encuentra un ejemplo que puedas usar en el salón de clases que ilustre la idea
fundamental/acercamiento básico de las pruebas de hipótesis. No escribas una hipótesis ni
cualquiera de los pasos típico de las pruebas de hipótesis. En vez, escribe una narrativa sencilla de
una afirmación, y da dos resultados de muestra distintos: uno que podría ocurrir fácilmente al
azar, y otro resultado que tenga muchas probabilidades de ocurrir al azar. Considera cómo le
explicarás la significancia estadística a la clase a medida que desarrollas el ejemplo.
Componentes de una prueba de hipótesis
Paso 1: Cómo identificar las hipótesis
La hipótesis nula, H 0 , es una afirmación de que el valor del parámetro de la población es equivalente a
un valor afirmado. En algunos textos se utilizan los símbolos ≤ o ≥ en la hipótesis nula, pero en la mayor
parte de las revistas profesionales se utiliza solo el símbolo =. La hipótesis nula se prueba asumiendo
que es cierta, y se llega a una conclusión para rechazarla o no rechazarla.
La hipótesis alterna, H 1 or H a , es la afirmación de que el parámetro tiene un valor que difiere de alguna
manera de la hipótesis nula. Si te encuentras realizando un estudio y quieres usar una prueba de
hipótesis para respaldar tu afirmación, dicha afirmación debe estar redactada de forma tal que se vuelva
la hipótesis alterna, porque no quieres usar una prueba de hipótesis para apoyar una afirmación de que
1419

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis
un parámetro es igual a un valor especificado. Sin embargo, la afirmación de otra persona podría
convertirse en la hipótesis nula o la alterna. La mejor forma de formar la hipótesis nula y alterna es
escribir la afirmación de forma simbólica, y luego escribir lo opuesto de la afirmación; el enunciado que
contenga la igualdad es la hipótesis nula.
Tarea
4.2. Escribe o busca un conjunto de afirmaciones que puedas darles a los estudiantes para practicar a
expresar las hipótesis nula y alterna correspondientes en forma simbólica.
Paso 2: Cómo calcular la estadística de prueba
La estadística de prueba es un valor que se calcula a partir de los datos de la muestra, y se usa para
tomar la decisión sobre si rechazar la hipótesis nula. La estadística de prueba se encuentra al convertir la
media de la muestra a una puntuación de z o de t. Dependiendo del nivel de competencia entre los
estudiantes, provéeles una puntuación de z o de t, o introduce la ecuación necesaria para calcular una
puntuación de z o de t.
Paso 3: Cómo hallar el valor de P correspondiente
El valor de P es la probabilidad asociada a la estadística de prueba.
Paso 4: Cómo identificar la región crítica y el valor crítico
La región crítica (región de rechazo) es el conjunto de valores de la estadística de prueba que puede
hacer que rechacemos la hipótesis nula. El nivel de significancia es la probabilidad de que la estadística
de prueba caerá en la región crítica cuando la hipótesis sea cierta. Si la estadística de prueba cae en la
región crítica, rechazaremos la hipótesis nula, y la probabilidad de rechazarla cuando es posible que sea
cierta es un tipo de error I llamado .
El valor crítico es cualquier valor que separe a la región crítica de los valores que no llevan al rechazo de
la hipótesis nula.
Tarea
4.3. Escribe por lo menos diez problemas de práctica para usarlos con tu clase y pídeles a los
estudiantes que encuentren los valores críticos. Utiliza un nivel de significancia de 0.05, escribe un
conjunto de hipótesis alternas usando una media de muestra, proporción y desviación estándar, y
, y ≠ Pídeles a los estudiantes que hallen el valor de P de cada problema.
1420

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Pasos de las pruebas de hipótesis
Paso 5: Cómo tomar una decisión
Decisión: El procedimiento estándar para probar hipótesis es que siempre probamos la hipótesis nula y
concluimos una de las siguientes:
1. Rechaza la hipótesis nula si la estadística de prueba cae dentro de la región crítica.
2. No rechaces la hipótesis nula si la estadística de prueba no cae dentro de la región crítica.
En las investigaciones publicadas se suele utilizar el método del valor de P:
1. Rechaza la hipótesis nula si el valor de P es < .
2. No rechaces la hipótesis nula si el valor de P es ≥ .
3. Declara el valor de P y déjale la decisión al lector.
Paso 6: Conclusión de la prueba
Conclusión: Los estudiantes por lo general tienen dificultades para escribir un enunciado correcto de la
conclusión final. La conclusión debe abordar la afirmación original, y la redacción precisa es importante.
Los estudiantes a veces no entienden la diferencia entre "aceptar o apoyar" y "no rechazar".
Tarea
4.4. Explica la diferencia entre "aceptar o apoyar" y "no rechazar". Puedes encontrar un ejemplo en tu
texto o crear uno, pero debes dar tu respuesta en tus propias palabras.
Fuente:
http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=historical%20note%3A%20the%20t%20distribution%20was%20f
ormulated%20in%201908%20by%20an%20irish%20brewing%20&source=web&cd=3&ved=0CCoQFjAC&url
=http%3A%2F%2Fmtl.math.uiuc.edu%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2FMod6B-
4.doc&ei=1YTvTq6YEOn10gG9veTPCQ&usg=AFQjCNENi1nUsUyDv-_0909VPD_82R18Nw 1421

¿Qué prefieres?
Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres?
1. Clasifica las formas de comunicarte con tus amigos. Utiliza un 1 para tu forma favorita, 2 para tu
segunda favorita, y así sucesivamente. ¡Nada de empates! No compartas tus resultados con nadie
todavía.
Hablar en persona
Hablar por teléfono
Por mensaje de texto
Por correo electrónico
Facebook/MySpace
Mensajería instantánea/chats
Tú Compañero
2. Ahora, compáralos con tu pareja. En una hoja de papel cuadriculado grande, traza tus puntuaciones
y las de tu pareja. Asegúrate de que las tuyas sean tan grandes y fáciles de notar como sea posible.
Cuelga la hoja en la pared para que otros puedan verla.
a. Si tuvieses que hacer una conjetura fundamentada, ¿dirías que tu diagrama de dispersión
representa una asociación fuerte, moderada o débil? ¿Representa tu diagrama de dispersión
una asociación negativa o positiva? Debes estar listo para explicar tu razonamiento.
b. Al observar el conjunto de gráficas, ¿cómo las organizarías? ¿Podrías ponerlas en algún orden?
¿Cómo elaboraste tu sistema para clasificarlas? Debes estar listo para compartir tus ideas con
todos.
Exploración
1. Hay muchas formas de calcular los coeficientes de correlación. En esta unidad, aprenderás sobre
dos: el coeficiente de correlación de rango de Spearman y el coeficiente de correlación de Pearson.
Utilizaremos el coeficiente de correlación de Pearson durante gran parte de la unidad. En el caso del
coeficiente de correlación de Pearson es necesario asumir que ambas variables tienen una
distribución normal. La correlación de rango de Spearman se utiliza si los datos son ordinales o están
clasificados por rango o si resulta poco razonable asumir que las variables se distribuyen de forma
normal. 1
En esta actividad nos centraremos en el coeficiente de correlación de rango de Spearman.
Mientras aprendes los cálculos, piensa en por qué te parece que funcionan. Si estás intentando
medir la solidez de la asociación entre dos clasificaciones (y no hay empates), puedes usar el
coeficiente de correlación de rango de Spearman. Está dado por la fórmula:
donde n es el número de elementos clasificados y
1422

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres?
representa la suma de las diferencias cuadradas entre los rangos.
Completa la tabla y usa la fórmula anterior para hallar el coeficiente de correlación de rango de
Spearman.
Hablar en persona
Hablar por teléfono
Por mensaje de texto
Por correo electrónico
Facebook/MySpace
Mensajería instantánea
Tú Compañero Diferencia de
rangos (d)
Diferencias
cuadradas (d 2 )
a. Compara tus valores con los de otros estudiantes en la clase. Corrobora los cálculos de al menos
dos parejas.
b. Interpreta tu diagrama de dispersión y coeficiente de correlación. Escribe un resumen de una o
dos oraciones.
c. Piensa en la fórmula del coeficiente de correlación de rango mientras lees la siguiente
publicación de Ask Dr. Math (http://mathforum.org/library/drmath/view/52774.html) de The
Math Forum. Antes de que leas las publicaciones, considera las preguntas siguientes:
i. Cuando las diferencias entre tú y tu pareja son muy grandes, ¿qué le ocurre al valor de
? ¿Qué le ocurrirá al valor general del coeficiente de correlación de rango?
ii. Cuando las diferencias entre tú y tu pareja son muy pequeñas, ¿qué le ocurre al valor de
? ¿Qué le ocurrirá al valor general del coeficiente de correlación de rango?
Correlación de rango de Spearman
Fecha: 17/02/99 a las 17:45:10
De: Bobby
Tema: Correlación de rango de Spearman
Quiero averiguar dónde se originaron las 6 pulgadas de la fórmula de la correlación de rango de Spearman. ¿Cómo
se llegó a 6? He intentado consultar con personas y enciclopedias, pero no encuentro la respuesta.
Muchas gracias.
Fecha: 17/02/99 a las 18:19:49
De: Doctor Pat
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres?
Tema: Re: Correlación de rango de Spearman
No estoy seguro, pero creo que el 6 viene de la suma de los cuadrados de los enteros del denominador. Recuerda
que el rho de Spearman (si no hay empates) es equivalente a la r de Pearson cuando los rangos son tratados como
coordenadas en x, y. El denominador tiene (n-1) sx·sy. Las sumas de los cuadrados de las variables de x, como son
rangos, deben ser enteros consecutivos. Un método y razonamiento similares funcionan para los valores en y.
Cuando encontramos las varianzas al sumar estos cuadrados, obtenemos un seis en cada denominador, y al sacar
la raíz cuadrada de 6·6 obtenemos un 6 fuera del radical. Para simplifica la matemática, multiplica el numerador y
el denominador por 6 y aparecerá en la parte de arriba.
¡Buena suerte!
-Doctor Pat, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/
Fecha: 18/02/1999 a las 16:17:28
De: Doctor Pat
Tema: Re: Correlación de rango de Spearman
Después de enviarte la primera respuesta, publiqué una nota en una lista de estadística. Esta es una respuesta
MUCHO mejor a tu pregunta que recibí de un correspondiente mío quien es un excelente matemático estadístico.
--------------------------------------------------------------------
El coeficiente de correlación de rango de Spearman se basa en la suma (diferencias 2 ) en dos clasificaciones.
Considera las situaciones extremas de las clasificaciones. Si hay N rangos y dos clasificaciones son idénticas en
todas partes, entonces suma(diferencias 2 ) = 0. Si están al revés una de la otra, por ejempli, si una es 1, 2, 3, 4, 5 y la
otra es 5, 4, 3, 2, 1, entonces la suma(diferencias^2) = N(N 2 - 1)/3. Mientras más cerca de 0 esté la
suma(diferencias 2 ), más parecidas las clasificaciones. Mientras más cerca de N(N 2 - 1)/3 esté la suma(diferencias 2 ),
más disparatadas las clasificaciones. Pero queremos obtener una escala común por la cual regirnos para hacer
juicios, no una que dependa de N. Además, nos gustaría que la escala pasara de -1 a 1, por lo que queremos hallar
una transformación que lleve 0 a 1 y N(N 2 - 1)/3 a -1. Escribe la ecuación de la línea que pasa por los puntos (0, 1) y
(N(N 2 - 1)/3, -1). Esta línea tiene una pendiente de -6/(N(N 2 - 1)) y una intercepción de 1.
-Doctor Pat, The Math Forum
iii. Halla la ecuación de la línea que pasa por los puntos (0,1) y ,-1).
El coeficiente de correlación de Pearson es otro método de calcular una medida de una asociación
lineal entre dos pares de valores (x,y). El cálculo incluye la desviación estándar. Para la mayor parte de
los datos, probablemente utilizarás un paquete estadístico o calculadora gráfica para realizar los
cálculos. Pero vale la pena hallar el coeficiente de correlación de un conjunto de datos pequeño a mano
para entender mejor la fórmula.
1424

Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - ¿Qué prefieres?
3. Considera este conjunto de datos con detenimiento para calcular el coeficiente de correlación de
Pearson.
r=
x y
1 4
a) Para calcular el coeficiente de 5 11
correlación, comienza buscando
i. la media de los valores de x,
ii. la media de los valores de y,
iii. la desviación estándar de los valores de x, Sx
iv. la desviación estándar de Sy
b) Completa el cálculo del coeficiente de correlación. Recuerda que Σ es el símbolo de suma.
4. Usando un software de estadística o tu calculadora gráfica, crea una versión electrónica de tu
diagrama de dispersión desde el inicio. Halla el coeficiente de correlación y escribe el coeficiente de
correlación en tu diagrama de dispersión grande.
5. Al observar los diagramas de dispersión de la clase y sus coeficientes de correlación
correspondientes, ¿qué notas sobre la forma de los diagramas de dispersión y los coeficientes de
correlación?
6. ¿Cuáles diagramas de dispersión tenían un coeficiente de correlación negativo? ¿Cuáles diagramas
de dispersión tenían un coeficiente de correlación positivo? ¿Qué podrían significar estos
coeficientes de correlación en el contexto de tus clasificaciones y las de tu pareja?
7. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que
pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a 1. Debes estar preparado para compartir tu
gráfica y el coeficiente de correlación.
8. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que
pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a -1. Debes estar preparado para compartir tu
gráfica y el coeficiente de correlación.
9. Usa un software de estadística o tu calculadora gráfica para crear un conjunto de clasificaciones que
pienses tendría un coeficiente de correlación cercano a 0. Debes estar preparado para compartir tu
gráfica y el coeficiente de correlación.
Resume
3 8
1. Explica qué representa el valor del coeficiente de correlación.
2. Haz una ilustración rápida de un diagrama de dispersión con una asociación positiva fuerte y
asociación negativa fuerte.
3. Haz una ilustración rápida de un diagrama de dispersión con una asociación débil.
Fuente: http://www.iowa.gov/pages/search?q=Unit%3A+Correlation+and+Regression&=Search
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Unidad PE.4: Correlación, intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Matemáticas
Tarea de desempeño - Las elecciones de Florida
Número de votos en 25 condados de Florida en las elecciones presidenciales
Condado
Fuente: http://www.apskids.org/Documents/Math_II_Unit_6%20_TE_APS_Web-Web.pdf
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