EJERCICIOS GEOMETRÍA 2º BACHILLERATO

EJERCICIOS GEOMETRÍA 2º BACHILLERATO
1) Comprobar que los vectores a =(1,1,3) b =(-1,2,0) y c =(1,3,5) son linealmente
dependientes. Encontrar la ecuación del plano que contiene a esos vectores y al punto
Q(-1,0,1).
⎛ 1
⎜
rg( a,
b,
c)
= rg⎜
−1
⎜
⎝ 1
1
2
3
3⎞
⎟
0⎟
→
5⎟
⎠
F2
= f2
+ f1
F3
= f3
− f1
⎛1
⎜
→ rg⎜
0
⎜
⎝0
1
3
2
3⎞
⎟
3⎟
→
2⎟
⎠
F3
= 3 f3
− 2 f2
⎛1
⎜
→ rg⎜
0
⎜
⎝0
1
3
0
3⎞
⎟
3⎟
= 2 →
0⎟
⎠
Los vectores son linealmente
dependientes.
x + 1
π ≡ 1 1 3 = 0 → π ≡ 2x
+ y − z + 3 = 0
−1
y
2
z −1
0
2) Se consideran cinco puntos de coordenadas P(1,-1,2) Q(-2,2,3) R(-3,3,3) S(-3,3,0) y
T(-3,4,3). Razona si forman parte del mismo plano
Con los cinco puntos construimos
cuatro vectores y analizamos su rango
⎛ − 3 3 1 ⎞
⎛−
3 3 1 ⎞
⎜
⎟ F2
= 3 f2
− 4 f1
⎜
⎟
⎜−
4 4 1 ⎟
⎜ 0 0 −1
⎟
rg(
PQ,
PR,
PS,
PT ) = rg⎜
→ F3
= 3 f3
− 4 f1
→ rg
→
− 4 4 − 2⎟
⎜ 0 0 −10⎟
⎜
⎟ F4
3 f4
4 f ⎜
⎟
⎜
1
4 5 1 ⎟ = − ⎜ 0 3 1 ⎟
⎝−
⎠
⎝ − ⎠
⎛−
3 3 1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 0 −1⎟
F3
= f3
−10
f2
→ rg⎜
= 3 → Los vectores no son coplanarios.
0 0 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜
0 3 1
⎟
⎝ − ⎠
u = −1,
2,
3
v = ( 2, 5,
−2)
x = ( 4,
1,
3)
y z = ( 4, 1,
−8)
a) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v ? Si es así escribe dicha
combinación lineal.
4 = −a
+ 2b⎫
⎧Re
solviendo las dos
⎪ ⎪
( 4,
1,
3)
= a(
−1,
2,
3)
+ b(
2,
5,
− 2)
→ 1 = 2a
+ 5b
⎬ → ⎨ primeras ecuaciones sale a = −2
b = 1 →
3 = 3a
− 2b
⎪ ⎪
⎭ ⎩ pero 3 ≠ 3(
− 2)
− 2 ⋅1
el sistema es incompatible
→ x no puede expresarse
como
combinación
lineal de u y v
b) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v ? Si es así escribe dicha
combinación lineal.
4 = −a
+ 2b
⎫ ⎧Re
solviendo las dos primeras
⎪ ⎪
( 4,
1,
− 8)
= a(
−1,
2,
3)
+ b(
2,
5,
− 2)
→ 1 = 2a
+ 5b
⎬ → ⎨ ecuaciones sale a = −2
b = 1 → z = −2u
+ v
− 8 = 3a
− 2b⎪
⎪
⎭ ⎩ − 8 = 3(
− 2)
− 2 ⋅1
3) Sean los vectores ( )
c) ¿Son u v y z linealmente independientes? Justifica la respuesta.
z = −2u
+ v → rg(
z,
u,
v)
= 2 → Son linealmentes
dependientes
u = 1, −1,
2
y v = (3,1,-1) Halla el conjunto de vectores que siendo
perpendiculares a u pertenezcan al plano generado por u y v .
Si pertenecen al plano generado por u y v puede expresarse
como combinación
lineal de u y v
w = au
+ b v = a(
1,
−1,
2)
+ b(
3,
1,
−1)
= ( a + 3b,
− a + b,
2a
− b)
→
Si w es perpendicular
a u →w
⋅ u = 0 → a + 3b
− ( − a + b)
+ 2(
2a
− b)
= 0 → a + 3b
+ a − b + 4a
− 2b
= 0 →
a = 0 y b puede tomar cualquier valor →w
= 3b,
b,
− b b ∈ ℜ
4) Dados los vectores ( )
{ ( ) }

5) Dada la recta r determinada por los puntos A(1,1,1) y B(3,1,2) y la recta
averigua su posición relativa y halla, si existe, el plano que las contiene.
⎧A(
1,
1,
1)
⎪⎧
A(
1,
1,
1)
r ≡ ⎨ → r⎨
⎩B(
3,
1,
2)
⎪⎩ AB = ur
( 2,
0,
1)
x = 1+
2t⎫
⎧x
− 2z
−1
= 0 ⎧x
= 1+
2z
⎪ ⎧C(
1,
2,
0)
s ≡ ⎨
→ ⎨ → y = 2 ⎬ → s ≡ ⎨
→
⎩y
− 2 = 0 ⎩y
= 2
us
( )
z t ⎪ ⎩ = 2,
0,
1
= ⎭
rg(
ur
, us
) = 1 → rg(
AC,
ur
, us
⎛0 ⎜ ) = rg⎜
2
⎜
⎝2
1
0
0
−1⎞
⎟
1 ⎟ = 2 → rectas paralelas
1 ⎟
⎠
El plano que las contiene se construye :
( 1,
1,
1)
= ( 0,
1,
−1)
= ( 2,
0,
1)
⎧x
− 2z
−1
= 0
s ≡ ⎨
⎩y
− 2 = 0
⎧A
x −1
y −1
z −1
⎪
π ≡ ⎨AC
→ π ≡ 0 1 −1
= 0 → π ≡ x − 2y
− 3z
+ 3 = 0
⎪
ur
2 0 1
⎩
⎧x
= 2 + t
⎪
6) Dados el punto P(2,1,1) y la recta r ≡ ⎨y
= 3 − t encuentra la ecuación del plano que contiene a
⎪
⎩z
= 4 − 3t
ambos
⎧x
= 2 + t
⎧A(
2,
3,
4)
x − 2 y − 3 z − 4
⎪
⎧A(
2,
3,
4)
⎪
r ≡ ⎨y
= 3 − t → r ≡ ⎨
→ π ≡ ⎨AP
= ( 0,
2,
3)
→ π ≡ 0 2 3 = 0 →
⎪
( 1,
1,
3)
4 3
⎩u
= − − ⎪
⎩z
= − t
u = ( 1,
−1,
− 3)
1 −1
− 3
⎩
π ≡ 3x
− 3y
+ 2z
− 5 = 0
7) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1,1,1) y el vector
(0,-5,3) y que pasa por el punto P(1,0,-5)
⎧R(
1,
1,
1)
x −1
y −1
z −1
⎪
π ≡ ⎨PR
= ( 0,
−1,
− 6)
→ 0 −1
− 6 = 0 → π ≡ x −1
= 0
⎪
u = ( 0,
− 5,
3)
0 − 5 3
⎩
⎧x
= 1−
2α
x − 2 y + 1 z + m ⎪
8) Dadas las rectas r ≡ = = y s ≡ ⎨y
= −1+
4α
determina m para que las rectas
2 1 2 ⎪
⎩z
= 5 −α
sean secantes, y calcula, en ese caso, el punto de corte.
−1
0 5 + m
⎧A(
2,
−1,
− m)
⎧B(
1,
−1,
5)
⎪⎧
rg(
ur
, us
) = 2
r ≡ ⎨
; s ≡ ⎨
→ Si son sec antes → ⎨
→ 2 1 2 = 0 →
⎩u
= ( 2,
1,
2)
⎩u
= ( − 2,
4,
−1)
r
s
⎪⎩ rg(
AB,
ur
, us
) = 2
− 2 4 −1
Para calcular el
⎧
⎪x
= 2 + 2t
⎪
r ≡ ⎨y
= −1+
t
⎪ 59
⎪z
= + 2t
⎩ 10
punto de corte P
→1+
8
( 5 + m)
+ 2(
5 + m)
se resuelve el sistema en
+ 8 = 0 → m = −59
10
paramétricas
⎧
⎧x
= 1−
2α
⎪2
+ 2t
= 1−
2α
⎪
⎪
1 ⎛ 6 7 51⎞
s ≡ ⎨y
= −1+
4α
→ ⎨−1
+ t = −1+
4α
→ α = − → P⎜
, − , ⎟
⎪
⎪
10 ⎝ 5 5 10 ⎠
⎩z
= 5 −α
59
⎪ + 2t
= 5 −α
⎩10

9) Estudia, según los distintos valores que puede tomar el parámetro m las posiciones relativas
del plano p y de la recta r de ecuaciones p ≡ mx − 3 y + 2z
= 1
⎧3x
+ y = 1
r ≡ ⎨
⎩2x
− y + mz = 1
⎧mx
− 3y
+ 2z
= 1 ⎛m
⎪
⎜
⎨3x
+ y = 1 → A = ⎜ 3
⎪2x
y mz 1 ⎜
⎩ − + = ⎝ 2
− 3
1
−1
2 ⎞
⎟
2
0 ⎟ → A = m + 9m
−10
→ A = 0 → m = 1;
m = −10
m⎟
⎠
∗
⊗ Si m ≠ 1 m ≠ −10
→ rgA = rgA = 3 → Re cta y plano se cor tan en un punto
⎛1
⎜
⊗ Si m = 1→
⎜3
⎜
⎝2
− 3
1
−1
2
0
1
1⎞
⎟
1⎟
→
1⎟
⎠
F
F
2
3
=
=
f
f
2
3
− 3 f
− 2 f
1
1
⎛1
⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
rgA = rgA
= 2 → Re cta contenida en el
plano
⎛−
10
⎜
⊗ Si m = −10→
⎜ 3
⎜
⎝ 2
− 3
1
−1
2
0
−10
1⎞
⎟
1⎟
→
1⎟
⎠
F2
= 10 f 2 + 3 f1
F3
= 10 f3
+ 2 f1
⎛−
10
⎜
→ ⎜ 0
⎜
⎝ 0
− 3
1
−16
2
6
− 96
1 ⎞
⎟
13⎟
→
22⎟
⎠
F3
= f 3 + 16 f 2
⎛1 ⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
− 3
1
0
2
6
0
1 ⎞
⎟
13 ⎟ → rgA = 2
230⎟
⎠
∗
rgA = 3 → Recta
paralela al plano
10) Estudia la posición relativa de los planos π ≡ ax + 20 y + 7z
= 1,
π ′ ≡ 3 y + z = 0 , π ′′ ≡ x − ay = 1
según los valores de a .
x − ay = 1 ⎫ ⎛1 ⎪ ⎜
3y
+ z = 0 ⎬ → ⎜ 0
ax + 20y
+ 7z
= 1⎪
⎜
⎭ ⎝a
− a
3
20
0
1
7
1⎞
⎟
0⎟
→
1⎟
⎠
F3
= f3
− af1
⎛1
⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
− a
3
2
20 + a
0
1
7
1 ⎞
⎟
0 ⎟ →
1−
a⎟
⎠
c2
↔ c3
Las incógnitas
quedan x,
z y
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
0
1
7
− a
3
20 + a
2
1 ⎞
⎟
0 ⎟ →
1−
a⎟
⎠
=
− 7 f
⎛1
⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
∗
⊗ Si a ≠ ± 1 → rgA = rgA = 3 → Los planos
F
3
f
3
2
⎛1 ⎜
⊗ Si a = 1 → ⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
− a
3
0
1⎞
⎟
∗
0⎟
→ rgA = rgA = 2 → Los planos
0⎟
⎠
se cor tan en una recta
⎛1
⎜
⊗ Si a = −1
→ ⎜0
⎜
⎝0
0
1
0
− a
3
0
1 ⎞
⎟
0 ⎟ → rgA = 2
− 2⎟
⎠
∗ ⎧No
hay filas proporcionales
rgA = 3 → ⎨
⎩Los
planos se cor tan dos a dos
11) Halla el punto del plano de ecuación π ≡ x − z = 3 que está más cerca del punto P(3,1,4), así como la
distancia entre el punto P y el plano.
El punto pedido Q es el pie de la perpendicular trazada al plano desde el punto P
π ≡ x − z = 3 P(
3,
1,
4)
construimos
r ⊥ π y
⎧x
= 3 + t
⎧P(
3,
1,
4)
⎪
P ∈ r → r ≡ ⎨
→ r ≡ ⎨y
= 1
⎩u
r = nπ
= ( 1,
0,
−1)
⎪
⎩z
= 4 − t
Calculamos el
⎧x
− z = 3
⎪
x = 3 + t
punto de corte de r y π → ⎨ → 3 + t − 4 + t = 3 → t = 2 → Q(
5,
1,
2)
⎪y
= 1
⎪
⎩z
= 4 − t
d
0
1
0
a
− 3
10
5
− a
3
−1
se cor tan en un
2
2
− 6
− 3
∗
punto
1 ⎞
⎟
− 2⎟
−1
⎟
⎠
F
3
=
1 ⎞
⎟
0 ⎟ → A = a
1−
a⎟
⎠
2
2
2
( P,
π ) = d(
P,
Q)
= ( 5 − 3)
+ ( 1−
1)
+ ( 2 − 4)
= 8 = 2 2 unidades
f
2
3
−
0,
5
f
2
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
− 3
10
0
2
− 6
0
−1
→ A = 0 → a = ± 1
1 ⎞
⎟
− 2⎟
0 ⎟
⎠
→

⎧x
= −3
+ λ
⎪
12) Estudiar las posiciones relativas de los planos π ≡ x + y + z = −3
y π ′ ≡ ⎨y
= −λ
+ µ y de
⎪
⎩z
= −6
− µ
x − 3 y z − 3
la recta r ≡ = = con relación a ellos. Halla un punto P de r que esté a la misma
2 1 3
distancia de π y de π ′
⎧x
= −3
+ λ x + 3
⎪
π ′ ≡ ⎨y
= −λ
+ µ → π ′ ≡ 1
⎪
⎩z
= −6
− µ 0
y
−1
1
z + 6
0 = 0 → π ′ ≡ x + y + z + 9 = 0 →
−1
π ≡ x + y + z = −3
⎫ ⎛1
⎬ → rg⎜
π ′ ≡ x + y + z = −9⎭
⎝1
1
1
1⎞
⎟ = 1
1⎠
⎛1
rg⎜
⎝1
1
1
1
1
− 3⎞
⎟ = 2 → Sist.
incompatible
→ Planos Paralelos
− 9⎠
x − 3 y z − 3 ⎧x
− 2y
= 3
Analizamos la posición entre r ≡ = = → r ≡ ⎨
2 1 3 ⎩3y
− z = −3
y π ≡ x + y + z = −3
⎧x
+ y + z = −3
⎛1
⎪
⎜
⎨x
− 2y
= 3 → ⎜1
⎪ y z ⎜
⎩3
− = −3
⎝0
1
− 2
3
1
0
−1
− 3⎞
⎟
3 ⎟ →
− 3⎟
⎠
F2
=
f 2 − f1
⎛1
⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
1
− 3
3
1
−1
−1
− 3⎞
⎟
6 ⎟ →
− 3⎟
⎠
F3
=
f 3 + f 2
⎛1
⎜
→ ⎜0
⎜
⎝0
1
− 3
0
1
−1
− 2
− 3⎞
⎟
6 ⎟
3 ⎟
⎠
6t
+ 9 = 6t
+ 15 → 6t
+ 9 = ±
rgA = rgA
( 6t
+ 15)
→
∗
= 3 → r y π se cor tan en un punto
π y π ′ paralelos ⎫
⎬ → La recta corta a los planos en un punto en cada uno de ellos
r y π se cor tan en un punto⎭
3 + 2t
+ t + 3 + 3t
+ 3 3 + 2t
+ t + 3 + 3t
+ 9
P ∈r
→ P(
3 + 2t,
t,
3 + 3t
) y cumple d(
P,
π ) = d(
P,
π ′ ) →
=
→
3
3
6t
+ 9 = 6t
+ 15 no tiene solución
6t
+ 9 = −6t
−15
→ t = −2
→ P
( −1,
− 2,
− 3)
13) Calcular los puntos de la recta r que pasa por los puntos P y Q de coordenadas P(-1,2,3) y
Q(3,5,0), cuya distancia al punto C(-1,0,1) es de 12 unidades.
⎧P( −1,
2,
3)
⎪⎧
P(
−1,
2,
3)
r ≡ ⎨ → r ≡ ⎨
→ Un punto de s es de la forma : S(
−1
+ 4t,
2 + 3t,
3 − 3t
)
⎩Q(
3,
5,
0)
⎪⎩ PQ = ( 4,
3,
− 3)
d
16
( S,
C)
= 12 →
2
( −1
+ 4t
+ 1)
2
+ ( 2 + 3t)
2
+ ( 3 − 3t
−1)
= 12 →
2
2
( 4t)
+ ( 2 + 3t
) 2
+ ( 2 − 3t)
2
t
2
+ 4 + 9t
2
2
+ 12t
+ 4 + 9t
−12t
= 144 → 34t
= 136 → t = ± 2 →
t = 2 → S1(
7,
8,
− 3)
t = −2
→ S ( − 9,
− 4,
9)
2
= 12 →
14) Dados los planos α ≡ x + y + z = 1 β ≡ ax + y = 1 y γ ≡ x + ( a + 1)
z = 0 , determinar los valores
de a para los cuales:
a) Los planos se cortan en un solo punto
b) Se cortan en una recta
x + y + z = 1 ⎫ ⎛1
1 1 1⎞
⎛1
1 1 1 ⎞
⎪ ⎜
⎟ F2
= f 2 − af1
⎜
⎟
ax + y = 1 ⎬ → ⎜a
1 0 1⎟
→
→ ⎜0
1−
a − a 1−
a⎟
→ f 2 ↔ f3
→
F3
= f3
− f1
x + ( a + 1)
z = 0⎪
⎜1
0 a 1 0⎟
⎜0
1 a 1 ⎟
⎭ ⎝ + ⎠
⎝ − − ⎠
⎛1
1 1 1 ⎞ c2
↔ c3
⎛1
1 1 1 ⎞
⎛1
1 1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0
−1
a −1
⎟ → Las incógnitas → ⎜0
a −1
−1
⎟ → F3
= f 3 + f 2 → ⎜0
a −1
−1
⎟
⎜0
1 a a 1 a⎟
quedan : x,
z,
y ⎜0
a 1 a 1 a⎟
⎜0
0 a a⎟
⎝ − − − ⎠
⎝ − − − ⎠
⎝ − − ⎠
A = −a
2
→ A = 0 → a = 0 →
Si a = 0 rgA = rgA
Si a ≠ 0 rgA = rgA
∗
∗
= 2 → Comp.
Indet
er min ado → se cor tan en una recta
= 3 → Sist.
Comp.
det er min ado → se cor tan en un punto

15) Encontrar el punto de intersección de la recta
el origen de coordenadas.
= 1+
⎧x
λ
⎪
⎧A
r ≡ ⎨y
= 2 − λ → r ≡ ⎨
⎪
⎩u
r
⎩z
= λ
Punto de int er sección
:
( 1,
2,
0)
= ( 1,
−1,
1)
⎧O
→ π ≡ ⎨
⎩n
⎧x
= 1+
λ
⎪
r ≡ ⎨y
= 2 − λ
⎪
⎩z
= λ
( 0,
0,
0)
= u = ( 1,
−1,
1)
con el plano π perpendicular a r que pasa por
x − y + z = 0⎫
x = 1+
λ
⎪
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 4 5 1 ⎞
⎬ → 1+
λ − ( 2 − λ)
+ λ = 0 → λ = 1 3 → P⎜1+
, 2 − , ⎟ → P⎜
, , ⎟
y = 2 − λ ⎪
⎝ 3 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠
z = λ ⎪
⎭
16) Dados los planos π 1 ≡ mx + 2y
+ 3z
−1
= 0 y π 2 ≡ 2 x + 4 y + 6 z + 5 = 0 .
a) Determinar m para que sean paralelos y hallar su distancia
π 1 ≡ mx + 2y
+ 3z
−1
= 0 ⎫
m 2 3 −1
⎬ → Son paralelos si = = ≠ → m = 1
π 2 ≡ 2x
+ 4y
+ 6z
+ 5 = 0⎭
2 4 6 5
π 1 ≡ x + 2y
+ 3z
−1
= 0 ⎫
⎬ → P ∈π
1 → y = 0 z = 0 → x = 1 → P(
1,
0,
0)
π 2 ≡ 2x
+ 4y
+ 6z
+ 5 = 0⎭
π
r
⎧π
≡ x − y + z + D = 0
→ ⎨
→ π ≡ x − y + z = 0
⎩0
+ D = 0 → D = 0
d(
π 1 , π 2 ) = d(
P,
π 2 ) =
2 + 5
2 2 2
2 + 4 + 6
=
7
=
56
56
unidades
8
b) Determinar m para que sean ortogonales y hallar un punto y un vector de la recta
intersección.
π 1 ≡ mx + 2y
+ 3z
−1
= 0 ⎫
⎬ → Son
π 2 ≡ 2x
+ 4y
+ 6z
+ 5 = 0⎭
ortogonales
si ( m,
2,
3)
⋅ ( 2,
4,
6)
= 0 → m = −13
⎧
⎧−13x
+ 2y
−1
= 0 1
⎧−13x
+ 2y
+ 3z
−1
= 0 ⎪P
→ Si z = 0 → ⎨
→ x = −
r ≡ ⎨
→ ⎨
⎩2x
+ 4y
+ 5 = 0 4
⎩2x
+ 4y
+ 6z
+ 5 = 0 ⎪
⎩ur
= ( −13,
2,
3)
x(
2,
4,
6)
= ( 0,
84,
− 56)
9 ⎛ −1
− 9 ⎞
y = − → P⎜
, , 0⎟
8 ⎝ 4 8 ⎠
NOTA: Las partes sombreadas de gris
corresponden a contenidos que no hemos
estudiado todavía y por tanto no entran en
el examen