Aplicaciones de la integral.

12.1 Áreas de superficies planas.
12.1.1 Funciones dadas de forma explícita.
Tema 12
Aplicaciones de la integral.
A la vista del estudio de la integral definida realizado en el Tema 10, parece razonable la siguiente
definición:
Definición 12.1 – Sea f : [a, b] −→ IR una función continua y positiva, y consideremos la región
R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gráfica
de f (fig 12.1). Entonces el área de la región R está definida por
b
A(R) = f(x)dx.
a
En efecto, en su momento hemos comentado como las sumas inferiores y sumas superiores nos
ofrecen aproximaciones por “defecto” y por “exceso” del área encerrado por la curva y = f(x).
Si la función es integrable, el inferior de las cotas superiores y el superior de las cotas inferiores
coinciden, luego ese valor debe de ser el valor del área.
R
y = f(x)
a b
Fig. 12.1.
Ejemplo 12.2 – Calcular el área de la región limitada por la curva f(x) = x2
3 + 1, los ejes
coordenados y la recta x = 3.
Solución:
La función es positiva en todo IR. En particular, lo es en el dominio de integración y, por
tanto, el valor del área que buscamos vendrá dado por
3
A(R) = f(x)dx.
0
En nuestro caso, como F (x) = x3
9 + x es una primitiva de f en [0, 3], basta aplicar la regla de
Barrow para obtener que
3 x2 x3 3
A(R) = + 1 dx = + x = (3 + 3) − (0 + 0) = 6,
3 9
nos ofrece el área del recinto R de la figura.
0
Integral de una variable. 139
0

1
f(x)= x2
3 +1
R
x=3
12.1 Áreas de superficies planas.
Cuando la función f : [a, b] −→ IR que limita R, es continua y negativa, es decir, f(x) ≤ 0,
b
para todo x ∈ [a, b], se tiene que f(x)dx ≤ 0, por lo que este valor no representa el área de
a
R como magnitud de medida positiva. Sin embargo, es claro que el área de la región R coincide
con el área de la región R ′ determinada por la función −f (fig 12.2), por lo que, teniendo en
R
R
y = −f(x)
a b
Fig. 12.2.
y = f(x)
cuenta las propiedades de la integral, puede darse la siguiente definición.
Definición 12.3 – Sea f : [a, b] −→ IR una función continua y negativa. Consideremos la región
R del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas y la gráfica
de f . Entonces el área de la región R está definida por
b
b
A(R) = −f(x)dx = − f(x)dx.
a
Observación 12.4 – Es claro entonces que para calcular el área de regiones planas debe analizarse
el signo de la función en el intervalo de integración. De no hacerlo así, la parte negativa de la
función “restará” el área que encierra del área encerrado por la parte positiva.
Contraejemplo.- Hallar el área encerrado por la función f(x) = sen x, en el intervalo [0, 2π].
2π
2π El valor sen xdx = − cos x = (− cos(2π)) − (− cos 0) = 0, es claro que no representa
0
el área encerrada por la curva.
0
R1
a
π 2π
R2
Ahora bien, teniendo en cuenta que la función sen x es positiva en [0, π] y negativa en [π, 2π],
el valor real del área encerrado será por tanto
π
2π
A(R) = A(R1) + A(R2) = sen xdx +
0
π
π 2π − sen xdx = − cos x + cos x = 2 + 2 = 4.
0 π
Integral de una variable. 140

12.1 Áreas de superficies planas.
Ejemplo 12.5 – Hallar el área determinada por la curva f(x) = (x−1)(x−2), las rectas x = 0,
x = 5
2 y el eje de abcisas.
Solución:
f(x) es menor o igual a cero en [1, 2] y positiva en el resto. Luego
Como F (x) = x3
3
− 3x2
2
2
1
A(R) =
0
R1
f(x)=(x−1)(x−2)
R2
R3
1 2 2.5
2
f(x)dx + −f(x)dx +
1
5
2
+ 2x es una primitiva de f(x) en [0, 5
2 ],
2
f(x)dx.
A(R) = (G(1) − G(0)) − (G(2) − G(1)) + (G( 5
5−4+5+5−4
2 ) − G(2)) = 6 = 7
6 .
En las definiciones anteriores puede considerarse, que el área calculado esta encerrado por
la función y = f(x) y la función y = 0, cuando la f es positiva, y por la función y = 0 y la
función y = f(x), cuando la f es negativa. En ambos casos, se tiene que
b
A(R) =
a
b b
b b
b
f(x)dx− 0dx = (f(x)−0)dx y A(R) = 0dx− f(x)dx = (0−f(x))dx,
a
a
a a
a
es decir, que el área encerrado por ambas funciones es la integral de la función mayor menos la
integral de la función menor. En general, se tiene entonces que
Si f, g : [a, b] −→ IR son funciones continuas, con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces,
si R es la región del plano cuya frontera viene dada por las rectas x = a, x = b, el eje de abcisas
y las gráficas de f y g , el área de R se obtiene como
b
A(R) =
a
b
f(x)dx − g(x)dx =
a
b
a
f(x) − g(x) dx.
En efecto, si las funciones verifican que 0 ≤ g(x) ≤ f(x), es claro que el área encerrado por f
y g es el área encerrado por f menos el área encerrado por g (fig. 12.3), es decir,
b
A(Rf−g) = A(Rf ) − A(Rg) =
a
b
f(x)dx − g(x)dx.
a
Si alguna de ellas toma valores negativos, el área entre ambas, R, es el mismo que si le sumamos
a cada función una constante C que las haga positivas y, por tanto, el área R es el área R ′
encerrado por f + C menos el área encerrado por g + C (fig. 12.3), es decir,
b
b
A(Rf−g) = A(Rf+C) − A(Rg+C) = (f(x) + C)dx − (g(x) + C)dx
Observaciones 12.6 –
a
a
b b b b b
= f(x)dx + Cdx − g(x)dx − Cdx =
a
a
a
a
a
b
f(x)dx − g(x)dx.
a
Integral de una variable. 141

y = f(x)+C
y = f(x)
R
y = g(x)+C
R
a y = g(x) b
Fig. 12.3.
12.1 Áreas de superficies planas.
⋆ Las definiciones son ampliables para a = −∞ y/ó b = +∞ cuando tenga sentido, es
decir, cuando las integrales impropias correspondientes sean convergentes.
⋆ De forma análoga, si la región está limitada por funciones x = f(y), x = g(y) y las
rectas y = c e y = d, siendo g(y) ≤ f(y) para todo y ∈ [c, d], el área de la región puede
encontrarse mediante la fórmula
d
A(R) =
c
f(y) − g(y) dy.
Ejemplo.- Calcular el área de la región acotada comprendida entre las parábolas de
ecuaciones y 2 + 8x = 16 e y 2 − 24x = 48.
x=f(y)
√ 24
R
− √ 24
x=g(y)
Las parábolas pueden escribirse como x = g(y) = 16−y2
8
de corte de ambas parábolas son las soluciones de la ecuación
16 − y 2
8
= y2 − 48
24 =⇒ y = ±√ 24.
Como en el intervalo [− √ 24, √ 24] es f(y) ≤ g(y), se tiene que
A(R) =
√ 24
− √ 24
16−y 2
8
dy −
√ 24
− √ 24
y x = f(y) = y2 −48
24 . Los puntos
y2
−48
dy =
24 √ 24
− √
4−
24
y2
dy = 4y−
6
y3
18
√ 24
− √ 24
= 16√
24.
3
Integral de una variable. 142

12.1.2 Funciones dadas de forma paramétrica.
12.1 Áreas de superficies planas.
Estudiaremos ahora el caso en que la curva y = f(x) en [a, b] viene dada por las ecuaciones
paramétricas.
x = ϕ(t)
y = ψ(t) .
Si f es positiva (si f es negativa o cambia de signo se escribirá lo correspondiente), el área
encerrado por f es
b
A(R) = f(x)dx.
Como x = ϕ(t) e y = ψ(t) tenemos que
a
y = f(x) = f(ϕ(t)) = ψ(t) y dx = ϕ ′ (t)dt,
luego usando este cambio de variable en la integral, se tiene que
b
t2
A(R) = f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ ′ t2
(t)dt = ψ(t)ϕ ′ (t)dt,
a
t1
donde ϕ(t1) = a y ϕ(t2) = b. En consecuencia, puede calcularse el área encerrado por la
curva dada en paramétricas usando estas ecuaciones, –naturalmente teniendo en cuenta el signo
de y = ψ(t)–.
Observación:
Los extremos de integración t1 y t2 aparecen al efectuar el cambio de variable, y están asociados
respectivamente a a y b, con a ≤ b, por lo que puede ser tanto t1 ≤ t2 como t1 ≥ t2 según el
caso (de hecho y respectivamente, según que el signo de x ′ = ϕ ′ (t) sea positivo o negativo en el
intervalo).
x = cos t
Ejemplo 12.7 – Hallar el área encerrado por la curva
, con t ∈ [0, 2π].
y = sen t
Solución:
El área pedida, es el área del círculo de radio 1. Cuando y ≥ 0, haciendo el cambio x = cos t,
para el cuál dx = − sen tdt con 1 = cos 0 y −1 = cos π , tenemos que
1
0
π
A(R+) = y(x)dx = sen t(− sen t)dt = sen 2 π
tdt =
−1
−1
π
π
0
π
t1
0
1 − cos 2t
dt =
2
π
2
Cuando y ≤ 0, con el mismo cambio se obtiene 1 = cos 2π y −1 = cos π , de donde
1
2π
2π
A(R−) = − y(x)dx = − sen t(− sen t)dt = sen 2 tdt = t
2π sen 2t
− =
2 4
π
2
Observación 12.8 – El ejemplo anterior subraya el comentario hecho en la observación pre-
via sobre los extremos de integración. Si, directamente, decimos que el valor de A(R+) es
π
sen t(− sen t)dt estamos cometiendo un error, pues esta integral se obtiene de
0
π
−1
sen t(− sen t)dt = y(x)dx
0
1
y el valor calculado no es el del área, sino
π
−1
1
sen t(− sen t)dt = y(x)dx = − y(x)dx = −A(R+).
0
1
−1
Téngase presente, que si bien en este caso es claro que basta con cambiar el signo para obtener
el valor buscado, en general, pueden aparecer varios términos en el cálculo del área de forma
que el resultado final no haga sospechar el error cometido.
Integral de una variable. 143
π

12.1.3 Funciones dadas de forma polar.
Por último estudiaremos el caso de curvas dadas en coordenadas polares.
Consideremos una curva dada en coordenadas polares por la ecuación
r = f(θ)
12.1 Áreas de superficies planas.
donde f es continua y sea S el sector comprendido entre los ángulos θ = α, θ = β y la
gráfica de la función. Con un desarrollo análogo al realizado en la construcción de la integral
definida para funciones dadas explícitamente, podemos definir sumas superiores e inferiores y la
integrabilidad, a través de particiones del intervalo angular [α, β] considerando las áreas de los
correspondientes sectores circulares (el área de un sector circular de radio r y ángulo θ viene
dado por θ
2 r2 ), como puede observarse en la figura 12.4.
β α
Fig. 12.4.
r =f(θ)
La expresión del área mediante una integral en función del ángulo, se obtiene de forma más
intuitiva si consideramos las sumas de Riemman asociadas a este proceso de integración, es decir,
dada una partición de [α, β], P = {α = θ0, θ1, . . . , θn−1, θn = β}, y cualquier elección de E ,
tenemos que
n
2 △θi
S(f, Pn, E) = (f(ei))
2
i=1
Hemos pues, introducido la siguiente definición:
luego, tomando particiones
cada vez más finas
→
β
α
2 dθ
(f(θ))
2 .
Definición 12.9 – Sea f: [α, β] −→ IR continua. El área de la región S del plano limitada por
la curva r = f(θ) y las rectas que forman un ángulo α y un ángulo β con el eje se abcisas
positivo, (fig. 12.5), viene dada por la integral
A(S) = 1
β
f
2 α
2 (θ)dθ. 〈12.1〉
Si r = f(θ) y r = g(θ) son dos curvas dadas en coordenadas polares, donde f, g : [α, β] −→ IR
son continuas con g(θ) ≤ f(θ), para todo θ ∈ [α, β] y S es el sector comprendido entre los
ángulos θ1 = α, θ2 = β y las gráficas de las funciones r = f(θ) y r = g(θ) (fig. 12.6), se tendrá
que
A(S) = 1
β
f
2 α
2 (θ)dθ − 1
b
g
2 a
2 (θ)dθ = 1
β
f
2 a
2 (θ) − g 2
(θ) dθ.
Integral de una variable. 144

β
β
α
S
Fig. 12.5.
r =g(θ)
α
Fig. 12.6.
r =f(θ)
r =f(θ)
S
12.1 Áreas de superficies planas.
Observación 12.10 – También puede llegarse a la fórmula 〈12.1〉 mediante razonamientos geométricos
y un cambio de variable sobre la integral en coordenadas cartesianas.
Si observamos la figura 12.5 –y supuesto por comodidad que para cada valor de x no existe
más que un valor de y –, en coordenadas cartesianas la función r = f(θ), se expresa por
y = f(θ) sen θ
, con θ ∈ [α, β], luego x ∈ [f(β) cos β, f(α) cos α].
x = f(θ) cos θ
Así mismo, la recta de ángulo α tiene por expresión yα = (tg α)x, cuando x ∈ [0, f(α) cos α],
y la recta de ángulo β , yβ = (tg β)x, cuando x ∈ [0, f(β) cos β]. Por tanto, el área de S será el
área encerrado por las gráficas de las funciones de x, es decir,
A(S) =
f(β) cos β
0
Calculando directamente I1 e I3 , se tiene que
f(β) cos β
I1 =
0
I3 =
f(α) cos α
0
(tg β)xdx = tg β
f(α) cos α f(α) cos α
yβdx + ydx − yαdx = I1 + I2 − I3.
f(β) cos β
0
x 2
2
f(β) cos β
(tg α)xdx = 1
2 f 2 (α) sen α cos α.
0
= tg β f 2 (β) cos 2 β
2
= 1
2 f 2 (β) sen β cos β,
Para calcular I2 , hacemos el cambio de variable x = f(θ) cos θ, para el cuál se tiene que
dx = (f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ)dθ, luego
f(α) cos α
A(S) = I1 +
f(β) cos β
α
= (I1 − I3) −
β
α
ydx − I3 = (I1 − I3) +
f 2 (θ) sen 2 α
θdθ + f(θ)f
β
′ (θ) sen θ cos θdθ
β
f(θ) sen θ(f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ)dθ
Integral de una variable. 145

u = sen θ cos θ
=
dv = f(θ)f ′
→
(θ)dθ
α
= (I1 − I3) −
= (I1 − I3) −
α
= −
= 1
2
β
β
α
du = cos2 θ − sen2 θdθ
v = f 2 (θ)
2
12.2 Volúmenes de cuerpos sólidos.
f
β
2 (θ) sen 2 θdθ + 1
2 f 2 α (θ) sen θ cos θ −
β
1
α
f
2 β
2 (θ)(cos 2 θ − sen 2 θ)dθ
α
f
β
2 (θ) sen 2 θdθ + (I3 − I1) − 1
α
f
2 β
2 (θ)(1 − 2 sen 2 θ)dθ
f 2 (θ) sen 2 θdθ − 1
α
f
2 β
2 α
(θ)dθ + f
β
2 (θ) sen 2 θdθ
f 2 (θ)dθ.
Ejemplo 12.11 – Hallar el área encerrada por la cardioide r = a(1 + cos θ).
Solución:
El área encerrada es el área del sector S limitado por la curva r = a(1 + cos θ) cuando
θ ∈ [0, 2π]. Por tanto,
A(S) = 1
2π
2
= a2
2
0
a 2 (1 + cos θ) 2 dθ = a2
2
θ + 2 sen θ + θ
2
−a
a
+ sen 2θ
4
2π
0
2π 0
1 + 2 cos θ +
r =a(1+cos θ)
12.2 Volúmenes de cuerpos sólidos.
1 + cos 2θ
dθ
2
= a2
3πa2
(2π + π) =
2 2 .
Trataremos ahora de calcular el volumen de un sólido S . Para ello supongamos que esta colocado
en los ejes coordenados de IR 3 y que los extremos del sólido en la dirección del eje de abcisas se
toman en los valores x = a y x = b. Consideremos para cada x ∈ [a, b] que A(x) representa el
área de la intersección del cuerpo con un plano perpendicular al eje de abcisas (fig. 12.7).
Entonces, para cada partición P = {a = x0, x1, ..., xn = b} del intervalo [a, b], sean
mi = inf{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1} y Mi = sup{A(x) : x1 ≤ x ≤ xi−1},
el inferior y el superior de los valores de las áreas A(x) de las secciones del sólido entre xi−1 y
xi .
Definimos suma superior e inferior asociadas al sólido S y la partición P en la forma
n
U(A, P ) = Mi△xi y
n
L(A, P ) = mi△xi,
i=1
i=1
Integral de una variable. 146
2a

a
A(x1)
A(x2)
A(x3)
x=x1 x=x2 x=x3
Fig. 12.7. Secciones del sólido.
Fig. 12.8. Volúmenes por exceso y por defecto.
12.2 Volúmenes de cuerpos sólidos.
donde cada término de las sumas representa el volumen de un cuerpo con área de la base mi ó
Mi y altura xi −xi−1 = △xi . Por tanto, ambas sumas corresponden a volumenes que aproximan
por exceso y por defecto, respectivamente, al verdadero volumen de S (fig 12.8).
Considerando todas las particiones de [a, b] y razonando de forma análoga a como se hizo
en el Tema 2, para la construcción de la integral de Riemann, estamos en condiciones de dar la
siguiente definición:
Definición 12.12 – Sea S un sólido acotado comprendido entre los planos x = a y x = b. Para
cada x ∈ [a, b], sea A(x) el área de la sección que produce sobre S el plano perpendicular al eje
de abcisas en el punto x. Si A(x) es continua en [a, b] definimos el volumen de S como
b
V (S) = A(x)dx.
a
Nota: Podemos dar definiciones análogas si tomamos secciones perpendiculares al eje y o al eje
z .
La definición es ampliable para a = −∞ y/ó b = +∞ cuando tenga sentido.
Ejemplo 12.13 – Hallar el volumen del sólido S = {(x, y, z) ∈ IR 3 : x, y, z ≥ 0; x + y + z ≤ 1}.
Solución:
El sólido S es la parte del primer octante limitada por el plano x + y + z = 1, es decir,
el tetraedro (pirámide de base triángular) cuyas caras son los planos coordenados y el plano
x + y + z = 1. Las secciones formadas por planos perpendiculares al eje x son triángulos y su
área, para cada x, es A(x) = base(x)×altura(x)
2 .
Para cada x de [0, 1], la base del triángulo es la coordenada y de la recta intersección de
x + y + z = 1
los planos
, luego base(x) = y = 1 − x. La altura es la coordenada z de la
z = 0
Integral de una variable. 147
b
S

ecta intersección de los planos
A(x) = (1−x)(1−x)
2
y
0
z =1−x
1
1
A(x)
x + y + z = 1
y = 0
0
1
y =1−x
1
1 (1 − x)
V (S) = A(x)dx =
2
dx =
2
1
−
2
12.2.1 Volúmenes de revolución.
12.2 Volúmenes de cuerpos sólidos.
, luego altura(x) = z = 1 − x. Por tanto,
1 (1 − x)3
3
0
= 1 1
2 3
Un caso particular de gran importancia de la definición anterior es el de los sólidos de revolución.
Supongamos dada una función f : [a, b] −→ IR y consideremos la región R de la
figura 12.1. La rotación de ésta alrededor del eje de abcisas produce un sólido S para el cual,
cada sección es un círculo y por tanto, su área será
Por tanto se tendrá que
A(x) = πf 2 (x).
b
V (S) = π f
a
2 (x)dx.
Ejemplo 12.14 – Hallar el volumen de la esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.
Solución:
La esfera es claramente un sólido de revolución. El circulo máximo, intersección de la esfera
con el plano y = 0, tiene por ecuación (en el plano xz ) x2 + x2 = 4, luego basta girar la
superficie encerrada por la semicircunferencia superior, z = √ 4 − x2 , para obtener la esfera.
Para cada sección en x ∈ [−2, 2], el área es A(x) = π( √ 4 − x2 ) 2 = π(4 − x2 ). Luego el
volumen buscado es
como ya sabíamos.
2
V (S) = π (4 − x
−2
2
)dx = π 4x − x3
2 = π
3
−2
32 4
=
3 3 π23 ,
Observación:
Si en el ejemplo anterior, giramos la superficie encerrada por toda la circunferencia x 2 + z 2 = 4,
obtendremos como resultado el doble del volumen de la esfera. Es claro, pues si girando el
semicírculo superior engendramos toda la esfera, también girando el semicírculo inferior engendramos
la esfera; en consecuencia, el volumen obtenido es el volumen de dos esferas.
Observaciones 12.15 –
Integral de una variable. 148
= 1
6

12.2 Volúmenes de cuerpos sólidos.
⋆ Análogamente, si tenemos una función x = f(y) y hacemos rotar su gráfica alrededor del
eje de ordenadas, el volumen del sólido será
d
V (S) = π f
c
2 (y)dy.
donde c y d son los extremos de variación de y .
⋆ En el caso más general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una
figura limitada por las curvas continuas y = f(x), y = g(x) (donde 0 ≤ g(x) ≤ f(x) ó
f(x) ≤ g(x) ≤ 0) y por las rectas x = a e x = b alrededor del eje de abcisas es
b
V (S) = π f
a
2 b
(x)dx − π g
a
2 (x)dx = π
b
a
f 2 (x) − g 2
(x) dx.
Nota: Si sucede que g(x) ≤ 0 ≤ f(x), al girar alrededor del eje de abcisas la superficie
comprendida entre las gráficas, debe tenerse en cuenta únicamente la superficie (por encima
o por debajo del eje de giro) de mayor radio de giro, pues el volumen que engendra al
girar la parte mayor contiene al volumen engendrado por la parte menor. Es decir, si
|g(x)| ≤ |f(x)| se gira sólo la parte superior y si |g(x)| ≥ |f(x)| se gira la parte inferior.
Lo que ocurre en este caso, es similar a lo que se apuntaba al final del ejemplo 12.14.
12.2.1.1 Curvas en paramétricas.
x = ϕ(t)
Si la función viene dada por sus ecuaciones paramétricas
, el volumen se obtiene
y = ψ(t)
realizando el correspondiente cambio de variable x = ϕ(t), dx = ϕ ′ (t)dt.
donde ϕ(t1) = a y ϕ(t2) = b.
b
V (S) = π y
a
2 t2
(x)dx = π ψ
t1
2 t2
(t)d(ϕ(t)) = π ψ
t1
2 (t)ϕ ′ (t)dt
Ejemplo 12.16 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar alrededor del eje
de abcisas la semicircunferencia
Solución:
x = 2 cos 2t
π
, con t ∈ [0,
y = 2 sen 2t 2 ].
Integral de una variable. 149

12.3 Longitudes de arcos.
Haciendo el cambio de variable x = 2 cos 2t, para el cuál dx = −4 sen 2tdt, se tiene que
2
V (S) = π y
−2
2 0
(x)dx = π
π
2
= 2 4 π
π (sen 2t − sen 2t cos
0
2 2t)dt = 2 4 π
12.2.1.2 Curvas en polares.
(2 sen 2t) 2 (−4 sen 2t)dt = π
− cos 2t
2
π
2
0
2 4 sen 3 2tdt
+ cos3 2t
6
π
2
0
= 2 4 π 4
6 = 23 π 4
3 .
Si la curva viene dada en coordenadas polares r = f(θ), el volumen se obtiene girando el sector
limitado por la curva y las rectas de ángulos α y β . Teniendo en cuenta que en coordendas
cartesianas, las rectas son y = (tg α)x e y = (tg β)x, y la función se decribe por y = f(θ) sen θ
y x = f(θ) cos θ, se calcula el volumen de forma análoga a como se hizo para el área en la
observación 12.10. Es decir,
a
V (S) = π (tg β)
0
2 x 2 b
dx + π y
a
2 b
(x)dx − π (tg α)
0
2 x 2 dx = 2π
β
f
3 α
3 (θ) sen θdθ,
donde f(β) cos β = a y f(α) cos α = b.
Ejemplo 12.17 – Hallar el volumen interior de la esfera engendrada al girar la semicircunferencia
r = 2, con θ ∈ [0, π], alrededor del eje polar.
Solución:
En cartesianas es y = f(θ) sen θ = 2 sen θ y x = f(θ) cos θ = 2 cos θ, luego teniendo en
cuenta ésto y haciendo el cambio de variable x = 2 cos θ, para el cuál dx = −2 sen θdθ, se tiene
que
2
V (S) = π y
−2
2 0
(x)dx = π (2 sen θ)
π
2 (−2 sen θ)dθ = 2 3 π
π sen
0
3 θdθ = 2 3 π 4
3 .
12.3 Longitudes de arcos.
La integral definida se puede usar también para encontrar la longitud de una curva.
En este caso, construiremos una fórmula cuando la función viene dada por sus ecuaciones
paramétricas y, como casos particulares de ésta, obtendremos fórmulas para las expresiones en
cartesianas y polares.
12.3.1 Curva dada en paramétricas.
Para describir este proceso, llamaremos Pt = (ϕ(t), ψ(t)) al punto de la curva correspondiente
a cada t de [α, β], Entonces, si Pc y Pd son dos puntos de la curva denotaremos por PcPd a la
parte de la curva entre los puntos Pc y Pd y lo denominaremos arco entre Pc y Pd . Su longitud
la representamos por | PcPd|.
Si tomamos una partición P = {α = t0, t1, ..., tn = β} del intervalo [α, β] la recta quebrada,
formada por los n segmentos rectilineos Pti−1Pti ,
IP = Pt0Pt1 ∪ Pt1Pt2 ∪ · · · ∪ Ptn−1Ptn, es una aproximación del arco PαPβ y, por tanto, la longitud de IP es una aproximación por
defecto de la longitud del arco PαPβ . Es decir,
n
|IP | = Pti−1
i=1
Pti
n
2
2
= ϕ(ti) − ϕ(ti−1) + ψ(ti) − ψ(ti−1) ≤
i=1
PαPβ
. 〈12.2〉
Integral de una variable. 150

Px0
Pxi−1
Pxi
a b
Fig. 12.9.
12.3 Longitudes de arcos.
Además, si Q es una partición más fina que P se tiene que |IP | ≤
|IQ|, pues si c es un punto
de Q que no está en P , c ∈ [ti−1, ti] para algún i y, por tanto, Pti−1Pti
≤ Pti−1Pc
+ PcPti
(fig. 12.10). Entonces, tomando particiones cada vez más finas esperamos que ocurra |IP | −→
PαPβ.
Por el teorema del valor medio de Lagrange aplicado a las funciones ϕ(t) y ψ(t) en [ti−1, ti],
tenemos
para algún ci ∈ (ti−1, ti), y
ϕ(ti) − ϕ(ti−1) = ϕ ′ (ei)(ti − ti−1) = ϕ ′ (ci)△ti
ψ(ti) − ψ(ti−1) = ψ ′ (zi)(ti − ti−1) = ψ ′ (zi)△ti
para algún zi ∈ (ti−1, ti), de donde 〈12.2〉 pasa a ser
|IP | =
n
i=1
(ϕ ′ (ci)△ti) 2 + (ψ ′ (zi)△ti) 2 =
Pti−1
Pti−1Pc
Pti−1Pti
Fig. 12.10.
n
i=1
PcPti
Pc
Pxn
(ϕ ′ (ci)) 2 + (ψ ′ (zi)) 2 △ti.
Por otra parte, como ϕ ′ y ψ ′ son continuas en [α, β], la función g(t) = (ϕ ′ (t)) 2 + (ψ ′ (t)) 2
β
(ϕ ′ (t)) + (ψ ′ (t)) 2dt. Si
α
es continua y, por tanto, integrable en [α, β]. Es decir, existe
consideramos las sumas de Riemann asociadas a esta función, tenemos que
n
S(g, P, E) =
tomando particiones
→
β
i=1
(ϕ ′ (ei)) 2 + (ψ ′ (ei)) 2 △ti
por lo que esperamos que se verifique también que
|IP | =
n
i=1
(ϕ ′ (ci)) 2 + (ψ ′ (zi)) 2 △ti
más finas
tomando particiones
más finas
−→
β
α
α
Pti
(ϕ ′ (t)) + (ψ ′ (t)) 2 dt,
(ϕ ′ (t)) + (ψ ′ (t)) 2 dt.
Integral de una variable. 151

12.3 Longitudes de arcos.
Se establece así la siguiente definición:
x = ϕ(t)
Definición 12.18 – Si una curva viene dada por sus ecuaciones paramétricas,
, con
y = ψ(t)
t ∈ [α, β], siendo ϕ(t) y ψ(t) derivables con derivada continua, entonces la longitud de la curva
viene dada por
L =
β
=
PαPβ
α
(ϕ(t)) 2 + (ψ(t)) 2 dt.
Ejemplo 12.19 – Hallar la longitud de un arco de la cicloide
x = a(t − sen t)
y = a(1 − cos t).
Solución:
En un arco de la cicloide, t ∈ [0, 2π], luego y ′ = a sen t y x ′ = a(1 − cos t), luego
2π
L =
= a
(a(1 − cos t))
0
2 + (a sen t) 2 2π
dt =
0
2π
| sen
0
t
π
|dt = 2a sen
2 0
t
dt = 2a
2
12.3.2 Curva dada en explícitas.
2π t
a 2(1 − cos t)dt = a sen2 0 2 dt
−2 cos t
π = 4a.
2
Si en polares una curva tiene por ecuación explícita y = f(x), donde f tiene derivada continua
y está definida en [a, b]. dicha curva se expresa en coordenadas paramétricas de la forma
x = t = ϕ(t)
y = f(t) = ψ(t) , con lo que ϕ′ (t) = 1 y ψ ′ (t) = f ′ (t), luego
L =
b
=
PaPb
a
0
1 + (f ′ (x)) 2 dx.
Ejemplo 12.20 – Determinar la longitud del arco de la gráfica de f(x) = x 3
2 sobre el intervalo
[0, 4].
Solución:
f es continua en [0, 4] y f ′ (x) = 3
1
2x 2 es también continua en [0, 4], luego
4
L = 1 +
0
3
2
1 2 4
x 2 dx =
0
12.3.3 Curva dada en polares.
1
2
√ 4 + 9xdx = (4 + 9x) 3
2
27
4
0
= 40 3
2 − 4 3
2
.
27
Si en coordenadas polares una curva tiene por ecuación r = f(θ), donde f tiene derivada
continua y está definida entre los valores extremos α y β del ángulo polar, dicha curva se
expresa en coordenadas paramétricas de la forma
luego
β
L =
α
x = f(θ) cos θ = ϕ(θ)
, con
y = f(θ) sen θ = ψ(θ)
ϕ ′ (θ) = f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ
ψ ′ (θ) = f ′ (θ) sen θ + f(θ) cos θ ,
(f ′ (θ) cos θ − f(θ) sen θ) 2 + (f ′ (θ) sen θ + f(θ) cos θ) 2 β
dθ = (f
α
′ (θ)) 2 + (f(θ)) 2dθ. Integral de una variable. 152

12.4 Área de una superficie de revolución.
Ejemplo 12.21 – Hallar la longitud total de la curva r = a sen 3 , con a > 0.
Solución:
Como r = a sen3 θ
3 y el seno es periódico de periodo 2π , basta para recorrer la curva
con tomar un periodo (si tomamos más se sobre escribe la curva), es decir θ
3 ∈ [0, 2π], luego
θ ∈ [0, 6π]. Ahora bien, como r es siempre positivo la función no tiene sentido si a sen3 θ
3 < 0
por lo que ha de ser sen θ
3 ≥ 0, es decir, θ ∈ [0, 3π]. En consecuencia, toda la curva queda
descrita al variar θ de 0 a 3π . Entonces, como f(θ) = a sen3 θ
2 θ , se tiene
que
3π
L =
= a
2
3π
dθ =
a
0
2 sen4 θ θ
3 cos2 3 + a2 sen6 θ
3
0
3π
1 − cos
0
2θ
3 dθ = a
θ −
2
3
3π 2θ
2 sen 3 0
3 θ
3 y f ′ (θ) = a sen
a 2 sen 4 θ
3
= 3aπ
2 .
12.4 Área de una superficie de revolución.
3π
dθ =
0
3
cos θ
3
2 θ a sen 3dθ El área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del eje de abcisas del arco de
curva f(x) entre x = a y x = b, donde f admite derivada continua, se expresa por la fórmula
b
S = 2π f(x) 1 + (f ′ (x)) 2dx. a
Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie se obtiene a
partir de la ecuación anterior efectuando los correspondientes cambios de variable (comentados
en el cálculo de los volúmenes de revolución), obteniéndose:
cuando
β
S = 2π
x = ϕ(t)
, con t ∈ [α, β]. Y
y = ψ(t)
cuando r = f(θ), con θ ∈ [α, β].
α
ψ(x) (ϕ ′ (t)) 2 + (ψ ′ (t)) 2dt, β
S = 2π f(θ) sen θ (f(θ))
α
2 + (f ′ (θ)) 2dθ, Ejemplo 12.22 – Calcular el área de la superficie esférica x2 + y2 + z2 = 4.
Solución:
La esfera es una superficie de revolución obtenida al girar el arco de curva y = √ 4 − x2 en
el intervalo [−2, 2]. Luego
2
S = 2π 4 − x
−2
2
1 +
2
−x
2
√ dx = 2π 2dx = 16π.
4 − x2 −2
Integral de una variable. 153

12.5 Ejercicios.
Ejemplo 12.23 – Calcular el área de la superficie esférica engendrada al girar alrededor del eje
x = 2 cos t
OX la curva dada por
, con t ∈ [0, π].
y = 2 sen t
Solución:
π
S = 2π 2 sen t (−2 sen t)
0
2 + (2 cos t) 2 π
dt = 2π 4 sen tdt = 16π.
0
Ejemplo 12.24 – Calcular el área de la superficie esférica engendrada al girar alrededor del eje
OX la curva en polares dada por r = 2, con θ ∈ [0, π].
Solución:
12.5 Ejercicios.
π
S = 2π 2 sen θ
0
22 π
+ 0dθ = 2π 4 sen θdθ = 16π.
0
12.1 Comprobar que el área encerrado por la curva f(x) = px n , con x ∈ [0, a] y n ∈ IN, es
af(a)
n+1 .
12.2 Calcular el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas x 2 + y 2 = 3,
y = 1
2 x2 y x = 1
2 y2 .
12.3 Calcular el área de la región del semiplano x ≥ 0 limitada por las curvas f(x) = ex
1+ex ,
g(x) = y la recta x = 1.
1
2(x 2 +x+1)
12.4 Hallar el área encerrado por la elipse x2
a 2 + y2
b 2 = 1.
12.5 Calcular el área encerrada por la curva y = √ 1 − x 2 + arcsen √ x y el eje de abcisas.
12.6 Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a cos 3 t, y = b sen 3 t.
12.7 Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y un arco de la cicloide
x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t).
12.8 Hallar el área encerrado por la curva, en polares, r = a cos 2θ.
12.9 Dadas las curvas en polares r = 3 cos θ y r = 1 + cos θ. Hallar el área del recinto común
a ambas.
12.10 Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y = a3
x 2 +a 2 y el eje de
abscisas.
12.11 Hallar el área que determinan las gráficas de las funciones f(x) = ch x y g(x) = | sh x|.
Hallar el volumen que genera el área limitada por las funciones anteriores entre x = 0 y
x = 1 al girar alrededor del eje de abscisas.
12.12 La recta x = 2 divide al círculo (x − 1) 2 + y2 ≤ 4 en dos partes. Calcular el volumen del
sólido generado al girar alrededor de la recta x = 2 la parte de mayor área.
x3 12.13 Dada la curva y = , plantear mediante integrales dos formas distintas de calcular el
1−x
área comprendida entre la curva, la recta x = 1 y el eje de abscisas. Hacer lo mismo para el
volumen del sólido que se obtiene al girar la superficie sobre la recta x = 1. Resolver esas
integrales utilizando las ecuaciones paramétricas de la curva: x = sen2 t, y = sen2 t tg t,
con t ∈ [0, π
2 ).
Integral de una variable. 154

12.14 Hallar el volumen del elipsoide x2
a 2 + y2
b 2 + z2
c 2 = 1.
12.15 Hallar el volumen del segmento del paraboloide elíptico y2
2p
plano x = a.
+ z2
2q
12.5 Ejercicios.
= x interceptado por el
12.16 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja x2
a2 + y2
b2 − z2
c2 = 1 y
los planos z = 0 y z = h.
12.17 Hallar el volumen del cuerpo limitado por los cilindros: x 2 + z 2 = a 2 e y 2 + z 2 = a 2 .
12.18 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies z = x 2 y z = 1 − y 2 a partir del
área de las secciones del cuerpo por planos paralelos al plano z = 0.
12.19 Calcular el volumen de cada una de las partes en que queda dividido un cilindro circular
recto de radio 2 y de altura 8 por un plano que, conteniendo un diámetro de una de las
bases, es tangente a la otra base.
12.20 Sobre las cuerdas de la astroide x 2/3 + y 2/3 = 2 2/3 , paralelas al eje OX , se han construido
unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planos en que
se encuentran son perpendiculares al plano XY . Hallar el volumen del cuerpo que forman
estos cuadrados.
12.21 Un círculo deformable se desplaza paralelamente al plano XZ de tal forma, que uno de
los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY y el centro recorre la elipse
x2 a2 + y2
b2 círculo.
= 1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por el desplazamiento de dicho
12.22 El plano de un triángulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de
radio a. La base del triángulo es la cuerda correspondiente de dicho círculo, mientras que
su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia
h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por
el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hasta el otro.
12.23 Sea S el recinto del plano limitado por la parábola y = 4 − x 2 y el eje de abscisas.
Para cada p > 0 consideramos los dos recintos en que la parábola y = px 2 divide a S ,
A(p) = {(x, y) ∈ S : y ≥ px 2 } y B(p) = {(x, y) ∈ S : y ≤ px 2 }.
a) Hallar p para que las áreas de A(p) y B(p) sean iguales.
b) Hallar p para que al girar A(p) y B(P ) alrededor del eje de ordenadas obtengamos
sólidos de igual volumen.
12.24 Hallar el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitado por el eje de abscisas y
las curvas y = ln | cos x| e y = ln | sen x|.
12.25 Hallar la longitud del arco de la curva x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t).
12.26 Hallar la longitud de la primera espira de la espiral de Arquímedes r = aθ.
12.27 Hallar el área de la superficie del toro engendrado por la rotación del círculo (x−b) 2 +y 2 =
a 2 , con b > a, alrededor del eje OY .
12.28 Hallar el área de la superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x =
a(t − sen t), y = a(1 − cos t) alrededor:
a) del eje OX ; b) del eje OY ; c) de la tangente a la cicloide en su punto superior.
Integral de una variable. 155