Más ejemplos de integrales dobles - Departamento de Matemáticas ...

Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Ejemplos de integrales dobles sobre conjuntos sencillos
1
3 1
(x+y)dydx =
0
0
3
1 3
(x+y)dxdy =
0
0
1 π
x 2 1
cos(y) dydx =
−1
0
0
−1
0
0
−1
π
1
x 2 π
cos(y) dxdy =
0
xy + 1
2 y2
3 dx =
0
1
2 x2 1 +xy dy =
0
x 2 sen(y) π
0
Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura -
Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura -
dx =
1
0
3
0
1
−1
1
3 x3 1 cos(y) dy =
−1
3x+ 9
dx =
2
y + 1
dy =
2
0 dx = 0
π
0
2
3
cos(y) dy =
3
2 x2 + 9
2 x
1 0
1
2 y2 + 1
2 y
3 0
2
3 sen(y)
π 0
2
4 2 x+1
dydx = [(x+1)log(y +1)]
0 3 y +1 0
4
2
3 dx = (−(x+1)(log(4)−log(5))) dx =
0
= − 1
2 (log(4)−log(5))(x2 2 +2x) = −4 log(4)+4 log(5)
4
2
3
0
x+1
y +1
4
dxdy =
1 3 2 2
x +y 1
dydx =
−1
−2
3
1
2
= [4 log(y +1)] 4
3
−1
3 1 2 2
x +y 3
dxdy =
−2
−1
0
−2
−2
1
2
ye x 1
dydx =
2 1
ye x 2
dxdy =
−2
0
x2 2 +2x
dy =
y +1 0
x 2 y + 1
3 y3
3 4
3
0
1
4 dy =
y +1
= −4 log(4)+4 log(5)
−2
1
3 x3 +xy 2
1 0
−2
−1
1
2 y2e x
2 −2
[ye x ] 1
0 dy =
dx =
dy =
dx =
2
−2
1
−1
3
−2
5x 2 + 35
dx =
3
2y 2 + 2
dy =
3
1
0 dx = 0
0
(e−1)y dy =
= 6
= 6
= 0
5
3 x3 + 35
3 x
1 −1
2
3 y3 + 2
3 y
3 −2
1
2 (e−1)y2
2 −2
3 2
3
2 1
x y −1/y dydx =
−3 1
−3 2 x2y 2 2 3
3
−log(y) dx =
1 −3 2 x2
−log(2) dx =
1
=
2 x3 3 −xlog(2) = −6 log(2)+27
2
3
2
2 1
x y −1/y dxdy =
1 −3
1 3 x3y − x
3 2
dy = 6
y −3 1
(3y2
−1)
dy =
y
= 9y 2 −6 log(y) 2 = −6 log(2)+27
1
−3
= 0
= 80
3
= 80
3
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Universidad de Extremadura
Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura -
Estos ejemplos se han creado con SAGE (www.sagemath.org). Otra forma de hacer integrales es con
WxMAXIMA: cortando y pegando hay que crear un fichero Prueba.wxm y abrirlo desde WxMAXIMA.
/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 0.8.3 ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
f(x,y):=(x+y);
a: 0;
b: 1;
c: 0;
d: 3;
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
print (’integrate(’integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b), " = ",
’integrate(integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b), " = ",
integrate(integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b));
/* [wxMaxima: input end ] */
/* Maxima can’t load/batch files which end with a comment! */
"Created with wxMaxima"$
El resultado en el programa WxMAXIMA debe ser similar a esto:
(%i1) f(x,y):=(x+y);
a: 0;
b: 1;
c: 0;
d: 3;
(%o1) f (x,y) := x+y
(%o2) 0
(%o3) 1
(%o4) 0
(%o5) 3
(%i6) print (’integrate(’integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b), " = ",
’integrate(integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b), " = ",
integrate(integrate(f(x,y), y, c, d), x, a, b));
1
3
y +xdydx =
0
0
Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura -
1
0 6x+9dx
= 6
2
El resultado final no es perfecto. Faltan algunos paréntesis, pero se entiende bien. En cualquier caso el valor
final sí es correcto.
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