Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y Geometría

Manuales HEDIMA
(HERRAMIENTAS DIGITALES DE MATEMÁTICAS)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
06071-BADAJOZ (Spain)
Grupo HEDIMA
Temas básicos de Análisis Matemático, Álgebra Lineal y
Geometría
C. Calvo Jurado, C. Gutiérrez Pérez, C. Marín Porgueres, P. Martín Jiménez, R. Martínez
Quintana, P. Monfort Vinuesa, J. Navarro Garmendia, I. Ojeda Martínez de Castilla.
http://matematicas.unex.es/HEDIMA
Badajoz, octubre de 2012

Índice general
Portada 1
Índice general 5
Introducción 7
Parte 1. Análisis Matemático 10
1. Continuidad 11
2. Derivadas 64
3. Aplicaciones de las derivadas 93
4. Gráficas de funciones 119
5. Cálculo de primitivas 160

6. Integral definida 207
7. Aplicaciones de la integral 224
Parte 2. Álgebra lineal y geometría 250
8. Matrices 251
9. Determinantes 347
10. Vectores en el espacio tridimensional 457
11. Geometría en el plano 508
12. Geometría en el espacio 543

7
Introducción
El presente material es el resultado del grupo de trabajo HEDIMA (Herramientas Digitales de Matemáticas), formado
por profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Extremadura. Incluye exposiciones mediante
diapositivas de un conjunto de temas de Análisis Matemático y Álgebra Lineal y Geometría básicos para que los alumnos
de primer curso de enseñanza universitaria de ingeniería o ciencias pueda entender y manejar otros conceptos
más avanzados de Matemáticas o de otras materias relacionadas. Los temas desarrollados constituyen el curriculum
de la asignatura Matemáticas II de bachillerato en educación secundaria. En este sentido, se podría considerar como
un curso de nivelación para alumnos de nuevo ingreso en la universidad.
Complementando este material expositivo, el grupo HEDIMA desarrolla un conjunto de cuestionarios de autoaprendizaje
y autoevaluación que están disponibles en la plataforma Moodle de la Universidad de Extremadura. Para
el uso de estos cuestionarios, es necesario ser usuario de dicha plataforma (campusvirtual.unex.es), bien como miembro
de la Universidad de Extremadura (AVUEX), bien como miembro de algún instituto de bachillerato de la Comunidad
Autónoma de Extremadura (AVEXTENSA), así como solicitar autorización escribiendo un correo electrónico a pjimenez@unex.es.
Los temas incluyen los conceptos teóricos y están ilustrados con numerosos ejemplos. Pueden además ampliarse
con prácticas de ordenador desarrolladas en Octave/MATLAB (cálculo científico y visualización de datos) y MAXIMA

(cálculo simbólico y numérico) por profesores del Departamento de Matemáticas dentro del proyecto SMAD (Software
Matemátio Aplicado a la Docencia). Junto con las prácticas, es posible encontrar tutoriales de ayuda sobre los
programas utilizados.
Badajoz, octubre de 2012.

Parte 1
Análisis Matemático

1. Continuidad

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Funciones. Límites. Continuidad

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Índice
Definición de función
Límite de una función
Definición de límite
Propiedades de los límites
Cálculo de límites
Continuidad de una función
Definición de continuidad
Propiedades elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad en un intervalo

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
1. Definición de función

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de función
Definición
Dados dos conjuntos A y B, una función o aplicación entre A y B es una
ley que asocia a cada elemento de A un único elemento de B. Se denota por
Definición
F : A → B
a → b
Se llama función real de variable real a toda aplicación entre dos conjuntos A
y B de R
F : A → B
x → f(x)
A f(x) se le llama imagen por f de x y se dice que x es la antiimagen de
f(x)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definiciones
Sea f una función real de variable real:
Dominio
Llamamos dominio de f al subconjunto de R donde la función está definida.
Se denota por Domf.
Imagen
Llamamos imagen de f al subconjunto de R formado por todos los números
que son imagen por f de algún elemento de Domf. Se denota por Imf,
Gráfica
Imf = {y ∈ R : y = f(x) para algún x ∈ Domf}
Llamamos gráfica de f al subconjunto de R 2 , denotado por Gf , siguiente
Gf = {(x, f(x)) ∈ R 2 : x ∈ Domf}

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo de Función, Dominio, Imagen y Gráfica
Ejemplo
Consideramos la siguiente función:
Dominio: {0} ∪ R +
Imagen: {0} ∪ R +
Gráfica:
F : R → R
x → f(x) = √ x

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Operaciones
Operaciones con funciones
Dadas dos funciones f, g : A → R, definimos las siguientes operaciones:
Suma:
Producto:
f + g : A → R
Cociente: siempre que g(x) = 0
f · g : A → R
f/g : A → R
x → f(x) + g(x)
x → f(x) · g(x)
x → f(x)/g(x)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplos de operaciones con funciones
Ejemplos
Suma: la suma de las funciones f(x) = x 2 y g(x) = 2x 2 + 3 es la
función (f + g)(x) = 3x 2 + 3
Producto: el producto de las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x) es la
función (f · g)(x) = 3x cos(x)
Cociente: el cociente de las funciones f(x) = x 3
− 5 y g(x) = 3 es la
f
función (x) = g
x3−5 3

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
2. Límite de una función

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de límite

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de límite
Definición
Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a, si para todo número real
ε > 0, existe otro número real δ > 0, tal que si
0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Interpretación gráfica de la definición de límite
Para cada ε > 0:

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Interpretación gráfica de la definición de límite
existe un δ > 0:

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Interpretación gráfica de la definición de límite
tal que si 0 < |x − a| < δ:

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Interpretación gráfica de la definición de límite
entonces |f(x) − L| < ε:

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplos del cálculo de límites
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
lím
x→1
lím
x→∞
x 2 − 1
x − 1
2x 2 + x + 2
x 2
= lím
x→1
lím
x→2 (x2 + x + 1) = 7
= lím 2 +
x→∞
1
x
(x + 1)(x − 1)
x − 1
2
+
x2
= 2
= lím
x→1 (x + 1) = 2

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Propiedades de los límites

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Propiedades de los límites
(Unicidad del límite) Si una función tiene límite en un punto, éste es
único.
Si los límites laterales de una función en un punto son distintos, entonces
la función no tiene límite en él.
Si una función tiene límite distinto de cero en un punto, entonces existe
un entorno del mismo en el que los valores que toma la función tienen el
mismo signo que el límite.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Operaciones con límites
Sean f y g dos funciones tales que existan límx→a f(x) y límx→a g(x), y
sea c un número real, entonces:
Adición:
límx→a(f + g)(x) = límx→a f(x) + límx→a g(x)
límx→a(−f)(x) = − límx→a f(x)
límx→a(f − g)(x) = límx→a f(x) − límx→a g(x)
Multiplicación:
límx→a(fg)(x) = límx→a f(x) · límx→a g(x)
1
1
límx→a (x) =
f
límx→a f(x)
f
límx→a (x) = g
límx→a f(x)
límx→a g(x)
límx→a(cf)(x) = c límx→a f(x)
Potenciación:
límx→a f(x) g(x) = límx→a f(x) límx→a g(x)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplos de operaciones con límites
Ejemplos
Adición: dadas las funciones f(x) = x 2 y g(x) = 2x 2 + 3, se tiene que:
lím (f + g)(x) = lím
x→2 x→2 3x2 + 3 = lím f(x) + lím g(x)
x→2 x→2
= lím
x→2 x 2 + lím
x→2 2x 2 + 3 = 4 + 11 = 15
Multiplicación: dadas las funciones f(x) = 3x y g(x) = cos(x), se tiene
que:
lím (f · g)(x)
x→3
= lím 3x cos(x) = lím f(x) · lím
x→3 x→3 x→3 g(x)
= lím 3x · lím cos(x) = 9 cos(3)
x→3 x→3
Potenciación: dadas las funciones f(x) = 2x 3 y g(x) = x 2 , se tiene que:
lím
x→1 (f(x))g(x) = lím (2x
x→1 3 ) x2
= lím
x→1 (2x 3 ) límx→1 x 2
= lím
x→1 f(x) límx→1 g(x)
= 2 1 = 2

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Operaciones con límites
Las relaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones
definidas. En caso contrario, no es posible obtener el límite del primer
miembro a partir del límite del segundo.
Cuando esto suceda diremos que se trata de un caso de indeterminación.
Esto significa que la aplicación directa de las operaciones anteriores es
imposible.
Los casos de indeterminación son:
k
0
0 ∞
, ,
0 ∞ , 0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , ∞ 0 , 0 0

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites de funciones racionales
a) Indeterminación k
, k = 0
0
Esta indeterminación se elimina calculando los límites laterales. Si son
iguales, la función tiene límite +∞ o −∞, en caso contrario no existe el
límite.
Ejemplo
La aplicación de la propiedad del límite de un cociente a la función
f(x) = 1
x − 1 ,
en el punto x = 1 da 1/0, que carece de sentido. Al calcular los límites
laterales obtenemos:
lím
x→1 −
1
x − 1
= −∞ y lím
x→1 +
1
x − 1
= +∞,
como son distintos, la función no tiene límite en ese punto.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites de funciones racionales
b) Indeterminación 0
0
Esta indeterminación desaparece descomponiendo en factores el
numerador y denominador y simplificando.
Ejemplo
La aplicación de la propiedad del límite de un cociente a la función
f(x) = x3 − 1
x − 1 ,
en el punto x = 1 da 0/0, que carece de sentido. Descomponiendo en
factores el numerador y el denominador y simplificando obtenemos:
lím
x→1
x 3 − 1
x − 1
= lím
x→1
(x − 1)(x 2 + x + 1)
x − 1
= lím
x→1 (x 2 + x + 1) = 3.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites de funciones racionales
c) Indeterminación ∞
∞
Esta indeterminación desaparece dividiendo numerador y denominador
por la potencia máxima del denominador.
Ejemplo
La aplicación de la propiedad del límite de un cociente a la función
f(x) = 4x2 + x − 1
x2 ,
+ 1
cuando x tiende a ∞ da ∞/∞, que carece de sentido. Dividiendo numerador
y denominador por x 2 obtenemos:
lím
x→∞
4x 2 + x − 1
x 2 + 1
= lím
x→∞
4 − 1
x
− 1
x 2
1 + 1
x 2
= 4.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites de funciones irracionales
a) Indeterminaciones 0
y ∞ − ∞
0
Esas indeterminaciones en funciones con radicales desaparecen
multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada.
Ejemplo
La aplicación de la propiedad del límite de un cociente a la función
f(x) =
x
1 − √ 1 − x ,
en el punto x = 0 da 0/0, que carece de sentido. Al multiplicar y dividir por
el conjugado obtenemos:
lím
x→0
x
1 − √ 1 − x
= lím
x→0
= lím
x→0
x(1 + √ 1 − x)
(1 − √ 1 − x)(1 + √ 1 − x)
x(1 + √ 1 − x)
1 − (1 − x)
= lím
x→0 (1 + √ 1 − x) = 2.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Cálculo de límites de funciones irracionales
b) Indeterminación ∞
∞
Esta indeterminación en funciones con radicales desaparece dividiendo
numerador y denominador por la potencia máxima del denominador.
Ejemplo
lím
x→∞
√ x 2 + x
x
= lím
x→∞
1 + 1
x
1
= 1.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
3. Continuidad de una función

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de continuidad

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de continuidad
Definición
Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el
valor que toma la función en ese punto, es decir,
f continua en x = a ⇔ lím
x→a f(x) = f(a)
La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres
condiciones:
Existe el límite de la función f(x) en x = a
La función está definida en x = a, es decir, existe f(a)
Los dos valores anteriores coinciden
Si una función no es continua en un punto, diremos que es discontinua en
ese punto.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo de función continua
Ejemplo
La función f(x) = x2 −1
x+1
Existe
límx→1 f(x) = límx→1 x2 −1
x+1
es continua en x = 1 porque
= límx→1 (x−1)(x+1)
x+1
= límx→1 x − 1 = 0
La función está definida en x = 1 puesto que su dominio de definición es
todo R
f(1) = 0 por tanto el valor del límite coincide con f(1)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Funciones:
límite y
continuidad
HEDIMA
Definición de
función
Límite de una
función
Definición de
límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Otra definición de continuidad
Definición
Una función f es continua en el punto x = a si a cada número real positivo ε
se puede asociar otro número real positivo δ, tal que,
|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

Bloque:
Análisis
Matemático
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Funciones:
límite y
continuidad
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función
Límite de una
función
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límite
Propiedades
de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo gráfico de discontinuidad
Función discontinua: f(x)=[x] (parte entera)

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de una
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo gráfico de continuidad
Función continua: f(x) = 2 sin(x 2 /3)

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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Propiedades de las funciones continuas
1. Unicidad del límite.
Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en ese
punto.
2. Teorema del signo
Si una función es continua en un punto x = a y f(a) = 0, entonces
existe un entorno simétrico de x = a en el que los valores que toma f
tienen el mismo signo que f(a).
3. Anulación de la función
Si una función continua toma valores positivos y negativos en cualquier
entorno simétrico del punto x = a, la función se anula en él.

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función
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de una
función
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continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Propiedades de las funciones continuas
4. Acotación de la función
Si una función es continua en el punto x = a, entonces está acotada en
ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la
función está acotada.
5. Continuidad y operaciones
Las operaciones con funciones continuas en x = a dan como resultado
otra función continua en un entorno simétrico de x = a, siempre que
tenga sentido la operación.

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función
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límites
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de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de discontinuidad
Definición
Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o,
existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

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de una
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continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe
límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera
continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

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función
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función
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de una
función
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continuidad
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elementales
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Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo de discontinuidad evitable
Ejemplo
Consideremos la siguiente función:
f(x) =
x 2 −1
x−1
si x = 1
3 si x = 1
Esta función es continua en todos los puntos distintos de x = 1. Veamos que
sucede en x = 1:
lím
x→1
x 2 − 1
x − 1
= lím
x→1
(x + 1)(x − 1)
x − 1
= lím
x→1 (x + 1) = 2.
Puesto que f(1) = 3 y el límite en ese punto vale 2, la función es discontinua
en ese punto. Ahora bien, si en vez de f(1) = 3, hubiéramos tomado
f(1) = 2, la función f sería continua en toda la recta real. En este sentido
decimos que la discontinuidad era evitable.

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continuidad
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Definición de
función
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función
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límite
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de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad inevitable
Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen
los límites laterales en él y son distintos.
Si f es discontinua en el punto x = a, el valor
| lím f(x) − lím f(x)|
x→a + −
x→a
se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número
real, o infinito.

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límites
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de una
función
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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo de discontinuidad inevitable
Ejemplo
Consideremos la siguiente función:
⎧
⎪⎨ 1 si x > 0
f(x) = 0
⎪⎩
−1
x = 0
si x < 0
Es evidente que la función es discontinua en x = 0. Los límites laterales son:
lím f(x) = 1 y lím f(x) = −1.
x→0 + −
x→0
Puesto que los límites laterales son distintos, no puede atribuirse a la función
ningún valor para que sea continua. Diremos que se trata de una
discontinuidad inevitable.

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continuidad
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función
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función
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límite
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límites
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de una
función
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continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Continuidad en un intervalo

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continuidad
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función
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función
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límite
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límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Definición de continuidad en un intervalo
Definición
Una función es continua en un intervalo abierto (a, b), si lo es en cada uno
de sus puntos.
Definición
Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], si lo es en todos los
puntos del intervalo abierto (a, b) y además es continua por la derecha en a y
por la izquierda en b.

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límites
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de una
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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplos de continuidad en un intervalo
Ejemplo
La función f(x) = x 2 es continua en cualquier intervalo cerrado o abierto de
la recta real.
Ejemplo
no es continua en el intervalo [−1, 1], porque no
está definida en el punto x = 0.
La función f(x) = 1
x

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límites
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de una
función
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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplos de continuidad en un intervalo
Ejemplo
La función
f(x) =
x 2
si x < 1
2 si x ≥ 1
no es continua en el intervalo [0, 1], porque no es continua por la izquierda
en x = 1, ya que
lím f(x) = 1 = 2 = f(1).
x→1− Sin embargo, esta función sí es continua en cualquier intervalo de la forma
[1, b], ya que en el punto x = 1 es continua por la derecha, pues
lím f(x) = 2 = f(1).
x→1 +

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de una
función
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Continuidad
en un
intervalo
Teoremas
Teorema [Weierstrass]
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], tiene máximo y
mínimo en ese intervalo.
Interpretación intuitiva
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto
más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes.

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función
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límites
Continuidad
de una
función
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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo del Teorema de Weierstrass
Ejemplo
La función f(x) = x 2 − x + 1 es continua en el intervalo [1/2, 1] entonces
por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que tiene máximo y mínimo
en ese intervalo.

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límite y
continuidad
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función
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función
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límite
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límites
Continuidad
de una
función
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continuidad
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elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Teoremas
Teorema [Bolzano]
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma valores de
signos opuestos en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c
del intervalo en el que f(c) = 0.
Interpretación intuitiva
Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función corta al eje de
abscisas, ya que pasa por un punto situado por debajo de él a otro que se
encuentra por encima o recíprocamente.

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límite y
continuidad
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función
Límite de una
función
Definición de
límite
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de los límites
Cálculo de
límites
Continuidad
de una
función
Definición de
continuidad
Propiedades
elementales
Tipos de discontinuidad
Continuidad
en un
intervalo
Ejemplo del Teorema de Bolzano
Ejemplo
La función f(x) = x 3 + x 2 − 7x + 1 es continua en el intervalo [−1, 1] y
toma valores de signos opuestos en los extremos:
f(−1) = 8 y f(1) = −4,
entonces por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que existe un punto c
en el interior de ese intervalo de modo que la función se anula en él, es decir
f(c) = 0
Ejemplo de aplicabilidad del Teorema de Bolzano
Podemos asegurar la existencia de al menos una solución de la ecuación:
x 3 + x − 5 = 0,
en el intervalo [1, 2] utilizando el Teorema de Bolzano, pues la función
f(x) = x 3 + x − 5 es continua en dicho intervalo y f(1) = −3 y f(2) = 5.

2. Derivadas

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Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
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Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Derivadas

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un punto
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geométrica
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Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Índice
Derivada en un punto
Interpretación geométrica
Función derivada
Álgebra de derivadas
Regla de la cadena
Tabla de derivadas
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

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Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
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valor medio
generalizado
de Cauchy
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Derivada en un punto

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Rolle
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valor medio
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Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
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Derivada en un punto
Dada una función f : D ⊆ R → R, se dice que es derivable en a ∈ R, si
existe y es finito el siguiente límite
f(a + h) − f(a)
f(x) − f(a)
lím
equivalente a lím
h→0 h
x→a x − a
El valor de este límite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por
De modo que:
Definición
o bien
f ′ (a) ó
f ′ (a) = lím
h→0
f ′ (a) = lím
x→a
df
dx (a)
f(a + h) − f(a)
h
f(x) − f(a)
x − a

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Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
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Rolle
Teorema del
valor medio
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Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
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Derivada en un punto
Ejemplo
Calculemos la derivada de f(x) = x 2 en el punto a = 1:
f(1 + h) − f(1)
=
h
(1 + h)
= lím
h→0
2 − 1
=
h
1 + h
= lím
h→0
2 + 2h − 1
=
h
h(h + 2)
= lím =
h→0 h
= lím h + 2 = 2
h→0
f ′ (1) = lím
h→0

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Fundamentales
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Diferencial
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Rolle
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valor medio
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Interpretación geométrica

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Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
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valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
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Interpretación geométrica
La derivada de una función f(x) en un punto a es un valor numérico que
indica la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de
abcisa x = a.
Por tanto, la ecuación de esta recta tangente se escribe
Recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a
y − f(a) = f ′ (a)(x − a)

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del Cálculo
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Rolle
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valor medio
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generalizado
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Interpretación geométrica
Ejemplo
La recta tangente a la función f(x) = x 2 en el punto a = 1 tiene la siguiente
ecuación:
y − f(1) = f ′ (1)(x − 1)
es decir,
y − 1 = 2(x − 1)

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valor medio
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Función derivada

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de Lagrange
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valor medio
generalizado
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Función derivada
La función derivada f ′ (x) de una función dada f(x) es la que asigna a cada
valor de x el valor de la derivada en ese punto
Función derivada
f ′ (x) = lím
h→0
f(x + h) − f(x)
h
Si la función f ′ (x) es derivable, podemos calcular su derivada, que
llamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′ (x) o f 2) (x). De forma
similar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.

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Teorema de
Rolle
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valor medio
de Lagrange
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valor medio
generalizado
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Función derivada
Ejemplos de derivadas de funciones elementales
Ejemplo
f(x) = K ∈ R f ′ (x) = 0
f(x) = Kx (K ∈ R) f ′ (x) = K
f(x) = x n (n = −1) f ′ (x) = nx n−1
Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3
f(x) = 45 f ′ (x) = 0 f ′ (3) = 0
f(x) = 34x f ′ (x) = 34 f ′ (3) = 34
f(x) = x 5
f ′ (x) = 5x 4
f ′ (3) = 5 · 3 4

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Función
derivada
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Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
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Funciones derivadas elementales

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geométrica
Función
derivada
Derivadas
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Fundamentales
del Cálculo
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Teorema de
Rolle
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valor medio
de Lagrange
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valor medio
generalizado
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Funciones derivadas elementales
Función seno
Función coseno
Función tangente
Función logaritmo
Función exponencial
y = sen(x) y ′ = cos(x)
y = cos(x) y ′ = −sen(x)
y = tg(x) y ′ =
1
cos 2 (x)
y = L(x) y ′ = 1
x
y = a x
y ′ = a x · L(a)

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Función
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del Cálculo
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Rolle
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valor medio
de Lagrange
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valor medio
generalizado
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Álgebra de derivadas

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geométrica
Función
derivada
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Fundamentales
del Cálculo
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Teorema de
Rolle
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valor medio
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valor medio
generalizado
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Álgebra de derivadas
Suma de funciones
(f(x) + g(x)) ′ = f ′ (x) + g ′ (x)
Producto de una función por un número λ
Producto de funciones
Cociente de funciones
f(x)
g(x)
(λf(x)) ′ = λf ′ (x)
(f(x) · g(x)) ′ = f ′ (x) · g(x) + f(x) · g ′ (x)
′
= f ′ (x) · g(x) − g ′ (x) · f(x)
(g(x)) 2
Composición de funciones (regla de la cadena)
(f ◦ g) ′ (x) = f ′ (g(x)) · g ′ (x)

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Función
derivada
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Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
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valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
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Regla de
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Funciones derivadas elementales
Ejemplos
(x 2 + sen(x)) ′ = 2x + cos(x)
(3 · sen(x)) ′ = 3 · cos(x)
(x 2 · sen(x)) ′ = 2xsen(x) + x 2 cos(x)
2 ′
x
=
sen(x)
2xsen(x) − x2 cos(x)
(sen(x)) 2
(sen(x 2 )) ′ = cos(x 2 ) · 2x
(cos(x 3 )) ′ = −sen(x 3 ) · 3x 2
(tg(x 2 )) ′ =
1
cos 2 (x 2 )
(L(x 4 )) ′ = 1
· 4x3
x4 (3 x2
) ′ = 3 x2
· 2x
· L(3) · 2x

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Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales
del Cálculo Diferencial

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Teorema
Si una función f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en ese
punto.
La implicación contraria no es cierta, es decir, una función puede ser
continua en un punto y no ser derivable en ese punto
Ejemplo
f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teorema de Rolle

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Teorema de Rolle
Si una función f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,
derivable en (a, b),
f(a) = f(b)
Ejemplo
⎫
⎬
Como f(x) = 2x 2 − 8x + 11
es continua y derivable en [1, 3]
y f(1) = f(3), entonces existe
c = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′ (2) = 0
⎭ entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teorema de Lagrange

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Teorema del valor medio de Lagrange
Si una función f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,
derivable en (a, b),
Ejemplo
Como f(x) = 2x 2 − 8x + 11 es
continua y derivable en [1, 4],
existe c = 2 ′ 5 ∈ [1, 4] tal que
f(4)−f(1)
4−1
= 2 = f ′ (2 ′ 5)
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′ (c) = f(b)−f(a)
b−a
Es decir, existe un punto c = 2 ′ 5 en donde la pendiente de la recta tangente
es igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teorema de Cauchy

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,
f y g son derivables en (a, b),
f ′ (c)(g(b) − g(a) = g ′ (c)(f(b) − f(a))
Si en lo anterior g ′ (c) no es cero, entonces se puede expresar como
f(b) − f(a)
g(b) − g(a) = f ′ (c)
g ′ (c)
es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente de
las derivadas en el algún punto intermedio.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Regla de L’Hôpital

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Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se ha
eliminado el punto a, por ejemplo, (a − r, a) ∪ (a, a + r), con r > 0.
Regla de L’Hôpital
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,
O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞
g ′ (x) no se anula en el entorno reducido,
∃ lím
x→a
f ′ (x)
g ′ (x) ,
entonces existe lím
x→a
f(x)
g(x) y
lím
x→a
f(x)
g(x)
= lím
x→a
f ′ (x)
g ′ (x)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Derivadas
HEDIMA
Derivada en
un punto
Interpretación
geométrica
Función
derivada
Derivadas
elementales
Álgebra de
derivadas
Teoremas
Fundamentales
del Cálculo
Diferencial
Teorema de
Rolle
Teorema del
valor medio
de Lagrange
Teorema del
valor medio
generalizado
de Cauchy
Regla de
L’Hôpital
Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
La Regla de L’Hôpital es una herramienta para calcular límites que
presentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ± ∞
∞ .
Ejemplo
Para calcular el siguiente límite
lím
x→0
podemos utilizar la Regla de L´Hôpital:
lím
x→0
sen(x)
x
= lím
x→0
sen(x)
x
sen ′ (x)
x ′
= lím
x→0
cos(x)
1
= 1
La regla también es válida para calcular límites laterales. En este caso,
será necesario que las dos funciones f(x) y g(x) estén definidas a la derecha
o a izquierda del punto a, según el límite lateral que queramos calcular. Por
ejemplo:
Ejemplo
lím
x→0 +
L(x)
x
= lím
x→0 +
L ′ (x)
x ′
= lím
x→0 +
1/x
1
= ∞

3. Aplicaciones de las derivadas

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Aplicaciones de la derivada

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Índice
Crecimiento y decrecimiento
Máximos y mínimos
Concavidad y convexidad
Puntos de inflexión
Problemas de optimización

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Crecimiento y decrecimiento

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Crecimiento y decrecimiento
Dada una función f : D ⊆ R −→ R y un intervalo I ⊆ D
f es creciente en I si
para todo x, y ∈ I
si x < y =⇒ f(x) ≤ f(y)
f es decreciente en I si
para todo x, y ∈ I
si x < y =⇒ f(x) ≥ f(y)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Crecimiento y decrecimiento
Si f : D ⊆ R −→ R es derivable en I ⊆ D
Condición necesaria y suficiente para que f sea creciente en I
f ′ (x) ≥ 0 para todo x, y ∈ I
⇕
f es creciente en I
Condición necesaria y suficiente para que f sea decreciente en I
f ′ (x) ≤ 0 para todo x, y ∈ I
⇕
f es decreciente en I

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Máximos y mínimos

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Máximos y mínimos relativos
Dada una función f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un máximo relativo en a ∈ D
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a − δ, a + δ) ⊂ D
entonces
f(x) ≤ f(a)
f alcanza un mínimo relativo en a ∈ D
si ∃ δ > 0 tal que si
x ∈ (a − δ, a + δ) ⊂ D
entonces
f(x) ≥ f(a)

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Máximos y mínimos absolutos
Dada una función f : D ⊆ R −→ R
f alcanza un máximo absoluto en a ∈ D
si f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ D
f alcanza un mínimo absoluto en a ∈ D
si f(x) ≥ f(a) para todo x ∈ D

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Condición necesaria y suficiente para extremo relativo
Si f(x) : D ⊆ R −→ R es derivable en D,
f(x) alcanza un máximo relativo en a ∈ D si
es creciente a la izquierda de a
es decir, x < a =⇒ f ′ (x) ≥ 0
y es decreciente a la derecha de a
es decir, x > a =⇒ f ′ (x) ≤ 0
f(x) alcanza un mínimo relativo en a ∈ D si
es decreciente a la izquierda de a
es decir, x < a =⇒ f ′ (x) ≤ 0
y es creciente a la derecha de a
es decir, x > a =⇒ f ′ (x) ≥ 0

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Condición necesaria de extremo relativo
Extremos relativos y derivada
Si f(x) es derivable en a y alcanza en a un máximo o mínimo relativo
entonces
f ′ (a) = 0

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Ejemplo
Sea h(x) = 1 + x 2 + x 3 + x 4 . Los posibles extremos relativos de h(x) serán
los valores de x que anulen la derivada:
h ′ (x) = 2x + 3x 2 + 4x 3 = x(2 + 3x + 4x 2 )
En x = 0 se anula la derivada y será un posible máximo o mínimo. Y no
tendrá más posibles máximos o mínimos, porque 2 + 3x + 4x 2 solo tiene
raíces complejas, y al ser una función continua, sus valores serán siempre
positivos o siempre negativos. En este caso, sustituyendo por cualquier valor
de x, comprobamos que son siempre positivos.
Consecuencia de lo anterior es que el signo de la derivada h ′ (x) es el
siguiente:
h ′ (x) < 0 si x ∈ (−∞, 0) (⇒ h(x) decrece si x ∈ (−∞, 0))
h ′ (x) > 0 si x ∈ (0, ∞) (⇒ h(x) crece si x ∈ (0, ∞))
En consecuencia, en x = 0 hay un mínimo relativo para la función h(x).
Además, visto el crecimiento y decrecimiento de la función, el mínimo es un
mínimo absoluto.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Concavidad y convexidad

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Concavidad
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, diremos que
f es cóncava en a ∈ D
si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por encima
de la recta tangente en a
Función cóncava creciente Función cóncava decreciente

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Convexidad
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, se dice que
f es convexa en a ∈ D
si existe un entorno de a en el que la gráfica de la función queda por debajo
de la recta tangente en a
Función convexa creciente Función convexa decreciente
Los conceptos de convexidad y concavidad pueden encontrarse definidos
de forma diferente en algunos textos, de forma que lo que aquí se entiende
por concavidad, allí sería convexidad y viceversa.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Concavidad y convexidad
Si f : D ⊆ R −→ R tiene derivada segunda en I ⊆ D, entonces
Condición necesaria y suficiente para que f sea cóncava en I
f ′′ (x) ≥ 0 ∀x, y ∈ I
⇕
f es cóncava en I
Condición necesaria y suficiente para que f sea convexa en I
f ′′ (x) ≤ 0 ∀x, y ∈ I
⇕
f es convexa en I

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Puntos de inflexión

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Puntos de inflexión
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, se dice que tiene un punto de inflexión
en a ∈ D si es cóncava a la izquierda de a y convexa a la derecha o viceversa.
La condición necesaria para que f tenga punto de inflexión en a ∈ D es que
f ′′ (a) = 0

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Puntos de inflexión y máximos y mínimos
Condiciones suficientes para puntos de inflexión, concavidad y convexidad:
Sea f(x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a de
orden mayor que 1 que no se anula es de orden
1 par y positiva, entonces a es un punto de concavidad para f(x);
2 par y negativa, entonces a es un punto de convexidad para f(x);
3 impar, entonces a es un punto de inflexión para f(x).
Condiciones suficientes de puntos de inflexión, máximo o mínimo relativo:
Sea f(x) una función derivable varias veces. Si la primera derivada en a se
anula y la de orden mayor que 1 que no se anula es
1 de orden par y positiva, entonces a es un mínimo relativo para f(x);
2 de orden par y negativa, entonces a es un máximo relativo para f(x);
3 de orden impar, entonces a es un punto de inflexión para f(x).

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Ejemplo
Sea f(x) = Ln(1 + x 2 ). Para estudiar la convexidad y concavidad de f(x)
calculamos su derivada segunda:
f ′ (x) = 2x
1 + x 2
f ′′ (x) = 2(1 + x2 ) − 4x 2
(1 + x 2 ) 2 =
2 − 2x2
(1 + x 2 ) 2
Por lo tanto, la derivada segunda f ′′ (x) se anula en x = ±1, y su signo es el
siguiente:
Es decir
f ′′ (x) < 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ x ∈ (1, ∞)
f ′′ (x) > 0 si x ∈ (−1, 1)
f(x) es convexa si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
f(x) es cóncava si x ∈ (−1, 1).
En x = ±1 hay sendos puntos de inflexión por pasar de cóncava a
convexa o viceversa. Además se puede comprobar que f ′′′ (x) = 0 en
x = ±1.

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización
El objetivo es encontrar los valores que hacen que una función alcance su
valor máximo o mínimo.
Pasos a seguir en la resolución del problema:
Identificar la función que se trata de maximizar o minimizar
Establecer las relaciones entre las variables que hacen que se cumplan
todas las condiciones del problema (ligaduras)
Para que alcance un máximo o mínimo, la condición necesaria es que la
derivada primera de la función debe ser cero
Además se deben verificar las condiciones suficientes de máximo o
mínimo ( Ver condiciones suficientes de máximo y mínimo )

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización
Ejemplo
Una ventana tiene forma rectangular con
un semicírculo en su parte superior. Sabiendo
que el perímetro es 4 metros, hallar las
dimensiones para que sea máxima la cantidad
de luz que la traviesa.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización
Ejemplo (resolución)
Para un máximo de luz ha de ser máxima la superficie con cristal. Sean R, B
y h las dimensiones de la ventana tal y como se señalan en el dibujo.
Evidentemente B = 2 R. En este caso la función a maximizar es la superficie
S:
S = B h + 1
2 π R2 = B h + π
2
B
2
Puesto que el perímetro es 4 metros, ha de ser B + 2 h + πR = 4, por tanto,
h =
4 − B(1 + π/2)
2
La función a maximizar se puede escribir entonces en función de una sola
variable
4 − B(1 + π/2)
S = B +
2
π
2 B
2 2
Derivando e igualando a cero se obtiene que ha de ser
B = 8
4 + π
2

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la derivada
HEDIMA
Crecimiento y
decrecimiento
Máximos y
mínimos
Concavidad y
convexidad
Puntos de
inflexión
Problemas de
optimización
Problemas de optimización
Ejemplo (resolución)
B = 8
4+π
es un posible máximo o mínimo de la función superficie.
La derivada segunda de la función superficie S es la siguiente
S ′′ (B) = − π
4
− 1
que es evidentemente negativa para el valor B = 8
4+π .
Por tanto, el valor B = 8
4+π
es un máximo de la función superficie.
Para este valor de B, el valor de h es
h = 4
π + 4 .

4. Gráficas de funciones

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Representación gráfica de funciones

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Índice
Representación gráfica de funciones
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Puntos de corte
Intervalos de crecimiento
Intervalos de concavidad y convexidad
Gráficas de algunas funciones

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de una función

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de una función
Dada una función f : D ⊆ R −→ R, la representación gráfica de f es la
unión de todos los puntos del plano de coordendas (x, f(x)), siendo x ∈ D
Gráfica de f(x) = x e −x

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Estudio de una función
Para hacer la representación gráfica conviene estudiar los siguientes aspectos
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Puntos de corte
Intervalos de crecimiento

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Dominio

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Matemático
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Gráficas de
funciones
HEDIMA
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Dominio
El dominio D de un función f(x) son todos los valores de x ∈ R para los
cuales está definida
Ejemplos
f(x) =
4
x 2 − 4
D = R − {−2, 2}
f(x) = √ x − 1 D = [1, ∞)
f(x) = L(x 2 − 5 x + 4) D = (−∞, 1) ∪ (4, ∞)
f(x) = ex
e x − 1
R − {0}

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funciones
HEDIMA
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una función
Dominio
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
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corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
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crecimiento
Intervalos de
concavidad
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algunas
funciones
Simetrías

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funciones
HEDIMA
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Simetría par
Una función f : D ⊆ R −→ R tiene simetría par si
f(−x) = f(x) ∀x ∈ D
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje OY
Ejemplo f(x) = x2
x 2 − 4

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Matemático
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Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Simetría impar
Una función f : D ⊆ R −→ R tiene simetría impar si
f(−x) = −f(x) ∀x ∈ D
La gráfica de una función impar tiene doble simetría respecto al eje OY y al
eje OX
Ejemplo f(x) = x 3

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Matemático
Tema:
Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas

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funciones
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Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas verticales

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Matemático
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Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas verticales
La recta vertical x = a es asíntota vertical de f si al menos uno de los límites
laterales en a es infinito. Es decir, si
lím f(x) = ±∞ y/ó lím f(x) = ±∞
x→a + x→a− La gráfica de f se acerca a su asíntota vertical x = a conforme x → a por la
derecha o por la izquierda
Ejemplo: f(x) = x2
x 2 − 4
tiene dos asíntotas verticales, x = 2 y x = −2

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Matemático
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Gráficas de
funciones
HEDIMA
Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas horizontales

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Matemático
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funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas horizontales
La recta horizontal y = b es asíntota horizontal de f si
lím f(x) = b y/ó lím f(x) = b
x→+∞ x→−∞
La gráfica de f se acerca a su asíntota horizontal y = b conforme x → +∞ o
x → −∞
Ejemplo: f(x) = ex − 1
e x + 1
tiene dos asíntotas horizontales, y = 1 e y = −1

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funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas oblícuas

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas oblícuas
Definición
La recta y = m x + n es asíntota oblícua de f si
lím [f(x) − (m x + n)] = 0 y/ó lím [f(x) − (m x + n)] = 0
x→+∞ x→−∞
La gráfica de f se acerca a su asíntota oblícua y = m x + n conforme
x → +∞ o x → −∞
Cálculo
Si y = m x + n es asíntota oblícua de f en +∞ entonces
lím
x→+∞
f(x)
x
= m y lím (f(x) − m x) = n
x→+∞
De manera análoga se calculan los valores de m y n cuando x → −∞.

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funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Asíntotas oblícuas
Ejemplo
La función f(x) = ex − 1
e x + 1
y = x en x → +∞
y = −x en x → −∞
tiene dos asíntotas oblicuas ,

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Gráficas de
funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Puntos de corte

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Gráficas de
funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Puntos de corte con los ejes

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funciones
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una función
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Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Puntos de corte con los ejes
Cortes con el eje OX
Los puntos de corte con el eje OX son las soluciones de la ecuación
f(x) = 0
Si esta ecuación no tiene solución, la gráfica de f(x) no corta al eje OX.
Cortes con el eje OY
El punto de corte con el eje OY es
(0, f(0))
Si 0 /∈ D, la gráfica de f(x) no corta al eje OY

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Puntos de corte con las asíntotas

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Puntos de corte con asíntotas
Cortes con las asíntotas horizontales y = a
Los puntos de corte con las asíntotas horizontales son las soluciones de la
ecuación
f(x) = a
Si esta ecuación no tiene solución, la gráfica de f(x) no corta a las asíntotas
horizontales.
Cortes con las asíntotas oblicuas y = m x + n
Los puntos de corte con las asíntotas oblicuas son las soluciones de la
ecuación
f(x) = m x + n
Si esta ecuación no tiene solución, la gráfica de f(x) no corta a las asíntotas
oblícuas.
La gráfica de una función f(x) nunca corta a sus asíntotas verticales

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Horizontales
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Puntos de
corte
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Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de crecimiento

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de crecimiento
Son intervalos donde el comportamiento de la función es monótono, o es
creciente o es decreciente.
Los intervalos de crecimiento vienen delimitados por los puntos donde
cambia el signo de la derivada
porque se anula f ′ (x)
o porque f(x) presenta una discontinuidad.

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de crecimiento
Ejemplo
La función f(x) = x2
tanto f ′ (x)
x 2 − 4 , tiene como derivada f ′ (x) =
tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2
su derivada se anula en x = 0, es decir f ′ (0) = 0
Los intervalos de crecimiento son entonces
(−∞, −2), (−2, 0), (0, 2), (2, ∞)
8x
(x−2) 2 (x+2) 2 , por )
Para conocer el comportamiento de la función en cada uno de ellos basta
estudiar el signo de la derivada en cualquier punto perteneciente al intervalo.
El resultado es
(−∞, −2) f ′ > 0 f es creciente
(−2, 0) f ′ > 0 f es creciente
(0, 2) f ′ < 0 f es decreciente
(2, ∞) f ′ < 0 f es decreciente

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Gráficas de
funciones
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Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de la función
x 2
x 2 − 4

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de concavidad

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una función
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Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de concavidad
Son intervalos donde la función es cóncava o convexa.
Los intervalos de concavidad o convexidad vienen delimitados por los puntos
donde cambia el signo de la segunda derivada
porque se anula f ′′ (x)
o porque f ′′ (x) presenta una discontinuidad.

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funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Intervalos de concavidad
Ejemplo
La función f(x) = x2
x2 , tiene como derivada segunda
− 4
tanto, f ′′ (x)
tiene dos puntos de discontinuidad x = 2 y x = −2
su derivada no se anula en ningún punto.
Los intervalos de concavidad y convexidad son entonces
(−∞, −2), (−2, 2), (2, ∞)
8(3x 2 +4)
(x−2) 3 (x+2) 3 , por
Para conocer el comportamiento de la función en cada uno de ellos basta
estudiar el signo de la derivada segunda en cualquier punto perteneciente al
intervalo. El resultado es
Volver a ver la gráfica de f(x) =
(−∞, −2) f ′′ > 0 f es cóncava
(−2, 2) f ′′ < 0 f es convexa
(2, ∞) f ′′ > 0 f es cóncava
x2
x 2 −4

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Gráficas de
funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de algunas funciones

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Gráficas de
funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Estudio global de una gráfica
Ejemplo: gráfica de la función f(x) = x3
x 2 −1 .
Dominio: D = {x ∈ R/ x = {−1, 1}}.
Simetrías: es impar porque f(−x) = (−x)3
(−x) 2 −1
No es periódica.
= − x3
x 2 −1
= −f(x).
Puntos de corte con los ejes: con el eje OX se corta en el punto (0, 0) y
con el eje OY se corta también el punto (0, 0).
Signo de la función:
x 3
-1 0 1
- - - 0 + + +
x 2 − 1 + 0 - - - 0 +
x 3
x 2 −1 - · + 0 - · +

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funciones
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una función
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Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Estudio global de una gráfica
Ejercicio (continuación)
Puntos de discontinuidad: en los puntos x = ±1 tiene discontinuidades
esenciales de salto infinito, porque los límites en esos puntos valen ∞ o
−∞ (según los calculemos por la derecha o por la izquierda).
Asíntotas:
Horizontales: no tiene porque límx→±∞ f(x) = ±∞
Verticales: son las rectas x = 1 y x = −1 porque
lím f(x) = ±∞ y lím f(x) = ±∞
x→1 ± x→−1 ±
Oblicuas: la recta y = x es asíntota oblicua cuando x tiende a infinito:
lím
x→+∞
f(x)
x
= 1 y lím f(x) − x = 0.
x→+∞
la recta y = x es asíntota oblicua cuando x tiende a menos infinito:
lím
x→−∞
f(x)
x
= 1 y lím f(x) − x = 0.
x→−∞

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funciones
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Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Estudio global de una gráfica
Ejercicio (continuación)
Para el crecimiento, estudiamos el signo de f ′ (x) = x4 −3x 2
x4−2x2 −
+1
√ 3 -1 0
√
1 3
+ 0 - - - 0 - - - 0 +
x 4 − 3x 2
x 4 − 2x 2 + 1 + + + 0 + + + 0 + + +
x 4 −3x 2
x4−2x2 +1 + 0 - · - 0 - · - 0 +
Por tanto, crece si x ∈ (−∞, − √ 3) ∪ ( √ 3, ∞) y decrece si
x ∈ (− √ 3, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, √ 3)
Máximos o mínimos relativos. Viendo lo anterior, se deduce que hay un
máximo relativo en x = − √ 3 y un mínimo relativo en x = √ 3.

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funciones
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una función
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Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Estudio global de una gráfica
Ejercicio (continuación)
Las regiones de concavidad y convexidad las determinamos estudiando el
signo de f ′′ (x) =
2x 3 +6x
x 6 −3x 4 +3x 2 −1 :
-1 0 1
2x 3 + 6x - - - 0 + + +
(x 2 − 1) 3 + 0 - - - 0 +
2x 3 +6x
(x 2 −1) 3 - · + 0 - · +
Por tanto, es cóncava si x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1) y convexa si
x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞).
Puntos de inflexión. Observando lo anterior, se deduce que el punto
x = 0 es un punto de inflexión.

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Matemático
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Gráficas de
funciones
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Gráfica de
una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de algunas funciones
Gráfica de la función x3
x 2 −1

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funciones
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una función
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Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de algunas funciones
Ejemplo: gráfica de f(x) =
D = R − {−1, 1}
AV: x = −1
AO: y = x − 2
Corte con los ejes (0, 0)
Corte con la AO
(− 2
3
, − 8
3 )
(−∞, −3) ∪ (−1, ∞) ↑
(−3, −1) ↓
(∞, −1) ∪ (−1, 0)
(0, ∞)
x 3
(1 + x) 2

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Matemático
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Gráficas de
funciones
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una función
Dominio
Simetrías
Asíntotas
Verticales
Horizontales
Oblícuas
Puntos de
corte
Con los ejes
Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de algunas funciones
Ejemplo: gráfica de f(x) = 2 x2 + 2 x + 1
x 2
D = R − {0}
AV: x = 0
AH: y = 2
Corte con la AH (− 1
, 2) 2
(−∞, −1) ∪ (0, ∞) ↓
(−1, 0) ↑
(−∞, −3
2 )
( −3
, 0) ∪ (0, ∞)
2

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Gráficas de
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una función
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Asíntotas
Verticales
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corte
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Con las
asíntotas
Intervalos de
crecimiento
Intervalos de
concavidad
Gráficas de
algunas
funciones
Gráfica de algunas funciones
Gráfica de f(x) = x e 1/x
D = R − {0}
AV: x = 0 +
AO: y = x + 1
(−∞, 0) ∪ (1, ∞) ↑
(0, 1) ↓
(−∞, 0)
(0, ∞)

5. Cálculo de primitivas

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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Integral de Riemann. Técnicas de
integración

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Índice
Introducción
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Integrales inmediatas
Métodos de integración
Método de integración por partes
Integración de funciones racionales
Integración de funciones trigonométricas
Integración de funciones irracionales
Bibliografía

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Introducción

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
El cálculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el de
área de una región, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otras
aplicaciones.
Los orígenes del cálculo de
áreas se pueden encontrar
en el método de exhaución
desarrollado por los griegos
hace más de 2000 años.
Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque riguroso
actual.

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Primitiva de una función.
Definiciones y propiedades

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Definición
Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la función f
en un conjunto de valores D si:
Ejemplo
Si f(x) = 2x, entonces
F ′ (x) = f(x), ∀x ∈ D.
F (x) = x 2 es una primitiva de f(x) en R, porque
F ′ (x) = (x 2 ) ′ = 2x = f(x).
Del mismo modo, F (x) = x 2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porque
F ′ (x) = (x 2 + 7) ′ = 2x = f(x).
Se deduce fácilmente que
Observación
Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) en
D, siendo C cualquier número real.

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Matemático
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Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Primitiva de una función. Definiciones y propiedades
Definición
Al conjunto detodas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y
se denota por f(x)dx. De la observación anterior se deduce que si F (x) es
una primitiva de f(x), entonces
f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.
Propiedades (de la integral indefinida)
Sea f : I ⊂ R → R. Se tiene que
1 Si k ∈ R, entonces k f(x)dx = k
2
(f(x) ± g(x)) dx =
f(x)dx ±
f(x)dx.
g(x)dx.

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Técnicas de
integración
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Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integrales inmediatas

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Integral de
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integración
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una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integrales inmediatas
Definición
Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente de
las reglas de derivación.
En la tabla de la página siguiente se muestran algunas integrales
inmediatas.

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Funciones
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Bibliografía
Algunas integrales inmediatas
k dx = kx ∀k ∈ R
(n = −1) x n dx = xn+1
1
x
x x
e dx = e
dx = ln |x|
x a
a dx = x
ln a
sen(x) dx = − cos(x)
cos(x) dx = sen(x)
1
sen2 (x)
1
cos2 (x)
1
n+1
dx = − cotg(x)
dx = tg(x)
1+x2 dx = arctg(x)
dx = arcsen(x)
1
√1−x 2
f(x) n f ′ (x) dx = f(x) n+1
n+1
′
f (x)
dx = ln |f(x)|
f(x)
f(x) ′ f(x)
e f (x) dx = e
f(x) ′ a
a f (x) dx = f(x)
ln a
′
sen(f(x))f (x) dx = − cos(f(x))
′
cos(f(x))f (x) dx = sen(f(x))
f ′ (x)
sen2 (f(x))
f ′ (x)
cos2 (f(x))
f ′ (x)
dx = − cotg(f(x))
dx = tg(f(x))
1+(f(x)) 2 dx = arctg f(x)
√
1−(f(x)) 2 dx = arcsen f(x)
f ′ (x)

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Integral de
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Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Métodos de integración

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Técnicas de
integración
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Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración por sustitución o
cambio de variable

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Integral de
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Técnicas de
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Primitiva de
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Métodos de
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
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Bibliografía
Métodos de integración: sustitución o cambio de variable
Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que
sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.
Teorema
Sea x = φ(t) una función derivable respecto de t (entonces dx = φ ′
(t)dt).
Podremos calcular f(x)dx así:
f(x)dx =
f(φ(t))φ ′ (t)dt
Encontraremos solución siempre que sepamos calcular la última primitiva de la
igualdad anterior.
Ejemplo
t = 2x; x = t/2
cos(2x)dx =
dt = 2dx
= cos(t) dt 1
1
= sen(t)+C =
2 2 2 sen(2x)+C
e cosx
t = cosx
sen(x) dx =
dt = −sen(x) dx
= − e t dt = −e t +C = −e cos(x) +C

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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
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Integración por partes

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Métodos de
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Métodos de integración: integración por partes
Integración por partes
Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que
se deduce que
(u(x) · v(x)) ′ = u(x) · v ′ (x) + u ′ (x) · v(x)
u(x) · v ′ (x) = (u(x) · v(x)) ′ − u ′ (x) · v(x)
y por tanto, si se puede integrar respecto de x:
u(x)v ′
(x)dx = u(x)v(x) −
Ejemplo
x n ln x dx =
u(x) = ln x ⇒ du(x) = 1
x dx
dv(x) = x n dx ⇒ v(x) = xn+1
= xn+1
n + 1
ln x −
x n
n + 1
v(x)u ′ (x)dx
n+1
dx = xn+1
n + 1
=
ln x − 1
+ C.
n + 1

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I. Por cambio
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Funciones
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Funciones
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Funciones
irracionales
Bibliografía
Métodos de integración: integración por partes
Ejemplo
dx
u = arctg(x) ⇒ du =
arctg(x)dx =
1+x2
=
dv = dx ⇒ v = x
x
1
= x arctg(x) − dx = x arctg(x) −
1 + x2 2 ln |x2 + 1| + C.

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racionales
Funciones
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Funciones
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Bibliografía
Integración de funciones
racionales

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Integrales
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Métodos de
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I. Por cambio
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II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Integración de funciones racionales
Son integrales de la forma
f(x)dx =
donde p(x) y q(x) son polinomios.
p(x)
q(x) dx,
Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el método de descomposición
descrito a continuación.
En otro caso, debemos efectuar la división de polinomios:
f(x) = p(x)
q(x)
= c(x) + r(x)
q(x) ,
donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y el
polinomio resto de la división.

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Funciones
racionales
Funciones
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Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
Calculemos x 2
x−1 dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x + 1)(x − 1) + 1,
por tanto:
x 2
x − 1
dx = (x + 1) + 1
dx =
x − 1
1
(x + 1) dx +
x − 1 dx = x2 /2 + x + ln(|x − 1| + C)

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I. Por cambio
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II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
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Integración de funciones racionales
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 1. grado(q) = n con todas las raíces reales y simples:
q(x) = a0(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn)
Se realizará una descomposición en fracciones simples como sigue:
p(x)
q(x) =
A1
a0(x − x1)
+ A2
x − x2
+ . . . + An
, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.
x − xn
A continuación se integrarán los sumandos de la descomposición obtenida:
p(x)
dx =
q(x)
A1
dx +
a0(x − x1)
A2
dx + . . . +
x − x2
An
dx =
x − xn
= A1
a0
ln |x − x1| + A2 ln |x − x2| + . . . + An ln |x − xn| + C.

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I. Por cambio
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II. Por partes
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Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
Calcula 2x−3
x 2 −3x+2 dx

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Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
Calcula 2x−3
x 2 −3x+2 dx
Puesto que x 2 − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), se tiene que
2x − 3
x 2 − 3x + 2
= A1
x − 1
+ A2
x − 2 ⇒
2x − 3 = A1(x − 2) + A2(x − 1) ⇒
Por tanto
2x − 3
x 2 − 3x + 2
dx =
1
x − 1
dx +
2x − 3
x2 − 3x + 2 = A1(x − 2) + A2(x − 1)
(x − 2)(x − 1))
2 = A1 + A2
−3 = −2A1 − A2
1
x − 2
⇒
A1 = 1
A2 = 1
dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

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I. Por cambio
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Funciones
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Funciones
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Funciones
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Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
2x − 3
2x3 − x2 dx =
− x

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una función
Integrales
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Métodos de
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
2x − 3
2x3 − x2
Teniendo en cuenta:
dx =
− x 2x3 − x2 − x = x(x − 1)(2x + 1)
A B C
= + + =
x x − 1 2x + 1
= 3 ln |x| − 1
3
ln |x − 1| − 8
3
ln |2x + 1| + C,
donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:
2x−3
2x 3 −x 2 −x
= A
x
+ B
x−1
para lo que se debe cumplir que:
⎧
⎨
⎩
+ C
2x+1
=
= A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)
x(x−1)(2x+1)
= x2 (2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A
2x3−x2 ,
−x
0 = 2A + 2B + C
2 = −A + B − C
−3 = −A
⎧
⎨ A = 3
⇒ B =
⎩
−1
3
C = −16
3
=

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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
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Funciones
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Bibliografía
Integración de funciones racionales
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 2. grado(q) = k con alguna raíz real de multiplicidad k:
Descomposición en fracciones simples:
p(x)
q(x) =
A1
a0(x − x0) +
q(x) = a0(x − x0) k
A2
+
(x − x0) 2
Integración de los sumandos obtenidos:
p(x)
dx =
q(x)
A1
dx +
a0(x − x0)
= A1
a0
A2
dx +
(x − x0) 2
A3
+ . . . +
(x − x0) 3
A3
dx + . . . +
(x − x0) 3
(x − x0)
ln |x−x0|+A2
−1
(x − x0)
+A3
−1
−2
+. . .+Ak
−2
Ak
.
(x − x0) k
Ak
dx
(x − x0) k
(x − x0) −k+1
−k + 1
+C.

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inmediatas
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
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Integración de funciones racionales
Ejemplo
Calcula 3x+5
x 3 −x 2 −x+1 dx

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I. Por cambio
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Funciones
racionales
Funciones
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Funciones
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Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
Calcula 3x+5
x 3 −x 2 −x+1 dx
Puesto que x 3 − x 2 − x + 1 = (x + 1)(x − 1) 2 , se tiene que:
3x+5
x 3 −x 2 −x+1
= A1
x+1
+ A2
(x−1)
+ A3
(x−1) 2
3x+5
x3−x2−x+1 = A1(x−1) 2 +A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)
(x+1)(x−1) 2
y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores también son
iguales, los numeradores también lo serán:
de donde
Por tanto
3x + 5 = A1(x − 1) 2 + A2(x − 1)(x + 1) + A3(x + 1)
3x + 5
x 3 − x 2 − x + 1
0 = A1 + A2
3 = −2A1 + A3
5 = A1 − A2 + A3
dx =
⇒
A1 = 1/2
A2 = −1/2
A3 = 4
1/2
dx +
x + 1
−1/2
dx +
(x − 1)
3
dx =
(x − 1) 2
4
1/2 ln |x + 1| − 1/2 ln |x − 1| −
(x − 1)
⇒

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Integración de funciones racionales
Ejemplo
=
donde :
2x − 3
x3 − 3x2
Teniendo en cuenta:
dx =
+ 3x − 1 x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1) 3
A
=
x − 1
=
+
B C
+
(x − 1) 2 (x − 1) 3
dx =
0
x − 1 +
2
+
(x − 1) 2 −1
(x − 1) 3
1 1/2
dx = −2 + + C
(x − 1) (x − 1) 2
2x−3
x 3 −3x 2 +3x−1
= A
x−1
lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.
Observación
B
+
(x−1) 2 + C
(x−1) 3 = Ax2 +x(−2A+B)+(A−B+C)
(x−1) 3
Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raíces reales y complejas
(simples y/o múltiples). Aquí sólo se tratará el caso anterior, y el caso en que
la raíz compleja es de multiplicidad 1.

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Integración de funciones racionales
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 3. q(x) tiene alguna raíz compleja simple.
q(x) = k(x − x1) α1 . . . (x − xp) αp [(x − b1) 2 + c 2 1] . . . [(x − bk) 2 + c 2 k]
con k, xi, aj, cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fracción de
esta forma:
p(x)
dx =
q(x)
siendo Mj, Nj ∈ R
A 1 1
x − x1
+ · · · +
· · · + A1 p
x − xp
A α1
1 + . . .
α1 (x − x1)
+ · · · +
A αp
p
+ αp (x − xp)
+ M1x + N1
[(x − b1) 2 + c 2 1 ] + · · · + Mkx + Nk
[(x − bk) 2 + c 2 k ]
dx

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Funciones
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Integración de funciones racionales
Ejemplo
1
x 3 +1 dx

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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
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Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo
1
x 3 +1 dx
Puesto que x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 − x + 1), se tiene que:
1
x 3 +1
= A1
x+1
A2x+A3 +
x2−x+1 = A1(x 2 −x+1)+(A2x+A3)(x+1)
(x+1)(x2−x+1) ⇒ 1 = A1(x 2 − x + 1) + (A2x + A3)(x + 1)
Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores
Por tanto
0 = A1 + A2
0 = −A1 + A2 + A3
1 = A1 + A3
⇒
A1 = 1/3
A2 = −1/3
A3 = 2/3
1
x3 +1 dx = 1/3
x+1 dx + −1/3x+2/3
x2−x+1 dx =
= 1
3 ln |x + 1| + −1/3x+2/3
x 2 −x+1 dx
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 2x−4
x 2 −x+1
dx =
⇒

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inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Ejemplo (continuación) 1
x 3 +1
dx =
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 2x−1+1−4
x 2 −x+1
dx =
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 2x−1
x 2 −x+1 + 1/6 3
x 2 −x+1
dx =
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6 3
x 2 −x+1
dx =
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6 3
(x−1/2) 2 +3/4
dx =
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6 3·4/3
4/3[(x−1/2) 2 +3/4]
= 1
2x−1 2+1
√
3
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1/6 4
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1
6 ·
= 1
3 ln |x + 1| − 1/6 ln(x2 − x + 1) + 1
√ 3
= 1
3 ln |x + 1| − ln |x2 −x+1|
6 + 1 √ 3 arctg
√ 3
2
dx
4·2/ √ 3
2x−1 2+1
√
3
2/ √ 3
2x−1 2+1
√
3
2x−1
√
3
dx =
dx =
dx =

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Análisis
Matemático
Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones racionales
Método de descomposición (grado(p) < grado(q))
Caso 3.q(x) tiene alguna raíz compleja múltiple
Por ejemplo, 2x 3 −2x 2 +16
x(x 2 +4) 2
dx
Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el método de
Hermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas de
cocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados en
sucesivos pasos.

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integración
HEDIMA
Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones
trigonométricas

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Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones trigonométricas
Integrales racionales-trigonométricas:
f(sen(x), cos(x))dx
Se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica
t = tan( x
) , como sigue:
2
x
2dt
t = tan( ) dx = 2 1+t
f(sen(x), cos(x))dx =
2
sen(x) = 2t
1+t2 cos(x) = 1−t2
1+t2
=
=
que es la integral de una función racional.
Ejemplo
2t 1 − t2
f ,
1 + t2 1 + t2
2
dt,
1 + t2
x
2dt
dx t = tan( ) dx = 2 1+t
dx =
sen(x) 2
sen(x) = 2t
1+t2 cos(x) = 1−t2
1+t2
1
= dt = ln |t| + C = ln tan(
t x
2 )
+ C.
=

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Integrales
inmediatas
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II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones trigonométricas
Observaciones
Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar
con cambios más sencillos. Son los siguientes:
1 f(sen(x), cos(x))dx, donde
2
3
f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = cos(x) .
f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(sen(x), −cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = sen(x) .
f(sen(x), cos(x))dx, donde
f(−sen(x), −cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).
Cambio t = tan(x) .

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Técnicas de
integración
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Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones trigonométricas
Ejemplo
Ejemplo
= −
dx
dx =
sen(x)
1 1
dt =
1 − t2 2 ln
cos 3 (x) dx =
=
−dt
t = cos(x) dx = √
1−t2 ⎧
⎪⎨
⎪⎩
sen(x) = √ 1 − t 2 cos(x) = t
t − 1
t + 1
+ C = 1
2 ln
=
cos(x) − 1
cos(x) + 1 + C.
t = sen(x) dx = dt √
1−t2 cos(x) = √ 1 − t 2 sen(x) = t
1 − t 2 dt = t − t3
3 + C = sen(x) − sen3 (x)
3
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
+ C.

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Integrales
inmediatas
Métodos de
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I. Por cambio
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II. Por partes
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racionales
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Funciones
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Bibliografía
Integración de funciones
irracionales

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Integrales
inmediatas
Métodos de
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I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones irracionales
Integrales del tipo
f(x, x 2 ± a 2 )dx,
f(x, a 2 − x 2 )dx
con a ∈ R, se convierten en integrales trigonométricas mediante los cambios
1 f(x, √ a 2 − x 2 )dx: cambio x = a sen(t) .
2 f(x, √ x 2 − a 2 )dx: cambio x = a
sen(t) .
3 f(x, √ x 2 + a 2 )dx: cambio x = a tan(t) .

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una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones irracionales
Ejemplo
a 2 − x 2 dx =
x = a sen(t)
dx = a cos(t)dt
= a 2
que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos 2 (t) se transforma en
a 2
cos 2 (t) dt =
a 2
2
2
t + a2
4
cos 2 (t)dt
a2
a2 a2
t + sen(2t) + C = t + 2sen(t) cos(t) + C =
4 2 4
a2
2 sen(t) 1 − sen2 (t) + C =
a 2
2
arc sen x
a
x
+ a2 − x2 + C.
2

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Integrales
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Métodos de
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I. Por cambio
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II. Por partes
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racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
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Integración de funciones irracionales
Ejemplo
x 2 + a 2 dx =

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I. Por cambio
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II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
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Integración de funciones irracionales
Ejemplo
=
x 2 + a 2 dx =
x = a tan(t)
dx = adt
cos 2 (t)
y = sen(t) dt = dy
√ 1−y 2
= a2
4
cos(t) = 1 − y 2 sen(t) = y
=
1
+
(1 − y) 2
= a2
4
1
(1 − y) +
2y
1−y 2 + ln
= a 2
= a 2
1
+
(1 + y) 2
y+1
+ C =
y−1
Deshaciendo los cambios:
y = sen t =
tan(t) √ =
1−tan2 (t)
= x
√
x2 + a2 a
+ 2
2
4 ln
x+
√ x
x2−a2 √
x2 +a2 √
x− x2 +a2 1
cos3 dt =
(t)
1
(1 − y2 dt =
) 2
1
dt =
(1 + y)
+ C
=

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Tema:
Integral de
Riemann.
Técnicas de
integración
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Introducción
Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Integración de funciones irracionales
Integrales del tipo
f x, n
ax + b
dx
cx + d
Se convierten en integrales racionales mediante el cambio
Ejemplo
t = n
ax + b
cx + d
dx
1 + 3√ ⎧
⎨ Cambio:
dx = t =
x + 1 ⎩
3√ x + 1
dx = 3t2 ⎫
⎬
t2dt = 3
⎭
dt
1 + t =
dt 3
= 3 (t − 1)dt + 3 = t(t − 2) + 3 ln(t + 1) + C =
1 + t 2
= 3 3√ 3
x + 1(
2
√ x + 1 − 2) + 3 ln( 3√ x + 1 + 1) + C

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integración
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una función
Integrales
inmediatas
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integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
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racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Bibliografía

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Integral de
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Técnicas de
integración
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Primitiva de
una función
Integrales
inmediatas
Métodos de
integración
I. Por cambio
de variable
II. Por partes
Funciones
racionales
Funciones
trigonométricas
Funciones
irracionales
Bibliografía
Bibliografía
T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverté, 1989).
J. BURGOS, Cálculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Análisis Matemático (Paraninfo,
1980).
M. SPIVAK, Calculus (Reverté, 1987).

6. Integral definida

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema: La
integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Bibliografía
Bloque: Análisis Matemático
Tema: La integral definida

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Matemático
Tema: La
integral
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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Índice
La integral definida. Definición y ejemplos
Propiedades
Bibliografía

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Propiedades
Bibliografía
La integral definida.
Definición y ejemplos

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Propiedades
Bibliografía
La integral definida
Sean
f : [a, b] −→ R una función continua y positiva.
Af [a, c]: área contenida entre la función, el eje OX, y las rectas x = a y
x = c. En lo que sigue, a será fijo y c será variable.
Relación entre las funciones Af [a, ·] y f
Cuando f es continua en c, se verifica que para cualquier h > 0 (pequeño) el
valor de Af [a, c + h] − Af [a, c] es aproximadamente f(c)h, o lo que es lo
mismo,
Af [a, c + h] − Af [a, c]
h
∼ f(c)

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Tema: La
integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
La integral definida
Tomando ahora límite cuando h −→ 0 en ambos miembros de la expresión
Af [a, c + h] − Af [a, c]
h
y usando la definición de derivada, se tiene que
A ′ f [a, c] = f(c)
es decir, Af [a, ·] es una primitiva de f.
∼ f(c)
Teorema (Teorema fundamental del cálculo y Regla de Barrow)
Sea f : [a, b] −→ R continua en [a, b]. Entonces Af [a, ·] es derivable y su
derivada es f, o lo que es equivalente, Af [a, ·] es una primitiva de f.
A ′ f [a, c] = f(c)
Además, si φ es primitiva de f, el área Af [a, b] se puede calcular así:
Af [a, b] = [φ(x)] b
a
= φ(b) − φ(a),

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integral
definida
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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
La integral definida
Definición (Integral de Riemann)
Llamamos integral definida o de Riemann de f en el intervalo [a, b] al valor
de Af [a, b], que normalmente se denota con la expresión
En caso de a > b, se define:
a
b
b
a
f(x)dx
f(x)dx = −
b
a
f(x)dx.
Para calcular la integral definida de una función continua basta conocer
una de sus primitivas φ(x):
b
a
f(x) dx = [φ(x)] b
a
= φ(b) − φ(a).

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Matemático
Tema: La
integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
La integral definida
Ejemplos
2
0
π/4
0
x 2 dx = x3
3
2 0 = 8
3
sen(x)dx = −cos(x)
π/4
0
5 √ 2(5x + 1)
5x + 1dx = 3/2
1
15
√
2
= −cosπ/4 + cos0 = −
2
5 1 = 2(26)3/2
15
− 2(6)3/2
15
+ 1

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integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral
definida

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Matemático
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integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral definida
Propiedades
1 Si m y M son respectivamente el valor mínimo y máximo de f en [a, b],
entonces
2
3
4
b
a
b
a
b
a
(f(x) ± g(x))dx =
cf(x)dx = c
f(x)dx =
c
a
m(b − a) ≤
b
a
b
a
b
a
f(x)dx ±
f(x)dx, ∀c ∈ R.
f(x)dx +
b
5 Si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], entonces
c
f(x)dx ≤ M(b − a).
b
a
g(x)dx.
f(x)dx, ∀c ∈ (a, b).
b
a
f(x)dx ≤
b
a
g(x)dx.

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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral definida
Teorema
Toda función continua en un intervalo [a, b] es integrable en [a, b]. Además,
se tiene
1 Si f : [a, b] −→ R es una función integrable en [a, b], y f(x) ≥ 0,
entonces
b
a
f(x)dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y
el eje OX desde a hasta b.
2 Si f es integrable en [a, b], entonces
1
2
b
a
f(x)dx es igual al área por encima del eje OX menos el área por
debajo del eje OX
b
a
|f(x)|dx es igual al área de la región entre la gráfica de f y el eje
OX desde a hasta b.

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integral
definida
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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral definida
Ejemplo
La integral entre a y b de la función f(x) del dibujo inferior es
Asimismo, se tiene que
A2 + A4 − (A1 + A3)
|f(x)|dx = A1 + A2 + A3 + A4.

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integral
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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral definida
Observación
Hemos supuesto que f : [a, b] −→ R es una función continua en [a, b].
Sin embargo, todo sigue siendo válido si admitimos que f presenta un
número finito de discontinuidades de salto finito.
Basta descomponer [a, b] en intervalos donde f sí sea continua y podamos
aplicar las propiedades anteriores.
Ejemplo
Por ejemplo, f : [0, 5] −→ R definida por
x
e si x ∈ [0, 3]
f(x) =
x si x ∈ (3, 5]
presenta una discontinuidad de salto finito en
x = 3. Su integral definida en [0, 3] es
5 3
f(x)dx = e x 5
dx +
0
0
3
x dx = [e x ] 3
0 +
2 5
x
2 3
= (e 3 − 1) + 8.

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integral
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Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Propiedades de la integral definida
Observación
Es posible extender el concepto de integral definida a un marco más general.
Por ejemplo, se pueden considerar funciones que no estén acotadas o que
estén definidas sobre intervalos no acotados (llamadas integrales impropias).
Sin embargo, estas cuestiones superan los objetivos de esta lección.

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HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Bibliografía

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Matemático
Tema: La
integral
definida
HEDIMA
Integral
definida
Propiedades
Bibliografía
Bibliografía
T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverté, 1989).
J. BURGOS, Cálculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Análisis Matemático (Paraninfo,
1980).
M.A. MULERO DÍAZ, I. OJEDA MARTÍNEZ DE CASTILLA,
Matemáticas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).
M. SPIVAK, Calculus (Reverté, 1987).

7. Aplicaciones de la integral

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Una curva
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Bibliografía
Bloque: Análisis Matemático
Tema: Aplicaciones de la integral

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Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Índice
Introducción

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Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
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Introducción
Cálculo de áreas de superficies planas

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Dos Curvas
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arco
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Cálculo de áreas de superficies planas
Longitud de un arco de curva plana

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Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
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Cálculo de áreas de superficies planas
Longitud de un arco de curva plana
Volumen de un sólido de revolución

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Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Introducción
En muchos fenómenos físicos, económicos, sociales,... el área bajo la curva
de una función representa una magnitud relevante que conviene saber medir.
Por ejemplo, si representamos la velocidad de un móvil en función del
tiempo, el área bajo la curva obtenida es el espacio recorrido.
En esta lección usaremos el cálculo integral para formalizar conceptos
sencillos e intuitivos como el de área de una región, volumen de un cuerpo, y
longitud de curvas planas.

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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Cálculo de áreas de superficies
planas

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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Cálculo de áreas de superficies planas
I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)
Si f(x) ≥ 0, entonces el valor del área es
b
f(x)dx.
b
Si f(x) ≤ 0, entonces el valor del área es − f(x)dx.
a
a

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Longitud de
arco
Volumen de
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Bibliografía
Cálculo de áreas de superficies planas
I. Área determinada por x = a, x = b, eje OX e y = f(x)
Si la función tiene cambios de signo en [a, b], hay que separar los
intervalos donde f(x) tiene signo constante y aplicar lo anterior. Por
ejemplo, si f(x) ≥ 0 en [a, c] y f(x) ≤ 0 en [c, b], entonces el valor del
área es:
c b
f(x)dx − f(x)dx.
a
c

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Volumen de
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Cálculo de áreas de superficies planas
II. Área determinada por x = a, x = b, eje OX y las curvas y = f(x) e
y = g(x)
Si f(x) ≥ g(x), entonces el valor del área es:
a
(f(x) − g(x))dx.
b
En otro caso, hay que separar [a, b] en intervalos y actuar como antes en
cada intervalo.

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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Cálculo de áreas de superficies planas
Ejemplo: Área del círculo
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que
el círculo tiene su centro en el origen de
coordenadas.
Gracias a la simetría de la figura, el área
será igual a cuatro veces el área de la parte del
círculo encerrado en el primer cuadrante.
La curva que define el contorno de un círculo de centro (0, 0) y radio r es
x 2 + y 2 = r 2 , luego y = √ r 2 − x 2 y el área será
4
= 4r 2
r
0
π 2
0
r 2 − x 2 dx = 4r
cos 2 tdt = 4r 2
r
0
π 2
0
1 − x2
dx =
r2 ⎧
⎨
⎩
1 + cos(2t)
dt = 4r
2
2
t
2
Cambio de variable
x
= sent
r
dx = rcost
sen(2t)
π
2
+ 0
4
⎫
⎬
⎭ =
= πr2

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Longitud de
arco
Volumen de
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Bibliografía
Longitud de un arco de curva
plana

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Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Longitud de un arco de curva plana
Longitud de un arco de curva
Sea f : [a, b] ⊂ D −→ R una función derivable en D y tal que su derivada f ′
es continua en [a, b]. Entonces la longitud L del arco de curva
viene dada por
L =
b
a
1 + f ′ (x) 2 dx
L = {(x, y) ∈ R 2 : x ∈ [a, b]},

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Una curva
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Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Longitud de un arco de curva plana
Ejemplo
Calculemos la longitud L del arco de curva y = √ x 3 entre los puntos (0, 0) y
(4, 8). Se tiene que
4
0
1 + ( 3
2 x 1 2 ) 2 dx =
4
1 + 9 8
x dx =
4 27 (10√10 − 1).
0

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de
revolución

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Sólidos de revolución
Los sólidos de revolución son cuerpos que se generan al girar una región
plana alrededor de un eje.
Por ejemplo:
El cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

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Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Volumen de un sólido por secciones
∀x ∈ [a, b], sea A(x) el área de la sección de obtenida al cortar un sólido
como el de la figura por un plano transversal al eje OX.
El volumen del mismo
vendrá dado por
V =
b
A(x)dx
a

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Matemático
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Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Volumen de un sólido de revolución
Sean
f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b]
A(x) la sección transversal al eje x del sólido generado al girar la
función alrededor del eje OX. Se tiene que:
A(x) = πf(x) 2
∀x ∈ [a, b]

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Aplicaciones
de la integral
Grupo
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Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Volumen de un sólido de revolución
Teniendo en cuenta que A(x) = πf(x) 2 ∀x ∈ [a, b], se tiene que el volumen
del sólido obtenido al girar y = f(x) alrededor del eje OX viene dado por
b
V = π f(x) 2 dx
a

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Análisis
Matemático
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Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Ejemplo
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar el trozo de parábola
y = √ x, para los valores x ∈ [0, 4], alrededor del eje OX, viene dado por:
4
V = π ( √ x) 2 4 2 4
x
dx = π x dx = π = 8π
2
0
0
0

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Aplicaciones
de la integral
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Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Volumen de un sólido de revolución
Ejemplo: Cálculo del volumen de una esfera de radio r
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que su centro se encuentra en el
origen de coordenadas.
En ese caso la esfera es generada al girar el semicírculo y = + √ r 2 − x 2 ,
x ∈ [−r, r], en torno al eje OX, por tanto
r
π
−r
2
r
r2 − x2 dx = π (r
−r
2 − x 2
)dx = π r 2 x − x3
r 3 −r
= 4
3 πr3 .

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Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Bibliografía

Bloque:
Análisis
Matemático
Tema:
Aplicaciones
de la integral
Grupo
HEDIMA
Introducción
Áreas
Una curva
Dos Curvas
Longitud de
arco
Volumen de
revolución
Bibliografía
Bibliografía
T.M. APOSTOL, Calculus, tomos I y II (Reverté, 1989).
J. BURGOS, Cálculo Infinitesimal de una variable (MaGraw-Hill, 1995).
B. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Análisis Matemático (Paraninfo,
1980).
M.A. MULERO DÍAZ, I. OJEDA MARTÍNEZ DE CASTILLA,
Matemáticas para primero de ciencias (Manuales Uex, 2008).
M. SPIVAK, Calculus (Reverté, 1987).

Parte 2
Álgebra lineal y geometría

8. Matrices

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Bloque:
Álgebra lineal
Tema: Matrices y determinantes

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Índice
Matrices
Operaciones con matrices
Determinante de una matriz
Propiedades de los determinantes
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m × n con coeficientes en un cuerpo K (por lo
general, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalares
aij ∈ K, i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,
formando un rectángulo. Se representa por
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n
A =
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
am1 am2 . . . amn
⎟
⎠ .

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m × n con coeficientes en un cuerpo K (por lo
general, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalares
aij ∈ K, i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,
formando un rectángulo. Se representa por
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n
A =
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
am1 am2 . . . amn
⎟
⎠ .
Las matrices de orden n × n con coeficientes en K se llaman matrices
cuadradas de orden n con coeficientes en K.

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Definición
Se llama matriz de orden m × n con coeficientes en un cuerpo K (por lo
general, K = R o K = C) a un conjunto ordenado de escalares
aij ∈ K, i = 1, . . . , m y j = 1, . . . , n, dispuestos en m filas y n columnas,
formando un rectángulo. Se representa por
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n
A =
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
am1 am2 . . . amn
⎟
⎠ .
Las matrices de orden n × n con coeficientes en K se llaman matrices
cuadradas de orden n con coeficientes en K.
El conjunto de las matrices de orden m × n con coeficientes en K se
designa por Mm×n(K), y el conjunto de las matrices cuadradas de orden n
con coeficientes en K se designa por Mn(K).

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llama
elemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij, y por tanto
representar a la matriz A por (aij) .

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K).
El escalar que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se llama
elemento (i, j)-ésimo de A; es usual denotarlo por aij, y por tanto
representar a la matriz A por (aij) .
Dado j ∈ {1, . . . , n} la matriz
⎛
⎜
⎝
a1j
.
amj
⎞
⎟
⎠ ∈ Mm×1(K)
se llama columna j-ésima de A, y dado i ∈ {1, . . . , m} la matriz
se denomina fila i-ésima de A.
(ai1 . . . ain) ∈ M1×n(K)

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
A =
⎛
⎝
5 7 4
2 9 5
6 2 3
⎞
⎠ ∈ M3(R); a23 = 5;
6 2 3 ∈ M1×3(R)

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
A =
B =
⎛
⎝
5 7 4
2 9 5
6 2 3
⎞
3 5 1 0
−1 0 2 12
⎠ ∈ M3(R); a23 = 5;
∈ M2×4(R); b14 = 0;
6 2 3 ∈ M1×3(R)
5
0
∈ M2×1(R)

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
A =
B =
C =
⎛
⎝
5 7 4
2 9 5
6 2 3
⎞
3 5 1 0
−1 0 2 12
3 + 5i −1
−i 1 + i
⎠ ∈ M3(R); a23 = 5;
∈ M2×4(R); b14 = 0;
6 2 3 ∈ M1×3(R)
5
0
∈ M2×1(R)
∈ M2(C); c22 = 1+i; −i 1 + i ∈ M1×2(C)

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento a
elemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
(aij) = (bij) ⇐⇒ aij = bij, ∀i = 1, . . . , m ∀j = 1, . . . , n.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento a
elemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
Definición
(aij) = (bij) ⇐⇒ aij = bij, ∀i = 1, . . . , m ∀j = 1, . . . , n.
Sea A ∈ Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraída de A a
cualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/o
columnas.

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento a
elemento; es decir, si (aij) y (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
Definición
(aij) = (bij) ⇐⇒ aij = bij, ∀i = 1, . . . , m ∀j = 1, . . . , n.
Sea A ∈ Mm×n(K). Llamaremos submatriz o matriz extraída de A a
cualquier matriz obtenida a partir de A suprimiendo algunas de sus filas y/o
columnas.
Ejemplos
A =
⎛
⎝
5 7 4
2 9 5
6 2 3
⎞
⎠ ; submatriz
9 5
2 3

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈ Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnas
cuyos elementos son todos iguales a 0.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈ Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnas
cuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈ Mn(K) es diagonal si
dij = 0 para todo i = j.

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
i) La matriz nula 0 ∈ Mm×n(K) es aquella con m filas y n columnas
cuyos elementos son todos iguales a 0.
ii) Se dice que una matriz cuadrada D = (dij) ∈ Mn(K) es diagonal si
dij = 0 para todo i = j.
En ocasiones, escribiremos
diag(λ1, . . . , λn),
con λi ∈ K, i = 1, . . . , n, para denotar la matriz diagonal
D = (dij) ∈ Mn(K) tal que dii = λi, i = 1, . . . , n.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se le
denomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denota
por In; es decir,
⎛
1 0 . . . 0
⎞
⎜
In = ⎜
⎝
0
.
1
.
. . .
. ..
0
.
⎟
⎠
0 0 . . . 1
.

Bloque:
Álgebra
Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se le
denomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denota
por In; es decir,
⎛
1 0 . . . 0
⎞
⎜
In = ⎜
⎝
0
.
1
.
. . .
. ..
0
.
⎟
⎠
0 0 . . . 1
.
Con la notación habitual de la delta de Kronecker
1
δij =
0
si
si
i = j
i = j
se tine que In = (δij) ∈ Mn(K).

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Algunos tipos de matrices especiales
iii) A la matriz diagonal tal que dii = 1 para todo i = 1, . . . , n, se le
denomina matriz unidad (ó matriz identidad) de orden n, y se denota
por In; es decir,
⎛
1 0 . . . 0
⎞
⎜
In = ⎜
⎝
0
.
1
.
. . .
. ..
0
.
⎟
⎠
0 0 . . . 1
.
Con la notación habitual de la delta de Kronecker
1
δij =
0
si
si
i = j
i = j
se tine que In = (δij) ∈ Mn(K).
iv) Se dice que una matriz cuadrada A = (aij) ∈ Mn(K) es triangular
superior si aij = 0 cuando i > j, y se dice que A es triangular inferior si
aij = 0 cuando i < j.

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Matrices y
determinantes
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Matrices
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con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
A =
0 0 0
0 0 0
∈ M2×3(R); matriz nula

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
B =
⎛
⎝
A =
3 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎞
∈ M2×3(R); matriz nula
⎠ = diag(3, 1, 0) ∈ M3(R); matriz diagonal

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Álgebra
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
B =
⎛
⎝
A =
3 0 0
0 1 0
0 0 0
C =
0 0 0
0 0 0
⎞
1 0
0 1
∈ M2×3(R); matriz nula
⎠ = diag(3, 1, 0) ∈ M3(R); matriz diagonal
= I2 ∈ M2(R); matriz unidad

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Matrices
Ejemplos
B =
E =
⎛
⎝
⎛
⎝
A =
3 0 0
0 1 0
0 0 0
C =
0 0 0
0 0 0
⎞
1 0
0 1
2 1 4
0 5 0
0 0 −1
∈ M2×3(R); matriz nula
⎠ = diag(3, 1, 0) ∈ M3(R); matriz diagonal
⎞
= I2 ∈ M2(R); matriz unidad
⎠ ∈ M3(R); matriz triangular superior

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguiente
manera: si A = (aij) y B = (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguiente
manera: si A = (aij) y B = (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.

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Matrices y
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HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Para que dos matrices puedan sumarse, tienen que ser del mismo orden.
Definición
En el conjunto Mm×n(K) se define la suma de matrices de la siguiente
manera: si A = (aij) y B = (bij) ∈ Mm×n(K), entonces
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) ;
luego, la suma de matrices define como la suma elemento a elemento.
Una matriz se puede multiplicar por un escalar.
Definición
Si A = (aij) ∈ Mm×n(K) y λ ∈ K, se define
λ · A := (λ · aij) ,
esto es, el producto de un escalar por una matriz es la matriz que resulta al
multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,
conmutativa y además,

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,
conmutativa y además,
i) si A ∈ Mm×n(K) y 0 ∈ Mm×n(K), entonces A + 0 = 0 + A = A.

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Álgebra
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,
conmutativa y además,
i) si A ∈ Mm×n(K) y 0 ∈ Mm×n(K), entonces A + 0 = 0 + A = A.
ii) si A = (aij) ∈ Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma que
A + (−A) = (−A) + A = 0 ∈ Mm×n(K).

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,
conmutativa y además,
i) si A ∈ Mm×n(K) y 0 ∈ Mm×n(K), entonces A + 0 = 0 + A = A.
ii) si A = (aij) ∈ Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma que
A + (−A) = (−A) + A = 0 ∈ Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas del
factor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor de
la derecha.

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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Nótese que la suma de matrices verifica las propiedades asociativa,
conmutativa y además,
i) si A ∈ Mm×n(K) y 0 ∈ Mm×n(K), entonces A + 0 = 0 + A = A.
ii) si A = (aij) ∈ Mm×n(K), entonces −A = (−aij), de tal forma que
A + (−A) = (−A) + A = 0 ∈ Mm×n(K).
Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas del
factor de la izquierda ha de coincidir con el número de filas del factor de
la derecha.
Definición
Sean A = (ail) ∈ Mm×p(K) y B = (blj) ∈ Mp×n(K). Se llama matriz
producto A · B a C = (cij) ∈ Mm×n(K), cuyo elemento (i, j)-ésimo es
cij =
p
ailblj, ∀i = 1, . . . , m, ∀j = 1, . . . , n.
l=1

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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Ejemplos
4 2 1
2 −3 0
+
4 2 1
2 −3 0
=
8 4 2
4 −6 0
suma

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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Ejemplos
4 2 1
2 −3 0
2
+
4 2 1
2 −3 0
4 2 1
2 −3 0
=
=
8 4 2
4 −6 0
8 4 2
4 −6 0
producto escalar
suma

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Matrices
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con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Ejemplos
4 2 1
2 −3 0
2
+
4 2 1
2 −3 0
1 3 2
−1 2 0
4 2 1
2 −3 0
=
⎛
· ⎝
=
8 4 2
4 −6 0
1 0
2 4
0 1
⎞
⎠ =
8 4 2
4 −6 0
7 14
3 8
producto escalar
producto
suma

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de una matriz
Propiedades
de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Ejemplos
4 2 1
2 −3 0
⎛
⎝
2
1 0
2 4
0 1
+
4 2 1
2 −3 0
1 3 2
−1 2 0
⎞
⎠ ·
4 2 1
2 −3 0
=
⎛
· ⎝
1 3 2
−1 2 0
=
8 4 2
4 −6 0
1 0
2 4
0 1
=
⎛
⎝
⎞
⎠ =
8 4 2
4 −6 0
7 14
3 8
1 3 2
−2 14 4
−1 2 0
producto escalar
⎞
producto
suma
⎠ no es conmutativo

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de los
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matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz de
Mm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas en
A. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por A t .

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Determinante
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Propiedades
de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz de
Mm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas en
A. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por A t .
Ejemplo
A =
4 2 1
2 −3 0
; A t ⎛
= ⎝
4 2
2 −3
1 0
⎞
⎠

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz de
Mm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas en
A. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por A t .
Ejemplo
Definición
A =
4 2 1
2 −3 0
; A t ⎛
= ⎝
4 2
2 −3
1 0
Sea A ∈ Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide con
su matriz transpuesta, es decir, cuando A = A t .
⎞
⎠

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de los
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matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A ∈ Mm×n(K) llamamos matriz traspuesta de A a la matriz de
Mm×n(K) que resulta de cambiar filas por columnas y columnas por filas en
A. La matriz traspuesta de A siempre existe y se denota por A t .
Ejemplo
Definición
A =
4 2 1
2 −3 0
; A t ⎛
= ⎝
4 2
2 −3
1 0
Sea A ∈ Mn(K), diremos que la matriz A es simétrica cuando coincide con
su matriz transpuesta, es decir, cuando A = A t .
Ejemplo
A =
⎛
⎝
4 2 1
2 −3 0
1 0 5
⎞
⎠ ; A t =
⎛
⎝
⎞
⎠
4 2 1
2 −3 0
1 0 5
⎞
⎠

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matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o no singular) si existe
B ∈ Mn(K) tal que A · B = B · A = In. La matriz B si existe es única, se
denomina matriz inversa de A y la denotaremos por A −1 .

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matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o no singular) si existe
B ∈ Mn(K) tal que A · B = B · A = In. La matriz B si existe es única, se
denomina matriz inversa de A y la denotaremos por A −1 .
Ejemplo
A =
1 2
0 1
; A −1 =
1 −2
0 1
; A · A −1 = A −1 · A = I2

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o no singular) si existe
B ∈ Mn(K) tal que A · B = B · A = In. La matriz B si existe es única, se
denomina matriz inversa de A y la denotaremos por A −1 .
Ejemplo
A =
Definición
1 2
0 1
; A −1 =
1 −2
0 1
; A · A −1 = A −1 · A = I2
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es ortogonal si es invertible y
A t = A −1 .

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de una matriz
Propiedades
de los
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Cálculo de la
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Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es invertible (o no singular) si existe
B ∈ Mn(K) tal que A · B = B · A = In. La matriz B si existe es única, se
denomina matriz inversa de A y la denotaremos por A −1 .
Ejemplo
A =
Definición
1 2
0 1
; A −1 =
1 −2
0 1
; A · A −1 = A −1 · A = I2
Diremos que una matriz A ∈ Mn(K) es ortogonal si es invertible y
A t = A −1 .
Ejemplo
A =
0 1
−1 0
; A t =
0 −1
1 0
; A · A t = A t · A = I2

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de los
determinantes
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matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Se denomina traza de A al número
tr(A) =
n
i=1
aii.

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Operaciones con matrices
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Se denomina traza de A al número
Ejemplo
A =
⎛
⎝
tr(A) =
4 2 1
2 −3 0
1 0 5
n
i=1
⎞
aii.
⎠ ; tr(A) = 6

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
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Operaciones con matrices
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Se denomina traza de A al número
Ejemplo
A =
⎛
⎝
tr(A) =
4 2 1
2 −3 0
1 0 5
Si A y B ∈ Mn(K), se verifica que:
n
i=1
⎞
aii.
⎠ ; tr(A) = 6
tr(A + B) = tr(A) + tr(B); tr(A) = tr(A t ) y tr(A · B) = tr(B · A)

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Determinante de una matriz

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de los
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matriz inversa
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Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por
|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
σ∈Sn
donde Sn denota al grupo simétrico.

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matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por
|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
σ∈Sn
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétrico
Sn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X con
sí mismo.

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por
|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
σ∈Sn
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétrico
Sn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X con
sí mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,
situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segunda
las imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n).

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matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por
|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
σ∈Sn
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétrico
Sn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X con
sí mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,
situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segunda
las imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1) ν(σ) ,
siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).

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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Definición
Sea A = (aij) ∈ Mn(K), Se llama determinante de A, y se representa por
|A|, al escalar definido por la expresión:
|A| =
sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n),
σ∈Sn
donde Sn denota al grupo simétrico.
Sea X un conjunto arbitrario con n elementos se llama grupo simétrico
Sn al conjunto de las funciones biyectivas (permutaciones) de X con
sí mismo. Podemos escribir una permutación σ ∈ Sn en forma de matriz,
situando en primera fila los elementos del dominio 1, . . . , n, y en la segunda
las imágenes correspondientes σ(1), . . . , σ(n). El signo de σ es (−1) ν(σ) ,
siendo ν(σ) el número de pares (i, j) con i < j tales que σ(i) > σ(j).
σ =
1 2 3
3 2 1
∈ S3; ν(σ) = 3; signo de σ es − 1

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de los
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Bibliografía
Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explícitas para los determinantes de las matrices
cuadradas de ordenes 2 y 3.

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de los
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explícitas para los determinantes de las matrices
cuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈ M2(K), entonces
1 2
ya que S2 =
1 2
respectivamente.
|A| = a11a22 − a12a21
1
,
2
2
1
, con signos {1, −1},

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de los
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matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explícitas para los determinantes de las matrices
cuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈ M2(K), entonces
1 2
ya que S2 =
1 2
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈ M3(K), entonces
|A| = a11a22 − a12a21
1
,
2
2
1
, con signos {1, −1},
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31
− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.

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de los
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explícitas para los determinantes de las matrices
cuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈ M2(K), entonces
1 2
ya que S2 =
1 2
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈ M3(K), entonces
Ejemplos
A =
4 2
2 −3
|A| = a11a22 − a12a21
1
,
2
2
1
, con signos {1, −1},
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31
− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
; |A| = −16;

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de los
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Determinante de una matriz
Veamos las expresiones explícitas para los determinantes de las matrices
cuadradas de ordenes 2 y 3.
i) Si A = (aij) ∈ M2(K), entonces
1 2
ya que S2 =
1 2
respectivamente.
ii) Si A = (aij) ∈ M3(K), entonces
Ejemplos
A =
4 2
2 −3
|A| = a11a22 − a12a21
1
,
2
2
1
, con signos {1, −1},
|A| =a11a22a33 − a12a21a33 − a13a22a31
− a11a23a32 + a12a23a31 + a13a21a32.
⎛
; |A| = −16; B = ⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |B| = −8

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de los
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.

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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a la
suma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)
cualquiera por sus adjuntos respectivos.

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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a la
suma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)
cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:

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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a la
suma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)
cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1) i+1 ai1|Ai1| + (−1) i+2 ai2|Ai2| + . . . + (−1) i+n ain|Ain|
=
n
(−1) i+j aij|Aij|,
j=1

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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a la
suma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)
cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1) i+1 ai1|Ai1| + (−1) i+2 ai2|Ai2| + . . . + (−1) i+n ain|Ain|
=
n
(−1) i+j aij|Aij|,
j=1
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:

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de una matriz
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determinantes
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Determinante de una matriz
Sea A = (aij) ∈ Mn(K). Llamaremos menor adjunto del elemento aij
de A al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminar la fila
i-ésima y la columna j-ésima de A, y lo denotaremos por |Aij|.
De esta manera, tenemos que el determinante de una matriz es igual a la
suma alternada de los productos de los elementos de una fila (o columna)
cualquiera por sus adjuntos respectivos.
Si elegimos la fila i-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1) i+1 ai1|Ai1| + (−1) i+2 ai2|Ai2| + . . . + (−1) i+n ain|Ain|
=
n
(−1) i+j aij|Aij|,
j=1
Si elegimos la columna j-ésima, el determinante de la matriz A es:
|A| = (−1) 1+j a1j|A1j| + (−1) 2+j a2j|A2j| + . . . + (−1) n+j anj|Anj|
=
n
(−1) i+j aij|Aij|.
i=1

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determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠

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Determinante
de una matriz
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de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1) 1+2 2|A12| + (−1) 2+2 0|A22| + (−1) 3+2 2|A32|
⎞
⎠

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de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1) 1+2 2|A12| + (−1) 2+2 0|A22| + (−1) 3+2 2|A32|
|A12| =
1 3
−1 1
⎞
⎠
= 4

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de los
determinantes
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matriz inversa
Bibliografía
Determinante de una matriz
Ejemplos
B =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
Desarrollando por la segunda columna (muchos elementos son nulos)
|B| = (−1) 1+2 2|A12| + (−1) 2+2 0|A22| + (−1) 3+2 2|A32|
|A12| =
1 3
−1 1
|B| = −8
⎞
⎠
= 4

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de los
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matriz inversa
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Propiedades de los determinantes

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de una matriz
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de los
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,
|A t | = |A|.

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de los
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matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,
|A t | = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas
(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (o
columnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.

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Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,
|A t | = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas
(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (o
columnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Así, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (o
columnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos los
elementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.

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Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P1. Si B es la matriz traspuesta de A, entonces |B| = |A|, es decir,
|A t | = |A|.
P2. Si una fila (o columna) de A es combinación lineal de otras de sus filas
(o columnas), es decir, es el resultado de sumar otras de sus filas (o
columnas) multiplicadas por un escalar, entonces |A| = 0.
Así, en particular, el determinante de una matriz A con dos filas (o
columnas) iguales o proporcionales es nulo. Asimismo, si todos los
elementos de una fila (o columna) de A son nulos, entonces |A| = 0.
P3. Si se intercambian entre sí dos filas (o columnas) de A, el determinante
de la matriz B obtenida es el opuesto del determinante de A, es decir,
|B| = −|A|.

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de los
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matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por un
escalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al producto
de λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.

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de los
determinantes
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matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por un
escalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al producto
de λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de la
matriz A es de la forma apj = a ′ pj + a ′′
pj , entonces el determinante de
A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, tales
que la fila p de B está formada por los elementos a ′ pj y la fila p de C
está formada por los elementos a ′′
pj, y las restantes filas de ambas
matrices son respectivamente iguales a las de A.

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de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Sea A = (aij) ∈ Mn(K).
P4. Si se multiplica una fila (o columna) cualquiera de la matriz A por un
escalar λ, el determinante de la matriz B obtenida es igual al producto
de λ por el determinante de A, esto es, |B| = λ|A|.
P5. Si cada elemento de una fila (o columna), por ejemplo la fila p, de la
matriz A es de la forma apj = a ′ pj + a ′′
pj , entonces el determinante de
A es igual a la suma de los determinantes de dos matrices B y C, tales
que la fila p de B está formada por los elementos a ′ pj y la fila p de C
está formada por los elementos a ′′
pj, y las restantes filas de ambas
matrices son respectivamente iguales a las de A.
P6. Si a la fila (o columna) p de A se le suma otra fila (columna) q
multiplicada por un escalar λ, el determinante de la matriz obtenida es
igual al determinante de A.

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de los
determinantes
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matriz inversa
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Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P1.
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
1 1 −1
2 0 0
0 3 1
⎞
⎠ ; |A| = |B| = −8

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de una matriz
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de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P1.
P2.
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
A =
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 2 0
2 4 0
−1 0 1
1 1 −1
2 0 0
0 3 1
⎞
⎞
⎠ ; |A| = 0
⎠ ; |A| = |B| = −8

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Propiedades
de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P1.
P2.
P3.
A =
A =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
A =
⎞
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
⎠ ; B =
⎛
⎝
1 2 0
2 4 0
−1 0 1
⎛
⎝
1 1 −1
2 0 0
0 3 1
⎞
⎞
⎠ ; |A| = 0
1 0 3
1 2 0
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = |B| = −8
⎠ ; |A| = −8; |B| = 8

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de los
determinantes
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Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P4.
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
−1 −2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = −8; |B| = 8

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Matrices
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con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P4.
P5.
A =
A =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; B =
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
⎛
⎝
−1 −2 0
1 0 3
−1 0 1
0 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎞
⎠ ; |A| = −8; |B| = 8
⎠ ; C =
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B| + |C| = −8
⎛
⎝
1 0 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠

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determinantes
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Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Propiedades de los determinantes
Ejemplos
P4.
P5.
P6.
A =
A =
⎛
⎝
⎛
⎝
A =
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎛
⎝
⎞
⎠ ; B =
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
⎛
⎝
−1 −2 0
1 0 3
−1 0 1
0 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎞
⎠ ; |A| = −8; |B| = 8
⎠ ; C =
|B| = −8; |C| = 0; |A| = |B| + |C| = −8
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; B =
⎛
⎝
2 2 3
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎛
⎝
1 0 0
1 0 3
−1 0 1
⎠ ; |A| = |B| = −8
⎞
⎠

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz
inversa

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Matrices y
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Definición
Sea A ∈ Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
adj(A) = ((−1) i+j |Aji|) ∈ Mn(K).

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Definición
Sea A ∈ Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
Lema
adj(A) = ((−1) i+j |Aji|) ∈ Mn(K).
Sea A ∈ Mn(K). Entonces se cumple que
⎛
|A| 0 . . . 0
⎜
A · adj(A) = adj(A) · A = ⎜
⎝
0
.
|A|
.
. . .
. ..
0
.
0 0 . . . |A|
⎞
⎟ = |A| · In.
⎠

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Matrices y
determinantes
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Definición
Sea A ∈ Mn(K). Llamaremos matriz adjunta de A, a la matriz
Lema
adj(A) = ((−1) i+j |Aji|) ∈ Mn(K).
Sea A ∈ Mn(K). Entonces se cumple que
⎛
|A| 0 . . . 0
⎜
A · adj(A) = adj(A) · A = ⎜
⎝
0
.
|A|
.
. . .
. ..
0
.
0 0 . . . |A|
Teorema
⎞
⎟ = |A| · In.
⎠
La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga
inversa es que su determinante sea distinto de cero. En cuyo caso,
A −1 = 1
|A| adj(A).

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Matrices y
determinantes
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Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Ejemplo
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = −8 = 0 invertible

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Matrices y
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Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Ejemplo
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = −8 = 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;

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Álgebra
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Ejemplo
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = −8 = 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
A −1 = − 1
8
⎛
⎝
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
0 −2 6
−4 1 −3
0 −2 −2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0 0.25 −0.750
0.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
⎞
⎠

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Lineal
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Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Aplicación: Cálculo de la matriz inversa
Ejemplo
A =
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
⎞
⎠ ; |A| = −8 = 0 invertible
|A11| = 0; |A12| = 4; |A13| = 0; |A21| = 2; |A22| = 1; |A23| = 2
A −1 = − 1
8
⎛
⎝
⎛
⎝
1 2 0
1 0 3
−1 0 1
|A31| = 6; |A32| = 3; |A33| = −2;
0 −2 6
−4 1 −3
0 −2 −2
⎞
⎛
⎠ · ⎝
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0 0.25 −0.750
0.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
0 0.25 −0.750
0.5 −0.125 0.375
0 0.250 0.250
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
⎞
⎠

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Álgebra
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Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
Bibliografía

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Álgebra
Lineal
Tema:
Matrices y
determinantes
HEDIMA
Matrices
Operaciones
con matrices
Determinante
de una matriz
Propiedades
de los
determinantes
Aplicación:
Cálculo de la
matriz inversa
Bibliografía
I.Ojeda, J.Gago-Vargas Métodos Matemáticos para Estadística.
Manuales UEx, no. 58 (2008).

9. Determinantes

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Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Bloque: Álgebra Lineal
Tema: Sistema de ecuaciones lineales

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Índice
Conceptos básicos
Expresión matricial
Resolución de SEL
Clasificación de SEL
Discusión con parámetros
Interpretación geométrica de SEL

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5

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Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
Solución: x = 1, y = 2

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama sistema de ecuaciones lineales (SEL) con m ecuaciones y n
incógnitas con coeficientes en un cuerpo K (por lo general, K = R o
K = C), a una expresión de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Resolver un SEL, es determinar los valores de x1, . . . , xn, que denominaremos
solución y tal que verifiquen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo
Sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
Solución: x = 1, y = 2
1 + 2 = 3
1 − 2 = −1
3 · 1 + 2 = 5

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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0

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ecuaciones
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x − 2y = 0
3x − 6y = 0

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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Conceptos básicos
Definición
Se llama SEL homogéneo con m ecuaciones y n incógnitas con coeficientes
en un cuerpo K (por lo general, K = R o K = C), a una expresión de la
siguiente forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
.
.
.
.
. ..
.
.
.
.
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
El vector de orden n con todos sus elementos nulos, es siempre solución del
SEL homogéneo.
Ejemplo
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas con coeficientes reales
x − 2y = 0
3x − 6y = 0
Soluciones: x = 0, y = 0; x = 2, y = 1; entre otras

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Expresión
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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n x1
⎜ a21 a22 ⎜
. . . a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ .
⎝ .
.
.
. .
.
..
. ⎟ ⎜
.
. ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ ,
am1 am2 . . . amn
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
xn
bm

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n x1
⎜ a21 a22 ⎜
. . . a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ .
⎝ .
.
.
. .
.
..
. ⎟ ⎜
.
. ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ ,
am1 am2 . . . amn
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n b1
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n b2
.
.
. ..
.
am1 am2 . . . amn bm
xn
bm
⎟
⎠ = (A|b), conA ∈ Mm×n(k), b ∈ Mm×1(k)

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n x1
⎜ a21 a22 ⎜
. . . a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ .
⎝ .
.
.
. .
.
..
. ⎟ ⎜
.
. ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ ,
am1 am2 . . . amn
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n b1
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n b2
.
.
. ..
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
;
xn
bm
⎟
⎠ = (A|b), conA ∈ Mm×n(k), b ∈ Mm×1(k)

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matricial
Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n x1
⎜ a21 a22 ⎜
. . . a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ .
⎝ .
.
.
. .
.
..
. ⎟ ⎜
.
. ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ ,
am1 am2 . . . amn
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n b1
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n b2
.
.
. ..
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
;
⎛
⎝
1 1
1 −1
3 1
xn
bm
⎟
⎠ = (A|b), conA ∈ Mm×n(k), b ∈ Mm×1(k)
⎞
⎠
x
y
=
⎛
⎝
3
−1
5
⎞
⎠ ;

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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Expresión matricial
Un SEL se puede representar en forma de productos de matrices como
⎛
⎞ ⎛ ⎞
a11 a12 . . . a1n x1
⎜ a21 a22 ⎜
. . . a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ .
⎝ .
.
.
. .
.
..
. ⎟ ⎜
.
. ⎟
. ⎠ ⎝ . ⎠ =
⎛ ⎞
b1
⎜ b2 ⎟
⎜ ⎟
⎜ . ⎟
⎝ . ⎠ ,
am1 am2 . . . amn
denominándose matriz de coeficientes, vector de incógnita y vector de
término independiente, respectivamente.
De manera más simplificada, un SEL se puede representar a través de la
matriz ampliada
⎛
⎞
a11 a12 . . . a1n b1
⎜
⎝
a21 a22 . . . a2n b2
.
.
. ..
.
am1 am2 . . . amn bm
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
;
⎛
⎝
1 1
1 −1
3 1
xn
bm
⎟
⎠ = (A|b), conA ∈ Mm×n(k), b ∈ Mm×1(k)
⎞
⎠
x
y
=
⎛
⎝
3
−1
5
⎞
⎠ ;
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠

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SEL
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parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
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Resolución de SEL

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básicos
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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4

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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
1 1
0 2
x
y
=
3
4

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básicos
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matricial
Resolución de
SEL
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
1 1
0 2
x
y
=
3
4

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
1 1
0 2
x
y
=
3
4
y = 2
x = 1

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básicos
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matricial
Resolución de
SEL
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4
y + x = 3
1 1
0 2
x
y
=
3
4
y = 2
x = 1

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básicos
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Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4
y + x = 3
1 1
0 2
2 0
1 1
x
y
y
x
=
3
4
y = 2
x = 1
=
4
3

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SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4
y + x = 3
y = 4/2
2 + x = 3
1 1
0 2
2 0
1 1
x
y
y
x
=
3
4
y = 2
x = 1
=
4
3

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
La resolución del SEL es sencillo si la matriz de coeficientes es triangular
superior (inferior), despejando y sustituyendo sistemáticamente de abajo
(arriba) a arriba (abajo)
Ejemplo (Triangular superior)
x + y = 3
2y = 4
y = 4/2
x + 2 = 3
Ejemplo (Triangular inferior)
2y = 4
y + x = 3
y = 4/2
2 + x = 3
1 1
0 2
2 0
1 1
x
y
y
x
=
3
4
y = 2
x = 1
=
4
3
y = 2
x = 1

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Definición
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:

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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
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geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Definición
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima

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básicos
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matricial
Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
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geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Definición
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.

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lineales
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matricial
Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
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geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Definición
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-ésima su fila l-ésima multiplicada por λ ∈ k.

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lineales
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Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Si la matriz de coeficientes no es triangular, aplicaremos operaciones
elementales con el fin de obtener una submatriz triangular de orden
mín{m, n}, es decir el menor entre el número de filas o columnas
Definición
Se llaman operaciones elementales (OE) por filas en la matriz ampliada (A|b)
a las siguientes transformaciones:
(a) Tipo I: Intercambiar las filas i-ésima y l-ésima
(b) Tipo II: Multiplicar la fila i-ésima por λ ∈ k \ {0}.
(c) Tipo III: Sumar a la fila i-ésima su fila l-ésima multiplicada por λ ∈ k.
Así, obtenemos un nuevo SEL que es equivalente con el original, en el
sentido que tienen las mismas soluciones, y es más sencillo de resolver.

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
,

Bloque:
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Lineal
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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠

Bloque:
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Lineal
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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
1 1 3
⎞
OE 1: Primera fila menos segunda fila ⎝ 0 2 4 ⎠
3 1 5
⎞
⎠

Bloque:
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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
1 1 3
OE 1: Primera fila menos segunda fila ⎝ 0 2 4
3 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
⎛
⎝
⎞
⎠
1 1 3
0 2 4
0 2 4
⎞
⎠
⎞
⎠

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básicos
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matricial
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SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
1 1 3
OE 1: Primera fila menos segunda fila ⎝ 0 2 4
3 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente
x + y = 3
2y = 4
2y = 4
⎛
⎝
⎞
⎠
1 1 3
0 2 4
0 2 4
⎞
⎠
⎞
⎠

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SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Resolución de SEL
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
1 1 3
OE 1: Primera fila menos segunda fila ⎝ 0 2 4
3 1 5
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente
x + y = 3
2y = 4
2y = 4
⎛
⎝
Solución
⎞
⎠
1 1 3
0 2 4
0 2 4
x = 1
y = 2
⎞
⎠
⎞
⎠

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SEL
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parámetros
Interpretación
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SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL

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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.

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matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
,

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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Solución
x = 1
y = 2

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Los SEL se clasifican de acuerdo a su solución en compatibles
determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.
Definición
Un SEL es compatible cuando tiene solución, en caso contrario se dice que es
incompatible. Además, un sistema compatible es determinado si tiene
solución única, en caso contrario es indeterminado.
Ejemplo
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Solución
SEL Compatible determinado
x = 1
y = 2

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
,

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lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠

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Lineal
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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠

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Lineal
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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
5 −5 15
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
5 −5 15
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠
⎞
⎠

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Lineal
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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente x − y = 3
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
5 −5 15
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠
⎞
⎠

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Lineal
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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente x − y = 3 Solución
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
5 −5 15
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
x = 3 + y
y ∈ R
⎞
⎠
⎞
⎠

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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Cinco veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente x − y = 3 Solución
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
5 −5 15
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
x = 3 + y
y ∈ R
SEL compatible indeterminado: x = 3, y = 0; x = 4, y = 1;...
⎞
⎠
⎞
⎠

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lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
,

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠

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lineales
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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
3 −3 10
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
3 −3 10
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente
x − y = 3
0 = −1
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
3 −3 10
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente
x − y = 3
0 = −1
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
3 −3 10
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
No exisite solución
⎞
⎠
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
Matriz de coeficientes sin submatriz triangular de orden 2
OE 1: Dos veces primera fila menos segunda fila
OE 2: Tres veces primera fila menos tercera fila
SEL equivalente
x − y = 3
0 = −1
SEL incompatible
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎛
⎝
⎛
⎝
⎞
⎠
1 −1 3
0 0 0
3 −3 10
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
No exisite solución
⎞
⎠
⎞
⎠

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mín{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros

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Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mín{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠

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Resolución de
SEL
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mín{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠ aplicando OE
⎛
⎝
1 1 3
0 2 4
0 0 0
⎞
⎠

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Formalmente, la clasificación de SEL se basa en el rango de una matriz
Definición
Sea A ∈ Mm×n(k). Se llama rango de la matriz A y se denota rg(A), al
número de filas (o columnas) distintas de cero de la matriz resultante final al
aplicar operaciones elementales y tal que contenga una submatriz triangular
de orden mín{m, n} y que no se pueda hacer más filas (o columnas) ceros
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
⎛
⎝
1 1 3
0 2 4
0 0 0
⎞
⎠

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠ aplicando OE
⎛
⎝
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
(A|b) =
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
⎛
⎝
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠

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lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
Ejemplo
(A|b) =
(A|b) =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
⎞
⎠
⎛
⎝
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
⎞
⎠

Bloque:
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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
Ejemplo
(A|b) =
(A|b) =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
⎞
⎠ aplicando OE
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎞
⎠

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Conceptos
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Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
Ejemplo
(A|b) =
(A|b) =
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1
⎞
⎠ aplicando OE
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2
⎛
⎝
⎛
⎝
1 −1 3
0 0 0
0 0 0
1 −1 3
0 0 0
0 0 −1
⎞
⎠
⎞
⎠

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1(k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1(k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
Ejemplo
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
,

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1(k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
Ejemplo
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Teorema de Rouché-Fröbenius
Sea A ∈ Mm×n(k) la matriz de coeficientes de un SEL, b ∈ Mm×1(k) su
vector de términos independientes y n el número de incógnitas. Entonces el
SEL es
Ejemplo
Compatible determinado si rg(A) = rg(A|b) = n
Compatible indeterminado si rg(A) = rg(A|b) < n, con n − rg(A)
incógnitas indeterminadas
Incompatible si rg(A) < rg(A|b)
x + y = 3
x − y = −1
3x + y = 5
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 1 3
1 −1 −1
3 1 5
rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2, entonces SEL compatible determinado
⎞
⎠

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
,

Bloque:
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lineales
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matricial
Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
⎞
⎠

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
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parámetros
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geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
,
⎞
⎠

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SEL
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parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
⎞
⎠
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Clasificación de SEL
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
5x − 5y = 15
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
5 −5 15
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 1, entonces SEL compatible indeterminado con una
incógnita a determinar
Ejemplo
x − y = 3
2x − 2y = 6
3x − 3y = 10
, Matriz ampliada
⎛
⎝
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 10
rg(A) = 1 y rg(A|b) = 2, entonces SEL incompatible
⎞
⎠
⎞
⎠

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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes

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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1
ay + az = 2
ax + ay + z = 1
, con parámetro a ∈ R

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Expresión
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Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1
ay + az = 2
ax + ay + z = 1
Matriz ampliada
⎛
⎝
, con parámetro a ∈ R
1 1 1 1
0 a a 2
a a 1 1
⎞
⎠

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lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo
x + y + z = 1
ay + az = 2
ax + ay + z = 1
Matriz ampliada
OE 1: a veces primera fila menos tercera fila
⎛
⎝
, con parámetro a ∈ R
1 1 1 1
0 a a 2
a a 1 1
⎛
⎝
⎞
⎠
1 1 1 1
0 a a 2
0 0 a − 1 a − 1
⎞
⎠

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 0 0 2
0 0 −1 −1
⎞
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 0 0 2
0 0 −1 −1
⎞
SEL incompatible
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3

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Conceptos
básicos
Expresión
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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, entonces
Si a = 1, entonces
⎛
⎝
⎛
⎝
1 1 1 1
0 0 0 2
0 0 −1 −1
⎞
SEL incompatible
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 0 0
⎞
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2

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básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, entonces
Si a = 1, entonces
⎛
⎝
⎛
⎝
1 1 1 1
0 0 0 2
0 0 −1 −1
⎞
SEL incompatible
1 1 1 1
0 1 1 2
0 0 0 0
⎞
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 3
⎠ , rg(A) = 2 y rg(A|b) = 2
SEL compatible indeterminado
x = −1, y = 2 − z, z ∈ R (incógnita a fijar)

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lineales
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Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, 1, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 a a 2
0 0 a − 1 a − 1
⎞
⎠ , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3

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Conceptos
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Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, 1, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 a a 2
0 0 a − 1 a − 1
⎞
⎠ , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1

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Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, 1, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 a a 2
0 0 a − 1 a − 1
⎞
⎠ , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solución es x = 0, y = 0, z = 1

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Expresión
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Discusión con parámetros
Determinar la solución del SEL en función de ciertos parámetros de la
matriz de coeficientes y/o del vector de términos independientes
Ejemplo (Continuación)
Si a = 0, 1, entonces
⎛
⎝
1 1 1 1
0 a a 2
0 0 a − 1 a − 1
⎞
⎠ , rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3
SEL compatible determinado para cada valor de a:
x = (a − 2)/a, y = (2 − a)/a, z = 1
Si a = 2, entonces, la solución es x = 0, y = 0, z = 1
Si a = −2, entonces, la solución es x = 2, y = −2, z = 1

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Expresión
matricial
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SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL

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SEL
Clasificación
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Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser

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Expresión
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Resolución de
SEL
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de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado

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ecuaciones
lineales
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Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dos
ecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado

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lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con dos ecuaciones y dos incógnitas
En este caso, cada ecuación representa una recta que se sitúa en el plano
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de las dos rectas puede ser
Las dos rectas se cortan en un punto.
El punto de corte es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Las dos rectas son coincidentes.
Existen infinitos puntos (los que yacen en la recta) que verifican las dos
ecuaciones, por tanto SEL compatible indeterminado
Las dos rectas son paralelas y no coincidentes
No existen puntos comunes a las dos rectas y por tanto el SEL es
incompatible

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un único punto común.
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un único punto común.
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otro
los corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SEL
compatible indeterminado

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ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
SEL con tres ecuaciones y tres incógnitas
En este caso, cada ecuación representa un plano que se sitúa en el espacio
(dimensión 2). Entonces, la posición relativa de los tres planos puede ser
Los tres planos se cortan en un único punto común.
El punto común es la solución del SEL, por tanto compatible
determinado
Los tres planos son coincidentes, o dos planos son coincidentes y el otro
los corta, o los tres planos se cortan en la misma recta.
Existen infinitos puntos que verifican las tres ecuaciones, por tanto SEL
compatible indeterminado
Tres planos paralelos (al menos dos no coincidentes), o dos paralelos y el
otro que los corte, o los planos se cortan dos a dos
No existen puntos comunes a los tres planos a la vez y por tanto el SEL
es incompatible.

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Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
Ejemplo
Los tres planos se cortan en un punto. SEL compatible determinado
10
5
0
−5
−10
20
10
0
−10
−20
0
20
40

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
Ejemplo
Los planos se cortan en un misma recta. SEL compatible indeterminado
10
5
0
−5
10
−20 0 20 40 −10
−10
0

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Interpretación geométrica de SEL
Ejemplo
Los planos se cortan dos a dos. SEL incompatible
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
10
5
0
−5
−10
30
20
10
0
−10
−20
−30

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
Bibliografía

Bloque:
Álgebra
Lineal
Tema:
Sistema de
ecuaciones
lineales
HEDIMA
Conceptos
básicos
Expresión
matricial
Resolución de
SEL
Clasificación
de SEL
Discusión con
parámetros
Interpretación
geométrica de
SEL
Bibliografía
I.Ojeda, J.Gago-Vargas Métodos Matemáticos para Estadística.
Manuales UEx, no. 58 (2008).

10. Vectores en el espacio tridimensional

Bloque:
Geometría
Tema:
Vectores en el
espacio
tridimensional
HEDIMA
Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
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auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Geometría
Tema:
Vectores en el
espacio
tridimensional
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Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
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vectorial
Producto
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Bloque: Geometría
Tema: Vectores en el espacio tridimensional

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Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Índice
Espacio vectorial real
Combinación lineal de vectores
Dependencia e independencia lineal
Operaciones con vectores
Producto escalar. Propiedades. Significado geométrico
Producto vectorial. Propiedades. Significado geométrico
Producto mixto. Propiedades. Significado geométrico

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Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
1. Espacio vectorial real

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Vectores en el
espacio
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Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Espacio vectorial real
Definición
Consideremos un conjunto V = {u, v, w, ...}, en el que definimos las
siguientes operaciones:
Suma: u + v
Producto por escalares: ku, (k ∈ R)
El conjunto V, con las operaciones suma y producto por escalares, es un
espacio vectorial si se verifican las propiedades que veremos a continuación

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vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
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Producto
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Producto
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Producto
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Espacio vectorial real
Propiedades
Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
Conmutativa: u + v = v + u
Elemento neutro: existe un elemento que designaremos por 0, tal que
cualquiera que sea el elemento u se verifica u + 0 = u
Elemento opuesto: cualquiera que sea el elemento u, existe otro, −u
(opuesto de u), tal que u + (−u) = 0
k(u + v) = ku +kv (k ∈ R)
(k + h)u = ku +hu (k, h ∈ R)
k(hu) = (kh)u (k, h ∈ R)
1u = u, donde 1 es el elemento unidad del conjunto de los números
reales
A los elementos de V se les llama vectores

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lineal de
vectores
Dependencia
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Producto
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Producto
vectorial
Producto
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Ejemplos de espacios vectoriales reales
Ejemplos de espacios vectoriales
Los conjuntos R 2 = R × R; R 3 = R × R × R;...;R n = R × ...
n × R,
con las operaciones suma y producto por números reales. Por ejemplo,
en el espacio vectorial R 3 , cada vector es una terna de números reales
(x, y, z), y las operaciones suma y producto por un número real λ son las
siguientes:
(x, y, z) + (x ′ , y ′ , z ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ , z + z ′ ) λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)
El conjunto de las matrices de números reales de m = 2 filas y n = 3
columnas, con las operaciones de suma de matrices y producto de un
escalar por una matriz (válido también para otros valores de m y n).
El conjunto de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o
igual a n = 3, con las operaciones usuales de suma de polinomios y
producto de un polinomio por un número real (válido también para otros
valores de n).
El conjunto de funciones reales continuas definidas en el intervalo [0, 1],
con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de una
función por un número real.

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Combinación lineal de vectores

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Combinación lineal de vectores
Definición
Un vector u de V es combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., un de V,
si puede expresarse así:
siendo a1, a2, ..., an números reales.
Ejemplo
u = a1u1 + a2u2 + ... + anun,
En el espacio vectorial R 3 , podemos escribir el vector (−4, 4, 32), como
combinación lineal de los vectores: (2, 3, 4), (1, 0, −1) y (−1, −1, 3) de la
siguiente manera:
(−4, 4, 32) = 3(2, 3, 4) − 5(1, 0, −1) + 5(−1, −1, 3)

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Subespacio engendrado
Definición
Sea V un espacio vectorial. Se dice que W es un subespacio vectorial de
V, si se verifican las siguientes condiciones:
1 W es un subconjunto no vacío de V
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un número real por un vector de W es otro vector de W

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Ejemplo de subespacio engendrado
Ejemplo
En el espacio vectorial R 3 , consideremos el subconjunto W formado por los
vectores cuya tercera componente es nula, es decir,
W verifica:
W = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.
1 Es un subconjunto no vacío de R 3 , ya que, al menos, el vector nulo
pertenece a W
2 La suma de dos vectores de W es otro vector de W
3 El producto de un número real cualquiera por un vector de W es otro
vector de W
El conjunto W es un espacio vectorial con las operaciones suma y producto
por un número real usadas en el espacio vectorial R 3 . Por lo tanto, W es un
subespacio vectorial de R 3 .

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Subespacio engendrado
Definición
Sea S = {u1, u2, ..., un} un conjunto de vectores de un espacio vectorial V.
Se llama subespacio engendrado por S, y se le designa por L(S) o por
< u1, u2, ..., un >, al subespacio vectorial formado por todas las
combinaciones lineales que se pueden hacer con los vectores de S, es decir:
L(S) = {a1u1 + a2u2 + ... + anun}
Los vectores u1, u2, ..., un se dice que forman un sistema generador del
espacio L(S)
Ejemplo
En el espacio vectorial R 3 , el subespacio vectorial engendrado por los
vectores u = (1, −1, 3) y v = (2, −5, 6) es:
L(u, v) = < u, v > = {a1u + a2v} =
= {a1(1, −1, 3) + a2(2, −5, 6)} =
= {(a1 + 2a2, −a1 − 5a2, 3a1 + 6a2)}

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Dependencia e independencia
lineal

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e independencia
lineal
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Producto
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Producto
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Dependencia e independencia lineal
Definición
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si al menos uno de
ellos se puede expresar como combinación lineal de los restantes. En caso
contrario se dice que son linealmente independientes.
Ejemplo
En el ejemplo que veíamos anteriormente, los vectores: (−4, 4, 32), (2, 3, 4),
(1, 0, −1) y (−1, −1, 3) son linealmente dependientes pues el primero se
puede escribir como combinación lineal del resto.

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e independencia
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Dependencia e independencia lineal
Otra forma de definir los conceptos anteriores es la siguiente:
Definición
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente dependientes si existe una
combinación lineal de los vectores con algún coeficiente no nulo que sea igual
al vector cero, es decir:
con algún ai = 0,i = 1, ..., n.
Definición
a1u1 + a2u2 + ... + anun = 0,
Los vectores u1,u2,...,un son linealmente independientes si cualquier
combinación lineal de los vectores que sea igual al vector cero, tiene que
tener todos los coeficientes nulos, es decir:
a1u1 + a2u2 + ... + anun = 0,
solo es posible con todos los ai = 0, i = 1, ..., n.

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e independencia
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Dependencia e independencia lineal
Ejemplo
Supongamos que queremos estudiar la dependencia lineal en R 3 del conjunto
de vectores:
{(3, 3, 2), (1, 1, −1), (2, 2, 3)}.
Vamos a tratar de escribir un vector como combinación lineal del resto:
(3, 3, 2) = a1(1, 1, −1) + a2(2, 2, 3)
Identificando las componentes, obtenemos el siguiente sistema:
⎧
⎪⎨ 3 = a1 + 2a2
3 = a1 + 2a2
⎪⎩
2 = −a1 + 3a2
La solución de este sistema es a1 = 1 y a2 = 1, por tanto el vector (3, 3, 2)
se puede escribir como combinación lineal del resto y, en consecuencia, los
vectores dados son linealmente dependientes.

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Producto
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Base de un espacio vectorial
Definición
Sea V un espacio vectorial y B un subconjunto de vectores de V. Se dice
que B es una base de V si se verifican las siguientes condiciones:
B es un sistema generador de V
B es linealmente independiente
Definición
Llamamos dimensión del espacio V al número de elementos que tiene
cualquiera de sus bases.

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Ejemplos de bases y dimensiones de espacios vectoriales
Ejemplos
1 El espacio vectorial R 2 está formado por pares de números reales (x, y).
Tiene como base canónica B = {(1, 0), (0, 1)}, porque
B es sistema generador de R 2 porque cualquier par de números reales
(x, y) es combinación de B: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
B es linealmente independiente porque si x(1, 0) + y(0, 1) = (0, 0),
entonces x = 0 e y = 0.
Por tanto, R 2 tiene dimensión 2.
2 El espacio vectorial R 3 está formado por ternas de números reales
(x, y, z). Tiene como base canónica B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},
por lo que tiene dimensión 3.
3 En R 3 , el espacio vectorial W engendrado por el vector u = (1, 2, 3)
tiene por base al propio vector u, pues u es no nulo y genera todo el
espacio W . Por tanto la dimensión de W es 1.
4 La base más sencilla del espacio vectorial de los polinomios de grado
menor o igual a 2 es {x 2 , x, 1} y por lo tanto tiene dimensión 3.

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Coordenadas de un vector
Definición
Sea V un espacio vectorial de dimensión n y B = {u1, u2, ..., un} una base
de V. Se llaman coordenadas de un vector v de V, respecto de la base B,
al conjunto de números reales a1, a2, ..., an, que permite expresar el vector v
como combinación lineal de los vectores de la base, es decir:
v = a1u1 + a2u2 + ... + anun

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Coordenadas de un vector
Ejemplo
En el espacio vectorial R 3 , vamos a calcular las coordenadas del vector
(1, 0, 0), respecto de la base:
Para ello planteamos,
B = {(1, −1, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 1)}
(1, 0, 0) = a1(1, −1, 0) + a2(0, 0, 2) + a3(3, 0, 1),
e igualamos coordenada a coordenada para obtener el siguiente sistema de
ecuaciones ⎧
⎪⎨ 1 = a1 + 3a3
0 = a1
⎪⎩
0 = 2a2 + a3
cuya solución:
a1 = 0, a2 = −1/6, a3 = 1/3,
son las coordenadas del vector (1, 0, 0) en la base B

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2. Operaciones con vectores

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Vectores fijos en el espacio
Definición de vector fijo
Llamamos vector fijo de un espacio a un segmento orientado cuyos extremos
están determinados. Designaremos por −→
AB a un vector fijo del espacio que
tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.
Definición de vector nulo
Si en un vector su origen coincide con su extremo, se dice que es el vector
fijo nulo.
Todo vector fijo no nulo −→
AB en el espacio queda caracterizado por un par
de puntos (A, B) o por su módulo, dirección y sentido.

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Vectores fijos en el espacio
Definición de módulo de vector fijo
Se llama módulo del vector −→
AB, y se denota | −→
AB|, a la longitud del
segmento de extremos los puntos A y B.
Definición de dirección de un vector fijo
Se llama dirección del vector −→
AB a la dirección de la recta que pasa por A y
B.
Definición de sentido de un vector fijo
Se llama sentido del vector −→
AB al sentido de recorrido de la recta AB
cuando nos trasladamos de A a B.
Como estándar, denotaremos −→ u o −→ v a los vectores fijos.

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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual módulo, dirección y sentido.

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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual dirección y sentido pero distinto
módulo.

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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene igual dirección pero distinto módulo
y sentido.

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Producto
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Ejemplos
Ejemplo
Los vectores de la siguiente figura tiene distinto módulo, dirección y sentido.

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Producto escalar. Propiedades.
Significado geométrico

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Definición de producto escalar
Definición
El producto escalar de dos vectores −→ u y −→ v se designa por −→ u · −→ v y se
obtiene del siguiente modo:
−→
u ·
−→ |
v =
−→ u || −→ v | cos( −→
u ,
−→
v ), si
−→
u y
−→
v son no nulos
0 si −→ u o −→ v es el vector nulo

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Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es un número positivo o
nulo: −→ u · −→ u ≥ 0
2. El producto escalar es conmutativo: −→ u · −→ v = −→ v · −→ u
3. Propiedad homogénea: k( −→ u · −→ v ) = (k −→ u ) · −→ v o k( −→ u · −→ v ) = −→ u · (k −→ v )
siendo k ∈ R.
4. Propiedad distributiva respecto de la suma:
−→ u · ( −→ v + −→ w ) = −→ u · −→ v + −→ u · −→ w

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Significado geométrico del producto escalar
Consideremos las figuras anteriores donde se representan los vectores −→ u y
−→
v . Al proyectar el vector
−→
v sobre la dirección del vector
−→
u o viceversa,
obtenemos:
Proyección de −→ v sobre −→ u = medida del segmento −→
AB = | −→
AB| = vector
proyección de −→ v sobre −→ u

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Significado geométrico del producto escalar
El producto escalar de dos vectores cualesquiera −→ u y −→ v es igual al
módulo de −→ u por la proyección de −→ v sobre −→ u o viceversa:
−→ u · −→ v = | −→ u || −→ v | cos( −→ u , −→ v ) = | −→ u |(proyección de −→ v sobre −→ u )
−→ u · −→ v = | −→ u || −→ v | cos( −→ u , −→ v ) = | −→ v |(proyección de −→ u sobre −→ v )

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Cálculo del módulo y el ángulo de un vector
Calcularemos el módulo de un vector como la raíz cuadrada positiva del
producto escalar del vector por sí mismo:
| −→ u | = √ −→ u · −→ u
Diremos que un vector −→ u es unitario si tiene módulo igual a 1 (| −→ u | = 1).
Calcularemos el coseno del ángulo formado por dos vectores como la división
del producto escalar entre el producto de sus módulos:
cos( −→ u , −→ v ) =
−→ u · −→ v
| −→ u || −→ v |
Diremos que dos vectores −→ u y −→ v son ortogonales si su producto escalar es
0.

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Expresión analítica del producto escalar
Sea B = ( −→ u1, −→ u2, −→ u3) una base cualquiera y −→ u , −→ v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y
(x ′ , y ′ , z ′ ). Entonces el producto escalar de ambos vectores en términos de
coordenadas se puede expresar así:
−→ u · −→ v = (x −→ u1 + y −→ u2 + z −→ u3) · (x ′−→ u1 + y ′−→ u2 + z ′−→ u3)
= xx ′ ( −→ u1 · −→ u1) + xy ′ ( −→ u1 −→ u2) + xz ′ ( −→ u1 · −→ u3)
+ yx ′ ( −→ u2 · −→ u1) + yy ′ ( −→ u2 −→ u2) + yz ′ ( −→ u2 · −→ u3)
+ zx ′ ( −→ u3 · −→ u1) + zy ′ ( −→ u3 −→ u2) + zz ′ ( −→ u3 · −→ u3)

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Expresión analítica del producto escalar
B es una base normada si está formada por vectores unitarios, es decir,
−→
u1 · −→ u1 = −→ u2 · −→ u2 = −→ u3 · −→ u3 = 1.
En este caso, la expresión analítica del producto escalar es:
−→ u · −→ v = xx ′ + yy ′ + zz ′ + (xy ′ + yx ′ )( −→ u1 −→ u2)
+ (xz ′ + zx ′ )( −→ u1 · −→ u3) + (yz ′ + zy ′ )( −→ u2 · −→ u3)
B es una base ortogonal si los vectores de la base son ortogonales
tomados de dos en dos, es decir,
−→
u1 · −→ u2 = −→ u1 · −→ u3 = −→ u2 · −→ u3 = 0.
En este caso, la expresión analítica del producto escalar es:
−→ u · −→ v = xx ′ ( −→ u1 −→ u1) + yy ′ ( −→ u2 −→ u2) + zz ′ ( −→ u3 −→ u3)
B es una base ortonormal si es una base normada y ortogonal. En este
caso, la expresión analítica del producto escalar es:
−→ u · −→ v = xx ′ + yy ′ + zz ′

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Ejemplos de producto escalar
Ejemplo
El producto escalar de dos fuerzas f1 y f2 en el espacio, que tienen,
respectivamente, 5 y 2 newton de intensidad y forman un ángulo de 60 o es:
Ejemplo
Puesto que
f1 · f2 = |f1||f2| cos(f1, f2) = 5 · 2 · 0,5 = 5
−→ u · −→ v = | −→ u || −→ v | cos( −→ u , −→ v ) = | −→ v |(proyección de −→ u sobre −→ v ),
la proyección del vector −→ u = (2, 1, 3) sobre el vector −→ v = (−3, 4, 2)
considerando una base ortonormal es:
proyección de −→ u sobre −→ −→
u ·
−→
v
v =
| −→ 2(−3) + 1 · 4 + 3 · 2 4
= = √
v | (−3) 2 + 42 + 22 29

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lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Definición de producto vectorial
Definición
El producto vectorial de dos vectores −→ u y −→ v es otro vector que se designa
por −→ u × −→ v y que se obtiene del siguiente modo:
1 Si −→ u y −→ v son dos vectores no nulos, y no proporcionales, −→ u × −→ v es un
vector que tiene:
módulo: | −→ u || −→ v | sin( −→ u , −→ v )
dirección: perpendicular a los vectores −→ u y −→ v
sentido: el de avance de un sacacorchos que gira en sentido positivo de
−→ u a −→ v .
2 Si −→ u = −→ 0 ó −→ v = −→ 0 o si −→ u y −→ v son proporcionales, entonces se tiene
que −→ u × −→ v = −→ 0

Bloque:
Geometría
Tema:
Vectores en el
espacio
tridimensional
HEDIMA
Espacio
vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
Operaciones
con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa: −→ u × −→ v = − −→ v × −→ u
2. Homogénea: k( −→ u × −→ v ) = (k −→ u ) × −→ v = −→ u × (k −→ v ) (k ∈ R).
3. Distributiva respecto de la suma: −→ u × ( −→ v + −→ w ) = −→ u × −→ v + −→ u × −→ w

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lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Significado geométrico del producto vectorial
Sean −→ u y −→ v los vectores de la figura.
Si trazamos por B una perpendicular a la recta −→
OA, corta a ésta en el
punto B ′ y se verifica que:
de donde:
sin( −→
u ,
−→ |
v ) = −−→
BB ′ |
| −→ ,
v |
| −−→
BB ′ | = | −→ v | sin( −→ u , −→ v ).

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con vectores
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Producto
vectorial
Producto
mixto
Significado geométrico del producto vectorial
Multiplicando ambos miembros por el módulo del vector −→ u obtenemos:
| −→ u || −−→
BB ′ | = | −→ u | | −→ v | sin( −→ u , −→ v ) = | −→ u × −→ v |,
y como | −→ u || −−→
BB ′ | es el producto de la base por la altura del paralelogramo
OACB se tiene que el módulo del producto vectorial de −→ u y −→ v es igual
al área del paralelogramo que tiene por lados los vectores −→ u y −→ v .

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vectorial real
Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Expresión analítica del producto vectorial
Sea B = ( −→ u1, −→ u2, −→ u3) una base ortonormal y −→ u , −→ v dos vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z) y
(x ′ , y ′ , z ′ ). Entonces el vector −→ u × −→ v tiene las siguientes componentes:
−→ u × −→ v =
y z
y ′
z ′
,
z x
z ′
x ′
,
x y
x ′
y ′
,
Podemos recordar lo anterior relacionándolo con el cálculo de los
determinantes:
−→
u ×
−→
v =
−→
u1 −→ u2 −→ x
x
y
u3
z
′
y ′
z ′
(El último determinante solo es una regla para recordar el cálculo de una
producto vectorial, puesto que no tiene sentido matemático el determinante
de una matriz cuyos elementos sean vectores mezclados con números)

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vectorial real
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lineal de
vectores
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e independencia
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Ejemplo de producto vectorial
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores (1, 2, 3) y (0, 3, 5) da como resultado:
(1, 2, 3) × (0, 3, 5) =
= u1 − 5u2 + 3u3,
es decir el vector (1, −5, 3)
−→
u1 −→ u2 −→ u3
1 2 3
0 3 5

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lineal de
vectores
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e independencia
lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Producto mixto. Propiedades.
Significado geométrico

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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Definición de producto mixto
Definición
El producto mixto de tres vectores −→ u , −→ v y −→ w es un número real que se
designa por [ −→ u , −→ v , −→ w ] y que se obtiene del siguiente modo:
[ −→ u , −→ v , −→ w ] = −→ u · ( −→ v × −→ w )

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Dependencia
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lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Propiedades del producto mixto
1. [ −→ u , −→ v , −→ w ] = [ −→ v , −→ w , −→ u ] = [ −→ w , −→ u , −→ v ]
2. [ −→ u , −→ w , −→ v ] = [ −→ v , −→ u , −→ w ] = [ −→ w , −→ v , −→ u ] = −[ −→ u , −→ v , −→ w ]
3. [ −→ u , −→ v , −→ w ] = 0 si y solo si, −→ u , −→ v , −→ w son linealmente dependientes.
4. [a −→ u , b −→ v , c −→ w ] = abc[ −→ u , −→ v , −→ w ]
5. [ −→ u + −→ u ′ , −→ v , −→ w ] = [ −→ u , −→ v , −→ w ] + [ −→ u ′ , −→ v , −→ w ]

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vectores
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e independencia
lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Significado geométrico del producto mixto
Sean −→ u , −→ v y −→ w los vectores de la figura.
|[ −→ u , −→ v , −→ w ]| = | −→ u · ( −→ v × −→ w )| = | −→ u || −→ v × −→ w || cos( −→
u ,
−→
v ×
−→
w )|

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lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Significado geométrico del producto mixto
Como | −→ u || cos( −→
u ,
−→
v ×
−→ −−→
w )| = | OH| es la altura del paralelepípedo
construido sobre los tres vectores, y como | −→ v × −→ w | es el área de la base,
resulta que:
|[ −→ u , −→ v , −→ w ]| = base · altura = volumen.
El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es igual al
volumen del paralelepípedo que tiene por aristas a los tres vectores.

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lineal de
vectores
Dependencia
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Expresión analítica del producto mixto
Sea B = ( −→ u1, −→ u2, −→ u3) una base ortonormal y −→ u , −→ v , −→ w tres vectores
cualesquiera cuyas coordenadas en la base B son, respectivamente, (x, y, z),
(x ′ , y ′ , z ′ ) y (x ′′ , y ′′ , z ′′ ). Entonces el producto mixto [ −→ u , −→ v , −→ w ] tiene la
siguiente expresión analítica:
[ −→ u , −→ v , −→ w ]
= −→ u · ( −→ v × −→ w )
= (x −→ u + y −→ v + z −→
y
w ) ·
′
z ′
y ′′
z ′′
−→
u +
= x
y′ z ′
y ′′
z ′′
+ y
z′ x ′
z ′′
x ′′
+ z
x′
x ′′
x y z
=
x
′
y ′
z ′
x ′′
y ′′
z ′′
= det(−→ u , −→ v , −→ w )
es decir,
z′
z ′′
y ′
y ′′
x ′
x ′′
[ −→ u , −→ v , −→ w ] = det( −→ u , −→ v , −→ w )
−→
v +
x′
x ′′
y ′
y ′′
−→
w

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Combinación
lineal de
vectores
Dependencia
e independencia
lineal
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con vectores
Producto
escalar
Producto
vectorial
Producto
mixto
Ejemplo de producto mixto
Ejemplo
El producto mixto de los vectores (0, 1, 3), (2, 4, 6) y (1, 2, 1) es:
[(0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)] = det((0, 1, 3), (2, 4, 6), (1, 2, 1)) = 4

11. Geometría en el plano

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Geometría en
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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de Innovación Didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Rectas
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Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
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Bibliografía
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Tema: Geometría en el plano

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
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Bibliografía
Índice
Rectas
Ecuaciones
Paralelismo
Ángulos
Distancias
Otras figuras notables del plano
Triángulos
Circunferencias

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Puntos y vectores en el plano real
En el plano real R 2 , conviene distinguir entre punto y vector:
Puntos y vectores
Si consideramos R 2 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,
y los escribiremos con letras mayúsculas: P, Q, R, . . ..
Si consideramos R 2 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,
y los escribiremos con letras minúsculas: u, v, w, . . ..
Aparentemente, esta distinción carece de sentido, puesto que tanto un
punto P como un vector v se representan por una pareja de números reales,
que se llaman sus coordenadas.
Notación
Al escribir P (2, 1), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1).
Análogamente, la notación v(2, 1) hace referencia al vector de coordenadas
(2, 1).

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Puntos y vectores en el plano real
Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es que tiene sentido trasladar
un punto por un vector:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define como
el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Puntos y vectores en el plano real
Sin embargo, la sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es que tiene sentido trasladar
un punto por un vector:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2) un punto y v(v1, v2) un vector. El punto P + v se define como
el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2).
Ejemplo
La traslación del punto P (1, 1) por el vector v(2, 1) es el punto de
coordenadas:
(3, 2) .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Estudio de las rectas en el plano

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Ecuaciones

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Distancias
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otras figuras
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Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Definición
Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por P
con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:
-Existe un λ ∈ R tal que:
para algún λ ∈ R .
X = P + λv

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Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Definición
Dado un punto P del plano y un vector no nulo v, la recta que pasa por P
con la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen que:
-Existe un λ ∈ R tal que:
para algún λ ∈ R .
Conviene recordar:
X = P + λv
La dirección de una recta es un espacio vectorial de dimensión uno, 〈v〉.
Por dos puntos distintos, P y Q, pasa una única recta, que denotamos
P + Q:
P + Q := P + λ P Q .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Dado que P Q = (−1, 1), la recta definida por P y Q es el conjunto de
puntos X(x, y) en el plano que satisfacen:
para algún λ ∈ R.
(x, y) = (1, 0) + λ(−1, 1)
La dirección de esta recta P + Q es el espacio vectorial
〈
P Q〉 = 〈(−1, 1)〉 .

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
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Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuaciones paramétricas
Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con dirección v es el
conjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
para algún λ ∈ R.
y = p2 + λ v2

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de las rectas
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Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuaciones paramétricas
Si P (p1, p2) y v(v1, v2), la recta que pasa por P con dirección v es el
conjunto de puntos X(x, y) que satisfacen:
x = p1 + λ v1
para algún λ ∈ R.
Ejemplo
y = p2 + λ v2
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Como
P Q = (−1, 1), las ecuaciones paramétricas de la recta P + Q son:
x = 1 − λ
y = λ

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuación general
Toda recta admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c ∈ R.
ax + by = c

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuación general
Toda recta admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c ∈ R.
Observación
ax + by = c
A partir de dicha ecuación, podemos obtener directamente:
La dirección perpendicular a la recta:
La dirección de la recta:
〈(a, b)〉 .
〈(b, −a)〉 .

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0) y Q(0, 1).
Hemos calculado en el ejemplo anterior que la dirección de la recta P + Q es
el espacio vectorial
〈(−1, 1)〉 .
Por tanto la dirección ortogonal es 〈(1, 1)〉 y la ecuación general de la recta
es de la forma:
x + y = c .
Como el punto P (1, 0) está en la recta, su ecuación es:
x + y = 1 .

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Rectas
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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite la
ecuación:
x − p1
P + Q ≡ = y − p2
.
q1 − p1
q2 − p2

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el plano
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por un punto P (p1, p2) y un punto Q(q1, q2) admite la
ecuación:
x − p1
P + Q ≡ = y − p2
.
Ejemplo
q1 − p1
q2 − p2
La ecuación de la recta que pasa por los puntos P (2, 1) y Q(0, 3) es:
x − 2
−2
Es decir, la ecuación de tal recta es:
= y − 1
3 − 1
x + y = 3 .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Paralelismo, Ángulos y Distancias

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Paralelismo de rectas
Definición
Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:
o bien
cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.
cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Paralelismo de rectas
Definición
Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.
Equivalentemente, dos rectas son paralelas si:
o bien
cualesquiera vectores directores de ambas son proporcionales.
cualesquiera vectores normales de ambas son proporcionales.
Condición de paralelismo
Dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a ′ x + b ′ y = c ′ son paralelas si y sólo
si:
a
a
b
= .
′ b ′

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Paralelismo de rectas
Ejemplo
Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta
paralela a la dada y que pasa por dicho punto.
Calculemos, a modo de ejemplo, la recta paralela a r ≡ 2x − y = 5 y que
pasa por el punto (1, 3).
Si una recta es paralela a r, entonces ha de tener la ecuación:
2x − y = c
para cierto c ∈ R.
Si además nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces queda
completamente determinada:
2x − y = −1 .

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ángulo entre dos rectas
Definición
Dadas dos rectas r y s, el ángulo que forman, que escribimos ∠(r, s), se
define como el único ángulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatro
ángulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la dirección de r y
otro vector de la dirección de s.

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ángulo entre dos rectas
Definición
Dadas dos rectas r y s, el ángulo que forman, que escribimos ∠(r, s), se
define como el único ángulo comprendido entre 0 y π/2 de entre los cuatro
ángulos que se pueden formar con un vector (no nulo) de la dirección de r y
otro vector de la dirección de s.
Rectas perpendiculares
Dos rectas de ecuaciones ax + by = c y a ′ x + b ′ y = c ′ son Perpendiculares si
y sólo si:
aa ′ + bb ′ = 0 .

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Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Ángulos entre de rectas
Ejemplo
Veamos que, dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta
perpendicular a la dada y que pasa por dicho punto.
Calculemos, a modo de ejemplo, la recta perpendicular a r ≡ 2x − y = 5 y
que pasa por el punto (1, 3).
Si una recta es perpendicular a r, entonces ha de tener la ecuación:
x − 2y = c
para cierto c ∈ R.
Si además nos dicen que pasa por el punto (1, 3), entonces queda
completamente determinada:
x − 2y = −5 .

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de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
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Bibliografía
Distancia de un punto a una recta
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuación ax + by = c vale:
dist(P, r) = |ap1 + bp2 − c|
√ a 2 + b 2
.

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Paralelismo,
Ángulos y
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Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Distancia de un punto a una recta
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2) a la recta r de ecuación ax + by = c vale:
Ejemplo
dist(P, r) = |ap1 + bp2 − c|
√ a 2 + b 2
La distancia del punto P (3, 1) a la recta r de ecuación 2x + 2y = −4 vale:
dist(P, r) =
|2 · 3 + 2 · 1 − (−4)|
√ 2 2 + 2 2
.
= 12
2 √ 2 = 6 √ 2 .

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Geometría en
el plano
HEDIMA
GID 2010-11
Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Otras figuras notables del plano

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Triángulos
Teorema del coseno
Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos
vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b
y c.
Se cumple la siguiente relación:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Triángulos
Teorema del coseno
Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos
vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b
y c.
Se cumple la siguiente relación:
Teorema del seno
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ .
Sea un triángulo de vértices A, B y C. Denotemos los ángulos en dichos
vértices α, β y γ; y denotemos los lados opuestos a dichos vértices como a, b
y c.
Se cumple la siguiente relación:
a
sen α
= b
sen β
= c
sen γ .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Circunferencias
Definición
Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geométrico de los
puntos del plano que distan ρ del punto C.

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
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Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Circunferencias
Definición
Se llama circunferencia de centro C y radio ρ al lugar geométrico de los
puntos del plano que distan ρ del punto C.
Ecuación
Si C ≡ (c1, c2), entonces la ecuación de la circunferencia con centro en C y
radio ρ es:
(x − c1) 2 + (y − c2) 2 = ρ .
Recuérdese también que:
La longitud de una circunferencia de radio ρ vale 2πρ.
El área encerrada en su interior vale πρ 2 .

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
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otras figuras
notables
Bibliografía
Bibliografía

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Rectas
Ecuaciones
de las rectas
Paralelismo,
Ángulos y
Distancias
Geometria de
otras figuras
notables
Bibliografía
Bibliografía
V. BOLÓS et. AL., Álgebra Lineal y Geometría (Manuales UEX - 50,
2007).
J. BURGOS, Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana (Mc Graw Hill,
2002).
J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matemáticas II, Bachillerato (Anaya,
2009).
F. GARZO et. AL., Matemáticas (Mc Graw Hill, 1992).
V. GONZÁLEZ VALLE, Exámenes resueltos de Selectividad, (2011).
http://www.vicentegonzalezvalle.es/.

12. Geometría en el espacio

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Geometría en
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Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matemáticas
HEDIMA, Grupo de innovación didáctica
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura

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Paralelismo y
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Distancias y
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Bibliografía
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Tema: Geometría en el espacio

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el espacio
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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Índice
Planos
Rectas
Ecuaciones
Ecuaciones
Paralelismo y ángulos
Distancias y áreas

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Tema:
Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Puntos y vectores en el espacio
En el espacio R 3 , conviene distinguir entre punto y vector:
Puntos y vectores
Si consideramos R 3 como un conjunto, sus elementos los llamaremos puntos,
y los escribiremos con letras mayúsculas: P, Q, R, . . ..
Si consideramos R 3 como espacio vectorial, sus elementos se llaman vectores,
y los escribiremos con letras minúsculas: u, v, w, . . ..
Tanto un punto P como un vector v se representan por una terna de
números reales, que se llaman sus coordenadas.
Notación
Al escribir P (2, 1, 0), hacemos referencia al punto P de coordenadas (2, 1, 0).
Análogamente, la notación v(2, 1, 0) hace referencia al vector de coordenadas
(2, 1, 0).

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Geometría en
el espacio
HEDIMA
Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P
por un vector v:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se define
como el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).

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Geometría en
el espacio
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Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Puntos y vectores en el espacio
La sutil diferencia entre punto y vector es fundamental.
La operación que permite hacer geometría es la traslación de un punto P
por un vector v:
Traslación de un punto por un vector
Sea P (p1, p2, p3) un punto y v(v1, v2, v3) un vector. El punto P + v se define
como el punto de coordenadas (p1 + v1, p2 + v2, p3 + v3).
Ejemplo
La traslación del punto P (1, 2, 3) por el vector v(0, 0, 7) es el punto de
coordenadas:
(1, 2, 10) .

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Geometría en
el espacio
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Planos
Ecuaciones
de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Geometria de rectas y planos en
el espacio

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Geometría en
el espacio
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de los planos
Rectas
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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Planos en el espacio

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Geometría en
el espacio
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Ecuaciones
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Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Planos en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, el
plano que pasa por P con la dirección 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos X
que satisfacen:
X = P + λe + µv
para algunos λ, µ ∈ R .

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Geometría en
el espacio
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de los planos
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Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Planos en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y un par de vectores no proporcionales e, v, el
plano que pasa por P con la dirección 〈e, v〉 es el conjunto de los puntos X
que satisfacen:
X = P + λe + µv
para algunos λ, µ ∈ R .
Conviene recordar:
La dirección de un plano es un espacio vectorial de dimensión dos, 〈e, v〉.
Por tres puntos no alineados, P , Q y R, pasa un único plano, que
denotamos P + Q + R:
P + Q + R := P + λ
P Q + µ
P R .

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Paralelismo y
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Distancias y
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Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Dado que P Q = (−1, 1, 0) y P R = (−1, 0, 1), el plano definido por estos
tres puntos es el conjunto de puntos X(x, y, z) en el espacio que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(−1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1) .
La dirección de este plano P + Q + R es el espacio vectorial
〈
P Q,
P R〉 = 〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .

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de los planos
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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), no
proporcionales. El plano que pasa por P con dirección 〈e, v〉 es el conjunto
de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2 λ, µ ∈ R .
⎪⎩
z = p3 + λ e3 + µ v3

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Sean P (p1, p2, p3) un punto y dos vectores e(e1, e2, e3), v(v1, v2, v3), no
proporcionales. El plano que pasa por P con dirección 〈e, v〉 es el conjunto
de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ e1 + µ v1
y = p2 + λ e2 + µ v2 λ, µ ∈ R .
⎪⎩
z = p3 + λ e3 + µ v3
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Como P Q = (−1, 1, 0) y P R = (−1, 0, 1), las ecuaciones paramétricas del
plano que pasa por estos tres puntos son:
⎧
⎪⎨ x = 1 − λ − µ
y = λ
.
⎪⎩
z = µ

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Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación general
Todo plano admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c, d ∈ R.
ax + by + cz = d

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ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación general
Todo plano admite una ecuación del tipo:
para ciertos números a, b, c, d ∈ R.
Observación
ax + by + cz = d
A partir de dicha ecuación, podemos obtener directamente:
La dirección perpendicular al plano:
〈(a, b, c)〉 .
La dirección del plano: basta encontrar dos vectores linealmente
independientes y ortogonales a (a, b, c); por ejemplo, utilizando el
producto vectorial:
〈(b, −a, 0),
b c
−a 0
, −
a c
b 0
,
a b
b −a
〉 .

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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0), Q(0, 1, 0) y R(0, 0, 1).
Hemos calculado en el ejemplo anterior que la dirección del plano P + Q + R
es el espacio vectorial
〈(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)〉 .
Para calcular la dirección ortogonal, puede establecerse un sistema de
ecuaciones, o bien (por estar en dimensión 3), utilizar el producto vectorial:
PQ ×
x y z
P R =
−1 1 0
= x + y + z
−1 0 1
de modo que la dirección ortogonal al plano es 〈(1, 1, 1)〉 y su ecuación
general es de la forma x + y + z = d.
Como el punto P (1, 0, 0) está en el plano, su ecuación general ha de ser
x + y + z = 1 .

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de la recta
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ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)
admite la ecuación:
x
p1
q1
z1
y
p2
q2
r2
z
p3
q3
r3
1
1
1
1
= 0 .

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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ecuación, dados tres puntos
El plano que pasa por los puntos P (p1, p2, p3), Q(q1, q2) y R(r1, r2, r3)
admite la ecuación:
x
p1
q1
z1
y
p2
q2
r2
z
p3
q3
r3
1
1
1
1
= 0 .
Observación
Recuérdese la fórmula para calcular un determinante, desarrollando por una
fila o por una columna.

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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de los planos en el espacio
Ejemplo
La ecuación del plano que pasa por los puntos P (2, 0, 0), Q(0, 2, 0) y
R(0, 0, 2) tiene como ecuación:
x y z 1
0 = 2 0 0 1 x y z
x y 1
0 2 0 1 =
2 0 0
− 2
2 0 1
0 0 2 1 0 2 0 0 2 1
= 4z − 2(4 − 2x − 2y) = 4(x + y + z − 2) .
Es decir, la ecuación de tal plano es:
x + y + z = 2 .

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de los planos
Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Rectas en el espacio

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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Rectas en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P con
la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
para algún λ ∈ R .
X = P + λv

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Distancias y
áreas
Bibliografía
Rectas en el espacio
Definición
Dado un punto P del espacio y vector no nulo v, la recta que pasa por P con
la dirección v es el conjunto de los puntos X que satisfacen:
para algún λ ∈ R .
Ejemplo
X = P + λv
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que P Q = (1, 1, 1), la recta que determinan; es decir, la única recta
que pasa por P y Q, es el conjunto de puntos X(x, y, z) que satisfacen:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) .

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ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con dirección v
es el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
⎪⎩
z = p3 + λ v3
para algún λ ∈ R.

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuaciones paramétricas
Si P ≡ (p1, p2, p3) y v ≡ (v1, v2, v3), la recta que pasa por P con dirección v
es el conjunto de puntos X ≡ (x, y, z) que satisfacen:
⎧
⎪⎨ x = p1 + λ v1
y = p2 + λ v2
⎪⎩
z = p3 + λ v3
para algún λ ∈ R.
Ejemplo
Consideremos los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1).
Dado que P Q = (1, 1, 1), las ecauciones paramétricas de la recta P + Q son:
⎧
⎪⎨ x = 1 + λ
y = λ .
⎪⎩
z = λ

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Paralelismo y
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Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite las
ecuaciones:
x − p1
= y − p2
= z − p3
.
q1 − p1
q2 − p2
q3 − p3

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ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación, dados dos puntos
La recta que pasa por los puntos P (p1, p2, p3) y Q(q1, q2, q3) admite las
ecuaciones:
x − p1
= y − p2
= z − p3
.
Ejemplo
q1 − p1
q2 − p2
q3 − p3
La recta que pasa por los puntos P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es:
x − 1
2 − 1
= y
1 − 0
= z
1 − 0 ,
es decir, que se trata de la recta de ecuaciones:
x − 2y = 1
r ≡
y − z = 0
.

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Rectas
Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación general
Toda recta en el espacio es intersección de dos planos, de modo que puede
escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo:
ax + by + cz = d
r ≡
a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′
siendo los vectores (a, b, c) y (a ′ , b ′ , c ′ ) linealmente independientes.

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Ecuaciones
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Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ecuaciones de las rectas en el espacio
Ecuación general
Toda recta en el espacio es intersección de dos planos, de modo que puede
escribirse como solución de un sistema de ecuaciones del tipo:
ax + by + cz = d
r ≡
a ′ x + b ′ y + c ′ z = d ′
siendo los vectores (a, b, c) y (a ′ , b ′ , c ′ ) linealmente independientes.
Ejemplo
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la recta que pasa por los puntos
P (1, 0, 0) y Q(2, 1, 1) es el corte de los planos:
π1 ≡ x − 2y = 1 y π2 ≡ y − z = 0 .

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
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Bibliografía
Paralelismo y ángulos

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Ecuaciones
de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Paralelismo de rectas y planos
Definición
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección.
Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano.

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Paralelismo de rectas y planos
Definición
Dos rectas o dos planos son paralelos si tienen la misma dirección.
Una recta es paralela a un plano si su dirección está contenida en la del plano.
Condición de paralelismo
Dos rectas son paralelas si cualesquiera vectores directores de ambas son
proporcionales.
Dos planos son paralelos si cualesquiera vectores normales de ambos son
proporcionales.

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Paralelismo de rectas y planos
Ejemplo
Los planos paralelos al plano 2x − y + z = 1 son los que vienen dados por
ecuaciones del tipo:
2x − y + z = d
siendo d ∈ R una constante cualquiera.

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ángulos entre rectas y planos
Definición
Dados dos planos π y π ′ , el ángulo que forman, que escribimos ∠(π, π ′ ), se
define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta
perpendicular a π ′ .

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de la recta
Paralelismo y
ángulos
Distancias y
áreas
Bibliografía
Ángulos entre rectas y planos
Definición
Dados dos planos π y π ′ , el ángulo que forman, que escribimos ∠(π, π ′ ), se
define como el ángulo que forma una recta perpendicular a π con una recta
perpendicular a π ′ .
Definición
Dada una recta r y un plano π, el ángulo que forman, que escribimos ∠(r, π),
se define como el ángulo que forma r con su proyección ortogonal sobre π.

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Ángulos
Ejemplo
El ángulo que forman los planos π ≡ x + y + z = 1 y el plano
π ′ ≡ 2x − y − z = −3 es el ángulo que forman sus vectores normales,
(1, 1, 1) y (2, −1, −1).
Es decir,
∠(π, π ′ ) = π
2 .

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de los planos
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de la recta
Paralelismo y
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Distancias y
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Distancias y áreas

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Distancia de un punto a plano
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuación
ax + by + cz = d vale:
dist(P, π) = |ap1 + bp2 + cp3 − d|
√ a 2 + b 2 + c 2
.

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Distancia de un punto a plano
Cálculo
La distancia de un punto P (p1, p2, p3) al plano π de ecuación
ax + by + cz = d vale:
Ejemplo
dist(P, π) = |ap1 + bp2 + cp3 − d|
√ a 2 + b 2 + c 2
La distancia del punto P (3, 1, 2) al plano π de ecuación 2x + 2y + 2z = −4
vale:
|2 · 3 + 2 · 1 + 2 · 2 − (−4)|
dist(P, π) = √
22 + 22 + 22 = 16
2 √ 3 = 8 √ .
3
.

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Distancia de un punto a una recta
Cálculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección 〈v〉.
La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =
P Q × v
v
donde × denota el producto vectorial y el módulo de vectores.

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Distancia de un punto a una recta
Cálculo
Sea r una recta que pasa por un punto Q con dirección 〈v〉.
La distancia de un punto P a la recta r vale:
dist(P, r) =
P Q × v
v
donde × denota el producto vectorial y el módulo de vectores.
Ejemplo
Sean los puntos P (1, 0, 0) y Q(0, 1, 0), y sea el vector v(−1, 0, 1).
Según la fórmula anterior, la distancia del punto P a la recta r = Q + 〈v〉
vale:
dist(P, r) =
P Q × v
v
= (1, 1, 1)
√ 2
=
3
2 .

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Paralelogramos
Definición
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice
paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.

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Paralelogramos
Definición
Cuatro puntos no alineados definen un cuadrilátero. Un cuadrilátero se dice
paralelogramo si sus lados son paralelos dos a dos.
Área de un paralelogramo
El área del paralelogramo de vértices P, Q, R y S es el módulo del producto
vectorial de sus lados:
Área del paralelogramo =
P Q ×
P S .

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Área de un paralelogramos
Ejemplo
Sea el paralelogramo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(4, 1, 0) y S(3, 0, 0).
Los lados vienen determinados por los vectores P Q = (1, 1, 0) y
PS = (3, 0, 0), cuyo producto vectorial vale (0, 0, −3), de modo que el área
que encierra el paralelogramo es:
Área del paralelogramo = (0, 0, −3) = 3 .

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Bibliografía
Triángulos
Definición
Tres puntos no alineados del espacio definen un triángulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtener
rápidamente el área de un triángulo:

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Bibliografía
Triángulos
Definición
Tres puntos no alineados del espacio definen un triángulo.
En el espacio, se puede utilizar el producto vectorial para obtener
rápidamente el área de un triángulo:
Área de un triángulo
El área del triángulo de vértices P, Q y R es la mitad del módulo del
producto vectorial de sus lados P Q y P R
Área del triángulo = 1
2
P Q ×
P R .

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Área de un triángulo
Ejemplo
Sea el triángulo de vértices P (0, 0, 0), Q(1, 1, 0) y R(3, 0, 0).
El producto vectorial de los lados P Q = (1, 1, 0) y P R = (3, 0, 0) es
(0, 0, −3), de modo que el área que encierra el triángulo es:
Área del triángulo = 1
2
(0, 0, −3) = 3
2 .

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Bibliografía
La esfera
Definición
Dados un punto C y un número positivo r, la esfera de centro C y radio r es
el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto C es
igual a r.
Si C(c1, c2, c3), la condición anterior se expresa en coordenadas:
(x − c1) 2 + (y − c2) 2 + (z − c3) 2 = r 2 .

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Bibliografía
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Paralelismo y
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áreas
Bibliografía
Bibliografía
V. BOLÓS et. AL., Álgebra Lineal y Geometría (Manuales UEX - 50,
2007).
J. BURGOS, Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana (Mc Graw Hill,
2002).
J. COLERA, M.J. OLIVEIRA, Matemáticas II, Bachillerato (Anaya,
2009).
F. GARZO et. AL., Matemáticas (Mc Graw Hill, 1992).
V. GONZÁLEZ VALLE, Exámenes resueltos de Selectividad, (2011).
http://www.vicentegonzalezvalle.es/.