La hipérbola - Ejercicios de física y matemática

Ejercicios Hipérbola
1.- Una hipérbola está sobre el eje X de forma que sus focos están en los puntos
F(5, 0) y F’(-5, 0), siendo sus vértices los puntos V(4, 0) y V’(-4, 0). Determine:
a) la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de las asíntotas.
2.- Una hipérbola tiene como ecuación general a la expresión 7y 2 – 9x 2 = 63. A
partir de esa información determine: sus focos, sus vértices y las ecuaciones de
sus asíntotas. Trace la gráfica que la representa.
2 2
x y
3.- Una hipérbola tiene como ecuación canónica, o reducida, a − = 1.
16 64
Determine sus focos, sus vértices, sus asíntotas y su excentricidad.
4.- Repita lo anterior para las hipérbolas de ecuaciones:
a) 2x 2 – 3y 2 = 30
b)
2 2
y x
− = 1
144 25
c) 9y 2 – 16x 2 = 1296
5.- Encuentre la ecuación canónica de la hipérbola sabiendo que su centro está en
el origen del sistema de coordenadas, su eje mayor mide 6 y su distancia focal
mide 10.
6.- Hallar la ecuación (canónica o general) de la hipérbola cuya distancia focal
mide 16, uno de sus vértices es el punto (6, 0) y su centro es el punto (0, 0).
7.- Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el punto (0, 0), un
foco en el punto (4, 0) y uno de sus vértices en el punto (-2, 0).
8.- Se llama parámetro de una hipérbola a la medida de la cuerda perpendicular
al eje focal que pasa por el foco. Demuestre que en una hipérbola cuya
2 2
x y
2b
2
ecuación es − = 1 el parámetro tiene el valor .
2 2
a b
a
9.- Determine los puntos de intersección de la hipérbola de ecuación x 2 – 2y 2 = 1
con cada una de las curvas siguientes:
a) x + y = 1
b) x 2 + 4y 2 = 25
c) x 2 + y 2 = 36
2
2 x
d) y − = 1
4
10.- Sea una elipse cuyo centro está en el origen, las coordenadas de sus focos son
los puntos (0, 5) y (0, -5). Si la diferencia constante entre los focos y un punto
de la hipérbola es 6, determine (si es posible) su ecuación canónica y general.
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
1

Una hipérbola cuyo centro está en el punto (h, k) tiene como ecuación canónica
(x − h)
2
a
2
(y − k)
−
2
b
2
= 1
2
(y − h) (x − k)
2
a
2
b
y
b
k ± (x − h
a
si su eje focal está en el eje X e − = 1 si su eje
focal está en el eje Y. Las ecuaciones de sus asíntotas son: = ) si su eje
a
b
transversal es horizontal e y = k ± (x − h)
si su eje transversal es vertical.
11.- Hallar la ecuación canónica de la hipérbola 9x 2 – y 2 – 36x – 6y + 18 = 0.
Además encuentre sus focos, sus vértices, su excentricidad y sus asíntotas.
12.- Sea la hipérbola cuya ecuación general es 3y 2 – x 2 + 4x – 6y – 13 = 0.
Encuentre su centro, sus focos, sus vértices, las ecuaciones de sus asíntotas,
su excentricidad y grafíquela.
13.- Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en los puntos (3, -5) y
(3, 1), asíntotas y = 2x – 8 e y = -2x + 4. Luego encuentre sus focos, su
excentricidad y trace la gráfica correspondiente.
14.- Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que
para cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos (-
3, 0) y (-3, 3) y es .
15.- Hallar los focos y los vértices de la hipérbola de ecuación
2
2
(y − 6) (x −1)
− = 1.
9 16
16.- Una hipérbola tiene su centro en el punto (2, 3), sus focos están sobre la recta
y = 3. La distancia focal mide 10 unidades y el eje transversal mide 8 unidades.
Determine las coordenadas de los vértices, los focos, las ecuaciones de las
asíntotas, su ecuación canónica y general, su excentricidad y finalmente trace
su gráfica.
2
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
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