http://www.elsolucionario.blogspot.com

http://www.elsolucionario.blogspot.com

EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido
negativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capital
tantos bs. como ha recibido; entonces
la operaciòn queda expresada como
se indica
− 60+ 320 =+ 260 bs.
2. 1. 170 − 1.
515 =−345
sucres
3. 200+ 56 − 189 =+$ 67
4. −665 − 1. 178 + 2. 280=+
437soles
5. 20− 15 + 40− 75 =−$ 30
6. − 67 + 72 − 16 + 2 =−$
9
7. 200 −78 −81− 93 + 41− 59 =−70colones
8. −45 −66 − 79 + 200 − 10 = 0
EJERCICIO 2
1. 12 − 15 =−3
∃
2. − 3+ 8− 6=−1 ∃
3.
15 − − 3 = 15+ 3=
18
3. ( )
4.
− − 8 + 5= 8+ 5=
13 ∃
4. ( )
5. − 4+ 7+ 2− 11=−6 ∃
∃
6. − 8+ 4⋅ 1= − 8+ 4= −4 → 7am
∃
− 8+ 4⋅ 2=− 8+ 8= 0 → 8am
∃
− 8 + 4⋅ 5 =− 8 + 20 =+ 12 →11am
7. ∃
−1−2⋅ 2=−1− 4=−5 →10am
∃
−1−2⋅ 3=−1− 6=−7 →11am
∃
−1−2⋅ 3+ 3⋅ 1=−1− 6+ 3=−4 →12am
∃
−1−2⋅ 3+ 3⋅ 3=−1− 6+ 9=+ 2 →2pm
8. − 56 + 7 =−49 ∃
∃
9.
− 71+ 5= −66
long
( )
∃
− 15+ − 5 = −20
lat.
∃
10. 18+ 3 =+ 21 long
∃
65-=+
4 61 lat.
11. - 75+ 135=+
60 años
∃
EJERCICIO 3
1. + 32m;
−16m
2. + 10m;
−4m
3. 50 − 85 =−35m
4. −611 ⋅ =−66m
5. - 8× 6=-48m
9× 6=+
54m
6. 400⋅ 2=+
800m
→corredor
−400⋅ 3 =−1.
200m
→yo
7. Los 40 pies de longitud del poste
se reparten asi: 15 pies que sobresalen
- se asumen en sentido positivo- .
25 pies que se encuentran enterrados.
- se asumen en sentido negativo - .
Al introducir 3 pies màs,
se adicionan
a los que estan bajo el suelo y se deben
descontar de los que estan por encima.
Aritmèticamente significa:
40= 15 + 25
−25 − 3 =−28
pies
+ 15 − 3=+
12 pies
8. 55 − 52 =+ 3m
9. − 32 + 15 =−17m
10. 35 − 47 =−12m
11. − 39 + 56 =+ 17m
12. 90 −58 − 36 =−4m
13. 72 −30⋅ 1= 72 − 30=+
42m
72 −30⋅ 2 = 72 − 60=+
12m
72 −30⋅ 3= 72− 90 =−18m
72 −30⋅ 4 = 72 − 120 =−48m
14.
−120 − −60 ⋅ 1= − 120 + 60 = −60
Km
14. ( )
( )
( )
( )
−120 − −60 ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0
−120 − −60 ⋅ 3= − 120+ 180= + 60 Km
−120 − −60 ⋅ 4 = − 120 + 240= + 120 Km

EJERCICIO 7.
1. x+ 2x=
3x
2. 8a+ 9a=
17a
3. 11b+ 9b=
20b
4. −b− 5b=−6b
5. −8m− m=−9m
6. −9m− 7m=−16m
7. 4a + 5a = 9a
x x x
8. 6a + 8a = 14a
x + 1 x + 1 x + 1
9. −m − 5m =−6m
x + 1 x + 1 x + 1
10. −3a − a =−4a
x−2 x−2 x−2
1 1 1 1 2
11.
a+ a= + a= a=
a
2 2 2 2
3 1 6ab
+ ab 7
12.
ab + ab = = ab
5 10 10 10
13. 1 1 2 1 3 1
xy + xy = + xy = xy = xy
3 6 6 6 2
1 4
14. − − = − 1 − 4 5
xy xy =− xy =−xy
5 5 5 5
5 2 1 2 15. − − = − 20 − 3 2 23 2
ab ab ab=−
ab
6 8 24 24
16. − − 7
= − 8
a a − 7 15
a=−
a
8 8 8
17. 8a+ 9a+ 6a=
23a
18. 15x+ 20x+ x=
36x
19. −7m−8m− 9m=−24m
2 2 2 2
20. −ab−ab− 3ab=−5ab
21. a + 3a + 8a = 12a
x x x x
22. −5a −3a − 5a =−13a
x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+
1
1 2 6 23. a+ a+ a= + 3 + 4 13
a=
a
2 3 6 6
2 1
24. − − − = − 6
x x x − 4 − 1 11
x=−
x
3 6 6 6
1 3 2 3 10 15 3
25.
ax + ax + ax = + + ax = ax = ax
5 10
10 10 2
3
26. − − − = − − − 2 5 2 2 9 10 12 2 31 2
ax ax ax ax=−
ax
4 6
12
12
27. 11a+ 8a+ 9a+ 11a=
39a
28. m + 3m + 4m + 6m = 14m
x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 x + 1
2 2 2 2 2
29. −xy−8xy−9xy− 20xy=−38xy
30. −3a −5a −6a − 9a =−23a
31.
m m m m m
1 1
2
a 1 4 2 1 8
4
a 15
8
a a + + +
+ + + =
8
a =
8
a
32. 2 1 1 1 8+ 10+ 2 + 1 21
ax + ax + ax + ax =
ax = ax
5 2 10 20
20 20
33. 05 , m+ 06 , m+ 07 , m+ 08 , m=
26 , m
1 1 1
34. − ab − ab − ab −ab
7 14 28
= − 4 − 2 − 1 − 28 35 5
ab =− ab =− ab
28
28 4
2 3 1 3 1 3 1 3
35. − xy− xy− xy−
xy
3 6 9 12
= − 24 − 6 − 4 − 3 3 37 3
xy=−
xy
36
36
36. ab + ab + 7ab + 9ab + 21ab = 39ab
2 2 2 2 2 2
37. −m−m−8m−7m − 3m =−20m
38. −x −8x −4x −5x − x =−19x
a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1 a + 1
39. 1 1 1 1 1
a+ a+ a+ a+
a
2 3 4 5 6
30+ 20 + 15 + 12 + 10 87 29
=
a= a=
a
60
60 20
1 1 1 1 1
40. − ab − ab − ab − ab − ab
3 6 2 12 9
= − 12 − 6 − 18 − 3 − 4 43
ab =− ab
36
36
EJERCICIO 8
1. 8a− 6a=
2a
2. 6a− 8a=−2a
3. 9ab − 15ab =−6ab
4. 15ab − 9ab = 6ab
5. 2a− 2a=
0
6. − 7b+ 7b=
0
7. − 14xy + 32xy = 18xy

2 2 2
8. − 25xy+ 32xy=
7xy
9. 40xy 3 − 51xy 3 =−11xy
3
2 2 2
10. − mn+ 6mn=
5mn
11. − 15xy + 40xy = 25xy
12. 55ab − 81ab = − 26ab
3 2 3 2 3 2
2 2
13. − xy+ xy=
0
2 2
14. − 9ab
+ 9ab
= 0
15. 7xy
2 − 7xy
2 = 0
16. − 101mn+ 118mn=
17mn
17. 502ab − 405ab = 97ab
18. − 1024x+ 1018x=−6x
19. − 15ab
+ 15ab
= 0
20. 1 3 2 3 1
a− a= − a=−
a
2 4 4 4
21. 3 1 3 2 1
a− a= − a=
a
4 2 4 4
22. 5 2 5 2 10 − 5 5
a b− a b=
a 2 b = a 2 b
6 12 12 12
4 2 9 2 23. − + = − 8 + 9 2 1 2
x y x y x y = x y
7 14 14 14
24.
3 5
8
am 3 10 7
−
4
am = − 8
am =−
8
am
3
25. − + = − 5
am am + 3 2
am=−
am
5 5 5
26. 5 7 20 − 21 1
mn− mn=
mn =− mn
6 8 24 24
2 3 2 27. − ab+ ab= − 11 + 3 2 8 2
ab=−
ab
11 11 11
28. 34 , ab − 56 , ab =−22
, ab
4 3 4 3 4 3
29. − 12 , yz + 34 , yz = 22 , yz
30. 4a − 2a = 2a
x x x
x+ +
31. − 8 1 x
a + 8a
1 = 0
32. 25m − 32m =−7m
a − 1 a −1 a −1
a
33. − + 1 a
x + x
+ 1
= 0
1 1
34. − + = − 1 + 2 1
a a a = a
4 2 4 4
m−2 m− 2 m−2 m−
2
35. 5 7 10 − 7 3 1
a − a = a = a = a
6 12 12 12 4
m+ 1 m+ 1 m+ 1 m+ 1 m+
1
1 12 −1
11
36. 4a − a = a = a
3 3 3
2 2 2 2
37. − 5 mn 3
+ = − 20 + 3 17
=−
4
mn 4
mn 4
mn
38. 8a b − 25a b =−17a b
x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 x + 2 x + 3
7
39. − + = − 7 + 8 1
a b a b a b = a b
8
8 8
m n m n m n m n
40. 085 , mxy − 05 , mxy = 035 , mxy
EJERCICIO 9
1. 9a− 3a+ 5a=
11a
2. − 8x+ 9x− x=
0
3. 12mn−23mn− 5mn= −16mn
4. − x+ 19x− 18x=
0
5. 19m− 10m+ 6m=
15m
6. −11ab − 15ab + 26ab
= 0
7. − 5a + 9a − 35a =−31a
X X X X
X+ 2 X+ 2 X+
2
8. −24a − 15a + 39a
= 0
9.
2 1 2 1 3 0
y+ y− y= + − y= y=
0
3 3 3 3
3 1
10. − + − = − + − =−
5
m 1 12 5 10
4
m 17
2
m 20
m 20
m
11.
3 2 1 2 2 3+ 2−8
3
ab+ ab− ab=
ab 2 =− ab
2
8 4
8 8
12. − a+ 8a+ 9a− 15a=
a
13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab =−15ab
14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x
2 = 0
15. −xy −8xy − 19xy + 40xy = 12xy
16. 7ab + 21ab −ab − 80ab =−53ab
17. − 25xy + 11xy + 60xy − 82xy =−36xy
2 2 2 2 2
18. − 72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax
19. −82bx −71bx − 53bx + 206bx
= 0
20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a
3 = 0

21. 1 1 1 1 30 − 20 + 15 −12
13
x− x+ x− x=
x=
x
2 3 4 5 60 60
22. 1 1 1 1 4 4 2 1 1
y− y+ y− y= − + − y=
y
3 3 6 12 12 12
23. 3 2 1 2 1 2 2
ab− ab+ ab−ab
5 6 3
18 − 5 + 10−30
2 7 2
=
ab=−
ab
30
30
24. − 5 2 − 1 2 + 2 − 3 2
ab ab ab ab
6 6
8
= − 20 − 4 + 24 − 9 9 3
ab =− ab =− ab
24
24 8
2 2 2
25. − a+ 8a− 11a+ 15a− 75a=−64a
26. − 7c+ 21c+ 14c− 30c+ 82c=
80c
27. − mn+ 14mn−31mn− mn+ 20mn=
mn
2 2 2 2 2
28. ay−7ay− 93ay+ 51ay+ 48ay=
0
29. − a+ a− a+ a− 3a+ 6a=
3a
30. 1 2 7 1
x+ x− x+ x−x
2 3 6 2
3+ 4− 7+ 3−6
3 1
=
x=− x= − x
6
6 2
31. − + 3
+ 1
+ − 5
2x x x x x
4 4 6
= − 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5
x=− x= − x
24
24 6
x x x x x
32. 7a −30a −41a − 9a + 73a
= 0
33. − a + 7a −11a − 20a + 26a = a
x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+
1
34. a + 6a− 20a+ 150a− 80a+ 31a=
88a
35. −9b−11b−17b−81b− b+ 110b=−9b
2 2 2 2 2 2 2
36. − ab+ 15ab+ ab−85ab− 131ab+ 39ab=−162ab
2 2 2 2 2 2
37. 84mx−501mx−604mx− 715mx+ 231mx+
165mx
2
=−1340mx
38. 5 2 1 5
ab + ab − ab − ab + 4ab
6 3 4 8
20+ 16 −6 − 15 + 96 3 2 111 3 2
=
ab = ab
24
24
37 3 2 5 3 2
= ab = 4 ab
8
8
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
EJERCICIO 10
1. 7a+ 6a−9b−4b
7a+ 6a = 13a −9b− 4b=−13b
= 13a−13b
2. a + b − c − b − c + 2 c − a
a− a = 0 b− b= 0 −c− c+ 2c=
0
= 0
3. 5x−11y− 9+ 20x−1−y
5x+ 20x= 25x −11y− y=−12y
−9− 1=−10
= 25x−12y−10
4. − 6m+ 8n+ 5−m−n−6m−11
−6m−m− 6m=−13m 8n− n= 7n
5− 11=−6
=− 13m+ 7n−6
5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b
− a+ 3a = 2a b+ 2b− 3b= 0 − 2c+ 2c=
0
= 2a
6. − 81x+ 19y− 30z+ 6y+ 80x+ x−25y
− 81x+ 80x+ x= 0 19y+ 6y− 25y= 0 −30z
=−30z
2 2 2
7. 15a −6ab− 8a + 20−5ab− 31+ a −ab
2 2 2 2
15a − 8a + a = 8a
−6ab −5ab − ab =−12ab
20− 31=−11
2
= 8a
−12ab−11
8. − 3a+ 4b− 6a+ 81b− 114b+ 31a−a−b
−3a− 6a+ 31a− a=
21a
4b+ 81b−114b − b=−30b
= 21a−30b
9. − 71ab − 84ab + 50ab + 84ab − 45ab + 18ab
3 3 3 3 3
− 71ab+ 50ab− 45ab+ 18ab= −48ab
− 84ab
+ 84ab
= 0
=−48ab
3 4 2 3 4 2 3 3
4 2 4 2
3
10. − a+ b− c+ 8+ 2a+ 2b−19−2c−3a−3− 3b+
3c
− a+ 2a− 3a=− 2a b+ 2b− 3b=
0
−c− 2c+ 3c= 0 8−19− 3=−14
=−2a
−14
39. 40a− 81a+ 130a+ 41a−83a− 91a+ 16a=−28a
40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab −31ab −ab − 23ab
= 0

2 2 3 2 2 3
11. m + 71mn−14m − 65mn+ m −m − 115m + 6m
3 3 3
m + 6m = 7m 2 2 2 2 2
m − 14m −m − 115m =−129m 71mn− 65mn=
6mn
3 2
= 7m − 129m + 6mn
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
12. xy− xy + xy−8xy−xy− 10+ xy −7xy − 9+ 21xy− y + 50
4 4 4 4
xy− 8xy+ 21xy= 14xy 3 2 3 2 3 2 3 2
− xy + xy − 7xy =−7xy
2 2
xy− xy= 0
3
−y
−10 − 9 + 50=
31
4 3 2 3
= 14xy−7xy − y + 31
13. 5a −3b −8c −5a − 50+ 4b −65− b + 90+ c + 7c
x+ 1 x+ 2 x+ 3 x+ 1 x+ 2 x+ 2 x+ 3 x+
3
x+ 3 x+ 3 x+ 3
− 8c + c + 7c = 0
x+ 2 x+ 2 x+ 2
− 3b + 4b − b = 0
x+ 1 x+
1
5a − 5a
= 0 −50 − 65 + 90=−25
=−25
14. a −x − 5+ 8− 3a + 5x − 6+ a −5x
m+ 2 m+ 3 m+ 2 m+ 3 m+ 2 m+
3
m+ 3 m+ 3 m+ 3 m+ 3
− x + 5x − 5x =−x m+ 2 m+ 2 m+ 2 m+
2
a − 3a + a =−a
− 5+ 8− 6=−3
m+ 3 m+
2
=−x
−a
−3
15. 03 , a+ 04 , b+ 05 , c−06 , a−07 , b− 09 , c+ 3a−3b−3c
03 , a− 06 , a+ 3a= 27 , a 04 , b−07 , b− 3b=−33 , b 05 , c−09 , c− 3c=−34
, c
= 27 , a−33 , b−34
, c
16. 1 1
3 1 3 1
a+ b+ 2a−3b− a− b+ −
2 3
4 6 4 2
1 3 2 8 3 7 1 1 2 18 1 17
3 1 3 2 1
a+ 2a− a= a = a b−3b− b= b=− b
− = − =
2 4 4 4 3 6 6 6
4 2 4 4
7 17 1
= a − b+
4 6 4
17. 3 2 1 2 1
2
m − 2mn+ m − mn+ 2mn−2m
5
10 3
3 2 1 2 2 6 1 20 2 13 2
1
6 1 6 1
m + m − 2m = + − m =− m −2mn − mn+ 2mn = − − + mn=−
mn
5 10
10 10
3
3 3
13 2 1
=− m − mn
10 3
18. 3 −
2 1 5 + −
2 +
1 2 3 1 − +
2 1 −
2
a ab b 2 a ab b b − 2ab
3
4 2 6
4 6 3
3 2 7 2
− + = − 9 + 28 2 19 2
1 3 2
= − − 2 = − 3 − 8 9
a a a a ab ab ab ab =− ab
4 3 12 12
2 4
4 4
5 2 1 2 1 2
− + − = − 5 + 1 − 2 2 6 2 2
b b b b =− b =−b
6 6 3 6 6
19 2 9 2
= a − ab−b
12 4

2 19. 04 31 3 2 3 2 2 2 1 3
, xy+ + xy −06
, y − xy− 02 , xy + y −6
8
5
4
2 2 2
3
3 16 , 14 ,
04 , x y − x y = − x y = 0
xy − 02 , xy = − xy = xy = 0175 , xy
5 5
8
8 8
3 1 3 24 , 1 3 14 , 3 3
− 06 , y + y = − + y =− y =−035 , y 31− 6=
25
4 4 4
2 3
= 0175 , xy − 035 , y + 25
2 2 2 2 2 2 2 2
20.
3 m−1 7 m−2 3 m−1 1 m−2 m−1 1 m−2
a − b + a − b − 02 , a + b
25 50 5 25
5
3 3
3 15 5 13
7 1 1 7 2 10 1
a + a − 02 , a = + − a = a − b − b + b = − − + b = b
25 5
25 25
50 25 5
50
50
13 m−1 1 m−2
= a + b
25 50
m m m m m m m m m m
− − − − − − − − − −
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 3ab = 3⋅12 ⋅ = 6
2 3 2 3
2. 5abc= 51 ⋅ ⋅2 ⋅ 3= 583 ⋅ ⋅ = 120
2 2 1 1 4 2
3. bmn= 2 ⋅ ⋅ = =
2 3 6 3
4. 24 24 1 2 3 ⎛ ⎞
mnp= ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2 3
⎛ 1⎞
1
6 1 1 6 1
⎜ ⎟ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
⎝ 3⎠
4 27 4 108 18
5. 2 2
3 3 1 2 1 2
2 3 4 1 4 2 3 4 2
8 1
abm = ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = ⋅ ⋅ = =
⎠ 8 24 3
2
6. 7 7
12 12 3 1 1 189 1 1 189 63
3 2 3
cpm= ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
4⎠
2 12 16 2 384 128
3
12.
4a
41 4 2
3bc = ⋅
= =
3⋅2⋅3
18 9
2
1
13. 5 2 2 52 ⋅ ⋅ ⎛ bm 2
np = ⎝ ⎜ ⎞
⎟
⎠
1 1
⋅
3 4
3
14. 3 b
4
2
c
3
2
2
=
20⋅
1 4
1
12
3
4 2 3 38 ⋅ 24
⋅
4 4 6
= = = = =
2
3 3 29 18 6 1
2 ⋅
⋅
3 3
=
5
1
= 60
12
2 3
b c 7. mn p
a = ⎛ ⎝ ⎜ 1⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 1⎞
1 1 1 1 1
⎟ ⋅ = ⋅ ⋅ =
2 3⎠
4 4 27 4 432
8. 5 a
6
c
5
6 1 1 5 1 5
⋅ m = ⋅ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = ⋅ =
2⎠
6 2 12
b−1 −2 2−1
3−2
2 2
9. 2bc = 223 ⋅ ⋅ = 49 ⋅ = 36=
6
3 2
2
10. 4 12 4 1 3 3
m⋅ bc = ⋅ ⋅ 12⋅2⋅ 3 = 2⋅ 216 = 2 ⋅ 6 = 12
2
4 3 1 1 4 3 1
11. mn⋅ 8a b = ⋅ ⋅ 81 ⋅ ⋅ 2 = ⋅ 64 = 8 4
=
2 3
6 6 3
15.
2m
n =
24mn
16.
2⋅
n p
2⋅
1 2
2 2
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
=
2⋅
1 1
= = = 3
1 1
9 3
24 1 1
⋅ ⋅
2 3
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
2 2 2 2
4 4
=
2 1 = = 24
1
⋅
12 6
=
2⋅
24
6
=
1 1
⋅ 2⋅
9 16
4
1
144

17. 3 ⋅ 64 bc
2m
3
3 64 2 3
= ⋅ ⋅ ⋅
3 3 6
3 6
2⋅
1 2
3 3
= 3⋅ 64⋅8⋅ 729 = 3⋅ 373.
248 = 3⋅ 72 = 216
18.
3
3
1 1 2
5
5 4 2 2 3
⋅ apb ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
5
=
3 3
⋅ 125 3
2
125 2 1 =
bm
3
⋅3 ⋅ ⋅ ⋅ 3
2 2 2
4
4
250
2
3 3 3
⋅ 1
5 5 5 6 2
= = = = =
3 3 3
125
2 2 5 15
⋅ ⋅
75 25
2
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
2 2 2 2
1. a − 2ab+ b = 3 −2⋅3⋅ 4+ 4 = 9− 24+ 16=
1
2 2
1
2. c 2 2cd d
2 2 1 1 1 1 1 1
+ + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⋅ ⋅ + ⎛ 3⎠
3 2 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = + + =
2⎠
9 3 4
4+ 12+ 9 =
36
25
36
3. a b
c
+ d
= 3
+ 4
= 9
1
+ 8
1
= 17
3 2
1
4. c m
− + 2 =
3 6
− + 2 = 2 2
− + = − 72 + 6 64
24 2 =−
d n 1 1 3 3 3
2 4
5. a 2 b 2 m 2 3
2 4
2 6
2 9 16 36
− + = − + = − + = 3− 8+ 6=
1
3 2 6 3 2 6 3 2 6
6. 3 1 3 1 1
2
5 2 5 3 2 4 2 1 1
2 5 2 1 1 10 5 4
c− b+ d = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + = − + =−
5 5
7.
ab
n
+ ac bd
d
− m
= 34 ⋅
1
+
4
3⋅
1 3
1
2
4⋅
1
−
2 12 1 2
= + − = 48 + 2 − 1 =
6 1 1 6 3
4 2
144 6 1
3
+ − 149 = =
3
49 2 3
1
8. b + n+ 6m= 4 + + 66 ⋅ = 2+ 1 + = + + = =
4
2 6 4 1 12 17
2 2
1 1
1
9. c 3a d 16b n 8d
3 3 16 4 8 1 1
3 2
4 2 3 3 1 2 16 1 4 2 1 8 1 2 16 1 13
− + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + = − + =− =−6
2 2 2
10. m a 3
6
b
=
d ⎛
⎝ ⎜ 1⎞
⎟
2⎠
2 2 1
2
216
= = 216⋅ 16 = 3456
1
16
4 .
8 1 2

11.
1. 3 c
4
12. 4 d
2
2
⎛
3 1 ⎞
2 ⎜ ⎟
4n
⎝ 3⎠
+ =
m 4
2 2
⎛
4 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 4⎠
+
6
1 1
3 4 1 1 2 1 3 1
= + = + = + = =
4 6 12 24 24 24 8
16n
1 2 1 8 1 1 2 8
2 2 4 4 16 1 1 1
+ − = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⋅ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − = + − = + −
⎠
2 2 1 = 1 − 1 = 0
2 2 2 2
13.
14.
a+ b b+
m 3 − = + 4 4
− + 6 7 10
= − = 21− 20 = 1
c d 1 1 1 1
3 2 3 2
b− a m− b 4− 3 6− 4 1 2
+ + 5 a = + + 53 ⋅ = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23
n d 1 1 1 1
4 2 4 2
15. 12 16 1 12 ⋅ 1 −
3 3 16⋅
1 −
c− a n− a
4 3 1 4 3 4 3 1 1
2
2
24 6 1 8 6 8 6 2 3 4 48 47
− + = − + = − − − + = − + = − + = =
24 24 1 23
24
b m d ⋅
2
3
16. 4 b a 6m
+ − = 44 ⋅ +
3 6
33 ⋅
−
3
66 ⋅
9 36
16
4 3 6
= + − = + − =
6
3 6 3 6 4 + 1 − 1 = 4
17. b + 2d 3c + 8d
−
=
2 4
4 + 2⋅
1 2
2
−
3⋅ 1 + 8⋅
1 3 2
4
2
= + 1 1
− + 2 3 3 6
= − = − 3 3
=
2 4 2 4 4 4
18. 2 ⋅ ab
3
1
9
3 2
3 2
2 3 4 2
3
1 2 144 4
+ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
d
⎠
+
−3⋅ = ⋅ ⋅
a n
+ −
4
3 4 4 3 4
212
3 3 9
2 3 24 2 3
3 4 2 3 4 2 8 9 3 64 9 12
= ⋅ ⋅
+ −
+ − = + − = + − =
8 2 8
2 2 2 2 2
EJERCICIO 13
2
3⋅
1 2
61
= = 7
8
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1.
1. ( a b) c d ( )
2. ( a b)( b a) ( )( )
+ ⋅ − = 1+ 2 ⋅3− 4= 3⋅3− 4= 9− 4=
5
+ − = 1+ 2 2− 1 = 3⋅ 1=
3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
3. ( b−m)( c− n)
+ 4a
= ⎜ 2−
1 ⎟ ⎜ 3−
2 4 1 9 2
⎟ + 41 ⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + 4 = 3 7
⋅ + = + = + = =
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 3 4 7 2 4 7 8 15
7
2 2
4.
2 2 1
2
2 ⎛ ⎞ ⎛
2⎞
4. ( m+ n)( p+ b ) = ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ + ( )( )
2 3 4 2 1 2 3 2 4 1 3 4 2 ⎟= 1 + 2 1 +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 = 3 ⋅ 5 = 15
5. ( 4 8 )( )( 6 ) 4 1 ( ) ( )
2 8 1 1 2 6 2 2 2 ⎛ ⎞ 2 2 ⎛
4
3 4 ⎞
m+ p a + b n− d = ⎜ ⋅ + ⎟ + ⎜ ⋅ − ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝
2 +
⎠
2 ⋅ 3 ⋅ 0 = 0
5
8

⎛ ⎞ ⎛ − ⎞
6. ( c−b)( d −c)( b−a)( m− p) = ( 3−2)( 4−3)( 2−1)
⎜
1 1
− ⎟ = 111 ⋅ ⋅ ⎜
2 1 1
⎟ =
⎝ 2 4⎠
⎝ 4 ⎠ 4
⎛ 1 2⎞
⎛ 3+
4⎞
7. b ( c d ) a ( m n) 2x
2 ( 3 4)
1 20 47 28 7 168 − 7 161
+ − + + = + − ⎜ + ⎟ + ⋅ = ⋅ −⎜
⎟ = − = = = 26
⎝ 2 3⎠
⎝ 6 ⎠ 6 6 6
2 2 2 2 5
6
8.
2 6 4 2 1 2 2 2 2 2 2
mx + b + c − d = ⋅ ⋅ 0+ 6 2 + 3 −4⋅ 4 = 6 4+ 9 −4⋅ 16= 6⋅13− 64 = 78− 64=
14
2
8. ( ) ( ) ( )
⎛
8 16
8 1 16 1 ⎞
⎛ m p⎞
⎜ ⋅ ⋅ ⎟
2
9.
9
9 2 4 4 4 4
1
2 18 2 6 2 2
3 2 2 6 8
⎜ + ⎟ a = ⎜ + ⎟
3 3 2 2 3
⎝ n b ⎠ ⎜
⎝
⋅ ⎟ ⋅ = + = + = + = + = =
3 ⎠ 3
10. x+ m( a b + d c − c
a
) = 0+ 1 ( + − ) = ( + − ) = ⋅ =
2 1 2 4 3 3 1
1
2 1 64 3 1
62 31
2
11.
4 m+
p
a
11.
( )
12.
a + b
÷ 2
c
2 2
⎛
4 1 1⎞
⎜ + ⎟
⎝ 2 4⎠
1 + 2
= ÷ 2
1 3
2 2
12. ( 2m+ 3n+ 4p)( 8p+ 6n− 4m)( 9n+
20p)
⎛
4 2 + 1 ⎞ 1 4
4 3 5 3 27
= ⎜ ⎟÷ + = ⋅ ÷ = = = 5
⎝ 4 ⎠ 9 4 9 5 5
9
⎛
2 1 ( )( )( )
2 3 2 3 4 1 ⎞ ⎛
8 1 4 4 6 2 3 4 1 ⎞ ⎛
9 2 2 3 20 1 ⎞
= ⎜ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ = 1+ 2 + 1 2 + 4 − 2 6 + 5 = 4⋅4⋅ 11=
176
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝ 4⎠
13.
c 2 m+ n − d 2 m+ p + b 2 n+
p
13. ( ) ( ) ( )
⎛
14.
⎜
⎝
15.
2 ⎛ 1 2⎞
2
1 1
2
2 1
2
3 4 2 9 7 12
2 3 2 4 3 4 6 16 3 4 4 11 21
12 44 126 144 44 26
= ⎜ +
⎝ ⎠
⎟− ⎛
+ ⎞
⎜
⎝ ⎠
⎟+ ⎛
+ ⎞
− +
⎜ ⎟ = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =
= =
⎝ ⎠
12 2 12 12 12 2 = 2
c + d 2 ⎞ ⎛
a d m
3 + 4
÷
⎟
=
⎜
⎠ ⎝ 1
2 2 2 2
15. ( 4 p+ 2b)( 18n− 24 p) + 2( 8m+ 2)( 40p+
a)
2 ⎞ 1 9 16 2 1 25 2 1
4 2 1 2 2 1 2 2 5 1 5
÷
⎟ ⋅ = ⎛ + ⎞
⎜ ÷
⎟ 2 2 2
⎠ ⎝
⎠
⋅ = ⎛
⎜
⎝
÷
⎞
⎟ ⋅ = ⋅ = =
⎠
( )( ) ( )( )
⎛
4 1 4 22 ⎞ ⎛
182 3 24 1 ⎞ ⎛
2 8 1 4 2 2 ⎞ ⎛
40 1 ⎞
= ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ + ⎜ ⋅ + ⎟ ⎜ ⋅ + 1⎟ = 1+ 4 12 − 6 + 2 4 + 2 11 = 5⋅ 6+ 2⋅ 66 = 30 + 132 = 162
⎝ ⎠ ⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠
2
5
1
2
1
6
16.
2
a
d +
2
⎛
+ + +
b m
d − b
⋅ =
p − ⋅ ⎝ ⎜ ⎞
5 1 4 5
1
⎟
2
2 2⎠
2
2
4 2 ⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 4⎠
2
2+
4
=
2
⋅
2
5+
2 1
4
1
16
6
+
=
2 5 8 3 5+ 8 3 13 3 624
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 208 = = 312
2 1 2 1 2 1 2 2
16 16 16
17. ( a b) c b m n ( )
17.
2 2 2
+ ⋅ + 8 − ⋅ = 1+ 2 ⋅ 3 + 8⋅2− 1 ⋅
2
2
⎛ 2⎞
1 2
⎜ ⎟ = 3⋅ 25 − ⋅ = ⋅ − = − =
⎝ 3⎠
2 3 35 2 6 15 2 6
− 88 = =
4
14 6 = 14
6
90 2
6
2
3
⎛
⎛
a+ c n ⎞
⎜
6 +
b ⎟
⎠
÷ + ⋅ = 1+
3
2
2
⎜
⎝
( c d ) p
( )
18. ⎜
⎟
⎜ + ⎟ 3 4
18.
⎝
⎞
6⋅
2 ⎟
3
÷ + ⋅ 1
= ⎛ 4
⎜
2
4 ⎝ 2
+
⎟
⎠
4
2
⎞
⎟ ÷ 7⋅ 1 2
= =
⎠ 2 7
2
4
7

2
19. 3( c−b) ⋅ 32m−2( d −a)
⋅ 16p − n
33 ( 2) 32 1 ( )
2 24 1 161 2
6
= − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = 3⋅ 16−6⋅ 4 − = 34 ⋅ −62 ⋅ − 3= 12−12− 3=−3
4 2
2
3
20.
a
21.
b
6abc
3mn
+ −
2⋅
8b
2
( b−
a)
6123 ⋅ ⋅ ⋅
= +
2⋅
8⋅2
+ b
− a
2 2
cdnp
abc
3 1 2
34 2 1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 3 3 4 36 1 2 6 1 1
− = + − = + − =
22 1 123 ⋅ ⋅ 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3
( − )
1 + 2
2 − 1
2 2
21. 2 2
+ 3( a+ b)( 2a+ 3b) =
2 2 31 ( 2)( 21 32)
2
22. b
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
1 1
+ ⎜ + ⎟ ⎜ +
⎝ a b⎠
⎝ b c⎠
⎟+ ⎛
n + ⎞
⎜ ⎟
⎝ m⎠
2
= + +
2
⎛ 1
⎜
⎝ 1
( )( )
⎛ ⎞
1⎞
⎛ 1 1⎞
⎜ 1 1 ⎟
⎟ ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟
2⎠
⎝ 2 3⎠
⎜
2 1
⎟
⎝ 3 2 ⎠
2m+ 3n 4p+ 2c −4m n
2 2
23.
⎛
2 1 2 3 2 ⎞
= ⎜ ⋅ + ⋅ 4 1 3 4 23 4 1 ⎝ ⎠
⎟ ⎛
⋅ + ⋅ ⎞
⎜ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
2⎠
2
2
+ − 22 = =
24
18 12 8
24
11
12
5
3 338 5 5 216 221
+ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + 72 = + = = 73
3 3 3
2 2
⎛ 3 5⎞
3
4
2 6 2 2 4 5 7 21 49 70 35
= + ⎜ ⋅
17
⎝ ⎠
⎟ + ⎛
+ ⎞
⎜ ⎟ = + + ⎛ ⎝ ⎠ 4 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = + = = =
2⎠
4 4 4 2
2 2
⎛ 2⎞
( 1 2)( 1 6)
4 1 4
⎜ ⎟ = + + − ⋅ ⋅ =
3
4 9 37 ⋅ − 4 =
9 21 − 4 =
⎝ ⎠
9
189 4
9
2
3
1
2
− 185 = =
9
20
5
9
24.
2 c
2 3 2
2
b −
2 −
3 n 3 3 3 3 3 4 6 4
− =
2ab
m b m
212 1 −
2 1 =
4 1 − = − = − =
− − 3 7
⋅⋅ − − −
9 7 9
2 2 2 2 2
54 − 28
63
26
=
63
EJERCICIO 14
1. a+ b+
m
2. m + b + x
2 3 4
3. a+ 1;
a+
2
4. x−1;
x−2
5. y+ 2 ; y+ 4 ; y+
6
6.
$ a+ x+
m
6. ( )
7. m−n
8.
bs. x − 6
8. ( )
9. ( x−
)
m Km
10. $ ( x+ a−m)
11. ( − − − )
12. $ ( n − 300)
13. ( )
m a b c Km
365− x días
14. $ 8a ; $15 a ; $ ma
15. 2a+ 3b+
c
2
16. abm ⋅
2
17. 23nm
2
18. x m
2 2
19. $ ( 3a + 6b) ; $ ( ax + bm)
20. ( a+ b)( x+
y)
21. $8 ( x + 48)
22. bs. ( a − 8)( x + 4)
23. 75 x sucres
24. $ a m

25. 3 . 000 n 1 colones
−
26.
x
soles
a − 3
27. m m
14
28. x +1
km
a h
29. $ a + b
m− 2
⎛ x⎞
30. ⎜ x+ 2x+
⎟ hab.
⎝ 2⎠
⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎤
31. ⎢1000
. − ⎜ a + a +
a ⎟
⎣ ⎝ 3 4 ⎠ ⎥ sucres
⎦
EJERCICIO 15
1. m, n→ m+
n
2.
m, −n→ m+ − n = m−n
2. ( )
3. −3a,
4b→ − 3a+
4b
4. 5b, 6a→ − 6a+
5b
5.
7 , −6→ 7+ − 6 = 7− 6=
1
5. ( )
6. −6,
9→ − 6+ 9 = 3
7. −2x,
3y→ − 2x+
3y
8.
5mn , −m→ 5mn + − m = 5mn −m
8. ( )
9. 5a , 7a→ 5a+ 7a=
12a
10.
−8x , −5x→ − 8x+ − 5x = −8x− 5x= −13x
10. ( )
11. −11m,
8m→ − 11m+ 8m=−3m
12. 9ab, −15ab→ 9ab − 15ab =−6ab
13. −xy , −9xy → −9xy − xy =−10xy
14.
mn , −11mn → mn + − 11mn = mn − 11mn = −10mn
14. ( )
15. 1 2 1 2
a , − b → a−
b
2 3 2 3
16. 3 3 3 3
b, c→ b+
c
5 4 5 4
17. 1 2 1 2 3
b , b→ b+ b= b=
b
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2
18. − xy , − xy → − xy − xy = − xy =−xy
2 2 2 2 2
3 2
19. − abc,
− abc
5 5
3 2 5
− abc − abc = − abc =−abc
5 5 5
2 3 2
20. − 4xy,
xy
8
2 3 2
− 4 + = − 32 + 3 2 29 2
xy xy xy=−
xy
8 8 8
21. 3 3
mn , − mn
8 4
3 3 3 6 3
mn− mn= − mn=−
mn
8 4 8 8
22. abc , , → a+ b+
c
23. a, −b,
c → a− b+
c
24. a, −b,
2c → a− b+
2c
25. 3m, −2n,
4p → 3m− 2n+
4p
26. a , −7ab,
−5b → a −7ab−5b
2 2 2 2
27. x , −3xy , −4y → x −3xy−4y
2 2 2 2
3 2 3 2
28. x , −x y , 6 → x − x y+
6
29. 2a , −b , 3a → 2a+ 3a− b = 5a−b
30. −m, −8n,
4n → −m− 8n+ 4n=−m−4n
31. −7a , 8a , −b → − 7a+ 8a− b= a−b
32. 1 2 3
x , y , − x
2 3 4
1 3 2 4 6 2 1 2
x− x+ y= − x+ y=− x+
y
2 4 3 8 3 4 3
33. − 3
− − 2
m , m , mn
5
3
3 2
− − − = − 3 − 5 2 8 2
m m mn m − mn =− m − mn
5 3 5 3 5 3
34. −7a , 5ab, 3b , −a
2 2 2
2 2 2 2 2
−7a − a + 5ab + 3b =− 8a + 5ab + 3b

2 2 2
35. − 7mn + 17mn −5m − 4m = 10mn −9m
3 3 2 2 3 2
36. x −7x − 8x y+ 4x y+ 5= −6x − 4x y+
5
37. 5x − x + 9xy − 6xy + 7y = 4x + 3xy + 7y
2 2 2 2 2
38. −8a b − a b + 5ab −11ab −7b
2 2 2 2 3
2 2 3
=−9ab−6ab −7b
39. m − 8m n+ 7m n + 7mn −n
3 2 2 2 3
3 2 2 3
= m − m n + 7mn −n
40. 1 1 2 1
a− a+ b+ b−6
2 4 3 5
2 1 10 3
6 1 13
= − +
a+
b− = a+ b−6
4 15 4 15
41. a−a− 3b+ 4b− 8c+ 8c=
b
42. m + 5m −5m −4m n−4m n−7mn
3 3 3 2 2 2
= m −8m n−7mn
3 2 2
43. 9x−x−11y− 6y+ 4z− 6z= 8x−17y−2z
2 2 2 2
44. 6a + 9a −5ab −7b −8b
−11
2 2
= 15a −5ab−15b
−11
2 2 2 2 3 3 4
45. − x y + x y − 5xy + 7xy −4y
−8
3 4
= 2xy
−4y
−8
1 1
46. 3a− a+ b−b− 4+
6
2 2
6−1
1 2
2 5 1
= a + − b+ = a− b+
2
2 2 2 2
47. 1 3 2 1 5 5
x + x + xy− xy+ y − y
2 4 3 3 6 6
2 3 2 2 1 5 2 1
= + x + − xy= x + xy
4 3 4 3
2 2 2 2
48. 5ax −5ax − 6a + a + 5a + 8a = 8a
x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+ 2 x+
2
49. 3 2 2 2 1 1 2 2
x + x − xy − xy + y + 5y
4 3 3 3
3 4 3 1 15 7 16
= + x − xy+ + y = x − xy+
y
4 3 3 4 3
2 2 2 2
50. 3 2 1 2 2 1 2 1 2 5 2
a b − a b + a b + ab + ab − ab
4 4
2 2 6
3 1 4 3 3 5 3 1
= − + + −
a b + ab = a b + ab
4
6 2 6
2 2 2 2
EJERCICIO 16
1. 3a+ 2b−c
2a+ 3b+
c
5a+
5b
2. 7a− 4b+
5c
− 7a+ 4b−6c
− c
3. m+ n−p
−m− n+
p
0
4. 9x− 3y+
5
− x − y + 4
− 5x+ 4y−9
3x
5. a+ b − c
2a+ 2b−2c
−3a− b + 3c
2b
6. p+ q+
r
−2p− 6q+
3r
p+ 5q−8r
− 4r
7. −7x − 4y+
6z
10x−20y−8z
− 5x+ 24y+
2z
− 2x
8. − 2m+ 3n
−6
3m− 8n
+ 8
− 5m+ n −10
−4m−4n−8
9. −5a−2b−3c
7a− 3b+
5c
− 8a+ 5b−3c
−6a
− c
10. ab + bc + cd
−8ab −3bc −3cd
5ab + 2bc + 2cd
− 2ab
11. ax − ay − az
−5ax −7ay −6az
4ax + 9ay + 8az
ay + az
12. 5x
− 7y+
8
−4x− y + 6
− 3x+ 8y+
9
− 2x
+ 23
13. − am+ 6mn −4s
−am− 5mn + 6s
3am−5mn −2s
am−
4mn
14. 2a+
3b
6b−
4c
− a + 8c
a+ 9b+
4c
15. 6m−
3n
− 4n
+ 5p
−m
−5p
5m−
7n
16. 2a+
3b
+ 5c
−4
8a
+ 6
+ 7c
−9
10a+ 3b+ 12c−7
17. 2x−3y
+ 5z
+ 9
6x
− 4
3y
− 5
8x
+ 5z

18. 8a+ 3b−c
5a − b + c
−a−b − c
7a − b + 4c
19a
+ 3c
19. 7 x + 2 y − 4
+ 9y− 6z
+ 5
− y + 3z
− 6
8x
−3y
− 5
15x+ 7y −3z−10
20. − m − n − p
m + 2n
−5
− 6m
+ 3p+
4
5m+ 2n
−8
− m+ 3n+ 2p−9
21. 5a −3a −7a
x m n
− 8a + 5a − 9a
x m n
− 11a + 5a + 16a
x m n
x
− 14a
+ 7a
22. 6m − 7m −5m
m
a+ 1 a+ 2 a+
3
4m − 7m − m
a+ 1 a+ 2 a+
3
− 5m + 3m + 12m
a+ 1 a+ 2 a+
3
5m − 11m + 6m
a+ 1 a+ 2 a+
3
23. 8x+ y + z + u
−3x−4y− 2z+
3u
4x+ 5y+ 3z−4u
−9x− y + z + 2u
y + 3z+
2u
24. a+ b − c + d
a− b + c −d
− 2a+ 3b− 2c+
d
−3a− 3b+ 4c−d
− 3a
+ 2c
25. 5ab − 3bc + 4cd
+ 2bc + 2cd −3de
− 2ab + 4bc + 3de
− ab −3bc −6cd
2ab
26. a−
b
b−
c
c+
d
a − c
c−
d
− a + d
a − d
2a
EJERCICIO 17
2
1. x + 4x
2
x − 5x
2
2x
2
− x
2. a + ab
− 2ab
+ b
a − ab + b
2
2 2
3
3. x + 2x
2
− x + 4
3 2
x − x + 2x+
4
4 2
4. a − 3a
3
+ a + 4a
4 3 2
a + a − 3a + 4a
5. − x + 3x
x
3
2
3 2
+ 6
x − x + 3x+
6
2
6. x − 4x
− 7x
+ 6
2
3x
− 5
2
4x
− 11x+
1
2 2
7. m + n
2
+ 4n
−3mn
−5m
−5n
2 2
2
−4m
−3mn
8. 3x+
x
3
− 4x
+ 5
3 2
− x + 4x
−6
3x
−1
9. x − 3xy+
y
2
2 2
− x + 3xy−2y
2 2
x + 3xy−
y
2 2
x + 3xy−2y
2 2
10. a − 3ab+
b
2 2
+ a −5ab−
b
2 2
− 2a + 8ab−
b
2 2
− b
2
11. − 7x
+ 5x−
6
2
4x
+ 8x−
9
2
− x − 7x+
14
2
− 4x
+ 6x
− 1
2
3
12. a − 4a
+ 5
a
− 2a
+ 6
3 2
2
+ a − 7a
+ 4
3 2
2a −a − 11a+
15
2
13. − x + x −6
3 2
x − 7x
+ 5
3
− x + 8x−5
2
− 8x
+ 9x−6
14. a − b
3 3
+ 5ab−
4ab
2 2
a − 7ab − b
3 2 3
2a + 5a b−11ab −2b
3 2 2 3
3 2 3
15. x + xy + y
x − 5x y − y
3 2 3
2x − 4xy −5y
3 2 3
4x − 5x y− 3xy −5y
3 2 2 3
2 3
16. − 7mn
+ 4n
3 2 3
+ m + 6mn − n
3 2 3
− m + 7m n + 5n
2 3
+ 6mn
+ 8n

4 2
17. x − x + x
3 2
+ x − 4x
+ 5
2
+ 7x
− 4x+
6
4 3 2
x + x + 2x − 3x+
11
6 4
18. + a + a + 6
5 3
+ a − 3a
+ 8
3 2
+ a −a
−14
+ a + a + a −2a −a
6 5 4 3 2
5
19. x + x −9
4 2
+ 3x
− 7x
+ 6
3
−3x
− 4x+
5
5 4 3 2
x + 3x −3x −7x − 3x+
2
20. a + a
a
3
3
2
+ a + 5
+ 4a+
7a
2
2
−8a
−6
+ 5a
−1
4 2 2
21. x − x y
3 3
− 5x y + 6xy
2 2
3 4
− 4xy
+ y
−4xy
−6
4 3 2 2 3 4
x −5x y− 5x y + 2xy + y −6
2
22. + x + xy
2 2
− x + 4xy −7y
2 2
− x + 6xy + 5y
2 2
−6x − 4xy + y
2 2
− 7x + 7xy −y
3 2 3
23. a − 8ax + x
2 3 2
−6ax − x + 5a x
3 3 2
3a −x −5a x
3 2 3
a + 14ax −x
3 3
5a
− 2x
2 2 3
24. − 8am+ 6am −m
3 2 3
+ a − 5am + m
3 2 2
− 4a + 4a m −3am
2 2
+ 7am− 4am
−6
3 2 2
− 3a + 3a m− 6am
−6
5 3 2 4
25. x − x y − xy
4 2 3 5
+ 2xy + 3xy − y
+ 3x y −4xy − y
x + 5xy + 2y
2x + 2x y + 2x y + 3x y
3 2 4 5
5 4 5
5 4 3 2 2 3
5 6 2
26. a + a + a
4 3
+ a + a + 6
2
+ 3a
− 8+
5a
5 2
−a − 4a + 6−5a
6 4 3
+ a + a + a + 4
4 4
27. a − b
3 2 2 3
− ab+ ab −ab
4 3 2 2
− 3a + 5a b−4a b
3 2 2 4
− 4ab+ 3ab −3b
4 3 4
−2a −ab −4b
3 3 2
28. m − n + 6m n
3 2 2
+ n − 4m n + 5mn
3 3 2
m − n + 6mn
3 3 2
− 2m + n −2m n
x
29. a − 3a
x−
2
2
11mn
x−1 x−3
+ 5a
+ 6a
+ 7a
+ a
x 1 x−3
−
+ a
−13a
x−3 x−4
x x−1 x−2 x−4
a + 6a − 3a + a
30. − a + a + a
x x+ 1 x+
2
−3a − a + a
x+ 3 x−1 x−2
− a + 4a −5a
x x+ 3 x+
2
+ a − a + a
− 2a + a + a −3a
+ 3 + 2 + 1
⇒ a − 3a + a −2a
x−1 x− 2 x+
2
x x+ 1 x+ 3 x+
2
x x x x

EJERCICIO 18
2
1. 1 x
2
1
+ xy
3
1 1
+ xy + y
2 4
1 2 3 1 1 5 1
x + + xy + y = x + xy+
y
2 6 4 2 6 4
2
2 2 2 2
2. a 2 1
+
2
ab
1 1
− ab + b
4 2
1 1
− ab − b
4 5
2 1 1 5 2 3
a + − − ab+ − b = a + b
4 10 10
2 2 2 2
2 2
3. x + xy
3
1
2
− xy + y
6
5 2
− xy + y
6 3
2 4 1 5 3 2 2
x + − − xy+ + y
6 3
2 5 1 5
= x − xy+ y = x − xy+
y
6 3 3 3
4. 3 x
4
2 2 2 2
2
− xy
5
+
1
+ xy
10
+
2
2
2
1
y
2
1
y
6
1
y
3
2 2
−
3 2 4 1 3 1 2 2 3 2 3
x + − + xy+ − + + y = x − xy
4 10 6 4 10
2 2 1
1 2
5.
a + ab − b
3 5
2
5 2 1
1 2
a − ab + b
6 10
6
1 2 1
1 2
− a + ab − b
12 20 3
8+ 10−1
2 4 2 1 3 1 2 2
a + − + ab+ − + − b
12 20
6
17 3 4 17 3 2
= a + ab− b = a + ab−
b
12 20 6 12 20 3
2
2
2 2 2 2
5 2 2 2 3
6.
x − y + xy
6 3
4
1 2 1 2 1
− x + y − xy
6 8
2
1 2 1 2 5
− x + y + xy
3 4
6
5−1−2
2 16 3 6 2 9 6 10
x + − + + y + − + xy
6
24
12
2 7 13 1 13 7
= x − y + xy⇒ x + xy−
y
6 24 12 3 12 24
2 2 2 2
3 1 2 3
7. a − ab + b
2
3 2 3 5 2
− ab − 2b + a b
8
6
1 3 3 3 1 2
a − b − a b
4
5
2
4+
1 3 4 3 2 5 10 3 3 5 3 2
a + − − ab + − − b + − a b
4 8
5 6
5 3 7 2 8 3 2 2 5 3 1 2 7 2 8 3
= a − ab − b + a b⇒ a + a b− ab − b
4 8 5 6 4 3 8 5
8. 4 2
x − x + 5
2 3 3
− 3 + x − x
3 8
3 4 5 3 3
− x + x − x
5
6 4
5−
3 4 2 3
x x 2 4 5 3 6
− + + + x + − − x
5
6 8
2 4 2 3 4 3 2
x x 2 9 9 2 3 9
= − + + x − x⇒ x + x −x − x+
2
5
6 8 5 2 8
9. 2 3 1 2 2 3
m − mn + n
3
4 5
1 2 3 3 1 2
+ mn − n + m n
8 5 6
3 3 1 2
m − n − m n
2
2+
3 3 2 1 2 2 3 5 3 1 3 2
m + − + mn + − − n + − m n
3 8
5 6
5 3 1 2 6 3 2 2 5 3 1 2 1 2 6 3
= m − mn − n − m n ⇒ m − m n− mn − n
3 8 5 6 3 3 8 5
10. x 4 x 2 y 2 2
y 4
+ 2 +
7
5 4 3 2 2 1 4 1 3
− x + x y − y − xy
6 8
14 6
1 2 2 1 4 5 3
− xy + y − xy
4
7
6
6−
5 4 16 + 3 −2
2 2 4− 1+
2 4 1 3 5 3
x + x y + y − xy − x y
6 8
14 6 6
1 4 17 2 2 5 4 1 3 5 3
= x + x y + y − xy − x y
6 8 14 6 6
1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4
⇒ x − x y + x y − xy + y
6 6 8 6 14

5 2 3
4
11. x − x + x
3
5
5 1 3 2
−3x − x + x
10 8
1 3 1 2 2 4
+ x − x − x
6
4 3
1 3 3
− x + x
−4
12
5
5 8 2 1 3 8 1 6 3 2 2 2 4
− 2x + − + − x + − + x+ − x − x −4
12 10 8 3
5 7 3 13 1 2 2 4
=−2x − x + x+ x − x −4
12 10 8 3
5 2 4 7 3 1 2 13
⇒− 2x − x − x + x + x −4
3 12 8 10
12.
2
5
1
a + ax − x
9
6
3
3
7
1
− ax − ax − x
7
8
9
2 3 1 2 1 2
− a + a x − ax
3 2
4
3 2 3
2 2 3
2−6
6 7 20 21 6 3 1
a + − + − −
a x+
ax + − − x
9 14
24
9
4 3 1 2 7 2 4 3
=− a + a x− ax − x
9 14 24 9
3 2 2 3
6 4 2
13. a − a + a
3 5 3 3 1
+ a − a − a
5 8 2
3 4 5 2
− a − a
+ 6
7
8
3
− a −6
8
6 7 3 4 8 5 2 3 5 3 3 4 3
a + − − −
a + a + a − a + − − a
7 8 5 8 8
6 10 4 3 2 3 5 3 3 7
= a − a + a + a − a − a
7 8 5 8 8
6 3 5 10 4 3 3 3 2 7
⇒ a + a − a − a + a − a
5 7 8 8 8
14. x 5 y 5
−
1 3 2 3 4 1 5
+ x y − xy − y
10 4 6
1
3 5
− y + x y − x y
9
5 6
2 3 2 1 5 4
− x y − y + 2x y
5
3
5 4 2 3
1 4 3 18 3 2 6 3 10 5
x + − x y − xy + − − − − y + + x y−
x y
10 4
18
5 6
5 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5 2 3
= x − x y − xy − y + x y−
x y
10 4 18 5 6
5 13 4 3 3 2 5 2 3 3 4 29 5
⇒ x + x y− x y − x y − xy − y
5 10 6 4 18
5 3 2 4 5 4 2 3
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
1.
4x−5y
− 3x+ 6y−8
− x + y
2y
−8
⇒2⋅4− 8= 8− 8=
0
2
2. x − 5x
+ 8
2
− x + 10x−30
2
− 6x
+ 5x
−50
2
− 6x
+ 10x−72
2
⇒−6⋅ 5 + 10⋅5 − 72 =−6⋅ 25 + 50−72
=− 150 + 50 − 72 =−172
4 4
3. x − y
4 2 2
2x
−5x y −8
− 4x + 7x y + 10xy
4 3 3
−x −y −5xy − 8+ 7xy+
10xy
4 4 2 2 3 3
4 3 2 2 3 4
⇒− x + 7x y− 5x y + 10xy − y − 8
4 3 2 2 3 4
=− + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − −
5 75 4 55 4 1054 4 8
=− 625 + 28⋅125 −5⋅25⋅ 16 + 50⋅64 −256 −8
=− 625 + 3. 500 − 2. 000 + 3. 200 −256 − 8 = 3.
811
4. 3m
− 5n
+ 6
−6m− 20n+
8
12m−20n−12
9m
− 45n
+ 2
9 2 3 45 1 5 2 18 45
⇒ ⋅ − ⋅ + = − + 2= 6− 9+ 2=−1
3 5

5. nx + cn −ab
8nx −2cn−ab
nx
−ab
− 5
10nx −cn−3ab
−5
⇒10⋅ 1 ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
5 5 10 1 5 323 5
50 10
= − −63 ⋅ −5
5 5
= 10−2 −18 − 5 =−15
6. a + b
3 3
− 3ab+ 8ab − b
2 2 3
3 2
−5a
− 6ab
+ 8
+ 3ab
−2b
2 3
3 2 3
− 4a + 2ab − 2b
+ 8
3 2 3
⇒− ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ +
42 223 23 8
=−4 ⋅ 8+ 4⋅9−2⋅ 27+
8
=− 32 + 36 − 54 + 8 =−42
7. 27m
+ 125n
3 3
− 9mn
+ 25mn
2 2
+ 10mn+
11mn
2
−14mn
−8
2 2
3 2 2 3
27m + m n + 22mn + 125n
−8
3 2 2 3
27 2 2 1
3 3 5 22 2 1
⇒ ⋅ ⎛ 125 1 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎛ ⎠ 3 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⋅ ⎛ 5⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
5⎠
27 8 4 1 44 1
= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
27 9 5 3 25 125 ⋅ 1 −
125 8
4 44 4 44
= 8 + + + 1− 8= + + 1
45 75 45 75
20+ 132 +225 377
=
= =
225 225 1 152
225
8. x a y b m x
+ +
2x −2y −2m
−1 −2 −4
a−1 b−2 x−4
b−
+ 3y
−2m
2 x−4
3x + 2y −3m
a−1 b−2 x−4
−
− −
⇒ ⋅ + ⋅ − ⎛ 5 4
2 1 3 2
⎝ ⎜ ⎞
35 24 3 2 ⎟ = 15+ 8− 2 = 21
3⎠
b−1 x−3
9. n − m + 8
b−1 x−3
−5n
− 3m
+ 10
b−1 x−3
4n
+ 5m
−18
m
x −3
5−3 2
⇒ ⎛ ⎝ ⎜ 2⎞
⎟ = ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ 2⎞
⎟ =
3 3⎠
4
9
−8
3 3
10. xy− xy + 5
11. 3 a
4
12.
5xy − 6+ x −xy
3 4 2 2
− 6xy
+ 2 + x y
3 2 2
+ 3xy
+ 1 −y
3 4
6xy− 4xy + 2+ x −y
3 3 4 4
4 3 3 4
⇒ x + 6x y −4xy − y + 2
4 3 3 4
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − +
5 6 5 4 4 5 4 4 2
= 625+ 24⋅125 −20⋅64 − 256 + 2
= 625+ 3. 000 −1280 . − 256 + 2 = 2.
091
2
+ b
3
1 1 2
− ab + b
3 9
1 1 2
+ ab − b
6 3
2 2
3 2 2 1 6 1 3 2
a − − + ab+ + − b
4 6 9
3 2 1 4 2
= a − ab+
b
4 6 9
3
4 2 2 1
6 23 4 9 3 2
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅
3
= ⋅
4 4 − 1 ⋅
6 6 + 4 ⋅
9 9 = 3 − 1 + 4 = 6
9
2
25
2
1
m + n −
17 34
4
7
2
5
2
1
m + n + −15mn
34 17
2
7
2
1
− m
− −30mn
34
4
+ 3
18 + 7 −7
2
25+
10
2
1 2 1 12
m + n + − + − + − 45mn
34 34
4
18
2
35
2
12
= m + n + −45mn
34 34 4
9
2
35
2
⇒ m − 45mn+ n + 3
17
34
2 2
9 ⎛ 2⎞
45 2 1 35 ⎛ 1⎞
= ⎜ ⎟ − ⋅ ⋅ + ⎜ ⎟ + 3
17 ⎝ 3⎠
3 5 34 ⎝ 5⎠
9 4 90 35 1
= ⋅ − + ⋅ +
17 9 15 34 25 3
4
= − + + = + −
17 6 35
850 3 4 7
17 170 3
40 + 7 −510
463
=
=− =−2 123
170
170 170

13.
1 2
3
bm − cn
2
5
−
3 2
1
bm − cn
4
10
+
1 2
1
− bm + cn
4
25
+
1 2
− bm
8
+ 2cn
+
4+ 6−2−1
2 30 5 2 100 10 30 20 3
bm+ − − + + cn+ − + + +
8
50
5
7 2 67 43 7
8 50 5 8 3 2 2 67
3 50 10 1 43
⇒ bm+ cn+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
5 5
792 67 43 126 670 43 21 67 43
= ⋅ ⋅ + + = + + = + +
24 50 5 24 250 5 4 25 5
525 + 268 + 860 1653 .
53
=
= = 16 100
100 100
2
6
4
3
5
3 2 2
14. 02 , a + 04 , ab −05
, a b
2 2 3
+ 06 , ab −03 , a b −08
, b
3 2
−04 , a − 08 , a b + 6
3 2 3
02 , a + 15 , a b+
09 , b
2 2 3
ab − 01 , a b + 01 , b + 6
2 2 3
⇒− 01 , ab+ ab + 01 , b + 6
2 2 3
=−01 , ⋅2 ⋅ 3+ 2 ⋅ 3 + 01 , ⋅ 3 + 6
=−03 , ⋅ 4+ 2⋅ 9 + 0127 , ⋅ + 6
= − 12 , + 18 + 2,
7+
6
= 25,
5
EJERCICIO 20
1. −8− 5=−13
2. −7− 4=−11
3. 8− 11=−3
4.
−8− − 11 = − 8+ 11=
3
4. ( )
5. ( )
−1− − 9 = − 1+ 9=
8
6. 2a− 3b= 2a−3b
7. 3b− 2= 3b−2
8. 4x− 6b= 4x−6b
9. −5a− 6b=−5a−6b
10.
−8x− − 3 = − 8x+
3
10. ( )
11. −9a − 5b =−9a −5b
2 2 2 2
12.
−7xy − − 5yz = − 7xy + 5yz
12. ( )
13. 3a− 4a=−a
14. 11m − 25m =−14m
15.
2 2 2
2 2 2 2 2
−6xy− − xy = − 6xy+ xy= −5xy
15. ( )
16. ( )
17. ( )
18. ( )
19. ( )
11am − − 7am = 11am + 7am = 18am
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 2 2
−8ab − − 8ab =− 8ab + 8ab
= 0
2 2 2 2 2
31xy− − 46xy = 31xy+ 46xy=
77xy
2 2 2 2
−84ab− − 84ab=− 84ab+ 84ab=
0
20. 3a − 5b = 3a −5b
x+ 1 x+ 2 x+ 1 x+
2
a+ +
21. −8 2 a
x − 11=−8x
2 −11
22.
6a − − 5a = 6a + 5a = 11a
n n n n n
22. ( )
23.
−45a − − 60a = − 45a + 60a = 15a
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
23. ( )
24. ( )
25. ( )
54b − − 86b = 54b + 86b = 140b
n−1 n−1 n−1 n−1 n−1
−35m − − 60m =− 35m + 60m = 25m
a a a a a
⎛ 1⎞
26. 5 5 1 10+
1 11
−⎜
− ⎟ = + = = =
⎝ 2⎠
2 2 2
2 3
27. − − = − 8 − 9 17
=−
3 4 12 12
5 1 2
1 ⎛ 2 ⎞ 1 2 3
28. x −⎜
− x ⎟ = x + x = x = x
3 ⎝ 3 ⎠ 3 3 3
2 2 2 2 2 2
4 3 ⎛ 5
3 ⎞ 24 + 25
3
49
3
29. xy−⎜
− xy⎟ = xy=
xy
5 ⎝ 6 ⎠ 30 30
1 ⎛ 3 ⎞
30. − −⎜
− ⎟= − 1 + 6 5
ab ab ab = ab
8 ⎝ 4 ⎠ 8 8
31. −2− 3=−5
32.
7− − 1 = 7+ 1 = 8
32. ( )
33. ( )
34. ( )
35. ( )
36. a ( )
2 2 2 2
−8− − 5 =− 8+ 5=−3
5− − 4 = 5+ 4=
9
−7− − 7 = − 7+ 7=
0
2 − − 5 = 2a+
5

37. −3x− b=−3x−b
38. −2n− 5m=− 2n−5m
39.
3b− − 6a = 6a+
3b
39. ( )
40.
3 3
8b− − 5a = 5a + 8b
40. ( )
41.
−7a− − 9 = − 7a+
9
41. ( )
42. ab ( )
43. ( )
44. ( )
45.
25 − − 25 = 25ab
+ 25
3a − − a = 3a+ a=
4a
−4b − − 3b = − 4b+ 3b= −b
54x − − 11x = 54x + 11x = 65x
3 3 3 3 3
45. ( )
46. 78ab 2 − 14ab 2 = 64ab
2
47.
2 2 2 2 2
−54ay− − 43ay = − 54ay+ 43ay= −11ay
47. ( )
48. −ab − 9ab =−10ab
49.
2 2 2 2
−31xy− − 31xy = − 31xy+ 31xy=
0
49. ( )
50. −3a − a = −4a
51.
x x x
311a − − 7a = 311a + 7a = 318a
x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+ 1 x+
1
51. ( )
52. 105m − 9m = 96m
x x x
53. −31a − 18a =−49a
54.
x−1 x−1 x−1
−236m − − 19m = − 236m + 19m =−217m
a a a a a
54. ( )
55. −85a − 54a =−139a
x+ 2 x+ 2 x+
2
1 1
56. ( 6 )
4
− − a = 4 + 6a
2
57. − −( − ) = − 2 + 15
5 =
3 3
13
3
7 3 3 3
58. − m − m
10 8
= − 56 − 30 86 43
m =− m = − m
80 80 40
3 3 3
59. 5 2 2 ⎛ 11
2 2 ⎞
ab −⎜
− ab ⎟
6 ⎝ 12 ⎠
10+
11 21 7
= ab = ab = ab
12 12 4
2 2 2 2 2 2
1 3 2 3 2
60. − ab −45ab
9
= − 1 − 405 3 2
= − 406 3 2 1
ab ab =−45
ab
9
9
9
3 2
EJERCICIO 21
1. a+
b
2. 2x−
3y
− a+
b
x − 2y
2b
3x−5y
3. 8a
+ b
3a
− 4
11a+ b−4
3 2
5. a − a b
−7ab−9ab
2 2
3 2 2
a −8a b−9ab
7. x+ y − z
x+ y − z
2x+ 2y−2z
3 2
x − 6x + 4x
2
4. x − 3x
5x
−6
x
2
+ 2x−6
6. x− y+
z
− x+ y−z
0
2 2
8. x + y − 3xy
2 2
− 3x + y + 4xy
2 2
− 2x + 2y + xy
⇒− 2x + xy+
2y
2 2
3 2
2 3
9. x − x + 6
10. y + 6y
−8
2
2 4
−5x
− 6+
4x
3y −2y −6y
3 2
11. a − 6ab + 9a
2
+ 8a
−15a b−5
3 2 2
a − 6ab + 17a −15a b−5
3 2 2
⇒ a −15a b− 6ab + 17a−5
12. x + 9xy −11y
4 3 4
− 20y + 8x y+
6x y
4 3 2 2
x + 9xy − 31y + 8xy+
6xy
4 3 4 3 2 2
⇒ x + 8x y+ 6x y + 9xy −31y
4 3 2 2 3 4
2 4 3
4y − 2y + 6y −6y−8
4 3 2
⇒− 2y + 6y + 4y −6y−8
13. a+ b+ c−d
a+ b− c+
d
2a+
2b
14. ab + 2ac −3cd−5de
− 8ab + 4ac + 5cd −5de
− 7ab + 6ac + 2cd−10de
15. 3 2
x + 6x − 9x
− 19
3 2
− 6x + 11x − 21x
+ 43
3 2
− 5x + 17x − 30x+
24

5 3 2
16. y − 9y + 6y
−31
3 2 4
− 31y + 8y + 11y + 19y
5 3 2 4 5 4 3 2
y − 40y + 14y + 11y + 19y −31 ⇒ y + 11y − 40y + 14y + 19y
−31
17. 5m − 9n + 6m n − 8mn
3 3 2 2
3 2 2
− 5m + 21m n − 14mn
+ 18
3 2 2 2 2 3
− 9n + 27m n− 22mn + 18⇒ 27m n−22mn − 9n
+ 18
3 3 4 2 2
18. 4x y − 19xy + y − 6x y
25x y + 51xy − 32x y + x
3 3 2 2 4
3 3 4 2 2 4 4 3 2 2 3 4
29xy+ 32xy + y − 38xy + x ⇒ x + 29xy− 38xy + 32xy + y
6 4 2 2 4
19. m + m n − 9m n + 19
+ 30mn + 61+ 13mn −16mn
2 4 3 3 5
6 4 2 2 4 3 3 5 6 4 2 3 3 2 4 5
m + mn + 21mn + 80 + 13mn −16mn ⇒ m + mn + 13mn + 21mn − 16mn
+ 80
5 3 3 5
20. − ab + 6ab − 18ab
+ 42
6 4 2 2 4 6
8a + 11a b + 11a b −9b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
8a − a b+ 11a b + 6a b + 11a b −18ab − 9b
+ 42
2 4 3 5
21. 1 − x + x − x + 3x −6x
2 4 6
24 + 30x −8x − 15x + x
2 4 3 5 6 6 5 4 3 2
25 + 29 x −7x −x −12x− 6x + x ⇒ x −6x −7x − x + 29x − 12x+
25
2 3 5 4 3 2
22. − 6xy + 8x − 23xy+ 80xy
−18
+ 51xy+ 21xy − 80 + y −9xy
4 3 2 5 4
2 3 5 4 3 2 5 4 5 4 3 2 2 3 4 5
− 6xy + 8x + 28xy+ 101xy − 98 + y −9xy ⇒ 8x + 28xy+ 101xy −6xy − 9xy + y −98
6 4 2 2 4 5
23. m − 8m n + 21m n − 6mn
+ 8
5 3 3 5 6
23mn − 14mn + 24mn − 8n
+ 14
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
m + 23m n −8m n − 14m n + 21m n + 18mn − 8n
+ 22
7 5 2
24. x − 8x + 16x −23x
−15
6 4 3
− 51x + 18 + 8x − 25x + 30x
7 5 2 6 4 3 7 6 5 4 3 2
x − 59x+ 16x − 23x + 3 + 8x − 25x + 30x ⇒ x + 8x + 16x − 25x + 30x −23x − 59x
+ 3
6 4 2 2 4 6
25. 9a − 15a b + 31a b − b
+ 14
+ 15ab −3b −25ab− 53ab + 9ab
4 2 6 5 3 3 5
6 2 4 6 5 3 3 5 6 5 3 3 2 4 5 6
9a + 31a b −4b −25a b− 53a b + 9ab + 14⇒9a −25a b− 53a b + 31a b + 9ab − 4b
+ 14
26.
a + a −a
x x+ 1 x+
2
− 5a + 6a + a
x x+ 1 x+
2
x
− 4a
+ 7a
x+
1

−
27. m − m + 3m
a a 1 a − 2
4m −5m −3m −8m
a a − 2 a + 1 a − 3
a a −1 a − 2 a + 1 a − 3 a + 1 a a −1 a − 2 a − 3
5m − m −2m −3m −8m ⇒ − 3m + 5m −m −2m −8m
m+ 4 m+ 2 m m−1
28. a −7a − 8a + 6a
+ 14a + 8a + 5a + 11a
m+ 2 m− 1 m+ 3 m+
1
a + 7a − 8a + 14a + 5a + 11a ⇒ a + 5a + 7a + 11a − 8a + 14a
m+ 4 m+ 2 m m− 1 m+ 3 m+ 1 m+ 4 m+ 3 m+ 2 m+ 1 m m−1
29. x − 7x + 9x + 25x
a + 2 a a −1 a − 2
−19x − 45x + 11x −60x
a a − 1 a + 1 a − 3
x −26x − 36x + 25x + 11x −60x ⇒ x + 11x −26x − 36x + 25x −60x
a + 2 a a −1 a − 2 a + 1 a − 3 a + 2 a + 1 a a −1 a − 2 a − 3
30. m − 6m + 8m −19m
n+ 1 n− 2 n− 3 n−
5
− 5m −6m − 9m −8m −m
n− 2 n− 3 n− 5 n n−
4
m − 11m + 2m − 28m −8m −m ⇒m −8m − 11m + 2m −m −28m
n+ 1 n− 2 n− 3 n− 5 n n− 4 n+ 1 n n− 2 n − 3 n − 4 n−
5
EJERCICIO 22
1.
b−
a
b−
a
2b−2a⇒− 2a+
2b
7. − a + 2b−3c
− a + b −2c
− 2a+ 3b−5c
2. 2x
+ 3y
− x+
y
x + 4y
3. − 7a
+ 5
5a
−b
− 2a+ 5 −b⇒−2a− b+
5
2
4. − x + 6
2
− x + 5x
2 2
− 2x + 6+ 5x⇒− 2x + 5x+
6
8. − 3n+ 4m+
5p
+ n − m −p
− 2n+ 3m+ 4p ⇒3m− 2n+
4p
9. x + 3y−6z
x − y + z
2x+ 2y−5z
10. − 5b + 8ab+
a
2 2
6b − ab −3a
2 2
2 2 2 2
b + 7ab −2a ⇒ − 2a + 7ab + b
2 2
5. xy+
5xy
2 3
+ xy −x
2 2 3 3 2 2
xy+ 6xy −x ⇒− x + xy+
6xy
11.
2 2
−5m − n + 6mn
2 2
− m + n + 3mn
2
− 6m
+ 9mn
6. 7ab+
5ab
2 2
− 6ab
+ 8a
2 3
2 2 3 3 2 2
a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab
2
12. − 8x
+ 5x−
4
+ x − 6 + x
2 3 3 2
3
− 8x + 6x− 10 + x ⇒x − 8x + 6x−10

2
13. 14m
− 8n+
16
−14m
− 9 −m
2 3
14. 8ab + 5bc + 6cd
− ab + bc −6cd
7ab
+ 6bc
15. a − 9a b −b
3 3
− 8n+ 7−m ⇒−m − 8n+
7
3 2 3
− 25ab+ b + 8ab
2 3 2
3 2 2
a − 34a b + 8ab
16. 6x −8x y−6xy
3 2 2
2 3
− xy + 6y
−4
3 2 2 3
6x −8x y− 7xy + 6y
−4
2
17. m − 9n + 11c+
14
2
−m − 7n + 8c −d
− 16n+ 19c+ 14 −d⇒19c−d− 16n+
14
18. 5a + 9a b − 40ab + 6b
4 3 3 4
− 7ab+ 8ab − 5ab − b
3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
5a + 2a b+ 8a b − 45ab + 5b
5 4 2
19. x − 8x + 25x
+ 15
2 3
− 6x + 7 − 6x + 9x
5 4 2 3
x − 8x + 19x + 22− 6x + 9x
5 4 3 2
⇒x −8x − 6x + 19x + 9x+
22
4 3 2 5
20. −3xy −8x y − 19y
+ 18
4 5 5 2 3
−6xy −25y − x + x y
4 3 2 5 5 2 3
−9xy −8xy − 44y + 18 − x + xy
5 3 2 2 3 4 5
⇒−x − 8x y + x y −9xy − 44y
+ 18
3 4 2
21. x − 6x + 8x − 9 + 15x
− 25x + 18x + 46 − 25x+
11x
3 2 5
−24x − 6x + 26x + 37 − 10x+
11x
3 4 2 5
5 4 3 2
⇒11x −6x − 24x + 26x − 10x+
37
5 3 2 4 5
22. a − 26a b + 8ab − b + 6
4 3 2 2 3 4
− 8ab− ab + 15ab + 45ab
+ 8
5 4 3 2 2 3 4 5
a −8a b− 27a b + 15a b + 53ab − b + 14
6 3 2
23. y + y + y + 9
3 4 5
− 23y + 5 − 8y + 15y + 8y
6 3 2 4 5
y − 22y + y + 14 − 8y + 15y + 8y
6 5 4 3 2
⇒ y + 15y −8y − 22y + y + 8y+
14
8 6 4 2
24. x − x + 3x −5x
− 9
7 5 3
−36 −7x − 5x + 23x −51x
8 6 4 2 7 5 3
x − x + 3x −5x −45− 7x − 5x + 23x −51x
8 7 6 5 4 3 2
⇒x − 7x −x − 5x + 3x + 23x −5x −51x−45
25. x
7 x
5 y
2 x
4 y
3 x
2 y
5
− 3 + 35 − 8 + 60
4 3 2 5 7 3 4 6
+ 60x y + x y −y − 90x y + 50xy
7 5 2 4 3 2 5 7 3 4 6
x − 3x y + 95x y − 7x y + 60 −y − 90x y + 50xy
7 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
⇒x − 3x y + 95x y −90x y − 7x y + 50xy − y + 60
x+ 3 x+
1
26. a −8a
−5
+ 1 + 2
+ 5a − a + 6a
x x x
+ 3 + 1 + 2
a −3a −5− a + 6a
x x x x
x+ 3 x+ 2 x+
1 x
⇒a −a − 3a + 6a
−5
27. − 8a + 16a + 15a + a
n n−4 n−2 n−3
n n−2 n−3 n−1
− 7a − 5a −a −8a
n n−4 n−2 n−1
− 15a + 16a + 10a −8a
n n−1 n−2 n−4
⇒−15a − 8a + 10a + 16a
28. 15x + 5x − 6x + 41x
a+ 3 a+ 2 a a−1
+ 9x + 18x − 31x + x
a+ 2 a− 1 a+ 1 a+
4
15x + 14x − 6x + 59x − 31x + x
a+ 3 a+ 2 a a− 1 a+ 1 a+
4
⇒ x + 15x + 14x −31x − 6x + 59x
a+ 4 a+ 3 a+ 2 a+ 1 a a−1
29. 9a − 21a + 26 + 14a
m−1 m−2 m−3 m−5
5a − 12a + a + 8a
m−1 m−2 m m−4
14a − 33a + 26 + 14a + a + 8a
m−1 m−2 m−3 m−5 m m−4
⇒ a + 14a − 33a + 26 + 8a + 14a
m m−1 m−2 m−3 m−4 m−5
x+ 3 x+ 1 x x−1 x−2
30. − 15m + 50m −14m − 6m + 8m
x+ 4 x+ 2 x+ 1 x−1
m + 23m + 6m + m
x+ 4 x+ 3 x+ 2 x+ 1 x x−1 x−2
m − 15m + 23m + 56m −14m − 5m + 8m

EJERCICIO 23
1. 1
− a + 1
− a + 2
2. 0
− a + 8
− a + 8
3. −9
2
−3a− a + 5
2 2
−3a−a −4⇒ −a −3a−4
4. + 16
5. 1
2
− 5xy
+ x −16
2 2
− 5xy + x ⇒x −5xy
3 2 2
− a + a b−ab
3 2 2 3 2 2
1− a + a b−ab ⇒− a + a b− ab + 1
6. x
7. a
3
x + 8x y+
6xy
3 2 2
3 2 2
2x + 8x y+
6xy
3
2 2 3
+ 8ab− 6ab + b
3 2 2 3
a + 8a b− 6ab + b
8. + y
5xy− 7xy + 8xy
3 2 2 3
5x y − 7x y + 8xy + y
9. m
3 2 2 3 4
4
− 5m + 18am −7a m − a m+
a
4 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
− 4m + 18am −7a m − a m+
a
10. 16
14 − b+ a−c−d
30 − b+ a−c−d⇒a−b−c− d+
30
4
2
11. x
12. a
−1
−xy
−y
2
2 2 2 2
x −1−xy−y ⇒x −xy−y
−1
3
− 5ab+ 8ab −b
2 2 3
3 2 2 3
+ 6
a − 5a b+ 8ab − b + 6
3 3
13. x + y
14. x
2 2
+ 5xy− 17xy
+ 5
3 2 2 3
x + 5x y− 17xy + y + 5
4
− 9xy+ 8xy + 15xy
3 2 2 3
4 3 2 2 3
−1
x − 9x y+ 8x y + 15xy
−1
15. a + b
5 5
+ 11ab−2ab − 8ab + 4ab
4 2 3 3 2 4
a + 11a b−2a b − 8a b + 4ab + b
5 4 2 3 3 2 4 5
⇒ a + 11a b−8a b − 2a b + 4ab + b
5 4 3 2 2 3 4 5
4 2
16. x + x + 50
3
− 5x
+ 25x
4 3 2
x − 5x + x + 25x
+ 50
6
17. y + y−41
−9y − 17y + y −18y
5 4 3 2
y + y−41−9y − 17y + y −18y
6 5 4 3 2
6 5 4 3 2
⇒y −9y − 17y + y − 18y + y−41
18. a 6 a 4 b 2 a 2 b 4
+ 9
+
+ 15ab − 17ab + 14ab + b
5 3 3 5 6
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
a + 15a b+ 9a b − 17a b + a b + 14ab + b
4 3
19. x + x −11x
20. m
2
− 5x+ x + 34
4 3 2 4 3 2
x + x − 16x+ x + 34⇒ x + x + x − 16x+
34
3
−mn− 7mn + 3n
2 2 3
3 2 2 3
− 1
m −m n− 7mn + 3n
−1

EJERCICIO 24
1.
1 2
a
2
1 1 2
a + ab−
b
4 3 5
2 2
2+
1 1 2
a + ab−
b
4 3 5
3 2 1 2 2
= a + ab−
b
4 3 5
2 2
6. 5 m
6
2
+ n
9
1 1 3
+ n + m n − mn
5 2 8
3 3
3 2 2
5 3 10 + 9 3 1 2 3 2
m + n + m n − mn
6 45 2 8
5 3 1 2 3 2 19 3
⇒ m + m n− mn + n
6 2 8 45
2. 15
4 2 5
− xy − yz +
5 3 9
4 2 135 + 5
− xy − yz +
5 3 9
4 2 140
=− xy − yz +
5 3 9
4 2
=− xy − yz + 15 5 9
5 3
7.
3 2 1 3 2
a + ab − b
7 3 5
5 2 1
1
− a − ab +
14 2
8
6−
5 2 2 3
a + − ab
14 6
1 2 1 3 2 1
a − ab − b +
14 6 5 8
3.
3
bc
5
1 3 2
− bc + ab + cd
6 4 9
18 − 5 3 2
bc + ab + cd
30 4 9
3 13 2
⇒ ab + bc + cd
4 30 9
8.
3 5 1
x + xy − y
8 6 10
3 3
x + xy − 2y
5 10
2 2
2 2
15 + 24 2 50 + 18 1 20 2
x + xy− + y
40 60 10
39 68 21 39 17 21
= x + xy− y = x + xy−
y
40 60 10 40 15 10
2 2 2 2
4.
1 2
a − b
2 3
−
4 2
a − b
5 9
+
1
2
5−8
6 2 1
a− + b+
10 9 2
3 8 1
=− a− b+
10 9 2
9. a 3 a 2
+ − a +
7 2 9
+ a − a −
8 10
3 8 7 2 10 9
a + + +
a − a+
8 10
3 15 2 19 1
= a + a − a−
8 10 24
5
6
7
8
20−
21
24
5. 5 2 3 2
x − y
9 8
1 2 5 3
− y − xy+
10 7 11
5 2 30 + 8 2 5 3
x − y − xy+
9 80 7 11
5 2 38 2 5 3
= x − y − xy+
9 80 7 11
5 2 5 19 2 3
⇒ x − xy − y +
9 7 40 11
10 . m 3 7
mn 2 4
n 3
+ −
12 7
5 2 3 5 2 1
− mn − n + m n+
9
21 8
3 21−
20 2 4 7 3 5 2 1
m + mn − + n + m n+
36 7 21 8
3 5 2 1 2 11 3 1
⇒ m + m n+ mn − n +
21 36 7 8

11.
3 3
5 2
x + x y − xy + y
5 4
7 3
5 1 5
−x − x y + xy − y
8 3 6
4 3 3 4
4 2 2 3 4
3−
5 3 5 15 −7
4−
5
x + x y− x y − xy + y
5 4 8 21 6
2 4 3 3 5 2 2 8 3 1 4
=− x + x y− x y − xy − y
5 4 8 21 6
4 3 2 2 3 4
12. 1 3 7 8
a+ b − c + d
2 5 8 9
7 1 1 7
+ b − c + d −
20 8 9 8
1 12 + 7 7 1 8 1 7
a+
b− + c+ + d−
2 20 8 9 8
1 19 8 9 7
= a+ b− c+ d−
2 20 8 9 8
1 19 7
= a+ b− c+ d−
2 20 8
EJERCICIO 25
1. 3
a
8
5
− a
6
2
2
5
− a
6
9−
20 2 5 11 2 5
a − a=− a − a
24 6 24 6
2. 8a
+ 6b
−5
1 3
− a + b
2 5
16 −1
30 + 3 15 33
a+
b− 5 = a+ b−5
2 5 2 5
3 2 2
3. x + x y −6
3
7 2
− xy
9
3 6 7 2 3 1 2
x + − x y− 6 = x − x y−6
9
9
4. a + b − c
1 3 2
− a + b − c
2 4 3
5.
2−1
4+
3 3+
2 1 7 5
a+
b−
c= a+ b−
c
2 4 3 2 4 3
2 5 1
m + n + p
3 6 2
− m − n + p
2−
3 5 6 1 2 1 1 3
m+ − n+ + p=− m− n+
p
3 6 2 3 6 2
6. 5 2 1 2 1
ab+ ab −
8 4 3
7
5
+ ab −6
− a
8
6
7.
2 3
5 2 7 1 18 5
ab+ + ab − + − a
8 8 3 6
5 2 9 2 19 5 3
= ab+ ab − − a
8 8 3 6
5 3 5 2 9 2 19
⇒− a + a b+ ab −
6 8 8 3
2 2 3
2 3 5 2 2 1 3
mn + mn + mn −6
11 14
3
4 7 2 2 2 3
m − m n + mn
8
9
4 2 3 20 − 49 2 2 3 2 3
m + m n+
m n + + mn −6
11 56 9
4 2 3 29 2 2 5 3
= m + m n− m n + mn −6
11 56 9
7 4 1 3 2 2 2 3 1 4
8. − xy+ xy + xy + xy − 7
8 14 3 3
1 5 3 3 2 1 4 2
x − x y + xy −
2
7
8 9
1 5 7 4 1
− + − 6 3 2 2 2 3 8+
3 4 63 + 2
x x y x y + x y + xy −
2 8 14 3 24 9
1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65
= x − x y− x y + x y + xy −
2 8 14 3 24 9
1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 2
= x − x y− x y + x y + xy −7
9
2 8 14 3 24

9.
7 2 1
2
xy+ xy − xy − xy + xy + y
9 3 8
13
6 7 4 2 1 2 4 5 6
− x + x y − x y − xy + y
9
11
5 4 2 3 3 2 4 5 6
7 6+
7 1 11+
1
2+
13
7 13 1 12 15
− x + x y + x y − x y − x y + y =− x + x y+ x y − x y − x y + y
9 9 8 11
13
9 9 8 11 13
6 5 4 2 3 3 2 4 6 6 5 4 2 3 3 2 4 6
10.
1 3 7 2 5 2 7 3 2
x − x y + xy − y −
3 9 8 11 5
2 3 1 2 3 2
x + x y − xy − 6
3 6 4
1+
2 3 14 − 3 2 5 6 2 7 3 2 30 3 11 2 1 2 7 3
x − x y+ − xy − y − + = x − x y− xy − y −
3 18 8 11 5 18 8 11
32
5
11.
3 4 2 3 2 4 5 6
mn − mn + n
10 7 9
2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 3
m + m n − m n − n +
13 20 14 3 5
2 6 6 7 4 2 6 5 2 4 5 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3
m + + m n − + m n + − n + = m + m n − m n + n +
13 20 14 9 5 13 20 14 9 5
12.
3 5 7 4 7 3 2 1 2 3 1 5
c + c d + c d + c d − d −35
8 22 12 2
3
5 4 5 3 2 3 4 3 5
+ cd + cd − cd − d
11 6
4 13
3 7+
10 7 10 1 3 13 9
c + c d+ + +
c d + c d − cd − d
8 22 12 2 4 39
3 5 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5
= c + c d+ c d + c d − cd − d −35
8 22 12 2 4 39
5 4 3 2 2 3 4 5
− 35
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
2
1. a − ab
−3ab
−b
2
a −4ab−b
2 2
= − ⋅ ⋅ − = − − = −
2 2
1 4 1 2 2 1 8 4 11
2. a + b
3 3
+ 2b + 5a b−6ab
3 2 2
a + 3b + 5a b−6ab ⇒ a + 5a b − 6ab + 3b
3 3 2 2 3 2 2 3
3 2 2 3
= + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅
1 51 2 612 32 1 52 64 38
= 1+ 10− 24+ 24=
11

1
3.
a
2
2 2
3
2
1
3
1 5
8. mn + mn − n
−a − b+
c
3 4 2
2 3
1
2
1
2
1
3 3
mn + mn + n + m
1−
2 1 5 1 1 5
a − b+ c=− a− b+
c
6 4 2
2 2 3 2 2 3
4+
1
1
2 1 1 2 2 5 2
3 1
2 3 3
5
2 2
3 3 1
⇒− ⋅ − ⋅ + ⋅ = − −
2 1 + 5
mn+ + mn + m = m + mn+
mn
6 4
6
3 2 2
1 2 10 7
= − − + 3 5 3 2 3 2 27 5 18 3 4
= =
2 2 3 1 = ⎛
2
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 2⎠
6 ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ = + ⋅ + ⋅
2⎠
5 2 ⎝ 5⎠
8 6 20 2 25
27 3 12 675+ 150+
48 873
= + + =
=
8 4 50 200 200
2 2
4. 3m
− 5n
2 2
−m −10n −8mn
5 2 4 5
2 2 2 2
9. a − 3a b + b
2m −15n −8mn ⇒2m −8mn−15n
4 2 3 3
− ab +
2 3 2
8 3 2
2 2 5 15 2 2
2 9 48
= ⎛ 5 4 10 3 4 5ab
⎝ ⎜ ⎞
⎛ ⎞
5 4 2 3 3 2 4 5
⎟ − ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ = ⋅ − − ⋅
⎠
⎝ ⎠
a − a b + 5a b − 3a b + b
5
5 4 2 3 3 2 4 5
9 24 12 45−48−24
27
= 1 −1 ⋅ 2 + 5 ⋅1 ⋅2 −3 ⋅ 1 2 + 2
= − − = =
=−
2 5 5 10 10
= 1− 4+ 5 ⋅8−3 ⋅ 16+ 32= 1− 4+ 40− 48+ 32=
21
4 2 2 4
5. x − 18x y + 15y
10. − ab + 10mn−8mx
3 3 4
16xy + 6xy − 9y
−15ab
4 3 2 2 3 4
x + 16x y− 18x y + 6xy + 6y
− 16ab + 10mn −8mx
4 3 2 2 3 4
= 4 + 16⋅4 ⋅5−18 ⋅4 ⋅ 5 + 6⋅4 ⋅ 5 + 6 ⋅5
=−16⋅1⋅ 2+ 10⋅ 3 2
⋅ − ⋅ ⋅
2 5 8 3 2 4
= 256 + 80 ⋅64 −18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅ 125 + 6⋅625
=− 32+ 6− 48=−74
= 256 + 5120 . − 7. 200 + 3. 000 + 3. 750 = 4.
926
3
3 2 3
6. a − 7am + m
11. a
2 2 3
2 3 2
+ 5am + 5m −8a m
− 11ab+ 9ab −b
3 2 3 2 3 2 2 3
3 2 2 3
a − 2am + 6m −8a m⇒a −8a m− 2am + 6m
a − 11a b+ 9ab −b
2 3
3 2
= 1 −8⋅1 ⋅ 3 −
2 21 ⎛
⋅ ⎜
3 ⎞
⎟ + 6 ⎛ 3 1 24 2 9 2 2 2 4 6 27 3 2 2 3
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
= 1 −111 ⋅ ⋅ 2+ 9⋅12 ⋅ −2
⎟ = − − ⋅ + ⋅
⎠
8 = 1− 22+ 36− 8=
7
1 12 9 81 4 48 18 81 19
= − − + = − − + =
2 4 4 4
1 4
12.
x
64
2 2 7 1
2
2
2 5 3
7.
a + ab − b
− x − x+
3 8 5
3 6 8
1 2 1 2
1
− a − ab + b
4 2 2 5 3
x − x − x+
6
10
64 3 6 8
4−1
2 7 8 2 1 2 1 2 1 1 2
a + − ab− − 1
b = a − ab−
b
6 8 10 2 8 10
64 4 4 2
3 4 2 5
6 4 3
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
8
1
2 1 2 1
8 12 1
10 2 2 1 2 4
⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − −
4 32 20 3 96 −256 − 80+
9
= − − + =
2 8 10
3 6 8 24
1 1 2 10 −5 − 8 3
231 77 5
= − − = =− =− =− =−9
8
2 4 5 20 20
24 8

3 3 2 2 2
13. x + x y − xy
16 5
3
3 1
− x + xy + y
4
5 25
3 2 3
4−
3 3 3 2 2 3 2 1 3
x + x y− − xy + y
4 16 5 25
1 3 3 2 1 2 1 3
⇒ x + x y+ xy + y
4 16 5 25
1
4 4 3
16 4 5 1
5 45 1
= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
25 5
1 15
64
4 16 16 4 125
= ⋅ + ⋅ + ⋅ 25 +
5 25
= 16 + 15 + 20 + 5 = 56
3 2 2 3
14. 2 5
a + a − a + a
5
6
x−1 x x−3 x−2
− a + 9a −a
x−1 x−3 x−2
2−
5 x−1 x 5 54 x−3
a + a − − a
5
6
x 3 x−1 49 x−3
⇒a − a + a
5 6
4 3
1
5 1 4−1 49
6 1 4−3
= − ⋅ + ⋅
1 3 49 30 18 245 257
= − + = + − + = = 8
5 6 30 30
17
30
EJERCICIO 27
1. + ab + b a
2 2
a −5b −a − ab+
4b
2 2 2 2
a + ab−4b − ab+
4b
2 2 2
2. a + 8 1
− a + 6 −14
14 − 13
3. − 3 + 2
x 4xy
+ 5xy
+ y
− x + 5x y+ 4xy + y
2
−7xy
2 3
3 2 2 3
x −5x y−4xy −y
3 2 2 3
x −12x y−4xy −y
3 2 2 3
3 2 3 4
4. − 3m n+ 4mn − n 5m
3m n− 4mn + 5n −4n
3 2 3 3
3 4 3
+ 4n 5m −4n
5. 8a+ 9b−3c 6a
−7a− 9b+ 3c −a
a
5a
6. a− b+ c a+ b−c
− 2a+ b−c a
− a 2a+ b−c
7. − m+ n − p m− n+
p
2m− 2n+ 2p − m+ n−p
m− n + p 0
2 2 2
8. 9ax − a x − 5ax + 3a
2 2 2 2
− 9ax + 7a + 25x −25x − 6a
2 2 2 2
6a + 25x −24x −5ax−
3a
2 3
9. 5a + 6a−4 a
−1
3 3 2
2a − 8a+ 6 −2a − 5a + 2a−2
3 2 3 2
2a + 5a − 2a+ 2 −a − 5a + 2a−3
3 2 4
5x − 9x + 4 x
−1
4 3 4 3 2
−11x −7x − 6x 11x + 2x + 9x + 6x
−4
10.
4 3 2 4 3 2
−11x −2x −9x − 6x+ 4 12x + 2x + 9x + 6x−5
2 2 3 3
11. 35ab−7ab − 11 a + b
3 2 2 3 2
−7a − 35a b+ 8ab + 6 7a − ab + 5
3 2 3 2 3
− 7a + ab − 5 8a − ab + b + 5
4 2
12. − 11n + 14n − 25n+
8
3 2
19n − 6n + 9n
−4
4 3 2
− 11n + 19n + 8n − 16n
+ 4
5 3
n − 7n + 4n
4 3 2
11n −19n − 8n + 16n
−4
5 4 3 2
n + 11n −26n − 8n + 20n
−4

3 3
13. − 6am
+ 5am
−6
4 3 2 2 4
7a −5a m −11a m −6m
4 3 2 2 3 4
7a −11a m− 11a m + 5am −6m
−6
4 2 2 4
a − 8a m + m
4 3 2 2 3 4
− 7a + 11a m+ 11a m − 5am + 6m
+ 6
4 3 2 2 3 4
− 6a + 11a m + 3a m − 5am + 7m
+ 6
4 2 3 4
14. − 4xy + 13xy −9xy
− 6x + 8x y + xy −2y
5 3 2 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
−6x − 4x y+ 8x y + 13x y −8xy −2y
5 3 2 4 5
x − 30x y + 40xy + y
5 4 3 2 2 3 4 5
6x + 4x y−8x y − 13x y + 8xy + 2y
5 4 3 2 2 3 4 5
7x + 4x y−38x y − 13x y + 48xy + 3y
15. a+
b 2a
a−b − 2a + b
2a
b
16. 8x + 9 8x+ 6y+
4
6y
− 5 2
8x+ 6y+ 4 8x+ 6y+
6
2 2 2 2
17. x − 6y x − 7xy+
34y
2
− 7xy + 40y 2
9y
−16
2 2 2 2
x − 7xy+ 34y x − 7xy+ 43y
−16
18. 4 a + 8 ab− 5 b 5 a + ab+
b
a − 7ab+ 6b −4a − ab+
b
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
5a + ab + b a + 2b
19. x − y
3 3
− 14xy+
5xy
2 2
x − 14x y+ 5xy −y
3 2 2 3
x − 14x y+ 5xy − y
3 2 2 3
3x
−19y
3 3
3 2 2 3
4x − 14x y+ 5xy −20y
20. x − 6x y + y x − 2x y + 32y
4 2 2 4 4 2 2 4
+ 8x y + 31y −x −2x y −32y
2 2 4 4 2 2 4
4 2 2 4
x + 2x y + 32y
0
5 4 2
21. − 6n + n + n
3 2
+ 7n −n −8n−6
5 4 3
− 6n + n + 7n −8n−6
5 4 3
− 6n + n + 7n −8n−
6
6 4 3
n + 3n + 8n
−19
6 5 4 3
n − 6n + 4n + 15n −8n−25
22. a − 3a b + 6ab
5 3 2 4
+ 22ab+ 10ab −11ab −b
4 3 2 4 5
a + 22a b+ 7a b − 5ab −b
5 4 3 2 4 5
a + 22a b+ 7a b − 5ab − b
5 4 3 2 4 5
− 5ab + 7ab − b
4 2 3 5
a + 17a b+ 7a b + 7a b − 5ab −2b
5 4 3 2 2 3 4 5
3 2 3 2
23. 4m −5m −2m −3m − 5m + 6m+
4
3 4
− 7m + 8m+ 4 m
−5
3 2 4 3 2
−3m − 5m + 6m+ 4 m −3m − 5m + 6m
−1
2 2 2
24. 7a − 11ab+ b 2b
−8
2 2
− 7a + 11ab+ b − 8 + 4
2 2
2b
−8 2b
−4
25. 3a− 4b+
5c
− 7a+ 8b −11 − 5a+ 6b−2c−11
− a + 2b −7c − a+ b + 2c
− 5a+ 6b−2c−11 − 6a+ 7b
−11
3 2
26. 5a + 14a − 19a
+ 8
5
a
+ 9a
−1
4 2
− a + 3a
−1
5 4 3 2
a − a + 5a + 17a − 10a+
6
4 3
− a + 3a
−5
5 4 3 2
a − 2a + 8a + 17a − 10a+
1

27. m + 10m n + 15n
4 2 2 4
−11mn−14mn − 3mn + n
3 2 2 3 4
m −11m n− 4m n − 3mn + 16n
4 3 2 2 3 4
6m + 7m n + 8mn − n
4 2 2 3 4
− m + 11m n + 4m n + 3mn −16n
4 3 2 2 3 4
5m + 11m n + 11m n + 11mn −17n
4 3 2 2 3 4
29. x + y
5 5
3xy+ 21xy + 18xy −y
4 3 2 2 3 5
x + 3x y+ 21x y + 18x y
5 4 3 2 2 3
x + 32x y− 26x y + 18x y − 2xy + y
5 4 3 2 2 3 4 5
−x − 3x y −21x y −18x y
5 4 3 2 2 3
29xy− 47xy − 2xy + y
4 3 2 4 5
28. a + 4a b + 8ab − b
5 3 2 4 5
− 7ab + 15ab − 25ab + 3b
4 2 3 4 5
− ab + 3ab − 5ab
3 2 2 3 4
a − 7a b+ 3a b + 18a b − 22ab + 2b
5 4 3 2 2 3 4 5
5 2 3 4
3a − 6a b − 21ab
−6
− a + 7a b−3a b − 18a b + 22ab −2b
5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4 5
2a + 7a b−3a b − 24a b + ab −2b
−6
30. 3 x
a 6 x−
+ a
−
a − 7a + a
1
x x 1 x−2
x x 1 x−2
−
4a − a + a
x+ 2 x+ 1 x x−1
8a − 7a − a + 12a
x x 1 x−2
−
− 4a + a −a
x+ 2 x+ 1 x x−1 x−2
8a − 7a − 5a + 13a −a
EJERCICIO 28
2 1. x + 5 x− 4
2
x + 2x−1
2x−6 − x+ 6 −2
2
x + 2x− 1 2
2
x + 2x−3
2. 3a− 5b+ c 7a + b 4a−6b − 2c
a − b −3c −8b−3c − 7a+ 7b+
3c
4a−6b−2c 7a−7b−3c − 3a+ b + c
3 3 2
3. x + 1 9x + 4 6x − x + 8
3 2
5x − x + 7
2
−3x − x + 1
2
3x −8x
−5
3 2 2 3 2
6x − x + 8 − 3x + 8x+ 5 6x + 2x − 8x+
3
2 4 3 2
4. a + 1 a + 2 a + a
3 4
a −1 a − 2 −a −a
3 2 4 4 3 2
a + a a + a − a + a + a −a
5. ab + bc + ac 5ab − 3bc + 4ac ab − 6bc + 9ac
−9
− 7bc + 8ac −9 − ab + 3bc + 5ac −4ab − 9ac
ab − 6bc + 9ac − 9 4ab + 9ac −3ab −6bc
−9
6. ax −3x − 5ax+ 11ax −11x
2 3 2 2 3
a + 3ax a − 4a x + 6ax + 8x
3 2 3 2 2 3
a + a x+ 3ax −3x a − 9a x + 17ax − 3x
3 2 2 3 3 2 2 3
a + a x+ 3ax − 3x
3 2 2 3
− a + 9a x − 17ax + 3x
3 2 2 3
10ax−
14ax
2 2
7. x 4 x 2
+
3
−x −3
− 3x+ 5
3 2
− 7x + 8x − 3x+
4
4
x
2
− 5x + 4x 4
x
− 3
4 3 2
2x −x − 4x + x+ 2
4 3 2
x − 7x + 8x − 3x
+ 1
4 3 2
2x − x − 4x + x + 2
4 3 2
− x + 7x − 8x + 3x
−1
4 3 2
x + 6x − 12x + 4x
+ 1

4 4
8. m − n
17mn−4mn −7mn − m + 6 17mn+ 2mn −7mn −81n
3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
4 2 2 4 2 2 3 4 2 2 3
− m + 6m n −80n − m n + mn − 4 m + m n −mn
−2
3 2 2 3 4 4 2 2 3 4 3 2 2 3 4
17mn+ 2mn −7mn −81n −m − mn + mn + 2 m + 17mn+ 3mn −8mn −81n
−2
3
9. + a + a − 7
5 4 2 4 3 2 5 4 3 2
a −a − 6a + 8 −a − 4a + a a − a + a −11a − 10a
+ 27
2 3 2 4 3 2
−5a − 11a+ 26 16a −8a −7a− 15 + a − 12a + 7a + 7a+
15
5 4 3 2 4 3 2 5 3 2
a − a + a −11a − 10a+ 27 − a + 12a −7a −7a−15 a −11a −4a − 3a
+ 42
2 2 2 2 2 2
10. 3x − y x −3xy − y 20x − 11xy+
8y
2 2 2 2 2
− 11xy + 9y −14 19x − 8xy + 9y − 3x + 11xy − 8y
+ 14
2 2 2 2 2
3x − 11xy+ 8y −14 20x − 11xy+ 8y 17x
+ 14
11. a−1 a −3
− a+ 1 a −4
0 − 3a
+ 8
a
2
2
− 2a
+ 1
2 2
12. a − ab + b
3a − 8ab + 7b − a + 9ab + 3b − a + ab −4b
2 2 2 2 2 2
− 5a + 11ab −17b − 8ab −7b a − 2ab + 9b
2 2 2 2 2
− a + 2ab − 9b − a + ab −4b − ab + 5b
2 2 2 2 2
4
13. m
− 1
3 2 5 5 4 2
− m + 8m − 6m+ 5 m −16 m − 16m + 7m
− 19
2 4 2 4 3 2
− m − 7m + 1 − 16m + 7m − 3 − m + m − 7m + 13m−
5
4 3 2 5 4 2 5 4 3
m − m + 7m − 13m+ 5 m − 16m + 7m − 19 m − 17m + m + 13m
−24
5 5
14. x − y
4 3 2 2 3 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
− 2x y + 5x y −7x y −3y 7x y− x y + 11xy − x + 2x y + 2x y + 7x y − 6xy + 4y
+ 8
3 2 4 4 4 3 2 4
− 7x y + 6xy −8 − xy −1 7x y − x y + 10xy
− 1
5 4 3 2 2 3 4 5 4 3 2 4 5 4 3 2 2 3 4 5
x −2x y −2x y − 7x y + 6xy −4y −8 7x y− x y + 10xy −1 − x + 9x y + x y + 7x y + 4xy + 4y
+ 7
6 4
15. − a + 7a −8a
5 3 2
− 3a + 11a − a + 4
4 3 4 2 5 4 3 2
−6a −11a − 2a + 8 − 3a + 7a − 8a+ 5 5a −3a − 7a + 48a − 58a
+ 13
3 2 5 3 2 6 5 4 3 2
− 5a + 5a − 4a + 1 5a − 7a + 41a − 50a + 8 a + 3a − a + 5a − 4a + 14a
−13
6 5 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3
−a − 3a + a − 5a + 4a − 14a + 13 5a −3a − 7a + 48a − 58a + 13 a + 8a −4a − 2a + 44a
2 − 44a
5 3 2 3 2 5
16. a − 7 a x + 9 + 18 a x −4 x − 8
4 2 3 4 4 3 2 2 3
− 20a x + 21a x −19ax −9a x − 17a x + 11a x
3 2 4 5 5
+ 9a x − 7ax + x − 80 a
+ 36
5 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 5
a − 20a x+ 2a x + 21a x − 26ax + x −71 a − 9a x + a x + 11a x − 4x
+ 28
5 4 3 2 2 3 5
a − 9a x + a x + 11a x − 4x
+ 28
5 4 3 2 2 3 4 5
− a + 20a x−2a x − 21a x + 26ax − x + 71
4 3 2 2 3 4 5
11a x− a x − 10a x + 26ax − 5x
+ 99

EJERCICIO 29
1 3
1. a + b a
2 4
2 3 1 5
− a + b − a − b
3 4 3 4
3−
2 2
a+ + 3 9
b − 4 5
a − b
3 4 12 4
1 5
5 5
= a+ b = a − b
3 4
12 4
2.
3
1 3 3 2
a− 6 a + a
8
2 5
5 3 3 2 5 3 3 2 3
− a + a a − a − a+
6
6 5
6 5 8
5 3 3 2 3 3+
5 3 3
− a + a + a−6
a − a+
6
6 5 8 6
8
4 3 3
= a − a+
6
3 8
7 4 7 4 3 3 2 2
5.
a a − a + a − 6
12
12 7 5
3 3 2 2 3 4
1 1
− a + a −6
a − a +
7 5
4
5 3
7 4 3 3 2 2 7+
9 4 3 3 2 2 1 18 −1
a − a + a −6
a − a + a − a−
12 7 5
12 7 5 5 3
4 4 3 3 2 2 1 17
= a − a + a − a−
3 7 5 5 3
1 2 1
5
6. − x+ y − z y −
2 3 4
9
1 2
1 5 13
− y − z + 3 x− y+ z−
9 5
2 9 20
1 6
− + − 1 5
− + 8 1 13 2
+ + − + 15
x y z 3 x z
2 9 20
2 20 5
1 5 13
1 13 17
=− x+ y− z+ 3 = x+ z−
2 9 20
2 20 5
2
5
3
3 7
3. a + 3b a+ b + 6
5 3
2 2
1 1
− a − b + 6 − a+
b
5 3
5 6
5−
2 9 − 2
3−1
14 + 1
a+
b+
6 a+
b+
6
5 3
5 6
3 7
2 5
= a+ b+ 6 = a+ b+
6
5 3
5 2
4. 1 x
3
3 1
− x +
7 5
1 2 2
x − x+
6
14 9
3 2
1 3 6−1
2 2 1 30
x − x − x+ +
3 14 9 5
1 3 5 2 2 31
= x − x − x+
3 14 9 5
5 3
− x
6
1 3 5 2 2 31
− x + x + x−
3 14 9 5
5 2 3 5 2 2 31
− + x + x + x−
6 14 9 5
7 3 5 2 2 1
=− x + x + x−6
5
6 14 9
3 2 3 2 3
7. − ab + ab − b
2 4
1 5 2
ab − ab + b
8 6 3
12 −1
9
− + − 10 3
− − 2
ab ab b
8 12 3
11 2 1 2 1 3
=− ab− ab − b
8 12 3
1
a
2
2 2 3
2 2 3
1
− b
3
11 1 1
ab+ ab + b
8 12 3
3 3
2 2 3
1 11 1
a + a b+
ab
2 8 12
3 2 2
8. 1 2
2 1 1 1 3
a− b b + c a+ b − c
2 9
3 5 2 9 5
1 3 5 1 1 1
b − c − b − c − b − c
3 5 9 10 9 10
1 2−
3 3 6−
5 2−1
1 6 1
a−
b−
c b+
c a − + c
2 9 5 9 10 2 10
1 1 3 1 1 1 7
= a+ b− c = b+ c = a − c
2 9 5 9 10 2 10

9.
1 3 1 2 1
1 2 2 1 1 3 19 2 2
a + a + a − a + a − a − a
3 8
5
4 3 4 3 40 3
+
3 2 3 1 1 3 29 2 1 1 3 19 2 3
− a − a− a − a − − a + a + a
5 4 10 3 40
8 3 40 4
−
1 3 5 24 2 3 2 1 1 3 10 29 2 2 2 1
8 9 10 8
a + − a − a+ − −
a + a − a+ − − −
− a+
3 40 4 10 3 40 3 8
12 80
1 3 19 2 3 1 1 3 19 2 2 1
1 2 1 1
= a − a − a + = a − a − a + = a+ = a+
3 40 4 10 3 40 3 8
12 80 12 40
1
8
1
10
10. 3 2 5 2 2 2 2 1 2 2 3 2 7 13 2
x − xy + y x + xy − y − x + xy + y
5 6 9
9 9 3
5 3 6
+
3 1 2 1 17 2 22 3 2 1 3 2 7 1 2
− xy − y + x − xy − y − x − xy − y
2 3 4 45 9 2 2 5 3 9
+
3 10 + 18 2 3 1 10 17 1 22 4 9 1
39 2
x − xy+ − +
y +
x + − +
−
xy − y −
y
5 12 9 4 45 9 6 2
18
3 2 28 1 2 1
27 2 21 13 2 1
37 2 3
= x − xy− y + = x − xy − y − = y +
5 12 9 4
45 9 6 2
18 4
3 2 7 1 2 1
3 2 7 13 2 1
= x − xy− y + = x − xy − y −
5 3 9 4
5 3 6 2
2 2 2 2 2
1
2
1
4
2 1
+ +
4
11.
2 3 1 3 1 2 1 2 1
3 2 3 2 3 3 7
a − b ab + ab − − ab+ ab − b −
7
5 2 4
5
4 8 2 10
3 2 3 2 1 3 5 2 1 2 3 3 1 2 3 3 2 3 2 1 3
− ab+ ab + b − ab + ab − b − − a + ab− ab + b
4 8 10 4 8 2 2 7 4 8 10
2 3 3 2 3 2 2 1 3 2 5 2 2 1 2 3 3 2 5 2 3 15 1 3 7
a − a b+ ab − − b − +
a b+
ab − b − + −
− a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10 7
10 10
2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 3 2 3 3 7
2 3 14 3 7 2 3 7 3 7
= a − a b+ ab − b =− ab+ ab − b − =− a − b − =− a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10
7 10 10 7 5 10
12.
1 2 2 1 3 4
mn − mn − n
3
4
2 3
2
5 5
2
m + m n − m n + n m − n
7 5
5
3 14
5
1 4 7 3 1 2 2 2 4 5 4 1 3 11 2 2 1 3
m − m n + m n − n − m − m n− m n + mn
14 20
4
3 14 4 60 4
4 3 2 2 4 4 4
4+
1 12 −7
20 − 24 + 15 1 3 5 2
1 11 1 2
m + mn+
mn − mn − − + n − mn− mn + mn − n
14 20
60
4 3
4 60 4 5
5 4 5 3 11 2 2 1 3 0 4
= m + m n+ m n − mn − n
14 20 60 4 3
5 4 1 3 11 2 2 1 3
= m + m n+ m n − mn
14 4 60 4
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4

13. 1 1
x+
y
2 3
3
y
4
−
1
z
6
2
z
5
1
+ m
4
1 1 3
1 13 7 1 1
− m + n+ − x− y− z+ m − n −
2 3 8
2 12 30 4 3
1 4 9 5 12 1 2 1 3
1 13 7 1 1 40 3
x+ + −
y−
z+ − −
m+ n+ − x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8
2 12 30 4 3 8
1 13 7 1 1 3
1 13 7 1 1 37
= x+ y+ z− m+ n+ =− x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8
2 12 30 4 3 8
5
3
8
14.
5 4 1 3
3
a + a − a
6 2
5
2 2 3
− a − a + 5
3 8
3 4 3 3 1 2 2 11 4 1 3 1 2
− a − a + a − a − a − a +
8 4 6
3 24 12 2
1 3 39
3
4 1 3
+ a + a + − a + a −
6
40
11
12
20 −9
4 6 9 2 3 4 1 2 24 15 39 165 22 9 11 24 4 1 2 1216 99
a + − + a − − + − − + −
. −
a −
a+
a − a +
24 12 6 40
33
24
2 264
11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 13 4 1 2 1117 .
= a − a − a − a+ = a − a − a + = − a − a +
24 12 6 40 33 24 12 2 33 24 2 264
152
33
3
8
EJERCICIO 30
3 2
1. x − x + 5
3 2
− x + x + 3x
−5−6
3 2
3x
− 6
Rta.− x + x + 3x
−11
3 2
4. x − 4x
+ 8
3 2
− x + 4x + x−13
3 2
x − 5
Rta.
x −4x − x + 13
3 2 3
7. 5a + 8ab −b
−11
3 3
− a + b
3 2
4a
+ 8ab
−11
3 2 3
Rta.
5a + 8ab −b
−11
2. − 5a+ 9b−6c
5a− 9b+ 6c+ 8x+
9
8x
+ 9
Rta.
5a − 9b + 6c + 8x
+ 9
4 3 4
5. m − 3mn + 6n
4 2 2 3 4
− m + 4m n + 3mn −6n
−8
2 2
4mn
− 8
4 2 2 3 4
Rta.
m −4m n − 3mn + 6n
+ 8
8.
1 1
x−
y−4
2 3
1 1
− x+
y
2 3
− 4
3 3
3. a − b
3 2 2 3
−a − 8a b+ 5ab −3b
3 2
6. 4x + 5x −5x−2
2
−5x
− 4x+
8
Rta. 1 1
x − y −4
2 3
− 8ab+ 5ab −4b
2 2 3
Rta.
−a − 8a b + 5ab −3b
3 2 2 3
3
4x
− 9x+
6
3 2
Rta.
4x + 5x −5x
−2

2 2
9. 5x −7xy−8y
2 2
− 5x + 7xy+ 8y
+ 1
1
2 2
Rta.− 5x + 7xy + 8y
+ 1
10. n
− 9m + 8m n− 5mn + n
− 9m + 8m n− 5mn + 2n
10m − 8m n+ 5mn −2n
m
3
3 2 2 3
3 2 2 3
3 2 2 3
Rta.
10m − 8m n+ 5mn −2n
3 2 2 3
3
11.
0
3
− a + 5a−8
3
− a + 5a−8
Rta. 0
EJERCICIO 31
1.
x−
x−
y
1. ( )
= x− x+
y
= y
2 2
2.
x + −3x− x + 5
2. ( )
2 2
= x −3x− x + 5
=− 3x
+ 5
3.
a+ b− − 2a+
3
3. ( )
= a+ b+ 2a−3
= 3a+ b−3
4.
4m− −2m−n
4. ( )
= 4m+ 2m+
n
= 6m+
n
5.
2x+ 3y− 4x+
3y
5. ( )
= 2x+ 3y−4x−3y
=−2x
6.
a+ a− b + − a+
b
6. ( ) ( )
= a+ a−b− a+
b
= 2a− a = a
7. a +− b + 2a −a −b
2 2 2 2 2
= a − b + 2a − a + b
2 2 2 2 2
= 3a − a = 2a
2 2 2
8.
2a− − x+ a−1 − a+ x−3
8. { } { }
= 2a+ x− a+ 1−a− x+
3
= 1+ 3=
4
9.
x + y − x + 2xy+ y + − x + y
2 2 2 2 2 2
9. ( ) [ ]
= x + y − x −2xy− y − x + y
2 2 2 2 2 2
=−x − 2xy+
y
2 2
10.( ) ( )
10.
− 5m+ 6 + − m+ 5 −6
=− 5m+ 6− m+ 5−6
=− 6m
+ 5
11.
x+ y+ x− y+ z − x+ y−
z
11. ( ) ( )
= x+ y+ x− y+ z− x− y+
z
= x− y+2z
12.
a− b+ a + − a+ b − − a+
2b
12. ( ) ( ) ( )
= a−b−a− a+ b+ a−2b
=−2b
2 2 2 2
13.
− x − y + xy + − 2x + 3xy − − y + xy
13. ( ) ( ) [ ]
2 2 2 2
= − x + y + xy − 2x + 3xy + y − xy
=− 3x + 3xy+
2y
2 2
2 2 2 2 2
14.
8x + − 2xy+ y − − x + xy−3y − x −3xy
14. [ ] { } ( )
2 2 2 2 2
= 8x − 2xy+ y + x − xy+ 3y − x + 3xy
= 8x
+ 4y
2 2
15.
− a+ b + −a−b − − b+ a + 3a+
b
15. ( ) ( ) ( ) ( )
=−a−b−a− b+ b− a+ 3a+
b
= 0
EJERCICIO 32
[ ]
1.
2a+ a− a+
b
1. ( )
= 2a+ [ a−a−b]
= 2a+ a−a−b
= 2a−b
[ ]
2.
3x− x+ y− 2x+
y
2. ( )
= 3x− [ x+ y−2x−
y]
= 3x− x− y+ 2x+
y
= 4x
[ ]
3.
2m− m−n − m+
n
3. ( ) ( )
= 2m−[ m−n−m−n]
= 2m− m+ n+ m+
n
= 2m+
2n

[ ]
4.
4x + − x − xy + − 3y + 2xy − − 3x + y
2 2 2 2 2
4. ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
= 4x + [ − x + xy− 3y + 2xy+ 3x − y ]
= 4x − x + xy− 3y + 2xy+ 3x − y
2 2 2 2 2
= 6x + 3xy−4y
2 2
5. {( ) ( ) }
= a+ { − 2a+ b+ a− b+ c+
a}
5.
a+ − 2a+ b − − a+ b− c + a
= a− 2a+ b+ a− b+ c+
a
= a+
c
[ ] [ ( )]
6.
4m− 2m+ n− 3 + −4n− 2m+
1
6. ( )
= 4m− [ 2m+ n− 3] + [ −4n−2m−1]
= 4m−2m− n+ 3−4n−2m−1
=− 5n
+ 2
[ ]
7. ( { })
= 2x+ [ −5x−( −2y− x+
y)
]
= 2x+ [ − 5x+ 2y+ x−
y]
7.
2x+ −5x− − 2y+ − x+
y
= 2x− 5x+ 2y+ x−
y
=− 2x+
y
{ [ ]}
8.
x − − 7xy+ − y + − x + 3xy−2y
2 2 2 2
8. ( )
2 2 2 2
= x −{ − 7xy+ [ − y − x + 3xy−2y
]}
2 2 2 2
= x − { −7xy− y − x + 3xy−2y
}
= x + 7xy+ y + x − 3xy+
2y
2 2 2 2
= 2x + 4xy+
3y
2 2
[ ]
9. ( ) { ( )}
= −a− b+ [ − a+ b−{ − 2a+ b− a+
b}
]
=−a− b+ [ − a+ b+ 2a− b+ a−b]
9.
− a+ b + − 3a+ b− − 2a+ b− a− b + 2a
10.
= −a−b− a+ b+ 2a− b+ a−b
= a−2b
{ [ ]}
10. ( − x+ y) − 4x+ 2y+ − x− y− ( x+
y)
= − x+ y− { 4x+ 2y+ [ − x− y− x−
y]
}
=− x+ y− { 4x+ 2y−x−y−x−y}
=− x+ y−4x− 2y+ x+ y+ x+
y
=− 3x+
y
[ ]
11.
− − a+ b + − a+ b − − 2a+ 3b + − b+ a−b
11. ( ) ( ) ( ) ( )
= a− b+ [ −a− b+ 2a−3b− b+ a−b]
= a−b−a− b+ 2a−3b− b+ a−b
= 3a−7b
{ [ ]} ( )
12.
7m − − m + 3n− 5−n − − 3+ m − 2n+
3
2 2 2
12. ( ) ( )
2 2 2
{ [ ]}
2 2 2
{ }
= 7m − − m + 3n− 5+ n+ 3−m −2n−3
= 7m − −m − 3n+ 5−n− 3+ m −2n−3
2 2 2
= 7m + m + 3n− 5+ n+ 3−m −2n−3
2
= 7m
+ 2n−5
{ [ ]}
13.
2a− − 4a+ b − − − 4a+ b−a − − b+
a
13. ( ) ( ) ( )
= 2a+ 4a−b−{ −[ − 4a+ b− a+ b−a]
}
= 6a −b−{ 4a− b+ a− b+
a}
= 6a−b− 4a+ b− a+ b−a
= b
( [ ])
14. { ( )} ( )
= 3x− ( 5y+ [ − 2x+ { y−6− x}
+ x−
y]
)
= 3x− ( 5y+ [ − 2x+ y−6− x+ x−
y]
)
= 3x−( 5y− 2x+ y−6− x+ x−
y)
14.
3x− 5y+ − 2x+ y− 6+ x − − x+
y
= 3x− 5y+ 2x− y+ 6+ x− x+
y
= 5x− 5y+
6
[ ]
[ ]
15. ( ) { ( ) ( )}
= − − − + { − − − − − } +
= 6c−[ −2a−c −a−c−2a−a− c+
2c]
15.
6c− − 2a+ c + − a+ c −2a− a+ c + 2c
6c 2a c a c 2a a c 2c
= 6c+ 2a+ c + a+ c+ 2a+ a+ c−2c
= 6a+
7c
[ { } ( )]
[ ]
[ ]
16. ( ) ( ( ))
{ ( )}
m n m { m m n } n
= −3m−n−[ 2m− m+ 2m− 2n+ 5−n−6]
16.
− 3m+ n − 2m+ − m+ 2m− 2n−5 − n+
6
=−3m−n− 2m+ − m+ 2m− 2n+ 5 −n−6
=−3 − − 2 + − + 2 − 2 + 5 − −6
=−3m−n− 2m+ m− 2m+ 2n− 5+ n+
6
=− 6m+ 2n+
1

{ [ ] ( )}
{ }
17. ( ) ( ( ))
= 2 + − [ 5 + 3 − + 2−( − + − − 4)
] + −
= 2a+ { − [ 5b+ 3a− c+ 2+ a− b+ c+ 4]
+ a−b}
= 2a+ { − 5b− 3a+ c−2− a+ b−c− 4+ a−b}
17.
2a+ − 5b+ 3a− c + 2− − a+ b− c+ 4 − − a+
b
a b a c a b c a b
= 2a− 5b− 3a+ c−2− a+ b−c− 4+ a−b
=−a−5b−6
[ ] { ( ) ( ) ( )}
[ 3x x 2y 3] { 2x y x 3 2 x y}
18. ( ( ))
( )
[ ]
18.
− − 3x+ − x− 2y− 3 + − 2x+ y + − x− 3 + 2− x+
y
=− − + − − + + − − − − + − −
=− −3x−x− 2y+ 3 −2x−y−x− 3+ 2−x−y
= 3x+ x+ 2y−3−4x−2y−1
=−4
[ ] [ ( )] { [ ] [ ( )]}
[ a] [ a] { b c [ c]
}
19.
− − −a − + − a + − − b+ c − + −c
19. ( )
=− − − + − − −
{ }
= − a+ a+ b− c+
c
= b− c+
c
= b
{ [ ]} { [ ( )]} ( )
20.
− − − a+ b − + − −b−a − a+
b
20. ( )
{ [ ]} { [ ]}
=− { a+ b} − { b+ a}
−a−b
=− − −a−b − + b+ a −a−b
= −a−b−b−a−a−b
=−3a−
3b
{ [ ]} { [ ( )]} [ ( ) ]
21. ( )
{ }
=−{ −[ −a− b+ c]
} − { + [ − c+ a− b]
} + [ −{ −a−b}
]
=− { a+ b−c} −{ − c+ a− b} + [ a+
b]
21.
− − − a+ b−c − + − c− a+ b + − − a+ −b
= −a− b+ c+ c− a+ b+ a+
b
=− a+ b+
2c
[ { } ( ) ( ) ]
22. ( ( ))
{ }
=− [ 3m+ { −m−( n−m− 4)
} + { −m−n− 2n+
3}
]
=− [ 3m+ { −m− n+ m+ 4}
−m−n− 2n+
3]
= −[ 3m−m− n+ m+ 4−m−n− 2n+
3]
22.
− 3m+ −m− n− m+ 4 + − m+ n + − 2n+
3
= − 3m+ m+ n−m− 4+ m+ n+ 2n−3
=− 2m+ 4n−7
[ { [ ] }]
23.
− x+ − x+ y − − x+ y−z − − x+ y − y
23. ( ) ( ) ( )
=− [ x+ { −x−y−[ − x+ y− z+ x−y]
−y}
]
=− [ x+ { −x− y+ x− y+ z− x+ y−y}
]
=−[ x−x− 2y+
z]
=− x+ x+ 2y− z = 2y−z
[ { [ ]}]
24.
− − a+ − a+ a−b − a− b+ c − − − a + b
24. ( ) ( ) ( )
= −[ − a+ { − a+ a−b− a+ b−c− [ a+
b]
}]
= −[ − a+ { −a−c−a−b}
]
=−[ −a−a−c−a− b]
= 3a+ b+
c
EJERCICIO 33
1.
a− b+ c−d
= a+ − b+ c−d
( )
2 2
2.
x −3xy− y + 6
( 3 6)
2 2
= x + − xy− y +
3 2
3.
x + 4x − 3x+
1
( 4 3 1)
3 2
= x + x − x+
4.
a − 5a b+ 3ab −b
3 2 2 3
( 5 3 )
= a + − a b+ ab −b
3 2 2 3
4 3 2
5.
x − x + 2x − 2x+
1
( 2 2 1)
4 3 2
= x − x + x − x+
6.
2a+ b− c+
d
= 2a− − b+ c−d
( )
3 2
7.
x + x + 3x−4
( 3 4)
3 2
= x − − x − x+
8.
x − 5x y + 3xy − y
3 2 2 3
( 5 3 )
= x − x y − xy + y
3 2 2 3
9.
a − x − 2xy−
y
2 2 2
( 2 )
= a − x + xy+
y
2 2 2
10.
a + b − 2bc −c
2 2 2
( 2 )
= a − − b + bc + c
2 2 2

EJERCICIO 34
1.
x+ 2y+ x−
y
1. ( )
= x− −2y−( x−
y)
[ ]
2.
4m− 2n+ 3− − m+ n + 2m−n
2. ( ) ( )
= 4m− 2n− 3+ ( − m+ n) −( 2m−n)
[ ]
[ ]
{ [ ]}
3.
x − 3xy+ x − xy + y
2 2 2
3. ( )
3 ( )
= x − xy− x − xy + y
2 2 2
3 2
4.
x − 3x + − 4x+ 2 −3x− 2x+
3
4. [ ] ( )
3 2
= x − 3x − [ − 4x+ 2] + 3x+ ( 2x+
3)
[ ]
{ [ ]}
{ [ ( )]}
5.
2a+ 3b− − 2a+ a+ b−a
5. ( )
[ ]
= 2a− − 3b+ − 2a+ a+ b−a
6.
− 2a+ − 3a+
b
6. ( )
=− 2a−( − 3a+
b)
[ ]
7.
2x + 3xy− y + xy + − x + y
2 2 2 2
7. ( ) ( )
2 2 2 2
=− −2x − 3xy+ ( y + xy) −( − x + y )
[ ]
3 2
8. x −− 3x + 4x−2
9.
{ }
3 2
=− − x + − 3x + 4x−2
[ m − 3m + 2m+ 3] + ( − 2m+
3)
=−{ −[ m − 3m + 2m+ 3] −( − 2m+
3)
}
4 2
9. ( )
4 2
( )
EJERCICIO 35
1. 2 ⋅− 3=−6
2. −4⋅− 8=
32
3. −15⋅ 16 =−240
+ +
4. ab⋅− ab =− a b =−a b
1 1 1 1 2 2
+
5. 2x ⋅− 3x=− 6x =−6x
2 2 1 3
+ +
6. −4ab⋅ − ab = 4a b = 4ab
2 2 2 1 1 2 3 3
+ +
7. −5xy⋅ xy =− 5x y =−5xy
3 2 3 1 1 2 4 3
2 3 2 2+
2 3 4 3
8. ab ⋅ 3ax= 3a bx=
3abx
2 2 2+
1 2 3 2
9. −4m ⋅− 5mnp= 20m np=
20mnp
10. 5ay 2 ⋅− 6x 2 = − 30axy
2 2
+
11. −xy ⋅− 4yz = 4xy z = 4xyz
2 3 3 4 2 3 3 4 2 6 4
1+
1 2
12. abc⋅ cd= abc d=
abc d
+
13. −15xy ⋅− 16ax = 240ax y = 240axy
4 3 2 3 2 4 3 3 2 7 3
14. 3ab 2 3 ⋅− 4xy 2 = −12abxy
2 3 2
15. 3abx⋅ 7bx = 21ab + x + = 21abx
2 3 5 2 1 3 1 5 2 4 6
+
16. −8mn ⋅− 9amx = 72am nx = 72amnx
2 3 2 4 2 2 1 3 4 2 3 3 4
17. a b ⋅− ab=−a b
m n m+ 1 n+
1
m n 2 3 m+ 2 n+
3
18. −5ab ⋅− 6abx=
30a b x
19. x y c⋅− x y c =− x y c = −x y c
m n m n x m+ m n+ n 1+ x 2m 2n 1+
x
20. −mn ⋅− 6mn=
6m n
x a 2 x+ 2 a+
1
EJERCICIO 36
1. a ⋅ a = a = a
m m+ 1 m+ m+ 1 2m+
1
2. −x ⋅− x = x = x
a a+ 2 a+ a+ 2 2a+
2
3. 4a b ⋅− ab =− 4a b = −4a b
n x x+ 1 n+ 1 x+ x+ 1 n+ 1 2x+
1
4. −a b ⋅ a b =− a b =−a b
n+ 1 n+ 2 n+ 2 n n+ 1+ n+ 2 n+ 2+ n 2n+ 3 2n+
2
5. −3a b ⋅− 4a b = 12a b
n+ 4 n+ 1 n+ 2 n+ 3 2n+ 6 2n+
4
6. 3x y ⋅ 4x y = 12x y = 12x y
2 3 m+ 1 m+ 2 2+ m+ 1 3+ m+ 2 m+ 3 m+
5
7. 4x b ⋅− 5x b =−20x b
a + 2 a + 4 a + 5 a + 1 2 a + 7 2 a + 5
m n m 2n m+ m n+
2n 2m 3n
8. a b c ⋅− a b =− a b c=−a b c
m+ a+ m− a− m− a−
9. −x y ⋅− 4x y c = 4x y c
1 2 3 5 2 2 2 2 3 2
a b− 1 2a− 3 b−4 3a−3 2b−5
10. −5mn c⋅− 7m n = 35m n c

EJERCICIO 37
1. 1 4 1 4 4 2
a 2 ⋅ a 3 b= ⋅ a 5 b= a 5 b=
a 5 b
2 5 2 5 10 5
3 2 7 2 3
2. − mn⋅−
am
7 14
3 7 2 5 21 2 5 3 2 5
=− ⋅− amn= amn=
amn
7 14 98 14
3. 2 3 6
2
xy⋅− axy=− axy =− axy
3 5 15
5
2 3 2 4 2 6 4 2 6 4
1 4 4 1
4. − mn ⋅− amn= amn = amn
8 5 40 10
3 4 3 2 3 5 5 3 5 5
7 2 3 14 4 1 4
5. − abc ⋅ a =− a bc =− a bc
8 7 56 4
3 5 3 1
6. − x y ⋅ − a by = a bx y = a bx y
5 6 6 2
3 4 2 5 2 3 9 2 3 9
7. 1 3 3 1
a⋅ a = a = a
3 5 15 5
m m+ 1 m+
1
3 m 2 3 1 m+ 3 m+
8. − a ⋅ − ab = ⋅ a b = a b
4 5 2 5 10
3 1 3 1 3
9. 5 m n 3 2
a b ⋅− ab c
6 10
1 1 m+ 1 n+ 2 1 m+ 1 n+
2
=− ⋅ a b c=−
a b c
2 2
4
2 x m+ 1 3 x−1
m
10. − ab ⋅ − a b
9 5
2 1
2
= ⋅ a b = a b
3 5
15
11.
2x− 1 2m+ 1 2x− 1 2m+
1
3 4 12 3
a b ⋅− a b =− a b =− a b
8 5 40 10
m n 2m n 3m 2n 3m 2n
2 x+ 1 x−3 2 44 x−3 2
12. − a b c ⋅ − a b
11
7
− − − −
= 2⋅ 4 x x 8 x x
a b c = a b c
7
7
2 2 1 2 2 2 1 2
EJERCICIO 38
+ +
1. a⋅−3a⋅ a =− 3a =−3a
2 1 1 2 4
2. 3x 2 ⋅−x 3 y⋅− a 2 x= 3a 2 x 2+ 3+
1 y=
3a 2 x 6 y
+ + +
3. −mn⋅−3m ⋅− 5mn =− 15m n =−15mn
2 2 3 2 2 1 1 3 5 4
+ +
4. 4a ⋅−5a x ⋅− ay = 20a x y = 20a x y
2 3 2 2 2 3 1 2 2 6 2 2
5. −a ⋅−2ab ⋅− 3a b =− 6a b =−6a b
m 2 x m+ 1+ 2 1+ x m+ 3 x+
1
6. 1 2 3 6
1
x 3 ⋅− a 2 x⋅− a 4 m= a 2+ 4 x 3+
1 m=
a 6 x 4 m
2 3 5 30
5
7. 2 m 3 2 4 4 x+
1
a ⋅ a b ⋅−3a b
3 4
18
3
=− a b =− a b
12
2
m+ 2+ 4 4+ x+ 1 m+ 6 x+
5
3 3 2 1 x a
8. − m ⋅−5a m⋅−
a m
5
10
15
3
=− a m =− a m
50
10
2+ x 3+ 1+ a x+ 2 a+
4
+ + +
9. 2a⋅−a ⋅−3a ⋅ 4a= 24a = 24a
2 3 1 2 3 1 7
10. −
2 ⋅−
3
3 4 ⋅ ⋅−
2
b a b ab 5a x
3 1 2 2 1 1 6 4
+ + + +
=− 60a b x=−60a b x
11. m x 2 2
a b ⋅−a ⋅−2ab⋅−3a x
2 1 2 1 5 1
m+ + + x+ m+ x+
=− 6a b x=−6a b x
1 2 3 2 10 3 3 2
12. − xy⋅− xy ⋅− x ⋅− xy
2 5 3 4
6 2+ 1+ 3+ 2 1+ 2+
1 3 8 4
= x y = x y
8
4
EJERCICIO 39
1. 3x
− 2x
3 2
− x
4 3
− 6x
+ 2x
2. 8xy−
3y
2ax
2 2
3
5 3 2
16ax y − 6ax y
2
3. x − 4x+
3
− 2x
3 2
− 2x + 8x −6x
4. a 3 a 2
− 4 + 6 a
3ab
4 3 2
3ab− 12ab+
18ab

5. a − 2ab+
b
− ab
2 2
− ab+ 2ab −ab
3 2 2 3
6. x 5 x 3
−6 −8
x
2 2
3ax
2 7 2 5 2 3
3ax −18ax −24ax
7. m − 3m n + 7n
− 4mx
4 2 2 4
3
7 5 2 3 4
− 4mx+ 12mnx−28mnx
8. x − 4x y+
6xy
3 2 2
3
ax y
6 5 2 4 3
ax y − 4ax y + 6ax y
9. a −5a b−8ab
4 2
− 4am
3 2 2
7 2 6 2 5 2 2
− 4am + 20abm + 32abm
m m 1 m−2
10. a − a
−
+ a
− 2a
− 2a + 2a −2a
m+ 1 m− 1+ 1 m− 2+
1
m+ 1 m m−1
=− 2a + 2a −2a
11. x + 3x −x
m+ 1 m m−1
3x
2m
3x + 9x −3x
3m+ 1 3m 3m−1
12. a b + a b −a b
m n m− 1 n+ 1 m− 2 n+
2
2
3ab
m+ 2 n+ 1 m+ 1 n+ 2 m n+
3
3a b + 3a b −3a b
3 2
13. x − 3x + 5x−6
2
− 4x
5 4 3 2
− 4x + 12x − 20x + 24x
4 3 2 2
14. a − 6 a x + 9 a x −8
3
3bx
4 3 3 4 2 5 3
3abx − 18abx + 27abx −24bx
+ 3 + 2 + 1
15. a −3a −4a −a
n 2
− ax
n n n n
n+ n+ n+
n
− a x + 3a x + 4a x + a x
2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 2
4 3 2
16.
x − 6x + 8x − 7x+
5
2 3
− 3ax
− 3ax + 18ax − 24ax + 21ax −15ax
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3
3 2 2 3
17. − 3x + 5x y−7xy −4y
2 2
5axy
2 4 2 2 3 3 2 2 4 2 5
− 15axy + 25axy −35axy −20axy
18. x − 3x + x −5x
2
− 2x
a+ 5 a+ 4 a+ 3 a+
1
− 2x + 6x − 2x + 10x
a+ 7 a+ 6 a+ 5 a+
3
19. a − 3a b + a b − 3a b + b
8 6 2 4 4 2 6 8
− 5ay
3 2
11 2 9 2 2 7 4 2 5 6 2 3 8 2
− 5a y + 15aby − 5aby + 15aby −5aby
20. ab + 3a b − a b + a b
m n m− 1 n+ 2 m− 2 n+ 4 m− 3 n+
6
m
4ab
3
4a b + 12a b − 4a b + 4a b
2m n+ 3 2m− 1 n+ 5 2m− 2 n+ 7 2m− 3 n+
9
EJERCICIO 40
1.
1 2
a−
b
2 3
2 2
a
5
2 1+
2 4 2
a − a b
10 15
1 3 4 2
= a − a b
5 15
2. 2 3
a−
b
3 4
2 3
− ab
3
4 6
− a b+
a b
9 12
4 4 1 3 2
=− ab+
ab
9 2
3+ 1 3 1+
1
3.
3 1 2
a− b+
c
5 6 5
5 2
− ac
3
15 5 10
− a c + abc − ac
15 18 15
2 2 5 2 2 3
=− ac + abc − ac
18 3
1+ 1 2 2 2 + 1
4.
2 1 2
a + ab−
b
5 3 9
2
3a x
2 2
6 2+ 2 3 2+
1 6 2 2
a x+ a bx−
a b x
5 3 9
6 4 3 2 2 2
= a x+ a bx−
a b x
5
3

5. 1 2 1
x − xy−
y
3 5 4
3 3
y
2
2 2
3 6 3
xy − xy − y
6 10 8
1 2 3 3 4 3 5
= xy − xy − y
2 5 8
2 3 3+ 1 2+
3
8.
1 2 1 2 1 2 1 2
a − b + x − y
2 3 4 5
5 2
− am
8
5 2+
2 5 2 2 5 2 2 5 2 2
− a m+ a b m− a mx + a my
16 24 32 40
5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2
=− am+ abm− amx + amy
16 24 32 8
6. 3a− 5b+
6c
3
− ax
10
2 3
9 + 15 18
− a x + a bx − a cx
10 10 10
9 3 3 3 2 3 9 2 3
=− ax + abx − acx
10 2 5
2 1 3 2 3 2 3
9. 2 1 5 1
m + m n − mn − n
3 2 6 9
3 2 3
mn
4
3 2 2 3
6 3
15
3
m n + m n − m n − m n
12 8
24 36
1 5 3 3 4 4 5 3 5 1 2 6
= mn + mn − mn − mn
2 8 8 12
3+ 2 3 2+ 2 1+ 3 1+ 2 2+ 3 2 3+
3
7. 2 1
x − x y + y
9 3
3 3 4
xy
7
4 2 2 4
6 3
3
x y − x y + x y
63 7 21
2 7 4 3 5 6 1 3 8
= xy − xy + xy
21 7 7
4+ 3 4 2+ 3 2+ 4 3 4+
4
10.
2 1 3 1
x − x y + x y − y
5 3 5 10
5 3 4 3
− axy
7
6 4 2 2 4 6
10
5
15
5
− ax y + ax y − ax y + axy
35 21
35
70
2 3 10 3 5 3 8 5 3 3 6 7 1 3 4 9
=− ax y + axy − axy + axy
7 21 7 14
3 6+ 4 3 3 4+ 4 2+ 3 3 2+ 4 4+ 3 3 4 6+
3
EJERCICIO 41
1. a + 3
a −1
a
2
+ 3a
− a −3
3. x + 5
x − 4
x
2
+ 5x
−4x
−20
5. − x + 3
− x + 5
2
x − 3x
− 5x
+ 15
7. 3 x−
2 y
2x+
y
2
6x
− 4xy
+ 3xy
−2y
2
a
2
+ 2a−3
x
2
+ x −20
2
x − 8x+
15
6x − xy−2y
2 2
2. a − 3
a + 1
4. m−6
m−
5
6. −a
−2
−a
−3
8. 5x−
4y
− 3x+
2y
a
a
2
2
− 3a
a − 3
−2a−3
m
m
2
2
−6m
− 5m
+ 30
− 11m+
30
2
a + 2a
2
+ 3a
+ 6
a + 5a+
6
2
− 15x
+ 12xy
+ 10xy
−8y
− 15x + 22xy−8y
2
2 2

9. 5a−
7b
a+
3b
2
5a
−7ab
+ 15ab
−21b
5a + 8ab−21b
2
2 2
11. − a+
b
8a−
4b
2
− 8a
+ 8ab
+ 4ab
−4b
− 8a + 12ab −4b
2
2 2
13. − 9m+
8n
6m+
4n
2
− 54m
+ 48mn
− 36mn+
32n
− 54m + 12mn + 32n
2
2 2
10. 7x
− 3
2x
+ 4
2
14x
−6x
2
+ 28x
−12
14x
+ 22x−12
12. 6m−
5n
m−n
2
6m
− 5mn
− 6mn
+ 5n
6m − 11mn + 5n
2
2 2
14. −7y
−3
2y
−11
2
−14y
−6y
2
+ 77y
+ 33
− 14y
+ 71y+
33
EJERCICIO 42
1. x + xy+
y
x−
y
x + x y+
xy
x
2 2
3 2 2
2 2 3
−x y − xy −y
3 3
− y
3 2
5. a + a − a
a −1
4 3 2
a + a −a
3 2
−a − a + a
4 2
a − 2a + a
3 2
9. m − m + m−2
am+
a
4 3 2
am − am + am −2am
3 2
+ am − am + am−2a
4
am −am−2a
2 2
2. a − 2ab+
b
a−b
3 2 2
a − 2a b+
ab
2 2 3
− ab+ 2ab −b
3 2 2 3
a − 3a b+ 3ab −b
6. m + m n + n
m
−n
m + m n + m n
m
4 2 2 4
2 2
6 4 2 2 4
−mn −mn −n
4 2 2 4 6
−n
6 6
2 2
10. 3a − 5ab+
2b
4a−
5b
3 2 2
12a − 20a b+
8ab
2 2 3
− 15ab+ 25ab −10b
3 2 2 3
12a − 35a b+ 33ab −10b
2 2
3. a + 2ab+
b
a+
b
3 2 2
a + 2a b+
ab
2 2 3
+ ab+ 2ab + b
3 2 2 3
a + 3a b+ 3ab + b
3 2
7. x − 2x + 3x−1
2x
+ 3
4 3 2
2x − 4x + 6x −2x
3 2
+ 3x − 6x + 9x
−3
4 3
2x − x + 7x−3
4 2 2 4
11. 5m − 3m n + n
3m−
n
5 3 2 4
15m − 9m n + 3mn
4 2 3 5
− 5mn + 3mn −n
5 4 3 2 2 3 4 5
15m −5m n− 9m n + 3m n + 3mn −n
3 2
4. x − 3x
+ 1
x + 3
4 3
x − 3x + x
3 2
+ 3x
− 9x
+ 3
4 2
x − 9x + x+
3
3
9. 3y
− 6y+
5
2
y + 2
5 3 2
3y − 6y + 5y
3
+ 6y
− 12y+
10
5 2
3y + 5y − 12y+
10
2
12. a + a+
1
2
a −a−1
4 3 2
a + a + a
3 2
−a −a − a
−a
− a −1
a − a −2a−1
2
4 2

3 2
13. x + 2x −x
2
x − 2x+
5
5 4 3
x + 2x −x
4 3 2
−2x − 4x + 2x
3 2
+ 5x + 10x −5x
5 2
x + 12x −5x
2 2
19. x − 2xy+
y
2 2
− x + xy+
3y
4 3 2 2
− x + 2x y−
x y
3 2 2 3
+ x y − 2x y + xy
2 2 3 4
+ 3x y − 6xy + 3y
4 3 3 4
− x + 3x y − 5xy + 3y
3 2 2
14. m − 3m n+
2mn
2 2
m −2mn−8n
5 4 3 2
m − 3m n+
2m n
4 3 2 2 3
− 2mn+ 6mn − 4mn
3 2 2 3 4
− 8mn + 24mn −16mn
5 4 2 3 4
m − 5m n + 20m n −16mn
2
20. n − 2 n + 1
2
n −1
4 3 2
n − 2n + n
2
− n + 2n−1
4 3
n − 2n + 2n−1
2
15. x + x+
1
x
2
−x−1
x + x + x
4 3 2
3 2
−x −x − x
2
−x
− x −1
4 2
x −x −2x−1
3 2 2
21. a − 3a b+
4ab
2 2 3
ab −2ab −10b
5 4 2 3 3
ab− 3ab + 4ab
4 2 3 3 2 4
− 2ab + 6ab − 8ab
3 3 2 4 5
− 10ab + 30ab −40ab
5 4 2 2 4 5
ab− 5ab + 22ab −40ab
4 2
16. x − 3 x + 2
2
x − 2x+
3
6 4 2
x − 3x + 2x
5 3
− 2x + 6x −4x
4 2
+ 3x
− 9x
+ 6
6 5 3 2
x − 2x + 6x −7x − 4x+
6
3 2 2 3
22. 8x − 12x y+ 6xy −9y
2x+
3y
4 3 2 2 3
16x − 24x y+ 12x y −18xy
3 2 2 3 4
+ 24xy− 36xy + 18xy −27y
4 2 2 4
16x −24x y −27y
3 2
17. m + m −4m−1
m
3
+ 1
m + m −4m −m
6 5 4 3
3 2
+ m + m −4m−1
6 5 4 2
m + m − 4m + m −4m−1
3 2
23. 2y − 3y + y−4
2y
+ 5
4 3 2
4y − 6y + 2y −8y
3 2
+ 10y − 15y + 5y−20
4 3 2
4y + 4y −13y −3y−20
3
18. a − 5a+
2
2
a − a+
5
5 3 2
a − 5a + 2a
4 2
− a + 5a − 2a
3
+ 5a
− 25a+
10
5 4 2
a − a + 7a − 27a+
10
3 2 3
24. − a + 2ax + 3x
2 2
2a −3ax−x
5 3 2 2 3
− 2a + 4a x + 6a x
4 2 3 4
+ 3a x −6a x −9ax
3 2 4 5
+ a x −2ax −3x
5 4 3 2 4 5
− 2a + 3a x+ 5a x −11ax −3x

25. x − 3x y+ 2x y + xy
4 3 2 2 3
−x −xy−y
2 2
− x + 3x y−2x y −x y
6 5 4 2 2 3
− xy+ 3xy −2xy −xy
5 4 2 3 3 2 4
− xy + 3xy −2xy −xy
4 2 3 3 2 4 5
− x + 2x y − 3x y −xy
6 5 2 4 5
30. y 2
− 2 y + 1
4 2
y − 2y
+ 2
y − 2y + y
6 5 4
− 2y + 4y −2y
4 3 2
2
+ 2y
− 4y+
2
6 5 4 3
y −2y − y + 4y − 4y+
2
3 2
26. a − 5a + 2a−3
a
3
−2a−7
a − 5a + 2a −3a
6 5 4 3
4 3 2
− 2a + 10a − 4a + 6a
3 2
− 7a + 35a − 14a+
21
6 5 2
a − 5a + 31a − 8a
+ 21
4 2
31. m − 3m
+ 4
3
3m
− 2m+
1
3m − 9m + 12m
7 5 3
5 3
− 2m + 6m −8m
4 2
+ m − 3m
+ 4
7 5 4 3 2
3m − 11m + m + 18m −3m − 8m+
4
4 3 2
27. m + m − m + 3
m
2
− 2m+
3
m + m − m + 3m
6 5 4 2
5 4 3
−2m − 2m + 2m −6m
4 3 2
+ 3m + 3m − 3m
+ 9
6 5
m − m
3
+ 5m − 6m+
9
3 2
32. a + a − a+
1
3 2
a + a −2a
−1
a + a − a + a
6 5 4 3
+ a + a − a + a
5 4 3 2
4 3 2
−2a − 2a + 2a −2a
3 2
− a − a + a −1
6 5 4 3 2
a + 2a −2a − 3a + 2a −a−1
28. a + a b−3a b − ab + b
4 3 2 2 3 4
a − 2ab+
b
2 2
a + a b −3a b − a b + a b
6 5 4 2 3 3 2 4
−2ab− 2ab + 6ab + 2ab −2ab
5 4 2 3 3 2 4 5
+ ab + ab −3ab − ab + b
4 2 3 3 2 4 5 6
a −a b − 4a b + 6a b − 3ab + b
6 5 4 2 3 3 5 6
3 2 2 3
33. 8x −12x y− 6xy + y
2 2
3x − 2xy+
4y
5 4 3 2 2 3
24x −36x y − 18x y + 3x y
4 3 2 2 3 4
− 16xy+ 24xy + 12xy − 2xy
3 2 2 3 4 5
+ 32xy − 48xy − 24xy + 4y
5 4 3 2 2 3 4 5
24x − 52x y+ 38x y − 33x y − 26xy + 4y
29. x − x y+ x y − xy + y
4 3 2 2 3 4
x + xy−2y
2 2
x − x y+ x y − x y + x y
6 5 4 2 3 3 2 4
+ xy− xy + xy − xy + xy
5 4 2 3 3 2 4 5
− 2xy + 2xy − 2xy + 2xy −2y
4 2 3 3 2 4 5 6
x − 2x y + 2x y − 2x y + 3xy −2y
6 4 2 3 3 2 4 5 6
4 3 2
34. 5a − 4a + 2a −3a−1
4 2
a − 2a
+ 2
8 7 6 5 4
5a − 4a + 2a −3a −a
6 5 4 3 2
− 10a + 8a − 4a + 6a + 2a
4 3 2
+ 10a − 8a + 4a −6a−2
8 7 6 5 4 3 2
5a −4a − 8a + 5a + 5a − 2a + 6a −6a−2

4 3 2
35. x − x + x − x+
1
3 2
x − 2x + 3x+
6
x − x + x − x + x
7 6 5 4 3
− 2x + 2x − 2x + 2x −2x
6 5 4 3 2
5 4 3 2
+ 3x − 3x + 3x − 3x + 3x
4 3 2
+ 6x − 6x + 6x − 6x+
6
7 6 5 2
x − 3x + 6x + x − 3x+
6
5 3 2
40. 3a − 6a + 2a − 3a+
2
4 2
a − 3a + 4a−5
3a − 6a + 2a − 3a + 2a
9 7 6 5 4
− 9a + 18a − 6a + 9a − 6a
7 5 4 3 2
6 4 3 2
+ 12a − 24a + 8a − 12a + 8a
5 3 2
− 15a + 30a − 10a + 15a−10
6 3 2
9 7 4
3a − 15a + 14a − 28a + 47a − 28a + 23a−10
3 2
36. 3a + 2a −5a−4
3 2
a + a − 2a+
1
6 5 4 3
3a + 2a − 5a − 4a
5 4 3 2
+ 3a + 2a − 5a −4a
4 3 2
−6a − 4a + 10a + 8a
3 2
+ 3a + 2a −5a−4
6 5 4 3 2
3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a−4
41. a + b − c
a− b+
c
2
a + ab−ac
−ab − b + bc
+ ac + bc −c
2 2 2
a − b + 2bc−c
2
2
4 3 2
37. 5y − 3y + 4y + 2y
4 2
y −3y
−1
8 7 6 5
5y − 3y + 4y + 2y
6 5 4 3
− 15y + 9y −12y −6y
4 3 2
− 5y + 3y −4y −2y
8 7 6 5 4 3 2
5y −3y − 11y + 11y − 17y −3y −4y −2y
42. x+ 2y−z
x− y+
z
2
x + 2xy−xz
− xy − 2y + yz
+ xz + 2yz −z
2 2 2
x + xy − 2y + 3yz −z
2
2
38. m − 2m n+ 3m n −4n
3 2 2 3
− m + 3m n− 5mn + n
4 3 2 2 4
− m + 2m n− 3m n + 4m n
7 6 5 2 3 4
+ 3mn− 6mn + 9mn −12mn
6 5 2 4 3 2 5
− 5mn + 10mn − 15mn + 20mn
5 2 4 3 3 4 6
+ mn − 2mn + 3mn −4n
4 3 3 4 2 5 7
− m + 5m n− 14m n + 20m n −13m n − 9m n + 20mn −4n
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
43. 2x− 3y+
5z
− x+ y+
2z
2
− 2x + 3xy−5xz
+ 2xy − 3y + 5yz
+ 4xz − 6yz + 10z
2 2 2
− 2x + 5xy − xz −3y − yz + 10z
2
2
39. x −3x y − x y + y
6 4 2 2 4 6
x − 2x y + 3xy
5 3 2 4
x −3x y − x y + x y
11 9 2 7 4 5 6
− 2xy + 6xy + 2xy −2xy
9 2 7 4 5 6 3 8
+ 3xy −9xy − 3xy + 3xy
7 4 5 6 3 8 10
x − 5x y + 8x y −6x y − 5x y + 3xy
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10
44. x −xy− xz+ y − yz+
z
2 2 2
x+ y+
z
x −x y− x z+ xy − xyz+
xz
3 2 2 2 2
+ x y −xy − xyz + y − y z + yz
2 2 3 2 2
+ xz −xyz− xz + yz− yz + z
2 2 2 2 3
x − 3xyz + y + z
3 3 3

EJERCICIO 43
1. a − a + a
a + 1
a − a + a
a
x+ 2 x+
1 x
x+ 3 x+ 2 x+
1
x+
3
x 2 x 1 x
+ +
+ a − a + a
2. − x + 2x + x
− x + 2x + x
x
+ a
n+ 3 n+ 2 n+
1
2
x + x
n+ 5 n+ 4 n+
3
− x + 2x + x
n+ 4 n+ 3 n+
2
− x + x + 3x + x
n+ 5 n+ 4 n+ 3 n+
2
a+ 2 a+ 1 a a−1
3. m + m − m + m
2
m − 2m+
3
a+ 4 a+ 3 a+ 2 a+
1
m + m − m + m
a+ 3 a+ 2 a+
1 a
−2m − 2m + 2m −2m
a+ 2 a+ 1 a a−1
+ 3m + 3m − 3m + 3m
a+ 4 a+ 3 a+ 1 a a−1
m − m + 6m − 5m + 3m
+ 2 + 1
4. a + 3a −2a
a
n n n
n+
1
+ a
n
a + 3a −2a
2n+ 3 2n+ 2 2n+
1
+ +
+ a + 3a −2a
2n 2 2n 1 2n
+ + +
a + 4a + a −2a
2n 3 2n 2 2n 1 2n
+ 2 + 1
5. x + 2x −x
x
a a a
− 2x
a+ 3 a+
1
x + 2x −x
2a+ 5 2a+ 4 2a+
3
−2x − 4x + 2x
2a+ 3 2a+ 2 2a+
1
x + 2x −3x − 4x + 2x
2a+ 5 2a+ 4 2a+ 3 2a+ 2 2a+
1
−
6. a − 2a + 3a
a
x x 1 x−2
2
+ 2a−1
x 2 x 1 x
+ +
a − 2a + 3a
x+ 1 x x−1
+ 2a − 4a + 6a
x x 1 x−2
−
− a + 2a −3a
x+ 2 x x−1 x−2
a − 2a + 8a −3a
x x−1 x−2
7. a + 3a −2a
x
x−1
a − a + a
x − 2
2x 2x−1 2x−2
a + 3a −2a
2x−1 2x−2 2x−3
− a − 3a + 2a
2x−2 2x−3 2x−4
+ a + 3a −2a
2x 2x−1 2x−2 2x−3 2x−4
a + 2a − 4a + 5a −2a
a+ 4 a+ 3 a+ 2 a+
1
8. m −m − 2m + m
−
a 1 a 2
− m + m + m
−
a − 3
2a+ 3 2a+ 2 2a+
1 2a
− m + m + 2m − m
2a+ 2 2a+ 1 2a 2a−1
+ m − m − 2m + m
2a+ 1 2a 2a−1 2a−2
+ m − m − 2m + m
2a+ 3 2a+ 2 2a+ 1 2a 2a−1 2a−2
− m + 2m + 2m −4m − m + m
9. x + 2x − x + x
a−1 a−2 a−3 a−4
−
−
a 1 a 2
x −x −x
a − 3
2a−2 2a−3 2a−4 2a−5
x + 2x − x + x
2a−3 2a−4 2a−5 2a−6
− x − 2x + x −x
2a−4 2a−5 2a−6 2a−7
−x − 2x + x −x
2a−2 2a−3 2a−4 2a−7
x + x −4x −x
n n− n− n−
10. ab− a b + 2a b −a b
n n−
ab − a b
2 2 4
1 2 2 3 3 4
n n− n− n−
a b − a b + 2a b −a b
2 3 2 1 4 2 2 5 2 3 6
n− n− n− n−
− a b + a b − 2a b + a b
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
n n− n− n− n−
a b − a b + a b − 2a b + a b
x
11. a + b
a
a
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8
m
x
+ b
m
+ a b
m+
x m x
+ ab + b
x m m+
x
a + a b + a b + b
m+ x m x x m m+
x
12. a −b
a−
b
a
x−1 n−1
x
− ab
n−1
x 1
−
− a b+
b
x n−1 x−1
n
a −ab − a b+
b
n

2m 2 2m 1 2m
+ +
13. − 5a + a + 3a
3m−1 3m− 2 3m−
3
6a − 8a + a
5m+ 1 5m 5m−1
− 30a + 6a + 18a
5m 5m 1 5m−
2
−
+ 40a − 8a −24a
5m−1 5m−2 5m−3
− 5a + a + 3a
5m+ 1 5m 5m−1 5m− 2 5m−3
− 30a + 46a + 5a − 23a + 3a
14. x y − 4x y + 3x y
a + 2 x − 1 a + 1 x a x + 1
2 −1 −2 2 −2 −1 2 −3
−2x y −4x y −10x y
a x a x a x
− 2x y + 8x y −6x y
3a + 1 2x −3 3a 2x− 2 3a −1 2x
−1
− − − −
− 4x y + 16x y −12x y
3a 2x 2 3a 1 2x 1 3a 2 2x
− 10x y + 40x y −30x y
3a −1 2x −1 3a − 2 2x 3a − 3 2x+
1
3a + 1 2x −3 3a 2x−
2 3
− 2x y + 4x y + 28x
a y x −30x a y
x
−2 2 3 − 3 2 + 1
EJERCICIO 44
1. 1 1
a−
b
2 3
1 1
a+
b
3 2
1
a
6
2
1
− ab
9
1 1
+ ab − b
4 6
1 2 4 9 1 2
a − − ab−
b
6 36 6
1 2 5 1 2
= a + ab−
b
6 36 6
2
3. 1 1 1
x − xy+
y
2 3 4
2 3
x−
y
3 2
2 2
2 3 2 2 2 2
x − x y + xy
6 9 12
3 3 3
− xy + xy − y
4 6 8
2 2 3
2 8 27 2 6 3
x − + x y+ + xy − y
6 36 12 8
1 3 35 2 8 2 3 3
= x − x y+ xy − y
3 36 12 8
1 3 35 2 2 2 3 3
= x − x y+ xy − y
3 36 3 8
3 2 2 3
2
2. x−
y
5
1 5
x+
y
3 6
1
x
3
2
2
− xy
15
5 10
+ xy − y
6 30
1 4
x − − 25 10
xy − y
3 30 30
1 2 21 1 2
= x + xy − y
3 30 3
1 2 7 1 2
= x + xy − y
3 10 3
2 2
2
4. 1 2
a − ab+
b
4 3
1 3
a−
b
4 2
2 2
1 3 1 2 2 2
a − a b + ab
16 4 12
3 3 6
− ab+ ab − b
8 2 6
2 2 3
1 2 3 2 18
a − + a b+ + ab − b
16 8 12
1 3 5 2 20 2 3
= a − a b+ ab − b
16 8 12
1 3 5 2 5 2
= a − a b+ ab − b
16 8 3
3 2 2 3

5. 2 2 1 1 2
m + mn−
n
6. 3 2 1 2
x + x−
5 3 2
8 4 5
3 2 2
3 1
m − mn+
2n
2x
− x+
2
2
3
6 3 3
6
4 3 2 2
5 2 4 4 3
m + m n − m n
x + x − x
10 6 4
8 4 5
2 3 1 2 2 1
3
3
3 1 2 2
− mn − mn + mn
− x − x + x
5 3
2
24 12 15
4 2 2 2 3 2
6
4
2 2 4
+ mn + mn − n
+ x + x −
5
3 2
8 4 5
6 4 15 −12
3 45 + 20 −48
2 2 3 4 3 2 4
m + m n−
m n + + 6 5 2 4 96 + 15 3 2 18 2 8 30 4
mn − n x + x − x − − x + + x−
10 30
60
6 2 8 4 120 24 60 5
6 4 3 3 17 2 2 7
3 1 111 16 38 4
3 4
5 4 3 2
= m + m n − m n + mn −n
= x + x − x + x + x−
10 30 60 6
4 2 120 24 60 5
3 4 1 3 17 2 2 7
3 1 37 2 19 4
3 4
5 4 3 2
= m + m n − m n + mn −n
= x + x − x + x + x−
5 10 60 6
4 2 40 3 30 5
7. − 1
+ 1
+ 3
x ax a
2 3 2
3 2 2 2
x − ax+
a
2 3
2 2
3 4 3 3 9 2 2
− x + ax + a x
4 6
4
1 3 1 2 2 3 3
+ ax − ax − ax
2
3
2
2
2
6
− ax + ax + a
6
9
6
2 2 3 4
3 3
− + + 3 27−4−4
27 − 4 6
x ax + a x − a x+
a
4 6
12
18 6
3 4 6 3 19 2 2 23 3 6 4
=− x + ax + a x − a x+
a
4 6 12 18 6
3 4 3 19 2 2 23 3 4
=− x + ax + a x − a x+
a
4 12 18
4 3 2 2 3 4
8. 2 1 1
x − x y+
xy
7 5 2
1 2 2 5 2
x − xy+
y
4 3 6
3 2 2
2 5 1 4 1 3 2
x − x y + x y
28 20 8
4 4 2 3 2 2 2 3
− x y + x y − x y
21 15
6
10
5
5
+ x y − x y + xy
42
30 12
3 2 2 3 4
2 21+
80 105 + 112 + 200 10 + 5 5
x − x y+
x y − x y + xy
28 420
840
30 12
2 5 101 4 417 3 2 15 2 3 5 4
= x − x y+ x y − x y + xy
28 420 840 30 12
1 5 101 4 139 3 2 1 2 3
= x − x y+ x y − x y + 5 4
xy
14 420 280 2 12
5 4 3 2 2 3 4
9. 1 3 1 2 1 1
x + x − x+
4 3 4 2
3 2 1 1
x + x−
2 10 5
3 5 3 4 3 3 3 2
x + x − x + x
8 6 8
4
1 4 1 3 1 2 1
+ x + x − x + x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x −
20
15 20 10
3 5 60 + 3 4 45− 4+
6 3 90−3−8
2 1 1 1
x + x − x + x + + x−
8 120 120 120 20 10
3 5 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1
= x + x − x + x + x− = x + x − x + x + x−
8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10

10. 3 1 2 1
m − m n+ mn − n
4 2 5 4
2 2 2 5 2
m − mn+
n
3 3 2
3 2 2 3
6 5 2 4 4 3 2 2 2 3
m − m n + m n − m n
12 6 15
12
6 4 2 3 2 4 2 3 2 4
− mn+ mn − mn + mn
12 6
15
12
15 3 2 5 2 3 10 4 5 5
+ mn − mn + mn − n
8
4
10
8
6 5 4 6 4 32 40 225 3 2 10 16 75 2 3 20 120 4 5 5
m − + + +
+ +
+
m n+
m n −
m n + mn − n
12 12
120
60
120 8
1 5 10 4 297 3 2 101 2 3
= m − m n+ m n − m n + 140 5 1 5 99 101 7 5
mn 4 − n 5 = m 5 − mn 4 + mn 3 2 − mn 2 3 + mn 4 − n
5
2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8
EJERCICIO 45
3 2 2
1. x − x + x por x −1
1− 1+
1
1+ 0−1
1− 1+
1
− 1+ 1−1
1− 1+
0+ 1−1
5 4 2
= x − x + x −x
4. m − 5m n+ 6mn + n por m −4mn −n
1− 5+ 6+
1
3 2 2 3 3 2 3
1+ 0−4−1
1− 5+ 6+
1
− 4+ 20−24−
4
− 1 + 5− 6 −1
1− 5+ 2+ 20−19−10−1
= m − 5m n+ 2m n + 20m n −19m n −10mn −n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
4 3 2 3 2
2. x + 3x − 5x + 8 por x −2x
−7
1+ 3− 5+ 0+
8
1− 2+ 0−7
1+ 3− 5+ 0 + 8
−2− 6+ 10+ 0−16
−7− 21+ 35+ 0−56
1+ 1− 11+ 3− 13+ 19+ 0−56
7 6 5 4 3 2
= x + x − 11x + 3x − 13x + 19x
−56
3. a + 3a b − 2a b + 5ab −b por a − 2ab + b
1+ 3− 2+ 5−1
4 3 2 2 3 4 2 2
1− 2+
1
1+ 3− 2+ 5−
1
−2− 6+ 4− 10+
2
+ 1 + 3− 2 + 5−1
1+ 1− 7 + 12− 13+ 7−1
= a + a b− 7a b + 12a b − 13a b + 7ab −b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
4 2 4 2
5. x − 8x + 3 por x + 6x
−5
1+ 0− 8+ 0+
3
1+ 0+ 6+ 0−5
1+ 0− 8+ 0+
3
+ 6+ 0− 48+ 0+
18
− 5 + 0+ 40+ 0−15
1+ 0− 2+ 0− 50+ 0+ 58+ 0−15
8 6 4 2
= x −2x − 50x + 58x
−15
6. a −3a − 6a + 10 por a − 4a + 3a −2a
1+ 0− 3+ 0− 6+ 0+
10
6 4 2 8 6 4 2
1+ 0− 4+ 0+ 3+ 0−2
1+ 0− 3+ 0− 6 + 0+
10
− 4+ 0+ 12+ 0+ 24+ 0−40
+ 3 + 0 − 9+ 0− 18 + 0+
30
− 2 + 0+ 6 + 0+ 12+ 0−20
1+ 0− 7+ 0+ 9 + 0+ 23+ 0− 52+ 0+ 42+ 0−20
= a − 7a + 9a + 23a − 52a + 42a −20a
14 12 10 8 6 4 2

9 6 3 6 3
7. x − 4x + 3x −2 por 3x − 8x
+ 10
8. m − 7 m + 9 m −15 por m − 5 m + 9 m − 4 m + 3
1− 7+ 9−15
1+ 0+ 0− 4+ 0+ 0+ 3+ 0+ 0−2
1− 5+ 9− 4+
3
3+ 0+ 0− 8+ 0+ 0+
10
1− 7+ 9 −15
3+ 0+ 0− 12+ 0+ 0+ 9 + 0+ 0−
6
− 5+ 35 − 45 + 75
− 8+ 0+ 0+ 32+ 0+ 0− 24+ 0+ 0+
16
+ 9 − 63 + 81 −135
+ 10+ 0+ 0 − 40+ 0 + 0+ 30+ 0+ 0−20
− 4 + 28 − 36 + 60
3+ 0+ 0− 20+ 0+ 0+ 51+ 0+ 0− 70+ 0+ 0+ 46+ 0+ 0−20
+ 3 − 21 + 27−45
15 12 9 6 3
= 3x − 20x + 51x − 70x + 46x
−20
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 −45
9. x −3x y−6x y −4x y − y por 2x + 4y
1−3−6− 4+ 0−1
5 4 3 2 2 3 5 2 2
2+ 0+
4
2− 6−12− 8 + 0−
2
+ 4 −12−24 − 16+ 0−4
2−6− 8 −20−24− 18+ 0−4
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7
= 2x −6x y−8x y −20x y −24x y −18x y −4y
13. x − 5x y + 3x y −6y por x −4x y − 5x y + y
1+ 0+ 0+ 0− 5+ 0+ 0+ 0+ 3+ 0 −6
10 6 4 2 8 10 6 4 2 2 4 6
1+ 0− 4+ 0− 5+ 0+
1
1+ 0+ 0+ 0 − 5+ 0 + 0 + 0+ 3 + 0 − 6
− 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24
− 5+ 0 + 0 + 0+ 25+ 0+ 0 + 0− 15+ 0+
30
+ 1 + 0+ 0 + 0− 5 + 0+ 0+ 0+ 3 + 0 −6
1+ 0 − 4+ 0 − 10 + 0 + 21+ 0+ 28+ 0− 23+ 0 + 9+ 0 + 33+ 0−6
16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16
x −4x y − 10x y + 21x y + 28x y − 23x y + 9x y + 33x y −6y
12 8 4 16 12 8 4
28 24 20 16 12 8 4
= m − 12m + 53m − 127m + 187m − 192m + 87m
−45
5 2 4 2
10. 6a − 4a + 6a−2 por a − 2a + a−7
6+ 0+ 0− 4+ 6−2
1+ 0− 2+ 1−7
6+ 0+ 0 − 4+ 6 −2
− 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4
+ 6+ 0 + 0− 4 + 6 − 2
− 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14
6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14
9 7 6 5 4 3 2
= 6a − 12a + 2a − 36a + 6a − 16a + 38a − 44a+
14
12. 3x −4x y −y por x − 5xy + 3y
4 3 4 3 2 3
6 4 3 11. n − 3n + 5n − 8n+ 4 por
4 2
n − 3n
+ 4
3− 4+ 0+ 0−1
1+ 0− 3+ 5+ 0− 8+
4
1+ 0− 5+
3
1+ 0− 3+ 0+
4
3− 4+ 0 + 0 −1
1+ 0− 3+ 5+ 0− 8 + 4
− 15 + 20 + 0 + 0 + 5
− 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 −12
+ 9 − 12+ 0+ 0−3
+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16
3−4− 15+ 29− 13+ 0+ 5−3
1+ 0− 6+ 5+ 13−23− 8 + 44−12− 32+
16
7 6 5 2 4 3 3 4 6 7
= 3x −4x y− 15x y + 29x y − 13x y + 5xy −3y
10 8 7 6 5 4 3 2
= n − 6n + 5n + 13n −23n − 8n + 44n −12n − 32n+
16
14. a m a m−1 a m−3 − + por a
2
3 5 −5
1− 3+ 0+
5
1+ 0−5
1− 3+ 0+
5
− 5+ 15 + 0−25
1−3− 5+ 20+ 0−25
= a −3a − 5a + 20a −25a
m m m m m
+ + − −
2 1 1 3
+ 2 + 1 − 1 + 3 + 1
15. a −5a − 7a por 7a + 6a + a
1− 5+ 0−7
7+ 0+ 6+
1
x x x x x x
7− 35+ 0−49
+ 6− 30+ 0−42
+ 1 − 5+ 0 −7
7− 35+ 6−78−5−42−7
= 7a − 35a + 6a
x x x
+ + +
2 5 2 4 2 3
−78a −5a −42a −7a
x x x x
+ + −1
2 2 2 1 2 2

16. x −5 x − 6 x por 6 x − 4 x + 2 x + x
1+ 0− 5+ 0−6
a a a a a a a
+ − + − −
2 2 1 1 2
6− 4+ 2+
1
6+ 0− 30+ 0−36
− 4+ 0 + 20+ 0 + 24
+ 2 + 0− 10+ 0 −12
+ 1+ 0− 5 + 0−6
6−4− 28+ 21− 46+ 19−12−6
+ + +
= 6x −4x − 28x + 21x
2 3 2 2 2 1 2
a a a a
− 46x + 19x −12x −6x
a a a a
− − − −
2 1 2 2 2 3 2 4
17. a −3a −a −5a por 6a − 5a + 3a
1−3−1−5
6− 5+
3
x x x x x x x
+ + − + −
2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 3 1
6−18 − 6 −30
− 5 + 15+ 5 + 25
+ 3− 9 − 3 −15
6− 23+ 12− 34+ 22−15
= 6a − 23a + 12a − 34a + 22a −15a
x x x x x x
+ + + 1 − −
5 3 5 2 5 5 5 1 5 2
EJERCICIO 46
1.
4 a+ 5 a−3
1. ( )( )
4a
+ 20
a − 3
2
4a
+ 20a
−12a
−60
2
4a
+ 8a
−60
2
2.
3a x+ 1 x−1
2. ( )( )
3ax+
3a
2 2
x − 1
2 2 2
3ax
+ 3ax
−3ax−3a
2 2
3ax
− 3a
2 2 2
3.
2 a−3 a− 1 a+
4
3. ( )( )( )
2a
− 6
a − 1
2
2a
− 6a
− 2a
+ 6
2
2a
− 8a+
6
a + 4
3 2
2a − 8a + 6a
2
+ 8a
− 32a+
24
3
2a
− 26a+
24
2 2 2
4. ( x + 1)( x − 1)( x + 1)
4.
x
x
x
x
x
2
2
+ x
4 2
2
+ x + 1
+ 2x
+ 1
4 2
2
+ 1
+ 1
− 1
x + 2x + x
6 4 2
4 2
− x −2x
−1
6 4 2
x + x − x −1
5.
mm−4 m− 6 3m+
2
5. ( )( )( )
m
− 4m
m − 6
m
2
− 4m
3 2
2
− 6m
+ 24m
3 2
m − 10m + 24m
3m
+ 2
3m − 30m + 72m
4 3 2
3 2
+ 2m − 20m + 48m
4 3 2
3m − 28m + 52m + 48m
2 2
6. ( a−b)( a − 2ab+ b )( a+
b)
6.
a − 2ab+
b
2 2
a+
b
a − 2a b+
ab
3 2 2
+ a b − 2ab + b
a − a b− ab + b
a−
b
2 2 3
3 2 2 3
a − a b− a b + ab
4 3 2 2 3
− a b + a b + ab −b
3 2 2 3 4
a − 2a b + 2ab −b
4 3 3 4
2
7.
3x x − 2x+ 1 x− 1 x+
1
7. ( )( )( )
3 2
3x − 6x + 3x
x − 1
3x − 6x + 3x
4 3 2
3 2
− 3x + 6x −3x
4 3 2
3x − 9x + 9x −3x
x + 1
3x − 9x + 9x −3x
5 4 3 2
4 3 2
+ 3x − 9x + 9x −3x
5 4 2
3x − 6x + 6x −3x

8.( )( )( )
2 2
8.
x − x+ 1 x + x−1 x−2
x
x
2
2
− x+
1
+ x−1
x − x + x
4 3 2
3 2
+ x − x + x
2
− x + x −1
4
x
2
− x + 2x−1
x − 2
5
x
3 2
− x + 2x − x
4
− 2x 2
+ 2x − 4x+
2
5 4 3 2
x −2x − x + 4x − 5x+
2
m m−1 m−1
9.
a − 3 a + 2 a −1
m
a − 3
9. ( )( )( )
a
m−
+ a −3a
m
2a
− 6
m 2m−1 m−1
2a + a −3a
−6
a
m−1
m−1
+ 2
− 1
2 1 m−1
2a + a −3a −6a
2m−1 3m−2 2m−2 m−1
2m−1 m−1
m
− a + 3a − 2a
+ 6
2m−1 3m−2 2m−2 m−1
m
a + a −3a −3a − 2a
+ 6
3m−2 2m−1
2m−2 m m−1
⇒ a + a −3a −2a − 3a
+ 6
10.
aa−1 a−2 a−3
10. ( )( )( )
a
− a
a − 2
a
2
− a
3 2
2
− 2a
+ 2a
3 2
a − 3a + 2a
a − 3
a − 3a + 2a
4 3 2
3 2
− 3a + 9a −6a
4 3 2
a − 6a + 11a −6a
11.
x− 3 x+ 4 x− 5 x+
1
11. ( )( )( )( )
x−3 x−5
x+ 4 x+
1
2
x −3x 2
x −5x
+ 4x− 12 + x −5
2
x + x −12 2
x −4x−5
x
2
−4x−5
x + x −12x
4 3 2
3
−4x −
−
2
4x + 48x
2
5x
− 5x
+ 60
4 3 2
x −3x − 21x + 43x+
60
( )( )( )( )
12. x 2 x 2 x x x 2
− 3 + 2 + 1 − 1 + 3
2 2
x + 2x+ 1 x −3
x
2
+ 3 x−1
4 3 2 3
x + 2x + x x −3x
2 2
+ 3x + 6x+ 3 − x + 3
4 3 2 3 2
x + 2x + 4x + 6x+ 3 x − x − 3x+
3
3 2
x − x − 3x+
3
x + 2x + 4x + 6x + 3x
7 6 5 4 3
− x −2x −4x − 6x −3x
6 5 4 3 2
5 4 3 2
−3x −6x −12x −18x
− 9x
4 3 2
+ 3x + 6x + 12x + 18x+
9
7 6 5 4 3 2
x + x − x − x − 9x − 9x + 9x
+ 9
2
13.
9a 3a− 2 2a+ 1 a−1 2a−1
13. ( )( )( )( )
3 2
27a −18a 2a−1
2a+ 1 a−1
4 3
54a −36a 2
2a −a
3 2
+ 27a −18a − 2a+
1
4
54a −
3 2
9a −18a 2
2a − 3a+
1
2
2a
− 3a+
1
108a − 18a −36a
6 5 4
− 162a + 27a + 54a
5 4 3
+ 54a − 9a −18a
4 3 2
108a − 180a + 45a −45a −18a
6 5 4 3 2
+ 1 + 2 + 1 + 2
14.
a a + b a −b b
14. ( )( )
a
x x x x x x
+ a b
2x+ 1 x x+
2
a b − b
x+ 1 x 2x+
2
a b + a b
3x+ 2 x 2x+ 1 2x+
2
−a b − a b
2x+ 1 2x+ 2 x 3x+
4
a b − a b
3x+ 2 x x 3x+
4

EJERCICIO 47
1.
4 x+ 3 + 5 x+
2
1. ( ) ( )
2.
= 4x+ 12+ 5x+
10
= 9x
+ 22
2 2 2
2. 6( x + 4) − 3( x + 1) + 5( x + 2)
2 2 2
= 6x + 24−3x − 3+ 5x
+ 10
2
= 8x
+ 31
3.
aa− x + 3ax+ 2a −ax−3a
3. ( ) ( ) ( )
= a − ax + 3ax + 6a − ax + 3a
2 2 2
2
= 10a
+ ax
4.
x y + 1 + y x + 1 −3x y
4. ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
= x y + x + x y + y −3x y
2 2 2 2 2 2 2 2
=− xy + x + y
2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 2
5.
4m − 5mn + 3m m + n −3m m −n
= 4m − 5mn + 3m + 3m n − 3m + 3mn
5. ( ) ( )
3 2 4 2 2 3 2
= 3m + m + 3m n −2mn
4 3 2 2 2
2 2 3 3 2 2 2 2 2
6.
y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x −1
6. ( ) ( ) ( )
= y + x y − x y − y + x y + y − x y + y
2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2
=− y + 3y
3 2
7.
5 x+ 2 − x+ 1 x+ 4 −6x
7. ( ) ( )( )
2
( )
8.
= 5x+ 10− x + 4x+ x+ 4 −6x
2
=− x+ 10−x −4x−x−4
2
=−x
− 6x
+ 6
8. ( a+ 5)( a−5) − 3( a+ 2)( a− 2) + 5( a+
4)
2 2
( )
2 2
= a + 5a−5−3( a −4)
9.
= a − 5a+ 5a−25−3 a − 2a+ 2a− 4 + 5a+
20
2 2
= a + 5a−5− 3a
+ 12
2
=− 2a
+ 5a+
7
9. ( a+ b)( 4a−3b) −( 5a− 2b)( 3a+ b) − ( a+ b)( 3a−6b)
2 2 2 2 2 2
= 4a + ab−3b −( 15a −ab−2b ) −( 3a −3ab −6b
)
10.
= 4a + ab−3b − 15a + ab+ 2b − 3a + 3ab + 6b
2 2 2 2 2 2
=− 14a + 5ab+
5b
2 2
2 2
10. ( a+ c) −( a−c)
= ( a+ c)( a+ c) −( a−c)( a−
c)
2 2 2 2
= a + ac+ ac+ c −( a −ac− ac+
c )
= a + 2ac+ c − a + ac+ ac−c
= 4ac
2 2 2 2
2 2
2 2
11. ( ) ( )
= 3( + )( + ) −4( − )( − ) + 3 −3
( ) ( )
( ) ( )
11.
3 x+ y −4 x− y + 3x −3y
x y x y x y x y x y
= 3 x + xy+ xy+ y −4 x − xy− xy+ y + 3x −3y
= 3 x + 2xy+ y −4 x − 2xy+ y + 3x −3y
= 3x + 6xy+ 3y − 4x + 8xy− 4y + 3x −3y
= 2x + 14xy−4y
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
12.( ) ( ) ( )
= ( m+ n)( m+ n) − ( 2m+ n)( 2m+ n) + ( m−4n)( m−4n)
2 2 2 2 2 2
= m + 2mn+ n − ( 4m + 4mn+ n ) + m − 8mn+
16n
12.
m+ n − 2m+ n + m−4n
= 2m − 6mn+ 17n −4m −4mn−n
2 2 2 2
=−2m − 10mn+
16n
2 2
2
13. ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
= ax + x + 3ax + 3x − ( ax + 2x + a + 2x) −( a − x)( a − x)
2 2 2 2
= 4ax + x + 3x −ax −2x −a −2x −( a −ax − ax + x )
13.
xa+ x + 3xa+ 1 − x+ 1 a+ 2x − a−
x
= 3ax − x + x −a − a + ax + ax − x
2 2 2
= − 2x + x+ 5ax −a−a
2 2
14.
a+ b− c + a− b+ c − a+ b+
c
a+ b−c a− b+
c
14. ( ) ( ) ( )
a+ b−c a− b+
c
2
a + ab −ac 2
a − ab + ac
+ ab
2
+ b −bc − ab
2
+ b − bc
− ac − bc + c + ac − bc + c
a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c a − 2ab + 2ac + b − 2bc + c
a+ b+
c
a+ b+
c
2
a + ab + ac
2
+ ab + b + bc
a
2 2 2
+ ac + bc + c
+ 2ab+
2ac + b + 2bc + c
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
a + 2ab− 2ac+ b − 2bc+
c
2 2 2
a − 2ab+ 2ac+ b − 2bc+
c
2 2 2
−a −2ab−2ac−b −2bc−c
2 2 2
a −2ab− 2ac+ b − 6bc+
c
2 2 2
2 2 2
⇒ a + b + c −2ab−2ac−6bc

2
2
2
2
2
15. ( x + x−3) −( x − 2+ x) + ( x − x−3)
15.
2
x + x− 3
2
x + x−2
2
x + x− 3
2
x + x−2
x + x − 3x x + x −2x
3
+ x +
2
x − 3x 3
+ x +
2
x −2x
2
−3x − 3x+ 9
2
−2x − 2x+
4
4 3 2
x + 2x −5x − 6x+ 9
4 3 2
x + 2x −3x − 4x+
4
x
x
4 3 2 4 3 2
2
2
− x−3
− x−3
4 3 2
x − x −3x x
2
+ 2x −5x − 6x+
9
4 3 2
3 2 4 3 2
− + + − − + + −
x x 3x x 2x 3x 4x
4
− x + x+ x − x − x + x+
2 4 3 2
3 3 9 2 5 6 9
−2 − 5 + 6 + 9 −2 − 7 + 4 + 14
4 3 2 4 3 2
x x x x x x x x
[ ][ ( )]
17.
x+ 2x−3 3x− x+ 1 + 4x−
x
17. ( )
[ ][ ]
= [ 3 −3][ 2 − 1]
+ 4 −
19.
= x+ 2x−3 3x− x− 1 + 4x−
x
x x x x
= 6x −3x− 6x+ 3+ 4x−
x
2 2
2
= 5x
− 5x+
3
[ m n m n m n m n ][ ( m n) ( m n)
]
19. ( + )( − ) − ( + )( + ) 2 + −3
−
2 2 2 2
= [ m −n − ( m + 2mn + n )][ 2m+ 2n− 3m+
3n]
2 2 2 2
= [ m −n −m −2mn −n ][ − m+
5n]
2
= [ −2mn −2n ][ − m + 5n]
= 2m n − 10mn + 2mn −10n
2 2 2 3
= 2mn−8mn −10n
2 2 3
EJERCICIO 48
[ ]
1.
x− 3a+ 2 − x+
1
1. ( )
= x−[ 3a− 2x+
2]
= x− 3a+ 2x−2
= 3x−3a−2
[ ]
2.
− a+ b − 32a+ b − a+
2
2. ( ) ( )
=−a−b−32 [ a− ab+
2b]
=−a−b− 6a+ 3ab−6b
=−7a− 7b+ 3ab ⇒− 7a+ 3ab−7b
2
2
2
2
2 2
16. ( ) ( )( ) ( )
16.
x+ y+ z − x+ y x− y + 3 x + xy+
y
x+ y+ z x+
y
x+ y+ z x−
y
2
x + xy + xz
2
x + xy
+ xy + y + yz − xy − y
+ xz + yz + z x − y
x + 2xy+ 2xz + y + 2yz+
z
2 2 2
x + 2xy+ 2xz + y + 2yz+
z
2 2 2
− x
+ y
2 2
3x + 3xy + 3y
2 2
3x + 5xy+ 2xz + 5y + 2yz+
z
2 2 2
2 2
2 2 2
⇒ 3x + 5 y + z + 5xy + 2xz + 2yz
18.
2 2 2
[ 3 + 2 − 4 + 1] [ 3( + 4) − 2( + 2)
]
18. ( x ) ( x ) x x
= [ 3x+ 6−4x− 4][ 3x+ 12−2x−4]
= [ − x+ 2][ x+
8]
20.
2
=−x − 8x+ 2x+
16
2
=−x
− 6x
+ 16
[ ] ( )( ) ( )
[ ]
2 2
20. ( x+ y) −3( x− y)
x+ y x− y + x y−
x
2 2 2 2 2 2 2
= [ x + 2xy+ y −3( x − 2xy+ y )][ x − y + xy−
x ]
2 2 2 2 2
= [ x + 2xy+ y − 3x + 6xy−3y ][ xy−
y ]
2 2 2
= [ − 2x + 8xy−2y ][ xy−y
]
=− 2x y + 2x y + 8x y −8xy − 2xy + 2y
3 2 2 2 2 3 3 4
=− 2xy+ 10xy − 10xy + 2y
3 2 2 3 4
[ ]
3.
− 3x− 2y+ x−2y − 2 x+ y − 3 2x+
1
3. ( ) ( ) ( )
= −[ 3x− 2y+ x−2y−2x−2y−6x−3]
=−[ −4x−6y−3]
= 4x+ 6y+
3
{ [ ]}
2
4.
4x − − 3x+ 5− − x+ x 2−
x
4. ( )
2 2
= 4x −{ − 3x+ 5−[ − x+ 2x−
x ]}
2 2
= 4x −{ − 3x+ 5+ x− 2x+
x }
2 2
= 4x −{ − 4x+ 5+
x }
= 4x + 4x−5−
x
2 2
2
= 3x
+ 4x−5

{ [ ]}
{ }
5. ( ( ))
= 2a− − 3x+ 2[ − a+ 3x−2( − a+ b−2−a)
]
= 2a−{ − 3x+ 2[ − a+ 3x+ 2a− 2b+ 4+
2a]
}
= 2a−{ − 3x+ 2[ 3a+ 3x− 2b+
4]
}
= 2a−{ − 3x+ 6a+ 6x− 4b+
8}
5.
2a− − 3x+ 2 − a+ 3x−2 − a+ b− 2+
a
= 2a+ 3x−6a− 6x+ 4b−8
=−4a− 3x+ 4b−8⇒ − 4a+ 4b−3x−8
[ ]
[ { }]
10. ( ) ( [ ])
= m−3m− 3n+ [ −{ −( − 2m+ n−2− 3m+ 3n− 3)
+ m}
]
=−2m− 3n+ [ −{ −( − 5m+ 4n− 5)
+ m}
]
=−2m− 3n+ [ −{ 5m− 4n+ 5+
m}
]
=−2m− 3n+ [ −{ 6m− 4n+
5}
]
=−2m− 3n+ [ − 6m+ 4n−5]
10.
m− 3 m+ n + − − − 2m+ n−2−3m− n+ 1 + m
=−2m−3n− 6m+ 4n−5
=− 8m+ n−5
6. a− ( x+ y) −3( x− y) + 2 −( x−2y) −2( − x−
y)
= a− x− y− 3x+ 3y+ 2[ − x+ 2y+ 2x+
2y]
11. −3 = a− x+ y+ [ x+
y]
( x− 2y) + 2{ −4[ −2x− 3( x+ y)
]} −{ −[ − ( x+
y)
]}
4 2 2 4
= a− 4x+ 2y+ 2x+
8y
=− 3x+ 6y+ 2{ −4[ −2x−3x−3y]
} −{ −[ −x−y]
}
= a− 2x+
10y
=− 3x+ 6y+ 2{ −4[ −5x−3y]
} − { x+
y}
7. m− ( m+ n) −3{ − 2m+ [ − 2m+ n+ 2( − 1+ n) − ( m+ n−1)
=− 3x+ 6y+ 2
]}
{ 20x+ 12y}
−x−y
=− 4x+ 5y+ 40x+
24y
= m−m−n−3{ − 2m+ [ − 2m+ n− 2+ 2n−m− n+
1]
}
= 36x+
29y
=−n−3{ − 2m+ [ − 3m+ 2n−1]
}
=−n−3{ −2m− 3m+ 2n−1}
=−n−3{ − 5m+ 2n−1}
12. 5 − ( + ) −3[ − 2 + 3 − ( + ) + ( − − ) + 2( − + )]
−
=− n+ 15m− 6n+
3
=− 7n+ 15m+ 3⇒15m− 7n+
3
= 5{ −a−b−3[ − 2a+ 3b−a −b−a−b− 2a+ 2b]
−a}
= 5{ −a−b−3[ − 6a+ 3b]
−a}
8. −2( a−b) − 3( a+ 2b) −4{ a− 2b+ 2[ − a+ b− 1+ 2( a−b)
]}
= 5{ −2a− b+ 18a−9b}
=− 2a+ 2b−3a−6b− 4{ a− 2b+ 2[ − a+ b− 1+ 2a−2b]
} = 516 { a−10b}
= −5a−4b−4{ a− 2b+ 2[ a−b−1]
}
= 80a−50b
= −5a−4b−4{ a− 2b+ 2a−2b−2}
= −5a−4b−4{ 3a−4b−2}
=−5a−4b− 12a+ 16b+
8
13. −3{ − [ + ( − a+ b)
]} −4{ −[ −( −a−b)
]}
=− 17a+ 12b+
8
=−3{ −[ − a+ b]
} −4{ − [ a+
b]
}
9. − 5( x+ y) −[ 2x− y+ 2{ − x+ y−3−( x− y− 1)
}]
+ 2x
=−3{ a−b} −4{ −a−b}
=− 3a+ 3b+ 4a+
4b
=−5x−5y−[ 2x− y+ 2{ − x+ y−3− x+ y+ 1}
] + 2x
= a+
7b
=−3x−5y−[ 2x− y+ 2{ − 2x+ 2y−2}
]
=−3x−5y−[ 2x−y− 4x+ 4y−4]
14. − a+ b−2( a− b) + 3 − [ 2a+ b− 3( a+ b−1)
] −3 − a+ 2 − 1+
a
=−3x−5y−[ − 2x+ 3y−4]
=− a+ b− 2a+ 2b+ 3{ − [ 2a+ b−3a− 3b+ 3]
} −3[ −a− 2+
2a]
=−3x− 5y+ 2x− 3y+
4
=−x− 8y+
4
=−{ − a+ 3b+ 3{ a+ 2b−3}
− 3a+
6}
=−{ − 4a+ 3b+ 6+ 3a+ 6b−9}
=−{ − a+ 9b−3}
{ a b a b a b a b a b a}
{ { } [ ( )]}
{ }
= a− 9b+
3

EJERCICIO 49
1. − 24 ÷ 8=−3
2. − 63÷− 7 = 9
2 2−1
3. − 5a ÷− a= 5a = 5a
4. 14ab ÷− 2ab =− 7a − −
b =−7ab
3 4 2 3 1 4 2 2 2
3 4 3 4 3−3 4−4
5. − abc÷ ab =− a b c=−c
2 2−1 1−1
6. − ab÷− ab= a b = a
7. 54 2 2 3 6 2 3 9 2 − 1 2 −
xyz xyz x y 2 z 3 −
÷− = − 3 =−9x
2 2 2−2 1−1
8. − 5mn÷ mn= − 5m n =−5
2 3 2 3 2−2 3−3
9. − 8ax ÷− 8ax = a x = 1
2−1
2 xy xy
10. − xy ÷ 2y
=− =−
2 2
5
5
11. 5xy ÷− 6xy=− x − −
y =− y
6
6
4 5 4 4 4 5 1 4
1 − 1
12. − abc ÷ 8c =− abc =− ab
8
8
8 9 4 4 8 9 4 4 8 9
16 16
13. 16mn 6 4 ÷− 5n 3 =− mn 6 4−
3 =− mn
6
5
5
108 − − 27
14. − 108abc ÷− 20bc = ab c = a
20
5
7 6 8 6 8 7 6 6 8 8 7
2 6 6 2 2−1 6−6
2
15. − 2mn ÷− 3mn = m n = m
3 3
x
16. a ÷ a = a
2 x−
2
−
17. − 3ab ÷ ab =−3a b
x m 2 x 1 m−2
5
5
18. 5a b c÷− 6a b c= − a b c =− a b
6
6
m n 3 4 m−3 n−4 1−1 m−3 n−4
1 −
19. ab ÷− 4a b =− a b
4
x m m n x m m−n
3
3
20. − 3mnx ÷− 5mnx = m n x = m n
5
5
a x 3 x 2 3 a−x x−2 3−3 a−x x−2
EJERCICIO 50
a 4 2 4 2 4 2 2
2. 2x + a a a a a
÷− x + =− 2x + − b + g=− 2x + − − =−2x
1. a m + 3
a m + 2
a m + 3− m + 2
a m + 3− m −2
÷ = b g= = a
1
1
1
4. x ÷− 4x =− x
b g=− x =− x
m−2 m−5 3 m−2− m−5 3 m−2− m+
5 3
4
4
4
3
3. − 3a ÷− 5a = a
b g
= a = a
5
5 5
m+ m− 7 m+ − m− − 7 m− m−
6. − 7x y ÷− 8x y = x y = x y
x−2 n 3 2 4 x−2−3 n−2 4
8
8
x−5 n−2
5. − 4a b ÷− 5a b = a b = a b
5
5
n− 1 n+ 1 n− 1 n+ 1 4 n−1− n+ 1 n+ 1−n−1
4
8. − 4x y ÷ 5x y =− x y = −
2m 1 x 3 2m 2 x 4 5 2m 1 2m 2 x 3 x 4 5
5
5
7. 5a − b − ÷− 6a − b − =− a − − + b − − + =− ab
6
6
2 3 m n x 5 1−m 2−n 3−x
9. a m + n b x + a a m b a a m + n − m b x + a −
÷ = a = a n b
x
10. − 5ab c ÷ 6a b c =− a b c
6
EJERCICIO 51
2 n + 3 n + 4 2 n + 3− n + 4 2 n + 3− n −4 n −1
3 1 4 2 3 4 1 2 1 3
1
1 2 2 3
x ÷ = x = x
1.
2 3 2 4
3
2 2 2
3
2. − 3 3 ÷− 4 2 = 5 3−2 1−1
5 5 4
= 15
20
= 3
ab ab a b a a
4
5
2
3.
2 1 3
12
xy z ÷− z =− xy z =− xy
3 6 1
3
=−4xy
6
5 3 3 5 3 3 5 5
7
4. − 7
÷− 3
8
= 8
4
= 28
3
= 7
a b ab a b a b a b
24 6
4
m n m n m n m n
− − − − − −
2 1 2 1 2 1 2
2
5. 2
− ÷− 2 =
9 2 1
xy xy = xy = xy
9
2 18 9
4 5 4 5 4 5 4 5
1
6. 3
4 5 6 4 5 3 4 − 4 5 − 1 6 −
mnp ÷− mnp =− m n p 5 =−9np
4
3
1
3
7
7. − 7 2 5 6 ÷− 5 5 6 = 8 2 −1 5−5 6−6
8
2 5
= 14
40
= 7
abc abc a b c a a
20
2
2
8. 2 3 3
10
ab ÷− ab =− a b =− a b
3 5 3
9
5
x m 2 x −1 m−2 x −1 m−2

3
3 3
− ÷ =−
8
12
1
cd d cd =− cd =− cd
9. 8 4 3
24
2
4
3 5 x 3 5−x 3 5−x 3 5−x
3
3 3 4
6
1
a b ÷ − b =− a b =− a b =− a b
10.
4 2 3 12
2
2
m n m n m n m n
− − −
3 3 3 3
11. 1 2
− 2a b ÷ − a b = a
2 1
b = 4a b
2
x+ 4 m− 3 4 3 x+ 4−4 m−3−3 x m−6
1 x− 3 m+ 5 2 3 x−4 m−1
12. − a b c ÷ a b
15
5
1
− − + + − +
= −
15 x x m m 5
1
a b c =− ab c =− ab c
3
45 9
5
3 4 5 1 2 6 2 6 2
EJERCICIO 52
1. a ab a a 2 ab 2
2
− a ab
− ÷ = = − = a−b
a a a
2 3 2 4 2
2. 3 x y − 5 a x ÷− 3 x
2 3 2 4 2 3 2 4
3x y − 5a x 3x y 5a x 5
=
= − =− y + a x
2
2 2
− 3x
− 3x
− 3x
3
3 2 2 3
3. 3 a − 5 ab − 6 a b
− 2a
3 2 2 3
3 2 2
3a
5ab
6ab
3 5
= − − =− a + b + 3ab
− 2a
− 2a
− 2a
2 2
2 2 3
4. x 3 x 2 x 3 2
− 4 + x 4x
x
= − + =
x x x x x 2 − 4 x + 1
8 6 4
5. 4x −10x −5x
3
2x
8 6 4
4x
10x
5x
5 3 5
= − − = 2x −5x − x
3 3 3
2x
2x
2x
2
3 2 2
6. 6m − 8m n+
20mn
− 2m
3 2 2
6m
8mn
20mn
= − + =− 3m + 4mn−10n
− 2m
− 2m
− 2m
8 8 6 6 2 3
7. 6ab −3ab −ab
2 3
3ab
8 8
6 6
2 3
2 2
6ab
3ab
ab 6 5 4 3 1
= − − = 2ab
−ab
−
2 3 2 3 2 3
3ab
3ab
3ab
3
10. a + a
a
−1
a a x−
= + = a + a
2
a a
x m−1
x m
2 2
m m+ 2 m+
4
11. 2a − 3a + 6a
3
− 3a
2
2 m−
3
m m+ m+
2a
3a
6a
2
= − + =− a + a −2a
−
3
3
3
3a
− 3a
− 3a
3
12. a b + a b −a b
2 3
ab
m n m− 1 n+ 2 m− 2 n+
4
1 2
a b a b a b
= + −
2 3 2 3
ab ab ab
m n m− n+ m− 2 n+
4
= a b + a b −a b
m−2 n−3 m−3 n−1 m− 4 n+
1
4
2 3
13. x m+ 2 x m x m+ 1 x m−1
− 5 + 6 −
m − 2
x
m + 2 m m + 1 m −1
x 5x
6x
x
= − + −
m −2 m −2
m − 2 m − 2
x x x x
4 2 3 4 3 2
= x − 5x + 6x −x⇒ x + 6x −5x −x
14. 4 a b − 6 a b + 8 a b
x+ 2 m−4
− 2a
b
x+ 4 m− 1 x+ 3 m− 2 x+ 2 m−3
+ 4 −1
x m
x m
x
4a
b 6a
b 8a
= − + −
x+ 2 m−4
x 2 m 4
2a
b −
+ −
2a
b − 2a
2 3 2
=− 2ab + 3ab −4b
EJERCICIO 53
+ 3 −2
m−3 m− 1 m+
1
+ 2 m−3
b
b
x+ 2 m−4
4 3 2
8. x −5x − 10x + 15x
− 5x
4 3 2
x 5x
10x
15x
1 3 2
= − − + =− x + x + 2x−3
− 5x
− 5x
− 5x
− 5x
5
1.
1 2
x
2
2
x
3
2
x
3 3 6 3
− = x− = x−1
2
x
4 6 4
3
9 2 7 4 5 6 3 8
9. 8mn −10mn − 20mn + 12mn
2
2m
9 2 7 4
5 6
8mn
10mn
20mn
12mn
= − − +
2
2
2
2
2m
2m
2m
2m
7 2 5 4 3 6 8
= 4mn −5mn − 10mn + 6mn
3 8
2.
1 3 3 2 1
a a a
3
−
5
+ 4
3 3 3
− − −
5 5 5
5 3 15 2 5 5 3 2 5
=− a + a − a= − a + a − a
9 15 12 9 12

3. 1 4 2 3 3 2 2
m mn mn
4 −
3
+
8
1 2 1 2 1 2
m m m
4 4 4
4 8 12 8 3
= m − mn+ n = m − mn+
n
4 3 8 3 2
2 2 2 2
4. 2 4 3 1 3 4 1 2 5
xy xy xy
6
3 5 4 xy
− + −
1 3 1 3 1 3 1
− xy − xy − xy − xy
5 5 5 5
10 3 5 2 5 2 3
=− x + x y− xy + 5y
3 5 4
10 3 2 5 2 3
= − x + x y− xy + 5y
3
4
5.
2
a
5
5a
1
ab 5
3 ab 2 1 1
− − = a − a b − b
5a
5a
25 15 5
5 3 3
3
4 2 3 5
6.
1 m 1 m −1
a a
3 4 2 2 2 1
+ = a + a = a + a
1 1
a a
3 4 3 2
2 2
m−1 m−2 m−1 m−2
7. 2 x + 1 1 x −1
2 x
a a a
3
− 4 −
5
1 x − 2 1 x −2 1 x −2
a a a
6 6 6
12 3 6 12 2 3 12 2 3
= a − a − a ⇒4a − a − a
3 4 5
5 2
3 n− 1 m+ 2 1 n m+ 1 2 n+
1 m
8. − a x ax a x
4
+
8
−
3
2 3 2 2 3 2 2 3 2
− ax − ax − ax
5
5 5
15 5
10
= a x − a x + a x
8 16
6
15 n m 5 n m 5 n m
= a x − a x + a x
8 16 3
n−4 m n−3 m−1 n−2 m−2
−4 −3 −1 −2 −2
EJERCICIO 54
2
1. a + 2a− 3 a+
3
2
−a −3a a−1
− a −3
+ a + 3
2. 2
a −2a− 3 a+
1
2
−a −a a−3
− 3a
−3
+ 3a
+ 3
3 . 2
x + x− 20 x+
5
2
−x −5x x−4
−4x
−20
+ 4x
+ 20
4. 2
m − 11m+ 30 m−6
2
− m + 6m m−5
− 5m
+ 30
+ 5m
−30
2
5. x − 8x+ 15 − x+
3
2
− x + 3x − x+
5
− 5x
+ 15
+ 5x
−15
2
6. a + 5a+ 6 a+
2
2
−a − 2a a+
3
3a
+ 6
−3a
−6
2 2
7. 6x − xy− 2y 2x+
y
2
−6x −3xy 3x−2y
−4xy
−2y
+ 4xy
+ 2y
2 2
8. − 15x + 22xy−8y − 3x+
2y
2
+ 15x −10xy 5x−4y
2
2
12xy
− 8y
− 12xy
+ 8y
9. 2 2
5a + 8ab− 21b a+
3b
2
−5a −15ab 5a−7b
−7ab
−21b
+ 7ab
+ 21b
2
10. 14x + 22x−12 7x−3
2
− 14x + 6x 2x+
4
2
2
2
2
28x
−12
− 28x
+ 12
2 2
11. − 8a + 12ab−4b − a+
b
2
+ 8a − 8ab 8a−4b
2
4ab
− 4b
− 4ab
+ 4b
12. 2 2
6m − 11mn+ 5n m−n
2
− 6m + 6mn 6m−5n
2
− 5mn+
5n
+ 5mn−5n
13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n
2
+ 54m − 48mn 6m+
4n
2
2
2 2
− 36mn+
32n
+ 36mn
− 32n
14. 2
− 14y + 71y+ 33 −7y−
3
2
+ 14y + 6y 2y−11
+ 77y
+ 33
−77y
− 33
2
2

3 3
15. x −y x−y
3 2 2 2
− x + x y x + xy + y
2
xy
2 2
− xy+
xy
xy
2 3
− y
2 3
− xy + y
3 2 2 3
16. a − 3a b + 3ab −b a−b
− a + a b a − 2ab+
b
3 2 2 2
− 2ab+
3ab
2 2
+ 2ab−2ab
2 2
4 2
ab
−b
2 3
− ab + b
2 3
17. x − 9x + x+ 3 x+
3
4 3
−x −3x 3 2
x − 3x
+ 1
3 2
−3x
− 9x
3 2
+ 3x
+ 9x
x + 3
−x
−3
4
18. a + a a+1
4 3 3 2
−a −a a − a + a
3
− a
3 2
+ a + a
a
−a
2
2
+ a
−a
6 6 2 2
19. m −n m −n
6 4 2 4 2 2 4
− m + m n m + m n + n
4 2
mn
4 2 2 4
− mn + mn
4 3
2 4 6
mn
−n
2 4 6
− mn + n
20. 2x − x + 7x− 3 2x+
3
4 3 3 2
−2x −3x x − 2x + 3x−1
3
− 4x
3 2
+ 4x
+ 6x
2
6x
+ 7x
2
−6x
−9x
−2x
−3
2x
+ 3
5 2 2
21. 3y − 12y+ 5y + 10 y + 2
5 3 3
−3y −6y 3y − 6y+
5
3
−6y
−12y
3
+ 6y
+ 12y
2
5y
+ 10
2
−5y
−10
22. 4
am −am− 2a am+
a
4 3
−am −am 3 2
m − m + m−2
− am
3
+ am + am
3 2
am
2
−am
2
−am
−am
−2am−2a
+ 2am+
2a
23. 3 2 2 3
12a − 35a b+ 33ab −10b 4a−5b
3 2 2 2
− 12a + 15a b 3a − 5ab+
2b
2 2
− 20ab+
33ab
2 2
+ 20ab−25ab
2 3
8ab
−10b
2 3
− 8ab
+ 10b
5 4 3 2 2 3 4 5
24. 15m −5m n− 9m n + 3m n + 3mn −n 3m−n
5 4 4 2 2 4
− 15m + 5m n 5m − 3m n + n
EJERCICIO 55
3 2 2 3
− 9mn
+ 3mn
3 2 2 3
+ 9mn
−3mn
3mn
4 5
−n
4 5
− 3mn
+ n
4 2 2
1. a −a −2a− 1 a + a+
1
4 3 2 2
−a −a −a a −a−1
3 2
−a −2a −2a
3 2
+ a + a + a
2
−a
− a−1
2
+ a + a+
1

5 2 2
2. x + 12x −5x x − 2x+
5
5 4 3 3 2
− x + 2x − 5x x + 2x −x
4 3 2
2x − 5x + 12x
4 3 2
− 2x + 4x −10x
3 2
− x + 2x −5x
3 2
+ x − 2x + 5x
8. − x + 3x y − 5xy + 3y x − 2xy + y
4 3 3 4 2 2
+ x − 2x y+ x y − x + xy+
3y
4 3 2 2 2 2
xy+ xy −5xy
3 2 2 3
− xy+ 2xy −xy
3 2 2 3
3xy − 6xy + 3y
2 2 3 4
− 3xy + 6xy −3y
2 2 3 4
5 4 2 3 4 2 2
3. m − 5m n + 20m n −16mn m −2mn−8n
− m + 2m n+ 8m n m − 3m n+
2mn
5 4 3 2 3 2 2
− 3mn+ 8mn + 20mn
4 3 2 2 3
+ 3mn−6mn −24mn
4 3 2 2 3
2mn − 4mn −16mn
3 2 2 3 4
− 2mn + 4mn + 16mn
4 2 2
3 2 2 3 4
4. x −x −2x−1 x −x−1
4 3 2 2
− x + x + x x + x+
1
3
+ x −2x
3 2
− x + x + x
x
2
− x −1
2
− x + x + 1
6 5 3 2 4 2
5. x − 2x + 6x −7x − 4x+ 6 x − 3x
+ 2
6 4 2 2
− x + 3x − 2x x − 2x+
3
5 4 3 2
− 2x + 3x + 6x −9x −4x
5 3
+ 2x − 6x + 4x
4 2
3x
− 9x
+ 6
4 2
− 3x
+ 9x
−6
6 5 4 2 3 2
6. m + m − 4m + m −4m− 1 m + m −4m−1
6 5 4 3 3
−m − m + 4m + m m + 1
3 2
m + m −4m−1
3 2
−m − m + 4m+
1
4 3 2
9. n − 2n + 2n−1 n − 2n+
1
4 3 2 2
− n + 2n −n n −1
2
− n + 2n−1
2
+ n − 2n+
1
10. ab− 5ab + 22ab −40ab ab−2ab −10b
5 4 2 2 4 5 2 2 3
5 4 2 3 3 3 2 2
− ab+ 2ab + 10ab a − 3ab+
4ab
4 2 3 3 2 4
− 3ab + 10ab + 22ab
4 2 3 3 2 4
+ 3ab − 6ab −30ab
3 3 2 4 5
4ab − 8ab −40ab
3 3 2 4 5
− 4ab + 8ab + 40ab
11. 16x −24x y −27y 8x − 12x y+ 6xy −9y
4 2 2 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3
− 16x + 24x y− 12x y + 18xy 2x+
3y
3 2 2 3 4
24x y − 36x y + 18xy −27y
3 2 2 3 4
− 24x y + 36x y − 18xy + 27y
4 3 2
12. 4y + 4y −13y −3y− 20 2y+
5
4 3 3 2
−4y −10y 2y − 3y + y−4
3 2
− 6y
−13y
3 2
+ 6y
+ 15y
2
2y
− 3y
2
−2y
−5y−20
−8y
−20
8y
+ 20
5 4 2 2
7. a − a + 7a − 27a+ 10 a − a + 5
5 4 3 3
− a + a −5a a − 5a+
2
3 2
− 5a + 7a −27a
3 2
+ 5a − 5a + 25a
2
2a
− 2a+
10
2
− 2a
+ 2a−10
13. − 2a − 3a x + 5a x − 11ax − 3x − a + 2ax + 3x
5 3 2 2 3 2 2
+ 2a −4a x −6a x 2a −3ax−x
5 4 3 2 4 5 3 2 3
3ax+ ax −6ax −11ax
4 3 2 2 3 4
− 3ax + 6ax + 9ax
4 2 3 4
ax −2ax −3x
3 2 4 5
3 2 4 5
− ax + 2ax + 3x

6 5 2 4 5 4 3 2 2 3
14. − x + 2x y − 3x y − xy x − 3x y + 2x y + xy
6 5 4 2 3 3 2 2
+ x − 3x y + 2x y + x y −x −xy −y
5 4 2 3 3 2 4
− xy+ 2xy + xy −3xy
5 4 2 3 3 2 4
+ xy− 3xy + 2xy + xy
4 2 3 3 2 4 5
− xy + 3xy −2xy −xy
4 2 3 3 2 4 5
+ xy − 3xy + 2xy + xy
6 5 2 3
15. a − 5a + 31a − 8a+ 21 a −2a−7
6 4 3 3 2
− a + 2a + 7a a − 5a + 2a−3
− 5a + 2a + 7a + 31a
5 4 3 2
+ 5a −10a −35a
5 3 2
4 3 2
2a −3a − 4a −8a
4
− 2a 2
+ 4a + 14a
3
− 3a
+ 6a+
21
3
+ 3a
−6a−21
6 5 3 4 3 2
16.
m − m + 5m − 6m+ 9 m + m − m + 3
6 5 4 2 2
−m − m + m −3m m − 2m+
3
5 4 3 2
− 2m + m + 5m − 3m −6m
5 4 3
+ 2m + 2m − 2m + 6m
4 3 2
3m + 3m − 3m
+ 9
4 3 2
−3m − 3m + 3m
−9
6 5 4 2 3 3 5 6 2 2
17. a − a b − 4a b + 6a b − 3ab + b a − 2ab+
b
− a + 2ab− ab a + ab−3ab − ab + b
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 4 2 3 3
ab− 5ab + 6ab
5 4 2 3 3
− ab+ 2ab − ab
4 2 3 3
− 3ab
+ 5ab
4 2 3 3 2 4
+ 3ab − 6ab + 3ab
3 3 2 4 5
− ab + 3ab −3ab
3 3 2 4 5
+ ab − 2ab + ab
2 4 5 6
ab − 2ab + b
2 4 5 6
− ab + 2ab −b
6 5 4 3 4 2
19. y −2y − y + 4y − 4y+ 2 y − 2y
+ 2
6 4 2 2
− y + 2y −2y y − 2y+
1
5 4 3 2
− 2y + y + 4y −2y −4y
5 3
+ 2y − 4y + 4y
y
4 2
4 2
− 2y
+ 2
− y + 2y
−2
7 5 4 3 2 4 2
20. 3m − 11m + m + 18m −3m − 8m+ 4 m − 3m
+ 4
7 5 3 3
− 3m + 9m −12m 3m − 2m+
1
5 4 3
− 2m + m + 6m −8m
5 3
+ 2m − 6m + 8m
m
4 2
4 2
− 3m
+ 4
− m + 3m
−4
6 5 4 3 2 3 2
21. a + 2a −2a − 3a + 2a −a− 1 a + a − a+
1
6 5 4 3 3 2
−a − a + a − a a + a −2a−1
5 4 3 2
a −a − 4a + 2a
5 4 3 2
−a − a + a − a
4 3 2
−2a − 3a + a − a
4 3 2
+ 2a + 2a − 2a + 2a−1
3 2
− a − a + a−1
3 2
+ a + a − a+
1
22. 24x − 52x y+ 38x y −33x y − 26xy + 4y 8x −12x y− 6xy + y
5 4 3 2 2 3 2 2
− 24x + 36x y + 18x y − 3x y 3x − 2xy + 4y
5 4 3 2 2 3 4 5 3 2 2 3
− 16xy+ 56xy − 36xy −26xy
4 3 2 2 3 4
+ 16xy− 24xy − 12xy + 2xy
4 3 2 2 3 4
32xy −48xy − 24xy + 4y
3 2 2 3 4 5
−32xy − 48xy + 24xy −4y
3 2 2 3 4 5
6 4 2 3 3 2 4 5 6 2 2
18. x − 2x y + 2x y − 2x y + 3xy − 2y x + xy−2y
−x − xy+ 2xy x − xy+ xy − xy + y
6 5 4 2 4 3 2 2 3 4
5 3 3
− xy + 2xy
5 4 2 3 3
xy + xy −2xy
4 2 2 4
+ xy
−2xy
4 2 3 3 2 4
−xy − xy + 2xy
3 3 5
− xy + 3xy
3 3 2 4 5
+ xy + xy −2xy
2 4 5 6
x y + xy −2y
2 4 5 6
−x y − xy + 2y
8 7 6 5 4 3 2 4 2
23. 5a −4a − 8a + 5a + 6a − 2a + 4a −6a a − 2a
+ 2
8 6 4 4 3 2
− 5a + 10a −10a 5a − 4a + 2a −3a
− 4a + 2a + 5a −4a −2a
7 6 5 4 3
+ 4a − 8a + 8a
7 5 3
+ 2a −3a − 4a + 6a + 4a
6 5 4 3 2
− 2a + 4a −4a
6 4 2
5
− 3a 3
+ 6a −6a
5
3a 3
− 6a + 6a

7 6 5 2 3 2
24. x − 3x + 6x + x − 3x + 6 x − 2x + 3x+
6
7 6 5 4 4 3 2
− x + 2x −3x −6x x − x + x − x+
1
− x + 3x −6x
6 5 4
+ x − 2x + 3x + 6x
6 5 4 3
x − 3x + 6x + x
5 4 3 2
5
− x
4
+ 2x 3
−3x 2
−6x −3x
4
− x
3
+ 3x 2
−5x −3x
4
+ x
3
− 2x 2
+ 3x + 6x
+ 6
3 2
x − 2x + 3x+
6
3 2
− x + 2x −3x−6
9 7 6 4 3 2 5 3 2
29. 3a − 15a + 14a − 28a + 47a − 28a + 23a−10 3a − 6a + 2a − 3a+
2
9 7 6 5 4 4 2
− 3a + 6a − 2a + 3a − 2a a − 3a + 4a−5
− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a −28a
7 6 5 4 3 2
+ 9a − 18a + 6a − 9a + 6a
7 5 4 3 2
6 5 4 3 2
+ 12a −15a − 24a + 38a − 22a + 23a
4 3 2
6
− 12a + 24a − 8a + 12a − 8a
5 3 2
− 15a + 30a − 10a + 15a−10
5 3 2
+15a − 30a + 10a − 15a+
10
6 5 4 3 2 3 2
25. 3a + 5a −9a − 10a + 8a + 3a− 4 3a + 2a −5a−4
2 2 2
6 5 4 3 3 2
−3a − 2a + 5a + 4a a + a − 2a+
1
30. a − b + 2bc− c a+ b−c
2
5 4 3 2
+ 3a −4a − 6a + 8a
−a − ab + ac a− b+
c
2
5 4 3 2
−3a − 2a + 5a + 4a
−ab − b + ac + 2bc
2
4
−6a −
3 2
a + 12a + 3a
+ ab + b − bc
2
4 3 2
+ 6a + 4a −10a −8a
ac + bc −c
3 2
3a + 2a −5a−4
2
−ac − bc + c
3 2
−3a − 2a + 5a+
4
2 31. − 2x + 5xy− 2 2
xz−3y − yz+ 10z 2x− 3y+
5z
26. 8 7 6 5 4 3 2
5y −3y − 11y + 11y −17y −3y −4y −2y 4 3 2
5y − 3y + 4y + 2y
2
+ 2x − 3xy+ 5xz − x+ y+
2z
8 7
− 5y + 3y −
6
4y −
5
2y 4 2
y −3y
−1
2
2xy + 4xz −3y − yz
6 5 4 3
− 15y + 9y −17y −3y
− 2xy 2
+ 3y −5yz
6 5 4 3
+ 15y − 9y + 12y + 6y
4xz 2
− 6yz + 10z
−
4 3 2
5y + 3y −4y −2y
2
− 4xz + 6yz −10z
4 3 2
+ 5y − 3y + 4y + 2y
27. − m + 5m n− 14m n + 20m n −13m n − 9m n + 20mn −4n − m + 3m n− 5mn + n
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7 3 2 2 3
+ m − 3m n + 5m n − m n m − 2m n+ 3m n −4n
7 6 5 2 4 3 4 3 2 2 4
2mn− 9mn + 19mn −13mn
6 5 2 4 3 3 4
− 2mn+ 6mn − 10mn + 2mn
6 5 2 4 3 3 4
− 3mn + 9mn −11mn − 9mn
5 2 4 3 3 4 2 5
5 2 4 3 3 4
+ 3mn − 9mn + 15mn
− 3mn
2 5
4mn − 12mn + 20mn −4n
3 4 2 5 6 7
− 4mn + 12mn − 20mn + 4n
3 4 2 5 6 7
28. x − 5x y + 8x y −6x y − 5x y + 3xy x − 2x y + 3xy
11 9 2 7 4 5 6 3 8 10 5 3 2 4
− x + 2x y −3x y x −3x y − x y + y
11 9 2 7 4 6 4 2 2 4 6
− 3xy + 5xy −6xy
9 2 7 4 5 6
+ 3xy − 6xy + 9xy
9 2 7 4 5 6
− xy + 3xy −5xy
7 4 5 6 3 8
+ xy − 2xy + 3xy
7 4 5 6 3 8
+ xy − 2xy + 3xy
5 6 3 8 10
− xy + 2xy −3xy
5 6 3 8 10
32. x + y − 3xyz + z x −xy − xz + y − yz + z
3 3 3 2 2 2
3 2 2 2 2
− x + x y + x z − xy + xyz − xz x + y + z
x y + x z + y −xy − 2xyz + z −xz
2 2 3 2 3 2
−x y − y + xy + xyz + y z −yz
2 3 2 2 2
x z − xyz + z − xz + y z −yz
2 3 2 2 2
− x z + xyz − z + xz − y z + yz
2 3 2 2 2

5 5
33. a + b a+
b
−a −ab a − ab+ ab − ab + b
5 4 4 3 2 2 3 4
4
− ab
+ ab+
ab
4 3 2
ab
3 2
−ab
−ab
3 2 2 3
− ab
2 3
+ ab + ab
2 3 4
ab
−ab
+ b
4 5
−b
4 5
5 5
34. 21x −21y 3x−3y
− 21x + 21xy 7x + 7xy+ 7xy + 7xy + 7y
5 4 4 3 2 2 3 4
4
21xy
− 21xy+
21xy
4 3 2
21xy
3 2
− 21xy
+ 21xy
3 2 2 3
21xy
2 3
− 21xy
+ 21xy
2 3 4
21xy
− 21y
4 5
− 21xy
+ 21y
4 5
37. x + y x + y
15 15 3 3
−x −x y x − xy + xy − xy + y
15 12 3 12 9 3 6 6 3 9 12
− x y
12 3
x y
+ x y
12 3 9 6
xy
9 6
−xy
−xy
9 6 6 9
− xy
6 9
xy
+ xy
6 9 3 12
xy
−xy
+ y
3 12 15
−y
3 12 15
3 2 2 3 2 2
38. x + 3x y+ 3xy + y − 1 x + 2xy+ x+ y+ y + 1
3 2 2 2
−x −2x y − xy −x −xy − x x + y −1
2 2 3 2
x y + 2xy + y −1−x −xy −x
2 2 3 2
−x y −2xy −y −xy −y −y
2 2
−1−x −2xy− x−y −y
2 2
+ 1+ x + 2xy+ x+ y + y
35.
8 8 2 2
16x − 16y 2x + 2y
8 6 2 6 4 2 2 4 6
−16x −16x y 8x − 8x y + 8x y −8y
6 2
−16x y
6 2 4 4
+ 16xy
+ 16xy
39. x
5
+ y x − x y+ x y − xy + y
2 3 4
4 4
16x y
− x
4 3
+ x y− x y
2
+ x y − xy x+
y
4 3 2 2 3 4 5
4 4 2 6
−16x y −16x y
xy− xy + xy − xy + y
2 6 8
−16xy
−16y
4 3 2 2 3 4 5
− xy+ xy − xy + xy −y
2 6 8
+ 16x y + 16y
5 5 4 3 2 2 3 4
36. x −y x −y
10 10 2 2
− x + xy x + xy + xy + xy + y
10 8 2 8 6 2 4 4 2 6 8
xy
8 2
− xy + xy
8 2 6 4
xy
6 4
− xy + xy
6 4 4 6
xy
4 6
− xy + xy
4 6 2 8
xy
− y
2 8 10
− xy + y
2 8 10
EJERCICIO 56
x+
3
x
1. a + a a+
1
+ 3 + 2 + 2 + 1
−a −a a − a + a
x x x x x
− a
x
+ 2
x
+ a + a
+ 2 x+
1
a
x
−a
x
+ 1
+ 1
+ a
x
−a
x

n+ 5 n+ 4 n+ 3 n+
2 2
2. − x + x + 3x + x x + x
n+ 5 n+ 4 n+ 3 n+ 2 n+
1
+ x + x − x + 2x + x
2a+ 3 2a+ 2 2a+ 1 2a 2a−1 2a−2 a−1 a−2 a−3
n+ 4 n+
3
+ 2x
+ 3x
8. − m + 2m + 2m −4m − m + m − m + m + m
n+ 4 n+
3
−2x
−2x
+ m − m − m m −m − 2m + m
2a+ 2 2a+
1 2a
n+ 3 n+
2
x + x
+ m + m −4m
2a+ 2 2a+
1 2a
n+ 3 n+
2
− x − x
− m + m + m
a+ 4 a+ 3 a+ 1 a a−1 2
3. m − m + 6m − 5m + 3m m − 2m+
3
− m + 2m − 3m m + m − m + m
a a a a a a a
+ + + + + −
4 3 2 2 1 1
m − 3m + 6m
a a a
+ + +
3 2 1
− m + 2m −3m
a a a
+ + +
3 2 1
+ 2 + 1
− m + 3m − 5m
a a a
+ 2 + 1
+ m − 2m + 3m
a a a
m − 2m + 3m
a a a
+ −
1 1
− m + 2m − 3m
a a a
+ −
1 1
2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 + 1
4. a + 4a + a − 2a a + a
n n n n n n
2 + 3 2 + 2 + 2 + 1
−a − a a + 3a −2a
n n n n n
3a
+ a
n n
+ +
2 2 2 1
n
−3a
−3a
n
+ +
2 2 2 1
n+
−2a
−2a
2 1 2n
n+
2a
+ 2a
2 1 2n
a a a a a a a
+ + + + + + +
2 3 2 2 2 1 4 3 2 1
2a−2 2a−3 2a−4 2a−7 a−1 a−2 a−3
9. x + x −4x −x x −x −x
− x + x + x x + 2x − x + x
a a a a a a a
− − − − − − −
2 2 2 3 2 4 1 2 2 3 4
a−
+ 2x
−3x
2m −3m −m
− 2m + 2m + 2m
2 3 2a−4
a a a
+ −
2 1 2 2 1
− 2x + 2x + 2x
a a a
+ −
2 1 2 2 1
a a a
− − −
2 3 2 4 2 5
a−
− x + 2x
−
− m + m + m
2a
+ m −m
2 4 2a−5
+ x −x − x
a a a
− − −
2 4 2 5 2 6
2a 2a 1 2a−2
− m
2a−1 2a−2
+ x − x −x
a a a
− − −
2 5 2 6 2 7
− x + x + x
a a a
− − −
2 5 2 6 2 7
10. a n b a n− b a n− b a n− b a n− b a n b a n− b a n− b a n−
− + − 2 + − + 2 − b
2n 3 2n−1 4 2n−2 5 2n−3 6 n 2 n−2 4
− a b + a b − 2a b + a b a b − a b
2 3 2 1 4 2 2 5 2 4 7 2 5 8 1 2 2 3 3 4
n− n− n− n−
− a b + a b − 2a b + a b
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
n− n− n− n−
+ a b − a b + 2a b −a b
2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 5 8
2a+ 5 2a+ 4 2a+ 3 2a+ 2 2a+ 1 a+ 3 a+
1
5. x + 2x −3x − 4x + 2x x −2x
2 + 5 2 + 3 + 2 + 1
− x + 2x x + 2x −x
a a a a a
a
+ 2x
−x
a
+ +
2 4 2 3
a
− 2x
+ 4x
a
+ +
2 4 2 2
a
− x
+ 2x
a
+ +
2 3 2 1
a
+ x
−2x
a
+ +
2 3 2 1
6. a − 2a + 8a −3a a − 2a + 3a
x+ 2 x+
1 x
2
− a + 2a − 3a a + 2a−1
x x x x x x x
+ − − − −
2 1 2 1 2
2a − 5a + 8a
x x x
+ −
1 1
− 2a + 4a −6a
x x x
+ −
1 1
−
− a + 2a −3a
x x 1 x−2
−
+ a − 2a + 3a
x x 1 x−2
m+ x m x x m m+
x x x
11. a + a b + a b + b a + b
+
−a − a b a + b
m x m x m m
ab
−ab
+ b
x m m+
x
−b
x m m+
x
x x−1 n n−1
12. a − a b+ b −ab a−b
− a + a b a −b
x x x n
− − −
1 1 1
n
b − ab
n−1
n
− b + ab
n−1
2x 2x−1 2x−2 2x−3 2x−4 x x−1 x−2
7. a + 2a − 4a + 5a −2a a − a + a
− a + a − a a + 3a −2a
x x x x x x
− − − −
2 2 1 2 2 1 2
3a − 5a + 5a
x x x
− − −
2 1 2 2 2 3
− 3a + 3a −3a
x x x
− − −
2 1 2 2 2 3
− 2a + 2a −2a
x x x
− − −
2 2 2 3 2 4
+ 2a − 2a + 2a
x x x
− − −
2 2 2 3 2 4
13. 3a − 23a + 5a + 46a −30a a − 8a + 6a
m m m m m m
− 3a + 24a − 18a 3a + a −5a
m m m m m m 3m m
− − − + − − −
5 3 5 2 5 1 5 5 1 3 3 2 3 1
− − − + +
5 3 5 2 5 1 2 2 1 2 2
−
−
+ a − 13a + 46a
5 2 5 1 5
m m m
−
−
− a + 8a − 6a
5 2 5 1 5
m m m
− 5a + 40a −30a
m m m
− +
5 1 5 5 1
5a − 40a + 30a
m m m
− +
5 1 5 5 1

14. 2x y −4x y − 28x y + 30x y − x y + 4x y −3x y
3a+ 1 2x−3 3a 2x−2 3a−2 2x 3a− 3 2x+ 1 a+ 2 x− 1 a+ 1 x a x+
1
3a+ 1 2x−3 3a 2x−2 3a−1 2x−1 2a−1 x−2 2a−2 x−1 2a−3
x
− 2x y + 8x y − 6x y −2x y −4x y −10x y
3a 2x−2 3a−1 2x−1 3a−2 2x
+ 4x y − 6x y −28x y
3a 2x−
2 3a−1 2x−1 3a−2 2x
− 4x y + 16x
y −12x y
3a−1 2x−1 3a−2 2x 3a− 3 2x+
1
10x y − 40x y + 30x y
− 10x y + 40x y −30x y
3a−1 2x−1 3a−2 2x 3a− 3 2x+
1
EJERCICIO 57
1.
2.
3.
1 2 5 1 2 1 1
a + ab− b a+
b
6 36 6 3 2
1 2 1
1 1
− a − ab a−
b
6 4
2 3
1 1 2
− ab − b
9 6
1 1 2
ab + b
9 6
1 2 7 1 2 2
x + xy− y x−
y
3 10 3 5
1 2 2
1 5
− x + xy x+
y
3 15
3 6
5 1 2
xy − y
6 3
5 1
− xy + y
6 3
2
1 35 2 3 1 1 1
x − x y+ xy − y x − xy+
y
3 36 3 8 2 3 4
1 3 2 2 1 2 2 3
− x + x y − xy x−
y
3 9 6
3 2
3 2 2 3 2 2
3 1 3
− xy+ xy − y
4 2 8
3 1 3
xy− xy + y
4 2 8
2 2 3
2 2 3
5.
6.
3 4 1 3 17 2 2 7 3 4 3 2 2
m + m n− m n + mn −n m − mn+
2n
5 10 60 6
2
3 4 2 3 4 2 2 2 2 1 1 2
− m + m n − m n m + mn−
n
5 5 5
5 3 2
1 3 65 2 2 7 3
mn− mn + mn
2 60 6
1 3 1 2 2 2 3
− mn+ mn − mn
2 3 3
3 2 2 1 3 4
− mn + mn −n
4 2
3 2 2 1 3 4
mn − mn + n
4 2
3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 3 1
x + x − x + x + x− 2x − x+
2
4 2 40 3 30 5 3
3 5 1 3 3 2 3 2 1 2
− x + x − x x + x−
4
8 4
8 4 5
1 4 4 3 1 2 19
x − x − x + x
2 5 12 30
1 4 1 2 1
− x + x − x
2
12 2
4 3
2 4
− x + x−
5
15 5
4 3
2 4
x − x+
5
15 5
4.
1 3 5 2 5 2 3 1 3
a − a b+ ab −b a−
b
16 8 3
4 2
1 3
1 2
− a + a b a − ab+
b
16 8
4 3
3 2 2 2
1 2 5 2
− ab+
ab
4 3
1 2 3 2
ab−
ab
4 2
1
ab
6
−b
1
− ab
6
+ b
2 3
2 3
7.
9 4 3 1 2 2 13 3 1 4 3 2 2 2
a − a x− a x + ax − x a − ax+
x
4
12 18 3 2 3
9 4 3 3 2 2 3 2 1 1 2
− a + a x− a x a + ax−
x
4 2
2 3 2
1 3 13 2 2 13 3
a x− a x + ax
2 12 18
1 3 1 2 2 2 3
− a x+ a x − ax
2 3 9
3 2 2 1 3 1 4
− a x + ax − x
4 2 3
3 2 2 1 3 1 4
a x − ax + x
4 2 3

8.
1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 4 2 3 1 2 1 2
x − x y+ x y − x y + xy x − x y+
xy
14 420 280 2 12 7 5 2
1 5 1 4 1 3 2 1 2 2 5 2
− x + x y − x y x − xy + y
14 20 8
4 3 6
4 4 13 3 2 1 2 3
− x y+ x y − x y
21 35 2
3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 1 3 1 2 1 1
9.
x + x − x + x + x− x + x − x+
4 4 2 3 2 1 2 3
8 40 120 120 10 10 4 3 4 2
+ x y− x y + x y
21 15 3
3 5 1 4 3 3 3 2 3 2 1 1
− x − x + x − x x + x−
x
5 3 2 1 2 3 5 8 2 8 4
2 10 5
4
xy − xy + xy
21 6 12
1 4 1 3 11 2 1
x − x − x + x
5 3 2 1 2 3 5 4
40 60 120 10
− x y + x y − xy
21 6 12
1 4 1 3 1 2 1
− x − x + x − x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x−
20 15 20 10
1 3 1 2 1 1
x + x − x+
20 15 20 10
10.
1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 4 5 5 3 3 1 2 2 2 1 3
m − m n+ m n − m n + mn − n m − m n+ mn − n
2 6 40 60 6 8 4 2 5 4
1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 2 2 2 5 2
− m + m n− m n + m n m − mn+
n
2 3 15 6
3 3 2
1 4 53 3 2 91 2 3 7 4
− mn+ mn − mn + mn
2 24 60 6
1 4 1 3 2 4 2 3 1 4
mn− mn + mn − mn
2 3 15 6
15 3 2 5 2 3 4 5 5
mn − mn + mn − n
8 4
8
15 3 2 5 2 3 4
− mn + mn − mn + 5 5
n
8 4
8
EJERCICIO 58
5 4 2 3 2
1. x − x + x − x÷ x − x + x
1− 1+ 0+ 1−1 1− 1+
1
3. a + a b− 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b ÷ a − 2ab+
b
− 1+ 1− 1 1+ 0−1
1+ 1− 7+ 12− 13+ 7−1 1− 2+
1
− 1+ 1−1 2
⇒x
−1
− 1+ 2− 1 1+ 3− 2+ 5−1
+ 1− 1+
1
3− 8+ 12
− 3+ 6−
3
4 3 2 2 3 4
⇒ a + 3a b− 2a b + 5ab −b
7 6 5 4 3 2 3 2
2. x + x − 11x + 3x − 13x + 19x − 56 ÷ x −2x
−7
− 2+ 9−13
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 −56 1− 2+ 0−7
2− 4+
2
− 1+ 2− 0 + 7 1+ 3− 5+ 0+
8
3− 11+ 10−13 4 3 2
⇒ x + 3x − 5x
+ 8
5− 11 + 7
− 5+ 10−5
− 3+ 6− 0 + 21
− 1+ 2−1
− 5+ 10 + 8+
19
+ 1− 2+
1
+ 5− 10 + 0−35
8− 16+ 0−56
− 8+ 16− 0+
56
6 5 4 2 3 2 2 4 5 6 2 2

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
4. m − 5m n+ 2m n + 20m n −19m n −10mn − n ÷ m −4mn −n
1− 5+ 2+ 20−19−10− 1 1+ 0−4−1
−1− 0+ 4+ 1 1− 5+ 6+
1
3 2 2 3
− 5 + 6 + 21 −19 ⇒ m − 5m n+ 6mn + n
5+ 0−20−5
6 + 1 −24 −10
−6− 0 + 24+
6
1 + 0 − 4−1
−1 − 0 + 4+
1
6. a − 7a + 9a + 23a − 52a + 42a − 20a ÷ a − 4a + 3a −2a
14 12 10 8 6 4 2 8 6 4 2
1− 7+ 9 + 23− 52+ 42−20 1− 4+ 3−2
− 1+ 4− 3 + 2 1−3− 6+
10
9. 2x −6x y−8x y −20x y −24x y −18x y − 4y ÷ 2x + 4y
6 4 2
− 3+ 6 + 25 −52 ⇒ a −3a − 6a
+ 10
2−6−8−20−24− 18 + 0− 4 2+ 0 + 4
3− 12+ 9 − 6
−2−0−4 1−3−6− 4+ 0−1
− 6 + 34− 58+
42
5 4 3 2 2 3 5
−6−12−20 ⇒x −3x y−6x y −4x y −y
+ 6 − 24+ 18−12
6+ 0 + 12
10 − 40 + 30−20
−12 − 8 −24
− 10 + 40 − 30 + 20
+ 12 + 0 + 24
− 8+ 0−18
15 12 9 6 3 6 3
7. 3x − 20x + 51x − 70x + 46x − 20÷ 3x − 8x
+ 10 + 8+ 0+
16
3− 20+ 51− 70+ 46−20 3− 8+
10
− 2+ 0−4
− 3+ 8 −10 1− 4+ 3−2
2+ 0+
4
− 12 + 41−70 9 6 3
⇒ x − 4x + 3x
−2
12 − 32 + 40
9− 30+
46
− 9+ 24−30
− 6 + 16−20
6 − 16+
20
28 24 20 16 12 8 4 12 8 4
8. m − 12m + 53m − 127m + 187m − 192m + 87m − 45 ÷ m − 7m + 9m
−15
1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 −45 1− 7 + 9 −15
− 1+ 7 − 9 + 15 1− 5+ 9− 4+
3
− 5+ 44− 112+ 187 ⇒m − 5m + 9m − 4m
+ 3
+ 5− 35+ 45 −75
8 6 4 2 4 2
5. x −2x − 50x + 58x − 15÷ x + 6x
−5
9 − 67+ 112−192
1−2 − 50+ 58 − 15 1+ 6 −5
− 9 + 63− 81 + 135
−1− 6+ 5 1− 8+
3
− 4 + 31 − 57 + 87
−8− 45+ 58
4 2
⇒x
− 8x
+ 3
+ 4 − 28 + 36 −60
+ 8+ 48−40
3 − 21 + 27−45
3 + 18−15
−3 − 18+
15
− 3 + 21 − 27+
45
16 12 8 4
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 7 2 2
9 7 6 5 4 3 2 4 2
10. 6a − 12a + 2a − 36a + 6a − 16a + 38a − 44a+ 14÷ a − 2a + a−7
6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1−7
−6− 0+ 12− 6+ 42 6+ 0+ 0− 4+ 6−2
− 4+ 6+ 6− 16+ 38 ⇒6a − 4a + 6a−2
+ 4+ 0− 8+ 4 −28
6 −2 − 12 + 10 −44
−6− 0+ 12− 6 + 42
− 2 + 0+ 4 − 2+
14
+ 2 − 0− 4 + 2−14
5 2

10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
11. n − 6n + 5n + 13n −23n − 8n + 44n −12n − 32n + 16÷ n − 3n + 5n − 8n
+ 4
1+ 0− 6+ 5+ 13−23− 8+ 44−12− 32+ 16 1+ 0− 3+ 5+ 0− 8+
4
−1− 0+ 3−5− 0 + 8 − 4 1+ 0− 3+ 0+
4
4 2
− 3 + 0 + 13 −15 − 12 + 44 −12 ⇒n
− 3n
+ 4
+ 3+ 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12
12. 3x −4x y− 15x y + 29x y − 13x y + 5xy − 3y ÷ x − 5xy + 3y
7 6 5 2 4 3 3 4 6 7 3 2 3
4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16
3−4− 15+ 29− 13+ 0+ 5− 3 1+ 0− 5+
3
− 4 + 0 + 12 −20 − 0 + 36 −16
−3− 0+ 15− 9 3− 4+ 0+ 0−1
− 4+ 0 + 20−13 ⇒ 3x −4x y−y
+ 4+ 0 − 20+
12
− 1+ 0+ 5−3
1−0− 5+
3
4 3 4
13. x −4x y − 10x y + 21x y + 28x y − 23x y + 9x y + 33x y − 6y ÷ x −4x y − 5x y + y
16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16 6 4 2 2 4 6
1−4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 −6 1−4 − 5 + 1
− 1+ 4+ 5 − 1 1+ 0− 5+ 0+ 3−6
− 5+ 20+ 28−23 ⇒x − 5x y + 3x y −6y
+ 5−20− 25+
5
3− 18+ 9+
33
− 3+ 12+ 15−3
− 6+ 24+ 30−6
+ 6−24− 30+
6
10 6 4 2 8 10
2 + 5 2 + 4 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 2 − 1 + 3 + 1
15. 7a − 35a + 6a −78a −5a −42a − 7a ÷ 7a + 6a + a
x x x x x x x x x x
7− 35+ 6−78−5−42− 7 7+ 0+ 6+
1
−7− 0 −6− 1 1− 5+ 0−7
− 35 + 0 −79 −5 ⇒a −5a −7a
+ 35 + 0 + 30+
5
− 49+ 0−42−7
49 − 0 + 42 + 7
m 14. a 2 m
a 1 m m m
a a 1
− − + − a 3 2
3 5 20 25 ÷ a −5
1−3− 5+ 20+ 0− 25 1+ 0−5
−1− 0+ 5 1− 3+ 0+
5
x x x
+ + −
2 1 1
−
− 3+ 0+ 20 ⇒a − 3a + 5a
+ 3+ 0−15
+ 5+ 0−25
− 5− 0+
25
m m 1 m−3
16. 6x −4x − 28x + 21x − 46x + 19x −12x − 6x ÷ 6x − 4x + 2x + x
2a + 3 2a + 2 2a + 1 2a 2a −1 2a −2 2a −3 2a − 4 a + 1 a a −1 a −2
6−4− 28+ 21− 46+ 19−12−6 6− 4+ 2+
1
− 6+ 4− 2 − 1 1+ 0− 5+ 0−6
− 30 + 20 − 46 + 19 ⇒x −5x −6x
+ 30 − 20 + 10 + 5
− 36 + 24 −12 −6
36 − 24 + 12 + 6
a a a
+ −
2 2
17. 6a − 23a + 12a − 34a + 22a − 15a ÷ a −3a −a −5a
5 x + 3 5 x + 2 5 x + 1 5 x 5 x −1 5 x − 2 2 x + 2 2 x + 1 2 x 2 x −1
6− 23+ 12− 34+ 22−15 1−3−1−5
− 6+ 18+ 6 + 30 6− 5+
3
− 5 + 18− 4+ 22 ⇒6a − 5a + 3a
+ 5 −15− 5−25
3− 9− 3 −15
− 3+ 9+ 3 + 15
x x x
+ −
3 1 3 3 1

EJERCICIO 59
2 2 2
1. a + b a
2 b
− a 1+
a
b
2
2
2
2. a + 2 a
4 3
4
2
− a a+
a
3
+ 2
3. 9x + 6x + 7 3x
3 2 2
3
7
− 9x
3x
+ 2+
3x
2
+ 6x
−6x
2
+ 7
2
4 3 2 2 3 2
4. 16a − 20a b+ 8a b + 7ab 4a
4 2 2 7b
−16a 4a − 5ab+ 2b
+
4a
3
− 20ab
3
+ 20ab
2 2
8ab
2 2
− 8ab
3
+ 7ab
2
5. x + 7x+ 10 x+
6
2
4
−x − 6x x+ 1+ x + 6
x + 10
−x
− 6
+ 4
3
3 2 2
9. x − x + 3x+ 2 x − x+
1
3 2
2x
+ 2
− x + x − x x+
2
x − x+
1
+ 2x
+ 2
3 3
10. x + y x−y
3 2
− x + x y
3
2 2 2y
x + xy + y +
x − y
2
xy
2 2
− xy+
xy
xy
+ y
2 3
− xy + y
2 3
2y
3
2
6. x − 5x+ 7 x−4
2
3
− x + 4x x− 1+ x − 4
− x + 7
x − 4
+ 3
4 2 2
7. m − 11m + 34 m −3
4 2 2 10
− m + 3m m − 8+
2
m − 3
2
− 8m
+ 34
2
8m
− 24
+ 10
8. 2 2
x − 6xy+ y x+
y
2
−x − xy
2
8y
x− 7y+ x + y
− 7xy
+ y
2
+ 7xy
+ 7y
2
+ 8y
2
5 5
11. x + y x−y
5
4 4 4 3 2 2 3 4 2y
− x + xy x + xy+ xy + xy + y +
x − y
4
xy
− xy+
xy
4 3 2
xy
3 2
− xy + xy
3 2 2 3
xy
2 3
− xy + xy
2 3 4
+ xy + y
4 5
− xy + y
4 5
2y
3 2 2
12. x + 4x − 5x+ 8 x − 2x+
1
3 2
6x
+ 2
− x + 2x − x x+ 6+
2
x − 2x+
1
2
6x
− 6x
+ 8
2
− 6x
+ 12x−6
6x
+ 2
5

3 2 2 3
13. 8a − 6a b + 5ab −9b 2a−3b
3 2
− 8a + 12a b
3
2 2 12b
4a + 3ab+ 7b
+
2a−
3b
2 2
6ab+
5ab
2 2
− 6ab+
9ab
2 3
14ab
− 9b
2 3
− 14ab
+ 21b
3
12b
5 4 2 2
14. x − 3x + 9x + 7x−4 x − 3x+
2
5 4 3 3 20 x −10
− x + 3x −2x x − 2x+ 3+
2
x − 3x+
2
3 2
− 2x + 9x + 7x
3 2
+ 2x − 6x + 4x
2
3x
+ 11x−
4
2
− 3x
+ 9x
− 6
20x
−10
EJERCICIO 60
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
2 2
3 2 2 3
4 3
1.
a − 2ab+
b
2.
3a − 4a b+ 3ab −b
3.
a − 3a + 2ac −3bc
2
2
3 2
2 3
4 3
= ( −1) −2( −1)
⋅ 2+
2 = 3( −1) −4( −1) ⋅ 2+ 3( −1)
2 −2
⎛ 1⎞
1
= ( −1) −3( − 1) + 2( −1)
⎜ − 32
⎝
= 1+ 2⋅ 2+ 4= 1+ 4+ 4 = 9 = −3−4⋅2−3⋅4− 8= −3−8−12− 8= −
2⎠
⎟− ⋅ ⎛
− ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
31
4.
a − 8a c+ 16a c − 20a c + 40ac −c
5.
5 4 3 2 2 3 4 5
2
= 1+ 3+ 2⋅ 1 +
2 6 ⋅ 1 =
2 1 + 3 + 1 + 3 = 8
3 4 5
5 4 ⎛ 1⎞
3 1
2 1
1 1
= ( −1) −8( −1) ⎜ − 16 ( 1) 20( 1) 40( 1)
⎝ 2⎠
⎟ + − ⎛
− ⎞
⎜
⎝ 2⎠
⎟ − − ⎛
− ⎞
⎜
⎝ 2⎠
⎟ + − ⎛
− ⎞
⎜
⎝ 2⎠
⎟ − ⎛
− ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
1 8 1 2 16 1 4 20 1 8 40 1 1
1 4 4 5 5 1 1 32 1
= − + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = − + − + − + = − 1+ = − + 31
=−
16 32
2 2 32 32 32 32
2 2 2
5. ( a− b) + ( b−c) −( a−c)
2 2
2 ⎡ ⎛ 1⎞
⎤
= ( − − ) + ⎢ −⎜
− ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎥ − ⎡
− − ⎛
⎜
⎝
− 1⎞
⎤
1 2 2
⎢ 1 ⎟
2 ⎣ 2⎠
⎥
⎦
2 2 2 2
2 ⎡ ⎤
= ( − ) + +
⎣
⎢
⎦
⎥ − ⎡
⎣
⎢ − + ⎤
⎦
⎥ = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
⎟ − ⎛
⎜
⎝
− ⎞
3 2 1 1 1 5 1
9
⎟
2 2 2 2⎠
= 9 + 25 1
− = + = + =
4 4 9 24 9 6 15
4
7. ab ac
c
+ bc
b
− a
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
= − ⋅ −1⎜
− ⎟ 2⎜
− ⎟
12 ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2
+ − = +
2 2
−
1 2 − 1 1 2 2
−
2
2
+
= 4 + 1 − = + = = =
4 1 3 1 12 1 13
3 1 4
4 4 4
9.
32a+ b − 4a b+ c −2c a−b
9. ( ) ( ) ( )
6. ( b+ a) −( b−c) −( a−c)
6.
3 3 3
[ ( )]
3 3
3 ⎡ ⎛ 1⎞
⎤
= + − − ⎢ −⎜
− ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎥ − ⎡
− − ⎛
⎜
⎝
− 1⎞
⎤
2 1 2
⎢ 1 ⎟
2 ⎣ 2⎠
⎥
⎦
3 3
3 3
3 ⎡ ⎤
= [ − ] − +
⎣
⎢
⎦
⎥ − ⎡
⎣
⎢ − + ⎤
⎦
⎥ = − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦
⎥ − ⎡ 3
⎤
2 1 2 1 1 1 5 1
1
−
2 2 2 ⎣
⎢ 2⎦
⎥
= 1− 125 1
+ = − = − = − =− =−
8 8 1 124 1 31 2 31 29
14
8 2 2 2
2 2
8.
a+ b+ c − a−b− c + c
8. ( ) ( )
2 2
⎡ ⎛ 1⎞
⎤
= ⎢− + + ⎜ − ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎥ − ⎡
− − − ⎛
⎜
⎝
− 1⎞
⎤
⎢
⎟
⎣
⎠ ⎦
⎥ + ⎛
⎜
⎝
− 1⎞
1 2
1 2
⎟
2
2 2⎠
2 2 2 2
⎡ ⎤
= −
⎣
⎢
⎦
⎥ − ⎡
⎣
⎢ − + ⎤
⎦
⎥ − = ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦
⎥ − ⎡ ⎤
1 1 3 1 1 1 5 1
−
⎣
⎢
⎦
⎥ −
2 2 2 2 2 2
1 25 1 1
= − − = − 25 − 2 26
2 1
=− =− 6 4 =−6
2
4 4 2 4 4
⎡ ⎛ 1⎞
⎤ ⎛ 1⎞
⎡ ⎤ 2
[ ( ) ] ( ) ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ −2
⎜ − ⎟( − − ) = [ − + ] + − ( )
= 32 − 1+ 2−4 − 1 2+ −
⎣ ⎝ 2⎠
⎦
⎝
2⎠
1 2 3 2 2 4 2 1 3 3 0 4 3 6
6 3 3
⎣
⎢ 2⎦
⎥ + 2
− = ⋅ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
2 ⎦
⎥ − 2
= − =
1
2

Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
4 2 2
10.
x x y 3xy
− + − y
8 2 2
( 2) ( 2) ( 1) 3( −2)( −1)
3
4 2 2
( 1)
= − − − − +
− −
8 2 2
16 4 6
= − − + − + 1= 2+ 2− 3+ 1 = 2
8 2 2
2 2
12.
− x− y + x + y x− y− m + 3b x+ y+
n
12. ( ) ( )( ) ( )
2 2
[ ] ( )
[ ( )] ( ) ( )
3
2 2
2 2
11.( a− x) + ( x− y) + ( x − y )( m+ x−n)
[ ( )] ( )
⎡
[ ] ⎢ ( )
[ ] ( ) ( )
2 2 2 2 1⎤
= 2− − 2 + −2 − − 1 + −2 − − 1 3+ −2
−
⎣ 2⎦
⎥
⎡ ⎤
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2 2
= + + − + + − − −
⎣
⎢
⎦
⎥ = 2 + − 2
+ ⎡
⎣
⎢ − ⎤
2 2 2 1 4 1 3 2 1 4 1 3 1 1 2
2⎦
⎥
= + + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦
⎥ = + = + = =
1
16 1 3 1 17 3 34 3 37
18 2
2 2 2 2
⎡ 1⎤
[ ] 2 ( 1) [ ] [ ][ ]
= − − − − + − + − − − − − + ⋅ − + − +
⎣
⎢
⎦
⎥ =− − + + + − + + ⎡
− − + ⎤
2 1 2 1 2 1 3 3 1 2 1 4 1 5 1
⎣
⎢ 2 1 1 3
2
2⎦
⎥
⎡ ⎤
= + [ − ] + − +
⎣
⎢
⎦
⎥ = − + ⎡ ⎣
⎢ − ⎤
⎦
⎥ =− − =− + =− =−
1
1 5 4 3 1 5
1 20 19 5 38 5 43
21 2
2
2 2 2 2
3
2 2
x y
13.( 3x−2y)( 2n− 4m)
+ 4x y − −
4x
1 1
4
14.
3
3y
− x ⎛ ⎞
+ ⎜ − ⎟
2 y n b x + x −
+ ⎝ ⎠
m
2
⎡
( ) ( )
[ 3( 2) 2( 1)
] 2 1 ( ) ( )
2 43 ⎤
4 2 2 1 2 2 1
= − − − ⋅ − ⋅
⎣
⎢
⎦
⎥ + − − − − − −
3
⎛ ⎞
4( − 2)
( − 2)
⎜ 1 1 ⎟
4
2
= −
3 + ⎜ − ⎟ ( 2) ( 2)
3
3( − 1)
2 1
1
= [ − 6+ 2][ 1− 12] + 4⋅4⋅1− − + =−4[ − 11]
+ 16− −
2+ ( −1)
⎜
1 1
⎟ − + − −
⎝ 2 3⎠
2
2
8 8
44 16 1 2 60 1 = − ( 2 3)( 2) 16 3 8 ( )( )
2 60 1
− 3
− − 2− 1
+ − − + − = 3 + 8+ −1 − 2 + 13
= + + = + = 2
8
15. x 2 ( x y m) ( x y)( x 2 y 2
2
3
2
− + − − + − n) + ( x+ y) ( m −2n)
21 2 8 8 69 77
2
= + + = + 23= + = = 25 3
3 3 3
2 ⎡ 2 2 1⎤
2
2
= ( −2) [ −2−( − 1)
+ 3] −[ −2−( −1)
] ( − 2) + ( −1) − [ 2 ( 1)
] 3 2 1 ⎣
⎢
2⎦
⎥ + − + − ⎛
⎜
⎝
− ⋅ ⎞
⎟
2⎠
⎡
2 2
41 [ 1] [ 2 1] 4 1 1 ⎤
[ 2 1] ( 9 1) 4 2 [ 1] 5 1 [ 3] ( 8)
8 9 2
2
2 98 80 9 160 9
= + − − + + −
⎣
⎢
⎦
⎥ + − − − = ⋅ − − ⎡
⎣
⎢ − ⎤
⎦
⎥ + − = + + ⋅ = + 2
= + 169 = = 84 1 2
2 2
( )
[ ] [ ]
16. 3 2 3
32 2 1 3 1 a y n m
2( 4
2 3
)
2 ( 2) ( 1)
4 3 2 3 2
3 2
3
+ + − + x − y + = ⋅ − ⋅
+ + − + − − − + = − − − −
x
2 3 1 1
3 2 6 +
m y
2 −
n
8 − 1 +
−
−
4
2
9 4 9 2[ 5]
9 13 10 19 13 114 13 127
1
=− − + +
+ − =− − − =− − =− =− =−21
6
6
6
6 6 6
EJERCICIO 61
1. 7am 8am 9am 10am
↓ ↓ ↓ ↓
+ 5 + 2 −1 −4
∃ ∃ ∃ ∃
3. x − 3xy x
2 2
3xy − y − x + y
2 2 2
2 2 2
x − y y Rta
2
4. 3x
− 5x+
6
2
− 3x + 8x−6
Rta
3x
5. 3
2
2a
− 3a+
8
2
2a − 3a+ 5 8a+
5
2
2a − 3a+ 8
2
2a + 5a+
13 Rta
{ [ ]}
{ }
6. ( ( ))
2 2 2
=−3x − − [ 4x + 5x−( x −x−6)
]
2 2 2
=−3x −{ − [ 4x + 5x − x + x+
6]
}
{ }
6.
2 2 2
−3x − − 4x + 5x− x − x+
6
2 2 2 2
= −3x − − 3x −6x− 6 =− 3x + 3x + 6x+ 6= 6x+
6

2
7. ( )( ) ( )
2 2
= x − xy+ xy− y − ( x+ y)( x+
y)
2 2 2 2
= x − y − ( x + 2xy+
y )
7.
x+ y x− y − x+
y
= x − y − x −2xy−
y
2 2 2 2
=−2xy
−2y
8.
a= 2 b= 3 c=
1
( a b) ( c b)
3 + −4
− +
( ) ( )
= 32+ 3−41− 3+
2
( )
= 35 ⋅ −4 − 2 +
− 2
− 2
c−
b
− a
1−
3
− 2
= 15+ 8 + 1 = 23+ 1=
24
9. 3x − 5y 2x + 5xy+
6y
2 2 2 2
2 2 2
− x + 3xy− y − x −5xy
2x + 3xy− 6y x + 6y
2 2 2 2
10. 2 1 1
a − ab+
b
3 2 5
1 2 3
2
a + ab−2b
2 4
2x + 3xy−6y
x
2 2
+ 6y
2 2
2
3x + 3xy Rta
2 2
1 4 1 3 1 2 2
a − a b+
a b
3 4 10
1 3 3 2 2 3 3
+ ab− ab + ab
2 8 20
4
2
− ab + ab − b
3
5
2 2 3 4
1 1 193 23 2
a + a b− a b + ab − b
3 4 120 20 5
4 3 2 2 3 4
5 3 2
11. x − x + 5x
4 2
− 2x + 2x −10x
3
+ 6x
− 6x+
30
5 4 3 2
x − 2x + 5x + 7x − 16x+ 30
2
x − 2x+
6
5 4 3
− x + 2x −6x 3
x − x+
5
−
3
x
2
+ 7x −16x
+
3
x
2
− 2x + 6x
2
5x
− 10x+
30
2
− 5x
+ 10x−30
15.
12.
1 3 1 2 1 3 1 1
a − ab + b a+
b
4
90 15 2 3
1 1
1 1 1
− a − a b a − ab+
b
4 6
2 3 5
3 2 2 2
1 2 1 2
− ab−
ab
6 90
1 1
1
1
ab+ ab a + ab + b
6 9
2
5
2 2 2 2
1 1 1 1 1
ab + b − a + ab − b
10 15 2 3 5
2 3 2 2
1 2 1 3 3+
1 4
− ab − b ab = ab
10 15
3 3
13. −3ab − b a − a b + b
2ab+ 3ab − b − 2ab+
2b
2ab −2b a − 3ab+
3b
a − 3a b+
3b
a − ab+
b
2 3 3 2 3
2 2 3 2 3
2 3 3 2 3
3 2 3
2 2
5 4 2 3
a − 3a b + 3a b
4 3 2 4
− ab+ 3ab −3ab
3 2 2 3 5
+ ab − 3ab + 3b
5 4 3 2 4 5
a − 4a b+ 4a b − 3ab + 3b
3 14. x −
2
5x + 4x
2
− 6x − 6x+ 3
3 2
2x − 16x + 5x+
12
−
2
8x + 8x−3 3 2
− x + 19x −6x
3 2
x − 19x + 6x 3
x +
2
3x − x + 12
3 2
x + 3x − x + 12
2
x − x+
3
3 2
− x + x − 3x x+
4
2
4x
− 4x+
12
2
− 4x
+ 4x−12
2
2 2 2 2
15. ( 2+ x) ( 1+ x ) −( x − 2)( x + x− 3) = x ( 3x+ 10) + 2( 3x−1)
2 2 4 3 2 3 2
( 4+ 4x+ x )( 1+ x ) − ( x + x −5x − 2x+ 6)
= 3x + 10x + 6x−2
2 3 3 2 3 2
4+ 5x + 4x+ 4x − x + 5x + 2x− 6 = 3x + 10x + 6x−2
3 2 3 2
3x + 10x + 6x− 2= 3x + 10x + 6x−2

16.
x=− 2 y=
1
2 2
( x+ y) ( x− y) + 2( x+ y)( x−
y)
2 2
= ( − 2+ 1) ( −2− 1) + 2( − 2+ 1)( −2−1)
2 2
= ( −1) ( − 3) + 2( −1)( −3)
= 19 ⋅ + 23 ⋅ = 9+ 6=
15
2
17. x + 2x+
8
2
x+ 4 x + 4x+
6
2
x−6 4x −8x−3
Rta
2 2
x + 4x+ 6 5x − 4x+
3
18. { ( ) ( )} [( ) ( )]
=−{ 3a− b+ a−2a− 2b} =− 2[ a+ b− a+
b]
=− { 2a− 3b} =−2[ 2b]
23.
18.
− 3a+ − b+ a − 2 a+ b − 2 a+ b − a−b
=− 2a+ 3b =−4b
− 4b
2a−
3b
2a−
7b Rta
[ ] [ ( )]
[ ] [ ]
19. ( ( ))
( )
[ ]
19.
5x+ − 3x− x− y 8x+ − 2x+ − x+
y
= 5x+ − 3x− x+ y = 8x+ −2x− x+
y
= 5x+ −2x− y = 8x− 3x+
y
= 5x−2x− y = 5x+
y
= 3x−
y
5x+
y
3x−
y
[ ( )]
[ ]
2
15x
+ 3xy
−5xy
− y
2 2
15x −2xy−
y Rta
1 1 5 1 1 1
20.
x + x y+ xy + y x − xy+
y
4 24 12 3 2 4
1
3
1
2
1
2
1 1
− x + x y − xy x+
y
4 8 2
2 3
1
2
1
2
1
3
xy− xy + y
6 12 3
1
2
1
2
1
3
− xy+ xy − y
6 12 3
3 2 2 3 2 2
2x+ −5x− x− y − 4x + y
= 2x+ −5x− x+ y −
1 1
x − y
2 3
8 1 3 1
= 2x+ [ − 6x + y]
− + x+ y
2 3
= 2x− 6x+ y
9
− x+ y
2 3
Rta
=− 4x+
y
2
21.
2 2 2 2
[ x − 3x+ 2 ][ x + ( − x+ 3)
] = x ( x − 4x+ 4) − ( 7x+
6)
21. ( )
[ ][ ]
2 2 4 3 2
x −3x−2 x − x+ 3 = x − 4x + 4x −7x−6
4 3 2 3 2 2 4 3 2
x − x + 3x − 3x + 3x −9x− 2x + 2x− 6 = x − 4x + 4x −7x−6
4 3 2 4 3 2
x − 4x + 4x −7x− 6= x − 4x + 4x −7x−6
[ ] [ ( ) ( )]
2 2 2 2
22.
x x+ y − x x− y 2 x + y −3
x − y
2 2 2 2 2 2
= x + xy− x + xy = 2x + 2y − 3x + 3y
22.
( ) ( )
= 2xy = − x + 5y
2 2
− x + 5y − 2x y+
10xy
2 2 3 3
3 3
2xy 4x y − 7xy Rta
− 2xy+ 10xy 2xy + 3xy
3 3 3 3
3 3 2 2
23. x −y x− y x + 3xy−y
24.
3 2 2 2 2 2
− x + x y x + xy + y x + xy + y
2 4 3 2 2
xy x + 3xy−xy
2 2 3 2 2 3
− xy+ xy + xy+ 3xy − xy
2 2 2 3 4
xy + x y + 3xy −y
2 3 4 3 2 2 3 4
− xy + y x + 4x y + 3x y + 2xy −y Rta
2 2 2 2
24. ( x − y)( x + xy+ y ) − ( x+ y)( x − xy+
y )
3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3
= x + x y+ xy − x y− xy − y −[ x − x y+ xy + x y− xy + y ]
3 3 3 3
= x − y − [ x + y ]
= x − y − x − y
=−2y
3 3 3 3
3
25.
a= 4 b= 9 c=
25
=
ab
c
9b
+ 2 − − −
a
( b a) 2 3( c b)
49 ⋅
+ 29−4
25
99 ⋅
4
c
b
( ) 2
−325 ( −9)
25
9
36 81
= + 25 ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅
25 16 316 5 6
3 5 10 9 4 48 5 3
6 45 12 + 225−800
= + − 80 =
= − 563
=−56
5 2
10 10
3
10
3 2 2
26. x + 3x −4x− 12 x+ 3 x − 4 = x−2
3 2 2
−x −3x x −4
−4x
−12
?
2
+ 4x+ 12 x −4 x−2
2
x + 2x x+
2 Rta
2x
− 4
− 2x
+ 4

{ } [ ( ) ]
27. ( ( ))
{ }
2 2 2
= 4x −{ 3x−( x −4− x)
} + [ x −{ x− 3}
] Si x= −2
2 2 2 2
= 4x −{ 3x− x + 4+ x} + [ x − x+ 3]
6x −5x−1
2 2 2
2
x x x x x
( ) ( )
2 2 2
27.
4x − 3x− x − 4+ x + x − x+ −3
29.
= 4 − 4 + − 4+ − + 3 = 6 −2 −5 −2 −1
2
= 6x
−5x− 1 = 6( 4)
+ 10−1
= 24 + 10− 1 = 33
[ ]
29. ( a + b )( a+ b)( a− b) = a − 3a+ 2( a+ 2) − 4( a+ 1)
− a+
b
2 2 2 2 4 4
( a + b )( a − ab+ ab− b ) = a − [ 3a+ 2a+ 4−4a−4− a+
b ]
2 2 2 2 4 4
( a + b )( a − b ) = a −[ b ]
2 2 4 4
a − a b + a b − b = a −b
4 2 2 2 2 4 4 4
a − b = a −b
4 4 4 4
2
28. x + 7 x −5
2 4 3
x −9 x − 11x + 21x Rta
4 3 2 3 2
x + 7x −5x 18x −14x − 84x+
45
2 4 3 2
− 9x − 63x+ 45 x + 7x −14x − 63x+
45
4 3 2
x + 7x −14x − 63x+
45
30. 3 −
2
x + ( − 3x+ 4) −( − x+
3)
3 2
x + 5x − 6
2
= −[ x − 3x+ 4+ x−3]
3 2
x + 5x − 3
2
= −[ x − 2x+
1]
30.
[ ]
2
=− x + 2x−1
3 2
x + 5x −3 2
x − x + 2
x+ 1
2
− x + 2x−1
3 2
x + 5x + x− 2 Rta x + 1
EJERCICIO 62
1. (
2
)
2. (
2
)
2
m+ 3 = m + 6m+
9
2
5+ x = 25+ 10x+
x
2
3. 3.( 6a+ b)
= 36a + 12ab+
b
4. (
2
)
5. (
2
)
6. (
2
)
7.
2 2
9 + 4m = 81+ 72m+
16m
2
7x+ 11 = 49x + 154x+
121
x+ y = x + 2xy+
y
7. ( )
2 2
1+ 3x = 1+ 6x + 9x
2 2 2 4
2
2 2
8. 8.( 2x+ 3y)
= 4x + 12xy+
9y
2 2 9. 9.( ax by)
2 4 2 2 2 2 4
+ = ax + 2axby + by
EJERCICIO 63
1. (
2
)
2. (
2
)
3. (
2
)
4. (
2
)
5. (
2
)
2
a− 3 = a − 6a+
9
2
x− 7 = x − 14x+
49
9− a = 81− 18a+
a
2a− 3b = 4a − 12ab+
9b
2
2
2 2
2 2
4ax − 1 = 16a x − 8ax
+ 1
a − b = a − 2a b + b
3 3 2 6 3 3 6
6. ( )
7. ( )
3a − 5b = 9a − 30a b + 25b
4 2 2 8 4 2 4
10.
3a + 8b = 9a + 48a b + 64b
10. ( )
3 4 2 6 3 4 8
5 6 11. 11.( 4 5 )
2 10 5 6 12
m + n = 16m + 40m n + 25n
7ab + 5x = 49ab + 70abx + 25x
2 3 4 2 4 6 2 3 4 8
12. ( )
13. ( )
14. ( )
15. ( )
16. (
2
)
17. ( )
18. ( )
4ab + 5xy = 16a b + 40ab xy + 25x y
2 3 2 2 4 2 3 2 6
8xy+ 9m = 64xy + 144xym + 81m
2 3 2 4 2 2 3 6
x + 10y = x + 20x y + 100y
10 12 2 20 10 12 24
+
a + a = a + 2a + a
m n 2m m n 2n
a + b = a + 2a b + b
x x+ 1 2 2x x x+ 1 2x+
2
x + y = x + 2x y + y
a + 1 x− 2 2 2a+ 2 a+ 1 x−2 2x−4
2
2
8. ( )
9. ( )
10. ( )
4 2
x − 1 = x − 2x
+ 1
x − 3ay = x − 6ax y + 9a y
5 2 2 10 5 2 2 4
a − b = a − 2a b + b
7 7 2 14 7 7 14
11.
2m− 3n = 4m − 12mn+
9n
11. ( )
12. ( )
13. (
2
)
14. (
2
2
)
15. ( )
2
2 2
10x − 9xy = 100x − 180xy + 81xy
3 5 2 6 4 5 2 10
x − y = x − 2x y + y
m n 2m m n 2n
x− 2x−4 x−2
a − 5 = a − 10a
+ 25
x − 3x = x − 6x + 9x
a+ 1 a− 2 2 2a+ 2 2a−1 2a−4

EJERCICIO 64
1. ( )( )
2. ( )( )
3. ( )( )
4.
x+ y x− y = x − y
2 2
m− n m+ n = m −n
2 2
a− x x+ a = a − x
4. ( )( )
2 2
x + a x − a = x −a
2 2 2 2 4 4
2
5.
2a− 1 1+ 2a = 4a
−1
5. ( )( )
6. ( n− )( n+ 2
) = n −
7. ( )( )
8. ( )( )
1 1 1
1− 3ax 3ax + 1 = 1−9a 2 x
2
2
2m+ 9 2m− 9 = 4m
−81
a − b a + b = a −b
3 2 3 2 6 4
9. ( )( )
10. 10.( )( )
y − 3y y + 3y = y −9y
2 2 4 2
11.
1− 8xy 8xy + 1 = 1−64x 2 y
2
11. ( )( )
6x − m x 6x + m x = 36x −m x
2 2 2 2 4 4 2
12. ( )( )
13. ( + )( − ) = −
14. ( )( )
15. 15.( )( )
a b a b a b
m n m n 2m 2n
3x − 5y 5y + 3x = 9x −25y
a m m a 2a 2m
a − 2b 2b + a = a −4b
x+ 1 x−1 x− 1 x+ 1 2x+ 2 2x−2
EJERCICIO 65
1.
x+ y+ z x+ y− z = x + 2xy+ y −z
1. ( )( )
2. ( )( )
3. ( )( )
4. ( )( )
5. ( )( )
6. ( )( )
7.
2 2 2
x− y+ z x+ y− z = x − y + 2yz−z
2 2 2
x+ y+ z x− y− z = x − y −2yz−z
2 2 2
2 2
m+ n+ 1 m+ n− 1 = m + 2mn+ n −1
2 2
m−n−1 m− n+ 1 = m + n −2mn−1
2 2
x+ y−2 x− y+ 2 = x − y + 4y−4
2 2 4 2
n + 2n+ 1 n −2n− 1 = n −4n −4n−1
7. ( )( )
8.
2 2 4 2
a − 2a+ 3 a + 2a+ 3 = a + 2a
+ 9
8. ( )( )
9. ( )( )
2 2 4 2
m −m− 1 m + m− 1 = m − 3m
+ 1
10. ( )( )
11. ( )( )
2a−b−c 2a− b+ c = 4a − 4ab+ b −c
2 2 2
2x+ y−z 2x− y+ z = 4x − y + 2yz−z
12. ( )( )
13. ( )( )
14. ( )( )
2 2 2
2 2 4 2
x − 5x+ 6 x + 5x− 6 = x − 25x + 60x−36
a − ab+ b a + b + ab = a + a b + b
2 2 2 2 4 2 2 4
x − x − x x + x + x = x − x −2x − x
3 2 3 2 6 4 3 2
EJERCICIO 66
1. (
3
)
2. (
3
)
3. (
3
)
4. (
3
)
3 2
a+ 2 = a + 6a + 12a+
8
3 2
x− 1 = x − 3x + 3x−1
3 2
m+ 3 = m + 9m + 27m+
27
3 2
n− 4 = n − 12n + 48n−64
EJERCICIO 67
5. (
3
)
6. ( )
7.
3 2
2x+ 1 = 8x + 12x + 6x+
1
1− 3y = 1− 9y+ 27y −27y
7. ( )
2 3
2 + y = 8 + 12y + 6y + y
2 3 2 4 6
8. 8.( 1− 2n)
3
= 1 − 6n+ 12n −8n
2 3
3 2
9.
4n+ 3 = 64n + 144n + 108n+
27
9. ( )
10.
3
a − 2b = a − 6a b+ 12a b −8b
2
10. ( )
3
11. ( )
3
6 4 2 2 3
11.
2x+ 3y = 8x + 36x y+ 54xy + 27y
12.
12. ( )
3 2 2 3
1− a = 1− 3a + 3a −a
2 3 2 4 6
1. ( )( )
2. ( )( )
3. ( )( )
4. ( )( )
5. ( )( )
6. ( )( )
7. ( )( )
8. ( )( )
2
a+ 1 a+ 2 = a + 3a+
2
2
x+ 2 x+ 4 = x + 6x+
8
2
x+ 5 x− 2 = x + 3x−10
2
m−6 m− 5 = m − 11m+
30
2
x+ 7 x− 3 = x + 4x−21
2
x+ 2 x− 1 = x + x−2
2
x−3 x− 1 = x − 4x+
3
2
x− 5 x+ 4 = x − x−20
9. ( )( )
10. ( )( )
11.
2
a− 11 a+ 10 = a −a−110
2
n− 19 n+ 10 = n −9n−190
2 2 4 2
a + 5 a − 9 = a −4a
−45
11. ( )( )
12. ( )( )
13. ( )( )
14. ( )( )
15. ( )( )
16. ( )( )
2 2 4 2
x −1 x − 7 = x − 8x
+ 7
2 2 4 2
n − 1 n + 20 = n + 19n
−20
3 3 6 3
n + 3 n − 6 = n −3n
−18
3 3 6 3
x + 7 x − 6 = x + x −42
4 4 8 4
a + 8 a − 1 = a + 7a
−8
17. 17.( )( )
18. ( )( )
5 5 10 5
a − 2 a + 7 = a + 5a
−14
6 6 12 6
a + 7 a − 9 = a −2a
−63
2 2
19.
ab + 5 ab − 6 = a b −ab
−30
19. ( )( )
2 2 2 4 2
xy − 9 xy + 12 = x y + 3xy
−108
20. ( )( )
21. ( )( )
22. 22.( )( )
23. ( )( )
2
24. ( )( )
2 2 2 2 4 4 2 2
ab − 1 ab + 7 = ab + 6ab
−7
3 3 3 3 6 6 3 3
xy − 6 xy + 8 = xy + 2xy
−48
x x x x
a − 3 a + 8 = a + 5a
−24
x+ 1 x+ 1 2x+ 2 x+
1
a −6 a − 5 = a − 11a
+ 30

EJERCICIO 68
1. ( x+ 2
2
) = x + x+
2. ( )( )
2
2
3. ( x+ 1)( x− 1)
= x −1
2
2
4. ( x− 1)
= x − 2x+
1
5. ( )( )
2
6. ( m )( m )
2
m
7. ( )( )
8. ( 1
3
) 1 3 3
9.
2 4 4
x+ 2 x+ 3 = x + 5x+
6
n+ 3 n+ 5 = n + 8n+
15
− 3 + 3 = −9
2 2
a+ b− 1 a+ b+ 1 = a + 2ab+ b −1
+ b = + b+ b + b
9. ( )( )
10. ( )
2 3
2 2 4
a + 4 a − 4 = a −16
3ab − 5x = 9a b − 30abx + 25x
11. ( )( )
12. (
2
)
2 2 2 2 2 4
11.
ab + 3 3− ab = 9−a b
13.
2 2
1− 4ax = 1− 8ax + 16a x
13. ( )( )
2 2
2 2 4 2
a + 8 a − 7 = a + a −56
14. ( )( )
2
15. ( 1− a)( a+ 1)
= 1−a
16. ( )( )
17.
2 2
x+ y+ 1 x− y− 1 = x − y −2y−1
2
m− 8 m+ 12 = m + 4m−96
2 2 4 2
x − 1 x + 3 = x + 2x
−3
17. ( )( )
18. ( )( )
19. ( )
3 3 6 3
x + 6 x − 8 = x −2x
−48
5x + 6m = 25x + 60x m + 36m
3 4 2 6 3 4 8
20.
4 4 8 4
x − 2 x + 5 = x + 3x
−10
20. ( )( )
21.
1− a+ b b−a− 1 = − 1+ a − 2ab+
b
21. ( )( )
a + b a − b = a − b
x n x n 2x 2n
22. ( )( )
23. ( )( )
24. ( )( )
2 2
a+ 1 a+ 1 2a+ 2 a+
1
x − 8 x + 9 = x − x −72
ab + c ab − c = ab −c
25. ( )
2 2 2 2 2 2 4 4 4
3
25.
2a+ x = 8a + 12a x+ 6ax + x
26. ( )( )
27. ( )
28. ( )( )
29. ( )( )
30. ( )( )
3 2 2 3
2 2 4 2
x −11 x − 2 = x − 13x
+ 22
2a − 5b = 4a − 20a b + 25b
3 4 2 6 3 4 8
3 3 6 3
a + 12 a − 15 = a −3a
−180
m − m+ n n+ m+ m = m + 2m n+ n −m
2 2 4 2 2 2
4 4 8 4
x + 7 x − 11 = x −4x
−77
31.
11− ab = 121− 22ab + a b
31. ( )
32. ( )( )
33. 33.( )( )( )
34. ( )( )( )
35. ( )( )( )
36. ( )( )( )
2
2 2
2 3 2 3 4 6 2 3
xy − 8 xy + 6 = xy −2xy
−48
a+ b a−b a − b = a − 2a b + b
2 2 4 2 2 4
2 4 2
x+ 1 x−1 x − 2 = x − 3x
+ 2
2 4
a+ 3 a + 9 a− 3 = a −81
2 4 2
x+ 5 x− 5 x + 1 = x −24x
−25
37. ( )( )( )( )
38. ( )( )( )( )
4 2
a+ 1 a− 1 a+ 2 a− 2 = a − 5a
+ 4
4 2
a+ 2 a−3 a− 2 a+ 3 = a − 13a
+ 36
EJERCICIO 69
2
1. x −1
x 1
x + 1
= −
2
2. 1 − x
= 1+
x
1−
x
3. x − y
x+
y
2 2
4. y − x
y−
x
2 2
= x−y
= y+
x
5. x 2
− 4
= x −2
x + 2
4
6. 9 − x
3 − x
2
2
= 3+
x
2 2
7. a − 4 b
a+
2b
25 − 36x
8. 2
5−6x
= a−
2b
4
2 2 4
9. 4 x − 9 m n
2
2x+
3mn
2
= 5+
6x
2
= 2x−3mn
2 2 4
36m
− 49n x
2
10. = 6m+
7nx
2
6m−
7nx
6 8
81a
−100b
11. 3 4
9a
+ 10b
ab − 4xy
12. ab + 2xy
13. x n
− y
n
x + y
4 6 8 10
2 3 4 5
2 2n
n
n
= x −y
3 4
= 9a
−10b
2 3 4 5
= ab + 2xy
n
14. a a
2x
+ 2
x + 1
−100
x + 1
= a + 10
−10
15. 1 9 2m
+ 4
− x
m + 2
= 1−3x
m + 2
1+
3x
( )
2
2
x+ y −z
16. ( x+ y)
−z
2
1− ( a+
b)
17.
1+ ( a+
b)
2
4 − ( m+
n)
18.
2 + ( m+
n)
2
2
x −( x−
y)
19.
x+ ( x−
y)
( )
2
a+ x −9
20. ( a+ x)
+ 3
= x+ y+
z
= 1−a−b
= 2 −m−n
= y
= a+ x−3

EJERCICIO 70 EJERCICIO 71
1. 1 3
+ a
2
= 1− a+
a
1+
a
1. x 4 y 4
− 3 2 2 3
= x + x y+ xy + y
2. 1 x−
y
2. m 5 n 5
+ 4 3 2 2 3 4
= m − m n+ m n − mn + n
m+
n
3
−a
2
= 1+ a+
a
1−
a
3. a 5 n 5
− 4 3 2 2 3 4
= a + a n+ a n + an + n
3. x 3 y
a−n
3
+ 2 2
= x − xy+
y
x+
y
4. x 6 y 6
− 5 4 3 2 2 3 4 5
= x − x y+ x y − x y + xy −y
4. 8 3
a − 1
x+
y
2 1 4 2
a
a
2 a
− = + + 1
5. a 6 b 6
− 5 4 3 2 2 3 4 5
= a + a b+ a b + a b + ab + b
5. 8 3 27
a−b
3
x + y 2 2
= 4x − 6xy+
9y
2x+
3y
6. x 7 y 7
+ 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
= x − x y+ x y − x y + x y − xy + y
3 3
x+
y
27m
−125n
2 2
6. = 9m + 15m+
25n
3m−
5n
7. a 7 m 7
−
3
64a
+ 343
a m a 6 a 5 m a 4 m 2 a 3 m 3 a 2 m 4 am 5 m 6
= + + + + + +
−
2
7. = 16a
− 28a+
49
4a
+ 7
8. a 8 b 8
− 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
= a − a b+ a b − a b + a b − a b + ab −b
3
216 −125y
a+
b
2
8. = 36 + 30y+
25y
6−
5y
9. 1 3 3
9. x 10 y 10
− 9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9
= x + x y+ x y + x y + x y + x y + x y + x y + xy + y
+ ab
x−
y
2 2
= 1− ab + a b
1+
ab
3
10. m 9 n 9
+ 8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
= m − m n+ m n − m n + m n − m n + m n − mn + n
729 − 512b
m+
n
2
10. = 81+ 72b+
64b
9−
8b
11. ax 3 3 b 3
+
11. m 9 n 9
− 8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
= m + m n+ m n + m n + m n + m n + m n + mn + n
2 2 2
m
= ax − axb+
b
−n
ax + b
12. n 3 m 3 x 3
−
12. a 10 x 10
− 9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 9
= a − a x+ a x − a x + a x − a x + a x − a x + ax −x
2 2 2
= n + nmx+
m x
a+
x
n − mx
13. x 6 y 3
− 27 4 2 2
13. 1 5
−n
2 3 4
= 1+ n+ n + n + n
= x + 3x y+
9y
1−
n
14. 1 6
−a
2 3 4 5
= 1+ a + a + a + a + a
1−
a
2
x − 3y
14. 8 9 9
a + y 6 3 3 6
= 4a − 2a y + y
15. 1 7
+ a
2 3 4 5 6
= 1− a + a − a + a − a + a
1+
a
3 3
2a
+ y
15. 1 12
− x
4 8
= 1+ x + x
16. 1 8
−m
2 3 4 5 6 7
= 1− m + m − m + m − m + m −m
4
1+
m
1−
x
16. 27 6
x + 1
3 1 9 4 3 2
x x 1
2
x + = − +
17. x 4
−16
3 2
= x + 2x + 4x+
8
x − 2
17. 64 3 9
a + b 2 3 6
= 16a − 4ab + b
18. x 6
−64
5 4 3 2
= x − 2x + 4x − 8x + 16x−32
3
x + 2
4a+
b
18. a 6 b 6
− 4 2 2 4
= a + a b + b
19. x 7
−128
6 5 4 3 2
= x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x+
64
2 2
x − 2
a −b
15
125 − 343x
5 10
19. = 25 + 35x
+ 49x
20. a 5
+ 243 4 3 2
= a − 3a + 9a − 27a+
81
5
5−
7x
a + 3
20. n 6
+ 1 4 2
n n 1
2
n + = − + 21. x 6
−729
5 4 3 2
= x + 3x + 9x + 27x + 81x+
243
x −3
1

22. 625 − x
x + 5
4
2 3
= 125 − 25x+ 5x −x 23. m 8
− 256 7 6 5 4 3 2
= m + 2m + 4m + 8m + 16m + 32m + 64m+
128
m−2
24. x 10
−1
9 8 7 6 5 4 3 2
= x + x + x + x + x + x + x + x + x+ 1
x −
25. x + 243 y
1
x+
3y
5 5
= x − 3x y+ 9x y − 27xy + 81y
4 3 2 2 3 4
26. 27. 4 4
16a
− 81b
2a−
3b
6 6
64m
−729n
2m+
3n
3 2 2 3
= 8a + 12a b+ 18ab + 27b
5 4 3 2 2 3 4 5
= 32m − 48m n+ 72m n − 108m n + 162mn + 243n
10
28. 1024 . x − 1 9 8 7 6 5 4 3 2
= 512x + 256x + 128x + 64x + 32x + 16x + 8x + 4x + 2x+
1
2x
−1
9 9
29. 512 a + b
2a+
b
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
= 256a − 128a b+ 64a b − 32a b + 16a b − 8a b + 4a b − 2ab + b
30. a 6
−729
5 4 3 2
= a + 3a + 9a + 27a + 81a+
243
a −3
EJERCICIO 72
1. x + y
x + y
6 6
2 2
2. a − b
a + b
8 8
2 2
3. m − n
m −n
10 10
2 2
4. a − b
a + b
12 12
3 3
5. a − x
a − x
12 12
3 3
6. x + y
x + y
7. m m
15 15
3 3
12
4
= x − x y + y
4 2 2 4
= a − a b + a b −b
6 4 2 2 4 6
8 6 2 4 4 2 6 8
= m + m n + m n + m n + n
= a − a b + a b −b
9 6 3 3 6 9
= a + a x + a x + x
9 6 3 3 6 9
= x − x y + x y − x y + y
+ 1 8 4
m m 1
+ 1
= − +
12 9 3 6 6 3 9 12
8. m − n
m −n
16 16
4 4
9. a − b
a + b
18 18
3 3
10. x − y
x + y
20 20
5 5
11. m + n
m + n
12. x x
21 21
24
6
3 3
13. a + b
a + b
= m + m n + m n + n
12 8 4 4 8 12
= a − a b + a b − a b + a b −b
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15
15 10 5 5 10 15
= x − x y + x y −y
18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18
= m − m n + m n − m n + m n − m n + n
−1
18 12 6
x x x 1
− 1
= + + +
25 25
5 5
14 a − m
a −m
30 30
6 6
= a − a b + a b − a b + b
20 15 5 10 10 5 15 20
= a + a m + a m + a m + m
24 18 6 12 12 6 18 24
EJERCICIO 73
1. x 4
−1
2
= x −1
2
1+
x
3 6
2. 8 m + n
= 4m − 2mn + n
2
2m+
n
5
3. 1 −a
1−
a
2 2 4
2 3 4
= 1+ a+ a + a + a
6 3
4. x − 27 y
2
x − 3y
5. x − 49 y
3 3
x + 7y
6 6
6. a − b
a −b
14 14
2 2
4 2 2
= x + 3x y+
9y
= x −7y
3 3
= a + a b + a b + a b + a b + a b + b
12 10 2 8 4 6 6 4 8 2 10 12

3
7. 1 + a
1+
a
= 1− a+
a
2 4 6
16xy
− 25m
8. 2 3
4xy
+ 5m
9. x + y
x + y
27 27
3 3
10. a + y
a + y
27 27
9 9
11. ab −64
x
2 2 3
ab + 8x
4 4 6
2 4 8
12. 1 − abc
2 4
1−
ab c
32x
+ 243y
13. 2x+
3y
2
2 3
= 4xy
−5m
= x − x y + x y − x y + x y − x y + x y − x y + y
24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24
= a − a y + y
5 5
( )
( )
25− a + 1
14.
5+ a + 1
12
15. 1 − x
1−
x
4
18 9 9 18
= ab −8x
= 1+
ab c
2
2 2 3
2 4
4 3 2 2 3 4
= 16x − 24x y+ 36x y − 54xy + 81y
= 4 −a
4 8
= 1+ x + x
EJERCICIO 74
2
1. x − 2x+ 3÷ x−1
2
= − ⋅ +
1 2 1 3
= 1− 2+ 3=
2
6 9
64x
− 343y
16. 2 3
4x
− 7y
17. a − b
a + b
18.
18 18
3 3
( )
2
18.
( )
a+ x − y
a+ x − y
11
4 2 3 6
= 16x + 28x y + 49y
= a − a b + a b − a b + a b −b
2
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15
= a+ x+
y
19. 1 + x 10 9 8 7 6 5 4 3 2
1
+ 1
= x − x + x − x + x
x
− x + x − x + x − x +
20. x − y
x − y
40 40
8 8
21. 9 − 36 x
3+
6x
3 2
2.
x − 3x + 2x− 2÷ x+
1
8
10
5
= x + x y + x y + x y + y
32 24 8 16 16 8 24 32
5
= 3−6x
22. x − 256 7 6 5 4 3 2
= x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x+
128
x − 2
3 2
( ) ( ) ( )
= −1 −3 − 1 + 2 −1 −2
=−1−3−2 − 2 =−8
4 3 2
5. m + m − m + 5÷ m−4
4 3
3. x − x + 5÷ x−2
4 3
= − +
2 2 5
= 16 − 8 + 5 = 13
5 4 3 2
6.
x + 3x − 2x + 4x − 2x+ 2÷ x+
3
5 4 3 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
= 4 + 4 − 4 + 5
= − 3 + 3 −3 −2 − 3 + 4 −3 −2 − 3 + 2
4 3 2
4.
a − 5a + 2a − 6÷ a+
3
= 256 + 64 − 16 + 5 = 309
4 3 2
=− 243+ 3⋅81−2 ( − 27)
+ 4⋅ 9 + 6 + 2
= ( −3) −5( − 3) + 2( −3)
−6
8. = 81−5( − 27)
+ 2⋅9 −
6 3 2
x + x + 3 x+ 5 ÷ 2 x+
1 =− 243+ 243+ 54 + 36 + 8 = 98
6
3 2
⎛ 1⎞
1 1
= 81+ 135+ 18 − 6 = 228
= 6⎜
−
3 5
⎝ 2⎠
⎟ + ⎛
− ⎞
⎜
⎝ 2⎠
⎟ + ⎛
− ⎞
⎜ ⎟+
3
⎝ 2⎠
9. 12x − 21x+ 90 ÷ 3x−3
3
⎛ 1⎞
1 3
5 3
7. a − 2a + 2a− 4÷ a−5
6
8 4 2 5 3 1 3 = 12⋅1 −21⋅ 1+
90
= ⎜ − ⎟ + − + = − + − +
⎝ ⎠
4 4 2 5 = 12 − 21+ 90 = 81
5 3
= 5 −2⋅ 5 + 2⋅5−4
3 1 6 20 12
= − + − + = = 3
= 3.
125 −2⋅ 125 + 10−4
4 4
6 4 2
12. a + a − 8a + 4a+ 1 ÷ 2a+
3
4 3 2
= 3. 125 − 250 + 10 − 4 = 2.
881
11. 5x − 12x + 9x − 22x+ 21 ÷ 5x−2
6 4 2
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
5 2 4
12 2 3
9 2 2
= ⎛ 22 2 21
3 2
10.15 x − 11x + 10x+ 18 ÷ 3x+
2
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ − ⎜ ⎟ + ⎛ = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ −8⎜
− ⎟ + 4⎜
− ⎟+ 1
5⎠
⎝ 5⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎟ − ⎜ ⎟ +
5⎠
⎝ 5⎠
729 81
3 2
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
⎛ 2⎞
5 16
= 15⎜
− ⎟ −11⎜
− ⎟ + 10⎜
− ⎟ + 18
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
625 12 8
125 9 4 44
64 16 8 9 12
= + − ⋅ − + 1
4 2
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − + 21
25 5
729 81
729 81
= + − 18− 6 + 1= + −
⎛ 8 ⎞
15 11 4 16 96 36 44
64 16
64 16 23
20
= − + − + 21
= ⎜ − ⎟− ⋅ − + 18 125 125 25 5
729 + 324 −1.
472 419
⎝ 27⎠
9 3
=
=−
80 36 44
64
64
40 44 20
=− + − + 21
=− − − + 18
125 25 5
9 9 3
40 44 60 162 18
= − − − + 80 180 1 100 2 625 1 625
= − + − . + . .
= = 13
= = 2
125
125
9 9

EJERCICIO 75
2
1. x − 7x+ 5÷ x−3
1 − 7 5 3
3 −12
1 −4 −7
= x−4 Re s.
−7
2
2. a − 5a+ 1÷ a+
2
1 −5 1 −2
− 2 14
1 −7 15
= a−7 Re s.
15
3 2
3. x − x + 2x − 2÷ x+
1
1 −1 2 −2 −1
−1 2 −4
1 −2 4 −6
2
= x − 2x+ 4 Re s.
−6
3 2
4. x − 2x + x − 2÷ x−2
1 −2 1 −2 2
2 0 2
1 0 1 0
2
= x + 1 Re s.
0
3 2
5. a −3a − 6÷ a+
3
1 −3 0 −6 −3
−3 18 −54
1 −6 18 −60
2
= a − 6a+ 18 Re s.
−60
EJERCICIO 76
4 3
6. n − 5n + 4n− 48÷ n+
2
1 −5 0 4 −48 −2
−2 14 −28 48
1 −7 14 −24 0
3 2
= n − 7n + 14n−24 Re s.
0
4
7. x − 3x+ 5 ÷ x−1
1 0 0 − 3 5 1
1 1 1 −2
1 1 1 − 2 3
3 2
= x + x + x−2 Re s.
3
5 4 3 2
8. x + x −12 x − x −4 x − 2 ÷ x + 4
1 1 −12 −1 −4 −2 −4
− 4 12 0 4 0
1 −3 0 −1 0 −2
4 3
= x −3x −x Re s.
−2
5 3
9. a − 3a + 4a− 6 ÷ a−2
1 0 −3 0 4 −6 2
2 4 2 4 16
6 5 4 3 2
11. x − 3x + 4x −3x − x + 2 ÷ x+
3
1 −3 4 − 3 −1 0 2 −3
−3 18 −66 207 −618 1.
854
1 −6 22 −69 206 −618 1.
856
5 4 3 2
= x − 6x + 22x − 69x + 206x−618 Re s. 1.
856
3 2
12. 2x − 3x + 7x− 5 ÷ 2x−1
2 −3 7 − 5
1 −1 3
2 −2 6 −2
2
= x − x+ 3 Re s.
−2
13. 3 3 4 2
a − a + 5 a+ 6 ÷ 3 a+
2
3 −4 5 6
−2 4 −6
3 − 6 9 0
2
= a − 2a+ 3 Re s.
0
1
2
−
2
3
4 3 2
14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x−1
3 −4 4 −10 8
1 − 1 1 −3
3 −3 3 −9 5
3 2
= x − x + x−3 Re s.
5
1 2 1 2 8 10
4 3 2
6 4 15 3 2
= a + 2a + a + 2a+ 8 Re s.
10
15. x − x + x + x − 1÷ 2x+
3
8
15
1 0 −1
1 0 −1
−
5 2
x − 208x + 2076 ÷ x−5
8
3 9 15 3 9
1 0 0 − 208 0 2.
076 5 − − 0 −
2 4 8 2 4
5 25 125 −415 −2.
075
10.
3 5
3 5
1 5 25 −83 −415 1 1 −
0 1 −
2 4
2 4
4 3 2
= x + 5x + 25x −83x−415 Re s.
1 1 5 3 4 5 3 1 3 5
= x − x + x + x− Re s.
2 4 8 2 4 4
1
3
3
2
2
1. x − x− 6÷ x−3
Exacta (6 múltiplo de 3)
3 2
2. x + 4x −x− 10÷ x+
2
Exacta (10 múltiplo de 2)
3. 2x 4 − 5x 3 + 7x 2 − 9x+ 3÷ x−1
Inexacta (1 no anula el polinomio)
5 4 3
4. x + x −5x − 7x+ 8÷ x+
3
Inexacta (8 no es múltiplo de 3)
5. 4x 3 −8x 2 −11x− 4÷ 2x−1
Exacta (4 múltiplo de 1)
6. 6x 5 + 2x 4 −3x 3 − x 2 + 3x+ 3÷ 3x+
1
Inexacta (- 1 no anula el polinomio)
3 2
7. a +1 Es factor de a − 2a + 2a+
5
3 2
( ) ( ) ( )
−1 −2 − 1 + 2 − 1 + 5
= −1−2− 2+ 5=
0
No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-
mente al polinomio, por lo que se deduce es
un factor de este.
5 4 3 2
8. x −5 divide a x + 6x + 6x − 5x + 2x−10
5 4 3 2
5 + 6⋅ 5 + 6⋅5 −5⋅ 5 + 2⋅5−10
= 3125 − 3750+ 750 + 125 + 10 − 10 = 0
Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se
anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
5 4 3 2
x + 6x + 6x − 5x + 2x−10

9. 4x − 3
divide a 4x 4 − 7x 3 + 7x 2 − 7x+
3
4 3 2
⎛
4 3 ⎞
⎜ ⎟ −7 ⎛ 3 7 3 7 3 3
⎝ 4⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 4⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 4⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟+
4⎠
324 189 63 21
= − + − + 3
256 64 16 4
324 − 756 + 1. 008 − 1.
344 + 768 0
=
= =
256
256 0
La variable x del dividendo se reemplaza
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el
valor de la variable del divisor. . Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es
un divisor exacto de tal polinomio.
10. 3n + 2 no es factor de
5 4 3 2
3n + 2n −3n − 2n + 6n+ 7
porque 7 no es
múltiplo de - 2 / 3, lo cual
significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio re-
sultará un residuo, por ende la división
no será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio.
3 2
11. 2a −2a − 4a+ 16÷ a+
2
−4 12 −16
2 −6 8 0
Exacta; coc.
2a − 6a
+ 8
4 2
12. a − a + 2a+ 2÷ a+
1
−1 1 0 −2
1 −1 0 2 0
3 2
Exacta; coc.
a − a + 2
4
13. x + 5x− 6÷ x−1
1 1 1 6
11 1 6 0
3 2
Exacta; coc.
x + x + x+
6
6 4 3 2
2
14. x − 39 x + 26 x − 52 x + 29 x − 30 ÷ x −6
6 36 −18 48 −24 30
1 6 −3 8 −4 5 0
5 4 3 2
Exacta; coc.
x + 6x − 3x + 8x − 4x
+ 5
6 5 4 3 2
15. a −4a − a + 4a + a − 8a+ 25÷ a−4
4 0 −4 0 4 −16
1 0 −1 0 1 −4 9
Inexacta; 5 3
coc. a − a + a −4; Re s.
9
4 3 2
16. 16x − 24x + 37x − 24x+ 4 ÷ 4x−1
4 −5 8 −4
16 −20 32 −16 0
3 2
Exacta; coc.
4x − 5x + 8x−4
5
5 4 3 2
17. 15n + 25n −18n − 18n + 17n− 11÷ 3n+
5
−25 0 30 −20 5
15 0 −18 12 − 3 −6
4 2
Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n −1; Re s.
−6
2
18. 7x − 5x + k ÷ x−5
35 150
7 30 0
Sik =−150
se anula
3 2
19. x − 3x + 4x + k ÷ x−2
2 − 2 4
1 −1 2 0
k + 4= 0,
luegok =−4
4
20. 2a + 25a+ k ÷ a+
3
−6 18 −54 87
2 −6 18 −29 0
Parak =− 87 secumpleque k + 87 = 0
3 2
21. 20x − 7x + 29x+ k ÷ 4x
+ 1
−5 3 −8
20 − 12 32 0
k − 8 = 0 entoces k = 8
EJERCICIO 77
1. x + 1
Inexacta Re s.
2
x −1
2. a 4 b 4
+
a b Inexacta Re s . 2
+
b
3. x x
8
2
−1
Exacta
+ 1
4. a 11
+ 1
Inexacta Re s.
2
a − 1
5. a 6 b 6
+
a b Inexacta Re s . 2 b
2 2
+
6. x 7
− 1
Exacta
x −1
3
7. x − 8
Inexacta
x + 2
8. x 4
− 16
Exacta
x + 2
6
4
5
9. a + 32
Inexacta
a − 2
10. x 7
−128
Inexacta
x + 2
4 4
Re s.
64
Re s.
− 256
16a
−81b
11. Exacta
2a+
3b
12. ax 3 6 b 9
+
ax b Exacta
2 3
+
Re s.
−16

EJERCICIO 78
1. 5x= 8x−15
5x− 8x=−15
− 3x
=−15
15
x = − − 3
x = 5
2. 4x
+ 1=
2
4x
= 2−1
4x
= 1
1
x =
4
3. y− 5= 3y−25
y− 3y=− 25+
5
− 2y
=−20
y = − 20
− 2
y = 10
4. 5x+ 6= 10x+
5
5x− 10x= 5−6
− 5x
=−1
1
x = − − 5
1
x =
5
5. 9y− 11=− 10+
12y
9y− 12y=− 10+
11
− 3y
= 1
1
y =−
3
6. 21− 6x= 27 −8x
− 6x+ 8x= 27−21
2x
= 6
6
x =
2
x = 3
7. 11x+ 5x− 1= 65x−36
16x= 65x− 36 + 1
16x− 65x=−35
− 49x
=−35
35
x = − − 49
5
x =
7
8. 8x− 4+ 3x= 7x+ x+
14
11x− 4 = 8x+
14
11x− 8x= 14 + 4
3x
= 18
18
x =
3
x = 6
9. 8x+ 9− 12x= 4x−13−5x
− 4x+ 9=−x−13
− 4x+ x=−13−9
− 3x
=−22
22
x = − − 3
x =
22
3
10. 5y+ 6y− 81= 7y+ 102 + 65y
11y− 81= 72y+
102
11y− 72y= 102 + 81
− 61y
= 183
183
y = − 61
y =−3
11. 16 + 7x− 5 + x= 11x−3
−x
8x+ 11= 10x−3
8x− 10x=−3−11
− 2x
=−14
14
x = − − 2
x = 7
12. 3x+ 101−4x− 33= 108−16x−100
− x+ 68 = 8 −16x
− x+ 16x= 8 −68
15x
=−60
60
x = −
15
x =−4
13. 14 − 12x+ 39x− 18x= 256 −60x−657x
9x+ 14=− 717x+
256
9x+ 717x= 256−14
726x
= 242
242
x =
726
1
x =
3
14. 8x−15x−30x− 51x= 53x+ 31x−172
− 88x= 84x−172
−88x− 84x=−172
− 172x
=−172
172
x = − −172
x = 1
EJERCICIO 79
1.
x− 2x+ 1 = 8− 3x+
3
1. ( ) ( )
x−2x− 1= 8−3x−3
− x− 1= 5−3x
− x+ 3x= 5+
1
2x
= 6
6
x =
2
x = 3
2.
15x− 10 = 6x− x+ 2 + − x+
3
2. ( ) ( )
15x− 10 = 6x− x−2 − x+
3
15x− 10 = 4x+
1
15x− 4x= 10+
1
11
x =
11
x = 1
3.
3. ( 5−3x) −( − 4x+ 6) = ( 8x+ 11) −( 3x−6)
5− 3x+ 4x− 6= 8x+ 11− 3x+
6
x− 1= 5x+
17
x− 5x= 17+
1
− 4x
= 18
18
x = − 4
9
x =−
2

4.
30x− − x+ 6 + − 5x+ 4 =− 5x+ 6 + − 8 + 3x
4. ( ) ( ) ( ) ( )
30x+ x−6− 5x+ 4=−5x−6− 8+
3x
6. ( )
[ ]
[ ]
26x− 2 =−2x−14
26x+ 2x=− 14 + 2
28x
=−12
12
x =−
28
3
x =−
7
[ ] ( )
6.
3x+ −5x− x+ 3 = 8x+ −5x−9
3x+ −5x− x− 3 = 8x−5x−9
3x+ −6x− 3 = 3x−9
3x−6x− 3= 3x−9
−3x− 3= 3x−9
− x− 1= x−3
− x− x= − 3+
1
2
− 2x= −2
⇒ x= − = 1
− 2
9. ( ) { ( )}
{ }
{ }
9.
9x− 5x+ 1 − 2+ 8x− 7x− 5 + 9x=
0
9x−5x−1− 2+ 8x− 7x+ 5 + 9x=
0
4x−1− x+ 7 + 9x=
0
4x−1− x− 7+ 9x=
0
12x
− 8=
0
12x
= 8
8
x =
12
2
x =
3
{ [ ] }
11.
− 3x+ 8− − 15+ 6x− − 3x+ 2 − 5x+ 4 − 29 = −5
11. ( ) ( )
{ x [ x x x ] }
{ x [ x]
}
{ x x}
−{ − x}
− 3 + 8− − 15+ 6 + 3 −2−5 −4 − 29 = −5
EJERCICIO 80
1.
x+ 3 x− 1 = 6− 4 2x+
3
− 3 −21− − 21+ 4 = −5
− 3 − 21+ 21− 4 = −5
5.
15x+ − 6x+ 5 −2 − − x+ 3 = − 7x+ 23 − x+ 3−2x
5. ( ) ( ) ( ) ( )
15x− 6x+ 5− 2 + x− 3= −7x−23− x+ 3−2x
10x
=−10x−20
10x+ 10x= −20
20x
=−20
20
x = −
20
x =−1
[ ] [ ( ) ( )]
7. x− x−( − x)
= x+ − x+ − x+
16x−[ 3x− 6 + 9x] = 30x+ [ −3x−2 − x−3]
16x−[ 12x− 6] = 30x+ [ −4x−5]
7.
16 3 6 9 30 3 2 3
= −5
x =−5
1. ( ) ( )
2. 5( 1) 16( 2 3) 3( 2 7)
x+ 3x− 3= 6−8x−12
4x− 3= −8x−6
4x+ 8x=− 6+
3
12x
=−3
x= − 3 1
⇒ x= −
12 4
x− + x+ = x− − x
5x− 5+ 32x+ 48= 6x−21
− x
37x+ 43= 5x−21
37x− 5x= −21−43
32x
=−64
64
x= − ⇒ x= −2
32
16x− 12x+ 6= 30x−4x−5
4x+ 6= 26x−5
4x− 26x=−5−6
− 22x
=−11
[ ]
8. { ( )}
x [ x { x x}
]
x [ x { x }]
x [ x x ]
x [ x]
11 1
x = − =
− 22 2
8.
x− 5+ 3x− 5x− 6+ x = −3
− 5+ 3 − 5 −6− = −3
− 5+ 3 − 4 − 6 = −3
− 5+ 3 − 4 + 6 = −3
− 11− = −3
x− 11+ x= −3
2x
=− 3+
11
8
2x= 8⇒ x= =
2 4
10.
71+ − 5x+ − 2x+ 3 = 25− − 3x+ 4 − 4x+
3
[ ] [ ( ) ( )]
10. ( )
71+ [ −5x− 2x+ 3] = 25−[ −3x−4 −4x−3]
71+ [ − 7x+ 3] = 25−[ −7x−7]
71 − 7x+ 3= 25+ 7x+
7
74 − 7x= 32 + 7x
74 − 32 = 7x+
7x
42 = 14x
42
= x
14
3=
x
3.
23x+ 3 −45x− 3 = x x−3 − x x+
5
3. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6x+ 6 − 20x+ 12 = x −3x− x −5x
− 14x+ 18 = −8x
− 14x+ 8x= −18
− 6x
= −18
18
x= − ⇒ x=
3
− 6

4.
184 − 7 2x+ 5 = 301+ 6 x−1 −6
4. ( ) ( )
184 −14x− 35= 301+ 6x−6 −6
149 − 14x= 289 + 6x
149 − 289 = 6x+
14x
− 140 = 20x
− 140
= x
20
− 7 = x
5.
718− x −63− 5x = − 7x+ 9− 32x+ 5−12
5. ( ) ( ) ( ) ( )
126−7x− 18 + 30x= −7x−9 −6x−15−12
108+ 23x= −13x−36
23x+ 13x= −36−108
36x
=−144
144
x = −
36
x =−4
2
6.
3x x− 3 + 5 x+ 7 − x x+ 1 − 2 x + 7 + 4=
0
6. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3x − 9x+ 5x+ 35− x − x−2x
− 14+ 4=
0
− 5x
+ 25=
0
7.
− 32x+ 7+ − 5x+ 6−81−2x − x− 3=
0
7. ( ) ( ) ( ) ( )
8.
−6x−21− 5x+ 6− 8+ 16x− x+ 3=
0
8. ( 3x−4)( 4x− 3) = ( 6x−4)( 2x−5)
9.
2 2
12x −9x− 16x+ 12 = 12x − 38x+
20
− 25x+ 38x= 20 −12
13x
= 8
8
x =
13
9. ( 4−5x)( 4x− 5) = ( 10x−3)( 7−2x)
2 2
− 20x + 41x− 20 = − 20x + 76x−21
41x− 76x= − 21+
20
− 35x
= −1
1
x = −
− 35
x =
1
35
− 5x
= −25
25
x = − − 5
x = 5
4x
− 20=
0
4x
= 20
x =
20
4
x = 5
14.
13.
10.
10. ( x )( x ) ( x )( x )
11.
+ 1 2 + 5 = 2 + 3 − 4 + 5
2 2
2x + 7x+ 5= 2x −5x− 12+
5
7x+ 5x=−7−5
12x
=−12
x = − 12
12
x =−1
2 2
−2 − 3− = 1
11. ( x ) ( x)
12.
2 2
x − 4x+ 4− 9+ 6x− x = 1
2x
− 5=
1
2x
= 6
6
x =
2
x = 3
12. 14 −( 5x− 1)( 2x+ 3) = 17 − ( 10x+ 1)( x−6)
2 2
14 − ( 10x + 13x− 3) = 17 −( 10x −59x−6)
2 2
14 −10x − 13x+ 3= 17 − 10x + 59x+
6
−13x− 59x=
6
− 72x
= 6
6
x = − 72
1
x =−
12
2
13. ( x ) x( x ) ( x )( x ) ( x )( x )
2 2 2 2
x − x+ + x − x= ( x + x− ) − ( x + x− ) +
− 2 + − 3 = 3 + 4 −3 − + 2 − 1 + 2
4 4 3 3 12 2 2
2 2 2
2x − 7x+ 4= 3x + 3x−36− x − x+ 2+
2
2 2
2x − 7x+ 4= 2x + 2x− 36+
4
−7x− 2x= −36
− 9x
= −36
x = − 36
− 9
x = 4
2 2
14. ( x ) ( x ) ( x ) ( x )( x )
3 −1 −5 −2 − 2 + 3 − 5 + 2 − 1 = 0
2 2 2
9x − 6x+ 1− 5x+ 10−4x −12x−9− 5x + 3x+ 2=
0
− 20x
+ 4 = 0
− 20x
= −4
4
x = − − 20
1
x =
5

2 2
15. ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
15.
2 x−3 − 3 x+ 1 + x−5 x− 3 + 4 x − 5x+ 1 = 4x
−12
2 2 2 2 2
2x − 12x+ 18−3x −6x− 3+ x − 8x+ 15+ 4x − 20x+ 4 = 4x
−12
2 2
16. ( ) ( ) ( )( )
16.
2 2
4x − 46x+ 34= 4x
−12
− 46x
= −12 −34
− 46x
= −46
46
x = − − 46
x = 1
2
5 x−2 − 5 x+ 3 + 2x− 1 5x+ 2 − 10x
= 0
2 2 2 2
5x − 20x+ 20−5x −30x− 45+ 10x − x−2 − 10x
= 0
2
17.
x − 5x+ 15= x x−3 − 14+ 5 x− 2 + 3 13−2x
17. ( ) ( ) ( )
2 2
x − 5x+ 15= x −3x− 14+ 5x− 10+ 39−6x
− 5x+ 15= − 4x+
15
− 5x+ 4x=
0
− x = 0
x = 0
18. ( x )( x ) ( x )( x ) ( x )( x )
2 2 2
( x − x− ) − ( x + x− ) − ( x − x− ) =
−51x
− 27 = 0
18.
3 5 − 6 3 + 2 − 6 3 + 4 −1 − 3 9 + 1 − 2 = 0
315 8 12 63 4 39 17 2 0
2 2 2
45x −24x−36 −18x − 6x+ 24 − 27x + 51x+ 6 = 0
21x
− 6=
0
21x
= 6
6
x =
21
2
x =
7
− 51x
= 27
20.
27
x = − 51
9
x =−
17
2 2
19. ( ) ( ) ( )( )
19.
7 x−4 − 3 x+ 5 = 4 x+ 1 x−1 −2
2 2 2
7x − 56x+ 112−3x −30x− 75= 4x
−4−2
2 2
4x − 86x+ 37= 4x
−6
− 86x
= −6 −37
− 86x
= −43
43
x = − − 86
1
x =
2
2
2
20. ( x) ( x x ) x( x ) x( x )
51− −6 −3 − 7 = −3− 2 + 5−2
2 2 2 2
5− 10x+ 5x − 6x + 18x+ 42= x −3x−2x −10x−2
2 2
− x + 8x+ 47= − x −13x−2
8x+ 13x= −2−47
21x
=−49
49
x = −
21
7
x =−
3
EJERCICIO 81
[ ]
1.
14x− 3x−2 − 5x+ 2 − x− 1 = 0
1. ( ) ( )
x x [ x x ]
x [ x ]
14 − 3 + 2− 5 + 2− + 1 = 0
11 + 2 − 4 + 3 = 0
11x+ 2 −4x− 3=
0
7x
− 1=
0
7x
= 1
1
x =
7
2
2
2. ( 3x−7) − 5( 2x+ 1)( x− 2) = − x − − ( 3x+
1)
2 2 2
9x − 42x+ 49−5( 2x −3x− 2) = − x −[ −3x−1]
2.
[ ]
2 2 2
9x + x − 42x+ 49− 10x + 15x+ 10= 3x+
1
− 27x+ 59 = 3x+
1
−27x− 3x= 1−59
− 30x
= −58
58 29
x= − ⇒ x=
− 30 15

{ [ ]}
3.
6x− 2x+ 1 = − − 5x+ − −2x−1
3. ( ) ( )
6x−2x− 1= −{ − 5x+ [ 2x+
1]
}
4x− 1= −{ − 5x+ 2x+
1}
4x− 1= −{ − 3x+
1}
4x− 1= 3x−1
4x− 3x= − 1+
1
x = 0
4. ( ) { ( ) ( )}
2 2
2x−3x − 3= − { 3x + 2x−2−3x−6}
2 2
2x−3x − 3= −{ 3x − x−8}
2 2
4.
2x+ 3 − x − 1 = − 3x + 2 x−1 − 3 x+
2
2 2
2x−3x − 3= − 3x + x+
8
2x− x = 8+
3
x = 11
{ [ ]}
2 2 2
5.
x − 3x+ x x+ 1 + 4 x −1 − 4x
= 0
5. ( ) ( )
2 2 2 2
x − { x+ [ x + x+ x − − x ]}
=
2 2
x { x [ x x ]}
2 2
x { x x x }
6.
3 4 4 4 0
− 3 + + − 4 = 0
− 3 + + − 4 = 0
2 2
x −4x− x + 4=
0
− 4x
= −4
4
x = − − 4
x = 1
2
[ ]
[ ]
2
6. 32 ( + 1)( − + 3) − ( 2 + 5) = − −{ − 3( + 5)
} + 10
( − + + ) − − − = − −{ − − } +
2 2 2
− 6x + 15x+ 9 −4x −20x− 25= − [ 3x+ 15+
10x
]
7.
x x x x x
3 2x 5x 3 4x 20x 25 3x 15 10x
2 2 2
−10x −5x− 16 = −3x−15−10x
2 2
− 5x+ 3x= 16 −15
− 2x
= 1
x =−
7. ( x+ 1)( x+ 2)( x− 3) = ( x− 2)( x+ 1)( x+
1)
2 2
( x + 3x+ 2)( x− 3) = ( x − x− 2)( x+
1)
3 2 2 3 2 2
x − 3x + 3x − 9x+ 2x− 6= x + x − x − x−2x−2
−7x− 6= −3x−2
− 7x+ 3x= − 2+
6
− 4x
= 4
1
2
4
x= ⇒ x= −1
− 4
8. ( x )( x )( x ) ( x )( x )( x )
2 2
( x + 5x+ 6)( x− 1) = ( x+ 4)( x − 16)
+ 7
8.
+ 2 + 3 − 1 = + 4 + 4 − 4 + 7
3 2 2 3 2
x − x + 5x − 5x+ 6x− 6= x − 16x+ 4x
− 64+
7
2 2
4x + x− 6= 4x −16x−57
x+ 16x
= − 57 + 6
17x
=−51
x= − 51
⇒ x= −3
17
3 3
( ) ( ) ( )
9.
( )
x+ 1 − x− 1 = 6x x−3
9.
3 2 3 2 2
x + 3x + 3x+ 1− x − 3x + 3x− 1 = 6x −18x
10.
3 2 3 2 2
x + 3x + 3x+ 1− x + 3x − 3x+ 1= 6x −18x
2 2
6x + 2= 6x −18x
2=−18x
2 1
= x⇒ − = x
− 18 9
2 2
10. 3( x− 2) ( x+ 5) = 3( x+ 1) ( x− 1)
+ 3
2 2
( x x )( x ) ( x x )( x )
2 2
( x x )( x ) ( x x )( x )
3 − 4 + 4 + 5 = 3 + 2 + 1 − 1 + 3
3 − 12 + 12 + 5 = 3 + 6 + 3 − 1 + 3
3 2 2 3 2 2
3x + 15x −12x − 60x+ 12x+ 60= 3x − 3x + 6x − 6x+ 3x− 3+
3
2 2
3x − 48x+ 60= 3x −3x
− 48x+ 3x= −60
− 45x
= −60
60 4
x= − ⇒ x=
− 45 3
EJERCICIO 82
1. x→
Nº
mayor
x −8→
Nº
menor
x+ x− 8=
106
2x
− 8=
106
2x
= 106+
8
114
x =
2
x= 57 → Nº
mayor
x −8 ⇒57−8
= 49 → Nº
menor

2. x→Nº
mayor
x −32→Nº
menor
x+ x− 32 = 540
2x
= 540 + 32
2x
= 572
572
x =
2
x= 286 →Nº
mayor
x −32 ⇒286 −32
= 254→Nº
menor
3. A+ B=
1. 154bs.
A− 506 = B
A+ A− 506 = 1.
154
2A
= 1.
154 + 506
2A
= 1660 .
1660 .
A =
2
A=
830bs.
A− 506 = B
⇒830 − 506 = B
324bs.
= B
4. x→Nº
mayor
x −24→Nº
menor
x+ x− 24 = 106
2x
= 106+
24
130
x =
2
x = 65 x→Nº
mayor
x −24⇒65 −24
= 41→Nº
menor
5. A + B = 56años
A+ 14 = B
A+ A+ 14 = 56
2A
= 56−14
42
A =
2
A = 21años
A+ 14 = B
21+ 14 = B
35años
= B
6. A+ B=
1080 . soles
A− 1014 . = B
A+ A− 1014 . = 1080 .
2A
= 1080 . + 1014 .
2.
094
A =
2
A = 1047 . soles
A− 1014 . = B
⇒1047 . − 1014 . = B
33soles
= B
7. x→Nº
mayor
x−1→Nº
menor
x+ x− 1=
103
2x
= 103 + 1
104
x =
2
x= 52→Nº
mayor
x −1⇒52−1
= 51→Nº
menor
8. x→Nº
menor
x+ 1→
Nº
medio
x+ 2→Nº
mayor
x+ x+ 1+ x+ 2=
204
x + 1⇒ 67+
1
3x
+ 3=
204
3x
= 204−3
201
x =
3
x = 67→Nº
menor
= 68→
Nmedio º
x + 2⇒ 67+
2
= 69 →Nmayor
º
9. x→
Nº 1 x+ 1→Nº
2
x+ 2→ Nº 3 x+ 3→Nº
4
x+ x+ 1+ x+ 2+ x+ 3=
74
x + 1⇒ 17+
1
= 18→Nº
2
4x
+ 6=
74
4x
= 74−6
68
x =
4
x= 17→Nº
1
x+ 2⇒ 17+ 2 x+ 3⇒ 17+
3
= 19→ Nº 3 = 20→Nº
4
10. 2x→Nº
menor
2x+ 2→Nº
mayor
2x+ 2x+ 2=
194
2x⇒
2⋅48
4x
= 194 −2
192
x =
4
x = 48
= 96→Nº
menor
2x
+ 2⇒ 2⋅ 48 + 2
= 96 + 2
11. x→Nº
mayor
x−1→Nº
medio
x−2→Nº
menor
= 98 →Nº
mayor
x+ x− 1+ x− 2 = 186
x −1⇒63−1
3x
− 3 = 186
3x
= 189
189
x =
3
x= 63→Nº
mayor
= 62→Nmedio
º
x −2⇒63−2
= 61→Nº
menor
12. caballo + coche + arreos = 325
coche + 80 = caballo
coche − 25 = arreos
coche + 80 + coche + coche − 25 = 325
coche + 80 = caballo
⇒ 90 + 80 = caballo
$ 170 = caballo
coche − 25 = arreos
⇒90 − 25 = arreos
$ 65 = arreos
3coches
+ 55=
325
3coches
= 270
270
coche =
3
coche = $ 90

13. x→Nº
mayor
x−32→Nº
medio
16.
x→1º
x−65→Nº
menor
x+ x− 32 + x− 65 = 200
3x
− 97 = 200
3x
= 297
x −20→2º
x −20− 40→3º
⇒x
−60→3º
x+ x− 20 + x− 60=
310
297
3x
= 310 + 80
x =
3
3x
= 390
x= 99→Nº
mayor
390
x =
x −32⇒99 −32
3
= 67→Nmedio
º
x −65⇒99 −65
x = 130→1º
x −20⇒130 −20
= 34→Nº
menor
= 110→2º
x −60⇒130 −60
= 70→3º
14. x →1º
cesto
x−10→2º
cesto
x−15→3º
cesto
x+ x− 10 + x− 15 = 575
3x
− 25=
575
3x
= 600
17. x→mayor
x −20→menor
x−18→medio
x+ x− 20+ x− 18 = 88
600
3x
− 38=
88
x =
3
3x
= 88+
38
x= 200→1º
cesto
3x
= 126
x −10⇒200 −10
126
x =
= 190→2º
cesto
3
x −15⇒200−15
= 185→3º
cesto
x = 42→mayor
x −20⇒42 −20
= 22→menor
x −18⇒42 −18
= 24→medio
15. x→mayor
x−55→medio
x −70→
menor
x+ x− 55 + x− 70 = 454
18. x→mayor
x −36→menor
3x
− 125=
454
x+ x− 36 = 642
3x
= 454+
125
2x
− 36 = 642
3x
= 579
2x
= 642 + 36
579
x =
2x
= 678
3
x= 193→mayor
678
x =
x −55⇒193−55
2
x = 339→mayor
= 138→medio
x −70⇒193−70
x −36⇒339 −36
= 123→menor
= 303→menor
EJERCICIO 83
1. x→edadJuan
3x→
edadPedro
x+ 3x=
40
4x
= 40
40
x =
4
x = 10→edadJuan
3x⇒3⋅10
= 30→edadPedro
2. x→
Arreos
4x→Caballo
x+ 4x=
600
5x
= 600
600
x =
5
x = $ 120→Arreos
4x⇒4⋅120
= $ 480→Caballo
3. x→1º
piso
x
→2º
piso
2
x + x =
2 48
2x+ x = 48
2
3x
= 48⋅2
3x
= 96
96
x =
3
x = 32Habt. →1º
piso
x 32
⇒
2 2
= 16Habt. →2º
piso
4. A+ B+ C=
300
B=
2A
C=
3A
⇒ A+ 2A+ 3A=
300
6A
= 300
300
A =
6
A = 50colones
B= 2A⇒2⋅50
= 100colones
C= 3A⇒3⋅50
= 150colones

5. A+ B+ C=
133
A =
B
2
C=
2B
B
⇒ + B + 2 B = 133
2
B
+ B =
2 3 133
B+
6B
= 133
2
7B
= 133⋅2
266
B=
7
B=
38Sucres
A = B 38
⇒
2 2
= 19Sucres
C= 2B⇒2⋅38
= 76Sucres
6. x→Nº
mayor
x
→Nº
menor
6
x + x =
6 147
6x+ x = 147
6
7x
= 147⋅6
7x
= 882
882
x =
7
x= 126→Nº
mayor
x 126
⇒
6 6
= 21→Nº
menor
7. A+ B+ C=
140
B = A ⇒ 2B=
A
2
B = C ⇒ 4B=
C
4
2B+ B+ 4B=
140
7B
= 140
140
B=
7
B = 20Quetz.
A= 2B
⇒2⋅20
= 40Quetz.
C= 4B⇒4⋅20
= 80Quetz.
8. x→1º
parte
4x→2º
parte
5x→3º
parte
x+ 4x+ 5x=
850
10x
= 850
850
x =
10
x= 85→1º
parte
4x⇒4⋅85
= 340→2º
parte
5x⇒5⋅85
= 425→3º
parte
9. x→Nº
buscado
2x= x+
111
2x− x=
111
x = 111→Nº
buscado
10. x→edadRosa
3x
+ 15→edadMaría
x+ 3x+ 15=
59
4x
= 59−15
4x
= 44
44
x =
4
x= 11→edadRosa
3x
+ 15⇒3⋅ 11+
15
= 33 + 15
= 48→edadMaría
11. x→Nº
buscado
8x= x+
21
8x− x=
21
7x
= 21
21
x =
7
x = 3→Nº
buscado
12. x→Mi edad
3x
+ 7 = 100
3x
= 100 −7
3x
= 93
93
x =
3
x = 31→Mi edad
13. x→1º
parte
x
→2º
parte
3
4x
→3º
parte
3
x + x 4
+ x = 96
3 3
3x+ x+
4x
= 96
3
8x
= 96⋅3
8x
= 288
288
x =
8
x = 36→1º
parte
x 36
⇒ = 12→2º
parte
3 3
4x
436
⇒ ⋅ = 412 ⋅ = 48→3º
parte
3 3
14. x→EdadEnrique
2x→
EdadPedro
3x→
EdadJuan
6x→
EdadEugenio
x+ 2x+ 3x+ 6x=
132
12x
= 132
132
x =
12
x = 11→
EdadEnrique
2x⇒2⋅ 11 = 22→EdadPedro
3x⇒3⋅ 11 = 33→
EdadJuan
6x⇒6⋅ 11 = 66→EdadEugenio
EJERCICIO 84
1. x→1º
parte
3x→2º
parte
3x
−40→3º
parte
x+ 3x+ 3x− 40=
254
7x
= 254 + 40
7x
= 294
294
x =
7
x = 42→1º
parte
3x⇒3⋅ 42 = 126→2º
parte
3x
−40⇒3⋅42 −40
= 126 − 40= 86→3º
parte

5. x →1º
Número
2. A+ B+ C=
130
8. A+ B+ C=
152
x − 6
B
C=
2A
→ 2º
Número
B= A− ⇒ + 8
2 8 = A
5
2
B− 15 = C⇒B− 15 = 2A
x−6→3º
Número
B− 32 = C
B= 2A+
15
A+ 2A+ 15 + 2A=
130
x + x − 6
B + 8
+ x − 6=
72
+ B + B − 32 = 152
5
2
5A
= 130 −15
x x 6
2 + − =
5A
= 115
5 5 78
B 8
+ + 2B
= 152 + 32
2 2
115
10x+ x
A =
= 78 6 B + 4B
+
= 184 −4
5
5 5
2
A = 23Balb.
11x
390 + 6
5B
= 180⋅2
=
B= 2A+ 15⇒2⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb.
5 5
360
C= 2A⇒2⋅ 23 = 46Balb.
11x
= 396
B =
5
396
B = $ 72
x =
3. x→1º
Número
11
x − 8
x= 36→1º
Número A
B + 8 72 + 8 80
= ⇒ = = $ 40
2 2 2
→ 2º
Número
2
x − 6 36 −6
C= B−32 ⇒72 − 32 = $ 40
⇒
x −18→3º
Número
5 5
x + x − 8
30
+ x − 18 = 238
= = 6→2º
Número
2
5
2x + x 8
− =
2 2 256
x−6⇒36− 6= 30→3º
Número
4x+
x
6. A+ B=
99
= 256 + 4
9. x→Nº
buscado
2
B= 3A+
19
x− 80 = 220 −2x
5x
= 260⋅2
A+ 3A+ 19=
99
x+ 2x= 220 + 80
520
4A
= 99−19
x =
3x
= 300
5
4A
= 80
300
x = 104→1º
Número
80
x =
A =
3
x − 8 104 − 8 96
⇒ = = 48 → 2º
Número
4
x = 100→Nº
buscado
2 2 2
A=
20bs.
x −18⇒104 − 18 = 86→3º
Número
B= 3A+ 19⇒3⋅ 20 + 19
= 60+ 19 = 79bs.
4. x→Costo traje
x
7. x→cm de azúl
→Costo sombrero
10. x→
Tengo ahora
8
x −14
→ cm deblanco
2x+ 10= x+
60
x −30→Costo bastón
2
2x− x= 60−10
x + x + x − 30 = 259
x + x − 14
= 74
x = 50 S/.
→Tengo ahora
8
2
2x
+ x = 259+
30
x x 14
+ − = 74
8 2 2
11. x→Parte separada
16x+ x
2x+ x
= 289
= 74 + 7
x+ 80→Laotraparte
8
2
x+ x+ 80 = 910
17x
= 289⋅8
3x
= 812 ⋅
2x
= 910 −80
2312 .
162
x =
x =
830
17
3
x =
2
x= $ 136→Costo traje
x= 54 → cmde azúl
x=
415cm
x 136
x −14
54
⇒ = $ 17→Costo sombrero ⇒
− 14
⇒415
, m→Parte separada
8 8
2 2
x+ 80⇒ 415 + 80 = 495cm
x −30⇒136 − 30= $ 106→Costo bastón 40
= = 20→cmde blanco ⇒495
, m→La otraparte
2

12. x→Edad padre
x − 3
13. Edad hijo
A + B + C = 9000 .
→
3
B+ 500=
A
x + x − 3
B− 800 = C
= 83
3
B+ 500+ B+ B− 800=
9.
000
x + x 3
− =
3 3 83
3B
= 9.
000+
300
9300 .
3x+ x
B =
= 83 + 1
3
3
B=
3100 . Votos
4x
= 84⋅3
A= B+ 500⇒ 3. 100+ 500 = 3.
600Votos
252
x =
C= B−800⇒3. 100 − 800 = 2.
300Votos
4
x = 63→Edad padre
x − 3 63 − 3 60
⇒ = = 20 → Edad hijo
3 3 3
14. x → N º buscado
8x− 60= 60−7x
8x+ 7x
= 60+
60
15x
= 120
120
x =
15
x = 8→Nº
buscado
15. x→Edad hombre
2x− 17 = 100 −x
2x+ x= 100 + 17
3x
= 117
117
x =
3
x = 39→Edad hombre
EJERCICIO 85
1. x→Nº
mayor
2x
→Nº
menor
3
2x
x + = 100
3
3x+
2x
= 100
3
5x
= 100⋅3
300
x =
5
x= 60→Nº
mayor
2x
260
⇒ ⋅ = 40→Nº
menor
3 3
2. x→Edad padre
x −15
→ Edad hijo
2
x + x − 15
= 60
2
x 15
x + − = 60
2 2
2x+ x = 60 15 +
2 2
3x
120 + 15
=
2 2
3x
= 135
135
x =
3
x = 45→Edad padre
x −15
45
⇒ − 15
= 15→Edad hijo
2 2
3. x →Partemayor
x −232
→Partemenor
x+ x− 232 = 1.
080
2x
= 1080 . + 232
1312 .
x =
2
x = 656 →Partemayor
x −232 ⇒656 −232
4. A+ B=
150
A− 46 = B
= 424 →Partemenor
A+ A− 46 = 150
2A
= 150+
46
196
A =
2
A = 98 Soles
B= A−46 ⇒98 −46
= 52 Soles
5. x → Ang.
mayor
x + 45
→ Ang.
menor
2
x
x + + 45
= 180
2
x 45
x + + = 180
2 2
2x+
x
= 180 −
45
2 2
3x
360 − 45
=
2 2
3x
= 315
315
x =
3
∃
x = 105 →Ang.
mayor
x + 45 105 + 45 ∃
⇒ = 75 →Ang.
menor
2 2
6. x →Nº
mayor
x − 88
→Nº
menor
3
x
x + − 88
= 540
3
x 88
x + − = 540
3 3
3x+ x = 540 88 +
3 3
4x
1620 . + 88
=
3 3
4x
= 1.
708
1708 .
x =
4
x = 427 →Nº
mayor
x − 88 427 − 88
⇒
3 3
339
= = 113→Nº
menor
3
x→
Nº
mayor
7.
x − 12
→ Nº
menor
4
⎛ x − 12⎞
x − ⎜ ⎟= 36
⎝ 4 ⎠
x 12
x − + = 36
4 4
4x− x = 36 − 3
4
3x
= 33⋅4
3x
= 132
132
x =
3
x= 44→
Nº
mayor
x − 12 44
⇒ − 12
= 8→
Nº
menor
4 4

8 x → Costo perro
x
→ Costo collar
8
x
x + =
8 54
8x+ x = 54
8
9x
= 54⋅8
9x
= 432
432
x =
9
x = $ 48 →Costo perro
x 48
⇒ = $ 6 →Costo collar
8 8
11. x →Parte mayor
x + 16
→Parte menor
3
x
x + + 16
= 160
3
x
x + = −
3 160 16 3
3x+ x 480 −16
=
3 3
4x
= 464
464
x =
4
x = 116 →Parte mayor
x + 16 116 + 16
⇒
3 3
132
= = 44 →Parte menor
3
EJERCICIO 86
1.
2x
→ Edad actual A
x → Edad actual B
( x )
2x− 10= 3 −10
2x− 10= 3x−30
2x− 3x
= − 30 + 10
− x =−20
x = 20→
Edad actual B
2x
⇒2⋅ 20= 40→
Edad actual A
2.
3x
→ Edad A
x → Edad B
( x )
3x+ 5= 2 + 5
3x+ 5= 2x+
10
3x− 2x= 10 −5
x = 5 → Edad B
3x
⇒3⋅ 5= 15 → Edad A
9. A+ B=
84
A− 16 = B+
20
⇒A−16 − 20 = B
A− 36 = B
A+ A− 36 = 84
2A
= 84+
36
120
A =
2
A = $ 60
B= A−36⇒60 − 36 = $ 24
12. x→Nº
mayor
x + 150
→Nº
menor
3
x + x + 150
= 506
3
x + x 150
= 506 −
3 3
3x+ x 1518 . −150
=
3 3
4x
= 1368 .
1368 .
x =
4
x= 342→Nº
mayor
x + 150 342 + 150
⇒
3 3
492
= = 164→Nº
menor
3
3. 2x→
TieneA
x→
TieneB
2x− 30= x−5
2x− x= 30−5
x= $ 25→TieneB
2x⇒2⋅ 25 = $ 50→TieneA
x
4.
→ Tiene A
2
x→
Tiene B
x
+ 66= 2
2
−90
x + 132
= 2
2
−90
( x )
( x )
( x )
x+ 132 = 4 −90
x+ 132 = 4x−360
− 3x
= −492
492
x = − − 3
x = 164 colones→
Tiene B
x 164
⇒ = 82→
colonesTiene A
2 2
10. x→Nº
Señoritas
x −15
→Nº
Jovenes
2
x
x + − 15
= 60
2
x
x + = +
2 60 15 2
2x+ x 120 + 15 =
2 2
3x
= 135
135
x =
3
x= 45→Nº
Señoritas
x −15
45
⇒ − 15
= 15→Nº
jovenes
2 2
13. x →Estilográfica
x−10→Lapicero
x+ x− 10 = 18
2x
= 28
28
x =
2
x = 14bs. →Estilográfica
x−10⇒14 − 10 = 4bs.
→Lapicero
14. x→Parte roja
x + 4 →Parte negra
x+ x+ 4=
84
2x
= 80
x= 40cm→Parte roja
x + 4⇒ 40+ 4= 44cm →Parte negra
5. x→Nºvarones
x
→NSrtas
º
3
x
+ 14 = x −10
3
x
− x =−10 −14
3
x−
3x
=−24
3
− 2x
=−72
x = 36→Nºvarones
x 36
⇒ = 12→NSrtas
º
3 3
6.
3x→
Edad padre
x→
Edad hijo
( x )
3x− 5= 2 + 10
3x− 5= 2x+
20
x = 25→
Edad hijo
3x⇒3⋅ 25 = 75→
Edad padre

8. 5x→Tiene Enrique
9. x→Bolsa1
7. x→Nº
mayor
2x−56→Nº
menor
x→
Tienesuhno.
5x− 0, 5= x+
0,
5
x−400→Bolsa2
x+ x− 400 = 1.
400
x+ 2x− 56=
85
3x
= 141
5x− x= 0, 5+
0,
5
4x
= 1
2x
= 1800 .
x= 900S/.
→Bolsa1
141
1
x =
x =
3
4
x−400⇒900 − 400= 500S/.
→Bolsa2
x= 47→Nº
mayor
2x
−56⇒2⋅47 −56
= 94 − 56 = 38→Nº
menor
x = $ 025 , →Tiene suhno
5x⇒5⋅0,
25
= $, 125→Tiene Enrique
12.
3x
→ Edad actual Juan
x → Edad actual hijo
11.
2x
→ Edad act.
padre
10. 4x→DíasTrabPedro
.
x → Edad act.
hijo
x→Días Trab.
Enrique
2x− 14= 3( x−14)
4x− 15= x+
21
4x− x= 21+
15
3x
= 36
2x− 14= 3x−42
2x− 3x= − 42 + 14
− x = −28
36
x =
x = 28→
Edad act.
hijo
3
Edadeshace 14años:
x = 12→Días Trab.
Enrique
4x⇒4⋅12
= 48→Días Trab.
Pedro
2x
−14 ⇒2⋅28−14
= 42años→
x −14 ⇒28 −14
padre
= 14años→
hijo
EJERCICIO 87
( x )
3x+ 22= 2 + 22
3x= 2x+ 44 −22
x = 22→
Edad actual hijo
3x
⇒3⋅ 22 = 66→
Edad actual Juan
13.
A+ B= 84 ⇒ A= 84 − B
A+ 80 = 3 B+
4
( )
⇒84 − B+ 80 = 3B+
12
− B− 3B= 12−164
− 4B
= −152
B = − 152
− 4
B = $ 38
A= 84 − B⇒84 − 38=
$ 46
1. 2x→Nº
Sombreros
x→
Nº
trajes
3.
16 − x→
Pr ob. reslt.
x→
Pr ob. noreslt.
5.
35−x →Trajesde 30Q
x → Trajes de25Q
4x+ 50x=
702
54x
= 702
12( 16 − x)
− 5x=
73
192 −12x− 5x=
73
30( 35− x)
+ 25x=
1.
015
1. 050 − 30x+ 25x=
1.
015
702
x =
− 17x
= 73−192
− 5x
= 1. 015−1.
050
54
119
x = 13→Nº
trajes
= − 35
x
x = −
− 17
− 5
2x⇒2⋅13
x= 7→
Pr ob. noreslt.
x = 7→Trajes de 25Q
= 26→Nº
Sombreros
16− x⇒16− 7 = 9→
Pr ob. reslt.
35−x ⇒35− 7 = 28→Trajesde30Q
6.
x→
TrajeCal.
2.
x→
Cab.
x−7→
Traje inf.
4.
50 − x→
Días trab.
x−6→Vacas
32x+ 18( x− 7)
= 1.
624
x→
Días no trab.
600x+ 800( x− 6)
= 40.
000
32x+ 18x− 126 = 1.
624
350 ( − x)
− 2x=
90
600x+ 800x− 4. 800 = 40.
000
50x
= 1.
750
150−3x
− 2x=
90
1. 400x
= 44.
800
1750 .
− 5x
= −60
x =
44.
800
x =
60
1400 .
x = − 50
x= 35balb. → TrajeCal.
− 5
x= 32 → Cab.
x−7⇒ 35− 7= 28balb.
→ Traje inf.
x= 12→
Días no trab.
x−6⇒32− 6= 26→Vacas
50− x ⇒50 − 12 = 38→
Días trab.

7. 3 x → Nº
Lápices
x → Nº cuad.
0053 , ⋅ x+ 006 , x=
147 ,
015 , x+ 006 , x=
147 ,
021 , x = 147 ,
147 ,
x =
021 ,
x = 7
⇒7
→ N º cuad.
3x
→ 3⋅ 7= 21→
N º Lápices
8.
3x+ 5→
Sac. Frij.
9.
80 − x→
Cedro
10.
1. 050 − x→
P.
mayor
x → Sac. azúc.
x → Caoba
x → P.
menor
6( 3x+ 5)
+ 5x=
582 0, 75( 80 − x)
+ 0, 90x=
68,
403 ( 1. 050 − x)
− 2x=
1.
825
18x+ 30 + 5x=
582 60 − 0, 75x+ 0, 90x=
68,
403 . 150 −3x
− 2x
= 1.
825
23x
= 552
015 , x = 840 ,
− 5x
= 1. 825−3.
150
552
840 ,
− 5x
= −1.
325
x =
x =
23
015 ,
1.
325
x = −
x = 24
x = 56
− 5
⇒ 24 → Sac. azúc.
3
x = 265
⇒ 56 pies → Caoba
3x
+ 5⇒ 3⋅ 24+
5
⇒ 265→
P.
menor
80 − x ⇒80 −56
= 77 → Sac. Frij.
1. 050 − x ⇒1.
050 −265
3
= 24 pies → Cedro
= 785→
P.
mayor
EJERCICI0 88
4. x→Costocasa
7. x→Gasté
1. x→1º
x x
= +
2x→
2º
4 6 2 . 000
85 − x=
4x
x x
x+ 2x−20→3º
= +
85 = 5x
12.
000
85
4 6
= x
⇒ 3x
−20→3º
6x= 4x+
48.
000
5
x+ 2x+ 3x
− 20 = 196
17 = x
2x
= 48.
000
6x
= 196 + 20
⇒$17→Gasté
48.
000
216
x =
x =
2
6
x= 24. 000bs.
→Costocasa
x = 36 →1º
x →Nº
mayor
2x
⇒2⋅ 36 = 72 →2º
5.
8.
x → Edad act.
B
2x
−156
3x
−20⇒3⋅36 −20
→Nº
menor 2( x −12)
→ Edad Ahace12años
3
= 108 − 20 = 88→3º
2x
−156
2( x− 12) + 24+ 68= 3( x+
12)
x + = 108
3
2x− 24+ 92= 3x+
36
2x
2.
3x
→ Edad A
x + = 108 +
156
2x− 3x= 36−68
3 3
x → Edad B
3x+
2x
324 + 156
− x = −32
=
3 3
x = 32→
Edad act.
B
3x− 5= 4( x−5)
5x
= 480
Edad actual de A:
3x− 5= 4x−20
480
x =
2( x − 12) + 12⇒2( 32 − 12)
+ 12
3x− 4x= − 20+
5
5
− x = −15
x = 96→Nº
mayor
= 220 ⋅ + 12=
52años
2x
−156
296
x = 15 → Edad B
⇒ ⋅ − 156
3
3
3x
⇒3⋅ 15= 45 → Edad A
36
= = 12 →Nº
menor
3
9.
x → mon. 10cts.
3.
x → Par zap.
22 − x → mon. 5cts.
6. x→
Ancho
2x+ 50→Traje
461− 11=
9x
0, 10x+ 0, 05( 22 − x)
= 1,
85
50( 2x+ 50)
+ 35x=
16.
000
450 = 9x
0, 10x+ 1, 10 − 0, 05x=
1,
85
100x+ 2. 500 + 35x=
16.
000
450
0, 05x
= 1, 85−1,
10
135x
= 16. 000 −2.
500
= x
9
005 , x = 075 ,
13.
500
50 = x
x =
075 ,
135
x =
⇒50pies→Ancho
005 ,
x = 100 soles → Par zap.
x = 15→mon. 10cts.
2x + 50⇒2⋅ 100 + 50 = 250soles →Traje
22 − x ⇒22 − 15= 7 →mon. 5cts.

10.
x → Nº
buscado
( x− ) = ( x−
)
12 24 24 27
12x− 288 = 24x−648
12x− 24x=− 648 + 288
− 12x
= −360
11.
x→
c/ cab.
x = − 360
− 12
x = 30 → Nº
buscado
( x )
35x= 40 −10
35x= 40x−400
− 5x
= −400
x = − 400
− 5
x= $ 80→
c/ cab.
12. x→Nº
buscado
3x− 55 = 233 −x
3x+ x= 233+
55
4x
= 288
288
x =
4
x = 72 →Nº
buscado
13.
x→
Nº
menor
x+ 1→
Nº
medio
x+ 2→
Nº
mayor
( ) ( )
2x+ 3 x+ 1 + 4 x+ 2 = 740
2x+ 3x+ 3+ 4x+ 8 = 740
⇒81
→ Nº
menor
9x
= 740−11
729
x =
9
x = 81
x+ 1⇒ 81+ 1= 82→
Nº
medio
x+ 2⇒ 81+ 2= 83→
Nº
mayor
14. x→
A caballo
3x→Enauto
x−20→
Apie
x+ 3x+ x− 20 = 150
5x
= 150 + 20
170
x =
5
x = 34Km→
A caballo
3x⇒3⋅ 34 = 102Km→Enauto
x−20⇒34 − 20 = 14Km→
Apie
x → Partehijo
15.
x + 2000 . → Partehijas
( x )
3x+ 2 + 2. 000 = 16.
500
3x+ 2x+ 4. 000 = 16.
500
5x
= 12.
500
12.
500
x =
5
x = 2500 .
⇒ 2500 . colones→
Partehijo
x + 2. 000⇒ 2. 500 + 2. 000 = 4.
500
⇒ 4500 . colones → Partehijas
x→
Nº
mayor
16.
x−1→
Nº
menor
( x )
2
x − − 1 = 31
2 2
x − x + 2x− 1=
31
2
2x
= 32
x= 16→
Nº
mayor
x−1⇒16− 1= 15→
Nº
menor
17.
3x→
Edad A
x→
Edad B
x
→ Edad C
5
x−12
→ EdadC
Luego:
x
= x −12
5
( x )
x= 5 −12
x= 5x−60
− 4x
= −60
x= 15 → Edad B
3x⇒ 3⋅ 15= 45→
Edad A
x−12 ⇒15− 12 = 3→
EdadC
18.
x → Edad act.
A
x + 5 → Edad B en5años
3
x + 20
→ Edad B en 20años
2
Luego:
x+ 5 x+
20
+ 15 =
3 2
x+ 5+
45 x+
20
=
3 2
( x+ ) = ( x+
)
2 50 3 20
2x+ 100= 3x+
60
− x = −40
x = 40→
Edad act.
A
Edad actual de B:
19. x → Lunes
2x→
Martes
x + 20 40
− ⇒ + 20
20
− 20
2
2
= 30− 20=
10años
4x→
Miercoles
8x
→ Jueves
8x−30→Viernes
8x
−20→
Sábado
x+ 2x+ 4x+ 8x+ 8x− 30+ 8x− 20=
911
2x⇒2⋅ 31= $ 62→
Martes
31x
− 50=
911
4x⇒4⋅ 31= $ 124→
Miercoles
8x
⇒8⋅ 31= $ 248→
Jueves
31x
= 911+
50
8x−30⇒8⋅31− 30 = $ 218→Viernes
8x
−20⇒8⋅31− 20 = $ 228→
Sábado
20. x→Nº
1
x−18→Nº
2
21.
x+ x− 18 = 3⋅18
2x
= 54+
18
72
x =
2
x= 36 →Nº
1
x−18⇒36 − 18 = 18→Nº
2
( x − ) →
( x )
3 16
x → Tiene A
Tiene B
x+ 3 − 16 = 36
x+ 3x− 48=
36
4x
= 84
( x − ) ⇒ ( − )
961
x =
31
x = $ 31→
Lunes
84
x =
4
x = $ 21→Tiene A
3 16 3 21 16
= 35 ⋅ = $15→
Tiene B
22.
3x
→ Tiene A
x → Tiene B
x
→ TieneC
2
⎛ x ⎞
3x−1−( x− 3)
= 2⎜
+ 20⎟
⎝ 2 ⎠
3x−1− x+ 3= x+
40
2x− x= 40−2
x = 38→
Tiene B
3x
⇒ 3⋅ 38= $ 114 → Tiene A
x 38
⇒ = $19 → TieneC
2 2

23. x → Costo tienda
x x
− =
5 800 7
x−
4000 . x
=
5 7
7x− 28.
000=
5x
2x
= 28.
000
x = 14.
000
⇒14. 000bs.
→Costo tienda
24.
x → Cab.
peor
2 x+ 15 → Cab.
mejor
( )
( x )
x+ 2 + 15 = 120
x+ 2x+ 30=
120
3x
= 90
x = $ 30 →Cab.
peor
( x + ) = ( + )
2 15 2 30 15
= 245 ⋅ = $ 90→
Cab.
mejor
25. x → queda A
3x
→ queda B
x+ 3x=
160
4x
= 160
x = 40
Como A tenía 80 Q.
⇒lo queperdío A
= 80 −x⇒80 − 40 = 40 Q.
26.
2x→
Emp.
A
x→
Emp.
B
( x )
2 2 − 400 = x+
400
4x− 800= x+
400
3x
= 1.
200
x= $ 400 → Emp.
B
2x⇒2⋅ 400= $ 800 → Emp.
A
EJERCICIO 89
1. a 2 + ab= a ( a+
b)
2
2. b+ b = b ( 1+
b)
2
3. x + x= x ( x+1)
3 2 2
4. 3a − a = a ( 3a−1)
3 4 3
5. x − 4x = x ( 1−4x)
2 3 2
6. 5m + 15m = 5m ( 1+
3m)
7. ab − bc = b ( a −c)
2 2 2
8. xy+ xz= x( y+
z)
2 2
9. 2a x + 6ax = 2ax( a + 3x)
2
10. 8m − 12mn= 4m( 2m−3n)
27.
4x→
Cab.
x → Vacas
( x )
4x+ 5= 3 + 5
4x+ 5= 3x+
15
x = 10→Vacas
4x⇒4⋅ 10 = 40→Cab.
28 x→Lunes
x+ 6→Martes
x + 12→Miercoles
x+ 18→Jueves
4x→
Jueves
x+ 18 = 4x
− 3x
=− 18
x = $ 6 →Lunes
x+ 6⇒ 6+ 6= $ 12→Martes
x + 12⇒ 6 + 12 = 18 →Miercoles
4x⇒4⋅ 6= $ 24→Jueves
29.
x→
Tenía ppio.
2x− 50+ 2 2x−50 − 390=
0
11.
( )
2x− 440 + 4x− 100 = 0
⇒90soles
→Tenía ppio.
6x
= 540
540
x =
6
x = 90
3 2 3 2 2
11. 9a x − 18ax = 9ax ( a −2x)
3 2 2 3 2 2
12.
15cd + 60cd = 15cd c+
4d
12. ( )
2 3 3 2 3
13. 35mn − 70m = 35m ( n −2m)
13.
2
14.
abc + abc = abc 1+
c
14. ( )
2 2 2 4 2 2 2
15. 24axy − 36xy = 12xy( 2a −3xy)
3 2 2
16. a + a + a= a( a + a+1)
2 2
17. 4x − 8x+ 2= 2( 2x − 4x+
1)
3 2 2
18. 15y + 20y − 5y= 5y( 3y + 4y−1)
3 2 2 2 2
19. a − a x+ ax = a( a − ax+
x )
30.
2x→
Larg
o
x → Ancho
( )( )
2x− 6 x+ 4 = 2x
2x + 2x− 24 = 2x
2 2
2x
= 24
x= 12 m→
Ancho
2x⇒2⋅ 12 = 24m→
Larg
o
31.
3x
→ Padrehace5años
x → Hijo hace5años
2
( x )
3x+ 10= 2 + 10
3x+ 10= 2x+
20
x = 10años
Edad actual Padre:
3x
+ 5⇒3⋅ 10+ 5 = 35años
Edad actual Hijo:
x + 5⇒ 10+ 5=
15años
32.
3x
→ Edad Aen4años
x → Edad B en4
años
( x )
3x− 6= 5 −6
3x− 6= 5x−30
− 2x
= −24
x = 12 años
Edad Actual A:
3x
−4⇒3⋅12− 4=
32años
Edad Actual B:
x −4⇒12− 4=
8años
2 2
20.
2a x + 2ax −3ax
21.
( 2 2 3)
= ax a + x −
3 5 7 3 2 4
21. x + x − x = x ( 1+ x − x )
22.
14x y − 28x + 56x
2 2 3 4
( )
= 14x y − 2x+
4x
2 2 2
23.
34ax + 51a y −68ay
2 2 2
2 2
( )
= 17a 2x + 3ay −4y
24.
96− 48mn
+ 144n
2 3
2 3
( mn n )
= 48 2 − + 3
25.
abc − acx + acy
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )
= ac b − x + y
2 2 2 2 2

26.
55mnx+ 110mnx −220my
2 3 2 3 2 2 3
( )
= 55m n x+ 2n x −4y
2 3 3 2 3
27.
3 2 2 3 2 2
93axy−62axy −124ax
( )
2 2 2
= 31a x 3axy −2x y −4
2 3 4 2 3
28. x− x + x − x = x( 1− x+ x − x )
6 4 3 2 2 4 2
29. a − 3a + 8a − 4a = a ( a − 3a + 8a−4)
30.
25x − 10x + 15x −5x
31.
7 5 3 2
( )
2 5 3
= 5x 5x − 2x + 3x−1
15 12 9 6 6 9 6 3
31. x − x + 2x − 3x = x ( x − x + 2x
−3)
32.
9a − 12ab+ 15a b −24ab
2 3 2 3
2 2 3
( )
= 3a 3a− 4b+ 5a b −8b
33.
16xy −8xy−24xy −40xy
3 2 2 4 2 2 3
( )
= 8xy2xy−1−3xy−5y
2 2 2
34.
12mn+ 24mn − 36mn + 48mn
2 3 2 4 3 5 4
( )
= 12mn1+ 2mn− 3mn + 4mn
2 2 2 3 3
35.
100abc− 150abc + 50abc −200abc
36.
2 3 2 2 3 3 2
2 2 2
( )
= 50abc 2ab − 3bc + b c −4c
5 4 3 2 4 3 2
36. x − x + x − x + x= x( x − x + x − x+1)
37.
a − 2a + 3a − 4a + 6a
2 3 4 5 6
( 1 2 3 4 6 )
= a − a+ a − a + a
2 2 3 4
2 3 2 2 2
38.
3ab+ 6ab− 5ab + 8abx+
4abm
2
( 3 6 5 8 4 )
= ab a + − a b + ax + bm
39.
a − a + a − a + a −a
20 16 12 8 4 2
( 1)
2 18 14 10 6 2
= a a − a + a − a + a −
EJERCICIO 90
1.
1. a( x+ 1) + b( x+ 1) = ( x+ 1)( a+
b)
2. xa ( + 1) − 3( a+ 1) = ( a+ 1)( x−3)
3. 2( x− 1) + y( x− 1) = ( x− 1)( 2+
y)
4. ma ( − b) + ( a− bn ) = ( a− b)( m+
n)
5. 2xn ( −1) −3yn ( − 1) = ( n−1)( 2x−3y)
6. an ( + 2) + n+ 2= ( n+ 2)( a+
1)
7. xa ( + 1) −a− 1= ( a+ 1)( x−1)
2 2 2
8. a + 1− b( a + 1) = ( a + 1)( 1−b)
8.
9. 3x( x−2) −2y( x− 2) = ( x−2)( 3x−2y)
10. 1− x+ 2a( 1− x) = ( 1− x)( 1+
2a)
11. 4xm ( − n) + n− m= ( m−n)( 4x−
1)
12. −m− n+ x( m+ n) = ( m+ n)( x−1)
3 2 3 2
13. a ( a− b+ 1) −b ( a− b+ 1) = ( a− b+ 1)( a −b
)
2 2 2
14. 4ma ( + x− 1) + 3nx ( − 1 + a ) = ( a + x− 1)( 4m+
3n)
15. x( 2a+ b+ c)
−2a−b−c
= x( 2a+ b+ c) − ( 2a+ b+ c) = ( 2a+ b+ c)( x−1)
16. ( x+ y)( n+ 1) − 3( n+ 1) = ( n+ 1)( x+ y−3)
17. ( x+ 1)( x− 2) + 3y( x− 2) = ( x− 2)( x+ 1+
3y)
32. ( 3x+ 2)( x+ y−z) − ( 3x+ 2) − ( x+ y− 1)( 3x+
2)
18. ( a+ 3)( a+ 1) − 4( a+ 1) = ( a+ 1)( a+ 3− 4) = ( a+ 1)( a−1)
= ( 3x+ 2)( x+ y−z−1− x− y+ 1) = − z( 3x+
2)
18.
2 2
19. ( x + 2)( m− n) + 2( m− n) = ( m− n)( x + 4)
19.
20.
a x−1 − a+ 2 x− 1 = x−1 a−a− 2 = −2 x−1
20. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2
21. 5xa ( + 1) + ( x+ 1)( a + 1) = ( a + 1)( 6x+
1)
21.
22. ( a+ b)( a−b) −( a−b)( a−b)
= ( a− b)( a+ b− a+ b) = 2b( a−b)
22.
23.
23. ( m+ n)( a− 2) + ( m−n)( a− 2) = 2m( a−2)
24. ( x+ m)( x+ 1) − ( x+ 1)( x−n)
= ( x+ 1)( x+ m− x+ n) = ( x+ 1)( m+
n)
24.
25.
25. ( − )( − ) + ( − )( + ) = ( − )
26.
x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 2x
2 2 2
26. ( a+ b− 1)( a + 1) −a − 1= ( a + 1)( a+ b−2)
27.
27. ( a+ b−c)( x− 3) −( b−c−a)( x−3)
= ( − )( + − + − + ) = ( − )
x 3 a b c a b c x 3 2a
28. 3x( x−1) −2y( x− 1) + z( x− 1) = ( x−1)( 3x− 2y+
z)
29. a( n+ 1) − b( n+ 1) −n− 1= ( n+ 1)( a−b−1)
30. xa ( + 2) −a− 2+ 3( a+ 2) = ( a+ 2)( x+
2)
31. ( 1+ 3a)( x+ 1) − 2a( x+ 1) + 3( x+ 1) = ( x+ 1)( a+
4)

EJERCICIO 91
2
1.
a + ab+ ax+
bx
2
( a ab) ( ax bx)
aa ( b) xa ( b)
( a b)( a x)
= + + +
= + + +
= + +
2.
am− bm + an −bn
( am bm) ( an bn)
ma ( b) na ( b)
( a b)( m n)
= − + −
= − + −
= − +
3.
ax −2bx − 2ay + 4by
( ax 2bx) ( 2ay 4by)
xa ( 2b) 2ya ( 2b)
( a 2b)( x 2y)
= − − −
= − − −
= − −
4.
a x − 3bx + a y −3by
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( a x 3bx ) ( a y 3by
)
2 2 2 2
x ( a 3b) y ( a 3b)
2 2 2
( a 3b)( x y )
= − + −
= − + −
= − +
5.
3m−2n− 2nx + 3mx
4 4
4 4
( 3m 3mx ) ( 2n 2nx
)
4 4
3m( 1 x ) 2n( 1 x )
4
( 1 x )( 3m 2n)
= + − +
= + − +
= + −
2 2 2
6.
x − a + x−a x
2 2 2
( a a x) ( x x)
2
a ( 1 x) x( x 1)
2
( x 1)( x a )
=− + + +
=− + + +
= + −
3 2
7.
4a −1− a + 4a
3
( 4a 4a) ( 1
2
a )
2
4aa
( 1) ( 1
2
a)
2
( a 1)( 4a
1)
= + − +
= + − +
= + −
8.
x + x − xy − y
2 2 2
( x
2 2
x ) ( xy
2
y )
x( 1 x) 2
y ( x 1)
( x 1)( x
2
y )
= + − +
= + − +
= + −
9.
3abx −2y − 2x + 3aby
2 2 2 2
2 2 2 2
( 3abx 3aby ) ( 2y 2x
)
2 2 2 2
3ab( x y ) 2( x y )
2 2
( x y )( 3ab
2)
= + − +
= + − +
= + −
2 2
10.
3a− b + 2b x −6ax
( 3a 2
6ax) ( b
2
2b x)
3a( 1 2x) 2
b ( 1 2x)
( 1 2x)( 3a 2
b )
= − − −
= − − −
= − −
3 2
11.
4a x − 4a b + 3bm −3amx
3
( 4a x
2
4a b ) ( 3bm 3amx)
2
4a ( ax b) 3m( b ax)
2
4a ( ax b) 3m( ax b)
( ax
2
b)( 4a 3m)
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
12.
6ax + 3a + 1+
2x
( 6ax 3a) ( 1 2x)
3a( 2x 1) ( 2x
1)
( 2x
1)( 3a
1)
= + + +
= + + +
= + +
3 2
13.
3x −9ax − x+
3a
3
( 3x 2
x) ( 9ax 3a)
2
x( 3x 1) 2
3a( 3x
1)
2
( 3x 1)( x 3a)
= − − −
= − − −
= − −
2 2
14.
2a x − 5a y + 15by −6bx
2
( 2a x
2
5a y) ( 15by 6bx)
2
a ( 2x 5y) 3b( 5y 2x)
2
a ( 2x 5y) 3b( 2x 5y)
( 2x 2
5y)( a 3b)
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
15.
2x y + 2xz + y z + xy
2 2 2 2 3
2 3 2 2 2
( 2x y xy ) ( 2xz y z )
2 2 2
xy( 2x y ) z ( 2x y )
2 2
( 2x y )( xy z )
= + + +
= + + +
= + +
16.
6m− 9n+ 21nx−14mx
( 6m 14mx) ( 9n 21nx)
2m( 3 7x) 3n( 3 7x)
( 3 7x)( 2m 3n)
= − − −
= − − −
= − −
2 2 2 2 2 2
17.
nx−5ay − ny + 5ax
2
( nx
2 2 2 2
ny) ( 5ay 2
5ax)
2
n ( x
2
y )
2 2
5a ( y x)
2
n ( x
2
y )
2
5a ( x
2
y )
( x
2 2
y )( n
2
5a
)
= − − −
= − − −
= − + −
= − +
18.
1+ a+ 3ab+
3b
( 1 a) ( 3ab 3b)
( 1 a) 3b ( a 1)
( 1 a)( 3b
1)
= + + +
= + + +
= + +
3 2
19.
4am −12amn − m + 3n
3
( 4am 2
12amn) ( m 3n)
2
4am( m
2
3n) ( m 3n)
2
( m 3n)( 4am
1)
= − − −
= − − −
= − −
20.
20ax −5bx − 2by + 8ay
( 20ax 8ay) ( 5bx 2by)
4a( 5x 2y) b( 5x 2y)
( 5x 2y)( 4a b)
= + − +
= + − +
= + −
2 2
21.
3− x + 2abx −6ab
( 3
2 2
x ) ( 2abx 6ab)
( 3
2
x )
2
2ab( x 3)
( 3
2
x ) 2ab( 3
2
x )
( 3
2
x )( 1 2ab)
= − + −
= − + −
= − − −
= − −
3 2
22.
a + a + a+
1
3
( a
2
a ) ( a 1)
2
a ( a 1) ( a 1)
2
( a 1)( a 1)
= + + +
= + + +
= + +
23.
3a − 7b x+ 3ax−7ab
2 2 2
2 2 2
( 3a 3ax) ( 7b x 7ab
)
2
3aa ( x) 7b( x a)
2
( a x)( 3a 7b
)
= + − +
= + − +
= + −
24.
2am− 2an + 2a − m+ n −1
( 2am 2an 2a) ( m n 1)
2am ( n 1) ( m n 1)
( 2a 1)( m n 1)
= − + − − +
= − + − − +
= − − +

25.
3ax −2by −2bx − 6a + 3ay + 4b
( 3ax 6a 3ay) ( 2by 2bx 4b)
3a( x 2 y) 2b( y x 2)
( x y 2)( 3a 2b)
= − + − + −
= − + − + −
= + − −
26.
a + a+ a + 1+ x + a x
3 2 2 2 2
3
( a
2
a
2 2
a x ) ( a 1
2
x )
2
a ( a 1
2
x ) ( a 1
2
x )
2
( a 1)( a 1
2
x )
= + + + + +
= + + + + +
= + + +
27.
3a − 3a b + 9ab − a + ab −3b
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
( 3a 3a b 9ab ) ( a ab 3b
)
2 2 2 2
3a ( a ab 3b ) ( a ab 3b
)
2 2
( 3a 1)( a ab 3b
)
= − + − − +
= − + − − +
= − − +
28.
2x − nx + 2xz −nz − 3ny + 6xy
3 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2
( nx nz 3ny ) ( 2x 2xz 6xy
)
2 2 2 2 2 2
n( x z 3y) 2x( x z 3y)
2 2 2
( 2x n)( x 3y z )
=− + + + + +
=− + + + + +
= − + +
3 2 2 2 2
29.
3x + 2axy + 2ay −3xy −2ax −3x y
3 2 2 2 2
( 3x 3xy 3x y) ( 2axy 2ay 2ax
)
2 2 2 2
3x( x y xy) 2a( xy y x)
2 2 2 2
3x( x y xy) 2a( xy y x )
2 2
( 3x 2a)( x xy y )
= − − + + −
= − − + + −
= − − − − − +
= − − −
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
30
ab − n + abx −nx − 3abx+
3nx
2 3 2 3 2 2 3 4 4 2 4
( a b a b x 3a b x) ( n n x 3n x)
2 3 2 4 2
ab( 1 x 3x) n ( 1 x 3x)
2 3 4 2
( ab n )( 1 x 3x)
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
EJERCICIO 92
2 2
2
1. a − 2ab+ b = ( a−b)
2 2
2
2. a + 2ab+ b = ( a+
b)
2
2
3. x − 2x+ 1= ( x−1)
4 2 2
4. y + 2y + 1= ( y + 1)
4.
2
5. a − 10a+ 25= ( a−5)
2
2
6. 9− 6x+ x = ( 3−
x)
7. 16 + 40x + 25x = ( 4 + 5x
)
7.
2 4 2 2
2
8.
1− 14a+ 49a = 1−7a
8. ( )
9. 36+ 12m 2 + m 4 = ( 6 + m
2 )
2
10. 1− 2a 3 + a 6 = ( 1−a
3 )
2
8 4 4
2
11. a + 18a + 81= ( a + 9)
12. a − 2a b + b = ( a −b
)
6 3 3 6 3 3 2
2 2
13.
4x − 12xy+ 9y = 2x−3y
13. ( )
14. 9b − 30a b+ 25a = ( 3b−5a
)
2 4 2 2
2
15. 1+ 14xy+ 49xy = ( 1+
7xy)
16. 1− 2a 5 + a 10 = ( 1−a
5 )
2
2 2 4 2 2
2
2
2
2
17.
49m − 70am n + 25a n
6 3 2 2 4
( 7m
5an
)
= −
3 2 2
18.
100x − 60a x y + 9a y
19.
10 4 5 6 8 12
( 10x
3a y )
= −
5 4 6 2
30.
6 12 6 2
19. 121+ 198x + 81x = ( 11+
9x
)
20.
a − 24am x + 144m x
2 2 2 4 4
( a 12m x )
= −
2 2 2
21. 16 − 104x + 169x = ( 4 −13x
)
22. 400 10 40 5 1 ( 20 5 2
x + x + = x + 1)
23. a 2
2
a
ab b b
4 − + = ⎛
⎜
⎝ 2
− ⎞
⎟
⎠
24. 1 2 b b ⎛ b⎞
+ + = ⎜1+
⎟
3 9 ⎝ 3 ⎠
2 4 2 2
32.
2 2
4
b ⎛ b ⎞
4 2 2
2
25. a − a b + = ⎜ a − ⎟
4 ⎝ 2 ⎠
2
2 2
1 x 25x ⎛ 1 5x
⎞
26.
− + = ⎜ − ⎟
25 3 36 ⎝ 5 6 ⎠
2 4 2 2
4
6 3 2
y ⎛
3
y ⎞
27. 16x
− 2x y + = ⎜ 4x
− ⎟
16 ⎝ 4 ⎠
2 2
28. n 2
2
n
2mn 9m
m
9
+ + = ⎛
⎜
⎝ 3 + 3 ⎞
⎟
⎠
2
2
29. a + 2a( a+ b) + ( a+
b)
2 2
= ( a+ a+ b) = ( 2a+
b)
2
30. 4−4( 1− a) + ( 1−a)
2 2
= ( 2− 1+ a) = ( 1+
a)
2
2
31. 4m −4m( n− m) + ( n−m)
2 2
= ( 2m− n+ m) = ( 3m−n)
2
32. ( m− n) + 6( m− n)
+ 9
2
= ( m− n+
3)
33.
2 2
33. ( a+ x) − 2( a+ x)( x+ y) + ( x+
y)
2 2
= ( a+ x− x− y) = ( a−
y)
2 2
34.( m+ n) −2( a− m)( m+ n) + ( a−m)
2 2
= ( m+ n− a+ m) = ( 2m+ n−a)
35. 41 ( + a) − 41 ( + a)( b− 1) + ( b−1)
2 2
= ( 2+ 2a− b+ 1) = ( 2a− b+
3)
2 2
2 2
36. ( ) ( )( ) ( )
2 2
= ( 3x− 3y+ 2x+ 2y) = ( 5x−
y)
36.
9 x− y + 12 x− y x+ y + 4 x+
y
2

EJERCICIO 93
2 2
1.
x − y = x+ y x−
y
1. ( )( )
2
2. a − 1= ( a+ 1)( a−1)
2
3. a − 4= ( a+ 2)( a−2)
2
4. 9− b = ( 3+ b)( 3−b)
2
5. 1− 4m = ( 1+ 2m)( 1−2m)
2
6. 16 − n = ( 4 + n)( 4 −n)
2
7. a − 25= ( a+ 5)( a−5)
2
8. 1− y = ( 1+ y)( 1−
y)
2
9. 4a − 9= ( 2a+ 3)( 2a−3)
10. 25− 36x 4 = ( 5+ 6x 2 )( 5−6x
2
)
10.
2 2
11.
1− 49a b = 1+ 7ab 1−7ab
11. ( )( )
2 4 2 2
12. 4x − 81y = ( 2x+ 9y )( 2x−9y
)
2 8 2 4 4
13. a b − c = ( ab + c)( ab −c)
14. 100− x 2 y 6 = ( 10+ xy 3 )( 10−
xy
3
)
10 12 5 6 5 6
15. a − 49b = ( a + 7b )( a −7b
)
2 4 2 2
16. 25x y − 121= ( 5xy + 11)( 5xy
−11)
17.
100mn
− 169y
18.
2 4 6
2 3 2 3
( 10mn 13y )( 10mn 13y
)
= + −
2 4 6 2 3 2 3
18. a m n − 144 = ( am n + 12)( am n −12)
19.
196xy
− 225z
2 4 12
2 6 2 6
( 14xy 15z )( 14xy 15z
)
= + −
20.
256a
− 289b m
12 4 10
6 2 5 6 2 5
( 16a 17b m )( 16a 17b m )
= + −
21. 1− 9abcd 2 4 6 8 = ( 1+ 3abcd 2 3 4 )( 1−3abcd
2 3 4
)
14 7 7
22. 361x − 1= ( 19x + 1)( 19x
−1)
1 23. 4 9 2 ⎛ 1
2 3 ⎞ ⎛ 1
− = ⎜ + ⎟ ⎜ −
⎝ ⎠ ⎝ 2 3 ⎞
a a a⎟
⎠
2
a ⎛ a⎞
⎛ a⎞
24. 1− = ⎜1+
⎟ ⎜1−
⎟
25 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
25. 1 2
4x ⎛ 1 2x⎞
⎛ 1 2x⎞
− = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟
16 49 ⎝ 4 7 ⎠ ⎝ 4 7 ⎠
2 6 3 3
a x ⎛ a x ⎞ ⎛ a x ⎞
26.
− = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟
36 25 ⎝ 6 5 ⎠ ⎝ 6 5 ⎠
2 2 4 2 2
x y z ⎛ x yz ⎞ ⎛ x yz ⎞
27.
− = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟
100 81 ⎝ 10 9 ⎠ ⎝ 10 9 ⎠
6 10 3 5 3 5
x 4a ⎛ x 2a ⎞ ⎛ x 2a
⎞
28.
− = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟
49 121 ⎝ 7 11 ⎠ ⎝ 7 11 ⎠
2 4
1
8 ⎛ 2
1
4⎞
⎛ 2
1
4⎞
29. 100mn − x = ⎜10mn + x ⎟ ⎜10mn − x ⎟
16 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
2n 2n n n n n
30. a − b = ( a + b )( a −b
)
30.
2
1 ⎛ 1⎞
⎛
31. 4x − = ⎜ 2x + ⎟ ⎜ 2x
9 ⎝ 3⎠
⎝
32.
n n n
1⎞
− ⎟
3⎠
4n 4 2n 2 2n
2
32. a − 225b = ( a + 15b )( a −15b
)
33. 16x
34. 49a
6m
10n
2n
n
y ⎛ y ⎞ ⎛
m
− = ⎜ 4x
+ ⎟ ⎜ 4x
49 ⎝ 7 ⎠ ⎝
3 3m
12 x
6x
b ⎛
5
b ⎞ ⎛
n
− = ⎜ 7a
+ ⎟ ⎜ 7a
81 ⎝ 9 ⎠ ⎝
1 ⎛ 1⎞
⎛
35. a b − = ⎜ a b + ⎟ ⎜ a b
25 ⎝ 5⎠
⎝
2n 4n n 2n n 2n
1
2n ⎛ 1
n⎞
⎛ 1
n⎞
36.
− x = ⎜ + x ⎟ ⎜ − x ⎟
100 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
EJERCICIO 94
n
y ⎞
− ⎟
7 ⎠
5n
6x
b ⎞
− ⎟
9 ⎠
1⎞
− ⎟
5⎠
2
2
1. ( x+ y) − a = ( x+ y+ a)( x+ y−a)
2. 4− ( a+ 1) 2
= ( 2+ a+ 1)( 2− a− 1) = ( 3+ a)( 1−a)
3. 9− ( m+ n) 2
= ( 3+ m+ n)( 3−m−n)
2
4. ( m−n) − 16= ( m− n+ 4)( m−n−4)
2
2
5. ( x− y) − 4z = ( x− y+ 2z)( x− y−2z)
2
6. ( a+ 2b) − 1= ( a+ 2b+ 1)( a+ 2b−1)
7. 1−( x− 2y) 2
= ( 1+ x−2y)( 1− x+
2y)
2
2
8. ( x+ 2a)
−4x
= ( x+ 2a+ 2x)( x+ 2a− 2x) = ( 3x+ 2a)( 2a−
x)
2 2
9. ( a+ b) − ( c+ d ) = ( a+ b+ c+ d)( a+ b−c−d)
2 2
10. ( a−b) −( c− d ) = ( a− b+ c−d )( a−b− c+
d )

2
2
11. ( x+ 1)
−16x
= ( x+ 1+ 4x)( x+ 1− 4x) = ( 5x+ 1)( 1−3x)
2
2
12. 64m −( m−2n)
= ( 8m+ m−2n)( 8m− m+ 2n) = ( 9m− 2n)( 7m+
2n)
2 2
13. ( a−2b) − ( x+ y) = ( a− 2b+ x+ y)( a−2b− x−
y)
2 2
14. ( 2a−c) − ( a+
c)
= ( 2a− c+ a+ c)( 2a−c−a− c) = ( 3a)( a−2c)
2
2
15. ( x+ 1)
−4x
= ( x+ 1+ 2x)( x+ 1− 2x) = ( 3x+ 1)( 1−
x)
2
2
16. 36x − ( a+
3x)
= ( 6x+ a+ 3x)( 6x−a− 3x) = ( 9x+ a)( 3x−a)
2
17. ( ) ( )( )
6
3 3
17.
a − a− 1 = a + a−1 a − a+
1
2 2
18. ( a−1) −( m−2)
= ( a− 1+ m−2)( a−1− m+ 2) = ( a+ m−3)( a− m+
1)
2 2
19. ( 2x−3) −( x−5)
= ( 2x− 3+ x−5)( 2x−3− x+ 5) = ( 3x− 8)( x+
2)
20. 1− ( 5a+ 2x) 2
= ( 1+ 5a+ 2x)( 1−5a−2x)
21. ( 7x+ y) 2
− 81= ( 7x+ y+ 9)( 7x+ y−9)
6 2
2
3 2 3 2
22. m −( m − 1) = ( m + m −1)( m − m + 1)
10 2
2
5 2 5 2
23. 16a − ( 2a + 3) = ( 4a + 2a + 3)( 4a −2a
−3)
2 2
24. ( x− y) − ( c+ d) = ( x− y+ c+ d)( x− y−c−d)
24.
2 2
25. ( 2a+ b−c) − ( a+
b)
= ( 2a+ b− c+ a+ b)( 2a+ b−c−a−b)
= ( 3a+ 2b−c)( a−c)
26. 100 −( x− y+ z) 2
= ( 10 + x− y+ z)( 10− x+ y−z)
2
2
27. x −( y− x) = ( x+ y− x)( x− y+ x) = ()( y 2x−
y)
2 2
28. ( 2x+ 3) −( 5x−1)
= ( 2x+ 3+ 5x− 1)( 2x+ 3− 5x+ 1) = ( 7x+ 2)( 4−3x)
2 2
29. ( x− y+ z) −( y− z+
2x)
= ( x− y+ z+ y− z+ 2x)( x− y+ z− y+ z−2x)
= ( 3x)( 2z−2y−
x)
2 2
30. ( 2x+ 1) − ( x+
4)
= ( 2x+ 1+ x+ 4)( 2x+ 1− x− 4) = ( 3x+ 5)( x−3)
2 2
31. ( a+ 2x+ 1) − ( x+ a−1)
= ( a+ 2x+ 1+ x+ a− 1)( a+ 2x+ 1− x− a+
1)
= ( 2a+ 3x)( x+
2)
32. 4( ) 2 2
x+ a − 49y = ( 2x+ 2a+ 7y)( 2x+ 2a−7y)
2 2
33. 25( x− y) − 4( x+
y)
= ( 5x− 5y+ 2x+ 2y)( 5x−5y−2x−2y)
= ( 7x−3y)( 3x−7y)
2 2
34. ( ) ( )
= ( 6m+ 6n+ 11m− 11n)( 6m+ 6n− 11m+
11n)
= ( 17m−5n)( 17n−5m)
34.
36 m+ n −121
m−n
EJERCICIO 95
1.
a + 2ab+ b − x
2 2 2
( a
2
b)
2
x
( a b x)( a b x)
= + −
= + + + −
2.
x − 2xy+ y −m
2 2 2
( x
2
y)
2
m
( x y m)( x y m)
= − −
= − + − −
2 2
3.
m + 2mn+ n −1
( m
2
n)
1
( m n 1)( m n 1)
= + −
= + + + −
4.
a − 2a+ 1−b
2 2
( a
2
1)
2
b
( a 1 b)( a 1 b)
= − −
= − + − −
5.
n + 6n+ 9−c
2 2
( n
2
3)
2
c
( n 3 c)( n 3 c)
= + −
= + + + −
2 2
6.
a + x + 2ax−4
( a
2
x)
4
( a x 2)( a x 2)
= + −
= + + + −
7.
a + 4−4a−9b
2 2
( a
2
2)
2
9b
( a 3b 2)( a 3b
2)
= − −
= + − − −
2 2
8.
x + 4y −4xy−1
( x
2
2y)
1
( x 2y 1)( x 2y
1)
= − −
= − + − −
9.
a − 6ay+ 9y −4x
2 2 2
( a
2
3y)
2
4x
( a 3y 2x)( a 3y 2x)
= − −
= − + − −
2 2
10.
4x + 25y − 36+
20xy
( 2x
2
5y)
36
( 2x 5y 6)( 2x 5y
6)
= + −
= + + + −
2 2
11.
9x − 1+ 16a −24ax
( 3x
2
4a)
1
( 3x 4a 1)( 3x 4a
1)
= − −
= − + − −
2 2 4
12.
1+ 64ab − x −16ab
( 8ab
2
1)
4
x
( 8ab 1
2
x )( 8ab 1
2
x )
= − −
= − + − −

13.
a −b −2bc −c
2 2 2
2
a
2
( b 2bc 2
c )
2
a ( b
2
c)
( a b c)( a b c)
= − + +
= − +
= + + − −
14.
1− a + 2ax−
x
2 2
1
2
( a 2ax 2
x )
1 ( a
2
x)
( 1 a x)( 1 a x)
= − − +
= − −
= + − − +
15.
m − x −2xy−
y
2 2 2
2
m
2
( x 2xy 2
y )
2
m ( x
2
y)
( m x y)( m x y)
= − + +
= − +
= + + − −
2 2
16.
c − a + 2a−1
2
c
2
( a 2a
1)
2
c ( a
2
1)
( c a 1)( c a 1)
= − − +
= − −
= + − − +
2
17.
9−n
−25−10n
9
2
( n 10n
25)
9 ( n
2
5)
( 3 n 5)( 3 n 5)
( n 8)( n 2)
= − + +
= − +
= + + − −
=− + +
2 2
18.
4a − x + 4x−4
2
4a 2
( x 4x
4)
2
4a
( x
2
2)
( 2a x 2)( 2a x 2)
= − − +
= − −
= + − − +
2 2
19.
1−a −9n −6an
1
2
( a 6an 2
9n
)
1 ( a
2
3n)
( a 3n 1)( 1 a 3n)
= − + +
= − +
= + + − −
2 2
20.
25− x − 16y + 8xy
25
2
( x 8xy 2
16y
)
25 ( x
2
4y)
( 5 x 4y)( 5 x 4y)
= − − +
= − −
= + − − +
2 2 2
21.
9x −a − 4m + 4am
2
9x 2
( a 4am 2
4m
)
2
9x ( a
2
2m)
( 3x a 2m)( 3x a 2m)
= − − +
= − −
= + − − +
22.
16xy + 12ab−4a −9b
2 2 2 2
2 2
16xy 2
( 4a 12ab 2
9b
)
2 2
16xy ( 2a 2
3b)
( 4xy 2a 3b)( 4xy 2a 3b)
= − − +
= − −
= + − − +
2 2
23.
− a + 25m −1−2a
2
25m 2
( a 2a
1)
2
25m
( a
2
1)
( 5m a 1)( 5m a 1)
= − + +
= − +
= + + − −
4 2 2
24.
49x −25x − 9y + 30xy
4
49x 2
( 25x 30xy 2
9y
)
4
49x ( 5x 2
3y)
2
( 7x 5x 2
3y)( 7x 5x 3y)
= − − +
= − −
= + − − +
25.
a − 2ab+ b −c −2cd −d
2 2 2 2
2 2
( a b) ( c d)
( a b c d)( a b c d)
= − − +
= − + + − − −
26.
x + 2xy+ y − m + 2mn−n
2 2 2 2
( x
2
y) 2
( m n)
( x y m n)( x y m n)
= + − −
= + + − + − +
27.
a + 4b + 4ab− x −2ax−a
2 2 2 2
2
( a 4ab 2 2
4b ) ( x 2ax 2
a )
( a
2
2b) ( x
2
a)
( a 2b x a)( a 2b x a)
( 2a 2b x)( 2b x)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + −
2 2 2 2
28.
x + 4a −4ax − y − 9b + 6by
2 2 2 2
( x 4ax 4a ) ( y 6by 9b
)
2 2
( x 2a) ( y 3b)
( x 2a y 3b)( x 2a y 3b)
= − + − − +
= − − −
= − + − − − +
29.
m − x + 9n + 6mn−4ax−4a
2 2 2 2
2 2 2 2
( m 6mn 9n ) ( x 4ax 4a
)
2 2
( m 3n) ( x 2a)
( m 3n x 2a)( m 3n x 2a)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
2 2 2 2
30.
9x + 4y −a −12xy−25b −10ab
2 2 2 2
( 9x 12xy 4y ) ( a 10ab 25b
)
2 2
( 3x 2y) ( a 5b)
( 3x 2y a 5b)( 3x 2y a 5b)
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
2 2 2
31.
2am− x − 9+ a + m −6x
2 2 2
( a 2am m ) ( x 6x
9)
2 2
( a m) ( x 3)
( a m x 3)( a m x 3)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
32.
x − 9a + 6a b+ 1+ 2x−b
2 4 2 2
2 2 2 4
( x 2x 1) ( b 6a b 9a
)
2
2
( x 1) ( b 3a
)
2
2 2
( x 1 b 3a )( x 1 b 3a
)
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
33.
16a −1− 10m+ 9x −24ax−25m
2 2 2
2 2 2
( 16a 24ax 9x ) ( 25m 10m
1)
2 2
( 4a 3x) ( 5m
1)
( 4a 3x 5m 1)( 4a 3x 5m
1)
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
2 2 2 2
34.
9m − a + 2acd− c d + 100−60m
2 2 2 2
( a 2acd c d ) ( 9m 60m
100)
2 2
( 3m 10) ( a cd)
( 3m 10 a cd)( 3m 10 a cd)
=− − + + − +
= − − −
= − + − − − +
2 2 2 2
35.
4a − 9x + 49b −30xy−25y −28ab
2 2 2 2
( 4a 28ab 49b ) ( 9x 30xy 25y
)
2 2
( 2a 7b) ( 3x 5y)
( 2a 7b 3x 5y)( 2a 7b 3x 5y)
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
36.
225a − 169b + 1+ 30a+ 26bc−c
2 2 2
2 2 2
( 225a 30a 1) ( 169b 26bc c )
2
( 15a 1) ( 13b c)
( 15a 1 13b c)( 15a 1 13b c)
= + + − − +
= + − −
= + + − + − +
2 2
37.
x − y + 4+ 4x−1−2y
2 2
( x 4x 4) ( y 2y
1)
2 2
( x 2) ( y 1)
( x 2 y 1)( x 2 y 1)
( x y 3)( x y 1)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +
2 2
38.
a −16− x + 36+ 12a−8x
2 2
( a 12a 36) ( x 8x
16)
2 2
( a 6) ( x 4)
( a 6 x 4)( a 6 x 4)
( a x 10)( a x 2)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
= + + − +

EJERCICIO 96
1.
a
+ a + 1
4 2
+ a −a
2 2
4 2 2
( a + 2a + 1)
−a
2
2
2
= ( a + 1)
−a
2 2
= ( a + a+ 1)( a − a+
1)
2.
m + m n + n
3.
x
4.
a
4 2 2 4
+ mn −mn
2 2 2 2
m + 2m n + n −m n
4 2 2 4 2 2
2
( m
2
n )
2 2
m n
2
( m
2
n
2
mn)( m
2
n mn)
= + −
= + + + −
+ 3x
+ 4
8 4
+ x − x
4 4
x + 4x + 4−
x
8 4 4
4
( x
2
2)
4
x
4
( x
2
x
4
2)( x
2
x 2)
= + −
= + + − +
+ 2a
+ 9
4 2
+ 4a
−4a
2 2
a + 6a + 9−4a
4 2 2
2
( a
2
3)
2
4a
2
( a 2a 2
3)( a 2a
3)
= + −
= + + − +
5.
a − 3a b + b
6.
x
4 2 2 4
+ ab − ab
2 2 2 2
a − 2a b + b −a b
4 2 2 4 2 2
2
( a
2
b )
2 2
a b
2
( a ab
2 2
b )( a ab
2
b )
= − −
= + − − −
− 6x
+ 1
4 2
+ 4x
−4x
2 2
x − 2x + 1−4x
4 2 2
2
( x
2
1)
2
4x
2
( x 2x 2
1)( x 2x
1)
= − −
= + − − −
7.
4a + 3a b + 9b
4 2 2 4
+ 9ab
−9ab
2 2 2 2
4a + 12a b + 9b −9a b
4 2 2 4 2 2
2
( 2a 2
3b )
2 2
9a b
2
( 2a 3ab 2 2
3b )( 2a 3ab 2
3b
)
= + −
= + + − +
4 2
8.
4x
− 29x
+ 25
+ 9x
−9x
2 2
4x − 20x + 25−9x
4 2 2
2
( 2x
2
5)
2
9x
2
( 2x 3x 2
5)( 2x 3x
5)
= − −
= + − − −
9.
x + 4x y + 16y
8 4 4 8
+ 4xy
−4xy
4 4 4 4
x + 8x y + 16y −4x y
8 4 4 8 4 4
4
( x
4
4y )
4 4
4x y
4
( x
2 2
2x y
4 4
4y )( x
2 2
2x y
4
4y
)
= + −
= + + − +
10.
16m − 25m n + 9n
4 2 2 4
+ mn −mn
2 2 2 2
16m − 24m n + 9n −m n
4 2 2 4 2 2
2 2
( 4 3 )
2 2 2
m n m n
2 2 2 2
( 4m mn 3n )( 4m mn 3n
)
= − −
= + − − −
11.
25a + 54a b + 49b
4 2 2 4
+ 16ab
−16ab
2 2 2 2
25a + 70a b + 49b −16a b
4 2 2 4 2 2
2
( 5a 2
7b )
2 2
16a b
2
( 5a 4ab 2 2
7b )( 5a 4ab 2
7b
)
= + −
= + + − +
12.
36x − 109x y + 49y
4 2 2 4
+ 25xy
−25xy
2 2 2 2
36x − 84x y + 49y − 25x y
4 2 2 4 2 2
2
( 6x 2
7y )
2 2
25x y
2
( 6x 5xy 2 2
7y )( 6x 5xy 2
7y
)
= − −
= + − − −
8 4
13.
81m
+ 2m
+ 1
+ 16m
−16m
4 4
81m + 18m + 1−16m
8 4 4
4
( 9m
2
1)
4
16m
4
( 9m 2
4m 4
1)( 9m 2
4m
1)
= + −
= + + − +
14.
c
− 45c
+ 100
4 2
+ 25c
−25c
2 2
c − 20c + 100−25c
4 2 2
2
( c
2
10)
2
25c
2
( c 5c 2
10)( c 5c
10)
= − −
= + − − −
8 4 4 8
15.
4a − 53a b + 49b
+ 25ab
−25ab
4 4 4 4
4a − 28a b + 49b −25a b
8 4 4 8 4 4
4
( 2a 4
7b )
4 4
25a b
4
( 2a 2 2
5a b
4 4
7b )( 2a 2 2
5a b
4
7b
)
= − −
= + − − −
16.
49 + 76n
+ 64n
2 4
+ 36n
−36n
2 2
49 + 112n + 64n −36n
2 4 2
( 7
2
8n
)
2
36n
2
( 8n 6n 2
7)( 8n 6n
7)
= + −
= + + − +
17.
25x − 139x y + 81y
4 2 2 4
+ 49xy
−49xy
2 2 2 2
25x − 90x y + 81y −49x y
4 2 2 4 2 2
2
( 5x 2
9y )
2 2
49x y
2
( 5x 7xy 2 2
9y )( 5x 7xy 2
9y
)
= − −
= + − − −
18.
49x + 76x y + 100y
8 4 4 8
+ 64xy
−64xy
4 4 4 4
49x + 140x y + 100y −64x y
8 4 4 8 4 4
4
( 7x 4
10y )
4 4
64x y
4
( 7x 2 2
8x y
4 4
10y )( 7x 2 2
8x y
4
10y
)
= + −
= + + − +
19.
4 − 108x
+ 121x
2 4
+ 64x
−64x
2 2
4 − 44x + 121x −64x
2 4 2
2
( 2 11 )
2 2
x 64x
2 2
( 2 8x 11x )( 2 8x 11x
)
= − −
= + − − −
20.
121x − 133x y + 36y
4 2 4 8
+ xy
− xy
2 4 2 4
121x − 132x y + 36y − x y
4 2 4 8 2 4
2
( 11x 4
6y )
2 4
x y
2
( 11x 2
xy
4 2
6y )( 11x 2
xy
4
6y
)
= − −
= + − − −

21.
144 + 23n
+ 9n
6 12
+ 49n
−49n
6 6
144 + 72n + 9n −49n
6 12 6
( 12
6
3n
)
6
49n
( 12
3
7n 6
3n )( 12
3
7n 6
3n
)
= + −
= + + − +
22.
16 − 9c
+ c
4 8
+ c −c
4 4
16 − 8c + c −c
4 8 4
( 4
4
c )
4
c
( 4
2
c
4
c )( 4
2
c
4
c )
= − −
= + − − −
23.
64a − 169a b + 81b
4 2 4 8
+ 25ab
−25ab
2 4 2 4
64a − 144a b + 81b −25a b
4 2 4 8 2 4
2
( 8a 4
9b )
2 4
25a b
2
( 8a 5ab 4 2
9b )( 8a 5ab 4
9b
)
= − −
= + − − −
24.
225+ 5m
+ m
2 4
+ 25m
−25m
2 2
225+ 30m + m −25m
2 4 2
( 15
2
m )
2
25m
2
( m 5m 2
15)( m 5m
15)
= + −
= + + − +
2 4 4 8
25.
1− 126ab
+ 169ab
+ 100ab
−100ab
26.
xy
2 4 2 4
1− 26ab + 169ab −100ab
2 4 4 8 2 4
2 4
( 1 13 )
2 2 4
ab 100ab
2 2 4 2 2 4
( 1 10ab 13a b )( 1 10ab 13a b )
= − −
= + − − −
+ 21xy
+ 121
4 4 2 2
+ xy − xy
2 2 2 2
xy + 22xy + 121−
xy
4 4 2 2 2 2
2 2
( xy
2
11)
2 2
xy
2 2
( xy xy
2 2
11)( xy xy 11)
= + −
= + + − +
8 4 2 2 4 4
27.
49c + 75cmn + 196mn
+ 121cmn
−121cmn
4 2 2 4 2 2
49c + 196cmn + 196mn −121cmn
8 4 2 2 4 4 4 2 2
4
( 7c 2 2
14m n )
4 2 2
121c m n
4
( 7c 2
11c mn
2 2 4
14m n )( 7c 2
11c mn
2 2
14m n )
= + −
= + + − +
28.
81ab − 292abx + 256x
4 8 2 4 8 16
+ 4abx
−4abx
2 4 8 2 4 8
81ab − 288abx + 256x −4abx
4 8 2 4 8 16 2 4 8
2 4
( 9ab 8
16x)
2 4 8
4abx
2 4
( 9ab 2 4
2abx 8 2 4
16x )( 9ab 2 4
2abx 8
16x
)
= − −
= + − − −
EJERCICIO 97
1.
x
+ 64y
4 4
+ 16xy
−16xy
2 2 2 2
x + 16x y + 64y −16x y
2.
4x
4 2 2 4 2 2
2
( x
2
8y )
2 2
16x y
2
( x 4xy 2 2
8y )( x 4xy 2
8y
)
= + −
= + + − +
+ y
8 8
+ 4xy
−4xy
4 4 4 4
4x + 4x y + y − 4x y
8 4 4 8 4 4
4
( 2x 4
y )
4 4
4x y
4
( 2x 2 2
2x y
4 4
y )( 2x 2 2
2x y
4
y )
= + −
= + + − +
3.
a
+ 324b
4 4
+ 36ab
−36ab
2 2 2 2
a + 36a b + 324b −36a b
4 2 2 4 2 2
2 2
( a b )
2 2 2
18 36a b
2 2 2 2
( a 6ab 18b )( a 6ab 18b
)
= + −
= + + − +
4 4
4.
4m
+ 81n
+ 36mn
−36mn
2 2 2 2
4m + 36m n + 81n −36m n
4 2 2 4 2 2
2
( 2m 2
9n )
2 2
36m n
2
( 2m 6mn 2 2
9n )( 2m 6mn 2
9n
)
= + −
= + + − +
5.
4 + 625x
+ 100x
−100x
4 4
4 + 100x + 625x −100x
6.
64
8
4 8 4
4
( 2 25 )
2 4
x 100x
4 2 4 2
( 25x 10x 2)( 25x 10x
2)
= + −
= + + − +
+ a
12
+ 16a
−16a
6 6
64 + 16a + a −16a
6 12 6
( 8
6
a )
6
16a
6
( a
3
4a 6
8)( a
3
4a
8)
= + −
= + + − +

7.
1 + 4n
+ 4n
− 4n
1+ 4n + 4n − 4n
4
2 2
2 4 2
2
( 1 2 )
2 2
n 4n
2 2
( 2n 2n 1)( 2n 2n
1)
= + −
= + + − +
EJERCICIO 98
8.
64x
+ y
8 8
+ 16xy
−16xy
4 4 4 4
64x + 16x y + y −16x y
8 4 4 8 4 4
4
( 8x 4
y )
4 4
16x y
4
( 8x 2 2
4x y
4 4
y )( 8x 2 2
4x y
4
y )
= + −
= + + − +
9.
81a
+ 64b
4 4
+ 144ab
− 144ab
2 2 2 2
81a + 144a b + 64b −144a b
4 2 2 4 2 2
2
( 9a 2
8b )
2 2
144a b
2
( 9a 12ab 2 2
8b )( 9a 12ab 2
8b
)
= + −
= + + − +
2
1.
x + 7x+ 10= x+ 5 x+
2
1. ( )( )
2
2. x − 5x+ 6= ( x−3)( x−2)
2
3. x + 3x− 10= ( x+ 5)( x−2)
2
4. x + x− 2= ( x+ 2)( x−1)
2
5. a + 4a+ 3= ( a+ 3)( a+
1)
2
6. m + 5m− 14= ( m+ 7)( m−2)
2
7. y − 9y+ 20= ( y−5)( y−4)
2
8. x − x− 6= ( x− 3)( x+
2)
2
9. x − 9x+ 8= ( x−8)( x−1)
2
10. c + 5c− 24= ( c+ 8)( c−3)
2
11. x − 3x+ 2= ( x−2)( x−1)
2
12. a + 7a+ 6= ( a+ 6)( a+
1)
2
13. y − 4y+ 3= ( y−3)( y−1)
2
14. n − 8n+ 12= ( n−6)( n−2)
2
15. x + 10x+ 21= ( x+ 7)( x+
3)
2
16. a + 7a− 18= ( a+ 9)( a−2)
2
17. m − 12m+ 11= ( m−11)( m−1)
2
18. x −7x− 30= ( x− 10)( x+
3)
2
19. n + 6n− 16= ( n+ 8)( n−2)
2
20. a − 21a+ 20= ( a−20)( a−1)
2
21. y + y− 30= ( y+ 6)( y−5)
2
22. a − 11a+ 28 = ( a−7)( a−4)
2
23. n −6n− 40= ( n− 10)( n+
4)
2
24. x −5x− 36= ( x− 9)( x+
4)
2
25. a −2a− 35= ( a− 7)( a+
5)
2
26. x + 14x+ 13= ( x+ 13)( x+
1)
2
27. a − 14a+ 33= ( a−11)( a−3)
2
28. m + 13m− 30 = ( m+ 15)( m−2)
2
29. c −13c− 14 = ( c− 14)( c+
1)
2
30. x + 15x+ 56 = ( x+ 8)( x+
7)
2
31. x − 15x+ 54 = ( x−9)( x−6)
2
32. a + 7a− 60= ( a+ 12)( a−5)
( x )( x )
1 = + 12 −11
2
37.
m −2m−168
168 2
84 2 2⋅2⋅ 3=
12
42 2 2⋅ 7 = 14
21 3 ⇒14 − 12 = 2
( m )( m )
7 7 = − 14 + 12
2
2
38.
c + 24c+
135
33.
x −17x−60
135 3
60 2
45 3 3⋅ 3 = 9
30 2 2⋅2⋅ 5=
20
15 3 3⋅ 5=
15
15 3 3⋅ 1=
3
5 5 ⇒ 15+ 9 = 24
5 5 ⇒20− 3=
17
1 = ( c+ 15)( c+
9)
1 = ( x− 20)( x+
3)
2
2
39.
m − 41m+
400
34.
x + 8x−180
400 2
180 2
4
200 2 2 = 16
90 2 2⋅3⋅ 3=
18
2
100 2 5 = 25
45 3 2⋅ 5=
10
50 2 ⇒ 25+ 16=
41
15 3 ⇒18 − 10 = 8
25 5 = m−25 m−16
5 5 = ( x+ 18)( x−10)
5 5
1
1
2
35.
m −20m−300
2
300 2
40.
a + a−380
380 2
150 2 2⋅3⋅ 5=
30
75 3 2⋅ 5=
10
190 2
2
2 ⋅ 5=
20
25 5 ⇒30− 10=
20
95 5 19⋅ 1=
19
19 19 ⇒ 20 − 19 = 1
5 5 = ( m− 30)( m+
10)
1 =
1
( a+ 20)( a−19)
2
2
36.
x + x−132
41.
x + 12x−364
132 2
364 2
66 2 2⋅2⋅ 3=
12
182 2 2⋅ 13=
26
33 3 11⋅ 1=
11
91 7 2⋅ 7 = 14
11 11 ⇒12 − 11=
1
13 13 ⇒ 26 − 14 = 12
1
( )( )
( x )( x )
1 = + 26 −14

2
42.
a + 42a+
432
2
432 2
45.
x −2x−528
⋅ =
528 2
3
216 2 2 3 24
⋅ =
2
108 2 2 3 18
54 2 ⇒ 24 + 18 = 42
( a )( a )
27 3 = + 24 + 18
9 3
3 3
1
2
43.
m −30m−675
675 3
225 5 3⋅5⋅ 3 = 45
45 3 3⋅ 5=
15
15 3 ⇒45− 15=
30
( m )( m )
5 5 = − 45 + 15
1
44.
y
2
+ 50y+
336
336 3
112 2 3⋅7⋅ 2 = 42
3
56 2 2 8
28 2 ⇒ 42 + 8=
50
( y )( y )
14 2 = + 42 + 8
7 7
1
=
EJERCICIO 99
4 2 2 2
1. x + 5x + 4= ( x + 4)( x + 1)
6 3 3 3
2. x −6x − 7= ( x − 7)( x + 1)
8 4 4 4
3. x −2x − 80= ( x − 10)( x + 8)
1.
2 2
4. x y + xy − 12 = ( xy + 4)( xy −3)
5. ( 4x) 2
−2( 4x) − 15= ( 4x− 5)( 4x+
3)
6. ( 5x) 2
+ 13( 5x) + 42= ( 5x+ 7)( 5x+
6)
2 2
7. x + 2ax− 15a = ( x+ 5a)( x−3a)
2 2
8. a −4ab− 21b = ( a− 7b)( a+
3b)
2
9. ( x− y) + 2( x− y) − 24= ( x− y+ 6)( x− y−4)
⋅ =
3
264 2 2 3 24
132 2 2⋅ 11 = 22
66 2 ⇒24− 22=
2
( x )( x )
33 3 = − 24 + 22
11 11
1
2
46.
n + 43n+
432
432 2
4
216 2 2 16
3
108 2 3 27
54 2 ⇒ 16+ 27 = 43
( n )( n )
27 3 = + 16 + 27
9 3
3 3
1
13.
x + 7ax −60a
=
=
4 2 2
2 2
( x 12a)( x 5a)
= + −
2
14. ( 2x) − 4( 2x)
+ 3
= ( 2x−3)( 2x−1)
2
15. ( m− n) + 5( m−n)
−24
= ( m− n+ 8)( m−n−3)
8 4
16.
x + x −240
240 2
4
120 2 2 16
60 2 3⋅ 5=
15
30 2 ⇒16− 15=
1
4 4
( x )( x )
15 3 = + 16 −15
2
47.
c −4c−320
320 2
4
160 2 2 16
2
80 2 2 5 20
40 2 ⇒20 − 16=
4
( c )( c )
20 2 = − 20 + 16
10 2
5 5
1
2
48.
m −8m−1.
008
1008 . 2
=
⋅ =
⋅ =
2
504 2 2 7 28
⋅ =
2 2
252 2 2 3 36
126 2 ⇒36− 28 = 8
( m )( m )
63 3 = − 36 + 28
2
10.
− x + 4x+
5
5 5
2 2
21.
a − 21ab+
98b
1
2
=−( x −4x− 5) =−( x− 5)( x+ 1) = ( 5− x)( x+
1)
98 2 2⋅ 7 = 14
2
17.
− y + 2y+
15
49 7 7⋅ 1=
7
10 5 5 5
11. x + x − 20= ( x + 5)( x −4)
2
=−( y −2y−15)
7 7 ⇒ 14 + 7 = 21
2 2
12. m + mn− 56n = ( m+ 8n)( m−7n)
=− y− 5 y+ 3 = 5− y y+
3 1 = a−14b a−7b
( )( ) ( )( )
=
21 3
7 7
1
4 4 2 2
18.
ab −2ab
−99
99 3 3⋅ 3=
9
33 3 11⋅ 1=
11
11 11 ⇒11− 9 = 2
2 2 2 2
( ab )( ab )
1 = − 11 + 9
19.
c + 11cd + 28d
2 2
( c 7d)( c 4d)
= + +
2
20. 25x
−5( 5x)
−84
84 2
42 2
2
2 ⋅ 3=
12
21 3 7⋅ 1=
7
7 7 ⇒12− 7=
5
( x )( x )
1 = 5 − 12 5 + 7
( )( )

4 4 2 2
2
22. xy + xy −132
27. − n + 5n+
14
2
132 2
=−( n −5n−14)
66 2 2⋅2⋅ 3=
12
=− n− 7 n+ 2 = 7− n n+
2
33 3 11⋅ 1=
11
6 3
11 11 ⇒12 − 11=
1
28. x + x −930
2 2 2 2
930 2
1 = ( xy + 12)( xy −11)
465 5 2⋅5⋅ 3=
30
4 2
23. − x + 2x
+ 48
93 3 31⋅ 1=
31
4 2
=− x −2x
− 48
31 31 ⇒ 31− 30 = 1
( )
2 2 2 2
3 3
=−( x − 8)( x + 6) = ( 8− x )( x + 6)
1 = ( x + 31)( x −30)
2
24. ( c+ d) − 18( c+ d)
+ 65
29. ( 2
4 ) 2 ( 2
x −8 4x
) −105
= ( c+ d − 13)( c+ d −5)
105 5
25. a + 2axy−440x y
440 2
2 2 2
⋅ =
2
220 2 2 5 20
110 2 11⋅ 2 = 22
55 5 ⇒22 − 20 = 2
( a xy)( a xy)
11 11 = + 22 −20
1
6 6 3 3
26. mn − 21mn
+ 104
104 2
3
52 2 2 8
26 2 13⋅ 1=
13
13 13 ⇒ 13+ 8=
21
3 3 3 3
( mn )( mn )
1 = −13 −8
EJERCICIO 100
2
1. 2x
+ 3x−2
2
= 4x
+ 3( 2x)
−4
=
( 2x+ 4)( 2x−1)
2
( x 2)( 2x
1)
= + −
2
2. 3x
−5x−2
2
= 9x
−5( 3x)
−6
=
( 3x− 6)( 3x+
1)
3
( x 2)( 3x
1)
= − +
=
2
3. 6x
+ 7x+
2
2
6. 12x
− x−6
2
= 36x
+ 7( 6x)
+ 12
2
= 144x
−1( 12x)
−72
=
( 6x+ 4)( 6x+
3)
23 ⋅
( 3x
2)( 2x
1)
= + +
2
4. 5x
+ 13x−6
2
= 25x
+ 13( 5x)
−30
=
( 5x+ 15)( 5x−2)
5
( x 3)( 5x
2)
= + −
2
5. 6x
−5x−6
2
= 36x
−5( 6x)
−36
=
( 6x− 9)( 6x+
4)
32 ⋅
( 2x
3)( 3x
2)
= − +
=
( 12x− 9)( 12x+
8)
34 ⋅
( 4x
3)( 3x
2)
= − +
( )( ) ( )( )
21 3 5⋅ 3=
15
7 7 7⋅ 1=
7
1 ⇒15− 7=
8
2 2
( 4x
15)( 4x
7)
= − +
30. x + 5abx −36a b
4 2 2 2
2 2
( x 9ab)( x 4ab)
= + −
31. a −a b −156b
156 2
4 2 2 4
⋅ =
2
78 2 2 3 12
39 3 13⋅ 1=
13
13 13 ⇒13− 12 = 1
2 2 2 2
( a b )( a b )
1 = − 13 + 12
2
7. 4a
+ 15a+
9
2
= 16a
+ 15( 4a)
+ 36
=
( 4a+ 12)( 4a+
3)
4
( a 3)( 4a
3)
= + +
2
8. 10a
+ 11a+
3
2
= 100a
+ 11( 10a)
+ 30
=
( 10a+ 6)( 10a+
5)
25 ⋅
( 5a
3)( 2a
1)
= + +
2
9. 12m
−13m−35
2
= 144m
−13( 12m)
−420
420 4 4⋅ 7 = 28
105 5 5⋅ 3=
15
21 3 ⇒28− 15=
13
7 7
=
( 12m− 28)( 12m+
15)
43 ⋅
( m )( m )
1 = 3 − 7 4 + 5
32. − x + 4ax+
21a
2 2
2
( x 4ax 2
21a
)
( x 7a)( x 3a)
( 7a x)( x 3a)
= − − −
=− − +
= − +
33. xy −15xy −100a
8 8 4 4 2
4 4 4 4
( xy 20a)( xy 5a)
= − +
2
34. ( a ) ( a )
− 1 + 3 −1 −108
108 2
54 2
2
2 ⋅ 3=
12
27 3
2
3 = 9
9 3 ⇒12− 9=
3
( a )( a )
( a )( a )
3 3 = − 1+ 12 −1−9
1 = + 11 −10
35. m + abcm −56a b c
2 2 2 2
( m 8abc)( m 7abc)
= + −
7 + 24 7 + 128
2
36. ( ) 2 2
x ( x )
128 4
32 4
2
4 = 16
8 4 4⋅ 2=
8
2 2 ⇒ 16+ 8=
24
2 2
( x )( x )
1 = 7 + 16 7 + 8
2
10. 20y
+ y−1
2
y ( y)
( 20y+ 5)( 20y−4)
= 400 + 1 20 −20
=
54 ⋅
( 4y
1)( 5y
1)
= + −
11.
2
8a
−14a−15
2
= 64a
−14( 8a)
−120
120 2
60 2 2⋅2⋅ 5=
20
30 2 2⋅ 3=
6
15 3 ⇒ 20 − 6 = 14
5 5 =
( 8a− 20)( 8a+
6)
42 ⋅
( a )( a )
1 = 2 − 5 4 + 3

2
12. 7x
−44x−35
2
= 49x
−44( 7x)
−245
245 5
49 7 7⋅ 7 = 49
7 7 5⋅ 1=
5
1 ⇒ 49− 5=
44
=
( 7x− 49)( 7x+
5)
7
( x 7)( 7x
5)
= − +
2
13. 15m
+ 16m−15
2
= 225m
+ 16( 15m)
−225
225 5
45 5 5⋅ 5 = 25
9 3 3⋅ 3=
9
3 3 ⇒ 25− 9 = 16
1
=
2
14. 2a
+ 5a+
2
2
= 4a
+ 5( 2a)
+ 4
=
( 15m+ 25)( 15m−9)
53 ⋅
( 3m
5)( 5m
3)
= + −
( 2a+ 4)( 2a+
1)
2
( a 2)( 2a
1)
= + +
2
15. 12x
−7x−12
2
= 144x
−7( 12x)
−144
144 2
72 2
4
2 = 16
36 2
2
3 = 9
18 2 ⇒16 − 9 = 7
9 3
( 12x− 16)( 12x+
9)
43 ⋅
( x )( x )
3 3 = 3 − 4 4 + 3
1
2
16. 9a
+ 10a+
1
2
= 81a
+ 10( 9a)
+ 9
=
=
( 9a+ 9)( 9a+
1)
9
( a 1)( 9a
1)
= + +
2
17. 20n
−9n−20
2
= 400n
−9( 20)
−400
400 2
200 2
4
2 = 16
100 2
2
5 = 25
50 2 ⇒25− 16=
9
25 5
( 20n− 25)( 20n+
16)
54 ⋅
( n )( n )
5 5 = 4 − 5 5 + 4
1
2
18. 21x
+ 11x−2
2
= 441x
+ 11( 21x)
−42
=
=
( 21x+ 14)( 21x−3)
73 ⋅
( 3x
2)( 7x
1)
= + −
2
19. 15m
+ m−6
2
= 225m
+ 15m−90
=
( 15m+ 10)( 15m−9)
53 ⋅
( 3m
2)( 5m
3)
= + −
2
20. 15a
−8a−12
2
= 225a
−8( 15a)
−180
180 2
90 2
2
2⋅ 3 = 18
45 5 5⋅ 2 = 10
9 3 ⇒18− 10 = 8
3 3
=
( 15a− 18)( 15a+
10)
35 ⋅
( a )( a )
1 = 5 − 6 3 + 2
2
21. 9x
+ 37x+
4
2
= 81x
+ 37( 9x)
+ 36
( 9x+ 36)( 9x+
1)
4n+ 12 4n−11
=
1 =
9
4
= ( x+ 4)( 9x+
1)
= ( n+ 3)( 4n−11)
2
2
22. 20n
+ 44n−15
27. 30x
+ 13x−10
2
2
= 400n
+ 44( 20n)
−300
= 900x
+ 13( 30x)
−300
300 2
300 2
150 2
2
2
2⋅ 5 = 50
150 2 5 = 25
75 5
2
2⋅ 3=
6
75 5 2 ⋅ 3=
12
15 5 ⇒50− 6=
44
15 5 ⇒25− 12 = 13
3 3
=
( 20n+ 50)( 20n−6)
10⋅2
( n )( n )
1 = 2 + 5 10 −3
2
23. 14m
−31m−10
2
= 196m
−31( 14m)
−140
140 2
70 2 5⋅ 7 = 35
35 5 2⋅ 2 = 4
7 7⇒35− 4=
31
1
=
( 14m− 35)( 14m+
4)
72 ⋅
( 2m
5)( 7m
2)
= − +
2
24. 2x
+ 29x+
90
2
= 4x
+ 29( 2x)
+ 180
180 2
90 2
2
2 ⋅ 5=
20
45 3
2
3 = 9
15 3 ⇒ 20 + 9 = 29
5 5
=
( 2x+ 20)( 2x+
9)
2
( x )( x )
1 = 2 + 10 2 + 9
2
25. 20a
−7a−40
2
= 400a
−7( 20a)
−800
800 4
200 4
2
4 ⋅ 2 = 32
50 5
2
5 = 25
10 5 ⇒32 − 25=
7
2 2
=
( 20a− 32)( 20a+
25)
45 ⋅
( a )( a )
1 = 5 − 8 4 + 5
2
26. 4n
+ n−33
2
= 16n
+ 4n−132
132 2
66 2
2
2 ⋅ 3=
12
33 3 11⋅ 1=
11
11 11 ⇒12 − 11=
1
3 3
=
( )( )
( 30x+ 25)( 30x−12)
56 ⋅
( x )( x )
1 = 6 + 5 5 −2

EJERCICIO 101
4 2
1. 6x
+ 5x
−6
2
( ) 2 2
x ( x )
2 2
( 6x
+ 9)( 6x
−4)
= 6 + 5 6 −36
=
32 ⋅
2 2
( 2x
3)( 3x
2)
= + −
6 3
2. 5x
+ 4x
−12
3
( ) 2 3
x ( x )
3 3
( 5x
+ 10)( 5x
−6)
= 5 + 4 5 −60
=
5
3 3
( x 2)( 5x
6)
= + −
8 4
3. 10x
+ 29x
+ 10
4
( ) 2 4
x ( x )
4 4
( 10x
+ 25)( 10x
+ 4)
= 10 + 29 10 + 100
=
52 ⋅
4 4
( 2x
5)( 5x
2)
= + +
2 2
4. 6ax
+ 5ax−21
2
( 6ax) + 5( 6ax)
−126
126 2
63 3 2⋅ 7 = 14
21 7 3⋅ 3 = 9
3 3 ⇒ 14− 9=
5
1
=
( 6ax
+ 14)( 6ax
−9)
23 ⋅
( 3ax
7)( 2ax
3)
= + −
2 2
5. 20xy
+ 9xy−20
2
( xy) ( xy)
= 20 + 9 20 −400
400 2
200 2
2
5 = 25
100 2
4
2 = 16
50 2 ⇒25− 16 = 9
25 5
=
( 20xy
+ 25)( 20xy
−16)
54 ⋅
( xy )( xy )
5 5 = 4 + 5 5 −4
1
2 2
6. 15x −ax−2a
= ( 15x) −a( 15x)
−30a
=
2 2
( 15x− 6a)( 15x+
5a)
35 ⋅
( 5x 2a)( 3x a)
= − +
2
7. −10x
− 7x+
12
2
( 10x
7x
12)
2
[( 10x) 7( 10x)
120]
=− + −
=− + −
3 3
7x
− 35 7x
+ 2
120 2
=
7
60 2 5⋅ 3=
15
3 3
= ( x − 5)( 7x
+ 2)
3
30 2 2 = 8
2
13. − 3a
+ 13a+
30
15 5 ⇒15− 8=
7
2
[( )( )]
3 3 = − 10x
+ 15 10x
− =−( 3a
−13a−30)
8
2
52 ⋅
=− 9a
−13( 3a)
−90
1 =− ( 2x+ 3)( 5x−4)
( 3a− 18)( 3a+
5)
=−
3
= ( 2x+ 3)( 4−5x)
=−( a− 6)( 3a+
5)
2 2
8. 21x −29xy−72y
2 2
=
= 441x −29( 21xy)
( 6− a)( 3a+
5)
−1.
512y
8 4
1.
512 2
14. − 6x
+ 7x
+ 5
756 2
3
2 ⋅ 7 = 56
378 2
3
3 = 27
189 3 ⇒56 − 27 = 29
63 3
( 21x− 56y)( 21x+
27y)
73 ⋅
( x y)( x y)
21 3 = 3 − 8 7 + 9
7 7
1
2 2
9. 6m −13am−15a
= 36m −13( 6am)
−90a
=
=
2 2
( 6m− 18a)( 6m+
5a)
6
( m 3a)( 6m 5a)
= − +
4 2
10. 14x
−45x
−14
2
( ) 2 2
x ( x )
= 14 −45 14 −196
196 2
98 2 7⋅ 7 = 49
49 7 2⋅ 2 = 4
7 7 ⇒49 − 4 = 45
1
=
2 2
( 14x
− 49)( 14x
+ 4)
72 ⋅
2 2
( 2x
7)( 7x
2)
= − +
2 2
11. 30a −13ab−3b
= 900a −13( 30ab)
−90b
=
2 2
( 30a− 18b)( 30a+
5b)
65 ⋅
( 5a 3b)( 6a b)
= − +
6 3
12. 7x
−33x
−10
3
( x ) 3
( x )
( )( )
= 7 −33 7 −70
( )
8 4
( 6x
7x
5)
4
( ) 2 4
x ( x )
4 4
( 6x
− 10)( 6x
+ 3)
=− − −
( 6 7 6 30)
=− − −
=−
23 ⋅
4 4
( 3x
5)( 2x
1)
4 4
( 5 3x
)( 2x
1)
=− − +
= − +
15. 6a −ax −15x
2 2
= 36a −6ax −90x
=
2 2
( 6a− 10x)( 6a+
9x)
23 ⋅
( 3a 5x)( 2a 3x)
= − +
2 2 2
16. 4x + 7mnx −15m n
= ( 4x) + 7mn( 4x)
−60m n
=
2 2 2
( 4x+ 12mn)( 4x−5mn)
4
( x 3mn)( 4x 5mn)
= + −
2 2
17. 18a + 17ay −15y
= ( 18a) + 17y( 18a)
−270y
270 2
135 5
3
3 = 27
27 3 5⋅ 2 = 10
9 3 ⇒27 − 10=
17
3 3
2 2
=
( 18a+ 27y)( 18a−10y)
92 ⋅
( a y)( a y)
1 = 2 + 3 9 −5

4 2
18. − 8x
+ 2x
+ 15
4 2
( 8x
2x
15)
2
( ) 2 2
x ( x )
2 2
( 8x
− 12)( 8x
+ 10)
=− − −
( 8 2 8 120)
=− − −
=−
42 ⋅
2 2
( 2x
3)( 4x
5)
2 2
( 3 2x
)( 4x
5)
=− − +
= − +
8 4
19. − 25x
+ 5x
+ 6
8 4
( 25x
5x
6)
4
( ) 2 4
x ( x )
4 4
( 25x
− 15)( 25x
+ 10)
=− − −
( 25 5 25 150)
=− − −
=−
55 ⋅
4 4
( 5x
3)( 5x
2)
4 4
( 3 5x
)( 5x
2)
=− − +
= − +
10 5
20. 30x
−91x
−30
5
( ) 2 5
x ( x )
5 5
( 30x
− 100)( 30x
+ 9)
= 30 −91 30 −900
=
10⋅3
5 5
( 3x
10)( 10x
3)
= − +
2 2
21. 30m + 17am−21a
= ( 30m) + 17a( 30m)
−630a
630 2
315 5 5⋅ 7 = 35
63 3
2
2⋅ 3 = 18
21 3 ⇒35− 18 = 17
7 7
2 2
=
( 30m+ 35a)( 30m−18a)
56 ⋅
( m a)( m a)
1 = 6 + 7 5 −3
2
22. − 15a
+ 16a−4
2
( 15a
16a
4)
2
(( 15a) 16( 15a)
60)
( 15a−10)( 15a−6)
=− − +
=− − +
=−
53 ⋅
( 3a
2)( 5a
2)
( 3a
2)( 2 5a)
=− − −
= − −
23. − 6y + 11xy−4x
2 2
( 6y 11xy 4x
)
2
( ) ( )
( 6y−8x)( 6y−3x)
= − − +
2
( 6y 11x 6y 24x
)
=− − +
=−
2 2
23 ⋅
( 3y 4x)( 2y x)
( 4x 3y)( 2y x)
=− − −
= − −
24. − 20a + 27ab−9b
2 2
( 20a 27ab 9b
)
2 2
(( 20a) 27b( 20a)
180b
)
=− − +
=− − +
180 2
90 2
2
2 ⋅ 3=
12
45 5 5⋅ 3=
15
9 3 ⇒ 15+ 12 = 27
3 3
2 2
=−
( 20a−15b)( 20a−12b)
54 ⋅
( a b)( a b)
( 4a 3b)( 3b 5a)
1 =− 4 −3 5 −3
= − −
EJERCICIO 102
1. a 3 + 3a 2 + 3a+ 1= ( a+
1)
2. 27 − 27x+ 9x 2 − x 3 = ( 3−
x)
3. m 3 + 3m 2 n+ 3mn 2 + n 3 = ( m+
n)
4. 1 3 3 2 3
3
− a+ a − a = ( 1−a)
5. 8+ 12a + 6a + a = ( 2+
a )
2 4 6 2 3
6. 125x 3 + 75x 2 + 15x+ 1= ( 5x+
1)
7. 8a 3 − 36a 2 b+ 54ab 2 − 27b 3 = ( 2a−3b)
8. 27m 3 + 108m 2 n+ 144mn 2 + 64n 3 = ( 3m+
4n)
9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1=
No es cubo perfecto
2 3 3
10. 1+ 12a b −6ab − 8a b = No es cubo perfecto
11. 125a 3 + 150a 2 b+ 60ab 2 + 8b 3 = ( 5a+
2b)
3
3
3
3
3
3
3
12. 8+ 36x+ 54x 2 + 27x 3 = ( 2+
3x)
2 4 6
13. 8−12a −64a − a = No es cubo perfecto
14. a 6 + 3a 4 b 3 + 3a 2 b 6 + b 9 = ( a 2 + b
3 )
3
15. x − 9x y + 27x y − 27y = ( x −3y
)
9 6 4 3 8 12 3 4 3
16. 64x 3 + 240x 2 y+ 300xy 2 + 125y 3 = ( 4x+
5y)
17. 216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = ( 6 −7a
2 )
3
18. 125x + 600x y + 960x y + 512y = ( 5x + 8y
)
19. a 18 a 12 a 6 ( a
6 3
+ 3 + 3 + 1= + 1)
12 8 5 4 10 15 4 5 3
20. m 3 − 3am 2 n+ 3a 2 mn 2 − a 3 n 3 = ( m−an)
21. 1+ 18ab 2 3 + 108ab 4 6 + 216ab 6 9 = ( 1+
6ab
2 3 )
3
22. 64x − 240x y + 300x y − 125y = ( 4x −5y
)
9 6 4 3 8 12 3 4 3
3
3
3

EJERCICIO 103
1. 1+ a 3 = ( 1+ a)( 1− a+
a
2
)
2. 1− a 3 = ( 1− a)( 1+ a+
a
2
)
3 3 2 2
3. x + y = ( x + y)( x − xy+
y )
3 3 2 2
4. m − n = ( m − n)( m + mn+
n )
3 2
5. a − 1= ( a − 1)( a + a+
1)
3 2
6. y + 1= ( y+ 1)( y − y+
1)
3 2
7. y − 1= ( y− 1)( y + y+
1)
3 2
8. 8x − 1= ( 2x− 1)( 4x + 2x+
1)
9. 1− 8x 3 = ( 1− 2x)( 1+ 2x+
4x
2
)
3 2
10. x − 27= ( x− 3)( x + 3x+
9)
3 2
11. a + 27 = ( a+ 3)( a − 3a+
9)
3 3 2 2
12. 8x + y = ( 2x+ y)( 4x − 2xy+
y )
3 3 2 2
13. 27a − b = ( 3a− b)( 9a + 3ab+
b )
14. 64 + a 6 = ( 4 + a 2 )( 16 − 4a 2 + a
4
)
3 2
15. a − 125= ( a− 5)( a + 5a+
25)
16. 1− 216m 3 = ( 1− 6m)( 1+ 6m+
36m
2
)
3 6 2 2 2 4
17. 8a + 27b = ( 2a+ 3b )( 4a − 6ab + 9b
)
6 9 2 3 4 2 3 6
18. x − b = ( x − b )( x + x b + b )
3 3 2 2
19. 8x − 27y = ( 2x− 3y)( 4x + 6xy+
9y
)
EJERCICIO 104
[ ]
3 2
1. 1+ ( x+ y) = ( 1+ x+ y) 1− ( x+ y) + ( x+
y)
2 2
= ( 1+ x+ y)( 1− x− y+ x + 2xy+
y )
3 2
2. 1− ( a+ b) = [ 1− ( a+ b)
][ 1+ ( a+ b) + ( a+
b)
]
2 2
= ( 1−a− b)( 1+ a+ b+ a + 2ab+
b )
3 2
3. 27 + ( m− n) = ( 3+ m−n) [ 9 −3( m− n) + ( m−n)
]
2 2
= ( 3+ m−n)( 9− 3m+ 3n+ m − 2mn+
n )
3 2
4. ( x− y) − 8= ( x− y−2) [( x− y) + 2( x− y)
+ 4]
2 2
= ( x− y−2)( x − 2xy+ y + 2x− 2y+
4)
20. 1+ 343n 3 = ( 1+ 7n)( 1− 7n+
49n
2
)
3 2
21. 64a − 729 = ( 4a− 9)( 16a + 36a+
81)
3 3 6 2 2 2 2 4
22. ab − x = ( ab− x )( ab + abx + x )
23. 512 + 27a 9 = ( 8 + 3a 3 )( 64 − 24a 3 + 9a
6
)
6 12 2 4 4 2 4 8
24. x − 8y = ( x − 2y )( x + 2x y + 4y
)
25. 1+ 729x 6 = ( 1+ 9x 2 )( 1− 9x 2 + 81x
4
)
3 9 3 2 3 6
26. 27m + 64n = ( 3m+ 4n )( 9m − 12mn + 16n
)
3 6 2 2 2 4
27. 343x + 512 y = ( 7x+ 8y )( 49x − 56xy + 64y
)
3 6 9 2 3 2 4 5 6
28. xy − 216y = ( xy − 6y )( xy + 6xy + 36y
)
3 3 3 2 2 2
29. a b x + 1= ( abx + 1)( a b x − abx + 1)
9 9 3 3 6 3 3 6
30. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
3 2
31. 1. 000x − 1= ( 10x− 1)( 100x + 10x+
1)
6 12 2 4 4 2 4 8
32. a + 125b = ( a + 5b )( a − 5a b + 25b
)
12 12 4 4 8 4 4 8
33. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
34. 1− 27a 3 b 3 = ( 1− 3ab)( 1+ 3ab + 9a 2 b
2
)
6 2 4 2
35. 8x + 729 = ( 2x + 9)( 4x − 18x
+ 81)
3 12 4 2 4 8
36. a + 8b = ( a+ 2b )( a − 2ab + 4b
)
37. 8x 9 − 125y 3 z 6 = ( 2x 3 − 5yz 2 )( 4x 6 + 10x 3 yz 2 + 25y 2 z
4
)
6 9 2 3 4 2 3 6
38. 27m + 343n = ( 3m + 7n )( 9m − 21m n + 49n
)
39. 216− x 12 = ( 6 − x 4 )( 36 + 6x 4 + x
8
)
[ ]
3 2
5. ( x+ 2y) + 1= ( x+ 2y+ 1) ( x+ 2y) − ( x+ 2y)
+ 1
2 2
= ( x+ 2y+ 1)( x + 4xy+ 4y − x− 2y+
1)
3 2
6. 1−( 2a− b) = [ 1−( 2a− b)
][ 1+ ( 2a− b) + ( 2a−b)
]
2 2
= ( 1− 2a+ b)( 1+ 2a− b+ 4a − 4ab+
b )
3
3
2
2
7. a + ( a+ 1) = ( a+ a+ 1) [ a − a( a+ 1) + ( a+
1)
]
2 2 2
= ( 2a+ 1)( a −a − a+ a + 2a+
1)
2
= ( 2a+ 1)( a + a+
1)
3
3
2
2
8. 8a −( a− 1) = [ 2a−( a− 1)
][ 4a + 2a( a− 1) + ( a−1)
]
2 2 2
= ( 2a− a+ 1)( 4a + 2a − 2a+ a − 2a+
1)
2
= ( a+ 1)( 7a − 4a+
1)

3
3
3 3
9. 27x −( x−
y)
14. ( x− y) − ( x+
y)
2
2
2 2
= [ 3x−( x− y)
][ 9x + 3x( x− y) + ( x−
y)
]
= [( x− y) − ( x+ y)
][( x− y) + ( x− y)( x+ y) + ( x+
y)
]
2 2 2 2
= ( 3x− x+ y)( 9x + 3x − 3xy+ x − 2xy+
y )
2 2 2 2 2 2
= ( x− y− x− y)( x − 2xy+ y + x − y + x + 2xy+
y )
2 2
= ( 2x+ y)( 13x − 5xy+
y )
2 2
=− 2y( 3x + y )
3
3 3
10. ( 2a−b)
−27
15. ( m− 2) + ( m−3)
2
2 2
= ( 2a−b−3) [( 2a− b) + 3( 2a− b)
+ 9]
= [( m− 2) + ( m−3)
][( m−2) −( m−2)( m− 3) + ( m−3)
]
2 2
2 2 2
= ( 2a−b−3)( 4a − 4ab+ b + 6a− 3b+
9)
= ( m− 2+ m−3)( m − 4m+ 4− m + 5m− 6+ m − 6m+
9)
6
3
2
11. x − ( x+
2)
= ( 2m−5)( m − 5m+
7)
2 4 2
2
3 3
= [ x − ( x+ 2)
][ x + x ( x+ 2) + ( x+
2)
16.
] ( 2x− y) + ( 3x+
y)
2 2
2 4 3 2 2
= ( x − x− 2)( x + x + 2x + x + 4x+
4)
= [( 2x− y) + ( 3x+ y)
][( 2x− y) −( 2x− y)( 3x+ y) + ( 3x+
y)
]
2 4 3 2
2 2 2 2 2 2
= ( x − x− 2)( x + x + 3x + 4x+
4)
= ( 2x− y+ 3x+ y)( 4x − 4xy+ y − 6x + xy+ y + 9x + 6xy+
y )
3 3
2 2
12. ( a+ 1) + ( a−3)
= ( 5x)( 7x + 3xy+
3y
)
3 3
2 2 17. 8
= ( a+ 1+ a− 3) [( a+ 1) −( a− 3)( a+ 1) + ( a−3)
]
( a+ b) + ( a−b)
2 2
2 2 2
=
= ( 2a− 2)( a + 2a+ 1− a + 2a+ 3+ a − 6a+
9)
[ 2( a+ b) + ( a− b)
][ 4( a+ b) − 2( a+ b)( a− b) + ( a−b)
]
2 2 2 2 2 2
2
=
= ( 2a−2)( a − 2a+
13)
( 2a+ 2b+ a− b)( 4a + 8ab+ 4b − 2a + 2b + a − 2ab+
b )
2 2
3 3
=
13. ( x−1) − ( x+
2)
( 3a+ b)( 3a + 6ab+
7b
)
3
2 2 18. 64( m+ n)
−125
= [ x−1− ( x+ 2)
][( x− 1) + ( x− 1)( x+ 2) + ( x+
2)
]
2
2 2 2
=
= ( x−1− x−2)( x − 2x+ 1+ x + x− 2+ x + 4x+
4)
[ 4( m+ n)
− 5] [ 16( m+ n) + 4( m+ n)()
5 + 25]
2 2
2 2
=− 3( 3x + 3x + 3) =− 9( x + x + 1
=
)
( 4m+ 4n− 5)( 16m + 32mn+ 16n + 20m+ 20n+
25)
EJERCICIO 105
5 4 3 2
1. a + 1= ( a+ 1)( a − a + a − a+
1)
5 4 3 2
2. a − 1= ( a− 1)( a + a + a + a+
1)
3. 1− x 5 = ( 1− x)( 1+ x+ x 2 + x 3 + x
4
)
4. a
+ b
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
( a b)( a a b a b a b a b ab b )
= + − + − + − +
5. m − n
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
( m n)( m m n m n m n m n mn n )
= − + + + + + +
5 4 3 2
6. a + 243= ( a+ 3)( a − 3a + 9a − 27a+
81)
7. 32 − m 5 = ( 2 − m)( 16 + 8m+ 4m 2 + 2m 3 + m
4
)
8. 1+ 243x 5 = ( 1+ 3x)( 1− 3x+ 9x 2 − 27x 3 + 81x
4
)
9. x
7
+ 128
6 5 4 3 2
( x 2)( x 2x 4x 8x 16x 32x
64)
= + − + − + − +
10. 243− 32b 5 = ( 3− 2b)( 81+ 54b+ 36b 2 + 24b 3 + 16b
4
)
5 5 5 4 3 2 2 2 3 3 4 4
11. a + b c = ( a + bc)( a − a bc + a b c − ab c + b c )
12. m
− a x
7 7 7
6 5 4 2 2 3 3 3 2 4 4 5 5 6 6
( m ax)( m max max max max max ax)
= − + + + + + +
15. a
13. 1+ x 7 = ( 1+ x)( 1− x+ x 2 − x 3 + x 4 − x 5 + x
6
)
14. x
7
− y
7 7
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
( x y)( x x y x y x y x y xy y )
= − + + + + + +
+ 2187 .
6 5 4 3 2
( a 3)( a 3a 9a 27a 81a 243a
729)
= + − + − + − +
16. 1− 128a 7 = ( 1− 2a)( 1+ 2a+ 4a 2 + 8a 3 + 16a 4 + 32a 5 + 64a
6
)
10 5 2 8 6 4 2 2 3 4
17. x + 32y = ( x + 2y)( x − 2x y+ 4x y − 8x y + 16y
)
18. 1+
128x
4
2 2 4 6 8 10 12
( 1 2x )( 1 2x 4x 8x 16x 32x 64x
)
= + − + − + − +

EJERCICIO 106
1. 5a 2 + a= a( 5a+
1)
2 2
2
2. m + 2mx+ x = ( m+
x)
2 2
3. a + a−ab− b= ( a + a) −( ab−b)
= aa ( + 1) − ba ( + 1)
= ( a+ 1)( a−b)
2 2 2
4. x − 36 = x − 6 = ( x+ 6)( x−6)
2 2
2
5. 9x − 6xy+ y = ( 3x−
y)
2
6. x −3x− 4= ( x− 1)( x+
4)
2
7. 6x
−x−2
2
= 36x
−6x−12
=
( 6x− 4)( 6x+
3)
32 ⋅
( 3x
2)( 2x
1)
= − +
8. 1+ x 3 = ( 1+ x)( 1− x+
x
2
)
3 2
9. 27a − 1= ( 3a− 1)( 9a + 3a+
1)
5 5 4 3 2 2 3 4
10. x + m = ( x+ m)( x − x m+ x m − xm + m )
3 2 2 2 2
11. a − 3a b+ 5ab = a( a − 3ab+
5b
)
12. 2xy − 6y + xz −3z
= 2y( x− 3) + z( x− 3) = ( x− 3)( 2y+
z)
2
2
13. 1− 4b+ 4b = ( 1−2b)
14. 4x + 3x y + y
4 2 2 4
+ xy − xy
2 2 2 2
4x + 4x y + y − x y
4 2 2 4 2 2
2
( 2x 2
y )
2 2
x y
2
( 2x xy
2 2
y )( 2x xy
2
y )
= + −
= + + − +
15. x − 6x y + y
8 4 4 8
+ 2xy
−4xy
4 4 4 4
x − 2x y + y −4x y
8 4 4 8 4 4
4 4
( x y )
2 4 4
= − −4x y
4 2 2 4 4 2 2 4
= ( x + 2x y − y )( x −2x y − y )
2
16. a −a− 30 = ( a− 6)( a+
5)
2
17. 15m
+ 11m−14
2
= 225m
+ 11( 15m)
−210
=
( 15m+ 21)( 15m−10)
35 ⋅
( 5m
7)( 3m
2)
= + −
18. a 6 + 1= ( a 2 + 1)( a 4 − a
2 + 1)
19. 8m 3 − 27y 6 = ( 2m− 3y 2 )( 4m 2 + 6my 2 + 9y
4
)
2 2
20. 16a − 24ab+ 9b = ( 4a−3b)
21. 1+ a 7 = ( 1+ a)( 1− a+ a 2 − a 3 + a 4 − a 5 + a
6
)
22. 8a 3 − 12a 2 + 6a− 1= ( 2a−1)
2
23. 1− m = ( 1+ m)( 1−m)
4 2 2 2
24. x + 4x − 21= ( x + 7)( x −3)
6 2 4 2
25. 125a + 1= ( 5a + 1)( 25a − 5a
+ 1)
26. a + 2ab+ b −m
2 2 2
2
2
= ( a+ b) − m = ( a+ b+ m)( a+ b−m)
2 3 2 2 2
27. 8ab+ 16ab− 24ab = 8ab( 1+ 2a−3b)
5 4
28. x − x + x−1
5 4 4 4
( x x ) ( x 1) x ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1)
= − + − = − + − = + −
2
29. 6x
+ 19x−20
2
= 36x
+ 19( 6x)
−120
120 2
60 2
3
2 ⋅ 3=
24
30 2 5⋅ 1=
5
3
2
15 3 ⇒ 24 − 5=
19
5 5
=
( 6x+ 24)( 6x−5)
6
( x )( x )
1 = + 4 6 −5
4 2 2 2
30. 25x − 81y = ( 5x + 9y)( 5x −9y)
31. 1− m 3 = ( 1− m)( 1+ m+
m
2
)
x − a + 2xy+ y + 2ab−b
2 2 2 2
32.
(
2 2
) (
2 2
= x + 2xy+ y − a − 2ab+
b )
2 2
= ( x+ y) −( a−b)
= ( x+ y+ a− b)( x+ y− a+
b)
33. 21mn 5 − 7mn 4 2 + 7mn 3 3 − 7mn 2 = 7mn 2 ( 3m 3 − mn 2 + mn
2 −1)
34. a( x+ 1) − b( x+ 1) + c( x+ 1) = ( a− b+ c)( x+
1)
35. 4+ 4( x− y) + ( x− y) 2 = ( 2+ x−
y)
2
36. 1− a 2 b 4 = ( 1+ ab 2 )( 1−ab
2
)
2 2
37. b + 12ab+ 36a = ( b+
6a)
6 3 3 3
38. x + 4x − 77= ( x + 11)( x −7)
2

4 2
39. 15x
−17x
−4
2
( ) 2 2
x ( x )
2 2
( 15x
− 20)( 15x
+ 3)
= 15 −17 15 −60
=
53 ⋅
2 2
= ( 3x
− 4)( 5x
+ 1)
3
40. 1+ ( a−3b)
2
= ( 1+ a−3b) [ 1−( a− 3b) + ( a−3b)
]
2 2
= ( 1+ a−3b)( 1− a+ 3b+ a − 6ab+
9b
)
41. x
42. a
+ x + 25
4 2
+ 9x
−9x
2 2
x + 10x + 25−9x
4 2 2
2
( x
2
5)
2
9x
2
( x 3x 2
5)( x 3x
5)
= + −
= + + − +
− 28a
+ 36
8 4
+ 16a
−16a
4 4
a − 12a + 36 −16a
8 4 4
4
( a
2
6)
4
16a
4
( a
2
4a 4
6)( a
2
4a
6)
= − −
= + − − −
43. 343+ 8a 3 = ( 7 + 2a)( 49 − 14a+
4a
2
)
2 2 2
44. 12abx− 15aby= 3ab( 4x−5y)
2 2
45. x + 2xy− 15y = ( x+ 5y)( x−3y)
46. 6am−4an − 2n + 3m
( 6am 3m) ( 4an 2n)
3m( 2a 1) 2n( 2a
1)
( 3m 2n)( 2a
1)
= + − +
66. c 4 − 4d 4 = ( c 2 + 2d 2 )( c 2 −2d
2
)
= + − +
4 3 2 2 2
= − +
67. 15x − 15x + 20x = 5x ( 3x − 3x+
4)
47. 81a 6 − 4b 2 c 8 = ( 9a 3 + 2bc 4 )( 9a 3 −2bc
4
2 2
) 68. a − x −a−
x
48. 16 − ( 2a+ b) 2
= ( 4 + 2a+ b)( 4 −2a−b)
49. 20−
x−
x
2
2
=− ( x + x−20)
=− ( x+ 5)( x−4)
= ( x+ 5)( 4−
x)
2
50. n + n− 42 = ( n+ 7)( n−6)
2 2 2 2
51. a − d + n −c −2an−2cd
2 2 2 2
( a 2an n ) ( c 2cd d )
2 2
( a n) ( c d)
( a n c d)( a n c d)
= − + − + +
= − − +
= − + + − − −
52. 1+ 216x 9 = ( 1+ 6x 3 )( 1− 6x 3 + 36x
6
)
3 2
53 x − 64 = ( x− 4)( x + 4x+
16)
3 4 3
54. x − 64x = x ( 1−64x)
55. 18ax 5 y 3 −36x 4 y 3 − 54x 2 y 8 = 18x 2 y 3 ( ax 3 −2x 2 −3y
5
)
2 2
56. 49a b − 14ab + 1= ( 7ab
−1)
2
57. ( x+ 1) − 81= ( x+ 1+ 9)( x+ 1− 9) = ( x+ 10)( x−8)
58. a 2
2
− ( b+ c) = ( a+ b+ c)( a−b−c)
2 2
59. ( m+ n) − 6( m+ n) + 9= ( m+ n−3)
2
60. 7x
+ 31x−20
2
= ( 7x) + 31( 7x)
−140
140 2
70 2 7⋅ 5=
35
35 5
2
2 = 4
7 7 ⇒35− 4=
31
1
=
64. 1− 27b
+ b
2 4
( 7x+ 35)( 7x−4)
7
( x 5)( 7x
4)
= + −
+ 25b
−25b
2 2
1− 2b + b −25b
2 4 2
2
( 1 )
2 2
b 25b
2 2
( 1 5b b )( 1 5b b )
= − −
= + − − −
61. 9a + 63a−45a
3 2
2
( a)
= 9aa
+ 7−5
62. ax + a − x −1
( ax a) ( x 1)
a( x 1) ( x 1)
( a 1)( x 1)
= + − +
= + − +
= − +
4 2 2
63. 81x + 25y −90x y
⇒81x − 90x y+
25y
4 2 2
2
( 9x
5y)
= −
65. m + m n + n
4 2 2 4
+ mn −mn
2 2 2 2
m + 2m n + n −m n
4 2 2 4 2 2
2
( m
2
n )
2 2
m n
2
( m mn
2 2
n )( m mn
2
n )
= + −
= + + − +
2 2
( a x ) ( a x) ( a x)( a x) ( a x) ( a x)( a x 1)
= − − + = + − − + = + − −
4 2
69. x −8x
−240
240 4
60 4 4⋅ 5=
20
15 3 4⋅ 3=
12
5 5 ⇒ 20− 12 = 8
2 2
( x )( x )
1 = − 20 + 12
4 2
70. 6m
+ 7m
−20
2
( ) 2 2
m ( m )
= 6 + 7 6 −120
120 4
30 3 4⋅ 2 = 8
10 5 5⋅ 3=
15
2 2 ⇒15− 8=
7
1
=
2 2
( 6m
+ 15)( 6m
−8)
2 2
( 2m
5)( 3m
4)
2
32 ⋅
= + −

71. 9n + 4a −12an⇒9n − 12an+
4a
2 2 2 2
2
= ( 3n−2a)
85. 2x( a−1) − a+ 1= 2x( a−1) −( a− 1) = ( a−1)( 2x−1)
72. 2x
2 + 2= 2( x
2 + 1)
86.( m+ n)( m− n) + 3n( m− n) = ( m− n)( m+ n+ 3n) = ( m− n)( m+
4n)
73. 7a( x+ y−1) − 3b( x+ y− 1) = ( 7a− 3b)( x+ y−
2 3 3 2 2 2
1)
87. a − b + 2b x −2a x
2
74. x + 3x− 18= ( x+ 6)( x−3)
3 3 2 2 2 2
=−( b − 2b x ) + ( a −2a x )
2 2
75. ( a+ m) − ( b+ n) = ( a+ m+ b+ n)( a+ m−b−n)
3 2 2 2 2 2 3
= −b ( 1− 2x ) + a ( 1− 2x ) = ( 1−2x )( a −b
)
76 x 3 x 2 y xy 2 y 3
3
2
+ 6 + 12 + 8 = ( x+
2y)
88. 2am−3b −c −cm− 3bm+
2a
2
2
89. x
77. 8a
−22a−21
− 2
x x
=
2
( 2am−cm−3bm ) − ( 3b + c −2a
)
3
+ 1
9
= ⎛
− 1⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
= ( 8a) −22( 8a)
−168
2n
4n
= m
168 4
( 2a−c−3b) − ( 3b+ c−2a)
90. 4a
− b
42 2 3⋅ 2 = 6
= m( 2a−3b− c) + ( 2a−3b−c)
n 2n n 2n
= ( 2a + b )( 2a −b
)
21 3 4⋅ 7 = 28
= ( 2a−3b− c)( m+
1)
7 7 ⇒28− 6=
22
91.
( 8a− 28)( 8a+
6)
81 2
2
x − ( a+ x) = ( 9x+ a+ x)( 9x−a− x) = ( 10x+ a)( 8x−a)
1
=
42 ⋅
( 2a
7)( 4a
3)
= − +
2 2
78. 1+ 18ab + 81a b = ( 1+
9ab)
6 3 3
79. 4a − 1= ( 2a + 1)( 2a
−1)
6 3
80. x −4x
−480
480 4
120 3 5⋅ 4 = 20
40 4 4⋅3⋅ 2 = 24
10 5 ⇒ 24 − 20=
4
3 3
( x )( x )
2 2 = − 24 + 20
1
81. ax − bx + b −a − by + ay
( ax ay a) ( bx by b)
a( x y 1) b( x y 1)
( a b)( x y 1)
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
82 6am−3m − 2a
+ 1
( 6am 3m) ( 2a
1)
3m( 2a 1) ( 2a 1) ( 3m 1)( 2a
1)
= − − −
= − − − = − −
2
83. 15+ 14x−8x
2
=− 8x
−14x−15
( )
2
[( 8x) 14( 8x)
120]
=− − −
120 4
30 3 4⋅ 5=
20
10 5 3⋅ 2 = 6
2 2 ⇒20− 6=
14
1
=−
( 8x− 20)( 8x+
6)
42 ⋅
( 2x
5)( 4x
3)
( 5 2x)( 4x
3)
=− − +
= − +
2
84. a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 ( a 6 − a 4 + a
2 +1)
92. a + 9−6a−16x
2 2
2 2
2
2
( a 6a 9) 16x ( a 3) 16x ( a 3 4x)( a 4x
3)
= − + − = − − = − + − −
2 2
93. 9a − x − 4+
4x
2
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
= 9a − x − 4x+ 4 = 9a − x− 2 = 3a+ x−2 3a− x+
2
2 2
94. 9x − y + 3x−
y
2 2
= ( 9x − y ) + ( 3x− y) = ( 3x+ y)( 3x− y) + ( 3x− y) = ( 3x− y)( 3x+ y+
1)
2
95. x − x− 72 = ( x− 9)( x+
8)
96. 36a − 120a b + 49b
4 2 2 4
+ 36ab
−36ab
2 2 2 2
36a − 84a b + 49b −36a b
4 2 2 4 2 2
2
( 6a 2
7b )
2 2
36a b
2
( 6a 6ab 2 2
7b )( 6a 6ab 2
7b
)
= − −
= + − − −
97. a −m −9n − 6mn+ 4ab+
4b
2 2 2 2
2 2 2 2
( a 4ab 4b ) ( m 6mn 9n
)
2 2
( a 2b) ( m 3n)
( a 2b m 3n)( a 2b m 3n)
= + + − + +
= + − +
= + + + + − −
98. 1 4 1 2 1 2 8 ⎛ 4⎞
⎛ 4⎞
− a = ⎜ + a ⎟ ⎜ − a ⎟
9 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
99. 81a
+ 64b
8 12
2
2 2
4 6 4 6 = ( x−ab)
−36a b
+ 144ab
−144ab
=
8 4 6 12 4 6
( x − ab + 6ab)( x −ab −6ab)
a + a b + b − a b
4 6
( 9 8 )
2 = ( x+ 5ab)( x−7ab)
4 6
a b 144a b
4 2 3 6 4 2 3 6
( 9a 12a b 8b )( 9a 12a b 8b
)
81 144 64 144
= + −
= − + + +
2
100. 49x
− 77x+
30
2
= ( 49x) − 77( 49x)
+ 1.
470
1.
470 7
210 7
30 5
6 6 7⋅ 5=
35
1 7⋅ 6=
42
=
( 49x−35)( 49x−42)
( 7x
5)( 7x
6)
101. x −2abx−35a b
2 2 2
⇒ 42 + 35=
77
77 ⋅
= − −
+ 36ab
− 36ab
2 2 2 2
x − 2abx+ ab − 36ab
2 2 2 2 2

102. 125 3 225 2
3
x − x + 135x− 27 = ( 5x−3)
2 2
103. ( a−2) − ( a+
3)
= ( a− 2+ a+ 3)( a−2−a− 3) = ( 2a+ 1)( −5)
2 2
104. 4am+ 12an−5bm−15bn
2 2
= ( 4am+ 12an) − ( 5bm+
15bn)
2 2
= 4a ( m+ 3n) − 5b( m+ 3n) = ( m+ 3n)( 4a −5b)
105. 1+ 6x 3 + 9x 6 = ( 1+
3x
3 )
2
106. a 4 + 3a 2 b− 40b 2 = ( a 2 + 8b)( a 2 −5b)
107. m 3 + 8a 3 x 3 = ( m+ 2ax)( m 2 − 2axm+
4a 2 x
2
)
108. 1− 9x + 24xy−16y
2 2
2
[( 9x 24xy 2
16y
) 1]
[( 3x
2
4y)
1]
( 3x 4y 1)( 3x 4y
1)
( 3x 4y 1)( 1 4y 3x)
=− − + −
=− − −
[ ]
=− − + − −
= − + + −
2
109. 1+ 11x+
24x
2
= ( 24x) + 11( 24x)
+ 24
=
( 24x+ 8)( 24x+
3)
83 ⋅
( 3x
1)( 8x
1)
= + +
110. 9xy 2 3 −27xy 3 3 − 9xy 5 3 = 9xy 2 3 ( 1−3x−
x
3
)
2 2 2
111. ( a b c )
2 2 2
+ − −9x y
2 2 2 2 2 2
= ( a + b − c + 3xy)( a + b −c −3xy)
3
112. 8( a + 1)
−1
2
= [ 2( a+ 1)
− 1] [ 4( a+ 1) + 2( a+ 1)
+ 1]
2
= ( 2a+ 2− 1)( 4a + 8a+ 4+ 2a+ 2+
1)
2
= ( 2a+ 1)( 4a + 10a+
7)
113. 100xy
− 121m
4 6 4
2 3 2 2 3 2
= ( 10xy + 11m )( 10xy −11m
)
2
2
2
114. ( a + 1) + 5( a + 1)
−24
2 2 2 2
= ( a + 1+ 8)( a + 1− 3) = ( a + 9)( a −2)
115. 1+ 1. 000x 6 = ( 1+ 10x 2 )( 1− 10x 2 + 100x
4
)
2 2 2
116. 49a − x − 9y + 6xy
2
[( x 6xy 2
9y )
2
49a
]
[( x
2
3y)
2
49a
]
( 7a x 3y)( 7a x 3y)
( 7a x 3y)( 7a x 3y)
=− − + −
=− − −
=− + − − + −
= + − − +
117. x − y + 4x + 4−4yz−4z
4 2 2 2
4 2 2 2
= ( x + 4x + 4) − ( y + 4yz+
4z
)
2
2 2
= ( x + 2) − ( y+
2z)
2 2
= ( x + 2+ y+ 2z)( x + 2− y−2z)
3 2
118. a − 64 = ( a− 4)( a + 4a+
16)
119. a 5 + x 5 = ( a+ x)( a 4 − a 3 x+ a 2 x 2 − ax 3 + x
4
)
6 3 2 3 3
120. a −3a b− 54b = ( a − 9b)( a + 6b)
121. 165+ 4x−
x
122. a
2
( x 4x
165)
165 5
33 3 5⋅ 3=
15
11 11 11⋅ 1=
11
1 ⇒15− 11=
4
2
=− − −
+ a + 1
4 2
+ a −a
a + 2a + 1−a
( x 15)( x 11)
( 15 x)( x 11)
=− − +
= − +
2 2
4 2 2
2
( a
2
1)
2
a
2
( a a
2
1)( a a 1)
= + −
= + + − +
2 6 3 3
x y ⎛ x y ⎞ ⎛ x y ⎞
123. − = ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟
4 81 ⎝ 2 9 ⎠ ⎝ 2 9 ⎠
124. 16x
125. ab
ab
2
8xy
y ⎛ y⎞
+ + = ⎜ 4x
+ ⎟
5 25 ⎝ 5⎠
+ 4ab
−96
4 4 2 2
2 2
+ 4ab
+ 4 −100
4 4 2 2
+ 100 −100
2 2
( ab
2
2)
100
2 2
( ab 2
2 2
10)( ab 2 10)
2 2
( ab
2 2
12)( ab 8)
= + −
= + + + −
= + −

2 3 2
126. 8ax+ 7y+ 21by−7 ay− 8ax+
24abx
2 3 2
( 7y 21by 7ay) ( 8a x 8a x 24a bx)
2
7y( 1 3b a) 8a x( 1 a 3b)
2
( 1 3b a)( 7y 8a x)
= + − + − +
= + − + − +
= + − +
4 2
127. x + 11x
−390
390 3
130 2 13⋅ 2 = 26
65 5 5⋅ 3=
15
13 13 ⇒26 − 15=
11
2 2
( x )( x )
1 = + 26 −15
128. 7+ 33m−10m
2
2
( 10m
33m
7)
2
[( 10m) 33( 10m)
70]
( 10m− 35)( 10m+
2)
=− − −
=− − −
=−
52 ⋅
=−( 2m− 7)( 5m+
1)
= ( 7− 2m)( 5m+
1)
2 2
129. 4( a+ b) − 9( c+
d)
= [ 2( a+ b) + 3( c+ d)
][ 2( a+ b) − 3( c+
d)
]
= ( 2a+ 2b+ 3c+ 3d)( 2a+ 2b−3c−3d)
EJERCICIO 107
2
1. 3ax
− 3a
= 3a x − 1 = 3a x+ 1 x−1
2
2. 3x
−3x−6
= 3 − − 2 = 3 − 2 + 1
2 2
3. 2a x − 4abx + 2b x
= 2x a − 2ab + b
= 2xa− b = 2xa−b a−b
3
4. 2a
− 2
= 2 − 1 = 2 − 1 + + 1
3 2
5. a −3a −28a
= aa − a − = aa− a+
3 2
6. x − 4x+ x −4
= + − +
= + − +
= − + = + − +
7. 3ax
+ 3ay
3 3
130. 729 − 125x 3 y 12 = ( 9 − 5xy 4 )( 81+ 45xy 4 + 25x 2 y
8
)
2 2
131. ( x+ y) + x+ y= ( x+ y) + ( x+ y) = ( x+ y)( x+ y+
1)
4− a + b + 2ab
2 2
132. ( )
2 2
4−a − b + 2ab
+ b −b
2 2
4− a + 2ab−b
2 2
4
2
( a 2ab 2
b )
4 ( a
2
b)
( 2 a b)( 2 a b)
= − − +
= − −
= + − − +
3 3
133. x − y + x−
y
3 3
( x y ) ( x y)
2 2 2 2
( x y)( x xy y ) ( x y) ( x y)( x xy y 1)
= − + −
= − + + + − = − + + +
134. a − b + a −b
2 2 3 3
2 2 3 3
( a b ) ( a b )
2 2
( a b)( a b) ( a b)( a ab b )
2 2
( a b)( a b a ab b )
= − + −
3 3
2
( ) ( )( )
= 3a( x + y)
2 2
= 3a( x+ y)( x − xy+
y)
2 2
2
( x x ) ( x )( x )
8. 4ab − 4abn + an
2 2
2
= a( 4b − 4bn+ n ) = a( 2b−n)
2 2
4 2
( )
9. x −3x
−4
2
2 2
( ) ( )( ) = ( x − 4)( x + 1)
2
= ( x+ 2)( x− 2)( x + 1)
3 2
3 2
( a ) ( a )( a a ) 10. a −a − a+
1
(
3 2
= a −a ) − ( a−1
)
2
( 3 28) ( 7)( 4)
2
= a ( a−1) −( a−1)
2
= ( a−1)( a −1)
3
( x
2
x ) ( 4x
4)
= ( a− 1)( a+ 1)( a−1)
2
x ( x 1) 4( x 1)
2
11. 2ax − 4ax + 2a
2
( x 4)( x 1) ( x 2)( x 2)( x 1)
2
= 2a( x − 2x+ 1) = 2a( x−1)
= + − + − + +
= − + + + +
2
3 2
12. x − x+ x y−
y
3
( x x) 2
( x y y)
2
x( x 1) 2
y( x 1)
2
( x 1)( x y) ( x 1)( x 1)( x y)
= − + −
= − + −
= − + = + − +
3 2
13. 2a + 6a −8a
2
( ) ( )( )
= 2aa + 3a− 4 = 2aa+ 4 a−1
14. 16x − 48x y+
36xy
3 2 2
2 2
( ) ( )
= 4x 4x − 12xy+ 9y = 4x 2x−3y
15. 3x − x y− 3xy + y
3 2 2 3
3
( 3x 2
x y) 2
( 3xy 3
y )
2
x ( 3x y) 2
y ( 3x y)
( 3x 2
y)( x
2
y ) ( 3x y)( x y)( x y)
= − − −
= − − −
= − − = − + −
4
16. 5a
+ 5a
3 2
( ) ( )( )
= 5aa + 1 = 5aa+ 1 a − a+
1
2

2
17. 6ax −ax −2a
18. n
2
( 6 2)
2
( 36 6 12)
( 6 − 4)( 6 + 3)
= a x − x−
= a x − x−
a x x
=
23 ⋅
( 3 2)( 2 1)
= a x− x+
4
− 81
2 2 2
( n 9)( n 9) ( n 3)( n 3)( n 9)
= − + = + − +
2
19. 8ax
− 2a
2
( ) ( )( )
= 2a 4x − 1 = 2a 2x− 1 2x+
1
3 2
20. ax + 10ax + 25ax
2
( 10 25) ( 5)( 5)
= ax x + x + = ax x + x +
3 2
21. x −6x −7x
2
( 6x
7)
2
( 6x
7 16 16)
2
( 6x
9 16)
[( x
2
3)
2
4 ]
( 3 4)( x 3 4)
( 1)( x 7)
= x x − −
= x x − − + −
= x x − + −
= x − −
= x x− + − −
= x x+ −
3 2
22. m + 3m −16m−48
3
( m
2
3m ) ( 16m
48)
2
m ( m 3) 16( m 3)
( m
2
3)( m 16)
( m 3)( m 4)( m 4)
= + − +
= + − +
= + −
= + − +
23. x − 6x y+ 12xy −8y
3 2 2 3
3
= ( x− 2y) = ( x−2y)( x−2y)( x−2y)
2 2 2 2
24. ( a+ b)( a −b ) −( a −b
)
2 2
= ( a − b )( a+ b−1)
= ( a+ b)( a− b)( a+ b−1)
5 3 2
25. 32ax− 48abx+
18abx
(
4 2 2)
(
2
2
)
(
2
)(
2
)
= 2ax 16a − 24a b + 9b
= 2ax 4a −3b
= 2ax 4a −3b 4a −3b
4 3 2
26. x − x + x − x
3 2
( 1)
( ) ( )
= x x − x + x−
2 2
[ 1 1] [( 1)( 1)
]
= xx x− + x− = x x− x +
2
27. 4x
+ 32x−36
2 3
35. x−3x −18x
2
= 16x
+ 32( 4x)
−144
2
= x( 1−3x−18x
)
144 2
2
2
=− x( 18x + 3x−1)
72 2 2 = 4
2
36 4 4⋅3⋅ 3=
36 =− x ( 18x) + 3( 18x)
−18
9 3 ⇒36− 4=
32
3 3
=
( 4x+ 36)( 4x−4)
4
( x )( x )
4( x 9)( x 1)
1 = + 9 4 −4
= + −
4
2
28. a − ( a+
2)
2 2
= ( a + a+ 2)( a −a−2)
2
= ( a + a+ 2)( a− 2)( a+
1)
29. x
30. a
−25x
−54
6 3
3 3
( x 27)( x 2)
2 3
( x 3)( x 3x 9)( x 2)
= − +
= − + + +
6
+ a
5
( 1)
(
4
1)( 3 2
1)
= aa +
= aa+ a − a + a − a+
31. ab+ 2abx+ abx −aby
3 2 2 2
2
( 2
2 2)
[( 2
)
2]
( )( )
= ab a + ax + x − y
= ab a + x − y
= ab a + x + y a + x − y
2
32. 3abm
− 3ab
2
( )
( )( m )
= 3ab m −1
= 3ab m + 1 −1
33. 81xy+
3xy
4 4
3 3
( )
2 2
( )( )
= 3xy 27x + y
= 3xy 3x+ y 9x − 3xy+
y
4 3
34. a − a + a−1
4
( a
3
a ) ( a 1)
3
a ( a 1) ( a 1)
( a
3
1)( a 1)
( a 1)( a
2
1)( a a 1)
= − + −
= − + −
= − +
= − + − +
[ ]
( 18 6)( 18 3)
x x x
= − + −
63 ⋅
x( 3x 1)( 6x
1)
( 3 1)( 1 6 )
=− + −
= x x+ − x
36. 6ax − 2bx + 6ab −2b
( 6ax 2bx) ( 6ab 2
2b
)
2x( 3a b) 2b( 3a b)
( 3a b)( 2x 2b)
2( x b)( 3a b)
= − + −
= − + −
= − +
= + −
3 2
37. am − 7am + 12am
(
2
7m
12)
( 4)( m 3)
= am m − +
= am m− −
38. 4ax
− 4a
2 3 2
( x )
( )( )
2 3
= 4a
−1
2 2
= 4a x− 1 x + x+
1
39. 28xy−
7xy
3 3
2 2
( )
( )( )
= 7xy 4x − y
= 7xy 2x− y 2x+
y
2
40. 3abx −3abx −18ab
41. x
2
( x )
( )( x )
= 3ab x − −6
= 3ab x − 3 + 2
−8x
−128
4 2
128 4
32 4 4⋅ 4 = 16
8 4 4⋅ 2=
8
2 2 ⇒16− 8=
8
2
2 2
( x )( x )
2
( x 4)( x 4)( x 8)
1 = − 16 + 8
= + − +
42. 18xy+ 60xy + 50y
2 2 3
2 2
( )
( )( )
= 2y 9x + 30xy+
25y
= 2y 3x+ 5y 3x+
5y

2 2
43. ( x − 2xy)( a+ 1) + y ( a+
1)
2 2
= ( a+ 1)( x − 2xy+
y )
= ( a+ 1)( x− y)( x−
y)
44. x + 2x y−3xy
3 2 2
2
( 2 3
2)
( 3 )( )
= x x + xy−
y
= x x+ y x−
y
2 2 2 2
45. ax− 4bx+ 2ay−8by
2
( ax
2 2
4bx) ( 2ay 2
8by)
2
xa (
2
4b) 2
2ya (
2
4b)
2
( a
2
4b )( x 2y)
( a 2b)( a 2b)( x 2y)
= − + −
= − + −
= − +
= − + +
46. 45ax
− 20a
2 4 2
( x )
( )( )
2 4
= 5a
9 −4
2 2 2
= 5a 3x + 2 3x
−2
4
2
47. a −( a−12)
2 2
= ( a + a−12)( a − a+
12)
2
= ( a+ 4)( a−3)( a − a+
12)
2 2
48. bx −b − x + 1
2
( bx
2
x ) ( b 1)
2
x ( b 1) ( b 1)
( b
2
1)( x 1)
( b 1)( x 1)( x 1)
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
49. 2x + 6x −56x
4 3 2
( )
( )( )
2 2
= 2x x + 3x−28
2
= 2x x+ 7 x−4
2
50. 30a
−55a−50
2
= ( 30a) −55( 30a)
−1.
500
1.
500 2
750 2
2
5⋅ 2 = 20
375 5
2
5 ⋅ 3=
75
75 5 ⇒ 75− 20=
55
15 5
=
( 30a− 75)( 30a+
20)
15⋅2
( a )( a )
( a )( a )
3 3 = 2 − 5 15 + 10
1 = 5 2 − 5 3 + 2
3
51. 9( x− y) −( x−
y)
2
= ( x− y) [ 9( x− y)
−1]
= ( x− y) [ ( x− y)
+ ] ( x− y)
−
= ( x− y)( 3x− 3y+ 1)( 3x−3y−1)
52. 6ax−9a −ax
[ ]
3 1 3 1
2 3 2
( 6 9
2 2)
2
a ( x 6ax 2
9a
)
a( x 3a)( x 3a)
( 3 )( 3 )
= a ax− a − x
=− − +
=− − −
= a a− x x−
a
53. 64a−
125a
4
( 64
3
125a
)
( 4 5 )( 16 20 25
2)
= a −
= a − a + a+
a
54. 70x + 26x −24x
4 3 2
( )
[( ) ( ) ]
2 2
= 2x 35x + 13x−12
= 2x 35x + 13 35x
−420
2 2
420 2
210 2
105 5
21 3
7 7
1
2
2 ⋅ 7=
28
35 ⋅ = 15
⇒28− 15=
13
=
( 35x+ 28)( 35x−15)
75 ⋅
( )( )
2
= 2x 5x+ 4 7x−3
55. a + 6a −55a
7 6 3
( 6 55)
( 11)( 5)
3 4 3
= a a + a −
3 2 2
= a a + a −
56. 16ab− 56ab + 49ab
5 3 3 5
4 2 2 4
( 16 56 49 )
2 2
( 4 7 )
2
= ab a − a b + b
= ab a − b
57. 7x + 32a x −15a x
58. x
6 2 4 4 2
( 7 32 15 )
( ) ( )
= x x + a x − a
2 4 2 2 4
[ 7 32 7 105 ]
= x x + a x − a
2 2 2 2 2 4
105 5
21 3 5⋅ 7 = 35
7 7 3⋅ 1=
3
1 ⇒35− 3=
32
( 7 + 35 )( 7 −3
)
x x a x a
=
7
2 2 2 2 2
( 5 )( 7 3 )
= x x + a x − a
− x y
2m+
2 2 2n
2 2 2 2 2
m+ 1
( x
n m+
1
xy )( x
n
xy )
m
x( x
n m
y) x( x
n
y)
2 m
x ( x
n m
y )( x
n
y )
= + −
= + −
= + −
4 3
59. 2x + 5x −54x−135
4 3
( 2x 54x) ( 5x
135)
3 3
2x( x 27) 5( x 27)
3
( x 27)( 2x
5)
2
( x 3)( x 3x 9)( 2x
5)
= − + −
= − + −
= − +
= − + + +
60. ax + ax y + axy −2ax −2axy −2ay
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2
( 2 2 2 )
3 2 2 2 2
( ) ( 2 2 2 )
2 2 2 2
[ ( ) 2( )]
2 2
( 2)( )
= ax + xy+ xy − x − xy−
y
[ ]
= a x + x y+ xy − x + xy+
y
= axx + xy+ y − x + xy+
y
= ax− x + xy+
y
4
61.( x+ y)
−1
[( x
2
y)
1] [( x
2
y)
1]
2
( x 2xy 2
y 1)( x y 1)( x y 1)
= + + + −
= + + + + + + −
62. 5 3
3a + 3a + 3a
4
(
2
a )
4
(
2 2 2)
[( 4 2
)
2]
[( 2
2
)
2
a ]
2
(
2
)( )
= 3aa
+ + 1
= 3aa + a + 1+ a −a
= 3a a + 2a + 1 −a
= 3a a + 1 −
= 3aa + a + 1 a − a + 1

EJERCICIO 108
1. 1−
a
2. a
8
( 1
4
a )( 1
4
a )
( 1
4
a )( 1
2
a )( 1
2
a )
( 1
4
a )( 1
2
a )( 1 a)( 1 a)
= + −
= + + −
= + + + −
6
− 1
3
( a
3
1)( a 1)
( a
2
1)( a a 1)( a
2
1)( a a 1)
= + −
= + − + − + +
4 2
3. x − 41x
+ 400
400 4
2
100 5 4 16
2
20 5 5 25
4 4 ⇒ 25+ 16=
41
2 2
( x )( x )
( x 5)( x 5)( x 4)( x 4)
1 = −25 −16
4. a − 2a b + b
4 2 2 4
( a b )
( )( )
= −
=
=
= + − + −
2 2 2 2 2 2
[ a b a b ] ( a b) ( a b)
= + − = + −
5 3
5. x + x −2x
4
(
2
x 2)
2
(
2
2)( x 1)
2
( 2)( 1)( 1)
= x x + −
= x x + −
= x x + x+ x−
4 3
6. 2x + 6x −2x−6
4
( 2x 3
6x ) ( 2x
6)
3
2x ( x 3) 2( x 3)
3
( 2x
2)( x 3)
3
2( x 1)( x 3)
2( x
2
1)( x x 1)( x 3)
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
4
7. 3x
− 243
4
( x )
2
( x
2
)( x )
2
( x )( x )( x )
= 3 −81
= 3 + 9 −9
= 3 + 9 + 3 −3
8. 16x − 8x y + y
4 2 2 4
2 2
( 4x
y )
2 2
[( 2x y)( 2x y)
]
( 2x y)( 2x y)( 2x y)( 2x y)
= −
= + −
= + − + −
12. x
4 3 2
9. 9x + 9x y− x − xy
4
( 9x 3 2
9x y) ( x xy)
3
9x ( x y) x( x y)
3
( 9x x)( x y)
2
x( 9x 1)( x y)
x( 3x 1)( 3x 1)( x y)
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
4 2
10. 12ax + 33ax −9a
11. x
−7x
−8
6 3
(
4 2
)
(
2) 2 (
2)
(
2
+ )(
2
− )
= 3a 4x + 11x
−3
[ ]
= 3a 4x + 11 4x
−12
3a 4x 12 4x
1
=
4
2
(
2
)( x )
2
( )( )( )
= 3ax
+ 3 4 −1
= 3a x + 3 2x+ 1 2x−1
− y
8 8
4
( x
4 4
y )( x
4
y )
4
( x
4 2
y )( x
2 2
y )( x
2
y )
4
( x
4 2
y )( x
2
y )( x y)( x y)
= + −
= + + −
= + + + −
3
( x
3
8)( x 1)
( x
2
2)( x 2x 3
4)( x 1)
( x
2
2)( x 2x 4)( x
2
1)( x x 1)
= − +
= − + + +
= − + + + − +
13. 64 − x
6
( 8
3
x )( 8
3
x )
( 2 x)( 4 2x 2
x )( 2 x)( 4 2x 2
x )
= + −
= + − + − + +
14. a −a b − a b + b
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
( a a b ) ( a b b )
3 2 2 3 2 2
a ( a b ) b ( a b )
2 2 3 3
( a b )( a b )
2 2
( a b)( a b)( a b)( a ab b )
= − − −
= − − −
= − −
= + − − + +
15.
4 2
8x
+ 6x
−2
(
4
x
2
x )
2
( x ) 2
( x )
2
( x +
2
)( x − )
= 24 + 3 −1
[ ]
= 2 4 + 3 4 −4
24 4 4 1
2 2
= x x + 1 x −1
=
4
2
= x x + 1 x+ 1 x−1
= 2 + 1 4 − 1 = 2 + 1 2 + 1 2 −1
2 2 2
( x )( x ) ( x )( x )( x )
4 2
16 a − 25a
+ 144
144 4
2
36 4 4 16
2
9 3 3 9
3 3 ⇒ 16 + 9 = 25
1
6
20. m − 729
=
=
2 2
( a 16 )( a 9 )
( a 4)( a 4)( a 3)( a 3)
= − −
= + − + −
17. a x − a y + 2ax −2ay
2 3 2 3 3 3
2 3
( a x
2 3 3
a y ) ( 2ax 3
2ay
)
2 3
a ( x
3
y )
3
2a ( x
3
y )
2
( a
3
2a)( x
3
y )
aa ( 2)( x
2
y)( x xy
2
y)
= − + −
= − + −
= + −
= + − + +
4 3 2
18. a + 2a −a −2a
4
( a
3 2
2a ) ( a 2a)
3
a ( a 2) a( a 2)
3
( a a)( a 2)
2
aa ( 1)( a 2)
a( a 1)( a 1)( a 2)
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= + − +
19. 1− 2a
+ a
3 6
3
2
( a 1)
2
2
[( a 1)( a a 1)
]
2
2
2
( a 1) ( a a 1)
= −
= − + +
= − + +
2
( m
4
9)( m
2
9m
81)
( m 3)( m
4
3)( m
2
9m 2
81 9m 2
9m
)
( m 3)( m
4
3) [( m
2
18m 81)
2
9m
]
( m 3)( m
2
3) [( m
2
9)
2
9m
]
( m 3)( m
2
3)( m 3m 2
9)( m 3m
9)
= − + +
= + − + + + −
= + − + + −
= + − + −
= + − + + − +
5
21. x − x
4
( 1)
( )( )
( )( )( )
= x x −

22. x − x y + x y − y
5 3 2 2 3 5
5 3 2 2 3 5
3 3 3 3
( x x y ) ( x y y ) = ( 1− ab)( 1+
ab)
3 2 2 3 2 2
2 2 3 3
x ( x y ) y ( x y ) = ( 1− ab)( 1+ ab + a b )( 1+
a b )
2 2 2 2
3 3 2 2
( x y )( x y )
= ( 1− ab)( 1+ ab + a b )( 1+ ab)( 1− ab + a b )
2 2
( x y)( x xy y )( x y)( x y)
3 2
= − + −
= − + −
= + −
= + − + + −
23. ab−ab − ab + ab
4 3 2 2 3 4
4
( ab
3 2 2 3
ab) ( ab
4
ab)
3
aba ( b) 3
ab ( a b)
3
( ab
3
ab)( a b)
2
ab( a
2
b )( a b)
ab( a b)( a b)( a b)
= − − −
= − − −
= − −
= − −
= + − −
4
24. 5a
− 3.
125
4
( a )
2
( a
2
)( a )
2
( a )( a )( a )
= 5 −625
= 5 + 25 −25
= 5 + 25 + 5 −5
2
2
2
25. ( a + 2a) − 2( a + 2a)
−3
2
( a
2
a) 2
( a a)
2
( a
2
a) 2
( a a)
= + 2 − 2 + 2 − 3+ 4−4
{[ 2 2 2 1]
4}
= + − + + −
2
( a 2a
2
1)
4
2
( a 2a 2
1 2)( a 2a
1 2)
2
( a 2a 2
1)( a 2a
3)
( a
2
2
1) ( a 2a
3 4 4)
( a
2
2
1) [( a 2a
1)
4]
( a
2
1) [( a
2
1)
4]
( a
2
1) ( a 1 2)
( a 1 2)
( a 1) ( a 3)( a 1)
= + − −
= + − + + − −
= + + + −
= + + − + −
= + + + −
= + + −
= + + + + −
= + + −
2 3 3 2
26. ax + 2ax −8a −16a
2 3
( ax
3 2
2ax) ( 8a 16a)
3
ax ( a 2) 8a ( a 2)
3
( ax 8a)( a 2)
3
a( x 8)( a 2)
a( x
2
2)( x 2x 4)( a 2)
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + + +
27. 1−
ab
6 6
28. 5ax + 10ax −5ax −10a
29. ax + by −bx −ay
30. x
4 3 2
31. a + a −9a −9a
2 2 2 2 2
32. ax + ax−6a − x − x+
6
= + − − + −
= + − − + −
= − + −
= + − + −
4 2
33. 16m
− 25m
+ 9
2
( ) 2 2
m ( m )
= 16 − 25 16 + 144
144 4
36 4
2
4 = 16
9 3
2
3 = 9
3 3 ⇒ 16+ 9=
25
3 2
2 2
= ( 5ax + 10ax ) − ( 5ax + 10a)
( 16m
−16)( 16m
−9)
=
2
16
= 5ax ( x + 2) − 5a ( x + 2)
2 2
= ( m −1)( 16m
−9)
2
= ( 5ax
− 5a)( x + 2)
= ( m+ 1)( m− 1)( 4m+ 3)( 4m−3)
2
= 5a( x − 1)( x+
2)
2 2
34. 3abx − 12ab + 3bx −12b
= 5a( x+ 1)( x− 1)( x+
2)
2 2
= ( 3abx + 3bx ) − ( 12ab + 12b)
2
= 3bx ( a + 1) − 12b( a + 1)
2 2 2 2 2 2 2 2
2
= ( 3bx − 12b)( a + 1)
2 2 2 2 2 2 2 2
= ( ax − bx) + ( by −ay)
2
= 3b( x − 4)( a+
1)
2 2 2 2 2 2
= x ( a − b ) + y ( b −a
)
= 3b( x+ 2)( x− 2)( a+
1)
2 2 2 2 2 2
= x ( a −b ) − y ( a −b
)
2 2
35. 3am+ 9am− 30m+ 3a + 9a−30
2 2 2 2
2 2
= ( a −b )( x − y )
= ( 3am+ 9am− 30m) + ( 3a + 9a−30)
2 2
= ( a+ b)( a− b)( x+ y)( x−
y)
= 3ma ( + 3a− 10) + 3( a + 3a−10)
2
= ( 3m+ 3)( a + 3a−10)
8 4
+ x −2
= 3( m+ 1)( a+ 5)( a−2)
4 4
3 2 3 3 2
= ( x + 2)( x −1)
36. ax − 5ax+ 6a + x − 5x+
6
4 2 2
3 2 3 3 2
= ( x + 2)( x + 1)( x −1)
= ( ax − 5ax+ 6a) + ( x − 5x+
6)
4 2
3 2 2
= ( x + 2)( x + 1)( x+ 1)( x−1)
= a ( x − 5x+ 6) + ( x − 5x+
6)
3 2
= ( a + 1)( x − 5x+
6)
2
= ( a+ 1)( a − a+ 1)( x−3)( x−2)
4 3 2
= ( a + a ) − ( 9a + 9a)
2 2 2 2 2
37. x ( x − y ) −( 2x−1)( x − y )
3
= a ( a+ 1) − 9a( a+
1)
2 2 2
= ( x − y )[ x −( 2x−1)
]
3
= ( a − 9a)( a+
1)
2
= ( x+ y)( x− y)( x − 2x+
1)
2
= aa ( − 9)( a+
1)
2
= ( x+ y)( x− y)( x−1)
= a( a+ 3)( a− 3)( a+
1)
3
38. a( x + 1) + 3ax( x + 1)
2
= a( x + 1)( x − x + 1) + 3ax( x + 1)
2
2 2 2 2 2
=
( ax ax 6a) ( x x 6)
( x+ 1) [ a( x − x+ 1)
+ 3ax]
2
2 2 2
=
a ( x x 6) ( x x 6)
( x+ 1)( ax − ax+ a+
3ax)
2
2 2
=
( a 1)( x x 6)
( x+ 1)( ax + 2ax+
a)
2
= a
( a 1)( a 1)( x 3)( x 2)
( x+ 1)( x + 2x+
1)
2 3
= a( x+ 1)( x+ 1) = a( x+
1)
1

EJERCICIO 109
1. x
9 8
= x x −
= x x − y x + y
= x x + y x − y x + y
= x x + y x+ y x− y x + y
5 3
2. x − 40x + 144x
4
(
2
40x
144)
2
(
2
36)( x 4)
( 6)( 6)( 2)( 2)
= x x − +
= x x − −
= x x− x+ x+ x−
3. a + a b −a −ab
6 3 3 4 3
6
( a
3 3 4
a b ) ( a
3
ab )
3 3
a ( a
3
b )
3
a( a
3
b )
3
( a
3
a)( a
3
b )
2
aa ( 1)( a
2
b)( a ab
2
b)
aa ( 1)( a 1)( a
2
b)( a ab
2
b)
= + − +
= + − +
= − +
= − + − +
= + − + − +
4 2
4. 4x
− 8x
+ 4
5. a
4 2
( x x ) 9. 4 ( − 2 + ) − + 2 −
2 2
2
2
2 2
( x )( x ) = 4ax ( a − x) −a( a − 2ax + x )
2 2
2
2 2
( x ) ( x )
= 4ax ( a − x) −a( a − x)
2
2
= ( 4ax −a )( a − x)
− ab
2
2
= a
6 6
( 4x −1)( a−
x)
( b)
2
3 3 3 3
= a
( )( )
( 2x+ 1)( 2x−1)( a−
x)
2 2 2 2
( )( )( )( )
= 4 − 2 + 1
= 4 −1 −1
= 4 + 1 −1
7 6
= aa −
= aa + b a −b
= a a+ b a − ab+ b a− b a + ab+
b
6. 2a −2a −4a − 2a b + 2ab + 4b
4 3 2 2 2 2 2
4 3 2 2 2 2 2
= ( 2a −2a −4a ) −( 2a b −2ab −4b
)
− xy
2 2 2 2
= 2a ( a −a−2) −2b ( a −a−2)
8 8
( y)
2 2 2
= 2( a −a−2)( a −b
)
4 4 4 4
( )( )
= 2( a− 2)( a+ 1)( a+ b)( a−b)
2 2 2 2 4 4
( )( )( )
2 2 4 4
( )( )( )( )
EJERCICIO 110
6 5 2
7. x + 5x −81x −405x
6
( x
5 2
5x ) ( 81x 405x)
5
x ( x 5) 81x( x 5)
5
( x 81x)( x 5)
4
x( x 81)( x 5)
2
x( x
2
9)( x 9)( x 5)
x( x 3)( x
2
3)( x 9)( x 5)
= + − +
= + − +
= − +
= − +
= − + +
= + − + +
8. 3−
3a
6
(
6
a )
(
3
a )(
3
a )
( a)( a
2
a )( a)( a
2
a )
= 31−
= 31− 1+
= 31− 1+ + 1+ 1− +
ax a ax x a a x ax
2 2 2 3 2 2
7 4 3
10. x + x −81x
−81
7
( x
4 3
x ) ( 81x
81)
4 3
x ( x 1) 3
81( x 1)
4
( x
3
81)( x 1)
2
( x
2
9)( x 9)( x
2
1)( x x 1)
2
( x 9)( x 3)( x 3)( x
2
1)( x x 1)
= + − +
= + − +
= − +
= + − + − +
= + + − + − +
11. x
17
− x
16
( 1)
8
(
8
1)( x 1)
8
(
4
1)( 4
1)( 1)
8
(
4
1)( 2
1)( 2
1)( 1)
8
(
4
1)( 2
1)( 1)( 1)( 1)
= x x −
= x x + −
= x x + x + x −
= x x + x + x + x −
= x x + x + x + x+ x−
6 4 2
12. 3x −75x − 48x
+ 1.
200
6
( 3x 4 2
75x ) ( 48x
1.
200)
4 2
3x ( x 25) 2
48( x 25)
4
( 3x
2
48)( x 25)
4
3( x 16)( x 5)( x 5)
2
3( x
2
4)( x 4)( x 5)( x 5)
2
3( x 4)( x 2)( x 2)( x 5)( x 5)
= − − −
= − − −
= − −
= − + −
= + − + −
= + + − + −
6 2 2 6
13. ax − x + ax−
x
6 2 2 6
= ( ax − x) + ( ax−
x)
2 6 6
= x ( a − 1) + x( a −1)
2 6
= ( x + x)( a −1)
3 3
= x( x+ 1)( a − 1)( a + 1)
2 2
= x( x+ 1)( a− 1)( a + a+ 1)( a+ 1)( a − a+
1)
2 4 2
14. ( a −ax)( x − 82x
+ 81)
2 2
= aa ( − x)( x −81)( x −1)
= aa ( − x)( x+ 9)( x− 9)( x+ 1)( x−1)
3 2
1. x + x − x−1
1 1 −1 − 1 + 1
1 2 1
1 2 1 0
2
( x 2x 1)( x 1)
( x
2
1) ( x 1)
= + + −
= + −
3 2
2. x − 4x + x+
6
1 −4 1 6 −1
−1 5 −6
1 − 5 6 0
2
( x 5x 6)( x 1)
( x 3)( x 2)( x 1)
= − + +
= − − +
3 2
3. a −3a − 4a+
12
1 −3 − 4 12 + 2
2 −2 −12
1 −1 −6 0
2
( a a 6)( a 2)
( a 3)( a 2)( a 2)
= − − −
= − + −
3
4. m − 12m+
16
1 0 − 12 16 + 2
2 4 − 16
1 2 − 8 0
2
( m 2m 8)( m 2)
( m 4)( m 2)( m 2)
( m 4)( m
2
2)
= + − −
= + − −
= + −

3 2
4 3 2
5. 2x − x − 18x+
9 11. x − 4x + 3x + 4x−4
2 −1 − 18 9 + 3 1 −4 3 4 − 4 + 1
6 15 − 9
1 − 3 0 4
2 5 − 3 0
2
( 2x 5x 3)( x 3)
= + − −
2 − 1 0
( 2x 1)( x 3)( x 3)
= − − +
3 2
6. a + a −13a−28
1 1 −13 − 28 + 4
4 20 28
1 5 7 0
2
( a 5a 7)( a 4)
= + + −
7.
3 2
x + 2x + x+
2
1 2 1 2 − 2
−2 0 −2
1 0 1 0
2
( x 1)( x 2)
= + +
3
8. n − 7n+
6
1 0 − 7 6 + 1
1 1 − 6
9. x
1 1 − 6 0
2
( n n 6)( n 1)
( n 3)( n 2)( n 1)
= + − −
= + − −
− 6x
+ 32
3 2
1 −6 0 32 −2
−2 16 −32
1 − 8 16 0
2
( x 8x 16)( x 2)
2
( x 4) ( x 2)
= − + +
= − +
3 2
10. 6x + 23x + 9x−18
6 23 9 −18 −3
−18 −15 18
6 5 − 6 0
2
( 6x 5x 6)( x 3)
2
[( 6x) 5( 6x)
36]( x 3)
( 6x+ 9)( 6x− 4)( x+
3)
= + − +
= + − +
=
32 ⋅
( 2x 3)( 3x 2)( x 3)
= + − +
1 − 3 0 4 0
3 2
( x 3x 4)( x 1)
= − + −
2 5 −3 −3
1 −3 0 4 −1
− 6 3
−1 4 −4
1 − 4 4 0
2
( x 4x 4)( x 1)( x 1)
( x
2
2) ( x 1)( x 1)
= − + − +
= − − +
4 3 2
12. x −2x − 13x + 14x
+ 24
1 −2 − 13 14 24 + 2
2 0 −26 −24
1 0 −13 −12 0
3
( x 13x 12)( x 2)
= − − −
1 0 −13 −12 −1
− 1 1 12
1 −1 −12 0
2
( x x 12)( x 2)( x 1)
( x 4)( x 3)( x 2)( x 1)
= − − − +
= − + − +
4 2
13. a −15a − 10a
+ 24
1 0 −15 − 10 24 + 1
1 1 −14 −24
1 1 −14 −24 0
3 2
( a a 14a 24)( a 1)
= + − − −
1 1 −14 −24 −2
− 2 2 24
1 −1 −12 0
2
( a a 12)( a 1)( a 2)
( a 4)( a 3)( a 1)( a 2)
= − − − +
= − + − +
4 2
14. n −27n − 14n
+ 120
1 0 −27 − 14 120 + 2
2 4 −46 −120
1 2 −23 −60 0
3 2
( n 2n 23n 60)( n 2)
= + − − −
1 2 −23 −60 −3
− 3 3 60
1 −1 −20 0
2
( n n 20)( n 2)( n 3)
( n 5)( n 4)( n 2)( n 3)
= − − − +
= − + − +
4 3
15. x + 6x + 3x+
140
1 6 0 3 140 − 4
−4 −8 32 −140
1 2 − 8 35 0
3 2
( x 2x 8x 35)( x 4)
= + − + +
1 2 −8 35 −5
−5 15 −35
1 − 3 7 0
2
( x 3x 7)( x 4)( x 5)
= − + + +
4 3 2
16. 8a −18a − 75a + 46a+
120
8 −18 −75 46 120 −2
−16 68 14 −120
17.
8 −34 − 7 60 0
3 2
( 8a 34a 7a 60)( a 2)
= − − + +
8 −34 − 7 60 + 4
32 −8 −60
8 − 2 −15 0
2
( 8a 2a 15)( a 2)( a 4)
2
[( 8a) 2( 8a)
120]( a 2)( a 4)
= − − + −
= − − + −
120 4
30 3 4⋅ 3=
12
10 2 5⋅ 2 = 10
5 5 ⇒12 − 10=
2
1
=
( 8a− 12)( 8a+ 10)( a+ 2)( a−4)
42 ⋅
( )( )( )( )
= 2a
−3 4a+ 5 a+ 2 a−4
x
−22x
−75
4 2
1 0 −22 0 − 75 + 5
5 25 15 75
1 5 3 15 0
3 2
( x 5x 3x 15)( x 5)
= + + + −
1 5 3 15 − 5
−5 0 −15
1 0 3 0
2
( x 3)( x 5)( x 5)
= + − +

5 4 3 2
21. 4x + 3x −108x − 25x + 522x+
360
5 3 2
4 3 2
24. x − 25x + x −25
18. 15x + 94x −5x − 164x+
60 4 3 −108 −25 522 360 −2
1 0 −25 1 0 −25 −1
15 94 −5 − 164 60 + 1
−8 10 196 −342 −360
−1 1 24 −25 25
15 109 104 − 60
4 −5 − 98 171 180 0
1 −1 −24 25 −25 0
15 109 104 − 60 0
4 3 2
= ( 4x −5x − 98x + 171x+ 180)( x+
2)
4 3 2
= ( x − x − 24x + 25x− 25)( x+
1)
3 2
= ( 15x + 109x + 104x−60)( x−1)
4 −5 − 98 171 180 + 3 1 −1 −24 25 − 25 + 5
15 109 104 −60 −6
12 21 −231 −180
5 20 − 20 25
−90 −114 60
4 7 −77 − 60 0
1 4 − 4 5 0
15 19 − 10 0
3 2
= ( 4x + 7x −77x− 60)( x+ 2)( x−3)
3 2
= ( x + 4x − 4x+ 5)( x+ 1)( x−5)
2
= ( 15x + 19x−10)( x− 1)( x+
6)
4 7 −77 − 60 + 4
1 4 −4 5 −5
2
= [( 15x) + 19( 15x)
−150]( x− 1)( x+
6)
16 92 60
−5 5 −5
( 15x+ 25)( 15x−6)( x− 1)( x+
6)
4 23 15 0
1 − 1 1 0
=
2
53 ⋅
= ( 4x + 23x+ 15)( x+ 2)( x−3)( x−4)
2
= ( x − x+ 1)( x+ 1)( x− 5)( x+
5)
2
= ( 3x+ 5)( 5x−2)( x− 1)( x+
6)
= [( 4x) + 23( 4x)
+ 60]( x+ 2)( x−3)( x−4)
5 4
25. 2a − 8a + 3a−12
=
5 3 2
[( 4x+ 20)( 4x+ 3)( x+ 2)( x−3)( x− 4)
] ÷ 4
19. x − 21x + 16x + 108x−
144
2 −8 0 0 3 − 12 + 4
1 0 −21 16 108 − 144 + 2
= ( x+ 5)( 4x+ 3)( x+ 2)( x−3)( x−4)
8 0 0 0 12
5 3 2
2 4 −34 −36 144 22. n −30n −25n −36n
−180
2 0 0 0 3 0
1 0 −30 −25 −36 −180 −2
1 2 −17 −18 72 0
4
= ( 2a
+ 3)( a−4)
−2 4 52 −54 180
4 3 2
= ( x + 2x −17x − 18x+ 72)( x−2
5 4 3 2
)
1 −2 −26 27 −90 0
26. x + 2x −15x −3x − 6x+
45
1 2 −17 −18 72 −3
1 2 −15 −3 − 6 45 + 3
4 3 2
−3 3 42 −72
= ( n −2n − 26n + 27n− 90)( n+
2)
3 15 0 −9 −45
1 −2 −26 27 −90 −5
1 −1 −14 24 0
1 5 0 −3 −15 0
−5 35 −45 90
3 2
= ( x − x − 14x+ 24)( x− 2)( x+
3
4 3
)
= ( x + 5x −3x−15)( x−3)
1 −7 9 −18 0
1 −1 − 14 24 + 2
3 2
1 5 0 −3 −15 −5
= ( n − 7n + 9n− 18)( n+ 2)( n+
5)
2 2 − 24
− 5 0 0 15
1 −7 9 − 18 + 6
1 1 − 12 0
1 0 0 − 3 0
6 − 6 18
2
= ( x + x−12)( x− 2)( x+ 3)( x−2)
3
1 − 1 3 0
= ( x −3)( x− 3)( x+
5)
6 5 4 3 2
= ( x+ 4)( x−3)( x− 2)( x+ 3)( x−2)
2
= ( n − n+ 3)( n+ 2)( n+ 5)( n−6)
27. x + 6x + 4x −42x −113x −108x−36
= ( x + 4)
( x− 3)( x+ 3)( x−2)
2
5 4 3 2
23. 6x −13x − 81x + 112x + 180x−144
1 6 4 −42 −113 −108 −36 −1
6 −13 −81 112 180 − 144 + 2 −1 −5 1 41 72 36
5 3 2
20. a −23a − 6a + 112a
+ 96
12 −2 −166 −108 144 1 5 −1 −41 −72 −36 0
5 4 3 2
1 0 −23 −6 112 96 −1
6 −1 −83 − 54 72 0 = ( x + 5x − x −41x −72x− 36)( x+
1)
−1 1 22 −16 −96
4 3 2
= ( 6x − x −83x − 54x+ 72)( x−2)
1 5 −1 −41 −72 −36 −1
1 −1 −22 16 96 0 6 − 1 −83 −54 72 −3
−1 −4 5 36 36
4 3 2
= a −a − 22a + 16a+ 96 a+
1 −18 57 78 −72
1 4 −5 −36 −36 0
( )( )
1 −1 −22 16 96 −2
−2 6 32 −96
1 −3 −16 48 0
3 2
( a 3a 16a 48)( a 1)( a 2)
= − − + + +
1 −3 − 16 48 + 3
3 0 − 48
1 0 − 16 0
2
( a 16)( a 1)( a 2)( a 3)
( a 4)( a 4)( a 1)( a 2)( a 3)
= − + + −
= + − + + −
6 −19 −26 24 0
3 2
( 6x 19x 26x 24)( x 2)( x 3)
= − − + − +
6 −19 − 26 24 + 4
24 20 − 24
6 5 − 6 0
= + − − + −
= + ( )
=
= + − − + −
4 3 2
( x 4x 5x 36x 36)( x 1)( x 1)
= + − − − + +
1 4 −5−36 −36 −2
−2 −4 18 36
1 2 −9 −18 0
3 2
2
= ( x + 2x −9x− 18)( x+ 1) ( x+
2)
2
( 6x 5x 6)( x 2)( x 3)( x 4)
1 2 −9 −18 −2
2
[( 6x)
5 6x −36]( x− 2)( x+ 3)( x−4)
− 2 0 18
( 6x+ 9)( 6x−4)( x− 2)( x+ 3)( x−4
10 − 9 0
)
2
2 2
32 ⋅
= ( x − 9)( x+ 1) ( x+
2)
2 2
( 2x 3)( 3x 2)( x 2)( x 3)( x 4)
= ( x+ 3)( x− 3)( x+ 1) ( x+
2)

6 4 3 2
28. a − 32a + 18a + 247a −162a−360
1 0 −32 18 247 −162 −360 −1
−1 1 31 −49 −198 360
1 −1 −31 49 198 −360 0
5 4 3 2
( a a 31a 49a 198a 360)( a 1)
= − − + + − +
1 −1 −31 49 198 − 360 + 2
2 2 −58 −18 360
1 1 −29 − 9 180 0
4 3 2
( a a 29a 9a 180)( a 1)( a 2)
= + − − + + −
1 1 −29 − 9 180 + 3
3 12 −51 −180
1 4 −17 −60 0
( )( )( )( )
3 2
= a + 4a
−17a− 60 a+ 1 a−2 a−3
1 4 −17 −60 −3
−3 − 3 60
1 1 − 20 0
2
( a a 20)( a 1)( a 2)( a 3)( a 3)
( a 5)( a 4)( a 1)( a 2)( a 3)( a 3)
= + − + − − +
= + − + − − +
6 5 4 3 2
30. 2x −10x − 34x + 146x + 224x −424x−480
2 −10 −34 146 224 −424 −480 −1
−2 12 22 −168 − 56 480
2 −12 −22 168 56 −480 0
5 4 3 2
( 2x 12x 22x 168x 56x 480)( x 1)
= − − + + − +
2 −12 −22 168 56 −480 −2
− 4 32 −20 −296 480
2 −16 10 148 −240 0
4 3 2
( 2x 16x 10x 148x 240)( x 1)( x 2)
= − + + − + +
2 −16 10 148 − 240 + 2
4 −24 −28 240
2
− 12 − 14 120 0
3 2
( 2x 12x 14x 120)( x 1)( x 2)( x 2)
= − − + + + −
2 −12 − 14 120 + 4
8 −16 −120
2 −4 −30 0
2
( 2x 4x 30)( x 1)( x 2)( x 2)( x 4)
2
[( 2x) 4( 2x)
60]( x 1)( x 2)( x 2)( x 4)
( 2x− 10)( 2x+ 6)( x+ 1)( x+ 2)( x−2)( x−4)
= − − + + − −
= − − + + − −
=
( x 5)( 2x 6)( x 1)( x 2)( x 2)( x 4)
2( x 5)( x 3)( x 1)( x 2)( x 2)( x 4)
= − + + + − −
= − + + + − −
2
6 4 2
29. x − 41x + 184x
−144
1 0 −41 0 184 0 − 144 + 1
1 1 −40 −40 144 144
1 1 −40−40 144 144 0
5 4 3 2
( x x 40x 40x 144x 144)( x 1)
= + − − + + −
1 1 −40 −40 144 144 −1
−1 0 40 0 −144
1 0 − 40 0 144 0
4
( x
2
40x 144)( x 1)( x 1)
2
( x
2
36)( x 4)( x 1)( x 1)
( x 6)( x 6)( x 2)( x 2)( x 1)( x 1)
= − + − +
= − − − +
= + − + − − +
6 5 4 3 2
31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a−144
1 −8 6 103 −344 396 − 144 + 2
2 −12 −12 182 −324 144
1 −6 −6 91 −162 72 0
5 4 3 2
( a 6a 6a 91a 162a 72)( a 2)
= − − + − + −
1 −6 −6 91 − 162 72 + 2
2 −8 −28 126 −72
1 −4 −14 63 −36 0
4 3 2
( a 4a 14a 63a 36)( a 2)( a 2)
= − − + − − −
1 −4 −14 63 − 36 + 3
3 − 3 −51 36
1 −1 −17 12 0
3 2
2
( a a 17a 12)( a 2) ( a 3)
= − − + − −
1 −1 −17 12 −4
−4 20 −12
1 − 5 3 0
2
2
( a 5a 3)( a 2) ( a 3)( a 4)
= − + − − +
7 5 4 3 2
32. x −20x − 2x + 64x + 40x
−128
1 0 −20 − 2 64 40 0 − 128 + 2
2 4 −32 −68 −8 64 128
1 2 −16 −34 −4 32 64 0
6 5 4 3 2
( x 2x 16x 34x 4x 32x 64)( x 2)
= + − − − + + −
1 2 −16 −34 − 4 32 + 64 −2
−2 0 32 4 0 −64
1 0 −16 −2 0 32 0
5 3 2
( x 16x 2x 32)( x 2)( x 2)
= − − + − +
1 0 −16 − 2 0 32 + 4
4 16 0 −8 −32
1 4 0
− 2 − 8 0
4 3
( x 4x 2x 8)( x 2)( x 2)( x 4)
= + − − − + −
1 4 0 −2 −8 −4
− 4 0 0 8
1 0 0 − 2 0
3
( x 2)( x 2)( x 2)( x 4)( x 4)
= − − + − +

EJERCICIO 111
2 2
1. axax , mcdax
2 2
2. ab c,
a bc mcd abc
3. 2xyxy
2 ,
2 3 mcdxy
2
4. 6ab
, 15ab
2 3 3 4
6 3 15 3
2 2 5 5
1 1
32 ⋅ = 6 3⋅ 5=
15
2 3
mcd 3 ⇒ 3a b
5. 8am n,
20x m
8 2 20 2
4 2 10 2
2 2 5 5
1 1
2 = 8 2 ⋅ 5=
20
⇒4m
3 2 2
3 2
2
2
mcd 2 = 4
6. 18mn
, 27a m n
18 3 27 3
6 3 9 3
2 2 3 3
1 1
3 ⋅ 2= 18 3 = 27
mcd 3 = 9
⇒9mn
2 2 3 4
2 3
2
2
EJERCICIO 112
mcd
4a b
2 2
4. ab + b = b( a + 1)
2
a + a= a( a+
1)
mcd a + 1
2 3 2 4 2
7. 15abc, 24abx,
36bx
15 5 24 3 36 3
3 3 8 4 12 4
1 2 2 3 3
1 1
5⋅ 3 = 15 3⋅4⋅ 2 = 24 3 ⋅ 4 = 36
mcd 3⇒3b
8. 12xyz, 18xyz,
24xyz
2
2 3 2 3 2
12 3 18 3 24 3
4 2 6 3 8 4
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2
3⋅ 2 = 12 3 ⋅ 2= 18 3⋅4⋅ 2 = 24
mcd 32 ⋅ ⇒6xyz
9. 28abc , 35abc , 42abc
2 3 4 3 4 5 4 5 6
28 7 35 7 42 7
4 4 5 5 6 6
1 1 1
7⋅ 4 = 28 7⋅ 5 = 35 7⋅ 6 = 42
mcd
2 3 4
7 ⇒7a b c
3 4 4 2 2 3 4 5 7
10. 72xyz, 96xyz,
120xyz
72 8 96 8 120 8
9 3 12 3 15 3
3 3 4 4 5 5
1 1 1
2
8⋅ 3 = 72 8⋅3⋅ 4 = 96 8⋅3⋅ 5 = 120
2
2 2 3
mcd 83 ⋅ ⇒24x y z
2 3 2 4 2
11. 42am n, 56m n x,
70m n y
42 14 56 14 70 14
3 3 4 4 5 5
1 1 1
14⋅ 3 = 42 14⋅ 4 = 56 14⋅ 5 = 70
mcd 14 ⇒14m n
12. 75abc , 150abx , 225aby
2
4 3 2 5 7 2 3 6 2
75 15 150 15 225 15
5 5 10 5 15 5
1 2 2 3 3
1 1
15⋅ 5 = 75 15⋅5⋅ 2= 150 15⋅5⋅ 3 = 225
3 3
mcd 15 ⋅5 ⇒75a b
13. 4ab, 8ab , 2abc,
10abc
2 3 2 2 3 2
4 2 8 2 2 2 10 2
2 2 4 4 1 5 5
1 1 1
2
2 = 4 2⋅ 4= 8 2= 2 2⋅ 5=
10
mcd
2 ⇒ 2ab
2 6 4 4 7 5 6
14. 38axy , 76mxy,
95xy
38 19 76 19 95 19
2 2 4 4 5 5
1 1 1
19⋅ 2= 38 19⋅ 4 = 76 19⋅ 5 = 95
mcd
4 4
19 ⇒19
x y
3 2 2
9. 3x + 15x = 3x ( x+
5)
2
2
1. 2a + 2ab= 2a( a+
b)
5. x − x= x( x−1)
2
ax + 5ax = ax( x + 5)
2 2
3 2 2
4a − 4ab= 2 a( a−b)
x − x = x ( x−1)
mcd x( x + 5)
mcd 2a
mcd x ( x − 1)
2 2
3 2 2
2. 6xy− 6xy= 2⋅3xyx
( −
10. a − b =
1)
( a+ b)( a−b)
2 3 2
6. 30ax − 15x = 5⋅3x ( 2a − x)
2 2
2
3 2 2 2 2 2 2
a − 2ab+ b =
9xy + 18xy = 3 xy( x+
2)
( a−b)
2 2 2 2
10axy − 20x y = 5⋅2xy ( a −2x)
2
mcd
mcd 3x y
( a − b)
mcd 5x
2 3 2 3
2 3 4 2 3 4
3 3 2 2
3. 12ab
= 4⋅3ab
7. 18axy
= 6⋅3axy
11. m + n = ( m+ n)( m − mn+
n )
3 2 2 3 2 2
2 2 4 2 4 2 4
4ab − 8ab = 4ab ( a−2b)
6axy − 18axy = 6axy( x−3)
3am+ 3an = 3a ( m+
n)
2 4
mcd 6a xy
2
8. 5a − 15a= 5a( a−3)
3 2 2
a − 3a = a ( a−3)
mcd a( a − 3)
mcd m+
n
2
12. x − 4= ( x+ 2)( x−2)
3 2
x − 8= ( x− 2)( x + 2x+
4)
mcd
x − 2

2
13.
2ax + 4ax = 2ax x + 2
3 2 2
x − x − 6x= x x − x− 6 = x x− 3 x+
2
13.
( )
( ) ( )( )
mcd x( x + 2)
2
14. 9x − 1= ( 3x+ 1)( 3x−1)
2
2
9x − 6x+ 1= ( 3x−1)
15.
mcd 3x
− 1
2 2
2
15. 4a + 4ab+ b = ( 2a+
b)
2 2 2 2
2a − 2ab+ ab− b = ( 2a − 2ab) + ( ab−b
)
= 2aa ( − b) + ba ( −b)
= ( 2a+ b)( a−b)
mcd 2a + b
2 2
16. 3x + 3x− 60= 3( x + x−20)
= 3( x+ 5)( x−4)
2 2
6x −18x− 24= 6( x −3x−4)
= 32 ⋅ ( x− 4)( x+
1)
mcd 3( x − 4)
3 3 2 2
17. 8x + y = ( 2x+ y)( 4x − 2xy+
y )
2 2 2 2
4ax − ay = a( 4x − y )
= a( 2x+ y)( 2x−
y)
mcd 2x + y
3 2 2 2 2
18. 2a − 12a b+ 18ab = 2a( a − 6ab+
9b
)
2
= 2aa
( −3b)
3 2 2 2
a x − 9ab x = ax( a −9b
)
= ax( a+ 3b)( a−3b)
mcd a( a − 3b)
19. ac + ad −2bc − 2bd = ( ac + ad) − ( 2bc + 2bd)
= ac ( + d) − 2bc ( + d)
= ( a− 2b)( c+
d)
2 2 2 2
2c + 4cd + 2d = 2( c + 2cd + d )
2
= 2( c+
d)
20.
mcd c + d
4 2 2 2
21. 4x − y = ( 2x + y)( 2x − y)
2
2
2 2
( 2x + y) = ( 2x + y)( 2x + y)
21.
2
mcd 2x + y
5 4 2 2
22.
3x − 3x= 3x x − 1 = 3x x + 1 x −1
22. ( ) ( )( )
2
= 3x( x + 1)( x+ 1)( x−1)
3 2 2
9x − 9x= 9x( x − 1) = 3 x( x+ 1)( x−1)
mcd 3x( x + 1)( x −1)
2
23. a + ab= a( a+
b)
2
ab + b = b( a + b)
3 2 2
a + a b= a ( a+
b)
23.
25.
3 2 2
4x − 4x = 4x x−1
mcd a + b
mcd x x − 1
20.
2 2 2 2 2 2
3am + 6am− 45a = 3a ( m + 2m−15)
4 2 4 2
29. 2an − 16an + 32a = 2a( n − 8n
+ 16)
2
2 2
2 2
= 3a ( m+ 5)( m−3)
= 2an ( −4)( n − 4) = 2an ( + 2) ( n−2)
2 2
6am x + 24amx − 30ax = 6ax( m −4m−5)
= 32 ⋅ ax( m + 5)( m−1)
3 2
2an − 8an = 2an( n − 4) 2 3 2 2 3
2an + 16a = 2a ( n + 8) = 2an( n + 2)( n −2)
2 2
= 2a ( n+ 2)( n − 2n+
4)
mcd 3a ( m + 5)
mcd 2a( n + 2)
24.
3 2 2
24. 2x − 2x = 2x ( x−1)
2
3x − 3x= 3x( x−1)
( )
( )
4 2 2 2 2
25. x − 9x = x ( x − 9) = x ( x+ 3)( x−3)
4 3 2 2 2 2
x − 5x + 6x = x ( x − 5x+ 6) = x ( x−3)( x−2)
4 3 2 2 2 2
2
x − 6x + 9x = x ( x − 6x+ 9) = x ( x−3)
2
mcd x ( x − 3)
2
26. ( ) ( )
4 2 3 2 2 2 2
ab− ab = aba ( − b) = aba ( + b)( a−b)
mcd ab( a + b)
3 2 2 3 2 2
26.
a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b
2 2
27.
2x + 2x− 4= 2 x + x− 2 = 2 x+ 2 x−1
27. ( ) ( )( )
2 2
2x − 8x+ 6= 2( x − 4x+ 3) = 2( x−3)( x−1)
3 2
2x − 2= 2( x − 1) = 2( x+ 1)( x−1)
mcd 2( x − 1)
28.
3 2 2
ax −2ax − 8ax = ax( x −2x − 8) = ax( x − 4)( x + 2)
2 2
ax −ax − 6a = a( x − x − 6) = a ( x − 3)( x + 2)
2 3 2 2 2 2 2 2
ax −3ax − 10ax= axx ( −3x− 10) = axx ( − 5)( x+
2)
mcd a ( x + 2)
28.

30. 2 2 2
4a + 8a− 12= 4( a + 2a− 3) = 2 ( a+ 3)( a−1)
2 2
2a − 6a+ 4= 2( a − 3a+ 2) = 2( a−2)( a−1)
39. 2
3a − 6a= 3a( a−2)
3 2
a − 4a= a( a − 4) = a( a+ 2)( a−2)
2 2
2
6a + 18a− 24= 6( a + 3a− 4) = 3⋅ 2( a+ 4)( a−1)
a b − 2ab = ab( a −2)
2
mcd 2( a − 1)
a −a− 2= ( a− 2)( a+
1)
31. 2 2
4a − b = ( 2a+ b)( 2a−b)
mcd a − 2
3 3 2 2
8a + b = ( 2a+ b)( 4a − 2ab+
b )
2
2 2
2
40. 3x − x= x( 3x−1)
4a + 4ab+ b = ( 2a+
b)
3 2
27x − 1= ( 3x− 1)( 9x + 3x+
1)
mcd 2a + b
2
2
2
x −2x− 8= ( x− 4)( x+
2)
9x − 6x+ 1= ( 3x−1)
32. 2
3ax − a + 6x − 2= x − x− 12 = ( x− 4)( x+
3)
( 3ax − a) + ( 6x
−2)
3 2 2
= a
x − 9x + 20x= x( x − 9x+ 20) = x( x−5)( x−4)
( 3x− 1) + 2( 3x−1)
mcd x − 4
= ( a+ 2)( 3x−1)
2
mcd 3x
− 1
33. a + a= a( a+
1)
3 2 2
a −6a − 7a= a( a −6a− 7) = a( a− 7)( a+
1)
6 5
a + a= aa ( + 1) 4 3 2
= aa ( + 1)( a − a + a − a+
1)
mcd a( a + 1)
41. 4 2 2 2
a − 1= ( a + 1)( a − 1) = ( a + 1)( a+ 1)( a−1)
34. 3 2
x + 27 = ( x+ 3)( x − 3x+
9)
2 2
2x − 6x+ 18= 2( x − 3x+
9)
3 2 3 2
a + a + a+ 1= ( a + a ) + ( a+
1)
2 2
= a ( a+ 1) + ( a+ 1) = ( a + 1)( a+
1)
4 3 2 2 2
x − 3x + 9x = x ( x − 3x+
9)
3 2 3 2
ax+ ax+ ax+ x= ( ax+ ax) + ( ax+
x)
2
mcd x − 3x
+ 9
2
= axa ( + 1) + xa ( + 1)
2 2
35. x + ax− 6a = ( x+ 3a)( x−2a)
2 2
= ( ax+ x)( a+ 1) = xa ( + 1)( a+
1)
2 2
x + 2ax− 3a = ( x+ 3a)( x−a)
5 3 2 5 3 2
a + a + a + 1= ( a + a ) + ( a + 1)
2 2
2
x + 6ax+ 9a = ( x+
3a)
3 2 2
= a ( a + 1) + ( a + 1)
mcd x + 3a
3 2 2 2
3 3 2
36. 54x + 250 = 2( 27x + 125) = 2( 3x+ 5)( 9x − 15x+
25)
= ( a + 1)
( a + 1) = ( a+ 1)( a − a+ 1)( a + 1)
2
2 2
18ax − 50a = 2a( 9x − 25) = 2a( 3x + 5)( 3x
−5)
mcd ( a + 1)( a + 1)
2 2
2
18x + 60x+ 50= 2( 9x + 30x+ 25) = 2( 3x+
5)
mcd 23 ( x + 5)
2 2 2 2
42. 2m + 4mn+ 2n = 2( m + 2mn+
n )
2
2 2
2
37. ( x − 1) = [( x+ 1)( x−1)
]
= 2( m+
n)
2
3 2 2 3 2 2
x −4x− 5= ( x− 5)( x+
1)
m + m n+ mn + n = m ( m+ n) + n ( m+
n)
4 2 2 2
x − 1 = ( x + 1)( x − 1) = ( x + 1)( x+ 1)( x−1)
2 2
= ( m + n )( m+
n)
mcd x + 1
3 3 2 2
m + n = ( m+ n)( m − mn+
n )
38. 2
4ax − 28ax = 4ax( x −7)
3 2 2 2
m − mn = m( m −n
)
2 3 2 2 2 2 2
ax − 8ax + 7ax= axx ( − 8x+ 7) 2
= axx ( −7)( x−1)
= mm ( + n)( m−n)
4 3 2 2 2 2
ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x −8)( x −7)
mcd ax( x − 7)
mcd m+
n

3 2 3
43.
a − 3a + 3a− 1= a −1 −3a a−1
43. ( ) ( )
46. 2 2
2a − am+ 4a− 2m= ( 2a − am) + ( 4a−2m)
2
= ( a− 1)( a + a+ 1) −3a( a−1)
2
= ( a− 1)( a + a+ 1−3a)
2
2
= ( a−1)( a − 2a+ 1) = ( a−1)( a−1)
2
2
a − 2a+ 1= ( a−1)
3 2
a − a= aa ( − 1) = aa ( + 1)( a−1)
2
a − 4a+ 3= ( a−3)( a−1)
= a( 2a− m) + 2( 2a−m)
= ( a+ 2)( 2a−m)
2 3 2
2am − m = m ( 2a −m)
2 2 2 2
6a + 5am− 4m = [( 6a) + 5m( 6a)
−24m
]
= [( 6a+ 8m)( 6a− 3m)
] ÷ 2⋅3
= ( 3a+ 4m)( 2a−m)
mcd a − 1
2 2 2 2
16a + 72am− 40m = 8( 2a + 9am−5m
)
2
= 8[ ( 2a) + 9m( 2a)
−10m]
= 8[ ( 2a+ 10m)( 2a− m)
] ÷ 2
3 3
44. 16ax+ 54x= 2x( 8a
+ 27)
= 8( a+ 5m)( 2a−m)
2
= 2x( 2a+ 3)( 4a − 6a+
9)
mcd 2a − m
2 2 2 2 2 2
12ax −42ax − 90x = 6x ( 2a −7a−15)
47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = ( 12ax − 6ay) + ( 24bx −12by)
2 2
= 6x [( 2a) −7( 2a)
−30]
= 6a( 2x− y) + 12b( 2x−
y)
2
= [ 6x ( 2a− 10)( 2a+ 3)
] ÷ 2
= ( 6a+ 12b)( 2x−
y)
2
= 32 ⋅ x ( a− 5)( 2a+
3)
= 32 ⋅ ( a+ 2b)( 2x−
y)
3 3 3 3
3 2 2
32a x + 24a x − 36ax = 4ax( 8a + 6a
−9)
3a + 24b = 3( a + 8b
)
2 2
2
= 4ax[ ( 8a) + 6( 8a)
= 3
−72]
( a+ 2b)( a − 2ab+
4b
)
2 2 2 2
9a + 9ab− 18b = 9( a + ab−2b
)
= [ 4ax( 8a + 12)( 8a
− 6)
] ÷ 4
2
= 3 ( a+ 2b)( a−b)
2
= 2 ax( 2a
+ 3)
( 8a
− 6)
2
12a + 24ab = 12a( a+ 2b) = 4⋅ 3a( a+
2b)
3
= 2 ax( 2a + 3)( 4a
−3)
mcd 3( a + 2b)
4 2 4 2
32ax− 144ax+ 162x= 2x( 16a − 72a
+ 81)
2
2
= 2x( 4a
−9)
48. 2
5a + 5ax+ 5ay+ 5xy= 5a( a+ x) + 5y( a+
x)
2
= 2x[ ( 2a+ 3)( 2a−3)
=
]
( 5a+ 5y)( a+ x) = 5( a+ y)( a+
x)
3 2 2 2 2 2
15a − 15ax + 15a y− 15x y= 15a mcd 2x( 2a
+ 3)
( a+ y) − 15x ( a+
y)
2 2
= ( 15a − 15x )( a+
y)
2 2
= 15( a − x )( a+
y)
= 53 ⋅ ( a+ x)( a− x)( a+
y)
2 45. ( xy + y )
3 2 2 2 2 2
2 2 3 4
20a − 20ay + 20a x− 20xy = 20a ( a+ x) − 20y ( a+
x)
= x y + 2xy + y
2 2
2 2 2 2
2
= ( 20a − 20y )( a+
x)
= y ( x + 2xy+ y ) = y ( x+
y)
2 2
= 20( a − y )( a+
x)
2 2 3 2 2
xy−2xy − 3y = yx ( −2xy− 3y) = yx ( − 3y)( x+
y)
= 54 ⋅ ( a+ y)( a− y)( a+
x)
3 4 3 3 2 2
ax y+ ay = ay( x + y) = ay( x+ y)( x − xy+
y)
mcd 5( a + y)( a + x)
2 3 2 2
xy− y = yx ( − y) = yx ( + y)( x−
y)
mcd y ( x + y)

EJERCICIO 113
2 2
1.
12x + 8x + 1 2x −5x−3
2
− 12x
+ 30x+
18 6
( )
38x
+ 19 ÷ 2
2
2x −5x− 3 2x+
1
2
−2x − x x
( )
−6x
− 3 ÷ −3
2x+ 1 2x+
1
−2x− 1 1 mcd 2x+
1
3 2 2
2.
32a −a −6a ; 6a −2a− 20÷
2
2. ( ) ( )
3 2
6a −3a −18a 2
3a −a−10
3 2
− 6a + 2a + 20a 2a
( )
2
− a + 2a ÷ −a
2
3a − a−10 a −2
2
− 3a + 6a 3a
( )
5a
− 10 ÷ 2
a−2 a−2
− a+ 2 1 mcd a−2
3.
35a − 6a x+ ax ; 3a − 4a x+
ax
3 2 2 3 2 2
3. ( )
4.
2 2
( 15 18 3 )
( )
( )
( )
= 15a − 18a x+ 3ax = a 3a − 4ax+
x
3 2 2 2 2
= a a − ax+
x
15a − 18ax+ 3x 3a − 4ax+
x
2 2 2 2
2 2
− 15a + 20ax−5x
5
2
2ax − 2x ÷ 2x
2 2
3a − 4ax+ x a−
x
2
− 3a + 3ax 3a
2
ax x x
− + ÷ −
a−
x a−
x
( )
− a+ x 1 mcd a a−
x
3 2
4. ( x x x )
2 + 4 − 4 + 6 ÷ 2
3 2 3 2
x + 2x − 2x+ 3 x + x − x+
2
3 2
− x − x + x−2 1
2
x − x+
1
3 2 2
x + x − x+ 2 x − x+
1
− + −
3 2
x x x x
( )
2
2x
− 2x+ 2 ÷ 2
2 2
x − x+ 1 x − x+
1
2 2
− x + x−1 1 mcd x − x+
1
5.
8a − 6a x+ 7a x − 3ax ; 2a + 3a x−2ax
4 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2
( 8 6 7 3 ) ( 2 3 2 )
= a a − a x+ ax − x = a a + ax−
x
3
8a −
2 2 3
6a x+ 7ax − 3x 2 2
2a + 3ax−
2x ( 3x)
3 2 2
−8a − 12a x+
8ax 4a
2 2 3
− 18ax+ 15ax − 3x
÷ −3
6ax+ 9ax − 6x 6ax− 5ax + x
2 2 3 2 2 3
2 2
− 6ax+
5ax
− x
14ax − 7x ÷ 7x
2 2 3
6ax− 5ax + x 2a−
x
2 2
− 6a x + 3ax 3ax
− 2ax + x ÷ − x
2a−
x 2a−
x
3
2 3 2
2 3 2
− 2a+ x 1 mcd a( 2a−
x)
4 3 2
6. ( 12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a)
÷ a
1
4 3 2 4 3 2
12x − 3x + 26x − 5x+ 10 3x + 3x − 4x + 5x−15 () 5
4 3 2
−12x − 12x + 16x − 20x+
60 4
( )
3 2
− 15x + 42x − 25x+ 70 −1
4 3 2
15x + 15x − 20x + 25x−75 4 3 2
− 15x + 42x − 25x + 70x 3 2
15x − 42x + 25x−70 ( 19)
x
3 2
57x − 45x + 95x−75 () 5
3 2
285x
− 798x
+ 475x−1.
330
3 2
285x − 225x + 475x−375
3 2
− 285x + 225x − 475x+
375 1
( )
2
−573x
− 955 ÷ −191
3 2 2
285x − 225x + 475x− 375 3x
+ 5
3
−285x −475x 95x
( )
2
−225x
− 375 ÷ −75
2
3x
+ 5
2
3x
+ 5
2
−3x − 5 1 mcd
2
3x
+ 5
4 3 2 2 3 4 3 2 2 3
7. 6x −4x y− 3x y + 5xy −2y 3x − 2x y+ 9xy −6y
( 7)
4 3 2 2 3
− 6x + 4x y− 18x y + 12xy 2x
( )
( )
− 21xy + 17xy − 2y ÷ − y
2 2 3 4 2
21x − 14x y+ 63xy −42y 21x − 17xy+
2y
3 2 2 3 2 2
3 2 2
− 21x + 17x y−
2xy x
2 2 3
3xy+ 61xy − 42y ÷ y
2 2 2
21x − 17xy + 2y 3x + 61xy−42y
− + +
2 2
21x 427xy 294y
7
( )
( )
2
− 444xy + 296y ÷ −148y
x + xy− y x−
y
2 2
3 61 42 3 2
2
− 3x + 2xy x
xy − y ÷ y
2
63 42 21
3x−2y 3x−2y
− 3x+ 2y 1 mcd 3x−2y
2

4 3 2
8.
ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ;
8. ( )
4 3 2
( x + 4x − x − 4x)
÷ x
4 3 2 3 2
x + 3x − 2x + 6x− 8 x + 4x − x−4
4 3 2
− x − 4x + x + 4x x
( )
( )
3 2
− x − x + 10x−8 −1
3 2 3 2
x + 4x − x − 4 x + x − 10x+
8
3 2
− x − x + 10x−8 1
2
3x
+ 9x− 12 ÷ 3
3 2 2
x + x − 10x+ 8 x + 3x−4
3 2
− x − 3x
+ 4x
x
( )
2
−2x
− 6x+ 8 ÷ −2
2
x + 3x− 4
2
x + 3x−4
2
− x − 3x+ 4 1
2
mcd x + 3x−4
4 3 2
9.
32m −4m − m + 6m−3
9. ( ) ;
5 4 3 2
( 3 6 8 10 5 )
m − m + m − m + m ÷ m
4 3 2 4 3 2
6m −12m − 3m + 18m − 9 3m − 6m + 8m − 10m+
5
4 3 2
− 6m + 12m − 16m + 20m−10 2
( )
( )
2
− 19m
+ 38m− 19 ÷−19
4 3 2 2
3m − 6m + 8m − 10m+ 5 m − 2m+
1
− 3m + 6m −3m 3m
4 3 2 2
2
5m
− 10m+ 5 ÷ 5
2
m − 2m+ 1
2
m − 2m+
1
2
− m + 2m−1 1 mcd
2
m − 2m+
1
10.
Factor común a
5 4 3 2 5 4 3 2
( a − a + a − a + a) ; ( a − a + a + a − a)
73 6 16 2 5 37 14 33 4 10
5 4 3 2 5 4 3 2
= 21a − 42a + 112a − 14a + 35a ; = 21a − 42a + 99a + 12a −30a
4 3 2 4 3 2
21a − 42a + 112a − 14a+ 35 21a − 42a + 99a + 12a−30
4 3 2
− 21a + 42a −99a − 12a+
30 1
( )
2
13a
− 26a+ 65 ÷ 13
4 3 2 2
21a
− 42a
+ 99a + 12a−30 a − 2a+
5
− 21a + 42a −105a 21a
4 3 2 2
( )
2
− 6a
+ 12a− 30 ÷ −6
2 2
a − 2a+ 5 a − 2a+
5
( )
2 2
− a + 2a−5 1 mcd a a − 2a+
5
3 2
11. ( 45ax + 75ax −18ax − 30a)
÷ 3a
;
3 2
( 24ax + 40ax −30ax − 50a)
÷ 2a
3 2 3 2
415 ( x + 25x −6x− 10) ; 512 ( x + 20x −15x−25)
3 2 3 2
60x + 100x −24x− 40 60x + 100x −75x− 125 ( ÷ 5)
11.
3 2
−60x − 100x + 75x+
125 1
( )
51x
+ 85 ÷ 17
3 2
12x + 20x −15x− 25 3x+
5
−12x −20x 4x
3 2 2
3x+ 5 3x+
5
( )
−15x
− 25 ÷−5
( )
− 3x− 5 1 mcd a 3x+
5
12.
Factor común 2:
2x + 2ax + 2a x + 2a ; 10x + 4ax + 10a x+
4a
3 2 2 3 3 2 2 3
5x + 2ax + 5a x+ 2a x + ax + a x+
a
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
−5x −5ax −5a x−5a
5
( )
( )
2 3
−3ax − 3a ÷ −3a
x + ax + a x+ a x + a
3 2 2 3 2 2
3 2
− x − a x x
2 3
ax + a ÷ a
x + a x + a
2 2 2 2
( )
− x − a 1 mcd 2 x + a
2 2 2 2

13.
Factor común 3 :
3 2 2 3
9x + 15ax + 3a x−3a
;
3 2 2 3
12x + 21ax + 6a x−3a
( 3)
( )
2 2 3
24ab− 12ab + 12b ÷ 12b
3 2 2 3 2
6a − 9a b+ 6ab −3b 2a −ab+
b
3 2 2
− 6a + 3a b−3ab 3a
( )
2 2 3
− 6ab+ 3ab − 3b ÷ −3b
2a − ab+ b 2a − ab+
b
2 2 2 2
( )
− 2a + ab−b 1 mcd 2ab 2a − ab+
b
2 2 2 2
2
7 6 4 5 4 3
16. a − a + a + 1 a − 2a + a + a−1
( a)
7 6 5 3 2 2
− a + 2a −a − a + a a
6 5 4 3 2
a − a + a − a + a + 1
3 2 2 3 3 2 2 3 6 5 4 2 6 5 4 3 2
12x + 21ax + 6a x− 3a 3x + 5ax + a x−a
a − 2a + a + a −a a − a + a − a + a + 1
6 5 4 3 2
3 2 2 3
−12x −20ax − 4a x+
4a
4
− a + a − a + a −a
−1 1
5 3
2 2 3
− a + a −a−1 ax + 2a x + a ( ÷ a)
( −1)
6 5 4 3 2 5 3
3 2 2 3 2 2
a − a + a − a + a + 1 a − a + a+
1
3x + 5ax + a x− a x + 2ax+
a
6 4 2
− a + a −a
−a
a
3 2 2
−3x −6ax −3a x 3x
5 4 3
− a + 2a −a − a+ 1 ( −1)
2 2 3
− ax − 2a x − a ( ÷ −a)
5 3 5 4 3
a − a + a+ 1 a − 2a + a + a−
1
2
2 2 2
x + 2ax + a x + 2ax + a
5 4 3
− a + 2a − a − a+
1 1
2 2 2 2
− x −2ax− a 1 mcd 3( x + 2ax+
a )
4 3
2a
− 2a
+ 2 ( ÷ 2)
14.
Factor común 2ab:
5 4 3 4 3
a − 2a + a + a− 1 a − a + 1
4 3 2 4 4 3 2 2 3 4
8ab+ 4ab + 4ab ; 12ab− 18ab + 12ab −6ab
5 4
− a + a − a a
3 2 3 3 2 2 3
34 ( a + 2a b+ 2b ) 6a − 9a b+ 6ab −3b
4 3
− a + a − 1 ( −1)
3 2 3 3 2 2 3
12a + 6a b + 6b 6a − 9a b+ 6ab −3b
4 3 4 3
a − a + 1 a − a + 1
3 2 2 3
− 12a + 18a b− 12ab + 6b
2
4 3 4 3
− a + a − 1 1 mcd a − a + 1
17.
Factor común 2a
:
4 3 2
6ax − 4ax + 6ax − 10ax + 4a
;
4 3 2
36ax −24ax − 18ax + 48ax −24a
4 3 2 4 3 2
18x −12x − 9x + 24x−12 3x − 2x + 3x − 5x+
2 ( 9)
4 3 2
− 18x + 12x − 18x + 30x−12 6
2
− 27x
+ 54x−24 −1
2 2
15.
Factor común 3a n :
4 3 2 2
5 2 4 3 3 4 2 5
27x − 18x + 27x − 45x+ 18 27x − 54x+
24 ( 4x)
9an − 33an + 27an −6an
;
4 3 2 2
5 2 4 3 3 4 2 5
− 27x + 54x −24x x
9an + 12an − 21an + 6an
3 2
3 2 2 3 3 2 2 3
3a − 11a n+ 9an − 2n 3a + 4a n− 7an + 2n
()
36x
+ 3x
− 45x
+ 18
5
( ÷ 3)
3 2 3 2
3 2 2 3
−3a − 4a n+ 7an −2n
1
108x − 216x + 96x 12x + x − 15x+
6 ( 25)
3 2
2 2 3
−108x − 9x + 135x−54 9
− 15an+ 16an − 4n ( ÷−n)
2
3 2 2 3 2 2
−
15a + 20a n− 35an + 10n 15a − 16an+
4n
( 12)
225x
+ 231x− 54 ( ÷ −3)
3 2 2
3 2 2
− 15a + 16a n−4an a
300x + 25x − 375x+ 150 75x − 77x+
18 ( 111)
3 2
2 2 3
− 300x + 308x −72x 4x
36an− 39an + 10n ( ÷ n)
2
2 2 2 2
333x
− 447x+ 150 ( ÷ 3)
180a − 192an+ 48n 36a − 39an+
10n
2 2
2 2
− 180a + 195an−
50n
5
8. 325x − 8. 547x+ 1. 998 111x − 149x+
50 ( 2.
628)
2
2
3an − 2n ( ÷
−
n
8. 325x
+ 11. 175x−3.
750 75
)
2 2
2. 628x
− 1.
752
36a − 39an+ 10n 3a−2n
2
2
− 36a + 24an 12a
291. 708x − 391. 572x+ 131. 400 2. 628x− 1.
752 ÷ 876
2
2
− 291. 708x + 194.
472x 111x
− 15an + 10n ( ÷ −5n)
3a−2n 3a−2n
− 197. 100x
+ 131. 400 ( ÷ −65.
700)
2 2
3x−2 3x−2
− 3a+ 2n 1 mcd 3a n ( 3a−2n)
− 3x+ 2 1 mcd 2a 3x−2
( )
( )
( )

EJERCICIO 114
3 2 2 3 3 2 2 3
2.
8x + 6x y−3xy − y 2x − x y− 2xy + y
3 2 2 3
− 8x + 4x y+ 8xy −4y
4
4 3 2
2 2 3
3 2 2
3. ( x + x − x − x)
÷ x ;
1.
2x −5x − 6x+ 9 2x −5x−3
10xy+ 5xy − 5y ( ÷ 5y)
3 2
3 2
3 2 2 3 2 2 ( 2x + 2x −2x− 2)
÷ 2
− 2x + 5x + 3x x 2x − x y− 2xy + y 2x + xy−
y
3 2 3 2
3 2 2
− 3x
+ 9 ( ÷ −3)
−2x − x y+
xy x
x + x − x− 1 x + x − x−1
3 2
x x x
2
2 2 3
− − + + 1 1
−2xy− xy + y ( ÷ − y)
2x −5x−3 x−3
2
− 2x + 6x 2x
2 2
2x + xy− y
2 2
2x + xy−
y
0
x − 3
2 2
−2x − xy+
y 1
3 2
5x − 5x + 2x − 2
3 2
x + x − x−1 ( 10)
5
x+ x−3
( x)
2
3 2 2
2 2 2
2
− x + 3x x
6x − xy − y 2x + xy−
y
− 10x
+ 7x+ 3 ( −1)
3 2
x −2x − 5 6 0
3 2
−5x − 5x + 5x
+ 5
2
x − 5x+
6
2 2
−6x − 3xy+
3y
3
3 2 2
10x + 10x −10x−10 10x −7x−3 ( 17)
2
x −3x 2
x − 5x+
6
2
− 4xy + 2y ( ÷ −2y)
3 2
− 10x + 7x + 3x x
2
+ 5x
−6 1
2 2
2x + xy− y 2x−
y
17x
−7x−10
2
2
2x
− 6 ( ÷ 2)
2
− 2x + xy x
170x
−119x−51 17x
−7x−10
2
2
x − 5x+ 6 x−3
2
− 170x
+ 70x+
100 10
2xy − y ( ÷ y)
2
− x + 2x x
2x−
y 2x−
y
− 49x
+ 49 ( ÷−49)
2
− 3x
+ 6 ( ÷ −3)
− 2x+ y 1 mcd 2x−
y 17x −7x −10 x−1
x−3 x−3
2
− 17x + 17x 17x
− x + 3 1 mcd x − 3
10x
− 10 ( ÷ 10)
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
4.
3a + 9a x+ 4a x − 3ax + 2x a + 3a x+ a x −3ax −2x
x−1 x−1
4 3 2 2 3 4
−3a −9a x− 3a x + 9ax + 6x
3
− x+ 1 1 mcd x−1
( )
ax + 6ax + 8x ÷ x
4 3 2 2 3 4 2 2
a + 3a x+ a x −3ax − 2x a + 6ax+
8x ( 3a)
−a −6a x−8a x a
3a
2 2 3 4 2
4 3 2 2 2
( )
3 2 2 3 4
−3ax−7ax −3ax − 2x ÷ − x
3
2 2 3 2 2 3
+ 18ax+ 24ax 3a + 7ax+ 3ax + 2x
( 11)
3 2 2 3
−3a − 7a x −3ax −2x
1
( )
2 2 3
11ax + 21ax − 2x ÷ x
3 2 2 3 2 2
33a + 77a x+ 33ax + 22x 11a + 21ax−2 x ( 14)
3 2 2
−33a − 63a x+
6ax 3a
( )
2 2 3
14ax+ 39ax + 22x ÷ x
154a + 294ax− 28x 14a + 39ax+
22x
2 2 2 2
2 2
−154a −429ax−242x
2
−135ax −270x
11
( ÷−135x)
2 2
14a + 39ax+ 22x a+ 2x a+ 2x a+
2x
2
−14a −28ax 14a −a−2x
1
( )
2
11ax + 22x ÷ 11x
0
3 2 2 3
4a + 8a x−ax − 2x a+
2x
−4a −8a x 4a
3 2 2
( )
−ax − 2x ÷ − x
2 3 2
5.
Factor
común x
5 4 2
( x + x − x − x)
2 2 2 2 2
4 3
4x + 4x 3 2
−4x−4 4x − 4x + 3x−3 ( 2)
4 3 2
− 4x + 4x − 3x + 3x x
3 2
8x −3x − x−4
3 2
8x − 8x + 6x−6 3 2
8x −3x − x−4 () 5
3 2
− 8x + 3x + x + 4 1
( )
2
− 5x
+ 7x−2 −1
3 2
40x −15x −5x−20 2
5x − 7x+
2 ( 41)
3 2
− 40x + 56x −16x 8x
2
41x
−21x−20
2
205x − 287x+ 82
2
41x −21x−20
2
− 205x
+ 105x+
100 5
( )
( )
− 182x
+ 182 ÷−182
2
41x −21x−20 x−1 x−1 x−1
2
− 41x + 41x 41x − x+
1 1
20x
− 20 ÷ 20 0
( )
3x −4x − 3x + 4x x−1 3x
6 4 3 4
− 3x + 3x 3x
6 5 5
5 4 3
a+ 2x a+
2x
3x −4x − 3x + 4x
Continua.
−a− 2x 1 mcd a+
2x

Continuación.
5 4 5 4 3
5.
3x −3x 3x −4x − 3x + 4x ÷ x
5. ( )
5 4 3
− 3x + 4x + 3x −4x
1
( )
4 3
x + 3x − 4x ÷ x
4 3 2 3 2
3x −4x − 3x + 4 x + 3x
−4 ( 13)
4 3
−3x − 9x + 12x 3x
( )
3 2
−13x − 3x + 12x+ 4 ÷ −1
3 2 3 2
13x + 39x − 52 13x + 3x −12x−4 ( 3)
3 2
−13x − 3x + 12x+
4 1
( )
2
36x
+ 12x− 48 ÷ 12
3 2 2
39x
+ 9x −36x− 12 3x + x−4
3 2
−39x − 13x + 52x 13x
( )
( )
( )
2
− 4x
+ 16x− 12 ÷ −4
2 2
3x + x −4 x − 4x+
3
2
− 3x
+ 12x−9 3
13x
− 13 ÷ 13
2
x − 4x+ 3 x−1
2
− x + x x
− 3x
+ 3 ÷−3
x−1 x−1
( )
− x+ 1 1 mcd x x−1
EJERCICIO 115
1. a , ab mcma b
2 2 2 2
2. xy,
xy mcmxy
2 2 2 2
2 2 2 2
3. ab c , a bc mcm a b c
4. ax , abx mcmabx
2 3 3 2 3 3
5. 6mn 2 , 4m 3 mcm12mn
3
6. 9ax y , 15x y mcm 45ax y
3 2 5 3 5
7. a , ab , a b mcm a b
3 2 2 3 2
2 2 3 2 3
8. xy, xy , xyzmcm xyz
9. 2ab , 4ab,
8a mcm 8ab
2 2 3 3 2
10. 3x y z , 4x y z , 6x mcm 12x y z
2 3 3 3 2 4 4 3 2
11. 6mn , 9mn , 12mn mcm 36mn
2 2 3 3 3 3
12. 3a , 4b , 8x mcm 24a b x
2 2 2 2 2 2
13. 5x , 10xy , 15xy mcm 30x y
2 2 2 2
14. ax y , a xy , a x y mcm a x y
3 2 3 2 2 3 3 3 3
15. 4ab , 6a , 3b mcm 12a b
2 2 2 2
16. 3x , 6x , 9x y mcm 18x y
3 2 4 2 4 2
17. 9abx, 12abx , 18abxmcm36abx
2 2 2 3 3 3 3 2
18. 10m , 15mn , 20n mcm 60m n
2 2 3 2 3
19. 18a , 24b , 36ab mcm 72a b
3 2 3 3 3
20. 20mn , 24mn,
30mn
20 24 30 6
20 4 5 5 6 ⋅5⋅ 4 = 120
4 4 1 4 ⇒mcm
120m n
1 1
2 3 3 2
3 3
21. ab , bc , a c , b c mcm a b c
2 2 2 3 3 3 2 3 3
22. 2xy, 8xy , 4ax , 12a mcm 24axy
2 3 2 3 3 3 3 3
23. 6a , 9x , 12ay , 18xy mcm36axy
2 2 3 2 3 2
24. 15mn , 10m , 20n , 25mn
2 2 3 4
15 10 20 25 5
3 2 4 5 5 5 ⋅3⋅ 2 = 300
3 2 4 1 3 ⇒mcm
300m n
1 2 4 2
1 2 2
1
2 2
25. 24ax , 36ay , 40xy , 60ay
2 3 2 4 2 5 3 6
24 36 40 60 2
12 18 20 30 2
6 9 10 15 3 2 ⋅3 ⋅ 5 = 360
2 4
2 3 10 5 5 ⇒mcm
360a x y
2 3 2 1 3
2 1 2 2
1 1
3 2
26. 3a , 8ab, 10b , 12ab , 16ab
3 2 2 3 2 2
3 3 6
3 8 10 12 16 2
3 4 5 6 8 2
3 2 5 3 4 2
4
2 ⋅3⋅ 5=
240
3 1 5 3 2 2 ⇒ mcm 240a b
3 5 3 1 3
1 5 1 5
1
3 3

EJERCICIO 116
1.
2a=
2a
2
4x− 8= 2 x−2
( )
mcm 4a( x − 2)
2
2. ab − b = b( a −b)
3b
= 3b
2 2
2
mcm 3b ( a − b)
2 2
3. x y + xy = xy( x + y)
2 2
xy=
xy
2
mcm x y( x + y)
2
4. 4+ 8a= 2 ( 1+
2a)
8=
2
3
mn = mn
m
= m
2 2
2 2
mcm m n n
( − 1)
13.
2
13. 3a − 6ab= 3a( a−2b)
2a
= 2a
2 2
6ab
= 2⋅3ab
9a
= 3 a
2 2 2
18b
= 2⋅3
b
3 2 3
x
= x
2 2
2
( + 2) ( −1)
2
mcm x x x
21.
2 2 2 2
21. 9ax− 18ay= 3 a( x−2y)
2 2
2
x − 4xy+ 4y = ( x−2y)
6ab
= 2⋅3ab
mcm
2
2 2
2
6a b ( a − 2b)
mcm 3 ⋅2a b( x −2y)
5 4 4
14. 5x − 5x = 5x ( x−1)
2
2
⇒18abx
( −2y)
2 2
xy = xy
22. 4 2 2 2 2
9x − 36x = 3 x ( x −4)
2 3 2 3
x y = x y
2 2
= 3 x ( x+ 2)( x−2)
4 3
mcm5x y ( x − 1)
3 2 2
3x −3x − 18x= 3x( x − x−6)
4 3 2 3 3
15. 27ab+ 81ab = 3 aba ( + 3b)
= 3x( x− 3)( x+
2)
6x
= 2⋅3x
3 3
2 3
3
mcm 23 ⋅ x
mcm 2 ( 1+ 2a) = 8( 1+
2a)
( x+ 2)( x−2)( x−3)
3 3 3
mcm 23 ⋅ a b ( a + 3b)
3 2
2 2
5.
6ab= 2⋅3ab
⇒18x ( x −4)( x−3)
3 3
⇒ 54ab ( a+
3b)
2 2 3 2
3 2 2 2 2
3a b + 6ab = 3ab ( a + 2b)
23. 4x − 12x y+ 9xy = x
3 3 2 2 2
( 4x − 12xy+
9y
)
16. 9x y + 9xy = 3 xy( x + y )
2
2 2
mcm 6a b ( a + 2b)
= x
10 = 5⋅2
( 2x−3y)
2 2
4 3 3
6.
14x
= 7⋅2x
2 2
6x
= 2⋅3x
2x − 3x y= x ( 2x−3y)
2
2 2 2 2
6x + 4xy= 2x( 3x+
2y)
2 2 2 2
ax = ax
mcm 523 ⋅ ⋅ x y( x + y )
2
2 3
2
mcm 14x ( 3x + 2y)
2 2 2
mcm a x
( )
( 2x − 3y)
⇒ 90xyx
+ y
2
7.
9m=
3 m
2 2
2
24. 9x − 45x= 3 x( x−5)
2
17. x y − xy = xy
6mn − 12mn = 2⋅3mn( n −2)
( x −1)
2 2 2 2 2
12x y = 3⋅2
x y
3 2 2
2
x + x = x
mcm 23 ⋅ mn( n −2)
( x+
1)
3 3 3
8x
= 2 x
2
4x=
2 x
2 3 3 2
⇒18mn( n −2)
mcm 3 ⋅ 2 x y ( x −5)
2 2
8.
15= 5⋅3
mcm 2 x y( x − 1)( x + 1)
3 2
⇒72x y ( x−5)
2 2
3x+ 6= 3( x+
2)
⇒4xyx
( −1)
2 2 2 2 2 2 2
25. nx + ny = n( x + y)
2
mcm 15( x + 2)
18. 6m + 18m= 2⋅ 3m( m+
3)
2 2 2 2
nx + 2nxy + ny = n( x + 2xy + y )
9.
10= 5⋅2
3
8m− 24= 2 ( m−3)
2
5− 15b= 5( 1−3b)
3
= n( x+
y)
24 = 2 ⋅3
mcm 10( 1−
3b)
2n=
2n
3
mcm 2 ⋅ 3m( m+ 3)( m−3)
3 3
2
10. 4ax − 12ay = 2 a( x −3y)
an = an
2
⇒24mm
( −9)
2 2 2 2
3
2
2 2
36a
= 2 ⋅3
a
mcm 2an 19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1)
( x + y) ( x + y )
2 2 2
3 2 2 2
mcm 2 ⋅3 a ( x −3y)
2 2 2 2
26. 4x + 24x + 36x= 2 x
2ab
= 2ab
( x + 6x+
9)
2
⇒ 36a ( x−3y)
2
2
6x− 18= 2⋅3( x−3)
= 2 x( x+
3)
2 2 2
11.
12xy
= 2 ⋅3xy
2 2
3 2 2
mcm 6a b ( x + 1)( x −3)
2x − 8x + 8x= 2x( x − 4x+
4)
2 3 2 3 2 3
2ax y + 5x y = x y ( 2a
+ 5)
2
2
2
20. x + 4x+ 4= ( x+
2)
= 2x( x−2)
2 3
mcm 12x y ( 2a
+ 5)
3 2 2
3 2 2
x + x − 2x= x( x + x−2)
x + x − 6x= x( x + x−6)
3 2 2
12. mn − mn = mn ( n −1)
= x( x+ 2)( x−1)
= x( x+ 3)( x−2)
8x
= 2 x
2 3 2
( + ) ( − )
2 2
2
mcm 8x x 3 x 2

3 2 2
27. 6x + 6x = 2⋅ 3x ( x+
1)
2 2
2x − 2x+ 2= 2( x − x+
1)
3 2
x + 1= ( x+ 1)( x − x+
1)
27.
3x
= 3x
3 3
3 2
mcm 23 ⋅ x ( x + 1)( x − x + 1)
3 2
⇒ 6x ( x+ 1)( x − x+
1)
3 4 3
29. 5ab − 5b = 5b ( a −b)
2 2 2 2 2
12a − 24ab+ 12b = 2 ⋅3( a − 2ab+
b )
2
2
= 2 ⋅3( a−b)
2 2
6ab= 2⋅3ab
2
4b=
2 b
2a=
2a
2
2 3
( ) ( )
2 2 3
mcm= 52 ⋅ ⋅3a b a−b ⇒ 60a b a−b
2
28.
ax− a+ bx− b= a x− 1 + b x− 1 = a+ b x−1
28. ( ) ( ) ( )( )
2 2
2
a + 2ab+ b = ( a+
b)
4xy
= 2 xy
2 2 2
3 2 2
3x − 3x = 3x ( x−1)
2
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3x y a + b x −1 ⇒ 12x y a + b x −1
30.
30. 14x+ 14 = 7⋅ 2( x+
1)
2
2
x + 2x+ 1= ( x+
1)
2 2
7x
+ 7= 7( x + 1)
2
28x= 7⋅2
x
( x )
( +
2
2
) ( + )
2 2
x + 1= + 1
mcm 28x x 1 x 1
EJERCICIO 117
3 3 2 2
3 2 2 2 2
11. x + y =
1. ( )
6. ( )
( x+ y)( x − xy+
y )
a + 2a b+ ab = a a + 2ab+
b
3 3
2
3x+ 3= 3( x+
1)
( ) ( x+ y) = ( x+
y)
= aa+
b
3
2 2
3 2 2
mcm 23 ⋅ ( x − 1)( x + 1)
a + a b= a ( a+
b)
mcm ( x + y) ( x − xy + y )
2
2
2
3 3 2 2
⇒6( x −1)
mcm a ( a + b)
12. x − y = ( x− y)( x + xy+
y )
3 3
2 2
2 2
2. 10x
− 40= 5⋅2( x −4)
7. 2bx + 6bx − 8b = 2b( x + 3x
−4)
( x− y) = ( x−
y)
3
= 2bx
= 52 ⋅ ( x+ 2)( x−2)
( + 4)( x−1)
2 2
mcm ( x − y) ( x + xy + y )
3ax + 12a = 3a 5x+ 10= 5( x+
2)
( x + 4)
2 2
13. 4x −7x− 2= ( 4x) −7( 4x)
−8
mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x −1)
mcm 52 ⋅ ( x + 2)( x −2
=
)
[( 4x− 8)( 4x+ 1)
] ÷ 4
⇒ 6ab( x + 4)( x −1)
2
⇒10( x −4)
= ( x− 2)( 4x+
1)
2
8. x + 2x− 15= ( x+ 5)( x−3)
2
x + 3x− 10= ( x+ 5)( x−2)
2 2
3. x − 4y = ( x+ 2y)( x−2y)
3 2
x − 25x= x( x −25)
mcm ( x − 2)( 4x + 1)( x + 5)
3 2 2
x + 2x y= x ( x+
2y)
= x( x+ 5)( x−5)
2
14. a + a− 30 = ( a+ 6)( a−5)
2
mcm x ( x + 2y)( x −2y)
2
mcm x( x + 5)( x −5)( x −3)
a + 3a− 18= ( a+ 6)( a−3)
2 2 2
⇒ x ( x −4y
)
2
⇒ x( x −25)( x−3)
mcm ( a + 6)( a −3)( a −5)
2
2
4. x − 6x+ 9= ( x−3)
2 2
4 3 2 2 2
9. ( x− 1) = ( x−1)
15. x + 2x − 15x = x ( x + 2x−15)
2 2 2
3ax− 9a = 3a( x−3)
2
2
x − 1= ( x+ 1)( x−1)
= x ( x+ 5)( x−3)
2
2
mcm 3a ( x − 3)
2
3 2 2 2
mcm ( x + 1)( x −1)
x − 9x+ 5x − 45= x( x − 9) + 5( x −9)
2
2 2
2
2 2
= ( x+ 5)( x −9)
5. 4a − 12ab+ 9b = ( 2a−3b)
10. ( x+ 1) = ( x+
1)
2 2
2 2
=
4a − 9b = ( 2a+ 3b)( 2a−3b)
( x+ 5)( x+ 3)( x−3)
x + 1= x + 1
2
2
2
2
mcm x
mcm ( 2a+ 3b)( 2a−3b)
mcm ( x + 1)( x + 1)
( x + 5)( x + 3)( x −3)
2 2
⇒ x ( x+ 5)( x −9)
1.
6x− 6= 2⋅3 x−1

16. 6 3 3 3
x −4x − 32= ( x − 8)( x + 4)
25. 2 2
10x
+ 10 = 5⋅ 2( x + 1)
2 3
= ( x− 2)( x + 2x+ 4)( x + 4)
15x+ 15= 5⋅ 3( x+
1)
2 2
4 3 2 2 2
ax + 2ax + 4ax = ax ( x + 2x
+ 4)
5x − 5= 5( x − 1) = 5( x+ 1)( x−1)
2 2 2
2 2 3
mcm ax ( x − 2)( x + 2x + 4)( x + 4
mcm 523 ⋅ ⋅
)
( x + 1)( x + 1)( x −1) ⇒ 30( x + 1)( x −1)
2 2 2
17. 12( x − y ) = 2 ⋅ 3( x+ y)( x−
y)
26. ax − 2bx + ay − 2by = x( a − 2b) + y( a −2b)
2
3
2
8( x− y) = 2 ( x−
y)
= ( x+ y)( a−2b)
3
2 2
mcm 2 ⋅ 3( x+ y)( x− y) ⇒ 24( x+ y)( x−
y)
2
x + xy= x( x+
y)
2 2
18. 5( x+ y) = 5( x+
y)
2 2 2 2
10( x + y ) = 5⋅ 2( x + y )
2
x − xy= x( x−
y)
2 2
mcm x( x + y)( x − y)( a −2b) ⇒ x( x − y )( a −2b)
2 2
2
mcm 10( x + y )( x + y)
27. 2 2 2
4a b + 4ab = 2 ab( a + b)
19. 3 3
6am ( + n) = 2⋅ 3am ( + n)
2 3 3 2 2 2 2
4abm ( + n) = 2 abm ( + n)( m − mn+
n)
2 2
3
2 2
mcm 2 ⋅ 3a b( m+ n) ( m − mn + n )
6a− 6b= 2⋅3( a−b)
2 2 2 2
15a − 15b = 5⋅3( a − b ) = 5⋅ 3( a+ b)( a−b)
2 2 2
mcm 2 ⋅3⋅ 5ab ( a + b)( a −b) ⇒ 60ab( a −b
)
2
3
2 2
⇒ 12 abm ( + n) ( m − mn+
n)
28. 2
x − 25= ( x+ 5)( x−5)
20. 3 3
ax( m− n) = ax( m−n)
3 3 3 3 2 2
x ( m − n ) = x ( m− n)( m + mn+
n )
3 2
x − 125= ( x− 5)( x + 5x+
25)
2x+ 10= 2( x+
5)
mcm
3
3
2 2
ax ( m− n) ( m + mn + n )
2
mcm 2( x+ 5)( x− 5)( x + 5x+
25)
21. 2
2a + 2a= 2a( a+
1)
2
3a − 3a= 3a( a−1)
4 2 2 2 2
a − a = a ( a − 1) = a ( a+ 1)( a−1)
3 2 2 3 2 2
29. a b − 6a b + 9ab = ab( a − 6ab + 9b
)
2
= ab( a −3b)
2 2
a −2ab− 3b = ( a− 3b)( a+
b)
mcm
2 2 2
23 ⋅ a ( a + 1)( a −1) ⇒6a ( a −1)
2 3 2
ab + b = b ( a + b)
22. 2
x + 2x= x( x+
2)
mcm
2
2
ab ( a − 3b) ( a + b)
3 2 2
x − 2x = x ( x−2)
2
30. 2m + 2mn= 2m( m+
n)
2
x − 4= ( x+ 2)( x−2)
2 2
4mn − 4n = 2 n( m−n)
2 2 2
mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x −4)
3 3 2 2
6m n − 6mn = 2⋅3mn( m − n ) = 2⋅ 3mn( m+ n)( m−n)
2
23. x + x− 2= ( x+ 2)( x−1)
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3mnm ( + n)( m−n) ⇒12mnm ( −n)
2
x − 4x+ 3= ( x−3)( x−1)
2 2 2
2
31. x − x− 6= ( x− 3)( x+
2)
20( x − y ) = 2 ⋅ 5( x+ y)( x−
y)
2 2
mcm( x + 2)( x −1)( x −3)
15( x− y) = 5⋅3( x−
y)
2
2
2
2
2
24. 4+ 12a+ 9a = ( 2+
3a)
12( x+ y) = 2 ⋅ 3( x+
y)
2 2
3a + 14a+ 8= ( 3a) + 14( 3a)
+ 24
2
2 2 2 2
mcm 2 ⋅5⋅ 3( x + y) ( x − y) ⇒ 60( x + y) ( x − y)
= [( 3a+ 12)( 3a+ 2)
] ÷ 3 = ( a+ 4)( 3a+
2)
2 2
32. ax + 5ax − 14a = a( x + 5x − 14) = a( x + 7)( x −2)
2 2
6a + 13a+ 6= ( 6a) + 13( 6a)
+ 36
3 2 2
2
x + 14x + 49x= x( x + 14x+ 49) = x( x+
7)
= [( 6a+ 9)( 6a+ 4)
] ÷ 3⋅ 2 = ( 2a+ 3)( 3a+
2)
4 3 2 2 2 2
x + 7x − 18x = x ( x + 7x− 18) = x ( x+ 9)( x−2)
2
mcm ( a + 4)( 2a + 3)( 3a
+ 2)
2
2
mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9)

2
33. ( ) ( )
38. 2 4 ( 2
16 + 8x + x = 4 + x )
4 2 2 2 2
3x − 27x = 3x ( x − 9) = 3x ( x+ 3)( x−3)
2 4 2
16 − 8x + x = ( 4 − x ) = ( 2 − x) 2 ( 2 + x)
2
3 2 2
2
5x + 30x + 45x= 5x( x + 6x+ 9) = 5x( x+
3)
4 2 2 2
16 − x = ( 4 + x )( 4 − x ) = ( 4 + x )( 2 + x)( 2 − x)
2
2 2
2
2 2
mcm 235 ⋅ ⋅ x ( x + 3) ( x −3) ⇒ 30x ( x + 3) ( x −3)
2
mcm ( 4+ x ) ( 2+ x) 2 ( 2−
x)
2
2 2
34. 3− 3a = 3( 1− a ) = 3( 1+ a)( 1−a)
2 2
39.
1+ a = 1+
a
6+ 6a= 2⋅ 3( 1+
a)
2 2
( 1 + a) = ( 1+
a)
2 2 2
12 + 12a
= 2 ⋅ 3( 1+
a )
3 2
1+ a = ( 1+ a)( 1− a+
a )
2
9− 9a= 3 ( 1−a)
2
2 2
mcm ( 1+ a) ( 1− a + a )( 1+
a )
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3 ( 1+ a )( 1+ a)( 1−a)
2 2
40. 8n −10n− 3= ( 8n) −10( 8n)
−24
2 2 4
⇒ 36( 1+ a )( 1− a ) = 36( 1−a
)
= [( 8n− 12)( 8n+ 2)
] ÷ 4⋅ 2 = ( 2n− 3)( 4n+
1)
2 2
35. 23 ( n− 2) = 23 ( n−2)
2 2
20n + 13n+ 2 = ( 20n) + 13( 20n)
+ 40
3 3 2
135n − 40 = 5( 27n − 8) = 5( 3n− 2)( 9n + 6n+
4)
= [( 20n+ 8)( 20n+ 5)
] ÷ 4⋅ 5= ( 5n+ 2)( 4n+
1)
2
12n− 8 = 2 ( 3n−2)
2 2
10n −11n− 6 = ( 10n) −11( 10n)
−60
2
2
2
mcm 52 ⋅ ( 3n − 2) ( 9n + 6n
+ 4)
= [( 10n− 15)( 10n+ 4)
] ÷ 5⋅ 2 = ( 2n− 3)( 5n+
2)
2
2
⇒20( 3n− 2) ( 9n + 6n+
4)
mcm ( 2n − 3)( 5n + 2)( 4n
+ 1)
2 2 2 2
36. 12mn + 8m −3n − 2= 4m( 3n + 2) − ( 3n
+ 2)
41.
6a + ab− 2b = 36a + 6ab−12b
= ( 4m− 1)( 3n+
2)
= [( 6a+ 4b)( 6a− 3b)
] ÷ 2⋅3
2 2 2
48mn− 3n+ 32m − 2 = 16m ( 3n+ 2) − ( 3n+
2)
= ( 3a+ 2b)( 2a−b)
2 2 2 2
2
= ( 16m
− 1)( 3n+
2)
15a + 22ab+ 8b = ( 15a) + 22b( 15a)
+ 120b
= ( 4m+ 1)( 4m− 1)( 3n+
2)
= [( 15a+ 12b)( 15a+ 10b)
] ÷ 3⋅5
2 2
6n −5n− 6= ( 6n) −5( 6n)
−36
= ( 5a+ 4b)( 3a+
2b)
2 2 2 2
= [( 6n− 9)( 6n+ 4)
] ÷ 3⋅2
10a + 3ab− 4b = ( 10a) + 3b( 10a)
−40b
= ( 2n− 3)( 3n+
2)
= [( 10a+ 8b)( 10a− 5b)
] ÷ 2⋅5
mcm ( 4m+ 1)( 4m− 1)( 3n + 2)( 2n
−3)
= ( 5a+ 4b)( 2a−b)
2
⇒( 16m − 1)( 3n+ 2)( 2n−3)
mcm ( 3a + 2b)
( 2a
−b)( 5a+
4b)
2 5 2 4 2 3 2 3 2
2 2 2 2
37. 15ax + 16ax − 15ax = ax( 15x + 16x−15)
42. 12x + 5xy− 2y = ( 12x) + 5y( 12x)
−24y
2 3 2
= ax[ ( 15x) + 16( 15x)
−225]
= [( 12x+ 8y)( 12x− 3y)
] ÷ 4⋅3
2 3
= ax[ ( 15x+ 25)( 15x− 9)
÷ 5⋅3]
= ( 3x+ 2y)( 4x−
y)
2 3
= ax( 3x+ 5)( 5x−3)
2 2 2 2
15x + 13xy+ 2y = ( 15x) + 13y( 15x)
+ 30y
3 2 2
18x + 60x + 50x= 2x( 9x + 30x+
25)
= [( 15x+ 10y)( 15x+ 3y)
] ÷ 5⋅3
2
= 2x[ ( 9x) + 30( 9x)
+ 225]
= ( 3x+ 2y)( 5x+
y)
= 2x[ ( 9x+ 15)( 9x+ 15)
÷ 3⋅3]
2 2 2 2
20x − xy− y = ( 20x) − y( 20x)
−20y
2
= 2x( 3x+
5)
= [( 20x− 5y)( 20x+ 4y)
] ÷ 5⋅4
3 2 2 2
12ax + 20ax = 2 ax ( 3x
+ 5)
= ( 4x− y)( 5x+
y)
2 2 3
2
mcm = 2 a x ( 3x+ 5) ( 5x−3)
mcm ( 4x − y)( 5x + y)
( 3x
+ 2y)
2 3
2
= 4ax( 3x+ 5) ( 5x−3)
33.
3 2 2
2x − 12x + 18x= 2x x − 6x+ 9 = 2x x−3

2 2 2 3 2 2
43. 6bx + 6bx = 2⋅ 3bx( 1+
x)
2 2 2 2
3ax− 3ax = 3ax( 1−
x)
4 2 2 2
1− x = ( 1+ x )( 1− x ) = ( 1+ x )( 1+ x)( 1−
x)
2 2 2 2
mcm 23 ⋅ a b x ( 1+ x )( 1+ x)( 1−
x)
2 2 2 2 2
⇒ 6abx ( 1+ x)( 1−
x)
4 3 3
44. x + 8x−4x − 32= x ( x− 4) + 8( x−4)
3
= ( x + 8)( x−4)
2
= ( x+ 2)( x − 2x+ 4)( x−4)
2 4 2 3 2 2 2 2 2
ax −2ax − 8ax = ax( x −2x−8)
2 2
= ax( x− 4)( x+
2)
4 3 2 2 2
2x − 4x + 8x = 2x ( x − 2x+
4)
2 2 2
mcm 2a x ( x + 2)( x − 2x + 4)( x −4)
4 2 4 2 2 2
45. x − 10x + 9 = ( x − 10x + 9 + 4x −4x
)
4 2 2
= ( x − 6x + 9)
−4x
2
2
2
= ( x −3)
−4x
2 2
= ( x −2x− 3)( x + 2x−3)
= ( x− 3)( x+ 1)( x+ 3)( x−1)
2 2
x + 4x+ 3= ( x + 4x+ 3+ 1−1)
2
= ( x + 4x+ 4)
−1
2
= ( x + 2)
−1
= ( x+ 2+ 1)( x+ 2− 1) = ( x+ 3)( x+
1)
2 2
x − 4x+ 3= ( x − 4x+ 3+ 1−1)
2
= ( x −4x
+ 4)
−1
2
= ( x −2)
−1
= ( x− 2+ 1)( x−2− 1) = ( x−1)( x−3)
3 2 2
x − 9x+ x − 9= x ( x+ 1) − 9( x+
1)
2
= ( x − 9)( x+
1)
= ( x+ 3)( x− 3)( x+
1)
2 2
mcm ( x + 3)( x − 3)( x + 1)( x −1) ⇒( x −9)( x −1)
3 2
46. 1− a = ( 1− a)( 1+ a+
a )
1− a= ( 1−a)
2
1− a = ( 1+ a)( 1−a)
2
2
1− 2a+ a = ( 1−a)
2
2
mcm ( 1− a) ( 1+ a + a )( 1+
a)
43.
[ ] ( )
2
47. ( ) ( )
2
2 2
2
2
ba ( + ab) = baa [ ( + b)
] = aba ( + b)
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
ab − ab = ab ( a − b) = ab ( a+ b)( a−b)
2 2
a b − ab = ab( a −b)
2 2
2 2
mcm a b ( a + b) ( a −b)
2 47.
a ab− b 2 = a b a− b 2 2
= ab a−b
3 3 2 2
48. m − 27n = ( m− 3n)( m + 3mn+
9n
)
2 2
m − 9n = ( m− 3n)( m+
3n)
2 2
2
m − 6mn+ 9n = ( m−3n)
2 2 2 2
m + 3mn+ 9n = ( m + 3mn+
9n
)
2
2 2
mcm ( m− 3n) ( m + 3mn + 9n )( m+
3n)
48.
EJERCICIO 118
1. a 2
a
=
10.
ab b
2.
2a
1
=
2
8ab
4ab
2 2
3. xy
xy
4.
3 3
1
=
xy
3
ax a
=
5 2
4xy
4xy
2 3
5. 6 mn
3m
6.
2 3
9xy
24axy
3
= 2mn
3
=
8axy
2 3 4 2
4 3 2
7. 8 mnx mn
=
2 2
24mn x 3
3 4 5
8. 12 xyz
2
32xy z
9.
2 3
12ab
60abx
3
2 2 4
3xyz
=
8
1
=
5abx
3 5 6 2 6
3 6
21mn x
28mnx
4 2 2
2 3
4
3nx
=
4m
11. 42 acn 21n
=
4 5 2 2
26acm
13acm
12.
13.
14.
3 4 6
7xyz
34xyz
3
1
=
2xyz
7 8 10 4 4 4
6 2
30xy
45axz
3 4 3
2 2
2xy
=
3az
3 3
5 7
ab 1
=
8 9 3 2
3abc
3abc
8 10 12
4 9 10
15. 21 ab c abc
=
4 2
63abc
3
16.
9 11 13
54xy z
63x y z
6
=
7xyz
10 12 15 2
12 15 20
17. 15 a b c a
=
75a b c 5bc
18.
11 16 22 2
7 5
75am
3a
=
3 12 3
100am n 4mn
4
7 3

EJERCICIO 119
3ab
1.
=
2ax+
2a
3ab
3b
1. 2 3 2
2a ( x+
a ) 2a ( x+
a )
xy xy 1
2.
2 2 =
=
3xy−
3xy
3xy x−
y 3 x−
y
2. ( ) ( )
2ax
+ 4bx
2xa
( + 2b)
2x
3.
=
=
3ay
+ 6by
3ya
( + 2b)
3y
2
x −2x−3
( x− 3)( x+
1)
4.
x − 3
=
x − 3
=
= x + 1
2 3
2 3
3
10abc
abc bc
5.
=
=
3 2
2
80 a − a b 8a a−
b 8 a−
b
5. ( ) ( ) ( )
2
x − 4 ( x+ 2)( x−2)
x 2
6.
=
=
5ax
+ 10a
5a( x
−
+ 5a
2
7.
3x
−4x−15
2
x − 5x+
6
2
( 3x) −4( 3x)
−45
=
x−3 x−2
=
( )( )
[( 3x− 9)( 3x+ 5)
] ÷ 3 ( x− 3)( 3x+
5)
=
=
( x−3)( x−2)
( x−3)( x−2)
2 2
2
abn−
abm 15abn
( − 3m)
3
2 2 2 2
=
=
2 2
abn−
abm 10ab ( n−
3m)
2b
2 2
x − y ( x+ y)( x−
y)
x−
y
=
=
+ 2 + ( x+
y)
x+
y
2
x y+
xy 3xy( x + 5)
3xy
2
=
=
x − 25 ( x+ 5)( x−5)
x − 5
2
2 2
− 4 + 4 ( a−
2b)
3 3
=
a − 8b
( a− 2b)( a + 2ab+
4b
)
15 45
8.
10 30
3x
+ 5
x − 2
3
3
3
a + 1 a 1 a 1 1
14.
4 3
3
a − a + a− 1
= +
+
=
=
a a− 1 + a−1
a a a − 1
14. ( ) ( ) ( 3
+ 1 )( −1
)
15.
2ax + ay −4bx −2by
ax −4a − 2bx + 8b
( − ) + ( − )
( −2 ) −4( −2
)
2xa 2b ya 2b
=
=
xa b a b
2 2
16.
a −ab−6b
3 2 2
ax− 6abx+
9abx
m
17.
m
( a− 3b)( a+
2b)
( − 6 + 9 )
=
ax a b b
+ n
=
2 2
=
( 2x+ y)( a−2b)
( x−4)( a−2b)
2 2 2
m
+ n
2 2
2x+
y
=
x − 4
( a− 3b)( a+
2b)
a+
2b
=
ax( a − 3b) ax( a − 3b)
17. 4 4 2 2 2 2 2 2
− n ( m + n )( m −n ) m − n
3 3
2 2 2 2
x + y ( x+ y)( x − xy+
y ) x − xy+
y
18. 3 =
3 =
2
( x+
y)
( x+
y) ( x+
y)
( )
2
( )
2
m−
n m−
n m−
n
19. 2 2
=
=
m − n ( m+ n)( m−n)
m+
n
3
3
2
( a − x) ( a − x)
( a − x)
20.
3 3
=
=
2 2 2 2
a − x ( a− x)( a + ax+
x ) a + ax+
x
2
a −a−20
( a− 5)( a+
4)
a + 4
21.
2
=
=
a − 7a+
10 ( a−5)( a−2)
a − 2
2
( 1 ) 2
2
− a [( 1)( 1 )]
2
22.
2
2 ( 1 )
+ 2 + 1
= a+ −a
= −a
a a ( a + 1)
4 2 2 4 2 2 2 2
ab − ab ab ( a − b)
23.
4 4
=
2 2 2 2
a − b ( a + b )( a −b
)
2 2
x − y ( x+ y)( x−
y)
24.
=
=
x − y ( x− y)( x + xy+
y )
9.
2 2 2
2 2
x xy y
ab
=
2 2
a + b
3 15
10.
x+
y
3 3 2 2 2 2
a ab b
a−
2b
x + xy+
y
11.
=
2 2 2 2
3 2 2
a + 2ab+
4b
24ab+
8ab
25.
4 3 2 2
36a + 24a b+
4a b
3 2
2
x + 4x −21x
x( x + 4x−21)
( x+ 7)( x−3)
x + 7
2
12.
3
=
=
=
8ab( 3a+
b)
2b( 3a+
b)
2b
2
x − 9x
x( x − 9)
( x+ 3)( x−3)
x + 3 =
=
2 2 2 2 =
4a ( 9a + 6ab + b ) ( 3a+
b)
3a+
b
2
13.
6x
+ 5x−6
3
n − n
2
15x
−7x−2
26.
2
n −5n−6
2
( 6x) + 5( 6x)
−36
2
=
nn ( − 1)
nn ( + 1)( n−1)
nn ( − 1)
2
( 15x) −7( 15x)
−30
=
=
=
( n− 6)( n+
1)
( n− 6)( n+
1)
n − 6
[( 6x+ 9)( 6x− 4)
] ÷ 3⋅2
( 2x+ 3)( 3x−2)
2x
+ 3
3
=
=
=
27.
8n
+ 1
[( 15x− 10)( 15x+ 3)
] ÷ 5⋅3
( 3x− 2)( 5x+
1)
5x
+ 1
3 2
8n − 4n + 2n
=
=
2
( 2n+ 1)( 4n − 2n+
1)
2
2n( 4n − 2n+
1)
1
2n
+ 1
=
2n

2
28. ( )
2
( )
( a+ b−c)( a− b+
=
=
( a+ b− c)( a+ b+
c)
2 2
29. ( a+ b) −( c−d)
2 2
( a+ c) −( b−d)
( a+ b+ c− d)( a+ b− c+
d)
=
( a+ b+ c−d)( a− b+ c+
d)
2
28.
a − b−c
2
a+ b −c
a+ b− c+
d
=
a− b+ c+
d
3 2 2
3x
+ 9x
3x
( x 3)
30.
2
2
x + 6x+ 9
= +
( x + 3)
2 3 3
31. 10a ( a + b )
31.
6a − 6a b+
6a b
4 3 2 2
a− b+
c
a+ b+
c
2
3x
=
x + 3
2 2 2
10a ( a + b)( a − ab + b )
=
2 2 2
6a ( a − ab + b )
2
2
a( 4a − 8ab)
4a ( a−
2b)
32.
=
2
x( 3a − 6ab)
3ax( a − 2b)
3 2 2
x − 6x
x ( x−
6)
33.
2
=
2 =
x − 12x+
36 ( x − )
2
34. ( x−
4y)
35.
x
− 64x y
5 2 3
5
=
( a+
b)
3
4a
=
3x
2
x
6 x − 6
2
( x−
4y)
( − 64 )
2
( x−
4y)
( − 4 )( + 4 + 16 )
=
x x y
2 3 3
=
x x y x xy y
2 2 2
x−
4y
=
x x xy y
( + 4 + 16 )
3 2
2 2
− 3xy
x( x − 3y
)
=
6 9 ( x − y )
2 2 2
x
x − x y + y
4 2 2 4
3 2
36.
mn+ 3mn+
9mn
3
m − 27
=
4 2
x
37.
a
38.
a
x
=
3 x − 3y
2 2 2 2 2
2
mn( m + 3m
+ 9)
mn
=
2
( m− 3)( m + 3m+
9)
m − 3
2 2
− 8x
+ 15 ( x −5)( x
4
=
2 2
x − 9 ( x + 3)( x −3)
2 2
+ 6a
−7
( a 7)( a 1)
2 2
+ 8a
− 9
= + −
=
( a + 9)( a −1)
4 2
4 2
x
=
x
a
a
2
2
2
2
− 5
+ 3
+ 7
+ 9
2 2
2
39.
3x
+ 19x+
20
43.
3m + 5mn−8n
3 3
2
6x
+ 17x+
12
m − n
2
( 3x) + 19( 3x)
+ 60 ( 3m) + 5n( 3m)
−24n
=
=
2
2 2
( 6x) + 17( 6x)
+ 72 m− n m + mn+
n
=
=
[( x )( x )]
[( x )( x )]
( x+ 5)( 3x+
4)
=
( 3x+ 4)( 2x+
3)
3 + 15 3 + 4 ÷ 3
6 + 8 6 + 9 ÷ 2⋅3
4 2
4a
−15a
−4
40.
2
a −8a−20
=
=
=
=
=
x + 5
2x
+ 3
2
( 4 ) 2 2
a −15( 4a
) −16
( a− 10)( a+
2)
2 2
[( a − )( a + )]
÷
( a− 10)( a+
2)
2 2
( a − 4)( 4a
+ 1)
( a− 10)( a+
2)
2
( a+ 2)( a− 2)( 4a
+ 1)
( a− 10)( a+
2)
2
( a− 2)( 4a
+ 1)
4
41.
125a+
a
3 2
2a + 20a + 50a
=
=
3
a( 125+
a )
2
2aa
( + 10a+
25)
2
( 5+ a)( 25− 5a+
a )
2
2( a + 5)
2
a − 5a+
25
=
2 5
( a + )
2 2 2
an − 36a
42.
2
an + an −30a
2 2
a ( n − 36)
2
( + n−30)
( + 6)( n−6)
( n+ 6)( n−5)
( − 6)
=
an
an
=
an
=
n − 5
=
=
2 2
( )( )
[( m+ n)( m− n)
] ÷
2 2
( m− n)( m + mn+
n )
( 3m+ 8n)( m−n)
2 2
( m− n)( m + mn+
n )
3 8 3 3 3
3m+
8n
=
m + mn+
n
2 2
3 2
44.
15ab−
18ab
20ab
− 24ab
2 2 2
( a−
)
( a − )
2
3ab5 6
=
2
4ab
5 6
4 16 4 1 4
2
45.
9x
− 24x+
16
4 2
9x
− 16x
=
x
3a
=
4b
2
( 3x
− 4)
2 2
( 9x
− 16)
2
( 3x
− 4)
3x
− 4
=
2 2
( 3 + 4)( 3 −4) x ( 3x+
4)
=
x x x
2
a − 10
46.
16ax−
25x
3 2
12a −7a −10a
2
x( 16a
− 25)
2
( 12 −7 −10)
x( 4a+ 5)( 4a−5)
2
[( 12 ) −7( 12 ) −120
]
x( 4a+ 5)( 4a−5)
[( 12 − 15)( 12 + 8)
] ÷ 3⋅4
( 4 + 4 −5)
x( 4a+
5)
=
( 4 − 5)( 3 + 2)
a( 3a+
2)
=
a a a
=
a a a
=
a a a
x a a
=
a a a
4 3
47.
8x
− xy
4x − 4x y+
x y
=
=
4 3 2 2
3 3
x( 8x − y )
2 2 2
x ( 4x − 4xy+
y )
2 2
( 2x− y)( 4x + 2xy+
y )
2
x( 2x−
y)
4x + 2xy+
y
=
x x y
2 2
( 2 − )

48.
3an −4a − 6bn + 8b
2
6n
−5n−4
49.
( − ) − ( − )
3na 2b 4 a 2b
= 2
( 6n) −5( 6n)
−24
=
=
( 3n−4)( a−2b)
[( n )( n )]
( 3n−4)( a−2b)
a
=
( 3n− 2n+
1)
6 − 8 6 + 3 ÷ 2⋅3
4 2
x − 49x
3 2
x + 2x −63x
=
=
− 2b
2n
+ 1
2 2
( x + 7x)( x −7x)
2
x( x + 2x−63)
2
x ( x+ 7)( x−7)
x( x+
7)
=
x( x+ 9)( x−7)
x + 9
4 3
x + x− x y−
y
50.
3 2
x − x− x y+
y
=
=
=
3
x ( x− y) + ( x−
y)
2
x ( x− y) −( x−
y)
3
( x + 1)( x−
y)
2
( x −1)( x−
y)
2
( x+ 1)( x − x+
1)
( x+ 1)( x−1)
2
x − x+
1
=
x − 1
3 2
51.
2x + 6x − x−3
3 2
x + 3x + x+
3
=
=
2
2x ( x+ 3) − ( x+
3)
2
x ( x+ 3) + ( x+
3)
2
( 2x
− 1)( x+
3)
=
2
( x + 1)( x+
3)
x
2
2x
− 1
2
+ 1
3 3
52.
am− 4am+ an−4an
4 3 2
a −4a −12a
=
=
=
=
2 2
am( a − 4) + an( a −4)
2 2
a ( a −4a−12)
2
am ( + n)( a −4)
2
a ( a− 6)( a+
2)
( m+ n)( a+ 2)( a−2)
aa ( − 6)( a+
( m+ n)( a−2)
aa ( − 6)
2
2
53. 4a
−( x−3)
2
( 2a+ x)
−9
( 2a+ x−3)( 2a− x+
=
( 2a+ x+ 3)( 2a+ x−3)
53.
2a− x+
3
=
2a+ x+
3
m− am+ n−an
54.
2 3
1− 3a+ 3a −a
=
=
=
m( 1− a) + n( 1−a)
3
( 1−a ) −3a( 1−a)
( m+ n)( 1−a)
2
( 1− a)( 1+ a + a ) −3a( 1−a)
( m+ n)( 1−a)
2
( 1−a)( 1− 2a + a )
m + n m n
=
a − a + = +
2 2
2 1 1
2
55.
6x
+ 3
5 3
42x −9x −15x
( a − )
2
32 ( x + 1)
4 2
( − − )
=
3x 14x 3x
5
2
2x
+ 1
=
x x x
2
[( 14 ) 3( 14 ) 70]
2 2
− −
2
2x
+ 1
=
x 14x − 10 14x
+ 7 ÷ 2⋅7
2 2
[( )( )]
2
2x
+ 1 1
=
=
x x x x x
2 2 2
( 7 − 5)( 2 + 1) ( 7 − 5)
2 3
56.
a −a − 1+
a
2 3
a + 1−a −a
=
=
2
a ( 1−a) −( 1−a)
2
a ( 1− a) + ( 1−a)
2
( a −1)( 1−a)
a
=
2
( a + 1−a)
a
8x + 12x y+ 6xy + y
57.
2 2
6x + xy−
y
3 2 2 3
2
2
− 1
+ 1
3 3
( + ) + ( + )
6xy 2x y 8x y
= 2 2
( 6x) + y( 6x)
−6y
=
=
2 2
6xy( 2x+ y) + ( 2x+ y)( 4x − 2xy+
y )
[( 6x+ 3y)( 6x− 2y)
] ÷ 3⋅2
2 2
2
( 2x+ y)( 4x + 4xy+
y ) ( 2x+
y)
=
( 2x+ y)( 3x−
y)
3x−
y
3
58.
8n
− 125
25− 20n+
4n
=
2
( 2n− 5)( 4n + 10n+
25)
2
( 2n
− 5)
2
4n
+ 10n+
25
=
2n
− 5
2
59.
6 − x−
x
15+ 2x−
x
2
( x x 6)
2
−( x −2x−15)
( x+ 3)( x−2)
=
( x− 5)( x+
3)
2
= − + −
=
60.
3+ 2x−8x
4+ 5x−6x
2
2
( 8x
2x
3)
2
( 6x
5x
4)
= − − −
− − −
x − 2
x − 5
2
( 8x) −2( 8x)
−24
= 2
( 6x) −5( 6x)
−24
=
=
[( x )( x )]
[( x )( x )]
( 4x− 3)( 2x+
=
( 3x− 4)( 2x+
1)
2
2
8 − 6 8 + 4 ÷ 2⋅4
6 − 8 6 + 3 ÷ 2⋅3
2 2
61.
mn + 3mn−10
2 2
4− 4mn
+ m n
=
( mn + 5)( mn −2)
2
( mn − 2)
3 2 2 2
62.
x + x y−4b x−4b y
2 2
4b − 4bx+
x
=
=
=
=
4x
− 3
3x
− 4
mn + 5
=
mn − 2
2 2
x ( x+ y) − 4b ( x+
y)
2
( 2b−
x)
2 2
( x − 4b )( x+
y)
2
( x−
2b)
( x+ 2b)( x− 2b)( x+
y)
2
( x−
2b)
( x+ 2b)( x+
y)
x−
2b

63.
6 3
x + x −2
4 3
x − x y− x+
y
3 3
( x + 2)( x −1)
=
3
x ( x− y) −( x−
y)
3 3
3
( x + 2)( x −1)
x + 2
=
=
3
( x −1)( x−
y)
x−
y
2 2
64. ( x − x−2)( x −9)
2 2
( x −2x− 3)( x + x−6)
( x− 2)( x+ 1)( x+ 3)( x−3)
=
= 1
( x− 3)( x+ 1)( x+ 3)( x−2)
2 2
65. ( a − 4a+ 4)( 4a − 4a+
1)
2 2
( a + a−6)( 2a − 5a+
2)
2 2
( a−2) ( 2a−1)
=
2
( a+ 3)( a−2) [( 2a) − 5( 2a)
+ 4]
2
( a−2)( 2a−1)
=
( a+ 3) [( 2a−4)( 2a− 1)
] ÷ 2
2
( a−2)( 2a−1)
2a
− 1
=
=
( a+ 3)( a−2)( 2a−1)
a + 3
3 3
66. ( x −3x)( x −1)
4 3 2 2
( x + x + x )( x −1)
2 2
x( x −3)( x− 1)( x + x+
1)
=
2 2
x ( x + x+ 1)( x+ 1)( x−1)
=
x
2
− 3
x( x+
1)
2 2
67. ( 4n + 4n− 3)( n + 7n−30)
2 2
( 2n − 7n+ 3)( 4n + 12n+
9)
2
[( 4n) + 4( 4n)
− 12]( n+ 10)( n−3)
=
2 2
[( 2n) − 7( 2n)
+ 6]( 2n+
3)
( n )( n )[( n )( n )]
=
2
( 2n+ 3) [( 2n −6)( 2n− 1)
] ÷ 2⋅
( n+ 10)( n− 3)( 2n+ 3)( 2n−1)
n
=
2
=
( 2n+ 3) ( n−3)( 2n−1)
6 6
68. ( x − y )( x+
y)
3 3 3 2 2 3
( x − y )( x + x y+ xy + y )
3 3 3 3
( x + y )( x − y )( x+
y)
=
3 3 2 2
( x − y ) x ( x+ y) + y ( x+
y)
3 3
3 3
( x + y )( x+
x + y
=
=
2 2
2 2
( x + y )( x+
y)
x + y
+ 10 − 3 4 + 6 4 − 2 ÷ 2⋅2
[ ]
+ 10
2n
+ 3
4 2
71.
x −7x − 2x+
8
3 2
69.
x + 3x
−4
1 0 −7 −2 8 −2
1 3 0 −4 −2
−2 4 6 −8
−2 −2 4
1 −2 −3 4 0
1 1 − 2 0
3 2
( x+ 2)( x −2x − 3x+
4)
= + + −
1 −2 −3 4 1
= + + −
1 −1 −4
( x
2
2)( x x 2)
( x 2)( x 2)( x 1)
( x
2
2) ( x 1)
= + −
3 2
x + x −8x−12
1 1 −8 −12 −2
− 2 2 12
1 −1 −6 0
( x
2
2)( x x 6)
( x 2)( x 3)( x 2)
( x
2
2) ( x 3)
2
( x 2) ( x 1)
x
2 =
( x+ 2) ( x−3)
x
= + − −
= + − +
= + −
⇒ + −
( x
2
2)( x x 6)
( x 2)( x 3)( x 2)
( x
2
2) ( x 3)
3
( x−2)( x − 7x+
6)
− 1
− 3
3 2
70.
x − x − 8x+
12
1 −1 −8 12 2
2 2 − 12
1 1 − 6 0
= − + −
= − + −
= − +
4 3 2
x −2x − 7x + 20x−12
1 −2 −7 20 −12 2
2 0 − 14 12
1 0 − 7 6 0
1 0 − 7 6 2
2 4 − 6
1 2 − 3 0
( x 2)( x
2
2)( x 2x
3)
( x
2
2) ( x 3)( x 1)
2
( x− 2) ( x+
3)
2
( x− 2)
( x+
3)( x − 1)
= − − + −
= − + −
⇒
1
=
x − 1
1 −1 −4 0
2
( x+ 2)( x−1)( x − x−4)
4 3 2
x −2x − 9x + 10x+
24
1 −2 −9 10 24 −2
−2 8 2 −24
1 −4 −1 12 0
3 2
( x+ 2)( x −4x − x+
12)
1 −4 −1 12 3
3 −3 −12
1 −1 −4 0
2
( x+ 2)( x− 3)
( x − x −4)
( )( )( )
⇒ + − 2
x 2 x 1 x − x − 4
2
( x+ 2)( x−3)( x − x−4)
5 3 2
72.
a −a − a + 1
2 3
a ( a
3
1) ( a 1)
2
( a
3
1)( a 1)
( a
2
1) ( a
2
1)( a a 1)
= − − −
= − −
= − + + +
5 4 3 2
a −2a − 6a + 8a + 5a−6
1 −2 −6 8 5 −6 1
1 −1 −7 1 6
1 −1 −7 1 6 0
4 3 2
( a−1)( a −a − 7a + a+
6)
1 −1 −7 1 6 1
1 0 − 7 − 6
1 0 −7 −6 0
2
3
( a−1) ( a −7a−6)
1 0 −7 −6 −1
− 1 1 6
1 −1
−6 0
2
2
( a− 1) ( a+ 1)( a −a−6)
2
= ( a− 1) ( a+ 1)( a− 3)( a+
2)
2
2
( a− 1) ( a+ 1)( a + a+
1)
⇒ 2
( a− 1) ( a+ 1)( a− 3)( a+
2)
=
2
a + a+
1
( a− 3)( a+
2)
x − 1
=
x − 3

EJERCICIO 120
( )
( )
( )
( )
4 4x
41 4 1
1.
6
−− 6
= − x x −
=− =−
x 6 x − 1 6 x − 1
a
2.
b
m
3.
− b
=−
− a
2 2
2 2
− n
=
2 2
3.
( n−
m)
2
x − x−12
4.
2
16 − x
2
2 2
( a − b )
( a − b )
=−
2 2
1
3y−
6x
5.
2mx −my − 2nx + ny
=
=
2
3
( m+ n)( m−n)
( m+ =
=
( n−m)( n−m)
( m−n)( m−n)
( x− 4)( x+
3)
( x− 4)( x+
3)
=
=−
( 4− x)( 4+
x)
( x− 4)( 4+
x)
3( y−
2x)
2xm ( −n) − ym ( −n)
3( y−
2x)
32 ( x−
y)
=−
( 2x−
y)( m−n)
( 2 − )( − )
2
2x
−9x−5
6.
2
10 + 3x−
x
2
[( 2x) −9( 2x)
−10]
=−
2
x −3x−10
=−
( 2x− 10)( 2x+
1)
( x− 5)( x+
2)
3
8 − a
7.
2
a + 2a−8
=
( 2− a)( 4+ 2a+
a )
( a+ 4)( a−2)
2
a + a−2
8.
n−an− m+
am
( a+ 2)( a−1)
( 1− ) − ( 1−
)
=
=
n a m a
2 2
4x − 4xy+
y
9.
=
5y−
10x
=−
3
=−
x y m n m−
n
( x− 5)( 2x+
1)
( x− 5)( x+
2)
m+
n
m−
n
x + 3
=−
4 + x
2x
+ 1
=−
x + 2
( a− 2)( 4+ 2a+
a )
( a+ 4)( a−2)
2 2 2
=−
( a+ 2)( a−1)
( n−m)( 1−a)
( 2x−
y)
5( y−
2x)
3mx −nx − 3my + ny
10.
ny −nx − 3my + 3mx
=
=
2 2 2 2
=
( 2x−
y)
52 ( x−
y)
2 2
=−
a
=−
( a+ 2)( ( m−n)( a−1)
2x−
y
=−
5
+ 2a+
4
a + 4
a + 2
=
m−
n
3mx ( − y) −nx ( − y)
2 2 2 2
−3my ( − x) + ny ( − x)
( 3m−n)( x−
y)
( 3m−n)( x−
y)
x−
y
=
=
2 2 2 2
( n−3m)( y − x ) ( 3m−n)( x − y ) ( + )( − )
1
=
x y x y x+
y
2
9− 6x+
x
11.
2
=
x − 7x+
12
a
12.
b
=
− b
− a
2 2
3 3
2
( x − 3)
( x−4)( x−3)
( a+ b)( a−b)
2 2
( b− a)( b + ab+
a )
( a+ b)( a−b)
( a− b)( b + ab+
a )
=−
3ax −3bx − 6a + 6b
13.
2b −2a − bx + ax
14.
=
=
x − 3
=
x − 4
a+
b
=−
b + ab+
a
2 2 2 2
3xa ( −b) −6( a−b)
2( b−a) − x( b−a)
3( x−2)( a−b)
3( x−2)( a−b)
=
( 2 − x)( b−a)
( x−2)( a−b)
2 2
a − x
2
x −ax− 3x+
3a
=
=
( a+ x)( a−
x)
x( x−a) −3( x−a)
( a+ x)( a−
x)
( a+ x)( a−
x)
=
( x−
)( x−a)
( − x)( a−
x)
= 3
a+
x
=
3 3 3−
x
3bx
− 6x
15.
3
8 − b
16.
=
3xb
( − 2)
2
( 2− b)( 4+ 2b+
b )
3xb
( − 2)
( b− 2)( 4+ 2b+
b )
=−
( ) 3 ( )
3
1−
a 1−
a
16. =−
a − 1 ( 1−
a)
3 2 2
2x −2x y−2xy
17.
3 2 2
3y + 3xy −3x y
2 2
( − − )
2 2
( + − )
2x x xy y
=
3y y xy x
18.
( a−
b)
( b−
a)
3
2
=
3x
=−
4 + 2b
+ b
2 2
( 1 a)
=− −
2
( − −
2)
2
( − −
2)
2x x xy y
=−
3y x xy y
( a−
b)
( a−
b)
3
2
= a−b
2
2x
=−
3y

2
2x
− 22x+
60
19.
2
75−
3x
2
[( 2x) − 22( 2x)
+ 120]
=
2
325−
x
=
=
( )
( 2x−12)( 2x−10)
35 ( − x)( 5+
x)
( 2x−12)( x−5)
26 ( − x)( 5−
x)
=
35 ( − x)( 5+
x)
35 ( − x)( 5+
x)
2 2 2
6an
− 3b n
20.
b − 4ab + 4a
21.
4 2 2
2 2
n ( a−
b )
2
2
( b − 2a)
3 2
=
=
2
2
( x−
y)
−z
2
( y+ z)
− x
( x− y−z)( x− y+
z)
=
( y+ z− x)( y+ z+
x)
( z+ y− x)( y− x−z)
=
( z+ y− x)( y+ z+
x)
2
3a
− 3ab
22.
bd −ad − bc + ac
=
=
2 2
3n ( 2a−
b )
2 2
( 2a−b )( 2a−b
)
y−
x−z
=
x+ y+
z
3aa
( − b)
d( b−a) −c( b−a)
aa ( − b)
aa ( − b)
=
( d −c)( b−a)
( c−d)( a−b)
x − 5
23.
125−
x
3 3 3a
=
c − d
( )
=
3
( x − 5)
2
( 5− x)( 25+ 5x+
x )
3
( x − 5)
2
( x− 5)( x + 5x+
25)
=−
3
3
=−
x
( x − 5)
2
( )
( − x)
( x + )
26
=
3 5
2
3n
=
2a−
b
2
+ 5x+
25
2
2
13x−6 −6x
6x
13x
6
24.
2
2
1
6x
− 13x+ 6
=− − +
=−
6x
− 13x+
6
2
2x − 2xy + x − y
25.
2xy + y −2x − x
=
=
3 2 2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
2x( x − y) + ( x − y)
2 2
y ( 2x+ 1) − x ( 2x+
1)
2 2
2 2
( 2x+ 1)( x − y ) ( x − y )
=−
2 2
2 2
( 2x+ 1)( y − x ) ( x − y )
30xy−45xy −20x
26.
3 3
8x
+ 27y
=
2 2 3
2 2
5x( 6xy−9y −4x
)
2 2
( 2x+ 3y)( 4x − 6xy+
9y
)
2 2
5x( 4x − 6xy+
9y
)
2 2
( 2x+ 3y)( 4x − 6xy+
9y
)
=−
3 2
n+ 1−n −n
27.
3 2
n −n− 2n
+ 2
28.
=
=
2
( n+ 1) − n ( n+
1)
2 2
nn ( −1) −2( n −1)
2
2
( 1− n )( n+
1)
( 1− n )( n+
1)
=
2
2
( n−2)( n −1)
( 2−n)( 1−n
)
=−1
5x
=−
2x+
3y
n + 1
=
2 − n
2
2
( x− 2) ( x + x −12)
2
( 2−
x)( 3−
x)
2
( 2− x) ( x+ 4)( x−3)
=
2
( 2−
x)( 3−
x)
( x− 2)( x+ 4)( 3−
x)
( x− 2)( x+
4)
=
2 =
( 3−
x)
3−
x
3 2
5x
− 15x y
29.
90xy
− 10x
30.
3 2 5
2
x ( x−
y)
3 2 2
x ( y − x )
( x−
3y)
( − )( + )
5 3
=
10 9
=
2x 3y x 3y x
x−
3y
− 1
=−
=
2x x 3y 3y x x y x
( − )( + ) 2 ( 3 + )
2 2
( x −1)( x − 8x+
16)
2 2
( x −4x)( 1−
x )
( x+ 1)( x−1)( x−4)( x−4)
=
x( x− 4)( 1+ x)( 1−
x)
=
( 1−
x)( 4−
x)
x( 1−
x)
4 x
= −
x

EJERCICIO 121
4 3 2
4 3 2 2 3
a − a x+ a x −ax
2ax −ax −ax − 2ax + 2a
( 3)
1.
Factor común a
3.
4 3 2
Factor común a
4 3 2 2 3
a −a x− 2a x + 2ax
3ax − 4ax + ax + 3ax −3a
( 2)
4 3 2 4 3 2
3 2 2 3 3 2 2 3
a − a x+ ax − x a −a x− 2ax + 2x
6x −3x −3x − 6x+ 6 6x − 8x + 2x + 6x−6 () 5
4 3 2
3 2 2 3
− a + a x+ 2ax −2x
1
− 6x + 8x −2x − 6x+
6 1
3 2
2 3 2
3ax − 3x ÷ 3x
5x −5x − 12x+
12 ( 6)
3 2 2 3
4 3 2 3 2
a −a x− 2ax + 2x a−
x
30x − 40x + 10x + 30x−30 30x −30x − 72x+ 72 ÷ 6
− a + a x a −2x
3 2 2 2
( )
2 3
− 2ax + 2x mcd = a a − x
2 3 2
+ 2ax − 2x = a −ax
4 3 2 2 3 2
a − a x+ a x −ax a −ax
− a + a x a + x
4 3 2 2
ax
− ax
2 2 3
− ax + ax
2 2 3
4 3 2 2 3 2
a −a x− 2a x + 2ax a −ax
− a + a x a −2x
4 3 2 2
− 2ax
+ 2ax
2 2 3
+ 2ax
−2ax
2 2 3
2 2
a + x
2
437x −257x−180 x−1
= 2 2 Rta.
a − 2x
2
− 437x + 437x 437x
2. x 4 x 3 x 2
+ 3 + 4 −3 x −5
4 3 2
180x
− 180 ( ÷ 180)
x + 3x + 6x + 3x+
5
4 3 2 4 3 2
x + 3x + 4x −3x− 5 x + 3x + 6x + 3x+
5 x−1 x− 1 mcd = a( x−1)
4 3 2
−x −3x −6x −3x−5 1
− x+ 1 1
= ax−a
4 3 2
2
−2x
−6x− 10 ÷−
⇒
2
2ax −ax −ax − 2ax + 2a ax −a
4 3 3 2
4 3 2 2
x + 3x + 6x + 3x+ 5 x + 3x+
− 2ax + 2ax 2x + x −2
5
4 3 2 2
3 2
−x −3x −5x x
ax −ax
x
2
+ 3x+
5
2
x + 3x+ 5
2
x + 3x+
5
2
−x −3x− 5 1 mcd
2
x + 3x+
5
4 3 2
⇒ x + 3x + 4x −3x− 5
2
x +3x
+ 5
4 3 2
−x −3x −5x 2
x −1
2
−x
−3x−5
2
x + 3x+
5
4 3 2
x + 3x + 6x + 3x+ 5
2
x + 3x+
5
4 3 2
−x −3x − 5x 2
x + 1
2
x + 3x+
5
2
−x
−3x−5
2
x −1
=
2
x + 1
Rta.
4 3 2
− 30x + 30x + 72x −72x 3 2
− 10x
+ 82x
−42x
− 30
x
( ÷−2)
3 2
5x − 5x − 12x+ 12
3 2
5x − 41x + 21x+
15 ( 12)
3 2
− 5x + 41x −21x
−15 1
( )
2
36x
−33x− 3 ÷ 3
3 2 2
60x − 492x + 252x+ 180 12x −11x−1 ( 437)
3 2
− 60x + 55x + 5x 5x
( )
2
− 437x
+ 257x+ 180 −12
( )
2
5. 244x −4. 807x−437 2
5. 244x −3. 084x− 2.
160( ÷ 12)
2
− 5. 244x
+ 3. 084x+
2.
160 1
( . )
− 1723x
+ 1723 ÷− 1 723
− ax + ax
− 2ax
+ 2a
+ 2ax
−2a
3ax − 4ax + ax + 3ax −3a ax −a
− 3ax + 3ax 3x − x + 3
− ax + ax
+ ax −ax
2x
+ x −2
=
3 2
3x
− x + 3
3 2
4 3 2
4 3 3 2
3 2
3 2
3 2
3ax
− 3a
− 3ax
+ 3a
Rta.

3 2
6x − 13x + 18x−8 ( 10)
4.
3 2
10x − 9x + 11x+
12 ( 6)
5.
( )
( )
( )
3 2 3 2
60x − 130x + 180x−80 60x − 54x + 66x+ 72 ÷ 6
3 2
− 60x + 54x − 66x−72 1
2
− 76x
+ 114x− 152 ÷ −38
3 2 2
10x − 9x + 11x+ 12 2x − 3x+
4
3 2
− 10x + 15x −20x 5x
2
6x
− 9x
+ 12 ÷ 3
2 2
2x − 3x+ 4 2x − 3x+
4
2
− 2x + 3x− 4 1 mcd = 2x
− + − − +
3 2 2
6x 13x 18x 8 2x 3x
4
− + − −
3 2
6x 9x 12x 3x
2
− + −
2
4x
6x
8
+ − +
2
4x
6x
8
− + + − +
3 2 2
10x 9x 11x 12 2x 3x
4
− + − +
3 2
10x 15x 20x 5x
3
3x
− 2
= Rta.
5x
+ 3
− +
2
6x
9x
12
− + −
2
6x
9x
12
4 3 2 2 3
x − 2x y+ 2x y − xy ( 2)
4 3 2 2 3
Factor común x
2x − 5x y+ 4x y − xy
2x − 4x y+ 4xy −2y 2x − 5x y+ 4xy − y
3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 3
− 2x + 5x y− 4xy + y 1
( )
2 3
xy − y ÷ y
3 2 2 3 2 2
2x − 5x y+ 4xy − y x − y () 5
3 2
− 2x + 2xy 2x
( )
2 2 3
− 5xy+ 6xy − y ÷ − y
2 2 2
5x −5y 5x −6xy+
y
2 2
− 5x + 6xy−
y 1
( )
2
6xy − 6y ÷ 6y
2 2
5x − 6xy+ y x−
y
2
− 5x + 5xy 5x
( )
2
− xy + y ÷− y
x−
y x−
y
( )
2
− x+ y 1 mcd x x− y = x − xy
2
Continúa
2
− 3x
+ 4
Continuación
4 3 2 2 3 2
5. x − 2x y+ 2x y −xy x −xy
− x + x y x − xy+
y
4 3 2 2
− xy+ 2xy −xy
+ xy−xy
xy
− xy
− xy + xy
4 3 2 2 3 2
2x − 5x y+ 4x y −xy x −xy
− 2x + 2x y 2x − 3xy+
y
− 3xy+
4xy
+ 3xy−3xy
2 2
x − xy+
y
=
2x − 3xy+
y
3 2 2 3
3 2 2
2 2 3
2 2 3
4 3 2 2
3 2 2
3 2 2
2 2
5 4 3 2
2a − a + 2a + 2a
+ 3 ( 3)
6.
5 4 3 2
3a − a + 3a + 4a
+ 5 ( 2)
xy
− xy
2 2 3
− xy + xy
2 2 3
( )
Rta.
( )
5 4 3 2 5 4 3 2
6a − 3a + 6a + 6a + 9 6a − 2a + 6a + 8a
+ 10 ÷ 2
5 4 3 2
− 6a + 2a −6a −8a
−10 1
4 2
− a −2a
− 1 ÷ −1
5 4 3 2 4 2
3a − a + 3a + 4a + 5 a + 2a
+ 1
5 3
−3a −6a −3a 3a
( )
( )
4 3 2
−a − 3a + 4a − 3a+ 5 −1
4 2 4 3 2
a + 2a + 1 a + 3a − 4a + 3a−5
4 3 2
−a − 3a + 4a − 3a+
5 1
3 2
− 3a + 6a − 3a+ 6 ÷ −3
4 3 2 3 2
a + 3a − 4a + 3a−5 a − 2a + a−2
4 3 2
− a + 2a − a + 2a a
( )
( )
( )
3 2
5a
− 5a
+ 5a− 5 ÷ 5
3 2 3 2
a − 2a + a−2 a − a + a−1
3 2
− a + a − a+
1 1
2
− a − 1 ÷ −1
3 2 2
a − a + a− 1 a + 1
3
−a −a a
2
−a
− 1 ÷ −1
2
a + 1
2
a + 1
2
−a − 1 1
2
mcd = a + 1
Continúa

Continuación
5 4 3 2 2
6. ⇒2a − a + 2a + 2a + 3 a + 1
5 3 3 2
−2a −2a 2a − a + 3
− a + 2a
+ 3
+ a + a
3a
+ 3
−3a
−3
3a − a + 3a + 4a + 5 a + 1
−3a −3a 3a − a + 5
− a + 4a
+ 5
+ a + a
2a
− a + 3
=
3 2
3a
− a + 5
4 2
4 2
5 4 3 2 2
2
5 3 3 2
3 2
4 2
4 2
2
2
5a
+ 5
2
−5a
−5
7.
1− x − x + x 1−2x− x − 2x + x
2 3 4
− 1+ 2x+ x + 2x − x 1
( )
2 3
+ + ÷
x x x x
2 3 4
1−2x− x − 2x + x
2
1+ x+
x ( 3)
2
−1− x − x
1
( )
( )
2 3 4
−3x−2x − 2x + x ÷ − x
3+ 3x+ 3x 3+ 2x+ 2x − x
2 3
−3−2x− 2x + x 1
3+ 2x+ 2x − x 1+ x+
x
3 4 2 3 4
2 2 3
2 3
+ + ÷
x x x x
2 3 2
2
− 3−3x−3x
3
1+ x+ x 1+ x+
x
( )
2 3
− − − ÷ −
x x x x
2 2
−1− x− x 1 mcd= 1+ x+
x
2 2
⇒1−x − x + x 1+ x+
x
−1−x − x 1− 2x+
x
−2x− x − x + x
+ 2x+ 2x + 2x
x + x + x
−x − x −x
3 4 2
2 2
2 3 4
2 3
2 3 4
2 3 4
Continúa
Continuación
7. 1−2x− x − 2x + x 1+ x+
x
−1− x − x 1− 3x+
x
−3x−2x − 2x + x
+ 3x+ 3x + 3x
1 2
= − x + x
1− 3x+
x
2 3 4 2
2 2
2
2
2 3 4
2 3
x + x + x
2 3 4
2 3 4
−x − x −x
Rta.
8.
2m + 2m n−mn −n
3 2 2 3
2 2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( )( 2 )
= m m − n + n m − n = m+ n m −n
3m + 3m n+ mn+
n
3 2 2
2 2 2
( 3 ) ( 3 ) ( )( 3 )
= m m + n + n m + n = m+ n m + n
mcd = m+
n
3 2 2 3
Rta.
2m + 2m n−mn − n m+
n
−2m −2m n 2m −n
3 2 2 2
−mn
−n
2 3
+ mn + n
2 3
3 2 2
3m + 3m n+ mn+ n m+
n
3 2
−3m − 3m n
2
3m
+ n
mn + n
−mn
−n
2 2
2m
− n
=
2
Rta.
3m
+ n
5 4 3 2
6a + 3a −4a − 2a + 10a+
5
9. 6 4 2
3a + 7a − a + 15 ( 2)
6 4 2 5 4 3 2
6a + 14a − 2a + 30 6a + 3a −4a − 2a + 10a+
5
6 5 4 3 2
−6a − 3a + 4a + 2a −10a −5a a
2
2
( )
5 4 3 2
− 3a + 18a + 2a −12a − 5a+ 30 ÷ −1
5 4 3 2 5 4 3 2
6a + 3a −4a − 2a + 10a+ 5 3a −18a − 2a + 12a + 5a−
30
5 4 3 2
− 6a + 36a + 4a −24a − 10a+
60 2
( )
4 2
39a
− 26a
+ 65 ÷ 13
5 4 3 2 4 2
3a −18a − 2a + 12a + 5a−30 3a − 2a
+ 5
5 3
− 3a + 2a −5a a
( )
4 2
− 18a
+ 12a
− 30 ÷ −6
4 2
3a − 2a + 5
4 2
3a − 2a
+ 5
4 2
− 3a + 2a − 5 1
4 2
mcd = 3a − 2a
+ 5
Continúa

Continuación
5 4 3 2 4 2 6 4 2 4 2
9. 6a + 3a −4a − 2a + 10a+ 5 3a − 2a + 5 3a + 7a − a + 15 3a − 2a
+ 5
5 3 6 4 2 2
− 6a + 4a − 10a 2a+ 1 − 3a + 2a − 5a a + 3
4 2 4 2
3a − 2a + 5 9a − 6a
+ 15
4 2 4 2
2a
+ 1
− 3a + 2a −5 − 9a + 6a
− 15
=
2
a + 3
6 4 3
5x − 10x + 21x − 2x+
4 ( 3)
10.
6 4 3
3x − 6x + 11x + 2x−4 () 5
( )
( )
( )
6 4 3 6 4 3
15x − 30x + 63x − 6x+ 12 15x − 30x + 55x + 10x− 20 ÷ 5
6 4 3
− 15x + 30x −55x − 10x+
20 1
3
8x
− 16x+ 32 ÷ 8
6 4 3 3
3x − 6x + 11x + 2x−4 x − 2x+
4
− 3x + 6x −12x 3x
6 4 3 3
3
− x + 2x− 4 ÷ −1
3
x − 2x+ 4
3
x − 2x+
4
3
− x + 2x− 4 1
3
mcd= x − 2x+
4
Rta.
6 4 3
5x − 10x + 21x − 2x+ 4
3
x − 2x+ 4
6 4 3
3x − 6x + 11x + 2x−4 3
x − 2x+
4
6 4 3
− 5x + 10x − 20x 3
5x + 1
6 4 3
− 3x + 6x −12x 3
3x
−1
3
x − 2x+ 4 −
3
x + 2x−4
3
3 3
5x
+ 1
− x + 2x− 4 + x − 2x+ 4
=
3
3x
− 1
6 5 4 3 2
11.
n −3n − n + 3n + 7n −21n
( 3) ( 3) 7 ( 3) ( 3)( 7 )
5 3 5 3
= n n− −n n− + n n− = n− n − n + n
6 5 4 3 2
n + 2n −n − 2n + 7n + 14n
( 2) ( 2) 7 ( 2) ( 2)( 7 )
5 3 5 3
= n n+ − n n+ + n n+ = n+ n − n + n
6 5 4 3 2
n −3n − n + 3n + 7n −21n 5 3
n − n + 7n 6 5 4 3 2
n + 2n −n − 2n + 7n + 14n 5 3
n − n + 7n
6
− n
4
+ n
2
−7n n−3 6
− n
4
+ n
2
− 7n n+
2
5
− 3n 3
+ 3n −21n 5
2n 3
− 2n + 14n
5
+ 3n 3
− 3n + 21n 5
− 2n 3
+ 2n − 14n
n − 3
=
n + 2
Rta.
12. 7 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
a + 2a − 5a + 8a + a + 2a − 5a+ 8 a + 2a − 5a + 10a + 4a − 10a+
16 ( 2)
7 6 5 4 3 2
−a − 2a + 5a −10a − 4a + 10a −16a a
( )
4 3 2
− 2a − 3a + 12a − 21a+ 8 ÷ −1
6 5 4 3 2 4 3 2
2a + 4a − 10a + 20a + 8a − 20a+ 32 2a + 3a − 12a + 21a−8
( a)
6 5 4
−2a − 3a + 12a
−21a + 8a a
3 2 2
5 4 3 2
a + 2a − a + 16a − 20a+
32
5 4 3 2 5 4 3 2
2a + 3a − 12a + 21a − 8a a + 2a − a + 16a − 20a+
32
5 4 3 2
−2a − 4a + 2a − 32a + 40a−64 2
4 3 2
Continúa
− a −10a − 11a + 32a
−64 −1
( )
Rta.

Continuación
5 4 3 2 4 3 2
12.
a + 2a − a + 16a − 20a+ 32 a + 10a + 11a − 32a+
64 ( 2)
5 4 3 2
−a −10a − 11a + 32a −64a a
( )
( )
4 3 2
− 8a − 12a + 48a − 84a+ 32 ÷ −4
4 3 2 4 3 2
2a + 20a + 22a − 64a+ 128 2a + 3a − 12a + 21a−8
4 3 2
−2a − 3a + 12a − 21a+
8 1
3 2
17a + 34a − 85a+ 136 ÷ 17
4 3 2
2a + 3a − 12a + 21a− 8
3 2
a + 2a − 5a+
8
4 3 2
−2a − 4a + 10a −16a 2a
( )
3 2
− a − 2a + 5a
−8 −1
3 2
a + 2a − 5a+ 8
3 2
a + 2a − 5a+
8
3 2
−a − 2a + 5a− 8 1
3 2
mcd = a + 2a − 5a+
8
7 6 5 4 3 2 3 2 6 5 4 3 2 3 2
a + 2a − 5a + 8a + a + 2a − 5a+ 8 a + 2a − 5a+ 8 a + 2a − 5a + 10a + 4a − 10a+ 16 a + 2a − 5a+
8
7 6 5 4 4 6 5
−a − 2a + 5a − 8a a + 1 −a − 2a + 5a − 8a a + 2
EJERCICIO 122
1.
2.
3.
3 2a
6a
⋅ =
2a
2a
4a
2
5
9x
m
ab
4a
20a
⋅ =
4a
36ax
2 2
2a
2am
⋅ =
2a
2ab
2 2 2
4. 3 x 3xy
9xy
⋅ =
2
8y
3xy
24xy
5. 4 m n 4mn
⋅ =
2 3
5n
n 5n
2
2 2
6. 2 x+ 7 3 6x+
21
⋅ =
5 3 15
7.
2x
x x
2
x −1
⋅ x
= x − x
2 2
EJERCICIO 123
3 2
1. 6 a − 10 a
2a
3 2
6a
10a
= −
2a
2a
2
= 3a
−5a
3 2 3 2
a + 2a − 5a+ 8 2a + 4a − 10a+
16
3 2 3 2
−a − 2a + 5a−8 −2a − 4a + 10a−16
4
a + 1
= Rta
3
a + 2
3
8.
9.
2 3
a 2a
2a
2
a + 2
⋅ 2a
= 2a
+ 4a
3a
a b 3a
3ab
a+ b
⋅ +
a+ b
= +
a + 2ab+
b
2
2 2
10. x − 4 x x x
x + ⋅ + 2
x + = −2 −8
2
3 2 x + 5x+
6
11.
2
2a
a 2a
2
x+ a
⋅ a
= ax+
a
2
3
2 3
12. x− y 2 2
⋅ =
x − 2 y
6 2 12
13.
5x
a b 5ax
5bx
2 2
a− b
⋅ +
a+ b
= +
a − b
14. x − 5 3x
3x
−15x
⋅ =
a 3x
3ax
3 2 2 3
2. 9 xy− 6 xy + 3 xy
3xy
3 2 2 3
9xy
6xy
3xy
= − +
3xy
3xy
3xy
2 2
= 3x − 2xy+
y
2
2
4
3. x + 3 x
2
− x x
3
3
= x +
x
15.
3 3
5x
2x
y 10x
5xy
2x+ y
⋅ +
2x+ y
= +
4x + 4xy+
y
2
2 2
16. x + 3 x x
x + ⋅ − 3
x − = −9
2
1 3 x −2x−3
17.
2
2 a a 1 2a
2a
2
2
3
a + 1
⋅ − +
a − a+ 1
= − +
a + 1
18. x − 2 y 3xy
3xy−6xy
⋅ =
2
3x
3xy
9xy
2
2
2 2
19. x −1
x x
x + ⋅ + 1
x + = −1
2
1 1 x + 2x+
1
20. a + b 9ab
9ab+
9ab
2 ⋅ =
3
7a
9ab
63ab
2
2 2
21. x + 1 x x x
x + ⋅ − 2
x − = − −2
2
5 2 x + 3x−10
2
4. 10a + 15a −2 5a
2
2
− 10a
2a+
3
15a
−2
−15a
2
= 2a
+ 3−
5a
− 2

3 2
5. 9x − 6x + 3x−5 3x
3
−9x 2
3x − 2x+
1
2
− 6x
2
+ 6x
3x
− 3x
− 5
2 5
= 3x
− 2x+ 1−
3x
6. 2
x −5x− 16 x+
2
2
−x −2x x−7
−7x
−16
+ 7x
+ 14
− 2
2
= x −7
−
x + 2
2
7. 12x −6x−2 4x−1
2
− 12x + 3x 3x
−3x
−2
3x
2 3x
2
= 3x
+ − − +
= 3x
−
4x
−1
4x
−1
3 3
8. a + 3b a+
2b
−a −2a b a − 2ab+
4b
3 2 2 2
2
− 2ab
2 2
2ab+
4ab
2 3
4ab
+ 3b
2 3
−4ab
−8b
3
− 5b
3
2 2 5b
= a − 2ab+ 4b
−
a + 2b
3 2 2
9. x −x − 6x+ 1 x −3
3
− x + 3x x−1
−x
− 3x+
1
x
2
2
− 3
−3x
−2
3x
2 x
= x − 1+ − − x 1 3 +
= − −
2 2 2
x − 3 x − 3
3 2 2 3
10. 3x + 4x y+ 2xy −6y 3x−2y
− 3x + 2x y x + 2xy + 2y
3 2 2 2
2 2
6xy+
2xy
2 2
− 6x y+
4xy
2 3
6xy
− 6y
2 3
− 6xy
+ 4y
3
− 2y
3
2 2 2y
= x + 2xy+ 2y
−
3x−
2y
3 2 2
11. 2x − 7x + 6x−8 2x − x+
1
3 2
− 2x + x −x x−3
2
− 6x
+ 5x−8
2
6x
− 3x+
3
2x
− 5
2x
− 5
= x − 3 +
2
2x
− x+
1
12. 4 3 2
2a − 3a + a
2
a − a+
1
4 3 2 2
− 2a + 2a −2a 2a −a−2
− a
3 2
− a
− +
3 2
a a a
2
− 2a
+ a
2
2a
− 2a+
2
− a + 2
2 a − 2
= 2a
−a−2−
2
a − a+
1
4 2 2
13. x −4x −3x x −2
4 2 2
− x + 2x x −2
2
−2x
−3x
2
2x
− 4
−3x
−4
2 x
x 2 3 +
= − −
4 2
x − 2
3 2 2
14. 10n −18n − 5n+ 3 2n − 3n+
1
3 2
− 10n + 15n −5n 5n
−3n
− 10n+
3
2
3n
+ 10n−3
= 5n
−
2
2n
− 3n+
1
2
4 2
15. 8x 4x + 5x+
6
4 3 2 2
−8x −10x −12x 2x
3 2
−10x
−12x
3 2
2 10x
+ 12x
= 2x
−
2
4x
+ 5x+
6
16. 6m + 3m n 3m − mn + n
5 4 3 2 3
5 3 2 2 3 2
− 6m + 2m n − 2m n 2m + mn
4 3 2 2 3
3mn+ 2mn −2mn
4 2 3 4
− 3mn + mn −mn
3 2 2 3 4
2mn − mn −mn
2 2mn − mn −mn
= 2m
+ mn+
3 2 3
3m − mn + n
3 2 2 3 4

EJERCICIO 124
8.
x 1
m + 2
2 3
( x+ 2)( x−1)
−3
( m − 2m+ 4)( m+ 2)
−m
aa ( + 2)
+ 4a
=
=
x − 1
m + 2
a + 2
2 2
3 3
x + x−2−3
x + x−5
m + 8 −m
8
2 2
=
=
=
=
a + 2a+
4a
a + 6a
aa ( + 6)
x − 1 x − 1 m+
2 m+
2
= =
a + 2 a + 2 a + 2
2
2
x − 6x
9.
x −3x−
2
x + 2
3x( x+
2)
− −
2 2
2
14. x −5x−
( x − 3x)( x+ 2) −( x −6x)
x − 2
=
2 2 2
( m−n)
m−n
m −mn−n
x + 2
2
( x −5x)( x−2) − 3x( x+
2)
=
3 2 2
m
m
x − x −6x− x + 6x
=
=
x − 2
3
x + 2
3 2 2
x − 7x + 10x−3x −6x
+ 5− x −
3 2 2
=
2
x − 2x
x ( x−
2)
x − 2
= =
( x+ 5)( x−2)
−3
x + 2 x + 2
3 2
x − 10x + 4x
=
x − 2
2 2
x − y
x − 2
2 2
10.
x+ y+
x + 3x−10−3
x + 3x−13
x−
y
=
x − 2 x − 2
2 2
( x+ y)( x− y)
+ x − y
2 3
=
2 2
7ab
− b
ab
x−
y
15.
a + 3ab− b +
2a−
b
+ 2 2 2 2
a + b
x − y + x − y
=
( a + 3ab −b )( 2a − b)
+ 7ab −b
x−
y
aa ( + b)
+ ab
=
2 2
2a−
b
a+
b
2x
− 2y
=
3 2 2 3 2 3
2 2
x−
y
2a + 5a b − 5ab + b + 7ab −b
a + ab+
ab a + 2ab
=
=
2 2
2a−
b
a+
b a+
b
2( x − y )
=
3 2 2
x−
y
2a + 5a b+
2ab
=
2
− a
2a−
b
+ a −3
2( x+ y)( x−
y)
a
=
x−
y
2
aa ( − 3)
+ 1−a
3
= 2x+ 2y= 2( x+
y)
x + 2
a
16. 2 ( x 1)
x − x+ 1
− +
2 2
a − 3a+ 1−a
3a
− 1 3mn
=−
11.
2
a
a m− n + m−
n
3 2
( x + 2) + ( x − x+ 1)( − x−1)
=
2
( )( )
a
−
+ m−n m− 2n + 3mn
x − x+
1
x
=
3 3
m−
n
x + 2− x −1
1
a−
x
=
2
=
2
2 2 2 2
m − 3mn+ 2n + 3mn
m + 2n
x − x+
1 x − x+
1
( a − x) − ( a+
x)
=
=
m−
n m−
n
a−
x
2
3 2
a x a x 2x
5ax
− 6x
x − 2x
+ 1
=− 12.
2a−3x−
17.
x + 3−
2
a−
x a − x
a+
2x
x − 4x+
3
2
2 3 2
( 2a− 3x)( a+ 2x) −( 5ax−6x
) ( x+ 3)( x − 4x+ 3) −( x − 2x
+ 1)
a+
x
=
=
2
− 1
a+
2x
x − 4x+
3
a+
x
2 2 2
3 2 3 2
2a + ax−6x − 5ax+
6x
x − x − 9x+ 9− x + 2x
−1
2a+ x− ( a+
x)
=
=
2
a+
2x
x − 4x+
3
a+
x
2
2
2a+ x−a−
x
2a
− 4ax
x − 9x+
8 ( x )( x ) x
= =
=
+ a+
2x
x − x+ = −8 −1
=
( x−
)( x−
)
− 8
2
4 3 3 1 x − 3
4a
1.
a +
a + 2
=
=
2.
m n n m
=
3.
x
=
=
4.
a
=
=
5.
1
=
=
6.
1
=
2
7.
= − − −
=
=
a+
x
a
a x
3
8.
x + 2 − −
13.
m
m
− 2m+ 4−
2
3
2 2 2 3

3ab+
3ab
18.
3a
+
2 2
a − b
2 2
19.
2
3a
= −
2
( −
2)
+
2
+
2
2 2
a − b
3
−
2
+
2
+
2
2 2
a − b
3 2
2
+ a b a ( a+
b)
2 2
=
− b ( a+ b)( a−b)
3aa b 3ab 3ab
=
3a 3ab 3a b 3ab
=
3a
3 3
=
a
a
b
EJERCICIO 125
1. a 1
;
b ab
mcm= ab ab ÷ b = a
3
x − 27
19.
x −3−
2
x − 6x+
9
=
ab ÷ ab = 1
2
a aa a
= ⋅ =
b ab ab
2
1 11 1 a 1
= ⋅ = ⇒ , Rta.
ab ab ab ab ab
x 4
2
2.
, 2 mcm = 6a x
2a
3a x
2
6ax÷ 2a=
3ax
3.
2 2
6ax÷ 3ax=
2
2
x x( 3ax)
3ax
=
2
=
2
2a
6ax
6ax
4 42 ⋅ 8
2 = 2 = 2
3ax 6ax 6ax
2
3ax
8
⇒ 2 , 2 Rta.
6ax
6ax
1 3 5
, ,
2x 4x 8x
8x ÷ 2x = 4x
8x ÷ 4x=
2x
8x
÷ 8x
= 1
1
2x
2 3
3 2
3 2
3 3
14x
4x
= ⋅ =
8x
8x
2 3 3
3 3x⋅2x
6x
= =
3
4x
8x
8x
5 51 5
= ⋅ =
3 3 3
8x 8x 8x
4x
⇒
3
8x
2
2
2
3
mcm = 8x
6x
5
, , Rta.
3 3
8x
8x
2 3
( x−3)( x − 6x+ 9) −( x −27)
( x − 3)
x
− 6x+
9
3 2 3
x − 9x + 27x−27− x + 27
=
2
x − 6x+
9
9x( x 3)
( x − 3)
x x
= − 2
9 + 27
= − −
3
2
2 2
x x
= − 9
x − = 9
3 3−
x
20.
a
2
3
a a
3a
5 2 − 11 +
− + +
9
2
a + a−2
( )( )
2 2 3
a − 3a+ 5 a + a− 2 + 2a − 11a+
9
=
2
a + a−2
4 3 3
a − 2a + 11a− 10+ 2a − 11a+
9
=
2
a + a−2
=
4 2 2
a − 1 ( a − 1)( a + 1)
=
( a+ 2)( a−1)
( a+ 2)( a−1)
2
( a + 1)( a+ 1)( a−1)
=
( a+ 2)( a−1)
4.
3x
x 3
3 2
2
,
2
,
3
mcm = a b
ab ab a
a b ÷ ab = a a b ÷ a b= ab a b ÷ a = b
3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2
3 2
a + a + a+
1
=
a + 2
2 2
2
( ) ax x xab ( ) abx ( b )
2
3x
3xa
3 3 3 3b
2
=
3 2
=
3 2
;
2
=
3 2
=
3 2
;
3
=
3 2
=
3 2
ab ab ab ab ab ab a ab ab
2
2
3ax
abx 3b
⇒
3 2
,
3 2
,
3 2
Rta.
ab ab ab
5.
7y
1 5x
2 3
2 , , 3 mcm = 36x y
6x
9xy
12y
36xy ÷ 6x = 6y 36xy ÷ 9xy= 4xy 36xy ÷ 12y = 3x
3
4
2
( y ) 42y
1 14 ( xy )
2
7y
7y
6
4xy
2
=
2 3
=
2 3
; =
2 3
=
2 3
;
6x
36xy
36xy
9xy
36xy
36xy
5x
12y
2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2
2
2
( x )
3
4
2
5x
3 15x
42y
4xy
= 2 3 = 2 3 ⇒ 2 3 , 2 3
36xy
36xy
36xy
36xy
a − 1 5 a + 2
6.
, , 2
3a
6a
a
2
6a ÷ 3a= 2a 2
mcm = 6a
2
6a ÷ 6a= 1
2 2
6a ÷ a = 6
2
a − 1 ( a−
1)( 2a)
2a
− 2a
5 51
= =
= ⋅ 5
2
2 ; 2 = 2
3a
6a
6a 6a 6a 6a
;
( a )
a + 2 + 26 6a
+ 12
2 = 2 = 2
a 6a
6a
x− y x+
y
7.
2 , 2 , 5 mcm = 3x y
xy 3xy
2 2 2
3xy ÷ xy=
3y
2 2 2
3xy ÷ 3xy = x
x−
y
=
xy
3
15x
, 2 3 Rta.
36xy
2
2a
− 2a
5 6a
+ 12
⇒ 2 , 2 , 2 Rta.
6a
6a
6a
2
( x−
y)( 3y) 3xy
− 3y
x+
y ( x+
)
3xy
2 2 2
2 2
( xy)
2 2
xy
5= 53 15
2 2 = 2 2 ⇒
3xy
3xy
=
2 2
2
y x x + xy
2 2 ; 2 = 2 2 = 2 2 ;
3xy
3xy
3xy
3xy
2 2
2 2
3xy
− 3y
x + xy 15xy
2 2 , 2 2 , 2 2
3xy
3xy
3x y
Rta.

m+ n m−n
1
8.
, ,
2m
5mn
10n
3 2 2 2
10mn ÷ 2m=
5mn
3 2 3
10mn ÷ 5mn=
2n
10mn ÷ 10n = m
2 2
( m n)( 5m n )
m+ n +
5mn
+ 5mn
=
3 2
=
3 2
2m
10mn
10mn
2
m− n ( m−
n)( 2n)
2mn
− 2n
3 =
3 2
=
3 2
5mn
10mn
10mn
3
( m )
3 2
3 2 2 3
mcm = 10m n
3 2 2 3
3 2
3
1 1 m
2
=
3 2
=
3 2
10n
10mn
10mn
3 2 2 3
2
3
5mn
+ 5mn
2mn
−2n
m
⇒
3 2 , 3 2 , 3 2
10mn
10mn
10mn
Rta .
a+ b a− b a + b
9.
, , 2
6 2a
3b
2 2
6ab
÷ 6=
ab
6ab ÷ 2a = 3b
2 2
2 2
6ab ÷ 3b = 2a
2
( )( )
2
( a b)( 3b
)
2 2
mcm=
6ab
a+ b a+
b ab ab + ab
=
2
=
2
6 6ab
6ab
2 2 3
2 3
a− b − 3ab
− 3b
=
2
=
2 ;
2a
6ab
6ab
2 2 2 2
3 2
a + b ( a + b )( 2a)
2a
+ 2ab
2
=
2
=
2
3b
6ab
6ab
2 2 3 2 3 3 2
ab + ab 3ab
−3b
2a
+ 2ab
⇒
2 ,
2 , 2 Rta.
6ab
6ab
6ab
2a−b
3b−a
a−3b 10.
2
,
2
,
3a
4b
2 mcm = 12 a b
2 2 2 2
12ab ÷ 3a = 4b
12ab ÷ 4b = 3a
2 2 2 2
12ab
÷ 2 = 6ab
2 2 2 2
( )
2a− b 2a−
b 4b
2 =
2 2
3a
12ab
( )
3b− a 3b−
a 3a
2 =
2 2
4b
12ab
( − )
a−
3b a 3b 6a b
=
2 2
2 12ab
2
2
8ab
− 4b
=
2 2
12ab
9ab−
3a
=
2 2
12ab
2 2
;
2 3
2 3
6ab
− 18ab
=
2 2
12ab
;
;
2
3 2 2 3
2 2
13.
2 3 2 3 3 2 2 3
8ab
−4b
9ab−3a
6ab
−18ab
⇒
2 2
,
2 2
,
2 2
Rta.
12ab
12ab
12ab
11.
2
5
3
,
x + 1
mcm = 5x
+ 5
( x ) x ( x ) ( x )
2 2( x + 1)
2x
+ 2 3 35
5 + 5 ÷ 5= + 1 5 + 5 ÷ + 1 = 5
=
5 5x
+ 5
a b
12.
,
a+ b a −b
15
= ;
5x+ 5 x+ 1
= 5x ⋅+ 5
= 5x+
5
2x
2 15
⇒ + , Rta.
5x+ 5 5x+
5
mcm = a −b
2 2 2 2 2 2
( a b ) ( a b) a b ( a b ) ( a b )
2
a aa ( b)
a − ab
− ÷ + = − − ÷ − = 1
a+ b
= −
a − b
b 1b
=
a − b a − b
⇒
a
a
2 2
2 2
=
a
− b
2 2
b
=
a − b
2 2 2 2 2 2
2
− ab b
, Rta.
−b
a −b
2 2 2 2
x 1
2 2
x −1
x − x−2
2 2
2
13. ,
x − 1= ( x+ 1)( x−1)
( 2)
;
( )( )
( 1)( 2)( 1)
2
( x 1)( x 2)
2
x − x− 2 = x− 2 x+
1
mcm = x − x − x +
= − −
3 2
= x −2x − x+
2
3 2 2 3 2 2
x −2x − x+ 2 x −1 x −2x − x+ 2 x − x−2
3 3 2
− x + x x−2 − x + x + 2x x−1
2 2
− 2x + 2 − x + x+
2
2 2
2x −2 x − x −2
2
x x x
2 3
x − 1
= −
x − − + = x − 2x
2
3 2
2x
x 2 x −2x − x+
2
⇒
2
x − 2x
x −2x − x+
2
( x )
1
− − = 1 − 1
− − + = x − 1
2 3 2 3 2
x x 2 x 2x x 2 x −2x − x+
2
14.
3 2 3 2
a − 3
x − 1
; Rta.
x −2x − x+
2
a mcm a
,
= 8( + 5)
( a + )
( )
a − 3 2( a − 3)
2a
− 6
= = ;
( a + ) 8( a + 5) 8( a + 5)
2
a 3aa
( + 5)
3a
+ 15a
= =
8( a + 5) 8( a + 5)
4 5
[ ] [ ( )] ( )
8 a+ 5 ÷ 4 a+ 5 = 2 8 a+ 5 ÷ 8 = a+
5
4 5
3
8
2a
− 6
⇒
8 5
3
8
2
3a
+ 15a
, Rta.
( a + ) 8( a + 5)
;

2
15.
x x
,
3 a−
x 6
( )
( )
( )
[ ] [ ( )] [ ( )]
( a−
x) ( a−
x)
mcm = 6 a − x
6 a− x ÷ 3 a− x = 2 6 a− x ÷ 6= a−
x
3
⇒
x
( a−
x) ( a−
x)
( − ) ax − x
=
( a−
x) ( a−
x)
2x
x xa x
= ; =
6 6 6 6
2 2 2
2 2
2x
ax − x
, Rta.
6 6
16.
3 2 x + 3
2
x x
2
x − x
16. 2
, , mcm = x ( x −1)
2 2 2
[ ( )] ( )
2 2
[ ( − 1)
] ÷ ( − ) =
3 3( x − 1)
3x
− 3
2
= = ;
2 2
x x ( x−
1) x ( x−
1)
2
2
2 2( x − x)
2x
− 2x
= = ;
2
2
x x ( x−
1) x ( x−
1)
2
x + 3 x( x+
3)
x + 3x
2
= =
2
2
x − x x ( x−
1) x ( x−
1)
( x−
1)
[ ] ( )
x x− 1 ÷ x = x−1 x x− 1 ÷ x= x x−1
3x
− 3
⇒
2
x
1 a b
17.
, ,
2a+ 2b
4a−4b
8
x x x x x
2
2
2x
− 2x
x + 3x
, , Rta.
2
2
x x − 1 x x−
1
( ) ( )
17.
2 2
mcm = 8( a −b
)
[ ( )] ( ) ( ) ( )
2 2
[ 8( a − b )] ÷ ( 4a− 4b) = 2( a+
b)
1 4( a−
b)
= ;
2 2
2a+
2b
8( a − b )
2
a 2aa
( + b)
2a
+ 2ab
=
= ;
2 2
2 2
4a−
4b
8( a − b ) 8( a − b )
2 2 2 3
b ba ( − b)
ab−
b
=
=
2 2
2 2
8 8( a − b ) 8( a − b )
2
2 3
4( a − b)
2a
+ 2ab
ab−
b
⇒
, , Rta.
2 2
2 2
2 2
8( a − b ) 8( a − b ) 8( a − b )
x y 3
18. ,
2
,
2
mcm = xy( x + y)
18.
xy
[ ]
2 2 2 2 2 2
8 a − b ÷ 2a+ 2b = 4 a−b 8 a − b ÷ 8= a −b
1 m n
21.
2 2
,
2
,
2
m n m mn m mn mcm =
− + −
m m − n
x + xy xy+
y
[ ( )] ( )
2
[ ( )] ( )
2
x x( x+
y)
x + xy
= =
xy xy( x + y) xy( x + y)
2
[ ] ( )
xy x + y ÷ xy = x + y xy x + y ÷ x + xy = y
xy x + y ÷ xy + y = x
2
y y
3 3x
2 = ; =
x + xy xy x y xy y
⇒
x + xy
2
( + ) + xy( x + y)
( + y) xy( x + y) xy( x + y)
xy x
y 3x
, , Rta.
2 2
2 1 a
19.
2 2 , 2 , 2
a b a ab a ab mcm =
− + −
a a − b
2 2
19. ( )
[
2
(
2)
] (
2 2)
[
2
(
2)
] (
2
)
2
(
2)
2
aa − b ÷ a − b = a
aa − b ÷ a + ab = a−b
[ ] ( )
aa − b ÷ a − ab = a+
b
2 2a
1
=
; =
a − b aa b a ab
( − ) + aa ( − b)
2
aa ( + b)
a + ab
=
2 2
( − b) aa ( − b)
2 2 2 2 2 2 2
a
=
a − ab aa
2 2 2
a−
b
2
2a
a−
b a + ab
⇒
, ,
2 2 2 2
2 2
aa ( − b) aa ( − b)
a ( a − b )
2 3
3x
x x
2
20.
, , 2 mcm = x −1
x + 1 x −1 x −1
2
( x − 1) ÷ ( x+ 1)
= x−1
2 2 2
( x ) ( x ) x ( x ) ( x )
2
3x
3x( x 1)
3x
− 3x
( x 1)
Rta.
− 1 ÷ − 1 = + 1 − 1 ÷ − 1 = 1
2
x + 1
= −
=
x − 1
2
x − 1
2 2
3 2 3 3
x x x x x x
2
2
2 2
x − 1
= + +
= ;
x − 1 x −1 x − 1 = x − 1
2
3 2 3
3x
− 3x
x + x x
⇒
2
,
2
,
2
Rta.
x − 1 x −1 x −1
2 2
21. ( )
[ ( )] ( ) ( )
2 2 2
mm ( − n)
÷ m − mn= m+
n
[ ] ( )
1
m −
[ ] ( )
2 2 2 2 2 2 2
mm n m n m mm n m mn m n
m
n mm ( − n)
2
mm ( − n)
m − mn
=
= ;
2 2
mn mm ( − n) mm ( − n)
2
nm ( + n)
mn + n
=
=
2 2
mn mm ( − n) mm ( − n)
2
m m − mn nm ( + n)
,
2 2
2 2 2 2
( − n)
mm ( − n)
mm ( − n)
2 2 2 2
m
m +
2 2 2
n
m −
2 2 2
⇒
mm
− ÷ − = − ÷ + = −
2
n + 1 n − 1 n + 1
22.
, , 2
n − 1 n + 1 n − 1
=
;
2
mcm = n −1
, Rta.
2
( n − 1) ÷ ( n− 1)
= n+
1
2 2 2
( n − 1) ÷ ( n+ 1) = n−1 ( n − 1) ÷ ( n − 1)
= 1
2
n + 1 ( n 1)( n 1) ( n + 1) n − 1 ( n 1)
n − = + +
2
1 n − 1
2
2
n + 1 n
n − = + 1
2
2
⇒
1 n − 1
=
2
n − 1
2
( n 1) ( n − 1)
+
2
n − 1
;
n + = 2 ;
1 n
−− 1
2
2
n + 1
,
2
,
2
Rta.
n − 1 n − 1
2

a
23.
a
− b
+ b
2 2
a + b a
,
2 2
,
a − b a
+ b
− b
mcm = a −b
4 4 2 2 2 2
( a − b ) ÷ ( a + b ) = a −b
4 4 2 2 2 2 4 4 4 4
( a b ) ( a b ) a b ( a b ) ( a b )
2 2 2 2
a b ( a b ) 2
2 2 2 2
− − a + b ( a + b )
2
a
a
2 2
2 2
+ b
− b
4 4
4 4
a
a
=
a
− b
4 4
+ b
− b
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
− ÷ − = + − ÷ − = 1
2 2
=
a + b
⇒
2 2
( a − b ) 2
( a + b )
4 4
a − b
; 2 2
=
4 4 ;
a − b a − b
2 2 2
3x
x − 1 1
24.
, ,
2
x − 1 x+ 2 x + x−2
2
( x + x− ) ÷ ( x− ) = x+
2
( x + x− ) ÷ ( x+ ) = x−
2
( x x )
2
( x x )
3x
3x( x 2)
2
x
( x 1)
4 4
a + b
, 4 4 4 4 Rta.
a − b a − b
2 1 2
2 2 1
+ − 2 ÷ + − 2 = 1
3 6x
2
2
x − 1
= +
x + x− 2
= +
;
x + x−2
2
( x − 1)
2
mcm = x + x −2
x − 1
1 1
2 2 2
x + 2
= −
;
x + x− 2 x + x− 2
= x + x−2
2
3x
+ 6x
1
⇒
2
,
2
,
2
Rta.
x + x−2
x + x− 2 x + x−2
x x x − 1
25.
, ,
2 5x
+ 15 10x
+ 30
25. mcm = 10( x + 3)
[ 10( x+ 3)
] ÷ 2 = 5( x+
3)
[ 10( x+ 3)
] ÷ [ 5( x+ 3)
] = 2
[ 10( x+ 3)
] ÷ [ 10( x+ 3)
] = 1
2
x 5x( x+
3)
5x
+ 15
= =
2 10( x + 3) 10( x + 3)
x 2x
= ;
5x
+ 15 10 3
2
5x
+ 15
⇒
10 3
2
x − 1
x − 1
( x + ) 10x
+ 30 10( x + 3)
2x
x − 1
, , Rta.
( x + ) 10( x + 3) 10( x + 3)
2x
− 1 3x
+ 1 4x
+ 3
26.
, ,
x + 4 3x
+ 12 6x
+ 24
26. mcm = 6( x + 4)
[ ( x )] ( x ) [ ( x )] [ ( x )]
[ 6( x+ 4)
] ÷ [ 6( x+ 4)
] = 1
2x
− 1 62 ( x − 1)
12x
− 6
= = ;
x + 4 6( x + 4) 6( x + 4)
3x
+ 1 23 ( x + 1)
6x
+ 2
= = ;
3x
+ 12 6( x + 4) 6( x + 4)
6 + 4 ÷ + 4 = 6 6 + 4 ÷ 3 + 4 = 2
4x
+ 3 4x
+ 3
=
6x
+ 24 6 4
12x
− 6
⇒ ,
6 4
( x + )
6x
+ 2
( x + ) 6( x + 4)
=
, 4x
+ 3
Rta
6 4
.
( x + )
a 2 5
27.
,
2
,
a+ 4 9a −25
3a−5
27. mcm = ( a + 4)( 3a + 5)( 3a
−5)
[( a+ 4)( 3a+ 5)( 3a− 5)
] ÷ ( a+ 4) = ( 3a+ 5)( 3a−5)
2
[( a+ 4)( 3a+ 5)( 3a− 5)
] ÷ ( 9a − 25)
= a+
4
[( a+ 4)( 3a+ 5)( 3a− 5)
] ÷ ( 3a− 5) = ( a+ 4)( 3a+
5)
2
3 ( a )( a ) a
a + = 33 + 5 3 −5
27 − 75
=
;
2
4 ( a+ 4)( 3a+ 5)( 3a−5) ( a+ 4)( 9a
−25)
2
2( a + 4)
2a
+ 8
2
=
=
2
9a
− 25 ( a + 4)
( 3a+ 5)( 3a−5) ( a+ 4)( 9a
−25)
2
5 5( a 4)( 3a
5)
15a
85a
100
2
3a
− 5
= + +
+ +
=
( a+ 4)( 3a+ 5)( 3a−5) ( a+ 4)( 9a
−25)
⇒
2
27a
− 75
2
2a
+ 8 15a
+ 85a+
100
, , Rta.
2 2
2
( a+ 4)( 9a
−25) ( a+ 4)( 9a
−25) ( a+ 4)( 9a
−25)
x + 1 x + 2 3x
28.
2
,
2
,
2
x − 4 x + x− 6 x + 5x+
6
2
28. mcm ( x + 2)( x + x −6)
2 2
[( x+ 2)( x + x− 6)
] ÷ ( x − 4)
= x+
3
2 2
[( x+ 2)( x + x− 6)
] ÷ ( x + x− 6)
= x+
2
2 2
[( x+ 2)( x + x− 6)
] ÷ ( x + 5x+ 6)
= x−2
2
x + 1 ( x+ 1)( x+
3)
x + 4x+
3
2
=
=
;
2
2
x − 4 ( x+ 2)( x + x−6) ( x+ 2)( x + x−6)
2
x + 2 ( x )( x )
x + x− = + 2 + 2 ( x + 2)
2
=
;
2
2
6 ( x+ 2)( x + x−6)
( x+ 2)( x + x−6)
2
3x
x( x )
x x
x + x+ = 3 − 2 3 − 6
2
=
2
2
5 6 ( x+ 2)( x + x−6) ( x+ 2)( x + x−6)
2
2
2
x + 4x+
3 ( x + 2)
3x
− 6x
⇒
2
2
2
( x+ 2)( x + x−6)
( x+ 2)( x + x−6) ( x+ 2)( x + x−6)
a + 3 5a
29.
, ,
a + a−20
a − 7a+
12 a
2 2 2
, , Rta.
a + 1
+ 2a−15
2
mcm= ( a + 5)( a − 7a
+ 12)
2 2
[( a+ 5)( a − 7a+ 12)
] ÷ ( a + a− 20)
= a−3
2 2
[( a+ 5)( a − 7a+ 12)
] ÷ ( a − 7a+ 12)
= a+
5
2 2
[( a+ 5)( a − 7a+ 12)
] ÷ ( a + 2a− 15)
= a−4
2
a + 3 ( a+ 3)( a−3)
a − 9
2
=
=
2
a + a−20
( a+ 5)( a − 7a+
12) ( a+ 5)( a−4)( a−3)
2
5a
5aa
( + 5)
5a
+ 25
2
=
=
2
a − 7a
+ 12 ( a+ 5)( a − 7a+
12) ( a+ 5)( a−4)( a−3)
2
a + 1 ( a+ 1)( a−4)
a −3a−4
2
=
=
2
a + 2a−15
( a+ 5)( a − 7a+
12) ( a+ 5)( a−4)( a−3)
⇒
a − 9
5a
+ 25 a −3a−4
, , Rta.
2 2 2
( a+ 5)( a−4)( a−3) ( a+ 5)( a−4)( a−3) ( a+ 5)( a−4)( a−3)
;
;
;

a + 1 2a
1
30.
3 , 2 ,
a − 1 a + a+ 1 x−1
3
mcm = a −1
3 3 3 2
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
( a − 1) ÷ ( a− 1)
= a + a+
1
2
a + 1 a 1 2a
2aa
( 1)
a
a − 1 ÷ a − 1 = 1 a − 1 ÷ a + a+ 1 = a−1
a − = +
a − a + a+ = − 2 − 2
3 3
;
2 3
=
3
;
1 1 1 a − 1 a − 1
2
a a a a a a
a − = + +
⇒
+ 2 2
1 1 1 2 − 2 + + 1
3 3
,
3
,
3
Rta.
1 a − 1 a − 1 a − 1 a − 1
1 1 2
3
31. , 3 , mcm = 3( x −1)
x−1
x −1
3
3 2
[ 3( x − 1)
] ÷ ( x− 1) = 3( x + x+
1)
3 3 3 3
[ ( x − )] ÷ ( x − ) = [ ( x − )]
÷ = x −
2
2
1 3( x x 1)
3x
3x
3
3
3
x − 1
= + + + +
=
;
3( x − 1) 3( x − 1)
3
3
1 3 2 2( x 1)
2x
2
3 3
3
3
x − 1
= − −
; = =
3( x − 1)
3 3( x − 1) 3( x − 1)
3 1 1 3 3 1 3 1
2
3
3x
+ 3x+
3 3 2x
− 2
⇒
, ,
3
3 1
3 x − 1
3 3
( x − ) 3( x −1)
( )
3 b 1
32.
, ,
2a
+ 2ab
a x + abx 4ax −4bx
33.
2 2 2 2
Rta.
2 2 2
= 4 ( − )
2 2 2 2 2
( − ) ÷ + = −
2 2 2 2
( − ) ÷ + = −
2 2 2 2 2
( − ) ÷ − = +
2
2 2
3 32 [ x ( a−
b)
] 6ax
− 6bx
=
=
;
2 2 2 2 2 2
+ ab 4ax ( a − b ) 4ax ( a − b )
2
b b[ 4x( a−
b)
] 4abx
− 4b x
=
=
;
2 2 2 2 2
+ abx 4ax
( a − b ) 4ax ( a − b )
2
1 aa ( + b)
a + ab
2 2 =
=
2 2 2 2 2 2
− bx ax ( a − b ) ax ( a − b )
mcm ax a b
[ 4ax a b ] ( 2a 2ab) 2x ( a b)
[ 4ax a b ] ( a x abx) 4x( a b)
[ 4ax a b ] ( 4ax 4bx ) a( a b)
2
2a
2
a x
2 2
4ax
4 4 4
2 2
6ax
− 6bx
⇒
2
2
4abx
− 4b x a + ab
, , Rta.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4ax ( a − b ) 4ax ( a − b ) 4ax ( a − b )
1 a + 1 3( a + 1)
3
, 2 ,
3 mcm= ( a −1)
a − 1 ( a − 1)
( a − 1)
3 2
( a− 1) ÷ ( a− 1) = ( a−1)
3 2 3 3
( a− 1) ÷ ( a− 1) = a−1 ( a− 1) ÷ ( a− 1)
= 1
2
2
1 ( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)
a 1
3 2 3
3
a − 1
= − + + − −
=
=
( a − 1) ( a − 1)
( a − 1) ( a − 1)
2
2
3( a + 1)
3a
+ 3 ( a 1)
a 1 3a
3
3 = 3 ⇒
− − +
3
3 3
( a − 1) ( a − 1)
( a − 1) ( a − 1) ( a − 1)
; ;
, , Rta.
2x
− 3 3 2x
− 1
34.
2
, ,
6x + 7x+ 2 2x+
1 6x
+ 4
34. mcm = 23 ( x + 2)( 2x
+ 1)
2
[ 23 ( x+ 2)( 2x+ 1)
] ÷ ( 6x + 7x+ 2)
= 2
[ 23 ( x+ 2)( 2x+ 1)
] ÷ ( 2x+ 1) = 23 ( x+
2)
[ 23 ( x+ 2)( 2x+ 1)
] ÷ ( 6x+ 4)
= 2x+
1
2x
− 3 22 ( x − 3)
4x
− 6
2
=
=
;
6x
+ 7x+
2 23 ( x+ 2)( 2x+
1) 23 ( x+ 2)( 2x+
1)
3 63 ( x 2)
2x
+ 1
= +
18x
+ 12
=
;
23 ( x + 2)( 2x
+ 1) 23 ( x+ 2)( 2x+
1)
2
2x
− 1 ( 2x− 1)( 2x+
1)
4x
− 1
=
=
6x
+ 4 23 ( x+ 2)( 2x+
1) 23 ( x+ 2)( 2x+
1)
4x
− 6
⇒
23 2 2 1
2
18x
+ 12 4x
− 1
, , Rta.
( x+ )( x+
) 23 ( x+ 2)( 2x+
1) 23 ( x+ 2)( 2x+
1)
EJERCICIO 126
b g b
1. x− 2 3 x + 2 3
+
x − 2 + 2 3 x + 2 3 x − 6+ 6 x + 4 9 x − 2
= =
=
4 6
12
12 12
2 1 3b⋅ 2+
5a
5a+
6b
2.
+ = =
5a
2 3ab
15ab
2 15ab
2
3.
a−
2b
b a ba b ab a
+ − 4 − 2 + 3 −
=
15a
20b
60ab
4ab − 8b + 3ab −3a
a ab b
=
= − 3 + 7 − 8
60ab
60ab
2 2
2 2
a+
3b
ab−
4ab
5ab( a + 3b) + 3( a b −4ab
)
+
2 2
=
2 2
4.
3ab
5ab
15ab
2 2 2 2
5ab+ 15ab + 3ab−12ab
=
2 2
15ab
g
3.
( ) ( )
8ab+
3ab
=
15ab
a− 1 2a 3a+
4
5.
+ +
3 6 12
( )
2 2 2 2
2 2
( 8 + 3 )
ab a b 8a+
3b
=
=
15ab
15ab
2 2 2 2
4 a− 1 + 2⋅ 2a+ 3a+ 4 4a− 4+ 4a+ 3a+ 4 11a
=
= =
12
12 12
2
n 3 2 nn 3m 2mn
3m 2mn n
6.
+ + = ⋅ + + + +
=
2 2
2
m mn m mn
mn
7.
1− x x + 2 1
+
2 +
2
2x
x 3ax
( ) ( )
3ax 1− x + 6a x + 2 + 2
=
2
6ax
2
2
3ax − 3ax + 6ax − 12a
+ 2 9ax + 12a − 3ax
+ 2
=
2 =
2
6ax
6ax
2a
− 3 3x
+ 2 x−
a 10x 2a− 3 + 3a 3x+ 2 + 6 x−a
8.
+ + =
3a
10x
5ax
30ax
20ax− 30x+ 9ax+ 6a+ 6x−6a
=
30ax
( ) ( ) ( )
29ax
− 24x
x
=
=
30ax
( 29a−
24)
30ax
29a
− 24
=
30a

2
3 2 2
9.
+ + 2
3
x + 2 x − 2 2 − x
x x +
+
12.
+ 2 + 3
2
3x
5x
9x
5 2x
6x
2 2 3
2 2
15x 6 ⋅ 3+ 15 ( + 2) + 5( + 2)
( x+ 2) + 9x( x − 2) + 5( 2 − x )
x x x x
=
3
=
2
45x
30x
3 2 3 3
2 2 2
15x + 30x + 9x − 18x+ 10−5x
18x + 15x + 30x+ 5x
+ 10
=
3
=
2
45x
30x
3 2
19x + 30x − 18x+
10
2
2
2
38x
+ 30x+
10 219 ( x + 15x+
5)
19x
+ 15x+
15 =
3
=
2
=
2
=
45x
2
30x
30x
15x
2 2
2
1 b − a ab + b
x−
y 2x+
y y−
4x
13.
+
3
+
2 2
10.
+ +
ab ab ab
12 15 30
2 2 2 2
ab + a
5( x− y) + 4( 2x+ y) + 2( y−4x)
( b − a ) + b( ab + b )
=
2 3
=
ab
60
2 2 3 2 3 3 2 3
5x− 5y+ 8x+ 4y+ 2y−8x 5x+
y
ab + ab − a + ab + b a 3ab b
=
=
=
2 3 = − + +
2 3
60
60
ab
ab
m− n n− a 2a−
m
a+
3b
2a−
3m
3
11.
+ + 14.
+ +
mn na am
ab am a
am ( − n) + mn ( − a) + n( 2a−m)
ma ( + 3b) + b( 2a− 3m)
+ 3bm
=
=
amn
abm
am− an + mn − ma + 2an −mn
an 1
am+ 3bm+ 2ab − 3bm+
3bm
am+ 2ab + 3bm
=
= =
=
=
amn
amn m
abm
abm
EJERCICIO 127
1.
2.
1 1 a 1 a 1 2a
2 2
a+ 1
+ a− 1
= − + + =
a −1
a −1
2 1
x+ 4
+ x−
3
( x )
2 − 3 + x+
4 2x− 6+ x+
4 3x
− 2
=
2
=
2
=
2
x + x−12
x + x−12
x + x−12
3 6
3.
1 − x
+ 2x+
5
( x+ ) + ( − x)
6x+ 15+ 6−6x
21
=
=
( 1− x)( 2x+
5) ( 1− x)( 2x+
5) ( 1− x)( 2x+
5)
32 5 61
=
x x
4.
+
x−
y x+
y
( + ) + ( − )
x x y x x y
=
2 2
x − y
m + 3 m
5.
m− + + 2
3 m−
2
=
( m− 2)( m+ 3) + ( m− 3)( m+
2)
( m−3)( m−2)
m + m− 6+ m −m
−6
=
=
2 2
2
x + xy+ x − xy 2x
=
2 2
=
x − y x − y
2m
− 12
( m−3)( m−2) ( m−3)( m−2)
2 2
=
2( m − 6)
( m−3)( m−2)
2 2 2 2
x+
y x−
y
6.
+ =
x−
y x+
y
x x 1
7.
x − 1
+ +
x − 1
8.
9.
( )
( x+ y)( x+ y) + ( x− y)( x−
y)
=
2 2
x
− y
( x+ y) + ( x−
y)
x
− y
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
x + 2xy+ y + x − 2xy+
y 2x
+ 2y
=
2 2
=
2 2
x − y
x − y
x x
=
( − 1) + ( x+
1)
2
( x− 1) ( x+
1)
2 2
x − x+ x + 2x+
1
=
=
2 3x
2 5 3
x − 5
+ =
=
x − 25 x − 25
2
2
2x
+ x+
1
2 2
2
2
( x− 1) ( x+
1) ( x− 1) ( x+
1)
( x+ ) + x 2x+ 10+
3x
x +
x − 25
2 2 2 2
1 x−
y
+
3x−
2y
9x
− 4y
2 2
x+
a 3a
− x
10.
+
2 2
=
x+
3a
x − 9a
3x+ 2y+ x−y
4x+
y
=
=
9x
− 4y
9x
− 4y
2 2 2 2 2 2
( )( )
x− 3a x+ a + 3a − x
x
− 9a
5 10
=
x − 25
x + ax−3ax− 3a + 3a − x
=
2 2
x − 9a
ax
= − 2
x − 9a
2 2
2ax
=
9a
− x
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2

a a
11.
+
1−
a 1 + a
2 2
2 2
3 3
( 1+ ) + ( 1−
) a+ a + a−a
=
2 2
( 1− a )( 1+
a ) ( 1− a )( 1+
a )
2 2 2ba ( + b) + 2aa ( −b)
+ =
− + ab( a − b )
a a a a
=
12.
a ab ab b
2 2 2 2
ab a
13.
2 2 +
9a
− b 3a+
b
( 3 )
2a
=
1 − a
2 2 4
2 2
2ab + 2b + 2a −2ab
2a
+ 2b
=
=
ab a
2 2
2 2
2 2
( − b ) ab( a − b )
2
2
ab + a a −b
ab + 3a −ab
3a
= 2 2 = 2 2 = 2 2
9a
− b 9a
− b 9a
− b
1 1 a− b+ a+
b 2a
14.
+ =
=
a − b a−
b a+ b a−b
a+ b a−b
14.
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2
3 2 3( x+ y) + 2( x + y )
15.
2 2
+
2 =
2 2
2
x + y ( x+
y)
( x + y )( x+
y)
2 2 2 2 2
x a x a
16.
+ + +
a − ax ax ax − x
2 2
( )
2
a − ax= a a−
x
2
( )
( )( )
ax( a − x)
3x + 6xy+ 3y + 2x + 2y
=
2 2 2 2
2 2
( x + y )( x+
y)
2 2
5x + 6xy+
5y
=
2 2
( x + y )( x+
y)
( )
ax = ax mcm = ax a − x
ax − x = x a − x
x + a+ x a− x + a
=
2 2
x + a − x + a
=
=
ax a
2 2 2 2 2
2a
2a
=
( − x) ax( a − x) xa ( − x)
3 x 1 x 8
17.
2
2x
+ 4
+ −
2x
− 4
+ +
x − 4
+ = ( x+
)
− = ( − ) =
2
( − )
− 4= ( − 2)( + 2)
( x− ) + ( x− )( x+ ) + ( x+
)
2
2( x − 4)
2x
4 2 2
2x 4 2 x 2 mcm 2 x 4
2
x x x
3 2 1 2 2 8
=
2
3x− 6+ x + x− 2+ 2x+
16
=
2
2( x − 4)
+ 6x+
8 ( x+ 2)( x+
4)
x + 4
=
=
2
( x − ) 2( x+ 2)( x−2) 2( x − 2)
2
x
=
2 4
2
2
1 1 x + 3
18.
2
+
2
+
2
x+
x x−
x 1−
x
2
( 1 )
2
( 1 ) ( 1
2)
2
( )( )
x x x( x )
2
x( 1−
x )
2
x x ( x+ 1)( x+
2)
x + 2
=
=
2
( 1−
x ) x( 1− x)( 1+
x) x( 1−
x)
x+ x = x + x
x− x = x − x mcm= x − x
1− x = 1+ x 1−
x
1 1 3
= − + + + +
2 3
= + +
x
x−
y x y xy
19.
+ + 4
+
x+
y x−
y x − y
2 2
( )( ) ( )( )
mcm = x − y
x− y x− y + x+ y x+ y + 4xy
=
2 2
x − y
2 2 2 2
x − 2xy+ y + x + 2xy+ y + 4xy
=
2 2
x − y
2 2
( x + xy+
y )
2 2
2x + 2y + 4xy
2 2
=
2 2
=
x − y
x − y
1 a a 5
20.
2 2
a − 5 + a −4a− 5
+ +
a + 2a+
1
a− 5= a−5
=
2 2
2
( x+
y)
( x+ y)( x−
y)
2 2
( x+
y)
2 2
=
x−
y
2
−4 − 5= ( − 5)( + 1)
2
+ 2 + 1= ( + 1) = ( − 5)( + 1)
2
( a+ 1) + a( a+ 1) + ( a+ 5)( a−5)
2
( a− 5)( a+
1)
a a a a
2 2 2
a + 2a+ 1+ a + a+ a −25
=
2
( a− 5)( a+
1)
2
2
3a
+ 3a−24
3( a + a−8)
2 =
2
( a− 5)( a+
1)
( a− 5)( a+
1)
2 2
a a a mcm a a
=
=
3 2 1 85a
21.
+
2
a 5a− 3
+ −
25a
− 9
2
21. mcm = a( 25a
−9)
2
( a − ) + a( a+ ) + a( − a)
2
a( 25a
− 9)
325 9 2 5 3 1 85
=
2 2 2
75a − 27 + 10a + 6a+ a−85a
=
=
a
x+ 1 x−
3 x − 2
22.
+ +
10 5x
− 10 2
7a
− 27
2 2
( 25a
− 9) a( 25a
− 9)
22. mcm= 10( x −2)
=
( x+ 1)( x− 2) + 2( x− 3) + 5( x−2)( x−2)
10( x − 2)
2 2 2
x − x− 2 + 2x− 6 + 5x − 20x+
20 6x
− 19x+
12
=
=
10 2
( x − ) 10( x − 2)

x + 5
23.
+
x + x−12
x
24.
x + 4
+
+ 2x−15
x
2
+ − 12 = ( + 4)( −3)
2
+ 2 − 15= ( + 5)( −3)
2
+ 9 + 20= ( + 5)( + 4)
= ( + 5)( + 4)( −3)
( x+ 5)( x+ 5) + ( x+ 4)( x+ 4) + ( x−3)( x−3)
( x+ 5)( x+ 4)( x−3)
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
=
( x+ 5)( x+ 4)( x−3)
x − 3
+ 9x+
20
2 2 2
x + 10x+ 25+ x + 8x+ 16 + x − 6x+
9
=
=
2 2 2
2
3x
+ 12x
+ 50
( x+ 5)( x+ 4)( x−3)
2
1 1 2x
x
3 2
x − 2
+ − +
x − 8 x + 2x+
4
( )( )
( )
3 2 3
x − 8= x− 2 x + 2x+ 4 mcm= x −8
2 2
x + 2x+ 4+ 1− 2x + x x−2
=
3
x − 8
2 2
x 2x 5 x 2x
5
= − + + + −
3 = 3
x − 8 x − 8
2 a
25.
a + 1 + a + 1
a + 1
( ) ( a + 1)
(
2
) ( )
3
( a + 1)
2 a+ 1 + a a+ 1 + a+
1
=
2 2
2a + 4a+ 2+ a + a+ a+
1
=
3
( a + 1)
2
2
+ a+
3( a + 2a+
1)
3 =
3
( a + 1)
( a + 1)
3a
6 3
=
+
2 3
2x
x 1 1
26.
2 2
3x
+ 11x+ 6
+ +
x − 9
+ 3x+
2
( a 1)
mcm= +
( a + )
3
( a + 1)
3 1
=
2
3
3
=
a + 1
2
x + x+ = ( x+ )( x+
)
( x−3)( x− 2)( 2x+
1)
2
− 9= ( + 3)( −3)
2
x+ = x+ mcm= ( x − )( x+
)
2
a − 2 a a
2x( x− 3) + ( x+ 1)( 3x+ 2)
+ x −9
30. mcm ( a )( a )( a )
a − + + 3
a + + + 1
= − 1 + 2 −3
1 2 a − 3
2
( x − 9)( 3x+
2)
( a+ 2)( a−2)( a− 3) + ( a− 1)( a+ 3)( a− 3) + ( a− 1)( a+ 1)( a+
2)
2 2 2
2x − 6x+ 3x + 5x+ 2+ x −9
=
( a− 1)( a+ 2)( a−3)
2
( x − 9)( 3x+
2)
3 2 3 2 3 2
a −3a − 4a+ 12+ a −a − 9a+ 9+ a + 2a −a−2
2
6x
− x−7
=
( a− 1)( a+ 2)( a−3)
2
( x − 9)( 3x+
2)
3 2
3a −2a − 14a+
19
=
( a− 1)( a+ 2)( a−3)
3 11 6 3 3 2
x x x
3 2 3 2 9 3 2
=
=
=
2
x − 4 1 3
27.
3 2
x + 1
+ x+ 1
+ x − x+
1
28.
( )( )
3 2 3
x + 1= x+ 1 x − x+ 1 mcm= x + 1
2 2
x − 4+ x − x+ 1+ 3x+
3
=
3
x + 1
2
2x
+ 2x
= =
x + 1
1
2x( x+
1)
( x+ 1)( x − x+
1)
3 2 2
1
2x
=
x − x+
1
x + 1
28.
x − 1
+ ( x− 1)( x+
2) ( x− 1)( x+ 2)( x+
3)
mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)
( x+ 2)( x+ 3)
+ x+ 3+ x+
1
=
( x− 1)( x+ 2)( x+
3)
x + 5x+ 6+ 2x+
4
=
=
2 2
+
x + 7x+
10
( x− 1)( x+ 2)( x+
3) ( x− 1)( x+ 2)( x+
3)
( x+ 5)( x+
2)
x + 5
=
=
( x− 1)( x+ 2)( x+
3) ( x− 1)( x+
3)
x − 2 x
x
29.
x − x− + − 3
x − x− + 2 − 1
2 2 2
2 5 3 2 3 2 x − 5x+
6
2
x − x− = ( x− )( x+
)
2
x − x− = ( x− )( x+
)
2
− 5 + 6= ( −3)( −2)
= ( −3)( − 2)( 2 + 1)
( x−2)( x− 2) + ( x−3)( x− 3) + ( 2x− 1)( 2x+
1)
( x−3)( x− 2)( 2x+
1)
2 5 3 3 2 1
2 3 2 2 2 1
x x x x
mcm x x x
=
2 2 2
x − 4x+ 4+ x − 6x+ 9+ 4x
−1
=
=
( x−3)
( x−2)( 2x
+ 1)
2
6x
− 10x+
12

EJERCICIO 128
( ) ( )
x− 3 x+ 2 2 x−3 − x+
2 2x−6− x− 2 x−
8
1.
− = =
=
4 8 8
8 8
a+
5b
b
2.
−
− 3
2
a ab
( + ) − ( − )
2
ba 5b ab 3 ab + 5b − ab + 3a
3a+
5b
=
2
=
2
=
2
ab
ab ab
2 1 22 ( m) − ( 3n)
4m−
3n
3.
− =
=
3mn
2 2m 2 n 6mn
2 2 6mn
2 2
a − 3 4−
3ab
4.
− 2 3
5ab
3ab
( − ) − ( − )
2 2
3ab a 3 5 4 3ab
=
2 3
15ab
3a b −9ab − 20+
15ab
=
2 3
15ab
2
2 2 2 2
2a
+ 3 a − 2
5.
−
4a
8a
( a+ ) −( a−
)
22 3 2
=
8a
y−
2x
x y
6.
−
− 3
20x
24y
( − ) − ( − )
6y y 2x 5x x 3y
=
120xy
2 2 2
3ab
+ 6ab
−20
=
2 3
15ab
4a+ 6− a+ 2 3a
+ 8
=
=
8a
8a
6y −12xy− 5x + 15xy
6y + 3xy−5x
=
=
120xy
120xy
2 2 2 2
2
x− 1 x− 2 x+
3
7.
− −
3 4 6
( x− ) − ( x− ) − ( x+
)
4 1 3 2 2 3
=
12
4x−4− 3x+ 6−2x− 6 − x− 4 x+
=
= =−
12
12
2
3 2a
+ 1 4a
+ 1
8.
− −
2
5 10a
20a
( ) − ( + ) − ( + )
4
12
2 2
4a 3 2a 2a 1 4a
1
=
2
20a
2 2 2
2
12a −4a −2a−4a
− 1 4a
−2a−1
=
2 =
2
20a
20a
3 x 1 x
9.
− − 2 −
5x
3x
2
+ 2x+
3
3
15x
( ) − ( − ) − ( + + )
2 2
3x 3 5x x 1 x 2x
3
=
3
15x
2 2 2
9x − 5x + 5x− x −2x−3
=
3
15x
2
( x x )
2
3x
+ 3x− 3 3 + −1
x
=
3 =
3
=
15x
15x
1 2 b 5
10.
− + − 2 3
2a
3ab
6a b
( )
2
+ x−1
3
5x
3 2
3ab − 2ab 2+ b −5
=
2 3
6ab
3 2 3
3 2
3ab −4ab −2ab
− 5 ab −4ab
−5
=
2 3 =
2 3
6ab
6ab
EJERCICIO 129
1. mcm = ( x −4)( x −3)
1.
1 1
x− 4
− x−
3
x 3 ( x 4)
x−3− x+
4 1
=
=
( x−4)( x−3) ( x−4)( x−3) ( x−4)( x−3)
= − − −
m−
n m n
2.
m+ n
− +
m−
n
=
mcm= m −n
( m−n)( m−n) − ( m+ n)( m+
n)
m
− n
2 2
2 2
2 2 2 2
m − 2mn+ n −m −2mn−n
mn mn
=
= − 4 4
=
m − n
m − n n − m
1−
x 1
3.
−
+ x
=
1+
x 1−
x
2 2 2 2 2 2
( 1− x)( 1− x) − ( 1+ x)( 1+
x)
3.
1−
x
1 2 1 2
= − x + x − − x − x
1−
x
2
2 2
4 4
= − x x
=
1−
x x − 1
2 2 2
a+
b b−
a
4.
−
a + ab ab + b
2 2
( ) ;
( )
mcm= ab( a + b)
2 2 2 2
( + ) − ( − ) ab + b − ab + a a + b
=
=
ab( a + b) ab( a + b) ab( a + b)
n
2 2
m + n
2 2
( m+ n)( m+ n) − ( m + n )
2 2
a + ab= a a+ b ab+ b = b a+
b
ba b ab a
=
m+
5.
−
m−
n m
=
− n
2 2
m − n
2 2
2 2 2 2
m + 2mn+ n −m −n
2mn
=
=
m − n m − n
2 2 2 2
1 1
2 2
6.
2 − 2 x+ x = x x+ 1 ; x− x = x 1−
x
x+
x x − x
6. ( ) ( )
x ( x)
1 x 1 x 2x
=
( 1 ) − x ( − − −
=
− x 1−
x ) ( 1−
)
1 1
= − − +
x
2
( 1 )
mcm = x − x
2 2
= − =
x x 1−
x x − 1
2 2 2 2 2

7.
a+
x
−
7. 2 2 2
( a−
x)
a − x
( a+ x)( a+ x) − x( a−
x)
=
2
( a− x) ( a+
x)
x
2 2 2
a + 2ax + x − ax + x a + ax+
2x
=
=
2 2
2
2
( a− x) ( a+
x) ( a− x) ( a+
x)
a + 1
8.
a+ − 1
6 3 12a+
6
( ) ; ( )
mcm = 62 ( a + 1)
( a + ) − 2a
+ 2−1
2a
+ 1 1
= = =
( a + ) 62 ( a + 1) 62 ( a + 1)
6
6a+ 3= 3 2a+ 1 12a+ 6= 6 2a+
1
2 1 1
=
62 1
a − 4 a
9.
a − a+ − + 3
2 2
6 9 a + a−12
2
2
2
− 6 + 9= ( − 3) ; + − 12= ( + 4)( −3)
2
mcm = ( a − 3) ( a + 4)
( a+ 4)( a−4) −( a− 3)( a+
3)
2
( a+ 4)( a−3)
a a a a a a a
=
a
=
−16 − a + 9
=
2 2
− 7
( a+ 4)( a−3) ( a+ 4)( a−3)
2 2
2 2
a + 4ab−3b
b
10.
2 2
− mcm= a −9b
a − 9b
a + 3b
11.
( )
2 2
a + 4ab−3b −b a−3b
=
2 2
a − 9b
a + 4ab −3b − ab + 3b
=
2 2
a − 9b
a
=
a
2 2 2
2
+ 3ab
=
− 9b
2 2
x x 1
x − − +
aa ( + 3b)
( a+ b)( a−
b)
1 ( x − 1)
( −1) − ( + 1)( + 1)
2
( x+ 1)( x−1)
2 2
x x x x
=
2 2
x − x− x −2x−1
=
=
a
=
3 3 a − 3b
2 2
2
( 1) ( 1)
mcm = x − x +
−3x
−1
=−
3x
+ 1
2 2 2
( x+ 1)( x−1) ( x+ 1)( x−1) ( x+ 1)( x−1)
x + 1 x
1 1
18. mcm ( x x )( x x )
3
2 2 x + x+ 3 3 3 ( ) ( )
− − 1
2 2
2 2
= + + 1 − + 1
1 x − x+
1
− mcm= a − b a + ab + b
− ( − )
x+ 1−( x−1)
2
=
2 2
2 2
( a−b) − ( a + ab+
b )
( x + x+ 1)( x − x+
1)
3
2 2
( a− b) ( a + ab+
b )
x+ 1− x+
1
2
=
=
2 2 2 2
2 2 2 2
a − 2ab+ b −a −ab−b
− 3ab
( x + x+ 1)( x − x+
1) ( x + x+ 1)( x − x+
1)
3
=
2 2
3
2 2
( a− b) ( a + ab+
b ) ( a− b) ( a + ab+
b )
12.
a b a b
=
=
x + 3
13.
x + x− − 1
2 2
6 2 4x − 4x+
1
=
2
x + x− = ( x+ )( x−
)
2
2 2
x − x+ = ( x− ) mcm= ( x− ) ( x+
)
( 2x− 1)( x+ 3) − ( 3x+
2)
2
( 3x+ 2)( 2x−1)
6 2 3 2 2 1
4 4 1 2 1 2 1 3 2
2
2x + 5x−3−3x−2
=
=
2
2x
+ 2x−5
2
( 3x+ 2)( 2x−1) ( 3x+ 2)( 2x−1)
x − 1 x
14.
x + − 2
4 4 8x
+− 8
2
14. mcm = 8( x −1)
15.
( x− )( x− ) − ( x+ )( x+
)
2
8( x − 1)
2 1 1 2 1
=
2 2
2x − 4x+ 2− x −3x−2
x
=
=
8 1
x 1
xy − y y
− 7x
2
2
( x − ) 8( x − 1)
15. 2
− mcm = y( x − y)
( ) x x y y
=
( y) ( − + =
− y x−
y) ( − )
x x y
= − −
y x
b
16.
a − b
b
a + ab
2
1
=
y x y x − y
2 2
16. −
mcm = a( a −b
)
2 2 2
2
2
− ( − ) ab − ab + b b
=
=
2 2
2 2
2 2
( − b) aa ( − b) aa ( − b)
ab b a b
=
aa
2a
− 3 a 1
17.
2
6a
+ 9
− −
4a
+ 12a+
9
2
+ = ( + ) ; + + = ( + )
2
mcm = 32 ( a + 3)
( 2a+ 3)( 2a−3) −3( a−1)
2
32 ( a + 3)
6a 9 3 2a 3 4a 12a 9 2a
3
=
2
2
4a
−9− 3a+
3 4a
−3a−6
=
=
2
32 3
2
( a + ) 32 ( a + 3)
2
2

a − 1 1
19.
−
a + a a− − 1
2
2 2 2a+
2
2
19. mcm = 2a( a −1)
( a− )( a− ) − aa ( + ) −aa
( − )
2
2aa
( − 1)
2
( a − a+ 2 2
) −a −a− a + a
2
2aa
( − 1)
2 1 1 1 1
=
2 2 1
=
2a − 4a+ 2−2a
=
2aa
1
2 2
2
( − )
4a
− 2
=−
2aa
1
2
( − )
( a − ) 2a
− 1 1−
2a
=− =
2 2 2
( − ) aa ( − 1) aa ( − 1)
22 1
=−
2aa
1
1 1 1
20.
2
4a+ 4
− 8a− 8
− 12a
+ 12
21.
2 2
mcm= 24( a + 1)( a −1)
2 2 2
( a + )( a− ) − ( a + )( a+ ) − ( a − )
2 2
24( a + 1)( a −1)
3 2 3 2 2
( a − a + a− ) − ( a + a + a+ ) − a +
2 2
24( a + 1)( a −1)
6 1 1 3 1 1 2 1
=
6 1 3 1 2 2
=
3 2 3 2 2
6a − 6a + 6a−6−3a −3a −3a−3− 2a
+ 2
=
24 1 1
3 2
3a − 11a + 3a−7
=
4
24 a − 1
( )
y 1 1
x − xy x x−
y
2 2
( a + )( a − )
21. 2 − − mcm = x( x − y)
( )
( − y)
y− x− y − x
=
x x
y− x+ y−
x
=
x x
( − y)
( − y)
( y−
x)
( − y)
( x−
y)
( − )
2y−
2x
2 2 2
= = =− =−
x x x x x x y x
a 1 1
22.
2
− − mcm = a a + b
a + ab a a + b
22. ( )
23.
( ) a b a b
=
( b) − aa ( − +
=−
+
+ b) ( + )
a a b a
= − + −
aa
1 1 2y
x − xy x + xy x − xy
1
=−
aa b a
2 2
23. − −
mcm= x( x − y )
2 2 3 2
( ) 2 x− y− x+
y 0
=
=
2 2 2 2 2 2
( − y) x( x − y) x( x − y)
x+ y− x− y − y
=
xx
= 0
24.
25.
x
x 3 x
2 2 2
x + x−2
− x + 2x−3 − x + 5x+
6
+ − 2= ( + 2)( −1)
2 3 ( 3)( 1)
5 6 ( 3)( 2)
mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
( + 3) − 3( + 2) − ( −1)
( x+ 2)( x− 1)( x+
3)
2
x x x x
2
x + x− = x+ x−
2
x + x+ = x+ x+
x x x x x
=
2 2
x + 3x−3x−6− x + x
=
=
x − 6
( x+ 2)( x− 1)( x+
3) ( x+ 2)( x− 1)( x+
3)
3 x 2 1 9x
3
mcm ( x 1)( x 1)
+ x+ 1
− + −
−
= − −
( x − 1) ( x −1)( x−1)
2
2
( x− ) − ( x+ )( x + x+ ) −( − x)
3
( x −1)( x−1)
2 2 3
3 1 2 1 1 9
=
2 3 2 2
3x − 6x+ 3− x − x − x−2x −2x−2− 1+
9x
=
=−
a + b
26.
a − b
x
3
( x −1)( x−1)
2 2
3
3
( x −1)( x−1)
a+
b 1
−
−
2a + 2ab+
2b 2a−
2b
3 3 2 2
3 3 2 2
a − b = ( a− b)( a + ab+
b )
+ + = ( + + )
2a− 2b= 2( a−b)
2 2
mcm = 2( a − b)( a + ab + b )
2 2 2 2
( a + b ) − ( a+ b)( a−b) − ( a + ab+
b )
2 2
2( a− b)( a + ab+
b )
2a 2ab 2b 2 a ab b
2
=
2 2 2 2
2a + 2b − a + b −a −ab−b
=
2
=
2
2 2 2 2 2 2
2
2
( a− b)
( a + ab+
b )
2
2b
− ab
2
2b
− ab
=
2 2
3 3
( a− b)( a + ab+
b ) 2( a − b )
3a
a 1 10a
1
27.
2 2 2
2a
−2a
−4
− −
−
−
4a
+ 8a−32
8a
+ 40a+
32
− − = ( − − ) = ( − )( + )
+ − = ( + − ) = ( + )( − )
( ) ( )( )
mcm= 8( a+ 4)( a− 2)( a+
1)
( + ) − ( − )( + ) −( − )( − )
8( a+ 4)( a− 2)( a+
1)
2 2
2a 2a 4 2 a a 2 2 a 2 a 1
2 2
4a 8a 32 4 a 2a 8 4 a 4 a 2
2 2
8a + 40a+ 32= 8 a + 5a+ 4 = 8 a+ 4 a+
1
12aa 4 2 a 1 a 1 10a 1 a 2
=
2 2 2
12a + 48a− 2a + 2 − 10a + 20a+ a−2
=
8 4 2 1
( a+ )( a− )( a+
)
69a
=
8 4 2 1
( a+ )( a− )( a+
)

2 2
1 a + 9x
a
28.
− −
4a−
12x
a − 27x
2 a + 3ax+
9a
28. 3 3 2 2
( )
4a− 12x= 4( a−3x)
3 3 2 2
a − 27x = ( a− 3x)( a + 3ax+
9a
)
2 2 2 2
2( a + 3ax+ 9a ) = 2( a + 3ax+
9a
)
3 3
mcm = 4( a −27x
)
2 2 2 2
a + 3ax+ 9x − 4( a + 9x ) −2a( a−3x)
=
3 3
4( a − 27x
)
2 2 2 2 2
a + 3ax+ 9x −4a −36x − 2a + 6ax
=
3 3
4 a − 27x
( )
= − 2 + − 2
5a 9ax 27x
5a − 9ax+
27x
=−
4 27
2 2
3 3
3 3
( a − x ) 4( a − 27x
)
2 2
2a
− 3 a 1 9a
14
29.
− + −
−
10a
+ 10 50 50a
+ 50
( a )
10a+ 10 = 10 + 1
50 = 50
+ = ( a+
)
mcm = 50( a + 1)
2 2
( a − ) − ( a+ )( a+ ) −( a − )
50( a + 1)
50a
50 50 1
52 3 1 1 9 14
=
2 2 2
10a −15−a − 2a−1− 9a
+ 14
=
50 1
( a )
( a + )
( a + )
( a + )
2a
2 2 1 1
= − − =− =−
50 + 1 50 1 25
EJERCICIO 130
1. 2
mcm = ( x − 3)( x + 2)
1.
2 3 4x
7
x− 3
+ x+ 2
− −
x − x−6
( x+ ) + ( x− ) −( x−
)
( x− 3)( x+
2)
2 2 3 3 4 7
=
2x+ 4+ 3x−9− 4x+
7
=
=
x + 2 1
=
x x x − 3
( x− 3)( x+
2) ( − 3)( + 2)
a 1 a 12
2.
3a+ 6
− +
+
6a+
12 12a
+ 24
2. mcm = 12( a + 2)
3.
4a− 2+ a+
12
=
=
12 2
5a
+ 10
( a + ) 12( a + 2)
( a + )
( a + )
5 2
=
12 2
x 1 1
2 2
x + 1
+ 3x − x
= +
2 2
3. mcm 3x ( x 1)
( ) ( )
2 2
3x
( x + 1)
3 2 2
3x + x x + 1 − 3 x + 1
=
3 3 2
3 2
3x + x + x−3x
−3
4x + x−3x
−3
=
=
2 2
3x
1
a 3 a a
4.
a
+− + − 1
a + + 4
2
1 2 2 4a
−− 4
2 2
( x + ) 3x
( x + 1)
5
=
12
2
4. mcm = 4( a −1)
( a+ ) + ( a− )( a− ) + ( a− )( a+
)
2
4( a − 1)
4 3 2 1 1 4 1
=
2 2
2
4a+ 12+ 2a − 4a+ 2+ a −3a−4
3a
− 3a+
10
=
=
4 1
2
2
( a − ) 4( a − 1)
a−
b a+ b a
5.
+ −
a + ab ab ab + b
5. 2 2
mcm= ab( a + b)
( ) ( )( )
ab( a + b)
ba− b + a+ b a+ b −a
=
2 2 2 2
ab − b + a + 2ab + b −a
3ab
3
=
= =
ab a
ab a b a+
b
x−
y x y x
6.
−
+ 2
4
+
x+
y x−
y x − y
( + b) ( + )
2 2
( )( ) ( )( )
x( x−
y)
( x+ y)( x−
y)
2
mcm = x − y
2
x− y x− y − x+ y x+ y + 4x
=
2 2
x − y
x − 2xy+ y − x −2xy− y + 4x
=
2 2
x − y
2 2 2 2 2
2
4x
− 4xy
4 4x
=
2 2
=
=
x − y
x + y
2 2
x 1 1
7.
2
+ + mcm = ax a − x
a − ax a x
7. ( )
( ) ( )
ax( a − x)
2
x + x a− x + a a−
x
=
x + ax− x + a −ax
=
=
ax a
2 2 2 2
( − x) ax( a − x) xa ( − x)
a
=
a

x + 1 x + 4 x
8.
−
x − x−
x − x− + + 5
2 2 2
20 4 5 x + 5x+
4
2
− − 20 = ( − 5)( + 4)
2
−4 − 5= ( − 5)( + 1)
2
+ 5 + 4= ( + 4)( + 1)
= ( − 5)( + 4)( + 1)
( x+ 1)( x+ 1) − ( x+ 4)( x+ 4) + ( x− 5)( x+
5)
( x− 5)( x+ 4)( x+
1)
x x x x
x x x x
x x x x
mcm x x x
=
2 2 2
x + 2x+ 1− x −8x− 16+ x −25
=
( x− 5)( x+ 4)( x+
1)
2
x −6x−40
=
( x − 5)( x+ 4)( x+
1)
=
( x− 10)( x+
4)
x − 10
=
( x− 5)( x+ 4)( x+
1) ( x− 5)( x+
1)
2
2x
+ 1 x 2x
9.
2
12x
+ 8 − 6x
+ x− 2
+ 16x
− 8
+ = ( x+
)
+ − = ( + )( − )
− = ( x−
)
= 83 ( + 2)( 2 −1)
( x+ )( x− ) −
2
x + x( x+
)
83 ( x+ 2)( 2x−1)
12x
8 4 3 2
2
6x x 2 3x 2 2x
1
16x
8 8 2 1
mcm x x
22 1 2 1 8 2 3 2
=
2 2 2
8x −2− 8x + 6x + 4x
=
83 2 2 1
( x+ )( x−
)
2
6x
+ 4x−2
=
83 2 2 1
( x+ )( x−
)
2
2
23 ( x + 2x
− 1)
3x
+ 2x−1
=
( x+ )( x−
) 43 ( x+ 2)( 2x−1)
=
83 2 2 1
1 1 1
10.
−
2
+
ax a + ax a + x
10. mcm = ax( a + x)
a+ x− x+
ax
=
=
ax a
ax + a
( + x) ax( a + x)
a x
=
ax a
( + 1)
x + 1
=
( + x) xa ( + x)
1 1 2y
11. 2 2 2 2
2 2
− +
mcm = ( x − y )( x + y )
16. 2 3
mcm = ( x − 1)( x + x + 1)
11.
x+
y x−
y
=
x
2 2 2 2 2 2
( x− y)( x + y ) − ( x+ y)( x + y ) + 2y( x − y )
2 2 2 2
( x − y )( x + y )
x + xy − x y− y − x − xy − x y− y + 2x y−2y
=
3
3
4y
4y
= − 4 4
=
x − y y − x
2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 2 3
4 4
+ y
2 2 2 2
( x − y )( x + y )
2
a − 1 a a a
12.
a + − − 2
a − + + 2 −6
2
3 3 6 6 9a
− 9
2
12. mcm = 18( a −1)
2
( a− )( a− ) − ( a− )( a+ ) + ( a + a−
)
2
18( a − 1)
6 1 1 3 2 1 2 2 6
=
2 2 2
6a − 12a+ 6− 3a + 3a+ 6+ 2a + 4a−12
=
2
( a − )
2
18( a − 1)
5aa
( − 1)
5a
=
( a+ )( a−
) 18( a + 1)
2
5a
− 5a
= =
18 1 18 1 1
1 2 3
13.
2
+
2 2
a + 2a−24
a −2a−8
− a + 8a+
12
2 24 ( 6)( 4)
2 8 ( 4)( 2)
8 12 ( 6)( 2)
= ( + 6)( + 2)( −4)
2 2( 6) 3( 4)
( a+ 6)( a+ 2)( a−4)
+ − = + −
2
a a a a
− − = − +
2
a a a a
+ + = + +
2
a a a a
mcm a a a
a a a
= + + + − −
a 2 2a 12 3a
12
= + + + − + =
x+
y
14.
xy
26
( a+ 6)( a+ 2)( a−4) ( a+ 6)( a+ 2)( a−4)
x+
2y
xy + y
y
x + xy
14. − − mcm = xy ( x + y)
2 2
( )( ) ( 2 )
xy( x + y)
2
x+ y x+ y − x x+ y − y
=
2 2 2 2
x + 2xy+ y − x −2xy−
y 0
=
= = 0
xy x y xy x y
3
a a 3 a 1
15.
3 2
a + 1
+ +
a − a+ 1
− − a + 1
( + ) ( + )
3
mcm = a + 1
( 1)( 3) ( 1)( 1)
3 2
a + a+ a+ − a− a − a+
=
3
a + 1
3 2 3 2 2
2
a + a + 4a+ 3− a + a − a+ a − a+
1 3a
+ 2a+
4
=
3
=
3
a + 1
a + 1
2
1 2x
3x
x − 1
+ x − 1
− x − 1
=
2 2 2
( x+ 1)( x + x+ 1) + 2x( x + x+ 1) − 3x ( x+
1)
2 2
( x − 1)( x + x+
1)
x + x + x+ x + x+ 1+ 2x + 2x + 2x−3x −3x
=
=
3 2 2 3 2 3 2
2
x + 4x+
1
2 2
( x − 1)( x + x+
1)
2 2
( x − 1)( x + x+
1)

2
a+
b 1 a
17.
−
a − ab+
b a+ b
+ 3
2 2
a + b
18.
19.
x
20.
3 3
( )( ) ( )
2 2 2
a+ b a+ b − a − ab+ b + 3a
=
3 3
a + b
a + 2ab+ b − a + ab− b + 3a
=
3 3
a + b
2 2 2 2 2
aa ( + b)
( a+ b)( a − ab+
b )
mcm = a + b
3 3
2
3a
+ 3ab
3 3a
= =
=
a + b
a − ab+
b
3 3 2 2 2 2
2
− + 2x
+ 3
+ + − 6x
+ 12
2 3
x 2 x 2x
4 x − 8
3
mcm= x −8
2
( x + x+ ) + ( x+ )( x− ) − ( x+
)
2 2 4 2 3 2 6 12
=
3
x − 8
2 2
2x + 4x+ 8+ 2x − 4x+ 3x−6−6x−12
=
3
x − 8
2
4x
−3x−10
( x− 2)( 4x+
5)
4x
+ 5
=
3
=
3
=
2
x − 8 x − 8 x + 2x+
4
x x x x x x x x
x x x x mcm x x x
=
2 2 2
3x − 3x+ 2x−2− 5x + 10x− x+ 2+ 4x + 20x−
x −5
=
x+ 5 x−2 x−1
=
2
2x
+ 27x−5
( x+ 5)( x−2)( x−1)
1
1
+ − −
( )( )( )
20. 2 3
( n + 1) n 1 ( n − 1)
n
nn ( − 1) + nn ( −1) −n−( n−1)
=
3
nn ( − 1)
1
1
− mcm = n n −
2 3
( 1)
2 3 2 3 2
2
n − n+ n − 2n + n−n− n + 3n − 3n+
1 2n
− 4n+
1
=
=
3
nn
2
1 a 5
21.
2
a + 5
− −
2
a + 5
3
( − 1) nn ( − 1)
2
a + 5
4 2
2 +
4
mcm = ( a − 25)( a + 5)
( ) a − 25
( )( ) ( )( )
4 2
( a − 25)( a + 5)
4 2 2 2 2
a −25− a −5 a − 5 + a + 5 a + 5
=
4 4 2 4 2
a −25− a + 10a − 25+ a + 10a
+ 25 a
=
=
4 2
4 2
( a − 25)( a + 5) ( a − 25)( a + 5)
3
2
2
1−
x x 6x
22.
2
− −
9−
x 9 + 6x
+ x 9 − 6x
+ x
+ 20a
−25
4 2
2 2
2
− x = ( + x)( − x) ; + x+ x = ( + x)
2
− x+ x = ( − x) ; mcm= ( + x) ( − x)
2 2 2
2 2
( 1− x )( 9− x ) − x ( 3− x) − 6x( 3+
x)
2 2
( 3+ x) ( 3−
x)
9 3 3 9 6 3
9 6 3 3 3
=
9 9 9 6 54 36 6
= − x − x + x − x + x − x − x − x − x
9−
54x
− 55x
=
3+ x 3−
x
2 2
2 2 2
2 2 4 2 3 4 2 3
( ) ( )
2
2 2
( 3+ x) ( 3−
x)
2 2
x x 1 x 1 5
23.
2x
+ 2
− +
3x
− 3
+ −
6x+ 6
− 18x−
18
2
23. mcm = 18( x −1)
( − ) − ( + )( + ) + ( − )( − ) − ( + )
2
18( x − 1)
9x x 1 6 x 1 x 1 3 x 1 x 1 5 x 1
=
2 2 2
9x −9x−6x −12x− 6+ 3x − 6x+ 3−5x−5
=
2
18( x − 1)
2
2
2
3x
+ 2 5x
+ 1 4x
1
2
−
2 2
+ 3x−10
x + 4x− 5
+ −
6x
−32x−8
2( 3x
−16x−4)
3x
−16x−4
=
=
=
x − 3x+
2
2
2
2
18( x − 1)
18( x − 1) 9( x − 1)
2 2
+ 3 − 10= ( + 5)( − 2) ; + 4 − 5= ( + 5)( −1)
a 2 a a
2
24. mcm
− 3 + 2= ( −2)( − 1) ; = ( + 5)( −2)( −1)
( a )
a
++ − 7
a − − − 3
2
2
= 8 −1
2 2 8 8 4a
− 4
( 3x+ 2)( x−1) − ( 5x+ 1)( x− 2) + ( 4x− 1)( x+
5)
4( a+ 2)( a−1) −7a−2( a− 3)( a+
1)
=
( x+ 5)( x−2)( x−
2
1)
8( a − 1)
2 2
2
4a + 4a−8−7a− 2a + 4a+
6 2a
+ a−2
=
=
8 1
a − 3 2a
+ 5 4a
− 1
25.
+ −
20a
+ 10 40a
+ 20 60a
+ 30
2
2
( a − ) 8( a − 1)
25. mcm = 120( 2a
+ 1)
( a− ) + ( a+ ) − ( a−
)
120( 2a
+ 1)
12 3 6 2 5 4 4 1
=
12a− 36+ 12a+ 30− 16a+
4
=
120( 2a
+ 1)
a − 24 ( a − 1)
4a
− 1
=
=
( a + ) 120( 2a
+ 1) 60( 2a
+ 1)
8 2
=
120 2 1
2 1 3
26.
2 2 2
2x + 5x+ 3
− 2x − x− 6
+ x − x−2
2
x + x+ = ( x+ )( x+
)
2
2x − x− 6= ( 2x+ 3)( x−2)
2
x − x− 2= ( x− 2)( x+
1)
= ( 2 + 3)( + 1)( −2)
2( x−2) − ( x+ 1) + 3( 2x+
3)
( 2x+ 3)( x+ 1)( x−2)
2 5 3 2 3 1
mcm x x x
=
2x−4− x− 1+ 6x+
9
=
=
7x
+ 4
( 2x+ 3)( x+ 1)( x−2) ( 2x+ 3)( x+ 1)( x−2)

a − 1 a
27.
a − − − 2
a+ + 1
2 3 a−
1
27. mcm = ( a − 2)( a + 3)( a −1)
=
2 2
( a− 1) ( a+ 3) −( a−2) ( a− 1) + ( a− 2)( a+
3)
( a− 2)( a+ 3)( a−1)
2 2 2
( )( ) ( )( )
( a− 2)( a+ 3)( a−1)
a − 2a+ 1 a+ 3 − a − 4a+ 4 a− 1 + a + a−6
=
3 2 2 3 2 2 2
a + 3a −2a − 6a+ a+ 3− a + a + 4a −4a− 4a+ 4+ a + a−6
=
( a− 2)( a+ 3)( a−1)
2
2
x 2x
x 2x
x 2x
2
7a
− 12a+
1
2.
2
− = + = +
=
x − xy y−
x x( x−
y)
x−
y x−
y x−
y
( a− 2)( a+ 3)( a−1)
mcm = x − y
2+
3a
2 3
28.
− − a a
−
2−
3a
2+
3a
2−
3a
=
2
2 mcm = ( 4−9a )( 2−3a)
( )
2
3
( 2+ 3a)( 4−9a ) −( 2−3a) − a( 2+
3a)
2
( 4−9a
)( 2−3a)
8 18 12 27 8 36 54 27 2 3
= − a + a − a − + a − a + a − a − a
=
2 3 2 3 2
46a−
75a
2
( 4−9a
)( 2−3a)
1 1 1
29.
+ −
5+
5a 5 − 5a 10 + 10a
2
2
( 4−9a
)( 2−3a)
2 2
29. 2 mcm= 10( 1+ a )( 1−a
)
2 2 2
( + a )( − a) + ( + a )( + a) −( −a
)
2 2
10( 1+ a )( 1−a
)
2 1 1 2 1 1 1
=
2 2 2 2 2 2 2 2 1
= − a + a − a + + a + a + a − + a
10 1 1
2
5a
+ 3
=
10 1
4
( − a )
2 3 2 3 2
2 2
( + a )( −a
)
1 1 x x
30.
− + −
3−
3x
3 + 3x
6 + 6x
2 − 2x
2 2
x ( x) ; x ( x)
=
2 2 2 2
x ( x ) ; x ( x )
2 2 4
= 61 ( + )( 1− ) = 61 ( − )
=
2
( + x )( + x) −
2 2
( + x )( − x) + x( − x ) −
2
x( + x )
4
61 ( − x )
3− 3 = 3 1− 3+ 3 = 3 1+
6+ 6 = 6 1+ 2− 2 = 2 1−
mcm x x x
21 1 21 1 1 3 1
=
2 3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 3
= + x + x + x − + x − x + x + x − x − x−
3x
4
61−
x
2x
x
= =
61 31
4 4
( − x ) ( − x )
( )
1.
3
EJERCICIO 131
1 m 1 m
m− n
+ =
n −m m−n
− m −n
2 2 2 2
m+ n−m
n
= =
m −n
m −n
2 2 2 2
x+
2x
3x
= =
x−
y x−
y
1 x 1 x
3.
+
2x−
x x − 4
= −
x 2 − x 4 − x
2 2
mcm= m −n
2 2 2
( )
2
= ( 4 − )
2
x x ( 2− x)( 1+
x)
1+
x
=
=
2
( 4 − x ) x( 2− x)( x+
2) x( 2 + x)
mcm x x
2
= + −
x
a+
b a
4.
+
a − ab b
a+
b
2 2 2 2 2
− a aa ( − b)
a − b
2 2
= ( − )
2 2 2 2
2
( a+ b)( a+ b)
−a
a + 2ab+ b −a
2ab
+ b
=
=
2 2
2 2
2 2
aa ( − b) aa ( − b) aa ( − b)
mcm a a b
=
x − 4
5.
2
x
x
=
−2x−3 − 6−
2x
( x− 3)( x+
1) 2( x − 3)
= 2( − 3)( + 1)
2 2
( x− ) + x( x+
) 2x− 8+ x + x x + 3x−8
=
=
2( x− 3)( x+
1) 2( x− 3)( x+
1) 2( x− 3)( x+
1)
mcm x x
2 4 1
=
=
−
x − 4
1 1
1
1
6.
2
x + 2x− 8
+ =
−
2− x x+
3 x+ 4 x−2
x− 2 x+
3
( )( ) ( )( ) ( )( )
= ( − 2)( + 3)( + 4)
x+ 3− ( x+
4)
( x− 2)( x+ 3)( x+
4)
mcm x x x
=
x+ 3− x−4
( x− 2)( x+ 3)( x+
4)
− 1
=
( x− 2)( x+ 3)( x+
4) ( 2− x)( x+ 3)( x+
4)
1 2 7 1 2 7
7.
2x+ 2
+ 1− x + 4x− 4
= − +
2 x + 1 x − 1 4 x − 1
mcm
( ) ( )
2
= 4( x −1)
( x− ) − ( x+ ) + ( x+
)
2
4( x − 1)
2 1 8 1 7 1
=
2x−2−8x− 8+ 7x+
7
=
=
4 1
1
a
2 2
( x − ) 4( x − 1)
+
x − 3
x

2a
3a
2a
8.
a + 3
+ a − 3
+ 9 − a
2
mcm = a −9
( ) ( )
2aa− 3 + 3aa+ 3 −2a
=
2
a − 9
2a
3a
2a
= + −
a + 3 a − 3 a − 9
2 2
2 2
2
2a − 6a+ 3a + 9a−2a
5a
+ a
=
2
=
2
a − 9 a − 9
2
2
x+
3y
3y
x x+
3y
3y
9.
+ 2 2 − = +
y+
x x − y y−
x y+
x x − y
mcm = x − y
=
2 2
2
( x+ 3y)( x− y) + 3y + x( x+
y)
x
− y
2 2
2 2
x
−
x−
y
2 2 2 2
2
x − xy+ 3xy− 3y + 3y + x + xy 2x
+ 3xy
=
2 2
=
2 2
x − y
x − y
10.
x
=
2
x x 3 1
+ 2x− 3
+ −
+
x x x + 2
x
( 1− )( + 2)
−
x − 3
( x+ 3)( x−1) ( x− 1)( x+
2)
x + 2
= ( + 3)( + 2)( −1)
x( x+ 2) −( x− 3)( x+ 3) + ( x+ 3)( x−1)
( x+ 3)( x+ 2)( x−1)
mcm x x x
=
x + 2x− x + 9+ x + 2x−3
=
=
2 2 2 2
( x+ 3)( x+ 2)( x−1) ( x+ 3)( x+ 2)( x−1)
+
1
x
+ 4x+
6
3 1 4 3 1 4
11.
2 2
2a+ 2
− 4a− 4
− = − +
8−
8a 2 a+
1 4 a−
1 8 a − 1
mcm
2
= 8( a −1)
( a ) ( a )
2
8( a − 1)
12 −1 − 2 + 1 + 4
=
2 2
( a − ) 8( a − 1)
( ) ( ) ( )
10( a − 1)
5
=
( a− )( a+
) 4( a+
1)
12a−12 −2a− 2 + 4 10a
− 10
=
= =
8 1
8 1 1
1 a 1 2
12.
a − 3
+ +
+
3−a a−2
2−a 1−a
13.
=
( )( ) ( )( )
1 a 1
− − +
a 3 ( a−3)( a−2) ( a−2)( a−1)
= ( −3)( −2)( −1)
( a−2)( a−1) − ( a+ 1)( a− 1) + 2( a−3)
( a−3)( a−2)( a−1)
mcm a a a
=
2 2
a − 3a+ 2− a + 1+ 2a−6
=
=
( a−3)( a−2)( a−1)
−a
−3
=
( a−3)( a−2)( a−1) ( 3−a)( a−2)( a−1)
3 2
2x
2x
2x
1
3 2
x − 1
+ +
+
1−
x x + x+
1
( x+
)
2
2x
2x
1 1
= −
3
+
2
x − 1 x − 1 x + x+
1
3
mcm = x −1
+
2
a + 3
2 2
( + + ) − ( + ) + ( − )
2x x x 1 2x x 1 x 1
=
3
x − 1
3 2 3 2
2x + 2x + 2x−2x − 2x + x−1
3x
− 1
=
3
=
3
x − 1
x − 1
2
x 2 x x x
14.
x
+− + + 1 4 + 6 + 3
+
2
3 1 3−
2x
6x
− 11x+
3
2
x 2 x x x
=
+− − + 1
− + 4 + 6 + 3
3x
1 2x
3 ( 2x−3)( 3x−1)
= ( 2 −3)( 3 −1)
( )( ) ( )( )
( 2x−3)( 3x−1)
mcm x x
2
x+ 2 2x−3 − x+ 1 3x− 1 + 4x + 6x+
3
=
2 2 2
2x − 3x+ 4x−6− 3x + x− 3x+ 1+ 4x + 6x+
3
=
=
( 2x−3)( 3x−1)
2
3x
+ 5x
− 2 ( x+ 2)( =
( 2x−3)( 3x−1)
( 2x−3)( 3x−1)
x + 2
=
2x
− 3
EJERCICIO 132
2 2 2 2
1. 2 a 6b
12ab
⋅ = =ab
3b
4a
12ab
2. xy 2 a 3
2 3 3
10 9m
90x ya m 6ay
⋅ ⋅ = =
2 3
3 2
5 3m
x 15xm
xm
2
3. 5 x
7y
3
2
2 2
4y
14m
14⋅5⋅4xmy
⋅ ⋅ =
3 4
7m
5x
49⋅5xmy
4. 5 2 a 3 b 10⋅3ab
3
⋅ ⋅ = =
2 2
a b 10 10ab
b
8
=
7xmy
4 3 3 2 2
3
2x
5.
15a
6.
7a
6m
3
2 2
2 5
3a
5x
15⋅2ax
⋅ ⋅ =
2
y 7xy
15⋅7axy
3 3
4
2x
=
7ay
3m
5n
735 ⋅ ⋅ amn n
⋅ ⋅ =
=
2 2
10n
14ax
14⋅6⋅10am n x 8mx
2 2
4 4
( )
2
2x
+ x 8 x 2x+
1 4 2x
7.
+ = ⋅ =
6 4x
+ 2 3 22x
+ 1 3
( )
( ) ( )
( )
5x+
25 7x+
7 5 x+
5 7 x+
1 x + 1
8.
⋅ = ⋅ =
14 10x
+ 50 14 10 x + 5 4
3
2

m+
n
9.
mn − n
2
2
n
⋅
m − n
m+
n
= ⋅
nm
2 2
n
2
( − n) ( m+ n)( m−n) ( m−
n)
2
xy − 2y
x + 2xy+
y
10.
2
⋅
2
x + xy x − 2xy
( − 2y)
( +
yx
=
xx
2 2
2
( x+
y)
( − 2y)
⋅
x x
2 2 2
x − 4xy+
4y
x
11.
2
⋅
x + 2xy
x − 4y
=
2 2
=
n
( + y)
y x
=
x
2
n
=
m − 2mn+
n
2 2 2
xy + y
=
2
x
2
2
( x−
2y)
x x( x − 2y)
x
⋅
=
2 =
x( x+
2y) ( x+ 2y)( x−2y)
( x+
2y)
2
2
x + x x − 3x
2x( x 1) x( x 3)
2
⋅
2 2
2x
x −2x− 3
= + −
⋅
2x
( x− 3)( x+
1)
2 2
12.
2
a − ab+ a−b
3
13.
2
⋅
2
a + 2a+
1 6a − 6ab
14.
15.
16.
17.
2
2
− 2xy
x + 4xy+
y
2 2
= 1
( a+ a−b)
3 1 1
=
⋅ = =
2
( a+ 1)( a+
1) 6a( a−
b) 2a( a+
1)
2a + 2a
3
2
( x−
y)
x + x+
1 ( x−
y)
2
x
3
⋅
2 =
x x 1
2
x − 1 ( x−
y)
( x− 1)( x + x+
1)
x
2
2a
− 2 a −4a−5
2( a − 1)
( a− 5)( a+
1)
2 ⋅
=
⋅
2
2a
− 50 3a
+ 3 2( a − 25)
3( a + 1)
( a−1)( a−5)
a − 1
=
=
3( a+ 5)( a−5) 3( a + 5)
2
2x
−3x−2
3x
+ 6 ( x− 2)( 2x+
1)
3( x + 2)
⋅
2
=
⋅
6x
+ 3 x − 4 32 ( x + 1)
( x− 2)( x+
2)
2
y + 9y+
18 5y
− 25 ( y+ 6)( y+
3) 5( y − 5)
⋅ =
⋅ y
y − 5 5y
+ 15 y − 5 5( y + 3)
3 2
2
x + 2x −3x
2x
+ 3x
18.
2
⋅
2
4x
+ 8x+
3 x − x
=
=
2
x( x + 2x−3)
( 2x+ 3)( 2x+
1)
x( x+ 3)( x−1)
( 2x+ 1)( x−1)
3
2
x − 27 a + a+
1
19.
3
⋅
2
a − 1 x + 3x+
9
=
( 2x+
3)
( − 1)
( + 3)
x
⋅
x x
x x
=
2x
+ 1
2
( x− 3)( x + 3x+
9)
2
( a− 1)( a + a+
1)
2 2
a + 4ab+
4b 2a+
4b
20.
⋅
3 =
3 a+
2b
( )
2
x + 3x
=
2x
+ 1
2
a + a+
1 x 3
⋅
2
x + 3x+ 9
= − a − 1
y
⋅ + + = − − 1
2
( a+
2b) 2( a+
2b)
⋅
3
3 ( a+
2b)
2
aa−
3 a − 3a
a − 1 = =
=
a − 6 a − 6
3a
+ 15 2 2 2 2 2
x −3xy−10y
x − 16y
x − 6xy
26.
2 2
⋅
2
⋅
x −2xy−8y
x + 4xy
x+
2y
= 1
( x− 5y)( x+
( x+ 4y)( x−4y)
x x−
6y
=
⋅
⋅
( x− 4y)( x+
2y)
xx ( + 4y)
x+
2y
= + 6
2 2
( x−5y)( x−6y)
x − 11xy+
30y
=
=
x+
2y
x+
2y
=
2
3
( )
( )
2 2 2
1−
x
1 1
21.
2
+ 1
⋅ a + a x
⋅ = − x
−
+ 1
⋅ aa+
x
⋅ = x
a x x a a x 1−
x a
x
22.
x
23.
2
2
2
2
+ 2x
x −2x−8 x + 4x
⋅
3 2
⋅
2
− 16 x + x x + 4x+
4
x( x+
2)
( x− 4)( x+
2)
x( x+
4)
=
⋅
⋅
2
( x− 4)( x+
4)
x ( x+
1)
( x+ 2)( x+
2)
2
2
x ( x+ 2) ( x− 4)( x+
4)
1
=
2
2
=
x ( x+ 2) ( x− 4)( x+ 4)( x+
1)
x + 1
2
2
2
2
( m+ n)
− x ( m−n)
− x
2 ⋅
2
2
( m+ x)
−n
m + mn−mx
( m+ n+ m+ n−
( m− n+ x)( m−n−
x)
=
⋅
( m+ n+ x)( m− n+
x)
mm ( + n−
x)
m−n−
x
=
m
3 2 3
24.
2a
+ 2ab
x − x x
2
⋅
2 2
⋅
2ax
− 2ax
ax+
bx x + 1
( + b)
( − )
2aa
=
2ax x 1
2 2 2
2
a − 5a+
6
25.
⋅
3a
− 15 a
=
( − 1)
2 2
( + b)
x x
⋅
xa
2
x
⋅
x + 1 = 1
2
6a
a − 25
⋅
−a−30
2a
− 4
( a−3)( a−2)
6a
( a+ 5)( a−5)
⋅
⋅
3( a − 5) ( a− 6)( a+
5)
2( a − 2)
( )
x + 4ax+
4a
27.
2
3ax
− 6a
2 2
2
( x+
2a)
⋅
a( x−
a)
( x+
a)
=
a( x+
1)
=
3 2
4 2
=
( )
2
2ax
− 4a
6a+
6x
⋅ ⋅
ax + a x + 3ax+
2a
( − a)
6( a+
x)
⋅
( + 1)
( x+ 2a)( x+
a)
2a x 2
a x
4x+
8a
ax + a
2
3 2
a − 81 a + 11 2a
− 12 a + 5a
28.
2
⋅
2
⋅ ⋅
2a
+ 10a
a − 36 2a
+ 18 2a
+ 22
=
=
( a+ 9)( a−9)
a + 11
⋅
2aa
( + 5) ( a+ 6)( a−6)
2
aa ( − 9)
a − 9a
=
4( a + 6)
4a
+ 24
2 2
( a − )
( a + )
2
( a+
5)
( a + )
2 6 a
⋅ ⋅
2 9 2 11

2
2
3 2
a + 7a+
10 a −3a−4
a −2a −3a
29.
2
⋅
2
⋅
2
a −6a−7
a + 2a−15
a −2a−8
=
=
( a+ 5)( a+
2)
( a− 4)( a+
1)
⋅
( a− 7)( a+
1)
( a+ 5)( a−3)
aa ( − 3)( a+
1)
aa ( + 1)
= =
( a−3)( a−7)
a −
2
a + a
7 a − 7
⋅
2
aa ( −2a
−3)
( a− 4)( a+
2)
30.
4
4
x + 27x
x x
x − x + x
⋅ +
=
=
3 2 4 3 2 2
x − 3x + 9x x( x+
3)
x − 3
3
3
x( x + 27)
x( x + 1)
x
⋅
⋅
2
2 2 2
x( x − x+
1)
x ( x − 3x+
9) ( x+ 3) ( x−3)
2
2
( x+ 3)( x − 3x+
9) ( x+ 1)( x − x+
1)
1
2
⋅
2
⋅
2
x − x+
1 x − 3x+
9 ( x − 9)( x+
3)
x + 1
=
2
x − 9
⋅
1
⋅
x
2
EJERCICIO 133
⎛
1.
a
a ⎞ ⎛ a ⎞
⎜ + ⎟ ⎜ a − ⎟
⎝ b⎠
⎝ b + 1⎠
( + 1)
( 1)
( + 1)
a
a ab + a ab
⇒ + = =
b b b
a ab+ −a
ab + a −a
ab
⇒a
− =
= =
b + 1 b + 1 b + 1 b + 1
ab
⇒
b
ab
⋅ a
b + 1
=
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2.
⎜ x − ⎟ ⎜ x + ⎟
⎝ x + 1⎠
⎝ x + 2⎠
2 x x
⇒ x − =
x + 1 x + 1
1 x x
⇒ x +
x + = + +
=
2 x + 2
( x 2)( x 1) ( x + 1)
⇒ + −
x + 1
⎛ x ⎞
⎜1−
1
3.
⎝ + ⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
+ x⎞
⎟
a x a⎠
2
2
( + 1) −2
x + x−2
( x+ 2)( x−1)
=
x + 1
2
( 2) 1 x + 2x+
1 ( x+ 1)( x+
1)
2
⋅
x + 2
x a+ x−
x a
⇒1−
= =
a+
x a+
x a+
x
x a+
x
⇒ 1+ =
a a
a a+
x
⇒ ⋅ = 1
a + x a
2
⎛ ab ⎞ ⎛ b ⎞
⎜ a + ⎟ ⎜1−
2
⎟
4.
⎝ a−
b⎠
⎝ a ⎠
( )
x + 2
=
=
( )( )
x + 1
x + 2
2
= x− 1 x+ 1 = x −1
2 2
ab aa b ab a ab ab a
⇒ a +
a− b
= − + − +
=
=
a−
b a−
b a−
b
2
b a − b
⇒1− 2
=
2
a a
2 2
2 2 2
a a − b
⇒ ⋅ =
a −
2
b a
( a+ b)( a−b)
( a−
= a+
b
⎛ 12 ⎞ ⎛ − x⎞
⎜ x + 2 − ⎟ ⎜ x − 2 +
10 3 ⎟
5.
⎝ x + 1⎠
⎝ x + 5 ⎠
12
⇒ x + 2 −
x + 1
=
( x )( x )
x
=
+ 2 + 1 −12
x + 1
+ 3x+ 2−12
x
=
x + 1
2 2
− x
⇒ x − 2 +
10 3 x + 5
( )( )
( x 5)( x 2)
+ 3x−10
=
x + 1
x x
⇒ + −
⋅
x + 1 x + 5
=
x − 2
x + 1
( x+ 5)( x−2)
x + 1
2 2
x− 2 x+ 5 + 10−3x
x + 3x− 10+ 10−3x
x
=
=
=
x + 5
x + 5 x + 5
2
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎜1+
⎟ ⎜ x − ⎟
6.
⎝ y⎠
⎝ x+
y⎠
x y+
x
⇒ 1+ =
y y
2 3 2
2
( )
( )
x − 2x
=
x + 1
2 2 2 2
x x x+ y − x x + xy−
x xy
⇒ x − =
=
=
x+
y x+
y x+
y x+
y
y
⇒ + x xy
⋅ = x
y x+
y
2
⎛ ax + x ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ a+ x−
⎟ ⎜1+
⎟
7.
⎝ a+
2x
⎠ ⎝ a+
x⎠
2
ax + x
⇒ a+ x−
a+
2x
=
2
( a+ x)( a+ 2x) − ( ax+
x )
( a x)
a+
2x
a + 3ax+ 2x −ax−
x
=
a+
2x
x a x x a x
⇒ +
a+ x
= + + + 2
1
=
a+
x a+
x
a x
⇒ + + 2
⋅ = a+
x
a+
2x
a+
x
( a+
x)
a + 2ax+
x
=
=
a+
2x
a+
2x
2 2 2 2 2
2
2

⎛ x − 6x⎞
⎛ 8 ⎞
⎜ x −
2
⎟ ⎜ x + 1−
⎟
8.
⎝ x − 25⎠
⎝ x + 3⎠
3
2 3
x − 6x
x x −25 − x −6x
⇒ x − 2 =
2
x − 25 x − 25
( ) ( )
3 3
x −25x− x + 6x
x x
=
= − 19 19
=
x − 25 x − 25 25−
x
( x )( x )
8
⇒ x + −
x + = + 1 + 3 −8
1
3 x + 3
19x
2
25 x
⇒ −
3
=
x
=
19x( x−
1)
( 5− x)( x+
3)
⋅
2 2 2
+ 4x+ 3−8
x
=
x + 3
2 2
( x+ 5)( x−1)
x + 3
+ 4x−5
=
x + 3
2
2
19x
− 19x
19x
− 19x
=
2 =
2
5x+ 15− x −3x
15+ 2x−
x
2 2 2
⎛ 14x
⎞ ⎛ a + 5x
⎞
⎜ a+ 2x−
⎟ ⎜ a− x+
⎟
10.
⎝ 2a+
x⎠
⎝ a+
4x
⎠
2
14x
⇒ a+ 2x−
2a+
x
( )( )
2
a+ 2x 2a+ x −14x
=
2a+
x
2a + 5ax+ 2x −14x
=
2a+
x
a + 5x
⇒a− x+
a+
4x
a
=
( )( )
2 2
a− x a+ 4x + a + 5x
=
a+
4x
2a + 5ax−12x
=
=
2a+
x
2 2 2 2 2
2 2
( x+ 5)( x−1)
x + 3
( a+ 4x)( 2a−3x)
2a+
x
2 2 2 2 2 2
+ 3ax − 4x + a + 5x
2a + 3ax+
x ( a+ x)( 2a+
x)
a+
4x
( a 4x)( 2a 3x) ( a+ x)( 2a+
x)
⇒ + −
2a+
x
( )( )
⋅
=
a+
4x
= 2a− 3x a+ x = 2a −ax−3x
EJERCICIO 134
1.
2
x
3y
2 3
2x
x y xy
÷ = ⋅ =
2
y 3y
2x
6
2 3
2
2 2
2. 3 ab 2 3 3ab
1 3
÷ ab = ⋅ =
2
5x
5x a b 5b x
2
4
2
a+
4x
2 2 3 2 2
3. 5 m 10m
5m
14an
an
÷ = ⋅ =
3
4 3 4 2
7n
14an
7n
10m
m
2 3
4. 6ax
2
5. 15 m
19ax
2
ax 2 3 5
÷ = 6ax
⋅ = 30x
2
5 ax
3
2 3
6. 11 xy
2
7m
2
2
2
20y
15m
38ax
3max
÷ = ⋅ =
3 4
3 2
2
38ax
19ax
20y
2y
2 3
4
2
3 4
4 11xy
1 x
÷ 22y
= ⋅ =
2 4 2
7m
22y
14my
2
=
2 2
a+
4x
m
mn
3
⎛ ⎞ n
⎜ −
9.
⎝ m+
n⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
+ ⎞
1 3 ⎟
m ⎠
( )
m
mn
2 2
mm n mn m mn mn m
⇒ −
m+ n
= + − + −
=
=
m+
n m+
n m+
n
3 3 3
n m + n
⇒ 1+ 3
=
3
=
m m
m
⇒ ⋅
m + n
( m+ n)( m − mn+
n )
2 2 2
m
2
⎛ a⎞
⎛ b⎞
⎛ b ⎞
11.
⎜1+
⎟ ⎜1−
⎟ ⎜1+
2 2⎟
⎝ b⎠
⎝ a⎠
⎝ a − b ⎠
a b
⇒ 1+ = + a
b b
b a
⇒1− = − b
a a
2
2
b a
⇒ 1+
2 2
=
a − b a − b
2 2
( m+ n)( m − mn+
n )
3
2 2
b
⇒ + a a− b a
⋅ ⋅
b a + −
m
( a b)( a b)
3
=
2 2
m − mn+
n
m
a
= =
ab
⎛ 2 ⎞ ⎛ 6 ⎞
⎜ 2 + ⎟ ⎜ 3−
1 1
12.
⎝ + 1⎠
⎝ + 2⎠
⎟ ⎛
⎜
⎝
+ ⎞
⎟
x x x⎠
2 2 1 2
⇒ 2 +
+ 1
= + +
=
x x + 1
( x + )
2 2
a
b
( x ) 2x
+ 4 2( x + 2)
( x )
=
x + 1
x + 1
6 3 2 6 3 6 6 3
⇒3−
+ 2
= + − x + − x
= =
x x + 2 x + 2 x + 2
1 1 x +
⇒ + =
1
x x
x− 1 2x− 2 x− 1 6
7.
÷ = ⋅ = 1
3 6 3 2 x − 1
7. ( )
2
3a
8.
a + 6ab+
9b
2 2
2 2 3x
1
⇒ ⋅
6
+ 1 + 2
⋅ x + =
x x x
3
5a
÷
2 2
=
ab+
3ab
3
x − x 5x
− 5x
9.
2
÷ =
2x
+ 6x
2x
+ 6
3a
2
( a+
3b)
x( x − 1)
2x( x+
3)
2 2
1 2
10.
2
÷
2
a −a−30
a + a−42
=
( + 3b)
ab a
⋅
5a
2 3
( x + )
( − )
3b
=
5 3
2 3 x + 1
⋅ =
5x x 1 5x
1 ( a+ 7)( a−6)
a + 7
⋅
=
( a− 6)( a+
5)
2 2( a + 5)
2
x − x 4x
− 6 5x( 4x−
6)
x + 1
3 2
÷ =
⋅
2
x + x x + 1 15x
( x+
1) ( 4x
− 6)
20 30
11.
15 15
( a+
b)
1
=
3x

2
a − 6a+
5 a
12.
2
÷
a − 15a+
56 a
=
=
+ 2a−35
−5a−24
( a−5)( a−1)
( a− 8)( a+
3)
⋅
( a−8)( a−7)
( a+ 7)( a−5)
2
( a− 1)( a+
3)
a + 2a−3
=
2
( a− 7)( a+
7)
a − 49
2
2
8x
+ 26x+
15 6x
+ 13x−5
13.
2
÷
2
16x
− 9 9x
− 1
=
2
2
( 2x+ 5)( 4x+
( 3x+ 1)( ⋅
( 4x+ 3)( 4x−3)
( 2x+ 5)( 3x−1)
3
2
x − 121x
x − 11x
14.
2 ÷
x − 49 x + 7
=
2
x( x − 121)
( x+ 7)( x−7)
( x + 7)
( − 11)
⋅
x x
2
ax + 5 ax 5a
15.
2
4a
− 1
÷ +
2a
− 1
=
ax
2
3 2 2
+ 5
⋅
2a
− 1
x + 11
=
x − 7
3x
+ 1
=
4x
− 3
2 2 2
( 2a+ 1)( 2a−1) a ( ax + 5) a ( 2a+
1)
4
4 2
a − 1 a + 4a
+ 3
16.
3 2
÷
3
a + a 3a
+ 9a
=
2 2
2
( a + 1)( a −1)
3aa
( + 3)
⋅
2
2 2
a ( a+
1)
( a + 3)( a + 1)
3
3 2
x + 125 x − 5x + 25x
17.
2
÷
2
x − 64 x + x−56
=
=
2
( x+ 5)( x − 5x+
25)
( x+ 8)( x−8)
2
( x+ 5)( x−7)
x −
=
2
x( x−
8)
x
=
1
( a − )
3 1
=
a
( x+ 8)( x−7)
2
( − 5x
+ 25)
⋅
x x
2x−35
− 8x
16x − 24xy+
9y
18.
16x−
12y
=
a
19.
a
64x
− 27y
÷
32x + 24xy+
18y
2 2 3 3
2 2
2
2 2
( 4x−
3y)
216 ( x + 12xy+
9y
) 1
⋅
=
2 2
44 ( x−
3y)
( 4x− 3y)( 16x + 12xy+
9y
) 2
2
2
− 6a
a + 3a−54
aa ( − 6)
aa ( + 9)
3 2
÷
2
= ⋅
2
+ 3a
a + 9a
a ( a+
3)
( + 9)( −6)
2
2
15x
+ 7x−2
6x
+ 13x+
6
20.
3
÷
2
25x
− x 25x
+ 10x+
1
=
1
=
a a a + 3
2
( 3x+ 2)( 5x−1)
( 5x
+ 1)
5x
+ 1
⋅
=
x( 5x− 1)( 5x+
1)
( 2x+ 3)( 3x+
2) x( 2x+
3)
3
2
x − 1 7x
7x
7
21.
2
3
2x
− 2x+ 2
÷ + +
7x
+ 7
=
=
2
3
( x− 1)( x + x+
1)
7( x + 1)
⋅
2
2
2( x − x+
1)
7( x + x+
1)
( x − 1)
( ) ( )( ) ( − 1)( + 1)
2
⋅ x+ 1 x − x+ 1 =
2
2 x − x+
1
2
2mx − 2my + nx −ny
22.
÷ 8m+
4n
3x−
3y
=
( 2m+ n)( x−
y)
1
⋅
3( x−
y) 42 ( m+
n)
2
2
x − 6x+
9 x + 5x−24
23.
2
÷
2
4x
− 1 2x
+ 17x+
8
=
1
=
12
2
( x − 3)
( 2x+ 1)( x+
8)
⋅
( 2x+ 1)( 2x−1)
( x+ 8)( x−3)
2a + 7ab−15b
24.
3 2
a + 4a b
=
2 2
a −3ab−40b
÷
a −4ab−32b
2 2
2 2
5x
+ 1
=
2
2x
+ 3x
2
x x x − 1
=
2
x − 3
=
2x
− 1
( a+ 5b)( 2a−3b)
( a− a+
4b)
⋅
a ( a+
4b)
( a− 8b)( a+
5b)
2a−
3b
=
a
2 2
EJERCICIO 135
⎛ a ⎞
⎜1+ 1 2
1.
⎝ + ⎠
⎟÷ ⎛
+ a⎞
⎜ ⎟
a b ⎝ b ⎠
a a 2
⇒ 1+ = + b + a a+
b
=
a + b a+
b a+
b
⇒ 1+ 2 a b
= + 2 a
b b
2a
2 2
⇒ + b b
÷ + a a+
b b b
= ⋅ =
a+
b b a+
b b+
2a
a + b
⎛ 2 ⎞ ⎛ x ⎞
⎜
2.
x − ⎟ ÷ ⎜ x − ⎟
⎝ x + 1⎠
⎝ x + 1⎠
( )
2
2 x x x x
⇒ x −
x + = + 1 −2
+ −2
=
1 x + 1 x + 1
( 1)
2
x x x x x
⇒ x −
x + = + −
=
1 x + 1 x + 1
2
x x x x x x x x
⇒ + − 2 2
2
2
÷
x + x + = + −2
+ 1 + −2
⋅
2 =
2
1 1 x + 1 x x

2
⎛ a ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜1− a + ⎟÷ ⎜1+
2
⎟
3.
⎝ 1 + a⎠
⎝ a − 1⎠
a
⇒1− a + =
1 + a
( 1 )( 1 )
1+
a
2
2 1 2
⇒ 1+
2
2
− 1
= a − + a
=
a a − 1 a
1 a
⇒ ÷
1 + a a
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ x + ⎟÷ ⎜ x + ⎟
4.
⎝ x + 3⎠
⎝ x + 4⎠
2
2
2 x x
⇒ x +
x + = + +
3 x + 3
3 x x
⇒ x + =
x + 4 x + 4
− a + a + a
+ 1
− 1
2
+ 1 1 1 1
2 2
− 1
= 1+ ⋅ a −
+ 1
= a −
a a a + 1
1
= − a + a
1 + a
2 2 2 2
2
2
1
=
1 + a
2
( 3) 2 x + 3x+
2 ( x+ 1)( x+
2)
2
( + 4) + 3 x + 4x+
3 ( x+ 3)( x+
1)
( x 1)( x 2) ( x+ 3)( x+
1)
⇒ + +
x + 3
=
x + 4
( x+ 1)( x+
2)
x + 4
⋅
x + 3 ( x+ 3)( x+
1)
2
⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞
5.
⎜ a+ b+
⎟÷ ⎜1−
⎟
⎝ a−
b⎠
⎝ a+
b⎠
÷
=
=
x + 3
=
( )( )
x + 4
b a b a b b
⇒ a+ b+
a− b
= + − +
a−
b
b a b b a
⇒ −
a+ b
= + −
1
=
a+
b a+
b
=
=
( x+ 2)( x+
4)
2
( x + 3)
( b)
a a a a b aa
⇒ ÷
a − b a+ b
= a− b
⋅ + +
=
a a−
b
x + 3
x + 4
a − b + b
=
a−
b
2
x + 6x+
8
=
2
x + 6x+
9
a + ab
=
a−
b
a
=
a−
b
2 2 2 2 2 2
2 2 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
6.
⎜1−
3
⎟÷ ⎜ x + ⎟
⎝ x + 2⎠
⎝ x − 1⎠
3
3
1 x + 2−1
x + 1
⇒1−
3
=
3
=
3
=
x + 2 x + 2 x + 2
( )
2
1 1 1 1
⇒ +
− 1
= x x− + x − x+
x
=
x x − 1 x − 1
2
( x 1)( x x 1)
⇒ + − +
3
x + 2
=
2
x − x+
1
÷
x − 1
2
( x+ 1)( x − x+
1)
3
x + 2
2
( x+ 1)( x − x+
1) x − 1 ( x 1)( x 1)
x + 2
⋅
x
− + 1
= + −
x x − 2
3 2 3
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
⎜ x + ⎟÷ ⎜1+
2
⎟
7.
⎝ x+
2⎠
⎝ x − 4⎠
1 x x
⇒ x + =
x + 2 x + 2
2
( + 2) + 1 x + 2x+
1 ( x + 1)
=
x + 2
=
x + 2
2
x − 1
=
3
x + 2
2
2
3 x − 4+
3 x − 1 ( x+ 1)( x−1)
1 2
=
2
=
2
=
x − 4 x − 4 x − 4 ( x+ 2)( x−2)
2
( x 1) ( x+ 1)( x−1)
÷
x 2 ( x+ 2)( x−2)
2
2
( x + 1) ( x+ 2)( x−2)
( x+ 1)( x−2)
x − x−
⋅
=
=
x + 2 ( x+ 1)( x−1)
x − 1 x − 1
⇒ +
⇒ + +
=
⎛ 2n
− 1⎞
⎛ 2
8.
⎜ n −
2
⎟÷ ⎜ n + 1−
⎝ n + 2⎠
⎝
2n
− 1 nn
⇒n
− 2 =
n + 2
n −
n
1⎞
⎟
⎠
2
( + 2) −( 2n−1)
2
n + 2
( ) ( n )
2
3
3
n + 2n− 2n+
1 n + 1
= 2 = 2
n + 2 n + 2
2 3 3
n − 1 nn + 1 − −1 2
n + n− n+ 1 n + 1
⇒ n + 1−
= =
=
n n
n n
3
n n n n n
⇒ + 3 3
1 + 1 + 1
÷ =
n + 2 n n + 2 ⋅ n + 1
=
2
2 3
n
2 + 2
2
EJERCICIO 136
2
1. 3 x 8y
z 2 3x
2x
⋅ ÷ = ⋅ =
2
2 2
4y
9x
3x
3 z z
2. 5 2 5 2 2
a ⎛ a x ⎞ 5a
2ab
2ab
÷ ⎜ 2 ⋅ 2⎟= ⋅ =
b ⎝ b 4a
⎠ b 5x
x
2
a + 1 a a a
3.
a − ⋅ 3 − 3
a + ÷ +
2
1 2 2 a + a−2
a
=
a
+ 1 ( a ) ( a )( a )
− ⋅ 3 − 1 + 2 −1
⋅
1 2( a + 1)
aa ( + 1)
2
( a+ )( a−
) a + a−
=
2
2aa
( + 1)
2a
+ 2a
3 2 1
=
2
2
3 3 6
2
2 2
2
( x − 9)
8a
+ 9ab
⋅ ÷
2
8a−
9b
( x + 9)
2 2
( 8a+ 9b)( 8a−9b)
( x − 9) ( x + 9)
⋅ ⋅
( x+ 9)( x−9)
8a−
9b
a( 8a+
9b)
2
( x− 9)( x+
9)
x − 81
64a
− 81b
4.
2
x − 81
=
=
a
2
x − x−12
x
5.
2
⋅
x − 49 x
=
2
2
=
a
− x−56
x
÷
+ x−20
−5x−24
x + 5
( x− 4)( x+
3)
( x− 8)( x+
7)
x + 5
⋅
⋅
( x+ 7)( x−7)
( x+ 5)( x−4) ( − 8)( + 3)
2
2
a − 8a+
7 a − 36 a
6.
2
⋅
2
÷
a − 11a+
30 a − 1 a
=
2
1
=
x x x − 7
−a−42
−4a−5
( a−7)( a−1)
( a+ 6)( a−6)
( a− 5)( a+
1)
⋅
⋅
( a−6)( a−5)
( a+ 1)( a−1)
( a− 7)( a+
6)
2
2
= 1

2
( )( ) ( ) x − 3 x
=
( )( ) ( ) ( x+ 10)( x−10)
x
( + 1)
4( x + 2)
a + 1 3( a−2)( x−3)
x − 3
⋅ = ⋅
=
2
( a − ) x − 3 3( a − 2)
2aa
( + 1)( x+
2) 2a( x+
2)
4
2
2 2
x − 27x
x + 20x+
100 x − 100 x x− 3 x + 3x+
9 x + 10
7.
2
⋅
3 2
÷ =
⋅
⋅
2
x + 7x−30
x + 3x + 9x
x − 3 x+ 10 x−3
x x + 3x+
9
8.
( a + 1)
⎛ a + a 4x
+ 8⎞
a + 1
÷ ⎜ ⋅ ⎟=
3a
− 6 ⎝ 6a
− 12 x − 3 ⎠ 3 2
( a − )
aa
÷
6 2
2 3 2 2 2
2 2
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
( a+ c) −b
a+ b+
c ( a+ b+ a+ ( a+ b+ c)( a− b+
c)
a aa ( + b+
c)
⋅
÷ =
⋅
⋅ =
2
2 2
a + ab−ac
a ( a− b+ c)( a−b−c)
aa ( + b−c)
a+ b+
c a−b−c
2
2 2
⎛ a + a−
ax + 3a
⎞ aa ( − 5)
b ( b+ 1)( b− 1)( a+
11)
bb ( − 1)
b − b
⎜
2
⋅
2 2⎟ = ⋅
= =
⎝ b − 1 ab + 11b
⎠ b( 1+
b)
aa ( + 11)( a− 5)( x+
3)
x + 3 x + 3
− 3
− 10
x − 3
=
2ax
+ 4a
2
2
2
2
8x
−10x−3
4x
9 8x
14x
3 2x
3 4x
1 2x
3 2x
3 3x
2 2x
3 4x
12x
9
9.
2
2
2
2
6x
+ 13x+ 6
⋅ − + +
÷
3x
+ 2x
9x
+ 12x+ 4
= − + + − +
− − +
⋅
⋅
= =
2x+ 3 3x+
2 x 3x+
2 2x+ 3 4x+
1 x 2x+
3 2x
+ 3x
a+ b −c
10.
2
a b −c
2
( )
10.
( − )
2
a − 5a
6 55
11.
2
÷
b+
b
3 2 2
2 2
m + 6m n+
9mn
4m
− n
12.
2 2 3
⋅
2mn+ 7mn + 3n
8m −2mn−n
2 2
3 3
m + 27n
÷
16m + 8mn+
n
2 2
2 2
mm ( + 3n)
( 2m+ n)( 2m−n)
( 4m+
n)
=
⋅
⋅
nm ( + 3n)( 2m+
n)
( 2m− n)( 4m+
n)
( m+ 3n)( m −3mn−9n
)
(
2
)
2
3 2
2 2
a − ax 1 ⎛ a − a x a − x ⎞
13. 13.
14.
=
2 2
⋅
3 2
÷ ⎜
a + x a + a x ⎝ a + 2ax+
x
2
( a − ax)
a
2
( + )
2 2
⋅
a
⎟
+ ax ⎠
3 2
2
2 2
2
aa ( + x) ( a + x)
a − ax
=
2
( − )( + )( − ) a ( a−
x)
m( 4m+
n)
( − 3 + 9 )
=
nm mn n
2 2 2 2
( − x)
( − )
1 aa 1
2 2
⋅ ⋅
= =
2
2 2
a + x a a x aa ax a x a x
a a x a
2
− 3a
2
⋅
27 − a
3
÷
( ) 14.
2
2
a
2
2
9 − ( a+ 3) −3a
( a + 3a)
2
2
2
2
2
( a − 3a)
( 3− a)( 9+ 3a+
a ) ( a + 3a)
=
⋅
2
⋅
2 2
( 3+ a)( 3−a)
a + 3a+
9 ( a − 3a)( a + 3a)
a
− 9a
4 2
=
2 2
a + ab+
ac
=
a−b−c
2
4m
+ mn
=
mn− 3mn + 9n
2 2 2
( a − 3a)( a + 3a) aa ( − 3a)( a+
3)
3+
a
=
a + 3
2 2 3
= a −3a
3 2
EJERCICIO 137
a
a ab − a
−
b b ab ( − 1)
a
= 2 =
= 1.
1 b − 1
b ( b )( b ) b
−
+ 1 −1 + 1
b b
3
2
1 x − 1
x −
2
x x ( x− 1)( x + x+
1)
2.
x
2
x x
x
1 1 = =
= + + 1
− 1 − 1
−
x x
2 2
a b a − b
−
b a ab ( a+ b)( a−b)
a b
3.
= =
=
b a+
b ba ( −
b
1+
+
a a
1 1 m+
n
+
m n mn m+
n
= =
4.
1 1 n−m
−
n−m
m n mn
5.
6.
7.
8.
x 2x+
x
x +
2
( x)
=
2 23
= = 2
x 4x−
x 3x
x −
4 4
2 2
x y x − y
−
y x xy ( x+ y)( x−
y)
x−
y
= =
=
y x+
y y( x y)
y
1+
+
x x
x + x+
x + 4 +
3 2
4 3
x x ( x )( x ) x
=
x − x− = + 1 + 3
=
x
( x )( x )
+ 3
x
− −
− + −
4 5 2
4 5 5 1 5
x x
a − a+
a − 4 +
4 2
4 4
a a ( a−2)( a−2)
=
=
= a −
a −
1−
2 2
2 ( a −
a a

2 2
2a
− b
− b
a
9.
2 2
4a
+ b
+ 1
4ab
2 2
2a −b −ab
=
a
2 2
4a + b + 4ab
4ab
10.
11.
2 2
( − − )
4b 2a b ab
=
2 2
4a + b + 4ab
( − )( + )
2
( 2a+
b)
( − b)
ab −
4ba b 2a b
=
4ba
=
2a+
b
4 4b
=
2a+
b
2 3 a 10b+
3a
+
5b
5 3
=
b
=
10b
3a+
10b a +
5b
3 3
2
x
a− x+
a+
x
2
2
a
a −
a+
x
2 2 2
a − x + x
a+
x
= 3 2 2
a + a x−a
a+
x
2
a 1
=
=
2
a a x a+ x−1
( + −1)
a + 5−
14
a
12.
1+ 8 +
7
2
a a
2
a + 5a−14
=
a
2
a + 8a+
7
2
a
( + 7)( a−2)
( a+ 7)( a+
1)
2
( − 2)
a −
aa
=
aa 2a
= =
a + 1 a + 1
1 9 20
− 2 + 3
a a a
13.
16
− a
a
2
a − 9a+
20
3
=
a
2
16−
a
a
( a−5)( a−4)
2
( 4+ )( 4−
)
=
a a a
=−
a
a − 5
( a+
4)
2
a − 5
=−
a + 4a
5−
a
=
a + 4a
14.
2 3 2 3 2
2
20x
+ 7x−6
x
4
2 − 25
x
=
( 4x+ 3)( 5x−2)
x
4−
25x
2
x
( 4 + 3)( 5 −2)
( 2+ 5x)( 2−5x)
x x x
=
2
4x
+ 3x
=−
5x
+ 2
1
1+ x − 1
15.
1
1+
2
x − 1
2
x − 1+
1
x − 1 x( x+
1)
x + 1
= 2 = 2 =
x − 1+
1 x x
2
x − 1
2
ab a + ab−ab
a −
a+
b a+
b
16.
= 2
ab a − ab+
ab
a +
a−
b a−
b
17.
5
x −1−
x + 3
35
x + 5−
x + 3
2
x + 2x−8
x + 3
= 2
x + 8x−20
x + 3
=
( − )
( + )
2
a a b a−
b
= =
2
a a b a+
b
( x+ 4)( ( x+ 10)( x−2)
a +
a + 2 −
7 9 a + 3
18.
a −
a − 4 +
5 11
a + 1
x + 4
=
x + 10
2
a + 5a+ 6−7a−9
a + 3
= 2
a −3a− 4+ 5a−11
a + 1
=
=
=
2
( a+ 1)( a −2a−3)
2
( a+ 3)( a + 2a−15)
( a+ 1)( a− 3)( a+
1)
( a+ 3)( a+ 5)( a−3)
2
2
( a + 1)
a
=
2
( a+ 3)( a+
5)
a
+ 2a+
1
+ 8a+
15
EJERCICIO 138
1.
2.
3.
4.
x + 1
1+
x − 1
1 1
x− 1
− x+
1
x− 1+ x+
1
x − 1 2x( x+
1)
2
=
= = x + x
x+ 1−( x−1)
2
2
x − 1
1 2
x− 1
+ x+
1
x − 2 2x
+ 6 +
x x + 1
=
=
=
( x )
x+ 1+ 2 −1
2
x − 1
2
( x − x− 2) + x( 2x+
6)
x( x+
1)
x ( 3x−
1)
2
( x− 1)( 3x + 5x−2)
x ( 3x−
1)
=
( x− )( x− )( x+
)
x
1 3 1 2
2
x + x−2
a b
a− b
− a+
b
a+
b a
a− b
+ b
( + ) − ( − )
( a− b)( a+
b)
( + ) + ( − )
ba ( − b)
aa b ba b
=
ba b aa b
2 2
a + ab− ab+
b a + b
a+
b a+
b
= 2 2 =
ab + b + a −ab
a + b
b
b
x + 3 x
x + − + 1
4 x + 2
x − 1 x
x + − − 3
2 x + 4
=
2 2
2 2
( x+ 3)( x+ 2) − ( x+ 1)( x+
4)
( x+ 4)( x+
2)
( x− 1)( x+ 4) −( x− 3)( x+
2)
( x+ 2)( x+
4)
2 2
x + 5x+ 6− x −5x−4
=
2 2
x + 3x−4− x + x+
6
2
=
x + = 2 1
=
4 2 22x + 1 2x
+ 1
( )
b
=
a+
b

5.
6.
m m − n
+
n m+
n
m− n n +
n m
=
2 2 2
( + ) − ( − )
nm ( + n)
2
mm ( − n)
+ n
m m n n m n
2 2 2
nm
3 2 2 3
m + m n− m n+
n
m+
n
=
2 2
m − mn+
n
m
3 3
m + n
m+
n
= 2 2
m − mn+
n
m
2 2
( m+ n)( m − mn+
n )
m+
n
= 2 2
m − mn+
n
m
2 2
m
= m − mn+ n ⋅
m − mn+
n
2
a 1
3 +
b a
a b a
−
− b a−
b
=
=
=
=
a + b
3
ab
3 3
2 2
aa ( −b) −bb ( −a)
ba ( − b)
2 2
( a+ b)( a − ab+
b )
3
ab
2 2
a −ab− b + ab
ba ( − b)
2 2
( a+ b)( a − ab+
b )
2
ab
a − b
a−
b
2 2
= m
2 2
( a+ b)( a − ab+
b ) a−
b
2
⋅
ab ( a+ b)( a−b)
a − ab+
b
=
2
ab
2 2
2x
a+
x b x
1+ −
+
1 +
2
a−
x b−
x
x
7.
9.
5
2
2x
+ 2
2x
+ 4
a− x − 2
b−
x
1−
x
2
( a+ x)( b− x) − ( b+ x)( a−
x)
1+ x + 2x
2
1+
x
( a−
x)( b−
x)
=
=
4 5
2 ( 1− ) + 2 +
2
x x x 2
( b− x) −2( a−
x)
2 2
( 1+ )( 1−
)
( a−
x)( b−
x)
x x
2 2
2
ab − ax + bx − x − ab + bx − ax + x
x + 2x+
1
=
=
5 5
2b−2x− 2a+
2x
2x− 2x + 2x
+ 2
2
1−
x
2bx
− 2ax
2xb
( − a)
= = = x
2
2b−
2a
2
( x + 1)
( b−
a)
=
a a
a a
2( x + 1)
a+ x
( x+ 1)( 1−
x)
− 2 −
2a+
2x
2( a+
x)
10.
=
a a aa ( x) aa ( x)
2
( x+ 1) ⋅ ( x+ 1)( 1−
x)
a− x
+ + + −
a+
x
( a− x)( a+
x)
=
2( x + 1)
a
2
( x+ 1) ( 1−
x)
=
2
2 2
=
a + ax+ a −ax
2
a−
x
2
( x + 2x+ 1)( 1−
x)
=
a
2
a a x a x
2 3 2
=
2 − −
2
= ⋅
2 =
x − x + 2x− 2x + 1−
x
2a
2 2a
4a
=
2
a−
x
2
1
= + x − x − x 3
a+
2b
b aa ( + 2b) + ba ( −b)
2
+
a−
b a aa ( − b)
11.
=
a+ b 3b
+ ( a+ b)( a− b)
+ 3ab
a a − b
aa−
b
8.
x+
y x−
y
−
x−
y x+
y
x+
y x+
2y
−
x x+
y
=
2 2
( x+ y) −( x−
y)
( x− y)( x+
y)
2
( x+ y) − x( x+
2y)
x( x+
y)
2 2 2 2
x + 2xy+ y − x + 2xy−
y
x−
y
= 2 2 2
x + 2xy+ y − x −2xy
x
4xy
x−
y
=
2
y
x
2 2
4xy
x x x
=
x− y
⋅ y
= 4 4
2
=
y x−
xy − y
( y)
2
( )
a + 2ab+ ab−b
= 2 2
a − b + 3ab
2 2
2 2
a + 3ab−b
=
2 2
= 1
a + 3ab−b
1− 7 +
12
2
x x
12.
16
x −
x
2
x − 7x+
12
2
=
x
2
x − 16
x
=
=
( x−4)( x−3)
x
( x− 4)( x+
4)
( x−4)( x−3)
1
⋅
x ( x− 4)( x+
4)
x − 3
=
x x
( + 4)
x − 3
=
2
x + 4x

2 2
a b
2b+
c
−
1+
b a
a−b−c
13.
1 1 b
17.
c−
2b
+ +
1−
2
b a a
a− b+
c
3 3
a − b
a−b− c+ 2b+
c
a−b−c
=
ab
=
2 2
a− b+ c− c+
2b
a + ab+
b
a− b+
c
2
ab
a+
b
3 3
a − b
a−b−c
= 2 2
=
a + ab+
b
a+
b
a
a− b+
c
2 2
a
a+
b
= ( a− b)( a + ab+ b ) ⋅
=
2 2
a + ab+
b
− − ⋅ a− b+
c a
= − b + c
a b c a+
b a−b−c
14.
( )
2
= aa− b = a −ab
2
4y
x−2y−
x+
y
2
5y
x−3y−
x+
y
=
( )( )
x− 2y x+ y −4y
x+
y
( )( )
x− 3y x+ y −5y
x+
y
2 2
x − xy−6y
=
2 2
x −2xy−8y
=
( x− 3y)( x+
( x− 4y)( x+
2y)
2 2
1− a
+ 1+
a
15.
2 2
1+ a
− 1−
a
16.
( + a) + ( −a)
( 1− a)( 1+
a)
( −a) − ( + a)
( 1+ a)( 1−a)
21 21
=
21 21
2
2
x−
3y
=
x−
4y
2 2 2 2 4 1
= + a + − a
=− =−
2−2a−2−2a 4a a
1 1
x+ y+ z − x− y+
z
1 1
x− y+ z − x+ y+
z
x− y+ z− x− y−z
( x+ y+ z)( x− y+
z)
2y
=
= − =−1
x+ y+ z− x+ y−z
2y
( x− y+ z)( x+ y+
z)
a 1 a
1− a
+ −
a
18.
1− a a −
a 1 − a
19.
20.
21.
=
2
a + ( 1−a)
a( 1−
a)
2
( 1−a)
−a
a( 1−
a)
a + 1− 2a+
a
=
1− 2a+ a −a
2
2
2 2
2 2
x +
x + 1−
6 12
x + 2
x − 5
11x
− 22
x − 4 +
x − 2
x + 7
( x + )
6 2
x + 1 −
x + 2
x − 5
=
x − 4 +
11 2
x − 2
x + 7
( x − )
2
2a
− 2a+
1
=
1−
2a
x − 5
x − 5
= = 1
x + 7
x + 7
1 1
1 1 =
+ 1 = 1⋅ x
+
+ 1 = x
x x x + 1
x x
1 1
=
1 1
1+
1 1 1+
x −1
−
x x
1
=
x
1+ x − 1
1
=
x− 1+
x
x −1
1 x 1 1
= = 1⋅
2 −1
2
−− 1
= x −
x x 2x
−1
x −1
1
22. 1−
1
2 +
x
−
3 1
23.
24.
1
= 1−
1
2+ x − 3
3
1
= 1−
3
2+ x − 3
1
= 1−
2x
− 3
x − 3
x −3
= 1−
2x
− 3
2x−3− x+
3 x
=
=
2x
− 3 2x
− 3
2
2
1+
1+
2
x
2
=
2
1+ x + 2
x
2
=
2x
1+ x + 2
2
=
x + 2 + 2x
x + 2
2 x 2 2 4
= = 2⋅
3 + 2 3
++ 2
= x +
x x 3x
+ 2
x + 2
1
x
x −
2
x
x −
x + 1
1
=
x
x −
2 2
x + x−x
x + 1
1
=
x
x −
x
x + 1
1
=
2
x + x
x −
x
1 1
=
= =−1
2 2
x −x −x
− x
x x

1
25.
a + 1
a + 2 −
1
a − a
1
=
=
a + 1
a + 2 − 2
a − 1 a + 2 −
a
26.
1
aa ( + 1)
( a+ 1)( a−1)
1
=
=
a
a + 2 −
a − 1
1
1 a − 1 a 1
= 2 = 1⋅
2 2
a+ a− −a
a + a−2
−a
a − 2
= −
a − 2
a − 1
a − 1
( 2)( 1)
x − 1
x − 1
x − 1
2 =
2 =
2 =
x + 2
x + 2
x + 2
x + 2 − x + 2 − 2
x + 2 − 2
x − 2 x + x− x+
2 x + 2
x + 2 −
x −
x + 1
x + 1
x + 1
x − 1
2
( x + 2)( x+
1)
x
2
+ 2
x − 1
=
x
x+ 2− x− 1
= − 1
EJERCICIO 139
1. x − 2
Para x→
2
x + 3
2. x − 2
Para x→
3
x − 3
2−
2
+ = 0
2 3 5 = 0
3−
2
− = 1
3 3 0
=∞
3. x 2 a 2
2 2
−
x a Para x a a −a
0
→
= = 0
2 2
2 2 2
+
a + a 2a
4. x 2 y 2
+
x y Para x y y + y
→
2 2
−
y − y
5.
6.
x −1
Para x→
2
3
x − 2
2
x − 9
2
Para x → 3
x + x−12
( x+ 3)( ( x+ 4)( x−3)
2 2
2 2
2
2y
= =∞
0
2−1
1 1
= = = 0
3 3 ∞
2−
2 0
x + 3 3 3
=
x + 4
= + 3+ 4
=
2
a −a−6
7.
2
Para a → 3
a + 2a−15
8.
( a− 3)( a+
2)
( a+ 5)( a−3)
( x−5)( x−2)
2
( −2) −( −2)
( x−5)( x−2)
=
( x −1)( x−2)
6
7
a + 2 3 2 5
=
a + 5
= + 3+ 5
= 8
2
x − 7x+
10
3 2
Para x → 2
x −2x − x+
2
x x x
=
2 2
x − 5 2 5 3
1
x − 1
= − 4− 1
= − =−
3
2
x − 2x+
1
9.
3 2
Para x → 1
x −2x − x+
2
2
( x − 1)
2
( −2) −( −2)
2
( x − 1)
2
( x −1)( x−2)
2
( x − 1)
( x− 1)( x+ 1)( x−2)
x x x
=
=
10.
a
2
3
a − 8
+ 11a−26
( a− 2)( a + 2a+
4)
( a+ 13)( a−2)
2
x − 7x+
6
11.
x − 2x+
1
x
12.
x
x
x
x − 1 1 1 0
=
2 2
x − x− 2
= −
1 −1− 2
= − 2 = 0
Para a → 2
2 2 2
Para x → 1
a + 2a+
4 2 + 2⋅ 2+
4 12
=
=
= =
a + 13 2+
13 15
( x−6)( x−1)
( x − 1)
2 2
3
3
3
3
−3x−2
− 7x+
6
Para x → 2
−3x− 2= 1 0 −3 −2 2
2
( x 2)( x 2x
1)
⇒ − + +
2 4 2
1 2 1 0
− 7x+ 6= 1 0 −7 6 2
2 4 − 6
1 2 − 3 0
2
⇒( x− 2)( x + 2x−3)
2
2
( x− 2)( x+
1)
( x + 1) ( 2 1)
=
2
2
2
( x− 2)( x + 2x−3)
x + 2x− 3
= +
4
5
x − 6 1 5 4
=
x − 1
= − 1− 1
= − =∞
0
2
2 + 2⋅2− 3
=
9
5

2
x − 16
13.
3 2
x −4x − x+
4
( x− 4)( x+
4)
( −4) −( −4)
x x x
=
Para x → 4
( x− 4)( x+
4)
( x −1)( x−4)
x 4 4 4 8
=
x
+− 1
= +
4 − 1
= 15
2 2 2 2
2
4x
− 4x+
1
14.
2
4x
+ 8x−5
2
( 2x
− 1)
( 2x+ 5)( 2x−1)
2
8x
− 6x+
1
15.
3 2
4x + 12x − 15x+
4
16.
Para x →
1
2
2 1
2 1 x −
⋅ −
2 1 1 1 0
=
2x
+ 5
= 2 1 = −
2 5 1+ 5
= 6 = 0
⋅ +
Para x →
2 2
⇒8x − 6x+ 1= ( 8x) − 6( 8x)
+ 8
( 8x 4)( 8x 2) ( 2x 1)( 4x
1)
3 2
⇒ 4x + 12x − 15x+ 4 = 4 12 −15 4 −4
2
( x 4)( 4x 4x 1) ( x 4)( 2x
1)
( 2x−1)( 4x−1)
4x
− 1
2 =
( 2x− 1) ( x+
4) ( 2x− 1)( x+
4)
1
2
= − − = − −
= + − + = + −
⇒
3
x − 9x+
10
4 3 2
x − x − 11x + 9x+
18
3
⇒ x − 9x+
10
1 0 − 9 10 2
2 4 − 10
4 3 2
⇒ x − x − 11x + 9x+
18
2
( x− 2)( x + 2x−5)
3 2
( x− 2)( x + x −9x−9)
−16 16 −4
4 − 4 1 0
2
( x )( x x )
2
Para x → 2
1 2 − 5 0 = − 2 + 2 −5
1 −1 −11 9 18 2
2 2 −18 −18
4⋅
1 −
2 1 1
=
2⋅ 1
= = ∞
⎛ ⎞ ⎛ 1
1 2 2 4 ⎞ 0
⎜ − ⎟ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 2
( x )( x x x )
1 1 −9 − 9 0 = − 2 + −9 −9
⇒
2
2
x + 2x−5
2 + 2⋅2−5
3 1
=
3 2
=
3 2
x + x −9x−9
2 + 2 −9⋅2− 9
= =−
− 15 5
x − a
17.
x−
a
3 3
Para x → a
2 2
( x− a)( x + ax+
a )
x−
a
a − 2ab+
b
18.
2
a − ab
2 2
= x + ax+ a = a + a + a = 3a
Para b→
a
2 2 2 2 2 2
2
( a−
b)
aa ( − b)
a b a a
= − = − = 0
a a
x − y
19.
xy − y
2 2
2
( x+ y)( x−
y)
y( x−
y)
3 3
x − a
20.
ax−
a
2 3
Para y → x
x+
=
y
y
Para x → a
2 2
( x− a)( x + ax+
a )
2
a ( x−
a)
x + ax+
a
=
2
a
2 2
3
x − 3x+
2
21.
3 2
2x − 6x + 6x−2
22.
3
⇒ x − 3x+
2
1 0 − 3 2 1
1 1 − 2
3 2
⇒2x − 6x + 6x−2
2
( x 1) ( x 2)
2
( x−1) ( 2x−2)
x+
x 2x
= = = 2
x x
a + a + a
=
2
a
2 2 2
Para x → 1
2
3a
=
2
= 3
a
( x
2
)( x x )
( x 1)( x 2)( x 1)
( x
2
1) ( x 2)
1 1 − 2 0 = − 1 + −2
2 −6 6 −2 1
2 − 4 2
= − + −
= − +
2
( x )( x x )
( x 1)( x 1)( 2x
2)
2
( x 1) ( 2x
2)
2 − 4 2 0 = −1 2 − 4 + 2
⇒ − +
4 3 2
x − x − 7x + x+
6
4 3 2
x −3x − 3x + 11x−6
4 3 2
⇒ x − x − 7x + x+
6
1 −1 −7 1 6 −2
−2 6 2 −6
1 −3 −1 3 0
3 2
( x+ 2)( x −3x − x+
3)
1 −3 −1 3 1
1 −2 −3
1 −2 −3 0
( x 2)( x
2
1)( x 2x
3)
( x 2)( x 1)( x 3)( x 1)
= + − − −
= + − − +
= − − −
= − −
x 2
=
+− = 1+
2
2 2 ⋅ − = 3
x 21 2 0
=∞
Para x → 3
Continúa

Continuación
4 3 2
22.
⇒ x −3x − 3x + 11x−6
1 −3 −3 11 −6 −2
−2 10 −14 6
1 −5 7 −3 0
3 2
( x 2)( x 5x 7x
3)
= + − + −
1 −5 7 −3 1
1 − 4 3
1 − 4 3 0
( x 2)( x
2
1)( x 4x
3)
( x 2)( x 1)( x 3)( x 1)
( x 2)( x 1)( x 3)( x 1)
( x+ 2)( x−1)( x−3)( x−1)
= + − − +
= + − − −
⇒ + − − +
x + 1
=
− = 3 + 1
x 1 − = 4
3 1 2 = 2
3 2
3x −5x − 4x+
4
23.
4 3 2
x + 2x −3x −8x−4
3 2
⇒3x −5x − 4x+
4
3 −5 −4 4 2
6 2 − 4
3 1 − 2 0
2
( x 2)( 3x x 2)
= − + −
4 3 2
⇒ x + 2x −3x −8x−4
1 2 −3 −8 −4 2
2 8 10 4
1 4 5 2 0
3 2
( x− 2)( x + 4x + 5x+
2)
1 4 5 2 − 2
−2 −4 −2
1 2 1 0
2
= ( x− 2)( x+ 2)( x + 2x+
1)
( x 2)
⇒ − ( 2
3x
+ x−2
)
2
( x− 2)( x+ 2)( x+
1)
=
2
3x
+ x−2
( x+ 2)( x+
1)
2
32 ⋅ + 2−2
=
( 2+ 2)( 2+
1)
2
2
12 1
= =
36 3
Para x → 2
2
x − 5x+
4
24.
4 3 2
Para x → 1
x −2x − 9x + 2x+
8
( )( )
2
⇒ x − 5x+ 4= x−1 x−4
4 3 2
⇒ x −2x − 9x + 2x+
8
1 −2 −9 2 8 1
1 −1 −10 −8
1 −1 −10 −8 0
Continúa
Continuación
3 2
x−1 x − x −10x−8
24.
1 −1 −10 −8 4
24. ( )( )
25.
2
( x 1)( x 4)( x 3x
2)
( x−1)( x−4)
2
( x−1)( x− 4)( x + 3x+
2)
= − − + +
⇒
=
x
4 12 8
1 3 2 0
1
+ x+ = 1
3 2 1 + 3⋅ 1+ 2
=
2 2
4 3
( x− 2)( x + 2x + 8x+
16)
3
( x 2)( x 2)( x 8)
1
6
5 3 2
x − 4x + 8x
−32
5 3 2
Para x → 2
x − 3x + 10x −4x−40
5 3 2
⇒ x − 4x + 8x
−32
1 0 −4 8 0 −32 2
2 4 0 16 32
1 2 0 8 16 0
1 2 0 8 16 − 2
−2 0 0 −16
1 0 0 8 0
= − + +
5 3 2
⇒ x − 3x + 10x −4x−40
1 0 −3 10 −4 −40 2
2 4 2 24 40
1 2 1 12 20 0
4 3 2
( x− 2)
( x + 2x
+ x + 12x+
20)
1 2 1 12 20 − 2
−2 0 −2 −20
1 0 1 10 0
3
( x− 2)( x+ 2)( x + x+
10)
1 0 1 10 − 2
−2 4 −10
1 − 2 5 0
2
2
( x 2)( x 2) ( x 2x
5)
3
( x− 2)( x+ 2)( x + 8)
2
2
( x− 2)( x+ 2) ( x − 2x+
5)
= − + − +
⇒
=
=
3
x + 8
2
( x+ 2)( x − 2x+
5)
3
2 8
+
2
( 2+ 2)( 2 −2⋅ 2+
5)
16 4
= =
20 5
2
8x
+ 6x−9
2
Para x →
26.
12x
− 13x+
3
2
( 8x) + 6( 8x)
−72
⇒ 2
( 12x) − 13( 12x)
+ 36
=
=
( 8x+ 12)( 8x−6)
( 12x−9)( 12x−4)
( 2x+ 3)( 4x−3)
( 4x−3)( 3x−1)
3
4
2 3
2 3 4 3 9
x +
⋅ +
3 1
3 3 2 36 18
=
x − = = = = 5
4 1 10 5
⋅ −
4
3 2
x + 6x + 12x+
8
27.
4 2
Para x →−2
x − 8x
+ 16
3 2
⇒ x + 6x + 12x+
8
1 6 12 8 − 2
−2 −8 −8
1 4 4 0
2
( x 2)( x 4x 4) ( x 2)
= + + + = +
4 2
⇒ x − 8x
+ 16
1 0 −8 0 16 −2
−2 4 8 −16
1 −2 −4 8 0
3 2
( x+ 2)( x −2x − 4x+
8)
1 −2 −4 8 −2
−2 8 −8
1 − 4 4 0
( x
2
2) ( x 4x
4)
( x
2
2) ( x
2
2)
3
( x + 2)
2 2
( x+ 2) ( x−2)
= + − +
= + −
⇒
=
x + 2
2 2
= − +
( x − 2) ( −2−2)
2 2
3 2
9x + 3x + 3x+
1
28.
3
27x
+ 1
( + ) + ( + )
2
3x 3x 1 3x
1
=
3
27x
+ 1
=
2
( 3x
+ 1)( 3x+
1)
2
( 3x+ 1)( 9x − 3x+
1)
2
3x
+ 1
=
2
9x
− 3x+
1
2
3
0
= =
16 0
1
Para x →−
3
⎛ 1⎞
4
3⎜
− ⎟ + 1
⎝ 3⎠
3 4
=
2
= =
⎛ 1⎞
1 3 9
9 ⎜ − 3 1
⎝ 3⎠
⎟ − ⎛
⎜
⎝
− ⎞
⎟+
3⎠

1 3
29.
3
x− 1
− x − 1
30.
x
Para x → 1
⎛
1 ⎞
x − 2⎠
2
2
+ x+ 1−3
x + x−2
3
= =
x − 1 x − 1
( x− 1)( x+
2)
( x− 1)( x + x+
1)
x + 2 1 2 3
=
x + x+ 1
= +
1 + 1+ 1
= 3 = 1
3 2 2 2
⎛ x − 1 ⎞
⎟ = + 5 −1 ⇒ 2+ 5 2− 1 = 7
⎝ x − 2 ⎠
2
30. ( x + 3x− 10) ⎜1+
⎟ Para x → 2 ( x + 5)( x −2) ⎜ ( x )( x ) ( )( )
EJERCICIO 140
2
12x
+ 31x+
20
1.
2
18x
+ 21x−4
2
( 12x) + 31( 12x)
+ 240
= 2
( 18x) + 21( 18x)
−72
=
( 12x+ 16)( 12x+
15)
( 18x+ 24)( 18x−3)
⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛
2.
2 2 a + 1 ⎞
⎜ +
2
+
3⎟ ÷ ⎜ a + − ⎟
⎝ a a a ⎠ ⎝ a ⎠
( a + 1)
2
⎝
=
( 3x+ 4x+
5)
( 3x+ 4)( 6x−1)
2
2
⎛ a + 2a+
1⎞
⎛ a + 2a−2a−1⎞
= ⎜ 3 ⎟ ÷ ⎜
⎟
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠
=
a
3 2
x + 3x + 9x
3.
5 2
x − 27x
⋅
a
a + 1
( a+ 1)( a−1) a ( a−
1)
=
a + 1
=
a − a
3 2 3 2
4x
+ 5
=
6x
− 1
2
2
x( x + 3x+
9)
x + 3x+
9 1
=
=
=
2 3
2
x ( x − 27) x( x− 3)( x + 3x+
9) x( x−
3)
( )
2 ( )
2
x+
y x x−
y
4. −
4.
y
xy
( + ) − ( − )
2 2
x x y x x y
=
xy
3 2 2 3 2 2 2
x + 2x y+ xy − x + 2x y−
xy 4xy
=
= = 4x
xy
xy
4 3 2
a − 2b + a b b−2
5.
4 2 2
a −a b−2b
5.
( )
4 3 2 2 2
a − 2b + ab −2ab
=
2 2
( a − 2b)( a + b)
( + ) − 2 ( + )
2 2
( a − 2b)( a + b)
a a b b b a
=
2 2 2 2 2
a a a a a
6.
a + + 3
1 5
a − = − 5 + 1+
5
2
2
=
5 a − 5 a
a
a 2 2
+ 5 a a a a
−
a + = + − −5
− 5
=
1 a + 1 a + 1
2
( a 1)( a a 1)
⇒ + − +
2
a − 5
=
2 2 2
( a − 2b)( a + b ) a +
=
2 2
2
( a − 2b)( a + b)
a +
3
2
+ 1 ( a 1)( a a 1)
2
a − 5
2
⋅ = a − a+
1
a + 1
2
− = + − +
2
5 a − 5
b
b
2 2
7.
x
2
3
x − 29
+ 5x−4−
x − 5
( )( )
2 3
x− 5 x + 5x−4 − x + 29
=
x − 5
3 3
x − 29x+ 20 − x + 29 49 − 29x
=
=
x − 5
x − 5
x
x 34 170 −
+ +
x − 5
x + 29x− 170+ 170−
x
=
x − 5
2 2
2
29x
=
x − 5
49 29x
29x
49 29x
x 5 49 29x
⇒
− − − −
÷ = ⋅ =
x − 5 x − 5 x − 5 29x
29x
2 2 2 2 2
8. 4 x − 5 xy+
y 4x
5xy
y 4x 5y y
= − + = − +
3x
3x
3x
3x
3 3 3x
9. m − n − x m n x 1 1 1
= − − = − −
mnx mnx mnx mnx nx mx mn
3 2
x − xy
2
10.
= x + xy
x−
y
11.
x
2 2
( − y)
x x
⇒
x−
y
( + )( − )
( y)
= x x+
x x y x y
⇒
x−
y
2
x x
2x
1 9 −
− + −
3 x − 3
( ) ( ) ( )
= x x+ y ⇒ x x+ y = x x+
y
2
2
( x 1) ( x 3) 3x( 3 x) ( x− 1)( x + x+
1)
2
( x 3)( x x 1)
x − 1
=
x − 1
⇒ − − − −
x − 3
x 5x 7x 3 9x 3x
⇒ − + − − +
x − 3
3 2
x 2x 2x
3
2
⇒ − − − = x + x+
1
x − 3
⇒ − + +
x − 3
2 3
3 2 2
4 2
a − 5a
+ 4
a
12.
3 2 a 3 2 4
a + a −4a− 4
= − + + 2a
+ 1
=
x − 1
2
= x + x+
1
2 2 2
= x + x+ 1⇒ x + x+ 1= x + x+
1
2
( a 2)( a 1)( a 2)( a 1)
=
( a− 2)( a+ 1)( a+
2)
a +
2
a −a−
( 2a+ 1)( a−1)
⇒ − − + +
⇒a
− 1=
2 1 ⇒ a − 1=
2a
+ 1
2a −5a− 3+ 2+
4a
2 1
2a
+ 1
⇒ a− 1= a−1

1 1 2a
13.
a− b + a+ b
+ a − ab+
b
3 3
( a + b )( a−b)
( )( ) 2 ( )
3 3
( a + b )( a−b)
a + b + a − 2a b + 2ab − b + 2a −2ab
=
3 2
4a
− 2a b
2 2
a + b + a−b a − ab+ b + a a −b
=
=
3 3 2 2 2 2
3 3 3 2 2 3 3 2
2 4
⎛ a a
⎜
14.
2
−
⎝ 1−
a 1 − a
3 3
( a + b )( a−b)
3
⎞ 1 a
⎟ ⋅ ⎛ 1− a + + ⎞
⎜
2 ⎟
⎠ ⎝ a ⎠
( 1+ ) − ⎞ ⎛ ( )
⎛ a a a
=
⎜
4
⎝ 1−
a
2 3
a 1 a 1 a
⎟ 2
⎠
⋅ − + + ⎞
⎜
⎝ a ⎟
⎠
2 4 4 2 3 3
⎛ a + a −a
⎞ ⎛ a − a + 1+
a ⎞
= ⎜
4
⎟⋅⎜
2
⎟
⎝ 1−
a ⎠ ⎝ a ⎠
2 2
a a + 1 1
=
4
⋅ =
1 − a a 1 − a
4
2 2 4
( x+ 3)( x−3)
( x− 4)( x+
3)
2 2
2
2 2 2
⎛ x − 9 x − 3 ⎞ ax − 16a
2 1
15.
⎜
2
÷
2
⎟⋅
2 2 2 2
⎝ x − x−12
x + 3x⎠
2x + 7x+ 3
⋅ ⎛
ax + ⎞
⎜
⎟
⎝ ax ⎠
⎛
=
⎜
⎝
2
( + 3) ⎞ a ( x 4)( x 4)
x − 3 ⎟
⎠
⋅ − +
( x+ 3)( 2x+
1)
x x
⋅
3 2
3x − x − 12x+
4
16.
4 3 2
6x + x −25x − 4x+
4
3 2
⇒3x − x − 12x+
4
3 −1 −12 4 −2
−6 14 −4
3 − 7 2 0
2
( x 2)( 3x 7x 2) ( x 2)( x 2)( 3x
1)
= + − + = + − −
4 3 2
6x + x −25x − 4x+
4
6 1 −25 −4 4 −2
−12 22 6 −4
6 −11 −3 2 0
3 2
( x+ 2)( 6x −11x − 3x+
2)
6 −11 −3 2 2
12 2 − 2
6 1 − 1 0
2
= ( x− 2)
( x+ 2)( 6x
+ x−1)
= ( x− 2)( x+ 2)( 2x+ 1)( 3x−1)
( x+ 2)( x−2)( 3x−1)
⇒
( − 2)( + 2)( 2 + 1)( 3 −1)
1
=
x x x x 2x
+ 1
2
16−
81x
17.
2
72x
−5x−12
⎛ 2x
+ 1⎞
x 4
⋅⎜
2 2
⎟= +
⎝ ax ⎠ x
( 4− 9x)( 4+
9x)
= 2
( 72x) −5( 72x)
−864
=
=
( 4− 9x)( 4+
9x)
( 72x− 32)( 72x+
27)
( 4− 9x)( 4+
9x)
( 4− 4+
9x)
=−
( 9x− 4)( 8x+
3)
( 4− 9x)( 8x+
3)
9x
+ 4
=−
8x
+ 3
⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ x x 6
⎜ − + ⎟ ÷
18.
2
⎝ x x + 2 x + 3⎠
x + 2 + x+ 3
+ ⎞
⎜
⎟
⎝
x + 5x+
6⎠
( ) ( )
( + 5x+
6)
2
( + 5x+
6)
( ) x( x )
2
x + 5x+ 6− 2x x+ 3 + 3x x+
2 x x+ 3 + + 2 + 6
=
÷
2 2
x x
x + 5x+
6
2 2 2
2
x + 5x+ 6−2x − 6x+ 3x + 6x
x + 5x+
6
=
⋅ 2 2
x x
x + 3x+ x + 2x+
6
2
2x
+ 5x+ 6 1 1
=
⋅
x 2
2
x + 5 x+ = 6 x
1 ⎛ x
20.
⎜
3 ⎝
1 ⎛
=
3 ⎜
⎝
=
2
b
a
19.
b
1−
a
2
2
b
=
a
a − b
2
a
2
ab
=
aa
b
1+ a − b
+
a 3b
2 −
− a−
b
2 2
2 2
( − b)
2
ab
=
aa
a− b+
b
a−
b
+
2a−2b− a+
3b
a−
b
a
a−
b
+
a+
b
a−
b
a
+ +
2 2
( − b)
a b
2 2
2 3 2
+ ( − ) + −
=
2 2
2 2
aa ( − b) aa ( − b)
ab a a b
=
( x+ )( x−
) ( x+ )( x−
)
( x+ 6)( x−6) ( x+ 2)( x−2)
( + 6)( − 6)( + 2)( −2)
( + )( − )( + )( − )
ab a ab
a
=
aa
3
2 2
( − b)
2
a
=
a − b
2 2
− 36 x ⎞ 1 1
÷
2
⎟⋅ ⋅
x x − 4⎠
36 4
x − x −
x x
6 6 2 2 ⎞ 1 1
⋅
2 2
x
x ⎟
⎠
⋅ ⋅
x − 36 x − 4
x x
3x
⋅
2
x x x x x
=
=
2
3x x 6 x 6 x 2 x 2
x
x x
⋅
2
⋅
2
x − 36 x − 4
1
3

( − 2 )
21.
21.
22.
3a
5 1
2 + +
a b a − 5b a−
2b
=
3a − 14ab+
10b
2 2
a − 4ab+
4b
2 2
2
( − ) + ( − ) + ( − )( − )
2
( a−2b) ( a−5b)
3aa 5b 5 a 2b a 2b a 5b
3a − 14ab+
10b
2 2
( a−
2b)
3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b
=
=
2
2 2 2 2 2
2 2
( a−5b)( 3a − 14ab+
10b
)
2 2
2 2
9a − 42ab+
30b
3( 3a − 14ab+
10b
)
=
2 2
2 2
( a−5b)( 3a − 14ab+
10b
) ( −5 )( 3 − 14 + 10 )
x + 1 x
x − − − 1
2
1 x + 1 x + 1 2x
⋅ ÷
x − x a b a b
x + + +
2 2
1 1 2 − 2 −
1 x − 1
=
( x+ 1) −( x−1)
2 2
x
2 2 2
( x− 1) + ( x+
1) ( a − b)
x
2
2
− 1
− 1
2
2
x + 1 a − b
⋅ ⋅
2 2x
3
=
a b a ab b a − 5b
2 2
2
2
x + 2x+ 1− x + 2x−1
x x x
=
x − x+ + x + x+ ⋅ + 1 4 + 1
2 2
= ⋅ =
2 1 2 1 4x
2 + 1 4x
EJERCICIO 141
x
1.
+ x
6 5 = 1 −
3
x 30 1 3x
⇒ + = −
6 3
( x)
x+ 30= 2 1−3
x+ 30 = 2 −6x
x+ 6x= 2−30
7x
=−28
28
x = −
7
x =−4
2. 3 x 2x
1
− + =
5 3 5 0 mcm=
15
9x− 10x+ 3=
0
3.
− x =−3
x = 3
1 1 1 1
+ − = mcm=
20x
2x
4 10x
5
10 + 5x− 2 = 4x
5x− 4x=− 10+
2
x =−8
2
( x )
1
2
1 1 1 1
23.
2
3x− 9
− − +
6x+
12 2( x − 3)
x − 6 +
9
x
1 1 1 x
= − −
2 + 2
3 x−
3 6 x+
2 2 x − 3 x − 6x+
9
( ) ( ) ( )
2
( x− )( x+ ) −( x− ) − ( x+ ) + ( x+
)
2
6( x− 3) ( x+
2)
2 3 2 3 3 2 6 2
=
2 2 2
2x −2x−12− x + 6x−9−3x− 6+ 6x + 12x
=
6 3 2
2
7x
+ 13x−27
=
6 3 2
2
( x− ) ( x+
)
a b a 2 b 2
+
− +
a+
b
24.
a b a − 2
+ −
b
a−
b
2 2
( + b)
2
( x− ) ( x+
)
b
b 2
+
a 1
⋅ ⋅
a−
b a−
b
1+
2
b
2 2 2 2
a − b + a + b
2
ab + b
a+
b a 1
= 2 2 2 2 ⋅ ⋅
a −b − a + 2b
a−
b b+ 2a−b
a−
b
b
2
2a
ba
2
a+
b a 1 2a ( a−
b)
ba
= 2 ⋅ ⋅ =
⋅
b a−
b 2a
2
b ( a+
b)
aa
a−
b b
( +
( − b)
b
⋅ = 1
2a
4. x x x mcm
2 2 5
+ − = − = 12
12 6 4
7. x − 4 − 5 = 0 mcm = 3
3
6x+ 24− x= 2x−15
x −4− 15=
0
6x−x− 2x=−15 −24
x − 19 = 0
3x
=−39
39
x = −
x = 19
3
x =−13
8. x − x+ 2 5
= x mcm=
12
12 2
5. 3 x 1
4 5 2 5 3x
− + x = − mcm = 20 12x−x− 2 = 30x
4 20
11x− 30x=
2
15x− 4 + 40x= 25 −3x
55x
+ 3x= 25 + 4
− 19x
= 2
58x
= 29
2
x =−
29
19
x =
58
1
5x
− 1 3
x =
9. x − = 4x
− mcm = 15
2
3 5
2 5 7 3
15x− 25x+ 5 = 60x−9
6.
− = − + 1 mcm = 30x
3x x 10 2x
−10x− 60x=−9−5
20 − 150 = 21x− 45 + 30x
− 70x
=−14
− 130+ 45=
51x
− 85
x = − 14
= x
−70
51
− 5
1
= x
x =
3
5

8x
− 3
10. 10x
− = 2( x − 3)
mcm = 4
4
( )
40x− 8x+ 3= 8 x−3
40x− 8x= 8x−24 −3
40x−
16x= −27
27
x = −
24
9
x =−
8
x− 2 x− 3 x−
4
11.
− =
3 4 5
mcm=
60
( x− ) − ( x− ) = ( x−
)
20 2 15 3 12 4
20x−40 − 15x+ 45= 12x−48
5x− 12x= −48−5
− 7x
= −53
x =
53
7
x− 1 x− 2 x− 3 x−
12.
− − =−
2 3 4
mcm=
60
5
5
( x− ) − ( x− ) − ( x− ) = − ( x−
)
30 1 20 2 15 3 12 5
30x−30− 20x+ 40− 15x+ 45= − 12x+
60
− 5x+ 55= − 12x+
60
− 5x+ 12x= 60−55
7x
= 5
7 x
13. x−( x− ) − − 5
5 1 = 1 mcm = 10
10
( ) ( )
10x−10 5x−1 − 7 − 5x
= 10
10x− 50x+ 10 − 7 + 5x=
10
− 35x
+ 3=
10
− 35x
= 7
5x
− 6 1
14. 2x
− + ( x − 5)
= − 5x
4 3
mcm = 12
( ) ( )
x = − 7
35
1
x =−
5
24x−3 5x− 6 + 4 x− 5 = −60x
24x− 15x+ 18+ 4x− 20= −60x
13x−
2 = −60x
13x+ 60x=
2
2
x =
73
5
x =
7
15.
4 10 x + 1 16x
+ 3
− = 4x
−
6
4
1
16.
2
mcm=
12
( x ) x ( x )
48− 2 10 + 1 = 48 − 3 16 + 3
48−20x− 2 = 48x−48x−9
− 20x
+ 46=−9
− 20x
=−55
55
x = − − 20
x =
11
4
1 1
x− − x− = x+ + mcm=
6
6
16. ( 1) ( 3) ( 3)
3
( x ) ( x ) ( x )
3 −1 −6 − 3 = 2 + 3 + 1
3x−3− 6x+ 18= 2x+ 6+
1
− 3x+ 15= 2x+
7
− 5x
= −8
8
x =
5
6x+ 1 11x− 2 1
17. ( ) ( )
3 9 4 5 2 5
− − x − =
6 6 x + 1 mcm = 36
( x+ ) − ( x− ) − ( x− ) = ( x+
)
12 6 1 4 11 2 9 5 2 30 6 1
72x+ 12 − 44x+ 8 − 45x+ 18= 180x+
30
− 17x+ 38= 180x+
30
− 197x
= −8
8
x =
197
4x
+ 1 1
18. ( ) ( )
3 3 4 1 13+
2x
1
= x − − − x− 3 mcm=
6
6 2
( x+ ) = ( x− ) − ( + x) − ( x−
)
2 4 1 2 4 1 13 2 3 3
8x+ 2= 8x−2−13−2x− 3x+
9
2=−6−5x
8=−5x
8
− = x
5
2
19. ( ) ( ) ( )
5 5 1 3
10 10 3 1 6
x− + x− = − x−2
− mcm=
10
2 5
( x ) ( x ) ( x )
4 5 − 1 + 3 10 − 3 = −5 −2 −12
20x− 4 + 30x− 9 = − 5x+ 10−12
50x− 13= − 5x+ 10 −12
50x− 13= −5x−2
55x
= 11
1
x =
5

3x− 1 5x+ 4 x+ 2 2x− 3 1
20.
− − = −
2 3 8 5 10
mcm=
120
( x ) ( x ) ( x ) ( x )
60 3 −1 − 40 5 + 4 − 15 + 2 = 24 2 −3 −12
180x−60−200x−160−15x− 30= 48x−72 −12
7x− 1 5−
2x
4x− 3 1+
4x
21.
− = +
3 2x
4 3x
mcm = 12x
−35x− 250= 48x−84
− 83x
= 166
x =−2
2
( − ) − ( − ) = ( − ) + ( + )
4x 7x 1 6 5 2x 3x 4x 3 4 1 4x
28x −4x− 30 + 12x= 12x − 9x+ 4 + 16x
2 2 2
2x
+ 7 2 x − 4
22.
−
3 5x
2
mcm=
15x
8x− 30=− 9x+
4
( )
17x
= 34
x = 2
2 2 2
4x
− 6 7x
+ 6
− =
2
15x
3x
( + ) − ( − ) − ( − ) = ( + )
2 2 2 2
5x 2x 7 6x x 4 x 4x 6 5 7x
6
3 2 3 3 2
10x + 35x − 6x + 24x− 4x + 6x= 35x
+ 30
2 ⎛ x+
1⎞
3 ⎛ x−
6⎞
23.
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ mcm = 60
3 ⎝ 5 ⎠ 4 ⎝ 3 ⎠
( x+ ) = ( x−
)
8 1 15 6
8x+ 8 = 15x−90
8x− 15x=−90−8
− 7x
=−98
98
x = − − 7
x = 14
2
30x
= 30
3 ⎛ 2x−
1⎞
4 ⎛ 3x+
2⎞
1 ⎛ x−
2⎞
1
24.
⎜ ⎟− ⎜ ⎟− ⎜ ⎟+ =
5 ⎝ 6 ⎠ 3 ⎝ 4 ⎠ 5 ⎝ 3 ⎠ 5 0
mcm = 60
( x ) ( x ) ( x )
62 −1− 203 + 2−4 − 2+ 12=
0
12x−6 −60x−40 − 4x+ 8 + 12 = 0
−52x
− 26 = 0
30
x =
30
x = 1
27.
3
8
26 1
x =− =−
52 2
x
25.
10 3 x + 5 11
− = 3
2
12 −
6 4
60 3 5 47
⇒ − x − x
= − mcm=
24
6 12 8
( x)
4 55− 3 = 94 −3x
220 − 12x= 94 −3x
− 12x+ 3x= 94 −220
− 9x
=−126
126
x = − − 9
x = 14
x
1 1
1 26.
9x−2−7x ⎛ +
⎞
⎜ − ⎟ = 2
+ 2
⎝ x 2⎠
2
⎛
9 2 7 2 − x⎞
x 13
⇒ x − − ⎜ ⎟ = + mcm = 4
⎝ 2 ⎠ 4
( )
36x−8−14 2 − x = x+
13
36x−8− 28 + 14x= x+
13
50x
− 36 = x+
13
49x
= 49
x = 1
3
4
⎛ 2 − x⎞
x+ 2 11
⇒9x−2−7x⎜
⎟= +
⎝ 2 ⎠ 4 4
x 7 12x− 5 2x− 3 4x+ 9 7
− − − + + =
10 16 20 4 80 0 mcm = 160
( ) ( ) ( )
60x−112 −10 12x−5 −8 2x− 3 + 40 4x+ 9 + 14 = 0
60x−112 − 120x+ 50− 16x+ 24 + 160x+ 360+ 14 = 0
5x
3
x + 24
28. − ( x−20) −( 2x− 1)
=
4 17
34
84x
+ 336=
0
( ) ( ) ( )
85x−12 x−20 −68 2x− 1 = 2 x+
24
85x− 12x+ 240 − 136x+ 68 = 2x+
48
− 63x+ 308 = 2x+
48
− 65x
= −260
260
x = − − 65
x = 4
84x
=−336
336
x = −
84
x =−4
mcm=
68

x 1 ⎛
29.
5 4 3 2 x⎞
2 1
+ = ⎜ −
2 3 4 10 5 ⎝ ⎠
⎟ − + ⎛
⎜
⎝
− x⎞
⎟
3 ⎠
20 1 4 2 1 30 5
⇒ + x ⎛ − x⎞
⎛ − x⎞
= ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟
4 3 ⎝ 2 ⎠ 3 4 ⎝ 3 ⎠
20 4 2 30 5
⇒ + x
= − x − x
− +
4 6 3 12
mcm = 12
( ) ( )
3 20 + x = 2 4 − x − 8 + 30−5x
60 + 3x= 8 −2x− 8 + 30−5x
60 + 3x=− 7x+
30
( )
10x
=−30
x =−3
5 x + 2 4
30.
+ −
12 9
− x
3 20 8 − x 20−
3x
= x − − −
12 18
22
36
mcm=
36
( x+ ) + − + x= x− − ( − x) − ( − x)
15 2 16 22 108 720 3 8 2 20 3
15x+ 30− 6 + x= 108x−720 − 24 + 3x− 40+
6x
16x+ 24 = 117x−784
− 101x
=−808
x = 8
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎜ 3−
⎟ −⎜1−
7
31.
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎟ = − ⎛
− x⎞
⎜ x ⎟
⎝ 2⎠
6 3
⇒ − x
− − x x
= 7 − mcm=
6
2 3 2
( ) ( )
36− x −23− x = 42−3x
18 −3x− 6+ 2x= 42 −3x
12 − x= 42 −3x
2x
= 30
x = 15
2
5 ⎛ x⎞
⎛ 3⎞
32. ( x+ 3)( x−3)
− x − = ⎜ x−
⎟−⎜
3x
− ⎟
4 ⎝ 5⎠
⎝ 4⎠
2 2
5 4x
12x−
3
⇒ x −9
− x − = −
4 5 4
41 16x− 60x+
15
⇒− =
4 20
41 x
⇒− = − 44 + 15
mcm = 20
4 20
− 205= − 44x
+ 15
33.
− 220= −44x
5=
x
⎛ 3x−
1⎞
2 ⎛ x+
2⎞
1
2x−⎜
2x−
⎟= ⎜ ⎟−
⎝ 8 ⎠ 3 ⎝ 6 ⎠ 4
16x− 3x+ 1 2x+ 4 1
⇒ 2x
−
= − mcm = 72
8 18 4
( ) ( )
144x− 9 13x+ 1 = 4 2x+ 4 −18
144x−117x− 9 = 8x+ 16 −18
27x− 9 = 8x−2
19x
= 7
7
x =
19
EJERCICIO 142
3 3
1.
+
5 2 − 1 = 0 mcm = 5 2 x
x
−1
1. ( )
( x )
32 − 1+ 15=
0
6x
− 3+ 15=
0
6x
=−12
x =−2
2 3
2.
4x− 1
= 4x+
1
( x+ ) = ( x−
)
24 1 34 1
2
mcm = 16x
−1
8x+ 2= 12x−3
− 4x
= −5
5
x =
4
5 1
2
3.
mcm x 1
2
x − 1
=
= −
x−1
5= x + 1
4 = x
4.
3 1
1 1 0 2
1
2 mcm x
x+ − x − = = −
( x )
3 −1 − 1=
0
3x
−3− 1=
0
3x
= 4
4
x =
3
5x
+ 8 5x
2
5.
3x
+ 4
= +
3x
− 4
5. mcm= ( 3x + 4)( 3x
−4)
( 3x− 4)( 5x+ 8) = ( 5x+ 2)( 3x+
4)
2 2
15x + 4x− 32 = 15x + 26x+
8
− 26x+ 4x= 8+
32
− 22x
= 40
40
x =−
22
20
x =−
11
2
10x
− 5x+
8
6.
5 9 19 2 5 2
9 19
2
= mcm= x + x −
x + x−
( )
2 2
10x − 5x+ 8 = 2 5x + 9x−19
2 2
10x − 5x+ 8 = 10x + 18x−38
−5x− 18x= −38−8
− 23x
= −46
46
x = − − 23
x = 2

1 1 1
7.
3x− 3
+ 4x+ 4
= 12x−
12
2
7. mcm = 12( x −1)
( ) ( )
4 x+ 1 + 3 x− 1 = x+
1
4x+ 4+ 3x− 3= x+
1
7x− x=
0
6x
= 0
x = 0
2
x x − 8x
7
8.
− = mcm = 44x
−5
4 4x
− 5 4
8. ( )
2
( 4 −5) −4( − 8 ) = 7( 4 −5)
x x x x x
2 2
4x −5x− 4x + 32x= 28x−35
27x= 28x−35
− x =−35
x = 35
2x− 9 2x−
3 x
9.
+ mcm 10 2x
1
10 2x
− 1 = 5
= −
9. ( )
10.
( 2x−9)( 2x− 1) + 10( 2x− 3) = 2x( 2x−1)
2 2
4x − 20x+ 9 + 20x− 30 = 4x −2x
3x
− 1
− 21= −2x
− 21
= x
− 2
10
1
2
= x
( ) 10. = mcm = 2( x −1)
x − 1
2
18x
− 1
2
2
( x − x+ ) = ( x− )( x−
)
2 9 6 1 1 18 1
2 2
18x − 12x+ 2 = 18x − 19x+
1
− 12x+ 19x= 1−2
7x
=−1
1
x =−
7
2x
+ 7 2x
− 1
11.
−
5x
+ 2 5x
− 4 0 mcm 5 x 2 5 x 11. ( )( )
12.
( x )( x ) ( x )( x )
2 + 7 5 −4 − 2 − 1 5 + 2 = 0
2 2
10x + 27x−28− 10x + x+ 2 = 0
( 5x− 2 )( 7x+
3 )
12.
7x( 5x−
1)
( x )( x ) x( x )
28x
= 26
13
x =
14
( )
− 1= 0 mcm= 7x 5x
−1
5 − 2 7 + 3 −7 5 − 1 = 0
2 2
35x + x−6− 35x + 7x=
0
8x
= 6
x =
3
4
13.
3 2 8
2
x− 4
= x− 3
+ x − 7x+
12
( x ) ( x )
3 − 3 = 2 − 4 + 8
3x− 9= 2x− 8+
8
3x− 2x=
9
x = 9
( )
6x
− 1 3 x + 2
14.
−
18 5x
− 6
2
mcm= x − 7x
+ 12
1 3x
= + mcm= 18 5 −6
9
( x )
( 6x−1)( 5x−6) − 54( x+ 2) = 2( 1+ 3x)( 5x−6)
30x − 41x+ 6−54x− 108= −26x− 12 + 30x
2 2
−95x− 102 = −26x−12
− 69x
= 90
90
x =−
69
7
x =−1
5 3 6
15.
− −
2
= 0 mcm = 1−
x
1+
x 1 − x 1 − x
( x) ( x)
51− − 31+ − 6=
0
5−5x−3−3x− 6=
0
−8x
− 4=
0
− 8x
= 4
1
x =−
2
1+
2x
1 2 3 14
16.
−
− x x −
=−
2
1+
3x
1−
3x
1−
9x
17.
( )( ) ( )( )
23
2
mcm= 1−9x
1+ 2x 1−3x − 1− 2x 1+ 3x = − 3x+
14
2 2
1− x−6x −1− x+ 6x = − 3x+
14
− 2x= − 3x+
14
x = 14
3x
− 1 1 7
2
=
x + 7x+
12 2x+ 6
+ 6x+
24
2
x 7x 12 ( x 3)( x 4)
⇒ 2x+ 6= 2( x+
3)
⇒ 6x+ 24= 6( x+ 4) mcm= 6( x+ 3)( x+
4)
( x− ) = ( x+ ) + ( x+
)
⇒ + + = + +
63 1 3 4 7 3
18x− 6= 3x+ 12 + 7x+
21
18x− 6= 10x+
33
8x
= 39
39
x =
8
7
x = 4
8
2

2
18. 2( 1) ( 1)
( )
2 −
mcm = x − x +
18.
1 3 3
x − 1 2x− 2
=− 2x+
2
( x+ ) − ( x− )( x+ ) = − ( x−
)
2 1 3 1 1 3 1
2 2
2x+ 2− 3x + 3= − 3x + 6x−3
2x+ 5= 6x−3
− 4x
= −8
x = 2
5x+
13 4x+
5 x
19.
− = mcm = 15 x −3
15 5x
− 15 3
19. ( )
( 5x+ 13)( x−3) − 3( 4x+ 5) = 5x( x−3)
2 2
5x −2x−39 −12x− 15= 5x −15x
−14x− 54 = −15x
x = 54
2x
− 1 x 4 2
20.
mcm 32x 1 3x
2
2x
+ 1
− −
= = + −
3x
− 2 3
20. ( )( )
( x− )( x− ) − ( x− )( x+ ) = ( x+ )( x−
)
3 2 1 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2
2 2 2
18x − 21x+ 6 − 6x + 21x+ 12 = 12x −2x−4
18 =−2x
−4
22 =−2x
− 11=
x
4x
+ 3 3x
8
21.
2 5 3 7 1 mcm
x
2 x
x
5 3 x
− − +
− = = − −7
21. ( )( )
( 4x+ 3)( 3x−7) − ( 3x+ 8)( 2x− 5) = ( 2x−5)( 3x−7)
2 2 2
12x −19x−21−6x − x+ 40 = 6x − 29x+
35
− 20x+ 19 = − 29x+
35
9x
= 16
2
10x
− 7 3x
8 5x
4
22.
15x
+ 3
= + − −
12 20x
+ 4
2
16
x =
9
7
x = 1
22. mcm = 12( 5x
+ 1)
2
( x− ) = ( x+ )( x+ ) − ( x − )
410 7 3 8 5 1 35 4
2 2
40x− 28 = 15x + 43x+ 8 − 15x
+ 12
40x− 28 = 43x+
20
− 3x
= 48
x =−16
4x− 1 x−
2 8x
3
23.
+
3
1 mcm 10 2x
7
5 2x
− 7
= − − = −
10
10
23. ( )
( x− )( x− ) + ( x− ) = ( x− )( x− ) − ( x−
)
2 4 1 2 7 10 2 8 3 2 7 13 2 7
2 2
16x − 60x+ 14 + 10x− 20 = 16x − 62x+ 21− 26x+
91
−50x− 6 = − 88x+
112
38x
= 118
118
x =
38
2
x = 3
19
9
24.
25.
1
1 2 3 2 3
x− 1
− x− 2
= 2x− 2
− 2x−
4
7
1 2 3 3
x− 1
− x− 2
= 2x− 2
− 2x−
4
1 2 3 7
x− 1
− x− 2
= 2x− 2
− 6x−
12
= 6( −1)( −2)
( x− ) − ( x− ) = ( x− ) − ( x−
)
mcm x x
6 2 12 1 9 2 7 1
6x−12− 12x+ 12= 9x−18− 7x+
7
− 6x= 2x−11
− 8x
= −11
11
x = − = 1
− 8
3
8
1
1 2 1 2 2
x+ 3
− = −
5x−
20 3x−
12 x + 3
= 15( − 4)( + 3)
15( x + 3)
( x− ) − ( x+ ) =
mcm x x
( x − )
15 4 6 3
−30 4
2
15x
+ 45
15x−60 −6x− 18 = −30x
−120
2
( x− ) = x+ − ( x−
)
2 9 78 15 45 2 30 120
18x− 156 = 15x+ 45− 60x+
240
18x− 156 = − 45x+
285
63x
= 441
x = 7
1 4 10 3
− = −
26.
6−
2x 5 − 5x 12 − 4x 10 − 10x
= 20( 1− )( 3−
)
( − x) − ( − x) = ( − x) − ( − x)
mcm x x
10 1 16 3 50 1 6 3
10 −10x− 48 + 16x= 50 −50x− 18 + 6x
2
2 6x
2
27.
−
2
3 9x
− 1
= 3x−
1
6x− 38= − 44x+
32
50x
= 70
x =
x =
7
5
1 2 5
2
27. mcm = 39 ( x −1)
2 2
( x − ) − x = ( x+
)
29 1 18 63 1
2 2
18x −2 − 18x = 18x+
6
− 2= 18x
+ 6
− 8=
18x
4
− = x
9

2
5x
− 27x
1
28.
− = x− 6 mcm= x 5x+
3
5x+
3 x
28. ( )
2
( 5 −27 ) − ( 5 + 3) = ( 5 + 3)( −6)
x x x x x x x
3 2 3 2
5x −27x −5x− 3= 5x −27x −18x
−5x− 3=−18x
13x
= 3
3
x =
13
4x
+ 1 6 4x
1
2
29.
2
mcm 16x
1
4x− 1
− 16x
− 1
= −
= −
4x
+ 1
( 4x+ 1) − 6= ( 4x−1)
2 2
2 2
16x + 8x+ 1− 6= 16x − 8x+
1
16x
− 5=
1
16x
= 6
3
x =
8
⎛ x − 1⎞
⎛ x + 1⎞
5x( x−
1)
30. 3⎜
⎟ + 2⎜
⎟ =
2
⎝ x + 1⎠
⎝ x − 4⎠
x −3x−4
2
mcm = x −3x
−4
2
( x− )( x− ) + ( x+ ) = x( x−
)
3 1 4 2 1 5 1
2 2 2
3x − 15x+ 12+ 2x + 4x+ 2= 5x −5x
− 11x+ 14 = −5x
− 6x
=−14
7
x = − − 3
x = 2
2
⎛ x + 2⎞
⎛ x − 2 ⎞ x + 78
31.
2⎜
⎟−3⎜
⎟=
2
⎝ x − 2⎠
⎝ 2x
+ 3⎠
2x
− x−6
32.
= ( − 2)( 2 + 3)
( )( ) ( )
mcm x x
1
3
2
2 x+ 2 2x+ 3 −3 x− 2 = x + 78
2 2 2
4x + 14x+ 12 − 3x + 12x− 12 = x + 78
26x
= 78
x = 3
1
1
3
2
−
2
=
2
x + 3x−28
x + 12x+
35 x + x−20
3 28 ( 7)( 4)
12 35 ( 7)( 5)
2
20 ( 5)( 4)
( 7)( 5)( 4)
( ) ( )
⇒ + − = + −
2
x x x x
⇒ + + = + +
2
x x x x
⇒ x + x− = x+ x−
mcm= x + x + x −
x+ 5− x− 4 = 3 x+
7
x+ 5− x+ 4= 3x+
21
9= 3x
+ 21
− 12 = 3x
− 4 = x
2
33.
x
x − 2 x x
+ x+ = 2 − 5 − 2
−
8 7 x − 49 x −6x−7
2 2 2
2
⇒ x + 8x+ 7= ( x+ 7)( x+
1)
2
⇒ x − 49 = ( x+ 7)( x−7)
2
⇒ x −6x− 7= ( x− 7)( x+
1)
2
mcm= ( x + 7)( x − 7)( x + 1) = ( x − 49)( x + 1)
( x−2)( x− 7) = ( 2x− 5)( x+ 1) −( x− 2)( x+
7)
2 2 2
x − 9x+ 14= 2x −3x−5− x − 5x+
14
− 9x+ 14= − 8x+
9
− x = −5
x = 5
4x
+ 5 2x
3 2x
5
34.
15 7 2 12 7 10 20 29 5 0
2 2 2
x + x− − +
−
−
x − x−
x − x+ =
2
⇒ 15x + 7x− 2 = ( 3x+ 2)( 5x−1)
2
⇒12x −7x− 10= ( 4x− 5)( 3x+
2)
2
⇒20x − 29x+ 5= ( 4x−5)( 5x−1)
mcm = ( 3x + 2)( 5x −1)( 4x
−5)
( x )( x ) ( x )( x ) ( x )( x )
4 + 5 4 −5 − 2 + 3 5 −1 − 2 − 5 3 + 2 = 0
2 2
2
16x −25−10x − 13x+ 3−6x + 11x+ 10=
0
−2x
− 12=
0
− 2x
= 12
x =−6
( )
7 3 2 3 x 1
35.
2
2x+ 1
− =
x+
4 x+ 1
− +
2x
+ 9x+
4
36.
= ( 2 + 1)( + 4)( + 1)
( x+ )( x+ ) − ( x+ )( x+ ) = ( x+ )( x+ ) − ( x+
)
mcm x x x
7 4 1 3 2 1 1 2 2 1 4 3 1
2 2 2 2
7x + 35x+ 28−6x −9x− 3= 4x + 18x+ 8−3x −6x−3
26x+ 25= 12x+
5
14x
=−20
10
x =−
7
3
x =−1
( )
2
x + 3 x ( x )
36. = − 1
( x − ) x + + 27 + 1
2 2
3 1 x −2x−3
2
mcm = ( x − 3) ( x + 1)
2 2
( x+ 3) ( x+ 1) = ( x−3) ( x− 1) + 2( 7x+ 1)( x−3)
3 2 3 2 2
x + 7x + 15x+ 9 = x − 7x + 15x− 9 + 14x −40x−6
9=−15−40x
24 =−40x
3
− = x
5
7
2

( )
2
mcm = ( x + 5) ( x −2)
( )
2
( x+ 5)( x−2)( x−4) − ( x+ 5) ( x+ 1) = − 12( x+ 3)( x−2)
x − 4 x x
37.
x + − + 1
x − =− 12 + 3
2
5 2 x + 5
x − 3 x x x
38.
x − − − 2
x − = + 2
x + − + 3
4 3 1 x + 2
3 2 3 2 2
x −x − 22x+ 40 − x −11x −35x− 25= −12x − 12x+
72
− 57x+ 15= − 12x+
72
− 45x
= 57
57
x =−
45
4
x =−1
38. mcm= ( x −4)( x − 3)( x + 1)( x + 2)
2
2
2
2
( x− 3) ( x+ 1)( x+ 2) −( x −4)( x− 4)( x+ 1) = ( x+ 2) ( x−4)( x−3) −( x −9)( x− 4)( x+
1)
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
x −3x − 7x + 15x+ 18 − x + 3x + 8x −12x− 16= x −3x − 12x + 20x+ 48− x + 3x + 13x −27x−36
3x
+ 2=
− 7x
+ 12
10x
= 10
x = 1
x + 6 x x x
39.
x + − + 1
x − = − 5
2 3 x − 1 − x + 4
39. mcm= ( x + 2)( x −3)( x − 1)( x + 4)
2
( x+ 6)( x−3)( x− 1)( x+ 4) −( x − 1)( x+ 2)( x+ 4) = ( x− 5)( x+ 2)( x− 3)( x+ 4) − x( x+ 2)( x−3)( x−1)
4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2
x + 6x −13x − 66x+ 72 − x −6x − 7x + 6x+ 8= x −2x − 25x + 26x+ 120 − x + 2x + 5x −6x
− 60x
+ 80 = 20x
+ 120
− 80x
= 40
EJERCICIO 143
1.
+ 1 = 1
1. a( x )
x + 1=
1
a
− 1+ x + 1= 1 −1
a
1 a
x = −
a
2.
ax − 4= bx −2
ax − bx = 4−2
( b)
xa− = 2
2
x =
a−
b
2 2
3.
ax + b = a −bx
2 2
ax + bx = a −b
( + ) = ( + )( − )
xa b a b a b
x= a−b
2
4.
32a − x + ax = a + 9
4. ( )
2
6a − 3x + ax = a + 9
2
( )
( − 3) = ( a−3)
xa− 3 = a + 9−6a
xa
x= a−3
5.
ax+ b + xb− a = 2b2a−
x
5. ( ) ( ) ( )
ax + ba + xb − ax = 4ab −2bx
xb + 2bx = 4ab −ab
3bx
= 3ab
3ab
x =
3b
x=
a
2
1
x =−
2
2 2
( ) ( ) ( )
x−a − x+ a = a a−7x
6.
2 2 2 2 2
x − 2ax+ a − x −2ax− a = a −7ax
− 4ax + 7ax = a
2
7.
15
7. ax − a( a + b) = − x − ( 1+
ab)
2
ax −a − ab = − x −1−ab
2
ax + x = a −1
( + 1) = ( + 1)( −1)
xa a a
x= a−1
2 2 2
8.
a a− x −b x− b = b x−b
8. ( ) ( ) ( )
a −a x− b x+ b = b x−b
3 2 2 3 2 3
−ax− 2bx= −a −2b
2 2 3 3
ax+ 2bx= a + 2b
2 2 3 3
( )
xa + 2b = a + 2b
2 2 3 3
a
x =
a
+ 2b
+ 2b
3 3
2 2
2
3ax
= a
2
( x+ a)( x−b) − ( x+ b)( x− 2a) = b( a− 2)
+ 3a
a
x =
2 2
3a
x − bx + ax −ab − x + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a
a
− 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a
x =
3
x( 3a− 2b)
= 3a−2b
9.
x = 1

2 2
2
10. x + a = ( a+ x) −a( a−1)
10.
2 2 2 2 2
x + a = a + 2ax+ x − a + a
( − 1)
2
a = 2ax+
a
aa
= x
2a
a − 1 = x
2
11.
mn− x−mn− 1 = mmx−a
11. ( ) ( ) ( )
12.
2
mn −mx − mn + m = m x −am
2
−mx − m x = −am −m
( 1 ) ( 1)
− xm + m = − m a +
a + 1
x =
m+
1
12. x− a+ 2= 2ax− 3( a+ x) −2( a−5)
x− a+ 2= 2ax−3a−3x− 2a+
10
x− a= 2ax−5a− 3x+
8
x+ 4a− 8= 2ax−3x
( a− ) = ax−
x
( a− ) = x( a−
)
4 2 2 4
4 2 2 2
2 = x
13.
a x−a − 2bx= b b−2a−
x
13. ( ) ( )
14.
2 2
ax −a − 2bx = b −2ab −bx
ax − bx = b − 2ab + a
( − ) = ( − )( − )
( a−b)( b−a)
xa b b a b a
x =−
2 2
a−
b
x=−( b−a)
xb ( + a) − aa ( + b)
=
x= a−b
( x− a)( a+ b)
=
2
14. ax + bx = ( x + a −b) −( x − 2b)( x + 2a
x=
)
x=
2 2 2 2
x( a + b)
= x + 2ax − 2bx + a − 2ab + b − x − 2ax + 2bx + 4ab
2 2
xa ( + b)
= a + 2ab+
b
3
2
3
3
xa ( + b) = ( a+
b)
20. ( + ) − =−( − ) +
x= a+
b
15.
xa+ b −3−aa− 2 = 2 x−1
− xa−b
15. ( ) ( ) ( ) ( )
2
ax + bx −3− a + 2a = 2x −2− ax + bx
2
2ax − 2x = a − 2a
+ 1
( − ) = ( a−
)
2xa
1 1
a − 1
x =
2
2
2
16. ( m+ 4x)( 3m+ x) = ( 2x− m) + m( 15x−m)
16.
3m + 13mx+ 4x = 4x − 4mx+ m + 15mx−m
2 2 2 2 2
2mx
=−3m
2
2
3m
x =−
2m
3m
x =−
2
2 2 2 2
17.
a a− x − a a+ 1 −b b− x −b 1− b + a 1+ a = 0
3 2 3 2 3 2 3 2
a −a x−a −a − b + b x− b+ b + a+ a = 0
17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
− ax+ bx− b+ a=
0
2
(
2) ( )
( )( )
xa ( b)
xb −a − b− a = 0
xb− a a+ b = b−a
+ = 1
1
x =
a + b
2
18. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2
18.
ax − b = bx −a a − x − x b − a + a + b 1−2b
a x − 2abx + b = abx + bx −a −ax − bx + a x + a + b −2b
19.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1− 3 ) = ( 1−3
)
ax b b b
b
x =
a
2 2 2
+ − − − + = 0
19. ( x b) ( x a) ( a b)
2 2 2 2 2 2
x + 2bx+ b − x + 2ax−a −a −2ab− b = 0
2
2bx + 2ax −2a − 2ab
= 0
2 2 0
2 0
2 2a
x m 12m x m 2x
x + 3x m+ 3xm + m − 12m =− x + 3x m− 3xm + m + 2x
3 2 2 3 3 3 2 2 3 3
2x + 6xm − 2x = 12m
3 2 3 3
6xm
= 12m
2 3
12m
x =
2
6m
x=
2m
3
a
3

EJERCICIO 144
1. m 1 2
− = mcm=
mx
x m m
2
m − x=
2x
m
2
m
3
2
= 3x
= x
2. a b 4a
+ = mcm=
2x
x 2 x
2a+ bx=
8a
bx = 6a
6a
x =
b
x 1 x 1
3.
− − 2
= mcm = 2a
2a
a 2a
( )
ax −21− x = a
ax − 2+ 2x = a
( )
xa+ 2 = a+
2
a 2
x = + a + 2
x = 1
m n n
4.
+ = + 1 mcm = mx
x m x
2
m + nx= mn+
mx
2
m − mn= mx−nx
( − ) = ( − )
mm n xm n
m=
x
a − 1 1 3a
− 2
5.
+ =
a 2 x
mcm = 2ax
( − ) + = ( − )
2xa 1 ax 2a3a
2
2
2ax − 2x + ax = 6a −4a
ax − x = a( a − )
( 3 − 2) = 2 ( 3 −2)
3 2 2 3 2
x a a a
x=
2a
( )
a−
x b x a b
6.
− − 2 −
=
a b ab
mcm = ab
( − ) − ( − ) = 2( − )
ab −bx − ab + ax = 2( a −b)
xa ( − b) = 2( a−b)
ba x ab x a b
x = 2
2
x−
3a
2a− x 1
7.
− =− mcm =
2
2
a b
a ab a
( 3 ) ( 2 )
b x− a −a a− x = −ab
2
bx −3ab − 2a + ax = −ab
x+
m x+ n m + n
8.
− =
m n mn
( ) ( )
bx + ax = 2ab + 2a
( + ) = 2 ( + )
xa b aa b
2 2
x=
2a
− 2 mcm=
mn
2 2
nx+ m − mx+ n = m + n −2mn
xn + mn −mx − mn = m − 2mn + n
x− b x−
9.
= 2 −
a
2
( − ) = ( − )
( − ) = −( − )( − )
x=−( m−n)
xn m m n
xn m n m m n
a
b
x= n−m
( − ) = 2 − ( − )
b x b ab a x a
bx − b = 2ab − ax + a
2 2
bx + ax = a + 2ab + b
( + ) = ( + )
xa b a b
2 2
2
2 2
mcm = ab
x= a+
b
4x
3
10.
3 mcm 22a b
2a+ b
− = − 2
= +
10. ( )
2
( ) ( )
8x− 6 2a+ b = − 3 2a+
b
8x−12a− 6b= −6a−3b
8x= 6a+
3b
( a+
b)
32
x =
8
2a+
3x
26 ( x−
a)
11. =
mcm = x + a 4x + a
x+
a 4x+
a
( )( )
( 2a+ 3x)( a+ 4x) = ( 2x+ 2a)( 6x−a)
2a + 11ax+ 12x = 12x + 10ax−2a
2 2 2 2
2 x−
c 2x+
c
12.
=
4x−
b 4 x−
b
ax =−4a
x=−4a
( )
mcm = 44 ( x −b)( x −b)
( )
8( x−c)( x− b) = ( 2x+ c)( 4x−b)
2 2
8x −8xb − 8xc + 8bc = 8x − 2xb + 4xc −bc
−6xb − 12xc = −9bc
( )
− 6xb+ 2c = −9bc
2
3bc
x =
2 2
( b+
c)

1 m 1 1
13.
− = − mcm = xmn
n x mn x
2
xm − m n = x −mn
14.
2
xm x m n mn
( − 1) = mnm ( −1)
xm
− = −
x=
mn
( x− 2b)( 2x+
a)
= 2 mcm = ( x −a)( a − 2b + x)
( x−a)( a− 2b+
x)
( x− 2b)( 2x+ a) = 2( x−a)( a− 2b+
x)
2 2 2
2x + ax−4bx− 2ab= − 4bx+ 2x − 2a + 4ab
x+
m
15.
x−
n
n+
x
m+
x
ax = 6ab −2a
( )
( )
ax = 2a 3b −a
x= 23b−a
15. = mcm= ( m+ x)( x−n)
2
( x+ m) = ( x+ n)( x−n)
x + 2mx+ m = x − n
2 2 2 2
2mx =−m −n
2 2
2 2
m + n
x =−
2m
x( 2x+ 3b)( x+
b)
2 2
16.
= 2x − bx+ b mcm= x+
3b
x+
3b
2 2
( 2 + 3 )( + ) = ( + 3 )( 2 − + )
x x b x b x b x bx b
2
2x + 5x b+ 3b x= 2x + 5bx − 2b x+
3b
3 2 2 3 2 3
3bx+ 2bx=
3b
2 2 3
3b
x =
5
3 ⎛ x x⎞
1 x x 5a
13b
17.
⎜ +
4 ⎝ b a⎠
⎟= ⎛
3 b
− ⎞ +
⎜ ⎟+
⎝ a ⎠ 12a
3 ⎛ ax + bx⎞
1 ⎛ ax − bx ⎞ 5a+
13b
⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +
4 ⎝ ab ⎠ 3 ⎝ ab ⎠ 12a
3ax
+ 3bx
ax − bx 5a+
13b
⇒ = +
mcm = 12ab
4ab
3ab
12a
( ax + bx) = ( ax − bx) + b( a + b)
33 3 4 5 13
9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b
5ax + 13bx = 5ab + 13b
( 5 + 13 ) = b( 5a+
13b)
x a b
x=
b
( )
x+ a x−
b 3ab
− 3b
18.
= +
3 3x−
a 9x−
3a
( )( ) ( )
2
x+ a 3x− a = 3 x− b + 3ab−3b
( + ) = ( + )
2
2
2
( )
mcm = 33x −a
3x + 2ax− a = 3x − 6bx+ 3b + 3ab−3b
2 2 2 2 2
2
2ax + 6bx = a + 3ab
2xa 3b aa 3b
a
x =
2
2
2
2
5x+
a 5x
b
19.
3 3
3x+ b
= −
3x a mcm = x +
−
b x − a
19. ( )( )
( 3x− a)( 5x+ a) = ( 5x− b)( 3x+
b)
15x −2ax− a = 15x + 2bx−b
2 2 2 2
−2ax − 2bx = a −b
2 2
( ) ( )( )
− 2xa+ b = a+ b a−b
b a
x = −
2
20.
x+
a x a a( 2x ab)
20.
x− a
− − x+ a
= +
x − a
2 2
2 2
( x+ a) −( x− a) = a( 2x+
ab)
( )( )
mcm = x − a x + a
2 2 2 2 2
x + 2ax+ a − x + 2ax− a = 2ax+
a b
2x−
3a
11a
21.
− 2 =
x+
4a
x − 16a
22.
2 2
2
4ax = 2ax + a b
2
2ax
= a b
ab
x =
2
2 2
( )( ) ( )
mcm = x −16a
2x−3a x−4a −2 x − 16a = 11a
2 2
2 2 2 2
2x − 11ax+ 12a − 2x + 32a = 11a
1
x+
a
2
− 11ax + 44a = 11a
− 11ax = 11a −44a
( )
( 1 4a)
− 11ax = 11a 1−4a
x=− −
x= 4a−1
22. +
2
= mcm = a( x + a)
( 1−
a)
2
x
a + ax
( )
2
2
a+ x = x+
a
a+ x = x + 2ax+
a
2
a− a = 2ax
a
= x
2a
1− a = x
2
x+
a
a
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
2 a+
x 3 b+
x 6 a − 2b
23.
− =
b a ab
2 2
( + ) − ( + ) = ( − )
2aa x 3bb x 6 a 2b
2a + 2ax−3b − 3bx= 6a −12b
2 2 2 2
2ax − 3bx = 4a −9b
2 2
( 2 − 3 ) = ( 2 − 3 )( 2 + 3 )
x a b a b a b
x= 2a+
3b
2
mcm=
ab

2
1 24. mn ( − x) −( m− n)( m+ x) = n − ( 2
2
mn − 3
2
m n)
mcm = n
n
3 2 2
nm n − x −n m− n m+ x = n − 2mn −3m n
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 3 2 2
mn −mnx − m n + mn − mnx + n x = n − 2mn + 3m n
EJERCICIO 145
x → Nº
buscado
1.
3x
x − = 2x
−11
8
( )
8x− 3x= 8 2x−11
5x= 16x−88
− 11x
= −88
x = − 88
− 11
x = 8
2.
x → Nº
buscado
5x
x + = 3x
−14
6
( )
6x+ 5x= 6 3x−14
11x= 18x−84
− 7x
= −84
x = − 84
− 7
x = 12
3.
x → Nº
que se resta
x
22 − x = 11+
6 5
( x)
522− = 55+
6x
110 − 5x= 55+
6x
− 11x
= −55
x = 5
4. x → Nº
que tienediferencia
5 7
x− x= 30 mcm=
8
4 8
10x− 7x=
240
3x
= 240
x = 80
5. x → Nº
buscado
x− 17 = 3 1
x− x mcm=
30
5 6
30x− 510 = 18x−5x
− 510 =−17x
30 = x
− 2mnx + n x = − 4mn + 4m n + n
2 2 2 3
2 2
( − 2 ) = ( − 4 + 4 )
2
( − 2 ) = ( −2
)
nx n m n n mn m
xn m n m
x= n−2m
6. x → N º buscado
x 3 ⎛ ⎞
+ x− 49 = 2 ⎜
1 1
x−
x⎟
5 8 ⎝ 6 12 ⎠
x 3 x
⇒ + x − 49 = mcm = 120
5 8 6
24x+ 45x− 5.
880 = 20x
49x
= 5.
880
x = 120
7. x → Edad de A
3x
→ Edad de B
5
3x
x
x + − = ⎛ mcm
⎝ ⎜ ⎞
4 2 3 ⎟ = 5
5 5 ⎠
5x+ 3x− 20=
6x
2x
= 20
x = 10años → Edad de A
310
⇒ ⋅ 30
= = 6años→
5 5
8. x → Lo que tiene A
7x
→
8
Lo que tiene B
x
x + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
90 2 7 ⎟
8 ⎠
mcm=
8
8x+ 720 = 14x
− 6x
= −720
x = $ 120 →
Tiene A
7
⇒ ⋅ 120
= $ 105 →
8
9. x → Longpieza .
3x
x − = 40 mcm=
5
5
5x− 3x=
200
2x
= 200
x=
100m
Edad de B
Tiene B
10. x → Lo que tenia
⎛ 1 1 ⎞
x− ⎜ x+
x⎟ = 39 mcm=
24
⎝ 3 8 ⎠
24x−8x− 3x=
936
13x
= 936
x=
72 bs.
11. x → Nº
buscado
x
3x
− 48= mcm = 3
3
9x− 144 = x
8x
= 144
x = 18
12. x → Nº
buscado
x
4x
− 19= + 30 mcm = 2
2
8x− 38= x+
60
7x
= 98
x = 14
13. x → N º buscado
x
80 − = x− 10 mcm=
2
2
160 − x= 2x−20
− 3x
=−180
x = 60
14. x → Nº
buscado
7x
x
− 2 = 4 mcm = 40
8 5
35x− 80 = 32x
3x
= 80
x =
80
3
x = 26 2 3
15. x → Ancho del buque
x
800 − 744 =
8 9
x
56 =
8 9
504 = 8x
504
= x
8
63Pies
= x

EJERCICIO 146
1.
x → Nº
menor
x+ 1→
Nº
mayor
( x + )
4 1
= x −4
5
4x
+ 4 = x − 4
5
( x )
4x+ 4= 5 −4
4x+ 4= 5x−20
⇒ x + 1
− x = −24
x= 24 → Nº
menor
= 24 + 1= 25 →
4.
x → Nº
menor
x+ 1 → Nº
mayor
Nº
mayor
1 1 ( x + )
( x+ 1)
+ x− 8=
3 1
5 33 20
( x+ ) + x− . = ( x+
)
132 1 20 5 280 99 1
132x+ 132 + 20x− 5.
280 = 99x+
99
152x− 99x= 5.
148 + 99
53x
= 5.
247
mcm = 660
x = 99 → Nº
menor
⇒ x+ 1= 99+ 1= 100→
Nº
mayor
x → Gane ayer
7.
x + 1 →Gane hoy
x
x+ x+ 1− 25=
2 5
( x )
52 − 24=
2x
10x− 120=
2x
8x
= 120
x = $ 15 → Gane ayer
⇒ x + 1= 15+ 1= $ 16→
Gane hoy
9.
x → Nº
menor
x+ 1 → Nº
medio
x+ 2 → Nº
mayor
( x + )
3x
5 2
+
5 6
( )
− 31= x+ 1 mcm=
30
18x+ 25 x+ 2 − 930 = 30x+
30
18x+ 25x+ 50− 930 = 30x+
30
43x− 30x= 880 + 30
13x
= 910
x= 70 x → Nº
menor
⇒ x+ 1= 70+ 1= 71 → Nº
medio
⇒ x+ 2= 70+ 2= 72 → Nº
mayor
2.
x → Nº
menor
x+ 1→
Nº
mayor
( x + )
7x
− 17 =
3 1
8 5
( x )
35x− 680 = 24 + 1
35x− 680 = 24x+
24
⇒ x + 1
11x
= 704
= 64 + 1= 65→
mcm=
40
x= 64→
Nº
menor
Nº
mayor
5.
2x → N º menor
2x+ 2 → Nº
mayor
( x ) ( x)
2 2
2 + 2 − 2 = 324
2 2
4x + 8x+ 4 − 4x
= 324
8x
= 320
x = 40
⇒ 2x = 2⋅ 40 = 80 → Nº
menor
8.
x → Nº
menor
x + 1 → Nº
medio
x+ 2 → Nº
mayor
x x x
+ + 1
+ + 2
= 9 mcm = 22.
140
20 27 41
( ) ( )
1. 107x+ 820 x+ 1 + 540 x+ 2 = 199.
260
1. 107x+ 820x+ 820 + 540x+ 1. 080 = 199.
260
⇒ x + 1= 80+ 1= 81→
N º medio
⇒ x+ 2= 80+ 2= 82 → Nº
mayor
10.
x → Nº
menor
x+ 1 → Nº
medio
x+ 2 → Nº
mayor
3.
x → N º menor
x+ 1→
Nº
mayor
3( x + 1)
3x
( x )
7 10 1 1
11
( x+ ) − x− = ( x+
)
2. 467x
= 197.
360
x = 80 → Nº
menor
− − = + 2 mcm=
770
330 1 231 770 70 2
330x+ 330−231x− 770= 70x+
140
29x
= 580
⇒ x+ 1= 20+ 1= 21 → Nº
medio
⇒ x+ 2= 20+ 2= 22 → Nº
mayor
x = 20 → Nº
menor
( x + )
3x
2 1
x − 81= −
4 5
( )
20x− 1.
620 = 15x− 8 x+
1
20x− 1.
620 = 15x−8x−8
⇒ x + 1
⇒ 2x+ 2 = 80 + 2 = 82 → Nº
mayor
13x
= 1.
612
x = 124 → N º menor
= 124 + 1= 125 x → Nº
mayor
6.
x → Tiene B
x+ 1 →Tiene A
( x + )
mcm = 20
x − 8=
4 1
− 4 mcm=
5
5
5x− 40= 4x+ 4−20
5x− 4x= 40−16
x= $ 24 → Tiene B
⇒ x+ 1= 24+ 1= $ 25⇒TieneA

x → Edad B
11.
12.
x → Edad B
x+ 2 → Edad A
x−1
→ Edad A
x−2
→ Edad C
x+ 1 → Edad C
( x + )
x+ x−2− 12=
7 2
2 17( x − 1)
2
8
( x+ 1)
− x = − 4 mcm = 5
5
82 ( x− 14) = 7( x+
2)
2 2
5( x + 2x+ 1) − 5x = 17( x−1)
−20
16x− 112 = 7x+
14
2 2
5x + 10x+ 5− 5x = 17x−17−20
9x
= 126
− 7x
= −42
x= 14 → Edad B
x= 6 → Edad B
⇒ x+ 2= 14+ 2= 16→
Edad A
⇒ x− 1= 6− 1= 5 → Edad A
⇒ x− 2= 14− 2= 12 → Edad C
⇒ x+ 1= 6+ 1= 7 → Edad C
EJERCICIO 147
x → Nº
mayor
x → Nº
mayor
3.
1.
x −44
→ N º menor
59 − x → N º menor
x − 2
x − 5
=
= 2
x − 44 3
59 − x
x− 2= 3
x− 5= 2( 59−
x)
( x−44)
x− 2 = 3x−132
x− 5= 118−2x
− 2x
= −130
3x
= 123
x= 65 → Nº
mayor
x= 41 → Nº
mayor
⇒ x − 44 = 65− 44 = 21 → N º menor
⇒59 − x = 59 − 41= 18 → N º menor
x → Nº
mayor
2.
x → Nº
mayor
4.
436 − x → Nº
menor
x −56
→ N º menor
x − 73
x − 8
= 2
=
436 − x
x − 56 3
( x)
x− 73= 2 436 −
x− 73= 872 −2x
3x
= 945
x= 315 → Nº
mayor
⇒ 436 − x= 436 − 315= 121 → Nº
menor
EJERCICIO 148
( x )
x− 8= 3 −56
5.
x → Parte mayor
260−
x → Parte menor
2x
− 40
= 2
3 260
( − x)
( x)
2x− 40= 6 260−
2x− 40= 1.
560−6x
8x
= 1.
600
x= 200 → Parte mayor
⇒260−
x
= 260− 200= 60 → Parte menor
6.
x → Parte de A
196 − x → Parte de B
3x
− 16
8
= 1
196 − x
5
3x
− 128 5
⋅
8 196 − x
= 1
( x− ) = ( − x)
x− 8 = 3x−168
5 3 128 8 196
− 2x
= −160
x= 80 → Nº
mayor
⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor
15x− 640 = 1.
568 −8x
23x
= 2.
208
x= 96soles→
Parte de A
⇒196
− x
= 196 − 96= 100 soles→
Parte de B
er
1. x → Ganó el 1 día
2. x →Perdió miercoles
3. x → Tiene A
x
3
2
→ Ganó el 2º
día
x →Perdió jueves
x → Tiene B
2
5
3
x
er
1
2
→ Ganó el 3 día
x →Perdió viernes
x → Tiene C
4
2
5
x x
x + + = mcm =
2 4 175 4
3 1
2x
2x
x+ x+ x= 252 mcm=
10
x + + = 248 mcm = 15
5 2
3 5
4x+ 2x+ x=
700
10x+ 6x+ 5x=
2.
520
15x+ 10x+ 6x=
3.
720
7x
= 700
21x
= 2.
520
31x
= 3.
720
er
x= $ 100 →Ganó el1
día
x = $ 120 →Perdió miercoles
x = 120 suc.
→ Tiene A
x 100
3
2
⇒ = = $ 50 →Ganó el2º
día ⇒ ⋅ 120 = $ 72 →Perdió jueves ⇒ ⋅ 120 = 80sucres
→ Tiene B
2 2
5 3
x 100
1
er
⇒ = = $ 25 →Ganó el3
día ⇒ ⋅ = →Perdió viernes
4 4
2 120 $ 60 2
⇒ ⋅ = sucres → Tiene C
5 120 48

4. x→
Edad A
3
x → EdadB
5
9
x → Edad C
40
3x
9x
x + + = 73 mcm=
40
5 40
40x+ 24x+ 9x=
2.
920
73x
= 2.
920
x = 40
40 años →edadde A
3
⇒ ⋅ 40 = 24 años →edaddeB
5
9
⇒ ⋅ = años →edaddeC
40 40 9
er
5. x → 1 día
1
x → 2º
día
3
1
x → 3º
día
9
1
x → 4º día
27
1 1 1
x+ x+ x+ x= 120 mcm=
27
3 9 27
27x+ 9x+ 3x+ x=
3.
240
81Km.
→ 1
er
40x
= 3.
240
día
x=
81Km.
1
⇒ ⋅ 81= 27Km. → 2º
día
3
1
⇒ ⋅ = Km → día
9 81 9 . 3 º
1
⇒ ⋅ 81= 3Km.
→ 4º día
27
Continuación
6. 1. 000Km. → 1ª
semana
11
⇒ ⋅ 1. 000 = 1. 100Km. → 2ª
semana
10
121
⇒ ⋅ 1. 000 = 1. 210Km. → 3ª
semana
100
1.
331
⇒ ⋅ 1. 000 = 1. 331Km. → 4ª
semana
1.
000
x
7. x → 1ª Persona ; → 2ª
Persona
2
x
x
→ 3ª Persona ; → 4ª
Persona
8
40
x
→ 5ª
Persona
400
x x x x
x + + + + = 330.
500 mcm=
400
2 8 40 400
400x+ 200x+ 50x+ 10x+ x=
132 ' 200.
000
200. 000 colones → 1ª
Persona
661x
= 132 ' 200.
000
x = 200.
000 colones
x 200.
000
⇒ = = 100. 000colones
→ 2ª
Persona
2 2
x 200.
000
⇒ = = 25. 000colones
8 8
→ 3ª
Persona
x 200.
000
⇒ = = 5. 000colones
40 40
→ 4ª Persona
x 200.
000
⇒ = = 500colones
400 400
→ 5ª
Persona
8. x → Re c.
en barco
4
6. x → 1ª
semana
x → Re c.
en tren
9
11
x → 2ª
semana
5
10
x → Re c.
en avión
18
121
x → 3ª
semana
4x
5x
100
x + + = 9.
362 mcm = 18
9 18
1331 .
→ 4ª
semana
18x+ 8x+ 5x=
168.
516
1000 .
31x
= 168.
516
11 121 1331 .
x+ x+ x+ x= 4. 641 mcm=
1.
000
x=
5. 436 Km.
10 100 1000 .
5. 436 Km. → Re c.
en barco
1. 000x+ 1. 100x+ 1. 210x+ 1. 331x=
4' 641.
000
4 4
4. 641x
= 4' 641.
000 ⇒ x= ⋅ 5. 436 = 2. 416Km. → Re c.
en tren
9 9
x=
1000 . Km.
5 5
⇒ x = ⋅ 5. 436 = 1. 510Km.
→ Re c.
en avión
Continúa
18 18

EJERCICIO 149
1.
x → Tenía al principio
( x − )
x −20−
2 20
= 10 mcm = 3
3
( x )
3x−60 −2 − 20 = 30
3x−60− 2x+ 40=
30
x − 20 = 30
x = 50
$50 → Tenía al principio
2. x → Tenía al principio
x x
− = mcm=
2 4 21 4
2x− x=
84
x = 84
84 Q.
→ Tenía al principio
3.
x → Tengo ahora
( x + )
x + 7 −
4 7
5
( x )
5x+ 35− 4 + 7 = 100
= 20 mcm=
5
5x+ 35−4x− 28 = 100
x + 7=
100
x = 93
$ 93 → Tengo ahora
4. x → Tenía al principio
2x
3
x − = x → quedó
5 5
5 3 1
⋅ x = x → prestó
6 5 2
Luego
2 1
x− x− x= 500 mcm=
10
5 2
10x−4x− 5x=
5.
000
x = 5.
000
5. 000 bs.
→ Tenía al principio
5. x → Aves enla granja
8. x → Tenía al principio
4
x → Palomas
x − x − 15 = 30
5
2
mcm=
2
4
x− x=
x 2x−x− 30=
60
Resto
5 5
x = 90
x 3 3
⋅ = x
5 4 20
→ Gallinas
$ 90→
Tenía al principio
4x
3x
x − − =
5 20 4 mcm=
20x−16x− 3x=
80
9. x → Tenía al principio
x = 80
3
x− x+ 1300 . = x+
100
80 → Aves en la granja
4
4 4
mcm=
4
⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas
5 5 4x− 3x+ 5.
200= 4x+
400
3 3
− 3x
=−4.
800
⇒ x = ⋅ 80 = 12 → Gallinas
20 20 x = 1600 .
4 → Gallos
1600 . suc.
→ Tenía al principio
6. x → Tenía al principio
4
x− x= x 5 5
→ quedó
2 x 2
⋅ = x →Perdí
3 5 15
10. x → Tenía al principio
4 2
3
x− x− x− 8= 0 mcm=
15 x− x= x
5 15
4 4
15x−12x−2x− 120 = 0
2 x x
⋅ =
x = 120
3 4 6
→ quedó
→ Libros
120 soles → Tenía al principio
3
x x x 2
− − = x −38
7. x → Tenía al principio
4 6 5
mcm=
60
5
x− x+ 42 = x+ 2 mcm=
12 60x−45x− 10x= 24x−2.
280
12
12x− 5x+ 504 = 12x+
24
− 19x
=−2.
280
− 5x
=−480
x = 96
x = 120
$ 120 → Tenía al principio
$ 96
→ Tenía al principio
EJERCICIO 150
1.
x → Edad actual A
3x
→ Edad actual B
( )
x− 15= 1 x− mcm=
6 3 15 6
6x− 90= 3x−15
3x
= 75
x = 25 años → Edad actual A
⇒ 3x = 25⋅ 3= 75años → Edad actual B
2.
x → Edad actual B
3x
→ Edad actual A
( x )
3x+ 20= 2 + 20
3x+ 20= 2x+
40
x = 20 años → Edad actual B
⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60años
→ Edad actual A

3.
x → Edad actual A
9
x− 5= ( x+ 5)
mcm=
11
11
11x− 55= 9x+
45
2x
= 100
x = 50
50 años → Edad actual A
4.
x → Edad actual A
( x )
2 − 6 = x+
24
2x− 12= x+
24
x = 36
36 años → Edad actual A
5.
x → Edad hijo
3x
→ Edad padre
( x )
2 + 16 = 3x+
16
2x+ 32= 3x+
16
16 = x
16 años → Edad hijo
⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre
8.
x→
Edad padre
x −25
→ Edad hijo
( x − )
x −25− 15=
3 15
8
8x− 320= 3x−45
( x + + )
mcm=
8
5x
= 275
x = 55
55 años → Edad padre
⇒ x − 25= 55− 25= 30años → Edad hijo
9.
2x → Edad padre hace 10 años
x → Edad hijo hace 10 años
2x
+ 10 → Edad actual padre
x + 10 → Edad actual hijo
3 10 10
2x
+ 10+ 10=
2
4x+ 40= 3x+
60
mcm = 2
x = 20
⇒ 2x + 10 = 2⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed. act.
padre
⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed. act.
hijo
6.
x→
Edad padre
2
x → Edad hijo
5
( x − )
2 8 2x
= − 8 mcm=
35
7 5
10x− 80 = 14x−280
200=
4x
50=
x
50 años → Edad padre
2 2
⇒ x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo
5 5
10.
x+ 18 → Edad de A
x → Edad de B
( x − )
x + 18 − 18=
5 18
2
2x= 5x−90
mcm=
2
90 = 3x
30 = x
30 años → Edad de B
⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A
7.
x → Edad actual de A
65−
x → Edad actual de B
( x + )
65− x + 10=
5 10
mcm = 12
12
900− 12x= 5x+
50
850 = 17x
50=
x
50 años → Edad actual de A
⇒65− x = 65− 50= 15años → Edad actual de B
11. 3x
→ Edad A
x → Edad B
3x− 4+ x− 4= x+
16
4x− 8= x+
16
3x
= 24
x = 8
8 años → Edad B
⇒ 3x = 3⋅ 8= 24 años →Edad
A

EJERCICIO 151
1.
x → Tiene B
2x
→ Tiene A
( x + )
2x
− 20=
4 20
5
10x− 100= 4x+
80
mcm = 5
6x
= 180
x = 30
30 soles → Tiene B
⇒ 2x= 2⋅ 30 = 60 soles → Tiene A
2. x → TieneB
x
→ Tiene A
2
x
x − 24 = + 24 mcm=
2
2
2x− 48= x+
48
x = 96
96 colones → Tiene B
x 96
⇒ = = 48 colones → Tiene A
2 2
3.
x → Tiene A
2x
→ Tiene B
3
( x− ) = x+ mcm=
5 2 6 6 5
6x− 18= 5x+
30
x = 48
$ 48 → Tiene A
⇒ 2x
= 2⋅ 48 = $ 96 → Tiene B
4.
x → Tiene A
3
x → Tiene B
5
3
x+ 30= 9 ( x− 30)
mcm=
5
5 5
3x+ 150= 9x−270
420 = 6x
70=
x
$ 70 → Tiene A
3 3
⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B
5 5 5. x → Tiene A yB
x
x − = + 30
30 mcm=
2
2
2x− 60= x+
30
x = 90
90 suc.
→ Tiene A yB
6.
x → Tiene A
2
x → Tiene B
3
2
x+ 22 = 7 ( x− 22)
mcm=
15
3 5
10x+ 330 = 21x−462
792 = 11x
72 = x $ 72 → Tiene A
2 2
⇒ x = ⋅ 72 = $ 48→
Tiene B
3 3 7. x → TieneB
4
x → Tiene A
5
4
x+ 13= x− 5 mcm=
5
5
4x+ 65= 5x−25
90 = x $ 90 → TieneB
4 4
⇒ x= ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A
5 5 8. x → Tiene A
x
→ Tiene B
2
x 1
+ x= x+ 5 mcm=
6
2 3
3x+ 2x= 6x+
30
5x= 6x+
30
30 = x $ 30 → Tiene A
x 30
⇒ = = $ 15 → Tiene B
2 2
9. x → Empezaron A y B
3
x− x= x− 24 mcm=
5
5
5x− 3x= 5x−120
− 3x
=−120
x = 40
40balboas
→ Empezaron A y B
10. x → Empezaron A y B
3 x
x− x= → Le queda B
4 4
x
→ 3ª
partede lo queda B
12
x x+
+ = → ha ganado A
12 24 288
12
x ⎛ x + 288⎞
= x − ⎜ ⎟ mcm = 12
4 ⎝ 12 ⎠
3x= 12x− x−288
3x= 11x−288
− 8x
= −288
x = 36
36 soles → Empezaron A y B
EJERCICIO 152
1.
x → N º años que pasan
3
28+ x= ( x+ 38)
mcm=
4
4
112 + 4x= 3x+
114
x = 2
2 → años pasan
2.
x → N º años que pasan
7
30+ x= ( x+ 25)
mcm=
6
6
180 + 6x= 7x+
175
5=
x
5 → años pasan
3.
x → Nº
años hace
9
48 − x= − x
10 52
mcm=
10
( )
480− 10x= 468−9x
12 = x
12 → años hace
4.
x → Nº
años hace
1
18− x= ( − x)
4 27
mcm=
4
72 − 4x= 27 − x
45=
3x
15=
x
15 → años hace
5.
x → La suma de dinero
3
( 50 + x)
= x+ 22 mcm=
5
5
150 + 3x= 5x+
110
40 = 2x
20 = x
$ 20 → La suma de dinero
6.
x → Gastó cada uno
3
( 90 − x)
= 50 − x mcm=
11
11
270− 3x= 550 −11x
8x
= 280
x = 35
35 Q.
→ Gastó cada uno

7.
x → Edad actual hermano
3
x → Edad actual persona
4
8. x → ganó cada uno
3
( x+ x)
+ x+ x=
75
54 + x+ 32 + x= 4x+
66
4
2x+ 86= 4x+
66
3
3x+ x= 75 mcm=
4
20 = 2x
4
10 = x
12x+ 3x=
300
$ 10 → ganó cada uno
x = 20
20 años → Edad actual hermano
3 3
⇒ x = ⋅ = años → Edad actual persona
4 4 20 15
EJERCICIO 153
1.
x+ 3 → Long. rect.
x → Ancho rect.
( x+ 4)( x+ 1) − 22 = x( x+
3)
2 2
x + 5x+ 4 − 22 = x + 3x
2x
= 18
x = 9
9m
→ Ancho rect .
⇒ x+ 3= 9+ 3= 12m → Long. rect.
2.
x → Una de las dimensiones
2x → La otra dimensión
( )( )
x+ 5 2x+ 5 − 160=
2x
2x + 15x+ 25− 160=
2x
2 2
15x
= 135
x = 9
9m⋅18m → Dimensiones
3.
x + 2 → Una dimensión
x → Otra dimensión
( x−5)( x− 3) + 115= x( x+
2)
2 2
x − 8x+ 15+ 115= x + 2x
2
− 10x
= −130
x = 13
15m ⋅13m → Dimensiones
4. x +
2 24 → Long. del rect.
x
−
2 12 → Ancho del rect.
⎛ x x
+
x
x
2 24 ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜ −
⎝ ⎠ ⎝ 2 12 ⎞ ⎛
⎟ = ⎜ −
⎠ ⎝ 2 12 ⎞
⎟
⎠
Continúa
Continuación
4. x + x mcm
2 24 = = 2
x+ 48 = 2x
5.
48 = x
48m⋅12m → Dimensiones
x → Long.
del cuadrado
( 7)( 6)
Equiv. al rect.
x + 7 → Long. del rect.
x −6
→ Ancho del rect.
x+ x− = x
x + x− 42 = x
x = 42
⇒ x + 7= 42+ 7= 49→
Long. del rect.
⇒ x − 6= 42− 6= 36→
Ancho del rect.
49m⋅36m → Dimensiones
2
2 2
6.
x → Ancho
x + 30 → Longitud
( x+ 30 − 20)( x+ 15) + 150 = x( x+
30)
2
( x+ 10)( x+ 15)
+ 150= x + 30x
2 2
x + 25x+ 150+ 150= x + 30x
60m
→ Ancho
300 = 5x
60 = x
⇒ x + 30 = 60 + 30 = 90m → Long.
90m ⋅60m → Dimensiones
7.
x → Ancho
x + 10 → Longitud
( x+ 8)( x+ 1) = x( x+
10)
2 2
x + 9x+ 8= x + 10x
8 = x → Ancho
⇒ x + 10 = 8 + 10 = 18→
Long.
18m⋅8m → Dimensiones
9.
x → Le dió A a B
1
153− x= ( + x)
mcm=
4 12 4
612 − 4x= 12 + x
600 = 5x
120 = x
120 bs.
→ Le dió A a B
EJERCICIO 154
1. x → Numerador
x−2
→ Denominador
x
x − 2+ 7
= 1
2
x 1
=
x + 5 2
2x= x+
5
x = 5
5 → Numerador
5− 2= 3 → Denominador
5
3
→ fracción
2. x → Numerador
x + 1 → Denominador
x 1
=
x + 1+
15 3
x 1
=
x + 16 3
3x= x+
16
2x
= 16
x = 8
8→
Numerador
8+ 1= 9 → Denominador
8
→ Fracción
9
3.
x −8
→ Numerador
x → Deno min ador
x − 8+
1 3
=
x + 1 4
x − 7
x + 1
= 3
4
( x− ) = ( x+
)
4 7 3 1
4x− 28= 3x+
3
x = 31
31− 8= 23 → Numerador
31 → Deno min ador
23
→ Fracción
31

4.
x → Numerador
2x + 1→
Deno min ador
x − 4
2x
+ 1
=
( x )
1
3
3 − 4 = 2x+
1
3x− 12= 2x+
1
x = 13
13 → Numerador
213 ⋅ + 1= 27→
Deno min ador
13
27
→ Fracción
7.
x → Numerador
3x −1→
Deno minador
x + 8
3x
− 1+ 4
= 11
12
x + 8
3x
+ 3
= 11
12
( x+ ) = ( x+
)
12 8 33 1
12x+ 96 = 33x+
33
63=
21x
3=
x
3 → Numerador
33 ⋅ − 1= 8→
Deno minador
3
8
→ Fracción
5.
x → Numerador
2x + 6→
Deno minador
x + 15
2x
+ 6− 1
= 4
3
x + 15
2x
+ 5
=
( x+ ) = ( x+
)
3x+ 45= 8x+
20
25=
5x
5=
x
5 → Numerador
25 ⋅ + 6= 16→
Deno min ador
→
4
3
3 15 4 2 5
5
16
Fracción
8.
x → Numerador
x−22→
Denomin
ador
x x − 15
− = mcm= x −
x − 22 x − 22 3 22
27 →
( 15) 3( 22)
x− x− = x−
15= 3x
−66
81=
3x
27 = x
Numerador
27 − 22 = 5 → Deno minador
27
5
→
Fracción
6.
x → Numerador
x + 1→
Deno min ador
x x
x + + = ⎛ ⎞
⎜ ⎟−
1 4 3 2
⎝ x + 1⎠
x x
mcm x x
x + = 3
5 x + 1 − 2 = + 5 + 1
( )( )
( + 1) = 3 ( + 5) − 2( + 5)( + 1)
x x x x x x
5
2 2 2
x + x= 3x + 15x−2x −12x−10
x= 3x−10
10 = 2x
5=
x
→ Numerador
5+ 1= 6 → Deno min ador
5
6
→ Fracción
EJERCICIO 155
1.
x → cifra deunidades
x + 2 → cifra de decenas
( x )
10 + 2 + x
10x+ 20 + x
11x+ 20 → El Número
11x
+ 20
= 7
2 1
( x + )
( x )
11x+ 20 = 14 + 1
11x+ 20 = 14x+
14
6=
3x
2 = x
2 → cifra deunidades
2+ 2= 4 → cifra de decenas
42 → Nº
buscado
2.
x → cifra deunidades
x −4
→ cifra de decenas
( x )
10 − 4 + x
10x− 40+
x
11x−40
→ El Número
11x
− 40
= 4
2 2
( x − )
11x− 40= 8x−16
3x
= 24
x = 8
8 → cifra deunidades
8− 4= 4 → cifra de decenas
48 → Nº
buscado
x → cifra deunidades
3.
2x
→ cifra de decenas
10( 2x)
+ x−9
21x−9 → Nº disminuido en 9
21x
− 9 = 6
3x
21x− 9 = 18x
3x
= 9
x = 3
63 → Nº
buscado

4.
x → cifra deunidades
x + 1 → cifra de decenas
( x+ ) +
( x + )
10 1
311 10
x
33x + 30 → N º multip.*
3
( x )
33x+ 30 = 21 2 + 1
33x+ 30 = 42x+
21
9=
9x
1=
x
1 → Cifra de unidades
1+ 1= 2 →Cifra de decenas
21 → Nº
buscado
5.
x → cifra deunidades
7 − x → cifra de decenas
( x)
10 7 − + x+
8
78−9x → Nº
aumentado en 8
78−
9x
= 6
27
( − x)
( x)
78− 9x= 12 7 −
78− 9x= 84 −12x
3x
= 6
x = 2
52 → Nº
buscado
6.
x → cifra de unidades
x + 2 → cifra de decenas
( x )
10 + 2 + x
11x+ 20 → El Número
11x+ 20 − 27 = 10x
11x− 7 = 10x
x = 7
7 → cifra deunidades
7+ 2= 9 → cifra de decenas
97 → Nº
buscado
7.
x → cifra deunidades
2x
→ cifra de decenas
10( 2x)
+ x−4
21x−4 → Nº dismin
en4
21x
− 4
= 20
2x−
x
21x− 4 = 20x
x = 4
84 → N º buscado
EJERCICIO 156
1. x → Días trabaj.
juntos
+ 1 Continuación
1 1
=
x mcm = 6 x
4. 8x+ 2x+ 5x=
12
3 6
15x
= 12
2x+ x=
6
12
3x
= 6
x =
15
x = 2
4
2 días → Hacen la obra
x =
5
2. x → Tiempo en llenar depósito 4
de día hacen la obra
1 1 1
+ =
x mcm = 20
10 20
x
5
5. x → Tiempo en llenar depósito
2x+ x=
20
1 1 1 1
3x
= 20
+ + =
x mcm = 60
5 6 12
x
20
12x+ 10x+ 5x=
60
x =
3
27x
= 60
2
x = 6
3
60
2
6 min.
x =
3
→ En llenar depósito
27
2
3. x → Hacen obra juntos
x = 2
9
2
1 1 1 1
2
+ + = mcm=
12x
min 9
→ Llenar el depósito
4 6 12 x
6. x → Tiempo en llenar depósito
3x+ 2x+ x=
12
1 1 1 1
6x
= 12
+ − = mcm=
40x
4 8 20 x
x = 2
10x+ 5x− 2x=
40
2 días → Hacen obra juntos
13x
= 40
4. x → Hacen obra juntos
40
x =
1 1 1 1
13
+ + =
1
2
1
1 6 2 x
x = 3
2
5
2 1 5 1
+ + =
x mcm = 12
3 6 12
x
1
3 min. 13
→ Llenar el depósito
Continúa
EJERCICIO 157
ABCD=
x
1.
AB = 5
BC=
X
12
CD = 30
x
x = 5+ 30+
12
x
x = 35 + 12
12x= 420+
x
11x
= 420
420
x = =
11
13
38 2 11

2.
3.
5.
AB=
x
BD=
15
AC=
50
CD=
X
12
AB+ BD= AC+
CD
x
x + 15 = 50 + mcm=
12
12
12x+ 180 = 600 + x
11x
= 420
x =
x =
420
11
38 2 11
AB = x
BD=
30
AC = 40
CD =
x
12
AB+ BD= AC + CD
x
x + 30 = 40 + mcm=
12
12
12x+ 360 = 480 + x
11x
= 120
120
x =
11
x =
10 10
11
ABCD = x
AB = 10
BC =
x
12
CD = 15
ABCD = AB + BC + CD
x
x = 10 + + 15
12
x
x = 25 + 12
mcm = 12
12x= 300 + x
11x
= 300
x =
300
11
x = 27 3 11
4.
6.
AB=
x
BD=
45
AC=
50
CD=
x
12
AC+ CD= AB+
BD
x
50 + = x+ 45 mcm=
12
12
600 + x= 12x+
540
60 = 11x
60
= x
11
= x
5 5 11
AB =
x
12
BC = 30
ABC=
x
ABC= AB + BC
x
x = + 30 mcm=
12
12
12x= x+
360
11x
= 360
x =
x =
360
11
32 8 11
ABC = x
AB=
20
BC=
x
12
ABC = AB+
BC
x
x = 20 + mcm=
12
12
12x= 240 + x
11x
= 240
x =
x =
240
11
21 9 11

7.
8.
10.
ABCD = x
AB=
30
BC=
x
12
CD=
15
ABCD = AB+ BC+
CD
x
x = 30 + + 15 mcm=
12
12
12x= 360 + x+
180
11x
= 540
x =
x =
540
11
49 1
11
9.
ABC = x
AB=
50
BC=
x
12
ABC = AB+
BC
x
x = 50 + mcm=
12
12
12x= 600 + x
11x
= 600
x =
x =
600
11
54 6 11
11.
ABCD = x
AB = 15
BC =
x
12
CD = 5
ABCD= AB+ BC+
CD
x
x = 15 + + 5 12
x
x = 20 + mcm = 12
12
12x= 240 + x
11x
= 240
x =
240
11
x = 21 9 11
AB = x
BD = 15
AC = 30
CD=
x
12
AB + BD = AC + CD
x
x + 15 = 30 + 12
x
x − = 15 mcm=
12
12
12x− x=
180
11x
= 180
180
x =
11
x =
16 4 11
AB=
x
BD=
15
AC=
35
CD =
x
12
AB+ BD= AC+
CD
x
x + 15 = 35 + 12
12x+ 180= 420+
x
11x
= 240
x =
x =
240
11
21 9 11
ABCD=
x
AB = 40
BC =
x
12
CD=
10
ABCD= AB + BC + CD
x
x = 40+ + 10 12
x
x = 50 + mcm=
12
12
12x= 600+
x
11x
= 600
600
x =
11
x = 54 6 11
Continúa

11. Continuación
EJERCICIO 158
AB=
x
BD=
10
AC=
40
CD=
x
12
AB+ BD= AC+
CD
x
x + 10 = 40 + 12
x
x − =
12 30
mcm=
12
12x− x=
360
11x
= 360
x =
x =
360
11
32 8 11
1.
x → Nº
mayor
x −6
→ Nº
menor
x
− = ( x− ) mcm=
2 10 3 6 8
8
4x− 80= 3x−18
x= 62 → Nº
mayor
62 − 6= 56 → Nº
menor
2.
x → Ledió A a B
11
( 120 − x)
= 90 + x
10
mcm=
10
1.
320 − 11x= 900 + 10x
420 = 21x
20 = x
$ 20 → Le dió A a B
3. x → Nº
buscado
x + 6 + 5
8
x + 46
→ Cociente sumado 5
8
x + 46
8 x
= + 46
→ Nueva sum÷
en2
2 16
x + 46
= 4
16
x + 46 = 64
x = 18 → Nº
buscado
4. x → Persona favorecida
5
x → Persona que recibió menos
7
5
x+ x= 48.
000 mcm=
7
7
7x+ 5x=
336.
000
12x
= 336.
000
x = 28.
000
28. 000 soles → Pers.
favorecida
5
⋅ 28. 000 = 20.
000
7
20. 000soles
→ Pers. que rec. men.

5.
x → Parte mayor
84 − x → Parte menor
1 1
x= 84 − x mcm=
20
10 4
( )
( x)
2x= 5 84−
2x= 420−5x
7x
= 420
x = 60
60 → Parte mayor
84 − 60 = 24 → Parte menor
6. x → Parte mayor
120−x
→ Parte menor
3
120− x= x mcm=
5
5
600− 5x=
3x
600=
8x
75 = x → Parte mayor
120− 75 = 45 → Parte menor
9.
2
3
x → Edad de A
2
x → Edad de B
5
2 4
⋅ x = x → Edad de C
5 15
2 4
x+ x+ x= 25 mcm=
15
5 15
15x+ 6x+ 4x=
375
25x
= 375
x = 15
15 años → Edad de A
2
⋅ = años → Edad de B
5 15 6
4
⋅ = años → Edad de C
15 15 4
10. x → Costo auto
x
8. 000 + = x+ 2.
000 mcm=
3
3
12. Continuación
7x
3 21x
⋅ = → Vr. total vta.
4 2 8
de todos los lib.
Luego
21x
51x
− = 54 mcm=
40
8 40
105x− 51x=
2.
160
54x
= 2.
160
x = 40
7x
740
= ⋅ = 70
4 4
70 → Total libros comprados
24. 000 + x= 3x+
6.
000
7. x → Sueldo mensual 18.
000 = 2x
x 3 7
9.
000 = x
+ x = x → mensual
2 8 8
9.
000bs→
Costo auto
⎛ ⎞
15x−
15⎜
7 x⎟= 300
⎝ 8 ⎠
mcm=
8
120x− 105x=
2.
400
11. x → Libros compre
15x
= 2.
400
7x
5x
− = 8 mcm=
2
2 2
x = 160
7x− 5x=
16
$ 160 → Sueldo mensual
2x
= 16
x= 8 → Lib.
compre
8. x → Lo que tenía
1
12. x → Cierto Nº
de libros
x → Gastó en ropa
5
3x
→ Vr. cierto Nº
de libros
3
4
x → Gastó en libros
8
3x⎛
7 ⎞ 21x
3
⎜ ⎟ = →Vr. del Nº
1 3
4 ⎝ 10⎠
40 4
x− x− x− 102 = 0 mcm=
40
5 8
de lib. ant.
40x−8x−15x− 4.
080 = 0
3x 21x 51x
+ = →Vr.
total de
17x
= 4.
080 4 40 40
x = 240
lib.
compré
1
3x
7x
⋅ 240 = $ 48→
Gastó en ropa x + = → total lib. comp.
5 4 4
3
⋅ = → Gastó en libros
8 240 $ 90 Continúa
13. x → 1ª
parte
5x
→ 2ª
parte
6
3 5x
1
⋅ = x → 3ª
parte
5 6 2
1 1 1
⋅ x= x → 4ª
parte
3 2 6
5x
1 1
x + + x+ x=
150
6 2 6
mcm=
6
6x+ 5x+ 3x+ x=
900
15x
= 900
x = 60
60 → 1ª
parte
5
⋅ 60 = 50 → 2ª
parte
6
1
⋅ 60 = 30 → 3ª
parte
2
1
⋅ = → parte
6 60 10 4 ª

14.
18.
x → Edad actual B
22. x → libros que compró
x
→ Edad actual A
x x 5
+ = x
4
4 4
→ Libros más
x
− = ( x− ) mcm=
4 10 1
400 320
10 40 =
10
5x
x
10x− 400 = 4x−40
4
320 400
6x
= 360
= − 2 mcm=
x
x x
x = 60
320 = 400 −2x
60 años → Edad actual B
ABC=
x
2x
= 80
60
AB = 45
= 15 años → Edad actual A x = 40
BC =
x
4
40 libros → compró
12
19.
x → Nº
mayor
400
= $ 10 →Pagópor c / u
ABC= AB + BC
40
x−1
→ Nº
menor
x
x = 45 + mcm=
12
2
2 1
23.
x → Suma repartida
12 x −( x−1) − 43= ( x−1)
11
x
12x= 540 + x
− → cibió A
1
2
11x
= 540
( )
Re
2 2
x − x + 2x−1− 43= x−1
11
3x
+ 20 → Re cibió B
540
x =
1
7
11
2x− 44= ( x−1)
11
x x
x = 49
11
1
− + + + = x
11( 2x− 44)
= x−1
2 30 3 20 30
7
15.
x → Edad A
mcm = 14
22x− 484 = x−1
x −10
→ Edad B
7x+ 6x+ 280=
14x
x−10 − 15= 3 21x
= 483
280=
x
( x− 15)
mcm=
4
x = 23
4
280
23 → Nº
mayor
4x−40− 60= 3x−45
− 30 = $ 110 → Re c.
A
2
23− 1= 22 → Nº
menor
4x− 100 = 3x−45
3( 280)
+ 20= $ 140 → Re c.
B
x = 55
20. x → Vr.
sortija
7
55 años → Edad A
⎛ . + x⎞
55− 10 = 45 años → Edad B 7 ⎜
24. x → Lib. comprad.
⎟= 1.
500+ x mcm=
12
⎝ 12 ⎠
6x
→ Vr. de x lib.
16. x →Puede hacerla A
5
21. 000 + 7x= 18.
000 + 12x
1 1 1
+ = mcm=
60x
3.
000 = 5x
x x 2
− = x →Resto
10 x 6
3 3
600 = x
6x+ 60=
10x
2x
9 3x
⋅ = → Vr.
vta resto
600 sucres → Vr.
sortija
60 = 4x
3 4 2
15 = x
3x
6x
21. x → Nº
personas
− = 9 mcm=
10
2 5
15 días →Puede hacerla A
1 6x
17. x → Parte mayor
x+ x= → Nº más de pers.
15x− 12x=
90
5 5
3x
= 90
650 −x
→ Partemenor
120 100
=
x = 30
x
6x
= 650 −x
−50
x
30 → Libros comprados
5 5
x
= − x mcm=
5 600 5
100 120 25. x → Fortuna
= − 2 mcm=
x
x x
x − x − x − x =
x= 3.
000 −5x
100 = 120 −2x
2 4 6 2 . 500
6x
= 3.
000
x = 500
500 → Parte mayor
⇒650 − 500 = 150→
Parte menor
2x
= 20
x = 10
10 personas → Se repartió $
mcm=
12
12x−6x−3x− 2x=
30.
000
x = 30.
000
30.
000 colones → Fortuna

Continuación
26. x → sueldo anual
30.
x → Pesos
2 2
3x x x
x − − − =
5 8 20 810
3
33.
x + 2x+ 1= x + 111
x → Nº
piezasde 20ctvs
4
2x
= 110
mcm=
40
2 3x
x
⋅ = → Nº
piezasde10ctvs
x = 55
40x−24x−5x− 2x=
32.
400 3 4 2
55→
hombresen el lado
9x
= 32.
400 3
x
x+ ( x)
+ =
x = 3.
600 4 020 010 ,
er
,
960 ,
del 1 cuadrado
2
2
3.
600 balboas→
sueldo anual mcm=
4
( 55)
+ 36
4x+ 0, 6x+ 0, 2x=
38,
4 = 3. 061 → Homb.
en la tropa
27. x → Ahorros
48 , x = 384 ,
3x 5x 5x
x − − = →Le quedaba
34. x → Lo que tenía
x = 8
8 12 24
5x
x
3 5x
x
8 → Pesos
x − − 20 = + 16
⋅ =
8 4
5 24 8
3
⋅ = → piezasde ctvs
5x
x
4 8 6 20
mcm = 8
− = 400 mcm=
24
8x−5x− 160 = 2x+
128
24 8 8
= → piezasde ctvs
5x− 3x=
9.
600
2 4 10
x = 288
$288 → tenía
2x
= 9.
600
x = 4.
800
31. x → Capital primitivo
x → Empezó a jugar
1
35.
er
$ 4.
800 → ahorros
x → 1 año 2x
−60
→ Le quedaba
5
28.
x → Parte mayor
350 − x → Parte menor
x x x 3
x −
4
( x − ) =
− = → Le quedaba
10 2 60 6 180
10
5 5
⎛ 6x−
180⎞
7x
3x
17
350 − x − = x− ( − x)
5 15 350
3 4x
6x
x+ x−60−⎜
⎟− = 0
⋅ = →2º
año
⎝ 10 ⎠ 8
10 5 25
mcm=
15
mcm = 40
4x 6x 26x
5. 250−15x− 9x= 15x− 5.
950+
17x
+ = → Tenia al term.
80x−2.
400− 24x+ 720− 35x=
0
5 25 25
−24x− 32x= −11.
200
21x
= 1.
680
el 2º
año
− 56x
= −11.
200
x = 80
x = 200
3 26x
78x
er
⋅ = → 3 año
80 Lempiras → Empezó a jugar
200 → Parte mayor
5 25 125
350 − 200 = 150 → Parte menor
x − x 6
+ x 78
+ x = 13.
312
36.
x → Cifra unidades
5 25 125 x + 5 → Cifra decenas
29.
x → Suma repartida
125x− 25x+ 30x+ 78x=
1' 664.
000
10( x+ 5) + x− 18 = 6( x+ 5+
x)
$ 15 → Recibió A
208x
= 1' 664.
000
10x+ 50 + x− 18 = 12x+
30
x− 15= B+
C
x = 8.
000
2 = x
x−15− C=
B
8. 000 Q.
→ Capitalprimitivo
2 → Cifra unidades
C= A+
B
32.
x → Edad de A
2+ 5= 7 → Cifra decenas
C= 15+ ( x−15−C)
C= x −C
x− 10 = 2 72 → Nº
buscado
( x+ 5)
mcm=
3
3
2C=
x
3x− 30= 2x+
10
37.
x → Unidades
C =
x x = 40
9 − x → Decenas
2
x x
15+ 15+ 2 40 años → Edad de A
10( 9 − x)
+ x− 27 = 10x+ 9 − x
⋅ + = x
3 2 2
33.
x → Cant. hombres
90− 10x+ x− 27 = 10x+ 9 − x
er
x x
en el lado del 1 cuadrado
54 = 18x
30 + + = x mcm=
6
3 2 2
3=
x
x + 36 → Hombres en la tropa
180 + 2x+ 3x=
6x
2
3 → Unidades
2
( x+ 1)
= x + 36+
75
180=
x
9− 3= 6 → Decenas
Continúa
$ 180 → Suma recibida
63 → N º buscado

38. x → Mangos que había
x x−
x − − = → Quedaban
3 4 2 12
3
1 ⎛ 2x−
12⎞
x+
⎜ ⎟ + 6=
2 42
3 ⎝ 3 ⎠ 9
2x
+ 42
9 x + 102
+ 9 =
2 9
x ⎛ x+
x
x − − −
⎝
⎜ ⎞ ⎛ + ⎞
⎟ − ⎜ ⎟ =
3 4 2 42 102
0
9 ⎠ ⎝ 9 ⎠
mcm = 9
9x−3x−36 −2x−42 − x− 102 = 0
60 →
Mangos había
39.
x → Ganó c / u
7
( 80 + x)
= 50 + x mcm=
10
10
560 + 7x= 500+
10x
60=
3x
20=
x
$ 20 → Ganó c / u
3x
= 180
x = 60
Continuación
41. x − 12 ⎛ x + 4⎞
− ⎜ ⎟= 0 mcm = 8
4 ⎝ 8 ⎠
2x−24− x− 4=
0
x − 28=
0
x = 28
⇒$28→
Tenía el lunes antes de
42. x → Capital primitivo
x 3x−12.
000
x + − 6000 . =
→ Tenía
2 2
3x
−12.
000
2
3x
− 36.
000
− 6000 . =
→ 2º
año
2
4
3x−12. 000 3x−
36. 000 9x−
60.
000
+
=
→ Tenía
2
4
4
9x
− 60.
000
4
9x
−108.
000
− 6000 . =
→ 3º
año
2
8
9x−
60. 000 9x−108.
000
+
= 32.
250 mcm = 8
4
8
18x− 120. 000 + 9x− 108. 000 = 258.
000
$ 18.
000 → Capital primitivo
43. x → Pr ecio traje
27x
= 486.
000
x = 18.
000
40.
x → Pluma fuente
$ 15 → Precio bastón
3
x
x → Lapicero
s + 15 =
3
5
4
5
3
x+ 15− 5=
2s
( x− 020 , ) = x+
030 ,
6
5
x + 10
→ Pr ecio sombrero
mcm=
30
2
25x− 5= 18x+
9
x+
10 x
+ 15 = 3 mcm=
4
7x
= 14
2 4
2x+ 20+ 60=
3x
x = 2
80 = x
$ 2 → Costo la pluma
$ 80 → Precio traje
32 ⋅
= $ 120 , → Costo lapicero
80+
10
5
= $ 45 → Precio sombrero
2
41. x → Tenía el lunes antes de
44. x→
Espacio recorrido por perro y conejo
x x+
+ = → Lunes
2 2 4
Perro Conejo
2
supuesto
2 5
⎛ x+
4⎞
x−
4
x − ⎜ ⎟= → Quedaba
Pr egunta ? 50
⎝ 2 ⎠ 2
250 ⋅
x − 4
Luego:
→ Saltos del perrocon respecto a la ventaja
5
2 x + 4
+ 2 = → Martes
Perro Conejo
2 4
supuesto
3 8
x− 4 ⎛ x+
4⎞
x−
12
− ⎜ ⎟ = → Quedaba Pr egunta x ?
2 ⎝ 4 ⎠ 4
8x
x − 12
Luego:
→ Saltos que avanza el conejo
4 x + 4
3
+ 2 = → Miercoles
al ser alcanzado
2 8
Continúa
Continúa

Continuación
44. Perro Conejo
supuesto
2 5
Pr egunta x ?
Luego:
5x
→ Saltos que da el perro
2
para alcanzar al conejo
46.
Entonces:
AB = x
8x
250 5x
− ⋅ = mcm=
6
AC = 50
3 5 2
16x− 120 = 15x
CD=
x
12
x = 120
BD = 6
5 ⋅120
= 300 → Saltos del perro
AB + BD= AC + CD
2
x
para alcanzar el conejo
x + 6= 50+
12
x
x − = 44 mcm=
12
45. x → Espacio recorrido
12
12x− x=
528
por perro y liebre
11x
= 528
Perro Liebre
528
supuesto
3 4
x =
11
Pr egunta ? 60
x = 48
360 ⋅
Luego:
→ Saltos del perro con
4
47.
x → Aporta A
respectoalaventaja
3
x → Aporta B
Perro Liebre
4
supuesto
5 8
x 4x
er
x − = → 1 año A
Pr egunta x ?
5 5
3x
3x+
12.
000
er
8x
+ 3000 . =
→ 1 año B
Luego:
→ Saltos que avanza la
4
4
5
4x
x+
liebre al ser alcanzada
+ 1600=
4 8 .
.
000 → 2º
año A
5
5
Perro Liebre
3x+
12. 000 1 ⎛ 3x+
12.
000⎞
supuesto
3 4
− ⎜
⎟ mcm=
36
4 9 ⎝ 4 ⎠
Pr egunta x ?
27x+ 108. 000 −3x−12.
000
4x
Luego:
→ Saltos que da el perro
36
3
24x
+ 96. 000 3( 8x
+ 32.
000)
para alcanzar a la liebre
=
36
36
Entonces:
8x
360 x
− ⋅ 8x
+ 32.
000
4
→ 2º
año B
=
12
5 4 3
8x
x
− 45 = 4 Entonces:
mcm=
15
4x+
8. 000 8x+
32.
000
5 3
=
mcm=
60
5 12
24x− 675 = 20x
48x+ 96. 000 = 40x+
160.
000
4x
= 675
8x
= 64.
000
x = 168,
75
x = 8000 .
4
⋅ , = → Saltos del perro
3 168 75 225 8000 . bs → Aportó A
para alcanzar la liebre
38000 ⋅ .
= 6000 . bs → Aportó B
4

48. x → Años para que la edad
del padre sea = a la
suma de sus hijos
60 + x= 16 + x+ 14 + x
60 + x= 30 + 2x
30 = x
30 años → Edad del padre sea
igual a la suma
de sus hijos
49. x → Km.
recorridos
x x
+ = 12 mcm=
50
50 10
x+ 5x=
600
6x
= 600
x = 100
100 → Km.
recorridos
50. Buey → $ 80
P+ 80 = 2C
P
C + 80 =
13 2
Luego:
P+
80
= C
2
P+
80 P
+ 80 = 13 mcm = 2
2 2
P+ 80 + 160 = 13P
240 = 12P
20 = P
$ 20 → Costo el perro
20 + 80
= C mcm=
2
2
20+ 80 = 2C
100 = 2C
50 = C
$ 50 → Costo el caballo
EJERCICIO 159
1. a=
30m
v = 8m s
v'
= 5m s
30⋅8
x =
8−
5
240
x =
3
x=
80m
2.
a=
160 Km
v = 50 Km h
v ' =−30
Km h
160⋅50
x =
50− −30
( )
8.
000
x =
80
x=
100 Km.
3. a=
200Km
v = 90Km h
v'
= 40Km h
200⋅90
x =
90 − 40
Continúa
Continuación
18.
000
3. x =
50
x=
360 Km de A
De B.
Como la dis tancia entre A y B
es 200 Km
Entonces B recorrió
360 Km− 200 Km=
160 Km
4. a=
80Km
v = 90Km h
v'
= 70Km h
80⋅90
x =
90 −70
7.
200
x =
20
x=
360 Km
El tiempo empleado
en encontrarse será.
360Km
= 4horas
90Km h
5.
a=
550 Km
v = 100 Km h
v ' =−120
Km h
De A.
550⋅100
x =
100 − −120
( )
55.
000
x =
220
x=
250 Km
Como los trenes pasan
por A y B a las 8am
Entonces De A.
x=
250 Km
v = 100 Km h
Tiempo empleado para
los 250 Km.
es
250 Km
= 25 , horas
100 Km h
25 , horas → 2h30min.
Luego:
8am+ 2h
30 min = 10:
30
10:
30am
→ Se encuentran

6.
a=
70 Km
v = 9 Km h
v ' =−5Km h
x → Dis tancia recorrida por
A al encontrarse
70⋅9
x =
9− −5
( )
630
x =
14
x= 45 Km → A
Como A recorrió 45Km
Entonces B
70 Km− 45 Km= 25Km → B
9.
a=
186 Km
v=
v
v'
=−v
186v
x =
v − −
( v)
186v
x =
2v
x=
93 Km.
1
7.
A y B distantes 29 2 Km
1
1
⇒29 Km− 2 Km=
27 Km
2
a=
27 Km
v = 5Km h
v ' =−4
Km h
27⋅5
x =
5− −4
( )
135
x =
9
x=
15 Km
Luego A recorre
1
1
15 Km+ 2 Km=
17 Km
B recorre
2
1
1
29 Km− 17 Km=
12 Km
2
2
2
2
8.
Recorrido tren de carg
a
en 3horas es
Km
42 ( 3h)
= 126 Km
h
a=
126 Km
v = 60 Km h
v ' = 42 Km h
126⋅60
x =
60−
42
7560 .
x =
18
x=
420 Km
420 Km→
Alcanza el tren de
pasajeros al de carg
a
El tiempo empleado es:
420 Km
= 7horas
60 Km h
EJERCICIO 162
1. b=
10cm
h=
8cm
A = bh ⋅
2
10cm⋅8cm
A =
2
2
A=
40cm
2.
d = 8m
A =
d
2
2
( 8m)
A =
2
A=
32m
3.
t=
15s
v = 9m s
e= v⋅t
2
2
( 15 )( 9 )
e=
s m s
e=
135m
4. v = 9m s
e=
108m
e 108m
t = ⇒ t =
v 9m s
t=
12s
5.
b=
4m
c=
3m
a = b + c
a = ( 4m) + ( 3m)
a = 16m + 9m
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
= 25m
2 2
a=
25m
a=
5m
6.
a=
13m
c=
5m
b = a −c
b = ( 13m) −( 5m)
b = 169m −25m
b
= 144m
b=
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
144m
b=
12m
2
7.
r=
5m
π = 314 ,
A= π ⋅r
A=
3145 , ( m)
A= 31425 , ⋅ m
2
A=
78,
5m
8. r=
5m
π = 314 ,
C= 2π
⋅r
C= 23145 ⋅ , ⋅ m
C= 10m⋅3,
14
C=
31,
4m
9.
h=
9m
r=
2m
π = 314 ,
h r
v = ⋅ ⋅ 2
π
3
9m⋅3,
14( 2m)
v =
3
2
v= 12m
⋅3,
14
2
v=
37 , 68m
2
2
2
2
10. P=
824 , g
3
V=
8 cm
D =
p v
824 , g
D =
3
8cm
D = 103 ,
g
cm
11.
L=
4m
3
A
L
2
3
=
4
2
( 4m)
3
A =
4
2
A=
4m
3
A=
692 , m
12.
N = 6
2
( )
∃
S = 180 6 −2
∃
S = 180 ( 4)
S = 720
∃

EJERCICIO 163
1. e= v⋅t
v =
e t
Rta
e
t =
v
Rta
2.
⎛
A=
h b + b ' ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
( ')
2 A= h b+
b
2 A
= h
b+
b'
3. 1
e= a⋅t
2
2
2e= a⋅t
2
2e
= a Rta
2
t
1
4. A= a⋅l⋅n
2
2A= a⋅l⋅n
Rta
2A
=
ln ⋅
a Rta
2A
=
na ⋅
lRta
2A
=
la ⋅
nRta
5. A= π ⋅r
A
= r
2
π
2
A
= r Rta
π
2 2 2
6. a = b + c −2bx
2 2 2
a −b − c =−2bx
a −b −c
−
2b
2 2 2
b + c −a
2b
2 2 2
7. V= V + a⋅t
o
= x
V−a⋅ t=
V Rta
V− V = a⋅t
0
V−
V
t
0
V−
V
a
0
= a
= t
0
= x Rta
Rta
Rta
8. V= V −a⋅t
o
V+ a⋅ t=
V Rta
at ⋅ = V−V
0
a V V 0
−
=
t
V0
− V
t =
a
9. D=
P V
DV = P
0
V =
P D Rta
P=
VD Rta
10. a = b + c
2 2 2
Rta
Rta
a − c = b
2 2 2
2 2
a − c = b Rta
a − b = c
2 2 2
2 2
a − b = c Rta
11. V= a⋅t
V
a
= t Rta
a =
V t
1 1 1
12.
= −
f p'
p
'( )
Rta
p'
⋅ p f ⋅p− f ⋅p'
=
f ⋅p'
⋅p
f ⋅p'
⋅p
( ')
( − ')
p'
⋅ p= f p−
p
f p p
p ' =
p
f ⋅ p f ⋅ p'
p ' = −
p p
f ⋅ p'
p'
= f −
p
f ⋅ p'
p ' + = f
p
p'
⋅ p+ f ⋅p'
= f
p
p p+ f = p⋅
f
p⋅
f
p ' = Rta
p+
f
Continúa
Continuación
p'
⋅ p+ f ⋅p'
12.
= f
p
p'
⋅ p f ⋅ p'
+ = f
p p
13. v =
f ⋅ p'
p ' + = f
p
f ⋅ p'
= f − p'
p
( ')
f ⋅ p'
= p f − p
f ⋅ p'
= p
f − p'
v
2
=
e
d
e
d
Rta
2
v ⋅ d=
e Rta
e
d=
2
v
Rta
1
14. e= V0
⋅ t+ a⋅t
2
2
2e= 2V ⋅ t+ a⋅t
15.
2
2e−a⋅ t = 2V ⋅t
2e−a⋅t
2⋅t
2
= V
0
0
0
Rta
1
e= V0
⋅t− a⋅t
2
2e= 2V ⋅t−a⋅t
2
2e+ a⋅ t = 2V ⋅t
2e+ a⋅t
2⋅t
2
= V
0
Rta
2
at ⋅ = 2V ⋅t−2e
2V0
⋅t−2e
a = 2
t
2
a =
16. V = h⋅ ⋅r
2
π
3
3V
= h Rta
2
π ⋅r
3V
=
π ⋅h
r
2
0
0
0
3v
=
π ⋅h r Rta
2
( V ⋅t−e)
0
2
t
2
2
Rta
ctr
17. I= ⋅⋅
100
100I= c⋅t⋅r
100I
= c
tr ⋅
100I
= t
rc ⋅
100I
= r
ct ⋅
18. E=⋅
I R
E
= R Rta
I
E
=
R
IRta
2
19. e =
V 2a
2
2ae
= V
Rta
Rta
Rta
2ae
= V Rta
20. u= a+ ( n−1)
r
u−( n− 1)
r=
a Rta
u− a= ( n−1)
r
u−
a
= n −1
r
u−
a
+ 1=
n
r
u− a+ r = n Rta
r
u− a+ r=
nr
u− a= nr−r
u− a= r( n−1)
u−
a
r Rta
− =
n
1
21. u= a⋅r
u
n −
r
n −1
1
= aRta
u
=
a
r
u
a
n −1
n −1
= r Rta
Q
22. I=
t
Q=⋅
I t Rta
Q
I
= t
Rta

EJERCICIO 164
1. x− 5< 2x−6
− 5+ 6< 2x−x
1<
x
1 → Lim.inferior de x
2. 5x− 12> 3x−4
5x− 3x> 12−4
2x
> 8
x > 4
4→
Lim.inferor de x
3. x− 6> 21−8x
x+ 8x> 21+
6
9x
> 27
x > 3
3 → Lim.inferior de x
4. 3x− 14< 7x−2
− 14 + 2< 7x−3x
− 12 < 4x
− 3<
x
5 x
5. 2x
− > +
3 3 10
6x− 5> x+
30
6x− x> 30+
5
5x
> 35
x > 7
x 5x
6. 3x
− 4+ < + 2 4 2
12x− 16 + x< 10x+
8
7.
12x+ x− 10x< 16 + 8
3x
< 24
x < 8
2 2
7. ( x−1) − 7> ( x−2)
2 2
x − 2x+ 1− 7> x − 4x+
4
−6− 4>− 4x+
2x
− 10>−2x
10<
2x
5<
x
EJERCICIO 165
8. ( x+ 2)( x− 1) + 26< ( x+ 4)( x+
5)
8.
2 2
x + x− 2+ 26< x + 9x+
20
24 − 20< 9x−
x
4<
8x
1
< x
2
9.
3 x− 2 + 2x x+ 3 > 2x− 1 x+
4
9. ( ) ( ) ( )( )
2 2
3x− 6+ 2x + 6x> 2x + 7x−4
9x− 6> 7x−4
9x− 7x> − 4+
6
2x
> 2
x > 1
2
10.
6 x + 1 − 2x− 4 3x+ 2 < 3 5x+
21
10. ( ) ( )( ) ( )
11.
2 2
6x + 6− 6x + 8x+ 8< 15x+
63
8x+ 14< 15x+
63
8x− 15x< 63−14
11. ( x− 4)( x+ 5) < ( x−3)( x−2)
2 2
x + x− 20 < x − 5x+
6
5x+ x< 20+
6
6x
< 26
x <
26
6
13
x <
3
− 7x
< 49
7x
>−49
x >−7
2
12.
( ) ( ) ( )
2
12.
2x− 3 + 4x x− 7 < 4 x−2
2 3 2 3 2
4x − 12x+ 9+ 4x − 28x < 4x − 24x + 48x−32
−12x− 48x< −9 −32
− 60x
41
41
x >
60
3
13.
14.
2x
+ 1 2x
5
3x
− 1
> +
3x
+ 2
( 3x+ 2)( 2x+ 1) > ( 2x+ 5)( 3x−1)
2 2
6x + 7x+ 2 > 6x + 13x−5
2 + 5> 13x−7x
7>
6x
7
> x
6
x + 3 4 x − >
3 x + 2 3
( x+ 2)( x+ 3) − 12 > x( x+
2)
2 2
x + 5x+ 6 − 12 > x + 2x
5x− 2x>
6
3x
> 6
x > 2
5 20 2
15.
2
3x+ 1
− 9x − 1
< 3x−
1
16.
( x− ) − < ( x+
)
53 1 20 23 1
15x−5− 20< 6x+
2
15x− 6x< 25+
2
9x
< 27
x < 3
1 1 1
2 2 2
x + x > x − x − x −1
x− 1>
x+ 1−x
x > 2
17. x →Nº s.
enteros
x x
+ > +
3 15 2 1
2x+ 90> 3x+
6
90 − 6> 3x−2x
84 > x
Nº s.
enteros menores
que 84
Rta
1. x− 3> 5 y 2x+ 5>
17
x− 3> 5 2x+ 5>
17
x> 5+ 3 2x>
12
x> 8 x>
6
x>
8 Rta
2. 5− x>− 6 y 2x+ 9>
3x
− x>−6−5 − x>−9
x< 11 x<
9
x<
9 Rta
3. 6x+ 5> 4x+ 11 4− 2x> 10−5x
2x> 6 3x>
6
x> 3 x>
2
x > 3 Rta

4. 5x− 4> 7x−16 y 8− 7x< 16−15x
12> 2x
8x<
8
6> x
x<
1
x<
1 Rta
5.
x x
y x x
2 3 4 2 2 3
5 6 23 2
− > + + < −
5
2x− 12> x+ 8 10x+ 3< 30x−117
x> 20 120<
20x
6 < x
x>
20 Rta
6. 2x− 3< x+ 10 y 6x− 4> 5x+
6
2x− x < 10+ 3 6x− 5x> 6+
4
x < 13 x>
10
10< x<
13 Rta
7.
x x
y x x
4 1 3 1 1
2 3 3
2
− > − − > +
2
5
5
3x− 12> 4x−18 10x− 18> 5x+
2
18 − 12> 4x− 3x 5x>
20
6> x
x>
4
4< x<
6 Rta
8.
8. ( x− 1)( x+ 2) < ( x+ 2)( x− 3) y ( x+ 3)( x+ 5) > ( x+ 4)( x+
3)
2 2
x + x− 2< x − x− 6
2 2
x + 8x+ 15> x + 7x+
12
2x−3
x − 2
− 1
x +
x + < − 5
8 3
4 x − 1
2
( x+ 2)( x+ 3) > ( x− 2)( x+ 8) ( x− 1) < ( x− 5)( x+
4)
2 2
x + 5x+ 6> x + 6x−16 2 2
x − 2x+ 1< x − x−20
22 > x
21<
x
21< x<
22 Rta
10. x → Nº s.
enteros
x
3x
− 6> + 4 2
y 4x+ 8< 3x+
15
6x− 12> x+ 8 x<
7
5x
> 20
x > 4
4< x < 7 Luego son 5 y 6 Rta
EJERCICIO 166
1. x=
Ky
9=
K6
9
= K
6
3
x = ⋅
2 8
x = 12
7. A =
KB C
K12
8 =
3
8=
4K
2 = K
27
A = ⋅
14
A = 1
2. x=
Ky
2=
K3
2
= K
3
24 =
2 y
3
324 ⋅
= y
2
36 = y
8. x =
Ky
Z
K
3 =
4 8
24 = 4K
6 = K
10 = 76 ⋅
Z
42
Z =
10
Z =
4 1 5
9.
3.
A=
KBC
30 = K ( 2)( 5)
30
= K
10
3=
K
A = 37 ( )( 4)
A = 84
4.
K
2
x= K y −1
10.
x =
2
y − 1
9. ( )
2
48 = K( 5 −1)
48 = K( 25−1)
48
= K
24
2 = K
2
( )
x = 27 −1
x = 248 ⋅
x = 96
9 =
K
9 =
8
72 = K
x =
x =
x = 3
x=
KYZ
4=
K ( 3)( 6)
4
= K
18
2
= K
9
10 = Ky9
10 =
2 y
9 9
10 = 2y
5=
y
K
2
( 3 − 1)
72
2
( 5 − 1)
72
24
5. A =
K B
K
3 =
5
15 = K
A =
K
7
15
A = =
7
11.
A → Area del
cuadrado
d → Diagonal
A=
Kd
18m = K( 6m)
2 1 7
2
18m
m
K 2
=
36
1
= K
2
1
A=
( m)
2 10
2
2 2
100m
A =
2
2
A=
50m
2
6. B =
K A
1 K
=
3 1
2
1
= K
3 2
2
1
= K
6
1
1
=
6 1 1
⇒ =
12 A 12 6A
⇒ 6A= 12 ⇒ A=
2
12.
Ap → Area piramide
a → apotema
pb → perim. de la b.
Ap = Kapb
2
480m = K( 12m)( 80m)
( )
480m = K 960m
2 2
2
480m
m
K 2
=
960
1
= K
2
1
Ap = ( m)( m)
2 6 40
2
240m
Ap =
2
2
Ap = 120m

13.
Vp → Vol.
piramide
h → Altura
Ab → Area base
Vp = KhAb
( )
( )
96m = K⋅8m 36m
3 2
96m = K 288m
3 3
1
= K
3
1
Vp = ⋅12m 64m
3
3
768m
Vp =
3
3
Vp = 256m
2
( )
EJERCICIO 167
1. A=
KB
10=
K5
2= K ⇒ A=
2B
2. e →Espacio
V → Velocidad
t
→ Tiempo
e=
KVt
Si K = 1⇒ e = Vt
3. Ar → Area rombo
D → Diag mayor
D'
→Diag menor
A=
KDD'
2
24cm = K⋅8cm⋅6cm
2 2
24cm = K⋅48cm
1
= K
2
1
A=
DD'
2
4. A =
KB C
3B
K= 3 ⇒ A=
C
5. C=
Kr
132cm= K⋅21cm
132cm
=
21cm
K
44
= K
7
44
C=
r
7
14.
Ao → Area circulo
r → Radio
Ao = Kr
616cm = K ( 14cm)
616cm
196cm
= K = K
2
2 2
2
2
22
7
22
Ao =
7 7
2
Ao = 22⋅7cm
( cm)
Ao = 154 cm
6. C → Espacio ( h)
t → Tiempo
h → Altura ( e)
e= K⋅t
19,
6m=
K( 2s)
19,
6m
2
= K
4s
m
49 , 2
= K
s
e=
49 , t
7. F =
KmV
r
8. y →Función
x → Vble. indep.
2
y= 2x+
3
9. L → Lado de un cuad.
inscrito en un circulo
r → Radio
L= K⋅r
K =
2
L= 2 ⋅r
10. y → Función
x → Vble. indep.
y = x 2
+ 2
2
2
2
2
2
2
15. Lo →Long. circunf.
r →Radio
Lo = Kr
44cm= K⋅7cm
44
= K
7
44r
66cm=
7
462cm
= 44r
462
cm=
r
44
cm=
r
10 1 2
x
11. y = 5−2
3
K
16. x =
2
y
K
4 =
6
2
36⋅ 4 = K
144 = K
y
9 =
144
2
y
2
=
y =±
144
9
12
y =±
3
y =± 4
12. F → Fuerza de atracc.
m → Masa cuerpo1
m'
→Masa cuerpo2
d → Distancia
F = Kmm ⋅ ⋅ '
2
d
13. h → Altura ∆
A→
Area del ∆
B → Base
h= KA ⋅
B
cm= K⋅
20
10
cm
4cm
10cm= K ⋅5cm
2 = K
2A
h=
B
14. W → Energ.
cinetica
m → Masa
V → Velocidad
W=
KmV
2
1
K =
2
1
W=
mV
2
2
2
144
9

15. B → Area base piramide
V → Volumen
h→
Altura
B=
KV h
K
= ⋅ 400
100
12
1.
200 = K⋅400
3=
K
3V
B=
h
16. x =
K y
K
2 =
5
10=
K
10
x =
y
K
17. x =
2
y
K
3 = 2
2
12 = K
12
x =
2
y
18. A =
KB C
K
= ⋅ 24
3
4
12 = K⋅24
1
= K
2
1
B
A =
2
C
A =
B 2C
EJERCICIO 173
1. x+ y=
5
y= 5 −x
5 −x
→ Entero y+
Para que y sea entero
y + el mayor valor que
podemos dar a x es 4.
Por tanto las soluciones
enteras y + son:
x= 1 y=
4
x= 2 y=
3
x= 3 y=
2
x= 4 y=
1
2. 2x+ 3y=
37
2x= 37−3y
37 − 3y
x =
2
36 1 2y
y
x = + − −
2 2 2 2
1 y
x= 18 − y+ −
2
1 y
x− 18 + y= −
2
1−
y
→ Entero
2
3−
3y
→ Entero
2
2 1 2y
y
+ − −
2 2 2 2
1 y
1− y + − → Entero
2
Continúa
2. Continuación
1−
y
= m
2
1− y=
2m
− y= 2m−1
y= 1−2m
( m)
⇒ 2x+ 3 1− 2 = 37
2x+ 3− 6m=
37
2x= 34+
6m
( + m)
217 3
x =
2
x= 17 + 3m
y = 1−2m → m entero
x= 17 + 3m
m= 0 y= 1 x=
17 sol
m= 1 y= −1
→ no
m=− 1 y= 3 x=
14 sol
m=− 2 y= 5 x=
11 sol
m=− 3 y= 7 x=
8 sol
m=− 4 y= 9 x=
5 sol
m=− 5 y=
11 x=
2 sol
m=− 6 y= 13 x=−1
→ no
3. 3x+ 5y=
43
3x= 43−5y
43 −5y
x =
3
42 1 3y
x = + − −
3 3 3
1 2y
x= 14 − y+ −
3
Continúa
2y
3
3. Continuación
1 y
x− + y= − 2
14
3
1−
2y
→ Entero
3
2−
4y
→ Entero
3
2 3y
1y
− −
3 3 3
2 y
− y + −
3
2 − y
= m
3
2− y=
3m
− y= 3m−2
y= 2−3m
( m)
3x+ 5 2− 3 = 43
3x+ 10− 15m=
43
3x= 33+
15m
( + m)
311 5
x =
3
x= 11+
5m
y= 2−3m
x= 11+
5m
m= 0 x= 11 y=
2 sol
m= 1 x= 16 y= −1
→ No
m=− 1 x= 6 y=
5 sol
m=− 2 x= 1 y=
8 sol
m=− 3 x=−4
→No

4.
x+ 3y=
9
x= 9−3y
9−3y
3−
y
3− y=
m
→ Entero
→ Entero
− y= m−3
y= 3−m
( m)
x+ 33− = 9
x+ 9− 3m=
9
y= 3−m
x=
3m
x=
3m
m= 0 x= 0 y= 3 → No
m= 1 x= 3 y=
2 sol
m= 2 x= 6 y=
1 sol
m= 3 x= 9 y= 0 → No
m= 4 x= 12 y= −1
→ No
5.
7x+ 8y=
115
7x= 115−8y
115−
8y
x =
7
112 3 7y
y
x = + − −
7 7 7 7
3 y
x= 16− y+ −
7
3−
y
→ Entero
7
24 − 8y
→ Entero
7
24 7y
y
− −
7 7 7
24 − y
− y +
7
24 − y
= m
7
24 − y=
7m
− y= 7m−24
y= 24 −7m
( m)
7x+ 8 24− 7 = 115
7x+ 192 − 56m=
115
7x−
56m= −77
Continúa
( m−
)
78 11
x =
7
x= 8m−11
5. Continuación
y= 24 −7m
x= 8m−11
m= 0 x=−11
→No
m= 1 x=−3
→No
m= 2 x= 5 y=
10 sol
m= 3 x= 13 y=
3 sol
m= 4 x= 21 y=−4
→No
m=− 1 x=−19
→No
6.
15x
+ 7y
= 136
7y= 136−15x
136−
15x
y =
7
133 3 14x
x
y = + − −
7 7 7 7
3 x
y= 19 − 2x+ −
7
3 x
y− 19 + 2x= −
7
3−
x
→ Entero
7
24 − 8x
→ Entero
7
24 7x
x
− −
7 7 7
24 − x
− x +
7
24 − x
= m
7
24 − x=
7m
− x= 7m−24
x= 24 −7m
( m)
15 24 − 7 + 7y=
136
360− 105m+ 7y=
136
− 105m+ 7y= −224
x= 24 −7m
y= 15m−32
( m−
)
715 32
y =
7
y = 15m
− 32
m= 0 x= 24 y= −32
→ No
m= 1 x= 17 y= −17
→ No
m= 2 x= 10 y= −2
→ No
m= 3 x= 3 y=
13 sol
m= 4 x= −4
→ No
m=− 1 x=−31
→ No
x= 31 y= −47
→ No
7.
x + 5y
= 24
x= 24 −5y
x= 24 + 1−1−5y
25 1 5y
x = − −
5 5 5
1
x+ = − y
5 5
5− y=
m
− y= m−5
y= 5−m
( m)
x+ 55− = 24
x+ 25− 5m=
24
y= 5−m
x= 5m−1
x= 5m−1
m= 0 x= −1
→ No
m= 1 x= 4 y=
4 sol
m= 2 x= 9 y=
3 sol
m= 3 x= 14 y=
2 sol
m= 4 x= 19 y=
1 sol
m= 5 x= 24 y= 0 → No
m=
6 x= 29 y= −1
→ No
m=− 1 x=−6
→No
8. 9x+ 11y=
203
9x= 203−11y
203 −11y
x =
9
198 5 9y
x = + − −
9 9 9
5 2y
x= 22 − y+ −
9
5 2y
x− 22 + y= −
9
5−
2y
→Entero
9
25 −10y
→Entero
9
18 7 9y
y
+ − −
9 9 9 9
7 y
2 − y + −
9
7 − y = m
9
7− y=
9m
− y= 9m−7
y= 7−9m
Continúa
2y
9

8. Continuación
( m)
9x+ 11 7 − 9 = 203
9x+ 77 − 99m=
203
( m)
( + m)
914 11
x =
9
x= 14 + 11m
y= 7−9m
x= 14 + 11m
m= 0 x= 14 y=
7 sol
m= 1 x= 25 y= −2
→ No
m=− 1 x= 3 y=
16 sol
m=− 2 x=−8
→No
9.
5x
+ 2y
= 73
2y= 73−5x
73−
5x
y =
2
72 1 4x
x
y = + − −
2 2 2 2
1 x
y= 36 − 2x+ −
2
1 x
y− 36+ 2x= −
2
1−
x
= m
2
1− x=
2m
− x= 2m−1
x= 1−2m
51− 2 + 2y=
73
5− 10m+ 2y=
73
( + m)
234 5
y =
2
y= 34 + 5m
x= 1−2m
y= 34 + 5m
m= 0 x= 1 y=
34 sol
m= 1 x= −1
→ No
m=− 1 x=3 y=
29 sol
m=− 2 x= 5 y=
24 sol
m=− 3 x= 7 y=
19 sol
m=− 4 x= 9 y=
14 sol
m=− 5 x= 11 y=
9 sol
m=− 6 x= 13 y=
4 sol
m=− 7 x= 15 y=−1
→No
10.
8x+ 13y=
162
8x= 162 −13y
162 − 13y
x =
8
160 2 8y
5y
x = + − −
8 8 8 8
2 5y
x= 20 − y+ −
8
2 5y
x− 20 + y= −
8
2−
5y
→ Entero
8
10 − 25y
→ Entero
8
10 24y
y
− −
8 8 8
10−
y
− 3y
+
8
10−
y
= m
8
10− y=
8m
− y= 8m−10
y= 10 −8m
( m)
8x+ 13 10− 8 = 162
8x+ 130− 104m=
162
y = 10−8m
x= 4+
13m
( + m)
84 13
x =
8
x= 4+
13m
m= 0 x= 4 y=
10 sol
m= 1 x= 17 y=
2 sol
m= 2 x= 30 y= −6
→ No
m=− 1 x=−9
→No
11. 7x+ 5y=
104
5y= 104 −7x
104 −7x
y =
5
100 4 5x
y = + − −
5 5 5
4 2x
y= 20 − x+ −
5
4 2x
y− 20+ x= −
5
4−2x
→Entero
5
12 −6x
→Entero
5
Continúa
2x
5
11. Continuación
10 2 5x
x
+ − −
5 5 5 5
2
2 − + − x
x
5
2
2 − + − x
x
5
2 − x
= m
5
2− x=
5m
− x= 5m−2
x= 2−5m
( m)
7 2 − 5 + 5y=
104
14 − 35m+ 5y=
104
x= 12 −5m
y= 18+
7m
( + m)
518 7
y =
5
y= 18 + 7m
m= 0 x= 2 y=
18 sol
m= 1 x= −3
→ No
m=− 1 x= 7 y=
11 sol
m=− 2 x= 12 y=
4 sol
m=− 3 x= 17 y=−3
→ No
12.
10x
+ y = 32
y= 32 −10x
y= 32 + 2 −2 −10x
30 2 10x
y = + −
10 10 10
2
y= 3+ − x
10
2
y− =
10 3 − x
3− x=
m
− x= m−3
x= 3−m
( m)
10 3− + y=
32
30− 10m+ y=
32
y= 2+
10m
m= 0 x= 3 y=
2 sol
m= 1 x= 2 y=
12 sol
m= 2 x= 1 y=
22 sol
m= 3 x= 0 y= 32 → No
m= 4 x= −1
→ No
m=− 1 x= 4 y=−8
→No

13.
9x
+ 4y
= 86
4y= 86−9x
86−
9x
y =
4
84 2 8x
x
y = + − −
4 4 4 4
2 x
y= 21− 2x+ −
4
2 x
y− 21+ 2x= −
4
2 − x
= m
4
2− x=
4m
− x= 4m−2
x= 2−4m
( m)
92− 4 + 4y=
86
18 − 36m+ 4y=
86
x= 2−4m
( + m)
417 9
y =
4
y= 17 + 9m
m= 0 x= 2 y=
17 sol
m= 1 x= −2
→ No
m=− 1 x= 6 y=
8 sol
m
=− 2 x= 10 y=−1→No
14. 9x+ 11y=
207
9x= 207−11y
207 −11y
x =
9
198 9 9y
x = + − −
9 9 9
9 2y
x= 22 − y+ −
9
9 2y
x− 22 + y= −
9
9−
2y
→ Entero
9
45 −10y
→ Entero
9
45 9y
y
− −
9 9 9
45 − y = m
9
45 − y=
9m
− y= 9m−45
y= 45 −9m
Continúa
2y
9
14. Continuación
( m)
9x+ 11 45− 9 = 207
9x+ 495− 99m=
207
y= 45−9m
x= 11m−32
( m−
)
911 32
x =
9
x= 11m−32
m= 0 x= −32
→ No
m= 1 x= −21
→ No
m= 2 x= −10
→ No
m= 3 x= 1 y=
18 sol
m= 4 x= 12 y=
9 sol
m= 5 x= 23 y= 0 → No
m= 6 x= 34 y= −9
→ No
m=− 1 x=−43
→No
15.
11x
+ 12y
= 354
11x= 354 −12y
354 − 12y
x =
11
352 2 11y
y
x = + − −
11 11 11 11
2 y
x= 32 − y+ −
11
2 − y
x− 32 + y=
11
2 − y
= m
11
2− y=
11m
− y= 11m−2
y= 2−11m
( m)
11x+ 12 2 − 11 = 354
11x+ 24 − 132m=
354
x= 30 + 12m
y= 2−11m
( + m)
11 30 12
x =
11
m= 0 x= 30 y=
2 sol
m= 1 x= 42 y= −9
→ No
m=− 1 x= 18 y=
13
m=− 2 x= 6 y=
24 sol
m=− 3 x=−6
→No
sol
16.
10x+ 13y=
294
10x= 294 −13y
294 − 13y
x =
10
290 4 10y
3y
x = + − −
10 10 10 10
4 3y
x− 29 + y= −
10
4−
3y
→ Entero
10
28 − 21y
→ Entero
10
28 20y
y
− −
10 10 10
28 − y
− 2y
+
10
28 − y
= m
10
28 − y=
10m
− y= 10m−28
y= 28 −10m
( m)
10x+ 13 28 − 10 = 294
10x+ 364 − 130m=
294
y= 28 −10m
m= 0 x= −7
( m − )
10 13 7
x =
10
x= 13m−7
→ No
m= 1 x= 6 y=
18 sol
m= 2 x= 19 y=
8 sol
m= 3 x= 32 y= −2
→ No
m=− 1 x=−20
→ No
17. 11x+ 8y=
300
8y= 300 −11x
300−11x
y =
8
296 4 3x
y = + − −
8 8 8
4 3x
y= 37 − x+ −
8
4 3x
y− 37 + x= −
8
4−
3x
→ Entero
8
12 −9x
→ Entero
8
Continúa
8x
8

Continuación
12 8x
x
17.
− −
8 8 8
12 − x = m
8
12 − x=
8m
− x= 8m−12
x= 12 −8m
( m)
11 12 − 8 + 8y=
300
132 − 88m+ 8y=
300
x= 12 −8m
( + m)
821 11
y =
8
y= 21+
11m
m= 0 x= 12 y=
21 sol
m= 1 x= 4 y=
32 sol
m= 2 x= −4
→ No
m=− 1 x= 20 y=
10 sol
m=− 2 x= 28 y=−1
→No
18.
21x+ 25y=
705
21x= 705−25y
705−
25y
x =
21
693 12 21y
4y
x = + − −
21 21 21 21
12 − 4y
x= 33− y+
21
12 − 4y
→ Entero
21
192 − 64y
→ Entero
21
192 63y
y
− −
21 21 21
192 − y
− 3y
+
21
192 − y
= m
21
192 − y=
21m
− y= 21m−192
y= 192 −21m
( m)
21x+ 25 192 − 21 = 705
21x+ 4.
800− 525m=
705
Continúa
( m−
)
21 25 195
x =
21
x= 25m−195
18. Continuación
y= 192−21m
m= 0 x=−195
→No
m= 7 x=−20
→No
m= 8 x= 5 y=
24 sol
m= 9 x= 30 y=
3 sol
m= 10 x= 55 y=−18
→No
m=− 1 x=−220
→No
19.
3x− 4y=
5
3x= 5+
4y
5 4y
x = +
3
2 3 3y
y
x = + + +
3 3 3 3
2 y
x= 1+ y+ +
3
2 y
x−1− y= +
3
2 + y
= m
3
2+ y=
3m
y= 3m−2
( m )
3x−4 3 − 2 = 5
3x− 12m+ 8=
5
y= 3m−2
( m−
)
34 1
x =
3
x= 4m−1
m= 1 x= 3 y=
1 sol
m= 2 x= 7 y=
4 sol
m= 3 x= 11 y=
7 sol
20. 5x− 8y=
1
5x= 1+
8y
1 8y
x = +
5
1+
8y
→ Entero
5
2+
16y
→ Entero
5
2 15y
y
+ +
5 5 5
2 y
3y
+ +
5
2 + y = m
5
Continúa
20. Continuación
2+ y = 5m
y= 5m−2
( m )
5x−8 5 − 2 = 1
5x− 40m+ 16=
1
y= 5m−2
( m−
)
58 3
x =
5
x= 8m−3
m= 1 x= 5 y=
3 sol
m= 2 x= 13 y=
8 sol
m= 3 x= 21 y=
13 sol
21.
7x− 13y=
43
7x= 43+
13y
43+
13y
x =
7
42 1 7y
x = + + +
7 7 7
1 6y
x= 6 + y+ +
7
1 6y
x−6
− y= +
7
1+
6y
→ Entero
7
6+
36y
→ Entero
7
6 35y
y
+ +
7 7 7
6 y
5y
+ +
7
6 + y
= m
7
6+ y=
7m
y= 7m−6
( m )
7x−13 7 − 6 = 43
7x− 91m+ 78=
43
y= 7m−6
6y
7
( m−
)
713 5
x =
7
x= 13m−5
m= 1 x= 8 y=
1 sol
m= 2 x= 21 y=
8 sol
m= 3 x= 34 y=
15 sol

22.
11x− 12y=
0
11x=
12y
12y
x =
11
11y
y
x = +
11 11
y
x− y=
11
y
= m
11
y=
11m
11x− 12( 11m)
= 0
11x− 132m=
0
y=
11m
x=
12m
m= 1 x= 12 y=
11 sol
m= 2 x= 24 y=
22 sol
m= 3 x= 36 y=
33 sol
23.
14x− 17y=
32
14x= 32 + 17y
32 + 17y
x =
14
28 4 14y
3y
x = + + +
14 14 14 14
4 3y
x= 2 + y+ +
14
4+
3y
→ Entero
14
20 + 15y
→ Entero
14
14 6 14y
y
+ + +
14 14 14 14
6 y
1+ y + +
14
6 + y
= m
14
6+ y=
14m
y= 14m−6
( m )
14x−17 14 − 6 = 32
14x− 238m+ 102 = 32
y= 14m−6
( m−
)
14 17 5
x =
14
x= 17m−5
m= 1 x= 12 y=
8 sol
m= 2 x= 29 y=
22 sol
m= 3 x= 46 y=
36 sol
24.
7x− 11y=
83
7x= 83+
11y
83+
11y
x =
7
77 6 7y
4y
x = + + +
7 7 7 7
6 4y
x= 11+ y+ +
7
6 4y
x−11− y= +
7
6+
4y
→ Entero
7
12 + 8y
→ Entero
7
7 5 7y
y
+ + +
7 7 7 7
5 y
1+ y + +
7
5+
y
= m
7
5+ y=
7m
y= 7m−5
( m )
7x−11 7 − 5 = 83
7x− 77m+ 55=
83
y= 7m−5
( m+
)
711 4
x =
7
x= 11m+
4
m= 1 x= 15 y=
2 sol
m= 2 x= 26 y=
9 sol
m= 3 x= 37 y=
16 sol
25. 8x− 13y=
407
8x= 407 + 13y
407 + 13y
x =
8
400 7 8y
x = + + +
8 8 8
7 5y
x= 50 + y+ +
8
7 5y
x−50
− y= +
8
7+
5y
→ Entero
8
35 + 25y
→ Entero
8
32 3 24y
y
+ + +
8 8 8 8
Continúa
5y
8
25. Continuación
3
4+ 3 + + y
y
8
3+
y
= m
8
3+ y=
8m
y= 8m−3
( m )
8x−13 8 − 3 = 407
8x− 104m+ 39 = 407
y= 8m−3
( m + )
813 46
x =
8
x= 13m+
46
m= 1 x= 59 y=
5 sol
m= 2 x= 72 y=
13 sol
m= 3 x= 85 y=
21 sol
26.
20y− 23x=
411
20y= 411+
23x
411+
23x
y =
20
400 11 20x
3x
y = + + +
20 20 20 20
11+
3x
y= 20 + x+
20
11+
3x
y−20− x=
20
11+
3x
→ Entero
20
77 + 21x
→ Entero
20
60 17 20x
x
+ + +
20 20 20 20
17 + x
3+ x +
20
17 + x
= m
20
17 + x=
20m
x= 20m−17
( m )
20y−23 20 − 17 = 411
20y− 460m+ 391=
411
x= 20m−17
y= 23m+1
m= 1 x= 3 y=
24 sol
m= 2 x= 23 y=
47 sol
m= 3 x= 43 y=
70 sol
( m+
)
20 23 1
y =
20

27.
5y− 7x=
312
5y= 312+
7x
312 + 7x
y =
5
310 2 5x
2x
y = + + +
5 5 5 5
2 2x
y= 62 + x+ +
5
2 2x
y−62
− x= +
5
2+
2x
→ Entero
5
6+
6x
→ Entero
5
5 1 5x
x
+ + +
5 5 5 5
1 x
1+ x + +
5
1+
x
= m
5
1+ x=
5m
x= 5m−1
( m )
5y−7 5 − 1 = 312
5y− 35m+ 7 = 312
( m+
)
57 61
y =
5
y= 7m+
61
x= 5m−1
m= 1 x = 4 y=
68
m= 2 x= 9 y=
75
m= 3 x= 14 y=
82
EJERCICIO 174
1. x → Billetes $ 2
y → Billetes $ 5
2x+ 5y=
42
2x= 42−5y
42 − 5y
x =
2
40 2 3y
2y
x = + − −
2 2 2 2
2 y
x= − y+ − 3
20
2
2 y
x− + y= − 3
20
2
2−
3y
→ Entero
2
Continúa
1. Continuación
2 2 y y
− −
2 2 2
2
− + − y
y
2
2 − y
= m
2
2− y=
2m
− y= 2m−2
y= 2−2m
( m)
2x+ 5 2− 2 = 42
2x+ 10− 10m=
42
y= 2−2m
( m + )
25 16
x =
2
x= 5m+
16
m= 0 x= 16 y=
2 sol
m= 1 x= 21 y= 0 → No
m= 2 x= 26 y= −2
→ No
m=− 1 x= 11 y=
4 sol
m=− 2 x= 6 y=
6 sol
m=− 3 x= 1 y=
8 sol
m=− 4 x=
−4
→ No
1 de $ 2 y 8 de $ 5
6 de $ 2 y 6 de $ 5
11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó
16 de $ 2 y 2 de $ 5
2.
x → Monedas de $ 5
y → Monedas de $ 10
5x+ 10y=
45
5x= 45−10y
45−
10y
x =
5
40 5 5y
x = + − −
5 5 5
5 y
x= − y+ − 5
8
5
x− 8+ y= 1−
y
1− y=
m
− y= m−1
y= 1−m
( m)
5x+ 10 1− = 45
5x+ 10− 10m=
45
5y
5
( m + )
52 7
x =
5
x= 2m+
7
Continúa
2. Continuación
y= 1−m
m= 0 x= 7 y=
1 sol
m= 1 x= 9 y= 0 →No
m=− 1 x= 5 y=
2 sol
m=− 2 x= 3 y=
3 sol
m=− 3 x= 1 y=
4 sol
m=− 4 x=−1
→No
1de $ 5 y 4 de$
10
3 de $ 5 y 3 de$
10
5de $ 5 y 2 de$
10
7de $ 5 y 1de$
10
3.
5x+ 3y=
62
3y= 62−5x
62 − 5x
y =
3
60 2 3x
2x
y = + − −
3 3 3 3
2 2x
y= 20 − x+ 3
2 2x
y− 20 + x= 3
2−
2x
3
→ Entero
10 − 10x
3
→ Entero
9 1 9x
x
+ − −
3 3 3 3
1 x
3− 3x
+ −
3
1−
x
= m
3
1− x=
3m
− x= 3m−1
x= 1−3m
( m)
51− 3 + 3y=
62
5− 15m+ 3y=
62
( m+
)
35 19
y =
3
y= 5m+
19
x = 1−3m
m= 0 x= 1 y=
19 sol
m= 1 x= −2
→ No
m=− 1 x= 4 y=
14 sol
m=− 2 x= 7 y=
9 sol
m=− 3 x= 10 y=
4 sol
1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ;
10 y 4

4.
x → Sombreros
y → Pares de zapatos
8x+ 15y=
340
8x= 340−15y
340 − 15y
x =
8
336 4 8y
7y
x = + − −
8 8 8 8
4 y
x= − y+ − 7
42
8
4 y
x− + y= − 7
42
8
4−
7y
→ Entero
8
28−
49y
→ Entero
8
24 4 48y
y
+ − −
8 8 8 8
4 y
3− 6y
+ −
8
4 − y
= m
8
4− y=
8m
− y= 8m−4
y= 4−8m
( m)
8x+ 15 4− 8 = 340
8x+ 60− 120m=
340
y= 4−8m
( )
815m
+ 35
x =
8
x= 15m+
35
m= 0 x= 35 y=
4 sol
m= 1 x= 50 y= −4
→ No
m=− 1 x= 20 y=
12 sol
m=− 2 x= 5 y=
20 sol
m=− 3 x=−10
→No
5 sombreros y 20 pares de zap.
20 sombreros y 12 pares de zap.
35 sombreros y 4 pares de zap.
5. x → Metros de lana
y → Metros de seda
1, 50x+ 2,
50y=
42
→ Si multiplico por 2 la
ecuación inicial no se
altera.
Luego
3x+ 5y=
84
3x= 84−5y
84 − 5y
x =
3
81 3 3y
2y
x = + − −
3 3 3 3
3 y
x= − y+ − 2
27
3
3 y
x− + y= − 2
27
3
3−
2y
→ Entero
3
15−
10y
→ Entero
3
12 3 9y
y
+ − −
3 3 3 3
3 y
4− 3y
+ −
3
3−
y
= m
3
3− y=
3m
− y= 3m−3
y = 3−3m
( m)
3x+ 5 3− 3 = 84
3x+ 15− 15m=
84
y= 3−3m
( m+
)
35 23
x =
3
x= 5m+
23
m= 0 x= 23 y=
3 sol
m= 1 x= 28 y= 0 → No
m=− 1 x= 18 y=
6 sol
m=− 2 x= 13 y=
9 sol
m=− 3 x= 8 y=
12 sol
m=− 4 x= 3 y=
15 sol
m=− 5 x=−2
→No
3m de lana y 15m de seda
8m de lana y 12m de seda
13m de lana y 9m de seda
18m de lana y
6m de seda
23m de lana y 3m de seda
6.
x → niños
y → adultos
045 , x+ y=
17 ( 20)
9x+ 20y=
340
9x= 340−20y
340−
20y
x =
9
333 7 18y
x = + − −
9 9 9
7 y
x= − y+ − 2
37 2
9
7 y
x− + y= − 2
37 2
9
7−
2y
→ Entero
9
98 − 28y
→ Entero
9
90 8 27y
y
+ − −
9 9 9 9
8 y
10 − 3y
+ −
9
8 − y
= m
9
8− y=
9m
− y= 9m−8
y= 8−9m
( m)
9x+ 20 8 − 9 = 340
9x
+ 160−180m
= 340
y= 8−9m
2y
9
( m+
)
920 20
x =
9
x= 20m+
20
m= 0 x= 20 y=
8 sol
m= 1 x= 0 y=−1
→ No
m=− 1 x= 0 y= 17 → No
m=− 2 x=−20
→No
20 niños y 8adultos
7.
x → Caballos
y → Vacas
( )
460x+ 440y= 41.
000 ÷ 20
23x+ 22y=
2.
050
22y= 2.
050 −23x
2050 . − 23x
y =
22
2046 . 4 22x
x
y = + − −
22 22 22 22
Continúa

7. Continuación
4 x
y= 93− x+ −
22
4 − x = m
22
4− x=
22m
− x= 22m−4
x= 4−22m
( m)
23 4 − 22 + 22y=
2.
050
92 − 506m+ 22y=
2.
050
( m )
( m+
)
22 23 89
y =
22
y= 23m+
89
x= 4−22m
m= 0 x= 4 y=
89 sol
m= 1 x= −18
→ No
m=− 1 x= 26 y=
66 sol
m=− 2 x= 48 y=
43 sol
m=− 3 x= 70 y=
20 sol
m=− 4 x= 92 y=−3
→No
4 caballos y 89 vacas
26 caballos y 66 vacas
48 caballos y 43 vacas
70 caballos y 20 vacas
8.
3x+ 3= 5y+
5
3x− 5y=
2
3x= 2+
5y
2 5y
x = +
3
2+
5y
3
→ Entero
4+
10y
3
→ Entero
3 1 9y
y
+ + +
3 3 3 3
1 y
1+ 3y
+ +
3
1+
y
= m
3
1+ y=
3m
y= 3m−1
3x−5 3 − 1 = 2
3x− 15m+ 5=
2
( m−
)
35 1
x =
3
x= 5m−1
Continúa
8. Continuación
y= 3m−1
m= 0 x=−1
→No
m= 1 x= 4 y=
2 sol
Los Nº
s son 4 y 2
9.
x → Monedas de 025 ,
y → Monedas de 010 ,
0, 25x+ 0, 10y=
2 , 10 ( 100)
25x+ 10y=
210
10y= 210 −25x
210 − 25x
y =
10
200 10 20x
5x
y = + − −
10 10 10 10
10 − 5x
y= 20 − 2x+
10
2 x
y− 20 + 2x= −
2
2 − x = m
2
2− x=
2m
− x= 2m−2
x= 2−2m
( m)
25 2 − 2 + 10y=
210
50 − 50m+ 10y=
210
( m + )
10 5 16
y =
10
y= 5m+
16
x = 2 −2m
m= 0 x= 2 y=
16 sol
m= 1 x= 0 → No
m=− 1 x= 4 y=
11 sol
m=− 2 x= 6 y=
6 sol
m=− 3 x= 8 y=
1 sol
m=− 4 x= 10 y=−4
→No
2 mon. de 0, 25 y 16 mon. de 0,
10
4 mon. de 0, 25 y 11 mon. de 0,
10
6 mon. de 0, 25 y 6 mon. de 0,
10
8 mon. de 0, 25 y 1 mon. de 0,
10

EJERCICIO 175
21. x+ 1= 0 y− 4=
0
x=− 1 y=
4
23. x− y = 2 con 3x+ y=
18
x= 0 y=− 2 x= 0 y=
18
x= 2 y= 0 x= 6 y=
0
y = 4
Escala 1:2
(-1,4) (-1,4) (-1,4) (-1,4) (-1,4)
3x + y = 18
x = - 1
0
3x 3x 3x 3x + + + + y y y y = = = = 18 18 18 18
(5,3) (5,3) (5,3) (5,3) (5,3)
x - y = 2
0
Intersección
Intersección → ( −1,
4)
22. 3x = 2y con x + y = 5
3x− 2y= 0 x= 0 y=
5
1
x= 1 y= 1 x= 5 y=
0
2
Intersección
Intersección → ( 5,
3)
24. 2x− y= 0 con 5x+ 4y=−26
x= 1 y= 2 x= 0 y=−6
1
2
x=− 2 y=−4
3x = 2y
2x - y = 0
x + y = 5
5x 5x 5x 5x 5x + 4y 4y 4y 4y 4y = - 26 26 26 26 26
0
(2,3)
0
(-2,-4) (-2,-4) (-2,-4) (-2,-4) (-2,-4)
Intersección
Intersección → ( 2 , 3)
Intersección
→ −2 , −4
Intersección ( )

25. 5x+ 6y=−9 con 4x− 3y=
24
1
x= 0 y=− 1 x= 0 y=−8
2
x= 3 y=− 4 x= 3 y=−4
27. 3x + 8y = 28 con 5x − 2y
=−30
x= 4 y= 2 x= 0 y=
15
1
x= 0 y= 3 x=− 2 y=
10
2
Escala 1:2
0
5x 5x 5x 5x 5x + 6y 6y 6y 6y 6y = - 9
(3,-4)
5x - 2y = -30
4x 4x 4x 4x 4x - 3y 3y 3y 3y 3y = 24 24 24 24 24
(-4,5) (-4,5) (-4,5) (-4,5) (-4,5)
3x + 8y = 28
0
Intersección
Intersección → ( 3,
−4)
Intersección
Intersección → ( −4 , 5)
26. x+ 5= 0 con 6x− 7y=−9
x=− 5 x= 2 y=
3
x=− 5 y=−3
28. y− 4= 0 con 7x+ 2y=
22
y= 4 x= 0 y=
11
x= 2 y=
4
7x 7x 7x 7x 7x + 2y 2y 2y 2y 2y = 22 22 22 22 22
x + 5 = 0
6x 6x 6x 6x 6x - 7y 7y 7y 7y 7y = -9 -9 -9 -9 -9
0
y - 4 = 0
(2,4) (2,4) (2,4) (2,4) (2,4)
(-5,-3)
0
Intersección
Intersección → ( −5 −3)
, Intersección
Intersección → ( 2 , 4)

29. 6x=−5y con 4x− 3y=−38
6x+ 5y= 0 x=− 2 y=
10
x= 5 y=− 6 x= 1 y=
14
Escala 1:2
30. 5x− 2y=−14 con 8x− 5y=−17
x= 0 y= 7 x= 1 y=
5
x=− 2 y= 2 x=− 4 y=−3
4x 4x 4x 4x 4x - 3y 3y 3y 3y 3y = - 38 38 38 38 38
(-5,6)
0
6x = - 5y
5x - 2y = -14
8x - 5y = -17
0
(-4,-3)
Intersección
Intersección → ( −5,
6)
Intersección
Intersección → ( −4 , −3)
EJERCICIO 176
1.
x+ 6y= 27 ; 7x− 3y=
9
x= 27 − 6y 7x= 9 + 3y
9 y
x = + 3
7
9 y
27 − 6y
= + 3
7
( y)
7 27− 6 = 9+
3y
189 − 42y= 9 + 3y
180=
45y
4 = y
x + 64 ( ) = 27
x + 24 = 27
x = 3
sol:
x = 3 y = 4
2.
3x − 2y = − 2 ; 5x + 8y
= −60
3x=− 2 + 2y 5x=−60 −8y
2 2y
60 8y
x =− − +
x =−
3
5
2 2y
60 8y
− − +
=−
3 5
( − y) = ( + y)
5 2 2 3 60 8
10 − 10y= 180 + 24y
− 170 = 34y
− 5=
y
( )
3x
−2 − 5 = −2
3x
+ 10= −2
3x
=−12
x =−4
sol:
x =− 4 y =−5
3.
3x + 5y = 7 ; 2x − y = −4
5y= 7−3x − y= −4−2x
( )
7 3x
y = − y= 4+
2x
5
7−
3x
= 4+
2x
5
( x)
7− 3x= 5 4+
2
7 − 3x= 20 + 10x
− 13=
13x
− 1=
x
2 −1 − y = −4
−2− y = −4
− y = −2
y = 2
sol:
x =− 1 y = 2

4.
7x− 4y= 5 ; 9x+ 8y=
13
7x= 5+ 4y 9x= 13−8y
5 4y
x = + x =
7
( + y) = ( − y)
9 5 4 7 13 8
45+ 36y= 91−56y
92y
= 46
46 1
y = =
92 2
9x
+ 8 ⎛ 1 13
⎝ ⎜ ⎞
⎟ =
2⎠
9x
+ 4=
13
9x
= 9
x = 1
1
sol:
x = 1 y =
2
13−
8
9
5.
9x+ 16y= 7 ; 4y− 3x=
0
16y= 7 − 9x 4y=
3x
7 9x
3x
y = − y =
16
4
( − x) = ( x)
47 9 163
28 − 36x=
48x
28 = 84x
28 1
x = =
84 3
4y
− 1=
0
4y
= 1
1
y =
4
1 1
sol:
x = y =
3 4
6.
14x− 11y=−29 ; 13y− 8x=
30
14x= 11y−29 − 8x= 30−13y
x =
11y
− 29
14
( y− ) = ( y−
)
811 29 1413 30
88y− 232 = 182 y−420
188 = 94y
2 = y
13( 2)
− 8x
= 30
26 − 8x
= 30
− 8x
= 4
1
x =−
2
sol:
1
x =−
2
y = 2
y
13y
− 30
x =
8
7.
15x− 11y=−87
15x= 11y−87
11y
− 87
x =
15
−12x− 5y=−27
12x= 27 −5y
x =
27 − 5
12
( y− ) = ( − y)
12 11 87 15 27 5
132y− 1.
044 = 405−75y
207y
= 1.
449
1.
449
y = = 7
207
12x
+ 5( 7)
= 27
12x
+ 35=
27
12x
=−8
8 2
x =− =−
12 3
2
sol:
x =− y = 7
3
8.
7x
+ 9y
= 42
9y= 42−7x
y =
( − x) = − ( + x)
( )
42 − 7
9
12x+ 10y= −4
y
10y=−4 −12x
4 12x
y =− +
10
10 42 7 9 4 12
420− 70x= −36 −108x
x
38x
=−456
x =−12
12 − 12 + 10y
= −4
− 144 + 10y
= −4
10y
= 140
y = 14
sol:
x =− 12 y = 14

9.
6x− 18y= −85 ; 24x− 5y= −5
− 18y= −6x−85 − 5y= −5−24x
6x
+ 85
y =
18
( x+ ) = ( + x)
5 6 85 18 5 24
30x+ 425= 90 + 432x
335=
402x
335 5
x = =
402 6
⎛
6 5 ⎞
⎜ ⎟ − 18y
= −85
⎝ 6⎠
5−
18y
= −85
− 18y
= −90
y = 5
5
sol:
x = y = 5
6
5 24x
y = +
5
2.
5x+ 7y= −1 ; − 3x+ 4y= −24
5x=−1−7y
1 7y
x =− +
5
⎛
3 1 + 7 y⎞
⎜ ⎟ + 4y
= −24
⎝ 5 ⎠
3+
21y
+ 4y
= −24
5
3+ 21y+ 20y= −120
( )
41y
=−123
y =−3
− 3x
+ 4 − 3 = −24
−3x
− 12= −24
− 3x
= −12
x = 4
sol:
x = 4 y = −3
3.
3x+ 4y= 8 ; 8x− 9y=−77
4y= 8−3x
8 3x
y = −
4
⎛
8x
9 8 − 3 x⎞
− ⎜ ⎟ =−77
⎝ 4 ⎠
( )
( x)
32x−9 8 − 3 = −308
32x− 72 + 27x= −308
3 − 4 + 4y
= 8
− 12 + 4y
= 8
59x
=−236
4y
= 20
y = 5
x =−4
sol:
x =− 4 y = 5
EJERCICIO 177
1.
x+ 3y= 6 ; 5x− 2y=
13
x= 6−3y
( y)
56−3 − 2y=
13
30 −15y− 2y=
13
x + 31 () = 6
x + 3=
6
− 17y
= −17
x = 3
y = 1
sol:
x = 3 y = 1
4.
x− 5y= 8 ; − 7x+ 8y=
25
8y= 25+
7x
⎛ + x⎞
x − 5⎜
25 7 ⎟= 8
⎝ 8 ⎠
( x)
8x− 5 25+ 7 = 64
8x−125− 35x=
64
− 27x
= 189
x =−7
−7− 5y
= 8
− 5y
= 15
y =−3
sol:
x =− 7 y =−3
y =
5.
15x+ 11y= 32 ; 7y− 9x=
8
⎛
15 11 8 +
x
9 x⎞
+ ⎜ ⎟= 32
⎝ 7 ⎠
( x)
105x+ 11 8 + 9 = 224
105x+ 88 + 99x=
224
204x
= 136
25+
7x
8
7y= 8+
9x
8 9x
y = +
7
136 2
x = =
204 3
⎛
15 2 ⎞
⎜ ⎟ + 11y
= 32
⎝ 3⎠
10 + 11y
= 32
11y
= 22
y = 2
2
sol:
x = y = 2
3
6.
10x+ 18y= −11 ; 16x− 9y= −5
10x=−11−18y
⎛
− 16⎜
⎝
11+
18y
x =−
10
+ y⎞
⎟− 9y
=−5
⎠
11 18
10
( y)
− 16 11+ 18 − 90y= −50
−176−288y− 90y= −50
− 378y
= 126
126 1
y =− =−
378 3
⎛ 1⎞
10x
+ 18⎜
− ⎟ =−11
⎝ 3⎠
10x
− 6 =−11
10x
=−5
1
x =−
2
1 1
sol:
x =− y =−
2 3

7. 4 x+ 5 y= 5 ; − 4 x− 10 y= − 7
10y= 7 −4x
⎛
4 5 7 − 4 x⎞
x + ⎜ ⎟= 5
⎝ 10 ⎠
8x+ 7− 4x=
10
4x
= 3
3
x =
4
⎛
4 3 ⎞
⎜ ⎟+ 5y
= 5
⎝ 4⎠
3+ 5y
= 5
5y
= 2
2
y =
5
3 2
sol:
x = y =
4 5
7 4x
y = −
10
8.
32x− 25y= 13 ; 16x+ 15y=
1
16x= 1−15y
1 15y
x = −
16
⎛
32 1 − 15 y⎞
⎜ ⎟− 25y
= 13
⎝ 16 ⎠
( y)
2 1−15 − 25y=
13
2−30y− 25y=
13
2− 55y
= 13
− 55y
= 11
1
y =−
5
⎛ 1⎞
16x
+ 15⎜
− ⎟= 1
⎝ 5⎠
16x
− 3=
1
16x
= 4
1
x =
4
1 1
sol:
x = y = −
4 5
9.
11x− 13y= −163 ; − 8x+ 7y=
94
11x=− 163+
13y
163−
13y
x =−
11
⎛ 163−
13y⎞
8⎜
⎟ + 7y
= 94
⎝ 11 ⎠
( y)
8 163− 13 + 77y=
1.
034
1. 304 − 104 y+ 77y=
1.
034
− 27y
= −270
y = 10
11x
− 13( 10)
= −163
11x
− 130 = −163
11x
=−33
x =−3
sol:
x =− 3 y = 10
EJERCICIO 178
1. 6x
− 5y= −9 ( 2)
( )
4x
+ 3y= 13 −3
12x−
10y= −18
−12x− 9y= −39
− 19y
= −57
y = 3
4x
+ 3( 3)
= 13
4x
+ 9=
13
4x
= 4
x = 1
sol:
x = 1 y = 3
2.
7x
− 15y=
1
− x − 6y=
8 ( 7)
7x− 15y=
1
−7x− 42y=
56
− 57y
= 57
y =−1
( )
7x
−15 − 1 = 1
7x
+ 15=
1
7x
=−14
x =−2
sol:
x =− 2 y =−1
3. 3x− 4y
= 41 ( 3)
11x+ 6y
= 47 ( 2)
9x− 12y=
123
22x+ 12y=
94
31x
= 217
x = 7
37 ( ) − 4y
= 41
21− 4y
= 41
− 4y
= 20
y =−5
sol:
x = 7 y = −5
4. 9x
+ 11y
= −14 ( 4)
( )
6x
− 5y
=−34 −6
36x+ 44y= −56
− 36x+ 30y=
204
74y
= 148
y = 2
6x
− 5( 2)
= −34
6x
− 10= −34
6x
=−24
x =−4
sol:
x =− 4 y = 2
5.
10x− 3y
= 36
( )
( )
2x
+ 5y
= −4 −5
10x− 3y=
36
−10x− 25y=
20
− 28y
= 56
y =−2
10x
−3 − 2 = 36
10x
= 30
x = 3
sol:
x = 3 y = −2
6. 11x− 9y
= 2 () 5
( )
13x− 15y= −2 −3
55x− 45y=
10
− 39x+ 45y=
6
16x
= 16
x = 1
11()
1 − 9y
= 2
11− 9y
= 2
− 9y
= −9
y = 1
sol:
x = 1 y = 1

7. 18x+ 5y
= −11 ( 2)
( )
12x+ 11y
= 31 −3
36x+ 10y= −22
−36x− 33y= −93
− 23y
= −115
y = 5
18x
+ 5( 5)
= −11
18x
+ 25= −11
18x
=−36
x =−2
sol:
x =− 2 y = 5
8. 9x
+ 7y
= − 4 ( −11)
8.
11x−
13y
= −48 ( 9)
−99x− 77y=
44
99x−
117y= −432
− 194y
= −388
y = 2
9x
+ 7( 2)
= −4
9x
+ 14= −4
9x
=−18
x =−2
sol:
x =− 2 y = 2
9. 12x− 14y
= 20 ( 7)
− 14x+ 12y
= −19 ( 6)
84x− 98y=
140
− 84x+ 72y= −114
− 26y
= 26
y =−1
( )
12x
−14 − 1 = 20
12x
+ 14 = 20
12x
= 6
1
x =
2
sol:
1
x =
2
y = −1
10. 15x
− y = 40 ( 8)
19x
+ 8y=
236
120x− 8y=
320
19x
+ 8y=
236
139x
= 556
x = 4
15( 4)
− y = 40
60 − y = 40
− y = −20
y = 20
sol:
x = 4 y = 20
11. 36x−
11y= −14 ( 2)
( )
( )
24x− 17y= 10 −3
72x−
22y= −28
− 72x+ 51y= −30
29y
=−58
y =−2
36x
−11 − 2 = −14
36x
+ 22 = −14
36x
=−36
x =−1
sol:
x =− 1 y =−2
12. 12x− 17y=
104 () 5
( )
( )
15x+ 19y= −31 −4
60x− 85y=
520
−60x− 76y=
124
− 161y
= 644
y =−4
12x
−17 − 4 = 104
12x
+ 68 = 104
12x
= 36
x = 3
sol:
x = 3 y = −4
EJERCICIO 179
1.
8x− 5= 7y−9
8x− 7y=− 9+
5
8x− 7y=−4
6x= 3y+
6
6x− 3y=
6
8x
− 7y
=−4 ( 3)
( )
6x
− 3y
= 6 −4
24x− 21y=−12
− 24x+ 12y=−24
− 9y
=−36
y = 4
6x
− 3( 4)
= 6
6x
− 12=
6
6x
= 18
x = 3
sol:
x = 3 y = 4
2.
x − 1= y + 1
x− y=
2
x− 3= 3y−7
x−
3y= −4
x− y = 2
( )
x− 3y= −4 −1
x− y = 2
− x+ 3y=
4
2y
= 6
y = 3
x − 3=
2
x = 5
sol : x = 5 y = 3
3.
3 x+ 2 = 2y 2 y+ 5 = 7x
3. ( ) ( )
3x+ 6= 2y 2y+ 10=
7x
3x− 2y= −6 7x− 2y=
10
3x− 2y= −6 ; 7x− 2y=
10
3x=− 6+ 2y 7x= 10+
2y
6 2y
10 2y
x =− − +
x =
3
7
( y) ( y)
−76− 2 = 310+
2
− 42 + 14y= 30 + 6y
8y
= 72
y = 9
7x
− 2( 9)
= 10
7x
− 18=
10
7x
= 28
x = 4
sol:
x = 4 y = 9

4.
4. x− 1= 2( y+
6)
x− 1= 2y+
12
x− 2y=
13
x= 13+
2y
( )
( y)
x+ 6= 3 1−2
x+ 6= 3−6y
x+ 6y= −3
x=−3−6y
13+ 2y= −3−6y
−3−6y− 2y=
13
− 8y
= 16
x −2 − 2 = 13
y =−2
x + 4=
13
x = 9
sol:
x = 9 y = −2
5.
30 − 8 − x = 2y+
30
5. ( )
30− 8+ x= 2y+
30
x− 2y=
8
( )
( )
5x− 29= x− 5−4y
5x− 29= x− 5+
4y
4x− 4y=
24
x− y=
6
x− 2y=
8
( )
x− y = 6 −1
x− 2y=
8
− x+ y = −6
− y = 2
x −2 − 2 = 8
x + 4=
8
x = 4
y =−2
sol:
x = 4 y = −2
6.
3x− 9x+ y = 5y− 2x+
9y
6. ( ) ( )
3x−9x− y= 5y−2x−9y
− 4x+ 3y=
0
( )
4x− 3y+ 7 = 5y−47
4x−3y− 7= 5y−47
4x−
8y= −40
x−
2y= −10
− 4x+ 3y=
0
x − 2y= −10 ( 4)
− 4x+ 3y=
0
4x−
8y= −40
Continúa
6. Continuación
− 5y
= −40
y = 8
x − 28 ( ) =−10
x − 16 =−10
x = 6
sol:
x = 6 y = 8
7. ( x− y) − ( 6x+ 8y) = − ( 10x+ 5y+
3)
7.
x− y−6x− 8y= −10x−5y−3
−5x− 9y= −10x−5y−3
5x−
4y= −3
( ) ( )
x+ y − 9y− 11x = 2y−2x
x+ y− 9y+ 11x= 2y−2x
12x− 8y= 2y−2x
14x− 10y=
0
5x
− 4y
= −3 () 5
( )
14x− 10y= 0 −2
25x−
20y= −15
− 28x+ 20y=
0
− 3x
= −15
x = 5
55− () 4y
= −3
25−
4y
= −3
− 4y
= −28
y = 7
sol:
x = 5 y = 7
8.
5 x+ 3y − 7x+ 8y
= −6
8. ( ) ( )
5x+ 15y−7x− 8y= −6
− 2x+ 7y= −6
( )
7x−9y−2 x− 18y
= 0
7x−9y− 2x+ 36y=
0
5x+ 27y=
0
− 2x
+ 7y
= −6 () 5
5x
+ 27y=
0 ( 2)
− 10x+ 35y= −30
10x+ 54y=
0
89y
=−30
30
y =−
89
Continúa
8. Continuación
⎛ 30⎞
− 2x
+ 7⎜
− ⎟=−6
⎝ 89⎠
−178x
− 210 = −534
− 178x
= −324
324
x = =
178 1
73
30
sol:
x = 1 89 y = −
89
9.
9. 2( x+ 5) = 4( y−4x)
2x+ 10= 4y−16x
18x−
4y= −10
( )
10 y− x = 11y−12x
10y− 10x= 11y−12x
2x− y=
0
18x−
4y= −10
( )
73
89
( )
2x
− y = 0 −9
18x−
4y= −10
− 18x+ 9y=
0
5y
=−10
y =−2
2x
− − 2 = 0
2x
+ 2=
0
2x
=−2
x =−1
sol:
x =− 1 y =−2
10.
3x−4y−2 2x− 7 = 0
10. ( )
3x−4y− 4x+ 14=
0
− x− 4y= −14
( x ) ( y )
x+ 4y=
14
5 −1 − 2 − 1 = 0
5x−5− 2y+ 1=
0
5x− 2y=
4
x + 4y=
14
5x
− 2y=
4 ( 2)
x + 4y=
14
10x− 4y=
8
11x
= 22
x = 2
2+ 4y
= 14
4y
= 12
y = 3
sol:
x = 2 y = 3

11.
12 x+ 2y − 8 2x+ y = 2 5x−6y
11. ( ) ( ) ( )
12x+ 24y−16x− 8y= 10x−12y
− 4x+ 16y= 10x−12y
− 14x+ 28y=
0
( x−
y)
20 4 = −10
− x+ 2y=
0
20x−
80y= −10
2x− 8y=−1
− x + 2y=
0 ( 2)
2x− 8y=−1
− 2x+ 4y=
0
2x− 8y=−1
− 4y
=−1
1
y =
4
− x + 2 ⎛ 1 0
⎝ ⎜ ⎞
⎟ =
4⎠
− 4x
+ 2=
0
− 4x
=−2
1
x =
2
1 1
sol:
x = y =
2 4
12.
x y−2 − y x− 3 = −14
12. ( ) ( )
xy −2x − xy + 3y
=−14
− 2x+ 3y=−14
( ) x( y )
y x−6 − + 9 = 54
xy −6y − xy − 9x
= 54
−9x− 6y=
54
3x+ 2y=−18
− 2x+ 3y=−14 ( 3)
3x+ 2y= −18 ( 2)
− 6x+ 9y=−42
6x+ 4y= −36
13y
=−78
y =−6
( )
− 2x
+ 3 − 6 = −14
−2x
− 18=−14
− 2x
= 4
x =−2
sol: x =− 2 y =−6
EJERCICIO 180
3x
1.
+ y = 11
2
3x+ 2y=
22
y
x + =
2 7
2x+ y=
14
3x+ 2y= 22 ; 2x+ y=
14
3x= 22− 2y 2x= 14−
y
x =
22 − 2
3
( − y) = ( − y)
222 2 314
44 − 4y= 42 −3y
2x
+ 2=
14
− y =−2
2x
= 12
x = 6
y = 2
y
sol:
x = 6 y = 2
x =
14 −
2
y
2.
5x
3y
− y= 9 ; x− = 15
12
4
5x− 12y= 108 ; 4x− 3y=
60
⎛
4 ⎜
⎝
5x= 108 + 12y
108+
12y
x =
5
+ y⎞
⎟ − 3y
= 60
⎠
108 12
5
( y)
4 108 + 12 − 15y=
300
432 + 48y− 15y=
300
( )
4x
−3 − 4 = 60
4x
+ 12=
60
4x
= 48
x = 12
33y
=−132
sol:
x = 12 y = −4
y =−4
3.
x y
x
+ = y
7 3 5 ; 3 − =
14 26
3x+ 7y= 105 ; 42y− x=
364
3x+ 7y
= 105
− x + 42y
= 364 ( 3)
3x+ 7y
= 105
− 3x+ 126y=
1.
092
133y
= 1.
197
y = 9
3x
+ 7( 9)
= 105
3x
+ 63=
105
3x
= 42
x = 14
sol:
x = 14 y = 9

4.
x y y x
= ; = −
5 4 3 3 1
4x= 5y y= x−3
4x− 5y= 0 x− y=
3
4x
− 5y=
0
x
( )
− y= 3 −4
4x− 5y=
0
− 4x+ 4y= −12
− y = −12
y = 12
x − 12 = 3
x = 15
sol:
x = 15 y = 12
3x
1
5y
5.
− y= 2 ; 2x=
5 4
2
12x− 5y= 40 4x=
5y
4x− 5y=
0
4x− 5y=
0
( )
12x− 5y= 40 −1
4x
− 5y=
0
− 12x+ 5y= −40
− 8x
= −40
x = 5
45 () − 5y
= 0
20− 5y
= 0
− 5y
= −20
y = 4
sol:
x = 5 y = 4
2x
3y
1 5x
6.
− = 1 ; y − = 2
3 4 8 6
8x− 9y= 12 ; 3y− 20x=
48
8x
− 9y=
12
− 20x+ 3y=
48 ( 3)
8x
− 9y=
12
− 60x+ 9y=
144
− 52x
= 156
( )
x =−3
8 −3 − 9y
= 12
−24 − 9y
= 12
− 9y
= 36
y =−4
sol:
x =− 3 y =−4
7.
8.
x y 11 x y 59
− = − ; + = −
8 5 10 5 4 40
5x− 8y= − 44 ; 8x+ 10y= −59
5x−
8y= −44 () 5
8x+ 10y= −59 ( 4)
25x−
40y= −220
32x+ 40y= −236
57x
=−456
( )
x =−8
5 −8 − 8y
= −44
−40− 8y
= −44
− 8y
= −4
1
y =
2
sol:
x =− 8
1
y =
2
x y
y
x
7 8 0 1 3
+ = ; − = 7
7 4
8x+ 7y= 0 ; 4x− 21y=
196
8x=− 7y 4x= 196+
21y
7y
x = − x =
8
( y)
− 28y= 8 196+
21
− 28y= 1.
568 + 168y
− 196y
= 1.
568
y =−8
( )
7 8
x = − −
8
x = 7
sol:
x = 7 y = −8
2x+ 1 y
9.
= ; 2x
− 3y
= − 8
5 4
( x )
42 + 1 = 5y
8x+ 4=
5y
8x− 5y=−4
( )
2x− 3y= −8 −4
8x− 5y=−4
− 8x+ 12y=
32
8x−
5y= −4
7y
= 28
y = 4
Continúa
196 + 21
4
y
9. Continuación
8x
− 5( 4)
= −4
8x
− 20= −4
8x
= 16
x = 2
sol:
x = 2 y = 4
10.
12x+ 5y+ 6=
0
x
11.
12x+ 5y= −6
5x
7y
− = −12
3 6
10x−
7y= −72
12x+ 5y
= −6 () 5
y = 6
10x
− 7( 6)
= −72
( )
10x− 7y
= −72 −6
60x+ 25y= −30
− 60x+ 42y=
432
67y
= 402
10x
− 42 = −72
10x
=−30
x =−3
sol:
x =− 3 y = 6
11. = ( y )
5 3 + 2
x= 15( y+
2)
x= 15y+
30
y
x
5 3 224
+ =
5
y+ 15x=
224
15x= 224 − y
x =
( y )
( )
− y
15 15 + 30 = 224 − y
225y+ 450 = 224 − y
226y
=−226
y =−1
x = 15 − 1 + 30
x =− 15+
30
x = 15
224
15
sol:
x = 15 y = −1

x y 1 x y 13
12.
− = − ; − =
5 6 30 3 20 12
6x− 5y= −1 ; 20x− 3y=
65
6x
− 5y= −1 ( 3)
13.
14.
x = 4
64 ( ) − 5y
= −1
( )
20x
− 3y= 65 −5
18x
− 15y= −3
− 100x+ 15y= −325
− 82x
= −328
− 5y
= −25
y = 5
sol:
x = 4 y = 5
x− 3 y− 4 x− y+ − = 0 ; + = 3
3 4
( x ) ( y ) ; ( x ) ( y )
4 −3 −3 − 4 = 0 5 − 4 + 2 + 2 = 30
4x−12 − 3y+ 12 = 0 ; 5x− 20+ 2y+ 4 = 30
4x− 3y= 0 5x+ 2y=
46
3y
x =
4
⎛ y⎞
5⎜
3 ⎟+ 2y
= 46
⎝ 4 ⎠
15y+ 8y=
184
23y
= 184
y = 8
38 ( )
x =
4
x = 6
sol:
x = 6 y = 8
( ) ( )
( )
4
2
2
5
x− 1 y− 1 13 x+ 1 y+ 1 2
− =− ; − =−
2 3 36 3 2 3
18 x−1 −12 y− 1 = − 13 ; 2x+ 2 −3y− 3= −4
18x− 12y= −7 2x− 3y= −3
18x−
12y= −7
2x− 3y
= −3 −4
18x−
12y= −7
− 8x+ 12y=
12
10x
= 5
1
x =
2
⎛ ⎞
2⎜
1 ⎟ − 3y
= −3
⎝ 2⎠
− 3y
= −4
4
y =
3
1 4
sol:
x = y =
2 3
15.
16.
x+ 1 y−4
x− 4 y−
2
= ; =
10 5 5 10
( y )
y = 8
x = 28 ( ) −9
( ) ; ( )
x+ 1= 2 y−4 2 x− 4 = y−2
x+ 1= 2y−8 ; 2x− 8= y−2
x− 2y= −9 2x− y=
6
x= 2y−9
22 −9 − y=
6
4y−18− y=
6
x = 7
3y
= 24
sol:
x = 7 y = 8
4x+ 3y= − 3 4y+ 5x= −1
4x+ 3y= −3 ( 4)
( )
3y
+ 3
1 x
x =−
y =− + 5
;
4
4
4x=−3y− 3 ; 4y=−1−5x
( )
5x+ 4y= −1 −3
16x+ 12y= −12
−15x− 12y=
3
x
=−9
4 − 9 + 3y
= −3
− 36 + 3y
= −3
3y
= 33
y = 11
sol:
x =− 9 y = 11
x+
y x−
y 2x
17.
= ; = y + 3
6 12 3
( x+ y) = x− y ; x= ( y+
)
2 2 3 3
2x+ 2y= x− y ; 2x= 3y+
9
x+ 3y= 0 ; 2x− 3y=
9
( y)
x=−3y
2 −3 − 3y=
9
−6y− 3y=
9
− 9y
= 9
( )
x =−3 −1
x = 3
y =−1
sol:
x = 3 y = −1

y − 3
18.
3x
− = 6
5
15x− y+ 3=
30
19.
15x− y=
27
15x= 27 + y
27 + y
x =
15
x 2
3y
− − = 9
7
21y− x+ 2 = 63
− x+ 21y=
61
− x= 61−21y
x= 21y−61
( y )
27 + y= 15 21 −61
27 + y= 315y−915
− 314y
= −942
y = 3
27 + 3
x =
15
x = 2
sol:
x = 2 y = 3
x+
y y x
− − 7
=
6 3 24
( x y) ( y x)
4 + −8 − = 7
4x+ 4y− 8y+ 8x=
7
( )
12x− 4y=
7
x x y
+ − 5
=
2 6 12
6x+ 2 x− y = 5
6x+ 2x− 2y=
5
8x− 2y=
5
12x− 4y
= 7
( )
8x
− 2y= 5 −2
12x− 4y=
7
− 16x+ 4y=−10
− 4x
=−3
3
x =
4
⎛ ⎞
12 ⎜
3 ⎟ − 4y
= 7
⎝ 4⎠
9− 4y
= 7
− 4y
=−2
1
y =
2
3 1
sol: x= y=
4 2
20.
21.
x− 2 y− x − = x − 7
4 2
( ) ( )
x−2−2 y− x = 4 x−7
3x−4x− 2y= − 28+
2
x+ 2y=
26
3x−
y 3y− x
− = y − 13
8 6
( x− y) − ( y− x) = ( y−
)
3 3 4 3 24 13
x
13x−15y− 24y= −312
y = 10
x + 210 ( ) = 26
13x− 39y=−312
( )
+ 2y
= 26 −13
13x−
39y= −312
−13x− 26y= −338
13x−
39y= −312
− 65y
= −650
x + 20 = 26
x = 6
sol: x = 6 y = 10
12 3 x−
2 y
− = 3y
+ 2
6
3x+ 16y=
60
6x− 8y
= 0 ( 2)
x = 4
64 ( ) − 8y
= 0
( )
72 − 3x+ 2y= 6 3y+
2
− 3x+ 2y− 18y= 12 −72
3x+ 16y=
60
5y−
3x
= x−
y
3
( )
5y− 3x= 3 x−
y
−3x− 3x+ 5y+ 3y=
0
3x+ 16y=
60
12x− 16y=
0
15x
= 60
− 8y
= −24
y = 3
6x− 8y=
0
sol:
x = 4 y = 3
22.
y x− 4 = x y−6
22. ( ) ( )
xy − 4y = xy −6x
6x− 4y=
0
5
x− − 11
3 y− 1 = 0
( y ) ( x )
5 −1 −11 − 3 = 0
5y−5− 11x+ 33=
0
11x− 5y=
28
6x− 4y
= 0 () 5
( )
11x− 5y
= 28 −4
30x− 20y=
0
− 44x+ 20y= −112
− 14x
= −112
x = 8
11( 8)
− 5y
= 28
− 5y
= 28−88
− 5y
= −60
y = 12
sol:
x = 8 y = 12
23.
( x+
y)
3 3
5x+
6y
21
=
17
( x+ y) = ( x+
y)
51 3 21 5 6
51x+ 153y= 105x+
126y
− 54x+ 27y=
0
2x− y=
0
4x−
7y
=−2
2y
+ 1
( )
4x− 7y= − 2 2y+
1
4x− 7y= −4y−2
4x−
3y= −2
( )
2x− y = 0 −2
4x− 3y=
2
− 4x+ 2y=
0
4x−
3y= −2
y = 2
2x
− 2=
0
2x
= 2
x = 1
sol:
x = 1 y = 2

24.
7
7
2x− 3y+ 6
=− 3x−2y−1
( x− y− ) = − ( x− y+
)
73 2 1 72 3 6
21x−14y− 7 = − 14x+ 21y−42
35x−
35y= −35
x−
y= −1
6 10
x− y+ 4
= y+
2
( y+ ) = ( x− y+
)
6 2 10 4
6y+ 12= 10x− 10y+
40
− 28 = 10x−16y
− 14 = 5x−8y
( )
x − y = − 1 −8
5x−
8y= −14
− 8x+ 8y=
8
5x−
8y= −14
− 3x
= −6
x = 2
2−
y = −1
− y = −3
y = 3
sol:
x = 2 y = 3
25.
x+
y
=−7
x−
y
( )
x+ y= −7
x−
y
x+ y= − 7x+
7y
8x− 6y=
0
x+ y+
1
x+ y− 1
= 3
4
( x+ y+ ) = ( x+ y−
)
4 1 3 1
4x+ 4y+ 4= 3x+ 3y−3
x+ y= −7
8x− 6y=
0
x+ y = −7 ( 6)
8x− 6y=
0
6x+ 6y= −42
14x
=−42
x =−3
− 3+ y = −7
y =−4
sol:
x =− 3 y =−4
26.
27.
x y
4 8 3 33
− = −
2 4
x− 32 = 6y−33
x−
6y= −1
y− x 2x+
y 17
− =−
3 2 24
( y x) ( x y)
8 − − 12 2 + =−17
8y−8x−24x− 12y=−17
32x+ 4y=
17
x − 6y= −1 ( 2)
32x+ 4y
= 17 ( 3)
2x
− 12y= −2
96x+ 12y=
51
98x
= 49
1
x =
2
1
− y
2 6 = − 1
1− 12y
=−2
− 12y
= −3
1
y =
4
1 1
sol:
x = y =
2 4
x − 2 y
x + = − 7
2 y − 5
( y−5)( x− 2) = ( y− 7)( x+
2)
xy −2y − 5x + 10 = xy + 2y −7x
−14
2x− 4y=−24
x−
2y= −12
x=− 12 + 2y
x + 1 y
x − = − 3
1 y − 5
( y− 5)( x+ 1) = ( x−1)( y−3)
xy + y −5x − 5= xy −3x − y + 3
− 2x+ 2y=
8
− x+ y=
4
− 12 + 2y= y−4
x = 8−4
x = 4
y = 8
x= y−4
sol: x = 4 y = 8
28.
29.
x−
y−1
x+ y+ 1
=− 3
17
( x− y− ) = − ( x+ y+
)
17 1 3 1
17x−17y− 17 = −3x−3y−3
20x− 14y=
14
10x− 7y=
7
x+ y−1
x− y+ 1
=− 15
( )
x+ y− 1= −15 x− y+
1
x+ y− 1= − 15x+ 15y−15
16x−
14y= −14
8x−
7y= −7
10x− 7y=
7
( )
8x− 7y
= −7 −1
10x− 7y=
7
− 8x+ 7y=
7
2x
= 14
x = 7
10( 7)
− 7y
= 7
− 7y
= −63
y = 9
sol:
x = 7 y = 9
6x+ 9y−4
2
4x− 6y+ 5
= 5
( x+ y− ) = ( x− y+
)
56 9 4 24 6 5
30x+ 45y− 20= 8x− 12y+
10
22x+ 57y=
30
2x+ 3y−3
6
3x+ 2y− 4
= 11
( x+ y− ) = ( x+ y−
)
11 2 3 3 6 3 2 4
22x+ 33y− 33= 18x+ 12y−24
4x+ 21y=
9
22x+ 57y
= 30 ( 2)
( )
4x
+ 21y
= 9 −11
44x+ 114y=
60
−44x− 231y= −99
− 117y
= −39
1
y =
3
⎛ ⎞
4x
+ 21⎜
1 ⎟= 9
⎝ 3⎠
4x
+ 7=
9
4x
= 2
1
x =
2
1 1
sol:
x = y =
2 3

3x+
2y
30.
=−9
x+ y−15
31.
( y − )
( y )
( )
3x+ 2y= − 9 x+ y−15
3x+ 2y= −9x− 9y+
135
12x+ 11y=
135
4x
5 1
− =−1
3 8
32x−15 − 1 = −24
32x− 15y+ 15= −24
32x−
15y= −39
12x+ 11y=
135 ( 8)
y = 9
12x
+ 11( 9)
= 135
( )
32x− 15y= −39 −3
96x+ 88y=
1.
080
− 96x+ 45y=
117
133y
= 1.
197
12x
= 135−99
12x
= 36
x = 3
sol: x = 3 y = 9
2x
+ 5 − 5 − = − 60
31.
17
( y)
x ( y)
2 + 5−17 5− = −1.
020
y
2x− 85+ 17y= −1.
025
+ 62
2
2x+ 17y= −940
( x)
( x)
− 1− = 40
y+ 62 −2 1− = 80
y− 2+ 2x=
18
2x+ y=
20
2x+ 17y= −940
( )
2x+ y = 20 −1
2x+ 17y= −940
−2x− y = −20
16y
=−960
2x
− 60=
20
2x
= 80
y =−60
x = 40
sol:
x = 40 y = −60
32.
33.
3x+
4y
=−
x−
6y
30
23
( x+ y) = − ( x−
y)
23 3 4 30 6
69x+ 92y= − 30x+
180y
99x− 88y=
0
9x− 8y=
0
9x−
y
=−
3+ x−
y
63
37
( x− y) = − ( + x−
y)
37 9 63 3
333x− 37y= −189 − 63x+
63y
396x−
100y= −189
396x−
100y= −189
( )
9x
− 8y
= 0 −44
396x−
100y= −189
− 396x+ 352 y=
0
252y
=−189
3
y = −
4
⎛ − 3⎞
9x
− 8⎜
⎟ = 0
⎝ 4 ⎠
9x
+ 6=
0
9x
=−6
= − 2
x
3
= − 2
= − 3
sol:
x y
3 4
x −
4x+ 1 2y−
5 =
9 3
( ) ( )
9x− 4x+ 1 = 3 2y−5
9x−4x− 1= 6y−15
5x−
6y= −14
3y+ 2 x+
18
y − =
7 10
( ) ( )
70y− 10 3y+ 2 = 7 x+
18
70y−30y− 20= 7x+
126
( )
7x
− 40y
= −146 −5
5x
− 6y
= −14 ( 7)
y = 4
5x
− 6( 4)
= −14
− 146 = 7x−40y
− 35x+ 200y=
730
35x−
42y
= −98
158y
= 632
5x
=− 14+
24
x = 2
sol: x = 2 y = 4
EJERICIO 181
1. x+ y= a+ b;
x− y= a−b
x+ y= a+
b
x− y= a−b
x = a
a+ y= a+
b
y=
b
sol:
x = a y = b
2.
2x+ y= b+
2
2
2bx + by = b + 2b
bx − y = 0
− 2bx
+ 2y
= 0
− 2bx
+ 2y
= 0
2
2bx + by = b + 2b
2
2y+ by= b + 2b
( 2+ ) = ( + 2)
y b b b
y=
b
2x+ b= b+
2
2x
= 2
x = 1
sol:
x = 1 y = b
3. 2x− y=
3a;
x− 2y=
0
− 2x+ 4y=
0
2x− y = 3a
− 2x+ 4y=
0
3y=
3a
y=
a
2x− a=
3a
2x=
4a
x=
2a
sol:
x = 2a y = a
4. x− y= 1− a ; x+ y= 1+
a
x−
y= 1−a
x+ y= 1+
a
2x
= 2
x = 1
1+ y= 1+
a
y=
a
sol:
x = 1 y = a

x
x
5.
+ y= 2b
; − y= a−b
a
b
x + ay = 2ab ; x − by = ab −b
x+ ay = 2ab
2
− x + by= b −ab
2
ay + by = b + ab
( + ) = ( + )
ya b bb a
y=
b
x+ ab=
2ab
x=
ab
sol:
x = ab y = b
x y
6.
+ = 2
b a
ax + by = 2ab
abx + b y = 2ab
2 2
x y a + b
+ =
a b ab
2 2
bx + ay = a + b
−abx − a y = −a −ab
abx + b y = 2ab
−abx − a y = −a −ab
( )
2 2
by− ay= − a + ab
ax + ba = 2ab
a x+ b = 2ab
2 3 2
2 2
2 3 2
2 2 3 2
2 2 2 2
( − ) = ( − )
yb a ab a
y=
a
x+ b=
2b
x=
b
sol:
x = b y = a
7.
x+ y= a+
b
2
−ax − ay =−a −ab
ax + by = a + b
2 2
2
−ax − ay = −a −ab
ax + by = a + b
2
by − ay = b −ab
( − ) = ( − )
yb a bb a
y=
b
x+ b= a+
b
x=
a
sol:
x = a y = b
2 2
2
8.
ax − by = 0 ;
a+
b
x + y =
ab
2
abx − b y = 0 abx + aby = a + b
2
abx − b y = 0
−abx − aby = −a −b
( )
( ) ( )
2
−by− aby= − a+
b
− yb b+ a = − a+
b
1
− yb = −1
⇒ y = b
ax − b ⎛ ⎝ ⎜ 1⎞
⎟ = 0 b ⎠
1
ax = 1 ⇒ x =
a
1
sol x =
a y 1
: =
b
2 2 2 2
9.
mx − ny = m + n ; nx + my = m + n
mnx− n y= m n+ n mnx+ m y= m + mn
10.
2 2 3 2 3 2
− mnx + n y = −m n −n
2 2 3
mnx + m y = m + mn
2 3 2
ny+ my= m − mn+ mn −n
2 2 3 2 2 3
2 2 2 2
( + ) = ( − ) + ( − )
2 2 2 2
( + ) = ( + )( − )
ym n m m n n m n
ym n m n m n
y= m−n
m x − mny = m + mn
2 3 2
nx+ mny= mn+
n
2 2 3
2
mx+
nx = m + mn + mn+
n
2 3 2 2 3
(
2
+
2) = (
2
+
2) + (
2
+
2)
(
2
+
2) = ( + )(
2
+
2)
xm n mm n nm n
xm n m n m n
x= m+
n
sol:
x = m+ n y = m−n
x y
+ = 2m m n
;
3 2
mx− ny= m −mn
xn + ym= 2m n xmn − n y = m n −mn
2 3
xmn + ym = 2m n
2 3 3
− xmn + n y = mn −m n
2 2 3 3
ym + yn = mn + m n
2 2 2 2
( + ) = ( + )
ym n mnn m
y=
mn
2 2
xn+ mn=
2mn
xn = m n ⇒ x = m
2
sol:
x = m y = mn
2 2 3 3
2 2

11.
x + y = a
ax + ay = a
( )
ax − by = a a + b + b
ax − by = a + ab + b
−ax − ay = −a
2
2 2
ax − by = a + ab + b
−ay − by = ab + b
( ) ( )
− ya+ b = ba+
b
2
2
2 2
− y=
b
y=−b
x− b=
a
x= a+
b
sol:
x = a + b y = −b
12.
x− y= m−n
2
mx − my = m −mn
13.
mx − ny = m −n
2
− mx + my = − m + mn
my − ny = mn −n
( − ) = ( − )
ym n nm n
y=
n
x− n= m−n
x=
m
sol:
x = m y = n
2
2 2
2 2
x y x 2y
2b
− a
+ = 0 ; + =
a b b a ab
2 2
bx + ay = 0 ax + 2by = 2b −a
−abx
2
− a y = 0
2
abx + 2b y
3 2
= 2b −a b
2 2 3 2
2by− ay= 2b −ab
2 2 2 2
( 2 − ) = ( 2 − )
y b a b b a
y=
b
x b
+ = 0
a b
bx + ab = 0
bx =−ab
x=−a
sol:
x =− a y = b
2
14. ; ( )
14.
x+ y= 2c a x− y = 2a
−ax− ay= −2ac ; ax− ay=
2a
2 2 2
−ax− ay= −2ac
ax− ay=
2a
2 3 2
− 2ay= 2a −2ac
( )
2 2
− 2ay= 2a a−c
2 3
2 2 2 2 2 3
2 2 3
− y= a−c
y= c−a
x+ c− a=
2c
x− a= c ⇒ x= c+
a
sol:
x = a + c y = c −a
15.
ax − by = 0 ;
a − b
ay − bx =
ab
2 3
b ax − b y = 0
2 2 2 2
a by − b ax = a −b
bax
2 3
− by=
0
− bax+ aby = a −b
2 2 2 2
aby− by= a −b
2 3 2 2
( )
by a − b = a −b
2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( )
2 2
by = 1
1
y =
b
ax − b ⎝ ⎜ 1⎞
⎟ = 0 b ⎠
ax = 1
1
x =
a
sol:
1 1
x = y =
a b
16. x y
2
+
2
= a+ b
b a
; x− y= ab( b−a)
2 2 3 2 2 3
ax+ by= ab + ab ;
2 2
x− y= ab −ab
2 2 3 2 4
ax− ay= ab −ab
−ax− by = −ab −ab
2 2 3 2 2 3
2 2 3 2 4
ax − ay= ab −ab
2 2 2 3 4
−by− ay= −ab −ab
− ya + b = − abb + a
2
x ab
2 + 2 = a+
b
b a
x+ b = ab + b
3 2 3
x=
ab
2
− y= −a b
2
y=
a b
2 2
sol:
x = ab y = a b
2

17.
nx + my = m + n ;
m − n
mx − ny =
mn
2 3 3 2
mnx+ my= m + mn
2 2 3 3
mnx− mny= m −n
2 3 3 2
−mnx− my = −m −mn
mnx − mny= m −n
−my− mny= −mn−n
2 2 2 2
( ) ( )
− ym m + n = − n m + n
⎛
nx m n ⎞
+ ⎜ ⎟ =
⎝ m⎠
m + n
sol:
2 2 3 3
3 2 2 3
nx + n = m+
n
nx = m
m
x =
n
m
y
n
x = =
18. ( ) ( )
( ) ( )
ym = n
n
m
n
y =
m
2
18.
a−b x− a+ b y= b −3ab
2
ax −bx −ay − by = b −3ab
a+ b x− a− b y= ab−b
ax + bx − ay + by = ab −b
2
− ax + bx + ay + by = − b + 3ab
2
ax + bx − ay + by = − b + ab
2
2bx + 2by = − 2b + 4ab
( + ) = ( − )
2bx y 2b2a b
x+ y= 2a−b
2
ax −bx −ay − by = b −3ab
2
ax + bx − ay + by = − b + ab
2ax − 2ay = −2ab
x+ y= 2a−b
x−
y= −b
( − )
2a x y = −2ab
( )
2x = 2 a−b
x= a−b
a−b− y= −b
− y= −a
y=
a
x−
y= −b
sol:
x = a − b y = a
2
2
3 3
19.
20.
x+ b y− b a+
b
+ =
a b b
( + ) + ( − ) = ( + )
b x b a y b a a b
2 2
bx + b + ay − ab = a + ab
2 2 2 3 2
abx + ab + a y − a b = a + a b
2 2 3 2
−abx −ab − a y = −a −2a b
x− a y− a a+
b
− =−
b a a
( − ) − ( − ) = − ( + )
a x a b y a b a b
ax −a − by + ba = −ba −b
2 2
abx −a b − b y + b a = −b a −b
2 2 2 2 3
2 2
abx −a b −b y =−2ba−b
2 3
2 2 3 2
−abx −ab − a y =−a −2a b
abx −a b − b y = −2b a −b
2 2 2 3
−ab −a b −a y − b y = −a −2a b −2b a −b
2 2 2 2 3 2 2 3
2 2 3 3 2 2
ab + a b + a + b = a y + b y
( + ) + ( + ) = ( + )
2 2 2 2
( b + a )( a+ b) = y( a + b )
b a b a b a y a b
2 2 2 2
x+ b a+ b− b a+
b
+ =
a b b
( ) ( )
2
b x+ b + a = a a+
b
2 2 2
bx+ b + a = a + ab
sol:
x = a − b y = a + b
a+ b=
y
( )
2
bx = ab −b ⇒ bx = b a −b ⇒ x = a −b
x y
x y a b
a+ b
+ a+ b = 1
ab
b
+ a
= +
;
2 2
ab
abx + aby = a + b a bx + ab y = a + b
2 2 2
−abx− aby= −a −ab
2 2 2
−abx − aby = −a −ab
abx+ aby = a + b
2 2 2 2
2 2 2
ab y − a by = b −ab
( − ) = ( − )
ayb b a b b a
ayb = b
ay = 1
1
y =
a
⎛ 1⎞
abx + ab ⎜ ⎟ = a+
b
⎝ a ⎠
sol:
abx+ b= a+
b
1
abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x =
b
1 1
x = y =
b a
2 2
2 2 2 2

EJERCICIO 182
1. 1 2 7 2 1 4
+ = ; + =
x y 6 x y 3
2 4 7
− − =−
x y 3
2 1 4
+ =
x y 3
− 3 =− 1
y
3 = y
2 1 4
+ =
x 3 3
6+ x=
4x
6= 3x
⇒ 2=
x
sol:
x = 2 y = 3
2. 3 2 1 2 5 23
− = ; + =
x y 2 x y 12
6 4
− + =−1
x y
6 15 23
+ =
x y 4
19 19
=
y 4
4 = y
3 2 1
− =
x 4 2
6 − x=
x
6=
2x
3 = x
sol:
x = 3 y = 4
3. 5 4 7 6
+ = 7 ; − = 4
x y x y
15 12
+ = 21
x y
14 12
− = 8
x y
29
= 29
x
1=
x
5 4
+ = 7
1 y
5y+ 4=
7y
4=
2y
2 = y
sol:
x = 1 y = 2
4. 12 5 13 18 7 19
+ =− ; + =−
x y 2 x y 2
36 15 39
− − =
x y 2
36 14 38
+ =−
x y 2
1 1
− =
y 2
− 2 = y
36 − 7x=−19x
12x
=−36
x =−3
sol:
x =− 3 y =−2
5. 9 + 3 = 27 ;
5 + 4 = 22
x y x y
3 1
+ = 9
x y
12 4
− − =−36
x y
5 4
+ = 22
x y
7
− =−14
x
1
= x
2
5 4 4
+ = 22 ⇒ 10 + = 22
1 y
y
2
10y+ 4 = 22y
1 1
sol:
x = y =
2 3
4=
12y
1
= y
3
6. 6 8 4 11
− =− 23 ; + = 50
x y x y
12 16
− + = 46
x y
12 33
+ = 150
x y
49
= 196
y
1
= y
4
Continúa
6. Continuación
4 11
+ = 50
x 1
4
4
+ 44 = 50
x
4+ 44x=
50x
4=
6x
2
= x
3
2 1
sol:
x = y =
3 4
7. 9 + 10 =−11;
7 − 15 =−4
x y x y
27 30
+ =−33
x y
14 30
− =−8
x y
41
x
=−41
− 1=
x
7 15
− − =−4
1 y
−7y− 15=−4y
− 15 = 3y
− 5 = y
sol:
x =− 1 y =−5
1 3 3 1 5 4
8.
− = ; + = −
2x y 4 x 2y
3
1 3 3
− =
2x
y 4
1 5 2
− − =
2x
4y
3
17 17
− =
4y
12
− 12 = 4y
− 3=
y
1 5
+ =−
x 2 3
( − )
4
3
6−
5x= −8x
3x
=−6
x =−2
sol:
x =− 2 y =−3

2 1 11 1 3 4
9.
− = − ; − =
5x 3y 45 10x 5y
5
2 1 11
− + =
10x
6y
90
2 6 8
− =
10x
5y
5
31 31
− =
30y
18
− 18=
30y
3
− = y
5
1 3 4
+
10
5 3 =
x ⎛ 5
⎝ ⎜ ⎞
⎟
5⎠
3+ 30x=
24x
1
6x=−3
⇒ x=−
2
1 3
sol:
x =− y =−
2 5
1 1 1 1
12.
+ = a ; − = b
x y x y
1 1
+ = a
x y
1 1
− + = −b
x y
2 2
= a−b
⇒ = y
y a − b
1 1
− = b
x 2
a−
b
( )
2− xa− b = 2bx
2− ax + xb = 2bx
− ax = bx −2
−ax
− bx = −2
2
xa ( + b)
= 2 ⇒ x=
a+
b
2 2
sol:
x =
a b y =
+ a−
b
3 7 2 1 8 103
10.
− = ; + =
x 3y 3 4x y 84
3 7
− =
4x
12y
1
6
3 24 309
− − = −
4x
y 84
− 295 295
= −
12y
84
y = 7
3 7 2
− =
x 37 ( ) 3
9− x=
2x
9=
3x
3=
x
sol:
x = 3 y = 7
2 3b
2 3a
a b
13.
− = − ; + = 2
x y a x y
2a
3ab
− = 2−3a
x y
2a
2b
− − = −4
x y
b
( −3a−2)
y
a b
+ = 2
x b
a+ x=
2x
a=
x
=−3a
−2
b=
y
sol:
x = a y = b
11.
1.
14.
3 1 107 6 1
+ = ; + =
10x 3y 60 5x 4y
3 2
+ =
5x
3y
107
30
3 1 7
− − = −
5x
8y
5
13
=
24y
13
6
1
= y
4
6 1 14
+
5
4 1 =
x ⎛ 5
⎝ ⎜ ⎞
⎟
4⎠
6+ 5x=
14x
6=
9x
2
= x
3
2
sol:
x = y =
3
2 2 m+
n
+ = ;
x y mn
2n
2n
m+
n
+ =
x y m
2m
2n
− = 0
x y
2
( m+
n)
m+
n
=
x m
2m=
x
m n
− = 0
2m
y
y− 2n=
0
y=
2n
1
4
m
x
sol:
x = 2m y = 2n
n
− = 0
y
14
5
EJERCICIO 183
1.
2.
3.
4 5
2 3
2 7
3 5
4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21 =− 11
− 2 5
−23 ⋅ −45 ⋅ =−6− 20=−26
4 3
5.
5 − 3
5 −8 − −3 − 2 = −40− 6 = −46
−2 −8 5. ( ) ( )( )
6.
9 − 11
9⋅7− −11 − 3 = 63− 33=
30
− 3 7
6. ( )( )
−15 −1
7. −15⋅2 −13( − 1)
= − 30 + 13= −17
13 2
7 9
4. 7( −2)
−9⋅ 5= −14 − 45= −59
5 − 2
12 − 1
8. 12( −9) −( 13)( − 1)
= − 108 + 13= −95
13 − 9

10 3
9.
17 13
10 ⋅ 13 − 3 ⋅ 17 = 130 − 51 = −5 − 8
79
10.
−19 − 21
−5 −21 − −8 − 19 = 105− 152 = −47
10. ( )( ) ( )( )
11.
8 2
− 3 0 8 0 − 2 − 3 = 0 + 6 = 6
12.
11. ( ) ( )
31 − 85
31⋅43− −85 − 20 = 1. 333− 1.
700 = −367
− 20 43
12. ( )( )
EJERCICIO 184
1. 7x+ 8y=
29
5x+ 11y=
26
29 8
26 11 319 −208
111
x = = = =
7 8 77 − 40 37 3
5 11
7 29
5 26 182 −145
y = =
7 8 37
5 11
sol:
x = 3 y = 1
2. 3x− 4y=
13
8x− 5y=−5
13 − 4
−5 −5
x =
3 − 4
8 − 5
3 13
8 − 5
y =
3 − 4
8 − 5
sol:
x =− 5 y =−7
3. 13x− 31y=−326
25x+ 37y=
146
−326 −31
146 37
x =
13 − 31
25 37
37
= =
37 1
65 20 85
= − − = − =−5
− 15 + 32 17
15 104 119
= − − = − =−7
17 17
12 062 4 526 7 536
x = − . + .
= − .
=−6
481+
775 1.
256
13 − 326
25 146
y =
13 − 31
25 37
1. 898 + 8.
150 10.
048
y =
= = 8
1.
256 1.
256
sol:
x =− 6 y = 8
4. 15x− 44y=−6
− 27x+ 32y=−1
−6 −44
−1 32
x =
15 − 44
−27 32
192 44 236 1
x = − − = − =
480 −1.
188 −708
3
15 −6
−27 −1
y =
15 − 44
−27 32
15 162 177 1
y = − − = − =
−708
−708
4
1 1
sol:
x = y =
3 4
5. 8x=−9y
8x+ 9y=
0
7
2x+ 5+ 3y=
2
4x+ 10+ 6y=
7
4x+ 6y=−3
0 9
3 6
x = −
8 9
4 6
0+
27 27 9
x = = = =
48 − 36 12 4 2
8 0
4 − 3
y =
8 9
4 6
24 0 24
y = − − = − =−2
12 12
1
sol:
x = 2 y =−2
4
1
4
6. ax − by =−1
ax + by = 7
−1
7
x =
a
a
−b
b
−b
b
b b b
x = − + 7 6 3
= =
ab + ab 2ab
a
a −1
a 7
y =
a −b
a b
7a+ a 8a
4
y = = =
2ab
2ab
b
3 4
sol:
x = y = a b
7.
3x− y+ 2 = 2y+
1
7. ( )
3x− y− 2= 2y+
1
3x− 3y=
3
x− y=
1
( )
5y− x+ 3 = 3x+
1
5y− x− 3= 3x+
1
− 4x+ 5y=
4
1 − 1
4 5 5 4
x=
x= 1 − 1 5− 4 9
− 4 5
1 1
4 4 4 4
y= y= = 8
1 − 1 1
− 4 5
sol:
x = 9 y = 8

8. ax + 2y
= 2
ax
− 3y
=−1
2
ax − 6y
=−2
9.
x = − 2 − 6
a 2
a − 6
a
a
y =
a
a
2 2
2
1 1
sol:
x = y = a 2
= − 12 + 4
= − 8 1
=
−6a−2a −8a a
− 2 a a a
= − 2 − 2
= − 4 1
=
2 − 8a
− 8a
2
− 6
x y
+ =−4
4 6
3x+ 2y=−48
x y
− =
8 12 0
3x− 2y=
0
− 48 2
0 − 2 96 −0
96
x = =
8
3 2 −6− 6
= =−
−12
3 − 2
3 − 48
3 0 0 144
y = = + =−12
3 2 −12
3 − 2
sol:
x =− 8 y =−12
10.
3x+ ay= 3a+
1
x
+ 2
a
ay =
2
x+ a y=
2a
3a+
1
2a
x =
3
1
3a + a −2a
x = 2
3a
− a
3 3a
+ 1
1 2a
y =
3 a
1
a
2
a
a
a
( 3a−
1) ( 3 − 1)
( 3a−
1)
( 3a−
1)
6a−3a−1
3a
− 1 1
y =
= =
a a a a
1
sol:
x = a y =
a
2
3 2 2
a
2
2
a
=
a
= a
11.
( x ) ( y )
8 + 2 −3 − 3 = 20
8x+ 16− 3y+ 9=
20
8x− 3y+ 25=
20
8x−
3y= −5
y− 5 2x− 3 − = 0
6 5
( y ) ( x )
5 −5 −6 2 − 3 = 0
5y−25− 12x+ 18=
0
x =
x+ 2 y− 3 − =
3 8
− 12x+ 5y− 7 = 0
−5 −3
7 5
8 − 3
− 12 5
− 12x+ 5y=
7
x = − 25 + 21
= − 4
=−1
40−
36 4
8 − 5
− 12 7
y =
8 − 3
− 12 5
5
6
56−
60 4
y = = − =−1
40−
36 4
sol:
x =− 1 y =−1
12.
3x
− 2y
= 5
( m+
)
( )
mx + 4y = 2 m+
1
5 − 2
2 1 4
x =
3 − 2
m
4
20+ 4 + 1
x =
12 + 2
( m ) 46 ( + m)
=
m 26 ( + m)
3 5
( m+
)
m 2 1
y =
3 − 2
m
4
( m+ ) − m m + 6
=
26 ( + m) 26 ( + m)
6 1 5
y =
1
sol:
x = 2 y =
2
= 2
=
13.
14.
1
2
2y
+ 3
2x
− = y + 2
17
( ) ( )
34x− 2y+ 3 = 17 y+
2
34x−2y− 3= 17y+
34
34x− 19y=
37
4x
+ 1
3y
− = 3x
+ 5
21
( ) ( )
63y− 4x+ 1 = 21 3x+
5
63y−4x− 1= 63x+
105
− 67x+ 63y=
106
37 − 19
106 63
x =
34 − 19
− 67 63
2331 . + 2014 . 4345 .
x =
= = 5
2. 142 − 1.
273 869
34 37
67 106
y = − 34 − 19
− 67 63
3. 604 + 2.
479
y =
= 7
869
sol: x = 5 y = 7
x+
y
= 4
x−
y
( )
( )
x+ y= 4 x−
y
x+ y= 4x−4y
− 3x+ 5y=
0
x−
y−1
x+ y+ 1
= 1
9
9 x− y− 1 = x+ y+
1
9x−9y− 9= x+ y+
1
8x− 10y=
10
4x− 5y=
5
0 5
5 − 5 0−
25
x = = = − 25
= 5
− 3 5 15−
20 − 5
4 − 5
− 3 0
4 5
y = = − 15 − 0
= 3
− 3 5 − 5
4 − 5
sol:
x = 5 y = 3

15.
x− y=
2b
x y
a+ b
+ a− b
= 2
2 2
( − ) + ( + ) = 2( − )
xa b ya b a b
2b
− 1
2 2
( )
2 a − b a+
b
x =
1 − 1
a− b a+
b
2 2
( + ) + ( − ) ab ( + a)
2ba b 2 a b 2
x =
=
a+ b+ a−b
1 2b
2 2
( − )
a−b 2 a b
y =
1 − 1
a− b a+
b
2a
2 2
( a −b ) − b( a−b) 2aa
( − b)
2 2
y =
=
2a
sol:
x = a + b y = a −b
EJERCICIO 185
2a
1. x− y= 1 x+ y=
7
x= 0 y=− 1 x= 0 y=
7
y= 0 x= 1 y= 0 x=
7
= b+
a
= a−b
x + 9 y
16.
x − = + 21
9 y + 39
( x+ 9)( y+ 39) = ( x− 9)( y+
21)
xy + 39x + 9y + 351= xy + 21x −9y
−189
18x+ 18y= −540
x+ y= −30
x + 8 y
x − = + 19
8 y + 11
( y+ 11)( x+ 8) = ( y+ 19)( x−8)
xy + 8y + 11x + 88= xy − 8y + 19x
−152
− 8x+ 16y= −240
− x+ 2y=−30
− 30 1
− 30 2
x = = − 60 + 30
= − 30
=−10
1 1 2+
1 3
− 1 2
1 − 30
−1 −30
y = = − 30 − 30
= − 60
=−20
1 1 3 3
− 1 2
sol:
x =− 10 y =−20
2. x− 2y= 10 2x+ 3y=−8
x= 0 y=− 5 x= 0 y=−2
y= 0 x= 10 y= 0 x=−4
2
3
x + y = 7
x - y = 1
(4,3)
2x 2x 2x 2x 2x + 3y 3y 3y 3y 3y = -8 -8 -8 -8 -8
x - 2y 2y 2y 2y 2y = 10 10 10 10 10
(2,-4)
sol : x = 4 y = 3
sol : x = 2 Y = - 4

3. 5x− 3y= 0 7x− y=−16
x= 3 y= 5 x= 0 y=
16
y= 0 x=−2 2 7
Escala 1:2
5. 3x + 4y = 15 2x + y = 5
x= 5 y= 0 x= 0 y=
5
x= 1 y= 3 x= 2 y=
1
7x - y = -16
5x 5x 5x 5x 5x - 3y 3y 3y 3y 3y = 0
3x + 4y = 15
(1,3)
2x 2x 2x 2x 2x + y = 5
(-3,-5)
sol : x = - 3 y = - 5
sol : x = 1 y = 3
4. 3x=−4y 5x− 6y=
38
3x+ 4y= 0 x=− 2 y=−8
x= 4 y=− 3 y=− 3 x=
4
6. 5x + 2y = 16 4x + 3y
= 10
x= 2 y= 3 x= − 2 y=
6
x= 4 y= − 2 x= 1 y=
2
3x + 4y = 0
4x 4x 4x 4x 4x + 3y 3y 3y 3y 3y = 10 10 10 10 10
5x 5x 5x 5x 5x + + + + + 2y 2y 2y 2y 2y = = = = = 16 16 16 16 16
(4,-3)
5x 5x 5x 5x 5x - 6y 6y 6y 6y 6y = 38 38 38 38 38
(4,-2)
sol : x = 4 y = - 3
sol : x = 4 y = - 2

x + 3y = 6
3x +9y =10
7. x+ 8= y+ 2 y− 4= x+
2
x− y=−6 − x+ y=
6
x= 0 y= 6 x= 0 y=
6
x=− 6 y= 0 x=− 6 y=
0
9. x y 1
− =− 3x− 2y=−1
2 3 6
x= 3 y= 5 ; x=− 3 y=−4
x y 7
+ =− x y
3 4 12 4 + 3 =− 7
x=− 1 y=− 1 ; x=− 4 y=
3
x + 8 = y + 2
y - 4 = x + 2
4x 4x 4x 4x 4x + 3y 3y 3y 3y 3y = -7 -7 -7 -7 -7
(-1,-1)
3x 3x 3x 3x 3x - 2y 2y 2y 2y 2y = - 1
sol : Equivalentes
8. 3 x y
+ =
5 4 2 x− 5 y=
25
12x+ 5y= 40 x= 0 y=−5
x= 0 y= 8 x= 5 y= −4
x= 5 y=−4
sol : x = - 1 y = - 1
10. x+ 3y= 6 3x+ 9y=
10
x= 0 y= 2 x= 0 y=
1
1
9
1
x= 6 y= 0 x= 3 y=
0
3
12x 12x 12x 12x 12x + + + + + 5y 5y 5y 5y 5y = = = = = 40 40 40 40 40
(5,-4)
x - 5y = 25
sol : x = 5 y = - 4
sol : Incompatibles

11. 2x+ 3y=−13
x=− 2 y=− 3;
x=− 5 y=−1
6x+ 9y=−39
x=− 2 y=− 3 , x=− 5 y=−1
13. x+ y=
9
x= 6 y= 3 ; x= 4 y=
5
x− y=−1
x= 0 y= 1 ; x= 2 y=
3
x− 2y=−6
x= 0 y= 3 ; x= 2 y=
4
(4,5)
x x x -- -- - 2y = -- -- - 6
2x + 3y = - 13
6x + 9y = - 39
x - y = - 1
x + y = 9
sol : Equivalentes
x− 2 y− 3
y−
2 x− 3
12.
− = 4
+ =−
2 3
2 3
( x ) ( y ) ( y ) ( x )
3 −2 −2 − 3 = 24 3 − 2 + 2 − 3 = −22
3x−6 − 2y+ 6 = 24 3y− 6 + 2x− 6 = −22
3x− 2y= 24 2x+ 3y= −10
11
3
x= 6 y= − 3 x= 4 y= −6
x= 4 y= − 6 x= − 2 y= −2
sol : x = 4 y = 5
14. x + y = 5
x= 0 y= 5 ; x= 2 y=
3
3x+ 4y=
18
x= 2 y= 3 ; x=− 2 y=
6
2x+ 3y=
13
x= 2 y= 3 ; x= 5 y=
1
3x + 4y = 18
x + y = 5
x + y = 5
2x 2x 2x 2x 2x + 3y 3y 3y 3y 3y = -10 -10 -10 -10 -10
3x - 2y = 24
(2,3)
2x + 3y = 13
(4,-6)
sol : x = 4 y = - 6
sol : x = 2 y = 3

15. 2x+ y=−1
x= 0 y=− 1 ; x=− 1 y=
1
x− 2y=−13
x=− 5 y= 4 ; x=− 3 y=
5
3x− 2y=−19
x=− 5 y= 2 ; x=− 3 y=
5
x x x -- -- - 2y = -- -- - 13
2x 2x 2x 2x 2x + y = -1 -1 -1 -1 -1
3x 3x 3x 3x 3x - 2y 2y 2y 2y 2y = - 19 19 19 19 19
(-3,5)
sol : x = - 3 y = 5
16. x− y= 1 2y− x=−4 4x− 5y=
7
x= 0 y=− 1 x= 0 y=− 2 x=− 2 y=−3
x= 1 y= 0 x= 2 y=− 1 x= 3 y=
1
EJERCICIO 186
1.
x+ y+ z=
6
x− y+ 2z=
5
x− y− 3z= −10
x+ y+ z = 6
x− y+ 2z=
5
2x
+ 3z=
11
x+ y+ z = 6
x− y− 3z= −10
2x
− 2z= −4
x−
z= −2
2x+ 3z=
11
x−
z = −2 ( 3)
2x+ 3z=
11
3x−
3z= −6
5x
= 5
x = 1
21 () + 3z
= 11
2+ 3z
= 11
3z
= 9
z = 3
1+ y + 3=
6
y + 4=
6
y = 2
sol: x = 1 y = 2 z = 3
(-2,-3)
sol : x = - 2 y = - 3
x - y = 1
4x -- -- - 5y = 7
2y 2y 2y 2y 2y - x = - 4
2.
x+ y+ z=
12
2x− y+ z=
7
x+ 2y− z=
6
x+ y+ z = 12
2x− y+ z = 7
3x
+ 2z=
19
2x− y+ z=
7 ( 2)
x+ 2y− z=
6
4x− 2y+ 2z=
14
x+ 2y− z = 6
5x
+ z = 20
3x+ 2z=
19
( )
5x+ z = 20 −2
3x
+ 2z=
19
−10x− 2z= −40
− 7x
= −21
x = 3
Continúa

2. Continuación
53 ( ) + z = 20
15+ z = 20
z = 5
3+ y + 5=
12
y + 8=
12
y = 4
sol:
x = 3 y = 4 z = 5
3.
x− y+ z=
2
x+ y+ z=
4
2x+ 2y− z= −4
x− y+ z = 2
x+ y+ z = 4
2x
+ 2z=
6
x − y + z=
x+ z=
3
2 ( 2)
2x+ 2y− z= −4
2x− 2y+ 2z=
4
2x+ 2y− z = −4
4x
+ z=
0
( )
x+ z= 3 −1
4x+ z=
0
− x− z= −3
4x+ z=
0
3x
=−3
x =−1
− 1+ z = 3
z = 4
−1− y + 4=
2
− y + 3=
2
− y =−1
y = 1
sol:
x =− 1 y = 1 z = 4
4.
2x+ y− 3z
= −1
x−3y− 2z= −12
3x−2y− z= −5
2x+ y− 3z
= −1 ( 2)
3x−2y− z= −5
4x+ 2y− 6z= −2
3x−2y− z = −5
7x
− 7z= −7
x−
z= −1
Continúa
4. Continuación
2x+ y− 3z= −1 ( 3)
x−3y− 2z= −12
6x+ 3y− 9z= −3
x−3y− 2z= −12
7x
− 11z= −15
( )
x− z = − 1 −7
7x−
11z= −15
− 7x+ 7z
= 7
7x−
11z= −15
− 4z
= −8
z = 2
x − 2= −1
x = 1
21 () + y − 32 ( ) = −1
2+ y − 6= −1
y − 4= −1
y = 3
sol:
x = 1 y = 3 z = 2
5.
2x + 3y + z = 1
6x−2y− z= −14
3x+ y− z=
1
2x+ 3y+ z=
1
3x+ y − z=
1
5x+ 4y
= 2
2x+ 3y+ z=
1
6x−2y− z= −14
8x+ y = −13
5x+ 4y=
2
( )
( ) ( )
( )
8x+ y = −13 −4
5x
+ 4y=
2
−32x− 4y=
52
− 27x
= 54
8 − 2 + y = −13
− 16 + y = −13
y = 3
x =−2
2 − 2 + 3 3 + z = 1
− 4+ 9+ z = 1
5+ z = 1
z =−4
sol:
x =− 2 y = 3 z =−4
6.
5x− 2y+ z=
24
2x+ 5y− 2z=−14
x− 4y+ 3z=
26
5x− 2y+ z=
24 ( 2)
2x+ 5y− 2z= −14
10x− 4y+ 2z=
48
2x+ 5y− 2z= −14
12x+ y = 34
( )
5x− 2y+ z = 24 −3
x − 4y+ 3z=
26
− 15x+ 6y− 3z= −72
x − 4y+ 3z=
26
− 14x+ 2y
= −46
( )
12x+ y = 34 −2
− 14x+ 2y= −46
−24x− 2y= −68
− 14x+ 2y= −46
− 38x
= −114
x = 3
12( 3)
+ y = 34
36+ y = 34
( )
y =−2
3−4 − 2 + 3z
= 26
3+ 8+ 3z
= 26
3z
= 15
z = 5
sol:
x = 3 y = − 2 z = 5
7.
4x+ 2y+ 3z=
8
3x+ 4y+ 2z= −1
2x− y+ 5z=
3
( )
4x+ 2y+ 3z= 8 −2
3x+ 4y+ 2z= −1
−8x−4y− 6z= −16
3x+ 4y+ 2z= − 1
−5x
− 4z=−17
5x+ 4z=
17
4x+ 2y+ 3z=
8
2x− y + 5z=
3 ( 2)
4x+ 2y+ 3z=
8
4x− 2y+ 10z=
6
8x
+ 13z=
14
Continúa

7. Continuación
( )
8x+ 13z= 14 −5
5x+ 4z=
17 ( 8)
−40x− 65z=−70
40x+ 32z=
136
− 33z
= 66
( )
z =−2
5x
+ 4 − 2 = 17
5x
− 8=
17
5x
= 25
x = 5
() y ( )
25− + 5− 2=
3
10 − y − 10 = 3
− y = 3
y =−3
sol:
x = 5 y = − 3 z =−2
8.
6x+ 3y+ 2z=
12
9x− y+ 4z=
37
10x+ 5y+ 3z=
21
6x+ 3y+ 2z=
12
9x− y + 4z=
37 ( 3)
6x + 3y+ 2z=
12
27x− 3y+ 12z=
111
33x
+ 14z=
123
9x− y + 4z=
37 () 5
10x+ 5y+ 3z=
21
45x− 5y+ 20z=
185
10x+ 5y+ 3z
= 21
55x
+ 23z=
206
33x+ 14z=
123 () 5
( )
55x+ 23z= 206 −3
165x+ 70z=
615
− 165x
− 69z
= −618
( )
z =−3
33x
+ 14 − 3 = 123
33x
− 42 = 123
33x
= 165
x = 5
() y ( )
65+ 3 + 2− 3=
12
30 + 3y
− 6=
12
3y
+ 24=
12
3y
=−12
y =−4
sol:
x = 5 y = − 4 z = −3
9.
2x+ 4y+ 3z=
3
10x−8y− 9z=
0
4x+ 4y− 3z=
2
2x + 4y+ 3z=
3 ( 3)
10x−8y− 9z=
0
6x+ 12y+ 9z=
9
10x− 8y − 9z=
0
16x+ 4y
= 9
10x−8y− 9z=
0
( )
4x+ 4y− 3z= 2 −3
10x− 8y− 9z=
0
−12x− 12y+ 9z= −6
− 2x
− 20y
= −6
x+ 10y=
3
16x+ 4y
= 9 () 5
( )
x + 10y= 3 −2
80x+ 20y=
45
−2x− 20y= −6
78x
= 39
1
x =
2
⎛
16 1 ⎞
⎜ ⎟+ 4y
= 9
⎝ 2⎠
8+ 4y
= 9
4y
= 1
1
y =
4
⎛
2 1 ⎞
⎜ ⎟+ 4 ⎛ 1 3z
3
⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟+ =
4⎠
1+ 1+ 3z
= 3
3z
= 1
1
z =
3
1 1
sol:
x = y = z =
2 4
10.
3x+ y+ z=
1
x+ 2y− z=
1
x+ y+ 2z= −17
3x+ y + z=
1
x+ 2y− z=
1
4x+ 3y
= 2
x+ 2y− z = 1 ( 2)
x+ y + 2z= −17
Continúa
10. Continuación
1
3
2x+ 4y− 2z=
2
x+ y + 2z= −17
3x+ 5y
= −15
4x+ 3y=
2 ( 3)
( )
( )
3x+ 5y= −15 −4
12x+ 9y
= 6
−12x− 20y=
60
4x
+ 3 − 6 = 2
4x
− 18=
2
4x
= 20
x = 5
5− 6+ 2z
= −17
2z
=−16
z =−8
− 11y
= 66
y =−6
sol:
x = 5 y = − 6 z = −8
11.
7x+ 3y− 4z= −35
3x− 2y+ 5z=
38
x+ y− 6z= −27
7x+ 3y− 4z= −35
7x+ 3y− 4z
= −35
12.
4x− y+ 5z= −6
( )
3x+ 3y− 4z=
30
6x+ 2y− 3z=
33
4x− y + 5z= −6( 3)
3x+ 3y− 4z=
30
12x− 3y+ 15z= −18
3x+ 3y− 4z
= 30
15x
+ 11z=
12
4x− y + 5z= −6 ( 2)
6x+ 2y− 3z=
33
8x− 2y+ 10z= −12
6x+ 2y− 3z=
33
14x
+ 7z=
21
23 ( ) + z = 3
2x+ z=
3
15x+ 11z=
12
( ) y ( )
( )
2x+ z = 3 −11
15x
+ 11z
= 12
−22x− 11z= −33
− 7x
= −21
z =−3
x = 3
x+ y − 6z= −27 −3
43 − + 5 − 3 = −6
12 − y − 15= −6
−3x− 3y+ 18z=
81
− y − 3= −6
4x
+ 14z=
46
− y = −3
2x+ 7z=
23
y = 3
3x− 2y+ 5z=
38 sol:
x = 3 y = 3 z = −3
x+ y − 6z= −27 ( 2)
13.
9x+ 4y− 10z=
6
3x− 2y+ 5z=
38 6x− 8y+ 5z= −1
2x+ 2y− 12z= −54
12x+ 12y− 15z=
10
5x
− 7z= −16
6x− 8y + 5z= −1 −2
2x+ 7z=
23
12x+ 12y− 15z=
10
5x−
7z= −16
− 12x+ 16y− 10z=
2
7x
= 7
12x+ 12y− 15z=
10
x = 1
28y− 25z=
12
21 () + 7z
= 23
9x+ 4y− 10z=
6 ( 2)
7z
= 21
6x− 8y+ 5z= −1 ( −3)
z = 3
1+ y − 6( 3)
= −27
18x+ 8y − 20z=
12
y − 17 = −27
− 18x+ 24y− 15z=
3
y =−10
32y− 35z=
15
sol:
x = 1 y = − 10 z = 3
Continúa
( )

13. Continuación
14. Continuación
28y− 25z= 12 ( −8)
10x−( − 2)
+ z=
10
17.
32y− 35z=
15 ( 7)
⎛
10 1 ⎞
⎜ ⎟ −( − 2)
+ z = 10
⎝ 5⎠
− 224y+ 200z= −96
2+ 2+ z = 10
224y− 245z=
105
z = 6
− 45z
= 9
1
1 sol:
x = y = − 2 z = 6
z =−
5
5
15.
x+ y=
1
⎛ 1⎞
28y
−25⎜
− ⎟= 12
⎝ 5⎠
y+ z= −1
28y
+ 5=
12
z+ x= −6
28y
= 7
x+ y = 1
1
y+ z= −1 ( −1)
y =
4
x+ y = 1
6 8 1 1
x − ⎛ 5 1
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
− y− z=
1
⎟+ ⎜ − ⎟=−
4⎠
⎝ 5⎠
x − z=
2
6x
−2− 1= −1
x− z=
2
6x
= 2
x+ z= −6
1
x = 2x
=−4
3
x =−2
1 1 1
sol:
x = y = z = −
3 4 5
− 2+ y = 1
18.
y = 3
14.
5x+ 3y− z=−11
10x− y+ z=
10
15x+ 2y− z= −7
3+ z = −1
z =−4
sol:
x =− 2 y = 3 z =−4
5x+ 3y− z= −11
10x− y + z=
10
16.
x + 2y
= −1
2y+ z=
0
15x+ 2y
= −1
x+ 2z=
11
10x− y+ z=
10
x+ 2y
= −1
15x+ 2y− z= −7
2y+ z= 0 ( −1)
25x+ y = 3
15x+ 2y= −1
x+ 2y
= −1
−2y− z=
0
25x+ y= 3 ( −2)
x − z= −1
15x+ 2y= − 1
−50x− 2y= −6
x− z= −1 ( −1)
− 35x
= −7
x+ 2z=
11
1
− x+ z = 1
x =
5 x+ 2z=
11
⎛
15⎜
1 ⎞
3z
= 12
⎟ + 2y
= −1
⎝ 5⎠
z = 4
3+ 2y
= −1
2y
=−4
y =−2
x− 4= −1 ⇒ x=
3
3+ 2y
= −1
2y=−4 ⇒ y=−2
Continúa
sol:
x = 3 y = − 2 z = 4
y+ z= −8
2x+ z=
9
3y+ 2x= −3
y+ z= −8
19.
3z− 5x=
10
5x−
3y= −7
3y−
5z= −13
− 5x
+ 3z=
10
2x
+ z= 9 ( −1)
5x−
3y
= −7
y+ z= −8
− 3y+ 3z=
3
−2x
− z= −9
− y+ z=
1
3y−
5z= −13
− 2x+ y = −17
− 2x+ y = −17
− y+ z=
1 ( 3)
2x+ 3y= − 3
3y−
5z= −13
4y
=−20
− 3y+ 3z=
3
y =−5
− 5+ z = −8
z =−3
2x
− 3=
9
2x
= 12
x = 6
− 2z
= −10
z = 5
− y + 5=
1
− y = −4
y = 4
5x
− 3( 4)
= −7
sol:
x = 6 y = − 5 z = −3
5x
− 12= −7
5x
= 5
3x− 2y=
0
3y− 4z=
25
x = 1
sol:
x = 1 y = 4 z = 5
z−
5x= −14
3y− 4z=
25
20.
x− 2y=
0
− 5x
+ z = −14 ( 4)
y− 2z=
5
3y− 4z=
25
x+ y+ z=
8
− 20x
+ 4z= −56
x + y+ z=
8
− 20x+ 3y
= −31
x− 2y
= 0( −1)
− 20x+ 3y= −31 ( 2)
x+ y+ z=
8
3x
− 2y=
0 ( 3)
− x+ 2y
= 0
− 40x+ 6y= −62
3y+ z=
8
9x
− 6y=
0 3y+ z=
8 ( 2)
− 31x
= −62
y− 2z=
5
x = 2 6y+ 2z=
16
32 ( ) − 2y
= 0
y − 2z=
5
6− 2y
= 0
7y
= 21
− 2y
= −6
y = 3
y = 3
x − 23 ( ) = 0
33 ( ) − 4z
= 25
x − 6=
0
− 4z
= 16
x = 6
z =−4
6+ 3+ z = 8
sol: x = 2 y = 3 z =−4
z =−1
sol:
x = 6 y = 3 z = −1

21.
5x− 3z=
2
2z− y=−5
x+ 2y− 4z=
8
x+ 2y− 4z=
8
− y + 2z=−5 ( 2)
x+ 2y− 4z=
8
− 2y+ 4z= −10
( )
( )
x =−2
5 −2 − 3z
= 2
−10 − 3z
= 2
− 3z
= 12
z =−4
2 −4 − y = −5
−8− y = −5
− y = 3
y =−3
sol:
x =− 2 y =− 3 z =−4
22.
2x− z=
14
4x+ y− z=
41
3x− y+ 5z=
53
4x+ y− z = 41
3x− y+ 5z=
53
7x
+ 4z=
94
7x+ 4z=
94
2x
− z = 14 ( 4)
7x+ 4z=
94
8x− 4z=
56
15x
= 150
x = 10
210 ( ) − z = 14
20 − z = 14
− z = −6
z = 6
410 ( ) + y − 6=
41
y + 34 = 41
y = 7
sol:
x = 10 y = 7 z = 6
23. x+ y− z=
1
z+ x− y=
3
z− x+ y=
7
z+ x− y=
3
z− x+ y=
7
2z
= 10 ⇒ z=
5
Continúa
23. Continuación
x− y+ z=
3
x+ y− z=
1
2x
= 4
x = 2
2− y + 5=
3
− y + 7=
3
− y =−4
y = 4
sol:
x = 2 y = 4 z = 5
24.
x y z
+ − =
2 2 3 3
3x+ 3y− 2z=
18
x y z
+ − = −5
3 6 2
2x+ y− 3z= −30
x y z
− + =
6 3 6 0
x− 2y+ z=
0
3x+ 3y− 2z=
18 ( 2)
x − 2y+ z = 0 ( 3)
6x+ 6y− 4z=
36
3x− 6y+ 3z=
0
9x
− z = 36
2x+ y− 3z= −30 ( 2)
x − 2y+ z=
0
4x+ 2y− 6z= −60
x− 2y+ z=
0
5x
− 5z= −60
9x− z=
36
x − z =−12
( )
x− z= −12 −1
9x− z=
36
− x+ z=
12
8x
= 48
x = 6
6−
z = −12
− z = −18
z = 18
Continúa
24. Continuación
6− 2y
+ 18=
0
− 2y
+ 24=
0
− 2y
=−24
y = 12
sol:
x = 6 y = 12 z = 18
x y z
25.
+ + =
3 4 3 21
4x+ 3y+ 4z=
252
x y z
+ − =
5 6 3 0
6x+ 5y− 10z=
0
x y z
+ − =
10 3 6 3
3x+ 10y− 5z=
90
− 3x+ 5z=
30
4x+ 3y+ 4z=
252 ( 10)
( )
( )
6x+ 5y− 10z= 0 −2
3x+ 10y− 5z=
90
−12x− 10y+ 20z=
0
3x+ 10y− 5z
= 90
− 9x
+ 15z=
90
3x+ 10y− 5z= 90 −3
40x+ 30y+ 40z=
2.
520
−9x− 30y+ 15z
= −270
31x
+ 55z=
2.
250
( )
− 3x+ 5z
= 30 −11
31x+ 55z=
2.
250
33x−
55z= −330
31x+ 55z=
2.
250
64x
= 1.
920
x = 30
− 330 ( ) + 5z
= 30
− 90 + 5z
= 30
5z
= 120
z = 24
6( 30) + 5y
− 10( 24)
= 0
180 − 240 + 5y
= 0
5y
= 60
y = 12
sol:
x = 30 y = 12 z = 24

y+ z
26.
x − = 4
3
3x− y− z=
12
27.
x z
y − + = 10
8
8y− x− z=
80
y− x
z − = 5
2
2z− y+ x=
10
− 4x+ 9y
= 68
− x+ 8y− z = 80 ( 2)
( )
3x− y − z= 12 −1
− x+ 8y− z=
80
− 3x+ y+ z=−12
− x + 8y− z=
80
x− y + 2z=
10
− 2x+ 16y− 2z=
160
x− y + 2z=
10
− x+ 15y
= 170
− 4x+ 9y=
68
− x + y=
170 − 4
15 ( )
− 4x+ 9y=
68
4x− 60y=−680
− 51y
= −612
y = 12
− 4x
+ 9( 12)
= 68
− 4x
+ 108=
68
− 4x
=−40
x = 10
310 ( ) −12− z = 12
30−12 − z = 12
18 − z = 12
z = 6
sol:
x = 10 y = 12 z = 6
x+
y y+
=
7
( x+ y) = ( y+
)
5x+ 5y= 7y+
28
5x− 2y=
28
4
5
5 7 4
x− z y−
=
5
4
2
( x− z) = ( y−
)
2 5 4
2x− 2z= 5y−20
2x−5y− 2z=−20
Continúa
27. Continuación
y− z x+
=
3
( y− z) = ( x+
)
10y− 10z= 3x+
6
3x− 10y+ 10z= −6
2x− 5y − 2z= −20 () 5
3x− 10y+ 10z= −6
10x−25y− 10z= −100
3x− 10y+ 10z= −6
13x− 35y
=−106
13x−
35y= −106 ( 2)
x = 8
58 ( ) − 2y
= 28
( )
5x
− 2y= 28 −35
26x
− 70y= −212
− 175x+ 70y= −980
− 149x
= −1.
192
40 − 2y
= 28
2
10
10 3 2
− 2y
=−12
y = 6
28 ( ) −56 ( ) − 2z
= −20
16 −30 − 2z
= −20
− 2z
= −6
z = 3
sol:
x = 8 y = 6 z = 3
28.
z
y − + 4
= x −6
2
2y−z− 4= 2x−12
− 2x+ 2y− z= −8
x − 7
z − = y − 5
3
3z− x+ 7= 3y−15
− x− 3y+ 3z= −22
y + 2
x − = z + 4
5
5x− y− 2= 5z+
20
5x− y− 5z=
22
− 2x+ 2y− z = − 8
( )
− x− 3y+ 3z= −22 −2
− 2x+ 2y− z = −8
2x+ 6y− 6z=
44
8y− 7z=
36
Continúa
28. Continuación
5x− y − 5z=
22
− x− 3y+ 3z= −22 () 5
5x− y − 5z=
22
−5x− 15y+ 15z= −110
− 16y+ 10z= −88
− 8y+ 5z= −44
− 8y+ 5z= −44
8y− 7z=
36
− 2z
= −8
z = 4
8y
− 7( 4)
= 36
8y
− 28=
36
8y
= 64
y = 8
− x − 38 ( ) + 34 ( ) = −22
− x − 12 = −22
x = 10
sol:
x = 10 y = 8 z = 4
29.
y− z
x− y+
= 3
2
2x− 2y+ y− z=
6
2x− y− z=
6
x−
y x− z
− = 0
2 4
2x−2y− x+ z=
0
x− 2y+ z=
0
y− z − x = − 5
2
y−z− 2x= −10
2x− y− z=
6
− 2x+ y− z= −10
− 2z
= −4
z = 2
x− 2y+ z=
0
( )
2x− y− z= 6 −2
x − 2y+ z = 0
− 4x+ 2y+ 2z= −12
− 3x
+ 3z= −12
− 3 x + 32 ( ) = −12
− 3x
+ 6= −12
− 3x
= −18
x = 6
Continúa

29. Continuación
6− 2y
+ 2=
0
− 2y
+ 8=
0
− 2y
=−8
y = 4
sol:
x = 6 y = 4 z = 2
30.
1 1
+ = 5
x y
1 1
+ = 6 − 1
x z
1 1
+ = 5
x y
1 1
− − = −6
x z
1 1
− = −1
y z
1 1
+ = 5
x 1
3
1
+ 3 = 5
x
1
= 2
x
1
= x
2
1 1
+ = 6
1 z
2
( )
1 1
− = −1
y z
1 1
+ = 7
y z
2
y
= 6
1
= y
3
2 + 1 = 6
z
1
= 4
z
1
= z
4
1 1 1
sol:
x = y = z =
2 3 4
3 2
31.
+ = 2
x y
2 2 3
+ = −
y z 2
( 1)
3 2
+ = 2
x y
2 2 3
− − = −
y z 2
3 2 1
− =
x z 2
3 2 1
− =
x z 2
1 4 4
+ =
x z 3
6 4
− = 1
x z
1 4 4
+ =
x z 3
7 7
=
x 3
x = 3
3 2
+ = 2
3 y
1+ 2 = 2
y
2
= 1
y
2 = y
3 2 1
− =
3 z 2
1− 2 =
1 z 2
2 1
− = −
z 2
4 = z
sol:
x = 3 y = 2 z = 4
1 4 2
32.
+ + = −6
x y z
3 2 4
+ + = 3 − 2
x y z
1 4 2
+ + = −6
x y z
( )
6 4 8
− − − =−6
x y z
5 6
− − = −12
x z
( 2)
32. Continuación
1 4 2
+ + = −6 () 5
x y z
6 5 6
− − =
x y z
31 ( 4)
5 20 10
+ + =−30
x y z
24 20 24
− − = 124
x y z
29 14
− = 94
x z
5 6
− − = 12 − 7
x z
29 14
− = 94 ( 3 )
x z
35 42
+ = 84
x z
87 42
− = 282
x z
122
= 366
x
122 = 366x
5 6
− − = −12
1 z
3
−15− 6 = −12
z
6
− = 3
z
− 2 = z
1 4 2
+ + =−6
1 y − 2
3
3+ 4 − 1= −6
y
4
=−8
y
1
= x
3
1
− = y 2
1 1
sol:
x = y =− z = −2
3 2
( )
Continúa

EJERCICIO 187
1. 1 2 1
1 3 4
1 0 2
1 2 1
1 3 4
⇒ 6+ 0+ 8−3−0− 4=
7
7. 5 2 −8
−3 −7 3
4 0 −1
5 2 −8
−3 −7 3
⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 =−171
2. 1 2 − 2
1 − 3 3
−1 4 5
1 2 − 2
1 −3 3
⇒−15 −8 − 6 + 6 −12 − 10 =−45
8. 3 2 5
−1 −3 4
3 2 5
3 2 5
−1 −3 4
⇒−45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10=
0
3. −3 4 1
2 − 3 0
1 2 7
−3 4 1
2 − 3 0
⇒ 63+ 4+ 0+ 3+ 0− 56=
14
9. 5 2 3
6 1 2
3 4 5
5 2 3
6 1 2
⇒ 25 + 72 + 12 −9−40 − 60 = 0
4. 2 5 −1
3 − 4 3
6 2 4
2 5 −1
3 − 4 3
⇒−32− 6+ 90−24−12− 60=−44
10. 12 5 10
8 −6 9
7 4 − 2
12 5 10
8 −6 9
⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80=
847
5. 5 −1 −6
−2 5 3
3 4 2
5 −1 −6
−2 5 3
⇒ 50+ 48 − 9 + 90 −60− 4 = 115
11. −9 3 −4
7 −5 −3
4 6 1
−9 3 −4
7 −5 −3
⇒45 −168 −36 −80 −162 − 21=−422
6. 4 1 5
3 2 −6
12 3 2
4 1 5
3 2 −6
⇒ 16 + 45 −72 − 120 + 72 − 6 =−65
12. 11 − 5 7
− 12 3 8
− 13 1 9
11 − 5 7
− 12 3 8
⇒297 − 84 + 520 + 273−88− 540 = 378

EJERCICIO 188
1. x+ y+ z=
11
x− y+ 3z=
13
2x+ 2y− z=
7
11 1 1
13 −1 3
7 2 −1
11 1 1
13 −1 3
x =
1 1 1
1 −1 3
2 2 −1
1 1 1
1 −1 3
11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12
x =
= = 2
1+ 2+ 6+ 2− 6+
1 6
1 11 1
1 13 3
y = 2 7 −1
1 11 1
1 13 3
y = − 13 + 7 + 66 − 26 − 21 + 11 24
= = 4
6
6
1 1 11
1 −1 13
z = 2 2 7
1 1 11
1 −1 13
z = − 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30
= = 5
6
6
sol: x = 2 y = 4 z = 5
2. x+ y+ z=−6
2x+ y− z=−1
x− 2y+ 3z=−6
−6 1 1
−1 1 −1
−6 −2 3
−6 1 1
−1 1 −1
x =
1 1 1
2 1 −1
1 − 2 3
1 1 1
2 1 −1
2. Continuación
x = − 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11
= =−1
3−4−1−1−2−6
− 11
1 −6 1
2 −1 −1
y = 1 −6 3
1 −6 1
2 −1 −1
y = − 3 − 12 + 6 + 1 − 6 + 36 22
= =−2
−11
− 11
1 1 −6
2 1 −1
z = 1 −2 −6
1 1 −6
2 1 −1
z = − 6 + 24 − 1 + 6 − 2 + 12 33
= =−3
−11
− 11
sol:
x =− 1 y =− 2 z =−3
3. 2 x+ 3 y+ 4 z=
3
2x+ 6y+ 8z=
5
4x+ 9y− 4z=
4
3 3 4
5 6 8
4 9 − 4
3 3 4
5 6 8
x =
2 3 4
2 6 8
4 9 − 4
2 3 4
2 6 8
72 180 96 96 216 60 48 1
x = − + + − − + = − =
− 48+ 72 + 96−96− 144 + 24 − 96 2
2 3 4
2 5 8
y = 4 4 −4
2 3 4
2 5 8
40 32 96 80 64 24 32 1
y = − + + − − + = − =
− 96
− 96 3
2 3 3
2 6 5
z = 4 9 4
2 3 3
2 6 5
48+ 54 + 60−72 −90−24
24 1
z =
= − =
− 96
− 96 4
1 1 1
sol:
x = y = z =
2 3 4

4. 4x− y+ z=
4
2x+ 2y− z=
2
6x− 2y+ 3z=
12
4 −1 1
2 2 −1
12 − 2 3
4 −1 1
x =
2 2 −1
4 −1 1
2 2 −1
6 − 2 3
4 −1 1
2 2 −1
24 − 4 + 12 −24 − 8 + 6 6 1
x =
= =
24 − 4 + 6 −12 − 8 + 6 12 2
4 4 1
2 2 −1
y = 6 12 3
4 4 1
2 2 −1
24 + 24 −24 − 12 + 48 −24
36
y =
= =
12
12 3
4 −1 4
2 2 2
z = 6 − 2 12
4 −1 4
2 2 2
96 −16 −12 − 48 + 16 + 24 60
z =
= =
12
12 5
1
sol: x =
2
y= 3 z=
5
5. x+ 4y+ 5z=
11
3x− 2y+ z=
5
4x+ y− 3z=−26
11 4 5
5 − 2 1
−26 1 −3
11 4 5
x =
5 − 2 1
1 4 5
3 − 2 1
4 1 − 3
1 4 5
3 − 2 1
Continúa
5. Continuación
66 + 25 −104 −260− 11+
60
x =
= − 224
=−2
6+ 15+ 16+ 40− 1+
36 112
1 11 5
3 5 1
y = 4 −26 −3
1 11 5
3 5 1
y = − 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99
= − 336
=−3
112
112
1 4 11
3 − 2 5
z = 4 1 − 26
1 4 11
3 − 2 5
52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560
z =
= =
112
112 5
sol:
x=− 2 y=− 3 z=
5
6. 7x+ 10y+ 4z=−2
5x− 2y+ 6z=
38
3x+ y− z=
21
− 2 10 4
38 − 2 6
21 1 −1
− 2 10 4
x =
38 − 2 6
7 10 4
5 − 2 6
3 1 −1
7 10 4
5 − 2 6
4 152 1 260 168 12 380 1968
x = − + + . + + + .
= = 8
14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50 246
7 − 2 4
5 38 6
y = 3 21 −1
7 − 2 4
5 38 6
266 420 36 456 882 10 1230
y = − + − − − − = − .
=−5
246
246
7 10 − 2
5 − 2 38
z = 3 1 21
7 10 − 2
5 − 2 38
294 10 1
z = − − + . 140 −12 −266 −1.
050 492
= − =−2
246
246
sol:
x = 8 y =− 5 z =−2

7. 4x+ 7y+ 5z=−2
6x+ 3y+ 7z=
6
x− y+ 9z=−21
− 2 7 5
6 3 7
−21 −1 9
− 2 7 5
x =
6 3 7
4 7 5
6 3 7
1 −1 9
4 7 5
6 3 7
54 30 1 029 315 14 378 1 190
x = − − − . + − − = − .
= 5
108 − 30 + 49 − 15 + 28 −378
− 238
4 − 2 5
6 6 7
y = 1 − 21 9
4 −2 5
6 6 7
216 −630 −14 − 30 + 588 + 108 238
y =
= =−1
− 238
− 238
4 7 − 2
6 3 6
z = 1 −1 −21
4 7 − 2
6 3 6
252 12 42 6
z = − + + + + 24 + 882 714
= =−3
−238
− 238
sol:
x = 5 y =− 1 z =−3
8. 3x− 5y+ 2z=−22
2x− y+ 6z=
32
8x+ 3y− 5z=−33
−22 −5 2
32 −1 6
−33 3 −5
−22 −5 2
x =
32 −1 6
3 − 5 2
2 −1 6
8 3 − 5
3 − 5 2
2 −1 6
Continúa
8. Continuación
x = − 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602
= =−2
15 + 12 − 240 + 16 −54 −50
− 301
3 − 22 2
2 32 6
y = 8 −33 −5
3 − 22 2
2 32 6
y = − 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220
= − 1806 .
= 6
− 301
− 301
3 −5 −22
2 −1 32
z = 8 3 − 33
3 −5 −22
2 −1 32
99 −132−1. 280−176 −288−330
z =
= − 2107 .
= 7
− 301
− 301
sol:
x =− 2 y = 6 z = 7
9. x+ y+ z=
3
x+ 2y=
6
2x+ 3y=
6
3 1 1
6 2 0
6 3 0
3 1 1
x =
6 2 0
1 1 1
1 2 0
2 3 0
1 1 1
1 2 0
0
x = + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6
= =−6
0+ 3+ 0− 4+ 0+
0 − 1
1 3 1
1 6 0
y = 2
1
6
3
0
1
1 6 0
0
y = + 6 + 0 − 12 + 0 + 0
= − 6
−1
− 1 = 1 1 3
1 2 6
z = 2
1
3
1
6
3
1 2 6
12+ 9+ 12−12−18−6
z =
= − 3
−1
− 1 = sol:
x =− 6 y = 6 z = 3

10. 3x− 2y=−1
4x+ z=−28
x+ 2y+ 3z=−43
−1 −2 0
− 28 0 1
− 43 2 3
−1 −2 0
− 28 0 1
x =
3 −2 0
4 0 1
1 2 3
3 −2 0
4 0 1
0 0 86 0 2 168 80
x = + + + + − = − =−5
0+ 0− 2+ 0− 6+
24 16
3 −1 0
4 −28 1
y = 1 − 43 3
3 −1 0
4 −28 1
252 0 1 0 129 12 112
y = − + − + + + = − =−7
16
16
3 −2 −1
4 0 − 28
z = 1 2 − 43
3 −2 −1
4 0 − 28
0 8 56 0 168 344
z = − + + + − 128
= − =−8
16
16
sol:
x =− 5 y =− 7 z =−8
11. x − y + z =
3 4 4 1
4x− 3y+ 3z=
12
x y
+ − z = 1
6 2
2x+ 6y− 12z=
12
x+ 3y− 6z=
6
x y z
− − =
2 8 2 0
4x−y− 4z=
0
12 − 3 3
6 3 − 6
0 −1 −4
12 − 3 3
x =
6 3 − 6
4 − 3 3
1 3 − 6
4 −1 −4
4 − 3 3
1 3 − 6
Continúa
11. Continuación
x = − 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72
= − 306
= 6
−48− 3+ 72−36−24−12
− 51
4 12 3
1 6 − 6
y = 4 0 − 4
4 12 3
1 6 − 6
y = − 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48
= − 408
= 8
− 51
− 51
4 − 3 12
1 3 6
z = 4 −1 0
4 − 3 12
1 3 6
0
z = − 12 − 72 − 144 + 24 + 0
= − 204
= 4
− 51
− 51
sol:
x = 6 y = 8 z = 4
12.
x y
+ y = 2 z + 3 ; x − y = 1 ; x + z = +
3
4 11
x+ 3y= 6z+ y ; ; 4x+ 4z= y+
44
x+ 3y− 6z= 9 4x− y+ 4z=
44
9 3 −6
1 −1 0
44 −1 4
9 3 −6
1 −1 0
x =
1 3 −6
1 −1 0
4 −1 4
1 3 −6
1 −1 0
36 6 0 264 0 12 306
x = − + + − + − = − = 9
− 4+ 6+ 0− 24+ 0−12
− 34
1 9 −6
1 1 0
y = 4 44 4
1 9 −6
1 1 0
4 264 0 24 0 36 272
y = − + + + − = − = 8
− 34
− 34
1 3 9
1 −1 1
z = 4 −1 44
1 3 9
1 −1 1
= − 44 − 9 + 12 + 36 + 1 − 132
= − 136
z
= 4
− 34
− 34
sol:
x = 9 y = 8 z = 4

EJERCICIO 191
1. x+ 2y+ z= 8 2x+ 2y+ z= 9 3x+ 3y+ 5z=
24
Plano ABC x + 2y + z = 8 Plano DEF 2x + 2y + z= 9 Plano GHI 3x + 3y + 5z=
24
1
Para y= 0 z= 0 x= 8 Para y= 0 z= 0 x= 4 Para y= 0 z= 0 x=
8
1
Para x = 0 z = 0 y = 4 Para x = 0 z= 0 y = 4 Para x = 0 z= 0 y = 8
Para x = 0 y = 0 z= 8 Para x = 0 y = 0 z = 9 Para x = 0 y = 0 z=
4
2
2
4
5
D
A
G
N
R
M
1
2
3
F
I
C
Q
B
E
H
Sol : x = 1 y= 2 z = 3

2. x+ y+ z= 5 3x+ 2y+ z= 8 2x+ 3y+ 3z=
14
Plano ABC x + y + z = 5 Plano DEF 3x + 2y + z = 8 Plano GHI 2x + 3y + 3z
= 14
2
Para y= 0 z= 0 x= 5 Para y= 0 z= 0 x= 2 Para y= 0 z= 0 x=
7
Para x = 0 z = 0 y = 5 Para x = 0 z = 0 y = 4 Para x = 0 z = 0 y = 4
Para x = 0 y = 0 z= 5 Para x = 0 y = 0 z = 8 Para x = 0 y = 0 z=
4
3
2
3
2
3
D
A
G
N
Q
3
1
F
C
I
1
M
R
E
B
H
sol : x = 1 y = 1 z = 3

3. 2x+ 2y+ 3z= 23 2x+ 3y+ 2z= 20 4x+ 3y+ 2z=
24
Plano ABC 2x + 2y + 3z = 23 Plano DEF 2x + 3y + 2z = 20 Plano GHI 4x + 3y + 2z
= 24
1
Para y = 0 z = 0 x = 11 Para y = 0 z = 0 x = 10 Para y = 0 z = 0 x = 6
2
1
2
Para x = 0 z = 0 y = 11 Para x = 0 z = 0 y = 6 Para x = 0 z = 0 y = 8
2
2
Para x = 0 y = 0 z = 7 Para x = 0 y = 0 z= 10 Para x= 0 y= 0 z=
12
3
3
G
D
A
Q
N
5
M
I
F
C
2
2
E
R
H
B
sol : x = 2 y = 2 z = 5

4. 2x+ 2y+ 3z= 24 4x+ 5y+ 2z= 35 3x+ 2y+ z=
19
Plano ABC 2x + 2y + 3z = 24 Plano DEF 4x + 5y + 2z = 35 Plano GHI 3x + 2y + z = 19
3
Para y = 0 z = 0 x = 12 Para y = 0 z = 0 x = 8 Para y = 0 z = 0 x = 6
Para x = 0 z = 0 y = 12 Para x = 0 z = 0 y = 7 Para x = 0 z = 0 y = 9
1
Para x = 0 y = 0 z = 8 Para x = 0 y = 0 z =17 2 Para x = 0 y = 0 z = 19
4
1
3
1
2
G
M
D
M
Q
M
M
A
M
M
N
M
M
3
3
4
I
F
C
M
M
M
M
R
E
M
H
M
M
M
B
M
sol : x = 3 y = 3 z = 4

5. 3x+ 4y+ 5z= 35 2x+ 5y+ 3z= 27 2x+ y+ z=
13
Plano ABC 3x + 4y + 5z = 35 Plano DEF 2x + 5y + 3z = 27 Plano GHI 2x + y + z = 13
Para y = 0 z = 0 x = 11 Para y = 0 z = 0 x = 13 Para y = 0 z = 0 x = 6
2
3
1
2
1
2
3
2
Para x = 0 z = 0 y = 8 Para x = 0 z = 0 y = 5 Para x = 0 z = 0 y = 13
4
Para x= 0 y= 0 z= 7 Para x= 0 y= 0 z= 9 Para x= 0 y= 0 z=
13
5
G
D
A
Q
M
3
I
C
F
4
2
N
E
R
B
H
sol : x = 4 y = 2 z = 3

6. 4x+ 3y+ 5z= 42 3x+ 4y+ 3z= 33 2x+ 5y+ 2z=
29
Plano ABC 4x+ 3y+ 5z= 42 PlanoDEF 3x+ 4y+ 3z= 33 Plano GHI 2x+ 5y+ 2z=
29
1
Para y = 0 z= 0 x = 10 Para y = 0 z= 0 x = 11 Para y = 0 z= 0 x = 14
2
1
Para x = 0 z = 0 y = 14 Para x = 0 z = 0 y = 8 Para x = 0 z = 0 y = 5
2
Para x= 0 y= 0 z= 8 Para x= 0 y= 0 z= 11 Para x= 0 y= 0 z=
14
5
4
1
2
4
5
1
2
G
D
A
R
M
5
C
F
I
3
N
2
Q
H
E
B
sol : x = 2 y = 3 z = 5

5.
x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
10x+ y−17 = 5
x+
y
( )
10x+ y− 17 = 5 x+
y
5x− 4y=
17
10x+ y−2
= 19
y − 2
( )
10x+ y− 2 = 19 y−2
10x−
18y= −36
5x−
9y= −18
5x− 4y=
17
( )
5x− 9y= −18 −1
5x− 4y=
17
− 5x+ 9y=
18
5y= 35 ⇒ y=
7
5x
− 4( 7)
= 17
5x
− 28=
17
5x= 45 ⇒ x=
9 sol:
97
6.
x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
10x+ y+ 9 = 10y+
x
9x−
9y= −9
x−
y= −1
10y+ x− 1 = 6
7
x+ 10y=
43
( )
x− y = −1 −1
x+ 10y=
43
− x+ y = 1
x+ 10y=
43
11y= 44 ⇒ y=
4
x− 4= −1 ⇒ x=
3 sol:
34
7.
x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
x+ y=
9
( )
10 x+ 1 + y− 1= 10y+
x
10x+ 10+ y− 1= 10y+
x
9x−
9y= −9
x−
y= −1
x+ y=
9
x−
y= −1
2x
= 8 ⇒ x=
4
4+ y= 9 ⇒ y=
5 sol:
45
EJERCICIO 199
1.
x → Monedas de 20 cts.
y → Monedas de 10 cts.
x
( )
+ y = 78 −10
20x+ 10y=
1.
130
−10x− 10y= −780
20x+ 10y=
1.
130
10x
= 350
x = 35
35+ y = 78
y = 43
sol: 35 Mon. de 20 cts.
43 Mon. de 10 cts.
2.
x → Monedas de $ 5
y → Monedas de $ 4
( )
x+ y = 91 −4
5x+ 4y=
404
−4x− 4y=−364
5x+ 4y=
404
x = 40
40 + y = 91
y = 51
sol: 40 Mon. de$
5
51 Mon. de$
4
3.
x → Nº
de adultos
y → Nº
de niños
( )
x + y = 700 −15
40x+ 15y=
18.
000
−15x− 15y= −10.
500
40x+ 15y=
18.
000
25x
= 7.
500
x = 300
300 + y = 700
y = 400
sol:
300 adultos y 400 niños
4.
x → Monedas de 20 cts.
y → Monedas de 25 cts.
x
( )
+ y = 44 −20
20x+ 25y=
995
−20x− 20y= −880
20x+ 25y=
995
Continúa
4. Continuación
5y
= 115
y = 23
x + 23 = 44
x = 21
sol: 21Monedas de 20cts.
23Monedas de 25cts.
5.
x → Billetes de $ 1
y → Billetes de $ 2
( )
x+ y = 287 −1
x+ 2y=
419
− x− y =−287
x+ 2y=
419
y = 132
x + 132 = 287
x = 155
sol: 155 Billetes de $ 1
132 Billetes de $ 2
6.
x → Libros de 3 col.
y → Libros de 7 col.
( )
x+ y= 34 −3
3x+ 7y=
174
−3x− 3y= −102
3x+ 7y=
174
4y
= 72
y = 18
x + 18 = 34
x = 16
sol: 16 libros de 3 col.
18 libros de 7 col.
7.
x → N º de trajes
y → N º de sombreros
x
( )
+ y = 54 −45
375x+ 45y=
6.
720
−45x− 45y= −2.
430
375x+ 45y=
6.
720
330x
= 4.
290
x = 13
13+ y= 54 ⇒ y=
41
sol:
13 trajes
41 sombreros

EJERCICIO 200
1.
A− 1= B+
1
A− B=
2
( B )
A+ 1= 3 −1
A−
3B= −4
( )
A− B = 2 −1
A−
3B= −4
− A+ B= −2
A−
3B= −4
− 2B
= −6
B = 3
A − 3=
2
A = 5
sol: A →$ 5 B →$
3
2.
B− 2= A+
2
A− B=−4
( A )
2 − 2 = B+
2
2A− B=
6
( )
A − B=−4 −1
2A− B=
6
− A+ B=
4
2A− B=
6
A = 10
10 − B =−4
− B =−14
B = 14
sol:
A→
10 soles
B→
14 soles
3.
P → Pedro
J → Juan
P− 3= J+
3
P− J=
6
( J )
4 − 3 = P+
3
P−
4J
= −15
( )
P− J = 6 −1
P−
4J
= −15
− P+ J = − 6
P−
4J
= −15
− 3J
= −21
J = 7
P− 7= 6 ⇒ P=
13
sol: Pedro → $ 13
Juan → $ 7
4.
A− 10 = 2 B−10
4. ( )
A−
2B= −10
3
4
( A+ 10)
= B+
10
( A+ ) = ( B+
)
3 10 4 10
3A− 4B=
10
( )
A− 2B= −10 −2
3A− 4B=
10
− 2A+ 4B=
20
3A− 4B=
10
A = 30
30 − 2B
= −10
− 2B
= −40
B = 20
sol:
A → 30 Años
B → 20 Años
5.
5. A− 6= 2( B−6)
A−
2B= −6
A+ 6 = 8 ( B+
6)
5
( A+ ) = ( B+
)
5 6 8 6
5A− 8B=
18
( )
A− 2B= −6 −4
5A− 8B=
18
− 4A+ 8B=
24
5A− 8B=
18
A = 42
42 − 2B
= −6
− 2B
= −48
B = 24
sol:
A → 42 Años
B → 24 Años
6.
6. A− 5= 3 ( B−5)
2
2( A− 5) = 3( B−5)
2A−
3B= −5
7
9
( A+ 10)
= B+
10
( A+ ) = ( B+
)
7 10 9 10
7A− 9B=
20
( )
2A− 3B= −5 −3
7A− 9B=
20
Continúa
6. Continuación
− 6A+ 9B=
15
7A− 9B=
20
A = 35
235 ( ) − 3B
= −5
70−
3B
= −5
B = 25
sol:
A → 35 Años
B → 25 Años
7.
x → Edad Hombre
y → Edad Esposa
9y
x =
5
3
( x+ 4)
= y+
4
5
3x+ 12= 5y+
20
3x− 5y=
8
5x− 9y=
0 ( 3)
9
x = ( )
5 20
x = 94 ( )
( )
3x− 5y= 8 −5
15x− 27y=
0
− 15x+ 25y= −40
x = 36
y = 20
sol: 36 Años→
tiene el hombre
20 Años→
tiene la esposa
8.
A− 25= B+
25
A− B=
50
5
( A+ 35)
= B−35
17
5A+ 175= 17B−595
5A−
17B= −770
( )
A− B = 50 −5
5A−
17B= −770
− 5A+ 5B= −250
5A−
17B= −770
− 12B
= −1.
020
A − 85=
50
B = 85
A = 135
sol:
A→
135 Lempiras
B → 85 Lempiras

9.
x → Edad padre
y → Edad hijo
10. P+ 15= 5( J −15)
11.
A B ⎛
+ + = B − B −
⎝
⎞
⎟
2 60 4 2 60 ⎠
1
P−
5J
= −90
( x− 6)
= y−6
2A+ B+ 120= 8B−4B−480
5
3( P− 20)
= J + 20
2A+ B+ 120= 4B−480
x− 6= 5y−30
3P− J = 80
2A−
3B= −600
x−
5y= −24
P− 5J
= −90 ( −3)
B+ 80 − 310 = A−80
2
( x+ 9)
= y+
9 3P− J = 80
5
B− 230 = A−80
2x+ 18= 5y+
45 − 3P+ 15J
= 270
A−
B= −150
2x− 5y=
27
3P− J = 80
2A−
3B= −600
x− 5y= −24 ( −1)
14J
= 350
A− B= −150 ( −2)
2x− 5y=
27
J = 25
2A−
3B= −600
3P
− 25=
80
− x+ 5y=
24
− 2A+ 2B=
300
3P
= 105
2x− 5y=
27
B = 300
P = 35
x = 51
A − 300 = −150
sol: 35 cts.
→ tenia Pedro
51−
5y
= −24
A=
150 cts.
25 cts.
→ tenia Juan
− 5y
= −75
sol:$ 150 , → tiene A
y = 15
sol:
51 Años → Edad padre
15 Años → Edad hijo
$ 3 → tiene B
12.
x → Edad de Enrique
y → Edad hermana
( y 6)
x− 6 = 3 −
2
2x− 12= 3y−18
2x−
3y= −6
( x+ ) = ( y+
)
4 6 5 6
4x+ 24= 5y+
30
4x− 5y=
6
( )
2x− 3y= −6 −2
4x− 5y=
6
− 4x+ 6y=
12
4x− 5y=
6
y = 18
2x
− 3( 18)
=−6
2x
− 54= −6
2x
= 48
x = 24
sol: 24 Añ. → Ed.
Enrique
18 Añ. → Ed. herm.
EJERCICIO 201
1. x → Veloc. bote agua tranq.
y → Veloc.
del rio
x+ y→Veloc.
bote a favor
del agua
x −y→Veloc.
bote contra
la corriente
10
x+ y
= 1
x+ y=
10
4
x− y
= 1
x− y=
4
x+ y=
10
x− y=
4
2x
= 14
x = 7
7− y = 4
y = 3
sol: 7Km h
→ Veloc.
bote agua tranq.
3Km h
→ Veloc.
del rio
2. x → Veloc. bote agua tranq.
y → Veloc.
del rio
x + y→Veloc.
bote a favor
del agua
x −y→Veloc.
bote contra
agua
28
x+ y
= 7
4
7x+ 7y=
112
x+ y=
16
24
x− y
= 3
3x− 3y=
24
x− y=
8
x+ y=
16
x− y=
8
2x
= 24
x = 12
12 − y = 8
y = 4
sol:
12Km h
→Bote
4Km h
→ Rio
3.
x → Tiempo ida
y → Tiempo vuelta
x+ y=
5
8 12
=
x y
12x− 8y=
0
x+ y = 5 ( 8)
12x− 8y=
0
8x+ 8y=
40
20x
= 40
x = 2
12( 2)
− 8y
= 0
− 8y
=−24
y = 3
sol:
2h→
Tiempo ida
3h
→ Tiempo vuelta

4. x → Veloc. bote agua tranq.
6.
x → tiempo ida
y → Veloc.
rio
x+ y→Veloc.
bote a favor
y → tiempo vuelta
x+ y=
5
de la cte
8 12
=
x −y→Veloc.
bote en contra
x y
de la cte
12x− 8y=
0
40
x+ y
5
3x− 2y=
0
2
x+ y = 5 ( 2)
5x+ 5y=
80
x+ y=
16
3x− 2y=
0
2x+ 2y=
10
40
x− y
5
3x− 2y=
0
5x
= 10
5x− 5y=
40
x− y=
8
x = 2
2+ y = 5
x+ y=
16
y = 3
x− y=
8
sol : 2h→
tiempo ida
2x
= 24 ⇒ x=
12
3h
→ tiempo vuelta
12 − y= 8 ⇒ y=
4
Entonces
sol: 12h → Veloc.
bote
32Km
4h
→ Veloc.
rio
= 16 Km
h h
→Veloc.
rio abajo
2
5.
x → tiempo ida
12Km
= 4 Km
y → tiempo vuelta
h h
→Veloc.
rio arriba
3
x+ y=
6
Luego
20 40
x → Veloc.
bote
=
x y
y → Veloc.
rio
40x− 20y=
0
2x− y=
0
x+ y=
16
x− y=
4
x+ y=
6
2x− y=
0
2x
= 20
x = 10
3x
= 6 ⇒ x=
2
10 + y = 16
22 ( ) − y = 0
− y=−4 ⇒ y=
4
sol:
2h → tiempo ida
4h
→ tiempo vuelta
y = 6
sol: 10 Km h → Veloc.
bote
6 Km h → Veloc.
rio
2.
x → Pr ecio kilo azúcar
2. Continuación
y → Pr ecio kilo café −15x− 9y − 12z=−3,
54
z → Pr ecio kilo fríjoles 16x+ 20y+ 12z=
5,
80
5x+ 3y+ 4z=
1,
18
x + 11y
= 2 , 26
4x+ 5y+ 3z=
1,
45 4x+ 5y+ 3z=
1,
45 ( 2)
2x+ y+ 2z=
0,
46
2x+ y + 2z= 0,
46 ( −3)
5x+ 3y+ 4z= 1,
18 ( −3)
8x+ 10y+ 6z=
2,
90
4x+ 5y+ 3z=
1,
45 ( 4)
−6x− 3y − 6z= −1,
38
Continúa
Continúa
2. Continuación
2x+ 7y
= 1,
52
EJERCICIO 202
1.
x → Nº
mayor
y → Nº
medio
z → Nº
menor
x+
y
z − 1=
3
3z− 3= x+
y
x+ y− 3z= −3
x+ y+ z=
37
y− z= x−13
x− y+ z=
13
( )
x+ y+ z = 37 −1
x+ y− 3z= −3
− x− y− z = −37
x+ y− 3z= − 3
− 4z
= −40
z = 10
x+ y+ z = 37
x− y+ z = 13
2x
+ 2z=
50
2x
+ 2( 10)
= 50
2x
= 30
x = 15
15+ y + 10=
37
y + 25= 37
( )
x+ 11y= 2,
26 −2
2x+ 7y=
1,
52
−2x− 22y= −4,
52
2x+ 7y
= 1,
52
− 15y
= −3
1
y =
5
y = 02 ,
Continúa
y = 12
sol: 15 , 12 , 10
2. Continuación
( )
( )
2x
+ 7 0, 2 = 1,
52
2x
+ 1, 4=
1,
52
2x
= 0,
12
x = 006 ,
2006 , + 02 , + 2z
= 046 ,
0, 12+ 0, 2+ 2z
= 0,
46
2z
= 0,
14
z = 007 ,
sol: 6 cts. → Kilo Az.
20 cts.
→ Kilo café
7 cts.
→ Kilo fríjoles

4. Continuación
6. Continuación
3.
x → Cifra centenas
y → Cifra decenas
20( 45)
− 3y
= 774
z− 20 = x−y
z → Cifra unidades
900− 3y
= 774
x−y− z=−20
x+ y+ z=
15
− 3y
= −126
x+ y+ z=
180
3z
y = 42
x+ y=
x−y− z=−20
2
45+ 42 + z = 127
2x
= 160
2x+ 2y=
3z
z = 40
x = 80
2x+ 2y− 3z=
0
sol: 45 , 42 , 40
80 − z = 35
100x+ 10y+ z− 99 = 100z+ 10y+
x
99x− 99z=
99
5.
x → Cifra centenas
z = 45
x− z=
1
y → Cifra decenas
80 + y + 45 = 180
x + y + z = 15 ( −2)
z → Cifra unidades
y + 125 = 180
x+ y+ z=
6
y = 55
2x+ 2y− 3z=
0
100x+ 10y+
z
sol: 80 , 55 , 45
−2x−2y− 2z= −30
= 41
x+
y
2x+ 2y− 3z=
0
100x+ 10y+ z= 41x+
41y
− 5z
= −30
59x− 31y+ z=
0
z = 6
7.
x → N º de vacas
100x+ 10y+ z+ 198 = 100z+ 10y+
x y → N º de caballos
x − 6=
1
99x−
99z= −198
z → Nº
de terneros
x = 7
x−
z= −2
x+ y+ z=
110
7+ y + 6=
15
x + y + z=
6 ( 31)
x y z
y + 13=
15
59x− 31y+ z=
0
+ + =
8 9 5 15
y=
2 sol:
726
31x+ 31y+ 31z=
186
45x+ 40y+ 72z=
5.
400
59x− 31y+ z=
0
z+ x=
65
4.
x → Nº
mayor
90x
+ 32z=
186
x+ y+ z=
110
y → N º medio
45x+ 16z=
93
x + z= 65 ( −1)
z → N º menor
x − z = −2 ( −45)
x+ y+ z=
110
x+ y+ z=
127
45x+ 16z=
93
− x − z=−65
z y x
+ + =
2 3 9 39
− 45x+ 45z=
90
y = 45
2x+ 6y+ 9z=
702
45x+ 16z=
93
45x+ 40y+ 72z=
5.
400
y+
z
61z
= 183
x + z = 65 −45
x − 4 =
2
z = 3
45x+ 40y+ 72z=
5.
400
2x− 8= y+
z
x − 3= −2
−45x
− 45z=−2 . 925
2x− y− z=
8
x+ y+ z=
127
x = 1
1+ y + 3=
6
40y+ 27z=
40( 45)
+ 27z
= 2.
475
2.
475
2x− y− z=
8
y + 4=
6
1.
800+
27z = 2.
475
3x
= 135
y=
2 sol: 123
27z
= 675
x = 45
z = 25
2x+ 6y+ 9z=
702
6. x → Angulo mayor
x + 45+ 25=
110
2x− y − z=
8 ( 9)
y → Angulo medio
x + 70 = 110
z → Angulo menor
2x+ 6y+ 9z=
702
x = 40
x+ y+ z=
180
18x−9y− 9z=
72
sol: 40 vacas;
x− 35 = z
20x− 3y
= 774
45 caballos ;
x− z=
35
25 terneros
Continúa
Continúa
( )

8.
x → Cifra centenas
y → Cifra decenas
z → Cifra unidades
x+ y+ z=
10
x+ y− 4 = z
x+ y− z=
4
x+ z− 6=
y
x− y+ z=
6
x+ y+ z=
10
( )
x+ y− z= 4 −1
x+ y+ z=
10
− x− y+ z= −4
2z
= 6
z = 3
x+ y+ z=
10
x− y+ z=
6
2x
+ 2z=
16
x+ z=
8
x + 3=
8
x = 5
5+ y + 3=
10
y=
2 sol:
523
9.
x → Angulo mayor
y → Angulo medio
z → Angulo menor
x+ y+ z=
180
x+ y=
135
y+ z=
110
x+ y+ z=
180
( )
y+ z= 110 −1
x+ y+ z = 180
− y− z= −110
x = 70
70+ y = 135
y = 65
70+ 65+ z = 180
135+ z = 180
z = 45
sol: 70 ∃ , 65 ∃ , 45
∃
10.
A+ B+ C=
140
12.
x+ y+ z=
6
C
A
41( 100x+ 10y+
z)
= 100z+ 10y+ x=
2
107
A− 2C=
0 10. 700z+ 1. 070y+ 107x= 4.
100x+ 410y+
41z
A− 10 = B
3. 993x−660y− 10.
659z=
0
A− B=
10
1. 331x−220y− 3.
553z=
0
A+ B+ C=
140
100x
= 300
A− B = 10
x = 3
2 A + C=
150 1. 331x−220y− 3.
553z=
0
2 A+ C = 150 ( 2)
x + y + z = 6 ( 220)
A − 2C=
0
4 A+ 2C=
300
A − 2C=
0
5A
= 300
A = 60
2( 60)
+ C = 150
C = 30
60 + B + 30=
140
B = 50
sol: A →60bs. B →50bs.
C → 30bs.
11.
A− 1= C+
1
A− C=
2
B− 1=
C
B− C=
1
A+ 5=
2C
A−
2C= −5
A − C=
2
B− C=
1
A+ B− 2C=
3
A+ B− 2C=
3
A
( )
− 2C= −5 −1
A+ B− 2C=
3
− A + 2C=
5
B = 8
8− C = 1
C = 7
A − 7=
2
A = 9
sol: A → $ 9
B → $ 8 C → $ 7
1. 331x−220y− 3.
553z=
0
220x + 220y + 220z
= 1.
320
1. 551x
− 3. 333z=
1.
320
15513 . ( ) − 3. 333z
= 1.
320
4. 653− 3. 333z
= 1.
320
z = 1
3+ y + 1=
6
y + 4=
6
y=
2 sol:
321
13.
A− 2= B+
2
A− B=
4
B− 1= C+
1
B− C=
2
8
A=
C
5
5A− 8C=
0
A− B = 4
B− C=
2
A
− C=
6
( )
A− C = 6 −8
5A− 8C=
0
− 8A+ 8C= −48
5A− 8C=
0
− 3A
= −48
A = 16
16− B = 4
B = 12
12 − C = 2
C = 10
sol:
A → 16Q
B → 12Q C → 10Q

14.
x → Cifra centena
y → Cifra decena
z → Cifra unidades
100x
= 400
x = 4
x+ y+ z=
9
( x+ y+
z)
16 100 10
100z+ 10y+ x=
49
4. 900z+ 490y+ 49x= 1.
600x+ 160y+
16z
1. 551x−330y− 4.
884z=
0
517x−110y− 1.
628z=
0
517x−110y− 1.
628z=
0
x + y + z = 9 ( 110)
517x−110y− 1.
628z=
0
110x+ 110y+ 110z
= 990
627x
− 1.
518z=
990
627( 4)
− 1.518z
= 990
2. 508 − 1.
518z
= 990
− 1518 . z = −1518
.
z = 1
4+ y + 1=
9
y + 5=
9
y=
4 sol:
441
15.
2A+ B= C+
32
2A+ B− C=
32
15. Continuación
B
+
3 2 C= A+
9
C = 10
B+ 6C= 3A+
27 5A
− 7( 10)
= 5
3A− B− 6C= −27
5A
= 75
A+
B A = 15
= C −1
3
215 ( ) + B − 10=
32
A+ B= 3C−3
B + 20 = 32
A+ B− 3C= −3
B = 12
2A+ B− C = 32
sol: 15 , 12 10
3A− B− 6C= −27
5A
− 7C=
5
3A− B− 6C= −27
A + B− 3C= − 3
( )
5A− 7C= 5 −4
4A−
9C= −30 () 5
− 20A+ 28C= − 20
20A−
45C
=−150
− 17C
= −170
4A
− 9C= −30
EJERCICIO 203
1.
x → Ancho
y → Largo
( x y)
2 + = 18
4y=
5x
5x− 4y=
0
x+ y = 9 ( 4)
5x− 4y=
0
4x+ 4y=
36
5x− 4y=
0
9x
= 36
x = 4
4+ y = 9
y = 5
sol:
5m ⋅ 4m
2. A=
2B
A− 2B=
0
A− 12 = B+
12
A− B=
24
Continúa
2. Continuación
A− 2B=
0
( )
A− B = 24 −1
A− 2B=
0
− A+ B = −24
B = 24
A − 24 = 24
A = 48
sol:
A → 48 balboas
B → 24 balboas
3.
x → Ancho
y → Largo
( )( )
x+ 1 y+ 1 = 26+
xy
xy + x + y + 1= 26+
xy
x+ y=
25
( )( )
x+ 2 y− 3 = 19+
xy
xy − 3x + 2y − 6= 19+
xy
− 3x+ 2y=
25
Continúa
3. Continuación
x + y = 25 ( 3)
− 3x+ 2y=
25
3x+ 3y=
75
− 3x+ 2y=
25
5y
= 100
y = 20
x + 20 = 25
x = 5
sol:
20m ⋅ 5m
4. x → Precio carro
y → Pr ecio caballo
z → Pr ecio arreos
x+ y+ z=
200
x+ z= y+
20
x− y+ z=
20
y+ z= x+
40
x−y− z=−40
Continúa
4. Continuación
x+ y+ z=
200
x−y− z=−40
2x
= 160
x = 80
x+ y+ z=
200
x− y+ z=
20
2x+ 2z=
220
x+ z=
110
80 + z = 110
z = 30
80 + y + 30 = 200
y + 110 = 200
y = 90
sol:$
80 → Costo carro
$ 90 → Costo caballo
$ 30 → Costo arreos

er
5. x → 1 Número
y → 2º
Número
z → 3
er
Número
x+ y= z+
18
x+ y− z=
18
x+ z− 78 = y
x− y+ z=
78
y+ z= x+
102
x−y− z=−102
x+ y− z=
18
x− y+ z=
78
2x
= 96
x = 48
x− y+ z=
78
x−y− z=−102
2x− 2y
=− 24
x− y=−12
48 − y =−12
y = 60
48 + 60− z = 18
108 − 18 = z
90 = z
sol: 48 , 60 , 90
6. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
x+ y=
6
10x+ y− 36 = 10y+
x
9x− 9y=
36
x− y=
4
x+ y=
6
x− y=
4
2x
= 10
x = 5
5+ y = 6
y=
1 sol:
51
7. x → Veloc.
pájaro
y → Veloc.
viento
x+ y → Veloc.
pájaro a favor
x −y → Veloc.
pájaro contra
55
x+ y
= 1
x+ y=
55
25
x− y
= 1
Continúa
7. Continuación
x− y=
25
x+ y=
55
2x
= 80
x = 40
40− y = 25
y = 15
sol: 40Km h
→ Veloc.
del
pájaro tranq.
15Km h
→ Veloc.
del
viento
8.
x → Nº
de libros
y → Pr ecio de c / u
( 5)( 2)
xy = x + y −
xy = xy − 2x + 5y
−10
2x−
5y= −10
( 5)( 4)
xy = x − y +
xy = xy + 4x −5y
−20
4x− 5y=
20
2x−
5y= −10
( )
4x− 5y= 20 −1
2x−
5y= −10
− 4x+ 5y= −20
− 2x
= −30
x = 15
215 ( ) − 5y
= −10
30 − 5y
= −10
− 5y
= −40
y = 8
sol:
15 → Libros compró
$ 8 → cos tó c / u
9.
x → Pr ecio kilo café
y → Pr ecio kilo té
( )
7x+ 6y= 4,
8 −9
8x+ 9y=
6,
45 ( 6)
−63x− 54y= −43,
2
48x+ 54y=
38,
7
− 15x
= −4 , 5
x = 03 ,
Continúa
9. Continuación
( )
703 , + 6y
= 48 ,
21 , + 6y
= 48 ,
6y
= 2,
7
y = 045 ,
sol: 30 cts.
→ Costo kilo café
45 cts.
→ Costo kilo té
10.
x → trajes de $ 40
y → trajes de $ 35
x
( )
+ y = 50 −40
40x+ 35y=
1.
910
−40x− 40y= −2.
000
40x+ 35y=
1.
910
x + 18=
50
− 5y
=−90
x = 32
y = 18
sol: 32 → trajes de$
40
18 → trajes de$
35
11.
x → Numerador
y → Deno minador
x − 1 1 =
y 3
3x− 3=
y
3x− y=
3
x
y − = 1
2 2
2x= y−2
− 2x+ y=
2
x
35 () − y = 3
3x− y=
3
− 2x+ y=
2
− y =−12
y=
12
a
12. x → 1 bolsa
a
y → 2 bolsa
x+ y=
200
x− 15 = y+
15
x− y=
30
Continúa
= 5
5
sol:
12

12. Continuación
15.
x → Nº
de personas
x+ y=
200
y → Pr ecio c / u
x− y=
30
xy = ( x + 10)( y −5)
2x
= 230
x = 115
xy = xy − 5x + 10y
−50
5x−
10y= −50
115 + y = 200
y = 85
x−
2y= −10
xy = ( x − 6)( y + 5)
a
sol:
115 soles → 1 bolsa
a
85 soles → 2 bolsa
xy = xy + 5x −6y
−30
5x− 6y=
30
13.
x → Pr ecio caballo
5x− 6y=
30
y → Pr ecio coche
x− 2y= −10 ( −3)
x+ 20=
3y
x−
3y= −20
5x− 6y=
30
− 3x+ 6y=
30
3x
20 + y =
2x
= 60
5
x = 30
3x= 100+
5y
30 − 2y
= −10
3x− 5y=
100
− 2y
= −40
x− 3y= −20 ( −3)
y = 20
3x− 5y=
100
sol:
30 → Personas
− 3x+ 9y=
60
20bs. → c / u
3x− 5y=
100
16.
A+ B=
1080 .
4y
= 160
2 A B
A − = B −
y = 40
5 4
x − 340 ( )
20A− 8A= 20B−5B
= −20
12 A− 15B=
0
x = 100
4A− 5B=
0
sol:
100 soles → Costó el caballo
40 soles → Costó el coche
A+ B=
1.
080 () 5
4A− 5B
= 0
14.
x → Cifra decenas
5A+ 5B=
5.
400
y → Cifra unidades
4A− 5B
= 0
10x+ y= 6( x+
y)
9A
= 5.
400
10x+ y= 6x+
6y
A=
600
4x− 5y=
0
600 + B = 1.
080
10x+ y− 9 = 10y+
x
B = 480
9x− 9y=
9
sol:
A → 600 sucres
x− y=
1
B → 480 sucres
4x− 5y=
0
17.
x → gané ayer
x − y = 1 ( −5)
y → gané hoy
4x− 5y=
0
y+ 10 = x
− 5x+ 5y= −5
5x
− x = −5
y =
6
x = 5
5x− 6y=
0
5− y = 1
5x− 6y=
0
y=
4 sol:
54
x − y = 10 ( −6)
Continúa
17. Continuación
5x− 6y=
0
− 6x+ 6y=−60
− x =−60
x = 60
60 − y = 10
y = 50
sol:$
60 → gané ayer
$ 50 → gané hoy
er
18.
x → 1 nùmero
y → 2º
nùmero
x 3
=
y 5
x − 10 1
=
y − 10 2
5x− 3y=
0
( )
2x− y = 10 −3
5x− 3y=
0
− 6x+ 3y= −30
− x = −30
x = 30
230 ( ) − y = 10
60 − y = 10
y = 50
sol: 30 , 50
19.
A+ 4= B−4
A−
B= −8
( A 4)
B+ 4 = 9 −
5
5B+ 20= 9A−36
9A− 5B=
56
( )
A− B = −8 −5
9A− 5B=
56
− 5A+ 5B=
40
9A− 5B=
56
4A
= 96
A = 24
24 − B =−8
B = 32
sol:
A → 24 lempiras
B → 32 lempiras

20.
A− 20 = 2 B−20
20. ( )
A−
2B= −20
( B 30)
A+ 30= 9 +
7
7 A+ 210 = 9B+
270
7A− 9B=
60
( )
A − 2B= −20 −7
7A− 9B=
60
− 7A+ 14B=
140
7A− 9B
= 60
5B
= 200
B = 40
A − 240 ( ) = −20
A − 80 =−20
A = 60
sol:
A → 60 Años
B → 40 Años
21. x → tiempo ida
y→
tiempo vuelta
x+ y=
3
4 8
=
x y
8x− 4y=
0
2x− y=
0
x+ y=
3
2x− y=
0
3x
= 3
x = 1
1+ y = 3
y = 2
Si 1h → tiempo de ida
2h→
tiempodevuelta
Entonces
16Km
= 16Km h h
→Veloc.
a favor
1
16Km
= 8Km h h
→Veloc.
en contra
2
Luego
x → Veloc.
del bote
y → Veloc.
delrio
x+ y=
16
x− y=
8
2x
= 24
x = 12
Continúa
21. Continuación
12 + y = 16
y = 4
sol: 12Km h
→ Veloc.
bote
4Km h
→ Veloc.
rio
22.
A B
− 2 =
9 5
5A− 90=
9B
5A− 9B=
90
2B= A−15
A− 2B=
15
5A− 9B=
90
( )
A − 2B= 15 −5
5A− 9B
= 90
− 5A+ 10B= −75
B = 15
A − 215 ( ) = 15
A − 30 = 15
A=
45
sol:
A → 45 Años
B → 15 Años
23.
5A− 4=
4B
5A− 4B=
4
7A− 2=
6B
7A− 6B=
2
5A− 4B=
4 ( 6)
( )
7A− 6B= 2 −4
30A− 24B
= 24
− 28A+ 24B= −8
2A
= 16
A = 8
58 ( ) − 4B
= 4
40 − 4B
= 4
− 4B
= −36
B = 9
sol:
A → 8Km B → 9Km
24. x → Cifra decenas
y → Cifra unidades
y− x=
4
10x+ y+ 10y+ x=
66
11x+ 11y=
66
x+ y=
6
Continúa
24. Continuación
− x+ y=
4
x+ y=
6
2y
= 10
y = 5
x + 5=
6
x = 1
sol:
15
25.
x → Largo
y → Ancho
( x y)
2 + = 58
2x+ 2y=
58
x+ y=
29
( )( )
x+ 2 y− 2 = xy−46
xy − 2x + 2y − 4= xy −46
− 2x+ 2y= −42
x− y=
21
x+ y=
29
x− y=
21
2x
= 50
x = 25
25+ y = 29
y = 4
sol:
25m ⋅ 4m
26.
x → Larg
o
y → Ancho
2x+ 2y=
56
x+ y=
28
( 2)( 2)
y− x+ = xy
xy + 2y −2x − 4=
xy
2x−
2y= −4
x−
y= −4
x+ y=
28
x−
y= −4
2x
= 24
x = 12
12 + y = 28
y = 16
sol:
16m ⋅ 12m

EJERCICIO 204
1.
m= 6 n=
3
3
3
3
A
A
A
6
6
6
2. P = 5!
5
( )
= 65 ⋅ .... 6− 3+
1
= 654 ⋅ ⋅
= 120
P = 5432 ⋅ ⋅ ⋅
5
P = 120
5
3.
m= 7 n=
5
5
5
5
5
C
C
C
C
7
7
7
7
( )
5
A 76
= = ⋅ .... 7 − 5 + 1
7
P 5!
5
76543
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
54321 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2.
520
=
120
= 21
4.
m= 6 n=
2
2
2
2
A
A
A
6
6
6
( )
= 65 ⋅ .... 6− 2+
1
= 65 ⋅
= 30
5.
m= 5 n=
3
3
3
3
A
A
A
5
5
5
( )
= 54 ⋅ .... 5− 3+
1
= 543 ⋅ ⋅
= 60
6.
m= 12 n = 5
5
5
5
5
7. P
P
P
C
C
C
C
7
7
7
12
12
12
12
( )
5
A 12⋅11....
12 − 5+
1
12
= =
P
5!
5
12⋅11⋅10⋅9⋅8
=
54321 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 311234 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 792
= 7!
= 765432 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 5.
040
8.
m= 7 n=
4
4
4
4
4
C
C
C
C
7
7
7
7
( )
4
A 76
= = ⋅ .... 7 − 4 + 1
7
P 4!
7654
= ⋅ ⋅ ⋅
4321 ⋅ ⋅ ⋅
= 75 ⋅
= 35
4
9. P P
P
P
P
= 5− 1 4
4
4
4
10. P
P
P
= 4!
= 432 ⋅ ⋅
= 24
6
6
6
= 6!
= 65432 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 720
11. Siendo el 1º
P
P
P
sin lugar fijo
P
P
P
P
6
6
6
= 6!
= 65432 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 720
7
= 7!
= 7P
7 6
7
7
= 7⋅720
= 5.
040
12. En un banco
P
En una mesa
redonda
P
P
P
6
= P
6−1 5
5
5
= 720
= 5!
= 120
13.
m= 9 n=
3
3
3
3
A
A
A
9
9
9
( )
= 98 ⋅ .... 9− 3+
1
= 987 ⋅ ⋅
= 504
14. P P
P
P
= 4− 1 3
3
3
= 3!
= 6
15.
m= 5 n=
3
P 5 = 5!
3
A 54 ( )
C = = ⋅ .... 5 − 3 + 1
P 5 = 120
3
5
5
P
3
3!
543
C = ⋅ ⋅
22. 3
P = 5− 1
P
4
5
32 ⋅
P
4
= 4!
3
C = 52 ⋅
P = 432 ⋅ ⋅
3
C
5
5
= 10
16. P P
P
P
P
= 5− 2 3
3
3
3
= 3!
= 32 ⋅
= 6
17.
m= 5 n=
3
3
3
3
A
A
A
5
5
5
( )
= 54 ⋅ .... 5− 3+
1
= 543 ⋅ ⋅
= 60
18. P P
P
P
P
= 11− 1 10
10
10
10
= 10!
= 1098765432
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 3628800 . .
19.
m= 8 n=
3
3
3
3
3
C
C
C
C
8
8
8
8
( )
3
A 87
= = ⋅ .... 8 − 3 + 1
8
P 3!
876
= ⋅ ⋅
32 ⋅
= 472 ⋅ ⋅
= 56
20.
m= 6 n=
3
5
5
5
A
A
A
6
6
6
3
( )
= 65 ⋅ .... 6− 3+
1
= 654 ⋅ ⋅
= 120
21. Palabras distint
as
P
P
P
8
8
8
= 8!
= 8765432
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 40.
320
Vocales fijas
P
4
4
= 24

EJERCICIO 205
1. ( 4a
) = 16a
2. ( −
3
a)
= −
3
3. ( 3xy)
= 27
4. ( − 2 2
ab)
=
5. ( − xy)
6. ( abc)
=
7. ( − x y)
=
8. ( − ab c )
9. ( ab)
=
10. ( )
1.
2 2 4
5 125a
x y
3 3
6 36ab
3
4 2
2 = −8xy
2 3 3 6 9
4 64abc
2 3 4 3 6 9 12
6 36x y
4 5 2 8 10
7 = −343a b c
3 4 3 3 9 12
a b
m n x mx nx
− 2xyz = 16x y z
3 5 6 4 12 20 24
11. ( −
3 3
mn)
12. ( )
13. ( mnx)
14. ( −
2 5
ab)
15. ( xyz)
3 = −27mn
9 3
m m m m
2 3 2 3
abc = a b c
− = mnx
2 3 4 8 4 12
3 = −243a b
10 5
7 = 49x y z
5 6 8 2 10 12 16
2 2
⎛ x ⎞ x
16. ⎜ − ⎟ =
⎝ 2y⎠
4y
⎛ 2m⎞
8m
17. ⎜ −
2
⎟ =−
6
⎝ n ⎠ n
2
3 3
2 3 3 6
⎛ ab ⎞ a b
18.
⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ 125
2 2 4
⎛ 3x
⎞ 9x
19. ⎜ − ⎟ =
2
⎝ 4y
⎠ 16y
4 4 8
2
⎛ 2ab
⎞ 16ab
20. ⎜ − 3 ⎟ = 12
⎝ 3m
⎠ 81m
5 15 5
3
⎛ 2mn⎞
32m n
21.
⎜ 4 ⎟ = 20
⎝ 3x
⎠ 243x
⎛ 3ab
⎞
22. ⎜ − ⎟ =
⎝ 4 ⎠
9ab
16
3 2 2 6 4
⎛ mn ⎞ m n
23. ⎜ − ⎟ =
⎝ 3 ⎠ 81
2 4 4 8
⎛ ab ⎞ a b
24. ⎜ − ⎟ =−
⎝ 2 ⎠ 32
2 4 5 10 20
EJERCICIO 206
5 4
1. ( a + 7b
)
2
( )
1.
2.
= a + 2a 7b + 49b
10 5 4 8
= a + 14a b + 49b
10 5 4 8
4 3
2. ( 3x
− 5xy
)
( )( )
3.
= 9x − 2 3x 5xy + 25x y
8 4 3 2 6
= 9x − 30x y + 25x y
3. ( ab − a)
4.
8 5 3 2 6
2 3 5 2
( )
= ab − 2ab a + a
4 6 2 3 5 10
= ab − 2ab + a
4 6 7 3 10
5 3 4
4. ( 7x
− 8x y )
( )( )
5.
= 49x − 2 7x 8x y + 64x y
10 5 3 4 6 8
= 49x − 112 x y + 64x y
10 8 4 6 8
2 2 3
5. ( 9ab
+ 5a b )
( )( )
6.
= 81ab + 2 9ab 5ab + 25ab
2 4 2 2 3 4 6
= 81ab + 90ab + 25ab
2 4 3 5 4 6
2 3 3 2
6. ( 3xy
− 7xy)
( )( )
= 9xy − 2 3xy 7xy + 49xy
4 6 2 3 3 2 6 4
= 9xy − 42xy + 49xy
4 6 5 5 6 4
2 2
7. ( xy − a b )
2( )( )
7.
= xy − xy ab + ab
2 2 2 2 4 4
= x y − 2abxy+
ab
⎛ x 2y⎞
8.
⎜ + ⎟
⎝ 2 3 ⎠
2 2 2 2 4 4
2 2
x x 2y 4y
= + 2 ⎛ 4 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ +
3 ⎠ 9
2 2
x 2xy 4y
= + +
4 3 9
⎛ 3a
⎜
9.
⎝ 4
2
2b
⎞
− ⎟
5 ⎠
2 2 2
4
9
2 3 2 2 4
a a 2b 4b
= − ⎛ 16 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+
5 ⎠ 25
4 2 2 4
9a 3a b 4b
= − +
16 5 25
⎛ 5x
10.
⎜
⎝ 6
3xy
⎞
+ ⎟
5 ⎠
3 2 2
25x 2 5 x 3xy 9x y
= + ⎛ 36 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 6 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+
5 ⎠ 25
6 3 2 2 4
6
25x
4 2
= + xy +
36
9xy
25
2 4
⎛ a 3a b ⎞
−
11.
⎜
⎟
⎝ 9 7 ⎠
5 3 7 2
a a a b a b
81 2 3 9
= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 9 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ +
7 ⎠ 49
10 5 3 7 6 14
a 2a b 9a b
= − +
81 21 49
⎛ 2m
12.
⎜
⎝ 5
10 8 7 6 14
5n
⎞
− ⎟
4 ⎠
4 3 2
8
4
2 2 4 3 6
m m 5n 25n
= − ⎛ 25 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 5 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ +
4 ⎠ 16
8
6
4m 4 3
25n
= − mn +
25 16
⎛ x y ⎞
13.
⎜ + ⎟
⎝ 3 4 ⎠
2 2
2 2 4
x x y y
= + 2 ⎛ 9 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+ 4 ⎠ 16
2 2 4
x xy y
= + +
9 6 16
2
⎛ 2x
3y⎞
14.
⎜ − ⎟
⎝ 3 5 ⎠
2
4
2 2 2
x x 3y 9y
= − ⎛ 9 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ +
5 ⎠ 25
2 2
4x 4xy 9y
= − +
9 5 25

⎛ a 4a
⎞
⎜ + ⎟
15.
⎝ 8 7b
⎠
3 2 2
6 3 2 4
a a a a a a a
2
64 2 4 16
16
= + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 8 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + = + +
7b
⎠ 49b
64 7b
49b
⎛ 3
16.
⎜ −
⎝ 2x
2x
3
⎞
⎟
⎠
4 2
9
2 3 2x
= 2 − ⎛ 4x
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2x⎠
⎝ ⎜ 3
6 5 4
⎞ 4x
9
3
⎟ + = 2 − 2x
+
⎠ 9 4x
4 8
2
8
4x
9
⎛ 5x
17.
⎜
⎝ 6y
⎛ 3a
18.
⎜
⎝ 8
7
4
2 14
6
3 25
2 5 7 6
12
y ⎞ x x 3y
9y
− 2 ⎟ = 8 − ⎛ 4 2
10x
⎠ 36y
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 6y
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+
10x
⎠ 100x
4a
−
9b
6 2
5
14 5 2 12
25x
xy 9y
= 8 − +
36y
2 100x
2 12 6 2
⎞ 9a 2 3 a 4a
16a
⎟ = − ⎛ 5
⎠ 64 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 8 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ +
9b
⎠ 81b
12 8
9a
a 16a
= − 5 +
64 3b
81b
4
10
4
4
10
4
EJERCICIO 207
1. (
3
) ( )( ) ( )( )
2. ( ) ( )( ) ( )( )
3. ( ) ( )( ) ( )( )
4. ( ) ( )( ) ( )( )
4 2 3 5. ( 7a
− 5a b )
( )( ) ( )( )
6. ( ) ( )( ) ( )( )
4 2 4 7. ( 8x
− 7x y )
( )( ) ( )( )
2 3 2 8. ( 3ab−
5ab)
( )( ) ( )( )
1.
2a+ 3b = 8a + 3 4a 3b + 3 2a 9b + 27b = 8a + 36a b+ 54ab + 27b
3 2 2 3 3 2 2 3
4a− 3b = 64a − 3 16a 3b + 3 4a 9b − 27b = 64a − 144a b + 108ab −27b
2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
5x + 6y = 125x + 3 25x 6y + 3 5x 36y + 216y = 125x + 450x y + 540x y + 216y
2 3 3 6 4 3 2 6 9 6 4 3 2 6 9
4x − 3xy = 64x − 3 16x 3xy + 3 4x 9x y − 27x y = 64x − 144x y + 108x y −27x y
3 2 3 9 6 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6
= 343a − 3 49a 5a b + 3 7a 25a b − 125a b = 343a − 735a b + 525a b −125a b
12 8 2 3 4 4 6 6 9 12 10 3 8 6 6 9
a + 9a x = a + 3 a 9a x + 3 a 81a x + 729a x = a + 27a x + 243a x + 729a x
8 5 4 3 24 16 5 4 8 10 8 15 12 24 21 4 18 8 15 12
= 512x − 3 64x 7x y + 3 8x 49x y − 343x y = 512x − 1. 344x y + 1.
176x y −343x y
12 8 2 4 4 4 8 6 12 12 10 4 8 8 6 12
= 27ab − 3 9ab 5ab + 3 3ab 25ab − 125ab = 27ab − 135ab + 225ab −125ab
6 3 4 2 3 2 2 6 4 9 6 6 3 7 4 8 5 9 6
2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
⎛ 1 2b ⎞ a a 2b a 4b 8b a a b 2ab 8b
9.
⎜ a + ⎟ = + 3 ⎛ 3
⎝ 2 3 ⎠ 8 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + = + + +
9 ⎠ 27 8 2 3 27
⎛
10.
⎜
⎝
2 2 3 6
4 27
3 9 4 2
4
3 3 2 4 6 6 4 2 2 4 6
a b ⎞ a a b a 16b 64b 27a 27a b 36a b 64b
− ⎟ = − ⎛ 5 ⎠ 64 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 16 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 5 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − = − + −
25 ⎠ 125 64 20 25 125
3
4
⎛ 5ab
3b
⎞
11.
⎜ − ⎟
⎝ 6 10 ⎠
2 4 3
6 3
125
3 25 4 2 4
3
3 5 2 8 12 6 3 4 6 2 9 12
ab ab b ab 9b 27b 125ab 5ab 9ab 27b
= − ⎛ 216 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 36 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 10 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 6 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − = − + −
100⎠
1. 000 216 8 40 1.
000
⎛ 7x
12.
⎜
⎝ 8
4y
7
5 6 3
−
⎞
⎟
⎠
15
343
3 49 10 6
4
3 7 5 12 18 15 10 6 5 12 18
x x y x 16y 64y 343x 21x y 6x y 64 y
= − ⎛ 512 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 64 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 7 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 8 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + = − + +
49 ⎠ 343 512 16 7 343

3 3
2
2
3 3
⎛ x 3y⎞
x x 3y
x 9y
27y
x 9 27y
27y
13.
⎜ +
2 ⎟ =
3
+ 3 ⎛ 3
2y
x 8y
4
2 2
y x 2
4
6 3 3 6
⎝ ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ y⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟+ = + + +
x ⎠ x 8y
4y
2x
x
⎛ 2a
14.
⎜
⎝ 5
⎛
15.
⎜ 4x
⎝
2
3 6 4
5 8
2 125 3 4 5
3 2 2
6 4 2
⎞ a a
a 25 125 8a
6a
15a
125
−
3 ⎟ = − ⎛ 3
6 9
3 6 9
b ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 25 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 2b
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 5 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − = − + −
4b
⎠ 8b
125 5b
2b
8b
3x
⎞
y ⎠
⎛ 3x⎞
⎝ y ⎠
4
12 8
4
15. − 3 ⎟ = 64x
−3( 16x
) ⎜ 3 ⎟ + 34 ( x )
2
3
9
6
⎛ 9x
⎞ 27x
12
144x
108x
27x
⎜ 6 ⎟− 9 = 64x
− 3 + 6 − 9
⎝ y ⎠ y
y y y
2 3 3
3 4 27
16.
3 9 2 2
4
3 3 4 6 3 2 3 6
⎛ a b ⎞ a a b a 16b 64b 27a
27a 72ab 64b
⎜ + ⎟ =
3
+ ⎛ 2
3
⎝ 2b
5 ⎠ 8b
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4b
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+ ⎛ 5 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2b
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+ = + + +
25 ⎠ 125 8b
5 25 125
3
7 343
17.
8 512 3 49 3 7 4 5 8 10
⎛ 4 5⎞
4 5 8 10 12 15
343 147 21
⎜ − ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 64⎠
⎝ ⎜ ⎞
xy xy
xy xy ⎟ xy − x y = − + − x y
8⎠
512 64 8
3 9 6 2
3 2
3 4
6
⎛ m 6n
⎞ m m n m n n m m n n n
18.
2
2
4
6
6
6 m 216 3 6
36 216
18 216
⎜ − ⎟ = − ⎛ 3
⎝ ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 36 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ m ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 6 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − = − + −
m ⎠ m 216 2 m m
EJERCICIO 208
1.
x
2
− 2x+
1
( ) () ( )()
3
12 15
9 4 2 4 6
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
= x + 4x + 1+ 2x − 2x + 2x 1 + 2 − 2x 1 = x + 4x + 1− 4x + 2x − 4x= x − 4x + 6x − 4x+
1
2.
2
2x
+ x+
1
( )( ) ( )() ( )()
4 2 2 2 4 2 3 2 4 3 2
= 4x + x + 1+ 22x x + 22x 1 + 2x 1 = 4x + x + 1+ 4x + 4x + 2x= 4x + 4x + 5x + 2x+
1
2 4 2 2 2 4 2 3 2
3.
x − 5x+ 2 = x + 25x + 4 + 2 x − 5x + 2 x 2 + 2 − 5x 2 = x + 25x + 4 − 10x + 4x −20x
3. ( )( ) ( )( ) ( )( )
4 3 2
= x − 10x + 29x − 20x+
4
4.
x − 5x + 6= x + 25x + 36+ 2 x − 5x + 2 x 6 + 2 − 5x 6 = x + 25x + 36 − 10x + 12x −60x
4. ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 2 6 4 3 2 3 2 6 4 5 3 2
4 2 8 4 4 2 4 2
5.
4a − 3a + 5= 16a + 9a + 25+ 2 4a − 3a + 2 4a 5 + 2 −3a
5
5. ( )( ) ( )( ) ( )()
8 4 6 4 2 8 6 4 2
= 16a + 9a + 25− 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a − 30a
+ 25
6 5 4 3 2
= x − 10x + 25x + 12x − 60x
+ 36
2 2 2 2 2 2
6.
x+ 2y− z= x + 4y + z + 2 x 2y + 2 x − z + 2 2y − z = x + 4y + z + 4xy−2xz−4yz
6. ( )( ) ( )( ) ( )( )
7.
3−
x − x
3 6
( )( ) ( )( ) ( )( )
6 12 3 6 3 6 6 12 3 6 9 12 9 6 3
= 9+ x + x + 2 3 − x + 2 3 − x + 2 − x − x = 9+ x + x −6x − 6x + 2x = x + 2x −5x − 6x
+ 9
4 2 8 4 2 4 2 4 2
8.
5x − 7x + 3x= 25x + 49x + 9x + 2 5x − 7x + 2 5x 3x + 2 −7x 3x
8. ( )( ) ( )( ) ( )( )
= 25x + 49x + 9x − 70x + 30x − 42x = 25x − 70x + 30x + 49x − 42x + 9x
8 4 2 6 5 3 8 6 5 4 3 2
9.
2a + 2ab− 3b = 4a + 4a b + 9b + 22a 2ab + 22a − 3b + 22ab −3b
2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
9. ( )( ) ( )( ) ( )( )
= 4a + 4a b + 9b + 8a b−12a b − 12ab = 4a + 8a b−8a b − 12ab + 9b
4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 4
10.
m − 2m n+ 2n = m + 4m n + 4n + 2 m − 2m n + 2 m 2n + 2 −2m n 2n
3 2 4 6 4 2 8 3 2 3 4 2 4
10. ( )( ) ( )( ) ( )( )
= m + 4m n + 4n − 4m n+ 4m n − 8m n = m − 4m n+ 4m n + 4m n − 8m n + 4n
6 4 2 8 5 3 4 2 5 6 5 4 2 3 4 2 5 8
2
2 2
2
a c a
11. b
2
c a a c c a c ac bc
b ( b) ( b)
b ab
2 4 4 16 2 2
− + = + + + ⎛ 2 2
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟+ − ⎜ ⎟= + + − + −
4 ⎠ ⎝ 4⎠
4 16 4 2
3

2
2
x x
x
x
x
x y
12. y
y
( y) ( y)
y xy
5 5 5
3 25 25 2
25
5 5
2 5 2 2 5
9 5 5 3 3 25 25 2
25 2 50
− + = + + + ⎛ 2
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟+ − ⎜ ⎟= + + − + −
⎠ ⎝ ⎠
9 3 3
2 4
13.
x 2 x 4 x
x
2 3 4 9 2 2
− + = + + + ⎛ 2
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
2 ⎠ 3⎠
2 2 4
13. 2
x x
( x ) ⎟ ⎛ ( x )
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
2
x x y
xy y
25 2 2
50
= − + + 25 − +
23 3
2
x
2 3
x
2 2 4 2
⎟ − = + x + − x + −
3⎠
4 9 3
4x
3
4
2
x
3
5x
4x
4
= − x + − +
4 3 3 9
14. a 2
2
x a x a a x
x a x a x
− + = + + + ⎛ x a x a ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟+ ⎛ x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ x⎠
⎝ ⎜ ⎞
a ⎠
⎟+ ⎛
− ⎞
⎜ ⎟ ⎛ 2
2
1 1
1
1
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ 1 2
2 2 2 ⎟= + + − + 2 −
2 2
2
2
2
3 9
3
3 a ⎠ x 9 a 3x
3a
15. 3 2 4 2
4 9 16
4 2 5 16 4 25 2 3 2
2 3 2
a a a a a a a 4 a 4
− + = + + + ⎛ 2
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟ + ⎛ 4 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ − ⎟ ⎛ 5⎠
⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
5⎠
4 2 3 2 4 3 2
9a a 16 3a 6a 4a 9a 3a 29a 4a
16
= + + − + − = − + − +
16 4 25 4 5 5 16 4 20 5 25
16. a 2 b 2 a 4 b 4 a 2 a 2 b 2 b 2
3
9
4 5 9 16 25 81 2 3
3
− + = + + + ⎛ 2 2
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟ + ⎛ 4 ⎠ ⎝ 5⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ − ⎟ ⎛ 9 ⎠ ⎝ 5⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
9 ⎠
2
2
a 2a
2x
x 19
=
2
− − +
2
+
x 3x
3a
a 9
4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4
a 9 b 3a a b 2b a 3a a b 9 2b b
= + + − + − = − + + − +
16 25 81 10 18 15 16 10 18 25 15 81
3 2 6 4 2 3 2 3 3 2 2
17.
x − x + x+ 1= x + x + x + 1+ 2 x − x + 2 x x + 2x + 2 − x x + 2 − x + 2x
17. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
3 2
18.
x −3x − 2x+
2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 2
= x + x + x + 1− 2x + 2x + 2x −2x − 2x + 2x= x − 2x + 3x − x + 2x+
1
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
6 4 2 3 2 3 3 2 2
= x + 9x + 4x + 4+ 2 x − 3x + 2 x − 2x + 2 x 2 + 2 −3x − 2x + 2 − 3x 2 + 2 −2x
2
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4 3 2
= x + 9x + 4x + 4−6x − 4x + 4x + 12x −12x − 8x= x − 6x + 5x + 16x −8x − 8x+
4
4 2
19.
x + 3x − 4x+
5
( )( ) ( )( ) ( )() ( )( ) ( )( ) ( )( )
8 4 2 4 2 4 4 2 2
= x + 9x + 16x + 25+ 2 x 3x + 2 x − 4x + 2 x 5 + 2 3x − 4x + 2 3x 5 + 2 −4x
5
8 4 2 6 5 4 3 2 8 6 5 4 3 2
= x + 9x + 16x + 25+ 6x − 8x + 10x − 24x + 30x − 40x= x + 6x − 8x + 19x − 24x + 46x − 40x+
25
4 3
20.
x − 4x + 2x−3
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
8 6 2 4 3 4 4 3 3
= x + 16x + 4x + 9+ 2 x − 4x + 2 x 2x + 2 x − 3 + 2 − 4x 2x + 2 −4x − 3 + 2 2x
−3
8 6 2 7 5 4 4 3 8 7 6 5 4 3 2
= x + 16x + 4x + 9− 8x + 4x −6x − 16x + 24x − 12x= x − 8x + 16x + 4x − 22x + 24x + 4x − 12x+
9
21.
3− 6a+ a −a
2 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
= 9+ 36a + a + a + 2 3 − 6a + 2 3 a + 2 3 − a + 2 − 6a a + 2 −6a − a + 2 a −a
2 4 6 2 3 2 3 2 3
2 4 6 2 3 3 4 5 6 5 4 3 2
= 9+ 36a + a + a − 36a+ 6a −6a − 12a + 12a − 2a = a − 2a + 13a − 18a + 42a − 36a+
9
3
x
2
2x
22.
− x + + 2
2 3
6
2 3
3 3
x
4
4x
x
x 2x x
= + x + + 4+ 2 ⎛ 2
4 9 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 2 ⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
2x
⎝ 3 ⎠
x
2 2 2 2 3 ⎠
2
2 2
( x ) ⎟ ⎛ 2 ( 2) 2( x ) ( x )( ) ( 2)
⎝ ⎜ ⎞
⎛ ⎞
⎟ + − ⎜ ⎟ + − + ⎛ 2 ⎝ ⎜ ⎞
⎟
6
2
4
3
6
x
4
4x
5
2x
3
4x
2
8x
x
5
5x
= + x + + 4 − x + + 2x
− − 4x
+ = − x +
4 9
3 3 3 4 3
+ 2x 32 8
3
− x
9
+ x
3
+4
4 3 2
25
9

23. a 3 a 2
2 3 a 1
− + −
2 3 4 2
6 4 2 3 2 3 3 2 2
a 4a 9a 1 a a a a a a a a a
4 9 16 4 2 2
3
1 2 3 2 1
2 2 2
2
2 3 1
= + + + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟+ ⎛ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟+ ⎛ 4 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟+ ⎜ − ⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟+ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟+ ⎛ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟
4 ⎠ ⎝ 2⎠
6 4 2 5 4 3
2 6 5 4 3 2
a 4a 9a 1 2a 3a a a a a a a a a a
3
2 3 2 43 3 59 3 1
= + + + − + − − a + − = − + − + − +
4 9 16 4 3 4 2 3 4 4 3 36 2 48 4 4
5 4 3 2
24.
x − x + x − x + x−2
10 8 6 4 2 5 4 5 3 5 2 5 5 4 3 4 2
4 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) 2( )( 2) 2( )( ) 2( )( )
4 4 3 2 3 3 2 2
( x )( x) ( x )( ) ( x )( x ) ( x )( x) ( x )( ) ( x )( x) ( x )( ) ( x)( )
= x + x + x + x + x + + x − x + x x + x − x + x x + x − + − x x + − x − x
+ 2 − + 2 − − 2 + 2 − + 2 + 2 − 2 + 2 − + 2 − − 2 + 2 −2
10 8 6 4 2 9 8 7 6 5 7 6 5 4 5 4 3 3 2
= x + x + x + x + x + 4− 2x + 2x
−2x + 2x −4x − 2x + 2x − 2x + 4x − 2x + 2x −4x − 2x + 4x −4x
10 9 8 7 6 5 4 3 2
= x − 2x + 3x − 4x + 5x − 8x + 7x − 6x + 5x − 4x+
4
EJERCICIO 209
1.
2 6 3 2
x x x x x 2 2
x x 2 2 2 2 2 2
+ + 1= + + 1+ 3 + 3 1 + 3 x x + 3 x 1 + 3 x + 3 x + 6 x x 1
1. ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
6 3 5 4 4 2 2 3 6 5 4 3 2
= x + x + 1+ 3x + 3x + 3x + 3x + 3x + 3x+ 6x = x + 3x + 6x + 7x + 6x + 3x+
1
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
2
) ( ) (
2
) ( )
2
+ 62 ( x )( − x)( −1)
2 6 3 2 2.
2 1 8 1 3 2 2 2
3 2 2 1 3 2 1 3 2 2
2
x − x− = x − x − + x − x + x − + − x − + − x 2x + 3 − 1 2x + 3 −1
− x
3.
1− 3x+
2x
6 3 5 4 2 4 2 3 6 5 4 3 2
= 8x − x −1−12x −12x − 3x + 6x + 6x − 3x+ 12x = 8x −12x − 6x + 11x + 3x −3x−1
3 6 2 2 2
2 2
2 2
() ( ) ( )( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 2 2
x x x x x x x x () ( x ) 2
( x)
2
()( x)( x )
= 1− 27 + 8 + 3 1 − 3 + 3 1 2 + 3 − 3 1 + 3 − 3 2 + 3 2 1 + 3 2 −3
+ 61 −3 2
2
= 1− 27x + 8x − 9x+ 6x + 27x + 54x + 12x −36x − 36x = 1− 9x+ 33x − 63x + 66x − 36x + 8x
4.
2− 3x+
x
5.
x
6.
x
3 6 2 2 4 4 5 3 2 3 4 5 6
2
2 2
2 2
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
( ) ( ) 2 2
( ) ( )( )( )
3 6 2 2 2
= 8− 27x + x + 3 2 − 3x + 3 2 x + 3 − 3x 2 + 3 − 3x x + 3 x 2 + 3 x − 3x + 6 2 −3x x
3 6 2 2 4 4 5 3 6 5 4 3 2
= 8− 27x + x − 36x+ 12x + 54x + 27x + 6x −9x − 36x = x − 9x + 33x − 63x + 66x − 36x+
8
−2x
−4
3 2
2
2
8 64 3( ) ( 2 ) 3( ) ( 4) 3( 2 ) ( ) 3( 2 ) ( 4) 3( 4) ( ) 3( 4) ( 2 )
3 2
( x )( x )( )
9 6 3
x x x 2 2 3
x x 2 2
x 2 3 2
x x 2 2 3
= − − + − + − + − + − − + − x + − − x
+ 6 −2 −4
= x −8x −64 −6x − 12x + 12x − 48x + 48x − 96x + 48x
9 6 8 6 7 4 3 2 5
9 8 7 6 5 4 3 2
= x − 6x + 12x − 20x + 48x − 48x + 48x −96x
−64
− x
4 2
−2
2
2
8 3( ) ( ) 3( ) ( 2) 3( ) ( ) 3( ) ( 2) 3( 2) ( ) 3( 2) ( )
4 2
( x )( x )( )
12 6 4
x x x 2 2 4
x x 2 2
x 2 4 2
x x 2 2 4
= − − + − + − + − + − − + − x + − − x
+ 6 − −2
12 6 10 8 8 4 4 2 6 12 10 8 6 4 2
= x − x −8−3x − 6x + 3x − 6x + 12x − 12x + 12x = x −3x − 3x + 11x + 6x −12x
−8

3
9
3
3
7. + − = + − + ( a ) ⎜ ⎟ + 3( a ) ⎜ − 3 ( a ) 3 ⎟ ⎜ − ⎟ + 3⎜
− ⎟ ( a
2 2 3
)
7.
a
2
6 3
a a a a a
a
3 2 2
2 3 8 27 3 ⎛ ⎞
⎝ 2 ⎠
2 2
⎛ a⎞
⎛ a ⎞
+ 3⎜
− ⎟ ⎜ ⎟ + 6a
⎝ 3⎠
⎝ 2 ⎠
3
2
⎛ a ⎞ ⎛ a⎞
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
3 2 2 2
⎛ a⎞
a
a a a
⎟ + ⎛ ⎝ 3⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠
2 2 2
6 3
9
a a 3
= a + − + a 8
7 5 5 4
8 7 6 5 4 3
7
3a a a a
6 9
a a a a a a
a
a a
8 27 2
− + 4 − 3
4 + 7
3 + 6
− = + 2 − 4
− 8 + 12 + 6 − 27
x x x x x x
8.
− +
2 3 2 = − +
8 27 8 + 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
2 ⎠ ⎝ 3⎠
2 6 3 2 2
2 2
8. ⎟ ⎜ − ⎟ + 3( x ) 2 ( 2) + 3⎜
− ⎟ ⎜ ⎟ + 3⎜
− ⎟ ( 2) + 3( 2)
3 2
9.
a − a + a−1
2
2 ⎛ x⎞
x x
+ 32 ( ) ⎜ − ⎟+ 6 ⎛ ( 2)
⎝ 3⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
6 3 5 4 4
x x x x x x
8 27 8 3 2
= − + − + + +
4 2 6 3
⎛
⎝
2 2 2
2
x⎞
⎛ x ⎞ ⎛ x⎞
2
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
3⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 2 ⎠
2
6 5 4 3 2
2 3
+ − − = − + − + − +
6x 4x 2x
x x 5x 55x 20x
8 4 3 27 3
1 3( ) ( ) 3( ) ( ) 3( ) ( 1) 3( ) ( ) 3( ) ( )
2
( a ) 2 2 3 2 2 2
2
3
2
2
2
( ) a ( a ) a ( a ) a ( ) ( ) ( a ) ( ) ( a ) ( ) ( a)
3 2 3 2 3 2
( a )( a )( a) ( a )( a )( ) ( a )( a)( ) ( a )( a)( )
= a − a + a − + a − a + a a + a − + − a a + −a a
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
+ 3 − − 1 + 3 + 3 − + 3 − 1 + 3 − 1 + 3 −1 − + 3 −1
+ 6 − + 6 − − 1 + 6 − 1 + 6 − −1
4x
8
9 6 3 8
= a − a + a −1− 3a
+ 3a − 3a + 3a + 3a − 3a + 3a −3a − 3a + 3a − 3a + 3a− 6a + 6a − 6a + 6a
7 6 7 5 4 5 4 2 3 2 6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
= a − 3a + 6a − 10a + 12a − 12a + 10a − 6a + 3a−1
10.
x − 2x + x− 3= x − 8x + x − 27+ 3 x − 2x + 3 x x + 3 x − 3 + 3 − 2x x + 3 −2x x
3 2 9 6 3 3
10. ( ) 2 2 3
( ) ( ) 2 3
( ) ( ) 2 2
( ) ( ) 2 3 2
( ) ( ) 2
( )
2
( x ) 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2
+ 3 −2 ( − 3) + 3x ( x ) + 3x ( − 2x ) + 3x ( − 3) + 6( x )( − 2x )( x) + 6( x )( −2x
)( −3)
3 2
2
3
2
2
2
+ 6( x )( x)( − 3) + 6( −2x )( x) ( − 3) + 3( − 3) ( x ) + 3( −3) ( − 2x ) + 3( −3)
x
3 2
11.
x − 4x + 2x−3
9
= x −8x
+ x −27 − 6x + 3x − 9x + 12x + 12x − 36x + 3x −6x −9x − 12x + 36x
6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 6 5
4 3 3 2
18 36 27 54 27
− x + x + x − x + x
x 6x 15x 29x 51x 60x 64x 63x 27x
27
9 8 7 6 5 4 3 2
= − + − + − + − + −
64 8 27 3( ) ( 4 ) 3( ) ( 2 ) 3( ) ( 3) 3( 4 ) ( ) 3( 4 ) ( 2 )
2
( x ) 2 2 3 2 2 2 2
3
2
2
( ) ( x) ( x ) ( x) ( x ) ( x) ( ) ( ) ( x ) ( ) ( x )
2
3 2 3 2 3
2
( ) ( x) ( x )( x )( x) ( x )( x )( ) ( x )( x)( ) ( x )( 2x)( − 3)
= x − x + x − + x − x + x x + x − + − x x + − x x
9 6 3 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
+ 3 −4 − 3 + 3 2 + 3 2 − 4 + 3 2 − 3 + 3 − 3 + 3 −3 −4
+ 3 − 3 2 + 6 − 4 2 + 6 −4 − 3 + 6 2 − 3 + 6 −4
= x − 64x + 8x −27 − 12x + 6x − 9x + 48x + 96x − 144x + 12x −48x − 36x + 27x −108x
9 6 3 8 7 6 7 5 4 5 4 2 3 2
+ 54x− 48x + 72x − 36x + 144x
6 5 4 3
9 8 7 6 5 4 3 2
= x − 12x + 54x − 121x + 180x − 228x + 179x − 144x + 54x−27
12.
1− x + 2x − x = 1− x + 8x − x + 3 − x + 3 2x + 3 − x + 3 − x + 3 − x 2x + 3 − x − x
2 4 6 6 12 18 2 4 6 2
12. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
( ) 2 4 2
( ) ( ) 2 6
( )
4
32 ( ) 2 4
32 ( ) 2 2 4
( ) 32 ( ) 2 6 6
( ) 3( ) 2 6
3( ) 2 2 6
( ) 3( ) 2 4
+ x + x − x + x − x + − x + − x − x + − x ( 2x
)
2 4 4 6 2 6 2 4 6
+ 6( − x )( 2x ) + 6( 2x )( − x ) + 6( − x )( − x ) + 6( − x )( 2x )( − x )
6
= 1− x + 8x − x − 3x + 6x − 3x + 3x + 6x − 3x + 12x −12x − 12x + 3x
12 18 2 4 6 4 8 10 8 10 14 12
− 3x + 6x −12x − 12x + 6x + 12x
14 16 6 10 8 12
= 1− 3x + 9x − 16x + 24x − 27x + 23x − 15x + 6x − x
2 4 6 8 10 12 14 16 18

EJERCICIO 210
4
1. ( x− ) = x − x ( ) + ⋅ x ( ) − ⋅ 4 3
43
2 2 62 3 4 4 3 2
2 4 2 2 x( 2) + ( 2)
= x − 8x + 24x − 32x+
16
2 3
4
2. ( a+ ) = a + a ( ) + ⋅ a ( ) + ⋅ 4 3
43
2 2 62 3 4 4 3 2
3 4 3 3 a( 3) + ( 3)
= a + 12a + 54a + 108a+
81
2 3
5 5 4 54
3. ( 2 ) ( 2) 5( 2) ( ) ( ) ( )
2 2 3 2
10 3 2 3
10 2
4 5 2 3 4 5
− = − + ⋅ ⋅
⋅
x x x − 2 x + 2 x − x = 32− 80x+ 80x − 40x + 10x − x
3 4
4. ( 2x+
5y)
4
4.
4 3 43
( 2 ) 4( 2 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 5 2 62
3 4
= x + x y + ⋅ x y + ⋅ 2x 5y + 5y = 16x + 160x y+ 600x y + 1.
000xy + 625y
3
6
5. ( a− ) = a − a ( ) + ⋅ 6 5
65
4 2 15⋅4
3 3 20⋅3
2 4 15⋅2
5 6
3 6 3 a ( 3) − a ( 3) + a ( 3) − a( 3) + ( 3)
2 3 4 5
6 5 4 3 2
= a − 18a + 135a − 540a + 1. 215a − 1.
458a+
729
6 6 5 65
6. ( 2 ) ( 2 ) 6( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4 2
15 4 3 3
20 3 2 4
15 2
5 6
a− b = a − a b+ ⋅ ⋅
⋅
⋅
a b − 2a b + 2a b − 2a b + b
3
4
5
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
= 64a − 192a b+ 240a b − 160a b + 60a b − 12ab + b
2 3 7. ( x y ) 5 2
( x ) 5 2
( x ) 4 3
54
2
( y ) ( x ) 3 3
( y ) 2 10 3
2
( x ) 2 3
( y ) 3 10 2
2 3
( x )( y ) 4 3
+ 2 = + 5 2 + ⋅ ⋅
⋅
2 + 2 + 2 + ( 2y
)
5
2
3
4
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
= x + 10x y + 40x y + 80x y + 80x y + 32y
3
6
3 8. ( x ) ( x ) 6 3
( x ) 5 65
3
() ( x ) 4 2 15 4
3
() ( x ) 3 3 20 3
3
() ( x ) 2 4 15 2
3 5 6
+ 1 = + 6 1 + ⋅ ⋅
⋅
⋅
1 + 1 + () 1 + ( x )() 1 + () 1
2
3
4
5
18 15 12 9 6 3
= x + 6x + 15x + 20x + 15x + 6x
+ 1
5 5 4 54
9. ( 2 3 ) ( 2 ) 5( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 3 3 2 10 3 2 3 10 2
4 5
a− b = a − a b + ⋅ ⋅
⋅
a b − 2a 3b + 2a 3b − 3b
3
4
5 4 3 2 2 3 4 5
= 32a − 240a b+ 720a b − 1.
080a b + 810ab −243b
10. ( x − 5y
)
10.
4 3 6
4 3 2 2 3 4
65
15 4
20 3
15 2
= − + ⋅ ⋅
⋅
⋅
−
2
3
4
5
24 20 3 16 6 12 9 8 12 4 15 18
= x − 30x y + 375x y − 2. 500x y + 9. 375x y − 18. 750x y + 15.
625y
( x ) 6( x ) ( 5y ) ( x ) ( 5y ) ( x ) ( 5y ) + ( x ) ( 5y ) − ( x )( 5y ) + ( 5y
)
⎛ y⎞
11.
⎜ 2x
− ⎟
⎝ 2⎠
4 6 4 5 3 4 4 3 2 4 3 3 3 4 2 3 4 4 3 5 3 6
6
6 5⎛
y⎞
65
( 2 ) 6( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 4 y 15 4 3 y 20 3 2 y 15 2 y y
= x − x ⎜ ⎟+ ⋅ x
⎛ 2x
2x
2x
⎝ ⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞
⎟ −
⎜ ⎟ +
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎛ 2 ⎠ 3 ⎝ 2⎠
4 ⎝ 2⎠
5 ⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
2⎠
6
6 5 4 2 3 3
15
2 4
3
5
y
= 64x − 96x y+ 60x y − 20x y + x y − xy +
4 8 64
2
3
4 5 6
2
⎛ x ⎞ 5 4 ⎛ x ⎞ 54
12. 3 ( 3) 5( 3) ( ) ( ) ( )
3
3 2 3 3 10 3 2 10 2
⎜ − ⎟ = − ⎜ ⎟ + ⋅ ⎛ 3
3
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ x ⎞ ⋅ ⎛ x ⎞ ⋅ ⎛ x ⎞
⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎛ 3 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 4 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ x ⎞
⎟
3 ⎠
2 5
2 2
2 3 2 4 2 5
10
2 4
10
6
5
8
x
= 243− 135x + 30x − x + x −
3 27 243
65
13.
2 3 2 6 2 3
2 2 3 15 4
20 3
m − n = m − m n + ⋅ ⋅
⋅
m n − 2m 3n + 2m 3n
3
4
15⋅2
3 4
( 2 )( 3 ) 5 4
− m n + ( 3n
)
6
5
= 64m − 576m n + 2. 160m n − 4. 320m n + 4. 860m n − 2.
916m n + 729n
13. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 4 6 3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24

7
2
14. ( x − 3)
14.
76 21 5 35 4
= − + ⋅ ⋅
⋅
−
2
3
4
14 12 10 8 6 4 2
= x − 21x + 189x − 945x + 2. 835x − 5. 103x + 5. 103x
−2.
187
35⋅3
5
21⋅2
6
( x ) 7( x ) ( 3) ( x ) ( 3) ( x ) ( 3) + ( x ) ( 3) − ( x ) ( 3) + ( x )( 3) − ( 3)
2 7 2 6 2 5 2 2 4 3 2 3 4 2 2 5 2 6 7
2
⎛
5 4 54
15. 3 ( 3 ) 5( 3 ) ( ) ( ) ( )
3
3 2 3 3 10 3 2 10 2
a b ⎞
⎛ b ⎞
b
b
⎜ − ⎟ = a − a ⎜ ⎟ + ⋅ a
⎛ 3a
3a b b
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞
⎟ −
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎛ 3 ⎠ 3 ⎝ 3 ⎠ 4 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
3 ⎠
16.
2 5
2 2
10
5 4 2 3 4
10
2 6
5
8
b
= 243a − 135a b + 30a b − a b + ab −
3 27 243
2 3 2 4 2 5
76
21⋅5
35⋅4
2
3
4
35⋅3
2
( x ) 2
( y ) 21⋅2
2 2
( x )( y ) 2
+ 2 + 2 + ( 2y
)
5
6
= x + 14x y + 84x y + 280x y + 560x y + 672x y + 448x y + 128y
16. ( x + 2y ) = ( x ) + 7( x ) ( 2y ) + ⋅ ( x ) ( 2y ) + ( x ) ( 2y ) + ( x ) ( 2y
)
17.
2 2 7 2 7 2 6 2 2 5 2 2 2 4 2 3 2 3 2 4
14 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 12 14
87 28 6 56 5 70 4
x − 1 = x − 8 x 1 + ⋅ ⋅
⋅
⋅
x 1 − x 1 + x 1 − x
2
3
4
5
56⋅3
3
( x ) 2 6 28⋅2
3 7 8
+ () 1 − ( x )() 1 + () 1
6
7
24 21 18 15 12 9 6 3
= x − 8x + 28x − 56x + 70x − 56x + 28x − 8x
+ 1
17. 3
8
( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ()
⎛
18.
⎜ x
⎝
y⎞
2⎠
9
3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
2
2 9 2 8 ⎛ y⎞
98
2 7 y
⎟ + ⋅ ⎛ ⎝ 2⎠
2 ⎝ ⎜ ⎞
2⎠
3
36⋅7
2 6 ⎛ y⎞
3 ⎝ 2⎠
2
18. − ⎟ = ( x ) −9( x ) ⎜ ( x ) ⎟ − ( x ) ⎜ ⎟ + ( x ) ⎜ ⎟ − ( x )
19.
6
126⋅4
2 3 ⎛ y⎞
+
6 ⎝ 2⎠
7
84⋅3
2 2 ⎛ y⎞
7 ⎝ 2⎠
2
( x ) ⎜ ⎟ − ( x ) ⎜ ⎟ + ( x )
36⋅2
⎛ y⎞
y
⎜ ⎟ − ⎛ 8 ⎝ 2⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
2⎠
8
4
84⋅6
2 5 ⎛ y⎞
4 ⎝ 2⎠
1
5
126⋅5
2 4 ⎛ y⎞
⎜ ⎟
5 ⎝ 2⎠
9
18
9
16 14 2
21
12 3
63
10 4
63
8 5
21
6 6
9
4 7
9
2 8
y
= x − x y+ 9x y − x y + x y − x y + x y − x y + x y −
2
2 8 16 16 32 256 512
76
2 2 21⋅5
35⋅4
3
4
35⋅3
3
( 2 ) 2 4
21 2
( ) 5 ⋅
3 4
( 2 )( ) 6 4
− m n + m n − ( n )
7
5
6
= 128m − 448m n + 672m n − 560m n + 280m n − 84m n + 14m n −n
19. ( 2m − n ) = ( 2m ) − 7( 2m ) ( n ) + ⋅ ( m ) ( n ) − ( 2m ) ( n ) + ( 2m ) ( n )
⎛ x
20.
⎜ +
⎝ 2
3 4 7 3 7 3 6 4 3 5 4 2 3 4 4 3 3 3 4 4
2y
⎞
⎟
3 ⎠
2 2 5
21 18 4 15 8 12 12 9 16 6 20 3 24 28
x x 2y 54 x 2y 10 3 x 2y 10 2 x 2y 2y
= ⎛ 5
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟+ ⋅ ⎛ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ 3 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
3 ⎠
2 5 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5
10 8 2 6
x 5x y 5x y
= + +
32 24 9
⎛ 1
⎜ −
21.
⎝ 5
5
2
+ 20x y 40 32
27
+ x y
81
+ y
243
4 4 6 2 8 10
6 6 5 4 2 3 3 2 4
a⎞
1
6 1 5 65 1 5 15 4 1 5 20 3 1 5
⎟ = ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 5⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 5⎠
⎝ ⎜ a⎞
⎟ + ⋅ ⎛ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ a⎞
⋅ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎛ 5⎠
⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 5⎠
⎝ ⎜ a⎞
⋅ ⎛ ⎞ ⎛ a⎞
⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 ⎠ 4 ⎝ 5⎠
⎝ 2 ⎠
5 6
15⋅2
⎛ 1⎞
5 5
− ⎜ ⎟ ⎛ 5 ⎝ 5⎠
⎝ ⎜ a⎞
⎟ + ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ a⎞
⎟
2 ⎠
1 3a 3a 5a 375a 1875 . a 15.
625a
= − + − + − +
15.625
625 20 2 16 16 64
2 3 4 5 6
9

EJERCICIO 211
NOTA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
6
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.
a+ 2b = a + 6a 2b + 15a 2b + 20a 2b + 15a 2b + 6a 2b + 2b
2.
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
= a + 12a b+ 60a b + 160a b + 240a b + 192ab + 64b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
2. ( 2m − 3n ) = ( 2m ) − 5( 2m ) ( 3n ) + 10( 2m ) ( 3n ) − 10( 2m ) ( 3n ) + 5( 2m )( 3n ) −( 3n
)
3.
2 3 5 2 5 2 4 3 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 4 3 5
= 32m − 240m n + 720m n − 1.
080m n + 810m n −243n
10 8 3 6 6 4 9 2 12 15
3. ( x + y ) = ( x ) + 6( x ) ( y ) + 15( x ) ( y ) + 20( x ) ( y ) + 15( x ) ( y ) + 6( x )( y ) + ( y )
4.
2 3 6 2 6 2 5 3 2 4 3 2 2 3 3 3 2 2 3 4 2 3 5 3 6
= x + 6x y + 15x y + 20x y + 15x y + 6x y + y
12 10 3 8 6 6 9 4 12 2 15 18
4. ( 3− y ) = ( 3) − 7( 3)( y ) + 21( 3)( y ) − 35( 3)( y ) + 35( 3)( y ) − 21( 3)( y ) + 7( 3)( y ) −( y )
5.
7 7 7 6 7 5 7 2 4 7 3 3 7 4 2 7 5 7 6 7 7
= 2. 187 − 5. 103y + 5. 103y − 2.
835y + 945y − 189y + 21y − y
7 14 21 28 35 42 49
3 4
5. ( 2x
− 3y
)
6
= ( 2x ) − 6( 2x ) ( 3y ) + 15( 2x ) ( 3y ) − 20( 2x ) ( 3y ) + 15( 2x ) ( 3y ) − 6( 2x )( 3y ) + ( 3y
)
3 6 3 5 4 3 4 4 2 3 3 4 3 3 2 4 4 3 4 5 4 6
= 64x − 576x y + 2. 160x y − 4. 320x y + 4. 860x y − 2.
916x y + 729y
18 15 4 12 8 9 12 6 16 3 20 24
5 2 5 2 4
2
x
3
x x
3
x
x
3
x
6.
y
y
y
y
3 2
⎛ ⎞
⎜ + ⎟ = ⎛ 5 10 10 5 y
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎛ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + 2 ⎠
2 3
6. ( ) ( ) ( ) ( y )
3 2 2 2
10 8 3 6 6 4 9 2 12
x 5x y 5x y 5x y 5x y
= + + + + + y
32 16 4 2 2
⎛ a 3⎞
a a 3 a 3
7.
⎜ − ⎟ = ⎛ 6 15
⎝ 3 b⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 3⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
b⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝ b⎠
8. ( 1−
x )
8.
4 8
6 5 4 3
2
a 2a
5a
20a
135a
486a
729
= − + 2 − 3 + 4 − 5 + 6
729 27b
3b
b b b b
15
3 4 3 5
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
⎛ a⎞
3 a 3 a 3 3
− 20⎜
⎟ ⎛ 15 6
⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎛ b⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝ b⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ b⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
b⎠
() 1 8() 1 ( x ) 28()( 1 x ) 56()( 1 x ) 70()( 1 x ) 56()( 1 x ) 28() 1 ( x ) 8()( 1 x ) ( x )
8 7 4 6 4 2 5 4 3 4 4 4 3 4 5 2 4 6 4 7 4 8
= − + − + − + − +
= 1− 8x + 28x − 56x + 70x − 56x + 28x − 8x + x
4 8 12 16 20 24 28 32

7 7 6 5 2 4 3 3 4
⎛ 2 3 ⎞ 2
9.
7 2 3
21 2 3
35 2 3
35 2 3
⎜ − ⎟ = ⎛ ⎝ 3x 2y⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 3x⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ 3x⎠
⎝ 2y⎠
⎝ 3x⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2y⎠
⎝ 3x⎠
⎝ 2y⎠
⎝ 3x⎠
⎝ 2y⎠
⎛
21 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞
7 2 3
− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎝ 3x⎠
⎝ 2y⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 3x⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 2y⎠
⎝ ⎜ 3 ⎞
⎟
2y⎠
2 5
6 7
128 224 56 70 105 567 1701 . 2187 .
= 7 − 6 + 5 2 − 4 3 + 3 4 − 2 5 + 6 − 7
2187 . x 243x y 9x y 3x y 2x y 8x y 32xy 128y
⎛ 2 m ⎞ 2
10.
7 2 m
21 2 m
⎜ − ⎟ = ⎛ ⎝ m 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ m⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ m⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ m⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
2 ⎠
11.
21 2 2 2 5
7 2 2 6 2
⎛ ⎞ ⎛ m ⎞ m m
− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎝ m⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ m⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 2 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
2 ⎠
⎛
35 2 ⎞ ⎛ m ⎞ ⎛
35 2 ⎞ m
− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ ⎝ m⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ m⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟
2 ⎠
2 7 7 6 2 5 2 2 4 2 3 3 2 4
5 8 11 14
128 224 168
2
35m 21m 7m m
= 7 − 4 + − 70 m + − + −
m m m 2 8 32 128
3
8
11. ( x + mn) = ( x ) + 8( x ) mn + 28( x ) ( mn) + 56( x ) ( mn) + 70( x ) ( mn) + 56( x ) ( mn)
3
( x ) 2 6 3 7 8
+ 28 ( mn) + 8( x )( mn) + ( mn)
3 8 3 7 3 6 2 3 5 3 3 4 4 3 3 5
7
= x + 8x mn+ 28x m n + 56x m n + 70x m n + 56x m n + 28x m n + 8x m n + m n
24 21 18 2 2 15 3 3 12 4 4 9 5 5 6 6 6 3 7 7 8 8
2
⎛ b ⎞ 9 8⎛
b ⎞
7 ⎛ b ⎞
6 ⎛ b ⎞
5 ⎛ b ⎞
4 ⎛ b ⎞
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12.
⎜ 3−
⎟ = 3 −9 3 ⎜ ⎟+ 36 3 ⎜ ⎟ −84 3 ⎜ ⎟ + 126 3 ⎜ ⎟ −126 3 ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
2 9
10
2 2
3 ⎛ b ⎞
2 ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞
+ 84( 3) ⎜ ⎟ − 36( 3) ⎜ ⎟ + 93 ( ) ⎜ ⎟ − ⎛ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎜ b ⎞
⎟
3 ⎠
2 6
12 14 16 18
2 4
6 8 10
28b 4b b b
= 19. 683− 19. 683b
+ 8. 748b
− 2268 . b + 378b − 42b
+ − + −
9 27 243 19.
683
2 3
2 7 2 8 2 9
⎛
() () () () () () ()
13.
1 1 ⎞ 10 9 ⎛ 1⎞
8 ⎛ 1⎞
7 ⎛ 1⎞
6 ⎛ 1⎞
5 ⎛ 1⎞
4 ⎛ 1⎞
⎜ − ⎟ = 1 −10 1 ⎜ ⎟+ 45 1 ⎜ ⎟ −120 1 ⎜ ⎟ + 210 1 ⎜ ⎟ −252 1 ⎜ ⎟ + 210 1 ⎜ ⎟
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
⎝ x⎠
14.
7
1 1
120() 1 45() 1 10()
1 1 1
3 ⎛ ⎞
2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
x x x x⎠
10 45 120
= 1− +
2
−
3
x x x + 210 − 252 + 210 − 120 + 45 − 10 + 1
x x x x x x x
2
8 9 10
4 5 6 7 8 9 10
14. ( 2m − 5n ) = ( 2m ) − 6( 2m ) ( 5n ) + 15( 2m ) ( 5n ) − 20( 2m ) ( 5n ) + 15( 2m ) ( 5n
)
2 5
62 ( )( 5 ) 5 5
− m n + ( 5n
)
6
⎛ x ⎞
15.
⎜ 4 − ⎟
⎝ 4 ⎠
2 5 6 2 6 2 5 5 2 4 5 2 2 3 5 3 2 2 5 4
5 7
3
= 64m − 960m n + 6. 000m n − 20. 000m n + 37. 500m n − 37. 500m n + 15.
625n
12 10 5 8 10 6 15 4 20 2 25 30
5
7 6⎛
x ⎞
5 ⎛ x ⎞
4 ⎛ x ⎞
3 ⎛ x ⎞
2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
= ( 4) −7( 4) ⎜ ⎟ + 21( 4) ⎜ ⎟ − 35( 4) ⎜ ⎟ + 35( 4) ⎜ ⎟ − 21( 4) ⎜ ⎟ + 74 ( ) ⎜ ⎟ − ⎛ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎜ x ⎞
⎟
4 ⎠
5 2
20 25 30 35
5 10 15
35x 21x 7x x
= 16. 384 − 7. 168x + 1.
344x − 140x
+ − + −
4 64 1. 024 16.
384
5 3
5 4
4
2 4
5
2 5
5 5 5 6 5 7
6

EJERCICIO 212
1.
x − y donde r = 3
1. ( )
54
= ⋅ 12 ⋅
5
4. ( )
−
( ) ( )
5 2 2
x − y = 10x y
−
( x) ( − y)
3 3
( x )( y )
3 2
4.
3x − 2y donde r = 4
7.
654
= ⋅ ⋅
123 ⋅ ⋅
3 2
= 20 27 −8
6
=−4.
320xy
2
7. ( )
10
6 3 4−1
3 3
x − 2y donde r = 7
10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5
=
123456 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
8 6
( x )( y )
= 210 64
= 13.
440xy
9.
2
( )
15
8 6
−
( x ) ( − 2y)
2 10 6 7 − 1
9.
a + b donde r = 10
15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7
=
123456789
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 5.
005a b
11. ( )
12 9
11.
2a − b donde r = 6
65432
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
12345 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2
10
( a)( b )
= 62 −
=−12ab
2 6 6 5 2 6 − 1
10
−
( a) ( − b )
EJERCICIO 213
2.
a − 4b donde r = 4
765
= ⋅ ⋅ −
−
( a) ( − 4b)
123 ⋅ ⋅
−
( a ) ( b)
2. ( )
2 15 9 10−1
7
3
( b )
4
= 35a
−64
7 3 4 1
3.
1+ donde r = 5
3. ( x)
11
11⋅10⋅9⋅8
−
= () 1 ( x)
1234 ⋅ ⋅ ⋅
= 330x
4
11 4 5−1
4 3
=−2.
240ab
⎛
6.
2a b ⎞
⎜ − ⎟ donde r = 6
2
9
⎝ 2⎠
5. ( a − 2b)
donde r = 5
9876
2
= ⋅ ⋅ ⋅
87654
( a ) 9 − 4 ( − 2b)
5 −
( )
1
12345 2 8 5 b
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⎛ ⎞
a ⎜ − ⎟
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎝ 2⎠
1234 ⋅ ⋅ ⋅
5
⎛
10 4
3
b ⎞
= 126( a )( 16b
)
= 56( 8a
) ⎜ − ⎟
⎝ 32⎠
10 4
= 2.
016a b
3 5
=−14ab
2 8. ( x − y )
11 donde r = 8
11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5
11−7 2
−
=
( x) ( − y )
8 1
1234567
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 330x
−
=−330x y
10. ( x )
( y )
4 14
4 14
10.
1− donde r = 9
12111098765
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
12345678
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 495x
2 12 12 8 2 9 − 1
16
12.
3x − y donde r = 5
2 2 8 2 8 4 2 5 − 1
12. ( )
8765
= ⋅ ⋅ ⋅
1234 ⋅ ⋅ ⋅
3
−
( x ) ( − y )
8 8
( x )( y )
= 70 81
= 5.
670xy
8 8
8
−
() 1 ( − x )
6−1
1. 4ab
=± 2ab
2 4 2
2. 25xy
=± 5xy
6 8 3 4
3. 27ab
3 9 = 3ab
3 3
3 6 12
4. − 8abx
=−2abx
3 2 4
5. 64xy
=± 8xy
8 10 4 5
6. 16ab
8 16 =± 2ab
4 2 4
15 20 25
7. x y z = x y z
5 3 4 5
8. − 64axy
3 6 18 =−4axy
3 2 6
5 15
9. − 243mn
=−3mn
5 3
10. 81xyz
=± 9xyz
6 8 20 3 4 10
9 18
11. 1000 . xy = 10xy
3 3 6
12. 81a 12 b
24 =± 3a b
4 3 6
13. 64a 12 b 18 c
30 =± 2abc
6 2 3 5
14. 49a b =± 7a b
2 n 4 n n 2 n
5 10
15. − x y =−x y
5 n x n 2x
16.
2
9a
25x
3a
=±
5x
4 2
27a
3a
3
17. − =−
9
3
64x
4x
5 10
ab ab
5
18. − =−
15
32x
2x
19.
20.
4
7
3
8
a a
=±
4 12
81bc
3bc
128 2
=
14 2
x x
2
3
2
3
21.
2m
m
x x
=±
4n
2
121y
11y
125x
5x
3
22. − =−
12
216m
6m
23.
24.
9
10
a
bc
18
9 27
9
2
a
=
bc
20
2
x x
=±
30
1.
024y
2y
3
n
3
4
3

EJERCICIO 214
1.
2.
3.
16x − 24xy + 9y 4x−3y
2 2 4 2
( ) ( )
−16x 8x−3y −3y
2 2 2
− 24xy + 9y = − 24xy + 9y
24xy
− 9y
2 4 2 4
2 4
0
4 3 2 2 2
25a − 70a x+ 49a x 5a −7ax
( )( )
4 2
−25a 10a −7ax −7ax
− 70ax+ 49ax = − 70ax+
49ax
3 2 2 3 2 2
70ax−
49ax
3 2 2
0
4 3 2 2
x − 4x + 6x − 4x+ 1 x − 2x+
1
( 2 2 )( 2 )
4 2
− x x − x − x
− 4x + 6x = − 4x + 4x
3 2 3 2
3 2
4x
− 4x
2 2
2x − 4x+ 1 ( 2x − 4x+
1)()
1
2 2
− 2x + 4x− 1 = 2x − 4x+
1
0
4.
4 3 2
4a + 4a + 5a + 2a+ 1
2
2a + a+
1
4
− 4a 2
( 4a + a)( a)
4a + 5a = 4a + a
−4a
3 2 3 2
− a
2 2
4a + 2a+ 1 ( 4a + 2a+
1)()
1
3 2
2 2
−4a −2a− 1 = 4a + 2a+
1
0
5.
4 3 2 2
n − 10n + 29n − 20n+ 4 n − 5n+
2
( 2 5 )( 5 )
4 2
−n n − n − n
− 10n + 29n = − 10n + 25n
3 2 3 2
3 2
10n
− 25n
2 2
4n − 20n+ 4 ( 2n − 10n+
2)( 2)
2 2
− 4n + 20n− 4 = 4n − 20n+
4
0

6.
7.
8.
9.
6 5 4 3 2 3 2
x − 10x + 25x + 12x − 60x + 36 x − 5x
+ 6
( 2 5 )( 5 )
− x x − x − x
6 3 2 2
− 10x + 25x = − 10x + 25x
5 4 5 4
5 4
10x
− 25x
3 2 3 2
12x − 60x + 36 ( 2x − 10x
+ 6)( 6)
3 2 3 2
− 12x + 60x − 36 = 12x − 60x
+ 36
0
8 6 4 2 4 2
16a − 24a + 49a − 30a + 25 4a − 3a
+ 5
( )( )
−16a 8a −3a −3a
8 4 2 2
− 24a + 49a = − 24a + 9a
6 4 6 4
6 4
24a
− 9a
4 2 4 2
40a − 30a + 25 ( 8a − 6a
+ 5)()
5
4 2 4 2
− 40a + 30a − 25 = 40a − 30a
+ 25
0
2 2 2
x + 4xy−2xz− 4yz+ 4y + z x+ 2y−z
( 2 2 )( 2 )
2
− x x+
y y
4xy − 2xz + 4y = 4xy + 4y
−4xy
−4y
2 2
2
( )( )
2
−2xz − 4yz + z 2x + 4y −z −z
2xz + 4yz − z = −2xz − 4yz + z
0
12 9 6 3 6 3
x + 2x −5x − 6x + 9 x + x −3
2 2
( 2 )( )
− x x + x x
12 6 3 3
2x − 5x = 2x + x
− 2x
9 6 9 6
− x
9 6
( ) ( )
6 3 6 3
−6x − 6x + 9 2x + 2x
−3 −3
6 3 6 3
6x + 6x − 9 = −6x − 6x
+ 9
0
10.
8 6 5 4 3 2 4 2
25x − 70x + 30x + 49x − 42x + 9x 5x − 7x + 3x
( )( )
−25x 10x −7x −7x
8 4 2 2
− 70x + 30x + 49x = − 70x + 49x
6 5 4 6 4
6 4
70x
− 49x
5 3 2 4 2
30x − 42x + 9x ( 10x − 14x + 3x)( 3x)
− 30x + 42x − 9x = 30x − 42x + 9x
5 3 2 5 3 2
0

11.
4a + 8a b−8a b − 12ab + 9b 2a + 2ab−3b
4 3 2 2 3 4 2 2
( ) ( )
4 2
− 4a 4a + 2ab 2ab
8ab− 8ab = 8ab+
4ab
3 2 2 3 2 2
−8ab−4ab
3 2 2
( ) ( )
−12a b − 12ab + 9b 4a + 4ab −3b −3b
2 2 3 4 2 2 2
12 ab + 12ab − 9b = −12 ab − 12ab + 9b
2 2 3 4 2 2 3 4
0
12.
6 5 4 2 3 2
x − 2x + 3x − x + 2x+ 1 x − x + x+
1
( 2 ) ( )
− x x − x − x
6 3 2 2
− 2x + 3x = − 2x + x
5 4 5 4
2x
− x
5 4
( ) ( )
4 2 3 2
2x − x + 2x 2x − 2x + x x
2x −2x − x = 2x − 2x + x
3 4 2 4 3 2
3 2
2x − 2x + 2x+
1
( ) ()
3 2 3 2
− 2x + 2x −2x− 1 2x − 2x + 2x+
1 1
3 2
0 = 2x − 2x + 2x+
1
13.
6 5 4 3 2 3 2
x − 6x + 5x + 16x −8x − 8x+ 4 x −3x − 2x+
2
( 2 3 )( 3 )
− x x − x − x
6 3 2 2
− 6x + 5x = − 6x + 9x
5 4 5 4
6x
− 9x
5 4
( )( )
4 3 2 3 2
− 4x + 16x −8x 2x −6x −2x −2x
4x −12x − 4x = − 4x + 12x + 4x
4 3 2 4 3 2
3 2
4x −12x − 8x+
4
− 4x + 12x + 8x−4 2x −6x
3 2 3 2
( − 4x
+ 2) ( 2)
3 2
0 = 4x −12x − 8x+
4
14.
8 6 5 4 3 2 4 2
x + 6x − 8x + 19x − 24x + 46x − 40x+ 25 x + 3x − 4x+
5
( )( )
− x 2x + 3x 3x = 6x + 9x
8 4 2 2 6 4
6x − 8x + 19x
6 5 4
( )( )
6 4 4 2
−6x − 9x 2x + 6x −4x −4x
− 8x + 10x − 24x + 46x = −8x − 24x + 16x
5 4 3 2 5 3 2
8x + 24x −16x
5 3 2
( ) ()
4 2 4 2
10x + 30x − 40x+ 25 2x + 6x
−8x
+ 5 5
4
−10x 2
− 30x + 40x− 25
4 2
= 10x + 30x − 40x+
25
0

15.
16.
17.
18.
8 7 6 5 4 3 2 4 3
x − 8x + 16x + 4x − 22x + 24x + 4x − 12x+ 9 x − 4x + 2x−3
( ) ( )
− x 2x −4x − 4x = − 8x + 16x
8 4 3 3 7 6
7 6
− 8x
+ 16x
7 6 4 3
8x −16x ( 2x − 8x + 2x)( 2x)
4x − 22x + 24x + 4x = 4x − 16x + 4x
5 4 3 2 5 4 2
− 4x + 16x −4x
5 4 2
( )( )
4 3 4 3
− 6x + 24x − 12x+ 9 2x − 8x
+ 4x
−3 −3
4 3 4 3
6x − 24x + 12x− 9 = − 6x + 24x − 12x+
9
0
9− 36a+ 42a − 18a + 13a − 2a + a 3− 6a+ a −a
( )( )
−9 6−6a − 6a = − 36a+
36a
− 36a+
42a
2 3 4 5 6 2 3
2
( )( )
36a−36a 6− 12a+ a a = 6a − 12a + a
2 2 2 2 3 4
6a − 18a + 13a
2 3 4
( )( )
− 6a + 12a − a 6 − 12a+ 2a −a −a
2 3 4 2 3 3
− 6a + 12a − 2a + a = − 6a + 12a − 2a + a
6
3 4 5 6 3 4 5 6
− 12a + 2a −a
a 3 4 5 6
0
6 5 4 3 2 3 2
9x − 24x + 28x − 22x + 12x − 4x+ 1 3x − 4x + 2x−1
( )( )
−9x 6x −4x − 4x = − 24x + 16x
6 3 2 2 5 4
5 4
− 24x
+ 28x
5 4 3 2
24x −16x ( 6x − 8x + 2x)( 2x)
12x − 22x + 12x = 12x − 16x + 4x
4 3 2 4 3 2
− 12x + 16x − 4x
4 3 2
( )( )
3 2 3 2
− 6x + 8x − 4x+ 1 6x − 8x + 4x−1 −1
6x
3
2 3 2
− 8x + 4x− 1 = − 6x + 8x − 4x+
1
0
6 5 4 3 2 3 2
16x − 40x + 73x − 84x + 66x − 36x+ 9 4x − 5x + 6x−3
( )( )
−16x 8x −5x − 5x = − 40x + 25x
6 3 2 2 5 4
5 4
− 40x
+ 73x
5 4 3 2
40x −25x ( 8x − 10x + 6x)( 6x)
48x − 84x + 66x = 48x − 60x + 36x
4 3 2 4 3 2
− 48x + 60x −36x
4 3 2
( ) ( )
3 2 3 2
− 24x + 30x − 36x+ 9 8x − 10x + 12x−3 −3
24x
− 30x + 36x− 9 = − 24x + 30x − 36x+
9
3 2 3 2
0
2

19.
m − 4m n+ 4m n + 4m n − 8m n + 4n m − 2m n+
2n
6 5 4 2 3 4 2 5 8 3 2 4
( 2 2 )( 2 )
6 3 2 2
−m m − mn − mn
− 4mn+ 4mn = − 4mn+
4mn
5 4 2 5 4 2
4mn−
4mn
5 4 2
( )( )
4mn − 8mn + 4n 2m − 4mn+
2n 2n
3 4 2 5 8 3 2 4 4
− 4mn + 8mn − 4n = 4mn − 8mn + 4n
3 4 2 5 8 3 4 2 5 8
0
20.
9x − 6x y+ 13x y − 16x y + 8x y − 8xy + 4y 3x − x y+ 2xy −2y
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
( )( )
−9x 6x − xy − xy = − 6xy+
xy
6 3 2 2 5 4 2
− 6xy+
13xy
5 4 2
( )( )
6xy− xy 6x − 2xy+
2xy 2xy
5 4 2 3 2 2 2
12xy − 16xy + 8xy = 12xy − 4xy + 4xy
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4 2
− 12xy
+ 4xy
− 4xy
3 3 2 4
( )( )
− 12xy + 4xy − 8xy + 4y 6x − 2xy+ 4xy −2y −2y
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
12xy − 4xy + 8xy − 4y = − 12xy + 4xy − 8xy + 4y
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
0
21.
16a − 24a b+ 25a b − 20a b + 10a b − 4ab + b 4a − 3a b+ 2ab −b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
( )( )
−16a 8a −3ab − 3ab= − 24ab+
9ab
6 3 2 2 5 4 2
− 24ab+
25ab
5 4 2
( )( )
24ab− 9ab 8a − 6ab+
2ab 2ab
5 4 2 3 2 2 2
16ab − 20ab + 10ab = 16ab − 12ab + 4ab
4 2 3 3 2 4 4 2 3 3 2 4
4
− 16a
b + 12a b − 4a b
2 3 3 2 4
( )( )
− 8a b + 6a b − 4ab + b 8a − 6a b + 4ab −b −b
3 3 2 4 5 6 3 2 2 3 3
8ab − 6ab + 4ab − b = − 8ab + 6ab − 4ab + b
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
0
22.
36x − 36x y + 48x y −15x y − 24x y + 28x y − 16xy + 4y 6x − 3x y + 4xy −2y
8 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8 4 2 2 3 4
( )( )
− 36x 12x −3xy − 3xy = − 36xy + 9xy
8 4 2 2 2 2 6 2 4 4
− 36xy + 48xy −15xy
6 2 5 3 4 4
( )( )
36xy − 9xy 12x − 6xy + 4xy 4xy
6 2 4 4 4 2 2 3 3
5 3 4 4 3 5
48xy −24xy −24xy
+ 28xy = 48xy − 24xy + 16xy
( )( )
− 48xy + 24xy−16xy 12x − 6xy + 8xy −2y −2y
− 24xy + 12xy − 16xy + 4y = − 24xy + 12xy − 16xy + 4y
4 4 2 6 7 8
24xy − 12xy + 16xy −4y
0
2 6 5 3 3 5 2 6
5 3 3 5 2 6 4 2 2 3 4 4
4 4 2 6 7 8 4 4 2 6 7 8

23.
25a − 40a x+ 26a x − 28a x + 17a x − 4ax + 4x 5a − 4a x+ ax −2x
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 2 3
( )( )
−25a 10a −4ax − 4ax =− 40ax+
16ax
6 3 2 2 5 4 2
− 40ax+
26ax
5 4 2
( )( )
40ax−16ax 10a − 8ax+ ax ax = 10ax − 8ax + ax
5 4 2 3 2 2 2 4 2 3 3 2 4
10ax − 28ax + 17ax
4 2 3 3 2 4
4 2 3 3 2 4 3 2 2 3 3
− 10ax
+ 8ax − ax ( 10a − 8ax+ 2ax −2x)( −2x)
− 20a x + 16a x − 4ax + 4x = − 20a x + 16a x − 4ax + 4x
3 3 2 4 5 6 3 3 2 4 5 6
20a x − 16a x + 4ax −4x
3 3 2 4 5 6
0
24.
8 7 6 5 4 3 2 4 3 2
4a − 12a + 17a − 16a + 14a − 10a + 5a − 2a+ 1 2a − 3a + 2a − a+
1
( )( )
−4a 4a −3a − 3a = − 12a + 9a
8 4 3 3 7 6
− 12a
+ 17a
7 6
( )( )
12a − 9a 4a − 6a + 2a 2a
7 6 4 3 2 2
8a − 16a + 14a = 8a − 12a + 4a
6 5 4 6 5 4
− 8a + 12a − 4a
6 5 4
5 4 3 2
4 3 2
− 4a + 10a − 10a + 5a
( 4a − 6a + 4a −a)( −a)
4a − 6a + 4a − a = − 4a + 6a − 4a + a
5 4 3 2 5 4 3 2
4
4a −
3 2
6a + 4a − 2a+
1
4
− 4a +
3 2
6a − 4a + 2a−1 4 3 2
( 4a − 6a + 4a − 2a+
1)()
1
0
4
= 4a −
3 2
6a + 4a − 2a+
1
25.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 5 4 3 2
x − 2x + 3x − 4x + 5x − 8x + 7x − 6x + 5x − 4x+ 4 x − x + x − x + x−2
( )( )
− x 2x − x − x = − 2x + x
10 5 4 4 9 8
− 2x
+ 3x
9 8
( )( )
2x − x 2x − 2x + x x = 2x − 2x + x
9 8 5 4 3 3 8 7 6
2x − 4x + 5x
8 7 6
( )( )
− 2x + 2x − x 2x − 2x + 2x − x − x
8 7 6 5 4 3 2 2
− 2x
+ 4x − 8x + 7x = − 2x + 2x − 2x + x
7 6 5 4 7 6 5 4
7 6 5 4
2x − 2x + 2x − x
6 5 4 3 2 5 4 3 2
2x − 6x + 6x − 6x + 5x ( 2x − 2x + 2x − 2x + x)( x)
− 2x + 2x − 2x + 2x − x = 2x − 2x + 2x − 2x + x
6 5 4 3 2 6 5 4 3 2
5 4 3 2
4 4 4 4 4 4
− x + x − x + x − x+
( )( )
5 4 3 2 5 4 3 2
4x − 4x + 4x − 4x + 4x−4 2x − 2x + 2x − 2x + 2x−2 −2
5 4 3 2
0 = − 4x + 4x − 4x + 4x − 4x+
4

EJERCICIO 215
1.
4
2 2
x
3
5x 4x 4 x 2
− x + − + − x +
4 3 3 9 2 3
4
x
− ( x − x)( − x)
=− x + x
4
2
3
5x
− x +
3
2
3 2 ⎛ 2
2⎞
2 2x
4x
4
x − x ⎜ x − 2x+
⎟ ⎛ ⎝ 3⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
3⎠
3 3 9
2
2x
4x
4
− +
3 3 9
2
2x
4x
4
− + −
3 3 9
0
2 3 2
2.
a
x
a
−
x
2
2
2
2
2
2a
19 2x
x a 1
− + − +
2
− +
3x
9 3a
a x 3
⎛ 2a
1⎞
⎛ 1⎞
2a
1
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
⎝ x 3⎠
⎝ 3⎠
3x
9
2a
19
− +
3x
9
2a
1
⎛ 2a
2 x⎞
x x x
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 2 2 3x
9
⎝ x 3 a⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟= − +
a⎠
3a
a
2x
x
2 − +
3a
a
2x
x
− 2 + −
3a
a
0
2
2
2
2
x
a
2
2
3.
2
2
a
2
ac bc c a c
− ab + b + − + − b +
4 4 2 16 2 4
2
a
− ( a−b)( − b)
= − ab+
b
4
− ab + b
2
2
2
⎛ c⎞
c ac bc c
ab −b ⎜ a − 2b + ⎟ ⎛ ⎝ 4⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟= − +
4⎠
4 2 16
2
ac bc c
− +
4 2 16
2
ac bc c
− + −
4 2 16
0
2

4.
−
4 3 2 2
9a 3a 29a 4a 16 3a a 4
− + − + − +
16 4 20 5 25 4 2 5
4 2 3 2
9a ⎛ 3a a⎞
⎛ a⎞
3a a
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
16
⎝ 2 2⎠
⎝ 2⎠
4 4
3 2
3a
29a
− +
4 20
3 2 2 2
3a a ⎛ 3a
4⎞
4 6a
4a
16
− ⎜ − a + ⎟ ⎛ 4 4
⎝ 2 5⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
5⎠
5 5 25
2
6a
4a
16
− +
5 5 25
2
6a
4a
16
− + −
5 5 25
0
5.
4 3 2 2
4 2
a a b a b b a
ab
ab
b 2
3
3
+ + − + + −
16 2 4 4 4 2
4 2 3
a
⎛ a ⎞ ab
− ⎜ + ab⎟ ( ab)
= + ab
16 ⎝ 2 ⎠ 2
3 2 2
ab 3ab
+
2 4
3
2
ab a
ab ab b 2 b 2 a 2 b 2
4
⎛
⎞ ⎛ ⎞
2 2
3
b
− − ⎜ + 2 − ⎟ ⎜ − ⎟=− − ab +
2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 4
2 2
4
ab
3
b
− − ab +
4 4
2 2
4
ab
3
b
+ ab −
4 4
0
2 2
6.
2
x 2x
25 50y
2
x 5
+ − 2xy
+ − + 25y
+ − y
25 3 9 3
5 3 5
2
x ⎛ 2x 5⎞
5 2x
25
− ⎜ + ⎟ ⎛ 25
⎝ 5 3⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ = +
3⎠
3 9
2x
25
− 2xy
+
3 9
2x
25
⎛ 2x
10 ⎞
50y
− − ⎜ + −5y⎟ ( − 5y)
= −2xy− + 25y
3 9
⎝ 5 3 ⎠
3
50y
2
−2xy
− + 25y
3
50y
2
2xy
+ −25y
3
0
2

7.
4 3 2 2 3 4 2 2
x 4x y 62x y 4xy y x y
− + − + − 2xy
+
9 3 15 5 25 3 5
x
−
9
⎛ 2x
⎜
⎝ 3
⎞ 4xy
−2xy⎟( − 2xy)
=− + 4xy
⎠
3
4 2 3
3 2 2 3
4xy 62xy 4xy
− + −
3 15 5
3
2 2 2 2 2 3 4
4xy
⎛
2 2
2x
y ⎞ y 2x y 4xy y
− 4xy
⎜ − 4xy
+ ⎟ ⎛ 3
⎝ 3 5 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
5 ⎠ 15 5 25
2 2 3 4
2xy 4xy y
− +
15 5 25
2 2 3 4
2xy 4xy y
− + −
15 5 25
0
2 2
8.
4 2 2 2 2 4 2 2
a 3a 9 a b 2b b a 3 b
− + + − + − +
16 10 25 18 15 81 4 5 9
4 2 2
a ⎛ a 3⎞
⎛ 3⎞
3a
9
−
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟= − +
16 ⎝ 2 5⎠
⎝ 5⎠
10 25
2
3a
9
− +
10 25
2 2 2 2 2 2 2 4
3a 9
⎛ a 6 b ⎞ b a b 2b b
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 10 25 ⎝ 2 5 9 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
9 ⎠ 18 15 81
2 2 2 4
ab 2b b
− +
18 15 81
2 2 2 4
ab 2b b
− + −
18 15 81
0
9.
2
x + 4x+ 2− 4 + 1 2
x + 2 −
1
y x
x
2
− x ( 2x+ 2)( 2)
= 4x+
4
4x
+ 2
⎛
4x
4 2x
4 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
− − ⎜ + − ⎟ ⎜ − ⎟=−2 − 4 +
1
2
⎝ x⎠
⎝ x⎠
x x
−2 − 4 +
1
2
y x
2 + 4 −
1
2
y x
0

10.
2
x 10x
79 20 4 x
− + − +
2
−
9 3 3 x x 3 5 +
2
x
2
x ⎛ 2x ⎞ 10x
−
⎜ −5⎟ ( − 5)
= − + 25
9
⎝ 3 ⎠ 3
10x
79
− +
3 3
10x
⎛ 2x
25
10 2 ⎞ 2 4 20 4
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 2
3
⎝ 3 x⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
x⎠
3 x x
4 20 4
− +
2
3 x x
4 20 4
− + −
2
3 x x
0
11.
4
2
a
2
a
5a
28 30 9 3
− + −
2
+
4
− 5+
2
4
a a 2 a
4
a
2 2
− ( a −5)( − 5)
= − 5a
+ 25
4
2
− 5a
+ 28
2 ⎛ 2
3 ⎞ 3
5a
−25 ⎜ a − 10+
2⎟ ⎛ 2 3 30 9
2 4
⎝ a ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
a ⎠ a a
30 9
3 −
2
+
4
a a
30 9
− 3 +
2
−
4
a a
0
12.
4 3 2
2 2
a 2a
a 2ax
x a a x
+ +
2
− − 2 +
2
+ −
9 3x
x 3 a 3 x a
a ⎛ 2a a⎞
a 2a
a
− ⎜ + ⎟ ⎛ 9
⎝ 3 x⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟= +
x⎠
3x
x
4 2 3 2
3 2
2a
a
+
2
3x
x
3 2
2a
a
⎛ 2a
2a
x⎞
⎛ x⎞
2ax
x
− −
2
⎜ + − ⎟ ⎜ − ⎟ =− − 2 +
3x
x
⎝ 3 x a⎠
⎝ a⎠
3 a
2ax
x
− − 2 +
3 a
2ax
x
+ 2 −
3 a
0
2
2
2
2
2 2
2
2

13.
2
2
9a
3a
65 x 4x
3a
1 2x
2 − + − + 2 − +
x 2x
16 3a
9a
x 4 3a
2
9a
⎛ 6a
1⎞
⎛ 1⎞
3a
1
− 2
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
x
⎝ x 4⎠
⎝ 4⎠
2x
16
3a
65
− +
2x
16
3a
1
⎛ 6a
1 2x⎞
2x
x 4x
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 4
2x
16
⎝ x 2 3a
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟= − +
3a
⎠ 3 a 9a
2
x 4x
4 − + 2
3a
9a
2
x 4x
− 4 + − 2
3a
9a
0
2
2
14.
9 30 55 50 25 4 2
2
5
x + x + + 2 + 4 3x
+ 5+
2
x x
x
4 2 2
− 9x ( 6x + 5)()
5 = 30x
+ 25
2
30x
+ 55
2 ⎛ 2
5 ⎞ 5 50 25
−30x
− 25 ⎜ 6x
+ 10+
2⎟ ⎛ 2 30 2 4
⎝ x ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟= + +
x ⎠ x x
50 25
30+ 2
+
4
x x
50 25
−30− 2
−
4
x x
0
15.
2
2
4a
2a
19 5x
25x
2a
1 5x
2
− + − +
2
− +
25x
5x
12 3a
9a
5x
2 3a
2
4a
⎛ 4a
1⎞
⎛ 1⎞
2a
1
− 2
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
25x
⎝ 5x
2⎠
⎝ 2⎠
5x
4
2a
19
− +
5x
12
2 1
4
1 5 2
a
⎛ a x ⎞ 5x
4 5x
25x
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 2
5x
4
⎝ 5x
3a
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟= − +
3a
⎠ 3 3a
9a
2
4 5x
25x
− + 2
3 3a
9a
2
4 5x
25x
− + −
3 3
2
a 9a
0

4 3 2 2 3 4 2 2
x x y 3x y xy y x xy y
− + + + − −
16.
16 4 20 5 25 4 2 5
x ⎛ x xy⎞
⎛ xy⎞
x y x y
−
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
16 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4 4
4 2 3 2 2
3 2 2
xy 3xy
− +
4 20
3 2 2 2 2 2 2 2 3 4
xy xy ⎛ x y ⎞ ⎛ y ⎞ x y xy y
− ⎜ − xy − ⎟ ⎜ − ⎟ =− + +
4 4 ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 10 5 25
2 2 3 4
xy xy y
− + +
10 5 25
2 2
xy
− xy 3 y 4
−
10 5 25
0
17.
2 2
4ab
49xy
2 2
2 2
4ab
−
49xy
2 2
2 2
2ab
21 7xy
49xy
2ab
1 7xy
− + − +
2 2
− +
7xy
20 5ab
25ab
7xy
2 5ab
⎛ 4ab
1⎞
⎛ 1⎞
2ab
1
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ =− +
⎝ 7xy
2⎠
⎝ 2⎠
7xy
4
2ab
21
− +
7xy
20
2ab
1
⎛ 4ab
1 7 xy⎞
7xy
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 7xy
4
⎝ 7xy
5ab
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
5ab⎠
2 2
4 7xy
49xy
4 7xy
49xy
− +
2 2
= − +
5 5ab
25ab
5 5ab
25ab
2 2
4 7xy
49xy
− + −
2 2
5 5ab
25ab
0
2 2
2 2
18.
2 2
9ax
25mn
2 2
2 2
9ax
−
25mn
2 2
2 2
6ax
23 4mn
4mn
3ax
1 10mn
− + − +
2 2
− +
25mn
75 45ax
81ax
5mn
5 45ax
⎛ 6ax
1⎞
⎛ 1⎞
6ax
1
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ =− +
⎝ 5mn
5⎠
⎝ 5⎠
25mn
25
6ax
23
− +
25mn
75
6ax
1
⎛ 6ax
2 10mn⎞
10mn
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 25mn
25
⎝ 5mn
5 45ax
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
45ax
⎠
2 2
20 4mn
4mn
− +
2 2
= 20 4mn
4mn
− +
75 45ax
81ax
75 45ax
81ax
2 2
20 4mn
4mn
− + −
2 2
75 45ax
81ax
0
2 2
2 2

19.
20.
6
4 3 2 3
x
5
5x 2x 32x 8x x
2
2x
− x + + − + + 4 − x + + 2
4 3 3 9 3 2 3
6
x
− ( x − x )( − x ) = − x + x
4
−
4
5
5x
− x +
3
5 4 ⎛ 3 2
x − x ⎜ x − 2x
+
⎝
3 2 2 5 4
4 3 2
x⎞
2x 2x 4x 4x
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − +
3 ⎠ 3 3 9
4 3 2
2x 2x 32x
+ −
3 3 9
4 3 2
2x 4x 4x
⎛ 3 2
4x
⎞
3 2
8x
− + − ⎜ x − 2x
+ + 2⎟ ( 2)
= 2x
− 4x
+ + 4
3 3 9
⎝ 3 ⎠
3
3 2
8x
2x
− 4x
+ + 4
3
3 2
8x
− 2x
+ 4x
− −4
3
0
2 3 4 5 6 2 3
1 3a 59a 3a 43a 2a 1a 1 3a 2a a
− + − + − + − + −
4 4 48 2 36 3 4 2 4 3 2
1
4
2
3
1 3 2
⎛ a⎞
⎛ 3a⎞
3a 9a
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟=− +
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 4 16
2
3a
59a
− +
4 48
2
3 9
1 3 2 2 2
a a ⎛ a 2a ⎞ 2 2
3
4
− ⎜ − + ⎟ ⎛ 4 16
⎝ 2 3 ⎠ ⎝ ⎜ a ⎞ a a
⎟ = − a +
3 ⎠ 3 9
EJERCICIO 216
2 3 4
2a 3a 43a
− +
3 2 36
2a 2 4 2 3 3
3
4a ⎛
−
1 3 a 4a a ⎞ ⎛ a ⎞
+ a − ⎜ − + − ⎟ ⎜ − ⎟
3 9
⎝ 2 3 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
3 4 5 6 3 4 5 6
a 3a 2a a a 3a 2a a
− + − + = − + − +
2 4 3 4 2 4 3 4
3 4 5 6
a 3a 2a a
− + −
2 4 3 4
0
4
1.
3
2 3
8− 36y+ 54y −27y 2−3y
2
− 8 3( 2)
= 12
( )( )
( )(
2
)
( − y)
− 36y+ 54y −27y 3 2 − 3y =−36y
2 3 2
2 3
36y− 54y + 27y 3 2 − 3y = 54y
3
0 3 = −27y
3
2

2.
3.
4.
5.
6 4 2 2 4 6
64a + 240a b + 300a b + 125b 4a + 5b
3 2 2
( )
( ) ( )
( )( )
( b )
− 64a 3 4a = 48a
6 2 2 4
240ab + 300ab + 125b 3 4a 5b = 240ab
4 2 2 4 6 2 2 2 4 2
−240ab −300ab − 125b 3 4a 5b = 300ab
4 2 2 4 6 2 2 2 2 4
0 5 = 125b
6 5 4 3 2
x + 3x + 6x + 7x + 6x + 3x+ 1 x + x+
1
3 2
3( ) 3
( ) ( )
( )( )
− x x = x
6 2 2 4
3x + 6x + 7x 3 x x = 3x
5 4 3 2 2 5
−3x −3x − x 3 x x = 3x
5 4 3 2 2 4
3x + 6x + 6x + 3x+ 1
x = x
4 3 2 3 3
( )
2
2
( ) ()
2 3 6
4 3 2 2
−3x −6x −6x −3x− 1 3 x + x = 3x + 6x + 3x
2
3
() 1 = 1
4 3 2
4 3
0 3 x + x 1 = 3x + 6x
+ 3x
2 2 2
3( x + x)()
1 = 3x + 3x
6 5 4 3 2
8x −12x − 6x + 11x + 3x −3x−1 2x − x−1
3 2
( )
( ) ( )
( )(
2
)
(
3
)
− 8x 3 2x = 12x
6 2 2 4
−12x − 6x + 11x 3 2x − x = −12x
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2
12x − 6x + x 3 2x − x = 6x
4 3 2
− 12x + 12x + 3x −3x−1
− x = − x
4 3 2
12x −12x − 3x + 3x+
1
(
2
)
(
2
2
) ( )
(
2
)(
2
)
( −
3
)
0 3 2x − x = 12x − 12x + 3x
2 3 4 5 6
1− 9x+ 33x − 63x + 66x − 36x + 8x 1− 3x+
2x
3 2
4
3
2
32x − x − 1 = − 12x + 12x −3x
2
32x − x − 1 = 6x −3x
− 1
2
3()
1 = 3
2 3
− 9x+ 33x −63x 2
3()( 1 − 3x)
=−9x
2 3
9x− 27x + 27x 2
2
3()( 1 − 3x)
= 27x
( )
(
2
)
( −
2
x ) ( )
( )( )
( x )
1 = −1
2 3 4 5 6
6x − 36x + 66x − 36x + 8x − 3x = −27x
− 6x + 36x − 66x + 36x −8x
2 3 4 5 6
0 3 1− 3x = 3− 18x+
27x
3
2
4 3 2
4 3 2
31 3 2x = 6x − 36x + 54x
3 1− 3x 2x = 12x −36x
3
2 2 3 4
2 2 4 5
2 = 8x
2 3 6
2

6.
6 5 4 3 2
x − 9x + 33x − 63x + 66x − 36x+ 8 x − 3x+
2
3 2
3( ) 3
( ) ( )
( )(
2
)
(
3
)
− x x = x
6 2 2 4
− 9x + 33x −63x 3 x − 3x = − 9x
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2
9x − 27x + 27x 3 x − 3x = 27x
4 3 2
6x − 36x + 66x − 36x+ 8 − 3x = −27x
4 3 2
− 6x + 36x − 66x + 36x−8
2
(
2
)
2
( x
2
) ( )
0 3 x − 3x = 3x − 18x + 27x
4
3
4 3 2
3 − 3x 2 = 6x − 36x + 54x
2 2 2
3( x − 3x)( 2)
= 12x −36x
3
( 2)
= 8
4 3 2
7.
9 8 7 6 5 4 3 2
x − 6x + 12x − 20x + 48x − 48x + 48x −96x −64 x −2x
−4
3 3 2
3( ) 3
( ) ( )
( ) ( )
( )
− x x = x
9 3 2 6
− 6x + 12x −20x 3 x − 2x = −6x
8 7 6 3 2 2 8
6x − 12x + 8x 3 x − 2x = 12x
8 7 6 3 2 2 7
− 12x + 48x − 48x + 48x −96x −64 − 2x = −8x
6 5 4 3 2 2 3 6
6 5 4 3 2
12x − 48x + 48x − 48x + 96x
+ 64
( )
( ) ( )
3 2
2
( )( )
3
( − )
0 3 x − 2x = 3x − 12x + 12x
3 2 2 6 5 4
3 x −2x − 4 = − 12x + 48x −48x
3 2 2 6 5 4
3 x −2x − 4 = 48x −96x
4 = −64
3 2
8.
12 10 8 6 4 2
x −3x − 3x + 11x + 6x −12x −8 x − x −2
3 4 2
3( ) 3
( ) ( )
( )( )
( )
− x x = x
12 4 2 8
−3x − 3x + 11x 3 x − x = −3x
10 8 6 4 2 2 10
3x − 3x + x 3 x − x = 3x
10 8 6 4 2 2 8
− 6x + 12x + 6x −12x −8
− x = − x
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
6x −12x − 6x + 12x
+ 8
( )
( ) ( )
4
(
2)( 2
)
( − )
0 3 x − x = 3x − 6x + 3x
4 2 2 8 6 4
3 x − x − 2 = − 6x + 12x −6x
4 2 2 8 6 4
3 x − x − 2 = 12x −12x
3
2 = −8
4 2

9.
6 5 4 3 2
8x − 36x + 66x − 63x + 33x − 9x+ 1 2x − 3x
+ 1
3 2
( )
( ) ( )
( )(
2
)
( )
− 8x 3 2x = 12x
6 2 2 4
− 36x + 66x −63x 3 2x − 3x = −36x
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2
36x − 54x + 27x 3 2x − 3x = 54x
4 3 2
12x − 36x + 33x − 9x+ 1 − 3x = −27x
4 3 2
− 12x + 36x − 33x + 9x−1
2
2
( )
2
2
( ) ()
4
0 3 2x − 3x = 12x −36x
3
4
3 2x − 3x 1 = 12x − 36x + 27x
2 2 2
32 ( x − 3x)()
1 = 6x −9x
3
() 1 = 1
3
+ 27x
3 2
4 3 2
10.
6 5 4 3 2
27a − 135a + 117a + 235a −156a −240a−64 3a −5a−4
3 2
( )
( ) ( )
( )(
2
)
(
3
)
− 27a 3 3a = 27a
6 2 2 4
− 135a + 117a + 235a 3 3a − 5a = −135a
5 4 3 2 2 5
5 4 3 2
135a − 225a + 125a 3 3a − 5a = 225a
4 3 2
− 108a + 360a −156a −240a−64 − 5a = −125a
4 3 2
108a − 360a + 156a + 240a+
64
2
( a −
2
a)
= a
(
2
2
) ( )
(
2
)(
2
)
( − )
0 3 3 5 27
4
4
3
− 90a
+ 75a
3 3a −5a − 4 = − 108a + 360a −300a
2
33a −5a − 4 = 144a −240a
3
4 = −64
3 2
4 3 2
11.
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
a − 6a b+ 15a b − 20a b + 15a b − 6ab + b a − 2ab+
b
3 2 2
3( ) 3
( ) ( )
( )(
2
)
(
3
)
− a a = a
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2
ab ab ab a 2 5
− 6 + 15 −20 3 − 2ab = −6ab
5 4 2 3 3 2
6ab− 12ab + 8ab 3 a − 2ab = 12ab
4 2 3 3 2 4 5 6
3a b − 12a b + 15a b − 6ab + b − 2ab = −8a b
4 2
− 3ab
+ 12a b − 15a b + 6ab −b
3 3 2 4 5 6
2
( )
(
2
) ( )
( )( )
( b )
0 3 a − 2ab = 3a − 12a b+
12a b
4 2
3 3
3 a − 2ab b = 3a b − 12a b + 12a b
3 a − 2ab b = 3a b −6ab
2
4 3 2 2
2 2 4 2 3 3 2 4
2 2 2 2 4 5
= b
2 3 6

12.
13.
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
x − 9x y+ 42x y − 117x y + 210x y − 225xy + 125y x − 3xy+
5y
3 2 2
3( ) 3
( ) ( )
( )(
2
)
(
3
)
− x x = x
6 2 2 4
5 4 2 3 3 2
xy xy xy x 2 5
− 9 + 42 −117 3 − 3xy= −9xy
5 4 2 3 3 2
9xy− 27xy + 27xy 3 x − 3xy = 27xy
4 2 3 3 2 4 5 6
15xy − 80xy + 210xy − 225xy + 125y − 3xy = −27xy
− 15xy + 80xy − 210xy + 225xy −125y
4 2 3 3 2 4 5 6
12 10 8 6 4 2
a − 3a + 15a − 25a + 60a − 48a + 64 a − a + 4
3 4 2
2
2
( )
2
2
( ) ( )
( )( )
( y ) =
0 3 x − 3xy = 3x − 18x y+
27x y
3( ) 3
( ) ( )
( )( )
( )
− a a = a
12 4 2 8
− 3a + 15a −25a 3 a − a = −3a
10 8 6 4 2 2 10
3a − 3a + a 3 a − a = 3a
10 8 6 4 2 2 8
12a − 24a + 60a − 48a + 64
− a = −a
8 6 4 2 2 3 6
8 6 4 2
− 12a + 24a − 60a + 48a
−64
( )
( ) ( )
4 2
3 3
4 3 2 2
3 x − 3xy 5y = 15x y − 80x y + 135x y
2 4 2 3 3 2 4
3 x − 3xy 5y = 75x y −225xy
0 3 a − a = 3a − 6a + 3a
2 2 2 2 4 5
4 2 2 8 6 4
3 a − a 4 = 12a − 24a + 12a
4 2 2 4 2
3( a − a )( 4)
= 48a −48a
4 2 2 8 6 4
3
( 4)
= 64
5 125y
2 3 6
14.
9 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9
a − 9a x+ 27a x −21a x − 36a x + 54a x + 12a x − 36a x + 8x a − 3a x+
2x
3 3 2 3
3( ) 3
( ) ( )
2
( )( )
3 6 2 7 9 2
3
− + + ( )
− a a = a
9 3 2 6
8 7 2 6 3 3
ax ax ax a 2 2 8
− 9 + 27 −21 3 − 3ax = −9ax
8 7 2 6 3 3 2
9ax− 27ax + 27ax 3 a − 3ax = 27ax
6 3 5 4 4 5
6ax 36ax 54ax
12ax − 36ax + 8x − 3ax = −27ax
− 6ax + 36ax −54ax − 12ax + 36ax −8x
6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9
0
3
(
2
2
)
3
(
2
2
) ( )
( )( )
( x )
7 2
6 3
3 a − 3a x = 3a − 18a x+
27a x
3 a − 3a x 2x = 6a x − 36a x + 54a x
3 a − 3a x 2x = 12a x −36a x
2 = 8x
6 5 4 2
3 6 3 5 4 4 5
3 2 3 2 3 6 2 7
3 3 9

15.
9 8 7 6 5 4 3 2
a − 3a + 6a − 10a + 12a − 12a + 10a − 6a + 3a−1 a − a + a−1
3 3 2
( )
( ) ( )
( )( )
( )
− a 3 a = 3a
9 3 2 6
− 3a + 6a −10a 3 a − a = −3a
8 7 6 3 2 2 8
3a − 3a + a 3 a − a = 3a
8 7 6 3 2 2 7
3a − 9a + 12a − 12a + 10a − a = −a
7 6 5 4 3 2 3 6
− 3a + 6a − 6a + 3a − a
7 6 5 4 3
6
− 3a
+ 6a − 9a + 9a − 6a + 3a−1 3( a − a ) = 3a − 6a + 3a
5 4 3 2 3 2 2 6 5 4
( ) ( )
( )( )
( a ) =
3a − 6a + 9a − 9a + 6a − 3a+ 1 3 a − a a = 3a − 6a + 3a
6 5 4 3 2 3 2 2 7 6 5
0 3 a − a a = 3a −3a
3
(
2
2
)
3
(
2
2
) ( )
3
(
2
)(
2
)
( −
3
)
3 2 2 5 4
a
3 3
3 a − a + a = 3a + 3a + 3a − 6a + 6a −6a
3 a − a + a − 1 = − 3a + 6a − 9a + 6a −3a
3 2
3 a − a + a − 1 = 3a − 3a + 3a
1 = −1
6 4 2 5 4 3
6 5 4 3 2
16.
9 8 7 6 5 4 3 2
x − 12x + 54x − 121x + 180x − 228x + 179x − 144x + 54x−27 x − 4x + 2x−3
3 3 2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
− x 3 x = 3x 3 x − 4x = −12x
9 3 2 6 3 2 2 8
− 12x + 54x −121x 3 x − 4x = 48x − 4x = −64x
8 7 6 3 2 2 7 2 3 6
12x − 48x + 64x
8 7 6
( )
( ) ( )
7 6 5 4 3 3 2
x x x x x x x 2 6 5
6 − 57 + 180 − 228 + 179 3 − 4 = 3x −24x
+ 48x
7 6 5 4 3 3 2
− 6x + 48x − 108x + 48x − 8x 3 x − 4x 7 6 5
2x = 6x − 48x + 96x
−
6 5
9x + 72x 6 5
9x − 72x 4 3
− 180x + 171x 4 3
+ 180x − 171x 2
− 144x + 54x −27 2
+ 144x − 54x + 27
3 2 2 5 4
3( x − 4x )( 2x)
= 12x −48x
3 3
( 2x)
= 8x
0
4
3
(
2
2
)
3
(
2
2
) ( )
3
(
2
)(
2
)
( −
3
)
3 x − 4x + 2x = 3x + 48x + 12x − 24x + 12x −48x
3 x − 4x + 2x − 3 = −9x −144x − 36x + 72x − 36x + 144x
3 2
3 x − 4x + 2x − 3 = 27x − 108x + 54x
3 = −27
6 4 2 5 4 3
6 4 2 5 4 3

EJERCICIO 217
1.
3
6 5 4 3 2
2
x x 5x 55x 20x
x x
− + − + − 4x
+ 8 − +
8 4 3 27 3
2 3 2
x ⎛ x ⎞ 3x
−
3⎜
⎟ =
8
⎝ 2 ⎠ 4
6 2 2 4
5 4 3 2 2 5
x 5x 55x ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞
x
− + −
3⎜
⎟ ⎜ − ⎟ =−
4 3 27
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 4
5 4 3 2 2 4
x x x ⎛ x ⎞ ⎛ x⎞
x
− +
3⎜
⎟ ⎜ − ⎟ =
4 6 27
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 6
4
2
3x
3
20x
⎛ x⎞
x
− 2x
+ − 4x
+ 8 ⎜ − ⎟ =−
2
3
⎝ 3⎠
27
4
2
3x
3
20x
− + 2x
− + 4x
−8
2
3
3 3
2 2 4
2
⎛ x x⎞
3x
3
x
0 3⎜
− ⎟ = − x +
⎝ 2 3 ⎠ 4 3
2 2 4
⎛ x x⎞
3x
3
3⎜
− ⎟ ( 2)
= − 2x
+
⎝ 2 3 ⎠ 2
2
⎛ x x⎞
2 2
3⎜
− ⎟ ( 2)
= 6x
−4x
⎝ 2 3 ⎠
3
( 2)
= 8
2
2x
3
2.
a
8 7 6 5 4 3
2
3a a 7a a a a a a
+ − − + + − a + −
2 4 8 12 6 27 2 3
3 9
3
( )
− a 3 a = 3a
9 3 2 6
8 7 6
3a a 7a
− −
2 4 8
( a )
3
( a )
⎛ a ⎞ 3a
⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ 2
3 2 2 8
2 2 7
⎛ a ⎞ 3a
⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 4
8 7 6 2 3 6
3a 3a a ⎛ a ⎞ a
− − −
⎜ ⎟ =
2 4 8 ⎝ 2 ⎠ 8
5 4 3
2
7 6
a a a
⎛
3
a
− a − a + + − 3 a +
12 6 27
⎝ ⎜ ⎞
6 5
⎟ = 3a
+ 3a
+
2 ⎠
0
3
3
⎛
3⎜
a
⎝
3
2
5
a ⎞ ⎛ a⎞
7 6
a
+ ⎟ ⎜ − ⎟ =−a
−a
−
2 ⎠ ⎝ 3⎠
4
2 2
2 2 5 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5 4 3 3
a a a a
⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ = +
7 6
a a a 3 a
a + a − − + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠
3 6
12 6 27
3 3
⎛ a⎞
a
⎜ − ⎟ = −
⎝ 3⎠
27
4
3a
4

3.
3
3 2
x 9x
x
− + 15x
− 45+ 60 − 36 2
+ 8 3
−
8 4
x x x 2 3 +
2
x
2 2
⎛ x⎞
3x
3⎜
⎟ =
⎝ 2 ⎠ 4
3 2 2
x ⎛ x⎞
9x
−
3⎜
⎟ ( − 3)
= −
8
⎝ 2 ⎠ 4
2
9x
⎛ x⎞
2
− + 15x
−45 3⎜
⎟ ( − 3)
=
4
⎝ 2 ⎠
( − )
2 2 2
9x 27x ⎛ x ⎞ 3x
− + 27 3⎜
−3⎟ = − 9x
+ 27
4 2
⎝ 2 ⎠ 4
3
27
2
x
3 = −27
3x
x
18 60 36 8 ⎛ ⎞ ⎛ 2⎞
3x
− + −
2
+
3
3⎜
− 3⎟
⎜ ⎟ = − 18 +
54
2 x x x ⎝ 2 ⎠ ⎝ x⎠
2 x
⎛ x ⎞
⎜ − ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 2⎞
6 36
3 3 ⎟ = −
2
2
x⎠
x x
3x
60 36 8 ⎛ 2⎞
8
− + 18 − +
2
−
3
⎜ ⎟ =
3
2 x x x ⎝ x⎠
x
0
2
3
2
4.
3
3 2
2 3
a 3a
15a
5 15b
3b
b a b
3
−
2
+ − + −
2
+
3
− 1+
8b
4b
8b
2 8a
4a
8a
2b
2 a
3
a
−
3
8b
2
3a
15a
5
−
2
+ −
4b
8b
2
3a
4b
2
2
⎛ a ⎞ 3a
3⎜
⎟ =
⎝ 2 b⎠
4b
⎛ a ⎞ 3a
3⎜
⎟ 2
( − 1)
= −
⎝ b⎠
4b
⎛ a ⎞ 2 3a
3⎜
⎟ 2
( − 1)
=
⎝ b⎠
2b
3a
3
− + 1 ( − 1)
= −1
2b
3a
3
− + 15 2 3
b 3b
b
−
2
+
8b
2 8a
4a
8a
2 3
3a
3 15b
3b
b ⎛ a ⎞
− + − +
2
−
3
3⎜
−1⎟
8b
2 8a
4a
8a
⎝ 2 b ⎠
3
2 2
2
2 2
2
2 2
⎛ a ⎞ 3a
3a
3⎜
− 1⎟ = 3
2
2
− +
⎝ b ⎠ 4b
b
⎛ b ⎞ 3a
3 3b
⎜ ⎟ = − +
⎝ 2a⎠
8b
2 2a
⎛ a ⎞ b 3b
3b
0 3⎜
− 1⎟ ⎛ ⎝ 2 b ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = −
2a
⎠ 8a
4a
2
2 2
3 3
⎛ b ⎞ b
⎜ ⎟ =
⎝ 2a⎠
8 a
3
2

5.
3
3
8a
27x
3
3
8a
−
27x
3
2
2 3
2a
a 13 x x x 2a
1 x
−
2
+ + − −
2
−
3
− −
3x
18x
24 36a
6a
27a
3x
2 3a
2
2a
a 13
−
2
+ +
3x
18x
24
2
2a
a 1
2
− +
3x
2x
8
⎛
3 2 a⎞
4a
⎜ ⎟ =
⎝ 3x
⎠ 3x
⎛
3 2 a⎞
⎜ ⎟
⎝ 3x
⎠
2 2
⎛ 1⎞
2a
⎜ − ⎟=−
⎝ 2⎠
3x
⎛
3 2 a⎞
⎛ 1⎞
a
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ =
⎝ 3x
⎠ ⎝ 2⎠
2x
2
2 2
2
3
⎛ 1⎞
1
⎜ − ⎟ = −
⎝ 2⎠
8
2 3
4a
2 x x x
⎛ ⎞
− + − − − 3⎜
2 a 1 4a
2a
3
2 3
− ⎟ =
2
− +
9x
3 36a
6a
27a
⎝ 3x
2⎠
3x
x 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3⎜
2 a 1 x 4a
2 x
− ⎟ ⎜ − ⎟ =− + −
⎝ 3x
2⎠
⎝ 3a
⎠ 9x
3 4a
2 3
4a
2 x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + + 3⎜
2 a 1 x
2 3
− ⎟ ⎜ −
9x
3 36a
6a
27a
⎝ 3x
2⎠
⎝ 3a ⎟ ⎠
= 2x
− x
2
9a
6a
3
0
3
⎛ x ⎞ x
⎜ − ⎟ =−
3
⎝ 3a
⎠ 27a
2
2
2 2
2 2
6.
3
3
8a
27b
3
3
8a
−
27b
3
2
4 3
4 27
2 3
a a b 27b
27b
2a
1 3 b
+
2
+ + + +
2
+
3
+ +
3b
b 8a
16a
64a
3b
4a
4a
3b
2
2
2 2
⎛
3 2 a⎞
4a
⎜ ⎟ =
⎝ 3b
⎠ 3b
3a
⎛
4 3 2 a⎞
4a
+ +
⎜ ⎟ () 1 =
b
⎝ 3b
⎠ 3b
2
4a
2a
⎛
1 3 2 a⎞
2 2a
− ()
2 − −
⎜ ⎟ 1 =
3b
b
⎝ 3b
⎠ b
2
2 2
3 27
2 3
a b 27b
27b
3
+ + + ()
2 + 3
1 = 1
b 8a
16a
64a
2
2
2 2
2 3
a
3 27 b 27b
27b
⎛
2 3
3 2 a ⎞ 4a
4a
− − − − − ⎜ + 1⎟ = 2 + + 3
b 8a
16a
64a
⎝ 3b
⎠ 3b
b
⎛
0 3 2 a ⎞
⎜ + 1⎟
⎝ 3b
⎠
⎛ 3b
⎞ a
⎜ 3 9 b
⎟ = + +
⎝ 4a⎠
b 4a
2 2
⎛
3 2 a ⎞ 3b
9b
27b
⎜ + 1⎟ ⎛ ⎝ 3b
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = +
4a⎠
8a
16a
3 3
⎛ 3b
⎞ 27b
⎜ ⎟ =
⎝ 4a⎠
64a
3
2

EJERCICIO 218
1
1. x
3 3
= x
3
5 3
2. m
5
= m
3
4 4 3
3. 4 a = 4 a
1
2
=
4. xy x y
4 3
5
5. a b2 4
= a b
=
3 1 1
5 3
5 4 2
a
5
4
b b
= b a b
6. x2y4
5 3
z x 4 5
= y z
=
2 4 5
x x y z
x x 4 5
= y z
4 5
2 5 4 5
7. 2 5
a b = 2 a b
5 4 2 2
= 2 a b b b
2 5 4
= 2b a b
2
4
2
8. 7 5 7 7 2 4 7
3x y z = 3 x y z
1 5 7
4 5 7
9. a4b4
4
c = ab c
=
4
4 4 3
ab bc c
4
= bc abc
8
3 8
3
10. 8mn = 8m n
3
5 2
3
= 8m nnn
= 8mn
7 5
3 3 2
2 3 2
2
11. 3 6 2 7 6
4ab c = 4a b c
2
12. 5
5 5
m n x = 5
3
13. 5
a = a
14. 3 7
x = x
n
3 5
2 3 3 3 6 5
= 4a b b b c
2 2 3 6 5
= 4ab b c
4
5 5 2 3 4
5
2
7
3
m n x
15. x = x
1
2
1
3
16. 3
m=
m
17. 2
4 5
x = 2 x 4
18. 3
a 3 5
b =
2
a b
5
3
5
3
19. 7
3 5 6 2
x y = 3x y 5
20. 2
4 3 5 2
4 4
ab c = a b c 4
21. 5 2 3 9 5 5
5a x y z = 5ax y z 5
22. 3 6 7 5 8 3
6
m n = m n 5
23. 3
m n
a b = 3 a b
1
7
3
7
6
2
5
8
m n
3 2 3
24. m n 3 r x
a b c = ambnc
3
9
1 3 x
r
EJERCICIO 219
2 − 3
1. ab
2. 3x
− 5
=
a
=
b
3
5
x
1
2
3
3. a b −
− 4 1 1
2
= =
1 4
4 a b
ab2
1
4. 3 −
− 2 3 3
3
x y = =
1 2 3
2 3
x y
xy
1
5. m −
2 n − 5 1
=
1
m n
6. ab c ac 2
2 −1
=
b
7. 4 −
2 4x
5
xy =
3
5
y
1
3
3
2 5
8. 5 − − 5
3 4 1
a b c
− =
1 3
3 4
a b c
2
1 x
9.
=
− 2
2x
2
3
10.
= 3xy
−1 − 5
x y
2
2 3
11. 2 − −
a b 2 ac 2 ac
= =
−4 − 1 2 3 3
a c ab b
−1 −2 −3
=
−2 −5 − 8
12. x y z
a b c
− 4
13. 3 m n
8m
n
14.
7a
1
−
2
−3 −4
4a
1
2
− 4 2
b c
−5 −7
5
4
abc
2 3
xy z
2 5 8
3
2
3mn
n 3n
= =
4
8m
8m
2
−
3
2
1
−
2 4
1 2
2 4 3
4a a c
=
2
7b
9 2
3
2
4a c
=
2
7b
15. 2 m n
=
2
−
−
amn ammn n
2
=
2 8 3
amn
2 3 4 2 3 5 4 7
7
16.
17.
18.
19.
20.
1
−
a
2 − 2
x y y
axy
= =
3 2 − 1
1
7
3
3
aa2 2 2
3 xx 3a x
c
4b
2
1
−
2 3
3
−
x
1
4
3a b c
1
2 2
b c
=
3
4x
3 2
4 5
ab
2
=
4
− 3c
5 4
2
3amn
− 3
1
−
2
a m n
2 1
− −
3 4
x
y
2
xyz
1
−
2
3
−
4
2 3
=
2
3aammnn
3 7
4
5
=
2
3amn
1
1 3
4
z
2
z
2
= 2 1 = 8
2 3 4 3
xx yy x y
1
5
4
2 4

EJERCICIO 220
2
1. a 1
=
b a −
b
2 2 2
1
2. 3 −
x
=
3
y xy
2 2
2
3. 4 mn
= 4
x m −
n −
x
3 1 2 3
−1 −3
4. a b 1
=
3 3ab
5.
2
−
3
3c
7
1
4
2x
6.
5y
=
=
3
7c
5x
2
3
2
3
2 1
−
4 2
− 3
7. m 1
=
5 5m
2 3
3
y
8. 3 −
a b
=
3
c a c b
4 2 4 − 3
EJERCICIO 221
1
9. x −
2 y 2 1
=
1
x y
2
2 − 2
10. a −
3 b 3 c − 2 1
=
2
a c b
1
−
1
3 2 −3
− 2
3x
y 3 3
= =
11.
3
1
y
3 2
xy y xy
2
−
2m
n
12.
9
1
2
13. 2 −
= 2a
1
a
14. 3 a
= 3ab
2
b
2
=
2
9mn
− 2
1
−
2
15. xy 2
= xyy = xy
− 2
y
4
16.
x y
1
−
2 2
2 2 2 3
1
2 − 2
= 4x y
7
2
5
3a
17.
− 5
7x
y
18.
a
1
− 4
b
3
−
4
1
−
3
2
2m
19.
− 3
3m
n
a
20.
2
xy
3
1
−
2
2 3
5 5
3axy
=
7
4
= ab
1
−
4
1
3
3
4
1
1
2 3 4 5 4
2mmn
2mn
= =
3 3
1
3 − 2 2
= ax
21. 3 ab
−
= 3aabx
= 3abx
−1
a x
22.
2 3
y
2 3 1 3 3 −1
3xy z
= 3xxyyzz
= 3xyz
−1 −2 − 3
x y z
−
−
23. m 2 n 1
x
m n x
1
−
2
−4 −5 −2
2 2 3 3 2 4 6
−2 4 −1 5
= m m n n x x
2 4
= mnx
3
2
1
−
2 2
1
1. x − 1 1
2
= =
1
x
x
2
2.
a
1
1 2
−
2 3
5
b
1
2
=
a
=
b
1
a
3 2 3 2
3. 5 −
7
7
5 a 5 a
7 3
a b = =
1 3
3
b
b
1
−
3x
3 3 3
= = =
4.
1 1 1
− −
2 2 2
x
x x x x
2
3
5. 2 − 2 n 2 n
5 4
m n = =
2
5 2
5
m
m
1
6.
4x
x
7.
−
y
1
3
3
5
2
3
1
=
3
4 x
4
2
5
3
b
5 3 3 3
= x y =
3
x y
4
5
3
5 2
3
−
8. 3 2
a
=
3 1 3
4 2 4
x a x
3 3
= =
2 2 4 4
aa x a a x
1
−
2
9. a 1
=
2 1
4a
2 2
4a a
1 1 1
= = =
5
2 2 2 2
2
a
aaa a a
4
4 4
2
3
5
10. x −
y z −
5 3
y
3 7
= =
2 4
3
x z7
4
2
x
5
y
3
3 2 7 4
11. x m n −
−2 −3
1 1
5
= =
2
5
2 3 5
xmn
xm n
⎛
12. ⎜ a
⎝
1 3
−
2
⎞ 1 1 1
⎟ = 3 = =
⎠
3
a
a a a
2
z
2 3 2
−2 4
−
3
2
⎛ ⎞
3
13. ⎜ x ⎟ = x
⎝ ⎠
3
−
⎛ a⎞
2 a
2
b
14.
⎜ ⎟ = 3 =
⎝ b⎠
−
2
b a
1
1 1 1
= 4 = =
3 3 3
x
xx x x
3
3
−
3
2
3
2
2
bb b b
= =
2
aa a a
1
⎛ − ⎞ 3 1
− 1 1
15. ⎜ x
2
⎟ = x
6
=
1
=
6
⎝ ⎠
x
6
x
16.
a
− 3
3
−
1
= a
2
=
a
3
2
17. 2 2 − −
−3 −4
2
2 2
x y = x y =
3
x y
3
4
2 2

18.
a
x
3
2
3
− 5
3 m
19.
4
5 n
3
3
a
= =
3
a x
2
− 3
x
2
5
−
2
2
5
2
2 2 3
4
3 3
3m
3mn
= =
3
− 5
4
5n
3
−
20. a −
b b
4
5 4 − 3 1
= =
3 3
5 5
a a b
1
−
21. x
2 x
−1 x
2
= x
2
= x
3
2
3
4
7
2 3
1 1
= = a b
22.
7 6
7 6
− − − −
a b
2 2
a b
2 4
−
3 2 2
3x
3y
3y
23.
= =
4
2 2
−
y 3 3
x x
24.
1 3
− −
−1 3 −3
m n = m
2 3
n =
3
2 3
25.
16 = 16
25. ( )
2
1
1
m2n
2
= ( 16) ( 16)
= 16 16 = 64
26. 8
3 3 8
2 3
= = 64 = 4
3 1 1
4
27. 4 2
81 = 81 81
28. 9
29.
5
−
2
4
= 81 81= 9⋅ 3 = 27
=
1
5
9
2
1
=
5
9
1 1 1
= = =
2 2
999 81 9 243
2
29.
3 3
( − 27) = ( −27)
30.
=
3
−27 3
−27
=−3⋅− 3=
9
2
30.
5 5
( − 32) = ( −32)
31. 49
3
−
2
=
5
−32 5
−32
=−2⋅− 2=
4
=
1
=
49
2
2
3 2
1
49 49
1 1
= =
49⋅7
343
5
⎛ 4⎞
2
32.
⎜ ⎟ =
⎝ 9⎠
=
4
9
5
5
2 2
444
2 2
999
16 4
=
81 9
33. ⎛ 8 ⎞ 3 27
⎜ ⎟ = 1
⎝ 27⎠
3
8
16⋅2
32
= =
81⋅3
243
1
−
1
−
1
3
⎛ 25⎞
2 36
34.
⎜ ⎟ =
⎝ 36⎠
25
1
−
3
27 3
= = =
8 2 1
3
1
2
1
2
36 6
= = =
25 5 1
32 5 5
⎛ ⎞ 243
35.
⎜ ⎟ = 1
⎝ 243⎠
5
32
2
−
⎛ 27⎞
3 3
64
36.
⎜ − ⎟ =
⎝ 64⎠
− 27
37.
1
1
2
1
5
5
243 3
= = =
32 2 1
5
=
=
1 3
= 9 = 729
− 3
9
5
−
⎛ 16⎞
4 81
38.
⎜ ⎟ =
⎝ 81⎠
16
=
3
3
2
2
3
64
2
( − 27)
64 64
3 3
1
2
−27 −27
3 3
44 ⋅
=
− ⋅− = 16
3 3 9
= 1
5
4
5
4
2
4
81 81
4 4
4
16 16
4 4
81⋅3
243
= = = 7
16⋅2
32
7
9
19
32
2
−
⎛ 32 ⎞
5 243
39. ⎜ − ⎟ =
⎝ 243⎠
− 32
7
40. ( 2 9)
40.
41.
3
−
2
1
−
4
16
1
41. ( 5 )
2
3
=
2
5
2
5
243 243
5 5
−32 −32
5 5
33 ⋅
=
− ⋅− = 9
2 2 4 = 2
25
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
9 ⎠
3
2
9
= 3
2
25
=
3
−
2
2
9 9
2
25 25
93 ⋅ 27
= =
25⋅5
125
81
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
16⎠
1
1
−
4
4 4
16 16 2
= 1 = =
4
81 3
4
81
42. 3 2 3 3 2
8 ⋅ 4 = 8 8 4 4
5
43. 2 3
9 ⋅ 27 =
1
−
= 2242 ⋅ ⋅ ⋅ = 32
1
−
44. 5
243 ⋅128
7
3
3
9
5
27
2 2
9 9 9
= = 81
3
3
7
1
4
7 7 7
128 128 128 128
= =
5
243 3
222 8
3 3 2 2
= ⋅ ⋅ = =
3

EJERCICIO 222
−2 −1
1. a + a b2 0
+ x para a= 3 b=
4
−2 −1
= 3 + 3 ⋅ 4 + x
1
1
2 0
1 1 4
= + + 1
2
3 3
1 2
= + + = + + = =
9 3 1 1 6 9 16
1
9 9
1
−
2 2 −3 0 3
2.
3x + x y + x y para x = 4 y = 1
1
2 −3
= 34 ( ) 2 + 4 () 1 + 11 ()
1
7
9
34 16 1 3 3 34 37
= + + = + 17 = + = = 18
2 2 2
4 1 3
3
2 4
3.
2a b
a −
−
−
+
−1
+ ab para a= 4 b=
16
b
x
4.
y
1
3
−4
1
−3
4
24 ( )
2
= ⋅ 16+ −1
+ 4 ⋅16
16
2 16 4
= 3 ⋅ 16+ 4 +
4 4 4 2
( 16)
⋅16
3
−
4
1 1 2 1 1 1 8 1 4 13
= + + 1 = + + = + + =
2 16
2 16 4 16 16
2 4
16 16
3
4
−2
1 1
− − x
2 3 0 0
+ x y − x y + 4 para x = 16 y = 8
3
y
3
4
1 1
16 − −
2 3 0 0
16
=
−2
+ 16 ⋅8 −16 ⋅ 8 + 4
8
3
8
4 2 4 2
1
16 16 8
3
16 8 1 16
= ⋅ + − +
3 3
8 8
x
5.
x
( )
1
4264
3
42 1 16
= ⋅ ⋅ + − + =
8 8 512 + 1 −
8 1 + 1
⋅
0
−1
−3 3
1 3
= ()
−1
+ + 21+ 81 ⋅3
81 1
= 512
−3
3
y
0 4 −2
+
0
+ 2x + x y para x= 81 y=
3
y
4 −2
4 2 4
1 81 81
= 81+ 3
+ 2 +
2
3 3
1 93 1
83
83
27 9 27 3 86 1
= + + ⋅ = + + = + =
27 86
1
8
1
2
1
27
1 1 1 1
− − 1
6.
a2
x3
a
2
x
3
0
+ + 1 + 3x para a = 16 x = 8
−
a
4 −1
x
1 1 1 1
− − 1
=
2 3 2 3
16 ⋅ 8 + 16 ⋅ 8 +
()
1 + 31
−
4 −1
16 ⋅8
3
4
= 16 8 + + ⋅ +
3
16 8
1
16 8 3
1
= 8 + +
42 16 + 3 = 27 + 1 =
8 27
⋅
1
8
−2
−2
1
a
−1 2 −3
a
7.
−1
+ 3a b c − 1 + b + c
b
2 −1
bc
para b = 16 c = 2 a = 3
4 0
−2
−2
3
−1 2 −3
3
= ( ) ( )
−1
+ 33 ⋅16 2 − 1
16
16 ⋅2
2 −1
16 3 256 2
4
=
2
+ ⋅
3
− + +
2
16 1
3 3 2 3 16
16 1
= + 32 − + +
9 18 2 1
16 1 32 + 630 − 1 661
= + 35− =
= = 36
9 18 18 18
0
x
8.
3y
0
2 1 −2
1
8
3 5
= + 8 − 32 +
−1
+ 1
31 () 32
1
4
+ 16 + 1
13
18
2 1 −2
x
3 5
0
+ x − y +
−1
+ y para x= 8 y=
32
y
1
3 3
( )
2 5
= + 2 − 32 + 32
2
+ 1
3
8
1
3 2 2 1 2 1 1 3 3 1 2 18 3 23
= + − + + = + + = + + = = 3
2 6 6
2 5
6
1
2
− 1
3
0
1
3 5
9.
a − 4 + ab− ab − 2 para a = 27 b = 243
−
−
5
3
b
a
1
2
− 1
1
3
3
= − + ()
5
27
4 1 243− 27 ⋅243
− 2
−
−
5
3
243
27
1
5 5
= − ( ) 4
5 5
+ − ( ) 2 3 3
3 243 3 3 − ( 3 )
2
3
27
1
4 2 2
= − + − ( ) −
3 3 243 3 3 3
1
1
= + − − = + = 3
3 162 27 9 1 126 126
3

EJERCICIO 223
1. xx = x bg=
x
2 − 3 2 + − 3 − 1
2. a a = a = a
−2 −3 −2−3 −5
3 −3 3−3 0
3. xx = x = x = 1
1
1
2 1 3
+
2
4. a
2 a = a = a
1
1
1 1
+
5. x
2 x
4
= x
2 4
= x
3
1
3
4
+
6. a
4 a
4
= a
4 4
= a
4
= a
3
1
4
2
3 2 3 1
− − −
5
7. 3
5 5 3
5 5
mm = m = 3 m
3
1
−
3 1
−
8. 2
4 2 2
4 2
a a = a = 2 a 4
1
− −2 − 1 7
−
3 3
9. x
− 2 x
3
= x = x
2
−
2 −
2 3
10. 3
2 3
nn = 3 n = 3 n 3
1
2 1 5
− − − −
2 2
11. 4
− 2 2
a a = 4 a = 4 a
1 2 2
− −
12. a b ab
− 1+ 1 − 2+
2 0 0
= a b = a b = 1
1
4
1
1
−
1 1
−
2 5 0 −5
13. x
−3
y
2 x
−2
y
2 x
−3−2
y x
−
=
2
= y = x
1
1
−
1 1
−
14. 3
2 2 2
− 2 2 3 2
2−
2 2 2 6
0 0
ab a b = ⋅ a b = ab = 6
15. ab a b = a b = ab
3 − 1 − 2 − 2 3 − 2 − 1 − 2 − 3
1 3 1 1 1 1 3 1
− − + +
16. a 2 b 4 a 2 b 4
= a 2 2 b 4 4
= a 0 b 4
= b
2 1 1 2 2 1 1 2 3 3
− − − − + −
17. m
3 n
3 m
3 n
3 m n m n m
−
=
3 3 3 3
=
3 3 1
= n
3
18. 2
−1
4 −2 2
− 1+
1 4 2 2
0 4
a b ab = a b = a b = 2 b
4
3
5 5
− − −
4
EJERCICIO 224
−4 −2
1. a + 3a
+ 2
a
−
− a + 1
−4 2
a + 3a + 2a
−8 −6 −4
− a −3a −2a
−6 −4 −2
a
−
+ 3a
+ 2
−4 2
−8 −6 −2
a + 2a + a + 2
3
4. 4 2
2a − a + 2a
a
1
4
1
+ 1 −a
4
2a − a + 2a
1
4
1
−
4
3 1
2
3 1 1
4
4 2
2a − a + 2a
1 1
2 4
− 2a
+ a −2
3 1 1
4 2 4
2a + a − a + 3a
−2
2. x − 1+
x
x
x
2 − 2
+ 2−x
2 − 2
− x + 1
4 2
2x
− 2+
2x
2 − 2
−
− 1 + x −x
2 −4
−
x + x − 2+ 3x −x
4 2 2 −4
2
5. 3
a − 2 + 2a
2
−
3
3+ a −4a
2
3
3a
− 6+
6a
2
2
−
3
4
−
3
2
−
3
2
−
3
+ 1− 2a
+ 2a
2
−
4
−
3
4
−
3 − 2
− a
3
4 + 8a −8a
4
−
3 − 2
3
3a − 5 + 10a −8a
3. 3
x + 2x + x
x
− 2 + x
3
x + 2x + x
x
1
3
2 1
3
1
−
3
4
2
3
4
3
3
−2x−4x −2x
x
6. x
4
+ x
4
2 − x
x
3
1
2
− 2 + x
x4
+ x4
2 −x
2 1
3
2
3
2
1
3
+ 2x
+ 1
3
− 2x
+ 1
1
1
−
4
1
−
2
5 3 1
4
3 1
− x4
x4
2 − 4 + 2x
1
−
4
x4
+ x
4
2 −x
x4
− x4
x
4
4 + 4 −x
1
5
1
1
−
1
−
3
−
4
3
−
4
7. 2 −1
ab + a+
b
a b − a b + a
−2 −2 −3 −1 −4
b + a b + a b
−3 −1 −2 −2 −1
−a b −a b −a
−1 −2 −2 −1 −3
−2 −1 −3 −4
a b + a + a b
−3 −2 −1 −4
b + a b + a b
8. x y + x y + x y
−1 −1 −3 −3 −5 −5
x y − x y + x y
−3 −2 −5 −4 −7 −6
x y + x y + x y
−4 −3 −6 −5 −8 −7
−x y −x y −x y
−6 −5 −8 −7 −10 −9
+ x y + x y + x y
−8 −7 −10 −9 −12 −11
x y + x y + x y
−4 −3 −8 −7 −12 −11

3
1
9. a4 −3
b a4 −2
+ b −a b
1
1
−
a2 −1
b − a
2
2+
3 b
1
−
4 −1
5
3 1
− − 4 −2
a4 4 4 3
b + a b −a b
3
1
1
−
4 −1
4 −3
4 −2
−2a b − 2a b + 2a b
5 3
a4 − 2
b a
4 −1
3 + 3 b −3a
a4 −4
b a4 −3
b a
4 −1
− + 5 b −3a
−1
10. a + a
2
2 b + 2b
−1
a − a
2b + b
− 2
−
a + a
2
2 b + 2a b
1
1 1
− −
2 −1
1 1
− −
2 −1
3 1
− −
2 1 −1
3 1
− −
1
−
1
−
1 3
− −
2
− −
− a
2b 2 1 1
− a b − a
2
2 2 b
3
−
4
3
−
4
1 3
− −
2 − 2
−1 −1
+ a b + a
2
2 b + 2b
3 1
− −
2 −1 −1 −2
− 2
a + a
2b + a b + 2b
3
11. 2 2 2
2
4x − x y + xy−x y
x
1
2
+ y
1
2
1
4
2 2
x x y2
x2
− + y−xy
2 2 2
4xy − x y+ xy −x y
2
4x + 3x y −x y
1
3
2
5 1 3 3
2
2
5
1
2 2
1 3 3 1
2 2
1 2 2 1
12. 3 3 3 3
x− 2a x + a x −3a
4 2 2 1
3 3 3 3
x + 3a x + 2a x
7 1
3 2
2 5 4
3
3
3 3
x − 2a x + a x −3ax
1
3 2
1
2 2
2 5 4 4 5 2
3
3 3 3 3 3
+ 3a x − 6ax + 3a x−9a x
2 5 4 4
3 3 3 3
+ 2a x − 4a x + 2ax −6a x
7
4 4 5 2
3
3
3 3 3
x −7ax −3a x−
9a x
13. 5a − 3a+ 4−2a
2 −1
3a+ 2−5a
3 2
−1
15a − 9a + 12a
−6
2 −1
10a − 6a + 8 − 4a
1 −2
−
− 25a+ 15 − 20a + 10a
3 2 1 −2
−
15a + a − 19a+ 17 − 24a + 10a
−
14. 2x− 3+ x + 4x
x − 2x + x
1 −2
−1 −2 −3
−1 −2 −3
2− 3x + x + 4x
−1 −2 −3 −4
− 4x + 6x −2x −8x
−2 −3 −4 −5
+ 2x − 3x + x + 4x
−1 −2 −3 −4 −5
2− 7x + 9x − x − 7x + 4x
1
15. 2 2
2
m− m n + n−m n
1 1
1
−
2
m +
2
n +
2
m n
1
1 3
−
2
3 1 1 3
2
m2
− mn2
+ m2n−n
1 1 3
1
−
2 2
+ mn2
− m
2n+ n
2
−m n
1 3
1
−
+ mn
2
− n2
+ m
2 2 −1
n−
m n
3
1 3
5
2
m2
+ m2n−n2 −1
−m n
3
16. a5
+ a5
2 −a
2
1
5
− 2 + a −a
3 1
1
−
5
2
−
5
5 5
−2a − 4a + 2a
3 1
1
−
5
5 5
+ 2a − a + a
17. 3
m+ 3m + 2m
1
1
−
− a5
− a
5
2 + a
1
5
− 6a + a+
a
2 1
3
1
−
3
2− 2m
+ 2m
2
−
3
2 1
3
3
2m+ 6m + 4m
2 1
3 3
−2m
−6m
−4
2
3
+ 2m
+ 6+
4m
3
2m+ 4m + 2+
4m
3 3
−
1
−
18. x 4 y2
+ 3x 4 y−x4
y
1
1 1
2
3
−
5
3
−
5
1
−
3
1
−
3
5 1 3 1 1
− − − −
x 4 y2
−3x 4 −x 4 y 2
3 3
−
− 2 2
−
x y + x 2 y2 1
3 − x y
3 3
1 1
−
−
−
− x 2 y2 1
3 − 9x y+
3x 2 y2
1 1
−
−1
− x y − 3x 2 y2
+ 1
−2 2 −1
x y − 11x y + 1
5
2

19. xy + 5xy + 2xy
2 −1 3 −3 4 −5
x y − x y+
3x y
−3 3 −2 −1 −1
−
x y + 5+
2xy
1 2 −2
−
− 1−5xy
−2x y
2 2 −4
+ 3xy + 15x y + 6x y
−2 2 −4 3 −6
x y + 4 + 13x y + 6x y
−1 2 2 −4 3 −6
2 1
−
4
−
20. a
3b2
−
+ a
3 2
2 b−a b
2 1
−
2 1
−
2
3
a b
2
+ +
3
3 1 a b
2 1
−
4
−
+
3
a b2
−
3
3 6 3a b
2 1
−
4
−
−
+
3
a b2
+
3 2
2a b−a b
4
−
3
2
3
2
8
−
3 2
a
3 − 2
b+ a b2
2 −a b
3
2 1
−
8
−
3 2
−
+
3
a b2 2
+ a b2
3 7
−a b
3
EJERCICIO 225
1. − −
a ÷ a = a bg − +
= a = a
2 2 2 2 2 2 4
2. x ÷ x = x = x
−3 2 −3−2 −5
1
1
1 ⎛ 1⎞
1 1
−⎜
− ⎟ +
−
3. 2 4 2 ⎝ 4⎠
2 4
m ÷ m = m = m = m
2 5 2−5 −3
4. a ÷ a = a = a
5. − − − − − − +
x ÷ x = x bg= x = x
1
3 7 3 7 3 7 4
1
2 1 1
− −
2
6. a
2
÷ a = a = a
7. 3
⎠
x ÷
3 3 3
x = x =
3 3
x = x
3
4
2 1 2
− − − − ⎛ 1⎞
2 1 1
⎜ − ⎟
⎝ − + −
3
2
1
2
− ⎛ ⎜ −
⎝
1⎞
2 1
⎟ +
−
8. 5 5 5 5⎠
5 5
a ÷ a = a = a = a
3 1 3 1 5
− − − −
4
9. m 4
÷ m 2
= m 4 2
= m
1
1
3 1 2
− −
3
10. a
3
÷ a = a = a
2 1
2 1 3
− 4 − ⎛ ⎞
⎜ − ⎟ 11. 5 5 5 ⎝ 5⎠
+
5 5
4x ÷ 2x = x = 2x = 2x 2
5
2
1
3
5
7
⎛ 7⎞
5
−3−⎜
− ⎟ − + −
4
12. −3
−
⎝ ⎠
a ÷
4
4
3 7
a = a =
4
a = a
−2 −1 −3 −2 − 2+ 3 − 1+
2
13. x y ÷ x y = x y = xy
1
1
1
2 1 1 3 1 1 2
− − − −
3
14. a
2 b
3
÷ ab = a b = a
2 b
15. ab ÷ a b= a b = ab
2 − 3 − 1 2 + 1 − 3 − 1 3 − 4
1 2 1
− − −
1 1 2
− + − +
16. x
2 y
3 x y
−
÷
2 1
= x
2 2 y
3 1 = x
0 y
3
= y
3
− 3
− 1 3 3
+ 1
− 3
− 3 5
−
17. mn
4 4
÷ m
2 n
4
= m
4 2 n
4 4
= mn
4
2
1
− 8
+
− 2 5
5 −2−1
5 5 − 3
18. 8x y ÷ 4xy = x y = 2x y 5
4
1
1
−
1 1
+
19. a
3 b a
4 b
− 3 a
3 4 b
1+
3
÷ = = a b
2
1
7
12 4
20. x y ÷ x y = x y = x y
−4 −5 2 −1 −4 −2 − 5+ 1 −6 −4
1
3
2
3
1
3
EJERCICIO 226
1. −8 −6 x + 2x +
−2 x + 2
−4 −2
x − x + 1
−8 −6 −4 − x + x − x
−4 −2
x + 3x
+ 2
3x − x + x
−6 −4 −2
− 3x + 3x −3x
−6 −4 −2
−4 −2
2x
− 2x
+ 2
−4 −2
− 2x
+ 2x
−2
4
2
2 1
3
2. 3
3
3
a − 2a + 1 a+ 2a + a
4
2
1
−a3
− a a3
a3
2 − − 2+
a
−2a−3a
3
+ 2a+ 4a + 2a
a
2
3
2 1
3
2
3
1
+ a3
2 + 1
2 1
3 3
−a
−2a
−1
1
−
3

3. m + m − 2+ 3m −m m − 1+
m
4 2 −2 −4 2 −2
− m + m − 1 m + 2−m
4 2 2 − 2
2m
− 3+
3m
2 − 2
− 2m
+ 2−2m
2 − 2
−
− 1 + m −m
2 −4
−
+ 1 − m + m
2 −4
3 1 1
1
4. 4 2 4
4
2x+ x − x + 3x − 2 x + 1−x
4 2
4 2
−2x− 2x + 2x 2x − x + 2x
− x4
+ x2
+ 3x
2 4
2x
+ 2x
−2
2 4
−2x
− 2x
+ 2
1
−
4
3 1
3 1 1
4
3 1 1
4
3
4
1
2
+ x + x − x
1
4
1 1
1 1
2
5. 3
3 − 2
3
3m − 5 + 10m − 8m 3+ m −4m
2
2
−
3
3
3
−3m − 1+ 4m m − 2+
2m
2
−
3
− 6+ 4m
+ 10m
2
−
3
+ 6+ 2m
− 8m
2
−
4
−
4
−
3
4
−
3
4
−
3 − 2
3
6m + 2m −8m
2
−
4
−
3 − 2
3
−6m − 2m + 8m
2
2
−
2
−
3
4
−
3
6.
5
1
a4
− a4
a
4
a
4
a2
4 + 4 − − 2+
a
− a4
+ a4
a4
a4
a4
2 − + 2 −a
a4
a4
2 − 5 + 4a
− a4
a4
2 + 4 −2a
− a4
+ a
4
2 −a
+ a4
− a
4
2 + a
1 3 1
1
− − −
2
5 3 1
3 1
3 1
3 1
1
1
1
−
4
1
−
4
1
−
1
−
3
−
4
3
−
4
1
−
4
7. −5 −4 −3 −2 −1 −2 −1
4x −7x − x + 9x − 7x + 2 4x + x − 3+
2x
−4x − x + 3x −2x x − 2x + x
−5 −4 −3 −2 −3 −2 −1
− 8x + 2x + 7x −7x
−4 −3 −2 −1
8x + 2x − 6x + 4x
−4 −3 −2 −1
−3 4x +
−2 −1
x − 3x
+ 2
−3 − 4x −
−2 −1
x + 3x
−2
8. a b + a b + a b a b − a b + a b
−12 −11 −8 −7 −4 −3 −7 −6 −5 −4 −3 −2
− a b + a b − a b a b + a b + a b
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −5 −5 −3 −3 −1 −1
a
b
−10 −9
− a b + a b −a b
−10 −9 −8 −7 −6 −5
a b − a b + a b
−8 −7 −6 −5 −4 −3
− a b + a b −a b
−8 −7 −6 −5 −4 −3

9. m n + m n + n m − m n + m n
−4 −2 −1 −3 −4 −3 −1 −2 −2
− m n+ m − m n n+ m+
m n
−4 −3 −2 −1 2 −1
m
− 3
− m + m n −m n
−3 −2 −1 −1 −2
m n − m n + n
−2 −1 −1 −2 −3
− m n + m n −n
−2 −1 −1 −2 −3
3 2 −1 −2 −1
10. 15a + a − 19a+ 17 − 24a + 10a 3a+ 2−5a
3 2 2 −1
−15a − 10a + 25a 5a − 3a+ 4 −2a
2
− 9a
+ 6a+
17
2
+ 9a
+ 6a−15
12a+ 2 −24a
−12a− 8 + 20a
−1
−1
1 −2
−
− 6 − 4a
+ 10a
1 −2
−
+ 6 + 4a
−10a
5
3
−
−
−
11. a4 −4
b a4 −3
b a
4 −1
b a
4
a2 −1
− + b a
2
5 −3 − 2+
3 b
5
3
1
3 1
a4 −4
b a4 −3
b a4 −2
b a4 −3
b a4 −2
− + 2 − 3
+ b −a b
3
1
a4 −3
b a4 −2
− 3 b + 5a b
3
1
a4 −3
b a4 −2
− + 2 b −3a b
1
a4 − 2
b a
4 −1
− + 2 b −3a
1
a4 − 2
b a
4 −1
+ − 2 b + 3a
1
1
−
4 −1
1
−
4 −1
1
−
1
−
3
−
4
3
−
4
3
1
1
1
−
4 −1
3 1
− −
− 2
− − − −
12. x + x
2y 2 1 1 2 1
+ x y + y x − x
2
2
y + y
3 1
− −
− 2
− − −
− x + x
2
y
2 1 1 1
− x y x + x
2
2 y + 2y
2x
3 1
− −
2 2
y
3 1
− −
1 3
− −
2
− −
− x
2
y
2 1 1
+ x y − x
2
2 2 2 y
1 3
− −
2 − 2
−1 −1
x y − x
2
2 2 y + 2y
1 3
− −
2 − 2
−1 −1
− x y + x
2
2 2 y −2y
1 1
− −
2 −1
1 1
− −
2 −1

5
5 5 5
13. m − 6m + m m + 2m −m
5 5
5
−m− 2m + m m −2−m
5
−2m
−5m
5 5
2m + 4m −2m
1
1
−
5
1
−
5
5
−m − 2m + m
1
−
5
5
+ m + 2m −m
3
−
3 1
2
3 1
5
3 1
1
1
3
−
5
3
−
5
3 1
2
−
5
1
−
5
2
3
3
3
14. 2x+ 4x + 2+ 4x x+ 3x + 2x
2 1
3 3
3
−2x−6x −4x 2− 2x + 2x
2 1
3 3
−2x
− 4x
+ 2
2 1
3 3
+ 2x
+ 6x
+ 4
1
3
2x
+ 6+
4x
1
3
−2x
−6−4x
1
−
1
−
3
1
−
3
2 1
3
1
−
2
−
3
5
1
2 2
1
2 2
1 1
15. 2
2
4x + 3x y − x y x + y
5
1
2 2 2 2
2 2
2
−4x −4x y 4x −x y −xy−x y
2
− xy
1
2
1 3
+
2
xy2
−
2
x y
3
2
− x y
3 3
x2
y xy2
+ −
−xy
3
2
1
2 2
−x y
3 1
2 2 2
+ xy + x y
2
3 1
1 3
2
7
4 4 5 2 4 1 2 2
3
3
3 3 3 3 3 3 3
16. x −7ax −3a x− 9a x x + 2a x+
3a x
7 1 2 5
1 2 2 1
3 3 2 3 3
3 3 3 3
−x −2a x −3a x x− 2a x + a x −3a
1 2 5 4
a3 2
− x a3x3
2 −3 −7ax
1
2 5 4
3
3 2 3 3
+ 2a x + 4a x + 6ax
2 5 4 4
3 3 3 3
a x − ax −3a x
2 5 4 4
−a3
x3
− ax3
a3
2 −3
x
3
4 4 5 2
3
3 3 3
−3ax −6a x −9a x
4 4 5 2
3 3 3
+ 3ax
+ 6a x +9a x 3

3
1 3
5 1 1
17. a2
a2b b2 −1
+ − − a b2
a2
+ b2
+ a
2b
3 1 1
1 1
−a2
−ab2
−a2b a− a2b2
+ b−a 2b
−ab
1
2
−b
+ ab
2
+ a
2b + b
a2b
3
2
1 1 3
2
1
1 3
1
−
2 2
−a2b−b2
−a b
3
1
−
b2
a
2 2 −1
− − b −a b
3
1
−
b2
a
2 2 −1
+ + b + a b
5
2
5
2
1
−
1 3
−
2
−2 2 −1
18. m n − m n +
4 2
m n +
4
m n−
4
11 1 3 m n
3 3
−
−2 2 2 2 −1
4 2 4 4
−m n − 3m n + m n m n −3m −m n
3 3
−
−
−
2 2 1
3m n −10m n
3 3
−
1 1
−
2
−
+
2 2 1
m n + m n−
2
3 9 3m n
1 1
−
−1
− m n −
2 2
3m n + 1
1 1
−
−1
+ m n +
2 2
3m n −1
3 3
−
1
−
5 1 3 1 1
− − − −
2
19. x y + 4 + 13xy + 6xy x y − x y+
3x y
−1 2 2 −4 3 −6 −3 3 −2 −1 −1
− x y + 1− 3xy xy + 5xy + 2xy
−1 2 −2 2 −1 3 −3 4 −5
−
5− 3xy
+ 13x y
2 2 −4
−
− 5+ 5xy
−15x y
2 2 −4
2xy − 2x y + 6x y
−2 2 −4 3 −6
− 2xy + 2xy −6xy
−2 2 −4 3 −6
1
1
2
2 1
−
20. 3 2 − 2 2 3 2 3 2
3
3+ 7a b + a b − a b 3a b + 1+
a b
3 2 3
3 2
−
−3−a b − a b a b + 2a b−a b
3 2
−
6a b − a b + a b
3 2
−
− 6a b −2a b −2a b
−
−
2
3a b −a b −a b
−
+
2
3a b + a b + a b
3
8
2 1
2 1
− − −
2
2 1 4
2 1 4
3
− − − −
3 2 2
2 1
−
2 1
−
4
3
−
3 2 2
4
3
−
3 2 2
4
3
−
3 2
4
3
−
3 2
8
−
3 2
8
−
3 2

EJERCICIO 227
1.
a = a = a
1. ( )
2.
−1 2 −12 ⋅ −2
a b = a b = a b
−2 −1 3 −23 ⋅ −13 ⋅ −6 −3
2. ( )
2 3
3
2 2 3. a a 2 6
⎛ ⎞ ⋅
⎜ ⎟ = = a = a
⎝ ⎠
3 3
4 3 9
4
3
⎛ ⎞ ⋅
4
4. ⎜ x ⎟ = x = x
⎝ ⎠
2 3
2 3
3
4 4 5. m m 2 6
⎛ ⎞ ⋅
4
⎜ ⎟ = = m = m
⎝ ⎠
3 2
3
2
2
⎛ − ⎞ − ⋅ −
3
6. ⎜ a ⎟ =
3
a 3 6
= a = a
⎝ ⎠
3 −2
2
1
1
⎛
−4
⎞
− ⋅
⋅
4 42
− −
7. ⎜ x y ⎟ =
4
x y 2 2
8
=
4 8
x y = x y
⎝ ⎠
2
1 1
1
2 3 2 2 8. 2 2 2 1 3 2 2 2 2
⎛ ⎞
⋅ ⋅
2 3
⎜ ab ⎟ = a b = 4ab = 4ab ⎝ ⎠
3
9.
a b = a b = a b
−3 −1 4 −34 ⋅ −14 ⋅ −12 −4
9. ( )
6 2
2 1
3 2 3 10. x y x 6 1
2
y 6 12 6
⎛ − ⎞ ⋅ − ⋅ −
3
⎜ ⎟ = = x y = x y
⎝ ⎠
5
1
2
2 4 −3
2
2
5 3 5 5 11. 3 3 5 10
⎛
−
⎞
⋅
35
⎜ ab ⎟ = a b = 243a b = 243ab
⎝ ⎠
3
− ⋅ 5 −15 2 −15
1 1
1
2 3 3 2 12. 2 2 3 1
3 3 3 3 3
⎛ − − ⎞
− ⋅ − ⋅ − − −
2 3
⎜ m n ⎟ = m n = 8m n = 8m n
⎝ ⎠
2 −1
EJERCICIO 228
2 1
2 1
2 2
= a+ 2a b + b
1
1
1 2
⎞
2
1 1
1
⎛ ⎞
2 2
2
2 2
1. ⎜ a + b ⎟ = ⎛ a 2 a b b
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟
⎠
2 3
2 3
3 1
1 1
⎛ ⎞
2. 4 3 4
4 3 3
⎜ x − y ⎟ = ⎛ x 2 x y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
⎠
3
2 4 3
= x − 2x y + y
2 1
1
⎛ − ⎞ − −
3.
⎜ m + m⎟ = ⎛ m m m m
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
2
2
2 ⎟ + 2 2 ⎜ ⎟ + 2
⎠ ⎝ ⎠
3. ( ) ( )
4.
3
1
2
3
2 1
2 2
1−
1 2 2 1
−1
−
= m + 4m + 4m = m + 4m + 4m
−2 3 3 −2 4. ( a b − a b )
− − −
= ( a b) − 2( a b)( ab
−
) + ( ab )
2 3 2 2 3 3 2 3 2 2
= a b − 2a b + a b
−4 6 − 2+ 3 3−2 6 −4
−
= a b − 2ab+
a b
4 6 6 −4
2
3
5. ⎛
−
− ⎞
−
−
⎛ − ⎞
⎜ a − b ⎟ = ( a ) − ( a ) ⎜ b ⎟ + ⎛ 1 4
1 2 3
1 4
3 2 3 b
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 3
3
−
−2 −1
4
= a − 6a b + 9b
−4 −2
2
= a + 2a b + b
3
−
2
2
− − −
⎛ ⎞
6. ( a + b) = ( a ) + ( a ) ⎜b ⎟ + ⎛ 2
2 2 1 1
2
b
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
2 2
2
⎟
⎠
1
2
2
1
2 2
3 2
−
4
⎞
⎟
⎠
2 3 2 3
1 2
− − − ⎞
2
1
1
⎛
7. 4 3
⎞
2
4
4 2
⎜ x − y ⎟ = ⎛ x 2 x y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜
1 1
⎛
⎞
−2
4 2 −1
8. ⎜ m n − m n ⎟
⎝
⎠
2
3
2 4
= x − 2x y + y
− 2+
1 2
−4
=
2
m n − 2m n + mn
−4
=
2
m n − 2
2
m n + mn
2
3
1
−
4 1 −2
3 3
− −
4 −2
1
−
2 −1
− − − −
= ⎛ 1
m n m n mn mn
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 1
2
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
4
2 4 2 1 2 1
2
⎟
⎠
1
1
1 1
⎛ ⎞
3 3
9. ⎜ a + b ⎟
⎝ ⎠
10.
3
3 1
2 1
1
1 1
a 3
3 3
a b a 3 3
3
= ⎛ 3 3 b b
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
⎠
2
1
3 3 3 3
= a+ 3a b + 3a b + b
2 −
10. ( x − 3y
)
3 1 3
3 2
1
2
⎟
⎠
2
2 1
2
2
x 3
3
= ⎛ 3 x 3y 3 x 3y 3y
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎠
2 3 1
= x − 9x y + 27x y −27y
2
−1
− −
( ) ⎟ ( ) − ( )
4
2
− 3 −2 −3
3 1 2 1 3
3

3 2
3 2
2 3
2 3
2 3
2 3
4 3 2
⎛
− ⎞
3 2
3
3
2
3 2
2 2 3 2 3 3
11. ⎜ m + 4n ⎟ = ⎛ m 3 m 4n 3 m 4n 4n m 12m n 48m n 64n
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ − ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜
− ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ − ⎞
−
−
⎟ = + + +
⎠
3
2 1
1
4 2
4 12. 2 3 ( 2 ) 3 4
3( 2 ) 2 1
1
1
⎛
−
− ⎞
−
−
⎛ − ⎞
2 −4
⎛ − ⎞ −
2
2 −12 −8
−
2 −4 −1
⎜ a − b ⎟ = a − a ⎜ 3b ⎟ + 3( 2a ) ⎜ 3b ⎟ − ⎛ 3b 8a 36a b 54a b 27b
⎝
⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − + −
⎠
3
13. ( )
13.
3 1
2 1
2 1
3 3
x − y = ⎛ 1
x x y x y y x xy x y y
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 1 1 2
3
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
2
2 3
2 3
3 2 3 2 3
3 3 ⎟ = − 3 + 3 −
⎠
4 1
4 1
3 2
2 2
2 1
3 2
1 2
1
2
3 2 4 1
⎛ ⎞
2 3 2
2 3
2 3
2 3 3 2 2 3 3
14. ⎜ a + b ⎟ = ⎛ a 4 a b 6 a b 4 a b b a 4a b 6ab 4a b b
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = + + + +
⎠
4
1
⎛
−
− ⎞
−
−
⎛ − ⎞
−
⎛ − ⎞
−
⎛ − ⎞ −
15. ⎜ x − y ⎟ = ( x ) − ( x ) ⎜ y ⎟ + ( x ) ⎜ y ⎟ − ( x ) ⎜ y ⎟ + ⎛ 2
y
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
3
2 4 2 3 1
3 2 2 1
1
3
2 3
3
4 6 4
⎟
⎠
1
−
2
−
−8 −6
3 −4
3 −2 −1
= x − 4x y + 6x y − 4x y + y
5 1
5 1
4 3
2
4
−
3
3
3
4
3 1
4
2 2 3
8
1 3
1
3
⎛ − ⎞
16. 3 4
3
3 4
3 4
3 4
3 4
4
⎜ x + y ⎟ = ⎛ x 5 x y 10 x y 10 x y 5 x y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜
− ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞
⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜
− ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ − ⎞
⎟
⎠
3
17. ( )
17.
18.
5
4
3
3 2 9
− − −
4
3 3 4
2 3
= x + 5x y + 10xy + 10x y
5 1
4 1
3 3
1
3 − 3
+ 5x y +
3 1
2 1
y
15
−
4
2 3
3 1
m− n = ⎛ 1
m m n m n m n m n n
⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 1
5
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
2
2 3
2 3
2 3
2 3
3
5 10 10 5
⎟
⎠
2
18. ( a − 2 m)
19.
5
1
3
2 2 3 2 3
2 3
= m − 5m n + 10m n − 10mn+ 5m n −n
6
2
1
4
2 1
5
3
2 1
3 1
4 1
4 3
2
( a ) 6 2
( a ) 5 1
2 2
m ( a ) 4 1
2
2
m ( a ) 3 1
2
2
m ( a ) 2 1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
2
2
⎛ ⎞
2
2
= −6 ⎜ 2 ⎟ + 15 ⎜ 2 ⎟ − 20 ⎜ 2 ⎟ + 15 ⎜ 2m ⎟ − 6( a ) ⎜ 2m ⎟ + ⎛ 2m
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
⎠
1
12 10 2 8 6 2 4 2 2
= a − 12a m + 60a m− 160a m + 240a m − 192a m + 64m
3
2
3
5
2 3
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x y x x y x y x y x ⎜ y ⎟ + ⎛ 3 5 3 4 1
y
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
4 3 3 1
3 2 1
1
4
4
⎟
⎠
5
−3 − − − − −
19. ( +
4
4
4
3
) = ( ) + 5( ) ⎜ ⎟ + 10( ) ⎜ ⎟ + 10( ) ⎜ ⎟ + 5( )
20.
1
−15 −12
4 −9
2 −6
4 −3
= x + 5x y + 10x y + 10x y + 5x y+
y
1
−2 −1
2
−2 − − − − −
20. ( a + a + ) = ( a ) 2 1
+ ( a ) 2 2 2 1 2 1
3 2 3 + ( 2) + 2( a )( 3a ) + 2( a )( 2) + 2( 3a
)( 2)
3
2
−4 −2 −3 −2 −1 −4 −3 −2 −1
= a + 9a + 4 + 6a + 4a + 12a = a + 6a + 13a + 12a
+ 4
5
4
3
4
4 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1
− − − −
4
1 1 1
1
1 1
1
⎛
⎞
2 4 4 2
4
4
2 4
2 4
4
21. ⎜ x − x + 2x ⎟ = ⎛ x x 2x 2 x x 2 x 2x 2 x 2x
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ − ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + ⎜ − ⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜
1
1
−
3
1
2 2 4 4
2 4
= x+ x + 4x − 2x + 4x − 4= x −2x
+ x + 4x − 4+
4x
2 1
2
1 1
⎛ − ⎞ − − −
22. ⎜ a + + a ⎟ = ⎛ a ( ) a a ( ) a a ( ) a
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + + ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ 1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ 1
1
⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
2 2
2
2 2
2
2 2
2
3 3 2 3 2 ⎟ + 2 3 ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠
1
−
2 1
−1
2
2
2
= a + 9+ a+ 6a + 2+ 6a = a+ 6a + 11+ 6a
+ a
1
1
3
4
1
1
1
−
2 −1
1
−
2
5
5
5
5 1
⎞
⎟
⎠
9
−
2
3
−
2
6

2
2 1
2 3
3 1
⎛
⎞
23. ⎜ m+ m − m ⎟ = ( m) + ⎛ 3
1
3
1
m m ( m) m ( m)
m m m
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
⎟ + ⎛
⎜
⎝
− ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4 2
2 4
2
4
2
4
2
2 3 2 3 ⎟ + 2 ⎜ 2 ⎟ + 2 ⎜ −3 ⎟ + 2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ − 3 ⎟
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
7
3
2 2
4 2 4 2 4 2 4
= m + 4m + 9m+ 4m −6m − 12m = m + 4m −2m − 12m + 9m
2 1
2
1 1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 1
1 1
24. ⎛ − − ⎞
− 2 − − − − −
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3
⎜ ab − 2+
a b ⎟ = ⎛ ab ( 2) a b 2 ab ( 2) 2 ab a b 2( 2)
a b
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + − + ⎛ ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ + − ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠
3 1
2
−
2
1
1
−
5
2 1
1 1
−
3 −1
3 2 3
2 3 3 2 3
2 3 −1
= ab + 4+ a b − 4a b + 2−4a b = ab − 4a b + 6− 4a b + a b
3 1
3
7
3
− 2 1
− 1
− 1 1
1 1
1
1
1
⎛ ⎞
3
2 4
2 4
2 4
2
4 2
4
25.
⎜ x + x −1⎟ = ⎛ x x 1 3 x x 3 x 1 3 x x 3 x 1
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + − + ⎛ ⎠
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ −
⎠
25. ( ) ( ) ( )
3
2
3
4
5
4
2 1
1
1
1
2 ⎛ ⎞
2 ⎛ ⎞
2
4
+ 3( −1) ⎜ x ⎟ + 3( −1)
⎜ x ⎟ + 6
⎛ x 2 x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎠ ⎝ ⎠
1
2
1
2
1
4
⎟ ⎟ ( − 1)
1
4
2 1
3
4
3
2
2 1
= x + x − 1+ 3x − 3x+ 3x− 3x + 3x + 3x − 6x = x + 3x − 5x + 3x
−1
3 2 3
3 2 2 2 2 2
2
− − − −
3
2
2
2
2
26. ⎛
⎞
3
2
2
a3
a
3
a3
( ) a
3
a3
( ) a3
a
3
( ) a3
⎜ − 2+
⎟ = ⎛ 2 3 2 3 3 2 3( 2)
a
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + − + ⎛ ⎠
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ − + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎟ ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ + − ⎜
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
2 2
2 2
3
2
2
3 3
3
+ 3 ⎛ a a 3 a ( 2)
6 a
⎝ ⎜ − ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ − ⎞
⎟ − + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ −
⎠ ⎝ ⎠
4
( 2)
⎛
⎜ a
⎝
2 −2
3 3 3 3 3 3
= a − 8+ a − 6a + 3a + 12a + 12a + 3a −6a
−12
4
2
2
−
2
= a − 6a3
+ 15a3
− 20+ 15a 3
− 6a + a
3 1
3 1
2
3 1
2
2
−
3
2 2 4
− − −
4
−
3 −2
3 1
2 1
1 1 1
1
1
⎛
⎞
27. 6
m 2
3 2
m m m6
2m3
m2
3 m6
2m3
3 m6
m2
3 2m 3 m6
⎜ + + ⎟ = ⎛ ⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠
2 1
2
1
1
3 2
+ 3 ⎛ 2m m 3 m 2 m
⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ 1
1
1 1 1
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
6
2
3
6 3 2
⎟ ⎜ ⎟ + 3 ⎛ 2 6 2
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟ + ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⎛ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
m m m m m ⎟
⎠
1
2
3
2
4
3
3
2
7
6
2
3
5
6
5
6
5
6
2
3
7
6
1
2
⎞
⎟
⎠
2 1
7
6
5
4
2 1
= m + 8m+ m + 6m + 3m + 12m + 12m + 3m + 6m + 12m
= m + 6m + 15m + 20m+ 15m + 6m + m
4
3
5
3
4
1
4
2
2
3
2 1
⎞
⎟
⎠
EJERCICIO 229
1.
−4 −3 −2 −1 −2 −1
x + 6x + 13x + 12x + 4 x + 3x
+ 2
( )( )
− x 2x + 3x 3x = 6x + 9x
−4 −2 −1 −1 −3 −2
−3 −2
+ 6x
+ 13x
−3 −6x −
−2 9x −2 −1
( 2x + 6x
+ 2)( 2)
−2 −1 4x + 12x + 4
−2 −1
= 4x + 12x
+ 4
−2 −1
−4x
−12x
−4

2.
1
2
2 −1
2
m+ 6m + 11+ 6m + m m + 3+
m
1
1
⎛ ⎞
2
− m ⎜ m + ⎟ ( ) 2
2 3 3 = 6m
+ 9
⎝ ⎠
1
2
6m
+ 11
1
−
1
1
1
⎛
− ⎞
− m − ⎜ m + + m ⎟ ⎛ 2
2
2
6 9 2 6 m
⎝
⎠ ⎝ ⎜
1
−
2 −1
2 + 6m + m = 2 + 6m + m
1
−
2 −1
−2 −6m
−m
1
1
−
2
1
−
2
⎞
⎟
⎠
1
−
2 −1
3.
4
3
3 3
3 3
9a − 6a+ 25a − 8a + 16 3a − a + 4
4
2 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3
3 3 3
−9a ⎜ 6a −a ⎟ ⎜ − a ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
− 6a+ 25a = − 6a+
a
+ 6a−
a
2
2
2
3
1
2 1
2 1
⎛
⎞
3 3
3 3
24a − 8a + 16 ⎜ 6a − 2a
+ 4⎟
( 4)
⎝
⎠
2
1
3 3
3 3
− 24a + 8a − 16 = 24a − 8a
+ 16
2
1
2
2
3
1
7
2 4 2 4
4
4. a + 4a −2a − 12a + 9a a+ 2a −3a
7
4 2
4
+ 4a − 2a = 4a + 4a
7
4
−4a
−4a
3
3
3
2
3
5
3 3
2
⎛ ⎞
4 4
− a ⎜ 2a+
2a ⎟ ⎛ 2a
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
⎠
3 5
3 1
1
⎛
⎞ ⎛ ⎞
2 4
4 2
2
−6a − 12a + 9a ⎜ 2a+ 4a −3a ⎟ ⎜ − 3a
⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
5
2 4
2 4
+ 6a + 12a − 9a = −6a − 12a
+9a
3
1
2
7
3
3
2
5

5.
3 2 3
2 3 −1
3 2 3
2
mn − 4mn + 6− 4m n + m n mn − 2+
m n
−mn
2 1 1
1 1
− − −
2
−
3
1 1
−
1 1
⎛ − ⎞
⎜ 2
2 3
m n −2⎟ − 2
⎝
⎠
( )
− 4
2 3
mn + 6
2 3
=− 4mn
+ 4
1 1
−
+ 4
2 3
mn −4
2
1 1
−
1 1
−
3
1 1
−
1 1 2
1 1
1 1 1 1
−
−
⎛ − − ⎞ −
2 3 1
⎛ ⎞
2 − 4
3
m n + m n ⎜ 2
2 3
2
m n − 4
3 2 3
+ m n ⎟ ⎜ m n ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
1 1
−
2
1 1
−
−
−
− 2 + 4
2 3 1 3
− = 2 − 4
2 3 1
m n m n m n + m n 3
2
6.
4
3
5 5 5 5
5 5
a − 8a + 10a + 24a + 9 a −4a
−3
4
2 1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
5
5 5
5
−a ⎜ 2a −4a ⎟ ⎜ − 4a
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
5 5
5
− 8a + 10a = − 8a + 16a
3
5
+ 8a
−16a
2
2
2
5
1
2 1
2 1
⎛
⎞
5 5
5 5
− 6a + 24a + 9 ⎜ 2a −8a
−3⎟ − 3
⎝
⎠
2
1
2
( )
5 5
5 5
+ 6a −24a − 9 = − 6a + 24a
+ 9
1
3
2
2
5
1
7.
5
3
1
3 −
−
−
1
−3
2 −2
2 −1
−
a − 6a + 21a − 44a + 63a − 54
2
2
a + 27 a − 2a
+ 3
( )
− −
2
−2
3 1
− a 3 a = 3a
5
3
1
−
−
−
−
⎛ − ⎞
2 2
2 1
2
− 6a + 21a −44a 3( a ) ⎜ −2 2
a ⎟ =−6a
⎝ ⎠
5
3
1
−
−
−
−
⎛ − ⎞
2 2 2 1
+ 6a − 12a + 8a 3( a ) ⎜ −2 2
a ⎟ = 12a
⎝ ⎠
3
−
−2
9a − 36
2
a + 63a
−1
3
1
−2
−
2 −1
−
9 36 63 54
2
27
− a + a − a + a −
1
−
1
1 3 3
− ⎛ − ⎞
−
2
2
2
− 54a + 27 ⎜ −2a ⎟ =−8a
⎝ ⎠
2
5
−
2
−2
1 2
3
⎛
−1
− ⎞
2
−2
−
2 −1
3 2 3 12 12
⎜ a − a ⎟ = a − a + a
⎝
⎠
2
1
3
⎛
−1
− ⎞
2
−2
−
3⎜
a − 2a ⎟ ( 3)
= 9a − 36a + 36a
⎝
⎠
1
⎛
−1
− ⎞
2 2 −1
3⎜
a − 2a ⎟ ( 3)
= 27a −54a
⎝
⎠
( 3)
3 = 27
2 −1
1
−
2

8.
3
4
2
2
−
4
−
2 3 3
3 3 −2
3
x − 6x + 15x − 20+ 15x − 6x + x x − 2+
x
2
2
−
3
3
2
2
⎛ ⎞
3
− x 3⎜
x ⎟ = 3x
⎝ ⎠
3
4 2
2
⎛ ⎞
3 3
3
− 6x + 15x −20 3⎜
x ⎟ ( − 2)
= −6x
⎝ ⎠
4 2
2
⎛ ⎞ 2
3 3
3
+ 6x − 12x + 8 3⎜
x ⎟ ( − 2)
= 12x
⎝ ⎠
5
2
( )
3
3 3 −2
3x − 12+ 15x − 6x + x
− 2 = −8
− 3x
2
3
2
−
2
−
3
4
−
4
−
3 −2
+ 12 − 15x + 6x − x
2 4
4 4
2 4
9. a + 3a − 5a + 3a − 1 a + a −1
3
3
1
⎛ ⎞
2
2
− a 3⎜
a ⎟ = 3a
⎝ ⎠
1
5
3 1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4
4 4
2 4
+ 3a − 5a + 3a 3⎜
a ⎟ ⎜ a ⎟ = 3a
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
3
1 1
⎛ ⎞
4
4
2 4
−3a −3a − a 3⎜
a ⎟ ⎛ a 3a
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ =
⎠
3 1
1
⎛ ⎞
4 4
4
−3a − 6a + 3a −1
⎜ a ⎟ = a
⎝ ⎠
3
4 4
+ 3a + 6a − 3a
+ 1
1
1
1
2
2 1
2
2 4
3
2 4
3
3
2 2
⎛ −
3
2
3
2 4
3
2
2
⎛ ⎞
3
3
2 3 12
3
⎜ x − ⎟ = x − x + 12
⎝ ⎠
2
2
⎛ ⎞ ⎞
3
3
3⎜
x − 2⎟
⎜ x ⎟ = 3x − 12+
12x
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 4
− ⎞ − −
3
3 3
2
⎛ ⎞
3
3
⎜ x − 2⎟ ⎛ 3 6
⎝ ⎠ ⎝ ⎜ x ⎟ = x − x
⎠
5
4
3 3
4
( − )
2 3
⎛
⎜ x
⎝
2 3
− ⎞
3
1 1
⎛ ⎞
3
2 4
3 6
4
⎜ a + a ⎟ = a+ a + 3a
⎝ ⎠
2 3
⎟ = x
⎠
1 1
⎛ ⎞
3
2 4
( 1)
3 6
4
⎜ a + a ⎟ − = − a− a −3a
⎝ ⎠
1 1
1
⎛ ⎞ 2
3
2 4
( 1)
3
2
⎜ a + a ⎟ − = a + 3a
⎝ ⎠
3
1 = −1
1
4
1
2
1
2
−2
2
−
3

EJERCICIO 230
1.
ax
2 −2
−ax
−1 −1
2ax
19 2xa
2 −2 −1 1
−1
− + − + xa ax − + a x
3 9 3
3
⎛
⎜ 2ax
⎝
2 −2 −1
1⎞
⎛ 1⎞
− ⎟ ⎜ − ⎟
3⎠
⎝ 3⎠
−1 −1
2ax
19
2ax
1
− + = − +
3 9
3 9
−1
2ax
1
+ −
3 9
−1
2a
x
2 −2 ⎛ −1 2
−1 ⎞ −1
2 − + xa ⎜ 2ax − + a x⎟
a x
3
⎝ 3 ⎠
( )
−1
−1
2a x
−2 2
2a
x
− 2 + − a x
= 2 − + a
− x
3
3
2 2
2.
x − 4+ 2x + 4x − 4x + x x− 2x + x
2 −1 −2 −3 −4 −1 −2
( )( )
− x 2x−2x − 2x = − 4+
4x
2 −1 −1 −2
−
− 4+ 2x
+ 4x
1 −2
( )( )
+ 4 −4x 2x− 4x + x x
−2 −1 −2 −2
2x − 4x + x = 2x − 4x + x
−1 −3 −4 −1 −3 −4
− 2x + 4x − x
−1 −3 −4
3.
a − 10a+ 4 + 25a − 20a + 4a a − 5a + 2a
4 −2 −3 −4 2 −1 −2
− −
( 2 5 )( 5 )
−a a − a − a
4 2 1 1
−
− 10a+ 4 + 25a = − 10a+
25a
+ 10a
− 25a
2 −2
−2
( )( )
+ 4 − 20a + 4a 2a − 10a + 2a 2a
−3 −4 2 −1 −2 −2
− 4 + 20a − 4a = 4− 20a + 4a
−3 −4 −3 −4
4
2
m
2 −2 −4
m
−2
− 5m + 28− 30m + 9m
− 5+
3m
4.
4
2
4
m
2 2
− ( m −5)( − 5)
=− 5m
+ 25
4
− −
( )( )
− 5m + 28 m − 10+
3m 3m
2 2 2 2
−
+ 5m − 25 = 3− 30m + 9m
2 2 −4
−
3− 30m
+ 9m
2 −4
−
− 3+ 30m
−9m
2 −4

5.
6.
7.
8.
2 −2 −1 −1 −2 2 −1 −1
4x y 2xy 19 5x y 25x y 2xy 1 5x y
− + − + − +
25 5 12 3 9 5 2 3
2 −2 −1 −1
4x y ⎛ 4xy 1⎞
⎛ 1⎞
2xy
1
−
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ =− +
25
⎝ 5 2⎠
⎝ 2⎠
5 4
−1
2xy
19
− +
5 12
−1 −1 2 1
4
1 5 −1 −1
xy ⎛ xy x y⎞
5x y
+ − ⎜ − + ⎟ ⎛ 5 4
⎝ 5 3 ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
3 ⎠
−1 −2
4 5x y 25x y
− +
3 3 9
−
−
4 5x y 25x y
− + −
3 3 9
1 2 2
4 5x y 25x y
= − +
3 3 9
2 −1 −2 2
4 3 −1
2
a 2a x
2 −2 2ax
−2 2
a
−1 −1
+ + ax − − 2 + a x + ax −a x
9 3
3
3
4 2
a
⎛ 2a
− ⎜ + ax
9
⎝ 3
3 −1
⎞ 2
−
ax
⎟ ( ax ) = + ax
⎠ 3
−1 1
3 −1
2ax
2 −2
+ ax
3
3 −1
2
2ax
⎛
2 2
2a
⎞
− −1 −1 −1
− − ax
⎜ + 2ax −a x⎟ − a x
3
⎝ 3
⎠
( )
2ax
−
2ax
− − 2 + a x
= − − 2 + a
3
3
2ax
+ + 2 − − 2 2
a x
3
2 2 −2 2
4 2 −2 −4 9m + 30m + 55+ 50m + 25m 2 −2
3m + 5+
5m
4
− 9m 2 2
( 6m + 5)( 5)
= 30m
+ 25
2
+ 30m
+ 55
− −
( )( )
−30m − 25 6m + 10 + 5m 5m
2 2 2 2
30 + 50m + 25m = 30 + 50m + 25m
−
−30 −50m
−25m
−2 −4 −2 −4
2 −4
x
2 −2
2 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 2 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1
4a b x y 2abx y 21 7xya b 49x y a b 2abx y 1 7a b xy
− + − + − +
49 7 20 5 25
7 2 5
4a b x y ⎛ 4abx y
−
⎜
49
⎝ 7
2 2 −2 −2 −1 −1
1⎞
⎛ 1⎞
− ⎟ ⎜ − ⎟
2⎠
⎝ 2⎠
−1 −1 −1 −1
2abx y 21
2abx y 1
− + = − +
7 20
7 4
−1 −1
2abx
y 1
−
7 4
−1
4 7xya b
−
5 5
49x y a b ⎛ 4abx y
1 7 a b xy⎞
7
+ ⎜
− + ⎟ ⎛ 25 ⎝ 7
5 ⎠ ⎝ ⎜ a b xy⎞
⎟
5 ⎠
−1 2 2 −2 −2 −1 −1 −1 −1 −1 −1
4 7xya b 49a b x y 4 7a b xy 49a b x y
− + − = − +
5 5 25
5 5 25
−1 −1 −2 −2 2 2 −1 −1 −2 −2 2 2

9.
2 1 1
1 1
− − −
3 2 3
3 2 −1
3 2 3
2
ab − 4a b + 6− 4b a + a b a b − 2+
a b
2
1 1
1 1
− ⎛ − ⎞
−
3
2 3
2 3
−ab ⎜ 2a b −2⎟ ( − 2)
= − 4a b + 4
⎝ ⎠
1 1
−
2 3
− 4ab
+ 6
2
1 1
−
1 1
−
3
1 1
1 1
1 1
− ⎛ − − ⎞ −
+ a b − ⎜ a b − + a b ⎟ ⎛ 1 1
a b
⎝
⎠ ⎝ ⎜ ⎞
2 3
2 3
2 3 2 3
4 4 2 4
⎟
⎠
1 1
−
2 3 −1
3
2 3 −1
2− 4a
b + a b = 2− 4a b + a b
1 1
−
2 3 −1
− 2+ 4a b −a b
2
2
3
1 1
−
2
3
10.
4 4 2 2 −2 −2 −4 −4 ab + 6ab + 7− 6a b + a b
2 2 −2 −2
ab + 3−a b
4 4
− ab
2 2 2 2
( 2ab + 3)( 3)
= 6ab
+ 9
2 2
+ 6ab
+ 7
− − − −
( )( )
−6ab − 9 2ab + 6−a b −a b
2 2 2 2 2 2 2 2
− 2− 6a b + a b = − 2− 6a b + a b
−2 −2 −4 −4 −2 −2 −4 −4
+ 2+ 6a b −a b
−2 −2 −4 −4
11.
2
1
1
3 2 3
2 3 −1
3
2 3
2
xy − 8x y + 18− 8x y + x y x y − 4+
x y
2
1 1
1 1
⎛ ⎞
3
2 3
2 3
− xy ⎜ 2x y −4⎟ ( − 4)
= − 8x y + 16
⎝ ⎠
1
1
2 3
− 8x y + 18
1
−
1
−
2
1 1
1 1
− − −
3
1 1
1 1
1 1 1
2 3
2 3
2 3 2
+ 8x y −16 ⎛
⎞
⎜ 2x y − 8+
x y ⎟ ⎛ x y
⎝
⎠ ⎝ ⎜
1
−
1
−
1
− − − −
3
2 3 1
2− 8x y + x
− 3
2 3 −1
y = 2− 8x y + x y
1 1
− −
2 3 −1
− 2+ 8x y − x y
2
1 1
− − −
2
−
3
2
−
3
⎞
⎟
⎠
EJERCICIO 231
2
1. 18 = 2⋅ 3 = 3 2
4 2
2. 3 48= 3 32 ⋅ = 32 ⋅ 3=
12 3
3. 3 3
16 2 2 3 3
= ⋅ = 2 2
4. 1 3
2 128 1
2 2 2 1
3 6
2 2 2 3 2 2 3
= ⋅ = ⋅ = 2
5. 2 4 4
243 2 3 4
4 4
= ⋅ 3 = 2⋅ 3 3=
6 3
6. 50ab 2 = 2⋅ 5 2 ab 2 = 5a 2b
7. 3 81xy 3 4 = 3 9 2 ⋅ xxy 2 4 = 3⋅ 9xy 2 x=
27xy 2 x
8. 1 2 108 5 7 1
2 2 2 3 2 3 4 6
ab = ⋅ ⋅ ⋅aabb
2
2 3 2 3 3 3 2 3
= ⋅ ab ab=
ab 3 ab
9. 3 5 125 3
5 5 5 35
mn 6 = 2 ⋅ mn 6 = ⋅ n 3 5m = 3n 3 5m
5
3 7 9 2 2 6 8
10. 2a 44a b c = 2a 2 ⋅11a ab bc c
3 4 2 3 4
= 22 ⋅ a ⋅ ab c 11abc = 4a b c = 11abc

3
11. 2 16xy
2 7
3 3 2 6
2 3 2 2 2
3
= 2 2 ⋅ 2xyy= 2⋅ 2y 2xy=
4y 2xy
3
2 8
12. 2 3 27 mn
2 3
3 3 3 2 6 2 23 2 2 2 3
= mnn = ⋅ n mn = 2n mn
3
13. 3
5a
160xyz
7 9 13
3 6 9 12
3
= 5a
2 ⋅20x xy z z
3 2 2 2
2 3 4 3 2 3 4 3
= 5⋅ 2ax y z 20xz = 10ax y z 20xz
4 4 5 12
14. 4 4 4 4 12
3 4
80a b c = 2 ⋅ 5a b bc = 2abc 5b
15. 4 8 14 16
8 12 2 16
4
3 5xy z = 3 5xy yz = 3xyz 5y
2 11
16. 2 5
5 32 xy
4 2 3 4 2
2
5 2 22 4
5 5 2 10
2 2 y
5
= xy y= ⋅ y xy=
5
5
2 8
3
17. 2xy
128x y
18.
6 2 6 2
3
= 2xy
2 ⋅2x y y
2 2 3 2 2 3 2 2
3
= 22 ⋅ xyy 2x y = 8xy 2x y
1
3a
27am
3 7
2
5
2
xy
3
1 2 2 6 3
3
= 3 ⋅ 3aamm= am 3am = m 3am
3a
3a
19.
3
5x
3
8
375ab
2
2
3 3 6 2 35a
3
3
3 2 a
= 5 ⋅ 3aab= ⋅ 3ab=
5x
5x
x
20. 1 4
3 81 4 1 4
3 3 4 4 3
4 4
ab= ab= a b=
a b
3
21.
2
21. ( ) ( )
22.
23.
24.
3
2
3ab
9a+ 18b= 9 a+ 2b = 3 a+ 2b = 3 a+
2b
3ab
− 3ab
3 2 2 2
( ) ( )
2 2
= 3ab a− 1 = ab 3 a− 1 = ab 3a−3
8xy
+ 16xy
2 4 4
( ) ( )
2 4 2 2 2
= 2 ⋅ 2xy x + 2 = 2y 2x x + 2 = 2y 2x + 4x
2x − 4xy+
2y
2 2
2 2
2
= ( x − xy+ y ) = ( x− y) = ( x−
y)
2 2
25. ( a−b)( a −b
)
= ( a−b)( a− b)( a+
b)
26.
27.
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( )
= a− b a+ b = a− b a+
b
2am + 4amn + 2an
2 2
2 2
2
( ) ( ) ( )
= 2a m + 2mn+ n = 2a m+ n = m+
n 2a
3 2
9a − 36a + 36a
( a )
2 2
= 3 aa − 2 + 4
2
( ) ( ) ( )
= 3 aa− 2 = 3 a− 2 a = 3a−6
a
EJERCICIO 232
1.
1
5
=
15 ⋅ 5 1
= =
55 5 5 5
2
⋅
7. 3 2
2
4a
27y
3
3
=
2
2 2
32 ⋅ ay 32 ⋅ a
=
3 y 23 ⋅ y
a
3y
=
3y
4 4 2 2 2
3y
2.
3
8
=
32 ⋅ 6 1 1
= = 6 =
82 2 2 4 6
4 2
⋅
3. 2 1 2 2 21 ⋅
22 2 2 2
= = =
2 2 2 = 2
2
⋅
4. 3 1 6 3 16 ⋅
66 3 6 3
6 6 6 1
= = = =
2 6
2
⋅
5. 1 2
6.
2
3
1
=
2
23 ⋅ 1 6 1
33 2 3 23 6 1
= = =
6 6
2
⋅
⋅
2 2
a ax a x a 2x
a
= = = =
2 2 2
8x
2 ⋅2x
2x
2 2x
2 4x
2x
8. 5
9n
5m
3
3
9. 6 5a
24x
10.
3
2
3
=
2
3
2
5 3 ⋅ 5 mn 53 3
=
= ⋅ 5mn = 5mn
2 4 2 2
5 m 5m
m
= 6
2
23 ⋅
3
3
3
56 ⋅ a
2 ⋅3
x
6
=
2 ⋅3x
4 2 2 2
1 3
=
3 18
11. 5 1 5 5 5 5
3 3 3
5 5 5 2 3
= = = 25
3
12.
3
8
9x
2
=
2
3
3 3
2 ⋅3x
2
=
3 3
3 x 3x
3x
2 a
30aa=
2x
30a

13. 2b
2
3
125
= 2b
5
4b
2 3
3
2
5 ⋅2b
25b
3 3
= ⋅ 2b
= 5 2b
3 6
2
2 b 2b
14. 2 3
3
2
27x
16ab
2 4
2
=
3
3
3 ⋅4ab x
6 3 6
2 ab
3 2 2
23 ⋅
=
32 ⋅ ab
3
2 2
4ab x
2 2
1
=
2ab
3
2
4ab x
2 2
15. 2 81a
xy 4 = 2xy
3
4xy
2
4
4 2 2 3
3 ⋅2
axy
4 4 4
2 xy
23xy
2 3 4
= ⋅ 4axy
= 3 4axy
2xy
4 2 3
EJERCICIO 233
1. 4
9 4 2 4 2
= 3 = 3 = 3 = 3
2. 6
4 6 2 6 3 3
= 2 = 2 = 2 = 2
3. 9
27 9 3 9 3 3
= 3 = 3 = 3 = 3
4. 8
16 8 4 8 2
= 2 = 2 = 2 = 2
2
2
3
4
5. 3
12 64 3 12 2
6 3 2
12 3 2
2
= = ⋅ = ⋅ = 3 2
4
6. 25ab
4
2 2
2 2 2
1
1
1
1
4 4 4 2 2 2
= 5 ab = 5 a b = 5 a b = 5ab
6
2 2 2 1 1 1
7. 5 6 49
2 4 5
6 7 2 2 4 5 7
3 3 5
3
ab = ab = ⋅ a b = 7 ab
1
1
1
2
3 2
8. 8 4 8 8
81 3 4 4 8 2 2
xy = xy = 3 x y=
y 3x
9. 10
32x y
10
10 15
5 10 15
1
2
= 2 x y = 2 xy = x 2y = x 2y y = xy 2y
12
10. 64mn
12
6 18
6 6 18
1
1 3
2 3 2
1 1 3
2 3 2
2 2
= 2 m n = 2 m n = 2mn = 2mn n = n 2mn
6
11. 343ax
6
9 12
3 9 12
1 3
2 2 2 3 2 2 2
2
= 7 a x = 7 a x = x 7a = x 7a a = ax 7a
15
12. m n x
10 15 20
2 4
3 3 2 3 3 2
3 3 2 4
= mnx = n mx = n mxx=
nx mx
EJERCICIO 234
2
1. 2 3= 2 ⋅ 3 = 12
2
2. 3 5 = 3 ⋅ 5 = 45
3. 5a b = ( 5a)
2 b = 25a 2 b
3.
1 4. 2 2 1 2
= ⎛ 2
⎝ ⎜ ⎞
⎟ ⋅ = =
2⎠
4
5.
2
1
2
3a 2a = 3a ⋅ 2a = 9a 2a = 18a
2 2 2 2 2 4
5. ( ) ( )
2 2
2
6. ( ) ( )
6.
5xy 3 = 5xy 3 = 25xy 3 = 75xy
7.
ab
a b
2 3 2
2
( ) 3 2
( ) ( )( )
3 ab ab ab 3 6 ab 2 3
= = = ab
3 5 7
4 2 4 2
12.
3
4m 2m = 4m 2m = 64m 2m = 128m
8. 3 2 3 ( ) ( 2 ) ( 3 )( 2 )
9. 4 3 4 ( ) ( 3 ) ( 4 )( 3 )
10.
3 5
4
2a 8ab = 2a 8ab = 16a 8ab = 128a b
10. ( a+
b)
11. ( x + 1)
11.
12. ( x − 1)
=
a
=
a+
b
2
( a+
b) ( a)
a+
b
( x )
2
4 5 3
2
= ( a+ b)( a)
= a + ab
2x
x
( x ) x x x
x + = + 1 2
2
= + 12 = 2 + 2
1 x + 1
x − 2
x − 1
2
( x−1) ( x−2)
x − 1
( )( )
2
= x−1 x− 2 = x − 3x+
2
EJERCICIO 235
6 3 6
1. 5 = 5 = 125
3 6 2 6
2 = 2 = 4
2
2. 2 = 4 2 =
4 4
3 = 3
4 4
12 12
6
3. 3= 3 = 729
3 12 4 12
4 = 4 = 256
4 12 3 12
8= 8 = 512

12 6 12
4. 2 = 2 = 64
5.
3 12 4 12
3 = 3 = 81
4 12 3 12
5 = 5 = 125
6 12 2 12
7 = 7 = 49
3 6
5. 5x = ( 5x)
= 125x
6.
6 3
( )
3 2
2
6 4 2
2
6
4xy = 4xy = 16xy
3
6
7ab
= 7ab
6 3
3 5 15
6. 2ab = ( 2ab)
= 32a b
15 5 5
( )
5 15 2 3 15 6 3
2
3ax = 3ax = 27ax
15 15 3 2
3 2
5ax
= 5ax
4 2 3 12 2 3 7.
3 12 6 9
8ax = 8ax = 512ax
7. ( )
8.
( )
6 12 5 4 2 12 10 8
5 4
3am = 3am = 9a m
3 18 2 6 18 12
x = x = x
2
8. ( )
( )
3
18
2y = 2y = 8y
6 18 3 3
9
( )
9 18 7 2 18 14
7
5m = 5m = 25m
EJERCICIO 236
6 3 6
1. 5 = 5 = 125
2.
3 6 2 6
2= 2 = 4
3
Luego el orden es: 5 , 2
6 12 2 12
2. 15 = ( 15)
= 225
3.
4 12 3 12
7 = 7 = 343
4 6
Luego el orden es: 7 , 15
6 3
3. 11 = ( 11)
= 6 1.
331
6
43 = ( 43)
=
6
1.
849
3 2
3
Luego el orden es: 43 , 11
EJERCICIO 237
1. 7 2 − 15 2 = ( 7 − 15)
2 = −8 2
2. ( )
4 3− 20 3+ 19 3= 4− 20+ 19 3=
3 3
4 20 5 20 5
9.
3a = 3a = 243a
9. ( )
( )
5 20 2 4 20 8
2
2b = 2b = 16b
( )
10 20 3 2 20 6
3
7x = 7x = 49x
12 12 4
3 4
10.
2 a = 2 a = 2 a
6 12
3 2b = 3 ( 2b)
= 3 64b
12 6
( )
4 12 2 3 12 6
2
4 5x = 4 5x = 4 125x
2
11.
3 a = 3 a = 3 a
11. ( )
12.
1
2
3 18 2 6 18 12
3
1 1 18
b = ( b ) = b
2 2
6 18 3 3
9
( )
9 18 5 2 18 10
5
4 x = 4 x = 4 x
5 10
12. 2m = ( 2m)
= 32m
10 5
( )
5 10 3 4 2 10 6 8
3 4
3 ax = 3 ax = 3 ax
7 2
2 xy
= 2
xy
10 10 7 2
6 3 6
4. 3 = 3 = 27
3 6 2 6
5 = 5 = 25
32 = 32
6 6
6 3
Luego el orden es: 32 , 3 , 5
4 20 5 20
5. 3 = 3 = 243
5 20 4 20
4 = 4 = 256
10 20 2 20
15 = 15 = 225
Luego el orden es: 4 , 3 , 15
3 18 6 18
6. 2= 2 = 64
6 18 3 18
3= 3 = 27
9 18 2 18
9= 9 = 81
5 4 10
9 3 6
Luego el orden es: 9 , 2 , 3
3. − − = ( − − ) = −
4. ( )
5 22 5 8 5 1 22 8 5 29 5
2 − 9 2 + 30 2− 40 2 = 1− 9+ 30− 40 2= −18
2

3 5. 4 2 − 1
2 2 = ⎛ 3 1 3 2 1
2 2
4
− ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠
⎝ 4 ⎠ 4 2
3 6. 5 3− 3= ⎛ 3
5 −1
⎞
3 ⎛ 3−
5⎞
2
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 3 =−
⎝ ⎠ ⎝ 5 ⎠ 5 3
7. 2 5− 1 2 5 +
3 4 5
⎛
2 1 3⎞
⎛ 8− 2+
3⎞
= ⎜ − + ⎟ 5 = ⎜ ⎟ 5 =
9 ⎝ 2 4⎠
⎝ 4 ⎠ 4 5
8. 1 4 3 + 5 3 −
1 8 3
⎛ 1
4 5 1 ⎞ ⎛ 2+ 40−1⎞
= ⎜ + − ⎟ 3 = ⎜ ⎟ 3 =
41
⎝ 8⎠
⎝ 8 ⎠ 8
9.
a b − 3a b + 7a b = a− 3a+ 7a b = 5a b
9. ( )
EJERCICIO 238
1.
2.
3.
2
45 = 3 ⋅ 5 = 3 5
2
− 27 = − 3 ⋅ 3 = −3 3
2
− 20 = − 2 ⋅ 5 = −2 5
Entonces:
= 3 5−3 3−2 5
( )
= 3−2 5− 3 3= 5−3 3
2
175 = 5 ⋅ 7 = 5 7
4
243 = 3 ⋅ 3 = 9 3
2
− 63 = − 3 ⋅ 7 =−3 7
2
− 2 75 =−2 5 ⋅ 3 =−10 3
Entonces:
= 5 7 + 9 3−3 7 −10 3
( ) ( )
= 5− 3 7+ 9− 10 3= 2 7−
3
4 2
80 = 2 ⋅ 5 = 2 5 = 4 5
2 2
− 2 252 = −2 2 ⋅3 ⋅ 7 = −2⋅2⋅ 3 7 = −12 7
4 2
3 405= 3 3 ⋅ 5= 3⋅ 3 5=
27 5
2 2
− 3 500= −3 2 ⋅5 ⋅ 5= −3⋅2⋅ 5 5= −30 5
Entonces:
= 4 5 + 27 5 −30 5 −12 7
( )
= 4 + 27 −30 5 − 12 7 = 5 −12 7
3
10.
3x y + a− x y −2x y
10. ( )
( 3 2 )
11. ( x ) ( x )
( )
= x+ a− x− x y = a y
− 1 3 + − 3 3+
4 3
= x− 1+ x− 3+ 4 3=
2x
3
12. 1 3 2 2
3 3 3
− 2 + 2 2
3
⎛ 1 2
3 3 2 ⎞
2 1 2 6
2 5 3
⎛ − + ⎞
3 3
= ⎜ − + ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 2
3 13. 5
1 1 ⎛ 36 − 15+
10⎞
31
2 − 2 + 2 = ⎜
⎟ 2 =
4 6 ⎝ 60 ⎠ 60
3 3 3 3 3
14.
x 3 2
a − a− 2x a 2 + 2a−3x 3
a
3 2
14. ( ) ( )
2
=
3
( − + 2 + 2 − 3 ) =
x a x a x a a a
3 2
2 2
4.
7 450= 7 3 ⋅5 ⋅ 2= 7⋅3⋅ 5 2=
105 2
6 3
− 4 320= −4 2 ⋅ 5= −4⋅ 2 5= −32 5
4 2
3 80= 3 2 ⋅ 5= 3⋅ 2 5=
12 5
4 2 2
− 5 800= −5 2 ⋅2⋅ 5 = −5⋅2 ⋅ 5 2= −100 2
Entonces:
5.
= 105 2 −100 2 − 32 5 + 12 5
( ) ( )
= 105− 100 2 + − 32 + 12 5 = 5 2 −20 5
1
2 12 1
=
2 2 2
⋅ 3 = 3
1
3 18 1
− = −
3 3 2
⋅ 2 =− 2
3
4 48 3
=
4 2 4
⋅ 3 = 3 3
1
6 72 = 1 6 2 2 2 3 2
⋅ ⋅ = 2
Entonces:
( )
= 3+ 3 3− 2 + 2 = 1+ 3 3=
4 3
2
3
6.
4 176 3
4 2 4
11 2 ⋅3
= ⋅ =
4
11 = 3 11
2
3 45 2
3 3 2
5 23
− = − ⋅ =− ⋅ 3
5=−2 5
3
1
8 320 1
8 2 6
5 2
= ⋅ =
8
5=
5
1
5 275 1
5 5 2
11 5
= ⋅ =
5
11 = 11
Entonces:
= 3 11+ 11− 2 5+
5
( ) ( )
= 3+ 1 11 − 2 + 1 5 = 4 11 − 5
2

1
7.
7 147 1
7 37 2
= ⋅ = 3 5 3 5 15 1
10.
3 5 3 5 3 15
2 2 2
= 2 =
13.
25ax = 5 ax = 5x a
1
5 700 1
2
5 2 2 5 2
7 2 7
49b = 7 b = 7 b
− = − ⋅ ⋅ = − 1 3 1 3 1
− = −
1
10 28 1
10 2 7 1 2 4 2 2 4 3
2 = −
2 2 2
− 9ax = − 3 ax = −3x a
2
= ⋅ =
5 7 1 15 1
5 5
1
3 2187 1
3 3 6
. = ⋅ 3 = 9 3
15 3 5 3 15
entonces:
− = − 2 2 =−
⋅
= 5x a − 3x a + 7 b
1 3 1
Entonces:
3 3
12 2 3 2 3 =
= 2 2 =
( 5x− 3x)
a + 7 b
⋅
= 3+ 9 3− 2 7+
1 = 2x a + 7 b
5 7 Entonces:
⎛
= ( 1+ 9)
3+ ⎜ − 2+
1 1
⎞
=
⎟ 7
⎝ 5⎠
3 15 − 1 3 15 − 1 4 3 +
1 2 3
2
= 10 3 −
9 ⎛ 1 1⎞
5 7 = ⎜ − + ⎟ 3 =
1 14.
2 mn
= 2m n
⎝ 4 2⎠
4 3
2 2 2
− 9mn= − 3 mn= −3m n
8.
9.
1 3 1
=
3 3 3 3
2 =
1 2 1
− =
2 2 2 2
2 = −
3 3 1
=
4 2 2 3
2 =
Entonces:
1
=
3 3 + 1 2 3 −
1 2 2
⎛ 1 1⎞
= ⎜ + ⎟ 3 −
1 ⎝ 3 2⎠
2 2
5
=
6 3 −
1 2 2
2
9 3 ⋅5
3
=
5 5 5 5
2 =
1 6 1
− = −
6 6 6 6
2 = −
1 5 1
− = −
20 2 5 10 5
2 2 =−
⋅
6=
6
Entonces:
3
5 5 1
= −
10 5 − 1 6 6 + 6
⎛ 3 1 ⎞ 1
= ⎜ − 5
⎝ 5 10⎠
⎟ + ⎛
− 6 + 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
6
1
=
2 5 +
5 6 6
6
11.
5 128= 5 2 ⋅ 2=
40 2
12.
1 1 1 3 1
− = −
3 3 3 3 9 3
2 = −
2
− 5 98= −5 7 ⋅ 2 = −35 2
1 3 1
=
27 3 9 3
4 =
Entonces:
= 40 2 −35 2 − 1 9 3 +
1 9 3
( )
= 40− 35 2 = 5 2
2 2
2 700 = 2 2 ⋅5 ⋅ 7 = 20 7
− 15
4
( )
1
= −15
45
5
16
5
= 4
4
=
2
56 1 7
− = − 56
2
=−8 7
7
7
Entonces:
= 20 7 −8 7 − 5 + 5
= 20 − 8 7 = 12 7
5
2 2 =−
3 ⋅5
5
5
2 4 2
16mn = 2 mn = 4n m
2 2 2
− 4mn = − 2 mn = −2n m
Entonces:
= 2m n − 3m n + 4n m−2n m
( 2 3 ) ( 4 2 )
= m− m n + n−
n m
=− m n + 2n m
6
15.
a 320x = a 2 ⋅ 5x = 8a 5x
16.
2
− 7 5ax = −7a 5x
Entonces:
( )
( − )
− a 4b 5x
( )
= 8a 5x −7a 5x − a−4b 5x
= 8a−7a− a+ 4b 5x = 4b 5x
9x− 9= 3 x− 1 = 3 x−1
16.
2
( )
2
( )
4x− 4= 2 x− 1 = 2 x−1
Entonces:
( )
−5 x −1
= 3 x− 1+ 2 x−1−5 x−1
= 3+ 2−5 x − 1=
0

17.
4 4 4 2
2 ax+ 3ay = 2 a x+ 3y = 2a x+
3y
17. ( )
( )
( )
18.
19.
2 2 2 2
− a 9x+ 27y = − a 3 x+ 3y = − 3a x+
3y
4 4 2 4 2
25ax+ 75ay = 5 a x+ 3y = 5a x+
3y
Entonces:
2 2 2
= 2a x+ 3y − 3a x+ 3y + 5a x+
3y
( )
2 2 2 2
= 2a − 3a + 5a x+ 3y = 4a x+
3y
3a
a + 1 3a
2 = a + 1 = 3 a + 1
a a
( a + 1) ( a 1)
( )
2
− 4a+ 4= − 2 a+ 1 = − 2 a+
1
Entonces:
1
a 1
a + 1
= + +
( a + 1)
= a + 1
( )
= 3 a+ 1− 2 a+ 1+ a+ 1= 3− 2+ 1 a+ 1= 2 a+
1
a+
b
a−
b
19. ( a − b) = ( a−b)
4.
6.
a−
b
a+
b
( a b) =− ( a+
b)
− +
1
a−
b
( 2a−
2b) = ( a−b)
entonces:
2
a
− b
( a−
b)
a
2 2
− b
( a+
b)
( a−
b)
= a −b
=− a −b
a−
b
2 = 2 a−b
2 2 2 2
= a −b − a − b + 2 a− b= 2 a−b
3 3
5 48 = 5 3 2 ⋅ 6 = 10 3 6
( ) ( )
2
2 2
3
3 6
− 3.
645 = −3 3 3 ⋅ 5 =−27 3 5
3 6
− 2 384 = −2 3 2 ⋅ 6 = −8 3 6
4
3 3
1.
715 = 4 3 7 ⋅ 5 = 28 3 5
Entonces:
3 3 3 3
= 10 6 −8 6 − 27 5 + 28 5
3 3 3 3
= 10− 8 6 + − 27 + 28 5 = 2 6 + 5
1
2 24 1
3 3
2 2 3
3 3
= ⋅ = 3
2
3 54 2
3 3
3 3 3
2 2 3
− = − ⋅ = − 2
3
5 375 3
3 3
5 5 3
3 3 3
= ⋅ = 3
1
4 128 1
3 3
4 2 6
2 3
− = − ⋅ = − 2
Entonces:
3 3 3 3
= 3+ 3 3−2 2 − 2
( ) ( )
3 3 3 3
= 1+ 3 3+ −2− 1 2= 4 3−3 2
2
2
2 2
2 2
5.
EJERCICIO 239
3 3
1. 54 = 3 ⋅ 2 = 2
2.
3.
3 3
3 3
− 24 = − 2 ⋅ 3 = − 2 3
3 3
3 3
− 16 = − 2 ⋅ 2 = −2 2
3 3
Entonces:
3 3 3 3 3
= 3 2 −2 2 − 2 3 = 2 −2 3
( )
3 3
40 = 2 ⋅ 5 = 2 5
3 3
3 3
1029 . = 7 ⋅ 3=
7 3
3 3
3 3 3
3
− 625 = − 5 ⋅ 5 = −5 5
Entonces:
3 3 3
= 2 5− 5 5+
7 3
3 3 3 3
= 2− 5 5+ 7 3= 7 3−3 5
3 3
2 250= 2 3 5 ⋅ 2 = 10 3 2
3 3
− 4 24 = −4 3 2 ⋅ 3= −8 3 3
3 3
− 6 16= −6 3 2 ⋅ 2= −12 3 2
3 3
2187 . = 3 ⋅ 3=
9 3
3 6
Entonces:
3 3 3 3
= 10 2 − 12 2 + 9 3 −8 3
( ) ( )
3 3 3 3
= 10− 12 2 + 9 − 8 3 = 3 −2 2
3 3
81= 3 ⋅ 3 = 3 3
3 3
3 3
− 3 375 = −3 5 ⋅ 3 =−15 3
3 3
3 3
686 = 7 ⋅ 2 = 7 2
3 3
3 3
2 648 = 2 2 ⋅3 ⋅ 3 = 12 3
3 3 3
Entonces:
3 3 3 3 3
= 3 3 + 12 3 − 15 3 + 7 2 = 7 2
3
7.
5 625 3
3 3
5 5 3
5 3 3
= ⋅ = 5
3
2 192 3
3 3
2 2 6
3 6 3
− = − ⋅ = − 3
1
7 1715 1
3 3
7 7 3
5 3
. = ⋅ = 5
3
8 1536 3
3 3
8 2 9
3 3 3
− . = − ⋅ = − 3
Entonces:
3 3 3 3
= 3 5+ 5−6 3−3 3
( ) ( )
3 3 3 3
= 3+ 1 5+ −6− 3 3= 4 5−9 3

8.
3
3
1
4
2 1
3 3
=
2 2 2
3 =
1 9 1
3 3
=
3 3 3 9
3 =
2 2 1
3
3 3
− = −
27 3 3 2
3 = −
Entonces:
1
2 2 1 3 2 1 3 3 3
= − +
3 9
⎛ 1 1⎞
2 1 2 3 3 9 1 6 2 1 3 3 3 3
= ⎜ − ⎟ + = +
⎝ ⎠
3 9
9. 6
− 2
3
3
3
1
24
6
9
1 5 1
3 3
=
25 5 5 5
3 =
5
64
=
Entonces:
= −2
3
9
3 3 =
2 ⋅3
3
5
2 ⋅2
3 3
1
3
=−
2 5
1
5 2 1 3 3
2 5 3
= − + 9
⎛ 1 1⎞
3
3 3 3
5 9
5 2
10 5 3
= ⎜ − ⎟ + = − +
⎝ ⎠
9
10. 7
11.
3
3
1
49
7
= 7 3 =
7
7
1 4 1
3 3
=
16 2 4 4
6 =
3
1
2
3 3
4 1
3 3
=
2 2 4
3 =
7 7
− 2
3
= − 2 3 =−
8 2
Entonces:
3 3
1
4 4 1
2 4 7 7 1 1 3
3 3 3 3 ⎛ ⎞ 3 3
= + + − = ⎜ + ⎟ 4 =
⎝ 4 2⎠
4 4
2
3 135 2
3 3
3 3 3
5 2 3
= ⋅ = 5
1
2
3
7
4
1
32
3
1
4
1
− 20
3
=−20
200
Entonces:
3
7
1 2 1
3 3
=
2 2 8 2
6 =
7 2 7
3 3
=
4 2 8 2
3 =
3
5
2 ⋅5
3 3
3
=−2 5
2 5 2 5 1 8 2 7
8 2 1 7
3 3 3 3 ⎛ ⎞ 3 3
= − + + = ⎜ + ⎟ 2 = 2
⎝ 8 8⎠
12.
3
3
3 3
− 24 = 3 −2 ⋅ 3= −6 3
12. ( )
13.
( )
( )
4
3
3 3
− − 81 = −4 −3 ⋅ 3 = 12 3
( )
3
3 3
− − 375 = − −5 ⋅ 3 = 5 3
Entonces:
3 3 3
=− 6 3 + 12 3 + 5 3
3 3
= − 6+ 12+ 5 3=
11 3
13.
3
6
( )( )
3
3
( )( )
3
3
( )( )
3
.
9
( )( )
( ) ( )
3
3
3
4 − 320= 4 2 − 5 = 16
3
−5
3
−10 − 40 = −10 2 − 5 = −20 3
−5
3
−2 − 54 = −2 3 − 2 = −6 3
−2
3
3 − 1 024 = 3 2 − 2 = 24
3
−2
Entonces:
= 16
3
−5 −20 3
−5 −6 3
− 2 + 24
3
−2
= 16 −20 3
− 5 + − 6 + 24
3
−2
=−4 3
− 5 + 18
3
−2
14.
3 3 3
2a
= 3a
3 2
3 3 6
3
− b 128 = −b 2 ⋅ 2 = −4b
2
Entonces:
3
( b−
a)
3
4 3 2
a b ( b a)
( 3a 4b 4b 3
3a)
2 0
3 3 3
= 3 2 − 4 2 + 4 −3 2
= − + − =
3 3 3
3
15.
a 250b= a 5 2b = 5a 2b
−
3
3ab = −b 3a
3 3
3
− 5 3 2ab= −5a 3 2b
3
3b
3a
Entonces:
3 3 3 3
5a 2b −5a 2b − b 3a + 3b 3a
( )
3 3
= − b+ 3b 3a = 2b 3a

EJERCICIO 240
2
1. 3⋅ 6= 18 = 3 ⋅ 2=
3 2
2
2. 5 21⋅ 2 3= 10 63= 10 3 ⋅ 7 = 30 7
3. 1 2 14 2 7 21 1 7 294 1
7 7 2
⋅ = = ⋅ 6 = 6
4. 3 12 3 9 3 3
108 3 3 3
⋅ = = ⋅ 4 = 3 4
5. 5 6
3 3
15 ⋅ 12 50 = 10 750 = 10 5 ⋅ 6 = 50 6
3 3 3 3
1 x
6. x 2a 5 a 10
2
⋅ = a = x 10
a a
2 2 2
7. 5 12 ⋅ 3 75 = 15 900 = 15 2 ⋅3 ⋅ 5 = 450
8. 3 4
3 2 3 3 3 3 3
3
9a ⋅ 8 3ab = 6 27a b = 6a 3 b = 18a b
2 2
9. 3 6⋅ 14⋅ 2 35 = 6 2.
940= 6 2 ⋅7 ⋅ 15=
84 15
10. 1 2 21 ⋅
2 3 42 ⋅
3 7 22
1
7 19 404 1 2 2 2
= . = 2 ⋅7 ⋅3 ⋅ 11=
6 11
7
3 3 3 3 3 3 3
3
11. 3 45⋅ 1 15 ⋅ 4 20 = 2 13.
500 = 2 5 ⋅3 ⋅ 4 = 30 4
6
12. 5 7 3 4 1 1 1 2 1
⋅ = = =
2
6 8 5 7 2 2 2 2 4 2
13. 2 2 3 1 3 3 3
3 2
x ax⋅ x
2 a ax
x a
x a ax ax
14. 1 x
6 2 2 2 x
2 2 xy
⋅ = = =
2 2 3 4 2
3 y y y y y
2xy
EJERCICIO 241
1. 2 − 3
2
= 4 − 6
= 2 − 6
2. 7 5 + 5 3
2 3
= 14 15 + 10 9
= 14 15 + 30
3.
2 3+ 5−5 2
4 15
= 8 45 + 4 75 −20 30
2 2
( )
= 42 3 ⋅ 5+ 5 ⋅3−5 30
( )
= 46 5+ 5 3−5 30
4. 2−
3
2+
2 3
4 − 6
+ 2 6 −2 9
= 4 + 6 −2 9
= 2+ 6 −6
= 6−4
5. 5 + 5 3
2 5 + 3 3
2 25 + 10 15
+ 3 15 + 15 9
= 2 25 + 13 15 + 15 9
= 10 + 13 15 + 45
= 55 + 13 15
6. 3 7 −2 3
5 3+
4 7
15 21−10 9
− 8 21 + 12 49
= 7 21− 10 9 + 12 49
= 7 21− 30+
84
= 7 21+
54
7. a − 2 x
3 a + x
2
3 a −6
ax
+ ax −2
x
2 2
= 3 a −5 ax −2
x
= 3a−5 ax −2x
2
8. 7 5 −11 7
5 5 − 8 7
35 25 −55 35
− 56 35 + 88 49
= 35 25 − 111 35 + 88 49
= 175 − 111 35 + 616
= 791−111 35
9. 2+ 3 + 5
2−
3
4 + 6 + 10
− 6 − 9 − 15
= 4 + 10 − 9 − 15
= 2 + 10 − 3 − 15
= 10 − 15 −1
10. 2 − 3 3+
5
2 + 2 3−
5
4 − 3 6+
10
+ 2 6 − 6 9 + 2 15
− 10 + 3 15 − 25
= 4 − 6 − 6 9 + 5 15−
25
= 2 − 6 − 18 + 5 15−5
= 5 15− 6−21

11. 2 3 − 6 + 5
3 + 6 + 3 5
2 9 − 18 + 15
+ 2 18 − 36 + 30
+ 6 15 − 3 30 + 3 25
2
= 2 9 + 3 ⋅ 2 + 7 15 − 36 − 2 30 + 3 25
= 6 + 3 2 + 7 15 −6 − 2 30 + 15
= 7 15 + 3 2 − 2 30 + 15
12. a +
a + 2
a+
1
a+
1
2
a +
2
a + a
+ 2
2
a + a + 2
2
( a+
1)
=
2
a + 3
2
a + a + 2 a+
1
= a+ 3
2
a + a + 2a+
2
= 3a+ 3
2
a + a + 2
13. 2 a −3
a−b
3 a + a−b
2 2
6 a −9
a −ab
( )
2
( )
2
2 a −ab −3
a−b
( )
2 2
= 6 a −7 a −ab −3
a−b
2
= 6a−7 a −ab − 3a+
3b
2
= 3a+ 3b−7
a −ab
2
14. 1− x + x
2x+ 1−
x
2x 1− x + 2x
( )
x 1− x + 1−
x
= 3x 1− x + 2x + 1−
x
2 2
= 3x 1− x + x + 1
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
15. a+ 1+ a−1
a+ 1+ 2 a−1
( a )
2
2
+ 1 + a −1
( x )
( x )
( a )
2
+ 2 a − 1+ 2 −1
2
= a+ 1 + 3 a − 1+ 2a−2
2
= 3a+ 3 a −1−1
16. 2 x + 2−2
x + 2−3
2 + 2 − 2 x+
2
− 6 x + 2+
6
= 2 + 2 − 8 x+ 2 + 6
= 2x+ 4− 8 x+ 2+
6
= 2x+ 10− 8 x+
2
2
2
17. 3 a − 2 a+
x
2 a + 3 a+
x
6
2
a − 4
2
a + ax
+ 9
2
a + ax − 6 a+
x
= 6
2
a + 5
2
a + ax − 6 ( a+
x)
= 6a+ 5
2
a + ax −6a−6x
= 5
2
a + ax −6x
18.
a+ x − a−
x
a+ x −2
a−
x
( )
a+ x − a − x
( )
2
2
2
( )
2 2
−2 a − x + 2 a−
x
2
2 2
( a x) 3 a x 2 ( a x)
= + − − + −
2 2
= a+ x−3 a − x + 2a−2x
= 3a− x−3
a − x
2
2 2
2 2
2
2

EJERCICIO 242
1.
x =
6
x
( )
2
6
2x = 2x = 4x
3
6
x ⋅ 4x = 4x
3
3 6 2 2 4
6 6 4 7
=
6
= x
6
4xx
6
4x
4
2.
3 2ab = 3 2ab = 3 4a b
2. ( )
3.
4 2
2 2
3 4 2 2
4 4 8 3 4
ab ⋅ a = 12 32ab
3 2 6 2
3. 9xy
= ( 9xy)
4.
=
6
4 5 2
81xy
= 12
4
2 ⋅2aab
4 4 2
4
= 24a
2ab
4 2
6
81xy ⋅ 81x = 6.
561xy
2
4 2
6 6 5
9 2
2 2 12
4. ab = ( ab)
3 2 2 4
=
12
ab
8 8
3
2 3ab=
2 3
( ab)
4 12 3 3
12
= 2 27ab
=
6
3 ⋅3
xxy
6
= 3x
9x y
9 3
2
6 2 6 3 2
3 2
12 12 9 3 12 17 11
8 8
ab ⋅ 2 27ab = 2 27a b
EJERCICIO 243
12
= 2 27a a b
12
12 5 11
= 2a
27a b
5 11
2 3 12
5. 25xy
= ( 25xy)
5.
4 2 3 3
12
15.
625xy
( x )
2 12
125x
= 125
6 2 2
12
15.
625x
6 9 12
15. 625xy
⋅ 15.
625x
244. 140.
625x y
6 9
12 4
=
12
=
=
12 12 10 9 12 10 9
= 5 x y = 5 x y
2
3 2
2 15 2 6. 4m
= ( 4m
)
5
3 3
2 15
3 4 5 10
= m
3
5
( )
4 16 4
3 15 2 4 3
mn=
4 mn
4
3 15 6 12 3
= 4 m n
4
2 15
3 4 5 10
3 15 6 12 3
m ⋅ 4 m n
4
1 15 11 22 3
= 4 m n
2
1 15 22 22 3
= 2 m n
2
1
15 15 7 15 7 3
= 2 ⋅2
m m n
2
7.
4
10 9
15 15 7 3
7 7 3
= m 2 m n = m 128m n
1 1 1
= ⎛ 6
6
2x ⎝ ⎜ ⎞
⎟ =
2x⎠
8x
( x )
2 = =
3 6 2 2 6 4
3
−3
x x 8x
6
⋅ x =
6
=
6
6
8 8 2
1
6
=
2 8 x
6 4
x
3
5 10
8. 2x = ( 2x)
= 2 x
8.
10 5 5
( )
5 10 2 2 10 4 2
4x = 2 x = 2 x
10 10 4 2 10
=
2 9. 3
10.
5 5
2 x ⋅ 2 x ⋅
10
2 ⋅2
xx
4 2
2 x
5 4 2 5
1
16x
10 5 5
= 2 x = ( 2x) 10 = ( 2x)
2 = 2x
2
3 a
3
8 4b
2
3
6
2b
2
=
a 3
2
6
5
2
⎛ 2b⎞
2
⎜ ⎟ =
⎝ a ⎠ 3
2
3 ⎛ a
= 6 ⎜
8 ⎝ 2 b
3 3
4
2 b 3 a
6
3
⋅
a 8 2 b
1
3
8b
3
a
4
⎞ 3 a
6
⎟ =
⎠ 8 2 b
5 5
1 a 1 2 ab 1
=
6
=
6 6
=
4 2b
4 2 b 8b
1
2
3
2
1
2
3
6
3
=
4
3
=
4
1 1
=
3 2
1
9
3
=
2
1 3
3
⋅
3 2
6
6
3
3
5
7
1
9
6
6
3
2 2
4 4
2
6
4 4
32ab
6 5
⎛ 1⎞
1
⎜ ⎟ =
⎝ 3⎠
2
⎛ 1⎞
3
⎜ ⎟ =
⎝ 9⎠
2
1
4
⋅
3
3
6 6
2
243
1
3
3
1
4
3
4
3 3
6
=
6
4 3
1
( ) ( )
4 3 4 1
4 3 2 1
3
4 3 2
1
6
3
3
= = = =
4 9
6
6
1. 4 6
2 3 = 2 6 3 = 2 2
2. 2 3 a 1 3a
1
= =
10 a 5 a 5 3
3.
1
2 3 xy
4 3xy
2
= =
3 6 3 3 y
x
x
4
75xy
4.
5 3xy
2 3 2 3
1 75xy
1
5 3 5 25 2 1
5 5 2 2
= = xy = xy = y x
xy
5.
6.
7.
3
3 16a
3
2
4 2a
5
6
10
3
2
1
2
2
3
5
5
3 16a
3
4 2 4 8 3
4 2 3
3 3 3 3 3 3
= = a = a = a
2
a
2
1
15 2 1 3 1 3 1
= = = =
60 2 4 4 4 2 8 3
2
3
3 2
4x
a x
2 3
ax
3 2
= 2x
ax = 2x
a = 2x
ax = 2 ax
2 3 2
ax x x

2a
3 x
2
3
8.
a 3 3
2
x
3x
2 2
2
3 3 2
6ax
x 1
3 2
2 3
3
2
2 x
= = x = x =
3 2 x
3a
x x x
x
9.
1
3
1
6
3
3
1
2
1
3
1
6 2
2 3 3 1 2 2 32 ⋅
= 3 = 3 =
3
2
3
2
3 3
=
12
EJERCICIO 244
3 6 2
1. 2 = 2
2.
6
3
2 = 2
6
2
2
2 2 1 2 1
6 6 6 6
= = = = =
2 2 2 2 2 32
6 3
3
6
6 6 3 6
9x = 3 x = 3 x = 3 x
2 3
2. ( )
3.
( )
2
6
3x = 3x = 9x
3 6 2 2 4
6 3
3
4 5
3 x x 1 3 x 1
6
3 3
6
6
= = 3
6 4
81
9 9
4
= =
6 6
= x
x x 9x
3 x x
3
3. ( )
( )
5
6 3
= ( 2ab) 12 ⋅( 2a)
( 2 ) 3 ( 2 ) 6
3 6
= ab ⋅ a = 2ab ⋅ 2a
3 2 6
⇒ 2ab = ( 2ab)
= 4a b
6 5
12 12 12 4
8ab= 2 ab = 2 a b = 2a b
3 3 3 4
4 12 2 3 12 6 6
2
4a = 4a = 2 a
12
2a
b
=
12
2 a
4
6 6
6 6 4
2 ab
12
= 2a
12 12 = 2 ⋅2
aab
2 a
12 4 2 4 2 4
1
2 2
6
= 4ab ⋅ 2a=
8ab
1
6 2 2
6 6 3 2
EJERCICIO 245
12 12 4
4
2
12
1
4. ( )
2 2 1 1
6 3 6
2
2 2 2
3 3
x = x = x
1
6
2 2 3 3
x
1
2 2 2 5 5
x 1
6
6
= = 6 6 = 32 x
1
6
4 2 4 4 2x
2 x x
x
2
5. ( )
5.
6.
( )
6 5
3 15 2 5 15 5 10 5
5mn= 5mn = 5 m n
5 3 2 15 3 2 3 15 9 6
mn = mn = mn
15
5 10 5 5
5 14
5 m n
15
5 m 5 mn 1
15
= = =
15
3125
9 6
15
= . mn
mn n n n
3 4 5
6. ( )
7.
( )
15 14
12
18xyz = 3 ⋅ 2xyz = 3 ⋅2
xyz
6 12 2 3 4 5 2 4 2 6 8 10
2 2 3
12
3xyz = 3xyz = 3 xyz
4 12 2 2 3 3 3 6 6 9
=
12
3 ⋅2
xyz
12
4 2 6 8 10
3 xyz
3 6 6 9
4
7. ( )
=
12
2
12yz
9 12 9
3m = 3m = 27m = m 27m
3 4 3
9 3
9 3
m 27m
9
= = m m
9 2
27m
4
8. ( )
5 4 4 4
3 2 2
6 6
2
5 5 2 4 2 2
ab = ab = a b
1
( )
10 2 2
1 1
6 2
2
3 6
10 10 2 3 6
a = a = a
4
6
5 2 4 2 2
ab
2
2 2
2b
2ab
8
6
6
= = 8 4 = 8 6 = 2 ab
1
6
10 2 3 6 a a a
a
6 2 2
1.
2 2
4 2 = 4 2 = 16⋅ 2 = 32
1. ( )
2.
2. ( )
3.
2
2
2 2
2 3 = 2 3 = 4⋅ 3=
12
2 2
5 7 = 5 7 = 25⋅ 7=
175
3. ( )
4.
2
2
2
2 4 2 3 4
2 4
3
2 3 3
= = ⋅ 2 = 8 2
3
4. ( )
4
3 2
5. ( ) ( )
5.
6.
3
3 2 3 2 81
3 3 3 3 2 3
2 2
ab = ab = 2 ⋅2⋅ aaabb=
162ab 2ab
2
4 2 4
4 3 4 3 3
6. ( 8 ) ( 2 ) 2 4 2 4 2
x = x = 4 2 ⋅ 2 x x = 2x 4 2 2 x 2 = 2x( 2x)
3
5 3
7. ( ) ( )
7.
5 5 5 2 3 5 4 5
81ab = 3 ab = 3 ⋅3 ⋅ 3 a b b = 9b 9a b
4 3 3
2
4
5 3 4
1
= 2x( 2x)
2 = 2x 2x

8.
6
6 3
( ) ( ) 6 ( )
8.
9.
3
3
2
18 = 18 = 18 = 18 2 = 18 = 3 ⋅ 2 = 3 2
2 2 2 2 2
4a 2x = 4a 2x = 16a 2x = 32a x
9. ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
10. ( ) ( ) ( )
10.
2 x+ 1 = 2 x+ 1 = 4 x+ 1 = 4x+
4
2
2
2
11. ( ) ( ) ( )
3
6 3 4
12. ( 4 9ab
)
12.
13.
3 x− a = 3 x− a = 9 x− a = 9x−9a
6
= 4 3
( ab)
3 2 3 4 3
6
= 64 3 aabb
= 192ab
6 6 3 6 6
a
2 6 3
3
2
2
2
= 192ab ( a) 6 = 192ab ( a)
2 = 192ab a
2 − 3 = 2 − 2 2 3+
3
13. ( )
14. ( )
2
2 2
= 2− 2 6+ 3= 5−2 6
2
14.
4 2 + 3 = 4 2 + 2⋅ 4 2 3+
3
15.
15. ( )
2
= 32+ 8 6+ 3= 35+
8 6
1
1
2 2 2
5− 7 = 5 − 2 5 7 + 7
EJERCICIO 246
1.
2 2
= 5− 2 35 + 7 = 12 −2 35
1. 3 2 6 2
a a ( a)
6 3 3
= = = a = a
2.
2. 3 6
8 = 8= ( 2) 6 = ( 2)
2 = 2
3.
3. 4 8 4
81 = 3 = ( 3) 8 = ( 3)
2 = 3
4. 4
3a
= 3a
5.
3
5. 3 2 6 2 2
4 2 ( 2 ) 6 ( 2 ) 3
3
a = a = a = a = 2a
6.
2
4
6. 3 3 2
3
2 2 = 2 ⋅ 2 = 6 2 = ( 2) 6 = ( 2)
2 = 2
7.
7. 4 2 8 2 2
25 5 ( 5 ) 8 ( 5 ) 4
4
a = a = a = a = 5a
EJERCICIO 247
1.
2.
1 3 3
⋅ = =
3 3
2
3
5 2 5 2
⋅ = =
2 2
2
2
3
3
1
5 2
2
1
2
1
2
3
1
1
1
8.
16.
5 7 − 6 = 5 7 −2⋅5⋅ 6 7 + 6
16. ( )
17.
2
2 2 2
= 175− 60 7 + 36= 211−60 7
2
2
17. ( x + x− 1) = x + 2 x x− 1+ ( x−1)
18. ( x+ 1−4
x)
2
( )
18.
19.
2
= x+ 2 x − x + x−1
2
= 2x+ 2 x − x −1
2
= x+ 1 −2⋅ 4 x+ 1 x + 4 x
2 2
2 2
= x+ 1− 8 x + x + 16x= 17x+ 1− 8 x + x
2
19. ( a+ 1− a−1)
= ( a+ 1) − 2 a+ 1 a− 1+ ( a−1)
20.
2 2
2 2
= a+ 1−2 a − 1+ a − 1 = 2a−2 a −1
2
20. ( 2 2x− 1+ 2x+
1)
2
= 2 ( 2x− 1) + 2⋅2 2x− 1 2x+ 1+ ( 2x+
1)
2
= 42 ( x− 1)
+ 4 4x − 1+ 2x+
1
2
= 8x− 4+ 4 4x − 1+ 2x+
1
2
= 10x− 3+ 4 4x
−1
2 2
8. 3 4 3 12 3 3
27 3 ( 3 ) 12 ( 3 ) 4
4
a = a = a = a = 3a
9.
5 5 10
5 6
5 3
3 3 3 3 3 ( 3) 10 ( 3)
5
5
= ⋅ = = = = 3 = 27
9.
4 4 6 8 4 4 2
10. ab = abb = ( ab) 8 ( b) 8 = ( ab) 2 ( b)
10.
4
= ab ⋅ b
2 4
⇒ ab = ( ab)
= a b
2 2 4
= ab b=
ab
3
4
4 2 2
4 4 2 3
11. 5 3 10 15 10 15 3
x = x = x = x = x
12.
3 5 3 5 3 5
3.
⋅ = = =
4 5 5
2
4 5 45 ⋅
4.
10
6
2
2
3 2
2
2
2
12. 3
6
6
( ) ( ) ( ) ( )
3
a+ b = a+ b = a+ b = a+ b =
3
a+
b
3 5
20
2a
2ax
2a
2ax
2a
2ax
⋅ = = =
2ax
2ax
2 2 2
2 a x
2ax
2ax
x
5.
6.
3
5
2
4a
1
3
1
1
1
4
3
3
3
2a
5 2a
5 2a
⋅ = =
3
2a
3 3 3
2 a 2a
1 3x
3x
3x
⋅ = =
9x
3 2 3 3 3
3x
3 x 3x
3
3
2
3
2
3
2
2

7.
4
2 3
2 3
4 3 4 3
4
4
3 3 a 3 3 a 3 9a
⋅ = = =
9a
4 2 3 4 4 4
3 a 3 a 3a
3
2 2
3
2 2
9a
a
3 2 3 2
6 3 x 6 3 x 6 9x
2 9x
8.
⋅ = = =
3
5 3x
3 2 2 3 3 3
3 x 5 3 x 15x
5x
10.
11.
5
1
4
8a
5
2
5
2 a 4a
⋅ = =
5 2 5 5 5
2 a 2 a
2 2
4a
2a
5n
mn 5n
mn 5n
mn 5n mn
⋅ = = =
3 mn mn
2 2
3 mn 3mn
3m
5
2
9.
4
x
2
27x
4
2
4
3x
x 3x
x 3x
⋅ = = =
4 2 4 4 4
3x
3 x 3x
2
4 2 4 2
3x
3
12.
1
3
4
5a
25x
2
4
4
4
5 x 25x
25x
⋅ = =
4 2
4 4 4
5 x 5a
5 x 25ax
EJERCICIO 248
1.
2.
3−
2 1−
2 3 3 2 2 2
⋅ = − − +
1+
2 1−
2
2
1−
2
5+
2 3 4+
3 20+ 5 3 + 8 3 + 2 3
⋅ =
4−
3 4+
3
2 2
4 − 3
2
3 4 2 2 5 4 2
= − + = − = 4 2 −5
1−
2 −1
2
20 + 13 3 + 6 26 + 13 3
=
= = 2+
3
16 −3
13
3.
2 − 5
⋅
2+
5
2 − 5
=
2 − 5
2 2
2 − 2 2 5 + 5
2 2
2 − 5
2 2 10 5 7 2 10 2 10 7
= − + = − −
=
2−
5 − 3 3
4.
7 + 2 5
⋅
7 − 5
7 + 5
=
7 + 5
2 2
7 + 35 + 2 35 + 2 5
2 2
7 − 5
7 3 35 10 17 3 35
= + + +
=
7−
5 2
5.
6.
7.
8.
9.
2 2
2−
3 5 2 2 − 5 2 2 − 10 − 6 10 + 3 5
⋅ =
2 2 + 5 2 2 − 5
2 2 2
2 2 − 5
19 5 2 + 4 3 95 2 + 76 3
⋅
=
5 2 − 4 3 5 2 + 4 3 5 2 − 4 3
2 2 2 2
2
4 7 10 15 19 7 10
= − + −
=
8−
5 3
95 2 + 76 3 95 2 + 76 3
=
=
50−
48
2
3 2 7 2 + 6 3 21 2 + 18 6 42 + 18 6 42 + 18 6 21+
9 6
⋅
=
= = =−
7 2 −6 3 7 2 + 6 3
2 2 2 2
7 2 −6 3 98 −108
−10
5
4 3−
3 7 2 3−
3 7 8 3 −12 21 − 6 21 + 9 7
⋅
=
2 2 2 2
2 3+
3 7 2 3−
3 7 2 3 − 3 7
2 2
2 2
5 2 −6 3 4 2 + 3 3 20 2 + 15 6 −24 6 −18 3
⋅
=
4 2 −3 3 4 2 + 3 3
2 2 2 2
4 2 − 3 3
24 − 18 21 + 63 87 − 18 21
=
=
=
12 − 63 − 51
6 21−
29
17
40 −9 6 −54
14 9 6 14 9 6
=
= − − +
=−
32 −27
5
5
10.
2 2
7 + 3 11 5 7 − 4 11 5 7 − 4 77 + 15 77 −12 11
⋅
=
5 7 + 4 11 5 7 − 4 11
2 2 2 2
5 7 − 4 11
35 + 11 77 −132
97 11 77
=
= − + = 97 −11 77
175 −176
−1
11.
5 + 2 7−
2 10 7 5 − 2 50 + 7 2 −2 20
⋅ =
7+
2 10 7−
2 10
2 2 2
7 − 2 10
2 2
7 5 −2 5 ⋅ 2 + 7 2 −2 2 ⋅5
=
=
49 − 40
7 5 − 10 2 + 7 2 −4 5
9
=
3 5 − 3 2
9
=
5 − 2
3
12. 9 3 − 3 2 6+
6 54 3 + 9 18 −18 2 −3 12
⋅ =
6−
6 6+
6
2 2
6 − 6
2 2
54 3 + 9 3 ⋅2 −18 2 −3 2 ⋅3
=
=
36 − 6
54 3 + 27 2 −18 2 −6 3
30
=
48 3 + 9 2
30
=
16 3 + 3 2
10

a + x 2 a − x
13.
⋅
16.
2 a + x 2 a − x
2 2
2
=
a − ax + 2 ax − x
2
2
2
a −
2
x
( )
2
( a 1)
2a+ ax −x
=
=
4a−
x
x + 2 + 2
⋅
x + 2 − 2
2
( x )
( x )
x + 2 + 2
x + 2 + 2
+ 2 + 2 x+ 2 2 + 2
+ 2 − 2
x x x x
x − x−1
x x
14.
x + x− ⋅ − −1
= + 2 + 2 2 + 4 + 2
= + 4 + 2 2 + 4
x + 2−2
x
1 x − x−1
2
2
a+ 4 − a a+ 4 − a
x −2 x x− 1+ ( x−1)
17.
⋅
=
a+ 4 + a a+ 4 − a
2
2
x − ( x−1)
2
2
( a+ 4)
− 2 a+ 4 a + a
2
x−2 x − x + x−1
=
2
2
2
=
= 2x−1−2
x − x
x−( x−1)
( a+ 4)
− a
2 2
a+ 4− 2 a + 4a + a 2a+ 4− 2 a + 4a
=
=
a+ 4 −a
4
a − a+
1 a a
15.
a + a+ ⋅ − + 1
2
1 a − a+
1
a+ 2 − a + 4a
=
2
2
2
a − 2 a a+ 1+ a+
1
=
a+ b− a−b
a b a b
2
18.
a − +
a+ b + a−b
⋅ + − −
a+ b− a−b
a a a a
= − 2
+ + +
2 2
2 1
a+ b − 2 a+ b a− b+ a−b
a− ( a+
1)
=
2 2
( a+ b) − ( a−b)
2
2a+ 1− 2 a + a
2
=
= 2 a + a −2a−1
a+ b−2 a − b + a−b
2a−2
a −b
− 1
=
=
a+ b− a+
b
2b
2
( ) ( )
2
2
a−
a −b
=
b
2 2 2 2 2 2
EJERCICIO 249
1.
2.
=
3
⋅
2 + 3−
5
6+ 9 + 15
( )
( )
( 2 + 3) −( 5)
2 2
2 + 3 + 5
2 + 3 + 5
3+ 6+
15 3 6 15 2 6 6 6 2 36 2 90
=
2
2+ 2 6+ 3− 5
= + + + +
⋅ =
=
2 6 2 6
=
2
⋅
2 + 3+
6
2+ 6−
12
( )
( )
( 2 + 3) −( 6)
2 2
2 + 3 − 6
2 + 3 − 6
( 2 6)
6 6+ 12+
6 10
24
2+ 6−2 3 2 6 2 3 2 6 1 4 6 2 12 6 4 18 2 3
=
2
2+ 2 6+ 3− 6
= + − +
⋅
2 6−
1 2 6+ 1
= + + + − −
=
2 6 − 1
( )
( + + )
6 6 2 10
=
24
2 6 10
= + +
4
5 6 + 14 −12 2 −2
3
23

( )
( )
2−
3 2+ 3 − 5
3.
⋅
2+ 3+
5 2+ 3 − 5
5.
4 3 2 5 15
= − − +
( 2+ 3) −( 5)
2 2
1 2 5 15
= − +
4+ 4 3+ 3−5
1 2 5 15 2 4 3
= − + −
⋅
2+
4 3 2−
4 3
2 4 3 4 5 8 15 2 15 4 45
= − − + + −
2
2
2 − 4 3
( )
2 4 3 4 5 10 15 12 5
= − − + −
− 44
( + − − )
2 2 3 8 5 5 15 1
=
=
44
6+ 3+
2
⋅
6+ 3−
2
( )
( )
6+ 3 + 2
6+ 3 + 2
6 3 2 2 18 2 12 2 6
= + + + + +
( 6+ 3) −( 2)
2 2
11+ 6 2 + 4 3 + 2 6
=
6+ 2 18+ 3−2
11+ 6 2 + 4 3+
2 6 2 18−
7
=
⋅
2 18+
7 2 18−
7
( )
2 3+ 8 5−5 15−1
22
22 18 − 77 + 12 36 − 42 2 + 8 54 − 28 3 + 4 108 −14 6
=
2
2 18 − 49
66 2 − 77 + 72 − 42 2 + 24 6 − 28 3 + 24 3 −14 6
=
72 − 49
=
24 2 − 4 3 + 10 6 −5
23
4.
6.
=
3+
5
⋅
2+ 3+
5
( )
( )
6+ 10+ 3−5
( 2+ 3) −( 5)
10 + 6 −2
=
2+ 2 6+ 3−5
=
10 + 6 −2
2 6 ⋅
2 6 2 6
2 60+ 2 36−4 6
=
=
( 2 6)
2 2
4 15+ 12−4 6
24
( + − )
4 15 3 6
=
=
24
2 − 5
⋅
2 + 5−
10
2 5 20 50
= − + −
2 + 2 10 + 5−10
2
2 + 3 − 5
2 + 3 − 5
( )
( )
15 + 3−
6
6
2 + 5 + 10
2 + 5 + 10
2 5−5 2 −3
2 10+
3
=
⋅
2 10−
3 2 10 + 3
4 50+ 6 5−10 20−15 2 −6 10−9
=
40 − 9
=
=
20 2 + 6 5 −20 5 −15 2 −6 10 −9
31
5 2 −14 5 −6 10 −9
31
EJERCICIO 250
1.
2.
2 2 − 3 2 6 2 6
⋅ = − = − 3. 2 + 5 1+
5
⋅
= 6 −2
2 + 3 2 − 3 2−
3 −1
1−
5 1+
5
2 2 5 5 5 7 3 5 7 3 5
= + + + = + =− +
1−
5 − 4 4
3 3+
2 5
⋅
3 − 2 5 3+
2 5
2 + 5 2+
5
4.
⋅
3 2 15 3 2 15 3 2 15
= + = + =− + 2 − 5 2+
5
3−
20 −17
17
2 2 10 5 7 2 10 7 2 10
= + + = + =− +
2−
5 − 3 3

5. 2 3 − 7 ⋅
3+
7
3 − 7
3 − 7
6 2 21 21 7 13 3 21
= − − + −
= =
3−7
− 4
3 21−13
4
7. 5 2 + 3 3 3 2 + 4 3
⋅
3 2 − 4 3 3 2 + 4 3
30 + 29 6 + 36 66 + 29 6
=
=
=−
18 − 48 − 30
66 + 29 6
30
6.
6+
2 5 2 6+
5 12 + 5 30 + 10 22 + 5 30
⋅ =
=
2 6−
5 2 6+
5 24 − 5 19
8.
7 − 2 11 2 7 − 11 14 − 5 77 + 22
⋅
=
=
2 7 + 11 2 7 − 11 28 −11
36 − 5 77
17
EJERCICIO 251
1.
x − 8=
2
1.
( x )
2
− 8 = 2
x − 8=
4
x = 12
2.
5− 3x
+ 1=
0
5= 3x
+ 1
3
3
( x )
2
( x )
2
5 = 3 + 1
25= 3x
+ 1
24 = 3x
7.
8 = x
3.
7+ 3
5x
− 2=
9
5x
− 2=
2
3
5 − 2 = 2
5x
− 2=
8
5x
= 10
x = 2
2
4.
9x
−5− 3x= −1
5.
2
9x
− 5= 3x−1
2
( 9x
− 5) = ( 3x−1)
( x )
3
2
2 2
2 2
9x − 5= 9x − 6x+
1
− 6= −6x
1=
x
2
x − 2x+ 1= 9−
x
2
− 1 = 9−
x
x− 1= 9−
x
2x
= 10
x = 5
9.
6.
15− 3 7x
− 1 = 12
3= 3 7x
−1
8.
( x )
3
3 =
3
7 −1
27 = 7x
−1
28=
7x
4 = x
x + x+ 7 = 7
( x+ 7) = ( 7−
x)
2 2
x+ 7= 49− 14
7= 49−14
x + x
x
1= 7−2
x
− 6= −2
x
3=
x
2
3 =
( x)
9 = x
3x− 5+ 3x− 14 = 9
( 3x− 5) = ( 9− 3x−14)
2
2 2
3
( x )
10.
x+ 10 − x+ 19 = −1
( x+ 10) = ( x+ 19 −1)
2 2
x+ 10 = x+ 19 − 2 x+ 19 + 1
− 10 = − 2 x + 19
5= x + 19
( x )
2
5 = + 19
25= x + 19
6 = x
4x− 11= 7 2x−29
10.
( 4x− 11 ) = ( 7 2x−29
)
4x− 11= 49( 2x−29)
11.
3x− 5= 81−18 3x− 14 + 3x−14
− 72 = −18 3x
−14
12.
2
4 = 3 −14
16= 3x
−14
30 = 3x
10 = x
2
2 2
4x− 11= 98x−1.
421
1.
410 = 94x
15=
x
5x−19 − 5x
= −1
( 5x− 19) = ( 5x
−1)
2 2
5x− 19= 5x− 2 5x
+ 1
− 20= −2 5x
10 = 5x
100=
5x
20=
x
( x− 2+ 5) = ( x+
53)
2
x− 2+ 5= x+
53
2 2
x− 2 + 10 x− 2 + 25= x+
53
10 x − 2 = 30
x − 2=
3
x − 2=
9
x = 11

13.
9x− 14 = 3 x+ 10−4
13.
2 2
( 9x− 14 ) = ( 3 x+ 10−4
)
( )
14.
15.
9x− 14 = 9 x+ 10 − 24 x+ 10 + 16
− 14 = 90− 24 x + 10 + 16
− 120= − 24 x + 10
5= x + 10
25= x + 10
15=
x
x−16 − x+ 8 = −4
( x− 16) = ( x+ 8 −4)
2 2
x− 16 = x+ 8 − 8 x+ 8 + 16
− 40 = − 8 x + 8
5= x + 8
25= x + 8
17 = x
5x− 1+ 3= 5x+
26
( 5x− 1+ 3) = ( 5x+
26)
2 2
5x− 1+ 6 5x− 1+ 9= 5x+
26
6 5x
− 1=
18
5x
− 1=
3
5x
− 1=
9
5x
= 10
x = 2
16.
13− 13+ 4x
= 2 x
17.
( 13− 2 x) = ( 13+
4x)
2 2
169 − 52 x + 4x= 13+
4x
20.
− 52 x = −156
x = 3
x = 9
x− 4 + x+ 4= 2 x−1
( x− 4+ x+ 4) = ( 2 x−1)
2
( )
2 2
x− 4+ 2 x − 16+ x+ 4= 4 x−1
2
2x+ 2 x − 16= 4x−4
2
( 2 x − 16) = ( 2x−4)
2 2
2 2
4x − 64 = 4x − 16x+
16
− 80= −16x
5=
x
18.
19.
9x+ 7− x − 16x− 7 = 0
( 9x+ 7 − x) = ( 16x−7)
2
9x+ 7− 2 9x + 7x + x= 16x−7
2
− 2 9x + 7x = 6x−14
2
( − 2 9x + 7x) = ( 6x−14)
( )
2 2
2 2
2 2
4 9x + 7x = 36x − 168x+
196
2 2
36x + 28x= 36x − 168x+
196
196x
= 196
x = 1
9x+ 10− 2 x+ 3= x−2
( 9x+ 10− 2 x+ 3) = ( x−2)
2
( )
2 2
9x+ 10− 4 9x + 37x+ 30 + 4 x+ 3 = x−2
13x+ 22 − x+ 2 = 4
2
9x + 37x+
30
12x+ 24 = 4
2
9x + 37x+
30
2
3x+ 6= 9x + 37x+
30
2
2
( 3x+ 6) = ( 9x + 37x+
30)
2 2
9x + 36x+ 36= 9x + 37x+
30
36− 30= 37x−36x
6 = x
18x−8 − 2x−4 − 2 2x+ 1 = 0
( 18x− 8) = ( 2x− 4 + 2 2x+
1)
2 2
2
2
( 2x− 2) = ( 4x −6x−4)
2
( )
2
18x− 8 = 2x− 4 + 4 4x −6x− 4 + 4 2x+
1
2
18x− 8 = 10x+ 4 4x −6x−4
2
8x− 8= 4 4x −6x−4
2
2x− 2= 4x −6x−
4
2 2
4x − 8x+ 4= 4x −6x−4
− 2x
= −8
x = 4
2

21.
8x+ 9 − 18x+ 34 + 2x+ 7 = 0
( 8x+ 9 + 2x+ 7) = ( 18x+
34)
2 2
2
8x+ 9+ 2 16x + 74x+ 63+ 2x+ 7= 18x+
34
2
10x+ 16 + 2 16x + 74x+ 63 = 18x+
34
2
2 16x + 74x+ 63= 8x+
18
2
16x + 74x+ 63 = 4x+
9
2
( 16x + 74x+ 63) = ( 4x+
9)
2 2
2 2
16x + 74x+ 63= 16x + 72x+
81
2x
= 18
x = 9
24.
x− a + x+ a = 4x−2a
( x− a + x+ a) = ( 4x−2a)
2 2
x− a+ 2
2 2
x − a + x+ a = 4x−2a
2x+ 2
2
2 2
x − a = 4x−2a
2 2
x − a = 2x−2a
2 2
x − a = x−a
( x − a ) = ( x−a)
2 2 2 2
x − a = x − 2ax+
a
2 2 2 2
2ax
= 2a
x=
a
2
22.
23.
x−2 − x− 5= 4x−23
( x−2 − x− 5) = ( 4x−23)
2 2
x−2−2 2
x − 7x+ 10+ x− 5= 4x−23
2x−7− 4x+ 23= 2
2
x − 7x+
10
− 2x+ 16= 2
2
x − 7x+
10
2
− x+ 8= x − 7x+
10
2
2
( 8− x) = ( x − 7x+
10)
2 2
64 − 16x+ x = x −7x
10
54 = 9x
6 = x
x+ 6− 9x+ 70= − 2 x+
9
( x+ 6+ 2 x+ 9) = ( 9x+
70)
( )
2
x+ 6 + 4 x + 15x+ 54 + 4 x+ 9 = 9x+
70
2
5x+ 42 + 4 x + 15x+ 54 = 9x+
70
2
4 x + 15x+ 54 = 4x+
28
2
x + 15x+ 54 = x+
7
2
( x + 15x+ 54) = ( x+
7)
2 2
x + 15x+ 54 = x + 14x+
49
x =−5
2
2 2
2 2
25.
26.
x− 4ab = − 2b+
x
( x− 4ab) = ( x + 2b)
2 2
x− 4ab= x− 4b x + 4b
2
4b x = 4b + 4ab
x = b+
a
( x) = ( a+
b)
x= ( a+
b)
2 2
x+ 4a − x+ 2a− 1=
1
( x+ 4a − 1) = ( x+ 2a−1)
x+ 4a− 2 x+ 4a + 1= x+ 2a−1
2a+ 2= 2 x+
4a
2
( a+ 1) = ( x+
4a)
( a 1)
2 2
2
a+ 1= x+
4a
2 2
2
a + 2a+ 1= x+
4a
2
a − 2a+ 1=
x
2
− = x

EJERCICIO 252
10
1.
x + x+ 5 =
x
2 2
x + x + 5x
= 10
2
2
( x + 5x) = ( 10−
x )
2 2
x + 5x= 100− 20x+
x
2 2
25x
= 100
x = 4
2.
4x− 11+ 2 x =
55
4x
− 11
2
( x ) x( x )
4 − 11 + 2 4 − 11 = 55
2
4x− 11+ 2 4x − 11x
= 55
2
2 4x − 11x = 66−4x
3.
x − x− 7 =
4.
2 2
x − x − 7x
= 4
2
4x − 11x = 33−2x
2
( 4x − 11x) = ( 33−2x)
2 2
4x − 11x= 1.
089 − 132x+
4x
2 2
121x
= 1.
089
x = 9
4
x
2
2
( x− 4) = ( x −7x)
2 2
x − 8x+ 16= x −7x
16=
x
x − 2 x
x + = + 1
4 x + 13
( x − 2)( x + 13) = ( x + 1)( x + 4)
2 2
x + 11 x − 26= x + 5 x + 4
6 x = 30
x = 5
( x)
2
= 5
2
x = 25
2
6
5.
x 8 x
x + 8
= + −
2
( x + 8x) = ( x+
2)
2
( x ) x( x )
6= + 8 − + 8
2
6= x+ 8− x + 8x
2
x + 8x = x+
2
2 2
2 2
x + 8x= x + 4x+
4
4x
= 4
x = 1
8
6.
x − 3 + = x + 9
x + 9
7.
( x− 3)( x+ 9) + 8= ( x+
9)
2
x + 6x− 27 + 8= x+
9
2
( x + 6x− 27) = ( x+
1)
2 2
2 2
x + 6x− 27= x + 2x+
1
4x
= 28
x = 7
x + 4 x 11
x − 2
= x
+− 1
( x + 4)( x − 1) = ( x + 11)( x −2)
2
x + 3 x − 4= 2
x + 9 x −22
18 = 6 x
3=
x
( 3) = ( x)
2 2
9 = x
9
8.
2 x+ 6− 4x− 3=
.
4x
− 3
2
( x )( x ) ( x )
2
x x ( x )
2 + 6 4 −3 − 4 − 3 = 9
2 4 + 21 −18 − 4 − 3 = 9
2
2 4x + 21x−18 − 4x+ 3=
9
2
( 2 4x + 21x− 18) = ( 4x+
6)
( )
2
2 2
2 2
4 4x + 21x− 18 = 16x + 48x+
36
2 2
16x + 84x− 72 = 16x + 48x+
36
36x
= 108
x = 3

9.
x − 2 x
x + = 2 − 5
2 2 x − 1
( x −2)( 2 x − 1) = ( 2 x − 5)( x + 2)
2
2
x − 5 x + 2= 2
2
x − x −10
12 = 4 x
3=
x
( 3) = ( x)
2 2
9 = x
10.
6
x+ 14 − x− 7 =
x − 7
2
( x )( x ) ( x )
2
x x ( x )
+ 14 −7 − − 7 = 6
+ 7 −98− − 7 = 6
2
x + 7x−98− x+ 7=
6
2
( x + 7x− 98) = ( x−1)
2 2
2 2
x + 7x− 98= x − 2x+
1
9x
= 99
x = 11
EJERCICIO 253
1.
− a = a − 1 = a − 1=
ai
2 2
1. ( )
2. ( )
2
3. ( )
2
4. ( )
5. ( )
− 2 = 2 − 1 = 2 − 1=
2i
2 − 9= 2 3 − 1 = 6 − 1= 6i
− 81 = 9 − 1 = 9 − 1 = 9i
− 6= 6 − 1 = 6 − 1=
6 i
4 2 2 2 2
6.
3 − b = 3 b b − 1 = 3b − 1 = 3b i
6. ( ) ( )
− 12 = 2 ⋅3 − 1 = 2 3 − 1 = 2i
3
2
7. ( )
8. ( ) ( )
2
9. ( )
10. ( )
11.
− 7 = 7 − 1 = 7 − 1 = 7i
− 27= 3 ⋅3 − 1 = 3 3 − 1=
3i
3
− 4m = 2 m m − 1 = 2m − 1=
2im
4 2 2 2 2 2
1 1 1
− = − = − 1 =
1 16 4 4 4
11. ( 1)
12.
2
i
−a − b = − 1 a + b = − 1 a + b = i a + b
2 2 2 2 2 2 2 2
12. ( )
EJERCICIO 254
1.
2
( )
2
( )
1.
2.
− 4= 2 − 1 = 2i
− 16 = 4 − 1 = 4i
= 2i+ 4i=
6i
− 25 = 5 − 1 = 5i
2.
2
( )
2
( )
2
( )
3.
− 81 = 9 − 1 = 9i
− − 49 = − 7 − 1 = −7i
= 5i+ 9i− 7i=
7i
2 − 9 = 2 3 − 1 = 6 i
2
3. ( )
2
− = ( − ) =
3 100 3 10 1 30i
= 6i+ 30i=
36i
4.
2
( )
2
( )
2
( )
4.
3 − 64 = 3 8 − 1 = 24i
−5 − 49 = −5 7 − 1 = −35i
3 − 121 = 3 11 − 1 = 33i
= 24i− 35i+ 33i=
22i
5. 2
2
− a = 2
2
a ( − 1)
= 2ai
4
− a =
2 2 2
a a ( − 1)
= a i
6
− a =
4 2 3
a a ( − 1)
= a i
2 3 2 3
= 2ai+ a i+ a i= i( 2a+ a + a )
6. − 18 =
2
3 ⋅2( − 1)
= 3 2 i
− 8= 2
2 ⋅2( − 1)
= 2 2i
2 − 50= 2
2
5 ⋅2( − 1)
= 10 2i
= 3 2i+ 2 2i+ 10 2i=
15 2i
7.
7.
2
( )
2
( )
2
( )
8.
3 − 20= 3 2 ⋅5 − 1 = 6 5i
−2 − 45= −2 3 ⋅5 − 1 = −6 5i
3 − 125 = 3 5 ⋅5 − 1 = 15 5i
= 6 5i− 6 5i+ 15 5i=
15 5i
4 4 2
− a = a − = a i
8. ( 1)
( )
( )
4 2 4 2
4 − 9a = 4 3 a − 1 = 12a i
4 2 4 2
−3 − 4a =−3 2 a − 1 = −6a i
2 2 2 2
= a i+ 12a i− 6a i=
7a
i

EJERCICIO 255
1.
−16 ⋅ −25
5.
2 −5⋅3 −7
= 4 −1⋅5 −1
= 2 5 −1⋅3 7 −1
( )
( )
= 20 −1
= 20 −1
=−20
2.
−81⋅ −49
= 9 −1⋅7 −1
2
( )
( )
= 63 −1
= 63 −1
=−63
3.
5 −36⋅4 −64
= 56 ⋅ −148 ⋅ ⋅ −1
= 30 −1⋅32 −1
2
( )
( )
= 960 −1
= 960 −1
=−960
4.
−3⋅ −2
= 3 −1⋅ 2 −1
( )
( )
= 6 −1
= 6 −1
=− 6
13.
− 2 + 3 −5
2 −2 −6 −5
2
2
2 2
( − ) + ( − )
−6 10 ( −1) −18 25 ( −1)
( − ) − ( − )
2 4 1 6 10 1
4 1 90 1
( )
( )
= 6 35 −1
= 6 35 −1
=−6 35
−3⋅ −75
6.
= 3 −1⋅ 25 3 −1
2 2
2
2
( )
( )
= 5 3 −1
= 15 −1
=−15
7.
2 −7⋅3 −28
= 2 7 −1⋅3 4 7 −1
2
2
( )
( )
= 6 4 7 −1
= 12⋅7 −1
=−84
8. −49 ⋅ −4 ⋅ −9
= 7 −1⋅2 −1⋅3 −1
3
ej
= 42 −1
e
= 42 − −1
j
2
9.
−23 ⋅ −5⋅ −10
= 2 −1⋅3 5 −1⋅ 10 −1
( )
( )
= 3 2⋅5⋅10 −1
= 3 100 − −1
3
=−30 −1
=−30i
10.
−12 ⋅ −27 ⋅ −8 ⋅ −50
= 2 3 −1⋅3 3 −1⋅2 2 −1⋅5 2 −1
( )
= 60 9 4 −1
= 60⋅3⋅2()
1
= 360
11.
−5 − x⋅3
− y
=−5 x −1⋅3 y −1
( )
( )
=−15 xy −1
=−15 xy −1
= 15 xy
12.
− 4 + −9
−25 − −16
2
2 2
( − ) + ( − )
− 8( −1) −12( −1)
( − ) + ( − ) − ( − )
10 1 15 1
4
2 2
=−42 −1
10 1 7 1 12 1
=−42i
= −10− 7 + 12 = −5
14.
2 − 2 + 5 −3
−2−4 −3
2 2
( − ) + ( − )
−8 6( −1) −20 9 ( −1)
( − ) − ( − ) − ( − )
2 4 1 5 6 1
4 1 3 6 1 60 1
= − 4+
90
= − 4+ 3 6+
60
= 86
= 56+
3 6
EJERCICIO 256
2 2
1.
−16
4 −1
=
− 4 2 − 1 = 2 2.
−10
=
− 2
10 −1
− = 10
2 1 2
=
5 3.
−81
=
− 3
9 −1
− = 9
= 9 3
3 1 3
= 9 3
9 3
= 3 3

2
2 −18
6 2 −1
6 2 6 12 6 2 ⋅3
−90
3 10 −1
4.
= = 3 10 7.
= = = = = 2 3
− 6 6 −1
6 36 6
= 3 2
− 5 5 −1
5
− 315 3 35 −1
−150
5 6 −1
5.
= = 5 6 8.
=
= 3 35 = 3 5
−7
7 −1
7
=
− 3 3 −1
3 5 2
4
4
2 1
−27
27 −1
27
9.
= = 4 4 4 2 4 2
= 9= 3 = 3 = 3 = 3
4
4
−3
3 −1
3
10 − 36 60 −1
6.
=
5 − 4 10 − 1 = 6
4
4
2 1
− 300 300 −1
300
10.
= = 4 4 4 2 4 2
= 25 = 5 = 5 = 5 = 5
4
4
−12
12 −1
12
EJERCICIO 257
1. 2+ 3 −1
5−2 −1
7+ −1
7 + i
2. −4−5 −1
− 2+ 8 −1
− 6+ 3 −1
− 6+
3i
3. 12 −11 −1
8 + 7 −1
20 −4 −1
20 − 4i
4. 5+ −1
7+ 2 −1
9+ 7 −1
21+ 10 −1
21+ 10i
5. 3 − 2i
5 − 8i
− 10 + 13i
− 2 + 3i
6. 1
4
−
+
i
3i
2 + 5i
5+ 2 + 7i
7.
2+ −2
4−
−3
( )
( i i)
( ) i
6+ 2 −1− 3 −1
6+ 2 − 3
6+ 2−
3
8.
7+ −5
2 − −9
− 4+ −16
( 3+ 2) + ( 5 −1 − 9 − 1 + 16 −1)
( 3+ 2) + ( 5i− 3i+
4i)
( 3+ 2) + ( 5i+
i)
( 3+ 2) + ( 5+
1)
i
EJERCICIO 258
1. ( 7−2 − 1) + ( 7+ 2 −1)
= ( 7+ 7) + ( − 2+ 2)
−1
1.
2.
= 72 ⋅
= 14
2. ( −5−3 − 1) + ( − 5+ 3 −1)
= ( −5− 5) + ( − 3+ 3)
−1
=−52
⋅
=−10
3. ( 9+ i 3) + ( 9−i
3)
= ( 9+ 9) + ( i−i)
3
3.
4.
= 92 ⋅
= 18
4. ( −7−5 − 1) + ( − 7+ 5 −1)
= ( −7− 7) + ( − 5+ 5)
−1
=−72
⋅
=−14
5. ( 8−3 − 2) + ( 8+ 3 −2)
= ( + ) + ( − + ) −
5.
6.
8 8 3 3 2 1
= 82 ⋅
= 16
6. ( 2 + i 3) + ( 2 −i
3)
= ( 2 + 2) + ( i−i)
3
= 2 2

EJERCICIO 259
1. ( 3−2 −1) − ( 5+ 3 −1)
1.
2.
3−2 −1
−5−3 −1
−2−5 −1
−2−5i
2. ( 8+ 4 −1) −( 3−10 −1)
3.
8+ 4 −1
− 3+ 10 −1
5+ 14 −1
5+ 14i
3. ( −1− −1) −( −7−8 −1)
4.
−1− −1
+ 7+ 8 −1
6+ 7 −1
6+
7i
4. ( 4−7 −1) −( 5−3 −1)
4−7 −1
− 5+ 3 −1
−1−4 −1
−1−4i
EJERCICIO 260
1. ( 2− −1) − ( 2+ −1)
1.
2.
2− −1−2− −1
( ) ( )
= 2− 2 + −1−1 −1
=−2 −1
=−2i
2. ( 7+ 3 −1) −( 7−3 −1)
7+ 3 −1− 7+ 3 −1
( ) ( )
= 7− 7 + 3+ 3 −1
= 6 −1
= 6i
5. ( 15−4 −1) −( 8−7 −1)
5.
6.
15−4 −1
− 8+ 7 −1
7+ 3 −1
7+ 3i
6. ( 11+ 80 −1) −( 3−50 −1)
7.
11+ 80 −1
− 3+ 50 −1
8 + 130 −1
8 + 130i
7. ( 5− −25) − ( 3+
6i)
3.
5−
−25
−3−
6i
( i)
( i i)
( i)
2+ − 25 −1−6
2+ −5 −6
2+ −11
2−
11i
3. ( −3−7 −1) −( − 3+ 7 −1)
4.
−3−7 − 1+ 3−7 −1
( ) ( )
= − 3+ 3 + −7−7 −1
=−72 ⋅ −1
=−14i
4. ( − 5+ −2) −( −5− −2)
− 5+ − 2 + 5+ −2
( ) ( )
= − 5+ 5 + 1+ 1 2 −1
= 2 2 −1
= 2 2i
5.
8. ( 4+ −5) − ( 2+ −3)
8.
4+ −5
−2− −3
2+ 5 −1− 3 −1
2+ ( 5i−
3i)
2+ ( 5−
3)
i
9. ( 2 −5 −1) − ( 3+ 6 −1)
2 − 5i
− 3−6i
( 2 − 3) + ( −5i−6i)
( 2 − 3) + ( −11i)
( 2 − 3)
−11i
10. ( 8− −7) −( − 7+ −3)
8−
−7
7−
−3
( )
( i i)
( ) i
15+ − 7 −1 − 3 −1
15+ − 7 − 3
15− 7 + 3
5. ( 2 + −3) −( 2 − −3)
6.
2 + −3− 2 + −3
( ) ( )
= 2− 2 + 1+ 1 3 −1
= 2 3 −1
= 2 3i
6. ( − 5−4 −2) −( − 5+ 4 −2)
− 5−4 − 2+ 5−4 −2
− 5−4 −2
+ 5−4 −2
−8 − 2= − 8 2 −1
= −8 2i

EJERCICIO 261
1.
3−4 −1
5−3 −1
15−20 −1
( )
( )
− 9 − 1 + 12 −1
15−29 − 1 + 12 −1
15−29i
−12
3−
29i
2.
4+ 7 −1
−3−2 −1
−12 −21 −1
2
( )
( )
− 8 −1 −14 −1
−12 −29 −1 −14 −1
−12 − 29i
+ 14
2−
29i
3.
7−
−4
5+ −9
35−5 4 −1
2
2
( )
( )
+ 7 9 −1− 4 9 −1
35−10 − 1 + 21 −1 − 36 −1
35− 10i+ 21i+
6
41+
11i
4.
8−
−9
11+ −25
88 −11 9 −1
( )
( )
+ 8 25 −1− 9 25 −1
88 − 33i+ 40i−15 −1
88 + 7i
+ 15
103+
7i
2
5.
3+ −2
5−
−2
15+ 5 2 −1
( )
( )
−3 2 −1− 2 2 −1
15+ 2 2 −1 − 4 −1
15+ 2 2 i + 2
17 + 2 2 i
6.
4+ −3
5−
−2
20 + 5 3 −1
−4 2 −1− 2
2
3( −1)
20 + 5 3i−4 2 i− 6 ( −1)
20 + ( 5 3 − 4 2)
i + 6
( 20 + 6) + ( 5 3 −4 2)
i
7.
2 + −5
3+ −2
6+ 3 5 −1
6+ ( 15i+ 2i)
− 10
( 6− 10) + ( 15+
2)
2
( )
( )
+ 2 2 − 1+ 5 2 −1
6+ 15i+ 4i+ 10 −1
8.
5+ −3
5+ 2 −3
25 + 5 3 −1
i
( )
2
( )
+ 2 5 3 − 1+ 2 9 −1
5+ 15i+ 2 15i+ 6 −1
5+ 3 15i
−6
3 15i
− 1
2
EJERCICIO 262
1.
1. ( 1− i)( 1+
i)
2.
= 1−i
2
( )
( )
= 1− −1
= 1− −1
= 1+ 1=
2
2. ( 3+ 2 −1)( 3−2 −1)
2
2
= 3 −( 2 −1)
= 9−[ 4( −1)
]
3.
2
= 9+ 4=
13
3. ( 2− 5i)( 2 + 5i)
2 2
= ( 2) −( 5i)
2
= 2−[ 25( −1)
]
= 2− 25( −1)
4.
[ ]
= 2+ 25=
27
4. ( 2 3+ 4i)( 2 3−4i)
2 2
= ( 2 3) −( 4i)
2
= 4( 3) −[ 16( −1)
]
= 12 − 16( −1)
5.
[ ]
= 12 + 16 = 28
5. ( 5− − 2)( 5+ −2)
2
= 25−( −2)
2
= 25−( 2 −1)
2
= 25−[ 2( −1)
]
= 25−[ 2( −1)
]
6.
= 25+ 2 = 27
6. ( −9− −5)( − 9+ −5)
= 81−( 2
−5)
= 81−( 5
2
−1)
= 81−[ 5( −1)
]
= 81+ 5=
86

EJERCICIO 263
1+ −1
1 1
1.
1− −1
⋅ + −
8 5
2
− i 7−
6i
56 − 83i+
30i
56 −83i−30
26 − 83i
1+ −1
4. ⋅ =
2 =
=
7+
6i
7−
6i
49 − 36i
49 + 36 85
2
1 2 1 ( 1)
1 2 1 2
= + − + −
2 = + i −
2
i
4+ −3
5 4 3 20 21 3 1 4( 3) ( 1)
= = i
1−( −1)
1+
1 2
5.
2
5−4 −3
⋅ + −
5+ 4 − 3
= + − + −
25−( 4 3 −1)
3+ −1
3 1
2.
3− −1
⋅ + −
20+ 21 3 12 8 21 3
=
3+ −1
( i −
=
)
+ i
25− −48
73
9 6 1 ( 1)
9 6 1 8 6 4 3
= + − + −
2 = + i−
= + i = + i 2 + 2 −5
4 2 5
6.
9−( −1)
9+
1 10 5 4 2 − −5
⋅ + −
4 2 + −5
2 2
5−3 −1
3 4 1
3.
3+ 4 −1
⋅ − −
4( 2) + 9 2 5 − 1+ 2( 5) ( −1)
=
2 2
3−4 −1
16( 2) −( 5 −1)
15−29 − 1 + 12 −1
15 29 12 3 29
=
i = − i 8 9 10 10 9 10 2
= + i − i−
=
9−
4 1
25
32 + 5 37
( ) − −
2 =
( − ) 9−
16( −1)
EJERCICIO 265
[ ]
2
1. 3x
− 5x+ 2=
0
2
5x
2
x − + =
3 3 0
2
5x
2
x − = −
3 3
2
5x
25 25 2
x − + = −
3 36 36 3
⎛ 5⎞
⎜ x − ⎟ =
⎝ 6⎠
25−
24
36
5 1
x − =±
6 6
5 1
x = ±
6 6
5 1
x1
= + = 1
6
5 1 4 2
x2
= − = =
6 6 3
2
2. 4x
+ 3x− 22 = 0
x
2
2
3x
22
x + =
4 4
3x
9 11 9
+ + = +
4 64 2 64
2
2
⎛ 3⎞
352 + 9
⎜ x + ⎟ =
⎝ 8⎠
64
Continúa
2. Continuación
3 361
x + =±
8 64
3 19
x =− ±
8 8
x = − 3 + 19 16
1 = = 2
8 8
x = − 3 − 19 22 11
2 =− =−
8 8 4
2
3. x + 11x=−24
2
121 121
x + 11x+ = −24
4 4
11 25
x + =±
2 4
11 5
x =− ±
2 2
11 5 6
x1
= − + = − =−3
2 2
11 5 16
x2
= − − = − =−8
2 2
2
⎛ 11⎞
121−
96
⎜ x + ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 4
4.
x
x
x
( x )
= 16x
−63
− 16x= −63
− 16x+ 64 = 64 −63
x = 8+ 1=
9
x
2
1
2
2
2
2
− 8 = 1
= 8− 1=
7
x − 8= ± 1
x = 8±
1
2
5. 12x−4 − 9x
= 0
2
− 9x
+ 12x=
4
2
9x
− 12x= −4
2
12x
4
x − = −
9 9
2
4x
4 4 4
x − + = −
3 9 9 9
⎛ 2⎞
⎜ x − ⎟ = 0
⎝ 3⎠
2
x − =
3 0
2
x1= x2
=
3
2

2
6.
5x
−7x− 90=
0
2
7 7 4()( 5 90)
x = ± − −
25 ()
7.
8.
7 49 1 800
x = ± + .
10
7 1 849 7 43
x = ± .
= ±
10 10
7 43 50
x
10 10 5
1
= + = =
7 43 36
3
x2
= − =− =−3
5
10 10
2
6x
= x+
222
2
6x
− x− 222=
0
2
1 1 4( 6)( 222)
x = ± +
26 ( )
1 5 329
x = ± .
12
1 73
x = ±
12
1 73 74
12 12 6 1
x1
= + = = 6
1 73 72
x2
= − = − =−6
12 12
x+ 11=
10x
2
10x
− x− 11=
0
( )( )
x = ± 2
1 1 − 4 10 − 11
210 ( )
1
x = ± 1 + 440
20
1
x = ± 21
20
1
x = + 21 22
= =
20 20 1 1
1
10
1
x = − 21
= − 20
2
=−1
20 20
2
9.
49x
− 70x+ 25=
0
2
70 ± ( 70) −4( 49)( 25)
x =
249 ( )
70 ± 4. 900 −4.
900
x =
98
70 5
x1= x2
= =
98 7
2
2
10.
12x− 7x
+ 64 = 0
2
− 7x
+ 12x+ 64=
0
2
12 ( 12) 4( 7)( 64)
x = − ± − −
2 − 7
( )
12 144 1 792
x = − ± + .
− 14
12 1 936
x = − ± .
− 14
12 44
x = − ±
− 14
11.
x
12 44 32
x1
= − + =− =−2
− 14 14
12 44 56
x
14 14 4
2
= − − = − =
− −
2
x
2
+ 15x+ 56=
0
= 15x−56
2
7
2
15 ( 15) 4( 1)( 56)
x = − ± −
21 ()
15 225 224
x = − ± −
2
15 1
x = − ±
2
15 1 14
x1
= − + = − =−7
2 2
15 1 16
x2
= − − = − =−8
2 2
2
12.
32x
+ 18x− 17 = 0
2
( ) ( )( )
18 18 4 32 17
x = − ± − −
232 ( )
18 324 2 176
x = − ± + .
64
18 2 500
x = − ± .
64
18 50
x = − ±
64
18 50 32 1
x1
= − + = =
64 64 2
18 50 68
x2
= − − = − =−1
64 64
1
16
2
13.
176x= 121+
64x
2
64x
− 176x+ 121=
0
2
176 ± ( 176) −4( 64)( 121)
x =
264 ( )
176 ± 30. 976 −30.
976
=
128
176
128 1 3
x1= x2
= = 8
14.
8x+ 5=
36x
2
− 36x
+ 8x+ 5=
0
2
8 ( 8) 4( 36)( 5)
x = − ± − −
2 − 36
( )
8 64 720
x = − ± +
− 72
8 784
x = − ± − 72
8 28
x = − ±
− 72
8 28 20 5
x1
= − + =− =−
− 72 72 18
x
8 28 36 1
= − − = − =
− 72 − 72 2
2
15.
2
27x
+ 12x− 7 = 0
2
( ) ( )( )
12 12 4 27 7
x = − ± − −
227 ( )
12 144 756
x = − ± +
54
12 900
x = − ±
54
12 30 18 1
x1
= − + = =
54 54 3
12 30 42 7
x2
= − − = − =−
54 54 9
2

2
17. 8x
−2x− 3=
0
2
16.
15x= 25x
+ 2
2
2
2 2 4 8 3
25x
− 15x+ 2 = 0
x = ± − −
28 ( )
2
15± ( 15) −4( 25)( 2)
x =
2 4 96
225 ( )
x = ± +
16
15± 225−200
x =
2 100
50
x = ±
16
15±
25
2 10
x =
50
x = ±
16
15+ 5 20 2
2 10 12 3
x1
= = =
50 50 5
x1
= + = =
16 16 4
15− 5 10 1
2 10 8 1
x2
= = = x
50 50 5
2
= − = − =−
16 16 2
EJERCICIO 266
( ) ( )( )
2
18.
105= 2x
+ x
2
2x
+ x− 105=
0
2
() ( )( )
1 1 4 2 105
x = − ± − −
22 ( )
1 1 840
x = − ± +
4
1 841
x = − ±
4
1 29
x = − ±
4
1 29 28
x1
= − + = = 7
4 4
1 29 30
x2
= − − = − =−7
4 4
1
2
1. x( x )
1.
2.
+ 3 = 5x+
3
2
x + 3x= 5x+
3
2
x + 3x−5x− 3=
0
x
2
−2x− 3=
0
2
( ) ()( )
2
x = ± − 2 − 4 1 − 3
21 ()
2
x = ± 4 + 12
2
2
x = ± 4
2
2
x = + 4 6
= =
2 2 3
1
2
x = − 4
= − 2
2
=−1
2 2
2. 33 ( x− 2) = ( x+ 4)( 4−
x)
2
9x− 6= − x + 16
2
x + 9x− 22=
0
2
( ) ( )( )
9 9 4 1 22
x = − ± − −
21 ()
9 169
x = ±
2
9 13 4
x
2 2 2
1
= − + = =
9 13 22
x2
= − − = − =−11
2 2
2
3.
9x+ 1= 3 x −5 − x− 3 x+
2
3. ( ) ( )( )
4.
2 2
9x+ 1= 3x −15− x + x+
6
2
9x+ 1= 2x + x−9
2
0= 2x
−8x−10
2
( ) ( )( )
8 8 4 2 10
x = ± − − −
22 ( )
8 64 80
x = ± +
4
8 12
x = ±
4
8 12 20
x1
= + = = 5
4 4
8 12 4
x2
= − = − =−1
4 4
4. ( x ) ( x )
2 −3 − + 5 = −23
2 2
4x − 12x+ 9 − x −10x− 25+ 23=
0
2
22 ± ( 22) −4( 3)( 7)
x =
23 ( )
22 ± 400
x =
6
22 ± 20
x =
6
22 + 20 42
x1
= = = 7
6 6
22 − 20 2 1
x2
= = =
6 6 3
2 2
5.
2
3x
− 22x+ 7=
0
25 + 2 = −7 −81
5. ( x ) ( x )
2 2
25x + 100x+ 100 = x − 14x+ 49 −81
2
24x
+ 114x+ 132 = 0
2
4x
+ 19x+ 22=
0
2 2
2
19 ( 19) 4( 4)( 22)
x = − ± −
24 ( )
19 361 352
x = − ± −
8
19 3
x = − ±
8
19 3 16
x1
= − + = − =−2
8 8
19 3 22
x2
= − − = − =−2
8 8
3
4
6.
3x x−2 − x− 6 = 23 x−3
6. ( ) ( ) ( )
2
3x −6x− x+ 6= 23x−69
2
3x
− 30x+ 75=
0
2
x − 10x+ 25=
0
2
( ) ()( )
10 ± −10 −4 1 25
x =
21 ()
10 ± 100−100
x =
2
10
x1= x2
= = 5
2

2 2
7.
7 x−3 −5 x − 1 = x − 5x x+
2
7. ( ) ( ) ( )
2 2 2
7x−21− 5x + 5= x −5x −10x
2 2
7x−16− 5x = −4x −10x
2
− x + 17x− 16=
0
2
( ) ( )( )
2( − 1)
17 17 4 1 16
x = − ± − − −
17 225
x = − ± − 2
17 15
x = − ±
− 2
17 15 2
x
2 2 1
1
= − + = − − − =
17 15 32
x2
= − − = − = 16
− 2 − 2
x−5 − x− 6 = 2x−3 −118
8.
2 2 2
x − 10x+ 25− x + 12x− 36= 4x − 12x+ 9 −118
8.
( ) ( ) ( )
9.
2
( ) ( )( )
7
x = ± − 7 − 4 2 − 49
22 ( )
2
2x− 11= 4x −12x−109
2
4x
−14x− 98=
0
7
x = ± 441
4
7
x = + 21 28
1
= = 7
4 4
7
x = − 21
= − 14
2
=−3
4 4
2 2 2
2
2x
−7x− 49=
0
1
2
2 2
2
5x−2 − 3x+ 1 − x − 60=
0
9. ( ) ( )
2 2 2
25x − 20x+ 4 −9x −6x−1− x − 60=
0
2
( ) ( )( )
26 ± −26 −4 15 −57
x =
215 ( )
26 ± 676 + 3.
420
x =
30
26 ± 64
x =
30
26 + 64 90
x
30 30 3
1
= = =
26 − 64 38
x2
= = − =−1
30 30
2
15x
−26x− 57 = 0
4
15
3 3
10.
x+ 4 − x− 3 = 343
3 2 3 2
x + 12x + 48x+ 64 − x + 9x − 27x+ 27 − 343=
0
2
21x
+ 21x− 252 = 0
2
− x − x+ 12 = 0
( ) ( )( )
x = ± − 2
1 1 − 4 − 1 12
2( − 1)
1
x = ± 49
− 2
1
x = ± 7
− 2
1
x = + 7 8
1
= =−4
− 2 − 2
1
x = − 7
= − 6
− 2 − 2 = 3 2
10. ( ) ( )
3 3
11. ( ) ( ) ( )
11.
x+ 2 − x− 1 = x 3x+ 4 + 8
3 2 3 2 2
x + 6x + 12x+ 8− x + 3x − 3x+ 1= 3x + 4x+
8
12.
2
6x
+ 5x+ 1=
0
() ()()
x = − ± 2
5 5 − 4 6 1
26 ( )
x = − 5 ± 25 − 24
12
x = − 5 + 1
= − 4 1
1
=−
12 12 3
x = − 5 − 1
= − 6 1
2
=−
12 12 2
2
12. ( x ) ( x )( x ) x( x )
5 −4 − 3 + 5 2 − 1 = 20 − 2 + 27
2 2 2
25x − 40x+ 16−6x − 7x+ 5= 20x − 40x+
27
2 2
19x − 47x+ 21= 20x − 40x+
27
2
− x −7x− 6=
0
2
( ) ( )( )
2( − 1)
7 7 4 1 6
x = ± − − − −
7 49 24
x = ± −
− 2
7 25
x = ± − 2
7 5 12
x1
= + = =−6
− 2 − 2
7 5 2
x2
= − = =−1
− 2 − 2

EJERCICIO 267
1.
x
2
− 3x+ 2=
0
( 3) ( − 3)
x =− − ±
2
4
3 9
x = ± −
2 4 2
3 1
x = ±
2 4
3 1 4
x1
= + = =
2 2 2 2
3 1 2
x2
= − = =
2 2 2 1
2.
x
−2x− 15=
0
( 2) ( − 2)
x =− − ±
2
x = 1± 1+
15
x = 1±
4
x = 1+ 4=
5
x
2
1
2
3.
x
4.
2
= 1− 4= −3
x
− 19x+ 88=
0
4
( 19) ( − 19)
x =− − ±
2
2
2
− 2
( 15)
− −
= 19x−88
19 361
x = ± −88
2 4
19 9
x = ±
2 4
19 3 22
x1
= + = = 11
2 2 2
19 3 16
x2
= − = = 8
2 2 2
x
x
2
4
+ 4x=
285
+ 4x− 285=
0
2
4 ( 4)
x =− ± − −285
2 4
x =− 2 ± 4 + 285
x =− 2±
289
x =− 2+ 17=
15
x
2
1
2
2
=−2− 17=−19
2
( )
− 88
7.
5.
5 −1 −2 2 − 7 = −8
2
5. x( x ) ( x x)
2 2
5x −5x− 4x + 14x+ 8=
0
2
x + 9x+ 8=
0
2
9 ( 9)
x =− ± −8
2 4
9 81
x =− ± −8
2 4
9 49
x =− ±
2 4
9 7 2
x1
=− + = − =−1
2 2 2
9 7 16
x2
=− − = − =−8
2 2 2
6.
6.
2
( )
x − 7x+ 6 = x+
59
2
x −7x−6− x− 59 = 0
x
−8x− 65=
0
( 8) ( − 8)
x =− − ±
2
x = 4± 16+
65
x = 4±
9
x = 4+ 9=
13
x
1
2
2
= 4− 9= −5
4
2
( 65)
− −
2
2
7. ( x− 1) + 11x+ 199= 3x −( x−2)
2 2 2
x − 2x+ 1+ 11x+ 199 = 3x − x + 4x−4
2 2
x + 9x+ 200= 2x + 4x−4
2
x −5x− 204=
0
( 5) () 5
x =− − ± − −
2 4
( 204)
5 25
x = ± + 204
2 4
5 841
x = ±
2 4
5 29 34
x1
= + = = 17
2 2 2
5 29
x = − = − 24
2
=−12
2 2 2
2
2
8. ( x )( x ) ( x )
8.
− 2 + 2 −7 − 1 = 21
x
2
−4− 7x+ 7− 21=
0
x
( 7) ( − 7)
x =− − ±
2
−7x− 18=
0
4
7 49
x = ± + 18
2 4
7 121
x = ±
2 4
7 11 18
x1
= + = = 9
2 2 2
7 11
x = − = − 4
2
=−2
2 2 2
2
2
( 18)
− −
2
9.
2x − x− 2 x+ 5 = 7 x+
3
9. ( )( ) ( )
2 2
2x − x − 3x+ 10= 7x+
21
2
x −10x− 11=
0
( 10) ( − 10)
x =− − ±
2
x = 5± 25+
11
x = 5±
36
x = 5+ 6=
11
1
x = 5− 6= −1
2
10. ( )( ) ( )( )
2
5 () 5
x =− ± − −24
2 4
( )
4
2
( 11)
− −
10.
x− 1 x+ 2 − 2x− 3 x+ 4 − x+ 14=
0
2 2
x + x−2−2x − 5x+ 12− x+ 14=
0
2
− x − 5x+ 24=
0
5 25
x =− ± + 24
2 4
5 121
x =− ±
2 4
5 11 6
x =− + = =
2 2 2 3
1
5 11
x =− − = − 16
2
=−8
2 2 2
x
2
+ 5x− 24=
0

EJERCICIO 268
2
x x 3
1.
− = mcm=
10
5 2 10
2
2x
− 5x=
3
2
2x
−5x− 3=
0
2
( ) ( )( )
5 5 4 2 3
x = ± − − −
22 ( )
5 25 24
x = ± +
4
5 7
x = ±
4
5 7 12
x1
= + = = 3
4 4
5 7 2 1
x2
= − = − =−
4 4 2
13 3
2.
4x
− = mcm=
2x
x 2
2
8x
− 26=
3x
2
8x
−3x− 26=
0
2
( ) ( )( )
3 3 4 8 26
x = ± − − −
28 ( )
3 9 832
x = ± +
16
3 29
x = ±
16
3 29 32
x
16 16 2
1
= + = =
3 29 26
x2
= − = − =−1
16 16
5
8
2
x x
3.
− =
6 2 3 − 5 = 6
3. ( x ) mcm
2
x − 3x= 18( x−5)
x
2
2
x − 3x= 18x−90
− 21x+ 90 = 0
( 21) ( − 21)
x =− − ±
2
4
21 81
x = ±
2 4
21 9 30
x1
= + = = 15
2 2 2
21 9 12
x2
= − = = 6
2 2 2
2
− 90
1 2 1
2
4.
x− 4 + x− 5 = x −53
4 5 5
mcm = 20
4. ( ) ( ) ( )
2
( x− ) + ( x− ) = ( x − )
5 4 8 5 4 53
2
5x− 20 + 8x−40 − 4x
+ 212 = 0
2
− 4x
+ 13x+ 152 = 0
2
13 ( 13) 4( 4)( 152)
x = − ± − −
2 − 4
( )
13 169 2 432
x = − ± + .
− 8
13 51
x = − ±
8
13 51 38
x1
= − + = =−4
− 8 − 8
13 51 64
x2
= − − = − = 8
− 8 − 8
3
4
5 1
5.
− =
x x 2 1 mcm = x + 2
+
⎛
51 2 ⎞
⎜ + ⎟− 1= x+ 2 mcm=
x
⎝ x⎠
2
5x+ 10− x= x + 2x
2
x −2x− 10=
0
( 2) ( − 2)
x =− − ±
2
x = 1± 1+
10
x = 1±
11
x = 1+
11
1
x = 1−
11
2
4
2
( 10)
− −
15 11x
+ 5
6.
− 2 =− 1 mcm = x
x x
( )
15x− 11x+ 5 =− x
2
4 ( 4)
x =− ± − −5
2 4
x =− 2± 4+
5
x =− 2±
3
x =− 2+ 3=
1
1
2
2
x + 4x− 5=
0
x =−2− 3=−5
2
( )
2
8x
5x
1
7.
3 5 1 3 mcm
x
3 x
x
5 x
+ + −
= = + +
+
1
7. ( )( )
( + ) + ( − )( + ) = ( + )( + )
8x x 1 5x 1 3x 5 3 3x 5 x 1
2 2 2
8x + 8x+ 15x + 22x− 5= 9x + 24x+
15
2 2
23x + 30x− 5= 9x + 24x+
15
2
14x
+ 6x− 20=
0
2
( ) ( )( )
x = − 6 ± 6 − 4 14 − 20
214 ( )
x = − 6 ± 1156 .
= − 6 ± 34
28 28
x = − 6 + 34 28
= =
28 28 1
1
x = − 6 − 34
= − 40
3
2
=−1
7
28 28
1 1 1
8.
x− 2
− x− 1
= 6
= 6( −2)( −1)
( x− ) − ( x− ) = ( x− )( x−
)
mcm x x
6 1 6 2 2 1
2
6x−6− 6x+ 12= x − 3x+
2
2
6= x − 3x+
2
2
0= x −3x−4
( 3) ( − 3)
x =− − ±
2
4
3 9
x = ± +
2 4 4
3 25 3 5
x = ± = ±
2 4 2 2
3 5 8
x
2 2 2 4
1
= + = =
3 5 2
x2
= − = − =−1
2 2 2
9.
1 2 x − 3
x + 5
x − 2
10
2
( 4)
− −
9. − = mcm = 10( x + 5)
( x+ ) − ( x− ) = ( x+ )( x−
)
10 5 10 2 3 5 2
2
10x+ 50− 20x+ 30 = x + 3x−10
2
− 10x+ 80= x + 3x−10
2
0= x + 13x−90
2
13 ( 13)
x =− ± −( −90)
2 4
Continúa

9. Continuación
13 169
x =− ± + 90
2 4
13 529
x =− ±
2 4
x = − 13 23
±
2 2
x = − 13 23 10
1
+ = = 5
2 2 2
x
2
10.
= − 13 23
− = − 36
=−18
2 2 2
10. x − 13 10( 5x
+ 3
5
)
x
2
( − 13) = 5 − 10( 5 + 3)
( ) ( )( )
x = − ± 2
37 37 − 4 − 4 30
2 − 4
x
( )
mcm=
x
x x x x
2 2
x − 13x= 5x −50x−30
2
− 4x
+ 37x+ 30=
0
x = − 37 ± 1.
369 + 480
− 8
37 ± 1.
849
x =
− 8
x = − 37 ± 43
− 8
x
= −
x = − 37 + 43 6 3
1
= =−
− 8 − 8 4
2
= − 37 − 43
= − 80
= 10
− 8 − 8
x x
11.
mcm x x
x − − − 2 5
= = 2 −2
2 x 2
11. ( )
( ) − ( − )( − ) = ( − )
2 2 2
2x −2( x − 4x+ 4)
= 5x −10x
2x x 2 x 2 x 2 5x x 2
2 2 2
2x − 2x + 8x− 8= 5x −10x
2
2
( 18) ( 18) 4()()
5 8
x = − − ± − −
25 ()
18± 324 −160
x =
10
18±
164
x =
10
2
0= 5x
− 18x+
8
2
18± 2 ⋅41
18±
2 41 9
x =
=
= ± 41
10 10 5
9
x = + 41 9
x = − 41
1
;
2
5
5
2
2
4x
1 3x
20x
12.
x − 1
− − = = −
4 3
12. mcm 12( x 1)
2
( x ) − ( x− )( − x) = ( x−
)( x)
12 4 3 1 1 3 4 1 20
2 2 2
48x + 9x − 12x+ 3= 80x −80x
2
− 23x
+ 68x+ 3=
0
2
68 ( 68) 4( 23)( 3)
x = − ± − −
2 − 23
( )
68 4 624 276 68 4 900 68 70
x = − ± . + = − ± .
= − ±
− 46
− 46 − 46
68 70 2 1 68 70 138
x1= − + = =− ; x2
= − − = − = 3
− 46 − 46 23 − 46 − 46
3x
− 1 2x
7
13.
−
x 2 1 6 0 mcm
x
6 x 2 x
− − = = −1
13. ( )
( x )( x ) x( x) x( x )
2 2 2
( x x ) x x x
62 −1 3 −1−6 2 −7 2 − 1=
0
6 6 − 5 + 1 −12 − 14 + 7 = 0
2 2 2
36x − 30x+ 6 −12x − 14x + 7x=
0
2
23 ± ( 23) −4( 10)( 6)
x =
210 ( )
2
10x
− 23x+ 6 = 0
23± 529 −240
23±
289 23±
17
x =
=
=
20
20 20
23+
17 40
20 20 2 23−
17 6 3
x1=
= = ; x2
= = =
20 20 10
5x
− 8 7x
− 4
14.
=
x − 1 x + 2
( x+ 2)( 5x− 8) = ( 7x−4)( x−1)
2 2
5x + 2x− 16= 7x − 11x+
4
2
0 = 2x
− 13x+
20
2
13± ( 13) −4( 2)( 20)
x =
22 ( )
13± 169 −160
13±
9 13±
3
x =
= =
4 4 4
13+ 3 16 13− 3 10 5
x
4
4 4
4 4 2 2
1=
= = ; x2
= = = =
1
2

x 3 x
15.
x
+− − 5 − 1
2 1 4x
+ 7 = 0
mcm= ( 2x − 1)( 4x
+ 7)
( x )( x ) ( x )( x )
+ 3 4 + 7 − 5 −1 2 − 1 = 0
2 2
4x + 19x+ 21− 10x + 7x− 1=
0
2
− 6x
+ 26x+ 20=
0
2
3x
−13x− 10=
0
2
( ) ( )( )
13± −13 −4 3 −10
x =
23 ( )
13± 169 + 120 13±
289 13±
17
x =
=
=
6
6 6
13+
17 30 13−
17
x = = = x = = − 4 2
1
5 ;
2
=−
6 6
6 6 3
5
2
18. 2
mcm ( x )
8
18.
5 6
x − 1
− x+ 1 = 3 = 8 −1
2
( x ) ( x )
40 −48 − 1 = 29 −1
2
40 − 48x+ 48 = 29x
−29
2
−29x
− 48x+ 117 = 0
2
( 48) ( 48 ) 4( 29)( 117)
2( − 29)
x = − − ± − −
48 ± 2. 304 + 13.
572 48 ± 126
x =
=
− 58
− 58
48 + 126 174 48 − 126 78
x
3
58 58
58 58 1
1=
= =− ; x2
= = − =
− − − −
10
29
1 1 1
16.
4 − x
− 6
= x+
1
= 64 ( − )( + 1)
( x+ ) −( − x)( x+ ) = ( − x)
mcm x x
6 1 4 1 6 4
2
6x+ 6 + x −3x− 4 = 24 −6x
2
x + 3x+ 2 = 24 −6x
2
x + 9x− 22=
0
2
9 ( 9)
x =− ± − −22
2 4
( )
x − 1 x x
19.
x + + + 1
x − = 2 + 9
1 1 x + 3
9 81 9 169 9 13
x =− ± + 22 =− ± = − ±
2 4 2 4 2 2
9 13 4
2 2 2 2 9 13 22
x1= − + = = ; x2
= − − = − =−11
2 2 2
19. mcm = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)
( x−1)( x− 1)( x+ 3) + ( x+ 1)( x+ 1)( x+ 3) = ( 2x+ 9)( x+ 1)( x−1)
2 2 2
( x − 2x+ 1)( x+ 3) + ( x + 2x+ 1)( x+ 3) = ( 2x+ 9)( x −1)
3 2 2 3 2 2 3 2
x + 3x −2x − 6x+ x+ 3+ x + 3x + 2x + 6x+ x+ 3= 2x − 2x+ 9x
−9
3 2
3 2
2x + 6x + 2x+ 6=
2x + 9x −2x−9
2
0= 3x
−4x−15
2
( ) ( )( )
4
x = ± 4 − 4 3 − 15
23 ( )
4
x = ± 16 + 180 4
= ± 196 4
= ± 14
6 6 6
4
x = + 14 18 4
= = x = − 14
= − 10
1
3
2
=−1
6 6 6 6
2
3
x + 4 x
17.
x + − + 2
x + = 1
5 3 24
= + +
17. mcm 24( x 5)( x 3)
( x+ )( x+ ) − ( x+ )( x+ ) = ( x+ )( x+
)
2
8 ( 8)
x =− ± − −33
2 4
( )
x =− 4± 16+ 33=− 4± 49 =− 4±
7
x =− 4+ 7= 3 ; x =−4− 7=−11
1 2
20. mcm = ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
20.
3 1 1
x+ 2
− x− 2
= x+
1
( x− )( x+ ) − ( x+ )( x+ ) = ( x+ )( x−
)
24 3 4 24 2 5 5 3 3 2 1 2 1 2 2
2 2 2
24x + 168x+ 288 −24x −168x− 240 = x + 8x+
15
2
48 = x + 8x+
15
2
0= x + 8x−33
2 2 2
3x −3x−6− x −3x− 2= x −4
2 2
2x −6x− 8= x −4
2
x −6x− 4=
0
( 6) ( − 6)
x =− − ±
2
4
( )
x = 3+ 13 ; x = 3−
13
1 2
2
− − 4 = 3± 9+ 4 = 3±
13

EJERCICIO 269
1.
x
− x− 6=
0
1.
( x )( x )
2.
3.
4.
5.
6.
2
− 3 + 2 = 0
x = 3 x = −2
1 2
x
2
x
2
+ 7x=
18
+ 7x− 18=
0
( x )( x )
+ 9 − 2 = 0
x =− 9 x = 2
1 2
8x−
65= − x
2
x + 8x− 65=
0
( x )( x )
+ 13 − 5 = 0
x =− 13 x = 5
x
1 2
2
x
+ 3x− 108 = 0
108 2
54 2 2 ⋅3−3
( x )( x )
x =− 12 x = 9
1 2
2
2 2
2
= 108 −3x
27 3 12 − 9 = 3
9 3
3 3
1
+ 12 − 9 = 0
2
2x
+ 7x− 4=
0
2
( 2x) + 7( 2x)
− 8=
0
( 2x+ 8)( 2x−1)
2
( x )( x )
= 0
+ 4 2 1 = 0
x+ 4= 0 2x− 1=
0
1
x1=− 4 x2
=
2
2
6x
+ 11x− 10=
0
2
( 6x) + 11( 6x)
− 60=
0
( 6x+ 15)( 6x−4)
32 ⋅
( x )( x )
2 + 5 3 − 2 = 0
2
6x
= 10−11x
= 0
2x+ 5= 0 3x− 2=
0
5
1
2
x1
=− =− 2 2 x2
=
2
3
2
7.
20x
− 27x=
14
2
20x
−27x− 14 = 0
2
( 20x) −27( 20x)
− 280 = 0
( 20x− 35)( 20x+
8)
54 ⋅
( x )( x )
= 0
4 − 7 5 + 2 = 0
7
4 1 3
2
x1
= = x =−
4 2 5
2
8.
7x= 15−30x
2
30x
+ 7x− 15=
0
2
( 30x) + 7( 30x)
− 450 = 0
( 30x+ 25)( 30x−18)
56 ⋅
( x )( x )
= 0
6 + 5 5 − 3 = 0
6x+ 5= 0 5x− 3=
0
6x=− 5 5x=
3
5
3
x1= − x2
=
6
5
2
9.
60= 8x
+ 157x
2
8x
+ 157x− 60=
0
10.
2
( 8x) + 157( 8x)
− 480 = 0
( 8x+ 160)( 8x−3)
8
( x )( x )
= 0
+ 20 8 − 3 = 0
x+ 20= 0 8x− 3=
0
x =− 20 8x=
3
1
3
x2
=
8
x x−1 −5 x− 2 = 2
10. ( ) ( )
11.
2
x − x− 5x+ 10− 2=
0
x
2
− 6x+ 8=
0
( x )( x )
−4 − 2 = 0
x− 4= 0 x− 2=
0
x = 4 x = 2
1 2
2 2
−2 − 2 + 3 = −80
11. ( x ) ( x )
2 2
x − 4x+ 4−4x −12x− 9+ 80=
0
2
−3x
− 16x+ 75=
0
2
3x
+ 16x− 75=
0
2
( 3x) + 16( 3x)
− 225=
0
( 3x+ 25)( 3x−9)
3
Continúa
= 0
11. Continuación
( x )( x )
3 + 25 − 3 = 0
3x+ 25= 0 x− 3=
0
3x=− 25 x = 3
25
1
x1
=− =−8
3
3
6 9 4
2
12.
2
− = − mcm = 3x
x x 3
2
18−
27x= −4x
2
4x
− 27x+ 18=
0
2
( 4x) − 27( 4x)
+ 72=
0
( 4x−24)( 4x−3)
4
2
( x )( x )
= 0
−6 4 − 3 = 0
x− 6= 0 4x− 3=
0
x = 6 4x=
3
1
3
x2
=
4
x + 2 74
13.
+ x = mcm = x
x x
2
x+ 2+ x = 74
14.
x
2
+ x− 72 = 0
( x )( x )
+ 9 − 8 = 0
x+ 9= 0 x− 8=
0
x =− 9 x = 8
14. ( x 2)
15.
1 2
2 2x
− 5
+ − = 3 mcm = 3
3
2
( x ) ( x )
3 + 2 − 2 − 5 = 9
2
3x + 12x+ 12− 2x+ 5− 9=
0
2
3x
+ 10x+ 8=
0
2
( 3x) + 10( 3x)
+ 24=
0
( 3x+ 6)( 3x+
4)
( x )( x )
x+ 2= 0 3x+ 4=
0
= 0
+ 2 3 + 4 = 0
x =− 2 3x=−4
1
3
x x
x − + = 3 + 15
2 4
x = − 4
2
=−1
3
15. x mcm= 4( x −2)
( x )( x )
1
3
( ) ( )( )
4x+ 4x x− 2 = 3x+ 15 x−2
2 2
4x+ 4x − 8x= 3x + 9x−30
x
2
− 13x+ 30 = 0
−10 − 3 = 0
x− 10 = 0 x− 3=
0
x = 10 x = 3
1 2

6 4 5
16.
mcm 12x x 4
x− 4
− x
= 12
= −
16. ( )
( ) ( )
72x−48 x− 4 = 5x x−4
2
72x− 48x+ 192 = 5x −20x
2
5x
−44x− 192 = 0
2
( 5x) −44( 5x)
− 960=
0
( 5x− 60)( 5x+
16)
5
( x )( x )
= 0
− 12 5 + 16 = 0
x− 12 = 0 5x+ 16 = 0
x = 12 5x=−16
1
16
x2
= − =−3
5
17.
x−2 − x− 3 = 37
3 2 3 2
x − 6x + 12x−8− x + 9x − 27x+ 27− 37=
0
17.
( ) ( )
1
5
3x− 18= 0 3x+ 3=
0
3x= 18 3x= −3
x1= 6 x2
= −1
x − 1 x
18. mcm ( x )
x + − = +
= +
1 2 3
3 1
3
( x− ) − ( x+ ) = ( x+ )( x+
)
3 1 6 1 3 1
2
3x−3−6x− 6= x + 4x+
3
x
2
+ 7x+ 12=
0
( x )( x )
+ 4 + 3 = 0
x+ 4= 0 x+ 3=
0
x =− 4 x =−3
1 2
3 3
2
3x
−15x− 18=
0
2
( 3x) −15( 3x)
− 54=
0
( x )( x )
3 − 18 3 + 3 = 0
4x
− 1 2x
1
19.
2x
+ 3
= +
6x
+ 5
( 6x+ 5)( 4x− 1) = ( 2x+ 1)( 2x+
3)
2 2
24x + 14x− 5= 4x + 8x+
3
2
20x
+ 6x− 8 = 0
2
10x
+ 3x− 4 = 0
2
( 10x) + 3( 10x)
− 40 = 0
( 10x+ 8)( 10x−5)
25 ⋅
( x )( x )
= 0
5 + 4 2 − 1 = 0
5x+ 4= 0 2x− 1=
0
5x=− 4 2x=
1
4 1
x1= x2
=
5 2
3x+ 2
20.
5 9 x+
14
= −
4 12x
2
( 9x) − 45( 9x)
+ 126=
0
( 9x−42)( 9x−3)
( + ) = − ( + )
( x )( x )
mcm = 12x
3x 3x 2 60x 9x
14
2
9x + 6x= 60x−9x−14
2
9x
− 45x+ 14=
0
33 ⋅
= 0
3 −14 3 − 1 = 0
3x− 14= 0 3x− 1=
0
3x= 14 3x=
1
14
1
x1= x2
=
3
3
2
x = 4
1
3
EJERCICIO 270
2 2
1.
x + 2ax− 35a
= 0
( x a)( x a)
+ 7 − 5 = 0
x+ 7a= 0 x− 5a=
0
x =− 7a x = 5a
1 2
2 2
2.
10x = 36a −37ax
2 2
10x + 37ax− 36a
= 0
2 2
( ) ( )( )
37a 37a 4 10 36a
x = − ± − −
210 ( )
2
37a 2 809a 37a 53a
x = − ± .
= − ±
20
20
37a 53a 16a 4a
x1
= − + = =
20 20 5
37a 53a 90a 9a
x2
= − − = − = −
20 20 2
2 2 2
3.
a x + abx − 2b
= 0
2 2
( ax) 2
abax ( )
2 2
ab
2
( a x
2
ab)( a x ab)
+ − 2 = 0
+ 2 − = 0
2 2
a x + 2ab = 0 a x − ab = 0
2 2
ax=− 2ab ax=
ab
2ab
ab
x1= − 2
x2 =
2
a
a
2b
b
x1=− x2
=
a
a

4.
5.
2 2
42x − 89bx+ 22b
= 0
89bx = 42x + 22b
2
2
( 89b) ( 89b) 4( 42)( 22b
)
x = − − ± − −
242 ( )
2 2
2
89 ± 4.
225b 89b±
65b
x =
=
84 84
89b−
65b 24b 2b
x1
= = =
84 84 7
89b+
65b 154b 11b
x2
= = =
84 84 6
x + ax=
20a
2 2
x + ax− 20a
= 0
( x a)( x a)
2 2
+ 5 − 4 = 0
x+ 5a= 0 x− 4a=
0
x =− 5a x = 4a
1 2
6.
2x = abx + 3a b
7.
8.
2 2 2
2 2 2
2x −abx − 3a b = 0
2 2 2
( 2x) −ab( 2x)
− 6a b = 0
( 2x− 3ab)( 2x+
2ab)
2
( x ab)( x ab)
= 0
2 − 3 + = 0
2x− 3ab= 0 x+ ab=
0
2x= 3ab x= −ab
3ab
x1= x2
= −ab
2
b x + 2abx = 3a
2 2 2
b x + 2abx − 3a
= 0
2 2 2 2 2
( bx) abbx ( ) ab
2 2
( bx+ 3ab)( bx−ab)
bb ⋅
2 2 2
+ 2 − 3 = 0
( bx a)( bx a)
bx + 3a = 0 bx − a = 0
bx =− 3a bx = a
3a
a
x1=− x2
=
b b
( ) ( )
( x b) ( x a)
= 0
+ 3 − = 0
2
x + ax− bx=
ab
2
x + ax−bx− ab=
0
x x+ a − b x+ a = 0
− + = 0
x− b= 0 x+ a=
0
x = b x = −a
1 2
9.
( ) ( )
( x b)( x a)
2
x − 2ax= 6ab−3bx
2
x + 3bx−2ax− 6ab=
0
x x+ 3b − 2a x+ 3b
= 0
+ 3 − 2 = 0
x+ 3b = 0 x− 2a=
0
x =− 3b x = 2a
1 2
2
10.
32x − mx + 4nx− 2mn=
0
10. ( )
x( x m) n( x m)
( x m)( x n)
11.
12.
3 2 − + 2 2 − = 0
2 − 3 + 2 = 0
2x− m= 0 3x+ 2n=
0
2x= m 3x= −2n
m
2n
x1= x2
= −
2
3
2 2
x −a −bx − ab = 0
2
( x
2
a ) b( x a)
( x a)( x a) b( x a)
( x−a− b)( x+ a)
=
− − + = 0
+ − − + = 0
x−a− b= 0 x+ a=
0
x = a+ b x = −a
1 2
2
12. abx x( b a)
2
abx − bx + 2ax
− 2=
0
2
abx + 2ax −bx
− 2=
0
( ) ( bx )
( bx )( ax )
ax bx + 2 − + 2 = 0
bx + 2= 0 ax − 1 = 0
bx =− 2 ax = 1
2 1
x1= − x2
=
b a
0
− − 2 = 2
+ 2 − 1 = 0
2 2 2
13.
x − 2ax+ a − b = 0
2 2 2
( 2a) ( 2a) 4( a b )
x = − − ± − −
2
2 2 2
2a± 4a − 4a + 4b 2a±
2b
x =
=
2
2
x =
x
1
2
( + )
2a+
2b 2 a b
=
2 2
( − )
= a+
b
2a−
2b 2 a b
= = = a−b
2 2

14.
4x x− b + b = 4m
14. ( )
2 2
2 2 2
4x − 4bx+ b − 4m
= 0
2
2 2
( 4b) ( 4b) 4( 4)( b 4m
)
x = − − ± − − −
24 ( )
4b± 16b − 16b + 64m
x =
8
2 2 2
2
4b±
64m 4b±
8m
x =
=
8 8
x =
x
1
2
=
( + )
4b+
8m 4 b 2m b 2m
= = +
8 8 2
( − )
4b−
8m 4 b 2m b 2m
= = −
8 8 2
2 2 2
15.
x − b + 4a − 4ax=
0
16.
2 2 2
x −4ax− b + 4a
= 0
2
2 2
( 4a) ( 4a) 4( b 4a
)
x = − − ± − − − +
2
2 2 2
4a± 16a + 4b −16a 4a±
2b
x =
=
2
2
x =
x
1
2
( + )
4a+
2b 22a b
=
2 2
( − )
4a−
2b 22a b
= =
2 2
x − a+ 2 x= −2a
2
16. ( )
17.
2
x −ax− 2x+ 2a=
0
( ) ( )
( x a)( x )
x x−a −2 x− a = 0
− − 2 = 0
x− a= 0 x− 2=
0
x = a x = 2
1 2
17. 2
( )
18.
x + 2x 4− 3a = 48a
2
x + 8x−6ax− 48a=
0
( ) a( x )
( x )( x a)
x x+ 8 − 6 + 8 = 0
+ 8 − 6 = 0
x+ 8= 0 x− 6a=
0
x =− 8 x = 6a
1 2
( x+ m)( x−m) − ( x+ m)
=
( x m )( x m)
= 2a+
b
= 2a−b
2 2
x − 2x= m + 2m
2 2
x −m −2x− 2m=
0
2 0
− − 2 + = 0
x−m− 2= 0 x+ m=
0
x = m+ 2 x = −m
1 2
19.
x + m x m− 2 = 2m
2 2 5
19. ( )
2 3 2 5
x + xm −2xm − 2m
= 0
(
3) 2( 3)
( x
3
m )( x
2
m )
x x+ m − 2m x+ m = 0
3 2
x+ m = 0 x− 2m
= 0
3
x =− m x = 2m
1
+ − 2 = 0
2
20.
6x − 15ax= 2bx−5ab
2
6x −2bx− 15ax+ 5ab=
0
( − ) − ( − ) =
( x b)( x a)
2x 3x b 5a 3x b 0
3 − 2 − 5 = 0
3x− b= 0 2x− 5a=
0
3x= b 2x=
5a
b
5a
x1= x2
=
3
2
2
21.
3x a x
+ − = 0 mcm = 4a
4 2 2a
2 2
3ax + 2a − 2x
= 0
2 2
2x −3ax− 2a
= 0
2 2
( 2x) −3a( 2x)
− 4a
= 0
( 2x− 4a)( 2x+
a)
2
( x a)( x a)
2
= 0
− 2 2 + = 0
x− 2a= 0 2x+ a=
0
x = 2a 2x= −a
1
2x− b 2bx−
b
22.
=
2 3x
a
x2
=−
2
2
( − ) = ( − )
3x 2x b 2 2bx b
2 2
6x −3bx− 4bx+ 2b
= 0
( ) ( )
( x b)( x b)
3x 2x−b −2b 2x− b = 0
2 − 3 − 2 = 0
2x− b= 0 3x− 2b=
0
2x= b 3x=
2b
b
2b
x1= x2
=
2
3
2
2

a+
x a−
2x
23.
+ =− 4 mcm = a −x
a−
x a+
x
24.
2 2
( a+ x)( a+ x) + ( a−2x)( a− x) = −4( a − x )
a + 2ax+ x + a − 3ax+ 2x = − 4a + 4x
2 2
6a −ax− x = 0
2 2
x + ax− 6a
= 0
( x a)( x a)
2 2
2 2 2 2 2 2
+ 3 − 2 = 0
x+ 3a= 0 x− 2a=
0
x =− 3a x = 2a
1 2
x
x − 1 = 2( a − 2)
2 2
2( a− 2) x = a ( x−1)
2 2 2
x ( 2a− 4)
= a x−a
( 2 −4)
− + = 0
2 2
( a ) ( a ) 2 2
42 ( a 4)( a )
22 ( a − 4)
x a a x a
2 2 2
x = − − ± − − −
a ± a − 8a + 16a
x =
22 4
( a − )
( 8 16)
2 2 2
a ± a a − a+
x =
4a
− 8
2
2 2
( 4)
a ± a −4a
=
4( a − 2) 4( a − 2)
2
+ −4
2a
− 4a
2aa
( − 2)
= =
( a − ) 4( a − 2)
( a − )
−( −4
) 4a
a
= =
4( a − 2) 4( a − 2)
a − 2
2 2
a ± a a−
x =
2 2
a a a
x1
=
4 2
x
2
=
a
2 2
2 4 3 2
2 2
a a a
2 1 25.
x + = + 2 a mcm=
ax
x a
2 2
ax + 2a = x + 2a x
2 2
ax − x + 2a − 2a x = 0
( ) aax ( )
( ax )( x a)
xax−1 −2 − 1 = 0
−1 − 2 = 0
ax − 1= 0 x − 2a
= 0
ax = 1 x = 2a
1
x1= x2
= 2a
a
a
=
4 2 2
2x− b x 2x
26.
− mcm 4b x b
b x+ b
= 4b
= +
26. ( )
( x− b)( x+ b) − bx= x( x+
b)
42 4 2
2 2 2
8x + 4bx−4b − 4bx= 2x + 2bx
2 2
6x −2bx− 4b
= 0
2 2
3x −bx− 2b
= 0
2 2
( 3x) −b( 3x)
− 6b
= 0
( 3x− 3b)( 3x+
2b)
3
( x b)( x b)
= 0
− 3 + 2 = 0
x− b= 0 3x+ 2b=
0
x = b 3x= −2b
1
2b
x2
=−
3
EJERCICIO 271
2
1. 3x
= 48
2
x = 16
x = 16
x =± 4
2
2. 5x
− 9=
46
2
5x
= 55
2
x = 11
x = 11
x =± 11
2
3. 7x
+ 14=
0
2
x + 2=
0
2
x =−2
x =
x =
−2
2 −1
x=±
2 i
4. 2 2
9x
− a = 0
5.
9x
= a
2 2
2
2 a
x =
9
2
a
x =
9
a
x =±
3
+ 5 − 5 = −7
5. ( x )( x )
x
2
− 25=−7
x
2
= 18
x = 18
2
x = 3 ⋅2
x =± 3 2

6.
2 − 3 2 + 3 − 135=
0
6. ( x )( x )
2
4x
−9− 135=
0
2
4x
= 144
2
x = 36
x =
36
x =± 6
7.
3 x+ 2 x− 2 = x− 4 + 8x
7. ( )( ) ( )
2 2
3x − 12= x − 8x+ 16+
8x
2
2x
− 28=
0
2
2x
= 28
2
x = 14
x =±
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
8.
⎜ x+
⎟ ⎜ x−
⎟=
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
3
2
1 1
x − − =
9 3 0 2
4
x =
9
9.
x =±
14
4
9
2
x =±
3
9. ( x )( x ) ( x )( x )
10.
2 − 1 + 2 − + 4 − 1 + 5=
0
2 2
2x + 3x−2− x − 3x+ 4+ 5=
0
5
2x
2
2
x + 7=
0
1 7
− = mcm=
12x
6x
12
2 2
30− 2=
7x
28 = 7x
2
4 = x
4 = x
± 2 = x
2
2
2
x =−7
x = 7 −1
x=±
2
7 i
2x
− 3 x 2
11.
= − x − 3 x − 1
11. mcm = ( x −3)( x −1)
12.
( 2x−3)( x− 1) = ( x−2)( x−3)
2 2
2x − 5x+ 3= x − 5x+
6
2
x − 3=
0
2
x = 3
x =± 3
2 2 2
x − 5 4x −1
14x
− 1
+ − = 0
3 5 15
2 2 2
5x − 25+ 12x −3− 14x
+ 1=
0
2
3x
− 27=
0
2
3x
= 27
x
2
= 9
x = 9
x =± 3
2
x + 1
13.
2x
−3−
=− 7 mcm= x −2
x − 2
14.
2
( − ) − ( − ) − ( + ) = − ( − )
2xx 2 3 x 2 x 1 7 x 2
2 2
2x −4x− 3x+ 6− x − 1= − 7x+
14
2
x + 5=
14
2
x = 9
x = 9
x =± 3
3
3
4 1 2 4 2
−
1
2
− = mcm
x
= x −
2 2
( x − ) − = ( x − )
34 1 3 24 1
2 2
12x
− 6= 8x
−2
2
4x
= 4
2
x = 1
x = 1
x =± 1
EJERCICIO 272
1.
x
2
x
2
( )
= 5x
− 5x=
0
x x− 5 = 0
x = 0 x− 5=
0
1
x
2
= 5
2
2.
4x
=−32x
2
4x
+ 32x=
0
( )
4x x+ 8 = 0
4x= 0 x+ 8=
0
x = 0 x = −8
1 2
2 2
3.
x − 3x= 3x −4x
2
0= 2x
− x
( x )
0= x 2 −1
0= x 0= 2x−1
1
1
1= 2x⇒ = x
2
2

2
4. 5x
+ 4= 2( x+
2)
4.
7.
2
5x
+ 4= 2x+
4
2
5x
− 2x=
0
( x )
x 5 − 2 = 0
x = 0 5x− 2=
0
1
5x
= 2
x
2
=
2
5
7. ( 4x− 1)( 2x+ 3) = ( x+ 3)( x−1)
2 2
8x + 10x− 3= x + 2x−3
2
7x
+ 8x=
0
( x )
x 7 + 8 = 0
x = 0 7x+ 8=
0
1
7x
=−8
8
x2
=−
7
x =−1
2
1
7
5. ( x ) ( x )
5.
2 2
x − 6x+ 9−4x −20x− 25+ 16=
0
x = 0 3x+ 26=
0
1
−3 − 2 + 5 = −16
2
−3x
− 26x=
0
( x )
x 3 + 26 = 0
3x
=−26
x
2
2 2
= − 26
=−8
3
2
3
x + 1 x
8.
mcm x x
x − − + 4
1 x − 2 = 1 = −1 −2
8. ( )( )
2
x x 9 3
6.
− − = mcm = 12
3 6 2
2
4x
− 2x+ 18 = 18
( x )
2x
2 − 1 = 0
2x= 0 2x− 1=
0
x = 0 2x=
1
( x+ 1)( x−2) − ( x+ 4)( x− 1) = ( x−1)( x−2)
2 2 2
x − x−2− x − 3x+ 4= x − 3x+
2
x = 0 x+ 1=
0
1
x =−1
2
1
2
0= x + x
( )
0= x x+
1
x
2
=
1
2
EJERCICIO 273
1.
x+ 4x+ 1=
5
4x+ 1= 5−
x
( 4x+ 1) = ( 5−
x)
x − 12 = 0
4x+ 1= 25− 10x+
x
2
0= x − 14x+
24
( x )( x )
x = 12 → Rechazo sol extraña
x − 2=
0
x
2
1
2 2
0= −12 −2
= 2 → sol que satisface
2.
2x− x− 1= 3x−7
7− x= x−1
( 7− x) = ( x−1)
2
49 − 14x+ x = x−1
2
x − 15x+ 50 = 0
( x )( x )
−10 − 5 = 0
x − 10 = 0
x = 10 → Rechazo sol extraña
1
x − 5=
0
2
2 2
x = 5 → sol que satisface
2
3.
( x )( x )
5x− 1+ x+ 3=
4
( x x )
5 − 1+ + 3 = 16
2
5x− 1+ 2 5x + 14x− 3 + x+ 3=
16
2
0 = 4x
− 56x+
52
2
0= x − 14x+
13
0= −13 −1
x − 13=
0
2
2 5x + 14x− 3= 14−6x
2
( 5x + 14x− 3) = ( 7−3x)
5x + 14x− 3= 49 − 42x+
9x
x = 13 → Rechazo
por sol extraña
1
x − 1=
0
x = 1 → sol que satisface
2
2
2 2
2 2

4.
5.
2 x − x+ 5=
1
( 2 x) = ( 1+ x+
5)
( 3x− 6) = ( 2 x+
5)
2
( 9x) − 40( 9x)
+ 144=
0
( 9x−36)( 9x−4)
x − 4=
0
( x )( x )
4x= 1+ 2 x+ 5+ x+
5
3x− 6= 2 x+
5
2
9x − 36x+ 36= 4x+
20
2
9x
− 40x+ 16=
0
9
= 0
−4 9 − 4 = 0
2 2
2 2
x = 4 → sol que satisface
1
9x
− 4=
0
9x
= 4
4
x2
= → Rechazo por sol extraña
9
2x− 1+ x+ 3=
3
5.
( 2x− 1 ) = ( 3− x+
3 )
6.
2x− 1= 9− 6 x+ 3+ x+
3
x− 13=− 6 x+
3
( 6 x+ 3) = ( 13−
x)
( )
36 x+ 3 = 169 − 26x+
x
36x+ 108 = 169 − 26x+
x
x − 61=
0
x = 61 →
1
x − 1=
0
2
2 2
2 2
2
0= x − 62x+
61
( x )( x )
0= −61 −1
2
2
Rechazo por sol extraña
x = 1 → sol que satisface
x− 3+ 2x+ 1− 2 x = 0
( x− 3+ 2x+ 1) = ( 2 x)
2
x− 3+ 2 2x −5x− 3+ 2x+ 1=
4x
2
( 2 2x −5x− 3) = ( x+
2)
( )
2 2
2 2
2 2
42x −5x− 3 = x + 4x+
4
2 2
8x −20x− 12= x + 4x+
4
Continúa
6. Continuación
2
7x
−24x− 16=
0
2
( 7x) −24( 7x)
− 112 = 0
( 7x− 28)( 7x+
4)
7
( x )( x )
= 0
− 4 7 + 4 = 0
x − 4= 0⇒ x = 4 → sol factible
1
7x
+ 4=
0
4
7x =−4⇒ x2
=− → sol inadmisible
7
7.
5x−1− 3− x = 2x
( 5x−1− 2x) = ( 3−
x)
2
5x−1−2 10x − 2x + 2x= 3−
x
2
−2 10x − 2x = − 8x+
4
2
8x− 4= 2 10x −2x
x − 2=
0
( )
2
2
( 4x− 2) = ( 10x −2x)
2
( 6x) − 14( 6x)
+ 24 = 0
( 6x−12)( 6x−2)
2
4 2x− 1 = 2 10x −2x
2 2
16x − 16x+ 4 = 10x −2x
2
6x
− 14x+ 4=
0
6
( x )( x )
= 0
−2 6 − 2 = 0
x = 2 → sol factible
1
( )
2 2
6x
− 2=
0
6x
= 2
1
x2
= → sol inadmisible
3
8.
3x+ 1+ 5x = 16x+
1
2
3x+ 1+ 2 15x + 5x + 5x= 16x+
1
2
0= x −5x
0= x x−5
2
2 15x + 5x = 8x
2
2
( 15x + 5x) = ( 4x)
15x + 5x=
16x
x = 0 → sol admisible
1
x − 5=
0
x = 5 → sol admisible
2
2
2 2
2

9.
2x+ 4x− 3 = 3
2x+ 4x− 3=
9
( 4x− 3) = ( 9−2x)
x − 7=
0
2 2
4x− 3= 81− 36x+
4x
2
0 = 4x
− 40x+
84
2
0= x − 10x+
21
( x )( x )
0= −7 −3
x = 7 → Rechazo por
1
sol inadmisible
x − 3=
0
x = 3 → sol aceptada
2
6
10.
x + 3 +
x + 3 = 5
11.
2
( x+ 3)
+ 6= 5 x+
3
( x+ 9) = ( 5 x+
3)
x
− 7x+ 6=
0
( x )( x )
x − 1=
0
x = 1 → sol admisible
x − 6=
0
x
1
2
2
−1 − 6 = 0
2 2
= 6 → sol admisible
4
x + = 5
x
(
2
x)
+ 4=
5 x
( x+ 4) = ( 5 x)
2
x + 8x+ 16=
25x
x
2
− 17x+ 16=
0
( x )( x )
−16 − 1 = 0
x − 16=
0
x = 16 → sol admisible
x − 1=
0
x
2
1
2 2
= 1 → sol admisible
2
8
12.
2 x = x+ 7 +
x + 7
( )
2
2 x + 7x = x+ 7 + 8
2
( 2 x + 7x) = ( x+
15)
2 2
4x + 28x= x + 30x+
225
2
3x
−2x− 225=
0
2
( 3x) −2( 3x)
− 675=
0
( 3x− 27)( 3x+
25)
3
( x )( x )
= 0
− 9 3 + 25 = 0
2 2
x − 9= 0 ⇒ x = 9 → sol aceptada
1
3x + 25= 0
25
⇒ x2
= − → sol inadmisible
3
13.
x+ x+ 8 = 2 x
x+ x+ 8=
4x
2
( x+ 8) = ( 3x)
2
( 9x) −1( 9x)
− 72=
0
( 9x− 9)( 9x+
8)
x+ 8=
9x
2
9x
− x− 8=
0
= 0
9
x − 1= 0 ⇒ x = 1 → sol aceptada
1
8
9x + 8= 0 ⇒ x2
= − → sol rechazada
9
14.
6− x + x+ 7 − 12x+ 1=
0
2
2
( 6− x + x+ 7) = ( 12x+
1)
2
6− x+ 2 42− x− x + x+ 7= 12x+
1
2
2 42− x− x = 12x−12
( 42 − x− x ) = ( 6x−6)
2
( 37x) −71( 37x)
− 222 = 0
( 37x− 74)( 37x+
3)
( x )( x )
2
2 2
42 − x− x = 36x − 72x+
36
2
0= 37x
−71x−6
37
= 0
− 2 37 + 3 = 0
2 2
2 2 2
x − 2= 0 ⇒ x = 2 → sol aceptada
1
37x
+ 3=
0
3
37x = −3
⇒ x2
= − → sol inadmisible
37

EJERCICIO 274
2
11. x − 4x+ 3=
0
x y
0 3
1 0
2 −1
3 0
−1 8
2
13. x −2x− 3=
0
x y
0 − 3
1 − 4
2 −3
3 0
−1 0
sol x = 1 x = 3
2
: 1 2
12. x − 6x+ 8=
0
x y
0 8
1 3
2 0
3 −1
4 0
sol x =- 1 x = 3
: 1 2
2
14. x + 4x+ 3=
0
x y
0 3
−1 0
−2 −1
− 3 0
1 8
sol x = 2 x = 4
: 1 2
sol x =− 3 x =−1
: 1 2

2
15. x = 6 −x
x
2
+ x− 6=
0
x y
0 −6
1 − 4
2 0
3 6
−1 −6
− 3 0
2
17. x + 8x+ 16=
0
x y
0 16
− 2 4
− 4 0
− 6 4
sol : x1= x 2= -4
sol x =- 3 x = 2
: 1 2
2
16. x = 2x−1
x
2
− 2x+ 1=
0
x y
0 1
1 0
2 1
3 4
−1 4
2
18. x − 4=
0
x y
1 −3
2 0
3 5
−1 −3
−2 0
−3 5
0 − 4
sol: x1= x2 = 1
sol x =- 2 x = 2
: 1 2

2
19. x = 3x
+ 10
x
2
−3x− 10 = 0
x y
0 −10
3 −10
5 0
−1 −6
− 2 0
2
21. 2x
− 9x+ 10=
0
x y
0 10
1 3
2 0
3 1
4 6
sol x =- 2 x = 5
: 1 2
2
20. x − 4x
=−4
x
2
− 4x+ 4 = 0
x y
0 4
1 1
2 0
3 1
−1 9
1
sol x = 2 x = 2 2
2
: 1 2
22. 2x
−5x− 7=
0
x y
0 −7
1 −10
3 − 4
4 5
−1 0
sol : x1= x 2=
2
1
sol x =- 1 x = 3 2
: 1 2

EJERCICIO 275
1.
x → Nº
mayor
9 − x → Nº
menor
2.
x
( x)
2 2
x + 81− 18x+ x = 53
2
2x
− 18x+ 28=
0
x
+ 9− = 53
− 9x+ 14=
0
( x )( x )
−7 − 2 = 0
x = 7 x = 2
7
2
2
1 2
→ N º mayor
9− 7= 2 → Nº
menor
x → Nº
positivo
3x
→ Otro Número
5
⎛ 3x⎞
x ⎜ ⎟ = 2.
160
⎝ 5 ⎠
2
3x
= 10.
800
x
2
= 3.
600
x =±
x = 60 x = −60
1 2
60 → N º positivo
360 ( )
= 36 → Otro Número
5
2
3.
600
3.
x → Edad de A
x −3
→ Edad de B
x
( x )
2 2
x + x − 6x+ 9 = 317
2
2x
−6x− 308 = 0
x
2
2
+ − 3 = 317
−3x− 154 = 0
( x )( x )
− 14 + 11 = 0
x = 14 x = −11
1 2
14 años → Edad de A
2
14 − 3= 11 años → Edad de B
4.
x → Un Número
3x
→ El otro Número
2 2
( 3x)
− x = 1.
800
2 2
9x
− x = 1.
800
2
8x
= 1.
800
x
2
= 225
x =±
225
x = 15 x = −15
1 2
15 → Un Número
315 ( ) = 45→
El otro Número
5.
x → Nº
buscado
x
2
x
x
2
2
( x )( x )
( x )
− 9= 8 −2
− 9= 8x−16
− 8x+ 7=
0
−7 − 1 = 0
x = 7 x = 1
1 2
7 → Nº
buscado
6.
x+ 1 → Nº
mayor
x → Nº
menor
( x )
+ 1 − 57=
3x
2
x + 2x+ 1− 57=
3x
x
− x− 56=
0
( x )( x )
− 8 + 7 = 0
x = 8 x = −7
8
2
2
1 2
→ Nº
menor
8+ 1= 9 → Nº
mayor
7.
x+ 4 → Largo
x → Ancho
( 4)
Area = x x +
2
= x + 4x
2
Doble del area = 2x + 8x
( )( )
2
x+ 8 x+ 4 = 2x + 8x
2 2
x + 12x+ 32 = 2x + 8x
x
2
−4x− 32=
0
( x )( x )
− 8 + 4 = 0
x = 8 x = −4
1 2
8m+ 4m= 12m → Largo
8m
→
Ancho
8.
x→
Nº sacos comp.
1000 .
bs. → costo cada saco
x
1000 . 1000 .
= − 5
x+
10 x
( x )( x )
( ) ( )
1000 . x= x+ 101000 . − 5x x+
10
3 3 4 2
10 x= 10 x+ 10 −5x −50x
2 4
5x
+ 50x− 10 = 0
x
2
+ 10x− 2.
000=
0
+ 50 − 40 = 0
x =− 50 x = 40
1 2
40 → Nº sacos comp.
1000 .
bs. = 25bs. → costo cada saco
40
9.
4x
→ Costo caballo
x → Costo arreos
2 2
( 4x)
+ x = 860.
625
2 2
16x
+ x = 860.
625
2
17x
= 860.
625
2
x = 50.
625
x =±
50.
625
x1= 225 x2
= −225
4225 ( ) = 900
900 sucres→
Costo caballo
225 sucres → Costo arreos
10.
x −7
→ N º menor
x → Nº
mayor
( x x)( x )
( x )( x )
− 7 + − 7 = 184
2 −7 − 7 = 184
2
2x
− 21x+ 49 = 184
2
2x
−21x− 135=
0
2
( 2x) −21( 2x)
− 270 = 0
( x )( x )
( x )( x )
2 − 30 2 + 9 = 0
− 15 2 + 9 = 0
9
x1= 15 x2
= −
2
15 → Nº
mayor
15− 7 = 8 → Nº
menor
11.
x → Edad de A
23−
x → Edad de B
x
2
( x)
x 23− = 102
2
23x− x = 102
− 23x+ 102 = 0
( x )( x )
−17 − 6 = 0
x = 17 x = 6
1 2
17 años→
Edad de A
6 años → Edad de B

12.
x → Nº
de libros
180
→ Costo c / u
x
180
x− = 180
6 x
+ 1
( ) ( )
180x= 180 x− 6 + x x−6
2
180x= 180x− 1.
080 + x −6x
2
0= x −6x−1.
080
( x )( x )
0= − 36 + 30
x = 36 x = −30
1 2
36 →
Libros
180
= $ 5 → Costo c / u
36
13.
x → Nº
de filas
180
→ N º soldados cada fila
x
180
− 8 = x
x
2
180− 8x=
x
2
0 = x + 8x−180
( x )( x )
0= + 18 −10
x =− 18 x = 10
1 2
10 → Nº
de filas
180
= 18→
Nº
soldados
10
cada fila
14.
x → Costo del reloj
2
x
x%
de x=
100
2
x
+ x = 75
100
2
x + 100x=
7.
500
x
2
+ 100x− 7.
500=
0
( x )( x )
+ 150 − 50 = 0
x =− 150 x = 50
1 2
50 soles → Costo del reloj
15.
x → Pers. comp.
1200 .
− 194 = x
x
1.
200 − 194x=
x
x
2
+ 194x− 1.
200 = 0
( x )( x )
+ 200 − 6 = 0
x =− 200 x = 6
1 2
6 → Pers. comp.
el auto
2
16. x → Re lojes comp.
192
20.
x → Tiempo de recorrido
→ Costo cada reloj
x
240 240
+ 20 =
192 3x
x x − 2
=
x 4
240( x− 2) + 20x( x− 2)
= 240x
2
768 = 3x
2
256 = x
2
240x− 480+ 20x − 40x=
240x
2
20x
−40x− 480=
0
± 256 = x
2
x −2x− 24=
0
x1= 16 x2=−16
( x− 6)( x+ 4)
= 0
16 → Re lojes comp.
x1= 6 x2
=−4
192
= $12→
Costo cada reloj 6 horas → Tiempo de recorrido
16
17.
x → Libros comp.
21.
x → Caballos comp.
150
→ Costo cada lib.
2000 .
x
→ Pr ecio cada caballo
x
150 150
2000 . 2000 . + 80
+ 1 = + 60 =
x x − 5
x x−
2
( ) ( )
150 x− 5 + x x− 5 = 150x
2
150x− 750 + x − 5x=
150x
x
2
−5x− 750 = 0
( x )( x )
− 30 + 25 = 0
x = 30 x =−25
1 2
30 → Libros comp.
150
= $ 5 → Costo cada lib.
30
18.
x → Libros comp.
200
− 10 = x
x
2
200 − 10x=
x
x
2
+ 10x− 200 = 0
( x )( x )
+ 20 − 10 = 0
x =− 20 x = 10
1 2
10 → Libros comp.
19.
x → Plumas comp.
24
→ Pr ecio c / u
x
24 24
− 1 =
x x+
4
( ) ( )
24 x+ 4 − x x+ 4 = 24x
2
24x+ 96 − x − 4x=
24x
x
+ 4x− 96=
0
( x )( x )
+ 12 − 8 = 0
x =− 12 x = 8
2
1 2
8 → Plumas comp.
24
= $ 3 → Pr ecio c / u
8
22.
( ) ( )
2000 . x− 2+ 60x x− 2=
2080 . x
2
2. 000x− 4. 000 + 60x − 120x=
2.
080x
2
60x
−200x− 4.
000 = 0
2
3x
−10x− 200=
0
2
( 3x) −10( 3x)
− 600=
0
( x )( x )
( x )( x )
3 − 30 3 + 20 = 0
20
x1= 10 x2
= −
3
10 → Caballos comp.
− 10 3 + 20 = 0
2000 .
= $ 200→
Pr ecio c / caballo
10
x → Nº
menor
x+ 1 → Nºintermedio
x+ 2 → Nº
mayor
x + 2 x
x + 1
= 3
10
( x+ ) = x( x+
)
10 2 3 1
2
10x+ 20 = 3x + 3x
2
0= 3x
−7x−20
2
0= ( 3x) −7( 3x)
−60
x = x = − 5
1
4
2
3
4 → Nº
menor
( x )( x )
( x )( x )
0= 3 − 12 3 + 5
0= − 4 3 + 5
4+ 1= 5 → Nºintermedio
4+ 2= 6 → Nº
mayor

23. x → UnNº.
180
→ El otro Nº.
x
180
x 1
= 1
4
x
180 5
=
2
x 4
720 = 5x
144 = x
± 144 = x
x = 12 x =−12
1 2
2
2
12 → Un Nº.
180
= 15 → El otro Nº.
12
24.
x → Nº naranjas comp.
150
→ Costo c / naranja
x
⎛ 150 ⎞
⎜ + 1 ⎟( x − 5 ) = 150
⎝ x ⎠
( )( )
150+ x x− 5 = 150x
2
150x− 750+ x − 5x=
150x
x
2
−5x− 750=
0
( x )( x )
− 30 + 25 = 0
26. Continuación
2
x −10x− 704 = 0
( x )( x )
− 32 + 22 = 0
x = 32 x = −22
1 2
32 → Nº
mayor
352
= 11 →
32
Nº
menor
27.
x → Long.
pieza mayor
20−
x → Long.
pieza menor
( )( )
( )
x⋅ x= 920− x 20−
x
x1= 18 x2
= −15
2 2
x = 9 400− 40x+
x
18 → Personas que van
2 2
90
x = 3.
600− 360x+
9x
= $ 5 → Valor c / u
18
2
0= 8x
− 360x+
3.
600
31.
x → Nº
buscado
2
0= x − 45x+
450
84
−
0= ( x−30)( x−15)
5 = x
x
2
x1= 30 x2
= 15
84 − 5x=
x
2
15m
→ Long.
pieza mayor
x + 5x− 84=
0
20− 15= 5m
→ Long.
pieza menor ( x+ 12)( x− 7)
= 0
28.
x → Tiempo en horas
x1=− 12 x2
= 7
200
→ Veloc.
del tren
7 → Nº
buscado
x
32.
x → Edad actual A
200 200
= +
x x − 1 10
x− 6= x+
6
( x− ) = x+ x( x−
)
30.
x → Personas que van
90
→ Valor c / u
x
x
903 − − 1=
90
x
( x )( x )
( ) ( )
90x− x x− 3 = 90 x−3
2
90x− x + 3x= 90x−270
x
2
−3x− 270=
0
− 18 + 15 = 0
( x− 6) = ( x+
6)
2 2
x1= 30 x2
=−25
200 1 200 10 1
30→
Nº naranjas comp.
2
200x− 200= 200x+ 10x −10x
2
x − 12x+ 36 = x+
6
150
2
= 5ctvs. → Costo c / naranja
0= 10x
− 10x+
200
2
30
x − 13x+ 30 = 0
2
25.
x → Costo del caballo
0= x − x+
20
( x−10)( x− 3)
= 0
2
x
0= ( x− 5)( x+
4)
x1= 10 x2
= 3
+ x = 171
100
x1= 5 x2
=−4
10 años → Edad actual A
2
x + 100x=
17.
100 200
= 40 Km
2
h
→ Veloc.
del tren
33.
x → Libros comp.
x + 100x− 17.
100=
0
5
40
29. x → Dias trabj.
→ Pr ecio de c / libro
( x+ 190)( x− 90)
= 0
x
84
x1=− 190 x2
= 90
→ Valor del jornal
x −2
→ Nº
de plumas
x
90 Q.
→ Costo del caballo
40 40
84 84
= −
− 1 =
x x − 2 1
26. x → Nº
mayor
x x+
2
40 x− 2 = 40x− x x−2
352
84( x+ 2) − x( x+ 2)
= 84x
→ Nº
menor
2
x
2
40x− 80 = 40x− x + 2x
84x+ 168− x − 2x=
84x
2
x
= +
352 2 10
2
x −2x− 80=
0
x + 2x− 168=
0
352
x x
( x+ 14)( x− 12)
= 0
( x− 10)( x+ 8)
= 0
2
x x
= +
352 2 10
x1=− 14 x2
=
x x
12
1= 10
2
= −8
352 12 → Dias trabj.
10 → Libros comp.
2
x = 704 + 10x
84
40
= col → Valor del jornal
Continùa
12 7 = $ 4→
Pr ecio c / libro
10
( ) ( )

EJERCICIO 276
2
1.
3x
+ 5x− 2=
0
( )( )
2 2
b − 4ac= 5 −4 3 − 2 = 25+ 24=
49
Re ales y desiguales,
racionales
2
2.
2x
− 4x+ 1=
0
2
( ) ( )( )
2
b − 4ac= −4 − 4 2 1 = 16− 8=
8
Re ales y desiguales,
irracionales
2
3.
4x
− 4x+ 1=
0
2
( ) ( )( )
2
b − 4ac= −4 − 4 4 1 = 16− 16=
0
Reales e iguales
2
4.
3x
− 2x+ 5=
0
5.
x
2
( ) ( )( )
2
b − 4ac= −2 − 4 3 5 = 4 − 60=−56
Imaginarias
b
2
2
6.
x
− 10x+ 25=
0
2
( ) ()( )
− 4ac= −10 − 4 1 25 = 100 − 100=
0
Reales e iguales
b
2
2
−5x− 5=
0
2
( ) ()( )
− 4ac= −5 −4 1 − 5 = 25+ 20=
45
Re ales y desiguales,
irracionales
2
7.
2x
− 9x+ 7=
0
2
( ) ( )( )
2
b − 4ac= −9 − 4 2 7 = 81− 56=
25
Re ales y desiguales,
racionales
2
8.
36x
+ 12x+ 1=
0
2 2
b − 4ac= ( 12) − 4( 36)( 1)
= 144 − 144 = 0
Reales e iguales
2
9.
4x
− 5x+ 3=
0
2
( ) ( )( )
2
b − 4ac= −5 − 4 4 3 = 25− 48=−23
Imaginarias
2
10.
x + x− 1=
0
2 2
b − 4ac= () 1 −4()( 1 − 1)
= 1+ 4=
5
Re ales y desiguales , irracionales
2
11.
5x
− 7x+ 8=
0
12.
x
2
( ) ()()
2
b − 4ac= −7 − 4 5 8 = 49 − 160 = −111
Imaginarias
b
2
2
−10x− 11=
0
2
( ) ()( )
− 4ac= −10 −4 1 − 11 = 100 + 44 = 144
Re ales y desiguales , racionales
EJERCICIO 277
1.
x
2
+ x− 6=
0
( )
( − )
Suma 2+ − 3 = −1
Pr oducto 2 3 = −6
Si son raices
2
2. x −4x− 5=
0
Suma1+ 5=
6
No son raices
2
3. 2x
− x− 1=
0
2
x 1
x − − =
2 2 0
1 1 1
Suma − =
2 2
⎛ 1⎞
1
Pr oducto 1⎜
− ⎟=−
⎝ 2⎠
2
Si son raices
2
4. 3x
+ 8x− 3=
0
2 8x
x + − 1=
0
3
3 1 8
Suma − + =−
3 3
Continúa
4. Continuación
Pr oducto
Si son
− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
3 1 3⎠
⎟ =−1
raices
2
5. 5x
− 11x+ 2=
0
2 11x
2
x − + =
5 5 0
2 1 9
Suma − =
5 5
No son raices
2
6. 4x
+ 17x+ 4=
0
2
17x
x + + 1=
0
4
4 1 17
Suma − − = −
4 4
⎛ 1⎞
Pr oducto −4
⎜ − ⎟= 1
⎝ 4⎠
Si son raices
2
7. 5x
+ 24x− 5=
0
2 24
x + x− 1=
0
5
Continúa
7. Continuación
Suma
No son
8.
x
2
−5 − 1 =−
5
raices
+ 3x− 28=
0
Suma
26
5
( − )
Pr oducto 4 7 = −28
Si
4−
7= −3
son raices
2
9. 6x
+ x− 2=
0
2
x 1
x + − =
6 3 0
1 2 1
Suma − =−
2 3 6
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
1
Pr oducto ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟=−
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
3
Si son raices
2
10. 8x
−2x− 3=
0
2 1 3
x − x− =
4 8 0
1 3 1
Suma − =−
2 4 4
No son raices

EJERCICIO 278
1.
Suma 3+ 4=
7
Pr oducto 34 ( ) = 12
Luego x
2
− 7x
+ 12=
0
2.
Suma − 1+ 3=
2
Pr oducto − 13 ( ) = −3
Luego x
2
−2x
− 3=
0
3.
Suma −5− 7= −12
4.
( )
Pr oducto −5 − 7 = 35
Luego x
2
+ 12x
+ 35=
0
Suma − 10 + 11=
1
Pr oducto − 10( 11)
= −110
Luego x
2
− x − 110 = 0
5. Suma 1 1 3
+ =
2 2
⎛
oducto 1 1 ⎞ 1
Pr ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠
2
2
3x
1
Luego x − + =
2 2 0
2
⇒ 2x
− 3x+ 1=
0
6. Suma −2 − 1 11
= −
5 5
⎛ 1⎞
2
Pr oducto −2
⎜ − ⎟ =
⎝ 5⎠
5
2
11x
2
Luego x + + =
5 5 0
2
⇒ 5x
+ 11x+ 2=
0
7. Suma 3 2 7
− =
3 3
⎛ 2⎞
Pr oducto 3⎜
− ⎟ =−2
⎝ 3⎠
2
7x
Luego x − − 2=
0
3
2
⇒ 3x
−7x− 6=
0
8. Suma −2 − 3 7
=−
2 2
⎛ 3⎞
Pr oducto −2
⎜ − ⎟ = 3
⎝ 2⎠
2
7x
Luego x + + 3=
0
2
2
⇒ 2x
+ 7x+ 6=
0
9. Suma
1 3 1
− + =
2 4 4
Pr oducto
⎛ 1⎞
⎜ − ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 3⎞
3
⎟ =−
2 4⎠
8
Luego
⇒
2
x 3
x − − =
4 8 0
2
3
4x
− x− =
2 0
2
⇒ 8x
−2x− 3=
0
10. Suma − 5+ 2 33
= −
7 7
oducto − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
5 2 10
Pr
⎟ =−
7⎠
7
2
33x
10
Luego x + − = 0
7 7
2
⇒ 7x
+ 33x− 10=
0
11. Suma 6 5 13
− =
3 3
⎛ 5⎞
Pr oducto 6⎜
− ⎟ =−10
⎝ 3⎠
2
13
Luego x − x − 10=
0
3
2
⇒ 3x
−13x− 30=
0
12. Suma −2 − 1 17
= −
8 8
⎛ 1⎞
1
Pr oducto −2
⎜ − ⎟ =
⎝ 8⎠
4
2
17 1
Luego x + x + =
8 4 0
2
⇒ 8x
+ 17x+ 2=
0
13.
Suma
( − )
Pr oducto 18 52 = −936
Luego x
14.
Suma
Luego x
18 − 52 =−34
2
+ 34x
− 936 = 0
−15− 11=−26
( )
Pr oducto −15 − 11 = 165
2
+ 26x
+ 165=
0
15.
Suma 0+ 2=
2
Pr oducto 02 ( ) = 0
Luego x
2
− 2x
= 0
16. Suma 0 1 1
− = −
3 3
⎛ 1⎞
Pr oducto 0⎜
− ⎟ = 0
⎝ 3⎠
2
x
Luego x + =
3 0
2
⇒ 3x
+ x=
0
17.
Suma
( − )
Pr oducto 5 5 = −25
Luego x
5− 5=
0
2
− 25=
0
1 1
18. Suma − =
2 2 0
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
1
Pr oducto ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ =−
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
4
2
1
Luego x − =
4 0
2
⇒ 4x
− 1=
0
19.
Suma 7+ 7=
14
Pr oducto 77 ( ) = 49
Luego x
2
− 14x
+ 49 = 0
20. Suma 8 11 13
− =
3 3
⎛ 11⎞
88
Pr oducto 8⎜
− ⎟ =−
⎝ 3 ⎠ 3
2
13 88
Luego x − x − = 0
3 3
2
⇒ 3x
−13x− 88=
0
5 9 16
21. Suma − − =−
6 2 3
⎛ 5⎞
⎛ 9⎞
15
Pr oducto ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ =
⎝ 6⎠
⎝ 2⎠
4
2
16 15
Luego x + x + = 0
3 4
2
⇒ 12x
+ 64x+ 45=
0
11 2 73
22. Suma − + = −
2 7 14
⎛ 11⎞
oducto ⎜ − ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 2⎞
11
Pr
⎟ =−
2 7⎠
7
2
73 11
Luego x + x − = 0
14 7
2
⇒ 14x
+ 73x− 22 = 0
23.
Suma 2a − a = a
( − )
Pr oducto 2a a = −2a
2 2
Luego x −ax − 2a
= 0
2

2b b 5b
24. Suma − + = −
3 4 12
26.
Suma b+ a− b=
a
⎛ b⎞
b b
oducto ⎜ − ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ ⎞
⎟ = − 2
2
2
Pr
Pr oducto b( a − b)
= ab −b
3 4⎠
6
2 2
Luego x − ax + ab − b = 0
2
2
5b b
Luego x + x − = 0
12 6
2 2
⇒ 12x + 5bx− 2b
= 0
27.
Suma a b 3 a − 2
− =
b
2 3 6
25. Suma m − m =
m
⎛
2 2
oducto a ⎞ ⎛ b ⎞
Pr ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟= − ab
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
6
oducto m ⎛ ⎜ −
m ⎞
⎟ =−
m 2
Pr
2
3a−
2b ab
⎝ 2⎠
2 Luego x − x − = 0
6 6
2
2
m m
2
Luego x − x − = 0
⇒ 6x −( 3a−2b)
x− ab=
0
2 2
2 2
⇒ 2x −mx− m = 0
28.
Suma
Luego x
1+ 2 + 1− 2 = 2
( )( )
Pr oducto 1+ 2 1− 2 = −1
2
−2x
− 1=
0
29.
Suma 2+ 5+ 2− 5=
4
Luego x
( )( )
Pr oducto 2+ 5 2− 5 = −1
Pr oducto
2
−4x
− 1=
0
30.
Suma 3+ − 1+ 3− − 1=
6
( )( )
3+ −1 3− − 1 = 10
2
Luego x − 6x
+ 10=
0
EJERCICIO 279
1.
x
2
2.
x
− 11x+ 30=
0
( x )( x )
−6 − 5 = 0
x = 6 x = 5
1 2
2
3.
x
+ 33x+ 260 = 0
2
33 ( 33)
x =− ± −260
2 4
33
x = − ±
2
1089 . − 1040 .
4
33 49
x = − ±
2 4
33 7
x = − ±
2 2
33 7 26
x1
=− + = − =−13
2 2 2
33 7 40
x2
= − − = − =−20
2 2 2
2
4.
x
+ x− 306 = 0
( x )( x )
+ 18 − 17 = 0
x =− 18 x = 17
1 2
2
+ 49x+ 294 = 0
4.
( x )( x )
5.
x
+ 42 + 7 = 0
x =− 42 x =−7
1 2
2
−6x− 247 = 0
( x )( x )
− 19 + 13 = 0
x = 19 x = −13
1 2
6.
7.
8.
2
3
x − x− 1=
0
2
2
2x
−3x− 2=
0
2
( 2x) −3( 2x)
− 4=
0
( x )( x )
( x )( x )
2 − 4 2 + 1 = 0
− 2 2 + 1 = 0
1
x1= 2 x2
=−
2
2
22
x + x+ 8=
0
3
2
3x
+ 22x+ 24=
0
2
( 3x) + 22( 3x)
+ 72=
0
( x )( x )
( x )( x )
3 + 18 3 + 4 = 0
+ 6 3 + 4 = 0
4
x1=− 6 x2
=−
3
2
x 3
x − − =
4 8 0
2
8x
−2x− 3=
0
2
( 8x) −2( 8x)
− 24=
0
( x )( x )
( x )( x )
8 − 6 8 + 4 = 0
4 − 3 2 + 1 = 0
3 1
x1= x2
= −
4 2
9.
10.
11.
2
95
x + x− 6=
0
7
2
7x
+ 95x− 42=
0
2
( 7x) + 95( 7x)
− 294=
0
( x )( x )
( x )( x )
7 + 98 7 − 3 = 0
+ 14 7 − 3 = 0
3
x1=− 14 x2
=
7
2
10
x + x+ 1=
0
3
2
3x
+ 10x+ 3=
0
2
10 ( 10) 4( 3)( 3)
x = − ± −
23 ( )
10 64 10 8
x = − ± = − ±
6 6
10 8 2 1
x1
= − + = − =−
6 6 3
10 8 18
x2
= − − = − =−3
6 6
2
31 3
x − x+ =
40 20 0
2
40x
− 31x+ 6=
0
2
( 40x) − 31( 40x)
+ 240=
0
( x )( x )
( x )( x )
40 −16 40 − 15 = 0
5 −2 8 − 3 = 0
2 3
x1= x2
=
5 8

12.
13.
14.
15.
16.
x
2
x 5
x + − =
6 9 0
2
18x
+ 3x− 10=
0
2
( 18x) + 3( 18x)
− 180=
0
( x )( x )
( x )( x )
18 + 15 18 − 12 = 0
6 + 5 3 − 2 = 0
5 2
x1= − x2
=
6 3
2
7 3
x − x− =
20 10 0
2
20x
−7x− 6 = 0
2
( 20x) −7( 20x)
− 120 = 0
( x )( x )
( x )( x )
20 − 15 20 + 8 = 0
4 − 3 5 + 2 = 0
3 2
x1= x2
= −
4 5
2
21x
x − − 4=
0
5
2
5x
−21x− 20=
0
2
( 5x) −21( 5x)
− 100=
0
( x )( x )
( x )( x )
5 − 25 5 + 4 = 0
− 5 5 + 4 = 0
4
x1= 5 x2
= −
5
2
59 1
x − x+ =
72 6 0
2
72x
− 59x+ 12 = 0
2
( 72x) − 59( 72x)
+ 864 = 0
( x )( x )
( x )( x )
72 −32 72 − 27 = 0
4 3
x1= x2
=
9 8
9 −4 8 − 3 = 0
−2x− 4=
0
2
( 2) ( 2) 4()( 1 4)
x = − − ± − − −
21 ()
2 20 2 2 5
x = ± = ±
2 2
( + )
2 2 5 21 5
x1
= + =
2 2
x
2
2
( − )
2 2 5 21 5
= − =
2 2
= 1+
5
= 1−
5
17.
2
11
x − x− = 0
4
2
4x
−4x− 11=
0
2
( 4) ( 4) 4( 4)( 11)
x = − − ± − − −
24 ( )
4 64 3 4 8 3
x = ± ⋅ = ±
8 8
( + )
4 8 3 41 2 3
x1
= + =
8 8
x
2
( − )
4 8 3 41 2 3
= − =
8 8
18.
2
4 59
x + x− = 0
3 9
2
9x
+ 12x− 59=
0
2
( ) ( )( )
12 12 4 9 59
x = − ± − −
29 ( )
1 2 3 1
= + = +
2 2
1 2 3 1
= − = −
2 2
( − + )
( )
3
3
2 4
12 2 268 12 2 3 7 12 18 7
x = − ± .
= − ± ⋅ ⋅ = − ±
18
18
18
12 18 7 6 2 3 7
x1
= − + =
18 18
x
2
2 3 7 2
= − + =− +
3 3
12 18 7 62 3 7 2 3 7 2
= − − = − + = − − =− −
18 18 3 3
2 2
19.
x −ax− 2a
= 0
( x a)( x a)
− 2 + = 0
x = 2a x = −a
1 2
2 2
20.
x + 7bx+ 10b
= 0
( x b)( x b)
+ 5 + 2 = 0
x =− 5b x =−2b
1 2
2
2
mx m
21.
x − − = 0
2 9
2 2
18x −9mx− 2m
= 0
2 2
( 18x) −9m( 18x)
− 36m
= 0
( x m)( x m)
( x m)( x m)
18 − 12 18 + 3 = 0
6 − 4 6 + = 0
4m
2m
m
x1= = x2
= −
6 3 6
7
7

EJERCICIO 280
1.
x
2
2.
x
3.
x
− 16x+ 63=
0
2
( 16) ( 16) 4( 63)
x = − − ± − −
2
16 ± 4 16±
2
x = =
2 2
16+ 2 18
x1
= = = 9
2 2
16 − 2 14
x2
= = = 7
2 2
( )( )
2
x − 16x+ 63= x−9 x−7
2
+ 24x+ 143=
0
2
24 ( 24) 4( 143)
x = − ± −
2
24 4 24 2
x = − ± = − ±
2 2
24 2 22
x1
= − + = − =−11
2 2
24 2 26
x2
= − − = − =−13
2 2
[ ( )] ( )
= ( x+ 11)( x+
13)
[ ]
2
x + 24x+ 143= x− −11 x− −13
−26x− 155=
0
( 26) ( 26)
x =− − ± − −
2 4
x = 13± 324 = 13±
18
x = 13+ 18=
31
x
2
1
2
= 13− 18=−5
( 155)
( )( )
2
x −26x− 155= x− 31 x+
5
2
4.
2x
+ x− 6=
0
2
() ( )( )
1 1 4 2 6
x = − ± − −
22 ( )
1 49 1 7
x = − ± = − ±
4 4
1 7 6 3
x1
= − + = =
4 4 2
1 7 8
x2
= − − =− =−2
4 4
2 ⎛ 3⎞
2x + x− 6= 2⎜
x−
⎟ x+
⎝ 2⎠
2
( 2)
⎛
2 2 x −
=
3 ⎞
⎜ ⎟ +
⎝ 2 ⎠
( x 2)
( 2x
3)( x 2)
= − +
5.
2
12x
+ 5x− 2 = 0
2
() ( )( )
5 5 4 12 2
x = − ± − −
212 ( )
5 121 5 11
x = − ± = − ±
24 24
5 11 6 1
x1
= − + = =
24 24 4
5 11 16 2
x2
= − − = − =−
24 24 3
2
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
12x + 5x− 2 = 12 ⎜ x−
⎟ ⎜ x+
⎟
⎝ 4⎠
⎝ 3⎠
⎛
12 4 x−
=
1 ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 4 ⎠ ⎝
3x+
2
3
( x− )( x+
)
12 4 1 3 2
=
12
( 4x
1)( 3x
2)
= − +
2
6.
5x
+ 41x+
8
⎞
⎟
⎠
2
41 ( 41) 4( 5)( 8)
x = − ± −
25 ()
41 1 521 41 39
x = − ± .
= − ±
10 10
41 39 2 1
x1
= − + =− =−
10 10 5
41 39 80
x2
= − − = − =−8
10 10
2
⎛ 1⎞
5x + 41x+ 8= 5⎜
x+
⎟ x+
⎝ 5⎠
2
7.
6x
+ 7x−10
( 8)
( 5x
1)( x 8)
= + +
2
( ) ( )( )
7 7 4 6 10
x = − ± − −
26 ( )
7 289 7 17
x = − ± = − ±
12 12
7 17 10 5
x1
= − + = =
12 12 6
7 17 24
x2
= − − = − =−2
12 12
2
⎛ 5⎞
6x + 7x− 10= 6⎜
x−
⎟ x+
⎝ 6⎠
( 2)
( 6x
5)( x 2)
= − +
2
8.
12x
− 25x+
12
2
( 25) ( 25) 4( 12)( 12)
x = − − ± − −
212 ( )
25±
49 25±
7
x = =
24 24
25+ 7 32 4
x1
= = =
24 24 3
25− 7 18 3
x2
= = =
24 24 4
2
⎛ 4⎞
⎛
12x − 25x+ 12 = 12⎜
x−
⎟ ⎜ x
2
9.
8x
+ 50x+
63
⎝
3⎠
⎝
3⎞
− ⎟
4⎠
( x−
)( x−
)
12 3 4 4 3
=
12
( 3x
4)( 4x
3)
= − −
2
50 ± ( 50) −4( 8)( 63)
x =
28 ( )
50 484 50 22
x = − ± = − ±
16 16
50 22 28 7
x1
= − + = − =−
16 16 4
50 22 72 9
x2
= − − =− =−
16 16 2
2
⎛ 7⎞
9
8x + 50x+ 63= 8⎜
x+
x
⎝ 4⎠
⎟ ⎛
+ ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
2
10.
27x
+ 30x+
7
( 4x
7)( 2x
9)
= + +
2
30 ( 30) 4( 27)( 7)
x = − ± −
227 ( )
30 144 30 12
x = − ± = − ±
54 54
30 12 18 1
x1
= − + =− =−
54 54 3
30 12 42 7
x2
= − − =− =−
54 54 9
2
⎛ 1⎞
7
27x + 30x+ 7 = 27 ⎜ x+
x
⎝ 3⎠
⎟ ⎛
+ ⎞
⎜ ⎟
⎝ 9⎠
( 3x
1)( 9x
7)
= + +

2
11.
30x
− 61x+
30
2
( 61) ( 61) 4( 30)( 30)
x = − − ± − −
230 ( )
61±
121 61±
11
x =
=
60 60
61+
11 72 6
x1
= = =
60 60 5
61−
11 50 5
x2
= = =
60 60 6
2
⎛ 6⎞
⎛ 5⎞
30x − 61x+ 30 = 30⎜
x−
⎟ ⎜ x−
⎟
⎝ 5⎠
⎝ 6⎠
2
12.
11x
−153x−180
( 5x
6)( 6x
5)
= − −
2
( 153) ( 153) 4( 11)( 180)
x = − − ± − − −
211 ( )
153±
31.
329 153±
177
x =
=
22 22
153+
177 330
x1
= = = 15
22 22
153−
177 24 12
x2
= =− =−
22 22 11
2
⎛ 12⎞
11x −153x− 180= 11( x− 15)
⎜ x+
⎟
⎝ 11⎠
2
13.
6−
x−
x
2
x + x−6
( )( )
( )( )
( x 15)( 11x
12)
= − +
1 1 1
x =− ± −( − 6)
=− ±
2 4 2
1 5 4
x
2 2 2 2
1
= − + = =
1 5 6
x2
=− − =− =−3
2 2 2
2
x + x− 6= x− 2 x+
3
2
6− x− x = 2− x 3+
x
14.
5−9x−2x
25
4
2
( 9) ( 9) 4( 2)()
5
2( − 2)
9 121 9 11
x = ± = ± − 4 − 4
9 11 20
x1
= + = =−5
− 4 − 4
2
x = − − ± − − −
x
9 11 2 1
= − = − − 4 − 4
= 2
Continúa
2
14. Continuación
2
⎛ 1⎞
5−9x− 2x = − 2( x+ 5)
⎜ x−
⎟
⎝ 2⎠
15.
15+ 4x−4x
( x 5)( 2x
1)
( x 5)( 1 2x)
=− + −
= + −
2
( ) ( )( )
2( − 4)
4 4 4 15 4
x= − ± − −
4 16 12 3
x1
= − + = =−
− 8 − 8 2
x
2
4 16 20 5
= − − = − =
− 8 − 8 2
2
2 ⎛ 3⎞
⎛ 5⎞
15+ 4x− 4x = − 4 ⎜ x+
⎟ ⎜ x−
⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
16.
4+ 13x−12x
2
12x
−13x−4
2
( 2x
3)( 2x
5)
( 3 2x)( 5 2x)
=− + −
= + −
2
( 13) ( 13) 4( 12)( 4)
4 256
x= − ± − 8
x= − − ± − − − x=
212 ( )
13+
19 32 4
x1
= = =
24 24 3
13−
19 6 1
x2
= = − =−
24 24 4
2
⎛ 4⎞
⎛ 1⎞
12x −13x− 4 = 12 ⎜ x−
⎟ ⎜ x+
⎟
⎝ 3⎠
⎝ 4⎠
= ( 3x− 4)( 1+
4x)
( )( )
2
4+ 13x− 12x = 4− 3x 1+
4x
2
17.
72x
−55x−7
2
( 55) ( 55) 4( 72)( 7)
13±
361
24
55 5 041
x= − − ± − − − ± .
x=
272 ( )
144
55+
71 126 7
x1
= = =
144 144 8
55−
71 16 1
x2
= = − =−
144 144 9
2
⎛ 7⎞
1
72x −55x− 7 = 72 ⎜ x−
x
⎝ 8⎠
⎟ ⎛
+ ⎞
⎜ ⎟
⎝ 9⎠
( 8x
7)( 9x
1)
= − +

18.
6+ 31x−30x
2
31 ( 31) 4( 30)( 6)
x = − ± − −
2 − 30
( )
31 1 681
= − ± .
x
− 60
31 41 10 1
x1
= − + = =−
− 60 − 60 6
x
2
31 41 72 6
= − − = − =
− 60 − 60 5
2
2 ⎛ 1⎞
⎛ 6⎞
6+ 31x− 30x = − 30⎜
x+
⎟ ⎜ x−
⎟
⎝ 6⎠
⎝ 5⎠
2
19.
10x
+ 207x−63
( 6x
1)( 5x
6)
( 1 6x)( 6 5x)
=− + −
= + −
2
( ) ( )( )
207 207 4 10 63
x = − ± − −
210 ( )
207 45 369
x = − ± .
20
207 213 6 3
x1
= − + = =
20 20 10
207 213 420
x2
= − − = − =−21
20 20
2
⎛ 3 ⎞
10x + 207x− 63= 10⎜
x−
⎟ x+
⎝ 10⎠
20.
100 −15x−
x
2
x + 15x−100
( 21)
( 10x
3)( x 21)
= − +
2
15 ( 15)
x =− ± − −100
2 4
2
( )
15 625
x = − ±
2 4
15 25 10
x1
= − + = = 5
2 2 2
15 25 40
x2
= − − = − =−20
2 2 2
( )( )
( )( )
( 5 x)( 20 x)
2
x + 15x− 100= x− 5 x+
20
2
− x − 15x+ 100= − x− 5 x+
20
= − +
2
21.
18x
+ 31x−49
2
( ) ( )( )
31 31 4 18 49
x = − ± − −
218 ( )
31 4 489
x = − ± .
36
31 67 36
x
36 36 1
1
= − + = =
31 67 98 49
x2
= − − = − =−
36 36 18
2
⎛ 49⎞
18x + 31x− 49 = 18( x− 1)
⎜ x+
⎟
⎝ 18⎠
22.
6x −ax−2a
2 2
( x 1)( 18x
49)
= − +
2
( ) ( ) 46 ( )( 2 )
a a a a 49a
x = − − ± − − − ±
=
26 ( )
12
a+
7a 8a 2a
x1
= = =
12 12 3
a−
7a 6a
1
x2
= = − =− a
12 12 2
2 2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ a⎞
6x −ax− 2a = 6⎜
x−
a⎟ ⎜ x+
⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠
23.
5x + 22xy−15y
2 2
( 3x 2a)( 2x a)
= − +
2
2
( ) ( )( )
22y 22y 4 5 15y
x = − ± − −
25 ( )
2
22y 784y 22 28y
x = − ± = − ±
10
10
22y 28y 6y
3
x1
= − + = = y
10 10 5
22y 28y 50y
x2
= − − =− =−5y
10 10
3y
2 2 ⎛ ⎞
5x + 22xy− 15y = 5⎜
x−
⎟ +
⎝ 5 ⎠
24.
15x −32mx−7m
2 2
2 2
( x 5y)
( 5x 3y)( x 5y)
= − +
2
2
( 32m) ( 32m) 4( 15)( 7m
)
x = − − ± − − −
215 ( )
2
32m±
1.
444m 32m±
38m
x =
=
30
30
32m+
38m 70m 7m
x1
=
= =
30 30 3
32m−
38m 6m m
x2
=
= − =−
30 30 5
m 7m
2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
15x −32mx− 7m = 15⎜
x+
⎟ ⎜ x − ⎟
⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠
( 5x m)( 3x 7m)
= + −

EJERCICIO 282
1.
x
2 2
( x )( x )
x
4
2.
x
− 1=
0
+ 1 − 1 = 0
+ 1= 0 x − 1=
0
2 2
x
=− 1 x = 1
2 2
x=± − 1 x=±
1
x=± i x=±
1
2
( x )( x x )
x + 1=
0
x =−1
x
3
1
2
+ 1=
0
+ 1 − + 1 = 0
− x+ 1=
0
( 1) ( − 1)
x =− − ±
2
4
2
− 1
1 3 1 3 − 1
x = ± − = ±
2 4 2 2
1 i 3 1 i 3
x2
= + = +
2 2 2
1 i 3 1 i 3
x3
= − = −
2 2 2
3.
x
x
2 2
( x − 9)( x + 9)
= 0
2
( x )( x )( x )
x− 3= 0 x+ 3=
0
x
4
4
2
4.
x
= 81
− 81=
0
− 3 + 3 + 9 = 0
x = 3 x = −3
x
1 2
+ 9=
0
2
=−9
x=± 9 − 1 =± 9i
x = 3i x = −3i
3 4
2 2
( x − 16)( x + 16)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 4= 0 x− 4=
0
x
4
2
− 256 = 0
+ 4 − 4 + 16 = 0
x =− 4 x = 4
1 2
+ 16=
0
x
2
=−16
x=± 16 − 1 =± 4i
x = 4i x = −4i
3 4
3
5. ( x + 8)
= 0
2
( x )( x x )
5.
x + 2=
0
x =−2
x
1
2
6.
x
+ 2 − 2 + 4 = 0
− 2x+ 4=
0
( 2) ( − 2)
x = − − ±
2
12
x 1 1 2 3 −
= ± − = ±
1 = 1 + i 3
4 2
x = 1+ i 3 x = 1−i
3
2 3
4
2
− 4
2 2
( x − 25)( x + 25)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 5= 0 x− 5=
0
x =− 5 x = 5
x
x
4
1 2
2
2
7.
x
− 625=
0
+ 5 − 5 + 25 = 0
+ 25=
0
=−25
x=± 25 − 1 =± 5i
x = 5i x = −5i
3 4
2
( x )( x x )
x + 4=
0
x =−4
x
3
1
2
8.
x
+ 64 = 0
+ 4 − 4 + 16 = 0
− 4x+ 16=
0
2
( 4) ( 4) 4()( 1 16)
x = − − ± − −
21 ()
4 16 64
x = ± −
2
4 48 4 4 3 1
x2
= + − = + − = 2+
2
2 2
3i
4 48 4 4 3 1
x3
= − − = − − = 2−2 2 2
3i
3 3
( x − 27)( x + 27)
= 0
2 2
( x )( x x )( x )( x x )
x− 3= 0 x+ 3=
0
x = 3 x = −3
x
6
1 2
2
− 729 = 0
− 3 + 3 + 9 + 3 − 3 + 9 = 0
+ 3x+ 9=
0
Continúa
8. Continuación
( )
x = − 2
3 3
± −9
2 4
x = − 3
±
2
27 − 1 − 3 3 3i
= ±
4 2 2
i
i
x = − 3 − 3 3
x = − 3 + 3 3
3 4
2
2
2
x − 3x+ 9=
0
( 3) ( − 3)
x = − − ±
2
3
x = ±
2
− 9
27 − 1 3 = ±
4 2
3 i
i
x = + 3 3 3
x = − 3 3
5 6
2
2
9.
x
x
4
2
3 3
2
2
( x )( x x )
x − 2=
0
x = 2
x
+ 2x+ 4=
0
2
2 ( 2)
x = − ± −4
2 4
x =− 1± 3 −1
x=− 1±
3i
x
10.
x
3
3
1
2
2
=− 1+
3i
x =−1−
3i
x
3
= 8
− 8=
0
− 2 + 2 + 4 = 0
2 2
( x )( x )
x
4
4
= 64
− 64 = 0
− 8 + 8 = 0
= 8 x = −8
2 2
2
x= 2 ⋅ 2 x= 8 −1
x=± 2 2 x=±
2 2 i
x = 2 2 x = 2 2i
1 3
x =− 2 2 x =−2
2i
2 4
i

EJERCICIO 283
1.
x
2.
x
3.
− 10x
+ 9 = 0
4 2
2 2
( x −9)( x − 1)
= 0
( x )( x )( x )( x )
+ 3 − 3 + 1 − 1 = 0
x+ 3= 0 x− 3=
0
x =− 3 x = 3
1 2
x+ 1= 0 x− 1=
0
x =− 1 x = 1
3 4
− 13x
+ 36=
0
2 2
( x )( x )
x
4 2
−4 − 9 = 0
− 4= 0 x − 9=
0
2 2
x
= 4 x = 9
2 2
x=± 4 x=±
9
x = 2 x = 3
1 3
x =− 2 x =−3
2 4
x
4.
x
− 29x
+ 100 = 0
4 2
2 2
( x −25)( x − 4)
= 0
( x )( x )( x )( x )
+ 5 − 5 + 2 − 2 = 0
x+ 5= 0 x− 5=
0
x =− 5 x = 5
1 2
x+ 2= 0 x− 2=
0
x =− 2 x = 2
3 4
− 61x
+ 900 = 0
2 2
( x )( x )
x
− 36= 0 x − 25=
0
x
= 36 x = 25
x=± 36 x=±
25
x = 6 x = 5
x
5.
x
4 2
−36 − 25 = 0
2 2
2 2
1 3
=− 6 x =−5
2 4
+ 3x
− 4=
0
2 2
( x + 4)( x − 1)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 1= 0 x− 1=
0
x =− 1 x = 1
x
x
4 2
1 2
2
2
+ 4 + 1 − 1 = 0
+ 4=
0
=−4
x= 4 − 1 = ± 2i
x = 2i x = −2i
3 4
6.
x
+ 16x
− 225=
0
2 2
( x + 25)( x − 9)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 3= 0 x− 3=
0
x
4 2
2
7.
x
+ 25 + 3 − 3 = 0
x =− 3 x = 3
1 2
+ 25=
0
x =± 25 −1
x = 5i x = −5i
3 4
−45x
− 196 = 0
2 2
( x − 49)( x + 4)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 7= 0 x− 7=
0
x
4 2
2
8.
x
+ 7 − 7 + 4 = 0
x =− 7 x = 7
1 2
+ 4=
0
x
2
=−4
x= 4 − 1= ± 2i
x = 2i x = −2i
3 4
− 6x
+ 5=
0
2 2
( x −5)( x − 1)
= 0
2
( x )( x )( x )
x+ 1= 0 x− 1=
0
x =− 1 x = 1
x
4 2
1 2
2
− 5 + 1 − 1 = 0
− 5=
0
x
2
= 5
x =±
5
x = 5 x = − 5
3 4
4 2
9.
4x
− 37x
+ 9=
0
2
( x ) 2
( x )
2
( x
2
)( x )
2
( x
2
)( x )
4 − 37 4 + 36=
0
4 −36 4 − 1 = 0
−9 4 − 1 = 0
2 2
x − 9= 0 4x
− 1=
0
2
x = 9 x= ±
x =±
9
1
x1= 3 x3
=
2
1
x2 =− 3 x4
=−
2
1
4
4 2
10.
9x
− 40x
+ 16=
0
2
( x ) −
2
( x ) + =
2
( x
2
)( x )
2
( x
2
)( x )
( x+ )( x− 2
)( x − ) =
9 40 9 144 0
9 −36 9 − 4 = 0
−4 9 − 4 = 0
2 2 9 4 0
x+ 2= 0 x− 2=
0
x =− 2 x = 2
1 2
2
9x
− 4=
0
4
x =±
9
2 2
x3= x4
= −
3 3
4 2
11.
25x
+ 9x
− 16=
0
( x )
2
25 2 2
+ 9x
− 16 = 0
2
( ) ( )( )
9 9 4 25 16
2
x = − ± − −
225 ( )
9 1 681
2
9 41
x = − ± .
= − ±
50 50
2
9 41 32 16
x = − + = =
50 50 25
16 4 4
x=± x1= x2
=−
25 5 5
2
9 41 50
x = − − = − =−1
50 50
x=± − 1 x = i x =−i
3 4
4 2
12.
4x
+ 11x
− 3=
0
2
( x ) 2
( x )
2
( x
2
)( x )
2
( x
2
)( x )
4 + 11 4 − 12 = 0
4 + 12 4 − 1 = 0
2
x + 3=
0
2
x =−3
+ 3 4 − 1 = 0
x=± − 3=± 3 − 1=±
3i
x = 3i x =− 3i
1 2
2
4x
− 1=
0
( x )( x )
2 + 1 2 − 1 = 0
2x+ 1= 0 2x− 1=
0
1 1
x3=− x4
=
2 2

2
13. ( ) ( )
2
2
2
2 2 2
13.
2x
+ 1 − x − 3 = 80
14.
x 3x + 2 = 4 x − 3 + 13
4 2 4 2
4 2 2
4x + 4x + 1− x + 6x
− 9=
80
3x + 2x = 4x
− 12+
13
4 2
3x
+ 10x
− 88=
0
4 2
3x
−2x
− 1=
0
2
( 3 ) 2 2
x + 10( 3x
) − 264 = 0
2
( x ) 2 2
3 −2( 3x
) − 3=
0
2 2
( 3x
+ 22)( 3x
− 12)
= 0
2 2
( 3x
− 3)( 3x
+ 1)
= 0
2 2
( 3x
+ 22)( x − 4)
= 0
2 2
( x − 1)( 3x
+ 1)
= 0
2
( 3x + 22)( x+ 2)( x− 2)
= 0
2
( x+ 1)( x− 1)( 3x
+ 1)
= 0
x+ 2= 0 x− 2=
0
x1=− 2 x2
= 2
x+ 1= 0 x− 1=
0
2
3x
+ 22=
0
x1=− 1 x2
= 1
2
22
x = −
2
3x
+ 1=
0
3
− 1 i
22 − 1
x = =±
x =±
3 3
3
i 3 i 3
22 3 i 66
x3
= ⋅ =
x3
= i ⋅ =
3 3 3
3 3 3
22 3 66
x4
=−i
⋅ = − i i 3 i 3
x4
=− ⋅ =−
3 3 3
3 3 3
14. ( ) ( )
EJERCICIO 284
1.
x
−7x
− 8=
0
3 3
( x )( x )
x
x
− 8= 0 x + 1=
0
= 8 x = −1
3
x= 8 x= 3 −1
x = 2 x = −1
3
( x − 8)
= 0
2
( x )( x x )
x
+ 2x+ 4=
0
( ver ejerc. 282 prob.
9)
x =− 1+
3i
x
6 3
3 3
3 3
1 2
2
3
4
− 8 + 1 = 0
− 2 + 2 + 4 = 0
=−1−
3i
3
( x + 1)
= 0
2
( x+ 1)( x − x+
1)
( ver ejerc. 282 prob.
2)
1 3i
1 3i
x5= + x6
= −
2
2
2.
x
+ 30x
+ 81=
0
3 3
( x )( x )
x
6 3
+ 27 + 3 = 0
+ 27 = 0 x + 3=
0
3 3
x
=− 27 x =−3
3 3
x= 3 − 27 x= 3 −3
x=− 3
3
x=−
3
3.
6 3
8x
+ 15x
− 2=
0
3
( x ) 3
( x )
3
( x
3
)( x )
3
( x
3
)( x )
8 + 15 8 − 16 = 0
8 + 16 8 − 1 = 0
+ 2 8 − 1 = 0
3
x + 2= 0
3
8x
− 1=
0
3
x =− 2 x=
1
8
x= 3
− 2
1
x=
2
3
x =− 2
4.
x
− 41x
+ 400 = 0
4 4
( x −25)( x − 16)
= 0
2 2 2 2
( x )( x )( x )( x )
x
5.
x
8 4
+ 5 − 5 + 4 − 4 = 0
− 5= 0 x − 4=
0
2 2
x=± 5 x=±
4
x =± 2
− 33x
+ 32 = 0
5 5
( x )( x )
x
6.
x
10 5
−32 − 1 = 0
− 32 = 0 x − 1=
0
5 5
5
x= 32
5
x=
1
x= 2 x=
1
−
− 13x
+ 36=
0
−2 −2
( x )( x )
x
−4 2
−
− 9= 0 x − 4=
0
−2 2
x
−9 − 4 = 0
−
= 9 x = 4
−2 2
1 1
2
= 9
2
= 4
x x
1
2
1
2
= x = x
9 4
1 1
± = x ± = x
9 4
1 1 1 1
x1= ; x2 = − ; x3= ; x4
= −
3 3 2 2

7.
x
x
−
+ 35x
= −216
−
+ 35x
+ 216 = 0
−3 −3
( x )( x )
x
−6 3
−6 3
+ 27 + 8 = 0
−
+ 27 = 0 x + 8=
0
−3 3
x
−
=− 27 x =−8
−3 3
1 1
3
=− 27
3
=−8
x x
1
= x
− 27
3 3
2
10.
x+ x = 6
1
= x
− 8
1 1
x=− x=−
3 2
2
x+ x − 6=
0
⎛
⎜ x
⎝
x
1
2
1
2
1
1
1
⎞ ⎛ ⎞
2
+ 3⎟
⎜ x − 2⎟ = 0
⎠ ⎝ ⎠
2
+ 3= 0 x − 2=
0
x =− 3 x = 2
( 3) x ( 2)
x= − =
x= 9 x=
4
1
2 2
EJERCICIO 285
8.
x
x
x
−
= 242x
+ 243
−10 5
−
−242x
− 243=
0
−10 5
−5 −5
( x )( x )
− 243 + 1 = 0
−
− 243= 0 x + 1=
0
−5 5
x
−
= 243 x = −1
−5 5
1
1
5
= 243
5
= −1
x
x
1
= x
243
5 5
1
x
− 1
=
1
x= x= −1
3
11.
3x= 16 x −5
2
3x− 16x
+ 5=
0
1
1
⎛ ⎞
2
9x−
16⎜
3x
⎟ + 15=
0
⎝ ⎠
1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2
2
⎜ 3x
− 15⎟
⎜ 3x
− 1⎟ = 0
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
2
2
3x
− 15= 0 3x
− 1=
0
15 1
x = x =
3 3
2 1
x= () 5 x= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
3⎠
1
x= 25 x=
9
1
2
3
9. x − x2
9 + 8=
0
x
⎛
⎜ x
⎝
3
2
x
3
⎞ ⎛ ⎞
2
− 8⎟
⎜ x − 1⎟ = 0
⎠ ⎝ ⎠
2
− 8= 0 x − 1=
0
x
3
2
= 8 x = 1
= 64 x = 1
3
x= 64 x=
1
x = 4
3
3
3 3
3 3
1
12.
2 4
2x
− 5x
+ 2=
0
1
4
4
1
1
1
2
4
4x
− 5 ⎛ 2x
4 0
⎝ ⎜ ⎞
⎟ + =
⎠
1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4
4
⎜ 2x
− 4⎟
⎜ 2x
− 1⎟ = 0
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
4
4
⎜ x − 2⎟
⎜ 2x
− 1⎟ = 0
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
x − 2= 0 2x
− 1=
0
1
x = 2 x= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎟
2⎠
4 1
x= ( 2)
x=
16
x = 16
1
1
4 4
x = 2 2 x = 1
4
1.
2.
5+
24
2
m = ( 5)
−24
m =
m = 1
=
1
+ +
−
5 1
2
= 3+
2
8−
60
2
m= ( 8)
−60
m=
m=
2
=
4
8+
2
2
= 5−
3
−
5 1
2
8−
2
2
3.
4.
8+
28
2
m= ( 8)
−28
m=
m=
6
=
36
8+
6
2
= 7+
1
+
32 − 700
8−
6
2
2
m= ( 32)
−700
m= 324 = 18
=
32 + 18
2
= 25 − 7
= 5−
7
−
32 − 18
2
5.
6.
14 + 132
2
m= ( 14)
−132
m= 64 = 8
=
14 + 8
2
+
= 11 + 3
13+
88
2
m= ( 13)
−88
m= 81 = 9
=
13+
9
2
+
= 11 + 2
14 − 8
2
13−
9
2
7.
8.
11+
2 30
11+
120
2
m= ( 11)
− 120 = 1
=
11 1
2
= 6+
5
+ +
−
84 − 18 3
84 − 972
11 1
2
2
m= ( 84)
−972
m = 6.
084 = 78
=
84 + 78
2
−
84 − 78
2
= 81 − 3 = 9 − 3

9.
21+
6 10
21+
360
2
m= ( 21)
−360
m = 81 = 9
=
10.
11.
12.
13.
21+
9
2
+
28 + 14 3
28 + 588
21−
9
2
2
m= ( 28)
−588
m= 196 = 14
=
28 + 14
2
= 21 + 7
14 − 4 6
14 − 96
+
2
m = ( 14)
−96
m = 100 = 10
=
14 + 10
2
= 12 − 2
−
= 15 + 6
28 − 14
2
14 − 10
2
2
= 2 ⋅3− 2 = 2 3−
2
55+
30 2
55+
1.
800
2
m = ( 55)
−1.
800
m = 1225 . = 35
=
55+
35
2
+
55−
35
2
= 45 + 10 = 3 5 + 10
73−
12 35
73−
5.
040
2
m= ( 73)
−5.
040
m= 289 = 17
=
73+
17
2
−
73−
17
2
= 45 − 28 = 3 5 −2 7
14.
15.
16.
17.
253−
60 7
253−
25.
200
2
m= ( 253)
−25.
200
m = 38.
809 = 197
=
253+
197
2
253−
197
2
= 225 − 28 = 15−2 7
293−
30 22
−
293−
19.
800
2
m= ( 293)
−19.
800
m= 66.
049 = 257
=
293+
257
2
−
293−
257
2
= 275 − 18 = 5 11 −3 2
5
+
6
2
3
1 1
m= =
36 6
2
5
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
m ⎟ −
6⎠
=
5 1
+
6 6
+
2
2
3
5 1
−
6 6
2
1 1 1 2
= + = +
2 3 2 2
3
−
4
1
2
2
3
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
m ⎟ −
4⎠
1 1
m= =
16 4
=
3 1
+
4 4
−
2
1 3
3 3
1
=
2 2 +
1 3 3
1
2
3 1
−
4 4
2
1 1 2 1
= − = −
2 4 2 2
18.
19.
20.
21.
9
+
16
1
8
9
= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
m ⎟
16⎠
1
−
8
49 7
m= =
256 16
=
2
9 7
+
16 16
+
2
9 7
−
16 16
2
1 1 2 1
= + = +
2 16 2 4
6+
4 2
6+
32
2
m= ( 6)
−32
m= 4=
2
=
6+
2
2
+
6−
2
2
= 4 + 2= 2+
2
7+
4 3
7+
48
2
m= ( 7)
− 48=
1
=
+ +
−
7 1
2
7 1
2
= 4 + 3= 2+
3
8+
2 7
8+
28
2
m= ( 8)
−28
m=
36 = 6
=
8+
6
2
= 7+
1
+
8−
6
2

22.
23.
10+
2 21
10 + 84
2
m= ( 10)
−84
m= 16 = 4
=
10 + 4
2
= 7+
3
+
18 + 6 5
18 + 180
10 − 4
2
2
m= ( 18)
−180
m= 144 = 12
=
18+
12
2
= 15 + 3
+
18−
12
2
EJERCICIO 286
1.
2.
a= 7 n= 9 r= 10− 7=
3
u = 7 + 8( 3)
= 7 + 24 = 31
a= 5 n= 12 r= 10− 5=
5
u = 5+ 11()
5 = 5+ 55 = 60
a= 9 n= 48 r= 15− 12=
3
u = 9 + 47( 3)
= 9 + 141 = 150
a= 3 n= 63 r= 17− 10=
7
u = 3+ 62( 7)
= 3+ 434 = 437
a= 11 n= 12 r= 6 − 11= −5
24.
25.
24 − 2 143
24 − 572
2
m = ( 24)
−572
m = 4 = 2
=
24 + 2
2
−
= 13 − 11
30 − 20 2
30 − 800
24 − 2
2
2
m = ( 30)
−800
m = 100 = 10
=
30 + 10
2
−
30 − 10
2
= 20 − 10 = 2 5 − 10
3.
2 5 2 1
12. a= n= 17 r= − =
3 6 3 6
2 ⎛ ⎞
4.
u = + ⎜ ⎟
3 16 1 ⎝ 6⎠
2 8 10
5.
u = + = = 3 1 3
3 3 3
u = 11+ 11( − 5)
= 11− 55 = −44
3 11 3 1
13. 6.
a= 19 n= 28 r= 5− 12 = −7
a= n= 25 r= − =
8 24 8 12
u = 19 + 27( − 7)
= 19 − 189 = −170
3 ⎛
u = +
7. a= 3 n= 13 r=−5−( − 1)
=−4
⎝
⎜ ⎞
⎟
8 24 1
12⎠
3
u = 3+ 12( − 4)
= 3− 48 = −45
u = + = =
8 2 19
2 3 8
8
8.
a= 8 n= 54 r= 0− 8= −8
1 7 1 13
u = 8+ 53( − 8)
= 8 − 424 =−416
14. a= n= 19 r= − =
3 8 3 24
9. a=− 7 n= 31 r= 1−( − 3)
= 4 1 ⎛ 13⎞
u = + 18⎜
⎟
u =− 7 + 30( 4)
=− 7 + 120 = 113 3 ⎝ 24⎠
10.
a=− 8 n= 17 r= 12− 2=
10 1 39 121
u = + = = 10 1
12
u =− 8+ 16( 10)
=− 8+ 160=
152 3 4 12
26.
27.
9+
6 2
9+
72
2
m= ( 9)
−72
m= 9 = 3
=
9+
3
2
+
= 6+
3
98 − 24 5
98 − 2.
880
9−
3
2
2
m = ( 98)
−2.
880
m = 6724 . = 82
=
98 + 82
2
−
98 − 82
2
= 90 − 8 = 3 10 −2 2
Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:
u = a + (n - 1) r
donde:
u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de
términos ; r es la razón de cambio.
1 3 1 1
7 21 7 7
11.
1. a= n= 12 r= − =
15. a= n= 27 r= − =
2 4 2 4
2
4 2 4
1 ⎛ ⎞
u = + ⎜ ⎟ = + = =
2 11 1 1 11 13
3 1 7 ⎛ ⎞
4
⎝ 4⎠
u = + ⎜ ⎟= + = =
2 4 4 2 26 7 7 91 98
49
⎝ 4⎠
2 2 2
7 1 7 4
16. a= n= 36 r= − =−
9 3 9 9
7 ⎛
u = + −
⎝
⎜ ⎞
⎟
9 35 4
9⎠
7 140 133
u = − = − = −14 7 9
9 9 9
17. 2 1 2 9
a= n= 15 r= − = −
7 8 7 56
2 ⎛
u = + −
⎝
⎜ ⎞
⎟
7 14 9
56⎠
2 126 110
u = − = − = −1 27
28
7 56 56
3
14 3 1
18. a=− n= 21 r=− + =−
5
15 5 3
3 ⎛
u =− + −
⎝
⎜ ⎞
⎟
5 20 1
3⎠
3 20 109
u =− − =− = −7 4 15
5 3 15

1
9 1
19.
a=− n= 13 r=− + =−2
4
4 4
1
u =− + ( − ) =− − =− = −
4 12 2 1
4 24 97
4
5
1 5 1
20. a=− n= 19 r=− + =
6
3 6 2
5 ⎛ ⎞
u =− + ⎜ ⎟ = − + = =
6 18 1 5 49
9
⎝ 2⎠
6 6
8 1 6
11 35 11 3
21. a= n= 33 r= − = −
3
12 3 4
11 ⎛ 3⎞
11 61
u = + 32 ⎜ − ⎟ = − 24 = − = −
3 ⎝ 4⎠
3 3
EJERCICIO 287
24 1 4
20 1 3
14
27 14 1
24. a=− 4 n=
19
22. a= n= 41 r= − = −
5
10 5 10 2
r =− + =
14 ⎛ 1 ⎞
3 4 10 3
u = + 40⎜
− ⎟
5 ⎝ 10⎠
⎛ ⎞
u =− 4+
18⎜
10 ⎟
14 6
⎝ 3 ⎠
u = − 4 =− =−1 1 5
5 5
u =− 4+ 60 = 56
3
3 3 9
23. a=− n= 26 r= + =
25. a = 3 n = 39
5 10 5 10 5
3 ⎛
u =− +
⎝
⎜ ⎞
⎟
5 25 9
r =− − =−
4 3 17
4
10⎠
⎛ 17⎞
u = 3+ 38⎜
− ⎟
⎝ 4 ⎠
3 45 219
u =− + = = 21 9
10
5 2 10
u = 3− 323 317
=− =−158 1 2
2 2
Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
u a
a= u−( n− 1)
r r= − n − 1
n = u− a+
r
r
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;
a es el primer término de la progresión.
2
1.
u= 20 r= n=
15
7
⎛ ⎞
a = 20−( 14)
⎜
2 ⎟
⎝ 7⎠
a = 20− 4 = 16
2.
u=− 18 n= 32 r=
3
a =−18 −( 31)( 3)
a =−18 − 93=−111
3.
u= 1 n= 9 r= 1− 3 1
=
4 4
⎛ ⎞
a = 1−( 8)
⎜
1 ⎟= 1− 2=−1
⎝ 4⎠
25
4. u= n=
7
3
Se plantea la ecuación
para encontrar la razón
25
3
− 2r
= 7
− 2r
= 7−
25 3
4
− 2r
=−
3
Continúa
4. Continuación
4 2
r = =
6 3
25 ⎛ ⎞
a = −( 6)
⎜
2 ⎟
3 ⎝ 3⎠
25 12 13
a = − = =
3 3 3
5. a= 3 n= 6 u=
8
8
r = − 3
− = 5
6 1 5 = 1
4 1 3
6.
a=− 1 n= 10 u=−4
( )
r = − 4 − − 1 3 1
=− =−
10 − 1 9 3
1
3
7. a= n= 17 u=−
2
8
3 1 7
− − −
r =
8 2
=
8 7
=−
17 −1
16 128
8. a= 5 n= 18 u=−80
r = − 80 − 5
= − 85
=−5
18 −1
17
9.
a=− 42 n= 92 u=
1.
050
( )
1. 050 − −42
1.
092
r =
= = 12
92 − 1 91
10. a= 4 u=
30
r = 6− 4=
2
n =
30 4 2
2
11. a= 5 u=
18
16
r = − 5 =
1 3 3
− + 28 = = 14
2
18 − 5+
1
n=
3
1
3
13+
1 40
n=
3
=
3
= 40
1 1
3 3
26
12. a= u=
18
5
r = 6 − 26 4
=
5 5
18 − 26 4
+
n=
5 5
4
5
18 −
22 68
n=
5
=
5 68
= = 17
4 4 4
5 5

EJERCICIO 288
1.
r = 19 − 15=
4
a= 15 n=
8
u = 15+
( 7)
4
u = 15+ 28=
43
( + )
15 43 8
s =
2
s = ( 58)( 4)
= 232
2.
a= 31 n=
19
r = 7
u = 31+
( 18)
7
u = 31+ 126 = 157
( 31+
157)( 19)
s =
2
3.
572
s = = 1.
786
2
3.
a= 42 n= 24 r= −10
( )( )
u = 42 + 23 −10
u =−188
( 42 − 188)( 24)
s =
2
s = ( − 146)( 12)
= −1.
752
4.
a=− 10 n= 80 r=
4
u =− 10 + ( 79)( 4)
u =− 10 + 316=
306
( )( )
s = − 10 + 306 80
2
s = ( 296)( 40)
= 11.
840
5.
a= 11 n= 60 r= −10
( )( )
u = 11+ 59 −10
u = 11− 590 =−579
( 11−
579)( 60)
s =
2
s = ( − 568)( 30)
=−17.
040
6.
a=− 5 n= 50 r=−8
( )( )
u =− 5+ 49 −8
u =−5− 392 =−397
( )( )
s = − 5 − 397 50
2
s = ( − 402)( 25)
=−10.
050
1 1
7.
a= n= 9 r=
2 2
1 ⎛ ⎞
u = + ( 8)
⎜
1 ⎟
2 ⎝ 2⎠
1
u = + =
2 4 9 2
⎛ 1 9⎞
⎜ + ⎟ ( 9)
⎝ 2 2⎠
s =
2
45
s = = 22 1 2
2
3
1
8.
a= n= 14 r=
10
10
3 ⎛ 1 ⎞
u = + ( 13)
⎜ ⎟
10 ⎝ 10⎠
3 13 8
u = + =
10 10 5
⎛ 3 8⎞
⎜ + ⎟ ( )
⎝ 10 5⎠
14
s =
2
133
s = = 13 3
10
10
3
3
9.
a= n= 19 r=
4
4
3 ⎛ ⎞
u = + ⎜ ⎟
4 18 3 ⎝ 4⎠
3 27 57
u = + =
4 2 4
⎛ ⎞
19⎜
3 57
+ ⎟
⎝ 4 4 ⎠
s =
2
19( 15)
285
s = = = 142 1 2
2 2
2
3
10. a= n= 34 r= −
5
11
2 ⎛
u = + −
⎝
⎜ ⎞
⎟
5 33 3
11⎠
2
u = − = −
5 9 43
5
⎛ ⎞
34 ⎜
2 43
− ⎟
⎝ 5 5 ⎠
s =
2
1394 .
s =− =−139 2 5
10
7
4
11. a= n= 11 r=
3
5
47 7 47 − 35 4
r = − = =
15 3 15 5
7 ⎛ ⎞
u = + ⎜ ⎟
3 10 4 ⎝ 5⎠
7
u = + =
3 8 31
3
⎛ ⎞
11⎜
7 31
+ ⎟
⎝ 3 3 ⎠
s =
2
418
s = = 69 2 3
6
13
12. a= n=
46
4
73 13 8 2
r = − = =
20 4 20 5
13 ⎛ ⎞
u = + 45⎜
2 ⎟
4 ⎝ 5⎠
13
u = + 18=
85
4 4
⎛ ⎞
46⎜
13 85
+ ⎟
⎝ 4 4 ⎠
s =
2
4508 .
s = = 563 1 2
8
1
13.
a=− 2 n= 17 r= + =
4 2 9 4
⎛ ⎞
u =− 2+
16⎜
9 ⎟=− 2+ 36=
34
⎝ 4⎠
( − + )
17 2 34
s =
2
= 17( 16)
= 272
37
14. a=− 5 n= 12 r=− + 5=
3 8 8
⎛ ⎞
u =− 5+
11⎜
3 7
⎟ =−
⎝ 8⎠
8
⎛ ⎞
12⎜
−5−
7 ⎟
⎝ 8⎠
s =
2
⎛ 47⎞
141
s = 6⎜
− ⎟=− =−
⎝ 8 ⎠ 4
35 1 4

EJERCICIO 289
1. u= 11 a= 3 n=
5
11−
3
r =
− = 8
5 1 4 = 2
⇒ 3+ 2=
5
5+ 2=
7
7+ 2=
9
Luego ÷ 357911 . . . . .
2. u=− 5 a= 19 m=
7
r = − 5 − 19
= − 24
=−3
7+
1 8
⇒19 − 3=
16
16 − 3 = 13
13 − 3=
10
10 − 3=
7
7− 3=
4
4− 3=
1
1− 3=−2
Luego ÷ 19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. −2. −5.
3. u=− 73 a=− 13 n=
7
r = − 73 + 13
= − 60
=−10
7−1
6
⇒−13− 10 =−23
−23 − 10 =−33
−33 − 10 =−43
−43 − 10 =−53
−53 − 10 =−63
Luego ÷−13. −23. −33. −43. −53. −63. −73.
4. u= 53 a=− 42 m=
4
53 + 42 95
r = = = 19
4+
1 5
⇒− 42 + 19 =−23
− 23 + 19 =−4
− 4+ 19=
15
15 + 19 = 34
Luego ÷−42. −23. −4. 15. 34. 53.
5. u=− 9 a=− 81 n=
7
r = − 9 + 81 72
= = 12
7−1
6
⇒− 81+ 12 =−69
− 69 + 12 =−57
− 57 + 12 =−45
− 45 + 12 =−33
− 33 + 12 =−21
Luego ÷−81. −69. −57. −45. −33. −21. −9.
6. u= 3 a= 1 m=
3
3
r = − 1
+ = 2
3 1 4
= 1
2
⇒ 1+ 1 3
=
2 2
3 1
+ =
2 2 2
2 + 1 5
=
2 2
Luego ÷ 1. 3 .
2 2 . 5 .
2 3 .
1 1
÷ 11 . . 2. 2 . 3.
7. u= 12 a= 5 n=
6
2
12 − 5
r =
6− 1
= 7
5
⇒ 5 + 7 32
=
5 5
32 7 39
+ =
5 5 5
39 7 46
+ =
5 5 5
46 7 53
+ =
5 5 5
Luego ÷ 5 32 39 46 53
. . . . .
5 5 5 5 12 .
2 4 1 3
÷ 5. 6 . 7 . 9 . 10 . 12.
8. u= 3 a= − 4 m=
5
3
r = + 4
5+ 1
= 7
6
5
5
2
⇒− 4 + 7 17
=−
6 6
17 7 5
− + =−
6 6 3
5 7 1
− + =−
3 6 2
1 7 2
− + =
2 6 3
2 7 11
+ =
3 6 6
17 5 1 2 11
Luego ÷−4. − . − . − . . .
6 3 2 3 6 3 .
5 2
1 2
5
÷−4. −2 6
. −13
. − . . −16
. 3.
2 3
5
5

1 3
9. u= a= n=
7
8 4
1 3 5
− −
r =
8 4
−
= 8 5
=−
7 1 6 48
3 5 31
⇒ − =
4 48 48
31 5 13
− =
48 48 24
13 5 7
− =
24 48 16
7 5 1
− =
16 48 3
1 5 11
− =
3 48 48
3 31
Luego ÷
4
. 13 7
48
. 1 11
24
. 1
16
. 3
. 48
. 8
.
10. u= 3 a=− 1 m=
6
3
r = + 1
6+ 1
= 4
7
⇒− 1+ 4 3
=−
7 7
3 4 1
− + =
7 7 7
1 4 5
+ =
7 7 7
5 4 9
+ =
7 7 7
9 4 13
+ =
7 7 7
13 4 17
+ =
7 7 7
3 1 5 9 13 17
Luego ÷−1. − . . . . . .
7 7 7 7 7 7 3 .
3 1 5
÷−1
−
7 7 7 1 2
1 6
2 3
. . . . . . . 3 .
7 7 7
1 2
11. u=− a= n=
7
8 3
1 2 19
− − −
r =
8 3
=
24 19
=−
7−1
6 144
2 19 77
⇒ − =
3 144 144
77 19 29
− =
144 144 72
29 19 13
− =
72 144 48
Continúa
11. Continuación
13 19 5
− =
48 144 36
5 19 1
− =
36 144 144
2 77 29 13 5 1 1
Luego ÷ . . . . . . − .
3 144 72 48 36 144 8
12. u=− 5 a=− 2 m=
7
r = − 5 + 2 3
=−
7+
1 8
⇒−2 − 3 19
=−
8 8
19 3 11
− − =−
8 8 4
11 3 25
− − =−
4 8 8
25 3 7
− − =−
8 8 2
7 3 31
− − =−
2 8 8
31 3 17
− − =−
8 8 4
17 3 37
− − =−
4 8 8
3 3 1 1 7 1 5
Luego ÷ −2. −2 . −2 . −3 . −3 . −3 . −4 . −4 . −5.
7 1
13. u=− a= n=
10
10 2
7 1 6
− − −
r =
10 2
=
5 2
=−
10−1
9 15
1 2 11
⇒ − =
2 15 30
11 2 7
− =
30 15 30
7 2 1
− =
30 15 10
1 2 1
− =−
10 15 30
1 2 1
− − =−
30 15 6
1 2 3
− − =−
6 15 10
3 2 13
− − =−
10 15 30
13 2 17
− − =−
30 15 30
Luego
8
4
1 11 7 1 1 1 3 13 17 7
÷ . . . . − . − . − . − . − . − .
2 30 30 10 30 6 10 30 30 10
8
2
8
4
8

EJERCICIO 290
1.
a= 7 n= 20 r=
7
7.
32 → Nº
normal de
dientes en la boca
u = 7+
( 19)( 7)
de un adulto
u = 7 + 133=
140
a= 10 n= 32 r=
2
( 7+
140)( 20)
s =
u = 10+ ( 31)( 2)
= 72
2
s = 147⋅ 10 = 1.
470 ( 10+
72)( 32)
s =
2
2.
a= 5 n= 80 r = 5 s = 1312 . ÷ 10
u = 5+
( 79)( 5)
s = $ 131,
20
u = 5+ 395=
400
8.
a= 77 n= 72 r=
11
( 5+
400)( 80)
u = 77 + ( 71)( 11)
= 858
s =
2
( 77 + 858)( 72)
s = 405⋅ 40=
16.
200 s =
2
s = 935⋅ 36 = 33.
660
3.
a= 9 n= 43 r=
10
9.
n = 512 ⋅ = 60
u = 9+
( 42)( 10)
a= 2 r=
3
u = 9 + 420 = 429
u = 2+
( 59)( 3)
( 9+
429)( 43)
s =
u = 2 + 177 = 179
2
s = 219⋅ 43=
9.
417 ( 2 + 179)( 60)
s =
2
4.
a= 2 n= 100 r=
2 s= 181⋅ 30 = 5. 430 bs.
u = 2+
( 99)( 2)
10.
a= 600 r=
25
u = 2 + 198 = 200 Si n = 8
( 2 + 200)( 100)
u = 600 + ( 7)( 25)
s =
2
u = 775÷
100
s = 202⋅ 50=
10.
100 Avanzó 775 , m en
el 8º
segundo
5.
a= 9 n= 100 r=
2
s → Distan
cia
u = 9+
( 99)( 2)
recorrida en 8 seg.
u = 9 + 198=
207
( 600 + 775)( 8)
( 9 + 207)( 100)
s =
s =
2
2
s = 13754 . ⋅
s = 216⋅ 50 = 10.
800
s= 5500 . ÷ 100=
55m
6.
a= 8 n= 50 r=
3
11. s= 2400 . n=
3
u = 8+
( 49)( 3)
x → Ahorro el 2º
año
u = 8 + 147 = 155
x
→ Ahorro el 1º
año
( 8 + 155)( 50)
2
s =
2
r= x− x =
x
2 2
s = 163⋅25
Luego el 3º año Ahorro:
s = 4.
075÷
100
s = $ 40,
75
x + x 3
=
x
2 2
Continúa
11. Continuación.
x 3x
⇒ + x + = 2400 .
2 2
x+ 2x+ 3x=
4.
800
6x
= 4.
800
x = 800
x 800
El 1º
año ahorro → = = 400 sucres
2 2
Para el 2º
año
x 800
a= 400 n= 2 r= = = 400
2 2
u= 400 + ()( 1 400)
= 800 sucres
Para el 3º
año
a= 400 n= 3 r=
400
u= 400 + ( 2)( 400)
= 1.
200 sucres
12. 2º
y 4º = 22
3º
y 7º = 34
El término medio entre
el 2º y el 4º es el 3º
por tanto es una progresión
impar.
Luego el duplo
del 3º término es 22
er
x → 3 término
2x
= 22
x = 11
er
Luego 11 → 3 término
Como 3º
+ 7º = 34
11+ 7º = 34
7º = 23
23 → es el 7º término
Interpolación para conocer
el 4º término
÷ 11...
23
Donde n= 5 a = 11 u=
23
23 −11
12
r = = = 3
5−1
4
4º términ o → 3º
+ r = 11+ 3=
14
2º término
→22− 4º = 22− 14=
8
13.
n= 32 a= 5 r=
3
u = 5+
( 31)( 3)
u = 5+ 93=
98
( + )
5 98 32
s =
2
s = 103⋅ 16=
$ 1.
648

1
14.
a= 50 r= − 5 n = 8
⎛ 11⎞
u = 50 + ( 7)
⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
100 − 77 23
1
u=
= = 11 2 Km
2 2
⎛ ⎞
⎜50 +
23 ⎟
⎝ 2 ⎠
8
s=
= 246 Km
2
15. 3º y10º términos son
equidis tantes a los
extremos 1º y 12º,
Luego
la suma de estos extremos
es igual a las suma de
los términos equidis tantes
3º + 10º = 1º + 12º
como 1º + 12º
= 53
1
⇒ 3º + 10º
= 53
2
16.
n= 11 a= − 2 u= −52
( )
2
1
2
r = − 52 − − 2 50
=− =−5
11−
1 10
2º térm.
→ −2− 5= −7
3º térm.
→−7− 5=−12
4º térm.
→ −12− 5= −17
5º térm.
→ −17− 5= −22
6º térm.
→−22− 5=−27
EJERCICIO 291
1.
a= 3 n=
7
r = 6÷ 3=
2
u = 32
u = 32
7−1
( )
6
( )
u = 364 ⋅ = 192
1
2.
a= n=
8
3
r = 3÷ 1=
3
1
−
u = ( )
3 3 8 1
6
u = 3 = 729
3. a= 8 n=
9
r = 4÷ 8=
1 2
9−1
⎡⎛
1⎞
⎤
u = 8 ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
2 ⎦
8 1 1
u =
8
=
5
=
2 2 32
4. a= 1 n=
6
17. a= 500 u= 1.
900 r=
200
1.
900 − 500 + 200
n =
200
n=
8 años
18. n= 11 a= 1. 180 u=
6.
180
6. 180 −1.
180
r =
11−1
5.
000
r = = $ 500
10
19.
n= 5 u= 3.
000 r= −300
( )( )
a = 3.
000− 4 −300
a= 3. 000+ 1. 200=
4.
200 soles
21.
a= 51 r= 2 u=
813
813− 51+ 2 764
n =
= = 382
2 2
( 813+
51)( 382)
s =
2
s = ( 864)( 191)
= 165.
024
22. 5º →31 9º
→59
interpolando
n= 5 a= 31 u=
59
59 − 31 28
r = = = 7
5−1
4
10º térm.
→ 59 + 7 = 66
11º térm.
→ 66 + 7 = 73
20.
a= 161 r= 322 n=
5
12º térm.
→ 73 + 7 = 80
u = 161+ ( 4)( 322)
= 1.
449
( 1449 . + 161)()
5
23.
n= 3 a= 12. 500 u=
20.
500
s =
2
a+ u= 12. 500 + 20.
500
( 1610 . )() 5
a+ u=
33.
000
s =
2
Luego 2( 2º term. ) = 33.
000
8050 .
2º term. = 16.
500 colones
s = = 4025 .
2
= 4. 025÷ 10 = 402 , 5 pies
4 5 2
r = ⋅ =
25 2 5
−
⎡⎛
⎞ ⎤
u = 1⎢⎜
2 6 1
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
5 ⎦
5
2 32
u = 5 =
5 3.
125
5. a= 3 n=
7
r = 2÷ 3=
2 3
−
⎡⎛
⎞ ⎤
u = 3⎢⎜
2 7 1
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
3 ⎦
6
2 64
u = 5 =
3 243
1
6. a= n=
6
2
1
r = ⋅ =
5 2 2 5
6−1
1 ⎡⎛
2⎞
⎤
u = ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
2 5 ⎦
4
2 16
u = 5 =
5 3125 .
9
7. a= n=
8
4
r = 3⋅ 4 4
=
9 3
7
9 ⎡⎛
4⎞
⎤
u = ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
4 3 ⎦
6
4 4096 .
u = 5 = = 16
3 243
208
243
8.
a=− 3 n=
6
( )
5
( )
( )
r = 6÷ − 3 = −2
[ ]
u =−3 −2
u =−3 − 32 = 96
9. a= 3 n=
9
1
r =− 1÷ 3= −
3
8
⎡⎛
1⎞
⎤
u = 3⎢⎜
− ⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
3 ⎦
1 1
u = 7 =
3 2.
187
5
10. a= n=
5
6
1 6 3
r = ⋅ =
2 5 5
4
5 ⎡⎛
3⎞
⎤
u = ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
6 5 ⎦
3
3 27
u = =
25 ⋅
3
250

11.
a= 16 n=
8
1
r = 1÷ ( − 4)
= −
4
7
⎡⎛
1⎞
⎤
u = 16 ⎢⎜
− ⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
4 ⎦
1 1
u =− 5 =−
4 1.
024
EJERCICIO 292
3
12.
a= n=
8
4
1 2
r = ( − 2)
= −
3 3
7
3 ⎡⎛
2⎞
⎤
u = ⎢⎜
− ⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
4 3 ⎦
5
2 32
u =−
6
=−
3 729
3
13. a=− n=
5
5
3 ⎛ 5⎞
5
r = ⎜ − ⎟ =−
2 ⎝ 3⎠
2
4
3 ⎡⎛
5⎞
⎤
u =− ⎢⎜
− ⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
5 2 ⎦
u =− ⋅ 3
35 375
4
=− =−23
2 16
1 1
1. r= u= n=
7
4. a= 2 u= 64 n=
6
2 64
6
1 1
64 2
6
6
r = 5 = 5 5 5
= 2 = 2
a =
64
=
2 2
2 2
6 = = 1
⎛
⎝ ⎜ 1⎞
1
6
2
⎟
1
6
2⎠
2
5. a= u= 243 n=
7
3
2 64
2. r= u= n=
9
243
6 6 6
3 2.
187
r = = 729 = 3 =± 3
6 1
64 6
2
3
2 187 7
6 8
.
⋅
a= a= 3 2 3 3 3
8 8 =
8 7
=
2
=
6. a=− 5 u= 640 n=
8
⎛
⎝ ⎜ 2⎞
2 2 ⋅3
2 4
⎟ 8
3⎠
3
640
r = 7
32 125 2
− 5
3. r = ⋅ =
625 16 5
r =
7 7 7
− 128 = − 2 =−2
32
u= n=
6
729 3
625
7. a= u= n=
6
5
2 2
32 2
4
5 5
⋅
a =
625
=
5 2 5
3
5 5 = 5 4 = 5
⎛
⎝ ⎜ 2⎞
2 2 ⋅5
r =
2 1 1
5 = 5 =
⎟ 5
729 243 3
5⎠
5
2
7
16
3
14. a=− n=
10
4
1 ⎛ 4⎞
1
r =− ⎜ − ⎟=
4 ⎝ 3⎠
3
9
3 ⎡⎛
1⎞
⎤
u =− ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥
4 3 ⎦
1 1
u =− =−
43 ⋅
8
26.
244
1
8. a= 8 u= n=
7
512
1
6
r =
512 1 1 1
= 6 = 6 =±
6
8 4.
096 4 4
625
9. a= u= 1 n=
5
16
1 16 2 2
r = = 4 = 4 =±
4 625
4
625 5 5
16
27 2
10. a= u=− n=
8
64 81
r =
7
2
−
81
27
64
6
22 ⋅
r = 7 −
3 ⋅3
4 3
7
4
2 2
= 7 − =−
7
3 3
EJERCICIO 293
1.
a= 6 n=
5
r = 3÷ 6=
1 2
4
⎡⎛
1⎞
⎤
u = ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥ = ⎛
⎦
⎝ ⎜ ⎞
6 6 1 3
⎟ =
2 16⎠
8
⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 1⎞
⎟−6
8 2⎠
s =
1
−
2 1
93 93
5
s =− ( − 2)
= = 11 8
16 8
2.
a= 4 n=
6
r =− 8÷ 4=−2
5
[( ) ]
( )
( )
u = 4 −2
u = 4 − 32 = −128
s = − 128 − 2 − 4
−2−1
252
s = =−84
− 3
3. a = 12 n = 7
r = 4÷ 12=
1 3
6
⎡⎛
1⎞
⎤ ⎛ 1 ⎞ 4
u = 12 ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥ = 12 ⎜ ⎟=
3 ⎦
⎝ 729⎠
243
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎝ ⎠ ⎝ ⎜ 1⎞
⎟ − 12
243 3⎠
s =
1
−
3 1
8.
744 ⎛ 3⎞
s =− ⎜ − ⎟
729 ⎝ 2⎠
26.
232 1.
446 241
s = = 17 1.
458 = 17 243
1.
458
1
4.
a= n=
10
4
1
r = ⋅ =
2 4 2
1
u = [ ] =
4 2 9
128
1
128( 2)
−
s =
4
2−
1
1.
023
s = = 255
4
3
4

9
5.
a= n=
8
4
3 4 2
r = ⋅ =
2 9 3
9 ⎡⎛
2⎞
⎤ 2
u = ⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥ =
4 3 ⎦ 3
5
2 ⎛ 2⎞
5 ⎜ ⎟ −
3 ⎝ 3⎠
s =
2
−
3 1
8 8
2 − 3
s = 6 2
3 ⋅2
7 5
9
4
( − 3)
s = − 6.
305
−
2.
916
5
( 3)
18.
915 1419 . 473
s = = 6 2916 . = 6 972
2.
916
1
6.
a=− n=
7
10
1
r = ( − 10)
= −2
5
1 6 64 32
u =− [( − 2)
] =− =−
10 10 5
32 1
− ( − 2)
+
s =
5 10
−2−1
129
s =
10 129
=− =−4
− 3 30
3
10
EJERCICIO 294
1.
a= 5 u= 3.
125 n=
5
3125 .
r =
4
= 25 ± 5
5
( ± ) = ±
( )
( )
5 5 25
± 25 ± 5 = 125
125 ± 5 = ± 625
÷÷ 5: ± 25: 125: ± 625: 3.
125
2. a=− 7 u=− 224 m=
4
r = − 224
5
5 = 32 = 2
−7
−72 ⋅ =−14
−14⋅ 2 =−28
−28⋅ 2 =−56
−56⋅ 2 =−112
÷÷−7: −14: −28: −56: −112:
−224
7.
a=− 6 n=
10
1
r =− 3÷ ( − 6)
=
2
9
⎡⎛
1⎞
⎤ 3
u =−6
⎢⎜
⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥ =−
8
2 ⎦ 2
3 ⎛ 1⎞
− 8 ⎜ ⎟ + 6
2 ⎝ 2⎠
s =
1
−
2 1
3.
069
s =
512 6.
138
= =−11
1 − 512
−
2
253
256
8. a= 2 n=
8
1
r =− 1÷ 2=−
2
7
⎡⎛
1⎞
⎤ 1 1
u = 2 ⎢⎜
− ⎟
⎣
⎝ ⎠
⎥ =− 6 =−
2 ⎦ 2 64
1 ⎛ 1⎞
− ⎜ − ⎟ − 2
64 ⎝ 2⎠
s =
1
− −
2 1
255
s =
128 510
= = =
3 384 1 126
1 21
384 64
2
3. a= 128 u= 2 n=
7
2 1 1
r =
6
=
6
6 = ±
128 2 2
⎛ 1⎞
128⎜
± ⎟=± 64
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
± 64 ⎜ ± ⎟= 32
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
32⎜
± ⎟ =± 16
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
± 16⎜
± ⎟ = 8
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
8⎜
± ⎟ =± 4
⎝ 2⎠
÷÷ 128: ± 64: 32: ± 16: 8: ± 4:
2
3
9. a= n=
6
2
r = 1÷ 3 2
=
2 3
5 4
3 ⎛ 2⎞
2 16
u = ⎜ ⎟ = 4 =
2 ⎝ 3⎠
3 81
16 ⎛ 2⎞
3
⎜ ⎟−
81 ⎝ 3⎠
2
s =
2
−
3 1
s = − 179
1 486 17
= 4 162
1
−
3
10.
a= 9 n=
6
1
r = 1÷ ( − 3)
= −
3
⎛ 1⎞
1 1
u = 9⎜
− ⎟ =−
3
=−
⎝ 3⎠
3 27
1 ⎛ 1⎞
− ⎜ − ⎟−9
27 ⎝ 3⎠
s =
1
− −
3 1
728
−
s =
81
4
−
3
2184 .
240
s = = 6 324 = 6
324
5
20
27
9 16
4. a= u= n=
6
2 27
16
5
r =
27 2 2
5
5 = 5 =
9 3 3
2
9 ⎛ 2⎞
⎜ ⎟ = 3
2 ⎝ 3⎠
⎛ ⎞
3⎜
2 ⎟= 2
⎝ 3⎠
⎛ ⎞
2 ⎜
2 4
⎟=
⎝ 3⎠
3
4 ⎛ 2⎞
8
⎜ ⎟ =
3 ⎝ 3⎠
9
9
÷÷
2 3 2 4 8 16
: : : : :
3 9 27
1
1
8 16
÷÷ 4 2 : 3: 2: 13: :
9 27

5. a= 2
2187 .
u= 64
m=
6
2187 .
7
7
r =
64 3 3
7
= 7 =
2 2 2
⎛ ⎞
2 ⎜
3 ⎟= 3
⎝ 2⎠
⎛ ⎞
3⎜
3 9
⎟ =
⎝ 2⎠
2
9 ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ =
2 ⎝ 2⎠
27
4
81
8
243
16
⎛ 3⎞
⎜ ⎟=
⎝ 2⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠
⎛ 3⎞
⎜ ⎟=
⎝ 2⎠
27
4
81
8
243
16
729
32
1 3 1 3 25
÷÷ 2: 3: 4 : 6 : 10 : 15 : 22 : 34
EJERCICIO 295
2
4
8
16
4 27
6. a= u= n=
6
9 256
27
5
r =
256 3 3
5
5 = 5 =
4 4 4
9
4 ⎛ 3⎞
1
⎜ ⎟=
9 ⎝ 4⎠
3
32
1 ⎛ 3⎞
1
⎜ ⎟ =
3 ⎝ 4⎠
4
1 ⎛ 3⎞
3
⎜ ⎟ =
4 ⎝ 4⎠
16
3 ⎛ 3⎞
9
⎜ ⎟ =
16 ⎝ 4⎠
64
4 1 1 3 9 27
÷÷ : : : : :
9 3 4 16 64 256
1 1 1
1. a= 2 r= ⋅ =
3. a=− r= − 2
2 2 4
− = 2
5
5 5
2 2 8
s = = = =
1−
1 3 3 2 2 3
s = − 5
= − 5 25
=−
1−
2 3 3
4 4
5 5
1 1
2. a= r= ⋅ =
2 6 2 1 =−8 1 3
3
8 ⎛ 1⎞
2
1 1
4. a=− 4 r=− ⎜ − ⎟ =
3 ⎝ 4⎠
3
s = 2 = =
1−
1 2 3
2 4 s = − 4
= − 4
=−
3 3
1−
2 12
1
3 3
EJERCICIO 296
11
64
7. a= 8
1
u= 32
m=
7
1
8
r =
32 1 1
=
8
8 = ±
8 2 2
⎛ 1⎞
8⎜
± ⎟ =± 4
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
± 4 ⎜ ± ⎟= 2
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
2 ⎜ ± ⎟=± 1
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
1
± 1⎜
± ⎟ =
⎝ 2⎠
2
1 ⎛ 1⎞
1
⎜ ± ⎟ =±
2 ⎝ 2⎠
4
1 ⎛ 1⎞
1
± ⎜ ± ⎟ =
4 ⎝ 2⎠
8
3 1 ⎛ 4⎞
1
5. a= r=
⎜ ⎟=
4 4 ⎝ 3⎠
3
3 3
s =
4
=
4 9
= =
1−
1 2 8 1 1 8
3 3
1 1
6. a= r= ⋅ =
6 7 6 6 7
1 1
s =
6
=
6 7
= =
1−
6 1 6 1 1 6
7 7
1 ⎛ 1⎞
1
⎜ ± ⎟ =±
8 ⎝ 2⎠
16
÷ ÷ 8 ± 4 2 ± 1 1 1 1 1 1
: : : : : ± : : ± :
2 4 8 16 32
2 1 1
7. a= 2 r=− ⋅ =−
5 2 5
2 2 10
s = = = =
1+
1 6 6
5 5
8. a=− r= − 6 3
14 =
−14
7
s = − 14
= − 14
=−
1−
3 4
7 7
=−
1 2 3
98
4
24 1 2
1. 6 6 6
+ +
10 100 1000 .
6 6 ⎛ 10⎞
1
a= r=
⎜ ⎟ =
10 100 ⎝ 6 ⎠ 10
6 6
10 10 6 2
s = = = =
1 9 9 3
1−
10 10
2. 12 12 12
+ +
100 10. 000 1000000 . .
12 12 ⎛ 100⎞
1
a= r=
⎜ ⎟=
100 10.
000 ⎝ 12 ⎠ 100
12 12
100 100 12 4
s = = = =
1 99 99 33
1−
100 100
159 159
3.
+
1000 . 1000000 . .
3
159 159 ⎛ 10 ⎞ 1
a= 3
r=
6 ⎜ ⎟ =
10 10 ⎝ 159⎠
10
159
3
s =
10
1
1−
10
3
159
3
10 159
= = =
999 999
3
10
3
53
333

4. 32 32 32
+ +
100 10. 000 1000000 . .
32 32 ⎛ 100⎞
1
a= r=
⎜ ⎟ =
100 10.
000 ⎝ 32 ⎠ 100
32 32
100 100 32
s = = =
1 99 99
1−
100 100
5. 144 144 144
3 + 6 + 9
10 10 10
3
144 144 ⎛ 10 ⎞ 1
a= 3 r=
6 ⎜ ⎟ =
10 10 ⎝ 144⎠
10
144
3
s =
10
1
1−
10
3
144
3
10 144 16
= = =
999 999 111
3
10
EJERCICIO 297
1.
a= 2 r=
2
Para saber cuanto
gano el sábado → n = 6
5
( )
u = 22 = 64 Lempiras
Para saber cuanto
gané de lunes a sábado
utilizo S para los
primeros tér minos de
la
progresión.
÷÷ 2: 4: 8
Donde a = 2 r = 2 u = 64
64( 2)
− 2
s = = 126 Lempiras
2−
1
2.
n= 20 r= 2 a=
1
19
( )
u = 12 = 524288 .
524.
288( 2)
− 1
s =
2−
1
s = 1. 048.
575÷
100
s = $ 10. 485,
75
1
3. n= 8 r= u=
1
3
1 1
a = 7 = = 2.
187balboas
⎛
⎝ ⎜ 1⎞
1
⎟
3⎠
2.
187
6
3
3 5 5
6.
+ +
8. 3 18 18
+
3
+
5
10 100 1.
000
10 10 10
3
5 5 ⎛ 100⎞
1 18 18 ⎛ 10 ⎞ 1
a= r=
⎜ ⎟ = a= 3 r=
5 ⎜ ⎟=
100 1.
000 ⎝ 5 ⎠ 10 10 10 ⎝ 18 ⎠ 100
5 5
100 100 5 1
s = = = =
1 9 90 18
1−
10 10
3 1 64 16
s = + = =
10 18 180 45
18 1 1
7.
+ +
3 4
100 10 10
1 1
10 10 10 3 1
a= r= ⋅ =
3 4
10
1 1
3 3
10 10 1
s =
1 1 = =
9
−
900
10 10
18 1 163
s = + =
100 900 900
4. n= 9 →Impar
Como es una sucesión impar
los términos equidis tan, luego
la multiplicación del primer
y último término es igual
al producto entre el 3º
y el
7º
términ o.
Entonces la respuesta es:
1
=
216
8
5. n= 5 u=
81
er
4 2
3 término
= =
81 9
Se encuentra la razón
para n=
3, entre el 3º
y 5º términ o.
8
r =
81 36 2
= =
2 81 3
9
2 3 1
⋅ =
9 2 3
1 3 1
⋅ =
3 2 2
→ 2º →1º término
término
18 18
3 3
10 10 1
s = = =
1 99 55
1−
100 100
3 1 175 7
s = + = =
10 55 550 22
18 18 18
9. 2 + + 4 + 6
100 10 10
18 18 ⎛ 100⎞
1
a= r=
4 ⎜ ⎟=
100 10 ⎝ 18 ⎠ 100
18 18
100 100 2
s = = =
1 99 11
1−
100 100
2 24
s = 2 + =
11 11
1 1
6. a= u= n=
4
4 32
1
r =
32 1 1
3 = 3 =
1 8 2
4
1
⋅ = → tér o
32 2 1
6º min
16
2
7. r= u= 160 n=
5
3
160 160
a = 4 = = 810
⎛
⎝ ⎜ 2⎞
16
⎟
3⎠
81
⎛ ⎞
160⎜
2 ⎟ − 810
⎝ 3⎠
s =
2
−
3 1
2110 .
−
s =
3
= $ 2110 .
1
−
3
8. a= 59. 049 u= 100.
000 n=
6
100.
000 10 10
r = 5 = 5 =
5
59.
049 9 9
5

1
9. r= a= 24.
300 n=
6
10.
n= 15 a= 1 r=
3
3
14
⎛ ⎞
u = 24 300⎜
1 5
u = ( 3)
= 4. 782.
969
24.
300
. ⎟ = = 100
⎝ 3⎠
243
47829693 . . ( ) − 1 14. 348.
906
s =
= = $ 7174453 . .
⎛ ⎞
100⎜
1 3−
1
2
72.
800
⎟−24.
300
⎝ ⎠
−
3
s=
=
3 72.
800
= = 36. 400 bs.
1
−
−
3 1 2 2
3
EJERCICIO 298
1.
Log 532⋅0,
184
1. ( )
= Log 532 + Log 0,
184
= 2, 72591+
1 , 26482
= 1,
99073
1,
99073
⇒ 10 = 97,
888
2. Log191,
7 + Log432
= 2, 28262 + 2,
63548
= 49181 ,
⇒ Antilog 49181 , = 828144 . ,
3. Log0, 7 + Log0, 013+
Log0,
9
= 1, 84510+ 2, 11394 + 1,
95424
=−2,
08672
− 2,
08672
⇒ 10 = 0,
00819
4. Log7, 5 + Log8, 16 + Log0, 35 + Log10.
037
= 0, 875061+ 0, 911690 + 1, 544068 + 4,
001603
= 4 − 1+
2,
332422
= 5,
332422
5,
332422
⇒ 10 = 214. 991,
85
≅ 214.
992
5. Log3, 2 + Log4, 3+ Log7, 8 + Log103, 4 + Log0,
019
= 0, 505149 + 0, 633468 + 0, 892094 + 2, 014520 + 2,
278753
= 2, 323988 ⇒ Antilog 2, 323988 = 210,
857
6. Log95, 18 −Log7,
23
= 1, 978317 −0,
859138
= 1, 119179 ⇒ Antilog 1, 119179 = 13, 15767031≅13,
1577
7. Log8, 125 −Log0,
9324
= Log8, 125 + Colog 0,
9324
= 0, 909823 + 0,
030397
0 , 940220
= 0, 940220⇒ 10 = 8, 714063 ≅8,
7141
8. Log7. 653, 95 −Log12,
354
= log 7. 653, 95 + Colog 12,
354
= 3, 883885 + 2,
908192
= 2, 792077⇒ Antilog 2, 792077 = 619,
55
9. Log072183 , −Log00095
,
= Log072183 , + Colog 00095 ,
= 1, 858434 + 2,
022276
1,
88071
= 1, 88071⇒ 10 = 75, 981873 ≅75,
982
10. Log9114 . −Log002
,
= Log9114 . + Colog 002 ,
= 3, 959709 + 1,
698970
= 5, 658679 ⇒ Antilog 5, 658679 = 455. 699, 97 ≅455.
700
11.
Log 2 10 log 2
11. 10 = ( )
= 10( 0,
301029)
= 3,
010299
Anti log 3, 010299 = 1.
024
3
12.
Log 015 , = 3log 015 ,
12. ( )
= 3( 1,
176091)
= 3( − 1) + 3( 0,
176091)
=−2,
471727
−2,
471727
10 = 0, 00337499 ≅0,
003375
4
13.
Log18, 65 = 4 log 18,
65
13. ( )
= 4( 1,
270678)
= 5,
082715
Anti log 5, 082715=
120. 980,
4916
14.
Log 2⋅ 0, 084 = log 0,
168
≅ 120. 980,
5
14. ( )
2 ( )
2
= 2( log 0,
168)
= 2( 1 , 225309)
= 2( − 1) + 2( 0,
225309)
=− 1, 549382 = 2,
450618
−1,
549382
10 = 0, 028223963≅0,
028224
Anti log 2 , 450618=
0,
028224
6
15.
Log 72 , = 6log 72 ,
15. ( )
= 6( 0,
857332)
= 5,
143994
Anti log 5, 143994 = 139. 313,
75

log 3 0,
477121
16. Log 3 = = = 0,
238560
2 2
Antilog 0, 238560= 1, 7320483 ≅1,
73205
3
log 2 0,
301029
17. Log 2 = = = 0,
100343
3 3
0,
100343
10 = 1,
259921
4
log 5 0,
698970
18. Log 5 = = = 0,
174742
4 4
Antilog 0, 174742 = 1, 495348≅1,
49535
5
log 63 1,
799340
19. Log 63 = = = 0,
359868
5 5
0,
359868
10 = 2,
290172
7
log 815 2,
911157
20. Log 815 = = = 0,
415879
7 7
Antilog 0, 415879 = 2,
605431
EJERCICIO 299
1. Log515 + log 78, 19 + colog 6,
13
= 2, 711807 + 1, 893151+
1,
212539
= 3, 817497 → Antilog 3, 817497 = 6. 568, 96 ≅6.
569
2. Log23, 054 + log 934, 5 + colog 8.
164
= 1, 36275 + 2, 97058 + 4,
0881
5 4
9.
3 ⋅ 0, 2 = 5log3+
4log 0,
2
= 5( 0, 47712) + 4( 1 , 30103)
= 2, 38561−2,
79588
−0,
41027
=−0, 41027 → 10 = 0,
3888
* En la tabla se busca 1 , 58973
= 0, 42143 → Antilog 0, 42143 = 2,
63894
⇒ Anti log 0, 58973 = 0,
3888
3. Log814 , + log 973 , + colog 06 , + colog 78 ,
1
= 0, 91062 + 0, 98811+ 0, 22185 + 1,
10791
10.
log5+
2 log 3
2 3
= 1, 22849 → Antilog 1, 22849 = 16, 923461≅16,
9235 1
( ) ( )
4. Log 513, 4 + log 9, 132 + colog 85, 3 + colog 10,
764
2 0 69897 2
= , +
3 0 , 47712
= 2, 71046 + 0, 96057 + 2, 06905 + 2,
96802
= 0, 349485+
0,
31808
= 0, 7081 → Antilog 0, 7081=
5,
10622
= 0,
66757
5. Log53, 245 + log 4. 325, 6 + colog 32, 815 + colog 91,
79
→ Anti log 0, 66757 = 4 , 651199 ≅4 , 6512
= 1, 72628 + 3, 63605 + 2, 48392 + 2,
03721
1
11.
log2 + 1 log3+
3 log5
5 2 4
= 1, 88346 → Antilog 1, 88346 = 76,
4645
1
6. Log32, 6 + log 841, 9+ colog 0, 017 + colog 732,
14
( ) ( ) ( )
5 0 30103 1
2 0 47712 3
= , + , +
4 0 , 69897
= 1, 51322 + 2, 92526 + 1, 76955 + 3,
135406
= 0, 060206 + 0, 23856+
0,
5242275
= 3, 343436 → Antilog 3, 343436 = 2. 205,
139151 = 0,
82299
Como existe un signo negativo en la operación
→ Anti log 0, 82299 = 6, 65257 ≅6 , 6526
entonces este afecta el resultado total,
luego
la respuesta final es ≅−2. 205,
14
7. Log95, 36 + log 0, 14 + colog 83, 7 + colog 2,
936
= 1, 97937 + 1, 14613 + 2, 07727 + 1,
53224
=−1, 26499 → Antilog − 1, 26499 = 0,
054326
El signo negativo se anula puesto que se
encuentra en el numerador y en el
denominador luego la respuesta es positiva
8. Log7, 2+ log 8, 135 + colog 0, 003 + colog 9. 134,
7
= 0, 85733+ 0, 91036+ 2, 52288 + 4,
03930
= 0, 32987 → Antilog 0, 32987 =−2, 137333 ≅−2,
13734
12.
8log3+
5colog 5,
6
( , ) ( , )
= 8 0 47712 + 5 1 25181
= 3, 81696 −3,
74095
= 0,
07601
→ Anti log 0, 07601= 1, 19127 ≅1,
1913
13.
7log 0, 53+
3colog 2,
5
( , ) ( , )
= 7 1 72428 + 3 1 60206
=−1, 93004 −1,
19382
−3,
12386
=−3, 12386 → 10 = 0,
000751865
* En la tabla se busca 4 , 87614

2
14.
log 3+
5 colog
2
5 3
2
5 0 47712 5
= , +
3 1 , 69897
= 0, 190848 −0,
501717
( ) ( )
−0,
310869
=−0, 310869 → 10 = 0, 488799 ≅0,
4888
* En la tabla se busca 1 , 68914
15. Log 786 , + Log 814 ,
2
0, 89542 + 0,
91062
=
2
1,
80604
=
2
= 0, 90302 → Anti log 0, 90302 = 7,
9987
Log932, 5 + Log813, 6 + Log0,
005
16. 2
2, 96965 + 2, 91041+
3,
69897
=
2
3,
57903
=
2
= 1, 78952 Antilog 1, 78952=
61,
59138
Log93, 7 + Log104, 2 + colog 8, 35 + colog 7,
3
17. 2
1, 97174 + 2, 01787 + 1, 07831+
1,
13668
=
2
22046 ,
= = 1, 1023 → Antilog 1, 1023 = 12,
656174
2
3
21.
log 00316 , +
3 co log 01615 ,
2
2
3
= ( 2 , 49969 + 0,
79183)
2
3
= ( − 0, 70848)
= − 1, 06272 = 2 , 93728
2
−1,
06272
10 = 0,
086552
Anti log 2 , 93728=
0,
08655625
3
22.
log3+
2 colog5
4 3
3
4 0 47712 2
= , +
3 1 , 30103
= 0, 35784 −0,
46598
( ) ( )
=− 0, 10814 = 1 , 89186
Anti log 1 , 89186=
0,
77958
Log15 + Colog4
23. 7
1, 17609 + 1,
39794
=
7
0,
57403
= = 0,
082
7
Antilog 0, 082 = 1,
20782
Log5+
Colog3
24. 5
0, 69897 + 1,
52288
=
= 0,
04437
5
Antilog 0, 04437 =−1,
10756
Log23, 725 + Log9, 182 + Log7,
184
6
18. 25. ( Log 5+
Colog8)
3
5
1, 37521+ 0, 96294 + 0,
85637
6
=
= ( 0, 69897 + 1 , 09691)
3
5
3,
19452
= = 1, 06484 Antilog 1, 06484 =−11,
610207
6
=
3
( − 0, 20412)
= − 0, 24494 = 1 , 75506
5
Log12. 316 + Log0, 25 + colog 931, 8 + colog 0,
07 Anti log 1 , 75506 = 0, 568926 ≅0,
56893
19. 4
Log 3+
Co log5
Log5+
Co log7
4, 09047 + 1, 39794 + 3, 03068+
1,
15490
26.
+
=
2
3
4
3 0, 47712 + 1 , 30103 + 2 0, 69897 + 1 , 15490
1,
67399
=
= = 0, 41849 → Antilog 0, 41849=
2,
621125
6
4
3( − 0, 22185) + 2( −0,
14613)
20. Log 56. 813 + co =
log 22.
117
6
0 6655 0 29226
5
= − , − ,
6
4, 75446 + 5,
65527
=
0 95781
5
= − ,
=− 0, 159635=
1 , 840364
6
0,
40973
−0,
159635
= = 0, 081946 → Antilog 0, 081946 = 1,
20766 10 = 0,
6924126
5
Anti log 1 , 840364 = 0,
69241
( ) ( )

Log 2 Log 3 Log 02 ,
27.
+ +
7 5 3
( , ) + ( , ) + ( , )
15 0 30103 21 0 47712 35 1 30103
=
105
4 , 51545+ 10, 01952 −24 , 46395
=
105
9 92898
= − ,
=− 0, 094562 = 1 , 905438
105
Anti log 1 , 905438 = 0, 8043369 ≅0,
80434
Log 32 , 14 Log 59, 3 Co log 317,
6
28.
+ +
2 3 4
( , ) + ( , ) + ( , )
6 1 50705 4 1 77305 3 3 49812
=
12
9, 0423+ 7, 0922 −7 , 50564
=
12
8,
62886
= = 0,
71907
12
Anti log 0, 71907 = 5, 2368483≅5,
23685
EJERCICIO 300
2 log 0, 75+ log 39, 162 + colog 0, 07 + co log 3,
89
29.
2
( )
2 1 , 87506 + 1, 59286 + 1, 15490 + 1 , 41005
=
2
1,
90793
= = 0, 953965= 8, 99425≅8,
9943
2
3log 0, 2 + 2log 0, 3+ 4 co log 0, 05+
co log 3,
25
30.
2
( ) ( ) ( )
3 1 , 30103 + 2 1 , 47712 + 4 1, 30103 + 1 , 48812
=
2
3 0, 90309 2 0, 95424 5, 20412 1 0,
48812
= − + − + + − +
2
1,
54957
= = 0,
774785
2
Anti log 0, 774785=
5,
95366
2 2
1.
36= 2 ⋅3
Log 36= 2log2+
2log3
( , ) ( , )
= 2 0 301030 + 2 0 477121
= 0, 60206+
0,
954242
Log 36 = 1,
556302
2
2.
75= 3⋅5
Log 75= log 3+
2log5
( )
= 0, 477121+
2 0,
698970
= 0, 477121+
1,
39794
Log 75=
1,
875061
3. 30= 2⋅3⋅5
Log30 = log2 + log3+
log5
= 0, 301030+ 0, 477121+
0,
698970
Log30 = 1,
477121
4
4.
48= 2 ⋅3
Log 48 = 4log
2 + log3
( )
= 4 0, 301030 + 0,
477121
= 1, 20412 + 0,
477121
Log 48 = 1,
681241
3
5.
120 = 2 ⋅3⋅5
Log120 = 3log 2 + log3+
log5
( )
= 3 0, 30103 + 0, 477121+
0,
69897
= 0, 90309 + 1,
176091
Log120 = 2,
079181
2
6.
98 = 7 ⋅2
Log 98= 2log7 + log2
( )
= 2 0, 845098 + 0,
30103
= 1, 690196 + 0,
30103
Log 98 = 1,
991226
3
7.
343=
7
Log 343=
3log7
( , )
= 3 0 845098
Log 343=
2,
535294
Log 0, 343=
1 , 535294
2 2
8.
225= 5 ⋅3
Log 225= 2log5+
2 log3
( , ) ( , )
= 2 0 69897 + 2 0 477121
= 1, 39794 + 0,
954242
= 2,
352182
Log 22 , 5=
1,
352182
9.
196 = 2 ⋅7
2 2
( log log )
( , , )
( , )
Log196 = 2 2 + 7
= 2 0 30103+
0 845098
= 2 1 146128
= 2,
292256
Log1, 96=
0,
292256

3
1
5
1
7
10.
875= 5 ⋅7
13.
2
16. 2
3
=
2 25
2 = = ,
3
Log 875= 3log5+
log7
2
25=
5
1
7
Log2
3
= log
= 3( 0, 69897)
+ 0,
845098
Log 25=
2( 0,
69897)
3
= 2, 09691+
0,
845098
= log7+
colog3
= 1,
39794
= 2,
942008
1
= 0, 845098+
1,
522879
Log 2 2 = 0,
397940
Log 0, 875=
1 , 942008
= 0,
367977
4 2
14. 1
3
1
11.
2.
025= 3 ⋅5
2 15
2
= = ,
17. 13 =
143
Log 2. 025= 4log3+
2log5
15 = 3⋅5
11
143
= 4( 0, 477121) + 2( 0,
69897)
Log15= log3+
log5
Log13
= log
11
= 1, 908484 + 1,
39794
= 0, 477121+
0,
698970
= log143 + colog11
= 3,
306424
= 1,
176091
= 2, 155336 + 2,
958607
1
Log 202, 5=
2,
306424
Log12
= 0,
176091
Log13 = 1,
113943
6
12.
448 = 2 ⋅7
15. 2
7
1
18. Log 448 = 6log2 + log7
5 14
25 =
225
5
= = ,
9
14 = 7⋅2
= 6( 0, 30103)
+ 0,
845098
225
Log14 = log7 + log2
Log25
= log
= 1, 80618 + 0,
845098
9
= 0, 845098 + 0,
30103 = log225 + colog9
= 2,
651278
= 1,
146128
Log 44, 8 = 1,
651278
= 2, 352183+
1,
045757
2
Log15
= 0,
146128
Log25 = 1,
397940
EJERCICIO 301
x
4.
9 = 0,
576
x
1.
5 3
x
=
Log 9 = log 0,
576
3x
+ 1
x
7.
2 = 128
Log5 = log3
x log 9 = 1 , 76042
3x
+ 1
Log 2 = log128
x log5=
log3
x( 0, 95424)
= 1 , 76042
x( 0, 69897)
( 3x
+ 1)
log 2 = 2,
10721
= 0,
477121
1 , 76042
0,
477121
x =
( 3x
+ 1)( 0, 30103)
= 2,
10721
x = = 0,
6826
0,
95424
0,
69897
0 23958
x
2. 7 = 512
x = −
3x
+ 1=
7
,
3x
= 6
0,
95424
x
x = 2
Log7 = log512
x =−0,
2510689
xlog7 = log512
x ≅−0,
25107
2x−1
8.
3 = 2.
187
2,
70927
x+
1
x = = 3,
205864
5.
3 = 729
2x−1
Log 3 = log 2.
187
0,
845098
x+
1
Log 3 = 729
( 2x
− 1)
log 3=
3,
33985
x ≅ 3,
2059
( x + 1)
log 3=
log 729
x
3.
0, 2 = 0,
0016
( 2x
− 1)( 0, 477121)
= 3,
33985
( x + 1)( 0, 477121)
= 2,
86273
x
2x
− 1=
7
Log 0, 2 = log 0,
0016
x + 1=
6,
00944
2x= 8⇒ x=
4
x log 0, 2 = log 0,
0016
x = 6,
00944 −1
x( 1 , 30103)
= 3,
20412
2x
x= 5,
00944 ⇒ x≅5
9. 11 = 915
x−2
3,
20412
6.
5 = 625
x =
x−2
1 , 30103
Log 5 = log625
− 3 0,
20412
x =
+ ( x − 2)
log 5=
2,
79588
− 0,
69897 − 0,
69897
x = 4, 29203−0,
29203
x 2 2 ,
− =
79588
0,
69897
x = 4
x− 2= 4⇒ x=
6
2
x
Log11 = log915
2xlog 11=
2,
96142
2,
96142
2x
=
1,
04139
2x
= 2,
84372
x = 1,
42186

EJERCICIO 302
1. a= 3 u= 48 r= 6÷ 3=
2
Log48 + Colog3
n=
+ 1
Log2
1, 68124 + 1,
522879
n=
+ 1
0,
30103
1,
204119
n= + = + =
0,
30103 1 4 1 5
243 3
2. a= 2 u= r=
16 2
243
Log
16
+ Colog2
n=
+ 1
3
Log
2
Log243 + colog16 + colog2
n=
+ 1
Log15
,
2, 38461+ 2, 79588 + 1,
69897
n=
+ 1
0,
176091
0,
87946
n= + 1 = 4, 994 + 1 n= 5,
994 n≅6
0,
176091 3. a= 4 u= 512 r= 8 ÷ 4 = 2
Log512 + Colog4
n=
+ 1
Log2
2, 70927 + 1,
39794
n=
+ 1
0,
30103
2,
10721
n= + = + =
0,
30103 1 7 1 8
2.
048 8 4
4. a= 6 u= r= =
81 6 3
2.
048
Log + Colog6
n=
81
4
Log
3
Log2. 048 + Colog81+
Colog6
n=
Log4+
Colog3
3, 31133 + 2, 09151+
1,
22184
n =
+ 1
0, 60206 + 1,
522879
0,
62468
n= +
0,
124939 1
n= 4,
999879+
1
n=
5,
999879
n ≅6
625 5
5. a= 2 u= r= =
8 2 25 ,
625
Log + Colog2
n=
8
+ 1
Log25
,
Log625 + Colog8 + Colog2
n=
+ 1
Log25
,
2, 79588 + 1, 09691+
1,
69897
n=
+ 1
0,
39794
1,
59176
n= + = + =
0,
39794 1 4 1 5
EJERCICIO 303
1.
c= 500 r= 0,
06 t = 3
( ,
3
)
( ,
3
)
Log 500( 1,
06)
C = 500 1+
0 06
C = 500 1 06
Log C =
Log C = Log 500 + 3log 1,
06
( )
Log C = 2 , 69897 + 3 0,
02531
Log C = 2 , 7749
Anti log 2 , 7749 = $ 595,
51
3
2.
c= 3. 500 r= 0,
07 t=
5
5
( )
3. 500( 1,
07)
C = 3. 500 1+
0,
07
Log C = Log
Log C = Log 3. 500+
5 Log1,
07
( )
= 3, 54407 + 5 0,
02938
= 3, 54407 + 0,
1469
Log C = 3,
69097
Anti log 3, 69097 = 4. 908,
94 soles
5
3.
c= 8132 . r= 009 , t=
10
10
( )
8132109 . ( , )
C = 81321 . + 009 ,
Log C = Log
= Log8. 132 + 10 Log1,
09
( )
= 3, 91020 + 10 0,
03743
= 3, 91020 + 0,
3743
Log C = 42845 ,
Anti log 4 , 2845=
19. 253, 070 bs.
10

4.
c= 930 r= 0,
035 t=
7
7
( , )
Log 930( 1,
035)
C = 930 1+
0 035
Log C =
= Log 930+
7 Log1,
035
( )
= 2, 9684829 + 7 0,
0149403
7
= 2, 9684829 + 0,
01045821
Log C = 3, 073065 Anti log 3, 073065=
$ 1. 183,
2186
5.
C= 12.
318 t=
6
1
17 425 ,
r = 4 4 = = 425 , ⇒ = 0,
0425
4 100
(
6
)
. ( , )
C = 12. 318 1+
0,
0425
6.
C= 24.
186 t=
7
11 55 ,
1
r = 5 = = 55⇒ =
2 100 0 055
2 , ,
(
7
)
. ( , )
C = 24. 186 1+
0,
055
Log C = Log 24 186 1 055
= Log 24. 186 + 7 log 1,
055
6
( )
= 4 , 383564 + 7 0,
0232524
= 4 , 383564 + 0,
1627668
Log C = 4 , 5463308
Anti log 4 , 5463308 = 35. 182 , 83244 sucres
7.
C= 54.
293 t=
5
3
15 375 ,
r = 3 4 = = 375 , ⇒ = 00375 ,
4 100
7
( )
Log C = Log 54. 293 1,
0375
= Log54. 293+
5log 1,
0375
( )
= 4, 734743+
5 0,
015988
= 4, 734743+
0,
07994
= 4,
814683
Anti log 4, 814683=
$ 65. 265,
399
5
003 ,
8.
c= 800 t= 4 r= = 0015 ,
2
4
( , )
800( 1 0,
015)
C = 800 1+
0 015
Log C = Log +
= Log 800 + 4log 1,
015
( )
= 2, 90309 + 4 0,
00647
= 2, 90309 + 0,
02588
Log C = 2, 92897 Anti log C = $ 849,
09
12 004 ,
9.
c= 900 t= = 4 r= = 001 ,
3
4
( , )
C = 900 1+
0 01
Log C = Log 900 + 4log 1,
01
4
( )
= 2 , 954242 + 4 0,
004321
Log C = Log12 318 1 0425
= 2 , 954242 + 0,
017284
= Log12. 318+
6 Log1,
0425
= 2 , 971526
= 4, 0905402 + 6( 0,
018076)
Anti log 2 , 971526 = $ 936,
54
= 4, 0905402 + 0,
108456
10.
r= 0, 05 C= 972,
60 t=
4
Log C = 4,
1989962
972,
60
c =
4
Anti log 4, 1989962 = $ 15. 812,
34204
1+
0,
05
( )
Log c = log 972, 6 + 4colog 1,
05
4
( )
= 2, 987934 + 4 1 , 978811
= 2, 987934 −0,
084756
Log c = 2,
903178
Anti log 2, 903178 = $ 800,
16
11.
C= 1. 893,
5 t=
6
1
9
r = 4 = = ⇒ =
2 45 45 ,
100 0 045
2 , ,
c =
1. 893,
5
( 1+
0,
045)
Log c = log 1. 893, 5+
6colog 1,
045
6
( )
= 3, 277265+
6 1 , 980883
= 3, 277265−0,
114702
= 3,
162563
Anti log 3, 162563=
$ 1. 454 , 02
12.
C= 54. 198, 16 r= 0,
08 t=
7
54. 198,
16
c =
( 1+
0,
08)
7
Log c = log 54. 198, 16+
7colog 1,
08
( )
= 4, 733984 + 7 1 , 966576
= 4, 733984 −0,
233968
Log c = 4,
500016
Anti log 4, 500016= 31. 623, 9 ≅31. 624Q.

13. c= 600 r= 0, 03 C=
695,
56
Log695,
56 −Log600
t =
Log103
,
2, 842334 −2,
778151
t =
0,
012837
0,
064183
t = = ≅ años
0 012837 4 ,
,
9998 5
14.
c= 1. 215 C= 1. 709, 61 r=
0,
05
Log1709 . , 61−
log 1215 .
t =
Log 1+
0,
05
( )
3, 232897 − 3,
084576
t =
0,
021189
0,
148321
t= = años
0,
021189 7
15.
c= 800 t= 4 C=
1. 048,
63
log 1. 048, 63−
log800
Log( 1+ r)
=
4
3, 020622 − 2 , 903089
Log( 1+ r)
=
4
0,
117533
Log( 1+ r)
= = 0,
029384
4
Anti log 0, 029384 = 1,
07
1+ r = 1,
07
r = 007 , ⇒7%
16.
c= 6. 354 t= 4 C=
7. 151,
46
Log 7. 151, 46−
Log 6.
354
Log( 1+ r)
=
4
3, 854394 − 3,
803047
=
4
( r)
Log 1+ = 0,
012836
Anti log 0, 012836=
1,
03
1+ r = 1,
03
r = 003 , ⇒3%
17.
c= 900 r= 0, 05 t= 2 + 1 =
3 2 , 33333
( , )
C = 900 1+
0 05
2,
33333
Log C = Log 900 + 2 , 33333log 1,
05
( )
= 2 , 954242 + 2 , 33333 0,
0211892
= 2 , 954242 + 0,
049441
= 3,
003683
Anti log 3, 003683=
1. 008,
52
Los int ereses producidos represen tan
la diferencia entre la suma inicial y lo
que se ha convertido
⇒ Intereses producidos = 1. 008,
52 −900
= $ 108,
52
EJERCICIO 304
1.
c= 40. 000 r= 0,
05 t=
10
10
. ( , )( , )
10
( 105 , ) − 1
10
( 105 , ) = 10Log105
,
= 10( 0,
0211892)
40 000 0 05 1 05
a =
Log
= 0,
211892
Anti log 0, 211892 = 1,
62889
Log a = log 40. 000+ log 0, 05+ log 1, 62889 + co log 0,
62889
= 4, 602059 + 2 , 69897 + 0, 211892 + 0,
2014253
= 3,
7143463
Anti log 3, 7143463=
$ 5. 180,
21

2.
c= 85. 000 r= 0,
03 t = 12
12
. ( , )( + , )
12
( 1+ 0,
03)
−1
12
( 103 , ) = 12log 103 ,
= 12( 0,
012837)
85 000 0 03 1 0 03
a =
Log
= 0,
154044
Anti log 0, 154044 = 1,
425761
Log a = log 85. 000 + log 0, 03+ log 1, 425761+
colog 0,
425761
= 4 , 929418 + 2 , 477121+ 0, 154044 + 0,
370834
= 3,
931417
Anti log 3, 931417 = 8. 539 , 2 soles
3.
c= 600. 000 r= 0,
05 t=
20
20
. ( , )( + , )
20
( 1+ 0,
05)
−1
20
( 105 , ) = 20log 105 ,
= 20( 0,
0211892)
600 000 0 05 1 0 05
a =
Log
= 0,
423784
Anti log 0, 423784 = 2 , 65328
Log a = log 600. 000+ log 0, 05+ log 2, 65328 + co log 1,
65328
= 5, 778151 + 2 , 69897 + 0, 423784 + 1 , 781653
= 4 , 682558
Anti log 4 , 682558 = $ 48. 145,
75
4.
c= 5' 000. 000 r= 0,
06 t=
30
' . ( , )( + , )
30
( 1+ 0,
06)
−1
30
( 106 , ) = 30log 106 ,
= 30( 0,
025306)
5 000 000 0 06 1 0 06
a =
Log
= 0,
75918
Anti log 0, 75918 = 5,
7435
log a= log 5' 000. 000+ log 0, 06 + log 5, 7435+
colog 4,
7435
= 6, 69897 + 2 , 778151+ 0, 75918 + 1 , 323901
= 5,
5602
Anti log 5, 5602 = 363. 245, 2 bs.
30
5.
c= 3. 000 r= 0,
06 t=
5
a = 3. 000⋅0,
237396
a= 712 , 188 ≅712 , 19 bs.
( )( )
5
( 106 , ) − 1
( , )
3. 000 0, 06 1,
06
a =
180 1 338226
a =
0,
338226
240,
88068
a =
0,
338226
a= 712 , 1885367 ≅712 , 19 bs.
NOTA:
0, 237396 → Vr.
que aparece
en la tabla de int erés compuesto
decreciente para el 6% en 5 años.
1, 338226 → Vr.
que aparece
en la tabla de int erés compuesto
para el 6% a 5 años.
6. c= 12. 000 r= 0,
07 t=
12
a = 12. 000⋅0,
125902
a=
1. 510, 824 bs.
7. 1
c= 350. 000 r= 4 % t=
3
a = 350. 000⋅0,
363773
a=
127. 320,
55 sucres
8. c= 425.
000 r= 6% t=
10
a = 425. 000⋅0,
135868
a = 57. 743,
9 soles
9. c= 90.
750 r= 5% t=
25
a = 90. 750⋅0,
070952
a=
6. 438, 894 bs.
1
10. c= 73. 550 r= 5
2
% t=
30
a = 73. 550⋅0,
068805
a= 5. 060, 60775 ≅5. 060, 61bs.
1
11. c= 473. 000 r= 3 % t=
9
2
a = 473. 000⋅0,
131446
a= 62. 173, 958 ≅62. 173,
96 sucres
2
5

12.
c= 45.
800 r= 4% t=
30
a = 45. 800⋅0,
057830
a=
2. 648,
614 soles
30
. ( , )( , )
30
( 104 , ) − 1
30
( 104 , ) = 30log 104 ,
= 30( 0,
017033)
45 800 0 04 1 04
a =
Log
= 0,
51099
Anti log 0, 51099 = 3,
243321
Log a = Log 45. 800 + log 0, 04 + log 3, 243321+
co log 2 , 243321
= 4, 660865+ 2 , 60206 + 0, 510989 + 1 , 649108
= 3,
423022
Anti log 3, 423022 = 2. 648,
61 soles
EJERCICIO 305
1.
c= 30. 000 r= 0,
06 t=
9
i =
Log
30. 000( 0,
06)
10
( 1+ 0, 06) − ( 1+
0,
06)
10
( 106 , ) = 10log 106 ,
= 10( 0,
02531)
= 02531 ,
Anti log 0, 2531=
1,
791018
Log i = Log 30. 000 + log 0, 06+
co log 0,
731018
= 4, 477121+ 2 , 778151+
0,
136072
= 3,
391344
Anti log 3, 391344 = $ 2. 462,
38
3.
c= 200. 000 r= 0,
05 t=
40
i =
Log
200. 000( 0,
05)
41
( 105 , ) − 105 ,
41
( 105 , ) = 41log 105 ,
= 41( 0,
0211892)
= 0,
868757
Anti log 0, 868757 = 7,
391915
Log i = Log 200. 000 + log 0, 05+
co log 6,
341915
= 5, 30103+ 2 , 69897 + 1 , 19777
= 3,
19777
Anti log 3, 19777 = $ 1. 576,
79
2.
c= 90. 000 r= 0,
04 t=
20
i =
90. 000( 0,
04)
21
( 104 , ) − 104 ,
En la tabla de int erés
( )
compuesto 1, 04 = 2,
278768
21
Log i = Log 90. 000 + log 0, 04 + co log 1,
238768
= 4, 95424 + 2 , 60206 + 1 , 90701
= 3,
4633
Anti log 3, 4633=
2. 906,
03 sucres
4.
c= 40. 000 r= 0,
06 t=
25
( )
26
( )
( )
40. 000 0,
06
i = 26
106 , − 106 ,
1, 06 → 4,
549383
Log i = log 40. 000+ log 0, 06 + colog 3,
489383
= 4 , 60206 + 2 , 778151+
1 , 457251
= 2 , 837462
Anti log 2 , 337462 = $ 687,
79