Integrales Triples

94Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLESTema 5.5 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas(Estudiar la Sección 15.7 en el Stewart 5ª Edición,; Hacer la Tarea No. 22)Definición de Integral Triple en una caja rectangular:∫∫∫=f( x,y,z) dV = f ( x,y,z)l m n∑∑∑s d∫r∫c∫lim { f ( xi, yj, zk)l,m,n→∞i= 1 j= 1 k = 1ab∆Vdxdydz =Integrales Triples en Regiones Generales:En la Tabla de la página 91 se muestran las seis diferentes regiones generalesque tomaremos en consideración, para el cálculo de integrales triples. Cadauna de estas regiones corresponde a uno de los seis diferentes ordenesposibles en que pueden integrarse las variables x, y y z.Ejemplo 1:Evalúe la integral triple ∫∫∫ z dV , en donde la región E es el tetraedro sólidoElimitado por los cuatro planos x = 0 , y = 0, z = 0, x + y + z = 1 utilizando elorden de integración : dz dy dxSolución:∫∫∫=Ex=1 y=1−x∫x=0∫y=0−1=6−1=24z dV∫[ 0 −1]12124( 1−x − y)⎧⎪⎡⎤⎨⎢1⎪⎢14243− x −⎩⎣= 0⎥⎦10=x=1 y=1−x∫x=0∫y=0=∫z=1−x−yz=03z dz dy dx =2dy dx =12⎫⎪⎬⎪⎭x=1 y=1−x∫x=0∫y=016( 1−x − y)3( 1−x) ⎥ − ( 1−x) dx = ( 1−x)∫10⎡−⎢⎣∫1032⎡ z ⎤⎢ ⎥⎣ 2 ⎦3⎤⎥⎦z=1−x−yz=01−x0dx =−1⎡dx = ⎢6 ⎣dy dx( 1−x)44⎤⎥⎦10

98Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIATarea No 22 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas(Sección 15.7 del Stewart 5ª Edición)En los problemas 1 al 4 evalúe la integral triple:∫∫∫EP1 : 6xy dV en donde E está bajo el plano z + x + yarriba de la región del plano xy limitado por las curvasy = x , y = 0 , x = 1∫∫∫E=1 , yP 2 : xy dV en donde E es el tetraedro sólido con vértices( 0 ,0,0),( 1,0,0 ),( 0,2,0) , ( 0,0,3)∫∫∫EP 3 : z dV , en donde E está limitado por los planosx = 0 , y = 0 , z = 0 , y + z = 1, x + z = 1∫∫∫EP 4 : x dV , en donde E está limitado por el paraboloidex +2 2= 4y4zy el plano x = 4R 1:R 2 :R 3:R 4 :652811011216π3En los problemas 5 y 6 utilice una integral triple para hallar el volumen del sólidodado:P5: El tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano2 x + 3y+ 6z= 12R 5:82x = y y los planos8R 6 :z 15P6: El sólido limitado por el cilindro= 0 , x + z = 1