Integrales dobles y triples - Ladyada.usach.cl

Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez ConchaFacultad de CienciaCarlos Silva CornejoDepartamento de Matemática y CCEmilio Villalobos MarínIntegrales dobles y triplesIntegrales DoblesAspectos geometricosSea R un rectangulo representado por R = [a; b] [c; d] y f una funcióncontinua de…nida sobre R, es decirf : R R 2 ! RCaso de funciones no negativas:Supongamos que f(x; y) 0 y para todo (x; y) 2 R tal que la grá…ca dez = f(x; y) está arriba del plano xy ,determinando una región V del espacio R 3 ;bajo la super…cie z = f(x; y) y sobre la region R:Antes de dar una de…nición en el lenguaje de las Sumas de Riemann, podemosdecir que; bajo las condiciones anteriores el volumen de la región V correspondeen este caso a lo que llamaremos integral doble de f sobre R y que denotaremosZ ZZ Zf(x; y)dA o f(x; y)dxdyREjemplo:Sea f(x; y) = x 2 + y 2 y R = [0; 1] [0; 2].El volumen bajo el paraboloide z = x 2 +y 2 sobre el rectángulo R correspondea la integral doble de f sobre R en este caso.Z Z(x 2 + y 2 )dARDebemos estar claros eso si, que el concepto de integral doble es mucho masque esta interpretación geométricaIntegral doble sobre un rectánguloSea R = [a; b] [c; d] un rectángulo y f una función acotada de…nida sobreR es decir existe M > 0 tal queRM f(x; y) Mpara (x; y) 2 RObs: Una función continua sobre un rectángulo cerrado siempre es acotada.ParticiónSean P 1 = fx 0 ; x 1 ; :::; x n g partición de [a; b]P 2 = fy 0 ; y 1 ; :::; y n g partición de [c; d]Al conjunto P = P 1 P 2 = f(x i ; y j )=0 i n; 0 j ng lo llamaremospartición de R de valor n n.1

Sea kP 1 k = max f4 xi = x i x i 1 =i = 1; 2; :::; ngkP 2 k = max f4 yi = y i y i 1 =j = 1; 2; :::; ngNorma de la partición.La norma de P denotada kP k se de…ne porkP k = max fkP 1 k ; kP 2 kg(no es única forma de de…nir norma de P, pero esta es la que usaremos)xxxxSumas superiores y sumas inferioresSean R ij rectángulo [x i 1 ; x i ] [y j 1 ; y j ] 1 i; j ny 4 ij = área del rectángulo R ij = (x i x i 1 ) (y j y j 1 )De…nimos ahora, sumas inferiores y sumas superiores de Riemann de f respectode la partición respectivamente pors P (f) =S P (f) =nXm ij (f)4 ij ;i;j=1nXM ij (f)4 iji;j=1Como consecuencia de estas de…niciones podemos decir de estas sumas:i) Si P es una partición cualquiera de Rs P (f) S P (f)ii) Si P 0 es partición mas …na que P ( P P 0 ) entoncess P (f) s P 0(f) y S P 0(f) S P (f)iii) Si P 1 y P 2 son dos particiones cualquiera de Rs P1 (f) S P2 (f)Con estas sumas formamos los respectivos conjuntos:Conjunto de sumas inferiores.Conjunto de sumas superiores.fs P (f)=P es partición de RgfS P (f)=P es partición de RgSi m y M son cortas inferior y superior respectivamente de f en R entoncessi A = (b a) (d c).i) s P (f) m A para todo P partición de Res decir el conjunto de sumas inferiores es acotado inferiormente2

ii)S P (f) M A para todo P partición de Res decir el conjunto de sumas superiores es acotado superiormente.Por lo tanto haciendo uso del axioma del supremo (o del ín…mo) de la axiomaticade los números reales podemos de…nir.De…niciónSi R es un rectángulo de R 2 y f una función acotada sobre R de…nimos:a)Integral Inferior de f sobre R porZ ZfdA = sup fs P (f) : P es partición de RgRb)Integral Superior de f sobre R porZ ZRfdA = inf fS P (f) : P es partición de RgSumas e IntegralesLas de…niciones de estas respectivas integrales permiten a…rmar que paratoda partició P de R y toda función acotada de…nida sobre RZ Zs P (f) RZ ZfdA RfdA S P (f)Estamos ahora en condiciones de formular la de…nición de integral doblesobre un rectángulo en base a sumas superiores e inferiores.De…nición:Una función f(x; y) de…nida y acotada sobre un rectángulo R se dice que esRiemann integrable sobre R siZ ZRZ ZfdA =RfdASi f es integrable sobre R, entonces la integral doble de…nida de f sobre R sedenota por R R R fdA o R R fdxdy y en tal casoRZ ZRZ ZfdA =RZ ZfdA =RfdANota: Alternativamente en cursos de calculo se de…ne:Z ZRfdA =limkpk!0i;j=1nXf(x i ; y j )A ij; (x i ; y j ) 2 R ijlo que no es contradictorio sino que complementario y resultan planteamientosequivalentes. Esto es la de…nición utilizando el concepto de sumas intermediasde Riemann3

Teorema:Cualquier función continua de…nida en un rectángulo cerrado R es integrableDemostración:La demostración de este hecho no resulta de interes en este curso a pesar desu enorme importancia, dejemos las cosas aquí a la imaginación del estudiante.Propiedades básicas de la Integral DobleDe la de…nición se desprende que:1)Si f(x; y) = 1 todo (x; y) 2 R;la integral resulta el área de la regiónZ ZA = Área de R = dA2)Si f es integrable en RZ ZRRZ ZcfdA = c fdAR3)Si f y g son funciones integrables en RZ ZZ Z Z Z(f + g)dA = fdA +RRRgdA4)Si f y g son funciones integrables en R y f(x; y) g(x; y) para todo(x; y) 2 R entonces Z Z Z ZfdA gdAR5)Si f es integrable sobre R, entonces jfj es integrable sobre R yZ ZZ Z fdA jfj dARRRTeorema del Valor Medio para Integrales DoblesSi f(x; y) es continua sobre rectángulo R con área A(R), entonces existeun punto ("; ) en el interior de R tal queZ Zf(x; y)dA=f("; ) A(R)DemostraciónSeaRm = min ff(x; y) : (x; y) 2 RgM = max ff(x; y) : (x; y) 2 Rgy supongamos quem‹M:4

Entonces m f(x; y) M; y si f no es identicamente igual a m o M,entoncesZ Zm A(R) < f(x; y)dA < M A(R)REl teorema del valor medio de las funciones continuas asegura que existe unpunto ("; ) en el interior R tal queZ Zf("; ) = f(x; y)dA A(R)RZ Z=)) f("; ) A(R) = f(x; y)dAIntegrales sobre conjuntos acotados de R 2En este caso extenderemos la de…nición de integral doble a regiones que noson necesariamente rectángulos, sino que regiones acotadas en general.Supongamos que S es una región cerrada y acotada de R 2 ; por ejemplo uncirculo, un triángulo, un rombo etc. , cualquier región con estas característicasse puede poner dentro de un rectángulo RDe…nición:Sea R rectángulo que contiene a región cerrada y acotada S y f una funciónde…nida y acotada en S,extendemos f a R de la siguiente forma. f(x; y); (x; y) 2 Sf R (x; y) =0; (x; y) 2 R Sf R la consideraremos como la extención de f a todo R:De…nición:Sea S una región acotada de R 2 y f una función de…nida y acotada sobreS, si es en rectángulo tal que R S y f R la extención de f a R entonces siexiste R R R f RdA , de…nimosZ Z Z ZfdA = f R dAInportante.SLas propiedades enunciadas, de la integral doble en rectángulos siguen siendoválidas en conjuntos mas generales lo que se puede justi…car por la de…niciónanteriorIntegrales IteradasUna integral de la formaZ b Z h(x)ag(x)RRf(x; y)dydx5

a)Si R = f(x; y) a x b; g 1 (x) y g 2 (x)g y g y son funciones continuasen [a; b] se tieneZ ZRfdA =Z b Z g2(x)ag 1(x)f(x; y)dydxb)Si R = f(x; y) c y d; h 1 (x) x h 2 (x)g y h 1 y h 2 son funcionescontinuas en [c; d] se tieneZ ZRfdA =Z d Z h2(y)ch 1(y)f(x; y)dxdyEjemploEste ejemplo ilustra como este teorema se adapta a la situación del problema,en este caso se pide calcularZ ZxydARy R es la region triangular del plano con vértices en los puntos A(-6,-2),B(-1,3) y C(9,-7).Solución.La región se debe subdividir en dos subregiones del tipo a) mediante unarecta paralela al eje verticalLos segmentos de recta AB, BC Y AC tienen ecuaciones y = x + 4; y =x + 2 e y = 1 3x 4 respectivemente. Las regiones pueden escribirse.1I: 6 x 1;3 x 4 y x + 41II: 1 x 9;3 x 4 y x + 2Entonces aplicando T. de Fubini en ambas regiones se tieneZ ZRxydA == 1 2= 1 9=Z 1 Z x+46Z 16Z 1610252713 x 4 xydydx +Z 91xy 2 x + 413 x 4dx + 1 2(4x 3 + 24x 2 )dx + 1 9Z x+2Z 91xydydx13 x 4 xy 2 x + 213Z x 4dx9(4x 3 30x 2 54x)dx1SE observa que R puede subdividirse también en dos regiones del tipo b)mediante una recta paralela al eje horizontal que pase por A.Propiedad7

Suponga que S es una región acotada y sea C una curva la cual divide aS en dos subregiones S 1 y S 2 .Si f es continua en S , lo es tambien en S 1 y S 2 , yZ ZZ ZZ Zf(x; y)dA = f(x; y)dA + f(x; y)dASS 1 S 2Demostración.- Directamente de la de…nición eligiendo un rectangulo su…-cientemente grande que contenga a Sy extendiendo f de S a R, de S 1 a R, S 2 a R.Ejemplo.Calcular R R S (x2 +y)dA;y la curva y = x 3donde S es la región limitada por la recta y = xSolución.- En este casoZ ZZ ZZ ZSS 1 = (x; y) 2 R 2 : 1 x 0; x y x 3S 2 = (x; y) 2 R 2 : 0 x 1; x 3 y xZ ZZ Z(x 2 + y)dA = (x 2 + y)dA +S 1(x 2 + y)dAS 2S 1(x 2 + y)dA ==Z 01Z x3x(x 2 + y)dydx =Z 01[(x 5 + x62 ) (x3 + x22 )]dx= ( x66 + x714==S 2(x 2 + y)dA ==( 1) 66184Z 1 Z x0Z 10x 44( 1) 714x 36 ) 01+ ( 1)44x 3 (x 2 + y)dydx =Z 01(x 2 y + y22 ) x 3x dxZ 1[(x 3 + x22 ) (x5 + x62 )]dx= [( x44 + x36 ) (x6 6 + x714 )] 10= ( 144 + 136 ) (16 6 + 1714 )= 52880+ ( 1)36(x 2 y + y22 ) xx 3 dx

Por lo tantoZ ZS(x 2 + y)dA = 184 + 528 = 1 6Areas y VolumenesAreaComo se dijo en la introducción y de acuerdo a la idea geométrica si R esuna región plana entonces el área de R se calcula con la integral dobleZ ZA(R) = dAEjemplo.Calcule el área de la región interior a la circunferencia x 2 +y 2 = 2ax arribade la parábola ay = x 2 , a›0Solución.…guraR : 0 x a; x2a y p 2ax x 2A ==Z ZRZ a0dA =RZ a Z p 2ax x 20x 2a( p 2ax x 2 x 2= a2(3 4)12a )dxdydxVolumenSi R es una región plana, z = f(x; y); z = g(x; y) son dos super…cies talque f(x; y) g(x; y) 8(x; y) 2 R ,el volumen entre ambas super…cies al interior de la región se puede calcularusando la siguiente integral dobleZ ZV = [f(x; y) g(x; y)]dAREjemplos1)Use la integral doble para determinar el volumen del tetraedro acotadopor los planos coordenados y el plano 3x + 6y + 4z 12 = 0Solución.para determinar la región R hacemos z=0 para encontrar la interseccióndel plano dado con el plano xyz = 0 =) 3x + 6y = 12 =) y = 1 2 x + 29

La región en el plano xy está acotada por el eje x, el eje yy =1 2x + 2; por lo tanto…guraR : 0 x 4; 0 y 1 2 x + 212 3x 6y 3z = f(x; y) =4= 34 x 32y y z = g(x; y) = 0El volumen del tetraedro es:y la rectaV ====Z ZZ ZZ 40 x316RRf(x; y)dA3334 x 32 y dA =34 x y3x 2 44 + 3x = 40Z 4 Z 12 x+2003y 2 12 x+2dx =40Z 40334 x 32 y dydx = 3 316 x2 2 x + 3 dxOtros1) R RUsando integral iterada calculesx2 + 2y dA; S: región comprendida entre y = x 2 e y = p x2)Calcule el volumen del solido limitado por los cilindros x 2 + z 2 = 16 yy 2 + z 2 = 16 .Este es un interesante ejercicio, puede empazar por bosquejar el solido ouna parte de él, pues se puede aprovechar su simetría.Cambio de variableUn cambio de variables adecuado puede no solo simpli…car el integrandosino también la región donde se evalúa la integralSea f una función continua de…nida sobre la region R cerrada y acotada.Considerese la integral dobleZ Zf(x; y)dxdyDe…nimos T , transformación invertibleRx = x(u; v); (u; v) 2 Sy = y(u; v); (u; v) 2 S@(x; y)tal que6= 0, la que produce una correspondencia biunívoca@(u; v)entre R y S donde R es una región en xy y S es la nueva región en plano uv.resultado de la transformación T .10

Si P es una partición de…nida en R la transformación induce a su vez una correspondientepartición en S de tal modo que si R ij es un subrectángulo generadopor la partición P en R; denotaremos por S ij el correspondiente subrectánguloen SSi 4Aij = Area de R ij4A 0 ij = Area de S ijSe tiene la siguiente razón entre las áreas.Entonces4A ij4A 0 ij=@(x; y)@(u; v) =) 4A ij =@(x; y)@(u; v) 4 A0 ijf(x; y) 4 A xy t f(x; y)@(x; y)@(u; v) 4 A uvDe esta relación y la de…nición de integral doble se tiene el siguiente teoremade cambio de variable.TeoremaSea R una región en el plano xy acotado por una curva simple cerrada ysuave y que S es la imagen de R bajo la transformación T invertible, de…nidax = x(u; v); (u; v) 2 Sy = y(u; v); (u; v) 2 Sdonde x(u; v); y(u; v) son continuamente diferenciables en un dominio quecontiene a S en cual@(x; y)J @(u; v) 6= 0Si f(x; y) de…ne una función continua sobre R se tiene:Z ZZ Zf(x; y)dxdy = f (x (u; v) ; y (u; v))@(x; y)@(u; v) dudvEjemplo 1:CalcularRSZ ZR3xydASea R la región limitada por las rectas x 2y = 0; x 2y = 4; x + y = 4;x + y = 1Solución:…guraSea u = x + y; v = x 2yResolviendo el % sistema lineal obtenemosu = x + y=) x = 1 3(2u + v)v = x 2y y = 1 3 (u v) 11

@(x; y) @x@(u; v) = @u@yZ ZR@u@x@v@y@v 2 = 31311313 = 2 919 = 1 3Z Z3xydA = 3( 1S 3 (2u + v) 1 3 (u v)) 13 dA= 1 Z Z(2u + v) (u v) dA9 S= 1 Z 4 Z 0(2u + v) (u v) dudv9 4= 1049Ejemplo 2:CalcularZ Zpx2 + y 2 dAR región del plano xy limitada por x 2 + y 2 = 4; x 2 + y 2 = 9RSolución:Seax = r cos y = r sin =) @(x; y) @x@(u; v) = @u@yZ ZR@upx2 + y 2 dA ===@x@v@y@vZ ZSZ 2 Z 30Z 20 = cos sin r jrj drd2r 2 drd19 38d =3 3 r sin r cos = rAplicaciones de la integral dobleA. Masa de una región plana de densidad variable.Sea (x; y) función positiva y de…nida sobre un conjunto cerrado y acotadoS con área no nula, que indica la densidad en cada punto (x; y) de S:La masa de S es la integral de la función densidad.Z ZM(S)= (x; y)dAEn el caso que la densidad es constante = k; la masa es el producto delárea por la densidad: M(S)=k A(S):S12

Ejemplo:Encuentre la masa de un circulo de radio a si su densidad es veces ladistancia al centro.Solucion:Con el uso de coordenadas polares el calculo de la integral resultante es massencillo.Z ZM(S) = Spx2 + y 2 dydx = Z 20Z aB: Momentos y centroide de una region plana0 2 dd = 2a33Para un conjunto S acotado y de área positiva , y una función densidadde…nida en S; tenemos las siguientes de…niciones.Primer momento con respecto al eje y:Z ZM y = (x; y)xdAPrimer momento con respecto al eje x:Z ZM x = (x; y)ydASegundo momento con respecto al eje y:Z ZI y = (x; y)x 2 dASegundo momento con respecto al eje x:Z ZI x = (x; y)y 2 dASegundo momento Polar con respecto al origen:Z ZI 0 = (x; y)(x 2 + y 2 )dACentroide:S(x; y) =SSSSMyM ; Mx M13

Cuando la función densidad es variable y está asociada con la distribuciónde la masa, los segundos momentos se llaman también momentos de inercia yel centroide se le llama también centro de masas.En una forma más general, el primer y segundo momento de un conjunto Sse puede de…nir con respecto a una linea recta cualquiera L.Z ZM L = (x; y)D(x; y)dASZ ZI L = (x; y) [D(x; y)] 2 dASiendo D(x; y) la distancia de la recta L al punto (x,y).SEjemplo.Una lámina triangular tiene los vértices (0; 0); (1; 0) y (1; 2); y tiene densidad(x; y) = x 2 y: Halle su centro de masa.Solución:En este caso R es: 0 x 1; 0 x 2xEn este caso debemos calcular M = M(S); M y y M x :M =Z Z=) M =x 2 ydA =SZ 1Calculemos ahoraZ ZM y = x 2 yxdA =Por últimoM x =S=) M y = 1 3Z ZS0x 2 yydA 8x6=) M x =18 10Z 1 Z 2x00 2x2x 4 5dx =5Z 1 Z 2x0= 4 90Z 1 Z 2x00x 2 ydydx = 10= 2 5x 2 y 2 dydx =x 3 ydydx =Z 10Z 10Z 10 x 2 y 33 x 2 y 22 2x0dx 2x2x 5 6dx =6 2x0dx =Z 10 108x 53 dxAsí tenemos que(x; y) =MyM ; Mx = ( 5 M 6 ; 10 9 )Integrales triples14

ZZZx 2 + yz dv =Z 2Z 2Z 3x 2 + yz dzdydxR==0Z 20Z 2Z 2Z 2111 3jx 2 z + y z2dydx2 13x 2 + 9 2 y x 2 + y 2 dydx0Z 2Z 214x 2 + 4y dydx=0Z 214x 2 y + 2y 2 2j1dx=0Z 212x 2 + 6 dx0= 4x 3 + 6x 2 j0= 44Teorema de la integral triple(Para dominios más generales)Si f(x; y; z) esta de…nida sobre un conjunto acotado R formado por todoslos puntos tales que a 1 x b 1 ; y 1 (x) y y 2 (x) y z 1 (x; y) z z 2 (x; y)entonces:ZZZf(x; y; z)dv =RZb 1Za 1y 2(x)z 2(x;y)Zy 1(x) z 1(x;y)f(x; y; z)dzdydxsiempre que ambas integrales existan.Obs:? Hay otras cinco formas de calcular la integral triple dependiendo elorden de integración para el calculo de la integral iterada.? Si S es un conjunto acotado el cual tiene área en el plano XY yf(x; y; z) es una función de…nida, acotada y no negativa sobre S; y si R es elconjunto de todos los (x; y; z) tal que (x; y) 2 S y 0 z f(x; y), entonces laregión R tiene volumen si y solo si f(x; y) es integrable sobre S y en tal caso16

ZZv(R) =Sf(x; y)dA? Si R es una rigión de R 3 que tiene volumen, entoncesZZZv(R) = f(x; y; z)dv con f(x; y; z) = 1REjemplo:Sea R la región acotada por los paraboloides z = x 2 +y 2 y 2z = 12 x 2 y 2 .Usando integral triple calcule el volumen de R:x 2 + y 2 55037.52512.5­5­2.5z2.500­2.52.5­55xy12 x 2 y 22­555­2.502.5­50­2.52.5x­5y5­10­15zSolución17

La curva de intersección es el circulo x 2 + y 2 = 4; z = 4Si f(x; y; z) = 1 se tiene el volumenv(R) ==ZZZf(x; y; z)dvZ 2Rp4 x 2Z2Z 2= 6= 40Z 20= 12p4 x 2p4 x 2Z012 x 2 y 2Z24x 2 +y 24 x 2 3 2dxdzdydxx 2 + y 2 dydxEjemplo 2.Calcular el volumen de la región del espacio limitada por las super…ciescilindricas x 2 + z 2 = 1; y 2 + z 2 = 1:Solución.Utilizaremos la simetría del problema y proyectaremos la región al plano xz( también se pudiera proyectar al plano yz ).La proyección nos da un circulo de radio 1La región se puede expresar:1 x 1p1 x2 z p 1 x 2p1 z2 y p 1 z 2Expresando el calculo del volumen como una integral triple tenemosZ Z ZV = dxdydzusando integrales iteradasRV =Z 1p1 x 2Zp1 z 2Zdydzdx =Z 1p1 x 2Z2 p 1 z 2 dzdx1p1 x 2p1 z 21p1 x 218

Si seguimos por este camino llegamos a una expresión de feo aspecto y malcomportamiento( intentelo), recurriremos entonces al cambio de orden de integraciónque es un recurso siempre disponibleV ==Z 1Z 111p1 x 2Zp1 x 22 p 1 z 2 dzdx =Z 11p1 z 2Zp1 z 24(1 z 2 )dxdz = (4z 4 z33 ) 1 j1= 16 32 p 1 z 2 dxdzEl volumen calculado esV = 16 (unidades de volumen)3Cambio de variable para integrales triples.Sea T : U R 3 ! R 3 una transformación de clase C 1 de…nida por:x = x (u; v; w)y = y (u; v; w)z = z (u; v; w)Recordando el jacobiano de la transformación se tiene: @x @x @x@ (x; y; z)J =@ (u; v; w) = @u @v @w@y @y @y@u @v @wComo en el caso anterior de dos variables, el jacobiano mide como la curvala transformación distorsiona su dominio.Formula de cambio de variable para integrales triplesSea R una región en el espacio xyz y S una región en el espacio uvw quecorresponde a R bajo la transformación T de…nida por x = x (u; v; w) ; y =y (u; v; w) y z = z (u; v; w) siempre que T sea de clase C 1 y uno a uno, @(x;y;z)@(u;v;w) 6=0 en S. Entonces:@z@u@z@v@z@wZZZRZZZf(x; y; z)dv =Sf(x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) jJj dudvdwDondeJ =@ (x; y; z)@ (u; v; w)19

Los cambios más usados en integrales triples es a coordenadas cilindricas ycoordenadas esféricas dependiendo de la naturaleza del problema.El cambio de variable es:Coordenadas cilíndricasx = r cos y = r sin z = zSupongamos que: P es un punto del espacio de coordenadas xyzP 1 proyección de P en plano xyr radio vector de O a P 1 y el ángulo entre eje x ypositivo del eje xentonces r = p x 2 + y 2 y = arctan y xTenemos!OP 1 , medido del ladoJ = cos r sin 0@ (x; y; z)@ (r; ; z) = sin r cos 00 0 1= r cos 2 + r sin 2 = rZZZRZZZf(x; y; z)dv =Sf(r cos ; r sin ; z) r drddzEjemplo:Use coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del sólido limitado porel paraboloide z = x 2 + y 2 y el plano z = 4:20

z = x 2 + y 2Figura.Solución:En el espacio xyz, la …gura es al interior del elipsoide y limitado por arribapor el plano z = 4 que es un plano paralelo al plan xyAprovechando la simetría del sólido calculamos la cuarta parte de el (porconveniencia). En esta situación la región transformada viene descrita por:0 r 2; 0 2 ; r2 < z < 4La descripción de la región en las nuevas variables es fundamental para elacertado planteamiento de la integral doble como integral iterada, en este casoesta circunstancia es evidente21

V4===Z20Z20Z20Z 20Z 20Z 4r 2 rdzdrd4r4d = 2) V = 8r 3 drdEl cambio de variable es:Coordenadas Esféricasx = cos sin y = sin sin z = cos Supongamos que P es un punto del espacio de coordenadas xyzP 1 proyección de P en plano xy! magnitud del radio vector OP! el ángulo entre eje x y OP 1 , medido del lado positivo del eje x! angulo formado por OP y el eje Z; medido del lado positivo del eje z:J = cos sin sin sin cos @ (x; y; z)@ (; ; ) = sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin = 2 sin Formula del cambio de variableZZZZZZf(x; y; z)dv = f( cos sin ; sin sin ; cos ) RS 2 sin drddzLas coordenadas esféricas se usan preferentemente en el caso en que uno oambas super…cies que acotan la región de integración es una esfera centrada enel origen, esto se observa en los siguientes ejemplos.22

Ejemplo 1Hallar el volumen de la región sólida limitada inferiormente por el paraboloidez = x 2 + y 2 y superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9:Solución:haciendo la intersección dex 2 + y 2 + z 2 = 9 y z = x 2 + y 2resulta que la intersección de estas super…cies es una circunferencia en elplano z = p 32de…nida por las ecuaciones) x 2 + y 2 = 9 2 ; z = 3 p23esto permite visualizar que (0; p2 3; p2 ) es un punto de la intersección porlo que 0 4; la esfera tiene radio 3 por lo cual 0 3; y 0 2:Como se está calculando el volumen de una región que es simétrica respecto deleje z; la cuarta parte de la región queda descrita por0 3; 0 2 ; 0 4V4V4=) ) V ZZZ4 = f(x; y; z)dV ===Z20Z20Z40R9 sin dd 9p + 9 d = 9 2 2Z20Z40Z 30p2 1p2! 2 sin dddPor lo tantoV = 18p2 1p2!Ejemplo 2Utilice coordinadas esfericas para hallar el volumen del sólido que está arribadel cono z = p x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = zSolución.x 2 + y 2 + z 2 = z () x 2 + y 2 + (z12 )2 = 1 4es una esfera que pasa por el origen y tiene centro en (0; 0; 1 2 ):La ecuación de la esfera en coordinadas esféricas es = cos ;23

a su vez de la ecuación del cono se in…ere que 0 4 :Por lo que la región en coordenadas esfericas esta descrita porEl volumen de la región es; 0 ; 0 2; 0 cos 4Por lo tantoV ==ZZZf(x; y; z)dV =Z20= 2 3RZ40Z40 3sin 3 cos j0Z20Z40ddsin cos 3 d = 2 3V = 8cos Z 0 2 sin dddcos 4 4j = 4 0 8Masa, Momentos, y Centroide de una Región del EspacioComo en el caso de dos dimensiones, si (x; y; z) función positiva y continua,de…nida sobre una region compacta (conjunto cerrado y acotado) W convolumen, que indica la densidad en cada punto (x; y; z) de W:La masa de W es dada por la integral de la función densidad.Z Z ZM(W )= (x; y; z)dVEl primer momento de W se de…ne respecto de algun plano, y el segundomomento (o momento de inercia) con respecto a algun plano, linea o punto.Daremos aqui solo las formulas típicas planos coordenados, ejes y el origen.Primer momento con respecto al plano yz:Z Z ZM yz = (x; y; z)xdVSegundo momento con repecto al plano yz:Z Z ZI yz = (x; y; z)x 2 dVSegundo momento con repecto al eje xZ Z ZI x = (x; y; z)(y 2 + z 2 )dVWWWW24

Segundo momento polar con respecto del origenZ Z ZI 0 = (x; y; z)(x 2 + y 2 + z 2 )dVCentroide: ( x; y; z) =MyzMW; MzxM;MxyM:Ejemplo 1Determinar el centroide de la porción de la esfera x 2 + y 2 + z 2 a 2 ; en elprimer octante, asumiendo densidad constante.Solución.El problema no pierde generalidad si suponemos quex = y = z:Necesitamos calcular solamenteZ Z ZM xy = (x; y; z)zdVy usando coordenadas esfericas esta integral quedaM xy =Z20Z20Z a0W( cos ) 2 senddd = a416 =1, y claramenteComo V = a36 ; el centroide es ( 3 8 a; 3 8 a; 3 8 a)Ejemplo 2Encontrar el momento de inercia I L de un cilindro circular recto co a radiode la base, h altura y densidad proporcional a la distancia al eje del cilindro,con respecto a una recta L paralela al eje del cilindro y a una distancia b deél.Solución.La recta L se de…ne por: x = b; y = 0El cilindro es descrito por: 0 r a; 0 z hLa densidad es = krEntoncesI L ===Z Z ZZ2Z a0 0Z2Z a00hZ0hZ0= 2ka 3 hW(x; y; z)((xkr((xb) 2 + y 2 )dVb) 2 + y 2 )rdzdrdkr 2 (r 2 + b 2 )dzdrd + 0 a 25 + b2 325