Exercice 1 :

Ecole française de Damas
Durée : 2 heures
Devoir Surveillé de Mathématiques n° 8
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1 : (5 points)
Pour les questions 1. et 2. on donnera les résultats sous forme de fractions et sous forme
3
décimale par défaut à 10 près.
−
Un enfant joue avec 20 billes, 13 rouges et 7 vertes . Il met 10 rouges et 3 vertes dans
une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.
1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la
boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X
la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de X.
2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au
hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au
hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : « l’enfant choisit la boite cubique » ;
C2 : « l’enfant choisit la boite cylindrique » ;
R : « l’enfant prend une bille rouge » ;
V : « l’enfant prend une bille verte ».
a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce
deuxième jeu.
b. Calculer la probabilité de l’événement R.
c. Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité
qu’elle provienne de la boîte cubique ?
3. L’enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois
la bille tirée à sa place.
a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l’enfant ait pris au
moins une bille rouge au cours de ses n choix.
b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0,99.
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Exercice 2 : (1,5 points) élève n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
a est un nombre réel non nul.
M1 et M2 sont les points d'affixes respectives z1 et z2 solutions de l'équation :
z 2 – 2az + 1 + a 2 = 0.
Pour quelle(s) valeur(s) de a le triangle OM1M2 est-il équilatéral ?
Exercice 2 : (1,5 points) élève ayant suivi l’enseignement de spécialité
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
.
1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( Ouv ; , )
Déterminer l’écriture complexe de la symétrie s par rapport à la droite d
d’équation y = x + 1 .
2. Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A, de sens direct et I le milieu de
π
[BC]. On désigne par r la rotation de centre A et d’angle et par s la
2
symétrie d’axe (AI). On pose f = s r.
Vérifier que A et B sont invariants par f. En déduire la nature de f.
Exercice 3 : (3,5 points)
On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur a (a réel strictement positif).
Soit I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :
EA. AF, AB. AF, BC. AF .
2. En déduire que les vecteurs EC
et AF sont orthogonaux.
On admettra de même que les vecteurs EC
et AH
sont orthogonaux.
3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH).
4. (a) Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont orthogonales,
ainsi que les droites (AF) et (EI).
(b) En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).
(c) Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale `a la droite (FI).
5. Que représente le point I pour le triangle AFH ?
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