Om bilers bremseevne - Vestergaards Matematik Sider

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 3
Eksempel 1
Lad os forestille os en situation, hvor tR= 1,0 sek, v0 = 32 m/s, s0 = 20 m, a =−8m/s
.
Bevægelsen for bil B kan opdeles i to tidsintervaller: Det første, hvor bilen bremser op
og det andet, hvor bilen holder stille. I førstnævnte fås direkte af (1):
1 2 1 2 2
2 0 0 2
s ( t) = at + v t+ s = ⋅( −8) ⋅ t + 32⋅ t+ 20 = − 4t + 32t+ 20
B
som er gældende indtil bilen holder stille, hvilket afgøres ved hjælp af (2):
v= 0 ⇔ 0= a⋅ t+ v ⇔ t =− v a=−32
( − 8) =4
0 0
Efter 4 sek holder bilen stille i afstanden 84 m, som det ses af:
2
s (4) =−4⋅ 4 + 32⋅ 4 + 20 = 84
B
Heraf fås følgende gaffelforskrift for bevægelsen for bil B:
2 ⎧ − 4t + 32t+ 20 for 0≤t
≤4
sB() t = ⎨
⎩ 84 for t > 4
På tilsvarende måde er bevægelsen for bil B opdelt i tre tidsintervaller: I det første har
bil A ikke opdaget bil B’s opbremsning og kører derfor med konstant hastighed v0
.
Bevægelsen er derfor givet ved sA() t = v0⋅ t = 32t
indenfor reaktionstidsrummet fra 0 til
1 sek. I det andet tidsinterval bremser bil A op indtil den kommer til at holde helt stille i
det tredje tidsinterval. Under nedbremsningen haves en bevægelse med konstant accele-
1 2
ration, dvs. sA() t = at + vt 2 1 + s1
ifølge (1). Det giver hastigheden vA() t = at+ v1.
Da
bevægelsesfunktionen er kontinuert og differentiabel i t = 1,
fås
v (1) = 32 ⇔ ( −8) ⋅ 1+ v = 32 ⇔ v = 40
A
1
2
1 1
2
s (1) = 32⋅ 1 = 32 ⇔ ⋅( −8) ⋅ 1 + 40⋅ 1+ s = 32 ⇔ s =−4
A
2
1 1
Altså er sA() t =− 4t + 40t−4i intervallet fra 1 sek. til 5 sek. Bemærk, at bil A tager
lige så lang tid om at bremse op som bil B, i dette tilfælde 4 sek. Endelig fås bevægelsen
i det sidste tidsinterval, idet funktionen skal være kontinuert i t = 5 :
2
s (5) = −4⋅ 5 + 40⋅5− 4 = 96
Sammenlagt giver det følgende gaffelforskrift:
A
⎧ 32t for 0 ≤ t ≤ 1
sA() t =
⎪ 2
⎨ − 4t + 40t− 4
⎪
⎩
96
for1< t ≤5
for 5 < t
Graferne for s ( t ) og s ( t)
er afbildet på næste side.
A
B
2