note - Vestergaards Matematik Sider
note - Vestergaards Matematik Sider
note - Vestergaards Matematik Sider
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
En varmluftsballon<br />
Denne artikel er en lettere revideret udgave af en artikel, som Dan Frederiksen og Erik<br />
Vestergaard fra Haderslev Katedralskole havde i LMFK-bladet nr. 2, februar 1997.<br />
Enhver, som er i besiddelse af en kraftig ukrudtsbrænder, lim, ståltråd, tape og en rulle<br />
restpapir fra et avistrykkeri, kan efter 4-8 timers arbejde nyde synet af en varmluftsbal-<br />
3<br />
lon med en højde på 2 – 4 meter, et volumen på 5 – 25 mP<br />
P og med en ikke ubetydelig<br />
trækkraft på 10 – 50 N.<br />
Vi er to fysiklærere, der har puslet med disse balloner i et stykke tid, og vi nærer forhåbninger<br />
til dem som en del af et 1g projekt. Projektet vil indeholde dels en matematisk<br />
del med trigonometri og regneark, dels noget fysik omkring opdrift, men i høj grad også<br />
skæg og ballade når eleverne skal klippe, klistre og efterfølgende sætte ballonerne op<br />
udendørs. Vi har efterhånden samlet nogle erfaringer, som det kan være nyttigt for<br />
andre interesserede at få del i. En liste over de anvendte materialer er angivet i slutningen<br />
af artiklen.<br />
Ballonens geometri<br />
Ballonen opbygges af et passende antal strimler gående ovenfra og ned. Figur 1 på<br />
næste side viser ballonen set ovenfra. Beregningen af strimlernes form kræver en for<br />
gymnasieelever ikke helt triviel matematik, men med passende vejledning vil de fleste<br />
få en god forståelse for problemet.<br />
Det første vi stod overfor var at afgøre, hvilken form ballonen skulle have. Vi valgte en<br />
form, som er et omdrejningslegeme fremkommet ved at rotere en kurve bestående af en<br />
cirkelbue sammensat med et tangerende linjestykke 360° omkring symmetriaksen. Ballonen<br />
kan som vist på figur 2 beskrives ved hjælp af parametrene R, r, ϕ, hvor R er radius<br />
af cirkelbuen, r er radius af åbningen, mens ϕ er vinklen, cirkelbuen spænder over.<br />
Vi indfører følgende størrelser:<br />
s Kurvelængden fra ballonens toppunkt til punktet P s .<br />
hs () Afstanden fra P s til symmetriaksen.<br />
s max Længden af hele kurvestykket fra T til Q.<br />
s del Længden af kurven fra punktet T til det punkt D, hvor cirkelbuen går over i et<br />
linjestykke.<br />
1
Ballonen på billedet har et volumen på næsten 23 mP P, en højde på 4,2 m og vejer godt 2,2 kg.<br />
2<br />
3
Figur 1 (Ballon set oppefra)<br />
Figur 2 (Ballon set fra siden)<br />
Efter nogle beregninger fås følgende forskrift for den stykkevist definerede funktion h,<br />
idet ϕ regnes i radianer:<br />
hvor s R,<br />
⎧ ⎛ s ⎞<br />
R⋅sin ⎜ ⎟<br />
for 0 ≤s<<br />
sdel<br />
⎪<br />
hs () =<br />
R<br />
⎨<br />
⎝ ⎠<br />
⎪<br />
⎪⎩ R ⋅sin( ϕ ) + ( s−ϕ⋅R) ⋅cos( ϕ) for s ≤s≤s r<br />
= − ⋅ ϕ +<br />
cos( ϕ)<br />
del =ϕ⋅ smax R tan( )<br />
R⋅ϕ.<br />
del max<br />
Ved hjælp af hs ( ) kan vi konstruere en skabelon for de papirstrimler, som ballonen<br />
limes sammen af. Omkredsen af det cirkulære tværsnit gennem P s , vinkelret på symmetriaksen,<br />
er givet ved:<br />
omkreds = 2 π⋅ hs ( )<br />
Da ballonen er sammensat af n strimler, må bredden bs ( ) af strimlen i positionen s<br />
være: bs () = 2 π hs () n(se<br />
figur 3).<br />
3
Figur 3 (Ballonstrimmel)<br />
Når skabelonen klippes ud af et stykke avispapir taget fra en restrulle er det lettest først<br />
at folde papiret på midten og derefter klippe igennem lagene på én gang. I praksis kan<br />
det være hensigtsmæssigt at inkludere en limkant ∆ b i hver side af strimlen. Den halve<br />
strimmelbredde i positionen s bliver dermed 1 2 bs () + ∆ b(figur<br />
4).<br />
Figur 4 (Udklipning af skabelon)<br />
Ved brug af regneark (for eksempel Microsoft Excel) kan man hurtigt beregne et passende<br />
antal støttepunkter givet ved (, s b() s + ∆ b)<br />
og derudfra konstruere skabelonen.<br />
1 2<br />
Ballonen er sammensat af et kuglesegment og en keglestub. Udnyttes dette fås følgende<br />
formler til bestemmelse af volumenet V, overfladearealet S og højden h:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
h = R⋅⎜1 − ⎟ + r⋅tan(<br />
ϕ)<br />
⎝ cos( ϕ)<br />
⎠<br />
1 3 ⎛ 1 ⎞ 1 3<br />
V = πR ⋅ 2 cos( ) r tan( )<br />
3 ⎜ − ϕ − ⎟ + π ϕ<br />
3<br />
⎝ cos( ϕ)<br />
⎠<br />
2<br />
( )<br />
S = 2πR ⋅ 1−cos( ϕ ) +<br />
2 2 2<br />
( r R sin ( ) )<br />
π⋅ − ϕ<br />
cos( ϕ)<br />
Sammen med denne Word-fil følger også en Excel-fil, som kan hjælpe dig med at lave<br />
en skabelon til en ”ballon-strimmel”, alt efter hvilken størrelse ballon, du måtte ønske. I<br />
3<br />
eksemplet vist på næste side har valget af parametre resulteret i en ballon på 10,74 mP P.<br />
4
Regneark for varmluftsballon<br />
Nedenstående størrelser er i SI-enheder. De med grøn farve markerede størrelser<br />
skal vælges, resten beregnes af regnearket. Alle længdemål er i meter.<br />
Ballonradius R 1,300<br />
Åbningsradius r 0,500<br />
Åbningsomkreds O 3,142<br />
Ballonvinkel ϕ (grader) 115 (> 90°)<br />
ϕ (radianer) 2,0071<br />
Antal strimler n 12<br />
Limkant ∆b 0,020<br />
Delepunkt s_del 2,609<br />
Maximum s s_max 4,214<br />
Step i s ∆s 0,250<br />
Max bredde (incl. Limkanter) b_max 0,721<br />
Ballonvolumen V_ballon 10,74 mP<br />
Ballonoverflade S_ballon 23,57 mP<br />
Ballonhøjde h_ballon 3,304<br />
Buelængde Halve strimmelbredde<br />
inklusiv limkant<br />
s ½b(s) + ∆b<br />
0,00 0,020 Instruktion<br />
0,25 0,085 Nedkopier de to med gult<br />
0,50 0,148 markerede felter til der<br />
0,75 0,206 fremkommer tomme celler<br />
1,00 0,257<br />
1,25 0,299<br />
1,50 0,331<br />
1,75 0,352<br />
2,00 0,360<br />
2,25 0,356<br />
2,50 0,339<br />
2,75 0,313<br />
3,00 0,285<br />
3,25 0,258<br />
3,50 0,230<br />
3,75 0,202<br />
4,00 0,175<br />
4,21 0,151<br />
5<br />
3<br />
2<br />
P<br />
P
Figur 5 (Limning af strimler)<br />
Figur 6 (Limningen set fra siden)<br />
Figur 7 (Påsætning af ståltrådsring)<br />
6
Praktiske tips<br />
Selve limningen kan foretages ved at følge den lille tegneserie på figur 5: Man starter<br />
med at lægge en strimmel på gulvet. Strimmel nr. 2 anbringes over den første, så den<br />
dækker denne pånær limkanten. Nu smøres et passende lag lim på denne kant, undtagen<br />
de øverste 15–20 cm af strimlen. Herefter trækkes strimmel nr. 2 helt op til limkanten.<br />
Man sørger for at lade en finger løbe hen langs kanten, så strimlerne er hæftet godt sammen.<br />
Strimmel nr. 2 foldes ind over den netop limede kant (trin 3). Strimmel nr. 3 anbringes<br />
så den dækker strimmel 2, pånær dennes limkant. Der smøres lim på strimmel<br />
2’s limkant og den 3. strimmel trækkes op på limkanten og de limes sammen. Strimmel<br />
3 foldes dernæst op over limkanten (trin 5) og processen fortsætter med en 4. strimmel<br />
etc. etc.<br />
Figur 6 viser, hvordan strimlerne kommer til at ligge, set fra siden. Man fuldfører limningen<br />
ved at flytte kanten B ind under stakken af strimler og lime den på den første<br />
strimmel i A. Fremgangsmåden sikrer, at alle kanter (eller sømme) kommer til at befinde<br />
sig indeni ballonen, pånær den sidste, som bliver en ydre kant. Bemærk, at skarpe folder<br />
i papiret bør undgås, da det svækker ballonen!<br />
Toppen af ballonen kan afsluttes ved at holde de n spidser sammen i et knippe og tape<br />
dem sammen med kraftig tape.<br />
Hvad angår bunden af ballonen, så er det vigtigt, at være omhyggelig, for papiret heromkring<br />
er særligt udsat for træk. Man kan for eksempel starte med at tape kanten hele<br />
vejen rundt med det brede tape. Tag ståltråden frem og lav en ring med nogle løkker på,<br />
som vist på figur 7. Vælg for eksempel fire løkker, jævnt fordelt langs ringen. Ringens<br />
diameter skal være lidt mindre end ballonens åbningsdiameter, så papiret ikke kommer<br />
under træk. Anbring ståltrådsringen indeni ballonen, ca. 5 cm fra åbningen (figur 7).<br />
Fold de nederste 5 cm papir op omkring ståltrådsringen. Det vil være nødvendigt at lave<br />
huller i papiret til løkkerne. Sørg for at forstærke med tape omkring disse huller. Når<br />
papiret er foldet om, fastgøres det med tape til indersiden af ballonen. Slut af med at<br />
binde en snor i hver sin løkke og saml snorene i én snor et stykke nede. Det skal være<br />
sådan, at man kan komme til med stormbrænderen.<br />
Opsætning af ballon<br />
Ballonen kan ikke sættes op på dage med kraftig regn eller blæst. Inden den varmes op<br />
med stormbrænderen, skal ballonen fyldes delvist med luft, så der ikke kommer kontakt<br />
mellem papir og flamme. Er der en let brise, holdes åbningen op mod vinden, ellers kan<br />
det være nødvendigt at tage fat i trådkorset og løbe nogle meter, indtil ballonen er passende<br />
udspilet. Når den først er i luften, er det intet problem at holde den oppe, og den<br />
kan med en god opvarmning komme 100–200 meter op i luften.<br />
7
Materialeliste<br />
Kraftig ståltråd: Diameteren 2,8 mm er tilstrækkelig. Det kan fås hos trælasthandlen.<br />
Sievert stormbrænder. Vi fik vores hos Kolding Ilt & Gas til en pris af 1300 kr. incl. gas<br />
og gasbeholder. Almindelig hvid hobbylim. Bred klar tape. Restrulle fra avistrykkeri.<br />
2<br />
Papirvægt: mindst 45 gram/mP P. Rullebredde: 79 cm.<br />
Litteratur<br />
Kurt Jakobsen. ”Fysik i Opdrift”. F & K forlaget, 1990.<br />
8