Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Geometri, Kirsten Rosenkilde 4
A) 2,4 m B) 2,5 m C) 3 m D) 4,8 m E) 5 m
Opgave 11. Trekanterne A BC og DC E er kongruente (dvs. ensvinklede
og lige store), og der gælder |AC | = 5 og |BC | = 4. Hvad er længden
af liniestykket DF ?
A) 3 4
5
D
F
B
A C
E
B) 4 C) 4 1
5
D) 4 1
4
E) 1
3
Opgave 12. I rektanglet A BC D er |A B| = 30 og |BC | = 40. Linjestykkerne
B E og DF står vinkelret på diagonalen AC . Hvor langt er stykket
E F ?
B 40 C
30
A
E
Find den retvinklede trekant I mange geometriopgaver er der
retvinklede trekanter hvor man kender to af siderne, og dermed kan
finde den tredje ved Pythagoras’ sætning. De retvinklede trekanter
er ikke altid synlige på figuren, man skal selv opdage dem! Når man
leder efter retvinklede trekanter, er det vigtigt at huske at hvis en
linje tangerer en cirkel, så står linjen fra centrum til røringspunktet
vinkelret på tangenten.
F
D
Husk desuden at hvis to cirkler tangerer hinanden, da går linjen gennem
de to centre også gennem cirklernes røringspunkt.
Trekanter med vinklerne 90 ◦ −60 ◦ −30 ◦ I en retvinklet trekant hvor
de spidse vinkler er 30 ◦ og 60 ◦ , er hypotenusen dobbelt så lang som
den korteste katete, og den længste katete er 3 gange længden af
den korteste katete, og dermed 3
2
gange længden af hypotenusen.
Det kan man indse ved at spejle trekanten i den længste katete så
man får en trekant hvor alle vinkler er 60 ◦ , dvs. en ligesidet trekant.
2x
60
x
◦
30
3x
◦
Da den nye trekant er ligesidet, ses det umiddelbart at den korte
katete er halvt så lang som hypotenusen. Den længste katete
kan findes ved Pythagoras’ sætning. Vi kalder længden af den korteste
katete for x og længden af den længste katete for y . Da er
y = (2x) 2 − x 2 = 3x 2 = 3x .
Det er ofte meget anvendeligt at kende disse forhold da der er
mange 90◦ − 60◦ − 30◦-trekanter i geometri.
60 ◦
30 ◦
y
x