Pi med mange decimaler - Vestergaards Matematik Sider

Definition 1.2
Tallet π er defineret som omkredsen af en cirkel med diameter 1.
Sætning 1.3
For enhver cirkel gælder det, at forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter
er lig med π.
”Bevis”: En cirkel Cd
med diameter d kan klart fås ved at multiplicere en cirkel C1
med
diameter 1 udfra dets centrum – med en faktor d. Lad O d og O 1 være omkredsene af
henholdsvis Cd
og C 1.
Ifølge overvejelserne med kurvelængde ovenfor vil der derfor
gælde: Od= d ⋅O1. Men per definition er O 1 = π . Heraf det ønskede:
Od
d
= π
2. Cirklen tilnærmes med polygoner
Allerede meget tidligt i historien fandt man ud af, at forholdet mellem omkredsen og
diameteren af en cirkel altid er det samme. De første kendte værdier for dette forhold
går tilbage til babylonerne og ægypterne for mere end 3500 år siden. Her fandt man
1
blandt andet værdierne henholdsvis 3 = 3,125 og 8
( ) 2
8 4⋅ = 3,16049 . Vi skal dog ikke
9
komme nærmere ind på dette her. Den første rigtigt sobre udledning af en vurdering af
pi skyldes oldtidens største matematiker, grækeren Archimedes (287 f.Kr. – 212 f.Kr.),
som tilnærmede en cirkel indefra og udefra med regulære polygoner, og efter snedige
formler og udregninger fandt frem til, at
3 < π < 3
10 1
71 7
Med en regulær polygon menes en polygon, hvor hjørnerne alle ligger på en cirkel og
hvor alle siderne har samme længde. Det er forholdsvist oplagt, at cirklens omkreds er
større end omkredsen af den indskrevne polygon, men mindre end omkredsen af den
omskrevne polygon. Lad n betegne antallet af sider i polygonen. Ved at vælge n større
og større vil omkredsene af de indskrevne regulære polygoner og de omskrevne regulære
polygoner nærme sig til cirklens omkreds. For at beregne omkredsene af n-polygonerne
brugte Archimedes specielle beregninger, som vi ikke skal komme nærmere ind
1 22
på her. Bemærk, at vi ovenfor støder på tallet 3 = , som mange tror er den eksakte
7 7
værdi for π. Det er imidlertid ikke rigtigt — det er kun en god tilnærmelse til π.
5