Torsdagsøvelser - Matematik - Rasmus Sylvester Bryder

Alts˚a er Fourier-rækken givet ved
∞
n (−1) i
n=1
n
e inx + (−1)−ni e
−n
−inx
.
Eftersom f er stykvis differentiabel, 2π-periodisk, vil Fourier-rækken konvergere imod f’s normaliserede
punktvist jf. JPS Sætning 3.5. Sumfunktionen m˚a derfor være denne. Hvis Fourier-rækken
konvergerede uniformt imod f, ville den normaliserede være kontinuert, men det er den ikke (den er
lig 0 i −π og tæt p˚a −π for x tæt p˚a −π).
Ekstraopgave 2
(a)
Vis, at den trigonometriske række ∞
n=0 3−n sin(nx) er uniformt konvergent p˚a R og at sumfunktionen
f er en ulige, 2π-periodisk, kontinuert funktion.
Eftersom |3 −n sin(nx)| ≤ 3 −n for alle n ∈ N0 og ∞
n=0 3−n konvergerer da |3 −1 | < 1, følger uniform
konvergens af JPS Sætning 2.4, hvormed vi har jf. JPS Sætning 2.9, at sumfunktionen f er 2πperiodisk
og kontinuert. Eftersom sin(−nx) = − sin(nx) for alle n ∈ N0 og x ∈ R da sin er ulige,
vil
∞
f(−x) = 3 −n ∞
sin(−nx) = (−3 −n ∞
sin(nx)) = − 3 −n sin(nx) = −f(x)
n=0
n=0
n=0
for alle x ∈ R, idet rækken er konvergent p˚a hele R. Alts˚a er f ulige.
(b)
Vis, at sumfunktionen fra (a) er givet ved
ved at benytte Eulers formel.
f(x) =
3 sin x
10 − 6 cos x
Bemærk først, at sin(nx) = 1
2i (einx − e −inx ) for alle n ∈ N0 og x ∈ R. Dermed vil
f(x) =
∞ 3−n n=0
= 1
2i
= 1
2i
= 1
2i
= 1
2i
2i (einx − e −inx )
∞
n=0
∞
= 1
2i ·
= 3 · 1
=
n=0
3 −n e inx −
1
3 eix
n −
∞
n=0
3 −n e −inx
∞
1
3 e−ix
n
n=0
1
1 − 1
1
−
3eix 1 − 1
3e−ix · (1 − 1
3 e−ix ) − (1 − 1
3 eix )
(1 − 1
3eix )(1 − 1
3e−ix )
1
3eix − 1
3e−ix 1 − 1
3eix − 1
3e−ix + 1
9
2i (eix − e −ix )
10 − 6 · 1
2 (eix + e −ix )
3 sin x
10 − 6 cos x ,
hvor vi undervejs benytter at alle rækkerne her er konvergente.
6