Projektiv plangeometri - Georg Mohr-Konkurrencen

24 Transformationsgeometri: Projektiv plangeometri. Kai Neergård, juni 2013
nævnt i opgaven er indbyrdes forskellige, er punkterene C ,B,B 2 , X , A 2 , A indbyrdes forskellige.
Af Pascals sætning anvendt på disse punkter følger det så at B 2 X skærer AC i et punkt på A 1 M,
altså i B 1 . Dermed går B 1 B 2 gennem X . Tilsvarende går C 1 C 2 gennem X
Opgave 9.17
Fordi trekant ABC ikke er retvinklet, findes trekant AEF ’s omskrevne cirklen C . Den går gennem
højdernes skæringspunkt H, og E ,F, H ligger ikke på BC . Dermed findes linjerne PE og
QF , og de har højst ét fælles punkt. Da der gælder BP 2 = B A · BF = BQ 2 , er B midtpunkt af
PQ og dermed forskelligt fra P og Q. Lad U og S betegne C ’s skæringspunkter med PA og PE
bortset fra at vi sætter S = E hvis PE rører C . Da F A og HE mødes i B, og AU og ES i P, følger
det så af Pascals sætning anvendt på sekskant F AU HES at U H og SF mødes i et punkt på BP.
Dette punkt er entydigt fordi hverken H eller F ligger på BP. Hvis vi kan vise at HU går gennem
Q, kan vi så slutte at SF går gennem Q, og dermed at PE og QF skærer hinanden i S, som ligger
på C .
Vi skal altså vise at HU går gennem Q. Lad AD være højde i trekant ABC . Da denne ikke er
retvinklet, er B og D forskellige. Vi har allerede indset at F og H ikke ligger på BC . Særlig følger
D ≠ H, og da cirklerne med diametre AD og AH så ikke begge kan gå gennem F , er P forskelligt
fra D. Dermed er U forskelligt fra P og ligger så heller ikke på BC ; ellers ville C være identisk
med cirkel AF P, og der ville gælde D = P. Altså findes firkanterne PU HD og D HBF . Da disse
firkanter er indskrivelige, har vi
|PA| · |U A| = |D A| · |H A| = |B A| · |F A|.
Når dette kombineres med |PA| · |U A| = |AP| 2 − |PA| · |PU| og |B A| · |F A| =
|AB| 2 − |B A| · |BF | = |AB| 2 − |BP| 2 , får vi
|PA| · |PU| = |AP| 2 + |BP| 2 − |AB| 2 = 2 −→ PA · −→ PB = 2|PD| · |PB| = |PD| · |PQ|.
Trekanterne PAD og PQU er så ensvinklede. Da både QU og HU dermed er vinkelrette på PA,
går HU gennem Q som ønsket.