Propagacion de ondas

ELECTRODINAMICA I
FIM 8650 (5)
Ricardo Ramírez
Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile
1er. Semestre 2007

Modelo simple de dispersión
Queremos encontrar una expresión para la dependencia de la
permitividad ɛo de la frecuencia ω. Pra esto consideramos un modelo
clásico muy simple de un electron de carga −e ligado por fuerzas
armónicas. Por simplicidad no haremos diferencia entre el campo
local y el aplicado. Así escribimos la ecuación de movimiento para un
electron ligado con una frecuencia propia ω 2 o, una constante de
amortiguamiento γ, sometido a un campo externo:
m[x ′′ + γx ′ + ω 2 o x] = −e E(x, t)
Si E(x, t) es un campo e −iω , obtenemos el momento dipolar:
p = −ex = e2
m (ω2 o − ω 2 − iωγ) −1 E

Si hay N moléculas o átomos por unidad de volumen con Z
electrones por molécula y hay fj electrones por molécula con
frecuencias propias ωj y constantes de amortiguamiento γj, usando
P = χ E y ɛ/ɛo = 1 + χ, obtenemos:
ɛ(ω)/ɛo = 1 + Ne2
ɛom
donde
fj = Z
j
j
fj(ω 2 j − ω2 − iωγj) −1
(1)

Dispersión anómala
Im ε
ω

En general γi

Por lo tanto k 2 = µɛω 2 . Despreciando la dependencia de µ en ω,
podemos escribir:
k = β + i 1
2 α → β2 − 1
4 α2 = ω2 ɛ
Re(
c2 En general α

Bajas frecuencias. Conductores. Modelo de Drude
En el caso de muy bajas frecuencias, hay dos posibilidades para la
frecuencia de resonancia más baja:
ωo = 0. Este es el caso de los aisladores:
ɛ(ω) = ɛo + Ne2
m
Aquí encontramos que la polarizabilidad (momento dipolar
promedio dividido por ɛo y por el campo aplicado) es:
ωo = 0. Conductores.
fo
ω 2 o
γpol o αpol = e2
mɛoω 2 o
Ne 2 fo
ɛ(ω) = ɛb + i
mω(γo − iω)
(2)

Los electrones con ωo = 0 pueden ser interpretados como electrones
libres (como en un conductor) y ɛb corresponde al resto de los
electrones ligados (con ωo = 0).
Esta expresion puede ser interpretada a partir de la ecuación de
Maxwell-Ampère:
∇ × H = J + d D
dt = σ d
E + ɛb
→
E
dt
∇ × H = (σ − iωɛb)
E = −iω ɛb + i σ
E
ω
(3)
La comparación entre (2) y (3) nos da:
foNe 2
σ =
m(γo − iω)
expresión similar a la obtenida por el modelo de Drude (1900).
Para el cobre a bajas frecuencias σ 5,9 × 10 7 (Ωm). Pero como
N = 8 × 10 28 atomos/m 3 , obtenemos fo/γo 4 × 10 13 segundos −1 . Como
fo 1, podemos concluir que hasta frecuencias del rango de microondas
(ω 10 11 segundos −1 ), σ para metales es real.

Altas frecuencias. Frecuencia de plasma
A frecuencias mucho mayores que la más alta frecuencia de
resonancia, podemos escribir:
ɛ(ω)
ɛo
= 1 − ω2 p
ω 2 donde ω 2 p = NZe2
mɛo
ωp se llama frecuencia del plasma y depende solamente del número
total de electrones por unidad de volume NZ .
La relación de arriba se puede expresar como el número de onda:
o como la relación de dispersión:
k = 1
ω
c
2 − ω2 p
ω 2 = ω 2 p + c 2 k 2
(4)

En cierta situaciones experimentales (como plasmas tenues), la
relación (4) es válida para un rango muy grande de frecuencias,
incluyendo ω < ωp, rango en el cual el número de onda es imaginario
puro. Entonces una onda que incide sobre un plasma es reflejada y
los campos decaen exponencialmente desde la superficie. En ω = 0
la constante de atenuación es aproximadamente
αplasma 2ωp
c
Para plasmas con densidades del orden de 10 18 − −10 22
electrones/m 3 , ωp 6 × 10 10 − −6 × 10 12 segundos −1 , lo que nos da
longitudes de atenuación α −1 de entre 0.2 a 0.002 cm.

Los metales a frecuencias ópticas tienen una alta reflectividad, cuyo
orígen es similar al de los plasmas tenues. Para ω >> γo
ɛ(ω) = ɛb(ω) − ω2 p
ɛo
ω2 donde ω 2 p = ne 2 /m ∗ ɛo es la frecuencia de plasma adecuada para los
metales. Aquí se introduce la masa electrónica efectiva. Para
ω

Indice de refracción y absorsión del agua
6
10
10 5
10 4
10 3
10 2
10
1
10 −1
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
Coeficiente de absorsion
−1
del agua (cm )
Indice de
refraccion
2
6
10 10
10
10
14
10
Frecuencia(Hz)
18
10
22
10

Paquetes de onda. Velocidad de grupo
Consideramos un paquete de ondas en el cual las frecuencias se
esparcen en un pequeño intervalo alrededor de una frecuencia
central, con amplitud decreciente. Ya que las ecuaciones son lineales
se puede aplicar la superposición de varias frecuencias, pero hay
que tener en cuenta varias consideraciones:
Si el medio es dispersivo, la velocidad de fase no es la misma
para cada frecuencia.
En un medio dispersivo la velocidad del flujo de energía puede
diferir en gran medida de la velocidad de fase, o incluso carecer
de un significado preciso.
En un medio disipativo un pulso de radiación quedará atenuado
al viajar y quedará distorcionado o no, dependiendo de la
dependencia en la frecuencia de los efectos de disipación.

Suponemos una relación de dispersión ω = ω(k), con ω(k) = ω(−k)
y consideramos un caso simple en que la amplitud de onda depende
sólo de una coordenada, x.
Escribimos el paquete de ondas como:
u(x, t) = 1
√ 2π
∞
−∞
A(k)e −ikx−iω(k)t dk
Las amplitudes están dadas por la transformada de u(x, 0:
A(k) = 1
√ 2π
∞
−∞
u(x, 0)e −ikx dx
‘
Si u(x, 0) = e ikox , i.e. una onda armónica, entonces:
y
A(k) = √ 2πδ(k − ko) i.e. una onda monocromatica
u(x, t) = e ikox−iω(ko)t

Sin embargo si tenemos un paquete de ondas, podemos calcular:
∆x = 〈x 2 〉 − 〈x〉 2
y
donde,
entonces:
∆k =
〈k 2 〉 − 〈k〉 2
〈f (x)〉 = f (x)|u(x, 0)| 2 dx y
〈g(k)〉 = g(k)|A(k)| 2 dk
∆x∆k ≥ 1
2

Supongamos que podemos aproximar ω(k) a una dependencia lineal
en k:
ω(k) = ωo + dω
dk
entonces podemos aproximar:
ko
u(x, t) = ei[ko(dω/dk)o−ωo]t
√ 2π
(k − ko) + · · ·
∞
A(k)e
−∞
ix ′ k
dk
es decir la integral representa la onda u(x ′ , 0), donde
x ′ = x − (dω/dk)ot, i.e.
u(x, t) = u x − t dω
, 0 e
dk ko
i[ko(dω/dk)o−ωo]t
Así vemos que el pulso viaja, sin deformarse, con la velocidad de
grupo:
vg = dω
dk
ko

Para ondas de luz tenemos la relación:
La velocidad de fase es:
mientras que:
vg =
ω(k) = ck
n(k)
vp = ω(k)
k
= c
n(k)
c
n(ω) + ω(dn/dω)

n
vg
v
p
ω
ω

Causalidad. Relaciones de Kramers-Kronig
RELACION NO LOCAL EN EL TIEMPO
Para una onda monocromática tenemos la relación:
D(r, ω) = ɛ(ω) E(r, ω)
y una onda con dependencia temporal puede ser construída con una
transformada de Fourier:
D(r, t) = 1
√ 2π
∞
−∞
ɛ(ω) E(r, ω)e −iωt dω
Reemplazando E(r, ω) por su transformada de Fourier:
D(r, t) = 1
2π
∞
−∞
dωɛ(ω)e −iωt
∞
−∞
dt ′ E(r, t ′ ′
iωt
)e
Definiendo G como la transformada de Fourier de χe = ɛ(ω)/ɛo − 1
G(τ) = 1
∞
ɛ(ω)
− 1 e
2π
−iωτ dω τ = t − t ′
(5)
−∞
ɛo

obtenemos:
D(r, t) = ɛo
∞
E(r, t) + G(τ)
−∞
E(r, t − τ)dτ
Si ɛ no depende de ω, obtenemos G(τ) = δ(τ) y la conexión es
instantánea.

MODEL SIMPLE PARA G(τ)
Usaremos una versión resonante (un término) de (1) para ɛ(ω):
y por lo tanto:
ɛ(ω)
ω
= 1 +
2 p
ω2 o − ω2 − iγω
ɛo
G(τ) = ω2 Z ∞
p
2π −∞
El integrando tiene dos polos en:
e −iωτ
ω 2 o − ω 2 − iγω dω
ω1,2 = − iγ
2 ± νo, donde ν2 o = ω 2 o − γ2
4
Plano ω

Escribimos:
ω = ωR + iωI → e −iωt = e −iωRτ e ωIτ
Para τ < 0 debemos cerrar el contorno por el semiplano superior, ya
que por el inferior la integral de contorno diverge. Pero como en esa
región no hay polos, la integral es cero.
Para τ > 0 se debe cerrar el contorno por el semiplano inferior. La
integral es −2πi veces el residuo de los dos polos:
G(τ) = ω 2 −γτ/2 sin νoτ
pe θ(τ)
Para la constante dieléctrica (1) G(τ) es una superposición de
términos como el anterior. Vemos que la nolocalidad en el tiempo es
del orden de γ −1 que es del orden de 10 7 − 10 9 segundos −1 .
Entonces el desvío de la simultaneidad es del orden de 10 −7 − 10 −9
segundos.
νo

CAUSALIDAD Y ANALITICIDAD DE ɛ(ω)
Tomando la transformada inversa de Fourier de (5) obtenemos:
ɛ(ω)
= 1 +
ɛo
∞
Si expandimos G(τ) en series de Taylor:
0
G(τ)e −iωτ dτ (6)
G(τ) = G(0) + τG ′ (0) + 1
2 τ 2 G ′′ (0) + · · ·
y reemplazamos en (6) tenemos el comportamiento de ɛ(ω) para
frecuencias grandes:
ɛ(ω)
ɛo
− 1 iG(0)
ω − G′ (0)
ω2 + · · ·
Como G(0− ) = 0, también debe serlo G(0 + ) y por lo tanto el primer
término de la serie es cero.
Estas integrales se pueden hacer así (por ejemplo):
Z ∞
0
e −iωτ dτ = lím
δ→0
Z ∞
0
e −i(ω−iδ)τ i i
dτ = lím =
δ→0 ω − iδ ω

Así concluímos que:
Re[ɛ(ω)/ɛo − 1] = O
1
ω2
RELACIONES DE KRAMERS-KRONIG
1
Imɛ(ω)/ɛo = O
ω3
Escribamos la permitividad como una función de la variable compleja
z, expresada como una integral contorno. Para esto usamos el
teorema de Cauchy que nos permite escribir para cualquier punto z
dentro de un contorno C en la parte superior del plano complejo ω:
ɛ(z) = ɛo + 1
2πi
C
ɛ(ω ′ ) − ɛo
ω ′ − z dω′
donde C incluye el eje real y un gran semicírculo en el infinito.
Ya que ɛ(ω) − ɛo → 0 suficientemente rápido en infinito, podemos
escribir la última relación como:
ɛ(ω) = ɛo + 1
2π
∞
−∞
ɛ(ω ′ ) − ɛo
ω ′ − ω − iɛ dω′
(7)
(8)

La cantidad iɛ nos recuerda que el contorno se debe deformar en un
pequeño semicírculo debajo del punto ω ′ = ω. Así el denominador se
debe escribir formalmente como:
1
ω ′ = P
− ω − iɛ
1
ω ′ − ω
Reemplazando esta relación en la ecuación (8)
ɛ(ω) = ɛo + P 1
2πi
∞
1
+
2πi
= ɛo + P 1
2πi
∞
−∞
+ πiδ(ω ′ − ω)
′ ɛ(ω ) − ɛo
ω ′
− ω
πi[ɛ(ω
−∞
′ ) − ɛo]δ(ω ′ − ω)dω ′
∞
−∞
Esto nos permite escribir (8) como:
ɛ(ω) = ɛo + 1
πi P
′ ɛ(ω ) − ɛo
ω ′
− ω
∞
−∞
ɛ(ω ′ ) − ɛo
ω ′ − ω dω′
+ 1
[ɛ(ω) − ɛo]
2
(9)

Tomando parte real e imaginaria de esta ecuación obtenemos:
Re[ɛ(ω)] = ɛo + 1
π P
Im[ɛ(ω)] = − 1
π P
∞
−∞
∞
−∞
Im[ɛ(ω ′ )]
ω ′ − ω dω′
Re[ɛ(ω ′ )] − ɛo
ω ′ dω
− ω
′
Estas relaciones fueron derivadas por R. de L. Kronig en 1926 y por
H.A. Kramers independientemente en 1927.
Se pueden escribir en términos de frecuencias positivas solamente:
Re[ɛ(ω)/ɛo] = 1 + 2
π P
Im[ɛ(ω)/ɛo] = − 2
π P
∞
0
∞
0
ω ′ Im[ɛ(ω ′ )/ɛo]
ω ′2 − ω2 dω ′
Re[ɛ(ω ′ )/ɛo] − 1
ω ′2 − ω2 dω ′
Estas relaciones se utilizan a menudo en estudios experimentales,
por ejemplo se puede deducir la dependencia en la frecuencia del
índice de refracción a partir de medidas del índice de absorción.

En el caso de una línea de absorción muy delgada, podemos
aproximar:
Imɛ(ω) = πK
+ η(ω)
2ωo
donde η(ω) representa el resto de las contribucionesa suaves a
Imɛ(ω), así obtenemos:
Reɛ(ω) =
donde ¯ɛ viene de la contribución de η
K
ω2 + ¯ɛ
o − ω2

REGLAS DE SUMA
Hemos visto que la expresión (4) se obtuvo para frecuencias muy
altas. Por esta razón se puede definir la frecuencia de plasma como:
ω 2 p = lím
ω→∞ [ω2 (1 − ɛ(ω)/ɛo)]
lo que nos permite escribir la regla de suma para ω 2 p:
Con la suposicición que:
ω 2 p = 2
π
∞
0
ωImɛ(ω)/ɛodω
Re[ɛ(ω ′ )/ɛo − 1] → − ω2
p
+ O (
ω2 1
ω4
para todo ω > N ′ , encontramos que para ω > N
Imɛ(ω)/ɛo = − 2
−
π
ω2 p
N +
N
[Reɛ(ω
0
′ )/ɛo − 1]dω ′
1
+ O
ω3

Además, de (7), sabemos que para ω → ∞, Imɛ(ω)/ɛo tiende a
O(1/ω 3 ), por lo que el término en paréntesis de llave de la última
relación debe ser cero, y así obtenemos la segunda regla de suma:
N
1
Reɛ(ω)/ɛodω = 1 +
N 0
ω2 p
N2

Ejercicio 1.-
Demuestre que la conservación del momento angular en un campo
electromagnético está dada por
o
∂
∂t (Lmec + LEM) + ∇ · ←→ M
d
(Lmec + LEM) + ˆn ·
dt V
S
←→ M da = 0
donde la densidad de momento angular del campo electromagnético
es:
LEM = r × g = µɛr × ( E × H)
y el flujo de momento angular está descrito por el tensor:
←→ M = ←→ T ×r
Las componentes ←→ M están dadas por
Mijk = Tijxk − Tikxj

Ejercicio 2.-
Una onda circularmente polarizada se mueve en la dirección z y
tiene una extensión finita en x e y. Suponiendo que la amplitud varía
lentamente, es decir que tiene un ancho de muchas longitudes de
onda, demuestre que los campos eléctricos y magnéticos están
dados aproximadamente por:
E(x, y, z, t) =
Eo(x, y)(î ± i ˆj) + i
∂Eo ∂Eo
± ˆk e
k ∂x ∂y
ikz−iωt
B = ∓i √ µɛ E

Ejercicio 3.-
Para el problema anterior con E(x, y) real, calcule el promedio
temporal del momento angular paralelo a la dirección de
propagación.
Demuestre que la razón entre esta componente del momento angular
y la energía de la onda en el vacío es
Lz
U
= ±ω−1
Interprete este resultado en términos de fotones. demuestre que para
una onda plana finita y cilindricamente simétrica, las componentes
transversales del momento angular son cero.