Unidad II Fundamentos del Análisis de Algoritmos

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Algoritmos y Estructuras de Datos Unidad II Fundamentos del Análisis de Algoritmos En vez de determinar el tiempo exacto de ejecución de cada operación primitiva, sólo se contarán cuántas operaciones primitivas se ejecutan y esta cantidad se usará como estimado, en alto nivel, del tiempo de ejecución del algoritmo. En un análisis de algoritmos es útil enfocarse en la tasa de crecimiento del tiempo de ejecución, en función del tamaño n de la entrada, adoptando un método de panorámica y no detenerse en los pequeños detalles. Se formaliza este método de analizar estructuras de datos y algoritmos usando una notación matemática para funciones, que no tiene en cuenta a los factores constantes. Funciones de Crecimiento Típicas C Constante La mayoría de las instrucciones se ejecutan una o cuando mucho unas cuantas veces. Si todas las instrucciones de un programa tienen esta propiedad, decimos que el tiempo de ejecución del programa es constante. Esta función de crecimiento, es deseable, pero difícil de conseguir log N Logarítmicas Cuando el tiempo de ejecución de un programa es logarítmico el programa es ligeramente más rápido que el crecimiento de N. Esta función de crecimiento se presenta en programas que solucionan un problema transformándolo en una serie de pequeños problemas, esto es, dividen el tamaño del problema en una fracción constante en cada iteración. Para nuestro interés consideraremos el tiempo de ejecución menor al de una constante grande. La base del logaritmo cambia la constante, pero no por mucho, por ejemplo, cuando N=1000, log10N=3 y log2N=9.96; cuando N=1000000 log10N=6 y log2N=19.93. Se observa que cada que N se duplica, el log N se incrementa en una constante, pero no se duplica hasta que N es N 2 . N Lineal El tiempo de ejecución lineal, generalmente se encuentra cuando cada elemento de entrada requiere una pequeña parte de procesamiento. Cuando N es 10000 el tiempo de ejecución también. Cuando N se duplica el tiempo también se duplica. Esta situación es óptima para un algoritmo que debe procesar N entradas. NlogN NlogN El tiempo de ejecución NlogN se presenta cuando los algoritmos solucionan un problema dividiéndolo en pequeños problemas, los resuelve en forma independiente y luego combina las soluciones. Cuando N es 1,000,000 NlogN es 20,000,000. Cuando N se duplica el tiempo aumenta un poco más del doble. Esta función de crecimiento es típica de los algoritmos divide y vencerás. N² cuadrática Cuando el tiempo de ejecución de un algoritmo es cuadrático, el algoritmo sólo es práctico para problemas relativamente pequeños. Esta función de crecimiento surge en algoritmos que procesan todos los pares de datos, por ejemplo, en ciclos anidados. Cuando N=1000 el tiempo de ejecución es 100,000. Cuando N se duplica el tiempo de ejecución se cuadriplica. Un ejemplo donde se observa esta función de crecimiento es el peor caso de Quicksort. N 3 Cúbica Un algoritmo que procesa ternas de datos tiene tiempos cúbicos, por ejemplo la multiplicación de matrices implementada en ciclos triples. El uso de estos algoritmos es práctico sólo en problemas pequeños. Cuando N es 100 el tiempo de ejecución es 1,000,000. Al duplicar N el tiempo de ejecución se incrementa 8 veces (2 3 ). 2 N Exponencial Pocos algoritmos con tiempo de ejecución exponencial son apropiados para su uso, aunque surgen naturalmente como soluciones forzadas. Por ejemplo, cuando N es 20, el tiempo de ejecución es 1’000’000. Cuando N se duplica el tiempo de ejecución se eleva al cuadrado. Ing. Alma Leticia Palacios Guerrero Página 6 de 13 D:\lety\algoritmos y estructura de datos\Unidad II Fundamentos del Análisis de Algoritmos.doc Fecha de Actualización: 21/02/2007
Algoritmos y Estructuras de Datos Unidad II Fundamentos del Análisis de Algoritmos 2.3.1 Notación Asintótica O ( La variable a representa el costo de cualquier tarea o labor cotidiana. c es una constante de multiplicación que representa el costo en unidades de ejecución de una operación fundamental. Esta definición se lee T(n) es O de f(n). De otra forma, la complejidad de una función t(n) está limitada por la función f(n); es decir, el número máximo de operaciones fundamentales ejecutadas por T(n) no será mayor que f(n). La notación O es similar al menor o igual, cuando estamos refiriéndonos a tasas de crecimiento. En la práctica ignoramos los efectos de a, c y cualquier operación de poca importancia cuando comparamos complejidades. La trascendencia global de a tiende a ser insignificante conforme el tamaño del conjunto de la información se incrementa y el costo de una operación crítica (c) debe ser más o menos el mismo para algoritmos de clase semejante. La notación Big-Oh tiene tres propósitos: 1. Compensar el error que se comete al ignorar términos pequeños en una fórmula matemática. 2. Compensar el error que se comete al ignorar partes del programa que contribuye en una pequeña cantidad de tiempo. 3. Permite clasificar algoritmos de acuerdo al límite superior de su tiempo de ejecución. 2.3.1.1 Reglas de la Notación O 1) Si T1 ( n) = Ο( f ( n) ) y T2 ( n) = Ο( g( n) ) ( n) + T ( n) = Ο( f ( n) g( n)) a + ) T1 2 ( n) . T ( n) = ( f ( n). g( n)) b Ο ) T1 2 , entonces: n 2) Si T(x) es un polinomio de grado n, entonces T ( x) = Ο( x ) 3) n = Ο( n) log para cualquier constante k k No se considera apropiado incluir factores constantes y términos de orden inferior en la notación O. Por ejemplo, no es correcto decir O(4n²+6n), bastará con indicar O(n²). Ing. Alma Leticia Palacios Guerrero Página 7 de 13 D:\lety\algoritmos y estructura de datos\Unidad II Fundamentos del Análisis de Algoritmos.doc Fecha de Actualización: 21/02/2007
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