Resolución de sistemas de ecuaciones - OCW

1.6. Sistemas de ecuaciones no lineales 11
Test de parada
||x (k+1) − x (k) ||
⎧
⎨
⎩
< tol P arar.Solución x (k+1)
≥ tol ∧ k ≤ Max − iteraciones Siguiente iteración
≥ tol ∧ k > Max − iteraciones Parar. No converge
Ejercicio 16 Programar el método de Gauss-Seidel a partir del de Jacobi.
Ejercicio 17 Repetir el ejercicio 15 utilizando el método de Gauss-Seidel.
1.6. Sistemas de ecuaciones no lineales
Ahora consideraremos un sistema de n ecuaciones y n incógnitas
f1(x1, . . . , xn) = 0
. . .
fn(x1, . . . , xn) = 0
denotando f = (f1, . . . , fn) y x = (x1, . . . , xn), el sistema puede representarse por:
f(x) = 0
Se considera entonces el problema de hallar r ∈ R n tal que f(r) = 0.
1.6.1. Método de punto fijo
Al igual que en una variable, el método de punto fijo consiste en hallar una función continua
g de forma que si g(r) = r entonces f(r) = 0.
A partir de la función de iteración g se plantea el procedimiento iterativo:
Para x (0) dado
x (m+1) = g(x (m) ) con m ∈ N
Programación del método:
function [x,iter]= ptofijoN(fun,x0,tol,maxiter)
% function [x,iter]= ptofijoN(fun,x0,tol,maxiter)
% Método de punto fijo para resolver el
% sistema n x n : fun(x) = x
% x ...... Solución
% iter..... Número de iteraciones empleadas
% x0 ...... Estimación inicial (DIMENSION n x 1)
% fun ..... Función vectorial (DIMENSION n x 1)
% tol ..... Tolerancia relativa permitida
% maxiter . Numero Máximo de Iteraciones
if nargin == 2 , maxiter=500; tol=5e-6; end
if nargin == 3 , maxiter=500; end