Generación de Números Aleatorios

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Teorema: Sean U una variable aleatoria con distribución U ( 0, 1) y G una función de −1 distribución acumulada continua y estrictamente creciente. Si X = G ( U ) , entonces la función de distribución acumulada de X es G , es decir FX = G. Dem: Recordemos que si U ~ U ( 0, 1) , entonces su función de distribución es de la forma F U ⎧ ⎪ ( u) = ⎨ ⎪ ⎩ 0 u 1 si u ≤ 0 si 0 < u < 1 si u ≥1 Por lo tanto, como G es una función estrictamente creciente y su imagen pertenece al intervalo (0,1), entonces −1 FX ( x) = P( X ≤ x) = P( G ( U ) ≤ x) = P( U ≤ G( x)) = FU ( G( x)) = G( x) con lo que queda demostrado el teorema. Ejemplo: En el caso de una variable X ~ E( λ) , la función de distribución acumulada es de la forma F X ⎧ 0 ⎪ ( x) = ⎨ ⎪ ⎩1 − e Dado y ∈( 0, 1) , la inversa de F X es Luego, si U ~ U ( 0, 1) , −1 FX −λx 1 ( y) = − ln( 1 − y) λ 1 − ln( 1 −U ) ~ E( λ) λ si x ≤ 0 si x > 0 Si la distribución G tiene saltos o es constante de a trozos, no existirá su inversa. Sin embargo se puede demostrar que existe una H con las propiedades requeridas en el teorema anterior, de manera que, aunque sin demostración, enunciaremos el siguiente resultado. 81
Teorema: Sean U una variable aleatoria con distribución U ( 0, 1) y G una función de distribución acumulada. Existe una función H tal que H (U ) tiene distribución acumulada G . Ejemplos: Queremos generar una variable con distribución de Bernoulli de parámetro p a partir de una v.a. uniforme. Podemos aplicar el siguiente procedimiento. Generamos U ~ U ( 0, 1) y definimos: ⎧1 ⎪ X = ⎨ ⎪ ⎩0 si 0 deseada. Notemos que en lugar del intervalo ( 0, p) podríamos haber tomado cualquier intervalo en ( 0, 1) de longitud p . 82
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