Práctica 7 1. a) Sea f : (a, b) −→ R derivable. Probar que f es ...

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c) Deducir que εn+1 < β para todo n ∈ N y donde β = 2 √ α. d) Si α = 3 y x1 = 2, mostrar que ε1 β ε5 < 4.10 −16 < 1 10 2n ε1 β y que por lo tanto y ε6 < 4.10 −32 Esto muestra que este algoritmo tiene una forma sencilla de recurrencia y converge muy rápidamente. 35
18. Sea f una función dos veces derivable en el intervalo real [a, b] tal que ⊲ f(a) < 0 < f(b) ⊲ f ′ δ > 0 y 0 f ′′ M para todo x ∈ [a, b] Sea ξ el único punto de (a, b) en el cual f(ξ) = 0. Completar el siguiente esbozo del método de Newton para calcular ξ. (1) Escoger x1 ∈ (ξ, b) y definir la sucesión (xn) por medio de xn+1 = xn − f(xn) f ′ (xn) Interpretar esto geométricamente en términos de la tangente al gráfico de f. (2) Demostrar que xn+1 < xn y que xn −→ ξ (3) Usar el Teorema de Taylor para mostrar que para algún tn ∈ (ξ, xn). (4) Deducir que Comparar con el ejercicio anterior. xn+1 − ξ = f ′′ (tn) 2f ′ (xn) (xn − ξ) 2 0 xn+1 − ξ 2δ 2δ M M (x1 2n − ξ) (5) Mostrar que el método de Newton es significativo para encontrar un punto fijo de la función g(x) = x − f(x) f ′ (x) ¿Cómo se comporta g ′ (x) cuando x está muy cerca de ξ? (6) Aplicar el método de Newton a la función f(x) = x 1/3 sobre R. ¿Qué ocurre? 19. Comprobar que las funciones f ≡ 0 y g(x) = x2 son solución del problema con 4 valores iniciales y ′ = y 1/2 , y(0) = 0 ¿Hay otras soluciones? Determinarlas. Explicar por qué esto no contradice el teorema de existencia y unicidad de solución. 20. Formular y demostrar un teorema de unicidad análogo para sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma ⎧ ⎪⎨ y ⎪⎩ ′ j = φj(x, y1, . . . , ym) j = 1, . . . , m yj(a) = cj 36
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Page 3: ii) Probar que para cada y ∈ R n

Práctica 7 1. a) Sea f : (a, b) −→ R derivable. Probar que f es ...

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