Capítulo 1: Los Números Reales - Cimat

10 CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS REALES
otro racional menor que w que también es cota superior de A. Por otro lado,
cualquier racional menor que √ 2 no es cota superior, como hemos visto.
Si hubiera un supremo de A en Q, tendría que coincidir con √ 2, pero ya
hemos visto que este no es un número racional. Por lo tanto, en Q este conjunto
no tiene un supremo. En cambio, en R sí: √ 2. Esta es la diferencia fundamental
entre Q y R, que se expresa en el último axioma para los números reales.
xiii) Axioma de Completitud
Si A ⊂ R no es vacío y está acotado superiormente entonces A tiene un
supremo.
Podemos ahora dar una definición de los números reales: Son un conjunto de
números R con dos operaciones + y · y una relación de orden α entonces x ∈ B y si x < α se tiene que x ∈ A.
Demostración. El conjunto A no es vacío y por hipótesis todo elemento de b es
cota superior de A. Como B = ∅ sabemos que A está acotado superiormente.
Por el Axioma de Completitud, A tiene un supremo. Sea α = sup A, entonces
como α es cota superior para A, a ≤ α para todo a ∈ A y como todo elemento
de B es una cota superior de A, α ≤ b para todo b ∈ B.
Si x > α entonces x ∈ B ya que en caso contrario x ∈ A y tendría que ser
cierto que x ≤ α. De manera similar, si x < α, x ∈ A y la prueba termina.