Cap´ıtulo 13 Polinomios de Laguerre

124 CAPÍTULO 13. POLINOMIOS DE LAGUERRE
Cambiemos el orden de suma. El primer gráfico corresponde a la forma en que estabamos
sumando fijamos un n en el eje horizontal con n = 1, · · · , ∞ y luego consideramos los v
variando desde 1 a n, flechas verticales hacia arriba. El segundo corresponde a la misma
suma pero hecha de forma diferente fijamos un ν en el eje vertical con ν = 1, · · · , ∞ y luego
consideramos los n variando desde ν a ∞, flechas horizontales hacia la derecha.
ν
Obtenemos
✻
✻
✻
✻
✻
✻
✻
✲
n
−→
Ψ(t, x) =
ν
✻
∞
Haciendo el cambio de índice m = n − ν:
Reordenando
Pero
luego
Finalmente
Ψ(t, x) =
Ψ(t, x) =
Ψ(t, x) =
∞
∞
ν=0 n=ν
∞
ν=0 m=0
∞
ν=0
∞
m + ν
x
ν
m =
m=0
∞
ν=0
(−1) ν
ν!
t ν
x
1 − x
ν (−1) ν
ν!
(−1) ν
ν!
(−1) ν
t ν x ν
ν!
t ν
✲
✲
✲
✲
✲
✲
✲
n
n
x
ν
n .
t ν
m + ν
x
ν
m+ν .
∞
m + ν
x
ν
m .
m=0
1
1 − x
ν+1 1
1 − x
= 1
1 − x
Ψ(t, x) = 1
1 − x exp
−tx
=
1 − x
cuando | x | < 1 ,
∞
ν=0
∞
n=0
(−1) ν
ν!
Ln(t)
n! xn
tx
1 − x
ν .
(13.3)