Ejercicios de Teor´ıa de la Medida
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Ejercicio 75 Consi<strong>de</strong>remos <strong>la</strong> “función reg<strong>la</strong>”<strong>de</strong> Riemann, f : [0, 1] → [0, 1] tal que<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 si x ∈ [0, 1] es irracional,<br />
f(x) = 1<br />
⎪⎩<br />
si x = 0,<br />
y (p, q) = 1.<br />
1<br />
q<br />
si x = p<br />
q<br />
(a) Demostrar que f es Borel medible.<br />
(b) Demostrar que C(f) son los irracionales <strong>de</strong> [0, 1].<br />
Ejercicio 76 Demostrar que en R tanto para µ <strong>la</strong> medida <strong>de</strong> Lebesgue como µ <strong>la</strong> medida<br />
<strong>de</strong> contar en los naturales se tiene para todo a > 0<br />
a<br />
0<br />
2 x dµ =<br />
8<br />
a<br />
0<br />
x 3 dµ.
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