Análisis Multivariante - Universidad de Extremadura

Manuales uex
26
jesús Montanero fernández
26 CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES DEL ANÁLISIS MULTIVARIANTE
Se obtiene, por lo tanto, a partir de una composición entre una distribución de Poisson
en N y la familia de las distribuciones χ 2 n, cuando n recorre N. La distribución χ 2
central se corresponde con el caso λ = 0. En general, dado γ > 0, la expresión
Y ∼ γχ 2 m(λ) debe entenderse como γ −1 Y ∼ χ 2 n(λ).
Puede demostrarse que, si Y1,...,Yn son variables aleatorias reales independientes
tales que
Yi ∼ N(µi,σ 2 ), i =1,...,n, σ 2 > 0,
entonces
σ −2
n
i=1
Y 2
i ∼ χ 2 n
En otras palabras, considerar una colección de variables en esas condiciones equivale
a considerar un vector aleatorio Y ∼ Nn(µ, σ 2 Id), para algún µ ∈ R n y σ 2 > 0, y
estamos afirmando que
Y 2 ∼ σ 2 χ 2 n
σ −2
n
i=1
µ 2
En consecuencia, debemos entender el modelo χ 2 no central como la distribución del
cuadrado de la distancia euclídea al origen de un vector aleatorio normal esférico. La
norma euclídea al cuadrado es una función positiva de gran importancia en nuestra
teoría, debida fundamentalmente a su presencia en la función de densidad (1.8).
De hecho, ya comentamos que la densidad depende de y a través del cuadrado de
su distancia euclídea a la media. Ello se traducirá en el uso de esta función y, en
consecuencia, del modelo χ 2 , a la hora de estimar el parámetro σ 2 , de reducir por
suficiencia y, también, cuando se efectúe una reducción por invarianza respecto al
grupo de las rotaciones, según se sigue del teorema 13.9.
Hemos afirmado que el modelo χ 2 no central surge de la necesidad de considerar
la norma euclídea de un vector normal esférico. No obstante, podemos generalizar
un poco más. Si E es un subespacio vectorial de R n y Γ es una base ortonormal del
mismo, se verifica trivialmente que PEY 2 = Γ Y 2 y que PEµ 2 = Γ µ 2 . Por
lo tanto, se tiene
PEY 2 ∼ σ 2 χ 2
dimE
σ 2
µ 2 i
.
PEµ 2
σ 2
.
. (1.10)
Así pues, el grado de libertad de la distribución coincide con la dimensión del
subespacio. Obtendremos una χ 2 central cuando E[Y ] sea ortogonal al subespacio
sobre el cual se proyecta Y . Por lo tanto y en general, se sigue de lo anterior junto
con la proposición 1.10, que la media de una distribución χ 2 no central se obtiene
mediante
E σ 2 χ 2 2
m λ/σ = mσ 2 + λ. (1.11)