Resolución de problemas mediante la regla de falsa posición: un ...

SUMA 56
Noviembre 2007
El marco teórico
En el presente trabajo se ha seguido un marco teórico basado
en la revisión de documentos históricos. Así, se realiza un
estudio de la regla de falsa posición a partir de diferentes textos,
desde el papiro de Rhind (1650 a. C.), donde la regla citada
era el método utilizado para resolver problemas, hasta textos
del siglo XIX (Tratado Elemental de Matemáticas de J. M.
Vallejo) en el cual ya es considerado como un método eficaz
de aproximación numérica de ecuaciones (no necesariamente
lineales).
Metodología
Modelo de competencia formal
¿Qué es la regla de falsa posición?
Se trata de un procedimiento aritmético que permite resolver
ecuaciones lineales. Para ello parte de un valor cualquiera
(método simple) o de dos valores (doble falsa posición). A
partir de estas falsas posiciones se obtiene la solución de la
ecuación por proporcionalidad.
Ejemplo 1: Calcula un número tal que ese número más su
mitad sea 15.
Para resolver el problema partimos de un número (posición)
cualquiera. Sea 2 (puesto que de ella es sencillo calcular su
mitad). El número, 2, más su mitad, 1, es 3, distinto de 15. Se
trata de una falsa posición. Para encontrar la posición verdadera
procedemos por proporcionalidad:
Luego, x = 10.
Posición Solución
2 3
x 15
2 3
x 15
Ejemplo 2: Halla un número tal que cinco veces ese número
menos 10 sea 0.
Para resolver este problema por la regla doble partimos de dos
posiciones. Sean 3 y 4. Para 3: 5·3-10 = 5 y para 4: 5·4-10=10.
Tenemos dos falsas posiciones. Para obtener la solución calculamos:
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que es la solución del problema.
Gráficamente:
• Método simple:
Ecuación: ax = b
Falsa posición: ax0=e
Solución:
• Método de doble falsa posición:
Por tratarse de una relación de proporcionalidad la relación se
puede expresar de forma lineal:
ax + b = 0
Para nuestras dos aproximaciones:
ax1 + b = e1
ax2 + b = e2
Restando ambas expresiones:
10 354 x 2
10 5
xb
x
e
0
a(x1 - x2) = e1 - e2
Multiplicando (1) por x2 y (2) por x1:
(1)
(2)
ax1 x2 + bx2 = e1 x2
ax2 x1 + bx1 = e2 x1
y restando ambas expresiones obtenemos:
b(x2 - x1) = e1 x2 - e2 x1
Por último, dividiendo (4) entre (3):
(3)
(4)