TRANSFORMACIONES DE GALILEO Y LORENTZ - Multiblog

Transformaciones de Galileo y Lorentz
Z
Y
x
Probemos que la ecuación (1.11) no es invariante ante una
Y
x
transformación de Galileo. El conjunto de ecuaciones que relacionan
las coordenadas espaciales y el tiempo medidos por
P
O Z O V
X X los dos observadores inerciales O y O de la figura (O se mueve
respecto a O con una velocidad V a lo largo del eje OX común a ambos
sistemas de coordenadas), son,
x x Vt x x Vt , y y,
z z,
t t (1.3)
De estas ecuaciones deducimos inmediatamente que,
x
( x Vt) 1 (1.12) (se deriva en un t particular; o sea t = cte)
x x
x
( x Vt)
V (1.13a) (de deriva en un x particular; o sea x = cte)
t t
Puesto que t = t , es evidente que
x x t t 1
dt = dt
V
(1.13b)
t t x x V
El observador del sistema de referencia O aplica la ecuación (1.11). Si las
ecuaciones de Maxwell fueran invariantes ante una transformación de Galileo,
el observador del sistema de referencia O , que se mueve con velocidad
constante respecto a O, debería aplicar la ecuación en la misma forma, o sea,
2
x
E
2
2
E
2
x c t
Veamos si esto se cumple o no. Derivando la componente eléctrica de la onda
electromagnética E(x , t ) respecto a x, aplicando la regla de la cadena (6)
y teniendo en cuenta las ecuaciones (1.12) y (1.13), tenemos,
E E x E t E E 1 E E E
1
1
x x x t x x t V x x V t
y volviendo a derivar de nuevo la última ecuación respecto a x,
x
2
x
2
x
E
2
E
2
E
x
1
1
V
1
V
t
2
t
E
t
2
E
x
E 1
x V
1
V
2
x
1
V
2
E
2
E
x t
x
x
2
E
x t
V
1
2
t
2
1
2
t
1
E
x
E
2
2
t
x
2
2
E
2
E 1
2
t V
2
x
E
2
1
V
V
1
2
2
E
x t
2
t
E
2
x
x
2
V
2
t
t
E
2
2
E
x
t
x
(1.14)
hemos partido de las ecuaciones (1.7) y (1.8) porque son más familiares (aparecen en todos
los textos de Física General).
6 La regla de la cadena para una función y f (x ) tal que x g(t)
establece que,
dy dy dx
dt dx dt
Resultado que se puede generalizar a funciones de varias variables. Para una función de dos
variables z f ( x,
y)
tal que x g( t,
s)
y y h( s,
t),
la regla de la cadena establece que,
z
t
z
x
x
t
z
y
y
t
y
donde se ha sustituido el símbolo de derivada “d” por del de derivada parcial “ ”, ya que
al derivar respecto a una variable se consideran constantes las demás. Por ejemplo, la derivada
parcial de z 2x
2 y 3y
respecto a la variable x es: z / x 4xy.
8/14
z
s
z
x
x
s
z
y
y
s