Sobre los Invariantes de Matlis-Papp ∗

Sobre los invariantes de Matlis-Papp 29
Concluimos este artículo con una caracterización de los anillos semiartinianos
conmutativos, en términos de la asignación Ψ ass y cuya demostración
se basa fundamentalmente en dos trabajos de C. Nâstâsescu y N. Popescu
(veánse [7] y [8]) de finales de los años sesenta. Recordemos que un anillo
arbitrario R se dice semiartiniano a izquierda si y sólo si todo módulo no-nulo
contiene un submódulo simple.
Teorema 3 Si R es un anillo conmutativo arbitrario, entonces las siguientes
condiciones son equivalentes:
(1) R es un anillo semiartiniano.
(2) (a) Ψ ass ∈ A(R, 2 Spec(R) ) es fiel (i.e., Ψ ass (M) ≠ (0), para cada
módulo no-nulo M).
(b) Para cada módulo M tal que Ψ ass (M) es un conjunto finito y cada
N ≤ R M, se tiene:
(3) (a) Ψ ass es fiel.
Ψ ass (M) = Ψ ass (N) ∪ Ψ ass (M/N)
(b) Para cada P ∈ Spec(R) y cada ideal H de R tal que P ≤ H, se
tiene:
Ψ ass (R/P ) = Ψ ass (H/P ) ∪ Ψ ass (R/H)
Demostración:
(1) ⇒ (2) : Por (1) y el Teorema (3.1) en [8], todo ideal primo de R es un
ideal maximal y Ψ ass es fiel. Ahora, sean {M i } una familia de módulos no
todos nulos, M = ∏ i M i y P ∈ Ψ ass (M) = Ass(M). Entonces, existe un
elemento 0 ≠ x = (x i ) ∈ M para el cual P = (0 : x) = ∩ i (0 : x i ). Luego, por
la maximalidad de P , para cada índice i tal que 0 ≠ x i ∈ M i se tiene que
P = (0 : x i ) y así, P ∈ Ψ ass (M i ). Por tanto, Ψ ass ∈ A(R, 2 Spec(R) ) es fiel.
Finalmente, la parte (b) en (2), se sigue de (1) y la Proposición (3.1) en [7].
(2) ⇒ (3) : Basta observar que para cada P ∈ Spec(R), se tiene que
Ψ ass (R/P ) = Ass(R/P ) = {P }.
(3) ⇒ (1) : Por (3) y el Teorema (3.1) en [8], basta probar que cada ideal
primo de R es maximal. Sean P ∈ Spec(R) y H ≤ R R maximal tal que
P ≤ H. Entonces, como R/H es un módulo primo (por ser simple) y la parte
(b) en (3), tenemos que
{H} = Ψ ass (R/H) ⊆ Ψ ass (R/P ) = {P }