Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices - QueGrande

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CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
4.1 Operaciones con Matrices
Como podemos observar, son los coeficientes y los términos independientes de cada ecuación de un sistema
de ecuaciones lineales los implicados en el método de Gauss. Utilizaremos, pues, una representación de
los sistemas haciendo uso de las matrices.
Definición 4.1.1 Una matriz A = (a ij ) de orden m × n sobre un cuerpo K es una colección de mn
elementos de K dispuestos en una tabla de doble entrada con m filas y n columnas. Al elemento que
ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima, se le denota a ij . Así pues:
⎛
⎞
a 11 a 12 . . . a 1n
a 21 a 22 . . . a 2n
A = ⎜
⎝
.
. . ..
⎟
. ⎠
a m1 a m2 . . . a mn
Dos matrices A = (a ij ) y B = (b ij ) son iguales si tienen el mismo orden y, para cada par de índices i, j
se verifica que a ij = b ij . Al conjunto de las matrices de orden m × n con coeficientes en K se denota
M m×n (K). Si m = n, las matrices se llaman cuadradas y el conjunto de todas ellas se denota por
M n (K). La matriz itentidad de orden n, I n ∈ M n (K) es la matriz a ij = 0 si i ≠ j y a ij = 1 si i = j.
Sea A = (a ij ) una matriz cuadrada. A se dice que es:
• simétrica si a ij = a ji , para todo i, j ∈ {1, . . . , n},
• antisimétrica si a ij = −a ji , para todo i, j ∈ {1, . . . , n}
• triangular superior si a ij = 0, para todo i > j,
• triangular inferior si a ij = 0, para todo i < j,
• diagonal si a ij = 0, para todo i ≠ j.
Definición 4.1.2 Sean A = (a ij ) y B = (b ij ) dos matrices en M m×n (K). Se define la suma de A y B
como una matriz A + B en M m×n (K) cuyos coeficientes son
(A + B) ij = a ij + b ij
Si λ ∈ K es un escalar, la matriz λA tiene por coeficientes
(λA) ij = λa ij
Proposición 4.1.1 Si A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ M m×n (K) y λ, µ ∈ K, se verifican las siguientes
propiedades:
1. (M m×n (K), +) es un grupo abeliano,
2. (λ + µ)A = λA + µA,
3. λ(A + B) = λA + λB,
4. λ(µA) = (λµ)A
5. 1 K A = A.
Demostración. (Ejercicio)
Definición 4.1.3 Sean A = (a ij ) ∈ M m×n (K) y B = (b ij ) ∈ M n×p (K) dos matrices. Se define el
producto de A y B como una matriz A · B en M m×p (K) cuyos coeficientes son
⎛ ⎞
b 1j
⎜
(A · B) ij = (a i1 . . . a in ) ⎝
⎟
n∑
. ⎠ = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . + a in b nj ,
b
k=1
nj
para todo i ∈ {1, . . . , m} y j ∈ {1, . . . , p}.