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TEMA DE PORTADANº 30 ■ PRIMAVERA 2012APÉNDICE: EJEMPLO DEL CÁLCULO DE CAPITALECONÓMICO USANDO FUNCIONES DE PÉRDIDAESPERADAPaso 1: estimación de funciones de pérdidas.Supongamos dos riesgos normalmente distribuidos(R1 & R2) que generan las siguientes pérdidas esperadas(EL) en nuestros pasivos con referencia a valores demercado.Cl levels to calibrate Loss FunctionMarginalDistribution1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000Risk1N˜(0%, 12%) -9,8% -14,9% -23,9% -27,1% -30,0% -36,0%Risk2N˜(0%, 4%) -3,3% -5,0% -8,0% -9,0% -10,0% -12,0%Expected loss ($) 1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000EL (Risk1) 15,0 22,8 32,0 36,2 50,0 100,0EL (Risk2) 20,0 22,0 40,0 45,0 60,0 65,0Creamos una función de pérdida esperada para cadariesgo usando regresión lineal y cuadrática. No hemosincluido una constante en las funciones para reflejar quenuestra pérdida inicial es cero:LossFunctionsLinear y=b1 * x+a Polynomial y=b2 * x^2+b1 * x+aa b1 a b1 b2LF (Risk1) 0,0 -192,0 0,0 25,3 744,6LF (Risk2) 0,0 -537,1 0,0 -461,8 774,3Evaluamos la bondad de ajuste de las funciones observandosu Pearson R 2 , el estadístico F y la suma de residuos(Sum of Squares). Queremos minimizar la suma deresiduos al mismo tiempo que obtenemos un buen nivelde R 2 y un estadístico F suficientemente alto:Goodness of fit Linear PolynomialLF (Risk1)Pearson R 2 90% 96%F-Test 46,83 89,06F_dist_95%_Cl 6,61 6,61SS-resid 1,503,5 610,42LF (Risk2)Pearson R 2 99% 99%F-Test 692,08 320,26F_dist_95%_Cl 6,61 6,61SS-resid 88,5 76,55120100806040200LF (Risk1)1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000706050403020100LF (Risk2)1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000EL (Risk1)LF (Risk1)EL (Risk2)LF (Risk2)REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍAactuarios24■ Directive 2009/138/EC of the European Parliament and of the Council of 25November 2009 on the taking-up and pursuit of the business of Insuranceand Reinsurance (Solvency II) Text;http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2009:335:0001:01:EN:HTML■ Financial Services Authority, Solvency II: Internal Model Approval Process -Thematic review findings,http://www.fsa.gov.uk/pubs/international/imap_final.PDF■ Faivre Fabien, Copula: A new vision for economic capital and application toa four line business company,http://www.actuaries.org/ASTIN/Colloquia/Berlin/Faivre.pdf
TEMA DE PORTADANº 30 ■ PRIMAVERA 2012Para R1, la función cuadrática ofrece mayor bondadde ajuste y para R2, la función lineal y la cuadráticamuestran bondades parecidas, con lo que elegiremosla de menor complejidad a la hora de modelar (lineal).El diagrama muestra de una forma gráfica la bondad deajuste entre las curvas y las pérdidas reales:Paso 2: identificación de una mejora específica de la funciónde pérdida esperada.Supongamos que añadimos la interacción entre los riesgos(R1 & R2) a las funciones de pérdida esperada (solola combinación lineal de ambos riesgos, para mantenerla simplicidad del ejemplo):Additional expected loss($)1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000EL (Risk1) 15,0 22,8 32,0 36,2 50,0 100,0EL (Risk2) 20,0 22,0 44,0 45,0 60,0 65,0EL (R1 +R2) 35,0 44,8 77,0 93,2 140,0 205,0Joint risk (R1 * R2) 0,3% 0,7% 1,9% 2,4% 3,0% 4,3%Add loss 2,0 5,0 12,0 18,0 20,0 35,0Add LF termb1,2LF (Risk1+ Risk2) 744,7Pearson R 2 99%SS-resid 4,3Los factores de riesgo pueden estarcorrelacionados usando una estructuramultivariante que permita mayorflexibilidad en la estructurade dependencia (ej. cópula)Paso 3: agregación de las funciones de pérdida esperada.Agregamos las pérdidas esperadas para cada factor deriesgo, incluyendo relaciones de dependencia entre ellos(ej. correlaciones).Los factores de riesgo pueden estar correlacionadosusando una estructura multivariante que permitamayor flexibilidad en la estructura de dependencia (ej.cópula). De esta manera también se puede generar unnúmero alto de simulaciones (escenarios) para que lamuestra sea lo suficientemente significativa y generar elnivel de pérdidas esperada (o Capital Económico) en unintervalo de confianza seleccionado.La agregación de resultados puede resultar una de laspartes más complejas del proceso de cálculo del CapitalEconómico, pero en el ejemplo asumimos una distribuciónnormal multivariante, diez mil simulaciones aleatoriasusando una distribución uniforme [U~(0,1)] y unamatriz de correlación para ilustrar el cálculo del CapitalEconómico requerido (SCR):0,50,40,30,20,10-0,1-0,2-0,3-0,4-0,50 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000SimsRisk1 Risk2CorrelationmatrixRisk 1 Risk 2Risk 1 1,0 0,5Risk 2 0,5 1,01in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000Asset impact -15,0 -22,1 -43,7 -53,3 -60,3 -79,1Liab impact 34,3 50,6 100,0 122,0 137,9 181,1SCR (Div) 49,3 72,7 143,8 175,3 198,2 260,2SCR (Undiv) 53,8 80,0 159,3 194,2 219,4 287,9Div benefit 8,3% 9,1% 9,7% 9,7% 9,7% 9,6%300,00250,00200,00150,00100,0050,000,0003503002502001501005001000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000SimsLF(R1,R2)_div LF_SCRSCR (R1+R2)1in5 1in10 1in50 1in100 1in200 1in1000SCR (Div) SCR (Undiv)actuarios25
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