Tema 1: Espacios vectoriales - Departamento de Matemáticas

Tema 4: Valores y vectores propios1. Halla los valores propios y los vectores propios de las aplicaciones lineales de IR n en IR nque están dadas por las siguientes matrices:( ) ( ) ( ) ( )4 6 5 −1 2 −1 −1 0a =, b = , c = , d =−3 −5 4 1 3 10 −1⎛0 0⎞−1⎛2 2⎞−1⎛2 −1⎞1e = ⎝ 1 −2 −1 ⎠ , f = ⎝ 0 −2 1 ⎠ , g = ⎝ 0 1 0 ⎠ .−2 3 1 −1 0 0−1 1 0En los casos que sea posible halla una base de IR n formada por vectores propios, y lamatriz en esa base, de las aplicaciones dadas en el ejercicio anterior.2. Señala cuáles de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuentrauna matriz de cambio de base P :⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ 0 0 0 1−1 3 −14 −1 −1a = ⎝ −3 5 −1 ⎠ , b = ⎝ 1 2 −1 ⎠ 0 0 1 0, c = ⎜⎟⎝ 0 1 0 0 ⎠ .−3 3 11 −1 21 0 0 03. Busca los valores y vectores propios de la aplicación derivación D, en IP 3 .4. Determina para que valores a, b ∈ IR la matriz A es diagonalizable, siendo⎛⎞a b 0⎜⎟A = ⎝ 0 −1 0 ⎠ .0 0 15. Estudia para que valores reales de α la matriz A es diagonalizable y en los casos en que losea, encuentra su forma diagonal, D, y una matriz P tal que P −1 AP = D, siendo⎛⎞1 −2 −2 − α⎜⎟A = ⎝ 0 1 α ⎠ .0 0 16. Demuestra que si x es vector propio de f para el valor propio λ, entonces x es vectorpropio de f n para el valor propio λ n , n ∈ N. ¿Qué ocurre si además f es invertible?7. En IR 3 , consideramos el endomorfismo f dado porf(x, y, z) = (2x + y + z, 2x + 3y + 2z, x + y + 2z),y sea A la matriz de f respecto de la base canónica. Determina: autovectores, autovalores,diagonalización y matriz de paso.8. En IR 3 consideramos la aplicación f(x, y, z) = (3x + y, −x + y, 0). Halla los valores yvectores propios. ¿Es diagonalizable?9