Memoria TFM - Departament d'Estadística i Investigació Operativa

Memoria TFM. MEIO Junio 2010Unai Aldasoro MarcellanEl centro analítico de un poliedro formado por el conjunto de puntos queTcumplen { x | A x ≤ c}corresponde a la única solución (si existe) del siguienteproblema de optimización:K⎧mín⎨− ∑logs⎩ i=1i| s = c − AT⎫x > 0⎬⎭Si realizamos la siguiente hipótesis:THipótesis 4: El poliedro { x A x ≤ c}| está acotado y es un conjunto no vacío.El centro analítico es también la única solución del sistema de ecuaciones nolineales correspondientes a las condiciones de optimalidad de primer orden:A T x + s = cA λ = 0Ys = eDonde Y es la matriz diagonal cuya diagonal principal es el vector dual y . Así,podemos calcular el centro analítico del polítopo dual { A λ = 0,λ ≥ 0}como la soluciónúnica de:OráculoK⎧⎫mín⎨c, λ − ∑logλi| Aλ= 0, λ > 0⎬⎩i=1⎭Se llama oráculo al problema de optimización definido por el usuario con elobjetivo de crear un corte en la región factible. La formulación del problema queda enmanos del criterio del usuario, teniendo siempre en cuenta una serie deconsideraciones:El dato de entrada del oráculo será el centro analítico de la región factibleactual. Mientras que los datos de salida corresponderá a la información local delproblema en el punto de análisis: valor de la función objetivo f ( ~ x ) , el subgradientef ~ xf ′ ~ x .∂ ( ) y la Hessiana ( )Para cada punto ~ x ∈ X0información:Corte de factibilidad:Para t ∈ { 1,...,r} tal que x ∉ Xtcorte de factibilidad:γ , x − ~ x + γ ≤ 00 para todo x ∈ XtCorte de optimalidad:el oráculo dará como salida una de las siguiente~ el oráculo devuelve el vector ( ) nγ0,γ ∈ RxR y el8