DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO II (Parte 1)

Notas del Curso de Diseño de Elementos de Concreto II 

Ing. Carlos Gómez Torres 

ESCUELA DE ARQUITECTURA 

UNIVERSIDAD HISPANOAMERICANA 

NOTAS DEL CURSO: 

DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO II 

(ARQI-125) 

PROFESOR: 


concreto2uh@gmail.com 

PERIODO: 

II Cuatrimestre 2016 

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TABLA DE CONTENIDO 

INDICE DE FIGURAS ................................................................................................. 2 

INDICE DE TABLAS ................................................................................................... 4 

1. PREDIMENSIONADO DE VIGAS. .................................................................... 6 

2. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS. ....................................... 8 

2.1. Caso 1: As y A’s son desconocidos. .............................................................. 8 

2.2. Caso 2: A’s es conocido y As es desconocido: ............................................ 14 

3. DISEÑO DE VIGAS T. .................................................................................... 18 

3.1. Método iterativo para el diseño de vigas T. .................................................. 18 

3.2. Método directo para el diseño de vigas T. .................................................... 28 

4. CORTANTE Y TENSIÓN DIAGONAL ............................................................. 33 

4.1. Separación económica de los estribos. ........................................................ 33 

5. DETALLADO DEL REFUERZO ...................................................................... 36 

5.1. Esfuerzos de Adherencia: ............................................................................ 36 

5.2. Longitudes de desarrollo: ............................................................................. 38 

5.3. Anclaje con Ganchos: .................................................................................. 50 

5.4. Corte de varillas: .......................................................................................... 56 

6. DISEÑO DE COLUMNAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN. ............................ 59 

6.1. Clasificación de las columnas: ........................................................................ 59 

6.1.1. Clasificación de las columnas de acuerdo a su relación de esbeltez. .......... 59 

6.1.2. Clasificación de las columnas de acuerdo a su forma o geometría. ............. 59 

6.2. Columnas cortas cargadas axialmente. ........................................................... 59 

6.3. Disposiciones generales para el diseño de columnas. .................................... 61 

6.3.1. Razón de refuerzo: ...................................................................................... 61 

6.3.2. Confinamiento: ............................................................................................. 61 

6.4. Fórmulas de diseño. ........................................................................................ 63 

6.4.1. Resistencia del recubrimiento: ..................................................................... 63 

6.4.2. Resistencia de la espiral: ............................................................................. 63 

6.4.3. Carga última ................................................................................................ 64 

1



7. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS. ....................................... 71 

7.1. Cargas a las que puede verse sometida una columna. ................................... 71 

7.1.1. Compresión pura. ........................................................................................ 71 

7.1.2. Carga balanceada. ....................................................................................... 71 

7.1.3. Flexión pura. ................................................................................................ 71 

7.1.4. Tensión pura. ............................................................................................... 72 

8. DISEÑO Y ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGAS EXCÉNTRICAMENTE 

USANDO LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN. .................................................... 74 

9. ZAPATAS ........................................................................................................ 92 

9.1. Zapatas aisladas cuadradas para Columnas. .............................................. 92 

9.1.1. Proceso de diseño de zapatas aisladas cuadradas para columnas. ............ 95 

10. BIBLIOGRAFIA: ............................................................................................ 109 

11. ANEXOS ....................................................................................................... 110 

INDICE DE FIGURAS 

Figura 1. Hoja de Excel para el Diseño de Vigas Doblemente Reforzadas (Caso I). . 13 

Figura 2. Hoja de Excel para el Diseño de Vigas Doblemente Reforzadas (Caso II). 17 

Figura 3. Anchos efectivos de vigas T....................................................................... 19 

Figura 4. Posiciones del eje neutro en viga T............................................................ 19 

Figura 5. Hoja de Excel para el diseño de vigas T (Caso Hf > a) .............................. 23 

Figura 6. Hoja de Excel para el diseño de vigas T (Caso Hf < a) .............................. 27 

Figura 7. División de una viga T en partes rectangulares. ......................................... 28 

Figura 8. Tipos de fallas por adherencia. .................................................................. 37 

Figura 9. Solución de Ejemplo # 6 (a) usando hoja de Excel para el cálculo de 

longitudes de desarrollo. ........................................................................................... 42 

Figura 10. Solución de Ejemplo # 6 (b) usando hoja de Excel para el cálculo de 




2









Figura 15. Ganchos a 90 y 180°. .............................................................................. 50 

Figura 16. Detalles de una varilla con dobladura para el anclaje o desarrollo de 

ganchos estándar. .................................................................................................... 52 

Figura 17. Solución de Ejemplo # 9 usando hoja de Excel para el cálculo de 


Figura 18. Tipos de columnas: con estribos y zunchadas. ........................................ 60 

Figura 19. Confinamiento del núcleo de concreto. .................................................... 64 

Figura 20. Hoja de Excel para el Diseño de Columnas Cuadradas con Estribos....... 67 

Figura 21. Hoja de Excel para el diseño de columnas circularles con aros en espiral. 

................................................................................................................................. 70 

Figura 22. Diagrama de interacción de columna. ...................................................... 73 

Figura 23. Figuras que pueden ser diseñadas con los diagramas de interacción...... 74 

Figura 24. Distribución de presión según el tipo de suelo. ........................................ 92 

Figura 25. Cortante en una dirección. ....................................................................... 93 

Figura 26. Sección sometida a tensión diagonal. ...................................................... 94 

Figura 27. Cortante en dos direcciones o por punzonamiento. ................................. 94 

Figura 28. Hoja de Excel para el diseño de zapatas aisladas para columnas. ........ 100 




3



INDICE DE TABLAS 

Tabla 1. Espesores mínimos para evitar el cálculo de deflexiones. ............................. 6 

Tabla 2. Resistencia de aros en varilla # 3 y # 4 Grado 60. ...................................... 33 

Tabla 3. Resistencia de aros en varilla # 3 y # 4 Grado 40 ....................................... 33 

Tabla 4. Factores de ajuste para el cálculo de longitudes de desarrollo. .................. 40 

INDICE DE GRÁFICOS 

Gráfico 1. Diagrama de interacción de columnas rectangulares con estribos 

rectangulares y con barras en dos caras. ................................................................. 75 








rectangulares y con barras en cuatro caras. ............................................................. 79 







Gráfico 9. Diagrama de interacciones de columnas circulares con aros en espiral. .. 83 

Gráfico 10. Diagrama de interacciones de columnas circulares con aros en espiral. 84 



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INDICE DE ANEXOS 

Tabla A. 1. Designaciones, áreas, perímetros y pesos de varillas estándar. ........... 110 

Tabla A. 2. Valores del módulo de elasticidad para concreto de peso normal. ........ 110 

Tabla A. 3. Valores de balanceado, para lograr diversos valor de t y mínimo 

para flexión. Todos los valores son para secciones rectangulares reforzadas a 

tensión .................................................................................................................... 111 

Tabla A. 4. Áreas de grupos de varillas estándar (plg 2 ). ......................................... 111 

Tabla A. 5. Ancho mínimo de alma (plg) para vigas con exposición interior. ........... 112 

Tabla A. 6. Área de varillas en losas (plg 2 / pie). ..................................................... 112 

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1. PREDIMENSIONADO DE VIGAS. 

El predimensionado de elementos estructurales como vigas es un proceso muy 

sencillo, pues en ocasiones el ancho y altura de las vigas obedece a razones 

arquitectónicas, y si se parte de la nada es cuestión de usar los códigos de diseño 

vigentes. 

En vista de ésta situación, el ACI 318-08 nos suministra una tabla de peralte mínimo 

de vigas en distintas condiciones de apoyo y para garantizar que no existan 

deflexiones que no cumplan. La tabla se muestra a continuación: 

Tabla 1. Espesores mínimos para evitar el cálculo de deflexiones. 

Fuente: ACI 318M-08 

Observe que en el caso en que la viga se encuentre simplemente apoyada el 

espesor “h” debe calcularse como: 

, donde L es la distancia centro a centro entre 

columnas de apoyo. 

En caso en que la viga posea un soporte continuo el espesor “h” debe calcularse 

como: 

6



En caso en que la viga posea los dos soportes continuos el espesor “h” debe 

calcularse como: 

y finalmente si es una viga en voladizo el espesor está dado por 

la fórmula: 

Para estimar el ancho de la viga no se tiene más opción que utilizar la 

recomendación indicada en el punto “e” de la sección 8.2.1 del Código Sísmico de 

Costa Rica 2010, que menciona que la relación ancho sobre espesor no debe ser 

menor que 0.30 

Por lo tanto, se puede calcular el ancho como: 

y bajo ninguna 

circunstancia este ancho puede ser menor que 8 pulgadas, según el punto “f” de la 

sección 8.2.1 del Código Sísmico de Costa Rica 2010. 

7



2. DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS. 

2.1. Caso 1: As y A’s son desconocidos. 

Antes de iniciar este tema, es importante mencionar que el Código Sísmico de Costa 

Rica 2010 (CSCR 2010) prohíbe, en su sección 8.2.2, las vigas simplemente 

reforzadas al mencionar lo siguiente: 

“La cantidad de acero colocado debe ser tal que propicie una falla en flexión 

controlada por la tracción. El valor de p no debe exceder 0.025. Tanto el 

refuerzo superior como el inferior deben estar formados por un mínimo de dos 

barras”. 

La fórmula que define si una viga debe o no ser doblemente reforzada está dada por: 

Si el momento máximo flexionante de la viga es menor al momento último de diseño 

( , significa que la viga requiere de un diseño formal del acero en 

compresión. Si se da el caso contrario ( 

significa que el acero en 

compresión “no es necesario”, pero debe imponerse una cantidad mínima de barras 

y recalcular el acero en flexión de manera iterativa como se verá más adelante. 

El valor de, según la sección 8.2.2 del CSCR 2010, no debe exceder el 2.5% y para 

calcularlo se debe determinar preliminarmente un valor 1 , que está dado con la 

siguiente fórmula: 

Es importante mencionar que para resistencias de concreto (f’c) iguales o 

inferiores que 4000 psi, el valor de 1 será de 0.85. 

Una vez determinado el valor de 1 se procede a calcular el valor de con la 

siguiente fórmula: 

8



Seguidamente debe calcularse el área de acero A s1 , la cual está dada por: 

Una vez calculada el área anterior, se debe determinar la altura del bloque 

rectangular equivalente “a” con la siguiente fórmula: 

Cuando se determina la altura del bloque equivalente, se debe determinar la 

distancia real que existe desde la última fibra en compresión al eje neutro, conocido 

como “c”. 

Una vez calculada la distancia “c”, se debe calcular la deformación unitaria t , que 

está dada con la siguiente ecuación: 

Seguidamente se procede a calcular el valor asociado, con la fórmula: 

Es importante mencionar que si el valor de t es igual o mayor que 0.005 no es 

necesario calcular el valor de , pues el mismo será de 0.90 

Al finalizar el cálculo del asociado, se procede a calcular el momento excedente 

, el cual está dado por: 

Cuando se determina el valor de se procede a calcular el hacer de acero A s2 , 

que está dada por: 

Una vez determinada el área A s2 , se procede a calcular el valor f’s, el cual no debe 

ser mayor que fy y que está dado por la siguiente fórmula: 

9



Finalmente se procede a calcular el área de acero en compresión A’s y el área de 

acero en tensión As, las cuales están dadas por siguientes ecuaciones: 

Para calcular la cantidad de barras de acero requeridas en cada zona de la viga, es 

necesario dominar las áreas unitarias de cada barra de acero, las cuales se 

muestran en la tabla A.1 de los anexos. 

10



Ejemplo # 1: 

Diseñe por flexión una viga doblemente empotrada para soportar una carga 

permanente y una carga temporal de . Asuma que el 

concreto debe poseer una resistencia a la compresión f’c = 3000 Psi y que la fluencia 

del acero es de fy = 60000 Psi. Se sabe que el recubrimiento superior e inferior de la 

viga es de 2 pulgadas. La viga una luz de 32 pies, una base de 8 pulgadas y una 

altura total de 25 pulgadas. 

Mayorización de cargas: 

Usando la ecuación 6.1 del CSCR: 


Momento de diseño: 

Como la viga esta doblemente empotrada: 

Cálculo de cuantía de acero y momento máximo: 

Como 

Recalcular el 

, se procede a diseñar la viga como doblemente reforzada. 

asociado: 

11



Cuando no es necesario calcular , pues su resultado será 0.90. 

Cálculo del Momento excedente: 

Cálculo de As2 

Cálculo de f’s: 

Como 

entonces 

Cálculo de acero en compresión: 

Cálculo de acero en tensión: 

12



DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS (As y A's son desconocidos) 

Ingreso de Datos 

Resultados 


Diseño del Acero 

As1 

fy 

a = 

.85f 

c' b 

M u = 580,27 k - ft 7,333 in Número Diametro (in) Área (in 2 ) 

Cantidad de 

varillas 

requeridas en 

Acero en 

Compresión 

Cantidad 

de varillas 

requeridas 

en Acero 

en 

Tensión 

a 

b = 8 in. c = = 

 

8,627 in. # 3 0,38 0,11 34,81 57,39 

1 

d-c 

= 0.003= 

c 

d = 23 in. 0,00500 

# 4 0,50 0,20 19,58 32,28 

t 

d' = 2 in. f = 0.65 + ( t -.002)*250/3 = 0,900 

# 5 0,63 0,31 12,53 20,66 

f' c = 3000 psi Mu2 = Mu - Mu1 = 363,36 k - ft # 6 0,75 0,44 8,70 14,35 

= 

M 

u2 

f y = 60000 psi A s2 

3,845 in 2 # 7 0,88 0,60 6,39 10,54 

. f f 

y 

(d - d' ) 

1 = 0,85 

c = a/1 = 8,627 in # 8 1,00 0,79 4,90 8,07 

M 

c - d ' 

= 0.375(0.851f'c/fy ) = 0,013550 

f ' 87 ,000 66831 psi # 9 1,13 1,00 3,85 6,34 

s 

= 

c 

max 

ö 

ç 

æ f 

2 

- 

y 

fbd 

f 

y 

1 ÷ 

è 1.7 f 

m ø 

= 

' 

La viga si requiere acero en compresión, quedese 

aqui 

2602927,199 in-lb f' s = 60000 psi # 10 1,27 1,27 3,04 5,00 

216,91 k - ft 

As 

2 

f 

A' 

s 

= 

f ' 

3,85 in 2 # 11 1,41 1,56 2,46 4,06 

y 

Figura 1. Hoja de Excel para el Diseño de Vigas Doblemente Reforzadas (Caso I). 

Fuente: El Autor. 

6,338 in 2 # 14 1,69 2,25 1,71 2,82 

1 = 0,013550 

As + A's = 10,183 in 2 # 18 2,26 4,00 0,96 1,58 

As1 = 1 bd = 2,493 in 2 

Mu1 = fAs1 fy (d - a/2) = 

2602927,199 in-lb 

216,91 k-ft 

A = A + A 

s s s 

1 2 

s 

13



2.2. Caso 2: A’s es conocido y As es desconocido: 

Este caso se puede dar por dos razones: que se especifique el valor de A’s por 

razones arquitectónicas, o que la viga no requiera acero en compresión y se deba 

colocar acero mínimo y recalcular el acero en tensión. 

Calcular el área de acero en tensión es un proceso iterativo bastante cansado en el 

cual se parte de un valor f’s supuesto hasta que el valor final recalculado con la 

ecuación 

sea igual al inicial, tal y como se describe a continuación: 

Paso 1: Asumir un valor de f’s 

Paso 2: Calcular el valor de A s2 con la fórmula: 

Paso 3: Asumir un valor de 

Paso 4: Calcular el valor de M u2 con la fórmula: 

Paso 5: Calcular el valor de M u1 con la fórmula: 

Paso 6: Calcular el valor de R n1 con la fórmula: 

Paso 7: Calcular el valor de 1 con la fórmula: 

Paso 8: Calcular el valor de A s1 con la fórmula: 

Paso 9: Calcular la altura a con la fórmula: 

Paso 10: Calcular el valor de c con la fórmula: 

Paso 11: Calcular la deformación unitaria: 

Paso 12: Calcular el asociado con la fórmula: 

Paso 13: Calcular el valor de f’s con la fórmula: 

Paso 14: En caso de que el valor de f’s del paso 13 sea distinto del f’s del paso 1, se 

debe sustituir el valor del f’s del paso 1 por el valor del f’s del paso 13 y recalcular 

nuevamente TODO. 

14



En procesos de diseño como el anterior es en donde las herramientas de la 

actualidad, como Microsoft Office Excel, entran en juego y por lo tanto es de vital 

importancia que se dominen a la perfección si se desea incursionar en el campo del 

diseño. 

Ejemplo # 2: 

Determine el acero requerido en tensión de una viga que debe soportar un momento 

flexionante de 900 Klb-ft, que posee un ancho de 14 in y una altura total de 29 in. 

Asuma que f’c = 4000 psi y que Fy = 60 000 psi. El recubrimiento superior e inferior 

es de 3 in y el acero de refuerzo en compresión es de 3 in 2 

Solución 

Se asume un: 

Calcular el valor de As2 con la fórmula: 

Asumir un valor de: 

Calcular el valor de Mu2 con la fórmula: 

Calcular el valor de Mu1 con la fórmula: 

Calcular el valor de Rn1 con la fórmula: 

Paso 7: Calcular el valor de 1 con la fórmula: 

15



Calcular el valor de As1 con la fórmula: 

Calcular la altura a con la fórmula: 

Calcular el valor de c con la fórmula: 

Calcular la deformación unitaria: 

Calcular el asociado con la fórmula: 

Calcular el valor de f’s con la fórmula: 

En caso de que el valor de f’s es distinto del f’s asumido inicialmente. 

Se debe determinar un promedio por el valor del f’s inicial y el final e iniciar 

nuevamente todo el proceso hasta que sean iguales. 

16



Como el proceso de cálculo es algo engorroso, se procede a mostrar los cálculos resultantes de las 10 iteraciones 

realizadas en forma tabulada. 

Iteración 1 Iteración 2 Iteración 3 Iteración 4 Iteración 5 Iteración 6 Iteración 7 Iteración 8 Iteración 9 Iteración 10 

Assume a value for f' s f' s = 60000 psi 58522 58013 57836 57775 57753 57746 57743 57743 57742 

A s2 = A’ s f’ s /f y = 3,00 in 2 2,93 2,90 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 2,89 

Assume f = 0,900 in 2 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 

M u2 = fA s2 f y ( d - d') = 3726000 in-lb 3634196 3602591 3591630 3587819 3586492 3586031 3585870 3585814 3585794 

= 310,50 k - ft 302,85 300,22 299,30 298,98 298,87 298,84 298,82 298,82 298,82 

M u1 = M u - M u2 = 589,50 k - ft 597,15 599,78 600,70 601,02 601,13 601,16 601,18 601,18 601,18 

R 

n1 

M 

= 

fbd 

u1 

2 

= 830,5 841,3 845,0 846,3 846,7 846,9 846,9 847,0 847,0 847,0 

 

1 

0.85 f 

f 

é 2R 

ù 

n1 

ê1 

- 1- 

ú = 

êë 

0.85 fc 

úû 

0,016141 0,016393 0,01648 0,01651 0,01652 0,016524 0,016525 0,016526 0,016526 0,016526 

As1 

= 1bd 

= 5,875 in 2 5,967 5,999 6,010 6,013 6,015 6,015 6,015 6,015 6,015 

 

1 

f 

y 

d 

a = = 7,406 in. 7,521 7,561 7,575 7,580 7,582 7,582 7,582 7,583 7,583 

.85f 

c 

' 

a 

c = 

8,713 in. 8,849 8,896 8,912 8,918 8,920 8,920 8,921 8,921 8,921 

 

1 

d-c 

t 

= 0.003= 0,005953 0,005815 0,005768 0,005752 0,005747 0,005745 0,005744 0,005744 0,005744 0,005744 

' 

c 

= 

' 

y 

= 

c 

c - d' 

f ' s 

= 87, 000 = 

c 

f = 0.65 + ( t -.002)*250/3 ≤ 0.9 = 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 0,900 

57043 psi 57504 57660 57713 57732 57739 57741 57742 57742 57742 

Figura 2. Hoja de Excel para el Diseño de Vigas Doblemente Reforzadas (Caso II). 

Fuente: El autor 

Finalmente el área de acero en tensión está dada por: 

9 Barras # 9 = 9 in 2 > 8.903 in 2 

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3. DISEÑO DE VIGAS T. 

3.1. Método iterativo para el diseño de vigas T. 

Al diseñar una viga T, por lo común su patín ya se ha seleccionado previamente al 

diseñar la losa ya que es la losa. El tamaño del alma no se selecciona comúnmente 

con base en los requisitos de momento, sino más bien en los requisitos de cortante; 

es decir, se usa un área suficientemente grande como para proporcionar cierta 

capacidad mínima de cortante como se describirá en la sección siguiente. También 

es posible que el ancho del alma se seleccione con base en el ancho que se estime 

necesario para acomodar las varillas del refuerzo. 

Los patines de la mayoría de las vigas T son usualmente tan grandes que el eje 

neutro se sitúa probablemente dentro de ellos, por lo que pueden aplicarse las 

fórmulas de vigas rectangulares. Si el eje neutro queda en el alma, se usa a menudo 

un procedimiento de tanteos para el diseño. 

A menudo una viga T es parte de una viga continua que se extiende sobre soportes 

interiores tales como columnas. El momento flexionante sobre el soporte es negativo, 

de modo que el patín esta en tensión. También, la magnitud del momento negativo 

por lo general es mayor que la del momento positivo cerca de la mitad del claro. Esta 

situación controlará el diseño de la viga T porque el peralte y el ancho del alma se 

determinan para este caso. Luego, cuando la viga se diseña para el momento 

positivo a la mitad del claro, el ancho y el peralte ya se conocen. Para calcular el 

ancho efectivo de la viga T se deberá elegir el menor de los siguientes valores: 

¼ del claro de la viga. 

16h f + b w. 

La distancia libre promedio entre almas adyacentes + b w. 

En el proceso de diseño se estima que un brazo de palanca del centro de gravedad 

del bloque de compresión al centro de gravedad del acero es igual al mayor de los 

valores de 0.90d o bien d – (hf / 2) y con este valor, llamado z, se calcula un área de 

prueba de acero (As = Mn/ fy z). Lo que se busca es un valor de “z” que origine el 

menor cambio de As. Es un proceso de tanteo. 

18



A continuación se muestra un detalle del ancho efectivo de vigas T. 

Figura 3. Anchos efectivos de vigas T 

Fuente: McCormac, J.C. y Brown, R.H. Diseño de Concreto reforzado. 2011 

El eje neutro de la viga T puede caer dentro del patín o dentro del alma de la misma. 

A continuación se muestra un detalle: 

Figura 4. Posiciones del eje neutro en viga T. 


19



Ejemplo # 3 

Diseñe una viga T para el sistema de piso mostrado en la figura siguiente para el 

cual “bw” y “d” están dados. 

y un claro de 20 pies. 

Solución: 

Cálculo del ancho efectivo: 

a) 

b) 

c) 

Cálculo de momentos suponiendo 

Suponiendo un brazo de palanca z igual al mayor de los valores de 0.90 d o 

bien d - (hf/2) 

Área de prueba del acero 

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Cálculo de los valores de a y z 

Cálculo de As con esta z revisada 



Valor aceptable, ya que es suficientemente cercano al valor anterior. 

21



Revisión del refuerzo mínimo: 

Pero no menor que: 

O de la tabla A.3 de los anexos = 0.0033 

Cálculo de c, 

Esta análisis si es válido pues hf > a 

Brazo de palanca z supuesto 

z = 0.90 d = 16,20 in 

Z 

= 

d 

+ 

h 

2 

f 

= 

16,00 in 

A 

z = SOLVER 16,20 in 

Área de prueba de acero 

C 

As 

= 

= 

Revisión de los valor a y z 

A 

Mn 

f 

s 

0.85 

y 

f 

z 

y 

' 

c 

f 

= 

= 

3,51 in 2 

61,97 in 2 

22



El E.N. está en el patín, este análisis es válido 

a 

= 

A 

b 

C 

e 

= 

1,03 in 

Z 

= 

d 

- 

a 

2 

= 

17,48 in 

Calculo de As con esta z revisada 

As 

= 

Mn 

f z 

y 

= 

3,25 in 2 


A 

C 

= 

A 

s 

f 

0.85 f 

y 

' 

c 

= 

57,42 in 2 

a 

= 

A 

b 

C 

e 

= 

0,96 in 

Z 

= 

d 

- 

a 

2 

= 

17,52 in 

Calculo de As con esta z revisada 

As 

= 

Mn 

f z 

y 

= 

3,25 in 2 

Revisión del refuerzo mínimo 

A 

s min 

' 

3 fc 

= bwd 

= 

f 

y 

0,6831 in 2 

A 

s min 

200 

= bwd 

= 

f 

y 

0,72 in 2 

Revisión de los valores t y f 

c = a/ 1 = 1,13 in 

t 

d - c 

= 0. 003= 

c 

f = 

0,0450 

0,9 

Ok, tal y como se supuso inicialmente 

Figura 5. Hoja de Excel para el diseño de vigas T (Caso Hf > a) 

Fuente: El autor. 

23



Ejemplo # 4 




Solución: 


a) 

b) 

c) 


Suponiendo un brazo de palanca z igual al mayor de los valores de 0.90 d o 

bien d - (hf/2) 

Área de prueba del acero 

24




Cálculo de la distancia 

de la parte superior del patín al centro de gravedad Ac 


El área de 9.41 plg 2 podría refinarse un poco repitiendo el diseño, pero no hacer 

esto. Si esto se hace As = 9.51 plg 2 . El resultado final será As = 9.50 plg 2 

25



Revisión del refuerzo mínimo: 

de la tabla A.7 de los anexos = 0.0033 

Cálculo de c, 

Esta análisis si es válido pues hf < a 

Brazo de palanca z supuesto 

z = 0.90 d = 21,60 in 

Z 

= 

d 

+ 

h 

f 

2 

= 

22,50 in 

A 

C 

As 

z = SOLVER 21,52 in 

Área de prueba de acero 

= 

= 

Mn 

f z 


A 

s 

0.85 

y 

f 

y 

' 

c 

f 

= 

= 

9,50 in 2 

223,53 in 2 

Distancia y desde la parte superior 

hf 

hf 

be 

+ A 

2 

y = 

C 

æ AC 

-hf 

be 

ö 

-h 

 

ç + 

÷ 

f 

be 

hf 

è 2bw 

ø 

= 

A 

C 

Z = d - y 

= 

2,48 in 

21,52 in 

As 

= 

Mn 

f z 

y 

= 

9,50 in 2 

26



Revisión del refuerzo mínimo 

A 

s min 

' 

3 fc 

= bwd 

f 

y 

= 

0,9859 in 2 

A 

s min 

200 

= bwd 

f 

y 

= 

1,2 in 2 

Revisión de los valores t y f 

a = 7,10 in 

c = a/ 1 = 8,36 in 

t 

d - c 

= 0. 003= 

c 

f = 

0,0056 

0,9 

Ok, tal y como se supuso inicialmente 

Figura 6. Hoja de Excel para el diseño de vigas T (Caso Hf < a) 


27



3.2. Método directo para el diseño de vigas T. 

El procedimiento para el diseño de una viga T ha consistido en suponer un valor “z”, 

calcular un área de prueba “As”, determinar “a” para esa área de prueba suponiendo 

una sección rectangular, etc. Si resulta que a > hf, tendremos una verdadera viga T. 

Tal procedimiento de tanteos se usó para la viga del ejemplo 4 anterior. Sin embargo, 

es posible determinar fácilmente “As” directamente usando otros métodos, donde el 

miembro es dividido en sus componentes rectangulares. Para este método es 

importante ver la siguiente imagen: 

Figura 7. División de una viga T en partes rectangulares. 


La fuerza de compresión suministrada por los rectángulos de los patines en voladizo 

debe ser equilibrada por la fuerza de tensión en una parte del acero de tensión “As” 

mientras que la fuerza de compresión en el alma es equilibrada por la fuerza de 

tensión restante “Asw”. 

Para los patines se tiene: 

De donde el área requerida de acero “Asf” es igual a: 

28



La resistencia de diseño de esos patines en voladizo es: 

Se determinan a continuación el momento restante que debe resistir el alma de la 

viga T y el acero requerido para equilibrar ese valor. 

El acero requerido para equilibrar el momento en el alma rectangular se obtiene por 

medio de expresión usual de una viga rectangular. Se calcula 

y se 

determina . Piense acerca de como la proporción de refuerzo para la viga 

mostrada en la figura anterior (b). Entonces: 

Repita los ejemplos 3 y 4 con esta nueva metodología. 

Ejemplo # 3 Bis 




Solución: 


d) 

e) 

f) 

29




Calculo de c, 

Ejemplo # 4 Bis 




30



Solución: 


d) 

e) 

f) 

Calculo de momentos suponiendo 

El área anterior no es correcta pues 4.05 > , se procede hacer el cálculo como 

una verdadera viga T. 

Suponiendo 

Se diseña una viga T rectangular con y para resistir el 

momento flector de 

31



Calculo de c, 

32



4. CORTANTE Y TENSIÓN DIAGONAL 

4.1. Separación económica de los estribos. 

Cuando se requieran estribos o aros en un miembro de concreto reforzado, el código 

ACI especifica las separaciones permisibles máximas entre d/4 y d/2. Por otra parte, 

usualmente se considera que las separaciones de estribos menores de d/4 no son 

económicas. Muchos diseñadores usan un máximo de tres separaciones diferentes 

en una viga. Éstas son d/2, d/3 y d/4. Es posible obtener un valor de para cada 

tamaño y tipo de estribos para cada una de estas separaciones. 

Observe que el número de estribos es igual a d/s y que si usamos separaciones d/2, 

d/3 y d/4 podemos ver que no es igual a 2,3 y 4. Por lo tanto, el valor de se 

puede calcular para cualquier separación, tamaño y tipo de estribo. Por ejemplo, para 

estribos separados a d/2 con y . 

Los valores de para estribos en # 3 y # 4 con son: 

Tabla 2. Resistencia de aros en varilla # 3 y # 4 Grado 60. 


Los valores de para estribos en # 3 y # 4 con son: 

S fVs para # 3 (Klb) fVs para # 4 (Klb) 

d/2 13,2 24,00 

d/3 19,8 36,00 

d/4 26,4 48,00 

Tabla 3. Resistencia de aros en varilla # 3 y # 4 Grado 40 


33



Ejemplo # 5: 

Selecciones estribos # 3 para la viga mostrada en la figura siguiente, para una carga 

muerta de 

. La resistencia del concreto es de 

y la fluencia del acero es de . 

Hallando Vu en el extremo izquierdo = 

Hallando el valor 

Vu a una distancia d de la cara de soporte = 

Trazando el diagrama de cortante hasta la mitad de la viga, se tiene: 

Se procede a calcular los valores de 

34



S fVs para # 3 (Klb) Vu (Klb) 

d/2 19,8 51,820 

d/3 29,7 61,720 

d/4 39,6 71,620 

fVc 32,02 Klb 

fVc / 2 16,01 Klb 

Se procede a calcular las distancias en donde ocurren dichos valores de Vu 

La ecuación de la curva de cortante tiene la forma: 

A una longitud mayor que 5.89 pies ya no se requieren aros. 

Trazando los valores anteriores en el diagrama de cortante, se tiene: 

35



5. DETALLADO DEL REFUERZO 

5.1. Esfuerzos de Adherencia: 

Una hipótesis básica que se hace en el diseño del concreto reforzado es que no 

debe existir ningún deslizamiento de las varillas en relación con el concreto 

circundante. En otras palabras, el acero y el concreto deben aglomerarse o 

permanecer adheridos para que actúen como una unidad. Si no hay adherencia 

entre ambos materiales y si las varillas no están ancladas en sus extremos, éstas se 

zafarán del concreto. Como consecuencia, la viga de concreto se comportará como 

un miembro sin refuerzo y estará sujeta a un colapso repentino tan pronto como el 

concreto se agriete. 

Es obvio que la magnitud de los esfuerzos de adherencia cambiará en una viga de 

concreto reforzado conforme cambien los momentos flexionantes en la viga. Cuando 

mayor sea la tasa de cambio del momento flexionante (que ocurre en las posiciones 

de alto esfuerzo cortante), mayor será la tasa de cambio de las tensiones de las 

varillas, y por lo tanto de los esfuerzos de adherencia. 

Lo que acaso no es tan obvio es el hecho de que los esfuerzos de adherencia son 

también drásticamente afectados por el desarrollo de grietas de tensión en el 

concreto. En un punto donde se presenta una grieta, toda la tensión longitudinal será 

resistida por la varilla de refuerzo. A una distancia pequeña a lo largo de la varilla, en 

un punto fuera de la grieta, la tensión longitudinal será resistida tanto por la varilla 

como por el concreto no agrietado. En esta distancia pequeña puede darse un 

cambio grande en la tensión de la varilla debido al hecho de que el concreto no 

agrietado ahora está resistiendo la tensión. 

Así, el refuerzo de adherencia en el concreto circundante que era cero en la grieta, 

cambiará drásticamente dentro de esta distancia pequeña a medida que cambia la 

tensión en la varilla. 

La adherencia de las varias de refuerzo al concreto se debe a varios factores, 

incluyendo la adherencia química entre los materiales, la fricción debida a la 

rugosidad natural de las varillas y al apoyo en el concreto de las corrugaciones 

estrechamente espaciadas en las superficies de las varillas. 

36



Si se utilizaran varilla lisas sería sumamente sencillo romper la adherencia de las 

mismas con el concreto, y por esa razón las varillas corrugadas se usan en casi todo 

tipo de trabajo; sin embargo las varillas lisas se utilizan constantemente como 

refuerzo lateral en los miembros a compresión (como los estribos o las espirales en 

columnas). 

La adherencia química y la fricción entre las corrugaciones son insignificantes y la 

adherencia se debe principalmente al apoyo sobre las costillas de la corrugación. 

La figura que se muestra a continuación ejemplifica las fallas de adherencia que 

pueden ocurrir para diferentes valores de recubrimiento del concreto y de la 

separación entre la varillas. 

Recubrimiento lateral 

y media separación 

Recubrimiento en los 

lados y en el fondo 

Recubrimiento en el 

fondo menor que el 

libre entre varillas 

igual o menor que 

recubrimiento lateral y 

menor que el 

media separación 

menor que media 

recubrimiento del 

libre entre varillas. 

separación libre entre 

fondo. 

varillas. 

Figura 8. Tipos de fallas por adherencia. 


La resistencia a la separación a lo largo de las varillas depende de un buen número 

de factores, tales como el espesor del recubrimiento de concreto, el espaciamiento 

de las varillas, la presencia de recubrimiento en las varillas, los tipos de agregados 

que se usen, el efecto de confinamiento transversal de los estribos, etc. 

37



5.2. Longitudes de desarrollo: 

La longitud de anclaje usada para varillas o alambres corrugados en tensión no debe 

ser menor que los valores calculados con la ecuación 12-1 del ACI ó 12 pulgadas. La 

sustitución en esta ecuación, que se da a continuación, proporciona valores en 

términos de diámetros de varilla 

. Esta forma de respuesta es muy conveniente, 

diciéndose, por el ejemplo, 30 diámetros de varilla, 40 diámetros de varilla, etc. 

Esta expresión, que parece incluir tantos términos, es mucho más fácil de usar de lo 

que parece a primera vista, ya que varios de los términos son usualmente iguales a 

1.0. Aún si no son igual es a 1.0, los factores se pueden obtener rápidamente. 

En los siguientes párrafos se describe cada uno de los términos en la ecuación que 

no han aparecido previamente. Se muestra su valor en diferentes situaciones en la 

tabla siguiente. 

Posición del refuerzo: Las varillas horizontales que tienen por lo menos 12 

pulgadas de concreto fresco colocado debajo de ellas, no se adhieren tan bien como 

las varillas situadas cerca del fondo de dicho material. A estas varillas se les 

denomina varillas superiores. Durante la colocación y vibrado del concreto, algo de 

aire y agua excedente tienden a subir hacia la parte superior del concreto, y alguna 

porción puede quedar atrapada bajo las varillas más altas. Para tomar en cuenta este 

efecto se usa el factor de la posición del refuerzo. 

Recubrimiento de las varillas: Las varillas de refuerzo recubiertas con 

epóxido se usan frecuentemente en la actualidad para proteger al acero de 

situaciones severas de corrosión, como las que se presentan cuando se usan 

productos químicos descongelantes. Las cubiertas de los puentes y las losas de 

estacionamiento en regiones de clima muy frio se encuentran en esta clase. Cuando 

se usan recubrimientos en las varillas, la adherencia se reduce y las longitudes de 

desarrollo deben incrementarse. Para tomar en cuenta este efecto se usa el término 

o factor de recubrimiento. 

38



Tamaño del refuerzo: Si se usan varillas pequeñas en un miembro para 

obtener cierta área transversal total, el área superficial total de las varillas será 

sensiblemente mayor que si se usan varillas de mayor diámetro para obtener la 

misma área total. Como consecuencia, las longitudes de desarrollo requeridas para 

las varillas más pequeñas son menores que las requeridas para varillas de mayor 

diámetro. Este factor se toma en cuenta con el factor de tamaño de refuerzo . 

Agregados de peso ligero: El peso muerto del concreto se puede reducir 

sustancialmente sustituyendo el agregado regular de piedra por el de peso ligero. El 

uso de tales agregados (arcilla o pizarra expansiva, escoria, etc.), conduce 

generalmente a concretos de menor resistencia. Tales concretos tienen resistencias 

menores a la rajadura, por lo cual las longitudes desarrollo tienen que ser mayores. 

En la ecuación, 

1 es el factor de modificación de concreto de peso ligero. 

Separación entre varillas o dimensiones del recubrimiento: Si el 

recubrimiento del concreto o la separación libre entre varillas son muy pequeños, el 

concreto puede rajarse, como se mostró anteriormente. Esta situación se toma en 

consideración en el término 

. Se llama término de confinamiento. En la 

ecuación, representa la menor de las distancias del centro de la varilla o el 

alambre en tensión a la superficie más cercana de concreto, o la media de la 

separación entre centros del refuerzo longitudinal que va a desarrollarse. 

1 El valor depende del agregado que se remplazo con el material ligero. Si sólo se 

reemplaza el agregado grueso (Concreto de arena y peso ligero), vale 0.85. Si la 

arena también se reemplaza con material ligero (Concreto de peso ligero global), 

vale 0.75 y finalmente si se trata de concreto de peso normal, vale 1.0. Se permite 

la interpolación lineal según la sección 8.6.1 del ACI, pero no será analizada en el 

presente curso. 

39



Factores que se utilizan en las expresiones para determinar las longitudes de desarrollo requeridas 

para varillas corrugadas y alambres corrugados en tensión. (ACI 12.2.4) 

1. t = Factor de posición del refuerzo 

Refuerzo horizontal situado de tal manera que más de 12 plg de concreto fresco es colado en el miembro 

debajo de la longitud de desarrollo o empalme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.30 

Otro refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.00 

2. e = Factor de recubrimiento 

Varillas recubiertas con epóxido o alambres con recubrimiento menor que 3 d b , 

o separación libre menor que 6d b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.50 

Todas las otras varillas o alambres recubiertos con epóxido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.20 

Refuerzo no recubierto y bañado en cinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.00 

Sin embargo, el producto t e no tiene que tomarse mayor de 1.70 

3. s = Factor del tamaño del refuerzo 

Varillas Núm. 6 y menores y alambres corrugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.80 

Varillas Núm. 7 y mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.00 

4. (lambda) = Factor del concreto con agregado de peso ligero 

Cuando se usa concreto con agregado ligero, no excederá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.75 

Pero no mayor que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.00 

Cuando se usa concreto de peso normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.00 

5. C b = Separación o dimensión de recubrimiento, plg 

Use la menor, ya sea la distancia del centro de la varilla o alambre a la superficie más cercana de concreto, o bien 

la mitad de la separación centro a centro de las varillas o alambre por desarrollar. 

Tabla 4. Factores de ajuste para el cálculo de longitudes de desarrollo. 


En la expresión, es un factor llamado índice de refuerzo transversal. Se usa para 

tomar en cuenta la contribución del refuerzo de confinamiento (estribos o ligas) a 

través de los posibles planos de rajaduras. 

Donde 

= área de la sección transversal total de todo el refuerzo transversal que tenga la 

separación “s” centro a centro y una resistencia a la fluencia 

= número de varillas o alambres que van a desarrollarse a lo largo del plano de 

rajadura. Si el acero está en dos capas, n es el mayor número de varillas en una 

capa individual. 

= separación centro a centro del refuerzo transversal. 

40



En la sección 12.2.3 del ACI se permite conservadoramente el uso de 

simplificar los cálculos aun cuando exista el refuerzo transversal. 

para 

Ejemplo # 6: 

Determinar la longitud de desarrollo requerida para las varillas del # 8 de fondo 

mostrada en la figura. 

a) Suponga y 

b) Use el valor calculado de 

De la tabla de factores se tiene: 

t = 1.0 para varillas de fondo. 

e = 1.0 para varillas no recubiertas. 

s = 1.0 para varillas del # 8. 

= 1.0 para concreto de peso normal. 

C b = recubrimiento lateral de las varillas medido desde el centro de las varillas = 2 ½ 

plg. 

41



Variable Valor Unidad 

f' c = 3000 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 1 in. 

n = * 

s = 

t = 

e = 

s = 

= 

* in. 

c b = 1,50 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 

Cálculo de Longitud de Desarrollo - Tensión 


Diagrama 

1,00 

1,00 

1,00 

1,00 

1 

0,000 

1,500 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 

54,77 diámetros 

54,77 in. 


longitudes de desarrollo. 


42



Usando la ecuación 12-1 del ACI con 


f' c = 3000 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 1 in. 

n = 3 * 

s = 8 * in. 

t = 

e = 

s = 

= 

c b = 1,50 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,00 

1,00 

1,00 

1,00 

1 

0,367 

1,867 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


44,01 in. 




43



Ejemplo # 7: 

Las varillas del # 7 de fondo mostradas en la figura están recubiertas con epóxido. 

Suponiendo concreto de peso normal, y , determine la 

longitud de desarrollo requerida. 

a) Use el valor calculado de 

b) Suponga 


t = 1.0 para varillas de fondo. 

e = 1.5 para varillas recubiertas con epóxido. 

1.70 

s = 1.0 para varillas del # 7 y mayores. 

= 1.0 para concreto de peso normal. 

C b = recubrimiento = 3 plg. 

o bien 

C b = la mitad de la separación centro o centro de las varillas = 1 ½ plg (RIGE) 


44




f' c = 3500 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 0,875 in. 

n = 4 * 

s = 6 * in. 

t = 

e = 

s = 

= 

c b = 1,50 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,00 

1,50 

1,00 

1,00 

1,5 

0,367 

2,133 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


46,80 in. 




45





f' c = 3500 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 0,875 in. 

n = * 

s = 

t = 

e = 

s = 

= 

* in. 

c b = 1,50 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,00 

1,50 

1,00 

1,00 

1,5 

0,000 

1,714 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


58,24 in. 




46



Ejemplo # 8: 

Las varillas superiores del # 8 mostradas no están recubiertas. Calcule la longitud de 

desarrollo si y . El concreto es de peso ligero. 

a) Use el valor calculado de 

b) Suponga 


t = 1.3 para varillas superiores 

e = 1.0 para varillas no recubiertas 

s = 1.0 para varillas del # 7 y mayores. 

= 0.75 para concreto de peso ligero. 

C b = recubrimiento = 3 plg. 

o bien 

C b = la mitad de la separación centro o centro de las varillas = 2 plg (RIGE) 


47




f' c = 3500 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 1 in. 

n = 4 * 

s = 8 * in. 

t = 

e = 

s = 

= 

c b = 2,00 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,30 

1,00 

1,00 

0,75 

1,3 

0,275 

2,275 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


57,95 in. 





48




f' c = 3500 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 1 in. 

n = * 

s = 

t = 

e = 

s = 

= 

* in. 

c b = 2,00 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,30 

1,00 

1,00 

0,75 

1,3 

0,000 

2,000 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


65,92 in. 




49



5.3. Anclaje con Ganchos: 

Cuando no se dispone de suficiente espacio para anclar las varillas a tensión 

prolongándolas según sus longitudes de desarrollo requeridas, tal como se acaba de 

explicar, pueden emplearse ganchos 2 . 

En las siguientes figuras se muestran detalles de los ganchos estándar a 90 y 180° 

especificados en las secciones 7.1 y 7.2 del ACI. Puede usarse en el extremo libre 

un gancho a 90° con una extensión de 12 diámetros de varilla o bien un 

gancho de 180° con una extensión de 4 diámetros de varilla , pero no menor 

que 2 ½ pulgada en el extremo libre. Los radios y diámetros mostrados se miden en 

la parte interior de los dobleces. 

Figura 15. Ganchos a 90 y 180°. 


2 Los ganchos se consideran inservibles para varillas en compresión para propósitos de longitudes de 

desarrollo. 

50



Las dimensiones dadas para ganchos se desarrollaron para proteger a los miembros 

contra desprendimiento del concreto o rotura de la varilla, independientemente de las 

resistencias del concreto, de los tamaños de varillas o de los esfuerzos presentes en 

éstas. 

En realidad, los ganchos no proveen incremento apreciable en la resistencia del 

anclaje porque el concreto en el plano del gancho es algo vulnerable al 

desprendimiento. Esto quiere decir que al aumentar la longitud de las varillas más 

allá de los ganchos realmente no incrementa la resistencia del anclaje. 

La longitud de desarrollo que se requiere para un gancho es directamente 

proporcional al diámetro de la varilla. La razón de esto es que la magnitud de los 

esfuerzos de compresión en el concreto en el interior del gancho está gobernada por 

. Para determinar las longitudes de desarrollo que se necesitan en los ganchos de 

tipo estándar, el ACI (sección 12.5.2) requiere el cálculo de: 

El valor de , según la sección 12.5.2 del ACI, no debe ser menor que 6 pulgadas u 

. Para varillas corrugadas el ACI, en la sección 12.5.2, establece que en esta 

expresión se puede considerar igual a 1.2 para refuerzo recubierto con epóxido y el 

valor usado igual a 0.75 para concreto con agregado ligero. Para todos los demás 

casos y deben considerar iguales 1.0. 

La longitud de desarrollo , se mide desde la sección crítica de la varilla hasta el 

extremo exterior o borde de los ganchos, como se muestra en la figura siguiente. 

51



Figura 16. Detalles de una varilla con dobladura para el anclaje o desarrollo de 

ganchos estándar. 


52



Ejemplo # 9: 

Determine la longitud de desarrollo o empotramiento requerido para las varillas 

recubiertas con epóxido de la viga mostrada en la figura. 

a) Si las varillas son rectas, suponiendo 

b) Si se usa un gancho de 180° 

c) Si se usa un gancho de 90° 

Las seis varillas mostradas del # 9 se consideran como varillas superiores. 

y . 

a) Varillas rectas 


t = 1.3 para varillas superiores 

e = 1.5 para varillas recubiertas con recubrimiento < o separación libre < 

(Use 1.70) 

s = 1.0 para varillas del # 9 

= 1.00 para concreto de peso normal 

C b = recubrimiento lateral = recubrimiento superior = 2.50 plg. 

o bien 

C b = la mitad de la separación centro o centro de las varillas = 2.25 plg (RIGE) 

53



b) Si se usa un gancho de 180° 

c) Si se usa un gancho de 90° 

54




f' c = 4000 psi 

f y = 60000 psi 

A tr = 0,22 * in 2 

d b = 1,127 in. 

n = * 

s = 

t = 

e = 

s = 

= 

* in. 

c b = 2,25 in. 

t e = 

K tr = 

(c b + K tr )/d b = 



Diagrama 

1,30 

1,50 

1,00 

1,00 

1,7 

0,000 

1,996 

A s 

b 

d 

h 

l 

d 

3 

f 

= y t e s 

d 

40 

' 

f K 

b 

c 

tr 

é cb 

+ 

ê 

ë d 

b 

ù 

ú 

û 

= 


68,28 in. 

Figura 17. Solución de Ejemplo # 9 usando hoja de Excel para el cálculo de 



55



5.4. Corte de varillas: 

Es posible variar los peraltes de las vigas en cierta proporción a los momentos 

flexionantes, normalmente es más económico usar secciones prismáticas y reducir el 

área de acero cortando algo del refuerzo donde los momento flexionantes son lo 

suficientemente pequeños. El acero de refuerzo es bastante caro y cortarlo donde es 

posible hacerlo puede reducir en forma apreciable los costos. 

Si el momento flexionante disminuye a 50% de su máximo, aproximadamente 50% 

de las varillas puede cortarse o quizá doblarse hacia arriba o hacia abajo hasta la 

otra cara de la viga para hacerlas continuas con el refuerzo en la otra cara. 

Para determinar en qué punto de la viga es posible cortar el refuerzo, es necesario 

calcular la ecuación que describe el momento flexionante haciendo un corte 

estratégico y despejar las distancias a las cuales se alcanza el momento si usa la 

mitad o un tercio de las barras que cubren el momento máximo. 

En este curso solo se analizarán los casos en los cuales las vigas se encuentren 

simplemente apoyadas o doblemente empotradas, pues básicamente es lo mismo 

solo que la ecuación o criterio de asignación que relaciona las distancias con los 

momentos flexionantes es diferente. 

Para determinar el momento ultimo de diseño, se requiere calcular la altura del 

bloque rectangular equivalente que está dado por la ecuación: 

Seguidamente se procede a calcular el momento último de diseño con la siguiente 

ecuación: 

Básicamente lo que se hace es disminuir el valor de “As” a la mitad y a un tercio del 

total para despejar respectivamente el valor de . 

56



Seguidamente se utiliza la función que relaciona las distancias con el momento 

flexionante, para determinar a qué distancia “x” se hallan respetivamente los 

momentos últimos de diseño al utilizar la mitad de As y el tercio de As. 

Ejemplo # 10: 

Para la viga con carga uniforme simplemente apoyada que se muestra en la figura 

siguiente, determine los puntos teóricos de corte en cada extremo de la viga donde 

pueden cortarse dos varillas y luego determine los puntos donde dos varillas más 

pueden cortarse. y . 

Cuando la viga tiene 4 varillas: 

Cuando el momento disminuye a 439 Klb-pie, teóricamente pueden cortarse dos de 

las seis varillas. 

Cuando la viga tiene 2 varillas: 

Cuando el momento disminuye a 231 Klb-pie, teóricamente pueden cortarse dos 

varillas más dejando 2 en la viga. 

57



(Observe que para con 6 varillas , que es menor que max = 0.0136. 

También, esta es > min ) 

La ecuación que describe el diagrama de momento flexionante está dado por: 

La distancia a la cual ocurre el valor de 

esta dada por: 

Por lo tanto el valor de lado a lado del diagrama será de: 

La distancia a la cual ocurre el valor de 

está dada por: 

Por lo tanto el valor de lado a lado del diagrama será de: 

A continuación se muestra el diagrama de momentos: 

58



6. DISEÑO DE COLUMNAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN. 

Las columnas son elementos estructurales que sirven para soportar cargas axiales, y 

donde actúan fuerzas longitudinales (carga axial), produciendo en ellas esfuerzos de 

compresión, tensión, cortante y momento flexionante, y en algunos casos se 

presenta flexo-compresión y flexo-tensión; para absorber estas fuerzas producidas 

en la columna debido a las cargas. 

6.1. Clasificación de las columnas: 

6.1.1. Clasificación de las columnas de acuerdo a su relación de esbeltez. 

Columnas cortas. 

Columnas largas. 

6.1.2. Clasificación de las columnas de acuerdo a su forma o geometría. 

Columnas rectangulares. 

Columnas cuadradas. 

Columnas circulares. 

6.2. Columnas cortas cargadas axialmente. 

McCormac (2011) expresa que: 

Si una columna de concreto reforzado falla debido a la falla inicial del material, se 

clasifica como columna corta. La carga que puede soportar está regida por las 

dimensiones de su sección transversal y por la resistencia de los materiales de que 

está constituida. (p. 257) 

El flujo plástico y la contracción del concreto tienen fuerte influencia en los esfuerzos 

del acero y el concreto de una columna de concreto reforzado cargada axialmente 

bajo carga de servicio, lo que tiende a aumentar el esfuerzo en el acero longitudinal y 

a reducir el esfuerzo en el concreto. 

En una columna que tiene una cuantía elevada de acero y elevada carga inicial, la 

que posteriormente se elimina en su mayor parte, se puede llegar a tener tensión en 

el concreto y compresión en el acero. En consecuencia es sumamente difícil evaluar 

la seguridad de las columnas de concreto reforzado utilizando la teoría elástica y los 

esfuerzos permisibles. 

59



Por otra parte, la carga última de una columna no varía apreciablemente con la 

historia de la carga. Al aumentar la carga, el acero normalmente alcanza la 

resistencia de cedencia antes de que el concreto alcance su resistencia total. Sin 

embargo, en esta etapa la columna no ha alcanzado su carga última. La columna 

puede transmitir más carga debido a que el acero soporta el esfuerzo de cedencia en 

tanto que las deformaciones y cargas aumentan hasta que la carga alcanza su 

resistencia total. 

Las columnas pueden ser con estribos o zunchadas. 

McCormac (2011) menciona que: 

Las columnas de concreto reforzado se denominan columnas con estribos o 

zunchadas (con espirales), dependiendo del método usado para apuntalar 

lateralmente o sujetar en su lugar a las varillas. (p. 258) 

Figura 18. Tipos de columnas: con estribos y zunchadas. 


60



6.3. Disposiciones generales para el diseño de columnas. 

6.3.1. Razón de refuerzo: 

La sección 8.3.3 del CSCR 2010 establece que: 

Las columnas se diseñan para un porcentaje de acero de refuerzo longitudinal de ρ = 

1% hasta ρ = 6%. 

El proceso puede iniciarse con un valor tentativo de ρ = 0.015, como un valor mínimo 

de refuerzo para columnas de concreto reforzado. 

De acuerdo con el ACI 318M-08 en la sección 10.9.2 a la letra dice “El acero de 

refuerzo longitudinal mínimo en elementos sujetos a compresión debe de ser de 4 

varillas dentro de anillos circulares o rectangulares, 3 varillas dentro de anillos 

triangulares y 6 varillas confinadas por espirales, de acuerdo con la sección 10.9.3. 

6.3.2. Confinamiento: 

6.3.2.1. La razón del volumen de refuerzo en espiral o aros circulares, ρs, 

respecto al volumen del núcleo confinado por dicho refuerzo (medido de extremo 

externo a extremo externo del aro) no puede ser menor que: 

Donde: 

= área bruta en cm 2 

= área del núcleo interior confinado en cm 2 

= esfuerzo de cedencia del acero transversal en Kgf/cm 2 

6.3.2.2. El área de refuerzo en forma de aros rectangulares no puede ser menor 

que ninguna de las siguientes: 

61



Donde: 

= área total de las barras que forman los aros y amarres suplementarios con 

separación s y perpendicular a la dimensión en cm 2 

= separación, centro a centro, entre aros en cm. 

= distancia máxima, medida de centro a centro, entre espirales del aro en cm. 

6.3.2.3. Se recomienda tener como dimensiones mínimas las siguientes: para 

secciones rectangulares, la dimensión menor es de 20 cm, y para secciones 

circulares, el diámetro mínimo será de 25 cm; la sugerencia anterior es con la 

finalidad de garantizar tanto el recubrimiento del acero longitudinal y así de esta 

manera evitar que se debilite el elemento debido a que el agua y el viento provocan 

una oxidación en el acero en el interior de la columna. 

6.3.2.4. Cuando se usan columnas con estribos, estos no deben ser menores al 

# 3 para varillas longitudinales del # 10 o menores y del # 4 para varillas 

longitudinales mayores. (Ver sección 7.10.5.1 del ACI) 

6.3.2.5. La separación de los estribos no deberá ser mayor que 16 veces el 

diámetro del refuerzo longitudinal de dicha columna, ni 48 veces el diámetro del 

estribo o la menor dimensión de la columna. Finalmente se tomará el valor menor de 

los tres. 

6.3.2.6. En columnas de concreto reforzado se recomienda utilizar concretos de 

alta resistencia como por ejemplo: f’c = 250 Kgf/cm2 ó f’c = 350 Kgf/cm2. 

6.3.2.7. El código ACI en la sección 7.10.4 establece que las espirales no deben 

tener diámetros menores de 150 mm y que la separación libre entre las vueltas no 

debe ser menor que 25 mm o mayor que 75 mm. Si se requieren empalmes en las 

espirales, debe proveerse por soldadura o por traslapes de las varillas espirales o 

alambres corrugados sin recubrimiento con una longitud de 48 diámetros ó 300mm. 

62



6.4. Fórmulas de diseño. 

6.4.1. Resistencia del recubrimiento: 

La resistencia del recubrimiento está dada por la siguiente expresión: 

Resistencia del recubrimiento = 0.85 f’c (A g – A c ) 

6.4.2. Resistencia de la espiral: 

La resistencia de la espiral está dada por la siguiente expresión: 

Resistencia de la espiral = 2 ρ s A c fy 

Igualando las dos expresiones anteriores se tiene: 

0.85 f’c (A g – A c ) = 2 ρ s A c fy 

Para que la espiral sea un poco más resistente que el concreto desconchado, el 

código ACI 318M-08 establece en la sección 10.9.3 el porcentaje mínimo de espiral 

con la siguiente expresión: 

Una vez que se ha determinado el porcentaje requerido de acero de espiral, ésta 

puede seleccionarse con la expresión que sigue, en donde ρ s está dado en términos 

del volumen de acero en una vuelta. 

Donde: 

= diámetro del núcleo de extremo a extremo de la espiral. 

= área de la sección transversal de la varilla espiral. 

= diámetro de la varilla en espiral. 

63



Figura 19. Confinamiento del núcleo de concreto. 


6.4.3. Carga última 

La carga última de una columna carga axialmente se puede escribir como: 

Para columnas zunchadas (f = 

f Pn = 0.85 f [0.85 f’c (A g – A st ) + fy A st ] Ecuación 10-1 ACI 318M-08 

Para columnas con estribos (f = 

f Pn = 0.80 f [0.85 f’c (A g – A st ) + fy A st ] Ecuación 10-2 ACI 318M-08 

64



Ejemplo # 11: 

Usted es contratado para diseñar una columna cuadrada usando estribos. La 

columna debe ser capaz de soportar una carga P D = 300 Klb y una carga P L = 500 

Klb. Se debe usar un concreto con resistencia de f’c = 3000 Psi y una fluencia del 

acero de fy = 60000 Psi. Diseñe la columna completamente y asuma que el 

recubrimiento debe ser de 2,5 pulgadas. Use una cuantía de acero inicial de 1% para 

estimar el área preliminar de la columna. 

Cálculo de Carga Puntual que llega a la columna: No se considera el momento 

flexionante. 



Cálculo de A g requerido: 

Despejando Ag se tiene: 

Cálculo de A g corregido: 

Se propone usar una columna de H = 27 in 

65



Cálculo de A st requerido: 

Determinar cantidad de varillas: 

Seleccionar las varillas: 

Se usarán 8 varillas # 9. 

Diseño del Acero Longitudinal 

Número Diametro Área (in2) Cantidad 

# 3 0,38 0,11 58,60 

# 4 0,50 0,20 32,96 

# 5 0,63 0,31 21,10 

# 6 0,75 0,44 14,65 

# 7 0,88 0,60 10,76 

# 8 1,00 0,79 8,24 

# 9 1,13 1,00 6,48 

# 10 1,27 1,27 5,11 

# 11 1,41 1,56 4,15 

# 14 1,69 2,25 2,88 

# 18 2,26 4,00 1,62 

Cálculo de los estribos: 

Se propone usar estribos en varilla # 3. 

Separación de los estribos. 

Se propone usar aros en varilla # 3 @ 18 in. 

66



P D 300 klb 

DISEÑO DE COLUMNAS DE SECCIÓN CUADRADA USANDO CONFINAMIENTO EN ESTRIBOS 


P L 500 klb Número Diametro Área (in2) Cantidad 

P U 420 klb # 3 0,38 0,11 58,60 

P U 1160 klb # 4 0,50 0,20 32,96 

P U Rige 1160 Klb # 5 0,63 0,31 21,10 

F'c 3 Ksi # 6 0,75 0,44 14,65 

Fy 60 Ksi # 7 0,88 0,60 10,76 

f 0,65 

# 8 1,00 0,79 8,24 

1 % # 9 1,13 1,00 6,48 

A g 713,96 in 2 # 10 1,27 1,27 5,11 

Dimension 

propuesta 

26,72 in # 11 1,41 1,56 4,15 

Diseño de la sección trasnversal # 14 1,69 2,25 2,88 

Lado 1 27 in # 18 2,26 4,00 1,62 

Lado 2 27 in Selección de Acero 8 # 9 

A g 729 in 2 Ast 

7,99 in 2 

Ast 6,47 in 2 Pu 

1205,49 Klb 

La columna si resiste la carga 

Figura 20. Hoja de Excel para el Diseño de Columnas Cuadradas con Estribos 

Fuente: El Autor 


Estribos Recomendados # 3 

Diseño de los estribos 

a = 48 d b Acero Aro 

b = 16 d b Acero Longitudinal 

c =Dimension menor de la columna 

Separación del Aro 

18,00 in 

18,05 in 

27,00 in 

18,00 in 

Usar Columna 27 x 27 in aros # 3 @ 18 in 

67



Ejemplo # 12: 

Usted es contratado para diseñar la misma columna del ejemplo anterior pero esta 

vez debe diseñar una columna circular usando aros en espiral. 

Solución: 

Cálculo de Carga Puntual que llega a la columna: No se considera el momento 

flexionante. 



Cálculo de A g requerido: 

Despejando Ag se tiene: 

Cálculo de A g corregido: 

Se propone usar una columna de H = 28 in 

Cálculo de A st requerido: 

68



Se usarán 6 varillas # 8. 

Cálculo de Dc y Ac 

Cálculo de la cuantía de acero 

Cálculo del espaciamiento de la espiral 

69



DISEÑO DE COLUMNAS DE SECCIÓN CIRCULAR USANDO CONFINAMIENTO EN ESPIRAL 


P D 300 klb 


Diseño de los estribos 

P L 500 klb Número Diametro Área (in 2 ) Cantidad Estribos Recomendados # 3 

P U 420 klb # 3 0,38 0,11 39,31 Recubrimiento 2,5 in 

P U 1160 klb # 4 0,50 0,20 22,11 Dc 23 in 

P U Rige 1160 Klb # 5 0,63 0,31 14,15 Ac 415,48 in 

F'c 3 Ksi # 6 0,75 0,44 9,83 rs 

0,0108 

Fy 60 Ksi # 7 0,88 0,60 7,22 

f 0,75 

# 8 1,00 0,79 5,53 

1 % # 9 1,13 1,00 4,34 

A g 582,37 in 2 # 10 1,27 1,27 3,43 

Dimension 

propuesta 

27,23 in # 11 1,41 1,56 2,78 

Diseño de la sección trasnversal # 14 1,69 2,25 1,93 

Diametro a Usar 28 in # 18 2,26 4,00 1,09 

A g 615,75216 in 2 Selección de Acero 6 # 8 

Ast 4,34 in 2 Ast 

4,71 in 2 

Pu 

1173,57 Klb 

La columna si resiste la carga 

Separación del Aro = s 1,74 in 

Figura 21. Hoja de Excel para el diseño de columnas circularles con aros en espiral. 


70



7. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN DE COLUMNAS. 

7.1. Cargas a las que puede verse sometida una columna. 

7.1.1. Compresión pura. 

La compresión pura en una columna ocurre cuando no existe (tiene valor cero) carga 

de flexión en la misma y esta puede calcularse con cualquiera de las ecuaciones 

para determinar carga última (Ecuaciones 10-1 ó 10-2 del ACI 318M-08). 

La compresión pura en la gráfica, corresponde al punto de intersección con el eje “y” 

en la parte positiva. 

7.1.2. Carga balanceada. 

La carga balanceada en una columna ocurre cuando la deformación en el acero tiene 

un valor de fy / Es y en el concreto de 0.003. 

Este punto en la gráfica, corresponde al punto “B” mostrada en la figura siguiente. 

La forma de calcular la combinación de Pn y Mn es utilizando el principio de 

compatibilidad entre el acero y concreto en el cual se supone que entre los dos 

materiales no hay deslizamiento. 

Utilizando este método es posible calcular el esfuerzo en el acero y el concreto para 

alcanzar dichas deformaciones; y luego por simple sumatoria de fuerzas se 

determina la carga Pn que soporta la columna. 

De igual manera, se realiza una sumatoria de momentos sobre el centroide del área 

de acero, para así determinar Mn. 

7.1.3. Flexión pura. 

La flexión pura ocurre cuando la columna no soporta carga de compresión (tiene 

valor cero) y la flexión es máxima. La flexión se calcula de la misma forma en que se 

calcula la resistencia de una viga doblemente reforzada, rotando la figura de manera 

que la dimensión mayor de la misma corresponda al peralte de la viga. 

Este punto en la gráfica, corresponde al punto de intersección con el eje “x” en la 

parte positiva. 

71



7.1.4. Tensión pura. 

Ya se mencionó anteriormente que las columnas se diseñan para soportar cargas 

axiales de compresión y no de tensión, por lo tanto debe quedar claro cuál es el valor 

de la carga que soporta la columna una vez que el concreto ya ha fallado. 

Evidentemente en el diseño debemos evitar que esto ocurra, pero es un punto en el 

diagrama de interacción no se puede obviar. Algunos autores de libros no 

acostumbran a graficarlo, pero en el presente proyecto si se hace. 

Este punto en la gráfica, corresponde al punto de intersección con el eje “y” en la 

parte negativa. Si vemos la figura siguiente se notará que la gráfica queda truncada 

una vez que la columna alcanza la flexión pura. 

La flexión pura se calcula multiplicando el área de acero por la fluencia del acero, es 

decir: 

72



Figura 22. Diagrama de interacción de columna. 


73



8. DISEÑO Y ANÁLISIS DE COLUMNAS CARGAS EXCÉNTRICAMENTE 

USANDO LOS DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN. 

Si los diagramas de interacción individuales para columnas se preparan como se 

explicó anteriormente, sería necesario tener un diagrama para cada tipo de sección 

transversal diferente de columna para cada conjunto diferente de grados de concreto, 

de acero y para cada colocación diferente de varillas. El resultado sería un número 

astronómico de diagramas. Sin embargo, el número puede reducirse 

considerablemente si los diagramas se representan gráficamente con ordenes de 

(en lugar de y abscisas de (en lugar de ). 

Los diagramas resultantes normalizados de interacción pueden usarse para 

secciones transversales con dimensiones ampliamente variables y en variables 

secciones transversales. El ACI ha preparado curvas normalizadas de interacción de 

esta manera para las diferentes situaciones de sección transversal y de disposición 

de varillas que se muestran a continuación: 

Figura 23. Figuras que pueden ser diseñadas con los diagramas de interacción. 


74



Los diagramas de interacción para f’c = 4 Ksi y Fy = 60 Ksi, se tienen los siguientes. 


rectangulares y con barras en dos caras. 


75






76






77






78




rectangulares y con barras en cuatro caras. 


79






80






81






82



Gráfico 9. Diagrama de interacciones de columnas circulares con aros en espiral. 


83





84





85





86



Ejemplo # 13: 

La columna corta con estribos de 14 x 20 plg de la figura siguiente va a usarse para 

soportar las siguientes cargas y momentos: , 

Si 

, seleccione las varillas 

de refuerzo que deben colocarse en dos caras frontales usando sólo diagramas de 

interacción de columnas apropiados del ACI. 

87



0.70 0.75 0.80 

0.021 0.019 

88



 

 

Ejemplo # 14: 

Diseñe una columna corta cuadrada para las siguientes condiciones: , 

Si 

. Coloque varillas uniformemente 

alrededor de las caras de la columna. Suponga que la columna tendrá un esfuerzo 

promedio de compresión = . 

Se prueba una columna de 16 x 16 plg ( 

como se muestra en la figura. 

) con las varillas colocadas 

89



90



0.60 0.6875 0.70 

0.022 0.021 

 

 

Ejemplo # 15: 

Usando las gráficas de interacción de columnas del ACI, seleccione el refuerzo para 

la columna redonda corta zunchada mostrada en la siguiente figura si 

. Las cargas son: , 

Por interpolación 

Use 8 Varillas # 9. 

91



9. ZAPATAS 

9.1. Zapatas aisladas cuadradas para Columnas. 

Las zapatas son elementos estructurales que se utilizan para transmitir el peso de la 

estructura (cargas permanentes y temporales) al suelo. 

El muchas ocasiones la capacidad admisible del suelo, , no es lo 

suficientemente capaz de soportar la estructura y deben diseñarse zapatas con área 

de contacto más grande para disminuir el esfuerzo contra la zapata misma. 

La forma en que el esfuerzo o presión del suelo afecta a la zapata puede variar 

dependiendo del tipo de suelo que se tenga, pero en la metodología de diseño se 

asume que la presión es uniforme (condición conservadora). 

A continuación se muestran los diferentes tipos de presión que soporta la zapata 

según el tipo de suelo: 

Condición asumida 

(Presión uniforme) 

Suelo Arenoso 

Suelo Arcilloso 

Figura 24. Distribución de presión según el tipo de suelo. 


92



Las zapatas pueden ser totalmente cuadradas o también rectangulares y el uso de la 

una o la otra, depende de la forma de la columna. 

Las zapatas debes diseñarse de tal forma que el espesor total de la misma sea 

capaz de soportar el cortante en una dirección y el cortante debido al punzonamiento 

de la columna sobre la misma. 

A continuación se muestra una imagen que ilustra el cortante en una dirección que 

ocurre en una zapata aislada. 

Figura 25. Cortante en una dirección. 


Es importante mencionar que el cortante en una dirección ocurre a una distancia “d” 

de la cara de la columna causando una tensión diagonal mediante una grieta a 45° 

con respecto a la horizontal, tal y como se muestra en la siguiente imagen: 

93



Figura 26. Sección sometida a tensión diagonal. 


A continuación se muestra una imagen que ilustra el cortante en dos direcciones o 

cortante por punzonamiento: 

Figura 27. Cortante en dos direcciones o por punzonamiento. 


Para estimar el espesor de la zapata es importante indicar que por lo general el 

mismo ronda el rango de pulgadas. Existen zapatas que requieren espesores 

mayores que 36 pulgadas, pero son casos especiales en los cuales las cargas que 

debe transferir la misma son muy poco despreciables. 

94



9.1.1. Proceso de diseño de zapatas aisladas cuadradas para columnas. 

Paso # 1: Suponer una altura de placa “h s ” y calcular el “d s ”: 

Paso # 2: Calcular la capacidad efectiva y el área requerida. 

Paso # 3: Calcular la presión de apoyo para el diseño por resistencia. 

Paso # 4: Hallar el peralte requerido para el diseño por punzonamiento o en dos 

direcciones. 

Paso # 5: Hallar el peralte requerido para el cortante en una dirección: 

95



En caso de que alguno de los “d” calculados no cumpla, se debe aumentar el valor 

de “h s ”. 

Paso # 6: Hallar el Mu del voladizo. 

Paso # 7: Hallar la cuantía de acero. 

Paso # 8: Hallar el área de acero. 

96



Ejemplo # 16: 

Diseñe una zapata para una columna interior cuadrada de 16 pulgadas de lado con 

estribos, que debe soportar una carga muerta P D = 200 Klb y una viva de P L = 160 

Klb. La base de la zapata estará a 5 pies por debajo de la rasante (Superficie del 

terreno), el peso del suelo es de s = 100 lb/ft 3 y el peso del concreto es c = 150 

lb/ft 3 . La capacidad admisible del suelo es de q a = 5000 lb/ft 2 . Se debe usar un 

concreto con resistencia de f’c = 3000 Psi y una fluencia del acero de fy = 60000 Psi. 

Se supone un h s = 24 pulgadas 

Calcular la capacidad efectiva y el área requerida. 

Se propone usar una placa de 9 pies por 9 pies. 

Calcular la presión de apoyo para el diseño por resistencia. 

Usando la ecuación 6.1 del CSCR se tiene que: 


97



Hallar el peralte requerido para el diseño por punzonamiento o en dos 

direcciones. 

Hallar el peralte requerido para el cortante en una dirección: 

98



Hallar el Mu del voladizo. 

Hallar la cuantía de acero. 

Se usa el valor mayor 

Hallar el área de acero. 

Use 9 varillas # 8 @ 11 pulgadas en ambas direcciones ( 

99



DISEÑO DE ZAPATAS CUADRADAS PARA COLUMNAS 


P D 200,00 Klb b o 142,00 in 

P L 160,00 Klb V u2 442,41 klb 

Nivel de Desplante 5,00 ft d 1 = 18,96 in 

Q admisible 5000,00 Lb/ft 2 d 2 = 10,12 in 

Recubrimiento 3,00 in c = 

1 

a= Dimension menor de la 

16,00 in d = 0,00 in 

columna 

b =Dimensión mayor de la 

columna 

16,00 in 

f'c =Resistencia del 

concreto 

3000,00 Psi 

Cortante en una dirección 

fy = Fluencia del Acero 60000,00 Psi V u1 121,70 klb 

h = Altura de placa 

Supuesta 

24,00 in d 3 = 13,72 in 

a s = 40 

h corregido 23,46 in 

s = Peso volumétrico del 

suelo 

100,00 Lb/ft 3 

c = Peso volumétrico del 

concreto 

145,00 Lb/ft 3 Diseño del Acero 

Tamaño Área 

Figura 28. Hoja de Excel para el diseño de zapatas aisladas para columnas. 



Cortante en dos direcciones o por punzonamiento 

Número de 

barras 

P U = 1,40 P D 280,00 Klb Mu 404,91 klb-ft # 3 0,11 64 1,69 

P U = 1,20 P D +1,60 P L 496,00 Klb Mu 4858962,96 Lb-in # 4 0,20 36 2,98 

R 

M 

= 

f bd 

Separación 

u 

P U RIGE 496,00 Klb n 1 

131,46 

2 

# 5 0,31 23 4,62 

d = Peralte efectivo 19,50 in 

' 

0.85 f é 

ù 

c 

2R 

n1 

 

ê 

ú 

1 

= 1 - 1 - = 

' 

f 

y ê 0.85 f 

ë 

c ú 

û 

0,002251 

# 6 0,44 16 6,59 

q efectiva 4410,00 Lb/ft 2 min 0,003333 

# 7 0,60 12 8,87 

Área requerida 81,63 ft 2 min 0,002739 

# 8 0,79 9 11,44 

Dimension de la placa 9,04 ft Rige 0,003333 

# 9 1,00 8 14,36 

Dimension a usar 9,00 ft As = 7,02 in 2 # 10 1,27 6 17,92 

Área final o corregida 81,00 ft 2 

100

Ejemplo # 17: 



Una columna interior de un edificio mide 12 x 12 plg y transfiere las cargas 

a una zapata aislada cuadrada. Se requiere que dicha zapata se construya 

con un concreto de f’c = 4 Ksi y que las varillas posean una fluencia de fy = 60 Ksi. La 

empresa Castro & De la Torre realizó tres perforaciones. La columna en cuestión se 

encuentra cercana a la perforación P-2 realizada. Elija un nivel de desplante “Df” en el que 

se garantice una capacidad admisible del suelo no menor que 25 Ton/m 2 . El peso del suelo 

es de y el del concreto . Inicie el diseño con una placa de 

19 pulgadas y vaya aumentando unitariamente el espesor en caso de que se requiera. No 

olvide calcular la longitud de desarrollo de las varillas que usted mismo diseñó y verificar 

que el ancho de zapata cumple, usando un recubrimiento mínimo de 3 plg en todas 

direcciones. 

101





Largo y ancho de la placa debe ser de 8.66 ft como mínimo. 





Hallar el peralte requerido para el diseño por punzonamiento o en dos direcciones. 



102











103









Hallar el peralte requerido para el cortante en una dirección: 

Hallar el Mu del voladizo. 

104



Hallar la cuantía de acero. 

Se usa el valor mayor 

Hallar el área de acero. 

Use 14 varillas # 6 @ 7.74 pulgadas en ambas direcciones 

Calculo de la longitud de desarrollo. 

(Otro refuerzo) 

Se tiene disponible una longitud igual a la longitud del voladizo: 

105





P D 100,00 Klb b o 106,00 in 

P L 160,00 Klb V u2 353,36 klb 




1 


12,00 in d = 0,00 in 

columna 


columna 

12,00 in 


concreto 

4000,00 Psi 




Supuesta 

19,00 in d 3 = 11,38 in 

a s = 40 



suelo 

100,00 Lb/ft 3 


concreto 


Tamaño Área 





Número de 

barras 



R 

= 

M 

Separación 

u 


196,25 

2 

# 5 0,31 18 6,10 

f bd 

' 

0.85 f é 

ù 

c 

2R 

n1 

d = Peralte efectivo 14,50 in 

ê 

ú 

1 

= 1 - 1 - = 

' 

0,003371 

# 6 0,44 12 8,67 

f 

y ê 0.85 f 

ë 

c ú 

û 


# 7 0,60 9 11,64 


# 8 0,79 7 14,95 


# 9 1,00 6 18,69 



106





P D 100,00 Klb b o 110,00 in 

P L 160,00 Klb V u2 351,62 klb 




1 


12,00 in d = 0,00 in 

columna 


columna 

12,00 in 


concreto 

4000,00 Psi 




Supuesta 

20,00 in d 3 = 11,04 in 

a s = 40 



suelo 

100,00 Lb/ft 3 


concreto 


Tamaño Área 





Número de 

barras 



R 

= 

M 

Separación 

u 


171,75 

2 

# 5 0,31 19 5,78 

f bd 

' 

0.85 f é 

ù 

c 

2R 

n1 


ê 

ú 

1 

= 1 - 1 - = 

' 

0,002939 

# 6 0,44 13 8,23 

f 

y ê 0.85 f 

ë 

c ú 

û 


# 7 0,60 10 11,04 


# 8 0,79 8 14,20 


# 9 1,00 6 17,76 



107





P D 100,00 Klb b o 114,00 in 

P L 160,00 Klb V u2 349,82 klb 




1 


12,00 in d = 0,00 in 

columna 


columna 

12,00 in 


concreto 

4000,00 Psi 




Supuesta 

21,00 in d 3 = 10,70 in 

a s = 40 



suelo 

100,00 Lb/ft 3 


concreto 


Tamaño Área 





Número de 

barras 



R 

= 

M 

Separación 

u 


151,56 

2 

# 5 0,31 20 5,44 

f bd 

' 

0.85 f é 

ù 

c 

2R 

n1 


ê 

ú 

1 

= 1 - 1 - = 

' 

0,002585 

# 6 0,44 14 7,74 

f 

y ê 0.85 f 

ë 

c ú 

û 


# 7 0,60 10 10,41 


# 8 0,79 8 13,39 


# 9 1,00 6 16,77 



108



10. BIBLIOGRAFIA: 

Colegio Federado de Ingenieros y de Arquitectos de Costa Rica (CFIA), (2002) 

Código Sísmico de Costa Rica 2010. Costa Rica. Editorial Tecnológica de Costa 

Rica. 

McCormac, Jack C. (2011) Diseño de Concreto Reforzado. Octava Edición. México. 

Editorial Alfaomega. 

Nilson, A, H. (1999) Diseño de Estructuras de Concreto. Duodécima Edición. México. 

Editorial McGraw-Hill. 

Harmsen, T.E. (2002) Diseño de Estructuras de Concreto Armado. Tercera Edición. 

Perú. Fondo Editorial 202. 

Nilson, A, H. (1999) Diseño de Estructuras de Concreto. Duodécima Edición. México. 

Editorial McGraw-Hill. 

109



11. ANEXOS 

Tabla A. 1. Designaciones, áreas, perímetros y pesos de varillas estándar. 


Tabla A. 2. Valores del módulo de elasticidad para concreto de peso normal. 


110



Tabla A. 3. Valores de balanceado, para lograr diversos valor de t y mínimo 

para flexión. Todos los valores son para secciones rectangulares reforzadas a 

tensión. 


Tabla A. 4. Áreas de grupos de varillas estándar (plg 2 ). 


111



Tabla A. 5. Ancho mínimo de alma (plg) para vigas con exposición interior. 


Tabla A. 6. Área de varillas en losas (plg 2 / pie). 


112

DISEÑO DE ELEMENTOS DE CONCRETO II (Parte 1)

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