Introduccin a la lógica de programacin

Análisis Numérico: Lógica de programación y diagramas de flujo
magnitud afectando seriamente a la precisión del cálculo. Esto es, cuando da lugar a
errores relativos grandes. Véase algunos ejemplos en [Kincaid y Cheney, 1990].
En la mayoría de los casos es posible implementar las ecuaciones de tal forma que los
cálculos vuelvan a ser estables y no produzcan errores relativos significativos. Cómo
reescribir las ecuaciones, depende del problema concreto.
Condicionamiento
Comúnmente se emplean las palabras condicionado y condicionamiento para indicar
cuán sensible es la solución de un problema a pequeños cambios en los datos de
entrada. Se dice que un problema está mal condicionado si pequeños cambios en las
entradas producen respuestas dispares. En algunos problemas es posible definir un
número de condicionamiento, el cual si es grande indica cuándo un problema está mal
condicionado.
Un ejemplo sencillo para ilustrar este concepto es el siguiente. Dada una función fx, ()
supongamos que queremos evaluar el efecto en f de un perturbación pequeña x + δ .
El error relativo será entonces
fx ( + δ) −fx ( ) δf'( x) ⎛x⋅f'( x)
⎞⎛δ⎞
≈ =⎜
⎜
⎟⎜
.
fx ( ) fx ( ) ⎜
fx ( )
⎟⎝ ⎜x⎟
(0.15)
⎜⎝ ⎠ ⎠
⎛δ
⎞
El factor
⎜ ⎜⎝ x ⎟⎠ es la magnitud relativa del error y, por tanto, ⎛x f '( x)
⎞
⋅
⎜ fx ( )
representa el
⎜⎝ ⎟⎠ número de condicionamiento.
Otro ejemplo de número de condicionamiento es el asociado a la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales Ax = b , donde A es una matriz n× n, x es el vector de
incógnitas n × 1 y b es el vector n × 1 de términos independientes. En este caso, el
número de condicionamiento κ ( A)
del problema, esto es, de la matriz A , se define
como
−1
κ( A) = A ⋅ A ,
(0.16)
A −
1
donde i es una norma matricial y es la inversa de la matriz A . En el caso que
κ ( A)
sea elevado, el problema está mal condicionado y las soluciones (numéricas)
dadas por Ax = b deber ser tenidas en cuenta con mucho cuidado.
Problemas de discretización en ecuaciones diferenciales
Otros conceptos surgidos a la hora de discretizar ecuaciones diferenciales son el error
de truncamiento local y global (página 519 de [Kincaid y Cheney, 1990]),
convergencia, monotonicidad ([Toro, 1999]), estabilidad (página 515 de [Kincaid y
Cheney, 1990]) del método numérico y consistencia (página 517 de [Kincaid y Cheney,
1990]). Estos conceptos, asociados a la bondad del método de resolución, serán tratados
con detalle en el capítulo de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en
derivadas parciales.
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14 Manuel Díez Minguito