806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Harjoitus 1 ...

3. Todista (suoraan laskemalla) seuraavat summaoperaattorin ominaisuudet (a, b ja c mielivaltaisia
reaalivakioita).
a)
c)
n∑ ∑
cx i = c n x i b)
i=1
i=1
n∑
∑
(ax i + by i + c) = a n ∑
x i + b n y i + nc
i=1
n∑
∑
(x i + y i ) 2 = n ∑
x 2 i + n ∑
yi 2 + 2 n x i y i .
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
4. Kahden muuttujan (x ja y) arvoista kuudella havaintoyksiköllä on saatu seuraavat summat:
6∑
6∑
6∑
6∑
6∑
x i = 24, x 2 i = 118, x i y i = 16, y i = 6 ja yi 2 = 64.
i=1
i=1
i=1
Käytä hyväksi tehtävässä 3 todistettuja summaoperaattorin ominaisuuksia ja laske
i=1
i=1
a)
e)
6∑
3x i
i=1
∑
b) 6 ∑
(2x i − 5) c) 6 ∑
(x i + y i ) d) 6 (x i − y i ) 2
i=1
i=1
i=1
6∑
∑
(y i − ȳ) f) 6 ∑
(y i − ȳ) 2 g) 6 (x i − ¯x)(y i − ȳ)
i=1
i=1
i=1
5. Tarkastellaan alla olevaa yksinkertaista taulukkoa, jossa on kaksi riviä ja viisi saraketta (ts.
2*5 -taulukko). Merkinnällä x ij tarkoitetaan taulukon rivillä i sarakkeessa j olevaa lukua. Tässä
tehtävässä siis esimerkiksi x 24 = 28.
9 16 13 32 4
6 34 23 28 3
Laske annettujen tietojen perusteella seuraavien summien arvot.
a)
2∑
x i3 b)
i=1
5∑
x 1j
j=1
∑
c) 2 5∑
x ij
i=1 j=1
6. Täydennetään seuraavaksi tehtävän 5 taulukkoa antamalla riveille ja sarakkeille otsikot. Taulukon
luvut liittyvät kevään 2013 tilastotieteen perusmenetelmät I kurssille 10.1.2013 mennessä
ilmoittautuneisiin opiskelijoihin, joita on kaikkiaan 168 kappaletta. Opiskelijan opintosuuntaa
määriteltäessä luokkaan ”Taloustiede” on laskettu mukaan kaikki taloustieteiden tiedekunnassa
ensisijaisesti opiskelevat. Merkinnällä x ij tarkoitetaan edelleen taulukon rivillä i sarakkeessa j
olevaa lukua.