Les tables de décision

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Modélisation
de logiciels de gestion
Modélisation des données, modélisation des traitements et d’autres thèmes sont
accessibles depuis l’index du cours de modélisation de logiciels de gestion:
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Table des matières
1 Préambule........................................................................................................................... 3
2 Définition ........................................................................................................................... 4
3 Structure ............................................................................................................................. 5
4 Elaboration ......................................................................................................................... 6
4.1 Les conditions ............................................................................................................ 6
4.2 Les actions.................................................................................................................. 7
4.3 Représentation sous forme d’une table de décision ................................................... 7
4.4 Simplification de la table de décision ........................................................................ 8
4.5 Pseudo code d’implantation ....................................................................................... 9
4.6 Implantation sous forme d’une collection de règles................................................. 10
5 Les règles.......................................................................................................................... 11
5.1 Les règles simples .................................................................................................... 11
5.2 Les règles complexe ................................................................................................. 11
5.3 La règle ELSE .......................................................................................................... 11
6 Les tables.......................................................................................................................... 12
6.1 Tables limitées.......................................................................................................... 12
6.2 Tables étendues ........................................................................................................ 13
6.3 Tables mixtes............................................................................................................ 14
7 Calcul du nombre de règles simples d’une table de décision........................................... 15
7.1 Nombre maximal de règles simples d’une table de décision à entrées mixtes ........ 15
7.2 Nombre maximal de règles simples d’une table de décision à entrées limitées ...... 16
7.3 Nombre de règles simples d’une table de décision avec règles complexes ............. 17
8 Complétion....................................................................................................................... 18
8.1 Table logiquement complète .................................................................................... 18
8.2 Table formellement complète................................................................................... 18
9 Tables standards ............................................................................................................... 19
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10 Décomposition de tables de décision ........................................................................... 20
1 0.1 Tables ouvertes......................................................................................................... 21
10.2 Tables fermées.......................................................................................................... 21
10.3 Exemple de décomposition d’une table en plusieurs ............................................... 22
11 Consolider une table de décision.................................................................................. 23
12 Recherche et élimination des redondances des actions................................................ 24
13 Recherche et élimination des redondances des conditions........................................... 25
14 Recherche des redondances de règles .......................................................................... 26
14.1.1
Détection à l’aide des tables standards............................................................. 27
14.1.2 Détection par confrontation de règles .............................................................. 28
15 Redondances de règles avec ou sans contradiction...................................................... 29
16 Elimination des redondances de règles sans contradiction .......................................... 30
1 6.1 Inclusion................................................................................................................... 30
16.2 Intersection............................................................................................................... 31
17 Vérification de la complétion....................................................................................... 33
1 7.1 Calcul du nombre de règles...................................................................................... 34
17.2 Utilisation d’une table standard................................................................................ 35
18 Minimisation des tables de décision............................................................................. 36
1 8.1 Minimisation des conditions .................................................................................... 36
18.2 Minimisation des actions.......................................................................................... 37
18.3 Minimisation des règles ........................................................................................... 38
19 Références bibliographiques ........................................................................................ 39
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1 Préambule
Lors des chapitres précédents, nous avons vu comment modéliser les traitements du système
d’information ; nous avons aussi étudié la représentation de l’interaction entre les traitements
et les données.
Nous nous souvenons que le but de tout traitement informatique consiste à transformer les
données reçues en entrée et de renvoyer le résultat de cette transformation en sortie.
Il nous faut maintenant disposer de modèles pour exprimer la logique de cette transformation.
Figure 1 - Fonction et flux de données
Toute fonction, du modèle de flux de données de
l’approche classique, reçoit un flux de données
en entrée et fournit un flux de données en sortie.
Il nous faut maintenant décrire le comportement
interne de la fonction de traitement ; cette
description peut se faire sous forme de pseudo
code, de structogramme, d’arbre de décision ou
encore de table de décision.
Nous présentons, dans ce chapitre, le concept de table de décision ; la table de décision nous
semble le modèle le plus adéquat pour exprimer exhaustivement les règles de transformation
d’un processus métier ou d’un traitement automatisé.
Il est essentiel que les différentes fonctions constitutives d’un système d’information se
comportent comme des boîtes blanches 1 si nous voulons garantir l’adéquation du système
d’information aux besoins exprimés. Une table de décision est certainement la représentation
la plus rigoureuse et la plus pertinente qui soit de la logique interne d’une fonction et surtout,
une table de décision est un excellent point de départ pour réaliser les tests de boîte blanche.
Malheureusement, les tables de décision ne sont, en général, pas supportées en tant que telles
par les logiciels de conception de solutions informatiques. Progressivement, il apparaît sur le
marché des moteurs de règles; les règles sont des éléments de tables de décision. Les moteurs
de règles sont un gros progrès pour l’industrialisation et la qualité du logiciel mais s’ils
excellent dans le traitement unitaire des règles, ils ne permettent pas de garantir l’exhaustivité
des traitements d’une fonction.
Remarque: Le concept de table de décision provient de l’approche classique basée sur le
paradigme de séparation des données et des traitements; toutefois, une table de décision reste
un moyen de représentation tout à fait approprié pour décrire une activité, un cas d’utilisation
ou encore une opération 2 de l’approche orientée objet.
En effet, comme nous l’avons vu dans le chapitre de modélisation des traitements
automatisés, lors de l’activité d’analyse du processus unifié (UP), nous présentons le système
d’information en séparant les données (les entités métier) et les traitements (les interfaces et
les contrôleurs).
1 Une boîte blanche est une fonction dont on connaît exactement les règles de comportement interne; à chaque
jeu de données fourni en entrée n’est associé qu’un et un seul jeu de données en sortie. Par opposition à une boîte
blanche, les résultats fournis par une boîte noire ne sont pas systématiquement prévisibles car le détail de son
comportement interne n’est pas connu.
2 Une méthode s’agissant de langage de programmation orienté objet.
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2 Définition
Une table de décision exprime exhaustivement les relations entre la logique interne d’une
fonction ou d’un processus, les données fournies en entrée et les données restituées en sortie.
• Les données fournies en entrée deviennent les conditions de la table de décision.
• Les données restituées en sortie proviennent des actions déclenchées par la table de
décision.
• Les couples (conditions, actions) deviennent les règles de la table de décision ou, dit
autrement, la logique interne de la fonction.
Données
en entrée
Table – Programme de ski
R1 R2 R3 R4
C1 Journée relâche N O O O
C2 Temps chaud - O O N
C3 Eau >= 20° - O N -
A1 Journée de ski X
A2 Piscine extérieure X
A3 Piscine intérieure X X
Figure 2 - Logique interne d'une fonction
Données
en sortie
La représentation de la logique interne d’une fonction par une table de décision nous permet
d’atteindre l’objectif de prédictibilité que nous attendons d’une boîte blanche.
Par ailleurs, une table de décision nous offre les avantages suivants :
• une grande facilité de lecture, même en présence de nombreuses conditions, actions et
règles ;
• une représentation précise de la logique interne de la fonction ;
• grâce au mécanisme de complétude, il est possible de garantir l’exhaustivité des règles
applicables aux différentes données reçues en entrée.
Lorsque la logique interne d’une fonction est relativement simple, il y a lieu de privilégier
d’autres moyens de représentation plus simple comme un structogramme ou un arbre de
décision.
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3 Structure
Les lignes d’une table de décision sont séparées en conditions et en actions; les conditions
sont placées en premier et les actions ensuite. Les colonnes représentent sous forme de règles
les relations entre valeurs de conditions et actions.
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Figure 3 - Structure d'une table de décision
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4 Elaboration
Pour élaborer la table de décision relative à un processus ou une fonction, la première étape
consiste à mettre en évidence les conditions et les actions.
Prenons l’exemple de l’occupation de la journée de Nicolas; si Jacques et André viennent
chez Nicolas, ils iront dehors en cas de beau temps et resteront dedans à jouer aux cartes s’il
pleut. Si André ne vient pas, Nicolas jouera aux échecs, de même, s’il se trouve seul avec son
ami André. Si Nicolas se trouve tout seul et qu’il pleut, il en profitera pour lire un livre. Si
Nicolas est seul et qu’il fait beau temps, il ira se promener en forêt.
4.1 Les conditions
A partir du texte de notre exemple, nous mettons en évidence les conditions reproduites dans
la partie gauche du tableau de la Figure 4:
Conditions présentes dans le texte Conditions simplifiées
Jacques et André viennent.
André ne vient pas.
(Nicolas est seul avec Jacques)
Jacques ne vient pas.
(Nicolas est seul avec André)
Nicolas se trouve seul.
Il fait beau temps.
Il pleut
Figure 4 - Liste des conditions
Jacques vient (oui ou non)
André vient (oui ou non)
Il pleut (oui ou non)
Les conditions présentes dans le texte, ou de manière générale les conditions exprimées par la
maîtrise d’ouvrage ou les utilisateurs dans le cadre d’un projet d’informatisation sont souvent
compliquées et difficilement exploitables; pour les simplifier, nous élaborons des descriptions
susceptibles d’être associées à des valeurs discrètes ou à un intervalle de valeurs.
Pour notre exemple, les deux conditions « Il fait beau temps » et « Il pleut » sont simplifiées
par la description de condition « Il pleut » à laquelle nous pourrons associer les valeurs
« Oui » et « Non ».
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4.2 Les actions
Après avoir mis en évidence et simplifié les conditions, il nous faut mettre en évidence et
simplifier les actions.
Actions présentes dans le texte Actions simplifiées
Aller dehors. Aller dehors.
Rester dedans et jouer aux cartes. Rester dedans et jouer aux cartes.
Jouer aux échecs
• Avec André
• Avec Jacques
Lire un livre. Lire un livre.
Jouer aux échecs avec André
Jouer aux échecs avec Jacques
Se promener en forêt. Se promener en forêt.
Figure 5 - Liste des actions
4.3 Représentation sous forme d’une table de décision
Maintenant que nous avons établi une liste de conditions et d’actions, nous pouvons mettre en
relation les différentes valeurs de conditions et d’actions sous forme de règles.
TD – Occupation de Nicolas R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Jacques vient O O O O N N N N
C2 André vient O O N N O O N N
C3 Il pleut O N O N O N O N
A1 Aller dehors X
A2 Rester dedans et jouer aux cartes X
A3 Jouer aux échecs avec Jacques X X
A4 Jouer aux échecs avec André X X
A5 Lire un livre X
A6 Se promener en forêt X
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Figure 6 - Table de décision d'occupation de Nicolas
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4.4 Simplification de la table de décision
Nous pouvons observer que les règles R3 et R4 de la table de décision de la Figure 6 ne
tiennent pas compte de la condition « Il pleut » ; il en est de même pour les règles R5 et R6.
Nous simplifions la table de décision en remplaçant les règles R3 et R4 par une nouvelle règle
dont la condition « Il pleut » n’est pas prise en compte.
TD – Occupation de Nicolas R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 Jacques vient O O O N N N
C2 André vient O O N O N N
C3 Il pleut O N - - O N
A1 Aller dehors X
A2 Rester dedans et jouer aux cartes X
A3 Jouer aux échecs avec Jacques X
A4 Jouer aux échecs avec André X
A5 Lire un livre X
A6 Se promener en forêt X
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Figure 7 - Table de décision d'occupation de Nicolas simplifiée
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4.5 Pseudo code d’implantation
Une table de décision peut être traduite telle quelle en code exécutable comme illustré par le
pseudo code de la Figure 8.
IF Jacques vient THEN
IF André vient THEN
IF il pleut THEN
- Rester dedans et jouer aux cartes
ELSE
- Aller dehors
ENDIF
ELSE
- Jouer aux échecs avec Jacques
ENDIF
ELSE
IF André vient THEN
- Jouer aux échecs avec André
ELSE
IF il pleut THEN
-Lire un livre
ELSE
- Se promener en forêt
ENDIF
ENDIF
ENDIF
Figure 8 – Pseudo code de la table de décision d'occupation de Nicolas simplifiée
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4.6 Implantation sous forme d’une collection de règles
En cas de changement à l’intérieur d’une table de décision, l’adaptation du pseudo code de la
Figure 8 peut être relativement fastidieuse et surtout susceptible d’engendrer des erreurs 3 .
En lieu et place de produire des enchaînements de tests et d’actions, nous préconisons
d’évaluer chaque règle de la table de décision et d’exécuter la règle qui est valide.
R1 := (Jacques vient) AND (André vient) AND (Il pleut)
R2 := (Jacques vient) AND (André vient) AND NOT (Il pleut)
R3 := (Jacques vient) AND NOT (André vient)
R4 := NOT (Jacques vient) AND (André vient)
R5 := NOT(Jacques vient) AND NOT(André vient) AND (Il pleut)
R6 := NOT(Jacques vient) AND NOT(André vient) AND NOT (Il pleut)
IF R1 THEN
- Rester dedans et jouer aux cartes
ENDIF
IF R2 THEN
- Aller dehors
ENDIF
IF R3 THEN
- Jouer aux cartes avec Jacques
ENDIF
IF R4 THEN
- Jouer aux cartes avec André
ENDIF
IF R5 THEN
- Lire un livre
ENDIF
IF R6 THEN
- Se promener en forêt
ENDIF
Figure 9 – Pseudo code sous forme d’une collection de règles
Chaque variable R1 à Rn correspond à l’évaluation des indicateurs des conditions de la règle
correspondante de la table de décision ; les valeurs possibles sont Vrai ou Faux.
Une seule variable R1 à Rn peut avoir la valeur Vrai.
3 Il s’agit en l’occurrence de régression du code ; le code ancien fonctionnait correctement et l’utilisateur ne
comprend pas pourquoi le logiciel ne fonctionne plus correctement.
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5 Les règles
Trois sortes de règles peuvent apparaître dans une table de décision : la règle ELSE, les règles
simples et les règles complexes.
TD – Exemple de règles ELSE R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O O O N
C2 Condition 2 - 10 20 30
C3 Condition 3 N N O -
A1 Action 1 1 2 3 4
A2 Action 2 X
A3 Action 3 X X
A4 Erreur X
5.1 Les règles simples
Figure 10 – Exemple des différentes règles possibles
Une règle simple est une règle ne possédant pas de valeur indifférente (-) dans ses indicateurs
de condition.
R2 et R3 de la Figure 10 sont des règles simples.
5.2 Les règles complexe
Une règle complexe est une règle possédant une ou plusieurs valeurs indifférentes (-) dans ses
indicateurs de condition.
R1 et R4 de la Figure 10 sont des règles complexes.
5.3 La règle ELSE
La règle ELSE est une règle recouvrant toutes les règles ne figurant pas dans la table de
décision et correspondant généralement à des erreurs.
En principe, la règle ELSE est placée en début ou en fin des règles.
Remarque: La règle ELSE n’est pas prise en compte pour le calcul du nombre de règles.
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6 Les tables
Trois sortes de tables sont utilisées couramment: les tables limitées, les tables étendues et les
tables mixtes.
6.1 Tables limitées
Une table limitée est une table de décision où :
• Les conditions sont indiquées dans la partie descriptive de manière complète.
Les indicateurs de condition possibles sont :
O pour oui ;
N pour non ;
– pour oui ou non.
• Les actions sont indiquées dans la partie descriptive de manière complète.
Les indicateurs d’action possibles sont :
X pour une action exécutée ;
pour une action non exécutée (absence de marque).
TD – Prix produit R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Article de luxe O O O O N N N N
C2 Grande production O O N N O O N N
C3 Emballage cadeau N N O N O N O N
C4 Action publicitaire N O N N O N O N
A1 125 francs X
A2 98 francs X
A3 75 francs X
A4 60 francs X X X
A5 45 francs X
A6 30 francs X
Figure 10 – Exemple de table de décision limitée
Remarque: La table de l’exemple ci-dessus n’est pas complète. [Voir le chapitre
« Complétion »]
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Une table de décision n’ayant que la partie condition répondant à ce critère est dite table à
entrées limitées.
TD – Prix produit R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Article de luxe O O O O N N N N
C2 Grande production O O N N O O N N
C3 Emballage cadeau N N O N O N O N
C4 Action publicitaire N O N N O N O N
A1 Prix (en francs) 98 60 125 75 30 60 75 45
6.2 Tables étendues
Figure 11 – Exemple de table de décision à entrées limitées
Une table étendue est une table de décision où :
• Les conditions sont indiquées dans la partie descriptive de manière incomplète.
Les indicateurs de condition apportent une spécification supplémentaire.
• Les actions sont indiquées dans la partie descriptive de manière incomplète.
Les indicateurs d’action apportent une spécification supplémentaire.
TD – Prêts R1 R2 R3 R4 R5
C1 Salaire mensuel =1000 >=1000 >=2000 >=2000

Une table de décision n’ayant que la partie condition répondant à ce critère est dite table à
entrées étendues.
TD – Prêts R1 R2 R3 R4 R5
C1 Salaire mensuel =1000 >=1000 >=2000 >=2000
=5000 -
C3 Prêt requis 6000 8000 12000 -
A1 Prêt refusé X X X X
A2 Remboursement
mensuel minimal
A3 Frais en % de la
somme prêtée
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300 400 600
1.5 1.3 1.0
Figure 14 – Exemple de table de décision mixte
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7 Calcul du nombre de règles simples d’une table de
décision
7.1 Nombre maximal de règles simples d’une table de décision à
entrées mixtes
Le calcul du nombre maximal de règles simples, NbMax, que peut contenir une table de
décision s’effectue en multipliant le nombre de formes que peuvent prendre les différentes
entrées de conditions.
NbMax = F * F
1 2 * … * Fi * … * Fn
F est le nombre de formes des entrées de la condition i
i
Le nombre de règles simples des entrées étendues correspond aux nombres d’indicateurs
possibles.
Le nombre de règles simples des entrées limitées est toujours égal à 2, soit : oui ou non.
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Couleur BL BL JA JA RO RO NO NO
C2 Article de luxe O N O N O N O N
Figure 15 - Entrées mixtes
A propos de la Figure 15 :
La condition étendue Couleur peut prendre 4 valeurs :
BL - Bleu
JA – Jaune
RO – Rouge
NO – Noir
La condition limitée Article de luxe peut prendre 2 valeurs.
Le nombre de règles simples maximales de la table est donc de 8:
NbMax = FCouleur * FArticle de luxe
= 4 * 2
NbMax = 8
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7.2 Nombre maximal de règles simples d’une table de décision à
entrées limitées
Toutes les formes des entrées de conditions d’une table à entrées limitées étant de 2, le
nombre maximal de règles simples s’obtient en élevant 2 à la puissance du nombre de
conditions de la table.
NbMax = 2 * 2 * …… * 2
NbMax = 2 n
• n est le nombre de conditions de la table
TD - R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Article de luxe O O O O N N N N
C2 Grande production O O N N O O N N
C3 Action publicitaire O N O N O N O N
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Figure 16 - Entrées limitées
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7.3 Nombre de règles simples d’une table de décision avec règles
complexes
En présence de règles complexes, nous devons prendre en compte le nombre de formes des
différentes conditions pour lesquelles un indicateur d’indifférence apparaît pour calculer le
nombre de règles simples sous-jacentes, NbRS.
NbRS = RS + RS
1 2 + … + RSi + … + RSn
RS est le nombre de règles simples sous-jacente à la règle Ri
i
RSi = f * f * … * f * … * f
1 2 k n
• f est le nombre de valeurs simples de l’entrée de la condition k
k
• fk
vaut 1 pour une entrée comportant une valeur
• f vaut F
k k pour une entrée comportant un indicateur d’indifférence ;
pour rappel F exprime le nombre de forme des entrées de la condition k
k
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Condition 1 B - C B A - D C
C2 Condition 2 - O N N N O O N
C3 Condition 3 O O O O N N O N
C4 Condition 4 1 2 - 3 4 - 4 2
Règles simples équivalentes, RS 2 4 4 1
Figure 17 – Règles complexes
A propos de la Figure 17 :
La condition à entrée étendue 1 peut prendre 4 valeurs parmi {A, B, C, D}.
Les conditions à entrée limitée 2 & 3 peuvent prendre 2 valeurs.
La condition à entrée étendue 4 peut prendre 4 valeurs parmi {1, 2, 3, 4}.
4 Le résultat de 16 provient du produit : 4 * 1 * 1 * 4
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1 16 1 1
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8 Complétion
Une table est dite « complète » lorsque toutes les combinaisons de valeurs de conditions sont
couvertes.
8.1 Table logiquement complète
Une table est dite logiquement complète si toutes les règles manquantes sont couvertes par la
règle ELSE. En principe, la règle ELSE conduit à un traitement d’erreur.
TD – ELSE R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 O O N N N
C2 Condition 2 N N O O N
C3 Condition 3 N N N N O
C4 Condition 4 O N O N -
Règles simples équivalentes, RS 10 5
Figure 18 – Entrée logiquement complète
8.2 Table formellement complète
1 1 1 1 2
Une table est dite formellement complète lorsque aucune règle ne manque et que la règle
ELSE n’y figure pas
TD – R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 O O O O N
C2 Condition 2 O O O N -
C3 Condition 3 O O N - -
C4 Condition 4 O N - - -
Règles simples équivalentes, RS 1 1 2 4 8
Figure 19 – Entrée formellement complète
5 Le résultat vient de la soustraction du nombre de règles simples effectives au nombre de règles simples
maximales: 2 4 – 4*1 – 2 = 16 -6 = 10
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9 Tables standards
Une table standard est une table de décision possédant les caractéristiques suivantes:
• Elle est formellement complète.
• Elle est composée de règles simples.
• Les règles sont affichées de manière systématique à l’image du parcours d’un
arbre de décision (voir la Figure 21).
Une table de décision standard est un excellent modèle de représentation de règles internes
d’un processus métier ou de la logique d’un traitement informatique; les tables de décision
standards permettent de s’assurer que l’entier des règles métier d’un processus métier soient
explorées permettant ainsi de réaliser une spécification de la logique des traitements
informatiques complète.
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Condition 1 O O O O N N N N
C2 Condition 2 O O N N O O N N
C3 Condition 3 O N O N O N O N
A1 Action 1 X X X X X
A2 Action 2 X X X X X
A3 Action 3 X X X X X
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Figure 20 – Exemple de table standard à entrée limitée
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Figure 21 - Arbre de
parcours des conditions de
la Figure 20
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TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
C1 Couleur {B, R, V} B B B R R R V V V
C2 Type {1, 2, 3} 1 2 3 1 2 3 1 2 3
A1 Prix 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figure 22 – Exemple de table standard à entrée étendue
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 Type {1, 2, 3} 1 1 2 2 3 3
C2 Disponible O N O N O N
A1 Signaler type 1B 2B 3B
A2 Faire offre X X X
Figure 23 – Exemple de table standard à entrée mixte
10 Décomposition de tables de décision
Face à la complexité de la réalité, il peut s’avérer utile de diviser un problème complexe en
une série de problèmes réduits ou plus petits.
Une table de décision comportant de nombreuses entrées de décision ou d’action peut souvent
être divisée en quelques tables avec un nombre d’entrées réduit; ces tables sont reliées entre
elles par l’intermédiaire d’un transfert de flux de contrôle. Le contrôle du transfert de flux
entre les tables permet de conserver la vision de la logique globale.
On distingue deux sortes de transfert de flux de contrôle entre tables de décision :
• L’appel d’une table subordonnée sans retour à la table maîtresse; dans ce cas la table
subordonnée est dite « table ouverte ».
• L’appel d’une table subordonnée avec retour à la table maîtresse; dans ce cas la table
subordonnée est dite « table fermée ».
Remarque: Lorsque nous sommes en présence d’un ensemble de tables, l’ordre d’exécution
des actions de la table maîtresse a une incidence sur la logique globale.
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10.1 Tables ouvertes
La table ouverte est atteinte par un transfert de flux sans retour; à la fin du traitement de la
table subordonnée, le flux de contrôle n’est pas renvoyé à la table maîtresse.
TD 2
TD 1
ALLER TD 2 2 3 4 5
TD3
10.2 Tables fermées
TD 4 TD 5
Figure 24 - Table ouverte / Pas de retour de flux de contrôle
La table fermée est atteinte par un transfert de flux avec retour; à la fin du traitement de la
table subordonnée, le flux de contrôle est renvoyé à la table maîtresse.
TD 1 1 2 3 4 TD 2 1 2 3 4
Action A X X X
TRAITE TD2 X
Action B X X
Action 3 X X
ALLER TD3 X X X X
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TD 3
Figure 25 - Table fermée / RetourFlux avec retour
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RETOUR X X X X
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10.3 Exemple de décomposition d’une table en plusieurs
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Condition 1 O O O O N N N N
C2 Condition 2 O O N N O O N N
C3 Condition 3 O N O N O N O N
A1 Action 1 X X X X
A2 Action 2 X X X X
A3 Action 3 X X X
A4 Action 4 X X X X X
Figure 26 – Exemple de table décomposable
En analysant les règles de l’exemple de la Figure 26, nous pouvons faire les observations et
déductions ci-après par groupes de règles et conditions :
1. Pour toutes les règles
A1 est exécutée lorsque C1 est vraie. On peut regrouper la condition C1 et les
A2 est exécutée lorsque C1 est fausse. actions A1 et A2 dan une table maîtresse
TD1
2. Pour les 4 premières règles la condition C2 est indifférente
A3 est exécutée lorsque C3 est vraie. On peut regrouper la condition C3 et les
A4 est exécutée lorsque C3 est fausse. actions A3 et A4 dans une table subordonnée
TD2
3. Pour les 4 dernières règles aucune condition n’est indifférente
A3 et A4 sont exécuté sans qu’un élément
logique puisse être mis en évidence
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On doit créer une table subordonnée TD3
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TD – 1 R1 R2
C1 Condition 1 O N
A1 Action 1 X
A2 Action 2 X
A5 ALLER TD-2 TD-3
TD – 2 R1 R2
C3 Condition 3 O N
A3 Action 3 X
A4 Action 4 X
Remarque importante:
TD – 3 R1 R2 R3
C2 Condition 2 O O N
C3 Condition 3 O N -
A3 Action 3 X
A4 Action 4 X X
Figure 27 – Décomposition de la table de la Figure 26
Lorsque l’on décompose une table en plusieurs tables, les différentes tables subordonnées
n’ont, à priori, pas de signification sans le contexte de la table maîtresse qui va lui transférer
le flux de contrôle.
Dès lors, il s’agit d’utiliser avec la plus grande circonspection la décomposition d’une table de
décision.
11 Consolider une table de décision
Une table de décision est dite « consolidée » ou correctement élaborée lorsque :
• Les conditions sont sans redondance.
• Les actions sont sans redondance.
• Les règles sont sans redondance.
• Elle est complète.
• Les conditions, actions et règles sont minimisées.
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12 Recherche et élimination des redondances des actions
Une action est redondante lorsqu’elle n’est utilisée par aucune règle.
Une action redondante doit être éliminée de la table de décision.
TD – R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O O O N
C2 Condition 2 O O N N
C3 Condition 3 O N - -
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X X
A3 Action 3
A4 Action 4 X
Figure 28 – Action redondante
L’action A3 de la table de décision de la Figure 28 doit être éliminée ; l’action A4 devient A3.
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13 Recherche et élimination des redondances des
conditions
Une condition est redondante lorsqu’elle n’influence pas le choix des actions ; une condition
redondante ne possède que des indicateurs indifférents.
Une condition redondante doit être éliminée de la table de décision.
TD – R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O O O N
C2 Condition 2 O O N N
C3 Condition 3 O N O -
C4 Condition 4 - - - -
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X X X
A3 Action 3 X
Figure 29 – Condition redondante
La condition C4 de la table de décision de la Figure 28 doit être éliminée.
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14 Recherche des redondances de règles
Une règle est redondante lorsqu’elle couvre un cas déjà couvert par une autre règle.
Une telle situation peut représenter une erreur de logique ou une situation définie plusieurs
fois.
TD – R1 R2 R3
C1 Condition 1 N N O
C2 Condition 2 O - O
C3 Condition 3 N N -
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X
Figure 30 – Règles redondantes
Il y a redondance entre les règles R1 et R2 de la Figure 30; en effet, en décomposant la règle
R2 en deux règles simples R2a et R2b (Figure 31), nous pouvons constater que R1 et R2a sont
identiques.
TD – R1
R2a
R2
R2b
C1 Condition 1 N N N O
C2 Condition 2 O O N O
C3 Condition 3 N N N -
Figure 31 – Equivalences de règles simples
Toute redondance de règles doit impérativement être détectée et corrigée.
Les règles redondantes peuvent être détectées à l’aide de tables standards ou par confrontation
de règles.
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R3
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14.1.1 Détection à l’aide des tables standards
La table à consolider est reproduite sous forme d’une table standard ; ensuite, les règles de la
table à consolider sont mises en relation avec l’ensemble des règles de la table standard. Il y a
redondance si une règle de la table standard correspond à plus d’une règle de la table à
consolider.
TD – R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 O O O N N
C2 Condition 2 O O N O -
C3 Condition 3 - N - - -
C3 Condition 4 - N - - -
A1 Action 1 X X X
A2 Action 2 X X X X
A3 Action 3 X X X X
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Figure 32 – Exemple de table à consolider
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16
C1 Condition 1 O O O O O O O O N N N N N N N N
C2 Condition 2 O O O O N N N N O O O O N N N N
C3 Condition 3 O O N N O O N N O O N N O O N N
C4 Condition 4 O N O N O N O N O N O N O N O N
Règles
correspondantes
de la table à
consolider
1 1 1 1
2
3 3 3 3 4
5
Figure 33 – Mise en évidence des règles redondantes
50. Les tables de décision
27/39
4
5
4
5
4
5
5 5 5 5
Nous pouvons observer dans la Figure 33, qu’il y a redondance entre les règles R1 et R2 ainsi
qu’entre les règles R4 et R5 de la table à consolider de la Figure 32.
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14.1.2 Détection par confrontation de règles
Chaque couple de règles, prises deux à deux, doit avoir au moins un indicateur de condition
différent.
Lorsque l’on parle d’indicateur différent, il faut exclure l’indicateur indifférent (-) qui
représente toutes les formes possibles.
TD – R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 O O O N N
C2 Condition 2 O O N O -
C3 Condition 3 - N - - -
C3 Condition 4 - N - - -
Confrontation de R1
Confrontation de R2
Confrontation de R3
Confrontation de R4
Figure 34 – Exemple de table à consolider
Comme précédemment, nous trouvons une redondance entre les règles R1 et R2 ainsi qu’entre
les règles R4 et R5.
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R
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R
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15 Redondances de règles avec ou sans contradiction
Une redondance est dite sans contradiction si les règles qui engendrent la redondance
conduisent au même jeu d’actions.
Une redondance est dite avec contradiction si les règles qui engendrent la redondance ne
conduisent pas au même jeu d’actions.
En cas de redondance avec contradiction, il faut reprendre l’étude du problème car, il s’agit
d’une erreur de logique; la contradiction doit impérativement être éliminée.
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9
C1 Condition 1 O O O O O O N N N
C2 Condition 2 - O O N N N - O N
C3 Condition 3 O - - O N - O O -
C4 Condition 4 O N N - N O O N -
C5 Condition 5 N N O O - O - - -
A1 Action 1 X X X X X X
A2 Action 2 X X X X
A3 Action 3 X X X
A4 Action 4 X X X X X
Figure 35 – Exemple de redondances
1) Il y a redondance avec contradiction entre les règles R4 et R6.
La logique de la table ou des règles R4 et R6 doit être corrigée.
2) Il y a redondance sans contradiction entre les règles R7 et R9.
La redondance doit être éliminée.
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16 Elimination des redondances de règles sans
contradiction
16.1 Inclusion
Une règle est incluse dans une autre lorsque les conditions se différentient seulement par un
ou plusieurs indicateurs d’indifférence (-).
Pour éliminer la redondance, il faut supprimer la règle incluse.
TD – R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O N N N
C2 Condition 2 - O O N
C3 Condition 3 - - O N
A1 Action 1 X
A2 Action 2 X X
A3 Action 3 X
Figure 36 – Règle incluse dans une autre
TD – R1
R2a
R2
R2b
R3 R4
C1 Condition 1 O N N N N
C2 Condition 2 - O O O N
C3 Condition 3 - O N O N
Figure 37 – Inclusion de R3 dans R2 (R3 = R2a)
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La règle R3 de la figure 36 est incluse dans la règle
R2; la règle R3 doit donc être éliminée de la table.
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Après élimination de la redondance, la règle R4 de la table de décision de la Figure 36
devient la règle R3 de la table sans redondance
TD – R1 R2 R3
C1 Condition 1 O N N
C2 Condition 2 - O N
C3 Condition 3 - - N
A1 Action 1 X
A2 Action 2 X
A3 Action 3 X
Figure 38 – Suppression de la redondance de la Figure 36
16.2 Intersection
Deux règles complexes sont dans un rapport d’intersection lorsqu’une ou plusieurs règles
simples sont représentées par les deux règles.
Pour éliminer la redondance, il faut supprimer la ou les règles simples qui représentent cette
intersection, Cela conduit, en général, à décomposer une règle complexe en plusieurs règles
simples ou complexes.
TD – R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 N O O O -
C2 Condition 2 - N O N O
C3 Condition 3 - O N N O
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X X
A3 Action 3 X
A4 Action 4 X X
Figure 39 – Rapport d’intersection entre deux règles complexes
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TD – R1 R2 R3 R4 R5
R1a R1b R1c R1d R5a R5b
C1 Condition 1 N N N N O O O O N
C2 Condition 2 O O N N N O N O O
C3 Condition 3 O N O N O N N O O
Figure 40 – Intersection entre R1 et R5 (R1a = R5b)
Les deux règles simples R1a et R5b
représentent l’intersection. Pour éliminer la
redondance, nous supprimons la règle
simple R5b de la règle complexe R5 ; en
finalité, la règle R5 est constituée de la
seule règle simple R5a.
Après élimination de la redondance, la règle complexe R5 de la table de décision de la Figure
39 est devenue une règle simple de la table sans redondance de la Figure 41.
TD – R1 R2 R3 R4 R5
C1 Condition 1 N O O O O
C2 Condition 2 - N O N O
C3 Condition 3 - O N N O
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X X
A3 Action 3 X
A4 Action 4 X X
Figure 41 – Suppression de la redondance de la Figure 39
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17 Vérification de la complétion
Lorsque les redondances de conditions, d’actions et de règles d’une table de décision sont
éliminées, il faut encore nous assurer que toutes les règles simples que l’on peut déduire des
conditions soient présentes dans la table.
Ce contrôle de complétion peut se faire de deux manières :
• en calculant le nombre maximum de règles simples à partir des conditions et le
nombre de règles simples figurant dans la table;
• par l’intermédiaire d’une table standard; cette solution doit être privilégiée car, elle
fournit immédiatement les règles manquantes.
Remarque: La vérification de complétion ne doit se faire que pour autant qu’il n’y ait pas de
règle ELSE dans la table.
TD – R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O O O N
C2 Condition 2 O O N -
C3 Condition 3 - N O -
C4 Condition 4 N O - -
A1 Action 1 X X X
A2 Action 2 X X X
A3 Action 3 X X X
Figure 42 – Exemple de table pour la vérification de complétion
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17.1 Calcul du nombre de règles
Pour rappel (chapitre 7.1), le nombre maximal de règles simples déductible des conditions
d’entrée s’obtient par la formule générale:
NbMax = F * F
1 2 * … * Fi * … * Fn
Fi est le nombre d’entrée de chacune des conditions
ou par la formule spécifique aux tables à entrées limitées :
NbMax = 2 n
Pour rappel (chapitre 7.3), le nombre de règles simples figurant dans une table s’obtient par la
formule générale:
NbRS = RS + RS
1 2 + … + RSi + … + RSn
RSi est le nombre de règles simples contenues dans chaque règle
Le nombre maximal de règles simples déductible des conditions
d’entrée est de :
NbMax = 2 4 = 16
Le nombre de règle simples figurant dans la table est de :
NbRS = RS 1 + RS2
+ RS 3 + RS4
= 2 + 1 + 2 + 8
NbRS =13
La vérification de complétion nous montre qu’il manque 3 règles :
Règles manquantes = NbMax – NbRS
= 16 -13
Règles manquantes = 3
Figure 43 – Vérification de complétion pour la table de la Figure 42
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17.2 Utilisation d’une table standard
Pour rappel (chapitre 9), une table standard:
• est formellement complète;
• est composée de règles simples;
• affiche ses règles de manière systématique.
Pour vérifier la complétion d’une table, nous créons une table standard à partir des entrées de
la table à vérifier; ensuite, nous établissons la correspondance entre les règles deux tables.
TD – R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16
C1 Condition 1 O O O O O O O O N N N N N N N N
C2 Condition 2 O O O O N N N N O O O O N N N N
C3 Condition 3 O O N N O O N N O O N N O O N N
C4 Condition 4 O N O N O N O N O N O N O N O N
Règle
correspondante de
la table à vérifier
1 2 1 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
Figure 44 – Vérification de la complétion pour la table de la Figure 42
Comme précédemment, nous constatons qu’il manque 3 règles; toutefois, avec cette méthode,
nous disposons directement de la forme (indicateurs de conditions) des règles manquantes.
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18 Minimisation des tables de décision
La minimisation d’une table de décision consiste, lorsque cela est possible, à :
• réduire le nombre de conditions. Les conditions limitées sont regroupées au sein de
conditions étendues;
• réduire le nombre d’actions. Les actions limitées sont regroupées au sein d’actions
étendues;
• réduire le nombre de règles. Les règles simples sont transformées en règles complexes.
18.1 Minimisation des conditions
Pour effectuer cette minimisation, sans altérer la logique de la table de décision, il faut que
chaque règle ne possède qu’une seule fois l’indicateur oui (O) pour l’ensemble des conditions
limitées qui seront regroupées dans une condition étendue.
TD – Avant minimisation R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 Couleur 1 O O N N N N
C2 Couleur 2 N N O O N N
C3 Couleur 3 N N N N O O
C4 Type A O N N N N N
C5 Type B N O N N O N
C6 Type C N N O N N N
C7 Type D N N N O N O
TD – Après minimisation R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 Couleur 1 1 2 2 3 3
C2 Type A B C D B D
Figure 45 – Exemple de minimisation de conditions
A propos de la Figure 45 :
• Les conditions limitées C1, C2 et C3 peuvent être regroupées dans une nouvelle
condition étendue Couleur car, chaque règle ne comporte qu’un seul indicateur O
pour ce groupe de conditions.
• Il en est de même pour C4, C5 , C6 et C7 regroupées dans une nouvelle condition
étendue Type.
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18.2 Minimisation des actions
Pour effectuer cette minimisation, sans altérer la logique de la table de décision, il faut que
chaque règle ne possède qu’une seule action (X) pour l’ensemble des actions limitées qui
seront regroupées dans une action étendue.
TD – Avant minimisation R1 R2 R3 R4 R5 R6
C1 Condition 1 O O O O O N
C2 Condition 2 O O O O N -
C3 Condition 3 O O N N - -
C4 Condition 4 O N O N - -
A1 Additionner 10 X X
A2 Additionner 20 X
A3 Additionner 30 X X
A4 Additionner 40 X
A5 Aller à TD3 X
A6 Aller à TD4 X X
A7 Aller à TD5 X
A8 Aller à TD6 X X
Actions après minimisation R1 R2 R3 R4 R5 R6
A1 Additionner 10 30 10 30 20 40
A2 Aller à TD 3 4 6 5 4 6
Figure 46 – Exemple de minimisation d’actions
A propos de la Figure 46 :
• Les actions limitées A1, A2, A3 et A4 peuvent être regroupées dans une nouvelle
action étendue Additionner car, chaque règle ne comporte qu’un seul indicateur X
pour ce groupe d’actions.
• Il en est de même pour A5, A6, A7 et A8 regroupées dans une nouvelle action
étendue Aller à TD.
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18.3 Minimisation des règles
Pour effectuer cette minimisation, sans altérer la logique de la table de décision, il faut que les
règles complexes conduisent exactement aux mêmes actions que chacune des règles simples à
partir desquelles elles ont été élaborées.
TD – Avant minimisation R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
C1 Condition 1 O O O O N N N N
C2 Condition 2 O O N N O O N N
C3 Condition 3 O N O N O N O N
A1 Action 1 X X X
A2 Action 2 X X X X X X X
Règles complexes R1 R2 R3 R4
TD – Après minimisation R1 R2 R3 R4
C1 Condition 1 O O O N
C2 Condition 2 O N N -
C3 Condition 3 - O N -
A1 Action 1 X X
A2 Action 2 X X X
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Figure 47 – Exemple de minimisation de règles
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19 Références bibliographiques
Mes remerciements sincères à Michel Kaeser dont j’ai repris intégralement le fil rouge du
chapitre Les tables de décision [1] de l’excellent cours d’analyse qu’il avait créé en 1985 pour
la formation de programmeur au CPLN.
[1] Les tables de décision
Michel Kaeser, 1985, CPLN
[2] Cours de méthodologie HES – 2005
P.-A. Sunier
http://lgl.isnetne.ch/modelisation-2005
[3] Cours de méthodologie HES – 2005
P.-A. Sunier
http://lgl.isnetne.ch/methodologie-2005HES
[4] Les tables de décision
Jean-Pierre Cap, 2000, ESNIG
[5] [SJB-02]
Analyse et conception de systèmes d’information
Satzinger et consorts, Editions Reynald, 2002
http://lgl.isnetne.ch/AnaConSI
[6] Table de décision
http://www.dmi.usherb.ca/~frappier/igl301/TableDeD%E9cision.ppt
Cours de modélisation 2005/2006
http://lgl.isnetne.ch/modelisation-2005
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26.11.2007/ P-A. Sunier
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