TD 3 : Matrices et Déterminants Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 ...

2) Soient A =
⎛
⎜
⎝
et B sont semblables.
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
⎞ ⎛
⎟
⎠ et B = ⎜
⎝
1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
⎞
⎟
⎠ . Montrer que A
Exercice 7
Calculer les déterminants suivants:
a 1 0 0 . . . 0 0 0
Cn 0 Cn 1 . . . Cn
p 1 a 1 0 . . . 0 0 0
Cn+1 0 Cn+1 1 . . . C p 0 1 a 1 . . . 0 0 0
n+1
.
,
0 0 1 a . . . 0 0 0
,
. . . .
.
∣ Cn+p 0 Cn+p 1 . . . C p ∣
.
.
.
. . . .
.
.
.
n+p
0 0 . . . 0 . . . 1 a 1
∣
∣ 0 0 . . . 0 . . . 0 1 a ∣
0 1 2 . . . n − 1
1 0 1
.
. 2 1 1 .. 2
.
. .
.. . .. 1
∣ n − 1 . . . 2 1 0 ∣
∣
a 1 b 1 . . . . . . b 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b 2 a 2 + b 2 b 2 . . . b 2
.
.
..
. ..
,
.
.
.. bn−1
b n . . . . . . b n a n + b n
Exercice 8
Soient A, B ∈ M n (R).
1) Montrer que si AB ( = BA ) alors det(A 2 + B 2 ) ≥ 0.
A B
2) Si on pose M =
, montrer que detM = det(A + B)det(A − B).
B A
3) Montrer que si A est triangulaire alors comA l'est aussi.
4) Calculer com(com(A) dans le cas où A est inversible.
5) Si rangA ≤ n − 2, démontrer que comA = 0.
6) Si rangA = n − 1, démontrer que rang(comA) = 1.
7) Dans le cas général, démontrer que com(comA) = det(A) n−2 A.
8) Si A et B sont inversibles, démontrer que com(AB) = (comA)(comB).
Exercice 9
Soient ( A, B, ) C, D ∈ M n (K) avec A inversible et AC = CA. On considère
A B
M =
∈ M
C D
2n (K). Montrer que det(M) = det(AD − CB).
Exercice 10
Soient u, v deux endomorphismes d'un C-espace vectoriel E de dimension
nie, u inversible, v nilpotent et uov = vou.
1) Démontrer que det(v) = 0. Chercher le polynôme caractéristique de v et
en déduire que det(id E + v) = 1.
2) Démontrer que det(u + v) = detu.
3) Si F et G sont supplémentaires et stables par un endomorphisme quelconque
f de E, alors detf = (detf) |F (detf) |G .
2