INSA de Rennes â 2`eme année STPI â Analyse 4 âO.Ley Exercice ...
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Ce nouvel ensemble à est maintenant compact. Comme V (x,y) = πab, le problème posé est équivalent<br />
à trouver<br />
sup πab.<br />
(a,b)∈Ã<br />
Comme (a,b) ↦→ πab est continue sur le compact Ã, cette fonction atteint son maximum en un point<br />
(ā,¯b) ∈ Ã qui est un solution du problème. On remarque d’abord que ā,¯b > 0 (sinon V max = 0 ce qui<br />
serait absur<strong>de</strong>). Posons ¯x = ā et ȳ = ¯b/ā. Il suit<br />
{ V (¯x,ȳ) = π¯x2ȳ = πā¯b = V max<br />
2¯x 2 + ¯xȳ = α/(2π) donc g(¯x,ȳ) = 0,<br />
donc (¯x,ȳ) est la solution du problème ce qui termine la preuve.<br />
✷<br />
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