Analyse de l'impact numérique du réordonnancement pour les ...

1 IntroductionIl existe de nombreux problèmes scientifiques non résolu, parmi ces problème figurent "leséquations aux dérivées partielles" (EDP), sur un domaine et éventuellement sous certainescontraintes (par exemple le problème différence finie, élément finis) qu’on rencontre dansbeaucoup d’applications comme en physique, en mécanique, en électronique, etc. en généraldans les sciences pour l’ingénieur. Actuellement pour résoudre ce type de problème, il n’existepas encore des méthodes mathématiques qui peuvent donner des solutions de façon formelle(sauf pour des formes particulières) aux EDP à partir du second degré (second ordre). Unseul moyen pour résoudre ces problèmes proposé par des scientifiques consiste à trouver dessolutions approchées qui conduisent, éventuellement après une étape de discrétisation , à larésolution du système d’équations en dimension finie, symétrique définie positive (où la preuvese trouve dans [7]) creuse et de très grande taille. Lorsque les systèmes sont non linéaires, leurrésolution passe par une étape de linéarisation. On peut donc dire que tout les calculs scientifiquesreposent sur la résolution du système linéaire pour lequel il est fondamental que soientdéveloppées des méthodes numériques rapides, robustes et faciles à utiliser.Par résolution des systèmes issus de la discrétisation de EDP, nous entendons la recherchede la solution d’un système Ax = b en utilisant l’une des deux (ou bien la combinaison desdeux) principales méthodes suivantes.La première méthode est la méthode directe, indépendante de la structure numérique etde la taille du système d’équations, il y a cinq étapes différentes dans le déroulement du calculqui consiste à :– Déterminer la structure de donnée utilisée– Trouver la meilleure permutation (la numérotation) P sur les variables et les équationsdu système pour exploiter le parallélisme, le symétrique et essayer de préserver la tailledes éléments non nuls de A.– Déterminer les informations nécessaires du facteur Cholesky L de P AP t pour réserverles mémoires et puis mettre à jour la structure des données correspondance.– Factoriser la matrice permuter P AP t en LL t en utilisant la méthode Cholesky– Résoudre le système d’équations Ly = b et L t z = y puis faire x = P t zOn va voir dans la section (2.1), avec les différents numérotations, qu’on peut diminuer, laplupart du temps, le nombre des éléments non nuls dans le facteur Cholesky L de la matriceP AP t .Il y a beaucoup de type de structures de données possibles utilisée pour stocker des élémentsde la matrice, la différence entre ces types sont essentiellement dues à l’exploitationdes éléments zéros. Certaines peuvent stocker un peu plus d’éléments nuls (le structure dedonnées simple), et les autres exploitent tous les éléments nuls de la matrice. Le choix de lastructure de donnée, non seulement affecte la taille de mémoire utilisée, mais aussi, a l’impactsur l’implémentation de la factorisation et la solution du système, et donc sur la complexitédu programme et le temps d’exécution.La seconde méthode, c’est la méthode itérative, qui,typiquement consiste à choisir le vecteurd’approximation de départ x (1) de x, et à déterminer la suite x (2) , x (3) , · · · telle quelim i→∞ x (i) = x, où souvent, x (i+1) est calculé en fonction de A, b, la matrice préconditionneurde A et un ou deux vecteur(s) déjà calculé dans la précédante itération. En théorie,quand on utilise la méthode itérative, on doit exécuter un nombre infini de fois des opérations2