TS Spe Math Arithmétique avec le logiciel ... - IREM de Rennes

5) Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :n« Si un nombre a s’écrit 2 (2n+1 −1)parfait. »et si le facteur (2n+1 −1)est premier, alors a est un nombrea) En utilisant ce théorème, trouver des nombres parfaits.b) Donner la décomposition de a en facteurs premiers.c) En déduire la liste des diviseurs de a.d) Montrer que la somme de ces diviseurs vaut 2a. Conclure.nIl existe une réciproque de ce théorème due à Euler : « tout nombre parfait pair s’écrit 2 (2n+1 −1)avec (2n+1 −1)premier. ». Le problème de savoir s’il existe des nombres parfaits impairs n’est toujours pas résolu.III) Wanted An(A partir d’un exercice du manuel Pixel TS spécialité)On considère l’algorithme suivant qui calcule les nombresPour n allant de 1 à 10Initialiser A et K en leur donnant la valeur nTant que K > 2 :Donner à K la valeur K-1Donner à A la valeur A*KFin_tantqueDonner à A la valeur A -1Afficher n et AFin_pour1) Programmer sur Scilab cet algorithme.Anpour n entier entre 1 et 10 :2) Donner une expression de Anen fonction de n.3) Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse:a) Il existe des valeurs de n pour lesquelles Anest premier.b) Quelque soit n, Anest un nombre premier.c) Si n est premier alors Anest un nombre premier.d) La réciproque du c) est fausse.4) Etudier la parité des nombres An.