THESE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSITE PARIS VI - LISMMA

COUPLAGE VISCOELASTICITE HYPERELASTICITE3.2 Modèle paramétrique en viscoélasticité nonlinéaire :En hyperélasticité, les énergies de déformation volumique sont dans lamajeure partie des cas prises sous la forme suivante :W (I 1 , I 2 , I 3 ) =N∑n=1K n H 1+αnn (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.13)H n (I 1 , I 2 , I 3 ) : Fonctions connues et déterminées par les 3 invariants I 1 ,I 2 et I 3 du tenseur des dilatation C, α n est un coefficient donné, K n est uncoefficient multiplicateur donné.Par exemple, dans le cas de la loi de Mooney nous avons :N=2, K 1 =A, K 2 = B, H 1 = I 1 − 3, H 2 = I 2 − 3 et α n = 0.En viscoélasticité non linéaire, nous proposons l’écriture de l’énergie dedéformation sous la forme :W (I 1 , I 2 , I 3 ) =N∑n=1K n g n (t) H 1+αnn (I 1 , I 2 , I 3 ) (3.14)g n (t) étant une fonction donnée du temps.Par ailleurs, la relation entre le second tenseur des contrainte de Piola-Kirchhoff S et l’énergie de déformation volumique W s’écrit [Holzapfel G. A., 2000] :S = 2δ ∂W + 2(I 1 δ − C) ∂W−1 ∂W+ 2I 3 C (3.15)∂I 1 ∂I 2 ∂I 30En utilisant la relation entre le second tenseur des contrainte de Piola-Kirchhoff S et le tenseur des contraintes de Cauchy σ, Jσ = F S t F ,nous pouvons écrire :Avec,Jσ = Φ 1 (F ) ∂W∂I 1+ Φ 2 (F ) ∂W∂I 2+ Φ 3 (F ) ∂W∂I 3(3.16)⎧⎪⎨⎪⎩Φ 1 (F ) = 2F t FΦ 2 (F ) = 2(I 1 F t F − B 2 ) = 2B(I 1 − B)Φ 3 (F ) = 2I 3 δ94