Le problème de la rigidité des graphes - Normalesup.org

E ′ . On parlera éventuellement de sous-graphe induit par un sous-ensemblede sommets, mais dans ce cas, on le précisera explicitement.Pour alléger les notations, on conviendra désormais que m = |E|, n = |V |,m ′ = |E ′ |, n ′ = |V ′ |, etc.Théorème 3 (Laman) Les arêtes d’un graphe G = (V,E) sont indépendantesen dimension 2 si et seulement s’il n’existe aucun sous-graphe G ′ =(V ′ ,E ′ ) de G tel que m ′ > 2n ′ − 3.Corollaire 1 Un graphe G tel que m = 2n − 3 est rigide en dimension 2 siet seulement s’il n’existe aucun sous-graphe G ′ de G tel que m ′ > 2n ′ − 3.⇒ Supposons par l’absurde qu’il existe un sous-graphe G ′ tel que m ′ >2n ′ −3. Par Laman, les 2n −3 arêtes de G seraient alors non indépendantes.On peut donc supprimer une des arêtes qui dépend des autres sans changerle caractère rigide ou non de G. Mais alors G ne dispose plus que de 2n − 2arêtes, ce qui est insuffisant pour assurer sa rigidité.⇐ Supposons qu’il n’existe aucun sous-graphe G ′ de G tel que m ′ >2n ′ − 3. Les 2n − 3 arêtes de G sont alors indépendantes d’après Laman. Onsait que 2n − 3 arêtes indépendants suffisent pour rendre un système de npoints rigides.Corollaire 2 (Reformulation de Laman) Pour un graphe G = (V,E),il y a équivalence entre :1. (i) Les arêtes de G sont indépendantes2. (ii) Pour toute arête e de G, le graphe G 4e = (E ∪ {e ′ ,e ′′ ,e ′′′ },V ), oùe ′ ,e ′′ ,e ′′′ sont des copies de e, n’a pas de sous-graphe (G 4e ) ′ tel que(m 4e ) ′ > 2(n 4e ) ′ .¬(ii) ⇒ ¬(i) Supposons qu’il existe une arête e telle que G 4e possède unsous-graphe (G 4e ) ′ dans lequel (m 4e ) ′ > 2(n 4e ) ′ . Retirons (éventuellement)e ′ ,e ′′ ,e ′′′ de (G 4e ) ′ pour obtenir G ′ . G ′ est évidemment un sous-graphe de G.Or m ′ ≥ (m 4e ) ′ − 3 > 2(n 4e ) ′ − 3 ≥ 2n ′ − 3, ce qui montre, d’après Laman,que les arêtes de G ne sont pas indépendantes.¬(i) ⇒ ¬(ii) Supposons que les arêtes de G ne sont pas indépendantes.Il existe alors un sous-graphe G ′ de G tel que m ′ > 2n ′ − 3. Soit e une arêtede ce sous-graphe. (G ′ ) 4e , le graphe obtenu de G ′ en quadruplant e, vérifiealors (m ′ ) 4e > 2(n ′ ) 4e et de manière évidente (G ′ ) 4e est un sous-graphe deG 4e .Lemme 3 Soit Ê un sous-ensemble libre d’arêtes de G. Notons Ẽ = Ê ∪{e}et ˜G = G(Ẽ). Il y a équivalence entre :1. (i) Ẽ est libre.2. (ii) ˜G 4e n’as pas de sous-graphe ( ˜G 4e ) ′ tel que ( ˜m 4e ) ′ > 2(ñ 4e ) ′ .3