You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
(2) r ϕ! = v sin α<br />
[α a fecske kancsalságának szöge, ez konstans,<br />
ϕ a fészektől a fecskéhez t időben húzott sugárnak a 0 időben húzott sugárral bezárt szöge]<br />
d ϕ<br />
r-t behelyettesítve ( d − vt cosα)<br />
= v sin α ,<br />
d t<br />
1<br />
1<br />
szeparálva ∫<br />
d t =<br />
− α ⋅ α<br />
∫d<br />
d v cos t vsin<br />
ϕ<br />
1 d − vcosα ⋅ t ϕ<br />
és integrálva ln<br />
= ,<br />
− vcosα<br />
d vsin<br />
α<br />
⎛ vcosα<br />
⎞<br />
amiből ϕ = −tg α ⋅ln⎜1−<br />
t⎟ .<br />
⎝ d ⎠<br />
t →<br />
d<br />
esetén ez a függvény végtelenhez tart, vagyis a fecske végtelen sokat kering, amíg<br />
vcosα<br />
beér a fészkébe, de ezt véges idő alatt teszi!<br />
Határozzuk meg a fecske pályáját!<br />
Az egyik lehetőség, hogy az r(t), ϕ(t) függvényekből kiküszöböljük t-t:<br />
⎛ vcosα<br />
d − r ⎞ r<br />
r = d–vt cosα ⇒ t = (d-r)/(v cosα) és ϕ = −tg<br />
α ⋅ln<br />
⎜1−<br />
⋅ = −tgα<br />
⋅ln<br />
d vcos<br />
⎟<br />
;<br />
⎝<br />
α ⎠ d<br />
a másik lehetőség, hogy az (1) és (2) differenciálegyenletet elosztjuk egymással:<br />
ϕ<br />
r<br />
v<br />
t r dϕ<br />
vsin α<br />
1<br />
= = = −tgα<br />
, szeparáljuk:<br />
v d r − vcosα<br />
∫ d ϕ = −tgα<br />
⋅∫<br />
dr és integráljuk:<br />
r<br />
r<br />
ϕ = −tgα<br />
⋅ln<br />
r<br />
d<br />
Ez az ún. logaritmikus spirális egyenlete, melynek jellemzője, hogy egy-egy teljes fordulatot<br />
megtéve a középponttól mért távolság mértani sor szerint (mindig ugyanannyiad részére)<br />
csökken:<br />
r-et kifejezve ϕ(r)-ből r = d⋅e -ϕ/tgα ,<br />
r<br />
r<br />
2<br />
1<br />
= e<br />
ϕ2<br />
ϕ1<br />
− +<br />
tgα<br />
tgα<br />
r<br />
−<br />
2 tgα<br />
egy fordulatot megtéve ϕ 2 =ϕ 1 +2π, így = e = konst.<br />
r1<br />
______________________________________________________________________________<br />
III.5.<br />
R sugarú autókerékre rátapadt egy kavics. t = 0 –ban a kavics pont az úttesten van (z = 0).<br />
Az autó sebessége v. Adjuk meg a kavics helyvektorát (sebességét, gyorsulását) az idő<br />
függvényében!<br />
______________________________________________________________________________<br />
,<br />
2π<br />
0<br />
d<br />
Dinamika<br />
IV. Mozgásegyenlet<br />
8
Change language