Kombinatorika, valószínűségszámítás - Sulinet

Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 14
zített sorrendjéhez 5! gyors szám sorrend tartozik, így a 10 szám lehetséges sorrendje
5! ⋅ 5!
. Ugyanennyi lehetőség adódik, ha a lemezt gyors számmal kezdjük, így a meg-
oldás: 2 ⋅ 5!
⋅5!
= 28800 .
6. A bölcs király minden évben megjutalmaz 5 tudóst. Kioszt 1 Nemzet Bölcse, 2 Nemzet
Okosa és 2 Nemzet Tudósa kitüntetést. Az öt jutalmazandó személyét már eldöntötték,
(köztük volt Mindentudó Jakab is,) de tanácsnokai mind különböző javaslatot adtak arra,
hogyan osszák meg az 5 tudós között a kitüntetéseket, mi több: pontosan annyian voltak,
hogy minden lehetőségre esett egy szavazat. Ezért a király úgy döntött, felvesz még egy
tanácsnokot, így biztosan lesz legalább kettő, aki azonos véleményen van.
a) Hány tanácsnoka lesz így a királynak?
b) Hányan gondolták eredetileg úgy, hogy az egyik Nemzet Okosa kitüntetés Mindentudó
Jakabnak jár?
Megoldás:
a)Ki kell számítani, hogy hányféleképpen oszthatta volna ki a király a kitüntetéseket, hiszen
ez egyezik meg a tanácsnokok eredeti számával. Rögzítsük az 5 tudós egyik lehet-
5 !
séges sorrendjét, és képzeletben helyezzük nevük alá a kitüntetéseket. Ezeket = 30
2!
⋅2!
különböző módon helyezhetjük el, mivel az 5 kitüntetés közül 2-2 egyforma. Tehát a
31. tanácsnok már csak valamely kollégájával megegyező véleményt mondhat.
b) Mivel a tanácsnokok eredetileg az összes lehetséges sorrendet képviselték, köztük
kell szerepelnie mindazoknak, akiknél Mindentudó Jakab kapja az egyik Nemzet Okosa
4 !
kitüntetést. Ezek száma = 12 hiszen a megmaradó 4 kitüntetés között csak 2 egyfor-
2!
ma van.
7. A körtáncot tanuló lányok minden próbán más-más sorrendben állnak fel. 10 próbájuk
volt. Legalább hányan táncolnak?
Megoldás:
Itt ciklikus permutációval kell számolnunk. 4 lány esetén 3!=6 próba lenne csak lehetséges,
5 lány viszont már akár 4!=24 különböző felállásban is próbálhatna. Tehát legalább
5 lány táncolt.