Pertemuan 11 : Pengintegralan Numerik - Matematika IPB

Pertemuan 11 : Pengintegralan Numerik 1 

(P11) Pengintegralan 

numerik 

Rujukan: 

1.Buku 1 bab 5 

2.Buku 2 bab 7 

• Pengantar Kuadratur 

• Metode Pengintegralan 

Numerik : 

• Aturan Trapesium 

(Trapezoid) 

• Aturan Trapesium 

Majemuk 

• Aturan Simpson 

• Aturan Simpson 

Majemuk 

Semester Pendek 2012 Departemen Matematika FMIPA IPB


Pengantar Kuadratur 

• Pendekatan analitik untuk menghitung integral 

tentu menggunakan TDK II 

dengan 

b 

 

a 

f ( x) 

dx F( 

b) 

F( 

a) 

F( x) 

f ( x) 

• Bila anti turunan dari suatu fungsi f(x), F(x), 

tidak dpt ditentukan, maka TDK II tidak dapat 

digunakan. 



• Pengintegralan numerik adalah alat utama yang 

digunakan oleh para ilmuwan untuk memperoleh 

hampiran jawaban bagi nilai integral tentu yang 

tidak dapat diselesaikan secara analitik. 

• Untuk beberapa kasus, meskipun cara analitik dapat 

digunakan, namun bentuknya sangat kompleks, 

sehingga pendekatan numerik dirasa lebih mudah 

dengan hasil yang cukup akurat. 

• Pendekatan numerik dilakukan dengan mencari 

fungsi hampiran bagi f(x), yaitu dengan polinomial 

Taylor atau interpolasi polinomial. 



• Contoh, untuk mengevaluasi 

e 

e 

dapat digunakan hampiran fungsi berikut : 

t 

x 

2 

1 2 

1 

t t 

 

2! 

2 1 4 

1 

x x 

 

2! 

dengan: 

0 

dx x 

2 

1 

t 

n! 

Semester Pendek 2012 Departemen Matematika FMIPA IPB 

n 

1 

x 

n! 

 

2n 

1 

 

0 

1 

( n 

e x 

1)! 

t 

2 

dx 

n1 

1 

x 

( n 1)! 

e 

ct 

2n2 

e 

dx


1 

 

0 

e 

x 

2 

dx 

 

1 

 

0 

( 1 

 

x 

2 

 

1 3 1 5 1 1 

x x x 

x 

3 10 n! 

2n 

1 

1 1 1 1 

1 

 

E 

3 10 n! 

2n 

1 

Dengan mengambil n=3, maka : 

1 

2! 

x 

4 

 

 


1 

n! 

x 

2n 

1 1 1 

1 

E 1. 

4571 

E 

3 10 42 

1 

e 8 e 

0 E 

x dx 0. 

0126 

24 216 

0 

) dx 

E 

2n1 

 

1 

0 

 

E


• Meskipun terlihat mudah, tapi pada umumnya 

pengintegralan menggunakan pendekatan deret 

Tayor tersebut tidak selalu mudah, sehingga cara 

yang kedua, yaitu menggunakan fungsi interpolasi 

polinomial lebih disenangi. 

• Integral tentu pada interval [a, b] didefinisikan sbg: 

b 

n 

f ( x) 

dx 

a 

n 

i1 

I( 

f ) lim 

 

• Aturan kuadratur n titik: 

f ( x ) x 

• Titik x i disebut titik kuadratur, w i disebut pembobot 

Q 

i 

n 

( 

f 


i 

) 

 

n 

 

i1 

w 

i 

f 

( x 

i 

)


Definisi 

• Andaikan bahwa a = x 0 < x 1 < ... < x M = b. Suatu 

formula dalam bentuk 

[ 

M 

 

k0 

k k 0 0 1 1 

Q f ] w f ( x ) w f ( x ) w f ( x ) 

w 

b 

 

a 

f 

( x) 

dx Q[ 

f ] E[ 

f 

• disebut suatu pengintegralan numerik atau rumus 

kuadratur. 

• suku E[f] disebut kesalahan akibat pemangkasan 

selama proses interpolasi. 


] 

M 

f 

( x 

M 

)


M 

x k0 

• k disebut titik kuadratur 

• disebut faktor pembobot 

M 

wk k0 

• Tergantung pada aplikasinya, titik-titik {x k} 

dapat dipilih dalam berbagai cara. 

• Pada beberapa metode, seperti metode 

Trapesium dan Simpson, titik-titik yang dipilih 

berjarak sama. 

• Dalam hal ini juga penting untuk diketahui 

akurasi dari solusi numerik yang diperoleh. 



Teorema (Aturan Trapesium) 

• Pandang y = f(x) pada [x 0, x 1], dengan 

x 1= x 0 + h. Aturan Trapesium 

merupakan suatu hampiran numerik untuk f(x) 

pada [x 0, x 1]. Jadi : 



Sisaan dari aturan trapesium ini berbentuk 

dengan c terletak antara x 0 dan x 1, serta 

mempunyai persamaan 

Contoh: 


Pertemuan 11 : Pengintegralan Numerik 11 

Andaikan 

maka bila sekatan dapat dibuat lebih kecil, 

akan diperoleh: 



Aturan Trapesium Majemuk 

• Bila beberapa trapesium digunakan maka disebut 

aturan trapesium majemuk (composite 

trapezoidal). Ini dilakukan untuk mendapatkan 

tingkat akurasi yang lebih tinggi. 

• Semakin banyak jumlah sekatan yang dibuat, 

akan semakin akurat hasil yang diperoleh. 

• Contoh, bila dibuat 3 sekatan. 



Bandingkan kesalahan yang terjadi 



Teorema Trapesium Majemuk 

• Pandang y=f(x) pada [a,b]. Andaikan interval [a, 

b] dipartisi menjadi m subinterval 

berjarak sama yaitu dengan titik-titik 

x k= x 0 + kh untuk k = 1,2,…m. 

• Aturan Trapesium Majemuk untuk m subinterval 

merupakan suatu hampiran numerik untuk f(x) 

pada [a, b], sehingga dapat dituliskan sebagai 



Sisaan dari Aturan Trapesium Majemuk 

• Andaikan [a, b] dibagi menjadi m 

subinterval dengan jarak 

• Aturan Trapesium Majemuk 

adalah suatu hampiran numerik bagi integral 

dan 



• Lebih jauh, jika maka terdapat 

suatu nilai c dengan a < c 

sehingga berbentuk : 

• Atau bila dituliskan dalam notasi "big O" 

menjadi 



• Pada contoh di atas: 



≈ T n(f) 



Contoh: 

• Tentukan hampiran numerik dari 

menggunakan aturan Trapesium m = 1, 4, 8, dan 16 

Jawab: 

m Tm(f) 

1 4.04864 

4 3.49710 

8 3.46928 

16 3.46232 



Contoh: 


dgn aturan Trapesium m = 100, 200, 400, dan 800 

Jawab: 

m 

Tm(f) 

100 3.46005707746 

200 3.46001252350 

400 3.46000138500 

800 3.45999860038 

Solusi analitik menghasilkan nilai integral = 3.45999767217 



kesalahan dari hampiran numerik: 

m Kesalahan hampiran 

100 -0.0000594053 

200 -0.0000148513 

400 -0.00000371283 

800 -0.000000928209 



Aturan Simpson 

• Bila aturan trapesium menggunakan interpolasi 

polinomial derajat linear, maka aturan Simpson 

menggunakan interpolasi polinomial derajat 2 : 

Sehingga diperoleh : 



Gambarannya seperti berikut : 



Teorema Aturan Simpson 

• Pandang y=f(x) pada [x 0, x 2], dengan x 1= x 0 + h, dan 

x 2= x 0 + 2h. Aturan Simpson adalah 

• Sisaan dari aturan Simpson ini adalah 

dengan c terletak di antara x 0 dan x 2 serta 



Contoh: 

Sebagai pembanding, dgn aturan Trapesium: 



Aturan Simpson Majemuk 

• Bila beberapa parabolik digunakan, metode ini 

disebut aturan Simpson Majemuk (composite 

Simpson). Pendekatan ini digunakan untuk 

memperoleh tingkat akurasi yang lebih tinggi. 

• Untuk menghitung : 

digunakan cara berikut : 





yang dapat disederhanakan menjadi 



Teorema Aturan Simpson Majemuk 

• Pandang y = f(x) pada [a, b]. Andaikan [a, b] disekat 

menjadi 2m subinterval berjarak sama 

yaitu dengan titik-titik x k= x 0 + kh untuk 

k = 0,1,2,…2m, maka aturan Simpson Majemuk 

merupakan suatu hampiran numerik untuk f(x) pada 

[a, b], sehingga dapat dituliskan sebagai 



Sisaan dari Aturan Simpson Majemuk 

• Andaikan [a, b] disekat menjadi 2m 

subinterval berjarak sama yaitu 

. Aturan Simpson Majemuk 

merupakan suatu hampiran numerik untuk 

integral, dan 



• Lebih jauh, jika , maka terdapat 

suatu nilai c di antara a dan b sedemikian 

sehingga kesalahan berbentuk. 

Bila diekspresikan menggunakan notasi "big O" 

menjadi 



Contoh: ≈ Sn(f) 



Contoh: 


menggunakan aturan Simpson m = 1, 4, 8, dan 16 

Jawab: 

m Sm(f) 

1 3.4613498419 

4 3.46008250981 

8 3.46000297964 

16 3.45999800397 



Contoh: 


dgn aturan Trapesium m = 20, 40, 80, dan 160 

Jawab: 

m 

20 

40 

80 

160 

Solusi analitik menghasilkan nilai integral = 

Sm(f) 



kesalahan dari hampiran numerik: 

m Kesalahan hampiran 

20 

40 

80 

160

Pertemuan 11 : Pengintegralan Numerik - Matematika IPB

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?